Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця"

Transcription

1 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця РЕДАКЦIЙНА КОЛЕГIЯ ЖУРНАЛУ А. Г. Наумовець (головний редактор), П. I. Андон, Я. Б. Блюм, В. Л. Богданов (заст. головного редактора з наук. питань), А.Ф. Булат, Г.М. Гавричкова (заст. головного редактора), П. Ф. Гожик, В. П. Горбулiн, В. Т. Грiнченко, Г. В. Єльська, А. Г. Загороднiй, М. Ю. Iльченко, М. Т. Картель, О. В. Кириленко, С.В. Комiсаренко, В.Г. Кошечко, В.П. Кухар, Л.М. Лобанов, В. М. Локтєв, В. В. Моргун, О. М. Пономаренко, А. М. Самойленко, В. I. Старостенко, Є. Я. Хруслов, В. Ф. Чехун, М. Ф. Шульга, Я. С. Яцкiв Нацiональна академiя наук України, 2015

2 Редактори роздiлiв Л.М. Литвинова, Л.I. Пузанкова, Т. I. Хоменко Оформлення художника В. Г. Самсонова Комп ютерна верстка В. I. Бойко, Г. В. Попович Видавничий дiм «Академперiодика» НАН України Свiдоцтво про внесення до Держреєстру суб єкта видавничої справи серiї ДК 544 вiд , Київ, вул. Терещенкiвська, 4 Пiдписано до друку Формат /16. Ум. друк. арк. 16,8. Обл.-вид. арк. 16,36. Тираж 184 прим. Зам Цiна 40 грн. Видавець Видавничий дiм «Академперiодика» НАН України , Київ, вул. Терещенкiвська, 4

3 Змiст Математика Баранник Т. А. Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї Сердюк А.С., Степанюк Т.А. Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi Чепурухiна I.С. Напiводнорiдна елiптична задача з додатковими невiдомими функцiями в крайових умовах Pokrovskii A.V. A simple proof of the Radó and Král theorems on removability of the zero locus for analytic and harmonic functions Iнформатика та кiбернетика Механiка Фiзика Ляшко С.I., Грищенко О.Ю., Федорова В.С., Загородня Г.О. Про один скiнченнорiзницевий алгоритм моделювання процесiв кiнетики адсорбцiї Багно А.М. О волнах Лэмба в системе слой идеальной жидкости упругий слой Кубенко В.Д. О нестационарном деформировании упругого слоя при смешанных граничных условиях Лоза И.А. Кинематический анализ распространения осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при механическом способе возбуждения Селiванов М.Ф. Модель трiщини з зоною зчеплення при змiшаному режимi руйнування Савкiна Р.К., Смiрнов О.Б. Ефект наноструктурування Si та GaAs шляхом кавiтацiйної обробки в рiдкому азотi Енергетика Бiлецький В. С., Круть О. А. Оцiнка властивостей водовугiльної суспензiї у гiдродинамiчних умовах Науки про Землю Хiмiя Гордиенко В.В., Гордиенко И.В., Завгородняя О.В. Современная активизация и тепловое поле Южно-Украинской моноклинали и Скифской плиты Кушнiр С.В. Причини барботажного хiмiчного ефекту i диференцiацiї iонiв при утвореннi морських аерозолiв (фiзико-хiмiчний аналiз) Усенко О.В. Эволюция мантийных расплавов и флюидов в докембрии Шевчук О.А. Трахеїди з юрських вiдкладiв України Булавко Г.В., Ищенко А.А. Природа аниона и фотовольтаические свойства катионных полиметиновых красителей

4 Бiологiя Бiохiмiя Ткаченко И.М., Кобзарь Я.Л., Шекера О.В., Шевченко В. В. Синтез 4,4 -бис(нонафторобифенил-4-оксифенил)-бис(трифторометил)метана и на его основе лестничного полиэфира, содержащего спиробисиндановые фрагменты Гулевский А.К., Ахатова Ю.С. Стимулирующее влияние низкомолекулярной фракции (до 5 кда) кордовой крови на гликогенолиз в нейтрофилах лейкоконцентрата донорской крови человека Драговоз I.В., Леонова Н.О., Зелена Л.Б., Ребрiєв А.В., Авдєєва Л.В. Iдентифiкацiя екзометаболiтiв штаму Bacillus amyloliquefaciens subsp. plantarum IМВ В-7404 з антифунгальною активнiстю Плоховская C.Г., Заславский В.А., Емец А.И., Блюм Я.Б. Участие актиновых филаментов в ответе клеток корня Arabidopsis thaliana на действие низкой температуры Медицина Екологiя Пiлiнська М.А., Дибський С.С., Дибська О.Б., Швайко Л.I., Сушко В.О. Тривалiсть зберiгання прихованої хромосомної нестабiльностi в лiмфоцитах периферичної кровi людини при професiйному контактi з iонiзуючою радiацiєю Семiнська О.О., Кучерук Д.Д., Балакiна М.М., Гончарук В.В. Використання зворотного осмосу та нанофiльтрацiї в очищеннi стiчних вод вiд фосфатiв

5 Contents Mathematics Barannyk T.A. The classification of the Galilei-invariant systems of nonlinear reactiondiffusion equations Serdyuk A.S., Stepaniuk T.A. Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness.. 13 Chepurukhina I.S. A semihomogeneous elliptic problem with additional unknown functions in boundary conditions Pokrovskii A.V. A simple proof of the Radó and Král theorems on removability of the zero locus for analytic and harmonic functions Information Science and Cybernetics Mechanics Energetics Physics Lyashko S.I., Gryshchenko O.Yu., Fedorova V.S., Zagorodnya G.O. About a finitedifference algorithm of modeling the adsorption kinetic processes Bahno O.M. On Lamb waves in the system: an ideal fluid layer an elastic layer Kubenko V.D. On the nonstationary deforming of an elastic layer under mixed boundary conditions Loza I.A. Kinematic analysis of the propagation of axisymmetric elastoelectric waves in a hollow layered cylinder under a mechanical mode of excitation Selivanov M. F. A model of crack with cohesive zone for a mixed mode of fracture Bilecky V.S., Krut O.A. The evaluation of properties of coal water slurries under hydrodynamic conditions Savkina R.K., Smirnov A.B. Nanostructurization of Si and GaAs by acoustic cavitation in liquid nitrogen Geosciences Chemistry Gordienko V.V., Gordienko I.V., Zavgorodnjaja O.V. Recent activization and heat field of the South-Ukrainian monocline and the Scyphian plate Kuschnir S.V. Reasons for the bubbling chemical effect and differentiation of ions in the formation of marine aerosols (physico-chemical analysis) Usenko O.V. Evolution of mantle melts and fluids at the Precambrian Shevchuk O.V. Tracheids of the Jurassic sediments of Ukraine Bulavko G.V., Ishchenko A.A. The nature of counterion and photovoltaic properties of cationic polymethine dyes Tkachenko I.M., Kobzar Ya.L., Shekera O.V., Shevchenko V.V. Synthesis of 4,4- bis(nonafluorobiphenyl-4-oxyphenyl)-bis(trifluoromethyl)methane and a ladder polyether with spirobisindane fragments on its base

6 Biology Gulevskyy O.K., Akhatova Yu.S. Stimulating effect of a low-molecular fraction (below 5 kda) from cord blood on glycogenolysis in neutrophils of human donor blood leukoconcentrate Biochemistry Medicine Ecology Dragovoz I.V., Leonova N.O., Zelena L.V., Rebriyev A.V., Avdeeva L.V. Identification of Bacillus amyloliquefaciens subsp. plantarum IMV B-7404 strain exometabolites with antifungal activity Plohovska S.G., Zaslavsky V.A., Yemets A.I., Blume Ya.B. Participation of actin filaments in the response of Arabidopsis thaliana root cells to low-temperature action Pilinskaya M. A., Dibskiy S. S., Dibskaya Ye. B., Shvayko L. I., Sushko V. A. Duration of the hidden chromosome instability persistence in peripheral blood lymphocytes of persons occupationally exposed to ionizing radiation Seminska O.O., Kucheruk D.D., Balakina M.M., Goncharuk V.V. The use of reverse osmosis and nanofiltration in wastewater purification from phosphates

7 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ МАТЕМАТИКА УДК 517.9: Т.А. Баранник Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї (Представлено членом-кореспондентом НАН України А.Г. Нiкiтiним) Наведено повний опис галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї у випадку, коли коренi характеристичного рiвняння матрицi дифузiї є дiйсними числами. Ключовi слова: рiвняння реакцiї-дифузiї, перетворення Галiлея, симетрiя. 1. Принцип вiдносностi Галiлея є одним iз фундаментальних постулатiв, який повиннi задовольняти фiзичнi, хiмiчнi, бiологiчнi та iншi системи. Математичною мовою це означає, що математичнi моделi цих систем повиннi бути iнварiантними вiдносно груп Галiлея. У данiй роботi пропонується опис систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї, iнварiантних вiдносно груп Галiлея, якi мають вигляд u m t A 2 u x 2 i=1 i = f(u), (1) де u = стовпець(u 1,u 2,...,u n ) є вектор-функцiєю вiд t, x 1,...,x m, f(u) = стовпець (f 1,f 2,...,f n ) є вектор-функцiєю вiд u, A невироджена квадратна матриця порядку n. Такi системи знаходять широке застосування в теорiї тепломасоперенесення, а також в математичнiй бiологiї та хiмiї. Тому симетрiйний аналiз системи рiвнянь (1) має прикладне значення i може бути використаний, наприклад, для побудови точних розв язкiв широкого класу фiзичних i бiологiчних систем. Перша спроба класифiкувати систему (1) у випадку n = 2 належить Ю. А. Данiлову [1], який обмежився випадком дiагональної матрицi A. Дослiдження лiївських симетрiй системи (1) для n = 2 з дiагональною матрицею A було проведено в роботах [2 4], а з матрицею дифузiї A загального вигляду у роботах [5, 6]. Завершеного вигляду ця класифiкацiя досягла в роботi [7]. А. Г. Нiкiтiн i Р. Вiльтшире [5, 6] запропонували ефективний пiдхiд до дослiдження класичної i умовної симетрiй, який може бути застосований до рiвняння (1) з довiльними n i m. Т.А. Баранник, 2015 ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 7

8 2. За допомогою методу С. Лi неважко переконатися, що система рiвнянь (1) iнварiантна вiдносно операторiв Галiлея G a = t +x a x a n i,j=1 b ij u j u i (2) тодi i тiльки тодi, коли B = (b ij ) = 1/2A 1, а функцiя f(u) задовольняє систему рiвнянь (A 1 ) kb f b = (A 1 ) ab u b fk u a. (3) Отже, класифiкацiя систем (1), iнварiантних вiдносно перетворень Галiлея, зводиться до знаходження розв язкiв системи рiвнянь (3). Характер розв язкiв системи (3) суттєво залежить вiд типу матрицi A 1. З точнiстю до перетворень подiбностi матриця A 1 може бути зведена до однiєї з трьох канонiчних форм залежно вiд значень коренiв характеристичного рiвняння [8, c ]. a) Коренi характеристичного рiвняння матрицi A 1 дiйснi. Матриця A 1 в цьому випадку подiбна до матрицi J m1,λ 1 + +J ms,λ s = J m1,λ J ms,λ s де J mi,λ i є клiткою Жордана порядку m i для i = 1,2,...,s: λ i J mi,λ i = 1 λ i λ i, (4) b) Коренi характеристичного рiвняння матрицi A 1 комплекснi. Матриця A 1 в цьому випадку подiбна до матрицi J m 1 b 1,d 1 + +J m k b k,d k, d i 0 для i = 1,2,...,k, де Jb,d m узагальнена клiтка Жордана, тобто матриця порядку 2m такого вигляду: b d 1 0 d b 0 1 Jb,d m = b d d b O O b d d b. У випадку m i = 1 для i = 1,2,...,k матриця A 1 подiбна до матрицi J 1 b 1,d 1 + +J 1 b k,d k. (5) 8 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

9 c) Характеристичне рiвняння матрицi A 1 має s дiйсних коренiв i t комплексних коренiв з врахуванням їх кратностi. Матриця A 1 в даному випадку подiбна до матрицi J m1,λ 1 + +J mk,λ k +J n 1 b 1,d 1 + +J n l b l,d l, де m 1 + +m k = s, 2n n l = t. Зокрема, якщо n 1 = = n l = 1, то матриця A 1 подiбна до матрицi J m1,λ 1 + +J mk,λ k +J 1 b 1,d 1 + +J 1 b l,d l. (6) 3. Опис систем рiвнянь (1), якi допускають перетворення Галiлея, зводиться до iнтегрування системи звичайних диференцiальних рiвнянь (3). Далi наведено розв язки цiєї системи для випадкiв, коли матриця A 1 має вигляд (4), (5), (6). Нехай матриця A 1 є клiткою Жордана J n,λ. Для визначення всiх можливих нелiнiйних форм компонент вектор-функцiї f(u) введемо нову змiнну τ, яка визначається iз спiввiдношення u a τ = (A 1 ) ab u b. Лема. Першими iнтегралами системи (7) є функцiї (7) C k = k ( 1) p 1 λ p p! p=0 u k+1 p u 1 ln p u 1, k = 1,...,n 1. (8) Теорема 1. Якщо матриця A 1 є клiткою Жордана J n,λ, то загальний розв язок системи (3) утворюють функцiї k 1 1 f k = u 1 λ p p! ϕ k pln p u 1, k = 1,...,n, (9) p=0 де ϕ 1,...,ϕ n є довiльними функцiями вiд перших iнтегралiв (8) системи рiвнянь (7). Доведення. Введемо нову змiнну τ, яка визначається системою (7). Використовуючи змiнну τ, рiвняння (3) запишемо у виглядi f a τ = (A 1 ) ab f b. Проiнтегрувавши ситему (10), знаходимо її загальний розв язок (10) k 1 f k = e λτ p=0 C k p τ p p!, k = 1,...,n, де C 1,..., C n довiльнi сталi. Враховуючи, щоu 1 = e λτ, отримуємо на пiдставi леми загальний розв язок системи рiвнянь (3), який визначається формулами (9). Теорема доведена. У теоремах, що сформульованi нижче, для компактного запису компонент вектор-функцiї f = стовпець(f 1,f 2,...,f n ) i u = стовпець(u 1,u 2,...,u n ) використано такi позначення: f (1) k = f k для k = 1,...,m 1 ; ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 9

