Faik Sultanmuradoflu Sadrxov (1e3s) Bakr Dovlat Universitetini farqlanma diplomu ile va Moskva Universitetinin aspiranturasur.l (1961) bitirmiqdir. 1965-1971-ci itlarde Birlegmig Niive Tedqiqatlarr institutunda (Dubna) ve Roma Universitetinda elmi iglar aparmrqdrr. 1973-cn ilda "Yi.iksak enerjili lepton ve hadronlann elektromaqnit qarprlrqh tasirlarinin tedqiqi" adl doktorluq dissertasiyasr miidafie edib, fizika-iyaziyyat elmleri doktoru darecasi almrg ve l97rl-cii ilden Bakr Universitetinin professorudur. 1973-80-cr illarde Universitetin Fizika fakultasinin dekanr va elni qurasrnrn sadri olmugdur. 1992-98-ci i[erde Tiirkiyeda earadeniz Texniki (Trabzon) ve Erciyes Universitetlarinda (Kayseri) aparrcr professor vezifesinde faaliyyat gristermiqdir. Onun rahberliyi ile 6 nefer elmlar namizedi adr almrgdrr. Sadixov 100-dan 9ox elmi moqalenin mtiallifidir. Aldrg ekni naticaler yiiksak enerjilera aid diinya laboratoriyalannda dz tacriibi tasdiqini tapmrqdr. Onun elmi neticelari Amerikada neqr olunan "Methods of experimental Physics vol. Y. Nuclear Physics", New-york, 1960 ve ',Voprosr estetisznaniya" Moskva, l96l kitablanna daxil edilmigdi. O, "Kvant mexanikasr (mosellerde)" Bab, 1992, "problelerle kvant mexanili,, Trabzon, 1996 va "Leptonlar ve Hadronlar", Bakr, 2001 kitablannrn mtiallifi dir.
Naveleria Qanira va hhraya hesr etdim. Faik SultanmuradoElu (Sadrxov) Kvant mexanikasr kursu s-\ \!. (iki citdlik) Bakr Ddvlet Universitetinin Fizika fakultasinin toqdimatr ila gap olunur.
Kitaba ray verenler: Akademik F.M.Hagimzada AzMi Universitetinin Fizika kafedrasr ixtisas redaktoru: Fizika-riyaziyyat elmleri doktoru $.M.Naltyev Faik Sultanmuradoflu (Kvant mexanikast kursu>. Bakt' "ismayrl" Naqriyyat Poliqrahya Miiassisesi 2002-ci il. 296 sah. Olgtisii: 60x84 t/t6 Tiraj: 1000 niisxa (I buraxrhq - 300 niisxe) <Patronat-S> $irkatinde tertib edilmig ve gap olunmuqdur. c 1704O2(XnO 2OO2 t25 Lisenziya AB 022062 @ Faik Sultanmurado[lu
On sdz Qa[da5 frzikamn asasrnda kvant mexanikasl durur, Uzun iller Bakr Ddylat, Roma, Tiirkiyenin Qarxd6pi2 fqniki 6 Erciyes Universitetlarinde verdiyim "Kvant mexanikasl,' rra..yiiksak enerjiler" fzikasrna aid derslerin, hemginin talebolarls bu sahada mesalalar hall edarkan meydana gxao gatinliklarin aradao qaldmlmasr_ nrn naticaleri bu kitabm ya"'lmasya4 sabeb oldu. Kitab iki cild olaraq tartib olunmu{du. Birinci cild qeyrirelyatvistik kvant mexanikasr rra onun bir gox problemlarinin i.-hrnda istifada olunmasrna, ikinci cild isa relyatvistik kvant mexaaikasr problernlarina hsr olunnrugdur. Birinci cild I-V fasilden ibaratdir. I fesil kvant mexanikasrnrn yaranrnaslna sebeb olan tacriibi faktlar, dalfa funksiyasrnrn xass+ lari, dinamik deyigenlerin operatorlarla temsil olunmasr, faza koor_ dinatorlannrn, imfuls, herakat miqdan moment! enerji operatorla_ rnrn agkar gaklinin airnmaq, gu oppratorlann mexsusi funksiyalan ve maxsusi qiymetlari, bezi fziki kemiyyatlar [giin qeyrie[ay],anlik miinasibetlarinin 2lrnmas1, onlann naticaleri, kyant mexarrik"qmn harakat tanlilleri, onlardan klassik mexaoikaya kegi4 keilmz ve diskret spektre sahib olan haltana ahnmasl6tralh garh olunmuqdur. II fesilda zarraciyin potensial qutuda haraketi, gr6dinger tanliyinin harmonik osilyatora tatbiqi, markazi sahade harekat, maqnit sahasinda hareke! hidrogen atomutrun enerji saviyyelerinin alnmasr, birvalenfli atomlann davranqr, onlann maqnit momentlerinin alnmasr atralh incalanmitdir. Fesil III. DalTa funksiyasr va operatorlann tamsil nazariyfes! na gora m[xtalif tamsillerda ye",'h$r, unitar gevirmeler va zadana g<ira dayigmani aks etdiren unitar gevirmaler, sistemin hatrn'n sr.:r[q
matrisi ila xarakteria olunmasr, matris kvant mexanikaslna girit kimi mdvzular aragdrrlrugdrr. IV fesilda kvant mexanikastnda istifada olunan taqribi metodlardan, varyasiya metodu, kvaziklassik yaxinlagma fisulu va hayacanlagma nazariyyainin e6aslan, onlann stasionar ve stasionar olmayan hallarda tetbiq olunmasr tafsilatr ils miizakira olunmugdur. V fail isa hayacanlagma nszoriyyasinin tetbiqlarina hasr olunmugdur. Burada anharmonik osilyatorn enerjisi ve mexsusi funksiyasr, xarici elektrik sahsinde atomlann ene{i saviyyalarinin pargalanmasl xatti ve qeyri xatti $tark effekti, rotatorun xarici elektrik sahminde enerjisinin dayigilmasi, elektronun spin momentinin meydana gelnasi ro spin funksiyalanmn xasselari, simmetik, antisimrnetriklik $artlari, helium atomunun naariyyesi, para vo ortohelium hallan, oolann enerji deyarlarinin miiayyen edilmasina hasr olunmugdur. Buradaca elementlarin periodik sisteminin esaslandmlmasr g6sorilmigdi. Bu failda tafsilatr ila dipol va muldipol $iialanmanm kvant nazariyyasi incalanmiqdir. Dipol, maqnit dipol ve kvadrupel rromeotlarin hesabrna olan kegid ehtimallan tap ml$dn. Kvant mexanikasina esasen homopolyar va heteropolyar molekullann yaranma sabableri aydrnlagdrrlmrgdr. lki atomun molekul yaratmasrnda sinqlet vo triplet hallann olmastnrn rolu mtayyan edilmisdir. Hayacanla5ma l626riyyesinin bariz tatbiqi olaraq isrpn koherent sopilmasi, yani i$rtsn dispersiyasr hadisasi aragdrrrlmrgdr. Kvant mexanikasinda iki n6v miisbot normal ve anomal dispersiya, hem da menfi normal w anomal dispersiyanrn varh$ gdstarilmig va onun tacriibada tasdiq olunmasr qeyd edilmigdir. Burada hamginin koherentolmayan Ramau effelti adlanan kombinansiyon sapilma hadisai da 6yrenitmigdir. lgr$n sepilmasi naticesinde, sapilmadan sonra mirxtalif teliklarin kombinasiyasr yaramr. Bu sa. pilmadan istifade edarek molekulland qurlutudu dyranmak olur. Xarici maqnit sahesinda atomlann enerji seviyyalarinin deyi- $ilmasindo bu failde 6yranilmigdir. Xarici maqnit sahaainin qiy-
matindan asrh olaraq enerji saviylolarioin mflrakkab gakilda pargalanmasr, Zeeyman effekti miifossal izah olunmugdu. Onun normal, anomal qisimlrinin varhf,r asaslandrnlruqdrr. ikinci citd VI-ViIi fasildon ibaratdir. VI fasilde qrup nazeriyyasinin anlayrglan, onlann kvant mexanikasrada istifade olunmasr, matris mexanikasrna g6re ba'zi kvant kamiyyatlarinin qiymati miiayyan edilmigdir. Burada y[ksak enerjilar fzikasrnda genit tatbiq olunan be2i saxlanan kamiyyatlarin xasselari ara5drnlmrgdu. Hamginin Lorentz ve Puankare qruplarrna girig verilmiqdir. Vii fesilin m6vanlan Kleyn-Gerdon, Dirak tanliklrinin asaslarr, burada istifada olunan matrislar, onlann xassalori, tam her+. kat miqdan momenti, onun maxsusi funksiyast incilanmigdi. Burada Dirak Cenliyinin sarbet zarracik iigfn helh, bu hallin d6rd hala uylun gelmesi gristarlmig, spinin re enerjinin iki qiymatinin-menfi va musbat halda olnasr g6steritniqdi. Eyni zamanda hidrogenabenzer atomlarda relyatvistik elfektler arasdrnlmrgdr. Giiclii maqnit sahasiniu atomun eneryisinia dayigilmasina etki g6starmesi VIII faslae dyranilnisdi. Spin orbital tasirin maqnit momentleri ila bafihhlr alde eilmiqdir. S-seviyyasinin pargalanmasrnrn tecriibedaki qiymata uylun galmasi miieyyen olunmugdur. Burada hemginin Dirak matrislariniu cabri, fermionlarrn sxlq matrisleri 6z gerhini tapmrgdu. Bu fesilda neytrino adh, sfikunet kiitlai srfua yaxrn olan, polyariza olunmug zarraciyin slxtq matrisi aragdrnlmrgdr. Burada hamginin sepilma mauisi va sapilma amplitudu, Born yaxrnlagmasrnda amplitudun arasdrnlmasr, hayacanlagma naariyyesinda Feynman diaqramlandau istifada edarak Compton effektinin kasiyi incalanmiqdir. Elektronlann xarici sahede sepilmesi va onlann hadronlardan elastiki, hamginin, darin qeyrielastiki sapilma prosesinin effektiv kasiyi mflayyen edilmi$di, Proton-neytronlann xasselari taprlm,s ve onlann maqnit momentleri elda edilrr$dir. Hamginin elementar zorreciklar fizikasrmn miiasir anl,ayr$lan, kvarklann hadron fzikasrnda rolu miioyyanlegdirilmigdir.
