Kvant mexanikasl kursu

Faik Sultanmuradoflu Sadrxov Kvant mexanikasl kursu cild l(, \ \ (Relyativistik kvant mexanikasr) Bakr Dvlat Universitetinin Fizika fakultasinin Elmi $urasrnrn taqdimatl ila gap olunur' Bakr 23

Kitaba ray veranlar: l. Akademik F. M. Hegimzade 2. AzMi Universitetinin Fizika kafedrsr lxtisas redaktoru: f.-r. e. d. $. M. Nalryev FAiK SULTANMT,RADOdLU SADXOV. Kvant mexanikasr kursu ( clld) - <Ktin> neqriyyatr, Bakr, 23,246 seh. Dersliyin bu cildinde qrup nezeriyyasinin asas anlayrglal, relyativistik fizikanrn tenlikleri, matris cabrinden yiiksak enerjilar fizikasrnda istifade olunma qaydalan, sapilma hadiselarinden fotonlann elektronlardan sepilmesi, elektron - pozitron cutuntin yaranmasl va foton - elektron sahasinin kvantlanmasr, elementar zarreciklarin kvant mexanikasr baxrmrndan atrafl r tefsilatr verilmigdir. Kitab talebalar va elmi amakdaglar iigiin yararhdr. 4362 l-45 61-23 (Ki.iD) nasriyyatl Lisenziya AB 2262 @ Faik Suttanmuradoglu

On siiz ikinci cildda "Kvant mexanikasr kursunun tinamli sahalarindan biri relyativistik kvant mexanikastdu. Relyativistik kvant mexanikasr kitabrn ikinci cildinin mdvzulartnt tagkil edir' ikinci cild V-V fasitden ibaratdir. V fasilda qrup nezariyyasi anlayrglarr, onlartn kvant mexanikasrnda istifada olunmasr, matris mexanikslna gdra ba'zi kvant kamiyyatlarinin qrymati mtjalyan edilmiqdir. Burada ytiksak enerjilar fizikasrnda genig tatbiq olunan ba'zi saxlanan kamiyyatlerin xassalari aragdrrrlmrgdrr. Hamginin Lorentz va Puankare qruplarrna giriq verilmigdir va bu foslin gahqmalarr da daxil edilmigdir. V feslin mdvzulart Kleyn - Gerdon, Dirak tanliklarinin asaslal, burada istifada olunan matrislar, onlaln xasseleri, tam haraket miqdan momenti, onlartn maxsusi funksiyall incilenmigdir. Burada Dirak tanliyinin sarbast zarracik i.igi..in halli, bu hellin ddrd hala uygun galmasi gdstarilmig, spinin va energinin iki qiymatini - manfi va musbat halda olmasr gdstaritmiqdir. Eyni zamanda hidrogenabanzor atomlarda relyativistik effektlar aragdrrrlmrgdrr. GiiclU maqnit sahasinin atomun enerjisinin tasir gdstarmosi V fasilda dyranilmigdir. Spin orbital tasirin maqnit momentlari ila baflrhlr alda edilmiqdir, S - saviyryasinin pargalanmastntn tac-rubadaki qiymata uygun galmasi mtiayyan olunmugdur. Burada hamginin Dirak matrislarinin cabri, fermionlarrn stxltq matrislari dz garhini tapmrgdrr. Bu fasilde neytrino adh, siikunat kiitlasi stfira yaxtn olan, polyariza olunmug zarreciyin srxhq matrisi aragdrnlmtgdt. Burada hamginin sapihna matrisi va sapilme amplitudu, Born yaxrnlagmasrnda amplitudun araqdtrtlmast, heyacanlagma nezariyyasinda Feynman diaqramlanndan istifada edarak Kompton

effektinin kasiyi incelanmigdir. Elektronlartn xarici sahada sepilmasi va onlartn hadronlardan elastiki, hamginin, darin qeyri-elastiki sapilma prosesinin effektiv kesiyi mileyyan edilmigdi, proton-neyfionlann xassalari taprlmtq va onlann maqnit momentlari elde edilmigdir' Hamginin elementar zorraciklar fizikasrnrn masir anlaytglart, kvarklann, hadron fizikastnda rolu va rengdinamikastntn esas anlayrqlarr - miiayyanlaqdirilmigdir. Ozal funksiyatardan 6 - funksiya, Ermit, Lejandr, Laqerr polinomlartntn xassalari, V faslin sonunda ise ikinci kvantlanma nazarilyasinin esas muddaalarr verilmigdir. Kitabrn yazrlmastnda samarali amek sarf etmig hamkarlartma samimi teeakki.irum dnceden bildirmayi 6zume borc santram prof, Faik Sultanmurado*lu Sadrxov Bakr, 23 il. 4

v FASiL QRUP NozaRrrYosiNo GiRi$ Umumiyyatla, fiziki sistemlarin davranrgt simmetriya prinsiplerina asaslantr. Feza va zamanln bircinsliyi, onun izotopiyi va bir gox ba$qa simmetriya xassalari, kvant mexanikaslnda istifada olunur. Simmetriya qanunauylunluklan riyaziyyatda qrup nazariyyesinde aragdtrrltr. Ona girra qrup nazariyyasini va kvant mexanikasrnda onlann rolunu meyyenla;dirmak ugun qrup nezariyryesinin bazi anlayrglarrnr incaliyak. $56. Qrup nazarilyasinin anlaylslarr Oger B elementlar goxlufunda a) ixtiyari ig a,b va c elemanlafl iigi.in (aa\ = a(uc) olarsa, b) ixtiyari a elemant iigtin sag va sol e elemant varsa ki, a.e=e,a=a olsun ve c) ixtiyari a elemant tigtin aks a elemant mdvcuddursa, -t 4 A=e onda Q goxluluna qrup deyilir. Q goxlulu sonlu sayda elemanlardan taqkil olunubsa, Q goxlu!u sonlu qrup adlanrr. Ogar ixtiyari c va b elemanlan ugun a'b=b'a mdvcuddursa, Q qrupuna komutativ va ya abel qrupu deyilir. Masalan, N dane tam adadlar goxlu[u 1,2,3,... N,n dafe yerdayigmeya g6ra qrup tagkil edir. Diger 6mak, olarak iigdlgiilu fazada frrlanma qrupuna baxaq. U96l9lu fezada OX,OY,OZ oxla:r otrafinda firlanmaya

maruz qaldrkda koordinatlar uylun olarak OX',OY',OZ' oxlarr Uzra x'=x+o.y+o.z y'= ox+cos?t y+sin9r.z z' = ox - sin?t. y + coset. z j x'= xcos?z+o.y+zsin?, Y'=o x+y+o'z z' = -xsin?z + o. y + zcos?r, x' = xcos r + ysin?, + o. z (v.l.l ) y' = -xsir.93 + y. cos?. - oz z'=o.x+oy+z gevirmalerina uylun galir. Bu gevirmalar (t t [co r sinor'\ 8(or)=l o coso,.ine, l, g@2)=lo 1 [ o -,in e,.o, a,,]., ("os, singr ).tt, S(:)=l -sin6., cos, l t, [ - sino, o coso, (V.l.2) matrislari ile xarakterze editmalidi.,,, va d, bucaklarr uylun olarak OX,OY ve OZ oxlat etrafinda donme buca[lan adlanrr. ixtiyari ox atrafrnda firlanma matrisini tapmak tigun. S@r),5@z) va g(r) matrislarini bir-birina vurmak lazrmdrr. U96l9illU fezada btitiin firlanmalan tapmaqdan Otari: a) iki ardrcrl flrlanmaya yene firlanma uy[un olur, frrlanmalarrn hasili, matrislarin hasili ila mi.iayyan edilir;.j 6

b) firlanmalar igerisinde ele ftrlanma var ki, fazant dzi.i-iiztina gevirir, yani vahid matris mdvcud olur: c) her bir firlanmaya qargr, aks frrlanma qoymak olur, yani g matrisinin aks g' ' matrisida m6vcuddursa, onda bu gertlari ddayan frrlanmalar mocmui firlanma qrupu tegkil edirler ve onlar firlanma matrisleri olaraq qrup oluqdururlar. $ayet, qrupun elemanlarm sayr sonludursa, qrup sonlu qrup adlanrr. Frrlanma qrupunun elemanlarrnln sayr sonsuz olduguna gdra bu qrup sonsuz qrup olur. Ogar qrupun elemanlan disket qiymatlar olarsa, bela qrup diskret qrup adlanr. Frrlanma qrupu, elemanlarr kasilmez qiymatler aldrgr iigun kesilmaz qrup adlanrr. Qrupu teyin edan asrh olmayan parametrlerin sayl qrupun tarlibi adlanlr. Ugolgulu firlanma qrupu ug tartibli qrupdur. Burada astlt olmayan paranretrlarin sayr r, ;.,ta d., oldufuna gdro, o, iig tortibli qrup olur. Qevirme matrislerinin tartibi qrupun dlgiisiinii miieyyan edir. Frrlanma qrupunun iilqtsii iigdiir. Qrupun tartibi va iilgiisii muxtalif sayda ola bilir. Mesalan, Loruz qrupunun tartibi alhdrr, onun iilgusii ise dorddiir. Qrupun itlgtisii gevirma matrislarinin iilgiisii ila (satr ve sutunlu olmasr ila) tayin olunur. Qrup matrislarindan dioqonal matrislarin saytna qrupun ranqr deyilir. Omek olarak, kompleks vektor fazasrnda biitiin'xotti gevirmalara baxak. Kompleks fazada x,,- t xlo geviren xa -) xr\ = A,t,rt,. (vr.l.3) A, gevirmasi xatti qrup tagkil edar va bu qrupa GL(n) qrupu deyilir. Ogar A, gevirmesi eyni zamanda deta=1 $artini odayarsa, A,oe Qrupuna. unimodulyar xatti qrup deyilir ve SL(n) ila giistorilir. hasilin (v.l.4) Minkovski fezastnda llril = J;t normasr olan skalyar

(vr.l.5) xd -) xot = 1\apx gevirmasinin qrup taqkil etmasi demekdi Ru gevirmaya bircins Lorents qrupu deyilir. Ogar gevirma xd -) xd = ad + Lcllxp (vr.r.6) gaklinda olarsa, onda bu cura gevirmaye bircins olmayan lorex's va ya Puankare qrupu deyilir - ' iki qrupun bir-birina izomorf olmast anlayrgrndan da kvant mexanikasr kursunda genig istifade olunur. Ogar Q1 qrupunda her hanst bir x' elemanrna qary, Q2 qrupundan yalnrz bir x2 elemant uyfun. galarse, onda Q, qrupu Q2 Qrupuna homomorfdur deyilir. $ayet, Qr va Qz qruplan birbirilarina birqiymetti homomorfdursa, QtYa Qz qruplan izomorf qruplar adlanrrlar. Masalan, 9d[9lii frrlanma qrupu va spin qrupu SU(2) R(3) = s(1)g(d2 )g(3 ) lj = e'q "'=[l ;i "'=[: ;] "'=(; l,)''*,' ma'1risrari va 4 =lp r,,p,or - spin oxlarr iizro diinma bucallardrrsa'' birbirlarina izomorfdurlar. Sonlu tertibli kasilmez qruptara Lee qrupu da deyilir' U96l9ulu firtanma qrupu lre qrupuna uylundur' ' x Y = SaFxdY A t a=p=o 8"p=l-t a.b=1.2.3 [o d+ P Qrup nazeriyyasinde sonsuz kigik ftrlanmalar va onlara uylun olan matrisler mtihtlm rol kasb edirlar. Sonsuz kgik firl-anmalara uylun olan matrislari tapmak ugtln qrupun har elemanrnt Teylor strastna aytrak. Frlanma qrupunun elemantnt 8

r,, va 3 bucallanna gdre Teylor strastna aytrsak va slranrn birinci haddila kifayatleneriksa: s(,) = * i rfster,l,,. * s(or)=l +ifrster,lr..* (vll7) 8(, ) = l+ i;fster,lr,., yazmaq olar. Bu srralarda agar e, = ifis,r,,1,,=. a, =ii-sto.ll (vr'r8) ' d. - lr,, al A1 =i a18,ur,lr,=o qabul etsak, /\ r l) (o l) o,=loo,l, o,=]o ool A.=,. -rool lo-ro,j [-r oo] [o ooj alarrk ve onlara infinitezimal operatorlar vo ya qrupun generatorlarrr deyilir. Gdstarmak olar ki, bu generatorlar Ar,A2va A.

fe, erl= A1A2 - A2A, = ia, [1,,. l,r]= A2A3 - ArA, = i/., [e..a, ]= A3A1 - ArA, = ia, (vr.l.9) kommutasiya mtinasibatlerini tidayir. iki generatorun cami va generatorun ixtiyari a edadine hasili da hamin qrupun generatoru ila ifada olunur. Generatorlarrn sayr, qrupun tortibina uygun gali. A1,A2 va 43 generatorlann macmui Lee cabri taekil edir.ogar a) N goxlulunun X vo y elemanidirsa, onlann comi X + f va a edadine hasili a X - de, /V goxluluna daxil olana. 6) goxlulun X ve elemanlann kommutaloruda,{ goxlulun daxil olarsa, 9) goxlulun elemenlarr [,, r]= [y, x]= o; h,(y *.)]= [*,y]* [,,.] [r[y.n= [y[r.n* [.t yn=o (v 1'ro) kommutasiya mtlnasibatlarini aidoyarso, onda N goxlulu Lee cabri tagkil edacekdir. Ogar qrupun generatorlan kommutasiya eden g. neratordlrsa, onlann maksimal sayl qrupun ranqrna uylun gelir. Ugolgulu frrlanma qrupunda kommutasiya "al, glll."ioit. yoxdur. lamginin SU(2) qrupunun da kommutasiya edan generatorlanda yoxdur. Bu generatorlardan ela operator ta$kil etmak olar kr, o, butiin generatorlarla kommutasiya etsin, Bela operatorlar Kazimir operatoru adlanrr. Frrlanma ve spin qrupunun Kazimir operatoru L2=Ct=fi+el+el.e2 =cs =!(oi*ol*o!) (vr'rrr) "4 olar. Kazimir operatorlann sayr qrupun ranqlna baraberdi. Kazimir operatorlan sistemin Hamilton operatoru ila (onlar generatorlan ozunda aks etdirirlar) kommutasiya etdiyi tigun, onlara uygun l

gatan fiziki dayiganlar, masalan, harakat miqdan momenlinin kvadratr, saxlanan kamiyyet olurlar. i vektorunu i' vektoruna geviran R amaliyyatrna i' = Ri, x'a = RaAxA (vr. l.l2) Q qrupunun tasviri deyilir. -r-dal.r'-a kegid zamanr ddrdolgulu dalfa fimksiyasr da V' = R.ty kegidina maruz qalar ve onun komponentlari WiG')= Atlttt?) + At2?r2(r) + AByr:JG)+ Atatl, ag) ut;$') -- Azlyt(x)+ A22ty 2G) + Az3tlr{x) + A2ayt oq) _-_,, W\G1= \ t{x)+ A32\,2G) + errry rtrl * n-v,<rl (V' l' 13) Vr;G') = A4 t t(r) + A42\t zg) + A13ttt3?) + A44V 4G) dayigar. Yani, koordinatlarrn gevirmasi zamanr dalla funtsiyasrnrn komponentlari dayigarken, operator va ya matrisa R, qruputr tasviri olarva o, Arr,Arr--... va s. ila miiayyanlagir: -4t:,i:i:?,1 ( A, Ar, /r: A,, ) lao, tn., An, A*) Demali, R, -ya ry -+ ry' kegidinin tasviri deyilir. yeni, uylun olan iki, 61 ve 6, gevirma matislarina m[vafiq olarak, dalf,a fiuksiyasrm diger furksiyaya geviren iki marisda Rop, = RorRo, (vl l.l5) qrufm fasviri olur. (vll.14) Ra tasviri gatiribn ve gatirilmayan tasvir ola bilar. Fiziki kamiyyatin bu va ya baska qiyrnet alma ehtimat getirilan Esvfuda miimkiin olau btiin qiynedain almrsl i1s xarakteriza ohmur. lakin gatirilmeyan tasvira uylrm olan kemiyya-tin qiymeti yalnrz scailmig bir qiymab mitafaq galir.

R,ve R, tesvirlari C(,t,) va C(tr) fazasrnda teyin olunmuqsa. Q qrupundan, C(kt)@C(kz) fazasrnda har operator tigiln Rr va R2 tasvirlarin qrup hasillari Rr(U) A R2(U) olar. Yani, R,(QG)@ R,(G) = = (n tol)o (n,tol) (n, tct)e (n;rcl) (vr.l.l6) hasili C(kt)@C(k2) fezasrnda R, va r?r tasvirlarinin tenzor hasiti olur. iki getirilmayan tasvirin tenzor hasili bir komponentli tasviri birdan artr[ ola bilmez. Birolgulil tesvirin mdvcudlugu R(,s) = R(l)@ R(L)' (vl l. r7) tasvirin olmasrna ekvivalentdir. Burada R(.1) -birijlgulu tasviri gdstarir. Ogar R, tesviri Q qrupunun C(k) fazasrnda tamsilidirsa R(Q) = Q' qrupuna g6ra C(i) azdleulii invariant altfazadrrsa, onda Ro(Q)-ya gatirilmoyon tesvir deyilir. Bagka sdzla (V.Ll5) -da Ro, tamsilinda iilgiisii az olan matris varsa, R.-ya getirilan tosvir deyilir. Ogar tasvirin btitiln matrislarinr (R. ) ( R,1s tt o... ) R2(s)... lo -l t) o Rr(s)... matris kimi yazmaq mi.imktindilrsa, Rd tasviri getirilmayan tasvir adlanrr. Yani, tesvir Ro -nr diaqonal matris gaklinde yazmaq olursa tasvir getirilmeyen olur. (V. L l4) tasvirini gatirilmayan tasvirlarin cemi kimi yazmaq olar. Tasvirlar gotilmoyen tesvirlarin miqdarrndan, onlann nege defe har hansr tasvirde igtirak etmasindan asrhdrr. 12

Kazimir operatorlannrn mexpusi qiymatinin gatirilmeyan tasvirda muoyyan qiymet almasr, zeruri va yeterli gartdir. Yani generatorlann dioqonal olanlannm sayr va komutasiya edanlerin sayr qrupun rankrnr mualyanlegdirir. Gatirilmayan tasvirda operatorlann mexsusi qiymeti mi.ieyyanlagmiq olur. 't\ Har bir unitar tasvir (RR' = R'R = lj gatirilan va ya gatirilmayen ola bilir. Elementlerin qrup hasili @ ila iqara olunduqda (elementlar komutativdirsa), qrup hasilinda hasili anlaqrlrr. Qrup hasilinda gphl @ g,,,h1 = sks..h.hl B()s1o)-- s(e) faza inhikasr zamanr parametrler dz-6zna kegir: f (e.@=e Burada / -funksiyasr (V.1.18) f (,e)= f (e,) f (.f (E,iD= f U(,,E) ryr.r.re) f @,e) = a. (a(9))'t = a(') gertlarini iidayan funksiyadrr va / -funksiyasr analitik (ve ya kasilmaz differensiyalanan) funtsiyadrrsa, onda bu qrupa Lee qrupu deyilir. Kvant mexanikasrnda Hilbert fazasmda unitar operatorlardan istifada olundugu ugun Lee qrupu B@)=ei = g()+ irx 1 +...,,. )s(oll A,. =-l-l (vr.1.2) oor le, =o tasviri ila ifada olunur. BuradaXl generatorlannrn izi srfir olan tesvir gatirilmayan tasvir olur. Lakin her bir gatirilmayen tesvirin generatorlarinin izi hamiqa srfir olmaya da bilar.

$ 57. Lorena gevirmasi Dorddlgulu vel,.1or iki fiziki kemiyyar olarak skalyar s va vektor 17 -dan ibaratdir. vehoru iki inenial sistemin biri digarina g6re sabit 7 suratini xarakterize edir. Farz edak ki, K va K' sistemlari iimumi koordinat U"9t-!,",oi"o'' n istiqametinda d surati ile haraket edir. X ", k, _irr".f..,no..r va r' vektorlan, uylun olarak (ro.;), (r;,;,) komlbnentlarina malik olar. Onda Lorentz gevirmasi d yaalar. hyazhg Jo= r 'n = ro--r-n C [E 'll' c',=e, X-& t r.n o lo' {,- 7 (vr.2.l) y =y t' = t- o c' o2 - -----;- c' t4

Lorentz gevirmasina ekvivalentdir. tg -suratin qiymatidir. iki i ve! vekrorunun skalyar hasili i.!, butun inersiyal sistemlarda eyni olar. Onu x.' j = 8,rvx,ryv (vr.2.2) kimi yazank. Merik tenzor g,,,, lr *v olanda g,,, = vo 1t,v = O.O;ll;22;33 olanda 8oo =1, 8rr = 8zz= 8tt=-l olur. Umumi gakilde Lorentz gevirmasi ddrddlg l[ veklor.rt -nil.r! -a geviran x, -) x', = /\rvxv Ar, gevirmasidir, Bu gevirmeda istenilen i.! qah. x'y =x'y (V.2. 2) -ya gdro Ar, -matrisi $artini odayir. Yani 8P'A*A'" = g- (vr.2. 3) hasili invariant (vr.2.4) h *1r u; = Bpo va ya AAr = (V.2.5) yazmak aztmdr va x px tt = _r1., xi kvaaratik formam invariant saxlayan gevirme, bircins Lorentz gevirmesi adlanr. Ar -matrisi banspora olunmuq A -matrisidir, / -isa vahid matisdir. (V.2.5) _ dan laetnl'? = 1 va ya deta = ft olar. Bir inersiyal sistemden, bagka ineniyal sistema kegdikda igrk stlratindan biiyk siiret olmadr!r 9n (V.2.5)-den

olar. Ogar sonsuz kigik gevirmaya baxartksa, onda yazarrk. Yeni olanda r^..r=l-+ h/, -= x'u=x,i-ervxv, ltr" l..,,' -- A-.t=f+6 ( Eu, -antisimmetrik tenzordur) yaza bilarik (vr.2.6) (Yr.2.7) yazlar. (vr.2.8) Lorentz gevirmesinin altr generatoru olur' Onlardan iigu (x,y), (x,z) ve (y,z) milstavilarin ddnma buca[r (1,2,3) iigu ise (x,-16),(y,-ro) va (z,xo) mustavilarinin ddnma bucaglan olar ki, bu da bir koordinat sisteminin, diger koordinat sistemina gore nisbi herakatinin siiratinin komponentlarina (8,, d,, r9. ) uylun galar. Uylun olarak koordinat sistenninin donme bucaflannr o,o(,, or ila iqara etsak, 7 suretinin komponentlarini d,,8,. ve t9- giistersak, Lorentz gevirmalerini ^t xt+ipxl ln' ''l-- /------'--'=, C xl, = x, r6

SUMOAVT yazmakla, x, koordinattntn xi = '', xo-ipx, lo' ll 1/' c' x, = 1'ax (vr 2 e) \, ri li, \ burada lo.!'-; v Le' {,-., c! c a: i'-: l/j- -il-- \l c' l l drrsa, inifentizal operatorlar l lz=-i5oz-i6zo 1r = -i6or -i6ro -l ll= -,,..1 - i6,o (vr.2.l) olar. Ddnmaya g6ra isa -r oxunun ddnmasini

ti=t' x'a = x2coso,t+ xrsin(j't ti = -x, "incr+ trcoso, (V-2'l l) xi=r' ro -^o gevirmsi ila yazank. Bu zaman gevirma generatorlan uylun olarak j, =i94'=;6,,-,5,, '&, aftnr. i,,i, *" i, operatortan i, =ill.=5r, -5,, {v-2.12) ' &.2 i, '&, =;4*=r5o -5',, f- ^ lj ''t,1= -;2n1' mltnasibetini (deyir. Ogar t- - \ tit,=;pttijt) L opcratoru daxil esak, li;'t,l'tl- ie^tft ryr.2.r3) alank. Bu ifadelarden gorsmn ki,, ve J operatorlan, impuls nromenti operatmlanam Odadiyi komutasiya mthasibatlarini ddayeo operatorlar kimi olurlar. orentz qrupu dish,et qup ohn D aruprn, yeni faza clltlllynii P qupmu (i --+ -i,, J,), zaman ctltyuu - E

qrupunu (rj i,t-->-t) va yuk cutte5dirnii olan C Arupunu (i --> i, t -> t,e --+ -e) ozunda bl dlqrup kimi saxlayr' Tabiyyatda bae veren hadisalarda elmi zamanda fft = sabit ry.2.r4) olarak ba; verir \ro.orcnu gevirmelai (V.2.14) gartini qabul edarak, bttiin tanliklerin bu gevirmenin 6danmasini rami" edir. (V.2. la) qartina Pauli-Luders teoremi deyilir. Haqiqi dayiganlarden asth olan kompleks fimksiya ila tasvir olunao arraciyin bagka sistema etgisi, zarracikdan uzaklagdtkca' azalmrg olur va ona gorada sonsudutda ry -funksiya srfira yaxmlas-mahdr. Yani, sonsu.dukda f lvc\'av.- inteqrah mliayya, ur Jrlu dayar-a malik olur. ty -funksiyamn istanilan L kompleks adada vurulmasr, sistemin halrnr dayignadiyr iigih, ly va ly = fimlsiyalan eyni bir halt xarakteri.a edar. Ogar.=lTur'-1. qahrl etsak, re V = Vo evedamasin&, +e lyol'a' =r (v.2.15) gartini Odayan frmksiyada eyni sistemi byin edar- Normallafn dal!;a fimbiyasrna gora V heninda, fg amda olma ehtimah V'ar-w (vr.2.16)

berabar olar onun normasr "" firil = pl'avl' -ao. oureu funksiyalann toplanmast va adada lurulmast amaliyyatlarrda: normallama garti lv, *v, < l,rr,l* l,rrl, 1l.r4ll - lrllwl' l )lvtl' dv < pozulmur.,y,," y, -furklyalann skalyar hasili (,r,lr,)= T,;G\v,(rVv (vr'2 t7) dal$a funksiyasrn,n kornpt.ks Lruda bir vektor olmastnt gdstarir' mexsusi funksiyalarrn Ogar sonsuz sayda Vr,V2...V,... ardrcrlhlr varsa, onda her hanst ty(r) dalga funksiyasrnt, bu funksiyalarrn superpozisiyasr kimi tlt = atvt + azt[ +...+ a,][,t ' +... (v1.2-18) giistermak olur. Bu srra ytfrlan srra o vaxt olar ki,,,,=la*utt olanda, (V.38) srraslnda n -+ co -da ll,r-v,,,ll' = ll,y -v,,1'av -o N.2.l9) olsun. Bu ciira yrgrlma, orta yrlrlmak anlamtnda ba$a duiiilur' (V.2.18) stra ayrtlmastnda amsallar, V,, oxuna ty-nin proyeksiyasr kimi taprlrr: Sonlu lgulti fazada /,\ + o, = (w,lv)= ut:,(i)!/(i)dv (vr'2 2) 2

ll,,ll' = ilrr;l' av --i1"5' vektorun uzunlu[unun kvadratl,4t kvadratlan cemina baraber olmaslnl gdstarir' Onda (Vl 2 l8) srrastntn ytltlmasl (istanilan dal[a funksiyasrnrn) Sr '1 )1,-,,1 <- ^=l Sartrna ekvivalent olar' (V 28) 4a Vt-lar (ortvektorlar) normalasan mexsusi funksiya olarsa, larlrehtimaltn' t mexsusi qiymatin V = ) r,v^ halnda verilmasi demakdir' Kompleks Evktid fazastnda vektorlar 'r va ) iigun l-x = x (x+ y)+ z =.r+() + z) x+y=y+x a(;r+ Y) =d'x+@ @+A)x=ar+Px (ap)x = a(fu) (ylz.zt) yazartksa, (cr va p-kompleks adaddir) C(") fezada seqilmiq bazis vektorlartna g6ra bu vektorlar, at,a...?,,... * 1=l,xrZr N1'222) srrasr kimi tamsil edarik. Bu zantan srantn camlanmasi olarak t,l limlx-!xre*l= (v 2.23) r=l 2l

ifadei ba{a d[illnllle. Limitda ela :1 vektoru varsan, -r, vekton tgl!._nl=o yr$lan olu. C( * ) taasthilbert fazasl adlanr. Har bir dalta fimksiyasrnr ba$ka bir dalf,a frmksiyesrna geviran operaor U, olar. Onda l,v( x)--v( s-'t ) lj,,..vrg) =tlt(grt g;t t) --U,,t,.yr(x) g -ye uytrm olan U, oper-atonrnrm tamsilini eyin edir. F,rl' =i Pv,1' v' r"\' av = iku1' (vt.2.u) ur.2.25) y-fimtsiyasmm it f * =vl' NL2.26) ncunsr U, tamsilhda saxlaulr. Bu'ada Y#Jaroviandr. Bu operatorun, Hamilton operatoru ila komulasiya edib va ya etmamasi kvant mexanikasmda mttllm rol oynayr. (nu, =u ra). idi isa yutsak ercrjilar fizikasmda ;"61"6" 61'-"" tnd marislqin xassalaini aasduae n 2:2

$ 5t. Direk metrisleri Relyarivistik kvant m xrrikasmda *asan ddrd satr-sutmlu matrislerdan istifada oluour. Bu matislerin taprlmasl ll9n Dirak matrislarin qrup hasilinden, 1rili @ itarcindan istifada emi$ir' Yani, qrup hasili olarak, marisin hor bir elemanr, digar maeisin triitlin elemenlanna vurulur va bu hasilda matrislarin sa$dan va soldan vurulmasrnrn rolu var' iki sats-sutunlu Pauli ostrislari o =[l;] " =[: ;] " =[l -',i.,3 r) saldan va sold'n vahid nutrisa ""=[l:) ry'. 2) vurulw. Belaki, qrup basilinda /(2) ile o -matrislerinin saldan va soldan qup hasillari dord satir va suim matislari vermoini tapm'so,: roloo'l x, =,(2)Eo, =[::)"[: :t=l: : ::l=",, l.o oroj /lo\ /o,., l.: ;:;l z'z=t(2)@oz=t,, "t,',l=,. o -il="'to ):.'J,1', /r o\ /l or lo-, ool E, =r(2)@o, =t,,j"[, _,, =1,, _r o l=o'6r lo o o, (v1.3..3)

ro r.\-rr,., f: : i :l Pr=or@ trzt=[r oj@[o,j-1, o o o lo r J :;il /o-i)-,,.1-fl Pz-"2-..-, o.=o"@l(2t=l l8l li o,j-lorj li o o ol (vr.3.1) ll ;:'J, tt o, rror o r o o p'=o\@t(2)=lo _,,J.[o,j=fo o _, o lo o o -t.j dord setr-sutunlu o,, o,, o1,91, Pu vo ' pr matrislarini alarrk. Bu matrislar ermit va izlari srftr olan matrrslardi. Onlar agalrdakl komutasiya miinasibatlarini ddaldrlar. oi 1+y = oi1+1 = 6l g1 = v OtOl=-O.Ot=iO1 O.O1= -O1O. = iot T,Oo = 176, =g olot=-oto1=ioz,o-oi (Trake ve ya iz dioqonal elementlarinin camidir) pi = pi = p: =t, p, = pi,r,q* -- zpr =s Yani PtPt=-PzPt-tQl Pt?:=-PtPz=i?t gtpt=-ptpt=i?z oiok+o*oi=2ie,go1 pip* + ptpi =2ieigp 1 (vr.3..s) (\,r.3.6) 24

olur. t,*, -antisimmetrik 9 rankll tenzordur. ot vo pt -matrislerindan (h = p3 va a = pt. d(t4 = A. or dz. = A oz, dt= q. or) (V.3.7) [:::l t: ;tit 'o=lo o -r ol'o' =lo r o ol' [oo o-r,j l,o o o] (o o o -,\ /o o o \ ",=l; -: ; :1,,=l:o':il ap -matrislari tasir etmak olar: Bu matrisler l., J 1,-l ] (vr.3.8) d, ud, r, + d 4a, = 26 u,, o', =l lt.lt'=,1,2,3 (V'3 9) komutasiya munasibetini tideyan maeislerdir. Onlan kovariant matrisler olan /o matrislar kimida yaza bilerik. Jz -marislerin agkar gakli y / = O 4,1), y n = yo. i =y n. d fooo-r) /ooo-l\ /oo-t o\ ioo, ol loo, ol looo,l r=1,, olr,=1, ol.n=,l, o o nl l.,oo oj l-,oooj [o-'o r] ii :;:l t: :::l '=t: :;:J.=t; r; ;J (vr.3.1) (vr.3.l t)

olur. (M.3.9) va (V1.3.1)-dan! ptv +TvT p =28pv (\r 3'12) yazmak olar. a va d,o matrislann ermitliyindan yi =yn,yi =-yr $+ =-l) ahnrr ve bunu kompakt olamk f'[,=tafpft kimi yazarrk. Psevdoskalyar (sakayarabenzar) matris olan (V.3.ll)-a gitra Ts=l,7;yzTtoldu[u9iin TsTp+Tu!5=o 1yL3.13) TsT p = -T pts g"ii od"oitit. Yani yr -matrisi /, -ila antikommutasiya eden matris olur. /p -matrislarin izini tapmak $gnn lzy p-ya saldan ve soldan y, ile antikommutasiya edan 7, matrisini vurub, izin alhnda yerlerini deyigsak, zy, = -lzy,y,y s = -lzy 5Y j'/ t, = -lzy t, = o alank. Yani 25 matrisinin izida srfir olar( 1z7r = ) (V.3.14)-a asasan ve yf, = l oldulu iigtln lkyuy, =6u, 4 alnar. 6, p -lara va ya / 'lzyu=g., 314) -lara Dirak matrisleri deyilir. (vl.3.ls) Tak sayda T, -lefin izi da srfrr olar. Belaki 11, yalnrz mxtalif dord qiymet aldrlr zaman n>l olanda p,-nin orta qiymati iki eyni qiymat alrr. 26

miinasibotindan TpTu+TuTy=26pv y p, 'y!2...y p2.*' matrislarin hasili 7u va ya y pyvyx(tt * v * L) matrislarin hasili olur. Ona gdre zy A-y rz...y,r2.u =O olar. CUt sayda ]z -matrislarin izlarini tapmak UgUn T ^f rt *T n =26^tT *T n -TrT ^T *T n f rt ^T xt n = 26 *T tf n - T tf *f ^T n T tf *T n = 26 ^T ^nt tt * - T t! *T nf ^ mnasibatlerindan istifada esak (v.3.16) T ^T tl*t, = 26 o,tt *T n -26 *f n+25nny k-tttr,tnt^ yaza bilarik va olduiunu nazara alsak, zy ^'l ty *y, = zy ky ny n l_ Tlzy^y1 = 6a milnasibatina esasen 47 -matisin izini ilzt ^y ty *y n = 6 a6 *n - d,*6rn +6^n6tk tapank. Eyni qayda ila lzy ^y 1y py ny pf o ugtn iro *,, rr,r rr, = 6^P2,5 * + 6,,-6n6* + 6^P*6 * + +6^fi*6*+6,o6,6r+6*pp6* +6^,fiip + +6,,p4n6*o -6,-,qn6kp -6,,"6b6tl -6^lw6* - - 6,/4"6 p6-6 il6b6,' 6a.6,16,n - 4,eEo,6 k, (V.3.1?) 6vt.:. tay

alank. Yani ciit sayda 7 -matrislarin tzl f,lzll o,t t,...t *,.1 =,1-r)il 6,,,6a ' (v 3 l9) yazrlar. n,m,k,l indekslari kt, k2'...k2, indekslarinin kombinasiyasrdrr, cemlame n,m,k'l,. " kombinasiyalandrr, N =,3,5,...(n - l) ' Gstarmak olar ki, olur va ya indekslerinin ciit )tzyty ^Y ry ^Y, = e*,,, (V 3 2) Ts= 'E*^il Eyni yotla hemginin g6starmek olar ki, *f J'Tt altnar' lz'l,y,t ^f ^T ot ot s = t po + E,nn66 np - 4 "^n6 -.^po6 t- - e p-a6 no r E pu + E p,po6wn ^npa6 T plvt p =-y p6up+y p6uu -yu6uo+ ervootots ry 3 21) li py -T sf v = je uorot of ots olar. Dordolgulii antisimmetrik E tenzorun dilrdolgulu vektorlara ruro a p(a,ia i, b, (6, ibs), c, (Z,ic s) va d n {i, id $ hasili uqun pu po a p b u c p d o = - i a oul i l+ i o oeldal- i r rila o l* i a oafi e ) @a)@b\ = ab + iolabl miinasibetinin odanmasini gostarmak olar. 28

$ 59. Gell-Mann va Okubo matrisleri Sistemin hah unitar va unimodulyar gevirma zamant davismadiyina g6ra v' = uvr olar. Bu zaman U - gevirmasi unitarlt!, va unimodulyarh!' UUt =1, detu = 1 (v.4 l) gartina tabe olur. Sonsuz kigik gevirmaye baxartksa, U =l+e'e,',, U- =l-ie*xi,l =l+i\*xt ry.4.2) yazrtar va (.59 l) qartlarina gdra u Gk)Lt* (Ek) = + i (ox )Q - i(ox[) = r + ie *@ * - xt) = t (rr o. r) + x*=x* generatorlar r^ ermit matrislar olurlar va detu = det eitr't -,ieltzq = oldueu ugtin generatorlann izi srflr olur. (vr.4.3) va (v1.4.4) eartlarir- in3*,nl"t"sl"'u"'.yjnlii inerjiler fizikairnda genig gakilda istifade olunanlan Gell-Mann va Okubo matrislaridir. Gelt Mann matrislarinin a5kar gakillari ro1o'l ro-,) (, ool [o:') '11 ::i'i; ::J'1: l:j'1: ;:J /oo-,\ /ooo) rooo).rloo) r]o o olu]o o rlu]o o-i[q{lo [vr4s) -., o d lo r o.j lo i o,) n'lo o-2,) Onlann izi

z7".l, = 26* (g1, = 1,2,...E) drr. Onlar arasrnda W,,x pl--x,t'b -x BLo =2i> fatuxy b,,x ul=l,i, p +L plvo =tu* *zdofit[,.y (vl4.6) komutasiya munasibetlari var. Burada f.p1 va d* antisimetrik ve Simetrik qurlug sabitleridir, onlann srfirdan farqli olanlan a5a!rdakrlardr: f,u = l,f,o, =.fuo = fx, = rr, = f, f,ru = fru, = -1, f,r, = f*c = *,>,r* = ro u = n6,h,x,l, a* = uq',f."r, )) d,* = d,r, =-d^., =dzss=dt*=-dtso = -r", =; *o* =t d,,c =d.x= a,., =-ao, =ft dn*--drr,=ar =dr,=*ji (v.47) z'"(t),,(+). =:3, /loo\ tt l1f; =l O liden baska i.o1o=t,2...s) matrislari [o o tj kompleks amsalh ermit, izlari srfrr olan matrislar olub, SU(3) qrupunun generatorlandr.

