e.g. f(x) = x domain x 0 (cannot find the square root of negative values)

Size: px
Start display at page:

Download "www.mathsbox.org.uk e.g. f(x) = x domain x 0 (cannot find the square root of negative values)"

Transcription

1 CORE SUMMARY NOTES Functions A function is rule which genertes ectl ONE OUTPUT for EVERY INPUT. To be defined full the function hs RULE tells ou how to clculte the output from the input DOMAIN the set of vlues which will be used s inputs e.g. f() = domin 0 (cnnot find the squre root of negtive vlues) ALTERNATIVE NOTATION f : mens function f such tht mps to input is converted to output ÎR cn be n rel number There re different tpes of functions MANY-ONE = ONE-ONE = = + different inputs give the sme output for ech output there is onl one possible input The RANGE of function is the complete set of ll of the OUTPUTS An INVERSE function is denoted b f -. ONLY ONE-ONE FUNCTIONS HAVE INVERSES The DOMAIN of n inverse function is the RANGE of the function e.g. The function f is defined b f() = - find f - () Step : Write the rule in terms of nd Step : Rerrnge to mke the subject Step : Replce the s with s = - = + f - () = +

2 Using the sme scle on the nd is, the grphs of function nd it s inverse hve reflection smmetr in the line = COMPOSITE FUNCTIONS The function gf is clled composite function nd tells ou to do f first then gf() e.g. f() = + g() = + gf() = (+) + fg() = ( + ) + gf() = + + fg() = + 7 The Modulus function is the modulus of or the bsolute vlue The modulus of rel number cn be thought of s its distnce from 0 nd it is lws positive. = - = The grph of = f() is 8 6 = trnsltion éù 8 ê ú ë0 û To sketch the grph of = (f) first sketch the grph of = f() Tke n prt of the grph tht is below the -is nd reflect it in the -is. SOLVING EQUATIONS Alws sketch the grph before ou strt to determine the number of solutions A function is defined b f() = + - Solve the inequlit f() < The grphs shows solutions (+) - = = - ( + ) - = - - = 5 = or = -

3 Trnsforming Grphs éù TRANSLATION - to find the eqution of grph fter trnsltion of ê ú ou ëbû replce b (-) nd b ( - b) - b = f(-) or = f(-) +b e.g. The grph of = - is trnslted through the grph formed. ( + ) = (-) = é ù ê ú. Write down the eqution of ë- û = - = REFLECTING 5 = -f() Reflection in the -is, replce with Reflection in the -is, replce with = f(-) STRETCHING Stretch of fctor k in the direction replce b k Stretch of fctor k in the direction replce b k = f( k ) = kf() COMBINING TRANSFORMATIONS When ppling trnsformtions the order does not mtter if one involves replcing nd the other replcing. If both trnsformtions involve replcing (or ) then the order could mtter e.g. The grph of = is first trnslted b Find the eqution of the finl imge. Trnsltion = ( - ) Reflection = (- ) = ( + ) éù ê ú nd then reflected in the -is ë0û TRIGONOMETRY INVERSE FUNCTIONS = sin - rcsin or sin domin p p rnge

4 = cos - rccos or cos domin rnge 0 p = tn - rctn or tn domin Î R rnge p p sec is defined s co s = sec hs domin Î ÎR ¹ ± p, ± p, ±5p nd rnge nd cosec c is defined s si n = cosec hs domin ÎR ¹ 0, ± p, ± p, ± p nd rnge nd 5 Nturl Logrithms nd e e is n irrtionl; its vlue is correct to 9 deciml plces Nturl Logrithms use e s bse nd we write log e s ln e = Þ = ln

5 e.g. Solve the eqution e 5 = 0 e 5 = 5 = ln = 5 ln = 0 97 If the question sks for n ect nswer do not chnge into decimls e = Þ = ln so e nd ln re inverse functions e is positive for ll so ln is defined onl for positive vlues of 6 = e = ln 6 e.g The function g is defined b g() = e -5 + for ll rel. Find nd epression for g - () nd stte it s domin nd rnge. = e -5 + = e -5 ½( - )= e -5 ln(½( - )) = 5 ln(½( - )) + 5 = g - ()= ln(½( - )) + 5 The rnge of g is g() > so the domin of g - () is > The domin of g is ll rel vlues of so the rnge g - () is ll rel vlues Trnsformtion of grphs e.g. Describe the sequence of geometricl trnsformtions needed to obtin the grph of = e - from the grph of = e. Reflection in the -is gives = e - Stretch fctor of in the direction gives =e -

6 6 Differentition Ke points from C nd C The derivtive of n = nn - If f () > 0, f is incresing t =. If f () < 0, f is decresing t = The points where f () = 0 re clled sttionr points If f () > 0 then = is locl minimum If f () < 0 then = is locl mimum The derivtive of e is e The derivtive of ln is e.g. If f() = e + ln( ) find f () f() = e + ln + ln f ()= e + Product Rule If = uv then d dv = u + d d du v d Quotient Rule du dv If = u v - u v then d = d d d v Chin Rule Find d given tht ln ( + ) d d du d = d du d Let u = + so = ln u du = d d = du u d = d + Differentiting sin, cos nd tn The derivtive of sin is cos. The derivtive of cos is sin The derivtive of tn is sec The derivtive of f() is f () The derivtive of f(+b) is f ( + b) e.g. Find f () given tht f() =sin cos Let u=sin nd v=cos du = d cos dv = -sin d d = (sin)( - sin) + (cos )( cos) d d = coscos - sin sin d

7 7 Integrtion Ke points from C nd C ò n d = n + n + + c ò f() d b Gives the re under the grph of =f() between = nd =b Ares below the -is re negtive Ke integrls TO LEARN ò e d = e + c ò d = ln çç + c ò + b d = ln ç + bç + c ò sin d = cos + c ò cos d = sin + c Integrtion b SUBSTITUTION e.g. Use the substitution u = - to find ò First find du in terms of d du = so du = d d Rewrite the function in terms of u nd du ò d = ò ( )d = ò u du = ò u du Crr out the integrtion in terms of u Rewrite the result in terms of = æ è ç u ö ø + c = u + c ( ) + c Integrtion b prts ò u dv d = uv d ò v du d + c d

8 e.g. Find ò e5 d Let u = nd dv = e 5 d du = v = e 5 d 5 ò e5 = e 5 5 ò 5 e5 d = 5 e5 5 e5 + c Integrting f' ( ) f ( ) (the numertor is multiple of the derivtive of the denomintor) ò f '() = ln çf()ç + c f () e. g. Find ò + d The derivtive of the denomintor, + is, so think of the numertor s ¼ ( ) ò d = + ò + d = lnç + ç + c ò ò + d = tn æ è ç ö ø d = sin æ ç ö è ø + c + c STANDARD INTEGRALS TO LEARN 8 Solids of Revolution Revolution bout the -is The volume of solid of revolution bout the -is between = nd = b is given b ò b p d

9 Revolution bout the -is The volume of solid of revolution bout the -is between = nd = b is given b ò b p d e.g. The region shown is rotted through p rdins bout the is. Find the volume of the solid generted. First epress in terms of = 8 = 8 Þ 8 = Þ = Þ = When = 0 = 0 when = = Volume = ò p d = 0 ò 0 d = p é ë ê 5 ù 5 û ú = 5 p 9 Numericl Methods Chnge of sign For n eqution f() =0, if f( ) nd f( ) hve opposite signs nd f() is continuous between nd, then root (solution) of the eqution lies between nd Stircse nd Cobweb Digrms If n itertive formul (recurrence reltion) of the form n+ = f( n ) converges to limit, the vlue of the limit is the -coordinte of the point of intersection of the grphs =f() nd = The limit is therefore the solution of the eqution f() = A stircse or cobweb digrm bsed on the grphs of = f() nd = illustrtes the convergence e.g Solve the eqution + =0 First we will write it in the form = f() + = Þ + = Plotting the grphs = + nd = the solution is the point of intersection of the two grphs

10 We cn confirm tht there is point of intersection between = nd = b chnge of sign the vlues re substituted. Substituting = into = + gives =.66 (shown on the digrm) Substituting =.66. =.8 Repeting this the vlues converge to.57 The solution of + =0 is =.57 The mid-ordinte Rule (Numericl Integrtion) Gives nd pproimtion to the re under grph. The re is divided into strips of equl width. The vlue of the function hlfw cross ech strip (the mid-ordinte) is clculted Totl re = width of strip sum of mid-ordintes Y.5 ln.5.5 ln.5.5 ln ln 5.5 =ln Are = (ln.5 +ln.5 + ln.5 + ln 5.5) = ln ( ) = ln = Simpson s Rule Gives more ccurte pproimtion to the re under grph. An even number of strips of equl width re used. The ordintes 0,,,. re the vlues of the function on the verticl edges of the strips. The re is given b h( sum of end ordintes + sum of odd ordintes + sum of remining even ordintes)

