MODULE MODULE-HOOFSTUKKE Getalle en getalpatrone 2 Geldsake SLEUTELVAARDIGHEDE die neerskryf van rasionale getalle as eindige of repeterende desimale getalle die vermoë om te identifiseer tussen watter twee heelgetalle enige irrasionale getal lê afronding van getalle ondersoek van getalpatrone berekening van enkelvoudige rente berekening van saamgestelde rente berekening van eksponensiële groei begrip van huurkoopooreenkomste en berekening van aankope deur huurkoop begrip van inflasie en berekening van verwagte kostes begrip van buitelandse valutakoerse en herleiding van plaaslike geldeenheid na buitelandse geldeenhede en omgekeerd MODULE IN LEWENSEGTE SITUASIES n begrip van heelgetalle, rasionale getalle en desimale getalle sal jou help om te bepaal of jou skattings of sakrekenaarberekeninge in lewensegte situasies redelik is jy sal irrasionale getalle teëkom wanneer jy lengtes meet eksponentwette is n nuttige manier waarop alledaagse berekeninge met groot getalle vereenvoudig kan word die studie van patrone en veronderstellings sal jou help om logies te dink die vermoë om rentekoerse en terugbetalings korrek te bereken, kan jou geld bespaar GETALLE EN GETAL- VERWANTSKAPPE In hierdie module gaan jy deur voorbeelde, ondersoeke, projekte en oefeninge werk, wat probleemoplossing en verskillende werkswyses met getalle behels. Namate jy deur die module werk, sal jy getalle en hul verwantskappe herken, beskryf en voorstel, sodat jy met selfvertroue oplossings van probleme kan skat, bereken en nagaan (Leeruitkoms ). Teen die einde van hierdie module sal jy die volgende kan doen: rasionale getalle identifiseer en herleiding doen tussen eindige of repeterende desimale getalle in die vorm: a b, a, b, b 0 uitdrukkings vereenvoudig deur die eksponentwette te gebruik bepaal tussen watter twee heelgetalle enige eenvoudige vierkantswortel lê irrasionale en rasionale getalle afrond tot n toepaslike mate van akkuraatheid getalpatrone ondersoek, en veronderstellings en veralgemenings maak, dit verduidelik, verantwoord en probeer bewys enkelvoudige en saamgestelde groeiformules gebruik om probleme op te los (insluitend huurkoop, inflasie en bevolkingsaanwas) n begrip van die implikasie van flukturerende buitelandse valuta op petrolpryse, invoere, uitvoere en reis illustreer buitengewone, ongesiene probleme oplos. Integrasie In hierdie module sal jy ook met grafieke en tabelle werk (Leeruitkoms 2).
HOOFSTUK SLEUTELWOORDESKAT heelgetalle rasionale getalle irrasionale getalle verhouding vereenvoudig desimale getal repeterend afronding desimale plek beduidende syfer breuk skat benader indeks eksponent grondtal eksponentwette wetenskaplike notasie ingenieursnotasie funksionele notasie negatiewe eksponent getalpatrone implikasie herlei ekwivalent hipotese veronderstelling teenvoorbeeld bewys GETALLE EN GETALPATRONE Heelgetalle, rasionale getalle en desimale getalle Jy gebruik elke dag verskillende soorte getalle in talle verskillende situasies. Dit is belangrik om die verskillende soorte getalle te verstaan en te ken, en om te weet hoe om in die alledaagse lewe daarmee te werk. Hierdie