Ë Á ÆÌÁ Á ÁËËÍ Ë Â Æ Í ÇË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÁÆ ËÌÇ ÀÇÏ Å ÌÀ Å ÌÁ Ë Î ¾¼½¼

Ë ÒØ ØÓÖ ÙÖ Ý ÈÇÎËÌ ÆÃÇ ÈÖÓÓ Ö Ö ÍÖ ÞÙÐ Ê Ç ÇÏËà ÓÑÔÙØ Ö ÌÝÔ ØØ Ò Ò Å Ò ¹ÙÔ ÍÖ ÞÙÐ Ê Ç ÇÏËÃ Ö Ô Ð ÈÖÓ Ø Ó ÓÚ Ö Ë ÛÓÑ Ö Ë ÇÏËÃÁ ÁË Æ ¹ ¹ ¹½ ½¹ ÁËËÆ ½ ¹¼¾ ÓÔÝÖ Ø Ý ÈÙ Ð Ò ÀÓÙ Ó Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÈÙ Ð Ò ÀÓÙ Ó Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ùк Ï ÞÝÒ ØÓÒ» Ø Ðº ¼¹ µ ¹ ¹¾ Ü ¼¹ µ ¹ ¹½ ¹Ñ Ð ÛÝ ÛÒ ØÛÓ ºÞ غÔÐ ÛÛÛº ºÞ غÔÐ

ÈÊ Æ ÍÃÇÏ Ã ÅÁ Áź Â Æ Í ÇË Ï ËÌÇ ÀÇÏÁ Å Ì Å Ì Ã Î ¾¼½¼

Ê ØÓÖ Ò Ù ÓÛÝ ÙÖ Ý ÈÇÎËÌ ÆÃÇ ÃÓÖ ØÓÖ ÍÖ ÞÙÐ Ê Ç ÇÏËÃ Ë Ñ Ò ÍÖ ÞÙÐ Ê Ç ÇÏËà ÈÖÓ Ø Ö ÞÒÝ Ó Ë ÛÓÑ Ö Ë ÇÏËÃÁ ÁË Æ ¹ ¹ ¹½ ½¹ ÁËËÆ ½ ¹¼¾ ÓÔÝÖ Ø ÝÏÝ ÛÒ ØÛÓ Ñ Ñº Â Ò Ù Ó Þ Û Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÏÝ ÛÒ ØÛÓ Ñ Ñº Â Ò Ù Ó Þ Û Þ ØÓ ÓÛ Ùк Ï ÞÝÒ ØÓÒ» Ø Ðº ¼¹ µ ¹ ¹¾ Ü ¼¹ µ ¹ ¹½ º ¹Ñ Ð ÛÝ ÛÒ ØÛÓ ºÞ غÔÐ ÛÛÛº ºÞ غÔÐ

Ë Á ÆÌÁ Á ÁËËÍ Ë Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ ÇÆÌ ÆÌË È ÖØ Áº Å Ø Ñ Ø Ò ÁØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö ÒÒÝ Ä ÓÒ ÃÐ Ò Ö Ù Þº ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÚ Ö Ö Ò Ó ÓÖÑ Ð ÔÓÛ Ö Ö ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ÓÑ Ã Ø ÖÞÝÒ º Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÓÑÓ Ö Ô ØÝÔ ÙÒØ ÓÒ ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ¾ Ö ÊÓÑ Ò Â ÖÞ Û Â º Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð ØÝ Ò ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ÖÒ Ò ØØ º Ì ÐÓ Ù Ð ØÓ ËÓ Ó ³ n Ú ÐÙ ÐÓ ººººººº ÖÝ Ð ÂÓ ÒÒ º ËÓÑ ÓÙÒØ Ò ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº  ÖÞ Û Â º ÇÒ ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ô ºººººººº ½ Â Ö Ù ÙÒ Ì Ö Ø ÊÙØ Ò Ö ÙÐ Ì ÒÒ ÐÙ Ì ÓÒ Ù ÏÓÖ Ô Øº Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÑÓÒÓ Ó ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÑÑÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô ºººººººººººººººººººººººººººººººº Þ ÖÓÛ Û Î ÞÚ ÖÝ Ò Þ º Ψ I ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý ººººººººººººº Å Ø ÓÛ Â ÒÙ Þ Ç ÖÞ ÂÓÐ ÒØ º ÇÒ ÓÑ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ó Ë ÒÞ Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ººººººººººººººººººººººººººººº ½ Å Ø ÓÛ Â ÒÙ Þ ÏÖ Ð Å ÓÖÞ Ø º Ì ÓÙÒ ÐÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ò Ô Ó À Ð Ö ÙÒØ ÓÒ ººººººººººººººººº ½ ÈÓÒÓÑ Ö Ú ËØ Ò Ð Úº ÒÓØ ÓÒ ËÁ¹ Ô Ò ÅÁ¹ Ô ºººººººººººº ÈÓÚ Ø Ò Ó ÙÖ Ýº Ü ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÖÐ ººººººººººººººººººº ½¼

Ë Á ÆÌÁ Á ÁËËÍ Ë Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ È ÖØ ÁÁº ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ù È Û ÃÙÖ ÓÛ Å ÖÓ Ûº ÇÒ ÓÑ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ó ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ ººººººººººººººººººººººººººººº ½¾½ Ë ÐÝ Ò ÒÓÚ Å Ðº ÅÓ ÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò º ½ ½ ËØÔ Ä º Î ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ººººººººººººººº ½ Ì ÓÒ Ò Ó ÇÐ º ÈÖÓ ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö ººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ó Ò ÖÞ ÞÒÝ Ò ÖÞ º Ë Ì¹ Ö Ò ÓÖ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ Ò Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ÖÞ ÞÒÝ Ò ÖÞ º ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ºººº ½ Ì ÓÒ Ò Ó ÇÐ ÓÐ ÖØÙÖ ÓÛ Å Ö Òº Ò Ò Ù Ò Ó ÖÚ ÔÐ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó Ò Ð ¹ ÖÚ Ö ÕÙ Ù Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö ºººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ½

È ÊÌ Á Å ÌÀ Å ÌÁ Ë Æ ÁÌË ÈÈÄÁ ÌÁÇÆË

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÁÆ ÇÅÈÇË Ä ÈÊÇ ÌÁÎ Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆË Ç ÁÊ Ì ÈÊÇ Í ÌË Ç ÁÆÁÌ ÊÇÍÈË ÇÎ Ê ÊÁÆ Ç ÇÊÅ Ä ÈÇÏ Ê Ë ÊÁ Ë Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø ÈÓÑ Ö Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ë ÙÔ Ö Þ Û Ó ¾¾ ¹¾¼¼ Ë ÙÔ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ö ÒÒÝ Ô Ðº ÙºÔÐ Ð Ò Ô Ðº ÙºÔÐ ØÖ Øº Ä Ø F Ð Ó Ö Ø Ö Ø p>0 S = F [[X]] Ø Ö Ò Ó ÓÖÑ Ð ÔÓÛ Ö Ö Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø X Û Ø Ó ÒØ Ò Ø Ð F F Ø ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø Ú ÖÓÙÔ Ó F G = G p B Ò Ø ÖÓÙÔ Û Ö G p p¹ ÖÓÙÔ Ò B p ¹ ÖÓÙÔº Ï Ú Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ G Ò F ÙÒ Ö Û Ø Ö Ü Ø Ó¹ ÝÐ λ Z 2 (G, F ) Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó G Û Ø Ø ÓÝÐ λ Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ò ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó G p Ò Ò ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Bº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä Ø F Ð Ó Ö Ø Ö Ø p>0 Ò G = G p B Û Ö G p ËÝÐÓÛ p¹ Ù ÖÓÙÔº Ð Ù Ò Ù ÝÚÓ ½¼ ½½ ÔÖÓÚ Ø Ø Ú ÖÝ Ò Ø ÐÝ Ò¹ Ö Ø FG¹ÑÓ ÙÐ Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ V #W Ó Ò Ò ÓÑÔÓ Ð FG p ¹ÑÓ ÙÐ V Ò Ò ÖÖ Ù Ð FB¹ÑÓ ÙÐ W Ò ÓÒÐÝ Ø Ö G p ÝÐ ÓÖ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Bº Ù ÝÚÓ ½¾ ½ Ð Ó ÒÚ Ø Ø Ñ¹ Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÖÓÙÔ Ö Ò KG Û Ö K ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ò º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓÚ Ø Ø K Ó Ö Ø Ö Ø p>0 Ò T Ø ÕÙÓØ ÒØ Ð Ó K Ø Ò Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð KG¹ÑÓ ÙÐ Ó Ø ÓÖÑ V #W Ò ÓÒÐÝ Ø Ö G p =2ÓÖ T ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Bº ÁÒ Ø Ô Ô Ö ¾ Ø Ö ÙÐØ Ó Ð Ù Ò Ù ÝÚÓ Û Ö Ò Ö Ð Þ ØÓ Ø ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò S λ G Û Ö G = G p B S = F ÓÖ S ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ø p>0º

½¼ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÓÒØ ÒÙ Ø ØÙ Ý Ó Ò ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ó G = G p B ÓÚ Ö Ø Ö Ò S = F [[X]] ÙÒ Ò ¾ º Ä Ø Ù ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ô Ô Öº Ï ÙÑ Ø Ø F Ð Ó Ö Ø Ö Ø p>0 S Ø ÙÒ Ø ÖÓÙÔ Ó S G p 1 B 1 Ò G p ÒÓÒ¹ Ð Ò Ø Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B Ù Ø Ø p (q 1)º Ú Ò ÓÝÐ λ: G G S Ò Z 2 (G, S ) Û ÒÓØ Ý S λ G Ø ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó Ø ÖÓÙÔ G ÓÚ Ö Ø Ö Ò S Û Ø Ø 2¹ÓÝÐ λº Ý Ò S λ G¹ÑÓ ÙÐ Û Ñ Ò Ò Ø ÐÝ Ò Ö Ø Ð Ø S λ G¹ÑÓ ÙÐ Û S¹ Ö º Ú Ò µ Z 2 (G p,s ) Ø ÖÒ Ð Ker(µ) Ó µ Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÐÐ ÝÐ Ù ÖÓÙÔ g Ó G p Ù Ø Ø Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó µ ØÓ g g Ó ÓÙÒ Öݺ Ï Ö ÐÐ ÖÓÑ Ôº ¾ Ø Ø G p Ker(µ) Ker(µ) ÒÓÖÑ Ð Ù ÖÓÙÔ Ó G p Ò Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó µ ØÓ Ker(µ) Ker(µ) Ó ÓÙÒ ÖÝ Ð Ó Ôº ½ ÓÖ ÑÔÐ ÔÖÓÓ µº ÍÔ ØÓ Ó ÓÑÓÐÓ Ý Ò Z 2 (G p,s ) Û Ú µ g,a = µ a,g =1 ÓÖ ÐÐ g G p Ò a Ker(µ)º ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û ÙÑ Ø Ø Ú ÖÝ ÓÝÐ µ Z 2 (G p,s ) ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒº Á H Ù ÖÓÙÔ Ó G Ø Ò Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó λ Z 2 (G, S ) ØÓ H H Û ÐÐ Ð Ó ÒÓØ Ý λº ÁÒ Ø S λ H Ù Ö Ò Ó S λ Gº ÖÓÙÔ G Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ø ÓÑÔÓ ÒØÓ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÑÓÖÔ ÖÓÙÔ º ÒÓØ { t [F : F i(f )= p ]=p t, [F : F p ]=. Ä Ø G = G p B µ Z 2 (G p,s ) Ò ν Z 2 (B,S )º µ ν : G G S Ò Ý Ì Ò Ø Ñ Ô (µ ν) x1 b 1,x 2 b 2 = µ x1,x 2 ν b1,b 2 ÓÖ ÐÐ x 1,x 2 G p b 1,b 2 B ÐÓÒ ØÓ Z 2 (G, S )º Ú ÖÝ ÓÝÐ λ Z 2 (G, S ) Ó ÓÑÓÐÓ ÓÙ ØÓ µ ν Û Ö µ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó λ ØÓ G p G p Ò ν Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó λ ØÓ B Bº ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û ÙÔÔÓ Ø Ø ÓÝÐ λ Z 2 (G, S ) ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ λ = µ νº ÓÖ ÒÝ λ = µ ν Z 2 (G, S ) Û Ú S λ G = S µ G p S S ν Bº Á Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ ÓÑÓÖÔ ØÓ Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ V #W Û Ö V Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S µ G p ¹ÑÓ ÙÐ Ò W Ò ÖÖ Ù Ð S ν B¹ ÑÓ ÙÐ Ø Ò Û Û ÐÐ Ý Ø Ø Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ä Ø Ω Ù ÖÓÙÔ Ó S º Ï Ý Ø Ø ÖÓÙÔ G = G p B Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, Ω)¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ø Ö Ü Ø ÓÝÐ λ Z 2 (G, Ω) Ù Ø Ø Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÖÓÙÔ G = G p B Ò ØÓ Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, Ω)¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ ÓÖ ÒÝ λ Z 2 (G, Ω)º Á Ω=S Ø Ò Ò Ø Ó (S, Ω)¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Û ÛÖ Ø S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º

ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½½ ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û Ö Ø Ö Þ ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ä Ø G = G p B µ Z 2 (G p,s ) ν Z 2 (B,S ) λ = µ ν Ò H =Ker(µ)º ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ½ Û ÔÖÓÚ Ø Ø H > 2 Ø Ò Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø F ¹ Ð Ö S ν B/XS ν Bº ÙÑ Ø Ø G p 2 µ Z 2 (G p,f ) ν Z 2 (B,S ) Ò λ = µ νº ÁÒ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Û ÓÛ Ø Ø S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ F µ G p Ð µ p =2 G 2 =1 Ò 2dim F (F µ G 2 / rad F µ G 2 )= G 2 µ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø F ¹ Ð Ö S ν B/XS ν Bº ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ØÙ Ý Ø ÖÓÙÔ Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ä Ø G = G p B G p 2 Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p /G pº ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ¾ Û ÔÖÓÚ Ø Ø G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ G p =1 Ò s i(f ) µ p = 2 G 2 = 1 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F σ B ÓÖ ÓÑ σ Z 2 (B,F )º Ä Ø G = G p B Ò Ð Ò ÖÓÙÔ Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p º ÁÒ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Û Ø Ð Ø Ø G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ s i(f ) µ p =2 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ B Ù ÖÓÙÔ H Ù Ø Ø B/H Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú m th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö m =max{exp(b/h), exp H}º ÁÒ Ë Ø ÓÒ 5 Û ÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ Ø Ø G = G p B Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ G p =2ÓÖ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÒÝ F ν Bº ÓÖÓÐÐ ÖÝ ØÓ Ì ÓÖ Ñ ÖØ Ø Ø G Ò ÐÔÓØ ÒØ ÖÓÙÔ Ø Ò G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ G p =2 µ F = F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B º ¾º ÈÖ Ð Ñ Ò Ö Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ p 2 ÔÖ Ñ F Ð Ó Ö Ø Ö Ø p>0 S = F [[X]] Ø Ö Ò Ó ÓÖÑ Ð ÔÓÛ Ö Ö Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø X Û Ø Ó ÒØ Ò Ø Ð F P = XS ÙÒ ÕÙ Ñ Ü Ñ Ð Ð Ó S F Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÖÓÙÔ Ó F F q = {α q : α F } S Ø ÙÒ Ø ÖÓÙÔ Ó S G = G p B Ò Ø ÖÓÙÔ Û Ö G p p¹ ÖÓÙÔ Ò B p ¹ ÖÓÙÔ H Ø ÓÑÑÙØ ÒØ Ó ÖÓÙÔ H e Ø ÒØ ØÝ

½¾ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò Ð Ñ ÒØ Ó H h Ø ÓÖ Ö Ó h H soc A Ø ÓÐ Ó Ò Ð Ò ÖÓÙÔ A Ò exp A Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ó Aº Ï ÙÔÔÓ Ø Ø G p > 1 Ò B > 1º Ú Ò Ù ÖÓÙÔ Ω Ó S Û ÒÓØ Ý Z 2 (H, Ω) Ø ÖÓÙÔ Ó ÐÐ Ω¹Ú ÐÙ ÒÓÖÑ Ð Þ 2¹ÓÝÐ Ó Ø ÖÓÙÔ H Û Ö Û ÙÑ Ø Ø H Ø ØÖ Ú ÐÐÝ ÓÒ Ωº Ò S¹ {u h : h H} Ó S λ H Ø Ý Ò u a u b = λ a,b u ab ÓÖ ÐÐ a, b H ÐÐ Ò ØÙÖ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ λ Z 2 (H, S )µº Ú Ò Ò S λ H¹ÑÓ ÙÐ V Û ÛÖ Ø End S λ H(V ) ÓÖ Ø Ö Ò Ó ÐÐ S λ H¹ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó V rad End S λ H(V ) ÓÖ Ø Â Ó ÓÒ Ö Ð Ó End S λ H(V ) Ò End S λ H(V ) ÓÖ Ø ÕÙÓØ ÒØ Ö Ò End S λ H(V )/ rad End S λ H(V ). ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÒÓØ Ý S λ H Ø F ¹ Ð Ö S λ H/XS λ H Ò Ý Ṽ Ø ØÓÖ ÑÓ ÙÐ V/XVº Ú Ò λ Z 2 (H, F ) F λ H ÒÓØ Ø ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ð Ö Ó H ÓÚ Ö F Ò F λ H Ø ÕÙÓØ ÒØ Ð Ö Ó F λ H Ý Ø Ö Ð rad F λ Hº Ï ÒØ Ý Ò Ð Ñ ÒØ a+p a F Ó Ø Ð S = S/P Û Ø Ø Ð Ñ ÒØ aº Ä ÑÑ ½º Ôº½¾ Ä Ø H Ò Ø ÖÓÙÔ λ Z 2 (H, S ) Ò V Ò S λ H¹ ÑÓ ÙÐ º Ì Ò V Ò ÓÑÔÓ Ð Ò ÓÒÐÝ End S λ H(V ) Û Ð º Ä ÑÑ ¾º Ä Ø H Ò Ø p¹ ÖÓÙÔ D Ù ÖÓÙÔ Ó H λ Z 2 (H, S ) Ò M Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ D¹ÑÓ ÙÐ º ÙÑ Ø Ø End S λ D(M) ÓÑÓÖÔ ØÓ Ð K K F Ò ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ H Ð Ò µ [s(k) :F ] ÒÓØ Ú Ð Ý p Û Ö s(k) Ø Ô Ö Ð ÐÓ ÙÖ Ó F Ò Kº Ì Ò M H := S λ H S λ D M Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ H¹ÑÓ ÙÐ Ò End S λ H(M H ) ÓÑÓÖÔ ØÓ Ð Ø Ø Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð Kº Ì ÔÖÓÓ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ø Ó Ä ÑÑ ¾º¾ ¾ Ôº ¼ º ÁØ Ù Ø Ñ Ò Ì ÓÖ Ñ Ó º Ä ÑÑ º Ä Ø K Ò Ø Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð F Ò H Ò Ø p¹ ÖÓÙÔº Á H > 2 Ø Ò Ø Ö Ü Ø Ò Ò ÓÑÔÓ Ð SH¹ÑÓ ÙÐ V Ù Ø Ø End SH (V ) ÓÑÓÖÔ ØÓ Kº È ÖÓÓ º Ä Ø K = F (θ) f(t) Ø ÑÓÒ Ñ Ò Ñ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó θ ÓÚ Ö F Ò Γ Ø ÓÑÔ Ò ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ó f(t)º ÙÑ Ø Ø Ø Ö H ÝÐ Ó ÓÖ Ö

ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½ H > 2 ÓÖ H ÖÓÙÔ Ó ØÝÔ (2, 2)º Ä Ø H = a Ò V Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò SH¹ÑÓ ÙÐ Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ E XE Γ a 0 E XE 0 0 E Ó H Û Ö E Ø ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü Ó ÓÖ Ö n = degf(t)º Ì Ò Ý ½ ÔÔº ¼ ½ End SH (V ) = Kº Á H = a b ÖÓÙÔ Ó ØÝÔ (2, 2) Ø Ò V Û Ø Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò SH¹ÑÓ ÙÐ Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ a ( E E 0 E ), b Ý ½ Ôº ½ Û Ú End SH (V ) = Kº ( E Γ 0 E Ä ÑÑ º Ä Ø p =2 [F : F 2 ]=2 H 2¹ ÖÓÙÔ Ù Ø Ø H 8 Ò H =2º ÙÑ Ð Ó Ø Ø K Ò Ø Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð F Ò [K : F ] ÒÓØ Ú Ð Ý 2º Ì Ò ÓÖ ÒÝ λ Z 2 (H, F ) Ø Ö Ü Ø Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ H¹ÑÓ ÙÐ V Ù Ø Ø End S λ H(V ) ÓÑÓÖÔ ØÓ Ð Ø Ø Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð Kº È Ö ÓÓ º Ä Ø H = c s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó Ø Ð Ò ÖÓÙÔ H/H D Ø Ù ÖÓÙÔ Ó H Ù Ø Ø H D Ò D/H =soc(h/h )º Ï Ú S λ D/S λ D(u c u e ) = S λ D, Û Ö D = D/H Ò λ xh,yh = λ x,y ÓÖ ÐÐ x, y Dº ÙÑ s>2º Ë Ò i(f )=1 F λ D = F λ D1 F F D 2, Û Ö D = D 1 D 2 Ò D 2 4º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø S λ D = S λ D1 S S D 2 º Ý Ä ÑÑ ¾ Ò Ø Ö Ü Ø Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ D¹ÑÓ ÙÐ V Ù Ø Ø End S λ D(V ) Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð Kº Ì ÑÓ ÙÐ V Ð Ó Ò S λ D¹ÑÓ ÙÐ º ÁÒ Ú Û Ó Ä ÑÑ ¾ V H Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ H¹ÑÓ ÙÐ Ò End S λ H(V H ) Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Kº ÆÓÛ Û ÓÒ Ö Ø s =2º Ë Ò H > 8 Ø Ò D Ð Òº Ä Ø D = a b Û Ö a 2 = c Ò b 2 = eº Ì Ò S λ D = i,j,k Su i au j b uk c, ).

½ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò Û Ö u 2 a = αu c, u 2 b = βu e, u 2 c = u e Ò α, β F º Á α F 2 Ø Ò S[u a ] Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó Ø ÖÓÙÔ a ÓÚ Ö Ø Ö Ò Sº Á β F 2 Ø Ò S λ D ÓÒØ Ò Ø ÖÓÙÔ Ö Ò SQ Û Ö Q = c b º ÙÑ Ø Ø α F 2 Ò β F 2 º Ë Ò i(f )=1 α 1 = δ0 2 + δ2 1β ÓÖ ÓÑ δ 0,δ 1 F º Ä Ø v = u a (δ 0 u e + δ 1 u b )º Ì Ò v 2 = αu c α 1 u e = u c º Á D = a b c Ó ØÝÔ (2, 2, 2) Ø Ò S λ D ÓÒØ Ò SQ Û Ö Q ÖÓÙÔ Ó ØÝÔ (2, 2)º ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ ¾ Ò Û Ò Ø ÔÖÓÓ º Ä ÑÑ º Ä Ø G = G p B Ò λ Z 2 (G, S )º Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ó ÒÝ Ò Óѹ ÔÓ Ð S λ G p ¹ÑÓ ÙÐ Ò ÒÝ ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ º Ì ÔÖÓÓ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ø Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø ÓÖ ÖÓÙÔ Ö Ò Ôº ½ ½ Ôº µº Ä Ø B Ò Ø p ¹ ÖÓÙÔ Ò λ Z 2 (B,S )º Ï ÒÓØ Ý S λ B Ø F ¹ Ð Ö S λ B/XS λ Bº ÓÖ y S λ B Ð Øỹ ÒÓØ y + XS λ Bº Ì F ¹ Ð Ö S λ B Ô Ö Ð º Ý Ì ÓÖ Ñ º Ôº ½¾ S λ B = S λ Bε 1... S λ Bε n ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÒØÓ Ñ Ò Ñ Ð Ð Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ S λ B = S λ Be 1... S λ Be n, Û Ö ε i Ò ÑÔÓØ ÒØ Ó Sλ B e i Ò ÑÔÓØ ÒØ Ó S λ B Ò ẽ i = ε i ÓÖ Ú ÖÝ i {1,...,n}º Ð S λ Be i Ò ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ º Ý Ì ÓÖ Ñ º Ôº ¾ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Ôº ÒÝ ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ ÓÑÓÖÔ ØÓ S λ Be j ÓÖ ÓÑ j {1,...,n}º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾¾ Ôº ½½¾ Ò Ì ÓÖ Ñ º Ôº ¾ End S λ B S λ Be j = EndS λ B S λ Be j /X End S λ B S λ Be j = End Sλ B S λ Bε j. Ä ÑÑ º Ä Ø G = G p B Ò λ Z 2 (G, S )º Á V Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G p ¹ÑÓ ÙÐ Ò W Ò ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ Ø Ò End S λ G(V #W ) = End S λ G p (V ) F End S λ B(W ).

ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½ ÈÖÓÓ º Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ½ Ôº ¾ End S λ G(V #W ) = End S λ G p (V ) S End S λ B(W ). ÔÔÐÝ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ôº Û Ó Ø Ò End S λ G(V #W ) ( ) = End S λ G p (V ) F End S λ B(W ) /R, Û Ö R := rad ( End S λ G(V ) F End S λ B(W ) ) º Ë Ò End S λ B(W ) Ô ¹ Ö Ð F ¹ Ð Ö Ø Ò End S λ G p (V ) F End S λ B (W ) Ñ ÑÔÐ Ð Ö º À Ò R =0 Ò Ø Ö ÙÐØ ÓÐÐÓÛ º Ä ÑÑ º Ä Ø G = G p B Ò λ Z 2 (G, S )º Á F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö S λ B Ø ÒS λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÈÖÓÓ ºÄ Ø W Ò ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ º Ì Ò End S λ B W = End Sλ B W = F, Û Ö W = W/XWº Ý Ä ÑÑ ½ Ò V #W Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ ÑÓ ÙÐ ÓÖ Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G p ¹ÑÓ ÙÐ V º Ý Ä ÑÑ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ä ÑÑ º Ä Ø B Ò Ø p ¹ ÖÓÙÔº ÙÑ Ø Ø F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B Ù Ø Ø p (q 1)º Ì Ò ÓÖ ÒÝ F ¹ Ð Ö S λ B Ø Ö Ü Ø ÔÐ ØØ Ò Ð K Ù Ø Ø [K : F ] ÒÓØ Ú Ð Ý pº ÈÖÓÓ ºË ¾ Ôº º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ä Ø S = F [[X]] T Ø ÕÙÓØ ÒØ Ð Ó S B Ò Ø p ¹ ÖÓÙÔ Ò λ Z 2 (B,S )º Ì Ð T ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö T λ B Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø F ¹ Ð Ö S λ Bº È Ö Ó Ó º ÙÑ Ø Ø T ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ T λ Bº ÒÓØ Ý W Ò ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ º Ë Ò T S W Ò ÓÐÙØ ÐÝ ÖÖ Ù Ð T λ B¹ ÑÓ ÙÐ Ý Ë ÙÖ³ Ä ÑÑ End S λ B(W ) = Sº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø À Ò F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S λ Bº End Sλ B ( W ) = F. (1)

½ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÆÓÛ ÙÔÔÓ Ø Ø F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S λ B = S λ B/XS λ Bº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ½µ ÓÖ ÒÝ ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ W º ÁØ Óй ÐÓÛ Ý Ì ÓÖ Ñ º Ôº ¾ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Ôº Ø Ø End S λ B(W ) = S Ø Ö ÓÖ End T λ B(T S W ) = T º À Ò T ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ T λ Bº º ÌÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ ÁÒ Ø Ë Ø ÓÒ S = F [[X]] Ò G = G p B Û Ö G p ËÝÐÓÛ p¹ Ù ÖÓÙÔ Ó G G p 1 Ò B 1º Ï ÙÑ Ø Ø G p ÒÓÒ¹ Ð Ò Ø Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B Ù Ø Ø p (q 1)º Ì ÓÖ Ñ ½º Ä Ø G = G p B µ Z 2 (G p,s ) ν Z 2 (B,S ) λ = µ ν Ò H =Ker(µ)º ÙÑ Ø Ø H > 2º Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº ÈÖÓÓ ºÁ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν B Ø Ò Ý Ä ÑÑ Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÙÑ ÒÓÛ Ø Ø F ÒÓØ ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº Ì Ö Ü Ø Ò ÖÖ ¹ Ù Ð S ν B¹ÑÓ ÙÐ W Ù Ø Ø D := End S λ B(W ) Ú ÓÒ F ¹ Ð Ö Ó Ñ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ò ÓÒ º Ý Ôº ¾ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó µ ØÓ H H Ó ÓÙÒ ÖÝ Ò G p Hº ËÙÔÔÓ Ø Ø G p ÒÓÒ¹ Ð Òº Ì Ò Ý Ä ÑÑ Ø Ö Ü Ø ÔÐ ØØ Ò Ð K ÓÖ S ν B Û Ò Ø Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð F Ò Ø [K : F ] 0(mod p)º ÁÒ Ú Û Ó Ä ÑÑ Ø Ö Ò Ò ÓÑÔÓ Ð SH¹ÑÓ ÙÐ M Ù Ø Ø End SH (M) ÓÑÓÖÔ ØÓ Kº ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾ Û ÓÒÐÙ Ø Ø M Gp Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S µ G p ¹ÑÓ ÙÐ Ò End S µ G p (M Gp ) ÓÑÓÖÔ ØÓ Ð L Ø Ø Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð Kº Ë Ò L ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ D L F D ÒÓØ Û Ð º À Ò Ý Ä ÑÑ ½ Ò M Gp #W ÒÓØ Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ º ÁÒ Ú Û Ó Ä ÑÑ S λ G ÒÓØ Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ì Û Ò G p Ð Ò ØÖ Ø Ñ Ð ÖÐݺ ÓÖÓÐÐ Öݺ ¾ Ôº Ä Ø G = G p B G p > 2 Ò λ Z2 (G, S )º Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S λ Bº È Ö Ó Ó º Ä Ø µ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó λ ØÓ G p G p º Ë Ò G p Ú Ker(µ) > 2º Æ ÜØ ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ½º Ker(µ) Û

ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º Ä Ø B Ò ÐÔÓØ ÒØ p ¹ ÖÓÙÔº µ Á Ø Ð F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÓÑ ÔÖ Ñ q B Ø Ò F ÒÓØ ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ð Ö F λ Bº µ Ì Ð F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÐÐ ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ð Ö F λ B Ò ÓÒÐÝ F = F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B º ÈÖÓÓ º µ ÙÑ Ø Ø F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÓÑ ÔÖ Ñ q B º Ì ÒØ Ö Ó ËÝÐÓÛ q¹ Ù ÖÓÙÔ B q Ó B ÓÒØ Ò Ò Ð Ñ ÒØ b Ó ÓÖ Ö qº Á {u g : g B} Ò ØÙÖ Ð F ¹ Ó Ø Ð Ö F λ B Ø Ò u b Ð Ò Ø ÒØ Ö Ó F λ Bº Ä Ø u q b = γu e γ F Ò Ð Ø F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö F λ Bº ÒÓØ Ý f 1,...,f m ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Ñ Ó Ñ Ò Ñ Ð Ô ÖÛ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÒØÖ Ð ÑÔÓØ ÒØ Ó F λ Bº Ï Ú u b = β 1 f 1 +...+ β m f m Û Ö β j F ÓÖ ÒÝ j {1,...,m}º Ì Ò γ = β q j ÓÖ Ú ÖÝ jº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø β 1 =...= β m Ò u b = β 1 u e º Ì ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÔÖÓÚ Ø Ø F ÒÓØ ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö F λ Bº µ ËÙÔÔÓ Ø Ø F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F λ B ÓÖ λ Z 2 (B,F )º Ì Ò Ú ÖÝ ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú F ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÓÙÔ B Ó¹ ÐÙØ ÐÝ ÖÖ Ù Ð º Ä Ø q ÔÖ Ñ Ú ÓÖ Ó B º Ì Ö Ü Ø ÒÓÖÑ Ð Ù ÖÓÙÔ D Ó B Ù Ø Ø B/D = qº ÒÓØ Ý π : B B/D Ø ÒÓÒ ¹ Ð ÖÓÙÔ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ò Ý V Ò Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú ØÓÖ Ô ÓÚ Ö F º Á Γ: B/D GL(V ) Ò ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú F ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó B/D ÓÒ V Ø Ò Γ:= Γ π Ò ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú F ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó B ÓÒ Ø Ô V Ò D Ker(Γ)º ÙÑ Ø Ø B/D = bd Ò Γ(bD) q = γ id V γ F º Ë Ò Ú ÖÝ Γ ÓÐÙØ ÐÝ ÖÖ Ù Ð γ F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1º ÙÑ ÒÓÛ Ø Ø Ø Ð F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 Ò F = F q ÓÖ ÔÖ Ñ q B º Ä Ø λ Z 2 (B,F )º Ì Ò F λ B = F µ B Û Ö µ B x,y =1 ÓÖ ÐÐ x, y Bº Ì Ö Ü Ø Ò F ¹ Ð Ö ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ó FH ÓÒØÓ F µ B Û Ö H ÒØÖ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö B Ý Ø ÖÓÙÔ Bº Ë Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú H th ÖÓÓØ Ó 1 Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¼º¾ Ôº F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ FHº À Ò F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F λ B ÓÖ λ Z 2 (B,F )º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø G = G p B G p 2 µ Z 2 (G p,f ) ν Z 2 (B,S ) Ò λ = µ νº Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ F µ G p Ð µ p =2 G 2 =1 Ò 2dim F F µ G 2 = G 2 µ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø F ¹ Ð Ö S ν Bº

½ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÈÖÓÓ º Á G p > 2 Ø Ò Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ ØÓ Ì ÓÖ Ñ ½ Ø Ö Ò Sλ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº Ä Ø G p =1 Ò K = F µ G p º Á K Ð Ø Ò S µ G p = K[[X]] ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ö Ò º Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð S µ G p ¹ÑÓ ÙÐ ÓÑÓÖÔ ØÓ S µ G p º Ï Ú End S µ G p (S µ G p ) = S µ G p /XS µ G p = K. Ì Ð K Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó F º Ä Ø W Ò ÖÖ ¹ Ù Ð S ν B¹ÑÓ ÙÐ Ò D := End S ν B(W )º Ì Ò D = End Sν B ( W )º Ë Ò S ν B Ô Ö Ð Ð Ö Ø ÒØ Ö Ó Ø Ú ÓÒ F ¹ Ð Ö D Ô ¹ Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó F Ôº º Ì Ò Ü Ó D ÒÓØ Ú Ð Ý p ½ º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø K F D Û Ð º ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ ½ Ò Û ÓÒÐÙ Ø Ø S µ G p #W Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ º À Ò Ý Ä ÑÑ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÙÑ Ø Ø p>2 Ò K ÒÓØ Ð º Ä Ø H Ø ÓÐ Ó G p º Ï Ú F µ H = F µ H 1 F FH 2 Û Ö H 2 pº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø S µ H = S µ H 1 S SH 2 º Ý Ä ÑÑ ¾ Ò ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ L Ó Ø Ð F Ø Ö Ü Ø Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S µ G p ¹ÑÓ ÙÐ V Ù Ø Ø End S µ G p (V ) Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Lº Ö Ù Ò Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Û ÓÒÐÙ Ø Ø S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö S ν Bº ËÙÔÔÓ Ø Ø p =2 Ò K ÒÓØ Ð º Á 4dim F F µ G 2 G 2 Ø Ò Ò Ø p>2 Û ÔÖÓÚ Ø Ø S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö S ν Bº Á 2dim F F µ G 2 = G 2 Ø Ò Ý Ì ÓÖ Ñ º¾ ¾ Ôº ¾ Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÓÖÓÐÐ Öݺ Ä Ø G p Ò Ð Ò p¹ ÖÓÙÔ B Ò ÐÔÓØ ÒØ p ¹ ÖÓÙÔ G = G p B µ Z 2 (G p,f ) ν Z 2 (B,S ) Ò λ = µ νº ÙÑ Ø Ø Ø Ð F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÓÑ ÔÖ Ñ q B º Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ F µ G p Ð µ p =2 Ò 2dim F F µ G 2 = G 2 º ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ò º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø p =2 G = G 2 B µ Z 2 (G 2,F ) ν Z 2 (B,S ) Ò λ = µ νº ÙÑ Ø Ø G 2 8 G 2 =2 Ò [F : F 2 ] 2º Ì Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº È Ö Ó Ó º Á F Ô Ö Ø Ð Ø Ò µ Ó ÓÙÒ ÖÝ ½ Ôº º ÁÒ Ø S µ G 2 Ø ÖÓÙÔ Ö Ò SG 2 º Ë Ò G 2 > 8 Ý Ì ÓÖ Ñ ½ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº ÙÑ

ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½ ÒÓÛ Ø Ø [F : F 2 ]=2º Ö Ù Ò Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Û Ù Ý Ä ÑÑ ½ Ò Ø Ø S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº º ÖÓÙÔ Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ï Ö ÐÐ ÖÓÑ Ôº ¾¼¼ Ø Ø i(f ) Ø ÙÔÖ ÑÙÑ Ó Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ø Ó 0 Ò ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö m Ù Ø Ø Ò F ¹ Ð Ö Ó Ø ÓÖÑ Ð ÓÖ ÓÑ α 1,...,α m Kº F [t]/(t p α 1 ) F... F F [t]/(t p α m ) Ì ÓÖ Ñ ¾º Ä Ø G = G p B G p 2 Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p /G pº Ì ÖÓÙÔ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ G p =1 Ò s i(f ) µ p = 2 G 2 =1 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F σ B ÓÖ ÓÑ σ Z 2 (B,F )º ÈÖÓÓ ºÄ Ø p =2 Ò G 2 Ð Òº Á s i(f )+2 Ø Ò 4dim F F λ G 2 G 2 ÓÖ ÒÝ λ Z 2 (G 2,F )º ÁÒ Ø Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ¹ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÒ Ø ÓÒ µ Ø º ÙÑ Ø Ø s = i(f )+1º Á G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÓÝÐ λ Z 2 (G 2,F ) Ù Ø Ø 2dim F F λ G 2 = G 2 º À Ò Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ËÙÔ¹ ÔÓ Ø Ø Ú ÖÝ ÒÚ Ö ÒØ Ó G 2 Ö Ø Ö Ø Ò 2º Ì Ò 4dim F F λ G 2 G 2 ÓÖ λ Z 2 (G 2,F )º Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÒ Ø ÓÒ µ Ø º Ä Ø p 2 Ò G p Ð Òº Ì Ö Ü Ø ÓÝÐ µ Z 2 (G p,f ) Ù Ø Ø F µ G p Ð Ò ÓÒÐÝ s i(f )º ÓÖ ÒÝ ν Z 2 (B,F ) Û Ú S ν B = F ν Bº ÔÔÐÝ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Û Ò Ø ÔÖÓÓ º ÓÖÓÐÐ Öݺ Ä Ø G p Ò Ð Ò p¹ ÖÓÙÔ s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p B Ò ÐÔÓØ ÒØ p ¹ ÖÓÙÔ Ò G = G p Bº ÙÑ Ø Ø Ø Ð F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÓÑ ÔÖ Ñ q B º Ì ÖÓÙÔ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ s i(f ) µ p =2 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2º ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º

¾¼ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò Ä ÑÑ º Ä Ø B Ò Ð Ò p ¹ ÖÓÙÔº Ì Ð F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÓÑ Ð Ö F λ B Ò ÓÒÐÝ B Ù ÖÓÙÔ H Ù Ø Ø B/H Ó Ýѹ Ñ ØÖ ØÝÔ Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú m th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö m =max{exp(b/h), exp H}º ÈÖÓÓ ºÄ Ø λ Z 2 (B,F ) {u b : b B} Ò ØÙÖ Ð F ¹ Ó Ø Ð Ö F λ B Z Ø ÒØ Ö Ó F λ B Ò H = {g B : u g Z}º Ì Ò H Ù ÖÓÙÔ Ó B Ò Z = F λ Hº Ì Ð Ö F λ B Ñ Ý Ú Û ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó Ø ÖÓÙÔ B := B/H ÓÚ Ö Ø Ö Ò Zº Ý Ä ÑÑ ½ Ôº F λ B = Z λ B = Z λn 1 Z... Z Z λn r, Û Ö N i ÖÓÙÔ Ó ØÝÔ (q n i i,q n i i ) q i ÔÖ Ñ Ú ÓÖ Ó B Ò Z λn i ÒØÖ Ð Z¹ Ð Ö ÑÓÖ ÓÚ Ö γ x,y := λ x,y λ 1 y,x F Ò γ qn i i x,y =1 ÓÖ ÐÐ x, y N i º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú (exp B) th ÖÓÓØ Ó 1º Á F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F λ B Ø ÒF ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø ÓÑÑÙ¹ Ø Ø Ú F ¹ Ð Ö Z = F λ Hº Ì Ö ÓÖ F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú (exp H) th ÖÓÓØ Ó 1º Ì ÖÓÙÔ B = N 1... N r Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ º Ì ÔÖÓÚ Ø Ò Øݺ Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ù Òݺ ÒÓØ Ý Ã Ò Ø Ù Ð Ó Ø Ð F Û ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú m th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö m =max{exp(b/h), exp H}º Ï Ñ Ý ÙÑ Ø Ø B Ò Ð Ò q¹ ÖÓÙÔ Û Ö q pº Ä Ø B := B/H = x 1 H y 1 H... x r H y r H, Û Ö x i H = y i H = q n i ÓÖ i {1,...,r}º Ï Ú x qn i i = h i, y qn i i = h i, Û Ö h i,h i Hº Ä Ø Z = KH Û Ø K¹ {u h : h H} Ò Ð Ø A = Z µ B Ø ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó B ÓÚ Ö Z Û Ø Z¹ {v bh : b B} Ø Ý Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ½µ bh =(x 1 H) i 1 (y 1 H) j 1...(x r H) ir (y r H) jr Û Ö 0 i s,j s <q ns Ø Ò ¾µ v qns x sh = u h s v qns y sh = u h s v bh = v i 1 x1 H vj 1 y 1 H...vir x rh vjr y rh ; ÓÖ ÐÐ s {1,...,r} µ v bh v bh = ξ j 1ī1 1...ξr jrīr v i 1+ī 1 x 1 H vj 1+ j 1 y 1 H...vir+ī r vjr+ j r x rh y, rh

ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ¾½ Û Ö ξ s ÔÖ Ñ Ø Ú (q ns ) th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ s {1,...,r}º Ì Ò A = Z µ N 1 Z... Z Z µ N r, Û Ö Z µ N s ÒØÖ Ð ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó Ø ÖÓÙÔ N s = x s H y s H ÓÚ Ö Ø Ö Ò Zº Ä Ø g Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÖÓÙÔ Bº Ì Ò g = x d 1 1 yt 1 1...x dr r ytr r h, Û Ö 0 d s t s <q ns ÓÖ Ú ÖÝ s {1,...,r} Ò h Hº Ï Ø w g = v d 1 x 1 H vt 1 y1 H...vdr x rh vtr y rh u h. Ì Ò {w g : g B} K¹ Ó Ø Ð Ö A Ò w g1 w g2 = λ g1,g 2 w g1 g 2 Û Ö λ g1,g 2 K ÓÖ ÐÐ g 1,g 2 Bº À Ò A = K λ B Ò K ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö K λ Bº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö F λ B = F K K λ Bº Ä ÑÑ ½¼º Ä Ø B Ò Ð Ò p ¹ ÖÓÙÔ Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò exp B = q m 1 1...qt mt Û Ö q 1,...,q t Ö Ô ÖÛ Ø ÒØ ÔÖ Ñ ÒÙÑ Ö º Ì Ð F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÖØ Ò Ð Ö F λ B Ò ÓÒÐÝ F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú n th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö n = q k 1 1...qkt t Ò 2k j m j ÓÖ Ú ÖÝ j {1,...,t}º È Ö Ó Ó º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ñ Ý ÙÑ Ø Ø B Ò Ð Ò q¹ ÖÓÙÔ Ó ÜÔÓÒ ÒØ q m º Ä Ø F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú (q l ) th ÖÓÓØ Ó 1 Ò F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú (q l+1 ) th ÖÓÓØ Ó 1º Á l m Ø Ò F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø ÖÓÙÔ Ð Ö FBº Ä Ø m 2 l<mº Ì ÖÓÙÔ B Ù ÖÓÙÔ H Ó ÜÔÓÒ ÒØ q m l Ù Ø Ø B/H Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò exp(b/h) =q l º Ë Ò m l l Ý Ä ÑÑ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÖØ Ò Ð Ö F ν Bº ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø l< m 2 º Ä Ø λ Z2 (B,F ) Z Ø ÒØ Ö Ó F λ B Ò H Ù ÖÓÙÔ Ó B Ù Ø Ø Z = F λ Hº Ì Ò exp H q m l º Á F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F λ B Ø Ò exp H q l º Ï Ú q m l q l Û Ò m l lº À Ò l m 2 º Ì ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø F ÒÓØ ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ú ÖÝ Ð Ö F λ Bº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø G = G p B Ò Ð Ò ÖÓÙÔ Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p º Ì ÖÓÙÔ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ s i(f ) µ p =2 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ B Ù ÖÓÙÔ H Ù Ø Ø B/H Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò F ÓÒ¹ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú m th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö m =max{exp(b/h), exp H}º ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò Ä ÑÑ º

¾¾ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø G = G p B Ò Ð Ò ÖÓÙÔ Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò¹ Ú Ö ÒØ Ó G p º ÙÑ Ø Ø B Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò exp B = q m 1 1...qt mt Û Ö q 1,...,q t Ö Ô ÖÛ Ø ÒØ ÔÖ Ñ ÒÙÑ Ö º Ì ÖÓÙÔ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ø µ s i(f ) µ p =2 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú n th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö n = q k 1 1...qkt t 2k j m j ÓÖ j {1,...,t}º Ò ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò Ä ÑÑ ½¼º º ÖÓÙÔ Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ä ÑÑ ½½º Ôº ¾¾ Ä Ø R ÆÓ Ø Ö Ò ÒØ Ö Ð ÓÑ Ò Û Ó ÒØ Ö Ð ÐÓ ÙÖ Ò Ø ÐÝ Ò Ö Ø R¹ÑÓ ÙÐ º Ì Ò Ú ÖÝ Ò Ø ÐÝ Ò Ö Ø ØÓÖ ÓÒ Ö R¹ÑÓ ÙÐ Ö Ø ÙÑ Ó Ð Ò R Ò ÓÒÐÝ Ð Ò R Ò Ö Ø Ý ÓÒ ÓÖ ØÛÓ Ð Ñ ÒØ º Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø G = G p Bº Ì ÖÓÙÔ G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ G p =2ÓÖ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F ν B ÓÖ ÒÝ ν Z 2 (B,F )º È Ö Ó Ó º ÙÑ Ø Ø G p > 2 Ò σ Z 2 (B,S )º Ý Ì ÓÖ Ñ ½ Ø Ö Ò S λ G = SG p S S σ B Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S σ Bº À Ò Ý Ä ÑÑ G p > 2 Ø Ò G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ú ÖÝ Ð Ö F ν Bº Ä Ø p =2 Ò G 2 = a Ø ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö 2º Á V Ò Ò ÓÑÔÓ Ð SG 2 ¹ÑÓ ÙÐ Ø Ò Ý ½ Ôº ¼ End SG2 (V ) = F º À Ò Ý Ä ÑÑ ½ Ò Ø Ö Ò SG 2 S S ν B Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ ÓÖ ÒÝ ν Z 2 (B,S )º ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø λ Z 2 (G, S ) Ò S λ G 2 ÒÓØ ÖÓÙÔ Ö Ò º Ì Ò S λ G 2 = Su e + Su a Û Ö u 2 a = f(x)u e f(x) S Ò f(x) S 2 º Ä Ø f(x) =a 0 + a 1 X + a 2 X 2 +... Û Ö a j F ÓÖ Ú ÖÝ j {0, 1, 2,...} θ ÖÓÓØÓ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð t 2 f(x) Ò K = T (θ) Û Ö T Ø ÕÙÓ¹ Ø ÒØ Ð Ó Sº Ï Ú S λ G 2 = S[θ]º ÒÓØ Ý L Ø ÒØ Ö Ð ÐÓ ÙÖ Ó S[θ] Ò Ø Ð Kº Ì Ò L = S[ω] Û Ö ω = θ ÓÖ ω = X n (b 0 + b 1 X +...+ b n 1 X n 1 + θ) ÑÓÖ ÓÚ Ö Ò Ø ÓÒ f(x) =b 2 0 + b 2 1X 2 +...+ b 2 n 1X 2(n 1) + a j X j, n 1 a 2n F 2 ÓÖ a 2n+1 0º j 2n

ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ¾ Ú ÖÝ Ð Ó Ø Ö Ò S[θ] Ò Ö Ø Ý ÓÒ ÓÖ ØÛÓ Ð Ñ ÒØ º Ä Ø V Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S[θ]¹ÑÓ ÙÐ º Á z S[θ] v V Ò zv =0 Ø Ò z 2 v =0º Ë Ò z 2 S Ò V Ö S¹ÑÓ ÙÐ z 2 =0ÓÖ v =0º À Ò z =0 ÓÖ v =0º Ì Ñ Ò Ø Ø V ØÓÖ ÓÒ¹ Ö S[θ]¹ÑÓ ÙÐ º Ý Ä ÑÑ ½½ V ÓÑÓÖÔ ØÓ Ò Ð J Ó Ø Ö Ò S[θ]º Ì Ð J Ö S¹ ÑÓ ÙÐ Ó Ö Ò 2º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø T S J Ò Ò ÓÑÔÓ Ð T λ G 2 ¹ÑÓ ÙÐ º Ý Ì ÓÖ Ñ º½ ¾ Ôº Ø Ð Ö T λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ì Ö ÓÖ (T S J)#(T S W ) Ò Ò ÓÑÔÓ Ð T λ G¹ÑÓ ÙÐ ÓÖ ÒÝ ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ W º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø J#W Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ º Ý Ä ÑÑ Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º À Ò G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÓÖÓÐÐ Öݺ Ä Ø G = G p B Ò ÐÔÓØ ÒØ ÖÓÙÔº Ì ÖÓÙÔ G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ø µ G p =2 µ F = F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÔÖ Ñ q B º ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ò Ì ÓÖ Ñ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø G = G p Bº ÙÑ Ø Ø F = F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÔÖ Ñ q B º Ì Ò G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º È Ö Ó Ó º Ì Ð F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÒÝ Ð Ö F ν Bº À Ò Ý Ä ÑÑ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ ÓÖ Ú ÖÝ λ Z 2 (G, S )º ÓÖÓÐÐ Öݺ Á F Ô Ö ÐÝ ÐÓ Ð Ø Ò Ú ÖÝ ÖÓÙÔ G = G p B Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ê Ö Ò ½ ĺ º Ö ÒÒÝ º ÇÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÐ ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ø Ð Ò ÖÓÙÔ ÓÚ Ö Ö ØÖ ÖÝ Ð º Í Ö Òº Å Ø º º ¾ ÆÓº ¼ ½ º ¾ ĺ º Ö ÒÒÝ º ÅÓ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ º È٠к Å Ø º Ö Ò µ ¾¼¼ º ĺ º Ö ÒÒÝ º ÇÒ Ø ÙÐ ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ¹ Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÚ Ö Ð Ó Ö Ø Ö Ø pº º Ð Ö ¾½ ½ ¾¼ ¾¼¼ º

¾ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò Äº º Ö ÒÒÝ º ÃÐ Òº ÌÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó ØÖÓÒ ÐÝ ÙÒ ÓÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÓÐÐÓÕº Å Ø º ½¼¼ ¾µ ¾ ¾ ¾¼¼ º Àº º ÌÓÖ ÓÒ Ö Ò ÔÖÓ Ø Ú ÑÓ ÙÐ º ÌÖ Ò º Ñ Öº ËÓº ½¼¾ ¾µ ½ ¾ ½ ¾º Å Ø º ÀºÁº Ð Ùº ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÑÓ ÙÐ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ º È Âº Å Ø º ½µ ½ º ºÏº ÙÖØ Áº Ê Ò Öº Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ Ò Ó Ø Ú Ð Ö º ÁÒØ Ö Ò Æ Û ÓÖ ½ ¾º ºÏº ÙÖØ Áº Ê Ò Öº Å Ø Ó Ó Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ì ÓÖÝ Û Ø ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ø ÖÓÙÔ Ò ÇÖ Ö ÎÓк ½º Ï ÐÐ Ý Æ Û ÓÖ ½ ½º º º Ö Òº ÇÒ Ø Ò ÓÑÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÖÓÙÔº Å Ø º º ¼ ¼ ½ º ½¼ Ⱥź Ù ÝÚÓ º ÇÒ ÑÓ ÙÐ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ º Ó Ðº º Æ Ù ËËËÊ ¾½ ÆÓº ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ½½ Ⱥź Ù ÝÚÓ º ÇÒ ÑÓ ÙÐ Ö Ò ÒØ Ö Ð P ¹ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ÖÓÙÔ º Í Ö Òº Å Ø º º ¾ ÆÓº ¼¹ ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ½¾ Ⱥź Ù ÝÚÓ º ÇÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ÖÓÙÔ ÓÚ Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ò º Ó Ðº º Æ Ù ËËËÊ ¾ ÆÓº ½ ¾ ¾ ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ½ Ⱥź Ù ÝÚÓ º ÇÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÚ Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ò º Í Ö Òº Å Ø º ÙÐк ¾ ÆÓº ½ ¾¼¼ º ½ º à ÖÔ ÐÓÚ Ýº ÖÓÙÔ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÎÓк ½º ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Å Ø ¹ Ñ Ø ËØÙ ½ ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Ñ Ø Ö Ñ ½ ¾º ½ º à ÖÔ ÐÓÚ Ýº ÖÓÙÔ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÎÓк ¾º ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Å Ø ¹ Ñ Ø ËØÙ ½ ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Ñ Ø Ö Ñ ½ º ½ ÀºÆº Æ º Ö Ó ÖÖ Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ º º ÄÓÒ¹ ÓÒ Å Ø º ËÓº ¾µ½¼ ½ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø ÁÎ Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ À Ê Ì ÊÁ ÌÁÇÆ Ç ÀÇÅÇ Ê ÈÀÁ Ì È ÍÆ ÌÁÇÆ Ã Ø ÖÞÝÒ ÓÑ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ ÖÑ ÃÖ ÓÛ 13/15 42 201 Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð º ÓÑ Ò ºÞ غÔÐ ØÖ Øº Ï Ð Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ f(x + y) =F (f(x),f(y)) Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ µ ÙÑ Ò Ø Ø Ø Ú Ò Ò ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ F Ó¹ Ø Ú ÙØ Ø ÓÑ Ò Ó Ò Ø ÓÒ ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÓÒÒ Ø º ÁÒ Ø ÔÖ ÒØ Ô Ô Ö Û ÐÐ Ö ØÖ Ø ÓÙÖ ÓÒ Ö Ø ÓÒ ØÓ Ø Û Ò F (u, v) = u + v +2uv. 1 uv Ì ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ñ Ý Ú Û ÓÙÒØ ÖÔ ÖØ Ó ÄÓ ÓÒÞ ³ Ò ÓÑ ³ Ö ÙÐØ ÓÒ ÐÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(f (x, y)) = f(x)+f(y) Û Ø Ø Ñ Ú ÓÙÖ Ó Ø Ú Ò Ó Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒ F. ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ñ Ø ÖÐÝ Ò Ö Ð ØÖÙØÙÖ Ò Ø ÓÑ Ò Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÙÒØ ÓÒº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Á (G, ) ÖÓÙÔ ÓÖ Ñ ÖÓÙÔ Ò F Ø Ò ÓÖ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ò ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ø H, Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(x y)=f (f(x),f(y)) ÐÐ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ó ØÖÙØÙÖ (G, ) Ò (H, F). Ï ÓÒ Ö Ö Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ F : {(x, y) ÁÊ : xy 1} ÁÊ Ó Ø ÓÖÑ F (u, v) = u + v +2uv. 1 uv

¾ Ã Ø ÖÞÝÒ ÓÑ Ì Ö Ø ÓÒ Ð ØÛÓ¹ÔÐ Ö Ð¹Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÒ ÓÒÒ Ø Ù Ø Ó Ø Ö Ð ÔÐ Ò ÁÊ 2, Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ F (F (x, y),z)=f (x, F (y,z)) ÓÖ ÐÐ (x, y, z) ÁÊ 3 Ù Ø Ø ÔÖÓ ÙØ xy, yz, F (x, y)z,xf(y,z) Ö ÒÓØ ÕÙ Ð ØÓ 1. Ê Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ù ÓÖ Ñ Ð Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ø ÖÑ Ó Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒ º Ì Ð Ó Ø Ó Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒ Û Ö Ý Ö Ø Ø ¾ Ò ÛÓÖ Û ÓÐÐÓÛ Ý Ø ÙØ ÓÖº ÓÑÓ Ö ÙÒØ ÓÒ ϕ : ÁÊ \{1} ÁÊ Ú Ò Ý Ø ÓÖÑÙÐ ϕ(x) = Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö (x, y) ÁÊ 2 \ D, Û Ö x 1 x, x 1 f(x + y) = f(x)+f(y)+2f(x)f(y) 1 f(x)f(y) D = {(x, 1 x) : x ÁÊ} {(x, 1) : x ÁÊ} {(1,x): x ÁÊ}. Ï ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÙÒØ ÓÒ f : G ÁÊ, Û Ö (G, ) ÖÓÙÔ Ø Ø Ø Ý Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(x y)= f(x)+f(y)+2f(x)f(y). (1) 1 f(x)f(y) Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ó ÖÓÙÔ (G, ) Û ÐÐ ÛÖ ØØ Ò 0. Ý ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½µ Û ÙÒ Ö Ø Ò ÒÝ ÙÒØ ÓÒ f : G ÁÊ Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ ½µ ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö (x, y) G 2 Ù Ø Ø f(x)f(y) 1. Ì Ù Û Ð Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(x)f(y) 1 ÑÔÐ f(x y)= f(x)+f(y)+2f(x)f(y) 1 f(x)f(y) ÓÖ ÐÐ x, y G. ËÓÑ Ö ÙÐØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ò ÓÙÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Þ Ð³ ÑÓÒÓ Ö Ô Ý ½ Ò Ò Ø ÛÓÖ Ó ÓÑ Ò Ö º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ Û ÐÐ Ù ÙÐ Ò Ø ÕÙ Ð Ö µº Ä ÑÑ ÓÒ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ù ÖÓÙÔ µº Ä Ø (G, +) ÖÓÙÔº Ì Ò (H, +) Ù ÖÓÙÔ Ó ÖÓÙÔ (G, +) Ò ÓÒÐÝ G H Ò Û Ö H := G \ H. H + H H, (E)

Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÓÑÓ Ö Ô ØÝÔ ÙÒØ ÓÒ ¾ ¾º Å Ò Ö ÙÐØ Ï ÔÖÓ Û Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó µº Ì ÓÖ Ñº Ä Ø (G, ) ÖÓÙÔº ÙÒØ ÓÒ f : G ÁÊ Ý Ð ÒÓÒÓÒ¹ Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(x)f(y) 1 ÑÔÐ f(x y)= f(x)+f(y)+2f(x)f(y) 1 f(x)f(y) ÓÖ ÐÐ x, y G Ò ÓÒÐÝ Ø Ö (E) ÓÖ ÓÖ f(x):= f(x):= f(x):= { 1 ÓÖ x H, 1 ÓÖ x G \ H A(x) 1 A(x) 1 ÓÖ x Γ ÓÖ x G \ Γ 1 ÓÖ x Γ \ Z 0 ÓÖ x Z 1 ÓÖ x G \ Γ, Û Ö (H, ), (Γ, ) Ö Ù ÖÓÙÔ Ó Ø ÖÓÙÔ (G, ), (Z, ) Ù ÖÓÙÔ Ó Ø ÖÓÙÔ (Γ, ), Ò A :Γ ÁÊ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ù Ø Ø 1 A(Γ). ÈÖÓÓ º ÙÑ Ø Ø f ÒÓÒÓÒ Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ µº Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø f(0) { 1, 0, 1}. ÁÒ ØØ Ò x = y =0 Ò µ Û Ó Ø Ò ÈÙØ c := f(0). Ý ÕÙ Ð ØÝ f 2 (0) = 1 or f(0) = 2f(0) + 2f 2 (0) 1 f 2. (0) c =2c 1+c 1 c 2 Û Ú c = 0 or 2(1 + c) =1 c 2, Û Ò c {0, 1} Û Ó ÒØÐÝ Û Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ c 2 =1 ÑÔÐ f(0) { 1, 0, 1}, Û Û ØÓ ÓÛÒº Á f(0) = 1, Ø Ò ØØ Ò y =0 Ò µ Û Ó Ø Ò f(x) = 1 or f(x) = f(x) 1 2f(x) 1+f(x) = 1 ÓÖ ÐÐ x G, Û Ò f = 1, ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ù Û Û Ö ÙÑ Ò f ØÓ ÒÓÒÓÒ Ø Òغ

¾ Ã Ø ÖÞÝÒ ÓÑ ÆÓÛ ÙÑ Ø Ø f(0) = 1. Ï ÓÛ Ø Ø f(g) { 1, 1}. ÁÒ ÔÙØØ Ò y =0 Ò µ Û Ó Ø Ò ÓÖ ÐÐ x G Ò Ý Ø ÕÙ Ð ØÝ f(x) =1 or f(x) = 3f(x)+1 1 f(x) Û Ú c = 1, Û Ò c = 3c +1 1 c f(x) =1 or f(x) = 1 ÓÖ ÐÐ x G. Ý ØØ Ò Û Ú H := {x G : f(x) =1}, H = {x G : f(x) = 1} Ò Û ÓÛ Ø Ø H H H, Û ÑÔÐ Ø Ø H Ù ÖÓÙÔ Ó Ø ÖÓÙÔ G Ä ÑÑ µº Ü Ö ØÖ Ö ÐÝ Ð Ñ ÒØ x H Ò y H. Ë Ò f(x)f(y) = 1, Û Ø Ý µ f(x y)= 1 º º x y H, Û Û ØÓ ÓÛÒº ËÓ Ò Ø Û Ú f(x):= { 1 ÓÖ x H, 1 ÓÖ x G \ H. Ä Ø ÒÓÛ f(0) = 0. ÈÙØ Γ:={x G : f(x) 1}. Ï Ö Ó Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Γ Ó Ø Ø Γ Ò ÓÝ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Γ Γ Γ, Û ÑÔÐ Ä ÑÑ µ Ø Ø Γ Ù ÖÓÙÔ Ó Ø ÖÓÙÔ G. Ü Ö ØÖ Ö ÐÝ x Γ Ò y Γ. Ë Ò f(x)f(y) = f(x) 1, Û Ó Ø Ò Ý µ f(x y)= f(x) 1+2f(x)( 1) 1 f(x)( 1) = 1 f(x) 1+f(x) = 1, º º x y Γ, Û Û ØÓ ÓÛÒº Ë Ò 1 f(γ) Ò f Γ Ø µ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö Ú Ö Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø f(x)f(y) 1 implies f(x y) 1+f(x y) = f(x) 1+f(x) + f(y) 1+f(y)

Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÓÑÓ Ö Ô ØÝÔ ÙÒØ ÓÒ ¾ ÓÖ ÐÐ x, y Γ, Û Ó ÒØÐÝ Û Ø 1 f(x) 1+f(x) f(y) 1+f(y) =1 f(x)+2f(x)f(y)+f(y) (1 + f(x))(1 + f(y)) º º f(x)f(y) =1 = 1 f(x)f(y) (1 + f(x))(1 + f(y)), f(x) 1+f(x) + f(y) 1+f(y) =1, Ø Ø Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ A :Γ ÁÊ Ó Ø ÓÖÑ Ý Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ A(x) := f(x) 1+f(x), x Γ A(x) +A(y) 1 implies A(x + y) = A(x) +A(y) (2) ÓÖ ÐÐ x, y Γ. Ï ÓÛ Ø Ø 1 A(Γ). ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ÙÑ Ø Ø A(x 0 ) = 1 ÓÖ ÓÑ x 0 Γ. Ì Ò Û ÓÒÐÙ Ø Ø f(x 0 ) = 1 + f(x 0 ), Û ÑÑÔÓ Ð º Ë Ò f(0) = 0, Ú ÒØÐÝ A(0) = 0. ÖÓÑ Ø Ø ÓÖ Ñ ÔÖÓÚ Ý Ö Ò A(0) = 0µ Û ÓÒÐÙ Ø Ø A Ý Ð ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÖÓÙÔ Γ Ò ÁÊ ÓÖ Ø Ö Ü Ø Ù ÖÓÙÔ Z Ó ÖÓÙÔ Γ Ù Ø ØA Ó Ø ÓÖÑ Û Ò ÓÖ A(x):= f(x):= f(x):= { 0 ÓÖ x Z, 1 2 ÓÖ x Γ \ Z, A(x) 1 A(x) 1 ÓÖ x Γ, ÓÖ x G \ Γ 0 ÓÖ x Z, 1 ÓÖ x Γ \ Z, 1 ÓÖ x G \ Γ. ÁØ Ý ØÓ Ø Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÚ Ý Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÕÙ Ø ÓÒ µº Ì Ù Ø ÔÖÓÓ Ò ÓÑÔÐ Ø º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ñ Ö Ú Ø ÓÖÑ Ó ÓÒ Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ µº

¼ Ã Ø ÖÞÝÒ ÓÑ Ê Ñ Ö º Ä Ø (G, ) ÖÓÙÔº Ì ÓÒÐÝ ÓÒ Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó µ Ö f = 1 f =0 Ò f =1º º º ÌÓ Ø ÙÑ Ø Ø f = c ÙÐ Ð µº Ì Ò Û Ò Û Û ØÓ ÓÛÒº Ê Ö Ò c 2 1= c =2c 1+c 1 c 2, c { 1, 1} or c =0 or c =2 1+c 1 c 2, c { 1, 0, 1}, ½ º Þ Ðº Ä ØÙÖ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ì Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ º ¹ Ñ ÈÖ Æ Û ÓÖ ½ º ¾ º Ö Ø Øº Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒÒ ÐÐ Ó Ø Ú Ø ÓÖÔ ÕÙ Ö Ø ÕÙ Ê Úº Å Ø º г Ò Ò Ñ ÒØ ËÙÔ Ö ÙÖ ½¼ ½¼¾ ½¼ ¼ ½ ¹½ º ú ÓÑ º Ù Ý ØÝÔ ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ð Ø ØÓ ÓÑ Ò ÙÐ Ö Ó ¹ Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒ º Ð Ò Å Ø Ñ Ø ½ ½µ ½ ½ ½ º ú ÓÑ Êº Öº Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Û Ø Ò ÙÐ Ö Ø º ÒÒº Å Ø º Ë Ð Ò ½ ¾¼ ¾¼¼ º ʺ Öº ÇÒ ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö ØÖ Ø ÓÑ Ò ÁÁº ÙÒ º Å Ø º ¾ ¾ ¾ ½ º ʺ Öº Ç Ô ÛÒÝ Ö ÛÒ Ò ÙÒ Ý ÒÝ Þ Ó Ø Þ Þ Ò º ÈÖ Æ Ù ÓÛ ÍÒ Û Ö ÝØ ØÙ áð Ó ÆÖ ½ ¾ à ØÓÛ ½ º ĺ ÄÓ ÓÒÞ º ÄÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ð Ò Å Ø Ñ¹ Ø ¾ µ ½ ¼º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÊÁ Å ÆÆ ÁÆÌ Ê ÁÄÁÌ Æ ÉÍ ËÁ¹ÍÆÁ ÇÊÅ ÇÆÎ Ê Æ ÊÓÑ Ò Ö a   ÖÞ Û b a ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ë Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ùк Ò ÓÛ ½ ¼¹¼¼ à ØÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ÖÓÑ Ò ÖÙ º ÙºÔÐ b ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ºÑº ÖÞ Û Ñ ÐºÓÑ ØÖ Øº Ï ÓÒ Ö ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ó ÕÙ Ò Ó ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÒ¹ Ø ÜØ Ó Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð ØÝ Ó Ø Ð Ñ Øº ËÓÑ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ö Ù Û Ðк ÖÞ Ð ÓÒ Ö Ò Ø ÓÒ Ð Ö ÙÐ Ö ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÔÓ ÒØÛ ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ò Ó ÙÒØ ÓÒ º ÁØ ÖÓÐ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ ÒØ Ö Ø Ò Û Ð Ð Ò Û Ø ÓÒÚ Ö Ò Ò Ø Ô Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ º Ì ÔÖ Ò Ø ÓÒ Ö ÓÐÐÓÛ º Ò Ø ÓÒ ½º ÖÞ Ð ½ º ÔÓ ÒØÛ ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ò (f n ) n=1 Ó Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ò Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X ÐÐ ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒÚ Ö ÒØ ØÓ ÙÒØ ÓÒ f : X R ε>0 n N k n p 1,...,p kn n t X (min { fp i (t) f(t) : i {1,...,kn}} <ε). ½µ Ì ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ Ø ÓÒ ÖÒ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö Û ÐÐ ÒÓÛÒº Ø ½º ËÞ ÐÚ ¹Æ Ý ¾ µº ÙÑ Ø Ø ÕÙ Ò Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ò Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒÚ Ö ÒØ ØÓ ÙÒØ ÓÒ f : X Rº Ì Ò f Ø Ð ÓÒØ ÒÙÓÙ º

¾ ÊÓÑ Ò Ö Â Â ÖÞ Û Ø ¾º Ä Ø X ÓÑÔ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ò Ð Ø (f n ) n=1 ÔÓ ÒØÛ ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ò Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ò Ò Xº Á Ø Ð Ñ Ø ÙÒØ ÓÒ f : X R ÓÒØ ÒÙÓÙ Û ÐÐ Ø Ò Ø ÕÙ Ò (f n ) n=1 ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒÚ Ö ÒØ ØÓ fº ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û ÐÐ ÓÒ Ö ÐÓ ÐÐÝ ÓÑÔ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð ÖÓÙÔ (G, +) Û Ø À Ö Ñ ÙÖ hº ÁØ ØÙÖÒ ÓÙØ Ø Ø Ò Ù ÖÙÑ Ø Ò Ø ½ ÖÖ ÓÚ Ö ØÓ ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ö Ñ Ö ÐÝ h¹ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ º Æ Ñ ÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ ÓÐ ØÖÙ º Ì ÓÖ Ñ ½º Ä Ø A Ø Ò ÓÖ À Ö Ñ ÙÖ Ð Ù Ø Ó G Û Ø h(a) > 0º ÙÑ Ø Ø ÕÙ Ò (f n ) n=1 Ó h¹ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ö Ð ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ò Ò A ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒÚ Ö ÒØ ØÓ ÙÒØ ÓÒ f : A Rº Ì Ò f Ø Ð h¹ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ º ÈÖÓÓ º Ä Ø E n ÒÓØ Ø Ø Ó ÐÐ ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÔÓ ÒØ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ f n n Nº ÅÓÖ ÓÚ Ö Ð Ø E = E n. n=1 Ë Ò h(e n )=h(a) ÓÖ ÐÐ n N Û Ð Ó Ú h(e) =h(a)º Ü Ö ØÖ Ö ÐÝ x 0 ÖÓÑ Eº ÓÖ ÒÝ ÔÓ Ø Ú ε Ø Ö Ü Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö n 0 Ù Ø Ø f n (x 0 ) f (x 0 ) < ε 3 provided that n n 0. ÁÒ Ú Û Ó ÓÒ Ø ÓÒ (1) Û Ò Ö Ø Ø Ø Ö Ü Ø n 1,...,n k Ù Ø Ø n 1 n 0,...,n k >n 0 and f n1 (t) f(t) < ε 3... f n k (t) f(t) < ε 3 ÓÖ ÐÐ t Aº Ó Ø ÙÒØ ÓÒ f ni ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø x 0 Ø Ö ÓÖ Ø Ö Ü Ø Ò ¹ ÓÖ ÓÓ U 0 Ó x 0 Ù Ø Ø f ni (t) f ni (x 0 ) < ε 3 ÓÖ ÐÐ t U 0 A Ò i {1,...,k}º Ä Ø x U 0 A Ò Ð Ø n io Ù Ø Ø f ni0 (x) f (x) < ε 3. Ì Ò f (x) f (x 0 )

Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð ØÝ Ò ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò f (x) f ni0 (x) + f ni0 (x) f ni0 (x 0 ) + f ni0 (x 0 ) f (x 0 ) <ε, Û ÔÖÓÚ Ø Ø f ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ x 0 ÖÓÑ Ø Ø E º º h¹ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö Ò Aº Ì Ù Ø ÔÖÓÓ Ò ÓÑÔÐ Ø º Ê ÐÐ Ø Ø ÙÒØ ÓÒ f :[a, b] R Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð Ò ÓÒÐÝ Ø ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÒ ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ä Ù Ñ ÙÖ º Ì Ö ÓÖ ÔÔÐÝ Ò Ì ÓÖ Ñ ½ ÓÖ Ø ÖÓÙÔ (R, +) Ò A Ò ÓÑÔ Ø ÒØ ÖÚ Ð Ò R Û Ó Ø Ò ÑÑ Ø ÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐغ Ì ÓÖ Ñ ¾º Ä Ø (f n ) n=1 ÕÙ Ò Ó Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ ¹ Ò Ò [a, b]º Á f :[a, b] R ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ó Ø ÕÙ Ò (f n ) n=1 Ø Ò f Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð Û Ðк ÈÐ ÒÐÝ Ò Ò Ö Ð Ø Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð ØÝ Ó f Ó ÒÓØ ÑÔÐÝ Ø Ø Ø Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð Ø Ð Ñ Ø Ó Ø ÕÙ Ò Ó ÒØ Ö Ð Ó ÙÒØ ÓÒ f n, n Nº Æ Ú ÖØ Ð Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒÚ Ö Ò Ö ÙÐغ Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø f n : [a, b] R Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ º Á lim f n = f ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ò Ø Ö Ü Ø Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ n g :[a, b] R Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö n ÓÒ Ø Ò f Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð Ò b lim n a f n g, f n (x) dx = b a lim f n(x) dx. n ÓÖ Ø ÔÖÓÓ Ø Ù ØÓ ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ó ÒØÐÝ Û Ø Ø Ð Ð Ä Ù Ø ÓÖ Ñ ÓÒ Ñ ÓÖ Þ ÓÒÚ Ö Ò º Ö ÙÐ Ò Ô Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ ÓÛ Ø Ø Ø ÖÓÙÔ ØÖÙ¹ ØÙÖ Û ÐÐ Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö Ò Ó Ø Ñ ÙÖ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö Ò Ò¹ Ø Ðº Ñ ØØ Ö Ó Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖ Ø ØØ Ò Û ÐÐ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ö ÔÖÓ¹ Ù Ø ÔÖÓÓ Û Ø ÒÓ ÒØ Ð Ò º Æ Ñ ÐÝ Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X Ò ÔÖÓÔ Ö σ¹ Ð I Ó Ù Ø Ó X Û Ý Ø Ø ÙÒØ ÓÒ f I ¹ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò X Û Ò Ú Ö Ø Ø Ó ÐÐ ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÔÓ ÒØ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ f Ý Ð Ñ Ñ Ö Ó I º ËÓ Û Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ô Ô Ö Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ º ÙÑ Ø Ø ÕÙ Ò (f n ) n=1 Ó I ¹ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö ÓÒ¹ Ø ÒÙÓÙ Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÒX ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÓÒÚ Ö ÒØ ØÓ ÙÒØ ÓÒ f : X Rº Ì Ò f Ø Ð I ¹ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ º ÆÓÛ Ì ÓÖ Ñ ½ ÓÑ Ô Ð Ó Ø Ð ØØ Ö Ö ÙÐØ ÓÒ ØØ Ò X := A Ò I := {F X : h(f )=0} Û Ó Ú ÓÙ ÐÝ ÓÖÑ ÔÖÓÔ Ö σ¹ Ð I Ó Ù Ø Ó Xº

ÊÓÑ Ò Ö Â Â ÖÞ Û Ê Ö Ò ½ º ÖÞ Ð º ËÙÐÐ Ö ÙÒØ ÓÒ º ŠѺ ʺ º Ë º ÁÒ Øº ÓÐÓ Ò Öº µ ½ ¼ ½ ¼½ ½ ½ ¼¼º ¾ º ËÞ ÐÚ ¹Æ ݺ Ì ÓÖÝ Ó Ê Ð ÙÒØ ÓÒ Ò ÇÖØ Ó ÓÒ Ð ÜÔ Ò¹ ÓÒ º Ñ Ã Ó Ù Ô Ø ½ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÌÀ ÄÇ Á Í Ä ÌÇ ËÇ Ç Á ËÃÁ³Ë n Î ÄÍ ÄÇ Á Ò ØØ ÖÒ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð º ÓÖÒ ºÞ غÔÐ ØÖ Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ö Ø ÐÓ Ù Ð ØÓ n Ú ÐÙ ËÓ Ó ÐÓ º ÓÖ Ò ØÓ Ø ÔÖ ÒØ Ý Å Ð ÒÓÛ Ò ËÔ ÓÛ ½ Û ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ù Ð ØÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó n Ú ÐÙ ËÓ Ó ÐÓ Ò ØÛÓ Û Ý Ý ÐÓ Ð Ñ ØÖ Ü Ò Ý Ø Ó ÖÙÐ Ó Ò Ö Ò º Ì Ò Û ÔÖÓÚ Ø Ø ÓØ ÔÔÖÓ Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ù Ð Ò Ï Ò µº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ý Ð Ò Ù Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÙÐÙ µ Û Ñ Ò Ò ÓÐÙØ ÐÝ Ö Ð Ö J =(S, F), Û Ö S Ø Ø Ó ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ù ÐØ Ò Ø Ø Ò Ö Û Ý ÓÒ ÓÙÒØ Ð Ø Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð p 1,p 2,... Ù Ò ÙÒØÓÖ ÖÓÑ Ø Ø Fº Ä Ø C ÒÓØ Ø Ñ ÐÝ Ó ÐÐ ÓÒ ÕÙ Ò Ò S Ò Ð Ø Cn Cº Ì ÓÒ ÕÙ Ò dcn Ù Ð ØÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ò Cn Ò ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ ½º α dcn(x) Y ( Y X card(y ) < ℵ 0 ÓÖ ÐÐ ÓÖÑÙÐ α, β S Ò Ú ÖÝ X S. β Y ) Cn({β}) Cn({α}) Ì Ò Ø ÓÒ Ó Ù Ð ÓÒ ÕÙ Ò ÔÔÐ Ö Û Ú Ò Ý Ï º Ä Ø J =(S, {, }) Ø Ð Ò Ù Ó ËÓ Ó ³ n Ú ÐÙ ÐÓ ¹ Ö Ò ¾ º

Ò ØØ ÖÒ Ò Ø ÓÒ ¾º n Ú ÐÙ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ð¹Ò Ø ÓÒ Ð ËÓ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ð¹ ÙÐÙ Ø ÖÑ Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ØÖ Ü M Sob =({0, 1, 2,...,n 1}, {1, 2,...,n 1}, {, }), n 3. À Ö Ø ÓÒÐÝ ÒÓÒ Ò Ø Ú ÐÙ 0º ÙÒØ ÓÒ, Ö Ò ÓÐÐÓÛ { y x y, x y = n 1 x = y, { x +1 x<n 1, x = 0 x = n 1, ÓÖ ÒÝ x, y {0, 1,...,n 1}. Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ ØÖ Ü Û Û ÐÐ ÐÐ Ù Ð ØÓ Ø Ñ ØÖ Ü M Sob =({0, 1, 2,...,n 1}, {0}, {, }), n 3, M d Sob Û Ö ÙÒØ ÓÒ Ò Ö Ò Ò Ø Ñ Û Ý Ò Ø Ñ ØÖ Ü M Sob. Ò Ø ÓÒ º ½º α df =(α (α α)). ¾º α β df =( α β). Ï ÐÐ Ø ÙÒØÓÖ Ò Ø ØÖÓÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ØÖÓÒ ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÁØ Ý ØÓ Ó ÖÚ Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ò Ý { n 1 x =0, (x) = 0, ÓØ ÖÛ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ñ ØÖ Ü M Sob ØÓ Ø ÙÒØÓÖ º Ë Ñ Ð ÖÐÝ ÙÒØ ÓÒ Ò Ý y y 1, x y = 0 x =0 Ò y =0, n 1 x 1 Ò y =0, ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø Ñ ØÖ Ü M Sob ØÓ Ø ÙÒØÓÖ º

Ì ÐÓ Ù Ð ØÓ ËÓ Ó ³ n Ú ÐÙ ÐÓ Ä ÑÑ ½º ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ ÓÖÑÙÐ α, β S Ò ÓÖ ÒÝ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ h : J ({0, 1, 2,...,n 1}, {,, }) Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ñ ÒØ Ö ØÖÙ ½º h(α β),h(α) {1, 2,...,n 1} Ø Ò h(β) {1, 2,...,n 1}, ¾º h(α β) =0 h(α) {1, 2,...,n 1} Ò h(β) =0, º h(α) {1, 2,...,n 1} h( α)=0, º h(α β) {1, 2,...,n 1} h(α) {1, 2...,n 1} ÓÖ h(β) {1, 2,...,n 1}. Ä Ø Ù ÓÒ Ö ØÛÓ Ò Ö Ò ÖÙÐ r mp : α β,α β Ä Ø R = {r mp },R d = {r d mp }., rmp d : (α β),β. α ÒÓØ Ý Hom Ø Ø Ó ÐÐ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÑ (S, {, }) ÒØÓ ({0, 1,...,n 1}, {, }) Ò Ð Ø X Sº Ï Ò Ø Ñ ØÖ Ü ÓÒ ÕÙ Ò C M (X) Ø ÓÒØ ÒØ E(M) Ó Ø Ñ ØÖ Ü M Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ò C R (X) ÓÒ Ò Ö Ò ÖÙÐ ÖÓÑ Ø Ø X Ò Ø Ø Ò Ö Û Ý Ò Ø ÓÒ º ½º C MSob (X) = = {α S : h Hom (h(x) {1,...,n 1} h(α) {1,...,n 1})}. ¾º C M d Sob (X) ={α S : h Hom (h(x) {0} h(α) =0)}. º E(M Sob )={α S : h Hom h(α) {1, 2,...,n 1}}. º E(M d Sob )={α S : h Homh(α) =0}. º C R (X) Ø Ð Ø Ø Y, Û ÐÓ ÙÒ Ö Ø ÖÙÐ r mp Ò Û Ø E(M Sob ) X Y. º C R d(x) Ø Ð Ø Ø Y, Û ÐÓ ÙÒ Ö Ø ÖÙÐ r d mp Ò Û Ø E(M d Sob ) X Y. ¾º ËÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó C MSob,C M d Sob,C R Ò C R d Ë Ò ÑÓ Ù ÔÓÒ Ò Ø ÔÖ Ñ Ø Ú ÖÙÐ Ó C R (X) Ò Ò ÐÝ Ò α α, α (β α), (α (β γ)) ((α β) (α γ)) E(M Sob ) Ø Ò Ø Ð Ð ÙØ ÓÒ Ø ÓÖ Ñ ÓÐ

Ò ØØ ÖÒ Ä ÑÑ ¾º ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ α, β S Ò X S β C R (X {α}) α β C R (X). ÈÖÓÓ º Ä Ø Ù ÙÑ Ø Ø Ø ÕÙ Ò α 1,...,α n Ø ÔÖÓÓ ÓÒ Ø Ø X {α} Ó ÓÖÑÙÐ βº Ï ÔÖÓÚ Ý Ò ÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÖ ÒÝ 1 k n Ø ÓÐ α α k C R (X). Ä Ø k =1º Ì Ò α 1 = α ÓÖ α 1 Xº Á α 1 = α Ø Ò Ò α α E(M Sob ) Û Øα α 1 C R (X). Á α 1 X Ø Ò ÒÓØ Ò Ø Ø α 1 (α α 1 ) E(M Sob ) Û Ò Ø Ø Ø ÕÙ Ò α 1 (α α 1 ),α 1,α α 1 Ø ÔÖÓÓ ÓÒ X Ó Ø ÓÖÑÙÐ α α 1 º ÙÑ ÒÓÛ Ø Ø k>1 Ò ÓÖ ÒÝ i<k,α α i C R (X)º Á α k X {α} Ø Ò Ø ÔÖÓÓ Ò ÐÓ ÓÙ Ò Ø k =1º Ì Ù Ð Ø α k Ö ÙÐØ Ý r mp ÖÓÑ α i,α j ÓÖ ÓÑ i, j < kº Ì Ö ÓÖ α j = α i α k Ò α α i α (α i α k ) C R (X)º ËÙÔÔÓ β 0,...,β n 1,α α i Ò γ 0,...,γ m 1,α (α i α k ) Ö ÔÖÓÓ Ó α α i Ò α α j Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì Ò Ø ÕÙ Ò β 0,...,β n 1,γ 0,...,γ m 1, (α (α i α k )) ((α α i ) (α α k )), α (α i α k ), (α α i ) (α α k ),α α i,α α k ÔÖÓÓ Ó α α k Ù (α (β γ)) ((α β) (α γ)) E(M Sob )º ÁÒ Ø Ò Ð Ø Ù ÙÑ Ø Ø Ø ÕÙ Ò α 1,...,α n Ø ÔÖÓÓ ÓÒ X Ó Ø ÓÖÑÙÐ α βº Ì Ò α n = α βº ÁØ Ý ØÓ Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÕÙ Ò α 1,...,α n,α,β Ø ÔÖÓÓ ÓÒ X {α} Ó Ø ÓÖÑÙÐ βº Ì Ò ÜØ Ä ÑÑ ÓÐÐÓÛ Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ò Ø ÓÒ Ò Ä ÑÑ ½º Ä ÑÑ º ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ α, β S Ò X S ½º β C MSob (X {α}) α β C MSob (X). ¾º α C MSob ({β}) β C M d Sob ({α}). º α C M d Sob ({β}) (α β) C M d Sob ( ). º Ì ÓÒ ÕÙ Ò C MSob,C M d Sob,C R Ò C R d Ö Ò Ø Öݺ Ä ÑÑ º ½º Ì ÖÙÐ r mp Ò Ñ Ð ÖÙÐ Ó Ø ÓÒ ÕÙ Ò C MSob. ¾º Ì ÖÙÐ r d mp Ò Ñ Ð ÖÙÐ Ó Ø ÓÒ ÕÙ Ò C M d Sob.

Ì ÐÓ Ù Ð ØÓ ËÓ Ó ³ n Ú ÐÙ ÐÓ ÈÖÓÓ º ½º Ý Ä ÑÑ ½ ÓÖ ÒÝ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ h Hom Ù Ø Ø h(α β),h(α) {1,...,n 1} Û Ú h(β) {1,...,n 1}. Ì Ñ Ò Ø Ø β C MSob ({α β,α}) Ò Ø Ò ÑÓ Ù ÔÓÒ Ò Ò ¹ Ñ Ð ÖÙÐ Ò C MSob. ¾º Ì ÔÖÓÓ Ò ÖÖ ÓÙØ ÓÒ Ø Ó Ò Ø ÓÒ Ò Ä ÑÑ ½º Ä ÑÑ º ½º C M d Sob ( ) =C R d( ) =E(M d Sob ). ¾º C MSob ( ) =C R ( ) =E(M Sob ). º C MSob = C R. ÈÖÓÓ º ÕÙ Ð Ø ½º Ò ¾º ÓÐÐÓÛ Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ò Ø ÓÒ º Ì ÔÖÓÓ Ó Ø ÕÙ Ð ØÝ º ÖÙÒ ÓÐÐÓÛ Ä Ø X Sº ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ÒÐÙ ÓÒ C MSob (X) C R (X) ÙÑ Ø Ø α C MSob (X). Ù ØÓ Ø Ò Ø Ö Ò Ó Ø Ñ ØÖ Ü ÓÒ ÕÙ Ò C MSob Ø Ö Ü Ø Ò Ø Ø X 0 X Ù Ø Ø α C MSob (X 0 ). Á X 0 =, Ø Ò Ù Ò ÕÙ Ð ØÝ ¾º Û Ò Ö Ø Ø α C R (X 0 ) Ò Ø Ö ÓÖ α C R (X). Ä Ø X 0 = {α 1,...,α m }. Ý Ä ÑÑ Û Ø α 1 (... (α m α)...) C MSob ( ). Ì Ò Ý ÕÙ Ð ØÝ ¾º Ò Ä ÑÑ ¾ Û Ú Ø Ø α C R ({α 1,...,α m }). X 0 X, Û Ø Ø α C R (X). ÌÓ ÔÖÓÚ Ø ÒÐÙ ÓÒ C R (X) C MSob (X) Û ÔÔÐÝ Ä ÑÑ ¾ Ä ÑÑ Ò Ø Ø Ø Ø C R Ò Ø Öݺ Ä Ø Ù Ò Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ò Ö Ð Þ ØÖÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ý Ò Ø ÓÒ º ½º (α) =α, ¾º (α, β) =α β, º (α 1,...,α n+1 )= ( (α 1,...,α n ),α n+1 ), n 2. Ä ÑÑ º ÓÖ ÒÝ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö m 1 C M d Sob ({ (α 1,...,α m )}) =C M d Sob ({α 1,...,α m }).

¼ Ò ØØ ÖÒ ÈÖÓÓ º Ï Ö Ó Ò ØÓ ÓÛ Ø Ø ÓÖ ÒÝ ÓÖÑÙÐ α S α C M d Sob ({ (α 1,...,α m )}) α C M d Sob ({α 1,...,α m }). Ý Ä ÑÑ Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø Ø Ñ ÒØ α C M d Sob ({ (α 1,...,α m )}) (α 1,...,α m ) C MSob ({α}) α (α 1,...,α m ) C MSob ( ). Ì ÕÙ Ú Ð Ò α (α 1,...,α m ) C MSob ( ) α C M d Sob ({α 1,...,α m }) Ò Ù Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ h 0 Hom Ù Ø Øh 0 ({α 1,...,α m }) {0} Ò h 0 (α) {1,...,n 1}. Ì Ò Ý Ä ÑÑ ½ Û Øh 0 (α (α 1,...,α m )) = 0. º Ä Ø α C M d ({α 1,...,α m }) Ò Ð Ø Ù ÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Sob ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ h 1 Ù Ø Ø h 1 (α (α 1,...,α m )) = 0. Ý Ä ÑÑ ½ Û Ú h 1 (α) {1,...,n 1} Ò h 1 ( (α 1,...,α m )) = 0. ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ½ Û Ó Ø Ò h 1 ({α 1,...,α m }) {0}, Ó h 1 (α) =0. Ì ÓÒØÖ Ø ÓÙÖ ÙÑÔØ ÓÒº Ä ÑÑ º ÓÖ ÒÝ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö m 1 C R d({ (α 1,...,α m )}) C R d({α 1,...,α m }). ÈÖÓÓ º Ì ÔÖÓÓ Ò ÙØ Ú ÓÒmº Ä Ø Ù Ó ÖÚ Ø Ø ( (α 1 α 2 α 1 ) α 2 ) E(M d Sob ). Ý Ä ÑÑ Ò Ò Ø ÓÒ Û Ú α 1 α 2 C R d({α 1,α 2 }). Ì Ù C R d({α 1 α 2 }) C R d({α 1,α 2 }). ÙÑ Ø Ø C R d({ (α 1,...,α k )}) C R d({α 1,...,α k }) ÓÖ ÓÑ k 2. Ï ÓÛ Ø Ø C R d( (α 1,...,α k+1 )}) C R d({α 1,...,α k+1 }). ÁÒ C R d({ (α 1,...,α k+1 )}) =C R d({ ( (α 1,...,α k ),α k+1 )}) C R d({ (α 1,...,α k ),α k+1 })=C R d({ (α 1,...,α k )} {α k+1 })= =C R d(c R d({ (α 1,...,α k )}) {α k+1 }) C R d(c R d({α 1,...,α k }) {α k+1 })= = C R d({α 1,...,α k } {α k+1 })=C R d({α 1,...,α k+1 }). Ä ÑÑ º ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ ÓÖÑÙÐ α, α 1,...,α m S α C MSob ({ (α 1,...,α m )}) α C MSob ({α 1 })... C MSob ({α m }).

Ì ÐÓ Ù Ð ØÓ ËÓ Ó ³ n Ú ÐÙ ÐÓ ÈÖÓÓ º ÁØ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ä ÑÑ ½ Ò Ò Ø ÓÒ º Ä ÑÑ º ½ ½º C MSob ({α}) =S α C M d Sob ( ). ¾º C M d Sob ({α}) =S α C MSob ( ). ÈÖÓÓ º ½º º Ä Ø Ù ÙÑ Ø Ø C MSob ({α}) =S. Ë Ò (p p) C MSob ({α}), Ø Ò ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ Û Ø α C M d Sob ({ (p p)}). ÙØ (p p) C M d Sob ( ), Ó α C M d Sob ( ). º Ä Ø Ù ÙÑ Ø Ø α C M d ( ). Ý Ä ÑÑ ½ Ò Ò Ø ÓÒ Sob Û Ø h(α γ) {1,...,n 1} ÓÖ Ú ÖÝ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ h Ò ÒÝ ÓÖÑÙÐ γ Sº Ý Ò Ø ÓÒ Ò Ä ÑÑ Û Ó Ø Ò Ø Ø γ C MSob ({α}) ÓÖ ÒÝ ÓÖÑÙÐ γ S Ó S C MSob ({α}). Ø ÓÔÔÓ Ø ÒÐÙ ÓÒ ØÖ Ú ÐÐÝ ÓÐ Û Ó Ø Ò C MSob ({α}) =S. ¾º Ì ÔÖÓÓ Ò ÐÓ ÓÙ ÓÚ º º Å Ò Ö ÙÐØ ÆÓÛ Û ÓÒ Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ù Ð Ò Ø Ò Ó Ò Ø ÓÒ ½ ØÓ Ø ÓÒ ÕÙ Ò C R Ò C MSob Ò Ø Ö Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ C M d Sob Ò C R dº Ì ÓÖ Ñ ½º C R d = C M d Sob = dc MSob = dc R. ÈÖÓÓ º ½ C R d = C M d Sob. Ý Ä ÑÑ Û ÒÓÛ Ø Ø C R d( ) =C M d Sob ( ) Ò Ò Ý Ä ÑÑ Ø ÖÙÐ r d mp Ò Ñ Ð ÖÙÐ Ó Ø ÓÒ ÕÙ Ò C M d Sob Û Ø C R d(x) C M d Sob (X) ÓÖ Ú ÖÝ X S Û Ñ Ò Ø Ø C R d C M d Sob. ÆÓÛ Ð Ø α C M d (X). Ë Ò Ø ÓÒ ÕÙ Ò C Sob M d Ò Ø ÖÝ Ø Ö Sob Ü Ø Ò Ø Ø X 0 Ù Ø Ø X 0 X Ò α C M d (X 0 ). Sob Á X 0 =, Ø Ò Ý Ä ÑÑ Û Ø α C R d(x). ÙÑ Ø Ò Ø Ø X 0 = {α 1,...,α m }. ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ Û Ú α C M d ({ (α 1,...,α m )}). ÁÒ ØÙÖÒ Ä ÑÑ Sob Ý Ð Ø Ø (α (α 1,...,α m )) C M d ( ). Ì Ö ÓÖ Ý Ä ÑÑ Û Sob Ó Ø Ò Ø Ø (α (α 1,...,α m )) C R d( ). À Ò α C R d({ (α 1,...,α m )}) C R d({α 1,...,α m }) Ò Ø Ò α C R d(x). Ì Ù Û Ú ÓÛÒ Ø Ø C M d C Sob R d.