VIII fmilin sonunda isa ikinci kvantlanma nmriyyasinin esas miiddaalan verilmigdir. I(itabrn sonunda isa fesillara aid gahgmalar wa onlann hellan verilrnitdir. Zann edirsm ki, bu kitab gaedas fzikaila bir 9ox problemlaririn araldrnlmasmda vts onlann yax;r anlagrlmasrnda 6z semarali faydasrm gdsterecekdir. Kitabm yazrlrnes6da yaxrndan iqtirak eden re faydah maslehatler veron hemkarlanma samimi tatakktriimfl dncaden bildirmeyi Oziima borc samram. Prof.Faik Sultanmuradollu Sadxov Bah 2002 il.
Odebiyyat t. Li.ShilI, Kvant mexanikasr, MeGraw_Hill Book Company inc. New York. 1955 2. D.I.Blochinzev, Osnovi kvantovoy mexaniki, Vissaya $kota, Moskva, 1961-1. {,A.S.o!o-19y,-l.M.Temov, y.m.loskutov, KvaDtovaya Mexa_ nika, Izd.Mir.P.Mos. 1962 4. Albert lvl-essian, Quantum Mechanics, North-Holland, Amsrcrdam, 1962, I,II tom L A.S.Davrdov, Quantim Mechaniks, Fianatriz, Moskva, 1963 d. I.D.Bjorken,. _S.D-.D1ell, Relativistik erranfisl Mcchanics, McGraw-Hill Book Comany, New york,lgoa 7. L.D.Landan, E.M.Lifschiz, Kvantovaya Mexanika, Nauka, Moskva, 1965 8. P.A.Dirak, Quantum Mechanics,4th ed Oxford University Press, London, 1967 9. LD.Landa^u_,-E.M.Lifchia Teoreticeskaya Fizika, t.fu, Nauka, Moskva, 1968 Id. S.Fliigge,. Practical euantum Mcchanics, Lii, Spriger-Verlag New York. l97l,1.{. F.S.Sadxov, Kvant mexanikasr (maelaler), Bakr Uoiversi0eti, Bakr, 1992 12. F.S.S_ultanmuradoElu, problemlarla Kuantum Mekanifi, (tiirkce) Trabzon 1996.lJ. E.P.Wigner, Teoriya qrup ro onun kvant mexanikasrnda tatbi_ qi,moskva, 196l 14.!?ryV Hochad! The Functio-ns of matematical physics, McGraw-Hill Book Company, New york, 196g 15. Georye Arfken, Mathemat ul methods for physiciits, Wiley, New York. 1973
Fiziki qanunlar riyazi nefislik talab edir. A.P.Dirak I fesil Kvant mexanika va onun riyazi asaslan $1. Kvant mexanikasrmn yaranmasrna sabeb olan hadisalar Niiyuton mexanikasr, elastiklik nazariyyasi, aerodinamika, termodinamika va elektrodinamika klassik fzika adlaoan fzikanm tarkib hissalaridir. Klassik fzika makroskopif, sisimblin tamsli goxlu sayda atomlar sistcmlarinda baq veran hadisalri aragdran sahadir. Klassik fzikamn biitila b6lmalerinde olan ksslar )O( y[zilin baqlanfrcrnda 5z izahmr tapmaq [zra idi, Demek olar ki, bir nega fziki hadsa var idi ki, onlarn da fziki esasrnr vermak la-rm idi. Bela hadiseler olaraq, istilik giialanmasr, berk cisimlarin xususi istilik tutumu, atomlann xatti spektro malik olnasr, elektronlann difraksiyasr, fotoeffekt, FraDk-Herst tacrubasi, Stern-Herlah hadisaleri'kimi lziki hadisalari gostarmak olar. 1925-ci ildan sonralir bir gox bagqa l-rziki hadisalerde m[gahide olunmuedur ki, onlar da klassik fzikamn qanunlanna gdra izah olunmah idi. Lakin bu hadi salarin heg biri klassik fzika qanunlanna gdra tamamila dofrudiirfist izahrnr tapa bilmemigdir. Bu hadisaleri sadalandrmala kegayin. a) istilik $fialanmasr. Qrzdrnlmlg cisinrlar elektromaqnit g[alan buraxrlar va kifayat qodar yiiksak t mperatwlarda q[alanmanm bir qismi g6da giirfinan iqrq gaklinda mii5ahide olunur. $fialanoanrn intensiliyi va enerjinin miixtalif tezlikli dal[alara [6re paylanmasr (spektral paylanma) giialanan cisimin 166p6t"1*rnun rre cisimin materiahndan as rdr. Qara cisimin ;[alanmasr isa maddalerin materiahnm xassalarindao demak olar ki, asrj.r olmur. Ozarina diigan igr$ tamamila udan cisima miitlaq qara cisim deyilir. Bela qara cisimierin giialanmasr yalnrz cisimin temperaturundan as r olub, 11
onud materiahndan as r deyil. $,ialanrnenrn tezliye gdra enerji paylanmasr qanunu ae.(r)=)\,'a, 11 -t (1. l) alde edilmigdi. Bu qanuoauye'unluq yalnrz enerji miibadilasinin krantlarla (porsiyalarla) olmasr ile izah olunur. Spcktral paylanmam pkil {a olan kimi gostarmak olar.,le dv vov $akil l.t. Belli temperaturda spektral paylaoma. $ekil l.lde qrlq-qeq ayri Reley-Cins qanununu, biit6v xatt isa teriibanin netcasidir. X[susi halda an"(\=ffrv'"rav c =ff=*=s,e11kat.dra (1.2) olur. burada V=abc kubun h*midi, K-Bolsman sabii, T-miitlaq temperaturdur, c-i;lq s[retidi. $Ealanmanrn t"m enerjisi E(f)= 21r v (a-sabitdir) Buna da Stefan-Bolsman qanunu deyilir. b@molekulyar fzikadan ballidir ki, berk cismin xiisusi istilik tutumu (l.3) (1.4) qiymatini alu. Buna D[yling-Piti qanunu deyilir. Burada R (R= 1,99 kal.dart.) universal qaz sabitidi. Tacr[ba g6starir ki, xususi is- 12
ii.lik tutumunu-n temp raturdan as rlgr gakil 1.2 da g6s16fi161 kimidir. c 6 Sakil L2. Berk cisirnin xfisusi istilik tutumuuun temperaturdan as IB. $ekil 1.2-da birinci ayri tecrridan alman, 2-ci eyri Diiylonq-piti qanunundan, 3-cii eyri isa Eynitteyin diisturuna g6ra olan naticalardi. lstilik tutunu Eynitteyina g6ra c=*(b\'"1 \r/ (1.5) gaklinda teyin olunur. Burada f^=!! ao. "K c) Atonutr xotti spektri. Tacriib faktlara g6ra maddani qzdudrqda ve ya her hansr bir yolla hayecanlagdudrqda maddanin qaz hallndakr atomlan xatti spektre malik olur. OzUda buraxrlan iqrqda yalnz miiayyen tezlikli elektromaqnit dalfalar mdvcud olur. Ogar her bir atomun spektrinda v, w vrtez)mi xatttar varsa, spektrde vt + v2 ye lv, - vrl tezlikli xattlerda mdvcutdur. Bu qanunauyfiunluq Ritsin kombinasiya prinsipi adlamr. Bu prinsipden alnr ki, iki tezliyiu cemi (ve ya farqi) varsa, bu spektrda onlann cami re ya farqine uylun olan xettlerdo mtgahide olunur. Bunu stbut ttmak igln Fank-Herts tacriibasinde kdzardilmiq katod ile anod arasm&- kr potensial ferqi cirra buxan tgiin miayyan qiymatler alr re bu qiymatlar 4,9V, 9,EV; 16,7V ya s. olur. Tecr[ba!6starh ki, katod l3
ila anod arasrndakr voltamp r xarakteristikasr aqairdakr kimidir ($ kil 1.3). 4,9 9,8 t6,7 u(ev) $ekil 1.3. Frank-Herts teriibsinin neticasi. e) Elektronlann difraksivasr. Kristal, atom va ya ion qrupunun miayyan qanunauylunluqla feza qafainin d[y[m n6qtalerinde yerlogmasi demakdir. Bura dflsan elektrou dalf,asr bu ciira diiy[mlarioi yeni dalla manbayine gevirir va ekanda bu dallalar iiciin ma'lum 2dsn9 = nl", n=1,2,3,... dfisturu ila tayin olunan difraksiya menzaresi atntr. Burada n- difraksiya maksimumlanmn daracesi, 7v -gtanrn dalga uzuntulu, d- difraksiya qafasinin sabiti, d - qafesin normah ile sepilan q[a arasrndakr bucaqdr. Difraksiya hadisasinin a;afrdakt qakillarda gdstarilan kimi miigahide olunmusdur. gekil 1.4. Elektronlann difraksiyasr. Giimiig inca ldvhada elektron giiasrrun difraksiyast. t4
