Stochastics and Quantum Physics

Transcription

1 Workshop on Stochastics and Quantum Physics October 21-26, 1999 Centre for Mathematical Physics and Stochastics MaPhySto University of Aarhus 1 Introduction The Workshop focused on some of the areas where concepts and techniques from Stochastics (i.e. Probability and Mathematical Statistics) are, or seem likely soon to become, of real quantum physical importance. By bringing together leading physicists and mathematicians, having an active interest in the themes of the Workshop, it was sought to foster fruitful discussions and collaboration on the role and use of Stochastics in Quantum Physics. In this leaflet we have gathered the (extended) abstracts of the talks given. We thank all contributors for taking upon them the extra work of writing these extended abstracts. We hope that this booklet may be of some use to mathematicians as well as physicists working in the area of interplay between Quantum Physics and Stochastics. At the end of the booklet, the schedule of the workshop and the list of participants is reproduced. We wish to thank all participants the speakers in particular for contributing to the workshop. Ole E. Barndorff-Nielsen and Klaus Mølmer. 1

2 Contents 1 Introduction 1 2 (Extended) Abstracts of Talks 3 LuigiAccardi... 3 AlbertoBarchielli... 8 FrançoisBardou ViacheslavP.Belavkin HowardCarmichael AlexanderGottlieb IngeS.Helland AlexanderS.Holevo PeterHøyer Uffe Haagerup Göran Lindblad YuriYu.Lobanov ElenaR.Loubenets HansMaassen GüntherMahler SergeMassar IanPercival AsherPeres DénesPetz HowardWiseman JeanClaudeZambrini BerntØksendal Workshop Program (revised) List of participants 108 2

3 2 (Extended) Abstracts of Talks The abstracts/papers are ordered alphabetically after the last name of the author who presented the work. Luigi Accardi The stochastic limit of quantum theory and the dilation problem. My task was to discuss the connections between the stochastic limit of quantum theory and the dilation problem. The dilation problem is the following: given a Markov semigroup to construct a Markov process whose canonically associated semi group is the given one. The stochastic limit studies the following problem: given a Hamiltonian system (classical or quantum), depending on a parameter λ, study the behaviour of this system in a time scale of order t/λ 2. In the case of interest, the parameter λ is small and therefore the stochastic limit is related to long time scales (as scattering theory). On the other hand the smallness of the parameter λ reflects a weak interaction (as in perturbation theory). Thus the stochastic limit is a new asymptotic technique in the study of dynamical (Hamiltonian for the moment) systems, combining together scattering and perturbation theory with the new ideas on quantum Markov processes, stochastic calculus, central limit theorems, which arose from quantum probability. This mixture brought a multiplicity of results both in physics [AcLuVo00] and in mathematics (cf. [AcLuVo97] for the notion of interacting Fock space and Fock module, [Ske99] for their relationships, [AcLuVo99] for the white noise approach to classical and quantum stochastic calculus). Apparently the two topics are far apart, but there is a connection: the unique feature of the stochastic limit with respect to all the up to now known classical and quantum asymptotic methods, is that: the dominating contribution (in a suitable topology) to the unitary evolution is still a unitary evolution. Even more: it is a unitary Markovian cocycle and therefore, by a (now standard) technique introduced in [Ac78] it allows to construct a Markov process and a Markov semigroup. Thus, using the language of dilations we could say that in the stochastic limit, the original Hamiltonian evolution converges to a unitary dilation of a Markov semi group. A first natural question is: which Markov semigroups can be obtained with the stochastic limit technique? The answer is: all those semigroups of which a dilation can be constructed by means of classical or quantum stochastic calculus. One would like to have a The contribution of Richard D. Gill has appeared in the separate note Asymptotics in Quantum Statistics, Miscellanea No. 15, October 1999, Centre for Mathematical Physics and Stochastics, University of Aarhus. Unfortunately L. Accardi had to cancel his participation in the workshop. This is the manuscript for the talk he would have given. 3

4 definitive result of the type: all the Markov semigroups admit a dilation obtained through the stochastic limit. Up to now the obstruction to such a result was that an infinitesimal characterization of isometric flows, analogue to the Stone theorem for strongly continuous unitary groups or to the Hille Yoshida theorem for C 0 semigroups, was absent. Recently such a characterization has been obtained in [AcKo99b] where it is proved that, if B is an arbitrary C algebra, any completely positive flow on the space B Γ(L 2 (R)) (Γ 2 (L 2 (R)being the Boson Fock space on L 2 (R)) is characterized by a single, completely positive (but non Markovian), semigroup on M 2 (B), the 2 2 matrices with coefficients in B. This extended semigroup is strongly continuous if and only if the associated flow has this property. Therefore this theorem reduces the classification of strongly continuous completely positive flows to the known classification of C 0 semigroups, achieved via the Hille Yoshida theorem. This result, combined with the stochastic golden rule, allowed to give what seems to be the first deduction of the flows associated to the Glauber Kawasaki type dynamics, and in fact of all the dynamics used in the theory of interacting particle systems, from a Hamiltonian model, as well as a single unified proof of the existence of such flows in arbitrary dimensions [AcKo99a]. This result is new even when restricted to classical (commutative) flows which, as it is well known, include all the classical stochastic processes which satisfy a stochastic differential equation driven by Wiener or compound Poisson processes. Another natural question is: from the point of view of physics, what is the relation between a dilation constructed by stochastic calculus and one obtained by the stochastic limit? The answer is simple: the same relation existing between a phenomenological model and a physical law, deduced by basic principles. In fact, given a Markov semigroup, one can aprioriinvent uncountably many unitary dilations of it: classical, Boson, Fermi, free, q deformed, Fock, finite temperature, squeezing,... Moreover, even if we want to restrict ourselves to the Boson Fock case, still there are uncountably many choices which can be made and which are completely equivalent from a purely mathematical point of view. The usual constructions, in the physical literature, of dilations of Markov semigroups are based on the following steps: i) one starts from the generator of a Markov semigroup (master equation) ii) on the basis of more or less plausible physical arguments, one chooses, among the infinitely many unitary dilations of it, a definite one iii) one describes some physical phenomena using this dilation. This procedure is not very satisfactory from the physical point of view for the following reasons: i1) The master equation is itself an approximation, so it should be one of the final results of the construction of a model and not its starting point. i2) The structure of the noise itself, driving the stochastic equation, used to construct the dilation, has a deep physical meaning which cannot be invented, but is one of the essential characteristics to be deduced from the physical model. 4

5 The stochastic limit bypasses these problems because it starts from the well established Hamiltonian models of quantum physics and to each of them it associates in a unique way a unitary (or isometric) flow and to this, by the quantum Feynman Kac formula of [Ac78], a Markov semigroup. The flow is the limit of the Heisenberg evolution (in interaction representation) of the original Hamiltonian system and the Markov semigroup is the limit of the expectation of the flow for the reference state of the fast degrees of freedom of the system (reservoir, environment, field, gas,...). This means that the Heisenberg equation of motion converges to a (stochastic) Langevin equation whose expectation gives the master equation. It follows that all the parameters which enter in these equations have a microscopic interpretation and can be experimentally controlled. In the class of physical systems to which the stochastic limit technique can be applied, one can distinguish 3 levels in increasing order of difficulty: Level I corresponds to the standard open system scheme, i.e. a discrete spectrum system interacting with a continuous spectrum one. It should be noted that all the models studied up to now in the physical literature concern this level. The situation in the remaining two levels is too complex to be handled by plausibility arguments. For the models in this class the stochastic golden rule gives to the physicists a simple recepee which allows to solve, with very few elementary calculations, the following problem: given the Hamiltonian model, how to write the stochastic Schrödinger equation obtained by taking the stochastic limit? Since this rule is extremely simple to apply and since all the master equations which are the (more or less implicit) starting point of the unitary dilations built up to now in the physical literature, presuppose an underlying Hamiltonian model, the stochastic limit procedure offers to the physicist the opportunity to replace the, up to now standard, scheme: Hamiltonian system master equation dilation by the stochastic limit scheme: Hamiltonian system dilation master equation which is much more satisfactory because now not only the master equation, but also the noise and the Langevin equation become uniquely determined by the original Hamiltonian system. Level II has to do with the low density limit and is much more difficult than Level I because, while in case of Level I the stochastic golden rule gives the possibility to guess the correct stochastic equation by simple inspection of the first and second order terms of the iterated series (which, in the limit, give respectively the martingale and the drift term of the stochastic equation), in the case of Level II, the drift term of the stochastic equation receives contributions from each term of the iterated series and to single out these contributions and resum them into the 2 particle scattering operator is a subtle point. Level III replaces the discrete continuum interactions of the first two levels by continuum continuum ones. Here dramatically new phenomena arise, the most important of which is 5

6 the breaking of the commutation (or anticommutation) relations and the subsequent replacement of the Fock space by the interacting Fock space and emergence of Fock modules. Another non trivial point is the emergence of new statistics based on non crossing diagrams rather than on the usual boson or fermion ones (in which all crossing diagrams are allowed). The mathematical interpretation of these diagrams in terms of free independence as well as their connection with the semi circle law was discovered by Voiculescu. The stochastic limit gave rise to more sophisticated and more physically interesting notions of independence in which the role of the Gaussian is played by different measures whose explicit form is, in many cases, still unknown (even if all their momenta) can be written explicitly. The absence of explicit formulae is one of the common features of nonlinear problems: the semicircle law corresponds to a linear problem (absence of interaction, in physical terms) and, as usual in linear problems, in this case all calculations can be made explicitly. The fact that the non crossing diagrams give the dominating contribution to the quantum dynamics was first discovered, in the case of QED without dipole approximation, in the paper [AcLu92] and the fact that in the huge literature devoted to this topic (surely much larger in volume than that devoted to the last Fermat problem and involving people such as Dirac, Fermi, Heisenberg, Landau,...) such an important phenomenon was not even conjectured, is an indication of how hidden it was. In fact the original proof was rather elaborated but a much simpler and intuitive one was given later in [AcKoVo98] where the following intuitive picture was derived: before the stochastic limit (finite coupling constant λ) by effect of the nonlinearity the time rescaled fields obey a q commutation relation with the constant q depending both on time and on λ. In the stochastic limit (λ 0) this quantity tends to zero (this give an intuitive explanation of why only the non crossing diagrams survive). The explanation of the Hilbert module structure and the explicit form of the (new type of) quantum stochastic equation requires more work and a good reference for this is Skeide s paper [Ske99]. From the paper [AcLu92] several new mathematical notions emerged: the notion of full Fock module (in a particular case: the general case was dealt with one year later by Pimsner), the notion of interacting Fock space, of stochastic integration on Hilbert module (mathematically developed by Lu and later by Speicher and Skeide), the white noise approach to stochastic calculus on Boltzmannian interacting Fock space (which includes the free case). In particular the notion of interacting Fock space turned out to have a multiplicity of unexpected connections with apparently totally unrelated fields of mathematics such as orthogonal polymomials, wavelets, solvable models in statistical mechanics, new forms of independence and of central limit theorems,... Among the new physical implications of this paper we mention the power decay law in the polaron model [AcKoVo99c]. In conclusion Level III of the stochastic limit provides a clear illustration, in a multiplicity of fundamental physical models, of the basic philosophy of this theory namely: the physically interesting dilations of Markovian semigroups should be deduced from the basic Hamiltonian equations. The results emerged from the realization of this program show that the wealth and beauty of the structures hidden in the basic physical laws by far exceeds the fantasy displayed in the construction of phenomenological models. 6

7 Bibliography [AcLuVo00] Accardi L., Y.G. Lu, I. Volovich: Quantum Theory and its Stochastic Limit. to be published in the series Texts and monographs in Physics, Springer Verlag (2000); Japanese translation, Tokyo Springer (2000) [AcLuVo97c] Accardi L., Lu Y.G., I. Volovich The QED Hilbert module and Interacting Fock spaces. Publications of IIAS (Kyoto) (1997) [AcLuVo99] Accardi, L., Lu, Y.G., Volovich, I.V.: A white noise approach to classical and quantum stochastic calculus, Preprint of Centro Vito Volterra N.375, Rome, July 1999, World Scientific (2000) [Ac78] Accardi L.: On the quantum Feynmann-Kac formula. Rendiconti del seminario Matematico e Fisico, Milano 48 (1978) [AcLu92] Accardi L., Lu Y.G.: The Wigner Semi circle Law in Quantum Electro Dynamics. Commun. Math. Phys., 180 (1996), Volterra preprint N.126 (1992) [AcKo99a] L. Accardi, S.V. Kozyrev: The stochastic limit of quantum spin system. invited talk at the 3rd Tohwa International Meeting on Statistical Physics, Tohwa University, Fukuoka, Japan, November 8-11, to appear in the proceedings published by American Physical Society [AcKo99b] L. Accardi, S.V. Kozyrev: On the structure of Markov flows. to appear in: Chaos, Solitons and Fractals (2000) [AcKoVo98] L. Accardi, S.V. Kozyrev and I.V. Volovich: Dynamical origins of q-deformations in QED and the stochastic limit Journal of Physics A, Math. Gen. 32 (1999) q-alg/ [AcKoVo99c] L. Accardi, S.V. Kozyrev and I.V. Volovich: Non-Exponential Decay for Polaron Model Phys. Letters A 260 (1999) [Ske96] Skeide M.: Hilbert modules in quantum electro dynamics and quantum probability. Volterra preprint N. 257 (1996). Comm. Math. Phys. (1998) 7

