ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ"

Transcription

1 УДК 58/88 58/44 : 68.5 держреєстрації U96 Інв. 6U46 Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка ЛНУ ім. Івана Франка 79 м. Львів вул. Університетська ; тел факс ЗАТВЕРДЖУЮ Проректор з наукової роботи д-р хім. наук проф. Б.Котур.. 5 ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ АДАПТИВНІ ТА СТАБІЛІЗОВАНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ДЛЯ ЕВОЛЮЦІЙНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ БІОФІЗИКИ ТА ОХОРОНИ ДОВКІЛЛЯ ПІ-7 Б Заключний Заступник проректора з наукової роботи канд.хім.наук ст.наук.співроб. Декан факультету прикладної математики та інформатики д-р фіз.-мат.наук. проф. Науковий кервник д-р фіз.-мат.наук проф. С.Орищин Я.Савула Г.Шинкаренко 5 Рукопис закінчено 5 листопада 5 р. Результати цієї роботи розглянуто Вченою Радою ф-ту прикладної математики та інформатики протокол від 6..5

2 СПИСОК АВТОРІВ науковий керівник теми гол. наук. співроб. д-р фіз.-мат. наук ст. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук пров. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук пров. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук ст. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук пров. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук ст. наук. співроб. канд. техн. наук ст. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук мол. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук мол. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук. Г.Шинкаренко розділи -4 І.Бернакевич 9 П.Вагін 9 П.Венгерський 5 В.Вовк В.Горлач 8 О.Левченко 7 Ю.Щербина 4 Ю.Козаревська 6 В.Трушевський 5 наук. співроб. Р.Малець мол. наук. співроб. Г.Квасниця мол. наук. співроб. О.Фундак інж. ІII категорії Є.Абрамов інж. ІII категорії О.Вихопень 8 інж. ІII категорії В.Войтович 8 інж. ІII категорії Н.Голуб 4 інж. ІII категорії О.Демкович інж. ІII категорії С.Кравцов інж. ІII категорії А.Козел інж. ІII категорії О.Ліпіна інж. ІII категорії Ю.Сінчук інж. ІII категорії О.Смирнов 4 інж. ІII категорії Ф.Чабан інж. ІII категорії А.Шинкаренко 8 інж. ІII категорії І.Шот інж. ІII категорії А.Ямелинець Нормоконтролер М.Благітко

3 РЕФЕРАТ Звіт про НДР: с. 7 рис. 5 табл. 8 джерела. Для розв язування основних варіаційних задач побудовано адаптивні схеми МСЕ з використанням ефективних і надійних апостерірних оцінювачів похибок та сумісні стабілізованії схеми МСЕ для сингулярно збурених задач. Для змішаних варіаційних задач запропоновано апроксимації Рав яра-тома з використанням барицентричних координат на трикутниках. Для еволюційних варіаційних задач розроблено схеми які узгоджують похибки лінеаризації з дискретизації в часі. Розроблено алгоритми розв язування квадратичних задач на власні значення. Одержано оцінки точності grd-апроксимації ділянок рельєфу з різним властивостями рівнина височина гори. Запропоновані числові схеми вжито для розв язування наступних класів задач: міграція домішок в нестисливих потоках із домінуючою конвекцією; пружні тіла з тріщинами і розривними навантаженнями динаміка потоків мілкої води зокрема стоку з поверхні водозбору; акустична взаємодія пружне тіло/оболонка-рідина та гідроакустика; динаміка зсувних нелінійних оболонок; фотопровідність напівпровідникових та самоорганізація біологічних структур Серед розглянутих математичних моделей більшість сформульовано у вигляді змішаних варіаційних задач або/та сингулярно збурених задач що часто вимагало дослідження як коректності їх постановок так і аналізу умов стійкості та збіжності побудованих проекційно-сіткових схем Створено програмне забезпечення в якому реалізовано алгоритми запропонованих схем МСЕ для розв язування згаданих вище варіаційних задач. Основні положення та результату проекту проілюстровано аналізом числових розв язків різноманітних модельних та прикладних задач. Запропоновані засоби компютерного моделювання містять елементи наукової новизни і можуть знайти застосування при вирішенні проблем фізики механіки суцільного середовища геодезії та екології. ВАРІАЦІЙНА ЗАДАЧА МЕТОД ГАЛЬОРКІНА МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ СТАБІЛІЗОВАНА СХЕМА H-АДАПТИВНА СХЕМА АПРОКСИМАЦІЇ РАВ ЯРА-ТОМА ЕНЕРГЕТИЧНА НОРМА ФУНКЦІОНАЛ ДЖЕРЕЛ ПОХИБКИ АПОСТЕРІОРНИЙ ОЦІНЮВАЧ ПОХИБКИ ГЕНЕРУВАННЯ ТРІАНГУЛЯЦІЇ СТРАТЕГІЯ АДАПТУВАННЯ УТОЧНЕННЯ АПРОКСИМАЦІЙ ЧУТЛИВІСТЬ РОЗВ ЯЗКІВ РУХ МІЛКОЇ ВОДИ МІГРУВАННЯ ДОМІШОК ПОВЕРХНЕВИЙ СТІК ТЕРМОПРУЖНЕ ТІЛО ГІДРОАКУСТИКА ВЗАЄМОДІЯ ПРУЖНОГО ТІЛА\ОБОЛОНКИ З РІДИНОЮ ВЛАСНІ ТА ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ ГЕОІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА ЦИФРОВА КАРТА РЕЛЬЄФ ПОДАТЛИВАНА ЗСУВ ТА СТИСНЕННЯ ОБОЛОНКА ФОТОПРОВІДНІСТЬ НАПІВПРОВІДНИКІВ ЗБАЛАНСОВАНА ЛІНЕАРИЗАЦІЯ.

4 4 ЗМІСТ ВСТУП.... АДАПТИВНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ..... Апостеріорні оцінки точкових похибок та уточнення апроксимацій методу скінченних елементів: ієрархічні оцінювачі лишків Модельна задача Кусково-лінійні апроксимації Простори апроксимацій для похибок Алгоритм послідовного уточнення апроксимації Чисельні результати Адаптивна схема з АОП Верфюрця Скінченно-елементна дискретизація Оцінювач похибки залишку Аналіз чисельних результатів Одновимірні адаптації Постановка крайової задачі Варіаційне формулювання крайової задачі Кусково-лінійні апроксимації Обчислення на скінченному елементі Дискретизовані рівняння Апостеріорні оцінювачі похибок Стратегія адаптування сітки Чисельні результати Нестаціонарне адаптування Початково-крайова задача мігрування субстанції Варіаційна задача мігрування субстанції Напівдискретизація Гальоркіна Інтегрування задачі Коші Алгоритм -адаптивної схеми МСЕ Застосування бібліотеки середовища MATLAB Результати числових експериментів Порівняння простих апостеріорних оцінювачів похибок методу скінченних елементів Формулювання задач та головні позначення Оцінювач апостеріорної похибки зміщень Оцінювач апостеріорної похибки напружень Стратегія процесу адаптування Результати обчислювальних експериментів СТАБІЛІЗОВАНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ Ітераційне реконструювання апроксимацій Гальоркіна для задач міграції домішок методом найменших квадратів... 59

5 5... Формулювання задачі: ітераційний процес реконструкції апроксимацій Гальоркіна Метод найменших квадратів Характеристика процесу реконструювання Збіжність послідовних наближень Числовий приклад Висновки Регуляризація числових розв язків варіаційних задач міграції домішок: стабілізований метод скінченних елементів Регуляризація числових розв язків варіаційних задач міграції домішок: локалізовані найменші квадрати Алгоритм реалізації стабілізуючої схеми локалізованих найменших квадратів ЛНК для стаціонарних задач Аналіз апроксимацій схеми ЛНК для стаціонарних задач міграціїї домішок: одновимірна крайова задача з примежевим шаром Аналіз апроксимацій схеми ЛНК для двовимірних задач міграціїї домішок з внутрішніми шарами Висновки Стабілізація апроксимацій МСЕ з використанням апостеріорних оцінювачів похибки Постановка крайової задачі міграції домішок Варіаційна задача Стабілізуюча схема локалізованих найменших квадратів Оцінювач похибки Аналіз числових результатів Приклад Приклад Приклад. Великі числа Пекле Висновок КОНСТРУЮВАННЯ БАЗИСІВ ПРОСТОРІВ АПРОКСИМАЦІЙ РАВ ЯРА-ТОМА..... Вступ..... Структура базисних функцій найпростішого простору апроксимацій Рав яра Тома..... Структура базису простору вузлових апроксимацій Рав яра Тома W Структура базису простору інтерполяційно моментних апроксимацій Рав яра Тома W Структура базису оригінального простору вузлових апроксимацій Рав яра Тома Структура базису оригінального простору інтерполяційно моментних апроксимацій Рав яра Тома Висновки та загальні зауваження...

6 6 4. ПОБУДОВА НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ ДЛЯ РОЗВ ЯЗУВАННЯ ВАРІАЦІЙНИХ ЗАДАЧ Побудова нейронної мережі для розв язування крайових задач Штурма Ліувілля. Формулювання задачі Метод скінченних елементів для розв язування одновимірних крайових задач Поділ відрізка для побудови нейромережі Структура вхідні і вихідні дані нейронної мережі Побудова набору навчальних зразків Навчання мережі Порівняння результатів отриманих МСЕ і виданих навченою нейронною мережею Висновки ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ СТОКУ МІЛКОЇ ВОДИ З ПОВЕРХНІ ВОДОЗБОРУ Побудова математичної моделі стоку мілкої води Формулювання початково-крайової задачі Застосування МСЕ до розв язування задачі Стабілізаційна схема МСЕ Чисельні результати ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ ВАРІАЦІЙНИХ ЗАДАЧ МІГРУВАННЯ ДОМІШОК В НЕСТИСЛИВИХ ПОТОКАХ ІЗ ДОМІНУЮЧОЮ КОНВЕКЦІЄЮ Формулювання та коректність варіаційної задачі для похибки МСЕ Бабл-апроксимації похибки МСЕ Оцінювачі апостеріорних похибок та стратегія -адаптування Приклади уточнення оцінювачів апостеріорних похибок Одновимірна задача міграціїї домішок Двовимірна задача міграціїї домішок Алгоритми -адаптивної схеми МСЕ Обчислення апостеріорних оцінок Числовий аналіз збіжності адаптивної схеми Одновимірна крайова задача з примежовим шаром Двовимірна задача міграціїї домішок з примежевими шарами Висновки КОМП ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РЕЛЬЄФУ ТА ПОВ ЯЗАНИХ З НИМ ПРИРОДНИХ ПРОЦЕСІВ НА ТЕРИТОРІЇ ЛЬВІВЩИНИ Дослідження точності grd-поверхонь рельєфу Тестові ділянки та параметри інтерполяції Якісна оцінка точності побудови grd-поверхонь рельєфу Кількісна оцінка точності побудови grd-поверхонь рельєфу Висновки Аналіз морфометричних характеристик рельєфу на ЦМР Львівщини... 8

7 Побудова та аналіз grd-поверхні крутизни території Львівщини Експозиція та освітленість ділянок місцевості Кривина поверхні рельєфу Висновки Дослідження рельєфу за допомогою гідрологічних методів Виділення на ЦМР структурних ліній рельєфу Визначення локальних вершин на grd-поверхні рельєфу Висновки ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГІДРОАКУСТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ В ДИСИПАТИВНИХ СЕРЕДОВИЩАХ Математичні моделі акустичних процесів в гідропружних системах: основні підходи та відкриті проблеми Дослідження задач гідроакустики з використанням апроксимацій Рав яра Тома Початково-крайова задача гідроакустики Варіаційне формулювання еволюційної задачі гідроакустики Схема дискретизації варіаційної задачі Аналіз числових розв язків тестових та модельних задач Змішана варіаційна задача гідроакустики Початково-крайова задача акустики в язкої рідини Еволюційна змішана варіаційна задача Напівдискретизація Гальоркіна за просторовими змінними Проекційна схема дискретизації в часі Модельна задача Математична модель акустики гдропружних систем у термінах переміщень Рівняння еластодинаміки Рівняння акустики рідини Початково-крайова задача акустичної взаємодії пружного тіла з рідиною Варіаційне формулювання задачі Коректність варіаційної задачі акустики гідропружних систем в переміщеннях Поширення акустичної хвилі в гідропружній системі Варіаційне формулювання задачі про вимушені гармонійні коливання Дослідження вимушених гармонійних коливань Варіаційне формулювання задачі про власні коливання Дискретизація за просторовими змінними Квадратична проблема на власні значення та її розв язування Аналіз числових результатів ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛIДЖЕННЯ НЕСТАЦIОНАРНИХ ЗАДАЧ АКУСТИЧНОЇ ВЗАЄМОДIЇ ОБОЛОНОК ОБЕРТАННЯ З РIДИНОЮ... 5