Buradan da E = hv enerjiya, P = ftt impulsa malik olan elektro nun de Broyl dal[asl olrasl sfibut edilmigdi. d) t'otoeffekt. Metal sathine drigen igrq metaldan elektron 9rxanr va bunun neticasinda ddvrada carayan atnu. Balli tedikli igrq eyni energiye malik olan elektronlan metaldan grxarr. Ogar igrfrn intensivliyini artrmrg olanqsa, gxan elektronlann kinetik enerjileri dayigmaz qalrr, lakin onlanu sayr artr. Elektronlarrn enerjisi isa d[- 9en igllrn tezliyi b6yldikca artmg olur. Diigan iprf,rn enerjisi h,=^u'+a 2 tanliyi ila ifada olunur. Burada h - Plank sabiti, A- elektronun metaldan 9rx9 igidir. Fotoeffekt hadisasinin fziki esaslanm tapmaq lazmdr, h) Stern-Herlax tacrflbasi. GtmE atomunun spektrinin maqnit sahasinde iki dastaya aynlmasl mfi$ahida olunmugdu. Bu hadisa faza kvantlanmasrnrn oldutunu gosterir. Yeni, faza kvantlanmasrnda gumflq atomlann dast si iki destaye pargalamr. Demali, xarici maqnit sahasinda atom dastasinin pargalanmasr faza kvantlanmastna siibutdur. Biitin sdylonilan hadisaler fuiki kamiyyetlarin hemiga kesilmaz qiymedar deyil, bir gox halda kasitli, diskret qiymetler da almasura siibutdur. Fiziki kamiyyatlarin diskret qiymat almasr bu kemiyyetlerin kvantlanmasr demakdir, Yani, tabiatda ela qanunlar var ki, onlar kvant xarakterlidi. Bu qanunauy[unlu['u agrqlamaq kvant lzikasrnrn esas problemlarindendir ki, onun da temelinda klant mexanikasr durur. $2. Kvant hahnrn dalla funksiyasl ila xarakteriza olunmasr prinsipi Kvant mexanikasmda har hansr bir hal, l-tziki hal olaraq, bir dalla funksiya ile xarakteriza olunur. Sistemin hahnr xarakteriza etnek [9[n dalla funksiyasr a) arqumenta gdre kasitnaz, b) arqumentin bir qiym.atina bir funksiyanrn uylun galmasi, yani bir qiymefli funksiyamn uyflun gelmesi, c) arqumentin biitiin qiymatlarinda sonlu, d) kvadratik intcqrallanan, yani 15
!v1'ar.* otnahdu. (2.1) Bu gartlari 6deyan ixtiyari funksiya, dalf,a funksiyasr ve ya hal vektoru adlanu. Bu funksiya y ile va ya la) ita iqare olunur. 1r funksiyala sonsuz sayda olub, kompleks de ola bilarler. (2.1) padlarini ddayen sonsuz sayda heqiqi va kompleks funksiyalar coxluf,una Hilbert fazasl, 1r -lar isa Hilbert fazastnm vektorlarl adlamr. Dolaysr ile, dalia funksiyalan hal vektoru olub, Hilbert fazasrm ula5drnrlar. Dalta funksiyasr har hansl bir dinamik dayiganin va ya radius vektorunun funksiyasr ola bilar. G6turiilm$ hacm elemanrnda zarraciklerin saymrn, ayn-ayn arreciklerin hemin hecmda olma ehtima[nrn hasilina beraber olmasr bellidir. Ona g6re y(r-) t r*"iy""rom kvadrah q'?(i) ehtimal sdrtsna m[tanasibdir. ja -fu:*siya 66"mi gakilde kompleksda oldufu iigiin, ehtimal sulf,r haqiqi kemiyyat (real) olduguna gdra ld'dy =y,'(ifu(r)*ayaz (2.2) ifadasi zerraciyin dv- hacminda olma ehtimal,na miivafiq olur. Belalikla, (2.2) ifadasi zerreciyin i - n6qtaindo olna ehtimalmrn suh[rdr. Bu ciire gdstarilen dalia funksiyasr fziki me'na kasb ettuaz va v -ya fazada olan bir dalla kimi baxmaq olnaz. Bu funksiya ile fezanm her hansr bir ndqtasinda olma ehtimahnr, yaxud bu va ya her hans bagka bir fziki deyigenin bu ro ya bagqa qiymet alma ehtimahnr aragdrmaq olar. Kvant mexanikaslrun asas m[ddaasr olaraq, zarrriyin harakatinin str1i-r11,arakerda olmasr tamal gartlerdan biri kimi qabul olunur. Bu xfisusiyyot zarrociklarin sayrmn gox olmasrna balh olmayb, yalnrz tak bir zerreciyin hahmn ehtimalh olaraq m[ayyen olunmasrm tayin edfu. T.aneriyin dv -hecmindo olma ehtimalr y'yrdv olduqda va bu vahida nomralla5nus olursa, onda l0ffz ehtimalla zarr&ik Y -tr*minda olar. Umumiylotla, inteqrallama biitiin faza iizra oldulu iigiin inteqrallama sarheddini - - o dan + co -a qadar gdtiirmaf, le-rmdrr, yeni [w'vau=!v1'a*ayar=t Q.4) 16
t.) \ olub, biitnn foza iizra inteqralamau gdstarir. (2.4) ifadai datea fuu_ ksiyasrmn normallama gertidir. Bu garta g6ra potensial enerji-miiayyan-srgrayrga u$asa bele va ya potemial enerji sonsuz olarsa, dalga funksiyasr va onun toromasi kaiilmaz olur ve ya srfira yaxlrla5r. a"yd etmigdik ki, kvant rnexanikasr zarraciyin dawanrpmr yalnrz shlimzl anlamrnda 6yranilir. Bu ehtimaltq Tqraciyin miqdanmn gox olnasna bae} deyil. Klassik frzikadai:r da sttistik anlamda goxlu zerrecikler sistemi eh-:malt davranrg da olur. Lakin kvant mexanikasmdah statistik qanunauylunluq klassik fizikadakt statistik anlal$dan ferqlidir. Statistik qununauygunluq goxlu sayda zerreciklarin qarg rqh tasiri neticesinda yararur va zarrecivin Ler birinin dawamgr klassik mexanikamn dinl-ik qanunlan ilj tmvir olunur. Zarrecitlerin sayr azaldrqca klassik statistik qauunauveud_ lufiun rolu azalu, zerracik sayr kifayat qadar az olduq'cla iso, kiissit statistik qanunauyfiunluq 6z ma'nasrm itirir. Maealan, t rnperatwa az sayd.a zerraciklar ficiitr (va ya zarracik rjgnn) 6z antamiu ifi61. Kvant mexanikasrnda statistik qanunauyfunluq, arraciyin da:ili xassalerinin meydana grxmasl olur ve onlann sayr bir dena olanda bela bir,'?_qxir. Zarraciyin ham korpusklyar ve ham de dalea xassasina malik olmasr, onun iigrin klassik frzika metodlanndan-ro anlay4lanndan istifa6" stmsf, imkxm vermir. Bundan 6tari zarrmiyin xasselarini Oyranmak iiiun yeni iis,llar.t"n, yeni tamsillardan isifa_ do etmok l2zm galh. Mikroarreciklerin heraket qanunauysnluqlanm tapmaqdau 6tr0, o.nlann meydaua galma sabablarini ve idarj olunmi qani,,,auy[unluqlanu tayin etuak iigtn yeni mexanikadao istifada olun_ mahdr. Bu masalelarla kvant mexanikasr maqlul olur. Kvant mexanikasmda sisternin iki miixtslif haldan, yeni bir hahn.ahnmast taynamilo bagqa qanunauylunlula tabe oi.ri. Bro, gora kvant mexanrkasrmn asasr olaraq, superpozisiya prinsipi qebul olunur. Bu prinsipe g6re ogar kvant sistemi 92, {al[a fuaksiyasr ile xaakteriza olunao haldadrsa va y, {al[a funksiyasr ila xarakteria olunan haldadrsa ve s., onda bu sistem datfa funksiyasr V pv 2,.. fu*siyalann cami V = arvr+ azll2 +...+ a,v. *... =jo"v" (2., srim6lvr? r)41\ I.' r t' t n.r.ilc rt FTt KITqBxI(A
olan halda da olar. Burada at,a2,...da ixtiyari sabitlrdi. Yeni ststefr. Vlt, ytz, tttt Ya s. halmdadrna, onda hemin sistem p/ - halnda da olar re bu hal v = arvr + a2tlr2+...+ aryt. +.-.=za,v, Q 5) a-l gaklinda da tasvir olunur. Klassik fzikada da bu prinsip var. Orada her hansr bir fiziki kemiyyat superpozisiya naticasinda ahnmtqsa, bu kamiyyet sup rpozisiya olunan kamiyyatlarin kombinasiyasr olur. Masalen, dinamik dayipan olaraq elektrik sahasinin garginliyini tapmrg olursaq, bu kemiyyet her bir n6qtade olan gerginliklarin cami olar: E=LE,=E,+E.+E, +... I Kvant mexanikasrnda toplam (superpozisiya) (2.5) kimi ise, y, -halrnda fziki kamiyyat q, y, ba\nda bu kemiyyat 4, deyrini va saire alrsa yr hahnda da bu fziki kamiyyat yalr.z q, rra ya da q, qiymatini alu. Klassk fizikada (q r+ qr) -inin ortaq bir qiym.ati olar. Kvant mexanikaslnda q, ve g, -dan yalnu birini qiymati har hansr birinin na qp- alnrg olar. AJrnan q, va Yz Qz dar gaki ilq yani (2.5) -daki a amsallanmn qiymti la mlayyn olunur. Mesalan, klassik fuikada amplitudu a olan iki eyni raqsi top lasaq Xt = dsito:, X, -- asittot yekuo raqs X=Xr+Xz=2asina kimi olar, yani, amplitudu 2a olan reqs atnar. Yani, toplamdan 6nca raqsin anplitudu a -drsa, superpozisiya naticasinde toplam reqsin amplitudu 2 a olar. Kvant nazariyyasinda iki eyni hah topladrqda, yeni dal[a funksiyasr bir sabita vurulur. Belolikla, hal funksiyasr eyni hah xarakteriza edar. Superpozisiya qaydasrna gdre fiziki kamiyyet qiymatini dayigmez re sistemin hah dayigmez qalar. 18
