Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця

Transcription

1 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця РЕДАКЦIЙНА КОЛЕГIЯ ЖУРНАЛУ А. Г. Наумовець (головний редактор), П. I. Андон, Я. Б. Блюм, В. Л. Богданов (заст. головного редактора з наук. питань), А.Ф. Булат, Г.М. Гавричкова (заст. головного редактора), П. Ф. Гожик, В. П. Горбулiн, В. Т. Грiнченко, Г. В. Єльська, А. Г. Загороднiй, М. Ю. Iльченко, М. Т. Картель, О. В. Кириленко, С.В. Комiсаренко, В.Г. Кошечко, В.П. Кухар, Л.М. Лобанов, В. М. Локтєв, В. В. Моргун, О. М. Пономаренко, А. М. Самойленко, В. I. Старостенко, Є. Я. Хруслов, В. Ф. Чехун, М. Ф. Шульга, Я. С. Яцкiв Нацiональна академiя наук України, 2015

2 Редактори роздiлiв Л.М. Литвинова, Л.I. Пузанкова, Т. I. Хоменко Оформлення художника В. Г. Самсонова Комп ютерна верстка В. I. Бойко, Г. В. Попович Видавничий дiм «Академперiодика» Свiдоцтво про внесення до Держреєстру суб єкта видавничої справи серiї ДК 544 вiд , Київ, вул. Терещенкiвська, 4 Пiдписано до друку Формат /16. Ум. друк. арк. 18,90. Обл.-вид. арк. 18,4. Тираж 195 прим. Зам Цiна 40 грн. Друкарня Видавничого дому «Академперiодика» , Київ, вул. Терещенкiвська, 4

3 Змiст Математика Грищук С.В. Гiперкомплекснi моногеннi функцiї бiгармонiчної змiнної в деяких задачах плоскої теорiї пружностi... 7 Коробов В.И., Ревина Т.В. Решение задачи робастного позиционного синтеза для канонической системы Петков И.В. О граничном поведении гомеоморфизмов класса W 1,1 loc на плоскости по простым концам Iнформатика та кiбернетика Механiка Фiзика Редько В. Н., Буй Д. Б., Пузiкова А. В. Аксiоматика багатозначних залежностей табличних баз даних Багно А.М. О частотном спектре нормальных волн в предварительно напряженном сжимаемом слое, взаимодействующем со слоем идеальной жидкости Гринченко В. Т., Каян В. П. Оптимизация характеристик ветроротора Дарье с прямыми управляемыми лопастями Калиняк Б.М. Визначення температурного поля та термомеханiчних характеристик матерiалу, якi забезпечують нульовi радiальнi напруження у неоднорiдному вздовж радiуса довгому порожнистому цилiндрi Хорошун Л.П. Плоская задача об образовании шейки в пластине с трещиной Гайдар Г.П., Баранський П.I. Експериментальний доказ незмiнностi форми iзоенергетичних елiпсоїдiв n Ge в умовах сильної одновiсної пружної деформацiї Енергетика Халатов А.А., Борисов И.И., Дашевский Ю.Я., Пахомов М.А., Терехов В.И. Пленочное охлаждение с помощью однорядных систем наклонных отверстий в углублениях Матерiалознавство Шевченко О.М., Максимова Г.О., Даниленко М.I., Ковиляєв В.В., Фiрстов С.О. Карбiднi перетворення в процесi отримання хромової карбiдосталi евтектичного типу.. 83 Науки про Землю Вернигорова Ю. В., Коваленко В. А. Особенности стратиграфии мэотических отложений юга Украины по остракодам Козленко Ю.В. Глибинна будова пiвнiчно-схiдної частини Чорного моря за результатами сейсмогравiтацiйного моделювання Логвинов И. М. Карта суммарной продольной проводимости осадочного чехла Днепровско-Донецкой впадины и Донбасса Лукин А. Е. О природе трещиноватости нефтегазоносных пород-коллекторов с низкопроницаемой матрицей

4 Хiмiя Бiологiя Бiохiмiя Теребiленко К.В., Кисельов Д.В., Одинець Є.В., Слободяник М.С. Синтез монокристалiв NaY(MoO 4 ) 2 з молiбдат-фторидних розплавiв Гулевський О.К., Рєпiн М.В., Щенявський I.Й. Порушення бар єрних властивостей мембран еритроцитiв при впливi низьких температур результат дезорганiзацiї надмолекулярної структури гемоглобiну Сафронова Л. А. Биологическая активность пробиотических штаммов бацилл основы препарата эндоспорина Бабенко Л.М., Щербатюк М.М., Косакiвська I.В. Структурно-функцiональнi особливостi кореневища Equisetum arvense L. в онтогенезi Мельничук Д.О., Грищенко В.А. Особливостi формування бiлкового спектра плазми кровi у ссавцiв у перiод новонародженостi Чуркiна Л.М., Авдєєва Л.В., Ярошенко Л.В. Ефективнiсть рiзних способiв зберiгання продуцента антистафiлококового антибiотика батумiну, перспективного для промислового виробництва Медицина Екологiя Лизогуб В.Г., Завальська Т.В., Богдан В.В., Жорнiченко Д.М. Замiннi амiнокислоти плазми кровi у хворих на стабiльну та нестабiльну стенокардiю Ковальчук О. М., Ємельянов I. Г. Динамiка рiзноманiття прiсноводної iхтiофауни в пiзньому мiоценi пiвдня України

5 Contents Mathematics Gryshchuk S.V. Hypercomplex monogenic functions of the biharmonic variable in some problems of plane elasticity theory Korobov V.I., Revina T.V. The solution of the robust feedback synthesis problem for a canonical system Petkov I.V. The boundary behavior of homeomorphisms of the class W 1,1 loc on a plane by prime ends Information Science and Cybernetics Mechanics Physics Energetics Redko V.N., Bui D.V., Puzikova A.V. An axiomatics for multivalued dependences in tabular databases Bahno O.M. On the frequency spectrum of normal modes in a prestressed compressible layer interacting with the layer of an ideal fluid Grinchenko V.T., Kayan V.P. Performance optimization of a Darrieus wind turbine with straight controlled blades Kalynyak B.M. Determining the temperature field and thermomechanical characteristics of a material, which ensure zero radial stresses in a long hollow cylinder inhomogeneous in the radial direction Khoroshun L.P. The plane problem of formation of a neck in the cracked plate Gaidar G.P., Baranskii P.I. Experimental proof of the shape constancy for isoenergetic ellipsoids in n Ge under strong uniaxial elastic deformation Khalatov A.A., Borisov I.I., Dashevsky Y.Y., Pachomov M.A., Terechov V.I. Film cooling by means of one-row inclined holes arranged in dimples Materials Science Shevchenko O.M., Maksimova G.A., Danilenko N.I., Kovylyaev V.V., Firstov S.A. Carbides transformations in obtaining a chromium carbide steel of the eutectic type Geosciences Vernyhorova Yu.V., Kovalenko V.A. Stratification features of the Meotian sediments of the Southern Ukraine by ostracodas Kozlenko Yu.V. Deep structure of the North-East part of the Black Sea based on the results of seismogravity modeling Logvinov I.M. Map of the total longitudinal conductivity of the sedimentary cover of the Dnieper-Donets depression and Donbas Lukin A.E. On the nature of the fracturing of petroliferous rocks-reservoirs with lowpermeable matrix