Generator olarak Okubo matrislari adlanan matrislardan de istifade olunur: (z o o'\ (o o\ (o t) ^J=l; -r ol,ai=lo ol, ai=lo ol' '.o o-,,j lo o o,j lo o o,) -[o o o,j 'l o o-t,l lo o o,l (o o o\ (-r o o\ (o o o) al=lr o ol,o;= l o 2 ol,a;=lo o rl, (o oo) (o oo).(-r ool Ai=lo o ol, a;=lo o ol, e;= lo -r ol ^'-[; ; ;] 1.o oj to o,) 4*4*tl=uq=o ry48) Onlartn izi stftrdr va aralannda a5alrdakr komutasiya miinasibetlari mdvcuddur: le:,et)= o,lel, il..l= o ti * m,t + k) lo;,,o!l= eto 1t * D.lAi, A!l= - ol (, * /) (\4.4.e) lol,,o!)= o;,o: - A!A'r = A 'A: istanilan uq tartibli matrisi Okubo matrislarin vasitasi ila yaza bilerik. Bele ki, A matrisini A - et (3) + ctal * AeZ + yal + (L + iple? + tt- ipl e) + + (o + i 11 el + 6 - it1l, + Ol + i$ A) + @ - i 4 9.4. l) qeklinda yazarrk. Burada A= A-,zA= oldu[u ugiin e, a, p, y, )t, p, o, t, q ve ( parametrlari haqiqidirlar: o+p+1=' e='

(V.4.1) ila h -larin agkar toklini muqayisa etsak: t, = A? + A),xz= lrei - ed, x, = ei - ej in = Ai + Al, i.s =lto; -el),,ru = Ai - A? x., =l<4- tl).x,=-jlel alarrk. D6rd sah-stittlnlu Gell-Mann matris olan (, = 1,...,1, matrislarindan /oloo) /o-ioo\ (t -=l:: : :l',=l; : ;;l',=l: lrroo.j lorooj lo /o o l o\ fo o -i o) (o,.=l:.o no oo lr,=l: : : : ^"=l: [rror,j looorj lo l rl ol^ rl l o i? =l,i, =+ o o o -i1""' Jll o o-z o, l l 32 ir= r 1 ioo oo i,o = l, o -, o lo, o o [,, oo i,,= (v4 rr) 15 dana i,o \, n nl o o ol o o o.j \ n n nl o o rl o r oj r 1

L,, = ro o o-i) ro o o o) lo l ln o o o l^'=lo o o ol [, o o oj [, o o,) / ) l ll looo-,1 '"t4 =t lo oo ol tt l.,./ o o o). rlor ool ^'==[: :; ij (vr.4. l2) istifada olunur. Bu matrislara uy[un olarak, Okubo matrislari 3 11-t 4lo o-t o 1,ri = (oo lo o A;'=l ' l [o o ]' 4-- 1 l, l.l -4 -t r 3 -l \ r\ (o \ tl^,=l: : : tl^,=l: ; ;; o) loooo] looooj

foooo) (-r ooo\ /oooo) c=lo o ool^,=rlo -, o olo:-lo o ool '1 tl 41 3 l lo o orl loo oo.j lo o o-',j loooo] (.] ( ) lro l, l l l l l -l a)=lo o o ol'a;=lo o o ol'oj=lo, ; ; ' l,oooj lo,oo,j loo,oj f-l o o o\,r=llo-r ool (u.4.r3) " 4l o o-lol [o o o :.J qebul olunur va onlann dioqonal elemanlarrnrn cami srfrr olur: 4' +,ql + el + e! =s YUksak enerjilar fizikasrnda hamginin (bottom) (gzellik) va <top> (tabiilik) adlanan zerraciklari xarakterize edan 24 va 35 dana Gell Mann matrislarindan istifade olunur; onlann diaqonal olanlarr h:= -l 1 1 - ll-2 1 =-l "'u.61 o o o ool' 34

1 r ^ ll l './61-3 E 1 l 1 1 1-5 c=l ) 1 1 l l '-24 r =-t Jrolo oo o o o -3 (vr.4.14) drr. Burada, Okubo matrislarinden diaqonal el,a,el,el matrislarinden alava iki diaqonal matrislardan da -l -1 -l -r 4 -l -l.6 ll -l o a=olo o o-r o o -l 5 (vr.4.15)

istifada olunur va onlar ii9n e! + el + A: + A! + e. -s e,t + Al + Al + e! + fi + At =o 'r416) gartlari 6denilir. Yiiksak enerjilarda, bezan daha yukek simetriya malik olan SU (3)x SU (2) qrup simetriyasrndan istifade olunur. Bu qrupdaki matrislerin Aro = i* @o6 (k = 1,...8) Ao,=o @o, (n=1,2,3) L*n = L r @ o, (k = 1,...8;n = 1,2,3) 35 danasi A matrislerdan tegkil olunmug matrislardi. Onlardan begi dioqonal matrislardi (A.,, A*, Ao,, A,.,, Ar, ) : Jr 1 1 - -l l 1 1 1-2 -2 (vr.4.17) 1 -l 1-1 l -l 1 -l -l 1 36

(tooooo lo -, o o o o ^ _ ll o " J3 l -l -l l o-2o l.2 SU(n) qrupu tigiln asrholmayan nratrislarin olur. Onlardan n - danesi dioqonal matrislar -t (t lr,l 2 o o lo -Jll lo (vl4.l8) sayr n2 -l qadar olur. Sonra n(n-l)12 dena dioqonal st{tnda olmakla, transponiza olunmugunda da va yerde qalanlannda srflr olmakla matrislor yazmak, eyni zamanda n(n-l)12 dana dioqonal tistunde -i olmakla, traniponiza olunmugunda i olmakla, yerde qalanlarrnda srfrr yazmakla ahnan matrisler olur. Kvant mexanikasrnda istifada olunan elverigli qruplardan SU(2),SU(3),SU (4),SU(5) va SU(6) qrupudur. Bu qruplara uylun olarak zarrecikleri V! "a \t,o^ tesvirleri ila xaraklerze etmak olur. SU(2) qrupunda yf =1zxll=(l)+(3) (vr.4.2) V apry = l2x2x2l = @) + (2) + (2) yazrlrr. Analoji olarak SU(3) qruprnda ryf, = 1rx51 = 1ty+ 18) -(n-l) ( vr.4.r9)

SU (4) qrupunda Vap/t = l3x3x3l = (l) + (1) + (8) + (8) (V.4.21) ;-:i UtE =l4x4l=()+(15) Ll ' \t r1y = [4x4x4J =(4),r,+(2)s + (2O) M + QO) (W.4.22) SU(5) qrupunda A - ty E = ls\ sl,- tl)! (24) \r apy = l5x5x 5J+ GO)r,t (3!).s,t,QQ) u + @O) u (Y1.4.23\ SU(6) qrupunda V! =t6x6)=(l)+(3s) tlrdfry =l6x6x6l = (2),r +(56)s +OO)M +Q)M (W.4.24) yazrla bilar. (V.4.19)-( Vl4.24)-deki multipletlar (l), (3), (8)... va s. uyfun qruplarrn gatirilmayan iasvirlere miivafiq olan realiza olunan tesvirlardi ve real hadronla xarukterzo edirler. Bu qruplarla uylun saxlanma qanunlannt alde etmak olur. Saxlanma qanunlannl mtiayyan etmak ttqiin qrupun G -generatorunu :,1..:.,r. :, t,or,lenlnlh;r,noq^l 1vr.4.2s),,4., i,.n,,,. yazmakla, laqranjibflt:trr: t' :rrir, "iii i" ' -'.,,,.:t.q^:4eto=\,1,1--rq^..:.,,,.'., i., u.',t'" : ' :: :.,,. i&r\i.,.!eilu"qn (V1.4.26) 2"',.rl E^ =;E^4o gevirmelarine gore :-l' invarii4t qalmzisrnt qabul etmak lazrmdlr. C - Seneratorunu "!,'-'! :' kimi de segmak olar,ondq,l.= 1;.,.. -&l6s..,,[t$,61av (v7.4.27),,,, ''.. l 38 'i;: '

o. =[ti6av (vr.4.28) olar ve bu operator e'q. = qertini ddayir. Oni gdra to"d=- x"a^ [a. ai=lo.x,. (v1.4.2s> munasiboti ddelinir. Onda Q y,iikleri lo.,o.)= d.,.o, komutasiya mi.tlasibellara uylun olur. (V.4.29) ve (W.4.3)-a gore olar. Ogar Q -mn yerina hiperyrik f= ve maftunluk operatoru [t.,a;,)=f,xi"; li.,t;,)= _l*ru;, operatoru ) --;Q. {J frooo) e=+(r-j-6i,,)-loooo * loopol oooo./ daxil etsak, SU(4) qrupunda yvt, "l^r =av",yvo =iu/, az yvt, = 3V,,yW,. =W, (vr.4.3) (vr.4.3t) (v[.4.32) (vr'433) ev, = ev o = eut, = Ay,. ew, =tv,

u,d,s va c hallan 9iin alda ederik. Yani u,d,s va c -kvarktn 1l 2- hiperyuklari uy[un olarak :,:,- -, barabar olur 33 3 t) (antikvarklarrn hiperyiiku -;,-;,;,-O,r). Onda adronun hiperyuht Y=s+n-LC 3 kimi tayin olunur. S -ecayiblik olub, u,d,s-rvark ugun srfrr, S - kvark 9iln isa -l-dir. Meftunluk isa a,d,s-kvark iigtln slfir. c- kvark Ugn isa +l-dir. Qaki diaqranrnda u,d,s va c -kvarklar pakil A-dakr kimi gostarila bilar. (vr.4..34) Kvarklarrn elektrik ytlkil $ kil A o=y '2'3 +t,+?c dtlsturu ila teyin olunabilir vo z,d,s,c-kvaklar tigtln 2 L2 l'- l' - qrymatlantx alar' l'l 4

$ 6. Yiiksak enerjilar fizikasrnda istifade edilan fiziki kamiyyatlarin operatorlarl Yuksak enerjilar fizikasrnda ma'lum saxlanma qanunlarr ile yanagr, miihi.im rola malik olan alave saxlanma qanunlartntn ddanmasinde vacibdir. Bu saxlanma qanunlartna izotopik spin, hiperyiirk, maftunluq, girzalliyi va tabiitik kvant edadlerina daxil etmak olar. Bu fiziki kemilryatlerin operatorlart uylun olarak,,=7,, =fr,e= (-rur,,) ryr5,) ; = f (J-rol " - r) t = ( - rttr., ) segile biler. Buradakr l, -matrislari (.59,14)-dan teyin olunan matrislerdir. Bu operatorlaln maxsusi qiymatlarini tapmak iigun tanliklerinda ty -ni irv =rv,iw = yv,cv =rv, ov = aw,iw =rw Vr Vz (V.5..2) vr= Vt Ve Vs Vs matris ila tamsil etdikde, normallama gartina gora lrr,l' *V,l' +'+lryul'? = l olar va t4, =l qiymetinda Vz--Vt=...=Vo = qiymati a1nar. MUvafik olarak ty, =l olanda Vr=Vt-...-Vs = va s.

olmahdrr. Demali, kvark adlanan fiziki obyektlarin mexsusi funksiyalalnr v@) = ol.v'@) = o 'tzt'l = n v(c)= \r (b) = va vrg)= (vr.5.3) matris ile tamsil olunar. Onda (V.5.l) ve (V.5.2) tanliklerinden \r(u) va rlr(d) Trr, = 3ur(u), \rro, - y(d) (vl.s 4) 1-1 -, - 1 42

rl r-kvark ilciin t. =1- d -kvark i.lciin isa /, =-l alank.yerda 22 qalan kvarklar UgUn isa Vr(s) =tt/g)=ty(b) =t/(r) = qiymatlari ahnar. Yene de (V.5.2) -den iv=vv tanliyina gdre Y,=1'Ya= Hamin qayda ile tanliyindon 1t fia rl,-;a 'l (rooo tr loo-z o loo o o loo o o [oo t2 o o JJ T6 t_ il{il 'l [:] (v.s.s) qiymati va!,=yr,= y, = ahnar. )il.-jex,,1,v =ra, l -3 (vr.s.6) c = 1 alda edirik. Demali, C -kvark UgUn c = va ba$ka kvarklar c -nin qiymeti u -- d = s = b - t - olur ( c=). Yene da (V.5.l) tanliklerindan

(o t, i,.*"-,11 yaziar. o t3 =J' t, lo (V.4.14) ve (V.5.l)-a g6ra (o,. jr,-f,st.,l! B=-1 T =+l Vs = ln t, /\ l:l 'l'l (v.5.7) (v.s.8) alank. Belelikle, izotopik spin, hiperyuk, maftunluk (charm), giizallik (ve ya alt) (beanty) ve tabiilik (ve ya ust) (top) operatorlannrn uylun olarak z ve d -zenacik iigiin 1l r= 2,, =- 2qiymati olar s,c,b ve kvarklar iiqiin srfir, hiperytlk isa kasir qitmatini alrr: (elektrik vokti? u" -1-,r, JJ s -kvark ugtin hiper yiik r Y,=;,,-;, - _l JJ Y, =-1 J M

45 olur. Lakin hiper ynk u,d,c,b Ya, -kyark iigun Y, =Yo =Y, =Yb =Yt =O (v.s.e) qiymatlarini alacakdrr. Charm, beauty va top kvant adadlari c, b va kvarklar Ugiin uylun olarak /) l:l ' l't' i:l =1,c,=ca=C,=Cu=C,= tll Vo= =-1, B" = Ba = B, -- B, = B, = l:1. [.,l V,=,7, =1,T, =Ta =T, =T, =Tb = (u.5.1) maxsusi funksiyalan va maxsusi qiymetlari elda edarik.

V FASLA AiD CAL$MALAR Qahgma V.1. d va p matrislarinin komutasiya mitnasibetlarini taprn. Hall: d ve p matislarinin aqkar sakillari (oroo) r-,oo) r' ooo) roool li 1 l-lol o, =lnoool'o,=lo oooi ",=lo ooof [roooj [ooooj [ooooj /oolo\ roo-io) rlo oo) lnro,l looo,l lo, ool '' =l ;; ool'''=loo oo l'''=loo-r of [ooooj [oooo,j [too-rj r ry-i o.] [o-,ooyoro) llooo l, oool l, ooollooo o' oz-o2o' =loooo lo ooo l-lo ooo loooo l= loooolo ooo,j o oooloooo,/ /r ooo\ 1l ooo\ ln-,ool lo-,ool ='l; ;ool-io oool=2io' [o oooj lo ooo,) Uyfiun olarak o2j-oloz=ziol o3ot-.ogi=2ioz Buradan alarrk. okok --okok=2eu',o, 46

Eyni yolla P,Pz - QzP, = /-iy lnn n,ln _tt loo oo lo [oo orlo olar. Uy[un olarak yazzrtk. Buradan alank. Sonda [:: t:: 1 l olmasl a$kar gortllniir. ll Y o o -i o\ lo, o, l::::l r,o o o lor o o,j loo-r o lo o o -, PrPt - PtPz = 2i9, gt?t-?tpr=2ipz gtpr -,t.pt =28u9, otp* = Ptot r l -r -r =2ipt Qa}9ma Yl,2,lv, va 1,, matrislerinin kommutasiya munasibotlerinin va,f"p, 9urlug sabitini tapro. Hall: i = l,/ = 2 qebul edak. Onda \ lt, -7,. rl, = )i7,, frr., =

alalk lri', -'Lri, /ory -, o) fo -,Y1) =l,ool, ool-1, ool,ool= 4 olarsa l;;;l; ;;l [,.oi.ooj /i \ /-i \ (t ) =1.-,rl-l,,o l=,,1-, ol=r,r, l....,l [,,. J l.. o oj Ogeri=3,j= h.,ri n -,[ 4fi'. (o o -i) =,lo o o l=2ih. [, o o,i f,r. =l t: ;:lr;;l lr lll:1:l ftos = 1 alank. Yani dolrudu. 1,,7,,1=zi\*x* frn, = frou -- fzs, = r -r Jts6- J267 - --l 2, 48

. Calr$ma V3. Okubo matrislari Ai va i, ile i-, arasrndakt asrlhr taprn. Hall: Yani /r\ r\ a,'=loool,al=lrool loooj looo.j / l) /) r l a,'+al=lo o o l*l r o o l=l r o o olur. Hamin qayda ila oldu!unu alank. lo o oj [o o o,) lo o o 7''=el+l! \.2=!6i - el) 7"'=Ai-ei fr'' = -"f3a; = 1., Qalgrma V.4. Okubo matristeri uqun Af + Ar' + Af = g olrrrut,n, gosterin. Hall: Diaqonal Okubo matrislaridir. /2\ /-l \ /-l ) 4=11. -,.c=il o 2 oa'=jl, -',l "[o o-t] -[o o-t,) l o o 2)

[1zoo1 (_too)/ 4*n!*4=*]i, -,,l.l,., ol.l '[lo,-,jl,,-,j -l \l,-rrll= o o2)) ;[: r :1.*l:' i ;l *[;;'] ' fo o-,) (o o r, Bunagora ei + ei + el =O alda edarik. tigun (k*t) /ooo\ =[;;;J=' 3 olan hala baxak. Bu zaman o r'l fo o r.)[o o o) o ol-lo o olll o ol ooj loooj[o ooj luetl=t olar.hamin yolla digar A -lar UgUnda bu gttra munasibotler alank ve llmumi gakilda t4 e!l= e', <r*o yaza bilerik.

Qahqma V.6. Matrislardan A= B= EJ' tn {lo{; -1 llt J, tt- 2 t_ 3 1/3 3 3 r!6 3^12 ttl t_ llo 3J, 3t matrislarini dioqnallaqdrran matrisi taprn. 2 2J3 Hall: A ty = trur tanliyindan A -nrn mexsusi qiymati taprhr: l-r 2$6 ll ld tanliyindan l+ -t l, =l,ir=-1, lr=-

koklari altnar. i.r =l kiiku uqun -!,, * fr,,*e*', =' E'' - ',* f'' = o *',.{tr,-i', =o tenlikler sisremini Y azatrk. oldupundan x, -i matris geklinda -rr : x' : xr =,Et',[ x,= E {, T t- 1l+ yaza bilerik.?'r=l, = -l helleri ilgun tanliklar sistemi 1,,. &,*E*, =o f*, * r.* r[', = o *''-,,fl'' *l'' =o 52

olar. Bu sistemda rz = olanda rr = ve x, ='Ji olar. Faqot x, = olanda x. = --F,.r., = -l olar. Onda J3., [i,). [fl yaztlar..t, J, va xj -a gfira F 1l: tt,lz n t- 1/o,, fi +[,"] tt!r E!t X" r' =F;r= r -L 1r E 1lz llo

matrislarini yazank. l,i = l, i, = ir = -l va L, =7t, =2,1,., = uylun olan ^A va 6 matrislarin mexsusi funksiyalarr Y,,Y, vo Y, AY' = 1Y' AY' = -1Y' AY' = -1Y' BY, =2v, BY, = 2y, BY, =v, tanliklerindan taprl rr. Y,Y, va, -a g6re U -matrisini Ett/r {;,1, r/a,1,8 ' -,8 trttlt -th l, -{a segmekla, A va B matrislarini diaqonal gakla salaq. Belalikla UAU. = F 1t 1t tl -{t tt t- t_ lt \z o OE tt tt,- - t_ \z 1lo 54

_1 3 t' 6 1l: J' J lll _t r/: F 1l t, 1lr tr 1t J' -+J J' Nz N2 J' 3 T t- 1g _? 3 J1 J Jo 1 N6 --7 46 ll 1ls tr t; 1e F 13 \z.16 /t 1l lr -,_ '\ls t1 t, t1 t_ tjo ll J J +,12 tre - t- - t_ tjo tjo t:; l] almar. Yani olar. Hamin yolla UAU- = i:]

UBU- = h 1r T i_ 1r Ft_ 1r tr trz tr t- 1z - r 1o F tra F tre 5 3 /1 1/o tjz F!6 1 2,E 3J2,E 6 E l/: n \z E llo F!l 2./6 /'r -t'vr T l_ \z 1 -!a ahnar. Yani (2 o o\ l:;:l f2oo\ ubu'=lo 2 o tt l. rj BOyleca, U -matrisi A va B matrislarini diaqonlagdrran matrislar olacak. Qahqma VL7. Ohet gaklinda tasvir olunan mezonlar U9n ktle dtlsturunu tapln. 56

Hall: Mezonlann tacrubedon tapllan qiymatlari m" =o'oz(mev)2 mi =,24(MeV)' (u) mi' =O'3}(Mev)' drr. Kvark modelina giira mezonlar oltet sekkizlikle tasir edirlar' M: -- w" o ur" {o + -;Vt,- W,. vt -" v" 4t' -i* Ju'r va onlaln kiitlasi Vr" V2 2rlt n Je ; =*32u'"u; tayin olunmahdr. Onda mezonlartn kutlasinin kva&ah ; =^:{ilv"l'*lr. l=+lrr,. l'+. )lr.,,l' * P,l' *1v,. l' * l,r- l' * k,l' * lr-"1' - lr.l' -.-1P,l') ^:fu."1' nlw..l' *lv.l' *l*-.1' lr, l' *k-"1' *l.l,-.l' *lv,,l')

olar. Ba$qa siizlo, btittin mezonlann ktitlesi eyni olub, m?o _ya beraber olmahdrr. Faqat, tacrba (a) qiymetlerini verir. (a) dayerlarini almak ugttn ferz edek ki, a = 3 va b = 3 qiymatlari alanda alave 1&n)2 kuttasi yaramr. yani mezonlann ktitlasi * =^;2uiiai+@d,Duiu; + +@r)'z>m!m;1 yazrla bilar. Onda ---;,l t2 t i t t2 m' = n6\v ".1 +lw ^.1 +lw " l- + t t2 t t2 t tz t2 r,zl +lw,,l +lt{t +ltr-"1 +lvr.l +lrr,l"}+ alrnar. Buradan * ra,l, alda edarik. Yani {l.l,,.1' ^i *lw r +lw l', r"l'.lr-"1'.1lrl,} *i =-i mi = nl +@n)' *i =^i +:@o, J -*i =l@l -^:) alank. Bu ifadaya Okubo Gell -Maon dusoru deyilir. (a)-ya gre 58

m]-m'z"=g'29 m! - ml --o'zz olur va Okubo -Gell-Mann diisturundan O,28 = O'29 alrnar. Yani taxminan 2Yo daqiqliyi ila Okubo-Gell-Mann dtistura tecriibi qiymeti tayin edir. - ^; Qahgma V.E. Ogar S. = S- elektronun spininin i boyunca r proyeksiyasrdtrsa, onun T:: r1l l=,nllrsl Lss']=Ltr'.1 rl.l a olmasrnr gstarin va S. -in tam momentlo komunitasiyastnt isbatlayrn. Hall: Spin operatoru i=4a. S =Lo..j. =1o., j. =1o -air. - 2-'-' 2 '' 2' 2 Onda r^^, [s,s,l=s.s.-s;s,=l lssl'l*lssr'l*..,1 L.,,.l. [r.r. ;] = [s.s, ]i. [r.s, P. [r,s. ]g = =ins "-z 1-iai l=;/23. -r3. ) r 'r [r r') olur. A.ualoji olarak

1s,s.J= *[is. _ s, r Bunlarrn cami 1s s.l=*[]s, _rs, r olacak. Asanhqla [3i]=,, 3l l [a tl= -*4 L r) r [a 1l= -*+ L rl r" [etl=-*4 L r) r' olmasrnr gtistara bilarik va bunlardan istifada etsak [.,s.]=[re - :r,i, l* i, z* i 3)= \ r r r) = 1,1, s, ;]. [,,1,. i].1,..,. :]- - [.q,. ;]- [.r,,, +]- [.",,. ;] = alank. Yani =,r,[ls, -u 3 ] \r r ) 6

t,s.1=,,lis, - s ) ti,s.l=,,[;s, _is,) alda edarik. Betalikla ormasrnr rapa.k [i,s,l=,,[1s, _ is. ) rii l=-*[is] L-' l- "'L' " '"r ro*"t = s * i ordupu u9'n [i3. ] = [3i, ]. [;3.] = = rlrsl-,rlrsl= o L, L' l orar. Yeni [rs,]=, orur'

V FASL RELyATMsrlx raxr,ixr,an Bu fesilda qey,rirelyativistik kvant mexanikasrndan farqli olaraq stireti igrk siiretina yaxrn olan zerreciklarin herakatinin kvant mexanikasr gahr olunur. Qeyri relyativistik kvant mexanikasrnrn asas tenliyi olan $rodinger tanliyi ealiley gevirmalarina giira x'= x-ot,y'= y,z'= z,t'= r (ULl.l) invariant qalrr. Lakin Lorentz gevirmalarina gdra ise va ya, x-ot ' y = y' z f- ^, i,-: (\1r. r,2) r9 t- E,x t c' (D -sabit suratlo harekat edan koordinat sisteminin stiretidi) x' = xchy - ct shy ct' = ct chy - xshy gevirmelerina ( shy va chy -hiperbolik sinus va cosinusdur:,hy =! p, - et ), chy = Lk,t + et ) )invariant qalmr. Lorentz gevirmalarinda shy va chy sny =-!,,rl,-5 chy (vrr.r.3) 62

kimi tayin olunur. $rddinger tenliyindan Hamilton operatoru oldulu iigiin in?l= nw dr H = b = t- +u fi = -Lv2 +U (r) (\' l.4).la ') ihl,+!-s2 +UO ly =g Ld, 2m (u.l.s) yuarrk va (\U.1.2) gevirmasinde zamana gora tdrama birinci tartibdan, faza koordinatrna gora isa torema ikinci tartibdan oldulu ugtin invarianth[ pozular. Yani, $riidinger tanliyi Lorentz gevirmalarine giira invariant qalmu. Diger tarafdan zarraciklarin maxsusi momenta (spina) malik olmasr $riidinger tenliyinda yoxdur. Lakin tacriibi faktlar bunun akini g6starir. Nisbilik nazeriyyasinin esaslartnt va spinin varhfrnt relyatvistik kvant mexanikasmda nezara ala bilerik. $ 61. KleYn-Qordon tanliyi Ma' lumdur ki, nisbilik nazeriyyasinde sarbest zarraciyin enerjisi, impulsla (V.2.) E2 = c2 p2 + m'co elaqada olur. Burada tam enerji E-ye m2ca stlkunat.r"rii.i d" daxildir. (V.2.l)-da enerji va impuls operatorlartnt qebul etsek, E=ih!, i'=-,n! =-inv o, dr 12 -h2! - =-c2h2v2 +m2c4 t'

olar va tanliyi va ya -n yaza bilarik. Burada kn = (czh2v2 ' -tr, d', - *r rn 1yt =o dt" 1v, - ', ai, -^l{ \y =s c'dl' n- tv'-1*-to'tvr=o c'dt' mc -. (VL2.3) tanliyi Kteyn-Qordon tanliyi adlanrr, bu tanlik relyawistik invarianthp $artidi ijdayan tanlikdir' Yani, Lorentz gevirmalarina gra invariantdrr. Ogar koordinat va zamanl dordolgulu koordinat vektorunun komponentlari kimi xt, = ch - r, b, -- nin9- OX, (vr.2.2) (vrr.2.3) tesvir olunarsa, (b,b, -^'c'1ty(i,r1 = g (vrr.z.4) va ya @ pa t, + ki)\t (i,t) = o y azzrll.. (Y11.2.4\ Kley-Qordon tanliyinin kovariant qaklidir' (v.2.3) tanliyinin kompleks qogmastnt yaztb (r, _L_o;Jr. =o (vrr2s) l.' '2 at2 '" (V.2.3) -ni ry'(i,r)-a, (V.2.5) 'i ty(i,t)'va wrub, taraftarafe gtxak: 64

,.o', - i6 *u, - r,iv.v =o *'r'-lr#v. -kivv'=o v-y'v - vn'vr. - \ rr- ff -, Y, = o (vrl2.6) alarrk. Burada Ur"?'rlr -\N'tlt. =v(v-v V -Un V'l,'#, -r#r. =**'*-,Y) (vrt 2 7) oldufunu nezara alsak va ih - v au/'. P=;{vt a,-u' a,' j =J-w.vv -wv't " Zim iqaralarini qabul etsak, ( 6l 6) -dan 9L+aiv;=Dp.*Vi=o dt -"' r (vrr.2.8) (vrr,2.e) vazank. ivii. j.ql relyativistik halda kasilmazlik tanliyi adlamr' Gdrtindiiyii kimi Kleyn-Qordon tanliyine gora caryanrn ehtimal srxhgr J $riidinger tanliyindan alman caryantn ehtimal srxhfrna uygun gatir, lakin ehtimat srxhlr p qeyrirelyatvistik ehtimal srxtrlrndan ferqli otub, p >= 6 ola bilir' Cerayamn ehtimal srxhlr (V.2.8) ile tavin olduf,u tlgiin onunla mtielyanleqan maqnit il;;rli, lt" Sioaing.t ianliyinden altnan yalntz orbital maqnit monrenti'olar va burada da spin maqnit momenti meydana gtxmaz (V.2.8)-da 19 << c hahnda

yazank va olar. E=ihL= t t r =mc'(l+-- r+ ')=mc' lr - v 1l'., Ehrimal srxhlr E 9=.\r v=w v mc' ih,dw dw.. p = ;Ut _= _t{ _:_) 2mc' dt dt olduluna gora p=,p< ve p> olacak. onda p-dan zerreciyin sayr anlaygr kegarli olmamahdr. Lakin v - c hahnda kvant nazariyyasinde zarraciklarin sayr deyiqan olur va srx.h[rn manfi olmasr mmkllndtlr. Kasilmazlik tanliyini kovariant gaklinda o'ju=o yazank. Burada J, carayan srxhlr mc2 ),, lv2 2 (vrr.2. r ) t u=fiw'orv-\fi,,vr') (vrr.2.ll) drr. Kleyn-Qordon tanliyi xarici elektomaqnit sahasinde t" - l 1l2,@u-it)' +nzr!lv =o Nr1.2.t2).p"'c' ) yazank. KleynQordan tanliyinda olan tg -fimksiya bir komponentli funlsiya olub, spini srfrr olan zerreciyi xarakteriza edir. Ona gro t1/ -yo skalyar funlsiya deyilir. Bu funlsiya va vektor potensiyal A, gradient gevirmalarina giiro 6

