Fakt, ze pocet urovn kazdeho vnoreneho faktora je rovnaky pre kazdu uroven nadradeneho faktora vyjadruje vyvazenost' NOV modelu elkovy pocet pozorovan
|
|
- Jade Cassandra Hubbard
- 7 years ago
- Views:
Transcription
1 ODHDOVNIE PREDIKI EFEKTOV VO VYV ZEN YH MODELOH NL YZY ROZPTYLU RNDr Viktor Witkovsky, Sc Ustav merania SV Dubravska cesta ratislava, Slovenska republika umerwitksavbask Estimation and prediction of the eects in balanced NOV models bstract alanced analysis of variance (NOV) models are well-known tool for analysis of biometrical data The goal of the paper is to make a short overview of some mathematical tools wich are used for estimation and prediction of the eects of such models Key words: alanced NOV model, LUE, OLSE, GLSE, P, LP, LUP bstrakt Vyvazene modely analyzy rozptylu su znamym nastrojom na analyzu biometrickych udajov iel'om tohto prspevku je urobit' strucny prehl'ad niektorych matematickych nastrojov, ktore sa vyuzvaju pri odhadovan a predikcii efektov v tychto modeloch Kl'ucove slova: Vyvazeny NOV model, najleps linearny nevychyleny odhad, odhad metodou najmenschstvorcov, najleps prediktor, najleps linearny prediktor, najleps linearny nevychyleny prediktor Vyvazeny NOV model Modely analyzy rozptylu su strukturovane modely, ktore vysvetl'uju (modeluju) variabilitu pozorovanej veliciny len pomocou prirodzenej a l'ahko interpretovatel'nej organizacie do hierarchickej struktury Prave tato vlastnost'je d^ovodom vel'kej obl'ubenosti tychto modelov pri analyze biometrickych udajov Jednoduchost' a l'ahka interpretovatel'nost' je obzvlast' zrejma pre vyvazene modely s menej komplikovanou strukturou vstupnych faktorov (napr vyvazeny model jednoducheho triedenia) V prpade, ze pocet uvazovanych vstupnych faktorov je vyss, a navyse pripust'ame aj mozne interakcie medzi nimi, model sa komplikuje a samotna jeho konstrukcia a nasledna analyza sa stava komplikovanou Preto je d^olezite poznat' formalne pravidla konstrukcie vyvazenych NOV modelov Faktory, urovne a interakcie Struktura NOV modelov je popsana pomocou faktorov Rozlisujeme dva zakladne (hlavne) typy faktorov: krzove a vnorene Krzove faktory budeme oznacovat',, Pocet urovni jednotlivych faktorov potom oznacme n, n, n Pokial' jenapr faktor " zahniezdeny" v (teda vsetky jeho urovne sa vyskytuju v kazdej urovni nadradeneho faktora ), potom ide o vnoreny faktor, ktory oznacme : Potom n oznacuje pocet jeho urovni v kazdej urovni faktorov, v ktorych je vnoreny, (iny prklad vnoreneho faktora je :) Okrem tychto faktorov kazdy NOV model ma specialny vnoreny faktor, ktory zodpoveda variabilite vo vnutri jednotlivych faktorov Oznacujeme ho W, resp W: (z anglictiny " within" vo vnutri), pocet jeho urovn jen W
2 Fakt, ze pocet urovn kazdeho vnoreneho faktora je rovnaky pre kazdu uroven nadradeneho faktora vyjadruje vyvazenost' NOV modelu elkovy pocet pozorovan vo vyvazenom NOV modeli je teda N = n n n :::n W Zo zakladnych faktorov su odvodene interakcie, ktore su zahrnute ako d'alsie faktory do modelu analyzy rozptylu Symbolicky vznikaju ako suciny hlavnych faktorov L'ubovol'ny mozny sucin dvoch alebo viacerych krzovych alebo vnorenych faktorov vytvara interakciu k krzove faktory budeme reprezentovat' znacenm :, :, :, potom kazda interakcia tvor novy faktor typu :XYZ Naprklad, sucin krzovych faktorov, vytvara interakciu, sucin a : vyvara interakciu :, sucin a : symbolicky vytvor interakciu :, ktora vsak neexistuje Pri vytvaran interakci platia tieto pravila: k sa na niektorej strane dvojbodky vyskytne opakovane to iste psmeno, potom ho treba zapsat' len jedenkrat Pokial' sa na oboch stranach dvojbodky vyskytne to iste psmeno, interakcia neexistuje Neexistuju interakcie so specialnym faktorom W Prklad Uvazujme model s dvomi hlavnymi faktormi, :, a specialnym faktorom W: Z uvedeneho vyplyva, ze neexistuju ziadne d'alsie interakcie (: neexistuje) Tento model nazyvame hierarchicky model dvojiteho triedenia Matematicky ho m^ozme zapsat': y ijk = + i + ij + " ijk i = ::: n j = ::: n k = ::: n W () kde y ijk reprezentuje pozorovania, vseobecny priemer, i efekty krzoveho faktora, ij efekty vnoreneho faktora : a " ijk reprezentuje efekty specialneho faktora W: Prklad Uvazujme model s dvomi hlavnymi faktormi,, a specialnym faktorom W: Z uvedeneho vyplyva, ze existuje interakcia Tento model nazyvame krzovy model dvojiteho triedenia s interakciami: y ijk = + i + j + ij + " ijk i = ::: n j = ::: n k = ::: n W () kde y ijk reprezentuje pozorovania, vseobecny priemer, i efekty faktora, j efekty faktora, ij reprezentuje efekty interakcie a " ijk reprezentuje efekty specialneho faktora W: Linearny model Vyvazeny NOV model je z pohl'adu matematickej statistiky specialnym prpadom linearneho modelu typu y = Xb+ " (3) kde y je N-rozmerny vektor pozorovan, X je matica planu reprezentujuca strukturu faktorov a interakci a vektor b zdruzuje vsetky efekty faktorov a interakci Vektor " reprezentuje efekty nevysvetlene uvazovanymi faktormi a interakciami Prklad 3 (Vyvazeny model jednoducheho triedenia) Uvazujme model s faktormi a W:: y ij = + i + " ij i = ::: n j = ::: n W : (4) Tento model mozno zapsat' v maticovom tvare: y y nw y y nw y nn W = + ::: ::: ::: ::: ::: n + " " nw " " nw " nn W (5) alebo strucne y =( n nw ) +(I n nw ) +(I n I nw )" (6)
3 kde y =(y ::: y nn W ), N =( n nw ) oznacuje N-rozmerny st lpec jednotiek, =( ::: n ), " =(" ::: " nn W ) a(i n nw ) oznacuje Kroneckerov sucin identickej matice avektora jednotiek (pre matice a plat ( ) =fa ij g ij, teda ide o blokovu maticu s blokmi a ij ) k oznacme X =[( n nw ):(I n nw )] a b =( ) ( " " oznacuje transpozciu), potom dostavame maticovu reprezentaciu v tvare linearneho modelu y = Xb+ ": (7) Postup z prkladu 3 mozno zovseobecnit' na l'ubovol'ny vyvazeny model analyzy rozptylu: Pocet faktorov m (m; hlavych faktorov plus specialnyfaktorw) denuje pocet " poschod" struktury modelu Jednotlive matice planu stojace pri jednotlivych efektoch faktorov a interakci potom mozno vyjadrit'ako Kroneckerov sucin m I-matc, resp -vektorov, prslusnych rozmerov Platia tieto pravidla: Vseobecny priemer je spolocna konstanta pre vsetky pozorovania, takze jeho matica planu je sucinom jednotkovych vektorov Pre kazdy faktor resp interakciu