6 Chemistry Biology Terebilenko K.V., Kyselov D.V., Odynets I.V., Slobodyanik M.S. Synthesis of NaY(MoO 4 ) 2 single crystals from molybdate-fluoride melts Gulevsky A.K., Repin M.V., Schenyavsky I.I. Low-temperature impairment of erythrocyte membrane barrier properties a result of the disorganization of the supramolecular hemoglobin structure Safronova L.A. The biological activity of the probiotic strains of bacilli base of the preparation endosporin Biochemistry Medicine Ecology Babenko L.M., Shcherbatiuk M.M., Kosakivska I.V. Structural-functional peculiarities Equisetum arvense L. rhizomes in ontogenesis Melnychuck D.O., Gryshchenko V.A. The formation peculiarities of the protein spectrum of blood plasma in mammals during the neonatal period Churkina L.N., Avdeeva L.V., Yaroshenko L.V. The efficiency of different storage methods for a producer of the antistaphylococcal antibiotic batumin promising for industrial-scale production Lyzogub V. G., Zavalskaya T. V., Bogdan V. V., Zhornichernko D. M. Blood plasma nonessential aminoacids of stable and unstable stenocardia patients Kovalchuk O.M., Emelyanov I.G. Dynamics of the freshwater ichthyofauna diversity in the Late Miocene of the Southern Ukraine

7 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ МАТЕМАТИКА УДК С.В. Грищук Гiперкомплекснi моногеннi функцiї бiгармонiчної змiнної в деяких задачах плоскої теорiї пружностi (Представлено членом-кореспондентом НАН України Ю.Ю. Трохимчуком) Одержано вирази для розв язкiв системи рiвнянь рiвноваги Ляме у змiщеннях через компоненти гiперкомплексних моногенних функцiй бiгармонiчної змiнної. Знайдено опис усiх моногенних функцiй, що мають однiєю з дiйсних компонент дану бiгармонiчну функцiю, асоцiйовану з розв язком задачi Фламана для iзотропної пiвплощини. Ключовi слова: бiгармонiчне рiвняння, бiгармонiчна функцiя, бiгармонiчна алгебра, бiгармонiчна площина, моногенна функцiя, система рiвнянь рiвноваги Ляме у змiщеннях, задача Фламана для iзотропної пiвплощини. Асоцiативну, комутативну над полем комплексних чисел C алгебру другого рангу з одиницею 1, згiдно з роботою [1], будемо називати бiгармонiчною, якщо вона мiстить базис {e 1,e 2 }, що задовольняє вимоги (e 2 1 +e 2 2) 2 = 0, e 2 1 +e 2 2 0, (1) який також будемо називати бiгармонiчним. Ця алгебра єдина [1], породжується небiгармонiчним базисом {1,ρ}, де ρ 2 = 0. Дану алгебру будемо позначати через B. Обмежимося надалi розглядом бiгармонiчного базису {e 1,e 2 } з такою таблицею множення: e 1 = 1, e 2 2 = e 1 +2ie 2, (2) де i уявна комплексна одиниця комплексної площини C. Базис {e 1,e 2 } пов язаний з нiльпотентом ρ спiввiдношенням ρ = 2 + 2ie 2. Бiгармонiчний базис (2) введено у розгляд авторами роботи [2]. Розглянемо евклiдову норму a := z z 2 2, де a = z 1 e 1 + z 2 e 2 B та z 1,z 2 C. Нехай D ζ є областю бiгармонiчної площини µ := {xe 1 + ye 2 }, де x, y дiйснi. Нехай D z := {z = x + iy C: ζ = e 1 x + e 2 y D ζ }. Розглядаємо моногеннi в D ζ функцiї, тобто функцiї виду Φ: D ζ B: Φ(ζ) = U 1 (x,y)e 1 +U 2 (x,y)ie 1 +U 3 (x,y)e 2 +U 4 (x,y)ie 2, (3) С. В. Грищук, 2015 ISSN Допов. НАН України, 2015, 6 7

8 x, y R, що мають класичну похiдну в кожнiй точцi ζ з D ζ. Кожна компонента U k, k = 1,4, є бiгармонiчною функцiєю в D := {(x,y) R 2 : ζ = x+e 2 y D ζ } (див., наприклад, [3, 4]), тобто задовольняє бiгармонiчне рiвняння в областi D: 2 U(x,y) 4 U(x,y) x U(x,y) x 2 y U(x,y) y 4 = 0. (4) Для кожної функцiї Φ: D ζ B в зображеннi виду (3) будемо позначати U k [Φ] := U k, k = 1,...,4. У роботi [4] одержано конструктивний опис усiх моногенних функцiй бiгармонiчної змiнної ζ за допомогою голоморфних функцiй комплексної змiнної i встановлено їх аналiтичнi властивостi, аналогiчнi властивостям функцiй комплексної змiнної: iнтегральна теорема та iнтегральна формула Кошi, теорема Морера, теорема єдиностi, тейлорiвськi та лоранiвськi розвинення. Зокрема, встановлено, що довiльна моногенна функцiяφ: D ζ B бiгармонiчної змiнної ζ = xe 1 + ye 2 D ζ подається через двi аналiтичнi функцiї F, F 0 комплексної змiнної z = x + iy D z у виглядi ( ) iy Φ(ζ) = F(z)e 1 2 F (z) F 0 (z) ρ F[u 1,v 1,u 0,v 0 ](z), (5) деu 1 (x,y) := ReF(z), v 1 (x,y) := ImF(z), u 0 (x,y) := ReF 0 (z), v 0 (x,y) := ImF 0 (z), z = x+iy. Зауважимо, що в роботi [5] рiвнiсть (5) записана за базисом {1, 2iρ} i встановлена для моногенних функцiй Φ, визначених у правильних вiдносно осi y областях D ζ, тобто в таких областях, що з кожною своєю точкою (x,y) D, y > 0, мiстять i вiдрiзок, що сполучає точки (x,y) та (x, y). У роботах [6, 7] розглянуто асоцiативну, комутативну над полем дiйсних чисел R алгебру четвертого рангу з одиницею 1, що складається з елементiв виду {a + jb + j 2 c + j 3 d}, де елемент алгебри j задовольняє спiввiдношення (1+j 2 ) 2 = 0, (6) а компоненти a, b, c, d є дiйсними числами. Компоненти моногенних функцiй F(x+jy) = = a(x,y)+jb(x,y)+j 2 c(x,y)+j 3 d(x,y), x,y R, задовольняють бiгармонiчне рiвняння (4). Встановлено аналiтичнi властивостi даних моногенних функцiй для функцiй, визначених на вiдрiзку. Кожний елемент даної алгебри можна подати у виглядi c 1 +ρc 2, де c k, k = 1,2, комплекснi числа. Отже, дана алгебра збiгається з бiгармонiчною алгеброю (з точнiстю до iзоморфiзму) B. Рiвнiсть (6) показує, що базис {1,j} є бiгармонiчним. Умови моногенностi Кошi Рiмана функцiї F(x,y) збiгаються з системою рiвнянь рiвноваги Нав є плоскої теорiї пружностi у випадку вiдсутностi об ємних сил (див. [8, c. 104; 9, c. 368]): σ x x + τ xy y = 0, τ xy x + σ y y = 0, 2 τ xy = 0, при ототожненнi σ x з c, σ y з a, τ xy з c. (7) 8 ISSN Dopov. NAN Ukraine, 2015, 6

