hodnotu v medzilaboratórnych porovnávacích experimentoch

Size: px
Start display at page:

Download "hodnotu v medzilaboratórnych porovnávacích experimentoch"

Transcription

1 Metódy výpočtu konfidenčných intervalov pre referenčnú hodnotu v medzilaboratórnych porovnávacích experimentoch Ústav merania Slovenská akadémia vied Dúbravská cesta Bratislava REQUEST , 2007, Praha

2 Medzilaboratórne porovnávacie pokusy V príspevku sa budeme zaoberat problematikou kombinovania výsledkov merania neznámej (ale rovnakej) veličiny, meranej nezávisle vo viacerých laboratóriach, alebo pomocou viacerých nezávislých meracích metód: Na základe iniciatívy publikovanej v dokumente Mutual Recognition Arrangement (MRA), bol podnietený výskum v oblasti hl adania vhodných metód na sumarizovanie výsledkov medzilaboratórnych porovnávacích pokusov (IC - Interlaboratory Comparisons). Zo štatistického pohl adu, problematika určenia tzv. porovnávacej referenčnej hodnoty (CRV - Comparison Reference Value) je príbuzná s problematikou určnia spoločnej strednej hodnoty (Common Mean Problem). V tejto prednáške budeme prezentovat niektoré štatistické a metrologické postupy na konštrukciu intervalových odhadov pre spoločnú strednú hodnotu, resp. pre porovnávaciu referenčnú hodnotu.

3 Neistoty v meraní Žiadne meranie neumožňuje dokonalé určenie hodnoty veličiny, ktorá je meraná (measurand). Neistota merania: Miera rozloženia (variability) hodnôt, ktoré nemožno považovat za neprípustné (nemožné) v procese merania. V roku 1993 ISO (International Organization for Standardization) vydalo svoju publikáciu o spôsobe vyjadrovania neistôt v meraní Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement - GUM, aby tak zabezpečila jednotný prístup k vyhodnocovaniu neistôt v meraní. Postupy uvedené v GUM však vyvolávajú u štatistikov isté obavy, ked že kombinujú frekventistické miery a postupy a charakteristiky subjektívnych distribúcii spôsobom, ktorý plne neakceptuje ani frekventistická škola štatistiky, ani bayesovská štatistika. Glesser (Statistical Science, 1998) však vo svojom článku ako prvý poukázal, že tieto odporúčania možno považovat za približné riešenia určitých frekventistických a bayesovských problémov štatistickej indukcie.

4 Neistoty v meraní podl a GUM Stručný popis metódy na vyhodnocovanie a vyjadrovanie neistôt v meraní podl a GUM: Rovnica merania (Measurement Equation): Zaujímavá je situácia, ked veličina, ktorá má byt určená meraním, povedzme Y (measurand), nie je meraná priamo, ale je určená z N d alších veličín, X 1, X 2,..., X N pomocou funkčného vzt ahu f, často označovaného ako rovnica merania: Y = f(x 1, X 2,..., X N ). Medzi X i sú zahrnuté korekčné faktory, ako aj veličiny, ktoré berú do úvahy iné zdroje variability (napr. rôzny personál, prístroje, výbery, laboratória a podmienky merania). Rovnica merania nevyjadruje len fyzikálny zákon, ale aj proces merania, a má obsahovat všetky veličiny, ktoré prispievajú významne k neistote výsledku merania.

5 Neistoty v meraní podl a GUM Odhad meranej veličiny Y, označovaný ako y, sa získa z rovnice merania, ked za vstupné veličiny funkcie f dosadíme x 1, x 2,..., x N odhady veličín X 1, X 2,..., X N. Teda y = f(x 1, x 2,..., x N ). GUM uvádza ako príklad rovnicu merania: P = f(v, R 0, b, t) = V 2 /R 0 [1 + b(t t0)], kde P je výkon, V napätie, R 0 odpor meraný pri teplote t 0, b tepelná konštanta odporu, t teplota.

6 Neistoty v meraní podl a GUM Klasifikácia zložiek neistoty: Neistota výsledku merania y závisí od neistôt u(x i) (stručne u i) vstupných odhadov x i. Zložky neistoty možno kategorizovat podl a metódy, podl a ktorej sa vyhodnonocujú: Vyhodnocovanie typu A (Type A evaluation): metóda vyhodnocovania neistôt pomocou štatistickej analýzy série pozorovaní, Vyhodnocovanie typu B (Type B evaluation): metóda vyhodnocovania neistôt pomocou iných metód, než pomocou štatistickej analýzy série pozorovaní.

7 Neistoty v meraní podl a GUM Reprezentácia zložiek neistoty: Každú zložku neistoty (vyhodnotenú ktorýmkol vek spôsobom) reprezentuje odhadnutá štandarná odchýlka (označovaná ako štandardná neistota u i). Štandardná neistota: Typ A Zložka neistoty získana metódou vyhodnocovania typu A. Je reprezentovaná štatistickým odhadom štandardnej odchýlky s i a pridruženými stupňami vol nosti ν i. Pre takú zložku neistoty platí u i = s i. Štandardná neistota: Typ B Zložka neistoty získana metódou vyhodnocovania typu B je reprezentovaná veličinou u j, ktorú možno považovat za zodpovedajúcu štandardnú odchýlku predpokladaného pravdepodobnostného rozdelenia založeného na úplnej dostupnej informácii, u j = σ j.

8 Neistoty v meraní podl a GUM Vyhodnocovanie zložky neistoty typu A: Vyhodnocovanie štandardnej neistoty typu A môže byt založené na vhodných štatistických metódach pre analýzy dát. Príkladom je výpočet štandardnej odchýlky pre výberový priemer, založený na nezávislých opakovaných pozorovaniach; využitie metódy najmenších štvorcov na odhad parametrov (a ich štandardných odchliek) funkcie strednej hodnoty; využitie metódy analýzy rozptylu (ANOVA) na idenifikáciu a kvantifikáciu náhodných efektov v určitých typoch meraní. x i = X i = 1 n n k=1 X i,k, u(x i) = s( X i) = n k=1(x i,k X i) 2 1/2. Príklad: 1 n(n 1) Uvažujme veličinu X i, ktorej hodnota má byt odhadnutá na základe n nezávislých pozorovaní X i,k veličiny X i. Potom odhadom veličiny X i je výberový priemer x i so štandarnou neistotou u(x i)

9 Neistoty v meraní podl a GUM Vyhodnocovanie zložky neistoty typu B: Vyhodnocovanie štandardnej neistoty typu B je zvyčajne založené na odbornom (vedeckom) úsudku, s využitím všetkej dostupnej relevantnej informácie, ktorá može zahŕňat : skúsenosti s predchádzajucích meraní, skúsenosti, alebo všeobecnú znalost o chovaní sa a o vlastnostiach materiálov a prístrojov, údaje výrobcov prístrojov, údaje z kalibráčných certifikátov, alebo iných správ (reports), neistoty priradené referenčným údajom zo všeobecne uznávaných zdrojov (handbooks)

10 Neistoty v meraní podl a GUM Výpočet kombinovanej štandardnej neistoty (Zákon šírenia neistôt): Kombinovaná štandardná neistota výsledku merania y, označovaná ako u c(y), reprezentuje odhadnutú štandardnú odchýlku výsledku merania, a jej odhad je určený vzt ahom u 2 c(y) = N 1 N i=1 f x i u 2 ( x i) + 2 i=1 N j=i+1 f x i f x j u ( x i, x j ). Rovnica je založená na aproximácii prvého rádu pomocou rozvoja rovnice merania Y = f(x 1, X 2,..., X N ) do Taylorovho radu. Parciálne derivácie f podl a X i (koeficienty citlivosti) sú počítané v bodoch Xi = xi. u(x i) sú štandardné neistoty prislúchajúce odhadom vstupných veličín x i; u(x i, x j ) sú odhadnuté kovariancie prislúchajúce dhadom vstupných veličín x i a x j.

11 Neistoty v meraní podl a GUM Interpretácia neistoty merania: Za predpokladu, že pravdepodobnostné rozdelenie charakterizujúce výsledok merania y je približne normálne (gausovské rozdelenie) a kombinovaná neistota u c(y) je spol ahlivým odhadom štandardnej odchýlky výsledku merania y, potom interval y u c(y), y + u c(y) pokrýva približne 68% rozdelenia hodnôt, ktoré možno rozumne považovat za hodnoty veličiny Y, ktorej y je odhadom. Teda, približne so 68% hladinou spol ahlivosti hodnota veličiny Y je väčšia ako y u c(y) a menšia, alebo rovná hodnote y + u c(y), čo sa zvyčajne zapisuje v tvare Y = y ± u c(y).

