How To Prove That The Zero Locus Is Not A Zero Loci

Transcription

1 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця РЕДАКЦIЙНА КОЛЕГIЯ ЖУРНАЛУ А. Г. Наумовець (головний редактор), П. I. Андон, Я. Б. Блюм, В. Л. Богданов (заст. головного редактора з наук. питань), А.Ф. Булат, Г.М. Гавричкова (заст. головного редактора), П. Ф. Гожик, В. П. Горбулiн, В. Т. Грiнченко, Г. В. Єльська, А. Г. Загороднiй, М. Ю. Iльченко, М. Т. Картель, О. В. Кириленко, С.В. Комiсаренко, В.Г. Кошечко, В.П. Кухар, Л.М. Лобанов, В. М. Локтєв, В. В. Моргун, О. М. Пономаренко, А. М. Самойленко, В. I. Старостенко, Є. Я. Хруслов, В. Ф. Чехун, М. Ф. Шульга, Я. С. Яцкiв Нацiональна академiя наук України, 2015

2 Редактори роздiлiв Л.М. Литвинова, Л.I. Пузанкова, Т. I. Хоменко Оформлення художника В. Г. Самсонова Комп ютерна верстка В. I. Бойко, Г. В. Попович Видавничий дiм «Академперiодика» НАН України Свiдоцтво про внесення до Держреєстру суб єкта видавничої справи серiї ДК 544 вiд , Київ, вул. Терещенкiвська, 4 Пiдписано до друку Формат /16. Ум. друк. арк. 16,8. Обл.-вид. арк. 16,36. Тираж 184 прим. Зам Цiна 40 грн. Видавець Видавничий дiм «Академперiодика» НАН України , Київ, вул. Терещенкiвська, 4

3 Змiст Математика Баранник Т. А. Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї Сердюк А.С., Степанюк Т.А. Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi Чепурухiна I.С. Напiводнорiдна елiптична задача з додатковими невiдомими функцiями в крайових умовах Pokrovskii A.V. A simple proof of the Radó and Král theorems on removability of the zero locus for analytic and harmonic functions Iнформатика та кiбернетика Механiка Фiзика Ляшко С.I., Грищенко О.Ю., Федорова В.С., Загородня Г.О. Про один скiнченнорiзницевий алгоритм моделювання процесiв кiнетики адсорбцiї Багно А.М. О волнах Лэмба в системе слой идеальной жидкости упругий слой Кубенко В.Д. О нестационарном деформировании упругого слоя при смешанных граничных условиях Лоза И.А. Кинематический анализ распространения осесимметричных электроупругих волн в полом слоистом цилиндре при механическом способе возбуждения Селiванов М.Ф. Модель трiщини з зоною зчеплення при змiшаному режимi руйнування Савкiна Р.К., Смiрнов О.Б. Ефект наноструктурування Si та GaAs шляхом кавiтацiйної обробки в рiдкому азотi Енергетика Бiлецький В. С., Круть О. А. Оцiнка властивостей водовугiльної суспензiї у гiдродинамiчних умовах Науки про Землю Хiмiя Гордиенко В.В., Гордиенко И.В., Завгородняя О.В. Современная активизация и тепловое поле Южно-Украинской моноклинали и Скифской плиты Кушнiр С.В. Причини барботажного хiмiчного ефекту i диференцiацiї iонiв при утвореннi морських аерозолiв (фiзико-хiмiчний аналiз) Усенко О.В. Эволюция мантийных расплавов и флюидов в докембрии Шевчук О.А. Трахеїди з юрських вiдкладiв України Булавко Г.В., Ищенко А.А. Природа аниона и фотовольтаические свойства катионных полиметиновых красителей

4 Бiологiя Бiохiмiя Ткаченко И.М., Кобзарь Я.Л., Шекера О.В., Шевченко В. В. Синтез 4,4 -бис(нонафторобифенил-4-оксифенил)-бис(трифторометил)метана и на его основе лестничного полиэфира, содержащего спиробисиндановые фрагменты Гулевский А.К., Ахатова Ю.С. Стимулирующее влияние низкомолекулярной фракции (до 5 кда) кордовой крови на гликогенолиз в нейтрофилах лейкоконцентрата донорской крови человека Драговоз I.В., Леонова Н.О., Зелена Л.Б., Ребрiєв А.В., Авдєєва Л.В. Iдентифiкацiя екзометаболiтiв штаму Bacillus amyloliquefaciens subsp. plantarum IМВ В-7404 з антифунгальною активнiстю Плоховская C.Г., Заславский В.А., Емец А.И., Блюм Я.Б. Участие актиновых филаментов в ответе клеток корня Arabidopsis thaliana на действие низкой температуры Медицина Екологiя Пiлiнська М.А., Дибський С.С., Дибська О.Б., Швайко Л.I., Сушко В.О. Тривалiсть зберiгання прихованої хромосомної нестабiльностi в лiмфоцитах периферичної кровi людини при професiйному контактi з iонiзуючою радiацiєю Семiнська О.О., Кучерук Д.Д., Балакiна М.М., Гончарук В.В. Використання зворотного осмосу та нанофiльтрацiї в очищеннi стiчних вод вiд фосфатiв

5 Contents Mathematics Barannyk T.A. The classification of the Galilei-invariant systems of nonlinear reactiondiffusion equations Serdyuk A.S., Stepaniuk T.A. Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness.. 13 Chepurukhina I.S. A semihomogeneous elliptic problem with additional unknown functions in boundary conditions Pokrovskii A.V. A simple proof of the Radó and Král theorems on removability of the zero locus for analytic and harmonic functions Information Science and Cybernetics Mechanics Energetics Physics Lyashko S.I., Gryshchenko O.Yu., Fedorova V.S., Zagorodnya G.O. About a finitedifference algorithm of modeling the adsorption kinetic processes Bahno O.M. On Lamb waves in the system: an ideal fluid layer an elastic layer Kubenko V.D. On the nonstationary deforming of an elastic layer under mixed boundary conditions Loza I.A. Kinematic analysis of the propagation of axisymmetric elastoelectric waves in a hollow layered cylinder under a mechanical mode of excitation Selivanov M. F. A model of crack with cohesive zone for a mixed mode of fracture Bilecky V.S., Krut O.A. The evaluation of properties of coal water slurries under hydrodynamic conditions Savkina R.K., Smirnov A.B. Nanostructurization of Si and GaAs by acoustic cavitation in liquid nitrogen Geosciences Chemistry Gordienko V.V., Gordienko I.V., Zavgorodnjaja O.V. Recent activization and heat field of the South-Ukrainian monocline and the Scyphian plate Kuschnir S.V. Reasons for the bubbling chemical effect and differentiation of ions in the formation of marine aerosols (physico-chemical analysis) Usenko O.V. Evolution of mantle melts and fluids at the Precambrian Shevchuk O.V. Tracheids of the Jurassic sediments of Ukraine Bulavko G.V., Ishchenko A.A. The nature of counterion and photovoltaic properties of cationic polymethine dyes Tkachenko I.M., Kobzar Ya.L., Shekera O.V., Shevchenko V.V. Synthesis of 4,4- bis(nonafluorobiphenyl-4-oxyphenyl)-bis(trifluoromethyl)methane and a ladder polyether with spirobisindane fragments on its base

6 Biology Gulevskyy O.K., Akhatova Yu.S. Stimulating effect of a low-molecular fraction (below 5 kda) from cord blood on glycogenolysis in neutrophils of human donor blood leukoconcentrate Biochemistry Medicine Ecology Dragovoz I.V., Leonova N.O., Zelena L.V., Rebriyev A.V., Avdeeva L.V. Identification of Bacillus amyloliquefaciens subsp. plantarum IMV B-7404 strain exometabolites with antifungal activity Plohovska S.G., Zaslavsky V.A., Yemets A.I., Blume Ya.B. Participation of actin filaments in the response of Arabidopsis thaliana root cells to low-temperature action Pilinskaya M. A., Dibskiy S. S., Dibskaya Ye. B., Shvayko L. I., Sushko V. A. Duration of the hidden chromosome instability persistence in peripheral blood lymphocytes of persons occupationally exposed to ionizing radiation Seminska O.O., Kucheruk D.D., Balakina M.M., Goncharuk V.V. The use of reverse osmosis and nanofiltration in wastewater purification from phosphates