Y'' ='Y.a"i' A'r=Ar-<-t oxp ( / -ixtiyari funksiyadrr) invariantdr: i2 ( er-9e;v ='i (Pu-:ft)w' Kleyn-Qordon tenliyi spini srfir olan zerreciyi xaraktcriza edan retyativistik tanlikdir. Bu tonlik ila z- mezonlar, K -mezonlar xarakterza olunwlar. $ 62. KleynQordon tanliyinin hidrogenebanzar atomlara fetbiqi Kleyn-Qordon tanliyinin xarici elekromaqnit sahasinda yazrhqt {<tn!,-",t1' olur. (V.3.l) tanliyini -1-ihi -!A12c' -^'"olv =o (v.3.r) ( - n' L - zinrr! - in )* * r',p' tv = or' dt '=l )dt,'yr'g' +2ihe.,i + ihec(ila) + e2 A2 + ^'rnly qeklinda da yaza bilarik' Atom elektronu ntlvenin elektrostatik (Kulon) sahasinda harakat edarsa, vektor potensiyal srfu olar ve potensiyal 7' eq = -4-' l=s geklinda yazrlar. Onda (V.3.l) tenliyi

W*.+)' +hzc2v2'^"*\v.'t't= (vn 3 2) kimi olar. Stasionar hal uqun t4(i,t) funksiyasr qeklinda segilarse, (V.3..2) tanliyini ry(i 't) = e-ie' ry171 (v 3 3) l-l-o,.!!--l( u *4\ lu,t;l=o (vrr 3 4) l2^ 2.l., )) alde edarik. (V.3.4)tenliyini a9afrdakr gekilda h' -, ^r' E 2zez E Z'ro 1...,-, - n { --V- +-------- * ll//(r)=u l 2* 2 mc' mc'r mc'r' yazalk. Bu tanlikdan [-Lo, -Z+-41*rr, =' *'f^v,,(i) (vr.] s) z* 2mcz rz mc', l' 2mc' tanliyini alank. (VL3.5) tanliyi hidrogenabanzar atomlar ugun sferik-simmetrik sahade yazrlan $rodinger tanliyina benzeyir, ona gdre de tenliyin hellini dayigenlara ayrrarak, halli..:l ty (i) = R,,rt)Yi" @ 'E) kimi axtarak. Bu hatli (VL3.5) -de yerina yazsak - L1 - Z4- - 41*.,u,r;",r.r, = l_,^' 2mc2r2 *r', ) (v1.3.6) =Lff*^,tr)yi,,@.tp) tanliyini alarrk. Laplas va f operatorlarr 68

69 oldulu iigiin (VL3.6)tenliYi -Lv'=-h= vl* t '. 2m' 2m' ' ' 2mr' (vll 3 7) ily,"'{e,q1= n't(t +l)yi' @,a) n'z t a( 2d\.hzlll+\ Z2e! z?l^ l----., r- - l*-. -..- -.-.,(r(t)= 2mrz d4 dr) 2ml?mCr' ntc'r) (V.3.8) -2 Z1 =!-\-4,,t,\?Lnc' tanliyina gevrilir. Bu tanlikda l(l + l) -in avazina ifadasini yazsak t(t+tt=(,*!l'- \ 2) 4 _ hz d "(t. ---(r- 2m r: dr -l+ dr R,; (r) = = u' - ^1-'o o..,rr, (vu.j.9) 2mc' alank. Me'lumdur ki, Kulon sahesinda herakat edan zerraciyin tanliyi [ok,.r f -t] l 2ntd\ *,l znf 'l _h2 t. d(rzdq,ft\). Ll '1 ol -d 14,,1,1=r,,4,,tt

olur vo enerji - mz2ea mz2ea 2hzn2 2h2(n,+l+l)2 (vrr.3.r) qiymatini alrr. (V[.3.9) ila (V.3.l)-nu mtlqayisa etsak,,--r(,*!\' -'l"l- ' '\" z) c2h2 ^ E2 - m2ca L-_---- 2mc' avazlamasi aparmak laztmdr. Onda isa --;T-=-fr ^%' l^'*r* E2 -m2c4 ^ Z'ro E'l p:y-s)' yazrlar ki, buradan da 22a2 z,o, *l^,*!* t*!\ - zzaz 2) alank. Bu ifadani Z2a2 -ya girro sraya ayrsak va bu birinci iki heddi saxlasak, enerji 9tin.t E R'hzll'_d'z' Ln - r l'' n'ln' ifadasini tapank. L,,'ll 4')) (vrr.3.l l) 7

-OO' Burada a inca qurlus sabrri olub' * =l -- r), (V.3.ll) ifadesinde birinci hedd qeyri relyawistik lrvant.*".ii*.a"f., ifadanin eyni ohu ikinci hadd isa inca qurulug ;;;t,t;i; kvadratr ila miltanasimir' Enerjinin (vtr'3 11) ii"j".ira., gorunur ki, Z =l olmda hidrogen atomunun hallart l -dan asrh olur. yani, hidrigen va onabanzer atomlann hallarr bdvttk suratlar hahnda, -a g6re culasmantn aradan qalxmast iuir".in, uvgu" galir. Bagka sdzla, verilmig n saviyyasi bir-birine yaxrn olao(i =,1,2,...n - ) alseviyyelare pargalanrr' Stasionar hallarr xaralterza edan dalla funksiyasr (M 3 3) gbre +L,,[F;77 ry(i,t) =Yt(i)e h olar. Elektrik yuk stxh[r stasionar halda boytlk stlretlerda e(e - ea\. P,=-iv v mc (vrr.3.l2) (vrr.3 l3) geklinda tayin olunur. ogar E - "'[p'; 'i " olarsa' yuk srxhlr p., yukun ( e -nin) igarasini qebul edar' takin potensiyal enerjinin boyuk dayarinda eceq olur,onda (V 313)-egra p" i;aresi e -nin igaresinin tarsina o[ar. p.-nin igaresinin dayigilmasini zarreciyin sayinin dayigilmasi anlamrnda baqa dugllltir' -- fi, baxrmdan- Kleyn-Qordon tanliyinden baqka tanliya kegej- zarraciyin spinini va digar gat$mayan elamatlerini nazare almak olur. '---- (V.3. l)-dan taprlan hidrogen atoglunu^n'.*9 eytugu tacrubien altnan inca qurluqun qiymatindan farqlanir' Bunun sababi elektronun maxsusi maqnit momentinin, atomun nuvaslnln Kulon sahasi ila tesirda olunasrdr' 7l

/o r o o\ l, nnnl "'=lo o ool' [ (t oo J o) lo -, o ol o, ' =l l l [o o o -r.i (oo-i o) l -,1 /o -i o or l, n n n o'=lo o o ol' lo o o o,j /o o r or lo oo,l P'=lr o ooi (ro o ol l l l [oroo.j Pr=, tttt o o ol.p,=loo_, nl (vll48) [, ) l. -t) dalla funksiyasrnr drd sutun matrisi geklinde segmak qanuna uyfundur. o ve p* -matrislari UgUn (d = p,d ) o*pr=prot OkOk, +O(Ott =Zieop, (vrr.4.e) prg*, + p*,9* =2iepp1 milnasi betlari mdvcuddur. Belalikla, o va p -matrislari komutativ matrislardir ve onlar dz aralannda komutasiya etmoyan matrislerdir. Dirak tenliyinda Hamilton operatoru -A -a H = cpp p+ p3mc' (vl4. r) yazrlrr ve Dirak tanliyini.-w -:,\ ihfi=\cofi F+ pflc')tt i (v.4.ll) saklinda ifada ederik. (V.4.l )-in ifadasini l- -a '\ \E + cp,o p + prmc' )y =g (VL4.l2) 74

va ya /l\ in!-inrp,av + p.,mc2 ly =g (v.4.l3) ld, ) yazmak olar. Ogar (VL4.3) sarbast zarrociyi tasvir edarsa Hamilton operatorunda o va p -lar (\'.4.1) koordinat va zamandan asrh olmaz, gtinki onlann, enerjidan astlt olmast meydana grxar, o da z ndvbasinda qtlwanin yaranmastna sabab olar. or va po -lara koordinat va zamana gdra tdrama da daxil olmur. Yani, ok va p k -larda i,i,p va E ola bilmaz (V.4.l3)-u (E - ca' p - prmc2 )-ya soldan vursak ve a', =a'" =a1 = Ol =t a.tdr +a\d, =dyg- *d-(t =d,-d.+dd- = (V.a.la) a\h + pjq,x = dr93 + P{tv = dzpt + Ptd. = munasibatlarini nezera alsak, {t' -tb4\,, d,bj+q\l + i,,p,1q,,q,y+dra)+ byp,(a,a,+ \.1 + d..d,)+ b,p,(d a^ + ap)j- m2ca pl - mll@,p, + pra,)it, + + 1a, p, + pra r), + @,P-, + Pta,) P,l1Y = va ya ("' - rt b' - ^'co\y = g ahnrr. (VL4.l4) mtinasibatlarindan d ila p3 -matrislari komutasiya etmadiklari ugiiln (antikommutasiya edirlar) onlar adad ola bilmezlar. Bu matrislarin agkar gekillarini ao= Pr= B - r "1 l o o -r ol'o'= -,,J 1 1 1 jl l O,J

a, = -i i o -,) ( i t t l'g.=lr J [o flooo\ r--l ln ' n ol l l l -1 ) -1 l o o.j yazarrk. lo o o,,j po=mc,pr= P*,P,= Pt,h= Pr,d= prd va ao = P3 Qabut etsek ifadesini alarrk. E2 =c'p2 + -'ro =r'lprpu ao = To, =ao'd igarelerini gdtursak, (ML4. l2) tenliyini. dw --: ihaofi-ao@w =(yopo-fn)w =f uruyr alde edarek, Dirak tenliyini ui''mc)ty = geklinda da yaza bilerik. Burada TPTu+!'fu=26u' olur. Stasionar hal iigiiln halli yazmakla -!a V = Q(i,s,e)e h (V.4. l5)-dan (Vn.4.15) 76

_ihcp,(o,y,+o,v) + o.v-) + + (Prmc2 + ev)q = E@ (vl4.t6) alank. O -ni p3 -i.in maxsusi funksiyalannrn superpozisiyasr kimi goilrmak olar. O(i,s,e)=qr*17,t)7r+Q-(i,s)72 O, 4lT) (VL4.l7)-ni (V 4 16)-da yerina yazsak va (Vll 4 3)-i nazara alsak c@(@ J,,+ @ _x,) + (p3mc' + evlx (v.4. 18) x (A -Xt + @ Jh) = E(@ - X'' + @ -X2) olar. 7, -a vo /2 -Ya vursak c oplo, 17, 7,1 - o (N, rn,)f+ *r2 Q * (x x ) - mc2 Q - (x fi 2) + ev (Q * (7, 7r) + A -Q,7)) = E(O *(N,i() + @ -(X, X)) (d;la-ll,xr)-a-1vrvr))+*iloru.,xr)-*to-(xrxr)l y,) S * a - Q,, x )) = llo ( * x, x, r) + Q (x,, x )) * " t\a - 1' alda ederik. Spin funksiyalarr Xfa va X2 oldu[u Ugiin (N'''x)=lxix'av =t Q','x)--.xix'av =o (xz'x)=lxix'av =r ortonormalltgtna gora (v4le).t@ro-.\^t -e +evf' =o.'(vrr4zo) c(@)o. -6r'*r+evP =1 tanliklarini atank. ikinci tenlikden 7'7

o =,c(d Ft *_ (vrr.4.2 r ) mc' + E+eV yaza bilarik. Qeyrirelyatvistik halda, kinetik enerji E = mc2 + ev, zanaciyin mc2 sukunat enerjisindan az oldulu Ugiin P= pov olar ve buradan o. o _:l = _ O_ 2c (yll.4.z2\ alarrk. Demali, O* helli bdyuk, O- halli ise kigik enerji qiymetina uyf,un galir. <D* helli Pauli tanliyinin halli ila eyni olan funksiyadr. $64. Tam hereket miqdarl momenti Relyawistik halda orbital momentin z -oxu ilzro proyeksiyasr saxlanmrr. Qttnki Lr=xPy-!P, c olur. Yani!!.=+(fi L,_i,u)*o (vtr.s.r) dt i' dl. ic /-:V^ ^\/^ ^\ -,1 =; P,V pl* py - w, )-V p, - W, )x. arn "f, o,(a i) * ^clp,g t,, - to,) - (, i,, - tb,)p,l= rytr. 5.2) =cp,(o,b, -o,b,)*o 78

srfrrdan farqlidir. Demali n =,(d i) + p.*" operatom i, op.tuto* ila kommutasiya etmir. hamilton ^h Spin momenti operatorunun z komponentinin ts = ;o) zamana gdrc toramasi ds, _ dt arnar. d = r?, = 4 = l- o yo, = -n,o y --io,; o zo, = -o zo z = io y oxoy=-oy6r=ioz ifadalarini nazera alanda ds. t ^ \ T=-'r,\",iv-ovi,)+o (\'s3) munasiboti yaranrr. Yani, spin momenti da ayrlhkda saxlanmr. Lakin (M.5.2) ila (L5.3) camlasek, J- = L. +S. (vrr.s.4) dl *,="lhj,-j,h) it^- ^ ^\ (ur.s.s) dt h' alar'rk. Yani, tam momentin z proyeksiyasr markezi sahada saxlanu. Belalikla, Dirak tanliyindan bilavasita tam momentin =L+S (Vr.s.6) saxlanmasr alrnr. ogar i2 = i] + 3' +2ii yazs*, V i.l=(t. 1V, - i,li; * i) = 1i " * i ;,i, -i,i: - -ii,i"+7j,+i,i,i,-i,\'i,i,i,= (Vlls T) =-w j, -w,i r +nt ), +w ) " =s alrnar.,(as. -s.r)= ir,bi ""-o,a fil*o 79

Orbital moment vo spin operatorlafl iigiin komutasiya mtinasibatlarind n istifado etsak t^ ^ 1 ll,,l^l=it,o,l,, L,S, -S,L, = t'^ - t [s,, sr l= i6jils/ s,ry - L]s, = i,i y - i,i, -- L,Lr - L,L,+S-s, - srs, elda edarik. Buradan da t- - Lr,,.r ")= ihr, ahnar. Evni oavda ila ' ' ' L:,,i,)= iw,: li,.i,l= ini, Mr.s 8) i,,i,,i, operatorlarr bir-birlari ile komutasiya etmirlar, ona giira da daqiq lgulan kemiyyetler olmazlar. Eyni qayda ila l;'i,l=[r'i,]=o ryrr.s.e) olur. Demeli, J2 ila J,,J,,J, kamiyyatlari eyni zamanda daqiq [9le bilan kemiyyatlardi. Tam momentin kvadratrnm saxlanan kamiyyet olmasr, onlann (V.4. l) ile komutasiya etmasi ila agkar olunur. Yani, [r-,bl= [.- +S,.f J= h,+].[r^bl= (vrr.s.r) = icher^a,p^ + ichea^d,^pt =O olar. Qunki antisimmetrik ern -nin (a,p^+a^pr) simmetrik vurula hasii srfrr olar. Me'lumdur ki, t^^ ^ ^ t^ ^ t^ ^ t^ ljih)= tih -Hri = JklJk,H)+LJr.HFr t^ ^ yaziar va buradan da ll o,n1=g alrnar. oldulu tt9n l;z '' lj; 'H )= (vil s l l) 8

$ 65. ikikomponentli Dirak tanliyi (Veyel tanliyi) Sarbast zarrocik ilgun Dirak tanliyi stasionar halda (e -,6i)-ao^,'b =o yazrlr. Burada fod) (t o\ "=[u o,j' ", =lo -'.J (vrr.6. l ) (vrr.6.2) iki satir-siitilnlu matrisler olduluna gdra ty -ni (V.6.2) uyfun. =(i,:,1 (vrr.6.3) gaklinda segek. (VL6.l)-de (\{L6,2) ve (V.6.3)-tl yerina yazsak,(;:).l: ;.),[;lj--.'(: :l;:)=t:) ryrr64, alarrk. Burada iki tenlik var. Yeni /,\ \E - mc' lp, - cd io, = (e* ^r,:\p,-ru' i,r, =o ryl6's) tenliklerini yazarrk, Yaxud (r - *r'\p, = cd brg, (, * **'\,, = ru' o,rr, (v'6'6) olur. Bu tenliklar ikikomponentli Dirak tanliyi va ya Veyel tanliyi adlamr. (M.6.6)-nin ikincisinden cdi 9t==-':-(Pr t + mc-

alarrk. Ogar E = mc2 olarca, yazrlar. Normalama satrina gora olduguna gdra, (V.6.7)-ni nezera alsak,, =!Aq, (v.6.7) zmc!(qiq,*qi,p,hv =r!(r,r;.ffr; f^,r,1'='!(r,r;. fio,oi <afi><efri)v = t (v68) (vrr.6.9) y&atq. (OXO)-i hesablamak 9tn Z veltoru ila va b- vektorunun spin vektoru ile hasili / -\ - -l (e a\a u )-- au + i6lab l ifadasinden istifada edek. Bunu inteqral (VL65.9) nazera alsak,!(r,r:. fi qi q,q'. nli; fllv = r!('.#\'lp'dv=t (vrr.6.l) yazarrk. Belalikla, ddrd komponentli tg dalla funksiyasr ile iki kom-ponentli p dalta funksiyasr arasrnda 82

(vl6.l l) alaqa yaranlr. iki komponentli Dirak tanliyi elementar zarraciklarden neytrino adlanan zarreciyi xaraherza eden tanlik olur. (V 6.6) tanliyinde @flll "p.r^to spiralhk operatoru olur, onun qiymati -dir va neytrino bu xasseni dagryan zarrecikdir. $ 66, Dirak tenliyinden ahnan kasilmazlik tenliyi Serbast zaneciyin ixtiyari hah ugiin Dirak tanliyinda ih+= "b i * oo^, =\, dr (vrr.7.r) d-lar drd satir-sutunlu matrisler olduiuna giira funksiyasr /vr,) tt,' =lv, tr'r tt l'ro.l qo$ma gottirmaklo matrisle temsil olar. (V.7.) tanliyindan kompleks (**). =b@i)*^,'o"lv. Qa fi * ^i'o,l w' = -ri(aq- + nrcz (do\t)' = = -s:p V - a + mc'y' a[ = -$yt. d, + mczry * o.o - inff = -<oi1yr* + mczaoy' (v'7 2)

alank. Burada yr-funksiyasr V. =(ViWiViVi) ki-i t rn.it olunur. (V.7.l)-i Vr* -" (V.7.2)-ni i/ -ya vurub, taraf-tarafe grxsak ihvl. + = -ihcr{*y ar{ + mc2ry* d,ory 't -,ov ay- = incv ut *d,yr + mc=va ovr' ' t *(v.!. v#) = -ihcyr ri dry - ihcv yr * dry alank. Buradan yazrlar. Ogar in(w.y*.,y\=-in.vw.aw d, dt) P =v*v, j = rrlrtdw (vll.7.3) qabul etsek $(r.r)-v(,.d.,)=o; l*.ul =n 1nrl? 4) kasilmazlik tanliyini alank. Burada ehtimal srxhlr p her zaman musbat olur, caryanln ehtimal srxllr 7= relyawistik hala uy[un gelen d -matrisleri ile teyin olunur. (V.7.3)-dan ehtimal srxh!r 84

(v,\ p =ur'\, =l"lfu,rrrrr, lv',l' V/r l' r..1 *lt'l' *1rr'l' +lv"l' )= (vrr.7.5) olur va caryanrn ehtimal srxhgr fooo i'=\,'a,w=(' ' ' '{o o l, V,WrVrV.lO t O [t o o = V iry n + V iv, + U/;V, + \t,v ;', (!:- ' =,y.a rv = fu ; * ;r; r;) l; _, ; = iv iv r - iv rvt i + v ittr t - iv iut o: jll,1 :l;:l o -tl(ry, ), oll*,1 oll ry., o oj[,r,, j!:_ = ry. a.yr = c : ii, @iviviw,l, o o o l*, l= lo -, o o lr.,j = ry i\t t + v,v i - v iv, - v,ut i olar. (M.7.3)-a gbre cd matrisi sllrat operatoru hahn superpozisiyasr gaklinda tasvir olunur. ryn.7.6) olar ve dord

$ 67. Sarbast zarracik iigiin Dirak tanliyinin halli Sadolik UgUn sarbost zanaciyin Dirak tanliyini OZ oxu ybn[ndaki harekatina baxak. Bu zaman Dirak tanliyi..w [ -.,l tn n =V@il+domc'V (V1.7.7) olar va bu halda operator p, = py =O,pz = p oldueu UgUn / -\ a \W l= a,p, +d,zp, +d.jpz =-rrtqp\ az geklina dugur. Tanlik bu hatda, inw=(_ia"o,o a.\ dt l. " t *+ aomc' Y (v 7 8) kimi sadeleqer, Spin funksiyasr S -ni va enerji ifadesini gdstaran funksiya 7 -ni iki funksiya geklinda g6ttirek ', =',,[])', =',{-;)..,rrte) x$)= x,, x?t)= x, Yeni, S -ler o -matrislerin va 7 -lar isa p -matrislarin maxsusi funksiyalandrr: ",'(i)={})'",{-r)= { ;) 9rZr = Xz' PzX,z = lt, dolr = ri dolz = -Zz (V.7.8) tanliyinde tg -funksiyam (vrr7,o) W =tlt17,t)si(t+yrr(i,t)5,7r*,rr.r.,r,, + Ut r<i, t)s 2Xt + V 4(7, t)s 2)h.S va / -funksiyalann superpozisiyasr kimi olaralg gtittirmak olar. Stasionar hahn dalfa funlsiyasrnr 86

87 ),azanksa, (M.7 8) tenliyi ilgtln -!p, y(i1,s.e)=y(i,". )e r ia\ - ichp,os.-'t d,smc2 p(;'s,e)= Evl(i'i, ) (v.7.l2) l. 'dz ) alda edarik. Spin S, = 1= 5, olan zarraciya baxak. Bu halda ML7'l l) -da iki hedd qalar. h \ vtl z,=,e l= r,)(rio' = sr(c,x, +"r)hyio" (v'7'13) l.2 ) (VL7.l3)-ni (VL7.l2)- da yerina yazsak a, - ichp,o, fts,(c,1, + ri(ryio" + mtaos,(c,7, + cr6,\;o' = = Eq(c,x,+,rxrY;" cpg3s t(cj(t + crtr) + mt qsr(cr6, + csxr) = = E\(c,1, + crtr) c p q(r, 7u + r Sr) + ^ s,(c,1, - c 1r) = E q(c,1, + c 1) ff. 7' 4 ) l1^t - q r,r, *, p qc,fu, +l p qs, - (^t + E1S,c, +lx, = alarrk. s,,/, va 72 srfrrdan farqli olduf,una g6ra 1mc2 - Elcr+ cpc, = Ql l cpcr-\mc2 +E)cr=o) (vll.7.ls) tenliklar sistemini alda edarik. (W.7.1 5)-dan

l^,'-e cp l=n l"p -1mcz + E1l ryn,7.l6) hallinin olmasr ilgtln bu determinant srfir olmalldrr. (\{.7. l6)-dan - 1mc2 - E11mc2 + E) - c2 p2 = g E'-"'p'-m2ca =o milnasibetini alank. Buradan Er.z = llcz P2 = +l + m2 c4 ifadasi ahnrr. e iki deyar = va r = -l almr$ olar (V.?.15)- dan c. = :!_c, va,= :!_c, - mc'+e, ' mc'+er' (\,'rr.7.17) - 24 +m c taprlar. Yani, spini S, = 2 olanaa enerji ikr deyara sahib olur: E, =.rlcz p2 + mzca > n,=-,ftji^'/. (vrr.7.l8) Belalikla, spini S, = ot* halda enerjinin igaresi iki qiymat 2 Er (r = l) ve Er(e = -l) ola: s. h Er =,1c2 p2 +mzco 2' Er=-W*^'/ (vrr.7. t 9) Onda bu hal 9n dal[a funksiyasr 88

vr,,r.,,e = rp5' 5( i\i'1 o * -:t- rr\, -,y^', \t) \ mc+et ) ut.t.,.e=-1pie' { l\il r,.? r)\=*,(u"'''"' \z) \ mc+\-) :nerjisinin iki qiymatina uylun galan dalla fi.rnksiyalan ahnar. Eyni qayda ifa spini -t olan halda yri,t.,, e = 11 =,!" { )Y'fu *, r,)= r yfi.t. s. e =-r\ ii" = c { - :V( n ;Y \ 2) o\ =*,'-"'"' \'" mt+9"') dalla funksiyalannr almrg oluruk. )emeli, sarbest zarrecik iigtin Dirak tonliyinin (V.7.l5) va (VL7..2)-a gora dtird helli otur: w:rt = rr*'"t"{;1, - ffi,r),y;-t - r"i""t"{;{, - #i O rr) ur\,, =,,i'o'*''tr[-;1,.ffi,,,) (vtt7 22) y;-t = rrito"e"r(- jl r, - ;fi,rr) Spini t! olan halli (M.7.22)-ya gtira

v!\,=rri,,,-','drl[ r,*? _ rr) (\,rr.7.23) - ( Z)\' mc'+e, ) vl.l =,"i"'*'" t(ri\r,.ffir,) (vri 24\ gaklinda yazmak olar. Oger s{tkunetda olan zarracik hahna baxrrrksa, (VL7.23)-den ( P =,8 = mcz ) -,,,1, i \,,'.,, =,"-' ^ sltl)t, (vrr.7.25) alank. Yani, siikunatda olan msbat enerjiti ( E > ) zarreciyin dalla funksiyasr p3 matrisinin mexsusi funksiyast olar. p,wl\' =,"'* s(rl)r,r, =,,'* t(.xyi' = *,rlt' Ogar P=mv-drsa,(W.7.17)-da l' = =9 ol*r" mc' + E, 2c )(,+-! - )(,=)(,+!x, mc' + Et zc oldulu ilgtin /2-in emsah 7, -in emsalmdan! d"f" ^, ol^r. Kigik siiratlarde musbat enerjili halr p3 -in mexsusi funksiyasr li,vi:')' =l'l'9" "t olar ki, bu da 7, -e nisbetan gox kigik olar. (.7.24) hallinda isa E2 < oldu$una g6re, (VL7.l5)-da agar cz=c,p < goflfrsek 9

.lpl cr = :_= c mc + 172 :,azarrk. Ez < hah ugtin r/l-l (V.zts)-aan w,r.] = ""*'o't'"' t(*11,, - -#- xr) \ t^ mc +L2 ) va ikinci hadd Xz > Xt-dan olur. Onda..' / r\ wl-.l =ce' ^ slt']^lx, \ t).,-( ',n,2 h\ p3tlti.; = prce h Sl t; lotxz = -Vi-.i llani E, < olanda 7, hedlitoplanan 9 defe 7, lc altnar. -den goxdur. lleni, biiyuk stuatlerda zanacrk y\) hahnda olar. Bu hatda (Ez < ) lt-il Xt maxsusi hah Z2 maxsusi hatrndan a dafa zc azdr. / +\ Demali, spini S- =tll.arbest zarracik tam enerjinin t - 2) l,p--r'p'+^'ro) iki qiymetine E> va E< uylun olan h.alda olur. Elektron hamiqa enerjisi az olan hah tutmala gahgrr, c,na gora miisbet enerjili ( E > ) elektron qrsa mddata manfi enerjili saviyyeda ola biler. Normal qaraitda btlttln manfi enerjili seviyyeler dolu olur. Ona gora Pauli prinsipina asasan mtisbet enerjili elektron dolmug seviyyeye kege bilmaz. Amma manfi enerjili elekson kifayat qadar enerjiya sahib olarsa, mtisbat saviyyaya kega bilar. Onda da manfi saviyyadaki elektronun yeri b,oq qalrr. Bu boq yer mtlsbet yilklii, mtlsbot kudoli va miisbot

enerjili zanacik kimi iiziinu aparar. Bu ctilra zarracik musbat enerjili elektrona rast golana qedar miivcud olur. Bela zerreciya pozitron adr verilmigdi. Birylaca, Dirak tenliyinden kutlosi elektronun kittlesino berabar olan zarraciyin varhfr maydana grxrr ve onunda tacriibada 1932-ci ilda mugahide olunmasr almmrgdr. Bu zarrecik elektronun antizerreciyi olur va pozitronun varhlr meydana gelmi$di. Sonralar bagka zarraciklarinde antizarreciklari taprlmrgdrr. Bdylace antizerreciklar fizikasr meydana grxmigdi. $68. Stasionar Dirak tenliyinin diird tantik $aklinda yaz ryr (\'.7.l) tanliyinde olan Dirak marrislari o va p -lar ddrd setir-sutunlu matrisler olduluna g6re ry -funksiyasrnrnda drd satrli matris geklinde sega bilerik: (\t t\i'tt \ t_t u.t (i. t ) =lv (r 1t 't ) ll W 3(r '') (rrot;.r).1 rvlr.a. r (V.8.l)-i (V.7.l)-de yerina yazsak ve (V.7.l)-dan istifada etsak (u-, n = rpr(o,fr, + o rfi, + o. fr.)+ prmc, E-mt [,,]" E-mt -cpz -{p,-ipr) -4p,-ipr) c& -c& -<p,-ipr)\w -4p,-ipr) cp lr, E-m? o 1,r,, o E-mt jr, = ryrr.8.2) 92

alank. Buradan a$agldakr tanliklari (L - mc' )Vt - c( i, - ii,,w n - ci.rlr, (E - mc')u/, - c( p, + ip,\ry t + co.yt 1 (E + mc2 )yr. - c(p, - ifi ")ry, - cf,,yr, (E + mc2 )yr o - c(fi, + iit ")yr, + cit -ry. alda ederik. Sutun matrislerin baraberliyindan t:l =lo,j (vrr.8.3) (E - mcz)r1r, - c(b, - ii )ty, - ci,vt -- O (E - mcl )ry " - c(fi, + tfi ")ty, + cfi.ry, = g (E + mc'? )ty. - c(b, - ii )\/, - rb.ttr, = O ryn.8 4) (E + mc'z )tl/ 4 - c(ft, + ifi ")ty, - ci,v, = O te,nliklar sistemini yazmrs oluruk. Bu tanlikler sistemi hom spini, hamde enerji igarasini giistaran funksiyanr tapmaq UgUn ;lan tanlikdir. Dalla funksiyasrnrn dord komponentli gakilda olmasrna gtire ikisinin enerjinin igaresine (miisbat ve manfi), ikisininda spinin istiqamatine uylun olmasrm giistarir. Klassik anlamda enerji va impuls arasrndakr elaqani r-1"p1-.f)*, =o (vn.e.5) geklinda yazmak olar. E= du'.bu anlamda d - Lc,renz qrsalmasrdrr. Burada mc' /,-d' 1l' c' d - sifat, c *O /,_8' 1' c' [----]; t)" ',11--; c- isa skalyar olub,

$69. Dirak tenliyinin taqribi gekili Dirak tanliyinin bir gox masalelar Ugiin hallinda bir qayda,..2 olarak d t".tiuti qatqlarla kifayatlanilir, ona giira Dirak [".i tanliyini f ql tertibli hadleri saxlamakla, yazmak daha meqsede \cj uy[undur. Bele yazrhgda relyawistik, spin ve spin-orbital qarqrhkh tasirleri daha aydrn giiza garprr. Bu maqsedla elektronun msbet enerji saviyyesinde olmasrnr farz edak. Farz edek ki, bela elektron sabit elektrik va maqnit sahesindadir. Bela elektronun enerji operatoru evazine, onun maxsusi qiy matin mc2 ayrrmakla yazmak olar: Onda Dirak tenliyini va ya E-+mc2+E lzmc' + c - etp{r'l=.tai,/u' ) ryr r.,r \ty, ) \V, ) yazank. Burada d iki satr-sutunlu Pauli matrisleridir ve impuls xarici sahada olar. Dirak tanliyine g6re @ -,E{v' l=,tro/''l \ty, ) \v/r ) P = F-:A c 94

yaztrrk. (E - eq\y, - r(f, - ii,)y, - ri,,y, =o (E-ee)v,-.(n.+;i)y,-.&,/. =o grr.e.z) (E- ee)v.-.(p, -,P,)r, -.i,lr, =o (E - ee)v o- "(P, * 4 )r, + cr.ry' = 6 (VL9.2)-de t[r va \t zfunksiyalan *,oo(b6vtlb), l;/3 va d tyo funlsiyalarr isa : g6ra <kiqib) funksiyalardr' Ona gre,p2 tanlikda! c tartib funksiyalar olan y, ve V2 qaltr. Bu halda { tartiuli \r t va V t<kigik> komponentlarini yaza bilarik: L (r,)=--1-[,_!::t\v,],r,ur,, \w, ) 2mc\ 2mc' )yvz ) (V.9.3)-da P-+ P dayigsek [[ ) = --r[,* #a -,a#y;,)."rl e 4) arda edarik. P)=,',(r' otaueu ueun N = t--4. ap,b, ---""'.,r,) l,pr) - 8m'c' (O' ) fuorrir"t*'n, odadiyi ifadani lq, )

t 6mg lle: ) r E { u - ", - }r- @ - "a) p'v a' )= = 1*raarraar ltm -6p',!-!4wr---z- f 4m-c. z rc-.r. )\x= ' ) ( Vr.9.5 ) Eaklinda yazmak olar. (\4L9.5)-i (V.9.l)_in birincisinde verina yazsak va ; fl' tartibli haddleri atsak va @ OG h = at + iafaoj Ap + pa = inie!- (df)(df) ='p, -4(dFn) =p, -46g (vx e 6) CC tapank. Oger. miinasibatini nezare alsak E =_gradtp=_ytp (e)@ - uil(e1 = (E - erp) p, - -ien1@1+ eh(6[fi] elda ederik. Burada hemginin (v e 7) D, J_ = p' (E _ e(p) = (E _ ee) p, + zm 2eh.- +:::-(EF) + eh2vrtp (v 9'8) yazank. Bu ditshtlarda e- ua E elektrik va maqnit sahesinin intensivlik vektorlandr. Naticade (V.9. l) tanliyiniieqribi olarak 96