Module Summary Sheets. C3, Methods for Advanced Mathematics (Version B reference to new book) Topic 2: Natural Logarithms and Exponentials

MEI Mthemtics in Ection nd Instry Topic : Proof MEI Structured Mthemtics Mole Summry Sheets C, Methods for Anced Mthemtics (Version B reference to new book) Topic : Nturl Logrithms nd Eponentils Topic

Pure C4. Revision Notes

Pure C4 Revision Notes Mrch 0 Contents Core 4 Alger Prtil frctions Coordinte Geometry 5 Prmetric equtions 5 Conversion from prmetric to Crtesin form 6 Are under curve given prmetriclly 7 Sequences nd

Graphs on Logarithmic and Semilogarithmic Paper

0CH_PHClter_TMSETE_ 3//00 :3 PM Pge Grphs on Logrithmic nd Semilogrithmic Pper OBJECTIVES When ou hve completed this chpter, ou should be ble to: Mke grphs on logrithmic nd semilogrithmic pper. Grph empiricl

AREA OF A SURFACE OF REVOLUTION

AREA OF A SURFACE OF REVOLUTION h cut r πr h A surfce of revolution is formed when curve is rotted bout line. Such surfce is the lterl boundr of solid of revolution of the tpe discussed in Sections 7.

1. Find the zeros Find roots. Set function = 0, factor or use quadratic equation if quadratic, graph to find zeros on calculator

AP Clculus Finl Review Sheet When you see the words. This is wht you think of doing. Find the zeros Find roots. Set function =, fctor or use qudrtic eqution if qudrtic, grph to find zeros on clcultor.

Exponential and Logarithmic Functions

Nme Chpter Eponentil nd Logrithmic Functions Section. Eponentil Functions nd Their Grphs Objective: In this lesson ou lerned how to recognize, evlute, nd grph eponentil functions. Importnt Vocbulr Define

Eponents nd Rdicls -: The Rel Numer Sstem Unit : Eponents nd Rdicls Pure Mth 0 Notes Nturl Numers (N): - counting numers. {,,,,, } Whole Numers (W): - counting numers with 0. {0,,,,,, } Integers (I): -

y intercept Gradient Facts Lines that have the same gradient are PARALLEL

CORE Summar Notes Linear Graphs and Equations = m + c gradient = increase in increase in intercept Gradient Facts Lines that have the same gradient are PARALLEL If lines are PERPENDICULAR then m m = or

Polynomial Functions. Polynomial functions in one variable can be written in expanded form as ( )

Polynomil Functions Polynomil functions in one vrible cn be written in expnded form s n n 1 n 2 2 f x = x + x + x + + x + x+ n n 1 n 2 2 1 0 Exmples of polynomils in expnded form re nd 3 8 7 4 = 5 4 +

Section 7-4 Translation of Axes

62 7 ADDITIONAL TOPICS IN ANALYTIC GEOMETRY Section 7-4 Trnsltion of Aes Trnsltion of Aes Stndrd Equtions of Trnslted Conics Grphing Equtions of the Form A 2 C 2 D E F 0 Finding Equtions of Conics In the

Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÌÁË ÆÁ Ëµ Ë Öº Ð º Ò Ö º ÚÓÐº ½ ÆÓº ½ ÔÖ Ð ¾¼¼¾ ½ ¹ ½ ÐÓ Ò Ò ÅÙÐØ ¹ ÀÞ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÎÓ Ò º Ç ÐÓ Þ ÁÒÚ Ø È Ô Ö ØÖ Ø Ò ÓÚ ÖÚ Û Ó ÐÓ Ò Ò Ò Ó ÐÓ ØÓÖ Ð Ñ ÒØ ÔÖ ÒØ º ËÝ Ø Ñ Ø Ò Ó Ô¹ ÓÔ ÜÔÐ Ò Û ÐÐ Ø

ÅÁÌ ½ º ÌÓÔ Ò Ì Ë ÁÒØ ÖÒ Ø Ê Ö ÈÖÓ Ð Ñ ËÔÖ Ò ¾¼¼¾ Ä ØÙÖ ½ ÖÙ ÖÝ ¾¼¼¾ Ä ØÙÖ Ö ÌÓÑ Ä ØÓÒ ËÖ ÇÑ Ö Ø ÑÓÒ Ï Ð ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ð Û ÐÐ Ù Ú Ö Ð Ö Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø ÁÒØ ÖÒ Øº Ð ØÙÖ Û ÐÐ Ù ÀÓÛ Ô ÖØ ÙÐ

PROF. BOYAN KOSTADINOV NEW YORK CITY COLLEGE OF TECHNOLOGY, CUNY

MAT 0630 INTERNET RESOURCES, REVIEW OF CONCEPTS AND COMMON MISTAKES PROF. BOYAN KOSTADINOV NEW YORK CITY COLLEGE OF TECHNOLOGY, CUNY Contents 1. ACT Compss Prctice Tests 1 2. Common Mistkes 2 3. Distributive

Mathematics. Vectors. hsn.uk.net. Higher. Contents. Vectors 128 HSN23100

hsn.uk.net Higher Mthemtics UNIT 3 OUTCOME 1 Vectors Contents Vectors 18 1 Vectors nd Sclrs 18 Components 18 3 Mgnitude 130 4 Equl Vectors 131 5 Addition nd Subtrction of Vectors 13 6 Multipliction by

ÔØ Ö Ê Ö ÓÐÓ Ý ÁÒ Ø ÔØ Ö Ø Ö Ñ Ò ÛÓÖ Ø Ø ÓÒ Ú ÐÓÔ ÔÖ ÒØ º Ì ÛÓÖ Ø ¹ Ø ÓÒ ÓÑÔÙØ Ö Ø ÒÓ Ø ÑÓ ÙÐ Û Ö Ø ÓÖÓÒ ÖÝ ØÖ ÑÓ Ð ÐÐ ÔÐ Ý Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Û Ò Ó Ò ÙØÓÑ Ø Ú Ð Ò ÐÝ Û Ø ÓÖÓÒ ÖÝ Ò Ó Ö ¹ Ô Ý Ñ º Ì ÔØ Ö Ò Û

ÌÀ ÀÁ¹ÇÅÈÊÇÅÁË ÎÄÍ ÇÊ ÆÇÆßÌÊÆËÊÄ ÍÌÁÄÁÌ ÅË Ý Ù ØÚÓ ÖÒØÒÓ Ò ÂÓÖ Å Ó Ý ÏºÈº Í¹Á º¼¼ ÖÙÖÝ ¾¼¼¼ ØÖØ Ï ÒØÖÓÙ Ò ØÙÝ ÓÑÔÖÓÑ ÚÐÙ ÓÖ ÒÓÒ¹ØÖÒ ÖÐ ÙØÐØÝ Ñ Ø ¹ÓÑÔÖÓÑ ÚÐÙº ÁØ ÐÓ ÐÝ ÖÐØ ØÓ Ø ÓÑÔÖÓ¹ Ñ ÚÐÙ ÒØÖÓÙ Ý ÓÖÑ

Integration by Substitution

Integrtion by Substitution Dr. Philippe B. Lvl Kennesw Stte University August, 8 Abstrct This hndout contins mteril on very importnt integrtion method clled integrtion by substitution. Substitution is

Use Geometry Expressions to create a more complex locus of points. Find evidence for equivalence using Geometry Expressions.

Lerning Objectives Loci nd Conics Lesson 3: The Ellipse Level: Preclculus Time required: 120 minutes In this lesson, students will generlize their knowledge of the circle to the ellipse. The prmetric nd

Example 27.1 Draw a Venn diagram to show the relationship between counting numbers, whole numbers, integers, and rational numbers.

