ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ

Size: px
Start display at page:

Download "ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ"

Transcription

1 УДК 58/88 58/44 : 68.5 держреєстрації U96 Інв. 6U46 Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка ЛНУ ім. Івана Франка 79 м. Львів вул. Університетська ; тел факс ndc@frano.lvv.a ЗАТВЕРДЖУЮ Проректор з наукової роботи д-р хім. наук проф. Б.Котур.. 5 ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ АДАПТИВНІ ТА СТАБІЛІЗОВАНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ДЛЯ ЕВОЛЮЦІЙНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ БІОФІЗИКИ ТА ОХОРОНИ ДОВКІЛЛЯ ПІ-7 Б Заключний Заступник проректора з наукової роботи канд.хім.наук ст.наук.співроб. Декан факультету прикладної математики та інформатики д-р фіз.-мат.наук. проф. Науковий кервник д-р фіз.-мат.наук проф. С.Орищин Я.Савула Г.Шинкаренко 5 Рукопис закінчено 5 листопада 5 р. Результати цієї роботи розглянуто Вченою Радою ф-ту прикладної математики та інформатики протокол від 6..5

2 СПИСОК АВТОРІВ науковий керівник теми гол. наук. співроб. д-р фіз.-мат. наук ст. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук пров. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук пров. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук ст. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук пров. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук ст. наук. співроб. канд. техн. наук ст. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук мол. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук мол. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук. Г.Шинкаренко розділи -4 І.Бернакевич 9 П.Вагін 9 П.Венгерський 5 В.Вовк В.Горлач 8 О.Левченко 7 Ю.Щербина 4 Ю.Козаревська 6 В.Трушевський 5 наук. співроб. Р.Малець мол. наук. співроб. Г.Квасниця мол. наук. співроб. О.Фундак інж. ІII категорії Є.Абрамов інж. ІII категорії О.Вихопень 8 інж. ІII категорії В.Войтович 8 інж. ІII категорії Н.Голуб 4 інж. ІII категорії О.Демкович інж. ІII категорії С.Кравцов інж. ІII категорії А.Козел інж. ІII категорії О.Ліпіна інж. ІII категорії Ю.Сінчук інж. ІII категорії О.Смирнов 4 інж. ІII категорії Ф.Чабан інж. ІII категорії А.Шинкаренко 8 інж. ІII категорії І.Шот інж. ІII категорії А.Ямелинець Нормоконтролер М.Благітко

3 РЕФЕРАТ Звіт про НДР: с. 7 рис. 5 табл. 8 джерела. Для розв язування основних варіаційних задач побудовано адаптивні схеми МСЕ з використанням ефективних і надійних апостерірних оцінювачів похибок та сумісні стабілізованії схеми МСЕ для сингулярно збурених задач. Для змішаних варіаційних задач запропоновано апроксимації Рав яра-тома з використанням барицентричних координат на трикутниках. Для еволюційних варіаційних задач розроблено схеми які узгоджують похибки лінеаризації з дискретизації в часі. Розроблено алгоритми розв язування квадратичних задач на власні значення. Одержано оцінки точності grd-апроксимації ділянок рельєфу з різним властивостями рівнина височина гори. Запропоновані числові схеми вжито для розв язування наступних класів задач: міграція домішок в нестисливих потоках із домінуючою конвекцією; пружні тіла з тріщинами і розривними навантаженнями динаміка потоків мілкої води зокрема стоку з поверхні водозбору; акустична взаємодія пружне тіло/оболонка-рідина та гідроакустика; динаміка зсувних нелінійних оболонок; фотопровідність напівпровідникових та самоорганізація біологічних структур Серед розглянутих математичних моделей більшість сформульовано у вигляді змішаних варіаційних задач або/та сингулярно збурених задач що часто вимагало дослідження як коректності їх постановок так і аналізу умов стійкості та збіжності побудованих проекційно-сіткових схем Створено програмне забезпечення в якому реалізовано алгоритми запропонованих схем МСЕ для розв язування згаданих вище варіаційних задач. Основні положення та результату проекту проілюстровано аналізом числових розв язків різноманітних модельних та прикладних задач. Запропоновані засоби компютерного моделювання містять елементи наукової новизни і можуть знайти застосування при вирішенні проблем фізики механіки суцільного середовища геодезії та екології. ВАРІАЦІЙНА ЗАДАЧА МЕТОД ГАЛЬОРКІНА МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ СТАБІЛІЗОВАНА СХЕМА H-АДАПТИВНА СХЕМА АПРОКСИМАЦІЇ РАВ ЯРА-ТОМА ЕНЕРГЕТИЧНА НОРМА ФУНКЦІОНАЛ ДЖЕРЕЛ ПОХИБКИ АПОСТЕРІОРНИЙ ОЦІНЮВАЧ ПОХИБКИ ГЕНЕРУВАННЯ ТРІАНГУЛЯЦІЇ СТРАТЕГІЯ АДАПТУВАННЯ УТОЧНЕННЯ АПРОКСИМАЦІЙ ЧУТЛИВІСТЬ РОЗВ ЯЗКІВ РУХ МІЛКОЇ ВОДИ МІГРУВАННЯ ДОМІШОК ПОВЕРХНЕВИЙ СТІК ТЕРМОПРУЖНЕ ТІЛО ГІДРОАКУСТИКА ВЗАЄМОДІЯ ПРУЖНОГО ТІЛА\ОБОЛОНКИ З РІДИНОЮ ВЛАСНІ ТА ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ ГЕОІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА ЦИФРОВА КАРТА РЕЛЬЄФ ПОДАТЛИВАНА ЗСУВ ТА СТИСНЕННЯ ОБОЛОНКА ФОТОПРОВІДНІСТЬ НАПІВПРОВІДНИКІВ ЗБАЛАНСОВАНА ЛІНЕАРИЗАЦІЯ.

4 4 ЗМІСТ ВСТУП.... АДАПТИВНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ..... Апостеріорні оцінки точкових похибок та уточнення апроксимацій методу скінченних елементів: ієрархічні оцінювачі лишків Модельна задача Кусково-лінійні апроксимації Простори апроксимацій для похибок Алгоритм послідовного уточнення апроксимації Чисельні результати Адаптивна схема з АОП Верфюрця Скінченно-елементна дискретизація Оцінювач похибки залишку Аналіз чисельних результатів Одновимірні адаптації Постановка крайової задачі Варіаційне формулювання крайової задачі Кусково-лінійні апроксимації Обчислення на скінченному елементі Дискретизовані рівняння Апостеріорні оцінювачі похибок Стратегія адаптування сітки Чисельні результати Нестаціонарне адаптування Початково-крайова задача мігрування субстанції Варіаційна задача мігрування субстанції Напівдискретизація Гальоркіна Інтегрування задачі Коші Алгоритм -адаптивної схеми МСЕ Застосування бібліотеки середовища MATLAB Результати числових експериментів Порівняння простих апостеріорних оцінювачів похибок методу скінченних елементів Формулювання задач та головні позначення Оцінювач апостеріорної похибки зміщень Оцінювач апостеріорної похибки напружень Стратегія процесу адаптування Результати обчислювальних експериментів СТАБІЛІЗОВАНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ Ітераційне реконструювання апроксимацій Гальоркіна для задач міграції домішок методом найменших квадратів... 59

5 5... Формулювання задачі: ітераційний процес реконструкції апроксимацій Гальоркіна Метод найменших квадратів Характеристика процесу реконструювання Збіжність послідовних наближень Числовий приклад Висновки Регуляризація числових розв язків варіаційних задач міграції домішок: стабілізований метод скінченних елементів Регуляризація числових розв язків варіаційних задач міграції домішок: локалізовані найменші квадрати Алгоритм реалізації стабілізуючої схеми локалізованих найменших квадратів ЛНК для стаціонарних задач Аналіз апроксимацій схеми ЛНК для стаціонарних задач міграціїї домішок: одновимірна крайова задача з примежевим шаром Аналіз апроксимацій схеми ЛНК для двовимірних задач міграціїї домішок з внутрішніми шарами Висновки Стабілізація апроксимацій МСЕ з використанням апостеріорних оцінювачів похибки Постановка крайової задачі міграції домішок Варіаційна задача Стабілізуюча схема локалізованих найменших квадратів Оцінювач похибки Аналіз числових результатів Приклад Приклад Приклад. Великі числа Пекле Висновок КОНСТРУЮВАННЯ БАЗИСІВ ПРОСТОРІВ АПРОКСИМАЦІЙ РАВ ЯРА-ТОМА..... Вступ..... Структура базисних функцій найпростішого простору апроксимацій Рав яра Тома..... Структура базису простору вузлових апроксимацій Рав яра Тома W Структура базису простору інтерполяційно моментних апроксимацій Рав яра Тома W Структура базису оригінального простору вузлових апроксимацій Рав яра Тома Структура базису оригінального простору інтерполяційно моментних апроксимацій Рав яра Тома Висновки та загальні зауваження...

6 6 4. ПОБУДОВА НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ ДЛЯ РОЗВ ЯЗУВАННЯ ВАРІАЦІЙНИХ ЗАДАЧ Побудова нейронної мережі для розв язування крайових задач Штурма Ліувілля. Формулювання задачі Метод скінченних елементів для розв язування одновимірних крайових задач Поділ відрізка для побудови нейромережі Структура вхідні і вихідні дані нейронної мережі Побудова набору навчальних зразків Навчання мережі Порівняння результатів отриманих МСЕ і виданих навченою нейронною мережею Висновки ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ СТОКУ МІЛКОЇ ВОДИ З ПОВЕРХНІ ВОДОЗБОРУ Побудова математичної моделі стоку мілкої води Формулювання початково-крайової задачі Застосування МСЕ до розв язування задачі Стабілізаційна схема МСЕ Чисельні результати ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ ВАРІАЦІЙНИХ ЗАДАЧ МІГРУВАННЯ ДОМІШОК В НЕСТИСЛИВИХ ПОТОКАХ ІЗ ДОМІНУЮЧОЮ КОНВЕКЦІЄЮ Формулювання та коректність варіаційної задачі для похибки МСЕ Бабл-апроксимації похибки МСЕ Оцінювачі апостеріорних похибок та стратегія -адаптування Приклади уточнення оцінювачів апостеріорних похибок Одновимірна задача міграціїї домішок Двовимірна задача міграціїї домішок Алгоритми -адаптивної схеми МСЕ Обчислення апостеріорних оцінок Числовий аналіз збіжності адаптивної схеми Одновимірна крайова задача з примежовим шаром Двовимірна задача міграціїї домішок з примежевими шарами Висновки КОМП ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РЕЛЬЄФУ ТА ПОВ ЯЗАНИХ З НИМ ПРИРОДНИХ ПРОЦЕСІВ НА ТЕРИТОРІЇ ЛЬВІВЩИНИ Дослідження точності grd-поверхонь рельєфу Тестові ділянки та параметри інтерполяції Якісна оцінка точності побудови grd-поверхонь рельєфу Кількісна оцінка точності побудови grd-поверхонь рельєфу Висновки Аналіз морфометричних характеристик рельєфу на ЦМР Львівщини... 8

7 Побудова та аналіз grd-поверхні крутизни території Львівщини Експозиція та освітленість ділянок місцевості Кривина поверхні рельєфу Висновки Дослідження рельєфу за допомогою гідрологічних методів Виділення на ЦМР структурних ліній рельєфу Визначення локальних вершин на grd-поверхні рельєфу Висновки ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГІДРОАКУСТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ В ДИСИПАТИВНИХ СЕРЕДОВИЩАХ Математичні моделі акустичних процесів в гідропружних системах: основні підходи та відкриті проблеми Дослідження задач гідроакустики з використанням апроксимацій Рав яра Тома Початково-крайова задача гідроакустики Варіаційне формулювання еволюційної задачі гідроакустики Схема дискретизації варіаційної задачі Аналіз числових розв язків тестових та модельних задач Змішана варіаційна задача гідроакустики Початково-крайова задача акустики в язкої рідини Еволюційна змішана варіаційна задача Напівдискретизація Гальоркіна за просторовими змінними Проекційна схема дискретизації в часі Модельна задача Математична модель акустики гдропружних систем у термінах переміщень Рівняння еластодинаміки Рівняння акустики рідини Початково-крайова задача акустичної взаємодії пружного тіла з рідиною Варіаційне формулювання задачі Коректність варіаційної задачі акустики гідропружних систем в переміщеннях Поширення акустичної хвилі в гідропружній системі Варіаційне формулювання задачі про вимушені гармонійні коливання Дослідження вимушених гармонійних коливань Варіаційне формулювання задачі про власні коливання Дискретизація за просторовими змінними Квадратична проблема на власні значення та її розв язування Аналіз числових результатів ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛIДЖЕННЯ НЕСТАЦIОНАРНИХ ЗАДАЧ АКУСТИЧНОЇ ВЗАЄМОДIЇ ОБОЛОНОК ОБЕРТАННЯ З РIДИНОЮ... 5