12 Neistoty v meraní podl a GUM Rozšírená neistota a faktor pokrytia: Hoci sa kombinovaná neistota u c používa na vyjadrenie neistoty pre väčšinu výsledkov merania, pre niektoré komerčné, priemyselné a právne aplikácie (napr. v prípade ochrany zdravia) sa vyžaduje miera neitoty merania, ktorá definuje interval okolo výsledku merania y, kde skutočná hodnota meranej veličiny Y leží s predpísanou spol ahlivost ou. Miera neistoty, ktorá spĺňa túto požiadavku sa označuje ako rozšírená neistota (expanded uncerainty) a označuje sa symbolom U, pričom kde k je faktor pokrytia. U = k u c Teda, Y = y ± U, a so stanovenou spol ahlivost ou, ktorá prislúcha faktoru pokrytia k, platí, že meranej veličiny Y môže byt väčšia ako y U, alebo menšia (nanajvýš rovná) ako y + U.

13 Neistoty v meraní podl a GUM Faktor pokrytia Volí na základe požadovanej úrovne spol ahlivosti pokrytia. Typické hodnoty faktora k bývajú v rozsahu 2 až 3. Za predpokladu normálneho rozdelenia, a za predpokaldu, že u c je spol ahlivý odhad neistoty merania y, U = 1.96u c, obyčajne sa však za faktor pokrytia volí k = 2, teda U = 2u c, 4o definuje približne 95% interval spol ahlivosti pre Y. Relatívna rozšírená neistota: Analogicky s relatívnou štandardnou neistotou u r a relatívnou kombinovanou štandardnou neistotou u c,r sa definuje relatívna rozšírená neistota výsledku merania: U r = U y, pokial sa y nerovná 0.

14 Neistoty v meraní podl a GUM Nekonzistentonst GUM a štatistického prístupu: GUM neoznačuje systematickým spôsobom a nerozlišuje dôsledne parametre rozdelení, náhodné premenné a ich realizácie, odhady parametrov a ich realizácie, teoretické štandarndné odchýlky (neistoty), výberové štandarné odchýlky a ich realizácie. Tieto pojmy sa vnímajú rôzne podl a kontextu a v konečnom dôsledku vedú k problematickej interpretácii navrhovaných postupov.

15 Kl účová porovnávacia referenčná hodnota (KCRV) Špeciálnym prípadom porovnávacích experimentov sú kl účové porovnávania, ktoré sa vykonávajú na úrovni národných metrologických ústavov, a ktoré sú definované v dokumente Mutual Recognition Arrangement. KCRV (Key Comparison Reference Value) sa objavuje v kontexte ciel ov definovaných v dokumente MRA (Mutual Recognition Arrangement) z dvoch dôvodov: potreba demonštrovat, že národné etalóny nadväzujú na etalóny SI jednotiek a korešpondujú aj navzájom medzi sebou (traceability), KCRV je vhodný spôsob prezentovania výsledkov v kl účových porovnávacích experomentov. Metóda zvolená na výpočet KCRV je záležitost ou účastníkov v kl účových porovnávaniach (nie je jednoznačne definovaná), ale v každom prípade, konečné rozhodnutie musí byt odsúhlasené pracovnou skupinou daného kl účového porovnávania. KCRV je často určené ako aritmetický, alebo vážený priemer odhadov hodnôt meranej veličiny (measurand) jednotlivých účastníkov kl účového porovnávania.

16 Štatistický model pre medzilaboratórne porovnávania Nech k 2 označuje počet nezávislých laboratórii v porovnávacom experimente. Budeme predpokladt, že každé laboratóriu opakuje merania rovnakej veličiny, ktorej skutočná hodnota je µ, nezávisle n i-krát, n i 2, i = 1,..., k. Pre každé laboratórium budeme predpokladat platnost modelu: kde Y ij = (µ + ε ij ) + B i, (1) Y ij - výsledky merania neznámej veličiny (so skutočnou hodnotou µ) v i-tom laboratóriu, j = 1,..., n i, ε ij N(0, σ 2 (A),i) - navzájom nezávislé chyby merania i = 1,..., k, j = 1,..., n i, pričom σ (A),i sú neznáme štandardné odchýlky, ktoré možno odhadnut (metódou typu A), B i D i(β i, σ 2 (B),i) - náhodné premenné reprezentujúce laboratórne systematické chyby, D i označuje typ distribúcie (napr. normálne, rovnomerné, alebo trojuholníkové rozdelenie), so strednou hodnotou β i a štandardnou odchýlkou σ (B),i, ktoré možno určit metódou typu B, i = 1,..., k.

17 Špeciálne prípady modelu (1) Prípad 1: Model so spoločnou strednou hodnotou, bez systematických chýb (σ (B),i = 0): Y ij = µ + ε ij, Fairweather (Appl.Stat., 1972), Jordan and Krishnamoorthy (Biometrics, 1996), Yu, Sun and Sinha (JSPI, 1999), Hartung and Makambi (Univ. Dortmund, 2000), Krishnamoorthy and Lu (Biometrics, 2003). Prípad 2: Model so spoločnou strednou hodnotou (heteroskedastický model jednoduchého triedenia): Y ij = µ + B i + ε ij, (β i = 0 and σ (B),i = σ 0, and D i N, teda B i N(0, σ 2 0)). Rukhin and Vangel (JASA, 1998), Hartung, Böckenhoff and Knapp (JSPI, 2003), Iyer, Wang and Mathew (JASA, 2004). Prípad 3: Model so spoločnou strednou hodnotou a systematickými chybami s rovnomerným rozdelením: Y ij = µ + B i + ε ij, (β i = 0 and D i U i). Teda B i U i( δ i, δ i) kde δ i = 3σ (B),i. Iyer, Wang and Mathew (JASA, 2004).

18 Metrologický prístup Uvažujme model: kde Y ij = µ i + ε ij, (2) ε ij N(0, σ 2 (A),i) - navzájom nezávilé chyby merania i = 1,..., k, j = 1,..., n i, σ (A),i sú neznáme štandardné odchýlky, ktoré možno odhadnút (metódou typu A), µ i = µ + b i, reprezentuje hodnotu meranej veličiny zat aženú systematickou chybou i-teho laboratória (b i je realizovaná, ale neznáma, systematická chyba laboratória), i = 1,..., k. Ak by sme poznali skutočnú hodnotu µ i, potom naša vedomost o skutočnej hodnote meranej veličiny (teda o µ) je reprezentovaná pravdepodobnostným rozdelením náhodnej premennej µ (i) = µ i B i, kde B i D i(β i, σ 2 (B),i) reprezentuje našu vedomost o možnej systematickej chybe i-teho laboratória. Parametre možno určit metódou typu B, i = 1,..., k. Vidiet, že platí E( µ (i) ) = µ + (b i β i).

19 Porovnávacia referenčná hodnota Ciel om porovnávacích experimentov je určenie porovnávacej referenčnej hodnoty (CRV - Comparison Reference Value) a jej neistoty. Porovnávacia referenčná hodnota nie je jednoznačne definovaná, ale mal by to byt vhodný odhad (estimator) parametra µ (skutočnej hodnoty meranej veličiny) založený na meraniach z jednotlivých laboratórii. KCRV je často určené ako aritmetický, alebo vážený priemer odhadov hodnôt meranej veličiny µ jednotlivých účastníkov kl účového porovnávania.

20 Výberové štatistiky Výstupom porovnávacieho experimentu sú laboratórne výberové priemery (odhady veličín µ i = µ + b i) a výberové rozptyly (odhady parametrov σ 2 (A),i): Ȳ i = 1 n i n i j=1 Y ij, S 2 i = 1 n i 1 n i j=1 (Y ij Ȳi)2. (3) Náhodné premenné Ȳi a S2 i, i = 1,..., k, sú navzájom nezávislé. Za platnosti štatistického modelu (1) platí: (Ȳi µ) Bi + εi, (ni 1)S2 i σ 2 (A),i χ 2 n i 1, (4) kde B i D i(β i, σ 2 (B),i) a ε i N(0, σ 2 (A),i/n i) sú navzájom nezávislé. Za platnosti metrologického modelu (2) platí: (Ȳi µi) εi, (ni 1)S2 i σ 2 (A),i χ 2 n i 1 Ȳi µi S i/ n i t ni 1, (5) kde t ni 1 označuje náhodnú premennú so Studentovým t-rozdelením s n i 1 stupňami vol nosti.

