A New Method To Simulate Bipolar Transistors Combining Analytical Solution And Currend-Based MC Method

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1 A New Method To Simulate Bipolar Trasistors Combiig Aalytical Solutio Ad Curred-Based MC Method Semesterwor Vicet Peiert ETH Zurich, Switzerlad performed at ITET uder supervisio of Dr. Simo Christia Brugger, ETHZ Prof. Adreas Sche, ETHZ

2 Cotets 1 Tass 3 2 Itroductio Curret-based MC method Valid regios of the semi-aalytical solutio Momets Of The Iverse Scatterig Operator MISOs) Geeralizatio from space homogeeuos to ihomogeeuos case 8 4 Derivatio of f for the space ihomogeeous Boltzma equatio i secod order 10 5 Derivatio of secod order mobility ad diffusio tesors 15 6 Implemetatio to C Code validatio Eistei s relatio Symmetries Compariso with Mote Carlo simulatios Coclusio 37 Refereces 37 2

3 1 Tass S. C. Brugger ETH Zurich) developed a ew Mote Carlo method to solve the Boltzma equatio withi semicoductors [1], [2]. This method uses the trasportcoefficiets mobility µ ad diffusio D. But whe the semicoductor device becomes to big ad the dopigs become to high these Mote Carlo Method as well as ay other Mote Carlo Method) gets to time cosumig for applicatio. I particular bipolar trasistors ca ot be simulated till today. Additioally S. C. Brugger developed a very detailed wor about Momets of the Iverse Scatterig Operator of the Boltzma equatio MISOs). His ew iterative method to derive ay momet of a ISO Iverse Scatterig Operator) opes the possibility to solve the Boltzma equatio without the ivertatio of huge matrices. To specify, the solutio ca be developed ito a Taylor series i electric field E ad i gradiet of quasi Fermi potetial ψ. Because the mobility ad the diffusio ca be writte as momets of the ISO themselves a ew method to dervive µ ad D ca be extracted. But whe a exteral field is applied, the resultig Taylor series for µ ad D i E ad ψ does ot coverge at ay positio i the semicodictor but just i those regios where the system is still ear the equilibrium. These regios are those where dopigs of the semicoductor are very high so that the electros ad holes iteract frequetly withi the system. However these are exact the same regios, where Mote Carlo simulatios are computatioal expesive. At the locatios where dopigs are low so the scatterig rate is low) the Taylor series does ot coverge but the Mote Carlo simulatios are fast eought for applicatio. Mai idea is to use the aalytical solutio where the series coverges ad to use the Mote Carlo method otherwise. Thus this could be the first method to simulate bipolar trasistors. My tas was to deduct the aalytical expressios for µ ad D for the space ihomogeeous case up to the secod order ad to implemet them to C++. Therefor I first had to geeralize the aalytical method from the space homogeeous case to the space ihomogeeous case. At the ed a compariso with pure Mote Carlo simulatios i bul silico should varify the implemetatio ad visualize the covergece domai. 3

4 2 Itroductio 2.1 Curret-based MC method I [2] a ew oe-particle Mote Carlo method is proposed which taes i to accout geeratio-recombiatio processes ad quatum correctios. The basic idea is to couple the Boltzma trasport equatio ot oly with the Poisso equatio as proposed i [4]) but also with the cotiuity equatio. Drift diffusio equatio: Cotiuity equatio: Liear Poisso equatio: qµ E + q T r D ) = J 2.1) qpµ p E + q T r pd p ) = J p 2.2) r J + J p ) = qg R) 2.3) ǫ φ) = qp + N D N A ) 2.4) Figure 1: This figure shows the ew Curret based Mote Carlo Method. I regios where the system is ear the equilibrium, trasportparameters ca be calculated semi-aalytically. That is mai topic of this semesterwor 4