10 f (i) k = f m1 + +m i 1 +k для k = 1,...,m i, якщо i > 1; u (1) k = u k для k = 1,...,m 1 ; u (i) k = u m 1 + +m i 1 +k для k = 1,...,m i, якщо i > 1. Теорема 2. Нехай обернена матриця дифузiї A 1 має вигляд (4). Вiдповiдна система рiвнянь реакцiї-дифузiї (1) iнварiантна вiдносно перетворень Галiлея, якщо нелiнiйностi f 1, f 2,...,f n мають такий вигляд: f (i) k = u (i) k 1 1 p=0 1 λ p i p!ϕ(i) де ϕ (i) 1,...,ϕ(i) m i є довiльними функцiями вiд (i) k ( 1) p 1 u λ p i p! p=0 k+1 p u (i) 1 [u (j) 1 ]λ 1 [u (1) 1 ] λ j, j = 2,...,s. k p lnp u (i) 1, k = 1,...,m i, i = 1,...,s, (11) ln p u (i) 1, k = 1,...,m i 1, i = 1,...,s; Теорема 3. Нехай обернена матриця дифузiї A 1 має вигляд (5). Вiдповiдна система рiвнянь реакцiї-дифузiї (1) iнварiантна вiдносно перетворень Галiлея, якщо нелiнiйностi f 1,f 2,...,f n мають такий вигляд: f (i) 1 = ϕ (i) 1 u(i) 2 +ϕ(i) 2 u(i) 1, f (i) 2 = ϕ (i) 1 u(i) 1 +ϕ(i) 2 u(i) 2, i = 1,...,k, де ϕ (i) 1 i ϕ (i) 2 є довiльними функцiями вiд ( R i exp b ) i arctan u(i) 2, R b j 1 d R b 1 j, j = 2,...,k, де Ri 2 = [u (i) 1 ]2 +[u (i) 2 ]2. i u (i) 1 Теорема 4. Нехай обернена матриця дифузiї A 1 має вигляд (6). Вiдповiдна система рiвнянь реакцiї-дифузiї (1) iнварiантна вiдносно перетворень Галiлея, якщо нелiнiйностi f 1, f 2,...,f n мають такий вигляд: f (i) k = u (i) k 1 1 p=0 1 λ p i p!ϕ(i) f (j) 1 = ϕ (j) 1 u(j) 2 +ϕ (j) 2 u(j) 1, f (j) 2 = ϕ (j) 1 u(j) 1 +ϕ (j) k p lnp u (i) 1, k = 1,...,m i; i = 1,...,r; 2 u(j) 2, j = r +1,...,r +l, де ϕ (i) 1,...,ϕ(i) m i, ϕ (j) 1, ϕ(j) 2 є довiльними функцiями вiд (i) k ( 1) p 1 u λ p i p! p=0 k+1 p u (i) 1 ln p u (i) 1, k = 1,...,m i; i = 1,...,r; 10 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

11 ( R j exp b j r arctan u(j) 2 d j r [u (r+1) 1 ] 2 +[u (r+1) 2 ] 2 u (j) 1 [u (1) 1 ]2b 1 λ 1, R 2 j = [u(j) Цитована лiтература ), R b 1 r+1 R b j r j, j = r +2,...,r +l, 1 ]2 +[u (j) 2 ]2. 1. Данилов Ю.А. Групповой анализ системы Тьюринга и ее аналогов. Москва, с. (Препр. / АН СССР. Ин-т атомной энергии им. И.В. Курчатова; 3287/1). 2. Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I // J. Phys. A: Math. Gen P Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I. Addendum // J. Phys. A: Math. Gen P Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: II // J. Phys. A: Math. Gen P Nikitin A. G., Wiltshire R. J. Symmetries of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Proc. Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine , Pt. 1. P Nikitin A. G., Wiltshire R. J. Systems of reaction-diffusion equations and their symmetry properties // J. Math. Phys , No 4. P Nikitin A. G. Group classification of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Укр. мат. вiсник , No 1. P Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. Москва: Наука, с. References 1. Danilov Yu. A. Group analysis of the Turing systems and of its analogues. Preprint, Kurchatov Institute of Atomic Energy, IAE 3287/1, Moscow, 1980 (in Russian). 2. Cherniha R., King J.R. J. Phys. A: Math. Gen., 2000, 33: Cherniha R., King J.R. J. Phys. A: Math. Gen., 2000, 33: Cherniha R., King J.R. J. Phys. A: Math. Gen., 2002, 36: Nikitin A.G., Wiltshire R. Proceeding of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, 2000, 30, Pt. 1: Nikitin A.G., Wiltshire R.J. J. Math. Phys., 2001, 42, No 4: Nikitin A.G. Ukr. math. visnyk, 2005, 2, No 1: Malcev A.I. Foundations of linear algebra, Moscow: Nauka, 1970 (in Russian). Полтавський нацiональний педагогiчний унiверситет iм. В. Г. Короленка Надiйшло до редакцiї Т. А. Баранник Классификация галилеево-инвариантных систем нелинейных уравнений реакции-диффузии Полтавский национальный педагогический университет им. В. Г. Короленко Приведено полное описание галилеево-инвариантных систем нелинейных уравнений реакции-диффузии в случае, когда корни характеристического уравнения матрицы диффузии являются действительными числами. Ключевые слова: уравнение реакции-диффузии, преобразование Галилея, симметрия. ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 11

12 T.A. Barannyk The classification of the Galilei-invariant systems of nonlinear reaction-diffusion equations V. G. Korolenko Poltava National Pedagogical University The full description of the Galilei-invariant systems of nonlinear reaction-diffusion equations is presented in the case where the roots of the characteristic equation of the diffusion matrix are real numbers. Keywords: reaction-diffusion equation, Galilei transformation, symmetry. 12 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

13 УДК А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Отримано порядковi оцiнки для найкращих рiвномiрних ортогональних тригонометричних наближень на класах 2π-перiодичних функцiй таких, що їх (ψ, β)-похiднi належать одиничним кулям просторiв L p, 1 p <, у випадку, коли послiдовнiсть ψ така, що добуток ψ(n)n 1/p може прямувати до нуля повiльнiше за довiльну степеневу функцiю i ψ p (k)k p 2 < при 1 < p <, 1/p+1/p = 1 або ψ(k) < при p = 1. Аналогiчнi k=1 k=1 оцiнки отримано для наближень в L p -метриках класiв (ψ,β)-диференцiйовних функцiй таких, що f ψ β 1 1. Ключовi слова: найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення, класи згорток, класи (ψ, β)-диференцiйовних функцiй. Нехай L p, 1 p <, простiр 2π-перiодичних сумовних в p-му степенi на [0,2π) функцiй f: R C з нормою f p := ( 2π 0 f(t) p dt) 1/p, L простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй f: R C з нормою f := esssup f(t). t Через L ψ β,p, 1 p, позначимо множину функцiй f: R R iз L 1, якi зображуються у виглядi згорток f(x) = a π π π з фiксованим твiрним ядром Ψ β вигляду Ψ β (t) = 1 2 Z/{0} Ψ β (x t)ϕ(t)dt, a 0 R, ϕ 1, ϕ 1, (1) ψ( k )e i(kt+βπ 2 signk) = k=1 ( ψ(k) cos kt βπ ). (2) 2 Функцiю ϕ в рiвностi (1) називають (див., наприклад, [1, с. 132, 136]) (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають через f ψ β. А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк, 2015 ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 13

14 У випадку коли ψ(k) = k r, r > 0, класи L ψ β,p, 1 p, β R, є вiдомими класами Вейля Надя Wβ,p r. Якщо послiдовнiсть ψ(k) монотонно спадає i ψ q (k)k q 2 <, 1 < q <, k=1 то, згiдно з лемою монографiї [2, с. 193], має мiсце включення Ψ β L q, 1/q+1/q = 1. З твердження iз [1, с. 137] i твердження з [3, с. 43] випливає, що при ψ(k) 0, ψ p (k)k p 2 <, 1 < p <, k=1 1 p + 1 p = 1, справедливi вкладення L ψ β,p L, L ψ β,1 L p, а з твердження iз [1, с. 137] випливає, що при ψ(k) > 0 i ψ(k) < виконується вкладення L ψ β,1 L. k=1 Будемо вважати, що послiдовностi ψ(k), k N, якi задають класи L ψ β,p, є звуженнями на множину натуральних чисел деяких додатних, неперервних, опуклих донизу функцiй ψ(t), заданих на [1, ), що задовольняють умову lim ψ(t) = 0. Множину всiх таких функцiй ψ t позначатимемо через M. Для класифiкацiї функцiй ψ iз M за їх швидкiстю спадання до нуля важливу роль вiдiграє характеристика α(ψ;t) := ψ(t) t ψ (t), ψ (t) := ψ (t+0). (3) За її допомогою з множини M видiляють такi пiдмножини (див., наприклад, [1, с ]): M 0 := {ψ M: K > 0 t 1 0 < K α(ψ;t)}, (4) M C := {ψ M: K 1,K 2 > 0 t 1 K 1 α(ψ;t) K 2 < }. (5) В (4) i (5) величини K, K 1, K 2 можуть залежати вiд ψ. Очевидно, що M C M 0. Нехай m N. Величину e m(l ψ β,p ) s = sup inf f(x) f(k)e ikx s, 1 p,s, (6) f L ψ γ m β,p k γ m 1 де γ m довiльнi набори iз m цiлих чисел, f(k) := 2π π π f(t)e ikt dt коефiцiєнти Фур є функцiї f, називають найкращим ортогональним тригонометричним наближенням класу L ψ β,p в метрицi простору L s. Метою даної роботи є знаходження точних порядкових оцiнок величин e n (Lψ β,p ) p, i e n (Lψ β,1 ) p при 1 p <, 1/p + 1/p = 1. Для класiв Вейля Надя Wβ,p r порядковi оцiнки величин (6) дослiджувалися в роботах Е.С. Белiнського [4] та А.С. Романюка [5 7]. 14 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

15 Для класiв L ψ β,p порядковi оцiнки величин (6) вивчалися в роботах В.В. Шкапи [8, 9] та О.С. Федоренка [10, 11]. При цьому в роботах [8, 9] порядковi рiвностi для величин e m (Lψ β,p ), 1 < p <, β R, було знайдено за умови ψ B Θ p, а для величин e m (Lψ β,1 ) p, 1 < p <, 1/p+1/p = 1, β R, за умов ψ B Θ p i опуклостi функцiї 1/ψ(t), де B множина незростаючих додатних функцiй ψ(t), t 1, для кожної з яких можна вказати додатну сталу K таку, що ψ(t)/ψ(2t) K, t 1, а Θ p множина незростаючих додатних функцiй ψ(t), для яких iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(k)k (1/p)+ε не зростає. При зазначених умовах iз [8, 9] випливають оцiнки e n (Lψ β,p ) e n (Lψ β,1 ) p ψ(n)n1/p, β R, 1 < p <, 1 p + 1 p = 1. (7) У данiй роботi знайдено порядковi оцiнки величин e n (Lψ β,p ) i e n (Lψ β,1 ) p, 1 p <, 1/p+1/p = 1, у випадку, коли функцiя g p (t) = ψ(t)t 1/p належить до множини M 0, i, крiм того, ψ p (k)k p 2 < при 1 < p < або ψ(k) < при p = 1. При цьому константи k=1 k=1 в отриманих оцiнках виражаються через параметри класiв в явному виглядi. Щоб сформулювати основнi результати роботи, введемо такi позначення. Для кожного 1 < s < покладемо { ( ) π 1/s ξ(s) := max 4, 14(8π) s} 1/s, (8) s 1 а для будь-якої функцiї ψ M через α n (ψ), n N, будемо позначати величини α n (ψ) := inf t n α(ψ;t), (9) де характеристика α(ψ; t) означається формулою (3). Теорема 1. Нехай 1 < p <, ψ p (k)k p 2 <, 1/p + 1/p = 1, а функцiя g p (t) = k=1 = ψ(t)t 1/p така, що g p M 0 i α 1 (g p ) = inf t 1 α(g p;t) > p. Тодi для довiльних n N i β R мають мiсце спiввiдношення ( K (1) ψ,p k=n ( 4 3 K(1) ψ,p k=n ψ p (k)k p 2 ψ p (k)k p 2 ) 1/p ( e 2n(L ψ β,p ) e 2n 1(L ψ β,p ) K (2) ψ,p ) 1/p k=n ψ p (k)k p 2 ( e 2n (Lψ β,1 ) p e 2n 1 (Lψ β,1 ) p K(2) ψ,p ψ p (k)k p 2 в яких K (1) ψ,p = 1 ( ) α1 (g p ) 1/p ) (1 p 3ξ(p) p, K (2) +α 1 (g p ) α 1 (g p ) ψ,p = 1 ( p +α π ξ(p ) 1 (g p ) α 1 (g p ) Наслiдок 1. Нехай 1 < p <, 1/p + 1/p = 1, k=n ) 1/p ) 1/p ) 1/p, (10), (11) ψ p (k)k p 2 < i g p (t) = ψ(t)t 1/p k=1 така, що α 1 (g p ) = inf t 1 α(g p;t) > p. Тодi якщо g p M 0, то ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 15.