8 ÉÙÒØÙÑ ØÓ Ø ÑÓÐ Ó ØÛÓ¹ÐÚÐ ØÓÑ Ò ÐØÖÓÑÒØ ÖÓ ØÓÒ º º ÖÐÐ ÔÖØÑÒØÓ ÅØÑØ ÈÓÐØÒÓ ÅÐÒÓ ÈÞÞ ÄÓÒÖÓ ÎÒ ¾ Á¹¾¼½ ÅÐÒÓ ÁØÐÝ Ò Á ØØÙØÓ ÆÞÓÒÐ ÆÙÐÖ ËÞÓÒ ÅÐÒÓ ß ¹ÑÐ ÖÐÐÑغÔÓÐÑºØ ÉÙÒØÙÑ ØÓ Ø ÔÖÓ ÉÙÒØÙÑ ØÓ Ø ÐÙÐÙ É˵ ½¹ ÒÓÒÓÑÑÙØØÚ ÒÐÓ Ó Ø Ð Ð ÁØÓ³ ØÓ Ø ÐÙÐÙ ÖÚÐ ØÓ ÔÓÛÖÙÐ ØÓÓÐ ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÑØÑØÐ ÑÓÐ Ó ÕÙÒØÙÑ ÓÔØÐ Ý ØÑ ¹½¾ Ò ØÓ ÚÐÓÔ ØÓÖÝ Ó ÔÓØÓÒ ØØÓÒ ½ ¹½ º ÂÙ Ø Ø Ø ÒÒÒ Ó ÉË ÀÙ ÓÒ Ò ÈÖØ ÖØÝ ÔÖÓÔÓ ÕÙÒØÙÑ ØÓ Ø ËÖĐÓÒÖ ÕÙØÓÒ ÓÖ ÕÙÒØÙÑ ÓÔÒ Ý ØÑ ½ Í Øµ Ê Øµ Ý Ë Æ µ ص Ê Ý Ë Øµ Ã Ø Í Øµ ½µ Ì ÒÒÐØÓÒ ÖØÓÒ Ò Ù ÓÖ ÒÙÑÖµ ÔÖÓ Øµ Ý Øµ ص Ö Ø ÙÒÑÒØÐ ÒÖÒØ Ó ÉË ØÝ Ö Ó Ð ØÒ ÓÒ Ø ÝÑÑØÖ Ó Ô µóúö Ø ÓÒ¹ÔÖØÐ Ô ÅÄ ¾ Ê µ ³ Ä ¾ Ê µ ÔÖÐ ÓÑÔÐÜ ÀÐÖØ Ô ÛØ ºÓºÒº º µº Ï ÒÓØ Ý µ ÒÓÖÑÐÞ ÓÖÒØ Ê Ø ÚØÓÖ ÓÖ Ø Ð Øµ µ ¼ µ µº ÅÓÖÓÚÖ Ê ½ Ë ½ à À Ö ÓÙÒ ÓÔÖØÓÖ Ò À ß ÒÓØÖ ÔÖÐ ÓÑÔÐÜ ÀÐÖØ Ô Ø Ý ØÑ È ÊÝ Ê À Ý À È ÊÝ Ê ØÖÓÒÐÝ ÓÒÚÖÒØ ØÓ Ôµ ß Ù ØØ Ã È À ¾ ÓÙÒ ÓÔÖØÓÖ Ò Ë Å Ë ¾Í Àŵ ÙÒØÖÝ ÓÔÖØÓÖ Ò Àŵº ÌÒ ØÖ Ü Ø ÙÒÕÙ ÙÒØÖÝ ÓÔÖØÓÖ¹ÚÐÙ ÔØ ÔÖÓ Í Øµ Ø ÝÒ Õº ½µ ÛØ Ø ÒØÐ ÓÒØÓÒ Í ¼µ ½Ðº ÁÒ Ù ÙÐ ÔÔÐØÓÒ Ø ØÖÑ ÓÒØÒÒ Ø Ù ÔÖÓ Ó ÒÓØ ÔÔÖ ºº Ë Æ ØÒº ÁÒ Ê º ½ ½ ÛÓ Ö ÙÐØ Á ÔÖ ÒØ Ö Û Ú ØÙ Ø ÔÓ ÐØÝ Ó Ù Ò Ø ÙÐÐ ÀÙ ÓÒ¹ÈÖØ ÖØÝ ÕÙØÓÒ ÔÒÓÑÒÓÐÓÐ ÑÓÐ ÓÖ Ø ÑÔÐ Ø ÔÓØÓÑ Ú ÓÙÖ ÒÑÐÝ ØÛÓ¹ÐÚÐ ØÓÑ ØÑÙÐØ Ý Ð Öº Ì ÔÓÒØ ÁÛÒØ ØÓ Ù Ö µ ÓÛ ØÓ ØÖÑÒ Ø Ý ØÑ ÓÔÖØÓÖ Ò Õº ½µ Ý ÑÒ Ó ÔÝ Ð ÓÒ Ö¹ ØÓÒ Ö ÒØÖÐ ÖÓÐ ÔÐÝ Ý ÐÒ ÕÙØÓÒ ÝÒ ØØ Ø ÑÒ ÒÙÑÖ Ó ÓÙØÓÒ ÔÓØÓÒ ÔÐÙ Ø ÑÒ ÒÙÑÖ Ó ÔÓØÓÒ ØÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÕÙÐ ØÓ Ø ÑÒ ÒÙÑÖ Ó ÒÓÒ ÔÓØÓÒ µ ÓÛ ØÓ ÓØÒ Ø ÐØÖÓÑÒØ ÖÓ ØÓÒ Ò Ø ØÓÑ ÙÓÖ Ò Ô¹ ØÖÙÑ Ý Ø ØÓÖÝ Ó Ñ ÙÖÑÒØ ÓÒØÒÙÓÙ Ò ØÑ Ú Ø ØÖÓÝÒ Ø¹ ØÓÒ Ñ ½ ½

9 µ ÓÛ Ø ÒÛ ØÖÑ ÑÓÝ Ø ÖÓ ØÓÒ Ò Ø ÔØÖÙÑ Ó Ò ØÓÑ ØÑÙÐØ Ý ÑÓÒÓÖÓÑØ Ð Ö Ò Ø Ù ÙÐ Ø ÔÒÒ Ó Ø ØÓØÐ ÖÓ ØÓÒ ÓÒ Ø ÖÕÙÒÝ Ó Ø ØÑÙÐØÒ Ð Ö Ò ÔÖ ÒØ ÓÒÐÝ ÄÓÖÒØÞÒ Ô ÛÐ Ò ÓÙÖ Ø ÙÐÐ ÚÖØÝ Ó ÒÓ ÔÖÓ Ð Ò ÔÔÖ ½ ¾¼ ÓÖ ÛØ ÓÒÖÒ Ø ÔØÖÙÑ Ø ÒÓÛÒ ØÖÔÐØ ØÖÙØÙÖ ÓØÒ Ý ÅÓÐÐÓÛ ¾½ ØÓÖØ Ý Ø ÔÖ Ò Ó Ø ÒÛ ØÖÑ Ò Ñ ÝÑÑØÖº ÕÙÒØÙÑ ØÓ Ø ÑÓÐ ÓÖ ØÛÓ¹ÐÚÐ ØÓÑ ÁÒ ÓÖÖ ØÓ Ö ØÛÓ¹ÐÚÐ ØÓÑ Û Ø À ¾ º ÏÒ ÒÓ ÔÓØÓÒ ÒØ ÒØÓ Ø Ý ØÑ ÒØÐ ØØ Å ¼µ ÛÖ ¼µ Ø Ó ÚÙÙÑ Ò ÒÖ ØØ Ó Ø ØÓѵ Ø ÒØÙÖÐ ØÓ ØØ Ø ØÓÑ Ò ÑØ Ø ÑÓ Ø ÓÒ ÔÓØÓÒ Ò ØØ Ø Ü Ø ÙÒÕÙ ÕÙÐÖÙÑ ØØ ÓÖ Ø ÖÙ ÝÒÑ Ó Ø ØÓѺ ÍÒÖ Ø ÓÒØÓÒ Û ÔÖÓÚ ØØ À ½ ¾ ¼ Þ ¼ ¾ Ê Ê ««¾ «¼ ¾µ ÆÓÛ ÐØ Ù ÒÓØ Ý Æ Øµ È Øµ Ø Ó ÖÚÐ ØÓØÐ ÒÙÑÖ Ó ÔÓØÓÒ ÒØÖÒ Ø Ý ØÑ ÙÔ ØÓ ØÑ Ø Ò Ø ÒØÐ ØØ µ ¾ÀÅ ÒÖ ØØ ÓÖ Ø ØÓÑ Ò ÓÖÒØ ÚØÓÖ ÓÖ Ø Ð ºº µ Å µ ¾À ½ ¾ Ä ¾ Ê µº ÌÒ Ø ÕÙÒØØÝ Æ Øµ Í Øµ µæ ص Í Øµ µ µ ÖÔÖ ÒØ Ø ÑÒ ÒÙÑÖ Ó ÓÙØÓÒ ÔÓØÓÒ ÐÚÒ Ø Ý ØÑ Ò Ø ØÑ ÒØÖÚÐ ¼Ø ÛÐ Æ Øµ ¼ µæ ص µ Ø ¼ µ ¾ µ Ú Ø ÑÒ ÒÙÑÖ Ó ÒÓÒ ÔÓØÓÒ ÒØÖÒ Ø Ý ØÑ Ò Ø ØÑ ÒØÖÚÐ ¼Ø º ÆÓÛ Û ÖÕÙÖ ÐÒ ÕÙØÓÒ ÓÒ Ø ÒÙÑÖ Ó ÔÓØÓÒ Ø ÑÒ ÒÙÑÖ Ó ÓÙØÓÒ ÔÓØÓÒ ÙÔ ØÓ ØÑ Ø ÔÐÙ Ø ÑÒ ÒÙÑÖ Ó ÔÓØÓÒ ØÓÖ Ò Ø ØÓÑ ÑÙ Ø ÕÙÐ ØÓ Ø ÑÒ ÒÙÑÖ Ó ÒÓÒ ÔÓØÓÒ ºº Ø Û ÖÕÙÖ Ø ÐÒ ÕÙØÓÒ Æ Øµ ½ ¾ ÌÖ À Þ Øµ ¼µ Æ Øµ ¼ µ ÛÖ Øµ Ø ÖÙ Ò ØÝ ÑØÖÜ ÓÖ Ø ØÓѺ Ï ÔÖÓÚ ØØ Ø ÑÔÐ Ë È Å Ë È Å Ë Ë ¾Í µ µ ÛÖ È ½ ¾ ½ Þµ Ö Ø ÔÖÓØÓÖ ÓÒ Ø ÜØ Ò ÖÓÙÒ ØØ º ÓÖ ÔÝ Ð Ö ÓÒ Û ØÐ Ó ¼ ¼ Ò Ò ÓÖÖ ØÓ Ú Ò ØÓÑ ØÑÙÐØ Ý ÑÓÒÓÖÓÑØ ÓÖÒØ ÛÚ Û Ø Øµ Ø ½ ¼Ì ص ¾ ¼ µ

10 ½ ¼Ì ص Ø ÒØÓÖ ÙÒØÓÒ Ó Ø Ø ¼Ì Ó ØØ Øµ ÖÔÖ ÒØ ÑÓÒÓÖÓÑØ ÛÚ ÓÖ Ì ½º ÒÐÐÝ Û ÔÖØÙÐÖÞ ÓÙÖ ÑÓÐ ØÓ Ø Ó ÔÖÐÐÝ ÝÑÑØÖ ØÓÑ Øѹ ÙÐØ Ý ÛÐÐ ÓÐÐÑØ Ð Öº Á Û ÓÒ Ö ÓÒÐÝ ÒÓØ ÔÓÐÖÞ ÐØ Ø ÓÒ¹ÔÖØÐ Ô ØÓ ÓÒØÒ ÓÒÐÝ Ø Ö Ó ÖÓÑ ÐÒ ØÓ Ø ÖØÓÒ Ó ÔÖÓÔØÓÒ ¾¾ Ó ØØ Û Ò Ø Ä ¾ Ò ¼ ¼ ¾º ÌÒ Ò ÓÖÖ ØÓ Ö Ð Ö Ñ ÔÖÓÔØÒ ÐÓÒ Ø ÖØÓÒ ¼ Û Ú ØÓ Ø Å«¾ Æ ¼ Å ¼ Æ ¾ ¼ ¾µ ¼ µ ½ ¼ µ Ô ¾ ½ Ó µ µ Ò ÐÐ Ø ÔÝ Ð ÕÙÒØØ Ø ÐÑØ ¼ ÛÐÐ ØÒº ÅÓÖÓÚÖ Ý ÒÓØÒ Ý ÐÑ µ Ø ÔÖÐ ÖÑÓÒ ÙÒØÓÒ Ø ÔÖÐ ÝÑÑØÖÝ Ó Ø ØÓÑ ÖÕÙÖ «µ «¼¼ µ «Ô Ë ÐÑ ¾Æ Ð ÐÑ ÐÑ µ ÛÖ Ø ÕÙÒØØ Æ Ð Ò Æ Ð Ö Ô Ø º ÀØÖÓÝÒ ØØÓÒ Ì Ø ÛÝ ØÓ ÓØÒ Ø ÔØÖÙÑ Ó ÓÙÖ ØÑÙÐØ ØÓÑ Ý ÑÒ Ó Ø ÐÒ ØÖÓÝÒ ØØÓÒ Ñ Ø ÓÙØÔÙØ ÙÖÖÒØ Ó Ø ØØÓÖ ÖÔÖ ÒØ Ý Ø ÓÔÖØÓÖ ½ ¾ Á ص Ø ¼ Ø µ µ ½¼µ ÛÖ Øµ Ø ØØÓÖ Ö ÔÓÒ ÙÒØÓÒ Ý Øµ ½ Ô ÜÔ ¾ Ø ¼ ½ ¼ Ø ÑÒ ÓÒ Ó ÙÖÖÒØ ÒØÐÐÝ Ð ÕÙÖØÙÖ µ Õ µ ºº ص ص ½½µ Õ Ô ØÓÖ Õ ¾ Õ ½ Ø ÖÕÙÒÝ Ó Ø ÐÓÐ Ó ÐÐØÓÖ Ò ¾ ½ ÓÒØÒ ÒÓÖÑØÓÒ ÓÒ Ø ÐÓÐÞØÓÒ Ó Ø ØØÓÖ Ý ¼ ¼ µ ½ Ô ½ ¼ ¼ µ ½¾µ ÛÖ ÑÐÐ ÓÐ ÒÐ ÖÓÙÒ µ Ò ÐÐ ÔÝ Ð ÕÙÒØØ Ø ÐÑØ µ ÙÒÖ ØÓÓµº ÖÓÑ Ø ÒÓÒÐ ÓÑÑÙØØÓÒ ÖÐØÓÒ ÓÖ Ø Ð ÓÒ ØØ Á ½ ½ Ø ½ µ Ò Á ¾ ¾ Ø ¾ µ Ö ÓÑÔØÐ Ó ÖÚÐ ÓÖ ÒÝ Ó Ó Ø ØÑ ØÖ ½ ¾ Ò ½ ¾ ØÖ ½ ¾ ¼º ÍÒÖ Ø Ñ ÓÒØÓÒ Ð Ó Ø ³ ÓÑÑÙغ Ì ÑÒ ØØ Ø ÓÔÖØÓÖ Á ص Ø ¼ Ò ÓÒØÐÝ ¹ ÓÒÐÞ Ò Ø ÓÒØ ÔÖÓÐØÝ ÐÛ ÓØÒ Ò ÓØÖ ØÖÑ ÓÒ Ø ÒØÐ ØØ Ü Ð Ðµ ØÓ Ø ÔÖÓ Ò ÓØÒ ÖÓÑ Ø ÓÒØÒÙÓÙ ÐÝ Ó ÖÚ ÓÔÖØÓÖ Á صº ÐÐ ØØ ØÐ ÔÖÓÔÖØ Ó Ø ÔÖÓ Ò ÓØÒ Ý ÑÒ Ó Ø ØÒÕÙ Ó Ø ÖØÖ Ø ÙÒØÓÒÐ ½ ÓÖ Ý ØÖÒ ÓÖÑÒ Ø ÕÙÒØÙÑ ½¼