8 8 9.. Постановка початково-крайової задачі Варіаційна постановка задачі Коректність варіаційної задачі Оцінка швидкості збіжності напівдискретних апроксимацій Гальоркіна Однокрокова рекурентна схема Чисельний приклад Висновки ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ПОДАТЛИВИХ НА ЗСУВ ТА СТИСНЕННЯ ОБОЛОНОК ПРИ СТАТИЧНОМУ ТЕПЛОВОМУ НАВАНТАЖЕННІ Геометрія оболонки та основні припущення Деформаційні співвідношення Рівняння рівноваги гнучкої оболонки Фізичні співвідношення Варіаційна задача Чисельний приклад ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ МІЛКОЇ ВОДИ ЗМІШАНИМ МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ Постановка початково-крайової задачі Декомпозиція розв язку Необхідні гільбертові простори Варіаційне формулювання задачі Властивості білінійних форм Закони збереження та рівняння балансу Дискретизація задачі за просторовими змінними Дискретизація варіаційної задачі мілкої води в часі Кусково-лінійна апроксимація в часі Проекційне рівняння Однокрокова рекурентна схема Обчислювальні аспекти Стійкість рекурентних схем Оцінки збіжності рекурентних схем Апріорні оцінки ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ПРОЦЕСУ ФІЛЬТРАЦІЇ РІДИНИ В ГРУНТІ Побудова математичної моделі Постановка задачі Варіаційна постановка задачі Напівдискретизація гальоркіна Дискретизація задачі за часовою змінною КОМП ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ ЗУБНОГО ПРОТЕЗУВАННЯ Фізична модель задачі Математична модель... 9

9 9.. Варіаційне формулювання задачі Метод скінчених елементів Програмна реілізація Аналіз чисельних результатів Якісна картини впливу еластичної пластмаси на напружено-деформований стан системи зуб-протез Дослідження впливу фізичних параметрів еластичної пластмаси Дослідження впливу напрямку функціонального навантаження Дослідження впливу геометричних параметрів еластичної пластмаси Варіювання товщиною еластичної пластмаси Варіювання площею контакту еластичної пластмаси із слизовою оболонкою Дослідження характеристик міцності акрилового базису за наявності еластичного включення Висновки ЧИСЛОВЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ПЕРЕНЕСЕННЯ ЗАРЯДІВ У НЕОДНОРІДНИХ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ СТРУКТУРАХ Фундаментальні співвідношення та формулювання задачі Сумісна дискретизація в часі та лінеаризація варіаційного рівняння Дискретизація за просторовими змінними Метод Ньютона Регуляризація стаціонарних задач електростатики Результати обчислювальних експериментів Крайова задача з нелінійним рівнянням Пуассона Розподіл ННЗ у неоднорідних напівпровідниках Розподіл потенціалу електричного поля в польовому транзисторі Висновки... 6 ВИСНОВКИ... ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ... 9

10 ВСТУП Метою проекту є побудова та обґрунтування схем МСЕ які б стали інтелектуальною основою програмного забезпечення для проведення кваліфікованого обчислювального експерименту в галузі фізики механіки суцільного середовища геодезії та охорони довкілля. Серед існуючих концепції адаптивних і стабілізованих схем є одними з найперспективніших для парадигми МСЕ і власне на цьому шляху слід очікувати найближчим часом вагомих здобутків. Хоча піонерські праці Babsa Renboldt 978 з адаптування та Broos Hges 979 зі стабілізації МСЕ заклали міцну основу цим напрямкам перші вагомі результати з явились значно пізніше в працях Ersson Jonson 988 Zenewcz Z 99 Verfrt 996 Rannacer 999 та Jonson Saranen 986 Doglas Wang 989 Baocc Brezz Frana 99 Brezz Marn Rsso 996 відповідно див. також монографі Answort Oden Babsa Strobols Melen Zenewcz Taylor. Дослідження такого напрямку обчислювальної математики та їхнього застосування до проблем фізики і механіки суцільного середовища в наукових школах України лише починають закладатися. В основу цих концепцій явно чи неявно закладається ідея послідовного уточнення апроксимацій МСЕ за допомогою апостеріорних оцінок їхньої якості на кожному скінченному елементі та створення системи керування за пониженням її рівня до бажаної величини шляхом адаптування розрахункових сіток підвищення порядку апроксимації та/або зважування нев язок. Основні завдання проекту: Побудувати зручні для застосувань апроксимації МСЕ для еволюційних задач механіки пружних тіл та оболонок гідроакустики та гідрології забруднення довкілля формування дисипативних структур та автохвиль в активних середовищах які формулюються у термінах основних та змішаних варіаційних задач. Побудувати апріорні та апостеріорні оцінки похибок встановити умови стійкості та порядки збіжності апроксимацій МСЕ. Розробити недорогі апостеріорні оцінювачі похибок апроксимацій МСЕ та критерії адаптування неструктурованих тріангуляцій для знаходження наближених розв язків із наперед гарантованою точністю. Розробити надійні індикатори чутливості розв язків до зміни даних та адекватні стабілізовані схеми МСЕ для сингулярно збурених задач апроксимації яких відтворюють структури примежевих і внутрішніх шарів без втрат очікуваних порядків збіжності. Здійснити програмну реалізацію запропонованих схем МСЕ та їх апробацію в процесі обчислювальних експерименттів із задачами в гетерогенних середовищах з примежевими та внутрішніми шарами дисипативними структурами та іншими сингулярностями.

11 . АДАПТИВНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ Розв язування крайових задач для еліптичних рівнянь в частинних похідних за допомогою числових методів можна розглядати як певну технологію апроксимацій актуальної нескінченновимірної задачі деякою низкою скінченновимірних дискретних моделей. Якість одержаних апроксимацій при цьому суттєво залежить від вибору значень основних параметрів дискретизації таких як густина і регулярність тріангуляції порядок поліноміальних базисних функцій стабілізуючі множники тощо. Одночасно із безпосереднім обчисленням наближеного розв язку задачі можемо знайти і певні індикатори точності нашої дискретної моделі подібні до локальних лишків вихідних рівнянь на скінченних елементах вжитого поділу. Як показують досягнення останніх десятиліть [] згадані лишки успішно служать для створення надійних технологій дискретизації з використанням концепції адаптивності та результатів теорії оптимального керування. Зокрема власне цієї мети прагнуть досягнути - адаптивні схеми МСЕ які в межах заданої допустимої похибки намагаються відтворити стуктуру шуканого розв язку за рахунок оптимізації скінченноелементної сітки досягаючи рівномірного розподілу лишків між її елементами. Цей підхід був ініційований піонерськими працями Бабушки-Рейнболдта [] розвинений далі Ладевезе-Леллоном [] Бенком-Вейсером [4] Бабушкою- Мілллером [5] і Зенкевічем-Зу [6]. Праці Джонсона [7] а пізніше Беккера- Раннагера [8] доповнили -адаптивні схеми можливостями уточнення вибіркових характеристик наближень аналізом спряжених варіаційних задач. Огляд основних результатів цього напрямку можна знайти в Верфюрца [9] Айнсворса-Одена [] Зенкевіча-Тейлора [] та інших [ ]... Апостеріорні оцінки точкових похибок та уточнення апроксимацій методу скінченних елементів: ієрархічні оцінювачі лишків Для ілюстрації цього підходу розглянемо крайову задачу з диференціальним оператором еліптичного типу L і вільним членом f яка описується рівнянням L f. або відповідним варіаційним формулюванням вигляду знайти V такий що c v l v v V.. Нехай дискретна модель цієї задачі залежить від параметра дискретизації > і має вигляд L f.

12 або відповідно знайти V V dm V c v l v v V. < такий що.4 Наш аналіз похибки дискретизації e : засновано на дослідженні властивостей лишку вихідного рівняння ρ f L..5 Відзначимо що ця характеристика якості дискретної моделі ефективно обчислюється за знайденим наближеним розв язком в контексті методу скінченних елементів. З огляду на цю обставину більш уважного вивчення заслуговує варіаційна задача про похибку апроксимацій МСЕ: задано лишок ρ знайти похибку e таку що c e v ρ v : l v c v v V..6 В принципі можна дискретизувати також і задачу.6 та обчислити апроксимацію справжньої похибки e. Головне затруднення в реалізації цього наміру полягає в тому що вихідний простір апроксимацій V породжує лише тривіальний розв язок e *. Тому для дискретизації задачі.6 вимагаються скінченновимірні підпростори з доповнення вжитого простору апроксимацій E : V \..7 Ця умова ставить проблему проектування нової відмінної від попередньої числової схеми МСЕ вартість обчислювальних витрат на яку повинна компенсуватися додатковими можливостями більшими ніж лише оцінювання меж похибки. Наприклад такою може бути здатність обчислення точкових значень похибки з наперед заданою точністю. Це завдання і складає мету даної праці.... Модельна задача Для наочності наших міркувань розглянемо крайову задачу для рівнянь конвекції-дифузії-реакції в обмеженій полігональній області Ω R з однорідною умовою Діріхле на межі Γ Ω деталі див. напр. []. Ця задача допускає варіаційне формулювання вигляду. з такими структурними елементами: V { : v íà Γ} Ω : v H Ω V H.8 c [ v]d.9 v v. μ β. σ Ω f v : fvd v V Ω Ω l v..

13 Тут і далі ми вважаємо що дані задачі. задовольняють умови теореми Лакса-Мільграма-Вишика які гарантують існування єдиного розв язку V задачі та обмеженість його норми в просторі Соболєва H Ω []. Принагідно відзначимо що в цьому випадку білінійна форма c : V V R породжує нову енергетичну норму v v V v : c. еквівалентну нормі H Ω. З огляду на цей факт ми будемо Ω систематично експлуатувати щойно введену норму..... Кусково-лінійні апроксимації простору Виберемо довільний можливо досить грубий поділ { } трикутні скінченні елементи апроксимації V Τ області Ω на : dam : ma. Взявши за простір { v V C Ω : v P Τ } :. шукатимемо розв язок дискретизованої задачі.4 у вигляді θ Ω.. Тут P m простір всеможливих поліномів з дійсними коефіцієнтами порядку m визначених на трикутнику тріангуляції Τ які не належать межі Γ зокрема вершинам R ; кількість вершин A V θ відповідні dm ; A кусково лінійні функції Куранта з властивостями θ A : δ.4 { Τ A } sppθ : :..5 Такі функції на кожному трикутнику із свого носія описуються барицентричними координатами L L L [] які володіють властивостями: y L y L y y L A : δ. L.6 За цього вибору базису простору V коефіцієнти лінійної комбінації. надають значення розв язку МСЕ у внутрішніх вершинах тріангуляції Τ A A....5 і обчислюється розв язуванням системи лінійних алгебричних рівнянь

14 θ l θ c θ.6 Оскільки задача. коректно поставлена то ця властивість поширюється і на її дискретну модель.4 а отже і на задачу.6. Як тільки апроксимація V знайдена актуальним постає питання про її похибку e E V \ V..7 : Особлива увага цьому приділяється в сингулярно збурених задачах які виникають за умов домінування конвекції та/або біохімічних реакцій і спричиняють появі примежевих та/або внутрішніх шарів в структурі їхніх розв язків [ 4 5]. Нижче ми будуємо апостеріорні оцінювачі похибки.7 обчислюючи їх як наближені розв язки задачі.6 в скінченновимірних підпросторах із простору E наділених специфічною структурою базисів: вони і далі є кусково лінійними функціями з локальними носіями які визначаються на допоміжних більш густих тріангуляціях області Ω. Отже ми намагаємось побудувати за класифікаєю Верфюрца [9] так звані ієрархічні АОП.... Простори апроксимацій для похибок Щоб обійти труднощі відшукання похибки.7 ми будуємо скінченновимірні підпростори E для наближеного розв язування задачі.6 базиси яких наділені певними властивостями ортогональності притаманні бабл-функціям. Поряд із вжитою тріангуляцією Τ розглянемо нову більш густу тріангуляцію Τ утворену поділом кожного трикутника Τ проведенням його медіан так як показано на рисунку. з трикутником : ΔA A Am. Тут точка B середина сторони l яка лежить навпроти вершини A C - центр ваги скінченного елемента. A A m B m C B m B A Рисунок.. Поділ трикутника тріангуляції. Тепер ми віділимо три види геометричних фігур які будуть експлуатуватися нижче для побудови ієрархічного базису:

