FORUM STATISTICUM SLOVACUM

Transcription

1 FORUM STATISTICUM SLOVACUM I SSN /

2 Slovenská štatistická a demografická spoločnosť Miletičova 3, Bratislava Plán akcií na rok 2016: FERNSTAT 2016 apríl máj 2016, Univerzita Mateja Bela Banská Bystrica EKOMSTAT 2016: 30. seminár štatistiky pre výskumnú a hospodársku prax máj 2016, Trenčianske Teplice 18. Slovenská štatistická konferencia jún 2016, Košice Výpočtová štatistika 2016: 25. medzinárodný seminár december 2016, Bratislava Prehliadka prác mladých štatistikov a demografov december 2016, Bratislava Regionálne akcie priebežne Diskusné popoludnia a prednášky priebežne

3 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ FOREWORD Dear colleagues, we propose the sixth issue of the eleventh volume of the scientific peer-reviewed journal published by the Slovak statistical and demographical society (SSDS). This issue comprises contributions that are content-compatible with the topic Computational statistics. Editors: Janka Medová, Iveta Stankovičová, Tomáš Želinský. Reviewers: doc. Ing. Iveta Stankovičová, PhD., doc. Ing. Tomáš Želinský, PhD., PaedDr. Janka Medová, PhD., doc. RNDr. Jitka Bartošová, Ph.D., Ing. Tomáš Löster, Ph.D., doc. Ing. Jitka Langhamrová, CSc. Assoc. Prof. Ing. Iveta Stankovičová, PhD. President of SSDS

4 2 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 PREDHOVOR Vážené kolegyne, vážení kolegovia, predkladáme šieste číslo jedenásteho ročníka vedeckého recenzovaného časopisu Slovenskej štatistickej a demografickej spoločnosti (SŠDS). Toto číslo je zostavené z príspevkov, ktoré sú obsahovo orientované v súlade s tematikou Výpočtová štatistika. Editori: Janka Medová, Iveta Stankovičová, Tomáš Želinský. Recenzenti: doc. Ing. Iveta Stankovičová, PhD., doc. Ing. Tomáš Želinský, PhD., PaedDr. Janka Medová, PhD., doc. RNDr. Jitka Bartošová, Ph.D., Ing. Tomáš Löster, Ph.D., doc. Ing. Jitka Langhamrová, CSc. doc. Ing. Iveta Stankovičová, PhD. predsedníčka SŠDS

5 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Změny monetární chudoby v Čechách a na Slovensku vlivem distribuce sociálních transferů Change in monetary poverty in Czech Republic and Slovakia as an effect of social transfer allocation Jitka Bartošová, Vladislav Bína Abstract: The presented paper is focused on analysis of reduction in monetary poverty of individuals in the Czech Republic and Slovakia as a result of social transfer allocation to households. Quantification was performed using Foster-Greer-Thoerbecke additive measures of poverty risk-of-poverty, poverty gap and severity of poverty. The computations were based on equalised incomes of individuals (years ) before and after taking social transfers into account. Thus we can partially evaluate impact of world-wide economic crisis on the development of social situation of inhabitants in both countries. According to the fact that social transfers belong among the mandatory expenditures of the state, its development reflects yet another important problem that contemporary economies deal with, namely ageing of population. It can be expected that the economic crisis together with unfavourable demographic changes leads to the change in values of monetary poverty indicators of incomes without social transfers and affects also the reduction of social transfers. Abstrakt: Předložený příspěvek je zaměřen na analýzu redukce monetární chudoby jedinců v Čechách a na Slovensku v důsledku distribuce sociálních transferů domácnostem. Pro kvantifikaci monetární chudoby byly použity Foster-Greer-Thoerbeckeovy aditivní míry chudoby riziko, hloubka a závažnost. K výpočtům byly použity ekvivalizované hodnoty příjmů osob před a po započtení sociálních transferů v letech 2005 až Budeme mít tedy možnost částečně posoudit dopad celosvětové hospodářské krize na vývoj sociální situace obyvatelstva v obou zemích. Vzhledem k tomu, že sociální transfery náleží k mandatorním výdajům státu, odráží se v tomto vývoji také dalším významným problémem, se kterým se současné ekonomiky potýkají, a to je stárnutí populace. Lze očekávat, že hospodářská krize v kombinaci s nepříznivým demografickým vývojem se projeví jak v hodnotách indikátorů monetární chudoby před započtením sociálních transferů, tak i v jejich redukci. Key words: equalised income of individual, EU-SILC, monetary poverty, social transfers. Kľúčové slová: ekvivalizovaný příjem osoby, EU-SILC, monetární chudoba, sociální transfery. JEL classification: C10, D31, D63 1. Úvod Světová hospodářská krize, provázená vysokou mírou nezaměstnanosti a podnikatelské nejistoty, společně s rostoucí zadlužeností státního i soukromého sektoru má za následek celkovou hospodářskou i politickou destabilizaci a působí nepříznivě na kooperaci států v rámci EU. V této obtížné situaci, kdy jsou vlády nuceny všemi prostředky omezovat své schodkové rozpočty, vstupuje ještě celosvětový fenomén stárnutí populace spojený s dalším navyšováním mandatorních výdajů státu. Tento nepříznivý demografický vývoj, provázený rostoucí závislostí na očekávané pracovní aktivitě obyvatelstva, vyžaduje uvážlivé zásahy do hospodářské struktury i do sociální politiky především do politiky zaměstnanosti a sociální soudržnosti. Nejvíce se současná hospodářská krize dotýká těch nejchudších, tj. domácností ohrožených monetární chudobou a sociálním vyloučením. Evropské státy jsou v současné době postaveny před úkol navrhnout a realizovat dílčí opatření, která by v souladu s globální

6 4 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 strategií Evropa 2020 vedla ke zmírnění negativního dopadu hospodářské krize na obyvatelstvo. Ožehavost a aktuálnost této problematiky dotvrzuje řada článků věnovaných analýzám příjmové nerovnosti, rizika monetární chudoby a materiální deprivace, nezaměstnanosti a demografického vývoje, které byly v poslední době publikovány v odborných a vědeckých časopisech. U nás i v zahraničí. Z českých a slovenských publikací můžeme jmenovat např. práce Bartošové a Želinského (2013), Bílkové (2012), Fialy a Langhamrové (2014), Michálka a Veselovské (2012), Pauhofové (2012), Stankovičové, Vlačuhy a Ivančíkové (2013), Večerníka (2013), Želinského a Pauhofové (2013). Další četné publikace, které s touto problematikou úzce souvisí, se zabývají modelováním příjmové, resp. výdajové distribuce a diagnostikou faktorů, které ji ovlivňují. V posledních letech byly publikovány např. práce Malé (2013), Marka a Vrabce (2013), Pacákové, Lindy a Sipkové (2012), Řezankové a Löstera (2013), Řezankové a Želinského (2014)., Sipkové a Sipka (2012), Šimpacha (2013), Želinského a Stankovičové (2012) a další. Datová základna je tvořena výsledky výběrového šetření příjmů a životních podmínek domácností EU-SILC (European Union Statistics on Income and Living Conditions) z let 2005 až Základní jednotkou členění je hospodařící domácnost a její osoby, které mají ve vybraném bytě jediné či hlavní bydliště. Šetření je povinné pro všechny členské státy Evropské Unie a získaný vzorek je reprezentativní. 2. Měření chudoby Chudoba i její prohlubování v době hospodářské krize je obecně považováno za vážný společenský problém, který se nedotýká pouze obyvatel třetího světa, ale i obyvatel rozvinutých zemí včetně evropských. Současná hospodářská krize se nejvíce dotýká těch nejchudších, kterými jsou domácnosti nacházející se pod hranicí relativní chudoby nebo v její blízkosti. K redukci chudoby jednotlivců může přispět cílená distribuce sociálních transferů domácnostem. Lze však očekávat, že hospodářská krize v kombinaci s nepříznivým demografickým vývojem (stárnutím populace) se negativně odrazí v hodnotách indikátorů chudoby před i po započtení sociálních transferů do celkových příjmů domácností. Pojem chudoba je definován několika způsoby, které se liší především podle oblasti, na kterou se hodnocení chudoby zaměřuje, a prostředků, které k tomuto účelu využívá. Vždy se však jedná o nalezení určité hranice, pod níž nejsou lidé schopni uspokojovat určité základní potřeby, ať už z hlediska objektivního či subjektivního, absolutního či relativního. V rámci objektivního přístupu se pak k hodnocení míry chudoby používají absolutní nebo relativní metody. Absolutní přístup se zpravidla používá ke zjišťování míry chudoby v rozvojových zemích, relativní přístup je využíván v ekonomicky vyspělých zemích a jeho princip vymezil profesor Peter Townsend z London School of Economics. Z jeho definice vychází i definice chudoby přijatá Evropskou komisí v roce 1984, podle níž lze za chudé považovat osoby, rodiny a skupiny osob, jejichž zdroje (materiální, kulturní a sociální) jsou tak omezené, že je vylučují z minimálně akceptovatelného způsobu života členských států EU, v nichž žijí. Jednotná metodika používaná v EU dává předpoklad pro vzájemné porovnávání chudoby či blahobytu v rámci členských zemí Unie Indikátory monetární chudoby Mezinárodně uznávanou veličinou používanou pro posuzování a porovnávání relativní míry chudoby ve vyspělých zemích je hranice rizika monetární chudoby (poverty threshold). Jedná se o relativní hodnotu, která nemonitoruje přímo finanční situaci členů domácnosti, nýbrž umožňuje porovnávat možnosti jedinců oproti ostatním členům dané společnosti

7 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ (obvykle v rámci státu či regionu). Podle P. Townsenda se pod hranicí chudoby nacházejí jedinci, či domácnosti, které si nemohou dovolit určité potraviny, oblečení, vzdělání, atp. běžné v jejich společnosti. Výpočet hranice a měr ohrožení monetární chudobou se podle metodiky EU opírá o ekvivalizovaný příjem osob. Jedná se o celkový disponibilní příjem domácnosti přepočtený na spotřební jednotku, který je (podle metodiky používané v EU) přiřazen všem členům domácnosti. Pro více informací viz např. Bartošová (2013). Za hranici chudoby je v zemích Evropské unie stanoveno 60 % mediánu národního ekvivalentního příjmu osob přepočteného v paritě kupní sily. Hranice rizika monetární chudoby slouží k posuzování a porovnávání blahobytu jedinců v zemích EU, nedává však právní nárok osobám na vyměřování a pobírání sociálních dávek. Například v České republice představuje společensky uznávanou minimální hranicí příjmů tzv. životní minimum. Jeho hodnota je určena státními orgány centrálně a je vodítkem pro posuzování hmotné nouze (materiální deprivace). Kromě životního minima je státem definované ještě tzv. existenční minimum, což je minimální hranice peněžních příjmů, která se považuje za nezbytnou k zajištění výživy a ostatních základních osobních potřeb na úrovni umožňující přežití. 1 Podle tohoto zákona částka existenčního i životního minima nezahrnuje potřebné náklady na bydlení a zvyšuje se dle vývoje spotřebitelských cen Foster-Greer-Thoerbeckeovy aditivní míry Pro zjišťování relativní peněžní chudoby jsou obvykle využívány indikátory, které náleží do skupiny aditivních Foster-Greer-Thorbeckeových měr chudoby (Foster, Greer a Thorbecke, 1984), daných obecně vztahem, 1 (1) kde z > 0 je předem daný práh chudoby,,,, je vektor příjmů domácnosti setříděných podle velikosti, q je počet domácností nacházejících se pod prahem chudoby a n je celkový počet domácností. Parametr α podmiňuje míru citlivosti na velikost deprivace těch, kteří se nacházejí pod prahem chudoby (viz Morduch, 2005). Pro α > 1 začne být hodnota distribučně citlivá a s růstem α roste její citlivost na hloubku poklesu osob pod hranicí chudoby. Pro by monitorovala pouze chudobu skupiny těch nejchudších osob ve výběru (více informací viz Ravallion, 1992). Volbou α = 0 dostaneme první, nejpoužívanější Foster-Greer-Thoerbeckeovu míru riziko monetární chudoby 0. Platí 0, (2) Hlavní výhodou této míry je její jednoduchost, nevýhodou je naopak její necitlivost na rozdíly v rozsahu chudoby. Pokud se například chudý jedinec stane ještě chudším, nebo naopak, pokud se velmi chudý jedinec stane méně chudým, hodnota 0 se nezmění. Volbou α = 1 získáme další běžně používanou Foster-Greer-Thoerbeckeovu míru hloubku monetární chudoby 1, které je dána vztahem 1, 1 (3) Hodnota 1 se odvíjí od vzdálenosti ekvivalentního příjmu jedince od hranice chudoby. Poskytuje tedy informaci o rozsahu chudoby. Ani tato míra však není příliš citlivá k rozdělení 1 Ministerstvo práce a sociálních věcí