21 Príklad kl účového porovnávania Referencia: H.J. von Martens et al.: Final report on key comparison CCAUV.V-K1. Metrologia 40, 2003, Tech. Suppl Kl účové porovnávanie medzi 12 národnými metrologickými ústavmi v oblasti vibrácii. Meraná bola citlivost akcelerometrov. No. Acronym Laboratory Name Country 1 PTB Physikalisch-Technische Bundesanstalt Germany 2 BNM-CESTA Bureau National de Métrology - C.E.A C.E.S.T.A France 3 CSIRO-NML CSIRO National Measurement Laboratory Australia 4 CMI Czech Institute of Metrology Czech Republic 5 CSIR-NML CSIR National Metrology Laboratory of South Africa South Africa 6 CENAM Centro National de Metrologia Mexico 7 NRC National Research Council of Canada Canada 8 KRISS Korea Research Institute of Science and Standards Korea 9 NMIJ National Metrology Institute of Japan Japan 10 VNIIM D.I. Mendeleyev Institute for Metrology Russia 11 NIST National Institute of Standards and Technology United States 12 NMi-VSL Netherlands Meetinstituut, Van Swinden Laboratorium The Netherlands

22 Príklad kl účového porovnávania No. Laboratory ȳ i s i n i σ (B),i 1 PTB BNM-CESTA CSIRO-NML CMI CSIR-NML CENAM NRC KRISS NMIJ VNIIM NIST Nmi-VSL Tabul ka: Hodnoty výberových priemerov a zodpovedajúcich štandardných odchýlok.

23 Príklad kl účového porovnávania Laboratory Sample Means ± 2 Expanded Uncertainty Charge Sensitivity Laboratory Obr.: Hodnoty výberových priemerov a rozšírené kombinované neistoty: ȳ i ± 2 ( s2 i n i + σ(b),i 2 )1/2

24 Exaktný konfidenčný interval pre meranú veličinu µ Prípad 1: Uvažujme štatistický model so spoločnou strednou hodnotou bez systematických chýb: Y ij = µ + ε ij, Fairweather (Appl.Stat., 1972): Zo vzt ahov (3) a (4) máme T i = Ȳi µ ÔS 2 i /n i t ni 1, i = 1,..., k. Označme W =Èk i=1 uiti, kde ui sú nenáhodné koeficienty, napr. u i = 1/Var(T i). Nech q 1 α/2 označuje d alej (1 α/2)-kvantil rozdelenia náhodnej premennej W, teda: Pr( W < q 1 α/2 ) = 1 α 2. Odtial, možno priamo odvodit exaktný (1 α) 100% konfidenčný interval pre hodnotu µ: i i=1õn u Si ˆµ ± ˆq 1 α/2 =Èk 2 i Ȳ i Èk i=1õn i S 2 i ± q 1 α/2, (6) Èk u i i i=1õn u Si 2 i Hodnoty kvantilov náhodnej premennej W možno určit simulačne, alebo presným numerickým výpočtom pomocou algoritmu TDIST.

25 Konfidenčný interval pre meranú veličinu µ Prípad 3: Uvažujme štatistický model so apoločnou strednou hodnotou a systematickými chybami, Y ij = µ + B i + ε ij, pričom β i = 0 and B i U i( δ i, δ i), kde δ i = 3σ (B),i. Ako sme už ukázali platí: (Ȳi µ) Bi + εi, (ni 1)S2 i σ 2 (A),i χ 2 n i 1, kde B i U( δ i, δ i) a ε i N(0, σ2 (A),i n i ) sú nezávislé náhodné premenné. Za dodatočného predpokladu, že δ i = 3γ iσ (A),i, teda γ i = σ (B),i σ (A),i T i = Ȳi µ S 2 i n i ( 3n iγ i)u i + Z i, ÖQ i n i 1 kde U i U( 1, 1), Z i N(0, 1) a Q i χ 2 n i 1. dostávame

26 Konfidenčný interval pre meranú veličinu µ Označme W =Èk i=1 u i Ti, kde ui sú nenáhodné koeficienty, napr. ui = 1/Var(Ti ), a nech q 1 α/2 označuje (1 α/2)-kvantil rozdelenia náhodnej premennej W : Pr( W < q 1 α/2) = 1 α 2. Odtial, exaktný (1 α) 100% konfidenčný interval pre µ je daný ako i i=1õn ˆµ ± ˆq Si 1 α/2 =Èk 2 ui Ȳ i Èk i i=1õn u Si 2 i ± Èkq 1 α/2 i=1õn i S 2 i u i. Teoretická distribučná funkcia náhodnej premennej Ti W =Èk i=1 u i Ti je neznáma. resp. Navyše, závisí od neznámych parametrov γ i = σ (B),i, ktoré však možno σ (A),i odhadnút, napr. ˆγ i = σ (B),i. Si 2 Pre dané hodnoty γ i,kvantil q 1 α/2 možno odhadnút simulačne.

27 Intervalový odhad pre µ na základe metrologického prístupu Na základe metrologického prístupu máme: (Ȳi µi) εi, (ni 1)S2 i σ 2 (A),i χ 2 n i 1 T i = Ȳi µi ÕS 2 i n i t ni 1, a potom naša naša vedomost o skutočnej hodnote µ je reprezentovaná pravdepodobnostným rozdelením náhodnej premennej µ (i) = µ i B i, kde B i U( δ i, δ i). Parameter µ i = µ + b i je neznámy. Avšak na základe napozorovaných hodnôt ȳ i a si 2 je naša vedomost o skutočnej hodnote µ i je reprezentovaná pravdepodobnostným rozdelením náhodnej premennej µ i = ȳ i + s 2 i n i T i, kde ȳ i a si 2 sú považované za konštanty a T i t ni 1. Kombináciou týchto vzt ahov dostaneme µ (i) = µ i B i ȳ i + s 2 i n i T i B i ȳ i + s 2 i n i T i 3σ (B),i U i, kde T i t ni 1 a U i U( 1, 1) sú nezávislé náhodné premenné.

28 Intervalový odhad pre µ na základe metrologického prístupu Kombinovaním týchto rozdelení možno našu vedomost o skutočnej hodnote veličiny µ reprezentovant pravdepodobnostným rozdelením náhodnej premennej µ = w i µ (i) = w iȳ i + w k i=1 k i=1 k i=1 i¼ s T i 3σ (B),i U i½, n i kde w i,èk i=1 i 2 wi = 1, sú vhodne zvolené váhy, napr. proporcionálne hodnotám prop w i 1 Var( µ (i) ) = 1. si 2 n i 1 n i n i 3 + σ2 (B),i Odtial dostávame približný (1 α) 100% konfidenčný interval pre µ ˆµ q (1 α 2 ), ˆµ + q (1 α 2 ), kde ˆµ =Èk i=1 wiȳ i a q (1 α 2 ) je 1 α 2 kvantil rozdelenia µ ˆµ.

29 Intervalové odhady meranej veličiny µ (Príklad) Confidence Intervals for the Comparison Reference Value Charge Sensitivity Laboratory Obr.: 95% konfidenčné intervaly pre µ: (i) štatistický ± 1.823e-004 (ii) metrologický ± 0.946e-004.

30 Algoritmus TDIST Algoritmus TDIST (MATLAB, R, S-plus): pozri Witkovský (Compstat, 2004). Uvažujme T =Èk i=1 λiti, lineárnu kombináciu nezávislých náhodných premenných so Studentovým t rozdelením s ν i stupňami vol nosti. Nech φ Ti (t) označuje charakteristickú funkciu T i. Potom charakteristická funkcia náhodnej premennej T je kde φ Ti (λ it) = φ T (t) = φ T1 (λ 1 t) φ Tk (λ k t). (7) 1 2 νi 2 1 Γ( νi ) ν 1 2 i 2 λ it νi 2 K νi 2 ν 1 2 i λ it, (8) a K α{z} označuje modifikovanú Besselovú funkciu druhého druhu. Characteristická funkcia Studentovej t náhodnej premennej je reálna funkcia.

31 Algoritmus TDIST Kumulatívna distribučná funkcia, F T (x) = Pr{T x}, je podl a vety o inverznej transformácii podl a článku Gil-Pelaez (Biometrika, 1951) daná ako F T (x) = 1 2 π 1 I e itx φ T (t) dt 0 t = 1 2 π + 1 sin(tx)φ T (t) dt, (9) t 0 a funkcia hustoty f T (x)náhodnej premennej T je daná vzt ahom f T (x) = π 1 R e itx φ T (t) dt 0 = π 1 cos(tx)φ T (t) dt. (10) 0

32 Algoritmus TDIST Algoritmus TDIST numericky počíta (9) a (10) pomocou Gaussovej kvadratúry na reálnom intervale t (0, 10π), čo vyžaduje výpočet bázových bodov b ij a váh w ij, i = 1,..., p, j = 1,..., m. F T (x) π m j=1 p i=1 sin(b ij x) b ij W ij, (11) f T (x) 1 π m j=1 p i=1 cos(b ij x)w ij, (12) kde W ij = w ij φ T (b ij ). Pre výpočet F T (x) a f T (x) v mnohých rôznych bodoch x, algoritmus vyžaduje len jedno vyčíslenie váh W ij, ktoré priamo závisia od charakteristickej funkcie φ T ( ) a nezávisia už od hodnôt x.