¾ Ò ØØ ÖÒ ¾ C M d Sob = dc MSob. Ä Ø α C M d (X). Ì Ò Ý Ò Ø Ö Ò Ó C Sob M d Û Ù Ø Ø Sob α C M d (X 1 ) ÓÖ Ò Ø Ø X 1 Xº Sob Á X 1 =, Ø Ò Ý Ä ÑÑ C MSob ({α}) =S. À Ò C MSob ({β}) C MSob ({α}), º º α dc MSob (X). β Á X 1 = {α 1,...,α m }, Ø Ò α C M d Sob ({α 1,...,α m }). ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ Ò Û Ó Ø Ò Ø Ø (α 1,...,α m ) C MSob ({α}). ÖÓÑ Ø Ò Ä ÑÑ Û Ú C MSob ({α 1 })... C MSob ({α m }) C MSob ({α}). Ì Ù α dc MSob (X) Ý Ò Ø ÓÒ ½º Ï Ú Ù Ø ÓÛÒ Ø Ø C M d Sob dc MSob. ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø α dc MSob (X). Ý Ò Ø ÓÒ ½ Ø Ö Ü Ø Ò Ø Ø Y X Ù Ø Ø C MSob ({β}) C MSob ({α}). β Y Á Y =, Ø Ò ÖÓÑ Ø Ø Ø Ø C MSob ({β}) =S Ò Ä ÑÑ Û β Ó Ø Ò Ø Ø α C M d (X). Sob Ì Ö ÓÖ Ð Ø Ù ÙÑ Ø Ø Y = {β 1,...,β m }. Ì Ù C MSob ({β 1 })... C MSob ({β m }) C MSob ({α}). Ý Ä ÑÑ Û Ú Ø Ø C MSob ({ (β 1,...,β m )}) C MSob ({α}), º º (β 1,...,β m ) C MSob ({α}). ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ Û ÓÒÐÙ Ø Ø α C MSob d({ (β 1,...,β m )}). Ì Ò ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ Û Ó Ø Ò Ø Ø α C M d ({β 1,...,β m }). Sob À Ò α C M d (X) Ù Y = {β 1,...,β m } X. Ì ÔÖÓÚ Ø Ø Sob dc MSob (X) C M d (X), Ó dc MSob C Sob M d. Sob Ì ÕÙ Ð ØÝ dc MSob = dc R ÓÐÐÓÛ Ö ØÐÝ ÖÓÑ Ä ÑÑ º Ì Ö ÓÖ Ø ÒØ ÒØ Ð ÐÓ (S, C R d) Ò Ö Ö ÐÓ Ù Ð ØÓ Ø ËÓ Ó ³ n Ú ÐÙ ÐÓ (S, C R ). ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ö Ø Ö Þ Ý Ø Ñ ØÖ Ü M Sob d º Ê Ö Ò ½ º Å Ð ÒÓÛ Åº ËÔ ÓÛ º Ù Ð ÓÙÒØ ÖÔ ÖØ Ó Ù Û Þ³ Ò¹ Ø ÒØ Ð ÐÙÐ º ËØÙ ÄÓ ¾µ ½ ½ ¾ ½ º ¾ º ËÓ Ó º Ü ÓÑ Ø Þ Ø ÓÒ Ó ÖØ Ò Ñ ÒÝ¹Ú ÐÙ Ý Ø Ñ Ó Ø Ø ÓÖÝ Ó ÙØ ÓÒº ÊÓÞÒ ÔÖ Ò Ù ÓÛÝ ÞÖÞ Þ Ò Ý Ø ÒØ Û ÍÒ Û Ö Ý Ø ØÙ Â Þ È Ù Ó ÛÏ Ö Þ Û ÆÓº ½ ½ ½ º ʺ Ï º Ù Ð ÓÙÒØ ÖÔ ÖØ Ó ÓÒ ÕÙ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÙÐк Ë Øº ÄÓ ¾ ½µ ¾¼½ ¾½ ½ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ËÇÅ ÇÍÆÌÁÆ ÇÊÅÍÄ Ë ÇÊ ÁÆÁÌ ÁËÌÊÁ ÍÌÁÎ Ä ÌÌÁ Ë ÂÓ ÒÒ ÖÝ Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð º ÖÝ Ð ºÞ غÔÐ ØÖ Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÓÛ Ø Ø Ø Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ Ó Ò Ø ¹ ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Ù ÒØ ØÖÙØÙÖ ØÓ Ö Ø Ö Þ Ø Ð ØØ ÒÙÑ Ö ÐÐݺ Ï ÔÖÓÚ ÓÑ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÐ Ð Ñ ÒØ Ó Ò Ø ØÖ Ù¹ Ø Ú Ð ØØ Û Ø Ø Ú Ò Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ ÐÐ Ø Ð Ñ ÒØ Û Ø Ü ØÐÝ k ÐÓÛ Ö ÓÚ Ö Ò ÐÐ Ø ÓÚ Ö Ò Ô Ö º ÁÒØÖÓ Ù Ò ÓÑ ÑÔÐ Ü ÑÔÐ Û ÓÛ ÓÛ Ø ÓÖÑÙÐ ÛÓÖ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø Ó Ò Ø Ð ØØ Ø Ó Ø Ò ÑÔÓ Ð ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ý Ö Ñ º ÌÓ ÑÔÐ Ý Ø Ö Ö ÔØ ÓÒ Ø Ù ÙÐ ØÓ ÒØÖÓ Ù Ø Ñ Ø Ó Ú Ò Ý À ÖÖÑ ÒÒ Ò ÐÐ ÐÙ Ò Ó Ð ØØ Û Ò Ø Û Ý Ó Ù Ð Ò Ð ØØ Ý Ñ Ò Ó Ñ ÐÐ Ö ØÖÙØÙÖ º ÁØ Ô ÖØ ÙÐ ÖÐÝ Ù ÙÐ Ò Ø Ó Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Û ØÙÖÒ ÓÙØ ØÓ ÐÙ ÖÓÑ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÓÐ Ò ÒØ ÖÚ Ð ÓÖ Ò ØÓ ÓÑ ØÓÖ ØÖÙØÙÖ Ò Ð Ó Ð ØØ µ ÐÐ Ø Ð ØÓÒº ÀÓÛ Ú Ö ÒÓÛ Ò ÓÒÐÝ Ø Ð ØÓÒ Ò ÓÓÐ Ò Ð ØØ Ö ÖÓÑ Û Ò ÓÖ Ò Ð ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ D Ù ÐØ Ó ÒÓØ Ñ Ò Ø Ø Û ÒÓÛ ÓÛ Ø Ð ØØ D ÐÓÓ Ð º ÌÓ Ñ Ø Ö ÔØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Û ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒº À Ö Û Ö Ó Ò ØÓ ÓÛ ÓÛ ØÓ ÓÑÔÙØ ÓÑ ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ú ÐÙ Ó Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Û Ó Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ ÒÓÛÒº Ä Ø Ù Ø ÖØ Û Ø ÒØÖÓ Ù Ò ÓÑ ÒÓØ ÓÒ º ÁØ Û ÔÖÓÚ Ò ¾ Ø Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÓÐ Ò ÒØ ÖÚ Ð Û ÓÒ Ø ØÙØ Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Ö Ò Ø ÐÓ Ó Ø Ñ ÐÐ Ø ÐÙ ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ó Ø Ð ØØ º

ÂÓ ÒÒ ÖÝ Ð ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ð ØØ L Ö Ü Ú Ò ÝÑÑ ØÖ Ò ÖÝ Ö Ð ¹ Ø ÓÒ ÓÒ L ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ð ØØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÐÓ Ó ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Θ Ñ Ü Ñ Ð Ù Ø B Ó L Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ô Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ó B ÐÓÒ ØÓ Θº ÁÒ Ø Ó Ò Ø Ð ØØ Ø ÐÓ Ó ÒÝ ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Θ ÓÒ Ð Ø¹ Ø L Ö ÒØ ÖÚ Ð Ò Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ò ÓÖ Ö Ó ÐÓ ÓÑÔ Ø Ð Û Ø Ø ÓÖ Ö Ó Ø Ö Ð Ö Ø Ð Ñ ÒØ Û Ø Ð ØØ ÐÐ Ø ØÓÖ Ð ØØ L/Θº ÁØ Ð Ö Ø Ø ÓÒ ÖÙ Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ð Ó ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö Û Ð Ð Ò Û Ø ÓÒ ÖÙ Ò Û Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ø Ö Û Ö Ö Ø Ö ÓÒ ÖÒ Û Ø ÓÚ ÖÐ ÔÔ Ò Ù Ø Ø ÖÑ Ò Ý Ó ÐÐ ÐÙ ØÓÐ Ö Ò º ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ L ÐÐ ÐÙ Ø ØÖ Ò Ø Ú ÐÓ ÙÖ Ø ØÓØ Ð Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Lº ÁØ Ò ÔÖÓÚ µ Ø Ø ÐÓ Ó Ø Ñ ÐÐ Ø ÐÙ ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Σ(L) Ö Ò Ö Ø Ý Ø ÓÚ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Lº Ì ØÓÖ Ð ØØ L/ Σ(L) ÐÐ Ø Ð ØÓÒ Ó L Ò Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ý S(L)º Ä Ø L Ò Ø Ð ØØ Ò ÒÓØ Ý J k (L) Ö Ôº M k (L)µ Ø Ø Ó Ð Ñ ÒØ Ó L Û Ø Ü ØÐÝ k ÐÓÛ Ö Ö Ôº ÙÔÔ Öµ ÓÚ Ö º º J k (L) ={a L; {b L; b a} = k}, M k (L) ={a L; {b L; a b} = k}. ÁØ Ð Ö Ø Ø Ø Þ ÖÓ Ó L Ø ÓÒÐÝ Ð Ñ ÒØ Ó J 0 (L) Ò J 1 (L) Ø Ø Ó ÐÐ Ó Ò¹ ÖÖ Ù Ð Ð Ñ ÒØ Ó L Ü ÔØ Ø Þ ÖÓµº Ä Ø Cov(L) ÒÓØ Ø Ø Ó ÐÐ ÓÚ Ö Ò Ô Ö Ò L º º Cov(L) ={(x, y) : x y, x,y L}. ÁÒ Ù Ò Ø Å Ù ÙÒØ ÓÒ Ê ÙØ Ö ÔÖÓÚ ÓÖÑÙÐ ÓÙÒØ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ò J k (L) M k (L)µ ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ð ØØ Û Ø Ú Ò ÐÙ ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒº Ä Ø Ù Ö ÐÐ Ø Ø Ø Å Ù ÙÒØ ÓÒ µ P Ó ÔÓ Ø P Ò Ú Ò Ý Ø Ö ÙÖ Ú ÓÖÑÙÐ º º ½ µ { µp (x, x) =1 ÓÖ x P, µ P (x, y) = Σ x z<y µ P (x, z) ÓÖ x<z; x, z P. Ì ÓÖ Ñ ½º µ Ä Ø Θ ÐÙ ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÓÒ Ò Ø Ð ØØ L Û Ø Ø ØÓÖ Ð ØØ P Ò ÐÓ {L p } p P º Ì Ò ÓÖ ÒÝ k 0 J k (L) = r s µ P (r, s) J k (L r L s ) ; M k (L) = r s µ P (r, s) M k (L r L s ).

ËÓÑ ÓÙÒØ Ò ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ ÅÓÖ ÓÚ Ö Cov(L) = r s µ P (r, s) Cov(L r L s ). Û ØÓ ÓÙÒØ Ð Ñ ÒØ Ó Ð ØØ L Û Ú ØÓ ÒÓÛ ÒÓØ ÓÒÐÝ Ø ØÓÖ Ð ØØ P Ø Ð ØÓÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ µ Ò ÐÓ Ó Ø ÐÙ ØÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ ÙØ ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÐÓ Û Ðк ÐÐ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ø Ó Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Ò ÔÖÓÚ Ý Ø Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ Ó Ø Ð ØØ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Û Û ÒØÖÓ Ù Ò º ¾º Ì Ñ Ò Ö ÙÐØ Ä Ø D Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Û Ø Ð ØÓÒ Sº Ì ÐÓ Ó Ø Ð ØÓÒ ØÓÐ Ö Ò Θ Ö Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÓÐ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó D Û Ò ÒÓØ Ø Ñ Ý B x =[0 x, 1 x ] ÓÖ x Sº ÇÒ Ò ÓÛ Ø Ø Ø Ù Ø {0 x } x S Û Ø Ø ÓÖ Ö Ò Ö Ø ÖÓÑ D Ð ØØ ÓÑÓÖÔ ØÓ Ø Ð ØÓÒ S ÐØ ÓÙ Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ð ØØ Ñ Ý ÒÓØ Ö µº Ì Ñ Ò ÓÙØ Ø Ù Ø {1 x } x S ÒÓÛ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ó Ò Ò D Ò Ø Ð ØØ Ó ÙÒ Ø Ò Ö Òصº Ì Ù Ø Ù Ø Ò ÒÓØ ÓÖÑ Ù Ð ØØ Ó Dº Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ø Ô ÖØ ÐÐÝ ÓÖ Ö Ù Ø S d = {0 x } x S {1 x } x S Ó Dº Ï ÐÐ ÐÐ Ø Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ Ó Dº ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û Û ÐÐ ÛÖ Ø x Ò Ø Ó 0 x Ò x Ò Ø Ó 1 x ÓÖ x Sº Ì Ù Û Ò Ö Ö Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ Ö Ô Û Ó Ú Ö¹ Ø Ö Ð Ð Ý Ð Ñ ÒØ Ó ÓÑ Ø S Ò Ø ÓÔÝ S Ò Û Ó Ö Ö Ø ÖÑ Ò Ù Ø Ý Ø ÓÚ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ø ÔÓ Ø S d º Ä Ø Ù Ó ÖÚ Ø Ø S Ò S Ö ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ó ÒØ Ò ÓÑ Ú ÖØ Ò Ú ØÛÓ Ð Ð º ÁØ Ð Ó Ð Ö Ø Ø a b Ò Ø ÔÓ Ø S d Ø Ò a<b Ò Ø Ð ØØ D Ò Ò ÐÐ Ø Ñ Ü Ñ Ð Ò ÖÓÑ a ØÓ b Ò ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Ö Ó Ø Ñ Ð Ò Ø Û Û ÐÐ ÒÓØ Ý l[a, b] Ø Ò Ò Ø Ö Ô S d Û Ò ÒØÖÓ Ù Ø Û Ø ÙÒØ ÓÒ w Ò Ò ØÓ Ú ÖÝ Ö (a, b) Ø Ð Ò Ø Ó Ø ÒØ ÖÚ Ð [a, b] Ò D º º w(a, b) =l[a, b]º Ì Ô Ö (S d,w) ÐÐ Ø Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ Ó Dº Ä Ø a b Ò Ø ÔÓ Ø S d º Ì Ò Ø Ö Ö Ø Ô Ø ÖÓÑ a ØÓ b Ò Ø Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ Ò Ð Ø w(a, b) ÒÓØ Ø Û Ø Ó Ø ÓÖØ Ø Ô Ø ÖÓÑ a ØÓ bº ÁÒ Ø Ò Ø Ø ÐÐ Ø Ö Ø Ô Ø Ö Ó Ø Ñ Û Ø Ò w(a, b) =l[a, b]º Ì ÓÖ Ñ ¾º Á D Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Û Ø Ø Û Ø ÓÙ Ð Ð ¹ ØÓÒ (S d,w) Ø Ò ÓÖ ÒÝ k 0 J k (D) = M k (D) = ( w(y,x ) ) µ S (x, y). k x y x x,y S

ÂÓ ÒÒ ÖÝ Ð ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÅÓÖ ÓÚ Ö D = Cov(D) = x y x x,y S x y x x,y S µ S (x, y)2 w(y,x ). µ S (x, y) w(y,x )2 w(y,x ) 1. ÈÖÓÓ º Ä Ø D Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Û Ø Ø Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ (S d,w)º Ì Ò Ñ Ü Ñ Ð ÓÓÐ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó D Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÖÑ B x =[x, x ] ÓÖ x Sº Ä Ø Ù Ó ÖÚ Ø Ø ÓÖ ÒÝ x Sº ÅÓÖ ÓÚ Ö x<y Ò S Ø Ò dim B x = l[x, x ]=w(x, x ) B x B y y x. ÁÒ Ø Ø B x B y Ð Ó ÓÓÐ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó Ø Ñ Ò ÓÒ l[y,x ]= w(y,x )º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò ÓÖ ÒÝ ÓÓÐ Ò Ð Ö B Ò ÒÝ 0 k dim B Û Ú ( ) dim B J k (B) = M k (B) =. k Ì Ù Ù Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Û Ø J k (D) = M k (D) = x y x,y S x y x x,y S µ S (x, y) J k (B x B y ) = x y x x,y S ( w(y,x ) µ S (x, y) k ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö D = J k (D) = ( w(y,x ) ) µ S (x, y) k k 0 k 0 x y x x,y S = µ S (x, y) ( w(y,x ) ) = µ S (x, y)2 w(y,x ). k k 0 x y x x,y S ).

ËÓÑ ÓÙÒØ Ò ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ B x B y B z z x y 1 z y 1 1 z x 1 1 y 1 x D S S d ÙÖ ½ ÆÓÛ Ð Ø Ù ÒÓØ Ø Ø ÓÖ ÒÝ m¹ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÓÐ Ò Ð Ö B Û Ú Ì Ö ÓÖ Ý Ì ÓÖ Ñ ½ Cov(D) = x y x,y S Cov(B) = m2 m 1. µ S (x, y) Cov(B x B y ) = x y x x,y S µ S (x, y) w(y,x )2 w(y,x ) 1. Ü ÑÔÐ ½º Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ D ÖÓÑ ÙÖ ½º ÁØ Ð ØÓÒ S Ø Ø Ö ¹ Ð Ñ ÒØ Òº ÓÖ Ú ÖÝ ÔÓ Ø P Ò Ò x 1 x 2... x n Û Ú µ P (x 1,x i )= 1 i =1, 1 i =2, 0 ÓØ ÖÛ º Ì Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ S d Ó D Ò ÓÙÒ Ò ÙÖ ½º Ì Ù Ø ÒÙÑ Ö J 1 (D) Ó Ó Ò¹ ÖÖ Ù Ð Ð Ñ ÒØ Ó D ÓÙÒØ Ý Ø ÓÖÑÙÐ J 1 (D) = w(x, x )+ w(y,y )+ w(z,z ) w(y,x ) w(z,y ) =2+2+2 1 1=4, Ò Ø ØÓØ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ó D Ú Ò Ý ÅÓÖ ÓÚ Ö D =2 2 +2 2 +2 2 2 1 2 1 =8. Cov(D) =2 2 1 +2 2 1 +2 2 1 1 2 0 1 2 0 =10.

ÂÓ ÒÒ ÖÝ Ð e 2 e 1 d 1 b a d c b 1 c e = a 1 b 2 a 1 1 1 d 1 c D S ÙÖ ¾ S d Ü ÑÔÐ ¾º Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ D ÖÓÑ ÙÖ ¾ Û Ó Ð ØÓÒ S Ô ÒØ ÓÒº Ë Ò Ø Ð ØÓÒ Ó Ø Ô ÒØ ÓÒ Ø ØÖ Ú Ð Ð ØØ Ø Ò D Ò À¹ ÖÖ Ù Ð Ð ØØ µ Ò Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ S d ÓÒ Ø Ó ØÛÓ ÓÔ Ó Ø Ð ØÓÒ Ú Ò ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÓÑÑÓÒ Ø ØÓÔ Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ð ØØ Ó Þ ÖÓ Ø Ø Ñ Ø Ñ Ø ÓØØÓÑ Ð Ñ ÒØ Ó Ø Ð ØØ Ó ÙÒ Ø Ó Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÓÐ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó Dº Ì Û Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ Ó D Ò Ò Ò ÙÖ ¾º Ì Å Ù ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø Ô ÒØ ÓÒ Ú Ò Ý Ø Ø Ð ÐÓÛ a b c d e a 1 1 1 0 1 b x 1 x x 1 c x x 1 1 0 d x x x 1 1 e x x x x 1 Û Ö x Ñ Ò Ø Ø Ø Ú ÐÙ Ó µ ÓÖ Ø Ú Ò Ô Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ó ÒÓØ Ü Øº Ì Ù Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ñ ÒØ Ó D Ò ÓÙÒØ Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ D =2 w(a,a ) 2 w(b,a ) 2 w(c,a ) +2 w(e,a ) +2 w(b,b ) 2 w(e,b ) +2 w(c,c ) 2 w(d,c ) +2 w(d,d ) 2 w(e,d ) +2 w(e,e ) =2 3 2 1 2 2 +2 0 +2 2 2 1 +2 3 2 2 +2 3 2 2 +2 3 =21.

ËÓÑ ÓÙÒØ Ò ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ Ê Ö Ò ½ ź Ò Öº ÓÑ Ò ØÓÖ Ð Ì ÓÖݺ ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Ò ½ º ¾ ÀºÂº Ò Ðغ ÌÓÐ Ö Ò Ö Ð Ø ÓÒ Ó Ð ØØ º ÙÐк Ù ØÖ Ðº Å Ø º ËÓº ¾ ¹ ½ ½ ½º º ÒØ Ö Êº Ï ÐÐ º ÓÖÑ Ð ÓÒ ÔØ Ò ÐÝ º Å Ø Ñ Ø Ð ÓÙÒ ¹ Ø ÓÒ º ËÔÖ Ò Ö ½ º º ÖÝ Ðº ËÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó À¹ ÖÖ Ù Ð Ð ØØ º ÙÐк Ë Øº ÄÓ ¾µ ½ ¼ ¾¼¼ º º ÖÝ Ðº Ï Ø ÓÙ Ð Ð ØÓÒ º ÙÐк Ë Øº ÄÓ ½µ ¾¼¼ º º À ÖÖÑ ÒÒº Ë¹Ú Ö Ð Ø ËÙÑÑ Ò ÚÓÒ Î Ö Ò Òº Å Ø º º ½ ¼ ¾ ¾ ½ º ú Ê ÙØ Öº ÓÙÒØ Ò ÓÖÑÙÐ ÓÖ ÐÙ Ð ØØ º ÇÖ Ö ½ ¾ ¾ ½ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÇÆ ÇÆÆ Ì ÍÆ ÌÁÇÆË ÁÆ ÇÊ Ê ËÈ Ë Â Â ÖÞ Û ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ºÑº ÖÞ Û Ñ ÐºÓÑ ØÖ Øº Ï ÓÒ Ö ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÙÒØ ÓÒ Ò Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X Û Ø Ú ÐÙ Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Y º Ì Ò Ø ÓÒ ½ ¾ Ò Ò Ø Ñ Ð Ó ÙÒØ ÓÒ Û Ò X Ò Y Ö ÕÙ Ð ØÓ R Û Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ýº ÁÒ Ø ÖØ Ð Û Ù ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ó Ð Ò Ú ÓÑ Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ô X Ò Û Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ò Ò X ÓÖÑ Ø Ñ Ð º ½º Ð Ó ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ Ï ÐÐ ÓÒ Ö ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÙÒØ ÓÒ Ò Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X Û Ø Ú ÐÙ Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Y º Ò Ø ÓÒ ½º Ï ÐÐ Ý Ø Ø ÙÒØ ÓÒ f : X Y ÓÒÒ Ø Ø Ö Ô ÓÒÒ Ø Ø Ò X Y º Ì Ø Ó ÐÐ ÙÒØ ÓÒ Û Ö ÓÒÒ Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ý C º Ò Ø ÓÒ ¾º Ï ÐÐ Ý Ø Ø ÙÒØ ÓÒ f : X Y ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒ¹ Ò Ø f E ÓÒÒ Ø Ø ÓÖ ÓÒÒ Ø Ù Ø E Ó Xº Ì Ø Ó ÐÐ ÙÒØ ÓÒ Û Ö ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ý C s º Ò Ø ÓÒ º Ï ÐÐ Ý Ø Ø ÙÒØ ÓÒ f : X Y ÐÓ ÐÐÝ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø ÓÖ x Ò X Ò Ø ÓÔ Ò Ò ÓÙÖ ÓÓ U Ø Ö Ü Ø ÓÔ Ò Ò ÓÒÒ Ø Ò ÓÙÖ ÓÓ E Ó x E U Ù Ø Ø f E ÓÒÒ Ø Ø Ò Ø Ô X Y º Ì Ø Ó ÐÐ ÙÒØ ÓÒ Û Ö ÐÓ ÐÐÝ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ý C ls º

¾   ÖÞ Û Ì Ò Ø ÓÒ ½ ¾ Ò Ò Ø Ñ Ð Ó ÙÒØ ÓÒ Û Ò X Ò Y Ö ÕÙ Ð ØÓ R Û Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓÔÓÐÓ Ýº ÁÒ Ø ÖØ Ð Û ÐÐ Ù ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ó Ð Ò Ú ÓÑ Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ô X Ò Û Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ò Ò X ÓÖÑ Ø Ñ Ð º Ì Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ý Ò ÔÖÓÔ ÖØ ÓÒ ÖÒ Û Ø ÓÖ Ö Ô Ö Ø Ò ÖÓÑ Ø ÖØ Ð ½ Ò ¾ º ÐÐ ÓØ Ö ØÓÔÓÐÓ Ð ÒÓØ ÓÒ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ø Ò ÖÓÑ Ò º Ì Ò ÜØ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÐÐÓÛ ÑÑ Ø ÐÝ ÖÓÑ Ø ÓÚ Ò Ø ÓÒ º ÈÖÓÔ ÖØÝ ½º ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø º ÈÖÓÔ ÖØÝ ¾º ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ò Ò ÓÒÒ Ø Ô ÓÒ¹ Ò Ø º ÈÖÓÔ ÖØÝ º ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ò Ò ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø Ô ÐÓ ÐÐÝ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø º Ì ÓÖ Ñ ½º Á ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X ÓÒÒ Ø Ò Y Ò Ö ØÖ ÖÝ ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ø Ò C s C. Ì Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÑÔÐ Ø ØÓ Ø Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ô X ØÓ ÓÒÒ Ø º Ì ÓÖ Ñ ¾º Á ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Y Ø Ð Ø ØÛÓ Ð Ñ ÒØ Ò ÓÖ ØÓÔÓ¹ ÐÓ Ð Ô X C s C, Ø Ò X ÓÒÒ Ø º Ì ÓÖ Ñ º Á ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø Ò Y Ò Ö ¹ ØÖ ÖÝ ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ø Ò C s C ls. Ì ÓÖ Ñ º Á ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X ÓÒÒ Ø Ò ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø Ò Y Ò Ö ØÖ ÖÝ ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ø Ò C ls C. ÈÖÓÓ º ÓÖ ÔÓ ÒØ x ÖÓÑ X Ø Ö Ò ÓÔ Ò Ò ÓÒÒ Ø Ø U x Ù Ø Ø f U x ÓÒÒ Ø Ø Ò X Y º Ç ÓÙÖ U x = X. x X

ÇÒ ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ô Ä Ø ( x 1,f(x 1 ) ) Ò ( x 2,f(x 2 ) ) Ö ØÖ ÖÝ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ö Ô Ó Ø ÙÒØ ÓÒ fº Ì Ð Ó Ø {U x : x X} ÓÖÑ Ò ÓÔ Ò ÓÚ Ö Ø Ò µ Ø Ö Ü Ø Ò Ø ÕÙ Ò Ó ÔÓ ÒØ (t 1,...,t n ) Ó Ø Ø X Ù Ø Ø x 1 U t1, x 2 U t2 Ò U ti U tj Ç Ò ÓÒÐÝ i j 1º Ì Ø f U ti Ö ÓÒÒ Ø f U ti Ò f U ti+1 Ö ÒÓØ Ó Òغ À Ò Ø n Ø f U ti ÓÒÒ Ø Ò ÓÒØ Ò ÔÓ ÒØ ( x 1,f(x 1 ) ) Ò ( x 2,f(x 2 ) ) º i=1 Ï Ú ÔÖÓÚ Ø Ø ØÛÓ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ö Ô Ó f Ò Ó Ò Ý ÓÒÒ Ø Ø Ø Ö ÓÖ Ø Ö Ô Ó f ÓÒÒ Ø º Ü ÑÔÐ ½º Ä Ø Ù Ò ÙÒØ ÓÒ f 1 : R 2 R Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý { x if x>0, y>0, f 1 (x, y) = 0 otherwise. Ì Ö Ô Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒÒ Ø ÙØ ÒÓ ÓØ Ö ÔÖÓÔ ÖØݺ ( ) 1 2 n, 0 Ü ÑÔÐ ¾º Ä Ø L 1 Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ñ ÒØ P n ÓÒÒ Ø Ò ÔÓ ÒØ ( 3 2 n+2, 8 ) ( 3 Ò ÔÓ ÒØ 10 2 n+2, 8 ) ( ) 1 10 2 n+2, 0 Ò Ð ¹ ØÖ Ø¹Ð Ò ÖÓÑ (1, 0) ØÓÛ Ö (2, 0)º ( 1 Ä Ø L 2 Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ñ ÒØ Q n ÓÒÒ Ø Ò ÔÓ ÒØ 2 n, 1 ) ( 10 3 2 n+2, 9 ) ( 3 Ò ÔÓ ÒØ 10 2 n+2, 9 ) ( 1 10 2 n+2, 1 ) Ò Ð ¹ ØÖ Ø¹Ð Ò ( 10 ÖÓÑ 1, 1 ) ( ØÓÛ Ö 2, 1 ) º 10 10 ( 1 Ä Ø L 3 Ø ÙÒ ÓÒ Ó Ñ ÒØ S n ÓÒÒ Ø Ò ÔÓ ÒØ 2 n, 2 ) ( ) 3 10 2 n+2, 1 ( ) ( 3 1 Ò ÔÓ ÒØ 2 n+2, 1 2 n+2, 2 ) ( Ò Ð ¹ ØÖ Ø¹Ð Ò ÖÓÑ 1, 2 ) 10 10 ØÓÛ Ö ( 2, 2 10 ) º

  ÖÞ Û Ä Ø Ù Ò ÙÒØ ÓÒ f 2 : R 2 R Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý 0 if x > 0, y<0, f 2 (x, y) = 0 if x 0, continuous and linear in each vertical segment between lines L 1,L 2, 0 if (x, y) L 1 L 3, 1 if (x, y) L 2, 0 if x > 0, y>1, continuous and linear in each vertical segment between lines L 2,L 3, 0 otherwise. Ì ÓÚ ¹ Ò ÙÒØ ÓÒ f 2 ÓÒÒ Ø Ò ÐÓ ÐÐÝ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø Ò Ó ÓÙÖ Ø ÐÓ Ð Ö ÓÙÜ ÔÖÓÔ ÖØÝ ÙØ Ø ÒÓ ÓØ Ö ÓÒ Ö Ò Ø ÖØ Ð ÔÖÓÔ ÖØ º Ü ÑÔÐ º Ä Ø Ù Ò ÙÒØ ÓÒ f 3 : R 2 R Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý f 3 (x, y) = f 2 (x, y) if x > 0, y R, ( 1 1 if x 0, y 10, 9 10 ( 10y if x 0, y 0, 1 10 ), ), 10y +10 if ( ) 9 x 0, y 10, 1, 0 if x 0, y (, 0) (1, ). Ì ÙÒØ ÓÒ f 3 ÓÒÒ Ø ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø ÐÓ ÐÐÝ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒ¹ Ò Ø Ò Ø ÐÓ Ð Ö ÓÙÜ ÔÖÓÔ ÖØÝ ÙØ Ø ÒÓ ÓØ Ö ÔÖÓÔ ÖØ º Ì ÓÚ Ü ÑÔÐ ÓÑÔÐ Ø ÐÐ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ö ÔÖÓÔ¹ ÖØ º

ÇÒ ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ô ¾º ËÔ Ò Û Ð Ó ÓÒ Ö ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ Ó Ò Á Û ÓÒ Ö Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ò Ò Ò ÒØ ÖÚ Ð Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö º º ÙÒ¹ Ø ÓÒ f : R R ÓÖ f :(a, b) R Ø Ò Ø ÓÙÖ ÓÚ ¹ Ò Ð Ö Õ٠к Ï Ò Û Û ÒØ ØÓ ÓÑÔ Ö Ø Ó Ð Ø Ò ÖÝ ØÓ ÓÒ Ö Ø Ô X ØÓ ÓÒÒ Ø ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ µ ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø ÐÓ ÐÐÝ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ µº Æ Ú ÖØ Ð Ø Ó Ð Ó ÙÒØ ÓÒ Ö ¹ Ö ÒØ Ø ÓÑ Ò Ó Ø ÙÒØ ÓÒ R 2 Û Ú Ò Ò Ø Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø ÖØ Ð º Á Û ÙÑ Ø Ø Ø Ô X Ñ Ò ÓÒ 1 Ø ØÙ Ø ÓÒ ÒÓØ ØØ Ö Ø ÙÒØ ÓÒ f Ò Ò Ø ÙÒ Ø ÖÐ Ó Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò Ý Ø ÓÖÑÙÐ f ( e it) = t if t [0, 2π] ÓÒÒ Ø ÙØ Ø ÒÓØ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø º ÁØ Ñ ØÓ Ú ÖÝ Ù ÙÐ Ø Ó ÙØ ÔÓ ÒØ Ó ÓÒÒ Ø Ô Û Ñ Ò Ø Ø ÔÓ ÒØ x 0 ÙØ ÔÓ ÒØ Ó ÓÒÒ Ø Ô X Ø Ø X \{x 0 } ÒÓØ ÓÒÒ Ø º ÔÓ ÒØ x 0 ØÖÓÒ ÙØ ÔÓ ÒØ Ó ÓÒÒ Ø Ô X Ø Ø X \{x 0 } Ü ØÐݵ 2 ÓÒÒ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ë Ñ Ð ÖÐÝ Û ÙÑ Ø Ø Ú ÖÝ ÔÓ ÒØ ÙØ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ô X Ø ØÙ Ø ÓÒ ÒÓØ Ù ÒØÐÝ ÓÓ º Ì ÙÒØ ÓÒ f : X Y Ò Ý 1+sin 1 x if x [ 1, 0), y=0, f(x, y) = 2+sin 1 y if x =0,y (0, 1], 0 if x [0, 1], y=0, Û Ö X =[ 1, 1] {0} {0} [0, 1] ÓÒÒ Ø ÙØ Ø ÒÓØ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø º ÁÒ Ø Û Ý Û ÓÑ ØÓ Ø ÓÒÐÙ ÓÒ Ø Ø ÓÑÔ Ö Ò ÓÙÖ Ð Ó ÓÒ¹ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Û ÓÙÐ ÓÙÒ ÓÙÖ ÓÒ Ö Ø ÓÒ ØÓ ÙÒØ ÓÒ Û Ú ÓÒÒ Ø ÓÖ ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø Ô ÓÖ Û ÔÓ ÒØ ØÖÓÒ ÙØ ÔÓ Òغ ÀÓÛ Ú Ö Ù ÔÖÓÔ ÖØ Ó ØÓÔÓÐÓ Ð Ô ÑÔÐÝ Ø Ø Ø Ý Ö Ð Ò ÖÐÝ ÓÖ Ö Ô º Ì Ø Ø Ö ÓÒ ÓÖ ÙÑ Ò Ø Ø Ø Ô X Ò Y Ö ÓÒÒ Ø ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø Ò Ð Ò ÖÐÝ ÓÖ Ö º ÁÒ Ù Ø ÔÓ Ð ØÓ ÓÒ Ö Ø ÓÙÖØ Ð Ó ÙÒØ ÓÒ º º ÙÒØ ÓÒ Û ÙØ ÓÒØ ÒÙÙѺ Á Ò ÓÖ Ö Ö Ð Ø ÓÒ Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X Ø Ò Ø Ô ÐÐ ÓÖ Ö Ø Ø {x X : x a} and {x X : a x} ÓÖÑ Ù Ó Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Xº

  ÖÞ Û Ì Ø {x X : a x x b} and {x X : a x x b} {a, b} Ö ÐÐ ÓÔ Ò Ò ÐÓ ÒØ ÖÚ Ð Ò Xº Ì Ø Ö ÒÓØ Ý (a, b) Ò [a, b] Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì Ø {x X : a x} and {x X : x b} Ö ÒÓØ Ý (a, ) Ò (,b) Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ç ÓÙÖ Ø Ð Ó ÐÐ ÓÔ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ò Ð Ò ÖÐÝ ÓÖ Ö Ô ÓÖÑ Ó Ø ØÓÔÓÐÓ Ýº Ä ÑÑ ½º ÁÒ Ð Ò ÖÐÝ ÓÖ Ö ÓÒÒ Ø Ò ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð Ô ÐÓ ÒØ ÖÚ Ð ÓÑÔ Øº ÈÖÓÓ º Ä Ø X Ð Ò ÖÐÝ ÓÖ Ö Ò ÓÒÒ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð Ô ÑÓÖ ÓÚ Ö Ð Ø [a, b] Ò Ö ØÖ ÖÝ ÐÓ ÒØ ÖÚ Ð Ò Ø Ô Xº ËÙÔÔÓ Ø Ø {U s : s S} Ò Ö ØÖ ÖÝ ÓÔ Ò ÓÚ Ö Ó Ø Ø [a, b]º Ë Ò X Ð Ò ÖÐÝ ÓÖ Ö Ô Ø Ò ÓÔ Ò Ø Ò Ö ÔÖ ÒØ ÙÒ ÓÒ Ó ÓÔ Ò ÒØ ÖÚ Ð U s = I s,t, t T s Û Ö I s,t Ö ÒØ ÖÚ Ð Ò X Ò T s Ö ÓÑ Ø Ó Ò Ü º Ì Ò [a, b] I s,t. s S t T s Ë Ò [a, b] ÓÒÒ Ø Ù Ø Ó Ø Ô X Ø Ò µ Ø Ö Ü Ø Ò Ø ÕÙ Ò (s 1,t 1 ),...,(s n,t n ) Ó Ò Ü Ù Ø Ø a I s1,t 1, b I sn,t n Ò I si,t i I sj,t j Ç i j 1. ½µ ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø ÓÑ Ð Ñ ÒØ x 0 ÖÓÑ [a, b] Ó ÒÓØ ÐÓÒ ØÓ Ø Ø n I si,t i º Ä Ø Ù ÙÑ ÓÖ ÓÖØ Ò Ò Ó ÒÓØ Ø ÓÒ Ø Ø I si,t i =(a i,b i )º Ä Ø i=1 i 0 =max{i {1,...,n} : a i x 0 }. À Ò ½µ ÑÔÐ Ø Ø x 0 (a i0,b i0 ),

ÇÒ ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ô Û Ø ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø ÙÑÔØ ÓÒº Ì Ù n [a, b] i=1 I si,t i Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ n [a, b] U si. i=1 ÁØ ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÒØ ÖÚ Ð [a, b] ÓÑÔ Øº Ì ÓÖ Ñ º Á ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X Ò Y Ö Ð Ò ÖÐÝ ÓÖ Ö ÓÒÒ Ø Ò ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ø Ò ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ f : X Y ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø º ÈÖÓÓ º ËÙÔÔÓ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ f : X Y Û ÒÓØ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø º Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÓÒÒ Ø Ù Ø K Ó X Ù Ø Ø f K ÒÓØ ÓÒÒ Ø Ù Ø Ó Ø Ô Y º Ì Ø K Ò ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø [a, b], (a, b), [a, b), (a, b], (,b), or (a, ). ÙÑ Ö Ø Ø Ø K =[a, b]º Ë Ò Ø Ø f K ÒÓØ ÓÒÒ Ø Ø Ò Ø Ö Ö ØÛÓ ÒÓÒ ÑÔØÝ Ô Ö Ø Ø A Ò B Ò X Y Ù Ø Ø f K = A B. ËÙÔÔÓ Ø Ø (a, f(a)) Aº Ì Ö Ö ØÛÓ ÔÓ Ð Ø Ì Ò ½º (b, f(b)) A ¾º (b, f(b)) Bº ÁÒ Ø Ö Ø Ð Ø A 1 = A f (,a) f (b, ), B 1 = B. f = A 1 B 1, A 1 Ç B 1, Ò Ø Ø A 1 Ò B 1 Ö Ô Ö Ø Û ÓÒØÖ Ø ØÓ Ø ÙÑÔØ ÓÒº Á (b, f(b)) B Ð Ø A 1 = A f (,a), B 1 = B f (b, ).

