З А Д А Ч І П О П Р О Г Р А М У В А Н Н Ю

Transcription

1 О С Н О В И І Н Ф О Р М А Т И К И ТА О Б Ч И С Л Ю В А Л Ь Н О Ї Т Е Х Н І К И СОАбрамов, ГГГнезділова, ОМКапустіна, МІСелюн З А Д А Ч І П О П Р О Г Р А М У В А Н Н Ю мтараща 003 р

2 ПЕРЕДМОВА Пропоновані вправи дають матеріал для самостійних занять і для практики роботи на обчислювальних машинах Діапазон складності вправ досить широкий Формулювання більшості вправ універсальні в тім, що для написання програм можуть використовуватися різноманітні мови програмування, а самі програми можуть виконуватися на різних обчислювальних машинах Лише невелика частина вправ (зокрема, вправи по графіці і звукогенерации) вимагає залучення спеціального устаткування і засобів програмування У книзі немає розв язку вправ, і головна причина цього складається саме у відсутності орієнтації на конкретну мову програмування Указівки до деяких вправ підвищеної складності і обговорення деяких нетрадиційних питань включені в текст вправ Більшість вправ, включених у збірник, придумано авторами При звертанні до наявної літератури (список приводиться наприкінці книги) автори часто запозичали ідею з вправи, але деталі її умови і формулювання змінювалися Рекомендується виконувати вправи із цього збірника в якості додаткових завдань для складання обчислювальних алгоритмів на заняттях по вивченню правил алгоритмічної мови та вивченні мов програмування Бейсик та Паскаль Для викладачів основ інформатики і обчислювальної техніки Для програмістів-початківців, учнів шкіл, студентів коледжів та технікумів, студентів вузів, користувачів ЕОМ Задачі взяті з збірника СОАбрамов, ГГГнезділова, ОМКапустіна, МІСелюн Задачи по программированию, Москва, НАУКА, 988 р Переклали українською мовою: ВВІценко та ВОІценко викладачі інформатики Таращанської гімназії ЕРУДИТ Україна Київська область мтараща вул Шевченка, 39 Таращанська гімназія ЕРУДИТ тел (04566) itseko@mailru

3 3 Частина Основні прийоми програмування Арифметика дійсних чисел Обчислення за формулами Вправа Дано два дійсних числа a і b Отримати їх суму, різницю і добуток Вправа Дано дійсні числа х і у Отримати Вправа 3 x - + y xy Дано довжина ребра куба Знайти об єм куба і площу його бічної поверхні Вправа 4 Дані два дійсні додатні числа Найти середнє арифметичне, середнє геометричне цих чисел Вправа 5 Дано два дійсних числа Знайти середнє арифметичне цих чисел і середнє геометричне їх модулів Вправа 6 гіпотенузу і площу Дані катети прямокутного трикутника Знайти його Вправа 7 Змішано v літрів води температури t з v літрами води температури t Знайти об єм і температуру утвореної суміші Вправа 8 Визначити периметр правильного -кутника, описаного навколо кола радіуса r Вправа 9 з єднання Вправа 0 висоти h Три опори R, R, R 3 з єднані паралельно Знайти опір Визначити час падіння каменю на поверхню землі з Вправа Дано x, y, z Знайти a, b якщо x y -( x+ 3 ) а) a =, b = x( arctg z + e ); x y + + 4

4 4-3 + e б) a =, + x y - tg z b = + ( y - x ) y - x + y - y x + в) x 4 + cos( y - ) a = ( + y ) +, b = ; 4 -x- x e + + si z x + 4 x z г) a = y +, b = + tg ; x y + 3 x y + 3 p cos( x - ) z д) a = 6, b = + ; z + si y si ( x + y ) е) a = + x, b = cos ( arctg ); x z + x - + x y + y 3 3 ; 5 y x x ж) a = l( y - x ) ( x - ), b = x - + x 3! 5! z + Вправа Дано сторону рівностороннього трикутника Знайти площу цього трикутника Вправа 3 Визначити період коливання маятника довжиною l Вправа 4 Визначити силу притягання F між тілами масою m і m, які знаходяться на відстані r один від одного Вправа 5 Дано гіпотенузу і катет прямокутного трикутника Знайти другий катет і радіус вписаного кола Вправа 6 цим колом Відома довжина кола Знайти площу круга, обмеженого Вправа 7 Знайти площу кільця, внутрішній радіус якого дорівнює 0, а зовнішній даному числу r ( r > 0 )

5 5 Вправа 8 Трикутник заданий величинами своїх кутів і радіусом описаного кола Знайти сторони трикутника Вправа 9 Визначити час, через який зустрінуться два тіла, які рухаються рівноприскорено назустріч один одному, якщо відомі їх початкові швидкості, прискорення і початкова відстань між ними Вправа 0 Знайти суму членів арифметичної прогресії a, a + d,, a + ( ) * d за даними значеннями a, d, Вправа Дані дійсні числа c, d Обчислити 3 si сx + dx - cd + tg( cx 3 ( cx + dx - x ) dx - x де х більший, а х менший корені рівняння х - 3х - cd =0 Вправа Знайти площу рівнобічної трапеції з основами a і b, і кутом A при більшій основі a Вправа 3 Вправа 4 х, у і х, у Вправа 5 Трикутник задано довжинами сторін Знайти: а) довжини висот; б) довжини медіан; в) довжини бісектрис ; г) радіуси вписаного і описаного кола Обчислити відстань між двома точками з координатами Трикутник заданий координатами своїх вершин Знайти а) периметр трикутника ; б) площу трикутника Вправа 6 Найти площу сектора, радіус якого 3,7, а дуга містить задане число радіан φ Вправа 7 Дані дійсні додатні числа a, b, c По трьох сторонах з довжиною a, b, c можна побудувати трикутник Знайти кути трикутника Вправа 8 Дано дійсне число х Не виконуючи ніяких інших арифметичних операцій, крім множення, додавання і віднімання, обчислити х 4-3х 3 +4х -5х+6 Дозволяється виконувати не більше чотирьох множень і чотирьох додавань і віднімань ), Вправа 9 Дані дійсні числа х, у Не виконуючи ніяких операцій крім множення, додавання і віднімання, обчислити

6 6 3х у -ху -7х y 4у +5ху+х 3х +0у +6 Дозволяється виконувати не більше восьми множень і восьми додавань і віднімань Вправа 30 Дано дійсне число х Не виконуючи ніякими операціями крім множення, додавання і віднімання, обчислити -х +3х -4х 3 і +х+3х +4х 3 Дозволяється виконувати не більше восьми операцій Вправа 3 Дано дійсне число a Не виконуючи ніяких операцій крім множення, отримати : а) а 4 за дві операції ; б) а 6 за три операції; в) а 7 за чотири операції ; г) а 8 за три операції ; д) а 9 за чотири операції; е) а 0 за чотири операції; ж) а 3 за п ять операцій; з) а 5 за п ять операцій; і) а за шість операцій; к) а 8 за шість операцій; л) а 64 за шість операцій Вправа 3 Дано дійсне число а Не користуючись ніякими іншими арифметичними операціями, крім множення, отримати: а) а 3 і а 0 за чотири операції; б) а 4 і а 0 за п ять операцій; в) а 5 і а 3 за п ять операцій; г) а 5 і а 9 за п ять операцій; д) а, а 5, а 7 за шість операцій; е) а 4, а, а 8 за шість операцій Розгалуження Вправа 33 Дані дійсні числа x, y Отримати: а) max (x, y); б) mi (x, y); в) max (x, y), mi (x, y) Вправа 34 Дані дійсні числа x, y, z Обчислити: а) max (x, y, z); б) mi (x, y, z), max (x, y, z) Вправа 35 Дані дійсні числа x, y, z Обчислити: а) max (x +y +z, xyz); б) mi (x+y+z/, xyz) +

7 7 Вправа 36 Дані дійсні числа a, b, c Перевірити чи виконується нерівність a<b<c Вправа 37 Дані дійсні числа a, b, c Подвоїти ці числа, якщо a>=b>=c, і замінити їх абсолютними значеннями, якщо це не так Вправа 38 Дані дійсні числа x, y Обчислити z: Z ìx - y ï = í ï îy - x + якщо x > y, в іншому випадку Вправа 39 Дано два дійсних числа Вивести перше число, якщо воно більше від другого, і обидва числа, якщо це не так Вправа 40 Дано два дійсних числа Замінить перше число нулем, якщо воно менше або рівне другому, і залишити числа без змін в іншому випадку Вправа 4 інтервалу (, 3) Дано три дійсних числа Вибрати ті з них, які належать Вправа 4 Дано дійсні числа x, y (x<>y) Менше з цих двох чисел замінить їх напівсумою, а більше - їх подвоєним добутком Вправа 43 Дано три дійсних числа Піднести до квадрату ті з них, значення яких невід ємні Вправа 44 Якщо сума трьох попарно різних дійсних чисел x, y, z менше від одиниці, то найменше з цих трьох чисел замінить напівсумою двох інших; в іншому випадку замінить менше з x і y напівсумою двох значень які залишились Вправа 45 Дано дійсні числа a, b, c, d Якщо a<=b<=c<=d, то кожне число замінить найбільшим з них; якщо a>b>c>d, то числа залишити без змін; в іншому випадку всі числа замінюють на їх квадрати Вправа 46 Дано дійсні числа x, y Якщо x та y від ємні, то кожне значення замінити його модулем; якщо від ємне тільки одне з них, то обидва значення збільшить на 0,5; якщо обидва значення невід ємні і жодне з них не належить відрізку (0,5,,0), то обидва значення зменшити у 0 разів; в інших випадках x і y залишити без змін Вправа 47 Дано дійсні додатні числа x, y, z

8 8 а) з ясувати, чи існує трикутник з довжинами сторін x, y, z б) Якщо трикутник існує, то відповісти чи являється він гострокутним Вправа 48 Дано дійсні числа a, b, c (a<>0) Визначити, чи має рівняння ax +bx+c=0 дійсні корені Якщо дійсні корені існують, то знайти їх В іншому випадку відповіддю є повідомлення, що дійсних коренів нема Вправа 49 Дано дійсне число h Встановити, чи має рівняння ax +bx+c=0 дійсні корені, якщо si 8 h + 7 a =, ( - si 4 h cos( h + 8 )) 3 = -, 3 + tg ah - si ah b c=ah si bh + bh cos ah Якщо дійсні корені існують, то знайти їх В іншому випадку відповіддю повинно бути повідомлення, що дійсних коренів не існує Вправа 50 Дано дійсні числа a,, b, c, a,, b, c Встановити, чи вірно, що a b -a b 0,000, і якщо вірно, то знайти розв язок системи лінійних рівнянь a x+b y+c =0, a x+b y+c =0, (при виконанні описаної нерівності система зарані сумісна і має єдине рішення) Вправа 5 Дано дійсні числа а, b, c (a 0) Повністю дослідити біквадратне рівняння ax 4 +bx +c=0, тобто якщо дійсні корені відсутні, то повинно бути видано повідомлення про це, інакше повинні бути видані два або чотири корені Вправа 5 Дано дійсні числа a, b, c, d, s, t, u (s і t одночасно не дорівнюють нулю) Відомо, що точки (a, b) і (c, d) не лежать на прямій l, яка задана рівнянням sx+ty+u=0 Пряма l розбиває координатну площину на дві напівплощини Встановити, чи вірно, що точки (a, b) і (c, d) належать різним напівплощинам * ) Вправа 53 Дано дійсні числа a, b, c, d, e, f, g, h Відомо, що точки (e, f) і (g, h) різні Відомо також, що точки (a, b) і (c, d) не лежать на прямій l, яка проходить через точки (e, f) і (g, h) Пряма l розбиває координатну площину на дві півплощини З ясувати, чи вірно, що точки (a, b) і (c, d) належать одній і тій півплощині ** ) *) В цій задачі, як і в ряді наступних задач, потрібно скористатись тим, що дві точки (a, b) і (c, d), не лежать на прямій, визначеній рівнянням sx+ty+u=0, належать одній півплощині, якщо sa+tb+u=0 і sc+td+u числа одного знака Справедливий і більш загальний факт: якщо рівняння F(x, y)=0 означає пряму або криву, яка розбиває координатну площину на дві частини, то точки (a, b) і (c, d), які не лежать на одній лінії, належать одній і тій же частині площини, якщо F(a, b) і F(c, d) числа одного знака **) В цій задачі, як і в ряді наступних задач, потрібно скористатися тим, що рівняння прямої, яка проходить через дві різні точки (e, f) і (g, h), є рівняння (x-e)(h-f)-(y-f)(g-e)=0

9 9 Вправа 54 Дані дійсні числа x, x, x 3, y, y, y 3 Чи належить початок координат трикутнику з вершинами (x, y ), (x, y ), (x 3, y 3 )? Вправа 55 Дано дійсні додані числа a, b, c, d Встановити, чи можна прямокутник з сторонами a, b вмістити всередині прямокутника c, d так, щоб кожна з сторін одного прямокутника була паралельна або перпендикулярна кожній стороні іншого прямокутника Вправа 56 Дано дійсні додані числа a, b, c, x, y Встановити, чи пройде цеглина з ребрами a, b, c в прямокутний отвір з сторонами x, y Просовувати цеглину в отвір дозволяється тільки так, щоб кожне з його ребер було паралельне або перпендикулярне кожній з сторін отвору Вправа 57 Дано дійсне число а Обчислити f(a), якщо а ) ì x при - х <, f ( x ) = í î4 в інших випадках; б ) ìx + 4x + 5 при х, ï f ( x ) = í ï в інших випадках; îx + 4x + 5 в ) ì x при 0 < х, f ( x ) = í 4 îx в інших випадках; г ) ì0 при х 0, ï f ( x ) = íx - x при0 < x ï î x - sipx в інших випадках; Вправа 58 Дано дійсне число а Для функцій f(х), графіки яких представлені на рис, а, г, обчислити f(a)

10 0 Вправа 59 Дано дійсні числа x, y Визначити, чи належить точка з координатами x, y заштрихованій частині площині (Рис, а, к) Вправа 60 Нехай D заштрихована частина площини (Рис 3, а 3, е) і нехай u визначається по x і y таким чином (запис (x, y)îd означає, що точка з координатами x, y належить D): ì0, якщо ( x,y ) Î D, а) u = í îx в інших випадках; ì- 3, якщо ( x,y ) Î D, б) u = í îy в інших випадках;

11 в) ìx - y, якщо ( x,y ) Î D, u = í îx y + 7 в інших випадках; г) ïì x -, якщо ( x,y ) Î D, u = í ïî x - в інших випадках; ïì x -, якщо ( x,y ) Î D, д) u = í ïî x+ y в інших випадках; ìx + y, якщо ( x,y ) Î D, е) u = í îx- y в інших випадках Дано дійсні числа x, y Визначити u

12 3 НАЙПРОСТІША ЦІЛОЧИСЕЛЬНА АРИФМЕТИКА ВПРАВА 6 Дано дійсне число х Знайти цілу частину * ) числа х; потім число х, округлене до найближчого цілого; потім число х без дробових цифр ВПРАВА 6 Визначить, чи являється дане ціле число парне ВПРАВА 63 Визначить, чи вірно, що при діленні невід ємного цілого числа а на додатне ціле число b одержується залишок, рівний одному з двох чисел r або s ВПРАВА 64 сотень в ньому Дано натуральне число ( >99) Визначити число ВПРАВА 65 Дано натуральне число (<=99) Встановити, чи вірно, що рівне кубу суми цифр числа ВПРАВА 66 Дані цілі числа k, m, дійсні числа x, y, z При k<m, k=m або k>m замінити модулем відповідно значення x, y або z, а два інших значення зменшити на 05 ВПРАВА 67 Дано натуральне число (<=00) а) Скільки цифр в числі? б) Чому дорівнює сума його цифр? в) Знайти останню цифру числа г) Знайти першу цифру числа д) Передбачається, що 0, знайти передостанню цифру числа Вправа 68 Дано натуральне числа (<=9999) a) Чи є це число паліндромом (перевертнем) з урахуванням чотирьох цифр, як, наприклад, числа, 66, 0440 і тд б) Чи правда, що це число має рівно три однакові цифри, як, наприклад, числа 6676, 4544, 0006 і т д? в) чи правда, що всі чотири цифри числа різні? Вправа 69 Годинникова стрілка що створює кут j з променем, який проходе через центр і через точку, яка відповідає годинам на циферблаті, 0<j<=p Визначити значення кута для хвилинної стрілки, а також кількість годин і повних хвилин Вправа 70 Дано цілі числа m, (0<m<= 0<=<60), показуючи момент часу: m годин, хвилин Визначити найменший час (кількість повних хвилин), який повинен пройти до того моменту, коли годинна і хвилинна стрілки на циферблаті: а) співпадуть; б) розмістяться перпендикулярно *) Цілою частиною х, що позначається [х], називається найбільше ціле, що не перевершує х; так, [34]=3, [3]=3, [ 34]= 4, [ 3]= 3

13 3 Вправа 7 Дано дійсне число а Визначить f(a), де f періодична функція з періодом 5, яка співпадає на відрізку [0, 5]: а) з функцією х 3-5х; б) з функцією, графік якої показаний на Рис 4 Y - 0 X Рис4 Рис5 Вправа 7 Дано дійсне число a Обчислити f(a), де f періодична функція з періодом, що співпадає на проміжку [,]: а) для функції x +; в) для функції, графік якої зображено на Рис 5 Вправа 73 Дано цілі числа k, l Якщо числа не рівні, то замінивши кожне з них на одне й те ж число, що дорівнюватиме більшому з вихідних, а якщо рівні, то замінити числа нулями Вправа 74 Дано натуральне число ( <=00), що визначає вік людини (в роках) Надати для цього числа ім я рік, року, років : наприклад, рік, 3 роки, 45 років і т д Вправа 75 Довести, що будь-яку цілочисельну грошову суму, більшу від 7 грн, можна виплатити без здачі троячками і п ятірками Для даного >7 знайти таке ціле невід ємне a і b, що 3a+5b= Вправа 76 Поле шахової дошки визначається парою натуральних чисел, кожне з яких не перебільшує восьми: перше число номер вертикалі (рахуючи зліва направо), друге номер горизонталі ( рахуючи знизу вгору) Дані натуральні числа k, l, m,, кожне з яких не перебільшує восьми Необхідно: а) З ясувати, чи є поля (k,l) і (m,) полями одного кольору б) На полі (k,l) розміщений ферзь Чи загрожує він полю (m,)? в) Аналогічно б), але ферзь замінюється на коня г) Встановити, чи можна з поля (k,l) одним ходом тури попасти на поле (m,) Якщо ні, то встановити, як це можна зробити за два ходи (вказати поле, на яке приводить перший хід) д) Аналогічно г), але тура замінюється на ферзя е) Аналогічно г), але тура замінюється на слона Передбачається, що вказані поля мають один і той же колір

14 4 4 Найпростіші цикли Вправа 77 Дано натуральне число Обчислити: а) б)! в) ( + )( + ( + ); г) ; si si + si si + + si д) коренів cos cos + cos cos + + cos е) * * * ; si si + si si + + si ж) ( - ) + 3 Вправа 78 Дано дійсне число а, натуральне число Обчислити: а) а ; б) а(а+) (а+-); в) + + ; а а( а + ) а( а + )(а + ) г) ; 4 а а а а д) а(а-)(a-) (a- ) Вправа 79 Обчислити (+si0,)(+si0,)(+si0) Вправа 80 Дано дійсне число x Обчислити x x x x x x x ! 5! 7! 9!! 3! Вправа 8 Дано дійсні числа x, a, натуральне число Обчислити: (( (( x + a ) + a ) + + a ) + a ) 443 дужок Вправа 8 Дано дійсне число х Обчислити: ( х - )( х - 4 )( х - 8 )( х - 64 ) ( х - )( х - 3 )( х - 7 )( х - 63) Вправа 83 Дано дійсне число а Знайти: а) серед чисел,+, + +, перше, більше а; б) таке найменше, що > a 3 + a

15 5 Вправа 84 Дано натуральне, дійсне х Обчислити: а) si x + si x + + si x; б) si x + si x + + si x ; в) si x + sisi x + + si si si x Вправа 85 Дано дійсні числа a, h, натуральне число Обчислити: f(a) + f(a+h) +f(a+h) + + f(a+-)h) + f(a+h), де f(x) = (x + ) cos x Вправа 86 Дано натуральне число а) Скільки цифр в числі б) Чому дорівнює сума його цифр? в) Знайти першу цифру числа г) Знайти знакочергуючу суму цифр числа (нехай запис в десятковій системі є α k α k- α 0 ; знайти α k - α k- + + (-) k α 0 ) Вправа 87 цифр числа Дано натуральні числа, m Одержати суму m останніх Вправа 88 Дано натуральне число а) Встановити, чи входить цифра 3 в запис числа б) Поміняти порядок цифр числа на зворотній в) Переставити першу і останню цифри числа г) Приписати по одиниці в початок і в кінець запису числа Вправа 89 Алгоритм Евкліда знаходження найбільшого спільного дільника (НСД) невід ємних цілих чисел заснований на наступних властивостей цієї величини Нехай m і одночасно не дорівнюють нулю цілі невід ємні числа і нехай m Тоді, якщо =0, то НСД (m, )= m, а якщо 0, то для чисел m, і r, де r залишок від ділення m на, виконується рівність НСД(m, )= НСД(m, r) Наприклад, НСД(5, 6)=НСД(6,3)=НСД(3,0)=3 Дано натуральні числа m, а) Виконуючи алгоритм Евкліда, знайти найбільший спільний дільник і m б) Знайти найменше спільне кратне і m (Як тут може допомогти алгоритм Евкліда?) Вправа 90 Дано натуральні числа m і Знайти такі натуральні p і q, які не мають спільних дільників, що p/q=m/ Вправа 9 Нехай а 0 =, а k =ka k- +/k, Дано натуральне число Одержати а k=,,

16 6 Вправа 9 Нехай v =v =0; v 3 =,5; i + v i = v v v i- i- i-3 i + i=4, 5, Вправа 93 Нехай х 0 =с; х =d; xx k =qx k- +rx k- +b, k=, 3, Дано дійсні q, r, b, c, d, натуральне ( ) Одержати х Вправа 94 Нехай u =u =0; v =v =; u - u v - v i- i- i- i u i = + u + v i- i- Дано натуральне ( 3) Одержати v - u - i- i- ; v i =, i=3, 4, u + v + Вправа 95 Нехай а 0 =а = ; аi- а i = а + i-, i- i=, 3, Знайти добуток а 0 а а 4 æ ö Вправа 96 Нехай а =b =; a = b a ; i ç + k- k- è ø b = a + b, k=, 3, k k- k- Дано натуральне Знайти å a b * ) k k k = Вправа 97 Нехай x =y =; x i =03x i- ; y i =x i- +y i-, i=, 3, xi Дано натуральне Знайти å i y = + Вправа 98 Нехай а =b =; a k =3b k- +a k- ; b k =a k- +b k-, k=, 3, k Дано натуральне Знайти å k = ( + a + b )k! i k k i- i- *) Вираз å a kb k є кратний запис суми а b + +a b ; взагалі, åfk i = k= m <m вираз змісту не має означає при m суму f m + +f при

17 7 Вправа 99 Нехай а =u; b =v; a k =b k- +a k- ; b k =a + b, k=, 3, k - k - Дано дійсні u, v, натуральне Знайти a b k k å k= ( k + )! Вправа 00 Нехай x =x =x 3 =; x i =x i- +x i-3, i=4, 5, 00 xi Знайти å i i= Вправа 0 Дано додатні дійсні числа a, x i ε В послідовності y, y,, утвореної по закону æ x y 0 =a; y i = ö ç y - +, i=,,, i è yi- ø знайти перший член y, для якого виконується нерівність y y < e - - Вправа 0 Нехай х 0 =; x - x k= 5 3 k-, k=,, Знайти перший член x, для якого x -x - <0-5 y + k- Вправа 03 Нехай y 0 =0; y k =, k=,, y + k- Дано дійсне ε> 0 Знайти перший член y, для якого виконується нерівність y -y - < ε Вправа 04 Дано дійсне а>0 Послідовність х 0, х, утворена по закону ì ïmi( a, 095 ) при a, ï a x 0 = í при < a < 5 ï5 ï a ï вінших випадках, î5 4 a x = x +, =,, x - Знайти перший член x, для якого знайденого значення x різницю а x a x x < Обчислити для

18 8 Вправа 05 Дано натуральне число, дійсне число х Обчислити: а) x / ; 3 б) x /3 Вправа 06 Дано дійсні числа a, b, натуральне (b>a) Одержати (f + + f )h, де a + ( i - )h b - a h =, f i =, i =,,, + ( a - )h ) Вправа 07 Дано ціле число m> Одержати найбільше ціле k, при якому 4 k <m Вправа 08 Дано натуральне число Одержати найменше число виду r, що перевершує Вправа 09 Дано натуральне число Обчислити (+) Вправа 0 Обчислити Вправа Дано дійсне число х 0 Обчислити x x + 4 x + 8 x + x + 56 x Вправа Дано цілі числа, k ( k 0) Обчислити ( - ) ( - k + ) k!

19 9 Вправа 3 Нехай натуральне і нехай!! Означає 3 5 для непарного і 4 для парного Для заданого натурального обчислити: а)!!; б) (-) +!! Вправа 4 Обчислити: a ) å ; i= i 0 в ) å ; i= i! д ) ж ) 5 Õ i= 00 Õ i= i i + i + 3 i + ; i + *); б ) г ) з ) 50 å i= 8 å i= ; 3 i ( i ) e ) 0 Õ i= 0 Õ i= ( - ; ( + i! ) i! ); Вправа 5 Дано натуральне число Обчислити: a ) å б ) å ; 5 k= k; k= k в ) д ) ж ) å k= å k= ( k + ) å k= k+ ( -) ; k( k + ) + ; k! k + г ) e ) å k= å k= 0 k ( -) ; ( k + )k k ( -) ; ( k + )k Вправа 6 Дано натуральне число, дійсне число х Обчислити: i x æ ö a ) å ; б ) åç + x ; i= i! i= è i! ø x + cos(ix ) æ si( kx ) ö в ) å ; г ) ; i Õç + i= k = è k! ø k+ æ k k ö ( - x ) + д ) Õç - cos x ; e ) Õ k = è k + ø k = (( k - )! + ) *) Вираз 5 i Õ є i= i + i + 3 короткий запис добутку ; взагалі, Õ f i i= m позначає m добуток f m f m+ f ; при <m вираз не має змісту

20 0 Вправа 7 Дано натуральне число Обчислити добуток перших співмножників: 3 5 а ) ; б ) 3 Вправа 8 Обчислити наступними чотирма способами: а) послідовно зліва направо; б) послідовно зліва направо обчислюється і + + +, потім друге значення віднімається з першого; в) послідовно справа наліво; г) послідовно справа наліво обчислюються суми, виписані в б), потім віднімання Чому при обчисленні на обчислювальній машині кожним з цих способів одержуються різні результати? Вправа 9 Обчислити нескінчену суму з заданою точністю ε (ε>0) Вважати, що необхідна точність досягнута, якщо обчислена сума кількох перших доданків і черговий доданок виявився по модулю менші, ніж ε, - цей і всі наступні доданки можна вже не враховувати Обчислити: а ) в ) д ) å i= å i= å i= ; i i ( -) ; i! i+ ( -) i( i + )( i + ; ) б ) г ) e ) å i= å i= 0 i= i( i ; ) i ( - ) ; i! i i å + +

21 5 Найпростіші графічні побудови Вправа 0 Побудувати: а) трикутник з вершинами (00, 00), (50, 00), (80,70); б) прямокутник з вершинами (80, 80), (70, 80), (70, 50), (80, 50); в) п ятикутник з вершинами (00, 00), (50, 00), (70, 0), (50, 40), (00, 40), (80, 0); г) шестикутник з вершинами (0, 00), (40, 0), (40, 40), (0, 60), (00, 40), (00, 0); д) виконати завдання а) г), доповнивши кожне з них вимогою закрасти побудовану плоску фігуру * ) Вправа Побудувати і закрасити квадрат з сторонами 30 піксел **), центр якого суміщений з центром екрана Сторони квадрата повинні бути паралельні осям координат екрану Вправа Побудувати і закрасити прямокутник з сторонами 30 і 50 піксел, центр якого суміщений з центром екрана Сторони прямокутника повинні бути паралельні осям координат екрану Вправа 3 Побудувати і закрасити круг радіуса 40 піксел, центр якого суміщений з центром екрану Вправа 4 Стовпчикова діаграма (гістограма) являє собою набір прямокутників, основи яких рівні, а висоти пропорційні числовим величинам, взятими з деякої сукупності (Рис6) Для більшої наочності прямокутники діаграми звичайно зафарбовують в різні кольори Дано сім дійсних додатних чисел а, а, а 7 Побудувати гістограму для цих значень Рис6 Рис7 Вправа 5 Секторна діаграма це круг, площі секторів якого пропорційні відповідним числовим величинам, взятих з деякої сукупності чисел (Рис7) Для більшої наочності сектори діаграм зафарбовані в різні кольори Дано сім дійсних додатних чисел а, а, а 7 Побудувати секторну діаграму для цих значень *) Побудову і закраску фігур в цій і наступних вправах виконувати довільним кольором, що є на конкретній обчислювальній машині **)Довжини відрізків в цій і наступних вправах вказуються в кількості адресованиз точок екрана (пікселах)ю

22 Вправа 6 Дано натуральні числа v, v, v 8, які задають число днів в році, в яких переважав відповідно північний, північно-східний, східний, південно-східний, південний, південно-західний, західний або північнозахідний напрямок вітру Побудувати розу вітрів (Рис8) Пів З С Мал8 Пів Рис9 Вправа 7 Стрілка (Рис9) складається з відрізку прямої і рівностороннього трикутника вістря Сторона трикутника, яка пересікає відрізок, утворює з ним прямий кут; точка перетину ділить відрізок у відношенні :5 Побудувати: а) горизонтальну стрілку, напрямлену з точки (00, 00) в точку (50, 00); б) горизонтальну стрілку, напрямлену з точки (50, 00) в точку (00, 00); в) вертикальну стрілку, напрямлену з точки (00, 50) в точку (00, 50); г) вертикальну стрілку, напрямлену з точки (00, 00) в точку (00, 50) Вправа 8 Побудувати осі координат (Рис0) Початок координат необхідно помістити поблизу лівого нижнього кута екрана, півосі Ох і Оy розмістити, як показана на Рис0 Y X Рис0 Вправа 9 Рис а-о складені з найпростіших геометричних фігур: трикутників, квадратів, кіл, точок і тд Ципленя (Рис а) складається з еліпсу (тіло ципленяти), кола (голова), трьох трикутників (ніс, хвіст і крило) ф двох прямих(лапи) Будинок (Рис б) складається з двох квадратів (будинок і вікно), прямокутника (двері), трикутника (дах) і ламаної (труба) Вантажівка (Рис в) складається з двох прямокутників (кабіна, кузов), квадрата (вікно) і двох кіл (колеса) Ялинка (Рис г) складається з трьох трикутників (гілки) і прямокутника (стовбур) і т д Одержати на екрані і розмалювати Рис а-о

23 3 Вправа 30 На Рис а - р дано шаблони кількох фігур: жука, букета квітів, робота, літака і тд Замальований квадрат на шаблоні відповідає висвіченій точці, пустий квадрат точці, яка не висвічується (або, теж саме, точці, колір якої співпадає з кольором фону) Одержати на екрані фігури по шаблонах, приведених на Рис а р Вправа 3 Скласти шаблони рукописних букв від а до я Використовуючи ці шаблони, виконати підписи рисунків до фігур попередньої вправи і фігурам вправи 9 (шаблон рукописної букви г дивись на Рис3

24 4 Рис а - з Вправа 3 Дано натуральне число ( ) Записати його шістьма цифрами, використовуючи дев ятисегментний шаблон (як на поштових конвертах) Вправа 33 Одержати на екрані Рис4 електричну лампочку і забезпечити можливість запалювати і гасити намальовану лампочку: включення і виключення лампочки повинно виконуватись з клавіатури, спіраль запаленої і погашеної лампочки пофарбована в різні кольори Вправа 34 Одержати на екрані Рис5 і забезпечити можливість запалювати і гасити світло в будинку: включення і виключення світла повинно виконуватись з клавіатури, вікно будинку при запаленому і при погашеному світлі фарбується в різні кольори

25 5 Рис5 Вправа 35 Одержати на екрані зображення діючого електронного годинника, який показує поточний час Шаблони використовуваних цифр повинні відповідати звичайному для електронних годинників семисегментному шаблону 6 Покроковий ввід даних і вивід результатів *) Вправа 36 Дано натуральне число, дійсні числа а, а, а Обчислити: а) а + +а ; б) а а, а ; в) а + + а ; г) а а, а ; д) а + + а ; e) ) а + +а i а а, а + ж) а - а + а - + ( -) a ; 3 a a ( -) a з) ;!!! a a a і) ; 0!! ( - )! к) (а ++а ) л) а а а м) si а + +а ; н) а - а ) + + a a ) ; о) a a Вправа 37 Дано натуральне число, дійсні числа а, а, а Обчислити: а) а, а +а,, а +а + +а ; б) а а, а а, а а 3,, а а ; в) а, а +а,, а +а + +а г) а, а а, а а а 3,, (-) + а а а ; д) а, а, а 3,,(-) а ; e) а +!, а +!,, а +! Вправа 38 Дано дійсні числа а,, а 70 Одержати (вивести) послідовність а,, а 70, а *) В вправах цього параграфа не треба зберігати вихідних значень послідовностей

26 6 Вправа 39 Дано натуральне число Одержати послідовність b,, b, де при і=,,, значення дорівнює: а) і; б) і ; в) і!; г) і+ ; д) і +3 і+ ; е) ; і! і+ ( -) ж) ; з) ; і і æ ö і) і ç è!! і! ø 3а + 4 Вправа 40 Обчислити значення виразу де а=,,, 00 а - 5а - 9 Вправа 4 Циліндр об єму одиниця має висоту h Визначити радіус основи циліндра для значень h, рівних 0,5,,,5, 5 Вправа 4 Обчислити значення многочлена х 5 +9х 4 +,7х -9,6 для х=0,, 5 і Вправа 43 Дано дійсні числа а, а, а 3, а 4, х,, х 50 Одержати b,, b 50, 3 4 i x - x - a x - x - a x - x + a i i i i i i 4 де b = ( x - a ) - + x ( x + a ), і=,,, 50 i 3 i i 3 x - a x - a x i i Вправа 44 Послідовність чисел Фібоначчі u 0, u, утворюються по закону u 0 =0, u =, u і =u і- - u і- (і=, 3, ) а) Дано натуральне число > Одержати u 0, u, u б) Послідовність f 0, f, утворюється по закону f 0 =, f =, f і =f і- - f і- +u і- (i=, 3, ) Дано натуральне > Одержати f 0, f, f Вправа 45 Послідовність х, х, утворена по закону: 5 x 3 i- а) х =0; x = ; xi = + xi -, і=3, 4, ; 8 4 б) х =; х =0,3; х і =(і+)х і-, і=3, 4, ; в) х =х =х 3 =; х і =(і+3)(х і- -)+(і+4)х і-3, і=4, 5, Одержати х, х,, х 0 Вправа 46 Дано натуральне число, дійсні числа a, b (a b) Одержати r 0, r,, r, r i =a+ih, h=(b-a)/ Вправа 47 Обчислити послідовність значень функцій p (x)=x, 3х - 5х - 3х p (x)=, p3 (x)= для значень аргументу х=0, 0,05, 0,,, 0 i

27 7 Вправа 48 Одержати таблицю температур по Цельсію від 0 до 00 градусів і їх еквівалентів по шкалі Фаренгейта, використовуючи для 9 переводу формулу t F = tc +3 5 Вправа 49 Обчислити значення функції y=4x 3 -x +5 для значень х, що змінюється від 3 до, з кроком 0, Вправа 50 Дано натуральне число Обчислити значення функції x - 3x + y= для х=,,,,,, +0, 3 x - Вправа 5 Дано натуральне число, дійсні позитивні числа С,, С Значення С,, С є ємностями конденсаторів Визначити ємностями систем конденсаторів, які одержуються послідовним і паралельним з єднанням даних конденсаторів Вправа 5 Дано натуральне число, дійсні числа a, h, b, d 0,, d Обчислити d 0 + d (b-a) + d (b-a)(b-a-h) + + d (b-a)(b-a-h) (b-a-(-) h) Вправа 53 Дано натуральне число, дійсні числа x, a, a -,, a 0 Обчислити, використовуючи схему Горнера, значення a x + a - x a 0 Вправа 54 Дано натуральне число, дійсні числа a, b, x, y,, x, y Пара a, b координати школи мікрорайону, а пари x і, y і (і=,, ) подібно координати будинків цього мікрорайону Найти відстань від будинків до школи і середнє арифметичне цих відстаней Вправа 55 Дано натуральне число, дійсні числа х,, х (=>3) Обчислити: ( + x )( + x 3 ) ( + x ) + c + c + c - Вправа 56 Дано натуральне число, дійсні числа х,, х (=>3) Обчислити: а) (х + х + х 3 )(х + х 3 + х 4 )(х - + x - + x ); б) (х + х + х 3 ) х + (х + х 3 + х 4 ) х 3 + +(х - + x - + x ) x - Вправа 57 Дано натуральне число, дійсні числа a, b (b>a>0) Отримати послідовність дійсних чисел y 0, y,, y, де y і = c і, х і =a + іh, h= (b-a)/