33 Algoritmus TDIST Algoritmus možno jednoducho zovšeobecnit na výpočet distribčnej funkcie lineárnej kombinácie iných symetrických distribúcii so známou charakteristickou funkciou: Uvažujme náhodné premenné Z N(0, 1) (štandardné normálne rozdelenie), U U( 1, 1) (rovnomerné rozdelenie na intervale ( 1, 1)), a T ( 1, 1) (trojuholníkové rozdelenie na intervale ( 1, 1)), pričom φ Z (λt) = exp (λt)2 2, (13) φ U (λt) = sin(λt), (14) λt φ (λt) = kde λ je l ubovol ný reálny koeficient. (2 2 cos(λt)) (λt) 2, (15)

CONTEMPORARY POSSIBILITIES OF MODELING OF THE PROBLEMS OF VEHICLE TRACK INTERACTION

CONTEMPORARY POSSIBILITIES OF MODELING OF THE PROBLEMS OF VEHICLE TRACK INTERACTION ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 8/2008 Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Katowicach CONTEMPORARY POSSIBILITIES OF MODELING OF THE PROBLEMS OF VEHICLE TRACK INTERACTION

More information

Prístupy modernej makroekonomickej analýzy. Ing. Patrik Kupkovič

Prístupy modernej makroekonomickej analýzy. Ing. Patrik Kupkovič Prísupy modernej makroekonomickej analýzy Ing. Parik Kupkovič 2014 2 Prísupy využívane v súčasnej makroekonomickej analýze Formulácia modelov v vare Sae Space (slovenský ekvivalen: savová reprezenácia

More information

: Architectural Lighting : Interiérové svietidlá

: Architectural Lighting : Interiérové svietidlá SEC Lighting : Architectural Lighting : nteriérové svietidlá : Shape Harmony : Tradition The company SEC accepts with enthusiasm the challenges of continuously changing world. n our opinion, luminaries

More information

ING (L) Société d Investissement à Capital Variable 3, rue Jean Piret, L-2350 Luxembourg R.C.S.: Luxembourg B č. 44.873 (ďalej ako spoločnosť )

ING (L) Société d Investissement à Capital Variable 3, rue Jean Piret, L-2350 Luxembourg R.C.S.: Luxembourg B č. 44.873 (ďalej ako spoločnosť ) ING (L) Société d Investissement à Capital Variable 3, rue Jean Piret, L-2350 Luxembourg R.C.S.: Luxembourg B č. 44.873 (ďalej ako spoločnosť ) Oznam pre akcionárov 1) Správna rada spoločnosti rozhodla

More information

Sledovanie čiary Projekt MRBT

Sledovanie čiary Projekt MRBT VYSOKÉ UČENÍ TECHNIC KÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF T ECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNO LOGIÍ ÚSTAV AUTOMATIZA CE A MĚŘÍCÍ TECHNIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMUNICATION

More information

Môže sa to stať aj Vám - sofistikované cielené hrozby Ján Kvasnička

Môže sa to stať aj Vám - sofistikované cielené hrozby Ján Kvasnička Môže sa to stať aj Vám - sofistikované cielené hrozby Ján Kvasnička Territory Account Manager Definícia cielených hrozieb Široký pojem pre charakterizovanie hrozieb, cielených na špecifické entity Často

More information

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STAVEBNÍ ÚSTAV BETONOVÝCH A ZDĚNÝCH KONSTRUKCÍ FACULTY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF CONCRETE AND MASONRY STRUCTURES PRIESTOROVÝ

More information

FORUM STATISTICUM SLOVACUM

FORUM STATISTICUM SLOVACUM 7/2013 FORUM STATISTICUM SLOVACUM ISSN 1336-7420 9 771336 742001 2 0 1 3 7 Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3, 824 67 Bratislava www.ssds.sk Naše najbližšie akcie: (pozri tiež

More information

OSOBNOSTNÉ ASPEKTY ZVLÁDANIA ZÁŤAŽE

OSOBNOSTNÉ ASPEKTY ZVLÁDANIA ZÁŤAŽE OSOBNOSTNÉ ASPEKTY ZVLÁDANIA ZÁŤAŽE Katarína Millová, Marek Blatný, Tomáš Kohoutek Abstrakt Cieľom výskumu bola analýza vzťahu medzi osobnostnými štýlmi a zvládaním záťaže. Skúmali sme copingové stratégie

More information

THE COMPARISON OF THE SIMPLE AND DETAILED APPROACH TO THE STRESS ANALYSIS OF THE STEEL BEAM SUPPORT

THE COMPARISON OF THE SIMPLE AND DETAILED APPROACH TO THE STRESS ANALYSIS OF THE STEEL BEAM SUPPORT XXI RUSSIAN - SLOVAK - РОLISH SEMINAR, MOSCOW - ARKHANGELSK 0.07-06.07.01 ТHEORETICAL FOUNDATION OF CIVIL ENGINEERING MOSCOW STATE UNIVERSITY OF CIVIL ENGINEERING INSTITUTE OF CIVIL ENGINEERING AND ARCHITECTURE,

More information

Témy dizertačných prác pre uchádzačov o doktorandské štúdium

Témy dizertačných prác pre uchádzačov o doktorandské štúdium Témy dizertačných prác pre uchádzačov o doktorandské štúdium Študijný odbor: 3.3.15 Manažment, Študijný program: Znalostný manažment Akademický rok 2010/2011 1. Školiteľ: doc. Ing. Vladimír Bureš, PhD.

More information

Key comparison CCM.M-K1 MEASURAND : Mass NOMINAL VALUE : 1 kg. x (rep) i :

Key comparison CCM.M-K1 MEASURAND : Mass NOMINAL VALUE : 1 kg. x (rep) i : Key comparison CCM.M-K1 MEASURAND : Mass NOMINAL VALUE : 1 kg x (rep) i : u i : x i : reported result obtained as the difference between the measurement of the mass standards carried out by laboratory

More information

LV5WDR Wireless Display Receiver Rýchla príručka

LV5WDR Wireless Display Receiver Rýchla príručka LV5WDR Wireless Display Receiver Rýchla príručka 1 1. Predstavenie Wireless display receiver S Wireless display receiver (ďalej len WDR) môžete jednoducho zobrazovať multimediálny obsah (videá, fotografie,

More information

Politológia a politická analýza. Syllabus kurzu

Politológia a politická analýza. Syllabus kurzu Politológia a politická analýza Syllabus kurzu Prednáška: streda 11.30 13.00 streda 9.45 11.15 Lucia Klapáčová 13.30 15.00 - Andrea Figulová 15.15 16.45 - Teodor Gyelnik (ENG) Prednášajúci Andrea Figulová

More information

APMP/TCRI Key Comparison Report of Measurement of Air Kerma for Medium-energy X-Rays (APMP.RI(I)-K3)

APMP/TCRI Key Comparison Report of Measurement of Air Kerma for Medium-energy X-Rays (APMP.RI(I)-K3) APMP/TCRI Key Comparison Report of Measurement of Air Kerma for Medium-energy X-Rays (APMP.RI(I)-K3) J. H. Lee g, W. S. Hwang g, L. H. Kotler b, D. V. Webb b, L. Büermann l, D.T. Burns d, M. Takeyeddin

More information

Sprievodca aktiváciou zariadenia HikVision

Sprievodca aktiváciou zariadenia HikVision Sprievodca aktiváciou zariadenia HikVision Možnosti aktivácie zariadenia HikVision Aktivácia pomocou web prehliadača: Zariadenia HikVision (IP kamery od verzie firmvéru 5.3.0 a DVR + NVR od verzie firmvéru

More information

JEDNOFÁZOVÝ STATICKÝ ELEKTROMER NA VIACSADZBOVÉ MERANIE ČINNEJ ENERGIE

JEDNOFÁZOVÝ STATICKÝ ELEKTROMER NA VIACSADZBOVÉ MERANIE ČINNEJ ENERGIE JEDNOFÁZOVÝ STATICKÝ ELEKTROMER NA VIACSADZBOVÉ MERANIE ČINNEJ ENERGIE AMS B1x-xAx Applied Meters, a. s. Budovateľská 50, 080 01 Prešov Tel.: +421-51-758 11 69, Fax: +421-51-758 11 68 Web: www.appliedmeters.com,

More information

Kozmické poasie a energetické astice v kozme

Kozmické poasie a energetické astice v kozme Kozmické poasie a energetické astice v kozme De otvorených dverí, Košice 26.11.2008 Ústav experimentálnej fyziky SAV Košice Oddelenie kozmickej fyziky Karel Kudela kkudela@kosice.upjs.sk o je kozmické

