Spenik Sándor. A parciális differenciálegyenletek osztályozása (klasszifikációja) Hiperbolikus egyenletek

Transcription

1 Speni Sándor A prciáis differenciáegenee oszáozás sszifiációj Hiperbois egenee

2 Kárpáji Mgr Könve. Készü Szüőföd Ap áogásáv Dr. Speni Sándor Ineri Kidó Uránbó fordío: Szeere Gábor Ineri Kidó Feeős idó: Dp Görg Feeős szeresző: Köv Már Bdpesi épvisee: H- Bp. Hndi János. 5. Készü Borneo Kf.-ben ISBN ISSN -8

3 UNGVÁRI NEMZETI EGYETEM MAGYAR TANNYELVŰ HUMÁN- ÉS TERMÉSZETTUDOMÁNYI KARA Dr. Speni Sándor A prciáis differenciáegenee oszáozás sszifiációj Hiperbois egenee Egeei jegze Ineri Kidó Ungvár Bdpes

4 A idván dr. Speni Sándor z UNE Hán- és Terészedoáni Kr Fizi és Mei Tnszé vezeő docense áío össze fesőfoú ninézéne diáji részére A nerv Fizi eii ódszerei nárg nerve és z Ái egeee nerve pján vn összeáív A Fizi eii ódszerei nárg nerve fizii és eii nszé üésén erü egviásr

5 TARTALOM I. FEJEZET A PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK TÍPUSAI..7. A prciáis differenciáegenee PDE eéeéne egfonosbb definíciói és fogi 7. A é függeen váozójú ásodrendű PDE- ípsi...9. A é függeen váozós ásodrendű PDE nonis r hozás... Hiperbois egenee.... Prbois egenee.4.. Eipis egenee A é függeen váozós ándó egühójó ineáris ásodrendű PDE- nonis ji A öbbváozós váziineáris ásodrendű PDE- ípsi és nonis ji 9 5. A gsbbrendű differenciáegenee ípsi. II. FEJEZET HIPERBOLIKUS EGYENLETEK 6 A húr rezgéseine egenee..9. Háfoo é- és hárodienziós özegben.. A ebrán rezgéseine egenee..... A hidrodini egeneei és hngháo erjedése... Fedo féneée eeroosság és ágnesség éörébő... III. FEJEZET HULLÁMFOLYAMATOK VÉGTELEN KITERJEDÉSŰ KÖZEGEKBEN..5. A végeen húr szbdrezgései. A rerisziá ódszere háo erjedéséne ódszere..6 A Cch-fée fed ezdei feéeeő vó foonos függéséne éee 8 A Cch-fée fed egodásán fizii inerpreációj..4.. A iérési há erjedése egpendíe húr 4.. Az ipzshá erjedése egüö húr

6 A MATEMATIKAI FIZIKA MÓDSZERE TANTÁRGY CÉLJA A Meii fizi ódszerei árgn eős céj vn. Esősorbn egpozz ésőbbi Eerodini Kvnechni és Siszis fizi árg vin ás üönböző nszée á oo eéei árg. Ezér inden éá in pédá prciáis differenciáegeneee inden ípsá vin speciáis függvénee Besse- Csebisev-Heri- Legendre- és Lgerr-függvéne ien szeszögbő árgj. Másodsorbn árg nánozás során diáo száár eheőség níi rr hog eii áíáso erén ng pszr egene szer. A nárg nánozás jeenősen hozzájár z bszrciós épessége fejeszéséhez. A húr rezgési egeneéne eőáíás során iee hngsú pn z egene eőáíásán feéeei ee egben egodás zhóságá oráozzá. Hsonó eőfeéee ég jeenőseben oráozzá hővezeés egeneéne zhóságá. A nárg eődás során hngsúozz z rán dóso eredénei z eéei fizi és roon doáno erén. M.V. Oszrogrdszij rán szárzású viágszere iser eis hrovi oránzóságbn szüee és hrovi egeeen n cs zán öözö Szenpéervárr. I ésőbbieben pedgógi inéze igzgój e. A rgs pácá rezgéseine nánozásor egeíjü z egene áánosíásá és ezze egü sziárdságn és nn iser szebere Sz.P. Tioseno. A rezideée nánozásor Szohocij épeei is zz i ijevi egee végzőse vo. A nerv é zárhei dogozo ír eő. A fedo cso pédárbó erüne i ásd Fedo gori fogozásohoz de ezee ne odj eg gori fogozásoon. 6

7 I. FEJEZET A PARCIÁLIS DIFFERENCIÁLEGYENLETEK TÍPUSAI. A prciáis differenciáegenee PDE eéeéne egfonosbb definíciói és fogi Definíció. Az... függeen váozó vin z... isereen függvén és nn prciáis deriváji özöi összefüggés prciáis differenciáegenene PDE nevezzü. Definíció. A differenciáegenee n-edrendűne nevezzü enniben rz egább eg n-edrendű prciáis derivá és ne rz z n- ediné gsbb rendű derivá. Az n-edrendű egene áános j: F i i i α n α nenegív egész száo n.... α α α... α α α... Jeöje α α α... α nenegív α i oordináájú egész veor iinde ene hossz vi D α i i... α α egen ovábbá... α.... α α α... Az. egenee öveező bn írhj fe: α F... D. Definíció A PDE ineáris enniben z F z isereen függvénre és nn inden prciáis derivájár nézve ineáris. A ásodrendű ineáris egene áános j b c f.. ij i j i j i i i Definíció H z. egeneben f or z egene ineáris és hoogén. Aenniben z ij bi c egühó ándó z. egenee ándó egühós egenene nevezzü. Definíció A PDE váziineáris enniben ineáris eggsbbrendű derivár nézve ineáris. 7

8 A definíció szerin ásodrendű váziineáris egene áános j öveező bn írhó fe ij i j... i j Φ... Pédá. Ápísá eg prciáis differenciáegenee-e z ábbi egenee. Aenniben igen hározzá eg nn ípsá.. cos sin. Az egenőség zonosság ne PDE.. [ ] f. Az egenőség é függeen váozós hrdrendű váziineáris egene... 4 Az egenőség é függeen váozós ineáris negedrendű PDE 4.. Az egenőség é függeen váozós ineáris öödrendű PDE. Definíció Báre on z. egene éreezési roánán foonos és n-szer differenciáhó ϕ... függvén e z egenebe beheeesíve zonossággá íj z z. egene regáris egodásán nevezzü. A öveezőben cs regáris egodáso vizsgáj. n Péd. Vizsgáj eg n... egenee. i Az óbbi egenőség ejesü enniben i. i i n zz z cons ándó függvén egodás z egenene. Beáhj hog é foonos és észeresen differenciáhó ϕ és ϕ függvén összege z differenciáegene egodás. n Az egenene nivánvón nincs egodás. i i Ahog z feni pédábó áhj differenciáegeneene végeen so egodás ehe. Aenniben ehá eg fizii fed prciáis differenciáegene egodásár vezeheő vissz fo egéreű eírás céjábó z egenehez hozzá e fűzni vien fed iűzésébő öveező iegészíő feéeezésee. 8

9 . A é függeen váozójú ásodrendű PDE- ípsi Teinsü é függeen váozójú ásodrendű PDE-e: f.. A. ú differenciáegenee háro ípsb sorohó. Az függeen váozó rnszforáv inden ien egene egegszerűbb úgneveze nonis r hozhó. Ezér é függeen váozójú egenee nánozásá nonis ú egenee vizsgááv foj. A. egene nonis r hozás céjábó vezessü be z ϕ η ψ. Függeen váozó ho ϕ és ψ vin eze egább ásodrendű prciáis deriváji foonos függvéne és D η ϕ ϕ D ψ ψ. Ez eseben nivánvón öcsönösen egéreű egfeeeés á fenn egfeeő roáno és η ponji özö zz. egenősége -e és - és η függeen váozó egéreű függvéneén hározzá eg: η η. Tiszáznn e hog z ϕ ψ függvénee ien ódon e egvászni hhoz hog ezá. egene egszerűbb ú egen. Hog ez egvászohss heeesísü be. függeen váozó. egenebe. Eor η η U η U ϕ ψ ϕu ψ Uη ϕ U ψ U η ηη η ϕ U ϕ ψ U ψ U ϕ U ψ U. ϕ U ϕ ψ Uη ψ Uηη ϕ U η ψ U ϕϕ U ϕψ ϕ ψ Uη ψ ψ Uηη ϕu ψ Uη. Beheeesíve derivár po. összefüggésee. egenebe α U α U α U F η U U U.4 η ηη η η 9