9 1. Моногеннi функцiї i рiвняння рiвноваги Ляме у змiщеннях. Розглянемо систему рiвнянь рiвноваги Ляме у змiщеннях у випадку вiдсутностi об ємних сил (див. [10, c. 100] при F 1 = F 2 0, u := u 1, v := u 2 ): u+γ θ x = 0, v +γ θ y = 0, де θ := u/ x + v/ y, γ = (λ + µ)µ 1, λ i µ cталi Ляме. Вiдмiтимо, що γ є деякою додатною сталою, що залежить вiд пружних властивостей середовища; змiщення u(x, y) i v(x, y) є бiгармонiчними функцiями в областi D, а функцiя поверхневого розширення θ(x, y) гармонiчною. Вiдшуканню розв язкiв системи (8) присвячено чимало дослiджень, вiдзначимо, наприклад, книгу [11], де автор вiдшуковує полiномiальнi розв язки. У роботi [12] одержано частиннi розв язки системи (8) для областi D, опуклої в напрямку осi Oy, через компоненти U k (x,y), k = 1,4, моногенної функцiї (3) в областях, опуклих у напрямку осi y. Зауважимо, що умову опуклостi можна зняти, застосовуючи зображення (5) моногенної функцiї через двi аналiтичнi функцiї комплексної змiнної та умову моногенностi Кошi Рiмана (див. [3]). Справедлива теорема. Теорема 1. Нехай функцiя (3) є моногенною в областi D ζ. Тодi пари функцiй u(x,y) = 2 γ U 1(x,y) 2+γ γ U 4(x,y), u(x,y) = 2+γ γ U 2(x,y) 2(1+γ) U 3 (x,y), γ u(x,y) = 2 γ U 2(x,y) 2+γ U 3 (x,y), γ v(x,y) = U 2 (x,y), v(x,y) = U 4 (x,y), v(x,y) = U 1 (x,y) є розв язками системи (8). Аналогiчним чином узагальнюються усi iншi результати роботи [12]. 2. Моногеннi функцiї i розв язки задач типу задачi Фламана для iзотропної пiвплощини. Задача про зосереджену силу, прикладену перпендикулярно до поверхнi пружної iзотропної пiвплощини, вiдома як задача Фламана (див. [9, c. 516; 13, с. 109]). Математично дана задача полягає у вiдшуканнi бiгармонiчної функцiї напружень U у верхнiй пiвплощинi π + := {(x,y) R 2 : y > 0} з крайовими умовами при y = 0: U y = 0, U = u, де u певна дiйснозначна функцiя. Для розв язання даної задачi необхiдно знайти бiгармонiчну функцiю напружень U := = U у верхнiй пiвплощинi π + у випадку вiдсутностi навантаження, дотичного до межi пiвплощини, тобто лише пов язану крайовою умовою U/ y = 0 при y = 0. Вiдомо (див. [9, c. 516]), що функцiя U має вигляд U(x,y) = ϕ(x,y) y ϕ(x,y), (10) y де ϕ довiльна гармонiчна у верхнiй пiвплощинi функцiя. (8) (9) ISSN Допов. НАН України, 2015, 6 9

10 Розписуючи покомпонентно моногенну функцiю (5) та застосовуючи рiвнiсть ρ = ie 2, одержуємо для кожного ζ = x + e 2 y D ζ рiвностi U 1 [Φ(ζ)] = u 1 (x,y) y u 1(x,y) y +2u 0 (x,y), (11) U 2 [Φ(ζ)] = v 1 (x,y) y v 1(x,y) +2v 0 (x,y), (12) y ( U 3 [Φ(ζ)] = 2v 0 (x,y) y v ) 1(x,y), (13) y U 4 [Φ(ζ)] = 2u 0 (x,y) y u 1(x,y), (14) y де пари функцiй u 1 (x,y), v 1 (x,y) i u 0 (x,y), v 0 (x,y), вiдповiдно, є гармонiчно спряженими функцiями комплексної змiнної z = x + iy. Розглянемо верхню пiвплощину Π + := {ζ = xe 1 + ye 2 µ: y > 0} бiгармонiчної площини µ. Має мiсце теорема. Теорема 2. Нехай функцiя U є загальним розв язком крайової задачi, що полягає у вiдшуканнi бiгармонiчної функцiї в π + такої, що U/ y = 0 при y = 0. Нехай u 1 (x,y), v 1 (x,y) є довiльними гармонiчно спряженими функцiями комплексної змiнної z = x + iy у верхнiй пiвплощинi {z C: Imz > 0}. Тодi мають мiсце рiвностi де U(x,y) = U k [Φ k (ζ)+φ k,0 (ζ)], k = 1,4, ζ = xe 1 +ye 2 Π +, (15) Φ 1 (ζ) := F[u 1,v 1,0,ia](z), Φ 2 (ζ) := F[u 1,v 1,a,0](z), [ Φ 3 (ζ) := F u 1,v 1, u 1 2, v ] 1 (z), Φ 4 (ζ) := Φ 3 (ζ), 2 Φ 1,0 (ζ) := i( a 1 x 2 +a 2 x a 1 y 2 b 2 y +b 3 )+e 2 (2a 1 y 2 +2b 2 y +a 3 )+ +ie 2 ( 2a 1 xy b 2 x+a 2 y +c), Φ 2,0 (ζ) := a 1 x 2 +a 2 x+a 1 y 2 +b 1 y +a 3 +e 2 (2a 1 xy +b 1 x+a 2 y +c)+ +ie 2 (2b 1 y 2 +2b 2 y +b 3 ), Φ 3,0 (ζ) := 2a 1 x 2 +2a 2 x+a 3 +i(2a 1 xy+b 1 x+a 2 y+c)+ie 2 (a 1 x 2 +a 2 x+a 1 y 2 +b 1 y+b 3 ), Φ 4,0 (ζ) := 2b 1 xy+b 2 x a 1 y+c+i( 2b 1 x 2 +2a 1 x+a 2 )+e 2 (b 1 x 2 a 1 x+b 1 y 2 +b 2 y+b 3 ), де a, c, a k i b k, k = 1,2,3, є довiльними дiйсними числами. Для кожного фiксованого k {1,...,4} формула Φ k (ζ) = Φ k (ζ)+φ k,0 (ζ) ζ = xe 1 +ye 2 Π + (16) описує усi моногеннi в Π + функцiї такi, що виконується рiвнiсть U(x,y) = U k [ Φ k (ζ)]. Теорема доводиться з урахуванням рiвностей (11) (14) та iнтегруванням умови моногенностi Кошi Рiмана (див. [3]) з певним U k 0, k {1,...,4}. 10 ISSN Dopov. NAN Ukraine, 2015, 6

