Occupation Times of Intervals until First Passage Times for Spectrally Negative Lévy Processes

Transcription

1 Occuption Times of Intervls until First Pssge Times for Spectrlly Negtive Lévy Processes Ronnie L. Loeffen, Jen-Frnçois Renud & Xiowen Zhou First version: 29 August 212 Reserch Report No. 6, 212, Proility nd Sttistics Group School of Mthemtics, The University of Mnchester

2 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç ÁÆÌ ÊÎ ÄË ÍÆÌÁÄ ÁÊËÌ È ËË ÌÁÅ Ë ÇÊ ËÈ ÌÊ ÄÄ Æ ÌÁÎ Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ÊÇÆÆÁ ĺ ÄÇ Æ Â Æ¹ Ê Æ ÇÁË Ê Æ Í Æ Á ÇÏ Æ ÀÇÍ ØÖ Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÒØ Ý Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó ÓÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ó ÒØ ÖÚ Ð ÙÒØ Ð Ö Ø Ô Ø Ñ ÓÖ Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ º Æ Û Ò ÐÝØ Ð ÒØ Ø ÓÖ Ð ÙÒØ ÓÒ Ö Ö Ú Ò Ø Ö ÓÖ Ø Ö ÙÐØ Ö ÜÔÐ ØÐÝ Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ º ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÓÔØ ÓÒ ÔÖ Ò Ò Ò ÙÖ Ò Ö ÑÓ Ð Ö Ð Ó ÔÖ ÒØ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ò Ñ Ò Ö ÙÐØ ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ø Ó ÒØ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó τ τ, τ 1, X s ds Ò τ c c, 1, X s ds, Û Ö X = X t t Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Û Ö τ = inf{t > : X t < } Ò τ c = inf{t > : X t > c}, Ò Û Ö cº Ê ÒØÐÝ Ä Ò Ö ÙÐØ Ø Ðº Ò ÃÝÔÖ ÒÓÙ Ø Ðº Ú ØÙ ÓÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ó Ð Ð Ò ÓÖ Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Ø ÓÙ Ø Ð ØØ Ö ÖØ Ð ÓÒ Ö ÑÓÖ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ò Ñ ÐÝ Ö Ö Ø Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ º Ì Ñ Ò Ö Ò ØÛ Ò Ø Ô Ô Ö Ò Ø Ô Ô Ö Ò Ø Ø Ý Ù Ò ÓÑ Ó Ø Ø Ò ÕÙ Ò Û Ò ÓÒ Ö ÐÝ ÑÔÐ Ö ÜÔÖ ÓÒ Û ÙÖØ Ö ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ø Ð ÑÓÖ Ò Ö Ð Ø Ó ÒØ Ø ÒÚÓÐÚ Ò ÓÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ó Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ º ÆÓØ Ø Ø ÓÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ ÔÔ Ö ÓØ Ò ÓÔØ ÓÒ ÔÖ Ò Ò Ò Ò ÙÖ Ò Ö ÑÓ Ð Û Û ÐÐ Ñ ÒØ ÓÒ ØÛÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ø Ö ÓÒº Ï ÒÓÛ Ö Ý ÒØÖÓ Ù Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Ò Ø Ó Ø Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ò ÓÙÖ Ñ Ò Ö ÙÐØ º Ä Ø X = X t t ÓÒ Ø ÐØ Ö ÔÖÓ Ð ØÝ Ô Ω,F t t, P Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Ø Ø ÔÖÓ Û Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ò Ò Ô Ò ÒØ ÒÖ ¹ Ñ ÒØ Ò ÒÓ ÔÓ Ø Ú ÙÑÔ º À Ö Ý Û ÜÐÙ Ø Ø Ø X Ø Ò Ø Ú Ó Ù ÓÖ ¹ Ò ØÓÖ º º Û ÜÐÙ Ø Ó X Ú Ò Ö Ò Ô Ø º Ì Ð Û Ó X Ù Ø Ø X = x ÒÓØ Ý P x Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ý E x º Ï ÛÖ Ø P Ò E Û Ò x = º Ø Ä ÚÝ ÔÖÓ X ÒÓ ÔÓ Ø Ú ÙÑÔ Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ü Ø Ò Ú Ò Ý E e λxt = e tψλ, Ø ÂÙÒ ¾ ¾¼½¾º Ã Ý ÛÓÖ Ò Ô Ö º ÇÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ ÙØÙ Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ Ð ÙÒØ ÓÒ º ½

3 ¾ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ ÓÖ λ,t Û Ö ψλ = γλ 1 2 σ2 λ 2 e λz 1 λz1,1 z Πdz, ÓÖ γ R Ò σ Ò Û Ö Π σ¹ Ò Ø Ñ ÙÖ ÓÒ, Ù Ø Ø 1 z 2 Πdz <. Ï ÐÐ Ø Ñ ÙÖ Π Ø Ä ÚÝ Ñ ÙÖ Ó X Û Ð Û Ö Ö ØÓ γ,σ,π Ø Ä ÚÝ ØÖ ÔÐ Ø Ó Xº ÆÓØ Ø Ø ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Û Ò Ø Ä ÚÝ Ñ ÙÖ Ò Ù Û Ý Ø Ø Ø Ñ ÙÖ ÓÒ Ø ÔÓ Ø Ú Ð Ð Ò Ò Ø Ó Ø Ò Ø Ú Ð Ð Ò º ÙÖØ Ö ÒÓØ Ø Ø E X 1 = ψ º Ì ÔÖÓ X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ Ò ÓÒÐÝ σ = Ò 1 zπdz < º ÁÒ Ø Ø Û ÒÓØ Ý d := γ 1 zπdz Ø Ó¹ ÐÐ Ö Ø Ó Xº ÓÖ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Ø Ä ÔÐ ÜÔÓÒ ÒØ ψ ØÖ ØÐÝ ÓÒÚ Ü Ò λ ψλ = º Ì Ù Ø Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ Φ:,, Ò Ý Φq = sup{λ ψλ = q} Ø Ö Ø¹ ÒÚ Ö µ Ù Ø Ø ψφq = q, q. Ï Ú Ø Ø Φq = Ò ÓÒÐÝ q = Ò ψ º Ï ÒÓÛ Ö ÐÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø q¹ Ð ÙÒØ ÓÒ W q º ÓÖ q Ø q¹ Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ X Ò ÓÒ, Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ, Ú Ò Ý ½µ e λy W q ydy = 1 ψλ q, ÓÖ λ > Φqº Ì ÙÒØ ÓÒ ÙÒ ÕÙ ÔÓ Ø Ú Ò ØÖ ØÐÝ ÒÖ Ò ÓÖ x Ò ÙÖØ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÖ q º Ï ÜØ Ò W q ØÓ Ø Û ÓÐ Ö Ð Ð Ò Ý ØØ Ò W q x = ÓÖ x < º Ï ÛÖ Ø W = W Û Ò q = º Ï Û ÐÐ Ð Ó Ö ÕÙ ÒØÐÝ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÒØ ÓÒ Z q x = 1 q W q ydy, x R. Ï Ö ÐÐ ÓÑ Ó Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø q¹ Ð ÙÒØ ÓÒ W q Ò Ø Ù Ò ÙØÙ Ø ÓÒ Ø ÓÖݺ ÅÓ Ø Ö ÙÐØ Ö Ø Ò ÓÖ Ò ÐÝ Ö Ú ÖÓÑ º Ì Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ó W q ÒÓÛÒ ØÓ { W q 1/d Û Ò σ = Ò 1 = zπdz <, ÓØ ÖÛ, Û Ö Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒ W q x W q xº ÆÓÛ ÓÖ R Ò τ = inf{t > : X t < }, Ò τ = inf{t > : X t > }, Û Ø Ø ÓÒÚ ÒØ ÓÒ inf = º ÁØ Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ø Ø > Ò x Ø Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ØÛÓ¹ Ü Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ú Ò Ý ¾µ E x e qτ ;τ < τ = W q x W q,

4 µ E x e qτ ;τ < τ Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë = Z q x Z q W q x W q, Û Ö ÓÖ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Y Ò Ò Ú ÒØ A EY ;A := EY 1 A º Ð Ó Ø ÒÓÛÒ Ø Ø ÓÖ x Ò f ÔÓ Ø Ú Ñ ÙÖ Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ú µ E x e qτ fx τ ;τ < τ = f σ2 W q x W q x W q 2 W q W q y dy fy θ Πdθ W q W q x W q x y, y Û Ö W q x Ø Ö Ú Ø Ú Ó W q x Û Û Ðй Ò σ > º Ì Ö Ø Ø ÖÑ Ó Ø ÒØ ØÝ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Û Ò X τ = Ú ÓÙÖ ÐÐ Ö Ô Ò º ÓÖ ÑÓÖ Ø Ð ÓÒ Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Ò ÙØÙ Ø ÓÒ ÒØ Ø Ø Ö Ö Ö ÖÖ ØÓ º ÙÖØ Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ü ÑÔÐ Ò ÒÙÑ Ö Ð Ø Ò ÕÙ Ö Ð Ø ØÓ Ø Óѹ ÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ð ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÙÒ Ò º ½º½º Å Ò Ö ÙÐØ º ÓÖ ÓÙÖ Ñ Ò Ö ÙÐØ Û Ö Ø Ò ØÓ ÒØÖÓ Ù Ø Ö ÙÜ Ð ÖÝ ÙÒØ ÓÒ º Ï ÒÓØ Ø Ø Ý Ø Ò Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÒ ÓØ Ò Ù Ò ½µ Û Ò ÐÝ Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÕÙ Ð Ø ÓÐ µ q p q p W p yw q ydy =W q W p, W p yz q ydy =Z q Z p. Ï ÒÓÛ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ p,q Ò x R µ W p,q Z p,q x :=W pq x q =W p x q x :=Z pq x q =Z p x q W pq x yw p ydy W pq x yw p ydy, W pq x yz p ydy W pq x yz p ydy, Û Ö Ø ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó W p,q x Ò Z p,q x ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ µº Ï Û ÐÐ Ù ÓØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ø Üغ Ï ÙÖØ Ö ÒØÖÓ Ù ÓÖ p Ò q R Ù Ø Ø p q Ø ÙÒØ ÓÒ H p,q x = e Φpx 1 q e Φpy W pq ydy, x R. ÆÓØ Ø Ø H p,q x = e Φpx ÓÖ x Ò Ø Ø Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó H p,q ÓÒ, ÜÔÐ ØÐÝ Ú Ò Ý e λx H p,q 1 q xdx = 1, λ > Φp q. λ Φp ψλ p q