2 Rtionl Numbers Integers such s 5 were importnt when solving the eqution x+5 = 0. In similr wy, frctions re importnt for solving equtions like 2x = 1. Wht bout equtions like 2x + 1 = 0? Equtions of this

ÉÙ ÖÝ Ò Ë Ñ ØÖÙØÙÖ Ø ÇÒ Ë Ñ Å Ø Ò Á Ë Ë Ê Ì Ì Á Ç Æ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ñ Ò Ö ÓØÓÖ Ö ÖÙÑ Ò ØÙÖ Ð ÙÑ Öº Ö Öº Ò Øºµ Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò Ö Ø Ò Ö Å Ø Ñ Ø ¹Æ ØÙÖÛ Ò ØÐ Ò ÙÐØĐ Ø ÁÁ ÀÙÑ ÓÐ Ø¹ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÞÙ ÖÐ Ò ÚÓÒ À ÖÖ ÔÐº¹ÁÒ

Ì ÈÖ Ò Ó ËØÖ ÔÔ ÅÓÖØ ¹ Ë ÙÖ Ø Â Ó ÓÙ ÓÙ Å ØØ Û Ê Ö ÓÒ Ê Ö ËØ ÒØÓÒ Ò ÊÓ ÖØ º Ï Ø Ð Û Â ÒÙ ÖÝ ½ ØÖ Ø ÁÒØ Ö Ø ÓÒÐÝ ÁÇµ Ò ÔÖ Ò Ô Ð ÓÒÐÝ ÈÇµ ØÖ ÔÔ ÑÓÖØ ¹ ÙÖ Ø Å Ëµ Ö Ö Ú Ø Ú ÙÖ Ø Û Ô Ý ÓÙØ ÓÒÐÝ Ø ÒØ Ö Ø ÓÑÔÓÒ

ÁÆÎÆÌÇÊ ÇÆÌÊÇÄ ÍÆÊÌÁÆ ÅÆµ ÑÒ ÙÒÖØÒ Ø ÊÒ ÎÖÒ Ó ÊÒ Ø Á ¼ ÈÊÇÍÌÁÇÆ ÈÄÆÆÁÆ Æ ÇÆÌÊÇÄ ÁÒÚÒØÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÙÒÖØÒ ÑÒµ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ÊÒÓÑ ÚÖØÓÒ ÑÔÓÖØÒØ ÔÖØÐ ÚÖØÓÒ ÈÖÓÐÑ ØÖÙØÙÖ ÑÔÐ ØÓ ÖÔÖ ÒØ ÖÒÓÑÒ Ò Ø ÑÓÐ Ê Æ ÍÒÚÖ ØÝ Ø

ÔØ Ö ½ ÊÇÍÌÁÆ ÁÆ ÅÇ ÁÄ ÀÇ Æ ÌÏÇÊÃË Å Ãº Å Ö Ò Ò Ë Ñ Ö Êº Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÓÖ Ø ËØÓÒÝ ÖÓÓ ËØÓÒÝ ÖÓÓ Æ ½½ ¹ ¼¼ ØÖ Ø Æ ÒØ ÝÒ Ñ ÖÓÙØ Ò ÓÒ Ó Ø Ý ÐÐ Ò Ò ÑÓ Ð Ó Ò ØÛÓÖ º ÁÒ Ø Ö ÒØ Ô

Warm-up for Differential Calculus

Summer Assignment Wrm-up for Differentil Clculus Who should complete this pcket? Students who hve completed Functions or Honors Functions nd will be tking Differentil Clculus in the fll of 015. Due Dte:

Ä ØÙÖ ËÐ ÁÒÚ ØÑ ÒØ Ò ÐÝ ½ ÌÖ Ò Ò ÁÒØÖÓ ØÓ ÌË Ó Ð ØÖ Ò Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ý ÜÔÐ Ò Ä Û Ó ÇÒ ÈÖ Ò Ö ØÖ ÐÙÐ Ø Ö ÔÐ Ø Ò ÔÓÖØ ÓÐ Ó Ó ÓÒ ÜÔÐ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ö ØÖ Ò Ê ÔÐ Ø ÓÒ ËÔÓØ Ê Ø ÓÖÛ Ö Ê Ø Ä ØÙÖ ËÐ ÁÒÚ ØÑ ÒØ Ò ÐÝ ¾ ÇÖ

SPECIAL PRODUCTS AND FACTORIZATION

MODULE - Specil Products nd Fctoriztion 4 SPECIAL PRODUCTS AND FACTORIZATION In n erlier lesson you hve lernt multipliction of lgebric epressions, prticulrly polynomils. In the study of lgebr, we come

ÓÒØÖÓÐ ËÝ Ø Ñ Ò Ò Ö Ò ÖÓÙÔ Ò ÙØÓÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý ÖÓÙÔ Ö¹ÁÒ Ò Ö ÂÓ Ñ ÔÙØÝµ Ø ØÖ ½ ¼ ¼ À Ò È ÓÒ ¼¾ ½¹ ¹½½¼¼ Ü ¼¾ ½¹ ¹ ¹Å Ð Ò Ö Ó Ñ ÖÒÙÒ ¹ Ò Ñ Ø «È ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ËÝ Ø Ñ Ò Ò Ö Ò ÖÓÙÔ ÔÐ¹ÁÒ Ò Ö Ó«Ö¹ÁÒ ÍÐÖ ÓÖ ÓÐØ

ÁÒØÖÔÖØØÓÒ Ó Î ÙÐÐÝ ËÒ ÍÖÒ ÒÚÖÓÒÑÒØ ÓÖ ËÐ¹ÖÚÒ Ö ÖØØÓÒ ÞÙÖ ÖÐÒÙÒ Ö ÓØÓÖ¹ÁÒÒÙÖ Ò Ö ÙÐØØ ÐØÖÓØÒ Ö ÊÙÖ¹ÍÒÚÖ ØØ ÓÙÑ ÖÒ ÈØÞÓÐ ËØÙØØÖØ»ÓÙÑ ËÔØÑÖ ¾¼¼¼ ÊÖÒØÒ ÈÖÓº Öº¹ÁÒº ÏÖÒÖ ÚÓÒ ËÐÒ ÁÒ ØØÙØ Ö ÆÙÖÓÒÓÖÑØ ÄÖ ØÙÐ

ÐÓÒ¹Ü Ö ËÔÖ ½ ÖÖÐÐ ÙÆ Ò ÂÙÒ ÄÙ ËÒÓÖ ÍÒÚÖ Ý ÙÖÖÒ ÎÖ ÓÒ ÑÖ ¾ ½ Ö Ï ÙÝ ÖÑ ÖÙÙÖ Ó ÝÐ ÔÖ ÛÒ ÓÒ¹Ö Ò Ü¹ Ö ÒÓ Ó Ñ Ö ÕÙÐÝ Ò ÑÙÖÝº ÐÓÒ¹ Ü ÔÖ Ö ÓÖÐÐÝ ÖÖÞ Ò ÓÑ ÔÖÐ Ò ÕÙÒ Ò ÑÔÐ ÑÓÐ Ò ÖÑ Ó ÑÙÖÝ Ö ÕÙÐÝ ÝÐ ÚÓÐÐÝ ÝÐ¹ ÔÖ

Ê ÔÓÒ Ú Ì ÒÛ Ö Î Ù Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ä Ö Ó Ö Ô Ø Ø Ý Ã ÒÒ Ø Ò ÖØ Ø ÓÒ Ù Ñ ØØ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó ÓØÓÖ Ó È ÐÓ ÓÔ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Æ Û ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼¾ ÔÔÖÓÚ Ô Ã ÒÒ Ø Ò

Ò Ñ Ö Ð ÓÙÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÙØÓÑ Ø Ï ÁÒØ Ö Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ý Å ÐÓ Ý Ú ØØ ÁÚÓÖÝ ºËº ÈÙÖ Ù ÍÒ Ú Ö ØÝµ ½ ÅºËº ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ Ø Ö Ð Ýµ ½ ÖØ Ø ÓÒ Ù Ñ ØØ Ò ÖØ Ð Ø Ø ÓÒ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó ÓØÓÖ Ó È ÐÓ Ó Ý Ò ÓÑÙØ Ö

ÆÏ ÈÈÊÇÀ ÌÇ Ëµ ÁÆÎÆÌÇÊ ËËÌÅË ÂÒ¹ÉÒ ÀÙ ÅÒÙØÙÖÒ ÒÒÖÒ Ó ØÓÒ ÍÒÚÖ ØÝ ËÓÖ ÆÒÒÙÙÐ Ý Ò Ï¹Ó ÓÒ Ý ÐØÖÐ Ò ÓÑÔÙØÖ ÒÒÖÒ ÍÒÚÖ ØÝ Ó Å Ù ØØ ÑÖ Ø ÖÙÖÝ ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÓÒ Ö ÔÖÓ ÖÚÛ Ëµ ÒÚÒØÓÖÝ Ý ØÑ ÛØ ÒÔÒÒØ Ò ÒØÐÐÝ ØÖÙØ

Core Maths C3. Revision Notes

Core Maths C Revision Notes October 0 Core Maths C Algebraic fractions... Cancelling common factors... Multipling and dividing fractions... Adding and subtracting fractions... Equations... 4 Functions...