8 6 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 příjmů monetárně chudých domácností a nezachytí dostatečně efektivně, pokud se stane chudá osoba ještě chudší. Tento nedostatek odstraňuje volba α = 2. Pro α = 2 dostaneme další třetí Foster-Greer-Thoerbeckeovu míru závažnost monetární chudoby 2, danou jako 2, 1 (4) Tato míra bere do úvahy nerovnost mezi chudými a reaguje na zhoršení situace osoby chudé na ještě chudší. Její hlavní nevýhodou je obtížná interpretace. Přesto je považována za indikátor vhodný pro monitorování nedostatečnosti příjmů z hlediska těch nejchudších skupin obyvatelstva. 3. Vývoj indikátorů monetární chudoby v Čechách a na Slovensku v letech a jejich změny vlivem sociálních transferů Pro sledování vlivu distribuce sociálních transferů na monetární chudobu byly vypočteny hranice a všechny tři indikátory z ekvivalizovaných příjmů osob zvlášť před a po započtení sociálních transferů. Tyto hodnoty byly doplněny o informaci, o kolik se indikátory změnily (zvýšily / snížily) započtením transferů do příjmů domácností. Vývoj hranice monetární chudoby s ohledem na započtení / nezapočtení sociálních transferů do příjmů obyvatelstva v Čechách a na Slovensku (Ts_CZ / Tb_CZ a Ts_SK / Tb_SK) dokumentují tabulka 1 a obrázek 1. Další tři tabulky a grafy ukazují vývoj Fosterreer-Thorbeckeových indikátorů monetární chudoby při započtení / nezapočtení sociálních transferů. Jedná se o hodnoty rizika chudoby (FGT(0)s_CZ / FGT(0)b_CZ a FGT(0)s_SK / FGT(0)b_SK), hloubky chudoby (FGT(1)s_CZ / FGT(1)b_CZ a FGT(1)s_SK / FGT(1)b_SK) a závažnosti chudoby (FGT(2)s_CZ / FGT(2)b_CZ a FGT(2)s_SK / FGT(2)b_SK). Podle výsledků uvedených v tabulce 1 je hranice monetární chudoby v tomto období vyšší v Čechách než na Slovensku před i po započtení sociálních transferů. Tento rozdíl však není velký a postupně se snižuje (dochází ke konvergenci), jak dokumentuje obrázek 1. Rovněž můžeme pozorovat, že tempo růstu hranice chudoby se v důsledku krize zpomalilo. Rovněž ve vývoji rizika monetární chudoby (viz tabulka 2 a obrázek 2) se v obou státech projevila krize. Do té doby klesající hodnoty začaly opět narůstat (na Slovensku rychleji). V roce 2011 se vrátily na hodnoty z roku 2004, v případě Slovenska je mírně převýšily. Pouze v případě rizika chudoby před započtením transferů v Čechách došlo pouze ke stagnaci. Snížení procenta osob nacházejících se pod hranicí chudoby vlivem sociálních transferů se v Čechách pohybovalo v rozmezí 10,90 % (2005) a 7,09 % (2011). Na Slovensku bylo toto snížení menší pohybovalo se mezi 8,45 % (2004) a 5,68 % (2008). Tab.1: Vývoj hranice monetární chudoby s transfery (Ts) a bez transferů (Tb) v Čechách a na Slovensku v letech 2004 až Referenční období SILC2005 SILC2006 SILC2007 SILC2008 SILC2009 SILC2010 SILC2011 SILC2012 Ts_CZ 2539, , , , , , , ,79 Tb_CZ 2320, , , , , , , ,79 Zvýšení_CZ 219,06 272,72 276,77 385,25 393,09 371,05 357,02 349,99 Ts_SK 1693, , , , , , , ,21 Tb_SK 1545, , , , , , , ,80 Zvýšení _SK 147,98 155,74 141,59 200,08 209,31 236,40 231,68 255,41

9 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Hranice monetární chudoby v Čechách a na Slovensku s transfery (Ts) a bez transferů (Tb) Hranice chudoby (EUR/rok) Referenční období Ts_CZ Ts_SK Tb_CZ Tb_SK Obr. 1: Vývoj hranice monetární chudoby s transfery (Ts) a bez transferů (Tb) v Čechách a na Slovensku v letech 2004 až Tab. 2: Vývoj rizika monetární chudoby s transfery (FGT(0)s) a bez transferů (FGT(0)b) v Čechách a na Slovensku v letech 2004 až Referenční období SILC2005 SILC2006 SILC2007 SILC2008 SILC2009 SILC2010 SILC2011 SILC2012 FGT(0)s_CZ 7,81 % 7,00 % 7,12 % 6,01 % 6,23 % 6,50 % 7,21 % 7,39 % FGT(0)b_CZ 17,91 % 17,90 % 16,74 % 15,91 % 14,49 % 14,34 % 14,94 % 14,48 % Snížení _CZ 10,09 % 10,90 % 9,62 % 9,90 % 8,26 % 7,85 % 7,72 % 7,09 % FGT(0)s_SK 10,47 % 9,70 % 8,87 % 8,54 % 9,57 % 10,04 % 10,67 % 11,30 % FGT(0)b_SK 18,92 % 17,06 % 16,17 % 15,80 % 15,25 % 17,47 % 17,45 % 17,95 % Snížení _SK 8,45 % 7,36 % 7,30 % 7,26 % 5,68 % 7,42 % 6,77 % 6,65 % 20% 18% Riziko monetární chudoby v Čechách a na Slovensku s transfery (FGT(0)s) a bez transferů (FGT(0)b) Riziko chudoby 16% 14% 12% 10% 8% 6% Referenční období FGT(0)s_CZ FGT(0)s_SK FGT(0)b_CZ FGT(0)b_SK Obr. 2: Vývoj rizika monetární chudoby v Čechách a na Slovensku v letech 2004 až 2011 s transfery (FGT(0)s) a bez transferů (FGT(0)b).

10 8 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 Jak ukazují hodnoty uvedené v tabulkách a obrázcích 3 a 4, vývoj dalších dvou ukazatelů chudoby hloubky a závažnosti byl podobný. Je zajímavé, že vliv krize se výrazně negativně projevil pouze na Slovensku, a to v případě hloubky a závažnosti chudoby před započtením sociálních transferů. V České republice naopak po celé období docházelo u těchto ukazatelů před započtením transferů k trvalému poklesu. Tab.3: Vývoj hloubky monetární chudoby s transfery (FGT(1)s) a bez transferů (FGT(1)b) v Čechách a na Slovensku v letech 2004 až Referenční období SILC2005 SILC2006 SILC2007 SILC2008 SILC2009 SILC2010 SILC2011 SILC2012 FGT(1)s_CZ 0,0177 0,0143 0,0157 0,0145 0,0149 0,0170 0,0176 0,0178 FGT(1)b_CZ 0,0843 0,0790 0,0779 0,0673 0,0596 0,0611 0,0586 0,0587 Snížení _CZ 0,0665 0,0648 0,0621 0,0529 0,0447 0,0441 0,0410 0,0409 FGT(1)s_SK 0,0323 0,0255 0,0242 0,0244 0,0271 0,0314 0,0317 0,0313 FGT(1)b_SK 0,0923 0,0672 0,0634 0,0589 0,0611 0,0776 0,0772 0,0734 Snížení _SK 0,0600 0,0417 0,0391 0,0345 0,0340 0,0462 0,0455 0,0421 0,11 Hloubka monetární chudoby v Čechách a na Slovensku s transfery (FGT(1)s) a bez transferů (FGT(1)b) Hloubka chudoby 0,09 0,07 0,05 0,03 0, FGT(1)s_CZ FGT(1)s_SK FGT(1)b_CZ FGT(1)b_SK Referenční období Obr. 3: Vývoj hloubky monetární chudoby v Čechách a na Slovensku v letech 2004 až 2011 s transfery (FGT(1)s) a bez transferů (FGT(1)b). Tab.4: Vývoj závažnosti monetární chudoby s transfery (FGT(2)s) a bez transferů (FGT(2)b) v Čechách a na Slovensku v letech 2004 až Referenční období SILC2005 SILC2006 SILC2007 SILC2008 SILC2009 SILC2010 SILC2011 SILC2012 FGT(2)s_CZ 0,0066 0,0049 0,0058 0,0059 0,0060 0,0069 0,0072 0,0070 FGT(2)b_CZ 0,0606 0,0558 0,0560 0,0459 0,0412 0,0424 0,0387 0,0400 Snížení_CZ 0,0540 0,0510 0,0503 0,0400 0,0352 0,0355 0,0315 0,0330 FGT(2)s_SK 0,0317 0,0110 0,0113 0,0136 0,0133 0,0156 0,0157 0,0151 FGT(2)b_SK 0,0886 0,0453 0,0410 0,0398 0,0408 0,0534 0,0536 0,0497 Snížení _SK 0,0569 0,0343 0,0297 0,0263 0,0275 0,0379 0,0378 0,0346

11 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Závažnost chudoby 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0,00 Závažnost monetární chudoby v Čechách a na Slovensku s transfery (FGT(2)s) a bez transferů (FGT(2)b) Referenční období FGT(2)s_CZ FGT(2)s_SK FGT(2)b_CZ FGT(2)b_SK Obr. 4: Vývoj závažnosti monetární chudoby v Čechách a na Slovensku v letech 2004 až 2011 s transfery (FGT(2)s) a bez transferů (FGT(2)b). 5. Závěr Z provedené analýzy vyplynulo, že pozitivní ovlivnění indikátorů monetární chudoby je v Čechách vesměs větší než na Slovensku. Zvolené časové rozmezí (2004 až 2011) nám umožnilo sledovat vliv celosvětové hospodářské krize na trend vývoje Foster-Greer-Thoerbeckeových indikátorů monetární chudoby. Nesmíme však zapomenout, že negativní důsledky hospodářské krize, které se zde viditelně projevily, jsou umocňovány negativními důsledky současného demografického vývoje (stárnutím populace). Oba tyto faktory zvyšují šanci jedince na pokles pod hranici chudoby. Současně zapříčiňují také růst zatížení státního rozpočtu vyšším objemem sociálních transferů vyplácených ve formě podpor v nezaměstnanosti a starobních důchodů. Efektivnímu nastavení distribuce sociálních transferů, které by přispělo k výraznější redukci chudoby, tedy v současné době do značné míry brání nepříznivý vývoj státních finančních prostředků, který se projevuje růstem zadluženosti a opakovanými schodkovými rozpočty. Literatura BARTOŠOVÁ, J Finanční potenciál domácností kvantitativní metody a analýzy. Praha: Professional Publishing. BARTOŠOVÁ, J. ŽELINSKÝ, T Extent of poverty in the Czech and Slovak Republics fifteen years after split. Post-Communist Economies, roč. 25, č. 1, s BÍLKOVÁ, D Recent Development of the Wage and Income Distribution in the Czech Republic. Prague Economic Papers. roč. 21, č. 2, s FIALA, T. LANGHAMROVÁ, J Modelling of the Future Development of the Total Amount of Premium Paid and Total Amount of Old-Age Pensions in the Czech Republic. Politická ekonomie, roč. 62, č. 2, s FOSTER, J. GREER, J. THORBECKE, E.A Class of Decomposable Poverty Measures. Econometrica, roč. 52, č. 3, s LABUDOVÁ, V. VOJTKOVÁ, M. LINDA, B Application of multidimensional methods to measure poverty. E+M Ekonomie a management. roč. 13, č. 1, s

12 10 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 MALÁ, I Použití konečných směsí logaritmicko-normálních rozdělení pro modelování příjmů českých domácností. Politická ekonomie, roč. 61, č. 3, s MAREK, L. VRABEC, M Probability Models of Wage Distribution. In: Vojáčková, H. (ed.): Proceedings of 31 th International Conference Mathematical Methods in Economics Jihlava: Vysoká škola polytechnická, s MICHÁLEK, A. VESELOVSKÁ, Z Vývoj a komparácia vybraných charakteristík nerovnosti a chudoby v krajinách EU. In: Pauhofová, I., Želinský, T. (eds.): Nerovnosť a chudoba v Európskej únii a na Slovensku. Košice: TU Košice, s MORDUCH, J Poverty Measures. Handbook on Poverty Statistics: Concepts, Methods and Policy Use. New York: United Nations, Department of Economic and Social Affairs. PACÁKOVÁ, V. LINDA, B. SIPKOVÁ, L' Distribution and Factors of the Highest Wages in the Slovak Republic. Ekonomický časopis, roč. 60, č. 9, s PAUHOFOVÁ, I Generovanie chudoby vo vidieckych regiónov Slovenska v krízovom období. In: Pauhofová, I., Želinský, T. (eds.): Nerovnosť a chudoba v Európskej únii a na Slovensku. Košice: TU Košice, s RAVALLION, M Poverty lines in theory and practice. Living Standards Measurement Study. Working Paper No Washington, DC: World Bank. ŘEZANKOVÁ, H. LÖSTER, T Shluková analýza domácností charakterizovaných kategoriálními ukazateli. E+M. Ekonomie a Management, roč. 16, č. 3, s ŘEZANKOVÁ, H. ŽELINSKÝ, T Factors of Material Deprivation Rate in the Czech Republic by Household Type. Ekonomický časopis, roč. 62, č. 4, s SIPKOVÁ, L'. SIPKO, J Analysis of Income Inequality of Employees in the Slovak Republic. In: Löster, T., Pavelka, T. (eds.): 6 th International Days of Statistics and Economics, Conference Proceedings. Slaný: Melandrium, s STANKOVIČOVÁ, I. VLAČUHA, R. IVANČÍKOVÁ, L Trend Analysis of Monetary Poverty Measures in the Slovak and Czech Republic. In: Löster, T., Pavelka, T. (eds.): 7 th International Days of Statistics and Economics, Conference Proceedings. Slaný: Melandrium, s ŠIMPACH, O Application of ClusterAnalysis on Demographic Development of Municipalities in the Districts of Liberecky Region. In: Löster, T., Pavelka, T. (eds.): 7 th International Days of Statistics and Economics, Conference Proceedings. Slaný: Melandrium, s VEČERNÍK, J The changing role of education in the distribution of earnings and household income: the Czech Republic in Economics of Transition, roč. 21, č. 1, s ŽELINSKÝ, T. PAUHOFOVÁ, I High Income Households in Eastern EU Countries. In: Hu, J.(ed.): 3 rd Conference on Applied Social Science (ICASS 2013), roč. 1, s ŽELINSKÝ, T. STANKOVIČOVÁ, I Spatial Aspects of Poverty in Slovakia. In: Löster, T., Pavelka, T. (eds.): 6 th International Days of Statistics and Economics, Conference Proceedings. Slaný: Melandrium, s Adresa autora: Jitka Bartošová, doc. RNDr., Ph.D. Fakulta managementu, VŠE v Praze Jarošovská 1117/II, Jindřichův Hradec bartosov@fm.vse.cz Vladislav Bína, doc., Ing., Ph.D. Fakulta managementu, VŠE v Praze Jarošovská 1117/II, Jindřichův Hradec bina@fm.vse.cz