8 8 9.. Постановка початково-крайової задачі Варіаційна постановка задачі Коректність варіаційної задачі Оцінка швидкості збіжності напівдискретних апроксимацій Гальоркіна Однокрокова рекурентна схема Чисельний приклад Висновки ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ПОДАТЛИВИХ НА ЗСУВ ТА СТИСНЕННЯ ОБОЛОНОК ПРИ СТАТИЧНОМУ ТЕПЛОВОМУ НАВАНТАЖЕННІ Геометрія оболонки та основні припущення Деформаційні співвідношення Рівняння рівноваги гнучкої оболонки Фізичні співвідношення Варіаційна задача Чисельний приклад ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ МІЛКОЇ ВОДИ ЗМІШАНИМ МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ Постановка початково-крайової задачі Декомпозиція розв язку Необхідні гільбертові простори Варіаційне формулювання задачі Властивості білінійних форм Закони збереження та рівняння балансу Дискретизація задачі за просторовими змінними Дискретизація варіаційної задачі мілкої води в часі Кусково-лінійна апроксимація в часі Проекційне рівняння Однокрокова рекурентна схема Обчислювальні аспекти Стійкість рекурентних схем Оцінки збіжності рекурентних схем Апріорні оцінки ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ПРОЦЕСУ ФІЛЬТРАЦІЇ РІДИНИ В ГРУНТІ Побудова математичної моделі Постановка задачі Варіаційна постановка задачі Напівдискретизація гальоркіна Дискретизація задачі за часовою змінною КОМП ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ ЗУБНОГО ПРОТЕЗУВАННЯ Фізична модель задачі Математична модель... 9

9 9.. Варіаційне формулювання задачі Метод скінчених елементів Програмна реілізація Аналіз чисельних результатів Якісна картини впливу еластичної пластмаси на напружено-деформований стан системи зуб-протез Дослідження впливу фізичних параметрів еластичної пластмаси Дослідження впливу напрямку функціонального навантаження Дослідження впливу геометричних параметрів еластичної пластмаси Варіювання товщиною еластичної пластмаси Варіювання площею контакту еластичної пластмаси із слизовою оболонкою Дослідження характеристик міцності акрилового базису за наявності еластичного включення Висновки ЧИСЛОВЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ПЕРЕНЕСЕННЯ ЗАРЯДІВ У НЕОДНОРІДНИХ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ СТРУКТУРАХ Фундаментальні співвідношення та формулювання задачі Сумісна дискретизація в часі та лінеаризація варіаційного рівняння Дискретизація за просторовими змінними Метод Ньютона Регуляризація стаціонарних задач електростатики Результати обчислювальних експериментів Крайова задача з нелінійним рівнянням Пуассона Розподіл ННЗ у неоднорідних напівпровідниках Розподіл потенціалу електричного поля в польовому транзисторі Висновки... 6 ВИСНОВКИ... ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ... 9

10 ВСТУП Метою проекту є побудова та обґрунтування схем МСЕ які б стали інтелектуальною основою програмного забезпечення для проведення кваліфікованого обчислювального експерименту в галузі фізики механіки суцільного середовища геодезії та охорони довкілля. Серед існуючих концепції адаптивних і стабілізованих схем є одними з найперспективніших для парадигми МСЕ і власне на цьому шляху слід очікувати найближчим часом вагомих здобутків. Хоча піонерські праці Babsa Renboldt 978 з адаптування та Broos Hges 979 зі стабілізації МСЕ заклали міцну основу цим напрямкам перші вагомі результати з явились значно пізніше в працях Ersson Jonson 988 Zenewcz Z 99 Verfrt 996 Rannacer 999 та Jonson Saranen 986 Doglas Wang 989 Baocc Brezz Frana 99 Brezz Marn Rsso 996 відповідно див. також монографі Answort Oden Babsa Strobols Melen Zenewcz Taylor. Дослідження такого напрямку обчислювальної математики та їхнього застосування до проблем фізики і механіки суцільного середовища в наукових школах України лише починають закладатися. В основу цих концепцій явно чи неявно закладається ідея послідовного уточнення апроксимацій МСЕ за допомогою апостеріорних оцінок їхньої якості на кожному скінченному елементі та створення системи керування за пониженням її рівня до бажаної величини шляхом адаптування розрахункових сіток підвищення порядку апроксимації та/або зважування нев язок. Основні завдання проекту: Побудувати зручні для застосувань апроксимації МСЕ для еволюційних задач механіки пружних тіл та оболонок гідроакустики та гідрології забруднення довкілля формування дисипативних структур та автохвиль в активних середовищах які формулюються у термінах основних та змішаних варіаційних задач. Побудувати апріорні та апостеріорні оцінки похибок встановити умови стійкості та порядки збіжності апроксимацій МСЕ. Розробити недорогі апостеріорні оцінювачі похибок апроксимацій МСЕ та критерії адаптування неструктурованих тріангуляцій для знаходження наближених розв язків із наперед гарантованою точністю. Розробити надійні індикатори чутливості розв язків до зміни даних та адекватні стабілізовані схеми МСЕ для сингулярно збурених задач апроксимації яких відтворюють структури примежевих і внутрішніх шарів без втрат очікуваних порядків збіжності. Здійснити програмну реалізацію запропонованих схем МСЕ та їх апробацію в процесі обчислювальних експерименттів із задачами в гетерогенних середовищах з примежевими та внутрішніми шарами дисипативними структурами та іншими сингулярностями.

11 . АДАПТИВНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ Розв язування крайових задач для еліптичних рівнянь в частинних похідних за допомогою числових методів можна розглядати як певну технологію апроксимацій актуальної нескінченновимірної задачі деякою низкою скінченновимірних дискретних моделей. Якість одержаних апроксимацій при цьому суттєво залежить від вибору значень основних параметрів дискретизації таких як густина і регулярність тріангуляції порядок поліноміальних базисних функцій стабілізуючі множники тощо. Одночасно із безпосереднім обчисленням наближеного розв язку задачі можемо знайти і певні індикатори точності нашої дискретної моделі подібні до локальних лишків вихідних рівнянь на скінченних елементах вжитого поділу. Як показують досягнення останніх десятиліть [] згадані лишки успішно служать для створення надійних технологій дискретизації з використанням концепції адаптивності та результатів теорії оптимального керування. Зокрема власне цієї мети прагнуть досягнути - адаптивні схеми МСЕ які в межах заданої допустимої похибки намагаються відтворити стуктуру шуканого розв язку за рахунок оптимізації скінченноелементної сітки досягаючи рівномірного розподілу лишків між її елементами. Цей підхід був ініційований піонерськими працями Бабушки-Рейнболдта [] розвинений далі Ладевезе-Леллоном [] Бенком-Вейсером [4] Бабушкою- Мілллером [5] і Зенкевічем-Зу [6]. Праці Джонсона [7] а пізніше Беккера- Раннагера [8] доповнили -адаптивні схеми можливостями уточнення вибіркових характеристик наближень аналізом спряжених варіаційних задач. Огляд основних результатів цього напрямку можна знайти в Верфюрца [9] Айнсворса-Одена [] Зенкевіча-Тейлора [] та інших [ ]... Апостеріорні оцінки точкових похибок та уточнення апроксимацій методу скінченних елементів: ієрархічні оцінювачі лишків Для ілюстрації цього підходу розглянемо крайову задачу з диференціальним оператором еліптичного типу L і вільним членом f яка описується рівнянням L f. або відповідним варіаційним формулюванням вигляду знайти V такий що c v l v v V.. Нехай дискретна модель цієї задачі залежить від параметра дискретизації > і має вигляд L f.

12 або відповідно знайти V V dm V c v l v v V. < такий що.4 Наш аналіз похибки дискретизації e : засновано на дослідженні властивостей лишку вихідного рівняння ρ f L..5 Відзначимо що ця характеристика якості дискретної моделі ефективно обчислюється за знайденим наближеним розв язком в контексті методу скінченних елементів. З огляду на цю обставину більш уважного вивчення заслуговує варіаційна задача про похибку апроксимацій МСЕ: задано лишок ρ знайти похибку e таку що c e v ρ v : l v c v v V..6 В принципі можна дискретизувати також і задачу.6 та обчислити апроксимацію справжньої похибки e. Головне затруднення в реалізації цього наміру полягає в тому що вихідний простір апроксимацій V породжує лише тривіальний розв язок e *. Тому для дискретизації задачі.6 вимагаються скінченновимірні підпростори з доповнення вжитого простору апроксимацій E : V \..7 Ця умова ставить проблему проектування нової відмінної від попередньої числової схеми МСЕ вартість обчислювальних витрат на яку повинна компенсуватися додатковими можливостями більшими ніж лише оцінювання меж похибки. Наприклад такою може бути здатність обчислення точкових значень похибки з наперед заданою точністю. Це завдання і складає мету даної праці.... Модельна задача Для наочності наших міркувань розглянемо крайову задачу для рівнянь конвекції-дифузії-реакції в обмеженій полігональній області Ω R з однорідною умовою Діріхле на межі Γ Ω деталі див. напр. []. Ця задача допускає варіаційне формулювання вигляду. з такими структурними елементами: V { : v íà Γ} Ω : v H Ω V H.8 c [ v]d.9 v v. μ β. σ Ω f v : fvd v V Ω Ω l v..

13 Тут і далі ми вважаємо що дані задачі. задовольняють умови теореми Лакса-Мільграма-Вишика які гарантують існування єдиного розв язку V задачі та обмеженість його норми в просторі Соболєва H Ω []. Принагідно відзначимо що в цьому випадку білінійна форма c : V V R породжує нову енергетичну норму v v V v : c. еквівалентну нормі H Ω. З огляду на цей факт ми будемо Ω систематично експлуатувати щойно введену норму..... Кусково-лінійні апроксимації простору Виберемо довільний можливо досить грубий поділ { } трикутні скінченні елементи апроксимації V Τ області Ω на : dam : ma. Взявши за простір { v V C Ω : v P Τ } :. шукатимемо розв язок дискретизованої задачі.4 у вигляді θ Ω.. Тут P m простір всеможливих поліномів з дійсними коефіцієнтами порядку m визначених на трикутнику тріангуляції Τ які не належать межі Γ зокрема вершинам R ; кількість вершин A V θ відповідні dm ; A кусково лінійні функції Куранта з властивостями θ A : δ.4 { Τ A } sppθ : :..5 Такі функції на кожному трикутнику із свого носія описуються барицентричними координатами L L L [] які володіють властивостями: y L y L y y L A : δ. L.6 За цього вибору базису простору V коефіцієнти лінійної комбінації. надають значення розв язку МСЕ у внутрішніх вершинах тріангуляції Τ A A....5 і обчислюється розв язуванням системи лінійних алгебричних рівнянь

14 θ l θ c θ.6 Оскільки задача. коректно поставлена то ця властивість поширюється і на її дискретну модель.4 а отже і на задачу.6. Як тільки апроксимація V знайдена актуальним постає питання про її похибку e E V \ V..7 : Особлива увага цьому приділяється в сингулярно збурених задачах які виникають за умов домінування конвекції та/або біохімічних реакцій і спричиняють появі примежевих та/або внутрішніх шарів в структурі їхніх розв язків [ 4 5]. Нижче ми будуємо апостеріорні оцінювачі похибки.7 обчислюючи їх як наближені розв язки задачі.6 в скінченновимірних підпросторах із простору E наділених специфічною структурою базисів: вони і далі є кусково лінійними функціями з локальними носіями які визначаються на допоміжних більш густих тріангуляціях області Ω. Отже ми намагаємось побудувати за класифікаєю Верфюрца [9] так звані ієрархічні АОП.... Простори апроксимацій для похибок Щоб обійти труднощі відшукання похибки.7 ми будуємо скінченновимірні підпростори E для наближеного розв язування задачі.6 базиси яких наділені певними властивостями ортогональності притаманні бабл-функціям. Поряд із вжитою тріангуляцією Τ розглянемо нову більш густу тріангуляцію Τ утворену поділом кожного трикутника Τ проведенням його медіан так як показано на рисунку. з трикутником : ΔA A Am. Тут точка B середина сторони l яка лежить навпроти вершини A C - центр ваги скінченного елемента. A A m B m C B m B A Рисунок.. Поділ трикутника тріангуляції. Тепер ми віділимо три види геометричних фігур які будуть експлуатуватися нижче для побудови ієрархічного базису:

15 5 : ΔC A A.8 m : ΔC A B.9 так що : ΔC B A. m m m : Q : A B C B.. m Решта потрібних нам трикуникуів і чотирикутників одержуються з.8-. циклічною перестановкою індексів m так що m. За допомогою введених складових.8-. скінченного елемента Τ ми можемо побудувати систему околів вузлів тріангуляції Τ. Назвемо відкриту множину Ο D околом вузла D тріангуляції складається з об єднанння трикутників.8-.. Тоді Ο m C T : Τ якщо вона Ο.. B : T : B Ο A : T : A..4 Тепер ми будуємо нові кусково-лінійні базисні функції на Τ використовуючи барицентричні координати.6 трикутника. Лема 4.. Нехай C { C } множина центрів ваг елементів тріангуляції Τ T. Поставимо їй у відповідність систему кусково лінійних функцій { b } у T такий спосіб b spp b C : Ο.5 L на L на T.6 Lm на m : і визначимо скінченновимірний підпростір цих функцій c E як лінійну оболонку сукупності

16 тоді система { } T E C 6 : span{ b }.7 b утворює ортогональний базис простору C E. Лема 4.. Нехай B { B } множина центрів внутрішніх сторін l тріангуляції β визначений у такий спосіб Поставимо їй у відповідність набір функцій { } де трикутники тоді система функцій { } T T Τ. spp β : Ο B.8 L L на m β : T.9 Lm L на T такі що l B E. Введемо лінійну оболонку span{ β }. : β складає ортогональний базис підпростору B E. Лема 4.. Нехай множина A { A } складена з набору внутрішніх вузлів тріангуляції Τ. Введемо лінійну оболонку де E A Тоді система функцій { } : span{ π } E. A Q sppπ : Ο.4 A T L L на m π : L Lm на T : A..5 на / A π π утворює ортогональний базис простору E. Доведення сформульованих лем очевидні з геометричних міркувань які показують що перетини носіїв кожної пари функцій з систем b { b } β { β } та π { π } становлять пусті множини. Як основний результат побудови ми отримаємо три скінченновимірні C B A простори E E E E які можна використати для конструювання ієрархії просторів апроксимацій із E зручних для наближенного розв язування задачі про похибку.6 стандартними засобами МСЕ.

17 7..4. Алгоритм послідовного уточнення апроксимації Нижче ми пропонуємо один із можливих алгоритмів який використовує C B A побудовані простори E E E E для підвищення точності знайденої апроксимації. в просторі V. Крок. Припустимо що апроксимація : L P знайдена достатньо точно у вершинах { }.6 A A сітки Τ. Тоді її суттєвого уточнення можна досягнути лише за умови покращення її структури внутрі елемента. З цією метою розв яжемо задачу про похибку.6 в просторі E : C знайти e c C E C e v ρ C таку що v v E C..7 З огляду на ортогоналльність базису { } T b простору C E розв язування 5. поділяється на окремі задачі кожна з яких згідно методу Гальоркіна дозволяє легко обчислити розв язок у вигляді де e : e b C e.8 b b b ρ T..9 c Відзначимо що згідно побудови функцій { b } T знайдений коєфіцієнт e подає нам наближене значення похибки e в центрі ваг трикутника : e C C e C T. e.4 Тому ми можемо уточнити значення апроксимації в цих вузлах згідно правила * C : C e e.4 і одержати перше уточнення стандартної апроксимації МСЕ в цілому ній C C : e b e Ω. θ.4 T Крок. Тепер ми повторюємо процедуру кроку попередньо замінивши в та E на та E відповідно. В результаті знайдемо що значення C оцінювача похибки C B e B у центрі кожної внутрішньої сторони B обчислюється згідно правила

18 8 C ρ β B ε : e B B B..4 c β β Відзначимо з огляду на лему 4. що остання формула вимагає обчислень з використанням лише двох суміжних скінченних елементів які утворюють носій spp β : Ο B. В цей спосіб досягається обчислювальна ефективність розглядуваного кроку який приводить до уточнення значень апроксимації МСЕ в серединах сторін B згідно правила * A Am B : ε B B..44 Отже чергове уточнення кусково лінійної апроксимації знаходиться у вигляді B C C B : ε β e Ω..45 B B Крок. Завершальний етап нашої процедури полягає в уточненні значень апроксимації МСЕ у внутрішніх вершинах A A. В цьому випадку значення оцінювача похибок у заданих вершинах обчислюється у такий спосіб B ρ π A ρ : e A A A..46 c π π Остаточним результатом нашого алгоритму є уточнена апроксимація вигляду A B B A : ρ π e Ω..47 A A Підводячи підсумки відзначимо що рекурсивно обчислювана ієрархія C C B B A A апостеріорних оцінювачів похибки e E e E e E E одночасно уточняє кусково лінійну апроксимацію МСЕ тому A B C e e e > Чисельні результати Нижче ми подаємо результати серії обчислювальних експерементів із уточненням кусково лінійних наближень МСЕ згідно рекурсивного алгоритму попереднього розділу. Мета наших експерементів передбачала знайти відповіді на такі питання стосовно апроксимацій МСЕ: Яка точність відтворення знайденими оцінювачами властивостей реальної похибки класичних апроксимацій МСЕ? З цією метою ми вводимо кусково лінійний інтерполянт точного розв язку на вихідній тріангуляції вигляду I A L T.49

19 та аналізуємо його розбіжності з вихідною апроксимацією МСЕ e I I A L. 9.5 Подібним чином введемо кусково лінійний інтерполянт I I точного розв язку на на згущеній тріангуляціїt та аналізуємо його відмінності від кожної із уточнених апроксимацій e X T X C B A.5 X I I які ми розглядаємо як кусково-лінійні функції на подрібленій тріангуляції Τ. Яка швидкість збіжності до нуля кожної із послідовностей апостеріорних X оцінювачів похибок { e } за умови рівномірного згущення розрахункових тріангуляцій? X Чи еквівалентні енергетичні норми оцінювачів e нормам реальних похибок а саме чи існують додатні сталі α β такі що X X X X X α e β X C B A?.5 X I X I Точніше апріорні оцінки розв язків варіаційних задач встановлюють існування таких сталих для верхніг меж і основна трудність теоретичного аналізу полягає у відшуканні сталих для нижніх меж. Якщо вони існують для побудованих оцінювачів то за визначенням Верфюртца [9] такі оцінювачі є надійними. Задача дифузії. Нижче наведнено дані розв язання задачі. з коефіцієнтами μ β σ функцією 4 y f y y e та крайовими умовами які показано на рисунку.. Точний розв язок задачі має вигляд y e..5 * y.5 * n Ω * * Рисунок.. Крайові умови задачі дифузії.

20 Дані табл.. містять деякі кількісні характеристики чисельного експеременту які подають відповіді на поставлені вище запитання і переконливо свідчать про надійність запропонованої ієрархії апостеріорних оцінювачів похибки в просторах H Ω. Тут T кількість вузлів поточного розбиття T. T H норм апостеріорних оцінювачів похибок та відмінностей Таблиця.. Збіжність апроксимацій МСЕ від інтерполянтів точного розв язку. C C B B A A e e e e e e e I H I H H Дійсно зі згущенням тріангуляцій всі норми розлядуваних функцій монотонно збігаються до нуля більше цього ця збіжність близька до лінійної як для розбіжностей так і оцінювачів похибок. Перегляд розбіжностей на кожній фіксованій тріангуляції показує що кожен крок рекурентного уточнення апроксимацій МСЕ зменшує значення їхніх норм так що в кінцевому рахунку ці величини на густіших сітках зменшуються більш ніж у двічі. Відзначимо тут вирішальний внесок заключного кроку щодо уточнення значень апроксимації у вершинах біжучої сітки скінченних елементів ефект проміжкового кроку алгоритму уточнення в цій ситуації виявляється незначно. Натомість порівняння на фіксованій сітці значень послідовно обчислюваних оцінювачів не демонструє подібної монотонності і свідчить про суттєвість обчислень на другому кроці алгоритму уточнення. Заключні ж значення норм оцінювачів незначно менші від одержаних на першому кроці. Ці факти говорять про стійкість як побудованої ієрархії оцінювачів так і процедури послідовного уточнення апроксимацій МСЕ. Врешті-решт виокремимо поведінку оцінювача похибок в центрах ваги C скінченних елементів e. Він обчислюється з найменшими витратами і надає значення меж похибок які вдвічі менші за відповідні значення норм C розбіжності e I. Поряд із цим норми згаданих оцінювачів дуже добре C узгоджуються із відповідними значеннями норм розбіжностей e I та e I які обчислені на наступному згущенні сітки скінченних елементів. Ця обставина дозволяє стверджувати і про доцільність виконання першого кроку алгоритму уточнення апроксимацій МСЕ. З іншого боку з огляду на нерівність.5 вона вказує на існування сталих еквівалентності α C I H.5. H I H H

21 В табл.. для повноти аналізу ми наводимо результати обчислень із використанням норми L Ω. Вони зокрема свідчать про квадратичну збіжність в цій нормі як апостеріорних оцінювачів похибок так і уточнених апроксимацій МСЕ. T L - норм апостеріорних оцінювачів похибок та відмінностей Таблиця.. Збіжність апроксимацій МСЕ від інтерполянтів точного розв язку. C C B B A A e e e e e e e I L I L L Рисунок.-.4 характеризують локальну поведінку ієрархії оцінювачів а саме подають розподіл величин норм e на скінченноелементній сітці із I L H 45 вузлів та 89 трикутників. Аналізуючи дані рисунків.-.4 відзначимо що побудовані оцінювач відтворюють струкутру норми ітерполянта точної похибки рис.а та реагують на специфіку поведінки розв язку в околі кутової точки. X L I L L ei C e а б Рисунок.. Розподіл норм інтерполянта точної похибки а та дискретної похибки на першому б кроці алгоритму уточнення. б

22 B e A e а б Рисунок.4. Розподіл норм дискретних похибок на другому а та третьому б кроці алгоритму уточнення... Адаптивна схема з АОП Верфюрця Розглянемо крайову задачу з рівнянням конвекції-дифузії: ε Δ a b f ε g n в Ω на на Γ D Γ.54 де Ω R обмежена зв язна область з неперервною за Ліпшицем межею Γ ΓD Γ і ΓD Γ ε R a W Ω b L Ω. Наша ціль побудувати надійний оцінювач похибки необхідний для проведення ітераційної процедури уточнення тріангуляцій в -адаптивній схемі методу скінченних елементів цієї проблеми. Надійний в тому сенсі щоб оцінювач мав глобальну верхню і локальну нижню межу в енергетичній нормі { } / : ε.55 з точністю до мультиплікативних констант які залежать найбільше від локального числа Пекле. Як звичайно позначає норму в L Ω. Далі ми будемо використовувати наступні позначення : a b a cb a~ b a b ³ b a Тут константа с мусить залежати від сітки скінченних елементів і від ε.... Скінченно-елементна дискретизація Нехай ω довільна відкрита обмежена підмножина області Ω з полігональною межею γ. Позначимо через

23 ω L ω H ω ³ L γ H звичайні простори Соболева та Лебега оснащенні стандартними нормами Подібно ω γ ω ³ L γ : ³ : ; ω H ω ; γ L γ. ³ позначають скалярні добутки в просторах L відповідно. Якщо Ω випадку ω H. де ω ми будемо опускати індекс Ω. В іншому позначає стандартне обмеження енергетичної норми.55 на ω Введемо простір допустимих функцій V : { ϕ H Ω : v наγd }. Тоді стандартна варіаційна постановка задачі. є наступна: знайти V таку що B v f v g v Γ v V B v : ε v a v b v v : Ω vd v V Задача.56 допускає єдиний розв язок. Крім того виконуються наступні нерівності і B v v v v V.58 / v w v w { b } v w a v w V B L L Ми позначимо через τ дискретизацію Ω на n- симплекси які задовольняють наступним двом властивостям: допустимості: довільні два елемента не накладаються або мають спільні граней n. T правильності фігур: sp sp. > o T τ ρt Тут T і ρ T позначають діаметр Т і діаметр найбільшої кулі вписаної в Т. Відмітимо що правильність фігур дозволяє застосовувати локальне покращення сітки і в двовимірному випадку це є еквівалентно умові мінімального кута. ε.59 Для ми позначимо через P множину поліномів степеня не вище і побудуємо простори