Universitat Autònoma de Barcelona

Universitat Autònoma de Barcelona ÙÐØ Ø Ò Ë Ó ³ Ò ÒÝ Ö ÁÒ ÓÖÑ Ø ÇÒ Ø Ò Ò ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÒØ¹Ñ Ø ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Å Ñ ÓÖ ÔÖ ÒØ Ô Ö Ò ÂÙ Ò ÒØÓÒ Ó ÊÓ Ö Ù Þ Ù Ð Ö Ô Ö ÓÔØ Ö Ð Ö Ù ÓØÓÖ Ò ÒÝ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÐÐ Ø ÖÖ Å ¾¼¼½

Å Ò Ñ ÒØ Ö Ø ØÙÖ Ö Ñ ÛÓÖ ÓÖ Ø Ú Æ ØÛÓÖ Ð ÒÏºÂ ÓÒ Â Ñ Èº ºËØ Ö ÒÞ Ñ Ñ Ò Ð Ü Ò ÖÎºÃÓÒ Ø ÒØ ÒÓÙ ÆÌ ÒÓÐÓ Î Ö ÞÓÒ ÓÐÙÑ ÍÒ Ú Ö ØÝÝ ¼ÂÙÒ ¾¼¼ ÝØ ÊÄÙÒ ÖÓÒØÖ Ø ¼ ¼¾¹ ¹ ¹¼½ ½º Ì ÛÓÖ Û ÔÓÒ ÓÖ ÝØ Ò Ú Ò Ê Ö ÈÖÓ Ø ÒÝ

ÕÙ ØÝ ÌÖ Ò Ý ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ð ÁÒÚ ØÓÖ ÌÓ ÖÓ ÓÖ ÆÓØ ØÓ ÖÓ Ì Ó Ø ÆÓÖÛ Ò È ØÖÓÐ ÙÑ ÙÒ º Ê Ò Æ ÆÓÖ Ò ÖÒØ ÖÒ Ö ÆÓÖ Ò Ò ÆÓÖÛ Ò Ë ÓÓÐ Ó Å Ò Ñ ÒØ ½ Â ÒÙ ÖÝ ¾¼¼¼ ØÖ Ø Ì Ó Ø ØÓ Ò Ø ØÙØ ÓÒ Ð ÒÚ ØÓÖ Ó ØÖ Ò ÕÙ ØÝ Ö Ó

ØÙÖ Ò Ö Ø ÓÒ Ý ÁÑ Ø Ø ÓÒ ÖÓÑ ÀÙÑ Ò Ú ÓÖ ØÓ ÓÑÔÙØ Ö Ö Ø Ö Ò Ñ Ø ÓÒ ÖØ Ø ÓÒ ÞÙÖ ÖÐ Ò ÙÒ Ö Ó ØÓÖ Ö ÁÒ Ò ÙÖÛ Ò Ø Ò Ö Æ ØÙÖÛ Ò ØÐ ¹Ì Ò Ò ÙÐØĐ Ø Ò Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø Ë ÖÐ Ò ÚÓÖ Ð Ø ÚÓÒ Å Ð Ã ÔÔ Ë Ö ÖĐÙ Ò ¾¼¼ Ò ÎÓÖ

Ø Ö ØÒ ÓÑÔ Ð Â Ú ÈÖÓ º ÓÒÒ Ø ÔÖÓÚ º Ø Þº µ ÔÖ Ð ¾ ¾¼¼½ ØÖ Ø ÓÖ ÕÙ Ø ÓÑ Ø Ñ ÒÓÛ Ñ Ö Ó Â Ú Î ÖØÙ Ð Å Ò ÂÎÅ µ ÓÒ ÂÙ Ø¹ÁÒ¹Ì Ñ ÂÁÌµ Ò ¹Ç ¹Ì Ñ ÇÌµ ÓÑÔ Ð Ö Û Ø ÓÒ¹Ø¹ Ý ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ú Ò ÙÒØ Ò Ø Ö ÈÖÓ ÙØ ÖÙÒÒ Ò

ËØØ ØÐ ÒÐÝ Ó ÒÓÑÔÐØ Ø ØÓÖÝ ØÒÕÙ Ò ÓØÛÖ º Åº ÆÓÖÓÚ ÈÖ Ò ÙÔÔÐÑÒØ ØÓ Ø ÊÙ Ò ØÓÒ Ó ÄØØÐ ÊºÂºº ÊÙÒ ºº ËØØ ØÐ ÒÐÝ ÏØ Å Ò Øº ÅÓ ÓÛ ÒÒ Ý ËØØ Ø ÔÔº ¹ ¾¹ ¾ ½½µ Ò ÊÙ Òµ ÈÖ ËØØ ØÐ ÒÐÝ ÛØ Ñ Ò Ø ÔÖÓÐÑ ÒÓÛÒ ØÓ ÐÑÓ Ø

FRAME. ... Data Slot S. Data Slot 1 Data Slot 2 C T S R T S. No. of Simultaneous Users. User 1 User 2 User 3. User U. No.

ÂÓÙÖÒ ÐÓ ÁÒØ ÖÓÒÒ Ø ÓÒÆ ØÛÓÖ ÎÓÐº¾ ÆÓº½ ¾¼¼½µ ¹ ÏÓÖÐ Ë ÒØ ÈÙ Ð Ò ÓÑÔ ÒÝ È Ê ÇÊÅ Æ Î ÄÍ ÌÁÇÆÇ Ê ÉÍ ËÌ¹Ì Å» Å ÈÊÇÌÇ ÇÄ ÇÊÏÁÊ Ä ËËÆ ÌÏÇÊÃË ÒØ Ö ÓÖÊ Ö ÒÏ Ö Ð ÅÓ Ð ØÝ Ò Æ ØÛÓÖ Ò Ê ÏÅ Æµ Ô ÖØÑ ÒØÓ ÓÑÔÙØ ÖË Ò

Sliding Window ... Basic Window S[0] S[k 1] S[k] Digests Digests Digests

ËØØËØÖÑ ËØØ ØÐ ÅÓØÓÖ Ó ÌÓÙ Ó Ø ËØÖÑ ÊÐ ÌÑ ÙÝÙ Ù Ë ÓÙÖØ Á ØØÙØ Ó ÅØÑØÐ Ë ÔÖØÑØ Ó ÓÑÔÙØÖ Ë ÆÛ ÓÖ ÍÚÖ ØÝ ÝÙÝÙ ºÝÙºÙ ØÖØ Ó Ö Ø ÔÖÓÐÑ Ó ÑÓØÓÖ Ø Ó ØÓÙ Ó ØÑ Ö Ø ØÖÑ ÓÐ Ó Ñ Ó Ó ØÑº Á ØÓ ØÓ Ð ØÖÑ ØØ ¹ Ø Ù ÚÖ ØÖ

ÔØ Ú ÓÒ ÖÝ Ñ ÖÖÓÖ ÓÖ Ø Ä Ö ÒÓÙÐ Ö Ì Ð ÓÔ º Ê Ö º ÖÙ Èº Ë Ð Ò Ö º ÐÐ Ò Êº Åº Ò Ö ØØÓÒ ÀºÅº Å ÖØ Ò Ç ÖÚ ØÓÖ Ó ØÖÓ Ó Ö ØÖ Ä Ö Ó º ÖÑ ¼½¾ Ö ÒÞ ÁØ ÐÝ Ë ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ºÖºÐº ÓÖ Ó ÈÖÓÑ ËÔÓ ¾» ¾¾¼ Ä Ó ÁØ ÐÝ Å ÖÓ