typu :XYZ matica planu pozostava zo sucinu identickych matc, ktore stoja na miestach prisluchajucich jednotlivym psmenam (tj premenlivym indexom) a sucinu jednotkovych vektorov na zvysnych miestach Matica planu specialneho faktora typu W je N-rozmerna identicka matica Prklad 4 (Vyvazeny model krzoveho trojiteho triedenia s interakciami) Uvazujme model s tromi hlavnymi faktormi,, a specialnym faktorom W: Z uvedeneho vyplyva, ze existuju interakcie,, a Teda y ijkl = + i + i + k + ij + ik + jk + ijk + " ijkl : (8) ko reprezentaciu modelu v maticovom tvare dostavame: y = ( n n n nw ) +(I n n n nw ) +( n I n n nw ) +( n n I n nw ) +(I n I n n nw ) +(I n n I n nw ) +( n I n I n nw ) +(I n I n I n nw ) +(I n I n I n I nw )": (9) 3 Pevne a nahodne efekty Modely analyzy rozptylu vysvetl'uju napozorovane veliciny ako linearnu kombinaciu efektov (urovn) jednotlivych faktorov resp interakci, ktorazavisodstruktury modelu (vyjadrenej pomocou jednotlivych matc planu) Kazdy NOV model ma aspon jeden pevny (nenahodny) efekt vseobecny priemer a aspon jeden nahodny efekt, ktory zodpoveda specialnemu faktoru W Efekty prisluchajuce ostatnym hlavnym faktorom a interakciam m^ozu byt' pevne (nenahodne konstanty) alebo nahodne premene Rozlisujeme tri typy NOV modelov: model s pevnymi efektami, model s nahodnymi efektami a zmiesany model s pevnymi aj nahodnymi efektami Nahodne efekty su reprezentovanenahodnymi vektormi, ktoresu charakterizovanesvojou distribuciou Obycajne predpokladame iba znalost'struktury prvych dvoch momentov vektora strednej hodnoty a kovariancnej matice k reprezentuje nahodny vektor efektov prisluchajuci faktoru :XYZ, potom predpokladame: E() = Var() = :XY ZI: () k je nahodny efekt prisluchajuci inemu faktoru (interakcii), potom predpokladame ich vzajomnu nekorelovanost', teda ov( ) =E( )= Niekdey budeme predpokladat' uplnu znalost' distribucie nahodnych efektov obycajne budeme predpokladat' normalitu rozdelenia, teda N( :XY Z I) Prklad 5 (Vyvazeny hierarchicky model dvojiteho triedenia s nahodnymi efektami) Uvazujeme model s faktormi, : a W: Efekty prisluchajuce faktorom su nekorelovane nahodne vektory Teda y =( n n nw ) +(I n n nw ) +(I n I n nw ) +(I n I n I nw )" () pricom E() =,E() =,E(") =,Var() = I n, Var() = : I n n, Var(") = W: I n n n W, a ov( ) =,ov( ") =,ov( ") = Za danych predpokladov dostavame: E(y) = ( n n nw ) Var(y) = (I n J n J nw )+ : (I n I n J nw )+W : (I n I n I nw ) ()
4 pricom J = je matica jednotiek Parametre, : a W: nazyvame variancne komponenty Kazdy NOV model (s f pevnymi efektami a r nahodnymi efektami) mozno vhodnym zdruzenm jednotlivych matc planu avektorov efektov vyjadrit'vtvare linearneho modelu: y = Xb+ Zu (3) kde X =[X : ::: X f ] je matica planu pre pevne efekty zlozena z jednotlivych matc pri pevnych efektoch (vratane efektu ), b =(b ::: b f ) je usporiadanyvektor vsetkych pevnych efektov, Z =[Z : :::: Z r ]je matica planu pre nahodne efekty zlozena z jednotlivych matc pri nahodnych efektoch(vratane chyboveho efektu "), u = (u ::: u r) je usporiadany vektor vsetkych nahodnych efektov, pricom E(u i ) =, Var(u i )= i I a ov(u i u j ) = pre vsetky i 6= j Potom teda E(y) =Xb Var(y) =ZVar(u)Z =[Z : :::: Z r ]Diag( i I)[Z : :::: Z r ] = rx i= i Z iz i = (4) kde V i = Z i Z i su zname pozitvne semidenitne matice a ::: r su variancnekomponenty Vzhl'adom na specialnu strukturu matc X i a Z i (vsetky su tvorene ako Kroneckerov sucin identickych matc I- matc, resp jednotkovych vektorov -vektorov), aj matice V i maju specialnu strukturu: su tvorene ako Kroneckerov sucin I-matc resp J-matc Model (3) nazyvame vseobecnym (vyvazenym) zmiesanym NOV modelom rx i= i V i 4 Inverzia kovariancnej matice Searle a Henderson (979) odvodili vseobecny vysledok pre inverziu kovariancnej matice vo vseobecnom (vyvazenom) zmiesanom NOV modeli Ide o zovseobecnenie znameho vysledku z maticovej algebry: (ai n + bj n ) ; = I n ; b a a + nb J n a 6= a 6= ;nb: (5) Kazdy vyvazeny NOV model s m faktormi mozno matematicky zapsat'ako y = m X i= ( im n m im; n m; ::: i n )a i : (6) Suma prebieha cez vektorovy index i = (i m ::: i ), pricom kazde i j, j = ::: m m^oze nadobudat' len dve hodnoty, alebo Teda existuje celkom m r^oznych indexov i, ktore mozno lexikogracky usporiadat' od :::, ::: az ::: Vtomto oznacen plat reprezantacia: = a = I Teda permutovanm indexov i j dosiahneme vsetky mozne kombinacie matc planu, ktore pozostavaju len z Kroneckerovych sucinov -vektorov a I-matc Takychto matc je obycajne viac ako je potrebnych pre klasickcke NOV modely, preto v reprezentacii (6) a i oznacuju bud' jednotlive vektory efektov (pevnych alebo nahodnych) alebo nulove vektory Nech Var(a i ) = i I Pokial' a i reprezentuje pevny efekt, alebo nulovy vektor, potom i = a kovariancnu maticu mozno teda zapsat'ako: pricom J = J a J = I V = Var(y) = m X i= i (J im n m J im; n m; Ji n ) (7) Denujme vektor koecientov =(::: ::: ::: :::) a transformacnu maticu T = : (8) n m n m; n Potom = T je m -rozmernyvektor obsahujuci vlastnecsla matice V Oznacme vektor prevratenych hodn^ot (teda vektor obsahujuci vlastne csla matice V ; ), tj: = ::: : (9) ::: ::: :::
5 Potom rovnost' = T ;,kde T ; = nm n m ; nm; n m; ; n n ; denuje vektor koecientov =( ::: ::: ::: ::: ) inverznej matice V ; : V ; = Viac podrobnost mozno najst' v Searle et al (99), str 44 m X i= () i (J im n m J im; n m; Ji n ): () Odhadovanie pevnych efektov Reprezentacia vyvazenych NOV modelov v tvare linearneho modelu (3) s maticami X a Z specickeho tvaru (Kroneckerov sucin I-matc a -vektorov) umoznuje vyuzit'vysledky teorie linearnych modelov Podl'a Gauss-Markovovej vety (pozri napr Pazman (993), str 3-5) v linearnom modeli (y Xb V ) platrovnost' LUE(Xb)=GLSE(Xb), pricom LUE(Xb) oznacuje najleps linearny nevychyleny odhad vektora Xb v modeli (y Xb V ) a GLSE(Xb) = X(X V ; X) ; X V ; y je vseobecny odhad metodou najmenschstvorcovvektora Xb Zuvedeneho priamo vyplyva, ze v modeli (y Xb I) plat GLSE(Xb)= OLSE(Xb), pricom OLSE(Xb)=X(X X) ; Xy je obycajny odhad metodou najmenschstvorcov Veta Uvazujme vseobecny vyvazeny P NOV model so zmiesanymi efektami y = Xb + e, e = Zu, r pricom E(e) =a Var(e) =V = i= i V i Nech g R(X )=R(X X) (teda vektor g je vnoreny do linearneho priestoru generovaneho