11 ØÓ Ø ÕÙØÓÒ ÒØÓ Ð Ð ÓÒ ½ Ø ÒÓØÓÒ Ó ÔÓ ØÖÓÖ ØØ ÓÖ ÓÒ¹ ØÓÒÐ ØØ ÕÙÒØÙÑ ÐØÖÒ ÕÙØÓÒ ÓÖ ÕÙÒØÙÑ ØÖØÓÖ ººº ¾ ¾ µº ÀÓÛ¹ ÚÖ ØÓ ÓÑÔÙØ Ø ÙÓÖ Ò ÔØÖÙÑ Ò Ø ÖÓ ØÓÒ Û Ó ÒÓØ Ò Ø ÙÐÐ ØÓÖÝ Ó ÓÒØÒÙÓÙ Ñ ÙÖÑÒØ ÙØ ÓÒÐÝ Ø ÓÒ ÑÓÑÒØ Ó Á صº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÖ Ø ÕÙÒØÙÑ ÜÔØØÓÒ Ó ÒÝ ÓÔÖØÓÖ Û ÐÐ Ù Ø ÒÓØØÓÒ Ì Í Ì µ µí Ì µ µº ÁÒ Ø ÐÓÒ ÖÙÒ Ø ÓÙØÔÙØ ÑÒ ÔÓÛÖ ÚÒ Ý È µ ¾ ÐÑ Ì ½ Ì Ì ¼ Å Á ص ¾ «Ì Ø ¾ ¼ Ø ÑÒ ÓÒ Ó Ö ØÒ Ø ÒÔÒÒØ Ó ÙØ Ø Ò ÔÒ ÓÒ Ø ÓØÖ ØÙÖ Ó Ø ØØÓÒ ÔÔÖØÙ º ÙÒØÓÒ Ó È µ Ú Ø ÔÓÛÖ ÔØÖÙÑ Ó ÖÚ Ò Ø ÒÒÐ Ò Ø Ó Ø Ó ½¾µ Ø Ø ÔØÖÙÑ Ó ÖÚ ÖÓÙÒ Ø ÖØÓÒ µº ÆÜØ ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÖÐØ È µ ØÓ ÒÓÖÑÐ ÓÖÖ ÕÙÒØÙÑ ÜÔØØÓÒ Ó ÔÖÓÙØ Ó Ð ÓÔÖØÓÖ Ò Ú ÙÑ ÖÙÐ Û ÖÐØ È µ ØÓ ¾ ÐØ Ù ÒÓØ ØØ ¾ Ø ØÓØÐ ÔÓÛÖ Ó Ø ÒÔÙØ ÑÓÒÓÖÓÑØ ØØ Øµ µº ÅÓÖÓÚÖ Ø ÈÖÓÔÓ ØÓÒ ÒØ Ò Ð Ø Ò Ò ÒÐ Ø ÓÒØÖÙØÓÒ ØÓ Ø ÔÓÛÖ Ò ÖÙ Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó È µ ØÓ Ø ÓÐÙØÓÒ Ó Ñ ØÖ ÕÙØÓÒ ÛØ ÄÓÙÚÐÐÒ ¾ µº ÓÖ Ø Ù Ó ÉË Ò Ø ÓÑÔÙØØÓÒ Ó Ø ÔØÖÙÑ Ó ØÛÓ¹ÐÚÐ ØÓÑ Ð Ó Êº ¾ º ÈÖÓÔÓ ØÓÒº Ì ÑÒ ÔÓÛÖ È µ Ò ÜÔÖ È µ ÐÑ Ì ½ ¾Ì Ì ¼ Ý Øµ Ø ¼ µ ¾ µ Ø µ Ì ºº ½ µ ½µ ÛÖ ¾ ½ ¾ Õº ½µ ÓÐ ÐÑÓ Ø ÚÖÝÛÖ Ò º Ï Ú Ð Ó ½ È µ ½ ½ ÐÑ Ì ½ Ì Ì µ Ì È ÛÖ Ì µ Ì µ ÑÓÖÓÚÖ Ø ÓÐÐÓÛÒ ÙÑ ÖÙÐ ÓÐ ½ È µ ¾ ½µ ½µ Ì ÑÒ ÔÓÛÖ Ò ÓÑÔÓ Ø ÙÑ Ó ØÖ ÔÓ ØÚ ÓÒØÖÙØÓÒ ÛÖ È µ È Ð µ È ÒÐ µ È Ð µ Ö µ ¾ ½ ½µ ¾ µ ¾ ¾ ½µ È ÒÐ µ ¾ ½ ¼ Ø ÜÔ ¾ µ Ø ÌÖ µ Ý Ä Ø µõ ºº ½µ ½½

12 µ Ê µ Ö µ ¾¼µ Ö µ ÌÖ Ê µ Õ ¾½µ Ê µ «Ë È Ë È Ö Ë «¾¾µ Ê µ Ê µ Ý Ê µ Ê µ Ý ¾ µ Ä À ½ ¾ À ½ ¾ ¼ µ Þ ½ ¾ «Ë Ý Õ Ø ÕÙÐÖÙÑ ØØ ÓÖ Ø Ñ ØÖ ÕÙØÓÒ ÛØ ÄÓÙÚÐÐÒ ¾ µº ÆÓØ ØØ Ò Ø ÓÑÔÓ ØÓÒ ½µ Ø ØÖÑ µ ÒÔÒÒØ Ó ÔÔÖÒØÐÝ ÛØ ÒÓ ÓÒØÖÙØÓÒ ØÓ Ø ÔÓÛÖ È Ð µ Ø Ð Ø ÓÒØÖÙØÓÒ ÓÒ ÖÓÑ Õº ½µ Û Ú È Ð µ» Æ µ ÓÖ ¼ ÒÐÐÝ È ÒÐ µ ØÒÐ Ø ÓÒØÖÙØÓÒ ÖÓÑ Õº ½µ ÓÒ Ò ØØ ÒÓ ÐØ ØÖÑ ÚÐÓÔ ÓÖ ¼µº ÖÓ ØÓÒ Ò ÙÓÖ Ò ÔØÖÙÑ ÄØ Ù ÓÒ Ö ÒÓÛ Ø Ó Ø ÔÖÐÐÝ ÝÑÑØÖ ØÓÑ ØÑÙÐØ Ý ÛÐÐ ÓÐÐÑØ Ð Ö Ñ µ µº Ï Ð Ó ÙÑ ØØ Ø ØØÓÖ ÔÒ ÑÐÐ ÓÐ ÒÐ Ó ØØ ÚÒ Ý Õº ½¾µ ÛØ µ ³ Ò º ÅÓÖÓÚÖ Û ÙÑ ØØ Ø ØÖÒ ÑØØ ÛÚ Ó ÒÓØ Ö Ø ØØÓÖ ºº ¼ Ò Ó ¼º ÌÒ Û ÓØÒ Ø Ð Ø Ò ÒÐ Ø ÓÒØÖÙØÓÒ ØÓ Ø ÔÓÛÖ ÔÖ ½ ÙÒØ Ó ÓÐ ÒÐ È ½ Ð µ ³ È Ð µ È ÒÐ µ ³ È ÒÐ µº ÓÖ Ø Ð Ø Ò Ê ÒÐ Ø ÖÓ Ê Ê Ê ØÓÒ Û ÐÐ Ú Ð µ» Ò Ê ¾ È ¼ ¼ Ð µ ÒÐ µ» Ò ¾ ½ È ¼ ¼ ÒÐ µ ÑÓÖÓÚÖ Û Ø Ð ½ Ð µ ÒÐ Ê ½ ½ ÒÐ µ ÌÇÌ Ð ÒÐ º ÄØ Ù ØÖ ØØ ÌÇÌ Ò Ð Ó ÓØÒ Ú Ø ÖØ ØØÓÒ Ñ ½ ½ º ÒÐÐÝ Û Ò ÒØÖÓÙ Ø ÔØÖÙÑ ¾µ ÌÇÌ Üµ ¾ «¾ ¾ Ð µ ÒÐ µµ ¾µ ÛÖ Ü µ«¾ Ø Ê ÖÙ ÖÕÙÒÝ «¾ Ø ÒØÙÖÐ ÐÒ Ûص Ò Û ½ ¾ Ú ØÒ Ø ÒÓÖÑÐÞØÓÒ ½ ÌÇÌ ÜµÜ ¾ ÌÇÌ º Ý ÓÐÚÒ Ø Ñ ØÖ ÕÙØÓÒ Ò Ý Ù Ò Ø ÔÖÓÔÓ ØÓÒ ÚÒ ÓÖ Ø ÖÓ ØÓÒ Ò Ø ÔØÖÙÑ Ò ÓÑÔÙØ ÓÛÚÖ Ø ÜÔÖ ÓÒ Ö ÐÓÒ Ò Á ÖÖ ØÓ ½ º ÀÖ Á ÐÑØ ÑÝ Ð ØÓ ÓÑ ÓÑÑÒØ Ò Á Ú ÓÑ ÔÐÓØ ÓØÒ Ý ÓÓ Ò Ø ÔÖÑØÖ Ò Ù ÛÝ ØØ Ø ÓÒ Ö ÓÒÒ ÔØÖÙÑ ØÓÖØ ÙØ ÒÓØ ØÓÓ «ÖÒØ ÖÓÑ Ø ÅÓÐÐÓÛ ÓÒº ÓÖ ÛØ ÓÒÖÒ Ø ØÓØÐ ÖÓ ØÓÒ ÓÖÒ ØÓ Ø ÚÐÙ Ó Ø ÚÖÓÙ Ó¹ ÒØ «ÖÒØ ÐÒ Ô ÔÔÖ Û Ö ÒÓÛÒ ÒÓ ÔÖÓ Ð Êº ¾¼ ÔÔº ½ß µ Ø Ô Ö ØÝÔÐ Ó Ø ÒØÖÖÒ ÑÓÒ ÚÖÓÙ ÒÒÐ º ËÓÑ ÔÐÓØ Ó ¾ ¾ ÌÇÌ Ö ÚÒ Ò º ½ ÙÒØÓÒ Ó Ø ÖÙ ØÙÒÒ Þ ¼ µ«¾ Ø Ñ ÙÖ ÓÒØÒ ÔÐÓØ Ó Ð Ø Ò ÒÐ Ø ÖÓ ØÓÒ º ÄØ Ù ÖÐÐ ØØ Ò Ø Ù ÙÐ ÌÇÌ ÄÓÖÒØÞÒ Ôº ÏÚÖ Ø ÐÒ Ô ØÖ ØÖÓÒ ÚÖØÓÒ Ó Ø ÖÓ ØÓÒ ÓÖ ÖÓÙÒ ¼ Ò ÒØÒ ØÝ ÔÒÒØ Ø³ Ø Û ÖÚ ÚÖÓÙ ÒÑ Ò Ø ÐØÖØÙÖ ÚÖÝ Ù ØÚ ÓÒ ÐÑÔ Ø ÒÑ Ù Ø Ý º à ØÐÖ ¾ º ÄØ Ù ØÖ ØØ Ð Ó Ø ÛØ Ó Ø Ö ÓÒÒ Ò Ø ÛÓÐ ÐÒ Ô Ö ÒØÒ ØÝ ÔÒÒغ ½¾

13 Ω 2 = 10 TOT inel el Ω 2 = 18 TOT inel el TOT inel el 0.03 TOT inel el 0.02 Ω 2 = Ω 2 = ÙÖ ½ ¾ Ø ÖÓ ØÓÒ ÙÒØÓÒ Ó Ø ÖÙ ØÙÒÒ Þ ÓÖ Å ¾ ¾ ½¼ ½ ¾ ¼º ÓÖ ÛØ ÓÒÖÒ Ø ÔØÖÙÑ ÓÖÒ ØÓ Ø ÚÐÙ Ó Ø ÚÖÓÙ ÔÖÑØÖ ÛÐÐ Ö ÓÐÚ ØÖÔÐØ ØÖÙØÙÖ Ò ÔÔÖ ÙØ Ð Ó ÒйÑÜÑÙÑ ØÖÙØÙÖ Ò ÓÛÒº ÏØ Ø Ó Ó ÔÖÑØÖ Ó º ½ Ò ÛØ Ò Ò ØÖÙÑÒØÐ ÛØ «¾ ¼ Ø ÓÒ Ö ÓÒÒ ÔØÖÙÑ ÓÖ Å ¾ ½¼ ½ ¾ ¼ ÚÒ Ò º ¾ ÓÐ ÐÒ µ Ø ÐÒ Ú Ø ÅÓÐÐÓÛ ÔØÖÙÑ ÓÖ Ø Ñ ÚÐÙ Ó Å ¾ Ò Å ÒØÐÐÝ Ø ÖÙ Ê ÖÕÙÒÝ Ò Ø ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐ ØÓ Ø ÕÙÖ ÖÓÓØ Ó Ø Ð Ö ÒØÒ Øݵº Ì ÔÖÑØÖ Ò º ¾ Ú Ò Ó Ò Ò Ù ÛÝ ØØ ØÖÔÐØ ØÖÙØÙÖ ÔÔÖ ÒÓØ ØÓÓ «ÖÒØ ÖÓÑ Ø Ù ÙÐ ÓÒ ÙØ ÛØ ÛÐÐ Ú Ð ÝÑÑØÖÝ Ò Ø ÖÕÙÒÝ Üº ÜÔÖÑÒØ ¾¹ ¾ ÓÒ ÖÑ ÒØÐÐÝ Ø ØÖÔÐØ ØÖÙØÙÖ ÓÑ ÝÑÑØÖÝ Ò ÓÙÒ ÛÓ ÓÖÒ Ò ØØÖÙØ ØÓ ÚÖÓÙ Ù º ÒÐÐÝ Ò º Û ÓÛ ÓÑ ÓÙØ Ó Ö ÓÒÒ ÔØÖ ÖÙ ØÙÒÒ Þ ¾ µ ÓÖ Å ¾ ¾ Ò Ø ÓØÖ ÔÖÑØÖ Ò º ½ Ò ¾ ÓÐ ÐÒ µ Ò Ø ÐÒ Ú Ø ÅÓÐÐÓÛ ÔØÖÙѺ ÆÓÛ ØÖÓÒ «ÖÒ ÖÓÑ Ø Ù ÙÐ ÓÛÒ ÓÒ ØÒØ ÛØ Ø ØÖÓÒ ÝÑÑØÖÝ Ò Þ ÓÛÒ Ý Ø ØÓØÐ Ò Ø Ð Ø ÖÓ ØÓÒ Ò º ½º ÊÖÒ ½ ʺĺ ÀÙ ÓÒ Ò ÃºÊº ÈÖØ ÖØÝ ÓÑÑÙÒº Åغ ÈÝ º ¼½ ½µº ¾ ºÏº ÖÒÖ Ò ÅºÂº ÓÐÐØ ÈÝ º ÊÚº ½ ½ ½µº ºÏº ÖÒÖ ÉÙÒØÙÑ ÆÓ ËÔÖÒÖ ÖÐÒ ½½µº ½