More information

Rychlý průvodce instalací Rýchly sprievodca inštaláciou

Rychlý průvodce instalací Rýchly sprievodca inštaláciou CZ SK Rychlý průvodce instalací Rýchly sprievodca inštaláciou Intuos5 Poznámka: chraňte svůj tablet. Vyměňujte včas hroty pera. Bližší informace najdete v Uživatelském manuálu. Poznámka: chráňte svoj

More information

B y R us se ll E ri c Wr ig ht, DV M. M as te r of S ci en ce I n V et er in ar y Me di ca l Sc ie nc es. A pp ro ve d:

B y R us se ll E ri c Wr ig ht, DV M. M as te r of S ci en ce I n V et er in ar y Me di ca l Sc ie nc es. A pp ro ve d: E ff ec ts o f El ec tr ic al ly -S ti mu la te d Si lv er -C oa te d Im pl an ts a nd B ac te ri al C on ta mi na ti on i n a Ca ni ne R ad iu s Fr ac tu re G ap M od el B y R us se ll E ri c Wr ig ht,

More information

Regulations for custody transfer measurements: meeting the needs? Focus on liquid flow measurement systems/applications

Regulations for custody transfer measurements: meeting the needs? Focus on liquid flow measurement systems/applications Regulations for custody transfer measurements: meeting the needs? Focus on liquid flow measurement systems/applications Contents - Requirements in OIML publications - Uncertainty effects on trade - Back

More information

FORUM STATISTICUM SLOVACUM

FORUM STATISTICUM SLOVACUM 7/2011 FORUM STATISTICUM SLOVACUM ISSN 1336-7420 9 7 7 1 3 3 6 7 4 2 0 0 1 2 0 1 1 7 Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3 824 67 Bratislava www.ssds.sk Naše najbližšie akcie: (pozri

More information

WLA-5000AP. Quick Setup Guide. English. Slovensky. Česky. 802.11a/b/g Multi-function Wireless Access Point

WLA-5000AP. Quick Setup Guide. English. Slovensky. Česky. 802.11a/b/g Multi-function Wireless Access Point 802.11a/b/g Multi-function Wireless Access Point Quick Setup Guide 1 5 Česky 9 Important Information The AP+WDS mode s default IP address is 192.168.1.1 The Client mode s default IP is 192.168.1.2 The

More information

Pracovná skupina 1 Energetický management a tvorba energetických plánov mesta

Pracovná skupina 1 Energetický management a tvorba energetických plánov mesta Pracovná skupina 1 Energetický management a tvorba energetických plánov mesta Metodológia a podpora poskytovaná v rámci Dohovoru primátorov a starostov Skúsenosti českých miest Skúsenosti mesta Litoměřice

More information

Úvod do neparametrických metod

Úvod do neparametrických metod Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Natália Prelecová Úvod do neparametrických metod Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: doc.

More information

6/08. a KARTOGRAFICKÝ GEODETICKÝ. Český úřad zeměměřický a katastrální Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky

6/08. a KARTOGRAFICKÝ GEODETICKÝ. Český úřad zeměměřický a katastrální Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky GEODETICKÝ a KARTOGRAFICKÝ Český úřad zeměměřický a katastrální Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky 6/08 Praha, červen 2008 Roč. 54 (96) Číslo 6 str. 101 120 Cena Kč 24, Sk 27, GEODETICKÝ

More information

1.- L a m e j o r o p c ió n e s c l o na r e l d i s co ( s e e x p li c a r á d es p u é s ).

1.- L a m e j o r o p c ió n e s c l o na r e l d i s co ( s e e x p li c a r á d es p u é s ). PROCEDIMIENTO DE RECUPERACION Y COPIAS DE SEGURIDAD DEL CORTAFUEGOS LINUX P ar a p od e r re c u p e ra r nu e s t r o c o rt a f u e go s an t e un d es a s t r e ( r ot u r a d e l di s c o o d e l a

More information

FORUM STATISTICUM SLOVACUM

FORUM STATISTICUM SLOVACUM 2/2010 FORUM STATISTICUM SLOVACUM I SSN 1336-7420 9 7 7 1 3 3 6 7 4 2 0 0 1 2 0 1 0 1 Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3, 824 67 Bratislava www.ssds.sk Naše najbližšie akcie:

More information

spectrum Tvoj zdroj svetla Žiarovky LED

spectrum Tvoj zdroj svetla Žiarovky LED Žiarovky LED 2013 V W napájacie napätie príkon pätica typ LED farba svetla lm svetelný tok vyžarovací uhol svetla počet LED diod T(h) životnosť DxL cd rozmery intenzita osvetlenia obrázok č. objednávací

More information

Pohlavné choroby v SR 2005

Pohlavné choroby v SR 2005 E D Í C I A Z D R A V O T N Í C K A Š T A T I S T I K A Pohlavné v SR 2005 Venereal Diseases in the Slovak Republic 2005 Ročník 2006 ZŠ-1/2006 Obsah Úvod...5 Vývoj počtu ochorení na pohlavné... 9 Vývoj

More information

Licenčná zmluva k softwaru IBM SPSS Statistics pre Windows

Licenčná zmluva k softwaru IBM SPSS Statistics pre Windows Licenčná zmluva k softwaru IBM SPSS Statistics pre Windows Uzatvorená medzi: ACREA SR, spol. s r.o. Zapísaná: OR Okresného súdu Bratislava I., oddiel: Sro, vložka číslo: 77703/B so sídlom: Andrusovova

More information

Torque Key Comparison CCM.T-K1.3

Torque Key Comparison CCM.T-K1.3 Torque Key Comparison CCM.T-K1.3 Measurand Torque: 0 N m, 500 N m, 1000 N m Final Report March 9, 2015 Pilot Institute: Contact Person: E-mail: Co-author: Korea Research Institute of Standards and Science,

More information

PSPP ako nová alternatíva spracovania dát

PSPP ako nová alternatíva spracovania dát 1 Sociálne a politické analýzy 2012, 6, 1, s. 1-16 http://sapa.ff.upjs.sk ISSN 1337 5555 PSPP ako nová alternatíva spracovania dát Alojz Ritomský 1 Univerzita Komenského v Bratislave Fakulta sociálnych

More information

Key comparison EURAMET.M.FF-K6

Key comparison EURAMET.M.FF-K6 x i : relative error of the transfer standard as obtained by laboratory i x i = 100 [(V t - V s )/V s ] where V t and V s are the volumes indicated by the transfer standard (in m 3 ) and measured by the

More information

VÝVOJ NEZAMESTNANOSTI NA SLOVENSKU A V EURÓPE

VÝVOJ NEZAMESTNANOSTI NA SLOVENSKU A V EURÓPE MEDZINÁRODNÁ VEDECKÁ KONFERENCIA GLOBALIZÁCIA A JEJ SOCIÁLNO EKONOMICKÉ DÔSLEDKY 08 VÝVOJ NEZAMESTNANOSTI NA SLOVENSKU A V EURÓPE Patrik Böhm 1 Gabriela Böhmová 2 Jana Gazdíková 3 Kľúčové slová: nezamestnanosť,

More information

G d y n i a U s ł u g a r e j e s t r a c j i i p o m i a r u c z a s u u c z e s t n i k ó w i m p r e z s p o r t o w y c h G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e k r e a c j i w r o k u 2 0

More information

Príručka na vyplňovanie

Príručka na vyplňovanie UniCredit Bank Czech Republic and Slovakia, a.s., organizačná zložka: UniCredit Bank Czech Republic and Slovakia, a.s., pobočka zahraničnej banky Príručka na vyplňovanie Príkazu na úhradu a Hromadného

More information

1. Oblast rozvoj spolků a SU UK 1.1. Zvyšování kvalifikace Školení Zapojení do projektů Poradenství 1.2. Financování 1.2.1.