Æ ÒØ Ò Ö Ø ÓÒ Ó ÊÓØ Ø Ò ÏÓÖ ÓÖ Ë ÙÐ ÆÝ Ö Ø ÅÙ Ð ÂÓ ÒÒ Đ ÖØÒ Ö Ò ÏÓÐ Ò ËÐ ÒÝ ØÖ Øº Ò Ö Ø Ò ¹ÕÙ Ð ØÝ ÙÐ ÓÖ ÖÓØ Ø Ò ÛÓÖ ÓÖ Ö Ø Ð Ø Ò ÐÐ ØÙ Ø ÓÒ Û Ö ÖØ Ò Ø ÆÒ Ð Ú Ð ÑÙ Ø Ù Ö¹ ÒØ Ù Ò Ò Ù ØÖ Ð ÔÐ ÒØ Ó Ô Ø Ð

Operations with Polynomials

38 Chpter P Prerequisites P.4 Opertions with Polynomils Wht you should lern: Write polynomils in stndrd form nd identify the leding coefficients nd degrees of polynomils Add nd subtrct polynomils Multiply

Binary Representation of Numbers Autar Kaw

Binry Representtion of Numbers Autr Kw After reding this chpter, you should be ble to: 1. convert bse- rel number to its binry representtion,. convert binry number to n equivlent bse- number. In everydy

The CMS Silicon Strip Tracker and its Electronic Readout

The CMS Silicon Strip Tracker and its Electronic Readout Markus Friedl Dissertation May 2001 ÖØ Ø ÓÒ Ì ÅË Ë Ð ÓÒ ËØÖ Ô ÌÖ Ö Ò Ø Ð ØÖÓÒ Ê ÓÙØ ÔÖ ÒØ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö ÓØÓÖ Ó Ì Ò Ð

universe nonself self detection system false negatives false positives

Ö Ø ØÙÖ ÓÖ Ò ÖØ Ð ÁÑÑÙÒ ËÝ Ø Ñ ËØ Ú Ò º ÀÓ Ñ ÝÖ ½ Ò Ëº ÓÖÖ Ø ½ ¾ ½ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÆÅ Ð ÙÕÙ ÖÕÙ ÆÅ ½ ½ ¾ Ë ÒØ ÁÒ Ø ØÙØ ½ ÀÝ È Ö ÊÓ Ë ÒØ ÆÅ ¼½ ØÖ Ø Ò ÖØ Ð ÑÑÙÒ Ý Ø Ñ ÊÌÁËµ Ö Û ÒÓÖÔÓÖ Ø Ñ ÒÝ ÔÖÓÔ

ÓÑÔ Ö Ø Ú ËØÙ Ý Ó ÌÛÓ ØÖÓÒÓÑ Ð ËÓ ØÛ Ö È Ò Ì Ø Ù Ñ ØØ Ò Ô ÖØ Ð ÙÐ ÐÐÑ ÒØ Ó Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ ÓÖ Ø Ö Ó Å Ø Ö Ó Ë Ò Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ù Ð Ò ½ ÌÓ ÅÙÑ Ò Ò ØÖ Ø Ì Ø ÓÑÔ Ö Ø Ú ØÙ Ý Ó ØÛÓ ÓÔ Ò ÓÙÖ ØÖÓÒÓÑ

Ë ÓÒ Ð ØÝ Ò Ö ÙÐØÙÖ Ð ÓÑÑÓ ØÝ ÙØÙÖ Ö Ø Ò Ë Ö Ò Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ò Ò ÓÔ Ò Ò Ù Ò Ë ÓÓÐ ÊÓ Ò ÖÒ ÐÐ ½ Ã¹½ ¼ Ö Ö Ö ÒÑ Ö Ì Ä ½ ½ ½ ¼¼ ¹Ñ Ð Óº º Ñ Ö ½ Ì ÙØ ÓÖ Ø Ò ÓÖ ÐÔ ÙÐ Ø Ò ÖÓÑ Â Ô Ö ĐÙÐÓÛ Ò ÓÑÑ ÒØ Ò Ù Ø ÓÒ ÖÓÑ

Ì È ÒÒ Ò ÌÖ Ò È Ö ËØÖÙØÙÖ ÒÒÓØ Ø ÓÒ Ó Ä Ö ÓÖÔÙ Æ ÒÛ Ò Ù Ù¹ ÓÒ ÓÙ Å ÖØ È ÐÑ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó È ÒÒ ÝÐÚ Ò È Ð ÐÔ È ½ ½¼ ÍË ÜÙ Ò Û ÒÐ Òº ºÙÔ ÒÒº Ù Ü Ð Òº ºÙÔ ÒÒº Ù ÓÙ Ð Òº ºÙÔ ÒÒº Ù ÑÔ ÐÑ ÖÐ Òº ºÙÔ ÒÒº Ù ØÖ Ø

Introduction to Integration Part 2: The Definite Integral

Mthemtics Lerning Centre Introduction to Integrtion Prt : The Definite Integrl Mr Brnes c 999 Universit of Sdne Contents Introduction. Objectives...... Finding Ares 3 Ares Under Curves 4 3. Wht is the

ÍÒ Ö Ø Ò Ò Ø ÒØ ÖÔÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ËÝ Ø Ñ Ì ÒÓÐÓ Ý Ó Ò ÊÈ Ö Ï Ò Ö ØØÔ»»ÛÛÛº Ò º Ù¹ ÖÐ Òº» Û Ò Ö ÁÒ Ø ØÙØ ĐÙÖ ÁÒ ÓÖÑ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØĐ Ø ÖÐ Ò Ì Ù ØÖº ¹½ ½ ÖÐ Ò ÖÑ ÒÝ ¹Ñ Ð Û Ò º Ù¹ ÖÐ Òº ÔÖ Ð ¾ ¾¼¼¼ ÌÙØÓÖ Ð Ø Ø

ÀÖÖÐ ÈÐÑÒØ Ò ÆØÛÓÖ Ò ÈÖÓÐÑ ËÙÔØÓ Ù Ñ ÅÝÖ ÓÒ Ý ÃÑ ÅÙÒÐ Þ ÅÝ ½ ¾¼¼¼ ØÖØ ÁÒ Ø ÔÔÖ Û Ú Ø Ö Ø ÓÒ ØÒØ¹ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÓÖ ÒÙÑÖ Ó ÐÝÖ ÒØÛÓÖ Ò ÔÖÓÐÑ º Ï Ò Ý ÑÓÐÒ ÖÖÐ Ò ÛÖ Ö ÔÐ Ò ÐÝÖ Ò ÐÝÖ Ø Ü ÔÖÒØ Ó Ø ÑÒ ÓÙÒ Ñ ÖØ µº

ÌÖ Ò Ø ÓÒ¹ Ö Ò Ò ÅÒ ÑÓ ÝÒ È Ö¹ØÓ¹È Ö ËØ ÒÓ Ö Ô ËØÓÖ ËÝ Ø Ñ Ì ÑÓØ Ý ÊÓ Ó ½ Ò ËØ Ú Ò À Ò ¾ ¾ ½ ËÔÖ ÒØ Ú Ò Ì ÒÓÐÓ Ý Ä ÓÖ ØÓÖÝ ÙÖÐ Ò Ñ ¼½¼ ÍË ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ñ Ö ÓÑÔÙØ Ö Ä ÓÖ ØÓÖÝ Ñ Ö ¼ ÍÃ ØÖ Øº ÅÒ ÑÓ ÝÒ Ô Ö¹ØÓ¹Ô

Ì ÈÒÒ ÝÐÚÒ ËØØ ÍÒÚÖ ØÝ Ì ÖÙØ ËÓÓÐ ÔÖØÑÒØ ÓËØØ Ø ËÌÊÌÁË ÇÊ Ì ÆÄËÁË ÏÁÌÀ ÌÏÇ ÌÈË Ç ÅÁËËÁÆ ÎÄÍË Ì Ò ËØØ Ø Ý ÇÖ ÀÖÐ ¾¼¼ ÇÖ ÀÖÐ ËÙÑØØ Ò ÈÖØÐ ÙÐ ÐÐÑÒØ Ó Ø ÊÕÙÖÑÒØ ÓÖ Ø Ö Ó ÓØÓÖ Ó ÈÐÓ ÓÔÝ ÙÙ Ø ¾¼¼ Ì Ø Ó ÇÖ ÀÖÐ

PROBLEMS 13 - APPLICATIONS OF DERIVATIVES Page 1

PROBLEMS - APPLICATIONS OF DERIVATIVES Pge ( ) Wter seeps out of conicl filter t the constnt rte of 5 cc / sec. When the height of wter level in the cone is 5 cm, find the rte t which the height decreses.

Review Problems for the Final of Math 121, Fall 2014

Review Problems for the Finl of Mth, Fll The following is collection of vrious types of smple problems covering sections.,.5, nd.7 6.6 of the text which constitute only prt of the common Mth Finl. Since

Multiplication and Division - Left to Right. Addition and Subtraction - Left to Right.