14 0.008 Ω 2 = Ω 2 = Ω 2 = 28 Ω 2 = ÙÖ ¾ ÌÓØÐ ÔØÖÙÑ ÙÒØÓÒ Ó Ø ÖÕÙÒÝ Ü ÓÖ Þ ¼ Ò Å ¾ ½¼ ½ ¾ ¼ ÓÐ ÐÒ Ø Ñ ÔÖÑØÖ Ò º ½ ÐÒ Ø ÅÓÐÐÓÛ º úʺ ÈÖØ ÖØÝ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÉÙÒØÙÑ ËØÓ Ø ÐÙÐÙ ÖĐÙ Ö Ð ½¾µº ºÏº ÖÒÖ ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ½½ ½µº º ÖÐРº ÈÝ º Åغ Òº ¾¼ ½ ½µº ̺ ÃÒÒÝ Ò ºº ÏÐÐ ÈÝ º ÊÚº ½¾ ½µº Ⱥ Ð Ò ºÂº ÅÐÙÖÒ Ò ºº ÏÐÐ ÈÝ º ÊÚº ¾¼ ½µº ºËº ÄÒ Åºº Ê Ò ºº ÏÐÐ ÈÝ º ÊÚº ½µº ½¼ źº ÅÖØ Àº ÊØ Ò ºº ÏÐÐ ÈÝ º ÊÚº ½µº ½½ źº ÓÐÐØ Ò ºº ÏÐÐ ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ½ ¾¾ ½µº ½¾ ÀºÅº Ï ÑÒ Ò ºÂº ÅÐÙÖÒ ÈÝ º ÊÚº ½½¼ ½µº ½ º ÖÐÐ Ò º ÄÙÔÖ Âº Åغ ÈÝ º ¾ ¾¾¾¾ ½µº ½ º ÖÐÐ ÈÝ º ÊÚº ½¾ ½µº ½ º ÖÐÐ ÉÙÒØÙÑ ÇÔغ ¾ ¾ ½¼µº ½ º ÖÐÐ Ò ºÅº ÈÒÓÒ ÉÙÒØÙÑ ËÑÐ º ÇÔغ ½ ½µº ½

15 z = z = z = z = ÙÖ ÌÓØÐ ÔØÖÙÑ ÙÒØÓÒ Ó Ø ÖÕÙÒÝ Ü ÓÖ Å ¾ ¾ Ò Þ ¾ ÓÐ ÐÒ Ø Ñ ÔÖÑØÖ Ò º ½ ÐÒ Ø ÅÓÐÐÓÛ º ½ º ÖÐÐ Ò º ÄÙÔÖ Ò Êº Рź ÓÞÓ Ïºº ÅÛ ÉÙÒØÙÑ ÈÖÓÐØÝ Ò ÒØÖ ÈÙÐØÓÒ ÎÓк ÈÓÐ ÑÝ Ó ËÒ ÁÒ Ø¹ ØÙØ Ó ÅØÑØ ÏÖ Û ½µ ÔÔº ß¾º ½ º ÖÐÐ Ò º ÄÙÔÖ ÉÙÖÒ Ð ÔÖØÑÒØÓ ÅØÑØ ÈÓÐØÒÓ ÅÐÒÓ Òº»È ÅÖÞÓ ½ ÕÙÒعԻ¼¼º ½ ͺ ÒÓ ÈÝ º ÊÚº ½¾ ½ ½½µº ¾¼ º ÓÒ¹ÌÒÒÓ٠º ÙÔÓÒعÊÓ Ò º ÖÝÒÖ ØÓѹÈÓØÓÒ ÁÒØÖØÓÒ ÈÖÓ Ò ÔÔÐØÓÒ ÏÐÝ ÆÛÓÖ ½¾µº ¾½ ºÊº ÅÓÐÐÓÛ ÈÝ º ÊÚº ½ ½ ½µº ¾¾ º ÖÐÐ Ò Çº ÀÖÓØ ºËº ÀÓÐÚÓ ÒºÅº Ú ºµ ÉÙÒØÙÑ ÓÑÑÙÒ¹ ØÓÒ ÓÑÔÙØÒ Ò Ñ ÙÖÑÒØ ÈÐÒÙÑ ÆÛ ÓÖ ½µ ÔÔº ¾ ß¾¾º ¾ º ÖÐÐ Ò Àºº ÓÒÖ Ïº ËÖÖ º ËÖÓ ÂÖº ºµ Ð Ð Ò ÉÙÒØÙÑ ËÝ ØÑ ÓÙÒØÓÒ Ò ËÝÑÑØÖ ÈÖÓÒ Ó Ø ÁÁ ÁÒØÖÒ¹ ØÓÒÐ ÏÒÖ ËÝÑÔÓ ÙÑ ÏÓÖÐ ËÒØ ËÒÔÓÖ ½ µ ÔÔº ß½º ¾ º ÖÐÐ Ò ÎºÈº ÐÚÒ Âº ÈÝ º ÅØ Òº ¾ ½ ½½µº ¾ Àº ÖÑÐ Ò ÇÔÒ ËÝ ØÑ ÔÔÖÓ ØÓ ÉÙÒØÙÑ ÇÔØ Äغ ÆÓØ ÈÝ º ѽ ËÔÖÒÖ ÖÐÒ ½ µº ¾ Àº Å Ò ÊÔº Åغ ÈÝ º ¼ ½ ½¾µº ½

16 ¾ º à ØÐÖ Âº ÇÔغ ËÓº Ѻ ¼¾ ½ µº ¾ ˺ ÞÐ Ò ºº ÏÙ Ò ÂºÀº ÖÐÝ Ò Èº ÄÑÖÓÔÓÙÐÓ ºµ ÅÙÐØÔÓØÓÒ ÈÖÓ ÏÐÝ ÆÛ ÓÖ ½µ ÔÔº ½ß½º ¾ º ËÙ ºÊº ËØÖÓÙ ÂÖº ź ÀÖÖ Âº ÈÝ º ØÓѺ ÅÓк ÈÝ º Ľ ½µº ¼ Ϻ ÀÖØÒ Ïº Ê ÑÙ Ò Êº ËÖ Àº ÏÐØÖ º ÈÝ ¾ ¾¼ ½µº ½ ʺº ÖÓÚ ººÏ٠˺ ÞÐ ÈÝ º ÊÚº ½ ¾¾ ½µº ¾ ºº Ö Ö Âº ÀĐÖ º Ä٠ź ÊØ Àº ÏÐØÖ Ò Êº ÓÒÓ ºµ ÔØÚ ËÝ ØÑ Ò ÉÙÒØÙÑ ÇÔØ ÌÓÔ Ò ÙÖÖÒØ ÈÝ ÎÓк ¾ ËÔÖÒÖ ÖÐÒ ½¾µ ÔÔº ¾½¹º ½

17 ËØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ ÕÙÒØÙÑ ÚÔÓÖØÓÒ Ò ÄÚÝ Ø ÖÒÓ ÖÓÙ ÁÒ ØØÙØ ÈÝ ÕÙ Ø Ñ ÅØÖÙÜ ËØÖ ÓÙÖ ¾ ÖÙ Ù ÄÓ ¹¼ ËØÖ ÓÙÖ Ü ÖÒ ½ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ËØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ ÔÔÖÓ Ð Ó ÐÐ ÅÓÒعÖÐÓ ÛÚ ÙÒØÓÒ Ô¹ ÔÖÓ Ö Ø ÚÓÐÙØÓÒ Ó ÓÔÒ ÕÙÒØÙÑ Ý ØÑ Ý ÕÙÒ Ó Ñй ØÓÒÒ ÚÓÐÙØÓÒ Ó ÛÚ ÙÒØÓÒ ÒØÖÖÙÔØ Ø ÖÒÓÑ ØÑ Ý ÕÙÒØÙÑ ÙÑÔ Å¾ ʾ Ö º Ì ÔÔÖÓ ÓÑÔÐÑÒØÖÝ ØÓ Ø Ù ÙÐ Ñ ØÖ ÕÙØÓÒ ÓÖÑÐ Ñ Ö ÒÓÛ ÛÐÝ Ù ÒÙÑÖÐ ÑØÓ Ò ÕÙÒØÙÑ ÓÔØ º ËØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ ÔÖÓÖÑ ÖÒÓÑ ÛÐ Ò ÀÐÖØ Ô Û Ö ÕÙÐØØÚÐÝ ÑÐÖ ØÓ Ø ÖÒÓÑ ÛÐ Ò ÖÐ Ô ÓØ ØÓ ÖÓÛÒÒ ÑÓØÓÒ Ò Ð Ð ÔÝ º ½µº Ý ØÖ Ò ÓØ ÖÒÓÑ ÛÐ Ò ÀÐÖØ Ô µ Ò ÛÚ ÙÒØÓÒ ÔÖÓÔØÓÒ ØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ ÔÖÓÚ Ò Ø Û ØÑÙÐØ ÒÛ ØÓÖØÐ ØÙ Ó ÖØÒ ÕÙÒØÙÑ Ý ØÑ º Ï ÔÖ ÒØ Ö ØÛÓ Ö ÙÐØ Ò ÔÖ Ý ØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ º Ï Ö Ø ØÙÝ ÓÛ ÑÐÐ ÑÓÑÒØÙÑ ØÖÒ Ö ÓØ ØÓ ÕÙÒØÙÑ ÙÑÔ Ò ÑÓÝ ÛÚ ÙÒØÓÒ ÔÖÓÔØÓÒº Ï Ò ÒÛ «Ø ÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÚÔ¹ ÓÖØÓÒ³ Ò Û ÑÐÐ ÑÓÑÒØÙÑ ØÖÒ Ö ÒÖ ÖÑØÐÐÝ Ø ØÖÒ Ñ ÓÒ ÔÖÓÐØÝ ÓÔÖØÐ ÑÔÒÒ ÓÒ ÔÓØÒØÐ ÖÖÖº ËÓÒ Ø Ø ØØ Øг ÐÚÐ Û ÜÑÒ Ø ÖÒÓÑ ÛÐ ÔÖÓÔÖØ Ó ØÓÑ ÙÒÖÓÒ ÙÖÓÐ Ð Ö ÓÓÐÒ Ø Ð Ö ÓÓÐÒ ÑØÓ ØØ Ð ØÓ Ø ÐÓÛ Ø ØÑÔÖØÙÖ ÒÒÓÐÚÒ ÖÒµº Ì ÖÒÓÑ ÛÐ Ó Ø ØÓÑ ÔÔÖ ØÓ ÓÑÒØ Ý ÖÖ ÚÒØ Û ÐØÓÙ ÖÖ ÔÐÝ ÖÙÐ ÖÓÐ Ò Ø ÓÓÐÒ ÔÖÓ º ËÙ ÒÓÑÐÓÙ ÖÒÓÑ ÛÐ Ö ÐÐ ÄÚÝ Ø ³º Ì ÔÔÖÓ ÔÖÓÚ Ò ÒÐÝØÐ ØÓÖÝ Ó ÙÖÓÐ ÓÓÐÒ Ò Ø Ò Ò Ø ÒÐ ØÓ ÑÔÖÓÚ ØÓÓÐÒ ØÖØ º ¹ÑÐ ÖÒÓ ºÖÓÙÔÑ ºÙ¹ ØÖ ºÖº ÌÑÔÓÖÖÝ Ö ÔÖØÑÒØ Ó ÈÝ ÍÒÚÖ ØÝ ÓÆÛ ØÐ ÆÛ ØйÙÔÓÒ¹ÌÝÒ Æ½ ÊÍ ÍÒØ ÃÒÓѺ ½

18 ψ 1, 2, 3...) ÙÖ ½º ÒÐÓÝ ØÛÒ ØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ Ò Ð Ð ÖÒÓÑ Ûк ÓÖ ÑÔÐØÝ ÛÚ ÖÔÖ ÒØ ÀÐÖØ Ôº ¾ ÉÙÒØÙÑ ÚÔÓÖØÓÒ Ï Ú ÒÚ ØØ Ø ÚÓÙÖ Ó ½ ÕÙ ¹ÑÓÒÓÖÓÑØ ÛÚ ÙÒØÓÒ ÙÒÖÓÒ ÑÓÑÒØÙÑ ØÖÒ Ö ÛÐ ÑÔÒÒ ÓÒ ÔÓØÒØÐ ÖÖÖ Ó º ¾µº Ì ÔÖÓÐÑ Ò Ò Ò Ø ÖÑÛÓÖ Ó ØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ Ø ÐÑÒØÖÝ ÔÖØ Ó ÕÙÒØÙÑ «Ù ÓÒ ÔÖÓ º ÙÖ ¾º ÉÙÒØÙÑ ÚÔÓÖØÓÒº ÛÚ ÙÒØÓÒ ÙÒÖÓ ÑÓÑÒ¹ ØÙÑ ØÖÒ Ö ÓÖ µ ÓÖ ÛÐ µ ÓÙÒÒ ÓÒ ÔÓØÒØÐ ÖÖÖº Á Ø ÑÓÑÒØÙÑ Õ ØÖÒ ÖÖ ØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ ÓÖ ÓÖ Ó ÓÙÖ ØÖµ Ø ÒØÖØÓÒ ÛØ Ø ÖÖÖ Ò º ¾µ Ø «Ø Ó Ø ÑÓÑÒ¹ ØÙÑ ØÖÒ Ö ÓÒ Ø ØÖÒ Ñ ÓÒ ÔÖÓÐØÝ Ì Õµ Ó Ø ÖÖÖ Ö ÖÐØÚÐÝ ÑÐÐ Ò Ö ØÖÚÐÐÝ ÖÐØ ØÓ Ø ÒÖÝ Ò º ÇÒ Ø ÓØÖ Ò Ø ÑÓÑÒ¹ ØÙÑ ØÖÒ Ö ÓÙÖ ÛÐ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ ÓÙÒÒ ÓÒ Ø ÖÖÖ Ò º ¾µ Ø ØÖÒ Ñ ÓÒ ÔÖÓÐØÝ Ì Õµ ÖØÐÝ ÒÒ ÚÒ Ø ÑÓÑÒ¹ ØÙÑ ØÖÒ Ö Õ ÑÐÐ ºº Ø ÚÖ ÒØ ÒÖÝ Ó Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ ØÖ Ø ØÖÒ Ö ÖÑÒ ÑÙ ÑÐÐÖ ØÒ Ø Ø Ó Ø ÖÖÖº Ì ÛØ Û ÐÐ ÕÙÒØÙÑ ÚÔÓÖØÓÒ³º x ½

