Аналіз завдань з математики, які виявилися найскладнішими для учасників зовнішнього незалежного оцінювання

Transcription

1 Аналіз завдань з математики, які виявилися найскладнішими для учасників зовнішнього незалежного оцінювання Математика є предметом, який найчастіше обирають абітурієнти при вступі до вищих навчальних закладів технічного напряму. Як найкраще підготуватися до тестування та запобігти помилок, допущених учасниками зовнішнього незалежного оцінювання? Аналіз результатів зовнішнього незалежного оцінювання з математики року показав, що найбільш складними для учнів є завдання з розділів «Рівняння та нерівності», «Функції», «Тригонометрія», «Стереометрія», текстові задачі. Складними вважаються завдання, які правильно виконали менше ніж 4 % учасників і дуже складними завдання, які правильно виконали менш ніж %. Наведемо приклади завдань, які виявилися складними і дуже складними для учасників тестування. Завдання 3 (з вибором однієї правильної відповіді) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): У скільки разів збільшиться об єм кулі, якщо її радіус збільшити у рази? А Б В Г Д у рази у 4 рази у 6 разів у 8 разів у 6 разів Відповіді абітурієнтів (%) А Б В *Г Д 8,4 37,8 6,39 6,34,87 * - позначення правильної відповіді. Правильну відповідь Г обрали всього 6,34% абітурієнтів. Решта абітурієнтів не уявляє, що куля це об ємне тіло, яке має три виміри і тому її радіус підноситься до третього степеня. 8,4% учасників уявляють кульку тілом лінійних розмірів, 37,8% тілом, яке має два виміри. Завдання (з вибором однієї правильної відповіді) зовнішнього незалежного оцінювання з математики 9 року: Свинцеву кулю радіуса 5 см переплавили в кульки однакового розміру, радіус кожної з яких см. Скільки таких кульок одержали? Втратами свинцю під час переплавлення знехтуйте. А Б В Г Д Відповіді учасників (%) *А Б В Г Д 6,9 4,88 9,45 8,87 5,8 Аналіз відповідей свідчить про те, що правильну відповідь А обрали всього 6,9% учасників тестування. Решта учасників не уявляють, що кулька це об ємне тіло, яке має три виміри і тому відношення лінійних розмірів більшої кульки до меншої підноситься до третього степеня. 5,8% абітурієнтів уявляють кульку тілом лінійних розмірів, 9, 45% тілом, яке має два виміри.

2 Завдання (з вибором однієї правильної відповіді) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): На одному з рисунків зображено ескіз графіка функції y x 3. Укажіть цей рисунок. Відповіді абітурієнтів (%) А Б В Г *Д 8,34 8,94 8,6 4,6 9,84 x Графік показникової функції y a, якщо a >, має вигляд: x y a ( a > ), для того, щоб отримати графік функції потрібно зробити симетричне перетворення відносно осі Oy (графік функції y f( x) симетричний графіку функції y f( x) відносно осі Oy, точки перетину графіка з віссю Oy залишаються незмінними): Таким чином отримуємо правильну відповідь Д. Цю відповідь обрали 9,84% абітурієнтів. Решта абітурієнтів обрала неправильні відповіді, які розподілилися практично в однаковому відсотковому відношенні.

3 Завдання (з вибором однієї правильної відповіді) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): На одному з рисунків зображено ескіз графіка функції рисунок. y log 4 x. Укажіть цей Відповіді абітурієнтів (%) А *Б В Г Д 9,,,63 3,4 3,5 Графік логарифмічної функції y log a x, якщо a >, має вигляд: для того, щоб отримати графік функції y log a x ( a > ), потрібно зробити симетричне перетворення відносно осі Oх (графік функції y f( x) y f x відносно осі Oх, точки перетину графіка з віссю Oх залишаються незмінними): симетричний графіку функції ( ) Таким чином отримуємо правильну відповідь Б. Цю відповідь обрали 9,84% абітурієнтів. 9,% абітурієнтів зробили симетричне перетворення відносно осі Oy (відповідь А). 3,4% абітурієнтів обрали стандартний вигляд функції y log x, якщо a > (відповідь Г). a

4 Завдання (з вибором однієї правильної відповіді) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): На рисунку зображено графік функції f( x) коренів має рівняння f ( x) x на цьому відрізку? y, яка визначена на відрізку [ 4; 6]. Скільки А Б В Г Д жодного один два три чотири Відповіді абітурієнтів (%) А Б В *Г Д 7,88 3,9 4,8 8,4 5,77 Графік функції y x має вигляд прямої, яка нахилена до осі Oх під кутом 45 (на y f x у трьох рисунку зображено червоним). Ця пряма перетинає графік функції ( ) точках. Правильну відповідь Г обрали 8,4% абітурієнтів. 4,8% абітурієнтів отримали дві точки перетину. 5,77% абітурієнтів чотири точки перетину.