5 ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ Ï ÒÓÛ Ø Ø ÓÙÖ ØÛÓ Ñ Ò Ö ÙÐØ º Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÖ c p,q Ò x c E x e pτ q R τ 1, X sds ;τ < τ c = Z p,q x q Zp,q c q c c q c W p,q W p c zz p,q zdz W p c zw p,q zdz W p,q x q Ì ÓÖ Ñ ¾º ÓÖ c p,q Ò x c E x e pτ c q R τ c 1, X sds ;τ c < τ = Wp,q x q W p x zz p,q zdz W p x zw p,q zdz. W p x zw p,q zdz W p,q c q c W p c zw p,q zdz. ÆÓØ Ø Ø Ø ØÛÓ Ø ÓÖ Ñ Ò Ö Ð ¾µ Ò µº ÖÓÑ Ø ØÛÓ Ø ÓÖ Ñ Û Ò Ö Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ø Ó ÓÖÓÐÐ Ö º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º E x e pτ q R τ µ ÓÖ Ò p,q,x 1, X sds ;τ < = Z p,q x q p Φp q 1 q eφpy Z p,q eφpy W p,q ydy ydy W p,q x q Û Ö p p/φp = ψ Ò Ø p = º µ ÓÖ,p,q,x 1, X sds ;τ < E x e pτ q R τ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º = Z p,q x pq Φpq q µ ÓÖ < c p,q Ò x c = Hp,q x q E x e pτ c q R τ c 1, X sds ;τ c < W p x zz p,q zdz W p x zw p,q zdz, eφpqy Z p ydy 1 q eφpqy W p ydy W p,q x. W p x yh p,q y dy H p,q c q c W p c yh p,q y dy. µ ÓÖ c p,q Ò x c E x e pτ c q R τ c 1, X sds ;τ c < = Hpq,q x H pq,q c. ÓÖÓÐÐ ÖÝ º µ ÙÑ ψ > º Ì Ò ÓÖ < q Ò x R E x e q R 1,X sds = Zq x q 1 q ψ Wx yzq y dy. Z q ydy

6 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë µ ÙÑ ψ > º Ì Ò ÓÖ q Ò,x R E x e q R 1,X sds = ψ Φq H q,q x. q µ ÙÑ ψ < º Ì Ò ÓÖ < q Ò x R E x e q R x 1,X sds = Z q x q W x yz q y dy H,q x q q e Φy Z q ydy ψ Φ q e Φy H,q ydy Úµ ÙÑ ψ < º Ì Ò ÓÖ q Ò,x R E x e q R 1, X sds = Z q x W x yh,q y dy. Φq Φ H,q x. Φq Ï Ö Ñ Ö Ø Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ µ Û Ö Ú ÖÐ Ö Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ º ÆÓØ Ø Ø Ö Ö Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ù ØÓ Ø ÐÓÒ ¹Ø ÖÑ Ú ÓÙÖ Ó X ψ Ø Ò 1, X s ds = º º ψ Ø Ò 1, X s ds = º º Ò ψ = Ø Ò 1, X s ds = º ºº Ï Ð Ó Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ù ÙÐ ÒØ Ø µ W p,q x q Z p,q x q W p x zw p,q zdz =W p x q W p x zz p,q zdz =Z p x q W p x zw p,q zdz, W p x zz p,q zdz. Ì ØÛÓ ÒØ Ø Ò ÔÖÓÚ ÐÝ Ý ØØ Ò Ö Ø x = = Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò ÓÑÔ Ö Ò Û Ø ¾µ Ò Ø Ò ØØ Ò x = = Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Ò ÓÑÔ Ö Ò Û Ø µº Ë Ñ Ð ÖÐÝ µ H p,q xq W p xyh p,q ydy = e Φpx q W p xyh p,q ydy, Û Ò ÔÖÓÚ ÐÝ Ý ØØ Ò x = = Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ µ Ò ÓÑÔ Ö Ò Û Ø Ø ÒØ ØÝ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ µ ÓÖ q = º ÆÓØ Ø Ø µ Ò µ Ð ØÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÒØ Ø ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÖÓÐÐ Ö º ÙÖØ Ö µ Ò µ Û ÐÐ Ð Ó Ù ØÓ ÔÖÓÚ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ µ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ µ Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ê Ñ Ö ½º½º Ì ÜÔÖ ÓÒ ÔÔ Ö Ò Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Ò ¾ Ò ÓÖÓÐÐ Ö ½¹ Ö ÐÐ Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Û Ò Ò Ö Ð ÓÒÐÝ Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÒÓÛÒº ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö Ö ÔÐ ÒØÝ Ó Ü ÑÔÐ Ó Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ ÓÖ Û Ò ÜÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ø ÓÙ Ø Ö Ó ÜÔÐ ØÒ Ò Ú ÖÝ Ý µ Ü Ø ÓÖ Ø Ð ÙÒØ ÓÒ W q º º ÓÖ Ø Ü ÑÔÐ ÓÒ ÓÙÐ Ø Ò Ð ØÓ Ø ÑÓÖ ÜÔÐ Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÔÔ Ö Ò Ò Ø ÓÖ Ñ ÒØ ÓÒ Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÖÓÐÐ Ö º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ø Ö Ö ÓÓ ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ó ÓÖ Ð Ò Û Ø Ä ÔÐ ÒÚ Ö ÓÒ Ó Ø Ð ÙÒØ ÓÒ º Ë Ø ÓÒ µ Ò Ø Ò Ù ØÓ ÒÙÑ Ö ÐÐÝ Ú ÐÙ Ø Ø ÜÔÖ ÓÒ Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Ò ¾ Ò ÓÖÓÐÐ Ö ½¹ º ÐØ ÓÙ Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Z q Ò H p,q Ö ÒÓÛÒ Ò Ø Ù Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ú Ò Ð Ä ÔÐ ÒÚ Ö ÓÒ Ø ÒÓØ ØÖÙ Ò Ò Ö Ð ÓÖ Ø ÙÒØ ÓÒ W p,q Ò Z p,q Ù ØÓ Ø ÔÔ Ö Ò Ó ÒÓÑÔÐ Ø ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ º Ì Ð Ó Ñ Ò Ø Ø Ú Ö Ð Ó ÓÙÖ