11 Використовуючи одержанi вирази моногенних функцiй та розв язуючи вiдповiдну задачу Дiрiхле для гармонiчних функцiй, можна описати усi моногеннi функцiї, фiксована компонента яких є розв язком задачi Фламана. Для випадку навантаження силою, що прикладена вздовж поверхнi пружної iзотропної пiвплощини, можна встановити аналогiчнi результати. При цьому крайовi умови (9) замiнюються на такi (див. [9, c. 520]): U/ y = P(x), U = 0 при y = 0, а функцiя навантажень має вигляд U(x,y) = yf 2 (x,y), де гармонiчна в π + функцiя f 2 є розв язком задачi Дiрiхле: f 2 (x,0) = P(x), а отже, подається iнтегралом Пуасcона f 2 (x,y) = y π Цитована лiтература P(t)dt (x t) 2 +y Мельниченко И. П. Бигармонические базисы в алгебрах второго ранга // Укр. мат. журн , 2. С Ковалев В. Ф., Мельниченко И. П. Бигармонические функции на бигармонической плоскости // Докл. АН УССР. Сер. А С Грищук С.В., Плакса С.А. Моногенные функции в бигармонической алгебре // Укр. мат. журн , 12. С Грищук С. В., Плакса С. А. Моногенные функции в бигармонической плоскости // Доп. НАН України С Ковалев В.Ф. Бигармоническая задача Шварца. Киев, с. (Препр. / НАН Украины. Ин-т математики; 86.16). 6. Sobrero L. Nuovo metodo per lo studio dei problemi di elasticità, con applicazione al problema della piastra forata // Ric. Ingegn , No 2. P Sobrero L. Alcuni teoremi della teoria delle funzioni ipercomplesse // Rend. Accad. d. L. Roma (19). P Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. Москва: Наука, с. 9. Лурье А.И. Теория упругости. Москва: Наука, с. 10. Амензаде Ю. А. Теория упругости. Учебник для университетов. 3-е изд., доп. Москва: Высш. шк., с. 11. Бондаренко Б.А. Полигармонические полиномы. Ташкент: Фан, с. 12. Ковалев В.Ф., Мельниченко И.П. Бигармонические потенциалы и плоские изотропные поля смещений // Укр. мат. журн , 2. С Гузь О.М., Бабич С.Ю., Рудницький В.Б. Контактна взаємодiя пружних тiл з початковими напруженнями. Київ: Вища шк., с. References 1. Mel nichenko I.P. Ukr. Mat. J., 1986, 38, No 2: (in Russian). 2. Kovalev V.F., Mel nichenko I.P. Dokl. AN USSR, Ser. A, 1981, No 8: (in Russian). 3. Grishchuk S.V., Plaksa S.A. Ukr. Math. J., 2009, 61, No 12: Gryshchuk S.V., Plaksa S.A. Dopov. NAN Ukraine, 2009, No 12: (in Ukrainian). 5. Kovalev V. F. Biharmonic Schwarz problem. Preprint No Institute of Mathematics, Ukrainian Academy of Sciences, Kiev, 1986 (in Russian). 6. Sobrero L. Ric. Ingegn., 1934, 13, No 2: Sobrero L. Rend. Accad. d. L. Roma, 1934, 6(19): Muskhelishvili N.I. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Fundamental equations, plane theory of elasticity, torsion and bending, Leiden: Noordhoff International Publishing, Lurie A.I. Theory of elasticity, Moscow: Nauka, 1970 (in Russian). ISSN Допов. НАН України, 2015, 6 11

12 10. Amenzhade Yu. А. Theory of elasticity. Textbook for universities, 3-d ed., Moscow: Vyshaya Shkola, 1976 (in Russian). 11. Bondarenko B.A. Polyharmonic polynomials, Tashkent: Fan, 1968 (in Russian). 12. Kovalev V.F., Mel nichenko I.P. Ukr. Math. J., 1988, 40, No 2: Guz A. N., Babich S. Yu., Rudnitsky V. B. Contact interaction for elastic bodies with initial stresses, Кyiv: Vyshcha Shkola, 1995 (in Ukrainian). Iнститут математики НАН України, Київ Надiйшло до редакцiї С.В. Грищук Гиперкомплексные моногенные функции бигармонической переменной в некоторых задачах плоской теории упругости Институт математики НАН Украины, Киев Получены выражения для решений системы уравнений равновесия Ляме в смещениях через компоненты гиперкомплексных моногенных функций бигармонической переменной. Получено описание всех моногенных функций, которые в качестве одной из действительных компонент имеют бигармоническую функцию, ассоциированную с решением задачи Фламана для изотропной полуплоскости. Ключевые слова: бигармоническое уравнение, бигармоническая функция, бигармоническая алгебра, бигармоническая плоскость, моногенная функция, система уравнений равновесия Ляме в смещениях, задача Фламана для изотропной полуплоскости. S.V. Gryshchuk Hypercomplex monogenic functions of the biharmonic variable in some problems of plane elasticity theory Institute Mathematics of the NAS of Ukraine, Kiev Solutions of the Lamè equilibrium system of equations for displacements are obtained via components of the hypercomplex monogenic functions of the biharmonic variable. The description of all monogenic functions, for which one of the real components is a biharmonic function associated with a solution of the Flamant problem for an isotropic half-plane, is obtained. Keywords: biharmonic equation, biharmonic function, biharmonic algebra, biharmonic plane, monogenic function, Lamè equilibrium system in displacements, Flamant problem for isotropic semiplane. 12 ISSN Dopov. NAN Ukraine, 2015, 6

13 УДК В.И. Коробов, Т.В. Ревина Решение задачи робастного позиционного синтеза для канонической системы (Представлено академиком НАН Украины Е. Я. Хрусловым) Рассмотрены задачи глобального и локального робастного позиционного синтеза ограниченного управления системой с неизвестным ограниченным возмущением. Решение основано на методе функции управляемости В. И. Коробова. Найден наибольший отрезок изменения границ возмущения и построено управление, которое переводит произвольную начальную точку в начало координат за конечное время при любом возмущении, удовлетворяющем ограничениям. Получена оценка на время движения из произвольной начальной точки в начало координат. Ключевые слова: метод функции управляемости, задача робастного синтеза, неизвестное ограниченное возмущение, позиционное ограниченное управление. Рассмотрим задачу робастного позиционного синтеза ограниченного управления для системы ẋ 1 = (1+p(t,x))x 2, ẋ i = (1+r ii+1 p(t,x))x i+1, i = 2,...,n 1, (1) ẋ n = u, где t 0, x Q R n, Q это некоторая окрестность начала координат, u скалярное управление, удовлетворяющее ограничению u 1, r ii+1, i = 2,...,n 1, некоторые заданные числа, p(t, x) неизвестное ограниченное возмущение, удовлетворяющее ограничению d 1 p(t,x) d 2, d 1 < 0, d 2 > 0. В работе [1] рассмотрена задача робастного позиционного синтеза при одном возмущении, т.е. в системе (1) r ii+1 = 0, i = 2,...,n 1. В работе [2] рассмотрен случай симметричного отрезка, т.е. d 1 = d 2. Перепишем систему (1) в матричном виде ẋ = (A 0 +p(t,x)r)x+b 0 u, где A 0 матрица, у которой элементы верхней наддиагонали равны 1, а остальные элементы нулевые, b 0 вектор, у которого последний элемент равен 1, а остальные элементы нулевые, r R = r n 1n В. И. Коробов, Т. В. Ревина, 2015 ISSN Допов. НАН України, 2015, 6 13