7 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ МАТЕМАТИКА УДК 517.9: Т.А. Баранник Класифiкацiя галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї (Представлено членом-кореспондентом НАН України А.Г. Нiкiтiним) Наведено повний опис галiлеєво-iнварiантних систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї у випадку, коли коренi характеристичного рiвняння матрицi дифузiї є дiйсними числами. Ключовi слова: рiвняння реакцiї-дифузiї, перетворення Галiлея, симетрiя. 1. Принцип вiдносностi Галiлея є одним iз фундаментальних постулатiв, який повиннi задовольняти фiзичнi, хiмiчнi, бiологiчнi та iншi системи. Математичною мовою це означає, що математичнi моделi цих систем повиннi бути iнварiантними вiдносно груп Галiлея. У данiй роботi пропонується опис систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї, iнварiантних вiдносно груп Галiлея, якi мають вигляд u m t A 2 u x 2 i=1 i = f(u), (1) де u = стовпець(u 1,u 2,...,u n ) є вектор-функцiєю вiд t, x 1,...,x m, f(u) = стовпець (f 1,f 2,...,f n ) є вектор-функцiєю вiд u, A невироджена квадратна матриця порядку n. Такi системи знаходять широке застосування в теорiї тепломасоперенесення, а також в математичнiй бiологiї та хiмiї. Тому симетрiйний аналiз системи рiвнянь (1) має прикладне значення i може бути використаний, наприклад, для побудови точних розв язкiв широкого класу фiзичних i бiологiчних систем. Перша спроба класифiкувати систему (1) у випадку n = 2 належить Ю. А. Данiлову [1], який обмежився випадком дiагональної матрицi A. Дослiдження лiївських симетрiй системи (1) для n = 2 з дiагональною матрицею A було проведено в роботах [2 4], а з матрицею дифузiї A загального вигляду у роботах [5, 6]. Завершеного вигляду ця класифiкацiя досягла в роботi [7]. А. Г. Нiкiтiн i Р. Вiльтшире [5, 6] запропонували ефективний пiдхiд до дослiдження класичної i умовної симетрiй, який може бути застосований до рiвняння (1) з довiльними n i m. Т.А. Баранник, 2015 ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 7

8 2. За допомогою методу С. Лi неважко переконатися, що система рiвнянь (1) iнварiантна вiдносно операторiв Галiлея G a = t +x a x a n i,j=1 b ij u j u i (2) тодi i тiльки тодi, коли B = (b ij ) = 1/2A 1, а функцiя f(u) задовольняє систему рiвнянь (A 1 ) kb f b = (A 1 ) ab u b fk u a. (3) Отже, класифiкацiя систем (1), iнварiантних вiдносно перетворень Галiлея, зводиться до знаходження розв язкiв системи рiвнянь (3). Характер розв язкiв системи (3) суттєво залежить вiд типу матрицi A 1. З точнiстю до перетворень подiбностi матриця A 1 може бути зведена до однiєї з трьох канонiчних форм залежно вiд значень коренiв характеристичного рiвняння [8, c ]. a) Коренi характеристичного рiвняння матрицi A 1 дiйснi. Матриця A 1 в цьому випадку подiбна до матрицi J m1,λ 1 + +J ms,λ s = J m1,λ J ms,λ s де J mi,λ i є клiткою Жордана порядку m i для i = 1,2,...,s: λ i J mi,λ i = 1 λ i λ i, (4) b) Коренi характеристичного рiвняння матрицi A 1 комплекснi. Матриця A 1 в цьому випадку подiбна до матрицi J m 1 b 1,d 1 + +J m k b k,d k, d i 0 для i = 1,2,...,k, де Jb,d m узагальнена клiтка Жордана, тобто матриця порядку 2m такого вигляду: b d 1 0 d b 0 1 Jb,d m = b d d b O O b d d b. У випадку m i = 1 для i = 1,2,...,k матриця A 1 подiбна до матрицi J 1 b 1,d 1 + +J 1 b k,d k. (5) 8 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

9 c) Характеристичне рiвняння матрицi A 1 має s дiйсних коренiв i t комплексних коренiв з врахуванням їх кратностi. Матриця A 1 в даному випадку подiбна до матрицi J m1,λ 1 + +J mk,λ k +J n 1 b 1,d 1 + +J n l b l,d l, де m 1 + +m k = s, 2n n l = t. Зокрема, якщо n 1 = = n l = 1, то матриця A 1 подiбна до матрицi J m1,λ 1 + +J mk,λ k +J 1 b 1,d 1 + +J 1 b l,d l. (6) 3. Опис систем рiвнянь (1), якi допускають перетворення Галiлея, зводиться до iнтегрування системи звичайних диференцiальних рiвнянь (3). Далi наведено розв язки цiєї системи для випадкiв, коли матриця A 1 має вигляд (4), (5), (6). Нехай матриця A 1 є клiткою Жордана J n,λ. Для визначення всiх можливих нелiнiйних форм компонент вектор-функцiї f(u) введемо нову змiнну τ, яка визначається iз спiввiдношення u a τ = (A 1 ) ab u b. Лема. Першими iнтегралами системи (7) є функцiї (7) C k = k ( 1) p 1 λ p p! p=0 u k+1 p u 1 ln p u 1, k = 1,...,n 1. (8) Теорема 1. Якщо матриця A 1 є клiткою Жордана J n,λ, то загальний розв язок системи (3) утворюють функцiї k 1 1 f k = u 1 λ p p! ϕ k pln p u 1, k = 1,...,n, (9) p=0 де ϕ 1,...,ϕ n є довiльними функцiями вiд перших iнтегралiв (8) системи рiвнянь (7). Доведення. Введемо нову змiнну τ, яка визначається системою (7). Використовуючи змiнну τ, рiвняння (3) запишемо у виглядi f a τ = (A 1 ) ab f b. Проiнтегрувавши ситему (10), знаходимо її загальний розв язок (10) k 1 f k = e λτ p=0 C k p τ p p!, k = 1,...,n, де C 1,..., C n довiльнi сталi. Враховуючи, щоu 1 = e λτ, отримуємо на пiдставi леми загальний розв язок системи рiвнянь (3), який визначається формулами (9). Теорема доведена. У теоремах, що сформульованi нижче, для компактного запису компонент вектор-функцiї f = стовпець(f 1,f 2,...,f n ) i u = стовпець(u 1,u 2,...,u n ) використано такi позначення: f (1) k = f k для k = 1,...,m 1 ; ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 9