15 5 : ΔC A A.8 m : ΔC A B.9 так що : ΔC B A. m m m : Q : A B C B.. m Решта потрібних нам трикуникуів і чотирикутників одержуються з.8-. циклічною перестановкою індексів m так що m. За допомогою введених складових.8-. скінченного елемента Τ ми можемо побудувати систему околів вузлів тріангуляції Τ. Назвемо відкриту множину Ο D околом вузла D тріангуляції складається з об єднанння трикутників.8-.. Тоді Ο m C T : Τ якщо вона Ο.. B : T : B Ο A : T : A..4 Тепер ми будуємо нові кусково-лінійні базисні функції на Τ використовуючи барицентричні координати.6 трикутника. Лема 4.. Нехай C { C } множина центрів ваг елементів тріангуляції Τ T. Поставимо їй у відповідність систему кусково лінійних функцій { b } у T такий спосіб b spp b C : Ο.5 L на L на T.6 Lm на m : і визначимо скінченновимірний підпростір цих функцій c E як лінійну оболонку сукупності

16 тоді система { } T E C 6 : span{ b }.7 b утворює ортогональний базис простору C E. Лема 4.. Нехай B { B } множина центрів внутрішніх сторін l тріангуляції β визначений у такий спосіб Поставимо їй у відповідність набір функцій { } де трикутники тоді система функцій { } T T Τ. spp β : Ο B.8 L L на m β : T.9 Lm L на T такі що l B E. Введемо лінійну оболонку span{ β }. : β складає ортогональний базис підпростору B E. Лема 4.. Нехай множина A { A } складена з набору внутрішніх вузлів тріангуляції Τ. Введемо лінійну оболонку де E A Тоді система функцій { } : span{ π } E. A Q sppπ : Ο.4 A T L L на m π : L Lm на T : A..5 на / A π π утворює ортогональний базис простору E. Доведення сформульованих лем очевидні з геометричних міркувань які показують що перетини носіїв кожної пари функцій з систем b { b } β { β } та π { π } становлять пусті множини. Як основний результат побудови ми отримаємо три скінченновимірні C B A простори E E E E які можна використати для конструювання ієрархії просторів апроксимацій із E зручних для наближенного розв язування задачі про похибку.6 стандартними засобами МСЕ.

17 7..4. Алгоритм послідовного уточнення апроксимації Нижче ми пропонуємо один із можливих алгоритмів який використовує C B A побудовані простори E E E E для підвищення точності знайденої апроксимації. в просторі V. Крок. Припустимо що апроксимація : L P знайдена достатньо точно у вершинах { }.6 A A сітки Τ. Тоді її суттєвого уточнення можна досягнути лише за умови покращення її структури внутрі елемента. З цією метою розв яжемо задачу про похибку.6 в просторі E : C знайти e c C E C e v ρ C таку що v v E C..7 З огляду на ортогоналльність базису { } T b простору C E розв язування 5. поділяється на окремі задачі кожна з яких згідно методу Гальоркіна дозволяє легко обчислити розв язок у вигляді де e : e b C e.8 b b b ρ T..9 c Відзначимо що згідно побудови функцій { b } T знайдений коєфіцієнт e подає нам наближене значення похибки e в центрі ваг трикутника : e C C e C T. e.4 Тому ми можемо уточнити значення апроксимації в цих вузлах згідно правила * C : C e e.4 і одержати перше уточнення стандартної апроксимації МСЕ в цілому ній C C : e b e Ω. θ.4 T Крок. Тепер ми повторюємо процедуру кроку попередньо замінивши в та E на та E відповідно. В результаті знайдемо що значення C оцінювача похибки C B e B у центрі кожної внутрішньої сторони B обчислюється згідно правила

18 8 C ρ β B ε : e B B B..4 c β β Відзначимо з огляду на лему 4. що остання формула вимагає обчислень з використанням лише двох суміжних скінченних елементів які утворюють носій spp β : Ο B. В цей спосіб досягається обчислювальна ефективність розглядуваного кроку який приводить до уточнення значень апроксимації МСЕ в серединах сторін B згідно правила * A Am B : ε B B..44 Отже чергове уточнення кусково лінійної апроксимації знаходиться у вигляді B C C B : ε β e Ω..45 B B Крок. Завершальний етап нашої процедури полягає в уточненні значень апроксимації МСЕ у внутрішніх вершинах A A. В цьому випадку значення оцінювача похибок у заданих вершинах обчислюється у такий спосіб B ρ π A ρ : e A A A..46 c π π Остаточним результатом нашого алгоритму є уточнена апроксимація вигляду A B B A : ρ π e Ω..47 A A Підводячи підсумки відзначимо що рекурсивно обчислювана ієрархія C C B B A A апостеріорних оцінювачів похибки e E e E e E E одночасно уточняє кусково лінійну апроксимацію МСЕ тому A B C e e e > Чисельні результати Нижче ми подаємо результати серії обчислювальних експерементів із уточненням кусково лінійних наближень МСЕ згідно рекурсивного алгоритму попереднього розділу. Мета наших експерементів передбачала знайти відповіді на такі питання стосовно апроксимацій МСЕ: Яка точність відтворення знайденими оцінювачами властивостей реальної похибки класичних апроксимацій МСЕ? З цією метою ми вводимо кусково лінійний інтерполянт точного розв язку на вихідній тріангуляції вигляду I A L T.49

19 та аналізуємо його розбіжності з вихідною апроксимацією МСЕ e I I A L. 9.5 Подібним чином введемо кусково лінійний інтерполянт I I точного розв язку на на згущеній тріангуляціїt та аналізуємо його відмінності від кожної із уточнених апроксимацій e X T X C B A.5 X I I які ми розглядаємо як кусково-лінійні функції на подрібленій тріангуляції Τ. Яка швидкість збіжності до нуля кожної із послідовностей апостеріорних X оцінювачів похибок { e } за умови рівномірного згущення розрахункових тріангуляцій? X Чи еквівалентні енергетичні норми оцінювачів e нормам реальних похибок а саме чи існують додатні сталі α β такі що X X X X X α e β X C B A?.5 X I X I Точніше апріорні оцінки розв язків варіаційних задач встановлюють існування таких сталих для верхніг меж і основна трудність теоретичного аналізу полягає у відшуканні сталих для нижніх меж. Якщо вони існують для побудованих оцінювачів то за визначенням Верфюртца [9] такі оцінювачі є надійними. Задача дифузії. Нижче наведнено дані розв язання задачі. з коефіцієнтами μ β σ функцією 4 y f y y e та крайовими умовами які показано на рисунку.. Точний розв язок задачі має вигляд y e..5 * y.5 * n Ω * * Рисунок.. Крайові умови задачі дифузії.

20 Дані табл.. містять деякі кількісні характеристики чисельного експеременту які подають відповіді на поставлені вище запитання і переконливо свідчать про надійність запропонованої ієрархії апостеріорних оцінювачів похибки в просторах H Ω. Тут T кількість вузлів поточного розбиття T. T H норм апостеріорних оцінювачів похибок та відмінностей Таблиця.. Збіжність апроксимацій МСЕ від інтерполянтів точного розв язку. C C B B A A e e e e e e e I H I H H Дійсно зі згущенням тріангуляцій всі норми розлядуваних функцій монотонно збігаються до нуля більше цього ця збіжність близька до лінійної як для розбіжностей так і оцінювачів похибок. Перегляд розбіжностей на кожній фіксованій тріангуляції показує що кожен крок рекурентного уточнення апроксимацій МСЕ зменшує значення їхніх норм так що в кінцевому рахунку ці величини на густіших сітках зменшуються більш ніж у двічі. Відзначимо тут вирішальний внесок заключного кроку щодо уточнення значень апроксимації у вершинах біжучої сітки скінченних елементів ефект проміжкового кроку алгоритму уточнення в цій ситуації виявляється незначно. Натомість порівняння на фіксованій сітці значень послідовно обчислюваних оцінювачів не демонструє подібної монотонності і свідчить про суттєвість обчислень на другому кроці алгоритму уточнення. Заключні ж значення норм оцінювачів незначно менші від одержаних на першому кроці. Ці факти говорять про стійкість як побудованої ієрархії оцінювачів так і процедури послідовного уточнення апроксимацій МСЕ. Врешті-решт виокремимо поведінку оцінювача похибок в центрах ваги C скінченних елементів e. Він обчислюється з найменшими витратами і надає значення меж похибок які вдвічі менші за відповідні значення норм C розбіжності e I. Поряд із цим норми згаданих оцінювачів дуже добре C узгоджуються із відповідними значеннями норм розбіжностей e I та e I які обчислені на наступному згущенні сітки скінченних елементів. Ця обставина дозволяє стверджувати і про доцільність виконання першого кроку алгоритму уточнення апроксимацій МСЕ. З іншого боку з огляду на нерівність.5 вона вказує на існування сталих еквівалентності α C I H.5. H I H H

21 В табл.. для повноти аналізу ми наводимо результати обчислень із використанням норми L Ω. Вони зокрема свідчать про квадратичну збіжність в цій нормі як апостеріорних оцінювачів похибок так і уточнених апроксимацій МСЕ. T L - норм апостеріорних оцінювачів похибок та відмінностей Таблиця.. Збіжність апроксимацій МСЕ від інтерполянтів точного розв язку. C C B B A A e e e e e e e I L I L L Рисунок.-.4 характеризують локальну поведінку ієрархії оцінювачів а саме подають розподіл величин норм e на скінченноелементній сітці із I L H 45 вузлів та 89 трикутників. Аналізуючи дані рисунків.-.4 відзначимо що побудовані оцінювач відтворюють струкутру норми ітерполянта точної похибки рис.а та реагують на специфіку поведінки розв язку в околі кутової точки. X L I L L ei C e а б Рисунок.. Розподіл норм інтерполянта точної похибки а та дискретної похибки на першому б кроці алгоритму уточнення. б

22 B e A e а б Рисунок.4. Розподіл норм дискретних похибок на другому а та третьому б кроці алгоритму уточнення... Адаптивна схема з АОП Верфюрця Розглянемо крайову задачу з рівнянням конвекції-дифузії: ε Δ a b f ε g n в Ω на на Γ D Γ.54 де Ω R обмежена зв язна область з неперервною за Ліпшицем межею Γ ΓD Γ і ΓD Γ ε R a W Ω b L Ω. Наша ціль побудувати надійний оцінювач похибки необхідний для проведення ітераційної процедури уточнення тріангуляцій в -адаптивній схемі методу скінченних елементів цієї проблеми. Надійний в тому сенсі щоб оцінювач мав глобальну верхню і локальну нижню межу в енергетичній нормі { } / : ε.55 з точністю до мультиплікативних констант які залежать найбільше від локального числа Пекле. Як звичайно позначає норму в L Ω. Далі ми будемо використовувати наступні позначення : a b a cb a~ b a b ³ b a Тут константа с мусить залежати від сітки скінченних елементів і від ε.... Скінченно-елементна дискретизація Нехай ω довільна відкрита обмежена підмножина області Ω з полігональною межею γ. Позначимо через

23 ω L ω H ω ³ L γ H звичайні простори Соболева та Лебега оснащенні стандартними нормами Подібно ω γ ω ³ L γ : ³ : ; ω H ω ; γ L γ. ³ позначають скалярні добутки в просторах L відповідно. Якщо Ω випадку ω H. де ω ми будемо опускати індекс Ω. В іншому позначає стандартне обмеження енергетичної норми.55 на ω Введемо простір допустимих функцій V : { ϕ H Ω : v наγd }. Тоді стандартна варіаційна постановка задачі. є наступна: знайти V таку що B v f v g v Γ v V B v : ε v a v b v v : Ω vd v V Задача.56 допускає єдиний розв язок. Крім того виконуються наступні нерівності і B v v v v V.58 / v w v w { b } v w a v w V B L L Ми позначимо через τ дискретизацію Ω на n- симплекси які задовольняють наступним двом властивостям: допустимості: довільні два елемента не накладаються або мають спільні граней n. T правильності фігур: sp sp. > o T τ ρt Тут T і ρ T позначають діаметр Т і діаметр найбільшої кулі вписаної в Т. Відмітимо що правильність фігур дозволяє застосовувати локальне покращення сітки і в двовимірному випадку це є еквівалентно умові мінімального кута. ε.59 Для ми позначимо через P множину поліномів степеня не вище і побудуємо простори