14 Для пары чисел d 1 < d 2 через P d1,d 2 обозначим класс функций p(t,x): [0;+ ) Q R, удовлетворяющих следующим условиям: 1) p(t, x) непрерывна по совокупности переменных; 2) в каждой области K 1 (ρ 2 ) = {(t,x): 0 t < +, x ρ 2 }, функция p(t,x) удовлетворяет условию Липшица p(t,x ) p(t,x ) l 1 (ρ 2 ) x x, где l 1 (ρ 2 ) зависит от функции p; 3) для всех (t,x) [0;+ ) Q функция p(t,x) удовлетворяет ограничению d 1 p(t,x) d 2. Определение 1. Под (d 1,d 2 )-локальным робастным позиционным синтезом ограниченного управления будем понимать нахождение такого управления u = u(x), x Q, что: 1) в каждой области K 2 (ρ 1,ρ 2 ) = {x: 0 < ρ 1 x ρ 2 } функция u(x) удовлетворяет условию Липшица u(x ) u(x ) l 2 (ρ 1,ρ 2 ) x x ; 2) u(x) 1 для всех x Q; 3) для всех p(t,x) P d1,d 2 траектория x(t) замкнутой системы ẋ = (A 0 +p(t,x)r)x+b 0 u(x), (2) выходящая из произвольной начальной точки x 0 Q, оканчивается в начале координат в некоторый конечный момент времени T(x 0,p), т.е. lim x(t) = 0. Если Q = t T(x 0,p) Rn, то синтез будем называть глобальным. Наша цель для заданных r ii+1,i = 2,...,n 1, получить границы наибольшего отрезка [d 1 ;d 2 ] и построить управление, которое переводит произвольную начальную точку в начало координат за конечное время. Заметим, что при d 1 1 в системе (1) первая координата не управляема (при p(t,x) 1), т.е. не при всех d 1 и d 2 задача разрешима. Решение задачи основано на методе функции управляемости [3 5]. Изложим суть метода. Рассмотрим нелинейную систему ẋ = f(t,x,u), (3) где x Q R n, Q это некоторая окрестность начала координат, u Ω R r, причем Ω таково, что 0 intω, f(t,0,0) = 0. Под локальным позиционным синтезом ограниченного управления будем понимать нахождение такого управления u = u(x) Ω, что траектория x(t) замкнутой системы ẋ = f(t, x, u(x)), выходящая из произвольной начальной точки x(0) = x 0 Q, оканчивается в начале координат в некоторый конечный момент времени T(x 0 ), т.е. lim t T(x 0 ) x(t) = 0. При этом если Q = Rn, то синтез называется глобальным. Отметим трудности решения этой задачи. Поскольку через конечную точку проходит бесконечное число траекторий и время движения по каждой траектории в эту точку конечно, то в силу теоремы о единственности решения правая часть уравнения (3) с выбранным управлением не может удовлетворять условию Липшица в рассматриваемой окрестности. Для решения задачи позиционного синтеза в 1979 г. В. И. Коробовым был предложен метод функции управляемости [3, 4], развитый в работах [6 8] и др. В работе [9] метод 14 ISSN Dopov. NAN Ukraine, 2015, 6

15 функции управляемости был обобщен на случай систем с возмущением. Задача робастного позиционного синтеза для конкретных систем в формулировке, близкой к изложенной, рассматривалась в [10, 11]. Приложение метода к задачам управления хаосом можно найти в работе [12]. Среди других работ, посвященных проблемам синтеза за конечное время, можно отметить [13, 14]. Опишем один из возможных подходов к решению задачи глобального позиционного синтеза для канонической системы [5, 6]: ẋ 1 = x 2, ẋ 2 = x 3,..., ẋ n 1 = x n, ẋ n = u, (4) где x R n, u скалярное управление, удовлетворяющее ограничению u 1. Заметим, что при p(t, x) = 0 система (1) полностью управляема и совпадает с системой (4). Пусть 1 F 1 = (1 t)e A0t b 0 b 0e A 0 t dt, 0 D(Θ) = diag ( Θ (2n 2i+1)/2) n i=1. Пусть f ij элементы матрицы F. Теорема 1 [6]. Пусть функция управляемости Θ = Θ(x) единственное положительное решение уравнения 2a 0 Θ = (D(Θ)FD(Θ)x,x), x 0, Θ(0) = 0, (5) где постоянная a 0 выбирается согласно неравенству 0 < a 0 2 f nn. (6) Тогда управление вида u(x) = 1 2 b 0D(Θ(x))FD(Θ(x))x (7) решает для системы (4) задачу глобального позиционного синтеза непрерывного управления, удовлетворяющего ограничению u 1. При этом функция управляемости Θ(x 0 ) является временем движения из произвольной точки x 0 R n в начало координат. Результаты. Обозначим y(θ, x) = D(Θ)x, ( H = diag 2n 2i+1 ) n, F 1 = F FH HF = ((2n i j +2)f ij ) n i,j=1 2. i=1 Заметим, что F 1 положительно определенная матрица [5]. Обозначим S(Θ) = Θ(FD(Θ)RD 1 (Θ)+D 1 (Θ)R D(Θ)F). (8) Справедливо тождество [5] D(Θ)RD 1 (Θ) = Θ 1 R, откуда следует, что матрица S не зависит от Θ и имеет вид S(Θ) = S 0 = FR+R F. ISSN Допов. НАН України, 2015, 6 15

16 Выберем постоянную a 0, удовлетворяющую неравенству (6). Рассмотрим замкнутую систему (2), где u(x) задается формулой (5), Θ(x) единственное положительное решение уравнения (2). Обозначим через x(t) траекторию системы (2) и найдем производную в силу системы Θ = d Θ(x(t)). Аналогично [2] имеем dt Θ = ( F1 +p(t,x)s 0 )y(θ,x),y(θ,x)) (F 1. (9) y(θ,x),y(θ,x)) Пусть λ min (Z) и λ max (Z) обозначает наименьшее и наибольшее собственные значения матрицы Z соответственно. Теорема 2. Обозначим d 0 1 = 1/λ min ((F 1 ) 1 S 0 ), d 0 2 = 1/λ max ((F 1 ) 1 S 0 ). Выберем 0 < < γ 1 < 1, γ 2 > 1. Пусть d 0 1 = max{(1 γ 1 ) d 0 1;(1 γ 2 ) d 0 2}, d 0 2 = min{(1 γ 1 ) d 0 2;(1 γ 2 ) d 0 1}. (10) Тогда для всех d 1 и d 2 таких, что d 0 1 < d 1 < d 2 < d 0 2 управление, задаваемое формулой (7), решает задачу (d 1,d 2 )-глобального робастного позиционного синтеза. При этом траектория системы (2), выходящая из произвольной начальной точки x(0) = x 0 R n, оканчивается в точке x 1 (T) = 0 в некоторый конечный момент времени T = T(x 0,d 1,d 2 ), для которого выполнена оценка Θ(x 0 ) γ 2 T(x 0,d 1,d 2 ) Θ(x 0) γ 1. (11) Рассмотрим более общую задачу. Пусть матрица R имеет вид r r 21 r 22 r R = r n 11 r n 12 r n 13 r n r n 1n 1 r n 1n. (12) r n1 r n2 r n3 r n4... r nn 1 r nn Тогда матрица S(Θ) (8) зависит от Θ. Пусть область Q задается равенством Q = {x: Θ(x) 1}. Пусть λ(θ) собственное значение матрицы (F 1 ) 1 S(Θ). При достаточно малых Θ выполнено λ(θ) = λ(0) + λ (0)Θ + o(θ). Для оценки λ (0) воспользуемся подходом, предложенным в [15, гл. 6.3]. Пусть λ min наименьшее собственное значение матрицы (F 1 ) 1 S(0) = (F 1 ) 1 S 0, а x min и y min соответствующие λ min правый и левый собственные векторы такие, что ymin x min = 1. Тогда при достаточно малых Θ справедливо { λmin, если ymin (F1 ) 1 S (0)x min 0, λ(θ) λ 1 = λ min +y min (F1 ) 1 S (0)x min, если y min (F1 ) 1 S (0)x min < 0. Пусть λ max наибольшее собственное значение матрицы (F 1 ) 1 S(0) = (F 1 ) 1 S 0, а x max иy max соответствующие λ max правый и левый собственные векторы такие, что ymaxx max = = 1. Тогда при достаточно малых Θ справедливо { λmax +y λ(θ) λ 2 = max(f 1 ) 1 S (0)x max, если ymax(f 1 ) 1 S (0)x max 0, λ max, если ymax(f 1 ) 1 S (0)x max < ISSN Dopov. NAN Ukraine, 2015, 6