(, - " - - *,\Y,;,)=l # - *,", (vr.9.9) -,'4., (alo1* :!-r'rt'') 4m-c- 6m c JV: ) gr:kilde - yazarrk. o -matrisi Pauti matrisleridir' (Vtl.S.q) ifadasinin sol tarafi zamana gdra sabit elektrik va nraqnit sahasinda qeyriretyawistik harakati tasvir edir' Sa[ taraf i:;a ielyatvistik ve-spin effekttari hesabrna olan alava qarqrhkh tosir enerjisini gdsterir. (V.9 9)-u sa[ terafindeki birinci hadd 4 l/,., =- P.. zarraciyin relyawistik siiratina olan elavani ''' Smt c' nezera alr. Bu elava Kleyin-Qordon tanliyindaki alavanin eynidir: z H=*r2+P - 2m 4 4 P p (\,rr.9 r) 6m c' 6mc ^ 72 (V.69.9)-un ikinci heddi v..=-(pb) (\,.9, ) qaklinda yazrlar. Buradan altntr ki, lt = lmc -6 l:inematik va ya Dirak maqnit momentini gostorir' Bu da kigik stiretlar hahna kegdikda tizlilnu gostarir. Qeyd edak ki, enerjinin o2 -ni elektronun tru dayari 9 tartibde olur. ogar S = ld gotutt"k maqnit cl rnomenti i..lgiin p.= 3-S mc (vrr.9. r 2)

atarrk. (vlle.ep. vro =-#(a[e7] r,"aai spin-orbiral qargrhk-h tesiri xarakterza edir. Nilvanin Kulon sahasinda g vo E -lari Zei (vrr.9.l3) (p=--, Ze t - rr- =---1 yazarrksa, harakat edan maqnit momenti, niiva ila qargrhkh tasirda olanda, bu tesir v," :-?"(Y)1a1dF11 zmcr (vrr,9. t4) baraber olar. Burada S=ld,pir, L--Ffi isa orbital 2 momentdir. Ma'lumdur ki, spin-orbital qargrhkh tesiri orbital momenti srfrr olan s -hah Ugltn olmur. (VL9.9)-da sonuncu hedd nilvenin kulon sahasi UgUn vr,,^=lt-v2r=4!aa grr.er5) 6mc zmc olur ve kontakt qargrhkh tasir adlamr. Bu tosira uygun gelan alava enerj i Mr", = ty*vr,tydv (v.9.l6) mtltanasib olur va s -hah ugun [rg(1'? olduluna gora s-hah srfrrdan farqlidir. lirfol' hallan 9n dalla funksiyasr r = ounaa rf()1'z srfrra yaxrnlagr. Ona gdre kontakt qargrhkh tasira da, spin-orbital tasiri kimi baxmak olar. 98

$7. Dirak spinoru va hidrogenebenzer atomlar iigiin relyativistik effektlar Relyatvistik kvant mexanikastnda saxlanan rnoment olur ve tam momentinin kvadrattntn birlaqeninin maxsusi qiymati j,f *, )= r,11; *,f y, ) - [vr,.l,.. \u,,),.[l:)= *,1Y,,) tanl iklerinden taprlr. Burada ;=ttl. t '2 =,r,2,...n-l mt =- j...+ j qiymatterini alr. (Ll.l) tanliklar sisteminin hellarini rlrr= clf-t (,t?), Vrz =czyt' (,Q) 1.13) g akl inda axtarak.,' -sferik funksiyalardr' Onda t,(y,,,)=r,,(,.,u:)."r.o4) trrnliyini nazara alsak, L2 --h2l(l+l) va S2 =ft2s(s+l) mtinasibatlorino gro i,"{l;)=[i(i+,)-r(r.'-il;:)."r los) y,aza bilerik ve Yaxud:!l(t, - it,\y, * L,w,\= ov, ' Lol -, *,L,b, - L,v rf= qv t kamiyyat tam va onun z (vrr. r.1) (Vr.1.2) lvlt.to.ol

taprlrr. Burada q= j(j+l)-1(1 +l)-f -air. 4 L,vi'' @,tp) = hmyi'@,q) milnasibatlarindan istifado etsak, (Vl.l.3)-i gdz iiniina almakla (ur.l 8) (VL.6)-dan taparrk. Omsallardan qurulan determinantrn srfrr oldulunu nezara almakla t q+m ti -^q1^ q=t. j=t+-,cr=-l-i;r, q=_(r+t), 2 (l+l-ms(+m ^ ll+^ - 't'=-t/t-.nrc' = (ur.r.e) elda edarik. Spin momenti ila orbital momentin toplanmasrnda sferik funksiyalar arasrnda yaranan miinasibeti C, ve C, emsallarr mtiayyenlagdirir. Onlara Klebsa-Jordan emsallan dayilir. Normallama gartina gdre cl +cl =r oldugu uqun j = l * ;,1 =,1,... hahnda 1

,6 =r+))= t * ^..,,,-, lrurrt (\il.1. l o) i =, - ;, t = 1,2,... hatnda isa (\1r.1.l l) otar. (VLl.l) va (V.l.1l) ifadalerinde Y,if) funksiyalan sferik spinorlar adlanlr va onlar ortonormalhk gertini ddeyir' (v[. i,12) [r,l1tv,:,1't --6 jj,6u.5^ ' Sferik spinorlar,[/)-ter, spini kasir olan zerraciyin merkazi sahede herakatini xarakterza edan funksiyantn bucala ba[lt qismidir. Bu spunor vi.ry,l,t -- -t( +DYll) (ur.r.l3) tanliyini ddayan spinordur ve relyatvistik halda dalla funksiyast v(it = nayl;!' (v[. r. r4) olur. (V.9.9)-un har bir heddine uylun galan alaveleri, y(i) istifada edarak, tapa bilarik: 4 L8,",=-!v'ti\fuv'j'au ryl.lo.ls) LE* = - -!' lry""(5s)y"'au (vtl.l.l6) ' zmc'.2,. /- -\ *-,, =--+ly'titv!)rri'au (vll.l.r7)

*r^ =#lr+tdszry(i\4' (ral 1 18) Bu ifadalardan (Ml.l.l6)-cr Z,eeymzn effeltine sebab olan haddir. Atomun kinetik enerjisini?' *'' =(p'' *2"\ri' 2mlrl \ / (u lo lg) fu,,\ {=rnr(u,, **') ' 2m '/ yazmah olsak, vili'w*taa=t $artini nozaro almakla, (V.l.l5)-e giira *,,,=-#ll!.'f.,*'l!y-,'ra:))= =-,-[4'J nrnz'o'(, t) (ur.lo.2) (ur.l.2r) alank. Burada f \ zhzr, ( t-\. 2^Z'n, l; )= -ar 17 l e2 = ;[J' " = a=,t 2) drr. M.l.2l) ifadesi Keyin-Qordon tanliyinda alman enerji qiymatinin tlsttlno dtt$ur. Eyni qayda ile (VLl.l7)-dan *,.=-#(sr{-+j r,ro22) elda edarik. Bura& 12

(-ll t;i,'rtr *r{l *})' h2 ao=., me' (v.1.2z)-da oldugu ugun 6 Z)=*U<i.r)-/(/ +r) - s(s + r)l 6il=l+'' t*ootdukda [o, l= otanda olar. (V.1.22)-dan enerjiya olan alava (Vr.1.23) olar. (V.1.23)-da l i=,*! ohnda q = ju + l) -(, + l) -s(s +l) = 1 [-C-UU='-j ohnda (v7r'to'24),1+o /Lt [t, t=o qiymetlarini altr. Eyni yolla (V. 1. l8)-dan rc**=offiv<oll' yazank. Ogar l,irtol' = n'1* P1Y i ityll' (vrr.r.2s)

r"xr ln^,rcl'=4r,[l '-'r \t n, ^'\oo ) oldu[unu qabul etsak. Vll,'l'= o,t"=o' i-, f+(l\' 1zror;' = rn' "o ) olar va enerjiye olan alavo tigun LE*"'=hR,44'' (\1llo26) n alde ederik. Ogar (VLl.2l), (VLl.23) va (V.1.26) ifadalerini camlasek LE = LE,"t + LE, " + L,Eh,, = =-* ^Z.o:l ' -t -,ntt-x,t. -nr,) '' l,.j o 2t(t*,,[r. j) ] r) alank. (V[.1.24)- den q -nin qiymatini burada yerina yazsak M.i=_R,hzt{l+ ; l,'",,, l'", ) elda edarik. Belalikla, hidrogenebenzar atomun esas haltntn R -hz2 enerjisinin E"=--!. oldufunu nazere altb, (\{,1.27) ile E" ^"*'l z2az = E^+LE,, =--t, ll+,,ln, (vlr.r.28) t -1ll a ll,*a l] M

atomun enerjisinin inca qurlu$ sabiti ita motanasib olarak, taplnk. Relyatvistik halda hidrogen atomunun enerjisi daxili kvant adadrn-denda asrh olur va her bir / Ugiin iki j qiymati uypun galir. Misal Ugun, = l-da 2p saviyyasi 2Pr1, valpr1, seviyyelerine pargalanmrq otur (qak.l.l). Baqka seviyyetarda U,3f ve s. kimi 3dyr,2dr1, saviyyalara pargalanma verar. 3dsa 3p1r2, 3dy2 3512,3Pr2 2Po zs,r.,2pn lsra $akil.l. Hidrogen atomunun inca qurlugu Hidrogen atomunun spekhinin tacfllboda miilgahida olunmasr (Lemb, 1947) giistordi ki, bu saviyyalarin st1z, prlz ve s. ijzlari de pargalanmaya meruz qalr. (gakil.2).---x- ll) tosz mt s -------------!-zptn Zptn zsv, Zpy 2s1p,2p12 a) b) $ekil.2. Hidrogen atomunun enerji saviyyalarinin pargalanmasr: a) tacrilbi natica, b) Dirak nazariyyasinin naticasi. lelelikla, tecriibada <Lemb slilritgmesi> adlanan relyatvistik effetc '.Zsy2, 2pyz va 2pr1, saviyyalarinin yeri ila mueyyenlaqir. 2s

saviyyasi 2p saviyyasina nisbatan bir qadar yuxartda yerlaqtr' 2s112 ila 2pr1, seviyyasi arastndakt masafe, 2pr1, ila 2pr1, saviyyatari arastndakt masafanin 1 barabar olur' l Bu naticenin dilrust izahml tofsilatl ila kvant elektrodinamikastna gdra tapmak olur. $ 71. Dipol-dipo rabitasinin incequrluga tesiri p maqnit momentina malik otan nuva (p(r) elektrostatik potensialla elektrona tesir edir. Maqnit momenti, dipol olarak = r- -r,{ L) (ur.l l.r) e=1wrl=tu,1 r ) sahasi yaradtr. Ogar p -a giira yalnrz xatti haddlari nazaro alsak' iki alava hedd meydana gtxtr: D l- - - -\ v,,, = -;\P A+ AP) (\u.l r.2) v..=-*-(ae)=-ne "' 2hcm' p dipolun hesabtna ortaya glxan sahadir' V.,, haddi ntlvenin spini ite elektronun orbital hareketinin tasiridir' div'i = Sertina gajra? -- v,. = -:-AP m oldufu iigun va L=V P]oldufundan e- v.,, = -_,(yl) mr spin-orbital tasirini alarrk (ur.11.3) (\1r.1 l.4) 16

V,, = - jr(ai) eargrtrttr tesiri spin-spin va ya dipol-dipol qargrhkh tesirini gdstarir. (V.l. t )-e gdra y = -rlvil= -rlvlvllll =b t h'(!\- L L,J) \./ (vrrrr.s) - tfirvlnrv[1) '\ r i yazznk. r olan halda bu ifadadeki differensiyal tl;ufir)-,'zfuu (ur.ll.6)? ifadasini verar. (U.l 1.5)-e giira V,, ifadasi r -in funkiyasr olaraq koordinat baqlan[rcrnda { ki*i,"*.u.iyyata malik olur. V,. operatorunu tapmak tigtin /(r) -in requlyar funksiya olarak r = atrafrnda inteqrahnr yazarsak,,, =!t*)',[i)- - [t,v Xuv )- i {l,,; F ' ][i) (vu.l1.7) alank. (V.ll.7)-de ikinci hadd r-in funksiyasr olan fazada 2-ci tartibdan tenzor operatorudur. (V.l 1.7)-nin birinci haddini -[T)oo>,', r;eklinda yazank. Onda istanilan r tl9n

alde ederik.,,, =-\*b<,til{tr\,;) b,)),.2 (ur.lr.8) ryn. 1.4) ve (V..8) ifadelari - deqiqlikle atomun lcl saviyyalerina olan elavelardir. Xiisusi halda s -elekhonun incaqurulugu, kontakt hadd -Tbrbro N, e) olan ifade ila tayin olunur. Demeli, elektron ve nvenin maqnit momentlarinin qargrhkl tesiri, atomun saviyyalerinin crlagmastnt aradan qaldmr. Nuvanin maqnit momenti 13 dafa elektonun orbital maqnit momentinden kigik oldulu Ugiln, nuvanin maqnit momenti hesibrna olan pargalanma ifratince pargalanma adlanr. ifratince qurlugun dlgillmesi, nttvanin spinini ve maqnit momentinin lgulmasi metodlanna banzayir. Elektronun maqnit momenti lt = - ltod, nvenin maqnit momenti isa it o = 1t od, (p, = +) u. ^ = -b E)= u,u,(a *, -,!,)= = uo u,((&)@ ovl - 1aa, ;v, )1 r gaklinde yaza bilarik. Burada oldulu Ugttn qarqrhkh tesir (ulll.1) 18

(dxdpv) =!<aaolv, v2! =an6g) r rrldufund"n, V^.^.-ni v..^.=\uour@6r)6(i) (ul.ll.ll) alank.,dd, ifadasini tapmak ugun elektronun va protonun (Z = l) spinle-rinin cami olarak tanliyindan istifada etsak, a.[arrk. Buradan!n'(a*arYw =h2s(s+t)v 4' l(o' + o' o+ 2dd, )= s1511; 4' 6do=2s1t*11-3 c,lar. (V.l l.l2)-ni (V.l l.l )-de yerina yazsak (ul.lt.l2).. 8n V^. =tt otto(2s(s+l)-3)6(i) (VLl l.13) elde edarik. (V.7 l. 3) ifadasini inteqrallasak, lv(t" t (zn"2\',t =*,1 o, ) oldulundan hidrogen atomu Ugtln vt \t6 (i)dv = ful,.r1' = *(#)

alank. Yeni: te... =Y t ot,(zsrs + rl -:)* ( r+\' Bn / '\ rc.,.' =\uounlf)7t r,t.,,-,f (vrlrr'14) alda ederik. (V.Ll3) gdra elektron va protonun spini antiparaleldirsa, s = s? + sp = olarve M,,,., (s =o) =."r,;(#)' tv rr 15) taparrk. Elektron ve protonun spini paraleldirse, S = S, + Sp = olar va A8,.,.(S = l(-o'\t t -- ittou,;l;) rvtl rr 16) ahnar. (V.l L l4) ve (V.l l.l5) ifadalarindan a... _M-^(S=l)-AE^.(S=) _ u--rh _32 ttopr( ^"r '',r (, ll lt) _------i--l_.:- 3 hn'lh' ) yazalk. Bu ifadedan n = ( s -hah) hah uqun Aat"", = 1417 rt1',. alde edarik. Tacrilbi olarak, radiospektroskopik metodlarla s - seviy-yesinin pargalanmast iigtln Aal*. = 1426 n.,rlrt qiymati taprlmrgdrr. GiiriiLnd[y1i kimi elekhonun anomal maqnit momentine malik olmasr taqdirda p. =po(l+d) yazlar va 6 =,116 qiymetini alrr. Onda da L,ot *, ugitn alman qiymetla Aal o"-nin qiymeti kifayat qadar yaxgt uzlagma verir. ll

komponenti $ 72. Dirak matrislerin cebri Umumi halda Dtrak tanliyinda lil -funksiyanrn Pt!ilVr=mVt, (vrr.r2.l) gaktinda yazmak olar. Burada P, ve 4t datrd olgulil impuls ve datla funksiyasrdrr., / -lar Dirak matrislari, m -zerlaciyin kijtlasidir. Simvolik olarak Dirak tanliyini (W-m)V =; Tp =T rtpp =fr -ToPo ff.12.2) yazak. Onda (V.l2.2) -ni 7 p -ya vursak u p ult " p,fu = *(o ut rb = ^"Y (vrr.r2.3) alarrk. prpu simetrik tenzor otdugu uqiim (PrJar komutasiya edirlar) (\rl12.3)-u yaza bilerik ve buradan. ytyv+y,yr=26uu ff'124) elda edarik. Onda! uf, = 4 oldugu 9un yazarrk. Eyni qayda ile f,tuf,=(2.6uu-l"t)tr= (Vl.r2.5) =2y -y y y -tv tvtlttl =2f "-4y,=1y, fptptvty=6pv f ptxf ptvy p ='2l plvtx! ptxtvt p! of p = 4TofxTrT p + T ptvtx! o) (Vll 12'6) alarrk. Belalikle,

ai+6a=z@t); 6=apTp,, a4=a' T pbiy u = 41o61 tp66eyu=-26$6 r uaieiy u = z<aa6e + etail ab=d6-aobo mtlnasibetleri taprlar. Hesablamalarda gox vaxh T* n ""*" = ilz(y P,'Y p""'y t',) = = it,(y n,y n'...t,^\ = osp{y n,y *,,...Y,,.) (ytr.tz.,) (vrr.l2,8) 7 -matrislarinin izi va ya dioqonal elemanlannrn camindan istifadr olunur. y -mahislarin agrk gekildan zyu=g ahnr. (Vtr.12.4)-m her iki tarafinden iz alanksa Eyni qayda ila z(lotu +l,l,)=2lz6pu t orry uy" =Tuu = 6 ru; Tu, = 6 uu l_ il'yuy"yoy, =Tuu* = =6r,6oo - 6 *6,o +6,,o6,p (v.l2.9) (w.lz.lo) tt2

yazank. Bu ifadade (V.l2.4)-a asasan 7,, -ii sa! tarafa kegirmak olur va har yerdayigmoda (Vl.12.lO)-nun bir haddi altnar. Yani T uuoo = 26 uut ro -Tuwo = 25 uu6 po -Tuppo va s. Onda bi.itiln yerdayigmani nazare alanda sag tarafda -Troo, = -T pupo (vrr.r2. r l) qalrr, onuda sola kegirmak olar. Belalikle, (V.l2.l) formulu alda edilir. Giistarmak olar ki, tak sayda y -larrn izi stfir olar. Lakin citt y -larn izi srfirdan farqli olur, altr dena y matrisin izi Trro6, = 6 pu6 pjta + 6 rr6ur5 6; + 6 u,6rr6* + + 6 uo6,p6xa + 6 ur6,n6 oo + 6 ur6,x6- + 6 ro6,n6 n + + 6 t^6,o6 pn - 6 t PuS p, - 6,'6a6 pa - 6 r,6 616., - - 6 rr6,"6a - 6 *6.$a, - 6 tn6"e6"4-6 ir6,,p e" ifadasi ila verilir. (\{.12.9) va (V.l2.l)-a gora (v.t2.t2) lis =l*,,y,hyv = ata,tq ttv = a,p,,6 ry = ab )r,is="t=ze-6 lnaiea = a,b,crdo(6""6* -6 *6," +6,"6, : ^^ z.abid = (ab)(cd) - (ac)(bd) + (ad)(bc) 4 (vrr.l2.l3) (v.l2.l4) 7 -matrislarinden xtlsusi xassesi olan 7r -matrislarindanda istifada olunur: 'ls =TqYlzTt (vrr.l2.ls)

Burada y,,y,,r=f t 'l t,t q-in -i, i -, a$kar $akili -l ol l',l :l :l y2= y3= t4 - i -, l - 1 1, -l -l ' -l oldulu rgrn, y5 -in agkar gektini olur. Balli olur ki, Ts foolo\ lo o o,l -lr o o o l, o o.j f st p = -T pts; )2 =l (vrr.l2.l6) olar, yani 's, /, mahislari ile antikommutativdir. Feqat d ve p, matrislari ile dy, -yrd, = pt =fc fuf 5 +f 5P1 = (vrr.l2.l7) mtlnasibetini odayir va (y s)t =Ts ermit matisdir. Bu matrisin izi srfirdrr. zyt =g 4

Elamginin zy uyu, s = z! ptutxts ( f, -larin sayl tak olanda) beraber srftr olur' Eyni yolla t +l,y ulvy py6ls = pvpo Zry utvy ptottf4ys =6tr re rroo+ 66+e pvpa- (Yll.l2.l8) - 6 u7t"6r, - 6 -p pu& + 6 pf pd,t + ilf ua i;rlari alde edilir. (M.l2.l8)-a E pvpd-lar 4 rankh antisimmetrik tenzordur: t'tzlt = Ettzl = lqtz = Ezltr = - ztlc = -Ett3z = -E3qzt = - lztt t llu4 : c t2 -.-,ctz44 - cl23l -...--n w Eiu tenzorlar vasitasila 7 matrislari va 4-6l9ulU veklorlart 1'tyuy p = -6ury, + 6 uut, - 6 *y, 't rupof ot s :L\6 u" - r ur,)= e ppuoy ot pt 5 t-.,,"o a,,bu c od o = -aa@le dd + b Gval) - - codged + d Gt el) ry.t2.19) yaanak olar. Burada ar, bn, cnva d n-lar ao=iao, bo=ibo, c t = ico va da = ido kimi tayin olunur.

$ 73. Supersimmetriya va supergevirmenin generatorlarlnrn cabri. Supersimmetriya nezariyyasinda (SUSY) spinlari l1 muxtelif olan fermionlan ve bozonlart (spinler fi, lh,... ve 22 h,lh,2h,...\ bir-biri ita alaqalandirilir va bu simmetriya stxt suratda faza-zamal simmetriyast ita balhdrr' SUSY nazeriyyasinde supersimmetriya gevirmasinda generatorlar bozonlarr fermionlara va ya fermionlar bozonlara Eevirir. Bu operatorlar iki kompleks operatordan ibaretdir. Supersimmelriya neca tasiri kegirir? Ktitlesi srfrr, spini 1 olan bozon spini lf2 olan fermiona hh kegdikda, spini +ft va -fi olan bozon, spini +- va -- olan '22 fermiona gevrilir. Bozon + A + A Foton Fotino Demali, supersimmetriya iki kvant hahnda, zarraciyin spini r or- [s, =tl]r,ar ila, iki spin halt arastnda alaqa yaradrr. t ' 2) Belalikle, her bir zorracik ozilniin supersimmetrik teref muqabilini yaradrr. Yani, supersimmetrik fezada dnme, spininin qiymatin deyiqir. Supersimmetrik gevrirma zamaru fiziki obyekt, feza ve ll6 Fermion A s,=r <_> (+l s,= 1 A 1r s,--r e *t) s.--; 2

zamlr..da vazilyatini dayigir. Belalikla, supersimmetriya ila fazazamanrn arasrnda alaqa yaranrr. BaEka s6zla, zarraciyin qargrhkh tasirinda feza-zamantn aynliyinin meydana gelmesini, yani, umumi nisbilik prinsipini nezera almak lazrmdrr. Supersimmetriya naticasinde bozonun fermiona gevrilmasinde ve fermionun bozona qevrilmesinda faza-zaman avvelki feza-zaman rolunu oynayrr. Supersimmetrik invarianthlr temin etmak tlgiin superfazadan istifada edak. r. Supersimmetriya abstrak geniglanma feza-zaman fazasrnda, superfazada meydana galan simmettriyadlr. Bu fazzda faza-zaman koordinatr ru (bir zaman va ug faza koordinatr) ila yanagr alave o koordinatrnda miivciiddur. Supersimmetriyanrn generatoru Q,,-, koordinatrna tesir edir va okoordinatr r -l p" p ]=" p + Oo -- -Pu! u)op (V.13.1) qertini Odayir. Supersimmetriyanrn riyazi ifadasi olarak supersaha qabul olunur. Supersimmetriya qlobal va lokal ola bilar. Qlobal simmetriyaya ktitlasiz zarracik uylun galir. Bunlardan biri r=1, diirdti 7=-, altlsl ise r= olur. Lokal simmetriya isa 2 t =2 olan qraviton va spini 3f2 olan qravitino adh zarreciyi :<araklerize edir. Supersaha @'(x) -+ @'(;'), x! -) x'tt = x t + e p + e ux uu (Yn.13.2) r;evirmalarine gora invariant olur va bu saha O'(r) = 661'; invariant qalrr. Burada G = it upu - l, u,lu" drr. Super gevirmenin generatorlarr Pu = id u, Lru =2r" + i(rua " -,"a r), zr" (ou" =l o (vtr.r3.3) ol -dir. ou" )

Onda ahnrr. b'ou\=2"6e, {. t* }=!z(o,,\ou i/ \ opv =i\otov -o"ot) (vll 134) Supersimmetriyada malum zarraciklar superpartyonl arrnr - supertarefmuqabilini amala getirirler. Fermionlar: Qutyon spini - qulyonino spini! 2 foton spini - fotino spini 2 lv a,z bozonspini [, -vino, zino spini! 2 qraviton spini 2 - qravitino spini 1 olur va 2 bozonlar:.t neyhino spini ' - cneytrino spini 2 elektron spini a - celektron spini ).1 myon spini ^ - cmuyon spini 2.t tay spini ', - ctay spi-ni 2 kvark spini 1 - ckvark spini qabul olunur. Supersimmetrik nazariyyada umumi nisbilik nazeriyyasi muhiim rol oynaylr va qravitasiya qargthkh tasirini aragdrrmala imkan yaranrr. lt8

Hal-haztrda kvant nezariyyasinda qrassman adh dayiganlarden istifade olunur. Onlann yardrmr ila bozon sahasindan fermion sahesina va tarsino kegidin olmasr qebul edilir. Yani ela gevirmalar tapmak miinrktilndiir ki, bozon ve ferrnion sahalari qangrrlar. Onlar, yeni bir supersahanin iki muxtalif tazahurudtu. Sonsuz kigik Lorentz gevirmesinda at" = 6t., + e,,,, (\1.13.5) M (a) matrisi M 1a1 = 1 - L,.,..o.,.. (VX. 3.6) 2-Nv- Pv kimi yaxak, ( o, antisimmetrik spin tenzorudt) zo,, = oldu[u tigun O ii = --E ilo t, O o, = -io t i.. o,, = - (o)o, - ojo,) olmasr sabebindan, bispinin (o,, o >,,=1,, ) l " "' lo alda eda bilarik. Supersimmetriya generatorlanm ";') P, = id o'lu, =zr, + i(xr, - x" r) (\1.13.7) gottlrulur. X'(x) = 6y1r1 Puankare qrup gevirmesinde G = ie,p, -i.r,,t* yazartk. Onda Q1 va 9n generatorlart (Vl.l3.8)

'," -9- a, =ifi-ofinuay"r,l,.. $ a "?tt" ae = -ifr+ oo'*a, 1"ru-rurana gdro torama, spin dayigmalari E" n",1, ila tayin olunur. E" u. tl, spin dayiqmeleri olarak, qrassman dayigenleri adlamr. Qrassman dayiganlari (, va t;,-ya gora tdromolar * t. * a "- al- -ae^ 6y E"E pn""' = i{5 pn " "' - E" i{n" "' *,rro4o ata91 *. (vrr.13.9) kimi olur. Burada dr. Analoji olarak #=u",,w=u." (ur13 ro) fre"en" =ffl,ea..-n,ff1,.. * *rreu# - u"r"rrk. ' a " fr '* n'r,,"t uldrfrna gore t2

E,E a.q, o, E" p.e"n" 'E"Ep4..4Jt pe,,e,e ptlfl o hasillari srfirdan farqli olur' Ona gdra EJB =-f,ea{e yazsak. Onda olar. Eyni ila ahnar. Buradan GEt=E"E"=E"t.oEo.,-. rora - 2-",, e q =qn" =4" a5o (vr'13 r) (V.13.12) 4,1ano = --.ige)n,, (vtt 13 13) 4,4p8, = -!e*@ill, 4 ol,e,e p = : e rne 4 GE)(nq) (vrr.l3.r4) yazmak olar. Ona ggre (,4 ve ontann kombinasiyasr olan G1,(E E )'E "4i'GOE;'GE )1",$l)(r14) -ta'.. spinorlann bazis elemanlan olarak l6-tilgulil xetti fazada qrassman cabri taekil edir. $ 74. Supersahanin laqranjianr va harakat tanliyi Supersahanin harakat tenliyi teal A,ty va F sahalerin xarakteri ilo miiayyan edilir. Laqranjianda A,yr,F -in koordinata gtira birinci tartib toramasi va ov isa xatti daxil olur' Bu

sahalordan, A va F iki skalyar, t4 isa spinor sahadir: 64(x1= 4'111 - orr) -- lovog) 6161= 7111- p1x's = J.o ud rvg) (Vn.14.1) 6ry(x) = yr' (x) -yt (x'1 -- D({- o r)sd pa(x) - \of (x) (Vtr.14.1) gevirmalari supersahenin gevirmalarinin naticasinda qrassman dayifanlari ile tayin olunur: re,o,r <8. ' t = fif; r <e,r, = P? r c'8. )! as,ae,aqiag11 r, = *** f; r,e.e' t = (vtr 14 2) =p?rq,e't Burada P 2 d1" 8" P!2)=-1 a a.ral_t d a a a -P -iae, aq"6 W (vr.r4.3) d.l1ag = lre op a(odl p = dz E dr7i4, =!gaytqodnp =,121' Oger do( = d'ed'q qabul etsak, qrassman dayiganlarina gre laqranjanr,."n, = oo e{i cnt * a, Et - i <eo i2 t', t - (vtr.14.4) -f, x*{,.$"-o'o,'ri"'o'-thor?<,,e><eelx'}a, tll t22

yazmak olar. Burada )(G,E.n) -- e'""' (v.l4.5) X, = s+ie"rca, 71x,$,r..) di va 7r@,(), eyni zamanda X,-G'E) adlanrrlar. e"s<eet=28,e, e o uee,o,rtr" --f,<een",a,v ( g -sonsuz kigik qrassman parametridir) segsak kiral skalyar supersahe (vtr.14.6) x, +G, ) -- A+(x) + Eav *og) + (Ea o)fr(x) (vtr.14.7) bgg, ) = 6A(x)+ Eo6w,G) +Gt)6F(x) alarrk. (V[.14.4) ifadasinda ilk iki hadd sarbest supersahanin tosirini, sonuncu Ugncii hadd ise A,y,F sahaleri arasmdakr qargrhkh tasiri tesvir edir. Supersahenin haraket tenliyi A, ty, F -sahelar Ugiin idu\r'ou-mvt =4gAUt d,o ua* = mf + 4CAF ' 8(W) rytr.14.8) f* = -ml -2se2 olar. Buradan gtirsenir ki, superinvarianthk nainkr spinor saha ile skalyar saha birlagarek, supersaha yaradrr, hatta skalyar sahenin spinor sahe ile qargrhqh tasiri, bir iilgsiiz sabitla xarakterze edilir'.' [iu -*"o skalyar va iermion sahasinda eyni ktltte qiymati realizep' olunur.

$75. Unitar SU(n) qrupunun generatorlarr cami Unitar spin qrupunda, ^ =+ operatorunun izi r"o =!6,u @b)=1,2,...r2 -, (Vil.15.1) olur va komutatorun t "'t ul=;7'o'1' (v ls 2) ifadasini isrifade etsak, lr, iigun f.u,. =-zitzlt,,'t)t. (vr 5-3) alarrk, Yani f.u, -- -f* =.f u," (vn.15.4) olur. ixtiyari izi olmayan (n x n) matrisini yazsak, (V.l5.l) --e gdra F =CJ, (vrr.ts.s) C,, = 2lzF., F = zt "r r;r. alrnar. Ogar F = i(fn) ctlra gtitiirsak (vll'ls 6) ( F,,),n = 6,,6,, - :6n6,, n :V. 15.7) t(t\ 6,-6,, - 1 6,*6,. = z(t,,),r( 1,,\,,1 6,,6, - 16,,6,, n\n) yazarrk, zl. = sertine gora tl (l^)tku")h=16,.6,r- *U*U,^ (v.l5.8) ni elda edirik. m = j gdtiirsek ve i -ya giira camlama aparsak 11,. =".-7.l (v[.15.9) 2n alarrk. (VL l5.8)-e gra t24

zl,,l bl,,t, = - 16, (vn.ls l) 4n^ olar. Ma'lumdur ki, zl,,1b,,1,.=7l,,1,,1bl,. + z,.1,,lo,,)ollr. 're (V.l5.9)-e gdre n'-1 ^ zl,bl"l.=;u. +ifb,,rlzl,l.l,t (vtr.l5.ll) irlar rk. f o.n -nir. b, a -y a gora antisimmetrikliyinden istifade etsak, nz -l ^ zl,,1,,1,,1,=':'6*-)fu"af.tlzl 4n L,l.= (V.5. t2),'-l^ l - =-;ou'-7tuai*r otar. (V.l5.l2)-ni (V.15.1) ila miiqayisa etsak f*of.a, = fu*f*" =n5*. (vtr.15.13) alde edarik. Metrik tenzorun 8n 8a,=-J*alar,, n rrldu[unu nazare alsak va 8.t, = 6 "t r:tsak olar. Ona gora yazrlar. (V[. 15. l)-a asason ahnrr. baxsak 'V.l5. l5)-a gora f.o,*,f,,, =lf* berabarliyinden istifada (vtr 15'ls) f *,f,,fu, =f,f,,{foo,f,,, - fo,,f,,) f*,rrrf,,, =)1,,,, 1,f,,,, =\f,* Ogar f ",. sabitlorina, f,-run U"), = f"o, z[. fu = n6.o " r<f,,f,f, -- if,,* (vtr.15. r4) (vn l5'16) matris elemanl kimi alde edilir.