  ÖÞ Û Ì Ò Ø Ø A 1 Ò B 1 Ö ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò Ô Ö Ø Û ÑÔÓ Ð Ò Ú Û Ó ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Øµ fº Ä Ø ÒÓÛ K =(a, b)º Ì Ò Ø Ö Ö ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò Ô Ö Ø Ø A Ò B Ù Ø Ø f K = A Bº Ì Ö Ü Ø Ð Ñ ÒØ c Ò d Ò X Ù Ø Ø a c d b Ò Ø Ø A 1 Ò B 1 Ö ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò Ô Ö Ø Û Ö A ([c, d] Y ), B ([c, d] Y ). ÁØ ÑÔÓ Ð Ò Ú Û Ó ÓÒÒ Ø Ú ØÝ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ fº Ë Ñ Ð Ö Ö ÙÑ ÒØ Ò ÔÔÐ Ò ÐÐ Ö Ñ Ò ÓÖ Ø Ø Kº Ì Ò ÜØ Ø ÓÖ Ñ ÑÔÐ ÓÖÓÐÐ ÖÝ Ó Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ º Á ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X Ò Y Ö Ð Ò ÖÐÝ ÓÖ Ö ÓÒÒ Ø Ò ÐÓ ÐÐÝ ÓÒÒ Ø Ø Ò ÐÓ ÐÐÝ ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ f : X Y ØÖÓÒ ÐÝ ÓÒÒ Ø º Ê Ö Ò ½ ʺ Ù º ÇÒ ÓÖ Ö ØÓÔÓÐÓ Ð Ô º ÙÒ º Å Ø º ¾ ¼ ½ º ¾ ˺ Ð Ò Ö º ÇÖ Ö ØÓÔÓÐÓ Ð Ô º Ñ Öº º Å Ø º ½ ½º ʺ Ò Ð Ò º Ò Ö Ð ÌÓÔÓÐÓ Ý ÈÏÆ Ï Ö Þ Û ½ º º  ÖÞ Û º ÇÒ ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ º Ë ÒØ Á Ù Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Þ ØÓ ÓÛ Å Ø Ñ Ø ÁÁÁ ½ ¾ ¾¼¼ º ºĺ à ÐРݺ Ò Ö Ð ÌÓÔÓÐÓ Ýº ËÔÖ Ò Ö Æ Û ÓÖ ½ º Ⱥ º ÄÓÒ º ÓÒÒ Ø Ñ ÔÔ Ò º Ù Å Ø º º µ ¾ ½ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ Æ ÇÅÇÊÈÀÁËÅ ÅÇÆÇÁ Ç Á ÅÇÆ ÈÊÇ Í Ì Ç ÌÏÇ ÇÅÅÇÆ ÇÅÈÄ Ì ÁÈ ÊÌÁÌ Ê ÈÀË Ì Ö Ø Â Ö Ù ÙÒ Ì ÒÒ ÐÙ ÊÙØ Ò Ö ÙÐ ÏÓÖ Ô Ø Ì ÓÒ Ù Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ÙÐØÝ Ó Ë Ò Ã Ò ÅÓÒ Ùس ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ì ÓÒ ÙÖ ÃÅÍÌ̵ ½¾ ÈÖ ¹ÙØ Ø Ê º Ò ÑÓ Ì ÙÒ ÖÙ Ò Ó ½¼½ ¼ Ì Ð Ò ¹Ñ Ð Ø Ö Øº ÑÙØغ ºØ ØÖ Øº Ò Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ö Ô G =(V,E) Ñ ÔÔ Ò f : V V Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ x, y V {x, y} E Ø Ò{f(x),f(y)} Eº Ä Ø End(G) Ø Ð Ó ÐÐ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ö Ô Gº Ì ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó Ö Ô G =(V,E) ÒÓØ Ý G Gµ Ö Ô Ò Ý Ø Ú ÖØ Ü Ø V (G G) =End(G) Ò Ø Ø E(G G) ={{f,g} End(G) {f(x),g(x)} E ÓÖ ÐÐ x V }º Ä Ø K m,n ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô ÓÒ m + n Ú ÖØ º Ì Ö Ö Ñ ØÓ ØÙ Ý Ø Ð Ö ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó V (K m,n K m,n )=End(K m,n ) Ø Ö Û Ú ÓÙÒ Ø Ø K m,n K m,n Ð Ó ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô ÓÒ m m n n +n m m n Ú ÖØ º Ì Ö ÙÐØ ÓÛ Ø Ø ÐÐ Ó Ø Ú ÖØ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ µ ÓÖÑ ÒÓÒÓÑÑÙØ Ø Ú ÑÓÒÓ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø Ö Ô Ø ÓÖÝ ¾ Ö Ô G =(V,E) ÓÒ Ø Ó Ò Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ Ø V Ó Ó Ø ÐÐ Ú ÖØ Ò Ø E Ó ¾¹ Ð Ñ ÒØ Ù Ø Ó V ÐÐ º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ð Ø ÓÒ Ó Ö Ô º Ô Ø ÒÓØ P n ÕÙ Ò Ó n +1Ú ÖØ Ù Ø Ø ÖÓÑ Ó Ø Ú ÖØ Ø Ö Ò ØÓ Ø Ò ÜØ Ú ÖØ Ü Ò Ø ÕÙ Ò º ÝÐ ÒÓØ C n ÓÒ Ø Ó n Ú ÖØ ÓÒÒ Ø Ò ÐÓ Òº ÓÑÔÐ Ø Ö Ô ÒÓØ K n Ö Ô ÓÒ n Ú ÖØ Ù Ø Ø Ú ÖÝ ØÛÓ Ø ÒØ Ú ÖØ Ó G Ö Òغ

¼ Ì Ö Ø Â Ö Ù ÙÒ Ì ÒÒ ÐÙ ÊÙØ Ò Ö ÙÐ ÏÓÖ Ô Ø Ì ÓÒ Ù Ö Ô G ÐÐ Ô ÖØ Ø Ö Ô V (G) Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ ØÛÓ Ù Ø U Ò W ÐÐ Ô ÖØ Ø Ø Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ó G Ó Ò Ú ÖØ Ü Ó U Ò Ú ÖØ Ü Ó W º ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô ÒÓØ K m,n Ö Ô ÓÒ m + n Ú ÖØ Ù Ø Ø ÓÒ Ò Ô ÖØ Ø ÓÒ V ÒØÓ ØÛÓ Ù Ø U Ò W Û Ö U = m Ò W = nº Ú ÖÝ Ó G Ó Ò Ú ÖØ Ü Ó U Ò Ú ÖØ Ü Ó W Û ÐÐ Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ó U ÒØ ØÓ Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ó W º u v Û Ð Ò G ÕÙ Ò Ó Ú ÖØ Ò G ÒÒ Ò Ø u Ò Ò Ò Ø v Ù Ø Ø ÓÒ ÙØ Ú Ú ÖØ Ò Ø ÕÙ Ò Ö Òغ u v Ô Ø Ò G u v Û Ð Ò Û ÒÓÚ ÖØ Ö Ö Ô Ø º Ö Ô G ÐÐ ÓÒÒ Ø G ÓÒØ Ò u v Ô Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö u, v Ó Ø ÒØ Ú ÖØ Ò Gº Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ö Ô Û Ö Ú ÖØ Ü Ø Ñ ÒÙÑ Ö Ó Ò ÓÖ º º Ú ÖÝ Ú ÖØ Ü Ø Ñ Ö ÓÖ Ú Ð Òݺ Ö ÙÐ Ö Ö Ô Û Ø Ú ÖØ Ó Ö k ÐÐ k¹ö ÙÐ Ö Ö Ô ÓÖ Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ó Ö kº Ì Ø Ò ØÛ Ò ØÛÓ Ú ÖØ u Ò v Ò Ö Ô ÒÓØ Ý d(u, v)µ Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò ÓÖØ Ø Ô Ø ÓÒÒ Ø Ò Ø Ñº Ì Ð Ó ÒÓÛÒ Ø Ó Ø Ò Ù Ø Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ö Ô Ó ØÛ Ò Ø Ó ØÛÓ Ú ÖØ º Á Ø Ö ÒÓ Ô Ø ÓÒÒ Ø Ò Ø ØÛÓ Ú ÖØ º º Ø Ý ÐÓÒ ØÓ Ö ÒØ ÓÒÒ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò ÓÒÚ ÒØ ÓÒ ÐÐÝ Ø Ø Ò Ò Ò Ò Ø º Ì Ñ Ø Ö Ó Ö Ô ÒÓØ Ñ Gµ Ø Ñ Ü ÑÙÑ Ø Ò ØÛ Ò ÒÝ ØÛÓ Ú ÖØ Ò Ø Ö Ô º Ò Ø ÓÒ ½º [1] ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ö Ô G = (V,E) ÒØÓ Ö Ô H = (V,E ) Ñ ÔÔ Ò f : V V Û ÔÖ ÖÚ ÓÖ ÐÐ x, y V {x, y} E Ø Ò {f(x),f(y)} E º Ä Ø Hom(G, H) Ø Ð Ó ÐÐ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ ÖÓÑ Ö Ô G ÒØÓ Ö Ô Hº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ò¹ ÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ö Ô G =(V,E) Ñ ÔÔ Ò f : V V Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ x, y V {x, y} E Ø Ò{f(x),f(y)} Eº Ä Ø End(G) Ø Ð Ó ÐÐ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ö Ô Gº ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ ÓÒ Ò ÐÝ Ø Ø Hom(G, H) Ñ Ý ÓÖ Ñ Ý ÒÓØ Ü Øº ÓÖ Ü ÑÔÐ Hom(P 1,C 3 ) ÓÒ Ø Ó ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Û Ð Hom(C 3,P 1 ) Ò ÑÔØÝ Øº

ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÑÑÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô ½ ÙÖ ½ ÀÓÑ P 1,C 3 µº Ò Ø ÓÒ ¾º [1] Ì ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó Ö Ô G =(V,E) Ò Ö Ô H =(V,E ) ÒÓØ ÝG Hµ Ö Ô Ò Ý Ø Ú ÖØ Ü Ø V (G H) = Hom(G, H) Û Ö Hom(G, H) Ò Ø Ø E(G H) ={{f,g} Hom(G, H) {f(x),g(x)} E ÓÖ ÐÐ x V }º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó Ö Ô G Û Ø Ø Ð G Gµ Ò Ý Ø Ú ÖØ Ü Ø V (G G) = End(G) Ò Ø Ø E(G G) ={{f,g} End(G) {f(x),g(x)} E ÓÖ ÐÐ x V }º Ò Ü ÑÔÐ Ó Ö Ô P 1 C 3 ÓÛÒ ÐÓÛº ÙÖ ¾ Ö Ô P 1 C 3 º Ï Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ø Ö Ö ÓÑ ÒØ Ö Ø Ò Ö ÙÐØ ÓÐÐÓÛ Ì ÓÖ Ñ ½º [3] Ì Ö Ô P m P n ÓÒÒ Ø ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö m, n Ò Ñ(P m P n )=nº Ì ÓÖ Ñ ¾º [3] Ö Ô P m C n Ò C n P m Ö ÓÒÒ Ø ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö m, nº Ñ(P m C n ) m + n Ò Ñ(C n P m )=nº Ì ÓÖ Ñ º [3] Á G ÓÒÒ Ø Ö Ô Ø Ò Ø Ö Ô P m G ÓÒÒ Ø ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö m Ò Ñ P m G) Ñ Gµ+2mº

¾ Ì Ö Ø Â Ö Ù ÙÒ Ì ÒÒ ÐÙ ÊÙØ Ò Ö ÙÐ ÏÓÖ Ô Ø Ì ÓÒ Ù ¾º ËÓÑ Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ØÙ Ý Ø ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô K m,n º ÒÓØ V (K m,n )={1, 2, 3,..., m, m +1,m+2,..., m + n} Û Ö V m = {x V (K m,n ) x m} Ò V n = {x V (K m,n ) m +1 x m + n}º Ë Ò K m,n ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô Ú ÖØ Ü Ó V m ÒØ ØÓ ÐÐ Ú ÖØ Ó V n º Ú ÖÝ Ó Ò Ú ÖØ Ü Ó V m Ò Ú ÖØ Ü Ó V n º Ï Ò Ò ÙÒØ ÓÒ h : V (K m,n ) {0, 1} Ù Ø Ø { 0 x Vm, h(x) = 1 x V n. Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô Û Ó Ø Ò ÓÖ ÐÐ x, y V (K m,n ) {x, y} E(K m,n ) Ò ÓÒÐÝ h(x) h(y) = 1º Ä Ø f : V (K m,n ) V (K m,n ) ÓÑÓÑÓÖÔ Ñº Ì Ò f V (K m,n K m,n ) Ò ÓÒÐÝ ÓÖ { 0 i Vm, h(f(i)) = 1 i V n { 1 i Vm, h(f(i)) = 0 i V n. ÓÖ Ü ÑÔÐ Ð Ø Ù Ø ÐÓÓ Ø K 2,2 K 2,2 º Ï Ò Ò ÒÓÖÑ ÓÐÐÓÛ º Å Ò Ö ÙÐØ f g = max h(f(i)) h(g(i)). i V (K m,n) Ä ÑÑ ½º ÓÖ f,g V (K m,n K m,n ) {f,g} E(K m,n K m,n ) Ò ÓÒÐÝ f g =1º ÈÖÓÓ º ( ) Ä Ø {f,g} E(K m,n K m,n )º Ï Ú {f(i),g(i)} E(K m,n ) ÓÖ ÐÐ i V (K m,n )º Ì Ù h(f(i)) h(g(i)) =1 ÓÖ ÐÐ i V (K m,n )º Ì Ñ Ò Ø Ø f g =1º

ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÑÑÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô ÙÖ Ö Ô K 2,2 K 2,2 ( ) Ä Ø f g =1 Û Ö f,g V (K m,n K m,n )º ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓÖÑ i 0 V (K m,n ) Ù Ø Ø h(f(i 0 )) h(g(i 0 )) =1º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ñ Ý ÙÑ Ø Ø h(f(i 0 )) = 0 Ò h(g(i 0 )) = 1º Á i 0 V m Ø Ò Û Ó Ø Ò { 0 i Vm, h(f(i)) = 1 i V n Ò h(g(i)) = { 1 i Vm, 0 i V n. ËÓ h(f(i)) h(g(i)) =1, ÓÖ ÐÐ i V (K m,n )º Á i 0 V n Ø Ò Û Ó Ø Ò { 1 i V m, h(f(i)) = 0 i V n Ò h(g(i)) = { 0 i Vm, 1 i V n. ËÓ h(f(i)) h(g(i)) =1 ÓÖ ÐÐ i V (K m,n )º ÖÓÑ ÓØ Û Ó Ø Ò h(f(i)) h(g(i)) =1 ÓÖ ÐÐ i V (K m,n )º Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÙÒØ ÓÒ h Ò ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ {f,g} E(K m,n K m,n )º

Ì Ö Ø Â Ö Ù ÙÒ Ì ÒÒ ÐÙ ÊÙØ Ò Ö ÙÐ ÏÓÖ Ô Ø Ì ÓÒ Ù Ì ÓÖ Ñ º K m,n K m,n ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô ÓÒ m m n n + n m m n Ú ÖØ º ÈÖÓÓ º { { 0 i Ö Ø Ð Ø Ù Ò V Vm m = f V (K m,n K m,n ) h(f(i)) = 1 i V { { } n Ò V 1 i Vm n = f V (K m,n K m,n ) h(f(i)) = º 0 i V n Ç Ú ÓÙ ÐÝ V (K m,n K m,n )=V m V n Ò V m V n = º } ÌÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ô Ó K m,n K m,n Ô ÖØ Ø Û Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ø Ø {f,g} E(K m,n K m,n ) Ò ÓÒÐÝ f Ò g ÐÓÒ ØÓ Ö ÒØ Ø Ó Ú ÖØ V m Ò V n º µ Ö Ø Ð Ø f Ò g ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ Ø Ó Ú ÖØ º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ò ÙÑ f,g V m º Ï Ú f g = max h(f(i)) h(g(i)). i V (K m,n) Á i V m Ø Ò h(f(i)) = 0, h(g(i)) = 0 Ò max h(f(i)) h(g(i)) =max 0 0 =0. i V m Á i V n Ø Ò h(f(i)) = 1, h(g(i)) = 1 Ò max h(f(i)) h(g(i)) =max 1 1 =0. i V n Ì Ö ÓÖ f g =0 ÑÔÐ Ø Ø {f,g} / E(K m,n K m,n ) Ý Ä ÑÑ ½º Ì Ò Û ÓÒÐÙ Ø Ø f Ò g ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ Ø Ó Ú ÖØ Ø Ö ÒÓ {f,g} Ò Ø Ö Ô K m,n K m,n º ( ) Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ò Ø f V m Ò g V n º Ï Ú f g = max h(f(i)) h(g(i)). i V (K m,n) Á i V m Ø Ò h(f(i)) = 0, h(g(i)) = 1 Ò max h(f(i)) h(g(i)) =max 0 1 =1. i V m Á i V n Ø Ò h(f(i)) = 1, h(g(i)) = 0 Ò max h(f(i)) h(g(i)) =max 1 0 =1. i V n

ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÑÑÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô Ì Ò h(f(i)) h(g(i)) =1 ÓÖ ÐÐ i V (K m,n ) Ò f g =1º Ì Ö ÓÖ {f,g} E(K m,n K m,n )º Ý Ò Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ú ÖØ f V m Ú Ø Ñ Ú ÐÙ Ó h(f(i)) ÓÖ ÐÐ i V Ò ÐÐ Ø Ú ÖØ g V n Ú Ø Ñ Ú ÐÙ Ó h(g(i)) ÓÖ ÐÐ i V Ù Ø Ø f g =1º Ì Ñ Ò Ø Ø Ú ÖØ Ü Ó V m ÒØ ØÓ ÐÐ Ú ÖØ Ó V n Ñ Ò Ø ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô º Ï ÒÓÛ Ø Ø K m,n K m,n Ú ØÛÓ Ô ÖØ Ø Ø V m Ò V n º ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó V m Ò Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ñ Ô Ú ÖØ Ü Ó V m ÒØÓ Ú ÖØ Ü Ó V m Ú Ò Ù m m Ó Ò Ñ Ô Ú ÖØ Ü Ó V n ÒØÓ Ú ÖØ Ü Ó V n Û Ø n n Ó º Ì Ù V m = m m n n º ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò Ò Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ò V n Ñ Ô Ú ÖØ Ü Ó V m ÒØÓ Ú ÖØ Ü Ó V n Ú Ò Ù n m Ó Ò Ñ Ô Ú ÖØ Ü Ó V n ÒØÓ Ú ÖØ Ü Ó V m Û Ø m n Ó º Ì Ù V n = n m m n º ÓØ ÓÑ Ò Û Ó Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØ Ò Ø Ø ÓÖ Ñº ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º K m,n K m,n Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ò ÓÒÐÝ m = nº ÈÖÓÓ º Ë Ò K m,n K m,n ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô Û Ñ Ý Ô f V m Ò g V n º ÖÓÑ Ì ÓÖ Ñ Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò {f,k} E(K m,n K m,n ) ÓÖ ÐÐ k V n º Ì Ù deg(f) = V n = n m m n ÓÖ ÐÐ f V m º {g, h} E(K m,n K m,n ) ÓÖ ÐÐ h V m º Ì Ù deg(g) = V m = m m n n ÓÖ ÐÐ g V n º À Ò K m,n K m,n Ö ÙÐ Ö Ö Ô Ò ÓÒÐÝ deg(f) =deg(g) Û ÑÔÐ m = nº ÆÓÛ Ð Ø Ù ÓÒ Ö Ø Ú ÖØ Ü Ø Ó K m,n K m,n Û Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ÙÒØ ÓÒ ÓÑÔÓ Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ñ º Ì Ú ÖØ Ü Ò ÓÑÓÖÔ Ñµ Ø Ó K m,n K m,n Û Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÓÖÑ ÒÓÒÓÑÑÙØ Ø Ú ÑÓÒÓ ÓÖ ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö m, n > 1º ÈÖÓÓ º ÁØ Ð Ö Ø Ø V (K m,n K m,n ) ÑÓÒÓ º ÌÓ ÓÛ Ø Ø Ò Ø Û Ò m, n > 1 Ø ÒÓÒÓÑÑÙØ Ø Ú Û Ò Ø f,g V (K m,n K m,n ) Ù Ø Ø f(i) = { i i V m, m +1 i V n, g(i) = { m +2 i Vm, i m i V n.

Ì Ö Ø Â Ö Ù ÙÒ Ì ÒÒ ÐÙ ÊÙØ Ò Ö ÙÐ ÏÓÖ Ô Ø Ì ÓÒ Ù Ì Ò Û Ú (f g)(m) =f(g(m)) = f(m +2)=m +1º ÙØ (g f)(m) = g(f(m)) = g(m) =m +2º Ì Ù f g g f Ñ Ò Ø ÒÓÒÓÑÑÙØ Ø Ú ÑÓÒÓ º Ê Ñ Ö ½º Ì ÒÓÒÓÑÑÙØ Ø Ú ÑÓÒÓ ÒÓØ ÖÓÙÔ Ò Ò Ò ÓÑÓÖ¹ Ô Ñ Ñ Ý ÒÓØ Ú Ò ÒÚ Ö º Ì Ö Ü Ø Ñ ÒݹØÓ¹ÓÒ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ù { 1 i Vm, f(i) = m +1 i V n. Ì Ö ÓÖ Ø Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ø ÓÖÑ ÓÒÐÝ ÒÓÒÓÑÑÙØ Ø Ú ÑÓÒÓ ÒÓØ ÖÓÙÔº ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Ì ÙØ ÓÖ ÛÓÙÐ Ð ØÓ Ø Ò ÈÖÓ º ÖÛÓÖÒ Ò Å º ÑÒ ÖÒ Û Û Ó ÒØÖÓ Ù Ù ØÓ Ø ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó Ö Ô Ø Ø Ñ Ò Ö Ø Ò Ñ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò ÂÙÐÝ ¾¼¼ º ÈÖÓ º ÖÛÓÖÒ Ð Ó Ú Ù ÓÑ Ù ÙÐ ÓÑÑ ÒØ Ò Ù Ø ÓÒ º Ê Ö Ò ½ ËÖº ÖÛÓÖÒ ÈºÏÓ ØÝÐ º ÓÒÒ Ø Ò Ó ÑÓÒ ÈÖÓ ÙØ ÔÖ ÔÖ ÒØ ¾¼¼ º ¾ º ÖØÖ Ò Èº Ò º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ö Ô Ì ÓÖݺ Å Ö Û¹À ÐÐ ¾¼¼ º º ÑÒ ÖÒ Û º ÑÓÒ ÈÖÓ ÙØ Ó È Ø Å Ø Ö Ö Ì Ò Å ÍÒ Ú Ö ØÝ Ì Ð Ò ¾¼¼ º ̺ Â Ö Ù ÙÒ Ìº ÊÙØ Ò Ö ÙРϺ Ì ÓÒ Ù º ÑÓÒ ÈÖÓ ÙØ Ó ÌÛÓ ÓÑÑÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô ÁÒغ ÓÒ º ÓÒ Ð Ö Ò ÓÑ ØÖÝ ¾¼¼ Á ¾¼¼ µ È Ù Ø Ì Ð Ò ¾¼¼ º º Ï Øº ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ö Ô Ì ÓÖÝ ¾Ò Ø ÓÒº ÈÖ ÒØ À ÐÐ ¾¼¼½º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ Ψ I ¹ ÆËÁÌ ÌÇÈÇÄÇ Û Þ ÖÓÛ a Ò Þ Î ÞÚ ÖÝ b a ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ñ ÈÓÑ Ö Ò Ò Ò Ë ÙÔ Ùк Ö Þ Û Ó ¾¾ ¾¹¾¼¼ Ë ÙÔ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ð Þ ÖÓÛØÓÝ ºÒ غÔÐ b ÙÐØÝ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó õ Ùк Ò ¾¾ ¼¹¾ õ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ú ÞÚ ÖÝ Þ Ø ºÔÐ ØÖ Øº Ì ÔÙÖÔÓ Ó Ø Ô Ô Ö ØÓ ØÙ Ý Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ψ I ¹ Ò ØÝÔÓ ÒØ Ò Ψ I ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ö Ø Ý Ø Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ ØÓ Ø Ð Ð I¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ Ø Ö Ð Ð Ò º Ì Ö ÖÓÑ Ø ÒÓØ Ý Ì ÝÐÓÖ Ò Ì Ö Ô Ø Ò Ï Ò Ö¹ Ó ÓÛ ¾ º Ï ÒØÖÓ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ N R R + S I C Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ø Ø Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö Ø Ø Ó ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö σ¹ Ð Ö Ó Ù Ø Ó R Ú Ò Ø Ö ÔÖÓÔ ÖØÝ σ¹ Ð Ó Ù Ø Ó R Ó Ø Ö Ø Ø ÓÖÝ Ø Ñ ÐÝ Ó ÐÐ ÒÓÒ Ö Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ ψ : R + (0, 1] Ù Ø Ø lim ψ(x) =0º x 0 + Ï Ý Ø Ø ØÛÓ Ø A Ò B Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ A Bµ A B I Û Ö A B Ø ÝÑÑ ØÖ Ö Ò Ó A Ò Bº Ø ÓÒ ÐÐÝ A R α R Ò x 0 R Ø Ò A = {x R : x A} α A = {α x R : x A} A = R \ A Ò A x 0 = {x R : x + x 0 A}º ÓÖ x R + Ð Ø [x] =max{n N {0} : n x }.

Û Þ ÖÓÛ Ò Þ Î ÞÚ ÖÝ Ò Ø ÓÒ ½º [1] Ï Ý Ø Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ó I¹ Ò ØÝ Ó Ø A S ÓÖ ÒÖ Ò ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö {n m } m N Ø Ö Ü Ø Ù ¹ ÕÙ Ò {n mp } p N Ù Ø Ø {x : χ nmp A [ 1,1](x) 1} I. ÔÓ ÒØ x 0 ÔÓ ÒØ Ó I¹ Ò ØÝ Ó Ø A S ¼ ÔÓ ÒØ Ó I¹ Ò ØÝ Ó Ø Ø A x 0 º ÔÓ ÒØ x 0 ÔÓ ÒØ Ó I¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø A I x 0 ÔÓ ÒØ Ó I¹ Ò ØÝ Ó Ø Ø R \ Aº Ä Ø Φ(A) ={x R: x I¹ Ò ØÝ ÔÓ ÒØÓ A} ÓÖ A S Ò T I = {A S: A Φ(A)}º Ï Ö ÐÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÖ Ñ º Ì ÓÖ Ñ ½º [1] ¼ ÔÓ ÒØ Ó I¹ Ò ØÝ Ó Ø A S Ò ÓÒÐÝ ÓÖ ÕÙ Ò {t n } n N R + Ù Ø Ø lim n t n =+ Ø Ö Ü Ø Ù ÕÙ Ò {t nk } k N Ù Ø Ø {x [ 1, 1] : χ tnk A [ 1,1](x) 1} I. Ì ÓÖ Ñ ¾º [1] ÓÖ ÒÝ A S Ò B S µ A B Ø ÒΦ(A) Φ(B) µ Φ( ) =, Φ(R) =R µ A B Ø Ò Φ(A) =Φ(B) Úµ Φ(A B) =Φ(A) Φ(B) Úµ A Φ(A)º Ì ÓÖ Ñ º [1] T I ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ Ø Ö Ð Ð Ò ØÖÓÒ Ö Ø Ò Ø ÙÐ Ò ØÓÔÓÐÓ Ýº Ò Ø ÓÒ ¾º Ä Ø ψ Cº Á. Ï Ý Ø Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø A ÖÓÑ S ÓÖ ÕÙ Ò {(h n,m n )} n N Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ {(h n,m n )} n N R + (N {0}) Ø ÕÙ Ò {h n } n N Ö Ò lim n h n =0 [ ÓÖ n N m n {0,..., 1 ψ(h n) ] 1}

Ψ I ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý Ø Ö Ü Ø Ù ÕÙ Ò {(h nk,m nk )} k N Ù Ø Ø {x [0, 1]; χ Ak (x) 0} I, Û Ö ( A k = 1 h nk ψ(h nk ) A m n k ) [0, 1]. ÁÁ. Ï Ý Ø Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ó Ð Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø A S ¼ Ö Ø¹ Ò ÔÓ ÒØ Ó ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø Aº ÁÁÁ. Ï Ý Ø Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ó ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø A S ¼ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò Ò Ð Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø Aº ÁÎ. Ï Ý Ø Ø x 0 R ÔÓ ÒØ Ó ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø A S ¼ ÔÓ ÒØ Ó ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø A x 0 º Î. Ï Ý Ø Ø x 0 R ÔÓ ÒØ Ó ψ I ¹ Ò ØÝ Ó Ø A S x 0 ÔÓ ÒØ Ó ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø R \ Aº Ä ÑÑ ½º Ä Ø ψ C Ò {(a n,b n )} n N ÕÙ Ò Ó ÓÔ Ò ÒØ ÖÚ Ð Ù Ø Ø lim n b n =0 Ò ÓÖ n N Ä Ø G = µ 0 <a n+1 <b n+1 <a n µ b n+1 b n ψ(b n ) µ b n a n b n ψ(b n )º (a n,b n )º Ì Ò ÓÖ ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö {h n } n N n=1 Ù Ø Ø lim h n =0Ø Ö Ü Ø Ù ÕÙ Ò {h nk } n k N Ø Ý Ò Ø ÓÒ¹ Ø ÓÒ { } x [0, 1] : χ 1 G [0,1](x) 0 I. hn k ÈÖÓÓ º Ä Ø {h n } n N Ò Ö ØÖ ÖÝ ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú Ö ÐÒÙÑ Ö Ù Ø Ø lim n h n =0º Ï Ò ÙÑ Ø Ø ÓÖ n N Ø Ö Ü Ø p n N Ù Ø Ø b pn+1 <h n b pn.

¼ Û Þ ÖÓÛ Ò Þ Î ÞÚ ÖÝ Ï ÐÐ ÓÒ Ö ØÛÓ º µ Ì Ö Ü Ø ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö n 0 Ù Ø Ø ÓÖ n n 0 b pn+1 h n a pn. { } ÙÑ Ø Ø n 0 =1º Ï ÓÒ Ö ÕÙ Ò 1 h n b pn+1 º Ì Ò Ø Ö n N Ü Ø α [0, 1] Ò Ò ÒÖ Ò ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö {n k } k N Ù Ø Ø À Ò Ò 0 lim k Ý Ø ÓÚ Ò Û Ò Ö Ø Ø lim k 1 h nk b pnk +1 = α. 1 ( ) b pnk +1 a pnk +1 lim h nk k 0 lim k { 1 h nk lim k 1 h nk a pnk +1 = α. 1 h nk b pnk +1 ψ(b pnk +1) =0 1 b pnk +2 lim b pnk +1 ψ(b pnk +1) =0, k h nk } x [0, 1] : χ 1 G [0,1](x) 0 {0,α,1}. hn k µ ÆÓÛ Û ÙÑ Ø Ø ÓÖ n N Ø Ö Ü Ø k n N,k n n Ù Ø Ø Ì Ò 1 lim k 1 h kn b pnk lim k a pnk <h kn <b pnk. 1 a pnk b pnk lim k 1 b pnk (1 ψ(b pnk )) b p nk =1 Ò À Ò lim k 1 ) (b pnk a pnk lim h kn k lim k 1 h kn a pnk =1. 1 h kn b pnk ψ(b pnk )=0.

Ψ I ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý ½ Ø ÓÒ ÐÝ lim k 1 h kn 1 b pnk +1 lim b pnk ψ(b pnk )=0, k h kn Ø Ö ÓÖ { } x [0, 1] : χ 1 G [0,1](x) 0 {0, 1}. hn k Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø ψ Cº Á 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I Ô Ö ÓÒ Ó Ø A S Ø Ò Ø ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò I¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø Aº ÈÖÓÓ º Ä Ø {t n } n N Ö Ò ÕÙ Ò Ó ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø lim t n =0º Ï Ñ Ý ÙÑ Ø Ø ÓÖ n N Ø Ö Ü Ø ÔÓ Ø Ú n h n Ù Ø Ø t n = h n ψ(h n ). Ì Ò lim h n =0º Ä Ø ÓÖ n N m n =0º n Ì ÕÙ Ò {(h n,m n )} n N Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ ¾ Ø Ö ¹ ÓÖ Ø Ö Ü Ø ÕÙ Ò {(h nk,m nk )} k N Ù Ø Ø Ý ( lim sup k lim sup k Ø ÔÖÓÓ ÓÑÔÐ Ø º ( 1 h nk ψ(h nk ) A m n k 1 h nk ψ(h nk ) A m n k ) [0, 1] I. ) ( 1 [0, 1] = lim sup k t nk ) A [0, 1], Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø ψ Cº Ì Ö Ü Ø Ò ÓÔ Ò Ø G Ù Ø Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò I¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø G Ò ¼ ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø Gº ÈÖÓÓ º Ï ÐÐ Ò ÕÙ Ò Ó ÓÔ Ò ÒØ ÖÚ Ð {(a n,b n )} n N Ù Ø Ø µ 0 <a n+1 <b n+1 <a n, µ b n+1 < min{ 1 n,b nψ(b n )}, µ b n a n = b n ψ(b n ), Úµ 1 ψ(b n) N ÓÖ n Nº

¾ Û Þ ÖÓÛ Ò Þ Î ÞÚ ÖÝ Ä Ø b 1 ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø ψ(b 1 ) { 1 2, 1 3,...} º Ä Ø n Nº ÙÑ Ø Ø Û Ú Ò ÔÓ Ø Ú Ö Ð ÒÙÑ Ö b 1,..., b n º ÆÓÛ Û ÐÐ Ò ÔÓ Ø Ú b n+1 ÙÐ ÐÐ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ ψ(b n+1 ) { 1 2, 1 } 3,... and { } 1 b n+1 < min n,b nψ(b n ). ÓÖ n N Û ÔÙØ a n = b n b n ψ(b n )º Ì Ò ÓÖ n N Ë Ø G = a n 1 = b n 1 (1 ψ(b n 1 )) b n 1 1 2 b n 1 ψ(b n 1 ) >b n. (a n,b n )º n=1 Ý Ä ÑÑ ½ 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò I¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø Gº ÆÓÛ Û ÔÖÓÚ Ø Ø 0 ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø [ Gº ] Ä Ø {(h n,m n )} n N ÕÙ Ò Ù Ø Ø h n = b n m n = 1 1 ψ(h n) ÓÖ n N Ò Ð Ø {(h nk,m nk )} k N Ò Ö ØÖ ÖÝ Ù ÕÙ Ò Ó {(h n,m n )} n N. Ï ÐÐ ÓÛ Ø Ø ( ) 1 (0, 1) lim sup k h nk ψ(h nk ) G m n k. Ä Ø k Nº Ì Ò 1 h nk ψ(h nk ) G m n k ( [ 1 b nk ψ(b nk ) (b n k b nk ψ(b nk )) = 1 ψ(b nk ) 1 h nk ψ(h nk ) (a n k,b nk ) m nk = ] +1, [ 1 b nk ψ(b nk ) b n k 1 ψ(b nk ) ] ) +1 = ( 1 ψ(b nk ) (1 ψ(b n k )) 1 ψ(b nk ) +1, 1 ψ(b nk ) 1 ) ψ(b nk ) +1 =(0, 1). Ý Ø ÓÚ 0 ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø º Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø ψ Cº Ì Ö Ü Ø Ò ÓÔ Ò Ø G Ù Ø Ø ¼ Ò Ù¹ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ Ó Ø Ø G Ò ¼ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø Gº ÈÖÓÓ º Ï Ò ÕÙ Ò Ó Ö Ð ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ Ö {a n } n N Ò {b n } n N Ù Ø Ø

Ψ I ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý ½µ b n+1 1 n a nψ(a n ), ¾µ 0 <b n a n 1 n a nψ(a n ), ÓÖ n N Ò µ lim n a n = lim n b n =0º Ä Ø b 1 Ò Ö ØÖ ÖÝ Ö Ð ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ Öº Ä Ø n Nº ÙÑ Ø Ø Û Ú Ò ÒÙÑ Ö b 1,..., b n 1 Ò a 1,..., a n 1 º Ä Ø b n Ö Ð ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø b n 1 n 1 a n 1ψ(a n 1 )º Ý Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó ÙÒØ ÓÒ g(x) =x + 1 n xψ(x) Ò Ý b n <b n + 1 n b nψ(b n ) Ø Ö Ü Ø a n Ù Ø Ø a n <b n Ò a n + 1 n a nψ(a n )=b n º Ë Ø G = (a n,b n )º Ï ÐÐ ÓÛ Ø Ø 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò n=1 ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Gº Ä Ø {(h n,m n )} n N Ò Ö ØÖ ÖÝ ÕÙ Ò Ø Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ ¾º Ï ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÓ Ð Ø µ ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ù ÕÙ Ò {(h nk,m nk )} k N Ù Ø Ø ÓÖ k N m nk =0º Ì Ò Ò Ú Û Ó Ä ÑÑ ½ 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò I Ô Ö ÓÒ Ó Gº Ë Ò lim h n k ψ (h nk )=0 Û Ñ Ý ÓÓ Ù ÕÙ Ò } k {h nkp Ù Ø Ø lim sup p p N ( 1 h nkp ψ(h nkp ) G m n kp ) [0, 1]=lim sup p 1 G [0, 1] I. h nkp ψ(h nkp ) µ ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ù ÕÙ Ò {(h nk,m nk )} k N Ù Ø Ø [m nk h nk ψ(h nk ), (m nk +1)h nk ψ(h nk )] G = ÓÖ k Nº ( ) 1 Ì Ò ÓÖ k N h nk ψ(h nk ) G m n k [0, 1] = º À Ò ( lim sup k 1 h nk ψ(h nk ) G m n k ) [0, 1] =. µ Á ÒÓÒ Ó Ø µ Ò µ ØÖÙ Ø Ò Ø Ö Ü Ø n 0 N Ù Ø Ø ÓÖ n n 0 m n 1 Ò [m n h n ψ(h n ), (m n +1)h n ψ(h n )] G. Ï Ò ÙÑ Ø Ø ÓÖ n N Ø Ö Ü Ø r n N,r n > 1 Ù Ø Ø [m n h n ψ(h n ), (m n +1)h n ψ(h n )] (a rn,b rn ).

Û Þ ÖÓÛ Ò Þ Î ÞÚ ÖÝ Ì Ö ÓÖ Ò Ý Û Ú [ a rn (m n +1)h n ψ(h n ) 1 ψ(h n ) ] h n ψ(h n ) h n b rn+1 1 r n a rn ψ(a rn ) 1 h n ψ(h n ) m n h n ψ(h n ), [m n h n ψ(h n ), (m n +1)h n ψ(h n )] Ø ÓÒ ÐÝ Ý a rn 1 >h n, Ä Ø n N Ò j=r n+1 (a j,b j )=. r n 1 [m n h n ψ(h n ), (m n +1)h n ψ(h n )] (a j,b j )=. j=1 x n [m n h n ψ(h n ), (m n +1)h n ψ(h n )] (a rn,b rn ). 1 Ì Ò h x nψ(h n) n m n [0, 1] ÓÖ ÐÐ n Nº Ì Ù Ø Ö Ü Ø α [0, 1] Ò { } 1 Ù ÕÙ Ò h nk ψ(h nk ) x n k m nk Ù Ø Ø Ý Û Ò Ö Ø Ø k N ( ) 1 lim k h nk ψ (h nk ) x n k m nk = α. 1 0 lim k h nk ψ(h nk ) (b r nk a rnk ) lim k lim k 1 h nk ψ(h nk ) 1 h nk ψ(h nk ) 1 = lim =0, k r nk 1 r nk a rnk ψ(a rnk ) 1 r nk h nk ψ(h nk ) ( ) 1 lim k h nk ψ(h nk ) b r nk m nk = α

Ψ I ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý Ò ( ) 1 lim k h nk ψ(h nk ) a r nk m nk = α. Ì Ù ( lim sup k 1 h nk ψ(h nk ) G m n k ) [0, 1] {α}. Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø ψ 1 Cº Ì Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ ψ 2 C Ò Ò ÓÔ Ò Ø G Ù Ø Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ 1,I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø G ÙØ ¼ ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ 2,I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø Gº ÈÖÓÓ º Ï Ò ÕÙ Ò Ó ÓÔ Ò ÒØ Ú Ð {(a n,b n )} n N Ù Ø Ø ½µ 0 <a n+1 <b n+1 <a n ¾µ b n+1 1 n a nψ 1 (a n ) µ b n a n 1 n a nψ 1 (a n ) µ bn an b n < b n 1 a n 1 b n 1 µ b n b n a n N ÓÖ n N Ò µ lim n b n =0º Ä Ø b 1 (0, 1) Ò k N \{1}º ÙÑ Ø Ø Û Ú Ò ÒÙÑ Ö a 1,..., a k 1 Ò b 1,..., b k 1 º Ä Ø b k Ò Ö ØÖ ÖÝ ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ Ö Ù Ø Ø b k 1 k 1 a k 1ψ 1 (a k 1 )º Ï ÓÒ Ö ØÛÓ ÙÒØ ÓÒ g(x) =x + 1 k xψ 1(x) Ò h(x) =1 x b k º Ë Ò g(b k )=b k + 1 k b kψ 1 (b k ) >b k Ø Ö ÓÖ Ý ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó ÙÒØ ÓÒ g Û Ú α (0,b k ) Ù Ø Ø g(α) =b k Ò ÓÖ x (α, b k ),g(x) >b k º Ä Ø p ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö Ù Ø Ø Ì Ò 1 p < min { bk 1 a k 1 b k 1 0=h(b k ) < 1 p <h(α) },h(α). Ò Ý ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó h Û Ò ÓÓ a k (α, b k ) Ù Ø Ø h(a k )= 1 p º

Û Þ ÖÓÛ Ò Þ Î ÞÚ ÖÝ Ë Ø G = (a n,b n )º Ä Ø ψ 2 C ÙÒØ ÓÒ Ù Ø Ø ÓÖ n N n=1 ψ 2 (b n )= bn an b n º ÁÒ Ñ Ð Ö Û Ý Ò Ì ÓÖ Ñ ÓÒ Ò ÔÖÓÚ Ø Ø 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ 1,I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø º Ï ÐÐ ÓÛ Ø Ø 0 ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ 2,I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø 1 Ø Gº Ä Ø h n = b n ÓÖ n N Ò m n =[ ψ 2 (b n) ] 1º Ì ÕÙ Ò {(h n,m n )} n N Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ ¾º Ä Ø {(h nk,m nk )} n N Ò Ö ØÖ ÖÝ Ù ÕÙ Ò Ó {(h n,m n )} n N º Ì Ò ÓÖ k N 1 h nk ψ 2 (h nk ) G m n k 1 h nk ψ 2 (h nk ) (a n k,b nk ) m nk =(0, 1). Ì Ù ( (0, 1) lim sup k 1 h nk ψ 2 (h nk ) G m n k ) [0, 1]. Ò Ø ÓÒ º Ä Ø ψ Cº ÓÖ Ø A S Û Ò Φ ψ (A) ØÓ Ø Ø Ó ÐÐ ÔÓ ÒØ Ó ψ I ¹ Ò ØÝ Ó Ø Ø Aº Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø ψ Cº Ì Ò ÓÖ ÒÝ A, B S ½µ Φ ψ ( ) =, Φ ψ (R) =R ¾µ Á A B Ø Ò Φ ψ (A) Φ ψ (B) µ Á A B Ø Ò Φ ψ (A) =Φ ψ (B) µ Φ ψ (A B) =Φ ψ (A) Φ ψ (B) µ A Φ ψ (A)º ÈÖÓÓ º Ì ÓÒ Ø ÓÒ ½µ Ò ¾µ Ö Ó Ú ÓÙ º ÙÑ Ø Ø A B Ò x Φ ψ (A)º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ ÓÒ Ò ÙÑ Ø Ø x =0º Ï ÓÒÐÝ ÓÛ Ø Ø ¼ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø A Ø Ò 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø B º Ä Ø {(h n,m n )} n N Ò Ö ØÖ ÖÝ ÕÙ Ò Û Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ ¾º Ï Ó ÖÚ Ø Ø B =(B A ) (B \ A ), Û Ö B \ A = A \ B I Ò B A A º 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø A Ø Ù Ø ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó

Ψ I ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý Ø Ø A B º Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ü Ø Ù ÕÙ Ò {(h nk,m nk )} k N Ù Ø Ø ( ) 1 lim sup k h nk ψ(h nk ) (A B ) m nk [0, 1] I. Ï Ò Ø Ø P,P 1,P 2 Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý ( ) 1 P = lim sup k h nk ψ(h nk ) B m nk [0, 1], ( ) 1 P 1 = lim sup k h nk ψ(h nk ) (A B ) m nk [0, 1], ( ) 1 P 2 = lim sup k h nk ψ(h nk ) (B \ A ) m nk [0, 1]. Ì Ò P P 1 P 2 º Ì Ø P 1 Ó Ø Ö Ø Ø ÓÖÝ Ò P 2 = ( r=1 k=r 1 h nk ψ(h nk ) (B \ A ) m nk ) [0, 1] I. Ì Ù P Iº Ï Ú ÔÖÓÚ Ø Ø Φ ψ (A) Φ ψ (B)º ÁÒ Ñ Ð Ö Û Ý Û Ò ÔÖÓÚ Ø Ø Φ ψ (B) Φ ψ (A)º ÆÓÛÛ ÐÐ ÓÛ ÓÒ Ø ÓÒ µº Ë Ò A B A Ò A B B Ø Ö ÓÖ Ý ÓÒ Ø ÓÒ ¾µ Û Ú Φ ψ (A B) Φ ψ (A) Φ ψ (B)º Ä Ø x Φ ψ (A) Φ ψ (B)º Ï Ò ÙÑ Ø Ø x =0º Ä Ø {(h n,m n )} n N Ò Ö ØÖ ÖÝ ÕÙ Ò Û Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÓÒ ¾º Ë Ò 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø A Ø Ö ÓÖ Ø Ö Ü Ø Ù ÕÙ Ò {(h nk,m nk )} k N Ù Ø Ø lim sup k ( ) 1 h nk ψ(h nk ) A m nk [0, 1] I. Ø ÓÒ ÐÝ 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø B Ø Ù Ø Ö Ü Ø Ù ÕÙ Ò {(h nkp,m nkp )} k N Ù Ø Ø lim sup k ( ) 1 h nkp ψ(h nkp ) B m nkp [0, 1] I. Ì Ò lim sup k ( ) 1 h nkp ψ(h nkp ) (A B) m nkp [0, 1] H,

Û Ö H = lim sup k lim sup k Û Þ ÖÓÛ Ò Þ Î ÞÚ ÖÝ ( ) 1 h nkp ψ(h nkp ) A m nkp [0, 1] ( ) 1 h nkp ψ(h nkp ) B m nkp [0, 1] I. À Ò 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø (A B) º ÁÒ Ñ Ð Ö Û Ý Û Ò ÓÛ Ø Ø 0 ÔÓ ÒØ Ó Ð Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø (A B). ÆÓÛ Û ÐÐ ÓÛ ÓÒ Ø ÓÒ µº Ä Ø A Sº Ì Ò A =(G \ P 1 ) P 2, Û Ö G Ò ÓÔ Ò Ø P 1 P 2 Ö Ø Ó Ø Ö Ø Ø ÓÖÝ Ò P 1 G P 2 G =. Ý µ Û Ú Φ ψ (A) =Φ ψ (G) Ò G Φ ψ (G)º Ì Ù A \ Φ ψ (A) =A \ Φ ψ (G) A \ G I. Ý Ì ÓÖ Ñ Φ ψ (A) Φ(A) Ò Ý Ì ÓÖ Ñ ¾ A Φ(A) Ø Ö ÓÖ Φ ψ (A) \ A Φ(A) \ A I. Ò Ø ÓÒ º Ä Ø ÓÖ ψ C T ψ = {A S: A Φ ψ (A)}. Ý Ø ÓÖ Ñ Ò Û Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø ψ Cº T ψ ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ Ø Ö Ð Ð Ò ØÖÓÒ Ö Ø Ò Ø ÙÐ Ò ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Û Ö Ø Ò Ø I ØÓÔÓÐÓ Ýº Ä ÑÑ ¾º ÙÑ Ø Ø Û Ú ÕÙ Ò Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö {a n } n N Ò {b n } n N Ù Ø Ø lim a n = lim b n =0 Ò ÓÖ n N 0 <b n+1 < n n a n <b n. Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ ψ C Ù Ø Ø 0 ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ó ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø G = (a n,b n )º n=1 ÈÖÓÓ º Ö Ø Û Ò Ú ÐÙ Ó Ø ÒØ ÓÒ ψ Ø ÔÓ ÒØ Ó Ø ÕÙ Ò 1 {b n } n N º Ë Ø ψ(b 1 ) = [ ] b 1 b 1 a 1 +1 a 2 = max{a 2,b 2 (1 ψ(b 1 ))} Ò 1 ψ(b 2 ) = [ ]. ÙÑ Ø Ø ÓÖ n N Û Ú Ò Ø ÔÓ ÒØ b 2 b 2 a +1 2 a 1,...,a n Ò Ø Ö Ð ÒÙÑ Ö ψ(b 1 ),...,ψ(b n ) Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý a i+1 =max{ a i+1,b i+1 (1 1 i ψ(b i)) } i {1,...,n 1}

Ψ I ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý 1 ψ(b i+1 )= [ ] b i+1 b i+1 a +1 i+1 i {1,...,n 1}º ÈÙØ a n+1 =max{ a n+1,b n+1 (1 1 n ψ(b n)) } 1 Ò ψ(b n+1 )= [ ] º b n+1 b n+1 a +1 n+1 Ï Ó ÖÚ Ø Ø ψ(b n+1 ) < 1 n ψ(b n)º ÁÒ 1 n ψ(b n) 1 a n+1 b n+1 = 1 b n+1 b n+1 a n+1 > [ 1 b n+1 b n+1 a n+1 ] = ψ(b n+1 ). +1 Ä Ø ψ C ÙÒØ ÓÒ Ù Ø Ø ÓÖ ÒÝ n N Ò x [a n,b n ] ψ(x) = ψ(b n )º ÁÒ Ñ Ð Ö Û Ý Ò Ì ÓÖ Ñ Û Ò ÓÛ Ø Ø 0 ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø Gº Ò Ø ÓÒ º Ï ÒÓØ Ý H Ø À ÑÓØÓ ØÓÔÓÐÓ Ý Û Ö Ì ÓÖ Ñ ½¼º H = {U \ P : U Ò ÓÔ Ò Ø,P I}. T ψ = H. ψ C ÈÖÓÓ º ÁØ Ó Ú ÓÙ Ø Ø H ψ C T ψº Ä Ø A S Ò A / Hº Ì Ò A =(G \ P 1 ) P 2 Û Ö G Ò ÓÔ Ò Ø P 1,P 2 I P 1 G Ò P 2 G =. Ë Ø H = ÁÒØ( Ð(G)) Ò R = H \ (G P 2 )º Ý A/ H Û ÒÓÛ Ø Ø P 2 ÒÓØ Ù Ø Ó Hº ÁØ Ý ØÓ Ø Ø Int (R \ H) Ò Ø Ø R \ H ÒÓ ÓÐ Ø ÔÓ ÒØ º Ä Ø x 0 P 2 (R \ H) Ò {(c n,d n )} n N ÕÙ Ò Ó ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ø Int (R \ H)º Ï ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò µ x 0 Int (R \ H)º Ì Ò ÓÖ Ò Ö ØÖ ÖÝ ÙÒØ ÓÒ ψ C x 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø Hº Ì Ù x 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø G Hº Ë Ò Φ ψ (A) =Φ ψ (G) Û Ú x 0 / Φ ψ (A)º Ì Ö ÓÖ A Φ ψ (A) Ò A/ T ψ º µ Ì Ö Ü Ø n 0 N Ù Ø Ø x 0 = c n0 ÓÖ x 0 = d n0 º Ì Ò x 0 ÔÓ ÒØ Ó Ö Ø¹ Ò ÓÖ Ð Ø¹ Ò ψ I Ò ØÝ Ó Ø Ø R \ H ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ ÙÒØ ÓÒ ψ C Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ò ÓÚ x 0 A \ Φ ψ (A)º µ Ì Ö Ü Ø ÕÙ Ò {c nk } k N Û ÓÒÚ Ö ØÓ x 0 ÖÓÑ Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ö Ü Ø ÕÙ Ò {d nk } k N Û ÓÒÚ Ö ØÓ x 0 ÖÓÑ Ø Ð Øº Ì Ò Ý Ä ÑÑ ¾ Ø Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ ψ C Ù Ø Ø x 0 ÒÓØ ÔÓ ÒØ Ó ψ I ¹ Ô Ö ÓÒ Ó Ø Ø (c nk,d nk ). Ì Ù x 0 / Φ ψ (A) Ò A/ T ψ º Ì Ö ¹ k=1 ÓÖ A/ ψ C T ψ º