28 8 Вправа 58 Дано натуральне число, цілі числа a,, a 39 В послідовності a,, a 39 замінити кожний із членів залишку від ділення його квадрата на Вправа 59 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a ( 3) Отримати b,, b -, де b i =a i+ +a i+, i=,, - Вправа 60 Дано натуральне число, Дійсні числа α, l, α, l, α, l, (l, l,, l 0) Знайти координати кінця ламаної лінії, зображеної на Рис6 Вправа 6 Дано натуральнее число, Дійсні числа а,, а Одержати b,, b, де ai b =, i =,, i + ( a + + a ) i Вправа 6 Дано натуральні числа i,, дійсні числа а,, а (i ) Знайти середнє арифметичне чисел a,, a, крім a і Вправа 63 Дано дійсні числа а,, а 37 Всі члени цієї послідовності, починаючи з першого позитивного, зменшити на 0,5 Вправа 64 Дано дійсні числа a,, a 50 Отримати згладжені значення а,, а 50, замінивши у вихідній послідовності всі члени, крім першого та останнього, по формулі ai- + ai + ai+ a i =, i=, 3,, 49; 3 враховується, що а) після того як отримано нове значення деякого члена, воно використовується для обчислення нового значення наступного члена; б) при згладжуванні використовуються лише старі значення членів Вправа 65 Дано дійсні числа a, a, Знаючи що a >0 і що серед a, a 3, є хоча б одне від ємне число Нехай a,, a члени даної послідовності, що передують першому від ємному члену ( раніше не відоме) Отримати:

29 9 а) a + a + + a ; б) a a a ; в) середнє арифметичне a,, a ; г) середнє геометричне a,, a ; д) a, a a, a a a 3,,а а а ; е) а +а +а 3 + +а - +а ; ж) а а +а а 3 + +а - а +а а ; з) (-) а ; и) +а ; к) а -а Вправа 66 Дано натуральне число, дійсні числа а,,а Отримати числа b,,b, які з єднані з а,,а наступним чином : ai - ai b =a,b =a, bi = +, і =,, 3 Вправа 67 Нехай yi- yi- x =y =; x =y =; xi = - ; i x i- + xi- + yi- yi =, і = 3,4, i Отримати : а) x,y,x,y,,x 5,y 5 ; б) y /,y /3,,y 5 /6 Вправа 68 Дане натуральне число, дійсні числа a,, a ( ³ 6) Отримати: а) а 6,а 7,,а ; б) а 6,а 7,,а,a ; в) а 6,а 7,,а,а 5 Вправа 69 Дано дійсні числа х, y,, y 00 (y < y < < y 00, y <x<=y 00 ) Знайти натуральне k, при якому y k- < x <= y k Вправа 70 Дано натуральні числа,, а,, а ( 4) Числа а,, а це виміряні в сотих долях секунди результати спортсменів в бігу на 00 м Скласти програму з чотирьох кращих бігунів для участі в естафеті 4 00, тобто вказати одну з четвірок натуральних чисел, для якої і< j<k<l і a i +a j +a k +a l має найменше значення Вправа 7 Дано натуральні числа, a 0, a, a,, a 3- Кожна трійка чисел a і, a і+, a і+, де і кратне трьом, задає координати центра квадрата (a і, a і+ ) і довжину його сторони a і+ Передбачається, що сторони квадратів розміщені паралельно осям координат екрана Побудувати і зафарбувати якими-небудь кольорами квадрати, задані послідовністю a 0, a, a,, a 3-

30 30 Вправа 7 Дано натуральні числа, a 0, a, a,, a 3- Кожна трійка чисел a і, a і+, a і+, де і кратне трьом, задає координати центра круга (a і, a і+ ) і його радіус a і+ Побудувати і закрасити якими-небудь кольорами круги, задані послідовністю a 0, a, a,, a 3- Вправа 73 Дано натуральні числа, a 0, a, a,, a 4- Кожні чотири числа a і, a і+, a і+, a і+3, де і кратне чотирьом, задає прямокутник із сторонами, паралельними осям координат екрана: числа a і, a і+ це координати центра прямокутника, a і+, a і+3 довжина його сторін Побудувати і зафарбувати якими-небудь кольорами прямокутники, задані послідовністю a 0, a, a,, a 4- Вправа 74 Дано натуральні числа, a 0, a, a,, a 6- Кожні шість чисел a і, a і+, a і+, a і+3, a і+4, a і+5, де і кратне шести, задає координати вершин трикутника: числа a і, a і+ це координати першої вершини, a і+, a і+3 координати другої вершини, a і+4, a і+5 координати третьої вершини Побудувати трикутники, задані послідовністю a 0, a, a,, a 6- Вправа 75 Дані натуральні числа, a 0, a, a 3,, a - Кожна пара чисел a і, a і+, де і кратне двом, задає координати вершин ламаної а) Побудувати ламану, задану послідовністю a 0, a, a,, a - б) Побудувати ламану, задану послідовністю a 0, a, a,, a - ; останню вершину сполучити з першою Вправа 76 Дано натуральні числа, a 0, a, a,, a 3- Кожна трійка чисел a і, a і+, a і+, де і кратне трьом, задає координати точки і її колір Побудувати всі точки, задані послідовністю a 0, a, a,, a 3- Вправа 77 Дано натуральні числа, x, y, r, c, r, c,, r, c Побудувати концентричних окружностей зі спільним центром в точці (x, y), маючи радіуси r,, r і закрашені у кольори c, c,, c

31 3 7 Об єднання циклу і розгалуження Вправа 78 Дано натуральні числа, a,, a Визначити кількість членів a k послідовності a,, a ; а) що є непарними числами; б) кратні 3 і не кратні 5; в) що є квадратами парних чисел; a a k - k + г) задовольняють умову аk < + ; д) задовольняють умову k < a k < k!; е) які мають парні порядкові номери і є непарними числами Вправа 79 Дано натуральні числа, q,, q Знайти ті члени q i послідовності q,, q, які а) є подвоєними непарними числами; б) при діленні на 7 дають залишок, або 5; в) мають такі якості, що корні рівняння х + 3q i 5 дійсні і додатні Вправа 80 Дано натуральне число Одержати суму тих чисел виду i 3i + (i=,,, ), які є потроєними непарними * ) Вправа 8 Дано цілі числа a,, a 50 Одержати суму тих чисел даної послідовності, які а) кратні 5; б) непарні і від ємні; в) задовольняють умову a i < i Вправа 8 Дано натуральне число, цілі числа a,, a Знайти кількість і суму тих членів даної послідовності, які діляться на 5 і не діляться на 7 Вправа 83 Дано натуральні числа, р цілі числа a,, a Одержати добуток членів послідовності a,, a кратних р Вправа 84 Дано цілі числа р, q, a,, a 67 (р > q ³ 0) В послідовності a,, a 67 замінити нулями члени, модуль яких, при діленні на р дає в залишку q Вправа 85 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Одержати подвоєну суму всіх додатних членів послідовності a,, a *) В ряді вправ цього і натупних параграфів необхідно обчислити суму чи добудок тих членів послідовності, які мають певні властивості Можна домовитись, що при відсутності таких членів шукана сума рівна нулю, а добуток одиниці Можна ускладнити умову задачі, прийнявши домовленість, що в подібних випадках повинно видаватись повідомлення про відсутність відповідних членів

32 3 Вправа 86 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Обчислити обернену величину добутку членів a i послідовності a,, a, для яких виконується умова i + < a i < i! Вправа 87 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a В послідовності a,, a всі від ємні числа збільшити на 0,5, а всі невід ємні замінити на 0, Вправа 88 Дано натуральне число, дійсні числа х,, х В послідовності х,, х всі члени менші двох, замінити нулями Крім того, одержати суму членів, які належать відрізку [3, 7], а також число таких членів Вправа 89 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a В послідовності a,, a всі невід ємні члени, які не належать відрізку [,], замінити на Крім того, одержати число від ємних членів і число членів, які належать відрізку [, ] Вправа 90 Дано натуральне число, цілі числа a,, a Одержати суму додатних і число від ємних членів послідовності a,, a Вправа 9 Дано натуральне число, цілі числа a,, a Замінити всі більші семи члени послідовності a,, a числом 7 Обчислити кількість таких членів Вправа 9 Дано цілі числа a,, a 45 Одержати число від ємних членів послідовності a,, a 35 і число нульових членів всієї послідовності a,, a 45 Вправа 93 Нехай х 0 =а; х k =qx k- + b (k=, ) Дано невід ємне ціле, дійсні a,b,c,d,q ( c<d) Чи належить х інтервалу (c,d)? Вправа 94 Дано натуральне число, цілі числа a, x,, x Якщо в послідовності x,, x якщо хоча б один член, рівний а, то одержати суму всіх членів, які слідують за першим таким членом; в інших випадках відповіддю повинно бути число 0 Вправа 95 Дано натуральне число, дійсні числа a, b, c,, c Чи вірно, що при k - кожного разу, коли с k <а, виконано c k+ >b? Вправа 96 Дано цілі числа a,, a 50 Одержати послідовність b,, b 50, яка відрізняється від даної тим, що всі непарні члени подвоєні *) В якості відповіді до цієї і ряду інших вправ, в яких вимагається визначити дійсність якого-небудь твердження, повинні бути отримані відповідні текстові повідомлення

33 33 Вправа 97 Обчислити å( ai - bi ), де a i 30 i= ìi, якщо i - непарне, ï = í i ï в іншихвипадках, î ìi, якщо i - непарне, = í îi в іншихвипадках bi 3 Вправа 98 Дано натуральні числа, b 0,, b Обчислити f(b 0 ) + f(b ) + + f(b ), де ì ïx, якщо х кратне 3, ï f ( x ) = íх, якщо при діленні на 3дає залишок, ï x ï[ в інших випадках î 3 Вправа 99 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a ( ) Скільки серед точок (a, a ), (a, a - ),, (a, a ) таких, які належать кругу радіуса r з центром в початку координат Вправа 00 Дано цілі числа a,, x,, x (>0) Визначити, який номер в послідовності x,, x член, який рівний а Якщо такого члену немає, то відповіддю повинно бути число 0 Вправа 0 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Одержати: а) max (a,, a ); б) mi (a,, a ); в) max (a, a 4, ); г) mi (a, a 3, ); д) mi (a, a 4, )+ max(a, a 3, ); е) max ( a,, a ); ж) max (-a, a,- a 3,, (-) a ); з) (mi(a,, a )) - mi( а,, a ) Вправа 0 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a а) Чи вірно, що від ємних чисел в послідовності a,, a більше, ніж додатних? б) Чи вірно, що найбільший член послідовності a,, a по модулю більше одиниці? Вправа 03 Біля прилавка в магазині вистроїлась черга з покупців Час обслуговування продавцем i го покупця дорівнює t i (i =,, ) Нехай дано натуральне і дійсні t,, t Одержати с,, с де с i час перебування i го покупця в черзі (i =,, ) Вказати номер покупця, для обслуговування якого продавцем було затрачено найменший час

34 34 Вправа 04 В деяких видах спортивних змагань виступ кожного спортсмена незалежно оцінюється кількома суддями, потім із всієї сукупності оцінок вилучається найвища і найнижча, а для оцінок, що залишились, вираховується середньоарифметичне, яке і йде в залік спортсмену Якщо найбільш високу оцінку виставило кілька суддів, то з сукупності оцінок вилучається тільки одна така оцінка; аналогічно поступають з найбільш низькими оцінками Дано натуральне число, дійсні додатні числа a,, a ( 3) Вважаючи, що числа a,, a це оцінки виставлені суддями одному з учасників змагань, визначити оцінку, яка піде в залік цьому спортсмену Вправа 05 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Одержати max ( a,, a ) і a + + a Вправа 06 Дано натуральне число Знайти найбільше серед чисел si ( k + ) ke (k=,, ), а також суму всі цих чисел Вправа 07 Дано натуральне число Вибрати із запису числа цифри 0 і 5, залишивши попередній порядок решти цифр Наприклад, з числа повинно одержатись 99 Вправа 08 Дано натуральне число, цілі числа a,, a Знайти: а) найменше з парних чисел, що входять в послідовність а -, а, а,, а ; б) найбільше з непарних і кількість парних чисел, що входять в послідовність a,, a, a + Вправа 09 Дано натуральне число, дійсне число х Серед чисел cos( x k ) 3k e si( x ) (k=,, ) знайти найближче до якого-небудь цілого Вправа 0 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Одержати всі натуральні j ( j -), для яких a j- <a j >a j+ Вправа Нехай x =03; x =- 03; x i =i+si(x i- ), i=3, 4, Серед x,, x 00 знайти найближче до якого-небудь цілого Вправа Нехай yi- x =y =; x i = x i- + ; i x y i = y i- + i- i=,, i Одержати х 8, у 8

35 35 Вправа 3 Нехай 3 i - ( i - ) ai = + si, i=,, i + i + Дано натуральне число, серед a,, a знайти всі додатні числа, серед додатних a,, a вибрати найменше число Вправа 4 Нехай а 0 =cos ; a =-si a k =a k- -a k-, k=, 3, Знайти суму квадратів тих чисел a,, a, які не перевершують двох Вправа 5 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a В послідовності a,, a визначити число сусідств: а) двох позитивних чисел; б) двох чисел різного знаку; в) двох чисел одного знаку, причому модуль першого числа повинен бути більше модуля другого числа Вправа 6 Дані цілі числа с,, с 95 Чи є в послідовності с,, с 95 : а) два нульових члени, що йдуть поряд; б) три нульових члени, що йдуть поряд? Вправа 7 Дано натуральне число, дійсні числа х,, х 3 Послідовність чисел х,, х 3 визначає на площині квадратів з сторонами, паралельними координатним осям: так х, х координати центра першого квадрата, х 3 довжина його сторони; аналогічно, числа х 4, х 5, х 6 визначають другий квадрат, х 7, х 8, х 9 третій і тд Чи є точки, які належать всім квадратам? Якщо так, то вказати координати однієї з них Вправа 8 Дано натуральне число, дійсні числа х,, х 3 Обчислити суму з х +,, х 3, які перевершують по величині всі числа х,, х Вправа 9 Дані дійсні числа a, b ( a< b), натуральне число, функція y=f(x), визначена на відрізку [ a, b] Для значень аргументу x i =a+ih (i=0,,, ) h=(b-a)/, обчислити значення функції y i =f(x i ) (i=0,,, ) Вивести x i і y i (i=0,,, ) у вигляді таблиці з двох колонок В i рядок таблиці заносяться відповідні значення x i і y i Розглянути слідуючи функції: а) y=si x +cos x, a=-π, b= π, =50; б) y=si x + cos x, a=0, b= π, =50; в) y = x +, a=0, b=5,=40; - x г) y = xe, a=-, b=3, =40

36 36 Вправа 0 Розглядається послідовність a,, a 000 Необхідно визначити, скільки членів послідовності з номерами,, 4, 8, 6, мають значення, менші ніж 05 при цьому вважати, що а) a k =si (3k=5) cos(k 5), k=,, 000; б) a,, a 000 задані дійсними числа; в) a =00; a k =si(k+a k- ), k=, 000 Вправа Дано натуральне число, дійсні числа x,, x Одержати (+r)/(+s), де r- сума всіх тих членів послідовності x,, x, які не перевершують, а s сума членів, більших Вправа Дано натуральне число, дійсні числа y,, y Знайти: ì yi при yi, а) max( z,, z ), де z i = í î05віншихвипадках ì yi при yi >, б) mi( z,, z ), де z i = í î віншихвипадках ì yi при 0 < yi < 0, в) z + +z де z i = í î в інших випадках ì yi при 0 < yi 5, г) ( z - z ) + + ( z - z ) де z i = í î7 в інших випадках ì y i при yi, д) z + + z де z i = í î05віншихвипадках Вправа 3 Дано цілі числа а, а, Відомо, що а >0 і що серед а, а 3, є хоча б одне від ємне число Нехай а, а, а члени даної послідовності, які передують першому від ємному члену ( заздалегідь відомо) Одержати: а) max ( a,,a ); 3 3 б) max ( a,,a ); в) mi(a, a,, a ); г) mi(a +a, a +a 3,, a - +a ); д) max(a,a a,, a a a ); е) кількість парних серед (а,, a ); ж) кількість подвоєних непарних серед (а,, a ); з) кількість повних квадратів серед (а,, a ); і) кількість квадратів непарних чисел серед (а,, a ) Вправа 4 дільники Дано натуральне число Одержати всі його натуральні Вправа 5 Дано натуральне число Одержати всі такі натуральні q, що ділиться на q і не ділиться на q 3

37 37 Вправа 6 Дано натуральні числа m, Одержати всі їхні натуральні спільні кратні, які менші m Вправа 7 Дано натуральні числа m і (m 0, 0) Одержати всі їхні спільні дільники (додатні і від ємні) Вправа 8 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Встановити чи є послідовність a,, a впорядкована по спаданню Вправа 9 Дано дійсні числа x, y (x>0, y>) Одержати ціле число k (додане, від ємне або рівне нулю), що задовольняє умову y k- x<y k Вправа 30 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Знайти довжину найменшого відрізку числової осі, який містить числа a,, a Вправа 3 Дано дійсні числа x, y, y Встановити, по-перше, чи вірно, що y x y, і, по-друге, чи вірно, що t x t, де t найменше, а t - найбільше серед, y, y ( Які комбінації відповіді на перше і друге запитання можливі?) Вправа 3 Дано натуральне число, дійсні числа a, х,, х (х х х ) Одержати послідовність у,, у +, членами якої є члени послідовності x,, x і значення а, таку, що у у у + Вправа 33 Дано натуральне число, цілі числа a,, a Залишити без зміни послідовність a,, a, якщо її члени впорядковані по не спаданню або по не зростанню В інших випадках одержати підпослідовність a,, a m (m<), де m таке, що або a a a m і a m >a m+, або a a a m і a m <a m+ Вправа 34 Дано натуральне число, дійсні числа х,, х Одержати в порядку запису всі x k, що задовольняють нерівність x k >x, x k >x,, x k >x k- Вправа 35 Дано натуральне число, дійсне число х Одержати m! +! ( m + )! Вправа 36 Дано натуральні числа m і Одержати 0 x s + æ ö å ç s = 0 s!( + s )! è ø Вправа 37 Дано натуральне число, дійсне число r Обчислити

38 38 æp [ / ] ( r ) ö ç (див вправу 3)!! è ø Вправа 38 Дано натуральне число Обчислити добуток перших співмножників Вправа 39 Дано натуральне число Обчислити [lg ] [lg ] [lg ] ( -) ( -) ( -) Вправа 40 Для довільного цілого позначимо кількість цифр в його десятковому запису через Ц(k) а) Дано натуральне число Обчислити Ц() Ц( ) Ц( ) б) Дано натуральне число, дійсне число х Обчислити Ц ( ) Ц ( ) Ц ( ) ( - х ) + ( - х ) + + x Вправа 4 Дано натуральне число, дійсне число х Обчислити [ ] [ ] [ ] ( -) ( -) ( -) x + x + + x Вправа 4 Дано натуральне число Обчислити k( k - ) / ( -) å k = k! Вправа 43 Дано натуральне число Чи можна представити у вигляді суми двох квадратів натуральних чисел? Якщо можна, то а) вказати пару х, у таких натуральних чисел, що =x + y, x y б) вказати всі пари х, у таких натуральних чисел, що =x + y, x y Вправа 44 Дано натуральне число, цілі числа a,, a а) Встановити, яке число зустрічається в послідовності a,, a раніше додатне чи від ємне Якщо всі члени послідовності дорівнюють нулю, то повідомити про це б) Знайти номер першого парного члена послідовності a,, a ; якщо парних членів не має, то відповіддю повинно бути число 0 в) Знайти номер останнього непарного члена послідовності a,, a ; якщо непарних членів не має, то відповіддю повинно бути число + Вправа 45 Дано натуральне число, цілі числа a,, a 30, b,, b 40, c, c Чи вірно, що від ємний член в послідовності c, c ніж в послідовності a,, a 30 і b,, b 40? Передбачається, що кожна з послідовностей містить хоча б один від ємний член

39 39 Вправа 46 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Встановити, чи утворюють зростаючу послідовність числа: а) a,, a, а,3а,, (+)a ; б) a,, a, a +, a - +,, а + ; в) a,, a, ( a - +),,(-)( a - +),, (а + -) Вправа 47 Дано натуральні числа, x 0, y 0, r, x, y,, x, y Побудувати на екрані точки з координатами x i, y i : а) що належать кругу з центром з координатами (x 0, y 0 ) і радіусом r; б) що не належать кругу з центром з координатами (x 0, y 0 ) і радіусом r Вправа 48 Дано натуральні числа, x, y, x, y,, x, y Побудувати на екрані точки з координатами x i, y i : а) розміщені в верхній половині екрану; б) розміщені в нижній половині екрану Вправа 49 Дано натуральні числа, x, y, r, x, y, r, x, y, r Побудувати на екрані кола з центрами в точках (x i, y i ) і радіусами r i, для яких виконана умова r i >5 Вправа 50 Дано натуральні числа, x, y, r, x, y, r, x, y, r Побудувати на екрані кола з центрами в точках (x i, y i ) і радіусами r i, якщо r i >5, і радіусами r i в інших випадках

40 40 8 Обробка послідовностей символів Якщо у використовуваній мові мається можливість роботи з рядками, то поряд з приведеними в параграфі вправами має зміст розглянути аналогічні задачі, сформульовані термінах рядків В умові задачі 5виписаний додатковий рядковий варіант, але надалі цього вже не робиться, так як самостійне формулювання таких варіантів не складно для того, хто розв язує вправу В кожному такому варіанті число символів в рядку не вноситься у дані задачі, але передбачається, що воно не перевершує максимальної допустимої довжини рядка у використовуваній мові програмування Вправа 5 Дано натуральне число, символи s,, s Підрахувати, скільки разів серед даних символів зустрічається літера х (Рядковий варіант: даний рядок символів; підрахувати, скільки разів серед символів зустрічається літера х) Вправа 5 Дано натуральне число, символи s,, s Підрахувати: а) скільки разів серед даних символів зустрічається символ + і скільки разів символ *; б) загальне число входжень символів +, -,*, в послідовності s,, s Вправа 53 Дано натуральне число, символи s,, s Перетворити послідовність s,, s, замінивши в ній: а) всі знаки оклику крапками; б) кожну крапку трьома крапками; в) кожну з груп, які знаходяться поряд крапок одною крапкою; г) кожну з груп крапок, які знаходяться поряд, трьома крапками Вправа 54 Дано натуральне число, символи S, S Встановити, чи має послідовність S, S такі члени послідовності S i, S i+, що S i - це кома, а S i+ тире Вправа 55 Дано натуральне число, символи S, S Одержати перше натуральне і, для якого кожен із символів S i і S i+ співпадає з буквою а Якщо такої пари символів в послідовності S, S не має, то відповіддю повинно бути число 0 Вправа 56 Дано натуральне число, символи s,, s Відомо, що серед s,, s є в крайньому разі одна кома Знайти, таке натуральне і, що a) s i перша по черзі кома; б) s i остання по черзі кома Вправа 57 Дано символи s, s, Відомо, що символ s відмінний від знаку оклику і що серед s, s 3, є в крайньому разі один знак оклику Нехай s,, s символи даної послідовності, що передують першому знаку оклику( наперед невідомо) а) Визначити кількість пропусків серед s,, s б) Вияснити, чи входить в послідовність s,, s літера ю в) Вияснити, чи правильно, що серед s,, s є всі літери, які входять в слово шина г) Вияснити, чи є серед s,, s пара сусідніх літер но чи он

41 4 д) Вияснити, чи є серед s,, s пара сусідніх однакових символів е) Вияснити, чи правильно, що існують такі натуральні і та j, що <і<j< і що s i співпадає з s i+, а s j з s j+ Вправа 58 Дано натуральне число, символи s,, s Видалити з даної послідовності всі групи літер виду abcd Вправа 59 Дані натуральне число, символи s,, s Перетворити послідовність s,, s, видаливши кожен символ * і повторити кожен символ, відмінний від * Вправа 60 Дано натуральне число і символи s,, s, серед яких є двокрапка а) Одержати всі символи, розміщені до першої двокрапки включно б) Одержати всі символи, розміщені після першої двокрапки в) Одержати всі символи, розміщених між першою і другою двокрапками Якщо другої двокрапки немає, то одержати всі символи, розміщені після єдиної двокрапки Вправа 6 Дано натуральне число, s,, s а) Підрахувати найбільшу кількість, що йдуть підряд проміжків б) Вияснити чи правильно, що в послідовності s,, s, є п ять підряд букв е Вправа 6 Дано натуральне число, символи s s Визначити число входжень в послідовність s s групи літер: а) аbc б) аba Вправа 63 Дано натуральне число, символи s s Замінити в послідовності s s кожну групу літер child групою літер childre Вправа 64 Дано натуральне число, символи s s Виключити з послідовності s s групи символів, які знаходяться між дужками (,) Самі дужки також повинні бути виключені Припускається, що всередині кожної пари дужок немає інших дужок Вправа 65 Дано натуральне число, символи s s Перетворити послідовність s s : якщо немає символу *, то залишити її без змін, в іншому випадку замінити кожний символ, який зустрічається після першого входження символу *, на символ Вправа 66 Дано натуральне число, символи s s, серед яких є хоча б одна крапка Перетворити послідовність s s вилучивши з неї всі крапки, попередні першій крапці, і замінити знаком + всі цифри 3, що зустрічаються після першої крапки

42 4 Вправа 67 Дано натуральне число, символи s s (>) Перетворити послідовність, замінивши комами всі двокрапки, що зустрічаються серед s, s [\], і замінити крапками всі символи знаки оклику, які зустрічаються серед s, s [/]+, s Вправа 68 Дано натуральне число, символи s s Відомо, що серед даних символів є хоча б один, відмінний від проміжку Необхідно перетворити послідовність s s так Видалити групи проміжків, якими починається і якими закінчується послідовність, а також змінити кожну внутрішню групу проміжків одним проміжком Якщо вказаних груп немає в даній послідовності, то залишити послідовність без змін Вправа 69 Дано натуральне число, символи s s Групи символів, розділені проміжками (одним або кількома) і які не мають проміжків всередині себе, будемо називати словами а) Підрахувати кількість слів в даній послідовності б) Підрахувати кількість букв а в останньому слові даної послідовності в) Знайти кількість слів, які починаються з букви б г) Знайти кількість слів, у яких перший і останній символи співпадають між собою д) Знайти будь-яке слово, яке починається з букви а е) Перетворити дану послідовність, замінюючи всяке входження слова це на те ж) Знайти довжину самого короткого слова Вправа 70 Дані символи S, S, відомо, що символ S відмінний від проміжку і що серед S, S 3,, що має хоча б один проміжок Розглядаються S,, S символи, що передують першому проміжку ( заздалегідь не відоме) Перетворити послідовність S,, S : а) видаливши з неї всі, символи, що не є буквами; б) замінив всі малі букви однойменними великими; в) вилучивши всі символи, що не є буквами або цифрами і замінивши кожну велику букву однойменною малою; г) вилучивши з кожної групи цифр, йдуть підряд, в якій більше двох цифр і якій передує крапка, всі цифри, починаючи з третьої наприклад, ab+0973 перетворюється в ab+09 - ); д) вилучивши з кожної групи цифр, яким не передує крапка, всі початкові нулі (крім останнього, якщо за ним йде крапка)

43 43 9 Обчислення з зберіганням послідовності значень Вправа 7 Дані дійсні числа a,, a 5 Знайти 5 A= å a і, s= 5 і= 5 å( a - ) і і= 4 a ~ Вправа 7 Дано дійсні числа a 90, a 90,, a 950 кількість опадів (в міліметрах), які випали у Києві на протязі перших 50 років позаминулого століття Потрібно вичислити середню кількість опадів і відхилень від середнього кожного року Вправа 73 Система із 5 матеріальних точок в просторі задана з допомогою дійсних чисел x, y, z, p, x, y, z, p,, x 5, y 5, z 5, p 5, де x і, y і, z і координати і- й точки, а p і її маса (і =,,, 5) Знайти координати центру тяжіння системи, а також відстань від центра тяжіння до всіх точок системи Вправа 74 Дано дійсні числа a,, a 0 Знайти числа b,, b 0, де b і середнє арифметичне всіх членів послідовності a,, a 0, крім a і (і =,,, 0) Вправа 75 Дано дійсні числа x,, x 0, y,, y 0 Знайти å c іg і Як скоротити рішення, якщо вихідні дані будуть мати наступний порядок: x, y,, x 0, y 0? Вправа 76 Построїти послідовність цілих чисел a,, a 30, де a = ; і / + a і- (і = 3,, 30) a = ; a і = a[ ] Вправа 77 Дано дійсні числа a,, a Знайти a, a -, a * ) Вправа 78 Дано натуральні числа,, 0, дійсні числа x,, x 0 x x0 Знайти Вправа 79 Дано дійсні числа a,, a, b,, b Знайти (a +b )(a +b - ) (a +b ) Вправа 80 Нехай x і, y і (і=,, ) знайдені, як у вправі 67 Знайти x,, x 5, y,, y 5 *) Кожного разу, коли число число членів в даній послідовностізалежить від деяких величин, m,, не віднесених явнодо даних вправи, то мається на увазі, що при роботі з мовами, в яких не передбачені масиви з динамічними границями( такою мовою є наприклад паскаль) ці величини або визначаються в програмі як константи (наприклад, в програмі на паскалі даються визначення cost= ; cosr m= з конкретними чилами замість трикрапок), або ще до складання програми ці величини замінюються конкетними чилами Якщо мова дозволяє після введення значення змінних, m, розглядати масив, межі якого залежать від, m,, необхідно скористатись цією можливістю і вважати значення, m, даними числами 0 і=

44 44 Вправа 8 Дано дійсні числа a,, a 8, b,, b 8 Члени послідовності c,, c 9 зв язані з членами даних послідовностей рівністю c 9 =0, a9-і c 9-і = (і =,, 8) Знайти c,, c 9 b - с 9-і 9-і+ Вправа 8 Дано дійсні числа а, а,, а Одержати: а) а, а +, a, a +,, a, a ; б) а, a, a, a -, a 3,, a, a + ; в) а + a, a + a -,, a + a + Вправа 83 Дано дійсні числа а, а,, а 7 Одержати: а) а 7, а, a,, a 6 ; б) а, а,, a 7, a, a,, а 0 ; в) а, а,, a 7, a 0, a 9,, а Вправа 84 Дано дійсні числа а, а,, а 0 Одержати: а) а 0, а, a 9, a 0,, a 0, a ; б) а, а 3,, a 9, a, a 4,, а 0 ; в) а, а, а 3, а 3,, a 9, a 9 ; г) а, а, а 4, а 4,, a 0, a 0 ; д) а, а, а, а, а 3, а 3, а 4, а 4,, a 9, a 9, a 0, a 0 Вправа 85 Дано дійсні числа а, а,, а Якщо в результаті заміни від ємних членів послідовності а, а,, а їх квадратами члени будуть утворювати не спадаючу послідовність, то одержати суму членів даної послідовності; в іншому випадку одержати їх добуток Вправа 86 Дано цілі числа а,, а 99 Одержати нову послідовність, викинувши з даної всі члени з значенням max(а,, а 99 ) Вправа 87 Дано цілі числа а,, а Всі члени послідовності з парними номерами, що передують першому по порядку члену з значенням max(а,, а ), помножити на max(а,, а ) Вправа 88 Дано цілі числа а,, а, кожне з яких відмінне від нуля Якщо в послідовності додатні і від ємні числа чергуються (+,, +,, або, +,, +, ), то відповіддю повинна бути сама дана послідовність Інакше одержати всі від ємні члени послідовності, зберігши порядок їх слідування Вправа 89 Дано натуральне число m, дійсні числа а,, а 30 (числа а,, а 30 попарно різні, m 30) В послідовності а,, а 30 поміняти місцями найбільший член і член з номером m

45 45 Вправа 90 Дано дійсні числа х,, х 0, у,, у 0 Одержати дійсні ' ' ' ' ' ' x,,x, y,, y, перетворити для одержання x 0 0 i, yi члени x i, y i по правилу: якщо вони обидва від ємні, то кожен з них збільшити на 0,5; якщо від ємне тільки одне число, то від ємне число замінити його квадратом; якщо обидва числа невід ємні, то кожне з них замінити на середнє арифметичне даних значень Вправа 9 Дано дійсні числа а,, а 30 Одержати: а) max (a +a 30, a +a 9,, a 5 +a 6 ); б) mi (a a 6, a a 7,, a 5 a 30 ) Вправа 9 Дано цілі числа а,, а Перетворити цю послідовність по правилу: більше з a i i a 0+i (i=,, 0) прийняти в якості нового значення a i, а менше в якості нового значення a 0+i Вправа 93 Дано цілі числа а,, а Якщо в даній послідовності жодне парне число не розміщено після непарного, то одержати всі від ємні члени послідовності, інакше всі додатні Порядок запису чисел в обох випадках замінити на зворотний Вправа 94 Дано дійсні числа r,, r 7, серед яких відомо що є як від ємні, так і невід ємні Одержати x y + +x s y s, де x,, x p від ємні члени послідовності r,, r 7, взяті в порядку їх запису, y,, y q невід ємні члени, взяті в зворотному порядку, s=mi(p,q) Вправа 95 Дано цілі числа а,, а 0 Найменший член послідовності а,, а 0 замінити цілою частиною середнього арифметичного всіх членів, решту членів залишити без змін Якщо в послідовності кілька членів з значенням mi(а,, а 0 ), то замінити останнє по порядку Вправа 96 Дано дійсні числа а,, а 0 (всі члени попарно різні) поміняти в цій послідовності місцями: а) найбільший і найменший члени; б) найбільший і останній члени Вправа 97 Дано цілі числа а,, а 00 Одержати нову послідовність з 00 цілих чисел, замінюючи а і нулями якщо a не дорівнює maх(а,, а 00 ), і замінюючи а і одиницею в інших випадках (і=,, 00) Вправа 98 Дано цілі числа а,, а 5, b,, b 5 Перетворити послідовність b,, b 5 по правилу: якщо а і 0 то b і збільшити в 0 разів, інакше b і замінити нулем (і=,, 5)

46 46 Вправа 99 Дано дійсні числа а,, а 6 Необхідно домножити всі члени послідовності а,, а 6 на квадрат її найменшого члена, якщо а 0, і на квадрат її найбільшого члена, якщо а <0 Вправа 300 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Знайти b,, b 0, де b і рівне сумі тих членів послідовності a,, a, які належать півінтервалу (і, і] (і =,, 0) Якщо півінтервал не має членів послідовності, то відповідно b і дорівнює рівним нулю Вправа 30 Дано дійсні числа x, y, x, y,, x 0, y 0, r, r,, r (0 < r < r < < r ) Пари (x, y ), (x, y ),, (x 0, y 0 ) розглядаються як координати точок на площині Числа r,, r розглядаються як радіуси одинадцяти на півкругів в на півплощині y>0 з центром на початку координат Знайти кількість точок, що попадають в середину кожного на півкруга (границі - напівколам не належать напівкругам) Вправа 30 Дано натуральне числот Скільки різних цифр зустрічається в його десятковому записі? Вправа 303 Дано дійсні числа x,, x 00, які належать напівінтервалу (0, ] Напівінтервал розбивається на 00 рівних частинок Знайти p,, p 00, де p k =m k /000, а m k кількість заданих чисел, що належать напівінтервалу (00(k-), 00k] (k =,, 00) Вправа 304 Дано дійсні числа а,, а 6 Переставити члени послідовності а,, а 6 так, щоб спочатку розмістились всі невід ємні члени, а потім всі від ємні Інакше кажучи, після перестановки повинно знайтись таке k, що k 6, і якщо i k, то a i 0; якщо i>k, то a i <0 (i=,, 6) Вправа 305 Дано дійсні числа а,, а 30 Залишити без зміни послідовність а,, а 30, якщо вона впорядковано по незростанню або неспаданню; в інших випадках вилучити з послідовності ті члени, порядкові номери яких кратні чотирьом, зберігши попереднім порядок залишених членів Вправа 306 Дано натуральні числа x, y, x, y,, x, y Числа x і, y і є координатами точок Побудувати на екрані точки, задані послідовністю x, y, x, y,, x, y, а потім знищити їх Процес побудови повинен починатися точкою з номера і закінчуватися точкою з номером ; процес знищення точок повинен проходити в зворотному порядку починаються точкою з номером і кінчаються точкою з номером Вправа 307 Дано натуральні числа x, y, x, y,, x, y Числа x і, y і є координатами точок Побудувати на екрані точки, задані послідовністю x, y, x, y,, x, y Точки повинні будуватись почергово: побудова кожної