(2.5) ifadasina gdra ahnan differensial tanliklar xatti differensial tanliklardir. Ona g6re da kvant mexanikasrnrn tanliklari xatti diferensial tanliklerdir vo bu tanliklerin YpVz,Vt va saira halleri m'ovcutdursa V = all\ + a2y, 2 + d3ty1 +... hallida dillerensial tanliyin hallidir. Kvant mexanikasr klassik nexanikam xiisusi hal olaraq oziind aks etdirmalidi. Kvant mexanikasrnda &[a fuoksiyasr *"tii differensial tenliyin halli olur. Klassik frzika& isa elettron arrecik olub. i(r) trayektoriya ile harekat edir. Bu trayektoriya harekat tenliyina gatirib, guanr. Kvant va klassik mexanikamn bir birina kcaidi handasi optika ila fziki optikanrn arasrnda ot"n te+i.l tini miigahida olunmahdrr. Dalia (frziki) optikasrnda, v = aei? dal1as;5;g. heqiqi a am_ piitutu va g fazasrna (buna hendesi optikada eykonal deyilir) malik olur. Oger dalla rzunlu[.unun kigik qiymatlarinda va ya kigik mosafalarda fazanrn b6yiik qiynretjrinda hjndoi optikanrn mudds_ alanm tatbiq eunak keg rlidir. Yani, b6yuk dalla uzunlufiunda va kigik tezliklerda fziki optika qanunauyfunluqlin ratbiq 6f*u Uilir. Soylanilanlere uyfiun olaraq, kvant mexanikas rrrda ty = 1sto dalfla funksiyasrn da fazam p-ni Q = constl ila avaz olunmahdu. Burada I -ta,sir inteqral yo ya eylem adlamr. i- ta'sir inteqrahmu 6l9iis[ enerji ile zaman vauiaierinin hasiliklmi olmalrdn. Onda g=s6611 dekr sabit ft-r -olna1d6( i -iu vahidi enerji zamamdu). Ya'ni,p =lr h olarsa, dalfia fuoksiyasr it(i tl w =ae" Q.6) peklinda ya.a.lnaldr. (2.Q gaklinde olan datfa funksiyasrna kva_ ziklassik va ya klassikabanzar dalfa funksiyasr deyilir. Iiraot mex"- 19
Eikasmdan klassik mexanikaya kegid, boyuk fazaya uyfun oldu[-u [gun i + 0 yaxrola.gmasr (dalfia optikasrndan hendasi optikaya kegid dalfia uzunlufiunun )L-+0 [irni) vacibdir. 53. Operatorlar vo onlann xassaleri Kvant mexanikasrnro riyazi esaslanm operator hesabl teqkil edir. Verilmis coxluqda bir funksiyam bagqa bir funksiyaya geviran amaliyyata operator ve ya iglamgi deyilir: p=0v (3.1) 0 - igemqisi va ya operatoru r4 -funksiyam baska bir p -funksiyasrna gevirdi. $[bhmiz, hem y ve ham de g funksiyalan (2.1) gertini 6depn fuoksiyalar olnahdt ki, sistemin fziki hellini xaraktetlua etsin. Xfisusi halda, operatorun tairi ila yeni I funksiyasr deyil, qz funksiyasrmu bir q - sabitina vurulmug ifadesi ahnmrg olsun, ye'ni otsun. Onda (3.1) ifadasini P = qv Q.2) Qw =qv, (3.3) kimi yaza bilarik. Bu tenliyin har iki tarsfinden kompleks qogma emaliyyatr alruq olursaq (3.4) olur. (ulduz kompleks qogmahpr meselan, Z-- x + iy olaolda Z' = x - iy olar, gthterir). (3.3) ve ya (3'4) tsnliyine mexsusi funksiyanr tayin edan tanlik deyilir 0w=qv (3.3) tanliyinda funksiyaya mexsusi fuoksiya, q - isa mexsusi qiymet deyilir. Bir yz - funksiya iigiin bir dene q- taprlusa, bele hala crlagmaau5 hal deyilir. $ayat tap an q -uitr bir qiym.atina bir nega yz funksiya uylun golarse, bu hala orlagmrg (qetmarlaqmig) hal deyilir. (3.3) tenlilnin helli zamau q-ler kacitnaz qiymatler alarsa' (3.3) 20
tanliyi kesilmez spektra malik olur. Ogar ahnan qiymatlar diskret qiymetler olarsa, onda C operatoru diskret spektra malik olar. Diskret va kasitnaz spektre malik olan operatorun maxsusi funksiyalan baqka-ba9ka xassalere sahib olurlar. Beleliklq diskret spektr iigiin Qw" = q"w" (3.3) va kasilmaz spektr [giin isa 0w =qv (3.3) tanliyini yazarrq. Riyaziyyatda goxlu sayda op rator (i9lem9i) var : wrma, kg kalma, qiiwete yflksaltmak, inteqrallama, tdramealma va saire ilaxire. Kvant mexanikasrnda rizal operatorlardan istifada olunur. Burada olleratorlar iki 6zal Frti odayon operatorlar olmahdu ve bu 6zallik bilavasita fiziki talabatdan ireli plir. Bu 6zlliklar bunlardr: a) Operatlar xetti operatorlar olmah: Q(o,,y, + a r,y, + - -. + a sy,) = Qf r ", " =i." o-l ael "bd *ltbrh=frbv0") b) Operatrlar ermit (62<iziina qosma) qogma operatorlardr: (3.5) 0'6) Burada g ve y ixtiyari hahn dal[a funksiyasrdr. Bu gartlerden xettilik garti superpozisiya prinsipinin istifada olunmasrm va ermitlik garti isa operatorun maxsusi qiynratinin haqiqi (real) adad oknasrm tayin edir. Ogor (3.3) sol tarafdan ry' -e, (3.4) ise rg -ya vurub, b[tin faza izra inteqrallamrq olursaq fr'(nrh, =efv'vav frb'r'b, =tit*, Taref-terefe gxmrg oiursaq, ermitlik g.iir. gore 21
,'T o =\q - q') )v'vdtt olar. Normallama $ rtina gora jr'lrr, =1 oldueu fi9tn o:q-9* olar. Belelikla q=q+ (3.7) baraberliyini alnq. Yani, ermit operatorun maxsusi deyerinin (qiymetinin) haqiqi eded oldubudu tapm$ olanq' Oger iki ixtiyari xatti lro ermit operatorlann yerlarini deyigdirdikde: )h,y = B2,y (3 8) operatorlanna komutativ operatorlar deyilir. Yox, olurra, ^i, t.gn 2 o 6 operatorlarr srr,ajaggan operatorlar deyilse, yeni ABy * BAy (3.9) olana,.2 va.6 operatorlanna komutativ olnayan operatorlar deyilir. Ogar, ABy = -BAty (3.10) olursa, 2 ve 6 operatortanna antikomutativ operatorlar deyilir. (3.8) - (3.10) ifadalaini 6dayen gartlar fzikada gox dnemli gartlerdi vs kvant mexanikasrnda faydah fziki neticalare gbtirib guaran ;artlardir.. 54.Kvantmexanikastntnpostulatlart Kvant mexanikasrnda dinamik dayigenin bu va yada ki, bagka qiymat alma ehtimaltndan va dinamik deyisanin orta qiymatinden s6hbet agrlr. Buna gdra da kvant moonikaslnda dinamik dsylganlar edadlarle deyil, daha baska dalliyi olan operatorla xarakteriza olunur. Mahz, ona g6re de kvant mexanikasmda postulat olaraq rig postulat qebul olunur:
1. Her bir dinamik dayisan xetti ve ermit op ratorla ta'sil olunur. Bu kvant mexanif,251nrn lid1si p6stulatrdr. Yani, p operatoru 01'"r" =1""0r" (4.1) Ie'1vav =!'ea'e'ar Jerini,6dayen operatordur/ Bu; gartlar daxilinda bu iura operator vurma operatoru (i -radius vektoru) ve ya diferensial operator (-iv)oh bilir. 2. Her bir operatorun mexsusi qiymetini tapmaq iigiiu 0w, = ty, (4.2) tanliyindan istifade olunur. p - operatoru ila xaral:teria olunan dinamik dayigen daqiq olaraq, bu operatorun mexsusi qiymatlarindn har haosr biri olan q mfi5ahide olunur. Buradan gdriinur k! fziki kamiyyatleri xarattcriza edan operatorun maxsusi qiymati gergal haqiqi adaddir. Bu kvant mexanikasrnrn ikincl postulattdf. -3. Ogar har hansr bir y funksiyasr ixtiyari hal xarakteriza edirsa, bu funksiyanr maxsusi funksiyalarrn cemi gaklinde yaza bilarik. v=zr"v" (4.3) Dalf,a funksiyasrrun 591"1;111 snlamrpa gdra fazada goxlu sayda birbirlari ile kaigmayan oblastlar var ki, onlann her birisinda olma ehtimat y ila tayin olunur. Burada iigiincl poshrlat olaraq bele bir postulat qabul olunur. gayet har hansr bn dinamik dayipai dlgerken q dayarini alrna ehtimah superpozisiya prinsipinda olan ao -lann la,l' mutlaq qiymatinin kvadratr ila tayin olunur. ya'ni w=lo"l' (4.4) ehtimal srxler bu gakilda verilmig olur. Bu postulata g6ra istanilan dinamik deyiganin bu va ya ba.$ka qilmet al-a ehtimahm g6starir. Belalikle, q maxsusi qiym.ati dlgiilmakda olan q-lerin har hansr biri. nin alna ehtimah, y -funksiyasrnm, y/e -maxsusi funlsiyalanu biri ila tist-usta dugps 6[1i62tnr iaamla s6ylamak olar.