10 α α ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ.5 α ψ ψ ψ ψ. Megjegezzü hog enniben. egene ineáris úg.4 is z. Vizsgáj eg z esőrendű z zz z..6 differenciáegenee. Legen z ϕ függvén ezen egene eg priáris egodás. H eor - egenővé esszü ϕ ve or.5-bő α. Az új függeen váozó ivászás ehá.6 egene inegráásáv egenéréű. A ovábbibn egü fe hog. egene egühói és ásodrendű prciáis derivá foonos vizsgá roánbn és ne ván egidejűeg egenővé náv. Eor h.6 egenee öveező bn írhj fe: [ z Δ z ][ z Δ z ] Vg enniben z Δ z z Δ z [ ][ ] Aho Δ. Mindé feni egene é egenere boi fe: z Δ z z Δ z.7 vg z Δ z.7а z Δ z. Tehá.7 és.7 egenee egodási eszne.6 egene egodási. A.7 és.7 egodás céjábó írj fe egfeeő özönséges differenciáegenee rendszeré d d d d Δ Δ vg d d d d Δ Δ

11 honnn d Δ d d Δ d.8а vg d Δ d d Δ d..8b A.8а és.8b egenee eg egeneén írhj fe d dd d.8 Aee. egene reriszis egeneéne nevezün. A özönséges differenciáegenee eéeébő iser hog h c ϕ.8а vg.8b veiéne áános inegráj vgis.8 egene áános inegráj or z ϕ.6 áános inegráj és viszon. Az -re érvénes oráozáso i.8а és.8b egenee egühóin deriváji ásodrendű deriváig foonos függvéne ehá éezne.8 egenene on inegráji ee foonos és eene deriváji ásodi deriváig foonos Definíció. A.8 egene egodási reriszián nevezzü. A Δ diszriináns eőjeéő függően. differenciáegenee ábbi ípsi üönbözejü eg. A. egenee D roánon hiperbois h D Δ> ; A. egenee D roánon prbois h D Δ ; A. egenee D roánon eipis h D és Δ. A.8-bó öveezi hog hiperbois egenee é üönböző vós rerisziseregge prbois íps eg vós rerisziseregge z eipis pedig é ope onjgá rerisziseregge rendeezi. Az D η α αα.9 D egenőség igz voáró özveen beheeesíésse gőződheün eg. D η H or.9-bő öveezi hog z egene íps ne D váozi eg. áíás során. Megjegezzü hog gnz z egene üönböző roánon eérő ípsú is ehe. Péd. Legen : h > Δ z egene eipis; b h Δ z egene prbois; c h Δ> z egene hiperbois.

12 . A é függeen váozós ásodrendű PDE nonis r hozás.. Hiperbois egenee. Hiperbois egenee eseében vizsgá roánbn Δ > és.8 reriszis egene é üönböző C ϕ C ψ vós rerisziseregge rendeezi. D ϕ ψ Bebizoníj hog eze függeene zz. A D C ϕ C ψ áános inegráo.8 és.8b egenee egodási zz ϕ Δ ψ Δ ϕ ψ vg ϕ Δ ψ Δ. ϕ ψ A Δ> feéene egfeeően ϕ ψ ϕ або ψ. ϕ ψ ϕ ψ Az óbbi egenőenségbő ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ψ ψ i bizonínn ee. Legen ϕ η ψ.. Aor α és α а.4 egenee z ábbi bn írhj e: F η U U Uη Uη η.. α A. egene hiperbois egene eső nonis j. Jegezzü eg hog h or. egene ár. ú. Vezessün be é új függeen váozó öveezőéppen α η β η.. Eor α αη β βη Az új α β váozó bevezeése ehá ne váoz eg z egene ípsá.

13 Legen α β α β U v α β. Eor: U vα vβ Uη vα vβ Uη vαα vββ. Az íg po derivá. egenebe heeesíve v v Ф α β v v v..4 αα ββ α β Ez hiperbois egene ásodi nonis j. Péd. Hározzá eg PDE ponos ípsá és nonis já. >..5 A.5 egene é függeen váozós ásodrendű PDE. Az egene ípsán eghározásához száís i diszriinánsá Δ. >. ábr A.5 egene ehá hiperbois. A egfeeő reriszis egene d d Ahonnn é vós reriszi-sereg. ábr C C. A rerisziá z C prboá jobb és b ági. 4 A prboá O engehez rozó csúcsi ne rozn rerisziához >. Végezzü e függeen váozó öveező rnszforációjá η

14 Eor U U η Uηη U. / η U Beheeesíve derivá.5 egenebe: U U U U U. U Uη η η ηη U 5 η η η U U 5U. Evégezve. áíás eghározz.5 egene ásodi nonis já vizsgá roánbn. vαα vββ vβ 5v. β.. Prbois egenee. Prbois egenee eseében Δ és egfeeő.8 reriszis egenene eg áános inegráj vn C ϕ. Eor ϕ η η Heeesíés végezzü ho η eg eszőeges észer foonosn inegráhó ϕ -ő függeen függvén. Mive ezér ϕ ϕ. α ϕ ϕ ϕ ϕ De eor α ϕ η ϕ η ϕ η ϕ η ϕ ϕ η η ehá.4 egene öveező bn írhó fe F η U U Uη U η..6 ηη α A.6 egene prbois egenee nonis j. Péd. Hározz eg..7 PDE ípsá és hozz nonis r. 4

15 Mive Δ ehá.7 egene prbois. A egfeeő reriszis egenebő d d C. Bevezejü z ábbi új függeen váozó: η..8 Mive η η.8 függvéne függeene: U U U U η U U η Uηη U Uηη. Beheeesíjü derivá.7 egenebe jd z összevonáso án egpj öveező nonis o U ηη η U. Megjegezzü hog ind.7 egene ind pedig nn nonis j ándó egühójú ineáris hoogén egenee. Ez egjegzés áános érvénű vgis h z egene ándó egühójú ineáris és hoogén or nonis is ándó egühójú ineáris és hoogén... Eipis egenee. Eipis egenee eseében Δ és.7 vg.7. egenee egühói ope száo. Bebizoníj hog ezene vnn göei. E cébó bevezejü z ζ iω..9 függvén. Eor ζ iω Δi ζ iω ζ iω Δi ζ iω vg ζ ζ Δω. ω ω ± Δζ αζ ζ Δω.а ω ω Δζ. A... egenerendszere esőrendű ineáris hoogén PDE- rendszerei ee egühói foonosn differenciáhó. Az ien egeneene vnn egodási és h. egene egodási ζ ζ ω ω or. egodási ζ ζ ω ω. A 5

16 .9 éreében.7 egodási z ζ ± iω függvéne.8 áános inegráji pedig C ζ ± iω. Hsonó gondoene.7 egene eseében is heáó. H bevezejü ζ iω η ζ iω jeöés α ζ iω ζ iω ζ iω ζ iω а отже ζ ζ ζ ζ ω ωω ω ζ ω ζ ω ωζ ζ ω.. Bevezejü z η η α ζ β ω.. i új függeen váozó A. függvéne Jcobi-deerináns ne n függvéne függeene evégezve heeesíés.-be. i ~ α ~ α ~ α. Eor.4-bő egpj z eipis egene nonis já. F α β U Uα U β U U.. αα ββ α Péd. Vizsgáj eg.5 egenee z roánbn. Ebben fésíbn z egene z eipis ípshoz rozi. A d d reriszis egene é ope onjgá rerisziáj C i C i. A. éreében α β. Eor U α U αα / / U ββ / U β. Beheeesíve.5-be derivá Uαα U ββ U β U. β.4. A é függeen váozós ándó egühójó ineáris ásodrendű PDE- nonis ji. Vizsgáj eg z ándó egühójú ineáris PDE- b b b f..4 A fenebb bizonío éreében.4 differenciáegene háro iser nonis egiére vezeheő vissz Uη cu cuη cu F η hiperbois íps.5 U Uηη cu cuη cu F η U c U c U c U F prbois íps.6 ηη η η U β 6

17 U Uηη cu cuη cu F η eipis íps.7 ho c i cons i. A.5.7 egenee ovábbi egszerűsíése céjábó vezessün be U η hee eg új v η függvén μη U e v η.8 ho és μ - eszőeges ándó. Eor U U U U U η ηη η e e e e e μη μη v v μη μη μη η v v v v μv ηη η v μv v η η v μ v μ v μv. Beheeesíve derivá.7 egenebe: v v c v c μ v ηη μ c cμ c v e F η. Vássz eg és μ ándó úg hog z óbbi egenebenv és v η ná egene. Eor zz Tehá c μη c c c μ μ c μ c cμ c c c c c c 4 4 η c 4 c c η v vηη c v e F η 4 4 Hsonó gondoenee öveve.5 és.6 egene eseében vη α v F η hiperbois íps v vηη αv F η v ηη c v F η prbois íps. Péd. Hározzá eg egene nonis já. Meghározz z egene ípsá Δ A vizsgá egene ehá prbois. c c 4. 7