47 47 наступної точки повинно продовжитися знищенням попередньої Процес побудови повинні зробити два рази: перший раз починаючи точкою з номера і закінчуючи точкою з номером, другий раз в зворотному порядку починаючи точкою з номером і закінчуючи точкою з номером Вправа 308 В умові попередньої задачі вносяться зміни: почергову побудову точок треба зробити так, що б після появи на екрані перших трьох точок побудова кожної нової точки супроводжувалась знищенням точки, яка була побудована раніше трьох інших видимих точок Вправа 309 Дано натуральні числа x, y, r, x, y, r,, x, y, r Числа x і, y і є центрами кругів радіуса r і Побудувати на екрані круги, задані послідовністю x, y, r, x, y, r,, x, y, r, а потім зафарбувати їх (одним і тим же кольором або різними кольорами) Процес побудови повинен починатися кругом з номером і закінчуватися кругом з номером ; процес зафарбування повинен проходити в зворотному порядку починатися кругом з номером і закінчуватись кругом з номером Вправа 30 Дано натуральні числа x, y, r, r,, r Числа r і є сторонами квадратів з центрами в точці (x, y) Побудувати на екрані квадрати, задані послідовністю r, r,, r, а потім знищити їх Процес побудови повинен починатися квадратом з номером і закінчуватися квадратом з номером ; процес знищення повинен проходити зворотному порядку починаючи квадратом з номером і закінчуючи кругом з номером Вправа 3 Дано натуральні числа x, y, r, x, y, r,, x, y, r Побудувати на екрані кола з центрами в точках (x і, y і ) і радіусами r і, якщо серед r, r,, r найдеться число, менше 5, і квадрати з центрами в точках (x і, y і ) і сторонами r і в іншому випадку випадку Вправа 3 Дано символи s,, s Залишити послідовність s,, s без змін, якщо в неї не входить символ *, інакше кожний символ /, що передує першому входженню символу *: а) замінити на кому; б) вилучити з послідовності Вправа 33 Дано символи s,, s Якщо послідовність s,, s є паліндромом, тобто s = s, s = s -,, то залишити її без змін, в іншому випадку одержати послідовність s, s,, s -, s, s -, s, s Вправа 34 Дано символи s,, s 66 Якщо послідовність s,, s така, що s = s 34, s = s 35,,, s 33 = s 66, то залишити його без змін, інакше одержати послідовність s, s,, s 66, s, s, s 66 Вправа 35 Дано символи s,, s 80 Визначити кількість невірних рівностей серед: а) s = s 4, s = s 4,,, s 40 = s 80;

48 48 б) s = s 80, s = s 79,,, s 40 = s 4 Вправа 36 Дано натуральне число, символи s,, s Будемо розглядати слова, утворені символами, які входять в послідовність s,, s (див вправу 69, вважаючи, що кількість символів в кожному слові не перевершує 5 а) Знайти яке-небудь слово, яке закінчується буквою д (якщо таких слів немає, то повідомити про це) б) Знайти яке-небудь слово, яке починається буквою а і закінчується буквою я (якщо таких слів немає, то повідомити про це) в) Вилучити з s,, s всі слова з непарними порядковими номерами і перевернути всі слова з парними номерами Наприклад, якщо = і дана послідовність символів представляє собою послідовність во что бы то ни стало, то повинна одержатись послідовність отч от олатс г) Вилучити з s,, s всі слова, в яких зустрічається не більше двох різних букв д) Вилучити з s,, s всі слова, які закінчуються групою букв кая або кое *) Вправи 3 36 допускають рядкові варіанти 0 Вкладені цикли Вправа 37 Дано дійсні числа а,, а 0 Знайти a a + a 0 Вправа 38 Дано натуральне число Знайти ƒ 0 ƒ ƒ, де ƒ і = і + і + і + і + Вправа 39 Дано дійсні числа а,, а 4 Знайти послідовність b,, b 0, де b =a +a + +a 4, b = а + а + + а,,b = a + a + a Вправа 30 Знайти 0 å k = 5 å 3 k ( k - l ) l= Вправа 3 Дано натуральні числа m,, дійсні числа a, a,, a m Знайти a a a m + a m+ a m+ a m + a (-)m+ a (-)m+ a m Вправа 3 Знайти натуральне число від до 0000 з максимальною сумою дільників Вправа 33 Дано натуральне число Одержати всі натуральні числа, менші і взаємопростим з ним

49 49 Вправа 34 Дано цілі числа p і q Одержати всі дільники числа q, взаємопрості з p Вправа 35 Дано натуральне число Одержати всі прості дільники цього числа Вправа 36 Знайти найменше натуральне число, яке можна представити двома різними способами у вигляді суми кубів двох натуральних чисел x 3 +y 3 (x y) Вправа 37 Дано натуральні числа a, b (a b) Одержати всі прості числа р, що задовольняють нерівність a p b Вправа 38 Знайти 00 перших простих чисел Вправа 39 Дано натуральні числа, m Одержати всі менші натуральні числа, квадрат суми цифр яких дорівнює m Вправа 330 Натуральне число називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх дільників, за винятком себе самого Число 6 досконале, так як 8=++3 Число 8 не досконале, так як Дано натуральне число Одержати всі досконалі числа, які менші Вправа 33 Дано натуральне число Чи можна представити у вигляді суми трьох квадратів натуральних чисел? Якщо можна, то а) вказати трійку x, y, z таких натуральних чисел, що =x +y +z ; б) вказати всі трійки x, y, z таких натуральних чисел, що =x +y +z Вправа 33 Відомо, що любе натуральне число можна представити у вигляді суми не більше ніж чотирьох квадратів натуральних чисел або, що те саме, у вигляді суми чотирьох квадратів невід ємних чисел (теорема Лагранжа) Дано натуральне ; вказати такі невід ємні цілі x, y, z, t, що =x +y +z +t Вправа 333 Дано натуральні числа m,,, m (m=>) Знайти НСД (,, m ), скориставшись для цього рівністю НСД(,, k )=НСД(НСД(,, k- ) k ) (k = 3,, ) і алгоритмом Евкліда (див вправу 89) Вправа 334 Знайти: а) åå ; б) ååsi( і + j ) ; і= j= і + j і= j= і j -і + в) åå ; г) åå і= j= і + j і= j= j + і Вправа 335 Дано натуральне число Знайти: k а)å k ( k + )k ; б) åk ; k = k =

50 50 в) å ; г) k å( -) ( k + )! k = ( k )! k = Вправа 336 Дано натуральне число, дійсне число x Знайти: ( і )! + х k k x а) å ; б) å( -) ; і= ( і )!! k = ( k! + )! в) å k x k x+ k k ; г) åå k = k= m= k m Вправа 337 Дано дійсні числа a, b (a<b), натуральне число, функція y=f(x), опре ділена на відрізку [a, b] Вивести на друкуючий пристрій графік функції Для побудови графіка знайти значення функції y і = f(x і ), де X і =a+іh, і=0,,,, h=(b-a)/ Вісь 0 х розмістити вертикально, вісь О y горизонтально Шаг по осі О х це перехід на нову строчку, шаг по осі О y позиція наступного символу в наступній строчці Точки графіка зображати символом * Роздивитись наступні функції: А) y= si x +cos x, a=0, b=π, =40; б) y=si x + 3cos x, a=-π, b=π, =50; в) y = x 4 +, a=-, b=, =30; г) y=, a=-, b=3, =40; х - х + х - 3 д) y= х, a=-, b=4, =50; + е) y=x e - x, a=-, b=3, =40; ж) y=e -x six, a=π/, b=π, =50; ( х + ) - ( х - ), a=-3, b=3, = з) Вправа 338 Дано натуральне число, цілі числа а,, а 5, b,, b Серед а,, а 5 немає чисел, які повторюються, немає їх і серед b,, b а) Побудувати переріз послідовностей а,, а 5 і b,, b (тобто одержати в якому-небудь порядку всі числа, які належать послідовності а,, а 5 і послідовності b,, b одночасно) б) Побудувати об єднання даних послідовностей в) Одержати всі члени послідовності b,, b, які не входять в послідовність а,, а 5 г) Чи вірно, що всі члени послідовності а,, а 5 входять в послідовність b,, b? д) Чи вірно, що всі члени послідовності b,, b входять в послідовність а,, а 5? е) Чи вірно, що всі члени послідовності а,, а 5 входять в послідовність b,, b і при цьому а зустрічається в послідовності b,, b не пізніше а, а не пізніше, ніж а 3 і тд

51 5 Вправа 339 Дано цілі числа а,, а (в цій послідовності можуть бути члени, що повторюються) а) Одержати всі числа, які входять в послідовність по одному разу б) Одержати числа, взяті по одному з кожної групи рівних членів в) Знайти число різних членів послідовності г) Встановити, скільки чисел входить в послідовність по одному разу д) Встановити, скільки чисел входить в послідовність більше ніж по одному разу е) Вияснити, чи є в послідовності хоча б одна пара співпадаючих чисел Вправа 340 Дано цілі числа m, а,, а 0 Знайти три натуральних числа i, j, k, кожне з яких не перевершує двадцяти, такі, що a i +a j +a k =m Якщо таких чисел немає, то повідомити про це Вправа 34 Дано п ять різних цілих чисел Знайти серед них два числа, модуль різниці яких має: а) найбільш значення; б) найменше значення Вправа 34 Дано дійсні числа x, y,, y 5 В послідовності y,, y 5 Знайти два члена, середньоарифметичне яких найближче до х Вправа 343 Дано натуральні числа х,, х 7 Найти суму значень х і -х f (<=і<j<=7) Вправа 344 Дано дійсні числа а,, а 0, натуральне число m Послідовність b, b, утворено по закону b =a,, b 0 =a 0, b k =b k- +b k- + +b k-0, k=,, знайти b m Вправа 345 Нехай t 0 =, t k =t 0 t k- +t t k- + t k- t +t k- t 0,k=,, Знайти t 0 Вправа 346 Дано натуральне число k, дійсне число (а>0) Послідовність k - х 0, х, обраховано по закону х 0 =а, х і = + a xі-, і=,, Знайти k- k xі- перше значення x, для якого х k -a <0-4 (послідовність х 0, х, приходить до k a ) Вправа 347 Дано дійсні числа а,, а 30 Нехай М найбільше, а m найменше із а,, а 30 Знайти в порядку зростання всі цілі із інтервалу (m,m), які не входять у послідовність а,, а 30 Вправа 348 Дано дійсні числа a,, a, b,, b Чи вірно що ці дві послідовності відрізняються не більше чим порядком послідовності членів?

52 5 Вправа 349 Дано цілі числа а,, а Для кожного з чисел, які входять в послідовність а,, а Результат представити у вигляді рядків, перший з яких є а k, де k число входжень а в послідовність а,, а Другий рядок буде мати вигляд a i m, де a i перший по порядку член послідовності, відмінний від а, а m число входжень цього члена в послідовність Вправа 350 Дано натуральні числа k,, дійсні числа а,, а k ; Знайти: а) послідовність а ++а k, а k+ + +a k,, a k(-)+ + +a k ; б) послідовність max (a,, a k ), max (a k+,, a k ),, max(a k(-)+,, a k ); в) mi (a,, a k )+ mi (a k+,, a k ) + + mi(a k(-)+,, a k ); г) max (a + +a k, a k+ + +a k, a k(-)+ + +a k ); д) mi (max(a,, a k ), max(a k+,, a k ),, max(a k(-)+,, a k )) Вправа 35 Дано натуральні числа а,, а Відомо що a,, a перестановка чисел,,, в послідовності а,, а зустрічаються всі числа,, Будемо говорити, що натуральне m переводиться даною перестановкою в натуральне k (m<=, k<=), якщо a m =k Наприклад, число переводиться у а, а переводиться у а а і т д Розглянемо знайдену цим способом послідовності, а, а а, а) Доведіть, що перший член цієї послідовності, для якого маються рівні серед попередніх, є Знайти по порядку всі члени послідовності, а, а а,, що передують повторному числу б) Крім тої послідовності, яку потрібно знайти в а), знайти аналогічні послідовності, що починаються з чисел, більших При цьому послідовності повинні бути попарно різні, і кожна із них повинна починатися з найменшого члена Наприклад, якщо =6, a =3, a =, a 3 =5, a 4 =6, a 5 =, a 6 =4, то повинні бути одержані послідовності, 3, 5 4, 6 Вправа 35 Нехай кольори екрана мають номера 0,,, k Висвітити всі точки екрана( або точки деякої прямокутної області ) різними кольорами, використовуючи для точки з координатами і, j колір з номером, рівним залишку від ділення m на k+, де m може бути взято, наприклад, рівним: а) і+j; б) (і-0) +5j ; в) (і-50) -j; г) 5(і+5)+(і-5)j ; д) (і-50) -(j-50) 3 ; е) (і +j ) -(і -j ) Вправа 353 Дано натуральні числа x, y,, x 0, y 0 Побудувати на екрані точки (х, y ), (x, y ),, (x 0, y 0 ), які входять у послідовність рівно один раз Вправа 354 Дано натуральні числа x, y,, x, y Побудувати на екрані точки з координатами х і, y і (і=,, ) і з єднати відрізками прямих: а) кожну із точок з всіма іншими точками; б) точки з номерами одної парності;

53 53 в) точки з номерами різної парності Вправа 355 Дано натуральні числа x, y,, x, y Побудувати на екрані точки з координатами (і=,, ) і з єднати пари найбільше віддалених одна від іншої Вправа 356 Дано натуральні числа x, y, c,, x, y, c Кожні три числа x і, y і, c і даються координати точки і колір (і=,, ) Із точок одного кольору знайти на екрані: а) першу; б) останню Вправа 357 Дано натуральні числа x, y, r,, x, y, r, які надають послідовність окружностей так, що x і, y і координати центра, а r і радіус і-го кола (і=,, ) Знайти на екрані кола, які мають одні точки з деякими іншими колами послідовності Вправа 358 Знайти кола, вказані у попередній задачі, і додатково повністю зафарбувати яким-небудь одним кольором частину екрана, покриту кругами, обведеними цими колами (Рис 7) Рис7 Вправа 359 Дано натуральне число, символи s,, s 0, t,, t * ) Одержати всі натуральні і, які не перевершують 9, для яких s =t i, s =t i+,, s 0 =t i+9 Вправа 360 Дано натуральне число, символи s,, s Знайти всі паліндромічні початкові відрізки послідовності s,, s, тобто такі відрізки s,, s k (k ), s =s k, s =s k-, Вправа 36 Дано натуральне число, символи s,, s Вказати всі натуральні і, для яких і, і s = s і+, s = s і+,, s і = s і Вправа 36 Дано символи s,, s Знайти таке найбільше натуральне і, що і<, s = s і+, s = s і+,, s і = s і, s, s,, s і паліндром, тобто s = s, s = s і-, Вправа 363 Дано натуральне число, символи s,, s Перетворити послідовність s,, s, добавивши до неї найменше число символів s +,, s m так, щоб послідовність s,, s m стала паліндромом: s = s m, s = s m-,

54 54 *) Вправи допускають рядкові варіанти Вправа 364 Дано символи s,, s 50 Встановити, чи вірно що хоча б один символ входить в s,, s 50 більше одного разу і при цьому так, що між довільними двома його входженнями зустрічається буква a або b Вправа 365 Дано натуральне число, символи s,, s Будемо розглядати слова, утворені символами, що входять в послідовність s,, s (див вправу 69), вважаючи при цьому, що кількість символів в кожному слові не перевершує 5 а) Знайти найбільшу довжину слів-паліндромів (Якщо паліндромів не має, то відповіддю повинно бути число 0) б) Встановити, чи вірно, що кожне слово, що не є паліндромом, має парну довжину в) Встановити, чи є два слова, кожне з яких одержується перевертанням іншого г) Вилучити з s,, s всі слова, які зустрічаються більше двох разів Вправа 366 Дано символи a,,a 0 натуральне число, символи s,, s Як і в попередній задачі, будемо розглядати слова, які входять в послідовність як і раніше вважаючи, що кількість символів в кожному слові не перевищує 5 будемо також вважати, що серед символів a,, a 0 немає пропусків, і тому послідовність a,, a 0 може розглядатися як одне слово В словах можуть зустрітися помилки: ) переставлені дві сусідні букви; ) замінена одна буква; 3) пропущена одна буква Потрібно знайти в s,, s всі слова, із яких могло б отриматись a,, a 0 в результаті однієї помилки

55 55 Вкладені цикли в матричних задачах Вправа 367 Дані цілі числа a, a, a 3 Дістати цілочисельну матрицю [ b ij ] i, j =,, 3, для якої b ij = a i -3 a j Вправа 368 Дано дійсні числа a,, a 0, b,, b 0 Отримати дійсну матрицю [ c ij ] i = a j /(+ b i ) Вправа 369 Отримати [ матрицю, для якої a = i + j ij a ij ] i =, 0;, j =,, цілочисельну Вправа 370 Дано натуральне число Отримати [ a ij ] i, j =,,, для якої а) a ij = ; i + j ì ïsi( i + j ) при i < j, ï б) a ij = í при i = j, ï i + j ïarcsi в інших випадках î i + 3 j дійсну матрицю Вправа 37 Дана дійсна квадратна матриця [ a ij ] i, j =,, Отримати дві квадратні матриці [ b ij ] i, j =,,, [ b ij ] i, j =,,, для яких ìa при j ³, ij ìa при j <, ij b ij = í c ij = í îa при j < i, ij îa при j ³ i, ij Вправа 37 Одержати дійсну матрицю [ a ij ] i, j =,, 7, перший рядок якої задається формулою a j =j+3 (j=,,7), другий рядок задається 3 формулою a j = j - (j=,,7), а кожний наступний рядок є сумою двох + / j попередніх Вправа 373 Дано натуральне число, дійсна матриця розміру 9 Знайти середнє арифметичне: а) кожного з стовпців; б) кожного з стовпців, які мають парні номери; в) в порядку зростання середніх арифметичних значень по кожному рідку

56 56 Вправа 374 Дана дійсна матриця розміру m Встановити, скільки додатних елементів містить матриця [a i,j ] i,j=,,, якщо а) a i,j =si(i+j/); б) a i,j =cos(i +); æ i - j ö в) a i,j =si ç è ø Вправа 375 Дана дійсна матриця розміру m, в якій не всі елементи дорівнюють нулю Одержати нову матрицю шляхом ділення всіх елементів даної матриці на її найбільший по модулю елемент Вправа 376 Дано натуральне число m, цілі числа а,, а, і цілочисельна квадратна матриця порядку m Рядок з номером і матриці назвемо відміченим, якщо а і >0, і невідміченим в інших випадках а) Потрібно всі елементи розміщені у відмічених рядках матриці, перетворити по правилу: від ємні елементи замінити на, додатні на, а нульові залишити без змін б) Підрахувати число від ємних елементів матриці розміщених у відмічених рядках Вправа 377 Дана дійсна квадратна матриця порядку Замінити нулями всі її елементи, розміщені на головній діагоналі і вище неї Вправа 378 матрицю порядку 8: Дано дійсні числа х,, х 8 одержати дійсну квадратну а) éx x x8 ù x x x ë x x x 8 û б) é ù x x x ë x x x 8 û Вправа 379 Дана дійсна матриця розміру m Визначити числа b,,b m, рівні відповідно: а) сумам елементів рядків; б) добутку елементів рядків; в) найменшим значенням елементів рядків; г) значенням середніх арифметичних елементів рядків; д) різниці найбільших і найменших значень елементів рядків Вправа 380 Дано натуральне число, дійсна матриця [a i,j ] i=, ; j=,, Одержати послідовність елементів головної діагоналі а, а,, а Вправа 38 Всі елементи з найбільшим значенням в даній цілочисельні квадратній матриці порядку 0 замінити нулями

57 57 Вправа 38 Дана дійсна матриця розміру 6 9 Знати середнє арифметичне найбільшого і найменшого значення його елементів Вправа 383 Дана дійсна матриця розміру 8 Знайти значення найбільшого по модулю елемента матриці, а також індекси якого-небудь з знайденим значення модуля Вправа 384 Дана дійсна матриця розміру m Знайти суму найбільших значень елементів її рядків Вправа 385 В даній дійсній квадратній матриці порядку знайти суму елементів рядка, в якій розміщений елемент з найменшим значенням Передбачається, що такий елемент єдиний Вправа 386 В даній дійсній матриці розміру 6 9 поміняти місцями рядок, який містить елемент з найбільшим значенням, з рядком, який містить найменше значення Передбачається, що ці елементи єдині Вправа 387 Дано натуральне число, дійсна квадратна матриця порядку, дійсні а,, а +5 Елементи послідовності а,, а +5 домножити на 0, якщо найбільший елемент матриці (передбачається, що такий елемент єдиний) знаходиться на головній діагоналі, і на 0,5 в інших випадках Вправа 388 В даній квадратній цілочисельні матриці порядку 7 вказати індекси всіх елементів з найбільшим значенням Вправа 389 Дана дійсна матриця розміру m, всі елементи якої різні В кожному рядку вибирається елемент з найменшим значенням, потім серед цих чисел вибирається найбільший Вказати індекси елемента з найбільшим значенням Вправа 390 Дана дійсна матриця розміру m Одержати послідовність b,, b, де b k це а) найбільше із значень елементів k-го рядка; б) сума найбільшого і найменшого із значень елементів k-го рядка; в) число від ємних елементів k-го рядка; г) добуток квадратів тих елементів k-го рядка, модулі яких належать відрізку [, 5] Вправа 39 Дано натуральне число, цілочисельна матриця [a i,j ] i=, ; j=,, m Знайти суму тих елементів a j (j=,, m), для яких a i,j має значення найбільшого серед значень а, а,, а m Вправа 39 Дана цілочисельна квадратна матриця порядку 8Знайти найменше значення з елементів стовпчика, який має найбільшу

58 58 суму модулів елементів Якщо таких стовпчиків кілька, то взяти перший з них Вправа 393 Дано натуральне число, дійсна квадратна матриця порядку Одержати b,, b, де b і це а) найменше з значень елементів, які знаходяться на початку і го рядка матриці до елемента, який належить головній діагоналі, включно; б) значення першого по порядку додатного елемента і го рядка (якщо таких елементів немає, то прийняти b і =); в) сума елементів, розміщених за першим від ємним елементом в і ому рядку (якщо всі елементи рядка невід ємні, то прийняти b і =00); г) сума елементів, які передують останньому від ємному елементу в і ому рядку (якщо всі елементи рядка невід ємні, то прийняти b і = ) Вправа 394 Дана цілочисельна квадратна матриця порядку Знайти номери рядків: а) всі елементи яких нулі; б) елементи в кожному з яких однакові; в) всі елементи яких парні; г) елементи кожного з яких утворюють монотонну послідовність (монотонно спаду чи монотонно зростаючу); д) елементи якого утворюють симетричні послідовності (паліндроми) Вправа 395 Дано натуральне число, дійсне число х, дійсна матриця розміру Одержати послідовність b,, b з нулів та одиниць, де b і = якщо елементи і го рядка матриці не перевершують х, і b і =0 в інших випадках Вправа 396 Дана дійсна квадратна матриця порядку Побудувати послідовність дійсних чисел а,, а по правилу: якщо в і ому рядку матриці елемент, який належить головній діагоналі, від ємний, то а і дорівнює сумі елементів і го рядка, що передують першому від ємному елементу, в інших випадках а і дорівнює сумі останніх елементів і го рядка, починаючи з першого по порядку невід ємного елементу Вправа 397 Дана дійсна квадратна матриця порядку 0 В рядках з від ємним елементом на головній діагоналі знайти: а) суму всіх елементів; б) найбільший з усіх елементів; Вправа 398 Дана дійсна квадратна матриця порядку Розглянемо ті елементи, які розміщені в рядках, які починаються з від ємного елемента Знайти суму тих з них, які розміщені відповідно нижче і вище і на головній діагоналі Вправа 399 Дана дійсна квадратна матриця порядку 9 Одержати цілочисельну квадратну матрицю того ж порядку, в якій елемент дорівнює одиниці, якщо відповідний йому елемент даної матриці більше елемента

59 59 розміщеного в його рядку на головній діагоналі, і дорівнює нулю в інших випадках Вправа 400 Дана дійсна квадратна матриця порядку Одержати x x + x x - + +x x, де x k найбільше значення елементів k го рядка матриці Вправа 40 Дана дійсна квадратна матриця порядку, натуральні числа i, j ( i, j ) З матриці вилучити і й рядок і j й стовпчику Вправа 40 Дано натуральне число, дійсна квадратна матриця порядку Побудувати послідовність b,, b з нулів і одиниць, в якій b і = тоді і тільки тоді, коли а) елементи і го рядка матриці утворюють зростаючу послідовність; б) елементи і го рядка матриці утворюють зростаючу або спадаючу послідовність Вправа 403 Дана цілочисельна квадратна матриця порядку 5 Встановити, чи маються в матриці ненульові елементи, і якщо є, то вказати індекси: а) одного з нульових елементів; б) всіх ненульових елементів Вправа 404 Дано натуральні числа i, j, дійсна матриця порядку 8 4 ( i<j 4) Поміняти в матриці містами i й рядок і j й стовпчик Вправа 405 Дано натуральне число, дійсна квадратна матриця порядку Побудувати послідовність b,, b з нулів та одиниць, в якій b і = тоді і тільки тоді, коли в і-му рядку матриці є хоча б один від ємний елемент Вправа 406 При допомозі [х i,j ] i=, ; j=,, дійсної матриці на площині задано точок так, що x j, x j координати j ої точки Точки попарно з єднані відрізками Знайти довжину найбільшого відрізку Вправа 407 Дано натуральні числа та m, дійсне число r, дійсна матриця розміру m Одержати значення - - b r + b r + + b, де b k перший по порядку додатній елемент в k рядку матриці (k=,, ); якщо в k рядку немає додатних елементів, то b k =0,5 Вправа 408 Знайти суму квадратів тих елементів a ij матриці [a ij ] i, j=,, 0, для яких виконується i 9, j 9, ai- j + aij- + ai+ j + aij+ aij ³ 4 Вправа 409 Дана дійсна квадратна матриця порядку Обчислити тих із її елементів, розміщених на головній діагоналі і вище неї, які перевершують по величині всі елементи, розміщені нижче головної діагоналі

60 60 Якщо на головній діагоналі і вище неї немає елементів з вказаними властивостями, то відповіддю повинно служити повідомлення про це Вправа 40 Дана матриця цілих чисел [a ij ] i, j=,,, одержати b,, b, де b i це å а) a ; j= ij б) å( -) j= i+ j a ij Õ в) a ; j= ij д) Õ ji j е) max a ij mi a ji j j å г) a ; j= a для таких j, що <a ji ; Вправа 4 Будемо називати сусідами елемента з індексами i, j деякої матриці такі елементи цієї матриці, відповідні індекси якої відмінні від і і j не більше ніж на одиницю Для даної цілочисельної матриці [a i,j ] i=,, ; j=,, m, знайти матрицю із нулів та одиниць [b i,j ] i=,, ; j=,, m, елемент який b i,j дорівнює одиниці, коли а) всі сусіди a i,j менші самого a i,j ; б) всі сусіди a i,j і само a i,j дорівнюють нулю; в) серед сусідів a i,j є не менше двох співпадаючих з a i,j Вправа 4 Дано дві цілочисельні квадратні матриці порядку 6 Знайти послідовність з нулів і одиниць b,, b 6 таку, що b і =, тоді а) всі елементи і го рядка першої матриці більші відповідних елементів і го рядка другої матриці; б) всі елементи і го рядка першої і другої матриць від ємні; в) і і рядки першої і другої матриць містять разом не більше трьох позитивних елементів; г) кількість від ємних і невід ємних елементів і го рядка першої матриці співпадає відповідно кількості від ємних і невід ємних елементів і го рядка другої матриці Вправа 43 Таблиця футбольного чемпіонату задана квадратною матрицею порядку, в якій всі елементи, що належать головній діагоналі, дорівнюють нулю, а кожен елемент, який не належить головній діагоналі, дорівнює,, або 0 ( числу очок, набраних в грі: 3 виграш, нічия, 0 програш) а) Знайти число команд, що мають більше перемог, ніж поразок б) Визначити номери команд, які пройшли чемпіонат без поразок в) Вияснити, чи є хоча б одна команда, що виграла більше половини ігор Вправа 44 Дано натуральні числа x, y,, x, y Числа x i, y i розглядаються як координати i-ї точки (i=,,, ) Позначимо через r ij відстань від i-ї точки до j-ї Одержати на екрані задані точки з єднати відрізком i-у точку з j-ою в тому випадку, якщо виконується одна з умов: ji

61 6 ) r ij має найбільше значення з r i, r i,, r i ; ) r ji має найбільше значення з r j, r j,, r j Вправа 45 Дана квадратна матриця цілих чисел порядку Кожен елемент матриці ставиться у відповідність точці, яка належить квадратній області екрана розміром точок Лівий верхній куток області має координати 0 0 Відповідність між елементами матриці і точками області екрана встановлюється наступним чином: елемент матриці, який стоїть в рядку з номером i і в стовпці з номером j, відповідають точці екрана, яка знаходиться на перетині рядка точок області з номером i і стовпця точок з номером j Передбачити, що кожний елемент матриці задає колір відповідної точки екрана, одержати на екрані зображення закодоване в матриці А Вправа 46 Дано дві квадратні матриці цілих чисел порядку В кожній з матриць закодовано зображення прямокутної області екрана розміром точок з координатами лівого верхнього кутка 0, 0 (див попередню вправу) На відміну від попередньої задачі, всі елементи обох матриць це числа, які дорівнюють нулю, якщо точка є фоном, або одиниці, якщо точка частина зображення Одержати на екрані зображення, яке є: а) перетином зображень, закодованих в першій і другій матрицях; б) об єднанням зображень, закодованих в першій і другій матрицях Вправа 47 Дано натуральні числа x, y, x, y,, x, y, матрицю цілих чисел [a ij ] i, =,,, i, =,, Послідовність x, y, x, y,, x, y задає координати точок Матриця вказує, як з єднати між собою точки a ij =, якщо i-а точка з єднана з j-ою, і a ij =0 в інших випадках (a ij = a ji ) Одержати на екрані точки, які задані послідовністю x, y, x, y,, x, y і з єднати їх між собою так, як вказано в даній матриці Вправа 48 Нехай А, А, послідовність з квадратних матриць з нулів і одиниць така, що порядок матриці А i дорівнює 3 i і é 0 ù ) А = 0 0 ; ë 0 û ) при i> має місце éа 0 А i- i-ù А = 0 А 0 i i- ë А i- 0 Аi- û де 0 позначає частину матриці заповнену нулями Дано натуральне число Побудувати зображення квадратної області екрана, закодоване в матриці А (див вправу 45) Лівий верхній куток повинен співпадати з лівим верхнім кутом екрана Спробувати різні способи використання кольору при побудові зображення Якщо фоновий колір має номер 0, а решта кольорів,, k, то при обробці елемента a ij 0 можна,

62 6 наприклад, брати колір з номером l+, де l дорівнює залишку від ділення i +j 3 на k, і тд Вправа 49 Дана символьна квадратна матриця порядку 0 Замінити буквою а всі ті елементи, розміщені вище головної діагоналі Вправа 40 Дано натуральне, символьна квадратна матриця порядку Одержати послідовність b,, b з нулів і одиниць, в якій b і = тоді і тільки тоді, коли в і му рядку число символів * не менше число проміжків Вправа 4 Дана символьна матриця розміру 3 8 Знайти: а) номер першого по порядку рядка, який містить найбільшу кількість цифр; б) номер першого по порядку стовпчика, який має найменше число проміжків на перетині з рядками, номери яких парні; в) номер останнього по порядку рядка, який містить найбільшу кількість букв ш, щ; г) номер останнього по порядку стовпчика, в якому міститься найбільша кількість попарно різних символів Вправа 4 При передрукуванні тексту на друкарській машинці часто виходить так, що в кінці рядка залишається кілька невикористаних позицій Число невикористаних позицій міняється від рядка до рядка, і тому правий край надрукованого тексту залишається нерівним Типографський набір дає рівний правий край, за рахунок збільшення проміжків між словами, які зустрічаються в рядку Пропонується вправа вибору проміжків, які підходять Дана символьна матриця m, в кожному рядку якої є хоча б один проміжок, за яким слідує відмінний від проміжку символ (тобто є по крайній мірі одна група проміжків всередині рядка) За рахунок зміни групи проміжків всередині рядків необхідно добитись того, щоб вкінці кожного рядка проміжки були відсутні Кількість проміжків в різних групах, що розміщуються всередині одного й того ж рядка, повинні відрізнятися не більш ніж на одиницю Вправа 43 Виконання наступних завдань не вимагає залучення вкладених циклів при роботі з матрицями Подібні не досить часті ситуації* виникають, як правило, тоді, коли обробляються або досліджуються елементи, які утворюють одновимірну частину матриці: рядок, стовпчик, діагональ і тд Дана дійсна квадратна матриця порядку а) Знайти суму елементів першого стовпчика б) Знайти суму елементів головної і побічної діагоналей в) Знайти найбільше з значень елементів першого та останнього рядка г) Знайти найменше з значень елементів побічної діагоналі і двох сусідніх з нею ліній д) Для даного натурального m (m ) знайти суму тих елементів матриці, сума індексів яких дорівнює m

63 63 е) Встановити, чи вірно, що найбільше з значень елементів головної діагоналі більше, ніж найменше значення з значень елементів побічної діагоналі Використання процедур * *) В вправах цього параграфу будемо для скорочення говорити просто про процедури, розуміючи, що той хто розв язує задачі сам вибере необхідні засоби програмування підпрограму, функцію і тд Цей вибір повинен бути зроблений з урахуванням як характеру задач, так і особливостей використовуваної мови програмування Вправа 44 Дано дійсні числа s, t Одержати f(t, s, 7) + f(, t, s-t), де a - b - si c f ( a, b, c) = 5 + c Вправа 45 Дано дійсні числа s, t Одержати g(, s) +g( t, s) g(s, st), де a + b g ( a, b) = a + ab + 3b + 4 Вправа 46 Дано дійсне число у Одержати 0 k + x å 7t(05) + t( + y) k = 0 ( k + )!, де t( x ) = 6 - t( y -) 0 k x å k = 0 ( k )! Вправа 47 Дано дійсні числа a, b, c Одержати max( a, a + b ) + max( a,b + c ) + max( a + bc,, 5 ) Вправа 48 Дано дійсні числа a, b Одержати u=mi(a,b), v=mi(ab, a+b), k=mi(u+v, 34) Вправа 49 Дано натуральні числа, m, цілі числа а а, b b m, c c 30 Одержати ìmi( b,, bm ) + mi( c,, c30 ) ï l = í при mi( a,,a ) ³ 0, ï î + (max( c,,c30 )) в іншому випадку Вправа 430 Дано натуральні числа k, l, m, дійсні числа x x, y y l, z z m Одержати

64 64 ì(max( y,, yl ) + max( z,, zm )) / ï t = í при max( x,, xk ) ³ 0, ï î + (max( x,, xk )) в іншому випадку Вправа 43 Дано дійсні числа s, t Одержати h(s, t) + max(h (s-t, st), h 4 (s-t), s+t))+h(, ), де a b 3 h( a, b) = + - ( a - b) + b + a Вправа 43 Дано дійсні числа а 0 а 6 Одержати для x=, 3, 4 значення p(x+) p(x) де p(y)=a 6 y 6 +a 5 y 5 +, + a 0 Вправа 433 Дано дійсні числа s, t, а 0 а Одержати p() p(t) +p (s-t)-p 3 () де p(x)=a y +a y +, + a 0 Вправа 434 Дано дійсні числа а,, а, b,, b m В послідовності а,, а, і в послідовності b,, b m всі члени, які слідують за членом з найбільшим значенням (за першим по порядку, якщо їх кілька), замінити на 05 Вправа 435 Дано цілі числа а,, а, b,, b m, k Якщо в послідовності а,, а, немає жодного члена з значенням k, то перший по порядку член цієї послідовності, не менший всіх решти членів, замінити на значення k По такому ж правилу перетворити послідовність b,, b m примінивши значення 0 Вправа 436 Дано цілі числа 0 d 0, d,, 7, d 7, u, b (d 0 d d 7 b 0) 7 7 æ a ö 6 æ a ö 0 Обчислити по схемі Горнера ç + ç + +, визначивши процедури d7 è b ø d6 è b ø d0 повного скорочення раціонального числа, заданого чисельником і знаменником, а також процедури додавання та множення раціональних чисел Вправа 437 Дано цілі числа f 0,, f 0 Дослідити існування цілочисельних коренів рівняння f 0 x 0 +f 9 x 9 + +f 0 (Якщо f 0 =0, то існує 0; якщо ж f 0 0, то цілочисельних корінь, якщо він існує, належить скінченій множині додатних і від ємних дільників числа f 0 ) Тут корисно визначити процедуру обчислення по схемі Горнера значення многочлена, а також процедуру, яка по двох заданих числах k і m (m>k 0) дозволяє визначити значення найменшого дільника числа m, що знаходиться серед чисел k+, k+,, m 6

65 65 Вправа 438 Дано натуральне число, дійсні числа x, y, a, b, a -, b -,, a 0, b 0 Вирахувати по схемі Горнера значення многочлена з комплексними коефіцієнтами (a +ib )(x+iy) +(a - +ib - )(x+iy) - + +(a 0 +ib 0 (Визначити процедури виконання арифметичних операцій над комплексними числами) Вправа 439 Дано дійсні числа u, u, v, v, w, w Одержати 3uw u + - 7, де u, v, w комплексні числа u +i u, v +i v,w +i w + w - v (Визначити процедури виконання арифметичних операцій над комплексними числами) Вправа 440 Дано натуральне число, цілі числа а,, а Розглянути відрізки послідовності а,, а (підпослідовності членів, що йдуть підряд), що складаються з: а) повних квадратів; б) степенів п ятірки; в) простих чисел В кожному випадку одержати найбільшу з довжин відрізків, що розглядаються (Визначити процедури, які дозволяють розрізняти повні квадрати, степені п ятірки, прості числа) Вправа 44 Дано натуральне число Серед чисел,,, знайти всі ті, які можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел (Визначити процедуру, яка дозволяє розпізнавати повні квадрати) Вправа 44 Дано дійсні числа x, y, x, y,, x 0, y 0 Знайти периметр десятикутника, вершини якого мають відповідні координати (x, y ), (x, y ),, (x 0, y 0 ) (Визначити процедуру визначення відстані між двома точками, заданими своїми координатами) Вправа 443 Дано дійсні числа a, b, c Знайти площу п ятикутника зображеного на малюнку (Визначити процедуру обчислення площі трикутника по трьох його сторонам) Вправа 444 Дано натуральне число, дійсні числа x, y,x, y,, x, y Знайти площу -кутника, вершини якого при деякому послідовному обході мають координати (x, y ), (x, y ),, (x, y ) (Визначити процедуру обчислення площі трикутника по координатах його вершин)