10 f (i) k = f m1 + +m i 1 +k для k = 1,...,m i, якщо i > 1; u (1) k = u k для k = 1,...,m 1 ; u (i) k = u m 1 + +m i 1 +k для k = 1,...,m i, якщо i > 1. Теорема 2. Нехай обернена матриця дифузiї A 1 має вигляд (4). Вiдповiдна система рiвнянь реакцiї-дифузiї (1) iнварiантна вiдносно перетворень Галiлея, якщо нелiнiйностi f 1, f 2,...,f n мають такий вигляд: f (i) k = u (i) k 1 1 p=0 1 λ p i p!ϕ(i) де ϕ (i) 1,...,ϕ(i) m i є довiльними функцiями вiд (i) k ( 1) p 1 u λ p i p! p=0 k+1 p u (i) 1 [u (j) 1 ]λ 1 [u (1) 1 ] λ j, j = 2,...,s. k p lnp u (i) 1, k = 1,...,m i, i = 1,...,s, (11) ln p u (i) 1, k = 1,...,m i 1, i = 1,...,s; Теорема 3. Нехай обернена матриця дифузiї A 1 має вигляд (5). Вiдповiдна система рiвнянь реакцiї-дифузiї (1) iнварiантна вiдносно перетворень Галiлея, якщо нелiнiйностi f 1,f 2,...,f n мають такий вигляд: f (i) 1 = ϕ (i) 1 u(i) 2 +ϕ(i) 2 u(i) 1, f (i) 2 = ϕ (i) 1 u(i) 1 +ϕ(i) 2 u(i) 2, i = 1,...,k, де ϕ (i) 1 i ϕ (i) 2 є довiльними функцiями вiд ( R i exp b ) i arctan u(i) 2, R b j 1 d R b 1 j, j = 2,...,k, де Ri 2 = [u (i) 1 ]2 +[u (i) 2 ]2. i u (i) 1 Теорема 4. Нехай обернена матриця дифузiї A 1 має вигляд (6). Вiдповiдна система рiвнянь реакцiї-дифузiї (1) iнварiантна вiдносно перетворень Галiлея, якщо нелiнiйностi f 1, f 2,...,f n мають такий вигляд: f (i) k = u (i) k 1 1 p=0 1 λ p i p!ϕ(i) f (j) 1 = ϕ (j) 1 u(j) 2 +ϕ (j) 2 u(j) 1, f (j) 2 = ϕ (j) 1 u(j) 1 +ϕ (j) k p lnp u (i) 1, k = 1,...,m i; i = 1,...,r; 2 u(j) 2, j = r +1,...,r +l, де ϕ (i) 1,...,ϕ(i) m i, ϕ (j) 1, ϕ(j) 2 є довiльними функцiями вiд (i) k ( 1) p 1 u λ p i p! p=0 k+1 p u (i) 1 ln p u (i) 1, k = 1,...,m i; i = 1,...,r; 10 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

11 ( R j exp b j r arctan u(j) 2 d j r [u (r+1) 1 ] 2 +[u (r+1) 2 ] 2 u (j) 1 [u (1) 1 ]2b 1 λ 1, R 2 j = [u(j) Цитована лiтература ), R b 1 r+1 R b j r j, j = r +2,...,r +l, 1 ]2 +[u (j) 2 ]2. 1. Данилов Ю.А. Групповой анализ системы Тьюринга и ее аналогов. Москва, с. (Препр. / АН СССР. Ин-т атомной энергии им. И.В. Курчатова; 3287/1). 2. Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I // J. Phys. A: Math. Gen P Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: I. Addendum // J. Phys. A: Math. Gen P Cherniha R., King J. R. Lie symmetries of nonlinear multidimensional reaction-diffusion systems: II // J. Phys. A: Math. Gen P Nikitin A. G., Wiltshire R. J. Symmetries of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Proc. Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine , Pt. 1. P Nikitin A. G., Wiltshire R. J. Systems of reaction-diffusion equations and their symmetry properties // J. Math. Phys , No 4. P Nikitin A. G. Group classification of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Укр. мат. вiсник , No 1. P Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. Москва: Наука, с. References 1. Danilov Yu. A. Group analysis of the Turing systems and of its analogues. Preprint, Kurchatov Institute of Atomic Energy, IAE 3287/1, Moscow, 1980 (in Russian). 2. Cherniha R., King J.R. J. Phys. A: Math. Gen., 2000, 33: Cherniha R., King J.R. J. Phys. A: Math. Gen., 2000, 33: Cherniha R., King J.R. J. Phys. A: Math. Gen., 2002, 36: Nikitin A.G., Wiltshire R. Proceeding of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, 2000, 30, Pt. 1: Nikitin A.G., Wiltshire R.J. J. Math. Phys., 2001, 42, No 4: Nikitin A.G. Ukr. math. visnyk, 2005, 2, No 1: Malcev A.I. Foundations of linear algebra, Moscow: Nauka, 1970 (in Russian). Полтавський нацiональний педагогiчний унiверситет iм. В. Г. Короленка Надiйшло до редакцiї Т. А. Баранник Классификация галилеево-инвариантных систем нелинейных уравнений реакции-диффузии Полтавский национальный педагогический университет им. В. Г. Короленко Приведено полное описание галилеево-инвариантных систем нелинейных уравнений реакции-диффузии в случае, когда корни характеристического уравнения матрицы диффузии являются действительными числами. Ключевые слова: уравнение реакции-диффузии, преобразование Галилея, симметрия. ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 11

12 T.A. Barannyk The classification of the Galilei-invariant systems of nonlinear reaction-diffusion equations V. G. Korolenko Poltava National Pedagogical University The full description of the Galilei-invariant systems of nonlinear reaction-diffusion equations is presented in the case where the roots of the characteristic equation of the diffusion matrix are real numbers. Keywords: reaction-diffusion equation, Galilei transformation, symmetry. 12 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

13 УДК А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк Оцiнки найкращих ортогональних тригонометричних наближень класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi (Представлено членом-кореспондентом НАН України М.Л. Горбачуком) Отримано порядковi оцiнки для найкращих рiвномiрних ортогональних тригонометричних наближень на класах 2π-перiодичних функцiй таких, що їх (ψ, β)-похiднi належать одиничним кулям просторiв L p, 1 p <, у випадку, коли послiдовнiсть ψ така, що добуток ψ(n)n 1/p може прямувати до нуля повiльнiше за довiльну степеневу функцiю i ψ p (k)k p 2 < при 1 < p <, 1/p+1/p = 1 або ψ(k) < при p = 1. Аналогiчнi k=1 k=1 оцiнки отримано для наближень в L p -метриках класiв (ψ,β)-диференцiйовних функцiй таких, що f ψ β 1 1. Ключовi слова: найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення, класи згорток, класи (ψ, β)-диференцiйовних функцiй. Нехай L p, 1 p <, простiр 2π-перiодичних сумовних в p-му степенi на [0,2π) функцiй f: R C з нормою f p := ( 2π 0 f(t) p dt) 1/p, L простiр 2π-перiодичних вимiрних i суттєво обмежених функцiй f: R C з нормою f := esssup f(t). t Через L ψ β,p, 1 p, позначимо множину функцiй f: R R iз L 1, якi зображуються у виглядi згорток f(x) = a π π π з фiксованим твiрним ядром Ψ β вигляду Ψ β (t) = 1 2 Z/{0} Ψ β (x t)ϕ(t)dt, a 0 R, ϕ 1, ϕ 1, (1) ψ( k )e i(kt+βπ 2 signk) = k=1 ( ψ(k) cos kt βπ ). (2) 2 Функцiю ϕ в рiвностi (1) називають (див., наприклад, [1, с. 132, 136]) (ψ, β)-похiдною функцiї f i позначають через f ψ β. А.С. Сердюк, Т.А. Степанюк, 2015 ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 13

14 У випадку коли ψ(k) = k r, r > 0, класи L ψ β,p, 1 p, β R, є вiдомими класами Вейля Надя Wβ,p r. Якщо послiдовнiсть ψ(k) монотонно спадає i ψ q (k)k q 2 <, 1 < q <, k=1 то, згiдно з лемою монографiї [2, с. 193], має мiсце включення Ψ β L q, 1/q+1/q = 1. З твердження iз [1, с. 137] i твердження з [3, с. 43] випливає, що при ψ(k) 0, ψ p (k)k p 2 <, 1 < p <, k=1 1 p + 1 p = 1, справедливi вкладення L ψ β,p L, L ψ β,1 L p, а з твердження iз [1, с. 137] випливає, що при ψ(k) > 0 i ψ(k) < виконується вкладення L ψ β,1 L. k=1 Будемо вважати, що послiдовностi ψ(k), k N, якi задають класи L ψ β,p, є звуженнями на множину натуральних чисел деяких додатних, неперервних, опуклих донизу функцiй ψ(t), заданих на [1, ), що задовольняють умову lim ψ(t) = 0. Множину всiх таких функцiй ψ t позначатимемо через M. Для класифiкацiї функцiй ψ iз M за їх швидкiстю спадання до нуля важливу роль вiдiграє характеристика α(ψ;t) := ψ(t) t ψ (t), ψ (t) := ψ (t+0). (3) За її допомогою з множини M видiляють такi пiдмножини (див., наприклад, [1, с ]): M 0 := {ψ M: K > 0 t 1 0 < K α(ψ;t)}, (4) M C := {ψ M: K 1,K 2 > 0 t 1 K 1 α(ψ;t) K 2 < }. (5) В (4) i (5) величини K, K 1, K 2 можуть залежати вiд ψ. Очевидно, що M C M 0. Нехай m N. Величину e m(l ψ β,p ) s = sup inf f(x) f(k)e ikx s, 1 p,s, (6) f L ψ γ m β,p k γ m 1 де γ m довiльнi набори iз m цiлих чисел, f(k) := 2π π π f(t)e ikt dt коефiцiєнти Фур є функцiї f, називають найкращим ортогональним тригонометричним наближенням класу L ψ β,p в метрицi простору L s. Метою даної роботи є знаходження точних порядкових оцiнок величин e n (Lψ β,p ) p, i e n (Lψ β,1 ) p при 1 p <, 1/p + 1/p = 1. Для класiв Вейля Надя Wβ,p r порядковi оцiнки величин (6) дослiджувалися в роботах Е.С. Белiнського [4] та А.С. Романюка [5 7]. 14 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