24 S S : : : { ϕ : Ω R : ϕ P T τ } T S C Ω { ϕ S : ϕ íà ΓD } V C Ω : ϕ P T τ S D : V : { ϕ } T 4.6 де V є простір кусково-лінійних апроксимацій. Тоді ми розглянемо наступну дискретизацію задачі.56: знайти V таку що.6 B v f v g v v Γ V Введемо деякі корисні позначення. Через ε позначимо множину всіх граней в τ. Ми можемо розкласти ε наступним чином ε : ε Ω ε ε D де ε Ω ε і ε D позначають внутрішні грані грані на яких накладено умову Неймана і грані на яких накладено умову Діріхле відповідно. Для E ε через E позначимо діаметр грані E. Правильність фігур забезпечує що T ~ E і T ~ T ' у випадку коли E T і T T '. Для довільної кусково-неперервної функції ϕ і будь-якого E ε ми позначимо [ ϕ ] E стрибок ϕ через грань E в довільному але фіксованому напрямку n E який є ортогональний до E. Стрибок [ ϕ ] E взагалі кажучи залежить від напрямку n E але вираз типу [ n E ϕ] E є незалежним від орієнтації n E. Для будь-якого T τ ми покладемо ω : T T T ' T ' ε ω : T T T ' T ' ω : E E T '... Оцінювач похибки залишку Згадаємо що і позначають точні розв язки задач.56 і.6 відповідно. З.59 ми отримаємо < sp v V \{} v v. B T '..6 Розглянемо довільне v V з v. Очевидно що B v B v I v B I v..6 Інтегруючи частинами поелементно отримаємо що для всіх w V

25 5 [ ] Δ Ω E E E E T T T E E n E E E n T T w R w R w g w w b a f w B ε τ ε ε τ ε ε ε.64 де. : T b a f R Δ ε [ ] Ω. : n E n E E якщо E якщо g E якщо R E ε ε ε ε ε.65 Покладаючи v I v w в. і використовуючи Лему. і нерівність Коші-Шварца ми отримаємо { } { }. mn mn / ; / / ; / E E E T T T T T R R v I v B ε τ ε ε ε.66 Просте масштабування аргументів показує що для всіх V w справедливо { }. mn / ; T T T T L T w a w a ε.67 Оцінка.67 Лема. і нерівність Коші-Шварца дають що { }. mn / ; / T T T T R v I B τ ε.68 З і.68 ми отримаємо верхню межу для енергетичної норми похибки: { } { }. mn mn / ; / / ; / E E E E T T T T R R ε τ ε ε ε.69

26 6 Тепер виведемо нижню межу похибки. Позначимо через f і g деяке наближення f і g кусково-неперервними поліномами степеня не вище на τ і на частині межі Γ дискретизації τ відповідно. Спочатку візьмемо довільний елемент T τ і покладемо wt : ψ T [ f ε Δ a b]..7 Вставляючи w в.64 ми отримаємо де f Δ a b w B w f f w. ε.7 T T T T T Оцінка.59 і Лема. забезпечують виконання наступної нерівності: B w T T { wt } b / w L T T ε a T L T { b mn{ / ε } ε / L T a L T ; T } f. ε Δ a b T ; T Безпосередньо з.7-.7 і Леми. ми отримаємо нижню межу mn { ε / } T mn f ε Δ a ; T { } / mn{ / b ε a } Tε T L T L T { / Tε } f f. : T E ε і покладемо w P [ ε ] b.7.7 Далі візьмемо довільне Вставляючи E :.74 ψ E θ E E θ mn{ ε / }. E T w E в.64 ми отримаємо [ ε n ] E w E E E B we f ε Δ a b we T ω T ω n f f w. E E З оцінки.59 і Леми. можна отримати наступну нерівність: E T E E T.75

27 B w ε / ω ω a E E { we } b / w L E ε a ωe ω E L ω { / 4 b mn{ / ε Eε } L L ω / / ; ω / 4 / ε mn{ Eε } } [ ε n ]. ω E E ; E E Крім того і Лема. і нерівність.7 забезпечують { T ω f ε Δ a b w E f f ω E E { } / 4 b mn{ / ε Eε } ; ω E ε / 4 L / ε a mn{ / } Eε ω E L ωe { ε } } / [ ] / ε. mn E E T n E E ; E З і Леми. ми отримаємо нижню межу ε / 4 mn mn { ε } / [ ] / ε E ne E ; E { b } { ε / } f f. E E L / ε a mn{ / } ω Eε E ; ω E L E E E / ω З тих самих міркувань ми можемо отримати вираз ε ε / 4 mn mn ε / 4 { ε / } / n ; E { b } E / mn{ / ε a } Eε T L T L T { / Eε } f f ; T mn{ ε / } / g g. E g ε ω ; E.79 для всіх E де T ωe. Отже буде справедлива наступна теорема. Теорема Позначимо через і точні розв язки задач.56 і.6 відповідно. Нехай f і g деяке наближення f і g кусково-неперервними поліномами степеня не вище на τ і на частині межі Γ дискретизації τ відповідно. Покладемо α : mn S { ε / } S τ ε. s

28 8 [ ]. : ; / ; / ; Γ Ω Δ T E E E E T E E E E E T T R T n g n b a f ε α ε ε α ε ε α η Тоді справедливі наступні апостеріорні оцінки похибки: / ; / ; / T E E T T T T R T g g f f ε τ τ α ε α η / ; / ; / Γ T T T T T E E E T T L L R T g g f f a b α ε α α ε η ω ω ω ω. ma / ; / ; / / Ω T E E T T T T L T L T R T g g f f a b T T ε τ τ τ α ε α α ε η ω ω Слід відмітити що в оцінці для верхньої межі ми можемо замінити f і g на f і g відповідно. Тоді зникне другий доданок в правій частині цієї оцінки. Зауваження. Нерівність.69 забезпечує глобальну верхню межу для апостеріорної оцінки похибки залишку. І цього нам достатньо для відшукання локальної верхньої межі похибки T R η на одному скінченному елементі T а отже і для практичної реалізації -адаптивної схеми методу скінченних елементів. Але локальні нижні межі для нашого оцінювача які наводяться в двох останніх виразах нашої теореми гарантують його надійність.... Аналіз чисельних результатів Розглянемо результати обчислень проведених за описаною вище схемою. Будемо аналізувати розв язок крайової задачі.54 де. Ω ε f b a В цьому і наступному тестах ми вважаємо що D Γ Γ тобто на усій межі області Ω задано однорідну умову Діріхле.

29 9 Спочатку будуємо рівномірну сітку яка містить 8 трикутник і 8 вузол див Рисунок.5. Рисунок.5. Початкова тріангуляція 8 трикутники. Далі проводимо ітераційну процедуру покращення сітки доки відносна похибку на кожному скінченному елементі буде менша за.7 з точністю 7%. Відносна похибка на скінченному елементі рахується як відношення значення оцінювача на даному трикутнику до оцінки похибки на всій області. Результуюча тріангуляція побудована за алгоритмом Рапперта що містить трикутник і 67 вузол зображена нижче на рисунку.6. Рисунок.6. Результуюча тріангуляція одержана за 6 ітерацій процесу адаптування. На рисунку.7 зображено графік розв язку задачі.54 порахований з точністю 7% за 6 ітерацій.

30 Рисунок.7. Графік розв язку точність 7%. Для порівняння наведемо розв язок схеми МСЕ знайдений при тих самих вхідних даних на однорідній сітці 48 трикутників89 вузлів див. рис.8.9. Рисунок.9. Графік розв язку на однорідній сітці. Рисунок.. Однорідна сітка48 трикутників 89 вузлів. Слід зауважити що розв язок побудований на однорідній сітці має значні осциляції у порівнянні з розв язком знайденим адаптивним методом. Хоча кількість вузлів рівномірної сітки майже в тричі більша. В таблиці Табл.. наведено дані про сітку і похибку що отримані на кожній ітерації адаптивного процесу.

31 Табл... Хід ітераційного процесу. Відносна похибка трикутнику η R обчислюється за формулою η : R ma τ T τ T де η R T значення оцінювача похибки на трикутнику T. Аналізуючи хід ітераційного процесу слід відзначити що із згущенням сітки в околі примежевого шару де спостерігається погіршення регулярності розв язку максимальне значення оцінювача похибки швидко прямує до нуля. І цей процес триває доти поки значення відносної похибки η R перевищує.7 з точністю 7%... Одновимірні адаптації Даний розділ присвячений побудові АОП кусково-лінійних апроксимацій МСЕ для розв язків одновимірних крайових задач з диференціальними рівняннями другого порядку. Властивості запропонованих АОП забезпечують можливості генерування сітки скінченних елементів здатної у просторі кусковолінійних апроксимацій відтворити структуру шуканого розв язку з наперед заданою точністю; уточнення знайдених апроксимацій МСЕ в центрах ваг та розрахункових вузлах скінченних елементів на кожному кроці процесу розрідженнязгущення сітки. η η R T R T

32 Ефективність розробленої схеми МСЕ ілюструється числовими розв язками сингулярно збурених крайових задач.... Постановка крайової задачі Розглянемо наступну крайову задачу: знайти функцію яка є розв язком звичайного диференціального рівняння d d d Y g Y YV Y f d d d g.8 і задовольняє крайові умови d.8 μ α[ ]. d Тут μ μ β β σ σ та f f задані функції а α задані сталі із такими властивостями: майже скрізь в Ω α μ const > σ μ.8 Ω f L Ω. μ β σ L.8 Крайова задача.8.8 знаходить важливі застосування в екології напівпровідниках прогнозуванні епідемій тощо. З іншого боку більшість реальних задач такого вигляду засвідчує що вони є сингулярно збуреними тобто містять малі коефіцієнти при старших похідних. Цю особливість структури задачі можна побачити [6 7] після належної заміни незалежних змінних і введення знаних в механіці суцільного середовища критеріїв подібності Пекле і Струхаля де β dam Ω σ dam Ω Pe : S :. μ μ Тоді після невеликої алгебри крайова задача.8.8 набуде вигляду μ z z Peβ z z Sδ z z f z z * * * * [ ] μ z * α * μ z β z σ z μ* z : β* z : σ * z : μ β σ

33 dam Ω damω f * z : f z α * : α. μ μ... Варіаційне формулювання крайової задачі Крайова задача.8.8 допускає варіаційне формулювання вигляду знайти V таку що.84 c v < l v > v V з такими структурними елементами V : H Ω { v H Ω : v } c v : a μ; v b β; v s σ ; v a μ; v : μ v d α v b β ; v : β vd s σ ; v : σ vd < l v > : fvd α v.85 З огляду на теорему Лакса-Мільграма-Вишика можна переконатися що варіаційна задача.84 коректно поставлена якщо її дані задовольняють наприклад такі умови регулярності і знаковизначеності Кусково-лінійні апроксимації Зафіксувавши натуральне поділимо відрізок [ ] на скінченні елементи : [ ] довжини :.. так що < < < <. Тут і далі дробовим індексом будемо позначати номер скінченного елемента і певні його характеристики скажімо : це центр ваги скінченного елемента : [ ]. На кожному з них виберемо лінійну апроксимацію шуканого розв язку варіаційної задачі.84 у вигляді

34 4.... ] [ : ; ] [ ] [ : ω ω ω ω ω.86 Тут ми скористалися позначеннями : :.87 для величин які характеризують середнє значення апроксимації та швидкості її зміни на скінченному елементі. На доповнення до.86 зазначимо що Врешті-решт враховуючи головні крайові умови варіаційної задачі одержимо що.89 і запишемо кусково-лінійну апроксимацію у такий спосіб [ ]. ] [ : n n n ϕ ω ω.9 В останній сумі ми явно записуємо апроксимацію МСЕ як лінійну комбінацію кусково-визначених базисних функцій Куранта n n n n n n n n n n.. ]; ]; ]; ]; [ : - ω ω ϕ.9 Власне ця система функцій і формує базис вибраного нами простору апроксимацій V показуючи що V dm.

35 5..4. Обчислення на скінченному елементі Для виконання різноманітних обчислень на скінченних елементах нам будуть потрібні складові варіаційного рівняння вигляду c < l v : v > : { p v b v σv} d α v δ fvd α δ Щоб результати обчислень були наочними і допускали прозору фізичну інтерпретацію ми будемо виконувати інтегрування в.9 наближено із вживанням теореми про середнє в такий спосіб: c < l v : μ v > : { μ v β v σv} d α v δ v d β fvd α δ vd σ f де μ : μ β : β σ : σ. vd α v δ vd α δ Інтеграли що залишилися наприклад у виразі.9 будуть просто обчислюватися у випадку поліноміальних функцій та v...5. Дискретизовані рівняння Тепер ми готові обчислити систему лінійних алгебричних рівнянь МСЕ для відшукання коефіцієнтів його апроксимації.9. Пропозиція 6. про структуру рівнянь МСЕ. Нехай апроксимація розв язку варіаційної задачі.84 шукається методом Гальоркіна у вигляді розвинення.9 за системою кусково-лінійних базисних функцій.9. Тоді коефіцієнти розвинення обчислюються із системи лінійних алгебричних рівнянь вигляду

36 6 [ ] [ ] { } f f S Pe S Pe S Pe S Pe μ μ μ μ [ ] 6 6 f S Pe S Pe α μ μ Тут використано позначення μ σ μ β : : S Pe. для локальних сіткових величин критеріїв подібності Пекле та Струхаля відповідно. Доведення. Підставимо лінійну комбінацію.9 в рівняння варіаційної задачі.84 і послідовно покладемо в ньому v ϕ. Після належних алгебричних обчислень із застосуванням наближень.9 за деталями див. Шинкаренко-Голуб-Щербина [8] прийдемо до системи задекларованих в пропозиції лінінійних алгебричних рівнянь...6. Апостеріорні оцінювачі похибок Введемо до розгляду бабл-функції вигляду.... ] [ ] 4[ : b I I ω ω.94 З огляду на те що b b b b Неважко переконатись що

37 7 > <.... } { } { 5 8 } { f b l PeS b b c μ σ μ.95 Будемо шукати наближення E ε до істинної похибки апроксимації V V e \ : у вигляді лінійної комбінації таке подання наближення до похибки показує що ми вибрали систему функцій } { b за базис підпростору E : b e λ ε.96 з невідомими коефіцієнтами } { λ. Для їхнього знаходження скористаємося схемою Гальоркіна яку застосуємо до задачі про похибку > < E v vv ρ v cε щo y ma Ε знайти похибку ε V ; та апроксимацію Гальоркіна Ε V\V задано E dm κ.97 Внаслідок природної ортогональності бабл-функцій зумовленої тим що ] [ : spp b безпосередньо обчислюємо:... > < b b c b ρ ε λ.98 Нарешті приймаючи до уваги 5. і те що } { O f b > < σ β ρ.99 наведемо остаточний вигляд знайденого наближення до похибки апроксимації Гальоркіна: [ ]. 4 5 : > < b PeS f b b b c b b e σ β μ ρ λ ε.