13 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Miera (skóre) ziskovej efektívnosti kontra tradičné ukazovatele výkonnosti Profit efficiency measure (score) versus traditional performance indicators Martin Boďa Abstract: Amongst the proponents of data envelopment analysis (DEA), the dominant opinion is that traditional financial indicators constructed as simple (yet meaningful and wellinterpretable) ratios are not a suitable means to capture performance of units that operate in a multiple-input multiple-output environment. It is therewith accentuated and argued that in evaluating performance of such units comprehensive efficiency measures should be used and they may be obtained in a DEA framework. Responding to this critique, situated in the field of banking and using the data on Slovak commercial banks, the paper undertakes a case study in order to compare DEA-based profit efficiency scores with several traditional profitability indicators and to assess their mutual information content. Abstrakt: Medzi zástancami obalovej analýzy údajov (data envelopment analysis: DEA) prevláda názor, že tradičné finančné ukazovatele konštruované ako jednoduché (síce zmysluplné a dobre interpretovateľné) podiely nie sú vhodným prostriedkom pre obsiahnutie výkonnosti jednotiek, ktoré operujú v podmienkach viacerých vstupov a výstupov. Zdôrazňuje argumentuje sa pritom, že pri hodnotení výkonnosti takýchto jednotiek by bolo vhodnejšie používať všeobecnejšie miery efektívnosti, ktoré môžu byť získané aj prostredníctvom DEA. V reakcii na túto kritiku sa článok zameriava na oblasť bankovníctva a na prípadovej štúdii Slovenských komerčných bánk porovnáva skóre ziskovej efektívnosti získané v rámci DEA s niekoľkými tradičnými ukazovateľmi rentability s cieľom vyhodnotiť ich vzájomnú informačnú hodnotu. Key words: performance, commercial bank, profit efficiency, profitability ratios. Kľúčové slová: výkonnosť, komerčná banka, zisková efektívnosť, ukazovatele rentability. JEL classification: M Úvod Článok sa sústreďuje na metódy hodnotenia výkonnosti rozhodovacích jednotiek (typicky podnikateľských subjektov), ktoré v rámci svojej činnosti realizujú či už fyzickú, alebo konceptuálnu transformáciu vstupov na výstupy. Hoci analytická časť článku vzťahuje hodnotenie výkonnosti na komerčné banky ako názorný príklad rozhodovacích jednotiek, rámec uvádzaných súvislostí sa dotýka ľubovoľnej organizačnej samostatnej jednotky (napríklad podnikateľského subjektu, neziskovej organizácie alebo armádnej zložky), u ktorej možno uvažovať o vstupoch a výstupoch. Obvykle sa táto výkonnosť hodnotí za pomoci jednoduchých finančných ukazovateľov, ktoré merajú výsledný (a spravidla) monetárny efekt sledovanej transformačnej činnosti. Ide spravidla o pomerové ukazovatele rentability, ale používajú sa aj pomerové ukazovatele produktivity. V prvom prípade v čitateli figuruje vhodná analógia zisku a v menovateli sa nachádza vhodná veličina zviazaná so vstupmi alebo výstupmi príslušnej činnosti, podľa čoho charakterizujú buď návratnosť (pasívnych) investovaných zdrojov, alebo zhodnotenie (aktívnych) prostriedkov zapojených do hodnotenej činnosti. Má sa za to, že ide pri ukazovateľoch rentability o syntetické ukazovatele výkonnosti, ktoré vypovedajú o úspešnosti celého rozhodovacieho procesu, o čom svedčí aj skutočnosť, že s obľubou bývajú dezagregované na iné (parciálne) finančné ukazovatele v dupontovskom duchu. V tomto kontexte majú ukazovatele produktivity nižšiu informačnú hodnotu, keďže tieto obvykle dávajú do pomeru výstupy a vstupy, čím sa charakterizuje schopnosť vstupu generovať výstupy. V ich čitateli nie je uvedený zisk, ktorý by umožňoval hodnotiť výsledný efekt rozhodovacej činnosti.

14 12 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 V prípade viacerých (a spravidla heterogénnych) vstupov a viacerých (a často tiež heterogénnych) výstupov možno voči použitiu jednoduchých pomerových ukazovateľov formulovať rad metodologických výhrad (pozri napr. články autorov Paradi a Zhu, 2013, s. 62; LaPlante a Paradi, 2015, s ). Tieto výhrady možno zhrnúť do nastávajúceho výpočtu: (1.) Jednotlivé pomerové ukazovatele sú schopné informačne postihnúť iba partikulárnu vybranú stránku celého hodnoteného procesu a iba určitý aspekt výkonnosti. (2.) Je fakticky možné konštruovať neohraničený počet pomerových ukazovateľov majúcich relevantnú vypovedaciu schopnosť, avšak poskytujúcich konfliktné hodnotenie a rozporné výsledky. (3.) Svojou technickou konštrukciou tým, že vystupujú v podobe podielu dvoch veličín zodpovedajú podmienkam variabilných výnosov z rozsahu. (4.) Hoci pomerové ukazovatele dávajú informáciu o určitom aspekte výkonnosti, neposkytujú návod (benchmark) pre slabšie hodnotené jednotky, ako majú postupovať pri náprave. (5.) V kontexte komplexnejších hodnotených procesov s varietou vstupov a výstupov je možné zo strany hodnotených subjektov namietať ich nedokonalosti v bodoch (1.) až (4.), tvrdiac, že sú nespravodlivé a neadekvátne, čím sa neutralizuje ich zamýšľaný normatívny potenciál a hodnotenie môže zostať samoúčelné. Takto formulované výhrady pochádzajú z literatúry venovanej metodológii a aplikácii obalovej analýzy údajov (data envelopment analysis: DEA) v rámci hodnotenia výkonnosti rozhodovacích jednotiek potenciálne operujúcimi s viacerými vstupmi s cieľom dosiahnuť relatívne maximálne (a viaceré) výstupy. Vychádzajúc z mikroekonomickej teórie produkcie, poskytuje DEA metodológia rozpracované (a stále zdokonaľované) metodické postupy pre meranie technickej, alokačnej či celkovej ekonomickej efektívnosti rozhodovacích jednotiek vo viacerých kontextoch transformačných procesov. Hoci samotnou podstatou DEA je hodnotenie efektívnosti (a nie výkonnosti v širšom slova zmysle), výsledné skóre (technickej, alokačnej či ekonomickej) efektívnosti zahrňuje v sebe informáciu o všetkých vstupoch a výstupoch hodnoteného procesu, jednak z množstevného hľadiska (technická a ekonomická efektívnosť), jednak z hodnotového hľadiska (alokačná a ekonomická efektívnosť). Preto možno cez skóre technickej efektívnosti merať komplexným spôsobom produktívnosť ako špecifický rys výkonnosti a pomocou skóre ekonomickej efektívnosti reprezentovať univerzálny ukazovateľ globálnej výkonnosti. Z tejto úvahy vychádza aj tento článok, v ktorom sa v súhlase s konvenciou výkonnosť suroguje ekonomickou efektívnosťou. Keď sa rozhodovací proces uskutočňuje v podmienkach, že je možné ovplyvňovať jeho vstupnú aj výstupnú stránku, vtedy sa frekventovane používa termín zisková efektívnosť, čím sa vyjadruje skutočnosť, že ambíciou je dosahovať zisk. Miera ziskovej efektívnosti má potom poskytovať informáciu o dosiahnutej technickej efektívnosti (ktorá vyjadruje schopnosť dosahovať maximálne výstupy pri minimálnej spotrebe vstupov vo fyzických jednotkách) a o dosiahnutej alokačnej efektívnosti (ktorá vyjadruje schopnosť alokovať optimálnu kombináciu/proporciu vstupov pri dosahovaní optimálnej kombinácie/proporcie výstupov vzhľadom na dané ceny vstupov a výstupov). Miera ziskovej efektívnosti potom meria schopnosť nielen realizovať rozhodovací proces pri daných množstvách (bez ohľadu na ceny), ale aj v optimálny kombinácii (bez ohľadu na množstvo) tak, aby bol naplňovaný krátkodobý zisk maximalizujúci cieľ daného rozhodovania. Čím je vyššia táto schopnosť, tým je vyššia aj výkonnosť. Na rozdiel od pomerových ukazovateľov sa explicitne prihliada na jednotlivé vstupy a výstupy a ich ceny. Pomerové ukazovatele výkonnosti v sebe obvykle zahŕňajú informáciu o nich obvykle implicitne v agregovanej podobe. Kritické vnímanie pomerových ukazovateľov výkonnosti je motiváciou tohto článku, ktorý má za cieľ porovnať vypovedaciu zhodu miery (skóre) ziskovej efektívnosti s niektorými pomerovými ukazovateľmi výkonnosti. Toto porovnanie sa realizuje formou prípadovej štúdie týkajúcej sa vzorky slovenských bánk za obdobie od 2000 do 2011 a dátovej množiny

15 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ použitej v článku Boďu a Zimkovej (2015). Z metodického hľadiska sa porovnanie zakladá na štyroch operacionalizujúcich voľbách: (i.) špecifikácia modelu bankovej produkcie, podľa ktorého komerčné banky konvertujú prácu a fyzický kapitál na depozitné a kreditné bankové služby, (ii.) rozdelenie skúmaného obdobia 12 rokov na 3 homogénne úseky s rovnakými produkčnými podmienkami, (iii.) voľba primeraného DEA modelu ziskovej efektívnosti spolu s určením ekonomických podmienok produkčného procesu, (iv.) výber relevantných pomerových ukazovateľov výkonnosti. Tieto metodické body sú priblížené v nasledujúcej druhej časti článku. Tretia časť článku obsahuje výsledky a po nej nasleduje záverečná časť vyhradená pre stručný komentár k získaným výsledkom. Výsledky pritom ukazujú, že voľba ukazovateľa výkonnosti je kľúčovým prvkom celého procesu výkonnosti a že nemožno zaručiť, že skóre ziskovej efektívnosti získané v rámci DEA modelu a nejaký vhodne zvolený pomerový ukazovateľ výkonnosti povedú k identickým záverom ohľadom meranej výkonnosti. Nielenže sa môže hodnotenie v niektorých jednotlivých prípadoch odlišovať, ale dokonca globálne hodnotenie môže byť nezlúčiteľné a pomerový ukazovateľ a skóre efektívnosti môžu produkovať úplne odchodné a obrátené hodnotenie. 2. Rámcová metodika a dáta Poňatie výkonnosti je vždy potrebné prispôsobiť konkrétnym okolnostiam jej merania a predmetu hodnotenej činnosti. Síce sa v prípade komerčných bánk pre ich špecifické postavenie ako finančného subjektu aplikuje niekoľko odlišných teoretických prístupov vysvetľujúcich ich raison d'être a opisujúcich podstatu ich transformačného procesu, prevalentnými prístupmi k modelovaniu správania komerčných bánk sú produkčný prístup a intermediačný prístup (pozri napr. Ahn a Le, 2014, s. 18). Kým produkčný prístup vníma komerčnú banku ako producenta bankových služieb predovšetkým depozitného či kreditného charakteru používajúceho pri tejto transformácii inak bežné vstupy ako práca či fyzický kapitál, intermediačný prístup ju charakterizuje ako finančného sprostredkovateľa používajúceho tieto vstupy na konverziu depozít na úvery. Medzi prístupmi je zásadný rozdiel v chápaní depozít, kým v produkčnom prístupe sú výstupom (tzn. sú produkované), v intermediačnom prístupe sú vstupom (tzn. sú intermediované). V článku sa predpokladá, že banky sa v krátkodobom horizonte snažia maximalizovať zisk z poskytovaných bankových služieb či intermediačnej činnosti. Niekedy je náležité predpokladať správanie orientované napr. iba na minimalizáciu nákladov (pozri napr. Zimková, 2015). Dokonca sú situácie, napr. pri subjektoch verejnej správy, keď sa stačí orientovať pri hodnotení výkonnosti na technickú efektívnosť (pozri napr. Buleca a Mura, 2014). Je azda paradoxné, že uplatniac optiku výsadnej ziskovej orientácie bánk sú depozitá bez ohľadu na zvolený prístup nákladotvorným elementom transformačného procesu. Depozitné bankové služby sa správajú svojimi úrokovými nákladmi ako nákladový prvok transformácie, hoci sú podľa produkčného prístupu výstupom. V dôsledku toho je ich potrebné pri vlastnom meraní ziskovej efektívnosti (založenom na použitom DEA modeli) zaradiť na stranu vstupov, a teda postupovať ako pri samotnom intermediačnom prístupe. V dôsledku toho výsledné hodnotenie výkonnosti mierou (skóre) ziskovej efektívnosti je teda univerzálne a nezávislé na podkladovom teoretickom modeli bankovej produkcie. Voľba štyroch produkčných premenných, ako aj operacionalizácia jednotkových nákladov a cien asociovaných so zvolenými premennými mapuje tabuľka 1. Depozitá tu majú v zmysle uvedeného hybridné postavenie. Dátová množina použitá v článku týkajúca sa 11 komerčných bánk operujúcich v rokoch na Slovensku bola prevzatá od Boďu a Zimkovej (2015). Svojím objemom aktív reprezentuje väčšinu slovenského bankového sektora (s podielom na celkových aktívach slovenského bankového sektora vyšším ako 90 %). Dáta boli získané od TREND Holding, s. r. o., Bratislava, a skompilované z účtovných závierok jednotlivých bánk za sledované roky

16 14 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Pre účely tohto článku nie je potrebný zoznam komerčných bánk tvoriacich dátovú množinu, čitateľ ho však môže spolu s dovysvetľujúcimi poznámkami k dátovej množine nájsť v prípade záujmu v článku Boďu a Zimkovej (2015, s ). Predpokladá sa ďalej, že obdobie sledovaných 12 rokov možno rozdeliť do troch homogénnych úsekov, počas ktorých množina produkčných vlastností a ňou diktovaná hranica produkčných možností zostáva inertná a bezo zmeny. Ide o obdobia rokov , , Tieto časové úseky budú označované postupne ako "fáza I", "fáza II" a "fáza III". Počas fázy I sa postupne završovala transformácia slovenskej ekonomiky, ktorá sa v bankovom sektore prejavila privatizáciou a reštrukturalizáciou najväčších slovenských bánk, ako aj čistením bankových bilancií zaťažených nelikvidnými aktívami. Fáza II sa začína pristúpením Slovenska do Európskej únie a končí sa vstupom Slovenska do eurozóny. Počas tejto fázy slovenské banky implementovali nový systém corporate governance a prešli na svetové trendy v oblasti bankovníctva z hľadiska komunikácie s klientmi a približovania bankových služieb vyselektovaným klientskym segmentom. Vo fáze II došlo k etablovaniu služieb investičného bankovníctva, správy aktív a hypotekárnych služieb. Naostatok fáza III je charakterizovaná úspešným zvládnutím prevzatia novej meny a manifestáciami ekonomickej krízy, ktorá spôsobila malým slovenským bankám existenčné ťažkosti. Hypotéza o časovej invariancii množiny produkčných možností umožnila spojenie dát o individuálnych komerčných bankách v rôznych rokoch tej istej fázy a rezultovala v používanie "bankorokov". Iba údaje o štyroch bankorokoch neboli kompletné (ČSOB / Istrobanka 2007 & Citibank 2009, 2010, 2011), v dôsledku čoho fáza I je reprezentovaná 44 bankorokmi, fáza II 54 bankorokmi a fáza III celkovo 41 bankorokmi. DEA model ziskovej efektívnosti bol v implementovaný pre každú fázu individuálne, čím sa plne rešpektoval ekonomický vývoj počas sledovaného obdobia 12 rokov. S cieľom zabezpečiť porovnateľnosť medzi rôznymi rokmi boli dáta použité pri analýze deflované na cenovú úroveň roku 2000 za pomoci deflátora HDP získaného z Eurostatu. V prípade pracovnej sily boli deflované jednotkové osobné náklady a v prípade ostatných troch produkčných jednotiek pre zamedzenie dvojitého deflovania boli deflované monetárne položky vyjadrujúce ich objem (teda boli deflované fixné aktíva, celkové zdroje od klientov a úverové pohľadávky voči klientom), a nie s nimi asociované jednotkové náklady či výnosy. Tab. 1: Operacionalizácia vstupných a výstupných premenných a ich ocenenie Produkčná premenná Obsahové vymedzenie Ocenenie vo vzťahu k tvorbe zisku Pracovná prepočítaný evidenčný počet zamestnancov osobné náklady v tis. na 1 zamestnanca sila priemerný v účtovnom období v prepočítanom evidenčnom počte Fyzický fixné aktíva v tis. nakupované výkony, informačné technológie kapitál k ročnému súvahovému dňu a odpisy v na 1 fixných aktív Celkové celkové zdroje od klientov v tis. úrokové náklady depozitá k ročnému súvahovému dňu v na 1 prijatých depozít Celkové úverové pohľadávky voči klientom v tis. úrokové výnosy úvery k ročnému súvahovému dňu v na 1 poskytnutých úverov Vstupy Výstupy Pri meraní ziskovej efektívnosti komerčných bánk bol použitý podielový model ziskovej efektívnosti (tzv. "profit ratio model") navrhnutý a bližšie opísaný v monografii Coopera et al. (2007, s ). V tomto DEA modeli sa maximalizuje vzájomný pomer výnosov a nákladov, t. j. podiel ϑ := výnosy / náklady. Následne sa porovnáva optimálne riešenie ϑ so skutočným podielom ϑ a definuje sa miera ziskovej efektívnosti π vzťahom π := ϑ / ϑ. Pretože ϑ ϑ, hneď možno vidieť, že π [0,1], pričom hodnota 1 sa dosiahne v prípade, keď ϑ = ϑ, tzn. keď ide o ziskovo efektívnu produkciu (v tomto prípade komerčnej banky). Pretože podiel ϑ sám o sebe mapuje previs výnosov nad náklady, resp. koľkonásobne sú výnosy