Beleca, iig postulat qabul olunur: 1. Dinamik dayiganlar xatti ve ermit (62-6ziina qoqma) operatorlarla gbstarilir. 2. Olgti zamam operatorlann moxsrsi qiymatlarindan q biri ahnrr. 3. Ol9[ zamanr maxsrsi qiymotlarden birinin alma ehtimalt srxhgl w= lr,l' -diskret halda teyin olunur. tt) dw =laql- dq -kesilmaz halda (4.5) $ 5. Kasilmez spektre sahib olan operatorun maxsusi funksiyasr Operatorun kesitnez maxsusi qiymetini va mexsusi funksiyasrm teyin eden tanlik (3.3)-e gore 0W = c,t, (3.3) kimi yazlr. Kasitnadiyi tafsilatr ila aragdrmaq iigfln bu tanliya kasilmaz dayigan q daxil edak. Onda (3.3) tanliyini lvo =sv, (3.3) gaklinda da yaza bilerik. Bu nana ftyrl'dl da! an ifade olur ve llrrl- it ar.i a*r, tez sonsuzluqda srfira yaxmlagtr. Belalikla, zerr+ cik bu durumda da mahdud olmayan, infrnitiv harakat edir. Bele hallarda ixtiyari hahn dalla funksiyasrru superpozisiya prinsipina giira (5.1) wg)= lo,v,gys kimi gostare bilarik. Kesilmez spektrin maxsusi funksiyastnt ela 5akilde secak U. I 12 lol dq ifadesi y hahnda fziki kemiyyata q ila q+dq intervahnda qiymet alma ehtimahn tayin edor. q - qiymatinin biitiin deyarlarinin alma 6[1iap]l4snrn 6ppi;
[1""]'aq =r (5.2) bwrabwr olar/ t/ -funksiyan'n normallama ;wrtinw g,rw (2/4) t''ydv =r oldueu iigtn,),r1y;;;)t:,)'ffn==,0 {i:ll yaznaq mtmkiundu. 15.+; ifadaini alarkan, kasilmaz spektr hahnda olan w'= (5'5) l"ivla< superpozisiya prinsipinden istifada olunmu;dur/ (5/4) ifadwsindwn a, = lv'wdy (s.6) uhnq. Buradan o, = [o,.(!v,.v;avfu' (s i) yaza bilarik. Bu ifadaui ixtiyari a, iigin her zaman ddanilir. Bunun nqnn q'+q otnayanda lvr'wiaf =O ola4 q'=q olanda isa IV r,v;a, -) co sonsuan yaxrnlasr, grinki aks taqdirda dv g6re inteqral srfrr olar. Demali inteqral [vnv;ar ( q' - C ) -nin funksiyasr olmahdu. Bu funksiya ozal funksiya olan 6 -funksiya olar. Yeni [v,.v;av = tu - A=f;,'r',!', (s.e) olmasr laztmdr. Bu ifade kesilmez spektrin maxsusi funksiyasrmn 6'-fuoksiyava normallanmasr gartidir. Bu $orta 86re fiziki kamiyyat F ile F+dF ;6rnda qi;mat alma ehtimahm tayin edir. F fiziki kamiyyeti her hasr bir F -e beraber olmayanda (5.e) lv,,vidv =o,q * q' 25
oldugu ugun ksilmaz spektril mexsusi funksiyalarr ortoqonal (v".,v)=o olur. ogar fziki kamiyytlar eynidirsa, onda (5.8)-e giiro inteqral dafi an olar. (5.8) ifadesindeki 6 (q' -q) funksiya xiisusi funksiya olub, Dirakrn d -funksiyasr adlanu. Bu funksiya sinkulyar funksiya olaraq her yerda srfir olub, yalnz x=0 ndqtsinda sonsuz Syfrkdiir va onun inteqrah (Olava A) IiGY, =, olur. d' - funksiyanrn tarifmo g6ro yaza bilerik. 6 -funksiyanm agagdakr xassleri ma'lumdur: a(.r)= a(-x),(r=-d(-, ra(;)= o,.ra(.r) = -a(:) (5.1) a(*)= JaG) fd(x - ")19)* = 1(") lal ale(i')-edt=dfou'-tl I ur l,=, Mesalann? koordinat operatoru kasilmaz spektre malik oldu[u [9iin v@= I""y"FV" o, = [wgbg'-i)a =vg) (s.r2) yazrraq olar- 26
Be lalikla, bfitrin kasilmaz spcktra malik olan operatorlann maxsusi funksiyalan, d - funksiyaya normallanan funlsiyalardu ve normalama qertlari d - funksiyasrrun xasselari ila mfleyyanlegdirilir. $6. Diskret spektra malik olan operatorun maxsusi funksiyalarr Ferz edek ki, operator porhgmamrg diskret spektra malik olur. Onda bele operatorun maxsusi funksiyasr Qv"=q"v" (3.3) tanliyini 6doyan funksiya olur. Bu tanliya kompleks qogma tanlik l'fi=so,ti (6.1) olar. (3.3) ifadmini soldan 7}-e v-o (6.1}i ise r7, -ya vurub, bfltiin faza lzra inteqrallamr$ olursaq [fi1v"av =0"!$v,"av Iw"O"Yiar = qt lv"fiav alanq. Bu ifadelari teraf-tarafa gusaq, p olrratorunun ermitlik gartine gdra olar va buradan lv,ilv"av =!w"l',t;ay (0"-q)l viv"dv (6.2) elda edilar. Ogar q. * q, -disa, yani a * p farqlidirsa, onda (6.2) ifadasinda l4w"dr =o (6.3) qarti alnar. Bu maxsusi funksiyalann ortoqonalhq gar tidir. Yani mfixtalif maxsusi qiymati olan hallar bir-birina ortoqonaldr. Ba5qa sdzla, lrziki kamiyyati vo ya dinarnik deyigani 5l9en zamant a -hatnda fziki kamiyyet iig[n bir qiymet, /-hahnda isa bagqa bir qiy- 27
mat alm$ oluruq. Ogar 8, = 4s olarsa, yam a = polursa. onda (6.2)rdan! viy,"av =!w,1'av =r (6.4) olar. Yani bu halda 100/o ehtimalla sistrm a hahnda olur ki, bela a halnda olma ehtimallarrn cami vahiddir. (6.4) normasrm g6z6n0na alaflqsa, diskret spektrin maxsusi funksiyalar goxluiu (6.3) ila birlikda ortonormal funksiyalar sistemi tegkil edir va ortonormalrq sarti t ' ' (r a=b lv)v"dv=d*=lo o*b (6.5) olur. Demeli diskret spektra sahib olau olrratorun moxsusi funksiyalan ortonormal funksiyalardr. Diger tarefdan bu mexsusi funksiyalar tam (va ya qapal) sistem taqkil edirlar. Ya'ni istenilan ixtiyari funksiya 12, dayiqanlerdan as r olarsa, 14o maxsusi funksiyalann srasr kimi tamsil olunar: vq)=z""v"q) (6 6) burada carrlama biitiin kvant adedleri a iizrd olur. (6.5) ortooormallamam nezera atarrqsa, (6.6)-m!{ -ye vurub, biit0n faza iia'a int qrallam$ olursaq IwiwkYc = lv)v.a.dt = 2".6 * o, = [fivqw (6.7) alda edirik. lstanilen funksiyaru diskret spektrin maxsusi funksiyalartn toplamr kimi g6stare bilarik: a(q'-il=z""g'fu"(q) (6.8) Bu (6.E) ifadasi (6.6!nrn x[susi bir hatdr, ona gdre (6.7]ya asasen ""(q') = lvibbb' - qw = dq') olur. Buradan (6.8) yerina yazanqsa (6.e) 2E