1. Oblast rozvoj spolků a SU UK 1.1. Zvyšování kvalifikace Školení Zapojení do projektů Poradenství 1.2. Financování 1.2.1. 1. O b l a s t r o z v o j s p o l k a S U U K 1. 1. Z v y š o v á n í k v a l i f i k a c e Š k o l e n í o S t u d e n t s k á u n i e U n i v e r z i t y K a r l o v y ( d á l e j e n S U U K ) z í

More information

Návod k použití: Boxovací stojan DUVLAN s pytlem a hruškou kód: DVLB1003

Návod k použití: Boxovací stojan DUVLAN s pytlem a hruškou kód: DVLB1003 Návod na použitie: Boxovací stojan DUVLAN s vrecom a hruškou kód: DVLB1003 Návod k použití: Boxovací stojan DUVLAN s pytlem a hruškou kód: DVLB1003 User manual: DUVLAN with a boxing bag and a speed bag

More information

Application of new information and communication technologies in marketing

Application of new information and communication technologies in marketing Application of new information and communication technologies in marketing Ladislav Izakovič, Department of Applied Informatics, Faculty of Natural Sciences, University of SS. Cyril and Methodius, J. Herdu

More information

ambulantná sestra E01 pôrodná asistentka 14 15

ambulantná sestra E01 pôrodná asistentka 14 15 Zdravotníctvo zdravotnícke povolanie kód odborná spôsobilosť výkon pracovných činností ( 27 zákona č. 578/2004 Z.z.) SK ISCO-08 (296/2010 Z.z.) (296/2010 Z.z.) A01 lekár 3 4 lekári - riadiaci pracovníci

More information

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁRSKA PRÁCA. Lucia Quittnerová. Katedra didaktiky matematiky

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁRSKA PRÁCA. Lucia Quittnerová. Katedra didaktiky matematiky Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁRSKA PRÁCA Lucia Quittnerová Geometria v reklame grafické zobrazovanie Katedra didaktiky matematiky Vedúci bakalárskej práce: PhDr. Alena

More information

Technická efektívnosť a odmeny zdravotníckeho personálu v zdravotníctve

Technická efektívnosť a odmeny zdravotníckeho personálu v zdravotníctve Technická efektívnosť a odmeny zdravotníckeho personálu v zdravotníctve Ivana Novosádová Vysoká škola ekonomická v Praze Abstract: This paper is focus on the evaluation of technical efficiency of acute

More information

Jak pracuje. Ondřej Bojar bojar@ufal.mff.cuni.cz Ústav formální a aplikované lingvistiky MFF UK. ELRC Training Workshop, 15. prosinec 2015 1/28

Jak pracuje. Ondřej Bojar bojar@ufal.mff.cuni.cz Ústav formální a aplikované lingvistiky MFF UK. ELRC Training Workshop, 15. prosinec 2015 1/28 Jak pracuje automatický překlad Ondřej Bojar bojar@ufal.mff.cuni.cz Ústav formální a aplikované lingvistiky MFF UK ELRC Training Workshop, 15. prosinec 2015 1/28 Osnova Úloha strojového překladu. Obtížnost

More information

PORUCHY A OBNOVA OBALOVÝCH KONŠTRUKCIÍ BUDOV - Podbanské 2012

PORUCHY A OBNOVA OBALOVÝCH KONŠTRUKCIÍ BUDOV - Podbanské 2012 PORUCHY A OBNOVA OBALOVÝCH KONŠTRUKCIÍ BUDOV Podbanské 2012 CIEĽ A ZAMERANIE KONFERENCIE : Cieľom konferencie je poskytnúť priestor pre prezentovanie nových a aktuálnych výsledkov vedeckej a výskumnej

More information

CCM.F-K4.a, CCM.F-K4.b and APMP.M.F-K4.b. Key comparisons CCM.F-K4.a, and CCM.F-K4.b

CCM.F-K4.a, CCM.F-K4.b and APMP.M.F-K4.b. Key comparisons CCM.F-K4.a, and CCM.F-K4.b CCM.F-K4.a, CCM.F-K4.b and APMP.M.F-K4.b Key comparisons CCM.F-K4.a, and CCM.F-K4.b NOMINAL VALUES : 2 MN and 4 MN Dates of measurements : 2004-2005 Measurements in key comparisons CCM.F-K4.a and CCM.F-K4.b

More information

A. Všeobecná metrológia a legislatíva A.1 Manažérstvo merania a zabezpečenie metrológie vo firme /akreditovaný kurz MŠ SR/ A.

A. Všeobecná metrológia a legislatíva A.1 Manažérstvo merania a zabezpečenie metrológie vo firme /akreditovaný kurz MŠ SR/ A. A. Všeobecná metrológia a legislatíva A.1 Manažérstvo merania a zabezpečenie metrológie vo firme /akreditovaný kurz MŠ SR/ A.2 Metrologické zabezpečenie meradiel A.3 Metrologická legislatíva A. 4 Metrológia

More information

International Comparison of Surface Roughness and Step Height (Depth) Standards, SIML-S2 (SIM 4.8)

International Comparison of Surface Roughness and Step Height (Depth) Standards, SIML-S2 (SIM 4.8) International Comparison of Surface Roughness and Step Height (Depth) Standards, SIML-S2 (SIM 4.8) K. Doytchinov, Institute for National Measurement Standards, National Research Council (NRC), Ottawa,

More information

ISO GUM, Uncertainty Quantification, and Philosophy of Statistics

ISO GUM, Uncertainty Quantification, and Philosophy of Statistics ISO GUM, Uncertainty Quantification, and Philosophy of Statistics Gunnar Taraldsen NTNU and SINTEF January 21th 2015 1 2 Abstract and history In 1978, recognizing the lack of international consensus on

More information

Polymérne konštrukčné materiály

Polymérne konštrukčné materiály Polymérne konštrukčné materiály Odborná publikácia Tatiana Liptáková, Pavol Alexy, Ernest Gondár, Viera Khunová Recenzenti: prof. Ing. Ivan Hudec, PhD. prof. Ing. Ivan Chodák, DrSc. Vedecký redaktor: prof.

More information

Opis przedmiotu zamówienia - zakres czynności Usługi sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu

Opis przedmiotu zamówienia - zakres czynności Usługi sprzątania obiektów Gdyńskiego Centrum Sportu O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e C eo n t r u m S p o r t us I S t a d i o n p i ł k a r s k i

More information

MEZINÁRODNÍ VĚDECKÝ SEMINÁŘ NOVÉ TRENDY V EKONOMETRII A OPERAČNÍM VÝZKUMU

MEZINÁRODNÍ VĚDECKÝ SEMINÁŘ NOVÉ TRENDY V EKONOMETRII A OPERAČNÍM VÝZKUMU Katedra ekonometrie Fakulty informatiky a statistiky VŠE v Prahe a Katedra operačného výskumu a ekonometrie Fakulty hospodárskej informatiky EU v Bratislave MEZINÁRODNÍ VĚDECKÝ SEMINÁŘ NOVÉ TRENDY V EKONOMETRII

More information

Managing the Intangible: Software as a Service New Approach for Sourcing Application Software

Managing the Intangible: Software as a Service New Approach for Sourcing Application Software Managing the Intangible: Software as a Service New Approach for Sourcing Application Software RUDOLF RÖSSEL Vysoká škola manažmentu, Bratislava, Slovakia Abstract: The traditional model of software distribution

More information

FORUM STATISTICUM SLOVACUM

FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2007 FORUM STATISTICUM SLOVACUM I S SN 1 3 3 6-7 4 2 0 7 6 9 7 7 1 3 3 6 7 4 2 0 0 1 Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3, 824 67 Bratislava www.ssds.sk Naše najbližšie akcie:

More information

Týždeň 1. Úvodné stretnutie informácie o obsahu kurzu, spôsobe hodnotenia, úvod do problematiky demokracie

Týždeň 1. Úvodné stretnutie informácie o obsahu kurzu, spôsobe hodnotenia, úvod do problematiky demokracie Teórie demokracie Výberový predmet Vyučujúci: JUDr. Mgr. Michal Mrva Charakteristika kurzu Kurz má za cieľ oboznámiť študentov s problematikou demokracie v jej historickej perspektíve s dôrazom na vývoj

More information

IAS CALIBRATION and TESTING LABORATORY ACCREDITATION PROGRAMS DEFINITIONS

IAS CALIBRATION and TESTING LABORATORY ACCREDITATION PROGRAMS DEFINITIONS REFERENCES NIST Special Publication 330 IAS CALIBRATION and TESTING LABORATORY ACCREDITATION PROGRAMS DEFINITIONS Revised October 2013 International vocabulary of metrology Basic and general concepts and

More information

Viega Visign Cenník 2014

Viega Visign Cenník 2014 Viega Visign Cenník 2014 Ceny sú uvedené vrátane DPH Viega Eco Plus: Podomietková splachovacia nádržka na zabudovanie do odľahčených stien. Akčný balík Viega Eco Plus: prvok Viega Eco Plus + biela ovládacia

More information

My Passport Ultra Metal Edition

My Passport Ultra Metal Edition My Passport Ultra Metal Edition Prvotriedne úložisko Príručka používateľa Externý pevný disk Príručka používateľa My Passport Ultra Metal Edition Servis a technická podpora spoločnosti WD Ak narazíte na

More information

Possibilities and limits for capital structure optimalising model design of Czech dairy industry

Possibilities and limits for capital structure optimalising model design of Czech dairy industry Possibilities and limits for capital structure optimalising model design of Czech dairy industry Konstrukce modelu pro optimalizaci kapitálové struktury podnikù èeského mlékárenského prùmyslu G. CHMELÍKOVÁ