18 Eor d 4dd 4d d d c. Legen η. Bebizoníj і η függvéne függeenségé η η U U U η U η U 4U U 4U Beheeesíve derivá.9 egenebe: 4U 4U U 8U 4U 4U U η ηη η U Uηη U Uη. Bevezejü z új v η függvén.8 épe szerin. Eor e μη v ηη μv η η μ v v ηη U U η μv vηη μ vη v μ μ v. A és μ ándó úg vászj eg hog ejesüjön z ábbi egenerendszer μ μ. μ μ 4 Eor z osó egenee íg írhj á v v ηη v η e 5 5η U η. v v Megjegzés. A. egenee grn úg írjá fe hog U η hee η - hsznájá. Ebben z eseben és η szibóo η cons és cons iráneni deriváén e éreezni. d d η cons η cons d dη vgis in U - és Uη - ne pedig in z függvén és η szerini prciáis deriváji ive z és z η ifejezésene nincs éreü íg z új és η oordináá nincsene eghározv. η 8

19 4 A öbbváozós váziineáris ásodrendű PDE- ípsi és nonis ji Vizsgáj eg ásodrendű váziineáris PDE-e. i j ho.... ij i j f Legen ij ji. Végezzü e váozó rnszforációjá z ábbi épee szerin: ϕ. Fogdj e ϕ függvénee észer foonosn differenciáhón és függeene vizsgá roánbn. Eor ho i U ϕ U ϕ ϕ i j i i j U ϕ Bevezejü α i ϕ. Eor beheeesíve derivá 4.-be i U ij i j F U U... U 4. α iα j;.... Vizsgáj eg öveező vdris forá i j ij i j i j 4. Aene egühói ve M... ponbn egegezne 4. egene egühóiv. Vezessü be z új η...η váozó z ábbi ineáris áíás segíségéve ho i α iη. 4.4 Eor vdris for öveező o veszi fe: η η ij α iα j. i j. 9

20 A 4. egene fő részéne egühói eor vdris for 4.4 áíásán egfeeő ineáris áíás szenvedi Az α i egühó egfeeő ivászásáv s 4. vdris forá nonis r hozhj η ho ± -e egenő vg n zz. H ehá z ponbn ejesüjene z ábbi egenősége függeen váozó úg vássz eg hog z M α i α i pédá i Aor 4. egene z o i α i M ponbn öveező o veszi fe U F U U... U. 4.5 A vdris forá eheeenségi éee Sveser éee éreében poziív negív és náv egenő egühó szá invriáns vdris forá nonis r hozó neszingáris ineáris rnszforációr nézve. Ezér 4. egene z M ponbn eipis h 4.5-ben inden -re; b prbois ípsú h 4.5-ben egább eg egühó érée n; c hiperbois ípsú enniben venni érée náó eérő és eze özö egább eg on vn ene eőjee eér 4.5 öbbi egühóján eőjeéő d rhiperbois enniben 4.5 egene venni egühój náó eérő de r egühó poziív és r negív. Megjegezzü hog eseében 4. egenee cs z do ponbn ehe nonis r hozni er hhoz hog 4. egenee ve roánbn nonis r hozz ϕ függvénee o ódon e egvászni hog eseében ejesüjene feéee. Az ien feéee szá i eghdj ϕ függvéne száá.

21 eseében nedigonáis eeee nává íhj de or digonáis eee üönbözőe ehene gnor egenő e egene -v. Megjegzés. H 4. egene ineáris és egühói ándó or z ejes éreezési roánán öveező nonis r hozhó F cu U b U. 4.6 Legene. Eor z ábbi ódon bevezeve v függvénee 5 ep b v U 4.6 egene öveező r hozhó. ep5 b F v c v Péd. Hározzá eg differenciáegene ípsá és hozzá nonis r Lgrnge ódszeréve* eghározz nn neszingáris rnszforáción А Máriá e nonis r hozz ϕ vdris forá. Eor bevezeve X A T Ξ - ho * Л. Я. Окунєв. Вища алгебра. К. 95 стор Ξ X öveező pj:. U U U U Beheeesíve ep v U

22 végü öveező pj v v v 9 v. 4 A 4.7 egene ehá hiperbois ípsú. α α... α n 5. A gsbbrendű differenciáegenee ípsi Az jeüései zv vizsgáj eg α s D U f D 5. α α... α differenciáegenee ho s α. Aenniben z α α... α egühó foonos vizsgá D roánbn z 5. ú PDE- eéeében fonos szerepe jászi öveező... vós préeree rzó n-edrendű for: ϕ αα... α α... α n Aee z 5. egene reriszis foráján nevezne. Az 5. for segíségéve z 5. PDE- öveező ípsi üönbözejü eg. Az 5. egene z D ponbn prbois enniben z 5. reriszis for i i μ μ... μ i neszingáris ffin rnszforáció á z on forává íhó á e cs préer rz. Ebben z eseben z ondjá hog z 5. egene z D ponbn prboisn efj. H prbois efjás ne á fenn or z 5. egene z D ponbn eipis enniben z ϕ reriszis egenene nincsene vós göei ivéve... gööe. Aenniben z 5. reriszis for... préereine z D ponbn ve neszingáris ffin rnszforációj eredéneéppen eőáó 5. rnszforá reriszis egeneében préere egiéne n vós göe vn or z 5. egene z ponbn hiperbois. Az 5. egene D roánbn prbois hiperbois vg eipis h roán inden ponjábn egdo ípshoz rozi. α α α

23 Pédá. Vizsgáj eg erheeen eez iséréű hjíási rezgésine egeneé* D q L ho q- eez feüeén egeneesen eoszó erheés inenziás D eez hjíáss szeben o erevsége. Eor reriszis for öveező 4 4 ϕ z 5.4 egene ehá eipis ípsú- vizsgá roánbn. Áánosn z i s s i s D f 4... egene ene reriszis foráj... i i ϕ eipis z éreezési roánán. Prbois egene pédá eez rnszverzáis rezgésine egenee *С.П.Тимошенко. История науки о сопротивлении материалов.м. 959 стр.47 D h L ρ 5.5 ho ρ h ándó. A egfeeő reriszis egenee ϕ bn írhj feі z 5.5 egene ehá prbois. A f L Differenciáegene hiperbois ive reriszis foráj ϕ ieégíi íván feéeee. Megjegzzü hog z 4 4 f L 5.6 Egene feni ípso egiéhez se rozi. A egfeeő reriszis for

24 ϕ ú ene -re nézve cs és öö éréei eseében vnn vós göei. Az ien differenciáegenee özes ípsún nevezzü. Pédá ápísá eg hog z ábbi egenee prciáis differenciáegenee-e és hározzá eg nn ponos ípsá. 4. cos cos cos sin sin og og og g sec. 6. cos sin. 7. n n. 9. e e.. sh n b Ápísá eg PDE ípsá és hozzá nonis r z ábbi egeneee-. 4 e.. sin sin cg.. e e 5e 5e e cos. 5. sin sin n cg cg cos ec e. 8. cos sin sh n

25 z. z z.. zz z z.. z z z. 5. z z 4.. z z 5

26 II. FEJEZET HIPERBOLIKUS EGYENLETEK A HIPERBOLIKUS EGYENLETEKRE VISSZAVEZETHETŐ FELADATOK Hiperbois egeneere áábn zo rezgésee pcsoos fizii fedo vezeheő vissz pédá húro és ebráno rezgési gázo rezgési eeroágneses rezgése. Eze egfonosbb jeezője rejedésü véges sebessége. Hiperbois egenee. Hiperbois egeneere visszvezeheő fizii fedo. A perefed iűzése. A fed orresége. Sbiiás. A hdó háo ódszere. U U. Fedo:. A húr rnszverzáis rezgései.. A pác ongidináis rezgései.. A rezgő húr energiáj. 4. Eeroos rezgése vezeőben. 5. A ebrán rnszverzáis rezgései. 6. Az szi és hidrodini egeneei. Definíció. Húr on rgs fon érün e on foonos váozásr épes e özben ne váozi eg hosszúság. A rezgésee rnszverzáisn einjü h húr inden ponj eg síbn ozog pono sebessége pedig erőeges z OX engere. A ϕ és U báre időponbn eghározz húr já. U U f ho f üső erő. Definíció. A ebrán on véon hár e ne fej i eenáás hjíáss és níráss szeben. Érvénes Hooe örvéne. U U U f ho f ebrán egségni feszínére eső erősűrűség. Kezdei- és hárfeéee. A differenciáegeneene végeen so egodás vn. A végeiné rögzíe húr eseében U U. 6