66 66 Вправа 445 Дано парне число >; перевірити для цього числа гіпотезу Гольдбаха Ця гіпотеза ( до сьогоднішнього дня не відкинута і повністю не доведена) полягає в тому, що кожне парне, більше двох, представляється у вигляді суми двох простих чисел (Визначити процедуру, яка дозволяє розрізняти прості числа) Вправа 446 Дано натуральне число Встановити, чи є серед чисел, +,, близнюки, тобто прості числа, різниця між якими дорівнює двом (Визначити процедуру, яка дозволяє розрізняти прості числа) Вправа 447 Дано натуральне число, цілі числа а,, а Розглянути всі відрізки послідовності а,, а (дивись вправу 440), що складають совершенні числа Визначити процедуру, яка дозволяє розрізняти совершенні числа) Вправа 448 Нескінчена послідовність раціональних чисел v 0, v, утворена по наступному закону: k а) v0 = ; v0 + Ck + v + + Ck+ vk = 0, k =,, ; 4 k б) v0 = ; v0 + Ck v + Ckv + + Ck vk = 0, k =,, Дано невід ємне ціле число (Визначити процедури повного скорочення раціонального числа, заданого чисельником і знаменником, а також процедури додавання і множення раціональних чисел) Вправа 449 Дано дійсні числа x, y, x, y,, x 6, y 6 Точки з координатами (x, y ), (x, y ), (x 3, y 3 ) Розглядаються як вершини першого трикутника, точки з координатами (x 4, y 4 ), (x 5, y 5 ), (x 6, y 6 ) другого трикутника Встановити, чи вірно, що перший трикутник повністю міститься в другому, і якщо так, визначити площу області, яка належить зовнішньому трикутнику і не належить внутрішньому (на мал область заштрихована) (Визначити процедуру, яка дозволяє встановити, чи лежать дві точки в одній на півплощині відносно заданої прямої (див вправу 5), процедуру обчислення відстані між двома точками, а також процедуру обчислення площі трикутника по трьох сторонах) Рис9 Вправа 450 Два трикутники задані координатами своїх вершин так як вказано в попередній задачі Встановити, чи лежить який-небудь трикутник повністю всередині другого Якщо так, то побудувати сторони трикутника і зафарбувати область, яка належить зовнішньому трикутнику і не належить внутрішньому (див мал) Побудову сторін і зафарбування зробити

67 67 однаковим кольором Якщо жоден з трикутників не лежить повністю всередині другого, побудувати сторони трикутника, використовуючи для кожного трикутника свій колір (Визначити процедуру, яка дозволяє встановити, чи лежать дві точки в одній на півплощині відносно заданої прямої (див вправу 5) і процедуру побудови сторін трикутника по заданим координатах вершин і номеру кольору) Вправа 45 Дано натуральні числа x, y, x, y,, x 6, y 6 Точки з координатами (x, y ), (x, y ), (x 3, y 3 ) Розглядаються як вершини першого трикутника, точки з координатами (x 4, y 4 ), (x 5, y 5 ), (x 6, y 6 ) другого Провести побудови, аналогічні тим, які були описані в попередній задачі по відношенню до трикутників Сторони прямокутників вважаються паралельними осям екрана (диврис0) Вправа 45 Уявіть собі, що в центрі екрану сидить жучок, який може переміщуватись по прямій на вказану відстань і повертатись наліво чи направо У жучка є перо, яке може залишати слід, який повторює рух жучка Якщо перо опущено, то слід залишається; якщо перо підняте, сліду немає Жучок може виконати наступні команди: ) Forward переміститись на задану відстань; ) Left повернути наліво на заданий кут; 3) Right повернути направо на заданий кут; 4) Pe Up підняти перо; 5) Pe Dow Опустити перо Реалізувати процедури Forward, Left, Right, Pe Up, Pe Dow Процедури повинні взаємодіяти через глобальні змінні xpos, ypos координати жучка на екрані; Pe властивість, яка говорить про те, підняте перо чи опущене; Agle кут, який утворює поточне переміщення жучка з віссю абсцис При допомозі перерахованих процедур одержати на екрані: а) Квадрат з стороною 75 одиниць і центром, який співпадає з центром екрана б) Прямокутник з відношенням сторін : із зрізаними кутами Зрізаються рівнобедрені прямокутні трикутники, катети яких мають довжину, що дорівнює /0 довжини більшої сторони (див мал) Довжина меншої сторони дана величина Положення прямокутника на екрані може

68 68 бути вибрано довільно в) Фігуру, яка складена з п ятнадцяти квадратів, яка зображена на малюнку г) Чотири крупні цифри поточний рік; цифри повинні бути написані по десятисегментному шаблону (як на поштових листівках) д) Ті ж цифри, що і в завданні г), але написані по семисегментному шаблону (як на електронних годинниках) е) Криві Серпінського порядку і, зображені на малюнку Вправа 453 Дано натуральні числа k, l, m, символи s,, s 30 Вивести дані символи в такому вигляді: (Визначити процедуру, звернення до якої дає вивід символу t після проміжків) Вправа 454 Дано натуральне число ; знайти! Використати програму, яка включає рекурсивну процедуру обчислення! Чим ця програма гірша нерекурсивної програми обчислення!? Вправа 455 Дано натуральні числа, m; знайти НСД (, m) Використати програму, яка включає рекурсивну процедуру обчислення НСД, засновану на співвідношенні НСД (, m)= НСД(m, r) де r залишок від ділення на m (див Вправу 89) Чим ця програма гірша нерекурсивної програми обчислення НСД (, m)? Вправа 456 Числа Фібоначчі u 0, u, u, визначаються таким чином: u 0 =0, u =, u =u - +u - (=, 3, ) (диввправу 44) Написати програму обчислення u для даного невід ємного цілого, що включає рекурсивну процедуру, в основі якої лежить співвідношення u =u - +u - Довести по індукції, що при обчисленні u (=, 3, ) по цій програмі прийдеться виконати u - додавання чисел Фібаначчі Для нерекурсивної програми кількість додавань чисел Фібаначчі при обчисленні u для =0,,, 3, 0 є відповідно 0, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, а для рекурсивної 0, 0,,, 4, 7,, 0, 30, 30, 54 Вважаючи на останню обставину ніколи не слід користуватись такого роду рекурсивними процедурами, які базуються на безпосередньому приміненні співвідношень виду

69 69 x =F(x -,, x -k ), k Вправа 457 Дано натуральні числа a, c, m Одержати f(m) де ì, якщо0 9 f ( ) = í îg( ) f ( -- g( ) + в ішихвипадках g()= залишок від ділення a +c на 0 Використати програму, яка включає рекурсивну процедуру обчислення f() Вправа 458 Дано невід ємні цілі числа, m; обчислити A(, m), де ì m +, ï A (, m ) = í A ( -,), ï î A ( -, A (, m - )), якщо якщо якщо = ¹ 0, 0, > 0, (це так звана функція Акермана) Використати програму, яка включає рекурсивну процедуру Вправа 459 Більшість задач, які поміщені в 0, де мова йде про вкладені цикли, можуть розв язуватись з залученням процедур внутрішні цикли можуть бути замінені зверненнями до необхідним чином визначеним процедурам Наприклад, для розв язку вправи 37 можна визначити процедуру обчислення a, для розв язку вправи 38 процедуру обчислення і тд Переглянути вправи і сказати, які б i + i + i + i + процедури були б корисні для розв язування цих вправ Вправа 460 *) Скласти процедуру обчислення значення цілого числа по заданому рядку символів, що є записом цього числа: а) в десятковій системі числення; б) в шістнадцятирічній системі числення (шістнадцятирічні цифри це цифри від 0 до 9 та букви від A до F) Вправа 46 Скласти процедуру побудови рядка символів, що є записом заданого дійсного числа в десятковій системі числення; рядок повинен містити вказану кількість цифр після коми Вправа 46 Скласти процедуру, результат роботи якої є символ, заданий при звернені до процедури, буква, невірне значення в іншому випадку Вправа 463 Скласти процедуру, результат роботи якої є символ, заданий при звернені до процедури, якщо цей символ не є буквою, і відповідна рядкова (малою) буква в іншому випадку Вправа 464 Скласти процедуру зжимання кінцевої послідовності символів: кожна послідовність, яка складається з кількох входжень одного й того ж символа, замінюється на текст x(k), де x символ, а k рядок, яка є записом числа входження символа x в початкову послідовність *) В цій та наступних вправах даного параграфу вимагається скласти окремі процедури, не включаючи їх в які-небудь програми На практиці ці процедури можуть стати корисними в цілому ряді програм m m = > 0 0

70 70 Вправа 465 Скласти процедуру, яка дозволить виявити позицію самого правого входження заданого символа в початковий рядок Якщо рядок не містить символу, результатом роботи процедури повинно бути Вправа 466 Скласти процедуру, яка замінює в початковому рядку символів всі одиниці на нулі і всі нулі на одиниці Заміна повинна відбуватися, починаючи з заданої позиції рядка Вправа 467 Скласти процедуру, в результаті звернення до якої з першого заданого рядка видаляється кожен символ, який належить і другого заданого рядка Вправа 468 Скласти процедуру, яка дозволить виявити позицію самого правого входження в заданий рядок якого не будь символу з другого заданого рядка Результатом роботи процедури повинна бути,якщо перший рядок не містить жодного символу, який належить і другому заданому рядку Вправа 469 Вирівнювання рядка полягає в тому, що між її окремими словами (див Вправу 69) додатково вносяться проміжки так, щоб довжина рядка стала рівною заданій довжині (передбачається, що потрібна довжина не менша від початкової), а останнє слово рядка зрушилась до її правого краю Скласти процедуру вирівнювання заданого рядка тексту Вправа 470 При виводі тексту на екран або друкуючий пристрій часто використовуються табуляційні зупинки виділені положення рядка Наприклад, при друкуванні таблиць корисно зафіксувати положення стовпчиків таблиць Якщо в початковому тексті зустрічається символ табуляції tab (наприклад, символ з кодом 9), це означає, що текст наступний за символом tab, повинен друкуватися з наступною табуляційної зупинки, а до неї потрібно додавати проміжки Скласти процедуру друкування тексту з вказаною інтерпретацією символу tab (передбачить фіксований набір табуляційних зупинок)

71 7 3 Файли Вправа 47 Дано файл f, компонентами якого є дійсними числами Знайти: а) суму компонент файла f; б) добуток компонент файла f; в) суму квадратів компонент файла f; г) модуль суми і квадрат добутку компонент файла f; д) останню компоненту файла Вправа 47 Дано файл f, компонентами якого є дійсними числами Знайти: а) найбільше з значень компонент; б) найменше з значень компонент з парними номерами; в) найбільше з значень модулів компонент з непарними номерами; г) суму найбільшого і найменшого з значень компонент; д) різницю першої і останньої компонент файла Вправа 473 Дано файл f, компонентами якого є цілі числа Знайти: а) кількість парних чисел серед компонент; б) кількість подвоєних непарних чисел серед компонент; в) кількість квадратів непарних чисел серед компонент Вправа 474 Дано натуральне Записати в файл g цілі числа b,, b так, як вказано в вправах а) д) вправи 39 Вправа 475 Послідовність x, x, утворена по закону x i = i i - 0 (і=,, ) Дано дійсне ε>0 Записати в файл h члени послідовності x, x,, зупинившись після першого члена, для якого виконано x i <ε Вправа 476 Дано символьний файл f Одержати копію файла в g Вправа 477 Дано символьні файли * ) f i f Переписати з збереженням порядку запису компоненти файла f в файл f, а компоненти файла f в файл f Використати допоміжний файл h Вправа 478 Дано файли f, f, f 3, f 4, f 5, компонентами якого є дійсними числами Організувати обмін компонентами між файлами у відповідності з наступною схемою: f, f, f 3, f 4, f 5, f 3, f 4, f 5, f, f, тобто компоненти файла f переписуються в файл f 3, компоненти файла f в f 4 і тд Дозволяється використовувати один допоміжний файл h *) Файл, компонентами якого є символи, називається символьним файлом 3 + tgi

72 7 Вправа 479 Дано символьний файл f В файлі f не менше двох компонент Визначити, чи є два перших символи цифрами Якщо так, то встановити, чиє числа утворені цими цифрами парними Вправа 480 Дано файл f, компоненти якого є цілими числами Одержати в файлі g всі компоненти файла а) що є парними числами; б) що діляться на 3 і не діляться на 7; в) є точними квадратами Вправа 48 Дано файл f, компоненти u 0, u,, u які є послідовними числами Фібоначчі (див вправу 44) Одержати в файлі f послідовні числа Фібоначчі u 0, u,, u + Вправа 48 Дано символьний файл f Одержати файл g, з файла f заміною всіх його прописних (великих) букв однойменними рядковими (малими) Вправа 483 Обрахувати по схемі Горнера значення многочлена з раціональними коефіцієнтами для даного раціонального значення змінної Вважати, що чисельники і знаменники коефіцієнтів записані в файлі f: на початку чисельник і знаменник старшого коефіцієнта і тд, в останню чергу чисельник і знаменник вільного члена*) Вправа 484 Дано файл f, компоненти якого є цілими числами Записати в файл g всі парні числа файла f, а в файл h всі непарні Порядок запису чисел зберігається Вправа 485 Дано символьний файл f Записати в файл g компоненти файла f в зворотному порядку Вправа 486 Дано символьні файли f і g Записати в файл h спочатку всі компоненти файла f, потім компоненти файла g з збереженням порядку Вправа 487 Дано файл f, компоненти якого є цілими числами Одержати файл g, утворений з файла f виключенням повторних входжень одного й того ж числа Вправа 488 Дано файл f, компоненти якого є цілими числами Жодна з компонент файла не дорівнює нулю Файл f містить стільки ж додатних чисел скільки і від ємних Використовуючи допоміжний файл h, переписати компоненти файла f в файл g так, щоб в файлі g: а) не було двох сусідніх чисел з однаковим знаком; б) спочатку йшли позитивні елементи, а потім від ємні; в) числа йшли в слідую чому порядку: два додатних, два від ємних і тд (передбачається, що число компонентів в файлі f ділиться на 4) *) В багатьох мовах програмування (наприклад, в Паскалі) компоненти можуть бути масивами В цьому випадку можна передбачати, що чисельники і знаменники утворюють масив довжиною

73 73 Вправа 489 Дано файл f, компоненти якого є цілими числами Жодна з компонент файла f не дорівнює нулю Числа в файлі йдуть в слідую чому порядку: десять додатних, десять від ємних, десять додатних, десять від ємних і тд Переписати компоненти файла f в файл g так, щоб в файлі g числа йшли в слідую чому порядку: а) п ять додатних, п ять від ємних, п ять додатних, п ять від ємних і тд б) двадцять додатних, двадцять від ємних, двадцять додатних, двадцять від ємних і тд (передбачається, що число компонентів в файлі f ділиться на 40) Вправа 490 Дано файл f, компоненти якого є цілими числами Число компонентів файла ділиться на 00 Записати в файл g найбільші значення перших ста компонентів файла f, потім наступних сто компонентів і тд Вправа 49 З умови попередньої вправи вилучається припущення про те, що число компонентів файла ділиться на 00 Якщо в останні групі виявиться менше ста компонент, то остання компонента файла g повинна бути рівною найбільшій з компонент файла f, що утворюють останню (неповну) групу Вправа 49 Дано символьний файл f Добавити в його компоненти символи e,, d ( якщо це необхідно, використати додатковий файл g) Вправа 493 Дано символьний файл f а) Підрахувати число входжень в файл сполучень ab б) Визначити, чи входить в файл сполучення abcdefgh; в) Підрахувати число входження в файл кожної з букв a, b, c, d, e, f і вивести результат у вигляді таблиці a N a b N b c N c d N d e N e f N f де N a, N b, N c, N d, N e, N f число входжень відповідної букви Вправа 494 Дано символьні файли f і g Визначити, чи співпадають компоненти файла f з компонентами файла g Якщо ні, то одержати номер першої компоненти, в якій файл f і g різняться між собою У випадку, коли один з файлів має компонент ( 0) і повторює початок другого (більш довгого) файла, то відповіддю повинно бути число + Вправа 495 Дано символьні файли f і g Записати в файл h всі початкові співпадаючі компоненти файлів f і g Вправа 496 Дано символьний файл f Записати в файл g з збереженням порядку запису ті символи файла f: а) яким в цьому файлі передує буква а; б) наступні за якими в цьому файлі йде буква а

74 74 Вправа 497 Дано символьний файл f Групи символів, розділені проміжками (одним або кількома) і не мають проміжків всередині себе, будемо, як і раніше (див вправу 69), називати словами Вилучити з файла всі однобуквені слова і лишні проміжки Результат записати в файл g Вправа 498 Дано символьний файл f Знайти найдовше слово серед слів, друга буква яких є е; якщо слів з найбільшою довжиною кілька, то знайти останнє Якщо таких слів не має взагалі, то повідомити про це Розв язати цю вправу: а) вважаючи, що слова складаються не більше ніж з 0 символів; б) без обмеження числа символів в слові Вправа 499 Дано символьний файл f Вважаючи, що кількість символів в слові не перевершує двадцяти: а) визначити скільки в файлі f мається слів, які складаються з одного, двох, трьох і тд символів; б) одержати гістограму (стовпчасту діаграму) довжин всіх слів файла f; в) визначити кількість слів у файлі f Вправа 500 Дано символьний файл f Передбачається, що довжина одного слова не перевершує 0 і що число слів ділиться на 00 Підготувати файл для друку в дві колонки по п ятдесят рядків на сторінці Слова повинні бути поміщені в файлі f в слідую чому порядку: е слово, 5-е слово, е слово, 5 е слово,, 50 е слово, 00 е слово, потім (наступна сторінка) 0 е слово, 5 е слово,, 50 е слово, 00 е слово і тд Вправа 50 Дано символьний файл f, який містить відомості про співробітників установи, записані по слідую чому зразку: прізвище ім я побатькові, прізвище ім я побатькові, Записати ці відомості в файлі g, використовуючи зразки: а) ім я побатькові прізвище, ім я побатькові прізвище, б) прізвище іп, прізвище іп, Вправа 50 Дано символьний файл f, який містить більше 5000 слів Слова в тексті розділені проміжками і розділовими знаками Одержати 00 слів, які найбільш часто зустрічаються і число їх входжень в текст Розв язати вправу: а) без обмеження на довжину слів; б) передбачаючи, що любе слово тексту має не більш ніж 6 букв Вправа 503 Дано два символьні файли f і f Файл f містить довільний текст Слова в тексті розділені проміжками і розділовими знаками Файл f містить не більше 40 слів, які розділені комами Ці слова утворюють пари: кожне перше слово вважається замінюваним, кожне друге слово замінюючи Знайти в файлі f всі замінювані слова і замінити їх на відповідні замінюючи Результат помістити в файл g

75 75 Вправа 504 Пряма на площині задається рівнянням ax+by+c=0, де a і b одночасно не дорівнюють нулю Будемо розглядати тільки прямі, для яких коефіцієнти a, b, с цілі числа Нехай f файл, що містить коефіцієнти кількох прямих (не менше трьох) Переписати з файла f в файл g коефіцієнти тих прямих, які а) паралельні першій з прямих, заданій в файлі f; б) вказані в а), але додатково необхідно, щоб всі прямі були різними; в) перетинають першу з прямих, заданих в файлі f; г) вказані в в), але додатково необхідно, щоб серед прямих не було паралельних Вправа 505 Умова попередньої задачі зберігається Необхідно одержати в файлі g коефіцієнти всіх різних прямих файла f Вправа 506 Багаж пасажира характеризується кількістю речей і загальною вагою речей Дан файл f, який містить інформацію про багаж кількох пасажирів, інформація про багаж окремого пасажира являє собою відповідну пару чисел а) Знайти багаж, середня маса однієї речі в якій відмінна не більше ніж на 0,3 кг від загальної маси речі б) Знайти число пасажирів, які мають кількість речей яких перевищує середнє число речей в) Визначити, чи є два пасажири, багаж яких співпадають по числу речей і відмінні по масі не більше ніж на 05 кг г) Встановити, чи є пасажири, багаж яких перевищує багаж решти пасажирів і по числу речей, і по масі д) Встановити, чи є пасажир, багаж якого складається з однієї речі масою не менше 30 кг е) Дати відомості про багаж, число речей в якому не менше, ніж любому іншому з цим же числом речей Вправа 507 Відомості про учня складаються з його імені і прізвища і назви класу (року навчання і букви), в якому він навчається Дано файл f, який містить відомості про учнів школи а) Встановити, чи є в школі учні з однаковим прізвищем б) Встановити, чи є в паралельних класах учні з однаковим прізвищем в) Встановити, чи є в класі учні з однаковим прізвищем г) Відповісти на питання а) в), але у відношенні учнів у яких співпадає і ім я, і прізвище д) Встановити, в яких класах нараховується більше 7 учнів е) Встановити, на скільки чоловіку восьмих класах більше, ніж в десятих ж) Зібрати в файлі g відомості про учнів 9 х і 0 х класів, помістивши на спочатку відомості про учнів 9а, потім 9б і тд потім 0а, 0б і тд з) Одержати список учнів даного класу по наступним зразках: прізвище ім я прізвище і іпрізвище

76 76 Вправа 508 Дано файл f, який містить ті ж відомості про учнів школи, що і в попередній задачі, і додатково оцінки, одержані учнями в останній чверті а) Встановити, скільки учнів не мають оцінок нижче чотирьох б) Зібрати в файлі g відомості про кращих учнях школи, тобто про учнів, які не мають оцінки нижче чотирьох і по сумі балів не уступають учням свого і паралельних класів Вправа 509 Відомості про автомобіль складаються з його марки, номери і прізвища володаря Дано файл f, який містить відомості про кілька автомобілів Знайти: а) прізвище володарів і номери автомобілів даної марки; б) кількість автомобілів кожної марки Вправа 50 Дано файл f, який містить різні дати Кожна дата це число, місяць і рік Знайти: а) рік з найменшим номером; б) всі весняні дати; в) саму пізню дату Вправа 5 Дано файл f, який містить відомості про книги Відомість про кожну книжку це прізвище автора, назви і рік видання а) Знайти назву книжок даного автора, виданих з 960 р б) Визначити, чи є книжка з назвою Інформатика Якщо так, то повідомити прізвище автора і рік видання Якщо таких книг кілька, то повідомити відомості про всі ці книжки Вправа 5 Дано файл f, який містить номера телефонів співробітників установи: вказується прізвище співробітника, його ініціали і номер телефону Знайти телефон співробітника по його прізвищу та ініціалах Вправа 53 Дано файл f, який містить відомості про кубики: розмір кожного кубика (довжина ребра в сантиметрах), його колір (червоний, жовтий, зелений або синій) та матеріал (дерев яний, металевий, картонний) Знайти: а) кількість кубиків кожного з перерахованих кольорів та їх сумарний об єм; б) кількість дерев яних кубиків з ребром 3 см та кількість металевих кубиків з ребром, більшим 5 см Вправа 54 Дано файл f, який містить відомості про речовини: вказується назва речовини, її густина і провідність (провідник, напівпровідник, ізолятор) а) Знайти густину і назву всіх напівпровідників б) Вибрати дані про провідники і впорядкувати їх по спаданню густини

77 77 Вправа 55 Дано файл f, який містить відомості про експортовані товари: вказується найменування товару, країна, яка імпортує товар, і об єм партії, що поставляється, в штуках Знайти країни, в які експортується даний товар і загальний об єм його експорту Вправа 56 Дано два файли f і f Файл f це інвентарний файл, що має дані про те, скільки виробів яких видів продукції зберігається на складі (вид продукції задається його порядковим номером) Файл f це допоміжний файл, що містить відомості про те, наскільки зменшилось чи збільшилось кількість виробів по деяким видам продукції Допоміжний файл може вміщувати кілька повідомлень по продукції одного виду чи не містять ні одного такого повідомлення Обновити інвентарний файл на основі допоміжного, створивши новий файл g Вправа 57 Дано файл f, який містить повідомлення про іграшки: вказується назва іграшки (наприклад, лялька, кубики, м яч, конструктор і тд), її вартість в копійках і річні межі дітей, для яких дітей іграшка призначена (наприклад, для дітей від двох до п яти років) Отримати наступні відомості: а) назву іграшок, ціна яких не перевищує 4 грн і які підходять дітям 5 років; б) ціну самого дорогого конструктора, оформлену по прикладу грн коп; в) назву найбільш дорогих іграшок (ціна яких відрізняється від ціни самої дорогої іграшки не більше ніж на грн); г) назва іграшок, які підходять як дітям 4 років, так і дітям 0 років; д) ціни всіх кубиків, оформлений за прикладом, вказаному в б); е) чи можна підібрати іграшку, любу, крім м яча, яка буде підходити дитині 3 років, і також м яч так, щоб сумарна вартість іграшок не перевищувала 5 грн?; ж) чи є м яч ціною грн 50 коп, призначений дітям від 3 до 8 років?; якщо ні, занести відомості про цю іграшку в файл f Вправа 58 Дано натуральне k, символьний файл f і текстовий файл f * Файл f містить 30 слів (див вправу 497), кожне з яких будемо називати кодовим Сформувати файл g, який містить рядки файл f,циклічно зміщені так, щоб кожне кодове слово, яке входить в рядок, починалось з k й позиції Рядки, які містять кодових слів, записуються у файл g раз Вправа 59 Дано текстовий файл f, який містить програму на мові Паскаль Перевірити цю програму на невідповідність числа відкриваючих і закриваючих круглих дужок Вважати, що кожний оператор програми: а) займає не більше одної сторінки файла f ; б) може займати довільне число рядків файла f

78 78 Вправа 50 Дано текстовий файл f Отримати всі його рядки, які містять більше 60 символів Вправа 5 Дано текстовий файл f Переписати у файл g всі компоненти файла f з заміною в них символу 0 на символ і навпаки Вправа 5 Дано текстовий файл f Отримати самий довший рядок файла Якщо у файлі є кілька рядків з найдовшою довжиною, то отримати одну з них Вправа 53 Дано текстовий файл f Записати в перевернутому виді рядки файл f у файл g Порядок рядків у файлі повинен: а) співпадати з порядком кінцевих рядків у файлі f б) бути зворотнім по відношенні до порядку рядків зворотного файла Вправа 54 Дано текстовий файл f Переписати компоненти файла f у файл g, вставляючи в початок кожного рядка по одному пропуску Порядок компонентів повинен бути збережений Вправа 55 Дано текстовий файл, рядок s Отримати всі рядки файла f, який містить у вигляді фрагменту рядок s Вправа 56 Дано текстовий файл f Не враховувати пропуски, які знаходяться в кінці його рядків Результат помістити у файл f Вправа 57 Дано два текстових файла f і g Визначити, чи співпадають компоненти файла f з компонентами файла g Якщо ні, то отримати номер першого рядка і позицію першого символу в цьому рядку, в яких файли f і g відрізняються між собою Прийняти до уваги уточнення до вправи 494 Вправа 58 Дано файл f, компонентами якого є натуральні числа Кількість чисел у файлі кратне 4 Перші два числа із кожних чотирьох задають координати лівого верхнього кута прямокутника, наступні два числа координати його правого нижнього кута Побудувати прямокутники, задані у файлі f Вправа 59 Дано текстовий файл f Кожен рядок файла містить кілька натуральних чисел в їх символьному представлені Числа розділяються комами чи пропусками і визначають вид деяких геометричних фігур, її розміри і положення на екрані Прийняти наступні умови: ) відрізок прямої задається координатами своїх кінців, має номер ; ) прямокутник задається координатами лівого верхнього і правого нижнього кута, має номер ; 3) коло задається координатами центра і радіусом, має номер 3; 4) крива задається кількістю її вершин, їх координатами і має номер 4 Так, наприклад,, 0, 0, 30, 30 визначає відрізок прямої з координатами

79 79 кінців (0, 0) і (30, 30), а рядок 3, 00, 00, 50 круг з центром в точці (00, 00) і радіусом 50 а) Побудувати на екрані всі геометричні фігури, задані у файлі f б) Розробити спосіб гадання більш широкого набору фігур у зрівнянні з вказаним і виконати пункт а) Вправа 530 Дано файл f, компоненти якого є натуральними числами Кожні дві послідовні компоненти визначають координати двох точок а) Вважаючи, що задані координати кінців відрізків, побудувати всі такі відрізки б) Вважаючи, що задано координати протилежних кутів прямокутника, побудувати всі такі прямокутники в) Вважаючи, що задані вершини А і В фігури, зображені на Рис4, побудувати всі такі фігури г) Вважаючи, що задані координати центра круга і однієї з її точок, побудувати всі такі кола

80 80 4 Обчислення з збереженням послідовностей, число членів яких залежить від вхідних даних* *) В деяких вправах програмування допускаються масиви з динамічними границями, і це знімає багато труднощів в розв язанні задач; в цьому випадку даний параграф продовжує 9 В паскалі ж, наприклад, де такі масиви недопустимі, природно користуватися списками Можливий вигляд цих списків вказаний в вправах Для роботи з списками корисні процедури вставки елементів в початок списку, вставки елементів в кінець списку, вилучення елемента і тд (ці процедури окремо розглянуті в 36) Для розв язання вправ цього параграфа можна використати і файли, але це різко збільшує час виконання програми і має смисл тільки в тому випадку, коли всі вхідні даніне вміщаються в пам яті обчислювальної машини Вправа 53 Дано натуральне число, дійсні числа x,, x (³) Отримати послідовність x x, x x,, x - x Для рішення цієї задачі корисний список, зображений на Рис5 Вправа 53 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Якщо послідовність a,, a впорядкований по неспаданню ( тобто, якщо a a a), залишити її без змін В іншому випадку отримати послідовність a,, a Для рішення цієї задачі корисний список, зображений на Рис6 Вправа 533 Дано натуральне число, дійсні числа x,, x Обчислити: а) x x + x x- + + x x ; б) ( x + x )( x + x- ) ( x + x ); в) ( x + x + x ) ( x + x3 + x- )( x- + x + x ) Для рішення цієї задачі корисний список, зображений на Рис7 Вправа 534 Дано натуральне число, дійсні числа a,, Отримати: а) ( a - a )( a3 - a- ) ( a5 - a-4 )( a- - a ); б) a a + aa- + + aa+ ; в) mi ( a + a+, a + a+,, a + a ); г) max (mi ( a, a ), mi ( a, a - ),, mi ( a, a + )) a

81 8 Вправа 535 Нехай Дано натуральне m Отримати a m Вправа 536 Дано натуральне число, цілі числа a,, a Встановити, чи існують серед чисел a,, a співпадаючі Вправа 537 Дано натуральне число, цілі числа a,, чи вірно, що для всіх a +,, a3 існують рівні серед a,, a a 3 Встановити, Вправа 538 Дано натуральне число, дійсні числа послідовність: а) r,, r, r,, r б) r,, r, r,, r в) r,, r, r,, r r,, r Отримати Вправа 539 Дано натуральне число, цілі числа a,, a Потрібно отримати послідовність x, y, x, y,, x k, yk, де x,, x m взяті в порядку розміщення парні члени послідовності a,, a, а y,, y l непарні члени, k = mi (m, l) Вправа 540 Дано натуральне число, цілі числа a,, чи вірно, що для i=,, виконано: а) a i = a -i ; б) a i =a -i +a -i+ ; в) a i +a -i+ >7; г) a -i+ <a i a -i a Встановити, Вправа 54 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Перетворити послідовність a,, a, розмістивши спочатку від ємні члени, а потім невід ємні При цьому: а) порядок як від ємних так і невід ємних чисел зберегти попереднім; б) порядок від ємних чисел змінюється на зворотний, а порядок невід ємних зберігається попереднім; в) порядок від ємних зберігається попереднім, а порядок невід ємних чисел змінюється на зворотний; г) порядок тих і інших чисел змінюється на зворотний Вправа 54 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Обчислити mi a i - a~, де a ~ середнє арифметичне чисел a,, a i Вправа 543 Дано натуральне число, дійсні числа x,, x, Послідовність x,, x і p,, p p,, p визначають систему матеріальних точок на прямій: x i координати, p i маса i й точки (i=,, ) Вказати номер точки, найбільш близько розташованої до центру тяжіння системи Якщо таких точок кілька, то взяти довільну з них

82 8 Вправа 544 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a Якщо в послідовності a,, a є хоча б один член, менший, ніж 3, то всі від ємні члени замінити їх квадратами, залишивши інші члени без змін; в іншому випадку помножити всі члени на 0 Вправа 545 Лічилка Дано натуральні, m Вважається, що людей стають в круг і отримують номера, рахуючи проти часової стрілки,,,, Потім, починаючи з першого, також проти часової стрілки відраховується m а людина (оскільки люди стоять по кругу, то за ю людиною стоїть перший) Ця людина виходить з кругу, після чого, починаючи з наступного, знову відраховується m а людина і так до тих пір, поки з усього кругу не залишиться одна людина Визначити його номер Для рішення цієї задачі корисний список, з єднаний в кільце так, як показано на Рис 8 Вправа 546 Дано натуральні числа, m, символи (m< ) Отримати послідовність символів: а) s m +, s m +,, s, s,, s m ; б) s m +, s m +,, s, s m,, s ; в) s, s,, s m +, s,, s m s,, s Вправа 547 Дано натуральне число, символи s,, s Відомо, що в послідовність s,, s входить один проміжок Нехай m таке, що s m перший по порядку проміжок, який входить в s,, s ( m заздалегідь невідоме) Виконати перетворення а), б), в) сформульоване в попередній задачі Вправа 548 Дано натуральне число, символи s,, s Отримати ті символи, які належать послідовності s,, s, які входять в цю послідовність по одному разу Вправа 549 Дано натуральне число, символи s,, послідовність символів, які містять лише останнє входження кожного символу з збереженням спільного збереженням порядку цих входжень s Отримати Вправа 550 Дано натуральні числа k, m,, символи s,, sk, t,, t m, u,, u Отримати по одному разу ті символи, які входять одночасно в усі три послідовності

83 83 Вправа 55 Дано натуральне число, символи s,, s Будемо розглядати слова, перетворених в послідовність s,, s символами( див вправу 69) Нижче описуються перетворення, кожне з яких слідує виконати при виконані вказаної умови Потім послідовність не залежить від того, чи була вона перетворена чи ні, повинна бути відредагована наступним чином Повинні бути видалені групи проміжків, якими починається і закінчується послідовність, а кожна внутрішня група проміжків замінена одним проміжком Перетворення: а) якщо спільна кількість слів більше одиниці і непарне, то видалить перше слово; б) якщо останнє слово починається буквою a і спільне число слів більше одиниці, то переставить останнє слово в початок послідовності, відділивши його проміжком від s ; в) якщо перше і останнє слова співпадають і спільне число слів більше одиниці, то видалити перше і останнє слова, а символи які залишилися переставити в зворотному порядку Вправа 55 Дано символи s, s, Відомо, що символ s відмінний від точки і що серед s, s 3, є хоча би одна точка Нехай s,, s символи, попередні першій цифрі( завчасно невідомо) Отримати: а) послідовність s, s,, s ; б) послідовність s, s 3,, s, якщо непарне, послідовність s, s 4, s, якщо парне Вправа 553 Якщо потрібно зберігання послідовності, число членів якою обмежено зверху деяким відомим числом N, то можна використати для зберігання послідовності масив з N елементами, займаючи, таким чином, пам ять обчислювальної машини з деяким запасом Це дозволяє обійтись без списків а) Повернутися до вправи 53, вважаючи, що 000 б) Повернутися до вправи 53, вважаючи, що 500 в) Повернутися до вправи 550, вважаючи, що k 000, m 000, l 00 г) Повернутися до вправи 550, вважаючи, що k + m+ l 000 Потрібно мати на увазі, що якщо використовувати кілька таких масивів, то сумарний надлишок зайнятої пам яті може виявитися дуже великою для того, щоб можна було використати цей прийом

84 84 5 Цілі числа Вправа 554 Дано натуральне число Одержати всі Піфагорові трійки натуральних чисел, кожне з яких не перевершує, тобто всі такі трійки натуральних чисел a, b, c, що a +b =c (a b c ) Вправа 555 Трикутником Паскаля називається числовий трикутник в якому по краях стоять одиниці, а кожне число всередині дорівнює сумі двох, що стоять над ним в найближчому рядку зверху Дано натуральне число Одержати перші рядків трикутника Паскаля Вправа 556 Для чисел Фібоначчі u 0, u (див вправу 44) справедлива формула Біне k k æ + 5 ö æ - 5 u, k 5 5 ö = ç - ç k=0,, è ø è ø - 5 Так як <, то для великих k виконується наближена рівність u k» æ + ç 5 è 5 ö ø k æ + 5 ö Обчислити та округлити до цілого всі числа ç 5 ( k=0,, 5) è ø Обчислити u 0, u,, u 5 по формулам u 0 =0; u =; u k =u k- + u k- (k=, 3, ) і порівняти результати Вправа 557 Дано натуральне число ( ) Знайти всі менші прості числа, використовуючи решето Ератосфена Вправа 558 Дано натуральне число При допомозі решета Ератосфена знайти четвірки менших простих чисел, які належать одному десятку наприклад,, 3, 7, 9) Вправа 559 Дано натуральне число Знайти всі менші числа Мерсена (Просте число називається числом Мерсена, якщо воно може бути представлене у вигляді р -, де р теж просте число) k