17 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ vyššie ako náklady, komunikuje schopnosť dosahovať zisk. Miera ziskovej efektívnosti ϑ následne vyjadruje, ako veľmi (v percentuálnej mierke) sa zhoduje skutočné dosahovanie zisku s ekonomicky optimálnym dosahovaním zisku. Tento ekonomicky optimálny zisk je maximálny možný zisk za daných produkčných podmienok. Oproti tomuto modelu sa používa častejšie rozdielová verzia, keď sa pracuje s rozdielom výnosov a nákladov, tzn. priamo so ziskom ζ := výnosy náklady, ale tento prístup nie je univerzálny a použiteľný, keď sa vyskytuje veľa deficitných produkcií vykazujúcich zápornú hodnotu zisku. Pri výpočte skóre ziskovej efektívnosti (teda odhadovaní príslušnej miery ziskovej efektívnosti) sa použila aplikácia DEA-Solver-PRO 10.0 od firmy SAITECH, Inc. Model sa vzhľadom na poznámky o ekonomickom vývoji slovenského bankového sektora aplikoval pre každú fázu samostatne, použijúc separátne postupne 44, 54 a 41 pozorovaní. Nutné je zdôrazniť po terminologickej stránke, že zisková efektívnosť sa meria podielom π (mierou ziskovej efektívnosti) a tento sa vzhľadom na observačný a stochastický charakter dát odhaduje a výsledný odhad sa potom nazýva skóre. Aplikácia podielového modelu ziskovej efektívnosti sprevádzal predpoklad variabilných výnosov z rozsahu, ktorý "dáva väčšiu voľnosť" prevádzkovým podmienkam jednotlivých komerčných bánk. Jednak ide o predpoklad univerzálny (subsumujúci aj prípad konštantných výnosov z rozsahu), jednak lepšie zodpovedá realite bankovej produkcie. Nemožno pri násobnej úprave (zvýšení či znížení) vstupov očakávať rovnako násobnú zmenu (zvýšenie či zníženie) výstupov. Medzi pracovnou silou a fixnými aktívami na strane vstupov a depozitami a úvermi na strane výstupov (pri produkčnom prístupe), resp. medzi pracovnou silou, fixnými aktívami a depozitami ako vstupmi a úvermi ako výstupom (pri intermediačnom prístupe) takýto vzájomne multiplikačný vzťah nie je. Jeho absencia poukazuje skôr na to, že komerčné banky operujú v prostredí variabilných výnosov z rozsahu. Pomerové ukazovatele výkonnosti porovnávané čo do informačnej hodnoty a kompatiblity s mierou (skóre) ziskovej efektívnosti ako globálnej miery výkonnosti protežovanej zástancami DEA metodológie boli zvolené so zreteľom na prijatý koncepčný pohľad na transformačný proces komerčnej banky. Kým pracovná sila, fyzický kapitál a depozitá prispievajú do tvorby zisku po nákladovej stránke (teda zisk zaťažujú a znižujú), úvery sú v dikcii produkčných premenných špecifikovaných v tabuľke 1 jedinou výnosotvornou premennou, ktorá prispieva k tvorbe zisku pozitívne. Pre zabezpečenie konzistentnosti porovnávania je poňatie zisku redukovať tiež vzhľadom na uvažovaný transformačný proces komerčnej banky a obmedziť ho iba na úroveň hrubej marže ("gross margin"). Hrubá marža je tu v článku definovaná ako hrubá úroková marža ("gross interest margin", teda rozpätie úrokov z úverov a depozít) znížená o celkové osobné náklady a náklady na fixné aktíva. Potom je možné sledovať generovanie zisku reprezentovaného hrubou maržou vo vzťahu (a.) k vynaloženým nákladom, (b.) k zapojenej pracovnej sile a (c.) k využívaným fixným aktívam. Rovnako cez prizmu produkčného prístupu je relevantné vyhodnocovať dosahovanie zisku reprezentovaného hrubou úrokovou maržou v relácii (d.) k produkovaným bankovým službám. Takto sú postupne definované ukazovatele (a.) rentability nákladov, (b.) rentability pracovnej sily, (c.) rentability fixných aktív a (d.) rentability bankových služieb. Definícia ukazovateľov a ich interpretačný obsah sú obsiahnuté v tabuľke 2. Treba doplniť, že hoci rentabilita pracovnej sily a rentabilita fyzických aktív pripomínajú ukazovatele produktivity, ktoré sú obvykle sledované vo výrobnom procese s materializovanými výstupmi, ide však v skutočnosti o ukazovatele rentability, pretože v čitateli vystupuje zisk v určitej forme ako adekvátny redukovaný ocenený výstup. Prirodzene, ukazovateľ rentability fixných aktív má skôr doplnkový charakter. Ukazovateľ rentability bankových služieb prislúcha pohľadu na výkonnosť diktovanému produkčným prístupom, a nie je vhodný pre intermediačný prístup.

18 16 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 Tab. 2: Definícia a metodický obsah uvažovaných ukazovateľov výkonnosti Ukazovateľ výkonnosti Definičné vymedzenie Obsahová náplň Rentabilita nákladov Rentabilita pracovnej sily Rentabilita fixných aktív Rentabilita bankových služieb hrubá marža náklady vstupov hrubá marža evidenčný # zamestnancov hrubá marža fixné aktíva hrubá úroková marža celkové depozitá + celkové úvery Ukazovateľ charakterizuje schopnosť nákladov generovať zisk. Vyjadruje, koľko zisku v modeli základnej bankovej produkcie prinieslo 1 vynaložených nákladov. Ukazovateľ charakterizuje schopnosť pracovnej sily dosahovať zisk. Kvantifikuje, koľkými zisku v modeli základnej bankovej produkcie prispelo úsilie jedného zamestnanca. Ukazovateľ charakterizuje ziskotvornú schopnosť fyzického kapitálu. Meria, koľko zisku v modeli základnej bankovej produkcie prinieslo 1 viazané vo fixných aktívach. Ukazovateľ opisuje ziskotvorný efekt poskytovania bankových služieb. Vyjadruje, koľkými čistých úrokov prispelo k tvorbe zisku 1 prijatých depozít a poskytnutých úverov. Poznámka: ) Náklady vstupov sú súčtom osobných nákladov, nákladov na fyzické aktíva a úrokov platených za depozitá. Hrubá úroková marža je rozdielom medzi úrokmi získanými z úverov a úrokmi platenými za depozitá. Hrubá marža je hrubá úroková marža po odpočítaní osobných nákladov a nákladov na fyzické aktíva (alebo ekvivalentne rozdiel úrokov získaných z depozít a nákladov vstupov). Mieru ziskovej efektívnosti a tiež všetky uvažované pomerové ukazovatele rentability je potrebné maximalizovať. Vyššie hodnoty totiž nasvedčujú vo všeobecnosti vyššej výkonnosti. 3. Výsledky Výsledky sú pre názornosť a vyššiu vypovedaciu schopnosť spracované najmä graficky a takto sú prezentované na obrázkoch 1 a 2, ktoré umožňujú vizuálne posúdiť zhodu medzi sledovanými ukazovateľmi výkonnosti. O stupni korelačnej zhody informuje následne tabuľka 3. Pri vlastnom spracovaní výsledkov bol použitý softvér R (R Core Team, 2013) a jeho knižnice car (Fox a Weisberg, 2011) a MASS (Venables a Ripley, 2002). Na obrázku 1 sú formou rozptylových diagramov vzájomne porovnávané pomerové ukazovatele rentability prezentované v tabuľke 2 (na vertikálnej osi) so skóre ziskovej efektívnosti (na horizontálnej osi). Toto porovnanie sa týka celého sledovaného obdobia 12 rokov a všetkých 11 komerčných bánk, teda (s prihliadnutím na chýbajúce bankoroky), teda zahrňuje všetkých 139 pozorovaní. Cez pozorovania je v jednotlivých grafoch znázornený robustný M-odhad regresnej priamky a neparametrický odhad regresného vzťahu získaný metódou LOESS (s vyhladzovacím oknom zahrňujúcim 75 % pozorovaní a za použitia lokálnych kvadratických polynómov), ktoré lepšie indikujú smer vzájomného súvisu a umožňujú prípadne posúdiť silu zhody v znázorňovanej výkonnosti. Analogickú informáciu prezentuje obrázok 2, avšak diferencovane pre jednotlivé tri fázy identifikované vo vývoji slovenského bankového sektora. Pre každú fázu je znázornený iba samostatný LOESS odhad regresného vzťahu, pre lepšiu čitateľnosť informácie sa od odhadov regresnej priamky upustilo. Pre správnu interpretáciu grafov na obrázku 1 a 2 sa žiada podotknúť, že DEA modely majú tendenciu nadhodnocovať meranú efektívnosť, a preto treba relatívne častý výskyt ziskovo efektívnych prípadov (indikovaných hodnotou 1 skóre ziskovej efektívnosti) vnímať ako inherentný (i keď málo zdôrazňovaný) nedostatok DEA metodológie.

19 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Obr. 1: Zhoda medzi pomerovými ukazovateľmi výkonnosti a skóre ziskovej efektívnosti (pre celé obdobie) Poznatky získané z vizuálnej investigácie obrázkov 1 a 2 možno zhrnúť v dvoch bodoch vystihujúcich vzájomný súvis medzi ukazovateľmi globálne pre celé obdobie a pre jednotlivé čiastkové úseky, resp. fázy: 1. Až na ukazovateľ rentability bankových služieb, vo všeobecnosti uvažované pomerové ukazovatele výkonnosti vykazujú kladný súvis so skóre ziskovej efektívnosti. Vyššia výkonnosť indikovaná pomerovým ukazovateľom výkonnosti je spravidla indikovaná aj skóre ziskovej efektívnosti, a naopak. Závisí však aj od výberu partikulárneho ukazovateľa výkonnosti, pretože presne opačný súvis je preukázaný pri ukazovateli rentability bankových služieb, pri ktorom sa ukazuje, že vo všeobecnosti nižšie skóre ziskovej efektívnosti je dosahované pri vyššej hodnote tohto pomerového ukazovateľa. 2. Je zjavné, že vypovedacia kompatibilita medzi pomerovými ukazovateľmi výkonnosti a skóre ziskovej efektívnosti je ovplyvnená štrukturálnym vývojom bankového sektora. Odhliadnuc od ukazovateľa rentability bankových služieb, kým vo fázach I a II je badateľná pomerne úzka informačná previazanosť pomerových ukazovateľov efektívnosti a skóre technickej efektívnosti, vo fáze III je informačná kompatibilita výrazne narušená.

20 18 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 Skôr sa indikuje inverzný vzťah, ktorý spôsobuje pri agregácii za celé obdobie dojem heteroskedasticity. Pokiaľ ide o ukazovateľ rentability bankových služieb, vo fáze I akoby boli tento ukazovateľ a skóre ziskovej efektívnosti nekorelované a v ďalších fázach je protizmyselne vzájomný súvis negatívny. Zaujímavé je numericky ohodnotiť zhodu medzi hodnotami pomerových ukazovateľov výkonnosti a skóre ziskovej efektívnosti. Toto ohodnotenie je obsahom tabuľky 3 a je realizované variantne pomocou korelačných koeficientov. Postupne sú v tejto tabuľke reportované Pearsonov a Spearmanov korelačný koeficient a robustný korelačný koeficient získaný metódou MVE pre všetkých 139 bankorokov obsiahnutých v dátovej sade a pre 111 bankorokov so skóre ziskovej efektívnosti nižším ako 1. Vylúčenie pozorovaní bankorokov, ktoré poukazujú na ziskovú efektívnosť, je výrazom snahy reflektovať tendenciu použitej DEA metodológie nadhodnocovať efektívnosť. Je pravdepodobné, že nie každá z bánk identifikovaná v niektorom roku ako ziskovo efektívna bola totiž naozaj ziskovo efektívnou. Obr. 2: Zhoda medzi pomerovými ukazovateľmi výkonnosti a skóre ziskovej efektívnosti (pre jednotlivé fázy)