27 Mive rezgése ezdei profi és sebessége ezdei eoszásán függvéne U ϕ. U f Fogzz eg z egene eső perefeéeé: hározz eg z U U f egenee ieégíő U függvén roánbn. A perefeéeebő U μ U μ A ezdei feéeebő U ϕ U ψ A ásodi perefed U U f U μ ν z iser erő. U A hrdi perefed h U θ rgs rögzíés. U [ ] A Cch-fée fed U U f > U ϕ U ψ Vizsgáj eg öveező fedo U U f U f U F U μ U μ H F or fedo Diriche-fée fedn nevezzü H f és F eszőeges or fed Nenn-fée fed. Definíció. H ezdei- és perefeéeeben beöveező iséréű váozás hásár egodás egváozi or egodás insbi h ne váozi eg or sbi. 7

28 Megodási ódszere:. A hdó há ódszere.. A váozó szévászásán ódszere.. A Green-függvén ódszere. 4. Az eéei poenciáo ódszere. 5. Az inegráegenee ódszere. Írj fe Δ - hengeroordináábn: Запишемо Δ в ціліндричній системі координат: U U U ΔU ρ. ρ ρ ρ ρ ϕ z ΔU r sinθ sinθ r r r r θ θ r sin θ ϕ Lpce-fée egene hengeroordináábn. Aenniben Lpce-fée egene egodás göbi vg hengeres szieriáv rendeezi or U ρ ϕ z U ρ. Ez eseben U r θ ϕ U r d du r göbi oordináábn. dr dr Ez z egenee inegráv c U r c ho c eszőeges ándó. c Legen c c. Eor U érbei Lpce-fée egene r fndenáis egodás. Hengeroordináábn: U U ρ d du ρ. dρ dρ Meghározz hengerszieris egodás. U ρ c n ρ c. H c c or U n. A U ρ függvén ρ síhoz rozó ρ fndenáis egodásn nevezi. Az U z r pon ivéeéve indenü ieégíi ΔU Lpcefée egenee. Ez függvén eg ándóbn üönbözi ponszerű öés r U poenciájáó. r Hsonóéppen z U n függvén ρ pon ivéeéve indenü ρ ieégíi Lpce-fée egenee és eg ándóbn üönbözi feöö véon vezeő U n poenciájáó ho öéssűrűség. ρ 8

29 A síon iűzö eső perefed. Hározz eg öveező feéeee ieégíő U függvén: Необхідно знайти функцію U яка задовільняє умовам:. ΔU A C onúrr háro végeen roánbn.. Az U függvén indenü foonos ideérve C onúrvon is.. U C ϕ ho ϕ C -n eghározo függvén. 4. U M oráos végeenbenzz éezi eg on N szá hog U M N. A éváozós perefed egeen egodáss rendeezi. A húr rezgéseine egenee Definíció. Húrn z sziárd ese nevezzü ene hossz énegesn eghdj nn egéb éreei. A húr rezgéseine foá úg írhj e h egdj húr ponjin hezeé z idő függvénében. ábr. A húr ponjin hezeé iserne einhejü enniben iserjü z eozdásveor U { }. oponensei időponbn- Vizsgájn eg eg egszerűbb fedo. A rezgés z O síbn öréni z U eozdás-veor báre időponbn erőeges z O engere. Eor rezgés foá z függvénne írhj e e húr függőeges iránú eozdásá j; A húr bszoú hjéon húr T feszüsége jeenősen eghdj nn R eenáásá zz húr cs nújáss szeben fej i eenáás hjíáss szeben ne ezér R feéeezésse éün és rgs zz ejesü Hooe örvéne feszüség rános egnújáss; A özeg eenáás náv egenő és húr rezgései icsi zz α ho α húrhoz z ponbn húzo érinő és z O enge özöi hegesszög. Eor z ábbi sorbfejésbő α sinα α...! 9

30 Köveezi hog sinα α. A α α cosα sin egenőségbő pedig cos α. Figeebe véve hog g α sinα cosαgα : sinα gα Tehá M M g α. d. ábr vgis húr hossz rezgés során ne váozi. A és feée szerin T ρ feszüség ne függ időő. Bebizoníj hog feszüség z -ő se függ. Legen F ρ z O iránú húr enén egeneesen eoszó üső erő és I ρ eheeenségi erő. Vizsgáj eg húr eg szszá. A D Aber-ev szerin húr szszár hó erőne egfeeő engere eső veüeeine összege n. Tehá ρ ρ ρ ПрoF ПрoI ПрoT T cosα T ρ ПрoT T cosα T. Vgis T T T T.

31 Mive z és pono ivászás eszőeges z óbbi egenőségbő T T cons. Hog eghározhss húr rezgései eíró egenee írj fe z szszr hó erő O engere eső veüeé: F d ρ d T sinα T sinα ho ρ húr ineáris sűrűsége. Mive [ α sinα ] T T T sin d eor F ρ T. d Mive z inegráás és hárin egvászás eszőeges f. ho T F ; f üső erő inenziás z erőne egségni ρ ρ hosszúságr eső része. Aenniben húr egneű zz ρ ándó or cons. Az. egene húr rezgéséne egenee. Aenniben üső erő nincs jeen F σ or egpj húr szbd rezgéseine egeneé...а. ábr. egjegzés. H húr M M szsz úg heezedi e hog.ábrán áhj or T ρ és T ρ O iránb eső veüeei. T sinα sinα. de os sinα g8 α

32 e szerin T sinα sinα T.. egjegzés. Aenniben özegeenáás ne ehngohó hne egenesen rános sebességge z egene íg írhó fe: h f h cons.. Háfoo é- és hárodienziós özegben.. A ebrán rezgéseine egenee. Definíció. A ebrán eg szbdon ehjó rgsn ifeszíe véon hár. Téeezzü fe hog ebrán ngi ápoábn z O sí ve D roáná fogj e h pedig vien ódon iéríeé egensúi hezeébő or rezgései során inden ponj z O sír erőegesen ozog ebrán rnszverzáisn rezeg. Jeöje ebrán ponján hezeé időponbn F pedig z egeneesen eoszó egségni feüere eső üső erő vizsgáj eg ebrán is rezgései négzeei ieve szorzi ehngoj. Bizoníhó hog ebrán ien rnszverzáis rezgései z ábbi differenciáegene írj e: F.. ρ H ebrán egneű ρ cons or cons. Szbdrezgése F eseében ebrán rezgéseine egenee hoogén.. A ifejezés Lorenz-operáorn nevezi. A Lorenz-operáor zv. egenee íg írhj fe F. ρ

33 ... A hidrodini egeneei és hngháo erjedése. A hidrodiniábn fodéo vg gáz foonos özegne einjü. Ez z jeeni hog fodé vg gáz eszőeges érfogeeé on ngn einjü e ngon ngszáú oeá rz. Aior fodé ve eeéne eozdásáró beszéün or ez ne z eges oeá ozgásá érjü hne ejes érfogee ozgásá i hidrodiniábn ponszerűne einün. Tegü fe hog z egneű gáz vg fodé ve öege eg sziárd edénében heezedi e e egdo ódon ozog érben. Téeezzü fe ovábbá hog ezdei időponbn fodé részecséi o ódon énszeríeé ozogásr hog báre öveező időponbn fodéöeg bárei ponj sebességéne z iránob eső v v vz veüeei oordináá ve z függvénéne egfeeő oordináá szerini prciáis deriváji vgis fodé z sebességpoenciá rendeező ozgásr vn énszeríve. A hidrodiniábó iser gáz fodé szii egenee:. zz Aho ve z do gáz vg fodé fizii jdonságió függő ándó. Megjegezzü hog enniben isere sebességpoenciá fodé vg gáz ozgás ejesen eghározo. A gáz ozgásá or einjü eghározon h báre időponbn és báre z ponbn iser sebességveor ρ z sűrűség és p z noás. De ρ ρ v grd p p ρ ρ ρ ho ρ і p ezdei sűrűség és noás.. Fedo féneée eeroosság és ágnesség éörébő. Vezessü be öveező jeöésee: c - fénsebesség ε - dieeroos ándó - eeroos vezeőépesség μ -ágneses perebiiás. A Mwe-Herz eée éreében z eeroos háo erjedésé z eeroos erő z veor jeezi e öveező PDE- eégíi i c zz ε μ 4πμ..4 c 4π Bevezeve öveező jeöésee b ε μ ε z egene z ábbi bn írhó fe