riadkami matice X, tj existuje taky vektor v R k,ze g = X Xv = X w, w = Xv)anech g b oznacuje linearnu funkciu pevnych efektov Potom OLSE(g b) = g (X X) ; X y = v X y = w OLSE(Xb) GLSE(g b) = g (X V ; X) ; X V ; y = w GLSE(Xb) LUE(Xb) = GLSE(Xb)=OLSE(Xb) teda aj LUE(g b)=olse(g b) () kde OLSE(Xb)=X(X X) ; X y a GLSE(Xb)=X(X V ; X) ; X V ; y Teda najlepslinearny nevychyleny odhad (LUE est Linear Unbiased Estimator) nevychylene odhadnutel'nej funkcie pevnych efektov g b sa zhoduje s obycajnym odhadom metodou najmensch stvorcov (OLSE Ordinary Least Squares Estimator) Navyse Var(LUE(g b)) = Var(GLSE(g b)) = Var(OLSE(g b)) = g (X V ; X) ; g = v (X VX)v: (3) Uvedene odhady a variancia odhadu nezavisia od vyberu pseudoinverznychmatc (X X) ; a (X V ; X) ; Vetu mozno dokazat' priamo s vyuzitm specialneho tvaru matc planu vyvazenych NOV modelov a vzt'ahu () pre vypocet inverznej kovariancnej matice Iny d^okaz vety jezalozeny na tvrden nasledovnej lemy (pozri Rao-Mitra (97), veta 8 a jej d^osledky): Lema Nutnou a postacujucou podmienkou k tomu, aby pre kazdu nevychylene odhadnutel'nu funkciu g b vlinearnom modeli (y Xb V ) platila rovnost' LUE(g b)=olse(g b) je platnost' jednej z podmienok: X VZ=, kde Z je matica ortogonalna k X, tj Z X = VX= XQ pre nejaku maticu Q D^okaz Nech g b je nevychylene odhadnutel'na funkcia parametrov, teda existuje, ze g = X X Potom OLSE(g b)= X y = g (X X) ; X y Podl'a Gauss-Markovovej vety v modeli (y Xb I) plat OLSE(g b) = LUE(g b) Rovnost' OLSE(g b) = LUE(g b) plat aj v modeli (y Xb V ) prave vtedy, ked'odhadolse(g b)jenekorelovany s linearnym odhadom l'ubovol'nej nulovej funkcie parametrov, tj p b = Pritom kazdy linearny odhad nulovej funkcie parametrovmozno zapsat'vtvare c p b = `Z y, kde Z je matica ortogonalna k X, tj Z X =, pretoze E(`Z y)=`z Xb =
6 Potom dostavame: teda plat tvrdenie lemy ov( X y `Z y)=, X VZ`=prevsetky, `, X VZ= (4) Navyse ak VX = XQ pre nejaku maticu Q potom X VZ = Q X Z = Naopak ak = X VZ = (V X) Z potom VX R(X) a teda existuje matica Q, ze VX = XQ Teda dostavame aj tvrdenie lemy D^okaz D^odledkom tvrdenia lemy je tvrdenie vety : Vo vseobecnom vyvazenom zmiesanom NOV modeli matica planu pre pevne efekty X = [X : ::: : X f ] pozostava z blokov X i, z ktorych kazdy je Kroneckerovym sucinom I-matc a -vektorov akovariancna P P r matica V = i= i V i,pricom P kazda V i je Kroneckerovym sucinom I-matc a J-matc Sucin VX =( i V i)[x : ::: : X f ] =[ i V ix : ::: P : i V i X f ], pricom V i X j = X j Q ij, kde Q ij su matice tvorene Kroneckerovym sucinom konstant, I-matc a J-matc Mozne kombinacie sucinov pre kazdu uroven sucinu V i X j = X j Q ij su dane v tabul'ke: V (l) i X (l) j V (l) i X (l) j =X (l) j Q (l) ij Q (l) ij I I I=II I I =I I J I J=IJ J J n=ni ni Prklad 6 (Vyvazeny hierarchicky zmiesany model dvojiteho triedenia Uvazujeme model s faktormi, : a W:: y =( n n nw ) +(I n n nw ) +(I n I n nw ) +(I n I n I nw )" (5) pricom E() =,E(") =,Var() = : I n n, Var(") = W: I n n n W,aov( ") = Za danych predpokladovdostavame model y = Xb+e, X =[X : X ], pricom X =( n n nw ), X =(I n n nw )ab =( ) a V = Var(y) = : (I n I n J nw )+ W: (I n I n I nw ) Nevychylene odhadnutel'nesuvsetky funkcie g b,kdeg je riadok matice planu X, aleboichl'ubovol'na linearna kombinacia Z toho vyplyva, ze nevychylene odhadnutel'ne su vsetky funkcie + i, ale tiez naprklad kontrasty i ; j =( + i ) ; ( + j ) Naopak, bez d'alsej dodatocnej informacie (danej vo forme restrikci) o efektoch, nemozno nevychylene odhadnut'ani a ani jednotlive efekty i Nech g = ( ; ::: ), teda g b = ; Potom LUE( ; ) = OLSE( ; ) = g (X X) ; X y = v X y, kde v je taky vektor, ze g = X Xv a X X = X X X X X X X X n = n n n W X n I y = n X y X y = y ::: y :: y n:: (6) pretoze X X =( )( ) =( )=(n n n W )=n n n W = N, podobne X X =(X X ) =( )(I ) =( P n n W )=n n W, X X P P =(I )(I P ) P = n n W I n Nakoniec y ::: =( )y = i j k y ijk, podobne z X y dostavame y i:: = j k y ijk pre i = ::: n L'ahko vidiet', ze plat g = n n W X Xg atedav = n n W g Potom teda LUE( ; )=v X y = P (y :: ; y :: )=(n n W )=y :: ; y ::,kdey i:: = n n W Pj k y ijk oznacuje vyberovy priemer pozorovan v danej bunke urcenej kombinaciou urovn Variancia Var(LUE( ; )) = v (X VX)v a teda X Var(LUE( ; )) = v VX X VX X VX X VX = : + W: n n W v = (n W : + W: ) g n n g n n W n I n : (7)
7 3 Predikovanie nahodnych efektov Uvazujme vseobecny zmiesany NOV model v tvare y = Xb+ Zu + " (8) pricom E(y) =Xb, Var(u) =D = Diag( i I), Var(y) =V = ZDZ + "I a ov(u y) = = DZ Zakladnym kriteriom optimality pre prediktor vektora nahodnych efektov u je minimalizacia zovseobecnenej strednej kvadratickej chyby (MSE Mean Square Error) predikcnej chyby (~u ; u), teda minimalizacia E[(~u ; u) (~u ; u)], kde je l'ubovol'na pozitvne denitna matica Dencia Podl'a mnozstva informacie o rozdelen, resp o neznamych parametroch rozdelenia, zdru- zeneho vektora nahodnych efektov avektora pozorovan (u y ) denujeme tri druhy prediktorov, ktore su zalozene na kriteriu minimalnej MSE: Najleps prediktor (P est Predictor) vektora nahodnych efektov u denujeme ako kde je l'ubovol'na pozitvne denitna matica P(u) =argmin MSE(~u ; u) (9) ~u Najlepslinearny prediktor (LP est Linear Predictor) vektora nahodnych efektov u denujeme ako ~u = a + y, pricom LP(u) =argmin MSE(~u ; u) (3) ~u=a+y kde je l'ubovol'na pozitvne denitna matica a a, je l'ubovol'ny vektor, resp matica, vhodnych rozmerov 3 Najleps linearny nevychyleny prediktor (LUP est Linear Unbiased Predictor) funkcie pevnych anahodnych efektov w = L b+u,kdel je znama matica, a taka, ze Lb je nevychylene odhadnutel'na funkcia parametra b, potom denujeme ako ~w = a + y, pricom E(~w ; w) =a LUP(w) = argmin MSE(~w ; w) (3) ~w=a+y E(~w;w)= kde je l'ubovol'na pozitvne denitna matica a a, je l'ubovol'ny vektor, resp matica, vhodnych rozmerov Veta Uvazujme vseobecny NOV model s nahodnymi efektami (8), potom: Najleps prediktor vektora nahodnych efektov u je dany ako P(u) =E(ujy) (3) kde E(ujy) = R uf(ujy) du = R uf(u y)=( R f(u y) dy) du oznacuje podmienenu strednu hodnotu vektora u, pri danom vektore pozorovan y (data) f(u y) oznacuje zdruzenu hustotu rozdelenia vektora (u y ) a f(ujy) oznacuje podmienenu hustotu rozdelenia Najleps linearny prediktor vektora nahodnych efektov u je dany ako LP(u) = u + ov(u y)(var(y)) ; (y ; y )=DZ (ZDZ + " I) ; (y ; Xb) (33) kde u = E(u) =, y = E(y) =Xb, D = Diag( i I) 3 Najleps linearny nevychyleny prediktor funkcie pevnych anahodnych efektov w = L b + u, pricom L je znama matica a L R(X X), je dany ako LUP(w) = LUE(L b)+ov(u y)(var(y)) ; (y ; LUE(Xb)) = LUE(L b)+dz (ZDZ + " I) ; (y ; LUE(Xb)) (34) kde LUE(L b)=l (X V ; X) ; X V ; y, LUE(Xb)=X(X V ; X) ; X V ; y a D = Diag( i I)