38 V f PeS f PeS PeS f c σ β μ σ β μ μ σ β μ ε ε ε. Подібний оцінювач похибки апроксимацій МСЕ можна побудувати використовуючи кусково-лінійні бабл-функції визначені в такий спосіб.... ] [ : ] [ : b b [ ]. : > < b S f b b b c b b e σ β μ ρ λ ε V S f S S f c σ β μ μ σ β μ ε ε ε...7. Стратегія адаптування сітки Виведені вище вирази для апостеріорних оцінювачів похибки на скінченному елементі використовувалися нами для побудови рекурсивного алгоритму адаптування розрахункової сітки в такий спосіб щоб результуюча апроксимація МСЕ була знайдена на кожному скінченному елементі з наперед гарантованою точністю. Докладніше ми вбираємо за якість знайденої на сітці T кусковолінійної апроксимації послідовність індикаторів

39 Тут зокрема η V ε ε V ε % ε %. ' [ ] d d { } Формула.4 визначає скільки відсотків становить норма похибки на скінченному елементі від середньої норми розв язку. Якщо це число більше від заданого допустимого рівня похибки то цей скінченний елемент ділиться на два в центрі ваги додається новий вузол сітки. В протилежному випадку поділ не відбувається...8. Чисельні результати Вхідні дані: μ β σ f α. Початкова сітка рівномірний поділ відрізка на 4 скінченних елементів. Допустимий рівень похибки η %. Точним розв язком цієї крайової задачі є функція e e e. Рисунок.. Графік точного розв язку. Примежовий шар в околі правого кінця відрізку глобальне число Пекле Pe. Графік наближеного розв язку побудований програмою зображений на рисунку.. Рівень допустимої похибки % від середньої норми розв язку. Для отримання наближеного розв язку програма зробила 9 кроків отримавши при цьому 4 скінченний елемент. При цьому починаючи з 4 кроку будується нерівномірна сітка. Згущення сітки відбувається на правому кінці оскільки саме там похибка набуває найбільших значень. В покроковому режимі відображення основного графіку можна побачити що похибка на лівому кінці gl

40 4 швидко прямує до нуля в той час як на правому кінці до 5-го кроку вона зростає і лише починаючи з 6-го кроку починає спадати. Рисунок.. Результуюча апроксимація обчислена за 9 кроків адаптування починаючи із рівномірного поділу на 4 скінченні елементи з η %.. Точками на графіку відзначено вузлові значення знайденої апроксимації. Рисунок.. Характер покрокової збіжності норми апостерірного оцінювача похибки. ε V Рисунок.4. Розподіл значень індикаторів якості результуючої апроксимації поміж скінченними елементами остаточної сітки. Рисунок.5. Покрокова зміна кількості скінченних елементів сітки в процесі адаптування.

Programming the Microchip Pic 16f84a Microcontroller As a Signal Generator Frequencies in Railway Automation

Programming the Microchip Pic 16f84a Microcontroller As a Signal Generator Frequencies in Railway Automation 988 Programming the Microchip Pic 16f84a Microcontroller As a Signal Generator Frequencies in Railway Automation High School of Transport "Todor Kableshkov" 1574 Sofia, 158 Geo Milev str. Ivan Velev Abstract

More information

Problem A. Nanoassembly

Problem A. Nanoassembly Problem A. Nanoassembly 2.5 seconds One of the problems of creating elements of nanostructures is the colossal time necessary for the construction of nano-parts from separate atoms. Transporting each of

More information

The European Ombudsman

The European Ombudsman Overview The European Ombudsman Е в р о п е й с к и о м б у д с м а н E l D e f e n s o r d e l P u e b l o E u r o p e o E v r o p s k ý v e ř e j n ý o c h r á n c e p r á v D e n E u r o p æ i s k e

More information

UNDERGRADUATE STUDY SKILLS GUIDE 2014-15

UNDERGRADUATE STUDY SKILLS GUIDE 2014-15 SCHOOL OF SLAVONIC AND EAST EUROPEAN STUDIES UNDERGRADUATE STUDY SKILLS GUIDE 2014-15 ECONOMICS AND BUSINESS HISTORY LANGUAGES AND CULTURE POLITICS AND SOCIOLOGY 1 1. AN INTRODUCTION TO STUDY SKILLS 5

More information

IС A A RT 2013. Proceedings Volume 2. 5th International Conference on Agents and Artificial Intelligence. Barcelona, Spain 15-18 February, 2013

IС A A RT 2013. Proceedings Volume 2. 5th International Conference on Agents and Artificial Intelligence. Barcelona, Spain 15-18 February, 2013 «'.''«ИЧИЧГШ ИШ М Ш * /////>. л ъ и г ш я ш и ъ в т ъ т ', : 4 р * т Ъ ъ ^ Х 'Ш У Л *а * 1 ЛЧй==:й?й!^'ййй IС A A RT 2013. *»ф«ч>»д* 'И И в Я в З Г З г И Ж /а 1 * icw-ia & «:*>if E M e i i i i y. x '-

More information

Russian Introductory Course

Russian Introductory Course Russian Introductory Course Natasha Bershadski Learn another language the way you learnt your own Succeed with the and learn another language the way you learnt your own Developed over 50 years, the amazing

More information

MARI-ENGLISH DICTIONARY

MARI-ENGLISH DICTIONARY MARI-ENGLISH DICTIONARY This project was funded by the Austrian Science Fund (FWF) 1, grant P22786-G20, and carried out at the Department of Finno-Ugric Studies 2 at the University of Vienna 3. Editors:

More information

ISSN 0975-413X CODEN (USA): PCHHAX. The study of dissolution kinetics of drugs with riboxinum (inosine)

ISSN 0975-413X CODEN (USA): PCHHAX. The study of dissolution kinetics of drugs with riboxinum (inosine) Available online at www.derpharmachemica.com ISSN 0975-413X CODEN (USA): PCHHAX Der Pharma Chemica, 2016, 8(1):412-416 (http://derpharmachemica.com/archive.html) The study of dissolution kinetics of drugs

More information

COMPLIANCE OF MANAGEMENT ACCOUNTING WHEN USING INFORMATION TECHNOLOGIES

COMPLIANCE OF MANAGEMENT ACCOUNTING WHEN USING INFORMATION TECHNOLOGIES Margaryta I. Skrypnyk, Mykola M. Matiukha COMPLIANCE OF MANAGEMENT ACCOUNTING WHEN USING INFORMATION TECHNOLOGIES The article studies the correspondence of management accounting structure when using of

More information

The course of understanding British and American prose and poetry by future managers

The course of understanding British and American prose and poetry by future managers 4. Полат Е. С. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования. М.: Просвещение, 2000. 5. Гальцова Н. П., Мезенцева Т. И., Швадленко И. А. Использование электронных информационно-образовательных

More information

Odessa National Academy of Telecommunications named after O.S. Popov, Odessa 2

Odessa National Academy of Telecommunications named after O.S. Popov, Odessa 2 Системи обробки інформації, 015, випуск 1 (137) ISSN 1681-7710 UDC 61.391 Nameer Qasim 1, Ali Al-Anssari 1, Moath Talat Ramadan Salah 1 Odessa National Academy of Telecommunications named after O.S. Popov,

More information

SOCIAL-MEDIA PLATFORMS AND ITS EFFECT ON DIGITAL MARKETING ACTIVITIES

SOCIAL-MEDIA PLATFORMS AND ITS EFFECT ON DIGITAL MARKETING ACTIVITIES УДК 339.138:659.1 Lesidrenska Svetlana, PhD., Associate Professor, Head of the Economics and Management Department at Technical University of Varna, (Bulgaria); Dicke Philipp, Ph.D. Student at University

More information

FUNCTIONS OF THE MODAL VERBS IN ENGLISH (MODAL VERBS ANALOGIES IN THE RUSSIAN LANGUAGE) Сompiled by G.V. Kuzmina

FUNCTIONS OF THE MODAL VERBS IN ENGLISH (MODAL VERBS ANALOGIES IN THE RUSSIAN LANGUAGE) Сompiled by G.V. Kuzmina FUNCTIONS OF THE MODAL VERBS IN ENGLISH (MODAL VERBS ANALOGIES IN THE RUSSIAN LANGUAGE) Сompiled by G.V. Kuzmina Москва Издательство Российского университета дружбы народов 2002 FUNCTIONS OF THE MODAL

More information

CONCEPT OF STATE SOVEREIGNTY: MODERN ATTITUDES. Karen Gevorgyan 1

CONCEPT OF STATE SOVEREIGNTY: MODERN ATTITUDES. Karen Gevorgyan 1 CONCEPT OF STATE SOVEREIGNTY: MODERN ATTITUDES Karen Gevorgyan 1 For decades, international law and public law aspects of the concept of sovereignty were in the center of attention of the representatives

More information

INTEGRATION SDN CONTROLLERS INTO OPENSTACK. EVALUITION OF PERFORMANCE AND RELIABILITY

INTEGRATION SDN CONTROLLERS INTO OPENSTACK. EVALUITION OF PERFORMANCE AND RELIABILITY Системи обробки інформації, 2015, випуск 10 (135) ISSN 16817710 УДК 621.372 O.B. Tkachova 1, Mohammed Jamal Salim 2, Raed Yahya Abdulghafoor 2 1 Kharkiv National University of Radio Electronics, Kharkiv

More information

Joong-Seok Cho 1 THE RELATION BETWEEN ACCOUNTING QUALITY AND SECURITY ANALYSTS' TARGET PRICE FORECAST PERFORMANCE

Joong-Seok Cho 1 THE RELATION BETWEEN ACCOUNTING QUALITY AND SECURITY ANALYSTS' TARGET PRICE FORECAST PERFORMANCE НОВИНИ СВІТОВОЇ НАУКИ 503 Joong-Seok Cho 1 THE RELATION BETWEEN ACCOUNTING QUALITY AND SECURITY ANALYSTS' TARGET PRICE FORECAST PERFORMANCE Using a sample of the US security analysts' target price forecasts

More information

BES-III distributed computing status

BES-III distributed computing status КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ 2015 Т. 7 3 С. 469 473 СЕКЦИОННЫЕ ДОКЛАДЫ УДК: 004.75, 004.052.2, 004.052.32 BES-III distributed computing status S. Belov 1, Z. Deng 2, W. Li 2, T. Lin 2, I.