5 This set of equatios is self-cosistet because of the additioal Drift diffusio equatios. Mobility tesor µ, µ p ad the diffusio tesor D, D p : electros, p: holes) are usually extracted from Mote Carlo simulatio. But istead of Mote Carlo simulatio the goal is to apply a semi-aalytical solutio derived i sectio 5 for regios of low electric field ad high dopigs. 2.2 Valid regios of the semi-aalytical solutio The error of a Taylor expasio ca be derived by R = x x 0 +1)! f+1) x). e ca i geeral compare the first order with the secod order ad defie a criterio, where the semi-aalytical solutio is valid. The explicit forms of D ad µ up to secod order read: D = D eq + EM D 1 F + FM D 2 F 2.5) µ = µ eq + EM µ 1 F + FM µ 2 F 2.6) where D ad µ are 3 3 tesors ad M µ,d i are 3 3 matrixes of 3 3 tesors. It is worth to poit out that i commo simulators, the M1 X matrixes are assumed to be zero i every compoet which is disproved i this semesterwor). Additioally prior affords were made to calculate or estimate these matrixes but it could ot be doe [4]). e expect the coefficiets of pure gradiet quasi Fermi potetial F M2 X) to be 10 2 times smaller the those of the mixed terms M1 X ). I high doped regios F icreases ad E decreases, so that the validatio criterio will be fulfilled. A secod poit is, that the coefficiets strogly deped o the total scatterig rate which itself depeds o the dopig. If the dopig icreases, the coefficiets decrease. The latter behaviour is visualized i subsectio 7.3. Collectively we ote, that the approximatio must be valid i high doped regios. This is e.g. give i a bipolar trasitor: 5

6 Figure 2: The figure shows the dopig cocetratio withi a moder bipolar trasistor. The aalytical solutio should be valid from the order of

7 2.3 Momets Of The Iverse Scatterig Operator MISOs) The basic idea behid all affords of the semesterwor is the possibility to ivert the scatterig operator of the Boltzma equatio S: where f is the electro/hole desity ad Sf is defied as t f + v r f q E f = Sf 2.7) Sf := b 0 V b0 f 0,b 0 )w 0,b 0,b) f,b)w,b 0,b 0 ))d ) ith the ivertatio asatz we yield: S 1 t f + S 1 v r f S 1 q E f = f eq f eq 2.9) ad as we ca see, this is a equatio i f. Usually a relaxatio time asatz is made to free f from the scatterig operator. But the relaxatio asatz is just heuristic ad ot exact as the iversio asatz 2.9. This asatz was first published by S. C. Brugger i 2006 [3]) e ote that apparetly S 1 S 1 because we see a additioal term eq f eq i equatio 2.9. This reflects the fact, that S has a eigevector with eigevalue 0: The equilibrium distributio f eq. Oe ca extract the property of the ISO: < S 1 g S f >=< g f > < g f eq > 2.10) S. C. Brugger developed a geeral method to iteratively derive ay momet of the ISO [1] chapter 2.3). The momet of a fuctio g is defied as: Sg r, 1 ) := g r, ) S 1 r,, ) d ) Bz If the scatterig operator is oly bad-valley- ad eergy-depedet as i most Mote Carlo simulators) the g momet of the ISO ca be expressed as [1] chapter 2.4): Sg 1 0,b 0 ) = g 0,b 0 ) + ǧǫ 0,b 0 ) + Š 1 g ǫ 0,b 0 ) 2.12) ǧǫ 0,b 0 ) := V b0 g 0,b 0 )δǫ 0,b 0 ) ǫ 0 )d 3 0 Zǫ 0,b 0 ) 2.13) The implemetatio of the umerical method to derive ay MISO is fully doe by S. C. Brugger. That maes it possible to solve the Boltzma equatio semi-aalytically respectively to develope the solutio i a Taylor series as we will see i chapter 5. 7

8 3 Geeralizatio from space homogeeuos to ihomogeeuos case The static ihomogeous Boltzma equatio reads t f + v }{{} r f q E f = Sf 3.1) =0 Our goal is to develop f r, ) i a potetial series of r φ r) ad r ψ r) such that the ihomogeeous, static Boltzma equatio is fulfilled. I [1] Appedix B a method is described to develop f r, ) iteratively for the homogeeous case. I the space ihomogeeuos case the strategy stays the same. First we seperate f r, ) ito two fuctio r) ad h r, ) where r) is the desity of electos ad h r, ) i,j is a term i the order of O r φ) i, r ψ) j) : f r, ) = r) h r, ) = r) i,j=0 h r, ) i,j 3.2) e express the desity of electros by r) = e βqφ r) ψ r)), β = 1 B T 3.3) where φ r) is the electric potetial, ψ r) is the quasi-fermi potetial ad q is the electro charge. Now isertig 3.2 ito 3.1 gives: v r r) i,j=0 h r, ) i,j q E r) i,j=0 h r, ) i,j = S Now we apply the product rule for r ad divide by r) o both sides. v r r) r) = r log r)) i,j=0 h r, ) + r i,j i,j=0 h r, ) i,j 0 q E I the followig we eglect the term r i,j=0 r, h ) operator s depedece o f to express it as a series: i,j i,j=0 r, ) r) i,j=0 h r, ) i,j h r, )i,j = S r, ) i,j=0 3.4) h r, ) i,j 3.5). e isert 3.3 ad exploit the scatterig 8