17 Теорема 3. Пусть матрица возмущений R имеет вид (12). Обозначим d 0 1 = 1/λ 1, d 0 2 = 1/λ 2. Выберем 0 < γ 1 < 1, γ 2 > 1. Пусть числа d 0 1 и d 0 2 задаются формулой (10). Тогда существует c 1 такое, что в области Q, задаваемой равенством Q = {x: Θ(x) c}, для всех d 1 и d 2 таких, что d 0 1 < d 1 < d 2 < d 0 2 управление, задаваемое формулой (7), решает задачу (d 1,d 2 )-локального робастного позиционного синтеза. При этом траектория системы (2), выходящая из произвольной начальной точки x(0) = x 0 Q, оканчивается в точке x 1 (T) = 0 в некоторый конечный момент времени T = T(x 0,d 1,d 2 ), для которого выполнена оценка (11). Цитированная литература 1. Korobov V. I., Revina T. V. Robust feedback synthesis problem for systems with a single perturbation // Commun. Math. Anal , No 2. P Ревина Т. В. Несколько подходов к определению границ изменения возмущения в задаче глобального робастного синтеза // Вiсн. Харкiв. ун-ту. Сер. Математика, прикладна математика i механiка , вып. 70. С Коробов В. И. Общий подход к решению задачи синтеза ограниченных управлений в задаче управляемости // Мат. сб (151), 4(8). С Коробов В. И. Решение задачи синтеза с помощью функции управляемости // Докл. АН СССР , 5. С Коробов В. И. Метод функции управляемости. Москва; Ижевск: НИЦ Регулярная и хаотическая динамика, с. 6. Коробов В. И., Скляр Г. М. Методы построения позиционных управлений и допустимый принцип максимума // Дифференц. уравнения , 11. С Rodoumta K., Bowong S. Construction of bounded feedback by the controllability function method // Appl. Math. Sci , No 6. P Polyakov A., Efimov D., Perruquetti W. Finite-time stabilization using implicit Lyapunov function technique // Proc. of 9 th IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems. Toulouse, France: IFAC Publ., P Коробов В. И. Решение задачи синтеза для управляемых процессов с возмущениями с помощью функции управляемости // Дифференц. уравнения , 2. С Коробов В. И., Гавриляко В. М. Робастные системы. Синтез ограниченного управления // Вiсн. Харкiв. ун-ту. Сер. Математика, прикладна математика i механiка , вып. 55. С Ревина Т. В. Решение одной задачи синтеза управления для робастных систем на основе метода функции управляемости // Динамические системы. Межвед. науч. сб Вып. 25. С Bowong S., Moukam Kakmeni F.M. Chaos control and duration time of a class of uncertain chaotic systems // Phys. Lett A316. P Bhat S. P., Bernstein D. S. Finite-time stability of continious autonomous systems // SIAM J. Control and Optimization , No 3. P Ding S., Qian C., Li S. Global finite-time stabilization of a class of upper-triangular systems // Proc. of the Amer. Control Conf., Baltimore, MD, USA, June 30 July 2, Baltimore, P Хорн Р.А., Джонсон Ч.Р. Матричный анализ. Москва: Наука, с. References 1. Korobov V.I., Revina T.V. Commun. Math. Anal., 2014, 17, No 2: Revina T.V. Visn. Kharkiv. Univ., Ser. Mat., Prykl. Mat. i Mekh., 2014, 1113, Iss. 70: (in Russian). 3. Korobov V.I. Math. USSR Sb., 1980, 37 No 4: Korobov V.I. Sov. Math., Dokl., 1979, 20: Korobov V.I. The controllability function method, Moscow, Izhevsk: R&C Dynamics, 2007 (in Russian). 6. Korobov V.I., Sklyar G.M. Differ. Equ., 1990, 26, No 11: ISSN Допов. НАН України, 2015, 6 17

18 7. Rodoumta K., Bowong S. Appl. Math. Sci., 2007, 1, No 6: Polyakov A., Efimov D., Perruquetti W. Finite-time stabilization using implicit Lyapunov function technique, Proc. of 9 th IFAC Symp. on Nonlinear Control Systems, Toulouse, France: IFAC Publ., 2013: Korobov V.I. Differ. Equ., 1987, 23, No 2: Korobov V.I., Gavrylyako V.M. Visn. Kharkiv. Univ., Ser. Mat., Prykl. Mat. i Mekh., 2005, 711, Iss. 55: (in Russian). 11. Revina T.V. Dinamichiskie Sistemy, 2008, Iss. 25: (in Russian). 12. Bowong S., Moukam Kakmeni F.M. Phys. Lett., 2003, A316: Bhat S.P., Bernstein D.S. SIAM J. Control and Optimization, 2000, 38, No 3: Ding S., Qian C., Li S. Global finite-time stabilization of a class of upper-triangular systems. Proc. of the Amer. Control Conf., Baltimore, MD, USA, June 30 July 2, 2010: Horn R. A., Johnson Ch. R. Matrix analysis, Cambridge, Харьковский национальный университет им. В.Н. Каразина Поступило в редакцию В.I. Коробов, Т. В. Ревiна Розв язок задачi робастного позицiйного синтезу для канонiчної системи Харькiвський нацiональний унiверситет iм. В. Н. Каразiна Розглянуто задачi глобального i локального робастного позицiйного синтезу обмеженого керування системою з невiдомим обмеженим збуренням. Розв язок базується на методi функцiї керованостi В. I. Коробова. Знайдено найширший вiдрiзок змiни меж збурення та побудовано керування, яке переводить довiльну початкову точку в початок координат за скiнченний час для довiльного збурення, яке задовольняє обмеження. Отримано оцiнку на час руху з довiльної початкової точки в початок координат. Ключовi слова: метод функцiї керованостi, задача робастного синтезу, невiдоме обмежене збурення, позицiйне обмежене керування. V.I. Korobov, T. V. Revina The solution of the robust feedback synthesis problem for a canonical system V.N. Karasin National University of Kharkov The problems of the global and local robust feedback syntheses of a bounded control for a system with unknown bounded perturbation are considered. Our approach is based on the controllability function method suggested by V.I. Korobov. We have found the largest segment, where the perturbation can vary, and have given a positional control, which steers an arbitrary initial point to the origin in some finite time for any admissible perturbation from this segment. An estimate of the time of motion from an initial point to the origin has been given. Keywords: controllability function method, robust feedback synthesis problem, unknown bounded perturbation, positional bounded control. 18 ISSN Dopov. NAN Ukraine, 2015, 6