8 D^okaz D^okaz vety priamo vyplyva z ulohy minimalizacie MSE za danych podmienok Podrobnosti mozno najst' v Searle et al (99), str 58{75 Prklad 7 (Vyvazeny hierarchicky model jednoducheho triedenia s nahodnymi efektami) Uvazujeme model s faktormi a W:: y =( n nw ) +(I n nw ) +(I n I nw )" (35) alebo y = Xb+Zu+",kdeX =( n nw )= N, Z =(I n nw ), b = a u = Pritom D = Var(u) = I n, V = Var(y) =ZDZ + W: I N = (I n J nw )+W: (I n I nw )=(I n ( J n W + W: I n W )) a ov(u y) = DZ = (I n n W ) Pretoze plat ( ) ; = ( ; ; ), potom podl'a (5) dostavame: V ; = I n ; W:I nw + J nw ; = I n I W: nw ; W: + n W J nw Najleps linearny prediktor vektora nahodnych efektov, LP() = LP(u) je podl'a (33) LP() = ov(u y)(var(y)) ; (y ; N ) = (I n n W ) I n I W: nw ; W: + n W = I n n W W: n W ; W: + n W = kde y i: = n W P nw j= y ij n W (y ; N ) W: + n (I W n n W n W )(y ; N )= W: + n W J nw (y ; N ) y : ; y n: ; : (36) (37) Podl'a ()LUE( N )=X(X X) ; X y = N ( N N ) ; N y = y :: N, kde y :: = N P n i= P nw j= y ij, potom najleps linearny nevychyleny prediktor vektora nahodnych efektov, LUP() = LUP(u) je podl'a (34) LUP() = W: + n (I W n n W n W )(y ; y :: N )= W: + n W y : ; y :: y n: ; y :: : (38) Prediktory nahodnych efektov, uvedene vo vete, zavisia od uplnej znalosti rozdelenia (v prpade najlepsieho prediktora), alebo zavisia od neznamych parametrov rozdelenia Najleps linearny prediktor zavis od parametrov prveho aj druheho radu, najleps linearny nevychyleny prediktor zavis len od parametrov druheho radu variancnych komponentov Odhady variancnych komponentov maju preto vel'ky vyznam pre aplikacie, ked' skutocne, ale nezname parametre v optimalnych prediktoroch su nahradene ich odhadmi Viac o odhadochvariancnychkomponentovmozno najst'vknihach Rao a Klee (988) a Searle et al (99) Kratky uvod je tiez vpracachhyanek (994) a Witkovsky (994) Zoznam literatury [] Searle, SR and Henderson, HV Dispersion matrices for variance components models J mer Stat ssoc, 74, 465{47, 979 [] Hyanek, J Linearn modely v selekci hospodarskych zvrat odhad slozek rozptylu In: Sbornk prac XI letn skola biometriky: " Linearn modely v zemedelskem vyzkumu a vyrobe", 9 august { september 994, Lednice na Morave, 6{66, 994 [3] Pazman, Nonlinear Statistical Models Kluwer cademic Publishers, Dordrecht, 993 [4] Rao, R and SK Mitra Generalized Inverse of Matrices and its pplications John Wiley & Sons, Inc, New York, 97 [5] Rao, R and J Klee Estimation of Variance omponents and pplications North-Holland Publishing ompany, msterdam, 988 [6] Searle, SR, G asella and E Mculloch Variance omponents John Wiley & Sons, New York, 99 [7] Witkovsky, V Metody odhadovania variancnych komponentov v linearnych modeloch In: Sbornk prac XI letn skola biometriky: " Linearn modely v zemedelskem vyzkumu a vyrobe", 9 august { september 994, Lednice na Morave, 67{76, 994
Kozmické poasie a energetické astice v kozme
Kozmické poasie a energetické astice v kozme De otvorených dverí, Košice 26.11.2008 Ústav experimentálnej fyziky SAV Košice Oddelenie kozmickej fyziky Karel Kudela kkudela@kosice.upjs.sk o je kozmické
More informationOSOBNOSTNÉ ASPEKTY ZVLÁDANIA ZÁŤAŽE
OSOBNOSTNÉ ASPEKTY ZVLÁDANIA ZÁŤAŽE Katarína Millová, Marek Blatný, Tomáš Kohoutek Abstrakt Cieľom výskumu bola analýza vzťahu medzi osobnostnými štýlmi a zvládaním záťaže. Skúmali sme copingové stratégie
More informationMôže sa to stať aj Vám - sofistikované cielené hrozby Ján Kvasnička
Môže sa to stať aj Vám - sofistikované cielené hrozby Ján Kvasnička Territory Account Manager Definícia cielených hrozieb Široký pojem pre charakterizovanie hrozieb, cielených na špecifické entity Často
More information: Architectural Lighting : Interiérové svietidlá
SEC Lighting : Architectural Lighting : nteriérové svietidlá : Shape Harmony : Tradition The company SEC accepts with enthusiasm the challenges of continuously changing world. n our opinion, luminaries
More informationCONTEMPORARY POSSIBILITIES OF MODELING OF THE PROBLEMS OF VEHICLE TRACK INTERACTION
ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 8/2008 Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Katowicach CONTEMPORARY POSSIBILITIES OF MODELING OF THE PROBLEMS OF VEHICLE TRACK INTERACTION
More informationING (L) Société d Investissement à Capital Variable 3, rue Jean Piret, L-2350 Luxembourg R.C.S.: Luxembourg B č. 44.873 (ďalej ako spoločnosť )
ING (L) Société d Investissement à Capital Variable 3, rue Jean Piret, L-2350 Luxembourg R.C.S.: Luxembourg B č. 44.873 (ďalej ako spoločnosť ) Oznam pre akcionárov 1) Správna rada spoločnosti rozhodla
More informationVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV BETONOVÝCH A ZDĚNÝCH KONSTRUKCÍ FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF CONCRETE AND MASONRY STRUCTURES PRIESTOROVÝ
More informationNávod k použití: Boxovací stojan DUVLAN s pytlem a hruškou kód: DVLB1003
Návod na použitie: Boxovací stojan DUVLAN s vrecom a hruškou kód: DVLB1003 Návod k použití: Boxovací stojan DUVLAN s pytlem a hruškou kód: DVLB1003 User manual: DUVLAN with a boxing bag and a speed bag
More informationSledovanie čiary Projekt MRBT
VYSOKÉ UČENÍ TECHNIC KÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF T ECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNO LOGIÍ ÚSTAV AUTOMATIZA CE A MĚŘÍCÍ TECHNIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMUNICATION
More informationRychlý průvodce instalací Rýchly sprievodca inštaláciou
CZ SK Rychlý průvodce instalací Rýchly sprievodca inštaláciou Intuos5 Poznámka: chraňte svůj tablet. Vyměňujte včas hroty pera. Bližší informace najdete v Uživatelském manuálu. Poznámka: chráňte svoj
More information1. Oblast rozvoj spolků a SU UK 1.1. Zvyšování kvalifikace Školení Zapojení do projektů Poradenství 1.2. Financování 1.2.1.