hoofstuk sal jou help om jou getalvaardighede te ontwikkel. Heelgetalle Die woord integer (of heelgetal) kom van die woord integraal, wat heel beteken. Heelgetalle is onder andere positiewe getalle, negatiewe getalle en nul. In wiskunde gebruik ons die simbool om die versameling van alle heelgetalle te benoem. (Die letter kom van die Duitse woord Zahlen, wat getalle beteken.) = {heelgetalle} = { ; ; 2; ; 0; ; 2; ; } Rasionale getalle Soms word getalle in verwantskap met mekaar uitgedruk. 2 is byvoorbeeld n getal wat die verwantskap of verhouding twee dele van drie of twee gedeel deur drie voorstel. Die verwantskap tussen twee of meer heelgetalle word die ratio of verhouding genoem. Die ou Grieke het die stelsel van positiewe rasionale getalle ontwikkel ( rasionaal kom van die woord ratio ). n Rasionale getal is n getal wat as n verhouding of ratio of breuk a b geskryf kan word, waar a en b heelgetalle is en b 0: = {rasionale getalle} ( staan in Engels vir quotient ) Byvoorbeeld, 2 = 5 ; = ; 0 24 = 5 ; 4 = 4 ; 7 = 7 2 2 4 Omdat elke heelgetal a ook n breuk a is, bevat, die versameling rasionale getalle, ook die versameling van heelgetalle. Vereenvoudiging Jy kan breuke vereenvoudig deur die teller en die noemer deur hul grootste gemene deler (GGD) te deel. Dit word ook uitkansellering van n breuk tot sy kleinste terme genoem: 24 0 = 24 6 = 0 6 4 5 2 MODULE GETALLE EN GETALVERWANTSKAPPE
Desimale getalle In n lewensegte situasie is dit nuttig om breuke met dieselfde noemer uit te druk. Daar is egter nie n gemene deler vir alle breuke nie. In Westerse telstelsels gebruik mense desimale getalle. Desimale getalle is breuke wat uitgedruk word met n noemer wat n veelvoud van 0 is. Desimale getalle word gebruik om lengte, afstand en bedrae geld te meet. Jy sal byvoorbeeld nie n prys as R2 2 of R49 uitdruk nie. Hoe sal jy hierdie pryse skryf? 2 Onthou: Mates lewer nooit n presiese antwood nie. Onthou: Elke repeterende desimale getal kan as n breuk geskryf word. Eindige desimale getalle Daar is twee soorte desimale getalle: eindige en repeterende (herhalende) getalle. n Eindige desimale getal is n rasionale getal wat as n breuk geskryf kan word, met n mag van 0 as n noemer. Dit is handig wanneer jy getalle wil vergelyk of op n getallelyn wil plaas. Die waarde van die desimale getal is dikwels n benaderde waarde, byvoorbeeld wanneer jy afstand meet. Hier is n paar voorbeelde van eindige desimale getalle: 2 = 4 =,4 = 25 =,25 5 0 8 000 578 = 578 + 6 = 578,06 50 00 Repeterende desimale getalle Kyk nou na die breuk. Wat gebeur wanneer jy hierdie rasionale getal na n desimale getal herlei? Jy kan nie met n noemer skryf wat n mag van 0 is nie. Jy kan dit slegs as n repeterende desimale getal skryf n desimale getal waarin die syfers eindeloos herhaal word. Wanneer jy deur deel, word dieselfde syfer n oneindige aantal kere herhaal (0, ). In ander breuke word n paar getalle oor en oor herhaal (byvoorbeeld,,909090 ). Repeterende desimale getalle gaan tot in oneindigheid aan en is veels te lank om mee te werk. Dit is waarom jy hulle altyd afrond wanneer jy met hulle werk. Jy kan n repeterende desimale getal skryf deur n kolletjie bo-op die syfer (of syfers) te maak wat herhaal om aan te toon dat dit oneindig herhaal. Hier is n paar voorbeelde van repeterende desimale getalle: 2 = 0,666666 = 0,6 6 = 6,4285742857 = 6,4 2857 7 0 =,90909 =,9 0 24 5 = 24,79545454545 = 24,795 4 44