19 УДК И.В. Петков О граничном поведении гомеоморфизмов класса W 1,1 loc на плоскости по простым концам (Представлено членом-корреспондентом НАН Украины В.Я. Гутлянским) Изучается граничное поведение так называемых регулярных отображений, которые являются естественным обобщением квазиконформных отображений. Найден ряд эффективных условий на коэффициент дилатации K f для гомеоморфного продолжения указанных отображений по простым концам в ограниченных конечносвязных областях. Ключевые слова: простые концы, граничное поведение, конечносвязные области, регулярные отображения. Проблема граничного поведения является одной из центральных тем теории квазиконформных отображений и их обобщений. В последние годы интенсивно изучаются различные классы отображений с конечным искажением, естественным образом обобщающие конформные, квазиконформные и квазирегулярные отображения. При этом, как и ранее, основным геометрическим методом в теории отображений остается метод модулей (см., например, [1, 2]). Все необходимые нам определения из теории простых концов можно найти в [3, 4]. В статье [4] также доказана следующая, полезная в дальнейшем, лемма. Лемма 1. Любой простой конец P ограниченной конечносвязной области D в C содержит цепь разрезов σ m, лежащих на окружностях S m с центром в некоторой точке x 0 D и радиусами r m 0 при m. Замечание 1. Заметим, что на плоскости любая конечносвязная область отображается конформно на некоторую область, ограниченную конечным числом попарно непересекающихся окружностей (так называемую круговую область) (см., например, теорему V.6.2 в [5]). Как это следует из теоремы 4.1 в [6], при конформном отображении g круговой области D 0 на область D в C имеет место взаимно однозначное соответствие между точками границы D 0 и простыми концами области D и при этом предельные множества C(g,b), b D 0, совпадают с телом I(P) соответствующего простого конца P в D. Если D P пополнение ограниченной конечносвязной области D ее простыми концами и g конформное отображение области D на некоторую круговую область D 0, то естественно в D P определить метрику ρ g (p 1,p 2 ) = g(p 1 ) g(p 2 ), где g описанное выше продолжение g на D P. Если h конформное отображение области D на некоторую другую круговую область D, то соответствующая метрика ρ h (p 1,p 2 ) = h(p 1 ) h(p 2 ) порождает ту же самую сходимость и, следовательно, ту же самую топологию в D P, что и метрика ρ g, поскольку g h 1 является конформным отображением между областями D и D 0, которое по теореме 4.1 в [6] продолжается до гомеоморфизма между D и D 0. В дальнейшем указанную топологию в пространстве D P будем называть топологией простых концов. 1. О продолжении прямых отображений. Все необходимые для этого и следующего пунктов определения можно найти в статье [7]. И.В. Петков, 2015 ISSN Допов. НАН України, 2015, 6 19

20 Гомеоморфизм f: D D класса Соболева W 1,1 loc с якобианом J f(z) = f z 2 f z 2 > 0 п. в. в D будем называть регулярным отображением. Для такого отображения определим его дилатацию K f = f z + f z f z f z, если f z 0, и K f = 1 в остальных точках. Лемма 2. Пусть D и D ограниченные конечносвязные области в C и f: D D регулярное отображение. Если δ(x 0 ) 0 dr K f 1 (x 0,r) = x 0 D (1) при некотором δ(x 0 ) < d(x 0 ) = sup x x 0, где x D K f 1 (x 0,r) = K f dz, D S(x 0,r) то f продолжается до непрерывного отображения D P на D P. Действительно, ввиду замечания 1, без ограничения общности можно считать, что D является круговой областью. Также по замечанию 1, ввиду метризуемости пространств D P и D P, достаточно доказать, что для любого простого конца P области D предельное множество L = C(P,f): = {y C: y = lim k f(x k), x k P, x k D} состоит из единственной точки y 0 D. Заметим, что L в силу компактности множества D и является подмножеством D (см., например, предложение 2.5 в [8] или предложение 13.5 в [2]). Допустим, что имеется две точки y 0 и z 0 L, и пусть U = B(y 0,r 0 ), где 0 < r 0 < y 0 z 0. Пусть x 0 I(P) D и σ k, k = 1,2,..., цепь разрезов, лежащих на окружностях S k = S(x 0,r k ) из леммы 1 с ассоциированными областями d k. Тогда в областях d k = f(d k) найдутся точки y k и z k с y 0 y k < r 0 и y 0 z k > r 0, y k y 0 и z k z 0 при k. Пусть C k непрерывные кривые, соединяющие y k и z k в d k. Заметим, что по построению U C k. По условию сильной достижимости точки y 0, найдется континуум E D и число δ > 0, для которых M( (E,C k ;D )) δ при больших k. Без ограничения общности можно считать, что последнее условие выполнено для всех k = 1,2,.... Заметим, что C = f 1 (E) является компактом в D, и потому ε 0 = dist(x 0,C) > 0. Опять же, без ограничения общности можно считать, что r k < ε 0 для всех k = 1,2, ISSN Dopov. NAN Ukraine, 2015, 6

21 Пусть Γ m семейство всех непрерывных путей в D \ d m, соединяющих окружность S 0 = S(x 0,ε 0 ) и σ m, m = 1,2,... Заметим, что по построению C k d k d m для любых m k и, таким образом, по принципу минорирования M(f(Γ m )) δ при всех m = 1,2,... С другой стороны, величина M(f(Γ m )) равна емкости конденсатора в D с обкладками d m и f(d \B 0 ), где B 0 = B(x 0,ε 0 ) (см., например, A.4 в [2]). Таким образом, по принципу минорирования и теореме A.28 в [2] M(f(Γ m )) 1 M(f(Σ m )), где Σ m семейство пересечений с областью D всех окружностей S(x 0,ρ), ρ (r m,ε 0 ), поскольку f(σ m ) Σ(f(S m ),f(s 0 )), где Σ(f(S m ),f(s 0 )) состоит из всех замкнутых множеств в D, отделяющих f(s m ) и f(s 0 ). Наконец, по условию (1) получаем, что M(f(Γ m )) 0 при m. Полученное противоречие опровергает предположение, что предельное множество C(P,f) состоит более чем из одной точки. 2. О продолжении обратных отображений. Лемма 3. Пусть D и D ограниченные конечносвязные области в C, P 1 и P 2 различные простые концы области D, f регулярное отображение области D на область D и пусть σ m, m = 1,2,..., цепь разрезов простого конца P 1 из леммы 1, лежащих на окружностях S(z 1,r m ), z 1 I(P 1 ) D, с ассоциированными областями d m. Предположим, что функция Q интегрируема на штриховых линиях D(r) = {x D: x z 1 = r} = D S(z 1,r) (2) для некоторого множества E чисел r (0,r 0 ) положительной линейной меры, где r 0 = = r m0, m 0 минимальный номер, для которого область d m0 не содержит последовательностей, сходящихся к P 2. Если D слабо плоская, то C(P 1,f) C(P 2,f) =. В силу метризуемости расширения D P области D по простым концам (см. замечание 1) и единственности предела по любой метрике, число m 0 в лемме 3 всегда существует. Теперь выберем ε (0,r 0 ) такое, что E 0 := {r E: r (ε,r 0 )} имеет положительную линейную меру. Такой выбор возможен в силу счетной полуаддитивности линейной меры и исчерпания E = E m, где E m = {r E: r (1/m,r 0 )}, m = 1,2,... Ввиду критерия нижнего Q-гомеоморфизма (см. теорему 2.1 в [9] или теорему 9.2 в [2]) M(f(Σ ε )) > 0, (3) где Σ ε семейство всех штриховых линий D(r), r (ε,r 0 ), из (2). Предположим, что C 1 C2, где C i = C(P i,f), i = 1,2. По построению найдется такое m 1 > m 0, что σ m1 лежит на окружности S(z 1,r m1 ) c r m1 < ε. Пусть d 0 = d m1 и d D \ d m0 некоторая область, определяемая цепью разрезов простого конца P 2. Пусть y 0 C 1 C2. Тогда найдется ρ 0 > 0 такое, что S(y 0,ρ 0 ) f(d 0 ) и S(y 0,ρ 0 ) f(d ). Положим Γ = (d 0,d ;D). Согласно (3), по принципу минорирования и теореме A.28 в [2], M(f(Γ)) 1 M(f(Σ ε )) <. ISSN Допов. НАН України, 2015, 6 21