21 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Tabuľka 3 nepoukazuje na obzvlášť výraznú silu v závislosti medzi sledovanými štyrmi pomerovými ukazovateľmi výkonnosti a skóre ziskovej efektívnosti. Ako aj bolo viditeľné na obrázkoch 2 a 3, v prípade ukazovateľov rentability nákladov, rentability pracovnej sily a rentability fixných aktív sa ukazuje priamy súvis so skóre ziskovej efektívnosti a pri ukazovateli rentability bankových služieb je tento súvis zistený negatívny. Vyššie hodnoty Spearmanovho korelačného koeficientu pri prvých troch sledovaných ukazovateľoch rentability naznačujú, že súvislosť so skóre ziskovej efektívnosti je skôr poradová než v striktne lineárnom zmysle. Prekvapujúce je, že ani použitie robustnej verzie korelačných koeficientov a ani očistenie dátovej vzorky ukazovateľov o dubiózne situácie, keď skóre technickej efektívnosti môže klamlivo ukazovať na vynikajúcu výkonnosť, nevedie k iným záverom a celkový pohľad sa de facto vôbec nemení. Tab. 3: Korelácia medzi pomerovými ukazovateľmi výkonnosti a skóre ziskovej efektívnosti (pre celé obdobie) Korelačný koeficient Rentabilita nákladov Rentabilita pracovnej sily Rentabilita fixných aktív Rentabilita bankových služieb Všetky pozorovania bankorokov Pearsonov Spearmanov Robustný MVE Pozorovania bankorokov, kedy skóre ziskovej efektívnosti sa rôzni od jednotky Pearsonov Spearmanov Robustný MVE Záver I keď si skúmaná problematika zasluhuje hlbšiu pozornosť a detailnejšie skúmanie, aj napriek apológii DEA metodológie medzi jej používateľmi nejestvuje zjavný dôvod si myslieť, že použitím vhodného DEA modelu sa získajú vierohodnejšie výsledky ohľadom výkonnosti. Fundamentálne rozdiely v hodnotení výkonnosti medzi konceptom ziskovej efektívnosti a názorným konceptom sprostredkovaným pomerovými ukazovateľmi ukazujú, že voľba nástroja pre hodnotenie výkonnosti je kľúčovým elementom celého procesu. Zatiaľ čo ukazovatele rentability nákladov, pracovnej sily a fixných aktív patria viac či menej k štandardným ukazovateľom výkonnosti (s tým, že špecificky v oblasti bankovníctva je voľba posledného ukazovateľa nekonvenčná), ukazovateľ rentability bankových služieb zodpovedá produkčnému prístupu k bankovej transformácii. Výrazná dištinkcia medzi hodnotami tohto ukazovateľa skóre ziskovej efektívnosti môže pochádzať zo skutočnosti, že skutočný podkladový model, ktorým sa riadi bankové správanie a banková produkcia, môže skôr zodpovedať intermediačnému ako produkčnému prístupu. Ako dokumentuje aj literatúra (Paradi a Zhu, 2013; Ahn a Le, 2014, s. 18), tento prístup je skutočne typickejší pre komerčné banky, na ktoré sa nahliada na ekonomické subjekty zabezpečujúce sprostredkovateľskú funkciu, kým produkčný prístup je vhodnejší na pobočkovej úrovni. Faktor, ktorý môže ovplyvniť hodnotenie výkonnosti a spravidla ho v dlhšom horizonte aj ovplyvňuje, je štrukturálna zmena v procese zabezpečovanej transformácie. Takáto zmena dokáže zjavne zavážiť, ak je nástroj hodnotenia výkonnosti fundovaný na DEA metodológii, ktorá je citlivá na technológiu transformácie vstupov na výstupy. Zmena v tejto technológii v čase má nutne evidentný a bezprostredný vplyv na výsledné hodnotenie výkonnosti, ako to bolo odsledovateľné na vzťahu pomerových ukazovateľov výkonnosti a skóre ziskovej výkonnosti.

22 20 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 Článok vznikol pri riešení a s podporou projektu VEGA č. 1/0757/15 Rozšírenie teoretickej konštrukcie SCP paradigmy a hypotézy efektívnej štruktúry v bankovníctve a poisťovníctve o aspekt rizika a ich empirická validácia v podmienkach Slovenskej republiky. Literatúra AHN, H., LE, M. H An insight into the specification of the input-output set for DEAbased bank efficiency measurement. In Management Review Quarterly, roč. 64, č. 1, s BOĎA, M., ZIMKOVÁ, E Efficiency in the Slovak banking industry: a comparison of three approaches. In Prague Economic Papers, roč. 24, č. 4, s BULECA, J., MURA, L Quantification of the efficiency of public administration by data envelopment analysis. In Procedia Economics and Finance, zv. 15, s COOPER, W. W., SEIFORD, L. M., TONE, K Data envelopment analysis: a comprehensive text with models, applications, references and DEA-Solver software. 2. vyd. New York: Springer. 492 s. ISBN FOX, J., WEISBERG, S An R companion to applied regression. 2. vyd. Thousand Oaks (CA): Sage. 472 s. ISBN LAPLANTE, A. E., PARADI, J. C Evaluation of bank branch growth potential using data envelopment analysis. In Omega, zv. 52, apríl 2015, s PARADI, J. C., ZHU, H A survey on bank branch efficiency and performance research with data envelopment analysis. In Omega, zv. 41, č. 1, s R CORE TEAM R: a language and environment for statistical computing. Viedeň: R Foundation for Statistical Computing, VENABLES, W. N., RIPLEY, B. D Modern applied statistics with S. 4. vyd. New York: Springer. 495 s. ISBN ZIMKOVÁ, E Cost efficiency of Slovak commercial banks under the standpoint of the intermediation approach. In: Conference Proceedings 18th Applications of Mathematics and Statistics in Economics. Praha: Vysoká škola ekonomická v Praze, Oeconomica, cz/proceedings. Adresa autora: Martin Boďa, Mgr. Ing., PhD. Univerzita Mateja Bela v Banskej Bystrici Ekonomická fakulta Tajovského 10, Banská Bystrica martin.boda@umb.sk

23 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Teorie extrémní hodnoty s intervalově cenzorovanými daty: Případová studie doby nezaměstnanosti v pokrizové České republice Extreme Value Theory Using Interval Censored Data: Case Study of Unemployment Duration in the Post-crisis Czech Repbulic Adam Čabla Abstract: The presented paper deals with the problem of modelling unemployment duration for the people with the largest values of this duration. It combines two standard approaches extreme value theory and survival analysis for analysing interval censored data. Throughout the paper the basics of the methodology are presented and the generalized extreme value distribution and the generalized Pareto distribution are estimated via maximum likelihood estimates. The main results are in the form of comparison of quantile functions and quantile estimates via three different parametric methods and side results are hazard and survival functions. Abstrakt: Aktuální článek se zabývá problémem modelování doby nezaměstnanosti u lidí, u kterých je tato doba největší. Kombinuje dva standardní přístupy teorii extrémní hodnoty a analýzu přežití pro analyzování intervalově cenzorovaných dat. V článku jsou nastíněny základy metodologie a pomocí metody maximální věrohohodnosti jsou odhadnuty zobecněné rozdělení extrémní hodnoty a zobecněné Paretovo rozdělení. Hlavním výstupem článku jsou srovnání kvantilových funkcí a odhady vysokých kvantilů pomocí tří rozdílných parametrický metod. Vedlejšími výsledky jsou rizikové funkce a funkce přežití Key words: extreme value theory, survival analysis, interval censoring, quantile estimates, unemployment duration Kľúčové slová: teorie extrémní hodnoty, analýza přežití, intervalové cenzorování, odhady kvantilů, doba nezaměstnanosti JEL classification: C13, C24, E24, J64 1. Introduction The unemployment is one of the leading problems of modern economies and as such is often described by national statistic offices in terms of unemployment rate, but little is usually said about unemployment duration. The usual statistic that covers the topic is the rate of longterm unemployment i.e. the rate of those who are unemployed longer than one year. Statistics about average time-point unemployment duration for selected countries are provided by [15]. A deeper look at the unemployment duration in the Czech Republic was provided in [7], [8] and more recently in [3], [4], [13] and [14]. The main contribution of the paper to current understanding of the unemployment issue is to provide deeper insight into the probabilistic distribution of the unemployment duration in the Czech Republic during recovery period and especially about its right tail distribution, i.e. about the probability distribution of the largest unemployment durations. From the methodological point of view the paper presents connection of two approaches the first is extreme value theory and the second is survival analysis. This is quite unusual since extreme value theory usually does not cope with censored data and since the survival analysis uses accelerated failure time or proportional hazards models to model probability distribution, which are incompatible with generalized extreme value distribution or generalized Pareto distribution used for modelling right tails, and does not discuss the issue.

24 22 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 The paper is divided into several other parts - first describes how data were collected, which is crucial for understanding choices of methodology; then there are several chapters that briefly describes methodology and lastly the paper presents results. 2. Data Data comes from the Labour Force Surveys (LFS) from five quarters Q4/2013 Q1/2014. The LFS is done quarterly and 20 % of the participants are changed every quarter. In other words, each participant takes part in five consecutive surveys. In one survey there are approximately thousands of participants. [5] One of the questions asks for the duration of the job search and another one asks for the duration of the current job. As a person is questioned over a year and a quarter, one can find those, who obtained job in this survey period and compute the search duration. Every participant was checked on their entry to the LFS and in the end of their participation. As the answers to the stated questions are interval censored, so is the consequent duration. Finally 673 of participants who found a job were found. The unemployment duration is recorded in months. The last step was different for each of the two basic methods of extreme value theory. For block maxima method the data were sorted randomly and then divided into 66 subsets of 10 and 1 subset of 14. From each of these subsets only the maximum was selected to the final dataset. For peaks over threshold method the largest 10 % of observations, i.e. 67, were selected to the dataset. Because observations are interval censored, the exact value is not known and it is impossible to select exact maximum or the largest 10 % of observations. The main criteria was centre of the interval and if the interval was right censored, it was supposed to be the largest observation. If two right observations were competing for selection, the left boundary was the selection criteria. It is important to keep in mind that the paper deals only with the unemployment duration of the participants, who were unemployed to begin with (unlike being economically inactive) and then found a job within a time period of one to five quarters. 3. Description of probability distribution In survival analysis the description of probability distribution is usually made through survival function or hazard function. The survival function S(t) gives the probability that random variable T exceeds the specified time t. S( t) P( T t) 1 F( t). (1) The hazard function h(t) is the instantaneous potential per unit time for the event to occur, given that the individual has survived up to time t. In any analysis survival function can be transformed to hazard function or vice versa. P( t T t t T t ds( t) / dt f ( t) h( t) l im. (2) t0 t S( t) S( t) Being more specific here, the random variable T is the time of finding a job for an unemployed person. Survival function S(t) is the probability, that an unemployed person has not found a job at time t and finally hazard function h(t) is the instantaneous potential that an unemployed person will find employment. [10]

25 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Interval censoring and maximum likelihood estimate Data are called censored when the exact value is unknown, but is known to fall within some interval (L i, R i ]. If only L i is known, than it is the case of right censoring (L i ; ). If only R i is known, than it is the case of left censoring (- ; R i ]. From this point of view interval censoring is the most general way to describe censored data. [10] In the dataset there are 654 interval censored values and 19 right censored values. The dataset for block maxima method contains 57 interval censored values and 16 right censored values whereas the dataset for peaks over threshold method contains 54 interval censored and all 19 right censored values. The difference is due to the method of datasets selection (see chapter 2). All models are estimated by maximum likelihood estimate (MLE). Given the assumption that censoring times are independent of each other and of survival times, the maximum likelihood function is n. L ) F ( Ri ) F( Li ) S ( Li ) S( Ri ) i1 n (θ. (3) Since there is no reason to think that the assumption does not hold, the MLE estimates can be used. Equation 3 shows that under the interval censoring each observation contributes two pieces of information to the likelihood, S(L i ) and S(R i ), which follows the same distributional function and S(- ) = 0 and S( ) = 1. [12] 5. Turnbull estimate Turnbull estimate is iterative procedure first suggested by [18] specifically for the purpose of estimating interval censored data. It is non-parametric maximum likelihood estimate, sometimes called by abbreviation NPMLE. In the paper Turnbull estimates have the function to show the comparison of different fits. The procedure goes like described e.g. in [11]: i1 Let 0 = τ 0 < τ 1 < τ m be a grid of time points which includes all the points L i, R i for the points i = 1,, n. For the ith observation define a weight α ij to be 1 if the interval (τ j-1, τ j ] is contained in the interval (L i, R i ] and 0, otherwise. Note that α ij indicates whether event which occurs in the interval (L i, R i ] could have occurred at τ j. An initial guess at S(τ) is made. The algorithm is as follows: 1. Compute theprobability of an event occurring at time τ j,. p j S( j1 ) S( j ), j 1,..., m (4) 2. Estimate the number of events which occurred at τ j by n ij p j. d j. (5) m i1 p k j 3. Compute the estimated number at risk at time τ j by jk 4. Compute the updated product-limit estimator using the pseudo data found in Steps 2 and 3. If the updated estimate of S is close to the old version of S for all τ j s, stop the iterative process, otherwise repeat Steps 1 3, using the updated estimate of S. k Turnbull estimate is usually not suitable for obtaining estimates of large quantiles because the result is in form of intervals with probabilities that the random variable is within the

26 24 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 interval and does not make any assumptions about probability distribution within interval (sometimes it is assumed to be uniformly distributed, which is used in the figures throughout the paper). 6. Block maxima method Block maxima method is one of two main methods for estimating very high quantiles of almost any distribution. According to Fisher-Tippet theorem the distribution of maxima of independent identically distributed random variables are asymptotically distributed according to a generalized extreme value distribution with cumulative distribution function 1 x H ( x) exp 1 if 0, (6) x H ( x) exp exp if 0. If ξ > 0, than the distribution is Fréchet, if ξ < 0 the distribution is Weibull and if ξ = 0 than the distribution is Gumbell. The behaviour of right tail of the cumulative distribution function F(x) foreshadows value of parameter ξ. The selected maxima of the distribution with cumulative distribution function F(x) converge to one of the three above mentioned distributions in distribution and the distribution is said to be in a maximum domain of attraction (MDA). MDA for some known distributions is in the Table 1. Table 1: Maximum Domain of Attraction for some known distributions MDA General tail behaviour Distributions Gumbel Exponential Normal, Log-normal, Exponential, Gamma, Rayleigh Fréchet Power Pareto, Cauchy, Student Weibull Finite end Uniform, Beta This method is naturally used in the cases where there are evident independent intervals, e.g. in the case of annual maxima of time series. [9] The usual method of estimating the parameters are maximum likelihood method, method of general weighted moments or method of probability weighted moments, which are consistent. Method of maximum likelihood have good properties if ξ > and are usually unattainable if ξ < -1. [19] 7. Peaks over threshold Peaks over threshold is the second main method for estimating very high quantiles of almost any distribution. According to the Pickand-Balkema-de Haan theorem values of random variable that exceeds certain sufficiently high threshold u for a large class of distributions converges to generalized Pareto distribution with cumulative distribution function 1 - x H ( x) 1 1 if 0, x H ( x) 1 exp if 0. (7)