16 ( e n(l ψ β,p ) e n(l ψ β,1 ) p ψ p (k)k p 2 k=n ) 1/p якщо ж g p M C, то виконуються порядковi рiвностi (7). Зауважимо, що коли g p M 0 i, β R, (12) lim t α(g p;t) =, (13) то порядковi рiвностi (7) мiсця не мають, оскiльки в цьому випадку виконується оцiнка (( ) 1/p ) ψ(n)n 1/p = o ψ p (k)k p 2, n. k=n Прикладом функцiй ψ, якi задовольняють умови наслiдку 1 i для яких виконується умова (13), є функцiї виду ψ(t) = t 1/p ln γ (t+k), γ > 1/p, K e γp 1, 1 < p <, 1/p+1/p = 1. Дiйсно, для них, як неважко одержати з (12), справедливi порядковi оцiнки e n(l ψ β,p ) e n(l ψ β,1 ) p ψ(n)n1/p ln 1/p n, n N\{1}, β R. Теорема 2. Нехай β R, ψ(k) <, а функцiя g(t) = ψ(t)t така, що g M 0, k=1 α 1 (g) = infα(g;t) > 1. Тодi якщо cos(βπ/2) 0, то для довiльного n N t 1 1 cos βπ ( 1 1 ) 12π 2 α 1 (g) k=n а якщо cos(βπ/2) = 0, то для довiльного n N ( π α 1 (g) ψ(k) e 2n (Lψ β,1 ) e 2n 1 (Lψ β,1 ) 1 π ) ψ(n)n e 2n (Lψ β,1 ) e 2n 1 (Lψ β,1 ) ψ(k), (14) k=n ( 1+ 2 ) ψ(n)n. (15) π Теорема 3. Нехай ψ(k) < i β R. Тодi якщо функцiя g(t) = ψ(t)t така, що k=1 g M 0, то e n(l ψ β,1 ) k=n ψ(n)n, якщо ж g M C, то ψ(k), cos βπ 2 0, cos βπ 2 = 0, (16) e n (Lψ β,1 ) ψ(n)n. (17) Поклавши в теоремi 3 ψ(t) = t r, r > 1, отримаємо таке твердження. Наслiдок 2. Нехай r > 1 i β R. Тодi e n(w r β,1 ) n r ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

17 Зауважимо, що коли g M 0, g(t) = ψ(t)t i lim α(g;t) =, t (18) то в цьому випадку виконується оцiнка ( ) ψ(n)n = o ψ(k), n. k=n Прикладом функцiй ψ(t), якi задовольняють умови теореми 3 i для яких виконується умова (18), є функцiї виду ψ(t) = t 1 ln γ (t+k), γ > 1, K > 0. Для них, згiдно з (18), при β R i n N \ {1} справедливi порядковi оцiнки e n (Lψ β,1 ) ψ(n)n, ψ(n)nlnn, cos βπ 2 0, cos βπ 2 = 0. Зауважимо, що для знаходження оцiнок зверху найкращих ортогональних тригонометричних наближень вигляду (6) в теоремах 1 3 були використанi нерiвностi e 2n 1 (Lψ β,p ) s E n (L ψ β,p ) s, 1 p,s, де E n (L ψ β,p ) s := sup f L ψ β,p n 1 f( ) k= n+1 f(k)e ikx s, 1 p,s. (19) Точнi порядки величинe n (L ψ β,p ) ie n (L ψ β,1 ) p при1 p < було знайдено в роботах [12 14]. Цитована лiтература 1. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч., Ч.I. Киев: Ин-т математики НАН Украины, с. (Працi Iнституту математики НАН України; Т. 40). 2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. Москва: Мир, Т с. 3. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. Москва: Наука, с. 4. Белинский Э. С. Приближение плавающей системой экспонент на классах периодических функций с ограниченной смешанной производной // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль: Ярослав. ун-т, С Романюк А. С. Приближение классов периодических функций многих переменных // Мат. заметки , 1. P Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих переменных в равномерной метрике // Мат. заметки , 2. С Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных. Киев: Ин-т математики НАН Украины, с. (Працi Iнституту математики НАН України; T. 93). 8. Шкапа В.В. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення функцiй iз класiв L ψ β,1 // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України , 3. С ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 17

18 9. Шкапа В. В. Оцiнки найкращих M-членних та ортогональних тригонометричних наближень функцiй iз класiв L ψ β,p у рiвномiрнiй метрицi // Диференцiальнi рiвняння та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України , 2. С Федоренко О. С. Про найкращi m-членнi тригонометричнi та ортогональнi тригонометричнi наближення функцiй класiв L ψ β,p // Укр. мат. журн , 12. С Федоренко О.С. Наближення (ψ,β)-диференцiйовних функцiй тригонометричними полiномами: Автореф. дис.... канд. фiз.-мат. наук / Iн-т математики НАН України. Київ, с. 12. Грабова У. З., Сердюк А. С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур є класiв (ψ,β)-диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн , 9. С Сердюк А.С., Степанюк Т.А. Порядковi оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур є в рiвномiрнiй метрицi класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi // Укр. мат. журн , 12. С Степанюк Т. А. Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур є класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi в iнтегральних метриках // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України , 3. С References 1. Stepanets A. I. Methods of approximation theory. I, Pratsi Instytutu Matematyky NAN Ukrainy. Matematyka ta ii Zastosuvannya, Vol. 40, Kyiv: Instytut Matematyky NAN Ukrainy, 2002 (in Russian). 2. Zygmund A. Trigonometric Series, Vol. 2, Moscow: Mir, 1965 (in Russian). 3. Korneichuk N.P. Exact constants in approximation theory, Moscow: Nauka, 1987 (in Russian). 4. Belinsky E. S. Approximation by a floating system of exponents on the classes of periodic functions with bounded mixed derivative, Issled. po teorii func. mnog. vesch. perem., Jaroslavl : Jaroslav. un t, 1988: (in Russian). 5. Romanyuk A.S. Math. Notes, 2002, 71, No 1: Romanyuk A.S. Math. Notes, 2007, 82, No 2: Romanyuk A.S. Approximation characteristics of classes of periodic functions of several variables, Pratsi Instytutu Matematyky NAN Ukrainy. Matematyka ta ii Zastosuvannya, Vol. 93, Kyiv: Instytut Matematyky NAN Ukrainy, 2012 (in Russian). 8. Shkapa V.V. Zb. Pr. Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 2014, 11, No 3: (in Ukrainian). 9. Shkapa V.V. Zb. Pr. Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 2014, 11, No 2: (in Ukrainian). 10. Fedorenko A.S. Ukr. Math. J., 1999, 51, No 12: Fedorenko O. S. Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by trigonometric polynomials: Autoref. diss.... cand. phys.-math. sciences, Kyiv: Insitute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2001 (in Ukrainian). 12. Hrabova U.Z., Serdyuk A.S. Ukr. Mat. J., 2013, 65, No 9: Serdyuk A.S., Stepaniuk T.A. Ukr. Math. J., 2014, 66, No 12: (in Ukrainian). 14. Stepanyuk T.A. Zb. Pr. Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 2014, 11, No 3: (in Ukrainian). Iнститут математики НАН України, Київ Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iм. Лесi Українки, Луцьк Надiйшло до редакцiї ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

19 А.С. Сердюк, Т. А. Степанюк Оценки наилучших ортогональных тригонометрических приближений классов сверток периодических функций небольшой гладкости Институт математики НАН Украины, Киев Восточноевропейский национальный университет им. Леси Украинки, Луцк Получены порядковые оценки для наилучших равномерных ортогональных тригонометрических приближений на классах 2π-периодических функций таких, что их (ψ,β)-производные принадлежат единичным шарам пространств L p, 1 p <, в случае, когда последовательность ψ такая, что произведение ψ(n)n 1/p может стремиться к нулю медленнее, чем любая степенная функция, и ψ p (k)k p 2 < при 1 < p <, 1/p + 1/p = 1 или k=1 ψ(k) < при p = 1. Аналогичные оценки получены для приближений в L p -метриках k=1 классов (ψ,β)-дифференцируемых функций таких, что f ψ β 1 1. Ключевые слова: наилучшие ортогональные тригонометрические приближения, классы сверток, классы (ψ, β)-дифференцируемых функций. А.S. Serdyuk, Т.А. Stepaniuk Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev Lesya Ukrainka Eastern European National University, Lutsk We obtain order estimates for the best uniform orthogonal trigonometric approximations of 2π-periodic functions, whose (ψ,β)-derivatives belong to unit balls of spaces L p, 1 p <, in the case where a consequence ψ(k) is such that the product ψ(n)n 1/p can tend to zero slower than any power function, and ψ p (k)k p 2 <, when 1 < p <, 1/p + 1/p = 1 or ψ(k) <, k=1 when p = 1. We establish the analogous estimates in the L p -metric for the classes of summable (ψ,β)-differentiable functions such that f ψ β 1 1. Keywords: best orthogonal trigonometric approximations, classes of convolutions, classes of(ψ, β)- differentiable functions. k=1 ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 19

20 УДК I.С. Чепурухiна Напiводнорiдна елiптична задача з додатковими невiдомими функцiями в крайових умовах (Представлено академiком НАН України А. М. Самойленком) Дослiджено елiптичну крайову задачу для однорiдного диференцiального рiвняння, яка мiстить додатковi невiдомi функцiї у крайових умовах. Доведено, що оператор, який вiдповiдає цiй задачi, є обмеженим i нетеровим у пiдходящих парах гiльбертових просторiв Соболєва i iзотропних просторiв Хермандера, що утворюють двобiчну уточнену соболєвську шкалу. Для останнiх показниками регулярностi служать довiльнi дiйсне число i додатна функцiя, повiльно змiнна на нескiнченностi за Караматою. Доведено теореми про апрiорну оцiнку узагальнених розв язкiв задачi та їх регулярнiсть. Ключовi слова: елiптична крайова задача, повiльно змiнна функцiя, простiр Хермандера, нетерiв оператор, апрiорна оцiнка розв язкiв, регулярнiсть розв язкiв. Елiптичнi крайовi задачi з додатковими невiдомими функцiями у крайових умовах були введенi Б. Лавруком [1, 2]. Такi задачi виникають при переходi вiд загальної елiптичної крайової задачi до формально спряженої задачi (у випадку нерегулярних крайових умов). Бiльше того, клас цих задач замкнений вiдносно такого переходу. До цього класу належать рiзнi задачi теорiї пружностi i гiдродинамiки [3, 4]. Для елiптичних крайових задач з додатковими невiдомими функцiями в крайових умовах доведено теореми про нетеровiсть вiдповiдних операторiв, породженi ними iзоморфiзми, апрiорнi оцiнки розв язкiв i їх регулярнiсть у двобiчних шкалах функцiональних просторiв (див. [5, розд. 3] i [6, розд. 2]). Цi шкали складаються з просторiв, введених Я.А. Ройтбергом [7]. Останнi збiгаються з просторами Соболєва лише для достатньо великих показникiв регулярностi. Для iнших значень показникiв простори Ройтберга мiстять елементи, якi навiть не є розподiлами в евклiдовiй областi, де задана задача. Мета роботи встановити версiї цих теорем для двобiчної шкали просторiв, утворених саме розподiлами в евклiдовiй областi. Така шкала складається з гiльбертових просторiв Соболєва i деяких iзотропних просторiв Хермандера [8, п. 2.2]. Для останнiх показниками регулярностi служать довiльнi дiйсне число i додатна функцiя, повiльно змiнна на нескiнченностi за Й. Караматою [9]. Ця уточнена соболєвська шкала була видiлена i дослiджена В. А. Михайлецем i О. О. Мурачем [10], якi побудували для неї теорiю розв язностi елiптичних крайових задач [11, 12]. Проте клас елiптичних крайових задач з додатковими невiдомими функцiями в крайових умовах не був охоплений їх теорiєю. У роботi розглянуто крайовi задачi для однорiдних елiптичних рiвнянь. Оператор, який вiдповiдає такiй напiводнорiднiй задачi, коректно означений на всiй двобiчнiй уточненiй соболєвськiй шкалi, що дає можливiсть отримати завершенi результати. Для позитивної частини шкали цi задачi дослiджено в [13] для неоднорiдних елiптичних рiвнянь. 1. Постановка задачi. Нехай Ω довiльна обмежена область у евклiдовому просторi R n, деn 2. Припустимо, що її межаγ := Ω є нескiнченно гладким замкненим многовидом вимiрностin 1 (C структура наγєпороджена просторомr n ). Як звичайно,ω := Ω Γ. I. С. Чепурухiна, ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