24 S S : : : { ϕ : Ω R : ϕ P T τ } T S C Ω { ϕ S : ϕ íà ΓD } V C Ω : ϕ P T τ S D : V : { ϕ } T 4.6 де V є простір кусково-лінійних апроксимацій. Тоді ми розглянемо наступну дискретизацію задачі.56: знайти V таку що.6 B v f v g v v Γ V Введемо деякі корисні позначення. Через ε позначимо множину всіх граней в τ. Ми можемо розкласти ε наступним чином ε : ε Ω ε ε D де ε Ω ε і ε D позначають внутрішні грані грані на яких накладено умову Неймана і грані на яких накладено умову Діріхле відповідно. Для E ε через E позначимо діаметр грані E. Правильність фігур забезпечує що T ~ E і T ~ T ' у випадку коли E T і T T '. Для довільної кусково-неперервної функції ϕ і будь-якого E ε ми позначимо [ ϕ ] E стрибок ϕ через грань E в довільному але фіксованому напрямку n E який є ортогональний до E. Стрибок [ ϕ ] E взагалі кажучи залежить від напрямку n E але вираз типу [ n E ϕ] E є незалежним від орієнтації n E. Для будь-якого T τ ми покладемо ω : T T T ' T ' ε ω : T T T ' T ' ω : E E T '... Оцінювач похибки залишку Згадаємо що і позначають точні розв язки задач.56 і.6 відповідно. З.59 ми отримаємо < sp v V \{} v v. B T '..6 Розглянемо довільне v V з v. Очевидно що B v B v I v B I v..6 Інтегруючи частинами поелементно отримаємо що для всіх w V

25 5 [ ] Δ Ω E E E E T T T E E n E E E n T T w R w R w g w w b a f w B ε τ ε ε τ ε ε ε.64 де. : T b a f R Δ ε [ ] Ω. : n E n E E якщо E якщо g E якщо R E ε ε ε ε ε.65 Покладаючи v I v w в. і використовуючи Лему. і нерівність Коші-Шварца ми отримаємо { } { }. mn mn / ; / / ; / E E E T T T T T R R v I v B ε τ ε ε ε.66 Просте масштабування аргументів показує що для всіх V w справедливо { }. mn / ; T T T T L T w a w a ε.67 Оцінка.67 Лема. і нерівність Коші-Шварца дають що { }. mn / ; / T T T T R v I B τ ε.68 З і.68 ми отримаємо верхню межу для енергетичної норми похибки: { } { }. mn mn / ; / / ; / E E E E T T T T R R ε τ ε ε ε.69

26 6 Тепер виведемо нижню межу похибки. Позначимо через f і g деяке наближення f і g кусково-неперервними поліномами степеня не вище на τ і на частині межі Γ дискретизації τ відповідно. Спочатку візьмемо довільний елемент T τ і покладемо wt : ψ T [ f ε Δ a b]..7 Вставляючи w в.64 ми отримаємо де f Δ a b w B w f f w. ε.7 T T T T T Оцінка.59 і Лема. забезпечують виконання наступної нерівності: B w T T { wt } b / w L T T ε a T L T { b mn{ / ε } ε / L T a L T ; T } f. ε Δ a b T ; T Безпосередньо з.7-.7 і Леми. ми отримаємо нижню межу mn { ε / } T mn f ε Δ a ; T { } / mn{ / b ε a } Tε T L T L T { / Tε } f f. : T E ε і покладемо w P [ ε ] b.7.7 Далі візьмемо довільне Вставляючи E :.74 ψ E θ E E θ mn{ ε / }. E T w E в.64 ми отримаємо [ ε n ] E w E E E B we f ε Δ a b we T ω T ω n f f w. E E З оцінки.59 і Леми. можна отримати наступну нерівність: E T E E T.75

27 B w ε / ω ω a E E { we } b / w L E ε a ωe ω E L ω { / 4 b mn{ / ε Eε } L L ω / / ; ω / 4 / ε mn{ Eε } } [ ε n ]. ω E E ; E E Крім того і Лема. і нерівність.7 забезпечують { T ω f ε Δ a b w E f f ω E E { } / 4 b mn{ / ε Eε } ; ω E ε / 4 L / ε a mn{ / } Eε ω E L ωe { ε } } / [ ] / ε. mn E E T n E E ; E З і Леми. ми отримаємо нижню межу ε / 4 mn mn { ε } / [ ] / ε E ne E ; E { b } { ε / } f f. E E L / ε a mn{ / } ω Eε E ; ω E L E E E / ω З тих самих міркувань ми можемо отримати вираз ε ε / 4 mn mn ε / 4 { ε / } / n ; E { b } E / mn{ / ε a } Eε T L T L T { / Eε } f f ; T mn{ ε / } / g g. E g ε ω ; E.79 для всіх E де T ωe. Отже буде справедлива наступна теорема. Теорема Позначимо через і точні розв язки задач.56 і.6 відповідно. Нехай f і g деяке наближення f і g кусково-неперервними поліномами степеня не вище на τ і на частині межі Γ дискретизації τ відповідно. Покладемо α : mn S { ε / } S τ ε. s

28 8 [ ]. : ; / ; / ; Γ Ω Δ T E E E E T E E E E E T T R T n g n b a f ε α ε ε α ε ε α η Тоді справедливі наступні апостеріорні оцінки похибки: / ; / ; / T E E T T T T R T g g f f ε τ τ α ε α η / ; / ; / Γ T T T T T E E E T T L L R T g g f f a b α ε α α ε η ω ω ω ω. ma / ; / ; / / Ω T E E T T T T L T L T R T g g f f a b T T ε τ τ τ α ε α α ε η ω ω Слід відмітити що в оцінці для верхньої межі ми можемо замінити f і g на f і g відповідно. Тоді зникне другий доданок в правій частині цієї оцінки. Зауваження. Нерівність.69 забезпечує глобальну верхню межу для апостеріорної оцінки похибки залишку. І цього нам достатньо для відшукання локальної верхньої межі похибки T R η на одному скінченному елементі T а отже і для практичної реалізації -адаптивної схеми методу скінченних елементів. Але локальні нижні межі для нашого оцінювача які наводяться в двох останніх виразах нашої теореми гарантують його надійність.... Аналіз чисельних результатів Розглянемо результати обчислень проведених за описаною вище схемою. Будемо аналізувати розв язок крайової задачі.54 де. Ω ε f b a В цьому і наступному тестах ми вважаємо що D Γ Γ тобто на усій межі області Ω задано однорідну умову Діріхле.

29 9 Спочатку будуємо рівномірну сітку яка містить 8 трикутник і 8 вузол див Рисунок.5. Рисунок.5. Початкова тріангуляція 8 трикутники. Далі проводимо ітераційну процедуру покращення сітки доки відносна похибку на кожному скінченному елементі буде менша за.7 з точністю 7%. Відносна похибка на скінченному елементі рахується як відношення значення оцінювача на даному трикутнику до оцінки похибки на всій області. Результуюча тріангуляція побудована за алгоритмом Рапперта що містить трикутник і 67 вузол зображена нижче на рисунку.6. Рисунок.6. Результуюча тріангуляція одержана за 6 ітерацій процесу адаптування. На рисунку.7 зображено графік розв язку задачі.54 порахований з точністю 7% за 6 ітерацій.

30 Рисунок.7. Графік розв язку точність 7%. Для порівняння наведемо розв язок схеми МСЕ знайдений при тих самих вхідних даних на однорідній сітці 48 трикутників89 вузлів див. рис.8.9. Рисунок.9. Графік розв язку на однорідній сітці. Рисунок.. Однорідна сітка48 трикутників 89 вузлів. Слід зауважити що розв язок побудований на однорідній сітці має значні осциляції у порівнянні з розв язком знайденим адаптивним методом. Хоча кількість вузлів рівномірної сітки майже в тричі більша. В таблиці Табл.. наведено дані про сітку і похибку що отримані на кожній ітерації адаптивного процесу.

31 Табл... Хід ітераційного процесу. Відносна похибка трикутнику η R обчислюється за формулою η : R ma τ T τ T де η R T значення оцінювача похибки на трикутнику T. Аналізуючи хід ітераційного процесу слід відзначити що із згущенням сітки в околі примежевого шару де спостерігається погіршення регулярності розв язку максимальне значення оцінювача похибки швидко прямує до нуля. І цей процес триває доти поки значення відносної похибки η R перевищує.7 з точністю 7%... Одновимірні адаптації Даний розділ присвячений побудові АОП кусково-лінійних апроксимацій МСЕ для розв язків одновимірних крайових задач з диференціальними рівняннями другого порядку. Властивості запропонованих АОП забезпечують можливості генерування сітки скінченних елементів здатної у просторі кусковолінійних апроксимацій відтворити структуру шуканого розв язку з наперед заданою точністю; уточнення знайдених апроксимацій МСЕ в центрах ваг та розрахункових вузлах скінченних елементів на кожному кроці процесу розрідженнязгущення сітки. η η R T R T

32 Ефективність розробленої схеми МСЕ ілюструється числовими розв язками сингулярно збурених крайових задач.... Постановка крайової задачі Розглянемо наступну крайову задачу: знайти функцію яка є розв язком звичайного диференціального рівняння d d d Y g Y YV Y f d d d g.8 і задовольняє крайові умови d.8 μ α[ ]. d Тут μ μ β β σ σ та f f задані функції а α задані сталі із такими властивостями: майже скрізь в Ω α μ const > σ μ.8 Ω f L Ω. μ β σ L.8 Крайова задача.8.8 знаходить важливі застосування в екології напівпровідниках прогнозуванні епідемій тощо. З іншого боку більшість реальних задач такого вигляду засвідчує що вони є сингулярно збуреними тобто містять малі коефіцієнти при старших похідних. Цю особливість структури задачі можна побачити [6 7] після належної заміни незалежних змінних і введення знаних в механіці суцільного середовища критеріїв подібності Пекле і Струхаля де β dam Ω σ dam Ω Pe : S :. μ μ Тоді після невеликої алгебри крайова задача.8.8 набуде вигляду μ z z Peβ z z Sδ z z f z z * * * * [ ] μ z * α * μ z β z σ z μ* z : β* z : σ * z : μ β σ

33 dam Ω damω f * z : f z α * : α. μ μ... Варіаційне формулювання крайової задачі Крайова задача.8.8 допускає варіаційне формулювання вигляду знайти V таку що.84 c v < l v > v V з такими структурними елементами V : H Ω { v H Ω : v } c v : a μ; v b β; v s σ ; v a μ; v : μ v d α v b β ; v : β vd s σ ; v : σ vd < l v > : fvd α v.85 З огляду на теорему Лакса-Мільграма-Вишика можна переконатися що варіаційна задача.84 коректно поставлена якщо її дані задовольняють наприклад такі умови регулярності і знаковизначеності Кусково-лінійні апроксимації Зафіксувавши натуральне поділимо відрізок [ ] на скінченні елементи : [ ] довжини :.. так що < < < <. Тут і далі дробовим індексом будемо позначати номер скінченного елемента і певні його характеристики скажімо : це центр ваги скінченного елемента : [ ]. На кожному з них виберемо лінійну апроксимацію шуканого розв язку варіаційної задачі.84 у вигляді

34 4.... ] [ : ; ] [ ] [ : ω ω ω ω ω.86 Тут ми скористалися позначеннями : :.87 для величин які характеризують середнє значення апроксимації та швидкості її зміни на скінченному елементі. На доповнення до.86 зазначимо що Врешті-решт враховуючи головні крайові умови варіаційної задачі одержимо що.89 і запишемо кусково-лінійну апроксимацію у такий спосіб [ ]. ] [ : n n n ϕ ω ω.9 В останній сумі ми явно записуємо апроксимацію МСЕ як лінійну комбінацію кусково-визначених базисних функцій Куранта n n n n n n n n n n.. ]; ]; ]; ]; [ : - ω ω ϕ.9 Власне ця система функцій і формує базис вибраного нами простору апроксимацій V показуючи що V dm.