9 vqβ r φ r) ψ r)) i,j=0 h r, ) q E i,j i,j=0 h r, )i,j = i,j=0 S r, )i,j i,j=0 h r, ) i,j The goal is to obtai a iterative method to derive h i,j by writig dow equatio 3.6 for the order O r φ) i, r ψ) j) ad write all terms i h i,j o the lefthad side ad the terms i h i 1,j or h i,j 1 o the righthad side: S r, )eq h r, )i,j + S r, )i,j h r, ) = vqβ rφh r, ) + q eq i 1,j rφ h r, ) vqβ rψh r, ) i 1,j i, 3.7) e used r φ = E, h r, ) r, ) ad S r, )eq = S r, ) 3.6). Applyig the geeral = h 0,0 eq 0,0 method show i [1] Appedix B to ivert the scatterig operator ad covertig Eq. 3.7, results i a recursive expressio for i,j > 0: h r, ) = h eq r,ǫ) Sg 1 i,j i,j r, ) ) + α i,j 3.8) with g i,j r, ) = 1 [ r φ vqβh i 1,j r, h ) + q eq h i 1,j r, )) vqβ r ψh i,j 1 r, )], 3.9) S 1 g i,j is the g i,j MISO: ad Sg 1 i,j r, ) := g i,j r, )S 1 r,, ) d ) Bz α i,j := Bz h eq r, ) Sg 1 i,j r, ) d 3 r, ). 3.11) d 3 Bz h eq 9

10 4 Derivatio of f for the space ihomogeeous Boltzma equatio i secod order e wat to calculate h up to the secod order, which meas: h r, ) = h eq r,ǫ) + h 0,1 r, ) + h 1,1 r, ) + h 0,2 r, ) I our case we oly eed to calculate h 0,1, h 1,1 ad h 0,2 because h 1,0 r, ) = 0, h 2,0 r, ) = 0. h 1,2 ad h 2,1 have odd parity i ad therefore vaish, whe we derive the momets of the mobility µ i,j or of the diffusio costat D i,j. The reaso is, that µ i,j ad D i,j have odd parity too ad the product of two odd fuctios gives a fuctio with eve parity. The term h 2,2 is the first to be eglegted. By iductio we see, that all terms h,0 = 0: ) ǫ is the eergy of a electro at the mometum. g 1,0 r, ) = 1 h eq rφ vqβh 4.1) h eq r, ) = cost e βǫ ) 4.2) r, ) + q eq h r, ) eq vqβ rψ h 1, 1 r, ) = 0 = vqβh r, ) eq g,0 r, ) = 1 r φ vqβh r, h ) + q eq 1,0 h r, ) ) vqβ r ψ h, 1 1,0 =0 h 1,0 = 0 r, ) = 0 =0 h,0 = 0 4.3) Our goal is, to express h 0,1, h 1,1 ad h 0,2 i terms of parameters, which we be calculated with a computer. Therefore the coversio 2.12 is applied: Sg 1 0,b 0 ) = g 0,b 0 ) + ǧǫ 0,b 0 ) + Š 1 g ǫ 0,b 0 ) ǧǫ 0,b 0 ) := V b0 g 0,b 0 )δǫ 0,b 0 ) ǫ 0 )d 3 0 Zǫ 0,b 0 ) Zǫ 0,b 0 ) is the desity of states, b 0 is the bad-idex. 10