¼ Û Þ ÖÓÛ Ò Þ Î ÞÚ ÖÝ Ê Ö Ò ½ Ϻ ÈÓÖ º Ï Ò Ö¹ Ó ÓÛ Ïº Ï ÐÞÝ º Ø ÓÖÝ Ò ¹ ÐÓ Ù Ó Ø Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ýº ÙÒ º Å Ø º Î ½ ½ ½ º ¾ ź Ì Ö Ô Ø º Ï Ò Ö¹ Ó ÓÛ º ψ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ º Ê Ò º Öº Šغ È Ð ÖÑÓ Ë Öº ÁÁ ÄÎÁÁÁ ½ ½ º ˺º Ì ÝÐÓÖº ÇÒ ØÖ Ò Ø Ò Ò Ø Ä Ù Ò ØÝ Ø ÓÖ Ñº ÙÒ º Å Ø º ÄÎÁ ¼ ½ ½ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÇÆ ËÇÅ Æ Ê ÄÁ ÌÁÇÆË Ç Ç Ë ÀÁÆ Ä ÍÆ ÌÁÇÆ Ä ÉÍ ÌÁÇÆ Â ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ a,b ÂÓÐ ÒØ Ç ÖÞ c a ÙÐØÝ Ó Å Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò ÓÒÓÑ ØÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÐÓÒ Ö ÈÓ ÖÒ ¼ ¾ ÐÓÒ Ö ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ÂºÅ Ø ÓÛ ÛÑ ºÙÞºÞ ÓÖ ºÔÐ b ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ë Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò ÓÛ ½ ¼¼¼ à ØÓÛ ÈÓÐ Ò c Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø ÌÀ Ð Ó¹ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ó ÖÞ Ø º Ð ÓºÔÐ ØÖ Øº ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ð Ú Ö Ð Ò Ö Ð Þ Ò Ø Ó Ë ÒÞ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ö Ò ÓÑ ÑÔÐ Ñ Ø Ó ÐÐÓÛ Ò Ù ØÓ ¹ Ø ÖÑ Ò Ø Ö ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ü ØÐÝ ÓÒ Þ ÖÓ Ö ÔÖ ÒØ º ÓÖ Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ Ü Ö Ð p, Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ ([pφ(y)+(1 p)]x +[(1 p)φ(x)+p ]y) =φ(x)φ(y), x,y R, Ò Ô Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ë ÒÞ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ö º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÑÔÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ð Ú Ö Ð º º ÕÙ Ø ÓÒ ÒÚÓÐÚ¹ Ò Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó ÙÒ ÒÓÛÒ ÙÒØ ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ó ÕÙ Ø ÓÒ º Ì ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ º Þ Ð ½ Ôº ¾ µ φ(φ(x, s),t)=φ(x, s + t), Ø Ó Ë ÒÞ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ¾ Ð Ó ½ ÔÔº ½½ ½¾µ φ(x + yφ(x)) = φ(x)φ(y), ½µ

¾  ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ ÂÓÐ ÒØ Ç ÖÞ ÓÖ Ø ÕÙ Ø ÓÒ φ(x + yφ(x)) + φ(x yφ(x)) = 2φ(x)φ(y), ¾µ Ö Ø Ü ÑÔÐ º ÁÒ Ø ÓÒ ½ Û ÓÒ Ö ÑÓÖ Ò Ö Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ò ½µ Ò ¾µ Ò Ú ÓÑ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐÓÛ Ò Ù ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ö ÓÒ ¹ ØÓ¹ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò Ü ØÐÝ ÓÒ Þ ÖÓº ÁÒ Ø ÓÒ ¾ ÓÖ Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ Ü Ö Ð p, Û Ð Û Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ ([pφ(y)+(1 p)]x +[(1 p)φ(x)+p ]y) =φ(x)φ(y), x,y R, Ò Ô Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ ½µº ¾º Å Ò Ö ÙÐØ Ä Ø X غ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ φ : X X Ò ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö ÒÙÑ Ö k, Ý Ø ÝÑ ÓÐ φ k Û ÒÓØ Ø kø Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ φº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Ö Ù Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø ÖÑ Ò Ò Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÓ Ø ØÝÔ ØÓ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÑÔÐ Ø ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÖ Ñº Ì ÓÖ Ñ ½º Ä Ø m, n N Ü º Ä Ø I, I 1 R ÒØ ÖÚ Ð Ù Ø Ø 0 I 1 Ò I 1 Iº Ä Ø G :(I I 1 ) 2 I Ò H :(I I n 1 ) (I Im 1 ) I 1º ËÙÔÔÓ Ø Ø ÓÖ ÐÐ x, y I x 1,...,x n,y 2,...,y m I 1 H(x, x 1,x 2,...,x n,y,0,y 2,...,y m )=0. µ Á ÙÒØ ÓÒ φ : I I 1 Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ(g(x, φ(x),y,φ(y)))=h(x, φ(x),φ 2 (x),...,φ n (x),y,φ(y),φ 2 (y)...,φ m (y)) µ ÓÖ ÐÐ x y I Ò Ø Ö Ü Ø Ü ØÐÝ ÓÒ z 0 I Ù Ø Ø φ(z 0 )=0 Ø Ò G(x, φ(x),z 0, 0) = z 0, x I. ÈÖÓÓ º Ì Ò y = z 0 Ò ÕÙ Ø ÓÒ µ Ò ÔÔÐÝ Ò ÓÒ Ø ÓÒ µ Û Ø φ(g(x, φ(x),z 0, 0)) = 0, x I. Ë Ò φ Ü ØÐÝ ÓÒ Þ ÖÓ Û Ó Ø Ò G(x, φ(x),z 0, 0) = z 0 ÓÖ ÐÐ x I. Ì ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º Ê Ñ Ö ½º ÕÙ Ø ÓÒ µ Ò Ö Ð Þ Ø Ó Ë ÒÞ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½µº

ÇÒ ÓÑ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ó Ë ÒÞ Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ ÓÖ p R Ò φ : X (0, ) Ø ÝÑ ÓÐ X x [φ(x)] p Ø Ò ÓÖ Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÓÛ Ö ÙÒØ ÓÒ (0, ) u u p Ò φº ÆÓÛ Û ÔÖ ÒØ ÓÑ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º Ä Ø k l N Ü Ò Ð Ø φ : R R ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ü ØÐÝ ÓÒ Þ ÖÓ ÔÓ Òغ Ì Ò φ Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ) φ (x + y[φ(x)] 2k 1 2l 1 = φ(x)φ(y), x,y R, µ Ò ÓÒÐÝ ÓÖ ÓÑ c R c 0 φ(x) =(cx +1) 2l 1 2k 1, x R. µ ÈÖÓÓ º ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ½ Ø I = I 1 = R n = m = 1 Ò Ò G : R 4 R Ý Ò H : R 4 R Ý G(x, x 1,y,y 1 ):=x + y(x 1 ) 2k 1 2l 1, x, x1,y,y 1 R, H(x, x 1,y,y 1 ):=x 1 y 1, x, x 1,y,y 1 R. ËÙÔÔÓ Ø Ø φ : R R Ø ÕÙ Ø ÓÒ µ Ò Ü ØÐÝ ÓÒ Þ ÖÓ z 0 Rº Ë Ò H(x, x 1,z 0, 0) = 0 ÓÖ ÐÐ x, x 1 R Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Ö ÙÐ ÐÐ º ÖÓÑ µ ÔÔÐÝ Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Û Ø Ø Ø Û Ò z 0 0 Ò G(x, φ(x),z 0, 0) = z 0, x R, x + z 0 [φ(x)] 2k 1 2l 1 = z0, x R, φ(x) = (1 xz0 ) 2l 1 2k 1, x R. ÈÙØØ Ò Ö c := 1 z 0 Û Ó Ø Ò µº Ë Ò φ Ú Ò Ý µ Ø ÕÙ Ø ÓÒ µ Ø ÔÖÓÓ ÓÑÔÐ Ø º Ê Ñ Ö ¾º ÁØ ÒÓÛÒ Ø Ø º ½ ÔÔº ½ ¾¹½ µ φ : R R ÓÒ¹ Ø ÒÙÓÙ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø Ó Ë ÒÞ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ(x + yφ(x)) = φ(x)φ(y), x,y R,

 ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ ÂÓÐ ÒØ Ç ÖÞ Ø Ò Ø Ö Ü Ø c R \{0} Ù Ø Ø Ø Ö ÓÖ Ø Ö Ü Ø c R Ù Ø Ø ÓÖ φ(x) =sup{cx +1, 0}, x R, φ(x) =cx +1, x R, (7) φ(x) =0, x R. Ì ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ Ò Ö ÒØ Û Ýº Ì Ò k = l Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ µ Ò ÔÔÐÝ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ Û Ó Ø Ò µ ÓÒÐÝ ÓÐÙØ ÓÒ Ú Ò ÓÒÐÝ Þ ÖÓ Ò Rº ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º Ä Ø a < 0 Ò p R, p > 0 Ü º ËÙÔÔÓ Ø Ø φ :[a, ) [0, ) Ü ØÐÝ ÓÒ Þ ÖÓ Ò[a, )º ÙÒØ ÓÒ φ Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ (x + y[φ(x)] p )=φ(x)φ(y), x a, y 0, µ Ò ÓÒÐÝ φ(x) = ( 1 x ) 1 p, x a. µ a ÈÖÓÓ º ËÙÔÔÓ Ø Ø φ :[a, ) [0, ) Ø ÕÙ Ø ÓÒ µ Ò z 0 a Ø ÓÒÐÝ Þ ÖÓ Ó φº ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ½ Ø n = m =1 I := [a, ), I 1 := [0, ), Ø ÙÒØ ÓÒ G :(I I 1 ) 2 I Ò Ý G(x, x 1,y,y 1 ):=x + y(x 1 ) p, x,y I, x 1,y 1 I 1, Ò Ø ÙÒØ ÓÒ H :(I I 1 ) 2 I 1 Ò Ý H(x, x 1,y,y 1 ):=x 1 y 1, x,y I, x 1,y 1 I 1. Ë Ò H(x, x 1,y,0) = 0 ÓÖ ÐÐ x y I x 1 I 1 Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ì Ó¹ Ö Ñ ½ Ö Ø º Ì Ö ÓÖ G(x, φ(x),z 0, 0) = z 0, x I, Ó x + z 0 [φ(x)] p = z 0 ÓÖ ÐÐ x a. ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø z 0 0 Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ φ(x) =(1 x z 0 ) 1 p, x a. Ë Ò φ ÒÓÒ Ò Ø Ú Û Ú 1 x z 0 0 ÓÖ ÐÐ x [a, )º Ì Ù z 0 = a. Ë Ò Ø ÓÒÚ Ö ÑÔÐ Ø ÓÒ Ý ØÓ Ú Ö Ý Ø ÔÖÓÓ ÓÑÔÐ Ø º

ÇÒ ÓÑ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ó Ë ÒÞ Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ê Ñ Ö º ÆÓØ Ø Ø ÓÖ p = 0 ÕÙ Ø ÓÒ µ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾ ÓÑ Ø Ù Ý ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ñ ¾º Ä Ø n N Ü º Ä Ø I, I 1 ÒØ ÖÚ Ð Ù Ø Ø I 1 I Rº Ä Ø G :(I I 1 ) 2 I Ò H :(I I n 1 )2 I 1 Ú Ò ÙÒØ ÓÒ º ËÙÔÔÓ Ø Ø H ÝÑÑ ØÖ Ø Ø H(x, x 1,x 2,...,x n,y,y 1,y 2,...,y n )=H(y,y 1,y 2,...,y n,x,x 1,x 2,...,x n ) ½¼µ ÓÖ ÐÐ x, y I x 1,x 2,...,x n,y 1,y 2,...,y n I 1 º Á φ : I I 1 ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ(g(x, φ(x),y,φ(y))) = H(x, φ(x),φ 2 (x),...,φ n (x),y,φ(y),φ 2 (y)...,φ n (y)) ½½µ ÓÖ ÐÐ x, y I Ø Ò φ(g(x, φ(x),y,φ(y))) = φ(g(y,φ(y),x,φ(x))), x,y I. Á ÑÓÖ ÓÚ Ö φ ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ø Ò G(x, φ(x),y,φ(y)) = G(y,φ(y),x,φ(x)), x,y I. ½¾µ ÈÖÓÓ º ËÙÔÔÓ Ø Ø φ : I I 1 Ø Õº ½½µ Ò H :(I I n 1 )2 I 1 Ø ÓÒ Ø ÓÒ ½¼µº Ì Ò ÓÖ ÐÐ x y I Û Ú φ(g(x, φ(x),y,φ(y))) = H(x, φ(x),φ 2 (x),...,φ n (x),y,φ(y),φ 2 (y)...,φ n (y)) Ó = H(y,φ(y),φ 2 (y),...,φ n (y),x,φ(x),φ 2 (x)...,φ n (x)) = φ(g(y,φ(y),x,φ(x))), φ(g(x, φ(x),y,φ(y))) = φ(g(y,φ(y),x,φ(x))), x,y I. Á φ ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ Ø Ò Ó Ú ÓÙ ÐÝ ÕÙ Ð ØÝ ½¾µ ÓÐ ØÖÙ º Ê Ñ Ö º Á Ø ÙÒØ ÓÒ G Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ ÒÓØ ÝÑÑ ØÖ Ø Ò Ò Ò Ö Ð ÕÙ Ð ØÝ ½¾µ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ó Ø Ò Ø ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ½½µº ÔÔÐÝ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Û Ó Ø Ò

 ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ ÂÓÐ ÒØ Ç ÖÞ ÓÖÓÐÐ ÖÝ º Ä Ø a p R Ü Ò Ù Ø Ø a<0 p 0º ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÙÒØ ÓÒ φ :(a, ) (0, ) Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ (x + y[φ(x)] p )=φ(x)φ(y), x > a, y 0, ½ µ Ò ÓÒÐÝ φ(x) = ( 1 x ) 1 p, x > a. ½ µ a ÈÖÓÓ º ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ø n =1 I =(a, ) I 1 =(0, ), Ø ÙÒØ ÓÒ G :(I I 1 ) 2 I Ò Ý G(x, x 1,y,y 1 ):=x + y(x 1 ) p, x, y I, x 1,y 1 I 1, Ò H :(I I 1 ) 2 I 1 Ò Ý H(x, x 1,y,y 1 ):=x 1 y 1 x, y I, x 1,y 1 I 1, Ë Ò H(x, x 1,y,y 1 )=H(y,y 1,x,x 1 ), x, y I, x 1,y 1 I 1, Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ì ÓÖ Ñ ¾ Ö Ø º ÔÔÐÝ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Û Ú ÖÓÑ ½¾µ Û Ò x + y[φ(x)] p = y + x[φ(y)] p, x, y I, [φ(x)] p 1 x = [φ(y)]p 1, x, y I, x, y 0. y ËÓ Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c R \{0} Ù Ø Ø x 1 ([φ(x)] p 1) = c ÓÖ ÐÐ x I x 0. À Ò φ(x) =(cx +1) 1 p, x > a, x 0. ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ ÑÔÐ Ø Ø cx +1> 0, x > a,

ÇÒ ÓÑ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ó Ë ÒÞ Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ ca +1 0. ÇÒ Ø ÓØ Ö Ò φ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Ø Ò Ó Ú ÓÙ ÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÕÙ Ð ØÝ x + y[(cx +1) 1 p ] p >a, x,y>a, ØÖÙ Û Ñ Ò Ø Ø x + y[(cx +1)]>a, x,y>a. ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø a + ca 2 + a a, Ó ca +1 0º ÓØ Ò ÕÙ Ð Ø ÑÔÐÝ Ø Ø ca +1=0, Û Ò c = 1 a, Ò φ ØÓ Ó Ø ÓÖÑ ½ µº ÌÓ ÓÛ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ φ Ú Ò Ý ½ µ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Ð Ø Ù ÒÓØ Ø Ø x + y[φ(x)] p >a, x,y>a. ÁÒ Ø Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ (x a)(y a) > 0. ÆÓÛ Ø Ý ØÓ Ú Ö Ý Ø Ø ½ µ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½ µº Ì ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ º Ê Ñ Ö º Ì Ò a, p R, a<0, Ò p>0, Û Ò ÓÛ Ò Ø Ñ Û Ý Ø Ø Ø ÓÒ ØÓ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ φ :[a, + ) [0, + ) Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ (x + y[φ(x)] p )=φ(x)φ(y), x, y a, Ò ÓÒÐÝ φ(x) = ( 1 x ) 1 p, x a. a Ê Ñ Ö º Ä Ø I I 1 R ÒØ ÖÚ Ð º Ä Ø G : (I I 1 ) 2 I Ò H : I 1 I 1 I 1 Ø Ú Ò ÙÒØ ÓÒ º ÙÑ Ø Ø φ : I I 1 φ(i) =I 1 Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ(g(x, φ(x),y,φ(y))) = H(φ(x),φ(y)), x,y I. ½ µ Ì Ò Ø ÙÒØ ÓÒ φ 1 : I 1 I Ø Ø ÒÓÒ¹ÓÑÔÓ Ø µ ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ G(φ 1 (x),x,φ 1 (y),y)=φ 1 (H(x, y)), x,y I 1. ½ µ ÁÒ Ø ÔÙØØ Ò φ 1 (x) Ò ÔÐ Ó x Ò φ 1 (y) Ò ÔÐ Ó y Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Û Ó Ø Ò ½ µº ËÓÑ Ø Ñ Ø ÓÚ Ö Ñ Ö ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ú ÐÝ Ø Ø Ú ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó ÓÖÑ ½ µº Ï Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò

 ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ ÂÓÐ ÒØ Ç ÖÞ ÓÖÓÐÐ ÖÝ º Ä Ø k l N Ü Ò Ð ØI = I 1 = R. Ì Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ φ : R R Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ) φ (x + y[φ(x)] 2k 1 2l 1 = φ(x)φ(y), x,y R, ½ µ Ò ÓÒÐÝ ÓÖ ÓÑ c R c 0º φ(x) =(cx +1) 2l 1 2k 1, x R, ½ µ ÈÖÓÓ º ÓÖ Ò ØÓ Ê Ñ Ö Ø ÓÒ φ : R R Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Ò ÓÒÐÝ φ 1 : R R Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ φ 1 (x)+φ 1 (y)x 2k 1 2l 1 = φ 1 (xy), x,y R. ÈÙØØ Ò Ö y =0, Û Ó Ø Ò φ 1 (x) =φ 1 (0) ) (1 x 2k 1 2l 1, x R, Û ÑÔÐ ½ µº º Ô Ð Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ó Ë ÒÞ Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ü Ñ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ φ ([pφ(y)+(1 p)]x +[(1 p)φ(x)+p ]y) =φ(x)φ(y), x,y R, ½ µ Û Ö p R Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ Ü Ô Ö Ñ Ø Öº ÓÖ p =0 ÓÖ p =1 Ø Ö Ù ØÓ Ø Ð Ð Ó Ë ÒÞ Ð ÕÙ Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø p R Ü º ½º Á p 1 2, Ø Ò Ø ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÙÒØ ÓÒ φ : R R Ø ½ µ Ò ÓÒÐÝ ÓÖ ÓÑ c R \{0}º φ(x) =cx +1, x R, ¾º Á p = 1 2, Ø Ò Ø ÓÒ φ : R R Ø ½ µ Ò ÓÒÐÝ ÓÖ ÓÑ c R \{0}º φ(x) =cx +1, x R,

ÇÒ ÓÑ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ó Ë ÒÞ Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÈÖÓÓ º Ì n =1, I = R Ò Ò G :(R R) 2 R Ý G(x, x 1,y,y 1 ):=[py 1 +(1 p)]x +[(1 p)x 1 + p]y, x, y, x 1,y 1 R, Ò H :(R R) 2 R Ý ÆÓØ Ø Ø H(x, x 1,y,y 1 ):=x 1 y 1, x, y, x 1,y 1 R. H(x, x 1,y,y 1 )=H(y,y 1,x,x 1 ), x, y, x 1,y 1 R. ÔÔÐÝ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾ Û Ó Ø Ò ÓÖ ÐÐ x, y R Û Ò [pφ(y)+(1 p)]x +[(1 p)φ(x)+p]y =[pφ(x)+(1 p)]y +[(1 p)φ(y)+p]x (2p 1)[x(φ(y) 1)] = (2p 1)[y(φ(x) 1)], x, y R. Á p 1 2 Ò Û Ø φ(x) 1 x = φ(y) 1, x, y R \{0}. y Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c R \{0} Ù Ø Ø φ(x) =cx +1 ÓÖ ÐÐ x R \{0}. ÈÙØØ Ò x = y =0 Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Û Ø [φ(0)] = [φ(0)] 2, ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Û Ó Ø Ò Ø Ö φ(0) = 0 ÓÖ φ(0) = 1. Ë Ò φ ÓÒ ØÓ ÓÒ Ò φ( 1 c )=0, Ø φ(0) = 0 ÒÒÓØ ÓÙÖº Ì Ù φ(x) =cx +1 ÓÖ ÐÐ x R. ÓÖ p = 1 2 ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Ø ÓÖÑ ( ) 1 φ 2 [x(φ(y)+1)+y(φ(x)+1)] = φ(x)φ(y), x, y R. ¾¼µ Á Ø ÓÒ φ : R R Ø ¾¼µ Ø Ò ÓÖ Ò ØÓ Ø Ê Ñ Ö ¾ Ø ÙÒØ ÓÒ φ 1 : R R Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ 2φ 1 (xy) =(y +1)φ 1 (x)+(x +1)φ 1 (y), x, y R. ÈÙØØ Ò Ö y =0 Û Ø 2φ 1 (0) = φ 1 (x)+(x +1)φ 1 (0), x R.

¼  ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ ÂÓÐ ÒØ Ç ÖÞ À Ò φ 1 (0) 0, φ 1 (x) =φ 1 (0)(1 x), x R, Û Ò φ(x) =1 1 φ 1 x, x R. (0) Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø p R Ü º ÙÒØ ÓÒ φ : R R Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Ò Ü ØÐÝ ÓÒ Þ ÖÓ Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c R \{0} Ù Ø Ø φ(x) =cx +1, x R. ÈÖÓÓ º ÆÓØ Ø Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó (1 p) ÓÖ p Ò ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Ú Ø Ñ ÕÙ Ø ÓÒº Ì Ù Û Ø ÓÙØ ÒÝ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ò ÙÑ Ø Ø p 1. Ì n = m =1, I = I 1 = R Ò Ò H :(R R) 2 R Ý Ò G :(R R) 2 R Ý H(x, x 1,y,y 1 ):=x 1 y 1, x, x 1,y,y 1 R, ¾½µ G(x, x 1,y,y 1 ):=[py 1 +(1 p)]x +[(1 p)x 1 + p]y, x,x 1,y,y 1 R. ËÙÔÔÓ Ø Ø φ : R R Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Ò z 0 0 ÙÒ ÕÙ Þ ÖÓ Ó φ. ÆÓØ Ø Ø y = z 0, Ø Ò H(x, x 1,z 0, 0) = 0 ÓÖ ÐÐ x x 1 R, Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ¾½µ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ µ Ó Ì ÓÖ Ñ ½º Ì Ö ÓÖ φ Ø ÕÙ Ø ÓÒ ½ µ Ø Ò (1 p)x +[(1 p)φ(x)+p]z 0 = z 0, x R. À Ò Û Ó Ø Ò φ(x) =1 x z 0 ÓÖ ÐÐ x R. Ê Ö Ò ½ º Þ Ðº Ä ØÙÖ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò Ì Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ ¹ Ñ ÈÖ Æ Û ÓÖ ½ º ¾ ˺ Ó º Ë ÒÞ Ðº ËÙÖ Ð³ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÒØ ÓÒÒ ÐÐ f[x + yf(x)] = f(x)f(y). È٠к Å Ø º Ö Ò ½½ ½¾ ½ º Ⱥ à Рº Å Ø ÓÛ º ÇÒ ÓÑ ÜØ Ò ÓÒ Ó Ó Ë ÒÞ Ð ÙÒ¹ Ø ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒº ÒÒº Å Ø º Ë Ð º ½ ½ ½ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÌÀ ÇÍÆ ÄÇ Ä ÇÈ Ê ÌÇÊË ÁÆ ÌÀ Æ À ËÈ Ç À Ä Ê ÍÆ ÌÁÇÆË Â ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ a,b Å ÓÖÞ Ø ÏÖ Ð c a ÙÐØÝ Ó Å Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò ÓÒÓÑ ØÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÐÓÒ Ö ÈÓ ÖÒ ¼ ¾ ÐÓÒ Ö ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ÂºÅ Ø ÓÛ ÛÑ ºÙÞºÞ ÓÖ ºÔÐ b ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ë Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò ÓÛ ½ ¼¼¼ à ØÓÛ ÈÓÐ Ò c ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ«ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ РѺÛÖÓ Ð ºÞ غÔÐ ØÖ Øº ÁØ ÒÓÛÒ Ø Ø Ú ÖÝ ÐÓ ÐÐÝ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ø Ò ØÛ Ò ØÛÓ À Ð Ö Ô Æ ÑÝØ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖº Ï ÓÛØ Ø Ù ÒÓÔ Ö ØÓÖ ÓÙÒ Ò Ø Ò Ó Ø ÒÓÖÑ Ø Ò Ø Ò Ö ØÓÖ ÓÒØ ÒÙÓÙ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä Ø I R Ò Ö ØÖ ÖÝ ÒØ ÖÚ Ð Ò Ý R I Û ÒÓØ Ø Ø Ó ÐÐ ÙÒØ ÓÒ ϕ : I R. ÓÖ Ú Ò ØÛÓ¹ÔÐ ÙÒØ ÓÒ h : I R R, Ø Ñ ÔÔ Ò K : R I R I Ò Ý K(ϕ)(x) :=h(x, ϕ(x)), ϕ R I, x I, ÐÐ Æ ÑÝØ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ø Ò Ö ØÓÖ h. ÁØ ÒÓÛÒ Ø Ø Ú ÖÝ ÐÓ ÐÐÝ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÔÔ Ò Ø Ø Ó ÓÒ¹ Ø ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ C(I,R) ÒØÓ Ø Ð ÑÙ Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ ¾ º ÅÓÖ ÓÚ Ö K Ñ Ô C(I,R) ÒØÓ Ø Ð Ò ÓÒÐÝ Ø Ò Ö ØÓÖ h ÓÒØ Ò¹ ÙÓÙ º Ø Ø ÖÓÙÒ Ø ÙÖÔÖ Ò ÒÓÙ Ø Ø Ø Ö Ö ÓÒØ ÒÙÓÙ

¾  ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ Å ÓÖÞ Ø ÏÖ Ð ÙÒØ ÓÒ h : I R R Ò Ö Ø Ò Ø ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖ K Û Ñ Ô Ø Ô Ó ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÝ Ö ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ C 1 (I,R) ÒØÓ Ø Ð º ½ Ôº ¾¼ µº ÁÒ Ø Ò ÔÖÓÚ Ø Ø ÐÓ ÐÐÝ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ô Ø Ò Ô H φ (I,R) Ó ÐÐ À Ð Ö ÙÒØ ÓÒ ϕ : I R ÒØÓ H ψ (I,R) Ø Ò Ø Æ ÑÝØ ÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÓÔ Ö ØÓÖº Ì ÔÙÖÔÓ Ó Ø Ô Ô Ö ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø ÓÒ ÐÐÝ K ÓÙÒ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ H φ (I,R) ÒÓÖÑ Ø Ò Ø Ò Ö ØÓÖ ÑÙ Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ º ¾º Å Ò Ö ÙÐØ Ä Ø φ :(0, ) (0, ) Ø Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ (i) φ ØÖ ØÐÝ ÒÖ Ò φ(0+) := lim φ(t) =0 Ò Ø ÙÒØ ÓÒ t 0+ (0, ) t φ(t) t Ö Ò º Ä Ø Ù ÒÓØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ý ØÓ Ú Ö Ýµ Ê Ñ Ö ½º Á φ :(0, ) (0, ) Ø ÓÒ Ø ÓÒ (i) Ø Ò φ Ù ¹ Ø Ú Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ º Ä Ø I R Ò ÒØ ÖÚ Ð Ò Ð Ø x 0 I Ö ØÖ Ö ÐÝ Ü º ÓÖ Ú Ò φ :(0, ) (0, ), Ú Ò Ø ÓÚ ÔÖÓÔ ÖØ Ý H φ (I,R) Û ÒÓØ Ø Ò Ô Ó ÐÐ À Ð Ö ÙÒØ ÓÒ ϕ : I R ÕÙ ÔÔ Û Ø Ø ÒÓÖÑ ϕ φ := ϕ(x 0 ) + sup x,y I,x y ϕ(x) ϕ(y). φ( x y ) Ð ÖÐÝ ϕ H φ (I,R) Ò ÓÒÐÝ Ø Ö Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ c>0 Ù Ø Ø ϕ(x) ϕ(y) cφ( x y ), x,y I. Ä Ø Ù ÒÓØ Ø Ø φ(t) = t α ÓÖ ÓÑ α (0, 1] Ø Ò H α (I,R) := H φ (I,R) Ø Ð Ð À Ð Ö ÙÒØ ÓÒ Ô Ò H 1 (I,R) ÓÑ Ø Ò Ô Ó Ä Ô ØÞ ÙÒØ ÓÒ º Ò Ø ÓÒº Ä Ø φ, ψ :(0, ) (0, ) Ø Ý ÓÒ Ø ÓÒ µº Ò ÓÔ Ö ØÓÖ K : H φ (I,R) H ψ (I,R) ØÓ ÐÓ ÐÐÝ Ò ÓÖ ÒÝ ÓÔ Ò ÒØ ÖÚ Ð J R Ò ÓÖ ÒÝ ÙÒØ ÓÒ ϕ, ψ H φ (I,R), ϕ J I = ψ J I K(ϕ) J I = K(ψ) J I, Û Ö φ J I ÒÓØ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó ϕ ØÓ J I.

Ì ÓÙÒ ÐÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ò Ô ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÙÐØ Û ÔÖÓÚ Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾µº Ä Ø I R Ò ÒØ ÖÚ Ðº Á ÐÓ ÐÐÝ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ K Ñ Ô H φ (I,R) ÒØÓ H ψ (I,R) Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÙÒ ÕÙ ÙÒØ ÓÒ h : I R R Ù Ø Ø K(ϕ)(x) =h(x, ϕ(x)), (x I), ÓÖ ÐÐ ϕ H φ (I,R), Ø Ø K Æ ÑÝØ ÓÔ Ö ØÓÖ Ó Ø Ò Ö ØÓÖ h. Ï Ý Ø Ø Ò ÓÔ Ö ØÓÖ K : H φ (I,R) H ψ (I,R) ÓÙÒ Ø Ñ Ô Ø ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ò Ó H φ (I,R) ÒØÓ ÓÙÒ ÕÙ Ò Ò H ψ (I,R). Ì Ñ Ò Ö ÙÐØ Ö ÓÐÐÓÛ Ì ÓÖ Ñ ¾º Ä Ø I R Ò ÒØ ÖÚ Ðº Á ÐÓ ÐÐÝ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ K : H φ (I,R) H ψ (I,R) ÓÙÒ Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ h : I R R Ù Ø Ø K(ϕ)(x) =h(x, ϕ(x)); ϕ H φ (I,R), (x I). ÈÖÓÓ º Ý Ì ÓÖ Ñ ½ Ø Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ h : I R R Ù Ø Ø Ø ÓÖÑÙÐ Ó ÓÙÖ Ö ÙÐØ ÓÐ ØÖÙ º Ï ÐÐ ÓÛ Ø Ø h ÓÒØ ÒÙÓÙ º Ï Ø ÓÙØ ÒÝ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ò ÙÑ Ø Ø I = [a, b) Û Ö 0 <b + Ò Ø Ø ϕ φ := ϕ(a) + sup x,y I,x y ϕ(x) ϕ(y). φ( x y ) Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø h ÓÒØ ÒÙÓÙ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÒ Ú Ö Ð º ÌÓ Ø Ò Ð Ø Ù Ü (x 0,y 0 ) I Ò ÓÓ Ö ØÖ Ö ÐÝ Ö Ð ÕÙ Ò (y n ) n N Ù Ø Ø y n y 0, n N, lim y n = y 0. (1) n Ä Ø (x n ) n N ÕÙ Ò Ù Ø Ø x n I, n N, Ò ( ) x n x 0 = φ 1 yn y 0, n N. À Ò Û Ó Ø Ò y n y 0 φ( x n x 0 ) = y n y 0 ( ( yn )) = y n y 0, n N. (2) φ φ 1 y 0 Ò Ø ÙÒØ ÓÒ P yn : I R, ϕ n : I R, n N, Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ P yn (x) :=y n, n N, (3)

Ò ÔÙØ Ç ÓÙÖ Ë Ò Â ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ Å ÓÖÞ Ø ÏÖ Ð y 0, ÓÖ x [a, x 0 ], y ϕ n (x) = n y 0 (x x 0 )+y 0 ÓÖ x (x 0,x n ),n N, x n x 0 y n, ÓÖ x [x n,b). ÔÔÐÝ Ò ½µ Ò ¾µ Û Ø ϕ 0 (x) =y 0, x I. P yn,ϕ n H φ (I,R), n N. P yn ϕ 0 φ = y n y 0, n N, (4) lim P y n n ϕ 0 φ =0, lim ϕ n ϕ 0 φ =0. (5) n Å Ò Ù Ó µ µ Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ Ò Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÖÑ Û Ú h(x 0,y n ) h(x 0,y 0 ) h(x n,y n ) h(x 0,y n ) + h(x n,y n ) h(x 0,y 0 ) = h(x n,p yn (x n ) h(x 0,P yn (x 0 ) + h(x n,ϕ n (x n )) h(x 0,ϕ n (x 0 )) = K(P yn )(x n ) K(P yn )(x 0 ) + K(ϕ n )(x n ) K(ϕ n )(x 0 ) = K(P y n )(x n ) K(P yn )(x 0 ) ψ( x n x 0 )+ ψ( x n x 0 ) + K(ϕ n)(x n ) K(ϕ n )(x 0 ) ψ( x n x 0 ) ψ( x n x 0 ) K(P yn ) ψ ψ( x n x 0 )+ K(ϕ n ) ψ ψ( x n x 0 ). Ì Ò ÒØÓ ÓÙÒØ µ Ø ÕÙ Ð ØÝ ψ(0+) = 0, Ø ÓÙÒ Ò Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ K Ò Ð ØØ Ò n Ø Ò ØÓ Ø Ò Ò ØÝ Û Ø Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó h Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÒ Ú Ö Ð º ÌÓ ÓÛ Ø Ø h ÓÒØ ÒÙÓÙ Ü (x 0,y 0 ) I R, Ø ØÛÓ Ö ØÖ ÖÝ ¹ ÕÙ Ò x n I, y n R, n N, ÓÒÚ Ö ÒØ ØÓ x 0 Ò y 0 Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ò Ò P yn : I R, n N {0}, Ý P yn (x) =y n, n N {0}.

Ì ÓÙÒ ÐÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ò Ô À Ò Ý Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ Ò Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÒÓÖÑ Û Ú h(x n,y n ) h(x 0,y 0 ) h(x n,y n ) h(x 0,y n ) + h(x 0,y n ) h(x 0,y 0 ) = h(x n,p yn (x n )) h(x 0,P yn (x 0 ) + h(x 0,y n ) h(x 0,y 0 ) = (K(P yn )(x n ) K(P yn )(x 0 ) + h(x 0,y n ) h(x 0,y 0 ) = K(P y n )(x n ) K(P yn )(x 0 ) ψ( x n x 0 ) + h(x 0,y n ) h(x 0,y 0 ) Ë Ò Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó P yn, n N {0}, ψ( x n x 0 ) K(P yn ) ψ ψ( x n,x 0 )+ h(x 0,y n ) h(x 0,y 0 ). lim P y n n P y0 φ =0, ÔÔÐÝ Ò Ø ÓÙÒ Ò Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ K, Ø ÕÙ Ð ØÝ ψ(0+) = 0 Ò Ø Ö Ø Ô ÖØ Ó Ø ÔÖÓÓ º º Ø ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ó h Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÓÒ Ú Ö Ð Ð ØØ Ò n Ø Ò ØÓ Ø Ò Ò ØÝ Û Ø Ø Ö ÕÙ Ö Ð Ñº Ê Ñ Ö ¾º Ì Ò Ò Ø ÓÚ Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔ Ø ÒØ ÖÚ Ð I R ÓÒ Ø Ì ÓÖ Ñ º ÖÓÑ ½ º ÌÓ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ü ÑÔÐ ÓÛ Ò Ø Ø Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ó Ø ÓÙÒ Ò Ó K ÒØ Ð Û Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ä ÑÑ º Ä Ø (X, d), (Y,ρ) Ñ ØÖ Ô º ËÙÔÔÓ A, B X Ö ÐÓ ÒØ A ÒØ B = Ò ÒØ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÓÖ ÒÝ x A, y B Ø Ö Ü Ø ÔÓ ÒØ z δa δb Ù Ø Ø d(x, y) =d(x, z)+d(z,y). (6) Á Ø ÙÒØ ÓÒ f : A Y Ò g : B Y Ö Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò f(z) =g(z) ÓÖ ÐÐ z δa δb, Ø Ò Ø ÙÒØ ÓÒ h :(A B) Y Ò Ý { f(x) for x A, h(x) := g(x) for x B Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ º À Ö δa Ø Ò ÓÖ Ø ÓÙÒ ÖÝ Ó A.µ

 ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ Å ÓÖÞ Ø ÏÖ Ð ÈÖÓÓ º Ë Ò f Ò g Ö Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ö c R + Ù Ø Ø ρ(f(x),f(y)) cd(x, y) ÓÖ x, y A; ρ(g(x),g(y)) cd(x, y) ÓÖ x, y B. Ì x, y A B Ò ÙÑ Ø Ø x A Ò y B. Ý ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ö z δa δb Ù Ø Ø µ ÓÐ º À Ò Ý Ø ØÖ Ò Ð Ò ÕÙ Ð ØÝ ρ(h(x),h(y)) ρ(h(x),h(z)) + ρ(h(z),h(y)) = ρ(f(x),f(z)) + ρ(g(z),g(y)) cd(x, z)+cd(z,y) =cd(x, y). Ø Ö Ñ Ò Ò ØÛÓ Ö Ó Ú ÓÙ Ø ÔÖÓÓ ÓÑÔÐ Ø º Ü ÑÔÐ º Ò ØÛÓ¹ÔÐ ÙÒØ ÓÒ h :[0, 1] R R Ý Ø ÓÖÑÙÐ h(x, y) := 0 y 0, y x 0 <y x, 1 y> x. Ç ÖÚ Ø Ø h ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò [0, 1] R\{(0, 0)} Ò ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø Ø ÔÓ ÒØ (0, 0). ÁÒ Ø Û Ú ÑÓÖ Ò Ñ ÐÝ ÓÙØ Ó ÒÝ Ò ÓÙÖ ÓÓ Ó (0, 0), Ý Ä ÑÑ Ø ÙÒØ ÓÒ h Ä Ô ØÞ Òº ÒÓØ Ý F[0, 1] Ø Ø Ó ÐÐ ÙÒØ ÓÒ ϕ :[0, 1] R. Ä Ø K : F[0, 1] F[0, 1] Ø Æ ÑÝØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÐÐÝ Ò µ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ö Ø Ý h º º K(ϕ)(x) :=h(x, ϕ(x)), x [0, 1]. Ï ÐÐ ÓÛ Ø Ø K Ñ Ô Ø Ô H 1 ([0, 1], R) Ó ÐÐ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ ϕ :[0, 1] R ÒØÓ Ø Ð º Ì ϕ H 1 ([0, 1], R). Á ϕ(0) 0 Ø Ò h Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÙØ ÒÝ Ò ÓÙÖ ÓÓ Ó (0, 0), Ø ÙÒØ ÓÒ K(ϕ), ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÙÒØ ÓÒ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ò [0, 1], Ó K(ϕ) H 1 ([0, 1], R). Á ϕ(0) = 0 Ø Ò K(ϕ) [ε,1] Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÓÖ ÒÝ ε (0, 1]. ÁÒ Ú Û Ó Ä ÑÑ Ø ÒÓÙ ØÓ ÓÛ Ø Ø K(ϕ) [0,ε] Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ º ÌÓ Ø Ò ÙÑ Ø Ø ϕ Ø Ø Ä Ô ØÞ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ø ÓÒ Ø ÒØ c, Ø Ø Ë ØØ Ò x =0 Û Ò Ø ϕ(x) ϕ(x) c x x, x,x [0, 1]. ϕ(x) cx, x [0, 1], (7)

Ì ÓÙÒ ÐÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ò Ô Ó Ø Ö Ô Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ϕ ÓÒØ Ò Ò Ø ØÖ Ò Ð Ø D := {(x, y) :x [0, 1], y cx}. Á ϕ ÒÓÒÔÓ Ø Ú ÓÒ ÒÝ Ù ÒØ ÖÚ Ð Ó I [0, 1] Ø Ò Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó h, Û Ú K(ϕ) I =0 Ò Ó ÓÙ ÐÝ K(ϕ) Ä Ô ØÞ ÓÒØ Ò ÙÓÙ ÓÒ I Û Ø Þ ÖÓ Ä Ô ØÞ ÓÒ Ø Òغ Ì Ö ÓÖ Ø ÒÓÙ ØÓ ÓÒ Ò ÓÙÖ ÓÒ Ö Ø ÓÒ ØÓ Ø Û Ò Ø Ö Ô Ó ϕ [0,ε] ÓÒØ Ò Ò Ø Ø D ε := {(x, y) :x [0,ε], 0 y cx}. Ä Ø Ù ÓÓ ε>0 Ù Ø Ø c< 1 ε. Ì Ò Ð ÖÐÝ cx < x ÓÖ ÐÐ x (0,ε]. Ë Ò ÓÖ ÐÐ (x, y) D ε Û Ú h(x, y) x = y2 2x x (cx)2 2x x c2 ε 2 Ò h(x, y) y = 2y 2cx 2c ε, x x Û Ò Ö Ø Ø h Dε Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø K(ϕ) [0,ε], ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Ó Ä Ô ØÞ ÙÒØ ÓÒ Ä Ô ØÞ ÓÒØ ÒÙÓÙ º Ï Ð Ñ Ø Ø K ÙÒ ÓÙÒ º ÌÓ Ø Ø ÕÙ Ò Ó ÓÒ Ø ÒØ ÙÒØ ÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ ØÓ Þ ÖÓ ϕ k :[0, 1] R, k N, Ò Ý ϕ k (x) = 1 k. ÓÖ Ò ØÓ µ Û Ø Ë Ò K(ϕ k )(x) = 1 ÓÖ 0 x< 1 k 1 kx ÓÖ 1 k N. k x 1 K(ϕ k ) ψ ϕ k(x) ϕ k (x), x,x [0, 1], x y, x x ØØ Ò x = 4 k, x =0, ÓÖ ÐÐ k 4, Û Ø K(ϕ k ) ψ k 8, k 4, Û ÓÛ Ø Ø K ÒÓØ ÓÙÒ º

 ÒÙ Þ Å Ø ÓÛ Å ÓÖÞ Ø ÏÖ Ð Ê Ö Ò ½ º ÔÔ ÐРȺȺ Ö Óº ÆÓÒÐ Ò Ö ËÙÔ ÖÔÓ Ø ÓÒ ÇÔ Ö ØÓÖ º Ñ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ñ Ö ½ ¼º ¾ ú Ä Û Âº Å Ø ÓÛ Âº Å º ÄÓ ÐÐÝ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ô Ó Ö ÒØ Ð ÙÒØ ÓÒ º ÙÐк ÈÓÐ º Ë º Å Ø º ½ ½¾ ½ º ź ÏÖ Ðº ÄÓ ÐÐÝ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ò À Ð Ö³ Ô º ÆÓÒÐ Ò Ö Ò ÐÝ ¾¼½¼º Ó ½¼º½¼½» ºÒ º¾¼½¼º¼ º¼ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÆÇÌ ÇÆ ËÁ¹ËÈ Ë Æ ÅÁ¹ËÈ Ë ËØ Ò Ð Ú Èº ÈÓÒÓÑ Ö Ú ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø ÈÓÑ Ö Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ ÙÐ Ö Þ Û Ó ¾¾ ¹¾¼¼ Ë ÙÔ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ô Ø ÔÓÞØ ºÓÒ ØºÔÐ ØÖ Øº Ï ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ ÓÖ κ¹ Ö µ ËÁ¹ Ô Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ Ö Ôº κ¹ Ö µ ÅÁ¹ Ô º Æ ÜØ Û Ù ÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ö Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ù Ô º ½º ÈÖ Ð Ñ Ò Ö Ò Ò Ø ÓÒ Ì ØÓÔ Ó ÓÙÖ Ö Ö Ø Ñ ÖÓÑ Ø ω¹ôöó Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ø ÐÓÛ Ð Ó ½ µ Û Ò Ø ÐÐÝ Ò ÓÖÑ ÐÐÝ ÒÓØ Ò Ò ÓÑÑÓÒ Û Ø Ø Ô ÙÒ Ö Ù ÓÒº Ì ÓÒÒ Ø ÓÒ ÔÔ Ö Ò Ø Û Ý Ó Ò ÐÝÞ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÒÓÒ¹Ñ ØÖ Þ Ð Ô º ÐØ ÓÙ Û Ö Ø Ò ÐÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ ÖÓÑ ½ Û Ö ÐÐ ÓÑ Ó Ø Ñ ÓÖ ÓÒÚ Ò Ò Ó Ø Ö Öº Ä Ø X =(X, τ) ØÓÔÓÐÓ Ð Ô º ÌÓ ÙÒØ ÓÒ F : X R Û Ó Ø Ø ÙÔÔ Ö Ò ÐÓÛ Ö Ö ÙÒØ ÓÒ M(F, ) :X R, m(f, ) :X R Ò Ò Ù Ù Ð Û Ý ½ µº ÁØ Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ø Ø M(F, ) ÙÔÔ Ö Ñ ¹ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÍË µ Û Ð m(f, ) ÐÓÛ Ö Ñ ÓÒØ ÒÙÓÙ ÄË µ ÓÒ X. Ì Ú ÐÙ ω(f, x) =M(F, x) m(f, x) [0, ] ÐÐ Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ó F Ø ÔÓ ÒØ x. Ï Ò Ð Ó Ú Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò Ø ÓÒ ω(f, x) =inf U sup (F (x ) F (x )), x,x U Û Ö Ø Ò ÑÙÑ Ø Ò ÓÚ Ö ÐÐ Ð Ñ ÒØ U Ó Ò ÓÖ ÓÓ τ x Ó τ Ø x.