15 Для класiв L ψ β,p порядковi оцiнки величин (6) вивчалися в роботах В.В. Шкапи [8, 9] та О.С. Федоренка [10, 11]. При цьому в роботах [8, 9] порядковi рiвностi для величин e m (Lψ β,p ), 1 < p <, β R, було знайдено за умови ψ B Θ p, а для величин e m (Lψ β,1 ) p, 1 < p <, 1/p+1/p = 1, β R, за умов ψ B Θ p i опуклостi функцiї 1/ψ(t), де B множина незростаючих додатних функцiй ψ(t), t 1, для кожної з яких можна вказати додатну сталу K таку, що ψ(t)/ψ(2t) K, t 1, а Θ p множина незростаючих додатних функцiй ψ(t), для яких iснує ε > 0 таке, що послiдовнiсть ψ(k)k (1/p)+ε не зростає. При зазначених умовах iз [8, 9] випливають оцiнки e n (Lψ β,p ) e n (Lψ β,1 ) p ψ(n)n1/p, β R, 1 < p <, 1 p + 1 p = 1. (7) У данiй роботi знайдено порядковi оцiнки величин e n (Lψ β,p ) i e n (Lψ β,1 ) p, 1 p <, 1/p+1/p = 1, у випадку, коли функцiя g p (t) = ψ(t)t 1/p належить до множини M 0, i, крiм того, ψ p (k)k p 2 < при 1 < p < або ψ(k) < при p = 1. При цьому константи k=1 k=1 в отриманих оцiнках виражаються через параметри класiв в явному виглядi. Щоб сформулювати основнi результати роботи, введемо такi позначення. Для кожного 1 < s < покладемо { ( ) π 1/s ξ(s) := max 4, 14(8π) s} 1/s, (8) s 1 а для будь-якої функцiї ψ M через α n (ψ), n N, будемо позначати величини α n (ψ) := inf t n α(ψ;t), (9) де характеристика α(ψ; t) означається формулою (3). Теорема 1. Нехай 1 < p <, ψ p (k)k p 2 <, 1/p + 1/p = 1, а функцiя g p (t) = k=1 = ψ(t)t 1/p така, що g p M 0 i α 1 (g p ) = inf t 1 α(g p;t) > p. Тодi для довiльних n N i β R мають мiсце спiввiдношення ( K (1) ψ,p k=n ( 4 3 K(1) ψ,p k=n ψ p (k)k p 2 ψ p (k)k p 2 ) 1/p ( e 2n(L ψ β,p ) e 2n 1(L ψ β,p ) K (2) ψ,p ) 1/p k=n ψ p (k)k p 2 ( e 2n (Lψ β,1 ) p e 2n 1 (Lψ β,1 ) p K(2) ψ,p ψ p (k)k p 2 в яких K (1) ψ,p = 1 ( ) α1 (g p ) 1/p ) (1 p 3ξ(p) p, K (2) +α 1 (g p ) α 1 (g p ) ψ,p = 1 ( p +α π ξ(p ) 1 (g p ) α 1 (g p ) Наслiдок 1. Нехай 1 < p <, 1/p + 1/p = 1, k=n ) 1/p ) 1/p ) 1/p, (10), (11) ψ p (k)k p 2 < i g p (t) = ψ(t)t 1/p k=1 така, що α 1 (g p ) = inf t 1 α(g p;t) > p. Тодi якщо g p M 0, то ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 15.

16 ( e n(l ψ β,p ) e n(l ψ β,1 ) p ψ p (k)k p 2 k=n ) 1/p якщо ж g p M C, то виконуються порядковi рiвностi (7). Зауважимо, що коли g p M 0 i, β R, (12) lim t α(g p;t) =, (13) то порядковi рiвностi (7) мiсця не мають, оскiльки в цьому випадку виконується оцiнка (( ) 1/p ) ψ(n)n 1/p = o ψ p (k)k p 2, n. k=n Прикладом функцiй ψ, якi задовольняють умови наслiдку 1 i для яких виконується умова (13), є функцiї виду ψ(t) = t 1/p ln γ (t+k), γ > 1/p, K e γp 1, 1 < p <, 1/p+1/p = 1. Дiйсно, для них, як неважко одержати з (12), справедливi порядковi оцiнки e n(l ψ β,p ) e n(l ψ β,1 ) p ψ(n)n1/p ln 1/p n, n N\{1}, β R. Теорема 2. Нехай β R, ψ(k) <, а функцiя g(t) = ψ(t)t така, що g M 0, k=1 α 1 (g) = infα(g;t) > 1. Тодi якщо cos(βπ/2) 0, то для довiльного n N t 1 1 cos βπ ( 1 1 ) 12π 2 α 1 (g) k=n а якщо cos(βπ/2) = 0, то для довiльного n N ( π α 1 (g) ψ(k) e 2n (Lψ β,1 ) e 2n 1 (Lψ β,1 ) 1 π ) ψ(n)n e 2n (Lψ β,1 ) e 2n 1 (Lψ β,1 ) ψ(k), (14) k=n ( 1+ 2 ) ψ(n)n. (15) π Теорема 3. Нехай ψ(k) < i β R. Тодi якщо функцiя g(t) = ψ(t)t така, що k=1 g M 0, то e n(l ψ β,1 ) k=n ψ(n)n, якщо ж g M C, то ψ(k), cos βπ 2 0, cos βπ 2 = 0, (16) e n (Lψ β,1 ) ψ(n)n. (17) Поклавши в теоремi 3 ψ(t) = t r, r > 1, отримаємо таке твердження. Наслiдок 2. Нехай r > 1 i β R. Тодi e n(w r β,1 ) n r ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

17 Зауважимо, що коли g M 0, g(t) = ψ(t)t i lim α(g;t) =, t (18) то в цьому випадку виконується оцiнка ( ) ψ(n)n = o ψ(k), n. k=n Прикладом функцiй ψ(t), якi задовольняють умови теореми 3 i для яких виконується умова (18), є функцiї виду ψ(t) = t 1 ln γ (t+k), γ > 1, K > 0. Для них, згiдно з (18), при β R i n N \ {1} справедливi порядковi оцiнки e n (Lψ β,1 ) ψ(n)n, ψ(n)nlnn, cos βπ 2 0, cos βπ 2 = 0. Зауважимо, що для знаходження оцiнок зверху найкращих ортогональних тригонометричних наближень вигляду (6) в теоремах 1 3 були використанi нерiвностi e 2n 1 (Lψ β,p ) s E n (L ψ β,p ) s, 1 p,s, де E n (L ψ β,p ) s := sup f L ψ β,p n 1 f( ) k= n+1 f(k)e ikx s, 1 p,s. (19) Точнi порядки величинe n (L ψ β,p ) ie n (L ψ β,1 ) p при1 p < було знайдено в роботах [12 14]. Цитована лiтература 1. Степанец А.И. Методы теории приближений: В 2 ч., Ч.I. Киев: Ин-т математики НАН Украины, с. (Працi Iнституту математики НАН України; Т. 40). 2. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. Москва: Мир, Т с. 3. Корнейчук Н.П. Точные константы в теории приближения. Москва: Наука, с. 4. Белинский Э. С. Приближение плавающей системой экспонент на классах периодических функций с ограниченной смешанной производной // Исследования по теории функций многих вещественных переменных. Ярославль: Ярослав. ун-т, С Романюк А. С. Приближение классов периодических функций многих переменных // Мат. заметки , 1. P Романюк А. С. Наилучшие тригонометрические приближения классов периодических функций многих переменных в равномерной метрике // Мат. заметки , 2. С Романюк А. С. Аппроксимативные характеристики классов периодических функций многих переменных. Киев: Ин-т математики НАН Украины, с. (Працi Iнституту математики НАН України; T. 93). 8. Шкапа В.В. Найкращi ортогональнi тригонометричнi наближення функцiй iз класiв L ψ β,1 // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України , 3. С ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 17