More information

EFFICIENCY OF SOLAR ROOF WITH TRANSPARENT COVER FOR HEATING SUPPLY OF BUILDINGS

EFFICIENCY OF SOLAR ROOF WITH TRANSPARENT COVER FOR HEATING SUPPLY OF BUILDINGS Budownictwo o zoptymalizowanym potencjale energetycznym 2(14) 2014, s. 117-124 Orest VOZNYAK, Stepan SHAPOVAL, Ostap PONA, Maryana KASYNETS Lviv Polytechnic National University, Ukraine EFFICIENCY OF SOLAR

More information

Chronic Fatigue Syndrome

Chronic Fatigue Syndrome 256 Srp Arh Celok Lek. 2011 Mar-Apr;139(3-4):256-261 ПРЕГЛЕД ЛИТЕРАТУРЕ / REVIEW ARTICLE DOI: 10.2298/SARH1104256B Chronic Fatigue Syndrome Snežana Brkić, Slavica Tomić, Maja Ružić, Daniela Marić Hospital

More information

Pipe fittings plant in Kolpino, Leningrad Regions

Pipe fittings plant in Kolpino, Leningrad Regions 1 Pipe fittings plant in Kolpino, Leningrad Regions ROOST Group of companies is a fast growing association with a long history. Synergy of the ROOST Group companies gives an opportunity to keep leading

More information

Czech Technical University in Prague, Faculty of Transportation Science, Praha, Czech Republic CRISIS MANAGEMENT PRINCIPLES AND COMPETENT CRISIS PLAN

Czech Technical University in Prague, Faculty of Transportation Science, Praha, Czech Republic CRISIS MANAGEMENT PRINCIPLES AND COMPETENT CRISIS PLAN Безпека критичних інфраструктур 23 UDC 005.8:005.931.11:005.521 D. PROCHAZKOVA, J. PROCHAZKA Czech Technical University in Prague, Faculty of Transportation Science, Praha, Czech Republic CRISIS MANAGEMENT

More information

B A S I C S C I E N C E S

B A S I C S C I E N C E S B A S I C S C I E N C E S 10 B A S I C S C I E N C E S F I R S T S E M E S T E R C O U R S E S : H U M A N S T R U C T U R E A N D F U N C T I O N [ H S F I ] M O L E C U L A R B A S I S O F M E D I C

More information

Nataliia ZARUDNA MODERN REQUIREMENTS FOR ACCOUNTING MANAGEMENT FOR PROVISION PROCESS

Nataliia ZARUDNA MODERN REQUIREMENTS FOR ACCOUNTING MANAGEMENT FOR PROVISION PROCESS 444 JOURNAL Vol. 10 ( 4). December 2011 P u b l i c a t i o n o f T e r n o p i l N a t i o n a l E c o n o m i c U n i v e r s i t y Microeconomics Nataliia ZARUDNA MODERN REQUIREMENTS FOR ACCOUNTING

More information

OFFSHORE TERRITORIES: BASIC CONCEPTS OF FUNCTIONING

OFFSHORE TERRITORIES: BASIC CONCEPTS OF FUNCTIONING УДК 339.9:336.564.2 M. V. Kleshcheeva, Student of Donetsk National Ttechnical University, Ukraine OFFSHORE TERRITORIES: BASIC CONCEPTS OF FUNCTIONING Formulation of the problem. At this point in time offshore

More information

THE INFLUENCE OF POLITICAL ADVERTISING ON STUDENTS PREFERENCES AND THEIR POLITICAL CHOICE

THE INFLUENCE OF POLITICAL ADVERTISING ON STUDENTS PREFERENCES AND THEIR POLITICAL CHOICE UDK 159.94 Garkavets S.A., Zhadan O.А., Kushnarenko V. I. THE INFLUENCE OF POLITICAL ADVERTISING ON STUDENTS PREFERENCES AND THEIR POLITICAL CHOICE The article considers the features of influence political

More information

THE INFORMATISATION OF PUBLIC ADMINISTRATION

THE INFORMATISATION OF PUBLIC ADMINISTRATION ISSN 2410-5333 Вісник ХДАК. Випуск 47. 2015 135 UDC 35.078:316.77 В. Ю. Степанов, доктор наук із державного управління, професор, Харківська державна академія культури, м. Харків ІНФОРМАТИЗАЦІЯ ДЕРЖАВНОГО

More information

On Supervised and Unsupervised Discretization 1

On Supervised and Unsupervised Discretization 1 БЪЛГАРСКА АКАДЕМИЯ НА НАУКИТЕ. BULGARIAN ACADEMY OF SCIENCES КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ Том 2, 2 CYBERNETICS AND INFORMATION TECHNOLOGIES Volume 2, No 2 София. 2002. Sofia On Supervised and

More information

A COURSE IN MODERN ENGLISH LEXICOLOGY

A COURSE IN MODERN ENGLISH LEXICOLOGY R. S. Ginzburg, S. S. Khidekel, G. Y. Knyazeva, A. A. Sankin A COURSE IN MODERN ENGLISH LEXICOLOGY SECOND EDITION Revised and Enlarged Допущено Министерством высшего и среднего специального образования

More information

RESOURCE-EFFICIENT ALLOCATION HEURISTICS FOR MANAGEMENT OF DATA CENTERS FOR CLOUD COMPUTING

RESOURCE-EFFICIENT ALLOCATION HEURISTICS FOR MANAGEMENT OF DATA CENTERS FOR CLOUD COMPUTING V. Litvinov, K. Matsueva. Resource-efficient allocation heuristics for management of data centers for cloud computing 113 UDC 004.7:004942(045) Vitaliy Litvinov 1 Karyna Matsueva 2 RESOURCE-EFFICIENT ALLOCATION

More information

SHORT RUSSIAN PHRASEBOOK FOR ENGLISH-SPEAKING TRAVELERS FREE DOWNLOAD. EDITION 4.0

SHORT RUSSIAN PHRASEBOOK FOR ENGLISH-SPEAKING TRAVELERS FREE DOWNLOAD. EDITION 4.0 SHORT RUSSIAN PHRASEBOOK FOR ENGLISH-SPEAKING TRAVELERS FREE DOWNLOAD. EDITION 4.0 Common Russian phrases. Russian alphabet and sounds Knowing how to pronounce Russian letters will facilitate your conversation.

More information

TERMINOLOGY OF KOGNITIVE LINGUISTICS: CONCEPTUAL SYSTEM AND CONCEPTUAL PICTURE OF THE WORLD

TERMINOLOGY OF KOGNITIVE LINGUISTICS: CONCEPTUAL SYSTEM AND CONCEPTUAL PICTURE OF THE WORLD UDC 811.161.1' 1(082) M. V. PIMENOVA (Kemerovo, Russia) TERMINOLOGY OF KOGNITIVE LINGUISTICS: CONCEPTUAL SYSTEM AND CONCEPTUAL PICTURE OF THE WORLD The article deals with the determination of the terms

More information

ENEOLITHIC CERAMIC TABLETS (ALTARS) FROM BULGARIA

ENEOLITHIC CERAMIC TABLETS (ALTARS) FROM BULGARIA ENEOLITHIC CERAMIC TABLETS (ALTARS) FROM BULGARIA Dimitar CHERNAKOV (Bulgaria) Whenever a research on various prehistoric sites has been carried findings of non utility comprise a considerably large share

More information

A. I. KUBARKO, T. G. SEVERINA NORMAL PHYSIOLOGY

A. I. KUBARKO, T. G. SEVERINA NORMAL PHYSIOLOGY A. I. KUBARKO, T. G. SEVERINA NORMAL PHYSIOLOGY Minsk BSMU 2015 МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА НОРМАЛЬНОЙ ФИЗИОЛОГИИ А. И.

More information

CONVERGENCE OF REGIONAL INNOVATION INFRASTRUCTURE OF UKRAINE AND THE EU Elena Dotsenko

CONVERGENCE OF REGIONAL INNOVATION INFRASTRUCTURE OF UKRAINE AND THE EU Elena Dotsenko CONVERGENCE OF REGIONAL INNOVATION INFRASTRUCTURE OF UKRAINE AND THE EU Elena Dotsenko The article deals with regional innovation infrastructure as an innovative component of the EU policy, analyzes its

More information

BASICS OF ENGLISH PHONETICS. (course of lectures)

BASICS OF ENGLISH PHONETICS. (course of lectures) BASICS OF ENGLISH PHONETICS (course of lectures) Contents 1. Lecture I. Phonetics as a science 2. Lecture II. The classification of English consonants 3. Lecture III. The English vowel system 4. Lecture

More information

The relationship between managers' leadership styles in physical education offices universities and sport volunteers' satisfaction

The relationship between managers' leadership styles in physical education offices universities and sport volunteers' satisfaction ПЕДАГОГІКА ПСИХОЛОГІЯ та медико-біологічні проблеми фізичного виховання і спорту The relationship between managers' leadership styles in physical education offices universities and sport volunteers' satisfaction

More information

STATISTICAL FIELD THEORY FOR A MULTICOMPONENT FLUID: THE COLLECTIVE VARIABLES APPROACH

STATISTICAL FIELD THEORY FOR A MULTICOMPONENT FLUID: THE COLLECTIVE VARIABLES APPROACH ЖУРНАЛ ФIЗИЧНИХ ДОСЛIДЖЕНЬ т., (007) с. 33 4 JOURNAL OF PHYSICAL STUDIES v., No. (007) p. 33 4 STATISTICAL FIELD THEORY FOR A MULTICOMPONENT FLUID: THE COLLECTIVE VARIABLES APPROACH O. Patsahan, I. Mryglod,

More information

SYSTEMATIZATION OF ELEMENTS OF THE STRATEGIC ACCOUNTING METHOD

SYSTEMATIZATION OF ELEMENTS OF THE STRATEGIC ACCOUNTING METHOD Науково-практичне видання Незалежний аудитор 4 (II) 2013 ISSN 2306-0050 UDC 657.1:005 SYSTEMATIZATION OF ELEMENTS OF THE STRATEGIC ACCOUNTING METHOD, PhD, Associate professor of the department of accounting

More information

розумінню впливу соціального середовища на здоров'я людини. УДК 316.614-056 Brouchatskaya Elina Riga Anastasia-Valentini

розумінню впливу соціального середовища на здоров'я людини. УДК 316.614-056 Brouchatskaya Elina Riga Anastasia-Valentini SECTION 2. SOCIAL PROBLEMS IN THE CONTEXT OF BRANCH SOCIOLOGYS. 2.9 SOCIOLOGY OF HEALTH. MEDICINE SOCIOLOGY/ РАЗДЕЛ 2. СОЦИАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ В КОНТЕКСТЕ ОТРАСЛЕВЫХ СОЦИОЛОГИЙ. 2.9 СОЦИОЛОГИЯ ЗДОРОВЬЯ. СОЦИОЛОГИЯ

More information

VILLAGE TOURISM OF SERBIA

VILLAGE TOURISM OF SERBIA VILLGE TOURISM OF SERBI H U N R Y G SUBOTIC R Senta SOMBOR Č V O SERBI T J N N O Bački Petrovac U M sa V Ti I C R O T D K P B B U KIKIND D V I NOVI SD N ZRENJNIN N Beočin Irig E M iš R m Ta S Kovačica

More information

RISK MANAGEMENT OF LEASING COMPANY

RISK MANAGEMENT OF LEASING COMPANY УДК 005:658.91 O. A. Saenko, Ph.D. (economics), Luhansk Taras Shevchenko National University RISK MANAGEMENT OF LEASING COMPANY Problem statement. In economic terms, risk is the likelihood / possibility

More information

Violetta Koseska Toszewa 1 Natalia Kotsyba Warsaw About imperceptivity in Bulgarian, Polish and Ukrainian

Violetta Koseska Toszewa 1 Natalia Kotsyba Warsaw About imperceptivity in Bulgarian, Polish and Ukrainian Violetta Koseska Toszewa 1 Natalia Kotsyba Warsaw About imperceptivity in Bulgarian, Polish and Ukrainian 1. 0. Linguistic literature dedicated to Bulgarian did not address the issue of the semantic structure

More information

MasterCard Titanium a special card... exceptional benefits. MasterCard Titanium Credit Card

MasterCard Titanium a special card... exceptional benefits. MasterCard Titanium Credit Card fjт OQcSe bh MasterCard Titanium Credit Card КС Тс К СуСЖ КСт КС КУТ т тлсм МСОКТ ЖР ткт ОКР ткм ЛсКЛ Ж КТЖУт. fjт OQcSe...Z bh FSG gjge Ahli United Bank and The Sultan Center present the MasterCard Titanium

More information

Evolution of the Ideas about Creativity in Psychological and Pedagogical Concepts of 19 th -20 th century

Evolution of the Ideas about Creativity in Psychological and Pedagogical Concepts of 19 th -20 th century Nr 6 (2) 2013 Kultura i Wychowanie Evolution of the Ideas about Creativity in Psychological and Pedagogical Concepts of 19 th -20 th century Olexander Didenko Khmelnytskyi city, Ukraine didenko12.69@mail.ru

More information

бы appleы х нfi йтхыкы, за шы зхт зт тсыхн, Bayerische Julius- Maximilians UniversitДt, WЭrzburg, бзл с. 2

бы appleы х нfi йтхыкы, за шы зхт зт тсыхн, Bayerische Julius- Maximilians UniversitДt, WЭrzburg, бзл с. 2 appleтн ы шы шк шбсрс лб шанобхшх н с л о мк лб шс шлfi тзт тсыхн бз appleб н х абсбхтappleо шыхн : с йтз т appleбзхappleыршб с сшы сы ст з к, 1 сск ко бз к, 2 лappleзт тот лк, 3 хоо ы ок, 4 хнfiо т з