HOOFSTUK GETALLE EN GETALPATRONE Ondersoek (werk saam met n maat) Hoe rond jou sakrekenaar n repeterende desimale getal af? Werk saam met n maat. Sommige sakrekenaars rond die laaste syfer wat op die skerm vertoon word, outomaties af. Doen die volgende op jou sakrekenaar: = = 2 = 2 = a Wat merk jy op? Bespreek dit met jou maat. b Gee jou sakrekenaar antwoorde waarin die repeterende syfers aanhou voorkom of word die syfers afgerond? c Doen nog voorbeelde van egte en onegte breuke met noemers 7, 9 en. Wat merk jy op omtrent die manier waarop jou sakrekenaar werk? Verskil dit van jou maat s n? Hoe? VOORBEELD Onthou: Indien die siklus se lengte = n, vermenigvuldig met 0n en trek af. Skryf elke repeterende desimale getal as n breuk neer. Onthou om te vereenvoudig. 0,5 2 7,4 86 Gestel x = 0,5 Dan is x = 0,555... 00: 00x = 5,555...2 Trek van 2 af: 99x = 5 x = 7 Dus 0,5 = 7 2 Gestel x = 7,4 86 Dan is x = 7,48648... 000: 000x = 7 48,648648...2 Trek van 2 af: 999x = 7 4, x = 7 4 x = Dus 7,4 86 9 990 7 4 27 9 990 27 = 2 79 70 4 MODULE GETALLE EN GETALVERWANTSKAPPE
Let op: Sommige voorbeelde in die oefening toon dat elke eindige desimale getal as n repeterende desimale getal voorgestel kan word met 9 s wat oneindig herhaal. Byvoorbeeld, = 0,9 7 = 6,9 5,2 = 5, 9,72 =,79 Oefening (werk saam met n maat) Druk elke getal as n repeterende of eindige desimale getal uit: a 5 8 b 2 c 7 6 d 5 9 e 20 f 7 2 g 4 6 25 h 5 4 i 2 8 j 7 6 2 Druk elke desimale getal in die kleinste terme as n rasionale getal uit: a 0,5 b 0,7 c 0,08 d 0, 8 e,2 f 5,4 5 g,6 h,2 i 0,2 j 6,5 Druk elke breuk as n repeterende of eindige desimale getal uit: a 6 b 2 c 7 5 d 6 7 e 2 27 f 24 g 7 h 4 i 27 j 5 2 4 Druk elke desimale getal as n rasionale getal uit. Onthou om te vereenvoudig: a 0,7 5 b,0 7 c 4,5 67 d 0,4 56 e,9 f 2,49 g,52 h 2,4 5 i 7,8 j 0, 6 5 Skryf die repeterende desimale getalle neer vir, 2,, 4, 5 en 6. 7 7 7 7 7 7 Wat is die patroon? Irrasionale getalle Daar is sommige getalle wat nie as n verhouding van twee heelgetalle uitgedruk kan word nie. Dit word irrasionale getalle genoem, byvoorbeeld B2, π, B5, B2 en so aan. Kyk na die diagram. Die Griekse wiskundige Pythagoras het bewys dat, in n vierkant met elke sy gelyk aan lengte-eenheid, die lengte van die diagonaal B2 is. Pythagoras se stelling toon duidelik dat breuke nie n getalstelsel vorm wat gebruik kan word om meetkunde te bestudeer nie. B2 Posisie van irrasionale getalle op die getallelyn Die getal 2 lê tussen en 4 en dus lê die irrasionale getal B2 tussen B en B4, wat beteken dat B2 tussen en 2 lê. Dit kan soos volg uitgedruk word: B < B2 < B4 < B2 < 2 5