½¼¼ ËØ Ò Ð Ú ÈºÈÓÒÓÑ Ö Ú Ä Ø X =(X, τ) ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ò ÍË ÙÒØ ÓÒ f : X [0, ] Ú Òº Á Ø Ö Ü Ø ÙÒØ ÓÒ F : X R Ù Ø Ø x X : ω(f, x) =f(x), Ø Ò Û ÐÐ F Ò ω¹ôö Ñ Ø Ú ÓÖ f. Ý Ø ω¹ôöó Ð Ñ ÓÒ ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X Û Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø Ü Ø Ò Ó Ò ω¹ôö Ñ Ø Ú ÓÖ Ú Ò ÍË ÙÒØ ÓÒ f : X [0, ]. ½ ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û ÓÒ Ö ÓÒÐÝ Ò ¹ Ò¹Ø Ñ ÐÚ ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ò Ò Ø ÍË ÙÒØ ÓÒ f. ÁÒ ¾ Ø Û ÓÛÒ Ø Ø Ø ω¹ôöó Ð Ñ ÓÐÚ Ð ÓÖ Ñ ØÖ Ô º ÓÖ ÒÓÒ¹Ñ ØÖ Þ Ð Ô Ø ω¹ôöó Ð Ñ Ò ÒÓØ ÓÐÚ Ð Û Ø Û ÓÛÒ Ò Ø Ó Ò ÖÖ ÓÐÚ Ð Ô º º ½ Ì ÓÖ Ñ µº Ì ÒÓØ ÓÒ Ó Ö ÓÐÚ Ð ÖÖ ÓÐÚ Ð µ Ô Û ÒØÖÓ Ù Ò Û Ö Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ù Ô Û Ö Ú Òº ÙÖØ Ö Û Û ÐÐ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ Ô Ð Ð Ó ÖÖ ÓÐÚ Ð Ô ÒØÖÓ Ù Ò º Ò ¹ Ò¹ Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X =(X, τ) ÐÐ Ò ÅÁ¹ Ô ÓÖ ÑÔÐÝ ÅÁµ Ú ÖÝ Ò Ù Ø Ó (X, τ) ÓÔ Òº Ò ¹ Ò¹ Ø Ð ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X =(X, τ) ÐÐ Ò ËÁ¹ Ô ÓÖ ÑÔÐÝ ËÁµ X ÒÓ Ö ÓÐÚ Ð Ù Ø º ÅÁ¹ Ô Ò ËÁ¹ Ô º Ï Ó Ø Ò ÛÖ Ø X Ò Ø Ó (X, τ). ÐÓ ÙÖ Ó E ÒÓØ Ý E. Ì Ô Ö E X τ¹óô Ò ÓÖ τ¹ðó τ¹ Ò Øºµ Ñ Ò Ø Ø E Ó Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý τ ÓÒ X. Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ý ÁÒØ τ E Û ÒÓØ Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó E Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý τ. Ì ÝÑ ÓÐ τ ÓÑ ØØ Û Ò ÒÓ ÓÒ Ù ÓÒ ÓÙÐ Ö º ¾º ÇÒ ÓÒ Ø ÓÖÝ ÅÁ¹ Ô Ò Ö ÅÁ¹ Ô Ì ÒÓØ ÓÒ Ó Ö Ø Ø ÓÖÝ ÓÒ Ø ÓÖݵ Ø Ò Ó Ö Ô Û ÐÐ ÓÒ Ö Ò ÓÑ Ò Ö Ð Þ Ò º Æ Ñ ÐÝ Û ÓÔØ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒ µº Ä Ø κ Ö Ò Ð κ>ℵ 0. Ò Ø ÓÒ ½º Ø E X =(X, τ) Ó Ø Ö Ø κ¹ Ø ÓÖÝ Ø Ò ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÓÖÑ E = E α, α A Û Ö Ö A<κ Ò E α ÒÓÛ Ö Ò Ò X. Ø E X =(X, τ) Ó Ø ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ Ø ÒÓØ Ó Ø Ö Ø κ¹ Ø ÓÖݺ ½ ÈÖÓ Ð Ñ Ó Ø ØÝÔ ÒÚ Ö ÓÙ ØØ Ò Ò Ö ÒØ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ý Ú Ò ØÙ Ý Ñ ÒÝ ÙØ ÓÖ º Ò ÓÑÔÐ Ø º ËÓÑ Ö ÙÐØ Ò ÓÙÒ Ò Ê Ö Ò Û ÓÛ Ú Ö Ö Ö ÖÓÑ

ÒÓØ ÓÒ ËÁ¹ Ô Ò ÅÁ¹ Ô ½¼½ Ò Ø ÓÒ ¾º ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X =(X, τ) ÐÐ κ¹ Ö Ø ÒØ Ö¹ Ø ÓÒ Ó Û Ö Ø Ò κ Ò ÓÔ Ò Ù Ø Ó X Ò Ò X. Ê ÐÐ Ø Ø Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ù Ù Ð Ö Ø ÓÒ µ Ø ÓÖÝ Ø Ò Ó Ö Ô ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ κ = ℵ 1 Ò Ø Ø ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ Ø κ¹ Ö Ô µ Ø Ø Ñ Ø Ñ Ù Ù Ð ÓÒ Ø ÓÖÝ Ø Ö Ôº Ö Ô µº Ò Ø ÓÒ º ([5])º Ô X =(X, τ) ÐÐ κ¹ëá Ø κ¹ Ö ËÁ¹ Ô º Ï Ð Ó Ý Ø Ø X κ¹ëá ¹ Ô º ÁÒ Ñ Ð Ö Û Ý Û Ú Ò Ø ÓÒ º Ô X =(X, τ) ÐÐ κ¹åá ÓÖ κ¹åá ¹ Ô µ X κ¹ Ö ÅÁ¹ Ô º ÐØ ÓÙ Ò Ø Ø ÝØ ω¹ôöó Ð Ñ Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Û Ö Ó Ò ØÓ ÔÖÓÚ Ò Ø Ø ÓÒ Û Ö ÑÓØ Ú Ø Ý Ò º ÁÒ Ø ÙØ ÓÖ Ó Ø Ò ÓÒ Ø ÒÝ Ò Ü Ø Ò Ö ÙÐØ ÓÒ ÖÒ Ò κ¹ëá ¹ Ô º Ì Ö Ñ Ø Ó Ù Ø Ø ÓÖÝ Ó Ð ÓÒ Ö Ò Ð º ÇÙÖ Ó Ð Ö ÑÓÖ ÑÔÐ º Æ Ñ ÐÝ Û Ö Ó Ò ÓÒÐÝ ØÓ ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø κ¹ëá ¹ Ô ÓÖ ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ ËÁ¹ Ô µ Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÅÁ¹ Ô º º κ¹åá ¹ Ô ÓÖ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ ÅÁ¹ Ô µº ËÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó ÙÒØ ÓÒ Ò Ø ω¹ôöó Ð Ñ ÓÖ Ù Ô Û ÐÐ Ù Ò Ë Ø ÓÒ º Ä Ø X =(X, τ) ØÓÔÓÐÓ Ð Ô º ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ø D(X, τ) ÒÓØ Ø Ñ ÐÝ Ó ÐÐ Ò Ù Ø Ó (X, τ). Ý F(X, τ) Û ÒÓØ Ø Ñ ÐÝ Ó ÐØ Ö F ÓÒ (X, τ) ÓÒ Ø Ò Ó Ò Ù Ø Ó (X, τ). ÁØ Ð Ö Ø Ø F(X, τ) Ô ÖØ ÐÐÝ ÓÖ Ö Ý Ø Ù Ù Ð ÒÐÙ ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒº Ä ÑÑ ½º ([6], Lemma 3.3). Ä Ø X =(X, τ) ØÓÔÓÐÓ Ð Ô º Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò ÙÐØÖ ÐØ Ö F m F(X, τ). Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô (X, τ) Ò ÐØ Ö F F(X, τ), ÓÒ Ñ Ý ÔÖÓ Ù Ò Ö ØÓÔÓÐÓ Ý ˆτ ÓÒ X Ò Ö Ø Ý Ø Ñ ÐÝ τ F. Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÖ ˆτ ÓÒ Ø Ó ÐÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ U E Û Ö U τ Ò E F µº ÁØ ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ Ø Ø Ø Ò ÜØ ØÛÓ Ø ÓÖ Ñ Ó Ø Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖÑ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÖÓÑ º ÇÒÐÝ Ø ÓÖÝ Ò Ö Ò Û ÐÐ Ò Û Ø Ñ Ò Ø Ü ØÐÝ Ø Ó Ø Ó ÓÙÖ ÓÒ Ö Ø ÓÒº

½¼¾ ËØ Ò Ð Ú ÈºÈÓÒÓÑ Ö Ú Ä ÑÑ ¾º ([6],Proposition 3.4). Ä Ø X =(X, τ) Ò ¹ Ò¹ Ø Ð T 1 ÓÖ À Ù ÓÖ µ Ô º Ä Ø F m F(X, τ) Ò ÙÐØÖ ÐØ Öº Ò ˆτ ØÓ Ø ØÓÔÓÐÓ Ý Ò Ö Ø Ý τ F m. Ì Ò µ D(X, ˆτ) F m µ (X, ˆτ) Ò ÅÁ Ô Û T 1 Ö Ô Ø Ú ÐÝ À Ù ÓÖ µ µ (X, τ) ÓÒÒ Ø Ø Ò Ó (X, ˆτ ). Ä ÑÑ º [3] Ì ÓÖ Ñ 29µº ÒØ Ö ÓÖº Ú ÖÝ Ò Ù Ø Ó Ò ËÁ Ô Ò ÆÓÛ Û Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ø Ö Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ø ÓÒº Ì ÓÖ Ñ ½º ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ü Ø ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ T 1 ÓÖ À Ù ÓÖ µ Ô (X, τ) Û ËÁº Ä Ø F m F(X, τ) Ò ÙÐØÖ ÐØ Ö Ò Ð Ø ˆτ ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ X Ò Ö Ø Ý τ F m. Ì Ò µ D(X, ˆτ) =F m µ (X, ˆτ) T 1 Ö Ô Ø Ú ÐÝ À Ù ÓÖ µ ÅÁ¹ Ô µ (X, ˆτ) Ó ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ Ø Ù (X, ˆτ) ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ ÅÁ¹ Ô Úµ (X, τ) ÓÒÒ Ø Ø Ò Ó (X, ˆτ). ÈÖÓÓ º ÖØ ÓÒ µ µ Úµ ÓÐÐÓÛ ØÖ Ø ÓÖÛ Ö ÖÓÑ Ä ÑÑ ¾º Ï ÓÒÐÝ Ò ØÓ ÔÖÓÚ µº ÙÑ Ø Ø µ Ó ÒÓØ ÓÐ º Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ø A, Ö A<κ, Ù Ø Ø X = α A E α, Û Ö E α ˆτ¹ÒÓÛ Ö Ò Ò X º º ÒÓÛ Ö Ò Ò (X, ˆτ)µº Ì Ö ÓÖ X \ X α ˆτ¹ Ò Ò τ¹ Ò Ò X Ù τ ˆτ. Ë Ò (X, τ) ËÁ Û Ú Ý Ä ÑÑ Ø Ø ÁÒØ τ (X \ E α ) τ¹ Ò Ò X. ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø X \ ÁÒØ τ (X \ E α ) τ¹ðó Ò τ¹òóû Ö Ò Ò X. Ë Ò E α X \ ÁÒØ τ (X \ E α ), Û ÓÒÐÙ Ø Ø Ú ÖÝ E α τ¹òóû Ö Ò Ò X; ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ù (X, τ) Ó Ø ÓÒ κ¹ Ø ÓÖݺ Ä ÑÑ º [3] Ì ÓÖ Ñ 33µº Á X Ò ÅÁ Ô Ò E X Ø Ò ÁÒØ E = Ò ÓÒÐÝ E ÐÓ Ò Ö Ø Ø ÑÔØÝ Ø ÓÒ Ö Ö Ø µº Æ ÜØ Û Û ÐÐ ÔÖÓÚ ÓÙÖ ÓÒ Ñ Ò Ö ÙÐØ Ö ÔÐ Ò ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ Ô Ý κ¹ Ö Ô º

ÒÓØ ÓÒ ËÁ¹ Ô Ò ÅÁ¹ Ô ½¼ Ì ÓÖ Ñ ¾º ÙÑ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ò ¹ Ò¹ Ø Ð T 1 ÓÖ À Ù ÓÖ µ κ¹ëá ¹ Ô (X, τ). Ä Ø F m F(X, τ) Ò ÙÐØÖ ÐØ Ö Ò Ð Ø ˆτ ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ X Ò Ö Ø Ý τ F m. Ì Ò µ D(X, ˆτ) =F m µ (X, ˆτ) Ò ÅÁ¹ Ô Û T 1 Ö Ô Ø Ú ÐÝ À Ù ÓÖ µ µ (X, ˆτ) κ¹ Ö Ô Ì Ù (X, ˆτ) κ¹åá ¹ Ô Û T 1 Ö Ô Ø Ú ÐÝ À Ù ÓÖ µ Úµ ÑÓÖ ÓÚ Ö (X, τ) ÓÒÒ Ø Ø Ò Ó (X, ˆτ). ÈÖÓÓ º Ò Ì ÓÖ Ñ ½ Ð Ñ µ µ Úµ ÓÐÐÓÛ ÑÑ Ø ÐÝ ÖÓÑ Ä Ñ¹ Ñ ¾º ÁØ ÓÒÐÝ Ö Ñ Ò ØÓ ÔÖÓÚ µº ÙÑ Ø Ø µ Ó ÒÓØ ÓÐ º Ì Ò Ø Ö Ü Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ ØG ˆτ Û Ó Ø Ö Ø κ¹ Ø ÓÖÝ Ò (X, ˆτ). Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ø Ò Ø Ø Ø X \ G ÓÙÐ Ò Ò (X, ˆτ). Ë Ò Ø Ñ ÐÝ {W E : W τ \{ }, E F m } Ó Ø ØÓÔÓÐÓ Ý ˆτ, Ø Ù ØÓ ÓÛ Ø Ø E F m W τ \ { } : E W (X \ G). µ ÙÑ Ø Ø Ø Ó ÒÓØ ÓÐ º Ì Ò Ø Ö Ü Ø E 0 F m Ò W 0 τ \ { } Ù Ø Ø E 0 W 0 (X \ G) =. ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø E 0 (X \ W 0 ) G, Ò Ø Ö ÓÖ (X \ W 0 ) G F m Ù F m ÐØ Öº Ì Ò Û Ú E F m : E ((X \ W 0 ) G) F m, Ò E ((X \ W 0 ) G) =(E \ W 0 ) (E G) Ò Ò (X, τ) ÓÖ E F m. Ë Ò W 0 τ¹óô Ò Ø Ý Ð Ø Ø E G τ¹ Ò Ò W 0 ÓÖ E F m. ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ E F m V τ \ { }, V W 0, : V (E G) =(V E) G. µ Ë Ò V E ˆτ \ { }, Õº µ ÑÔÐ Ø Ø ˆτ¹ÓÔ Ò Ø G W 0 ˆτ¹ Ò Ò τ¹óô Ò Ò ˆτ¹ÓÔ Ò Ø W 0. ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø W 0 \ G ˆτ¹ÒÓÛ Ö Ò Ò ˆτ¹ÓÔ Ò Ø W 0. Ì ÑÔÐ Ö ÐÐ Ò Ø Ø G Ý ÙÑÔØ ÓÒ Ö Ø κ¹ Ø ÓÖÝ Ò (X, ˆτ), Ø Ø W 0 Ð Ó Ö Ø κ¹ Ø ÓÖÝ Ò (X, ˆτ) Û Ø ÓÐÐÓÛ ÑÑ Ø ÐÝ Ò Ú Û Ó Ø ÕÙ Ð ØÝ W 0 =(W 0 \ G) (W 0 G). Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ü Ø Ø A, Ö A<κ, Ù Ø Ø W 0 = T α, α A µ

½¼ ËØ Ò Ð Ú ÈºÈÓÒÓÑ Ö Ú Û Ö T α ÒÓÛ Ö Ò Ò (X, ˆτ). Ë Ò ÁÒ؈τ T α = Ò (X, ˆτ) ÅÁ Û Ú Ø Ø Ú ÖÝ T α ˆτ¹ÐÓ Ò ˆτ¹ Ö Ø Ä ÑÑ µº (X, ˆτ) Ò ¹ Ò¹ Ø Ð X \T α Ò Ò (X, ˆτ). Ë Ò (X, τ) κ¹ Ö τ¹óô Ò Ø W 0 Ó Ø ÓÒ κ¹ Ø ÓÖÝ Ò (X, τ), Ø Ö ÓÖ Ø ÓÐÐÓÛ Ý µ Ø Ø Ø Ö Ü Ø β A Ò Ω W 0, Ω τ \ { }, Ù Ø Ø T β τ¹ Ò Ò Ω. Ë Ò Ø Ø X \ T β ˆτ¹ Ò Ò X, Ø Ð Ó τ¹ Ò Ò X. ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö X \ T β τ¹ Ò Ò Ω. Ï Ú Ω=(Ω T β ) (Ω (X \ T β )), Û Ö Ó Ø ØÛÓ Ø ÖÑ τ¹ Ò Ò Ω. ÙØ Ø Ñ Ò Ø Ø τ¹óô Ò Ø Ω Ö ÓÐÚ Ð Û ÑÔÓ Ð Ù (X, τ) Ò ËÁ Ô º ÓÒ ÕÙ ÒØÐÝ Û Ú ÓÛÒ Ø Ø µ Ó ÒÓØ ÓÐ Ø Ò Û Ø ÓÒ¹ ØÖ Ø ÓÒº Ì Ù X \ G ˆτ¹ Ò Ò X. ÙØ Ø Ò ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ù G ÒÓÒ ÑÔØÝ Ò ˆτ¹ÓÔ Òº Ï Ò ÐÐÝ ÓÒÐÙ Ø Ø (X, ˆτ) ÒÓ ÒÓÒ ÑÔØÝ Ö Ø κ¹ Ø ÓÖÝ ÓÔ Ò Ù Ø º º (X, ˆτ) κ¹ Ö Ð Ñ º ÌÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ø ÓÒ Ð Ø Ù Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ê Ñ Ö ½º ÁÒ [9] Ø Û ÓÛÒ Ø Ø Ø Ö ÑÓ Ð Ó Ø Ø ÓÖÝ Ò Û ÐÐ Ø Ù Ø Ó Ø Ö Ð Ð Ò Ö Ä Ù Ñ ÙÖ Ð º Ä Ø R s ÒÓØ Ø Ö Ð Ð Ò Ò Ø Ø ÑÓ Ð Ò τ d ÒÓØ Ø Ù Ù Ð Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý ÓÒ R s. ÉÙ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÛÓ Ø Ø Ñ ÒØ µ Ù Ø Ó R Ä Ù Ñ ÙÖ Ð µ ÐÑÓ Ø ÔÓ ÒØ Ó ÒÝ Ø E R Ø ÔÓ ÒØ Ó Ò ØÝ Á Ø Ò Û Ö Ò ÖÑ Ø Ú Ø Ò (R s,τ d ) Ö Ô Û ÅÁº ÁÒ Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó τ d ¹ Ò Ø E R s ÛÓÙÐ Ó Ñ ÙÖ Þ ÖÓ Û Ò E τ d ¹ÓÔ Ò Ò R s. º ËÓÑ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ö Ð ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ö ËÁ¹ Ò ÅÁ¹ Ô Ê ÐÐ Ø Ø X ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Ò ϕ : X R ÍË ÓÖ ÄË µ ÙÒØ ÓÒ Ø Ò Ø Ø Ó ÔÓ ÒØ Ø Û ϕ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ó Ø Ö Ø Ø ÓÖÝ Ò F σ µ ÒX º º Ì ÓÖ Ñ ½µ Ò X Ö Ô Ø Ò Ø ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ó Ø Ø Ø Ò Ò X. Ï Ð Ó Ö ÐÐ Ø Ø Ý ω(f, x) Û ÒÓØ Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ Ó F Ø x X º µµº Ë Ò ω(f, ) Ñ Ý Ø Ø Ú ÐÙ (:= + ), Û ÓÒ Ö [0, ] Û Ø Ø Ø Ò Ö ØÓÔÓÐÓ Ý Ó ÓÒ ¹ÔÓ ÒØ ÓÑÔ Ø Ø ÓÒ Ó [0, ).

ÒÓØ ÓÒ ËÁ¹ Ô Ò ÅÁ¹ Ô ½¼ Ú Ò Ñ ÔÔ Ò ϕ : X Y ØÛ Ò ØÓÔÓÐÓ Ð Ô Û ÒÓØ Ý C (ϕ) Ò D(ϕ) Ø Ø Ó ÓÒØ ÒÙ ØÝ Ò ÓÒØ ÒÙ ØÝ ÔÓ ÒØ Ó ϕ Ö Ô ¹ Ø Ú Ðݺ Ò Ø ÓÒ º ([1])º ØÓÔÓÐÓ Ð Ô X ØÓ Ö ÓÐÚ Ð Ø ÔÓ ÒØ x 0 X ÓÔ Ò Ò ÓÖ ÓÓ Ó x 0 ÓÒØ Ò ÒÓÒ ÑÔØÝ ÓÔ Ò Ù Ø Û Ö ÓÐÚ Ð º Ï Û ÐÐ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Û Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó ½ º Ä ÑÑ º ([1],Theorem 3)º Ä Ø X = (X, τ) ØÓÔÓÐÓ Ð Ô º ÁÒ ÓÖ Ö Ø Ø X Ö ÓÐÚ Ð Ø ÔÓ ÒØ x 0, Ø Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø º Ì Ö Ü Ø Ò ÓÔ Ò Ò ÓÖ ÓÓ G Ó x 0 Ò ÙÒØ ÓÒ F : G R Ù Ø Ø 0 <ω(f, x 0 ) < Ò ω(f, ) ÕÙ ÓÒØ ÒÙÓÙ Ø x 0. Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø X =(X, τ) Ö ËÁ¹ Ô º F : X R Û Ú µ C (F )=C (ω(f, ))º µ Ì F σ ¹ Ø D(F ) ÒÓÛ Ö Ò º Ì Ò ÓÖ ÙÒØ ÓÒ ÈÖÓÓ º Ì Ø E = {x X : ω(f, x) = } Ó Ú ÓÙ ÐÝ ÐÓ º Ö Ø Û Û ÐÐ ÓÛ Ø Ø E ÒÓÛ Ö Ò º ÁÒ ÙÑ Ø Ø Ø ÒÓØ Ø º Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò ÓÔ Ò Ø U Ù Ø Ø ω(f, x) = ÓÖ x U. ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø E n = {x U : F (x) >n} Ò Ò U ÓÖ n N. Ë Ò U Ò ËÁ¹ Ù Ô Ó X, Û Ú Ý Ä ÑÑ Ø Ø IntE n Ò Ò Uº Ì Ù Ô U Ö Ù Ô Ø Ý Ð n=1 E n. ÙØ Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø F (x) = Ø x n=1 E n, Û Ð ÖÐÝ ÑÔÓ Ð º Ì Ù E ÒÓÛ Ö Ò Ò X. ÌÓ ÔÖÓÚ µ Ö Ø Ó ÖÚ Ø Ø Ø ÒÐÙ ÓÒ C (F ) C (ω(f, )) Ó Ú ¹ ÓÙ º Ì Ö Ú Ö ÒÐÙ ÓÒ Ñ Ý ÔÖÓÚ ÓÐÐÓÛ º Ä Ø x 0 C (ω(f, )). Ì ω(f, x 0 ) = ÑÔÓ Ð Û Ø ÓÐÐÓÛ ÑÑ Ø ÐÝ ÖÓÑ Ø Ø Ø Ø E ÒÓÛ Ö Ò º ËÓ Û Ú ω(f, x 0 ) <. Ï Ð Ñ Ø Ø ω(f, x 0 )=0. ÁÒ ÒÓØ Û ÛÓÙÐ Ø Ý Ä ÑÑ Ø Ø X Ö ÓÐÚ Ð Ø x 0, ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ù X ËÁº Ì Ù ω(f, x 0 )=0, º º x 0 C (F ). Ì ÓÛ Ø Ø C (ω(f, )) C (F ) Û ÓÑÔÐ Ø Ø ÔÖÓÓ Ó Ð Ñ µº ÈÙØ E 0 = X \ E. Ë Ò ω(f, ) ÍË Ò Ò Ø ÓÒ Ò ÓÔ Ò Ø E 0 Û Ö Ù Ô Ó Xµ Ø Ø E 0 C (ω(f, )) = E 0 C (F ) Ò Ò E 0, Ò Ý Ä ÑÑ Ò ÒØ Ö ÓÖ Ù E 0 ËÁº Ì Ö ÓÖ D(F )=E (E 0 \ C (F )) = X \ C (F ) ÒÓÛ Ö Ò Ù Ø Ó X Û ÔÖÓÚ Ð Ñ µº Ë Ñ Ð Ö ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ÓÐ ÓÖ ÅÁ¹ Ô º Æ Ñ ÐÝ Û Ú

½¼ ËØ Ò Ð Ú ÈºÈÓÒÓÑ Ö Ú Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø X =(X, τ) Ö ÅÁ¹ Ô º Ì Ò ÓÖ ÙÒØ ÓÒ F : X R Û Ú µ C (F )=C (ω(f, ))º µ D(F ) Ö Ø ÐÓ Øº ÈÖÓÓ º Ë Ò ÅÁ¹ Ô Ò ËÁ¹ Ô Ð Ñ µ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ð Ñ µ Ó Ì ÓÖ Ñ º Ý Ð Ñ µ Ó Ì ÓÖ Ñ Û Ú ÁÒØ D(F )= Û Ò Ý Ä ÑÑ Ð Ñ µ ÓÐÐÓÛ º ÓÒ ÕÙ Ò Û Ó Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÔÐ Ö Ø Ö ÓÖ Ø Ü Ø Ò Ó ω¹ôö Ñ Ø Ú ÓÒ Ö ËÁ¹ Ò ÅÁ¹ Ô º Ì ÓÖ Ñ º (A) Ä Ø X =(X, τ) Ö ËÁ¹ Ô º Ì Ò ÍË ÙÒØ ÓÒ f : X [0, ) Ò ω¹ôö Ñ Ø Ú F : X R Ò ÓÒÐÝ f Ú Ò ÓÒ Ò Ù Ø Ó X. (B) Ä Ø X = (X, τ) Ö ÅÁ¹ Ô º Ì Ò ÍË ÙÒØ ÓÒ f : X [0, ) Ò ω¹ôö Ñ Ø Ú F : X R Ò ÓÒÐÝ f Ú Ò ÓÙØ Ó ÐÓ Ò Ö Ø Ù Ø Ó X. ÁÒ Ø Ö Ó Ø (A) (B) ÓÒ Ñ Ý Ø F = f. ÈÖÓÓ Ó µº ÙÑ Ø Ø F Ò ω¹ôö Ñ Ø Ú ÓÖ f. Ì Ò ÔÔÐÝ Ò Ð Ñ µ Ó Ì ÓÖ Ñ Û ØC (F )=C (ω(f, )) = C (f). Ì ÑÔÐ Ò Ú Û Ó Ð Ñ µ Ó Ì ÓÖ Ñ Ø Ø f(x) =ω(f, x) =0 Ø ÔÓ ÒØ x Ó Ø Ò Ø X \ D(F ). ÓÒÚ Ö ÐÝ ÍË ÙÒØ ÓÒ f : X [0, ) Ú Ò ÓÒ Ò Ø E Ø Ò Ø Ý ØÓ Ø Ø x X : ω(f,x)=f(x). ÈÖÓÓ Ó µº ÙÑ Ø Ø ÍË ÙÒØ ÓÒ f : X [0, ) Ò ω ÔÖ Ñ Ø Ú F : X R. Ý Ì ÓÖ Ñ Ø Ø D(F ) Ó ÔÓ ÒØ Ø Û F ÓÒØ ÒÙÓÙ ÐÓ Ò Ö Ø º Ì Ö ÓÖ f(x) =ω(f, x) =0 Ø x X \ D(F ). ÓÒÚ Ö ÐÝ ÙÑ Ø Ø Ø Ö ÐÓ Ò Ö Ø Ø E X Ù Ø Ø ÍË ÙÒØ ÓÒ f : X [0, ) Ú Ò ÓÙØ E. Ë Ò X Ò Ò Ø Ð Ò f 0 ÍË Û ÐÝ Ù Ø Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ ω(f,x)=f(x) ÓÐ ÓÖ x X. ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ f Ò ω¹ôö Ñ Ø Ú ÓÖ Ø Ð º Ê Ö Ò ½ ˺Ⱥ ÈÓÒÓÑ Ö Úº Ö Ø Ö ÓÒ ÓÖ Ø ÐÓ Ð Ö ÓÐÚ Ð ØÝ Ó Ô Ò Ø ω¹ôöó РѺ º ÔÔк Ò Ðº ½ ÆÓº½ ¾¼¼ º ¾ º Û ÖØ ËºÈº ÈÓÒÓÑ Ö Úº ÇÒ Ø Ü Ø Ò Ó ω ÔÖ Ñ Ø Ú ÓÒ Ö ØÖ ÖÝ Ñ ØÖ Ô º Å Ø º ËÐÓÚ ½µ ½ ¾¼¼ º

ÒÓØ ÓÒ ËÁ¹ Ô Ò ÅÁ¹ Ô ½¼ º À Û Øغ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ø¹Ø ÓÖ Ø ØÓÔÓÐÓ Ýº Ù Å Ø º º ½¼ ¼ ½ º ʺ º À ÛÓÖØ Êº º Å Óݺ Ö Ô º º Å Ø º ÄÁ Ï Ö Þ Û ÈÏÆ ½ º ú ÃÙÒ Ò º ËÞÝÑ Ò º Ì Ðк Ö ÖÖ ÓÐÚ Ð Ô Ò Ð Ø ÓÖݺ ÒÒº Å Ø º Ë Ðº ½ ½¼ ½ º º Þ Ò Ú Ð Êº Å Ò ÈºÂº ÅÓÖ Ò º Ë ØØ Ö À Ù ÓÖ ¹Ö Ù Ð Ò Ö Ø Ö ÐÝ ÖÖ ÓÐÚ Ð Ô º ÌÓÔÓÐÓ Ý Ò ÁØ ÔÔÐ Ø ÓÒ ½ ¾ ¾ ½ ¼ ¾¼¼ º ʺź ËÓÐÓÚ Ýº ÑÓ Ð Ó Ø¹Ø ÓÖÝ Ò Û Ú ÖÝ Ø Ó Ö Ð Ä Ù Ñ ÙÖ Ð º ÒÒº Å Ø º ¾µ ¾ ½ ½ ¼º źú ÓÖØ ÂÖº Ø ÓÖÝ Ø ÓÖ Ñ º ÙÒ º Å Ø º ¾ ¾ ¾ ½ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÁË ÅÅ ÌÊÁ ËÇÄÍÌÁÇÆË ÌÇ ÌÀ Í À ÈÊÇ Ä Å ÇÊ ÌÁÅ ¹ Ê ÌÁÇÆ Ä Á ÍËÁÇÆ ÉÍ ÌÁÇÆ ÁÆ ÁÊ Ä ÙÖ Ý ÈÓÚ Ø Ò Ó a,b a ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ºÔÓÚ Ø Ò Ó ºÞ غÔÐ b ÙÖÓÔ Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø Ò ÓÒÓÑ Ò Ï Ö Û ÏËÁ µ Ùк Ó ØÓ ¾¾»½½ ¼ ¹ ½ Ï Ö Û ÈÓÐ Ò ØÖ Øº Ì Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø ÐØ ÔÙÐ Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ó Ó٠ع ÓÖ ÙÒØ ÓÒ ØÙ Ò ÖÐ ÓÑ Ò Ò Ø Ü Ýѹ Ñ ØÖ ÙÒ Ö Þ ÖÓ Ö Ð Ø Ò Æ ÙÑ ÒÒ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì ÔÙØÓ Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú Ù º Ì Ä ÔÐ Ò Ò Ø À Ò Ð ÒØ Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö ÑÔÐÓÝ º Ì Ö ÙÐØ Ö ÐÐÙ ØÖ Ø Ö Ô ÐÐݺ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ì Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ α u = a u, 0 <α 2, (1) tα Ñ Ø Ñ Ø Ð ÑÓ Ð Ó Û Ö Ò Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ô Ý Ð Ô ÒÓÑ Ò Ò ÑÓÖÔ ÓÙ Ò ÔÓÖÓÙ Ñ Ø Ö Ð Ö Ø Ð ÓÖ Ö Ñ Ð ØÖ Ò Ñ ÓÒ ÙØÓÖ ÓÔ Ý Ð Ò ÓÐÓ Ð ÔÖÓ Ñ Ò Ò ÓÐÓ Ð Ý Ø Ñ ½ º ÁÒ Õº ½µ Û Ù Ø ÔÙØÓ Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú α u t α = 1 Γ(n α) t 0 (t τ) n α 1 n u(τ) τ n τ, n 1 <α<n, (2)

½½¼ ÙÖ Ý ÈÓÚ Ø Ò Ó Û Ö Γ(x) Ø ÑÑ ÙÒØ ÓÒº Ì Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÖÙÐ ÓÖ Ø ÔÙØÓ Ö Ú Ø Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ { α } u(t) L t α n 1 = s α L{u(t)} k=0 u (k) (0 + )s α 1 k, n 1 <α<n, (3) Û Ø s Ò Ø ØÖ Ò ÓÖÑ Ú Ö Ð º Ë Ú Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÝÐ Ò Ö Û Ö ÓÒ Ö Ò ½¼ ½ º ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÒÚ Ø Ø Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÐØ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ó Ó٠ع ÓÖ ÙÒØ ÓÒ Ò ÖÐ ÓÑ Ò ÙÒ Ö Þ ÖÓ Ö Ð Ø Ò Æ ÙÑ ÒÒ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Ò ÓÑÔ Ö Ø Ó Ø Ò Ö ÙÐØ Û Ø Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ò Ò Ò Ø ÓÑ Òº ¾º Ì Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ò Ò Ø ÓÑ Ò ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ò ØØ Ö Ò Ø Ó Ø ÓÒ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÖÐ Û Ö ÐÐ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ò Ò Ø ÓÑ Ò ½ º Ä Ø Ù ØÙ Ý Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ÙÒ Ö ÐØ ¹ ÙÒØ ÓÒ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ Ó٠ع ÓÖ ÙÒØ ÓÒ α u t α = a ( 2 u r 2 + 1 r u r ), 0 <t<, 0 r<, (4) t =0: u = p 2πr δ +(r), 0 <α 2, (5) t =0: u t Ù Ù ÐÐÝ Û ÑÔÓ Ø Þ ÖÓ ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ò Ò ØÝ =0, 1 <α 2. (6) lim u(r, t) =0. (7) r Í Ò Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ñ t Ò Ø À Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ô Ø Ð ÓÓÖ Ò Ø r Û Ó Ø Ò u = p 2π s α 1 s α + aξ 2, (8) Û Ö Ø Ø Ö ÒÓØ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ º ÁÒÚ Ö ÓÒ Ó Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ ÖÖ ÓÙØ Ò Ø ÖÑ Ó Ø Å ØØ ¹ Ä Ö ÙÒØ ÓÒ E α (z) = n=0 z n, α > 0, z C, (9) Γ(αn +1)

Ü ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ½½½ ū 0.3 0.2 0.1 α =0 α =0.5 α =1 α =1.75 α =1.5 0.0 0.1 0.2 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 r º ½º Ô Ò Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ñ Ð Ö ØÝ Ú Ö Ð Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ø ÐØ ÔÙÐ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒµ Ù ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ { } s L 1 α 1 s α + aξ 2 = E α ( aξ 2 t α ). (10) Ì Ù Û Ø u = p 2π 0 E α ( aξ 2 t α ) J 0 (rξ) ξdξ. (11) Ì Ñ Ð Ö ØÝ Ú Ö Ð r Ò Û ÒØ Ö Ø ÓÒ Ú Ö Ð η Ò ÒÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ū Ö Ò À Ò r = r at α/2, η = at α/2 ξ, ū = atα u. (12) p ū = 1 2π 0 E α ( η 2 ) J 0 ( rη) ηdη. (13) Ì Ú ÓÖ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ø ÓÖ Ò Û Ò ÐÝÞ Ò ½ Û Ö Ø Û ÓÛÒ Ø Ø ÓÒÐÝ Ø ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ð Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ

½½¾ ÙÖ Ý ÈÓÚ Ø Ò Ó α =1µ ÒÓ Ò ÙÐ Ö ØÝ Ø Ø ÓÖ Òº ÓÖ 0 α<1 Ò 1 <α<2 Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ò ÙÐ Ö ØÝ Ø Ø ÓÖ Ò 1 ū ln r. (14) 2πΓ(1 α) Ô Ò Ò Ó ÒÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ū ÓÒ ÒÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ò r ÓÛÒ Ò º ½º º Ì Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÖÐ Û Ø Þ ÖÓ Ö Ð Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø Ð¹ ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð ¹ Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ α ( u 2 t α = a u r 2 + 1 r ) u, 0 <t<, 0 r<r, (15) r t =0: u = p 2πr δ +(r), 0 <α 2, (16) t =0: u t =0, 1 <α 2. (17) r = R : u =0. (18) Ì Ò Ø À Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ù Ò ÝÐ Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø ÓÑ Ò 0 r Rº Ì ÓÖÑ Ó Ø Ò Ø À Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ô Ò ÓÒ Ø ØÝÔ Ó ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø r = Rº Ï Ö ØÖ Ø ÓÙÖ ÐÚ ØÓ Ø Ò Ø À Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø Þ ÖÓØ ÓÖ Öº ÓÖ Ö Ð Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ú Ò ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ Ó ÙÒØ ÓÒ Ø r = R Û Ú ½ Û Ø Ø ÒÚ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ H µ {f(r)} = f (ξ n )= R H 1 µ {f (ξ n )} = f(r) = 2 R 2 0 f(r) J 0 (ξ n r) r r (19) n=1 Û Ö ξ n Ö ÔÓ Ø Ú Þ ÖÓ Ó Ø ØÖ Ò Ò ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f (ξ n ) J 0(ξ n r) J 2 1 (ξ nr), (20) J 0 (Rξ n )=0. (21)

Ü ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ½½ 1.00 0.75 0.50 ū α =1 α =0 α =0.5 0.25 0.00 0.25 0.50 α =1.7 α =1.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r/r º ¾º Ô Ò Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ø Þ ÖÓ Ö Ð Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ κ =0.5µº Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ ÔÐ Ý ÑÔÓÖØ ÒØ ÖÓÐ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø À Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ { 2 f(r) H µ r 2 + 1 } f(r) = ξn 2 r r f (ξ n )+Rξ n J 1 (ξ n R)f(R). (22) Ì ÒØ Ö Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ò ÕÙ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ø ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ ÓÑ Ò u = p s α 1 2π s α + aξn 2, (23) Ò Ø Ö ÒÚ Ö ÓÒ Û ÖÖ Ú Ø Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ u = p πr 2 n=1 ÁÒØÖÓ Ù Ò ÒÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÕÙ ÒØ Ø E α ( aξ 2 t α ) J 0(rξ n ) J 2 1 (Rξ n). (24) η n = Rξ n, κ = at α/2 R, r = r R, ū = R2 p u, (25)

½½ Û Ú ū = 1 π n=1 ÙÖ Ý ÈÓÚ Ø Ò Ó E α ( κ 2 η 2 n ) J 0( rη n ) J 2 1 (η n). (26) ÙÖ ¾ ÓÛ Ø Ô Ò Ò Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ ¾ µ ÓÒ Ø Ò ÓÖ κ =0.5º º Ì Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÖÐ Û Ø Þ ÖÓ Æ ÙÑ ÒÒ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ ÆÓÛ Û ØÙ Ý Ø Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÖÐ ÙÒ Ö ÐØ ÔÙÐ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Þ ÖÓ Æ ÙÑ ÒÒ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ α ( u 2 t α = a u r 2 + 1 r ) u, 0 <t<, 0 r<r, (27) r t =0: u = p 2πr δ +(r), 0 <α 2, (28) t =0: u t =0, 1 <α 2, (29) r = R : u r =0. (30) ÓÖ Ø Æ ÙÑ ÒÒ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Û Ø Ø Ú Ò Ú ÐÙ Ó ÒÓÖÑ Ð Ö Ú Ø Ú Ó ÙÒØ ÓÒ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ò Ø À Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ½ Ú Ò Ø ÒÚ Ö H Ƶ {f(r)} = f (ξ n )= H 1 Ƶ {f (ξ n )} = f(r) = 2 R 2 R 0 rf(r)j 0 (rξ n ) r, (31) n=0 f (ξ n ) J 0(rξ n ) [J 0 (Rξ n )] 2, (32) Û Ö ξ n Ö ÒÓÒÒ Ø Ú ÖÓÓØ Ó Ø ØÖ Ò Ò ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ J 1 (Rξ n )=0. (33) ÌÓ Ó Ø Ò Ø ÓÖÖ Ø Ö ÙÐØ Ø ÓÙÐ ÑÔ Þ Ø Ø Õº µ Ð Ó Ø ÖÓÓØ ξ 0 =0Û ÓÙÐ Ø Ò ÒØÓ ÓÒ Ö Ø ÓÒº

Ü ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ½½ 1.00 0.75 α =0 α =0.5 ū 0.50 0.25 0.00 α =1 0.25 0.50 α =1.7 α =1.5 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r/r º º Ô Ò Ò Ó ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ò Ø Þ ÖÓ Æ ÙÑ ÒÒ ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ κ =0.5µº Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑÙÐ ÜÔÐ Ò ÑÔÓÖØ Ò Ó Ø Ò Ø À Ò Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ù ØÝÔ ÓÖ Æ ÙÑ ÒÒ ÓÙÒ ÖÝ Ú ÐÙ ÔÖÓ Ð Ñ Ò H Ƶ { 2 f r 2 + 1 r Ì Ù Û Ó Ø Ò u = } f = ξn 2 r f (ξ n )+RJ 0 (Rξ n ) p πr 2 u = p 2π n=0 s α 1 s α + aξ 2 n E α ( aξ 2 t α ) J 0(rξ n ) J 2 0 (Rξ n) ÓÖ Ò Ø ÖÑ Ó ÒÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð ÕÙ ÒØ Ø ¾ µ ū = 1 π n=0 ( ) f. (34) r r=r (35) (36) E α ( κ 2 η 2 n) J 0( rη n ) J 2 0 (η n). (37) Ô Ò Ò Ó Ø ÓÐÙØ ÓÒ µ ÓÒ Ø Ò ÓÖ κ =0.5 Ô Ø Ò º º

½½ ÙÖ Ý ÈÓÚ Ø Ò Ó º ÓÒÐÙ Ò Ö Ñ Ö Ì Ö ÙÐØ Ú Ò Ý Õ º ¾ µ Ò µ Ò ÔÐ Ý Ò ÙÖ ¾ Ò Ö Ø ÔÖ Ñ ÖÝ Ö ÙÐØ Ó Ø Ô Ô Öº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö κ Ö ÒÓÒ Ñ Ò ÓÒ Ð Ø Ñ Ò Ò Ø Ó Ø Û Ú ÕÙ Ø ÓÒ α =2µ Ø Ú ÐÙ 0 <κ<1 Ò κ =1ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ ØÛÓ Ö Ø Ö Ø Ø Û Ú ÖÓÒØ Ó ÒÓØ Ý Ø ÖÖ Ú Ø Ø ÓÙÒ ÖÝ Ò Ø Û Ú ÖÓÒØ ÖÖ Ú Ø Ø ÓÙÒ Öݺ ÓÖ 0 α<1 Ò 1 <α<2 Ò Ø κ =0.5 Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ Ð Ø ØÝÔ Ó Ø ÓÙÒ ÖÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÙÖÚ Ò º ¾ Ò Ö Ú ÖÝ Ñ Ð Ö Ò Ó ÒÓØ Ö ÒØ ÐÐÝ ÖÓÑ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÙÖÚ Ó Ø Ò ÓÖ ÙÒ ÓÙÒ ÓÑ Ò º ½µ ÒÐÙ Ò Ø ÐÓ Ö Ø Ñ Ò ÙÐ Ö ØÝ Ø Ø ÓÖ Òº ÙØ ÓÖ κ =1Ø ØÙ Ø ÓÒ Ò Ù Ø ÒØ ÐÐݺ Ê Ö Ò ½ º È Ð Ãº ËÞÒ ¹Ï ÖÓÒ ºµ ÒÓÑ ÐÓÙ Ù ÓÒ ÖÓÑ ØÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ º ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Ò ½ º ¾ ʺ À Ð Ö ºµ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÐÙ Ò È Ý º ÏÓÖÐ Ë ÒØ Ë Ò ÔÓÖ ¾¼¼¼º ʺ Å ØÞÐ Ö Âº ÃÐ Ø Öº Ì Ö Ò ÓÑ Û Ð ³ Ù ØÓ ÒÓÑ ÐÓÙ Ù ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ð ÝÒ Ñ ÔÔÖÓ º È Ý º Ê Ôº ½ ¾¼¼¼º ºÅº Ð Ú Ýº Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ò ÒÓÑ ÐÓÙ ØÖ Ò ÔÓÖغ È Ý º Ê Ôº ½ ½ ¼ ¾¼¼¾º ºÂº Ï Ø Åº ÓÐÓ Ò Èº Ö ÓÐ Ò º ËÔÖ Ò Ö Æ Û ÓÖ ¾¼¼ º È Ý Ó Ö Ø Ð ÇÔ Ö ØÓÖ º ʺ Å ØÞÐ Ö Âº ÃÐ Ø Öº Ì Ö Ø ÙÖ ÒØ Ø Ø Ò Ó Ø Ö Ò ÓÑ Û Ð Ö ÒØ Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ò Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó ÒÓÑ ÐÓÙ ØÖ Ò ÔÓÖØ Ý Ö ¹ Ø ÓÒ Ð ÝÒ Ñ º º È Ý º Å Ø º Òº ʽ ½ ʾ¼ ¾¼¼ º ʺĺ Å Òº Ö Ø ÓÒ Ð ÐÙÐÙ Ò Ó Ò Ò Ö Ò º ÐÐ ÀÓÙ ÈÙ ¹ Ð Ö ÓÒÒ Ø ÙØ ¾¼¼ º κκ Í Òº Å Ø Ó Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ú Ø Ú º ÖØ Ó ÍÐÝ ÒÓÚ ¾¼¼ º ÁÒ ÊÙ Òµº º º à РÀºÅº ËÖ Ú Ø Ú ÂºÂº ÌÖÙ ÐÐÓº Ì ÓÖÝ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ º Ð Ú Ö Ñ Ø Ö Ñ ¾¼¼ º

Ü ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ ½½ ½¼ º º ÈÓÚ Ø Ò Óº Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ù ÓÒ Ò ÝÐ Ò Öº º ÅÓк Ä Õº ½ ¼ ¾¼¼ º ½½ ƺ Þ Ñ Ö ºÃ Ö Ò Þº Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ¹Û Ú ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÝÐ Ò¹ Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø º È Ý º Ä Øغ ¾ ¾ ¾¼¼ º ½¾ ƺ Þ Ñ Ö º Ã Ö Ò Þ º º Á Ò Öº Ö Ø ÓÒ Ð ÓÔØ Ñ Ð ÓÒ¹ ØÖÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ØÖ ÙØ Ý Ø Ñ Ò ÝÐ Ò Ö Ð ÓÓÖ Ò Ø º È Ý º Ä Øغ ¾¾½ ¾¾ ¾¼¼ º ½ ºÃº Ä ÒÞ ÄºÊº Ë ÐÚ ºÌº Ë ÐÚ ÄºÊº Ú Ò Ð Ø ÅºÃº Ä ÒÞ º ËÓÑ Ö ÙÐØ ÓÖ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö Ð ÝÑÑ ØÖÝ Ò ÓÒ Ò Ö ÓÒº È Ý ¼ ½¼ ¾¼¼ º ½ Àº É Âº Ä Ùº Ì Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ð Ù ÓÒ Ò ÓÐÐÓÛ ÓÑ ØÖ º Å Ò ¾¼½¼º ½ º ÈÓÚ Ø Ò Óº Ò ÐÝ Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ¹ Û Ú ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÔÓÐ Ö ÓÓÖ Ò Ø º Ë ÒØ Á Ù Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ ¹ Ú Ö ØÝ Ó Þ ØÓ ÓÛ Å Ø Ñ Ø ÁÎ ½¼ ¾¼¼ º ½ ÁºÆº ËÒ ÓÒº Ì Í Ó ÁÒØ Ö Ð ÌÖ Ò ÓÖÑ º Å Ö Û¹À ÐÐ Æ Û ÓÖ ½ ¾º