Order of Opertions r of Opertions Alger P lese Prenthesis - Do ll grouped opertions first. E cuse Eponents - Second M D er Multipliction nd Division - Left to Right. A unt S hniqu Addition nd Sutrction

ÆØÛÓÖ ÏÓÖÒ ÖÓÙÔ ÁÒØÖÒØ ÖØ ÜÔÖØÓÒ Ø ÙÙ Ø ¾¼¼¾ º ÓÖÐØØ ÉÇË ÁÒº ÁÖÚÒ ºÁº ÈÙÐÐÒ ÐÓÖÒ ÁÒ ØØÙØ Ó ÌÒÓÐÓÝ Ëº ËÖÓÓ ÆÓÖØÐ ÆØÛÓÖ ÍÃ ËØØ Ø Ó ÇÒ¹ÏÝ ÁÒØÖÒØ ÈØ ÐÝ ÖØ¹ÓÖÐØØ¹ËØØ Ø ¹Ó¹ÔØ¹ÐÝ ¹¼¼ºØÜØ ½ ËØØÙ Ó Ø ÅÑÓ Ì ÓÙÑÒØ

hospital physician(2)... disease(4) treat(2) W305(2) leukemia(3) leukemia(2) cancer

Ë ÙÖ ÅÄ ÈÙ Ð Ò Û Ø ÓÙØ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ä Ò Ø ÈÖ Ò Ó Ø ÁÒ Ö Ò Ó ÙÒ Ò Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÆÓÖØ Ø ÖÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ä ÓÒ Ò ½½¼¼¼ Ò Ý Ò ÜÑ ÐºÒ Ùº ÙºÒ Ò Ä Ý Ë ÓÓÐ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ ÁÖÚ

Ø Ú ÉÙ Ù Å Ò Ñ ÒØ ÓÒ Ø Ú Æ ØÛÓÖ ¹ ÍÒ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ÈÖÓØÓÓÐ Ê Ö ØÖ Ë Ö Ã Ö Ñ Ñ Ñ Æ ØÛÓÖ Ò Ê Ö ÖÓÙÔ Ë ÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ä Ä ÄË¾ ÂÌ ÍÒ Ø Ã Ò ÓÑ ßÖ Ö Ö ÑÐÓÑÔºÐ º ºÙ ØØÔ»»ÛÛÛºÓÑÔºÐ º ºÙ» ØÑ¹ÑÑ ØÖ

ÇÔ Ò ÈÖÓ Ð Ñ Ò Ø ¹Ë Ö Ò È Ö¹ØÓ¹È Ö ËÝ Ø Ñ Æ Ð Û Ò À ØÓÖ Ö ¹ÅÓÐ Ò Ò Ú ÖÐÝ Ò ËØ Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ËØ Ò ÓÖ ¼ ÍË Û Ò ØÓÖ Ý Ò º Ø Ò ÓÖ º Ù ØØÔ»»ÛÛÛ¹ º Ø Ò ÓÖ º Ù ØÖ Øº ÁÒ È Ö¹ÌÓ¹È Ö È¾Èµ Ý Ø Ñ ÙØÓÒÓÑÓÙ ÓÑÔÙØ Ö

Client URL. List of object servers that contain object

ÄÓ Ø Ò ÓÔ Ó Ç Ø Í Ò Ø ÓÑ Ò Æ Ñ ËÝ Ø Ñ ÂÙ Ã Ò Ö Ù Ã Ø Ïº ÊÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÙÖ ÓÑ ËÓÔ ÒØ ÔÓÐ Ö Ò Ò ÖÓ ÙÖ ÓÑº Ö Â Ñ Ïº ÊÓ ÖØ Ö Ò Ì Ð ÓÑ ß Æ Ì Á Ý Ð ÅÓÙÐ Ò ÙÜ Ö Ò ØÖ Ø ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ö Ù Ú Ö Ð Ý Ò Ò ¹

2012 Mathematics. Higher. Finalised Marking Instructions

0 Mthemts Higher Finlised Mrking Instructions Scottish Quliftions Authority 0 The informtion in this publtion my be reproduced to support SQA quliftions only on non-commercil bsis. If it is to be used

(a) Original Images. (b) Stitched Image

ÁÅ Ê ÁËÌÊ ÌÁÇÆ ÁÆ ÌÀ Å ÌÄ ÆÎÁÊÇÆÅ ÆÌ Åº ÅÙ ÖÓÚ º ÈÖÓ Þ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ñ Ð Ì ÒÓÐÓ Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ò ÓÒØÖÓÐ Ò Ò Ö Ò ØÖ Ø Ì Ô Ô Ö ÚÓØ ØÓ ÔÓ Ð Ø Ó ÓÑ ØÖ ÑÓ Ø ÓÒ Ó Ñ ØÓ Ò Ð ÓÒÒ Ø ÓÒ Ó Ô Ö Ø Ò Ó ÓÚ ÖÐ Ý Ò Ñ

ÔÔÖ Ò ÂÓÙÖÒÐ Ó ÓÑÔÙØÖ Ò ËÝ ØÑ ËÒ ÎÓÐº ½ ÆÓº ¾¼¼¼ ÔÔº ¾ß º ÈÖÐÑÒÖÝ ÚÖ ÓÒ Û Ò ÚÒ Ò ÖÝÔØÓÐÓÝ ß ÖÝÔØÓ ÈÖÓÒ ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ÓÑÔÙØÖ ËÒ ÎÓÐº º ÑØ º ËÔÖÒÖ¹ÎÖÐ ½º Ì ËÙÖØÝ Ó Ø ÔÖ ÐÓ ÒÒ Å ÙØÒØØÓÒ Ó ÅÖ ÐÐÖ ÂÓ ÃÐÒ Ý ÈÐÐÔ

ÌÊÅ ÎÄÍ ÌÀÇÊ ÈÇÌÆÌÁÄ Æ ÄÁÅÁÌÌÁÇÆË Ë Æ ÁÆÌÊÌ ÊÁËÃ ÅÆÅÆÌ ÌÇÇÄ ÈÍÄ ÅÊÀÌË ÈÊÌÅÆÌ Ç ÅÌÀÅÌÁË ÌÀ ĐÍÊÁÀ ÈÙÐ ÑÖØ ÈÖÓ ÓÖ Ó ÅØÑØ Ø Ø ÌÀ ËÛ ÖÐ ÁÒ Ø¹ ØÙØ Ó ÌÒÓÐÓÝ ĐÙÖµ ÛÖ Ø Ò ÙÖÒ Ò ÒÒÐ ÑØÑØ¹ º À ÖÚ ÑØÑØ ÔÐÓÑ ÖÓÑ Ø

Primitives. Ad Hoc Network. (a) User Applications Distributed Primitives. Routing Protocol. Ad Hoc Network. (b)

Ï Ö Ð Æ ØÛÓÖ ¼ ¾¼¼½µ ß ½ ÅÙØÙ Ð ÜÐÙ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÀÓ ÅÓ Ð Æ ØÛÓÖ Â ÒÒ Ö º Ï ÐØ Ö Â ÒÒ Ö Äº Ï Ð Æ Ø Ò Àº Î Ý Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ì Ü ²Å ÍÒ Ú Ö ØÝ ÓÐÐ ËØ Ø ÓÒ Ì ¹ ½½¾ ¹Ñ Ð ÒÒÝÛ ºØ ÑÙº Ù Û Ð ºØ ÑÙº Ù

ÆÆ ÄË Ç ÇÆÇÅÁ Ë Æ ÁÆ Æ ½ ß½¼¼ ¾¼¼¼µ ÁÒÚ ØÑ ÒØ ÀÓÖ ÞÓÒ Ò Ø ÖÓ Ë Ø ÓÒ Ó ÜÔ Ø Ê ØÙÖÒ Ú Ò ÖÓÑ Ø ÌÓ ÝÓ ËØÓ Ü Ò È Ò¹ÀÙ Ò ÓÙ Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ò Ò Æ Ø ÓÒ Ð ÒØÖ Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ ÙÒ Ä Ì Û Ò ¾¼ Ù Ò¹Ä Ò À Ù Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ò Ò Æ