HOOFSTUK GETALLE EN GETALPATRONE en B4 < B5 < B9 2 < B5 < Hier is n paar irrasionale getalle op die getallelyn: B B0 B B2 B2 B B4 B5 B9 C6 0 2 4 Oefening 2 (werk op jou eie) Watter getalle is rasionale getalle? Druk die rasionale getalle in p hulle kleinste terme uit as breuke : q a 4 ; 5; 5 ; 0; π; ; 4; 5 2 4 b 27; 4; 4; ; 6 2; 7 2 9 2 Indien a, b, c en d heelgetalle is, met b en d nie gelyk aan nul nie, vereenvoudig die gemiddelde van a en c b en verduidelik hoekom dit d n rasionale getal is. Bepaal die heelgetalle waartussen die volgende getalle lê: a 7 b 20 c 8 5 d 9 e 0 f 0 Desimale plekke en beduidende syfers Aan die begin van hierdie hoofstuk het jy geleer dat die meet van iets nooit n presiese antwoord kan oplewer nie. Dit beteken dat in talle berekeninge wat jy in Wiskunde doen, jou antwoord nie presies hoef te wees nie. Jy kan dikwels n benaderde of afgeronde antwoord gee. Wanneer jy bedrae geld bereken, rond jy byvoorbeeld altyd tot twee desimale plekke af. Indien jy R52 tussen mense moet verdeel, sal die presiese antwoord wees: R52 = 7, ( n repeterende desimale getal). Maar in n lewensegte situasie kan jy nie geld in kleiner bedrae as sent verdeel nie, dus sal jy sê dat elke persoon R7, ontvang en dat daar dan sent oorbly. 6 MODULE GETALLE EN GETALVERWANTSKAPPE
Reëls vir afronding Kyk na die waarde van die syfer regs van die gespesifiseerde syfer. 2 Indien die waarde 5, 6, 7, 8 of 9 is, word dit boontoe afgerond voeg by die gespesifiseerde syfer. Indien jy byvoorbeeld 7,589 tot een desimale plek afrond, word dit 7,6. Indien jy tot twee desimale plekke afrond, word dit 7,59. Indien die waarde 0,, 2, of 4 is, bly die syfer onveranderd. Die vraag sal gewoonlik aandui wat die vereiste graad van akkuraatheid is, byvoorbeeld tot 4 beduidende syfers. Hoe meer syfers vereis word, hoe meer akkuraat is die antwoord. Beduidende syfers Die eerste syfer wat nie nul is nie wanneer jy van links na regs lees, is die eerste beduidende syfer. In 0,0084 is 8 dus die eerste beduidende syfer. VOORBEELDE Rond 94,78095 af tot: a 2 beduidende syfers b beduidende syfer c 5 beduidende syfers. a 95 b 90 c 94,78 2 Rond 0,006475 af tot: a 4 beduidende syfers b beduidende syfers c beduidende syfer. a 0,006474 b 0,00647 c 0,006 Oefening (werk saam met n maat) Skryf hierdie getalle korrek tot die aantal beduidende syfers in hakies. a 4,8976 (2) b 0,07874 () c 506,892 (5) d 5,52 () 2 Bereken en gee jou antwoord korrek tot die aantal beduidende syfers in hakies. a 4,968 0,000748 (2) b 0,65 4,9 (5) c,4572 0,009 () d 50 042 0,0067 () 7
HOOFSTUK GETALLE EN GETALPATRONE Desimale plekke Die eerste syfer na die desimale komma is die eerste (of een) desimale plek, byvoorbeeld in 2,798 is 7 in die eerste desimale plek. VOORBEELDE Rond 94,78095 af tot: a 2 desimale plekke b desimale plek c 5 desimale plekke. a 94,74 b 94,7 c 94,780 BESPREEK Bespreek in julle groepe waarom of waar julle die ongelyke 0,0 in c sal gebruik. 