27 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ The parameter ξ connects generalized extreme value distribution and generalized Pareto distribution. If ξ > 0, than the distribution is Pareto, if ξ < 0 the distribution is Beta and if ξ = 0 than the distribution is exponential. The value x in the equation 7 is calculated as x = x u, where x is the original value and u is selected threshold. There are several methods for threshold selection, usually graphical ad hoc approaches of which good summarizing article was provided by [16]. In the paper the threshold was set to obtain 10 % of all observations and the threshold u is 21 months. For parameter estimates there are several specific methods naming de Haan method, CME method [1] and more general methods are maximum likelihood or probability weighted moments method. Again, if ξ > -0.5, the MLE method yields consistent results. [19] 8. Computational Environment Since parameter estimates in survival analysis of interval censored data are usually done through AFT models, the in-built procedures in software (SAS, R package interval, S+) can handle only family of log-location-scale distributions and their transformations. Of these distributions only Gumbell and exponential are the part of generalized extreme value distribution and generalized Pareto distribution respectively. AFT models use Weibull distribution, but in a form with two parameters, not three. Hence the most computations in the paper are from MS Excel using Solver Add-in and GRG non-linear or Evolution solver. Nevertheless the Turnbull estimates come from R package interval. [6], [17] 9. Results Solving MLE for generalized extreme value distribution the parameter ξ converges to zero and σ to infinity. Since if ξ = 0 the Gumbell is appropriate distribution from the family of extreme value distributions. Second argument for the use of Gumbell distribution is the distribution of the whole unemployment duration which is best fitted by log-logistic or lognormal distribution, see Table 1. [4] MLEs of parameters are μ = and σ = and log-likelihood is Survival function estimates via Turnbull estimate and Gumbell distribution described above are in the Figure 1. Note the unsuitability of Turnbull estimate for obtaining large values of quantiles. Fig. 1: Survival functions of block maxima method

28 26 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 Solving MLE for generalized Pareto distribution yields the same result about the parameter ξ, which should come as no surprise. As described in chapters 6 and 7, if the distribution of the generalized extreme value distribution converges to Gumbell distribution, the generalized Pareto distribution converges to exponential distribution. MLE of parameter β is and log-likelihood is Survival function estimates via Turnbull estimate and exponential distribution described above are in the Figure 2. Fig. 2: Survival functions of peaks over threshold method Hazard function h(t) is increasing monotonous for Gumbell distribution (Figure 3) and constant for exponential distribution (h(t) = 1/β; Figure 4). Quantile functions for Gumbell and exponential distributions are Q( p) ln( ln( p)), Q( p) ln(1 p), respectively. (8) The direct estimates of quantiles with block maxima method yields the quantiles of maxims of tens in the presented case. So the x 0.99 quantile of whole distribution is x 0.9 of maxims of tens, the x quantile of whole distribution is x 0.99 of maxims etc. x x (GEV). (9) p 10( p0.9) Direct estimates of quantiles with peak over threshold method yields the quantiles of observations above the threshold. So if the threshold is set at x 0.9 quantile of the whole distribution, than x 0.99 quantile of the whole distribution is set as x 0.9 quantile of generalized Pareto distribution plus threshold u etc. x u x (GPD). (10) p 10( p0.9) In the Table 2 there are estimates of selected quantiles via extreme value theory and via log-logistic model presented in [4]. Figure 5 pictures quantile functions from the p = to the p = From both Table 2 and Figure 5 it is quite obvious that block maxima method estimates are the most conservative whereas in the area of p between and the peaks over threshold method yields the largest estimates and for the lower and the largest values of p the log-logistic distribution originally used for modelling unemployment duration yields the largest estimates.

29 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Fig. 3: Hazard function of Gumbell distribution (μ = ; σ = ) Fig. 4: Hazard function of exponential distribution (β = ) Table 2: Estimates of selected quantiles Quantile Log-logistic estimates BMM estimates POT estimates x x x x x

30 28 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 Fig. 5: Right tails of quantile functions of three models 10. Conclusion The paper dealt with the topic of unemployment duration in the post-crisis period, specifically right tail of the distribution of unemployment duration in the year It described basics of extreme value theory and survival analysis, in the context of interval censored data obtained from Labour Force Surveys. Results show that right tail distribution converges to exponential distribution and distribution of maxima of randomly selected tens of observations converges to Gumbell distribution. Largest estimates were provided by peaks over threshold method for the interval of p between and whereas for different p the largest estimate was little surprisingly that of standard log-logistic distribution for the whole dataset. The paper describes and deepens understanding of the situation on labour market by providing additional methodology and focusing on the right tail of the probability distribution of unemployment duration. Acknowledgments The support of the grant scheme IG by the University of Economics IGA is gladly acknowledged. Literature [1] ČABLA, Adam. Peaks Over Threshold in Modelling of the Czech Household Income Distribution. In: LÖSTER, Tomáš a Tomáš PAVELKA. International Days of Statistics and Economics: Conference Proceedings [online]. Slaný: Melandrium, 2011, , s. 10 [cit ]. ISBN On-line: [2] ČABLA, Adam Unemployment duration in the Czech Republic. Prague In: The 6th International Days of Statistics and Economics, Conference Proceedings. Prague, 2012, pp ISBN [3] ČABLA, Adam. Unemployment Duration before and during The Economic Crisis in The Czech Republic. Acta Aerarii Publici, 2014, roč. 11, č. speciální, s ISSN

31 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ [4] ČABLA, Adam. Unemployment Duration in the Czech Republic After the Economic Crisis. In: Applications of Mathematics and Statistics in Economics AMSE [CD ROM]. Jindřichův Hradec, Praha : University of Economics, Prague, Oeconomica Publishing House, s. ISBN [5] EUROSTAT. European Union Labour Force Survey [online] [cit ] [6] FAY, Michael P Package "interval". R Project. [Online] [Citation: ] [7] JAROŠOVÁ, Eva Modelovani delky trvani nezamestnanosti. Statistika 3/2006: [8] JAROŠOVÁ E., MALÁ I., ESSER M., POPELKA J Modelling time of Unemployment via Loglocation-scale Model. COMPSTAT 2004 Symposium: 1 8. [9] JARUŠKOVÁ, D., and HANEK, M. (2006) Peaks over threshold method in comparison with block-maxima method for estimating high return levels of several Northern Moravia precipitation and discharges series. Journal of Hydrology and Hydromechanics, 54, [10] KLEINBAUM, David G., Mitchel KLEIN. Survival Analysis: A Self-Learning Text, Third Edition. New York: Springer-Verlag, ISBN [11] KLEIN, John P., MOESCHBERGER, MELVIN L Survival Analysis: Techniques for Censored and Truncated Data. New York: Springer-Verlag New Your, Inc., [12] LIU, Xian. Survival analysis: models and applications. Peking: Higher Education Press, 2012, xii, 446 p. ISBN [13] MALÁ, Ivana. Použití konečných směsí pravděpodobnostních rozdělení pro modelování rozdělení doby nezaměstnanosti v České republice. Acta Oeconomica Pragensia, 2013, roč. 21, č. 5, s ISSN eissn [14] MALÁ, Ivana. Modelling of the distribution of the unemployment duration in the Czech Republic. In: 29th International Workshop on Statistical Modelling. [online] Göttingen, Bremen : Georg-August-University, 2014, s URL: [15] OECD.Stat. Average duration of unemployment. [online] [cit ]. [16] TANAKA, S., & TAKARA, K. (2002) A study on threshold selection in POT analysis of extreme floods. The Extremes of the Extremes: Extraordinary Floods, 271, [17] THERNEAU, Terry Package "survival". R Project. [Online] [Citation: ] [18] TURNBULL, B. W The Empirical Distribution Function with Arbitrarily Grouped, Censored and Truncated Data. Journal of the Royal Statistical Society B : E [19] Vojtěch, J. (2011). Využití teorie extrémních hodnot při řízení operačních rizik (Dissertation). Vysoká škola ekonomická v Praze Adress: Ing. Adam Čabla University of Economics in Prague, Department of statistics and probability Nám. W. Churchilla 1938/4, Praha 3, adam.cabla@vse.cz

32 30 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 Vývoj štruktúry indexu EURO STOXX 50 v čase s využitím metódy najmenšej kostry Time development of the EURO STOXX 50 Structure Using the Minimum Spanning Tree Aproach Jakub Danko Abstract: The article presents the method of identification EURO STOXX 50 index, which is based on mutual relationships between individual shares forming this index. Structure is there identified by R. Mantengna's (1999) methodology that is known as the methodology of Minimum Spanning Tree. It identifies the dominant correlation relationships between individual shares forming this index in the presented research. Minimum Spanning Trees are assessed on the 20 day rolling windows return during the period of December 2008 October These structures are then divided into four groups in pursuance of logarithmic return series of the EURO STOXX 50. The aim is to identify and compare some graph properties of the groups during the analysed time period. Abstrakt: V článku je prezentovaný spôsob identifikácie burzového indexu EURO STOXX 50, ktorý je založený na vzájomných vzťahoch medzi jednotlivými akciami tvoriacimi tento index. Štruktúra je tu identifikovaná metodológiou R. Mantegnu (1999) známej ako metóda najmenšej kostry grafu (Minimum Spanning Tree). Tá v prezentovanom výskume identifikuje dominantné korelačné vzťahy medzi jednotlivými akciami, z ktorých pozostáva daný index. Najmenšie kostry grafu sú odhadované z korelačných matíc logaritmických denných výnosností časových okien analyzovaných akcií v období od decembra 2008 do októbra Následne sú tieto najmenšie kostry rozdelené do štyroch skupín na základe logaritmických výnosností samotného indexu EURO STOXX 50 s cieľom identifikácie a komparácie určitých grafových charakteristík jednotlivých skupín v čase. Key words: Minimum Spanning Tree, EURO STOXX 50, Graph Theory, Graph Properties. Kľúčové slová: Najmenšia kostra grafu, EURO STOXX 50, Teória grafov, Grafové charakteristiky. JEL classification: C58 1. Úvod Finančné trhy sú dynamicky sa meniacou veličinou. Je preto veľmi dôležité sledovať vývoj ich štruktúry v čase. Cieľom článku je preto s využitím metódy najmenšej kostry, ktorá je jednou z metód diskrétnej matematiky (teória grafov), sledovať časový vývoj štruktúry konkrétneho trhového indexu. Za predmetný trhový index sme si vybrali EURO STOXX 50, v ktorom sme v sledovanom období sledovali meniacu sa štruktúru akcií, ktoré tento index tvoria. Základy metodológie najmenšej kostry grafu s cieľom pochopenia štruktúry kapitálových trhov položil Rosario Mantegna (1999). [2] Onnela a Chakraborti (2003) tiež vychádzajú z výpočtu minimálnej kostry grafu, avšak na rozdiel od predchádzajúceho prístupu má funkcia mapujúca korelácie medzi vrcholmi na vzdialenosti nelineárny priebeh. Túto novú sieťovú štruktúru pomenovali dynamický graf akcií. [7] Bonanno a Caldarelli (2004) sa zaoberali tým, ako vplýva na výnosnosť finančných inštrumentov časový horizont a zistili, že s klesajúcim časovým horizontom sa štruktúra grafu reprezentujúceho trh postupne mení z komplexnej na jednoduchú. Zaoberali sa tiež volatilitou časových radov cien akcií a finančnými trhmi z globálneho pohľadu. [8] Následne začali autori využívať pri analýze pokročilejšie metódy teórie grafov, napríklad reprezentáciu trhu planárnymi grafmi (grafy,

33 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ ktorých hrany sa nepretínajú). Podobná metodológia sa začala využívať aj pri analyzovaní trhu s menovými pármi, teda pri analýze výmenných kurzov Mizuno, Takayasu (2005) [9], Naylor, Rose, Moyle (2007). [10] Medzi najnovšie analýzy patria práce autorov Kenett, Tumminello, Mantegna (2010) [11], kde sa autori zaoberajú takzvanými parciálnymi koreláciami. Tieto parciálne korelácie následne využívajú ako nástroj na nájdenie najrelevantnejších hrán v grafe. Taktiež vychádzajú z planárnych grafov a v práci popisujú aj nový typ závislej siete, u ktorej zahrnutie hrán, respektíve prepojení závisí od stredných hodnôt a štandardných odchýlok jednotlivých uzlov (vrcholov) tejto siete. Vyššie spomenutí autori pri svojich analýzach prevažne využívajú údaje z New York Stock Exchange (NYSE), jedna z analýz vychádzala aj z Tel Aviv Stock Exchange (TASE). [1] 2. Popis údajovej štruktúry Index EURO STOXX 50 pozostáva z 50 akcií vybraných európskych spoločností, ktoré predstavujú tzv. blue chips európskej ekonomiky. Tieto spoločnosti sú uvedené v Tabuľke 1 a ako môžeme sledovať v spomínanej tabuľke, ide o akcie z 7 rôznych krajín a 16 odvetví európskej ekonomiky. Najviac spoločností má domicil vo Francúzsku (19) a Nemecku (14). Z pohľadu sektorovej štruktúry najviac prevláda sektor bankovníctva (8 spoločností), energetické spoločnosti a spoločnosti produkujúce tovary a služby pre priemyselný sektor (po 5 spoločností) 1. Tabuľka 1 Vnútorná skladba indexu EURO STOXX 50 Ticker Company Country Supersector ABI.BR Anheuser-Busch InBev SA/NV Belgium Food and Beverage AI.PA L'Air Liquide SA France Chemicals AIR.PA AIRBUS GROUP France Industrial Goods and Services ALV.DE Allianz SE Germany Insurance ASML.AS ASML HLDG Netherlands Technology BAS.DE BASF SE Germany Chemicals BAYN.DE Bayer AG Germany Chemicals BBVA.MC BBVA Spain Banks BMW.DE Bayerische Motoren Werke Aktiengesellschaft Germany Automobiles and Parts BN.PA Danone France Food and Beverage BNP.PA BNP Paribas SA France Banks CA.PA Carrefour SA France Retail CS.PA AXA Group France Insurance DAI.DE Daimler AG Germany Automobiles and Parts DBK.DE Deutsche Bank AG Germany Banks DG.PA VINCI S.A. France Construction and Materials DPW.DE Deutsche Post AG Germany Industrial Goods and Services DTE.DE Deutsche Telekom AG Germany Telecommunications EI.PA Essilor International SA France Health Care ENEL.MI Enel SpA Italy Utilities ENI.MI Eni SpA Italy Oil and Gas EOAN.DE E.ON SE Germany Utilities FP.PA TOTAL S.A. France Oil and Gas G.MI Assicurazioni Generali S.p.A. Italy Insurance GLE.PA Societe Generale Group France Banks GSZ.PA ENGIE SA France Utilities IBE.MC IBERDROLA Spain Utilities INGA.AS ING GROUP Netherlands Banks ISP.MI Intesa Sanpaolo S.p.A. Italy Banks ITX.MC INDITEX Spain Retail MC.PA LVMH Moët Hennessy Louis Vuitton SA France Personal and Household Goods MUV2.DE Münchener Rückversicherungs-Gesellschaft Aktiengesellschaft Germany Insurance NOK1V.HE Nokia Corporation Finland Technology OR.PA L'Oreal SA France Personal and Household Goods ORA.PA Orange France Telecommunications PHIA.AS ROY.PHILIPS Netherlands Industrial Goods and Services REP.MC REPSOL Spain Oil and Gas 1 Pre podrobnejšiu charakteristiku a analýzu vnútornej skladby indexu na základe krajín a sektorov viď Danko (2015) [6]