$ 76. Giiclu maqnit sahasinde atomun enerji saviyyalari. Pagen-Bak olayi Xarici maqnit sahasi orbital momentla, spin momenti araslnda rabiteni qrra bilmirsa, maqnit sahasindo enerji saviyyelarinin pargalanmasrnda anomal Zeeyman effekti ahnrr. Bu halda spinorbital tasira gdra enerji, maqnit sahesindaki enerjidan gox-gox bdyuk olarsa, zayif maqnit sahesinda LE _.,,. >> LE,,,q (VLl6.l) olur. Gclti maqnit sahasinda qargrhqh tasir spin-orbital tasira gdra bdyk olar LE,,oq >> LE"' (vrr.l6.2) va bu zaman maqnit sahasi spin-orbital rabitani qrra bilir va onlar ayrr-ayrrhkda maqnit sahasi ila tesirda olur. Maqnit sahasi olanda (VL9.l4)-e goro maqnit qar$rhkh tasirin operatoru "(a\eh v,,,, = uorl-i *+or), tto=* yazrlar. Burada o3 dioqonal matris olub, (V.l6,3) -ii nazare alsak, enerjiya olan elava (vll.16.3) (t o\ "' =lo -,J-" LE,,,n = fu ; v :f-, ]U. ",\Y,',), (vrr.l6.4) olar. Spinorlann ur(i) = R,,r)y(it (,rp) ifadasindan istifada edarak re.*,= 4;illntr' t rir[wl- i!** ",fu, a ryrr, 6 s ) t26

yazank. Burada oldufunu nezara alsak, f1n''l'"a' --r E+*u^_, l,;=,*1, lr/"*1a" 1-w".,1 [-{ z.r '' ] lt-^*r..,,-,) ri=r-lr ltl,u, 'r 1@,,. t [{-''' ] Y,"' funksiyasr normalanan funksiya olduluna ugun ; = 1 1 hahnda enerjiya olan alaveni M,-n = ffil<t * ^t* + (t - m + t)(m - t)l = "(^ - i)t#, alda ederik. j = -, hahnda ise M,,u alavasi iiqiin M,,.n =!!El{t - ^ + r)m + (t + m)(m - rn=,r(^ -;)* alnar. m., = m -, olmasrnl gz oniino alsaq, LE,no, = ttoqm ib -- hsl rgm t (V.l6.6)

maqnit sahasinda enerji deyiqimini verar' (V[ 16 6)-da ;*1 tl, = "B -Larmor tezliyid o.. g=" '? 2mc +'. 2 Lande vurufunu bagka qakilde yaza bilerik i+v2 " + lf2 -Lande vurufiudur' (vrr.r6.7) va = 1, otdu[unda normal Zeeyman effekti ahnar kr, bu da tacriibade Pagen va Bak terefinden miigahide olunmuqdur' Bu hadiseye (guctu maqnit sahesinde spekhal xattarin iig xatta pnrgalaomas,l Pagen-Bak effekti adr verilmigdi. Alman xatterin tezliyi, = * = ro+ o.(g'o'rlo' - srr) (u1.16.8) n ila teyin olunur. Paqen-Bak effektinda g = 1 oldufu ugiin La = {t LLm Lm--,!l ryfi. 16.9) olur ve bu effektde ahnan kegid tezliyi U9 tezliya uylun olan ar=@'-a=o; a'=) az=@'-a=ctt=ebllruc (v 16 l) qiymatleri alar. @t = a' + co' -dt L -- -ebf 2mc t28

$77. Fermionlar iigiin srxhk matrisi Enerjisi E, impulsu p olan sarbast zarreciyin datla funksiyasrnr miistavi dalga olarak u" =:u-e JzE " lrer-iit n (vn. 17. r ) gakitinde gdstara bilerik. Burada ll o spinordur va onu dord sutun rnatrisi olarak ',=l;:l ' lu]l l"'j (vrr. r7.2) vermak olar. Onlar normalhk gartini dayirlar. Zoxu boyunca harekat eden zerracik ugun (V.17.l) va (V. 17.2)-ni (V.8.4)-da yerina yazsak: (E-mc2)ur-cpuj=O (E+mc2)u.-cp\=O (E - mcz)u, + cpu4 = o (E+mc2)uo+cpu2=O rllank. Burada t,t,,u, spinoru e=*l olan s = - qiymatlarini xarakterze edir. e = *l l,[ u, =A r, tmc {'* u ^,' {'* u ]'""[ tmc l2 -.ll + _ \i E (vrr.17.3) ur, ao spinorlarr ise hahnda spinor tigiin (vrr.17 4)

= -l ilgun ise spinorlan l+*" E u3= ryn.17.5) F+ alda edarik. Relyawistik halda spin vektoru saxlanan kemiyyar olmadrlrna g6re fazada ela bir istiqamet yoxdur ki, spinin proyeksiyasr muayyan qiymat alsrn. Bu hatda spin, zarraciyin sukunatda oldulu sistema gora muayyan qiymat almasr garakdir. Ballidir ki, elektonun srxhk matrisini n.=_(z_rp) ^el l+^" E 2m olur. Lakin elekbonun polyarizasiyasrnr nazara matrisini (vrr.l7.6) alanda isa srxhk Nt = u pi p = fi<^ - iho*t st ps y) (vrr.l7.7) segmak garakdir. Burada S, =(S,rSr) spin momenti 5'=6* ' i'gp), s.=q (vrr.r7.8) m(e + m) m dir ve { polyarizasiya vektorudur. Poziton UgUn isa srxhk matrisi olarak n*t = -J-6+ii,11t+y5y us u) (vrl.t7,9) istifada olunur. 13

$ 78. Neytirino tenliyi ve stxhk matrisi qiymati alan zerreciya Z neytirino deyilir. Bu zarracik zeyif qargrhktr tasirde igtirak edan zarracikdir ve igik siireti ila harakat edir' Dirak tenliyina gdra nevtirinonun kutlasi slfir oldueu uqun Suktinat kutlasi stfir olan,e spini! ' (r-cdp)y =o (\1r.18.1) tanliyini odayen zarracik olacakdrr' Neytirino ugun f = clll otduguna gdra mustavi aafga (r/ - "-*')= hatrnda (vrr.l8.2) \nonp=-vp olar. Burada fr -D= impuls vektoru istiqamatinda orwektordur. lpl [, ugiim ise /- -\- VoMp=Vp (vrr.l8.3) l--.. - otar. 7fr6 operatorunun qiymati, zarraciyin herekatina gdra tt istiqametinda proekiyasrdr. Bu operatora spiralhk operatoru deyilir. Bagka sdzla, nel'tirino spiraltrla sahib olan zerracikdir' Yani, spiralhk, spinin harakat ytiniinda va ya harakot istiqamatina aks yonunda olmasr demakdir. Ogar spin, zarreciyin impulsunun akine yonalibsa, onda spiralhk -, impulsunun istiqamatindedrse spiralhk * 1 olar' Yani, spiralhk - olan zarreciya neytirino, spiralhk t olan zarreciya antineytirino deyilir. Neytrinonun dalla funksiyasr Vp= ^l2e u oe-ipx,v -, = ;fivr-or'o' (v.l8.4) saklinda g6titrsak, spinor amplitudunu

ulou,o =Z(n,p) normalamrg oluruk. Bu zaman zarraciyin ehtimal srxlrlr W = 1 va carayanrn ehtimal srxhgr j = L otu,. Neytirino har zaman tam E polyariza olunmug zenacik oldufu tigiin srxhk matrisi Prp -- uru.u (\1. 18.5) segile bilar. n = olanda Dirak tanliyindan pry -- o yaztlar va -(l+v.v =ur 2' 1+y. eldaedarik. Yani, 1-y. t! +--:-!V. V --+--*V (vil.t8.6) 2.2 avazlemasini etmek lazrmdr. Onda carayanrn ehtima sxhfr i, = )vq - n)r,(r * v,lu = )v, n v,\a rv 8.7) yazrlar. Bununla elaqadar olarak, neytrino ugun srxhk matrisi pxo =!(t+r,)p -y,\y =lq*y)i, (\'rr.r8 8) 'uu 4. Z. antineytrino Ugiin isa ', l,- pxb =;(1-y)b,l (vrr.r8.e) yaza bilarik. Neytrino y (7) elektrik ytiktina malik olmayan, lakin srrf neytral zerracik deyildir. Onun varh[r ve ztinii biruza vermasi. onun polyarizasiya iizeltikleri ile muelyanlegir. Bu dzelliklar ni.lva reaksiyalarinda, niivalerin pargalanmasrnda mtigahide olunur. Bdylace, neytrino sol polyarizasiyaya (spin ila impuls bir-birlerine ziddir) spiralhlr -1, antineytrino sag polyarizasiyaya (spin ile impulsa dolru yonalib) spiralh!r +l malik olan zarracikdir. r32

v FaSiLa AiD 9AL$MALAR eahena v.l. @ A)@ b = G B ) + iola El munasibatini gostarin. Hall: Skalyar hasil tigiin ma'lum qaydaya gdra @ h@ il = (o.,a, + o "A, + d-a-)x x(o,8, + o "8, + 6.8.) = o: A,B, + 2"ArB, + + o? A.B. + o,6 "A,B.- + o,o.a,b, + o p,4b- + +o,o-aj.b.+o o,a.8, + o.o ta.b,- yaza bilerik. 6 - matrislarin xassasina gdre "i = "', -- o'. =1, o,o -- -o ).o, = io., O ro, ='o,o, = io,. o -o, = -o,o z = io y,:ldubu iigiin O AO b = e,n, + A"B, + A,B. + io.a,b, - -io "A,8,-io-A"B,+io /rb. +io,a-8, - - io,a. B, = A E + io,@,n, - A-B y) + io,-(a.8, - A,B,) + r r.-] r--l r- -]'l + io- (A,8" - A,B.\ = A B + ib. la al + o, [a8], +o [A B J= i- -r. = AB+i6AB) alrnar. Demali olur. t- -t (da)@b)=ab+i6labl

qah$ma V.2. Kleyn-Qordon tenliya gora yukun paylanmast srxhltnr taptn. Hall: Miisbat va manfi ytikun miqdan stxlt gr p(t) ila tayin olunur. p(t)1r,/) -tar g@ =t po{i,t-)dv yazrb. P"' (''t) = 'Y"t, 't' Ut"'(r.t = a'-'tf W',-'tr,rtdi! ll, - ry (r.t)=)a lrtr. ri) G)V lr.t)dk tasvir etsek, o'-' = # {','l''t'''l lw "' r. 'tt - r.(i) l - wt'' (r,d?v Q,t)ldv 'dt Vft) {r,t) =,-i(r'tt+i;1 Vl-) {i,t) =,i(ar+i;1 ifadalarini istifada etmeklo va A tezliyi,f -nrn funksiyasr olmasrnr nazere almakla, msbot yiik ugun l 134

n,-,= 'h (('"" - -,^r, tlj" (k)e"''-titdkx "! 1u r,n "ut-i'itdi' -! a"'{i \e-"'"-*"ai x r 'l'),,r.,-,-l rr6i,l7y = "*1" <i'x j * f l;;' o'.,",,,.',,, ",,,,-,@, /mc ' i tr',; di di, - ' -Jo'.'o ia 1i'12"'u -'' " "-"1'- t 't OiOtr'lO' ) alank. Ogar l-, _1r_itr_t,)tdV _6(E _k) (Ztt)" oldufunu nazere alsaq olar. O\r) -ih(2n)3 )[)"' 1i1o,-,qt,1y - 2mc, " f x (- t'' - i(k' ))ei " i )' a G - i' vi*' -.(+) l! at.) 1i1, (i')ia(i)r'"n-','' 6G - bdidi' Bu ifadani ft-'-a gora inteqrallasak J

taparrk. Eyni Yolla alank, ih12vl l '"'' ' u =-lla 2mc' 1t &)a",(k)x x<-ir:ri ttai - la"'(i\ a,.'(i)iatl lat h(2n )1 tl,,, - tz - -: ='#)la"'(k)la(k)dk o,,, - (r!*::,!lo,., <i tl,,<i pe (2n\rh et - gt-, 12 = ::::.t. )] a,, {t)la{* fit. ) = Qahqma V.3' Retyatvistik siiretle heraket edan zerreciyin ixtiyari halda enerjisinin orta qiymatini taprn. Hail, eoyuk stiratlor zamanl zarreciyin enerjisi ile impulsu arasrnda elaqa olur. E > hah ugun orta qiymat * (+) E -- " Q1)E(p)aG'(p,t)dP olar. Burada f+) A'-nr E( p) - ',lr' p' + ^'rn ag'( p,t) -- a"t ( p)e-;'' Pt' dr af - og) =,l " 1)yr\t'(r,t)e h lmc -1Pr dv @ t36

l<imi qabul etsak i - tl E(P) r dv i2; t = lr/;fl ffi" rr.ne'i' Et pt tfft#ry.e,,)e'rl*= -f,------ ll t:1p1ty'g.rrr)," ", (2trh) mc' '' x\r- (i,t)dpdvdv' =,fi;p t t t (nj ca + P' c' lty. 1i't YY. (i'l) x lfo-r't xeh dpdv'dv - - -,*\zosrs: l' ' x \r. (7,t) e;f G -'.'', dp dvdv' 1,azrlar. Enerjinin orta qiymati llftu't1.111-s2h272+m'co7x E = 1!r. <i,t11-c2rt2y2 + m'cn14r.li,tydv MC tapanq. Burada =]_ 1riF,r-r', dv, _a1p,1 (27th)" ),azmak laztmdtr.

Qahqma V.4. Relyatvistik kvant mexanikastnda tam momentln saxlanmasrnr gtistarin. Hall: Boyiik stl'atlar hahnda hamilton, orbital moment va spin operatorlarr dr. fr - ca(6 p) + pmcz ' ' ' L--ihvv ). h_ J =-o 2 ^aa^ L, --ih(xl- y. ) = xp" - YP, -dydx t, -xo, oldulu Ugun HL, - L,H = cpjo,f, + o rp, + o,f,11rf, - yf) + + mc2 prgf, - yf,) - cprlxf, - yf')x x (o,i + o,f, + o,f; - mc2 pr(xf, - yf) = )e )r = 3!-1pro,P" - p,o,p,) =:l pr{o ^P, - o yp,) = l'l = -2chp r(o,y y - o,v, ) alank. Belalikla 138

l't,)= -2chP'(o'Y u - o-'v' ) LryEun olarak, fi U Lr-in kommutatoru olar. h^ HL, - L,H - lcpt(o,p, + o ypy + o rp,)o, + h"h^ + -mct pro., - lcpro.(o rp, + o ypy + o rpr) - h,2c - -mc' ptot = --l Pt(o,P, - o,pr) = zt - -2chqlo yy, - o,y,) C,nda i- + 4. oo"ru,oru? il" ko*ru,asiya edar va "2 t^ ^ h 1 L 2') n,l, + io, l- -Zchpr(o,V, - orv*) - -2chPr(orY, -o,vr)= r^^ r ^ h olur. Yani lttj,1- g oldu[u ttgi.ln J, = L, + =o, ;;,u,;; ; ;;,no,n.nl,.*,"oo * "r,,-"r.'r,*, orbitar va spin momenti retyanistik halda saxlanmaz, onlarrn cami isa saxlantltr.

V FOSL SAPiLMO HADiSALARi $79. Sapilme matrisi va sepilmanin amplitudu Sepilme hadisalarinda verilmig baqlanlrc haltnda sistemin mumkiin olan son hallara keqma ehtimahnr tapmak talab olunur' Ogor baqlangrc halrn datga funksiyasr yr(" -dirsa, sapilma naticasinde altnan hallann toplamt garti olarak \'l'u's 1'v") f sakilinda yazrlar. Burada t/u) muxtelif mumkun olan son hallarl girsterir. Ona gilra de son hallar iizra camlama aparmak laztmdtr' S,, emsalt sapilma matrisi va ya.s -matrisi adlanrr' Onun kvadratt sistemin miiayyan / hahna kecma ehtimahnl gostarar' Ogar qarqrhkh tasir olmazsa, sapilme baq vermaz va S -matrisi, vahid matris olar. Onda S -matrisi vahid matris 6tr -la ila /\ S,, =6r +(2/r)',61 EP, -ZP,V, (vrl.l.l) \r, ) yazmak olar. (Vm.l.l) -de?,, Yeni matrisdir' Burada 6 - funksiyada -igarasi baglanlrc va son impulslartn ceminin ferqidir. Dioqonal olmayan matris elemanelerindan birinci hadd srfir olur ve /\ s,, = i2n6lr,p, -LP,V,, (vlrr'r'2),\aj elaqasi mdvcuddur. Burada 11-Ye sapilme amplitudu deyilir' lsr,l' -au 6 -funksivanrn biri '[?n?-j= hk''i"-t''r do' (vu 3) 14

o'r'az olunar. Onda inteqrallamanr sonlu biiyiik sin: ae zrrmanrnda aparsak. ti2--- -- n6 " alarrk. Ona gtira (V.1.2)-dan lsrlt-ni ls,,l' = (2,)'al Le, -)a)r,l'v, a.da edarik. Buradan, vahid zamanda kegid ehtimaltnt V hecmi uzra va Vl istifada edib. - 27t (vl r 4) wtf -+ir = rzzr'5[)r, -lf ).,1', (vril rs, yza brlarik. Har bir baglangrc va son haltn dalga funksiyasr u spinorlan ile ifada olunur. Bu sababdan sapilrna amplitudu T,, = ui,ui...l u r,u r,... (vrr. 1.6) qaklinda verilar, rym. -6) ifadesinda sag tarafde baglangtc zrrrreciklarin, sol tarafda ise sonuncu haldakr zarreciklarin spinorlardt, isa matrisdir. Son halda mijmktin olan hallarrn hasilina (V.l 5)-i vurmak lazrmdtr. Yani o* =,rrall, -+1)r,,1'r,;jfu (vru,7, orar. Burada \ d':' = ot! ot!!... hasirin 'i t2n)'2e, (2ft\'28, (Zft1'28. ir;arasidir, indi M" 'r', - (2E,v ")U2 ir;aresi qabul etsak, ehtimal ugiin

( ),2r de dw@t). >r, -Y,;4 tu^,,\uffi (vm r 8) alank. Burada lui,u)...tu,,u,.. l' =1, nl' drr. Oger iki zerreciya pargalanmaya baxalksa aw=l.1u,,1'! -]-.-61pi+6,yx (2it)', "' 2m 48, E, (VU..9) x6(8, + t, - m)d3 pid3 pl, olar. Bu ifadada pi, pi-son zarraciyin impuls vektorlardrr. Gi = -n; = p'), i va e! pargalanmadan ahnan zarreciklarin enerjisidir. d3 p'r-ye gora inteqrallama aparmak iici.iln tre-d(tr + tr-l a3 pi= p"ap'xz=lpldsl T yazrb (ri' - ^' = e'zz - mz = p'2) uygun olarak (vmllo) o* =,!rn*lr rl'lo'l* or.r.u) yazarrq. Bu ifade ila pargalanmanrn ehtimahm hesablaya bilarik. indi tokkuqma zamanr (impulsu ve enerjisi p1, E, olan zeneciklar, impulsu p, enerjisi E, olan zerrecikla tokkugur) impulsu pi olan istanilan sayda zarracik yaranrrsa, kegid ehtimah aw= rz,>, {E, 1 -L, n)ru,1 -t-ry# ryr,, 2) ifada edila biler. Onda tokkuqmanrn effektiv kesiyi: dw do =- J (vm.l.l3) t42

ifadasini taparrk. Burada (p, p r)' - ^? ^', (vn..l4) 'r'a ya,=lfl=f r *l)=lfl(r,*r,r,, " u [8, r,) v E,E, (Vil. l. l3)-dan (Vm. l. l4)-u nezare almakla /\ o" = <rt \E, n ->:)r,l= *flffi (' t s) effektiv kasiyi Yazank. Ogar eralet mariazinda lokkuqmaya baxartksa, ao = ) -lu "f =li'\. on (vm. r 16) 6+nrt _,,t lple, alank. Elastiki sepilma tigun g, p' = p" al p'lna' = lplan' n' xt) effektiv kasik vo ya do ---! lm "l'da' l6n' t '' t *=fi1"5'f,ff (vilr.l.l7) yazrlar. Burada = {p, rt - nx''fr ' at = zlflll,la cos e diistti,ru ila ifada olunur.

$8. Born yaxrnlagmasl Bazan bir gox masalelarda sapilma amplitudunu mtiayyan yaxrnlafmada tapmak liiziimi ortaya glxrr. (VL.6) amplituduna baxaq:., J2tr,,, T,, - = tkk't= (VL2.l) YJe-'\'Vtrtryitrrtlr Burada. 2mr tlt i trl =r,tr)+ -,' lgrr - r'1v1rryitr)dr (VL2.2) funksiyasr Vt; t r) = qttrl + 21,! l5r r - r'tv tr'ttp, r r'tdr' + *a!':t 1c1, - r'lv r'tctr - r'tvr'tq*r'frr'dr' h'j yanhr. G(r) - funksiyasr c<,t=l-f,{ uaq 4nir J_k Q- Green funksiyasrdrr. (Vm.2.3)-u nezara alsak, f (k.k') = - -tll.. 7' i-"'v s1dr - )fth- J.l - ll + l e'r, e''*'v t r )G t r - r')v ( r' )drd r' lt \h- ) " (vrrr.2 l) (vu.2.4) - ll + "'i' "r' v qr'tc,, - r'\v \r'tctr'. r')v (r')dnlr'.tr' n\h- )' geklinde yaza bilerik. Burada l-ci hadd Born yaxrnlaqmasrnda *Jztr f"'(k.k'\=-"'ii" vtt-r'l (vl2.5)olar Uy[un olarak f (k,k') -nin digar haddlarind a 7G)1k,k'1, f at &,k') va s. ile giistere bilarik. Bom yaxrnlaqmasrnr qrahk t44

olarak 't\.{ gakil.3-daki kimi gdstara bilarik: zy'*_ //,{ a-,i,./ $akil.3. Bom yaxtnlagmastnrn qrafiklart l'uksak enerjilar haltnda Bom yaxtnlagmast -illp*^ -2iak-Ll<<l 2h'k' mahdudiyyati tatbiq oluna bilar. (VlL2.6)-tnt "lv^l, ", << (vrtr.8.7) h8 hk crjrede yaza bilerik (tl =-j-). Bu Bom yaxrnlagmasrnrn kiteriy,lsrdrr. (vrrr.2.6) $ 81. Fotonlann elektronlardan elastiki sapilmasi Fotonlann sarbost elektronlardan elastiki sapilmesi hadisasina Kompton effekti deyilir. Kompton (y + e -+ /'+e') effekti relyativistik kvant mexanikasrnda duritst izah olunan bir hadisadir. Bu hadisa iigiin impuls va enerjinin saxlanmast qanunundan k+p-+k'+p' istifade edak. Kompton effekti iigun Feynman diaqramlart ilkin yaxmlagmada qakil l.4-deki kimi olar (dal[avari xettar fotonu, bjitov xattlar isa elektronu gosterir).

$akil.,t. Kompton effektin diaqramlan. $ekil.4-da k,p baglanlrcdak foton ve elektronun d6rddlgtilu impulsu, t',p' isa sondakr foton ve elektronun dordotgulu impulsu-dur, p + k, p - k' -impulsu arahk haldakr elektronun impulsudur. a) -diaqramrnda Dft- impulslu foton udulub, sonru ftt-' impulslu foton $tlalanr, b) -de isa he' foton tince $iialanlr sonra isa ftk- impulslu foron udulur. Bu diaqramlara uylun olarak matris elemanr olar. Burada S,r =S,f'+S,f' rym.3.1).i xil.l'r't't r, YrQA-- ^)* eq(,,_,r) elr) (y "ro :- q- +m- u,,"tj lo,j = t :;, = -(f)' U;; li d o,,a n,,, u,. P r. 2 e - i (,' + P',,, x = ffi;ti', <*:r.t,,*# ** e e,r o),a* 1vrr.a.z; xut!)6<o+k-p'-k') 146

,:;' = r*ffi;';" rn,r,),,*f* Qei'r'),ax s.ut.3.3) xuf)6n 1*+ p-tc' - p'7 drr. Spin hallanna gora comlama aparmak ijgiin L;Y,',,t' - ft1ir, e" - d uu (vrrr.3.4) ifadasindan istifade olunw. S,f) ita S,f)-nin kvadratrndan Sn ugun lr,,l' = a#,rl;v t {,,,:, "'',,+#*,ie ot o) "p + + (ie.y,),5h:, - i,].- ^\,,"'"y"61,,x,,f' aortt + p - *'- p'fi tp-k) +m yazank. Sadelik iigiin i=1ieir,t!# \p+k) +m J l n (vrrr.3. s) hr e : lut - *) r* or o) * {i" or o),tr,e, *'rt. r) piy. t \ll-k ) +m (vnr.3.6) igarasi qebul etsek, lsn l'z-nr lt,l' = ;fur6';:'4"'i'b' (k + p - r' - fil (vltr.81. 7) yaza bilarik. Bazan kompton effektini kinematik invariantlar adlanan s,t ve dayiganlari ila ifada edirler. Onda sepilme amplitudu qaklinde verilir. Btrada Q* "Y,))#(iei 5,, =4ree'ueui Qrru (vtrt.i.8)

Q,, y^zrlfi. gostorir: = fir,rt'+i+ mty,tp-i' + m1y, (vlll3 e) Kinematik invariantlar s,, va L enerjini va impulsu t=1k+p)2=m2+zkp t=(p-p')2=-zkk' u=(p-k')'=m'-zk'p (vrrr.3. l) i, = y op o.t = y.k,,i' = Y,ki Oger elektron qeyrimualyan spin hahhda olarsa, onda baqlanlrc spln hallanna gora orta qiymat, son haldakr spinlare gdra isa cemlama aparmak lazrmdrr. Yani (V[l'3' 7)-de ls, Verina (vlrr.3 l1) l,,t= p>1,,1' gtittirmak garakdir' Laboratoriya sisteminda (p = ) p = (,O,,im) oldufiu ugiin (p + k)2 + m2 = (pp) + (kk) + 2(kp) + m2 = Z(zkp) = -2mto (p - k')' a fi = (pp) + (kk') -2(k'p) + m = -2(k'p) = 2ma (vrrr.3. l2) yazrlar va foton sahesi enine saha oldufuna g6ra fotonun polyarizasiya vektoru (ep)=(e'p)=a qartini iideyer. Aunki p vektorunun yalnrz zaman qismi ile Z,Z' veklorlanntn faza komponentlari istirak olunurlar' Onda t-,...- -V t- ^ 't" \ V'!]l1"fr"'i'l =@r''lu o,lui,s Lu,s,l tvlt.:. t:l t/ yaza bilerik. Yani 148

J =l 2 () "ll s=r yanlar. ) 1t t2 2\l'*'L*'*"1 5=l S'=l r/"\ u pp'u!p'i il t,j,, "' olmastndan istifada edarak rl ra- : =-- Luar.'Lapx (vl.3. l4) t- ^ t (- t \ V,,L".1= ur.rur,,j ii*,u u.o,= #f iv u S=l t''-o larti daxilinda (Vll.3. l3) ifadasi p, + m)uo (\'rr 3. rs) r = nl ---)--------.- o' - - *ta\ 32EE (mau) t ^tot'p A = -ia'eierkry"t rt, - iax'k"e'ry,y,y, rym 3 16) 1 Q = -ia'e,k,e'rf,y,y t, - iav:k:e,y ty.y, yanlar. A va A)'fotonun baqlanfrc ve son haldakt enerjisidir' Buradan iz-i hesablasak n)c,' - ^lag - *1Q\ = t^' a' r"[ 4"or' u. *. * -'\ 't' -l l. (,, (') ) alank. Onda Kompton effektinin effektiv kesiyini en ot'dl _( 4"or, g * g- * 9- - z\ do= e,h',,aeef ;{ll*""'"',', ") lr,/l (vr.3. 7) at El elda edarik. "-L!]t ; hpmak tigiin ) f ; -aan istifade edak

, =l E; +. = a'* Jiii6;1i.i=*elir = a'-acos J;t;rn -r;,n""e."1 E'+a'-acos _ (a + rn Xl-cos) E, E, atank. (tk') dordofgtlo skalyar hasiti \kk') = ii'' a@' = @a' ll - cos e \ m + a(l - cos ) =!9 (t) dl'ei - ^' to, @'E' olar. Eyni zamanda laboratoriya sisteminda s va s-m2 =2ma u-m2 =-2ma' a'-acoso r--;;-':---!p +m gaklinde yazmrq olarsak', (vm.3. 18) z dayiganlarini yazrlar. Onda Kompton effektinin (V.3. 17) kasiyi do ugun -: / /\24 qla)t o" =!i(!\'l4cos, + ++{-z)da (\ru.3 re) alde edarik. a'ot 2 e r = --l- - elektronun klassik radiusudur. cnm rym.3.l9) ifadasi fotonun sarbast elektronlardan elastiki sapilmasinin (Kompton effekti) xarakterza edan Kleyin-Nigin formulu adlarur. Bu formula giira dilgan fotonun tezliyi mayyan olanda, baglanlrc fotonun polyarizasiya ila son fotonun polyarizasiyasr arasrndakr buca! oldukda 15

fotonun elektrondan elastik sapilmasinin effektiv kasiyini hesabtamak imkant yarantr, Ogar sondakr fotonun polyarizasiya vekloru A', baglanprc fotonun polyarizasiya vektoruna perpendikulyar (Z' d) otarsa (cos9 =dz'=o),, =El,gr)'(9.{-r\a" ' aar.] \o' o ) olar. Ogar e va e' eyni mstavidadirsa cos' o = 1- sin o cosz olur ( g, (k7') miistevisi ila (ef ) -mustavisi arastndakt bucafldrr)' Onda effektiv kesik,".. =\L( {\'(, *,' tr-q,in,gcos,e " 4[a)\(t)',a yaziar. do. ila do,, camlasak f^2 / al')" (vrtr.3.2) do rym.3.21) r \ do = do, + d6,, =+t*l l#. * - r"^' o cos' o )aa (vltr.3.22) alarrk. Baqtanlrcda olan polyarizala$maml$sa' -ya gura ortolama aparsak (Vtr.3. 22)-dan o rytr.3.23) tapank. @= oldulundan effektiv kasik 1!L11 _ cos o) m [ [et(,-.",rv d, =r: = t-'o"'o ;ilr * --1t]------ ' {,*9tr-*",]' [ (r+'oja[r+9-cose).] 42 (vm.a 2a

yaza bilarik. Bu paylanmasr gokil naticasidir) kesiyin bucalrndan astlt olarak (vrrr.3.24) tacriibanin,75,5 n r5 $akil.. 5. Kompton effektinin buca[a g6re paylanmast $akil. s-dan ddrihdilyii kimi tacrtibi qiymatlar nezari asrhhkla yaxqr uzlagtr. Tam kasiyin fotonun enerjisindan asrhhlr gekil tr. 6-da verilmigdi. Gorundijyii kimi fotonun enerjisi artdrkca tam effektiv kesik azalrr va bdyiik enerjilarda stftra yaxmlagtr. gakil.6. Tam kasiyin enerji paylanmasr. r52

$ 82. Elektron-pozitron ciitiiniin yaranmasl Fotonlarln, elektron-pozitron cutunun yaratmasr tigtin enerji va impulsun saxlanmastna gbra alave bir zerreciyin olmast da lazrmirr. Bu zenacik atomun nuv si ola biler' Niivenin elektrostatik sahasi fotonu eleklron-pozitron cuttina cevirir' Yani, nijvanin xarici kulon sahasinde olan foton elektron-pozitron ciitii yaradar ve bu Kulon prosses ikinci tartib prossesdir : y+ze--+ze+e- +et Bu prossesin Feynman diaqramlan gakil.7-deki kimi olar' ab $ekil.?. Elektron-poziron cuninun Feynman diaqramlan Sapitmanin amptituda iimumi qaydaya gdra xarici elektron xattina(p'-xatti) 1- -ftur,,e-'p'. tlqtr)' vurueu, xarici pozitron xattina ( p -xatti) t_-_:u _ pre_,p\ 'lqo)' vuru[u, daxili elektron xettine ( / -xatti) uylun - -)- 4 1 oqy'-q' - f) r,",-',' Qfi)'J ' q"+m' vurufu, xarici foton xattine ( & -xetti) isa uylun p

i @.^, ^ -,u, T,,Ar=--,-.1;'rr'r' 4Qzt)" vuru[u ile veritir. Nuvonin elektrostatik potensiyah 4o177=u =-? r ( 2 nuvanin yukudiir).oldu[u tl9un, onun Fouer komponenti A["\ 1E'1 - @ dt r A[41x1e-'r (vm.4.1) olar va buradan d,,<qt=-ffilr',;= alank. Ona gore va ya 4ru2 1,lzo' q' NJJ.4.2) 4., rrr = ftv! o' n u,, (q)e'ii = - ffi t *, fi A,, " =-l!?.,1a^n99!,'" (21t)" ' (vm.4.3) lql' olar. Bu (V.4.3)-a gore xarici elektrostatik nva sahasine mtlvafiq olan tapeye 4nieZ iyoa," =YoA)" =- nla,n!3!",,' (vrtr.4.4) (ZrqrY - lsl wrulu uyfiun galir. geteliha,lakil tr.5.-da a) ve b) diaqramlanna mvafiq olarak matris elemanlart t54

2ze3 Ei- Gb + it - m s',-, --- <atlrn?l;ui''lo C;+b, +^r" 6o-e-tr) lty te!)u p,, -;-- _--:A2 lk-p-pl itb'-it-m --*l4u-o.rx '!2,=-#ffi,',,<;tu"ut (p'-k)'+m' x=- 6(a-E-E') a V -F- p1 s,1) ila s,.g)/ kvadrata yukseldib, camlesak (vrr.4.5) Otr 4 6) l', 'rl' = ls,'1', + s,!'rl' = z'e' lutr-r-e')1, Ntr'4'7) = ti;';7f17-;{j', =lr,,l,'@# pr,,,1 * {;r,,,)@ffn },-,.1' or o rr (- p + k)' + m2 = -Z(pk), (p' - k)' + m2 = -2(p'k) olmasrm nezare almtb. Ogar b 11 =, + i) - m iy + ^i(- "e, iy,e,u 9ar, pr pk