85 85 Вправа 560 Два натуральних числа називаються дружніми, якщо кожне з них дорівнює сумі всіх дільників іншого, крім самого цього числа Знати всі пари чисел, які лежать в діапазоні від 00 до 300 Вправа 56 Дано натуральне число Серед чисел,, знайти всі такі, запис яких співпадає з останніми цифрами запису їх квадрата (як, наприклад, 6 =36, 5 =65 і тд) Вправа 56 Натуральне число з цифр є числом Армстронга, якщо сума його цифр, піднесена до -го степеня, дорівнює самому числу (як, наприклад, 53= ) Одержати всі числа Армстронга, які мають дві, три і чотири цифри Вправа 563 Назвемо натуральне число паліндромом, якщо його запис читається однаково з початку і з кінця(як, наприклад, 4884, 393, ) а) знайти всі менші 00 натуральних числа, які при піднесенні в квадрат дають паліндром б) знайти всі менші 00 числа паліндроми, які при піднесенні до квадрату також дають паліндроми Вправа 564 Розглянемо деяке натуральне число Якщо це не паліндром, то змінимо порядок його цифр на зворотний і складемо це число з даним Якщо сума не паліндром, то над нею повторюються ті ж дії і тд, поки не одержиться паліндром До даного часу невідомо, чи завершиться цей процес для довільного натурального Дано натуральні числа k, l, m (k l) Перевірити чи вірно, що для довільного натурального числа з діапазону від k до l процес завершується не пізніше m таких дій Вправа 565 Розглянемо деяке натуральне число (>) Якщо воно парне, то поділити його на, інакше помножити на 3 і додати Якщо одержане число не дорівнює, то повторюємо ті ж дії і тд, поки не одержиться До даного часу невідомо, чи завершиться цей процес для довільного натурального > Дано натуральні числа k, l, m (k l) Перевірити чи вірно, що для довільного натурального числа з діапазону від k до l процес завершується не пізніше m таких дій Вправа 566 Знайти всі прості нескорочувані дроби, які заключні між 0 і, знаменники яких не перевершують 7 (дріб задається двома натуральними числами чисельником і знаменником) Вправа 567 Дано натуральне число Встановити, чи можна представити! у вигляді добутку трьох послідовних цілих чисел

86 86 Вправа 568 Дано натуральне число m Вставити між деякими цифрами,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, записаними в такому порядку, знаки +, так, щоб значенням одержаного виразу було число m Наприклад, якщо m=, то підійде наступна розстановка знаків Якщо необхідна розстановка неможл права 569 ива, то повідомити про це Дано натуральне число Одержати в порядку зростання перших натуральних чисел, які не діляться ні на які прості числа крім, 3 і 5 Вправа 570 Алгоритм Евкліда (див вправу 89) допускає багаточисельні узагальнення Наприклад, разом з НСД (f,g) можна вирахувати цілі u і v такі, що fu+gv=нсд (f,g) Це дає можливість знаходити деякі цілочисельні розв язки рівняння виду kx+ly=m, де k, l, m цілі числа такі, що k і l одночасно не рівні 0, а m ділиться на d= НСД ( k, l ) Нехай k u+ l v=d; тоді k um/d+ l vm/d=m, і як наслідок цього, k(c um/d)+l(c vm/d)=m де с j =± (j=, ) Вкажемо алгоритм знаходження цілих чисел u і v, що задовольняють fu+gv=нсд (f,g) Позначимо тимчасово f через f 0 і g через f Одержувані в процесі примінення алгоритму Евкліда ненульові залишки позначимо через f, f 3, f, частки від ділення f 0 на f, f на f, f - на f через a, a,, a : f 0 = a f + f, f = a f + f 3, f - = a - f - + f, f - = a f ; тут НСД (f 0, f )= f Нехай для деякого i - разом з числами f i, f i+ відомі відповідні їм співмножники p, q, s, t такі, що f 0 p+ f q=f i, f 0 s+ f t= Тоді, поділивши f i на f i+ і одержавши частку таке a i+ і залишок f i+, ми можемо обчислити співмножники, які відповідають f i+ : так як f i a i+ f i+ = f i+, то f 0 (pa i+ s)+ f i (q- a i+ t)= f i+ Таким чином, для знаходження цілих u і v таких, що fu+gv=нсд (f,g), треба застосовувати до f і g алгоритм Евкліда, розглядаючи на кожному кроці його примінення, крім тих двох чисел, які розглядались і раніше, ще і відповідні цим числам співмножники p, q і s, t На першому кроці в якості співмножників, що відповідають вихідним числам f і g беруться,0 і 0, виконавши ділення і одержавши частку a і деякий залишок, необхідно, якщо залишок не рівний 0, обрахувати його по формулах p-as, q-at, співмножники, які відповідають одержаному залишку Співмножники, які відповідають останньому ненульовому залишку, дадуть розв язок рівняння, яке розглядаємо fu+gv=нсд (f,g) а) Дано одночасно не рівні 0 цілі f і g Знайти НСД( f, g ) і цілі u і v такі, що fu+gv=нсд( f, g ) б) Дані цілі k, l, m такі, що k і l одночасно не рівні 0, а m ділиться на НСД ( k, l ) Знайти який-небудь цілочисельний розв язок рівняння kx+ly=m в) Відмітимо, що запропонований вище алгоритм пошуку множників u і v можна змінити так, що число необхідних їм операцій скоротиться майже в

87 87 півтора рази: з двох чисел u і v досить вирахувати замість НСД(f,g) тільки v, а потім визначити u по формулі u=(нсд(f,g)-gv)/f Внести це удосконалення в програми, які дають розв язки завдань а), б) Вправа 57 Показати, що якщо x, y і x, y два цілочисельних розв язки рівняння kx+ly=m, то x - x, y - y цілочисельний розв язок рівняння kx+ly=0 Вивести сюди, що якщо x, y який-небудь цілочисельний розв язок рівняння kx+ly= m, то всі цілочисельні розв язки цього рівняння описуються формулами x = x + l t, y = y - k t, де k =k/нсд(k,l) l =l/нсд(k,l) (t=0, ±, ±, ) Написати програму, яка дозволить перевірити, чи має рівняння kx+ly= m розв язок у цілих невід ємних числах, і якщо має, то дозволяє побудувати якесь одне таке рішення Вправа 57 Дано натуральне число k, одночасно не рівні 0 цілі числа,, k Знайти НСД (,, k ) і цілі u,, u k такі, що u + + u k k = НСД (,, k ) (див вправу 333) Вправа 573 Дано натуральні взаємно прості числа, p Використовуючи алгоритм, описаний в вправі 570а, знайти натуральне m таке, щоб по-перше m< p і, по-друге m при діленні на p дає залишок Вправа 574 Відома в теорії чисел китайська теорема про залишки стверджує наступне Нехай p,, p r попарно взаємо прості натуральні числа; нехай v= p,, p r Нехай a,, a r такі цілі невід ємні числа, що a < p,, a r < p r Тоді існує рівно одне ціле невід ємне u<v, які при діленні на p дає залишок a, при ділення на p дає залишок a, при діленні на p r дає залишок a r (Процес відновлення чисел по його залишкам був відомий в Китаї вже біля 000 років тому, тому теорема має таку назву) Якщо дані p,,p r a,, a r, то на основі цієї теореми число може бути знайдене послідовною перевіркою чисел 0,,, v- Проте є алгоритм значно швидшого розв язку цієї задачі, який ми сформулюємо без доведення (маєте спробувати самостійно знайти доведення) Позначимо через v і ( і r) добуток всіх p,, p r крім тобто v і = p р і- р і+ p r = v/ р і Нехай числа w i ( i r) такі, що w i < р і при діленні на р і дає залишок (див попередню вправу) Тоді можна покласти, що u дорівнює залишку від ділення v w a + + v r w к a к на v Наприклад, якщо р, р, р 3, р 4 рівні відповідно, 3, 5, 7, а а, а, а 3, а 4 рівні відповідно,, 4, 3, то одержиться u=59 перевірка показує, що u задовольняє умові задачі: 59< 3 5 7, 59= 9+=3 9+=5 +4=7 8+3 Дано натуральні числа r, p,, p r, цілі невід ємні числа a,, a r (p,, p r попарно взаємно прості, a < p,, a r < p r ) Знайти u, що задовольняє сформульованим вище умовам Вправа 575 Ланцюговим дробом (кінцевим) називають вираз

88 88 b + b + bk де b,, b k натуральні числа Для ланцюгового дробу такого вигляду використовують короткий запис [b,, b k ] Кожне додатне, менше одиниці раціональне число s/t можна представити ланцюговим дробом Нехай s,t натуральні числа (s<t) Після ділення t на s з залишком одержується, що t=as+r (a>0, 0 r<s) звідки s = = t t / s a + r / s Покладемо, що b =a, потім цим же способом перетворимо r/s і одержуємо b і тд Видно, що b,, b k це послідовність частки, які виникають в процесі примінення до s і t алгоритму Евкліда (див вправу 89) І так, нехай s/t=[b,, b k ] Додатково розглянемо ланцюгові дроби [b ], [b, b ],, [b,, b k- ], значення яких називаються підходящими дробами числа s/t Позначимо деякі форми підходящих дробів через p /q,, p k- /q k- Підходящі дроби володіють наступними важливими властивостями: s pi ) - <, i =,,k - ; t q q i i ) якщо для деякого дробу u/v і підходящого дробу p i /q i ( i<k- ) виконано s u s pi - < -, t v t qi то v>q i Властивості ), ) використовуються в різноманітних практичних вправах, які вимагають підбору для даного раціонального числа доброго наближення у вигляді дробу з порівняно невеликим знаменником Прикладом може бути вправа розрахунку зубчатої передачі, яка складається з двох шестерень Передаточне число повинно бути близьке до заданого значення, і при цьому число зубців кожної з шестерінок не може перевершувати деякої вказаної межі Для розв язування такого роду задач корисні наступні співвідношення для чисельників і знаменників підходящих дробів: p =; p =b ; p = b p - +p -, =3, 4,, k- q =b ; q =b b +; q =b q - +q -, =3,4,, k-*) *) Доведення цих співвідношень і властивостей ), ) можна знайти, наприклад, в книзі Хинчин АЯ Цепные дроби М;Наука, 978

89 89 Написати програми виконання наступних завдань Дано натуральні s,t (s<t) а) Одержати всі підходящі дроби числа s/t (вказати їх чисельники і знаменники) б) Вважаючи, що додатково задано натуральне k, встановити, чи існують такі підходящі дроби числа s/t, чисельники і знаменники яких менші k Якщо такі підходящі дроби існують, то побудувати останню по порядку (вказати чисельник і знаменник) а також вказати модуль різниці числа r/s і знайденого підходящого дробу Вправа 576 Дано натуральні числа а,, а 0 Нехай, маємо 0 гир масою а,, а 0 Позначимо через с k число способів, якими можна скласти масу k, тобто с k це число розв язків рівняння а х ++а 0 х 0 = k, де може приймати значення 0 або (i=,, 0) Одержати с 0,, с 0 Вправа 577 Дано натуральні числа а,, а 0 Нехай, маємо 0 видів монет номіналом а,, а 0 Позначимо через b k число способів, якими можна виплатити суму k, тобто b k це число розв язків рівняння а х ++а 0 х 0 = k, де може приймати цілі невід ємні значення Одержати b 0,, b 0 Вправа 578 Дано натуральне число Як найменшою кількістю монет можна виплатити копійок? Передбачається, що в достатньо великій кількості маються монети номіналом,, 3, 5, 0, 5, 0 і 50 коп Вправа 579 Дано натуральне число (>5) Одержати всі п ятірки натуральних чисел х, х, х 3, х 4, х 5 такі, що х х х 3 х 4 х 5 і х + х + х 3 + х 4 + х 5 = Вправа 580 Дано натуральне число ( 99) Одержати всі способи виплати суми при допомозі монет номіналом, 5, 0 і 0 коп 6 Системи числення Вправа 58 Одержати послідовність d k, d k-, d 0 десяткових цифр числа 00, тобто одержати таку цілочисельну послідовність, в якій кожен d i, що задовольняє умові 0 d i 9 і, додатково, d k 0 k + d k- 0 k- + +d 0 = 00 Вправа 58 Одержати послідовність d -, d -, d -k десяткових цифр числа -00, тобто одержати таку цілочисельну послідовність, в якій кожен d i, що задовольняє умові 0 d i 9 і, додатково, d d d -k = -00 Вправа 583 Одержати послідовність d k, d k-, d 0 десяткових цифр числа 00!, тобто одержати таку цілочисельну послідовність, в якій кожен d i, що задовольняє умові 0 d i 9 і, додатково, d k 0 k + d k- 0 k- ++ d 0 =00!

90 90 Вправа 584 Одержати послідовність d k, d k-, d 0 десяткових цифр числа: а) 00!+ 00 ; б) 00! 00, тобто одержати таку цілочисельну послідовність, в якій кожен d i, що задовольняє умові 0 d i 9 і, додатково, d k 0 k + d k- 0 k- + +d 0 дорівнює 00!+ 00 або відповідно 00! 00 Вправа 585 Дано натуральне число р Одержати двійкове представлення числа р у вигляді послідовності а 0,, а нулів і одиниць такої, що p=a + +a +a 0 (a 0) Вправа 586 Дано натуральні числа р, q (q ) Одержати q-представлення числа р у вигляді такої послідовності а 0,, а цілих невід ємних чисел, що a i <q (i=0,, ) і p=a q + +a q+a 0 (a 0) Вправа 587 Дано дійсне число х, натуральне число q (0 x<, q ) Одержати п ять цифр q-представлення числа х, тобто одержати послідовність цілих невід ємних а -,, а -5 таку, що x=a - q a -5 q -5 +r, 0 a i x q-, r<q -5 Вправа 588 Дано натуральне число р Одержати послідовність а 0,, а, кожен член якої дорівнює -, 0 або, таку, що р=a 3+ +a 3+a 0 (a 0) Вправа 589 Дано натуральне число, цілі числа а,, а такі, що кожне a i дорівнює нулю або одиниці і а 0 Послідовність а,, а задає війкове представлення деякого цілого числа p=a + +a +a 0 Одержати послідовність нулів і одиниць, що задають двійкове представлення: а) числа р+; б) числа р-; в) число 3р Вправа 590 Одержати всі менші 0 6 натуральні числа, які є паліндромами (див вправу 563) як в десятковій системі так і в двійковій системах Вправа 59 Дано натуральне число m Знайти таке натуральнее число, що двійковий запис одержується з двійкового запису m при зміні порядку цифр на зворотній (m задана в десятковій системі, і треба також одержати в десятковій системі, наприклад m=3 одержується =3) Вправа 59 Дано натуральне число Необхідно одержати послідовність, яка складається з нулів та семірок і утворюють десятковий запис деякого натурального числа, яке ділиться на Скористатись тим, що в числовій послідовності 7, 77, 777, обов язково знайдуться два члени, які при діленні на дають один і то й же залишок

91 9 Вправа 593 Дано натуральне число m (m<7) Одержати всі тризначні натуральні числа, сума цифр якого дорівнює m Вправа 594 Одержати всі шестизначні щасливі номери ( Про ціле число, що задовольняє умову , говорять, що воно представляє собою щасливий номер, якщо сума трьох його перших цифр дорівнює сумі трьох його останніх цифр; якщо в числі менше шести цифр, то недостаючі початкові цифри вважаються нулями Вправа 595 Дано взаємно прості натуральні числа p, q (p> q) Знайти періодичну і неперіодичну частини (дві послідовності однозначних невід ємних чисел, розділених числом десяткового дробу, рівної p/q Вправа 596 Одержати всі чотиризначні натуральні числа в запису яких немає двох однакових цифр Вправа 597 Дано натуральні числа, m, невід ємні цілі числа a m, a m-,, a 0 такі, що a m a m- a 0 запис в деякій системі числення (серед a m a m- a 0 можуть бути і числа, більше дев яти, це буде означати, що основа системи числення зарані більше десяти) Необхідно визначити основу використовуваної системи числення Вправа 598 Дано натуральне число, дійсні числа a,, a (a i 0, i=,, ) Знаки чисел в кожній з трійок a i, a i+, a i+ ( i=,, -) можуть утворювати одну з наступних комбінацій:+ + +, + +, + +, +, + +, +, +, Одержати ціле b 0,, b 7, що рівні кількість входжень в послідовність a,, a вказаних трійок a i, a i+, a i+, з тією чи іншою комбінацією знаків Вправа 599 В послідовності дійсних чисел а 0, a,, a 0 вибрати послідовність a,a,, a (0 i < i < < i k 0), для якої значення a + i i ik si( a + + a i i i k ) є найбільшим ( перебрати всі підпослідовності даної послідовності шляхом розгляду всіх послідовностей b 0,, b 0 з нулів та одиниць: а і входить в послідовність, якщо b і = Використати розв язок вправи 589 а) Вправа 600 Дано натуральне число ; представити його в двійководесятковій системі числення Останнє означає, що треба одержати послідовність війкових цифр нулів і одиниць; при цьому перші чотири війкові цифри дають запис (у вигляді війкового числа) першої (старшої) десяткової числа, наступні чотири війкові цифри запис другої десяткової цифри числа і тд Таким чином, загальне число війкових цифр повинно ділитись на 4 Приклади: якщо =93, то двійково-десяткова запис є 0000; якщо =607, то і тд

92 9 Вправа 60 Дано натуральне число m, війкові цифри b,, b 4m як запис деякого натурального в двійково-десятковій системі числення (див попередню вправу), знайти натуральне в десятковій системі Вправа 60 Довести, що довільне натуральне число можна єдиним способом представити при допомозі деяких цілих невід ємних d 0,,d s у вигляді d s (s+)!+ d s- s!+ +d!+d 0 при умові, що 0 d і і+, і=0,, s, d s 0 Дано натуральне число ; знайти відповідні d s, d s-,, d 0 Вправа 603 В якості основи позиційної системи числення може бути взято від ємне ціле число Наприклад, можна розглянути систему з основою 0 Довільне ціле єдиним чином представляється у вигляді суми a s (-0) s + a s- (- 0) s- + +а (-0)+а 0 де 0 a і 9 і=0,, s З сказаного витікає, що довільне записується в системі з основою 0 у вигляді цілого без знака a s a s- а 0 Дано ціле число Побудувати представлення в системі з основою 0, тобто знайти відповідну a s a s- а 0 Вправа 604 Розглянемо послідовність натуральних чисел w 0, w,, утворену по такому закону: w 0 =, w =, w k = w k- + w k- (k=, 3, ) Це послідовність зсунута послідовність чисел Фібоначчі (див вправу 44) w 0 =u, w =u 3, w =u 4 Послідовність w 0,w, це,, 3, 5, 8, 3,, Довести, що любе натуральне число можна єдиним способом представити при допомозі деяких невід ємних цілих b 0,, b t у вигляді b t w t + b t- w t- + + b 0 w 0 при умові, що 0 b і, і =0,, t, b t 0 При цьому дві одиниці не можуть стояти поруч: якщо b і =, то b і+ =0 (і=0,, t-) Дано ціле невід ємне число ; знайти відповідні b t, b t-,, b 0 Вправа 605 Римські цифри а) Перевірити, чи правильна запис числа римськими числами б) Записати дане ціле число з діапазону від до 999 римськими цифрами в) Перевести число, записане римськими цифрами, в десяткову систему

93 93 7 Геометрія Вправа 606 Дано дійсні додатні числа a, b, c, d З ясувати, чи можна побудувати чотирикутник з такими довжинами сторін Вправа 607 Дано дійсне число φ (0 < φ < π) Із точки (,) під кутом φ до прямої x= випущено світловий промінь (Рис 9, а 9, б) Y Y φ x а x б Рис 9 Знайти точку вісі ординат, в якій промінь падає на цю вісь Якщо φ < π/4, то промінь спочатку відобразяться по закону кут падіння дорівнює куту відбивання від вісі абсцис Вправа 608 Дано дійсні числа x, y, x, y (x x ), які визначають дві точки А(x, y ) і B(x, y )На вісі абсцис знайти таку точку, сума відстаней від якої до точок A і B найменша для всіх точок цієї вісі Вправа 609 Дано дійсні числа x, y Визначити відстань від точки площини з координатами ( x, y) до границі квадрата *) з вершинами: а) (- 05, - 05), (- 05, 05), (05, 05), (05, - 05); б) (0, 0), (0, ), (, ), (, 0) Вправа 60 Дано натуральне число Цілі числа x, y, x, y,, x, y Відомо, що точки p,, p з координатами ( x, y ), ( x, y ),,( x, y ) попарно різні Нехай точка p i віддалена від початку координат на відстань r i (i =,, )Нехай R = max(r,, r ) а) Серед точок p,, p вибрати яку-небудь одну p i, для якої r i = R; вказати координати вибраної точки і відстань від цієї точки до початку координат б) Серед точок p i ( i ), для яких r i = R, вибрати ті, які мають найменшу абсцису Якщо таких точок більше одної, то вибрати з них точку, яка має найбільшу ординату Вказати номер вибраної точки Вправа 6 Дано дійсні числа a,, a 50 Ці числа визначають 5 інтервалів числової осі: (a, a ), (a 3, a 4 ),, (a 40, a 50 ) а) Чи мають всі данні інтервали спільні точки? Якщо так, то вказати якунебудь з цих точок φ *) Тобто мінімум відтаней від даної точки до точок границі квадрата

94 94 б) Чи є інтервалом об єднання даних інтервалів? Якщо так, то вказати кінці цього інтервалу в) Вказати число i ( i 5) таке, що об єднання даних інтервалів можна уявити у виді i інтервалів, що не перетинаються г) Чи є точки числової вісі, які належать принаймні трьом яким-небудь із даних інтервалів? Якщо так, то вказати яку-небудь з цих точок Вправа 6 Дано дійсні числа x,, x 5, y,, y 5, r,, r 5 Дізнатися, чи є на плоскості точка, яка належить всім кругам c,, c 5, де c i має центр с координатами x i, y i і радіус r i ( i=,, 5) Вправа 63 Дано дійсні числа x, y, x,y,, x 5, y 5, які розглядаються, як координати (x, y ), ( x, y ),, ( x 5, y 5 ) точок на плоскості Дізнатися, чи вірно, що для кожної з цих п ятнадцяти точок знайдеться друга, така, що всі тринадцять точок, які залишилися лежать по одну сторону від прямої, яка проходить через ці дві точки Вправа 64 Дано цілі числа x, y, x,y,, x, y Дізнатися чи знайдуться серед точок з координатами (x, y ), (x, y ),,(x, y ) чотири такі, які є вершинами квадрата Вправа 65 Дано цілі числа x, y, x,y, x 3,y 3 Відомо, що точки з координатами (x, y ), (x, y ), (x 3,y 3 ) є трьома вершинами деякого прямокутника Знайти координати четвертої вершини Вправа 66 Пряма на площині може бути задана рівнянням ax+by+c =0, де a і b одночасно не дорівнюють нулю Будемо розглядати прямі тільки з цілим коефіцієнтами a, b, c Нехай дані коефіцієнти кількох прямих: a, b, c, a, b, c,, a, b, c а) Визначити, чи є серед цих прямих співпадаючі чи паралельні б) Визначити, чи є три прямі, які перетинаються в одній точці в) Визначити, чи знаходяться дані прямі в спільному положенні (Прямі знаходяться в спільному положенні, якщо всі вони різні, ніякі дві з них не паралельні і ніякі три не перетинаються в одній точці) Вправа 67 Окружність на площині може бути задана координатами x,y її центра і радіусом r Нехай дано відповідні характеристики кількох окружностей: x, y, r, x, y, r,, x, y, r а) Визначити, чи є серед цих окружностей три попарно, що перетинаються б) Знайти серед цих окружностей всі відокремлені окружності, т т такі, які не мають спільних точок ні з однією з решти окружностей, не лежать цілком в середині і не заключають в середині себе якої-небудь з решти окружностей

95 95 Вправа 68 Розглядаються три промені, проведені в площині із точки О Кути між сусідніми променями рівні π/3 На променях вибрані точки А, А, А 3, і з цих точок як із центрів проведено окружності, які проходять через точку О Вважаючи даними відстанями А О, А О, А 3 О, вирахувати площу фігури, зображеної на мал 30, а Для обрахунку розбити фігуру на частини так, як показано на мал 30, б Вправа 69 Ця вправа є узагальненням попередньої Розглядається променів, проведених в площині з точки О ( ³) Кути між сусідніми променями рівні π/ Знову на променях вибираються точки А,, А і проводяться відповідні окружності Вважаючи даними відстанями А О, А О,, А О, вирахувати площу фігури, аналогічно описаній в попередній вправі Вправа 60 Медіаною більшості, який складається із парногочисла точок площини, ніякі три із яких не лежать на одній прямій, називається пряма, яка сполучає дві точки більшості, з обох сторін від якої лежить рівне число точок Дано дійсні числа x, y, r, x, y,, x, y (- непарне число) Знайти число медіан більшості точок з координатами (x, y ), ( x, y ),,(x, y ) передбачаючи, що ніякі три точки цієї більшості не лежать на одній прямій Вправа 6 Дано дійсні числа a, b, c, d З ясувати, чи можна прямокутник з сторонами a, b повністю вміститься в прямокутнику з сторонами c, d (на відмінну від вправи 55, тут не обов язково взаємна паралельність сторін) Вправа 6 Дано дійсні числа a, b, c, a, b, c,, a, b, c Ця послідовність визначає на площині квадратів з сторонами, які паралельні осям: a i, b i координати центра квадрата, c i довжина його сторони (i=,, ) Тут може виявитись корисним попереднє рішення наступної задачі Сторони двох прямокутників паралельні координатним осям Кожен прямокутників заданий чотирма дійсними числами двома абсцисами двома ординатами Уявити ту частину прямокутника, яка не покривається другим прямокутником, у вигляді об єднання кількох прямокутників, які не накладаються один на одній

96 96 Вправа 63 Дано дійсні числа x, y В трикутнику, вершинами якого є точки (0, 0), (0, ), (x, y), знайти точку (для визначення її координат дозволяється використовувати методи приблизних обрахунків), сума відстаней від якої до вершини трикутника мінімальна Відомо (теорема Штейнера), що для трикутника з кутами, які не перевищують ця точка співпадає з точкою Торічеллі, тобто з точкою, з якою всі π/3 (т 0 ), сторони трикутника видні під кутом π/3 Якщо ж в трикутнику є кут, більший кут π/3, то рішенням задачі буде вершина цього кута Вправа 64 Дано дійсні числа x, y, x, y,, x, y Відомо, що точки p, p,, p з координатами (x, y ), ( x, y ),,(x, y ) попарно різні Розглянемо замкнуту ламану p p p а) Чи вірно, що ламана не має самоперетинів? б) В передбачені, що ламана не має самоперетинів, дізнатися, чи є кутник p p p випуклим Вправа 65 Дано дійсні числа x, y, x, y,, x, y Відомо, що точки p, p,, p з координатами (x, y ), ( x, y ),,(x, y ) попарно різні Знайти випуклий многокутник з вершинами в деяких із точок p, p,, p, які містять всі точки p, p,, p Многокутник повинен бути представлений послідовністю вершин Вправа 66 Сіткою називається сукупність точок (вузлів), деякі з яких сполучені між собою стрілками Сітки, які складаються з вузлів, можна співставити дві квадратні матриці порядку : матрицю сполучень і матрицю зв язків Елемент матриці сполучень a ig рівний, якщо сітка містить стрілку, яка веде з вузла i в вузол g, і 0 іншому випадку (i, g =,,) Рис 3 Елемент b ig матриці зв язку рівний, якщо з вузла і можна попасти в вузол g, рухаючись по стрілках, і 0 в іншому випадку Так, для сітки, зображеної на Рис 3, матриці сполучень і зв язків мають вид: é ù é0 0 ù ë û ë û Дана матриця сполучень деякої сітки з вузлів; отримати матрицю зв язку цієї сітки

97 97 Вправа Лінія називається унікурсальною, якщо її можна накреслити, не відриваючи олівця від паперу і не проходячи два рази одну й ту ж ланку Довести, що лінія унікурсальна тоді і тільки тоді, коли число тих її вузлів, із яких виходить непарне число ланок, не перевищує двох Лінії, які містять вузлів, можна співставити квадратну матрицю порядку матрицю сполучень, елемент a ig який рівний, якщо вузол g деякою ланкою, яке не місить других вершин, і 0 в іншому випадку (і, g =,, ) Для лінії зображеної на Рис 33, матриця сполучень має вигляд: é0 0 0 ù ë 0 0û Дана матриця сполучень для лінії з вузлами З ясувати, чи є лінія унікурсальною, якщо так, то отримати послідовність номерів вузлів, які будуть пройдені під час викреслювання 8 Сортування масивів і файлів * ) *) У вправах цього параграфа суттєво, що дані розглядаються в програмі як масив; у вправах розглядаються файли, і це ускладнює деякі алгоритми Вправа 68 Розглянемо масив цілих чи дійсних чисел a,,a Нехай потрібно переставити елементи цього масиву так, щоб після перестановки вони були виставлені по зростанню: a a a Ця вправа називається задачею сортування чи упорядкування масиву ( цю ж вправу можна розглядати, як упорядкування по спаданню: a ³ a ³ ³ a ; якщо числа попарно різні, то можна говорити про спадання і про зростання) Для рішення цієї задачі можна використати, наприклад, наступні алгоритми: а) Знайти елемент масиву, який має найменше значення, переставити його з першим елементом, потім проробити те саме, починаючи з першого елемента і т д( Сортування вибором) б) Послідовним переглядом чисел a,,a знайти найменше значення i таке, що a i > a i+ Поміняти a i і a i+ місцями, розпочати перегляд з елемента a i+ і т д Тим самим найбільше число переміститься на останнє місце

98 98 Наступні перегляди розпочинати знову спочатку, зменшуючи на одиницю кількість елементів, що переглядаються Масив буде упорядкований після перегляду, в якому брали участь тільки перший і другий елементи( Сортування обмінами) в) Переглядати послідовність a,,a і кожний новий елемент a i вставляти на вигідне місце в уже упорядковану сукупність a,,a i Це місце визначається послідовним порівнянням a i з упорядкованими елементами a,,a i ( Сортування простими вставками) Написати програми, які використовують алгоритми а), б), в) Вправа 69 Дослідити число порівнянь і число переміщень (тобто перестановок з одного місця в інше) елементів a,,a в процесі примінення описаних в попередній задачі алгоритмів Показати, що число переміщень для алгоритму сортування вибором обмеженого деякою лінійною функцією від В цей же самий час і число порівнянь для алгоритму сортування вибором, і обидві вказані сортування обмінами і сортування простими вставками в деяких випадках ( наприклад, коли кінцевий масив такий, що a > a > > a ) є квадратичними функціями від Вправа 630 З тверджень попередньої задачі слідує, що алгоритм сортування вибором вигідно відрізняється від алгоритмів сортування обмінами і сортування простими вставками в тих випадках, коли переміщення елемента виявляється більш тяжким ділом, чим порівняння елементів Використати це при виконані наступних завдань Дано дійсну матрицю розміру m; упорядкувати (переставити) рядки матриці: а) по зростанню значень перших елементів рядків; б) по спаданню сум елементів рядків; в) по зростанню значень найменших елементів рядків; г) по спаданню значень найбільших елементів рядків В завданнях б), в), г) дозволяється додатково визначити числовий масив a a Вправа 63 Нехай дано упорядкований по не спаданню масив цілих чи дійсних чисел a a a і нехай дано деяке число b (відповідно ціле чи дійсне), для якого потрібно знайти таке місце серед a a a, щоб після вставки числа b на це місце впорядкованість не порушилась Якщо внаслідок рівності між собою деяких елементів масиву число b можна вставляти на різні місця, то потрібно визначити найближче до початку масиву місце Ця вправа називається пошуку місця елемента Для b мається п+ можливість: b a,b a,a - <b а, а п <b, і розв язком задачі пошуку місця елемента b буде відповідно одне з чисел,, п+ Для розв язку задачі корисний алгоритм, що називається алгоритмом поділу навпіл: взяти спочатку і п+ як границі пошуку місця елемента; далі, доти, поки границі не співпадуть, крок за кроком зсовувати ці границі наступним чином: порівняти b з a s, де s ціла частина

99 99 середньоарифметичного границь; якщо a s < b, то замінити попередню границю на s+, а верхню залишити без змін, інакше залишити без зміни нижню границю, а верхню змінити на s; коли границі співпадуть, ставши рівними деякому числу t, виконання вищеописаного алгоритму закінчиться з результатом t (Число порівнянь, необхідних цим алгоритмом, не перевершує [log (+)]+) а) Дано дійсні числа a, a,, a, b, b,,, b m ( a a a ) Одержати натуральні числа k,, k m такі, щоб k i i це розв язок задачі пошуку місця b t серед a, a,, a (і=,, m) Примінити алгоритм поділу навпіл б) Таблиця виграшів грошової лотереї представ масивом номерів, що виграли, a, a,, a і масивом виграшів у гривнях, р, р п (p i це виграш, що випав на номер a і (і=,, п)) Визначити сумарний виграш, що випав на квитки з номерами b, b,,, b m Примінити алгоритм поділу навпіл в) Нехай місце деякого числа b серед упорядкованих по не спаданню a, a,, a вибирається як найбільш віддалене від початку послідовності місце, на якому можна вставити це число, не порушуючи цим упорядкування по не спаданню Внести зміна в алгоритм поділу навпіл і відповідно дати новий розв язок завдання а), сформульованого вище Вправа 63 Дано дійсні числа a, a,, a, р, натуральне число k (a a a, k ) Вилучити з a a a елемент із номером k (тобто a k ) і вставити елемент, рівний р, так, щоб не порушилась впорядкованість Вправа 633 Алгоритм упорядкування простими вставками (див алгоритм в) у вправі 68) можна змінити таким чином Місце, на яке треба вставити a і у вже впорядковану сукупність а, a і- визначається алгоритмом сортування, який називається алгоритмом поділу навпіл (див вправу 63) Одержати новий алгоритм сортування, що називається алгоритмом сортування бінарними вставками (слова бінарна вставка слід розуміти як вставка поділом навпіл ) Цей алгоритм вимагає усього біля пlog п порівнянь елементів Написати програму, що реалізує цей алгоритм Вправа 634 Дано цілі числа а, а Одержати в порядку зростання всі різні числа, що входять в а, а Тут зручно скористатися алгоритмом сортування вставками (якщо п велике, то краще застосувати бінарні вставки; якщо п порівняно мале, скажімо, <50, то можна обійтися і простими вставками) У процесі сортування варто відкидати елементи, які вже зустрічалися раніш Якщо в результаті пошуку місця а і в упорядкованій сукупності а, а k (k<i) виявиться, що серед а, а k є елемент, рівний a і,то необхідно перейти до розгляду а і+ без зміни а, а k Вправа 635 Дані дійсні числа с,, с p, d,, d q (c c c p, d d d q ) Внести єдину упорядкованість в c,, с р, d,, d q, отримавши f, f,, f p+q такі, що f f f p+q Число порівнянь не повинно перевищувати p+q

100 00 Вправа 636 Алгоритм фон Неймана упорядкування масиву а,, а по не спаданню (алгоритм сортування злиттям) базується на багатократному злитті вже впорядкованих груп елементів масиву (див попередню вправу) Спочатку весь масив розглядається як сукупність впорядкованих груп по одному елементу в кожному Злиттям сусідніх груп одержимо упорядковані групи, кожна з них містить два елементи (крім, можливо, останньої групи, якій не знайшлось пари) Далі упорядковані групи укрупнюються таким самим способом і т д Тут приходиться опер увати не тільки з масивом а,, а, а й допоміжним масивом b, b,,, b (початкові значення його елементів не грають ролі) Рис 34 демонструє два послідовних етапи укрупнення: масиви а, а п і b, b представлені у вигляді відрізків, що розбиті на частини, що зображують впорядковані групи Число упорядкованих груп зменшується, отже, настане такий момент, коли в масиві а, а п чи b,, b буде міститися тільки одна впорядкована група А це означає, що масив упорядкований Для злиття двох впорядкованих груп, що містять відповідно р і q елементів, досить зробити не більш р + q порівнянь Отже, для одного етапу укрупнення досить зробити не більш п порівнянь Стільки ж потрібно на одному етапі і переміщень Можна показати, що алгоритм фон Неймана потребує в цілому приблизно п log порівнянь і стільки ж переміщень З розглянутих дотепер алгоритмів тільки алгоритм сортування бінарними вставками вимагав настільки невеликого числа порівнянь Однак алгоритм фон Неймана вигідно відрізняється від останнього алгоритму тим, що вимагає менше переміщень елементів а,,, а п (хоча і вимагає додаткового масиву b,, b ) Написати програму, що реалізує алгоритм фон Неймана Вправа 637 Нехай даний масив а, а п Потрібно переставити a,, а п так, щоб спочатку в масиві йшла група елементів, більших того елемента, що у даному масиві розташовувався на першому місці, потім сам елемент, потім група елементів, менших чи рівних йому Число порівнянь і переміщень, кожного окремого елементу, не повинно перевищувати п Вправа 638 На перетворенні масиву, описаному в попередній задачі, ґрунтується наступний рекурсивний алгоритм сортування (так зване швидке сортування) Якщо масив містить не більш одного елемента, то