18 9. Шкапа В. В. Оцiнки найкращих M-членних та ортогональних тригонометричних наближень функцiй iз класiв L ψ β,p у рiвномiрнiй метрицi // Диференцiальнi рiвняння та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України , 2. С Федоренко О. С. Про найкращi m-членнi тригонометричнi та ортогональнi тригонометричнi наближення функцiй класiв L ψ β,p // Укр. мат. журн , 12. С Федоренко О.С. Наближення (ψ,β)-диференцiйовних функцiй тригонометричними полiномами: Автореф. дис.... канд. фiз.-мат. наук / Iн-т математики НАН України. Київ, с. 12. Грабова У. З., Сердюк А. С. Порядковi оцiнки найкращих наближень i наближень сумами Фур є класiв (ψ,β)-диференцiйовних функцiй // Укр. мат. журн , 9. С Сердюк А.С., Степанюк Т.А. Порядковi оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур є в рiвномiрнiй метрицi класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi // Укр. мат. журн , 12. С Степанюк Т. А. Оцiнки найкращих наближень та наближень сумами Фур є класiв згорток перiодичних функцiй невеликої гладкостi в iнтегральних метриках // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України , 3. С References 1. Stepanets A. I. Methods of approximation theory. I, Pratsi Instytutu Matematyky NAN Ukrainy. Matematyka ta ii Zastosuvannya, Vol. 40, Kyiv: Instytut Matematyky NAN Ukrainy, 2002 (in Russian). 2. Zygmund A. Trigonometric Series, Vol. 2, Moscow: Mir, 1965 (in Russian). 3. Korneichuk N.P. Exact constants in approximation theory, Moscow: Nauka, 1987 (in Russian). 4. Belinsky E. S. Approximation by a floating system of exponents on the classes of periodic functions with bounded mixed derivative, Issled. po teorii func. mnog. vesch. perem., Jaroslavl : Jaroslav. un t, 1988: (in Russian). 5. Romanyuk A.S. Math. Notes, 2002, 71, No 1: Romanyuk A.S. Math. Notes, 2007, 82, No 2: Romanyuk A.S. Approximation characteristics of classes of periodic functions of several variables, Pratsi Instytutu Matematyky NAN Ukrainy. Matematyka ta ii Zastosuvannya, Vol. 93, Kyiv: Instytut Matematyky NAN Ukrainy, 2012 (in Russian). 8. Shkapa V.V. Zb. Pr. Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 2014, 11, No 3: (in Ukrainian). 9. Shkapa V.V. Zb. Pr. Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 2014, 11, No 2: (in Ukrainian). 10. Fedorenko A.S. Ukr. Math. J., 1999, 51, No 12: Fedorenko O. S. Approximation of (ψ, β)-differentiable functions by trigonometric polynomials: Autoref. diss.... cand. phys.-math. sciences, Kyiv: Insitute of Mathematics of NAS of Ukraine, 2001 (in Ukrainian). 12. Hrabova U.Z., Serdyuk A.S. Ukr. Mat. J., 2013, 65, No 9: Serdyuk A.S., Stepaniuk T.A. Ukr. Math. J., 2014, 66, No 12: (in Ukrainian). 14. Stepanyuk T.A. Zb. Pr. Instytutu Matematyky NAN Ukrainy, 2014, 11, No 3: (in Ukrainian). Iнститут математики НАН України, Київ Схiдноєвропейський нацiональний унiверситет iм. Лесi Українки, Луцьк Надiйшло до редакцiї ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

19 А.С. Сердюк, Т. А. Степанюк Оценки наилучших ортогональных тригонометрических приближений классов сверток периодических функций небольшой гладкости Институт математики НАН Украины, Киев Восточноевропейский национальный университет им. Леси Украинки, Луцк Получены порядковые оценки для наилучших равномерных ортогональных тригонометрических приближений на классах 2π-периодических функций таких, что их (ψ,β)-производные принадлежат единичным шарам пространств L p, 1 p <, в случае, когда последовательность ψ такая, что произведение ψ(n)n 1/p может стремиться к нулю медленнее, чем любая степенная функция, и ψ p (k)k p 2 < при 1 < p <, 1/p + 1/p = 1 или k=1 ψ(k) < при p = 1. Аналогичные оценки получены для приближений в L p -метриках k=1 классов (ψ,β)-дифференцируемых функций таких, что f ψ β 1 1. Ключевые слова: наилучшие ортогональные тригонометрические приближения, классы сверток, классы (ψ, β)-дифференцируемых функций. А.S. Serdyuk, Т.А. Stepaniuk Estimates of the best orthogonal trigonometric approximations of the classes of convolutions of periodic functions of not high smoothness Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev Lesya Ukrainka Eastern European National University, Lutsk We obtain order estimates for the best uniform orthogonal trigonometric approximations of 2π-periodic functions, whose (ψ,β)-derivatives belong to unit balls of spaces L p, 1 p <, in the case where a consequence ψ(k) is such that the product ψ(n)n 1/p can tend to zero slower than any power function, and ψ p (k)k p 2 <, when 1 < p <, 1/p + 1/p = 1 or ψ(k) <, k=1 when p = 1. We establish the analogous estimates in the L p -metric for the classes of summable (ψ,β)-differentiable functions such that f ψ β 1 1. Keywords: best orthogonal trigonometric approximations, classes of convolutions, classes of(ψ, β)- differentiable functions. k=1 ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 19