5 Завдання 3 (з вибором однієї правильної відповіді) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): y, яка визначена на відрізку [ 4; 6]. f? На рисунку зображено графік функції f( x) Укажіть усі значення х, для яких виконується нерівність ( x) А Б В Г Д 3;5 4;3 5;6 ;5 ;4 { } [ ] [ ] [ ] [ 3 ] [ ] { } [ 3;5] Відповіді абітурієнтів (%) А Б В Г *Д 5,58,5 6,35 6,7 9,73 Пряма y перетинає графік функції y f( x) в трьох точках. Нерівність f ( x) виконується для тих точок графіка функції f( x) вище. Д є правильною. Її обрали лише 9,73% абітурієнтів. 6,7% абітурієнтів обрали інтервал[ ;4]. 6,35% не врахували точку х. y, які розташовані на прямій y і

6 Завдання 5 (з вибором однієї правильної відповіді) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): На рисунку зображено ескіз графіка функції твердження щодо коефіцієнтів а, b, с. y ax + bx+ c. Укажіть правильне А Б В Г Д a<, a>, a>, a<, a<, b<, b<, b>, b>, b> c c> c c< c Відповіді абітурієнтів (%) А Б В Г *Д 4,9 5,5,3 3,9 3, На рисунку вітки параболи напрямлені вниз, тому a < ; c величина відрізка, що відтинає парабола на осі ординат, тому c. Як видно з рисунку, координати вершини b b + 4ac параболи мають додатні значення x >, y > ( x, y ), a <, a 4a a<, тому b >. Таким чином, значення коефіцієнтів: b>. c Правильною відповіддю є варіант Д. Цю відповідь надали лише 3,% абітурієнтів. 3,9% абітурієнтів не змогли визначити правильно значення коефіцієнта c.,3% абітурієнтів не змогли визначити правильно значення коефіцієнта a. Решта абітурієнтів обрала неправильні відповіді, які розподілилися практично в однаковому відсотковому відношенні.

7 Завдання 5 (з вибором однієї правильної відповіді) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): У прямокутній системі координат зображено точку, що є вершиною параболи y x + bx+ c (див. рисунок). Укажіть правильне твердження щодо коефіцієнтів b, с. А Б В Г Д b<, c> b>, c< b>, c b<, c< b>, c> Відповіді абітурієнтів (%) *А Б В Г Д 3, 7,7 4,95,3 33,99 У квадратичної функції y x + bx+ c коефіцієнт a, це означає, що вітки параболи напрямлені вгору. c величина відрізка, що відтинає парабола на осі ординат. У цьому випадку парабола перетинає вісь Oy вище, тому c >. Як видно з рисунку, координати b вершини параболи мають додатні значення x >, y > ( x, a b + 4ac y ), a >, томуb <. Таким чином, значення коефіцієнтів: b<,. 4a c> Правильною відповіддю є варіант А. Цю відповідь надали лише 3,% абітурієнтів. Більшість абітурієнтів (33,99%) не змогла правильно визначити значення коефіцієнта b.,3% абітурієнтів не змогли правильно визначити значення коефіцієнта c. Решта абітурієнтів обрала неправильні відповіді.

8 Завдання 7 (на встановлення відповідності або логічні пари) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Установіть відповідність між функціями, заданими формулами ( 4), та їхніми властивостями (А Д). Функція Властивості функції 3 y x А областю визначення функції є проміжок [ ;+ ) y cos x Б функція спадає на інтервалі ( ;+ ) 3 y tg x В функція зростає на інтервалі ( + ; ) 4 x Г парна функція y log, Д періодична функція з найменшим додатним періодом T π В 3 4 Г 3,6 7,4 6,,3,7 36,7 3 Д 4 Б Це завдання потребує знання основних властивостей функцій. Правильно склали усі чотири логічні пари лише,7% абітурієнтів.