101 0 він впорядкований Інакше застосовуємо до нього перетворення описане в попередній задачі, і визначаємо результат застосування алгоритму швидкого сортування до a,, а п таким чином: спочатку йде перша група елементів, упорядкована за допомогою алгоритму швидкого сортування, потім без зміни той елемент, що розділяв першу і другу групи елементів, потім друга група елементів, упорядкована за допомогою алгоритму швидкого сортування Цей алгоритм не використовує додаткового масиву і вимагає в середньому приблизно п log п порівнянь і стільки ж переміщень елементів Правда, це лише середнє число: у гіршому випадку число по рівнянь може досягати п(п-)/; крім того, алгоритм швидкого сортування містить рекурсії Написати програму, що реалізує алгоритм швидкого сортування Вправа 639 На перетворенні масиву, описаному у вправі 637, ґрунтується також наступний алгоритм пошуку значення k-ro по величині елемента масиву a,, а п (тобто того елемента, який би зайняв місце з номері після упорядкування масиву) Нехай у результаті перетворення, описаного у вправі 637, перший елемент зайняв р-те місце; якщо k = p, то пошук закінчений; якщо k<р то треба перейти до пошуку k-го по величині елемента в початковій групі елементів, що містять р елемент (вправа спростилася, тому що р < п; якщо ж k>p, треба перейти до пошуку (k-р)-го по величині елемента в другій групі елементів (вправа спростилася, тому що п-р<п) Цей алгоритм не містить рекурсій Не користуючись рекурсіями, написати програму, що реалізує цей алгоритм Вправа 640 Неважко помітити, що алгоритм, описаний в попередній вправі, фактично дозволяє знайти не толь k-й по величині елемент, але і додатково -й, -й,, (k )-й елементи, хоча й у неупорядкованому вигляді Базуючись на цьому, виконати наступні завдання: а) В масиві a,, а m+ знайти ( m+)-й по величині елемент (це так звана медіана масиву a,, а m+ ) і групу елементів з першими m значеннями б) Знову розв язати вправу 70, встановивши для k=4 Вправа 64 Алгоритм сортування обмінами (див алгоритм б) вправи 68) також має свої переваги Розглянемо наступний приклад Нехай слова, які можна виділити в масиві символів a,, а п (див вправу 69), потрібно переставити у лексикографічному порядку Тому що різні слова можуть мати різну довжину, то без великих утруднень можна змінювати місцями тільки слова, що розташовані поряд Але алгоритм сортування обмінами і передбачає тільки такі обміни Ця вправа не є, звичайно, задачею сортування масиву, проте алгоритм сортування обмінами виявляється тут корисним Написати програму, передбачаючи, що довжина слова не перевершує п'ятнадцяти

102 0 Вправа 64 Алгоритм б), сформульований у вправі 68, це строго говорячи, лише один з алгоритмів сортування обмінами Він іноді називається алгоритмом бульбашки Є і інші алгоритми, що природно віднести алгоритмам сортування обмінами Приведемо приклад такого алгоритму Послідовним переглядом чисел, a,, а п знайти найменше і таке, що а і >a i+ Поміняти а і і a і+ місцями і відновити перегляд з початку масиву Коли не вдасться знайти таке і, масив буде впорядкований потрібним чином Написати програму, яка реалізує цей алгоритм Вправа 643 Розглянути всі алгоритми сортування, сформульовані в цьому параграфі, і вказати переваги і недоліки кожного з них Необхідно пам'ятати, що у випадку невеликих масивів ті алгоритми, що сформульовані у вправі 68, дають цілком задовільний розв язок задачі При великих п потрібно ретельно вивчити всі особливості конкретної ситуації і, виходячи з цього, підібрати алгоритм Задачі сортування масивів виникають не тільки в зв'язку з числовими масивами Тип елемента може бути досить складним, і треба враховувати, у що обходиться порівняння і переміщення елементів тому чи іншому випадку Вправа 644 Дано п ять попарно різних чисел a, b, c, d, eвпорядкувати їх по зростанню, використавши для цього не більше семи порівнянь Вправа 645 Дано дійсні числа a,, а п Одержати попарно різні цілі числа j,, j п такі, що j k, k=,, і a j a j a j Вправа 646 Дано натуральне число, цілі числа a,, а п Знайти найбільше значення, що зустрічається в послідовності а,, а п, після викидання з неї: а) одного з членів зі значенням max (а,, а п ); б) усіх членів зі значенням max (а,, а п ) тут передбачається, що не всі числа а,, а п рівні між собою Вправа 647 Дано натуральне число, дійсні числа a,, а п Потрібно знайти max (а,, а п ) і mi (а,, а п ) Розглянемо два алгоритми рішення цієї задачі Перший алгоритм Крок за кроком одержувати пари max (а,, а і ) і mi (а,, а і ) (і =,, ) При цьому, щоб одержати max (а,, а і+ ), mi (а,, а і+ ) порівнюються a i+ з max (а,, а і+ ), а потім, якщо а і+ <max (а,, а і+ ), додатково порівнюється а і+ з mi (а,, а і+ ) Другий алгоритм Нехай парне число, тобто п = k Тоді крок за кроком одержати max (а,, а l ), mi (а,, а l ) (l=,, k) При цьому, щоб одержати max (а,, а l+ ), mi (а,, а l+ ), спочатку порівнюються між собою a l+, a l+ і max(a l+, a l+ ) порівнюються з max (а,, а l ), а max(a l+, a l+ ) з mi (а,, а l ) Якщо непарне число, то буде потрібно ще додатковий крок: порівняння останнього елемента а п з max (а,, а п- ) і, можливо, з mi (а,, а п )Скільки порівнянь у гіршому випадку буде потрібно для першого алгоритму і скільки для другого? Написати програму, що реалізує другий алгоритм (Помітимо, що другий алгоритм дає ще одне рішення вправи 30)

103 03 Вправа 648 Дано натуральні числа а і,,а п Нехай a l, а п перестановка чисел,, Одержати натуральні r,, r такі, що r ai =i для i =,, п Вправа 649 Виконати вправи 646, 647, припускаючи, що числа a,, а п є компонентами даного файлу При цьому значення п невідомо заздалегідь Вправа 650 Число компонентів файлу f, компонентами якого є цілі числа, кратні десяти Переписати компоненти файлу f / у файл g, змінюючи порядок чисел у кожній, десятці так, щоб а) спочатку йшли від ємні числа десятки, а за ними додатні; б) спочатку йшли числа, що поділяються на 3, потім числа, що дають при діленні на 3 залишок, потім числа, що дають при діленні на 3 залишок Порядок самих десяток повинний бути збережений Вправа 65 Розглядаються слова (див вправу 69), що містяться в символьних файлах f і f Відомо, що число символів у словах не перевершує шістнадцяти Відомо також, що слова у файлі f йдуть у лексикографічному порядку і їхнє число дорівнює п ятдесяти З ясувати, скільки разів кожне зі слів файлу f зустрічається у файлі f Для розв язку задачі переписати слова, що містяться у файлі f, в масив і послідовно застосовувати метод розподілу навпіл (див вправу 63) Вправа 65 Нехай файли с і d з компонентами, що є дійсними чи цілими числами, упорядковані по незростанню компонентів Потрібно зібрати компоненти файлів с и d в упорядкованому виді у файлі f (порівняй із вправою 635) Кількість порівнянь не повинне перевершити p + q, де р і q число компонентів у файлах с і d Вправа 653 Нехай а і b файли, k натуральне число Будемо говорити, що файли а і b узгоджено з k впорядковані, якщо ) у кожнім з файлів а і b перші k компонент, наступні за ними k компонент і тд утворюють впорядковані групи; остання група файлу (теж впорядкована) може бути неповною, тобто містити менш k компонент, але при цьому тільки один з файлів а і b може мати неповну останню групу; ) число упорядкованих груп файлу а відрізняється від числа упорядкованих груп файлу b не більше ніж на одиницю

104 04 3) якщо в одному файлі число упорядкованих груп менше на одиницю, чим в іншому, то неповною може бути тільки остання група більш довгого файлу Компоненти двох узгоджено з k упорядкованих файлів а і b можна розмістити у файлах g і h так, що h будуть узгоджено з k упорядковані Це робиться при допомозі описаних у попередній вправі злиттів; при цьому результати злиттів поперемінно розміщаються то у файлі g то у файлі h Рис 35 демонструє що відбувається при перших двох злиттях Файли представлені у вигляді відрізків, частини яких зображують упорядковані групи із зазначеним числом компонентів Завершити опис цього алгоритму, розглянувши його заключну стадію Довести, що файли g і h дійсно будуть узгоджено з k упорядковані Реалізувати цей алгоритм у вигляді програми Вправа 654 Для сортування файлу g може бути застосований наступний алгоритм Нехай h, a, b допоміжні файли Насамперед компоненти файлу g розподіляються по файлам а, b: компоненти з парними номерами попадають в а, а компоненти з непарними номерами у b Ці компоненти розглядаються як упорядковані групи, по одній компоненті в кожному, а файли а, b як відповідно впорядковані (див попередню вправу) Потім при допомозі алгоритму, описаного в попередній вправі, файли g перетворюються в узгоджено упорядковані і тд Так як число упорядкованих груп зменшується з кожним застосуванням запропонованого в попередній задачі алгоритму, то настане такий момент, коли усі компоненти зберуться у деякому файлі у виді однієї упорядкованої групи; на цьому упорядкування буде закінчено Цей алгоритм дуже схожий на алгоритм фон Неймана для масивів (див вправу 636) і теж відноситься до алгоритму сортування злиттями Реалізувати цей алгоритм у вигляді програми Вправа 655 Нехай файли а і b, компоненти яких э цілі числа, упорядковані по неспаданню Одержати у файлі с всі числа файлів а і b без повторень Файл повинний бути упорядкований по зростанню Вправа 656 Дано файл f компоненти якого є целі числа Одержати у файлі g усі непарні числа, що входять у файл f Числа у файлі g повинні слідувати: а) у порядку незростання; б) у порядку зменшення, без повторень Вправа 657 Дано символьний файл f, компоненти якого малі латинські букви і пробіли Слова (див вправу 69) файлу f мають не більш шістнадцяти букв Записати ці слова у файл g у лексикографічному порядку

105 05 9 Многочлени *) *) Щораз, коли в вправах цього розділу говориться, що дано многочлен Р (к) ступеня, то мається на увазі, що дано дійсні числа (коефіцієнти) р 0, р,, р п такі, що Р (х) = р п к п + р п- п- + +р 0 Аналогічно, одержати многочлен це значить одержати послідовність його коефіцієнтів Вправа 658 Дано многочлен Р(х) степеня п Одержати многочлен Р (х) Вправа 659 Дано многочлен Р(х) ступеня п Одержати многочлен Р(х+ ) Р (х) (Яка степінь цього многочлена?) Вправа 660 Дано многочлен Р (х) ступеня п Одержати його похідну Р'(х), а також обчислити Р'(), Р' (), Р'(3) Вправа 66 Дано дійсне число а, многочлен Р(х) степеня п Одержати: а) многочлен (х-а)р(х б) многочлен (х + ах + 3)Р (х); в) многочлен (х* + а*)р(х) Вправа 66 Дані дійсні числа s і t, натуральне число, дійсні числа а 0,, а п Серед а 0,, а п є як від ємні так і додатні числа Одержати значення P(s) + Q(t), де в якості коефіцієнта а Р взяті від ємні члени послідовності а 0,, а (зі збереженням порядку їх слідування), а в якості коефіцієнтів многочлена Q невід ємні члени (також зі збереженням порядку їх слідування) Вправа 663 Дано дійсні числа многочлен Р(х) степені п Знайти значення P(x dx ò ) Вправа 664 Дано дійсні числа s, t, многочлен Р(х) степені п Одержати многочлен (sx +t)p (x) + P'(x), де P'(x) похідна многочлена Р(х) Вправа 665 Дано дійсні числа a 0, а, а 5 Одержати многочлен шостого ступеня (х-а 0 )(х-а ) (х-а 5 ) Вправа 666 Дано дійсні числа a 0,, а 5, d 0,,, d 5 Одержати многочлен шостого ступеня d 0 + d (x a 0 )+ d (x a 0 ) (х-а )+ + d 5 (x a 0 ) (х-а )(х-а 5 ) Вправа 667 Дано дійсні числа а 0,, а 5, многочлен Р(х) шостого ступеня Одержати дійсні числа, d, d 7 такі, що Р (х) =d 0 + d (х-а 0 ) + d (х-а 0 )(х-а ) + + d 7 (x a 0 ) (x a ) (х-а 5 ) Вправа 668 Послідовність многочленів Т 0 (х), Т (х), визначається таким чином: T 0 (х)=, T (х) = х, T k (x)=хт (k =, 3, ) Одержати Т (х),, Т 8 (х) в

106 06 Вправа 669 Послідовність многочленів H 0 (х), Н (x) визначається в такий спосіб: H 0 (х)=, Н (x)=х, H k (x)=xh k- (x)-(k-)h k- (x) (k =, 3, ) а) Одержати Н 3 (x), Н 5 (х), Н 6 (х) б) Дані дійсні числа а 0>, a6 Одержати многочлен а 0 H 0 (x) + + а 6 Н 6 (х) в) Дані дійсне число а Обчислити H 0 (a) + + H 6 (а) Вправа 670 Послідовність многочленів G 0 (x), G (x), визначається в такий спосіб: G 0 (x) =, G (x)=x-, G k (x)=(x-k+)g k- (x)-(k-) G k- (x) (k=,3, Виконати для G 0 (x), G (x), завдання а), б), в), сформульовані в попередній вправі для многочленів H 0 (х), Н (x) Вправа 67 Послідовність многочленів L 0 (x), L (x), визначається такий спосіб: ( k -) L 0 (х) =, L (x)=х, Lk (x) = xlk -( x) - Lk -( x) k =,3, (k - 3)(k -) а) Одержати L 5 (x) і L 7 (x) б) Дані дійсні числа d 0,, d 8, а Обчислити d 0 + d L (а) + + d 8 L 8 (а) в) Одержати многочлен L 0 (х) + L (х) + + L 6 (х) в Вправа 67 Дано дійсні числа а 0,,а п, b 0, b (а 0,, а попарно різні) Потрібно знайти многочлен F (х) степеня не вище, ніж, такий, що F(a i )=b i (i=0,,, ) Відзначимо, що неважко побудувати многочлени з ω 0 (х), ω (х),, ω (х), кожний з який має степінь і які володіють тією властивістю, що ω і (х), дорівнює при x=a і і дорівнює 0 при х = а 0, а, a і-, а і+,, a цього досить покласти ( x - a0)( x - a )( x - ai -)( x - ai + )( x - a) w i ( x) =, ( ai - a0)( ai - a)( ai - ai-)( ai - ai + )( ai - a) i=0,,, В якості шуканого многочлена F(x) береться сума b 0 ω 0 (х)+b ω (х)+ +b ω (х)

107 07 0 Перетворення і побудова матриць Вправа 673 Дано дійсна матриця розміру (+), дійсні числа а,,а +, b,,b +, натуральні числа p, q (p, q +) Утворити нову матрицю розміру (+) (+) вставкою після рядка з номером р даної матриці нового рядка з елементами а,, а + і наступною вставкою після стовпчика з номером q нового стовпчика з елементами b,, b + Вправа 674 Дано цілі числа а,, а 0, цілочисельна квадратна матриця порядку Замінити нулями в матриці ті елементи з парною сумою індексів, для яких є рівні серед а,, а 0 Вправа 675 Дано цілі числа а,, а, дійсна квадратна матриця порядку ( 6) Одержати дійсну матрицю розміром (+), вставивши в дану матрицю між п ятим і шостим стовпчиками стовпчик з елементами а,, а Вправа 676 Дана цілочисельна матриця розміром 6 9 Знайти матрицю, яку одержано з даної: а) перестановкою стовпців першого з останнім, другого з передостаннім і тд; б) перестановкою рядків першого з останнім, другий з передостаннім і тд Вправа 677 Дана дійсна матриця [a ij ] i,j=,, Одержати дійсну матрицю [b ij ] i,j=,,, елемент b ij, який рівний сумі елементів даної матриці, розміщених в області, визначеній індексами i, j так, як показано на мал(область заштрихована) Рис36 Вправа 678 Дана дійсна квадратна матриця порядку Перетворити матрицю по правилу: рядок з номером зробити стовпчиком з номером, а стовпчиком з номером зробити рядком з номером Вправа 679 Дано дві дійсні квадратні матриці порядку Одержати нову матрицю: а) множенням елементів кожного рядка першої на найбільше з значення елементів відповідного рядка другої матриці; б) додавання до елементів кожного стовпчика першої матриці добуток елементів відповідних рядків другої матриці

108 08 Вправа 680 В даній дійсній матриці розміром m( 3,m 3) поміняти місцями: а) рядки з номерами і -; б) стовпчики з номерами 3 і - Вправа 68 Дані дійсні числа b,, b 5 В дійсній матриці [a ij ] i=, 7; j=,, 0 перший і останній рядок заповнений нулями: а =а ==а 0 =а 7 = а 7 == а 7 0 =0 Елементи а, а 3,, а 6 першого стовпчика відповідно дорівнюють b,, b 5 Відомо, що при i 6, j 0 має місце a ij =(а i+ j- +a i- j- ) Необхідно визначити а 0, а 3 0,, а 6 0 Вправа 68 Дана цілочисельна матриця розміром 3, цілі числа k, l ( k, k, k l) Перетворити матрицю так, щоб рядок з вихідним номером k безпосередньо слідував за рядком з вихідним номером l, зберігши порядок слідування інших рядків Вправа 683 Назвемо допустимим перетворенням матриці перестановку двох рядків або двох стовпчиків Дана дійсна квадратна матриця порядку З допомогою допустимих перетворень добитись того, щоб а) один з елементів матриці, який має найбільший по модулю значення, розмістився в лівому верхньому кутку матриці; б) один з елементів матриці, який має найменший по модулю значення, розмістився в лівому нижньому кутку матриці Вправа 684 В даній дійсній квадратній матриці порядку знайти найбільший по модулю елемент Одержати квадратну матрицю порядку шляхом вилучення з даної матриці якого-небудь рядка і стовпчика на перетині яких розміщений елемент з знайденим значенням Вправа 685 Дана дійсна квадратна матриця порядку, всі елементи якої різні Знайти найбільший елемент серед тих, які стоять на головній і побічній діагоналях і поміняти його місцями з елементом, який стоїть на перетині цих діагоналей Вправа 686 Побудувати квадратну матрицю порядку : ìé ù ï í ï ï îë û ìé ù ï ï í ï ï î ë û

109 09, Вправа 687 Дано дійсне число х Побудувати квадратну матрицю порядку 0: (середина заповнена нулями) û ù ë é х х х х 0 0 х х 0 0 х х х х Вправа 688 Дано дійсні числа a, a Одержати квадратну матрицю порядку : û ù ë é a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Вправа 689 Одержати цілочисельну квадратну матрицюю порядку 7, елементами якої є числа,, 3,, 49, розміщені по спіралі Вправа 690 Дана дійсна квадратна матриця порядку 7 знайти послідовність дійсних чисел b,, b, що одержується при читанні даної матриці по спіралі (див попередню вправу) Вправа 69 Дано дійсні числа a, a 64 Одержати дійсну квадратну матрицю порядку 8, елементами якої є числа a, a 64, розміщені по схемі, яка приведена на малюнках

110 0 а б в г Вправа 69 Дана дійсна квадратна матриця порядку Знайти найбільше значення з елементів, розміщених в заштрихованій частині матриці: а б в г д е ж з и к Вправа 693 Дана дійсна квадратна матриця порядку Одержати нову матрицю, переставляючи її блоками розміру а б а) у відповідності з мал а; б) у відповідності з мал б Вправа 694 Одержати квадратну матрицю порядку : û ù ë é û ù ë é а б

111 û ù ë é + û ù ë é - ) ( в г û ù ë é û ù ë é д е û ù ë é û ù ë é ж з û ù ë é û ù ë é и к

112 û ù ë é û ù ë é л м û ù ë é - - û ù ë é 0 0!!!!!!!!! н о Вправа 695 Таблиця футбольного чемпіонату, в якому приймало участь команд (див вправу 43), задана своєю верхньою частиною в вигляді послідовності чисел 0,, або ; перші - чисел послідовності відносяться до першого рядка таблиці, наступні - чисел до другого і тд Побудувати таблицю повністю, тобто одержати відповідну квадратну матрицю порядку (елементи головної діагоналі заповнюються нулями) Вправа 696 Мається таблиця футбольного чемпіонату, в якому приймало участь команд (див вправу 43) Таблиця представлена цілочисельною квадратною матрицею порядку Переставити цю таблицю, присвоївши кожній команді номер, рівний відповідному зайнятому нею місцем ( для простоти вважається, при рівній кількості очок місця розподіляються довільно Окремо вказати розподіл команд в старій нумерації по зайнятим ними місцях

113 3 Матрична алгебра*) *) У матричній алгебрі [0] прийнято позначати матрицю якою-небудь великою буквою латинського алфавіту, а елемент матриці однойменною малою буквою з індексами Така система позначень витримана й у цьому розділі книги За винятком вправи 74, у всіх вправах матриці і вектори вважаються дійсними Вправа 697Дано матриці А і В розміру k m і добуток АВ m l відповідно Знайти Вправа 698 Дано квадратну матрицю порядку п Одержати матрицю А Вправа 699 Дано квадратні матриці А и В порядку п Одержати матрицю АВ-ВА Вправа 700 Дано квадратну матрицю А порядку п Одержати матрицю АВ; елементи матриці В обчислюються по формулі: a ) bi j = ; i + j - ì ï b = якщо i j, i j i + j - б ) í ï b i j = у противному випадку; ïî i + j - ì ï b = якщо i < j, i j i + j - ï в ) í0 якщо i = j, ï ï b = - у противному випадку i j î i + j - (i, j =,, ) Вправа 70 Дано квадратну матрицю A порядку і вектор b з елементами Одержати вектор: а) Ab; б) A b; в) (A-Е)b, де Е одинична матриця порядку Вправа 70 Дана квадратна матриця порядку п Одержати вектор Ab, де b вектор, елементи якого обчислюються по формулі: a ) bi = i + ì ï якщо і -парне i + б ) b = i í ï у противному випадку îі (i, j =,, ) Вправа 703 Дано квадратну матрицю А порядку, вектори x i у з елементами Одержати вектор А(х + у)

114 4 Вправа 704 Дано квадратні матриці А, В і С порядку п одержати матрицю (А + В)С Вправа 705 Дано квадратні матриці А і В порядку п Одержати матрицю А (В Е) + С де Е одинична матриця порядку п, а елементи матриці С обчислюються по формулі =, i, j,,, C i j = i + j Вправа 706 Нехай дано квадратна матриця А порядку т Натуральне число ; потрібно знайти А п Алгоритм заснований на безпосереднім застосуванні формули А =А А А (п співмножників), занадто спустошливий Наприклад, А 4 економніше обчислювати як (А ) Ідея одного досить ощадливого алгоритму обчислення А п полягає в наступному: якщо =k, те А п = (А ) k - якщо ж = k+, то А = (А ) k А Степінь з показником k обчислюється з урахуванням цих же розумінь Отже, треба поділити п на із залишком: = k + l (0 < l < ), потім це ж проробити з k і т д Ці дії приводять, як відомо, до побудови двійкового запису Алгоритм, розроблений на цій ідеї, полягає в тому, що послідовно обраховуються a0 aa0 alal - aa0 A, A,,A де α l α l- α α 0 двійковий запис числа Для цього обчислюється цифра за цифрою, двійковий запис числа і, 0 ( ) ( ) ( ) паралельно, степінь за степеню, A, A, A кожна наступна степінь виходить з попередньої зведенням у квадрат Підраховується добуток тих з обчислених степенів, для яких відповідна цифра двійкового представлення дорівнює Наприклад, запис 9 у двійковій системі 00(9 = ); для обчислення А 9 досить знайти А, А 4, А 8 (3 множення), а потім визначити А А 8 ( множення) Перевага цього алгоритму в порівнянні з простішим полягає в тому, що найпростіший алгоритм вимагаєте число множень, що росте як лінійна функція від, а тут число множень, грубо говорячи, пропорційно кількості цифр числа п чи війковому логарифму п Ця перевага дуже відчутна при роботі з матрицями (з-за трудомісткості кожного множення), хоча, зрозуміло, цей алгоритм може бути використаний і для обчислення степені будь-якого числа Написати програму, що реалізує запропонований алгоритм Вправа 707 Дано квадратну матрицю А порядку 5 Одержати матрицю А 5 (див вправу 706) Вправа 708 Дано квадратну матрицю А порядку т, натуральне число п Одержати матрицю Е + А + А + + А п, де Е- одинична матриця порядку т Вправа 709 Дано квадратну матрицю А порядку т, натуральне число п, дійсні числа р п, p -, p 0 Одержати матрицю р п А п + р п- А п- + +p А+p 0 E, де Е одинична матриця порядку т Вправа 70 Дано матрицю А розміру т п Одержати транспоновану матрицю А* (її розмір п т)

115 5 Вправа 7 Дано матрицю А; а) розміру т т; б) розміру т п Одержати матрицю АА* (її розмір т п) Вправа 7 Дано квадратну матрицю А порядку т Одержати матриці * ( A + A ) i ( A - A * ) Вправа 73 Cлідом квадратної матриці називається сума елементів, розташованих на головній діагоналі Дано квадратну матрицю порядку т, натуральне число п Обчислити сліди матриць А, А,, А Вправа 74 Комплексна матриця Z представляється парою X, Y дійсних матриць так, що Z = X+iY Дано дійсні квадратні матриці A, B, С і D порядку m Знайти добуток двох комплексних матриць A + ib i C+iD, тобто знайти дійсні квадратні матриці X і Y порядку т такі, що Х+ iy=(a + ib)(c+id) Вправа 75 Нехай для квадратної матриці А, що має порядок п, існує зворотна матриця А - Тоді, розглядаючи елементи матриці А - як невідомі величини, з співвідношення АА - = Е, де Е одинична матриця порядку п, можна одержати систему лінійних рівнянь з невідомими Знайти матрицю цієї системи і вектор, що визначає її праву частину, вважаючи що невідомі елементи матриці А - пронумеровані так, що спочатку йдуть елементи першого рядка, потім другого і тд Вважати, що А задана матриця порядку 4; у відповіді повинно одержатись квадратна матриця і вектор порядку 6 Вправа 76 Права трикутна матриця А порядку п задана у вигляді послідовності (п+ )п/ чисел: спочатку йде п елементів першого рядка, потім п елемент другого рядка, починаючи з другого елемента, і тд (з останнього рядка береться тільки п-й елемент) Крім цієї послідовності даний вектор b з п елементами Знайти вектор Аb Вправа 77 Дві праві трикутні матриці А і В порядку п задані так, як описано в попередній задачі Одержати в аналогічному вигляді: а) матрицю АВ; б) матрицю А(Е + В ), де Е одинична матриця порядку Вправа 78 Симетрична квадратна матриця А порядку п задана послідовністю п(п+)/ чисел, аналогічно правій трикутній матриці (див вправу 76) Крім цієї послідовності даний вектор b з п елементами Знайти вектор Аb Вправа 79 Симетричні квадратні матриці А і В порядку задані послідовностями з п(п+ )/ чисел, аналогічно правим трикутним матрицям (див вправу 76) Одержати в аналогічному виді: а) матрицю АВ; б) матрицю А -В

116 6 Чисельні методи *) *) З чисельними методами, розглянутими в вправах цього розділу можна ознайомитися в[0] Вправа 70 Дано дійсні числа х,х,у, у, t,,y m (x <x < <x, x t i t, i=,, m) число у являє собою значення деякої функції f від аргументу y j =f(x j ) (j=,, п) За допомогою лінійної інтерполяції одержати значення f(t ), f(t ),, f(t m ) Вправа 7 Дано дійсні числа h, x, х п, у, у п Все сказане про х, х п, у, у п у попередній вправі залишається в силі За допомогою лінійної інтерполяції одержати значення функції f для значень аргументів, рівних x, x +h, x +h,, x +kh, де k найбільше ціле, для якого x +kh х п Вправа 7 Дано натуральне число х, дійсні числа x, х п, у, у п Розглянути попередню вправу вважаючи, що h = (х п -x )/ (відповіддю повинна служити послідовність, що містить п+ число) Вправа 73 Дано дійсні числа x, х п, у, у п, t(x <x < <x, y t y Передбачається, у, у п являють собою результати виміру температури повітря в моменти часу x, х п При допомозі лінійної інтерполяції указати всі моменти часу, коли температура повітря була рівною t (не виключений випадок коли y j =y j+ =t для деяких j ( j п-)) Вправа 74 Повернутися до вправ 7, 73, вважаючи, що різниця між сусідніми відомими значеннями аргументу x, х п рівні між собою: х п -х п- =_х п- -х п- = =х -х =h Замість x, х п задаються х і h, порядок інших вихідних даних не змінюється Вправа 75 Дано дійсне позитивне число ε Методом ділення відрізка навпіл знайти наближене значення кореня рівняння f(x) = 0 Абсолютна похибка знайденого значення не повинна перевершувати ε (Нижче, поряд з рівнянням f (х) = 0, додатково зазначений відрізок, який містить корінь) а) х+l (x+05)-05 = 0, [0, ]; б) x 5 -х-0=0, [,,]; в) x 4 + x 3 -х- = 0, [0, ]; г) x 3-0x -0x- = 0, [,5]; si x 3cos x д) - = [0,π/]; е) х х 3-04х -4х-=0, [-, -05] ж) x 4-4 x 3 +x - 5x + 4=0, [37, 5] Вправа 76 Дано дійсне позитивне число ε Методом хорд обчислити з точністю ε *) корінь рівняння f(x) = 0 (нижче, слідом за рівнянням f (х)=0, додатково заданий відрізок, що містить корінь): *) Коли заходить мова про обчислення з точністю ε, слід мати на увазі, що лише деякі чисельні методи, засновані на побудові послідовних наближень х 0, х, шуканому числу х, гарантують, подібно методу розподілу відрізка навпіл, що абсолютна похибка знайденого значення буде менше ε Будемо вважати, що необхідна точність ε досягнута, як тільки отримане таке х т (при т > ), для якого х т -х т- < ε У даній задачі передбачається, що в програмі буде реалізований саме цей підхід до оцінки точності

117 7 а) х х -=0, [0, ]; б) х si 5x = 0, [05, 06]; si x 3cos x в) - = 0 [0,π / 4 ] 3 4 г) х 3 -х +х-3=0 [, ] д) (4+х )(е х -е -х )=8, [,,3] е) х 4 +05х 3-4х -3х-05=0, [-, 0] ж) х -3l(x+05)-8x+5=0, [, 5] Вправа 77 Повернутися до попереднього задачі, вважаючи, що побудова наближених до кореня рівняння f(x) = 0 випливає коли буде отримане таке наближення x, для якого f ( x ) < e (Цей підхід до оцінки точності може бути прийнятним тільки в тих випадках, коли відомо, що f(x) не приймає значень менше ε при значеннях х, віддалених від кореня рівняння f(x) = 0; Рис 4, а, б) Вправа 78 У рівняннях, приведених у вправах 75, 76, обчислить корінь, що знаходиться в заданому відрізку (відрізок слідує за рівнянням), методом розподілу відрізка навпіл і методом хорд з однією і тією ж точністю ε Порівняти кількість кроків, які потрібно зробити для одержання кореня цими методами Вправа 79 Дано дійсне позитивне ε Методом дотичних обчислити з точністю ε (див підрядкове зауваження до вправи 76) корінь рівняння f(x) = 0 (нижче, слідом за рівнянням f(x) = 0, у дужках зазначене початкове зближення до кореня): а) x 3 - x+x-3=0, (); б) tgx-x=0,, (467); в) 8x 4 si 0x=0, (0); г) х 4 3х + 75х 0000=0, ( ); д) x 3-6x + 0 = 0, (3) Вправа 730 Вирішити методом дотичних перераховані в попередній вправі рівняння, припиняючи побудову наближень до кореня рівняння f(x)=0 в той момент, коли буде отримано таке наближення x, для якого f(x) <00000

118 8 Вправа 73 Дано дійсне позитивне число ε Методом ітерацій обчислити з точністю ε (див підрядкове зауваження до вправи 76) корінь рівняння f(x)=0 (нижче слідом за рівнянням f(x)=0, в дужках вказано початкове наближення до кореня): si x а) x- -=0, (0); б) x 3 +4x-=0, (0,); в) x 3 +x-=0, (095); г) 5x-8 lx=8, (43); д) x 3 +x=000, (94); е) x-six=05, (7); ж) x 3-6x +0=0, (5); з) 5x 3 +0x +5x-=0, (06) Вправа 73 Порівняти методи ділення відрізка навпіл, хорд, дотичних і ітерацій, почергово використовуючи їх для обчислення одного і того ж рівняння Не залежно від методу побудови наближень до кореня рівняння f(x)=0 треба закінчувати, як тільки буде отримано таке наближення x, для якого f( x ) <ε Значення ε слідує по порядку брати рівним 00, 000,, Для кожного із методів побудувати графік чи стовпчасту діаграму зміни числа необхідних наближень при переході від одного значення ε до другого В якості рівняння, на якому проводиться порівняння методів, і відрізка, якому належить корінь, потрібно взяти: а) х 3 +х -3=0, [06, 4]; б) x 5 -x-0=0, [09, ]; в) 5x 3 -x-=0, [06, 08]; г) x 3 -x-5=0, [9, 93]; д) x 3 +x=000, [9, 0]; е) х 4 +х 3 -х-=0, [0, ] Для методу дотичних і ітерацій в якості початкового приближення вибирається підходящий кінець відрізка Вправа 733 Дано дійсне додатне число ε Знайти при допомозі підходящих методів всі корні рівнянь f(x)=0 з точністю ε Для отримання відрізків, які містять по одному кореню рівняння f(x), чи для отримання початкових наближень до корнів дослідити графік функції у=f(x) В якості f(x) розглянути: а) х 3-6х +х+5=0; б) х 4 +х -=0; в) х 3 +3х+=0; г) x + = cos(05x ); д) 3х -cosx-=0; е) lx-/x+05=0; ж) х 4-6х 3 +9х -6=0

119 9 Вправа 734 Знайти з точністю найменший корінь рівняння: а) х 3-6х +98=0; б) х 4 +х 3-0х -34х-5=0; в) х 3-75х+075=0; г) х 5 +5х 4 -х 3-4х +7х-3=0; д) 3х+5х 4 -х 3-4х +7х-3=0; е) х 8-04х 3-4=0; ж) х=cos x+; з) е -х =05+ x ; і) х 4 +39х х -08х-987=0 Скористатись яким-небудь придатним чисельним методом розв язку рівнянь Для одержання відрізка, що містить найменший корінь рівняння f(x)=0, чи для одержання початкового наближення до цього кореня дослідити графік функції у=f(x) Вправа 735 Повернутися до попередньої вправи, розглядаючи замість найменшого кореня: а) найбільший; б) найменший негативний; в) найбільший додатний; г) другий по величині; д) найменший по модулю Вправа 736 Знайти з точністю 0000 усі корені рівняння /х=si х, що належить відрізку [ π, π] Вправа 737 Для кожного цілого числа п з діапазону від до 50 знайти придатним методом з точністю /п найбільший корінь рівняння x 3-3x + = 0 (цей корінь, як неважко показати, менше, ніж 3п ) Одержати графічне зображення залежності значення найбільшого кореня від п Вправа 738 Іноді функція y = f(x) задається на деякому відрізку за допомогою рівняння виду F(x, у) = 0 Обчислити значення функції, заданої рівнянням: а) у 3 +х 3 +ху=0 для х=0, -0, -0,, -; б) у 3 +у -х =0 для х=,,,, В першому випадку функція визначена і невід ємна на відрізку [-, 0], її значення на цьому відрізку менше ніж ; у другому випадку функція визначена і від ємна на відрізку [, ], її значення на цьому відрізку менше ніж 5 для знаходження значень у використати підходящий чисельний метод розв язку рівнянь Обчислення проводити з точністю до 0000

120 0 Вправа 739 Написати програму рішення по методу Гауса системи лінійних рівнянь а) а х ++а x =b, а х ++а x =b Квадратна матриця [a ij ] i,j=,, i вектор b, вихідні дані задачі (передбачається, що система сумісна і має єдиний розв язок) Застосувати програму для рішення наступних систем: а) 0х +х +х 3 =, х +0х +х 3 =3, х +х +0х 3 =4; б) 4х +04х -008х 3 =8, 009х +3х -05х 3 =9, 004х -008х +4х 3 =0; в) 6х -х -х 3 =33, -х +6х -х 3 =3, -х -х +6х 3 =4; г) 3х -х =5, -х +х -х 3 =0, х -х +4х 3 =5; д) 047х +30х -307х 3 =45, 470х -053х +0х 3 =-076, 00х +73х -475х 3 =43; е) 0х -х +х 3-3х 4 =0, х -0х -х 3 +х 4 =0, х +3х +0х 3 -х 4 =-0, 3х +х +х 3 +0х 4 =5; ж) х +3х -4х 3 +х 4-3=0, 0х -х -5х 3 +х 4 -=0, 05х -3х +х 3-4х 4 -=0, 0х +х -х 3 +х 4 +47=0; з) 3х +5х +4х 4 =6, -05х +х -3х 3-4х 4 =-, х -08х -х 4 = х -3х +39х 3-37х 4 =3; н) 43х -87х -94х 3 +06х 4 =03, 7х +73х -05х 3 +7х 4 =-46, 09х +75х +34х 3-076х 4 =33, 87х +433х -4х 3-34х 4 =79; к) х +3х -х 3 -х 5 =05, 3х +4х -5х 3 +х 4-3х 5 =54, -х -5х +3х 3 -х 4 +х 5 =5, х -х 3 +5х 4 +3х 5 =75, -х -3х +х 3 +3х 4 +4х 5 =33;