19 Ì ÕÙÒØÙÑ ÑÒÐ «Ø ÓÙÒ ØÓ Ö ÙÐØ ÖÓÑ Ø ÔÓÔÙÐØÓÒ Ó ÒÖÝ ØØ ÛØ Ò ÙÒÜÔØÐÝ ÐÖ ÑÔÐØÙ ÝÒ ÓÒÐÝ ÐÖÐÐÝ Ø ÒÖ º ÌÙ ÚÒ Ò Ø Ó ÑÐÐ ÑÓÑÒØÙÑ ØÖÒ Ö ØØ ÛØ ÒÖ ÓÚ Ø ÖÖÖ Ö ÐÝ ÔÓÔÙÐØ ÚÒ Ö ØÓ ÐÖ ØÖÒ Ñ ÓÒ ÔÖÓÐØ Ì Õµº Ì ØÖÒ Ñ ÓÒ Ì Õµ ÓÙÒ ØÓ ÚÖÝ Ì ¼µ Ì ¾ Õ ¾ ÓÖ ÑÐÐ Õº ÊÑÖÐÝ Ì Õµ ØÖÓÖ ÒÔÒÒØ ÓÒ Ø Ò Ó Ø ÑÓÑÒØÙÑ ØÖÒ Ö Õº Ï ØÒ ØØ ÕÙÒØÙÑ ÚÔÓÖØÓÒ ÓÙÐ Ó ÖÚ ÓÖ Ò ØÒ Ò Ð Ö ÓÓÐ ØÓÑ ÓÖ Ò Ð Ñ ÓÒ Ó ÐØÖÓÒ º ÄÚÝ Ø Ò ÙÖÓÐ Ð Ö ÓÓÐÒ Ï Ú ØÙ Ð Ö ÓÓÐÒ Ó ØÓÑ Ò Ø ÙÖÓÐ ÖÑ ½ ºº ÛÒ Ø ÒÐ ØÓÑ ÒØ ÒÖÝ Ð ØÒ Ø ÒØ ÒÖÝ ØÖÒ ÖÖ ØÓ Ò ØÓÑ Ø Ö Ø Ý Ø ÓÖÔØÓÒ Ó ÒÐ ÔÓØÓÒº ËÙÖÓÐ ÓÓÐÒ ÖÐ ÓÒ «Ù ÓÒ ÓÆÒØ ÖÐØ ØÓ Ø ÔÓÒØÒÓÙ Ñ ÓÒ Öص Û ÔÒ ÓÒ Ø ØÓÑ ÑÓÑÒØÙÑ Ô Ò ÚÒ Ø Ô ¼ Ù ØÓ ÕÙÒØÙÑ ÒØÖÖÒ «Ø à º Ì ÒÐ ØÓ ÙÑÙÐØ ÓÓг ØÓÑ Ò Ø ÚÒØÝ ÓÔ ¼º ÁÒ ÓÑ ÔÖØÙÐÖÐÝ ÒØÖ ØÒ ØÙØÓÒ Ø ÖÒÓÑ ÛÐ Ó Ø ØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ Ó Ø ØÓÑ ÙÒÖÓÒ ÙÖÓÐ ÓÓÐÒ ÖÙ ØÓÖÒÓÑÛÐ Ò ÑÓÑÒØÙÑ Ô ½ Ö º ÌÙ Ø ÓÑ ÖÐØÚÐÝ ÑÔÐ ØÓ ØÙÝ Ø ÓØÖÛ ÓÑÔÐÜ ÕÙÒØÙÑ ÔÖÓ Ó Ð Ö ÓÓÐÒ ÛØ Ð Ð ÖÒÓÑ ÛÐ ØÒÕÙ º ÀÓÛÚÖ Ò Ò ÔØÓÒ Ó ÒÚÙÐ ØÓ Ø ÛÚ ÙÒØÓÒ ØÓÖ º µ ÖÚÐ ØØ ØÖ ÖÒÓÑ ÛÐ Ö ØÖÓÒÐÝ ÒÓÑÐÓÙ Ö º ÁÒ ÑÓ Ø ØÓÖ Ö ÓÑÔÐØÐÝ ÓÑÒØ Ý ÚÖÝ Û ÓÒ ÓÖ ØÛÓ ØÝÔÐÐݵ ØÖÔÔÒ ÚÒØ Ò Ø ÚÒØÝ ÓÔ ¼º Ì ÙÒÙ ÙÐ ØØ ØÐ ÚÓÙÖ Ò ÙÒÖ ØÓÓ ÛØÒ Ø ÖÑÛÓÖ Ó Ø ÒÖÐÞ ÒØÖÐ ÄÑØ ÌÓÖÑ ÑÓÒ ØÖØ Ý ÈÙÐ ÄÚÝ Ò Ø ØÖ¹ Ø Ó¼ º Ì ÔÖÓÐØÝ Ò Ø Ó ÖØÖ Ø ØÑ ÜØ ÐÓÛÐÝ Ý¹ Ò ÔÓÛÖ ÐÛ ØÐ Ù ØØ ØÖ ÚÖÒ ÓÖ ØÖ ÚÖ ÚÐÙ Ò Òص Û ÓÑÒØ Ø ØØ ØÐ ÔÖÓÔÖØ º Ì ÖÓ³ ØÖÙØÓÒ ÒÖØ ÖÒÓÑ ÛÐ Û Ö ÓÑÒØ Ý ÖÖ ÚÒØ Ò Û Ö ÐÐ ÄÚÝ Ø ³º Ï Ú ÓØÒ Ò ÒÐÝØÐ ØÓÖÝ Ó ÙÖÓÐ ÓÓÐÒ Û ÓÒ Ø ÔÖÓÔÖØ Ó ÖÓ ØÖÙØÓÒ Ö º ÁØ ÔÖØÓÒ Ú ÒÓÛ Ò ÚÖ Ý ÚÖÐ ÜÔÖÑÒØ Ê ËÀà ËÄ º ËÑ Ú Ð Ó ÔÖÓÔÓ ØÓ Ñ ÙÖ ÖØÐÝ Ý ØØ ØÐ ØÖÙØÓÒ ËË º Ø Ð Ø ÖÒØ ÑØÑØÐ ÚÐÓÔÑÒØ ÒØÖ ØÒ ÐØ ÓÒ Ø ÒÓÑÐÓÙ ÖÒÓÑ ÛÐ ½ ÐÓÒÖ ÒØÖÓÙØÓÖÝ ÔÔÖ ÓÒ Ø ÙØ Ò ÓÙÒ Ò Ø ÑÒ¹ÔÖÓÒ ³ Ó ÔÖÚÓÙ ÅÈÝËØÓ ÓÒÖÒ º ÖÓÙ ÓÓÐÒ ÛØ ÄÚÝ Ø Ù Ò Ø ÒÖÐÞ ÒØÖÐ ÐÑØ ØÓÖÑ Ò ÔÝ Ò ÓÒÖÒ ÓÒ ³ÄÚÝ ÔÖÓ ØÓÖÝ Ò ÔÔÐØÓÒ ³ ÖÙ ½¹¾¾ ÒÙÖÝ ½ ÅÈÝËØÓ ÈÙÐØÓÒ Å ÐÐÒ ÒÓº ½½ ÁËËÆ ½ ¹µ Ǻ ÖÒÓÖ«¹ÆÐ Ò Ëºº ÖÚÖ Ò Ò Ìº ÅÓ ºµº ½

20 20 10 (a) p (b) p θ [s] ÙÖ º µ ÜÑÔÐ Ó ÑÓÑÒØÙÑ ÖÒÓÑ ÛÐ Ö ÙÐØÒ ÖÓÑ ÅÓÒعÖÐÓ ÑÙÐØÓÒ Ó ÙÖÓÐ ÓÓÐÒ Ó ÑØ ØÐ ÐÙÑ ØÓÑ º Ì ÙÒØ Ó ØÓÑ ÑÓÑÒØÙÑ Ô Ø ÑÓÑÒØÙÑ Ó Ø ÔÓØÓÒ º Ì ÞÓÓÑ µ Ó Ø ÒÒÒ Ó Ø ØÑ ÚÓÐÙØÓÒ ØØ ØÐÐÝ Òй ÓÓÙ ØÓ Ø ÚÓÐÙØÓÒ Ø ÐÖ Ð ÖØÐ ÔÖÓÔÖØÝ ØÝÔÐ Ó ÄÚÝ Øº ÓØ ØÓ ÙÖÓÐ ÓÓÐÒ Ý ÖÐØÒ ØÑ Ò ÔÖØÙÐÖ ØÓ Ø ÖÑÛÓÖ Ó ÖÒÛÐ ÔÖÓ º ÊÖÒ Ã Ö º ÔØ º ÖÑÓÒÓ Êº Ã Ö Æº ÎÒ ØÒ Ø Ò º ÓÒ¹ ÌÒÒÓÙ Ä Ö ÓÓÐÒ ÐÓÛ Ø ÓÒ¹ÔÓØÓÒ ÖÓÐ ÒÖÝ Ý ÚÐÓØݹ ÐØÚ ÓÖÒØ ÔÓÔÙÐØÓÒ ØÖÔÔÒ ØÓÖØÐ ÒÐÝ ÂºÇÔغËÓº Ѻ ¾½½¾¹¾½¾ ½µº Ǻº ÖÒÓÖ«¹ÆÐ Ò Ò ºº ÒØ Ä Ö ÓÓÐÒ Ò ØÓ ¹ Ø ÅÈÝËØÓ ÈÙÐØÓÒ ÁËËÆ ½ ¹¾µ Ê Ö ÊÔÓÖØ ÒÓº ½µ Ò ØÓ ÔÙÐ º º ÖÓ٠Ⱥ º Ì ÍÒÚÖ ØÝÓÈÖ Á ÇÖ Ý ÔØÖ Î ½µº º ÖÓ٠º¹Èº ÓÙÙ º ÔØ Ò º ÓÒ¹ÌÒÒÓÙ ÆÓÒ¹ ÖÓ ÓÓÐÒ ÙÖÓÐ Ð Ö ÓÓÐÒ Ò ÄÚÝ ØØ Ø Ò ÔÖÔÖ¹ ØÓÒº º ÖÓ٠º¹Èº ÓÙ٠Ǻ ÑÐ º ÔØ Ò º ÓÒ¹ ÌÒÒÓÙ ËÙÖÓÐ Ä Ö ÓÓÐÒ Ò ÄÚÝ ÐØ ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¾ ¾¼ ¹¾¼ ½µº ¾¼

21 Ó Ó¼ º ÓÓ Ò º ÖÓÙ ÕÙÒØÙÑ ÚÔÓÖØÓÒ «Ø ÙÑØØ ½µº ºȺ ÓÙÙ Ò º ÓÖ ÒÓÑÐÓÙ «Ù ÓÒ Ò ÓÖÖ Ñ¹ ØØ ØÐ ÑÒ Ñ ÑÓÐ Ò ÔÝ Ð ÔÔÐØÓÒ ÈÝ º ÊÔº ½ ½¾¹¾ ½¼µº Ö Àº ÖÑÐ Ò ÇÔÒ ËÝ ØÑ ÔÔÖÓ ØÓ ÉÙÒØÙÑ ÇÔØ ËÔÖÒÖ¹ÎÖÐ ½ µº ½ ž ʾ Ê ËÀà ËÄ ËË º ÓÒ¹ÌÒÒÓÙ º ÖÓÙ Ò º ÔØ ÊÚÛ Ó ÙÒÑÒØÐ ÔÖÓ Ò Ð Ö ÓÓÐÒ ÈÖÓÒ Ó Ä Ö ËÔØÖÓ ÓÔÝ ÓÒع ÊÓÑÙ ½½µ Ø Ý Åº ÙÐÓÝ º ÓÒÓ Ò º ÑÝ ¹½ ÏÓÖÐ ËÒØ ËÒÔÓÖ ½¾µº º ÐÖ º ØÒ Ò Ãº ÅÐÑÖ ÏÚ¹ÙÒØÓÒ ÔÔÖÓ ØÓ ÔØÚ ÈÖÓ Ò ÉÙÒØÙÑ ÇÔØ ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¼¹ ½¾µº ʺ ÙÑ Èº ÓÐÐÖ Ò Êº ÊØ ÅÓÒعÖÐÓ ÑÙÐØÓÒ Ó Ø ØÓÑ Ñ ØÖ ÕÙØÓÒ ÓÖ ÔÓÒØÒÓÙ Ñ ÓÒ ÈÝ º ÊÚº ¹ ½¾µº º ÊÐ º ÖÓ٠ź Ò Ò º È Ëº ÊÒ º ËÐÓÑÓÒ Ò º ÓÒ¹ÌÒÒÓÙ ÊÑÒ ÓÓÐÒ Ó ÙÑ ÐÓÛ Òà ÆÛ ÔÔÖÓ ÁÒ ÔÖ Ý ÄÚÝ ÐØ ËØØ Ø ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¹ ½µº º ËÙÑ ÌºÏº ÀÑÒ Ëº ÃÙÐÒ º Ê Ð È Åº ÄÙ Ò º ÓÒ¹ÌÒÒÓÙ ÖØ Ñ ÙÖÑÒØ Ó Ø ÔØÐ ÓÖÖÐØÓÒ ÙÒØÓÒ Ó ÙÐØÖÓÐ ØÓÑ ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ½¹ ½ ½µº º ËÙÑ Åº ÄÙ Ò º ÓÒ¹ÌÒÒÓÙ ÜÔÖÑÒØÐ ÁÒÚ ¹ ØØÓÒ Ó ÆÓÒ¹ÖÓ «Ø Ò ËÙÖÓÐ Ä Ö ÓÓÐÒ ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ¹ ½µº ˺ ËÙ Ö ÏºÈº ËÐ Ò ÎºÈº ÓÚÐÚ Ý ÓÐ ÐÓÓ Ø ÄÚÝ Ø Ò ÙÖÓÐ ÓÓÐÒ ÈÝ º ÊÚº ÄØغ ½¾¹ ½ ½µº ¾½