34 zz b..4а Mive örneze eben jeenség ejászódi z éer ho ε μ. egenehez jn. Megjegezzü hog 4πμ ennisége e z eeroos erő időbei veszesége bszorbción nevezi. Az..-.4 egenee indegie háegene. Bevezeve Δ... n Lpce-operáor háegeneee íg írhj fe: Δ f... n..5 Vezessü be z ábbi jeöésee: τ i i i n..6 A.6 áíás neszingáris ive Mive ττ ezér.5 egene íg írhó fe: ~ ττ τ Δ τ f τ vgis háegene hiperbois ípsú. A fesoro pédábó öveezi hog hiperbois egenee hájeenségee írn e. Azonbn ne inden hájeenség írhó e hiperbois egeneee pédá pácá rnszverzáis rezgési ne. Mive prciáis differenciáegeneene áábn végeen so egodás vn ve onré háfo eseében PDE-hez ég iegészíő feéeee e csoni eene z isereen függvén és nn deriváji eg e feejene i ódon érehozhó egfeeő erészei jeensége egéreűen eíró eii ode. 4

35 III. FEJEZET HULLÁMFOLYAMATOK VÉGTELEN KITERJEDÉSŰ KÖZEGEKBEN Tegü fe hog vizsgá roánéreei jeenősen eghdjá nn roánn éreei eben vizsgá jeenség végbeeg. Eor z ondj hog jeenség eg végeen ierjedésű roánbn eg végbe. Az ien sziáció pédáj ehe hog eg eég hosszú húr on szszán rövid ideig ró rezgései vizsgáj e eég ávo vn húr végponjió. A húr végei ez eseben nivánvón seien befoáss nincsene vizsgá for. A rezgés fo ebben z eseben iindási hezeő és ezdősebességő függ. Ien ódon öveező eii fedhoz jon: hározz eg Δ f. E n roánbn. ee ieégíi ϕ ψ En. Feéeee ho f ϕ ψ - do függvéne. A. feéeee ezdei vg perefeéeene.. fedo pedig Cch-fée fedn nevezzü. Bebizoníj hog Cch-fée fed végeen ierjedésű özegben zjó háfo eii odeje. E cébó bizoníj hog hog Cch-fée fedn vn egodás és ez egodás egeen egene zon egodási B { > } ez egodás iindási do ϕ ψ perefeéee és. egene f jobb od foonos függvéne vgis h z Δ ϕ ϕ Δ f B ψ f ψ E n B E n 5

36 egene egodási or ε > і > δ δ ε > vin z α α α... α egészéréű veor z D n [ ϕ ϕ ] δ D [ ψ ψ ] δ E... n i αi i n f f δ B { E } feéeebő öveezi hog B roánbn ejesü z ábbi egenőenség: ε B. Definíció. Aenniben.. Cch-fée fedn egeen egodás vn B roánbn és ez egodás foonosn függ iindási doó or fedo orreü iűzöne nevezzü. n n. A végeen húr szbdrezgései. A rerisziá ódszere háo erjedéséne ódszere Vizsgáj eg öveező fedo: eressü eg z. egene zon egodási { } B roánbn ee ieégíi z ábbi ezdei feéeee ϕ ψ ;. ho ϕ iser C ψ C ; oszáú függvéne. Az.. fed egodás céjábó hozz z. egenee nonis r. Eor d d d d d d zz d d d d. Az óbbi egenee inegráv C C. Vezessü be z új függeen váozó öveezőéppen η. U Uη U U η Uηη U Uη Uη Uη Uηη. Beheeesíve z. egenebe z egnevű go összevonás án U η..4 6

37 Feéeezve hog erese egodás éezi z. egenebe beheeesíve z zonossághoz jn. Ez eseben z.4 nonis is zonossággá vái. Az.4-e szerin inegráv U U f η η η ho f η eszőeges függvén. Az óbbi η -re inegráv U η f η dη f f f η. Visszív ezdei függeen váozór z. pján U f f.5 ho f і f η eszőeges függvéne. H ehá z. egenene éezi egodás or z.5 ú. Másfeő h z f f függvéne deriváji és ásodi deriváji egü foonos vizsgá roánbn or eze is egodási z. egenene z.5 épe ehá z egene áános egodásá fejezi i. A húr szbdrezgései egeneéne áános egodásá eőször D Aber hároz eg 747-ben. Hározz eg z f és f függvénee o ódon hog z ieégíse z.5 feéeee. Eor f f ϕ f f ψ [ ] A ásodi egenee inegráv f f ϕ f f ψ z dz C ho eszőeges pon zz f ψ z dz ϕ C f ϕ z dz C. ψ Az.5-be heeesíve pj eg D Aber-fée épe 748-ben Eer á eghározo j. ϕ ϕ ψ z dz.6 7

38 Bebizoníj hog h ϕ C ; ψ C ; or z.6 D Aber-fée épe z.. Cch-fée fed egodás bizonív ezze fed egodásán éezésé. [ ϕ ϕη ] [ ψ ψ ] [ ϕ ϕηη ] [ ψ ψη ] [ ϕ ϕη ] [ ψ ψ ] [ ϕ ϕηη ] [ ψ ψη ]. Beheeesíve derivá z. egenebe Az.6 függvén z. ezdei feéeebe heeesíve [ ϕ ϕ ] ψ z dz ϕ [ ϕ ϕ ] [ ψ ψ ] ψ vgis z.6 z.. Cch-fée fed egodás. Az.6 eőáíásán ódjábó öveezi hog egodás egeen. A Cch-fée fed ezdei feéeeő vó foonos függéséne éee. Legene és Cch-fée fed egodási > ϕ ϕ ψ ψ C ; ψ ψ а ϕ ϕ C ;. Eor ε > és > δ > δ δ ε vgis ior ϕ ϕ δ ψ ψ δ és ; or ejesü z ε egenőenség inden. Bizoníás. Az és egodásor D Aber-fée épee zv [ ϕ ϕ ] [ ϕ ϕ ] [ ψ z ψ z ]dz 8

39 . Eor ϕ ϕ ϕ ϕ ψ z ψ z dz δ δ δ dz δ. H δ ε / or z ε egenőenség inden -re ejesü. A ée bizonío. A gorbn ezdei feéeee érésee hározzá eg eze erészeesen ponno. A os bizonío ée z áíj hog ezdei feéee is eérései is érében váozjá eg Cch-fée fed egodásá. A os bizonío ée ódo d Cch-fée fed egodásár bbn z eseben h ϕ és ψ függvéne ne feene eg ϕ C ; ψ C ; riérion. Hározz eg z.. Cch-fée fed egodásá bbn z esben h ϕ és ψ függvéne cs ve véges inervoon üönbözne náó foonos h ; és ϕ -ne éezne z esőrendű deriváji. Az ien függvéne egeneesen pproiáhó ϕn és ψ n differenciáhó függvénee úg hog E E ϕ ϕ ψ ψ. n n n n eözben ϕ C ; ψ C ;. n n H ϕn és ψ n függvénee fogdj e Cch-fée fed ezdei feéeeén or eze egéreűen eghározzá n egodás e D Aber-fée épee dhó eg. Mérjü fe egodáso n n üönbségé. Mive { ϕ n } és { ψ n } sorozo egenees onvergense ε > és > N n > N on hog inden poziív eseében ejesüne z ábbi egenőensége ε ε ϕ n ϕn ψ n ψ n Minden -re. A bizonío ée éreében inden і ; -re ejesüne z 9

40 n n ε egenőensége eszőeges n > N és poziív egész eseében. Ez zonbn z jeeni hog egodáso { n } soroz egeneesen onvergá ve függvénhez és ; eseében. Ez függvén z.. Cch-fée fd áánosío egodásán nevezzü. Eor i n i[ ϕ n ϕn ] n n i ψ n z dz [ ϕ ϕ ] n ψ z dz. Nivánvó hog ebben z eseben ϕ ψ és Cch-fée fed áánosío egodásá D Aber-fée épee djá eg. Megjegezzü hog vizsgá fedo ás ódszerre is egodh von enniben z áánosío függvénee [] с. 5-4 zz. Eő os eeinün. A öveezőben szánr ne z esz fonos hog ei egodás áíhj eő D Aber-fée épeee. A fonos z én hog ezdei feéee is eérései z eőáío egodásbn is is eérésee oozn. A Cch-fée fed egodásán fizii inerpreációj. Megdj húr szbdrezgései egenee áános egodásán fizii éreezésé 4. ábr. E cébó vizsgáj eg z. egene f ú egodásá. Legen eg eszőeges pon. Tegü fe hog ebbő ponbó időponbn sebességge eind eg egfigeő z O enge poziív iránáb. Eor időponbn z ponbn esz. A egfigeő á z ponbn időponbn ér iérés f f esz. A egfigeőn ehá báre eszőeges időponbn z áis rózodási heén húr gnon f éréű iérésé fogj pszni. 4