11 h 0,1 : g 0,1 r, ) = 1 h eq r φ vqβ h 1,1 =0 r, ) Sg 1 0,1 r, ) = g 0,1 r, )S 1 r,, ) Bz + q h 1,1 =0 r, ) ) vqβ r ψh eq r, d 3 = qβ r ψ Sg 1 0,1 r, ) = qβ r ψs 1 v = qβ r ψ [ h r, ) = h eq r,ǫ) qβ r ψ 0,1 g 0,1 r, ) = vqβ r ψ vs 1 r,, ) d 3 Bz [ v,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v ǫ,b) ] v ǫ,b) ) ] + 4.4) h 1,1 : g 1,1 r, ) = rφ vqβh 0,1 r, h ) + rφ q eq h eq h 0,1 r, ) rφ vqβ r ψ h 1,0 h eq a b [ a = 1 v r φ vqβh eq r,ǫ) qβ r ψ,b) ˇ vǫ,b) h eq = r φ vq 2 β 2 [ r ψ Š 1 v ǫ,b) v,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v ǫ,b) r, ) =0 ) + ] ) + qβ = ] 4.5) 4.6) +β q2 [ b = 1 r φβ q2 h eq v h eq r,ǫ) r ψ,b) ˇ vǫ,b) = 1 r φβ q2 h eq h eq = β vh eq Š 1 v ǫ,b) r, ) v r ψ,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v ǫ,b) ) + qβ ) + qβ = a r φ) j r ψ) i [ j,i=0 m 1 { }} { ) j v i,b) ǫ ˇv i ǫ,b) v j,b) 11 )] ) v i,b) ˇv i ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ v j,b) = + ǫ v i ǫ,b) v j,b) ] 4.7)

12 = βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 m 1 c ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) d g 1,1 = a + b = v i,b) ˇv i ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ v j,b) e ǫ Šv 1 i ǫ,b) v j,b) ] f 4.8) = βq 2 j,i=0 r φ) j r ψ) i [ c 0,b 0 ) + cˇ ǫ 0,b 0 ) + Š 1 c ǫ 0,b 0 ) Sc 1 Sg 1 1,1 0,b 0 ) = g 1,1 0,b 0 ) + ǧ 1,1 ǫ 0,b 0 ) + Š 1 g 1,1 ǫ 0,b 0 ) = + d 0,b 0 ) d ˇ ǫ 0,b 0 ) Š 1 d ǫ 0,b 0 ) + S 1 d + e 0,b 0 ) eˇ ǫ 0,b 0 ) Š 1 e ǫ 0,b 0 ) + f 0,b 0 ) ˇf ǫ 0,b 0 ) tot ǫ 0,b 0 ) Š 1 f ǫ 0,b 0 ) ] Se 1 S 1 f 4.9) c = c 0,b 0 ) + cˇ ǫ 0,b 0 ) S 1 + Š 1 c ǫ 0,b 0 ) = m 1 + ˇm 1 tot 2 ǫ,b) + Š 1 ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) 4.10) d = d 0,b 0 ) d ˇ ǫ 0,b 0 ) S 1 ǫ ˇv i ǫ,b) v j ),b) ˇv j ǫ,b) Š 1 d ǫ 0,b 0 ) = tot 2 ǫ 0,b 0 ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) 4.11) = v i,b)v j,b) ˇv i ǫ,b)v j,b) ǫ ˇ e = e 0,b 0 ) eˇ ǫ 0,b 0 ) S 1 v i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ Š 1 e ǫ 0,b 0 ) = Š ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) 4.12) 12

13 S 1 f = f 0,b 0 ) ˇf ǫ 0,b 0 ) ǫ Šv 1 i ǫ,b) v j ),b) ˇv j ǫ,b) Š 1 f ǫ 0,b 0 ) = Š 1 ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) 4.13) h r, ) = h eq r,ǫ) Sg 1 1,1 1,1 r, ) ) + α 1,1 = = h eq r,ǫ) βq 2 r φ) j r ψ) i [ m 1 + ˇm 1 j,i=0 + Š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) + } {{ tot } + ǫ ˇv i ǫ,b) v j,b) ˇv j ǫ,b) ) S 1 c tot 2 ǫ 0,b 0 ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) + } {{ tot } S 1 d v i,b)v j,b) ˇv i ǫ,b)v j,b) v tot + 2 ǫ,b) ǫ ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ Š v ˇ ǫ i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) + tot 2 ǫ } {{ ǫ,b) } S 1 e ǫ Šv 1 i ǫ,b) v j,b) ˇv j ǫ,b) ) + Š 1 ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] + α 1,1 ) S 1 f 4.14) 13