35 5..4. Обчислення на скінченному елементі Для виконання різноманітних обчислень на скінченних елементах нам будуть потрібні складові варіаційного рівняння вигляду c < l v : v > : { p v b v σv} d α v δ fvd α δ Щоб результати обчислень були наочними і допускали прозору фізичну інтерпретацію ми будемо виконувати інтегрування в.9 наближено із вживанням теореми про середнє в такий спосіб: c < l v : μ v > : { μ v β v σv} d α v δ v d β fvd α δ vd σ f де μ : μ β : β σ : σ. vd α v δ vd α δ Інтеграли що залишилися наприклад у виразі.9 будуть просто обчислюватися у випадку поліноміальних функцій та v...5. Дискретизовані рівняння Тепер ми готові обчислити систему лінійних алгебричних рівнянь МСЕ для відшукання коефіцієнтів його апроксимації.9. Пропозиція 6. про структуру рівнянь МСЕ. Нехай апроксимація розв язку варіаційної задачі.84 шукається методом Гальоркіна у вигляді розвинення.9 за системою кусково-лінійних базисних функцій.9. Тоді коефіцієнти розвинення обчислюються із системи лінійних алгебричних рівнянь вигляду

36 6 [ ] [ ] { } f f S Pe S Pe S Pe S Pe μ μ μ μ [ ] 6 6 f S Pe S Pe α μ μ Тут використано позначення μ σ μ β : : S Pe. для локальних сіткових величин критеріїв подібності Пекле та Струхаля відповідно. Доведення. Підставимо лінійну комбінацію.9 в рівняння варіаційної задачі.84 і послідовно покладемо в ньому v ϕ. Після належних алгебричних обчислень із застосуванням наближень.9 за деталями див. Шинкаренко-Голуб-Щербина [8] прийдемо до системи задекларованих в пропозиції лінінійних алгебричних рівнянь...6. Апостеріорні оцінювачі похибок Введемо до розгляду бабл-функції вигляду.... ] [ ] 4[ : b I I ω ω.94 З огляду на те що b b b b Неважко переконатись що

37 7 > <.... } { } { 5 8 } { f b l PeS b b c μ σ μ.95 Будемо шукати наближення E ε до істинної похибки апроксимації V V e \ : у вигляді лінійної комбінації таке подання наближення до похибки показує що ми вибрали систему функцій } { b за базис підпростору E : b e λ ε.96 з невідомими коефіцієнтами } { λ. Для їхнього знаходження скористаємося схемою Гальоркіна яку застосуємо до задачі про похибку > < E v vv ρ v cε щo y ma Ε знайти похибку ε V ; та апроксимацію Гальоркіна Ε V\V задано E dm κ.97 Внаслідок природної ортогональності бабл-функцій зумовленої тим що ] [ : spp b безпосередньо обчислюємо:... > < b b c b ρ ε λ.98 Нарешті приймаючи до уваги 5. і те що } { O f b > < σ β ρ.99 наведемо остаточний вигляд знайденого наближення до похибки апроксимації Гальоркіна: [ ]. 4 5 : > < b PeS f b b b c b b e σ β μ ρ λ ε.

38 V f PeS f PeS PeS f c σ β μ σ β μ μ σ β μ ε ε ε. Подібний оцінювач похибки апроксимацій МСЕ можна побудувати використовуючи кусково-лінійні бабл-функції визначені в такий спосіб.... ] [ : ] [ : b b [ ]. : > < b S f b b b c b b e σ β μ ρ λ ε V S f S S f c σ β μ μ σ β μ ε ε ε...7. Стратегія адаптування сітки Виведені вище вирази для апостеріорних оцінювачів похибки на скінченному елементі використовувалися нами для побудови рекурсивного алгоритму адаптування розрахункової сітки в такий спосіб щоб результуюча апроксимація МСЕ була знайдена на кожному скінченному елементі з наперед гарантованою точністю. Докладніше ми вбираємо за якість знайденої на сітці T кусковолінійної апроксимації послідовність індикаторів

39 Тут зокрема η V ε ε V ε % ε %. ' [ ] d d { } Формула.4 визначає скільки відсотків становить норма похибки на скінченному елементі від середньої норми розв язку. Якщо це число більше від заданого допустимого рівня похибки то цей скінченний елемент ділиться на два в центрі ваги додається новий вузол сітки. В протилежному випадку поділ не відбувається...8. Чисельні результати Вхідні дані: μ β σ f α. Початкова сітка рівномірний поділ відрізка на 4 скінченних елементів. Допустимий рівень похибки η %. Точним розв язком цієї крайової задачі є функція e e e. Рисунок.. Графік точного розв язку. Примежовий шар в околі правого кінця відрізку глобальне число Пекле Pe. Графік наближеного розв язку побудований програмою зображений на рисунку.. Рівень допустимої похибки % від середньої норми розв язку. Для отримання наближеного розв язку програма зробила 9 кроків отримавши при цьому 4 скінченний елемент. При цьому починаючи з 4 кроку будується нерівномірна сітка. Згущення сітки відбувається на правому кінці оскільки саме там похибка набуває найбільших значень. В покроковому режимі відображення основного графіку можна побачити що похибка на лівому кінці gl

40 4 швидко прямує до нуля в той час як на правому кінці до 5-го кроку вона зростає і лише починаючи з 6-го кроку починає спадати. Рисунок.. Результуюча апроксимація обчислена за 9 кроків адаптування починаючи із рівномірного поділу на 4 скінченні елементи з η %.. Точками на графіку відзначено вузлові значення знайденої апроксимації. Рисунок.. Характер покрокової збіжності норми апостерірного оцінювача похибки. ε V Рисунок.4. Розподіл значень індикаторів якості результуючої апроксимації поміж скінченними елементами остаточної сітки. Рисунок.5. Покрокова зміна кількості скінченних елементів сітки в процесі адаптування.

Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року з математики (1 сесія)

Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року з математики (1 сесія) Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року з математики (1 сесія) (наведено порядок тестових завдань зошита 1) Номер і зміст завдання, відповіді Відповідність завдання програмі зовнішнього незалежного оцінювання

More information

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ Вказівки до виконання роботи Подані далі завдання призначені для практичної реалізації знань, здобутих при вивченні окремих розділів курсу. Пропонуються розрахункові

More information

Основні поняття теорії графів. Види графів. ПИТАННЯ ТЕМИ ТА ОСНОВНІ ТЕРМІНИ

Основні поняття теорії графів. Види графів. ПИТАННЯ ТЕМИ ТА ОСНОВНІ ТЕРМІНИ Основні поняття теорії графів. Види графів. ПИТАННЯ ТЕМИ ТА ОСНОВНІ ТЕРМІНИ Введення в теорію графів. Основні поняття і ознаки. Графічне представлення графа. Види графів. Зв язні компоненти графа. Ейлерові

More information

Тема 28. Застосування дерев

Тема 28. Застосування дерев Основи Дискретної Математики :: Застосування дерев 164 Тема 28. Застосування дерев 28.1. Бінарне дерево пошуку Бінарне дерево дуже зручний метод організації даних, у разі використання якого можна легко

More information

Г. П. БЕВЗ, В. Г. БЕВЗ

Г. П. БЕВЗ, В. Г. БЕВЗ Г. П. БЕВЗ, В. Г. БЕВЗ Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Підручник переможець Всеукраїнського конкурсу підручників для 1-річної

More information

А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір. Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики

А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір. Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір АЛГЕБРА Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Харків «Гімназія» 009 УДК 7:5 ББК.я7 М5 Рекомендовано

More information

Лекція 27. Дерева. Рис

Лекція 27. Дерева. Рис Дискретна Математика :: Дерева 157 Лекція 27. Дерева 27.1. Основні означення та властивості Поняття дерева широко застосовують у багатьох розділах математики й інформатики. Наприклад, дерева використовують

More information

Інформація про стан і розвиток страхового ринку України за 9 місяців 2007 року

Інформація про стан і розвиток страхового ринку України за 9 місяців 2007 року Інформація про стан і розвиток страхового ринку України за 9 місяців 2007 року 1. Протягом 9 місяців 2007 року кількість страхових компаній (СК) зросла на 31 СК та станом станом на 30.09.2007 р. cтановила

More information

І.В. Гаращенко, к.т.н., доц. Житомирський державний технологічний університет

І.В. Гаращенко, к.т.н., доц. Житомирський державний технологічний університет УДК 51:330.115 І.В. Гаращенко, к.т.н., доц. Житомирський державний технологічний університет ПРО ЗАДАЧУ ОПТИМІЗАЦІЇ НА ГРАФАХ Описано задачу оптимізації комунікаційних мереж на прикладі транспортної мережі,

More information

Вказівки щодо розв'язання завдання 32 відбірково-тренувальних зборів команди міста Києва

Вказівки щодо розв'язання завдання 32 відбірково-тренувальних зборів команди міста Києва Вказівки щодо розв'язання завдання 32 відбірково-тренувальних зборів команди міста Києва 1. Голосування Нехай D деяка підмножина присутніх на виборах делегатів. Залишимо у таблиці голосування голоси лише

More information

ОСОБЛИВОСТІ РОЗМІЩЕННЯ ВЕРШИН ГРАФІВ ТИПУ ДЕРЕВО НА ПЛОЩИНІ

ОСОБЛИВОСТІ РОЗМІЩЕННЯ ВЕРШИН ГРАФІВ ТИПУ ДЕРЕВО НА ПЛОЩИНІ Басюк ТМ, УДК 7: ТМ Басюк Національний університет Львівська політехніка, кафедра інформаційних систем та мереж ОСОБЛИВОСТІ РОЗМІЩЕННЯ ВЕРШИН ГРАФІВ ТИПУ ДЕРЕВО НА ПЛОЩИНІ Проаналізовано основні труднощі,

More information

РЕГІОНАЛЬНИЙ ПОШУК ДЛЯ МНОЖИНИ РУХОМИХ ТОЧОК

РЕГІОНАЛЬНИЙ ПОШУК ДЛЯ МНОЖИНИ РУХОМИХ ТОЧОК УДК 004.59.7 +004.9 В.М. ТЕРЕЩЕНКО, С.Є. СКЛЯРОВСЬКИЙ РЕГІОНАЛЬНИЙ ПОШУК ДЛЯ МНОЖИНИ РУХОМИХ ТОЧОК Анотація. У роботі запропоновано структури даних у вигляді В х -дерев для побудови ефективних алгоритмів

More information

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ФОРМАЛЬНИХ ГРАМАТИК

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ФОРМАЛЬНИХ ГРАМАТИК МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ФОРМАЛЬНИХ ГРАМАТИК МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторної роботи 6 з дисципліни Математична лінгвістика

More information

Технічні характеристики тесту з БІОЛОГІЇ для зовнішнього незалежного оцінювання 2009 року

Технічні характеристики тесту з БІОЛОГІЇ для зовнішнього незалежного оцінювання 2009 року Технічні характеристики тесту з БІОЛОГІЇ для зовнішнього незалежного оцінювання 2009 року Тест містить 60 завдань. На виконання тесту відведено 120 хвилин. Орієнтовний розподіл завдань тесту за розділами

More information

Раціональні рівняння, нерівності та їхні системи. Параметри в раціональних рівняннях, нерівностях та їхніх системах

Раціональні рівняння, нерівності та їхні системи. Параметри в раціональних рівняннях, нерівностях та їхніх системах бібліотечка фізико-математичної школи Т.Ю. Демець, С.В. Кметюк Раціональні рівняння, нерівності та їхні системи. Параметри в раціональних рівняннях, нерівностях та їхніх системах ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА

More information

КНИГА ЗАПИСІВ НАСЛІДКІВ ВНУТРІШНЬОГО КОНТРОЛЮ

КНИГА ЗАПИСІВ НАСЛІДКІВ ВНУТРІШНЬОГО КОНТРОЛЮ КНИГА ЗАПИСІВ НАСЛІДКІВ ВНУТРІШНЬОГО КОНТРОЛЮ (П. І. Б. адміністратора) (назва навчального закладу) (навчальний рік) Харків Видавнича група «Основа» 2015 Автор: В. В. Григораш Урок це дзеркало загальної