41 Ez z jeeni hog húr ezdei f profij sebességge fog ozogni z O enge poziív iránáb inh eg ró sziárd szereze von. Ezér z f egodás poziív iránbn hdó hán nevezi. Hsonóéppen dhj eg z f egodás inerpreációjá. Ez egodás negív iránb hdó hán nevezi. Eor húr profij z O enge negív iránáb hd sebességge. Az. egene.5 egodás ehá poziív és negív iránbn hdó háo szperpozíciój ezér egodás ezen eneé időnén háo erjedéséne ódszereén eíi. Az. egene evezeésében bevezeü z T / ρ jeöés. De gnor húron hdó há sebessége. Ebbő pedig z öveezi hog húron hdó há sebessége fordíon rános sűrűség négzegöéve és egenesen rános húr feszüségéne négzegöéve. Térjün á z.6 D Aber-fée épe éreezésére. Küön egvizsgáj z z esee ior ϕ ezdei iérése egenő náv és ior ψ ezdősebessége egenő náv. Az áános ese e é részese szperpozíciój... A iérési há erjedése egpendíe húr Legene ezdősebessége éréei egenő náv 5. ábr 6. ábr 4

42 Aor z.6-bó ϕ ϕ..7 A ϕ függvén iser ehá eghározhj húr hezeé báre időponbn A fenie éreében z rezgése ϕ poziív és ϕ negív iránú hábó án össze ee sebességge egfeeően jobbr és br hdn és időponbn háprofio egbeesne. Tegü fe hog ezdeben cs húr szszár eső ponobn ér e náó iérés feni szszhoz ne rozó ponobn pedig n. Az eondo geoerii iszrációj céjábó fogdj e hog ezdeben húr j öveező vo h ϕ h h h h h. A húr profijá üönböző időponobn z 5.és 6.ábr j. Láhj hog h húr ponj z > inervó jobbr heezedi e or enniben ngobn vn vgis pono há ég ne ére e. A időponbn húr ponj rezgésbe jön háfron eéri ez pono. Ahog há ehgj vizsgá pono vgis időpon án ez pon egin ngi ápob erü. Vgis z pon z időinervbn vesz rész háfobn. Hsonóéppen enniben vizsgá pon z inervó br heezedi e időinervbn végez rezgésee. Legen. Aor ezen ponon egidejűeg poziív és negív há is áhd. A é há eüső fronj pon eő heezedi e. A negív iránú há hásó fronj poziív iránú há hásó 4

43 fronj pedig időponbn hd á ponon. H > or húr e ponj ngobn vn vgis z O engeen heezedi e. Hsonóéppen > > -bn rezgése időponbn érne vége ior negív iránbn hdó há hásó fronj i ehd. Megápíhj hog ián z do ponon indé há áhd pon ngob erü. A eír fo jó szeéeheővé esz h bevezejü z O fázis*sí fogá 7. ábr. Az M fázissí inden ponj egfee húr ponján időponbn. A eseben húr ponjin ezdei eheezedésé pj. A egenes ponj húr hezeé j eg do időponbn z egenes ponj pedig húr do ponján hezeé báre időponbn. Szeresszü eg fázissíbn ± ± rerisziá eseben. Eor fésí h zónár boi. Rezgés cs zobn ponobn és cs zobn z időponobn öréni ee z I II III zónához rozn. A II zónábn cs poziív iránú há III zónábn cs negív iránú há z I zónábn pedig indé há h. A IV és V zónábn ég ne örén rezgés ive ezee ég ne ére e egfeeő háo eüső fronji VI zónábn pedig zér nincs rezgés er z háo hásó fronji ár ehgá. Fázisа görög ϕ ασιs -egjeenés- rezgő es ápoá ve időponbn jeező enniség. Rögzíve húr eszőeges ponjá és fefeé eeedve z egenes enén önnedén feírhj függvén báre időponbn. Legen >. Aor h fázissí ponji IV zónához rozn és. H or pon II zónához rozi poziív iránú há zónáj ϕ. A ϕ összeevő n ive > és > eseében ϕ. Végü h > pon VI zónához rozi és. 4

44 Können eenőrizhejü hog enniben or ϕ ϕ ϕ h h >. h 7. ábr 8. ábr Érheő hog ior z egi időponbó ásib egün á függvén foonos rd. Hsonóéppen áíhj eő z függvén eg egdo időponbn. H / fázissí ponj bró jobbr hdv V III I II і IV zónáon hd á h pedig > / or z I zón hee VI-en. Az eső eseben / h ϕ h [ ϕ ϕ ] h ϕ h h. 44

45 45 Hsonóéppen írhj fe / > eseben is. A feni gondoene öveve írhj fe függvén bbn z eseben h ϕ ezdei iérése z 5. ábrán egfeeően vnn egdv. Mive h z és rgeno áenne nán függvéne egváozjá z eőjeüe húzz eg fázissíon z ± egenesee. A 88. ábráró áhj hog húr inervohoz rozó ponji üönbözőéppen járjá be zóná ϕ függvén páros ezér cs poziív éréei vizsgáj. Eor h а h h h h h h h б > ; h h h h h h h в > >. h h h h h h

46 46 H eg do időponhoz rozó háforár vgn íváncsi or z függvén időinervobn e eghározni. а / > ; h h h h h h h b > ; h h h h h h h c / > >. h h h h h h Az függvén inden esebe foonos. Megjegezzü hog húr grfisn és niisn eőáío profiji egegezne egáss... Az ipzshá erjedése egüö húr. Legene e húr ponjin ezdei iérései náv egenő. Ebben z eseben z ondjá hog húrbn ipzshá erjed. H z.6-bn ϕ or

47 ψ z dz Φ Φ.8 ho Φ ψ z dz. Láhj hog egodás os is z poziív iránú Φ és negív iránú Φ háobó evődi össze. A ezdei időponbn Φ Φ. A háfo grfis ábrázoás céjábó egü fe hog h ψ v h h >. A Φ öveező éréee veszi fe Φ Φ Φ v v d v v d > v vd v Bevezeve h ábrázoj húr profijá üönböző időponobn 9. ábr. Trozzon húr ponj inervhoz zz egen >. A ezdei időponbn z inegráási inerv z poná fj e jd pedig sebességge erjed. H or nincs özös ponj inerv z.8 épe szerin vgis z pon ngobn vn. A időponó ezdve z foosn rácsúszi z -re ho ψ eér náó ψ v és z pon rezgésbe jön. H > inerv ejesen efedi - és z inegráás inerv esz ive ezen ívü v ψ. Eor h > ψ d. Hsonóéppen járhn e h pon z -ó br áhó. 47

48 9. ábr 48

49 УЖГОРОДСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ГУМАНІТАРНО-ПРИРОДНИЧИЙ ФАКУЛЬТЕТ З УГОРСЬКОЮ МОВОЮ ВИКЛАДАННЯ ФАХОВИХ ДИСЦИПЛІН др. Шпеник Олександр Оттович Класифікація рівнянь в частинних похідних. Рівняння гіперболічного виду. Egeei jegze Видавництво Ineri Ужгород Будапешт

50 Видання склав др. Шпеник Олександр Оттович доцент кафедри фізики та математики гуманітарно-природничого факультету з угорською мовою викладання фахових дисциплін УжНУ для студентів вищих учбових закладів Робоча програма складена на підставі програм дисциплін Методи математичної фізики та Державної програми університетів. Робоча програма з курсу Методи математичної фізики обговорена на засіданні кафедри теоретичної фізики

51 Мета курсу «МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ» Мета курсу «МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ» є подвійною. З одного боку курс є підготовчим для наступних загальних курсів таких як «Електродинаміка» «Квантова механіка» «Статистична фізика» та теоретичних спецкурсів на різних кафедрах. Тому всі теми такі як різні види рівнянь в частинних похідних спеціальні функції функції Бесселя Чебишева- Ерміта Лежандра Лагерра викладаються саме з цих позицій. З другого боку даний курс є полігоном для того щоб розвинути у студентів навички до різного роду математичних перетворень і операцій. В курсі підкреслюються також загально-пізнавальні абстракції. Наприклад підкреслюється що при одержанні рівнянь коливання струни робляться різні припущення які обмежують застосовність цього рівняння. Такого роду підхід робить рівняння теплопроводності ще більш обмеженим. Важливим елементом у викладанні курсу є підкреслення ролі українських вчених їх вклад у розвиток споріднених наук. Так всесвітньо відомий математик М.В. Остроградський є українцем за походженням народився у колишній Харківській губернії вчився у Харківському університеті лише згодом переїхав у Петербург. Де закінчив свою кар*єру директором вищого навчального закладу - Педагогічного інституту У зв язку з рівнянням коливання стержня згадується узагальнення на коливання балки а відтак - опір матеріалів і його славетний спеціаліст -С.П. Тимошенко. При використанні теорії лишків використовується формула Сохоцького -випускника Київського університету. Навчальним планом пердбачено проведення контрольних робіт. Завдання для цих робіт беруться з переліку задач Див. Перелік завдань до практичних занять але вони на практичних заняттях не розв язувались отже мають оригінальний характер.