More information

svařování ZVÁRANIE NÁS SPÁJA odborný časopis so zameraním na zváranie a príbuzné technológie ročník 56

svařování ZVÁRANIE NÁS SPÁJA odborný časopis so zameraním na zváranie a príbuzné technológie ročník 56 zváranie 10 2007 odborný časopis so zameraním na zváranie a príbuzné technológie ročník 56 ISSN 0044-5525 svařování ZVÁRANIE NÁS SPÁJA VÝSKUM A VÝVOJ ZVÁRACIE MATERIÁLY TECHNOLÓGIE A ZARIADENIA VZDELÁVANIE

More information

FORUM STATISTICUM SLOVACUM

FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/008 FORUM STATISTICUM SLOVACUM I S SN 1 3 3 6-7 4 0 8 6 9 7 7 1 3 3 6 7 4 0 0 1 Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3, 84 67 Bratislava www.ssds.sk Naše najbližšie akcie: (pozri

More information

Fakt, ze pocet urovn kazdeho vnoreneho faktora je rovnaky pre kazdu uroven nadradeneho faktora vyjadruje vyvazenost' NOV modelu elkovy pocet pozorovan

Fakt, ze pocet urovn kazdeho vnoreneho faktora je rovnaky pre kazdu uroven nadradeneho faktora vyjadruje vyvazenost' NOV modelu elkovy pocet pozorovan ODHDOVNIE PREDIKI EFEKTOV VO VYV ZEN YH MODELOH NL YZY ROZPTYLU RNDr Viktor Witkovsky, Sc Ustav merania SV Dubravska cesta 9 84 9 ratislava, Slovenska republika E-mail: umerwitksavbask Estimation and prediction

More information

Programy na podporu vzdelávania a elearning

Programy na podporu vzdelávania a elearning Programy na podporu vzdelávania a elearning Tomáš Vencelík Account Manager Education & Research SUN Microsystems Agenda História Sun Microsystems STAR HW programy SW programy E-learning program SAI Referencie

More information

8 / c S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n c z e l a d n i c z y dla zawodu Ś L U S A R Z Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot r ze b r yn ku p r acy Kod z klasyfikacji zawodów

More information

WK29B / WK29W. Bluetooth Wireless Slim Keyboard. User manual ( 2 5 ) Uživatelský manuál ( 6 10) Užívateľský manuál (11 15)

WK29B / WK29W. Bluetooth Wireless Slim Keyboard. User manual ( 2 5 ) Uživatelský manuál ( 6 10) Užívateľský manuál (11 15) WK29B / WK29W Bluetooth Wireless Slim Keyboard User manual ( 2 5 ) Uživatelský manuál ( 6 10) Užívateľský manuál (11 15) 1. Installing the batteries The EVOLVEO WK29B / WK29W keyboard uses two AAA alkaline

More information

Put the human back in Human Resources.

Put the human back in Human Resources. Put the human back in Human Resources A Co m p l et e Hu m a n Ca p i t a l Ma n a g em en t So l u t i o n t h a t em p o w er s HR p r o f essi o n a l s t o m eet t h ei r co r p o r a t e o b j ect

More information

12/2010. a KARTOGRAFICKÝ GEODETICKÝ. Český úřad zeměměřický a katastrální Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky

12/2010. a KARTOGRAFICKÝ GEODETICKÝ. Český úřad zeměměřický a katastrální Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky GEODETICKÝ a KARTOGRAFICKÝ Český úřad zeměměřický a katastrální Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky 12/2010 Praha, prosinec 2010 Roč. 56 (98) Číslo 12 str. 245 268 Cena 24, Kč 1,

More information

POKUS O ENERGETICKO-INFORMAÈNÚ INTERPRETÁCIU NIEKTORÝCH MAGICKÝCH LIEÈEBNÝCH PRAKTÍK V TRADIÈNEJ ¼UDOVEJ KULTÚRE SLOVENSKA

POKUS O ENERGETICKO-INFORMAÈNÚ INTERPRETÁCIU NIEKTORÝCH MAGICKÝCH LIEÈEBNÝCH PRAKTÍK V TRADIÈNEJ ¼UDOVEJ KULTÚRE SLOVENSKA Sn ROÈNÍK 45 1/1997 ŠTÚDIE POKUS O ENERGETICKO-INFORMAÈNÚ INTERPRETÁCIU NIEKTORÝCH MAGICKÝCH LIEÈEBNÝCH PRAKTÍK V TRADIÈNEJ ¼UDOVEJ KULTÚRE SLOVENSKA DUŠAN BELKO Mgr. Dušan Belko, Ústav etnológie SAV,

More information

Long series on consumer prices data documentation

Long series on consumer prices data documentation Long series on consumer prices data documentation The BIS s data set for consumer prices contains long monthly and annual time series for 60 countries. The average length of the monthly series is close

More information

C++/CLI Praktické príklady

C++/CLI Praktické príklady Ján Hanák C++/CLI Praktické príklady (Príručka praktických cvičení pre vývojárov, programátorov a softvérových expertov) Artax 2009 Autor: Ing. Ján Hanák, MVP C++/CLI Praktické príklady Vydanie: prvé Rok

More information

Keysight Technologies Optical Power Meter Head Special Calibrations. Brochure

Keysight Technologies Optical Power Meter Head Special Calibrations. Brochure Keysight Technologies Optical Power Meter Head Special Calibrations Brochure Introduction The test and measurement equipment you select and maintain in your production and qualification setups is one of

More information

SALAŠ KY, 13-16 1977 ČSKAE - ÚVVVR ^ 9-1979. IV. KOLOKVIUM O NÍZKYCH RÁDIOAKTIVITÁCH IV tb COLLOQUY ON LOW-LEVEL COUNTING

SALAŠ KY, 13-16 1977 ČSKAE - ÚVVVR ^ 9-1979. IV. KOLOKVIUM O NÍZKYCH RÁDIOAKTIVITÁCH IV tb COLLOQUY ON LOW-LEVEL COUNTING ČSKAE - ÚVVVR ^ 9-1979 n IV. KOLOKVIUM O NÍZKYCH RÁDIOAKTIVITÁCH IV tb COLLOQUY ON LOW-LEVEL COUNTING SALAŠ KY, 13-16 1977 Sborník prací z oblasti jaderné vědy a techniky Z B O H N 1 K R E F E R Á T O

More information

Campus Sustainability Assessment and Related Literature

Campus Sustainability Assessment and Related Literature Campus Sustainability Assessment and Related Literature An Annotated Bibliography and Resource Guide Andrew Nixon February 2002 Campus Sustainability Assessment Review Project Telephone: (616) 387-5626

More information

1 9 / m S t a n d a r d w y m a g a ń - e g z a m i n m i s t r z o w s k i dla zawodu M E C H A N I K P O J A Z D Ó W S A M O C H O D O W Y C H Kod z klasyfikacji zawodów i sp e cjaln oś ci dla p ot r

More information

!T =!Mobile=== Nastavenia dátových a multimediálnych služieb pre multifunkčné zariadenia s operačným systémom Windows Mobile 5.0 NASTAVENIE MMS 1 /18

!T =!Mobile=== Nastavenia dátových a multimediálnych služieb pre multifunkčné zariadenia s operačným systémom Windows Mobile 5.0 NASTAVENIE MMS 1 /18 Nastavenia dátových a multimediálnych služieb pre multifunkčné zariadenia s operačným systémom Windows Mobile 5.0 Nastavenie je možné vykonať manuálnym resetom zariadenia, pričom všetky nastavenie sa vrátia

More information

Vybrané metody pro analýzu

Vybrané metody pro analýzu Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Adrián Andráš Vybrané metody pro analýzu mnohorozměrných finančních dat Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí

More information

EVALUATION OF BMI IN THE SELECTED SAMPLE OF TRNAVA UNIVERSITY STUDENTS

EVALUATION OF BMI IN THE SELECTED SAMPLE OF TRNAVA UNIVERSITY STUDENTS School and Health 21, 2010, Health Education: Contexts and Inspiration EVALUATION OF BMI IN THE SELECTED SAMPLE OF TRNAVA UNIVERSITY STUDENTS Viera PETERKOVÁ, Ivona PAVELEKOVÁ Abstract: The study results

More information

BLADE 12th Generation. Rafał Olszewski. Łukasz Matras

BLADE 12th Generation. Rafał Olszewski. Łukasz Matras BLADE 12th Generation Rafał Olszewski Łukasz Matras Jugowice, 15-11-2012 Gl o b a l M a r k e t i n g Dell PowerEdge M-Series Blade Server Portfolio M-Series Blades couple powerful computing capabilities

More information

SMU publications (length)

SMU publications (length) SMU publications (length) Bartl, J. - Hain, M.: The influence of goniometric emmiting factor on the contactless measurement of the temperature. In: HEAT 96. - Kielce, Poľsko : Kielce University of Technology,

More information

The summary table below shows how the composition of the trading partner groups changes on 1 January 2015 as a result of the enlargement.