20 УДК I.С. Чепурухiна Напiводнорiдна елiптична задача з додатковими невiдомими функцiями в крайових умовах (Представлено академiком НАН України А. М. Самойленком) Дослiджено елiптичну крайову задачу для однорiдного диференцiального рiвняння, яка мiстить додатковi невiдомi функцiї у крайових умовах. Доведено, що оператор, який вiдповiдає цiй задачi, є обмеженим i нетеровим у пiдходящих парах гiльбертових просторiв Соболєва i iзотропних просторiв Хермандера, що утворюють двобiчну уточнену соболєвську шкалу. Для останнiх показниками регулярностi служать довiльнi дiйсне число i додатна функцiя, повiльно змiнна на нескiнченностi за Караматою. Доведено теореми про апрiорну оцiнку узагальнених розв язкiв задачi та їх регулярнiсть. Ключовi слова: елiптична крайова задача, повiльно змiнна функцiя, простiр Хермандера, нетерiв оператор, апрiорна оцiнка розв язкiв, регулярнiсть розв язкiв. Елiптичнi крайовi задачi з додатковими невiдомими функцiями у крайових умовах були введенi Б. Лавруком [1, 2]. Такi задачi виникають при переходi вiд загальної елiптичної крайової задачi до формально спряженої задачi (у випадку нерегулярних крайових умов). Бiльше того, клас цих задач замкнений вiдносно такого переходу. До цього класу належать рiзнi задачi теорiї пружностi i гiдродинамiки [3, 4]. Для елiптичних крайових задач з додатковими невiдомими функцiями в крайових умовах доведено теореми про нетеровiсть вiдповiдних операторiв, породженi ними iзоморфiзми, апрiорнi оцiнки розв язкiв i їх регулярнiсть у двобiчних шкалах функцiональних просторiв (див. [5, розд. 3] i [6, розд. 2]). Цi шкали складаються з просторiв, введених Я.А. Ройтбергом [7]. Останнi збiгаються з просторами Соболєва лише для достатньо великих показникiв регулярностi. Для iнших значень показникiв простори Ройтберга мiстять елементи, якi навiть не є розподiлами в евклiдовiй областi, де задана задача. Мета роботи встановити версiї цих теорем для двобiчної шкали просторiв, утворених саме розподiлами в евклiдовiй областi. Така шкала складається з гiльбертових просторiв Соболєва i деяких iзотропних просторiв Хермандера [8, п. 2.2]. Для останнiх показниками регулярностi служать довiльнi дiйсне число i додатна функцiя, повiльно змiнна на нескiнченностi за Й. Караматою [9]. Ця уточнена соболєвська шкала була видiлена i дослiджена В. А. Михайлецем i О. О. Мурачем [10], якi побудували для неї теорiю розв язностi елiптичних крайових задач [11, 12]. Проте клас елiптичних крайових задач з додатковими невiдомими функцiями в крайових умовах не був охоплений їх теорiєю. У роботi розглянуто крайовi задачi для однорiдних елiптичних рiвнянь. Оператор, який вiдповiдає такiй напiводнорiднiй задачi, коректно означений на всiй двобiчнiй уточненiй соболєвськiй шкалi, що дає можливiсть отримати завершенi результати. Для позитивної частини шкали цi задачi дослiджено в [13] для неоднорiдних елiптичних рiвнянь. 1. Постановка задачi. Нехай Ω довiльна обмежена область у евклiдовому просторi R n, деn 2. Припустимо, що її межаγ := Ω є нескiнченно гладким замкненим многовидом вимiрностin 1 (C структура наγєпороджена просторомr n ). Як звичайно,ω := Ω Γ. I. С. Чепурухiна, ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

21 Виберемо довiльно цiлi числа q 1, κ 1, m 1,...,m q+κ [0,2q 1] i r 1,...,r κ. В областi Ω розглянемо напiводнорiдну лiнiйну елiптичну крайову задачу з κ додатковими невiдомими функцiями на межi Γ: Au = 0 в Ω, B j u+ κ C j,k v k = g j на Γ, j = 1,...,q +κ. (2) k=1 Тут A := A(x,D) диференцiальний оператор на Ω парного порядку 2q, кожне B j := = B j (x,d) крайовий диференцiальний оператор на Γ порядку m j, а кожне C j,k := = C j,k (x,d τ ) дотичний диференцiальний оператор на Γ порядку ordc j,k m j + r k. Усi коефiцiєнти цих диференцiальних операторiв є нескiнченно гладкi функцiї, заданi на Ω i Γ вiдповiдно. Функцiя u на Ω i всi функцiї v 1,...,v κ на Γ є шуканi в крайовiй задачi (1), (2). У роботi всi функцiї i розподiли вважаються комплекснозначними. Нагадаємо (див. [5, п ] або [6, п. 2.2]), що крайова задача (1), (2) називається елiптичною в областi Ω, якщо диференцiальний оператор A правильно елiптичний на Ω, а система крайових умов (2) накриває A на Γ (тобто задовольняє аналог умови Шапiро Лопатинського щодо A на Γ). Позначимо черезka (Ω) множину всiх функцiйu C (Ω) таких, щоau = 0 в областiω. Пов яжемо з крайовою задачею (1), (2) лiнiйне вiдображення ( κ κ Λ : (u,v 1,...,v κ ) B 1 u+ C 1,k v k,...,b q+κ u+ C q+κ,k v k ), (3) k=1 де u K A (Ω), i v 1,...,v κ C (Γ). Дослiдимо властивостi продовження (за неперервнiстю) цього вiдображення у пiдходящих парах гiльбертових просторiв Хермандера. Для опису областi значень цього продовження нам знадобиться формула Грiна ( ) q+κ κ (Au,w) Ω + B j u+ C j,k v k,h j = j=1 j=1 k=1 ( ) 2q q+κ = (u,a + w) Ω + Dν j 1 u,k j w + Q + k,j h k Γ k=1 Γ k=1 + ( ) κ q+κ v j, C + k,j h k, правильна для довiльних функцiй u, w C (Ω) i v 1,...,v κ, h 1,...,h q+κ C (Γ) (див. [5, теорема 3.1.2]). Тут i далi через (, ) Ω i (, ) Γ позначено скалярнi добутки в просторах L 2 (Ω) i L 2 (Γ) усiх функцiй, квадратично iнтегровних на Ω i Γ вiдповiдно, а також розширення за неперервнiстю цих скалярних добуткiв. Тут також A + є диференцiальний оператор, формально спряжений до A вiдносно (, ) Ω, а C + k,j i Q+ k,j є дотичнi диференцiальнi оператори, формально спряженi вiдповiдно до C k,j i Q k,j вiдносно (, ) Γ. При цьому дотичний диференцiальний оператор Q k,j := Q k,j (x,d τ ) узято iз зображення крайового диференцiального оператора B j у виглядi 2q B j (x,d) = Q j,k (x,d τ )Dν k 1 k=1 ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 21 j=1 k=1 Γ (1)

22 (якщо k > m j, то Q j,k := 0). Тут i у формулi Грiна D ν := i ν, де i уявна одиниця, а ν оператор диференцiювання вздовж внутрiшньої нормалi до межi Γ областi Ω. Крiм того, K j := K j (x,d) є деякий лiнiйний крайовий диференцiальний оператор на Γ порядку ordk j 2q j. З урахуванням формули Грiна розглянемо таку напiводнорiдну крайову задачу в областi Ω з q + κ додатковими невiдомими функцiями на межi Γ: A + w = 0 в Ω, (4) q+κ K j w+ Q + k,j h k = χ j на Γ, j = 1,...,2q, (5) q+κ k=1 C + k,j h k = χ 2q+j на Γ, j = 1,...,κ. (6) k=1 Ця задача є формально спряженою до задачi (1), (2) вiдносно вказаної формули Грiна. Вiдмiтимо, що задача (1), (2) елiптична в областi Ω тодi i тiльки тодi, коли там елiптична формально спряжена задача (4) (6) (див. [5, теорема 3.1.2]). 2. Уточнена соболєвська шкала. Розглянемо гiльбертовi функцiональнi простори, в яких буде дослiджена крайова задача (1), (2). Вони утворюють уточнену соболєвську шкалу {H s,ϕ : s R,ϕ M}, введену в [10]. Тут i надалi M множина всiх вимiрних за Борелем функцiй ϕ: [1, ) (0, ), якi обмеженi й вiдокремленi вiд нуля на кожному компактi i повiльно змiнюються на нескiнченностi за Й. Караматою [9], тобто ϕ(λt)/ϕ(t) 1 при t для кожного λ > 0. Повiльно змiннi функцiї добре вивченi i мають рiзноманiтнi застосування [14]. Їх характерним прикладом є функцiя ϕ(t) := (lnt) r 1 (lnlnt) r2 (ln...lnt) r k, t 1, де k N i r 1,...,r k R. Нехай s R i ϕ M. Означимо простiр H s,ϕ спочатку на R n, де n 1, а потiм на Ω i Γ. Будемо додержуватись монографiї [12, пп. 1.3, 2.1, 3.2]. За означенням, комплексний лiнiйний простiр H s,ϕ (R n ) складається з усiх повiльно зростаючих розподiлiв w на R n таких, що їх перетворення Фур є ŵ є локально сумовним за Лебегом на R n i задовольняє умову w 2 H s,ϕ (R n ) := R n ξ 2s ϕ 2 ( ξ ) ŵ(ξ) 2 dξ <, де ξ := (1+ ξ 2 ) 1/2. Простiр H s,ϕ (R n ) гiльбертiв вiдносно норми w H s,ϕ (R n ). Простiр H s,ϕ (R n ) є iзотропний випадок гiльбертових просторiв B 2,µ, введених i дослiджених Л. Хермандером [8, п. 2.2] i також Л.Р. Волевичем, Б.П. Панеяхом [15, 2]. Для цих просторiв показником регулярностi служить вагова функцiя µ: R n (0, ). У нас µ(ξ) = ξ s ϕ( ξ ) є радiальною функцiєю аргументу ξ R n. У випадку, коли ϕ 1, простiр H s,ϕ (R n ) стає гiльбертовим простором Соболєва H s (R n ) порядку s. Взагалi, виконуються неперервнi i щiльнi вкладення H s+ε (R n ) H s,ϕ (R n ) H s ε (R n ) для кожного ε > 0. (7) 22 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7