14 h 0,2 : g 0,2 r, ) = 1 r φ vqβ h 1,2 r, h ) + q eq h 1,2 r, ) vqβ r ψh 0,1 r, =0 =0 = q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j i,j=1 g 0,2 r, ) = r ψ vq 2 β [ 2 r ψ [ = q 2 β 2 r ψ) i v i r ψ) j i,j=1 v i,b)v j,b) + v i,b) ˇv j ǫ,b) x v,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v ǫ,b) v j,b) ˇv j ǫ,b) Š 1 v j ǫ,b) + v i,b)š 1 v j ǫ,b) y Sg 1 0,2 0,b 0 ) = g 0,2 0,b 0 ) + ǧ 1,1 ǫ 0,b 0 ) + Š 1 g 0,2 ǫ 0,b 0 ) = = q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ x 0,b 0 ) + ˇx ǫ 0,b 0 ) + i,j=1 tot ǫ 0,b 0 ) Š 1 x ǫ 0,b 0 ) + Sx 1 + y 0,b 0 ) + ˇy ǫ 0,b 0 ) + Š 1 y ǫ 0,b 0 ) + z 0,b 0 ) ž ǫ 0,b 0 ) tot ǫ 0,b 0 ) Sy 1 ) ) Š 1 z ǫ 0,b 0 ) Sz 1 + βq + βq ) ] ] v i,b) βq r ψ) j = = z 4.15) ] 4.16) = v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) v ǫ,b) ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ,b) Sx 1 = x 0,b 0 ) + ˇx ǫ 0,b 0 ) + Š 1 x ǫ 0,b 0 ) = Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) vˇ j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) 4.17) Sy 1 = y 0,b 0 ) + ˇy ǫ 0,b 0 ) + Š 1 y ǫ 0,b 0 ) = Š 1 v j ǫ,b) v i,b) + ˇv i,b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) 4.18) Sz 1 = z 0,b 0 ) ž ǫ 0,b 0 ) = βq r ψ) j Š 1 z ǫ 0,b 0 ) = βq r ψ) j S 1 v i = +v i,b) ˇv i ǫ 0,b 0 ) Š 1 ˇv i ǫ 0,b 0 ) tot ) 4.19) 14

15 + Š 1 + v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) v ǫ,b) ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ,b) h 0,2 = h eq r,ǫ) Sg 1 0,2 r, ) ) + α 0,2 = = h eq r,ǫ) q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ i,j=1 Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) + } {{ } Sx 1 v j ǫ,b) v i,b) + ˇv i,b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 ) +,b)š 1 v j ǫ,b) βq r ψ) j Sy 1 5 Derivatio of secod order mobility ad diffusio tesors v i,b) ˇv i ǫ 0,b 0 ) Š 1 ˇv i ǫ 0,b 0 ) Sz ) Our goal is to derive the mobility tesor µ m ad the diffusio tesor D m. By defiitio of [1] chapter 3.3 these trasport parameters read: µ m = q ) m Sv 1 r),b)f,b)d 3 = q ) m Sv 1,b)h,b)d 3 5.1) Bz D m = 1 Sv 1 r),b)v m,b)f,b)d 3 = Sv 1,b)v m,b)h,b)d 3 5.2) Bz Bz e first rewrite the term for µ by combiig 4.2, 4.4, 4.14 ad 4.16: Bz ) ]+ +α 0,2 ) 15