7 ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ Ò ÒØ Ø ÒÒÓØ ÓÑÔÙØ Ú Ò Ð Ä ÔÐ ÒÚ Ö ÓÒ Ò ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø ÒÙÑ Ö Ð ÔÖÓ ÙÖ ÒÚÓÐÚ Ò Ä ÔÐ ÒÚ Ö ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ø Ö Ø ÒØ Ö Ð Ö Ò º ÇÙÖ Ö ÙÐØ ÑÔÖÓÚ Ø Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ò Ò Ø ÒÓ Ö Ö Ø ÓÒ µ Ò Ú Ö Ð Û Ý º Ö Ø Û ÓÒ Ö ÓÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ó Ò Ö ØÖ ÖÝ ÒØ ÖÚ Ð ÒÓØ Ù Ø ÒØ ÖÚ Ð Ó Ø ÓÖÑ,º Ë ÓÒ Û Ð Û Ø Ø p > º Ì Ö Û Ð Û Ø Ò Ö Ð Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ x ÒÓØ Ø Ø Ø ÜÔÖ ÓÒ ÑÔÐ Ý Û Ò x ÓÖ x º Ò ÐÐÝ ÓÙÖ ÜÔÖ ÓÒ Ö ÓÒ Ö ÐÝ ÑÔÐ Ö Ø Ò Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ò º ÌÓ ÐÐÙ ØÖ Ø Ø ÓÒ Ö ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ µ Û Ø p = = Ò x = º Ì Ò E e q R τ 1, X sds ;τ < = Z q ψ q eφy Z q ydy 1 q W q, eφy W q ydy Û ÑÓÖ ÓÑÔ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ò Ö ØÓ Ú ÐÙ Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Ó Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ µ Ó Ò Ø ÒÓ Ö Ö Ø ÓÒ µº Ì Ö Ø Ó Ø Ô Ô Ö ÓÖ Ò Þ ÓÐÐÓÛ º Ì Ñ Ò Ð ÑÑ Ò ÓÖ Ø ÔÖÓÓ Û ÓÒ ÓÑ Ó Ø Ø Ò ÕÙ Ù Ò Ú Ò Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº ÁØ Ø Ð ÑÑ Û ÐÐÓÛ Ù Ò Ø Ò ØÓ ÑÔÐ Ý Ø ÜÔÖ ÓÒ Ó Ø Ò Ò Ò º Ì Ò Ò Ë Ø ÓÒ ¹ Ø ÔÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÖÓÐÐ Ö Ö Ú Òº Ì Ö ÙÑ ÒØ Ù Ò Ë Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ø ÓÖ Ø Û Ö X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒµ Ö Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÓÒ Ò º Ò ÐÐÝ Ò Ë Ø ÓÒ Û Ú ØÛÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙÖ Ö ÙÐØ º ¾º Å Ò Ð ÑÑ Ê ÐÐ Ø Ø X Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Û Ø Ä ÚÝ ØÖ ÔÐ Ø γ,σ,πº ÓÖ ÓÑ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÙÒØ ÓÒ f Ó Ø Û Ø X Ø Ö Ø Ò Ó µ Ò ÛÖ ØØ Ò Ò ÑÙ Ò Ö ÓÖÑ Ò Ñ ÐÝ µ ÐÓÛµ Ò Ø Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ø ÖØ Ò ÔÓ ÒØ Ó Û Ø Ð Ò Ø Ò ØÓ Ø ÑÔÐ ÓÖÑ ÓÑÔ Ö ØÓ Ø ÖÐ Ö ÛÓÖ Ò Ó Ø ÒØ Ø Ò Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ º ÓÖ ÔÓ Ø Ú Ñ ÙÖ Ð ÙÒØ ÓÒ v q x x, ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ µ E x e qτ v q X τ 1 {τ <τ } = v q x W q x W q vq, x. Ê Ñ Ö ¾º½º ÆÓØ Ø Ø µ ÑÔÐ Ú Ø Å Ö ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ ¾µ Ò Ø Ð Ó ÙÔÛ Ö ÙÑÔ Ø Ø Ø ÔÖÓ t e qt τ τ v q X t τ τ, P x ¹Ñ ÖØ Ò Ð ÓÖ ÐÐ x,º ÓÒÚ Ö ÐÝ Ø ÓÚ ÔÐ Ý ÔÖÓ P x ¹Ñ ÖØ Ò Ð ÓÖ x, Ø Ò Ý Ø Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ñ Ø t ÓÒ Ò ÓÛ Ø Ø µ Ø ÔÖÓÚ v q Ù ÒØÐÝ Ö ÙÐ Ö Ó Ø Ø Û Ø Ò Ó Ø ÜÔ Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ð Ñ Ø Ù Ø º ÓÖ q, Û Ò V q ØÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Ô ÓÒ Ø Ò Ó ÙÒØ ÓÒ v q x Ø Ø Ø Ý µ ÓÖ ÐÐ x Ò Ù Ø Ø x º Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÓÛ Ø Ø Ú Ö Ð ØÝÔ Ó ÙÒØ ÓÒ Ð Ò

8 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë V q º ÓÒ Ö Ö Ø Ø Ð ÙÒØ ÓÒ W q xº Ï Ú ÓÖ ÐÐ x Ý Ø ØÖÓÒ Å Ö ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ò ¾µ W q x W q =E x e qτ 1{τ =E x e qτ 1{τ <τ } <τ } = W q x W q E x = W q x W q E x E x E x e qτ 1{τ <τ <τ } Fτ e qτ E Xτ e qτ 1{τ <τ } e qτ W q X τ W q 1 {τ <τ }, 1 {τ <τ } ÖÓÑ Û Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø W q Ø µ Ò Ø Ù W q V q ÓÖ ÐÐ q, º Ý Ô Ø Ð ÓÑÓ Ò ØÝ Ø Ø Ò ÓÐÐÓÛ Ø Ø x W q x y Ð Ò V q ÓÖ ÐÐ q Ò y º Ä Ø ÒÓÛ ½¼µ v q x = E x e qτ fxτ 1 {τ < }, x R, ÓÖ ÓÑ Ñ ÙÖ Ð ÙÒØ ÓÒ f Ù Ø Ø v q x < º ÆÓØ Ø Ø v q x = fx ÓÖ x < º Ì Ò Û Ú ÓÖ x Ý Ù Ò Ø ØÖÓÒ Å Ö ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ v q x = E x E x e qτ ½½µ fxτ 1 {τ < } Fτ = E x e qτ v q X τ 1 {τ < } Ò Ø Ö ÓÖ Ò Ý Ø ØÖÓÒ Å Ö ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ò ¾µ Û Ú ÓÖ ÐÐ x v q x =E x e qτ v q X τ 1 {τ < } =E x e qτ v q X τ 1 {τ <τ } E x E x e qτ v q X τ 1 {τ <τ < } F τ =E x e qτ v q X τ 1 {τ <τ } E x e qτ 1{τ <τ } E e qτ v q X τ 1 {τ < } =E x e qτ v q X τ 1 {τ <τ } W q x W q E e qτ v q X τ 1 {τ < }. ÆÓÛ Ù Ò ½½µ ÓÖ x = ÓÖ Ø Ð Ø Ø ÖÑ ÓÒ Ø Ö Ø Ò Ó Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Û Ø Ø v q Ó Ø ÓÖÑ ½¼µ Ø µº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ f 1 v q Ó Ø ÓÖÑ ½¼µ Ð Ò V q ÓÖ ÐÐ q, º V q Ð Ò Ö Ô Ø ÓÐÐÓÛ Ú µ Ø Ø Û Ð Ó Ú ÓÖ ÐÐ q, Z q x = q Φq W q x E x e qτ 1{τ < } V q. Ì ÔÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÖÓÐÐ Ö Ò Ë Ø ÓÒ ½º½ Ò Ø Ò ÜØ Ð ÑÑ Ò Ø Û Ö Ø ÔÖÓ X Ô Ø Ó ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ Ù Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ ÓÖ Û Û Ò ØÓ ÒØÖÓ Ù ÕÙ Ò X n n 1 Ó Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº ÌÓ Ø Ò ÙÔÔÓ X Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Ú Ò Ô Ø Ó ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº

9 ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ Û Ø Ä ÚÝ ØÖ ÔÐ Ø γ,σ,πº ÓÖÑ ÓÖ n 1 Ø Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ X n = X n t t Û Ø Ä ÚÝ ØÖ ÔÐ Ø γ,,π n Û Ö Ý Π n dθ := 1 {θ 1/n} Πdθ σ 2 n 2 δ 1/n dθ, Û Ø δ 1/n dθ Ø Ò Ò ÓÖ Ø Ö ÔÓ ÒØ Ñ Ø 1/nº ÆÓØ Ø Ø X n Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ Û Ø Ø Ó¹ ÐÐ Ö Ø Ú Ò Ý d n := γ 1 1/n θπdθσ2 n 2 Û Ñ Ò Ø Ø d n Ñ Ý Ò Ø Ú ÓÖ Ñ ÐÐ nº Ì ÓÙ Û Ó Ú Ø Ø X n ØÖÙ Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ ÓÖ Ð Ö ÒÓÙ n Û ÐÐ Ø Ø Û Ò º Ý ÖØÓ Ò ¾ Ôº¾½¼ X n ÓÒÚ Ö ÐÑÓ Ø ÙÖ ÐÝ ØÓ X ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð º ÒÓØ Ý V,n q Ø ÙÒØ ÓÒ Ô V q ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ X n º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒº Ä ÑÑ ¾º½º Ä Ø q, Ò v q ÔÓ Ø Ú Ñ ÙÖ Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Rº Ú Ò Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ X ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÑÔØ ÓÒ µ Á X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ ÙÑ Ø Ø v q V q Ò ½¾µ e λz v q zdz <, ÓÖ λ Ð Ö ÒÓÙ º µ Á X Ô Ø Ó ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ ÙÑ Ø Ø v q ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò Ø Ø Ø Ö V,n q Ø Ý Ò ½¾µ Ù Ø Ø v n q ÓÒÚ Ö ØÓ v q Ü Ø ÕÙ Ò Ó ÙÒØ ÓÒ v n q ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ù Ø º º ½ µ sup n x x,x 1 v q n x vq x =, ÓÖ ÐÐ x < x 1, Ò Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ x Ø Ö Ü Ø K x > n 1 Ù Ø Ø ½ µ v q n x K x ÓÖ ÐÐ n n x x. Á µ ÓÖ µ ÓÐ Ø Ò Û Ú ÓÖ ÐÐ p Ò x, Ù Ø Ø x ½ µ E x e pτ v q X τ 1 {τ <τ } =v q x q p W p x yv q ydy W p x W p v q q p W p yv q ydy. ÈÖÓÓ º Ï Ö Ø ÔÖÓÚ Ò Ø Ö Ø Ô µ Ø Ð ÑÑ ÓÖ Ø Ø Ø X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ º º σ = Ò 1 θπdθ < º Ê ÐÐ Ø Ø d = γ 1 θπdθ > Ø Ö Ø Ó Xº