21 Виберемо довiльно цiлi числа q 1, κ 1, m 1,...,m q+κ [0,2q 1] i r 1,...,r κ. В областi Ω розглянемо напiводнорiдну лiнiйну елiптичну крайову задачу з κ додатковими невiдомими функцiями на межi Γ: Au = 0 в Ω, B j u+ κ C j,k v k = g j на Γ, j = 1,...,q +κ. (2) k=1 Тут A := A(x,D) диференцiальний оператор на Ω парного порядку 2q, кожне B j := = B j (x,d) крайовий диференцiальний оператор на Γ порядку m j, а кожне C j,k := = C j,k (x,d τ ) дотичний диференцiальний оператор на Γ порядку ordc j,k m j + r k. Усi коефiцiєнти цих диференцiальних операторiв є нескiнченно гладкi функцiї, заданi на Ω i Γ вiдповiдно. Функцiя u на Ω i всi функцiї v 1,...,v κ на Γ є шуканi в крайовiй задачi (1), (2). У роботi всi функцiї i розподiли вважаються комплекснозначними. Нагадаємо (див. [5, п ] або [6, п. 2.2]), що крайова задача (1), (2) називається елiптичною в областi Ω, якщо диференцiальний оператор A правильно елiптичний на Ω, а система крайових умов (2) накриває A на Γ (тобто задовольняє аналог умови Шапiро Лопатинського щодо A на Γ). Позначимо черезka (Ω) множину всiх функцiйu C (Ω) таких, щоau = 0 в областiω. Пов яжемо з крайовою задачею (1), (2) лiнiйне вiдображення ( κ κ Λ : (u,v 1,...,v κ ) B 1 u+ C 1,k v k,...,b q+κ u+ C q+κ,k v k ), (3) k=1 де u K A (Ω), i v 1,...,v κ C (Γ). Дослiдимо властивостi продовження (за неперервнiстю) цього вiдображення у пiдходящих парах гiльбертових просторiв Хермандера. Для опису областi значень цього продовження нам знадобиться формула Грiна ( ) q+κ κ (Au,w) Ω + B j u+ C j,k v k,h j = j=1 j=1 k=1 ( ) 2q q+κ = (u,a + w) Ω + Dν j 1 u,k j w + Q + k,j h k Γ k=1 Γ k=1 + ( ) κ q+κ v j, C + k,j h k, правильна для довiльних функцiй u, w C (Ω) i v 1,...,v κ, h 1,...,h q+κ C (Γ) (див. [5, теорема 3.1.2]). Тут i далi через (, ) Ω i (, ) Γ позначено скалярнi добутки в просторах L 2 (Ω) i L 2 (Γ) усiх функцiй, квадратично iнтегровних на Ω i Γ вiдповiдно, а також розширення за неперервнiстю цих скалярних добуткiв. Тут також A + є диференцiальний оператор, формально спряжений до A вiдносно (, ) Ω, а C + k,j i Q+ k,j є дотичнi диференцiальнi оператори, формально спряженi вiдповiдно до C k,j i Q k,j вiдносно (, ) Γ. При цьому дотичний диференцiальний оператор Q k,j := Q k,j (x,d τ ) узято iз зображення крайового диференцiального оператора B j у виглядi 2q B j (x,d) = Q j,k (x,d τ )Dν k 1 k=1 ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 21 j=1 k=1 Γ (1)

22 (якщо k > m j, то Q j,k := 0). Тут i у формулi Грiна D ν := i ν, де i уявна одиниця, а ν оператор диференцiювання вздовж внутрiшньої нормалi до межi Γ областi Ω. Крiм того, K j := K j (x,d) є деякий лiнiйний крайовий диференцiальний оператор на Γ порядку ordk j 2q j. З урахуванням формули Грiна розглянемо таку напiводнорiдну крайову задачу в областi Ω з q + κ додатковими невiдомими функцiями на межi Γ: A + w = 0 в Ω, (4) q+κ K j w+ Q + k,j h k = χ j на Γ, j = 1,...,2q, (5) q+κ k=1 C + k,j h k = χ 2q+j на Γ, j = 1,...,κ. (6) k=1 Ця задача є формально спряженою до задачi (1), (2) вiдносно вказаної формули Грiна. Вiдмiтимо, що задача (1), (2) елiптична в областi Ω тодi i тiльки тодi, коли там елiптична формально спряжена задача (4) (6) (див. [5, теорема 3.1.2]). 2. Уточнена соболєвська шкала. Розглянемо гiльбертовi функцiональнi простори, в яких буде дослiджена крайова задача (1), (2). Вони утворюють уточнену соболєвську шкалу {H s,ϕ : s R,ϕ M}, введену в [10]. Тут i надалi M множина всiх вимiрних за Борелем функцiй ϕ: [1, ) (0, ), якi обмеженi й вiдокремленi вiд нуля на кожному компактi i повiльно змiнюються на нескiнченностi за Й. Караматою [9], тобто ϕ(λt)/ϕ(t) 1 при t для кожного λ > 0. Повiльно змiннi функцiї добре вивченi i мають рiзноманiтнi застосування [14]. Їх характерним прикладом є функцiя ϕ(t) := (lnt) r 1 (lnlnt) r2 (ln...lnt) r k, t 1, де k N i r 1,...,r k R. Нехай s R i ϕ M. Означимо простiр H s,ϕ спочатку на R n, де n 1, а потiм на Ω i Γ. Будемо додержуватись монографiї [12, пп. 1.3, 2.1, 3.2]. За означенням, комплексний лiнiйний простiр H s,ϕ (R n ) складається з усiх повiльно зростаючих розподiлiв w на R n таких, що їх перетворення Фур є ŵ є локально сумовним за Лебегом на R n i задовольняє умову w 2 H s,ϕ (R n ) := R n ξ 2s ϕ 2 ( ξ ) ŵ(ξ) 2 dξ <, де ξ := (1+ ξ 2 ) 1/2. Простiр H s,ϕ (R n ) гiльбертiв вiдносно норми w H s,ϕ (R n ). Простiр H s,ϕ (R n ) є iзотропний випадок гiльбертових просторiв B 2,µ, введених i дослiджених Л. Хермандером [8, п. 2.2] i також Л.Р. Волевичем, Б.П. Панеяхом [15, 2]. Для цих просторiв показником регулярностi служить вагова функцiя µ: R n (0, ). У нас µ(ξ) = ξ s ϕ( ξ ) є радiальною функцiєю аргументу ξ R n. У випадку, коли ϕ 1, простiр H s,ϕ (R n ) стає гiльбертовим простором Соболєва H s (R n ) порядку s. Взагалi, виконуються неперервнi i щiльнi вкладення H s+ε (R n ) H s,ϕ (R n ) H s ε (R n ) для кожного ε > 0. (7) 22 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

23 З них видно, що у класi просторiв {H s,ϕ (R n ): s R,ϕ M} числовий параметр s задає основну регулярнiсть, а функцiональний параметр ϕ додаткову регулярнiсть, пiдпорядковану основнiй. Коротко кажучи, ϕ уточнює основну регулярнiсть s. Тому цей клас названо уточненою соболєвською шкалою на R n. Її аналоги для Ω i Γ означаються таким чином. Лiнiйний простiр H s,ϕ (Ω) складається, за означенням, зi звужень на область Ω усiх розподiлiв w H s,ϕ (R n ). У ньому введена норма за формулою u H s,ϕ (Ω) := inf{ w H s,ϕ (R n ): w H s,ϕ (R n ), w = u в Ω}, де u H s,ϕ (Ω). Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний вiдносно введеної норми, а множина C (Ω) щiльна в ньому. Лiнiйний простiр H s,ϕ (Γ) складається, коротко кажучи, з усiх розподiлiв на Γ, якi в локальних координатах належать до H s,ϕ (R n 1 ). Дамо детальне означення. Iз C -структури на многовидi Γ виберемо який-небудь скiнченний атлас, утворений локальними картами α j : R n 1 Γ j, де j = 1,...,λ. Тут вiдкритi множини Γ 1,...,Γ λ складають покриття многовиду Γ. Крiм того, довiльно виберемо функцiї χ j C (Γ), де j = 1,...,λ, якi утворюють розбиття одиницi на Γ, що задовольняє умову suppχ j Γ j. Тодi, за означенням, простiр H s,ϕ (Γ) складається з усiх розподiлiв h на Γ таких, що (χ j h) α j H s,ϕ (R n 1 ) для кожного номера j {1,...,λ}. Тут (χ j h) α j є зображенням розподiлу χ j h у локальнiй картi α j. Норма в просторi H s,ϕ (Γ) означена за формулою ( λ 1/2 h H s,ϕ (Γ) := (χ j h) α j 2 H s,ϕ (R )). n 1 j=1 Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний. Вiн з точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд зробленого вибору атласу i розбиття одиницi [12, теорема 2.3]. Множина C (Γ) щiльна в просторi H s,ϕ (Γ). Цi гiльбертовi функцiональнi простори утворюють уточненi соболєвськi шкали {H s,ϕ (Ω): s R,ϕ M} i {H s,ϕ (Γ): s R,ϕ M} (8) наωiγвiдповiдно. Вони мiстять гiльбертовi соболєвськi шкали: якщоϕ(t) 1, тоh s,ϕ (Ω) = =: H s (Ω) i H s,ϕ (Γ) =: H s (Γ) є простори Соболєва порядку s R. Для шкал (8) виконуються компактнi i щiльнi вкладення (7), якщо у формулi (7) замiнити R n на Ω або Γ вiдповiдно. 3. Результати. Сформулюємо результати роботи про властивостi напiводнорiдної елiптичної крайової задачi (1), (2) в уточнених соболєвських шкалах (8). Iз задачею (1), (2) i формально спряженою задачею (4) (6) пов яжемо лiнiйнi простори N i N + нескiнченно гладких розв язкiв цих задач у випадку однорiдних крайових умов. А саме: N складається з усiх розв язкiв (u,v 1,...,v κ ) C (Ω) (C (Γ)) κ задачi (1), (2) у випадку, коли всi g j = 0 на Γ, а N + складається з усiх розв язкiв (w,h 1,...,h q+κ ) C (Ω) (C (Γ)) q+κ задачi (4) (6) у випадку, коли всi χ j = 0 i всi χ 2q+j = 0 на Γ. Оскiльки цi задачi елiптичнi в Ω, простори N i N + скiнченновимiрнi [5, лема 3.4.2]. Позначимо через N 1 + скiнченновимiрний простiр усiх векторiв (h 1,...,h q+κ ) (C (Γ)) q+κ таких, що (w,h 1,...,h q+κ ) N + для деякого w C (Ω). Покладемо K s,ϕ A (Ω) := {u Hs,ϕ (Ω): Au = 0 в Ω} для довiльних s R i ϕ M. Тут образ Au розумiємо в сенсi теорiї розподiлiв, а K s,ϕ A (Ω) розглядаємо як (замкнений) ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 23

24 пiдпростiр гiльбертового простору H s,ϕ (Ω). Згiдно з [12, теорема 3.11] множина KA (Ω) щiльна в K s,ϕ A (Ω). Введемо гiльбертовi простори κ K s,ϕ A (Ω,Γ) := Ks,ϕ A (Ω) H s+rk 1/2,ϕ (Γ), H s,ϕ (Γ) := H s mj 1/2,ϕ (Γ). k=1 Теорема 1. Для довiльних s R i ϕ M вiдображення (3) продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого оператора Λ : K s,ϕ A (Ω,Γ) H s,ϕ(γ). (9) Цей оператор нетерiв. Його ядро збiгається з N, а область значень складається з усiх векторiв (g 1,...,g q+κ ) H s,ϕ (Γ) таких, що (g 1,h 1 ) Γ +...+(g q+κ,h q+κ ) Γ = 0 для кожного (h 1,...,h q+κ ) N + 1. (10) Iндекс оператора (9) дорiвнює dimn dimn 1 + i не залежить вiд s та ϕ. З огляду на цю теорему нагадаємо, що лiнiйний обмежений оператор T : E 1 E 2, що дiє у парi банахових просторiв E 1 i E 2, називають нетеровим, якщо його ядро kert i коядро E 2 /T(E 1 ) скiнченновимiрнi. Якщо оператор нетерiв, то його область значень T(E 1 ) замкнена в E 2, а iндекс indt := dimkert dim(e 2 /T(E 1 )) скiнченний. Якщо N = {0} i N 1 + = {0}, то оператор (9) є iзоморфiзмом за теоремою 1. У загальнiй ситуацiї цей оператор породжує iзоморфiзм мiж деякими пiдпросторами, що мають скiнченну ковимiрнiсть. У цьому зв язку розглянемо такi розклади просторiв, в яких дiє оператор (9), у виглядi прямих сум пiдпросторiв { K s,ϕ A (Ω,Γ) = N (u,u (0) ) Ω + (u,v 1,...,v κ ) K s,ϕ A (Ω,Γ): } κ (v k,v (0) k ) Γ = 0 для всiх (u (0),v (0) 1,...,v(0) κ ) N, (11) k=1 H s,ϕ (Γ) = N + 1 {(g 1,...,g q+κ ) H s,ϕ (Γ): виконується (10)}. (12) Позначимо через P i P 1 + вiдповiдно проектори просторiв K s,ϕ A (Ω,Γ) i H s,ϕ(γ) на другий доданок у сумах (11) i (12) паралельно першому доданку. Цi проектори не залежать (як вiдображення) вiд s i ϕ. Теорема 2. Для довiльних s R i ϕ M звуження оператора (9) на пiдпростiр P(K s,ϕ A (Ω,Γ)) є iзоморфiзмом Λ : P(K s,ϕ A (Ω,Γ)) P+ 1 (H s,ϕ(γ)). (13) Перейдемо до властивостей узагальнених розв язкiв елiптичної крайової задачi (1), (2). Попередньо дамо означення такого розв язку. Позначимо через KA (Ω,Γ) об єднання усiх просторiв Ks,ϕ A (Ω,Γ), де s R i ϕ M. За теоремою 1 для кожного вектора (u,v) := (u,v 1,...,v κ ) K A (Ω,Γ) (14) 24 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7 q+κ j=1