22 Viacheslav P. Belavkin Quantum Stochastics as a Boundary Value Problem, and Classification of Quantum Noise. Abstract: Using a white (Poisson) analysis in Fock triples we formulate a class of boundary value problems for quantized fields which interact with a quantum system at the boundary. We prove that in the interaction representation the scattered fields plus the boundary satisfy a quantum stochastic equation for the Markovian unitary evolution in Fock space with respect to a quantum Poisson noise as an ultrarelativistic limit of the input fields. We give the complete classification of quantum noises as stochastic processes with independent increments indexed by arbitrary non-abelian Itô algebra, and prove that each such process can be decomposed into the orthogonal sum of quantum independent Brownian and Lévy motions. Every quantum stochastic unitary evolution driven by such noise corresponds to a unique self-adjoint boundary value problem for a free quantum field with the singular boundary interaction. Howard Carmichael Physical principles of quantum trajectories. Abstract: The earliest proposal of a stochastic evolution in quantum optics was that of Einstein, who put forward his so-called A and B theory to account for the approach to equilibrium of matter in interaction with black body radiation. Modern quantum trajectory methods are close relatives of the Einstein proposal. In this talk I trace the differences between quantum trajectories and the Einstein stochastic process, and the physical reasons that they must be introduced. The logic of a quantum trajectory as a conditioned evolution is set out and illustrated by a number of examples from quantum optics. The physical meaning of the term quantum jump is explored in relation to ongoing experiments in cavity QED. 22

23 Ì ÈÖÓÔØÓÒ Ó ÅÓÐÙÐÖ Ó Ý ÉÙÒØÙÑ ËÝ ØÑ Ò ÜØÒ ØÖØ ÐÜÒÖ Ú ÓØØÐ Ì ÔÙÖÔÓ Ó Ø ØÖØ ØÓ ÓÛÓÛ Ø Ð Ð ÒÓØÓÒ Ó ÑÓÐÙ¹ ÐÖ Ó Ò ÒÖÐÞ ØÓ ÕÙÒØÙÑ ÑÒݹÔÖØÐ Ý ØÑ º Ì ÓÒÔØ Ó ÑÓÐÙÐÖ Ó Ù ØÓ ÓÐØÞÑÒÒ ¾ ÛÓ ÙÑ Ò ÓÖÖ ØÓ ÖÚ Ø ÙÒÑÒØÐ ÕÙØÓÒ Ó Ø ÒØ ØÓÖÝ Ó ØØ Ø ÑÓÐÙÐ Ó ÒÓÒÕÙÐÖÙÑ Ö Ò ØØ Ó ÑÓÐÙÐÖ ÓÖÖº à ½¼ ÐÐ ÑÓÐÙÐÖ Ó Ø ÓÐØÞÑÒÒ ÔÖÓÔÖØÝ Ò Ù Ø ØÓ ÖÚ Ø ÓÑÓ¹ ÒÓÙ ÓÐØÞÑÒÒ ÕÙØÓÒ Ò Ø Ò ÒعÔÖØÐ ÐÑØ Ó ÖØÒ ÅÖÓÚÒ ÑÓÐ º Ì Û ÙÖØÖ ÚÐÓÔ Ò ¾¾ º ÅÃÒ ½ ½ ÔÖÓÚ Ø ÔÖÓÔØÓÒ Ó Ó ÓÖ Ý ØÑ Ó ÒØÖØÒ «Ù ÓÒ ØØ ÝÐ «Ù Ú ÎÐ ÓÚ ÕÙØÓÒ Ò Ø ÑÒ¹ Ð ÐÑغ Ë ¾ Ò ½ ÓÖ ØÛÓ ÒØÚ ÙÖÚÝ Ó ÔÖÓÔØÓÒ Ó Ó Ò Ø ÔÔÐØÓÒ º Ð Ð ÑÓÐÙÐÖ Ó ØÝÔ Ó ØÓ Ø ÒÔÒÒ Ó ÔÖØÐ ØØ ÑÒ Ø Ø Ð Ò Ò Ò ÒعÔÖØÐ ÐÑغ Á Ë Ò Ø Ò¹ÓÐ ÖØ Ò ÔÓÛÖ Ó Ñ ÙÖÐ Ô Ë ÔÖÓÐØÝ Ñ ÙÖ È ÓÒ Ë Ò ÐÐ ÝÑÑØÖ È ½ ¾ Ò µè ½µ ¾µ Òµ µ ÓÖ ÐÐ Ñ ÙÖÐ Ø ½ Ò Ë Ò ÐÐ ÔÖÑÙØØÓÒ Ó ½ ¾ Òº ÓÖ Ò Ø ¹ÑÖÒÐ Ó È ÒÓØ È µ Ø ÔÖÓÐØÝ Ñ ÙÖ ÓÒ Ë Ø ÝÒ È µ ½ ¾ µè ½ Ë Ëµ ÓÖ ÐÐ Ñ ÙÖÐ Ø ½ ˺ ÇÒ ÑÝ Ò ÑÓÐÙÐÖ Ó ÓÐÐÓÛ ¾ ¾

24 ÒØÓÒ ½ Ð Ð ÅÓÐÙÐÖ Ó µ ÄØ Ë ÔÖÐ ÑØÖ Ôº ÄØ È ÔÖÓÐØÝ Ñ ÙÖ ÓÒ Ë Ò ÓÖ Ò ¾ Æ ÐØ È Ò ÝÑÑØÖ ÔÖÓÐØÝ Ñ ÙÖ ÓÒ Ë Ò º Ì ÕÙÒ È Ò È ¹ÓØ Ø ¹ÑÖÒÐ È Ò µ ÓÒÚÖ ÛÐÝ ØÓ È Å Ò ½ ÓÖ Ü ¾ ƺ Ï ÔÖÓ ØÓ Ø ÕÙÒØÙÑ ÚÖ ÓÒ Ó ÑÓÐÙÐÖ Ó ÄØ À ÀÐÖØ Ô ÛÓ ÚØÓÖ ÖÔÖ ÒØ Ø ÔÙÖ ØØ Ó ÓÑ ÕÙÒØÙÑ Ý ØѺ Ì ØØ ØÐ ØØ Ó ØØ ÕÙÒØÙÑ Ý ØÑ Ö ÒØ ÛØ Ø ÒÓÖÑÐ ÔÓ ØÚ ÐÒÖ ÙÒØÓÒÐ ÓÒ À µ ØØ Ò ½ ØÓ Ø ÒØØÝ ÓÔÖØÓÖº Ì ÔÓ ØÚ ÐÒÖ ÙÒØÓÒÐ ÓÒ À µ Ö Ð Ó ÐÐ ØØ º ØØ ÓÒ À µ ÒÓÖÑÐ ¾ È µ½ ÛÒÚÖ È ¾ ÑÐÝ Ó ÓÑÑÙØÒ ÔÖÓØÓÖ ØØ ÙÑ ØÓ Ø Ò¹ ØØÝ ÓÔÖØÓÖ ºº Ø ÒØ Ó ÒØ ÔÖØÐ ÙÑ Ó Ø ÔÖÓØÓÖ ÓÒÚÖ Ò Ø Û ÓÔÖØÓÖ ØÓÔÓÐÓÝ ØÓ Ø ÒØØݵº ÆÓÖÑÐ ØØ Ö ÔÖ ÐÝ ØÓ ØØ ØØ Ò ÖÔÖ ÒØ Ý Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ º Á Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À ºº ÔÓ ØÚ ØÖ Ð ÓÔÖØÓÖ ÛØ ØÖ ½ ØÒ ÌÖ µ Ò ØØ ÓÒ À µº ÓÒÚÖ ÐÝ ÚÖÝ ÒÓÖÑÐ ØØ ÓÒ À µ Ó Ø ÓÖÑ µ ÌÖ µ ÓÖ ÓÑ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ º Ì ÀÐÖØ Ô Ó ÔÙÖ ØØ Ó ÓÐÐØÓÒ Ó Ò ØÒÙ Ð Ý ØÑ Ø Ø Ý ØÑ ÚÒ ÀÐÖØ Ô À Ó ÔÙÖ ØØ µ À ½ Å ÅÀ Ò º Ì ÀÐÖØ Ô ÓÖ Ò ØÒÙ Ð ÔÖØÐ Ó Ø Ñ Ô ÛÐÐ ÒÓØ À ÅÒ º Á Ò Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À ÅÒ ØÒ Ø ¹ÑÖÒÐ ÓÖ ÔÖØÐ ÓÒØÖØÓÒ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À Å ØØ Ú Ø ØØ ØÐ ØØ Ó Ø Ö Ø ÔÖØÐ º Ì ¹ÑÖÒÐ ÒÓØ ÌÖ µ Ò Ò ÑÝ Ò ÓÐÐÓÛ ÄØ Ç ÒÝ ÓÖØÓÒÓÖÑÐ Ó À º Á Ü ¾ À Å ÛØ ÒØÒ ÓÖ ÒÝ Û Ü ¾ À Å ÌÖ µ Ò ÛµÜ Ý ½ ÝÒ ¾Ç Ã Û Å Ý ½ Å ÅÝ Ò µüå Ý ½ Å ÅÝ Ò Ì ØֹРÓÔÖØÓÖ ÓÖÑ Ò Ô ÛÖÒ Ì ÌÖ Ì µº ØØ ÓÒ À ÅÒ µ ÝÑÑØÖ Ø Ø Ò ½ Å Å Ò µ Ò ½µ Å ¾µ Å Å Òµ µ ¾

25 ÓÖ ÐÐ ÔÖÑÙØØÓÒ Ó ½ ¾ Ò Ò ÐÐ ½ Ò ¾ À µº ÓÖ ÔÖÑÙØØÓÒ Ó ½ ¾ Ò Ò Ø ÙÒØÖÝ ÓÔÖØÓÖ Í ÓÒ À ÅÒ ÛÓ ØÓÒ ÓÒ ÑÔÐ ØÒ ÓÖ Í Ü ½ Å Ü ¾ Å ÅÜ Ò µü ½µ Å Ü ¾µ Å ÅÜ Òµ ½µ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ÝÑÑØÖ ØØ Ò ÓÒÐÝ Ò ÓÑÑÙØ ÛØ Í º Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø ØØ ØÐ ØØ Ó Ý ØÑ Ó Ò Ó ÓÒ Ó ¹Ò ØÒ ØØ Ò ÓÒÐÝ Ò Í Ò ÓÖ ÐÐ ÔÖÑÙØØÓÒ º ÒØÓÒ ¾ ÉÙÒØÙÑ ÅÓÐÙÐÖ Ó µ ÄØ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À Ò ÓÖ Ò ¾ Æ ÐØ Ò ÝÑÑØÖ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À ÅÒ º Ì ÕÙÒ Ò ¹ÓØ ÓÖ Ü ¾ Æ Ø Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÌÖ µ Ò ÓÒÚÖ Ò ØÖ ÒÓÖÑ ØÓ Å Ò ½º Ì ÕÙÒ Ò ÑÓÐÙÐÖÐÝ ÓØ Ø ¹ÓØ ÓÖ ÓÑ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À º ÕÙÒ ÒÜ Ý Ò Ó Ò¹ÔÖØÐ ÝÒÑ ÔÖÓÔØ Ó ÑÓÐÙÐÖÐÝ ÓØ ÕÙÒ Ó ÒØÐ ØÖÙØÓÒ ÖÑÒ ÑÓÐÙÐÖÐÝ ÓØ ÓÖ ÐÐ ØÑ ÙÒÖ Ø Ò¹ÔÖØÐ ÝÒÑÐ ÚÓÐÙØÓÒ º ÓÖ Ø Ó Ò¹ ÖÐØÝ Û ÐÐÓÛ ØØÖÒ ÓÖÑØÓÒ Ó ØØ ØÓ Ø ÙÐ Ó ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ØÚ Ò ÙÒØÐ ÑÔ ØØ Ø ØØ ÌÖ µ ÑÝ ØÖÒ ÓÖÑ ÒØÓ ØØ Ó Ø ÓÖÑ ÌÖ µµ ÛÖ ÒÓÖÑе ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ØÚ ÙÒØÐ ÒÓÑÓÖÔ Ñ Ó À ÅÒ µº ÐÒÖ ÑÔ ½ ¾ Ó ÐÖ ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ØÚ ÓÖ Ò ¾ Æ Ø ÑÔ ÖÓÑ ½ Å Ò µ ØÓ ¾ Å Ò µ ØØ Ò Å ØÓ µ Å ÔÓ ØÚº ÁØ ÒÓÛÒ ØØ ÐÐ ÒÓÖÑÐ ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ØÚ ÙÒØÔÖ ÖÚÒ ÑÔ ÖÓÑ À µ ØÓ Ã µ Ö Ó Ø ÓÖÑ µ ¾Â Ï Ï ¾µ È ÛÖ Ø ÑÐÝ Ï ¾Â Ó ÓÙÒ ÓÔÖØÓÖ Ù ØØ Ï ¾Â Ï ÓÒÚÖ ØÖÓÒÐÝ ØÓ Ø ÒØØÝ ÓÔÖØÓÖº Ì Ð Ó ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ¹ ØÚ ÑÔ ÑÔÓÖØÒØ Ò ÕÙÒØÙÑ ÝÒÑ ÓÖ Ø ÒÐÙ Ø ÙÒØÖÐÝ ÑÔÐÑÒØ ÙØÓÑÓÖÔ Ñ ÍÍ Ó Ø À ÒÖ ÔØÙÖ Ó ÕÙÒ¹ ØÙÑ ÝÒÑ ÙØ Ø Ð Ó ÒÐÙ ØÖÒ ÓÖÑØÓÒ ¼ «Ø Ý Ø ÒØÖÚÒØÓÒ Ó Ñ ÙÖÑÒØ ÖÒÓÑÞØÓÒ Ò ØÑÔÓÖÖÝ ÓÙÔÐÒ ØÓ ¾