More information

ДИНАМІЧНИЙ ПІДХІД ДО АНАЛІЗУ ТА МОДЕЛЮВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ІЄРАРХІЧНИХ СТРУКТУР

ДИНАМІЧНИЙ ПІДХІД ДО АНАЛІЗУ ТА МОДЕЛЮВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ІЄРАРХІЧНИХ СТРУКТУР УДК 519.14 Коваленко І. І., Передерій В. І., Швед А. В. ДИНАМІЧНИЙ ПІДХІД ДО АНАЛІЗУ ТА МОДЕЛЮВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ІЄРАРХІЧНИХ СТРУКТУР У статті розглянуто основні положення теорії графодинамічних систем

More information

ІНСТРУКЦІЇ З НАЛАШТУВАННЯ VLC MEDIA PLAYER (WINDOWS)

ІНСТРУКЦІЇ З НАЛАШТУВАННЯ VLC MEDIA PLAYER (WINDOWS) ІНСТРУКЦІЇ З НАЛАШТУВАННЯ VLC MEDIA PLAYER (WINDOWS) - 1 - Зміст 1. Загальний опис... 3 2. Встановлення VLC програвача для Windows 95, 98,Me та Windows 2000/XP/Vista/7.. 4 3. Додавання списку відтворення

More information

Алебра Геометрія 11 КЛАС

Алебра Геометрія 11 КЛАС О.С. Істер Алебра Геометрія 11 КЛАС ТЕМАТИЧНI КОНТРОЛЬНI РОБОТИ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ експрес-контролю Рівень стандарту Академічний рівень Навчальний посібник Видання четверте, перероблене ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА

More information

ФОРМА 1. Повідомлення про подання інформації про структуру власності

ФОРМА 1. Повідомлення про подання інформації про структуру власності ЗАТВЕРДЖЕНО ФОРМА 1 Повідомлення про подання інформації про структуру власності На виконання вимог Закону України Про телебачення і радіомовлення та Порядку подання телерадіоорганізаціями та провайдерами

More information

С.П. Цуренко. За програмою 11-річної школи. Математика 10 клас. Рівень стандарту

С.П. Цуренко. За програмою 11-річної школи. Математика 10 клас. Рівень стандарту С.П. Цуренко За програмою 11-річної школи Математика 10 клас Рівень стандарту Багатоваріантні різнорівневі тренувальні вправи для класних робіт і домашніх завдань ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН ББК 22.1я72

More information

Ключові слова: задачі на доведення, властивості, обернені теореми, ознаки прямокутного трикутника.

Ключові слова: задачі на доведення, властивості, обернені теореми, ознаки прямокутного трикутника. Didtis of mthemtis: Problems nd Investigtions Issue # 38 01 ОЗНАКИ ТА ОБЕРНЕНІ ТЕОРЕМИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА ОА Кадубовський канд фіз-мат наук доцент ВІ Ірза студентка ДВНЗ «Донбаський державний педуніверситет»

More information

Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки

Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки УДК 53383 Ю Ф Лазарєв Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки Вступ Сучасне подання механіки матеріальної точки з врахуванням релятивістського підходу базується на математичному апараті,

More information

Коло в олімпіадних задачах

Коло в олімпіадних задачах Коло в олімпіадних задачах Розв язування учнями нестандартних математичних задач сприяє розвитку їх здібностей до самостійного математичного мислення. Задачі, запропоновані учасникам олімпіад, відрізняються

More information

АЛГОРИТМ РОЗКЛАДАННЯ ГРАФІВ ЗА ДОПОМОГОЮ ЇХНІХ КІСТЯКІВ. Т. Гришанович

АЛГОРИТМ РОЗКЛАДАННЯ ГРАФІВ ЗА ДОПОМОГОЮ ЇХНІХ КІСТЯКІВ. Т. Гришанович ТЕОР. ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ELECTRICAL ENGINEERING 29. Вип. 6. С. 2-2 29. Is. 6. P. 2-2 УДК 68.3 АЛГОРИТМ РОЗКЛАДАННЯ ГРАФІВ ЗА ДОПОМОГОЮ ЇХНІХ КІСТЯКІВ Київський національний університет імені Т.Г.Шевченка просп.

More information

Правління Національного банку України П О С Т А Н О В А

Правління Національного банку України П О С Т А Н О В А Офіційно опубліковано 30.11.2015 Правління П О С Т А Н О В А 26 листопада 2015 року м. Київ 826 Про затвердження змін до деяких нормативно-правових актів Відповідно до статей 7, 41, 56 Закону України Про

More information

Дослідження операцій

Дослідження операцій Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка М. Я. Бартіш, І. М. Дудзяний Дослідження операцій Частина 2. Алгоритми оптимізації на графах Рекомендовано Міністерством

More information

1 Бюлетень ВАК України, 9-10, 2011

1 Бюлетень ВАК України, 9-10, 2011 1 Бюлетень ВАК України, 9-10, 2011 ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ДИСЕРТАЦІЙ ТА АВТОРЕФЕРАТІВ ДИСЕРТАЦІЙ (розроблено на підставі ДСТУ 3008-95 «Документи. Звіти у сфері науки і техніки. Структура і правила оформлення»)

More information

ТЕМ АТИ ЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВП РАВ

ТЕМ АТИ ЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВП РАВ 4 ТЕМ АТИ ЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВП РАВ Тема Номери вправ Точки та прямі 1-3 Відрізок і його довжина 4-16 Промінь. Кут. Вимірювання кутів 17-34 Суміжні та вертикальні кути 35-48 Перпендикулярні прямі 49-53 Рівні

More information

Державна підсумкова атестація Математика. ПІдсумкові контрольні роботи 9 КЛАС

Державна підсумкова атестація Математика. ПІдсумкові контрольні роботи 9 КЛАС Державна підсумкова атестація 05 Математика ПІдсумкові контрольні роботи 9 КЛАС ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН УДК 5.(075.3) ББК.я7 М34 М34 ДПА 05. Математика. Підсумкові контрольні роботи. 9 клас :

More information

Основи інформаційного та соціально-правового моделювання

Основи інформаційного та соціально-правового моделювання Міністерство освіти і науки України Науково-дослідний інститут інформатики і права Національної академії правових наук України Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»

More information

Правила проведення розіграшу призів рекламної акції «Подарунки за розрахунки! Карткою платиш виграш маєш!»

Правила проведення розіграшу призів рекламної акції «Подарунки за розрахунки! Карткою платиш виграш маєш!» Затверджено Рішенням Правління АТ «КІБ» Протокол від 2015 р. Голова Правління Березовик В.М. Правила проведення розіграшу призів рекламної акції «Подарунки за розрахунки! Карткою платиш виграш маєш!» 1.

More information

Магістерська дисертація зі спеціальності Комп ютеризовані та робототехнічні системи (код та назва напряму спеціальності)

Магістерська дисертація зі спеціальності Комп ютеризовані та робототехнічні системи (код та назва напряму спеціальності) НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ» Факультет інформатики та обчислювальної техніки Кафедра технічної кібернетики «На правах рукопису» УДК 004.051 «До захисту

More information

ВИКОРИСТАННЯ СМАРТФОНІВ В УКРАЇНІ. Київський міжнародний інститут соціології Червень 2016 року

ВИКОРИСТАННЯ СМАРТФОНІВ В УКРАЇНІ. Київський міжнародний інститут соціології Червень 2016 року Київський міжнародний інститут соціології Червень 2016 року МЕТОДОЛОГІЯ ОПИТУВАННЯ oопитування було проведене на замовлення LEAD9 Mobile Marketing Київським міжнародним інститутом соціології протягом травня

More information

ПРОТОКОЛ ЦЕНТРАЛЬНОЇ ВИБОРЧОЇ КОМІСІЇ

ПРОТОКОЛ ЦЕНТРАЛЬНОЇ ВИБОРЧОЇ КОМІСІЇ Стор. 1 ПОЗАЧЕРГОВІ ВИБОРИ ПРЕЗИДЕНТА УКРАЇНИ 25 травня 2014 року ПРОТОКОЛ ЦЕНТРАЛЬНОЇ ВИБОРЧОЇ КОМІСІЇ Примірник 1 ПРО РЕЗУЛЬТАТИ ВИБОРІВ ПРЕЗИДЕНТА УКРАЇНИ Відповідно до частини дванадцятої статті 73,

More information

ПРОЕКТ. ІНФОРМАТИКА Навчальна програма для 5-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів

ПРОЕКТ. ІНФОРМАТИКА Навчальна програма для 5-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів ПРОЕКТ ІНФОРМАТИКА Навчальна програма для 5-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів Метою реалізації загальноосвітньої програми є забезпечення запланованих освітніх результатів, до яких можна віднести

More information

- 3 - Структура мови VHDL

- 3 - Структура мови VHDL 23-3 - Структура мови VHDL вони поміщаються в одинарні лапки, наприклад: a b ; > 2.5. Рядки На відміну від Pascal у VHDL рядки поміщаються не в одинарні, а в парні лапки, наприклад: Рядок 1 Вивчаємо VHDL

More information

НАВЧАННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНИМ АЛГОРИТМАМ МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ ІНФОРМАТИКИ

НАВЧАННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНИМ АЛГОРИТМАМ МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ ІНФОРМАТИКИ НАВЧАННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНИМ АЛГОРИТМАМ МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ ІНФОРМАТИКИ Т.Л. Атаман м. Одеса, Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К.Д. Ушинського tasiyadiy_tanya@mail.ru Анотація: В

More information

моделювання прогнозування

моделювання прогнозування МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ А. М. Єріна моделювання прогнозування Навчальний посібник Допущено Міністерством освіти і науки України Київ 2001 ББК

More information

Сьогодні ми розглянемо такі питання:

Сьогодні ми розглянемо такі питання: Сьогодні ми розглянемо такі питання: Дамо визначення що називається табличним процесором Ехсеl Згадаємо основні функції табличного процесора Основні об єкти Ехсеl та їх властивості Основні елементи інтерфейсу

More information

1.7. Кутовий коефіцієнт якої з наведених прямих дорівнює 5?

1.7. Кутовий коефіцієнт якої з наведених прямих дорівнює 5? Частина перша Завдання 1.1-1.12 мають по чотири варіанти відповідей, з яких тільки одна відповідь є ПРАВИЛЬНОЮ, Оберіть правильну, на Вашу думку, відповідьі позначте її у бланку відповідей. 1.1. Знайдіть

More information

ВАРІАНТ з (Т ) Знайдіть від числа 12. ^ 4 А Б В Г 16 ц і 4. Укажіть число, яке ділиться наділо на 9.