1. O b l a s t r o z v o j s p o l k a S U U K 1. 1. Z v y š o v á n í k v a l i f i k a c e Š k o l e n í o S t u d e n t s k á u n i e U n i v e r z i t y K a r l o v y ( d á l e j e n S U U K ) z í
More informationFORUM STATISTICUM SLOVACUM
6/008 FORUM STATISTICUM SLOVACUM I S SN 1 3 3 6-7 4 0 8 6 9 7 7 1 3 3 6 7 4 0 0 1 Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3, 84 67 Bratislava www.ssds.sk Naše najbližšie akcie: (pozri
More informationTémy dizertačných prác pre uchádzačov o doktorandské štúdium
Témy dizertačných prác pre uchádzačov o doktorandské štúdium Študijný odbor: 3.3.15 Manažment, Študijný program: Znalostný manažment Akademický rok 2010/2011 1. Školiteľ: doc. Ing. Vladimír Bureš, PhD.
More information6/08. a KARTOGRAFICKÝ GEODETICKÝ. Český úřad zeměměřický a katastrální Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky
GEODETICKÝ a KARTOGRAFICKÝ Český úřad zeměměřický a katastrální Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky 6/08 Praha, červen 2008 Roč. 54 (96) Číslo 6 str. 101 120 Cena Kč 24, Sk 27, GEODETICKÝ
More informationLV5WDR Wireless Display Receiver Rýchla príručka
LV5WDR Wireless Display Receiver Rýchla príručka 1 1. Predstavenie Wireless display receiver S Wireless display receiver (ďalej len WDR) môžete jednoducho zobrazovať multimediálny obsah (videá, fotografie,
More informationLecture 2 Matrix Operations
Lecture 2 Matrix Operations transpose, sum & difference, scalar multiplication matrix multiplication, matrix-vector product matrix inverse 2 1 Matrix transpose transpose of m n matrix A, denoted A T or
More information1 9 / m S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu M E C H A N I K P O J A Z D Ó W S A M O C H O D O W Y C H Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot r
More informationWLA-5000AP. Quick Setup Guide. English. Slovensky. Česky. 802.11a/b/g Multi-function Wireless Access Point
802.11a/b/g Multi-function Wireless Access Point Quick Setup Guide 1 5 Česky 9 Important Information The AP+WDS mode s default IP address is 192.168.1.1 The Client mode s default IP is 192.168.1.2 The
More informationCo je to vlastne reprezentace. Maggiore: repr. = linear operation that assigns to a generic element of Lie group, g, a linear operator D R (g).
Co je to vlastne reprezentace. Maggiore: repr. = linear operation that assigns to a generic element of Lie group, g, a linear operator D R (g). Pak tedy formulace choice of representation zni dost blbe
More informationG d y n i a U s ł u g a r e j e s t r a c j i i p o m i a r u c z a s u u c z e s t n i k ó w i m p r e z s p o r t o w y c h G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e k r e a c j i w r o k u 2 0
More informationTVORBA KOMUNIKAČNEJ KAMPANE S VYUŢITÍM DIGITÁLNYCH MÉDIÍ
Masarykova univerzita Ekonomicko-správní fakulta Študijný odbor: Podnikové hospodárstvo TVORBA KOMUNIKAČNEJ KAMPANE S VYUŢITÍM DIGITÁLNYCH MÉDIÍ Development of Communication Campaign (Utilisation of Digital
More informationhodnotu v medzilaboratórnych porovnávacích experimentoch
Metódy výpočtu konfidenčných intervalov pre referenčnú hodnotu v medzilaboratórnych porovnávacích experimentoch Ústav merania Slovenská akadémia vied Dúbravská cesta 9 84104 Bratislava REQUEST 2006 30.1.-1.2.,
More information8 / c S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n c z e l a d n i c z y dla zawodu Ś L U S A R Z Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji zawodów
More informationPrestige 660HN-T3A Príručka k rýchlej inštalácii splittra a smerovača (routra)
Prestige 660HN-T3A Príručka k rýchlej inštalácii splittra a smerovača (routra) Volajte na našu zákaznícku linku: 02/208 28 208 Prestige 660HN-T3A Príručka k rýchlej inštalácii splittra a smerovača (routra)
More informationMULTIVARIATE PROBABILITY DISTRIBUTIONS
MULTIVARIATE PROBABILITY DISTRIBUTIONS. PRELIMINARIES.. Example. Consider an experiment that consists of tossing a die and a coin at the same time. We can consider a number of random variables defined
More informationPolymérne konštrukčné materiály
Polymérne konštrukčné materiály Odborná publikácia Tatiana Liptáková, Pavol Alexy, Ernest Gondár, Viera Khunová Recenzenti: prof. Ing. Ivan Hudec, PhD. prof. Ing. Ivan Chodák, DrSc. Vedecký redaktor: prof.
More information1.- L a m e j o r o p c ió n e s c l o na r e l d i s co ( s e e x p li c a r á d es p u é s ).
PROCEDIMIENTO DE RECUPERACION Y COPIAS DE SEGURIDAD DEL CORTAFUEGOS LINUX P ar a p od e r re c u p e ra r nu e s t r o c o rt a f u e go s an t e un d es a s t r e ( r ot u r a d e l di s c o o d e l a
More informationMEDZINÁRODNÝ SEMINÁR MLADÝCH VEDECKÝCH PRACOVNÍKOV
Kaedra operačného výskumu a ekonomerie Fakuly hospodárskej informaiky EU v Braislave a Kaedra ekonomerie Fakuly informaiky a saisiky VŠE v Prahe MEDZINÁRODNÝ SEMINÁR MLADÝCH VEDECKÝCH PRACOVNÍKOV Kaedry
More informationWK29B / WK29W. Bluetooth Wireless Slim Keyboard. User manual ( 2 5 ) Uživatelský manuál ( 6 10) Užívateľský manuál (11 15)
WK29B / WK29W Bluetooth Wireless Slim Keyboard User manual ( 2 5 ) Uživatelský manuál ( 6 10) Užívateľský manuál (11 15) 1. Installing the batteries The EVOLVEO WK29B / WK29W keyboard uses two AAA alkaline
More informationCisco Security Agent (CSA) CSA je v í c eúčelo v ý s o f t w a r o v ý ná s t r o j, k t er ý lze p o už í t k v ynuc ení r ů zný c h b ezp ečno s t ní c h p o li t i k. CSA a na lyzuje c h o v á ní a
More informationE-puck knihovna pro Python
E-puck knihovna pro Python David Marek Univerzita Karlova v Praze 5. 4. 2011 David Marek (MFF UK) E-puck knihovna pro Python 5. 4. 2011 1 / 36 Osnova 1 Představení e-puck robota 2 Připojení 3 Komunikace
More informationMODELOVANIE PRIESTOROVÉHO USPORIADANIA A DICHOTÓMIE CENTRUM PERIFÉRIA
GEOGRAFIE ROK 2014 ČÍSLO 4 ROČNÍK 119 MARIÁN HALÁS MODELOVANIE PRIESTOROVÉHO USPORIADANIA A DICHOTÓMIE CENTRUM PERIFÉRIA HALÁS, M. (2014): Modelling of spatial organization and the dichotomy of centre
More information1 7 / c S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n c z e l a d n i c z y dla zawodu M E C H A N I K - M O N T E R M A S Z Y N I U R Z Ą D Z E Ń Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot
More informationKONTAKT CHEMIE Kontakt PCC