10 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ËØ Ô ½º Ï Ú Ý µ Ò µ ÓÖ x ½ µ v q x W q x W q vq =E x e qτ v q X τ 1 {τ <τ } = y, v q y θ Πdθ W q y W q W q x W q x y dy = v q y θ Πdθ W q y y, W q W q x dy v q y θ ΠdθW q x ydy, y, Û Ö Ý Ø ÔÐ ØØ Ò Ó Ø ÒØ Ö Ð Ò Ø Ð Ø Ð Ò ÔÓ Ð Ù ØÓ 1 θπdθ < º Ý ÔÙØØ Ò x = Ò ½ µ Ò Ö ÐÐ Ò W q = 1/d Û Ø ÓÖ ÐÐ ½ µ v q y θ ΠdθW q ydy = dw q v q v q. y, ËØ Ô ¾º Ä Ø λ > Ð Ö ÒÓÙ Ù Ø Ø Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó v q x Ü Ø ÓÖ λ > λ º ÓÒ Ø ÓÒ ½¾µº Ì Ò Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÓÒ ÓØ Ó ½ µ Ò Ù Ò ½µ Ð ØÓ ÓÖ λ > Φq λ ½ µ e λy v q y θ Πdθdy = dv q ψλ qe λ e λ v q d. y, Ä Ø p º Ì Ò Ù Ò ½ µ Û Ø ÓÖ λ > Φq Φp λ e λ v q y θ ΠdθW p ydyd y, = eλ ψλ p = eλ ψλ p dvq dv q ψλ qe λ ÆÓÛ Ý Ä ÔÐ ÒÚ Ö ÓÒ Û Ø ÓÖ ÐÐ ½ µ y, e λ v q d v q y θ ΠdθW p ydy = dv q W p v q q p e λ v q d q p ψλ p e λ v q d. W p yv q ydy.

11 ½¼ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ ËØ Ô º Ï ÒÓÛ Ý µ Ø Ø ÓÖ x E x e pτ v q X τ 1 {τ <τ } = y, v q y θ Πdθ À Ò Ù Ò ½ µ ØÛ Û Ø Ø Ö ÕÙ Ö ÒØ ØÝ E x e pτ v q X τ 1 {τ <τ } =v q x q p W p y W p W p x W p x y dy. W p x yv q ydy W p x W p v q q p W p yv q ydy. Ï ÒÓÛ ÔÖÓÚ Ø Ð ÑÑ ÓÖ Ø Ø Ø X Ô Ø Ó ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº À Ö Ý Û ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Ø Ø p > Ø p = Ò ÐØ Û Ø Ý Ø Ò Ð Ñ Ø p Ù Ò Ø Ø Ø Ø W p x ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò ÒÖ Ò º µµ Ò p º Ï ÒÓØ Ý W n p Ø p¹ Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ X n º ÙÖØ Ö Ð Ø τ,n = inf{t > : Xn t < }, τ,n = inf{t > : Xn t > }. Ì Ò Ò Û Ú ÔÖÓÚ Ø Ð ÑÑ ÓÖ Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ ¾¼µ E x e pτ,n v q n X n τ,n 1 {τ,n<τ,n } = v q n x q p W n p x W n p v q n q p W p n x yv q n ydy W n p yvq n ydy. Ï Ñ ØÓ ÔÖÓÚ ½ µ Ý Ø Ò Ð Ñ Ø n ÓÒ ÓØ Ó ¾¼µº Ý Ôº¾½¼ Ó ÖØÓ Ò ¾ X n ÓÒÚ Ö ÐÑÓ Ø ÙÖ ÐÝ ØÓ X ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð º º ÓÖ ÐÐ t > n sup s,t X n s X s = P x ¹ º º Ì ÑÔÐ Ø Ø ÓÖ ÒÝ t > P x ¹ º º τ,n t τ t, τ,n t τ t, Xn τ,n t X τ t Ò Ø Ù Ý ½ µ Û Ú ÓÖ ÒÝ t > P x ¹ º º ÓÖ ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ e pτ,n t v q n X n τ,n t 1 {τ,n t<τ,n t} epτ t v q X τ t 1 {τ t<τ t}. ¾½µ e pτ,n v q n X n τ,n 1 {τ,n<τ,n t} epτ v q X τ 1 {τ <τ t}. ÆÓØ Ø Ø P x ¹ º º ¾¾µ X n τ,n 1 {τ,n<τ,n }, X τ 1 {τ <τ },

12 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ½½ Û ÑÔÐ ÙÖØ Ö Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ e pτ,n v q n X n τ,n 1 {τ,n<τ,n } epτ v q X τ 1 {τ <τ } e pτ,n v q n Xn τ,n 1 {τ,n<τ,n } epτ,n v q n Xn τ,n 1 {τ,n<τ,n t} e pτ,n v q n Xn τ,n 1 {τ,n<τ,n t} epτ v q X τ 1 {τ <τ t} e pτ v q X τ 1 {τ <τ t} epτ v q X τ 1 {τ <τ } ¾ µ = e pτ,n v q n X n τ,n 1 {τ,n<τ,n }1 {t τ,n} e pτ,n v q n X n τ,n 1 {τ,n<τ,n t} epτ v q X τ 1 {τ <τ t} e pτ v q X τ 1 {τ <τ }1 {t τ } e 1 pt {t τ,n } sup v n q y 1 {t τ } sup v q y y y e pτ,n v q n Xn τ,n1 {τ,n <τ,n t} epτ v q X τ 1 {τ <τ t}. Ý ½ µ Ò ¾½µ Û Ò Ò Û ÙÑ p > µ Ö Ø ÓÓ t Ð Ö ÒÓÙ Ò Ø Ò ÓÓ n Ð Ö ØÓ Ñ Ø Ö Ø Ò Ó ¾ µ Ö ØÖ Ö ÐÝ Ñ ÐÐ Û Ñ Ò Ø Ø P x ¹ º º e pτ,n v q n Xn τ,n 1 {τ,n<τ,n } epτ v q X τ 1 {τ <τ }. Ý ¾¾µ Ò ½ µ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Û Ò Ø Ò ÓÒÐÙ Ø Ø E x e pτ,n v q n n X n τ,n 1 {τ,n<τ,n } = E x e pτ v q X τ 1 {τ <τ }. ÁØ Ö Ñ Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ø Ò Ó ¾¼µ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ö Ø Ò Ó ½ µº ÁØ Ò Ý Ü Ö ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ä ÔÐ ÜÔÓÒ ÒØ Ó X n ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ä ÔÐ ÜÔÓÒ ÒØ Ó X Û Ñ Ò Ú ½µ Ø Ø Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó W n p ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó W p º À Ò Ý Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ø ÓÖ Ñ Ó Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ º Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò Ë Ø ÓÒ ÁÁÁº½ µ W n p x W p x ÓÖ ÐÐ x Ò p º Í Ò Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø ½ µ ½ µ Ò Ø Ø Ø Ø Ð ÙÒØ ÓÒ Ö ÒÖ Ò Û Ù Ø Ø Ò Ø Ö Ø Ò Ó ¾¼µ ÓÒÚ Ö ØÓ Ø Ö Ø Ò Ó ½ µº Ä ÑÑ ¾º¾º Ì ÓÒÐÙ ÓÒ Ó Ä ÑÑ ¾º½ ÓÐ ÓÖ µ v q x = W q x ÓÖ ÒÝ q, µ v q x = Z q x ÓÖ ÒÝ q, Ò µ v q x = W q x y ÓÖ ÒÝ q Ò y º ÈÖÓÓ º ÆÓØ Ø Ø µ Û ÐÐ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ µ Ý Ô Ø Ð ÓÑÓ Ò ØÝ Ó Ä ÚÝ ÔÖÓ º ÓÖ µ Ò µ ÖÓÑ Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ò Ø ÒÒ Ò Ó Ë Ø ÓÒ ¾ Ò ½µ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ò Ä ÑÑ ¾º½ Ö Ð ÖÐÝ Ø Û Ò X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº Ï Ò X Ô Ø Ó ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ Û Ð Ø Ø ÙÒØ ÓÒ v q n V,n q Ò µ Ö Ô Ø Ú ÐÝ µ W n q n ydyº Ï Ú Ø q¹ Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ X n µ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Z n q x := 1q W q Ò Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾º½ Ø Ø W q n x ÓÒÚ Ö ØÓ W q x Ò Ò Ø q¹ Ð ÙÒØ ÓÒ