The summary table below shows how the composition of the trading partner groups changes on 1 January 2015 as a result of the enlargement. 1 Update of trade weights underlying effective exchange rates and harmonised competitiveness indicators as Lithuania joins the euro area on 1 January 2015 The trade weights underlying the calculation of

More information

BIS CEMLA Roundtable on Fiscal Policy, public debt management and government bond markets: issues for central banks

BIS CEMLA Roundtable on Fiscal Policy, public debt management and government bond markets: issues for central banks BIS CEMLA Roundtable on Fiscal Policy, public debt management and government bond markets: issues for central banks Is monetary policy constrained by fiscal policy? by Carlos Montoro 26-27 November 212

More information

Final Publishable JRP Summary Report for JRP ENG06 Power Plants Metrology for improved power plant efficiency

Final Publishable JRP Summary Report for JRP ENG06 Power Plants Metrology for improved power plant efficiency Final Report for JRP Metrology for improved power plant efficiency Overview: Large scale power plants based on nuclear or conventional fuel provide about 80 % of generated electricity in the EU and nearly

More information

VYSOKÁ ŠKOLA MANAŽMENTU V TRENČÍNE

VYSOKÁ ŠKOLA MANAŽMENTU V TRENČÍNE VYSOKÁ ŠKOLA MANAŽMENTU V TRENČÍNE APLIKÁCIA NEURÓNOVÝCH SIETÍ PRI PROGNÓZOVANÍ VYBRANÝCH AKCIÍ Diplomová práca 2013 Ing. Ľubomír Kužela VYSOKÁ ŠKOLA MANAŽMENTU V TRENČÍNE APLIKÁCIA NEURÓNOVÝCH SIETÍ PRI

More information

Spracovanie radarových dát pomocou indexov kvality

Spracovanie radarových dát pomocou indexov kvality Spracovanie radarových dát pomocou indexov kvality Mgr. Ladislav Méri, SHMÚ Abstract By the growing demand for radar products the question of its accuracy and quality rises more often and often. Most of

More information

KONTAKT CHEMIE Kontakt PCC

KONTAKT CHEMIE Kontakt PCC Cleaner and flux remover for printed circuit boards KONTAKT CHEMIE Kontakt PCC Technical Data Sheet KONTAKT CHEMIE Kontakt PCC Page 1/2 Description: Mixture of organic solvents. General properties and

More information

T e s t e xp re s s i o n B o d y o f i f E xi t F i g u re 1 - F l o w c h art o f th e i f s tate m M u l ti S tate m s i n th e i f B o d y : L ik

T e s t e xp re s s i o n B o d y o f i f E xi t F i g u re 1 - F l o w c h art o f th e i f s tate m M u l ti S tate m s i n th e i f B o d y : L ik MQL4 COURSE By Coders guru w w w. f orex -t sd. c om -6- Loops & Decisions Part 2 ---------------------------- We l c o m e t o t h e s ix t h l e s s o n in m y c o u r s e a b o u t M Q L 4. I h o pe

More information

Report of the Spectral Irradiance Comparison EURAMET.PR-K1.a.1 between MIKES (Finland) and NIMT (Thailand)

Report of the Spectral Irradiance Comparison EURAMET.PR-K1.a.1 between MIKES (Finland) and NIMT (Thailand) Report of the Spectral Irradiance Comparison EURAMET.PR-K1.a.1 between MIKES (Finland) and NIMT (Thailand) M. Ojanen 1, M. Shpak 1, P. Kärhä 1, R. Leecharoen 2, and E. Ikonen 1,3 1 Helsinki University

More information

UNIVERZITA SV. CYRILA A METODA V TRNAVE

UNIVERZITA SV. CYRILA A METODA V TRNAVE UNIVERZITA SV. CYRILA A METODA V TRNAVE FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED GENETICKÝ ALGORITMUS PRE HĽADANIE GLOBÁLNEHO MINIMA FUNKCIÍ S BINÁRNOU REPREZENTÁCIOU PREMENNEJ Esej Modelovanie a simulácia 2015/2016 APIN

More information

Jak pracuje. Ondřej Bojar bojar@ufal.mff.cuni.cz Ústav formální a aplikované lingvistiky MFF UK. ELRC Workshop, 14.

Jak pracuje. Ondřej Bojar bojar@ufal.mff.cuni.cz Ústav formální a aplikované lingvistiky MFF UK. ELRC Workshop, 14. Jak pracuje automatický překlad Ondřej Bojar bojar@ufal.mff.cuni.cz Ústav formální a aplikované lingvistiky MFF UK ELRC Workshop, 14. duben 2016 1/31 Osnova Úloha strojového překladu. Obtížnost překladu.

More information

Cisco Security Agent (CSA) CSA je v í c eúčelo v ý s o f t w a r o v ý ná s t r o j, k t er ý lze p o už í t k v ynuc ení r ů zný c h b ezp ečno s t ní c h p o li t i k. CSA a na lyzuje c h o v á ní a

More information

List of Part Numbers Manufacturer's No. / Hella No.

List of Part Numbers Manufacturer's No. / Hella No. List of Part Numbers Manufacturer's No. / No. List of part numbers.02-.09 Manufacturer's no. / no..-.53 Note: The original numbers listed in the manufacturer number - number comparison serve exclusively

More information

Improving Text Entry Performance for Spanish-Speaking Non-Expert and Impaired Users

Improving Text Entry Performance for Spanish-Speaking Non-Expert and Impaired Users Improving Text Entry Performance for Spanish-Speaking Non-Expert and Impaired Users Francesco Curatelli curatelli@dibe.unige.it Chiara Martinengo martinen@dima.unige.it University of Genova, Italy Oscar

More information

Nákup software od SciTech Praha 6, Nad Šárkou 75, Praha 6. Ceny bez DPH a poštovného. ORIGINLAB

Nákup software od SciTech Praha 6, Nad Šárkou 75, Praha 6. Ceny bez DPH a poštovného. ORIGINLAB Nákup software od SciTech Praha 6, Nad Šárkou 75, 160 00 Praha 6. Ceny bez DPH a poštovného. ORIGINLAB Origin 8.0 ORI-00156 Origin 8.0 1 Individual License WNT/2K/XP/VS 17 960 ORI-00157 Origin 8.0 1 Individual

More information

J&T FINANCE GROUP, a.s. a dcérske spoločnosti

J&T FINANCE GROUP, a.s. a dcérske spoločnosti J&T FINANCE GROUP, a.s. a dcérske spoločnosti Konsolidovaná účtovná závierka za rok, KONSOLIDOVANÝ VÝKAZ ZISKOV A STRÁT za rok, v tis. EUR Bod 2013 2012 Úrokové výnosy 7 295 075 163 724 Úrokové náklady

More information

SBORNÍK PŘÍSPĚVKŮ Sociální procesy a osobnost 2009 Člověk na cestě životem: rizika, výzvy, příležitosti

SBORNÍK PŘÍSPĚVKŮ Sociální procesy a osobnost 2009 Člověk na cestě životem: rizika, výzvy, příležitosti SBORNÍK PŘÍSPĚVKŮ Sociální procesy a osobnost 2009 Člověk na cestě životem: rizika, výzvy, příležitosti Marek Blatný, Dalibor Vobořil, Petr Květon, Martin Jelínek, Veronika Sobotková, Sylvie Kouřilová

More information

Overview of measurement standards for solid state lighting

Overview of measurement standards for solid state lighting CORM 2009 NIST Tutorial Workshop, Gaithersburg, MD, May 5, 2009 Overview of measurement standards for solid state lighting Yoshi Ohno Director of CIE Division 2 Member of ANSI C78-09, IESNA TPC National

More information

Univerzita J. Selyeho Selye János Egyetem Ekonomická fakulta Gazdaságtudományi Kar

Univerzita J. Selyeho Selye János Egyetem Ekonomická fakulta Gazdaságtudományi Kar Univerzita J. Selyeho Selye János Egyetem Ekonomická fakulta Gazdaságtudományi Kar Gazdaságtudományi Kar Ekonomická Fakulta Inovačný potenciál, inovačné podnikanie a podnikateľské siete Monografický zborník

More information

Príklady riadenia kvality z vybraných krajín

Príklady riadenia kvality z vybraných krajín Príklady riadenia kvality z vybraných krajín Daniela Uličná Konferencia: Tvorba Národnej sústavy kvalifikácií 26.11.2013 Prečo vôbec hovoriť o otázke riadenia kvality v kontexte NSK? NSK by mala zlepšiť

More information

Flow Metrology for Liquefied Natural Gas (LNG)

Flow Metrology for Liquefied Natural Gas (LNG) Flow Metrology for Liquefied Natural Gas (LNG) EMRP Project Introduction and overview October 2011 Lars Poder, FORCE Technology About LNG Liquefied Natural Gas is produced by cooling down natural gas below

More information