ВАРІАНТ з (Т ) Знайдіть від числа 12. ^ 4 А Б В Г 16 ц і 4. Укажіть число, яке ділиться наділо на 9. ВАРІАНТ 1 ІШ І НІН ІІШ ІШ НІН П ІН Н ІШ І IIІН ІIIІІШ І1! Ш И Н Перша частина II НІ IIІІІІІ НІ І! ІН Ш І II ІНШ ИМ ЦІМ І! П ІШ І II ІН Ш І з (Т ) Знайдіть від числа 12. ^ 4 16 ц і 4 8 9 Укажіть число,

More information

Створення діаграм в Excel

Створення діаграм в Excel Лабораторна робота 10 РЕДАКТОР ЕЛЕКТРОННИХ ТАБЛИЦЬ MS EXCEL. ДІЛОВА ГРАФІКА Створення діаграм в Excel Діаграма служать для відображення рядів числових даних у графічному форматі, зручному для осягнення

More information

Вступ до об єктно-орієнтованого програмування

Вступ до об єктно-орієнтованого програмування Міністерство освіти і науки України Херсонський державний педагогічний університет М.С. Львов О.В. Співаковський Вступ до об єктно-орієнтованого програмування Навчальний посібник Херсон 2000 УДК 519.682.1

More information

ФІНАНСОВИЙ АНАЛІЗ ДІЯЛЬНОСТІ БЮДЖЕТНОЇ ОРГАНІЗАЦІЇ

ФІНАНСОВИЙ АНАЛІЗ ДІЯЛЬНОСТІ БЮДЖЕТНОЇ ОРГАНІЗАЦІЇ 174 УДК 334.724.6:658.14 ФІНАНСОВИЙ АНАЛІЗ ДІЯЛЬНОСТІ БЮДЖЕТНОЇ ОРГАНІЗАЦІЇ Яришко О.В., к.е.н., доцент, Ткаченко Є.Ю., к.е.н., доцент Запорізька державна інженерна академія Розглянуто особливості проведення

More information

ІМІТАЦІЙНА МОДЕЛЬ РОЗПОДІЛУ ПОЇЗДОПОТОКУ ПО ОПТИМАЛЬНИХ МАРШРУТАХ

ІМІТАЦІЙНА МОДЕЛЬ РОЗПОДІЛУ ПОЇЗДОПОТОКУ ПО ОПТИМАЛЬНИХ МАРШРУТАХ УДК 656.222.3 Ю. В. ЧИБІСОВ (ДІІТ) ІМІТАЦІЙНА МОДЕЛЬ РОЗПОДІЛУ ПОЇЗДОПОТОКУ ПО ОПТИМАЛЬНИХ МАРШРУТАХ Запропоновано імітаційну модель для вирішення задачі раціонального розподілу поїздопотоків за двома

More information

ПРЕЗЕНТАЦІЯ КОНЦЕПЦІЇ СТВОРЕННЯ СЛУЖБИ ФІНАНСОВИХ РОЗСЛІДУВАНЬ

ПРЕЗЕНТАЦІЯ КОНЦЕПЦІЇ СТВОРЕННЯ СЛУЖБИ ФІНАНСОВИХ РОЗСЛІДУВАНЬ ПРЕЗЕНТАЦІЯ КОНЦЕПЦІЇ СТВОРЕННЯ СЛУЖБИ ФІНАНСОВИХ РОЗСЛІДУВАНЬ Розподіл функцій з профілактики та розслідування економічних економічних правопорушень між декількома органами державної державної влади влади

More information

Український індекс ставок за депозитами фізичних осіб

Український індекс ставок за депозитами фізичних осіб Український індекс ставок за депозитами фізичних осіб 1. Компанія Thomson Reuters розраховує індикативну ставку «Український індекс ставок за депозитами фізичних осіб» (Ukrainian Index of Retail Deposit

More information

кандидат фізико математичних наук

кандидат фізико математичних наук ДК 004.085 держреєстрації: 0110U002271 Інв. Національна академія наук України Інститут проблем реєстрації інформації (ІПРІ НАН України) 03113, м.київ 113, вул. Шпака, 2 тел. (044) 456 83 89, факс (044)

More information

ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДА «ПАТЕРН» ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОГО ВИБОРУ ТА ОЦІНЮВАННЯ

ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДА «ПАТЕРН» ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОГО ВИБОРУ ТА ОЦІНЮВАННЯ УДК 9.6 Гожий О.П. ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДА «ПАТЕРН» ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОГО ВИБОРУ ТА ОЦІНЮВАННЯ У данній роботі розглядаються особливості вирішення багатокритеріальних задач вибору

More information

КОМБІНАТОРНА ЗАДАЧА ЗНАХОДЖЕННЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКУ ТА МЕТОД ГІЛОК ТА МЕЖ ДЛЯ ЇЇ РОЗВ ЯЗУВАННЯ

КОМБІНАТОРНА ЗАДАЧА ЗНАХОДЖЕННЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКУ ТА МЕТОД ГІЛОК ТА МЕЖ ДЛЯ ЇЇ РОЗВ ЯЗУВАННЯ ВИСНОВКИ Таким чином, запропоноване технічне рішення має очевидну перспективу його використання у медицині, яка на сьогодні відчуває гостру потребу інноваційних методів лікування, заснованих на законах

More information

ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ

ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ Міністерство освіти і науки України ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ НЮІохвидович, ЕВ Поклонський, ІВ Подкопай, РВ Посилаєва ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ Навчально методичний

More information

Практикум з дисципліни Основи інформатики та обчислювальної техніки Розділ ПРОГРАМУВАННЯ: МОВА PASCAL

Практикум з дисципліни Основи інформатики та обчислювальної техніки Розділ ПРОГРАМУВАННЯ: МОВА PASCAL Міністерство освіти і науки України Слов янський державний педагогічний університет Кафедра алгебри Практикум з дисципліни Основи інформатики та обчислювальної техніки Розділ ПРОГРАМУВАННЯ: МОВА PASCAL

More information

Метадані. 1. Вступ. 2. Що таке метадані? 3. Цінність метаданих

Метадані. 1. Вступ. 2. Що таке метадані? 3. Цінність метаданих Метадані 1. Вступ Уряд є одним із найбільших власників інформаційних ресурсів. Тому він відповідає за забезпечення збільшення цінності цих ресурсів для громадян, підприємств, урядових посадових осіб і

More information

Комплексні платні послуги Державної автомобільної інспекції МВС України. Код послуги Послуга Назва Сума в т.ч. ПДВ

Комплексні платні послуги Державної автомобільної інспекції МВС України. Код послуги Послуга Назва Сума в т.ч. ПДВ Комплексні платні послуги Державної автомобільної інспекції МВС України Код послуги Послуга Назва Сума в т.ч. ПДВ Видача посвідчення водія на право керування транспортними засобами після закінчення навчального

More information

Нестатеве розмноження організмів. Регенерація

Нестатеве розмноження організмів. Регенерація Нестатеве розмноження організмів. Регенерація ПЛАН Ознаки нестатевого розмноження Способи нестатевого розмноження одноклітинних і багатоклітинних Вегетативне розмноження Регенерація Ознаки нестатевого

More information

«Основи алгоритмізації та програмування мовою Паскаль»

«Основи алгоритмізації та програмування мовою Паскаль» Жовтоводська гуманітарна гімназія «Основи алгоритмізації та програмування мовою Паскаль» Розробки уроків за програмою курсу 9 клас Укладач: Передмова Конспекти уроків розроблені згідно програми курсу «Основи

More information

Олімпіадні задачі з математики з розв язками для учнів середньої школи ВСТУП

Олімпіадні задачі з математики з розв язками для учнів середньої школи ВСТУП ВСТУП Олімпіадна задача з математики це задача підвищеної складності, нестандартна як за формулюванням, так і за методами розв язання. Серед олімпіадних задач зустрічаються такі, для розв язання яких потрібні

More information

ОГЛЯД МІЖНАРОДНОЇ МЕТРОЛОГІЇ

ОГЛЯД МІЖНАРОДНОЇ МЕТРОЛОГІЇ ДЕРЖСПОЖИВСТАНДАРТ УКРАЇНИ УКРМЕТРТЕСТСТАНДАРТ ОГЛЯД МІЖНАРОДНОЇ МЕТРОЛОГІЇ ВИПУСК 3 Київ 2007 ББК 30.10я5 0-37 0-37 Огляд міжнародної метрології / Держспоживстандарт України. Укрметртестстандарт. К.:

More information

КРАМАТОРСЬКА МІСЬКА РАДА РІШЕННЯ

КРАМАТОРСЬКА МІСЬКА РАДА РІШЕННЯ ПРОЕКТ КРАМАТОРСЬКА МІСЬКА РАДА РІШЕННЯ Про здійснення закупівель товарів, робіт і послуг, вартість яких є меншою за вартість, що встановлена в абзацах другому та третьому частини першої статті другої

More information

1. Зв'язок роботи з державними чи галузевими науковими програмами, планами, темами, пріоритетними напрямками розвитку науки й техніки

1. Зв'язок роботи з державними чи галузевими науковими програмами, планами, темами, пріоритетними напрямками розвитку науки й техніки 2 готельних мереж за контрактним управлінням приділено недостатньо уваги, переваги контрактного управління готельними мережами не висвітленні в повній мірі, оскільки є відносно новим явищем для національного

More information

4. Анонімне письмове тестування складається із 120 запитань.

4. Анонімне письмове тестування складається із 120 запитань. Таксономічна характеристика анонімного письмового тестування під час кваліфікаційного оцінювання суддів та кандидатів на посаду судді Касаційного цивільного суду 1. У цьому документі визначено вимоги до

More information

Порівняльний аналіз при викладенні навчального матеріалу як засіб інтелектуального розвитку учнів (на прикладі порівняння об єктних моделей Turbo

Порівняльний аналіз при викладенні навчального матеріалу як засіб інтелектуального розвитку учнів (на прикладі порівняння об єктних моделей Turbo Порівняльний аналіз при викладенні навчального матеріалу як засіб інтелектуального розвитку учнів (на прикладі порівняння об єктних моделей Turbo Pascal 7.0 і Delphi) І.М. Лукаш Проблема інтелектуального

More information

МАРКЕТИНГОВЕ ПЛАНУВАННЯ ДІЯЛЬНОСТІ ПІДПРИЄМСТВ

МАРКЕТИНГОВЕ ПЛАНУВАННЯ ДІЯЛЬНОСТІ ПІДПРИЄМСТВ С.Семенюк. Маркетингове планування діяльності підприємств / С.Семенюк // Галицький економічний вісник. 2010. 1(26). С. 84-92. ( проблеми мікро- та макроекономіки України ) УДК 658.8.012.2 Світлана СЕМЕНЮК

More information

Офіційні правила та умови акції «Відчути силу з MasterCard безцінно!»

Офіційні правила та умови акції «Відчути силу з MasterCard безцінно!» Офіційні правила та умови акції «Відчути силу з MasterCard безцінно!» 1. Основні положення 1.1. Офіційними Правилами рекламної акції «Відчути силу з MasterCard безцінно!» з платіжною карткою MasterCard

More information

Національні Стандарти Оцінки

Національні Стандарти Оцінки Національні Стандарти Оцінки (проект) Проект Національних Стандартів Оцінки підготовлений Українським Товариством Оцінювачів на заміну діючим НСО. Склад Робочої Групи: МАРКУС Я.І., НАЗИРОВА В.П., РОМАСЕНКО

More information

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З ПРОГРАМУВАННЯ

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З ПРОГРАМУВАННЯ Міністерство транспорту та зв язку України ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ ЗВ ЯЗКУ ім. О. С. ПОПОВА Кафедра інформаційних технологій ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З ПРОГРАМУВАННЯ для практичних та лабораторних занять

More information

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕННЯ ІСПИТУ ТА МЕТОДИКА ВСТАНОВЛЕННЯ ЙОГО РЕЗУЛЬТАТІВ У ПРОЦЕДУРІ КВАЛІФІКАЦІЙНОГО ОЦІНЮВАННЯ І. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ

ПОРЯДОК ПРОВЕДЕННЯ ІСПИТУ ТА МЕТОДИКА ВСТАНОВЛЕННЯ ЙОГО РЕЗУЛЬТАТІВ У ПРОЦЕДУРІ КВАЛІФІКАЦІЙНОГО ОЦІНЮВАННЯ І. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ ПОРЯДОК ПРОВЕДЕННЯ ІСПИТУ ТА МЕТОДИКА ВСТАНОВЛЕННЯ ЙОГО РЕЗУЛЬТАТІВ У ПРОЦЕДУРІ КВАЛІФІКАЦІЙНОГО ОЦІНЮВАННЯ Цей Порядок визначає порядок проведення іспиту та методику встановлення його результатів у процедурі

More information

А.П. Андросова, ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка»

А.П. Андросова, ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка» УДК 373.5.016:797.212 А.П. Андросова, ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка» ОРГАНІЗАЦІЯ ПРОЦЕСУ НАВЧАННЯ СТАРШОКЛАСНИКІВ ПЛАВАННЮ В ПРОФІЛЬНІЙ ПІДГОТОВЦІ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІХ НАВЧАЛЬНИХ

More information

Система менеджменту якості

Система менеджменту якості Міністерство освіти і науки України Національний авіаційний університет Навчально-науковий інститут аеронавігації Кафедра систем управління літальних апаратів Система менеджменту якості ПРОГРАМА додаткового

More information

Тема 1. Сутність програмування

Тема 1. Сутність програмування 1. Стиллмен Э. Изучаем С#. 2-е изд / Эндрю Стиллмен, Дженнифер Грин. СПб.: Питер, 2012. 696 с., ил. 2. Троелсен Э. Язык программирования C# 5.0 и платформа.net 4.5. 6-е узд. / Эндрю Троелсен. СПб.: Вильямс,

More information

Налагодження послуги Internet 3 за допомогою модему Novatel U720 для Windows XP

Налагодження послуги Internet 3 за допомогою модему Novatel U720 для Windows XP Налагодження послуги Internet 3 за допомогою модему Novatel U720 для Windows XP Для того, щоб використовувати послугу Internet3, Вам необхідно встановити драйвер USB модему. Драйвер знаходиться на CD диску,

More information

Л. А. Косирева. ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з навчальної дисципліни «Комп ютерна математика»

Л. А. Косирева. ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з навчальної дисципліни «Комп ютерна математика» МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ І. І. МЕЧНИКОВА ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕКОНОМІКИ І МЕХАНІКИ Л. А. Косирева ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних

More information

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН Н.О. Будна М.В. Беденко МАТЕМАТИКА 4 клас Підручник Рекомендовано Міністерством освіти і науки України ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН УДК 51(075.2) ББК 22.1я71 Б90 Рецензенти: кандидат педагогічних наук,

More information

6 КЛАС ВПРАВИ САМОСТІЙНІ РОБОТИ ТЕМАТИЧНІ КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЕКСПРЕС-КОНТРОЛЮ

6 КЛАС ВПРАВИ САМОСТІЙНІ РОБОТИ ТЕМАТИЧНІ КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЕКСПРЕС-КОНТРОЛЮ О.С. Істер МАТЕМАТИКА 6 КЛАС ВПРАВИ САМОСТІЙНІ РОБОТИ ТЕМАТИЧНІ КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЕКСПРЕС-КОНТРОЛЮ ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН УДК 512.1(075.3) ББК 22.1я72 І-89 Істер О.С. І-89 Математика.