È ÊÌ ÁÁ ÇÅÈÍÌ Ê Ë Á Æ

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÇÆ ËÇÅ ËÈ Á Á ÌÁÇÆ Ä Æ Í Ë Ç Ê ÈÌÇ Ê ÈÀÁ ÈÊÇÌÇ ÇÄË È Û Ù Å ÖÓ Û ÃÙÖ ÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë Ò Þ ØÓ ÓÛ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ùк ÖÓÛ Ó ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ô Ù ºÔÞºÔÐ Ñ ÙÖ ÓÛ ºÔÞºÔÐ ØÖ Øº Ý Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÙÖ ØÝ Ý Ø Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò ØÛÓÖ Ö ÖÝÔ¹ ØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓРȵº Ì ÔÖÓØÓÓÐ Ö ÓÒÙÖÖ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ù ØÓ ÔÖÓ¹ Ú Ö Ð Ú ÒØ Ý Ø Ñ ÙÖ ØÝ Ó Ð º Ì Ö Ñ Ò ÔÙÖÔÓ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÑÙØÙ Ð ÙØ ÒØ Ø ÓÒ ÒØ Ø ÓÒµ Ó ÓÑÑÙÒ Ø Ò Ô ÖØ Ù Ö ÖÚ Ö µ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó Ò Û Ý Ò ÓÒ ÒÖÝÔØ ÓÒº Ä Ø Ö ØÙÖ Ò Ø ÒÙÑ ÖÓÙ ÖÖÓÖ Ò ÔÖÓØÓ¹ ÓÐ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ º Ì Ù Ø Ö Ò ØÓ Ö Ø Ñ Ø Ó ÓÖ È Ô Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÒÚ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó È Ô Ø ÓÒº Ì Ô Ô Ö Ù Ø Ó¹ ÐÐ ÓÑÑÓÒ Ä Ò Ù Ø ÑÔÐ Ø Ð Ò Ù Ó È Ô Ø ÓÒ Ò ÀÄÈËÄ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ù Ò Ø ÙÖÓÔ Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÔÖÓ Ø Ú Ô º Ò ÐÐÝ Û ÒØÖÓ Ù ÈÌÄ Ø Ò Û Ð Ò Ù Ú ÐÓÔ ÓÖ È Ô Ø ÓÒ Û ÐÐÓÛ ÙÐÐÝ ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ø ÓÒº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁØ Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ø Ø ØÓ Ý ÁÌ Ý Ø Ñ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò ØÛÓÖ ÑÙ Ø Ñ Ø ÖØ Ò ÙÖ ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ º È Ö ÒÓÛ ÓÑÑÓÒÐÝ Ù Ò Ú Ö ÓÙ ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ Ò Ò Ñ Ð ÒÖÝÔØ Ï Ô Ò Ø ÒØ Ñ Ò Ò ØÛÓÖ Øºµ ÓÖ Ú Ò ÙÖ ØÝ Ó Ð º Ì Ý Ö Ð Ó Û ÐÝ Ù ÒØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ð Ö Ö Ý Ø Ñ Ù ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ÔÖÓØÓÓÐ ÓÖ Û Ö ÔÔÐ Ø ÓÒº ÓÓ Ü ÑÔÐ Ö Ø Ý Ø Ñ Ó Ã Ö ÖÓ ËËÄ Ò ÓÒ º Ô ÓÒ Ö Ò ÖÓÐ Ò Ø Ö Ó È Ø Ô Ô Ö ÔÙ Ð Ò ½ Ý Æ ¹ Ñ Ò Ë ÖÓ Ö ¾ º ÁÒ Ø Ö ÛÓÖ Ø ÙØ ÓÖ ÔÖ ÒØ Ñ Ò Ó ÔÔÐÝ Ò ÖÝÔØÓ Ö Ô Ø Ò ÕÙ Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÐÚ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð Ø ØÓ Ø

½¾¾ È Û Ù Å ÖÓ Û ÃÙÖ ÓÛ ÙØ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÓÑÑÙÒ Ø Ò Ô ÖØ Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÛÓÖ º ËÙ ¹ Ø Ð ÝÓÙØ Ó ÙØ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓØÓÓÐ Ò Ù ÝÑÑ ØÖ Ò ÝÑÑ ØÖ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ýº È Ö ÓÒÙÖÖ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ØÓ ØØ Ò ÖØ Ò Ô Ó Ø Ú ÙÖ Ò Ø ØÖ Ò Ö ÒÐÙ Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÖ ÓÙØ Ð ØÖÓÒ ÐÐݺ ÁÒ Ò Ö Ð Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ö Ô Ö ÓÖÑ Ò ÓÒÙÖÖ ÒØ Û Ý Ò Ñ Ý Ù ÓÖ ÓÓÔ Ö Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö ÓÑÔÙØ Ö Ò ØÛÓÖ ÓÖ ÑÔÐÝ ÖÓ ÑÙÐØ ÔÐ ÈÍ º Ì Ò ÒØ Ö Ò ØÛ Ò Ø Ñ Ò ÓÖ Ò ÖÝ ÕÙ ÒØ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ º È Ò Ð Ó Ô Ý ÓÒ¹ ÙÖÖ ÒØ ÔÖÓ ÓÑÑÙÒ Ø Ò ÕÙ ÒØ Ð ÔÖÓ Û Ø ÓØ Ö ÖÓÑ Ø Ñ ØÓ Ø Ñ Ø ÖÓÙ Ø Ü Ò Ó Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö µ ÓÖ Ø Ù Ó ÓÑÑÓÒ Ö ÓÙÖ º ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ Ö Ø Ó ÓÒÙÖÖ ÒØ ÔÖÓ Û ÛÓÖ Ù Ò ÖÝÔØÓ Ö Ô Ð ÓÖ Ø Ñ º Ô Ø ÓÒ Ó ÒÝ ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ ØÓ ÓÒØ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ô ÖØ ÒÚÓÐÚ Ò Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ø Ò ØÙÖ Ó Ø Ô ÖØ Ô Ø ÓÒ Ó Ø Ô ÖØ Ø Ó Ð Ó Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ø ÓÒ ÓÑÔÖ Ò Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓк ÙÖ ØÝ Ó Ð Û È Ò ØÓ Ò ÙÖ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÑÙØÙ Ð ÙØ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ ÖÑ Ø ÓÒ Ó ÒØ Øݵ Ó ÓÑÑÙÒ Ø Ò Ô ÖØ ÓÒ ÒØ Ð ØÝ Ó ØÖ Ò Ñ ØØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒØ Ö ØÝ Ó ØÖ Ò Ñ ØØ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ÓÒ Ýº Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ ÙÖ Ò Ø Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ò Ú ÒØÓ ÒØ ÖÒ Ð Ò ÜØ ÖÒ Ð ÓÒ º ÜØ ÖÒ Ð Ø ÓÒ Ö Ø Ó Û Ö ÐÝ ÓÒ Ø ÑÙØÙ Ð Ü Ò Ó ØÖ Ò Ñ ØØ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ó Ø ÓÒ Û ÐÐ Ô Ý ÓÙÖ Ó ÒÝ ÒØ Ñ Ò Ö µ Ö Ô ÒØ Ó ÒØ Ñ Ò Ø Ö ÓÒØ ÒØ º ÁØ ÑÙ Ø Ð Ó Ò Ø Ö Ô Ø Ú ÐÝ Û Ô ÖØ Ó Ø ÒØ Ð ØØ Ö ØÓ ÒÖÝÔØ Ò ÓÛº ÁÒØ ÖÒ Ð Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ø ÓØ Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ô ÖØÝÑÙ Ø Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ Ø ÓÛÒ ÙÖ Ò Ø Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓк Ü ÑÔÐ ÓÒ Ò Ú Ò Ö Ø Ò Ò Û ÓÒ ÒØ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÖÝÔØ Ò Ò Ô Ö Ò ÖÝÔØÓ Ö Ñ ÓÑÔ Ö Ò Ø ÓÖ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÐÓ ÐÐÝ Ð Ø º ÔÔÐÝ Ò ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò ÙÖ ÕÙ Ø ÙÖ ØÝ ÔÙÖ¹ ÔÓ Ò ÓÑÔÙØ Ö Ý Ø Ñ Ö ÕÙ Ö Ô Ð ØØ ÒØ ÓÒ Û Ø Ö Ö ØÓ Ø ÓÖ¹ Ö ØÒ Ó Ø Ö Ü ÙØ ÓÒ º ÁÒÓÖÖ Ø ÛÓÖ Ó ÔÖÓØÓÓÐ Ò Ð ØÓ Ö ÒØ

ÇÒ ÓÑ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ó ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ ½¾ ÓÖØ Ó ÐÓ Ó Ù Ö Ö ÓÙÖ º ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ Ö Ù Ù ÐÐÝ ÓÖØ Ò ÒÓØ ØÓÓ ÓÑÔÐ Ø Ò Ø Ö ØÖÙØÙÖ Ó Ó Ø Ò ÒØ Ö ÐÝ Ò ÓÖÑ Ð Ö Ù¹ Ñ ÒØ Ö Ù ØÓ Ù Ø Ý Ø Ø Ø Ý ÓÔ Ö Ø ÔÖÓÔ ÖÐÝ Ò ØÓ ÐÐ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø Ø Ø ÔÖÓØÓÓÐ ØÙ ÐÐÝ Ó Û Ø Ø ÜÔ Ø ØÓ Ó ¾ º ÁÒ ÑÓ Ø ÓÛ Ú Ö Ø ÙÐØ ØÓ Ñ Ò ÐÐ ÔÓ Ð Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÐ Ü Ý Ø Ñ º Ì ÓÑ Ô ÐÐÝ ÙÐØ Û Ò Ð Ò Û Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø Ö Ü ÙØ ÓÒÙÖÖ ÒØÐÝ ÓÒ Ñ ÒÝ ÓÑÔÙØ Ö Û Ö Ø Ô ÖØ Ð Ö ÙÐØ Ó Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ñ Ý Ø Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÜØ Ò ØÖÙØ ÓÒº ÓÖ Ø Ö ÓÒ Ø Ñ Ø Ó Ó Ú Ö Ý Ò Ø ÓÖÖ ØÒ Ó Ó ØÛ Ö Ý Ø Ñ ÓÒ Ø ÒØÐÝ Ò ÜØ Ò Ú ÐÝ Ú ÐÓÔ Ö Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò º ÐÐÝ Û Ò Ø Ò Ù ØÛÓ Ñ Ò ÖÓÙÔ Ó Ú Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ó ½º Ì Ø Ò Ó Ö Ð ÓÖ Ú ÖØÙ Ð Ý Ø Ñ ÑÙÐ Ø ÓÒ µº ¾º ÓÖÑ Ð ÑÓ Ð Ò Ò Ú Ö Ø ÓÒº ÁÒ Ø Ö Ø Ø Ú Ö Ø ÓÒ ÔÖÓ ÑÔÐÝ ÓÒ Ø Ò Ø Ø Ò Ø Ý Ø Ñ ÐÖ Ý ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÖ ÑÙÐ Ø Ò Ø Ö Ô Ö ÓÖÑ Ò Ý ÓÑÔÙØ Ö º Ú ÖØÙ Ð Ñ Ò µº Ø Ö ÖÖÝ Ò ÓÙØ Ú Ö Ð Ù Ø Ø ÓÖ ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÒ ÓÖØÙÒ Ø ÐÝ Û Ò ÓÒÐÝ Ý Ø Ø Ó Ö Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÔÖÓ Ö Ñ ÛÓÖ ÔÖÓÔ ÖÐݺ Ì ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ó Ö Ö Ò Ñ ÐÝ ÓÖÑ Ð ÑÓ Ð Ò Ò Ú Ö Ø ÓÒ ÒÚÓÐÚ Ö Ø Ò Ô Ð Ñ Ø Ñ Ø Ð ØÖÙØÙÖ Û ÑÓ Ð ÔÖÓ Ø ¹ Ò ÔÐ ÙÖ Ò ÔÖÓØÓÓÐ Ü ÙØ ÓÒ º ÁØ Ø Ö ÓÖ Ò ÓÑ Ò Ø Ö Ø ÓÒ Ó Ò Û Ô ØÝÔ Ó ÑÙÐ Ø ÓÒº ÀÓÛ Ú Ö ÒÙÑ ÖÓÙ Ü ÑÔÐ ÓÛ Ø ØÝÔ Ó ÑÓ Ð Ò Ò ÓÑ Ø Ñ ÔÖÓÚ ÓÖÑ ÐÐÝ Ø Ø ÖØ Ò ÙÒ Ö Ð Ú ÓÖ Ó Ø Ý Ø Ñ Û ÐÐ Ò Ú Ö ÓÙÖº Ö Ø Ò Ñ Ø Ñ Ø Ð ØÖÙØÙÖ ÑÙÐ Ø Ò Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÖÝÔ¹ ØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ ÒÓØ Ò Ý ÔÖÓ º Ì ÛÓÖ ÓÛ Ú Ö Ö ÕÙ Ö ØÓ Ù Ô ÐÐÝ ÓÒ ØÖÙØ Ð Ò Ù ÓÖ ÔÖÓØÓÓÐ Ô Ø ÓÒº ÁÒ ¾ ѹ ÔÐ Ð Ò Ù ÓÖ Ø Ô Ø ÓÒ Ó ÔÖÓØÓÓÐ Ò ÔÔÐ ÒÓÛÒ ÑÔÐÝ ÓÑÑÓÒ Ä Ò Ù Äµ ½ º Ò Ü ÑÔÐ Û ÓÛ ÐÓÛ ÔÖÓØÓÓÐ Ô Ø ÓÒ Ù Ò Ä Ò ÓÑ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Øº ¾º ÓÑÑÓÒ Ä Ò Ù Ä ÓÑÑÓÒ Ä Ò Ù Ò Ú Ö Ò ÓÖÑ Ð Þ º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ö ÑÑ Ö Ó Ø Ú Ö ÓÒ ÒÓØ ØÓÓ ÓÑÔÐ Ø º Ì ÔÖÓØÓÓÐ Ö ÕÙ Ò Ó Ø Ô Ô Ý Ò Ø Ò Ö Ó Ø Ñ Ö Ô ÒØ Ò ÓÒØ ÒØ Ó Ø ÒØ Ð ØØ Ö ½ º Ø Ô Ô ÓÐÐÓÛ

½¾ È Û Ù Å ÖÓ Û ÃÙÖ ÓÛ A B : M Û Ö A Ó ÓÙÖ Ø Ò Ö Ó Ø Ñ B Ø Ö Ô ÒØ Ò M Ø Ñ º Ì Ö ÑÑ Ö Ó Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò M : A T K N L M,M <M> K, Û Ö A ÐÓÒ ØÓ Ø Ó Ù Ö K ØÓ Ø Ó ÖÝÔØÓ Ö Ô Ý T ØÓ Ø Ø Ó Ø Ñ Ø ÑÔ L Ð Ø Ñ Ó T º Ì Ý Ù Ò Ø Ô Ø ÓÒ Ó ÓÙÖ Ñ Ý ÝÑÑ ØÖ ÓÖ ÝÑÑ ØÖ º ÁÒ Ø Ö Ø Û ÒÓØ Ý K AB Ø Ý Û Ö A Ò B Ö Ø Ö ÓÛÒ Ö Ò Ø ÓÒ Ø ÝÑ ÓÐ K A ÒÓØ Ø ÔÙ Ð Ý Ó A Ò K 1 A Ø ÔÖ Ú Ø Ýº M,M ÑÔÐÝ ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ñ Ò Ý ÛÖ Ø Ò <M> K Û ÙÒ Ö Ø Ò Ø Ô ÖØ ÜØ M ÒÖÝÔØ Û Ø Ø Ý Kº À Ö Ò Ü ÑÔÐ Û ÓÛ Ô Ø ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ú Ö ÓÒ Ó Ã Ö ÖÓ ÈÖÓØÓÓÐ Ù Ò Ø ÓÑÑÓÒ Ä Ò Ù º Ì Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓÐ ÓÐÐÓÛ Û Ú ØÛÓ Ô ÖØ A Ò B Û Ö Ø ÖÚ Ö S Û Ø Ö ÒØ Ö Ø Ý º Ì Ñ Ò Ó Ð Ó Ø ÔÖÓØÓÓÐ ØÓ Ò Ö Ø Ý A ÓÒ Ý Ò ÓÖ Ö ØÓ ÓÒ ÙØ ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Û Ø Bº ÈÖÓØÓÓÐ Ô Ø ÓÒ ½º A S : A, B ¾º S A : <T,L,K,B > KAS,< T,L,K,A> KBS º A B : <A,T > K,< T,L,K,A> KBS º B A : <T > K º ÁÒ Ø Ö Ø Ø Ô Ó Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ø Ù Ö A Ò ØÓ Ø ÖÚ Ö S Ñ ÓÒ Ø Ò Ó Ø ÒØ Ö Ò Ø Ò Ñ Ó Bº ÁÒ Ø Û Ý S ÔÓ Ò ÓÖ¹ Ñ Ø ÓÒ Û Ø Û ÓÑ A Û ÒØ ØÓ ÓÑÑÙÒ Ø º ÁÒ Ø ÓÒ Ø Ô Ø ÖÚ Ö Ò Ö Ø ØÛÓ Ñ Û Ø Ø Ñ Ø ÑÔ T Ø Ø Ø ÙÖ Ø ÓÒ L Ò Ò ÛÐÝ Ò Ö Ø Ö Ò ÓÑ ÓÒ Ý Kº S ÒÖÝÔØ ÐÐ Ó Ø Ñ Ù Ò Ö Ø Ý Ö Û Ø Bº Ì Ò Ø Ø Ø Ñ Ø ÑÔ Ø ÙÖ Ø ÓÒ L Ò Ø ÒØ Ö B Ò ÒÖÝÔØ Ú ÖÝØ Ò Ù Ò Ö Ø Ý Ö Û Ø Aº Æ ÜØ S Ò ØÛÓ ÒÖÝÔØ Ñ ØÓ Aº ÁÒ Ø Ø Ö Ø Ô A Ò Ö Ø Ñ ÓÒØ Ò Ò Ø ÒØ Ö Ò Ø Ñ Ø ÑÔ ÒÖÝÔØ Ø Ñ Ù Ò Ø ÓÒ Ý K Ò ÛÐÝ Ó Ø Ò ÖÓÑ S Ò Ò Ø ØÓ Bº A Ð Ó Ò ØÓ B Ñ ÒÖÝÔØ Ý Ø ÖÚ Ö Ù Ò ÓÑÑÓÒ Ý ÓÖ B Ò Sº Ì Ò B ÔÓ Ø Ý K Ò Ö Ø Ñ ÓÒ Ø Ò Ó Ø Ø Ñ Ø ÑÔ T ÒÖÝÔØ Ø Ù Ò K Ò Ò Ø ØÓ Aº

ÇÒ ÓÑ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ó ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ ½¾ Ü ÙØ Ò ÔÖÓØÓÓÐ ÙÑ Ø Ü Ø Ò Ó Ò Ð ÐÓ ÐÐÓ Ø Ò Ø Ñ Ò ÓÑÔÐ Ò Û Ø ÐÓ Ó ÐÐ Ù Ö Ó Ø ÖÚ Öº Ì Ú Ý ÝÒ ÖÓÒ Þ Ò Ú ÖÝ Û Ñ ÒÙØ ØÓ ÙÖ ÖÚ Ö ÐÓ Ø Ñ º Ì Ý ÖÚ Ö S Ò ØÓ Ö Ñ Ñ Ö ÐÐ Ø Ý Ø Ø Ø Ö Û Ø Ù Ö º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÓÒ Ý Ö Ø ÓÖ Ø ÔÙÖÔÓ Ó ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò A Ò B Ø Ò Ø ÖÚ Ö ÓÖ Ø ÓÙØ Ø Ö ÙÐغ Ç Ú ÓÙ ÐÝ ÓÒ Ò ÖÓÑ Ø ÓÚ Ü ÑÔÐ Ä Ú ÖÝ ÑÔÐ Ò Ø ÔÖÓ ÐÝ ÙÐØ ØÓ Ñ Ò ÑÔÐ Ö ÔÖÓØÓÓÐ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ø Ö ÕÙ Ö Ø ÓÒ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó ÒØ ÖÒ Ð Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ü ÙØ ÓÒ ÒÐÙ Ò Ò Ö Ø Ò Ò Û Ð Ñ ÒØ Ù Ý ÒÓÒ Ô Ù Ó¹Ö Ò ÓÑ ÒÙѹ Ö Ò Ö Ø ÓÖ Ò Ð ÓÒµ ÓÖ Ø Ñ Ø ÑÔ º Ì Ö Ð Ó ÒÓ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ ÓÛ Ù Ö ÓÑÔÓ ÒØ Ñ º Ì Ø Ø Ö ÓÒ Û Ý Ä ÒÒÓØ Ù Ò ÙÐÐÝ ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ø ÓÒº º ÀÄÈËÄ Ä Ò Ù ÙÖÖ ÒØÐÝ Ø ÛÓÖÐ ³ ÑÓ Ø Ö Ó Ò Þ Ð Ý Ø Ñ Ó ÓÖÑ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ó ÖÝÔ¹ ØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ Ø ÎÁËÈ Ý Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Î Ð Ø ÓÒ Ó ÁÒØ ÖÒ Ø Ë ÙÖ ØÝ ÈÖÓØÓÓÐ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ µ ½¼ º Ì Ý Ø Ñ Û Ö Ø Ø ÖÓÙ ÓÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ú Ö Ð Ò Ø ØÙØ ÓÒ ÍÒ Ú Ö Ø Ó ÒÓÚ ÙÖ Æ ÒÝ Ò Ù Ö Ó Ë Ñ Ò Ò ÅÙÒ º ÓÖ Ø ÔÖÓ Ø Ô Ð ÖÓÐ ¹ ¹ Ð Ú Ð Ð Ò Ù ÀÄÈËÄ ÓÖ È Ô Ø ÓÒ À Ä Ú Ð ÈÖÓØÓÓÐ ËÔ Ø ÓÒ Ä Ò Ù µ Û Ö Ø º ÁÒ ÀÄÈËÄ Ô ÖØ Ô ÒØ Ò ÔÖ Ñ ÖÝ ÖÓÐ ÖÓÐ µ Û Ö Ý Ú Ö ÓÙ Ô Ö Ñ Ø Ö Ö Ð Ø ØÓ Ø Ú ÓÖ Ó Ô ÖØ Ô ÒØ ÙÖ Ò Ø Ü ÙØ ÓÒ ÔÖÓØÓÓк Ì ÖÓÐ Ò ÓÛ Ù Ö Ò ØÖ Ò Ö Ø Ö Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ Ò Ø Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓк Ø ÒÐÙ Ò Ø Ó ÖÓÐ Ø ÖÑ Ò Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ô ÖØ Ô ÒØ Ò Ù Ò Ø ÐÐÝ Ò Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ó Ø ÒÓÛÐ º Ø ÓÒ ÐÐÝ ÖÓÐ Ö ÓÛ Ø Ù Ö ÒÓÛÐ Ñ Ø Ò ÙÖ Ò Ø Ü ÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓк Ì Ô Ø ÓÒ Ú Ò Ò ÖÓÐ Ò Ù Ð Ø Ö Ý ÓÒ ÓÖ ÑÓÖ Ù Ö Û Ó Ò ÔÐ Ý Ô ÖØ ÙÐ Ö ÖÓÐ Ò Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ü ÙØ ÓÒº Ì Ò ØÓ Ö Ø Ø ÓÑÔÓ ÖÓÐ Û Ö ÓÛ Ø Ò Ú Ù Ð Ñ Ñ Ö ÓÑÑÙÒ Ø ÑÓÒ Ø Ñ ÐÚ Ý Ñ Ò Ó Ö Ô Ø ÖÓÐ º ÁÒ Ø Û Ý Û Ó Ø Ò Ô Ø ÓÒ Ñ ÓÖ Ø Ü Ò ÙÖ Ò Ø Û ÓÐ ÔÖÓØÓÓÐ Ü ÙØ ÓÒº ÊÓÐ Ö Ò Ô Ò ÒØ ÔÖÓ Û Ú Ô Ò Ñ Ö ÔÐ Ý Ø Ú ÐÙ Ó Ò Ø Ð Þ Ø ÓÒ Ô Ö Ñ Ø Ö Ð Ó ÓÒØ Ò ÐÓ Ð Ð Ö Ø ÓÒ º Ø ÓÒ Ó ÑÔÐ ÖÓÐ Ö Ô Ò ÓÖ Ö ØÓ Ö ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖÑ Ó Ò Ò Ø ÖÓÐ Ô Ò Ò ÓÒ Ø Ú ÒØ ÓÙÖÖ Û Ð Ø ÓÑÔÐ Ü ÖÓÐ Ø ÖÑ Ò Ø Û Ý Ò Û ÔÖ ¹ Ò ÖÓÐ Ö ÓÑ Ò º

½¾ È Û Ù Å ÖÓ Û ÃÙÖ ÓÛ Ì ÀÄÈËÄ Ô Ø ÓÒ Ð Ó Ò Ø ÓÒ Ð Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ú Ö Ø ÓÒº Ø ÓÒ ÐÐÝ Ò Ø Ð Ø Ö Û ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÙÖ ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Û Ö ØÓ Ü Ñ Ò Ò Ø Þ Ó Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ò Ø Ò Ö Ò Ô º Ì Ð Ö Ø ÓÒ Ò Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ó Ø Ú Û Û Û ÒØ ØÓ Ú ÙÖ Ò Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ø ÔÐ Ò Ò ÒÓØ Ö Ô Ð Ø ÓÒ Ó Ô Ø ÓÒº ÀÄÈËÄ ÐÐÓÛ Ø Ø Ò Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÙÖ ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ Ñ ÒØ Ò Ò Ø ÓÒ ÒØ Ð ØÝ Ó Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÖÓÒ Ù Ö ÙØ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ø Ñ Û Ù Ö ÙØ ÒØ Ø ÓÒ ÓÒ ÖØ Ò Ñ º Ü Ø ÓÖ Ú Ö Ð Ù Ò Ô Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ú Ò ÙÒ ÕÙ ØÝÔ º Ì Ð Ø Ó Ü ÑÔÐ Ó Ú Ö Ð Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒØ ÓÖ Ù Ö ÒØ Ö ÓÖ Ø ÒØÖÙ Ö Ø Ð ØØ Ö Ö ÖÚ ÔÙ Ð Ý ÓÖ ÔÙ Ð Ý Ó ÒØ º Ú Ò ÔÙ Ð Ý Ô Ö Ôº ÔÖ Ú Ø µ Ø Ö Ú Ö ÔÖ Ú Ø Ö Ôº ÔÙ Ð µ Ý Ó Ø Ò Ø ÖÓÙ Ø ØÖÙØÙÖ ÒÚ Ô µ ÝÑÑ ØÖ Ý ÓÖ Ý Ù Ò ÝÑÑ ØÖ ÒÖÝÔØ ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ø ÓÔ Ó Ú Ö Ð Ó Ø ØÝÔ Ø Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ö Ù º Æ Ø ØÝÔ Ù Ù ÐÐÝ Ù ØÓ Ö Ø Ø ÔÖÓØÓÓÐ ÓÖ ÒØ Ö Ù Ò Ø ØÙ ÔÖÓÔ ÖØ Ñ ÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÒÝ Ñ Ø ÜØ ÓÖ ÒÓÒ º ÓÖÖ Ø Ñ Ö Ò Ø Ù Ñ ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ º³ Ò»ÓÖ ÒÖÝÔØ ÓÒ ³ Ñ Ýµ Ó Ø ØÝÔ º Ì Ö ÒÓ Ö Ò ØÛ Ò Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó ÝÑÑ ØÖ Ò ÝÑÑ ØÖ ÒÖÝÔØ ÓÒ º ÙÑ Ò Ø Ø Û Ú ØÝÔ Ó ÒØ Ø ÒØ A Ø ÒÓÒ N a Ò Ø ÝÑÑ ØÖ Ý K Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ñ Ö ÓÖÖ Ø ½º N a ÒÓÒ N a Ñ ¾º A.N a Ø Ñ ÓÒØ Ò Ò Ø ÒØ Ö Ó ÒØ A Û Ø Ú ÐÙ N a º {A.N a } K Ø ÔÖÓÔ Ö Ñ ÒÖÝÔØ Û Ø Ø Ý Kº

ÇÒ ÓÑ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ó ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ ½¾ ÒÒ Ð Ú Ö Ð Ø Ø ÓÒÒ Ø ÓÑÑÙÒ Ø Ò Ô ÖØ Ò Ü Ò Ñ ØÛ Ò Ø Ñº ÀÄÈËij ÒÒ Ð ÓÒØ Ò ÒØÖÙ Ö Ø Ò Ò Ø Ø ÒÒ Ðº Ì ÑÓ Ð Ú Ð Ð Ò ÀÄÈËÄ Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÓÐ Ú¹ Ó ÑÓ Ð ÒÓØ Ý Ýµ Ò Û Ø ØØ Ö Ò ØÛÓÖ Ó Ò Ð º Ì ÓÙÖ ÔÖ Ò Ó Ð ÔÖ Ø Ð Ø ÓÚ ÓÒØ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò¹ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ø Ëµ Ð Ö Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ E Ö Ø Ö Ý Ø ÒØ ÖÓÑ Ø S Ø Ö Ø Û ÐÐ ÒØ Ý Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ó Ð Ø ÓÒ Û ØÒ µ ÓÖ Û µ ÙØ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó A Ý B ÓÒ E Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ A Û ØÒ ÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ E Ø Ó Ð Û ÐÐ ÒØ Ý Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ó Ð Ø ÓÒ Ö ÕÙ Ø µ ÓÖ ØÖÓÒ ÙØ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó A Ý B ÓÒ E Ð Ö Ø Ø Ò ÒØ B Ö ÕÙ Ø Ò Ø Ú ÐÙ E Ø Ó Ð Û ÐÐ ÒØ Ý Ø ÓÒ Ø ÒØ Ò Ø Ó Ð Ø ÓÒ ÛÖ ÕÙ Ø µ Ñ Ð Ö ØÓ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ ÙØ Ò Ø ÓÖ Û ÙØ ÒØ Ø ÓÒ ÔÖÓÔ ÖØݺ ËÙÑÑ Ò ÙÔ Ø Ð Ò Ù ÀÄÈËÄ Ú ÖÝ ÓÑÔÐ Ü Ð Ò Ù Û ÐÐÓÛ Ø ÙÐÐ Ô Ø ÓÒ Ó ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ º ÁØ Ð Ö ÓÛ Ú Ö Ø Ø Ø Ò Ô ÐÐÝ Ò Ð Ö Ø ÐÝ ØÓ Ù Ý Ô ØÓÓÐ Ò Ñ ÐÝ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ú Ô º Ì Ø Û Ý ÓÒ Ò Ö Ø ÓÒ Ø Ú Ö Ø Ð Øݺ ÁØ Ó Ú ÓÙ Ø Ø Û ÛÓÙÐ Ð ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ô Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ò ÀÄÈËÄ Ò ÒÓØ Ö ØÓÓÐ Ò Ø ØÙ Ý Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ Û Ò ÔÔÖÓÔÖ Ø Ô Ð ØÖ Ò Ð ØÓÖ º º Î ÖÁ Ë Ý Ø Ñ Ò ÈÌÄ Ð Ò Ù Î ÖÁ Ë ½½ Ò ÓÖ Ò Ð ØÓÓÐ ÓÖ ÙØÓÑ Ø ÓÖ Ñ ¹ ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó ÓÒÙÖÖ ÒØ Ý Ø Ñ º Ì Ý Ø Ñ ÐÐÓÛ Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ú Ö ÓÙ ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ý Ø Ñ ÓÒØ Ò Ò Ø Ø ÑÔÓÖ Ð Ô Ø º ÇÒ ÑÓ ÙÐ Ó Î ÖÁ Ë ÓÐ ÐÝ ÚÓØ ÓÖ Ø È Ú Ö Ø ÓÒº Ì Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Ý Ø Î ÖÁ Ë Ø Ñ Ó Ö Ö ÓÑÔ Ø Ø Ú ØÓ Ø ÓØ Ö Ö ÙÐØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÔ Ò ÛÓÖÐ Û ½¼ ½¾ º ÁÒ Ø Ó È Ú Ö Ø ÓÒ Ô Ð Ñ Ø Ñ Ø Ð ÑÓ Ð Ó È Ü ÙØ ÓÒ Ò Ú ÐÓÔ º Ì ÑÓ Ð ÐÐÓÛ Ø Ø Ò Ú Ö ÓÙ Ü ¹ ÙØ ÓÒ Ó Èº Ì ÓÖÑ Ð Ñ Ò Ò Ó ØÓ Ð ØÓ ÒØ Ý ÙÖ Ø ÐÝ Ø ÓÖÖ Ø ÕÙ Ò Ó Ø Ô ÔÖÓØÓÓÐ Ô Ö ÓÖÑ Ò Ø Ø Ñ ÙÔ Ü ÙØ ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ Ò º

½¾ È Û Ù Å ÖÓ Û ÃÙÖ ÓÛ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ø ÑÔÐ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù ÐÐ ÈÖÓÌÓÓÐ Ä Ò Ù ÈÌĵ Ò ÔÖÓÔÓ º ÁÒ Ø ÔÔÖÓ Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ò ¹ ÕÙ Ò Ó Ø Ô Ò Ó Ø Ñ Ò Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ó Ø ÓÖÑ (α 1,α 2 )º Ì ÓÑÔÓÒ ÒØ α 1 Ò ÜØ ÖÒ Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓÐ Ñ ¹ Ò µ Û Ð Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ α 2 Ò ÒØ ÖÒ Ð ÓÒ º ÓØ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒØ Ò Ò ÓÑÔÐ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ô ¹ ÔÖÓØÓÓк ÅÓÖ ÔÖ ÐÝ α 1 =(P,Q,M),α 2 =(t, X, G, τ), Û Ö P Ø Ø Ô Ò Ø ØÓÖ Q Ø ÓÛÒ Ö Ò M Ø ÒØ Ñ º ËÓ Ö Ø Ö Ö ÒÓ Ö Ò ØÛ Ò Ø Ô Ø ÓÒ Ò Ø Ô Ø ÓÒ Ò Ø Ä Ð Ò Ù º ÁÒ Ø ÔÔÖÓ Û Ú Ý Ø ÑÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ t Ú Ö Ð Ò Ø Ò Ø Ñ Û Ò Ø Ø Ô³ Ü ÙØ ÓÒ Ø ÖØ X Ø Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ØÓ ÓÑÔÓ Ñ G Ø Ó Ò Ø Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Ö Ø ÓÖ Ú Ò Ø Ô Ò τ Ø Ñ ÓÒ ØÖ ÒØ Ò ÙÖ Ò Ø Ø Ø Ô Ò Ô Ö ÓÖÑ º Ì Ô Ø ÓÒ ÐÐÓÛ ÔÖ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓØ ÓÒÐÝ Ø ÜØ ÖÒ Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓÐ ÙØ Ð Ó ÒØ ÖÒ Ð ÓÒ º Ì Ñ Ö ÑÑ Ö Ø Ñ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ö ÑÑ Ö Ò Ä M : A T K N L M,M <M> K. ÁÒ Ø ÓÒ Û Ô Ý Ø Ñ ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÖ Ò ØÓ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö Ñ¹ Ñ Ö τ : false true t T L τ 1 τ 2. Ò Ü ÑÔÐ Ó ÙÐÐ ÔÖÓØÓÓÐ Ô Ø ÓÒ Ò Ø ÈÌÄ Ð Ò Ù Û Ú ÒÓÛ ÓÖÑ Ð Ö ÔØ ÓÒ Ó Ø Ã Ö ÖÓ ÈÖÓØÓÓÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ º ÈÖÓØÓÓÐ Ô Ø ÓÒ Ò ÈÌÄ ÓÐÐÓÛ ½º Ì Ö Ø Ø Ô (α 1,α 2 ) Û Ö α 1 =(A; S; A, B), α 2 =(t 1, {A, B},,true). ¾º Ì ÓÒ Ø Ô (β 1,β 2 ) Û Ö β 1 =(S; A; < T,L,K,B > KAS,<T,L,K,A > KBS ), β 2 =(t 2, {T,L,K,A,B,K AS,K BS }, {T,K},t 2 T L). º Ì Ø Ö Ø Ô (γ 1, γ 2 ) Û Ö γ 1 =(A; B; <A,T > K,< T,L,K,A > KBS ), γ 2 =(t3, {T,K,A,< T,L,K,A > KBS },,t 3 T L).

ÇÒ ÓÑ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ó ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ ½¾ º Ì ÓÙÖØ Ø Ô (δ 1, δ 2 ) Û Ö δ 1 =(B; A; <T > K ), δ 2 =(t 4,T,K,,t 4 T L). ÆÓØ Ø Ø Ø Ô Ø ÓÒ Ú ÔÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÒ ÓØ ÜØ ÖÒ Ð Ò ÒØ ÖÒ Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓØÓÓк ÁØ Ð Ó Ø ÖÑ Ò ÔÖ ÐÝ Ø Ø Ñ ÓÒ ¹ Ø ÓÒ Û Ù Ö Ò ØÓ ÙÐ Ðк ÖÓÑ Ø Ø Ò Ð ÔÓ ÒØ Ó Ú Û ÈÌÄ Ô Ø ÓÒ Ð ÓÒØ Ò ÓÒÐÝ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÖ ÙÖØ Ö Ø Ô Ó Ú Ö Ø ÓÒ ÔÖÓ º Ì Ð ÓÒ Ø Ó ØÛÓ Ñ Ò Ô ÖØ º ÁÒ Ø Ö Ø ÓÒ Û Ú Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÙØ ÒÙÑ Ö Ó ÓÒ Ö Ù Ö Ò ÔÖÓØÓÓÐ Ø Ô º Ì ÓÒ ÓÒ ÓÒØ Ò Ô Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÔÖÓØÓÓÐ Ø Ô Ò Ø Û Ý Ñ ÒØ ÓÒ ÓÖ º ÁÒ Ò ÜØ Ð Ò Û Ú Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó Ô Ö Ô Ý Ò Ø Ô Ó Ø ÔÖÓØÓÓк º ÓÒÐÙ ÓÒ Ø Ú Ñ Ø Ó Ó Ô Ø ÓÒ Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ Ö Ò ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÔÐ ÖÝÔØÓ Ö Ô Ýº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú Ù Û Ð Ò Ù Ú ÐÓÔ ÓÖ È Ô Ø ÓÒº Ï Ú ÔÖ ÒØ Ø ÓÑÑÓÒ Ä Ò Ù Ø ÑÔÐ Ø Ð Ò Ù ÓÖ ÔÖÓØÓÓÐ Ô ¹ Ø ÓÒ ÀÄÈËÄ Ø Ð Ò Ù Ù Ò Ø ÙÖÓÔ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ô Ò Ø ÈÌÄ Ð Ò Ù º ÁÒÚ Ø Ø ÓÒ Ò Ø Ö Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓ Ö º Ì Ò ÜØ Ø Ô ÓÒ Ø Ò ÜÔ Ò Ò Ø ÜÔÖ Ú ÔÓÛ Ö Ó Ø ÈÌÄ Ð Ò Ù ØÓ ¹ Ö Ð Ö Ö Ð Ó ÔÖÓØÓÓÐ Ò Ð Ý Ò Ø Ò ØÛÓÖ ÓÙÖÖ Ò ÙÖ Ò Ø ØÖ Ò Ñ ÓÒ Ó Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº Ê Ö Ò ½ Ë ÙÖ ØÝ ÈÖÓØÓÓÐ ÇÔ Ò Ê ÔÓ ØÓÖÝ ËÈÇÊ µ ØØÔ»»ÛÛۺРں Ò ¹ Òº Ö»ËÓ ØÛ Ö» ÔÓÖ» ¾ ʺ Æ Ñ Åº Ë ÖÓ Öº Í Ò ÒÖÝÔØ ÓÒ ÓÖ ÙØ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ò ØÛÓÖ Ó ÓÑÔÙØ Ö º ÓÑѺ Å ¾½ ½¾µ ½ º º ÓÐ Ú º Óº ÇÒ Ø ÙÖ ØÝ Ó ÔÙ Ð Ý ÔÖÓØÓÓÐ º Á ÌÖ Ò º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÓÖÝ ¾ ¾µ ½ ¾¼ ½ º º ÄÓÛ º Ö Ò Ò Ü Ò Ø Æ Ñ¹Ë ÖÓ Ö ÔÙ Ð ¹ Ý ÔÖÓ¹ ØÓÓÐ Ù Ò Êº ÁÒ ÈÖÓº Ì Ë ÔÔº ½ ¹½ ËÔÖ Ò Ö ½ º Ⱥ Ñ º  ÒÓÛ Èº  ÒÓÛ Ïº È ÒÞ º È ÖÓРź ËÞÖ Ø Ö º ÏÓõÒ º ÖÞ ÞÒݺ Î ÖÁ Ë ØÓÓÐ ÓÖ Ú Ö Ý Ò Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò Ø ÐÐ Ô Ø ÓÒ º ÁÒ ÈÖÓº Ø ÁÒغ ÓÒ º Ì Ë³¼ ÚÓк ¾ ½ Ó ÄÆ Ë ÔÔº ¾ ¾ ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼ º

½ ¼ È Û Ù Å ÖÓ Û ÃÙÖ ÓÛ º Å Ò Þ Èº Ú Ò ÇÓÖ ÓØ Ëº Î Ò ØÓÒ º ÏÆÌ ¾¼¼ º ÃÖÝÔØÓ Ö ØÓ ÓÛ Ò º ÖÑ Ò Ó º Ò º Ó ÙØ º Ú Ð Ö Äº ÓÑÔ Ò Âº ٠й Ð Ö Èº À Ò Ö Ð Ñ Èº º À Ñ Çº ÃÓÙ Ò Ö Ò Ó Âº Å ÒØÓÚ Ò Ëº ÅÓ Ö Ñ º ÚÓÒ Ç Ñ Ò Åº ÊÙ ÒÓÛ Ø Âº Ë ÒØ Ó Åº ÌÙ¹ ÖÙ Ò Äº Î ÒÓ Äº Î Ò ÖÓÒº Ì ÎÁËÈ ØÓÓÐ ÓÖ Ø ÙØÓÑ Ø Ú Ð¹ Ø ÓÒ Ó ÒØ ÖÒ Ø ÙÖ ØÝ ÔÖÓØÓÓÐ Ò ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÁÒ ÈÖÓº ½ Ø ÁÒغ ÓÒ º ÓÑÔÙØ Ö Î Ö Ø ÓÒ Î³¼ µ ÚÓк Ó ÄÆ Ë ÔÔº ¾ ½ ¾ ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼ º ź Ò Ö ØØ Æº ÙÓÑÓ º È ÖÓÒº ÌÈÅ ÑÓ Ð Ö ÓÖ Ø Ñ ¹ Ò Ø Ú ÙÖ ØÝ ÔÖÓØÓÓÐ º ÁÒ ÈÖÓº ¾¼¼ À È Ö ÓÖÑ Ò ÓÑÔÙØ Ò Ò Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ º ÀÈ Ë ¾¼¼ µ ÔÔº ¾¹ ÈÖ Ù ¾¼¼ º ź ÃÙÖ ÓÛ Ïº È ÒÞ º Î Ö Ý Ò ÙÖ ØÝ ÔÖÓØÓÓÐ ÑÓ ÐÐ Ý Ò ØÛÓÖ Ó ÙØÓÑ Ø º ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ¹ µ ½ ¾¼¼ º ½¼ º ÖÑ Ò Ó Äº ÓÑÔ Ò º Ë Ø¹ ÑÓ Ð¹ Ò ÓÖ ÙÖ ØÝ ÔÖÓ¹ ØÓÓÐ Ò ÐÝ º ÁÒغ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ë ÙÖ ØÝ ½µ ¾ ¾¼¼ º ½½ ź à ÔÖÞ Ïº Æ º Æ Û ÓÑ Ïº È ÒÞ º È ÖÓРź ËÞÖ Ø Ö º ÖÞ ÞÒݺ Î Ö ¾¼¼ ÑÓ Ð Ö ÓÖ ¹Ð Ú Ð Ð Ò Ù º ÖØ Ð ÁÒØ ÐÐ Ò ËØÙ ¾ µ ½ ½ ½ ¼ ¾¼¼ º ½¾ ź ÃÙÖ ÓÛ Ïº È ÒÞ º Î Ö Ý Ò Ø Ñ ÙÖ ØÝ ÔÖÓØÓÓÐ Ú ØÖ Ò ¹ Ð Ø ÓÒ ØÓ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ½¹ µ ¾ ¾ ¾¼¼ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÅÇ ÍÄ Ê ÆÍÅ Ê Ë ËÌ ÅË ÁÆ ÌÀ ÇÅÈÄ ÈÄ Æ Å Ð Ë ÐÝ Ò ÒÓÚ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Ì Ò Ð Ù Ø ÓÒ Ò Ë ØÝ Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ РѺ Ð Ò ÒÓÚ ºÞ غÔÐ ØÖ Øº ÁÒ Ø ÔÖ ÒØ Ô Ô Ö Û ÓÒ Ö Ñ Ø Ó Ó ÓÒ ØÖÙØ Ò ÑÓ ÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÅÆ˵ Ò Ñ Ð Ó Ö Ù ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò º Ì ØÖÙØÙÖ Ó ÓÑÔÐ Ø Ø Ó Ö Ù Ëʵ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ ÓÑÔÐ Ü ÑÓ ÙÐÓ ÒÚ Ø Ø º ÓÖ Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ú ÓÒ ØÖÙØ Ú ÖÙÐ Ö Ð Þ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó Ø Ú Ò ËÊ Ò Ò ÕÙ Ø Ö Ò Ó Ö Ð ÒØ Ö Ö Ù ÔÖÓÔÓ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÈÖÓ ÙÖ ÓÚ Ö Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ò ÑÓ ÖÒ ÓÑÔÙØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Ð Ò Ð ÔÖÓ Ò ÒÙÑ Ö Ð Ñ Ø Ó Ø ÓÖ Ø Ð Ñ Ò Ô Ý ÓØ Ö Ò Ö Ó ÙÒ Ñ ÒØ Ð ÑÔÓÖØ Ò º ÌÝÔ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú Ó Ñ ÒØ ÓÒ ÔÖÓ ÙÖ Ö ÓÖ Ü ÑÔÐ Ö Ø ÓÙÖ Ö ØÖ Ò ÓÖÑ Ô ØÖ Ð Ò ÐÝ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ü ÕÙ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ó Ð Ò Ö Ð ¹ Ö Ò Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Øº ÁÒ Ú Û Ó ÜÐÙ Ú ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ØÝÔ Ó ÔÔÐ ÔÖÓ ÙÖ ØÙ Ò Ø Ð Ó ÑÓ ÙÐ Ö Ø Ò ÕÙ Ó ¹ Ô Ô Ö ÐÐ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò Ö ÑÓÒ Ø ÑÓ Ø ÔÖ ÓÖ ØÝ Ö Ø ÓÒ Ó ÑÓ ÖÒ ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ½ º ¾º ËÓÑ Ø ÓÖ Ø Ð ÓÙÒ Ø ÓÒ Ä Ø Ù ÓÒ Ö Ø Ø Ó ÒØ Ö ÓÑÔÐ Ü ÒÙÑ Ö Á Ƶ Ó Ø Ò Ò Ñ Ð Ó Ù Ò Γ = {X + iy X, Y Z; i 2 = 1}º Ì Ø Γ Ö ÔÖ ¹ ÒØ ÓÑÑÙØ Ø Ú Ö Ò Û Ø ÓÙØ Þ ÖÓ Ú ÓÖ Ò Û Ø ÓÙÖ Ú Ö Ó ÙÒ ØÝ ½ ¹½ i Ò i ½ ¾ º