13 ½¾ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ ÒÖ Ò Ò ÔÓ Ø Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø ½ µ Ø Ò µº Ì ÑÔÐ ÙÖØ Ö Ý Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Z n q x ÓÒÚ Ö ØÓ Z q x Ò Z n q Ð Ó ÔÓ Ø Ú Ò ÒÖ Ò ½ µ Ð Ó Ø Ò µº Ï Ø Ö Ñ Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø ÓÒÚ Ö Ò Ó W n q ØÓ W q Ò Z n q ØÓ Z q ØÙ ÐÐÝ ÙÒ ÓÖÑ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ù Ø º Ë Ò x log W n q x ÓÒ Ú ÙÒØ ÓÒ º ½¼ Ôº µ Ò ÓÒÚ Ö ÔÓ ÒØÛ ØÓ log W q x Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø log W n q ÓÒÚ Ö ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ù Ø ØÓ log W q º ½¾ Ôº½ Ì ÓÖ Ñ º Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ ÐÓ ÐÐÝ Ä Ô ØÞ Ø Ø Ò Ý ØÓ ÓÛ Ø Ø Ð Ó W n q ÓÒÚ Ö ØÓ W q ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ù Ø º ÁØ Ø Ò ÐÝ ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ð Ó Z n q ÓÒÚ Ö ØÓ Z q ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ù Ø º Ê Ñ Ö ¾º¾º Ì ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾º½ Ò Ø ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ Ù Ú ÖÝ Ñ Ð Ö Ø Ô Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ò º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ñ Ø ÓÒÒ Ø ÓÒ Ð Ö ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ö ÙÐØ Ð Ø Ù Ö ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ð Ø Ò Ó ½ µ Ò Ö ÒØ ØØ Ò º Ä Ø Y Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Û Ø Ä ÚÝ ØÖ ÔÐ Ø γ,σ,π Ò ÐÐ Ò Ö Ø p Û Ñ Ò Ø Ø Y Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ ÐÐ Ø Ò Ò Ô Ò ÒØ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ ÑÓÙÒØ Ó Ø Ñ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö pº ÙÖØ Ö Ð Ø Z ÒÓØ Ö Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Û Ø Ä ÚÝ ØÖ ÔÐ Ø γ,σ,π Ò ÐÐ Ò Ö Ø q º Ò Ø Ö Ø Ô Ø Ñ τ = inf{t > : Y t < }, τ = inf{t > : Y t > }, κ = inf{t > : Z t < }, κ = inf{t > : Z t > }. Ò ÒÓØ Ý W Y Ø Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ØÓ Y Û Ò Ø p¹ Ð ÙÒØ ÓÒ W p ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø ÙÒ ÐÐ Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Û Ø Ä ÚÝ ØÖ ÔÐ Ø γ,σ,πº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ò W Z º Ð Ó Ð Ø v ÔÓ Ø Ú Ñ ÙÖ Ð ÙÒØ ÓÒ Ø Ý Ò E x vz κ 1 {κ <κ } = vx W Zx W Z v. Ì Ò Ä ÑÑ ¾º½ ÔÖÓÚ ÙÒ Ö ÓÑ Ø ÓÒ Ð Ö ÙÐ Ö ØÝ ÙÑÔØ ÓÒ ÓÒ v Ò ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ Ø ÕÙ ÒØ ØÝ ¾ µ E x vy τ 1 {τ <τ } Ò Ø Û Ö γ = γ σ = σ Ò Π = Π º º ÓÒÐÝ Ø ÐÐ Ò Ö Ø Öµ Û Ö ÃÝÔÖ ÒÓÙ Ò ÄÓ Ò Ì ÓÖ Ñ ½ ÔÖÓÚ Ñ Ð Ö¹ÐÓÓ Ò ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ ¾ µ Û Ø v = W Z Ò Ø Û Ö σ = σ Π = Π Ò p = q º º ÓÒÐÝ Ø Ö Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø Ä ÚÝ ØÖ ÔÐ Ø Öµº º ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ï Ö Ø ÔÖÓÚ Ø Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Û Ö X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº Ü < Ò p,q º ÓÖ x c Ò wx = E x e pτ q R τ 1, X sds ;τ < τ c.

14 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ½ Í Ò Ø ØÖÓÒ Å Ö ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó X Ø Ø Ø Ø X Ô¹ Ö ÙÔÛ Ö Ò ¾µ Ò µ Û Ò ÛÖ Ø ÓÖ x < wx =E x e pτ ;τ < τ we x e pτ ;τ < τ =Z p w Z p ¾ µ x W p W p x. Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ x < Ù Ò ¾ µ Û Ú wx =we x e pqτ ;τ < τ E x e pqτ w X τ ;τ < τ =w W pq x W pq E x e pqτ Z p X τ ;τ < τ ¾ µ w Z p W p Ë Ò ÓÒ Ò ÓÛ Ý Ø Ð ÑÑ Ò Ë Ø ÓÒ ¾ Ø Ø ¾ µ E x e pqτ W p X τ ;τ < τ Ò E x e pqτ Z p X τ ;τ < τ E x e pqτ W p X τ ;τ < τ. = W p,q x W pq x W pq Wp,q = Z p,q x W pq x W pq Zp,q, Û Ø ÓÖ x < ¾ µ wx = W pq x W pq w Z p,q w Z p W p =E x e pτ W pq X τ E x e pτ Z p,q ;τ < τ c Z p,q x W p,q w Z p W p W p,q x. Ê ÐÐ Ò µ ÓÒ ÐÝ Ø Ø ¾ µ Ð Ó ÓÐ ÓÖ x < º Ò ÐÐÝ ÓÖ x c Û Ú Ù Ò ¾ µ wx =E x e pτ w X τ ;τ < τ c w Z p,q wz p W p,q W p ¾ µ ¼µ w Z p W p X τ ;τ < τ c E x e pτ W p,q X τ ;τ < τ c W pq.

15 ½ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ Ý Ø Ð ÑÑ Ò Ë Ø ÓÒ ¾ Ò Ù Ò ³ Ø ÓÖ Ñ Û Ú ½µ E x e pτ W p,q Ò Ñ Ð ÖÐÝ E x e pτ Z p,q ¾µ X τ ;τ < τ c =E x e pτ W pq X τ q =W pq x q q ;τ < τ c W p ye x e pτ W pq X τ W p y W p x yw pq ydy W p x W p W pq c q c { W p x W p c =W p,q x q W p x W p c X τ c W pq x y q W pq c y q ;τ < τ c =Z pq x q y ;τ < τ c dy W p c yw pq ydy c W p x zw p,q zdz W p,q c q c W p x yz pq ydy W p x W p Z pq c q c { q Z p y W p x W p c =Z p,q x q W p x W p c c W pq x y q W pq c y q W p x zw pq z ydz W p c zw pq z ydz } dy W p c zw p,q zdz W p c yz pq ydy c W p x zz p,q zdz Z p,q c q c W p x zw pq z ydz W p c zw pq z ydz } dy W p c zz p,q zdz. ÐÐ Ð Ø ØÓ Ó Ø Ò Ö Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ w Ò wº ÁØ Ö Ø Ø Û Ò Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº Ë ØØ Ò x = Ò ¾ µ Ù Ò Ø Ø W q

16 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ½ Ù X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ Ò ÒÓØ Ò Ø Ø º µµ Ð ØÓ W p,q = W p Ò Z p,q = Z p, w Z p,q W p,q = w Zp W p. Í Ò Ø ÓÚ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ò ¾ µ Ò ØÛ Ò ¾ µ µ wx = E x e pτ Z p,q X τ ;τ < τ c w Z p,q E x e pτ W p,q W p,q ÓÖ x cº Ë ØØ Ò x = Ò µ Ò Ù Ò ½µ Ò ¾µ Ø Ò Ý Ð µ w =Z p,q W p W p c W p,q W p W p c ËÓÐÚ Ò µ ÓÖ w Ð ØÓ Z p,q c q c W p,q c q X τ W p c zz p,q zdz c W p c zw p,q zdz. ;τ < τ c w Z p,q W p,q, w = Z p,q Zp,q c q c W p c zz p,q zdz W p,q c q c W p c zw p,q zdz Wp,q. ÈÐÙ Ò Ø ÒØÓ µ Ù Ò ½µ¹ ¾µ Ò ÐÐ Ò ÓÙØ Û Ø ÖÑ Ò Ö ÖÖ Ò Ò Û Ø ÓÖ ÐÐ x c wx = Z p,q x q W p x zz p,q zdz Zp,q c q c W p c zz p,q zdz x W p,q c q c W p c zw p,q W p,q x q W p x zw p,q zdz, zdz Û ÔÖÓÚ Ì ÓÖ Ñ ½ Û Ò X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº ÆÓÛ Û ÙÑ Ø Ø X Ô Ø Ó ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº Ï ÙÑ Ö Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Ø Ø p > Ø ÓÙÒ ÖÝ p = Ò ÐØ Û Ø Ý Ø Ò Ð Ñ Ø p º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÔÖÓÚ Ø Û Ù Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ä ÑÑ ¾º½º Í Ò Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ø Ø ÔÖÓÓ Û Ú Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Ò ÔÖÓÚ ÓÖ Ø Û Ö Ø Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ µ E x e pτ,n q R τ,n 1, X n s ds ;τ,n < τ c,n Zp,q,n c q c W n p c zz,n p,q zdz W,n p,q c q c W n p c zw,n p,q zdz = Z p,q,n x q W p,q,n x q W p n x zz p,q,n zdz W n p x zw,n p,q zdz,