N =iv,e,'t#-r"*.- (vm.4.9). tld -kl-m + \-y 4) -:!----:- iy,e, \p k ) iqarasi qabul etsek, t =1i,.,.fir_o,l' (vrn.4.ro) yazank. (V[.4.9)-dan N - ni hesablasak.. r N =, l- y ^T,k"y t e t, + iy 4y t e y(iy, p" - m\ + 2( ply 4]- p.k lr -;;;1- k"ert ry"y. - iy uy4euqy,pi +.1+2;Ey uer]= p.k =-'- a6 p K p'k '' alank. Burada (vltr4'll) Eyni yolla alank. Burada da A = _y 4k"e t,y,y t, _ 2(p. e)y o i b -- -k,e yy py,y o + 2iE'e ut, 1X p'k p" k tr =_L_+ ryrr.4,rz) d. = _y t y,k,e ty o _ 2(p.e)y o L b = -y 4k,e py"y, + 2iE'e rt, drr. (V1.82.8) formulunda elektron va pozitron spinina gdra camlema aparsak, 156

/=XE,', o.-o.,uuo,l =#oe ryu413) ifadasini alank. Burada C =(ip'uf u-m1fr1iy"p,+m1n (V.4.l4) iqarasi qebul olunmugdur. (C)-dan istifada etsek, 2^ c= C,,* l,,* -jl,. (vnr.4.r5) (p k)' (p'k)' (P'k)(P'k) yazarrk. Bu ifadadeki C-lar tayin olunwlar. Me'lum Q = {,t,f, - ^14iY, p, + m)i q=(,plr-*yy"p,**1i Q - 1rp,l, - *)dry " p, + *1i - 1ry'rf u - ^14iy " g + *1 A iy t e t, 'iy t e r, = -1, Y' = l, (ek) = o qiymatlari nazare alsak va matrislerin izini hesablasak, t i, -- -t1 p *111 p' k) + tuel - t q p' e)(@' k)(p' e) - (e p' ) (p k) + + 2r,E ( p 4) + 4 p 4'? l@p' ) + 2et)- rfinz ( p e)2 zc= = -t1r1r11,.'o)+tuel-wp^((p'k)(pe) - (p'e)(pk) + + tutr 1p )) + tq pd'1l@p') + zee)- t6n2 (pe)' he3=-tqpe)(p')(-(p'k)+(pk)-zrn'z -aee-z(pfi)+ + t4- o(py' ) + E(p' b - f @ D)- Qk)(p' k) - n2 az - -(pe1'z1p't<1-1p'e1'?1pt<1 (vtrr.4.16) alank. Oger foton polyarizasiya olunmamtgsa, onda altnan

ifadani fotonun iki istiqamatde polyarizasiyasrna g61 ortalamaq lazrmdn. e *(X -- 1,2) oldu[una gil,:a, zc -i tjnce h = 1 (igiin' sorua isa i = 2 uqiin hesablamak lazrmdr' Yani f,<rd''f,o'er)' ve f,kril{'*v) garekdir. e, = (1,,,) va er(,1,,) oldufunu nazare alsak.1 cemlerini tapmak 'i.@r^\' = pi + pi,i{n'"^)' = pi' + p',', (a) l-r l=l tapank. Burada,l pi * pi kamiyyeti P vektorunun' perpendikulyar f vehoru istiqamatinde proyeksiyadrr' (;akil tr'8) z tw)' $akil.8 t,t2. ^ =pi+p; =lpl srn-u (vr.4.17) (vr.4.1e) f,@',,)' =..lp'l' sin' o' i.=t Bu ifadelerde va', it" p u" p'arasrndakr bucafidr' p vektoru ile x,x, mstavisinda yerlaqdiyine gore p bucalr (fp) 158

159 ila (k-p) mustavisinin arasrndakr bucag olarsa, onda olar. Buradan da z 4 =lil'ine r,'=lpls;a9' Pz =O lk^il@rt')= prpi+ l=l + p,p; -lillp'lsin o sin o'cos q ahnar. (a)-nr nezara alsak (vtr 4 le) rym.4.2) - t r.i = 8r"ll-' o 1+8, - r, 1 *V4! (4E'z - q2 1 +? (pk\" \PK) - ffi{aow'l sino sino'cose( 4 EE + q2 ) - (vrrr.4.2l) - ar'71z]plp'lsine sing'cosq + p2 sin'e + F'' ";n' ')l yaztlar ve onda A = i - n - n', ('pl = arlpl"oso' <ip'l = alp'lcose' (rr') = lpllrl@'s cos ' + sin sin 'cos 9) olar. Ogar LzC, ve lzcr-de (ep)-ya mutanasib olan haddlari aytrsak, altnan heddtrrin birincilarini (P'k)"ikinci haddlari (Pt)'(P't) -Ya bolsek J - -tg'ep!'1 l(e'k)+8'-gi')- EE'+to,n' +1pit-arl (Y:ltl4'22) lkp)' '' alar*. Enerji va impulsun saxlaomaslna gdra 4=i-p-i' a = E'E' = (vtrr.4.23)

oldueunu nazaro alsak, J -ni, = -S:tlko,q)+2E'2 * @p1-rzf uilt.4 :,4) yazarrk. impuls va enerjinin saxlanmasmdan q,=g - p - /)' =i' + p' + F'' -Ziq)+ld) (vilr.4.2s) t')-d'z-lpl'z-n? =E +oi -he-/'?-mz =o' @)' - n'' +mz =o alda edarik. Bunlan bir-birinden gtxsak va -p'- E2 + m' =O, i" - az = o oldulunu nazara alsak, A' = -z(il) + 2aE + 2p''1-2Gp') + 2(iD') (VL4.26) yaza bilarik va buradan -2 (kp) = (ii')-at = -l+ i" -ri1'l+(pi') Ntlt.4.27l 2 taparrk. Bu ifadeni, -da yerina yazsak, impulsun saxlanmasmdan istifada edib t = -r1"p)' [zt' -t + il,t -i + a + at = Gpf l 2 " ') (vrrr.4.28) =-W-:sE'-Q') (kp)' alarrk. Belalikle, fotonun polyarizasiya istiqamatina gdra ortalama, poziton ve elektronun spinine g6re isa camlame aparsak jixxl",l'= #*Ei *, matris elemanmm kvadratr tigiim tapank. Elekuon-pozitron ciltilnun yaranmasrnrn effektiv kasiyi r6

do = \2,4'? E'lt'l{;i2l'ra,l'}aoao' (vrl 42e) vaya, r,l 76 = q2n)'2e e'tptlpllplle'lll? )1",l'laaaa'ae yazrlar. do -nin ifadasi q'-dan asrh otmur ds)' = shl'd?'drp' oldu-lundan tp' -a gorc inteqrallama 27t verat' ; = " = # incaqurlus sabitinin olmasrnr qcbul etsak' eleltron-pozitron ciitiinun yaranmasr hadisasinin differensial eflektlv koslylnln ifadesi z do=--, (137)', zna'lsl (E' - lre-lflcosot'' lp'lcos )' * 2lFlPlsin sln'cosrp (EE'tri,)- ' (E -lplcosxe' -lpltote'l, zllllp'lsin sin a'.ot,, * lpl' t'n' t]4-l' ti{g -Zt'@ Yazlar. b, Jtrt** Bete-Qaytler dusruru deyitir' Bu ifadeni bucallara ve f -f" go." int"qrauasak, ciittin yaranmastntn tam effektiv kasryinialarrk. Elektron-pozitron cuttinun yaranmaslnln tam elfeltiv teslyini, Kompton effektin tam kasiyi ila muqayisa "ir.t, f".pa, cffekti;kieik enerjiierda usttinlijk dairdlgr a$kar olur. Bdyuk enerjilarda isa elektron-pozitron ctitilnun yaranmasl prossesi daha mi.ihiim rol oynaylr' or =t tacrubada dlgtilmasi nezariyye ila uzlaqan natica verir' miinasibatinin

$t3. Elektronun xarici sahadan sepilmasi Sabit xarici sahade elektronlann elastiki sapilma hadisasi bmek olarak hayacanlaqma nazariyyasinin birinci. yaxlaqmasr kimi (Born yaxrnlaimasr) qabul olunur' Bu hadisenin sapilma amplirudu M t =-ei(p')au@) (vltr.s l) dr. Burada i =you-, A=Y uau ve _. Ato)= (vlr'52) a;fau(4)e'i'dd olur. (V[.9.6)-ye gdra effektiv kasik ao - trrlu nl'aa' rym s 3) l6t yazrtrr. (V1l.5.3)-den elektrostatik saho uqiin A = 4T t olanda M,,-ni yazmak olar va stxh[ matrisi ila M.n = eu. (P')u(P),\(q) (vtr s'4) l>1,,f =zkptip,h=,rr.r.r) = f,l+<1' n <^ * ifi')y o@ + iit)y o ifade edarik. Ogar izi hesablasak,!u{m+ii)to@+iilro= =! P1rn + iit'11m + fi) = m' - PP' = 4 = E'+m2 -nf'=28'-t (Vm 5'6) ararrk.onda o, ="'l1l!l' e(t-#y" rym.s.7) t62

r63 yazartk. Ytik srxhlr p(r) olan sahanin potensiyaltm. 4rLP(r) q' i;ara etsak, onun Furye PaYlanmast -. eg) =;)' l eg)e-'it67 (v1r.5.8) (vlfl s e) olar. Ogar Zz niivesinin Kulon sahasina baxartksa, effektiv kasik iigiin 4z2en E: / \ do, = r-*v"' (vm.5.ro) "' q' \ 4E') alank. Bu ifada niivenin Kulon sahesindan elastiki sepilme diisturudur va Mott -l diistilru adlantr. Bwada q2 -tapma impulsunun kvadratldtr va q' =(p'- P)' kimi tayin olunur. q? -m q, = 4E, stn= 1 (vtlt.s. t ) 2 yaza bitarik. -elektronun sepilma buca[rdrr. (V 5ll) - nt (V.5. l)-da Yerine Yazsak 72 en E2 dor= (vlr.5.l2) (vlu.j.lz, 4p,.,o 2 alarrk ki, bunada Rezerford dusturu deyilir. Qeyri - relyawistik hal-. E2 "- ",rl..t)(v[.5.1)-dan da ----= = --;--; Otduluna Sora "* p2 mzv! --- o o 'ho /,,\ dou =d6rll-v'sin'a - "l 2) Wm.s.tr) ahnar. -+ z yaxlagdrkda, Mott ve Rezerford sapilmesinin

nisbati dou doo -*le' yaxlagr. Buradan aydrn olur ki, Mott effektiv kasiyinin, Rezerford kesiyina nisbeti, elektronun enerjisi arttkca, stfira yaxrnlagu. Ultraretyatvistik halda (V.5. 1) (E >> mc2 ) -dan 4o,, =82=r"tro odo (vm.s.14) - E'e" "in alrnar. Yiiksak enerjiter hahnda effektiv kasik daha tirnumi xarakter dagryrr va elektrik yukuniin, maqnit momentinin fazada paylanmastnt ve zaneciyin spina gdra paylanmastnt da ijziinda aks etdirir. $ 84. Elektronlartn hadronlardan sopilmasi Elektronlartn hadronlardan (giiclu qarqrhkh tasirda olan zarraciklara hadron deyilir) elastiki ve elastiki olmayan sepilmasi bag vera bilir. Bu prosseslari qerti olarak (en -+ e'n',en -+ ex) Eakil.9-da gdstarak: a) b) $akil.9. Elektronlann hadronlardan sapilmasi: a) elastiki sepilma, b) qeyrielastiki sapilma $akilda cizgilanmiq sahe giiclu tasiri gdstoran hissadir. Bu prosseslarin sapilma amplitudu a) iigiin t64

va b) iiqiin isa..f "]M s"' = tz"l'i"' lffi(;(k')v t'u(k\tx (vru.6. ) x \f4p1r,te' o'lu( fl\ (p' + *' - p - k) q-,'," =a'! figr'y,r{fr r)< xl7,,o,ln> 6(p + ( - r -Y) ry[.6.2) "id kimi yazrlar. (V.6. )-dan elastiki sapilmanin tape funksiyasr,l lp(p.p')=yrf,(q'l-fiou"o"frg't (vm6'3) olur. Burada F,(q') u" Fr(q') h"dtonun Dirak ve Pauli formfaktorlandr. F, (q2 ) -"t"ttrit yuktinun paylanmastnr gostaran formfaktor, Fr(q') ise maqnit momentinin paylanmastna uy[un galan formfaktordu. ou, isa antisimmetrik i renzordur. @ t, = r(y yy" -Y,Y u)) Dirak tenliyindan u(p) va u(p') spinorlarr tigiin i1p'1o *q"u(il = -ir p'lhtp' * il, + zuy ul1r7 yaza bilarik va buradan da -T;l itp tt,(p.i tutil=i@)rjr,+ F)" * q(i + p\" 1(P) P=p+p,Gu=4+FGE F^a ;i=a;tm'1tum-ue) =r-*o, rym.6.4)

iqaralari qabul etsak, (Vm.s.l)-a gairo en -+??'-in effektiv kasiyi: e'li'lar',"'l 1""' aa6(r'.. + t' - u - e \-)-x E:E; ' "2m"M',l c,.,t, tq, - z^, t *!t94t-!!! sl) e<rpyrl p1 -! q, m, 1) q'+ olar. rym.6.5) ifadasini Ej-ye gdra inteqrallasak l.r.q'., (vru.6.5) f"1f).1#.#o:"r'11 L,,4 l 1vul.o.o; o' (do\ _* "o"'2 """, n="' = laoj. qolsi,,9(t+ze, se\'" -'-"' 2l'' u'"' z) 41t 137 alarrk. (V[.6.6) ifadesinda olan G, ve G, funksiyalarr Saks formfaktorlarr adlanrrlar. (V.6.2)-dan qey,rielastiki sapilmani tayin edan hadron tenzoru wn=ed'zdet -p-s)<4j"@\n ><Nlr,(of > ryrr.6.7) T gakilindedir. (Vtr.6.7)-den bu tenzoru r66

, s,q, l* wp =wtg'.v)\- s* * s- ). * ;!r, <r'.,{*, - ; r,\,' - ; r') (vnt.6.8) yaza bilnlk. Bvada qz = -l)e'"in'lr'v = E' - E --!! (V.6. 8) -a gaira qeyrietastiki sapitmanin differensiyal effektiv kasiyi a ", " = ffi(zw, 1q2 v ) sin2? + w, (o','l " o"l)4 ry 6 e) yaztlu. Wr(q',v) vo Wr(q',v) hadronlann qurluq funksiyalandrr va F,, F, formfaktorlarr ile alaqadardtr: W,(qz,v1= F,(qz 'x\' Fr{q' 'x\ =!W/l' M' 'v\ (Vm.6.1),=- 2vM " (V.6.6) va (Vltr.6.9)-un nazari va tecrubi tadqiqi gstardi ki' hadronlar elementar zarraciklar olmayib' daha elementar ;;;;;fl"t olan kvark va qlilyon adlanan zerraciklerdan taqkil oirornug.. Kvark-qlyon qargrhkh tasiri daha mtirakkeb xarakter iri,^v".' ooi*," dztttitt"ti renkdinamikasr adlanan (Kvant xromodinamitas,) yiiksak enerjilar fizikasrnda arasdrrrlrr' 3h Spini i1 olan zarraciyin tabe oldulu tanlik Rarita - $ivinger tanliyi adlanarak (ib, + m,)u,(p')=1 olur. P'ru p(p'),

Spin hallarr tizra cemlame aparsaq \u,1p'1,tt') = m'-ib'l^ t i, z 1 (vlll 6tt) ="' -'i 16* -)y,y" + -,ry,p't,-ytp;)+,--_,r Zm't' J- 3m rm atda edarik. Burada m', spini 11 olan zarraciyin ktitlasidir' * lrl v + Nrlt ' N't 1) kecidinin matris elemanrnt L \'./ MnN-N')=t+t1r,,(P')x ' Lqm ' (V.6.2),bq, (q' p, - ( pda ut rg,'' 4G' rf,rz p' + 1*' - m)' R u,f yaza bilarik. Burada Rr, =,uxppex Lq = (p" - Pi)' (V 613) Rt u, = RurR* Gc, Grva G,, funksiyalarr oktupol, elektrik kvadrupol va maqnit dipol kegidlarinin formfaktorlarrdrr. Xiisusi halda ci@\=c',(q'l=o (vrrr.6.l4) G) 1q'zy* o olwlar. G'u (q2 ) formfaktorlannt G;(s') = F(q'z)N.(o) 6,,.) _ (Vlll.6.ls) i.(o) =./:4, p=ijzp, YJ m" 5 gaklinda segmek olar (rz, - pionun kiitlasidir). N + y kegid ehtimahnr hesablamaq olar' Bu ifadelerdan N' ] r68

$ 85. Neytron Ya protonun kvant mexanikaslna giire davrantql Bellidir ki, Dirak tantiyi spin /2 olan elektronlart tasvir edir. Spini 1,/2 otan bagka zerraciklari, elacada neytron va protonlarrda bu tanlikla xarakterzo etmak mtimkundiir' Elektromaqnit sahasi oldukda elekhik yuku ila yana$t proton va neytronlann anomal maqnit momentinin olmastnt nazara altb, bu qargrhkh tasiri da g6zbniinda saxlamak laztmdrr. Yuklii Dirak zarraciklarin elektromaqnit sahasi ila qarqrhkl tasiri v,^=eq-e@a) (vm.7.l) olur. Burada d -Dirak matrisidir' Maqrut momentl 11 = -en_ -o zmc zanaciyin siiratinin artmasr ila nl kiitlasi m = -g -a siira artlr va v = c olanda Dirak maqnit momenti stflra yaxtnlaqr' (V.7.l) ifadasini 3 w"^ = -r),a,a, rym.7.2) P=o qakilinda da yaza bilarik. dr-ler (Vltr.6.5)-dan tayin olunan matrislardi. Ar-elektromaqnit sahasinin diirdolgiiltl vektoryal potensiyahdr. Elekhomaqnit sahesinin antisimetrik tenzoru Hu' a4 a-- OA, l-- lv' i,-e (vm.7.3). olur. Burada H, -- H\tfl y =H,,,H-=H', ie,=hopie" = Hoz,iE- = Hot

Ona gdra anomal maqnit momentinin elektromaqnit sahasi ila qarqrhkh tesiri w^ = p\a,,h,, (vm.7. s).v =( qaklinda yazrlar. B:urada dr, -lar Dirak malrislerindan olugan iki ranqh tenzordur va (V.4.8) --a g61 %, = Pt\ = PPt, dzz= Pt\ = P3o2, d12= Pt\ = 9ro, t\, = -i pz\ = l p2o t d<)2 = 1 p2l, = 4proz, (vrrr.7.6) %t=jpz\:ipzoz yazrla bilar. Belalikle anomal maqnit momentinin elekhomaqnit sahasi ila qar$lltkl r tasiri *, =,!p.il+ p,ae) Nm.1.'7) yazrla bilar. Burada H va E elektromaqnit sahasinin intensivliyidir. Neytron elektrik yktina malik olmadrfr sebebi ila, onun anomal maqnit momenti elektromaqnit sahesi ila tasirda olur. Proton isa ham yiika, ham da Dirak va anomal maqnit momentina sahib oldutu ligtin, onlarrn hamrsr birlikda elektromaqnit sahasi ila qargrlrkl tasir daxi olur. (V.7.7) -dan maqnit sahasinin istiqameti neytroiun herakat istiqametina perpendikulyar olarsa, W_ = ltprorh, H, = H, --, H _ = H rym.7.8) yazartk. Neytronun maqnit momenti, maqnit sahasina antiparaleldirse, ahnan alava enerji tr1lt1= 1t,n (vrtr.7.9) qiymetini alar. Neytronun maqnit momenti, sahanin istiqametinde ynalmi$so, onda elava enerji ds(l = -tr,n (VL7.l) olar. Xarici maqnit sahesi neytronun spinini 9ox gevik dtinderer va donma tezliyi 17

.. _ u(tjt-nrt11l =zp^a (vutt lt)."=--n_n\'rrr.,.ll, ahnar. Bu tezlik (Vm.7.9) ile (V.7.l) ferqina uyfun galen tezlikdir. Buradan (H = loaersted) neytronun maqnit momenti Ugtln t^ -- -l,9l3tt "w" (vrrr.7. r2) alda edarik. eh ( "w.=:- tm pc =J, m m ullo Fo u^ =.561-2m. = 1836,r ' ' protonun ktlasi, po -Bohr maqnitonudur) Protonun maqnit momenti msbat olub, mexaliki momenta paralleldir va pp = +2,7928P (vrr.7.l3) "r"" nva maqnitonu vahiddinda qiymetin alrr' Protonun maqnit momentinin iki dayara sahib olmasr aqkar olur' onun bir qismi ;r, = Dirak momenti, o biri qismi isa tt^ = l,'1928 anomal maqnit momentidi. Eyni yolla delton niivosi ugiinda to = +1,85'73tt "o'" qiymetini alrnk. Bu qiymotlor tocruboda tasdiklenmiqdi' Hal-hazrrda elementar zarraciklerdan olan hiperon adh zarraciklarin maqnit momentleri (biperonlann spinlari oldu[u tigtln onlara fermionlar da deyilir). 1tn = 4,73p. r, 1t, = -l,5pp' lt= = 4,66UP px, = 2,'t \t p' l1z = -l19ltu ' lt,.- = 1,l9t1p (vtrr.7.14) qiymatleri alda edilmigdi. Fermionlarm maqnit momenti nazari olarah kvark modelina g6ra

p=k>q,6, (vlrr.7. r 5) ( Q -kvarklarrn elektrik yilkiidu) gaklinde yazrlrr. BUttin hadronlar 6 kvark va 6 antikvarkdan tagkil olunmuqdu. Hadronlann fermion qrsmi u9 nijv kvarkdan, antifermion qismi isa il9 antikvarkdan va bozon qismi ise kvark-antikvarklardan tegkil olunmugdu. Kvarklar elektrik vo hiperyukti elektron yuku vahidinda kesir qiymatlera malikolan (onlar reng adh ti9 dena yiika sahib olan obyekt kimida qebul olunurlar) zarraciklardi va onlarrn qiymatlari: Kvarklar O(\ ri\ t,) ck\ B(E) rd) 22llll u(it 1e(-1e\ ' (- ') - (- - ) () () () ' 3 3 2 2' 2' 2 drdt -!et+!er -1r*1r -1,*1, () () () 3 3 22 22 s1s) -1a111"; () () () () () 33 )') c(e) 1e (-1e) () () + l(-l) () () -1 J _ll b(b) - -e (-e) () () () -l(+l) () 55 )) t(t ) 1e(-1e) () () () () + l(-l) 33 drr. Yani, masalan, proton uud -kvarklardan, neyton ddu - kvarklardan, A -hiperon uds -kvarklardan, S) -hiperon sss - kvarklardan va s. teqkil olmuq zerraciklardi. Kvarklarrn elektrik yuku u, d va s - kvarklar tigtin 112

173 o. =1,,, Qo = -1" (v[r.7.16) ",orurra gdra iisiin,r","';.;t""un yuku UqUn ve A -hiperonun elektrik o =uud =(?*?-LV =k 13 3 3) e,=duu=[-i-i.1)"=" (vm.7.r7) [ 3 3 3) e,=uds=[?-i-i]"=* [3 3 3) alank. Onda (Vl.7. l5)-i proton ve neytron ilgun yazsak, l.r, = k(q,o, + Q,o, + Qoo o) = k tt^ = k(qoo, + Qdo,t + Q,o,' = -1 (vm 7 l8) alank. Buradan!-l= -! t', ) 3 (vrl7.le) alde edarik. Bu qiymat, tacrtibeden miigahida olunan qiymatle /\ al =-o,68so4to,oooo3 rym.7.2) \P')'* krfayat daraceda yaxqr uzlaqan qiymatdir.

$86. Miyonun Pargalanmasr Miyonun pargalanmast hadisasi p- ( ; e- ( p') + v "(k') + v p(k) zayif qargrhqh tasir hesabma olan proseslaro an yax$l misaldl. Onun invariant amplitudu u = 9+b <*y,<t - y stu( p)lb ( p' ty u1t - y,)u(k)] "lz' "''' (vrrr.8.l) ile tayin olunur. Bu prosesin eni (parqalanma ehtimaltmn tars qiymeti) ar= jlr,rf aa (vrrr.8.2) ifade olunur. Burada dq -invariant faza hecmidir. Bu hecm a6= d3!' a3! d3t',*,ay, - Qn)rzf Qn)'2DQtt)'2a x( o- o'-k '--k'\=-)-tz4!ne- E -a')x (v1tr.8.3) (2ril5 2f ful),d(1p- p'-r'>') yazrla bilar. E -- Po,a = t -miyonun ve p Deytrinosunun enerjisidir, onu faza hecmi olaraq 1d3k =1anra1k2)6(a) (vm.8.4) J%D J yaza bilerik. Miyonun siikunet merkezinde pargalanmastnln eni G2. d3 o d3 k' * =#+#1fr^o'tm2 -zma'\x ryr.8.s), 6(^2 - z^e' - zma' + 2a'E' (l - cos fi) 174

olur. Qeyd edak ki, rym.8.5) ifadesini alarkan t.(y, i,y, b )= +1p,, p r, + pn pr, - (p, p, -6pv l t,(v,o- v )i,v"(1-v )i,)= il,(v,it,v, fi,)+sie ypuo p,ppzo r,(v, i,v " i,,\,, t,v " i ) = zzlr., p,)( p, p ) + ( p, p )( p, p )l r,q " i,r "r, i,\,, b,v "v, i,) = t2f( p, p )( p, p ) - ( p, p )( p, p )f kly ug'v,1i,,v,(t-v,\i,hzlv,$- v )i,v"(t -v )i,f= = 256(p,pr)(p2l t) izlerin hesablanmastndan istifada edilmiqdir. 6 -funksiyasrnrn xassesina g6ra 6(... + 2a'E'cos1= -..-61 -.or61 2'E' yazarrq ve (V.S.5)-i -ya gdre inteqrallamrg eni ^2 67 = u!- de aa'a'm(m -2to') (vltr.8.6) 2nr alanq. E' va cr' -l<coso<l oldufuna gdra enerjilar UgUn aldrlr dayerlari muayyen edilir.!*- o'<r'<l^ 22 (V.8.6)-nr a' -a gfio inteqrallasaq dl -nczr 'l or,r,,.^ -^,r= 9i-^r r,r(,-+e'l 1vm.8.7) de' a' lj-, t2xt \ ^ ) 2

elda ederik. Bu ifada p -pargalanmastnda elektronun spektrinln mugahida olunan qiymetila yaxgt uzlagtr. Belaca, ;l -mezonun pargalanmasrmn eni,^12^ r tn de, ^) s n=1= f dl,de'=ur^. (vm.8.8) lg2x, taprlrr. Ogar yagam miiddatinin qiymatini r =2,2 loa san oldulunu qabul etsak, cr=to5 L (v[l 8e) frp alanq. Zayif qargrhqh ta'sir sabitinin Gp, leptonlar va nuklonlar Ugun eyni oldugunu gdtiire bilarik. Belelikle, Gp -sabitinin universal oldu[u agkar olur. Bu da niiva va p -mezon pargalanmasrnrn eyni tabiatli olmasr demekdir. Ogar e -elektron va p -miyonun spinini nazara alsaq, onlann spinorlarl ilgiin polyarizasiya operatorlart.t\, = u.i, = ] D:* t. tr * r,s.l Zm, t b.. + m.. tr,=u,i,=)ff{r*r's,l (vltr.8.1) yazmak lazrmdr. Burada S. u" S, uylun olarak, S,tf u va Srrr, -dir' /5 matrisi 7r2 = 1 rs(l-7s)=-61'-ys) (-y)2 =2(r-y) fsyp=-tpts (vrtr.8.ll) l'76

miinasibatlarinid 6dayon matrislardir. (V.86. l) ifadasini nazara alsaq, (V[.8.2) dtsturundan pargalanma ehtimah r G2. d1 p- lp, -m,s.),(pr, -mrs)p(k26rp +ZkokB) 3 1Y715 E,E u ' (vlu.8 l2),tl=" -",'" olar. Miyonun siikunatda olmast hahnda ve spinorlar 9iin k =rto.k-).ko =mu - E,,.i =-P, nt,=f* p(pe") s, =(.ir).s.e =-;, t"=e"*,r.(l +^") ({" -elektronun stikunatdaki polyarizasiya vektorudur) oltnastna gora, (V[.8. l2)-da yerina yazdrqda, ehtimal (p -,, "u u) 6 =-Ei aa,ll"lde"{^', + o! -zmro" - pj)x 3(2n15 m, t _ / - '1,lte,-p"{t,,,,*,,,,1 i,--"1 -JL)p," lp. x (vnl.8.l3) L ' ' -\ m!+l( ) J xluzu-rruo, -^u{i" ul olar. Miyonun kiltlesi mu = 1964" oldulu iigiin i" = E"fi yazartq. i miyon siikunetde olanda elektronun harakati istiqamatindeki vahid vektordur. Onda pargalanma ehtimah

* = # * *,lp.ve,o - nh e,,4, * (vtrr.8.14) xlgm, - +o,1 + 1m, - qo ">ael ddl. = sinl "d "tttp,, taprlar. Oger neyniontar bir istiqamatda gtxarsa, elektron onlann eksina amale galar, yani (9okil l) T" -} p' elspini gosterila biler $akil. [.1 p- -pargalanmasmda eyni istiqamatda yaranan neytrinolar va onun aks isliqamatda olan elektron yaranar' Yaranan elektronlarrn enerji ve impulsunun maksimum qiymati (m;, + m; ) E" (max) = -::-Lm,, (mi, - mi) P "\maxl = -;-! t,, (vrn.8.rs) olar. 178

$87. kinci kvantlanma nazariyyasi ikinci kvanttanma nezariyyesinde eyni zarraciklar sistemini miia)ryon edan tam sayda fiziki kamiyyetlarden har biri ferdi hatt xarakterza etdikde, asth olmayan dayigan olarak bu haldakr zarraciklarin sayr qabul olunur. Her bir fardi hal Uq alrrltk markazinin harakarina uy$:n.,lr,\ deyiganlari va S spin dayigani ila xarakterze olunur. Disket spektr hahnda bu dayrqanlari {t,,tr,tr,s} n ile srralamak olar. Ogar koordinat tasvirinda N eyni zarraciyin sisteminin t- - - \ dalla funksiyasr til(f'fr,..,.rv,rj olarsa, onun tabe oldugu $riidinger tantiyi n! = {2n r;rr * i wr'^, ;, i},r (vrrr.9.l) ^h: yazrlr. Burada ft1ir1=-i_vi+u(i*) k -zaneciyin kinetik lm enerji operatorudur, U (ir), t -zarraciyin xarici sahadaki potensiyal enerjisidir, W(7L,it) ise t va j -zenaciyin qargrhkh tasir enerjisidir. L tesvirinda (V.9.l) tenliyini._d ih: c(m,m,...mr... m,..mn,t) = = ll n ^,",c1^tm,,.. r1,.. m j.. rn N,t) + (vrrr.9.2) +>>>w.,,",",", (4, i j) C (ry,.. t t,.. n,...m *t) yazmak olar. Burada

n,,,,,, = lv.-,1t,)a 1;^1tY,,,grYt, (vu e 3) w.,,,,,,,,,(io.i,) = lvi,,g)w),g1)w (7k,r jm,r(i^,1tr\rv ^ (i,)tltit, C emsallart sistemin m,m2," nt o haltnda olma ehtimaltm xarakterze edir. m, -lar evezina bu hallarda otan N, ' N" ' N,,, zerreciklarin saytndan istifada etmak olar' C(N,, Nr, ' N, '') amsah c(m,m2,...,m N...t) amsal ila 1c1ru, 1u,...1u,,..., tll) =llc@,n"...* * J)l' rym e 4) geklinde ifada olunar. Camlama biitiin c(m,m,,"',mr " t) -larin N, tigiin mr = l, N " iigiin mr = 2, N. uqun mr = 3 ve s qiymetlar almastna uylun galir' Yani 1cirv,,v...w,,...,,1= = ;;*fr.,_ lc1m,m, m, t )12 va ya lci,v,lrr..-rv...,41' = N! c(m,mr..mn,t) rym.9.5) N,lNr!...19.!... olar. Zerreciyin saymdan astlt olan funksiyant.hilc(n,n,,...n...r) = nc(n,n,,...,v...r) (Vl.9,6) dt tanliyindan tapmak milmhindiir. r8

Zarreciklarin sayr N,, N,... N,, -den asllt olan funksryaya tesir edan operator olarak, udma operatoru A, va yarunma operatoru 2i -dan istifade olunur: A v(n.n...n-...n-...) = _-Vt(NN r...n,*, ') JN, + Ai,W ( N, N,...N ^...N ^...\ = -+ Vt (N, N,...N,-r...N,,...) {1v,,i,ry(N,Nr...N-...) = Operatorlar i, ve 6i h'6 =N (V.9.7) tt'ai=11 "*1 6^hi-ala-=6^, (vnr.9.8) munasibetlarini Odayen operatorlardt. Oger N sayda fermiondan ta$kil olmug sistem iigiin udma va yaranma operatorunun (Mtr.9.8) miinasibetlarini yazanksa a;4"=n' A,a:=FN^ ryee) 6.di+616^=6^, olar- Belelikla, bozon va fermion sistemleri Ugiin udma va yaranma operatorlart uylun olarak

aty(n 1...N,...N.. = ]f,,rf u,...n,-,...1v,...) a'v(n,...n^...n- )=ffirt"r'n,r,...n,,...) (vrrr.9.l) Av,(N t.. N ".. N ^. ) = t#,/(n,..x,-,..fl...) (vrrr.9.l 1) d' ty (N,.. N ^.. N ^...) = 1 JN=,/(N,...N*,...N,,l.. ) yazrlrr. Onda (V.9.6) tanliyinda hamilton operatoru iigiin a = ru *a;," * )22":"."io.,w,,..,. rynr.e. 12) tapank. Yani sistemin hamilton operatoru udma a, va yaranma ai operatorlarr ile ifada olunar. (VlL9.l2) ifadasine ikinci kvantlanma deyilir. Bu ifada (Vtr.9.1) tanliyine eyni tanlikdir va N sayda zarraciklar sisteminin, zarreciklarin sayr tasvirindeki tenlikdir. Bozonlar va fermionlar sistemi iigtin udma va yaranma operatoru uy[un olarak a,,ai-aia.=6^, a^ai+aia^=6* mtlnasibatlarini Odayan operatorlardt. Harmonik osilyator ilgun 4' ve a operatorlarrnt (vrrr.9.3) r82