9 Завдання 7 (на встановлення відповідності або логічні пари) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Установіть відповідність між функціями, заданими формулами ( 4), та їхніми властивостями (А Д). Функція y cos x Властивості функції А областю визначення функції є інтервал ( ;+ ) y ctg x 3 4 Б областю значень функції є відрізок [ ;] y В функція спадає на інтервалі ( + ; ) 4 x y 3 Г непарна функція Д періодична функція, що не має найменшого додатного періоду Б 3 4 Г 9,37 33,69,47 9,5 7, 3,8 3 Д 4 В Це завдання теж потребує знання основних властивостей функцій. Правильно утворили усі чотири логічні пари лише 7,% абітурієнтів.

10 Завдання 8 (на встановлення відповідності або логічні пари) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Установіть відповідність між перерізами геометричних тіл ( 4) та їхніми назвами (А Д). Переріз Назва перерізу діагональний переріз правильної А круг шестикутної призми переріз циліндра площиною, що перетинає Б коло його твірну і перпендикулярна до неї 3 переріз конуса площиною, що проходить через його вершину та хорду основи В шестикутник 4 переріз сфери площиною, що проходить через дві різні точки сфери Г прямокутник Д трикутник Г 3 4 А 8,94 3,75 3,65 5,73 9,93 38,75 3 Д 4 Б Це завдання потребує вміння встановлювати види перерізів різних геометричних тіл. Правильно склали усі чотири логічні пари лише 9,93% абітурієнтів.

11 Завдання 9 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): m+ 4 m 6 Знайдіть значення виразу, m 6m+ 9 m 6 m 4 якщо m 4, 5., 6 87,7,3,3 m+ 4 m 6 m 6m+ 9 m 6 m 4 ( m )( m 4) ( 4) 3 ( m 4) ( m 3)( m 4) m m + 4 ( m 3) ( ) ( m+ 4)( m 4) m 3 ( m 6) m ( m 3)( m 4) ( m 83 )( m 4). Якщо 4, 5 m 3 m : Правильно розв язали завдання,3% абітурієнтів. 4,5 3 m 4 ( 4 m) ( m 3)( m 4), 6,5. Завдання 9 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Знайдіть значення виразу log log 4 6.,5 84,46 5,54 5,54 : log log log 9 6 log log , Правильно розв язали завдання 5,54% абітурієнтів.

12 Завдання 3 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Робітники отримали замовлення викопати криницю. За перший викопаний у глибину метр криниці їм платять 5 грн, а за кожний наступний на грн більше, ніж за попередній. Скільки грошей ( у грн ) сплатять робітникам за викопану криницю завглибшки м? 9 6,4 38,76 38,76 Для розв язання завдання скористуємося формулою суми перших п членів арифметичної прогресії: S n a + a n n a перший член арифметичної прогресії;, де S n сума перших п членів арифметичної прогресії; п кількість членів арифметичної прогресії; a + d( n ) арифметичної прогресії. За умовою задачі: d a a ; a 5; п. Тоді 5+ 7 а S n 6 9. Правильно розв язали завдання 38,76% абітурієнтів. a n останній член арифметичної прогресії; a n, де d різниця a n ,

13 Завдання 3 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Тарас може доїхати на велосипеді від села до станції за 3 год, а пішки дійти за 7 год. Його швидкість пішки на 8 км/ год менша, ніж на велосипеді. Знайдіть відстань від села до станції ( у км ). 4 74,65 5,35 5,35 Якщо v швидкість Тараса пішки, t час, який він ішов пішки, а v швидкість Тараса на велосипеді, t час, який він їхав на велосипеді, то можна скласти рівняння: v t vt, оскільки S vt. v За умовою задачі v 8. + Підставляючи числові данні за умовою задачі, отримуємо : 3( v 8) Розв яжемо це рівняння: 3v 4 7 v ; 4v 4 ; 6 Правильно розв язали завдання 5,35% абітурієнтів. 7 + v. v. Тоді v t S