Cleaner and flux remover for printed circuit boards KONTAKT CHEMIE Kontakt PCC Technical Data Sheet KONTAKT CHEMIE Kontakt PCC Page 1/2 Description: Mixture of organic solvents. General properties and
More informationFORUM STATISTICUM SLOVACUM
2/2010 FORUM STATISTICUM SLOVACUM I SSN 1336-7420 9 7 7 1 3 3 6 7 4 2 0 0 1 2 0 1 0 1 Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3, 824 67 Bratislava www.ssds.sk Naše najbližšie akcie:
More informationFORT WAYNE COMMUNITY SCHOOLS 12 00 SOUTH CLINTON STREET FORT WAYNE, IN 468 02 6:02 p.m. Ma r c h 2 3, 2 015 OFFICIAL P ROCEED ING S Ro l l Ca l l e a r d o f h o o l u e e o f t h e r t y m m u t y h o
More informationG d y n i a B u d o w a b o i s k a w i e l o f u n k c y j n e g o o n a w i e r z c h n i p o l i u r e t a n o w e j p r z y S z k o l e P o d s t a w o w e j n r 3 5 w G d y n i N u m e r o g ł o s
More informationODVLHČOVAČ MDF2-12DEN3 MDF2-16DEN3 MDF2-20DEN3 MDN1-10DEN3
ODVLHČOVAČ SK MDF2-12DEN3 MDF2-16DEN3 MDF2-20DEN3 MDN1-10DEN3 OPIS PRÍSTROJA 86 ELEKTRONICKÝ OVLÁDACÍ PANEL 87 MANUÁLNY OVLÁDACÍ PANEL 89 UMIESTNENIE A UVEDENIE DO PREVÁDZKY 90 VYPRÁZDŇOVANIE VODY 91
More informationProjekt KEGA Vyučovanie fyziky programovaním modelov fyzikálnych javov a pomocou interaktívneho softvéru
Projekt KEGA Vyučovanie fyziky programovaním modelov fyzikálnych javov a pomocou interaktívneho softvéru Teória relativity s príkladmi Učebný text Jozef Hanč Slavomír Tuleja Košice 2008 Autori: RNDr. Jozef
More informationvector calculus 2 Learning outcomes
29 ontents vector calculus 2 1. Line integrals involving vectors 2. Surface and volume integrals 3. Integral vector theorems Learning outcomes In this Workbook you will learn how to integrate functions
More informationSedací Soupravy SEDACIE SÚPRAVY. modely pro rok 2013/14 MODELY PRE ROK 2013/14 V KŮŽI I LÁTCE V KOŽI A V LÁTKE
Sedací Soupravy V KŮŽI I LÁTCE modely pro rok 2013/14 SEDACIE SÚPRAVY V KOŽI A V LÁTKE MODELY PRE ROK 2013/14 18-21 36-37 28-29 26-27 56-59 6-7 30-35 42-45 8-11 38-39 54-55 50-51 14-17 24-25 46-49 52-53
More informationLicenčná zmluva k softwaru IBM SPSS Statistics pre Windows
Licenčná zmluva k softwaru IBM SPSS Statistics pre Windows Uzatvorená medzi: ACREA SR, spol. s r.o. Zapísaná: OR Okresného súdu Bratislava I., oddiel: Sro, vložka číslo: 77703/B so sídlom: Andrusovova
More informationJEDNODUCHÝ GRAMATICKÝ KOREKTOR
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV POČÍTAČOVÉ GRAFIKY A MULTIMÉDIÍ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF COMPUTER GRAPHICS AND
More informationJEDNOFÁZOVÝ STATICKÝ ELEKTROMER NA VIACSADZBOVÉ MERANIE ČINNEJ ENERGIE
JEDNOFÁZOVÝ STATICKÝ ELEKTROMER NA VIACSADZBOVÉ MERANIE ČINNEJ ENERGIE AMS B1x-xAx Applied Meters, a. s. Budovateľská 50, 080 01 Prešov Tel.: +421-51-758 11 69, Fax: +421-51-758 11 68 Web: www.appliedmeters.com,
More informationSF2940: Probability theory Lecture 8: Multivariate Normal Distribution
SF2940: Probability theory Lecture 8: Multivariate Normal Distribution Timo Koski 24.09.2014 Timo Koski () Mathematisk statistik 24.09.2014 1 / 75 Learning outcomes Random vectors, mean vector, covariance
More informationHow To Understand The Kroncker Product
The Kronecker Product A Product of the Times Charles Van Loan Department of Computer Science Cornell University The Kronecker Product B C is a block matrix whose ij-th block is b ij C. E.g., [ b11 b 12
More informationNOV - 30211/II. 1. Let f(z) = sin z, z C. Then f(z) : 3. Let the sequence {a n } be given. (A) is bounded in the complex plane
Mathematical Sciences Paper II Time Allowed : 75 Minutes] [Maximum Marks : 100 Note : This Paper contains Fifty (50) multiple choice questions. Each question carries Two () marks. Attempt All questions.
More informationSF2940: Probability theory Lecture 8: Multivariate Normal Distribution
SF2940: Probability theory Lecture 8: Multivariate Normal Distribution Timo Koski 24.09.2015 Timo Koski Matematisk statistik 24.09.2015 1 / 1 Learning outcomes Random vectors, mean vector, covariance matrix,
More informationTrestná politika štátu a zodpovednosť právnických osôb. Penal Policy of the State and Liability of Legal Entities
Trestná politika štátu a zodpovednosť právnických osôb Penal Policy of the State and Liability of Legal Entities Sekcia trestného práva Session of Criminal Law Garanti sekcie/ Scholastic Referees: doc.
More informationMAT188H1S Lec0101 Burbulla
Winter 206 Linear Transformations A linear transformation T : R m R n is a function that takes vectors in R m to vectors in R n such that and T (u + v) T (u) + T (v) T (k v) k T (v), for all vectors u
More informationViega Visign Cenník 2014
Viega Visign Cenník 2014 Ceny sú uvedené vrátane DPH Viega Eco Plus: Podomietková splachovacia nádržka na zabudovanie do odľahčených stien. Akčný balík Viega Eco Plus: prvok Viega Eco Plus + biela ovládacia
More informationKľúčové porovnateľné ukazovatele Poľsko (PL) Slovensko (SK)
VYSOKÉ ŠKOLY V POĽSKU Alena ŠTURMOVÁ Kľúčové porovnateľné ukazovatele Poľsko (PL) Slovensko (SK) Počet obyvateľov (2014) 38,0 mil. 5,4 mil. Počet vysokoškolských (VŠ) študentov (2012) > 2 mil. 221 tis.
More information1 Homework 1. [p 0 q i+j +... + p i 1 q j+1 ] + [p i q j ] + [p i+1 q j 1 +... + p i+j q 0 ]
1 Homework 1 (1) Prove the ideal (3,x) is a maximal ideal in Z[x]. SOLUTION: Suppose we expand this ideal by including another generator polynomial, P / (3, x). Write P = n + x Q with n an integer not
More informationd e f i n i c j i p o s t a w y, z w i z a n e j e s t t o m. i n. z t y m, i p o jі c i e t o
P o s t a w y s p o і e c z e t s t w a w o b e c o s у b n i e p e і n o s p r a w n y c h z e s z c z e g у l n y m u w z g lb d n i e n i e m o s у b z z e s p o і e m D o w n a T h e a t t i t uodf
More informationSections 2.11 and 5.8
Sections 211 and 58 Timothy Hanson Department of Statistics, University of South Carolina Stat 704: Data Analysis I 1/25 Gesell data Let X be the age in in months a child speaks his/her first word and
More information4.2. LINE INTEGRALS 1. 2 2 ; z = t. ; y = sin
4.2. LINE INTEGRALS 1 4.2 Line Integrals MATH 294 FALL 1982 FINAL # 7 294FA82FQ7.tex 4.2.1 Consider the curve given parametrically by x = cos t t ; y = sin 2 2 ; z = t a) Determine the work done by the
More informationNEZIŠTNÉ KOPÍROVÁNÍ, ROZMNOŽOVÁNÍ A VEŘEJNÉ PROVOZOVÁNÍ JE POVOLENO HELENOU GABÁNKOVOU VDOVOU PO AUTOROVI V DUBNU ROKU 2007.