22 Пусть M 0 > M(f(Γ)) некоторое конечное число. По условию D слабо плоская и потому найдется ρ (0,ρ 0 ) такое, что M( (E,F;D )) M 0 для всех континуумов E и F в D, пересекающих окружности S(y 0,ρ 0 ) и S(y 0,ρ ). Однако эти окружности можно соединить кривыми c 1 и c 2 в областях f(d 0 ) и f(d ) соответственно, и, в частности, для этих кривых M 0 M( (c 1,c 2 ;D )) M(f(Γ)). Полученное противоречие опровергает предположение, что C 1 C2. Заключение следующей теоремы получается из леммы 3 рассуждением от противного из теоремы Фубини (см., например, теорему III (8.1) в [10]) и метризуемости пространств D P и D P в соответствии с замечанием 1. Теорема 1. Пусть D и D ограниченные конечносвязные области в C. Если f регулярное отображение D на D с K f L 1 (D), то f 1 имеет продолжение по простым концам до непрерывного отображения D P на D P. Аналогично, комбинируя лемму 3 с леммой 9.2 в [9] или леммой 9.6 в [2], немедленно получаем следующее утверждение. Теорема 2. Пусть D и D ограниченные конечносвязные области в C. Если f: D D регулярное отображение с условием (1), то f 1 может быть продолжено по простым концам до непрерывного отображения D P на D P. Наконец, комбинируя лемму 2 с теоремой 2, получаем следующий результат о гомеоморфном продолжении на границу по простым концам. Теорема 3. Пусть D и D ограниченные конечносвязные области в C и пусть f: D D регулярное отображение с условием (1). Тогда f имеет продолжение по простым концам до гомеоморфизма D P на D P. Отметим, что множество теорем о существовании регулярных решений уравнений Бельтрами на плоскости можно найти в монографии [1]. Цитированная литература 1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: A geometric approach. New York: Springer, p. 2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory. New York: Springer, p. 3. Коллингвуд Э., Ловатер А. Теория предельных множеств. Москва: Мир, с. 4. Kovtonyuk D.A., Ryazanov V.I. On boundary elements of space domains // Зб. праць Iн-ту математики НАН України , 2. С Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. Москва: Наука, с. 6. Näkki R. Prime ends and quasiconformal mappings // J. Anal. Math P Ковтонюк Д.А., Петков И.В., Рязанов В.И. О граничном поведении решений уравнений Бельтрами // Укр. мат. журн , 8. С Рязанов В.И., Салимов Р.Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Укр. мат. вестн , 2. С Ковтонюк Д. А., Рязанов В. И. К теории нижних Q-гомеоморфизмов // Укр. мат. вестн , 2. С Сакс С. Теория интеграла. Москва: Изд-во иностр. лит., с. 22 ISSN Dopov. NAN Ukraine, 2015, 6

23 References 1. Gutlyanskii V., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation: A geometric approach, New York: Springer, Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory, New York: Springer, Collingwood E. F., Lohwator A. J. The theory of cluster sets, Cambridge Tracts in Math. and Math. Physics, Vol. 56, Cambridge: Cambridge University Press, Kovtonyuk D.A., Ryazanov V.I. Proc. Inst. Math. NAS of Ukraine, 2010, 7, No 2: Goluzin G. M. Geometric theory of functions of a complex variable, Transl. of Math. Monographs, Vol. 26, Providence: AMS, Näkki R. J. Anal. Math., 1979, 35: Kovtonyuk D., Petkov I., Ryazanov V. Ukr. Mat. J., 2011, 63, No 8: (in Russian). 8. Ryazanov V.I., Salimov R.R. Ukr. Mat. Visn., 2007, 4, No 2: (in Russian). 9. Kovtonyuk D.A., Ryazanov V.I. Ukr. Mat. Visn., 2008, 5, No 2: (in Russian). 10. Saks S. Theory of the integral, New York: Dover Publications Inc., Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Киев Поступило в редакцию I.В. Пєтков Гранична поведiнка гомеоморфiзмiв класу W 1,1 loc по простих кiнцях на площинi Iнститут прикладної математики i механiки НАН України, Київ Дослiджується гранична поведiнка так званих регулярних вiдображень, якi є iстотним узагальненням квазiконформних вiдображень. Знайдено низку ефективних умов на коефiцiєнт дилатацiї K f для гомеоморфного продовження вказаних вiдображень по простих кiнцях в обмежених скiнченнозв язних областях. Ключовi слова: простi кiнцi, гранична поведiнка, скiнченнозв язнi областi, регулярнi вiдображення. I.V. Petkov The boundary behavior of homeomorphisms of the class W 1,1 loc on a plane by prime ends Institute of Applied Mathematics and Mechanics of the NAS of Ukraine, Kiev The boundary behavior of the so-called regular mappings that are a natural generalization of quasiconformal mappings is studied. A number of effective conditions on the dilatation coefficient K f for a homeomorphic extension of these mappings by prime ends in finitely connected bounded domains are found. Keywords: prime ends, boundary behavior, finitely connected domains, regular mappings. ISSN Допов. НАН України, 2015, 6 23

24 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ IНФОРМАТИКА ТА КIБЕРНЕТИКА УДК Академiк НАН України В.Н. Редько, Д.Б. Буй, А.В. Пузiкова Аксiоматика багатозначних залежностей табличних баз даних Розглядаються аксiоматика багатозначних залежностей в табличних базах даних i аксiоматика функцiональних та багатозначних залежностей; встановлюється повнота цих аксiоматик через збiжнiсть вiдношень синтаксичного та семантичного прямування; наводяться критерiї повноти вказаних аксiоматик в термiнах потужностей унiверсального домену та множини атрибутiв. Ключовi слова: табличнi бази даних, функцiональнi залежностi, багатозначнi залежностi, повнота аксiоматики, критерiй повноти. Аксiоматика багатозначних залежностей. Всi неозначуванi поняття та позначення використовуються в розумiннi [1]. Зокрема, скажемо, що на таблицi t схеми R виконується багатозначна залежнiсть (БЗЗ) X Y, якщо для двох довiльних рядкiв s 1, s 2 таблицi t, якi збiгаються на множинi атрибутiв X, iснує рядок s 3 t, який дорiвнює об єднанню обмежень рядкiв s 1, s 2 на множини атрибутiв X Y i R \(X Y) вiдповiдно: (X Y)(t) = true def s 1,s 2 t(s 1 X = s 2 X s 3 t(s 3 = s 1 (X Y) s 2 R\(X Y))) [1]. Структура таблицi t, на якiй задана БЗЗ X Y, може бути зображена за допомогою такого вiдношення. Скажемо, що рядки s 1, s 2 таблицi t знаходяться у вiдношеннi = X, якщо вони збiгаються на множинi атрибутiв X: s 1 = X s 2 def s 1 X = s 2 X. Зрозумiло, що вiдношення = X є вiдношенням еквiвалентностi i тому розбиває множину рядкiв таблицi t на класи еквiвалентностi, якi мають таке зображення: [s] =X = {s X} π Y ([s] =X ) π R\(X Y) ([s] =X ), де s довiльний представник класу. В. Н. Редько, Д.Б. Буй, А.В. Пузiкова, ISSN Dopov. NAN Ukraine, 2015, 6