(a) Hidden Terminal Problem. (b) Direct Interference. (c) Self Interference

ØÖ ÙØ ÝÒ Ñ ÒÒ Ð Ë ÙÐ Ò ÓÖ ÀÓ Æ ØÛÓÖ ½ Ä ÙÒ Ó Ò ÂºÂº Ö ¹ÄÙÒ ¹ Ú Ë ÓÓÐ Ó Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ Ë ÒØ ÖÙÞ ¼ ¹Ñ Ð ÓÐ Ó ºÙ º Ù Î Ö ÓÒ ¼»½»¾¼¼¾ Ì Ö ØÝÔ Ó ÓÐÐ ÓÒ¹ Ö ÒÒ Ð ÔÖÓØÓÓÐ ÓÖ Ó Ò ØÛÓÖ Ö ÔÖ ÒØ º Ì ÔÖÓØÓÓÐ

application require ment? reliability read/write caching disk

Í Ò Ê ÑÓØ Å ÑÓÖÝ ØÓ ËØ Ð Ø Æ ÒØÐÝ ÓÒ Ò Ì¾ Ä ÒÙÜ Ð ËÝ Ø Ñ Ö Ò Ó Ö Ð ÖÓ Ï Ð Ö Ó ÖÒ Ö È Ó Ò Ì Ø Ò ËØ Ò ÍÒ Ú Ö Ö Ð È Ö ÓÓÖ Ò Ó È Ó ¹ Ö Ù Ó Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø Úº ÔÖ Ó Î ÐÓ Ó»Ò Ó ÓÓÒ Ó ½¼ ¹ ¼ ÑÔ Ò Ö Ò È Ö Þ Ð Ì Ð µ

Ì Ë Ø ÅÄ Ë Ö Ò Ò Ò Ò ÅÄ ÉÙ ÖÝ Ò Ñ Ö Ò Ò Ò Ó Ò ÒØ ÓÒÝ ÂÓ Ô Ö Ú Ò Ò º Ö Ð Ýº Ù Ê ÔÓÖØ ÆÓº Í» Ë ¹¼¼¹½½½¾ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼¼ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ú ÓÒ Ëµ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ð ÓÖÒ Ö Ð Ý Ð ÓÖÒ ¾¼ Ì Ë Ø ÅÄ Ë Ö Ò Ò Ò Ò ÅÄ ÉÙ ÖÝ Ò

Author manuscript, published in "1st International IBM Cloud Academy Conference - ICA CON 2012 (2012)" hal-00684866, version 1-20 Apr 2012

Author manuscript, published in "1st International IBM Cloud Academy Conference - ICA CON 2012 (2012)" Á ÇÆ ¾¼½¾ ÌÓÛ Ö Ë Ð Ð Ø Å Ò Ñ ÒØ ÓÖ Å Ô¹Ê Ù ¹ Ø ¹ÁÒØ Ò Ú ÔÔÐ Ø ÓÒ ÓÒ ÐÓÙ Ò ÀÝ Ö ÁÒ Ö ØÖÙØÙÖ Ö Ð ÒØÓÒ

Appendix D: Completing the Square and the Quadratic Formula. In Appendix A, two special cases of expanding brackets were considered:

Appendi D: Completing the Squre nd the Qudrtic Formul Fctoring qudrtic epressions such s: + 6 + 8 ws one of the topics introduced in Appendi C. Fctoring qudrtic epressions is useful skill tht cn help you

ÓÑÔ Ö Ø Ú Ê Ú Û Ó ÊÓ ÓØ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ä Ò Ù ÁÞÞ Ø È Ñ Ö ÓÖÝ À Ö Ù Ù Ø ½ ¾¼¼½ ØÖ Ø ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ñ ÓÑÔ Ö Ø Ú Ö Ú Û Ó Ú Ö ØÝ Ó ÒØ ÖÑ Ø ¹Ð Ú Ð ÖÓ ÓØ Ð Ò Ù Ø Ø Ú Ñ Ö Ò Ö ÒØ Ý Ö º Ï Ð Ó Ö ÖÓ ÓØ ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù

RIGHT TRIANGLES AND THE PYTHAGOREAN TRIPLETS

RIGHT TRIANGLES AND THE PYTHAGOREAN TRIPLETS Known for over 500 yers is the fct tht the sum of the squres of the legs of right tringle equls the squre of the hypotenuse. Tht is +b c. A simple proof is

ÔØÖ ÄÒÖ Ç ÐÐØÓÖ ß ÇÒ Ö Ó ÖÓÑ º½ ÇÚÖÚÛ ÏØ Ó Ø ØÒ Ú Ò ÓÑÑÓÒ ÔÖÓÔØÓÒ Ó Ñ ÛÚ ÒÖØ Ý ÖØ¹ ÕÙ ÖÑÓØ ØØÓÒ Ó ÓÑÔÐÜ ÑÓÐÙÐ Ú ÒÖÖ ÔØÖ Ø ÐØÖ Ò ÑÒØ Ð Ò ÑÖÓÛÚ ÚØÝ Ò ÖÒØÖ ÐÓ Ì ÙÑÐ ÑÔÐ ÖÑÓÒ Ó Ð¹ ÐØÓÖ ÔÐÝ ØÖÖÒ ÖÓÐ Ò Ø ÙÒÖ

In Proceedings of the 1999 USENIX Symposium on Internet Technologies and Systems (USITS 99) Boulder, Colorado, October 1999

In Proceedings of the 999 USENIX Symposium on Internet Technologies and Systems (USITS 99) Boulder, Colorado, October 999 ÓÒÒ Ø ÓÒ Ë ÙÐ Ò Ò Ï Ë ÖÚ Ö Å Ö º ÖÓÚ ÐÐ ÊÓ ÖØ Ö Ò Ó Ó Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ó

ÅÓÖ Ð À Þ Ö ÁÒ ÙÖ Ò Ò ËÓÑ ÓÐÐÙ ÓÒ ÁÒ Ð Ð Ö Ò Ò ¹ØÓ Ð ÖØ Å Ö Ø Ú Ö ÓÒ Ù Ù Ø ½ Ì Ú Ö ÓÒ ÖÙ ÖÝ ¾¼¼½ ØÖ Ø Ï ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ó Ò ÙÖ Ò Ò ÓÐÐÙ ÓÒº Æ ÒØ Ö Ö Ò Ö ÕÙ Ö Ø ÓÒ ÙÑ Ö ØÓ Ø ÑÓÒ Ø ÖÝ ÓÑÔ Ò Ø ÓÒ Ò Ó ÐÓ º ÙØ Ø

Example A rectangular box without lid is to be made from a square cardboard of sides 18 cm by cutting equal squares from each corner and then folding

1 Exmple A rectngulr box without lid is to be mde from squre crdbord of sides 18 cm by cutting equl squres from ech corner nd then folding up the sides. 1 Exmple A rectngulr box without lid is to be mde

2005-06 Second Term MAT2060B 1. Supplementary Notes 3 Interchange of Differentiation and Integration

Source: http://www.mth.cuhk.edu.hk/~mt26/mt26b/notes/notes3.pdf 25-6 Second Term MAT26B 1 Supplementry Notes 3 Interchnge of Differentition nd Integrtion The theme of this course is bout vrious limiting

ÁÒÖÒ ÓÖ Ó ÖÚØÓÒ Ó ÒØÖØ «Ù ÓÒ ÔÖÓ º ËÙ ÒÒ ØÐÚ Ò ÔÖØÑÒØ Ó Ó ØØ Ø ÅÐ ËÖÒ Ò ÔÖØÑÒØ Ó ËØØ Ø Ò ÇÔÖØÓÒ Ê Ö ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÓÔÒÒ ÒÑÖ ØÖØ ØÑØÓÒ Ó ÔÖÑØÖ Ò «Ù ÓÒ ÑÓÐ Ù ÙÐÐÝ ÓÒ Ó Ö¹ ÚØÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ø ÖØ ØÑ ÔÓÒØ º ÀÖ Û ÒÚ ØØ

ÆÓØ Ä ØÙÖ Ð Ñ Ø ØÖÙ ÙØ ÓÒ ØÓ Á ¼ ØÙ ÒØ ÓÖ ÐÐ ÓØ Ö Ö Ø Ö ÖÚ Á ¼ ÈÊÇ Í ÌÁÇÆ ÈÄ ÆÆÁÆ Æ ÇÆÌÊÇÄ Ê Æ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÁÒ Ù ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ø Ù«ÐÓ ¹ ËØ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Û ÓÖ Ò Ù«ÐÓº Ù Á ¼ ÈÊÇ Í ÌÁÇÆ ÈÄ ÆÆÁÆ Æ

Bud row 1. Chips row 2. Coors. Bud. row 3 Milk. Chips. Cheesies. Coors row 4 Cheesies. Diapers. Milk. Diapers

Ð ØÖ ØÝ ÜØ ÖÒ Ð Ë Ñ Ð Ö ØÝ Ó Ø ÓÖ Ð ØØÖ ÙØ Ö ØÓÔ Ö Êº È ÐÑ Ö ½ Ò Ö ØÓ ÐÓÙØ Ó ¾ ¾ ½ Î Ú ÑÓ ÁÒº ¾ ÛÓÓ ÐÚ È ØØ ÙÖ È Ô ÐÑ ÖÚ Ú ÑÓºÓÑ ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ô ÖØÑ ÒØ ÖÒ Å ÐÐÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¼¼¼ ÓÖ Ú È ØØ ÙÖ È Ö ØÓ ºÑÙº Ù

Radius of the Earth - Radii Used in Geodesy James R. Clynch February 2006

dius of the Erth - dii Used in Geodesy Jmes. Clynch Februry 006 I. Erth dii Uses There is only one rdius of sphere. The erth is pproximtely sphere nd therefore, for some cses, this pproximtion is dequte.