25 коректно означенi за замиканням правi частини елiптичної крайової задачi (1), (2). Його називаємо (сильним) узагальненим розв язком цiєї задачi. Вiн задовольняє таку апрiорну оцiнку. Теорема 3. Нехай s R, ϕ M i число σ > 0. Тодi iснує число c > 0 таке, що (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ) c( Λ (u,v) Hs,ϕ(Γ) + (u,v) K s σ,ϕ A (Ω,Γ) ) (15) для довiльного вектора (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ). Тут c = c(s,ϕ,σ) не залежить вiд (u,v). Дослiдимо регулярнiсть узагальненого розв язку. Теорема 4. Нехай вектор (14) є узагальненим розв язком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють умову g := (g 1,...,g q+κ ) H s,ϕ (Γ) для деяких параметрiв s R i ϕ M. Тодi (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ). Покладемо m := max{m 1,...,m q+κ }. З огляду на вкладення K s,ϕ A (Ω) C (Ω) узагальнений розв язок (14) крайової задачi (1), (2) називається класичним, якщо u C m (Ω) i v k C m+r k (Γ) для кожного k {1,...,κ}. Тодi лiвi частини рiвнянь (2) обчислюються за допомогою класичних похiдних i є неперервними функцiями. Теорема 5. Припустимо, що вектор (14) є узагальненим розв язком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють умову g H m+n/2,ϕ (Γ) для деякого параметра ϕ M такого, що 1 dt tϕ 2 (t) <. Тодi цей розв язок класичний. Зауважимо, що в теоремi 5 умова (16) не лише достатня для класичностi розв язку (14), але й необхiдна на класi всiх розглянутих узагальнених розв язкiв. Вiдмiтимо, що теореми 1 4 є новими i для соболєвських просторiв, тобто коли ϕ Обгрунтування результатiв. Теорема 1 у соболєвському випадку, коли s Z i ϕ 1, випливає з [5, теорема 3.4.1]. Це доводиться за допомогою мiркувань, подiбних до тих, що наведенi в [12, п ] (доведення теореми 4.25). Для довiльних s R i ϕ M теорема 1 виводиться iз соболєвського випадку методом iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв (її означення i властивостi викладенi в [12, п. 1.1]). А саме: виберемо додатнi числа ε i δ такi, що s ε i s+δ є цiлими числами. Маємо обмеженi i нетеровi оператори Λ : K s ε A (Ω,Γ) H s ε(γ) i Λ : K s+δ A (Ω,Γ) H s+δ(γ), що дiють у парах просторiв Соболєва. (У випадку ϕ 1 пропускаємо iндекс ϕ у позначеннях просторiв.) Означимо iнтерполяцiйний параметр ψ за формулами ψ(t) := t ε/(ε+δ) ϕ(t 1/(ε+δ) ) при t 1 i ψ(t) := ϕ(1) при 0 < t < 1. Застосувавши iнтерполяцiю з параметром ψ, отримаємо обмежений оператор Λ : [K s ε A (Ω,Γ),Ks+δ A (Ω,Γ)] ψ [H s ε (Γ),H s+δ (Γ)] ψ. Згiдно з [12, теорема 1.7] нетеровiсть цього оператора й iншi його властивостi, сформульованi в теоремi 1, є наслiдком нетеровостi зазначених вище операторiв, якi дiють у просторах Соболєва та мають спiльне ядро i однаковий iндекс. Залишається використати iнтерполяцiйнi формули [K s ε A (Ω,Γ),Ks+δ A (Ω,Γ)] ψ = K s,ϕ A (Ω,Γ), [H s ε(γ),h s+δ (Γ)] ψ = H s,ϕ (Γ). (17) ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 25 (16)

26 Вони є наслiдками теорем 1.5 i 2.2 з [12] i рiвностi [K s ε A (Ω),Ks+δ A (Ω)] ψ = K s,ϕ A (Ω). Остання випливає з другої рiвностi в (17) для κ = 0 на пiдставi теореми 3.11 з [12]. Теорема 2 випливає з теореми 1. Справдi, за теоремою 1 N ядро, а P 1 + (H s,ϕ(γ)) область значень обмеженого оператора (9). Тому обмежений оператор (13) є бiєкцiєю i за теоремою Банаха про обернений оператор є iзоморфiзмом. Перейдемо до теореми 3. Для довiльного вектора (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ) потрiбна оцiнка (15) випливає з нерiвностей P(u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ) c 1 Λ (u,v) Hs,ϕ(Γ), (1 P)(u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ) c 2 (u,v) K s σ,ϕ A (Ω,Γ). Тут c 1 є норма оператора, оберненого до iзоморфiзму (13), а c 2 є норма оператора 1 P : K s σ,ϕ A (Ω,Γ) N, де N розглядається як скiнченновимiрний пiдпростiр в K s,ϕ A (Ω,Γ). Обгрунтуємо теорему 4. Нехай вектори (u, v) i g задовольняють її умову. Оскiльки g P 1 + (H s,ϕ(γ)), то за теоремою 2 iснує розв язок (u,v ) K s,ϕ A (Ω,Γ) крайової задачi Λ (u,v ) = g. Звiдси (u u,v v ) N i тому (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ). Теорема 5 випливає з теореми 4 i версiй [12, теореми 2.8, 3.4] теореми вкладення Хермандера [8, теорема 2.2.7] для шкал просторiв (8). Справдi, з умови g H m+n/2,ϕ (Γ) випливає включення (u,v) K m+n/2,ϕ A (Ω,Γ) за теоремою 4. Тодi u H m+n/2,ϕ (Ω) C m (Ω) i v k H m+n/2+rk 1/2,ϕ (Γ) C m+r k (Γ) для кожного номера k {1,...,κ} на пiдставi цих версiй i умови (16). Отже, розв язок (u, v) класичний. Автор висловлює вдячнiсть О. О. Мурачу за керiвництво роботою. Цитована лiтература 1. Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллиптических систем линейных дифференциальных уравнений. I. Построение сопряженных задач // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys , No 5. С Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллиптических систем линейных дифференциальных уравнений. II. Граничная задача для полупространства // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys , 5. С Ciarlet P. G. Plates and junctions in elastic multi-structures. An asymptotic analysis. Paris: Masson, p. 4. Nazarov S., Pileckas K. On noncompact free boundary problems for the plane stationary Navier Stokes equations // J. Reine Angew. Math P Kozlov V.A., Maz ya V.G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. Providence: Amer. Math. Soc., p. 6. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. Dordrecht: Kluwer, p. 7. Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до границы обобщенных решений // Докл. АН СССР , 4. С Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. Москва: Мир, с. 9. Karamata J. Sur certains Tauberian theorems de M. M. Hardy et Littlewood // Mathematica (Cluj) P Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II // Укр. мат. журн , 3. С Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal , No 2. P Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. Berlin; Boston: De Gruyter, p. (Русское издание книги доступно как arxiv: ). 26 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки

Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки УДК 53383 Ю Ф Лазарєв Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки Вступ Сучасне подання механіки матеріальної точки з врахуванням релятивістського підходу базується на математичному апараті,

More information

ПОДАННЯ РЕЛЯЦІЙНИХ ОПЕРАЦІЙ ЗАСОБАМИ РЕЛЯЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ ДОМЕНІВ ДЛЯ НЕНОРМАЛІЗОВАНИХ ВІДНОШЕНЬ

ПОДАННЯ РЕЛЯЦІЙНИХ ОПЕРАЦІЙ ЗАСОБАМИ РЕЛЯЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ ДОМЕНІВ ДЛЯ НЕНОРМАЛІЗОВАНИХ ВІДНОШЕНЬ O. Clarisse, S. Chang // Visual Languages. 986. 52 p. 22. Fowler M. ProjectionalEditing [Electronic Resource] // Режим доступу: http://martinfowler.com/bliki/projectionalediting.html. Last access: 2008.

More information

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на Ставка іпотечного кредитування, %

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на Ставка іпотечного кредитування, % Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на 28.03.2013 Банк- партнер Іпотечна програма співпраці з ДІУ (Програма підтримки будівництва/рефін ансування

More information

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на 24.12.2012 Банк партнер Іпотечна програма співпраці з ДІУ (Програма підтримки будівництва/рефін ансування

More information

ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ

ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ УДК 58/88 58/44 : 68.5 держреєстрації U96 Інв. 6U46 Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка ЛНУ ім. Івана Франка 79 м. Львів вул. Університетська ; тел.

More information

Norpeth. 9 weights 5 variations of numerals opentype features

Norpeth. 9 weights 5 variations of numerals opentype features Norpeth 9 weights 5 variations of numerals opentype features Norpeth 26 pt modern humanist sans serif typeface. The proportions of each character have a strong lateral dynamic that makes it ideal for on-screen

More information

Екліптика Табл. 4. перебування Сонця в ній. α = 0 h ; δ=0º ІІІ.

Екліптика Табл. 4. перебування Сонця в ній. α = 0 h ; δ=0º ІІІ. Екліптика Табл.. Екліптикою називаєтья велике коло небеної фери лінія якого зображуєтья укупнітю точок положень Сонця еред зірок на небеній фері протягом року і є результатом річного орбітального руху

More information

кандидат фізико математичних наук

кандидат фізико математичних наук ДК 004.085 держреєстрації: 0110U002271 Інв. Національна академія наук України Інститут проблем реєстрації інформації (ІПРІ НАН України) 03113, м.київ 113, вул. Шпака, 2 тел. (044) 456 83 89, факс (044)

More information

Відомості про остаточних ключових учасників у структурі власності банку станом на 01 січня 2016 року ПУБЛІЧНЕ АКЦІОНЕРНЕ ТОВАРИСТВО «БАНК «ЮНІСОН»

Відомості про остаточних ключових учасників у структурі власності банку станом на 01 січня 2016 року ПУБЛІЧНЕ АКЦІОНЕРНЕ ТОВАРИСТВО «БАНК «ЮНІСОН» Відомості про остаточних ключових учасників у структурі власності банку станом на 01 січня 2016 року ПУБЛІЧНЕ АКЦІОНЕРНЕ ТОВАРИСТВО «БАНК «ЮНІСОН» N з/п Прізвище, ім'я та по батькові фізичної особи або

More information

AN EXPANSION FORMULA FOR FRACTIONAL DERIVATIVES AND ITS APPLICATION. Abstract

AN EXPANSION FORMULA FOR FRACTIONAL DERIVATIVES AND ITS APPLICATION. Abstract AN EXPANSION FORMULA FOR FRACTIONAL DERIVATIVES AND ITS APPLICATION T. M. Atanackovic 1 and B. Stankovic 2 Dedicated to Professor Ivan H. Dimovski on the occasion of his 7th birthday Abstract An expansion

More information

t-h ey are.. r.. v-e.. an t.. bo th for th e.. s-t ru c.. tur alan d.. t he.. quait.. ta ive un de \ centerline {. Inrodu \quad c t i o na r s

t-h ey are.. r.. v-e.. an t.. bo th for th e.. s-t ru c.. tur alan d.. t he.. quait.. ta ive un de \ centerline {. Inrodu \quad c t i o na r s - - - I - ˆ - - - q I q I ˆ I q R R q I q q I R R R R - - - ˆ @ & q k 7 q k O q k 8 & q & k P S q k q k ˆ q k 3 q k ˆ A & [ 7 O [8 P & S & [ [ 3 ˆ A @ q ˆ U q - : U [ U φ : U D φ φ Dφ A ψ A : I SS N :

More information

СЕРТИФІКАЦІЙНА РОБОТА З НІМЕЦЬКОЇ МОВИ

СЕРТИФІКАЦІЙНА РОБОТА З НІМЕЦЬКОЇ МОВИ Зошит 1 СЕРТИФІКАЦІЙНА РОБОТА З НІМЕЦЬКОЇ МОВИ Час виконання 120 хвилин Робота складається з трьох частин. Частина «Читання» містить 22 завдання. У частині «Використання мови» 20 завдань. Відповіді на

More information

ПОСТІЙНО ДІЮЧА АДМІНІСТРАТИВНА КОЛЕГІЯ АНТИМОНОПОЛЬНОГО КОМІТЕТУ УКРАЇНИ З РОЗГЛЯДУ СКАРГ ПРО ПОРУШЕННЯ ЗАКОНОДАВСТВА У СФЕРІ ДЕРЖАВНИХ ЗАКУПІВЕЛЬ

ПОСТІЙНО ДІЮЧА АДМІНІСТРАТИВНА КОЛЕГІЯ АНТИМОНОПОЛЬНОГО КОМІТЕТУ УКРАЇНИ З РОЗГЛЯДУ СКАРГ ПРО ПОРУШЕННЯ ЗАКОНОДАВСТВА У СФЕРІ ДЕРЖАВНИХ ЗАКУПІВЕЛЬ ПОСТІЙНО ДІЮЧА АДМІНІСТРАТИВНА КОЛЕГІЯ АНТИМОНОПОЛЬНОГО КОМІТЕТУ УКРАЇНИ З РОЗГЛЯДУ СКАРГ ПРО ПОРУШЕННЯ ЗАКОНОДАВСТВА У СФЕРІ ДЕРЖАВНИХ ЗАКУПІВЕЛЬ вул. Урицького, 45, м. Київ-35, 03680, тел.: (044) 594-64-12,

More information

Hallo! Guten Tag! Привіт! Добрий день!