34 32 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 RWE.DE RWE AG Germany Utilities SAN.MC BANCO SANTANDER Spain Banks SAN.PA Sanofi France Health Care SAP.DE SAP SE Germany Technology SGO.PA Compagnie de Saint-Gobain S.A. France Construction and Materials SIE.DE Siemens Aktiengesellschaft Germany Industrial Goods and Services SU.PA Schneider Electric SE France Industrial Goods and Services TEF.MC TELEFONICA Spain Telecommunications UCG.MI UniCredit S.p.A. Italy Banks UL.PA UNIBAIL-RODAMCO France Real Estate UNA.AS UNILEVER CERT Netherlands Personal and Household Goods VIV.PA Vivendi S.A. France Media VOW3.DE Volkswagen Germany Automobiles and Parts Vlastné spracovanie podľa [12] a [13] Časové rady upravených uzatváracích cien (Adjusted Close Price) týchto 50 finančných nástrojov sme analyzovali v období od decembra 2008 do októbra Našim cieľom bolo sledovanie štruktúry daného indexu, čo chápeme ako vzájomný vzťah medzi jednotlivými zložkami tohto indexu. Vzhľadom k tomu, že skladba indexu sa v čase mení, potrebovali sme také časové obdobie, v ktorom bola skladba indexu homogénna. To nám umožnilo práve spomínané obdobie od konca roka 2008 po súčasnosť, konkrétne od do Pre každú z akcií sme vypočítali logaritmické denné výnosnosti podľa vzorca: ln ln ln (1) kde je hodnota konkrétnej akcie v čase. Na začiatku analýzy sme vychádzali z vyše logaritmických denných výnosnosti pre každú jednu akciu tvoriacu EURO STOXX 50. Následne sme využili prístup neprekrývajúcich sa časových okien dĺžky 20. Daná dĺžka sa vo všeobecnosti často používa, nakoľko približne predstavuje dĺžku jedného obchodného mesiaca. Keďže pozorovaní bolo 1 769, týmto spôsobom sme vytvorili 88 neprekrývajúcich sa časových okien, prvé v období , posledné v období V týchto oknách sme mali informácie o logaritmických výnosnostiach všetkých akcií za sledované obdobia. Následne sme z týchto výnosností pre každé jedno časové okno vypočítali korelačnú maticu, v ktorej hodnota v i tom riadku a j tom stĺpci predstavuje Pearsonov korelačný koeficient medzi i tou a j tou akciou daný vzťahom:,, (2). kde čitateľ predstavuje kovarianciu medzi i tou a j tou akciou a v menovateli je uvedený súčin štandardných odchýlok týchto akcií. Keďže sme mali 50 akcií tvoriacich analyzovaný index, výsledné korelačné matice predstavujú štvorcové symetrické matice rozmeru 50 x 50 s jednotkovou hlavnou diagonálou. Vzhľadom k tomu, že sme analyzovali 88 časových okien, vzniklo nám 88 korelačných matíc, ktoré tvorili základ pre výpočet najmenších kostier grafu a následné analýzy uvedené v nasledujúcej časti. 3. Analýza Veľmi vhodným reprezentantom vzťahu jednotlivých finančných nástrojov tvoriacich analyzovaný index sa javí graf, ako nástroj diskrétnej matematiky. Graf je definovaný množinou vrcholov, ktoré v našom prípade predstavovali jednotlivé akcie tvoriace analyzovaný index a množinou hrán, ktoré predstavovali nejaký vzťah medzi vrcholmi. Vhodným vzťahom medzi vrcholmi by mohla byť vzdialenosť týchto vrcholov, teda vzdialenosť medzi akciami v danom indexe. Otázkou je, ako definovať vzdialenosť medzi akciami tvoriacimi index. Ak chceme uvažovať o vzdialenosti, musíme definovať konkrétnu

35 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ metriku. Ako prvá uvažovaná metrika by mohlo byť využitie korelačného koeficientu uvedeného v predchádzajúcej časti. Samotný korelačný koeficient však nemôže byť metrikou vzdialenosti nakoľko nadobúda hodnoty z intervalu <-1; 1> pričom z fyzikálnej definície vzdialenosť nemôže mať záporné hodnoty. Aj keď korelačný koeficient samotný nemôže byť metrikou vzdialenosti, pomôže nám pri výpočte tejto vzdialenosti. Tu preberáme prístup viacerých autorov [2], [3], [4], ktorí využívajú vzťah:, 21, (3) kde, predstavuje vzdialenosť medzi i tou a j tou akciou v indexe a, korelačný koeficient medzi týmito akciami. Obrázok 1 Graf závislosti vzdialenosti od korelačného koeficientu Vlastné spracovanie podľa rovnice (3) v programe R Ako môžeme vidieť na Obrázku 1, v ktorom sme zobrazili závislosť vzdialenosti od korelačného koeficientu, funkcia vzdialenosti má so zvyšujúcim sa korelačným koeficientom klesajúci priebeh. Najväčšiu vzdialenosť (rovnú 2) dosahuje dvojica akcií, ktoré majú absolútne negatívnu koreláciu rovnú 1 (vid čierny krúžok). Najmenšiu vzdialenosť rovnú 0 má dvojica akcií s absolútne pozitívnou koreláciou (vid čierny trojuholník). Čierny štvorec v grafe predstavuje vzdialenosť dvoch nezávislých finančných nástrojov (s korelačným koeficientom rovným 0 a vzdialenosťou rovnou 2). Takto sme korelačné matice pretransformovali na matice vzdialeností, ktoré slúžili na zostrojenie grafov. Celá analýza prebiehala v prostredí programu R, pričom na prácu s grafmi sme využívali knižnicu igraph. Ak je graf reprezentovaný maticou vzdialenosti, dá sa v ňom vypočítať najmenšia kostra. Vychádzame pri tom z toho, že každý súvislý graf má kostru, pričom táto kostra predstavuje taký podgraf grafu, ktorý obsahuje všetky vrcholy (je faktorom), je súvislý a nemá kružnice (je stromom). Ak graf má nejaké hranové ohodnotenie (v našom prípade dĺžka hrany), potom určite musí v grafe existovať aspoň jedna taká kostra, ktorá má minimálny súčet hranových ohodnotení a takúto kostru budeme nazývať minimálna (najmenšia). Existuje viacero algoritmov na hľadanie najmenšej kostry grafu, reprezentovaného maticou vzdialenosti, napríklad Kruskalov alebo Primov algoritmus. [5] Knižnica igraph pri výpočte najmenšej kostry využíva Primov algoritmus na hranovo vážených grafoch (reprezentovaných maticou vzdialenosti). Algoritmus je nasledovný: v prvom kroku zvolíme ľubovoľný vrchol a do kostry pridáme hranu s minimálnym ohodnotením, ktorá s týmto vrcholom inciduje. Takto nám vznikne strom. Následne v ďalších krokoch k aktuálnemu stromu pridáme hranu, ktorej jeden vrchol leží v strome a druhý leží mimo stromu a to takú, ktorá má minimálne ohodnotenie. Minimálna kostra súvislého grafu s n vrcholmi teda predstavuje graf s n vrcholmi a n 1 hranami. [5]

36 34 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 Matice vzdialeností odhadnuté z korelačných matíc 88 neprekrývajúcich sa časových okien logaritmických výnosností predstavovali základ k výpočtu kompletných grafov. Z týchto grafov sme odhadli najmenšie kostry, ktoré sme považovali za reprezentantov vnútornej štruktúry analyzovaného indexu v sledovaných časových oknách. Takto sme získali 88 najmenších kostier grafu (jedna kostra za jedno časové okno). Keďže sa vnútorná štruktúra analyzovaného indexu mení v čase, tieto kostry majú v rôznych časových oknách rôzny tvar. Ako príklad uvádzame porovnanie najmenšej kostry prvého a posledného okna na Obrázku 2. Obrázok 2 Porovnanie najmenšej kostry prvého a posledného analyzovaného časového okna Vlastné spracovanie v programe R Cieľom bolo nájsť a poukázať na odlišnosti štruktúry trhu v jednotlivých obdobiach. Predpokladáme, že štruktúra trhu v konkrétnom období, ktorú reprezentujeme najmenšou kostrou konkrétneho časového okna sa mení v závislosti od situácie, ktorá na trhu nastáva. Inú štruktúru má trh v prípade pohybu do strany (nezávislý vývoj cien a výnosností akcií), inú v prípade prudkých nárastov a poklesov. Z pohľadu teórie grafov predpokladáme, že v prípade prudkých nárastov a poklesov majú výnosnosti akcií tendenciu skorelovať medzi sebou a v prípade najmenšej kostry grafu vytvoria tvar takzvanej hviezdy (jedna akcia ako centrum grafu, z ktorej vychádza množstvo ďalších akcií). Naopak pri nezávislých výnosnostiach môžeme sledovať graf s takzvanými dlhšími cestami. Tieto vlastnosti najmenších kostier možno sledovať prostredníctvom niektorých grafových charakteristík. Prvou z nich je stupeň vrcholu, ktorý predstavuje počet hrán, ktoré vychádzajú z konkrétneho vrcholu. Grafová štruktúra hviezda sa vyznačuje jedným vrcholom s vysokým stupňom a mnohými vrcholmi s nižšími stupňami, naopak tvar cesty má graf, kde väčšina vrcholov je nízkeho stupňa, najčastejšie 2. Ďalšou grafovou charakteristikou, na základe ktorej možno odlišovať vnútornú štruktúru grafov je takzvaná excentricita jeho vrcholov. Excentricita vrcholu predstavuje najdlhšiu vzdialenosť konkrétneho vrcholu od jeho najvzdialenejšieho vrcholu. Minimum z excentricít sa nazýva polomer grafu, maximum z excentricít sa nazýva priemer grafu. Vrchol, ktorý má minimálnu excentricitu sa nachádza v takzvanom centre grafu. Vrcholy grafu, ktorého štruktúra má tvar hviezdy majú nízku excentricitu, teda graf samotný má nízku hodnotu polomeru aj priemeru. Vrchol s najväčším stupňom sa nachádza v centre grafu s minimálnou excentricitou. Čo sa týka grafu s tvarom cesty tam bývajú excentricity vrcholov väčšie a hlavne takéto grafy majú veľký polomer a priemer.

37 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ V našej analýze sme predpokladali, že vnútorná štruktúra indexu EURO STOXX 50, a teda tvar najmenších kostier, je najviac determinovaný výnosnosťou tohto indexu. Vypočítali sme si preto 20 dňové logaritmické výnosnosti tohto indexu korešpondujúce s časovými oknami. Za každé jedno z 88 časových období sme vypočítali najmenšiu kostru (vypočítanú z výnosností 50 finančných nástrojov tvoriacich daný index) a okrem toho aj 20 dňovú logaritmickú výnosnosť celého indexu. Tieto výnosnosti sme rozdelili do 4 skupín podľa kvartilov, s cieľom rovnakého počtu prvkov v každej skupine. Ako môžeme vidieť na Obrázku 3 prvú skupinu tvoria časové okná s logaritmickou výnosnosťou indexu EURO STOXX -0,2044 až -0,0330. Druhú skupinu časové okná s výnosnosťou -0,0330 až 0,0004, tretiu skupinu časové okná s výnosnosťou 0,0004 až 0,0250 a štvrtú skupinu časové okná s výnosnosťou 0,0250 až 0,3556. Obrázok 3 Boxplot 20 dňových logaritmických výnosností indexu EURO STOXX 50 Vlastné spracovanie v programe R Z 88 časových okien takto vznikli 4 skupiny po 22 pozorovaní. Cieľom bolo zistiť, či najmenšie kostry nachádzajúce sa v konkrétnej skupine majú nejaké spoločné vlastnosti a či sa medzi sebou skupiny nejako odlišujú. Najmenšie kostry sme sa preto rozhodli reprezentovať binárnou maticou susednosti, ktorá predstavuje štvorcovú symetrickú maticu, v ktorej susednosť dvoch vrcholov je daná jednotkou a nesusednosť nulou. V našom prípade mali tieto matice rozmer 50 x 50 vzhľadom k tomu, že analyzovaný index je tvorený 50 finančnými nástrojmi. Následne sme matice susednosti každej skupiny spočítali a dostali sme tak pre každú jednu skupinu jednu maticu, ktorá danú skupinu reprezentovala. Hodnota v i tom riadku a j tom stĺpci tejto matice hovorí o tom, koľkokrát sa hrana daná vrcholmi i a j nachádzala v súčte najmenších kostier tvoriacich danú skupinu. Čím väčšia je táto hodnota, tým dôležitejšia je táto hrana z pohľadu reprezentácie danej skupiny. Týmto spôsobom sme vypočítali pre každú zo štyroch skupín jednu takúto agregovanú maticu susednosti. Vzhľadom k tomu, že platí:, 0: (4)

38 36 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 môžeme vypočítaním prevrátených hodnôt týchto matíc vypočítať nové matice, ktoré budú predstavovať základ na výpočet reprezentatívnych najmenších kostier za jednotlivé skupiny. Vzhľadom k tomu, že nulou nedelíme, sme z hodnôt kde bola v agregovaných maticiach nula prevrátené hodnoty nepočítali. Tieto prevrátené hodnoty sme počítali z dôvodu, že v reprezentatívnej najmenšej kostre sme chceli práve tie hrany, ktoré majú v agregovanej matici najväčšie hodnoty a algoritmus najmenšej kostry funguje naopak na princípe najmenších hrán. Agregáciou najmenších kostier sme vypočítali reprezentatívne najmenšie kostry za jednotlivé skupiny rozdelené na základe výnosností indexu EURO STOXX 50, ktoré sú uvedené na Obrázku 4. Obrázok 4 Reprezentatívne najmenšie kostry pre jednotlivé skupiny dané logaritmickými výnosnosťami indexu EURO STOXX 50 Vlastné spracovanie v programe R Prvá a štvrtá skupina predstavuje extrémne výnosnosti na trhu (veľké poklesy a veľké nárasty). Druhá a tretia skupina skôr menšie výkyvy a relatívnu stabilitu trhu. Z pohľadu tvaru reprezentatívnej najmenšej kostry je hlavne v druhej skupine (relatívne stabilný trh) možno sledovať tvar dlhej cesty, čím sa náš predpoklad o štruktúre s týmto tvarom potvrdil. Polomer reprezentatívnej najmenšej kostry v prípade tejto skupiny je 12 a priemer až 24, čo je najviac spomedzi všetkých skupín a vypovedá o prítomnosti dlhej cesty. V prvej, respektíve štvrtej skupine zase očakávame takú štruktúru, ktorá je väčšmi previazaná k sebe vzhľadom na prudké poklesy respektíve nárasty. To by mohlo byť dané nižším polomerom, respektíve priemerom najmenších kostier týchto skupín. V nami vykonanej analýze však tieto skupiny nevykazujú výrazne odlišné hodnoty priemerov, respektíve polomerov. Čo je však zjavné aj z Obrázku 4 je to, že prvá a hlavne štvrtá skupina má väčšiu početnosť vrcholov väčšieho stupňa, čo je taktiež známka väčšej koncentrácie a previazanosti akcií. Napríklad prvá skupina má až 24 % vrcholov stupňa 3, čo je najviac spomedzi všetkých skupín. Štvrtá skupina má