14 Завдання 3 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Знайдіть кількість усіх цілих розв язків нерівності log ( x + 6x) має безліч цілих розв язків, то у відповідь запишіть число. 4. Якщо нерівність 4 9,4 7,58 7,58 ОДЗ: + 6x> x, ( x+ 6 ) > x. Ця нерівність має розв язки (див. рисунок): x < 6, > x. Розв яжемо логарифмічну нерівність. Оскільки основа логарифма менша за одиницю, 4 одержуємо: x + x, 6 Ця нерівність має розв язки (див. рисунок): 8 x. x + 6x 4, 6x 6 x, ( )( x+ 8) x. Враховуючи ОДЗ заданої нерівності, одержуємо відповідь: [ 8; 6) [ ;) x. Цілі розв язки цієї нерівності: 8, 7,,. Кількість цілих розв язків: 4. Правильно розв язали завдання 7,58% абітурієнтів.

15 Завдання 3 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Розв яжіть нерівність x x > 8 x 5. У відповідь запишіть суму всіх цілих розв язків цієї нерівності. Якщо нерівність має безліч цілих розв язків, то у відповідь запишіть число. 7 88,4,76,76 ОДЗ: < x <. x x 5 Розв яжемо показникову нерівність: > 8 x ; x x 3( x 5) > x x< 3x+ 5. Одержуємо квадратну нерівність: + x 5< x + 5 x 3 <. ( )( ) Ця нерівність має розв язки (див. рисунок): 5 < x < 3. Цілі розв язки цієї нерівності: 4; 3; ; ; ; ;. Сума цілих розв язків нерівності: 7. Правильно розв язали завдання,76% абітурієнтів.. Оскільки основа степеню менша за одиницю, одержуємо: x ;

16 Завдання 3 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Обчисліть інтеграл ( x 4 x)dx. 9 83,9 6,8 6,8 3 ( x 4 x)dx x dx 4 xdx x 4 x 3 x x Правильно розв язали завдання 6,8% абітурієнтів.

17 Завдання 34 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: y sin x, y cos x, π x, x π. 3 9,8 9,8 9,8 Площа фігури, яку треба обчислити, показана на рисунку червоним кольором. π ( sin x cos x)dx sin π π π π xdx cos xdx π cos x π π π sin x cos + cos sin sin ( ) + π π π π π Правильно розв язали завдання 9,8% абітурієнтів.

18 Завдання 33 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Два кола дотикаються, причому менше з кіл проходить через центр більшого кола (див. рисунок). Знайдіть площу зафарбованої фігури ( у см ), якщо менше з кіл обмежує круг площею 64 см. 9 78,39,6,6 Якщо S площа меншого круга, r радіус меншого круга; S площа більшого круга, r радіус більшого круга, то площа зафарбованої фігури: S S S πr πr. За умовою задачі: r 64 S π. За рисунком : r r. З урахуванням цього: S ( r) πr 4πr πr 3πr π. Правильно розв язали завдання,6% абітурієнтів.

19 Завдання 33 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Два кола, довжини яких дорівнюють 9π см і 36π см, мають внутрішній дотик. Знайдіть відстань між центрами цих кіл (у см ). 3,5 8,55 7,45 7,45 За умовою задачі: l πr 9π, де меншого кола. l πr 36π, де більшого кола. Звідки 4, 5 l довжина меншого кола, r радіус l довжина більшого кола, r радіус 9π 36π r, а 8 π π r. Відстань між центрами кіл О О дорівнює: r r 8 4,5 3, 5. Правильно розв язали завдання 7,45% абітурієнтів.

20 Завдання 36 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Розв яжіть систему πy 5cos x 8x+, y+ 5x 4. () () Якщо система має єдиний розв язок ( х ; у ), то у відповідь запишіть суму х + у ; якщо система має більше, ніж один розв язок, то у відповідь запишіть кількість усіх розв язків. 96,9 3,9 3,9 Виконаємо оцінку значень лівої і правої частин рівняння ( ) системи. πy πy Ліва частина: cos, тоді 5 5cos 5. Права частина: x 8x+ це парабола, вітки якої спрямовані вгору, а координати вершини ( 8) b b + 4ac x 4, 6+ 5 a 4a 4 Мінімальне значення функції у правій частині дорівнює 5. y. Оскільки значення лівої частини не може бути більше 5, а правої не може бути менше 5, πy 5cos 5, то рівність досягається при Звідки x 4. x 8x+ 5. Підставимо значення x в рівняння ( ) системи: y + x 4, y , 5 y + 4, y 6. Сума x + y 4 6. Правильно розв язали завдання 3,9% абітурієнтів.