a(q'-d=zwib'fu"k) (6.10) alm$ oluru,q. Ham diskret ro [..da kxilmez spektre malik olan operatorlarin moxsusi fuuksiyalarr agaf,rdakt gakilda ortonormalama $ertini Mey6n funksiyalar olur Zvi?'fu * "(q) [v = aq' - o) (6.l1) ":w,a' Opratorlann maxsusi funksiyalan eyni zamanda Hilbert fezasrr,,r, ort vektorlan olduqlan iigln ortonormahq gartini bu gakilda da yazraq olar a= B < flla>=! v;w"a=r, =fi a + p G'12) 97. Fiziki kamiyyatia orta qiymati Her hansr 6i1 dinqmik dalgenin orta qiymeti bu dayigane qargr qoyulan ermit va xatti operatorun vo ixtiyari hahn hal vekto, runun veri.lmesi ila tayin olunur. Bunu gdstarmak iig[n orta qiymat anlay4rndan istifada edek. Me'l"mdur ki, orta qiymat ' p :. p r- Nr4 + NrF, + "' N,4 = 5. 4Il" r{?n (7.1) kini h^esablanrr. V-aanj, -taguffatini iilqarken, Nr dafe Fr qiymeti, N: dafa Fz qiymati, N1 dafa F3 qiymati ve saire qiymatlar alr. Ehti_ mar naan)rydtna gore) F=<F>=ria1f nff=znw(+) (7.2) paklinda yazrla bilar. Ugiincii postulata gdre (a.4) oldugu ng[n yaanaq olur. v(\)=b"@l'=";(q\p"@) F =lqo;a"=llqa;a.a* d at 29
OrtonormalLq gartina gdra 6*=[v,v)dv=<Bta> (7.3) Onda F-in orta qiymeti [gen F =ll r,a;a" lw "v;av =21 a)y)f,a,y dy = @A dp = lz"i4zr"asy.av =[la)fifla.y.dv = (7.4) iand = ll";r;t\,a;y-dy alda edarik. Boilidir ki, ixtiyari r1r ve 7'funksiyalanm,{=Zo"v,, ' =., Z.ivi mexsusi funksiyalann srrasr kimi yaza bilerik va <F>=F = [v'g,t)rv?,t)av e.s) kimi orta qiymeti tapmrg oluruq. Demali, kvant mexanikastnda fiziki kemiyyetin orta qiymati ixtiyari hahn dalla funksiyasr ile teyin olunur. Orta qiymat, sistem naxsusi halda oldulu zaman mexsusi funksiyalarrn toplamr ile ifade olunan, ixtiyari haftn dalfia funksiyasr ile F = lv'g,t)rwg,t)av Q.6) m[ayyan olunan qiymatdir. $E. Mexsusi qiymat va moxsusi funksiya tanliyi Dinamik deyiganin orta qiymeti (7.6) ifadesi ile teyin olunur: F = (7.6) [v'f,t)rv?.tu" Bu ifada ila nainki orta qiymati, hamginin kvadratik orta ferqlenmeni hesablamaq olur. Haqiqaten F-in xatasr M =F-<F > (8.1) olur va buna uyfun ermit operator da
LF=F-<F> olar. Buradan va (7.6!ya g6ra kvadratik orta ferqlanma.(ar)'r= fu'(,;r\;r)r* (8.2) (8.3) gaklinde yazrla bilar. AF operatorun ermitlik gartina gdra!v' tf rydv = [,1ir) v'av oldu[u iigiin.(ar)',=!v' trdr = h(;r)' t* = ftimi yaalar. Yani, = $,,{;,)','* = il;,), *.(ar),,= l@)4'* (8.4) (8.s) alde edirik. (8.5) ifadasi istanilan dinamik dayiqanin ixtiyari halda orta qiymatinden kvadratik orta farqlanmani hesablamaq m[mk[ndiir. (E.S)-den ma'lum olmayan hal, kvadratik orta ferqlanme srfir olanda mdvcud olar, yani, F kamiyyati m[ayyan qiymata sahib olur. Bela hallar figiin (8.5) ifadasi srfublar l(b), '* =, Inteqral altr ifade mitleq miisbet ifadedir. Ona gore inteqrahn srfr olmasr iigiin (#),* prti daxilinde lab[dd[r., (8.2) ifadasinden (F_. r,)r = o (8.6) (E.7) (8.E) 31
yazrlas. Qgql F' rnriayyan olursa, < F >= F olar ve (8.8) tenliyi Fv = Fv (8.e) kimi yazrlar. Bu tanlik xotti bkcins differensial tanlikdir. Mehz bu ciira tadliyi hell etdikda disket ye kesilnaz spektr, hamginin culagma olub va ya olnamasl rapa bilorik. OperatoruD maxsusi qiymatlorin toplam-r F kemiyyatinin ixtiyari halda mr'lmkfla olan qiymetlar abnasrna imkan verir. 59. Fiziki kemiyyatin mteyyan qiymat alma gerti Ogar her hansr bir halm dalta funksiyasr eyni zamanda bir nega operatorun moxsusi funksiyasrdusa, onda bu halda operatorlara uyf,un galan frziki kemiyyatlar mibyyen qiym.at alr. Sisterrin ha- Lndan asrh olaraq bu ve ya bagka kemiyyat miiayyan qiymata sahib olar. Trruba g6starir ki, faqat ela kamiyyatler da olur ki, onlar heg bir halda mtieyyen qiymet ala bitnir. Yeni, onlar qeyrimrieyyen qalu. Bu xlsusiyyat mikroalamin 6zalliyidir ki, bunuda kvant mexanikasrnda aks etdirmeliyik. GSstarmek olar ki, eger iki fziki kamiyyat eyni zamanda mfrayyan qiymat alrsa, onlarrn operatorlan komutativ olurlar. Fiziki ksmiyyatlarin miieyyan olnrasr, iki I u I operatorannrn eyni bir y" mexsusi funksiyaya malik elmacl d6nsf,dir. Riyazi dilde bu A * O, operaorlan iigfin QrV"=qrv" QzV" =?zv. yarmaq demekdir. Buradan AQ,v"=c,Av"=492v" Q,Av" = q,q,w" = 4z4rv. alda edarik. (92) ifadasindaki tanliklari tarf-tarofa gxanqsa, onda lo,a - AAV " = Q$zw " - e $ t, " = o olar. Buradan 32 (e l) (e.2)
b,o,-aab"=o 40,=0,a tapmr$ olariq. lxtiyari hahn dalla funksiyasmr v=2""w" yazmq olursaq (g,o, - O,aD,", " = b,o, - AAV = (e.3) tapanq. Ye'ni, (0,0,-aaV=o (e.4) olar. Demali, ixtiyari halda da cyni bir dalea funksiyasrna sahib olan iki operator srradayigan, komutativ operitorlar oiarlar. Bu teoremin tarsini do g6starmak olur. Bunu crlagmamrg hal olanda giisterak. Taoliyi AA = AA part daxilinde Q,V"=q,V, gaklinda yazaq. (9.5)-in her terefini pr -ye vuraq. Ye'ni Burada O,(0,r,)=r,(0,r") O,b,r.)= r,(0,r") o'b,v,)=qr" =q,*" olar. (e., P" =Qrv" (e.6) CrrlagmamrE hal oldulu flgiin g, yro den ferqli ola bilmez rra egar farqli olursa, bu farq yalnz bir sabitla farqhne biler: 9" = lzy" (e.7) (9.6)l'nl yerina yazarsaq Qzt{"=42V" (e.8) 33
olar. Buradan hem Q ve Q, ham da operatorunun eyni bir mexsusi funksiyasr olur. Ogor 1r - hahnda bir nege kamiyyetin 12, miieyyen qiymeti varsa, onda bu kamiyyatlerin mistarok dayarlari olar. Baqka deyirrla. operatorlan komutasiya eden frziki kamiyyetleri bir-birina engal olmurlar. $10. Dinamik dayiqanler [9[n qeyrimtayyenlik m[nasibeti Operatorlan komitasiya edan lziki deyigenler bir-birilarina angel olmayan kamiyyetjar olurlar va onlar eyni zamanda miiayyan qiymat alan kemiyyetlerdi. Lakin komutasiya etmayon operatorlarrn dinamik dayipnlari ise bir-birine ongol olan kamiyyatlar olur, onlar eyni amanda heg bir halda miiayyan dayar almaq imkanrna sahib deyiller, onlar arasrnda qeyrimiiayyenlik m6vcuddur. Oger operatorlan komutasiya etrnoyotr ermit op ratorlar Ug[n komutasiya gerti I ^ -l la'bl=ic varsa, ixtiyari halda A ve B kemiyyatlarinin orta qiymeti 7 =!v'lvar =(/,Ay'\E = [v'bvav =(v,by,) olmaqla, A ve B-nin xatasr M=A_7,M=B_8, kimi olur ve bunlarrn olrratorlan iigiinda (10.1) ifadesi alnar [^+r,]=,e burada M =l- 7,U= n -8,-av. Onda @)' = fu (t-tfvar (M1' = @, e',y) = (e v,, e v,) (u)'= [v' lb-n)ydy (lo'l) (10.2) (r0.3) ltny = (y, o',y) = (B v. s w) (10.4)