26 ÓØÖ Ý ØÑ º ÒÓÖÑÐ ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ØÚ ÙÒØÐ ÑÔ ÒÙ ØÖ¹ ÔÖ ÖÚÒ ÑÔ ÓÒ Ø ØÖ Ð ÓÔÖØÓÖ Ò ÑÔÐØÐÝ Ý ÌÖ µµ ÌÖ µµ ÓÖ ÐÐ ¾ À µº Á Ø ÓÖÑ ¾µ ØÒ µ ¾Â Ï Ï ÛÖ Ø Ö ÓÒÚÖ Ò Ø ØÖ ÒÓÖÑ ½ º ÒØÓÒ ÈÖÓÔØÓÒ Ó ÅÓÐÙÐÖ Ó µ ÓÖ Ò ¾ Æ ÐØ Ò ÒÓÖÑÐ ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ØÚ ÑÔ ÖÓÑ À ÅÒ ØÓ Ø Ð ØØ Ü Ø ÒØØÝ Ò Û ÓÑÑÙØ ÛØ ÔÖÑÙØØÓÒ ºº Ù ØØ Ò Í Í µí Ò µí µ ÓÖ ÐÐ ¾ À ÅÒ µ Ò ÐÐ ÔÖÑÙØØÓÒ Ó ½ ¾ Ò ÛÖ Í Ò Ò ½µº Ì ÕÙÒ Ò ÔÖÓÔØ Ó Ø ÑÓÐÙÐÖ Ó Ó ¹ ÕÙÒ Ó Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ Ò ÒØÐ Ø ÑÓÐÙÐÖ Ó Ó Ø ÕÙÒ Ò Ò µº Ï ÛÐÐ ÒÓÛ Ö Ð Ó ØÖÑÒ Ø ÑÒݹÔÖØÐ Ý ØÑ ØØ ÔÖÓÔØ ÑÓÐÙÐÖ Ó º ÄØ Î ÓÙÒ ÀÖÑØÒ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À Å À Ù ØØ Î Ü Å Ýµ Î Ý Å Üµ ÓÖ ÐÐ Ü Ý ¾ À ÖÔÖ ÒØÒ ØÛÓ¹ÓÝ ÔÓØÒØк ÄØ Î Ò ½¾ ÒÓØ Ø ÓÔÖØÓÖ ÓÒ Å Ò À Ò Ý Î Ò ½¾ Ü ½ Å Ü ¾ Å ÅÜ Ò µî Ü ½ Å Ü ¾ µ Å Ü Å ÅÜ Ò µ Ò ÓÖ Ò ÛØ Ò Î Ò ÑÐÖÐÝ ÓØØØØ ÓÒØ Ø Ò Ø ØÓÖ Ó ÑÔÐ ØÒ ÓÖº Ì ÑÝ ÓÑÔÐ Ý ØØÒ Î Ò Í Ò Î½¾Í Ò Ò ÛÖ ¾µ ½µ ÔÖÑÙØØÓÒ ØØ ÔÙØ Ò Ø Ö Ø ÔÐ Ò Ò Ø ÓÒ ÔÐ Ò Í Ò Ò Ò ½µº Ò Ø Ò¹ÔÖØÐ ÀÑÐØÓÒÒ À Ò Ø ÙÑ Ó Ø ÔÖ ÔÓØÒØÐ Î Ò ÛØ ÓÑÑÓÒ ÓÙÔÐÒ ÓÒ ØÒØ ½Ò À Ò ½ Ò Î Ò µ ¾

27 Á Ò ØØ ÓÒ À ÅÒ ÐØ Ò Øµ ÒÓØ Ø ØØ Ó Ò Ò¹ÔÖØÐ Ý ØÑ ØØ Û ÒØÐÐÝ Ò ØØ Ò Ò Û ÙÒÖÓÒ Ø ÙÒØ Ó Ø ØÑÔÓÖÐ ÚÓÐÙØÓÒ ÓÚÖÒ Ý Ø ÀÑÐØÓÒÒ µ Ò Ò µ Ò Øµ ÀÒØ Ò ÀÒØ µ ÌÓÖÑ ½ ËÙÔÔÓ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À Ò Ò ¹ÓØ ÕÙÒ Ó ÝÑÑØÖ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À ÅÒ º ÌÒ Ø ÕÙÒ Ó Ò¹ ØÝ ÓÔÖØÓÖ Ò Øµ Ò Ò µ Ò µ ص¹ÓØ ÛÖ Øµ Ø ÓÐÙØÓÒ Ø ØÑ Ø Ó Ø ÓÐÐÓÛÒ ÓÖÒÖÝ «ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ Ò Ø Ò Ô Ó ØֹРÓÔÖØÓÖ Ø Øµ Πص Šص ¼µ ÌÓÖÑ ½ Ò ÔÔÐ ØÓ ÑÒ¹ Ð ÔÒ ÑÓÐ Ó ÖÖÓÑÒØ Ñ ÛÖ Ø ÔÒ ÒÙÐÖ ÑÓÑÒØÙÑ Ó ØÓÑ Ó ÖÝ ØÐ ÙÔÔÓ ØÓ ÓÙÔÐ ØÓ Ø ÚÖ ÔÒ Ò ØÓ Ò ÜØÖÒÐ ÑÒØ Ðº Ì ØÖØÓÒÐ ÔÔÖÓ ØÓ Ø ÝÒÑ Ó ÑÒ¹ Ð ÔÒ ÑÓÐ Ò ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ø Ò ÒعÔÖØÐ ÝÒÑ ÐÑØ Ó ÒعÔÖØÐ ÝÒÑ Ù ØÓÑÖÝ Ò ÕÙÒØÙÑ ØØ ØÐ ÑÒ º ÀÓÛÚÖ ÐØÓÙ Ø Ò ÒعÔÖØÐ ÝÒÑ Ó ÔÒ ÑÓÐ ÛØ ÒعÖÒ ÒØÖØÓÒ Ù Ø Á Ò ÑÓе Ò Ò ÛØÓÙØ ÆÙÐØÝ Ò Ø ÑÒÒÖ ½ ÒÒ Ø Ò ÒعÔÖØÐ ÝÒÑ Ó ÔÒ ÑÓÐ ÛØ ÐÓÒ¹ÖÒ ÒØÖØÓÒ Ù Ø ÙÖ¹Ï ÑÓе ÑÙ ÑÓÖ ÙØÐ «Ö ½ º ÌÓÖÑ ½ ÔÖÓÚ Ù ÛØ Ò ÐØÖÒØÚ ÔÔÖÓ ÓÒ Ö Ø ÙÖ¹ Ï ÑÓÐ ÓÖ ÔÒ¹ ½ ØÓÑ º Ì ÀÑÐØÓÒÒ ÓÖ Ø Ò¹ ÔÒ ÙÖ¹Ï ¾ ÑÓÐ µ À Ò ½ Ò Ò ½ Â Þ Þ À Þ µ ÛÖ Â ÔÓ ØÚ ÓÙÔÐÒ ÓÒ ØÒØ Ò À ÒÓØÖ ÓÒ ØÒØ ÛÓ ÑÒØÙ ÔÖÓÔÓÖØÓÒÐ ØÓ Ò ÛÓ Ò Ö Ø Ø ÖØÓÒ Ó Ø ÜØÖÒÐ ÑÒØ Ðº Á Ò Ø ÒØÐ Ò ØÝ ÓÒÒ¹ ÔÒ Ý ØÑ ØÒ Ò Øµ Ò Ý Ò Øµ ÀÒØ Ò ÀÒØ ¾

28 Ø Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ Ø ØÑ Øº ÓÖ ÒÝ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ ¾ ÐØ ÒÓØ Ø ¾ ¾ ÑØÖÜ ØØ ÖÔÖ ÒØ º Á Ø ÕÙÒ Ò Ó ÒØÐ Ò¹ ÔÒ ØØ ¹ÓØ ÛØ Ø ÕÙÒ Ó Ò¹ ÔÒ ØØ Ø ØÑ Ø Øµ¹ÓØ ÓÖ Ø ¼ ÛÖ Ø Øµ Ø À  µ ÒÓØÖ ÓÒ ÕÙÒ Ó ÌÓÖÑ ½ ØØ ØÖ Ü Ø ÑÒÝ ÑÓÐÙÐÖÐÝ ÓØ ÕÙÒ Ó Ó ¹Ò ØÒ ØØ ÓÖ ÒÝ ¾ À ÐØ ÒÓØ Ø ÓÖØÓÓÒÐ ÔÖÓØÓÒ ÓÒØÓ Ø ÔÒ Ó Ø Ø Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÖ Ø ÔÙÖ ØØ º Ì ÕÙÒ Ó Ó ¹Ò ØÒ ØØ ÅÒ ¹ÓØ Ò ÌÓÖÑ ½ ÓÛ ØØ Ø ÕÙÒ Ó ØØ ÓØÒ ØÖ Ø ÓÒ Ó ØÑÔÓÖÐ ÚÓÐÙØÓÒ ÓÚÖÒ Ý ÀÑÐØÓÒÒ Ó Ø ÓÖÑ µ Ð Ó ÑÓÐÙÐÖÐÝ Óغ Ì ØØ Ö Ð Ó Ó ¹Ò ØÒ ØØ Ù Ó Ø ÝÑÑØÖÝ Ó Ø ÀÑÐØÓÒÒ º ÁÒ ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø Û ÒÓØ ØØ Ø ÒÓØ ÔÓ Ð ÓÖ ÕÙÒ Ó ÖÑ¹Ö ØØ ØÓ ÑÓÐÙÐÖÐÝ ÓØ º Ï ÒÓÛ Ö ÒÓØÖ Ð Ó ÔÖØÐ Ý ØÑ ØØ ÔÖÓÔØ ÕÙÒ¹ ØÙÑ ÑÓÐÙÐÖ Ó º ÄØ Ï ¾ ÑÐÝ Ó ÓÙÒ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À Å À Ù ØØ ¾ Ï Ï Á Ò Ø Ò Ó ØÖÓÒ ÓÒÚÖÒ Ò Ï ÜÅݵ Ï ÝÅܵ ÓÖ ÐÐ Ü Ý ¾ À Ò ¾ º ÓÖ Ò ¾ Ò ½ Ò Ò Ï Ò ¾ À ÅÒ µ Ý Ï Ò Í Ò ¾µ ½µ Ï Å ½ ŠŽµÍ Ò ¾µ ½µ ÛÖ Í Ø ÔÖÑÙØØÓÒ ÓÔÖØÓÖ Ò Ò ½µ ÓÖ Ø ÔÖÑÙØØÓÒ Ò ¾µ ½µ ¾µ ½µº ÓÖ Ò ¾ Ò ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ØÚ ÙÒØÐ ÑÔ Ò Ó À ÅÒ µòøó Ø Ð Ý Ò µ ½ Ò ¾ ½Ò ¾ ¾ Ï Ò Ï Ò µ

29 Ì ÑÔ Ò Ó ØÖ Ð ÓÔÖØÓÖ ÛÓ ÙÐ Ò ½ Ò Ò µ ¾ ½Ò ¾ Ï Ò Ï Ò ½¼µ ÁÒ ÔÝ Ð ØÖÑ Ø ÑÔ Ò Ö ÓÛ Ø ØØ Ó Ò Ò¹ÓÑÔÓÒÒØ ÕÙÒØÙÑ Ý ØÑ Ò ÛÒ ØÛÓ ÓØÒ ÓÑÔÓÒÒØ Ö ÐØ Ø ÖÒ¹ ÓÑ Ò Ñ ØÓ ÒØÖØ ÛØ ÓÒ ÒÓØÖ Ò Ò ÜØÖÒÐ ÒÚÖÓÒÑÒØ Ù Ò Ø ÑÐÝ Ó ÒØÖØÓÒ ÓÔÖØÓÖ Ï ¾ º ÌÓÖÑ ¾ ËÙÔÔÓ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À Ò Ò ¹ÓØ ÕÙÒ ÓÒ ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À ÅÒ º ÓÖ Ò ¾ ÐØ Ñ Òµ ¾ Æ Ù Ñ Òµ ØØ ÐÑ Øº ÄØ Ñ Òµ Ò½ Ò Ò ÒÓØ Ò ÓÑÔÓ ÛØ Ø Ð Ñ Òµ ØÑ º ÌÒ Ñ Òµ Ò Ò µ ص¹ÓØ ÕÙÒ ÓÒ ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÛÖ Øµ Ø ÓÐÙØÓÒ Ø ØÑ Ø Ó Ø Øµ ¾ÌÖ ½µ Ï Øµ ŠصµÏ ¾ ¼µ ¾ ص ½½µ ÕÙØÓÒ ½½µ ÒÐÓÓÙ ØÓ Ø ÓÐØÞÑÒÒ ÕÙØÓÒº Í Ò Ø ÔÖÓÔ¹ ØÓÒ Ó Ó Ò Ø ÔÖÓÔÖØ Ó ÒØÖÓÔÝ Û Ò ÔÖÓÚ Ò À¹ØÓÖÑ ÓÖ ½½µº Ì ÒØÖÓÔÝ Ó ÖÐØÚ ØÓ Ë µ ÌÖ ÐÓ ÐÓ µ ÓÖÓÐÐÖÝ ½ ÄØ ½ Ò ØÝ ÓÔÖØÓÖ ÓÒ À Ù ØØ ½ Å ½ ¾ Ï ½ Å ½ µï ½¾µ ÄØ Øµ ÓÐÙØÓÒ Ó ½½µº ÒÖ º ÌÒ Ë Øµ ½ µ ÒÓÒÖ Ò Ø ÈÖÓÓ Ó ÓÖÓÐÐÖÝ ¾

30 ÄØ Ø ¼ Ò ÐØ µ Ò Øµ Ø ÓÐÙØÓÒ ØÓ ÕÙØÓÒ ½½µ Ø ØÑ Øº ÌÒ Øµ ÕÙÐ Ø ÓÐÙØÓÒ Ø ØÑ Ø Ó Ø Øµ ¾ÌÖ ½µ Ï Øµ ŠصµÏ ¾ ¼µ µ ¾ ص ÓÓ ÕÙÒ Ñ Òµ Ù ØØ ÐÑ Ñ Òµ Ò Øµ ÐÑ Ò½ ÌÖ ½µ Ñ Ò µ ÅÒ µ غ Ý ÌÓÖÑ ¾ ½ µ ÓÒØÓÒ ½¾µ ÓÒ ½ ÑÔÐ ØØ Ò ½ ÅÒ µ½ ÅÒ ÓÖ ÐÐ Òº ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ØÚ ÙÒØÐ ÑÔ ÒÖ Ø ÖÐØÚ ÒØÖÓÔÝ Ó Ò Ø ½¾ Ó ÁØ ÓÐÐÓÛ ØØ Ë µ ÅÒ ÅÒ ½ µ Ë Ñ Ò µ ÅÒ µ ÅÒ ½ µ Ë µ ½ µ ÐÑ Ò Ò½ ½ Ò Ë Ñ Ò µ ÅÒ µ ÅÒ ½ µ ÐÑ Ò Ë ÌÖ ½µ Ñ Ò µ ÅÒ µ ½ µ Ò½ Ë Øµ ½ µ Ì ÒÐ ÒÕÙÐØÝ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ½ µ Ò Ø ÙÔÔÖ ÑÓÒØÒÙØÝ Ó Öй ØÚ ÒØÖÓÔݺ Ì ÓÒ¹ØÓ¹Ð Ø ÒÕÙÐØÝ Ø ÙØÚØÝ ÔÖÓÔÖØÝ Ó ÖÐØÚ ÒØÖÓÔݺ Ë ½ ÓÖ Ø ÔÖÓÔÖØ Ó ÖÐØÚ ÒØÖÓÔݺ ÊÖÒ ½ ¾ º ÖÐÐÓ Ò º ÅÓÖÓº ÝÒÑ Ó ÑÒ¹ Ð ÔÒ ÑÓÐ ÖÓÑ Ö ÙÐØ Ò ØÖØ «ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ º ÂÓÙÖÒÐ Ó ËØØ ØÐ ÈÝ ¹ ½¾º ĺ ÓÐØÞÑÒÒº ÄØÙÖ ÓÒ ÌÓÖݺ ÓÚÖ ÈÙÐØÓÒ ÆÛ ÓÖ ½º Ϻ ÖÙÒ Ò Ãº ÀÔÔº Ì ÎÐ ÓÚ ÝÒÑ Ò Ø ÙØÙØÓÒ Ò Ø ½ ÐÑØ Ó ÒØÖØÒ Ð Ð ÔÖØÐ º ÓÑÑÙÒØÓÒ Ò Åع Ò ÑØÐ ÈÝ ½¼½¹½½ ½º ¼