More information

Functionalized molecules - synthesis, properties and application

Functionalized molecules - synthesis, properties and application Functionalized molecules - synthesis, properties and application Edited by Volodymyr I. ybachenko Functionalized molecules - synthesis, properties and application Edited by Volodymyr I. ybachenko Donetsk

More information

Rouch, Jean. Cine-Ethnography. Minneapolis, MN, USA: University of Minnesota Press, 2003. p 238

Rouch, Jean. Cine-Ethnography. Minneapolis, MN, USA: University of Minnesota Press, 2003. p 238 Minneapolis, MN, USA: University of Minnesota Press, 2003. p 238 http://site.ebrary.com/lib/uchicago/doc?id=10151154&ppg=238 Minneapolis, MN, USA: University of Minnesota Press, 2003. p 239 http://site.ebrary.com/lib/uchicago/doc?id=10151154&ppg=239

More information

THE USE OF FACEBOOK FOR MARKETING PURPOSES AMONG SMES AS A MODERN MARKETING METHOD RESEARCH RESULTS FROM POLAND

THE USE OF FACEBOOK FOR MARKETING PURPOSES AMONG SMES AS A MODERN MARKETING METHOD RESEARCH RESULTS FROM POLAND УДК 338 JEL M15 Michał Chmielecki Akademy of Managment in Lodz, Poland THE USE OF FACEBOOK FOR MARKETING PURPOSES AMONG SMES AS A MODERN MARKETING METHOD RESEARCH RESULTS FROM POLAND Chmielecki Michał,

More information

Stochastic processes crossing from ballistic to fractional diffusion with memory: exact results

Stochastic processes crossing from ballistic to fractional diffusion with memory: exact results Condensed Matter Physics, Vol. 3, No, 3: 8 http://www.icmp.lviv.ua/journal Stochastic processes crossing from ballistic to fractional diffusion with memory: exact results V. Ilyin, I. Procaccia, A. Zagorodny

More information

Activated carbon from cotton waste as an adsorbent in the purification process of azo-dyes

Activated carbon from cotton waste as an adsorbent in the purification process of azo-dyes Bulgarian Chemical Communications, Volume 46, Number 2 (pp. 277 282) 2014 Activated carbon from cotton waste as an adsorbent in the purification process of azo-dyes N. Djordjevic 1, D. Djordjevic 1*, M.

More information

FIN 411 -- Investments Option Pricing. Options: Definitions. Arbitrage Restrictions on Call Prices. Arbitrage Restrictions on Call Prices

FIN 411 -- Investments Option Pricing. Options: Definitions. Arbitrage Restrictions on Call Prices. Arbitrage Restrictions on Call Prices FIN 411 -- Investments Option Pricing imple arbitrage relations s to call options Black-choles model Put-Call Parity Implied Volatility Options: Definitions A call option gives the buyer the right, but

More information

PRODUCTIVITY, ADAPTABILITY AND GRAIN QUALITY OF MODERN UKRAINIAN WINTER TRITICALE CULTIVARS*

PRODUCTIVITY, ADAPTABILITY AND GRAIN QUALITY OF MODERN UKRAINIAN WINTER TRITICALE CULTIVARS* 464 Вавиловский журнал генетики и селекции, 2012, Том 16, 2 УДК 631.524.83:631.524.85:633.112.1«324» PRODUCTIVITY, ADAPTABILITY AND GRAIN QUALITY OF MODERN UKRAINIAN WINTER TRITICALE CULTIVARS* 2012 г.

More information

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ПРОДАЖ ПРОДУКЦИИ НА ОСНОВАНИИ МНОГОФАКТОРНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ОБЪЕМОВ ПРОДАЖ ПРОДУКЦИИ НА ОСНОВАНИИ МНОГОФАКТОРНОЙ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ Kuzhda Т. Reail sales forecasing wih applicaion he muliple regression [Електронний ресурс] / Т. Kuzhda // Соціально-економічні проблеми і держава. 01. Вип. 1 (6). С. 91-101. Режим доступу до журн. : hp://sepd.nu.edu.ua/images/sories/pdf/01/1kibrm.pdf.

More information

The Credibility of the Overall Rate Indication

The Credibility of the Overall Rate Indication The Credibility of the Overall Rate Indication Paper by Joseph Boor, FCAS Florida Office of Insurance Regulation Presented by Glenn Meyers, FCAS, MAAA, ISO Background-Why is this needed? Actuaries in North

More information

arxiv:1603.02445v1 [cond-mat.soft] 8 Mar 2016

arxiv:1603.02445v1 [cond-mat.soft] 8 Mar 2016 Condensed Matter Physics, 2016, Vol. 19, No 1, 13804: 1 10 DOI: 10.5488/CMP.19.13804 http://www.icmp.lviv.ua/journal Influence of anisotropic ion shape, asymmetric valency, and electrolyte concentration

More information

LG-Ericsson TSP (ip-ldk, ipecs) User Guide. Issue 4.1Ac

LG-Ericsson TSP (ip-ldk, ipecs) User Guide. Issue 4.1Ac LG-Ericsson TSP (ip-ldk, ipecs) User Guide Issue 4.1Ac REVISION HISTORY Version Date Description of Change S/W Version Issue 3.7Aa SEP 12, 2007 Initial Release Issue 4.0Aa JUN 27, 2009 Add ipecs-50a/50b/micro/1200

More information

A COMPARATIVE ANALYSIS DEFINITIONS OF ADMINISTRATIVE LAW

A COMPARATIVE ANALYSIS DEFINITIONS OF ADMINISTRATIVE LAW A COMPARATIVE ANALYSIS DEFINITIONS OF ADMINISTRATIVE LAW Prof. Dr. Audrius Bakaveckas Mykolas Romeris University, Faculty of Law, Institute of Constitutional and Administrative Law, Vilnius Abstract It

More information

DIAGNOSTICS OF AUTOMOBILE POWER SYSTEM VIA INTERNET

DIAGNOSTICS OF AUTOMOBILE POWER SYSTEM VIA INTERNET UDK 621.629.004.7 DIAGNOSTICS OF AUTOMOBILE POWER SYSTEM VIA INTERNET J. Molnár, Assist. Prof. (Eng.), D. Kováč, Prof. (Eng.) Technical University of Košice Letná, 9, 04200, Košice, Slovak Republic E-mail:

More information

BLAST-FURNACE EQUIPMENT

BLAST-FURNACE EQUIPMENT BLAST-FURNACE EQUIPMENT HOT METAL LADLE CAR Standard series: Г-1-50, Г-100,Г-1-140. Hot metal ladle car is designed for transportation of hot metal from furnace to casting machines, mixers and steelmaking

More information

PALAEONTOLOGIA POLQNICA 'Ъ-Ь

PALAEONTOLOGIA POLQNICA 'Ъ-Ь PALAEONTOLOGIA POLQNICA 'Ъ-Ь mm P O L T S H A C A D E M Y O F S C I E N C E S INSTITUTE OF PALEOBIOLOGY PALAEONTOLOGIA POLONICA No. 50, 1990 t h e a l b ia w AMMONITES OF POLAND (A M Q N ITY A L B U POLS

More information

Збірник завдань з граматики з англійської мови

Збірник завдань з граматики з англійської мови МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ СЕМЕНА КУЗНЕЦЯ Збірник завдань з граматики з англійської мови для студентів галузі знань 0501 "Інформатика та

More information

Jonas Mackevičius, Vladislav Tomaševič* Vilnius University, Lithuania

Jonas Mackevičius, Vladislav Tomaševič* Vilnius University, Lithuania ISSN 1392-1258. ekonomika 2010 Vol. 89(4) Evaluation of Investment Projects in Case of Conflict between the Internal Rate of Return and the Net Present Value Methods Jonas Mackevičius, Vladislav Tomaševič*

More information

UNIVERSITY OF ILUNOхS LIBRARY AT URBANA-CHAMPA1GN AGR1CULT-"'J?'-

UNIVERSITY OF ILUNOхS LIBRARY AT URBANA-CHAMPA1GN AGR1CULT-'J?'- ' UNVRSTY F NхS LBRARY AT URBANA-HAMPA1GN AGR1ULT-"'J?'- igitied by the nternet Arhive 2012 ith fndg frm University f llis Urbn-hmpign http://.rhive.rg/detils/illismmeri1982med s 8 h U p m UU t g 5. -

More information

Requirements of Planning of District Heating Network in Russia

Requirements of Planning of District Heating Network in Russia 1 Work report Requirements of Planning of District Heating Network in Russia DHTrain project Erika Matikainen 11.12.2014 2 1. INTRODUCTION Harsh natural environment of many regions in Russia leads to the

More information

How To Use Anz'S Customer Relationship Management (Crm) System

How To Use Anz'S Customer Relationship Management (Crm) System ГРОШІ, ФІНАНСИ І КРЕДИТ 419 Chao Chao Chuang 1, Fu-Ling Hu 2 APPLICATION OF CRM IN BANKING In the competitive banking field, customers make up one of the most important and valuable assets of any bank.

More information

STARTING SYSTEM OPERATION IN THE STARTER-GENERATOR

STARTING SYSTEM OPERATION IN THE STARTER-GENERATOR International Journal on Technical and Physical Problems of Engineering (IJTPE) Published by International Organization on TPE (IOTPE) ISSN 077-358 IJTPE Journal www.iotpe.com ijtpe@iotpe.com March 00

More information

CONSULTING SUPPORT OF THE PROJECT MANAGEMENT DEVELOPMENT IN CONDITIONS OF SOCIETY INFORMATIZATION

CONSULTING SUPPORT OF THE PROJECT MANAGEMENT DEVELOPMENT IN CONDITIONS OF SOCIETY INFORMATIZATION Consulting support of the project management development in conditions of society informatization UDC 658.012.23:001.895 N. I. Chukhrai, I. I. Novakivsky CONSULTING SUPPORT OF THE PROJECT MANAGEMENT DEVELOPMENT

More information

Jeng-Hwan Wang 1 A STUDY ON KEY PERFORMANCE INDICATOR FOR FOOD SERVICE BUSINESSES IN TAIWAN

Jeng-Hwan Wang 1 A STUDY ON KEY PERFORMANCE INDICATOR FOR FOOD SERVICE BUSINESSES IN TAIWAN 240 НОВИНИ СВІТОВОЇ НАУКИ Jeng-Hwan Wang 1 A STUDY ON KEY PERFORMANCE INDICATOR FOR FOOD SERVICE BUSINESSES IN TAIWAN Discussing key performance indicator (KPI) for the food service businesses in Taiwan,

More information

Industrial Metrology and Interchangeable Manufacturing under the Viewpoint of Nanotechnology and Nanometrology

Industrial Metrology and Interchangeable Manufacturing under the Viewpoint of Nanotechnology and Nanometrology БЪЛГАРСКА АКАДЕМИЯ НА НАУКИТЕ BULGARIAN ACADEMY OF SCIENCES ПРОБЛЕМИ НА ТЕХНИЧЕСКАТА КИБЕРНЕТИКА И РОБОТИКАТА, 59 PROBLEMS OF ENGINEERING CYBERNETICS AND ROBOTICS, 59 София 2008 Sofia Industrial Metrology

More information

AGRITOURISM AS THE BEST FORM OF ENTERPRENEURSHIP IN THE POLISH COUTRYSIDE. Anita Szygula

AGRITOURISM AS THE BEST FORM OF ENTERPRENEURSHIP IN THE POLISH COUTRYSIDE. Anita Szygula . с. 125 132 Visnyk of the lviv University. series international relations. 2014. Issue 34. p. 125 132 125 УДК 338.48-44(438-22) AGRITOURISM AS THE BEST FORM OF ENTERPRENEURSHIP IN THE POLISH COUTRYSIDE

More information

DEVELOPMENT OF A SPREADSHEET BASED VENDOR MANAGED INVENTORY MODEL FOR A SINGLE ECHELON SUPPLY CHAIN: A CASE STUDY

DEVELOPMENT OF A SPREADSHEET BASED VENDOR MANAGED INVENTORY MODEL FOR A SINGLE ECHELON SUPPLY CHAIN: A CASE STUDY www.sjm06.com Serbian Journal of Management 5 (2) (2010) 199-211 Serbian Journal of Management DEVELOPMENT OF A SPREADSHEET BASED VENDOR MANAGED INVENTORY MODEL FOR A SINGLE ECHELON SUPPLY CHAIN: A CASE

More information

Cross-Cultural Communication as a Basis of Building Intercultural Competence

Cross-Cultural Communication as a Basis of Building Intercultural Competence OLENA ZELIKOVSKA National University of Life and Environmental Sciences, Kyiv, Ukraine Cross-Cultural Communication as a Basis of Building Intercultural Competence The problems of intercultural communication

More information

E. N. Sokolov's Neural Model of Stimuli as Neuro-cybernetic Approach to Anticipatory Perception

E. N. Sokolov's Neural Model of Stimuli as Neuro-cybernetic Approach to Anticipatory Perception E. N. Sokolov's Neural Model of Stimuli as Neuro-cybernetic Approach to Anticipatory Perception Dobilas Kirvelis, Vygandas Vanagas Vilnius University, Vilnius, Lithuania dobilas@kirvelis.lt,vygandas.vanagas@gmail.com

More information

1.- L a m e j o r o p c ió n e s c l o na r e l d i s co ( s e e x p li c a r á d es p u é s ).