Hallo! Guten Tag! Привіт! Добрий день! Ziel Мета Stunde 1 Навчати вітатися залежно від часу доби і статусу співрозмовників та прощатися німецькою мовою. Lehr- und Hilfsmittel: Підручник, робочий зошит, програвач компактдис ків, компакт-диск

More information

TRIPLE POSITIVE SOLUTIONS FOR BOUNDARY VALUE PROBLEM OF A NONLINEAR FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION. Communicated by Mohammad Asadzadeh

TRIPLE POSITIVE SOLUTIONS FOR BOUNDARY VALUE PROBLEM OF A NONLINEAR FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION. Communicated by Mohammad Asadzadeh Bulletin of the Iranian Mathematical Society Vol. 33 No. 2 (27), pp -. TRIPLE POSITIVE SOLUTIONS FOR BOUNDARY VALUE PROBLEM OF A NONLINEAR FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATION R. DEHGHANI AND K. GHANBARI*

More information

Прийняті наступні позначення доріг або їх відрізків: A S GP G Автостради Експрес-дороги Головні дороги прискореного руху Головні дороги Розмір ставок

Прийняті наступні позначення доріг або їх відрізків: A S GP G Автостради Експрес-дороги Головні дороги прискореного руху Головні дороги Розмір ставок Нова електронна система дорожніх оплат у Польщі ЗАПРОШУЄМО ДО ПОПЕРЕДНЬОЇ РЕЄСТРАЦІЇ З 1 липня 2011 року віньєтки дорожніх оплат у Польщі будуть замінені системою електронної оплати зборів viatoll. UTA

More information

Singuläre Phänomene und Skalierung in mathematischen Modellen

Singuläre Phänomene und Skalierung in mathematischen Modellen RHEINISCHE FRIDRICH-WILHELM-UNIVERSITÄT BONN Diffusion Problem With Boundary Conditions of Hysteresis Type N.D.Botkin, K.-H.Hoffmann, A.M.Meirmanov, V.N.Starovoitov no. Sonderforschungsbereich 6 Singuläre

More information

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ 1 ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми. Сучасний розвиток індустрії ІТ-технологій та програмної інженерії пов язаний з розробкою програмного забезпечення (ПЗ), що базується на використанні

More information

ВИКОРИСТАННЯ МОВИ ПРОГРАМУВАННЯ РНР 5 ДЛЯ СТВОРЕННЯ ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ІНТЕРНЕТ-МАГАЗИНІВ

ВИКОРИСТАННЯ МОВИ ПРОГРАМУВАННЯ РНР 5 ДЛЯ СТВОРЕННЯ ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ІНТЕРНЕТ-МАГАЗИНІВ УДК 004.738.5:338.46 О.I. Грабар, к.т.н., доц. Житомирський державний технологічний університет ВИКОРИСТАННЯ МОВИ ПРОГРАМУВАННЯ РНР 5 ДЛЯ СТВОРЕННЯ ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ІНТЕРНЕТ-МАГАЗИНІВ В статті

More information

П Р О Г Р А М А фахового іспиту «ДРУГА ІНОЗЕМНА МОВА (НІМЕЦЬКА)» для вступу у магістратуру

П Р О Г Р А М А фахового іспиту «ДРУГА ІНОЗЕМНА МОВА (НІМЕЦЬКА)» для вступу у магістратуру Міністерство освіти і науки України Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара Факультет української й іноземної філології та мистецтвознавства Кафедра германської філології Затверджено

More information

Problem A. Nanoassembly

Problem A. Nanoassembly Problem A. Nanoassembly 2.5 seconds One of the problems of creating elements of nanostructures is the colossal time necessary for the construction of nano-parts from separate atoms. Transporting each of

More information

Oscillation of Higher Order Fractional Nonlinear Difference Equations

Oscillation of Higher Order Fractional Nonlinear Difference Equations International Journal of Difference Equations ISSN 0973-6069, Volume 10, Number 2, pp. 201 212 (2015) http://campus.mst.edu/ijde Oscillation of Higher Order Fractional Nonlinear Difference Equations Senem

More information

2013. Вип С Issue 125. P

2013. Вип С Issue 125. P ІНОЗЕМНА ФІЛОЛОГІЯ INOZEMNA PHILOLOGIA 2013. Вип. 125. С. 205 210 2013. Issue 125. P. 205 210 УДК 81 373.46 02:615.2 ГЕНЕЗА БОТАНІЧНОЇ ЛЕКСИКИ НА ПОЗНАЧЕННЯ ЛІКАРСЬКИХ РОСЛИН (на основі трактатів Катона,

More information

ОСНОВИ ПСИХОЛОГІЇ ТА ПЕДАГОГІКИ

ОСНОВИ ПСИХОЛОГІЇ ТА ПЕДАГОГІКИ Мацко Л. А., Прищак М. Д., Первушина Т. В. ОСНОВИ ПСИХОЛОГІЇ ТА ПЕДАГОГІКИ ПСИХОЛОГІЯ 0 Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Вінницький національний технічний університет Мацко Л. А.,

More information

Міністерство освіти і науки України Сумський державний університет (СумДУ) 40007, м.суми, вул.римського-корсакова, 2; тел

Міністерство освіти і науки України Сумський державний університет (СумДУ) 40007, м.суми, вул.римського-корсакова, 2; тел УДК 332.14 КП держреєстрації 0111U002150 Інв. Міністерство освіти і науки України Сумський державний університет (СумДУ) 40007, м.суми, вул.римського-корсакова, 2; тел.330172 ЗАТВЕРДЖУЮ Проректор з наукової

More information

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ» РОМАНЮК НАТАЛЯ МИКОЛАЇВНА

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ» РОМАНЮК НАТАЛЯ МИКОЛАЇВНА 1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ» РОМАНЮК НАТАЛЯ МИКОЛАЇВНА УДК 330.3:622.12 ЕКОНОМІЧНЕ ОБҐРУНТУВАННЯ СТРАТЕГІЧНОГО РОЗВИТКУ ГІРНИЧО-ЗБАГАЧУВАЛЬНИХ

More information

Album civium Leopoliensium. Rejestry przyjęć do prawa miejskiego we Lwowie, / Wyd.

Album civium Leopoliensium. Rejestry przyjęć do prawa miejskiego we Lwowie, / Wyd. Мирон Капраль (Львів) Album civium Leopoliensium. Rejestry przyjęć do prawa miejskiego we Lwowie, 1388 1783 / Wyd. Andrzej Janeczek. Poznań; Warszawa, 2005. t. I. LXIII + 450 s.; t. II. 291 s. (edycja

More information

МОРФОЛОГІЗОВАНА СУБСТАНТИВАЦІЯ В ЛЕКСИКО-ГРАМАТИЧНІЙ СИСТЕМІ ТУРЕЦЬКОЇ МОВИ

МОРФОЛОГІЗОВАНА СУБСТАНТИВАЦІЯ В ЛЕКСИКО-ГРАМАТИЧНІЙ СИСТЕМІ ТУРЕЦЬКОЇ МОВИ Наявність таких семантичних схем і структурних моделей безособових речень у чеській мові засвідчує спільні характеристики слов янських односкладних реченнєвих конструкцій і виявляє структурну і семантичну

More information

Programming the Microchip Pic 16f84a Microcontroller As a Signal Generator Frequencies in Railway Automation

Programming the Microchip Pic 16f84a Microcontroller As a Signal Generator Frequencies in Railway Automation 988 Programming the Microchip Pic 16f84a Microcontroller As a Signal Generator Frequencies in Railway Automation High School of Transport "Todor Kableshkov" 1574 Sofia, 158 Geo Milev str. Ivan Velev Abstract

More information

Numerical solution of the space-time tempered fractional diffusion equation. finite differences

Numerical solution of the space-time tempered fractional diffusion equation. finite differences Numerical solution of the space-time tempered fractional diffusion equation: Alternatives to finite differences Université catholique de Louvain Belgium emmanuel.hanert@uclouvain.be Which numerical method

More information

User Manual. June 2008 Revision 1.7. D- 2 02 Customer Display

User Manual. June 2008 Revision 1.7. D- 2 02 Customer Display WW User Manual June 2008 Revision 1.7 D- 2 02 Customer Display Copyright 2008 August All Rights Reserved Manual Version 1.7 The information contained in this document is subject to change without notice.

More information

Базові засади соціального розвитку як сфери публічного адміністрування

Базові засади соціального розвитку як сфери публічного адміністрування Національна академія державного управління при Президентові України Дніпропетровський регіональний інститут державного управління Управління організації фундаментальних та прикладних досліджень Базові

More information

Кафедра сільськогосподарських машин та системотехніки ім. акад. П.М.Василенка

Кафедра сільськогосподарських машин та системотехніки ім. акад. П.М.Василенка Форма Н - 3.04 Національний університет біоресурсів і природокористування України Кафедра сільськогосподарських машин та системотехніки ім. акад. П.М.Василенка ЗАТВЕРДЖУЮ Декан механіко-технологічного

More information

УДК : П. Воробець, аспірант Прикарпатський нац. у-т ім. В. Стефаника, Івано-Франківськ

УДК : П. Воробець, аспірант Прикарпатський нац. у-т ім. В. Стефаника, Івано-Франківськ 8. Machek V. Etymologický slovník jazyka českého a slovenského. Praha : Nakl-ví Českosl. Akad. Věd, 1957. 627 s. Стаття надійшла до редакції 16.07.13 В. Пономаренко, д. филол. наук, Институт языкознания

More information

Mikołaj Krupski. Regularity properties of measures on compact spaces. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 1 (semestr zimowy 2010/11)

Mikołaj Krupski. Regularity properties of measures on compact spaces. Instytut Matematyczny PAN. Praca semestralna nr 1 (semestr zimowy 2010/11) Mikołaj Krupski Instytut Matematyczny PAN Regularity properties of measures on compact spaces Praca semestralna nr 1 (semestr zimowy 2010/11) Opiekun pracy: Grzegorz Plebanek Regularity properties of measures

More information

ІМЕННИКОВІ КОМПОЗИТИ НОВОГРЕЦЬКОЇ ТА УКРАЇНСЬКОЇ МОВ (ЗІСТАВНИЙ АСПЕКТ)

ІМЕННИКОВІ КОМПОЗИТИ НОВОГРЕЦЬКОЇ ТА УКРАЇНСЬКОЇ МОВ (ЗІСТАВНИЙ АСПЕКТ) Король О.А., студ., Институт филологии КНУ имени Тараса Шевченко СЕНСОРНАЯ ЛЕКСИКА С ПОЗИТИВНОЙ ЭМОЦИОНАЛЬНОЙ ОЦЕНКОЙ В РОМАНЕ SUSAN ELIZABETH PHILIPHS GLITTER BABY В статье рассматриваются особенности

More information

Сухомлинов О.М., доктор філологічних наук, доцент, Бердянський університет менеджменту і бізнесу

Сухомлинов О.М., доктор філологічних наук, доцент, Бердянський університет менеджменту і бізнесу Сухомлинов О. М. Світ «тутешній» провінції у прозі Марії Шофер // Київські полоністичні студії : зб. наук. праць / Відп. ред. Р. Радишевський. Т. XХIV. К., 2014. С. 582 587. Сухомлинов О.М., доктор філологічних

More information

Arthur Beiser Concepts of Modern Physics, 6.

Arthur Beiser Concepts of Modern Physics, 6. 2.., Arthur Beiser Concepts of Modern Physics, 6. :, :,, (, ) 69 ,, 2.1 ( c = 1 ) 2.998 10 8 m/s ɛ0 µ 0 2.2 כ 2.3(a) 2.3(b) Young כ 2.4 :. ( ). ( ) : ( ) * 2.5 2.6 ( ) ν ν + dν (3 ) 2.7 G(ν)dν = 8πν2 c

More information

The SIS Epidemic Model with Markovian Switching

The SIS Epidemic Model with Markovian Switching The SIS Epidemic with Markovian Switching Department of Mathematics and Statistics University of Strathclyde Glasgow, G1 1XH (Joint work with A. Gray, D. Greenhalgh and J. Pan) Outline Motivation 1 Motivation

More information

СЕМАНТИЧНИЙ АНАЛІЗ ФРАЗЕОЛОГІЗМІВ-СОМАТИЗМІВ (на матеріалі румейської, української та новогрецької мов) *

СЕМАНТИЧНИЙ АНАЛІЗ ФРАЗЕОЛОГІЗМІВ-СОМАТИЗМІВ (на матеріалі румейської, української та новогрецької мов) * УДК 811.1'373.7-115(045) СЕМАНТИЧНИЙ АНАЛІЗ ФРАЗЕОЛОГІЗМІВ-СОМАТИЗМІВ (на матеріалі румейської, української та новогрецької мов) * Жарікова Юлія Валентинівна, асист. Маріупольський державний гуманітарний

More information

INFO1 a File-Based Management Information System

INFO1 a File-Based Management Information System БЪЛГАРСКА АКАДЕМИЯ НА НАУКИТЕ. BULGARIAN ACADEMY OF SCIENCES КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ, 1 CYBERNETICS AND INFORMATION TECHNOLOGIES, 1 София. 2002. Sofia INFO1 a File-Based Management Information

More information

Bead moving along a thin, rigid, wire.

Bead moving along a thin, rigid, wire. Bead moving along a thin, rigid, wire. odolfo. osales, Department of Mathematics, Massachusetts Inst. of Technology, Cambridge, Massachusetts, MA 02139 October 17, 2004 Abstract An equation describing

More information

засновників наукових шкіл (у галузі високовольтної прискорювальної техніки А.К. Вальтера; у галузі техніки високих напруг В.М.