More information

ШФОРМАТИКА TURBO PASCAL

ШФОРМАТИКА TURBO PASCAL Д.М. Шост р*ос*д#. j ÿ Д.М. Шост ШФОРМАТИКА TURBO PASCAL Зошит-конспект 10-11 класи ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА - БОГДАН 2003 EXLIBRIS A3 АЛОВОЙ ЭААИНЫ ББК 32.97я2 Ш53 Рецензенти: Василенко Я.П. ст. викладач

More information

Управління змінами. 1. Вступ. 2. Протистояння змінам

Управління змінами. 1. Вступ. 2. Протистояння змінам 1. Вступ Організаціям необхідно ініціювати процес введення змін для того, щоб відповідати попиту ринку, збільшувати акціонерну вартість або для впровадження урядових стратегій. Часто їм необхідно ініціювати

More information

Лабораторна робота 2. Пошук і вибірка записів бази даних за допомогою команд Форма та Фільтр

Лабораторна робота 2. Пошук і вибірка записів бази даних за допомогою команд Форма та Фільтр Лабораторна робота 2. Пошук і вибірка записів бази даних за допомогою команд Форма та Фільтр 3.2.1. Вікно Форма В MS Excel 2003 користувачеві надається можливість створювати й редагувати бази даних за

More information

ВЕЛОСИПЕДНИЙ СПОРТ ЧОЛОВІКИ ТА ЖІНКИ

ВЕЛОСИПЕДНИЙ СПОРТ ЧОЛОВІКИ ТА ЖІНКИ ВЕЛОСИПЕДНИЙ СПОРТ ЧОЛОВІКИ ТА ЖІНКИ Вікові групи спортсменів згідно з правилами Міжнародної федерації: молодші юнаки, дівчата: до 15 років; юнаки, дівчата: 15-16 років; юніори, юніорки: 17-18 років; молодь

More information

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН C.П. Ситник Фізика Зошит для контрольних робіт 7 клас ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН ББК 22.3я721 74.262.22 С41 Рецензенти: В.Б. Павлюк, вчитель фізики вищої кваліфікаційної категорії Сокальського НВК

More information

Научно-технический сборник 87

Научно-технический сборник 87 7.Сапожников Е. Особенности бюджетирования в российских организациях // Финансовый менеджмент. 2003. 6. С.42-51. 8.Терещенко О. О. Фінансова діяльність суб єктів господарювання. К.: КНЕУ, 2003. 554 с.

More information

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА Факультет кібернетики Кафедра теорії та технології програмування

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА Факультет кібернетики Кафедра теорії та технології програмування КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА Факультет кібернетики Кафедра теорії та технології програмування МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ До лабораторного практикуму побудови мовних процесорів з

More information

Офіційні правила акції «Новорічна Акція» (надалі- Правила)

Офіційні правила акції «Новорічна Акція» (надалі- Правила) Офіційні правила акції «Новорічна Акція» (надалі- Правила) 1. Організатор Акції 1.1. Організаторами акції «Новорічна Акція» (надалі «Акція») є ТзОВ «Авіакомпанії «Атласджет Україна» (TM Atlasglobal) (надалі

More information

Правила проведення конкурсу на кращий дизайн банківської картки зі змінами

Правила проведення конкурсу на кращий дизайн банківської картки зі змінами Правила проведення конкурсу на кращий дизайн банківської картки зі змінами КИЇВ 2016 Організатори конкурсу Конкурс організовує та проводить ПАТ «ДІАМАНТБАНК». Тема конкурсу Створення художньої роботи,

More information

МАГІСТЕРСЬКА РОБОТА ЯК КВАЛІФІКАЦІЙНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ Магістр це освітньо-кваліфікаційний рівень фахівця, який на основі кваліфікації бакалавра або

МАГІСТЕРСЬКА РОБОТА ЯК КВАЛІФІКАЦІЙНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ Магістр це освітньо-кваліфікаційний рівень фахівця, який на основі кваліфікації бакалавра або МАГІСТЕРСЬКА РОБОТА ЯК КВАЛІФІКАЦІЙНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ Магістр це освітньо-кваліфікаційний рівень фахівця, який на основі кваліфікації бакалавра або спеціаліста здобув поглиблені спеціальні уміння та знання

More information

Програмний комплекс користувача ЦСК

Програмний комплекс користувача ЦСК ЗАТВЕРДЖЕНИЙ ЄААД.00021-13-ЛЗ Підп. та дата Програмний комплекс користувача ЦСК Версія 1.3.1 Інв. дубл Настанова оператора Підп. та дата Взам. інв. Інв. ориг. Харків 2012 р. 2 АНОТАЦІЯ Даний документ містить

More information

(19) UA (11) (13) U (51) МПК ( ) F21S 8/00 F21V 7/00 F21V 29/00

(19) UA (11) (13) U (51) МПК ( ) F21S 8/00 F21V 7/00 F21V 29/00 УКРАЇНА (19) UA (11) 81688 (13) U (1) МПК (2013.01) F21S 8/00 F21V 7/00 F21V 29/00 ДЕРЖАВНА СЛУЖБА ІНТЕЛЕКТУАЛЬНОЇ ВЛАСНОСТІ УКРАЇНИ (12) ОПИС ДО ПАТЕНТУ НА КОРИСНУ МОДЕЛЬ (21) Номер заявки: u 2013 00093

More information

Підготовлено Відділом технічних затверджень Науково-дослідного будівельного інституту

Підготовлено Відділом технічних затверджень Науково-дослідного будівельного інституту ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ БУДІВНИЦТВА PL 00-611 ВАРШАВА вул. ФІЛЬТРОВА, буд. 1 тел.: (48 22) 825-04-71; (48 22) 825-76-55; факс: (48 22) 825-52-86; www.itb.pl Авторизований та нотифікований згідно зі ст.10 постанови

More information

МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІКА:

МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІКА: КИЇВСЬКИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ ІНСТИТУТ МНЕДЖМЕНТУ (ЕКОМЕН) А.П. РУМЯНЦЕВ, Ю.О. КОВАЛЕНКО МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІКА: Практикум Киів 2007 УДК 339.9(075.8) ББК 65.5я73 М 58 Рецензенти: Вергун В. А. доктор економічних

More information

Інформація про стан і розвиток страхового ринку України за 1 квартал 2005 року. I. Розміри страхового ринку. Ключові показники

Інформація про стан і розвиток страхового ринку України за 1 квартал 2005 року. I. Розміри страхового ринку. Ключові показники Інформація про стан і розвиток страхового ринку України за 1 квартал 25 року I. Розміри страхового ринку. Ключові показники 1. Кількість страхових компаній станом на 31.3.25 392 (станом на 31.3.24 36),

More information

ОФІЦІЙНІ ПРАВИЛА. проведення розіграшу в рамках рекламної акції «На сервіс завітай та Corolla вигравай!»

ОФІЦІЙНІ ПРАВИЛА. проведення розіграшу в рамках рекламної акції «На сервіс завітай та Corolla вигравай!» 1. ОРГАНІЗАТОР РОЗІГРАШУ ОФІЦІЙНІ ПРАВИЛА проведення розіграшу в рамках рекламної акції «На сервіс завітай та Corolla вигравай!» 1.1. Організатором та Виконавцем розіграшу в рамках рекламної акції «На

More information

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН ОС Істер Математика 5 клас Вправи Самостійні роботи Тематичні контрольні роботи Завдання для експрес-контролю ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН УДК 5121(0753) ББК 221я72 І-89 Істер ОС І-89 Математика 5

More information

Пам ятка користувача «СОТА»

Пам ятка користувача «СОТА» Пам ятка користувача «СОТА» Зареєструвавшись у Персональному кабінеті, Ви отримуєте можливість організувати обмін електронними документами з Вашими контрагентами - користувачами програм «M.E.Doc-IS», «СОТА»

More information

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 4 Проектування форм та звітів. 1.Створити форму способом AutoForm (Автоформа) на основі таблиці Співробітники.

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 4 Проектування форм та звітів. 1.Створити форму способом AutoForm (Автоформа) на основі таблиці Співробітники. ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 4 Проектування форм та звітів 1.Створити форму способом AutoForm (Автоформа) на основі таблиці Співробітники. Форма - об єкт бази даних, за допомогою якого можна вводити дані в таблицю,

More information

МАШИННО-НАВЧАЛЬНІ МЕТОДИ РОЗПІЗНАВАННЯ ІМЕНОВАНИХ СУТНОСТЕЙ ТЕКСТУ

МАШИННО-НАВЧАЛЬНІ МЕТОДИ РОЗПІЗНАВАННЯ ІМЕНОВАНИХ СУТНОСТЕЙ ТЕКСТУ УДК 004.85 МАШИННО-НАВЧАЛЬНІ МЕТОДИ РОЗПІЗНАВАННЯ ІМЕНОВАНИХ СУТНОСТЕЙ ТЕКСТУ О.О. Марченко У статті розглянуто машинно-навчальні методи розпізнавання іменованих сутностей тексту. Розглянуто дві базові

More information

Розв'язання олімпіадних задач з програмування (навчальний посібник для слухачів відділення комп'ютерних наук МАН)

Розв'язання олімпіадних задач з програмування (навчальний посібник для слухачів відділення комп'ютерних наук МАН) Управління освіти і науки Волинської облдержадміністрації Волинська обласна Мала академія наук Герасимчук Н. О. Розв'язання олімпіадних задач з програмування (навчальний посібник для слухачів відділення

More information

Задача 1. Відповідь: мінімальний річний обсяг продажу при якому фірма не несе збитків дорівнює : 63000,37 гр. од.

Задача 1. Відповідь: мінімальний річний обсяг продажу при якому фірма не несе збитків дорівнює : 63000,37 гр. од. Задача 1 Річний обсяг закупівлі товару фірмою становить VC гривень, річний обсяг продажу S гривень. Щорічні витрати на оренду приміщення, упаковку, оплату праці персоналу складають FC гривень. Який мінімальний

More information

Технології програмування та створення програмних продуктів

Технології програмування та створення програмних продуктів Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Сумський державний університет О. В. Алексенко Технології програмування та створення програмних продуктів Конспект лекцій Суми Сумський державний університет

More information

АЛГОРИТМІЧНА МОВА ПАСКАЛЬ

АЛГОРИТМІЧНА МОВА ПАСКАЛЬ МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ АЛГОРИТМІЧНА МОВА ПАСКАЛЬ Навчальний посібник для студентів бакалаврату напрямку електроніка

More information

Увага! Текст брошури в редакції Закону України «Про систему гарантування вкладів фізичних осіб» від З 1 липня 2016 року до цього Закону

Увага! Текст брошури в редакції Закону України «Про систему гарантування вкладів фізичних осіб» від З 1 липня 2016 року до цього Закону Увага! Текст брошури в редакції Закону України «Про систему гарантування вкладів фізичних осіб» від 12.08.2015. З 1 липня 2016 року до цього Закону будуть внесені зміни. УМОВИ ГАРАНТУВАННЯ ВКЛАДІВ 1.1.

More information