16 + Š 1 µ m = q = q Bz Bz m 1 m ) m Sv 1,b) [h eq r,ǫ) + h 1,1 r, ) + h 0,2 r, )] d 3 = ǫvˇ ǫ,b)v m,b) v,b) vˇ ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ v m,b) ǫ v ǫ,b) v m,b) ) h eq r,ǫ) [ 1 + βq 2 r φ) j r ψ) i [ m 1 + ˇm 1 j,i=0 + Š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) + } {{ tot } + ǫ ˇv i ǫ,b) v j,b) ˇv j ǫ,b) ) S 1 c tot 2 ǫ 0,b 0 ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) + } {{ tot } S 1 d v i,b)v j,b) ˇv i ǫ,b)v j,b) v tot + 2 ǫ,b) ǫ ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ Š v ˇ ǫ i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) + tot 2 ǫ } {{ ǫ,b) } ǫ Šv 1 i ǫ,b) v j ),b) ˇv j ǫ,b) S 1 e + Š 1 ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] + α 1,1 ) + q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ i,j=1 S 1 f v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) v ǫ,b) ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ,b) Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ ǫ 0,b 0 ) + v j ǫ,b) v j ǫ,b) v i,b) + ˇv i,b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 ) +,b)š 1 v j ǫ,b) βq r ψ) j Sy 1 S 1 x +v i,b) ˇv i ǫ 0,b 0 ) Š 1 ˇv i ǫ 0,b 0 ) Sz 1 Now we assort the terms which deped explicitly o. The resultig terms are to itegrate over iso eergy surfaces see sectio 6). ) ]+ +α 0,2 ) ]d 3 5.3) 16

17 µ m = q m 1 m,b) h eq r,ǫ) Bz v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) + ǫš 1 v i ǫ,b)v j,b) v i,b)v j,b) + v i,b)v j,b) 3 +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ 1 + βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 + ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ǫš 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) +βq 2 v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) + m 1 + ˇ v i v j )ǫ,b) 3 v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ)[ tot ˇm 1 ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) + Š 1 ǫ ˇm ǫ,b) 1 0,b 0 )+ Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 )+ ǫ + ˇv iǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) + Š ˇviǫ,b)ˇvjǫ,b) ǫ 0,b 0 )+ j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot tot 2 ǫ Š 1 ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] + α 1,1 ) + q 2 β 2 v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) + ˇv iǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) Š 1 Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) r ψ) i r ψ) j [ i,j=1 ǫ 0,b 0 ) + Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v i v j ǫ,b),b) + ˇv i Š 1 v j ǫ,b),b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 )+,b)š 1 v j ǫ,b) βq rψ) + j v i,b) j,i=0 βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) µ m = q Bz m 1 m,b) h eq r,ǫ) r φ) j r ψ) i [ m 1 m,b) heq r,ǫ) ǫ,b) m 1 tot 2 ǫ,b) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ˇm 1 +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) tot +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) 17 βq r ψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) ] + +α 0,2 ) ] d 3 5.4)

18 m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) tot +m 1 m,b) h eq r,ǫ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) Š v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v ˇ i v j)ǫ,b) ǫtot ǫ 0,b 0 ) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)v j,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 ǫ tot ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ + m 1 m,b) h eq r,ǫ) i,j=1 +m 1 m,b) h eq r,ǫ) α 1,1 v i,b)v j,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) Š 1ˇ ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) v i v j)ǫ,b) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) 18

19 m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 v i v j ǫ,b),b) tot +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 ˇv i v j ǫ,b),b) tot +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) βq rψ) j v i,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j +m 1 m,b) h eq r,ǫ) α 0,2 ] 5.5) +βq 2 v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) r φ) j r ψ) i [ +v m,b) heq r,ǫ) ǫ ˇ tot 2 ǫ,b) j,i=0 v ǫ,b) ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇm 1 m 1 ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ 19

20 +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) Š ˇ ǫ v i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) tot 2 ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) ǫ Šv 1 i ǫ,b)v j,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ Šv 1 i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) i,j=1 v i,b)v j,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v i v j ǫ,b),b) ˇv i v j ǫ,b),b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) βq rψ) j v i,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j 20

21 v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) α 0,2 ] 5.6) +βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) heq r,ǫ) ǫtot tot 2 ǫ,b) m 1 tot 2 ǫ,b) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ 1 ˇm tot 2 ǫ,b) ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ Š ˇ v i v j)ǫ,b) ǫtot ǫ 0,b 0 ) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) tot 2 ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ 21 ǫ Š 1 v i ǫ,b)v j,b) ǫ Š 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) α 1,1

22 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) i,j=1 +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) Šv 1 v i j ǫ,b),b) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) Šv 1 ˇv i j ǫ,b),b) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ α 0,2 ] 5.7) +βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) heq r,ǫ)ˇvǫ,b) ǫtot tot 2 ǫ,b) m 1 tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ 22 1 ˇm tot 2 ǫ,b) ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot ǫ 0,b 0 )