THIS BOOK IS FREE TO SHARE FOR NONPROFIT PURPOSES WITH THE PERMISSION OF HELENA GABANKOVA WIDOW OF PAUL GABANEK GIVEN ON APRIL 2007. NEZIŠTNÉ KOPÍROVÁNÍ, ROZMNOŽOVÁNÍ A VEŘEJNÉ PROVOZOVÁNÍ JE POVOLENO
More informationSALAŠ KY, 13-16 1977 ČSKAE - ÚVVVR ^ 9-1979. IV. KOLOKVIUM O NÍZKYCH RÁDIOAKTIVITÁCH IV tb COLLOQUY ON LOW-LEVEL COUNTING
ČSKAE - ÚVVVR ^ 9-1979 n IV. KOLOKVIUM O NÍZKYCH RÁDIOAKTIVITÁCH IV tb COLLOQUY ON LOW-LEVEL COUNTING SALAŠ KY, 13-16 1977 Sborník prací z oblasti jaderné vědy a techniky Z B O H N 1 K R E F E R Á T O
More informationIBM Security Framework: Identity & Access management, potreby a riešenia.
Juraj Polak IBM Security Framework: Identity & Access management, potreby a riešenia. Nová doba inteligentná infraštruktúra Globalizácia a globálne dostupné zdroje Miliardy mobilných zariadení s prístupom
More informationCONDITIONAL, PARTIAL AND RANK CORRELATION FOR THE ELLIPTICAL COPULA; DEPENDENCE MODELLING IN UNCERTAINTY ANALYSIS
CONDITIONAL, PARTIAL AND RANK CORRELATION FOR THE ELLIPTICAL COPULA; DEPENDENCE MODELLING IN UNCERTAINTY ANALYSIS D. Kurowicka, R.M. Cooke Delft University of Technology, Mekelweg 4, 68CD Delft, Netherlands
More informationNávrat k problémom...
Návrat k problémom... M. Kaukič Katedra matematických metód, FRI ŽU 12. januára 2012 Problém N dám z histórie Problém pre 8 nebijúcich sa dám na šachovnici M. Bezzel, Berliner Schachzeitung, 1848 Všeobecne
More information5 VECTOR GEOMETRY. 5.0 Introduction. Objectives. Activity 1
5 VECTOR GEOMETRY Chapter 5 Vector Geometry Objectives After studying this chapter you should be able to find and use the vector equation of a straight line; be able to find the equation of a plane in
More informationE-LOGOS. usudzovanie z časti na celok. Miroslav Titze ELECTRONIC JOURNAL FOR PHILOSOPHY ISSN 1211-0442 14/2013. University of Economics Prague
E-LOGOS ELECTRONIC JOURNAL FOR PHILOSOPHY ISSN 1211-0442 14/2013 University of Economics Prague e Makroekonómia a mylné usudzovanie z časti na celok Miroslav Titze Abstract Main goal of the paper is discuss
More informationLecture 4: Partitioned Matrices and Determinants
Lecture 4: Partitioned Matrices and Determinants 1 Elementary row operations Recall the elementary operations on the rows of a matrix, equivalent to premultiplying by an elementary matrix E: (1) multiplying
More information2 1k 0 3k 2 0 1 4 S 5 7 P a s t w a c z ł o n k o w s k i e - Z a m ó w i e n i e p u b l i c z n e n a u s ł u g- i O g ł o s z e n i e o d o b r o w o l n e j p r z e j r z y s t o c i e x - a nnt e
More informationTechnická efektívnosť a odmeny zdravotníckeho personálu v zdravotníctve
Technická efektívnosť a odmeny zdravotníckeho personálu v zdravotníctve Ivana Novosádová Vysoká škola ekonomická v Praze Abstract: This paper is focus on the evaluation of technical efficiency of acute
More informationPostup pre zistenie adries MAC a vytvorenie pripojenia. v OS Windows
1 Postup pre zistenie adries MAC a vytvorenie pripojenia v OS Windows Obsah: a) Zistenie hardwarovych adries MAC Windows 10 str. 2 Windows 8.1 str. 4 Windows 7 str. 6 Windows Vista str. 8 Windows XP str.
More informationCampus Sustainability Assessment and Related Literature
Campus Sustainability Assessment and Related Literature An Annotated Bibliography and Resource Guide Andrew Nixon February 2002 Campus Sustainability Assessment Review Project Telephone: (616) 387-5626
More informationPrehľad patentovej literatúry + Prehľad voľne dostupných zdrojov
Prehľad patentovej literatúry + Prehľad voľne dostupných zdrojov Literatúra s tematikou duševného vlastníctva a priemyselného práva (zakúpené z prostriedkov projektu do knižničného fondu Akademickej knižnice
More informationNotes on Applied Linear Regression
Notes on Applied Linear Regression Jamie DeCoster Department of Social Psychology Free University Amsterdam Van der Boechorststraat 1 1081 BT Amsterdam The Netherlands phone: +31 (0)20 444-8935 email:
More informationIII Bienal de Autismo Página 1 / 43
III Bienal de Autismo Página 1 / 43 A Direcção da APPDA N ort e dá -v os as B oas V in das à I I I B ien al de Au t is m q u e es t a corres p on da à s v os s as ex p ect at iv as com o t em a em deb
More informationHuman resources development in rural areas of the Czech Republic
Human resources development in rural areas of the Czech Republic Vývoj lidských zdrojů ve venkovském prostoru ČR L. Svatošová Czech University of Life Sciences, Prague Czech Republic Abstract: al development
More informationMEZINÁRODNÍ VĚDECKÝ SEMINÁŘ NOVÉ TRENDY V EKONOMETRII A OPERAČNÍM VÝZKUMU
Katedra ekonometrie Fakulty informatiky a statistiky VŠE v Prahe a Katedra operačného výskumu a ekonometrie Fakulty hospodárskej informatiky EU v Bratislave MEZINÁRODNÍ VĚDECKÝ SEMINÁŘ NOVÉ TRENDY V EKONOMETRII
More informationFORUM STATISTICUM SLOVACUM
7/2013 FORUM STATISTICUM SLOVACUM ISSN 1336-7420 9 771336 742001 2 0 1 3 7 Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3, 824 67 Bratislava www.ssds.sk Naše najbližšie akcie: (pozri tiež
More informationPSTN. Gateway. Switch. Supervisor PC. Ethernet LAN. IPCC Express SERVER. CallManager. IP Phone. IP Phone. Cust- DB
M IPCC EXPRESS Product Solution (IPCC - IP Co n t a c t Ce n t e r ) E i n f ü h r u n g Ü b e r h u nd e r t M il l io ne n N u t ze r - P r o g no s e n zu f o l g e w e r d e n e s in d ie s e m J ah
More informationZborník príspevkov Význam ľudského potenciálu v regionálnom rozvoji / 1 Z B O R N Í K
Zborník príspevkov Význam ľudského potenciálu v regionálnom rozvoji / 1 Z B O R N Í K význam ľudského potenciálu v regionálnom rozvoji príspevkov z medzinárodného vedeckého seminára Zborník z konferencie
More informationThe Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications
The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications Volume 7, Issue, Article 11, pp. 1-14, 011 SOME HOMOGENEOUS CYCLIC INEQUALITIES OF THREE VARIABLES OF DEGREE THREE AND FOUR TETSUYA ANDO
More informationSystems of Linear Equations
Systems of Linear Equations Beifang Chen Systems of linear equations Linear systems A linear equation in variables x, x,, x n is an equation of the form a x + a x + + a n x n = b, where a, a,, a n and
More informationPOKUS O ENERGETICKO-INFORMAÈNÚ INTERPRETÁCIU NIEKTORÝCH MAGICKÝCH LIEÈEBNÝCH PRAKTÍK V TRADIÈNEJ ¼UDOVEJ KULTÚRE SLOVENSKA
Sn ROÈNÍK 45 1/1997 ŠTÚDIE POKUS O ENERGETICKO-INFORMAÈNÚ INTERPRETÁCIU NIEKTORÝCH MAGICKÝCH LIEÈEBNÝCH PRAKTÍK V TRADIÈNEJ ¼UDOVEJ KULTÚRE SLOVENSKA DUŠAN BELKO Mgr. Dušan Belko, Ústav etnológie SAV,
More informationC relative to O being abc,, respectively, then b a c.