23 З них видно, що у класi просторiв {H s,ϕ (R n ): s R,ϕ M} числовий параметр s задає основну регулярнiсть, а функцiональний параметр ϕ додаткову регулярнiсть, пiдпорядковану основнiй. Коротко кажучи, ϕ уточнює основну регулярнiсть s. Тому цей клас названо уточненою соболєвською шкалою на R n. Її аналоги для Ω i Γ означаються таким чином. Лiнiйний простiр H s,ϕ (Ω) складається, за означенням, зi звужень на область Ω усiх розподiлiв w H s,ϕ (R n ). У ньому введена норма за формулою u H s,ϕ (Ω) := inf{ w H s,ϕ (R n ): w H s,ϕ (R n ), w = u в Ω}, де u H s,ϕ (Ω). Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний вiдносно введеної норми, а множина C (Ω) щiльна в ньому. Лiнiйний простiр H s,ϕ (Γ) складається, коротко кажучи, з усiх розподiлiв на Γ, якi в локальних координатах належать до H s,ϕ (R n 1 ). Дамо детальне означення. Iз C -структури на многовидi Γ виберемо який-небудь скiнченний атлас, утворений локальними картами α j : R n 1 Γ j, де j = 1,...,λ. Тут вiдкритi множини Γ 1,...,Γ λ складають покриття многовиду Γ. Крiм того, довiльно виберемо функцiї χ j C (Γ), де j = 1,...,λ, якi утворюють розбиття одиницi на Γ, що задовольняє умову suppχ j Γ j. Тодi, за означенням, простiр H s,ϕ (Γ) складається з усiх розподiлiв h на Γ таких, що (χ j h) α j H s,ϕ (R n 1 ) для кожного номера j {1,...,λ}. Тут (χ j h) α j є зображенням розподiлу χ j h у локальнiй картi α j. Норма в просторi H s,ϕ (Γ) означена за формулою ( λ 1/2 h H s,ϕ (Γ) := (χ j h) α j 2 H s,ϕ (R )). n 1 j=1 Цей простiр гiльбертiв i сепарабельний. Вiн з точнiстю до еквiвалентностi норм не залежить вiд зробленого вибору атласу i розбиття одиницi [12, теорема 2.3]. Множина C (Γ) щiльна в просторi H s,ϕ (Γ). Цi гiльбертовi функцiональнi простори утворюють уточненi соболєвськi шкали {H s,ϕ (Ω): s R,ϕ M} i {H s,ϕ (Γ): s R,ϕ M} (8) наωiγвiдповiдно. Вони мiстять гiльбертовi соболєвськi шкали: якщоϕ(t) 1, тоh s,ϕ (Ω) = =: H s (Ω) i H s,ϕ (Γ) =: H s (Γ) є простори Соболєва порядку s R. Для шкал (8) виконуються компактнi i щiльнi вкладення (7), якщо у формулi (7) замiнити R n на Ω або Γ вiдповiдно. 3. Результати. Сформулюємо результати роботи про властивостi напiводнорiдної елiптичної крайової задачi (1), (2) в уточнених соболєвських шкалах (8). Iз задачею (1), (2) i формально спряженою задачею (4) (6) пов яжемо лiнiйнi простори N i N + нескiнченно гладких розв язкiв цих задач у випадку однорiдних крайових умов. А саме: N складається з усiх розв язкiв (u,v 1,...,v κ ) C (Ω) (C (Γ)) κ задачi (1), (2) у випадку, коли всi g j = 0 на Γ, а N + складається з усiх розв язкiв (w,h 1,...,h q+κ ) C (Ω) (C (Γ)) q+κ задачi (4) (6) у випадку, коли всi χ j = 0 i всi χ 2q+j = 0 на Γ. Оскiльки цi задачi елiптичнi в Ω, простори N i N + скiнченновимiрнi [5, лема 3.4.2]. Позначимо через N 1 + скiнченновимiрний простiр усiх векторiв (h 1,...,h q+κ ) (C (Γ)) q+κ таких, що (w,h 1,...,h q+κ ) N + для деякого w C (Ω). Покладемо K s,ϕ A (Ω) := {u Hs,ϕ (Ω): Au = 0 в Ω} для довiльних s R i ϕ M. Тут образ Au розумiємо в сенсi теорiї розподiлiв, а K s,ϕ A (Ω) розглядаємо як (замкнений) ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 23

24 пiдпростiр гiльбертового простору H s,ϕ (Ω). Згiдно з [12, теорема 3.11] множина KA (Ω) щiльна в K s,ϕ A (Ω). Введемо гiльбертовi простори κ K s,ϕ A (Ω,Γ) := Ks,ϕ A (Ω) H s+rk 1/2,ϕ (Γ), H s,ϕ (Γ) := H s mj 1/2,ϕ (Γ). k=1 Теорема 1. Для довiльних s R i ϕ M вiдображення (3) продовжується єдиним чином (за неперервнiстю) до обмеженого оператора Λ : K s,ϕ A (Ω,Γ) H s,ϕ(γ). (9) Цей оператор нетерiв. Його ядро збiгається з N, а область значень складається з усiх векторiв (g 1,...,g q+κ ) H s,ϕ (Γ) таких, що (g 1,h 1 ) Γ +...+(g q+κ,h q+κ ) Γ = 0 для кожного (h 1,...,h q+κ ) N + 1. (10) Iндекс оператора (9) дорiвнює dimn dimn 1 + i не залежить вiд s та ϕ. З огляду на цю теорему нагадаємо, що лiнiйний обмежений оператор T : E 1 E 2, що дiє у парi банахових просторiв E 1 i E 2, називають нетеровим, якщо його ядро kert i коядро E 2 /T(E 1 ) скiнченновимiрнi. Якщо оператор нетерiв, то його область значень T(E 1 ) замкнена в E 2, а iндекс indt := dimkert dim(e 2 /T(E 1 )) скiнченний. Якщо N = {0} i N 1 + = {0}, то оператор (9) є iзоморфiзмом за теоремою 1. У загальнiй ситуацiї цей оператор породжує iзоморфiзм мiж деякими пiдпросторами, що мають скiнченну ковимiрнiсть. У цьому зв язку розглянемо такi розклади просторiв, в яких дiє оператор (9), у виглядi прямих сум пiдпросторiв { K s,ϕ A (Ω,Γ) = N (u,u (0) ) Ω + (u,v 1,...,v κ ) K s,ϕ A (Ω,Γ): } κ (v k,v (0) k ) Γ = 0 для всiх (u (0),v (0) 1,...,v(0) κ ) N, (11) k=1 H s,ϕ (Γ) = N + 1 {(g 1,...,g q+κ ) H s,ϕ (Γ): виконується (10)}. (12) Позначимо через P i P 1 + вiдповiдно проектори просторiв K s,ϕ A (Ω,Γ) i H s,ϕ(γ) на другий доданок у сумах (11) i (12) паралельно першому доданку. Цi проектори не залежать (як вiдображення) вiд s i ϕ. Теорема 2. Для довiльних s R i ϕ M звуження оператора (9) на пiдпростiр P(K s,ϕ A (Ω,Γ)) є iзоморфiзмом Λ : P(K s,ϕ A (Ω,Γ)) P+ 1 (H s,ϕ(γ)). (13) Перейдемо до властивостей узагальнених розв язкiв елiптичної крайової задачi (1), (2). Попередньо дамо означення такого розв язку. Позначимо через KA (Ω,Γ) об єднання усiх просторiв Ks,ϕ A (Ω,Γ), де s R i ϕ M. За теоремою 1 для кожного вектора (u,v) := (u,v 1,...,v κ ) K A (Ω,Γ) (14) 24 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7 q+κ j=1