23 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) Š ˇ ǫ v i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) tot 2 ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ ǫ Š 1 v i ǫ,b)v j,b) ǫ Š 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ + v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) i,j=1 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) 23

24 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) Šv 1 v i j ǫ,b),b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) Šv 1 ˇv i j ǫ,b),b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) v i ǫ 0,b,b)Šv 1 0 ) j ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ α 0,2 ] 5.8) +βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) +v m,b) heq r,ǫ)ˇvǫ,b) ǫtot tot 2 ǫ,b) m 1 tot 2 ǫ,b) v m,b) ǫ Šv 1 ˇm 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) tot 2 ǫ,b) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ˇv iǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) ǫ Šv 1 v i ˇv j )ǫ,b) ǫ,b)h eq r,ǫ) tot 3 ǫ,b) ǫ v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ˇv iǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot 24

25 v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ)š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ǫš 1 v i ǫ,b)v j,b) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ǫš 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ)α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) v i,b)v j,b) tot 2 ǫ,b) i,j=1 +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) ǫ Šv 1 v i ˇv j )ǫ,b) ǫ,b)h eq r,ǫ) tot 2 ǫ,b) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ˇv iǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1ˇ ǫ 0,b 0 ) v i v j)ǫ,b) v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) +v m,b) ǫ Šv 1 v i ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 v j ǫ,b),b) v m,b) ǫ Šv 1 ˇv i ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 v j ǫ,b),b) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) +v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) α 0,2 ]d 3 5.9) 25

26 = Bz + ǫš 1 v i ǫ,b)v j,b) v i,b)v j,b) D m = Sv 1,b)v m,b) h eq r,ǫ) + h 1,1 r, ) + h 0,2 r, )) d 3 = Bz v m,b)v 0,b 0 ) h eq r,ǫ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )[ + v i,b)v j,b) βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 + ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ǫš 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) +βq 2 m 1 + ˇ v i v j )ǫ,b) 3 tot ˇm 1 ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) + Š 1 ǫ ˇm ǫ,b) 1 0,b 0 )+ Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 )+ ǫ + ˇv iǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) + Š ˇviǫ,b)ˇvjǫ,b) ǫ 0,b 0 )+ j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot tot 2 ǫ Š 1 ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] + α 1,1 ) + q 2 β 2 v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) + ˇv iǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) Š 1 j,i=0 Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) r ψ) i r ψ) j [ i,j=1 ǫ 0,b 0 ) + Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v i v j ǫ,b),b) + ˇv i Š 1 v j ǫ,b),b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 )+,b)š 1 v j ǫ,b) + βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) D m = Bz v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) r φ) j r ψ) i [ v mǫ,b)v ǫ,b 0 ) heq r,ǫ) ǫ 0,b 0 ) m 1 tot 2 ǫ,b) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) βq r ψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) ] + ˇm 1 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 ǫ ǫ 0,b ˇm 1 0,b 0 ) 0 +α 0,2 ) ] 5.10) d 3 26

27 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)v j,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 ǫ 0,b ǫ 0 ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ + v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) i,j=1 v i,b)v j,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š 1ˇ ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) v i v j)ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) 27

28 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 v i v ǫ 0,b j ǫ,b),b) 0 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 ˇv i v ǫ 0,b j ǫ,b),b) 0 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 ǫ 0,b 0 v i ǫ 0,b,b)Šv 1 0 ) j ǫ,b) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) βq rψ) j v i,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) α 0,2 ] 5.11) +βq 2 j,i=0 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) r φ) j r ψ) i [ +v m,b) heq r,ǫ)ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) m 1 tot 2 ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇm 1 ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ 28

29 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ Š ˇ v i v j)ǫ,b) ǫtot ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) tot 2 ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)v j,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) i,j=1 v i,b)v j,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇ ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v i v j ǫ,b),b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇv i v j ǫ,b),b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) 29

30 +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) α 0,2 ] 5.12) +βq 2 j,i=0 v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) r φ) j r ψ) i [ +v mh eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )m 1 tot 2 ǫ,b) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ˇm 1 v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ˇv iǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) tot 3 ǫ,b) ǫ v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ˇv iǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ǫš 1 v i ǫ,b)v j,b) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ǫš 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 2 ǫ,b) i,j=1 30