17 ½ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ Û Ö W p,q,n Z p,q pq x :=W x q,n x :=Z n pq x q n W n pq x yw n p ydy, W n pq x yz n p ydy. X n ÓÒÚ Ö P x ¹ ÐÑÓ Ø ÙÖ ÐÝ ØÓ X ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒ ÓÑÔ Ø Ø Ñ ÒØ ÖÚ Ð Û Ú Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ ¾½µ ÓÖ ÐÐ t > P x ¹ º º e pτ,n q R τ,n 1, Xs nds 1 {τ,n <τ c,n t} epτ q R τ 1, X sds 1 {τ <τ c t}. ÙÖØ Ö ÓÒ Ò ÓÛ Ñ Ð ÖÐÝ ØÓ ¾ µ epτ,n q R τ,n 1, Xs nds 1 {τ,n <τ c,n} epτ q R τ 1, X sds 1 {τ <τ c } 2e pt R τ,n 1, Xs nds 1 {τ,n <τ c,n t} epτ q R τ 1, X sds 1 {τ epτ,n q Û Ý Ð Ù p > µ e pτ,n q R τ,n 1, Xs nds 1 {τ,n <τ c,n} epτ q R τ 1, X sds 1 {τ <τ c }. <τ c t} Ì Ù Ý Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø Ð Ø Ò Ó µ ÓÒÚ Ö n ØÓ E x e pτ q R τ 1, X sds ;τ < τ c. ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Û Ú Ò Ø Ø W n q x Ò Z n q x ÓÒÚ Ö ØÓ W q x Ò Z q x Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÓÖ ÐÐ q Ò Ò W n q x,z n q x Ö ÒÖ Ò ÔÓ Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ý Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ø Ø W,n p,q x W p,q x Ò Z,n p,q x Z p,q x ÓÖ ÒÝ xº Ë Ò W,n p,q x, Z,n p,q x Ö Ð Ó ÒÖ Ò ÔÓ Ø Ú ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ò ÓÐÐÓÛ Ý Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ø Ö Ø Ò Ó µ ÓÒÚ Ö ØÓ Z p,q x q W p x zz p,q zdz Zp,q c q c W p c zz p,q zdz x W p,q c q c W p c zw p,q W p,q x q W p x zw p,q zdz. zdz Ì ÔÖÓÚ Ì ÓÖ Ñ ½ Ð Ó ÓÖ Ø Ø Ø X Ô Ø Ó ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº º ÈÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ Ì ÔÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ Ú ÖÝ Ñ Ð Ö ØÓ Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º Ï Ö Ø ÔÖÓÚ Ø Ò Ø Û Ö X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº Ü < c Ò p,q º ÓÖ x c Ò wx = E x e pτ c q R τ c I, X sds ;τ c < τ.,

18 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ½ Í Ò Ø ØÖÓÒ Å Ö ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó X Ø Ø Ø Ø X Ô¹ Ö ÙÔÛ Ö Ò ¾µ Û Ò ÛÖ Ø ÓÖ x < µ wx = we x e pτ ;τ < τ Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ x < Ù Ò µ Ò ¾ µ Û Ú wx =we x e pqτ ;τ < τ µ =w W pq x W pq =w W pq x W pq E x e pqτ w w W p E x w W p = w W p x W p. X τ ;τ < τ e pqτ W p X τ ;τ < τ W pq Wp,q W p,q x W pq x ÆÓØ Ø Ø Ú µ ÓÒ Ò ÐÝ ÓÛ Ø Ø µ ÓÐ Ð Ó ÓÖ x < º Ò ÐÐÝ ÓÖ x c Û Ú wx =E x e pτ c ;τ c < τ E x e pτ w ;τ < τ c µ w W p Wp,q = W p x w W p c W pq w W p E x e pτ W p,q X τ X τ E x e pτ W pq X τ ;τ < τ c. ;τ < τ c Ï Ò ØÓ Ó Ø Ò Ø ÜÔÖ ÓÒ ÓÖ w Ò wº Û ÙÑ Ø Ø X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ Û Ú W q Ò Ø Ù ØØ Ò x = Ò µ Ý Ð w W p,q = w W p. ÈÐÙ Ò Ø ÒØÓ µ Ò µ Ù Ò ½µ Ý Ð. µ wx =w Wp,q x W p,q, x <, wx = W p x W p c W p x W p c w W p,q { W p,q c q W p,q x q c W p x zw p,q zdz W p c zw p,q zdz }, x c. Ë ØØ Ò x = Ò µ Ú Ù w = W p,q W p,q c q c W p c zw p,q zdz

19 ½ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ Ò ÔÐÙ Ò Ø ÒØÓ µ Ð ØÓ wx = Wp,q x q W p,q W p x zw p,q zdz c q c W p c zw p,q zdz, ÓÖ ÐÐ x cº Ì ÔÖÓÚ Ì ÓÖ Ñ ¾ Û Ò X Ô Ø Ó ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒº Ì Û Ö X Ô Ø Ó ÙÒ ÓÙÒ Ú Ö Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ Ù Ò Ø Ñ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º º ÈÖÓÓ Ó ÓÖÓÐÐ Ö Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø ÓÖÓÐÐ Ö ÓÒÐÝ ÓÖ p > Ò q > º Ì Û Ö p = ÓÖ q = Ø Ò ÓÐÐÓÛ Ý Ø Ò Ð Ñ Ø p ÓÖ q º ÓÖ Ø ÔÖÓÓ Û Û ÐÐ Ñ ÚÝ Ù Ó Ø Ø Ø Ø º Ä ÑÑ º µ Ø Ð ÙÒØ ÓÒ Ò ÛÖ ØØ Ò ÓÖ q,x ¼µ W q x = e Φqx W Φq x, Û Ö W Φq x Ø ¼¹ Ð ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Û Ø Ä ÔÐ ÜÔÓÒ ÒØ ψ Φq θ := ψφq θ qº ÙÖØ Ö º º µ W Φq : x W Φqx = 1 ψ Φq = 1 ψ Φq, Û ÑÔÐ Ø Ø W Φq < Ü ÔØ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ q = Ò ψ = º º½º ÈÖÓÓ Ó ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º µº Ì Ò Ð Ñ Ø c Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Û Ø Ø Û Ò ØÓ ÓÛ ½µ Z p,q c q c W p c zz p,q zdz W p,q c q c W p c zw p,q zdz = p Φp q ydy 1 q eφpy W p,q ydy. eφpy Z p,q Í Ò µ Ò ¼µ Ø ÓÐÐÓÛ Ý Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ö ÐÐ Ò Ø Ø Û ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ p > µ W p,q c q c Ò Ñ Ð ÖÐÝ Ù Ò Ð Ó Ü Ö º µ ÆÓÛ ½µ ÓÐÐÓÛ º ¾µ Z p,q c q c W p c zw p,q zdz W p = 1 q c W p c zz p,q zdz W p c = p Φp q e Φpy W p,q ydy e Φpy Z p,q ydy. µº Ë ØØ Ò = c Ò Ø Ò Ð Ñ Ø c Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Û Ø Ø Û Ò ØÓ ÓÛ Z p,q c W p,q c = pq Φpq q eφpqy Z p ydy 1 q eφpqy W p. ydy

20 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ½ Ê ÐÐ Ò µ Ò ¼µ Ø ÓÐÐÓÛ Ý Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ö ÐÐ Ò Ø Ø Û ÙÑ Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ p,q > µ W p,q c W pq c = 1 q Ò Ñ Ð ÖÐÝ Ù Ò Ò Ü Ö º µ ÆÓÛ ¾µ ÓÐÐÓÛ º Z p,q c W pq c = p q Φp q q e Φpqy W p ydy e Φpqy Z p ydy. º¾º ÈÖÓÓ Ó ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º µº Í Ò Ô Ø Ð ÓÑÓ Ò ØÝ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÖ Ù ÒØÐÝ Ð Ö m E x e pτ c q R τ c 1, X sds ;τ c < m E x m E xm e pτ c q R τ c 1, X sds ;τ c < τm e pτ cm q R τ cm 1 m,m X sds ;τ cm < τ W p,q m x m q m m W p x m zw p,q m zdz m W p,q m c m q cm m W p c m zw p,q m zdz W p,q m x m q W p x yw p,q m y mdy m W p,q m c m q c W p c yw p,q m y mdy = Hp,q x q W p x yh p,q y dy H p,q c q c W p c yh p,q y dy, Û Ö Ø Ð Ø Ð Ò ÓÐÐÓÛ Ý Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ ÒÓØ Ò Ø Ø H p,q Ò ÒÖ Ò ÙÒØ ÓÒµ Ò m W p,q m x m W p x m q W p W pq x yw p y mdy m m W p m =e Φpx q =e Φp H p,q x, W pq x ye Φpy dy Û ÓÐÐÓÛ Ý Ò Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ¼µº

21 ¾¼ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ µº Í Ò Ô Ø Ð ÓÑÓ Ò ØÝ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ E x e pτ c q R τ c 1, X sds ;τ c < Û Ö Ø Ð Ø ÕÙ Ð ØÝ Ù ØÓ m E x m E xm e pτ c q R τ c 1 m, X sds ;τ c < τm e pτ cm q R τ cm 1,m X sds ;τ cm < τ W pq x m q m m W p x m zw pq zdz m W pq c m q cm m W p c m zw pq zdz W pq x m q W p x yw pq y mdy m W pq c m q c W p c yw pq y mdy e Φpqx 1 q = e Φpqy W p ydy e Φpqc 1 q, c e Φpqy W p ydy W pq x m q W p x yw pq y mdy m W pq m = e Φpqx q Û ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ¼µº W p x ye Φpqy dy, º º ÈÖÓÓ Ó ÓÖÓÐÐ ÖÝ º µº ÙÑ ψ > Û ÑÔÐ Φ = º Ì Ò Ò τ c < ÐÑÓ Ø ÙÖ ÐÝ Û Ø Ù Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ µ Û Ø p = ÒÓØ Ò Ø Ø H,q x = Z q x E x e q R 1,X sds E x e q R τ c 1, X sds ;τ c < Z q x q Wx yzq y dy Z q c q c Wc yzq y dy. Í Ò µ Û Ù Ù Ò Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ c Z q c q Wc yz q y dy 1 q Û ÔÖÓÚ ÓÖÓÐÐ ÖÝ µº =1 qw =1 q ψ Wc yz q y dy Z q y dy Z q ydy,