25 коректно означенi за замиканням правi частини елiптичної крайової задачi (1), (2). Його називаємо (сильним) узагальненим розв язком цiєї задачi. Вiн задовольняє таку апрiорну оцiнку. Теорема 3. Нехай s R, ϕ M i число σ > 0. Тодi iснує число c > 0 таке, що (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ) c( Λ (u,v) Hs,ϕ(Γ) + (u,v) K s σ,ϕ A (Ω,Γ) ) (15) для довiльного вектора (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ). Тут c = c(s,ϕ,σ) не залежить вiд (u,v). Дослiдимо регулярнiсть узагальненого розв язку. Теорема 4. Нехай вектор (14) є узагальненим розв язком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють умову g := (g 1,...,g q+κ ) H s,ϕ (Γ) для деяких параметрiв s R i ϕ M. Тодi (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ). Покладемо m := max{m 1,...,m q+κ }. З огляду на вкладення K s,ϕ A (Ω) C (Ω) узагальнений розв язок (14) крайової задачi (1), (2) називається класичним, якщо u C m (Ω) i v k C m+r k (Γ) для кожного k {1,...,κ}. Тодi лiвi частини рiвнянь (2) обчислюються за допомогою класичних похiдних i є неперервними функцiями. Теорема 5. Припустимо, що вектор (14) є узагальненим розв язком елiптичної крайової задачi (1), (2), правi частини якої задовольняють умову g H m+n/2,ϕ (Γ) для деякого параметра ϕ M такого, що 1 dt tϕ 2 (t) <. Тодi цей розв язок класичний. Зауважимо, що в теоремi 5 умова (16) не лише достатня для класичностi розв язку (14), але й необхiдна на класi всiх розглянутих узагальнених розв язкiв. Вiдмiтимо, що теореми 1 4 є новими i для соболєвських просторiв, тобто коли ϕ Обгрунтування результатiв. Теорема 1 у соболєвському випадку, коли s Z i ϕ 1, випливає з [5, теорема 3.4.1]. Це доводиться за допомогою мiркувань, подiбних до тих, що наведенi в [12, п ] (доведення теореми 4.25). Для довiльних s R i ϕ M теорема 1 виводиться iз соболєвського випадку методом iнтерполяцiї з функцiональним параметром пар гiльбертових просторiв (її означення i властивостi викладенi в [12, п. 1.1]). А саме: виберемо додатнi числа ε i δ такi, що s ε i s+δ є цiлими числами. Маємо обмеженi i нетеровi оператори Λ : K s ε A (Ω,Γ) H s ε(γ) i Λ : K s+δ A (Ω,Γ) H s+δ(γ), що дiють у парах просторiв Соболєва. (У випадку ϕ 1 пропускаємо iндекс ϕ у позначеннях просторiв.) Означимо iнтерполяцiйний параметр ψ за формулами ψ(t) := t ε/(ε+δ) ϕ(t 1/(ε+δ) ) при t 1 i ψ(t) := ϕ(1) при 0 < t < 1. Застосувавши iнтерполяцiю з параметром ψ, отримаємо обмежений оператор Λ : [K s ε A (Ω,Γ),Ks+δ A (Ω,Γ)] ψ [H s ε (Γ),H s+δ (Γ)] ψ. Згiдно з [12, теорема 1.7] нетеровiсть цього оператора й iншi його властивостi, сформульованi в теоремi 1, є наслiдком нетеровостi зазначених вище операторiв, якi дiють у просторах Соболєва та мають спiльне ядро i однаковий iндекс. Залишається використати iнтерполяцiйнi формули [K s ε A (Ω,Γ),Ks+δ A (Ω,Γ)] ψ = K s,ϕ A (Ω,Γ), [H s ε(γ),h s+δ (Γ)] ψ = H s,ϕ (Γ). (17) ISSN Доповiдi НАН України, 2015, 7 25 (16)

26 Вони є наслiдками теорем 1.5 i 2.2 з [12] i рiвностi [K s ε A (Ω),Ks+δ A (Ω)] ψ = K s,ϕ A (Ω). Остання випливає з другої рiвностi в (17) для κ = 0 на пiдставi теореми 3.11 з [12]. Теорема 2 випливає з теореми 1. Справдi, за теоремою 1 N ядро, а P 1 + (H s,ϕ(γ)) область значень обмеженого оператора (9). Тому обмежений оператор (13) є бiєкцiєю i за теоремою Банаха про обернений оператор є iзоморфiзмом. Перейдемо до теореми 3. Для довiльного вектора (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ) потрiбна оцiнка (15) випливає з нерiвностей P(u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ) c 1 Λ (u,v) Hs,ϕ(Γ), (1 P)(u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ) c 2 (u,v) K s σ,ϕ A (Ω,Γ). Тут c 1 є норма оператора, оберненого до iзоморфiзму (13), а c 2 є норма оператора 1 P : K s σ,ϕ A (Ω,Γ) N, де N розглядається як скiнченновимiрний пiдпростiр в K s,ϕ A (Ω,Γ). Обгрунтуємо теорему 4. Нехай вектори (u, v) i g задовольняють її умову. Оскiльки g P 1 + (H s,ϕ(γ)), то за теоремою 2 iснує розв язок (u,v ) K s,ϕ A (Ω,Γ) крайової задачi Λ (u,v ) = g. Звiдси (u u,v v ) N i тому (u,v) K s,ϕ A (Ω,Γ). Теорема 5 випливає з теореми 4 i версiй [12, теореми 2.8, 3.4] теореми вкладення Хермандера [8, теорема 2.2.7] для шкал просторiв (8). Справдi, з умови g H m+n/2,ϕ (Γ) випливає включення (u,v) K m+n/2,ϕ A (Ω,Γ) за теоремою 4. Тодi u H m+n/2,ϕ (Ω) C m (Ω) i v k H m+n/2+rk 1/2,ϕ (Γ) C m+r k (Γ) для кожного номера k {1,...,κ} на пiдставi цих версiй i умови (16). Отже, розв язок (u, v) класичний. Автор висловлює вдячнiсть О. О. Мурачу за керiвництво роботою. Цитована лiтература 1. Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллиптических систем линейных дифференциальных уравнений. I. Построение сопряженных задач // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys , No 5. С Лаврук Б. О параметрических граничных задачах для эллиптических систем линейных дифференциальных уравнений. II. Граничная задача для полупространства // Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys , 5. С Ciarlet P. G. Plates and junctions in elastic multi-structures. An asymptotic analysis. Paris: Masson, p. 4. Nazarov S., Pileckas K. On noncompact free boundary problems for the plane stationary Navier Stokes equations // J. Reine Angew. Math P Kozlov V.A., Maz ya V.G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. Providence: Amer. Math. Soc., p. 6. Roitberg Ya. A. Elliptic boundary value problems in the spaces of distributions. Dordrecht: Kluwer, p. 7. Ройтберг Я. А. Эллиптические задачи с неоднородными граничными условиями и локальное повышение гладкости вплоть до границы обобщенных решений // Докл. АН СССР , 4. С Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. Москва: Мир, с. 9. Karamata J. Sur certains Tauberian theorems de M. M. Hardy et Littlewood // Mathematica (Cluj) P Михайлец В. А., Мурач А. А. Уточненные шкалы пространств и эллиптические краевые задачи. II // Укр. мат. журн , 3. С Mikhailets V. A., Murach A. A. The refined Sobolev scale, interpolation, and elliptic problems // Banach J. Math. Anal , No 2. P Mikhailets V. A., Murach A. A. Hörmander spaces, interpolation, and elliptic problems. Berlin; Boston: De Gruyter, p. (Русское издание книги доступно как arxiv: ). 26 ISSN Dopov. Nac. akad. nauk Ukr., 2015, 7