2 Rond 0,006475 af tot: a 4 desimale plekke b desimale plekke c desimale plek. a 0,0065 b 0,006 c 0,0 Oefening 4 (werk op jou eie) Gebruik n sakrekenaar om die antwoorde vir hierdie probleme te vind. Gee elke antwoord korrek tot die aantal desimale plekke tussen hakies. a,85 0,49 (2) b 0,064 2,56 () c 0,474 0,069 (2) d 2,94 6,876 (4) e 0,006749 0,00082 () f 8,7406 0,00749 (4) 2 Oop CD s kos R4,94 elk. a Skat tot die naaste rand wat die koste van 7 CD s is. b Bereken tot die naaste 0 sent wat die koste van 7 CD s is. n Stapel met 0 handboeke wat ewe dik is, is 24,4 cm hoog. a Skat tot die naaste cm wat die dikte van teksboek is. b Bereken tot die naaste mm wat die dikte van teksboek is. 4 n Man loop 2,05 meter per sekonde. a Skat tot die naaste meter hoe ver hy in 2 minute kan loop. b Bereken tot die naaste meter hoe ver hy in 2 minute kan loop. 5 n Stuk tou wat 25 meter lank is, word in 00 stukke van 7,825 cm elk opgesny. a Skat die lengte van die oorblywende stuk tou tot die naaste meter. 8 MODULE GETALLE EN GETALVERWANTSKAPPE
b Bereken die lengte van die oorblywende stuk tou tot die naaste sentimeter. 6 Die lengte van die sye van n driehoek is 6,75 cm, 7,9 cm en 8,8 cm. a Skat die lengte van die omtrek van die driehoek tot die naaste cm. b Bereken die lengte van die omtrek van die driehoek: i tot die naaste cm ii tot die naaste mm. 7 n Reghoekige vertrek is 5 m 75 cm lank en 4 m 0 cm breed. a Skat die oppervlakte van die vertrek tot die naaste m 2. b Bereken die oppervlakte van die vertrek: i tot die naaste m 2 ii tot die naaste cm 2. 8 Bereken tot 2 desimale plekke: a π 7,5 2 b 6,5 c π 6,9 2 9 Gebruik n sakrekenaar om hierdie vrae te beantwoord. Verskaf elke antwoord in: i breukvorm, en ii desimale vorm, korrek tot desimale plekke. a + b 2 7 c 4 + 2 d 00 2 000 e 7 + 7 6 f 8 + 7 g 2,6 5,7 h,, 9
HOOFSTUK Let op: Om te skat beteken om te raai wat die antwoord behoort te wees. In die voorbeeld word die skatting gemaak deur elke getal tot beduidende syfer af te rond (te benader). GETALLE EN GETALPATRONE Skatting Skattings is belangrik wanneer n sakrekenaar gebruik word om n berekende antwoord te toets of te kontroleer. Dit laat jou toe om vinnig na te gaan of daar n fout ingesluip het met die insleutel of lees van getalle of enige ander foute wat jy moontlik begaan het. Jy kan kyk of die antwoord nagenoeg of ongeveer korrek is. Wanneer jy n antwoord skat voordat jy n sakrekenaar gebruik, is dit gewoonlik voldoende om die antwoord tot een beduidende syfer af te rond. VOORBEELD Skat eers die antwoord van,802 + 7,45 en bereken dan die antwoord,27 tot desimale plek. Let op: Die simbool beteken ongeveer gelyk aan of by benadering. Rond elke getal af tot beduidende syfer:,802 + 7,45 4 + 7 4,27 Gebruik n sakrekenaar:,802 + 7,45 =,46850529 =,5 (tot desimale plek),27 Oefening 5 (werk saam met n maat) iii Skat elk van die volgende tot beduidende syfer sonder om n sakrekenaar te gebruik. ii Gebruik n sakrekenaar om elke antwoord tot desimale plek te bepaal. iii Gebruik jou antwoord in i om te kontroleer dat elke sakrekenaarantwoord waarskynlik korrek is. a 929, 95, 6 b 4, 77 5, 4 c 2 ( 2, 099) d 77, 977, 625, 087, 99, 87 0, 087 e f 4, 7 2, 09, g ( 9, 88) h 0, 0, 09 i 92 j 5, 97 2 Skat jou antwoord tot beduidende syfer en bereken dan elke antwoord tot beduidende syfers: a, 846, 9 2, 5 b 5 800 0, 005 c 9, 078 d (, 45) e ( 0, 79 + 5, 87) 2, 89 f 0, 8 + ( 8, 44, 99) g 79, h 6, 70 0, 26, 954 0, 002 0 MODULE GETALLE EN GETALVERWANTSKAPPE