21 Завдання 36 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Розв яжіть рівняння + 7x 9+ sin( x) + x π. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше, ніж один корінь, запишіть суму всіх коренів. 4,5 96,6 3,74 3,74 Перший та другий додатки лівої частини цього рівняння невід ємні, оскільки x + 7x 9, sin( π x), а права частина рівняння дорівнює нулю. Таким чином, рівність досягається тільки у випадку, коли вираз під коренем і вираз під модулем одночасно дорівнюють нулю. ) x + 7x 9. Розв яжемо це рівняння: 7± 49 4 ( 9) ) sin ( π x) +, якщо ( πx) 7± 4 b± b 4ac x a 7± 4. x, x 4, 5. sin. Цій умові задовольняє корінь x 4, 5. Корінь x 4, 5 є єдиним розв язком рівняння, яке наведено в умові завдання. Правильно розв язали завдання 3,74% абітурієнтів.

22 Завдання 34 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Розв яжіть рівняння x 3 5. Якщо рівняння має один корінь, то запишіть його у відповідь. Якщо рівняння має більше одного кореня, то у відповідь запишіть добуток усіх коренів. 5,75 94,8 5,8 5,8 x 3 5 Розкриваючи зовнішній модуль, отримуємо: x 3 5, x 8, x. () () Рівняння () не виконується, бо вираз x не може бути від ємним. Розв яжемо рівняння (): x 8 x 8, x 9 x 7, звідки x x 4,5 3,5. Обидва корені задовольняють рівнянню (). Добуток коренів дорівнює: x 4,5 ( 3,5) 5, 75 x. Правильно розв язали завдання 5,8% абітурієнтів.

23 Завдання 35 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Основою піраміди є ромб, гострий кут якого дорівнює 3. Усі бічні грані піраміди нахилені до площини її основи під кутом 6. Знайдіть площу бічної поверхні піраміди (у см ), якщо радіус кола, вписаного в її основу, дорівнює 3 см ,6 3,84 3,84 Площа бічної поверхні піраміди: Sосн. S бічн., де cosϕ S осн. площа основи піраміди, ϕ кут між бічною гранню і основою піраміди. Основою піраміди є ромб: S S осн. ромба. S ромба a sinα, де а сторона ромба, α гострий кут ромба. Знайдемо сторону ромба. MO ON R, де R радіус кола, вписаного в ромб. АК висота ромба. АК МN (обидва відрізки проведені перпендикулярно до сторони ромба DC). МN АК R. У трикутнику AKD проти кута α 3 лежить катет удвічі менший гіпотенузи, тому сторона ромба а AD АК 4R 4 3. Тоді площа ромба: S sin3 44,5 7. ромба Площа бічної поверхні піраміди: Sосн. 7 S бічн. cosϕ cos ,5 Правильно розв язали завдання 3,84% абітурієнтів.

24 Завдання 35 (відкритої форми з короткою відповіддю) зовнішнього незалежного оцінювання з математики року ( сесія ): Основою піраміди є прямокутний трикутник, гіпотенуза якого дорівнює 4 3 см, гострий кут 3. Усі бічні ребра піраміди нахилені до площини її основи під кутом 45. Знайдіть об єм піраміди (у см 3 ). 9,4 9,58 9,58 Якщо бічні ребра піраміди нахилені під однаковим кутом до площини її основи, вершина проектується в центр описаного кола. В прямокутному трикутнику центр описаного кола лежить посередині гіпотенузи. Об єм піраміди: V S. 3 осн піраміди, H висота піраміди. H, де S осн. площа основи Основою піраміди є прямокутний трикутник АВС. Його площа: S осн. a b, де a і b катети прямокутного трикутника. АВ a, АС b. У трикутнику АВС проти кута 3 менший гіпотенузи ВС. ВС 4 3, тоді АС a 3. За теоремою Піфагора: АС b BC AC ( ) ( ) α лежить катет АС удвічі осн Знайдемо висоту піраміди. ЕО H. ВО ОС 3. S. EO tgα, де ЕО H, ОВ ОС 3, α 45, tg 45. Тоді H OB tgα OB. Об єм піраміди: V Sосн. H Правильно розв язали завдання 9,58% абітурієнтів..