52

53 РОЗДІЛ I КЛАСИФІКАЦІЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ 5. Основні поняття та визначення теорії ДРЧП...5. Класифікація ДРЧП -го порядку від двох незалежних змінних..7. Зведення до канонічного вигляду ДРЧП -го порядку від двох незалежних змінних.... Рівняння гіперболічного типу.... Рівняння параболічного типу 4.. Рівняння еліптичного типу Канонічні форми лінійних ДРЧП -го порядку від двох незалежних змінних із сталими коефіцієнтами Класифікація та зведення до канонічного вигляду Квазілінійних ДРЧП -го порядку з багатьма незалежними змінними.8 5.Класифікація диференціальних рівнянь вищого порядку РОЗДІЛ II РІВНЯННЯ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ 6 ЗАДАЧІ ЯКІ ПРИВОДЯТЬ ДО РІВНЯНЬ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ...6. Рівняння коливання струни 9. Хвильові процеси у двох- та тривимірному середовищі... Рівняння коливання мембрани..... Рівняння гідродинаміки і поширення звукових хвиль..... Задачі теорії світла електрики і магнетизму...4 РОЗДІЛ III ХВИЛЬОВІ ПРОЦЕСИ В НЕОБМЕЖЕНИХ ОБЛАСТЯХ 6. Вільні коливання нескінченної струни. Метод характеристик Метод поширення хвиль 7 Теорема про неперервну залежність розв язку задачі Коші від початкових даних..9 Фізична інтерпретація розв язку задачі Коші.4... Поширення хвиль відхилення..4.. Поширення хвиль імпульсу

54 РОЗДІЛ I КЛАСИФІКАЦІЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ. Основні поняття та визначення теорії ДРЧП Означення. Співвідношення між незалежними змінними... невідомою функцією... та її частинними похідними називається ДРЧП. Означення. Диференціальне рівняння називається рівнянням n-го порядку якщо воно містить хоча б одну частинну похідну n-го порядку і не містить похідних більш високого порядку. У загальному випадку рівняння n-го порядку має вигляд F i i i α n α цілі невід ємні числа n.... α α α... α α α... Користуючись позначеннями: α α α... α - цілочисловий вектор мультиіндекс з невід ємними координатами α... α α довжина мультиіндексу i i... α D α α... рівняння. можна записати у вигляді α F... D. α α... i Означення. ДРЧП називається лінійним якщо воно лінійне відносно невідомої функції і всіх її частинних похідних. Лінійне рівняння -го порядку має вигляд b c f.. ij i j i j i i i Означення. Якщо у рівнянні. f то це рівняння називається лінійним однорідним. Якщо коефіцієнти ij bi c є сталими то рівняння. називається лінійним рівнянням з сталими коефіцієнтами. 6

55 Означення. ДРЧП називається квазілінійним якщо воно лінійне відносно похідних найвищого порядку. Згідно з визначенням квазілінійне диференціальне рівняння -го порядку записується у вигляді ij i j... i j Φ... П р и к л а д и. З ясувати чи є наведені нижче рівності ДРЧП дати повне їх визначення:. cos sin. Дана рівність є тотожністю вона не є ДРЧП.. [ ] f. Дана рівність є квазілінійним рівнянням -го порядку від двох незалежних змінних... 4 Наведена рівність є лінійним однорідним рівнянням 4-го порядку від двох незалежних змінних. 4.. Остання рівність є нелінійним ДРЧП 5-го порядку від двох незалежних змінних. Означення. Всяка n разів неперервно-диференційовна в області задання рівняння. функція ϕ... яка будучи підставлена в дане рівняння замість невідомої функції і її частинних похідних перетворює його в тотожність за незалежними змінними називається регулярним розв язком рівняння. Надалі розглядатимемо тільки регулярні розв язки. Приклад. Розглянемо диференціальне рівняння n i i... n. Остання рівність виконується якщо i i n тобто cons є розв язком даного рівняння. Легко бачити що сума довільних два рази неперервно-диференційовних функцій ϕ і ϕ є розв язком диференціального рівняння. n Очевидно рівняння розв язку не має. i i. 7

56 Як випливає із наведених прикладів диференціальні рівняння можуть мати нескінченну множину розв язків. Тому коли фізична задача зводиться до ДРЧП для однозначного описання розглядуваного процесу необхідно до рівняння приєднати деякі додаткові умови які випливають з постановки задачі.. Класифікація ДРЧП -го порядку від двох незалежних змінних Розглянемо квазілінійне ДРЧП -го порядку від двох незалежних змінних f.. Усі диференціальні рівняння вигляду. можуть бути розділені на три основні типи. В кожному із них за допомогою заміни незалежних змінних рівняння. зводиться до найпростішого-канонічного вигляду. Тому при вивченні рівнянь з двома незалежними змінними обмежимося надалі дослідженням їх канонічних форм. Для зведення рівняння. до простішого вигляду введемо нові незалежні змінні: ϕ η ψ. де ϕ ψ є неперервними функціями разом з частинними похідними до -го порядку включно а D η ϕ ϕ D ψ ψ. Очевидно що тоді підстановка. здійснює взаємно однозначну відповідність між точками і η відповідних областей тобто із. та визначаються як однозначні функції незалежних змінних і η : η η. Виникає питання як вибрати функції ϕ ψ щоб рівняння. звелось до більш простого вигляду? Для того щоб дати відповідь на поставлене питання вводимо нові незалежні змінні. в рівняння.. Маємо η η U η U ϕ ψ ϕu ψ Uη ϕ U ψ U η ηη η ϕ U ϕ ψ U ψ U ϕ U ψ U. η 8

57 ϕ U ϕ ψ Uη ψ Uηη ϕ U ψ U ϕϕ U ϕψ ϕ ψ Uη ψ ψ Uηη ϕu ψ Uη. Підставляючи знайдені похідні. в. одержуємо α U α U α U F η U U U.4 η ηη η α α ϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ α ψ ψ ψ ψ. η.5 Відзначимо що за умови лінійності. рівняння.4 також було б лінійним. Розглянемо ДРЧП -го порядку z zz z..6 Нехай z ϕ деякий частинний розв язок цього рівняння. Тоді поклавши ϕ одержимо із.5 що α. Таким чином задача про вибір нових незалежних змінних зводиться до інтегрування рівняння.6. Надалі будемо вважати що коефіцієнти рівняння. є неперервними функціями разом з частинними похідними до -го порядку включно в розглядуваній області і не перетворюються одночасно в нуль. Тоді якщо рівняння.6 можна подати у вигляді [ z Δ z ][ z Δ z ] або якщо z Δ z z Δ z [ ][ ] де Δ. Кожне із наведених рівнянь розпадається на два: z Δ z z Δ z.7 або z Δ z.7а z Δ z. Таким чином розв язки кожного із рівнянь.7 або.7а будуть розв язками рівняння.6. Для інтегрування рівнянь.7 або.7а складаємо відповідну їм систему звичайних диференціальних рівнянь 9