183 segariksa,, =ml[rc-, r-,,hrj (vrrr.9.l4) '=hle'.'ei) a.a=;\ff;,[#\ff,,[#)= = ;rl+ r. jo'.'fff' - u')] = )-n -lr ha2 alaflk. ( 1 -vahid matrisdir). Eyni qayda ila tapank. Demeli,... au =-H +:-l ha2 a'a=)-, -!, ha2 aa'=r H+L ha2 (vrtr.e.15) olur. (V[.87. l5)-dan Hamilton operatoru tlgud n =)(ra*aa') 2 (vrtr.9,16) alarrk. Ogar a'a= N qebul etsak,

fia-a* =l*al=-a Na = a(n- r) n'a. = a.(lt * r) yazank. Buradan koordinat ve impuls operatorlart yaranma va udma operatorlarl ila l---;-.ln x = -l-{a + a) \2ma'. 6,* ^ ^, P=_il_@-a ) (vrrr.9.7) elaqade olur. (v[.9.17)-nin ikincisindan (V9'15)-i nazara alsak * = ^r. =or^("-r) yazrb / r\ e,=n'.11ln+=l " l 2) (vlll.g.18) enerji qiymatini taparrk. Buda 1-citideki (2 14) diisturunun i.izarina dli$iir. Belelikla, ikinci kvantlanma nezariyyesinde eyni zarraciklar sistemi otarak, qr sahasi gdtiiriiliir va bu sahe operator ry kimi qebul olunur. Operator t/, zenaciklarin yaranmasl ve mahv olmastnt xarakterze edir. Ogar igrlrn kvantlarr (fotonlar) yaranma ve udma prossesini eks etdirarsa, onda igtitn udulmasr va buraxrlmasr prossesini izah ede bilarik. Ona gre elektronpozitron ciitthtln meydana galmesi ve mahv olmast, nilvalerin pargalanmast, mezonlarm pargalanmasl va yiranmasr ve s' bu yolla araqdrnla bilar. Bu nezariyya esastnda sahenin kvant nazeriyyasi va kvant statistikast yaranmtqdt. 184

$88. Elektron -pozitron sahasinin kvanflanmast. ikingi kvantlanma nazariyyesine g6ra ortonormal funksiyalar olan hal vektoru,1, =Lb,i,v,it *6<rtr.<*t) (vrr.ro r) tasvir olunar. Onda hamilton operatoru l< (vrr.ro.2) jk af),a(l) operatorlarrnr e,(t) enerjili hallarrn ru =l\eftaf\af\ ifada olunur ". srxlrfr-nr muo]yon eden operatorlar olarlar. Operator 6*(k) 6(r) - mn mexsusi qlymeti nll) tam vo ya srfrr ola bilar. Boze - Eyniqteyn statistikasrna tabe olan sistemlar Llgun 6l{*)6tr(t - aqt'\ar(k, = 6u,6 ii 6l,t6rrit _a+'ta,(k\ -O ^*(t) *(l') ^ aj aj; -a ^'(l') j; ai ^*(t) =v Fermi-Dirak statistikasrna tabe olan sistemlar ttgun ise Ar,ot A.,u, + 6.,!k't 6a = 6 u.6,i, (V.1.3) A\kt6t*'t *U'otUtu -O (Vm.1.4) A,t A.a't + 6.,1k't 6.txt -, miinasibetleri 6danilir. f; hal vektoruna uylun olan va Dirak tanliyina giire elektron-pozitron sahesinin enerji operatoru u =!l- i rn,o. fr1fr g' 1x1 + mc\i r (r) p,, (lohu om. r. 5)

olar. Elektron va pozitronlartn tam sayml ve tam ytikunii miiayyanlo$diran operatorlar N =!w'{it<ia, A="lv.G\yov, (vm.1.6) tayin olunur. Elektron-pozitronlartn saytnln va yiiliintln operatorlarln dayigmesi herakat inteqrah oldugu tlgun th#= fifr -r* = ftal=o (vu.1.7) th#=oh -no=lonl=o tenliklarindan, onlann saxlanmasl ortaya qr*r. H,N," operatorlann mexsusi qiymetini tapmak ugiln r/ va t/ + operalorlannr Dirak tanliyinin sarbast elektronun hellarinin strasr kimi g6starek:, {t,t1 = \ a r,{t)",.r.,(i ),,i., G,t) = La;.1r;u;r. trl rym.1.8) burada ay va u rnustavi dalladrr ii, u i,r,t = c i.t,t -6e JN * -ii; u j,t.t =c j.*,tve (vrrr.l.e) 186

t8'7 i =L-a*.u vektoru, c;-lar isa dallanrn amplituddur. Burada h" hallin s = t- spin qiymatinde milsbat enerji saviyyasina 2 r,u=*r[1ntt'*r]/1 (vm.l.l) uyfun olanr, hallin s=tt spin qiymalinda manfi enerji saviyyasina Eo = -r!1h2c2k2 +m 'ro ) uy[un olanr gelir. Dtird komponenti spinor uj x,.., (r) (vm.l.lr) ur,*.,(x) ur.,(x) = ur,r.,g) (vrrl. t. r 2) ur,o,,g) matris ta$krl edir. Onlanu har biri ortonormal gartini ddeyan l[ u)r,(x)u,.,a,'(x)dv = 5u,6,.. (v[.1,13) J sistem olugdurular. Onda hamilton operatoru n = lal,{t)o r,,, l,i, afi* A - ^r' prl i,,,dv (vr. r. 4) kk ss' yazlar. u r, spinoru Dirak tenliyina tabe oldugu tigiin -\{irna,,v - *c2 4)(J *,,,(x) = Ep,,,u,7,,,(x) rym.1.15) (V[.1. l3)-den

r = v' n vav = L Jrlr* t;)oot,, 6 i.,v (7)E pdv (vlr' l l6) t,s alarrk. Burada enerji E menfi qiymatda ala bilar' Eyni yolta (V[.1.7)-den zerracbklerin sayt N va yukii O ugundo ru = LJrll- (.)a 1,6i,VQ)dv o' (vm.lo 17) O -- "2 lv- ti>hr,ai,\r(i)dv ts olar. Oger,. * operatorlal iigiin,(i,t),(7',t) +(i',t)t t(i,t) = =;(i,t)i(i"t)+i(ij\i;(r,t)=o (vru'r18),i j(i,t); (i',t) +rii (i',t)yr,(i,t) = 6 ii(i -7') qartlarinden istifado etsak, (VU.1.8)-dan ais(li,s, + alsak's' -- airoi'{'( ^* ^1..+h!.,a!.,it'vks =o - v 6orhi,r, + A!r,r,hi, = 6ru,6rr' (Vm.l.l9) taparrk. Buradan kl,tt1, = ve ya bir olar' onda n ut Q operatorlartnln maxsusi qiymatlari E =\Er,ni, ts Q='Lni, ts olur. Burada rtl, = va Ya -dir. (vu.lo.2o) Manfi enerji seviyyalari ila ortaya grxan gatinliklardan yaxa qutarmak ilgiin mllsbat enerjili saviyyelerin bog olmastnt va manfi enerjili saviyyelarin hamrstntn isa elektronlarla tutulmaslnl 188

189 qabul edirik. Yuni n )' =n?t r =g.'91 ='!a) r =l olut u' k., k.-- k -- *.-, manfi seviyyada olan elektronlar mllgahide olunmurlar' Mu$ahida olunan vahiumdan (mtlsbet saviyyelarin bo9, manfi seviyyalarin dolu) olan farqlenmalardi. Ona gra da (V[' 2) ifadesinden enerjinin ve ytikiln vakuumdakr qiymatini tl Erak => J Ei.,ieuo*=>1,",=_l r,=-; (vm.l.2l) grxmak lazmdtr. Onda mqahida olunan haltn enerjisi ve yuku E ^u, f.t * e^,,=,>l t,^u,-f";,1 i l,=-l,=-l L22) drr. Burada nli, =l-nir-di,, ni-',, = olut, s = *- 2 ryn.r.22) hahnda menfi saviyyelar boq menfi saviyyaler doludur va n'i, =l olu' ' olur, yani vakuumda <deqito> (pozitron) yaramr'..demeli' (Vil.1,22) ifadasinden alnrr ki, miisbet saviyyadekr elektronla birtikda, manfi saviyyadaki musbat yiiklu <degik>, yani pozitron meydana grxtr. (V[.1.22) ifadesi gstarir ki, pozitronun sukunet ktitiesi elektronun kiitlesine baraberdi. Pozitron, sistemin enerjisi 2mc2 = lmev olan fotonlan uddukda yarana bilir. Betatikla, (V[.1,22)-a gra mu$ahido olunan enerjinin qiymati milsbat olar va bu enerji qiymeti btitiin elektron va pozitronun enerjileri camina barabardir.

$89. Serbast elektromaqnit sahasinin kvantlanmasr Elektromaqnit sahasi iki xusisiyyati olan sahadir. Onga bu sahanin kvantr olan foton, srfir, sukunat kutlaya malikdi ve bu sahe enina saha oldulu iigiiln fotonlar muxtolif spin hahnda ola bilerler. Elekhomaqnit sahasinin vektor-potensiah Ap dordkomponentli oldugu ugun, iki halda real fotonlann olmasr ile yanagr ikr halda da alava dinamik deyigena uylun olan hahn olmasr lazrmdrr. Ona giira elektromaqnit sahesinin enina olmast vacibdir. Eninalik qerti kua, =o dir. Elektromaqnit sahesinin tasir inteqrah r =-fi!r,r,uao, (vr[.u.t) ile Fvy = lau a4 lru *, rym.lr.2) xarakterize olunur. Bu saheya uylun olan iimumila$mig impuls e" P =-+[9-P] (v,.r3) Stricl}xa a*y ) olar. (V[.11.2)-dan tasir inteqrahnm minimumluk gartine gora serbast elektromaqnit sahesinin tanliyini alank. Bu tanlik Maksvell tanliyidir. (Vltr.] 1.4) tenliyini ar'... 'Y = (v =1,2,3,4) rym.ll4) o*u 19

F,l =o l,i L,., =r.r.r, af4r + af-r =ol ro,^ yazarak, (V[.l L2)-ni nezara alsak, (Vn l l 5)-i vo ya #[#,-#^)=, " aa '"\= a+arr"o yazank. (V. 1.6) tanliyinin helli laa il =---4, " vt dxr x, " (vm.ll.5) vltr.1r.6) (vltr.11.7) arr. -i inteqral operator otub, Gree funksiyasrna uy[un galtr' v" Buradan (Vtr.l L3)-a g6ra aa^a F* =tar -ilo' = K*ilo^ (vln.rl 8) haradakr k*^=6*''-la-l vz }xp dx^ alarrk. ip, operatoru A = (#'ra2a) vektorun elektromaqnit dal[asrnrn perpendikulyar istiqametdeki miistaviya proyekiya operatorudur. Bu gostarir ki, A -nrn ilg funksiyasrndan asrholmayan ikisi qalrr. Demati, 4-l9ulii A, vektoru iki, asrholmayan funksiyalarla teyin olunan i1 -a gewilir'

t^ l- ile Ko- kommutasiya etdiyine giira, (V. 1.8 )-i dxt yazmak olar. Burada a^ a, K 4k = ;- K b^a* = i- ai (vm. l 1.9) dxt dxa tf = k^oto (v[ l l) (V[. ] 1.8)-a gdre 3-6l9UlU vektor-potensiyalt i tesvir edarik. Burada drr. Onda A= AL+ At ryfl.ll.ll) A =k-4, tr (V.tl.l2) ^t =+ *r"a^ F* = Fi + Fl], rym'll 13),, =ol[ -a4' ''o - ar, drr r, aa' aaj' ""= an- o*r (vm.u.14) ahnrr. (Vtr.ll.l3) ve (Vtr.ll.l4)-a asason sarbest elektromaqnit sahesinin laqranjianr l,-.2 ' 'l L = -J-l{ yl] +zrva?r-z}ggl ryn r u5) tor [axr J ' 7*dxp dx1 J r92

olar va burada da Af va A2r funksiyalan qalrr, gtinki Arr haddi e[ la l! tayin olunur. vektor-potensialt i -nr mtlstavi dallalarrn srrast kimi tasvir etsak l, =lll;,r''i--t * 7;-1" ttit'"tl U =1,2,3) Burada e!"' =(A,, Kn l.' k jku k2 )a!" ) o" yazarrq. (a-'r'r)=o (vl r l.l7) olur. (Vil.l l.l6) ve (V.l 1.17) o] enine qtittibla$on mustavi elektromaqnit dal[asrnr xarakterza edir. Yani irj vektoru ila vektoru bir-birilerina perpendikulyardr. Vektor potensiahn amplitudun a,,, - @7v,j,ot,, ''k. jt \,*V o, kt (vn.u.l8) segarek, ( el, -PolYmizasiYa vektorudu) va *=Q.i9y@r=i,ict) (kr,rp =if -n,) =r,2 qiymati aldrlrndan

2 E*,] \ el =.1,. "'nl e'.!.)latl'"ik' + o'o;'" ik' ) ' 77=r\ o)kv L \ Kt (vrrr. Lts) olar. Farz edak ki, ufi, = d, dilarsa, x1, -r2 k-ya perpendikulyardrrsa va onlarda bir-birlerine perpendikulyardrrsa, / = 3 hah uzununa polyarzasiyaya uylun galir. =,2 isa enine polyarzasiyaya uy[un olar. Onda uzununa va enina polyarzasiya lo t =r,z "U)tk,t=),-, kt t'[ kl /=3 olanda, polyarzasiya vektorunun ortonormalhk garti Ugiin (vn.l r.2) "ff'"ff' =6u" "ff\"*) =5', ryn ll2l) yazrlar. Hamilton operatoru isa, = Ei,rG',;, al, + al;)afi)t Yrr t zz) 277 ^' r olur. drr,burada Elektromaqnit sahasinda kommutasiya mtinasibatlari la;, o,l= ino u,, kt, o[ )= o h*,.*']= o ; -Eii 'o - at gartini iidayir. Onda sahanin operatorlarl ligiln (vu ll.23) 194

h pai.,.l= 6 ;1,d,,' li,,u,;,)=h;ri., ]= o (, rr 24) atnar. (V.l1.24)-a gtlra elektromaqnit sahasinin enerji va impuls operatoplal H = l>,f, oru 2?,=, r,i i, + hf,a 7,) = =n2irr(a;a*, *ll k t=t \ ') ; h tr - = s.'2 -, Lianhi, + di,ki,) = 27i=, --h>iattait k (vm.1r.25) olar. Operatorlar 67, va hlor-uzununa fotonlann udma va dofma operatorlan adlantr. (V.l1.25)-den 2 t i\ t t=t \ ^ z) E=rllai,,,*1 L,t L,t \t 2 G=h>>En, (vm..26) alarrk. (Vtr.11.26) di.isturunda ni, t ni, impulsu ftt- va enerjisi hal olan enina fotonlarrn sayr olar. Bu zaman sahanin enerjisi nit = olanda minimum olar. Yeni, enina foton olmayanda enerj i minimal qiymet alrr.

$ 9. Yang - Mills tanliyi Dal[a funksiyasrnr lokal ayar nazerilyesinda (lokal-kaliba olunmug nazeriyyade) tlr'g\ = a(x\vtg.) yazmak olar. o(x) gevimresi {,, izotopik spin operatoru va a(x) fazast ila tayin olunur. Onda laqranjianda @ ppt)*@ ty/) haddi ortaya gtxr ve laqranjianln invarianthlr pozular. Bu zaman o(x)= eia"(x)r. oldulu iigiin vr --+vr' = sid'(')t' v' 1a1 dr, faza a(x) ntiqtadon-ntiqtoya deyigir va (vtrr.12. r ) (Ytrl.12.2),ur -+,rtt + itada?)a pvt + itoa Lq(/(x)ur (V l2,3) yazrlmahdr. Burada sonuncu hedda g6re alava ayar (kalibina) olunmug Afi(:) sahasi yarantr va bu sahe dd(-r) parametrino g6ra sekkiz komponentli sahe olur. Onda invariantllea gora DuwG)= D'uvG) (vlr.l2.4) olar, haradakr D'r=r-is,Ar=, - is,lo)@e,o)'' tr) n _Lrtr)a,r'tr)] (vrr.l2.s) drr. Burada ayar sahasi A'p(r\ = Aft?)ro (vr.l2.6) drr ve To =:la oldueuna gora F,'ruj=,ou,T, rynr.12.7) t96

t97 mi.inasibati ddanir' /o6. -har iig indeksa Bdra antisimmetrik qurluq sabitidir. Faza deyigmasi olduguna gdra a(x)=l-ioa?)ta ryru.12.8) A'r(x)= AuG)-id,(iA?)V.'tul-f,r.a ua,(x) (vltr 129) va ya A'; = Ai' - obcaid c(x\ - T*J; yazarrk. Yani olur. Burada dir. ogar A'; =A'u-6Ait 6Afi =-fo6"af;a,1x1'j-'o,ao{x) (Tt) = tf otc (vm l2 l) olarsa Drao(x)=d uaolx)+ g,f o6, Abra,(x) (vm 12 ll) olar. izotopik fazada U96l9tilu gevirma ederiksa (a'b'c)=l'2'3 va qwlug sabiti fabc = abc antisimmetrik tenzor olarsa G," =Gi,T" G;' =a '4 elda edarik Bu sahanin laqranjianr -a'al + g";'*'axn ryll.r2.12)

r=-lafi'cfi' (vu.l2 13) 4 invariant olar. Oeer 1 =16. olu.ru, 2" Afi = tzauo ' ahnr ve zo oo 6 -- 26 o6 $artina gora L=':GvvGpv (vm l2 14) olur. Bu sahanin tanliyini tapmak iigtin ALAAL aaf, dxv dafiv Laqranj - Eyler tanliyinden istifade edarak alank. Bu ifadani dugfiu = s,e,6,gbp, Ai rym.12. t 5) D,Gfi, = kimi yaza bilarik. Yani (V[.l2.ll) ifadesine gdra DuGfiu =ougfiu + g,eoi"afgfiu -- rym.12.16) tenliyini alarrk. Bu tenliya Yang - Mills tenliyi deyilir. O, qeyrixattli tanlik olub, ayar qillyon sahasini xarakterza edir, Bu tanliyin Odediyi qiilyon sahasi Oziinti, foton sahasinden farqli olarak digar qlllyonlann menbai kimi biruza verir. Qillyon sahasi, qulyon sahasinin va hemginin kvark-antikvark sa\asinin manbei ola bilir. (Vtr.12.16) tanliyinin hadron fizikasrnda rolu gox boyiikdur. t!8

$91. Elementar zarracikler va kvant mexanikasr Qa[dag fizikanrn gox miihiim sahalardan biri elementar zeneciklar fizikasrdrr vo onun asaslnl kvant mexanikasr tagkil edir. Elementar zarreciklar fizikasrnrn (ona bezan yiiksak enerjilar fizikasr da deyilir) butun xassalari, onlarm davramgr, yaranmasr kvant mexanikasr qanunauylunlulu ile tayin olunur. Tabiyyotdo hal-hazrrda 2-dan 9ox elementar zarracik mgahide olunmugdur va onlar arasrnda dtird nov qargrhkh tasir mijvcuddur: l. qravitasiya tasiri (intensivliyi - l-r8) 2. zaiftasir (intensivliyi - l-i3) 3. elektromaqnitiktesiri (intensivliyi- l''?) 4. giiclil tasiri (intensivliyi - ) MUqahida olunan zarraciklari ii9 qrupa biilmek olar: a) Leptonlar b) Hadronlar c) arahk bozonlarr Adi geraitde zenaciklar arasrnda qravitasiya tasiri yox darecasindadir va onu ilkin olarak, nazera almamak olar. Aral* bozonlar -kvant (foton) mt <3.1-33 MeV Ut -bozon mw = SlGeV Zo -bozot mz = 92GeV g -qtilyon mt <5.1-14 MeV (tebiyyetda helelik taprlmayrb) elementar zerraciklar arasrnda elektromaqnit, zayif va giiclil qargrlrklr tasiri Otiiran zarreciklardir. Zayif va elektromaqnit qargrhkh tasira maruz qalan zarraciklara leptonlar deyilir va onlar Dirak tenliyina tabe olan zarraciklardir. Leptonlara

elektron e-, m, = O.SMeV mtiyon P-, mu = lo6mev tau r-, mt = l784mev elektron neytrinosv v ", fru, <O.ONSMeV miiyon neltrinosu m," < -5MeV tau Deltrinosu m,, <1OMeV aiddir. Hemcinin onlartn anti zarraciklari e*,1t*,t',i",iu va 7, -larda m6vcuddur. Giiclii qargrtrkh tesirda olan zarreciklera hadronlar deyilir ve onlartn sayt goxdur. Maselen, proton m p = 938MeV, netfion m, =94MeV, N- hipe.on mt =lll\mev,2- hiperon nx = llg3mev, E=l3l'lMeV,Q -hiperon ma=l672mev,ai -hiperon mn, =2285MeV,E] -hiperon m=: = 246OMeV va s. hadronlara aiddir' Zarracikler fizikasrnda balli olan saxlanma qanunlarl iidenilir va yuksak enerjitar halnda elave saxlanma qanunlan da meydana grxtr. Hal-hazrrda bttln hadronlarrn 6 nov kvark adlanan daha basit qeyri adi zanaciklerdan tagkil olunmast taprlmredr. Zarreciklerin elektrik ytikunu miiayyan eden izotopik spin () hiperyukunu tayin edan acayiblik va ya hiperyiik (S va ya Y ), maftunluk (C), gozallik(b) ve tebiilik (t) hallanm meyyan edan kvant edadterinin saxlanmast milqahida olunmuqdur' Bu kvant adadlerina uy[un olarak up-kvark (u), down-kvark (d), strangekvark (s), charm-kvark (C), beauty (boftom)-kvark (b) va top(truth)-kvark (t) hadrontarrn tarkib hissaciklari kimi milqahida olunurlar. Yeni, hadronlar yuxan-kvark(u), aqafr-kvark (d), acayib - kvark (S), meftun-kvark (c), iist-kvark (b) ve alt-kvark (t)-dan tagkil olunmug sistemler olarak miigahide olunurlar. 2

Hadronlann kvark qurluglart apa[tdak kimi gbsterilmiqdi. Hadronlarrn mezon qismi kvark-antikvarklardan, baryon qismi isa lig kvarkrn muxtalif kombinasiyalarr kimi miiqahida olunurlar Mezonlar r =ri, n'=id, tro =<ru-a l. K- =ui. Ko =di ^t2 K- = us. Fo = rts, rl = +fun * di -2si). q,. = cc J6 t-_l n'=frtuu+dd + si). e. =ud, p" =fi{un-dd). p- =nd,k =us,k =ds,k =ys,x'=is t- a=+@n+dd),tp= ss, D-(D-) =cd. D- =cd Do = c,, Do = du, D,- =.S, D, = cs, B. = ub, B- = nb Baryonlar p = uud, n = udd, lt = uds, 2* =uus,2- = dds, 2 =uds 3- = ssd, E = uss, >? = dac, Ei = udc, l:'*, = udc 2i* = uu",?2 = dt", Ao = dsc, Ql = ssc, 3 irsc =?. = drr, OL = "r., Lt* = uud, L* = uud L = ud.d, L' = ddd, 2o = uds, 2- = dds, 2* = uus E- = dss, ()- = sss, E = zsc, 22 = dd", El = dt" Ql = rt., El =rtr, 2i =uac, >: =udc 2i, = urr, OL = t.., Ei, = dcc, E'i = u6 Qi., = rrr, hi = udu,?oo = utb, 3i = dso

Kvarklartn maxsusi funksiyalarr s= o) ol l l,b= lt l ol o (vl. r3.1) matrislaridir va onlartn 1 f,,, = Jo,, = i*,, o = [r],, u = iu-"*,,,,ur,r, 1-6 = lrjtol,, - ).i =;(l - Jl s,t.5) 5 -' O operatorlarmtn (Vtr.13. t)-e tasiri kvant edadlarini mtiolyan edn. (V.13.2)-da olan -[ar matrislerinin aqkar gakillari f,, = lo lo ) -r o o o o l 1 ooooof 1 o o o o o,l o oo) r ol l 1-3 i 1 oo ooo,l.l L"=73 1 Jto r 1-2 o d oooo (r o o oo) 11 1 lo or o ool lo oo, ool' lo oo o-ool [o oo o ooj 22

-l '' Jts 1 1 l 1 l -5 gaklinda segila bilarik. l, -Getl-Mann rnatrislarinin bu yaztltgtna asasan (V.13.2) operatorlartnrn maxsusi qiymati ve maxsusi funksiyasr Av =qw tanliyine gdra!/ =.,V. Yyt = yyr.cry = cty, but=av.iw=r,y, (vm134) tanliklarinden taprlar. Onda -r^l i,u =!u, i,a = -la,i,s = o.s. f,c = o c, '22 i.,o=.b, i,t=o t l. rl /1(u) = 1l(d1 = -1,,1s1 =,(c) =,(b) = 1.,(rl = (V. 13,5) 2Z Eyni yolla da t', Y(u) = Y (dl = :. /(s) = - -. Y (c) = Y(b) = YQ = 33 c(u1 = 9111 -- s1"= C(D) = C(r) =, C(c) = (vltr. 13.6) b(u)= bld)--b\s't = Uc) = Ut) =, t\b) = -r t(u) = t(d) = t(s) = t(c) = (b) =Q (Q =

alank. Elementar zorraciklarin elektrik yukii Q=r+! (B+s+c+b+r) ita tayin olunur. Burada B va s barion adedi va ecayiblikdir. Ayar bozonlar Cadval A E o E e,:l e c N x x 6l la E foton v w- bozon 8 t. >.6. l2a t +l ++ w- bozon w- Z- bozon Z 8 r. >.6.121 93..5.124 -+ - + e e,u p 2M

Leptonlar Cadval B elektron e muyon lt- o.ll :l a.5 r U2 + 16 2.1-6 v2 + Taulepton t784 3. 1-'e v2 + -l.t( u o o ql.:l E o 6 t ql A e vv o o,t Neytrino lv. {, " [,. y2 yox hadronlar Adr Kiitle pron lf - pion z t kaion Kl ee 11 D-mezon D' D-mezon D fro D-mezon cadval C Mezonrar 6mrii Spin Yiik lzospin Pargalanma 135 8,3.1-'7-1yox 2y 14 2,6.1-8 - + yox!'v, 494 1,2.1+ - 1l lf 2 acalblik]-l P vt 549 4,7.1-18 - yox 2y,3n fi'no 1869 9,2.1-'3 O - il y2 meftunluk t eiv.+rr 1869 4,4.-r3 o - o ll2 meftunlukt Kt -pion

DrA 1971 1,9.-r3 -+t ecaibtik +1 K(-pion B-mezon B! 527 1,4.1 ''? - +1 lfz gozallik+ Do +pion B-mezon B,Eo 5274 l,4.lo)2 o - o 12 BarYonlar gttzellik+ eti +ha uu" Proton P 93813 > lolzll lfz + +l 12 pe-i, Neytron,?o 93813 898s. l2 + 12 A-hiperon N ttto 2,6.1-1 V2 + o ecaib-l Pz E - hiperon Et -hiperon nno 1189 8, -'r y2 + +l acaib -l plto,nlt* -hiperon E -hiperon E 1375 2,g.lo-to lfz + lf2 ecaibltk-z Nno E -hiperon 3- l32l 1,6.1J 12 + -l lf 2 ecaibltk-z /\ott' C) -hiperon O- 1672 8,2.1-'t 312 + -l o acaiblik-3 N k-,=on-z- n A, -hiperon A'. 2282 2,3.113 12 + +l meftuntuk +l A +pionlar pklt 26

Yuksak enerjitarda hadronlann kutla dusturunu tapmak mmkiln olur. Kvark modelina esasan skalyar mezonlar,l m; =:gm? - ml) vektoryal mezonlar lmi - *';{^l - m'1 = 4, = ]t^i * nj - zni.11nl. 'm'z,t kutla dusturu kimi baryon sakkizliyi va baryon onlufu 3M ^+ Mz=2(M u +M=) rym 139) MnrM=.+M,.+m6 rym.13l) kutla dushrlart ila tayin olunurlar' Hadronlartn Nm 13 7)- (Vtr.13 lo)-dan taprlan kiltlalari, tacrtibadan miiayyan edilan qiymetlerina uylun galir' Elementar zeneciklarin xassalari cedval A, B va C-da verilmigdir. Elementar zanaciklor fi zikaslnda hadronlar rankdinamikastna (QCD) gora dyranilir va guclti tasirin nazeriyyasi olarak, kvant rengainimlkasindan istifada olunur. Bu nazeriyyaye gdra kvarklar ii9 -rang yukiina malik olurlar. Onlar arastnda tesiri ijtiiran z"o""iit"i qulyon adlanrrlar. QUtyon sakkiz rang yukti daqtyrrlar va hadron daiilinde bu yuktiln mbaditasi olur' Qtilyon mubadilesi hesabtna hadronlar miirakkab qurluqa malik olwlar' Rang yukuntin dinamikaslna gora kigik masafalarda (< 1-rosm) perturbativ rengdinamikasr (PQCD), bdyuk masafalarda ( - l-'3 sm ) isa perrurbativolmayan (NPQCD) nazeriyryelari meydana gtxmrgdur. Rangdinamikasrnrn laqranjianr La (vrtr 13.7) rym.13.8) * = - o ;9' o ;9' + ilv1,di"v; - 1,, m,v]\t',

yazrh. Burada 41;) t"ng dinamikasmtn sahenin antisimmetrik tenzordu, a indeksi rang yiikiinu gaistorir, kvarklar Ugtiul a=, 2, 3, qulyonlar ugtln a=1,...8 - dir. mq va t1/; ise kvarkrn ktitlasi ve hal vehorlandr. D'l =a,a',*a'l*e: burada 3.. = =, g, - gilclu tasir sabitidir, o, = -S-L. ' d', - 4na Zarraciklerin zayrf elektromaqnit tasirin laqranijianr - -f L"r = L al,o,r, - ^, - - pm.m,,\ )r, - - ;fu\ v-r,(r - r, Xr'w ; + r w ;fu, - "l a,v,t,v,a, T#T;)r'Y '(si - s'^'t'\ 'z' yazrlrr. Burada w =,23 - Vaynberq bucafr, Mg - higs bozonun kiitlas idir. M a = ll1gev A=Bcos,+Wrsin, w* =Y,+!z Z = -Bsinw + W, sin, dir. g', = tl, -2q, sinz * 8'^=t;r, trr=t: 28

$ 92. 6z-iiziina qararlagmrg sahanin Xartri-Fok metodu Mtlrakkab atomlarm enerjisini ve mexsusi funksiyastnt hesablamaq ugun Xartri va Fok tarafindan 6z-bztlna qerarlagmrp saha metodundan istifada olunmugdur. Bu menoda gtira asrh olmayan zarracik-ler sisteminda har bir elekfron, bir-birindan asrh olmayarak ntive terairndan cazibe qiivasinin va elektronlar tarafindan daf qvvasinin tasiri altrnda olur. Spin-orbital tesiri nazara almayarak sistemin da[!,a funksiyasr alnt-ayn elektronlarrn maxsusi funksiyalanmn hasili kimi qabul olunur. Y (it,i2,...,i N) = Y(ir )Y(i2 ) "' Y( )' " Y(i,, ) (vm. 14. ) Sistemin Hamilton oper:uroru r^') H =t H, *1yV. = H, +19- u t 1Ll ^t 1u _ i Lkrt t Lkri'li (\1rr.14.2) yazrlar. Burada f, i-.i "l"kt orun k ntlva sahasindaki 'z Hamilton operatoru, Vr=!-- i elektronun qar$rllkh tasir ra operatorudur (t + i). Variasiya metoduna gdre 6t =6lv'HWdv =o (vll.l4.3) olmakla dalla funksiyasr, V'VaV = normala5ma $artina asasan taprlu. t =laf fivdv inteqrahnda ll,-nin yalnrz d- elektronun koordinatrna tasirini va Vr,-nin k va i: elektronlarm koordinatlanna tesir etmasini nazara alsak, -nr dayigarak r -\vi n,v dv +)E*wiwYrv,v rd?dy ffrrr. r 4.4) yazank t7, -lerin normalanmasr gartina asasan

tviw'av =r (V. 14.3) ifadasindan (V. 14.2)-ya giira. (^ & = >i6y; t, 1 + \rivliur JV*jv,av = o (\rll.r4,s) alar*. 6yi - variasiyasr $artina tabe olw. l6yiyr,dv, -- (Vlr.14.6) (W.l4.5)-in har heddini qeyri - mllayyan ti vuruguna wrcak va (M. 14.4) ile toplasak (^ 6t = \[ 6yi ] n' + l\riv p\r fiv* - e, ltv dv, = M. 14 7) T'[**) alda ederik. (Ul. 14.6)-da dyi varyasiyasr astltolmayan inteqrallardan ibaret oldulu tigun, (Vl.14.6) ifadasi lr, * 2ry,,r,or, - r,y, = (i = t,23,..., z) (u. 4.8) olanda ddanilir. (Vt[.14.8) tsnliyi Vr,V2,...,\t r'lara 8ra qeyrixatti intoqrodifferensial tenliklar sistemini ifade edir' lk dafe Xartri ve Fok ardrcrl yaxtnlagma metodundan istifada edarek, birelektonlu dalla funksiyasrnr va e, enerjisini tayin etmigter. Stfrnncr yaxrnlagma olarak hidrogenabanzer dalla funksiyasr yi istifada olunur ve onun vasitesi ila / -'ci elektronun yerda qalan elektronlarla ryfl -hahndak qargrlrkh tasir enerjisinin orta qiymatini tapmak olar: V,"(r,7=lyi'Vo4ritlvr U.l4.9) lrt 2to

Bu qiymati (V.la.8)-de yerine yazsak, birinci yaxrnlaqmada dalea funk sivasrnrn tavin edan tanliklar sistemi ln,+v;"' -tl'',jzl" =o 61l 14 lo) olar. Bu tanlikler sistemini hall edarek, y,tt'(,i)= Llll,'\'vrvrl"avo (vl14.ll) taprb, ry[2)- iugiin [8, *4"' -tl",h!" =o gln.l4.l2) tanliklar sistemini alank. Bu qayda ila potensiyal enerji oivmetini aldrqda Y(i) -->Vr;v tt/ kdvk kx ln, +v,{t,) -,,,b,gl =o tanlikler sisteminda tprl funksiyasr (\4.14.1 ) (V[.14.13) ifadasi kimi teyin olunan potensiyal qararlaqmrg Xartri sahasi adlanrr. Srnaq funksiyasr olarak biittin deyiganlarden asth olan elektronlann yerdeyigmasina gore antisimmetrik olan Vt@r,42,...,at)= (urr.l4.l3) (urr.r4.l4) ila toyin olunw. enerji Oz-iizilna lv,lq,) \r,(qr)... Vr@)l r l,rrtc,l 4t2(q2l.'. vz@), g.l4.l5) a.l: : : :l lvr,@,\ v,@r)... Ur,(q,\ determinant gaklinda qabul olunur. Bu funksiya hallan ry,,v2,...v/, funksiyalarla xaraheriza olunan elektronun hahdr gstarir. Yani, ayl-ayn elektonlar sfenksimmetrik nuva va elektronlar sahesinda harakat edir. Oz-ztna qerarlaqmrg Xarti-Fok metodu mtlrakkab atomlann maxsusi funkiyalannr va enerjisini tapmala imkan yaradrr.