1.- L a m e j o r o p c ió n e s c l o na r e l d i s co ( s e e x p li c a r á d es p u é s ). PROCEDIMIENTO DE RECUPERACION Y COPIAS DE SEGURIDAD DEL CORTAFUEGOS LINUX P ar a p od e r re c u p e ra r nu e s t r o c o rt a f u e go s an t e un d es a s t r e ( r ot u r a d e l di s c o o d e l a

More information

Value aspects of modern Ukrainian advertising discourses

Value aspects of modern Ukrainian advertising discourses Lviv National Polytechnic University. MEDIA I SPOŁECZEŃSTWO... MEDIOZNAWSTWO KOMUNIKOLOGIA SEMIOLOGIA SOCJOLOGIA MEDIÓW MEDIA A PEDAGOGIKA Value aspects of modern Ukrainian advertising discourses nr 4/2014

More information

Scale Models Series EVLplus. EVLplus xx BТ3. EVLplus xx BМ6

Scale Models Series EVLplus. EVLplus xx BТ3. EVLplus xx BМ6 Table of Contents Page Elicom Electronic Ltd. Electronic Scales E V Lplus Models T and M User s Manual 1. Warranty card... 3 2. Brief description... 4 3. Main functions... 4 4. Technical data... 4 5. Scale

More information

Language Learning Strategies used by Monolingual and Bilingual Students in Transcarpathian Secondary Schools

Language Learning Strategies used by Monolingual and Bilingual Students in Transcarpathian Secondary Schools Acta Beregsasiensis 2009/2. 163 Szilágyi László* Language Learning Strategies used by Monolingual and Bilingual Students in Transcarpathian Secondary Schools Rezümé Napjainkban létfontosságúvá vált a középiskolát

More information

SPECIALISTS TRAINING IN BIG DATA USING DISTRIBUTED ARCHITECTURAL SOLUTIONS SERVICES. Проректор по учебной и воспитательной работе

SPECIALISTS TRAINING IN BIG DATA USING DISTRIBUTED ARCHITECTURAL SOLUTIONS SERVICES. Проректор по учебной и воспитательной работе SPECIALISTS TRAINING IN BIG DATA USING DISTRIBUTED ARCHITECTURAL SOLUTIONS SERVICES M. Batura 1 S. Dzik 2 I. Tsyrelchuk 3 Ректор Белорусского государственного университета информатики и радиоэлектроники

More information

The Archaeological Map of Nymphaion (PI. 72)

The Archaeological Map of Nymphaion (PI. 72) Tomasz Schöll The Archaeological Map of Nymphaion (PI. 72) О ne of the main tasks fulfilled within the boundaries of the international project Nymphaion - the History and Structure of a Greek polis", carried

More information

UDC 681.518 INTRODUCING PROCESS MANAGEMENT IN E-GOVERNMENT AND HEALTHCARE

UDC 681.518 INTRODUCING PROCESS MANAGEMENT IN E-GOVERNMENT AND HEALTHCARE mit System. Von den Grundlagen bis zur Realisierung Ein praxisorientierter Leitfaden, Wiesbaden, 2005. 58. W. D. Franke. FMEA, Landsberg/Lech, 1989. 59. W. Schneeweiss. Die Fehlerbaum- Methode. Aus dem

More information

ISO 13606-1:2008 Здравна информатика -- ЕЗД комуникация -- Част 1: Референтен модел

ISO 13606-1:2008 Здравна информатика -- ЕЗД комуникация -- Част 1: Референтен модел ISO 13606-1:2008 Здравна информатика -- ЕЗД комуникация -- Част 1: Референтен модел ISO 13606-1:2008 specifies the communication of part or all of the electronic health record (EHR) of a single identified

More information

MAGNETIC TESTING OF MECHANICAL PROPERTIES MICROALLOYED HARDENED COLD-ROLLED SHEET STEELS AFTER ANNEALING

MAGNETIC TESTING OF MECHANICAL PROPERTIES MICROALLOYED HARDENED COLD-ROLLED SHEET STEELS AFTER ANNEALING MAGNETIC TESTING OF MECHANICAL PROPERTIES MICROALLOYED HARDENED COLD-ROLLED SHEET STEELS AFTER ANNEALING Vladimir MATYUK, Alexander OSIPOV, Vladlen PIUNOV INSTITUTE OF APPLIED PHYSICS OF NATIONA ACADEMY

More information

The definition of sales managers management strategy Rozumey S.B. Nujna Y.M. National University of Food Technologies (Kiev, Ukraine) This paper

The definition of sales managers management strategy Rozumey S.B. Nujna Y.M. National University of Food Technologies (Kiev, Ukraine) This paper The definition of sales managers management strategy Rozumey S.B. Nujna Y.M. National University of Food Technologies (Kiev, Ukraine) This paper defines the components performance of sales manager, manifested

More information

Side reactions of onium coupling reagents BOP and HBTU in the synthesis of silica polymer supports

Side reactions of onium coupling reagents BOP and HBTU in the synthesis of silica polymer supports Ukrainica Bioorganica Acta 1 (2005) 13 19 Side reactions of onium coupling reagents BP and HBTU in the synthesis of silica polymer supports L. V. Dubey, I. Ya. Dubey* Institute of Molecular Biology and

More information

DECISION SUPPORT SYSTEMS DEVELOPMENT AND BENEFITS OF BUSINESS INTELLIGENCE SYSTEMS USAGE

DECISION SUPPORT SYSTEMS DEVELOPMENT AND BENEFITS OF BUSINESS INTELLIGENCE SYSTEMS USAGE УДК [005.53:004]:338.22 Management of innovations N. Marinova, PhD, D. Tsenov Academy of Economics, Svishtov, Bulgaria DECISION SUPPORT SYSTEMS DEVELOPMENT AND BENEFITS OF BUSINESS INTELLIGENCE SYSTEMS

More information

Futó Z. Károly Róbert College, Fleischmann Rudolf Research Institute

Futó Z. Károly Róbert College, Fleischmann Rudolf Research Institute УДК 631.8:632:633.854:665.3 2014 Futó Z. Károly Róbert College, Fleischmann Rudolf Research Institute THE EFFECT OF NUTRIENT SUPPLY AND PLANT PROTECTION IN YIELD AND OIL CONTENT OF SUNFLOWER (Helianthus

More information

УДК 330.1 G32 V. A. Makarova

УДК 330.1 G32 V. A. Makarova Юданова Людмила Анатольевна доцент кафедры «Бухгалтерский учёт и аудит» ФГБОУ ВПО ПковГУ, канд. экон. наук. Будасова Виктория Александровна ассистент кафедры «Бухгалтерский учёт и аудит» ФГБОУ ВПО ПковГУ,

More information

UKRAINIAN BUSINESS ELECTRICITY MARKET FUNCTIONING AND DEVELOPMENT ENHANCING PROBLEMATIC ASPECTS

UKRAINIAN BUSINESS ELECTRICITY MARKET FUNCTIONING AND DEVELOPMENT ENHANCING PROBLEMATIC ASPECTS УДК 330.332 UKRAINIAN BUSINESS ELECTRICITY MARKET FUNCTIONING AND DEVELOPMENT ENHANCING PROBLEMATIC ASPECTS Svitlana О. Cherkasova, PhD Svitlana V. Filippova, DEcon, Prof. Odesa National Polytechnic University,

More information

MODUL 3. Current practice of internal medicine. Contents module 3. Theme 11. Management of the patients with hepatic encephalopathy

MODUL 3. Current practice of internal medicine. Contents module 3. Theme 11. Management of the patients with hepatic encephalopathy МІНІСТЕРСТВО ОХОРОНИ ЗДОРОВ Я УКРАЇНИ Харківський національний медичний університет MODUL 3. Current practice of internal medicine. Contents module 3. Theme 11. Management of the patients with hepatic

More information

Vocational Training of Education Administrators under Master s Degree Programs in Ukraine

Vocational Training of Education Administrators under Master s Degree Programs in Ukraine ISSN 1648 2603 (print) ISSN 2029-2872 (online) VIEŠOJI POLITIKA IR ADMINISTRAVIMAS PUBLIC POLICY AND ADMINISTRATION 2015, T. 14, Nr. 1 / 2015, Vol. 14, No 1, p. 25-39 Vocational Training of Education Administrators

More information

d e f i n i c j i p o s t a w y, z w i z a n e j e s t t o m. i n. z t y m, i p o jі c i e t o

d e f i n i c j i p o s t a w y, z w i z a n e j e s t t o m. i n. z t y m, i p o jі c i e t o P o s t a w y s p o і e c z e t s t w a w o b e c o s у b n i e p e і n o s p r a w n y c h z e s z c z e g у l n y m u w z g lb d n i e n i e m o s у b z z e s p o і e m D o w n a T h e a t t i t uodf

More information

VENTILATION AIR CONDITIONING HEATING AIR HANDLING UNITS TECHNICAL CATALOGUE

VENTILATION AIR CONDITIONING HEATING AIR HANDLING UNITS TECHNICAL CATALOGUE VENTILATION AIR CONDITIONING HEATING 6 AIR HANDLING UNITS TECHNICAL CATALOGUE AIR HANDLING UNITS CONTENTS 06.01-01 AHU - AIR HANDLING UNITS 3 06.01-02 DESCRIPTION ON TYPES OF SECTIONS 4 06.01-06 HORIZONTAL

More information

Steel Fury: Kharkov 1942. User's manual

Steel Fury: Kharkov 1942. User's manual Steel Fury: Kharkov 1942 User's manual CONTENT 2 LIST OF USED REDUCTIONS...3 1 SYSTEM REQUIREMENTS...4 2 GAME INSTALLATION, START AND UNINSTALL...5 3 MAIN MENU......6 3.1 Player selection......7 3.2 Company......8

More information

Removing chips is a method for producing plastic threads of small diameters and high batches, which cause frequent failures of thread punches.

Removing chips is a method for producing plastic threads of small diameters and high batches, which cause frequent failures of thread punches. Plastic Threads Technical University of Gabrovo Yordanka Atanasova Threads in plastic products can be produced in three ways: a) by direct moulding with thread punch or die; b) by placing a threaded metal

More information

State Survey Results MULTI-LEVEL LICENSURE TITLE PROTECTION

State Survey Results MULTI-LEVEL LICENSURE TITLE PROTECTION MULTI-LEVEL LICENSURE TITLE PROTECTION Prior AK MN TN MO AL MO KY VA AZ MS MO DC NYC NE HI ME OR IA RI PA IL TX VA KS WA LA WI MA WV Prior AK ME OR TN AL MI PA HI CO MS FL DC NC MN IA NE UT IL NV WA IN

More information

Football fever: self-affirmation model for goal distributions

Football fever: self-affirmation model for goal distributions Condensed Matter Physics 2009, Vol. 12, No 4, pp. 739 752 Football fever: self-affirmation model for goal distributions W. Janke 1, E. Bittner 1, A. Nußbaumer 1, M. Weigel 2,3 1 Institut für Theoretische

More information

Development of automated accounting system, monitoring development and innovation implementation control

Development of automated accounting system, monitoring development and innovation implementation control Development of automated accounting system, monitoring development and innovation implementation control Alexey CHEREZOV Perm State Technical University, Komsomolsky Ave. 29,614990 Perm, Russia Tel: 8-9630146327,

More information

Increased Wear Resistance of the Cultivator Plowshares by Laser Technology of Consolidation

Increased Wear Resistance of the Cultivator Plowshares by Laser Technology of Consolidation International Journal of Agriculture and Forestry 2015, 5(6): 318-322 DOI: 10.5923/j.ijaf.20150506.03 Increased Wear Resistance of the Cultivator Plowshares by Laser Technology of Consolidation Victor

More information

HEALTH CARE SYSTEM FINANCING IN UKRAINE AND ABROAD. Olha Zhmurko*

HEALTH CARE SYSTEM FINANCING IN UKRAINE AND ABROAD. Olha Zhmurko* HEALTH CARE SYSTEM FINANCING IN UKRAINE AND ABROAD Olha Zhmurko* Lviv Ivan Franko National University, Ukraine Abstract. The bases of health care financing system in Ukraine are grounded on the model of

More information

Opis przedmiotu zamówienia - zakres czynności Usługi sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu

Opis przedmiotu zamówienia - zakres czynności Usługi sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e C eo n t r u m S p o r t us I S t a d i o n p i ł k a r s k i

More information