58 d d d d Δ Δ або d d d d Δ Δ звідки одержуємо d Δ d d Δ d.8а або d Δ d d Δ d..8б Рівняння.8б або.8а можна записати у вигляді одного рівняння d dd d.8 яке називається характеристичним для рівняння.. Із курсу звичайних диференціальних рівнянь відомо що якщо c ϕ є загальним інтегралом одного із диференціальних рівнянь.8а або.8б тобто деяким загальним інтегралом.8 то z ϕ є розв язком рівняння.6 і навпаки. В силу накладених на умов коефіцієнти рівнянь.8а або.8б мають неперервні похідні до -го порядку включно а отже існують загальні інтеграли рівняння.8 неперервні разом з похідними до -го порядку включно. Означення. Розв язки рівняння.8 називаються характеристиками. В залежності від знаку дискримінанту Δ вводять наступну класифікацію диференціальних рівнянь.: рівняння. в області D називається рівнянням гіперболічного типу якщо при D Δ> ; рівняння. в D називається рівнянням параболічного типу якщо при D Δ ; рівняння. при D називається рівнянням еліптичного типу якщо Δ. Із.8 випливає що у випадку рівнянь гіперболічного типу маємо дві дійсні різні сім ї характеристик параболічного типу одну дійсну сім ю характеристик еліптичного дві комплексно спряжені сім ї. Безпосередньою підстановкою легко переконатись в справедливості рівності D η α αα..9 D

59 D η Якщо D то із.9 випливає інваріантність типу рівняння при перетворенні незалежних змінних.. Відзначимо що одне і те ж рівняння в різних областях може належати різним типам. П р и к л а д. Маємо : а при > Δ рівняння належить до еліптичного типу; б якщо Δ рівняння є параболічного типу; в при Δ> маємо рівняння гіперболічного типу.. Зведення до канонічного вигляду ДРЧП -го порядку від двох незалежних змінних.. Рівняння гіперболічного типу. У випадку рівнянь гіперболічного типу Δ > в розглядуваній області і характеристичне рівняння.8 має дві дійсні різні сім ї характеристик C ϕ C ψ. D ϕ ψ Покажемо що вони є незалежними тобто. Дійсно D загальні інтеграли C ϕ C ψ є розв язками рівнянь.8а або.8б тобто ϕ Δ ψ Δ ϕ ψ або ϕ Δ ψ Δ. ϕ ψ Згідно з умовою Δ > а значить ϕ ψ ϕ або ψ. ϕ ψ ϕ ψ Із останніх нерівностей маємо ϕ ϕ ϕ ψ ϕ ψ ψ ψ що і потрібно було показати. Покладемо ϕ η ψ..

60 Тоді α і α а рівняння.4 запишеться у вигляді F η U U Uη Uη η.. α Рівняння. є першою канонічною формою рівнянь гіперболічного типу. Зауважимо що якщо то рівняння. уже має вигляд.. Введемо нові незалежні змінні за формулами α η β η.. Маємо α αη β βη а отже після введення нових змінних α β тип рівняння не зміниться. Поклавши α β α β U v α β. Дістанемо: U v v U v v U v v. α β η α β η αα ββ Підставивши знайдені похідні в рівняння. одержимо v αα vββ Ф α β v vα vβ..4 Це друга канонічна форма рівнянь гіперболічного типу. П р и к л а д. Дати повне визначення вказати тип та звести до канонічного вигляду ДРЧП >..5 Рівняння.5 є лінійним однорідним ДРЧП -го порядку з двома незалежними змінними. Для визначення його типу складаємо дискримінант

61 Рис. Δ >. Отже.5 є рівнянням гіперболічного типу. Із відповідного характеристичного рівняння d d знаходимо дві дійсні різні сім ї характеристик рис.: C C. Характеристиками є праві і ліві вітки сім ї парабол C. 4 Вершини парабол які лежать на осі O не належать характеристикам >. Вводимо заміну незалежних змінних η Тоді U Uη Uη U U U η Uηη. U U η Uηη U. / η U Підставивши знайдені похідні в рівняння.5 одержимо U 5 η η η U U 5U. Зведемо рівняння.5 до другої канонічної форми в розглядуваній області. Для цього використаємо підстановку.. Матимемо

62 vαα vββ vβ 5v. β.. Рівняння параболічного типу. Для рівнянь параболічного типу Δ і відповідне характеристичне рівняння.8 має один загальний інтеграл C ϕ. Покладемо в цьому випадку ϕ η η де η довільна два рази неперервно диференційовна функція незалежна від ϕ. Оскільки то ϕ ϕ. α ϕ ϕ ϕ ϕ Але тоді α ϕ η ϕ η ϕ η ϕ η ϕ ϕ η η отже pівняння.4 запишеться у вигляді F η U U Uη U η..6 ηη α Рівняння.6 є канонічною формою рівнянь параболічного типу. П р и к л а д. Визначити тип та звести до канонічного вигляду ДРЧП..7 Маємо Δ отже рівняння.7 параболічного типу. Із відповідного характеристичного рівняння знаходимо d d C. Вводимо нові незалежні змінні: η..8 Оскільки η η то функції.8 незалежні: U U U U U U η U η ηη U U Підставивши знайдені поідні у рівняння.7 і звівши відповідні члени одержимо канонічну форму U η U. ηη ηη. 4

63 Відзначимо що як рівняння.7 так і його канонічна форма є лінійними однорідними ДРЧП зі сталими коефіцієнтами. Останнє зауваження справедливе і у загальному випадку: якщо вихідне рівняння є лінійним зі сталими коефіцієнтами то і його канонічна форма також буде лінійним ДРЧП зі сталими коефіцієнтами... Рівняння еліптичного типу. У випадку рівнянь еліптичного типу Δ і рівняння.7 або.7а мають комплексні коефіцієнти. Покажемо що вони мають розв язки. Для цього введемо нову функцію z ζ iω..9 Маємо ζ iω Δi ζ iω ζ iω Δi ζ iω або ζ ζ Δω. ω ω ± Δζ αζ ζ Δω.а ω ω Δζ. Системи..а є системами лінійних однорідних ДРЧП -го порядку з неперервно диференційовними коефіцієнтами. Такі системи мають розв язки причому якщо розв язком системи. є функції ζ ζ ω ω то розв язком системи.а будуть функції ζ ζ ω ω. В силу.9 розв язками рівнянь.7 будуть функції z ζ ± iω а загальними інтегралами рівнянь.8а будуть вирази C ζ ± iω. Аналогічні міркування справедливі і для рівнянь.7а. Якщо покласти ζ iω η ζ iω тоді α ζ iω ζ iω ζ iω ζ iω а отже ζ ζ ζ ζ ω ωω ω ζ ω ζ ω ω ζ ζ ω.. Введемо нові незалежні змінні за формулами η η α ζ β ω.. i 5

64 Якобіан функцій. відмінний від нуля функції незалежні а результат підстановки їх в рівняння. в силу. дає ~ α ~ α ~ α. Тоді з.4 одержуємо канонічну форму рівнянь еліптичного типу αα ββ α β U Uα U β. F U U. α П р и к л а д. Розглянемо рівняння.5 в області. В цій півплощині воно належить до еліптичного типу. Характеристичне рівняння d d дає дві комплексно-спряжені сім ї характеристик: C i C. i Покладемо згідно з. α β. Тоді U α U αα / U ββ / U β. Підставивши знайдені похідні в.5 матимемо Uαα U ββ U β U. β.4. Канонічні форми лінійних ДРЧП -го порядку від двох незалежних змінних із сталими коефіцієнтами. Розглянемо лінійне ДРЧП із сталими коефіцієнтами b b b f..4 Згідно з доведеним вище в залежності від типу диферeнціального рівняння.4 воно зводиться до однієї з канонічних форм: Uη cu cuη cu F η гіперболічний тип.5 U Uηη cu cuη cu F η U c U c U c U F параболічний тип.6 ηη η η / U Uηη cu cuη cu F η еліптичний тип.7 де c i cons i. Для подальшого спрощення рівнянь.5.7 введемо замість U η нову функцію v η μη U e v η.8 де і μ - довiльні сталі. Тоді U U η e e μη μη v v η v μv U β 6

65 U U U ηη η e e e μη μη μη v v v ηη η v μv v η η v μ v μ v μv. Підставивши знайдені похідні наприклад в рівняння.7 отримаємо v v c v c μ v μ ηη c c μ c v e μη η F η. Виберемо довільні сталі і μ так щоб в останньому рівнянні коефіцієнти при v і v η були рівні нулю. Тoді матимемо а значить c Таким чином c c c μ μ c μ c cμ c c c c c c 4 4 c 4 c c η v vηη c v e F η 4 4 Проводячи аналогічні міркування і відносно рівнянь.5 та.6 одержимо vη α v F η гіперболічний тип v vηη αv F η v c v F параболічний тип. ηη η П р и к л а д. Звести до канонічного вигляду диференціальне рівняння Визначаємо тип : Δ Отже задане рівняння є параболічного типу. Маємо d 4dd 4d d d c. Покладемо η. Покажемо що функції і η є незалежними: c c 4. 7