31 º º Ñ Ò Àº º º ÃÒÓÔ º ÈÙÖ ØÖÑÓÝÒÑÐ Ô Ü¹ ØÖÑÐ ÃÅË ØØ º ÂÓÙÖÒÐ Ó ÅØÑØÐ ÈÝ ½½ ÒÓº ½¼µ ¼¼ ¹ ¼½ ½¼º º º ÓØØк ÈÖÓÔØÓÒ Ó ÑÓÐÙÐÖ Ó ÝÕÙÒØÙÑ Ý ØÑ Ò Ø ÝÒÑ Ó Ø ÙÖ¹Ï ÑÓк ÒØÖ ÓÖ ÈÙÖ Ò ÔÔÐ ÅØÑØ ÍÒÚÖ ØÝ Ó ÐÓÖÒ Ø ÖÐݺ ÊÔÓÖØ ÒÓº º º º ÖĐÙÒÙѺ ÈÖÓÔØÓÒ Ó Ó ÓÖ Ø ÓÐØÞÑÒÒ ÕÙØÓÒº ÖÚ ÓÖ ÊØÓÒÐ ÅÒ Ò ÒÐÝ ¾ ¾ ¹ ½½º º ÀÛØØ Ò Äº ËÚº ËÝÑÑØÖ Ñ ÙÖ ÓÒ ÖØ Ò ÔÖÓÙØ º ÌÖÒ ØÓÒ Ó Ø ÑÖÒ ÅØÑØÐ ËÓØÝ ¼ ¼¹¼½ ½º ʺĺ ÀÙ ÓÒ Ò ºÊº ÅÓÓݺ ÄÓÐÐÝ ÒÓÖÑÐ ÝÑÑØÖ ØØ Ò Ò ÒÐÓÙ Ó ÒØس ØÓÖѺ Ø ÖØ ĐÙÖ ÏÖ ÒÐØ Ø¹ ÓÖ ÙÒ ÚÖÛÒØ Ø ¹ ½ ½º ź ú ÓÙÒØÓÒ Ó ÒØ ØÓÖݺ ÈÖÓÒ Ó Ø ÌÖ ÖÐÝ ËÝÑÔÓ ÙÑ ÓÒ ÅØÑØÐ ËØØ Ø Ò ÈÖÓÐØÝ ÎÓÐ ÁÁÁº ÍÒÚÖ¹ ØÝ Ó ÐÓÖÒ ÈÖ ÖÐÝ ÐÓÖÒ ½º ½¼ ź ú ÈÖÓÐØÝ Ò ÊÐØ ÌÓÔ Ò ÈÝ Ð ËÒ º ÑÖÒ ÅØÑØÐ ËÓØÝ ÈÖÓÚÒ ÊÓ Á ÐÒ ½º ½½ Ǻ º ÄÒÓÖ ÁÁÁ Ò º Ϻ ÊÓÒ ÓÒº ÅÒ ÒØÖÓÔÝ Ó ØØ Ò ÕÙÒ¹ ØÙÑ ØØ ØÐ ÑÒ º ÂÓÙÖÒÐ Ó ÅØÑØÐ ÈÝ µ ½½¾¼¹ ½½¾ ½º ½¾ º ÄÒк ÓÑÔÐØÐÝ ÔÓ ØÚ ÑÔ Ò ÒØÖÓÔÝ ÒÕÙÐØ º Óѹ ÑÙÒØÓÒ Ò ÅØÑØÐ ÈÝ ¼ ½¹½½ ½º ½ Àº Ⱥ ÅÃÒ ÂÖº Ð Ó ÅÖÓÚ ÔÖÓ ÓØ ÛØ ÒÓÒÐÒÖ ÔÖÓÐ ÕÙØÓÒ º ÈÖÓÒ Ó Ø ÆØÓÒÐ ÑÝ Ó ËÒ ½¼¹½½½ ½º ½ Àº Ⱥ ÅÃÒ ÂÖº ÈÖÓÔØÓÒ Ó Ó ÓÖ Ð Ó ÒÓÒÐÒÖ ÔÖÓÐ ÕÙØÓÒ º ÄØÙÖ ËÖ Ò «ÖÒØÐ ÕÙØÓÒ ½¹º ØÓÐ ÍÒÚÖ ØÝ Ï ÒØÓÒ ºº ½º ½

32 ½ ˺ ÅÐÖº ÝÑÔØÓØ ÚÓÖ Ó ÓÑ ÒØÖØÒ ÔÖØÐ Ý ØÑ ÅÃÒ¹ÎÐ ÓÚ Ò ÓÐØÞÑÒÒ ÑÓÐ º ÄØÙÖ ÆÓØ Ò ÅØÑØ ½¾º ËÔÖÒÖ ÖÐÒ ½º ½ Àº ÆÖÒÓÖ Ò º ËÛÐк ÎÐ ÓÚ ÝÖÓÝÒÑ Ó ÕÙÒØÙÑ Ñ¹ ÒÐ ÑÓк ÓÑÑÙÒØÓÒ Ò ÅØÑØÐ ÈÝ ¹¾ ½½º ½ ź ÇÝ Ò º ÈØÞº ÉÙÒØÙÑ ÒØÖÓÔÝ Ò Ø Í º ËÔÖÒÖ ÖÐÒ ½ º ½ ú ʺ ÈÖØ ÖØݺ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÉÙÒØÙÑ ËØÓ Ø ÐÙÐÙ ÖĐÙ Ö Ð ½¾º ½ º ÊÙÐк ËØØ ØÐ ÅÒ ÊÛÓÓ ØÝ ÐÓÖÒ ½º ÊÓÖÓÙ Ê ÙÐØ º ÓÒ Ï ÐÝ ¾¼ º Å Ö Ò Àº ËÔÓÒº ËØØ ØÐ ÑÒ Ó Ø ÓØÖÑÐ ÄÒ¹ ÑÒ ÕÙØÓÒº ÂÓÙÖÒÐ Ó ËØØ ØÐ ÈÝ ¾ µ ½¹ ½¾º ¾½ º ËØÖÑÖº ËÝÑÑØÖ ØØ Ó Ò ÒØ ØÒ ÓÖ ÔÖÓÙØ Ó ¹ÐÖ º ÂÓÙÖÒÐ Ó ÙÒØÓÒÐ ÒÐÝ ¹ ½º ¾¾ º ËÞÒØÑÒº ÕÙØÓÒ ØÝÔ ÓÐØÞÑÒÒ ÔØÐÑÒØ ÓÑÓÒ º Ø ÖØ ĐÙÖ ÏÖ ÒÐØ ØÓÖ ÙÒ ÚÖÛÒØ Ø ¹¾ ½º ¾ º ËÞÒØÑÒº ÌÓÔ Ò ÔÖÓÔØÓÒ Ó Ó º ÄØÙÖ ÆÓØ Ò Åع ÑØ ½º ËÔÖÒÖ ÖÐÒ ½½º ÄÆÊ ÎÁ ÇÌÌÄÁ ÈÊÌÅÆÌ Ç ÅÌÀÅÌÁË ÍÆÁÎÊËÁÌ Ç ÄÁÇÊÆÁ ÊÃÄ ÄÁÇÊÆÁ ¾¼ ¾

33 Inge S. Helland Experiments, symmetries and quantum mechanics. Looking at the development of quantitative methodology in this century, one of the most striking observation is that we throughout the entire period have had two different cultures, mathematical statistics and quantum theory, both working with prediction under uncertainty, but where there up to now has been practically no scientific contact between the two disciplines. One reason may be that the domains of application for the theories of the two disciplines are different, and there may possibly also be some real differences that can never be removed. Nevertheless, a systematic search for common ground may well be worth while, and may even lead to new insight on both sides. A very important issue will then be the language used in the various theories. We all know how efficient the use of probability theory and of the theory of decisions made from classes of probability measure is on the one side, and of the efficiency of concepts derived from functional analysis and operator theory on the other side. However, to be able to find a common ground, I think that we must try if possible to simplify concepts, even to such an extent that we in principle should be able to explain the conceptual foundation to lay persons. I feel that in the end, nobody could claim to have real understanding of a subject without having addressed such an aim. This does of course not mean that mathematics is unimportant. On the contrary, strong mathematics will always be very important in developing theories. But the basic foundation should be simple - at least ideally. Consider first the concept of experiment from mathematical statistics. The formal structure found in textbooks is (X, F, {P θ ; θ Θ}), where X is the space of possible outcomes of the experiments, F is a σ-algebra (Boolean algebra) of subsets of X, and we then have a class of probability measures on (X, F), indexed by θ. By use of some time and patience, I think that the basic idea here can be conveyed in relatively simple terms: The possible outcomes of an experiment may always be assumed to belong to some given space; the purpose of the experiment is to get some information on an unknown parameter which can be taken as a label of the probability measures that together constitute the model, and so on. On the other hand: The formal concept above obviously lacks many of the features that people link to the concept of experiment : First of all the preparations: choice of treatments, blocking, randomization and so on; this is rather trivial and well appreciated. But even as a way to describe the outcome of real experiments, the formal concept is defective: In this formal world nothing unexpected can happen, but in the real world this happens quite often. At best we can look upon the formal structure as some simplified frame that is useful when handling certain questions in statistical decision theory. Next consider the concept of state of a system. In quantum mechanics this is of course a ray in a Hilbert space or a density matrix. But for a layman this must seem like a very strange concept, and in this case it indeed seems very difficult to explain the concept in simple terms. 33

34 One possible approach might be to make a comparison to a completely different area where the concept of state is also used: Look at a medical patient. The state of this patient can then in principle be defined as the collection of all results of all tests/experiments that can be performed with him, some of which may be mutually incompatible. A complication is that such experiments may have random measurement errors, so in the state definition we should in some way talk about ideal experiments. From a statistical point of view, an alternative might perhaps be several large sets of independent, identically distributed experiments on the same patient, but this will represent a further complication in several ways, so we will avoid that. An alternative that is important in the quantum framework, would have been to include the measurement aparatus in the modelling framework - leading to socalled generalized measurements. This was pointed out to me afterwards by Richard Gill, but was not included in the talk. However, the issue seems to be possible to address by extending the models discussed below. The main purpose of this talk, then, is to discuss simply to which extent one can pass from the rather straightforward state concept of the medical patient to a similar state concept in quantum mechanics. More precisely: Let A be a set of potential experiments E a =(X a, F a, {Pθ a a ; θ a Θ a })fora A. Define a proposition as P =(a, E a ), where E a F a. (Perform an experiment, then observe an event in it.) Finally, we can always define φ such that each θ a = θ a (φ). The state should somehow be determined by φ in such a way that all the probability measures Pθ> a a can be found from the state. The basic question is to what an extent one can pass from this setting to the Hilbert space setting. We look at two approaches, one based upon quantum lattice theory and one based upon group representation theory. In the last case we will also have to assume in addition that there exists a group G on Φ = {φ}. In the quantum lattice approach (Helland, 1999) we first have to order partially the propositions that we have just defined. For propositions from the same experiment the ordering is obvious; in general we say that P 1 P 2 if P a 1 θ a1 (φ) P a 2 θ a2 (φ) for all φ. Wehave to identify events P 1 and P 2 if both P 1 P 2 and P 2 P 1. Under some additional assumptions this partially ordered set of propositions will form an orthomodular, orthocomplemented lattice. Specifically, these assumptions turn out to be essentially: 1) If we define the orthogonal complement of a proposition by (a, E) =(a, E c ), then we demand that pairwise orthogonality (P i Pj for all i and j) should imply orthogonality in the sense: k P a i θ i (φ) (E i) 1, φ. i=1 A similar condition is fundamental in the axiom set of Mackey (1963). 2) If the supremum of a proposition set {P i } (corresponding parameters θ i ) exists, then 34

35 it will be a proposition (with parameter θ) such that {f : f(φ) = f(θ(φ))} i {f : f(φ) = f(θ i (φ))}. The main point now is that there exist deep theorems (Beltrametti and Cassinelli, 1981, and references there) to the following effect: Under the conditions above and some additional technical assumptions (atomicity, covering property, separability) a Hilbert space model of the quantum theory type for the propositions can be constructed. In the discrete case these additional assumptions are automatically satisfied, so if we combine with Gleason s Theorem we get the conclusion: In the case where all experiments are discrete, and the assumptions above hold, there is a complex, separable Hilbert space H 0 such that (assuming that the dimension of H 0 is 3) each proposition P =(a, E) can be associated uniquely with a projection operator Π a,e in H 0 in the sense that P a θ a(φ) (E) = tr(ρπ a,e), where ρ = ρ(φ) is a density operator. Results of this kind definitively give some information about the interpretation of the quantum mechanical state concept and about the possiblity of finding a more classical interpretation of quantum mechanics. However this approach also has weaknesses: 1) The technical conditions needed above are disturbing. 2) The approach gives no explicit construction of the projection operators and of the density matrices. The alternative, symmetry based approach seems to be an improvement to the quantum logic approach with regard to both these aspects. It also seems to tie up with some recent development in statistical methodology, related to model reduction under symmetry. The details of the method are rather complex however, and work is still being done on improving some of these technical points. The main idea is very simple, however: Group representation theory gives for free a vector space and operators on this vector space related to any given group. This is well known and used as a tool in several quantum mechanical calculations. However, in our setting we aim at being more fundamental and possibly base the construction of state vectors on this vector space. An interesting point is the following: The connection from the original group to a matrix group in the representation is a homomorphism. Homomorphisms also appear in statistical estimation theory when parametric functions are to be estimated. Bohr & Ulfbeck (1995) have formulated a symmetry based quantum theory, to some extent on qualitative considerations. There are quantitative details to fill out, and, in the spirit of the present talk, the possibility of a translation from that theory to ordinary statistical theory should be investigated. Here are some details of our approach: 35