22 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ¾½ µº Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ Ô ÖØ µ Û Ú ÒÓÛ Ù Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ µ Û Ø p = E x e q R 1,X sds E x e q R τ c 1, X sds ;τ c < ÙÖØ Ö Ù Ò ½µ Ò Ð³ÀÔ Ø Ð³ ÖÙÐ Hq,q c Û ÔÖÓÚ ÓÖÓÐÐ ÖÝ µº H q,q x H q,q c. e Φqc q = qw Φq q = ψ Φq, 1 q c c eφqy Wydy e Φqc e Φqy Wydy µº ÙÑ ψ < Û ÑÔÐ Φ > º Ì Ò Ò τm < ÐÑÓ Ø ÙÖ ÐÝ ÓÖ ÒÝ m > Û Ø Ù Ò Ô Ø Ð ÓÑÓ Ò ØÝ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ µ ÓÖ p = Ò Ù ÒØÐÝ Ð Ö m E x e q R 1,X sds E x e q R τ m 1, X sds ;τ m m < E xm e q R τ 1 m,m X sds ;τ m < =Z q x q m W,q W x yz q y dy e Φm qe Φ e Φy Z q ydy 1 e Φm q eφz W,q m z mdz m x m q W x zw,q m z mdz. ÆÓØ Ø Ø Ò Ø ÓÚ Û Ù Ø Ø Z,q x = Z q x º ÆÓÛ Û Ú Ý Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ¼µ µ m W,q m x m Wx m q W q x ywy mdy Wm m Wm =e Φx q =e Φ H,q x W q x ye Φy dy

23 ¾¾ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ Ò Ø Ù Ð Ó e Φm q m eφz W,q m Wm z mdz 1 = W Φ q =ψ Φ q ÓÑ Ò Ò ÐÐ Ø Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ú Ù ÓÖÓÐÐ ÖÝ µº Z,q e Φz e Φ H,q z dz e Φy H,q ydy. Úµº Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÓÖ Ô ÖØ µ Û Ú ÒÓÛ Ù Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ µ Û Ø p = Ò ÒÓØ Ò Ø Ø x = Z q x E x e q R 1, X sds E x e q R τ m 1, X sds ;τ m m < m E xm e q R τ 1 m, X sds ;τ < q =Z q Φq x q m e Φqy dy m 1 q m e Φqy Wydy W,q m x m =Z q x e Φ H,q x m Û Ö Ò Ø Ð Ø Ð Ò Û Ù ½µ Ò µº Ý ¼µ Ò Ð³ÀÔ Ø Ð³ ÖÙÐ m Wm 1 Φq eφqm m eφqy Wydy =W Φ e Φq Φq = Φq Φ e Φ Φq m Wm 1 Φq eφqm m eφqy Wydy, e ΦqΦm m eφqφy W Φ ydy Ò Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÔÖ Ú ÓÙ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ø ÔÖÓÚ ÓÖÓÐÐ ÖÝ Úµº º ÔÔÐ Ø ÓÒ º½º È ÖÔ ØÙ Ð ÓÙ Ð ÒÓ ¹ÓÙØ ÓÖÖ ÓÖ ÓÔØ ÓÒ Ò Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ô ØÖ ÐÐÝ Ò ¹ Ø Ú Ä ÚÝ ÑÓ Ðº Ï ÙÑ Ø Ø Ø ÔÖ ÔÖÓ Ó Ò ÙÒ ÖÐÝ Ò ÙÖ ØÝ Ú Ò Ý e Xt t ÙÒ Ö Ø Ö ¹Ò ÙØÖ Ð Ñ ÙÖ Pº ÓÖ Ø ÑÓ Ð Û ÒÐÙ Ø Ð ¹Ë ÓÐ ÑÓ Ðµ Û ÛÓÙÐ Ð ØÓ ÔÖ Ó¹ ÐÐ ÙÖÓÔ Òµ Ô ÖÔ ØÙ Ð ÓÙ Ð ÒÓ ¹ÓÙØ ÓÖÖ ÓÖ ÓÔ¹ Ø ÓÒº ÁÒ ÓÖÖ ÓÖ ÓÔØ ÓÒ º º È ØÐ ½½ µ Ø Ô ÝÓ ÙÒØ ÓÒ Ø ÑÓÙÒØ Ó Ø Ñ Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ô Ò Ò Ú Ò ÒØ ÖÚ Ð Ø Ó¹ ÐÐ ÓÖÖ ÓÖº ÓÖ ÓÙÖ ÓÔØ ÓÒ Û ÒÐÙ Ø ØÙÖ Ñ Ð Ö ØÓ ÖÖ Ö ÓÔØ ÓÒ Ø Ø Ø ÓÔØ ÓÒ ÜÔ Ö Û Ò Ø ÔÖ ÔÖÓ Ð Ú ÔÖ ¹ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÖÚ Ðº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ÙÑ Ø Ø Ø ÓÖÖ ÓÖ Ú Ò Ý e,e Ò Ø ÓÔØ ÓÒ Ø ÒÓ ÓÙØ Û Ò Ø ÔÖ ÔÖÓ Ð Ú Ø ÒØ ÖÚ Ð e,e c Û Ø < c < Ø Ò Ø ÔÖ Ó Ø ÓÔØ ÓÒ ÕÙ Ð V x := E x e pτ τ c τ τ c 1, X s ds,

24 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ¾ Û Ö p Ø Ö ¹ Ö ÒØ Ö Ø Ö Ø Ò e x Ø Ò Ø Ð ÔÖ Ó Ø ÙÖ Øݺ ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ ½ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Û Ù Ø Û Ø Ò Ö Ú Ø Ú Ò ÜÔ Ø Ø ÓÒµ Û Ú ÓÖ x,c V x =E x e pτ = d dq = d dq τ E x q= q= 1, X s ds;τ < τ c e pτ q R τ Z p,q x q E x 1, X sds ;τ < τ c e pτ c W p x zz p,q zdz Wp,q x q W p x zw p,q zdz W p,q c q c W p c zw p,q zdz Z p,q c q c W p c zz p,q zdz 1. τ c 1, X s ds;τ c < τ E x e pτ c q R τ c 1, X sds ;τ c < τ ÖÓÑ µ Û Ù Û Ø ÐÔ Ó Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ d W pq x dq W pq x W p x x = W p x yw p ydy q= q q Ò Ø Ù Ù Ò µ Ò Ò Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ Ò ÒÓØ Ò Ø Ø W p z = ÓÖ z < d W p,q x q W p x zw p,q zdz dq q= Ò d dq Z p,q x q = = W p x zz p,q = = W p x yw p ydy W p x yw p ydy zdz q= W p x yz p ydy W p x yz p ydy. W p x yw p, ydy W p x yz p, ydy À Ò Ù Ò ÐÐ Ó Ø ÓÚ Û Ø Ò Ø Ò V x = Z p y Zp c 1 W p W p W p x µ y c W p c W p c y W p x y dy.

25 ¾ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ Ì ÒØ ØÝ µ Ò Ð Ó Ö Ú ÓÐÐÓÛ º Í Ò Ù Ò ³ Ø ÓÖ Ñ Ò Ø Å Ö ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØÝ Û Ø V x = = = = = t e pt P x τ τ c dt,x s, ds e pt P x τ τ c dt,x s, ds s E x e pt P x τ τ c dt,s < τ τ c,x s, F s ds E x e ps 1 {s<τ τ c,x s,} e pt P Xs τ τ c dt ds E y e pτ τ c e ps P x s < τ τ c,x s dyds. ÆÓÛ µ ÓÐÐÓÛ Ù Ò ¾µ Ò µ ØÓ Ø Ö Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓÛÒ ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ñ ÙÖ Ó X ÐÐ ÓÒ Ü Ø Ò,c e ps P x s < τ W p x τ c,x s dyds = W p c W p c y W p x y dy, º º Ì ÓÖ Ñ º º Í Ò Ø ÓÚ Ñ Ø Ó Û Ò Ó ÓÙÖ Ð Ó ÔÖ ÓÖÖ ÓÖ ÓÔØ ÓÒ Û Ø Ò Ð ÒÓ ¹ÓÙØ ØÙÖ ÓÖ Û Ø Ø ÓÖÖ ÓÖ Ò Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó Ò Ò Ø Ð Ò Ø º º¾º ÈÖÓ Ð ØÝ Ó Ò ÖÙÔØÝ ÓÖ Ò ÇÑ Ä ÚÝ Ö ÔÖÓ º ÇÙÖ Ö ÙÐØ Ò Ð Ó ÔÔÐ ØÓ Ø Ó¹ ÐÐ ÇÑ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÑ Ô Ö Ø ÙÒØ ÓÒ µ ÒØÖÓ Ù Ò ½ Ò ÙÖØ Ö ÒÚ Ø Ø Ò º ÁÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ò Ù ÑÓ Ð Ò ÖÙÔØÝ Ò Ø Ó ÖÙ Òµ ÓÙÖ Ø Ö Ø ωx Û Ò Ø ÙÖÔÐÙ ÔÖÓ X = X s s Ø Ð Ú Ð xº ÌÓ ÑÓÖ ÔÖ Ú Ò Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ω : R, Ø Ò ÖÙÔØÝ Ø Ñ T ω Ò Ò T ω = inf{t > : t ωx s ds > e 1 }, Û Ö e 1 Ò Ò Ô Ò ÒØ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ØÖ ÙØ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö ½º ÌÝÔ¹ ÐÐÝ Ø Ö Ø ÙÒØ ÓÒ ω Ó Ò ØÓ Ö Ò ÙÒØ ÓÒ ÕÙ ÐÐ Ò Þ ÖÓ ÓÒ Ø ÔÓ Ø Ú Ð Ð Ò Ó Ø Ø Ò ÖÙÔØÝ Ó ÒÓØ ÓÙÖ Û Ò Ø ÙÖÔÐÙ ÔÓ Ø Ú º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÓÒÒ Ø Û Ø Ø Ö ÙÐØ Ò Ë Ø ÓÒ ½º½ Û ÓÓ ÓÖ ÓÑ,q > Ø Ò ÖÙÔØÝ Ö Ø x, ωx = q x <, x <. Ì Ò Ò ÖÙÔØÝ ÓÙÖ Ø Ö Ø q Û Ò X ØÛ Ò Ò Ò Ò ÖÙÔØÝ ÓÙÖ Ñ¹ Ñ Ø ÐÝ Û Ò X ÐÓÛ Ð Ú Ð º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø ÔÓ Ø Ú ÐÓ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ º º EX 1 = ψ > Ø ÑÔÐ Ø Ø Ò ÖÙÔØÝ Ó ÒÓØ ÔÔ Ò ÐÑÓ Ø ÙÖ Ðݺ Ì Ò ÓÖ ÒÝ