V FASLA AD qal$malar CAL$MA V. Elastiki sapilmanin effektiv kesiyini hesablayrn, Helli: Kvant mexanikasrna g6ra sepilmanin ehtimah w =+>l"rl' otr va ya *= Dlu),## ila tayin olunur. Burada v, =!ei4iv{r)av s = F-i' dir. Hecma uylun olan elementi, ^.3 4l = p,2dp,da= mp,de,de v] yazsak, ^,- o -' P '"' vt - vt; olar. Ehtimal srxhlr yazrlar va effekriv kasik * =2=l,lrrl, d<r,- et hcv 6 - o =y=$o@,tfida NJ tayin olunar. Burada dq = sin9d dr cisim bucafrdr. Onda 212

olur. Sepilma markazi xiisusi halda tayin olunan markazdi ve "r.,,=(;)1,,1, -,t 2,t v, = tv {r)r'art ["'a' aa qabul olunur. oger gdttilrsak, v, =girsinqrvlrldr q'" o@) =lf (o)lz tot = 4i,rin qrv(r\dr h.st f () -ya sepilme amplitudu deyilir. Burada -2 l, - i'12 = 4E2 sinz 4 =u 2 dir. V(r) -i Yukava tipli potensiyal kimi segsek va R=_ qabul etsak (6 -k^r 2 o)=-s?' :.ro=t rh'

j r sin q rv(r)dr = - s?j sinq.,;w a, = - - Ag'-. t = r' R' o o q'+k' ahnar. Onda effektiv kasik olar. Ogar qr << olarsa +n2 s! na ort=h4 (q2 R2 +t) o(e) =4m'8':Ro h4 yaurrk. qr >> olarsa, y'likak enerjiler hahnda alda ederik. o@)=#f A=,t'R' CAL$MA V.2 lkr nuklontu sistemin koordinatr r=r,=r^va.piri S, = f a,,5, =X.urolanda va toplam spin oldukda olmasrnr gstarin. a h.- s ---(dt,+o2) 2' 3@ti)16,i) _6,6" ' -t-t =1 12 h2 4r u'l 214

Hell: oldu!undan yazrlar. {Si;' = 3,r* 3,, * 3,, =L{6,i + d2i) = = llru,rr' + (d,r)z + 2(6,r)(d,ll (d ri)' -- (o r,x + o rry + o,,z)' = x' ol, + Y' o r', + + z'ol,+ ry(or,orl +orldr,)+ lz(oryor,+o.-od)+ + xz(o ko u + orror,) o xo y = -o yo, = ior, o ro, = -o ro v =io,,o,oz ='ozo, =io v oldugu ugtttr olar va o: =oi =oi =r (dri)z = 62a2 +EY' + o',2' = *' + Y' + z' (6ti)'z = r'' 16,i1' = 7' (di)@2i)=;[tsrr'-"1 7 6'6'= 52-1 g, =L6+d,611 alank. Yani,ry=#r9-, oldutuna gdre

3@,i!l:,i) - 6,r, = fr($ - t,) -L QAL$MA Y.3. Zerreciyin V = Voe i potensiallt sahadan sapilmasinin effektiv kasiyini taprn. Hall: Ma'lumdur kr, sapilmenin effektiv kasiyi tayin olunur. V (r) -i yerina yazsak alarrk. Onda effekliv kesik olur. Tam effektiv kasik 4m'l*, - l' o (s) = ;= ll V ( r) sin qrdrl nq ft i+2qvo-2qvor3 Vo)e R sin qrdr, dr, *a)' 1t+qzR212 l.' R' ) 4m2 4q'Ru o\q ) = ti n q' 1l+ q'r'1 olar.?n'[.. o'"' ' == k- )o(q)qdq o 216

olur. oldufu ugtim 32nm2Ruv:'f qds o,* =-Vk,- lr+7f7= =#"'rl'5=#[, *;r"j,,,.=!%#['.#"rj SmnRov] ( L2t 2 NK zm vbp - ln'r l- g+8mer2 th')), ) t alarrk. E -) o" olarsa va E-> olarsa alda edilar. 64tnn2 R6v^2 o,*(e -'s*)=---f; SmnRoV^2 o,*(e-+)=-e; CAL$MA V.4. Kvark modelinda proton ve neytronun maqnit. momentini hesablaym. Hall: Kvark modelinda baryonlann maqnit momentini ' tt =}ft, = preq,a, = pr(qd, + Q,6, + QoG o) ii yaza bilarik. Burada

u.= eh 2cm* du. Hadronun maqnit momentinin orta qiymati fr" = [viu"wrav yanlar. Proton va neltronun maqnit momenti u "<nl = lvib,<pioi + ltioi * p! o! )lv rav tt,(,) = J\y;V,(p!o! + plo! + P:o)b rdv olar, Kvarklann elektrik Yuku )l o'=1''q' =-1' oldufu ii9n n@)= r(4u'-u') tt,(n\=1(tta - lt,) alarrk. Buradan,,,, = :{,(:. i.+).(i 1-i).[-;. i - +)],,,,., = *{{-i -+-3).(-i. i. i ).(i - i. 3)},. Yani 218

tt(p) = ttr 2 tt(") = -,lto olacak. Bdylece alank. tt(n) tt(p) ) J CAL$MA v.s' SU(6) = SU(3)xSU(2) qrupunun getirimayan tesvirlarini Yazrn. Hatl: SU, (3) SU" (2) qrupunun hal vektorunu ul dl sl v@)= ul dt,j yazarrk. <t> iqaresi spinin yu*o.,, nj, iqarasi isa ydnelmasini gdstarir. Bu hal vektoru ila multipletlerden va ya ul:(q) d --1,...6 va V/,w(q) P =1,..6 T ='""6 \,:@)=(Pt+1,F]';) spinin a;a[t tasvir olunan

,v,tu @ =(pl,ri). orr 1;, ( u,. i) yazmak olar. Onda v!<qt--{a}a[}= r+:s = = ({t},)+ (t}o,tt)+ ({a}o)+ ({a}o,tt) alda ediler. rr* = {tol oo}= (15) + (21) tesviri l5 komponentli antisimmenik kombinasiya va 21 komponentli simmetrik kombinasiya yazrla bilar. Onda {tol o tot e tol}= (29 e e)+ (1 e o) olar va burada (21@6) = 56+to (15@6)=2+7 U/op tesviri a va p -ya simmetrik, y -ya gbrc antisimmetrik olar ve 56ik simmetrik, 7-hk isa qarrgrk simmetriyaya malik olar. Uy!,un olarak, 2-lik antisimmetrik va 7-lik ise yene qarrqrk simmetriya ile xarakterza olunar. Demeli {/o, tasvirini indekslera gora simmetrik (56)-lik, iki qaflgrk simmetriyahk 7-tik va antisimmetrik 2-lik kimi tasvir olunur: {oe o eo}= (2) + (s6) + (7) + (?) Bunlann har biri daha kiqik dlqulii multipletlare pargalanr ve onlar getirilmayen tesvirlerdi. (2) = (t,}r;,ii).( tt.1; 6.l =[s]i;).[.,.i,,i) oor = [u-i).[o'])-[o.1,.i).to-1; 22

RiYazi alavalar Olava A. 6 -funksiya ve onun xasselori Yii,klar sisteminin paylanmasrnda iimumi moment meydana grxrr: va ya M =ef(x) M =timlef (x + ) (A'1'1) - ef (x)l=r1l'(r) M =L.fb)(x) (A.1.2) burada / (') (x) iqarasi funksiyantn (n) +ertib tiiramasidir, e -elektrik yiikiidilr. Ogar.r ytiniinde yiik ve ya dipol varsa, momenti M =\e,f(x.) +>1f'O)+... (A..3) yaza bilarik. Bu cami hesablamak gatin olur va ona giirada iimumi dalla funksiyasrnr miiayyan hahn maxsusi funksiyalann cami kimi yazrnakla yrq)=lasp. (A.1.3)-i hesablamak asanlagrr. Ogar x = +l arasmda taym olunursa, (A.1.4)-U 9i vurub, -l<x<+l intervahnda inteqrallasak +t +, oi'v A a' = l\ a,rp)' (x)yt (x) dt -- _t t, (A.1.5) =\a^ldi,lv@ax yazartk. rp,-lar ontonormal funksiyalar olduffu Ugiin loi'g)v@lat=a^' olar. Onda (A.1.S)-den (A.1.4)

+l a" = )a:g)v/(x)tu (,{.1.6) olda edorik va bunu (A. 1.4)-da yenna yazsak, -+l v@=lld{x')tv(x)vr(x')dx' (A.1.7) a=za alank. (A.1.7)-ni +l N y Qt =! v ( x' tdx' tillzoi <*' tv t,t -l n=no /v yazmak olar. ogar 6, (x - x') = LEi @')ry<*) igaresi qebul etsak, yazank. +l rlr(x) = lim lvtx')6,(x- x')ar' u-*j' -l igaresini yazsak, (A. 1.8)-dan +/ lim 6" (x - 'r') = 6(x - x') N+-' (A.1.8) yq) =!yq)6(x- x')dx' (A.l.e) -t Yani, 6 -funksiya inteqral operator olub, bir deyigenli funksiyanr, bagka deyiganli funksiyaya geviran bir amaliyyatdrr: l/ 61x-x') = lim),tp"tx')rp"(x) (A.l.l) ' l/+- / Farz edak ki, q, trl -n ntsiyasrrn p..iodu 2l olsun: Onda tp.(x + 2l) = rp.(x) 222

+l +l.a^ )o.lxtto.txfi*= )r ',' -l -l - 2.1'' -''?in(n-i1 d:r = ^, sirwln -is 'n(n-i) olur. 2l penodlu funksiya iigiin +^ \t lx) = La,e ' ilt, n=nn yazank. Bunu e i -a wrsak.j,-'i,',y 6 a* -- i,,..i ;+*''' 6, = o i alde edarik. Buradan yaziar. oldu[una gdre -t 4=n -l ^=no,-, o, = L.i,;'i*,yr*'v*' +l,t lr' dx=6*' ^zt a... w<.t= j iwuld*'timfe'i""-^' (A.l.l l)

6(x-x')= tlnr i'"'l''*''',-- *_,n 1'a''t tzl tapank. (A.1.12)-de -r "' yaxtnlagdrrs ak va 1Ln=p1 Lu-- tt n=.!-t* lt -t Belalikla igarasi qabul etsak, (A'1'l1) -dan +l rylxl = im Jrr(x')d:t'timl'u'-;t +t vrc) = gjvtr)dx'ttmlertg- ) 't= r*l = lml(wk'ldx'limte'hr{')'' ^t= (A.l.l3) i']::il!: N",'7 7t =!'ivt-la,'l,*v-\ 4'-, L dk atrnk. Burada [mlt -+ [d/< avazlamasi nazara altnmtgdr' "..'* ilj' 7 z' J (A.l.l3)-da qabul etsak, bu formulda.-, 6(x-x')= =L l"na-;.tdk Zfi r- Y1$= lv?)6(x- x')dt' atrnar. (A.l.l4)-u u9 otqtiiu hat ugiin (A'1'14) 224

va ya 6(i-i')=,,fiT"'"' 'o' 61i-i'l=.t ' -leiti-i'idi (2n)'!- yaza bilarik. 6 -funksiyanrn agafrdakr xassaleri var: t. lf Gla{,-,')dx' = f (x) 2. tim6(x,q)= 6(.r) = {:' '= o^ (A.1.ls) aro [, r+ l. --i r^ sin kx oo inteqrahna baxanksa 'ok!=i"* "or,*, dx '" x olar va J -arctga alank Riyaziyyatdan ballidir kr, d -.4 le*sinfudx= o d-+p- ^1='!e* costudx=a+f a-+ yaxrnlagand a arctga =L va hamcinin arct11.*1 = -! oldufuna gora 'a

-,,r > * l lz' yazarcak. ldj ld x O\x'd) = -- = arctg -- -- lt b( n elx ct!,g jor,,ala, = ir,,,-* =!\+.i#" = - l-- = ltm- arctg -l = a11t d.l-_ ahnar. Onda :. Jalxla, = Jrrm 6(x,a)dx = r (A.1.16) Diger xasselerinida yazrnak olar: e. r.tff<-'-,w'=-+)- b- sn s. J f G'\ h;6(x' - xpx' = (-t)' d'f(x\ -tr (A.l.l7) 6 6(aG))=1#dJ d. l,=., x, QG) = tanliyininkokiidiir 7. 6(x2 - a2)- d(x - a) + 5(x + a) 2a (A.1.18) 226

a.! a'l ay.. da - x', y - y',...)f (x, y,...) = f (x', y'...) (A. 1. 1 e) Olava B. Lagger polinomlan $rddinger tenliyinin radial hissasi niivonin Kulon sahesinda _! ) 4 r, 4!) _z*' Ro) +h'!(t +;t'trrrl = e 1s.x,,?sn r' dr' dr r zml gaklindadir. p = ar avazlamasi aparsak (B.tr.1) tanliyi asimito-tik halda )4,rdx)*f t _l_/(1r)lr=o (B.tr.2) p'dp" dp' Lp 4 p' l yazrlar. (B..2)-da (B.tr.2)-mn hallini - 2mZez amlel tr = ----------:-. d' = --+: -dl. dt' h' n@)= P1p1r- kimi axtarak. Bunu (B.tr.2)-da yenna yazsak @.tr.3) +.( l-,)+*ft -, -,r, l,rl. =o (B.tr.4) dp'[p )ap Lp p" alank. (B..4)-tiLn hellini isa F(p) - p' (ao + a,p + arp' +...) = p' L(p) (8.tr.5.) gaklinda yazak. ao *,s>-drr.

O zaman a(p) iiqun,, t!p* olz<,+r)- 1ff+ @.tr.6.) + [p(i,-, - t) + (r(s + 1) -l(l + l)]up) = yazank. p = olanda, (B.tr.6 )-dan L(P)=ao+at\t+a2P2 +"' s(r+l)-j(l+l)= s=/, s=_(/+1) olar. s=/ olanda, (B.tr.6.) tanliyi off *lza o- d#+ $.-t -t)l =o (B tr 7 ) olar. (B.tr.5.) sraslnln amsallan v + +l-7', o"" = (u *t)(uii-n2\o' rekkurent diishrru iidayer. i = n olanda (B tr 7')-nin hallini L(r.r) = " ""' '' - i 4() r", r. t (B.tr.8.) l-s 7a dl haradakt -do LoQ)= e'futx"e-') (8 tr.9.) L,(x) -a Lagger polinomu deyilir' Bu polinomlar aqa$dakr xassaleri ddeyirlar: 228

dl, (x) _ odl.-,(x) = _d dl"-,(x) dx dx dx L,uG) = (2x +l- x)l, - a'l,-,{x) (B.tr.1.),o',"!r) *,, _ *rdl,(x) * or ^1y,1 = o ' dx2 dx L,(x) -in yerina birlagmig Lagger polinomlanndanda istifade olunur va onun agkar gakili tj@=2 ts*1 tlx j(r\=(-t\, ol - [r"-u -o(o- P) r"-r-r 1 (B..t l.) ' (d-p)t[ r d@-t\@-r\@.--l) "-r-, 2t) yazth. Lagger polinomlan ortoqonal deyil. Lakin,.,-1 L,(r) funksiyasr (,.") intervahnda ortoqonal olur. Bu polinomlar ) e-' Lr(x)L,(x)dx =, Y + a o j "- rp tl, t*!4(ldx = o, v * a (B.tr.12.) qertlarini Odayirlar. (B..12.)-ya gore

j "-' *B tl, 1*1t1, 1rr* = llili J e-' r"t' ts4a, =(-t)' ko * t) t]' - J e B x " fi 1xy rj 1o a, = w f*:_;\t:rt' olarlar. (B.tr.1)-tanliyin hollini Lagger polinomu ile (B.rr.13.) -.,,n =-[#)' ffii;1" "; r' L'"1; 1,1 (B rr'4) burada n-l-l L^*,2t+t(x)= )t-t)t.' t= f@+\r.l'xk (n - - - k)l(21 + [ + l)!ft ifada ederik. Lagger polinomlannrn 3 halda t - t!2 n=t,r=o,r,"(.)=l L zia loo./ 7 _,312t _ \ Z! n=2,t=o,r,,1ry=[?l t2-?v ^ \ zro J ao ) (B.tr. 15) zt /,3/2 zr n=2.t=r,r,,(r) Jal l2o" ) ao.j3 h2 22 Ao =----;' X=-r me- geklinda olar. f,do Zr-,-a 23

Olava C. Qamma funksiya inteqral va ya t )e't'''dt=9171 Q-i=Je-'s-'ds (c l) olan QQ) funksiyasrna qamma funksiya deyilir. Qamma funksiya Qk+r1= '91'1 e(deg_r1=_l G.z) stnla z"'' Q\z)QQ + +) = JnQQz) 2' miilnasibatlarini ddayen funl<siyalardr. Bu funksiyalann analtik davamr Qk+ n+l) J(z,t=_# _(n+l)<rez< (C 3) - zk+l)...k+n) olur. (C.2)-nin ikincisini gostarak. Qk) Qk -l) hasilina baxak. Ogar ee) ek: t) = e_r,,,t s. t-' dsdt [ J u= s+t, X=t s ile igara etsek

olar. Q( z)qq - t't =jj L\"'' dtdu "1 = oo lx) = l l,-' a,'-1,'-' at = l t )J oo /L e-' au;' t' dt f =!- -d.n dt = sdl, \a u = s + t = s + )(s = s(l + X) s."= '.t='r:dt='dr" - t+ )( l+ 1( + X.)' olur. Ona gbra :? li "-, aur,-t l+ )( udx - - ))e-"dul't-'dt =,,.- u (t+.x )- =!i'-' a'x'-' # =i'" #l?:, = =ir'' -!2 1--2 t l+ tr srn,a ahnar. Ona g6re elda ederik. ' QQ)QK-L) 7t sln 7tr2 (c.4) Qg)=t Qb+D=.' 4i)= =te't-a=zle*'du=g ifadalari Q -funksiyalar tigiiln ballidir' (c.5) 232

funksiyastnr Q.Q) QQ)=vQ) v(z)=- +P(z+') (c 6) z+n. (C.6)-da P(z + n) hissasi r/r(z) -in duzgiin hissasidir. v/$)=q)=-y drr. Burada y =,57'12157 -dir. /r\ wl )l= -y -zr"z (c 7) \2) y -Eyler sabitidir. ty(2) funksiyast,rrt=tlr-' --l ld'-,rez>o (c.8).,.1 (x+l)'l x inteqralada ifada olunur. Eyler sabitini inteqrallada ifada oluna bilir: trl-e-'e-l '=l-?* (c'e) Onda v'd)=#=ll+ *Jar; n""o (c to) gekilda inteqralla Yazmak olur. Olave Q. Bescel funksiyalan Umumi gakilde Bescel tenliyi ballidir:,d'u du, 7 2. x'ij+ x-+(x' -n')u= ^ (Q.l)

d.. drr. ogar xa = Dh rqara edariksa (Q'1) tanliyi ax ti o'u +1x'-n'1ll =o (Q2) saklina duqor. Bu tenliyin halli (co+c,x+crx2 +..')xk = t,'*.',. olar. Onda yazank. (Q.3)-de Dzu +(xz'r'\u =Za,*r.' s= do = co(k' - n'), d, =.,rl& *D' - n') r ' -r d. =c,kk+s)'-n')+c, (q'3) (q4) rt,-i d" = s(2n+s)c, +c"-, grkilinde yazarsak, d- =o (do,d.dz,dt =)-dan s(2n+ s)c, + C,-2 = tanliyinden s=2 olanda alank. s=4 olanda da 2(2n+2)C.+Co = c. ' =- co 2(2n+2) 4(2n+ 4)Co + C2 = co Co = 2.4(2n+2)(2n+4) (Q.5) (Q.6) 234

alaflk. ct=ca=c5= Belelikla, ur=(co+cl+c.x? +...)x'=cox' + crx"" + c.xn*z = t2xnl =."..'lr--l +:---- - -----....1= (q7) " t 2(2n+2) 2 4\2n+2)(2n+4) ) fi (-l)'x"-" - o 2l 2. +....2t(u + 2)(2n + 4)...Qn + 2s\ olur. Eyni qayda ita k = -nz olanda u" =.^i (-t)'.r-"-" (Q 8) ' " 7* 2-4...\2n - 2)\2n - 4)...(2n -2s) olar. Onda (Q.1) differensial tanliyinin iimumi halli (Q.7) ve (c8)-la l=aut+buz kimi alda i diler. Ogar U r = J,(x) igara etsak va (Q.7)-da c^ = - " 2" nl " r6flirsak,"l x' x' -...t (q.9) 2"ntl 2(2n+2) 2'4\2n+2)(2n+4) l J (r) =--{--*------------:---- alank. (Q.9) ifadesina Besell funksiyasr deyilir. z miisbet tam olmayan,; loddirsa nl avezina Qamma funksiy a yazank r)) = 1, Q@) = nt, QQ) = Qk + t) ve Bessel funksiyast

3 (-l)' / x\"*'' J_(x)=) - *l -l vaya frqg)q@+ s)\2 ),.r,r=i*ff.e[;)'." (e1) olur. Bunlara n tartibdan -ci cinsdan Bessel funksiyalan deyilir. Ogar x'xnl Jo?)lnx--.-,Ur{t+rl+ (Q 11) xu ( l\ +rrfi=lr+)+i)+. =uoat olarsa, No (x) -funksiyaya -ci cinsdan srfinncr tartib Neyman-Bessel funksiyasr adlantr. Bessel funksiyalan iigiin x4.^ ='nl,+xj,-, da ^dl " 2-*=J,-t-l*t dx (e.12) 1-, = (-l)" Jo olduluna gbra *o --lt (Q.13) dx yaza bilarik. Xiisusi halda 2n=l olarda -[- l,l:m =sinx (C 14) 2n = 3 olanda ll- sin.r, ^lr* = -'-'- -cosx (Q.15) 236

237 2n = 5 olanda,"f=(]-'),',,-'"",, (e16) ohtr. 2n = -1-da l,l nx = cos x (q 17) 2n = -3 olanda F- cos r, " lr* = - sin,r- rrra (C. l8) 2n = -5 olanda T a /a \ t^lz*=j.in,+li-t].o., (q're) olur. Bessel funksiyasr Hankel-Bessel funksiyasl ila alaqadardlr. Ogar 2n H - = -:::--ei'" (J ^cosnn - J -") (Q 2) '' sn Znn W^--a+ii,u -r-, tr\ olarsa po, = f 1",.."'* "-\'-=)* 'u wo t ^l (Q 2l) H;zt --' lru*'* r"l'-')aw G.22) n{, olur ve onlara va tr silindrik Hankel funksiyalan deyilir' Ogar N,<*1= lnl"1,)-rui"(')] olursa, buna Neyman funksiyasr deyilir'

Olava D. Lejandr polinomlarr Riyazi fizikanrn asas tanliklarindan biri Lejandr tanliyidir. 1t-x')4-zxt+r{n+l)p= (Dl) Bu tenliyin halli (l-x='1!!12nxll ' =O d-x (D.Z) (D.2) tanliyinin halli ile u = c(t- x?)' (D 3) tayin olunur va p =,!Lg- *, ). dx'' miieyyanlagir. (D.3)-da, = *.gdti.irsak (D.4) p, = J=*o' -rt" (D.5) " 2" nl dx' ' alarrk ki, bu funksiyaya Lejandr polinomu deyilir (D.5)-ii hamcinin,,o=flfu "' z'otl -*-\v'*!^.-l)r' 2\2n-r) 2.a.Qn-L)(h,31?t!+,*-.1 1o.o; '- - gakilda yazmak olar. Ogar iqara etsak, frr.at=*#u,-r^ P:G)=*$-,,f ffi<,, -r)' (D7) 238

funksiyasr birlagmig Lejandr polinomu adlantr. Bu polinomlar bir-birlenne ortoqonaldrr. Onu gdstarmak iigiin {t- x'z)4!+2ruu = O tenlikden faydalarak P,i G) va P! (r) polinomlannr tanlikde yazrpakla o 1,, - *'td'i * {,r,*,r--l. p-'t,t =o,lx d-x ). l-*'] (D.8) *lu -,',a:}. {,,,.,, - $}r'',,, = o (D.S)-in binncini P!'(t)-a, ikincini P/(x)-e vurarak teraftarafa glxsak!_1u-,={ P- dp: - P^4rll. d"l"^t" dx dx)l' + {n@ + t) - t(t + 9}r,' 1114' 1x) = s Bu ifadeni (1.1) inteqratrnda inteqrallasak '1*{,-u1,,-#-,,T)V. +l + {n@ + t) - tu + D}P: G) Pl G)dx = o -l lu-,={,,^!!-- p14t1li.'. l" ^'l'' * dx )J-,' + h(n + t) - /(/ + rllipl t,l4't,l = o -t

yazank va buradanda +l t r;'{ir,^ {,)a, =o -t alank. Bu ortoqonalhk gartidir' Eyni yolla bu polinomlann normalltk gortinida tapa bilarik, ilp:ral*=io-'"'##*= =9:_D.jpr.ai,a, (n- m)l -, otdu[u iigiin (D 5)-dan.jp,,at)'*=ffi#,#;,= (nl)' 2za+t lz'"tf {zn+r1 alank. Onda itr..f*=@,ffi#=ffi,,",, alda edarik. Buradan normalanmtg Lejandr polinomu gakilda olar. Laplas operatorunun 2n+(n-m)lo^rr, 2 (n+m)l ^ "?' a' o'=! ' - r dx, urr*,* (D e) sferik koordinatlarda ifadasi i*(,#).#fl*,#).## 24

olur. Lejandr polinomu bu operatorun bucae hissasina tabe olan funksiyadtr...,. d'p,' ^ dp,'. [,,, * r, _ ^' -i"- = o (l-x')--. - 2r---:-* ' d.x' dx t l-*')' Laplas operatorunun buca! qisminin maxsusi funksiyast sferik funksiya olar. e, - lzt + t (t -lmlt\,,^,,., \ 2 {t +lmltt ' (D.11) Xtisusi hallarda sfenk funksiyalar l, m -ler iigiiln =m=o olanda goo =;f t=t.m= otanda e, o =re.oro = t,m =tl olanda e,,*, = fisinl e''n = 2.m = olanda r.o = ftf.or' e - fl t = 2,m =t olanda er.., =,Erin e coso e''e l=2,m=t2 otanda erjr=f*sin'e ""'' (D.12) t=3.m=o olanda g,.o =.,[t, (;*r'r-r)srne l=3,m=12 olanda er.,, =rerin' cose'z'e t =3,m =tt otanda er,, = ff{s"os' -llsine e'''

t = 3,m --t3 oranda g.,.,., = 1E5;n' 6 ",,,, yaztlr. Olava E. Ermit polinomlan Riyazi fi zikanrn tenliklarindan birisida d2h dh ; ;' -2r--:', +2nH,=O ltx ax Ermit tanliyidir. Bu tanliyin halli H.(x) = ao + arx + arxz +... geklinda axtarak. (E.2)-ni (E.l)-da yerina amsallan iigiin (v -2)(v +l)a"*, = (2n-2v)a" -- rekkurent diistur alank: o,.-r=mq (v -2)(v +t) " cut Y -lar tigiin ",=+ tli \2) va tak v -lar iigiltr isa a, = olar. Bylace yazlar va bu sra H,(x)=(2r)" -(nlit) (2x)*, +. 4n-l)ln-2)(n-3),^,,-. fkx,n a l4'" H,,(x)=(-l)'e" {<"-r dx'' (E 1) (E.2) yazsak, (E.3) (E.4) (E.5) 242

$oklinda da segile biler. Bu ifadeya Ermit polinomu deyilir. (E.5)-a gdra n -nin qiymatleri iigiin n =, Ho(x) = n=t, H rg) =2x n=2, HzG)=4x2-2 n = 3, H Jx) = 4x(2xz -3) (E 6) n=4, HJx)=16x4-48xt +12 va s. olurlar ve onlar Ermit polinomlannm harmonikalarrdrr. Olava O. Vektor analizinin bazi formullan t.v17+s;=v/+is 2. i(fs\ = tv/t+ /tist r. i(i+ El=vA+vE a. [v1a +;rl= [v;]. lvel 5 (vlar)=;[v;]-;[v;] - t- - 6. v.[va]=? b A=r[v;]*[rvn;] s [v[v;]l= vlve;-v,a t- t- - e [vla8ll= A(vB) - B(vA) + (BV)A- (Av)B ro. V.i = r, [v,j= o (dr ',r z.ln.76.t)-.o rl. n [,';]= @+3)r" r-vf:g1rl=31 )+r{ 14. V(r{7) =

ODABTYYAT i L Faik Sultanmurad ollu Sadxov Kvant mexanikast kursu cild. Bak. 22 2. Sadtxov Faik, Bagirov Mimamik, Leptonlar va hadronlar (qrsa malumat) Bakt, 21 3. A.J. Axiyezer, V.B.Berestetski, Kvantovaya elektrodinamika, Nauka, Moskva, 1969 4. N.N.Boqoluyov, D.V.$irkov, Vvedenie vr teoriyu kvantovanntx poley, Nauka, Moskva, 1973 5. F.J.Yndurain, Quantum chromodynamics, Springer-Verlag New York, Berlin, TokYo, 1983 6. A.J. Axiyezer, S.V.Peletminskiy, Polya i i fundamentalnie vzaimodeystviya, Naukova Dumka, Kiyev, 1986 7. J.J.Kokkede, The Quark Model, New York Amsterdan, 1969 3. Harry Hochadt, The functions of matematical Physics, McGraw-Hill Book Company, New York, 1968 9. Physical Review D, Particles and Fields, Part l, vol-66, Ns-1,22 244

KiTABN iqindakilor V F O S i L. qrup nazariyyasine girie.'.-...'.-...'..-...-... 5 $ 56. Qrup nazeriyyesinin anayrgarl................... 5 $ 57. Lorentz geyirmesi........... 14 $58.Dirakmatris1ari......21 j 59. Gell-Mann va Okubo matrisari..............29 g 6. Yuksak enerjiler fizikasrnda istifada edilan fiziki kamiyyatlarin operator1ar1......................41 V FasilaaidEa qma\ar........ 46 v F a S i L. Relyativistik tanliklar $ 6l, Kleyn-Qordon tanliyi...:..........,.....,....,,.63 $ 62. Keyn-Qordon tanliyinin hidrogenabanzer atomlara tetbiqi..... '-............. 6'7 Q 63. Diraktenliyi...'...........72 $ 64. Tam harakat miqdan momenti...........,...78 $ 65. ikikomponentti Dirak tenliyi (Veyel tanliyi)......... 81 g 66. Dirak tanliyindan altnan kasilmezlik tanliyi......... 83 $ 67. Sarbest zarrecik tigun Dirak tanliyinin halli............. 86 8 68. Stasionar Dirak tenliyinin dbrd tanlik qeklinda yanlryt...92 Q 69. Dirak tanliyinin taqribi gakili.................,..,,........ 94 $ 7. Dirak spinoru va hidrogenabenzar atomlar iigtinrelyatvistikeffektar...,...,............ 99 $ 7l. Dipol-dipol rabitasinin incequrlu9a tasiri..,....... 16 $ 72.Dirak matrislarin cabri.......,...,......,..,.. $ T3.Supersimmetriya va supergevirmenin $ generatorlarlnln cebri.................. ll6 74. Supersahanin laqranjanr ve harakat tanliyi............ 2l $ 75. Unitar SU(n) qrupunun generatorlan cami.............. 124 { 76. Guclu maqnit sahesinda atomun enerji $ saviyyalari. Pagen-Bak olayi........176 77. Fermionlar iigtin stxhk matrisi........ -- -- --... 129 78. Neyirino tanliyi vasrxhkmatrisi...... 13 Vtl Fasila aid qa\t5ma\ar......... 133 62

V FoslL. Sapllma hadiselari $?9. Sapilma matrisi ve sapilmanin amplitudu.......,...... 14 $ 8.Bom yaxrntagmasl..........-... 144 $ 81. Fotontann elektronlardan elastiki sapilmasi (Kompton effekti)................ 145 $ SZ. itektron-poziton ctitilniiln yaranmasr................... 153 g 83. Elektonun xarici sahedan sapilmasi...,.. 191 -=: t 84. Elektrontann hadronlardan sapimasi..,......,....... 164 $ 85. Neytron ve Protonun kvant mexanikastna giire dawantgt................ 169 $ 86. Miyonun pargalanmast................ l'74 $ 87. kinci kvantlanma nozariyyasi...........,...... 179 $ 88. Elekton -pozikon sahasinin kvantlanmasl...... 185 $ 89. Serbast etektromaqnit sahasinin kvantlanmast.,....... 19 $ 9. Yang - Mills tenliyi........... 196 $ 91. Elementar zarreciklar ve kvant mqxanikast......... 199 $ 92. Oz-iizune qerarlagmrg sahanin Xartri-Fok metodu..................'...'."'."'29 V Fasila aid gatrymalar.........-"212 Riyazi 14 221 hfirlmala verilib: l2.l 1.2j. Qapa imzalanfi: l7.l 1.23. Format,: 6lxA6 fr. Ola ntiv ka$rz. Ofset qap iintlu. $arti gap varaqi t 5,4. Tirajt 5 niisra. SdariS N355 246