121 л) 79х +56х +57х 3-7х 4 =668, 85х -48х +05х 3 +35х 4 =995, 43х +4х -3х 3 +93х 4 =86, 3х -4х -89х 3 +83х 4 =; м) 0х +607х -9х =0, 98х -796х -49х 3 +58=0, 683х -7х -84х 3 +36=0 Вправа 740 Дано дійсне додатне число ε Методом ітерацій розв язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь з точністю ε В даній вправі обчислення з точністю ε означає наступне Обчислюється послідовність (m) ( m ) ( m ) векторів наближень x(m) = (x,x,,x ), де число невідомих системи, m =0,,, Якщо для деякого k виконується умова ( k- ) ( k ) ( max x - x < e і=,,,, то вектор x k ) ( ) ( ) ( ) = ( x k,x k,,x k ), вважається i i розв язком з точністю ε: i а) х =-006х +00х 3, х =3-003х +005х 3, х 3 =5-00х +00х ; б) х =-0х -0х 3, х =3-0х -0х 3, х 3 =4-0х -00х ; в) х =0х -0х 3 +03х 4, х =-0х +0х 3-0х 4 +05, х 3 =-0х -05х +005х 4-05; х 4 =-05х -0х -0005х ; г) х =-0х -0х 3-0х 4-04, х =0х -0х 3 +0, х 3 =0х -04х +0х 4-04; х 4 =033х -; д) х =0х -08х +008 х 3-064, х =05х +006х -0х 3 +06, х 3 =004х -0х -009х 3 +34; е) х -0х +0х 3 =03, -0х +х -0х 3-0х 4 =-0,

122 -0х +х 3-0х 4 =0, -0х +0х 3 +х 4 =0; ж) 59х -4х -84 х 3 =44, 7х -974х +43 х 3 =4, 76х -3х +938 х 3 =93 Вправа 74 Вирахувати інтеграли по формулах числового інтегрування і по формулах Ньютона-Лейбниця і порівняти результати: 9 p / 3 dx dx а) ò ; б) x ò ; в) x ò si xdx dx г) ò + 0 x 8 3 ; д) ò xdx 0 0 Вправа 74 Дано дійсне число ε Обчислити інтеграл з точністю ε В даній вправі обчислення з точністю означає наступне Відрізок інтегрування розбивають на i рівних частин і будується сума S, яка є наближеним i значенням інтеграла Якщо виконується умова S - S i < e S вважається + i i+ значенням інтеграла з точністю ε (Тут i < i+ (i=,, )) а) ò 3 0 dx x + 3 x px г) e cos dx ò + ; в) ò б) 4 x dx ò - ; д) ò 0 p / 4 p / 6 p cos x е) ò tgxdx ; ж) ò dx; x 0 0 p / 6 0 ; dx + x dx ; - 05 si x 7 x 0 e з) ò dx ; і) ò ( x - 5 ) ( 0 - x ) dx ; x p 0 x к) ò + cos x dx ; л) ò e si( x + ) dx ; ; 056 м) 3-3 x ò arccos e dx ; н) ò 0 0 ( + t dt )( 4 + t ) ; 5 x о) ò e si x dx ; п) ò l dt t 0 0 Якщо вдається за допомогою формули Ньютона Лейбниця знайти точне значення інтеграла, то корисно порівняти з ним результат наближеного обчислення

123 3 Вправа 743 Обчислити довжину еліпса по формулі S = 4a p / 0 e = a -b ò - e sij dj, а=30, b = 0 (а і b півосі еліпса), a Вправа 744 Повернутися до вправи 738 Знайти наближені значення інтегралів функцій y = f(x), визначених в а) і б) при допомозі рівнянь виду F(x, у) = 0 Перша функція інтегрується на відрізку [-,0], друга на відрізку [,] Обчислення інтеграла варто починати, розділивши відрізок інтегрування на 5 частин Потім уточнити значення інтеграла, зменшуючи крок удвічі Обчислення проводити з точністю 000 Значення функції обчислювати з точністю Вправа 745 Дано дійсне позитивне число ε Обчислити з точністю ε площу фігури між дугами двох кривих : а) y=si x +, x y = e ; x б) y =, y = cos x + Скористатись чисельними методами рішення рівнянь і інтегрування Вправа 746 Вирішити диференціальне рівняння =f(x,y) Після рівняння в дужках записані вихідні дані для рішення: х 0 початкове значення аргументу, y початкове значення функції від х 0, відрізок, на якому розв язується рівняння, h крок y а) y = x + cos (х 0 =7, y 0 =53 [7, 5], h=0,5); б) y = x p e + (х 0 =8, y 0 =45 [8, 46], h=0,); x + y в) y = 3 x + 3y (х 0 =3, y 0 =5 [3, 4], h=0,3); y г) y = ( y l x - ) (х 0 =, y 0 =05 [, 06], h=0,005); x y д) y = x + si (х 0 =0, y 0 = [0, ], h=0,); x е) y = x + y (х 0 =0, y 0 =0 [0, ], h=0,); 3 ж) y = x y ( х 0 =0, y 0 =0 [0, ], h=0,); y з) y = ( х - x 0 =0, y 0 = [0, ], h=0,0); e + y

124 4 і) y =x-y (х 0 =0, y 0 =0 [0, ], h=0,05); xy к) y = - x (х 0 =0, y 0 = [0, 05], h=0,05); л) y =xy (х 0 =0, y 0 = [0, ], h=0,05); м) y =x-3y (х 0 =0, y 0 =0 [0, ], h=0,); н) y = + x 3 + y (х 0 =08, y 0 =38 [08, 50], h=0,5 3 Випадкові числа Вправа 747 Якщо записати результати серії кидань монети, то може вийти, наприклад, послідовність: орел, решка, решка, орел, решка, орел, орел, орел, решка,, Позначивши випадання решки одиницею, а випадання орлом-двійкою, одержимо числову послідовність,,,,,,,,, Протокол серії незалежних випробувань, кожне з який може мати один з п рівноймовірних результатів (у попередньому прикладі =), зручно зображувати послідовністю чисел,,,, п номерів випадків При =6 (таке, наприклад число ходів при киданні гральної кістки) може вийти 5, 4,,, 4, 3, 6, 6, 5,, 5, 6,,3, Подібного роду послідовності на практиці можуть бути використані для підбору вихідних даних для дослідної перевірки деякої гіпотези, багаторазового ухвалення рішення в повторюваній складній ситуації, моделюванні різних фізичних явищ (наприклад, броунівського руху) і тд Деякі мови програмування дозволяють включати в програми звертання до так називаних датчиків випадкових чисел операторам або функціям, що виробляють при кожнім звертанні черговий член деякої числової послідовності, схожої на розглянуті вище Звичайно датчики побудовані так, що членами послідовності виявляються дійсні числа r 0, r,, що належать інтервалу (0, ) У практичних застосуваннях більшості таких датчиків послідовність r 0, r може розглядатися як послідовність рівномірно розподілених у інтервалі (0, ) незалежних випадкових чисел, тобто можна вважати, що який би інтервал (а, b) усередині (0, ) ми не взяли, при k 0 імовірність того, що r k попадає в (а, b), не залежить від значень інших членів послідовності і дорівнює довжині b-а цього інтервалу Як правило, числа r 0, r,, при роботі з датчиками утворяться зовсім не випадково, а по визначеному закону, лише досить що добре імітує випадковість, тому вірніше говорити про псевдовипадкові числа Однак для стислості приставку псевдо часто опускають, як і згадування про незалежність чисел, і говорять про послідовність випадкових чи чисел випадкової послідовності, уточнюючи, при необхідності, характер розподілу Так будемо поступати і ми Передбачається провести наступні експерименти з датчиком випадкових чисел:

125 5 а) Одержати за допомогою датчика 0 чисел і оцінити на око їхню випадковість (проконтролювати відсутність помітних закономірностей) б) Одержати за допомогою датчика 300 чисел r 0, r,,, r 99 і оцінити по них рівномірність розподілу: розбити інтервал (0, ) на 0 інтервалів рівної довжини, побудувати стовпчасту діаграму (гістограму) і секторну діаграму, що показують, скільки чисел з послідовності r 0, r,, r 99,, потрапило в кожен інтервал Вправа 748 Якщо готового датчика випадкових чисел (див попередню вправу) у розпорядженні програміста ні, то він може самостійно визначити датчик у програмі Не вдаючись у досить складну теорію, опишемо один з таких датчиків (див [35]) Зафіксуємо деякі натуральні а, с, т, s 0 такі, що т найбільше з них Визначимо послідовність від ємних цілих чисел s 0, s l наступним правилом: s дорівнює залишку від ділення суми as - +c на m, і s + разом з послідовністю s 0, s l розглянемо послідовність r = m + (=0,, ) При вдалому виборі а, с, т, s 0 послідовність r 0, r буде добре імітувати послідовність рівномірно розподілених в інтервалі (0,) випадкових чисел Одним з таких виборів є наступний: ) m= k, де k береться настільки великим, наскільки це можливо (треба мати на увазі, що послідовність s 0, s,, так само як і послідовність r 0, r,, буде періодичною з періодом k ; при невеликих значеннях k періодичність буде занадто помітною) ) При діленні а на 8 повинно одержатись залишок 5 Крім цього, потрібно, щоб виконувалося m < a < m - m 3) Число с повинно бути непарним; при цьому бажано, щоб виконувалася c наближена рівність» - 3 = 0,3 m 6 4) Число s 0 можна вибрати довільно в діапазоні від 0 до m- У зв'язку зі сказаним передбачаються наступні завдання: а) Підібрати кілька варіантів трійок а, з, т, що задовольняють умовам ) 3) б) Знайти ще які-небудь варіанти, що дозволяють добре імітувати випадковість, і на його основі описати новий датчик в) Користаючись різними датчиками, серед яких повинні бути датчики, побудовані по запропонованій вище схемі з різним вибором а, с, т, s 0, і саморобні датчики, побудовані на інших засадах, потрібно провести експерименти, описані в попередній задачі Вправа 749 Датчики випадкових чисел знаходять цікавіше застосування в обчисленні площ і об ємів: на цьому застосуванні заснований відомий метод Монте-Карло (пояснення походження назви і докладний виклад самого методу з численними прикладами додатків мається, наприклад, у

126 6 [47]) Нехай задана фігура М, що цілком лежить усередині одиничного квадрата, і нехай потрібно обчислити її площу Нехай в одиничному квадраті обрано навмання п крапок (Рис 4) і нехай v() число крапок, що потрапили усередину М Тоді геометрично ясно, що при великих п площа фігури М буде приблизно дорівнює v()/ і чим більше буде, тим ближче ми підійдемо до дійсного значення площі У якості обираних навмання крапок у цих обчисленнях можна взяти крапки з координатами (r 0, r ), (r, r 3 ),, де в ролі r 0, r виступають числа, одержувані за допомогою датчика випадкових чисел, рівномірно розподілених в інтервалі (0, ) Аналогічно, беручи точки з координатами (r 0, r, r ), (r 3, r 4, r 5 ), можна обчислювати об єми тіл, що повністю лежать усередині одиничного куба (Рис 43) У зв'язку з методом Монте-Карло пропонуються наступні завдання Скориставшись декількома датчиками (у крайньому випадку одним датчиком): а) визначити площу круга (х 05) +(у 05) </4; для цього знайти по 00 точок за допомогою кожного з датчиків; відповіді порівняти з π/4; б) визначити об єм кулі (х 05) + (у 05) + (z 05) < /4; для цього знайти по 00 точок за допомогою кожного з датчиків; відповідь порівняти з π/6 Вправа 750 Випадкова числова послідовність r a, r, члени якої рівномірно розподілені в інтервалі (0, ), може бути використана для побудови випадкової послідовності v 0, v,, члени якої належать кінцевій множині, яка складається х елементів х,, х Елементи x,, х п повторюються в послідовності v 0, v, із заданими частотами, відповідно рівними р, р,, р п (тобто відносно послідовності v 0, v, можна вважати, що x і зустрічається в ній із ймовірністю p і (і=,, ), p + +p = Послідовність v 0, v, будемо називати випадковою послідовністю æ x x x с розподілом ö ç Для побудови v 0, v, використовується è p p p ø наступний прийом [47] Інтервал (0, ) розбиваємо на п інтервалів, довжини яких рівні р, р п Координатами точок розбиття будуть р, р +р, р +р, + р 3,, р +р, ++ р - Отримані інтервали позначаємо через І,, І п Тепер перебираємо числа, і якщо чергове число r k попадає в інтерн І j ( j ), то в якості V k беремо x j (у силу рівномірного розподілу членів послідовності

127 7 r 0, r,, в інтервалі (0, ) імовірність попадання r k у деякий інтервал дорівнює довжині цього інтервалу) Якщо раптом виявиться, що r k збігається з точкою розбивки (кінцем інтервалу), то можна умовно вважати, що число r k попа в інтервал, що лежить праворуч від нього Передбачаються наступні завдання, у яких скористатися датчиком випадкових чисел: а) Побудувати 00 перших членів випадкової послідовності з нулів і одиниць, у якій нуль і одиниця рівноймовірні, тобто, послідовності з æ0 ö розподілом ç è/ / ø б) Побудувати 00 перших членів випадкової послідовності з цифр,, 3, 4, 5, 6, у якій усі цифри рівноймовірні, тобто послідовності з розподілом æ ö ç è / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 ø в) Побудувати 00 перших членів випадкової послідовності з нулів і одиниць, у якій нуль зустрічається з імовірністю /4, а одиниця з æ0 ö імовірністю 3/4, тобто послідовності з розподілом тобто ç è / 4 3 / 4 ø г) Побудувати 00 перших членів випадкової послідовності зі слів камінь, ножиці, папір, у якій ці три слова рівноймовірні, тобто æкамінь ножиці папірö послідовності з розподілом тобто ç è / 3 / 3 / 3 ø (Цю послідовність можна використовувати для вибору ходів у відомій грі камінь, ножиці, папір д) Побудувати 00 перших членів випадкової послідовності зі слів камінь, ножиці, папір, у якій слово камінь зустрічається з імовірністю /3, слово ножиці з імовірністю /, слово папір з æкамінь ножиці папірö імовірністю /6, тобто послідовності з розподілом ç è/ 3 / / 6 ø (Цю послідовність можна використовувати для вибору ходів у відомій грі камінь, ножиці, папір з наступною системою премій: коли камінь тупить ножиці, присуджується одне очко, коли ножиці ріжуть папір, присуджується два очка, і коли папір покриває камінь, присуджується три очка) *) *) Зазначені в завданнях г) і д) стратегії чергування ходів, засновані на випадкових послідовностях, є в оптимальними Див про це, наприклад, у книзі [33]

128 8 Вправа 75 Для наочної демонстрації деяких законів імовірностей використовується прилад, називаний дошкою Гальтона (Рис 44) Металеві Рис44 кульки по черзі попадають у верхній канал; зустрівши перешкоду, вони повинні вибрати шлях чи ліворуч чи праворуч, потім відбувається другий вибір і тд Кожний з виборів випадковий, кожна з імовірностей вибору шляху ліворуч і праворуч дорівнює / При достатньо високій якості приладу картина, що спостерігається, розподілу кульок у нижніх відділах дошки Гальтона добре погоджується з імовірнісними розрахунками, по яких кількості кульок, що потрапили у відділення, пронумерованих числами, m (на Рис 44 m = 5), повинні бути пропорційні (з деяким коефіцієнтом пропорційності, що залежить від загального числа кульок) числам з т-ого рядка трикутника Паскаля (див вправу 555) Крива, що огинає верхівки стовпців з кульок, повинна мати колоподібну форму (Рис 45) Шлях кульки по дошці Гальтона, що містить m, нижніх відділів, можна зобразити групою з m нулів і одиниць: нуль зображає вибір шляху вліво, одиниця праворуч Одержавши при допомозі датчика випадкових чисел m членів випадкових послідовностей v 0, v, з нулів і одиниць з розподілом æ0 ö ç (див вправу 750 а) і взявши групи (V 0, v m- ),(V m, v m- ),, è/ / ø (V (-)m,, V m ), ми одержимо зображення шляхів п уявних кульок Номер відділення, у яке попадає кулька, визначається по кількості одиниць у зображенні маршруту Нехай дано натуральні п і т (п т) Потрібно підрахувати, виходячи з моделі, що заснована на датчику випадкових чисел, кількість уявних кульок, що потрапили в кожне з відділень Побудувати графічні представлення результатів підрахунку (коло подібність діаграми чи графіка буде говорити про гарну якість датчика) Вправа 75 Датчики випадкових чисел можуть використовуватися для побудови на обчислювальних машинах моделей складних фізичних явищ Нехай маються дві закриті посудини, перший з яких наповнений газом, а другий порожній, Посудини з єднані трубкою, перекритою клапаном Після того як клапан відкриють, молекули газу будуть прагнути перейти з області з

129 9 більш високим тиском в область з більш низьким тиском Але взаємні зіткнення молекул і їх зіткнення зі стінками посудин і трубки будуть приводити до того, що кожна з молекул може змінити свій рух на протилежне, тому картина вирівнювання тисків у першій і другій посудинах буде непростою На початку XX століття фізики П і Т Эренфести описали цікаву модель цього явища Перша посудина наповнена великою кількістю пронумерованих куль, а друга посудина порожня Третя посудина наповнена квитками, пронумерованими так само, як і кулі Витягається довільний квиток, потім відшукується куля з витягнутим номером і ця куля перекладається з тієї посудини, у якій він знаходився, в іншу посудину Потім білетик повертається в третю судину і процедура відновляється Модель П і Т Эренфестов дуже зручно реалізується програмою Розподіл п уявлюваних куль по двох посудинах може бути описано, наприклад, масивом з п елементами, рівними - (куля в першій посудині) і (куля в другій посудині) Витягування куль легко замінити одержанням членів випадкової æ ö послідовності з розподілом ç (див вправу 750); è / / / ø величину п бажано брати якнайбільше, не менш 000 Побудувати графік чи діаграму, відзначаючи відношення кількостей куль у посудинах через кожні 00 кроків Вправа 753 Датчики випадкових чисел можна залучати при підборі перевірочних вихідних даних для програм Одержати за допомогою датчика випадкових чисел: а) 5 дійсних чисел, що лежать у діапазоні від -50 до 50; б) 30 цілих чисел, що лежать у діапазоні від 0 до 0; в) 0 невід ємних дійсних чисел, що не перевершують 40; г) 35 невід ємних цілих чисел, що не перевершують 000; д) 7 натуральних чисел, що не перевершують 0; е) натуральне п, що не перевершує 30, і п дійсних чисел, що лежать у діапазоні від 00 до 00; ж) натуральні п, т, що не перевершують 0; п цілих чисел, що лежать у діапазоні від 50 до 50; т невід ємних дійсних чисел, що не перевершують п; з) 5 чисел, серед яких 7 двійок і 8 трійок; і) перестановку чисел,,, тобто послідовність чисел р, р, у яку входить кожне з чисел,, ; к) 8 малих латинських букв; л) 5 неповторюваних малих латинських букв Вправа 754 Можливо, що при розв язуванні задачі на обчислювальній машині прийдеться спочатку одержувати члени випадкової послідовності æ x x з деяким розподілом ö ç (див вправу 750), а потім перейти до è p p ø

130 30 послідовності з якимсь іншим розподілом Розглянемо, наприклад, схему такої програми перевірки знань (точніше, програми-тренажера), що випадково пропонує питання з деякого набору питань x, х п Питання вибирається випадково, спочатку всі питання рівноправні і розподіл є æ x x ö ç Далі можна дотримувати наступної стратегії Якщо на è / / ø питання р і, що пропонувався найпершим, була отримана правильна відповідь (правильність установлюється порівнянням отриманої відповіді з відомою відповіддю), те це питання виключається з набору питань і відбуваються перехід до розподілу æ x xi- xi+ x ö ç якщо è/( - ) /( - ) /( - ) /( - ) ø відповідь була неправильною, то оголошується правильна відповідь і відбувається перехід до æ x xi- xi xi+ x ö розподілу ç тобто è/( + ) /( + ) /( + ) /( + ) /( + ) ø якби вважається, що набір тепер містить п+ запитання, два з яких збігаються (x i входить у набір із кратністю ) У результаті цього важке запитання буде пропонував надалі частіше, ніж більш легкі Після кожної отриманої відповіді розподіл міняється так, що якщо був запропоновано питання, що має кратність k (k >0) і на нього була отримана правильна відповідь, то k зменшується на ; якщо ж була отримана неправильна відповідь, то k збільшується на Якщо в результаті зменшення на виявилося, що k=0, то питання виключається з набору Знання може бути оцінене по кількості питань, даних до того моменту, коли набір питань став порожнім Реалізувати цю стратегію в програмі перевірки знання, таблиці множення на 7 чи перевірки знання перекладів деякої кількості англійських (французьких, німецьких, ) слів 4 Обчислення з деякою точністю Вправа 755 Дано дійсні числа х, ε (х 0, ε >0) Обчислити з точністю ε *): а)å k = 0 k k+ ( -) x k!( k + ) ; б)å k= 0 k 4k+ 3 ( -) x ; ( k + )!( 4k + 3 ) в) å k = 0 k 4k + ( -) x ; г) ( k )!( 4k + ) ( -) æ x ö (( k + )! ) è ø ( k+ ) k å ç ; k= 0 *) Зміст цього виразу стосовно до нескінченних сум був пояснений в умові вправи 9

131 3 д) ( k + ) k ( -) æ x ö å ç ; е) k = 0 k!( k + )! è ø å k= 0 k+ ( -) æ x ö ç ( k ) è 3 ø 4k ; ж) å k = 0 k + k- ( -) x ( k - )( k + )! ; з) å k=0 k x k k! Вправа 756 Дано дійсні числа х,а, ε (ε >0, x <) Вправа 757 Дано ціле число, дійсні числа х, ε (ε >0, 0) Обчислити з k + k ( -) æ x ö точністю ε значення å ç k = 0 k!( k + )! è ø Вправа 758 Дано дійсне число х Обчислити з точністю 0-6 : а) å k= в) å k= ; б) å x 3 k x k 3 / k k= x + ; г) å k= x + 3 k ; д) å k= 3 k x ; е) å 3 k= + + k k x x ; ж) å k= ( -) k k x k ; з) 4 k+ k+ ( -) æ x ö å ç k= ( k + )! è 3 ø Вправа 759 Дано дійсні числа х, ε (ε >0, x 0) Обчислити з точністю ε нескінчену суму і вказати кількість врахованих доданків: а) å k ( -x ) ; б) å k k+ ( -) x ; k= 0 k! k= 0 ( k + )( k + ) в) å k k ( -) ( k + )x ; г) k å k k ( -) x k= 0 3 k= 0 ( k + ) Вправа 760 Дано дійсне число х Послідовність а, а,, утворена по такому закону: x а) a = ( )! ; б) ( -) x a = ; ( + )( + ) x x si( x ) в) a = ; г) a = ( + )! Одержати а ++а k, де k найменше ціле число, що задовольняє двом -5 умовам:k>0 і a k + < 0

132 3 3 - Вправа 76 Дано дійсне число ε (ε >0) Обчислити cos ( 3 ), = 3 врахувавши тільки ті доданки, в яких множник /3 має величину не меншу, ніж ε Вправа 76 Дано дійсне число ε (ε >0) Послідовність а, а, утворена по такому закону: а) a = ; б) a = ( - )( - )( - ); 3 + ( -) в) a = ( - )( + )( + ;! 3! ( + )! г) a = коренів Знайти перший член а ( ) для якого виконується умова å a - a - < e Вправа 763 Дано дійсні числа х, ε (ε >0) Послідовність а, а, утворена по такому закону: а =х; далі, для =, 3, виконується: 6 + x а) a = 4a- - x ; б) a = + 3a 3 - ; + a x в) a = a- + ; г) a = 3 + cos ( a x ) a- - Знайти перший член а ( ) для якого виконується умова a - a - < e (обмежитись розглядом перших 0 4 членів) Вправа 764 Розглянемо послідовність d 0, d периметрів вписаних в дане коло многокутників з подвоєним числом сторін Радіус кола дане дійсне число r Перший з розглядуваних многокутників шестикутник Обчислити -6 d (>0), для якого d - d- < 0 Вправа 765 Дано дійсні числа х, ε (ε >0, 0<x<) Обчислити з точністю ε значення å k = ( k ) x Вправа 766 Дано дійсні числа a, b, ε (a>b>0, ε >0) Послідовності х, х,, у, у,, утворені по такому закону: х =а, =b, xk = ( xk - + yk - ), yk = xk- yk- Знайти перше х, таке що x - y < e Вправа 767 Дано дійсні числа a, b Послідовності х, х,, у, у,, утворені по такому закону: x =a+bcos(05), y =05a-bsi(05) Одержати x k /y k де k найбільше натуральне число, що задовольняє дві умови: k 0 і -3 y k > 0 -

133 33 5 Фізика Вправа 768 Група паралельно з єднаних опорів, зображених на Рис 46, а, задається невід ємними числами r, r,, r і значеннями опорів Послідовне з єднання ряду таких груп, показане на Рис 46, б, задається так: спочатку йдуть значення опорів, що входять у першу групу, потім деяке від ємне число, потім значення опорів, що входять у другу групу, потім деяке від ємне число і тд Після значення останнього опору останньої групи йдуть два від ємні числа, розрахувати опір з єднання Вправа 769 Аналогічно попередній задачі, розрахувати опір паралельного з єднання послідовних груп (Рис 47), знову припускаючи, що кожна група задається рядом значень опорів, за яким йде від ємне число, а слідом за значенням останнього опору останньої групи йдуть два негативних числа Вправа 770 Прозора пластина складається з т шарів, показники заломлення яких, п т Промінь входить у пластину з вакууму під даним кутом α (Рис 48) Знайти кут β, під яким промінь перетинає останній шар Вправа 77 На воду опущена куля радіуса r, виготовлений з речовини густини ρ (ρ < ) Знайти відстань центру кулі від поверхні води Вправа 77 На прямій знаходяться три позитивних заряди q,q, q 3, так, як показано на Рис 49 Визначити відстані від заряду q до точок, в яких рівнодіючих сил відштовхування зарядами q,q, q 3, деякого четвертого позитивного заряду дорівнює нулю

134 34 Вправа 773 Знайти силу, з яким точковий заряд q=0-9 Кл притягається до тонкого непровідного кільця радіусу R=0 м Заряд розташований у площині кільця Кільце рівномірно по всій довжині заряджене з щільністю -7 Кл заряду v = 0 Відстань від заряду до кільця дорівнює =0м м Кл Електрична стала дорівнює ε 0 = Н м Для обчислень розбити кільце на 00 рівних частин і вважати кожну частину точковим зарядом R величини v p Розглянути проекції кулонівських сил на пряму, що з єднує 00 заряд q з центром кільця (Рис 50) Вправа 774 Крива погоня У точці Р знаходиться собака в точці Q заєць Відстань від Р до Q дорівнює 00 м (Рис 5 ) Заєць біжить уздовж прямої l, що утворить кут 45 з відрізком PQ, з постійною швидкістю 5 с м Собака біжить увесь час у напрямку зайця зі м швидкістю 0 Знайти траєкторію руху собаки протягом 0 с Для с наближеного рішення пропонується замінити криву ламаною лінією Вважається, що в першу секунду заєць пробігає відрізок QQ', собака РР', у другу секунду заєць пробігає відрізок Q'Q'' і т д; собака приймає рішення про напрямок погоні рівно один раз у секунду (рис 5,6) Вправа 775 Повернутися до попереднього задачі Обчислити наближено (заміною кривої на ламану) довжину траєкторії собаки, розглядаючи перші 5 с погоні Вправа 776 Нехай на площині заданий кут А0В й з деякої точки Р усередині кута випущена більярдна куля, яка відбивається від сторін кута як від бортів по закону кут падіння дорівнює куту відбивання Довести, що

135 35 після декількох відбиттів куля почне віддалятися від вершини кута (Рис 5, а) Ця обставина пояснює труднощі гри на більярді: кут більярду не затягує, а віддаляє кулю Нехай сторона 0В збігається з невід ємною частиною осі абсцис, а сторона ОА з тією частиною прямої у = kx, що лежить у верхній напівплощині Нехай координати точки Р суть дійсні числа a, b такі, що а>0, 0<b<kа; нехай відомий перший кут падіння α (Рис 5, б) По k, a, b> α знайти всі точки відбиття променя, абсциси яких менше а Вправа 777 Прямокутне хокейне поле розміру a b освітлено п рядами ламп, по m ламп у ряді, розташованих на висоті h від поверхні льоду Відстань між рядами ламп дорівнює а/(п-), відстань між лампами в ряду b(т-) Визначити освітленість хокейного поля в точці, відстані від якої до бортів відповідно рівні a, b (a a, b b) Потужність ламп 00 Вт, ккд ламп % Вправа 778 Лист Робіна Гуда в язню замка Ноттингему Лист прив язується до каменю, а камінь кидком посилається через бійницю стіни замка у вікно темниці, положення будівель і відомі величини вказані на Рис 53 Ріст Робіна Гуда 6 м Чи можна закинути камінь з листом у вікно? Якщо так, то з якою початковою швидкістю і під яким кутом повинний кинути камінь Робін Гуд? У розрахунках зневажати опором повітря Вправа 779 Між двома провідними паралельними площинами розташований заряд 0-6 Кл, відстань між площинами дорівнює 0 м, відстань від заряду до найближчої площини дорівнює 00 м Обчислити силу, яка діє на заряд Багаторазове застосування методу відбиття, відповідно до якого провідну площину можна замінити зарядом протилежного знака, розміщеним на тій же відстані, але з іншої сторони площини, приводить до сумування двох нескінчених числових рядів (один з додатними членами, другий з від ємними) Це сумування можна виконати наближено, перетворивши попередньо два ряди в один Вправа 780 У стінці циліндричного відра просвердлено п маленьких отворів діаметр кожного з яких дорівнює d Інші величини відзначені на Рис 54 Відомо, що d<d Відро наповнене доверху водою Необхідно визначити час, за який рівень води у відрі опуститься до нижнього отвору При обчисленні скористатись тим, що швидкість витікання води через отвір, що знаходиться на глибині х, дорівнює gx

136 36 Вправа 78 До вертикальної стіни на деякій висоті від підлоги притиснутий гімнастичний обруч Зі стіни виступають два цвяхи, дотикаючись до обруча із внутрішньої сторони Відомі значення кутів φ, φ, відмічених на Рис 55, а Визначити, чи буде обруч зберігати своє положення, якщо відпустити його Вправа 78 Вправа аналогічна попередньої, з тією різницею, що а) цвяхи стикаються з обручем із зовнішньої сторони (Рис 55, б); б) перший цвях стикається з обручем із зовнішньої сторони, а другий з внутрішньої (Рис 55, в) Вправа 783 Ракета стартує вертикально нагору з поверхні Землі Маса ракети без палива дорівнює 0 т, запас палива М = 50 т Відомо, що за кожну секунду польоту згоряє 50 кг палива Швидкість вильоту із сопла часток згорілого палива постійна щодо ракети і дорівнює 0 4 м На с якій висоті виявиться ракета через 00 с і через 000 с польоту? Яка швидкість ракети в ці моменти? (Маса Землі дорівнює 6 0 т, радіус Землі 6400 км, гравітаційна постійна в законі всесвітнього тяжіння дорівнює Н м, опором повітря зневажаємо) Для обчислення розглянути кг величини М п, h v відповідно масу невитраченого палива, висоту підйому і швидкість руху через п секунд польоту; знайти наближені вирази M, h, v через M -, h -,v - Вправа 784 Мається сферична лінза (радіус сфери R)діаметр якої дорівнює D Показник заломлення матеріалу, з якого зроблена лінза, рівний На відстані l=r/(+) від лінзи встановлений екран ( Рис 56,а) На лінзу падає пучок паралельних променів Визначити діаметр світлової плями на екрані Характер переломлення променів вказаний на рис 56,б; в цій ситуації sij = sij

137 37 6 Біологія Вправа 785 У кроликів чорне фарбування (обумовлена алелем В) домінує над білою (обумовленої алелем b Дані сполучення алелей В і b у генотипах кролики-батьків, кожне зі сполученням ВВ, Вb чи bb Застосовуючи закони Менделя, перелічити можливості для сполучень алелей В і b у генотипі нащадка першого покоління (F цієї пари Разом з кожним можливим сполученням вказати фарбування нащадка Вправа 786 Кожний із двох підданих схрещуванню сортів гороху мав або жовті, або зелені сім ядолі Відомо, що жовте фарбування сім ядоль (алель R) домінують над зеленою (алель r) Серед рослин F (див попередню вправу) малося п з жовтими сім ядолями і т с зеленими (п 0, т 0) Використовуючи закони Менделя, перелічити найбільш ймовірні можливості сполучень алелей R і r у генотипах батьків Вправа 787 Повернемося до сортів гороху з жовтими (алель R) і зеленими (алель r) сім ядолями (див попередню вправу) Були піддані схрещуванню дві рослини, одна з яких мала зелені сім ядолі У результаті схрещування одержали т рослин F (див вправу 785) з жовтими сім ядолями і п з зеленими (п 0, т 0) Використовуючи закони Менделя, вказати найбільш ймовірне сполучення алелей R і r у генотипі другого батька і в генотипах кожного з рослин F Вправа 788 Два сорти пшениці розрізняються стійкістю до певного пестициду (ядохімікату) Робиться припущення, що в гетерозиготній рослині виявляє свою дію тільки один алель стійкості чи нестійкості до даного пестициду, тобто має місце явище домінування Узято дві рослин-одна стійка, інша нестійка У результаті схрещування цих рослин з явилося кілька стійких рослин F і кілька нестійких Проведені також зворотні схрещування вихідних рослин із двома рослинами F з яких одна було стійкою до пестициду, а інше ні Результати цих чотирьох зворотних схрещувань відомі і записані чотирма парами невід ємних цілих чисел (перше число пари вказує кількість рослин, стійких до пестициду, других нестійких) Чи підтверджують результати проведених досвідів гіпотезу про домінування? Якщо так, то який з ознак ( стійкість чи нестійкість) є домінуючим? Вправа 789 Контакти першого і другого порядку в епідеміології Припустимо, що k чолові занедужали інфекційною хворобою Другу групу з l чоловік опитали з метою з ясування, хто з них мав контакт із хворими Потім опитали третю групу з т чоловік, щоб виявити контакт із ким-небудь з l чоловік другої групи Результати першого опитування записані у вигляді матриці [a ij ] i=,,k; j=,, l так, що а ij =, якщо j ий чоловік другої групи знаходився в контакті з і-м хворим з першої групи, і a ij b ij =0 у противному випадку Аналогічно визначена матриця [b ij ] i=,,l; j=,, m b ij =, якщо j-ий

138 38 чоловік третьої групи знаходився в контакті з і-ою людиною з другої групи, і b ij = 0 у противному випадку Ці дві матриці описують схему контактів першого порядку між групами Можуть становити інтерес непрямі контакти, чи, інакше кажучи, контакти другого порядку між людьми третьої групи і хворими першої групи Виходячи з двох згаданих матриць, одержати матрицю [c ij ] i=,,k; j=,, m контактів другого порядку Вправа 790 Реакція організму на ліки через годин після ін єкції виражається показником r п, вимірюваним у придатних одиницях Експериментально встановлено, що для лікарських препаратів деякої групи показник реакції є r п = αr п п, де r 0 =, а α менше одиниці дане позитивне число, що характеризує конкретний препарат групи Визначити, через скільки годин настає максимальна реакція на введення препарату Після скількох година реакція понизиться нижче 50% початкового рівня r 0? Вправа 79 У процесі лікувального голодування маса пацієнта за 30 днів знизився з 96 до 70 кг Було встановлено, щоденна утрата маси пропорційна масі тіла Обчислити, чому дорівнює маса пацієнта через k днів від початку голодування для k=,,, 9 Вправа 79 Якщо культура кліток у поживному середовищі не підлягала зовнішнім впливам, то приріст маси протягом (п+) ї години виявляється вдвічі більше приросту протягом п-ї години Однак у дослідницьких цілях до зростаючого маси після закінчення кожної години додається по г культури Дано натуральне число k Знайти масу x k у кінці k-ої години дослідження, якщо спочатку було взято 3 г (Виходячи з припущення, що при відсутності зовнішнього впливу маса х п наприкінці п-ої години дослідження задовольняє співвідношенню х п - αх п- (п=,, ) для деякої постійної величини α) Вправа 793 В одній великій череді, що складається з тварин одного віку і статі, ріст тварин, виміряний у сантиметрах, коливається від k до l (дані натуральні числа) а) Нехай m і п дані натуральні числа такі, що k m< l Яких тварин у череді більше з зростом, близьким до m см, чи з ростом, близьким до п см? б) Якщо r кількість їжі, що споживається за добу твариною з ростом k, то якау приблизно кількість їжі, споживане за добу твариною з ростом l? Якщо s-кількість вовни, що зістригається щорічно з тварини з зростом k, то скільки приблизно вовни можна щорічно зістригати з тварини з ростом l? (Передбачається, що густина і довжина вовни не залежать від росту Вправа 794 Числа Фібоначчі u 0, u (див вправу 44 одержали назву на честь італійського математика XIII століття Леонардо Фібоначчі, що ввів їх у опис чисельності поколінь тварин (без обліку смертності) Передбачається, що кожна пара тварин деякого виду приносить