26 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ¾ x R Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ò ÖÙÔØÝ Ò Ú Ö ÓÙÖ P x T ω = =P x ωx s ds e 1 =E x e R ωxsds =E x e q R 1,X sds ;τ =. À Ò Ý Ô Ø Ð ÓÑÓ Ò ØÝ Ì ÓÖ Ñ ¾ µ Ò ¼µ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ø ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ø ÓÖ Ñ P x T ω = E x e q R τ c 1, X sds ;τ c < τ E x e q R τ c 1, X sds ;τ c < τ W q x x q Wx zw q zdz W q c q c Wc zw q zdz Wx q Wx zw q zdz Wc q Wc zw q zdz = Wx q Wx zw q zdz 1 ψ q ψ W q zdz =ψ Wx q Wx zw q zdz Z q. Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ò ÖÙÔØÝ ÓÙÖ Ù ØÓ Ø ÙÖÔÐÙ ÔÖÓ ÖÓÔÔ Ò ÐÓÛ Ø Ð Ú Ð Ú Ò Ý P x X Tω <,T ω < =P x τ =E x =E x e q R τ ωx s ds e 1,τ < 1, X sds ;τ < e q R τ 1, X sds ;τ <,

27 ¾ ÄÇ Æ Ê Æ Í Æ ÀÇÍ Û Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ Ò µ ÕÙ Ð P x X Tω <,T ω < =Z q x q Wx zz q zdz ψ q Zq ydy 1 q W W q x q q ydy =1 q Wx zz q zdz ψ q Zq ydy Z q Wx q x Wx zw q zdz Wx zw q zdz. ÁÒ Ø ÓÒ Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ø Ø Ò ÖÙÔØÝ ÓÙÖ Û Ð Ø ÙÖÔÐÙ ØÛ Ò Ò P x X Tω <,T ω < =1 P x T ω = P x X Tω <,T ω < = q Wx zz q zdz q Zq ydy Z q Wx q º ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Wx zw q zdz. ÙÒ Ò Ò ÙÔÔÓÖØ Ó Ø ÛÓÖ Û ÔÖÓÚ Ý Ø Æ ØÙÖ Ð Ë Ò Ò Ò Ò Ö Ò Ê ¹ Ö ÓÙÒ Ð Ó Ò ÆË Ê µº º¹ º Ê Ò Ù Ð Ó ÒÓÛÐ Ò Ò Ð ÙÔÔÓÖØ ÖÓÑ Ø ÓÒ Ö Ö Ù ÉÙ ¹ Æ ØÙÖ Ø Ø ÒÓÐÓ ÊÉÆ̵ Ò Ø ÁÒ Ø ØÙØ Ò Ò Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÅÓÒØÖ Ð Á žµº Ê Ö Ò ½ Àº Ð Ö Ö Àº Ö Ö Ò º Ë Ù Ì ÓÔØ Ñ Ð Ú Ò ÖÖ Ö Ò Ø ÑÑ ¹ÇÑ ÑÓ Ð ÙÖÓÔ Ò ØÙ Ö Ð ÂÓÙÖÒ Ð ½ ¾¼½½µ ÒÓº ½ ¹ º ¾ º ÖØÓ Ò Ä ÚÝ ÔÖÓ Ñ Ö ÌÖ Ø Ò Å Ø Ñ Ø ÚÓк ½¾½ Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ñ¹ Ö ½ º Ϻ ÐÐ Ö Ò ÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖÝ Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÎÓк ÁÁº Ë ÓÒ Ø ÓÒ ÂÓ Ò Ï Ð Ý ² ËÓÒ ÁÒº Æ Û ÓÖ ½ ½º Àº Ö Ö º Ë Ù Ò Àº Ò Ì ÇÑ ÑÓ Ð ÖÓÑ Ò ÖÙÔØÝ ØÓ ÓÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ò Ø Ö ¾¼½¾º ÌÓ ÔÔ Ö Ò ÙÖÓÔ Ò ØÙ Ö Ð ÂÓÙÖÒ Ðº º ÃÙÞÒ Ø ÓÚ º º ÃÝÔÖ ÒÓÙ Ò Îº Ê Ú ÖÓ Ì Ø ÓÖÝ Ó Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ ¾¼½¾º ÌÓ ÔÔ Ö Ò Ä ÚÝ Å ØØ Ö ËÔÖ Ò Ö Ä ØÙÖ ÆÓØ Ò Å Ø Ñ Ø º º º ÃÝÔÖ ÒÓÙ ÁÒØÖÓ ÙØÓÖÝ Ð ØÙÖ ÓÒ ÙØÙ Ø ÓÒ Ó Ä ÚÝ ÔÖÓ Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø ÜØ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÖÐ Ò ¾¼¼ º º º ÃÝÔÖ ÒÓÙ Ò Êº ĺ ÄÓ Ò Ê Ö Ø Ä ÚÝ ÔÖÓ ÒÒº ÁÒ Øº À ÒÖ ÈÓ Ò Ö ÈÖÓ º ËØ Øº ¾¼½¼µ ÒÓº ½ ¾ º º º ÃÝÔÖ ÒÓ٠º º È Ö Ó Ò ÂºÄº È Ö Þ ÇÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ó Ö Ö Ø Ä ÚÝ ÔÖÓ ¾¼½¾º Ö Ú ½¾¼ º¼ Ú½ Ñ Ø ºÈÊ º º Ä Ò Ö ÙÐØ Âº¹ º Ê Ò Ù Ò º ÓÙ ÇÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ó Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Û Ø Ô¹ ÔÐ Ø ÓÒ ËØÓ Ø ÈÖÓ º ÔÔк ½¾½ ¾¼½½µ ÒÓº ½½ ¾ ¾ ¾ ½º

28 Ç ÍÈ ÌÁÇÆ ÌÁÅ Ë Ç Ä Î ÈÊÇ ËË Ë ¾ ½¼ ʺ ĺ ÄÓ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ú Ò ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø ÖÑ Ò Ð Ú ÐÙ ÓÖ Ô ØÖ ÐÐÝ Ò Ø Ú Ä ÚÝ ÔÖÓ Û Ø ÓÑÔÐ Ø ÐÝ ÑÓÒÓØÓÒ ÙÑÔ Ò ØÝ Âº ÔÔк ÈÖÓ º ¾¼¼ µ ÒÓº ½ º ½½ º È ØÐ ËÓÑ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÓÙÔ Ø ÓÒ Ø Ñ Ó ÖÓÛÒ Ò ÑÓØ ÓÒ Û Ø Ö Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð Ò Ò Âº ÔÔк Å Ø º º Ë º ½ µ ÒÓº ½ º ½¾ º Ϻ ÊÓ ÖØ Ò º º Î Ö Ö ÓÒÚ Ü ÙÒØ ÓÒ Ñ ÈÖ Ù ÖÝ Ó À ÖÓÙÖØ Ö ÂÓÚ ÒÓÚ ÈÙ Ð Ö Æ Û ÓÖ ¹ÄÓÒ ÓÒ ½ º ÈÙÖ Ò ÔÔÐ Å Ø Ñ Ø ÎÓк º Ë ÓÓÐ Ó Å Ø Ñ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Å Ò Ø Ö ÇÜ ÓÖ ÊÓ Å Ò Ø Ö Å½ ÈÄ ÍÒ Ø Ã Ò ÓÑ ¹Ñ Ð Ö ÖÓÒÒ ºÐÓ ÒÑ Ò Ø Öº ºÙ Ô ÖØ Ñ ÒØ Ñ Ø Ñ Ø ÕÙ ÍÒ Ú Ö Ø Ù ÉÙ ÅÓÒØÖ Ð ÍÉ Åµ ¾¼½ Úº ÈÖ Òع à ÒÒ Ý ÅÓÒØÖ Ð ÉÙ µ À¾ Ò ¹Ñ Ð Ö Ö Ò Ù º ÙÕ Ñº Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ËØ Ø Ø ÓÒÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ½ Å ÓÒÒ ÙÚ ÐÚ Ïº ÅÓÒØÖ Ð ÉÙ µ À ½Å Ò ¹Ñ Ð Ö ÜÞ ÓÙÑ Ø Ø ØºÓÒÓÖ º