yaza bilorik. Ogar (az)r (aai = (v,,v ^fu,,y,,) paklinda yezmrs olursaq, ( la6l' s lal'zldj'z oruugu tgun; lttyltsy >1Q,,1y,1' (10.5) ya.anaq olar. (v, 1y,) = (e w, n d = ft{, ea) olduf,u iie[n re ),i=,fr -EA *b!^e) =6*i"rz (10.6) u2. oabulerr"r( 6=4!*BA ' AB-BA\ ^r.z'"=i) @(*r,(,,ir)'.1@,ur)' (,0,) _ va ya Buradan ;2 (^AF(^BI >o 7 (^AI^B)>; uo.8) olur. (ro.e) dmq. Demali, (10.1) garti olduqda, bu A ve B kamiyyatlar [q[n (10.9) qeyrimiieyyanlik m[nasibeti ahnr. Bu (10.9) miinasibeti baqqa yolla da alda eda bilerik. Bunun iigiin haqiqi parametr olan a g6ra mutlaq misbat ifada)"a baxaq: Bu ifadanin gaklini dayigsak &)= I(,^A-it'n),,,1'a,>o I t,o.,or 35
4d= I("i^-, b)r("^i'-,^i'),'on = = ", (ilx*.)*.,n *(e),(d. ),.,, - - - (t'"xd')0,., " t(,io),(^l'),' * = = " [v'li\ w,. 1r'(k)' wv - i,!,y'[i,.elav alanq. Ya'ni r(a\ = a'(tef + ad + (anf > o Buradan a parametrinin bfltiin qiymatlarinda 1(a) > 0 olrnasr iiqtd olur. Buradan 1@1@=; alanq. Operatorlan komutasiya etmayan fiziki kemiyyatlerdan kordinat va impuls,,7imut bucap va harekat miqdan momentinin birlageni, zaman ve enerji Ax.aPr,-f;,w.tt,,L,tz. P,>I, ts.u->! (ni@r=+ 2 (10.1t) olur. (r0.12) (r0.13) (lo.t4) Ar.AE>! ) kamiyyatleri arasrnda qeyrimfieyyanlik miinasibati yaramr. (10.14) miinasibetina gdra impulsun x-birlagani barede ma'lumatl onun uyeun koordinatr haqqrnda ma'lumatl tamaman itirdik-
da atrmaq olur. Eynila koordinatrn daqiq tayin olunmasr [ein, lmpulsun uylun birlagani haqqrnda melumat alrnq olmaz. Hamginin zarraciyin miayyan bir orbitde veziyyeti orbita perpendikulyar miistavida impuls momentiun birlegeninin barada ma'lu:natrn tamamen itirilmesi ila alde olunur. Enerji ila zaman lqfinda bu sdzlari sdylamak mflmkiindiir, Enerjinin AE deqiqliyi ila tayini & zaman intervalnda olur. Ye'ni, sistem & zaman farqinio her hansr bir qiymeti olanda, onun enerjisi LE-+ N daqiqliyi ila tayin olunur ve enerjinin dlgilme m[ddati N zamamnda mi5ahida olunur. Belalikla, qeyrimriayyanlik miinasibeti zarraciyin atom 6lgtl+ rinda traektoriya anlayrgma malik olmamasmr g6starir. $l l. Koordinat va impuls operatorlarrnrn agkar gakili, onlarrn maxsusi qiymati ve maxsusi funksiyalarr Bu va ya bagqa bir operatorun agkar $okilinin miloyyon dihoasi dalfa funksyasrnrn hansr dayigaudan asrh olmasrna bafhdr. Koordinata ba[h olan dalfia funksiyasr verilmig olursa, on& bu funksiya koordinat iasvirinde verilmig funksiya olur. Yani, farz edek ki, dal-!a funksiyasr koordinat tavirinda verilmigai (y(;)). Orta qiy- matin F = [w'fvav = [v'iva,ata, Ifadasina gdre koordinatrn orta qiymeti i = lv'iv*a* yazla bilir. Digar tarefdan y hahnda f,661dinatm qiymati (l r.l) t = [tfyl' av = lr*'n, = ([t.2) lv';vart bu ifada ile teyin olunur. (l1.2) ile (l l.lli mtqayisa edersak, koordinat tasvirinde (l r.3) alanq. Demali, koordinat tasviriude koordinat operatoru, koordinata wrma operatoru olur. Bu operatorun maxsusi qiymatiui tapmaq [giin
?,y,"(r)=4y,.(r) (11.4) tanliyini yazaq. Bu tanlikde f = i, olanda, ry,,*o olmali., i +i. olmayanda isa ty,"-o olmasr lazndr. Bu ciire xassaye Dirakrn delta funksiyasr O(f -;") malik olur. Ye'ni yr,. = 6(i -i) Be1ece, faza koordinahnrn operatoru ve mexsusi funksiyasr r =r,/"=6[eic-;.wdr=6(i-i") (1r.5) kimi tayio olunur. Burada koordinat i,-6 -dan, + co -a qader ke- 5ilmz qiymetler alar. (- o < i < "o) Llpuls operatorunun agkar gaklini tapmaq figiin dal[a funksiyasrmn radius vektorundan asfi olmasrnr ferz edek va onu r- atrafinda sraya ayuaq.,y(i)-+ y(r +a)=v,@.a9#-l:' '= ' or v=a Oger ry funksiyasr klassikebenzer funksiya olarsa, (r 1.6) d/ ifud"uioi h"rablamrs olsao ai,y1;1= "i'g\ Oty - O!;67 -i AI ^:IFt 0i tr hai alde edarik. Bellidir ki, klassik fzika& impuls, teeir inteqrahmn fezada dayigmasi kimi, yani t+ir intcqrahnrn qradientidir. Bunu nazara alsaq olur. Onda (l1.7)-den $lr)=o,=t (r 1.7) (r 1.8) 38
Buradan da a i- _a=_dtu ofn ^e D=-ih;=-ihv ahnar. (ll.e) alde edilir. Belalikla, iig dena impuls operatoru alrrug oluruq: i,=-ih+,b"=-in*.p,,=-ih+ (u.ro) doyoz Bu operatorlar bir-birlari ila komutasiya edqn operatorlardr i,i, - i,i, =li,,,l,l=o i,i,- b,b,=[p,.p,l=o (1r.11) n,i.- b.b, =lp,.o.l=o Lakin koordinat x,y,z operatorlan ila uylun i,.ir.i" op"r^torlan komutasiya etmir, ancaq garpaz uyeun komponentler komutasiya edar. Mesalan, (o.- p,,\y =-*(,*-*,), =-tn(,{-w -,*)=,0* Gi, - i,,\y = -"(, &- *,Y = -.?X -,X)=, alnar. Demali xfi, - ff,x =lx, fi,1= in,l,,l,,l=1,,1,1=o vh, - b,v =lv, i,l= in,[v, l,,l={v, i,,l= o (l I' 12),i, - i,, =lr, i,l-- in,[r,p,l=lr,fi,)= o miinasibetlarini alda edarik. indi do impuls operatorunutr maxsusi qiymati va maxsusi funksiyaslnl tapaeln. Bunuo [g[n Snce maxsusi qiymat rra mexsusi funksiya tanliyini yazaq: iv,q)=-i1tr*,(r)= n,,f) Ve uyf,un birlagenlarin odadiyi tanliklarin (n.r3)
hallini saklinda axtaraq. Onda.-av*G) - ih::z:j = b,w,q) = p,,y *(r) -rra, rg) - ",v.(7)= p"v.(t) (11.14) Ay.-aw-G) - ih ---:---z-:-- = i,vr rg) = p,,f rg) Az,y,(;)=x(x)v(y)z(,) (l r.rs) - n*) v 0z(,) = p.x(x\v $BQ) -ta*)=n,x(,) -in\) =t,v(t) _.*dz(r) = p,z(r) (n.r6). olar. Buradan #=;,'.*, #=;0,*'#=i,,*.,,7) i olduf,u figiin i x(x)= ";" i Yani Yb/)= eip" i z(z)= ";"' I v",=f,$t,zpe" t v r, = f,(x,zpi"' 40 (11.1E) alnar. (l1. re)