139 39 щорічно приплід в одну пару тварин (самку і самця), які у свою чергу починають давати приплід через два роки після народження Якщо мається одна пара новонароджених тварин, то, як можна показати, що через п років будемо мати и п+ пар тварин Внести в цю модель уточнення, що стосується смертності Вважати, що тривалість життя тварини: а) 5 років; б) т років, де т дане натуральне число, Обчислити кількість пар тварин, що будемо мати через п років (п дане натуральне число) Вправа 795 Для опису чисельності популяції, що відбувається з часом, зручно розглядати розподіл популяції по вікових групах (у першу групу попадають всі особи у віці до року, у другу всі ті, що не потрапили в першу групу особи, вік яких менше двох років, і тд) Нехай у першу вікову групу входить р осіб, у другу р осіб і тд Смертність дуже спрощено можна врахувати, припустивши, що всі особи вимирають, знаходячись у -ій віковій групі, де п деяке фіксоване натуральне число Ясно, що загальне число осіб у популяції є p +p + +p Для кожної вікової групи мається свій коефіцієнт народжуваності; якщо коефіцієнти для розглянутих вікових груп відповідно рівні b, b то річний приріст, обумовлений присутністю в популяції і-ої вікової групи з чисельністю р і, є b і p і Таким чином, річний приріст по всій популяції є b p + +b п р п У той же час особи, що належать і-ій віковій групі, через рік перейдуть у (i+)-у вікову групу (і=,, п ), а особи, що належать п-ій віковій групі, вимруть протягом року Тому через рік розподіл популяції по вікових групах буде наступним: b p + +b п р п, р + +р п- Дано натуральні числа п, т, дійсні числа b,, b, невід ємні цілі числа p, p Вважаючи, що p, p початково зареєстрований розподіл популяції по вікових групах, а b, b коефіцієнти народжуваності для вікових груп, визначити загальну чисельність популяції через m років Вправа 796 Описану в попередній вправі модель зміни чисельності популяції можна зробити більш точною, ввівши крім коефіцієнтів народжуваності, ще і коефіцієнтів народжуваності s l, s (0 s і <,і =, п) для усіх вікових груп: вважаємо, що якщо в поточному році і-а вікова група має чисельність р і, то в наступному році (і+)-а вікова група буде мати чисельність рівну s i p i (s=,, п-) При цьому s = 0 (тому що ми як і раніше вважаємо, що вік особи не перевершує п років), і фактично можна розглядати тільки s l, s - Річний приріст за рахунок і-ої групи у цій моделі вважається рівним b і s і p і (і=,, -) Коефіцієнти виживання, так само як і коефіцієнтb народжуваності, виводяться на основі багаторічних спостережень за популяціями даного виду Вважаючи заданими s l, s -, знову розглянути вправу розрахунку чисельності популяції через m років

140 40 Вправа 797 Доповнюючи модель, що була описана в попередній вправі, припустимо, що коли чисельність популяції виявляється під кінець року більшою, ніж деяке число l, то через велику скупченість починається епідемія, що приводить до зниження вдвічі коефіцієнтів виживання s l,s - у наступному році Вважаючи l заданим числом, знову розглянути вправу розрахунку чисельності популяції через m років Вправа 798 Взаємний вплив деяких двох конкуруючих видів на розмір х п, у п їхніх популяцій у -му році описується системою x + =x -y y + =-x +y Нехай x 0 = a, y 0 = b (a b) де а і b дані числа, Знайти чисельності обох видів за всі роки, що передують повному вимиранню одного з них Вправа 799 Дано натуральні числа п, a l, а, що відображають спостереження за лісовим мурашником Спочатку було виловлено 00 робочих мурах, усі вони були позначені і випущені на волю Далі, протягом п днів повторювалося наступне: відловлювались по 00 робочих мурах, підраховувалося число позначених серед них (а і кількість позначених мурах серед виловлених у і-й день, і = =,, ), позначалися непомічені мурахи, що знаходяться в цій сотні, потім усіх 00 мурах випускалися на волю Потрібно підрахувати (наближено) число, робочих мурах у цьому мурашнику Вправа 800 Ця вправа є продовженням попередньої, Через рік спостереження над мурашником були відновлені Знову спочатку було виловлено 00 робочих мурах і усі вони були позначені новою, відмінною від торішньою міткою і випущені на волю Потім протягом п днів повторювалося наступне: відловлювались по 00 робочих мурах, підраховувалося число позначених тільки минулорічною міткою, тільки новою міткою й обома мітками (в і-ий день фіксувалися відповідно числа a і, b i, і с i ), потім позначалися мурахи цієї сотні, ще не позначені міткою цього року, і всі 00 мурах випускалися на волю Потрібно висунути розумні гіпотези відносно числа робочих мурах у мурашнику цього року, про кількість серед них нових робочих мурах і кількості торішніх Вихідні дані задачі: k, l,, a, b, c, a, b, c, а п, b п, с де k число робочих мурах, позначених торік, l можливе загальне число робочих мурах торік Зміст інших чисел роз яснений вище Вправа 80 Залежність маси від зросту Часто намагаються укласти деякі експериментальні чи статистичні дані в деяку просту формулу Нехай, наприклад, обстежено п дорослих людей з нормальною статурою й обмірюваний зріст (у см) х і і маса (у кг) у кожного з них Можна намагатися на підставі цих вимірів одержати

141 4 формулу виду у = ах+b, що виражає масу у через зріст х Звичайно, важко розраховувати на те, що для яких-небудь конкретних а і b будуть з абсолютною точністю виконані всі п рівностей y i = ах і +b (і=,, п) Але неважко знайти а і b такі, що величина f(а, b), рівна (ах + b-у ) +(ах + b-у ) + +(ах + b-у ),має найменше з можливих значень (Рис 57) Для виконання цієї умови досить, щоб*) Рис57 df ( a,b ) df ( a,b ) = 0 = 0 da db Останні рівності дають два лінійних рівняння для визначення а і b (це окремий випадок методу найменших квадратів, що належить Гауссу): ( x x )a + ( x + + x )b = x y + x y ( x + + x )a + b = y + + y Дано дійсні числа х,, х, y,, y Одержати зазначені а і b З приводу цієї задачі зробимо наступне зауваження Дійсно, цим способом можна одержати деякі: а і b; більш того, вважається, наприклад, що для чоловіків з нормальною статурою а, b -00 Однак значно більш точну формулу можна одержати використовуючи не багаточлен першого ступеня ах + b, а багаточлен третього степеня ax 3 + bx + cx + d (порівн із вправою 793 б) Цей багаточлен теж можна шукати методом найменших квадратів *) Нехай g(t,, t k ) функція зазначених дійсних змінних перемінних, dg/dt, це часткова похідна g по t, тобто результат диференціювання g по t i, при якому усі величини, крім t i, вважаються постійними

142 4 7 Тексти*) Вправа 80 Дано текст; знайти найбільша кількість цифр, що йдуть у ньому підряд Вправа 803 Дано текст; визначити, чи містить він символи відмінні від букв і пробілу Вправа 804 Дано текст а) Якщо в тексті немає символу *, те залишити цей текс без зміни, інакше кожну з малих латинських букв, попередніх першому входженню символу *, замінити на цифру 3 б) Якщо в тексті немає символу +, то залишити текст без зміни, інакше кожну з цифр, що передує першому входженню символу +, замінити символом Вправа 805 Дано текст; якщо в ньому немає малих латинських букв, то залишити його без зміни, інакше кожний із символів, наступних за першою групою малих латинських букв, замінити крапкою Вправа 806 Дано текст; з ясувати, чи є цей текст: а) ідентифікатором; б) десятковим записом цілого числа Вправа 807 Дано символьну матрицю розміру m Одержати послідовно всі рядки матриці, крім тих, для яких є рівні серед рядків з меншими номерами Вправа 808 Дано текст Групи символів, розділені пробілами (одним чи декількома) і, що не мають усередині себе, будемо називати, як і колись (див вправу 69), словами а) Для кожного зі слів указати, скільки разів воно зустрічається серед всіх слів, утворених символами даного тексту б) Знайти всі слова, що містять найбільшу кількість голосних латинських букв (а, е, і, о, и) в) Знайти всі слова, у яких частка букв a, b максимальна г) У тих словах, що закінчуються сполученням букв ig, замінити це закінчення на ed *) Спосіб завдання тексту може вибиратися в залежності від використовуваної мови програмування і від того, які складності готовий переборювати той, хто розв язує вправу Текст може бути послідовністю символів (частковий випадок - вмістом символьного файлу), рядком, групою рядків (частковий випадок вмістом текстового файла) і тд

143 43 Вправа 809 Дано натуральне число п Одержати символьне представлення п у виді послідовності цифр і пробілів, що відокремлюють групи по три цифри, починаючи праворуч Наприклад, якщо п= , то повинно вийти Вправа 80 Дано натуральне число п (п 000) Записати число українськими словами (сімнадцять, двісті п ятдесят три, тисяча і тд) Вправа 8 Дано натуральне число п, рівне вираженій в копійках ціні деякого товару, наприклад 37, 5005, 00 і тд Виразити ціну в гривнах і копійках, наприклад 3 грн 7 коп, 50 грн 05 коп, грн 00 коп і тд (число копійок записується завжди двома цифрами) Вправа 8 Дано текст, кожен символ якого може бути малою буквою, чи цифрою або одним зі знаків +,, * Групою букв будемо називати таку сукупність послідовно розташованих букв, якій безпосередньо не передує і за якою безпосередньо не слідує буква Аналогічно визначимо групу цифр і групу знаків а) З ясувати, чи зустрічається в даному тексті група букв oe б) З ясувати, чи вірно, що в даному тексті більше груп букв, ніж груп знаків в) Якщо в даному тексті мається не менш двох груп букв, то кожен знак +, що зустрічається між двома першими по порядку групами букв, замінити цифрою, знак замінити цифрою, а знак * цифрою 3 Інакше залишити текст без змін г) Підрахувати число входжень букви f у перші три групи букв (у припущенні, що текст містить не менш трьох груп букв) д) Знайти число таких груп букв, що починаються і закінчуються однією й тією ж буквою е) Знайти всі такі групи букв, у які буква а входить не менш двох разів ж) Знайти саму довгу групу цифр Якщо цю найбільшу довжину має кілька груп, то взяти першу по порядку Вправа 83 Дано текст Якщо перший символ тексту не є малою латинською буквою, то залишити його без змін Якщо ж це мала латинська буква, але за початкової групою малих латинських букв не слідує цифра, то також залишити текст без зміни Інакше кожну цифру, належну групі цифр, що слідує за початковою групи малих латинських букв, замінити символом * Вправа 84 Дано текст а) Знайти номер першої один по порядку групи цифр (див вправу 8), що починається цифрою ; б) Знайти число тих груп букв (див вправу 8), які закінчуються тією ж буквою, що і перша група букв

144 44 в) Якщо в даному тексті є група знаків (див вправу 8), що починається знайомий *, то взяти першу по порядку з них і в наступній групі знаків (якщо така мається) замінити кожний зі знаків знаком + Вправа 85 Шахівницю будемо представляти символьної матрицею розміру 8 8 Дано натуральні числа п і m ( п 8, m 8) номери вертикалі й горизонталі, що визначають місце розташування ферзя Відповідний елемент матриці треба покласти рівним символу ф Поля, що знаходяться під загрозою ферзя, треба покласти рівним символу *, а інші поля символу 0 Вирішити аналогічну вправу для коня Вправа 86 Перетворити вираз (тобто текст спеціального виду), складений з цифр і знаків чотирьох арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення), у постфіксну форму У постфіксній формі спочатку записуються операнди, а потім знак операції Приклади: звичайний запис постфікс нийзапис (5 4) *(3 + 4)*5 34+ *5* Вправа 87 Для більшості іменників, що закінчуються на -онок і -енок, множина утворюються від іншої основи Як правило, це відбувається за зразком:цыплёнок цыплята, мышонок мышата і тд (у новій основі перед останньою буквою т пишеться а чи я в залежності від попередньої букви: якщо це шипляча, то а, інакше я) Маються слова-виключення, з яких вкажемо наступні: ребёнок (дети), бесёнок (бесенята), опенок (опята), звонок (звонки), позвонок (позвонки), покдонок ( подонки), колонок (колонки), жаворонок (жаворонки), бочонок (бочонки) Є ще ряд маловживаних слів-виключень, що ми не розглядаємо Дано текст, серед символів якого мається пробіл Група символів, що передує першому пробілу, представляє собою російське слово, що закінчується на -онок чи -енок Одержати це слово в множині Вправа 88 Розглянемо іменники чоловічого роду, що закінчуються на - ок: кружок, маслёнок, брелок і тд При відмінюванні таких слів буква о може виступати як біжуча голосна: кружка, маслёнком і тд При відмінюванні деяких таких слів голосна о, однак, зберігається Це, по-перше, слова з трьох букв: ток, сок і тд; потім слова: скок, блок, волок, восток, шток і слова, основа яких закінчується на такі сполучення букв (тобто перескок, пищеблок, юго-восток і т д); нарешті, мається ще ряд слів, серед яких укажемо наступні: брелок, щелок, войлок, челнок, зарок, срок, урок, знаток, поток, сток, артишок Дано текст, серед символів якого мається пробіл Група символів, що передує першому пробілу, представляє собою російське слово іменник чоловічого роду, що закінчується на -ок; після першого пробілу йде одна з

145 45 букв u, р, д, в, m, що вказує відмінок (називний, родовий, давальний, знахідний, орудний, місцевий, кличний) Одержати дане слово в зазначеному відмінку Вправа 89 Дано натуральне число, символ s ( < 000, s одна з букв u, р, д, в, m,, що вказує відмінок називний, родовий, давальний, знахідний, орудний, місцевий, кличний) Записати кількісний числівник, що позначає п, у відповідному відмінку (ця вправа узагальнює вправу 80) Вправа 80 Як показують численні експерименти, розбивка російського слова на частині для переносу з одного рядка на інший з великою імовірністю виконується правильно, якщо користатися наступними простими прийомами *): ) Два голосні, що йдуть поряд, можна розділити, якщо першої з них передує голосна, а за другою йде хоча б одна буква (буква й розглядається разом з попередньою голосною як одне ціле) ) Дві приголосні, що стоять поряд, можна розділити, якщо першій з них передує голосна, а в тій частині слові яка йде за другою приголосною, мається хоча б одна голосна (букви ь, ъ разом з попередньою приголосною розглядаються як єдине ціле) 3) Якщо не вдається застосувати пункти ), ), то слід спробувати розбити слово так, щоб перша частина мала більш ніж одну букву і закінчувалася на голосну, а друга містила хоча б одну голосну Імовірність правильної розбивки збільшується, якщо попередньо скористатися хоча б неповним списком префіксів, що містять голосні, і спробувати перш за все виділити зі слова такий префікс Дано текст, що є російським словом Виконай поділ його на частини для переносу Вправа 8 Використовуючи рішення попередньої вправи і вправи про вирівнювання правого краю сторінки (вправа 4), виконати наступне Дано натуральне число п і символьний] файл, послідовність компонентів якого представляє собою текст українською мовою Абзац (новий рядок позначений символом Вивести цей текст рядками довжини Абзац починати з трьох пробілів *) Програма, що реалізує ці прийоми, була описана в [4]

146 46 8 Календар*) Вправа 8 Дано номер року Вказати число днів цього року! Вправа 83 Дано натуральні числа п, т (п т) Визначити, скільки з чисел, +,, т є номерами високосних років Вправа 84 Дано натуральні числа а, b, c, що означають число, місяць і рік, наприклад, 4, 90 квітня 90 року Одержати трійку чисел, що відповідають наступному дню Вправа 85 Дано натуральні числа а, b, c a, b, с 3, які вказують дві дати (число, місяць, рік) Обчислити: а) кількість днів, що пройшли між двома цими датами; б) кількість повних років, що пройшли між двома цими датами Вправа 86 Дано натуральні числа а, b, c, що означають число, місяць і рік а) Перевірити коректність цієї дати (наприклад, 30 лютого 900 рік некоректна дата) б) Знайти номер цього дня з початку року в) Визначити, скільки повних днів залишилося до кінця року Вправа 87 Дано натуральні числа а, b, що позначають число і місяць На який день тижня приходиться ця дата, (якщо рік невисокосний, січня цього року середа? Вправа 88 Вічний календар Дано натуральні числа а, b, c, що позначають число, місяць і рік Визначити день тижня, на який припадає зазначена дата При рішенні цієї і деяких наступних задач можна вважати, що досліджувана дата лежить у діапазоні від 58 до 490 р Як установлено (див [56]), у цьому випадку номер дня тижня (неділя має номер 0, понеділок номер,, субота номер 6) дорівнює залишку від ділення на 7 значення виразу [6т 0] + d + у + [у/4] + [с/4] с, де d номер дня в місяці (,, ); т номер місяця в році, нумерація починається з березня (березень має номер, квітень номер,, грудень номер 0, січень і лютий вважаються місяцями з номерами і попереднього року); у дві молодші цифри року (00,, 99); с дві старші цифри року (5,, 49); [х] означає цілу частина числа х Для створення більш універсального календаря, що охоплює всі роки, можна використовувати безпосередній підрахунок, заснований на тому, що січня року нашої ери було понеділком *) При рішенні задач цього розділу взяти до уваги, що у сучасному (григоріанському) календарі щороку, номер якого ділиться на 4, є високосним, за винятком тих номерів, які діляться на 00 і не діляться на 400

147 47 Вправа 89 Обчислити кількість п ятниць, що приходяться на 3-і числа а) XX сторіччя; б) сторіччя з номером п, де п дане натуральне число Вправа 830 Дано натуральні числа а, b, c, що позначають дату (число, місяць, рік) по юліанському календарю Одержати цю дату по сучасному календарю Розбіжність між датами визначається тим, що в юліанському календарі щороку, номер якого поділяється на 4, є високосним, і з цього правила немає ніяких виключень Вправа 83 День учителя щорічно відзначається в першу неділю жовтня Дано натуральне число п, що означає номер року Визначити число, на яке в жовтні зазначеного року приходиться День учителя Вправа 83 У деякій бібліотеці останній четвер кожного місяця санітарний день Дано натуральне число п, означаюче номер року Одержати всі числа, на які у січні, лютому,, грудні зазначеного року припажає санітарний день Вправа 833 Земний рік продовжується 365 доби З цього випливає, 5000 що точною була б така календарна система при який серед 5000 наступних років Що йдуть один за одним мається високосних і відповідно 3789 невисокосних відповідно Ця система, заснована на 5000 літніх циклах була б незручною в практичних відносинах Вправу побудови більш зручних календарних систем Розв язувалась задопомогою придатних дробів (див вправу 575) Знайти використовуючи обчислювальну машину, усі придатні дроби числа /5000 Яка саме з цих дробів визначає закон чергування невисокосних і високосних років у сучасному календарі (чотирирічні цикли)? Указати також придатний дріб, що визначає закон чергування у календарі Омара Хайяма, у якому розглядалися не чотирирічні, а тридцятирічні цикли

148 48 9 Криптографія Вправа 834 Щоб зашифрувати текст, записаний за допомогою українських букв і розділових знаків, його можна переписати, замінивши кожну букву безпосередньо наступною за алфавітом (буква я заміняється на а) а) Зашифрувати даний текст б) Розшифрувати даний текст Вправа 835 Можна узагальнити спосіб шифрування, викладений у попередній задач зсув виконується не на одну букву, а на п букв, де п дане натуральне число (можна уявляти собі, що букви виписані по колу, як цифри на циферблаті) Виконати завдання а), б) попередньої вправи, використовуючи це узагальнення Вправа 836 Один з найпростіших способів шифровки тексту складається в табличній заміні кожного символу іншим його шифром Вибрати деяку таблицю, розробити спосіб її представлення, потім а) зашифрувати даний текст; б) розшифрувати даний текст Вправа 837 Щоб зашифрувати текст із букви, його можна записати в квадратну матрицю порядку по рядках, а потім прочитати по спіралі, починаючи з центра (тобто з елемента, що має індекси 6, 6) а) Зашифрувати даний текст б) Розшифрувати даний текст Вправа 838 Шифровка тексту за допомогою решітки полягають в наступному Решітку, тобто квадрат з картонного паперу 0 0 кліток, деякі клітки в якому вирізані, і сполучаються з цілим квадратом 0 0 кліток і через прорізи на папір наносяться перші букви тексту Потім решітка повертається на 90 і через прорізи записуються наступні букви Це повторюється ще двічі Таким чином, на папір наноситься 00 букв тексту Решітку можна зображувати квадратною матрицею порядку 0 (з нулів і одиниць (нуль зображує проріз) Довести, що матриця [a i,j ] i=, 0, j=, 0 може служити ключем шифру, якщо з елементів а ij, a 0-i+, а i0-j+, а 0-I+;0-j- в точності один дорівнює нулю Дано послідовність з 00 букв і матриця-ключ а) Зашифрувати дану послідовність б) Розшифрувати дану послідовність Вправа 839 Зафіксуємо натуральне k і перестановку чисел, k (її можна задати за допомогою послідовності натуральних чисел р, p k, у яку входить кожне з чисел,, k) При шифровці у вихідному тексті до кожної з послідовних груп по k символів застосовується зафіксована перестановка Нехай k = 4 і перестановка 3,, 4, Тоді група символів s l, s, s 3, s 4 заміняється на s 3, s, s 4, s Якщо в останній групі менше чотирьох символів, то до неї додаються пробіли Користаючись викладеним способом:

149 49 а) зашифрувати даний текст; б) розшифрувати даний текст Вправа 840 Наступний спосіб призначений для шифровки послідовностей нулів і одиниць (чи, наприклад, крапок і тире) Нехай a l, а п така послідовність Те, що пропонується в якості її шифру, це послідовність b, b утворена по наступному закону: ì, якщо a = a i i- b = a, bi = í î0, в протиному випадку і=,, Користаючись викладеним способом: а) зашифрувати дану послідовність; б) розшифрувати дану послідовність Вправа 84 Виправлення помилок Нехай по деякому каналу зв язку передається повідомлення, що має вид послідовності нулів і одиниць (чи, аналогічно, крапок і тире)! Через перешкоди можливий помилковий прийом деяких сигналів: нуль може бути сприйнятий як одиниця і навпаки Можна передавати кожен сигнал тричі, заміняючи, наприклад, послідовність, 0, послідовність,,,0,0,0,,, Три послідовні цифри при розшифровці заміняються тією цифрою, що зустрічається серед них принаймні двічі Таке потроювання сигналів істотно підвищує імовірність правильного прийому повідомлення Написати програму розшифровки Вправа 84 Способи шифровки тексту, засновані на табличній заміні вхідних у неї букв деякими символами (см вправу 836) чи на зсуві букв (див вправи 834, 835), негарні тим, що шифр може бути розгаданий шляхом частотного аналізу символів, що входять у зашифрований текст-згадаємо розповідь Э По Золотий жук Наступний спосіб позбавлений цього недоліку Нехай текст, що шифрується є послідовність, що складається з букв s 0, s l, s m, При допомогою датчика випадкових чисел можна, наприклад, одержувати члени послідовності v 0, v t з розподілом æ 3 4 ö ç і при шифровці символу s i (0 i m)застосовувати зсув è / 4 / 4 / 4 / 4ø на v і букв Тоді дві однакові букви, що зустрічаються в зашифрованому тексті, не зобов язані позначати ту саму букву вихідного тексту Для розшифровки повідомлення потрібно скористатися таким же датчиком випадкових чисел У наступних двох завданнях для простоти передбачається, що текст записаний українськими буквами без розділових знаків, пробіл після шифровки залишається пробілом а) Зашифрувати даний текст б) Розшифрувати даний текст

150 50 30 Графіка Вправа 843 Побудувати графіки *) лінійної функції у= kx для k = 0, 0, 03,, Вправа 844 Побудувати графіки функцій: а) у = 3х ; б) у = 6х + 3х; в) у = х 3 + х +х г) у = х 5 ; д) у=si х; е) y = cos (x-) + х Вправа 845 Побудувати графіки функцій, зазначених у вправі 337 Вправа 846 Досліджувати область визначення і побудувати графіки наступних функцій: x а) y = ; б) y = ; в) у = y = ; x x - x x 3 г) y = ; д) x x е) = x + x + ; ж) y = 3x + x + ; y = x + 3x + ; y з) к) = x 3x + x + ; и) y = x x - x + ; л) y = x x + x + ; y = y x x + 3x + м) = x x - 3x + y Вправа 847 Побудувати криві по заданому параметричному представленню **) а) Коло радіуса r з центром на початку координат: x = rcos t, y=rsi t, tî[0, π] б) Еліпс із великою і малою півосями, рівними відповідно r і r і розташованими паралельно осям координат; x= r cost, y=r sit, tî[0, π] *) При розв язуванні вправ , 849 на побудову графіків функцій варто попередньо вибрати розташування координатних осей і масштаб на них Вибір придатної системи координат необхідний також у вправах 847, 848, на побудову кривих, заданих рівняннями того чи іншого виду Надалі в залежності від характеру задачі може застосовуватися або спеціально підібрана, або екранна система координат **) Параметричне представлення кривої l на площині з координатами х, у це дві функції x = x(t) t y = y(t), визначені на одній і тій же числовій множині

151 5 в) Равлик Паскаля (Рис 58): х = асоs t + bcos t, у = a cos t si t + b si t, a > 0, b>0, tî[0, π] Розглянути випадки, коли b a, a<b<а,a>b г) Кардиоида (Рис 59): х=aсоs t( +cos t), y = a si t ( + cos t), а > 0, tî[0, π] д) Епіціклоїда (Рис 60): х=(а+b) cos t a cos ((a+b) t/a), y=(a + b)si t-a si ((a + b) t/a), a>0, b> 0 Розглянути наступні випадки: ) якщо b/a є ціле позитивне число, tî[0, ] ) якщо b/a = p/q, де p i q позитивні цілі взаємно прості числа, tî[0, qπ] е) Астроїда (Рис 6): х=bcos 3 t, у =bsi 3 t, tî[0, π] ж) Цісоїда (Рис6): x = at /( + t ), y = at 3 /( + ),tî[-, )а>0 з) Строфоїда (Рис 63) х= а(t -)/(t +), y=at/(t -)/(t +), tî[ -, )а>0 и) Конхоїда Нікомеда (Рис 64): х=а + lcos t, y = a tg t + lsi t, tî[-π/, π/] права вітка, tî[π/, 3π/] ліва вітка, а > 0, l > 0 Розглянути випадки, коли l<a, l>a, l=a

152 5 Вправа 848 Побудувати криві по їх рівняннях у полярних координатах*) *) Полярні координати ρ, φ точки М на площині це відстань ρ=ом від фіксованої точки О (полюса) до точки М і кут φ= Ð РОМ між ОМ і полярною віссюз^ыо (напівпрямої) OP (Рис 68] а) Овали Касіні (Рис 65): r c cos j ± c cos j + ( a - c ) Розглянути випадки, коли а > c >0, 0<c<a< c 0<а<с б) Лемніската (Рис 66): r = a cosj, а>0 Вправа 849 Розглянемо трикутник зі сторонами х, х+, х+, де х деяке дійсне число (Рис 67) Кут α між сторонами х і х + є функцією від х Досліджувати область визначення і побудувати графік цієї функції Вправа 850 Креслення окружності, заданої параметричними рівняннями x = rcos t, y=rsi t, tî[0, π) (див попередню вправу), виконується досить повільно в зв язку з необхідністю обчислення тригонометричних функцій Процес можна при π/ скорити, якщо скористатися параметричними рівняннями - t t x = x + r, y = y + r, t Î [0,] c c + t + t Зазначена зміна параметра відповідає дузі кола від 0 до π/ Повне коло може бути

153 53 побудовано симетричним відображенням кожної отриманої точки щодо осі ОХ, осі OY і початку координат у припущенні, що початок координат сполучений з центром кола (Рис 69) Дано натуральні х с, у с, r Побудувати коло з центром у точці (х с, у с ) і радіусом r, скориставшись алгоритмом, описаним вище Вправа 85 Побудувати спіраль навколо початку координат з витками і зовнішнім радіусом r; початковий напрямок спіралі утворить з віссю ОХ кут α (Рис 70) Параметричне представлення спирали: х = r cos t, y = rsi t r=t/, a t π Вправа 85 Використовуючи рішення попередньої задачі, накреслити фігуру, показану на Рис 7 Фігура складається з чотирьох спіралей, укладених в окружність радіуса r з центром у точці (х с, у с ) Початковий кут однієї зі спіралей задано і дорівнює α, початковий кут кожної наступної спіралі перевищує початковий кут кожної попередньої спіралі на 45 Вправа 853 Спірограм це зубцюватий диск радіуса В, розміщений усередині колеса радіуса А Диск обертається против годинникової стрілки і завжди знаходиться в зачепленні з зовнішнім колесом У диску мається невеликий отвір на відстані D від центра диска, у яке поміщається олівець Грифель олівця в процесі обертання креслить малюнок; креслення закінчується, коли олівець повертається у вихідне положення За допомогою спірографа можуть бути побудовані малюнки, подібні приведеному на Рис 7 Рівняння кривої, що вичерчується грифелем, у параметричній формі має вид х=(а - B)cos t + D cos φ, y=(a - B)si t Dsi φ, де φ = (A/B)/, D<B<A

154 54 Кут t міняється від 0 до πп, п дорівнює В, діленому на найбільший спільний дільник (НСД) В і А (див вправу 89) Дано натуральні А, В, D (D < В < А) Скласти програму, що моделює спірограф Вправа 854 Побудувати на екрані безліч точок, координати яких задовольняють наступним нерівностям чи системам нерівностей: а) y + x x + ; б) х +у x + y ; в) 4 x + y x + y ; г) log /3 (х + у - ) > log /3 (y+ ), y - x - 3 < 3 - x ; д) y+ x 4; e) y-x <0, x +y 0 ж) у х -4х+3, у<x +4x+3 з) у х, у= х +3х; и) x - 3y + 4x + 4 x + х +у 4 Вправа 855 Криві дракона, показані на Рис 73, а 73, в, можуть бути побудовані за допомогою наступного рекурентного методу Кожній кривій ставиться у відповідність послідовність, що складається з нулів і одиниць (будемо називати її двійковою формулою), де одиниця відповідає повороту кривої ліворуч, а нуль повороту праворуч Крива дракона першого порядку має двійкову формулу (Рис 73, а) Для того щоб одержати двійкову формулу

155 55 кривої дракона кожного наступного порядку, варто приписати праворуч до формули кривої попереднього порядку одиницю Отримана послідовність дає половину шуканої формули Потім у послідовності цифр, що передують приписаній одиниці, варто замінити на нуль одиницю, що стоїть в її середині, після чого приписати отриману послідовність праворуч від уже побудованої частини формули На Рис 73, б показана крива дракона другого порядку, який відповідає двійкова формула 0, а на Рис 73, в крива дракона третього порядку їй відповідає двійкова формула 000 Криві будуються від хвоста до голови дракона і повернені так, щоб дракони пливли праворуч, а паща і кінчик хвоста доторкались до поверхні води Прямі кути звичайно округлюються дугою чи зрізуються (показане на Рис 73, а 73, в штриховою лінією) для того, щоб вершини кутів не стикалися і не створювалася ілюзія самоперетинання кривої Дано натуральне п Одержати криву дракона порядку п Вправа 856 Побудувати зображення, приведені на Рис 74, застосувавши який-небудь спосіб розфарбування Вправа 857 Дано натуральні числа п и r Побудувати п точок, що є вершинами правильного п-кутника, вписаного в коло радіуса r, і з єднати кожну з точок із всіма іншими п точками Координати точок задаються формулами x i => r cos (πi/), y i = rsi(πi/) (i=,,, п) Щоб уникнути повторного креслення ліній, що з єднують ті самі точки, кожну точка з номером і варто з єднувати тільки з тими точками з номерами j, для яких виконана умова і < j Вправа 858 Дано натуральне число м Побудувати фігури, показані на мал 75, а 75, r Фігури утворені багатокутника, уписаного в це коло, і з єднаних між собою певним чином Фігура на Рис 75, а це правильний восьмикутник, утворений послідовним з'єднанням його вершин Для побудови фігури на Рис 75, б варто з єднувати колом радіуса r і вісьмома

156 56 точками, що є вершинами правильного вершини багатокутника через одну При побудові фігури на Рис 75, в з єднуються вершини, що відстоять одна від одної на дві вершин, а при побудові фігури на Рис 75, г що відстоять на три вершини Вправа 859 Дано натуральні числа п і r Побудувати квадрат, довжина сторони якого дорівнює r Розмістити по одній точці в кожнім куті квадрата і по п- точок на кожній його стороні Відстані між сусідніми точками на кожній зі сторін повинні бути однаковими і рівними r/п Тим самим буде побудовано всього 4п точок, які можна занумерувати числами,, 4п (нумерація починається з лівого верхнього кута квадрата і виконується послідовно) З єднати кожну точку з номером і з усіма точками з номерами j (i,j=,, 4п) такими, що j > i і різниця j-і є число Фібоначчі, менше 4п (див вправу 44) Вправа 860 Рівняння f(x,y) = 0, що представляє всі точки (х, у) деякої кривої, називають рівнянням кривої в неявній формі Якщо крива поділяє площину на дві частини, то рівняння в неявній формі дозволяє визначити, чи лежить точка на кривій, якщо ні, то в якій частині вона лежить (див вправу 5) Дано натуральні числа r,, х с, у с, п, а 0,, а п- Числа r, х с, у с задають радіуса r з центром у точці (х с, у с ) Пари чисел а і a і+ (і кратне ) є координатами точок а) Побудувати коло і всі точки, задані послідовністю а 0, а - і що лежать поза колом б) Побудувати коло і всі точки, задані послідовністю а 0, а - і що лежать усередині кола в) Побудувати коло і всі точки, задані послідовністю а 0, а - і не приналежні колу Точки, що лежать поза колом й усередині його, повинні мати різні кольори Вправа 86 Дано натуральні числа а, b, c,, a 0,, a - Числа а, b, c задають пряму l з рівнянням ax + by + c = 0 Пари чисел a i, а і+ (і кратне ) є координатами точок а) Побудувати пряму l всі точки, задані послідовністю a 0,, a - і такі, що ах + bу + c < 0 б) Побудувати пряму l всі точки, задані послідовністю a 0,, a - і такі, що ах + bу + c > 0

157 57 в) Побудувати пряму l і всі точки задані послідовністю a 0,, a - і не приналежні прямій l Точки, що лежать по різні сторони від прямої, повинні мати різні кольори Вправа 86 Рівняння прямої в неявній формі (див вправу 860) має дуже корисну властивість; f(x,y) /(a +b ) дорівнює довжині перпендикуляра від точки (х, у) до прямої Наприклад, якщо f(x,у)= х+у+, то довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з точки (0, ), дорівнює f(0,) /5=4/5 Дано натуральні числа a, b t c, п, а 0,, а п- дійсне число r Числа a, b, c визначають пряму з рівнянням ах + bу + c = 0 Пари чисел a i, a i+i (і кратне ) є координатами точок а) Побудувати пряму l і всі точки, задані послідовністю a 0,, a - і не належать прямій l і такі, що довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму, менше r б) Побудувати пряму l і всі точки, задані послідовністю a 0,, a - і не належить прямій l і такі, що довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму, більше r в) Побудувати пряму l і всі точки, задані послідовністю a 0,, a - і не належать прямій l Точки, для яких довжина перпендикуляра, опущеного на пряму, менше r і більше r, повинні бути пофарбовані в різні кольори Вправа 863 Нехай дана система лінійних нерівностей a x+b y+c 0, a x+b y+c 0, a m x+b m y+c m 0, Кожна з нерівностей цієї системи визначає в координатній площині деяку напівплощину Якщо які-небудь числа х і у задовольняють усім нерівностям системи, то точка (х, у) належить перетинанню зазначених напівплощин Границя цього перетинання може складатися з відрізків, напівпрямих і цілих прямих У тому випадку, коли границя складається тільки з відрізків, перетинання напівплощин є опуклим багатокутником (ми тут називаємо багатокутником не тільки границю, але і всю безліч точок, охоплених границею) Обернене твердження, будь-який опуклий багатокутник, що належить координатній площини, може бути описаний системою нерівностей Нехай А,, А п послідовні вершини опуклого багатокутника, з яких ніякі три не лежать на одній прямій Можна виписати рівняння а х + b y + с = 0 прямої, що проходить через точки А, А Тому що багатокутник опуклий, то усі вершини А 3,, А п лежать в одній напівплощині щодо цієї прямої Тому як першу нерівність можна взяти а х + b y + с 0 чи -а х - b y - с 0 у залежності від того, являється чи не являється позитивним числом результат підстановки в а х + b y + с координат якої-небудь із точок

158 58 А 3,А 4,, А п Аналогічним чином варто поступати з рівняннями прямих, що проходять через точки А, А 5 і тд (останні дві точки А п, А ) Дано натуральні числа, a 0,, a - Пари чисел a i, а i+, (і кратне ), є координатами точок Розглядається границя l опуклого багатокутника з вершинами в точках (36, 30), (30, 7), (4, 30), (30, 39) Побудувати l, а також точки, задані послідовністю a 0,, a - а) що лежать поза багатокутником; б) що лежать усередині багатокутника, але не на l; в) приналежні l (точки виділити кольором, відмінним від кольору l); г) що лежать де-небудь на площині; ті точки, що лежать усередині багатокутника, на його границі і поза ним, повинні мати різні кольори, жоден з який не збігається з кольором границі Вправа 864 Нехай дві точки задані своїми координатами (х, у ) і (х, у ) Пряма, що проходить через ці дві точки, може бути описана наступними параметричними рівняннями: х=х +(х -х )t, y=y +(y -y )t При 0 < t < точка (х, у) лежить усередині відрізка і поділяє його у відношенні t/( t)\ при t=0 досягається кінець відрізка (х,у ), при t = кінець (x,у ) При t> точка (х, у) лежить на прямій поза відрізком з тієї ж сторони від (х,у ), що і (x,у ); при t < 0 із протилежної сторони Дано натуральні числа х І,y,х, у, дійсне число μ (0 μ<) Побудувати відрізок з координатами кінців (х,у ), (х, у ) і точку що ділить відрізок в у відношенні μ/(l μ) Вправа 865 Накреслити візерунок, показаний на Рис 76 Візерунок утворений 0 вкладеними квадратами Сторони першого квадрата рівнобіжні осям координат екрана і рівні 60 Вершини кожного наступного квадрат це точки на сторонах попереднього квадрата, що поділяють ці сторони у відношенні μ = 008 (див попередню вправу) Вправа 866 Накреслити візерунок, що повторює візерунок, описаний в попередній вправі, але складений з а) трикутників; б) п ятикутників; в) шестикутників