засновників наукових шкіл (у галузі високовольтної прискорювальної техніки А.К. Вальтера; у галузі техніки високих напруг В.М. ВІДГУК офіційного опонента на дисертацію Веселової Надії Вікторівни «Становлення і розвиток харківських наукових шкіл у галузі техніки та електрофізики високих напруг (1930-2010 рр.)», представлену на

More information

ОСОБЛИВОСТІ РЕАЛІЗАЦІЇ ДЕРЖАВНОЇ ПОЛІТИКИ ПОЛЬЩІ У СФЕРІ ТУРИЗМУ

ОСОБЛИВОСТІ РЕАЛІЗАЦІЇ ДЕРЖАВНОЇ ПОЛІТИКИ ПОЛЬЩІ У СФЕРІ ТУРИЗМУ УДК 338.48 ГУТНИК Оксана Володимирівна, аспірант Львів. нац. ун-ту ім. Івана Франка ОСОБЛИВОСТІ РЕАЛІЗАЦІЇ ДЕРЖАВНОЇ ПОЛІТИКИ ПОЛЬЩІ У СФЕРІ ТУРИЗМУ Висвітлюються особливості державної туристичної політики

More information

BOUNDED, ASYMPTOTICALLY STABLE, AND L 1 SOLUTIONS OF CAPUTO FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. Muhammad N. Islam

BOUNDED, ASYMPTOTICALLY STABLE, AND L 1 SOLUTIONS OF CAPUTO FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS. Muhammad N. Islam Opuscula Math. 35, no. 2 (215), 181 19 http://dx.doi.org/1.7494/opmath.215.35.2.181 Opuscula Mathematica BOUNDED, ASYMPTOTICALLY STABLE, AND L 1 SOLUTIONS OF CAPUTO FRACTIONAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Muhammad

More information

СЕМАНТИЧНИЙ РОЗВИТОК ПРАСЛОВ ЯНСЬКОЇ ЛЕКСЕМИ *ŠАТY В СУЧАСНИХ СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВАХ

СЕМАНТИЧНИЙ РОЗВИТОК ПРАСЛОВ ЯНСЬКОЇ ЛЕКСЕМИ *ŠАТY В СУЧАСНИХ СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВАХ УДК 811.16 37 І. М. Шпітько Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара СЕМАНТИЧНИЙ РОЗВИТОК ПРАСЛОВ ЯНСЬКОЇ ЛЕКСЕМИ *ŠАТY В СУЧАСНИХ СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВАХ Комплексно проаналізовано семантичний

More information

MINIMAL GENERATOR SETS FOR FINITELY GENERATED SHIFT-INVARIANT SUBSPACES OF L 2 (R n )

MINIMAL GENERATOR SETS FOR FINITELY GENERATED SHIFT-INVARIANT SUBSPACES OF L 2 (R n ) MINIMAL GENERATOR SETS FOR FINITELY GENERATED SHIFT-INVARIANT SUBSPACES OF L 2 (R n ) MARCIN BOWNIK AND NORBERT KAIBLINGER Abstract. Let S be a shift-invariant subspace of L 2 (R n ) defined by N generators

More information

Українська преса в Італії: від історії до сучасності. Гінда О.М. Львівський національний університет імені Івана Франка, м.

Українська преса в Італії: від історії до сучасності. Гінда О.М. Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского Серия «Филология. Социальные коммуникации» Том 25 (64) 1. Часть 1. С.55-60. УДК 808.81:[002(450=161.2)](091) Українська преса

More information

On the Problem of Minimum Asymptotic Exit Rate for Stochastically Perturbed Multi-Channel Dynamical Systems

On the Problem of Minimum Asymptotic Exit Rate for Stochastically Perturbed Multi-Channel Dynamical Systems On the Problem of Minimum Asymptotic Exit Rate for Stochastically Perturbed Multi-Channel Dynamical Systems 1 arxiv:1405.1333v2 [math.ds] 20 Aug 2014 Getachew K. Befekadu, and Panos J. Antsaklis, Abstract

More information

Digital Typography. This reading describes different types of writing systems and the development of computer-based font files for representing them.

Digital Typography. This reading describes different types of writing systems and the development of computer-based font files for representing them. D R A F T - FOR DISCUSSION ONLY - D R A F T Digital Typography and computer fonts Introduction Follow-up Classes Other readings This reading describes different types of writing systems and the development

More information

On the greatest and least prime factors of n! + 1, II

On the greatest and least prime factors of n! + 1, II Publ. Math. Debrecen Manuscript May 7, 004 On the greatest and least prime factors of n! + 1, II By C.L. Stewart In memory of Béla Brindza Abstract. Let ε be a positive real number. We prove that 145 1

More information

Virtual Eigenvalues of the High Order Schrödinger operator II

Virtual Eigenvalues of the High Order Schrödinger operator II ESI The Erwin Schrödinger International Boltzmanngasse 9 Institute for Mathematical Physics A-090 Wien, Austria Virtual Eigenvalues of the High Order Schrödinger operator II Jonathan Arazy Leonid Zelenko

More information

Навчання у Німеччині. Інформаційний центр DAAD у Києві. Друге видання 2012

Навчання у Німеччині. Інформаційний центр DAAD у Києві. Друге видання 2012 Навчання у Німеччині Інформаційний центр DAAD у Києві Друге видання 2012 Publisher Information Center Kyiv Peremohy Av. 37, Bldg. 6, 2nd Floor Kyiv 03056 (Ukraine) Tel./Fax +380 44 406-82-69 Tel. +380

More information

ОСОБЛИВОСТІ ВІДТВОРЕННЯ УКРАЇНСЬКИХ КОЛОРАТИВІВ НІМЕЦЬКОЮ МОВОЮ (на матеріалі перекладу роману Василя Барки "Жовтий князь")

ОСОБЛИВОСТІ ВІДТВОРЕННЯ УКРАЇНСЬКИХ КОЛОРАТИВІВ НІМЕЦЬКОЮ МОВОЮ (на матеріалі перекладу роману Василя Барки Жовтий князь) огородження" складні безсполучникові конструкції з предикативними частинами, у яких констатується наявність, перебування магічної істоти в певному місці щодо мовця [Остроушко 2002, 79]. Отже, космонімічна

More information

Титульний аркуш. Річна інформація емітента цінних паперів за 2013 рік. I. Загальні відомості

Титульний аркуш. Річна інформація емітента цінних паперів за 2013 рік. I. Загальні відомості Титульний аркуш Підтверджую ідентичність електронної та паперової форм інформації, що подається до Комісії, та достовірність інформації, наданої для розкриття в загальнодоступній інформаційній базі даних

More information

Міністерство освіти і науки України. Факультет української й іноземної філології та мистецтвознавства. Кафедра германської філології ПРОГРАМА

Міністерство освіти і науки України. Факультет української й іноземної філології та мистецтвознавства. Кафедра германської філології ПРОГРАМА Міністерство освіти і науки України Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара Факультет української й іноземної філології та мистецтвознавства Кафедра германської філології «Затверджено»

More information

A NEW APPROACH TO THE CORONA THEOREM FOR DOMAINS BOUNDED BY A C 1+α CURVE

A NEW APPROACH TO THE CORONA THEOREM FOR DOMAINS BOUNDED BY A C 1+α CURVE Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica Volumen 40, 2015, 767 772 A NEW APPROACH TO THE CORONA THEOREM FOR DOMAINS BOUNDED BY A C 1+α CURVE José Manuel Enríquez-Salamanca and María José González

More information

Option pricing in a quadratic variance swap model

Option pricing in a quadratic variance swap model Elise Gourier School of Economics and Finance Queen Mary University of London Joint work with Damir Filipović and Loriano Mancini Swiss Finance Institute and EPFL Workshop "Mathematical Finance beyond

More information

Some remarks on Phragmén-Lindelöf theorems for weak solutions of the stationary Schrödinger operator

Some remarks on Phragmén-Lindelöf theorems for weak solutions of the stationary Schrödinger operator Wan Boundary Value Problems (2015) 2015:239 DOI 10.1186/s13661-015-0508-0 R E S E A R C H Open Access Some remarks on Phragmén-Lindelöf theorems for weak solutions of the stationary Schrödinger operator

More information

On fractional parts of powers of real numbers close to 1

On fractional parts of powers of real numbers close to 1 On fractional parts of powers of real numbers close to 1 Yann BUGEAUD and Niolay MOSHCHEVITIN Abstract We prove that there exist arbitrarily small positive real numbers ε such that every integral power

More information

Відгук Актуальність теми дослідження та її зв язок з науковими програмами

Відгук Актуальність теми дослідження та її зв язок з науковими програмами Відгук офіційного опонента на кандидатську дисертацію Лісовського Андрія Сергійовича «Чорноземи типові Придністерського Поділля», подану у спецраду Д 35.051.08 на здобуття наукового ступеня кандидата географічних

More information

PROPERTIES OF SOME NEW SEMINORMED SEQUENCE SPACES DEFINED BY A MODULUS FUNCTION

PROPERTIES OF SOME NEW SEMINORMED SEQUENCE SPACES DEFINED BY A MODULUS FUNCTION STUDIA UNIV. BABEŞ BOLYAI, MATHEMATICA, Volume L, Number 3, September 2005 PROPERTIES OF SOME NEW SEMINORMED SEQUENCE SPACES DEFINED BY A MODULUS FUNCTION YAVUZ ALTIN AYŞEGÜL GÖKHAN HIFSI ALTINOK Abstract.

More information

Calibration of Partial Safety Factors

Calibration of Partial Safety Factors Calibration of Partial Safety Factors Jochen Köhler NTNU Outline and scope The generic design equation. Calibration of design equations with one variable load. Calibration of design equations with two

More information

ЛИТОВСЬКО-УКРАЇНСЬКІ ЛЕКСИЧНІ ПАРАЛЕЛІ: ДО ПРОБЛЕМИ БАЛТО-СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВНИХ ВЗАЄМОЗВ ЯЗКІВ

ЛИТОВСЬКО-УКРАЇНСЬКІ ЛЕКСИЧНІ ПАРАЛЕЛІ: ДО ПРОБЛЕМИ БАЛТО-СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВНИХ ВЗАЄМОЗВ ЯЗКІВ Вакулич М.І., студ. ЛИТОВСЬКО-УКРАЇНСЬКІ ЛЕКСИЧНІ ПАРАЛЕЛІ: ДО ПРОБЛЕМИ БАЛТО-СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВНИХ ВЗАЄМОЗВ ЯЗКІВ В індоєвропеїстиці серед питань, що залишаються відкритими або ж їхні розв язання мають

More information

arxiv:hep-th/ v1 15 Jan 2001

arxiv:hep-th/ v1 15 Jan 2001 C algebras and Differential Geometry Alain Connes arxiv:hep-th/0101093 v1 15 Jan 2001 Abstract This is the translation to appear in the SUPERSYMMETRY 2000 - Encyclopaedic Dictionary of the original Comptes

More information

Лінгвістичні спостереження над інтернаціональною лексикою, які. почали проводитися на початку минулого століття, переросли на

Лінгвістичні спостереження над інтернаціональною лексикою, які. почали проводитися на початку минулого століття, переросли на Юрченко Н., Вакулик І.І., НУБіП України ДЖЕРЕЛА ПОХОДЖЕННЯ СУЧАСНИХ ТЕРМІНІВ ТА ЛІНГВІСТИЧНІ СПОСТЕРЕЖЕННЯ НАД НИМИ В статье представлена эволюция семантики некоторых современных терминов в европейских

More information

Malofiy L.S. Peculiarity of immunocompetent cells allocation in segmental bronchus for patients with chronic obstructive

Malofiy L.S. Peculiarity of immunocompetent cells allocation in segmental bronchus for patients with chronic obstructive Л.С.Малофій Івано-Франківський національний медичний університет УДК 616-071+616.233+616.24 ОСОБЛИВОСТІ РОЗПОДІЛУ ІМУНО- КОМПЕТЕНТНИХ КЛІТИН В СЕГМЕН- ТАРНИХ БРОНХАХ У ХВОРИХ НА ХРОНІЧНЕ ОБСТРУКТИВНЕ ЗАХВОРЮ-

More information

KEY LINES TO IMPROVE COMPETITIVENESS OF SMALL INNOVATIVE BUSINESSES

KEY LINES TO IMPROVE COMPETITIVENESS OF SMALL INNOVATIVE BUSINESSES RESEARCH УДК JEL: L6, L5, M, Q55 KEY LINES TO IMPROVE COMPETITIVENESS OF SMALL INNOVATIVE BUSINESSES National Institute of Business, Russian Federation 5, Yunosti street, Moscow, 95 Konstantin Yu. Reshetov

More information

Beantragung eines Visums für eine Au-pair-Beschäftigung

Beantragung eines Visums für eine Au-pair-Beschäftigung Stand: 06/2016 Beantragung eines Visums für eine Au-pair-Beschäftigung Отримання візи програмі Au-Pair Bitte lesen Sie dieses Merkblatt und das Antragsformular sorgfältig durch. Das Merkblatt muss ausgedruckt

More information

Probability density function of the Cartesian x-coordinate of the random point inside the hypersphere Argyn Kuketayev

Probability density function of the Cartesian x-coordinate of the random point inside the hypersphere Argyn Kuketayev Probability density function of the Cartesian x-coordinate of the random point inside the hypersphere Argyn Kuketayev 4/26/2013 Abstract Consider randomly picked points inside the n-dimensional unit hypersphere