,/r, = fr(r,yb;'" Bu hellar impulsun - co < { < +co \@ -co<pr<+<o qiymatlerinde yararlr hall olur. (l 1. l9)-da 7$, z\ r(x,z\ fir(x, y) funksiyalan ixtiyari funksiyatardr, Buradan (11.13!n helli vr7)=c":b'*."''.') =c";io (lr.2o) alda edilar. impulsun - co < P < t{ kesilmez qiymatlarinda y, -nin dalla funksiyasr olmasrm saxlar (kasilmaa birqiymedi, sonlu qa- Iar).Impuls kesilmaz maxusi qiym.atlar aldrgna g6ra, (1 L20) maxsusi funksiyalan d -funksiyaya normallanan fuaksiya olar (bax (s.10) ve (s.l lle) (l l.2r) Buradan Iv,"'G\y,GYv =a(p'- pl,o' 1ia'-ov a' - 6G' - n) 5(i'-F)=#Ptt'-cvo c=ara't, tapanq. Belalikla, impuls operatorunun maxsrsi funksiyasr!a; olar. v,=wn t (.22) Bu zaman impuls -o < F < +- kasilnaz qiymatlar atorg olar. $12. Encrji operatoru, grddinger tanliyi DalEa funksiyasrnm sistemin hahm xaraktcriza etmosiuo miivafiq olaraq, hahn z"mana g6ra deyigilmasi da dalia funksiyasrnrn zamanla dayigmesi ila teyin olunur. Bunu g6starmek Egiin ferz edek 41
ki, datea funksiyasr zamana bafhdu. t-anmda sistemin hah y/(i,r) funksiyasl ila xarakteriza olunursa, t'=t+toannda aa y(11) funksiyasr ila xarakteriza olun ar. agar Vr(i,{) funksiyasrm Teylor srlztsrna ay[anqsa: olar. Bu srram v(;,t+t")=1fiffv{r,,)= i'*v{;,,) oz.2) kimi de yaaaq imkanmda da olanq. y/(i,t) va r4(/,r') funksiyalan eyni bir hah ifade edan funksilardr. y(i,l) funksiyasrm kvaziklassik fuuksiya kimi qabul etsak yaza bilarik. fiv{;,i = fi a'"''' = iff,{r.,) Klassik mexanikaa"o - $ = 11 fru-ilton tunksiyasr olnasr bellidir va alds edilo bilar. Buradan At av =_!y. dh (t2.3) fi =E=inLAt (t2.4) yazarg. (12.4) ifadeei enerji operatorudur ki, buda Hamiton operatoruna baraberdi. Hamiton opratoru relyativistik olmayan (v<<c) halda kinetik ve potensial enerji operatorlanmn toplamrdu: (12.3!e gore a =fi+uq,y,d=-*o' +u(x,y,z) (r2.5) NAVS,',) = A,rG,,) (12.6) 42
Bu tanliyi grtidinger tanliyi deyilir. grodinger tanliyine g6re Hamilton operatorunun dalfia funksiyasrna tasiri sistcmin halmn zamana gdra deyiqmmini verir. Bu tanlik kvant mexanikasrmn aas tanliyidir. Ogar Hamilton operatoru zamandan agkar qakilde asrh deyilse, g(rr)-"i vfr)=v?bk) (12.7) kimi yaanq va onu (12.6)da yerina yazaraq alda edarik. Buradan inddi! v@= av(i\ek) fidt$( "' lr --rty(t) =s e0 - wg) -" iki muxtalif doybanlardan asrl olan ifadelarin bir-birine berabsr olmasr iig[n, onlarrn bir sabita baraber olmasr laamdr. Bu sabita E deyariksa th*=eeq) rtyql= ay(r). yazslar. (12.4) g<ira (12.8)-in brincisindan E-niu tam enerji olur. (l 2.8!in birinci tanliyindan inl d4',) =ofu, 'pld ihtnek)= Et e1()= "-;" r (12.8) glmas1 ayd6 (t2.e) olur. (12.9) ifadasinda zamana balhhflr E enerjisi ile tayin olunur. (12.8) ifadasinda iry(i)= ryq) (12.10) tenliyina stasionar (qararh) hal iigfin grodinger tanliyi deyilir. lst+ nilan hahn dalf,a funksiyasrm stasionar hallann 43
v"q,)=,v,1;1n-i' dalfa funksiyalann superpozisiyasr kimi yazanq: vq,t)=l'",y;(t,t) diskret spektr olanda, w,t)=!,(rfu,q\:'ao (r2.rl) kaailmaz spektr olanda alanq. Stasionar halda ehtimal sutlr zamandan asrh deyil. Dofurdanda stasionar hahn ehtimal suhft w:l,."f,i' =lv:gv;'v"trvi"l= 02.12) vi?lc"f)=lv,,ql' zamandan as t olmaz. Eyni zamahda fziki kamiyyatin orta qiymeti F = lw'qt)rv?,tvr zamandan asrh deyil. Hoqiqotan orta qiymet..la^ J6, F = [viqpi" rr"e'-dy = lwi?)fw,fpv (12.13) olar ve operatoru zamana bafh olmazsa, onda F = [v G\rv,Fyv as r deyildir. Elece da dinamik dayisanin her hansr bir qiymet alma ehtimah zamaadan asr.h otnaz. Dolrudanda w (r.) =la(r.l' =llw;,f,t\r\,,yy'' = l!r;.t v;" rrrv*" ol' =1fu,.(r\,{(rv4' 02'14) aknar. Stasionar hal& sistemin hahmn zamandan as hf enerji ila miiayyen olunur. 44
$13. Kvant mexanikaslmn heraket tenliyi KvaDt mexanikasrnda harakat tanliyini almaq [9[n frziki kemiyyatin orta qiymati dfisturundan F = lv'g,t)rv?,t)*aya, istifade ctmek miimkiindlr. Burada yalnrz df apa=i (r3.r) Frtini, yani kemiyyetin deyigma siiratinin orta qiym.atinin, orta qiymatin zamana g6ra dayiymasina berabarlik gartini qabut edak. Burada oldulu [9[n ff=fu't,..tffrtr,, )*aya, -# = * fu' r' r)r'v(r. t)*ava' (t3.2)!v' G,tffv7,,Yr = ft!v' G,tPy(;,t)ar 1n.t1 yazanq. Buradan!v' G,tff wv,nv = [ fi<v'g,irvi r)dn = t{*u,.r*r.r'rxyn elda edarik. (12.6)-dan gch<idinger tanliyine g6re a,y6.l =Lpy,G,l (13.4) (13.5) ve (12.6!nin qogmasr olan tan-liyinden -,oa,zfr) =rr'r'(r,,) 45
av'!,t) =_L;1.r.1;,t1 (13.6) yaza bilerik. (13.5) va (13.6}ni (l3.alda yerine yazmrg olursak (13.4) ifadesi!v'g.iffv7,tyt'= = I{-' 0,,1ff,Q, ) +! v' Q, )rn'v(;, ) - - jn',y'1;,4rv6,,1\ar gekline diiqar. Hamilton operatorunun ermitlik qartini naara alsaq tyt,y(t, tpv onda ahnan ifadani ln',y' (r,t\y(r, tpr, = lv' G. [w' G, n $ v G,,yy =!,,,' (,. i{#. }(r' * - r, il},{ G, ty v. gaklinda gdstare bilarik. Buradan A^ +=a!.l(fh -HF) dt d i, o3.7) aluar. (13.7) tanliyina kvant mexanikastmn harakat tanliyi deyilir. (13.7) tanliyinda lt"^ ^^\ lr^ ^l _,ro _rp1=:_lf,hl (13.8) ih. iht ' t ifadsi Puasonun kvant miitarizasi adlanu. Burada agar operator. c ardan agkar qakilda asrh olmazsa, ^A I = 0 ta "yoi zam.nda F operatoru Hamilton operatoru d ile komitasiya edarsa Fn - uf =0,Fft = frr onda (13.e)
Yani df =o dt {=o,f=co*t. dt (13.10) olar. olur. Demali, ff = Ulf'nl=o olarsa, frziki kemiyyat saxlauan ka. miyyatdir. Masalan, enerji operatoru olan Hamilton operatorunud ff!66w 1*, tj= o ot or"-d- enerji dayisani sadanrhr, sferik simmetrik saheda herekat miqdan momentinin kvadratr va onun proeksiyasr at ff=o * [*,r]=o oldufu iigiin *-=o *" V,,*l=o (r3.u) At i = const i =,ont, olurlar, yenil va Z, sferik simmetrik sahede saxlanrlr. gl 4.Kesilmezlik tentiyi (13.12). _Universal saxlanma qan'rnlarindan, olan ylkiin va madda miqdanntn. saxlantlsj ganunu kvant mexanikasrnrn asas tanliyi olan Sch6'dinger tenliyinda 6z aksini tapmqdr. Bela ki, (12.Q ifadasine uyfiun olaraq -*P=(-*v. *u)wl,i 47