ÓÒØÜØ¹ ÔÔÖÓ ÓÖ ÅÓÐ ÔÔÐØÓÒ ÚÐÓÔÑÒØ ÄÙØÓ ÆÙÖÓÓ ÁÖº Åµ ÅºËº ÂÑ ÓÓµ Ì ÙÑØØ Ò ÙÐ ÐÐÑÒØ Ó Ø ÖÕÙÖÑÒØ ÓÖ Ø Ö Ó ÓØÓÖ Ó ÈÐÓ ÓÔÝ ËÓÓÐ Ó ÓÑÔÙØÖ ËÒ Ò ËÓØÛÖ ÒÒÖÒ ÅÓÒ ÍÒÚÖ ØÝ ÅÖ ¾¼¼½ ÐÖØÓÒ Ì Ø ÓÒØÒ ÒÓ ÑØÖÐ ØØ Ò ÔØ ÓÖ

Archiving Scientific Data

Archiving Scientific Data Peter Buneman Sanjeev Khanna Ý Keishi Tajima Þ Wang-Chiew Tan Ü ABSTRACT Ï ÔÖ ÒØ Ò Ö Ú Ò Ø Ò ÕÙ ÓÖ Ö Ö Ð Ø Û Ø Ý ØÖÙØÙÖ º ÇÙÖ ÔÔÖÓ ÓÒ Ø ÒÓ¹ Ø ÓÒ Ó Ø Ñ Ø ÑÔ Û Ö Ý Ò Ð Ñ ÒØ ÔÔ Ö

Application. handle layer. access layer. reference layer. transport layer. ServerImplementation. Stub. Skeleton. ClientReference.

ÜÔÐÓ Ø Ò Ç Ø ÄÓ Ð ØÝ Ò Â Ú È ÖØÝ ØÖ ÙØ ÓÑÔÙØ Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÓÖ ÏÓÖ Ø Ø ÓÒ ÐÙ Ø Ö ÖÒ Ö À ÙÑ Ö Ò Å Ð È Ð ÔÔ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ã ÖÐ ÖÙ ÖÑ ÒÝ ÙÑ Ö ºÙ º Ò Ô Ð ÔÔ Ö ºÙ º ØØÔ»»ÛÛÛ Ô º Ö ºÙ º»Â Ú È ÖØÝ» ØÖ Øº ÁÒ ØÖ

Ê ½µ ¼»¼»¼½ ÓÑÔÙØÖ ËÒ»ÅØÑØ ½ Ô Ê Ö ÊÔÓÖØ Ì ÈÊËÍË ËÝ ØÑ ÖØØÙÖ ÖØ ÈØÞÑÒÒ ½ ÂÑ ÊÓÖÒ ¾ Ö ØÒ ËØÐ ½ ÅÐ ÏÒÖ ¾ ÖÒ ÏÖ ½ ÍÒÚÖ ØØ ËÖÐÒ ÁÑ ËØØÛÐ ¹½¾ ËÖÖÒ ÖÑÒÝ ßÔØÞÑÒÒ ØÙÐÐ ºÙÒ¹ º ¾ ÁÅ ÙÖ Ê Ö ÄÓÖØÓÖÝ ËÙÑÖ ØÖ À¹¼ Ê

Lecture 3 Gaussian Probability Distribution

Lecture 3 Gussin Probbility Distribution Introduction l Gussin probbility distribution is perhps the most used distribution in ll of science. u lso clled bell shped curve or norml distribution l Unlike

Vectors 2. 1. Recap of vectors

Vectors 2. Recp of vectors Vectors re directed line segments - they cn be represented in component form or by direction nd mgnitude. We cn use trigonometry nd Pythgors theorem to switch between the forms

LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR REPRESENTING MATRICES

LINEAR TRANSFORMATIONS AND THEIR REPRESENTING MATRICES DAVID WEBB CONTENTS Liner trnsformtions 2 The representing mtrix of liner trnsformtion 3 3 An ppliction: reflections in the plne 6 4 The lgebr of

autocorrelation analysis

ÌÓÛÖ ËÔ¹ÒÖØ ÖÝÔØÓÖÔ ÃÝ ÓÒ Ê ÓÙÖ ÓÒ ØÖÒ Ú ÜØÒ ØÖØµ Ò ÅÓÒÖÓ ÅÐ Ãº ÊØÖ Ý É Ä ÒÐ Èº ÄÓÔÖ Ø ÐÒ Ë ØÖØ ÈÖÓÖÑÑÐ ÑÓÐ ÔÓÒ Ò ÔÖ ÓÒÐ ØÐ ØÒØ È µ ÛØ ÑÖÓÔÓÒ ÔÖÑØ ÚÓ¹ ÖÚÒ Ù Ö ÒØÖ Ò Û Ù Ö ÔÖÓÚ Ò¹ ÔÙØ Ý ÔÒº ÁÒ Ø ÔÔÖ Û ÓÛÓÛØÓÜ¹

9 CONTINUOUS DISTRIBUTIONS

9 CONTINUOUS DISTIBUTIONS A rndom vrible whose vlue my fll nywhere in rnge of vlues is continuous rndom vrible nd will be ssocited with some continuous distribution. Continuous distributions re to discrete

Chen Ding Yutao Zhong Computer Science Department University of Rochester Rochester, New York U.S.A. cding,ytzhong @cs.rochester.

ÓÑÔ Ð Ö¹ Ö Ø ÊÙÒ¹Ì Ñ ÅÓÒ ØÓÖ Ò Ó ÈÖÓ Ö Ñ Ø Chen Ding Yutao Zhong Computer Science Department University of Rochester Rochester, New York U.S.A. cding,ytzhong @cs.rochester.edu ABSTRACT ÙÖ Ø ÖÙÒ¹Ø Ñ Ò ÐÝ

MATH 150 HOMEWORK 4 SOLUTIONS

MATH 150 HOMEWORK 4 SOLUTIONS Section 1.8 Show tht the product of two of the numbers 65 1000 8 2001 + 3 177, 79 1212 9 2399 + 2 2001, nd 24 4493 5 8192 + 7 1777 is nonnegtive. Is your proof constructive

HowPros and Cons of Owning a Home-Based Business

ÄØ Ø ÊÚ ÓÒ ÅÖ ¾½ ¾¼¼½ ÓÑÑÒØ ÏÐÓÑ ÖÑ Ò ÅÒÖÐ ÁÒÒØÚ ØÓ ÅÒÔÙÐØ Ø ÌÑÒ Ó ÈÖÓØ Ê ÓÐÙØÓÒ Ú ÀÖ ÐÖ ÌÖÙÒ ÓÖ ËÓÒÝÓÒ ÄÑ Ï ØÒ º ÕÙØ º ÖÓÚØ Ëº ÒÒ Åº ÖÒÒÒ Àº Ó º ÓÛÖÝ ÈºÙÐÖ Êº ÀÒÐ Âº ÀÖ ÐÖ º ÄÑÒÒ Åº ÅØÐÐ ÁºÈÒ ºÊ ÑÙ Ò

Physics 43 Homework Set 9 Chapter 40 Key

Physics 43 Homework Set 9 Chpter 4 Key. The wve function for n electron tht is confined to x nm is. Find the normliztion constnt. b. Wht is the probbility of finding the electron in. nm-wide region t x