More information

Support theorems for the Radon transform and Cramér-Wold theorems

Support theorems for the Radon transform and Cramér-Wold theorems Support theorems for the Radon transform and Cramér-Wold theorems Jan Boman, Filip Lindskog October 17, 2007 Abstract This article presents extensions of the Cramér-Wold theorem to measures that may have

More information

перурикем я як фактор пог ршення переб гу артер ально г пертензг у ж нок Росул М М Буг р Корабельщикова Н В

перурикем я як фактор пог ршення переб гу артер ально г пертензг у ж нок Росул М М Буг р Корабельщикова Н В Т м сеа с ý ý Т м с л ý Г Ка о ц се Ь Мефс у Ь аь Ма а ач о а СМКР О О о о с ё Се Ме а Аа К а Ма е о а р еч е а а а о е Ы а Ьу Д а еч Не у о ý р ас р осе а е у роа ег э з э е То р оь е у а ё а есе е Рфсе

More information

Thin Layers in Micromagnetism

Thin Layers in Micromagnetism Thin Layers in Micromagnetism Gilles Carbou Mathématiques Appliquées de Bordeaux, CNRS ERS 23 et Université Bordeaux, 35 cours de la libération, 33405 Talence cedex, France. Abstract - In this paper we

More information

1 Introduction. Bertrand Maillot. Abstract

1 Introduction. Bertrand Maillot. Abstract Conditional density estimation for continuous time processes with values in functional spaces, with applications to the conditional mode and the regression function estimators Bertrand Maillot Abstract

More information

Ellipsometry Data Analysis: a Tutorial

Ellipsometry Data Analysis: a Tutorial llipsometry Data Analysis: a Tutorial G.. Jellison, Jr. Solid State Division Oak Ridge National Laboratory WIS University of Michigan May 8-9, Motivation The Opportunity: Spectroscopic llipsometry (S is

More information

Dynamical Systems Method for solving nonlinear operator equations

Dynamical Systems Method for solving nonlinear operator equations Dynamical Systems Method for solving nonlinear operator equations A.G. Ramm Mathematics Department, Kansas State University, Manhattan, KS 66506-2602, USA E:mail: ramm@math.ksu.edu Abstract Consider an

More information

Порівняльно-педагогічні студії 2-3 (16-17), 2013

Порівняльно-педагогічні студії 2-3 (16-17), 2013 підтримання фізичного здоров я учнів, у середніх школах і ВНЗ тематичний блок «Санітарна освіта». Санітарна освіта позначена міждисциплінарними зв язками, які є набагато ширшими порівняно з попередніми

More information

ПОЛІТИЧНІ ПРОБЛЕМИ МІЖНАРОДНИХ ВІДНОСИН

ПОЛІТИЧНІ ПРОБЛЕМИ МІЖНАРОДНИХ ВІДНОСИН 4 Actual problems of international relations. Release 124 (part ІI). 2015 ПОЛІТИЧНІ ПРОБЛЕМИ МІЖНАРОДНИХ ВІДНОСИН РОЛЬ УКРАЇНИ В ЗАБЕЗПЕЧЕННІ ЕНЕРГЕТИЧНОЇ БЕЗПЕКИ ЦЕНТРАЛЬНОЇ ТА СХІДНОЇ ЄВРОПИ (ГАЗОПОСТАЧАННЯ

More information

THE REGULAR OPEN CONTINUOUS IMAGES OF COMPLETE METRIC SPACES

THE REGULAR OPEN CONTINUOUS IMAGES OF COMPLETE METRIC SPACES PACIFIC JOURNAL OF MATHEMATICS Vol 23 No 3, 1967 THE REGULAR OPEN CONTINUOUS IMAGES OF COMPLETE METRIC SPACES HOWARD H WICKE This article characterizes the regular T o open continuous images of complete

More information

УДК :39 Непоп-Айдачич Л.В. (Київ, Україна)

УДК :39 Непоп-Айдачич Л.В. (Київ, Україна) НАЦІОНАЛЬНІ МОВИ І КУЛЬТУРИ В ЇХ СПЕЦИФІЦІ ТА ВЗАЄМОДІЇ УДК 811.162.1 37:39 Непоп-Айдачич Л.В. (Київ, Україна) 94 РЕКОНСТРУКЦІЯ РИС ПОЛЬСЬКОГО МОВНОГО ОБРАЗУ КВІТІВ НА МАТЕРІАЛІ АНКЕТНИХ ДАНИХ У статті

More information

ЕФЕКТИВНІСТЬ ФРАНЧАЙЗИНГУ ЯК ФОРМИ ВЕДЕННЯ БІЗНЕСУ

ЕФЕКТИВНІСТЬ ФРАНЧАЙЗИНГУ ЯК ФОРМИ ВЕДЕННЯ БІЗНЕСУ 2. Еволюція закупівельної функції відбувалась у напрямку від трансакційних операцій до повної інтеграції функцій у логістичнй системі, утворюючи при цьому постійні комунікаційні канали між функцією закупівель

More information

Базій Л. А. Б17 Цікава німецька. Х.: Вид. група Ос нова, c. ISBN ISBN УДК ББК

Базій Л. А. Б17 Цікава німецька. Х.: Вид. група Ос нова, c. ISBN ISBN УДК ББК УДК 37.016 ББК 74.268.1Нім Б17 Базій Л. А. Б17 Цікава німецька. Х.: Вид. група Ос нова, 2013. 176 c. ISBN 978 617 00 1815 1 Наведені в посібнику цікаві матеріали з німецької мови стануть у нагоді вчителям

More information

The Center for Applied Probability Columbia University: Nov. 9, th Annual CAP Workshop on Derivative Securities and Risk Management

The Center for Applied Probability Columbia University: Nov. 9, th Annual CAP Workshop on Derivative Securities and Risk Management The Center for Applied Probability Columbia University: Nov. 9 00 8 th Annual CAP Workshop on Derivative Securities and Risk Management A Simple Option Formula for General Jump-Diffusion and other Exponential

More information

SOME RESULTS ON COMPLEX SPACES. 1. Introduction. This paper deals with some recent results obtained in collaboration

SOME RESULTS ON COMPLEX SPACES. 1. Introduction. This paper deals with some recent results obtained in collaboration SOME RESULTS ON COMPLEX SPACES. GIUSEPPE TOMASSINI 1. Introduction This paper deals with some recent results obtained in collaboration with Viorel Vâjâitu. The first one (cfr. [22]) corcerns a new proof

More information

ABOUT PROBLEM OF CONTROL THREE-DIMENSIONAL FIELD TRANSVERSE DYNAMIC DISPLACEMENTS OF THICK ELASTIC PLATE

ABOUT PROBLEM OF CONTROL THREE-DIMENSIONAL FIELD TRANSVERSE DYNAMIC DISPLACEMENTS OF THICK ELASTIC PLATE ~ 8 ~ ВІСНИК Київського національного університету імені Тараса Шевченка N 78-87 UC 5795598659 K c e K Naoa aa eceo Ue K BOU OBE OF CONO HEE-ENON FE NVEE NC CEEN OF HCK EC E e obe aagg ee-eoa co-fe ac

More information

КИЄВО-СВЯТОШИНСЬКА РАЙОННА РАДА ШОСТОГО СКЛИКАННЯ Р І Ш Е Н Н Я

КИЄВО-СВЯТОШИНСЬКА РАЙОННА РАДА ШОСТОГО СКЛИКАННЯ Р І Ш Е Н Н Я КИЄВО-СВЯТОШИНСЬКА РАЙОННА РАДА ШОСТОГО СКЛИКАННЯ Р І Ш Е Н Н Я Про затвердження Програми зайнятості населення Києво-Святошинського району на 2013-2017 роки Відповідно до п.16 ч.1 статті 43 Закону України

More information

H-MEASURES AND BOUNDS ON THE EFFECTIVE PROPERTIES OF COMPOSITE MATERIALS

H-MEASURES AND BOUNDS ON THE EFFECTIVE PROPERTIES OF COMPOSITE MATERIALS PORTUGALIAE MATHEMATICA Vol. 60 Fasc. 2 2003 Nova Série H-MEASURES AND BOUNDS ON THE EFFECTIVE PROPERTIES OF COMPOSITE MATERIALS Grégoire Allaire and Hervé Maillot Abstract: The goal of this paper is to

More information

Monotone maps of R n are quasiconformal

Monotone maps of R n are quasiconformal Monotone maps of R n are quasiconformal K. Astala, T. Iwaniec and G. Martin For Neil Trudinger Abstract We give a new and completely elementary proof showing that a δ monotone mapping of R n, n is K quasiconformal

More information

Ьа ЮВ 20 р сь Р щ БЗ сч ТЭ С

Ьа ЮВ 20 р сь Р щ БЗ сч ТЭ С ЯИ чл Р щ Ьа ЮВ 20 р сь Р щ БЗ сч ТЭ С ЯИ чл, нз Я Р щ ( я ЛМ : Ьа ЮВ 20 р 8 Йе 30 ЛМ ( Во ),31 ЛМ ( ЛМ ), Мч :B-Con Plaza) тт лх, Йф Р щ ( я ЛМ : Ьа ЮВ 20 р 10 Йе 18 ЛМ ( Во ),19 ЛМ ( ЛМ ), Мч : ЛМ эб

More information

Matrix Norms. Tom Lyche. September 28, Centre of Mathematics for Applications, Department of Informatics, University of Oslo

Matrix Norms. Tom Lyche. September 28, Centre of Mathematics for Applications, Department of Informatics, University of Oslo Matrix Norms Tom Lyche Centre of Mathematics for Applications, Department of Informatics, University of Oslo September 28, 2009 Matrix Norms We consider matrix norms on (C m,n, C). All results holds for

More information

Отримання візи з метою навчання у вузі

Отримання візи з метою навчання у вузі Stand/станом на: 08/2016 Beantragung eines Visums zum Studium (für Studenten, Studienkolleg, Doktoranden, PhD-Studenten und studienvorbereitende Sprachkurse bei Vorlage einer Zulassung*) Отримання візи

More information

Introduction to Monte-Carlo Methods

Introduction to Monte-Carlo Methods Introduction to Monte-Carlo Methods Bernard Lapeyre Halmstad January 2007 Monte-Carlo methods are extensively used in financial institutions to compute European options prices to evaluate sensitivities

More information

СК ЮПІТЕР VIENNA INSURANCE GROUP : ПІДСУМКИ 2013 РО К У

СК ЮПІТЕР VIENNA INSURANCE GROUP : ПІДСУМКИ 2013 РО К У Випуск 1 (032) 03 березня 2014 року Дорогі жінки! Шановні Леді! ЗІ СВЯТОМ З ледь відчутним весняним подихом приходить до нас чудове жіноче свято 8 Березня! Все найдорожче, що є у нашому житті щастя, радість,

More information

Low Dimensional Representations of the Loop Braid Group LB 3

Low Dimensional Representations of the Loop Braid Group LB 3 Low Dimensional Representations of the Loop Braid Group LB 3 Liang Chang Texas A&M University UT Dallas, June 1, 2015 Supported by AMS MRC Program Joint work with Paul Bruillard, Cesar Galindo, Seung-Moon

More information

Parametric Models. dh(t) dt > 0 (1)

Parametric Models. dh(t) dt > 0 (1) Parametric Models: The Intuition Parametric Models As we saw early, a central component of duration analysis is the hazard rate. The hazard rate is the probability of experiencing an event at time t i

More information

speed of light Planck constant Boltzmann constant electron mass proton mass neutron mass

speed of light Planck constant Boltzmann constant electron mass proton mass neutron mass Constants c =.998 8 s h = 6.66 34 J s ħ =.55 34 J s k =.38 3 J K hc/k =.4388 c K e =.6 9 C N A = 6. 3 ol speed of light Planck constant Boltzann constant eleentary charge Avogadro constant u =.6654 7 kg

More information

6.4 The Infinitely Many Alleles Model

6.4 The Infinitely Many Alleles Model 6.4. THE INFINITELY MANY ALLELES MODEL 93 NE µ [F (X N 1 ) F (µ)] = + 1 i

More information

Compilation Techniques for Embedded Data Parallel Languages

Compilation Techniques for Embedded Data Parallel Languages Compilation Techniques for Embedded Data Parallel Languages Bryan Catanzaro Electrical Engineering and Computer Sciences University of California at Berkeley Technical Report No. UCB/EECS-2011-45 http://www.eecs.berkeley.edu/pubs/techrpts/2011/eecs-2011-45.html

More information

1. Oblast rozvoj spolků a SU UK 1.1. Zvyšování kvalifikace Školení Zapojení do projektů Poradenství 1.2. Financování 1.2.1.

1. Oblast rozvoj spolků a SU UK 1.1. Zvyšování kvalifikace Školení Zapojení do projektů Poradenství 1.2. Financování 1.2.1. 1. O b l a s t r o z v o j s p o l k a S U U K 1. 1. Z v y š o v á n í k v a l i f i k a c e Š k o l e n í o S t u d e n t s k á u n i e U n i v e r z i t y K a r l o v y ( d á l e j e n S U U K ) z í

More information

А ýэ СаЬЬа оча. А а Ьаусап. сар

А ýэ СаЬЬа оча. А а Ьаусап. сар ч к тдв тап дт ФЁ Тч з ха а а п п А а Ьаусап п Ё Т о А е о п е па опа Ё й О о о а На еп ч о а п а ар С М о а Еар Ва е ако М а А агьаусап г Ъч пс А СаЬЬа оча Аупч а есе г А а Ьаусап сё а Ь у сар о чес Э

More information