39 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ zase ako jediná aj jeden vrchol stupňa 5. Rozdelenie stupňov vrcholov v jednotlivých skupinách môžeme sledovať na Obrázku 5. Obrázok 5 Rozdelenie početnosti stupňov vrcholov v jednotlivých skupinách Vlastné spracovanie v programe R Na záver ešte uvádzame súhrnnú tabuľku grafových charakteristík jednotlivých skupín. Ide konkrétne o polomer a priemer grafov a distribúciu stupňov vrcholov podľa jednotlivých skupín. V nej možno sledovať určité odlišnosti jednotlivých skupín, asi najvýraznejšie sa odlišuje druhá skupina svojim vysokým priemerom, čo vypovedá o prítomnosti dlhej cesty v tejto štruktúre a stabilite daného trhového režimu. Výrazné poklesy, respektíve nárasty v prvej, respektíve štvrtej skupine možno sledovať na základe väčšej početnosti vrcholov vyšších stupňov, najmä stupňa 3, 4 a v prípade 4. skupiny aj stupňa 5. Tabuľka 2 Súhrnné grafové charakteristiky jednotlivých skupín polomer priemer stupeň 1 stupeň 2 stupeň 3 stupeň 4 stupeň 5 1. skupina ,36 0,36 0,24 0, skupina ,36 0,38 0,2 0, skupina ,3 0,5 0,14 0, skupina ,32 0,46 0,18 0,02 0,02 Vlastné spracovanie v programe R 4. Záver Výsledky analýzy vypovedajú o tom, že metóda najmenšej kostry je veľmi vhodná pri identifikácii a popise trhových štruktúr. Na základe výnosnosti analyzovaného indexu sa nám podarilo identifikovať určité trhové štruktúry, respektíve režimy, ktoré sme v práci nazývali skupinami. Poukázali sme na odlišnosti v grafových charakteristikách týchto skupín. Ukázali sme, že vnútorná štruktúra nami analyzovaného indexu sa v čase mení a na jej tvar má vplyv výnosnosť na trhu. Analýzu je v budúcnosti možno doplniť o zohľadnenie určitých časových posunov (lagov), nakoľko možno predpokladať, že štruktúra sa v závislosti od situácie na trhu

40 38 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 mení s určitým časovým oneskorením. Ďalej je možné sa zamerať na časový vývoj režimov, kde by sme mohli poukázať na to, či má trh skôr tendenciu zostávať v jednom režime alebo naopak dochádza k častému presunu z jedného režimu do druhého. Tu by sa zase dalo sledovať, ktoré režimy majú tendenciu presunu do ktorých s cieľom určitej predikcie budúceho vývoja na trhu. Literatúra [1] FINANCIAL NETWORK ANALYTICS (FNA): A Short History of Correlation Networks Research. [online]. [cit ]. Dostupné na: < [2] MANTEGNA, R. N Hierarchical structure in financial markets. In: The European Physical Journal B, vol. 11, issue 1, s [3] YINGHUA ZHANG Stock Market Network Topology Analysis Based on a Minimum Spanning Tree Approach. Thesis. [4] MISKIEWICZ, J Analysis of Time Series Correlation. The Choice of Distance Metrics and Network Structure. In: Acta Physica Polonica A, vol. 121, No. 2-B, s. B89 B94. [5] CZAP, J Teória grafov. Nepublikované študijné materiály zverejnené v MOODLE, EkF TU v Košiciach. [6] DANKO, J Analýza štruktúry indexu EURO STOXX 50 s využitím metódy najmenšej kostry. In: Forum Statisticum Slovacum 3/2015, s [7] ONNELA, J. P. CHAKRABORTI, A. KASKI, K. KERTÉSZ, J. KANTO, A Asset Trees and Asset Graphs in Financial Markets. In: Physica Scripta, vol. T106, s [8] BONANNO, G. CALDARELLI, G. LILLO, F. MICCICHÉ, S. VANDEWALLE, N. MANTEGNA, R. N Networks of Equities in Financial Markets. In: The European Physical Journal B, vol. 38, s [9] MIZUNO, T. TAKAYASU, H. TAKAYASU, M Correlation Networks Among Currencies. In: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 364, s [10] NAYLOR, M. ROSE, L. MOYLE, B Topology of Foreign Exchanges Markets Using Hierarchical Structure Methods. In: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol. 390, issue 4, s [11] KENETT, D. TUMMINELLO, M. MADI, A. GERSHGOREN, G. MANTEGNA, R. N. BEN-JACOB, E Dominating Clasp of the Financial Sector Revealed by Partial Correlation Analysis of the Stock Market. In: PLoS ONE, vol. 5, issue 12. [12] Internetová stránka indexov STOXX. [online]. [cit ] Dostupné na: < [13] Internetová stránka Finance Yahoo. [online]. [cit ]. Dostupné na: < Adresa autora: Jakub Danko, Ing. Ekonomická fakulta TU v Košiciach Boženy Němcovej 32 jakub.danko@tuke.sk

41 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Změny rodinného stavu, dosaženém vzdělání a plodnosti žen v ČR v období Changes of marital status, education attained and fertility of females in the Czech Republic in the period Tomáš Fiala, Jitka Langhamrová, Jana Langhamrová Abstract: In the period there were substantial changes in marital status, highest education attained and fertility of females in the Czech Republic. The age at marriage rose, more females remain single. The proportion of females with tertiary education increased. Fertility declined and moved to higher age, the proportion of illegitimate births grew. The paper contains the analysis of fertility of females according to age, marital status and highest education attained simultaneously. The analysis is based on a special data from the census. Abstrakt: V období došlo k výrazným změnám rodinného stavu, nejvyššího dosaženého vzdělání a plodnosti žen v České republice. Zvýšil se věk při sňatku žen, více jich zůstává svobodných. Zároveň vzrostl podíl žen s vyšším vzděláním. Plodnost poklesla, přesunula se do vyššího věku, vzrostl podíl dětí narozených mimo manželství. Článek přináší analýzu týkající se plodnosti žen současně podle věku, rodinného stavu a nejvyššího dosaženého vzdělání vycházející ze speciálních dat sčítání lidu. Key words: fertility, marital status, highest education attained, Czech Republic Klíčová slova: plodnost, rodinný stav, nejvyšší dosažené vzdělání, Česká republika JEL classification: J110, J120, J Úvod Pro roce 1989 došlo v České republice k velkým nejen politickým, ale i ekonomickým sociálním změnám a v jejich důsledku i ke změnám demografického chování. Kromě dalšího snižování úmrtnosti došlo k výrazné změně sňatkového a reprodukčního chování žen. Podobně jako v zemích západní, severní a jižní Evropy začaly i české ženy odkládat rození dětí do vyššího věku. Proto došlo, zejména ve druhé polovině 90. let minulého století k poměrně prudkému poklesu plodnosti zejména mladších žen, který byl od počátku tohoto století vystřídán postupným růstem plodnosti žen vyšších věkových kategorií. Celková plodnost žen však ani v současné době stále nedosahuje úrovně z roku (Kocourková, 2008). Současně došlo rovněž k odkládání sňatků do vyššího věku i ke snižování sňatečnosti. Zatímco dříve bylo těhotenství poměrně častým důvodem k uzavírání sňatku, aby se dítě narodilo jako manželské, po roce 1990 poměrně rychle roste podíl dětí narozených svobodným ženám (např. Burcin et al., 2010). Vzrostla úroveň vzdělanosti, výrazně se zvýšil podíl žen s vyšším vzděláním. I to byla jedna z příčin poklesu plodnosti žen. Článek se zabývá porovnáním struktury žen podle věku, rodinného stavu a nejvyššího dokončeného vzdělání na počátku roku 1991 a roku 2001 a rovněž srovnáním plodnosti žen v obdobích a Uvedené okamžiky, resp. období byly zvoleny proto, aby bylo možno využít podrobná data ze sčítání lidu.

42 40 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Změny věkové a pohlavní struktury žen v reprodukčním věku a jejich struktury podle rodinného stavu Sčítání lidu poskytuje údaje o počtech obyvatel tříděné podle řady znaků, mimo jiné podle věku, rodinného stavu a vzdělání. Speciální data poskytnutá ČSÚ obsahovala třídění podle všech těchto tří znaků současně. Na základě roku narození byl věk žen přepočten k , resp. k Byly uvažovány pouze 4 základní kategorie rodinného stavu žen (svobodná, vdaná, rozvedená, resp. ovdovělá) a pouze 4 základní kategorie vzdělání (základní, střední bez maturity, střední s maturitou, vyšší). Vzniká tedy 16 kombinací kategorií rodinného stavu a vzdělání. V některých kategoriích je přitom počet žen poměrně malý, proto byla analýza prováděna pouze podle pětiletých věkových skupin reprodukčního věku žen dokončených let. V porovnání s rokem 1991 byl v roce 2011 ve věku nad 20 let mnohem větší podíl žen svobodných. Zatímco v roce 1991 byla mezi 20 24letými ženami svobodná pouze o něco více než třetina, o 20 let později v téže věkové kategorii to bylo více než 90 % a i mezi 30 34letými byla více než třetina svobodných. Zvýšil se rovněž podíl rozvedených žen, který v posledních dvou nejvyšších věkových kategoriích reprodukčního věku dosahoval v roce 2011 téměř 25 % (Obr. 1). Zdroj: vlastní výpočty na základě speciálních dat ČSÚ ze SLDB 1991 a Obr. 1: Složení žen v reprodukčním věku podle rodinného stavu (v %) Proti roku 1991 však byla v roce 2011 výrazně vyšší vzdělanost žen. Téměř každá třetí 25 29letá žena měla ukončené vyšší vzdělání a nadpoloviční podíl 20 24letých žen s maturitou nasvědčuje tomu, že růst vzdělanosti žen bude pokračovat. Vzhledem k tomu, že vysokoškolačky mívají děti zpravidla v pozdějším věku, to však může být jedna z příčin současné nižší plodnosti (Rychtaříková, 2004). Poznamenejme ještě, že několik procent žen v každé věkové kategorii vzdělání neuvedlo (Obr. 2). Zdroj: vlastní výpočty na základě speciálních dat ČSÚ ze SLDB 1991 a Obr. 2: Složení žen v reprodukčním věku podle vzdělání (v %)

43 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/ Rodinný stav ženy může do určité míry souviset s dosaženým vzděláním. Lze například předpokládat, že ženy s vyšším vzděláním mohou být pro řadu mužů atraktivnější jako budoucí manželky, na druhou stranu některé z těchto žen možná hůře hledají manžela, který by splňoval jejich očekávání a předpoklady. Na druhou stranu mohlo být u některých žen právě vzdělávání důvodem k odkládání sňatku na dobu po ukončení studia. Zdroj: vlastní výpočty na základě speciálních dat ČSÚ ze SLDB 1991 a Obr. 3: Podíly žen daného věku, rodinného stavu a vzdělání z celkového počtu žen daného věku a vzdělání (v %)

44 42 FORUM STATISTICUM SLOVACUM 6/2015 V řadě věkových skupin jsou podíly svobodných žen nejvyšší mezi ženami s vyšším vzděláním. Příčinou může být odkládání sňatku z důvodu studia nebo i vyšší náročnost při výběru partnera. Ve vyšších věkových kategoriích v roce 2011 jsou však nejvyšší podíly svobodných mezi ženami se základním vzděláním, což by mohlo svědčit o nezájmu těchto žen uzavírat trvalé svazky nebo naopak o jejich nižší atraktivitě jako manželek. V uvedeném roce pozorujeme v těchto věkových kategoriích nejvyšší podíl vdaných žen mezi ženami s vyšším vzděláním. Je to ve věku, kdy již většina žen má vzdělání ukončené a právě vysokoškolačky mohou být pro některé muže jako partnerky velmi atraktivní. Mezi ženami s vyšším vzděláním jsou rovněž nejnižší podíly rozvedených. Příčinou může být mimo jiné skutečnost, že uzavírají sňatky později než ženy s nižším vzděláním. Rovněž podíl vdov je nejnižší právě mezi vysokoškolačkami. Lze totiž očekávat, že často mají manžely rovněž s vysokoškolským vzděláním, tedy s nižší úmrtností. 3. Plodnost žen podle věku, rodinného stavu a vzdělání v letech a Pro analýzu plodnosti že byla vybrána právě tato období, aby bylo možné použít údaje ze sčítání lidu jako střední stavy. Dopouštíme se samozřejmě určité nepřesnosti, neboť používáme počty osob v okamžiku sčítání jako počáteční stavy roku sčítání. Hodnota věku však byla přepočtena podle ročníku narození, jedinou chybou je proto zanedbání vlivu úmrtnosti (která je ovšem u žen v reprodukčním věku zanedbatelná) a migrace v období od počátku roku do okamžiku sčítání. Jako živě narozených byla použita speciální data ČSÚ, která jsou tříděna nejen podle věku matky, ale i jejího rodinného stavu a vzdělání. Vzhledem k velmi nízké plodnosti žen na konci reprodukčního období nejsou v grafech zobrazeny intervaly 45 49letých. Zdroj: vlastní výpočty na základě speciálních dat ČSÚ ze SLDB 1991 a 2011 a dat o narozených z let 1990, 1991, 2010, Obr. 4: Specifické míry plodnosti žen podle rodinného stavu (v ) Zdroj: vlastní výpočty na základě speciálních dat ČSÚ ze SLDB 1991 a 2011 a dat o narozených z let 1990, 1991, 2010, Obr. 5: Specifické míry plodnosti žen podle vzdělání (v )