2 EP-Program - Strisuksa School - Roi-et Math : Vectors Dr.Wattana Toutip - Department of Mathematics Khon Kaen University 200 :Wattana Toutip wattou@kku.ac.th http://home.kku.ac.th/wattou 2. Vectors A
More informationBURZA CENNÝCH PAPIEROV PRAHA. Prague Stock Exchange
MASARYKOVA UNIVERZITA Ekonomicko správní fakulta Studijní obor: Finanční podnikání BURZA CENNÝCH PAPIEROV PRAHA Prague Stock Exchange Seminární práce Matej Michlík Brno, říjen 2007 Obsah Obsah... 1 Úvod...
More informationSpoznávame potenciál digitálnych technológií v predprimárnom vzdelávaní
Spoznávame potenciál digitálnych technológií v predprimárnom vzdelávaní Ivan Kalaš Spoznávame potenciál digitálnych technológií v predprimárnom vzdelávaní Analytická štúdia Inštitút UNESCO pre informačné
More informationImproving Text Entry Performance for Spanish-Speaking Non-Expert and Impaired Users
Improving Text Entry Performance for Spanish-Speaking Non-Expert and Impaired Users Francesco Curatelli curatelli@dibe.unige.it Chiara Martinengo martinen@dima.unige.it University of Genova, Italy Oscar
More informationA degrees-of-freedom approximation for a t-statistic with heterogeneous variance
The Statistician (1999) 48, Part 4, pp. 495±506 A degrees-of-freedom approximation for a t-statistic with heterogeneous variance Stuart R. Lipsitz and Joseph G. Ibrahim Harvard School of Public Health
More informationIntroduction to Matrix Algebra
Psychology 7291: Multivariate Statistics (Carey) 8/27/98 Matrix Algebra - 1 Introduction to Matrix Algebra Definitions: A matrix is a collection of numbers ordered by rows and columns. It is customary
More informationMy Passport Ultra Metal Edition
My Passport Ultra Metal Edition Prvotriedne úložisko Príručka používateľa Externý pevný disk Príručka používateľa My Passport Ultra Metal Edition Servis a technická podpora spoločnosti WD Ak narazíte na
More informationUsing a Balanced Scorecard to Tie the Results Act to Your Day-to-Day Operational Priorities
Using a Balanced Scorecard to Tie the Results Act to Your Day-to-Day Operational Priorities September 2004 Institute for the Study of Public Policy Implementation Overview Background Behind the Results
More informationMATHEMATICS FOR ENGINEERING BASIC ALGEBRA
MATHEMATICS FOR ENGINEERING BASIC ALGEBRA TUTORIAL 1 ALGEBRAIC LAWS This tutorial is useful to anyone studying engineering. It uses the principle of learning by example. On completion of this tutorial
More informationFrederikshavn kommunale skolevæsen
Frederikshavn kommunale skolevæsen Skoleåret 1969-70 V e d K: Hillers-Andersen k. s k o l e d i r e k t ø r o g Aage Christensen f u l d m æ g t i g ( Fr e d e rik sh av n E k sp r e s- T ry k k e rie
More information1 Teaching notes on GMM 1.
Bent E. Sørensen January 23, 2007 1 Teaching notes on GMM 1. Generalized Method of Moment (GMM) estimation is one of two developments in econometrics in the 80ies that revolutionized empirical work in
More informationDERIVATIVES AS MATRICES; CHAIN RULE
DERIVATIVES AS MATRICES; CHAIN RULE 1. Derivatives of Real-valued Functions Let s first consider functions f : R 2 R. Recall that if the partial derivatives of f exist at the point (x 0, y 0 ), then we
More informationUpozorňujeme,že můžete formáty pro čtečky převádět ON-LINE na internetu do formátu PDF apod.
Dobrý den, děkujeme za Nákup,níže máte odkazy pro bezplatné stažení.knihy jsou v archivech PDF(nepotřebujete čtečku e-knih),txt(nepotřebujete čtečku e-knih), a dále pro čtečky : soubory typu: PDB,MOBI,APNX
More informationGEOMETRICAL PRESENTATION OF PREFERENCES BY USING PROFIT ANALYSIS AND R PROGRAM
ACTA UNIVERSITATIS LODZIENSIS FOLIA OECONOMICA 285, 2013 Artur Zaborsi *, Marcin Peła ** GEOMETRICAL PRESENTATION OF PREFERENCES BY USING PROFIT ANALYSIS AND R PROGRAM Abstract. PROFIT is a ind of external
More informationPolitológia a politická analýza. Syllabus kurzu
Politológia a politická analýza Syllabus kurzu Prednáška: streda 11.30 13.00 streda 9.45 11.15 Lucia Klapáčová 13.30 15.00 - Andrea Figulová 15.15 16.45 - Teodor Gyelnik (ENG) Prednášajúci Andrea Figulová
More informationT c k D E GR EN S. R a p p o r t M o d u le Aa n g e m a a k t o p 19 /09 /2007 o m 09 :29 u u r BJB 06 013-0009 0 M /V. ja a r.
D a t a b a n k m r in g R a p p o r t M Aa n g e m a a k t o p 19 /09 /2007 o m 09 :29 u u r I d e n t if ic a t ie v a n d e m S e c t o r BJB V o lg n r. 06 013-0009 0 V o o r z ie n in g N ie u w la
More informationSimultaneous Prediction of Actual and Average Values of Study Variable Using Stein-rule Estimators
Shalabh & Christian Heumann Simultaneous Prediction of Actual and Average Values of Study Variable Using Stein-rule Estimators Technical Report Number 104, 2011 Department of Statistics University of Munich
More informationUniverzita J. Selyeho Selye János Egyetem Ekonomická fakulta Gazdaságtudományi Kar
Univerzita J. Selyeho Selye János Egyetem Ekonomická fakulta Gazdaságtudományi Kar Gazdaságtudományi Kar Ekonomická Fakulta Inovačný potenciál, inovačné podnikanie a podnikateľské siete Monografický zborník
More informationOPENBARE ZITTING 1. U ni f o r m e a l g e m e ne p o l i t i e v e r o r d e ni ng e n p u nc t u e l e i m p l e m e nt a t i e GAS ( g e m e e nt e l i j k e a d m i ni s t r a t i e v e s a nc t i
More informationSBORNÍK PŘÍSPĚVKŮ Sociální procesy a osobnost 2009 Člověk na cestě životem: rizika, výzvy, příležitosti
SBORNÍK PŘÍSPĚVKŮ Sociální procesy a osobnost 2009 Člověk na cestě životem: rizika, výzvy, příležitosti Marek Blatný, Dalibor Vobořil, Petr Květon, Martin Jelínek, Veronika Sobotková, Sylvie Kouřilová
More informationEconomic efficiency of agricultural enterprises and its evaluation
Economic efficiency of agricultural enterprises and its evaluation Ekonomická efektivnost zemìdìlských podnikù a její hodnocení E. ROSOCHATECKÁ Czech University of Agriculture, Prague, Czech Republic Abstract:
More information