½ ¾ Å Ð Ë ÐÝ Ò ÒÓÚ Ò Ø ÓÒ ½º Ì ÒÓÖÑ Ó Á Æ ØÙ U = X 2 + Y 2 º U = X + iy Ø ÕÙ Ö Ó Ø Ñ Ò ¹ Ò Ø ÓÒ ¾º Ì Ù Ò Ö Ò Ý ÑÙÐØ ÔÐ Ö Û Ö Ø ÙÒ Ø Ú Ö Ö ØÓ Ó Ø º Ò Ø ÓÒ º Ì ÙÒ Ø Ú Ö Ó Ö Ò Γ Ò ÙÒ Ø Ó Ø Û Ø Á Æ Ö Ò Ñ ØÖ Ú Ð Ú Ö º Ò Ø ÓÒ º Ì Ù Ò Ú Ò ÒÓÒØÖ Ú Ð Þ ÖÓ Ú ÓÖ ÐÐ Óѹ ÔÓ Ø ÓØ ÖÛ Ø Ò Ñ Ù ÔÖ Ñ ÒÙÑ Ö ÈƵº Ì Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÑÔÐ ØÝ Ó Ø Á Æ U = X +iy ÔÖ Ñ Ð ØÝ Ó ÒØ Ö Ö Ð ÒÙÑ Ö ÁÊƵ Uº Ì ÑÔÐ Ø Ø Ø ÒÓÖÑ Ó ÈÆ ÔÖ Ñ ÁÊÆ ÓÖ ÕÙ Ö Ó ÔÖ Ñ ÁÊƺ ÁÒ Ø Ö Ø Ø Ö Ð Ò Ñ Ò ÖÝ Ô ÖØ Ó Ø ÈÆ Ö Ø ÒØ ÖÓÑ Þ ÖÓ Ò Ò Ø ÓÒ Ø ÈÆ Ó Ò Û Ø Ø ÔÖ Ñ ÁÊÆ ÙÖ Ø Û Ø Ò ÙÒ Ø Ú Ö º ÁÒ Ø Ö Ò Γ Ø ÙÐ Ò Ð ÑÑ ÓÖÑÙÐ Ø ÓÐÐÓÛ ½ º Ä ÑÑ º ÓÖ ÒÝ Á Æ A Ò m Ò Γ Ø Ö Ö ÓÑ q Ò r Ù Ø Ø A = qm; r < m. (1) ÁØ ÓÙÐ ÒÓØ Ø Ø ÙÒÐ Ö Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒ r < m Ó ÒÓØ Ò ÙÖ Ø ÙÒ ÕÙ Ò Ó Ò ÒÓÑÔÐ Ø ÕÙÓØ ÒØ q Ò Ö Ù Ð r Ò ÓÖÑÙÐ ½µº Ò Ø ÓÒ º Ì ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ d Ó Ø Á Æ A 1,A 2,...,A k (k>1) Ú Ò Ý ÒÓØ Ö ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ Ò Ñ Ø Ö Ø Ø ÓÑÑÓÒ Ú ÓÖ µ Ò Ò Ø d =(A 1,A 2,...,A k )º ÓÖ ÒÝ ÓÐÐ Ø ÓÒ Ó Ø Á Æ A 1,A 2,...,A k Ü Ø ÙÖ Ø Û Ø Ò ÙÒ Ø Ú Ö º Ò Ø ÓÒ º Á (A 1,A 2,...,A k )=1 Ø Ò Ø Á Æ A 1,A 2,...,A k Ö Ò Ñ ÓÔÖ Ñ º ÁØ Ó Ú ÓÙ Ø Ø A = X + iy Ò (X, Y )=1 Ø Ò Ø ÓÒ Ù Ø Á Æ A Ò Ā = X iy Ö ÓÔÖ Ñ (A, Ā) =1º ÓÖ Ö ØÖ ÖÝ Á Æ A Ò ÈÆ p Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ø Ñ ÒØ Ú Ð (A, p) Ó ÒÓØ Ú Aº Ð Ó Ò Ø Û Ò Á Æ m 1,m 2,...,m k Ö Ô ÖÛ ÔÖ Ñ Ø Ò Ø Ð Ø ÓÑÑÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ [m 1,m 2..., m k ]=M k = k m i º i=1 ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ó Ö Ø Ò ÕÙ Ó ÓÒ ØÖÙØ Ò ÑÓ ÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ ÅÆ˵ Ö Ø Ó ÐÐ Û ØÙ Ý Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ò Ð Ó ¹ ØÓÖ Ö Ò Γ/(m) Û Ö (m) ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ò Ö Ø Ý ÓÑ Ù Ò

ÅÓ ÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò ½ m = m + im (m,m Z)º Ï Ð Ó Û ÐÐ ØÙ Ý Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ó Ó Ø ÓÑÔÐ Ø Ø Ó Ö Ù Ëʵ ÑÓ ÙÐÓ mº Ì Ú Ò ËÊ Ø ÒØ ÖÓÑ ËÊ m Ò Ø Ö Ð µ Û ÐÐ ¹ Ò Ø m Ø Ù ÓÖ Ø Ø Ñ Ñ Ö Ó ËÊ Ò Ö ÙÐØ Ó ÑÓ ÙÐÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÚ Ö Á Æ A Γ ÒÓØ Ø ÓÒ A m Ù º ËÔ ÐÐÝ Ò Ø Û ÒØ A Ú ÖÝ ÓÚ Ö Γ Ø Ó ÐÐ Ú Ö ÓÙ Ö Ù Ð r Ø Ý Ò ½µ Ò Ð Ø Ö Ò m º Ì ÓÖ Ñ ½º Ä Ø m = m +im Ò Ö ØÖ ÖÝ ÑÓ ÙÐ ÖÓÑ Γº ÌÛÓ Á Æ A = A +ia Ò B = B +ib ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ Ö Ù Ð Ó ØÓÖ Ö Ò Γ/(m) Ò ÓÒÐÝ Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ô Ö Á Æ (m A + m A ; m A m A ) Ò (m B + m B ; m B m B ) ÐÓÒ ØÓ Ø Ñ Ð Ó ØÓÖ Ö Ò Γ/( m )º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø Óѹ ÔÐ Ü ÓÒ ÖÙ Ò A B (mod m) (2) ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ö Ð ÓÒ ÖÙ Ò { m A + m A m B + m B, m A m A m B m B. (3) ÈÖÓÓ º Ø Ö Ø Û ÙÑ Ø Ø A, B (m) Γº Ì ÑÔÐ Ú Ð ØÝ Ó ¾µ Ò Ù Ö ÒØ Ü Ø Ò Ó ÓÑ Á Æ q = q + iq Ù Ø Ø ÅÙÐØ ÔÐÝ Ò µ Ý m = m im Û Ó Ø Ò A B = qm. (4) (m (A B )+m (A B ))+ i((m (A B )+m (A B )) = (q + iq ) m. ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø { (m A + m A ) (m B + m B ) ( m ) Z, (m A m A ) (m B m B ) ( m ) Z; Ø Ù Ö ÙÐØ Ò Ò ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÓÒ ÖÙ Ò µº Ì Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ð Þ Ò Ø Ö Ú Ö ÕÙ Ò ÖÓÑ µ Ð ØÓ ¾µº Ì Ø ÓÖ Ñ ÔÖÓÚ º ÓÖ ÒÝ Á ÆA = A + ia Ø ÓÒ ÖÙ Ò A A m (mod m) (5)

½ Å Ð Ë ÐÝ Ò ÒÓÚ Ò Ð Ó Ø ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÓÒ ÖÙ Ò (m A + m A ) (m A + m A ) m, (6) (m A m A ) (m A m A ) m Ö ØÖÙ Ø Ò ÖÓÑ Ø ÔÓ ÒØ Ó Ú Û Ó Ø Ø ÓÖ Ñ ½ Ø Ò ØÙÖ Ð ØÓ ÙÑ Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ü Ö Ù α = A m Ò ÙÒ ÕÙ ÐÝ Ò Ý Ñ Ò Ó Ô Ö Ó Ø Ö Ð Ö Ù (a ; a )=( (m A + m A ) m ; (m A m A ) m ). Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø ÝÔÓØ Ú Ð Øݺ Ä Ø α = α + iα (α, α ØØ Ò B = α Ò Ø Ø ÓÖ Ñ ½ ÓÖ Ò ØÓ µ Û Ú (m A + m A ) (m α + m α ) m, (m A m A ) (m α m α ) m. Z)º Ý (7) Ä Ø Ù Ñ Ò Ø Ø Ø Ö Ø¹ Ò Ñ Ñ Ö Ó Ø Ñ ÓÒ ÖÙ Ò Ó ¹ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÓÒ ÖÙ Ò µ Ò µ Ó Ò º Ì Ò ÓÖ Ø Ö Ð Ò Ñ Ò ÖÝ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ö Ù A m Û Ó Ø Ò Ø ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÕÙ Ø ÓÒ m α + m α = a, (8) m α m α = a, Û ÓÐÙØ ÓÒ ( m (α,α a + m a )= ; m m a m a m ). (9) Ì Ù ÓÖ α = m a + m a m A m = α = m m + i m a m a m = (m + im )(a + ia ) m ( (m A + m A ) m + i (m A m A ) m ). (10) Ì ÖÙÐ ½¼µ ÓÖ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø ËÊ A m Ò Ö Ø Ý ÓÒ ¹ØÓ¹ÓÒ ÓÖ¹ Ö ÔÓÒ Ò ØÛ Ò Ø Á Æ (α ; α ) Ò (a ; a ) µ µµ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ò Ô Ò ÑÓÖ ÓÒ ØÖÙØ Ú ÓÖѺ

ÅÓ ÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò ½ Ì ÓÖ Ñ ¾º ÁÒ Ø Û Ò µ ÑÓ ÙÐ m ÒÓÒÒ Ø Ú ÁÊÆ (m > 1, m =0) µ ÑÓ ÙÐ m = m + im ÓÑÔÐ Ü ÑÓ ÙÐ Ø Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ (m, m )=1 ÓÖ Ø Ö Ù A m ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Ö ØÖ ÖÝ Á Æ A = A + ia Ø ÓÐÐÓÛ ÓÖÑÙÐ Ö ØÖÙ ÓÖ Ò ÐÝ Û Ö A + ia m = 1 m A + ia m = A m + i A m, (11) ( (m m R m (A) m m m R m (A) m ) + i(m m R m (A) m + m m R m (A) m )), (12) ( ) R m (A) =R m (A,A )= A + JA m J = m m m. (13) ÈÖÓÓ º Ä Ø m = m º Ì Ò ÓÖ Ò ØÓ µ α = m a m = 1 m ma m 2 = 1 m (ma ma m 2 m2 ) = A A m m = A m, Û Ö Ø ÒØ Ö Ô ÖØ Ó Ö Ð ÒÙÑ Ö x Ò Ø x º Ë Ñ Ð Ö ÐÙ¹ Ð Ø ÓÒ ÓÖ a Ú Ø ÕÙ Ð ØÝ α = A m º Ì Ù Ò Ø µ Ø ÕÙ Ð ØÝ ½½µ ØÖÙ º ÓÒ Ö ÒÓÛ Ø µº (m ) 2 +(m ) 2 m =0 Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ ½ µ Û Ú ( ) a = m A + m A m = m A m + A m = m R m (A) m, (14) m a = m A m A m = (m ) 2 m A m A m = (m ) 2 m A m A m = m R m (A) m. (15) ÓÖÖ ØÒ Ó ÜÔÖ ÓÒ ½ µ Ò ½ µ Ò ÙÖ Ý Ø ÓÒ Ø ÓÒ (m, m ) =1 ÓÐÐÓÛ Ò ÖÓÑ Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÒ Ø ÓÒ (m, m )=1º ËÙ ¹ Ø ØÙØ ÓÒ ½ µ Ò ½ µ ÒØÓ µ Ð ØÓ Ø Ö ÕÙ Ö ÓÙØÓÑ ½¾µº Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò Ð Ó Ò Ö Ð Þ ØÓ Ó Ö ØÖ ÖÝ ÓÑÔÐ Ü ÑÓ ÙÐ mº ÀÓÛ Ú Ö ÓÖ ÓÑÔÙØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ð Ó Ø ÑÓ ÙÐ ÓÒ Ö Ò Ø Ø ÓÖ Ñ ¾ Ö Ø ÑÓ Ø ÔØ Ð º

½ Å Ð Ë ÐÝ Ò ÒÓÚ Ì ÓÖ Ñ º Ì ÓÑÔÐ Ø Ø Ó Ö Ù m ÓÑÓÖÔ ÓÖÖ ÔÓÒ ¹ Ò ÐÝ µ ØÓ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÕÙ Ö ( m ) 2 Ó Ø Ö Ò m Ò Ø Û Ò Ò ØÙÖ Ð ÑÓ ÙÐ m>1 µ ØÓ Ø Ö Ò m Ò Ø Û Ò m = m + im ÓÑÔÐ Ü ÑÓ ÙÐ Ø Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ (m,m )=1Û Ø = m º ÈÖÓÓ º ÓÖ Ò ØÓ Ø Ñ Ò Ø ÓÖ Ñ Ó ÑÓ ÙÐ Ö Ö Ø Ñ Ø Ò Ø Ó Ò ØÙÖ Ð ÑÓ ÙÐ m Ø Ñ ÔÔ Ò f : m m m Û ÓÖ Ú ÖÝ A = A + ia Γ Ó Ø ØÓ Ô Ö Ó ÁÊÆ ( A m ; A m ) ( m ) 2 ÓÑÔÐ Ü Ö Ù A m m Ò Ý ÓÖÑÙÐ ½½µ Ø Ú º Ì Ò ÓÒ ÓÙÒØ Ó ÙÖ Ø Ú ØÝ Ó Ñ ÔÔ Ò A ( A m ; A m ) Ø Ö Ò Ð ØÝ Ó Ö Ò m Ó Ò Û Ø Ø Ö Ò Ð ØÝ Ó Ø m m º º m = m 2 = m º Ì ÓÖÑÙÐ Ð Ó Ø ÔÐ Ò Ø Û Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ÑÓ ÙÐ m Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ (m, m ) = 1 Ù Ó ÙÖ Ø Ú ØÝ Ó Ñ ÔÔ Ò A R m (A, A ) ½ µµ Ò Ø Ú ØÝ Ó Ñ ÔÔ Ò f : m m Û ÓÖ Ú ÖÝ A Γ Ó Ø Ø ÓÑÔÐ Ü Ö Ù A m ÓÖÑ Ý ÖÙÐ ½¾µ Û Ø Ò ÁÊÆ R(A, A ) m º Ì Ø Ø Ø Ø Ô ¹ ÓÚ Ñ ÔÔ Ò f Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ Ò Ö Ò Ò Ø Ó Ø Ö Ð ÑÓ ÙÐ m ÔÖÓÚ Ý ÕÙ Ø ÓÒ A + ia m + B + ib m m = A m + B m m + i A m + B m m, A + ia m B + ib m m = A m B m A m B m m + i A m B m + A m B m m, Ò Ò Ø Ó ÓÑÔÐ Ü ÑÓ ÙÐ m = m + im Ù Ø Ø (m,m )=1 ÔÖÓÚ Ý ÕÙ Ø ÓÒ R m (A + B) =R m (Re(A + B), Im(A + B)) = A + B + J(A + B ) m = R m (A)+R m (B) m, (16) R m (A B) =R m (Re(A B), Im(A B)) = R m (A B A B, A B + A B )= A B A B + J(A B + A B ) m = A (B + JB )+A ( B + JB ) m = A R m (B)+A (J 2 B + JB ) m = A R m (B)+JA R m (B) m = (A + JA )R m (B) m = R m (A)R m (B) m. (17)

ÅÓ ÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò ½ ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ µ Ø Ø Ø ÓÒ Ö ËÊ ÓÖÑ Ý ÐÐ Ø Á Æ α = α + iα Ø Ý Ò ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ò ÕÙ Ð Ø { 0 m α + m α < m, 0 m α m α < m. Ì Ù Ø Ö Ò m ÒÐÙ ÐÐ Ø Á Æ ÖÖ Ò Ò ÕÙ Ö Û Ø Ú ÖØ Ü A 1 = (0; 0), A 2 =(m ; m ), A 3 =(m m ; m + m ), A 4 =( m ; m )º ÓÖ Ø ÓÑÔÙØ Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ö Ø Ö Ø Ó ÓÑÔÐ Ü ÑÓ ÙÐ Ö ÒÙѹ Ö Ý Ø Ñ ÅÆ˵ ÓÖ Û Ø Ö Ò Mk Û Ö M k = k i=1 m i Û Ø m 1,m 2..., m k Ò Ô ÖÛ ÓÔÖ Ñ ÑÓ ÙÐ Ö ÐÓ Ø Ò Ø Ô ¹ ÓÚ ÕÙ Ö Û Ø Ø Ô Ö ÐÐ Ð ØÓ Ø Ü º Ì Ñ Ò Ø Ø M k Ò ÁÊƺ ÀÓÛ Ú Ö Ø ÔÖ ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ð Ñ Ò Ø ÔÓ Ð ØÝ Ó Ù Ò Ø Á Æ ÑÓ ÙÐ m i,i=1, 2,...,kº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ø ÓÒÚ Ò ÒØ ØÓ Ù Ø ÅÆË Û Ø ÑÓ ÙÐ m 1,m 2,...,m k Ù Ø Ø ÐÐ ÓÖ Ô ÖØ Ó Ø Ñ Ö ÓÒ Ö Ñ ÖÓÑÓ ÙÐ Û Ö ÔÖ ÒØ ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÒ Ù Ø Á Æ º º m = p p Û Ö p = p + ip, p = p ip ; p,p Zº ÁÒ ÓÖ Ò Û Ø Ø ÓÖ Ñ ¾ Ò Ø ÜÔ ÒØ ØÓ Ð Ø Ø ÒÙÑ Ö p Ò p ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ p > 0, p > 0 Ò (p, p ) = 1º Ì Ð Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ù Ö ÒØ Ö Ð Ø Ú ÔÖ Ñ Ð ØÝ Ó Ø Á Æ p Ò pº ËÙ Ý Ø Ñ Ö ÐÐ ÕÙ Ö Ø ÅÆ˺ Ê Ö Ò ½ ÁºÂº Ù Ý ÎºÅº Ñ Ö Ú ÁºÌº È º Ó Å Ò Ö Ø Ñ Ø Ó ÓÑÔÐ Ü ÆÙÑ Ö º Æ Ù ÐÑ ¹ Ø ½ ¼º ÁÒ ÊÙ Òµº ¾ κź Ñ Ö Ú ÁºÌº È º È Ö ÐÐ Ð ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ü ÈÐ Ò º Æ Ù ÐÑ ¹ Ø ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº º º ÖÒÝ Ú Ý ÎºÎº Ò Ð Ú º º ÃÓÐÝ Åº º Ë ÐÝ Ò ÒÓÚº À ¹ Ô Å Ø Ó Ò ËÝ Ø Ñ Ó Ø Ð ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ ÈÖÓ Ò º й Ó ÙÒ Ú Ö Ø Ø Å Ò ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ź Ë ÐÝ Ò ÒÓÚº ÅÓ ÙÐ Ö Ø Ò ÕÙ Ó Ô Ö ÐÐ Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ò º Ë ÒØ Á Ù Ó Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Þ ØÓ ÓÛ Ë Öº Å Ø ¹ Ñ Ø ÁÁÁ ¾ ¾¼¼ º

½ Å Ð Ë ÐÝ Ò ÒÓÚ º º ÃÓÐÝ ÎºÎº Ê Ú Ò Ý Åº º Ë ÐÝ Ò ÒÓÚ Ø Ðº Ì ÓÖ Ø Ð Ó ÑÓ ÙÐ Ö ÓÑÔÙØ Ò ØÖÙØÙÖ ÓÒ Ø Ò Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð ÑÓ Ð º ÅÓ ÖÒ ÈÖÓ Ð Ñ Ó ÇÔØ Ê Ø ÓÒ Å Ø Ö Ð Ë Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø Ê ÓÔ Ý Ò Ð ØÖÓÒ º ÈÖÓº Ë º Ê Ö ÁÒ Øº ÔÔк È Ý º ÈÖÓ Ðº Ð Ó ÙÒ Ú Ö Ø Ø Å Ò ÚÓк ¾ ÔÔº ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ź º Ë ÐÝ Ò ÒÓÚº Ì ÓÖ Ø Ð Ó ÑÓ ÙÐ Ö Ó Ø ÓÒ Ó Ð Ö Ý Ø Ñ º ÈÖÓº Æ Øº º Ë º Ð ÖÙ ÆÓº ½ ½½ ½½ ¾¼¼¾º ÁÒ ÊÙ Òµº ź Ë ÐÝ Ò ÒÓÚº ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó ÑÓ ÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ Û Ø Ö ØÖ ÖÝ Ò Ø Ö Ò º Ë ÒØ Á Ù Ó Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë Öº Å Ø Ñ Ø ÁÎ ½¼ ½½ ¾¼¼ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ Î ÄÍ ÌÁÇÆ Ê ÈÀË ÇÊ ÈÊÇÈÇËÁÌÁÇÆ Ä ÄÇ Á Ä ËØÔ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Рк Ø Ô Ò ºÞ غÔÐ ØÖ Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÔÖ ÒØ Ø ÔÖÓÓ Ý Ø Ñ ÐÐ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý ¹ Ø Ñ Û Ò Û Ú Ö ÓÒ Ó ØÛÓ ÔÖÓÓ ÔÖÓ ÙÖ Ú ¹ÈÙØÒ Ñ Ò ËØÐÑ Ö º Ì ÒÓÚ ÐØÝ Ø Ø Ò Ø ÖÙÐ Û ÒÓØ Û ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ò ÓÑ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ó ÒÓØ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÓ Ð Ú ÐÙ Ó Ø Ø ÓÖÑÙÐ º Ù ØÓ ËØÐÑ Ö Û Ò ÒÓØ ÓÒ Ó ÔÖÓÓ Û Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ Ø Û Ø Ó ØÖÙØÙÖ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Û ÒÙÑ Ö Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ð ÑÑ ÖÙÐ º Ì Ð ÑÑ ÖÙÐ ÓÒ Ö ØÛÓ Ó Ø Ø Ñ Ó ÔÖÓÓ ÖÓÛ ÙÔ ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐݺ ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ö ÒØ Ý Ö Ø Ö Ò ÓÒ Ö Ð Ö Ò Û ÒØ Ö Ø Ò Ø Ë Ì ¹ Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ º Ì Ë Ì Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ø Ö ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ø Ý Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒº Ì Ë Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÛÒ ØÓ ÙÐØ ØÓ ÓÐÚ Ø Ø Ö Ø ÒÓÛÒ ÆȹÓÑÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Û ÔÖÓÚ Ý ËØ Ô Ò ÓÓ Ò ½ ½º Ù Ø Ë Ì ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ Ð ØÓ Ñ ÒÝ ÔÖ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ð ØÖ Ð Ò Ò Ö Ò ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ø Ò ÓÐÚ Ð Ö Ù Ø Ó Ë Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ö ÖÐÝ Ó٠غ Ì Ö Ö Ñ ÒÝ ÓÑÔ Ø Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ø Ò Ñ ÒÝ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ ÑÓ Ø Ó Ø Ñ Ú Ò Ú ÐÓÔ ÓÚ Ö Ø Ð Ø ØÛÓ ÐÝ ÓÔØ Ñ Þ Ú Ö ÓÒ Ó Ø ÈÄÄ ÔÖÓ ÙÖ Ó Ò º ÑÓØ ¹ Ú Ø ÓÒ Û Ö Ö ØÓ Ø ËØÐÑ Ö Ô Ø ÒØ Ñ Ø Ó ÓÖ ÓÐÚ Ò Ø ÔÖÓÔÓ ¹ Ø ÓÒ Ð Ø Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÔÖ Ø Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ º ÓÖ Ò Ø Ò Ø Ò Ù Ù ÙÐÐÝ ÓÖ Ò Ù ØÖ Ð¹ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ¾ º Ì Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Û ÔØ ÐÝ ÒØ Ò Ð Ö ÒÙÑ Ö Ó ÑÔÓÖØ ÒØ ÔÖÓÓ Û Ø µº

½ ¼ Ä ËØÔ ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ð ÒÓØ Ý Ø Û ÐÝ ÒÓÛÒ Ò Ø ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÒÚ Ø Ø ÓÛ Ø Ô Ö ÓÖÑ º Ï Ú ØÖ ØÓ Ó Ø Ò Ø Ú ÐÙ ¹ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ò Û Ú Ö ÓÒ Ó ËØÐÑ Ö ÔÖÓ ÙÖ ½ º Ì Ô Ô Ö ÓÖ Ò ÓÐÐÓÛ º Æ ÜØ Ø ÓÒ ÔÖÓÚ Ø ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ ÒÓØ ÓÒ º Ì Ò Ø ÓÒ Ò ÖÙÐ Ó Ù Ð Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ö ÓÛÒ Ò Ø ÓÒ º ÁÒ Ø ÓÒ Û Ú ÔÖÓÓ Ó ÓÙÒ Ò Ò ÓÑÔÐ ØÒ Ó ÓÙÖ Ý Ø Ñº Ë Ø ÓÒ ÔÖ ÒØ Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÔÖÓ ÙÖ º Ë Ø ÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ø Ô Ô Ö Û Ø ÓÑ ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÛÓÖ º ¾º ÈÖ Ð Ñ Ò ÖÝ ÒÓØ ÓÒ Ï Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Û Ö Ù ÐØ Û Ø ÐÓ Ð ÓÒÒ Ø Ú ÐÐ ÑÔÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ð ÝÑ ÓÐ º Ì ØÖÙ ÝÑ ÓÐ Ì Ò Ò ÓÖÑÙÐ F Fº Ú ÖÝ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØÐÝ ØÖ Ò Ð Ø Ò Ð Ò Ö Ø Ñ ØÓ ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÖÑ ÔÔÐÝ Ò Ø ËØÐÑ Ö ÔÖÓ ÙÖ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ú Ð Ò p q p q p q (p q) p p p p F Ù ØÓ ËØÐÑ Ö Ú ÖÝ ÑÔÐ Ø ÓÒ Û ÐÐ ØÖ ÔÐ Ø c, β, γµ Ú ÒØÙ ÐÐÝ Û Ø Ò Û Ö β Ò γ Ö Ù ÓÖÑÙÐ Ò c Ò Û ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð Û Ú ÐÙ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø Ú ÐÙ Ó ÑÔÐ Ø ÓÒ β γ Ó c (β γ)º ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ α Ò ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÖÑ Û ÐÐ Ö ÔÖ ÒØ Ý ÕÙ Ò d =(d 1,...,d n ) Û Ö d i ØÖ ÔÐ Ø c i,β i,γ i µ ÓÖ 1 i n d n Ñ Ò ÑÔÐ Ø ÓÒ n Ø ÒÙÑ Ö Ó ÓÙÖÖ Ò Ò αº Ì Ò β i Ò γ i Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð p,q,r,... ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÒØ F ÓÖ T ÓÖ Ò Û ØÖ ÔÐ Ø Ú Ö Ð c j º Ý d Û ÒÓØ Ø ÒÙÑ Ö Ó ØÖ ÔÐ Ø Ò Ø ÕÙ Ò d d = nµº ÇÙÖ ÔÖÓ ÙÖ ÒÔÙØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ α Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ d : c 1 (β 1 γ 1 ),c } {{ } 2 (β 2 γ 2 ),...,c } {{ } n (β n γ 1 ) } {{ } d 1 d 2 d n. ÌÓ Ø Ú Ò ÓÖÑÙÐ Ø Ð Û ÓÒ ØÖÙØ Ø Ø Ý Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒº Á ÓÒ ØÖÙØ Ò ÐÙÖ Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ ÙÒ Ø Ð º ÁÒ Ø Ó Ø Ú ÐÙ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð p Û Û ÐÐ Ý ÓÙØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÒ Ø ÒØ p F ÓÖ p Tº Ë Ñ Ð ÖÐÝ Ý p q ÓÖ p q Û ÒÓØ

Î ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ½ ½ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó pº Ý p Û ÒÓØ Ú ÐÙ Ó p ÓÒØÖ ÖÝ ØÓ Ø ÔÖ ÒØ Ú ÐÙ º ÓÖ ÑÔÐ ØÝ Û Û ÐÐ ÛÖ Ø Ò Ø º Ì Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ý Σ,,... Ú ÒØÙ ÐÐÝ Û Ø Ò º Ý β Û ÒÓØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó ÓÒ Ó Ø ÓÒ Ø ÒØ ßÌ Ð Ò ÔÐ Ó βº Ì Ñ Ò Ø Ø Û Ó ÒÓØ Ò Ú ÐÙ Ó β ØÓ Ø ÖÑ Ò Ú ÐÙ Ó Û ÓÐ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ º Á Ò Σ Û Ú ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ó ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ x x ÓÖ x T Ò x F ÓÖ x y Ò x y ÓÖ ÓÑ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð x Ò y Ø Ò Û ÒÓØ Ø ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ý x Ò Û Ý Ø Ø Σ ÓÒØÖ ØÓÖÝ Û Ö ÔÐ Σ Ý µº º ÊÙÐ Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ø Ò Ø Ø ÓÒ Û ÔÖ ÒØ Ø ÖÙÐ Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ð¹ Ù ÓÒ Ø Òص ÓÖ Ò ØÓ Ø ØÖÙØ Ø Ð Ó Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ Êʵ Ò Ø Ð ÑÑ ÖÙÐ Ê µº Æ ÜØ Û Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô º ÁÒ Ò Ö Ð Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ d [Σ] [Σ ], Û Ö ÓÑ ØÖ ÔÐ Ø Ò ÕÙ Ò Ó ØÖ ÔÐ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ α Û Ø ÙØÓÐÓ Ý» Ø Ð ØÝ Û Ò Σ ÓÑ ÖÓÑ Σ Ý Ò Ø ÓÒÐÙ ÓÒ Ó Ø Ø ÖÙÐ º Ì Ô Ð Ó ÌÀ Ê Í ÌÁÇÆ ÊÍÄ Ë F (β γ) β = T,γ = F (RR1) c (β T) c = T,β (RR2) c (F γ) c = T,γ (RR3) c (T γ) c = γ (RR4) c (β F) c = β (RR5) c (c γ) c = T,γ = T (RR6) c (β β) c = T,β (RR7) ÁÒ Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ Û Ú Ú Ò ÓÑ ØÖ ÔÐ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ò Ù ÓÖÑÙÐ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ α Ò Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Σº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù ÓÖ¹ ÑÙÐ β Ò γ Ò ÐÓ Ð ÓÒ Ø ÒØ º ÓÒÐÙ ÓÒ Ù Ø ØÙØ ÓÒ µ Ó

½ ¾ Ä ËØÔ Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ Ö ØÓ Ø Ø Σ Ò Ø ÕÙ Ò Ó ØÖ ÔÐ Ø Ö ÔÖ ÒØ Ò α Ö Ù Ý Ö ÑÓÚ Ò Ø Ú Ò ØÖ ÔРغ ÅÓÖ ÓÚ Ö Ø Êʾ ÊÊ Ò ÊÊ ÖÙÐ Ý Ø Ø Ø Ú ÐÙ Ó ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ù ÓÖÑÙÐ º Ì ÐÓ Ð Ú ÐÙ Ó ÑÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø Ú ÐÙ Ó ØÖ ÔÐ Ø Ú Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø ÑÔÐ Ø ÓÒ ØÓÓ Ò ÓÑ Ø Ñ Ù ÖÓÑ Ø Ô ÖØ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ Û Ø ÐÓ Ð ÓÒ Ø ÒØ ÓÙÖÖ Ò Ò ÑÔÐ Ø ÓÒº Ì Ù Ò ÐÐ Ó Ø Ó ÖÙÐ Ø ÐÓ Ð ÓÒ Ø ÒØ Ì Ù Ø ØÙØ ØÖ ÔÐ Ø Ú Ö Ð º Ò Ò ÓÚ Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ Ö ÒÓØ Ð Ñ Ø ØÓ Ù ÓÒÐÙ¹ ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ β Ì Ò γ Êʽµ ÙØ ÒÐÙ Ð Ó ÓÒÐÙ ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ c Ø Ñ Ú ÐÙ γ ÊÊ µ ÓÖ c Ò β Ú Ö ÒØ Ú ÐÙ ÊÊ µº ÌÀ ÁÄ ÅÅ ÊÍÄ d[σ {x = T}] d[σ] d[σ {x = F}] (RD) Û Ö x ÓÙÖ Ò ÕÙ Ò d Ò ÓÖ x Ø Ö Ó ÒÓØ Ü Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Σ. Ï Ò Û ÒÒÓØ ÔÔÐÝ ÒÝ Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ Ò ÕÙ Ò Û Ú ØÓ Ù Ø Ð ÑÑ ÖÙÐ º Ì Ò Û Ó Ø Ò ØÛÓ Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Û Ö ÖÓÑ Ø Ø Σ Ø Ö Ø ÓÒ Ý Ò x T Ò Ø ÓÒ Ý Ò x Fº Ì Ð ÑÑ ÖÙÐ Ù ØÓ Ø Ú Ö Ð ÖÓÑ ÕÙ Ò Ó ØÖ ÔÐ Ø Ø Ö Ó ÒÓØ Ü Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Σ ÓÖ Ø Ú Ö Ð º ËÓ Ø ÕÙ Ò Û ÐÐ ÒÓØ Ö ¹ Ù º ÇÒÐÝ ÓÒ Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ú Ö Ð x ØÖÙ Ó Û Ú Ø Ð ÑÑ Û Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ö Ý Ù º ÆÓÛ Ñ Ö Ö Ó ÓØ Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò ÖÝ Ò Ø ÓÒ ½µº Ý d[σ] Û ÒÓØ Ø Ð Ð Ó Ú ÖØ Ü Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Û Ò Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ º Ò Ø ÓÒ ½º Ä Ø d Ò Ø ÕÙ Ò Ó ØÖ ÔÐ Ø (d 1,d 2,...,d n ) Ö ÔÖ Òع Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ α Ò Σ= º ½º Ì Ò Ð Ú ÖØ Ü Ð Ð Ý d[σ {c n =F}] Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ αº ¾º Á G Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ α d[σ] Ð Ð Ó Ð Ò G Ö ÖÓÑ G Ý Ò Ò Û Ú ÖØ Ü Ò Ò ÖÓÑ Ø ØÓ Ø Ð d[σ]µ Ð Ð Ý d [Σ ] Û Ù Ý ÔÔÐÝ Ò ÓÒ Ó Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ Ø Ò G Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ αº

Î ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ½ º Á G Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ α d[σ] Ð Ð Ó Ð Ò G Ö ÖÓÑ G Ý Ò ØÛÓ Ò Û Ú ÖØ Ò ØÛÓ ÖÓÑ Ø Ñ ØÓ Ø Ð d[σ] Ö Ô Ø Ú Ðݵ Ð Ð Ý d[σ {β = T}] Ò d[σ {β = F}] Û Ö Ù Ý ÔÔÐÝ Ò Ð ÑÑ ÖÙÐ Ø Ò G Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ αº º Á G Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ α Ò d 1 [ 1 ] Ò d 2 [ 2 ] Ö Ð Ð Ó Ð Ú Ò G Ó Ø Ò ÖÓÑ Ú ÖØ Ð Ð Ý d[σ {β = T}] Ò d[σ {β = F}] Ö Ô Ø Ú ÐÝ d 1 Ò d 2 Ö ÑÔØÝ ÕÙ Ò ÓÖ Ò Ø Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ø Ö Ü Ø ÓÒØÖ ØÓÖÝ Ø Ò G Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ α Ó Ø Ò ÖÓÑ G Ý Ò Ò Û Ú ÖØ Ü Ò ÖÓÑ Ø ØÓ Ø Ó Ð Ú µ Ð Ð Ý d[ ] Û Ö Û Ò 1 Ò 2 Ö ÓÒØÖ ØÓÖÝ = 1 2 Û Ò 2 ÓÒØÖ ØÓÖÝ Ò 1 ÒÓØ ÓÒØÖ ØÓÖÝ Û Ò 1 ÓÒØÖ ØÓÖÝ Ò 2 ÒÓØ ÓÒØÖ ØÓÖÝ ( 1 2 ) {α = γ} 1 Ò 2 Ö ÒÓØ ÓÒØÖ ØÓÖÝ Ò {α = γ} ÓÙÖ ÓÒ ÓÒ Ó Ø Ô Ø Ò α ÓÙÖ ÓÒ Ø ÓÒ ÑÙÐØ Ò ÓÙ ÐÝ ( 1 2 ) {β } Û Ò 1 Ò 2 Ö ÒÓØ ÓÒØÖ ØÓÖÝ Ò 1 2 =Σ 1 2 ÓØ ÖÛ Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ò 1 Ò 2 Ö ÒÓØ ÓÒØÖ ØÓÖÝ Ì Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ô Ø Θ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô G ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ø Ø Ó ØÖ ÔÐ Ø d ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ØÖ ÔÐ Ø º Ò Ø ÓÒ ¾º Ì Ô Ø Θ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô G ÐÓ Û Ò Ø Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ó Ø Ô Ø ÓÒØÖ ØÓÖݺ Ò Ø ÓÒ º Ì Ô Ø Θ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô G Ñ Ü Ñ Ð Û Ò Ø Ø Ó ØÖ ÔÐ Ø Ó Ø Ô Ø ÑÔØÝ Ò Ø Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÒÐÙ Ù Ø ØÙ¹ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð º Ò Ø ÓÒ º Ì Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô G ÐÓ Û Ò ÐÐ Ø Ô Ø Ö ÐÓ º Ò Ø ÓÒ º Ì Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô G Ñ Ü Ñ Ð Û Ò Ø ÒÓØ ÐÓ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Ø Ñ Ü Ñ Ð Ô Ø Ü Ø Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ò Ø Ú Ð¹ Ù Ø ÓÒ Ö Ô Ñ Ü Ñ Ðº

½ Ä ËØÔ Ò Ø ÓÒ º ÈÖÓÓ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ α Ø ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ αº ÌÓ α Ø ÙØÓÐÓ Ý Û ØÖÝ ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÑÓ Ð ÓÖ α º º Û Ù Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ v Ù Ø Ø v( α) =1º Ì Ú ÐÙ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ñ ÒØ Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Û Ú ÖÝ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð ÓÙÖÖ Ò Ò ÓÖÑÙÐ α Ù Ø ØÙØ ÓÒº Ù Ð Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Û Ø ÖØ ÖÓÑ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÒØÓ ØÖ ÔÐ Ø Ú Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Û ÓÐ ÓÖÑÙÐ º Ú ÖÝ Ò ÜØ Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÒÐÙ ÓÒ Ó Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ ÓÖ Ø Ð ÑÑ ÖÙÐ º Á Ø Ø Ó Ù Ø ØÙ¹ Ø ÓÒ ÒÐÙ ÓÒØÖ ØÓÖÝ Ø Ò α Ø ÙØÓÐÓ Ý ÓØ ÖÛ v ÑÓ Ð ÓÖ αº Ü ÑÔÐ ½º Ì ÓÖÑÙÐ (p b 1 p) Ò ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÖÑ Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø ØÖ ÔÐ Ø (b 1,p,p)º Ù Ð Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÙÖ ½µ Û Ø ÖØ ÖÓÑ Ò Ð Ú ÖØ Ü Áµ Ð Ð Ý ÕÙ Ò Ó ØÖ ÔÐ Ø Ò Ø Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÒØ Ò ÓÒÐÝ Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÒØÓ b 1 º Ì ØÖ ÔÐ Ø Ò Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ b 1 = F Ö ÔÖ Ñ Ó Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ Êʽº Ì Ù Ø ÓÒÐÙ ÓÒ Ó Ø Ó ÖÙÐ Ö ØÓ Ø Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ø ØÖ ÔÐ Ø (b 1,p,p) Ö ÑÓÚ ÖÓÑ ÕÙ Ò Ó ØÖ ÔÐ Ø ÁÁµº ÆÓÛ Û Ú ÑÔØÝ ÕÙ Ò Ó ØÖ ÔÐ Ø Ò ÓÒØÖ ØÓÖÝ p Ò Ø Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ p = F Ò p = Tµº ËÓ Ø Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÒØÖ ØÓÖݺ Ì Ö ÓÖ Û Ú Ù ÐØ Ø ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ p p Ó Ø ÓÖÑÙÐ p p Ø ÔÖÓÓ Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñº Á ((b 1,p,p))[b 1 = F] (RR1 b1 ) ÁÁ ( )[b 1 = F,p= T,p= F] ÁÁÁ ( )[b 1 = F, p ] ÁÎ ( )[ ] ÙÖ ½º Ì ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô º Ü ÑÔÐ ¾º ÓÖ Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ (p b4 p) b5 (((p b1 q) b2 p) b3 q) Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÕÙ Ò Ó ØÖ ÔÐ Ø ( (b1,p,q), (b 2,b 1,p), (b 3,b 2,q), (b 4,p,p), (b 5,b 4,b 3 ) ) º

Î ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ½ ÆÓÛ Û Ö ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ä Ø Σ=, 1 =, 2 = ((b 1,p,q), (b 2,b 1,p), (b 3,b 2,q), (b 4,p,p), (b 5,b 4,b 3 )) [ Σ {b 5 = F}] (RR1 b5 ) ((b 1,p,q), (b 2,b 1,p), (b 3,b 2,q), (b 4,p,p)) [ Σ {b 4 = T,b 3 = F}] (RR1 b3 ) (b 1,p,q), (b 2,b 1,p), (b 4,p,p)) [ Σ {b 2 = T,q = F}] (RR7 b4 ) ((b 1,p,q), (b 2,b 1,p)) [ Σ {b 4 = T,p }] (RR5 b1 ) ((b 2,b 1,p))[ Σ {b 1 = p}] (RD p ) ((b 2,b 1,p)) [ 1 Σ {p = T}] ((b 2,b 1,p)) [ 2 Σ {p = F}] (RR2 b2 ) (RR5 b2 ) ( )[ 1 {b 2 = T,b 1 }] ( )[ 2 {b 2 = b 1 }] ( )[ 2 b2 ] ( )[ ] ((b 2,b 1,p))[ Σ 1 ] (RR5 b2 ) ( ) [Σ {b 2 = T,b 1 ] ÙÖ ¾º Ì Ñ Ü Ñ Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô º º ËÓÙÒ Ò Ò ÓÑÔÐ ØÒ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ Ì ÓÖ Ñ ½ ËÓÙÒ Ò µº Á Ø Ö Ü Ø ÔÖÓÓ ÓÖ α Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ Ø Ò α Ø ÙØÓÐÓ Ýº ÈÖÓÓ ÖÓÑ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø ÔÖÓÓ ÓÖ α Ü Ø Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø α ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô º Ù Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ö ÔÖ ÒØ Ò ÐÐ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÐÓ Ú ÖÝ Ô Ø Ò Ø Ö Ô ÐÓ º Ì Ù ÓÒØÖ ØÓÖÝ ÓÙÖ Ò Ø Ú ÖÝ Ô Ø º ËÓ α Ø ÙØÓÐÓ Ýº

½ Ä ËØÔ Ì ÓÖ Ñ ¾ ÓÑÔÐ ØÒ µº Ö Ô Ý Ø Ñ Ü Ø ÓÖ αº Á α Ø ÙØÓÐÓ Ý Ø Ò ÔÖÓÓ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÈÖÓÓ Ï ÙÑ Ø Ø α Ø ÙØÓÐÓ Ý Ò Ø Ö Ó ÒÓØ Ü Ø Ø ÔÖÓÓ ÓÖ α Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñº Ì Ñ Ò Ø Ø ÒÝ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÒÓØ ÐÓ º Ì Ù Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ α Ø ÓÒØÖ ØÓÖÝ Ó ÒÓØ ÓÙÖ Ø Ð Ø Ò ÓÒ Ô Ø º Ä Ø G ÓÒ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ αº Ù G Ô Ø Û Ó ÒÓØ ÒÐÙ ÓÒØÖ ØÓÖÝ Ò Ø Ø Ó Ù Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ð Ð Ó Ð Ó Ø Ô Ø ÓÒØ Ò Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÖ ÐÐ Ú Ö Ð ÓÙÖ¹ Ö Ò Ò Ø ØÖ ÔÐ Ø ÓÖÑ Ó Ø ÓÖÑÙÐ º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Ö Ö Ù Ø ØÙØ ÓÒ ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ù ÓÖÑÙÐ Ò Ø Û ÓÐ ÓÖÑÙÐ α Ù Û Ú Ø ÖØ Ù Ð Ò Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÖÓÑ b n = F ØÓ Gµº Ì Ù Ú ÐÙ Ø ÓÒ υ ÓÒ ØÖÙØ ÓÚ ÑÓ Ð ÓÖ αº ÁØ ÓÒØÖ ØÓÖÝ ØÓ Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø α Ø ÙØÓÐÓ Ýº Ì Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ Û Ø Ø Ö ÙØ ÓÒ ÖÙÐ Ò Ø Ð ÑÑ ÖÙÐ ÓÙÒ Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ù ÐØ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð ÑÔÐ Ø ÓÒ Ò ÐÓ Ð ÓÒ Ø Òغ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ò ØÖ Ò ¹ Ð Ø ØÓ ÑÔÐ Ø ÓÒ ÓÖÑ Ý ÔÔÐÝ Ò Ø ËØÐÑ Ö ÔÖÓ ÙÖ µ Ò Ð Ò Ö Ø Ñ º ËÓ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ ÓÙÒ Ò ÓÑÔÐ Ø ÓÖ Ð ¹ Ð ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ α Ø Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ G ÓÖ α Ñ Ü Ñ Ðº ÈÖÓÓ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ α Ø Ð Ý Ò Ø ÓÒµ Ø Ö Ü Ø ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ v Ù Ø Ø α ØÖÙ Ý Ò Ø ÓÒµ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ α Ñ Ü Ñ Ðº º ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÔÖÓ ÙÖ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ Ì Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ ÐÐÓÛ Ö Ò ÓÖ ÔÖÓÓ Ò ÑÓ Ð ÓÖ Ð Ö Ð Ó ÓÖÑÙÐ Ò Ð Ò Ö ÓÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ø Ñ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø Ð Ò Ø Ó ÓÖÑÙÐ Ò Û Ø Ó Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÖ ÐÓ µ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô º Ì Ø Ñ ¹ Ø ÓÒ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ò ÐÝ Ó Ö Ò Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ó Ø Ó ÓÖÑÙÐ Ò Ô Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ÓÒ Ø Û Ø Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÙØ ÒÓØ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó ÓÖÑÙÐ º Ý Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ØÖÙØÙÖ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Û Ñ Ò Ø Ù ØÖÙØÙÖ ÓÒ Ø Ó Ú ÖØ Û Ð Ð Ö ÔÖ Ñ Ó Ø Ð ÑÑ ÖÙÐ Ø Ö Ø ÓÒ ÕÙ Ò Ò Ú ÖØ Ó Ø Ö Ñ Ö Ö Ø Ñ Ó Ò Ø ÓÒ Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô µº ÆÓØ Ø Ø ÓÖ ÓÑ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ØÖÙØÙÖ

Î ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ½ ÙÒ ÕÙ º ÓÒ Ö ÐÐ Ø ÔÓ Ð Ù ØÖÙØÙÖ Ó Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ØÖÙØÙÖ ÓÖ ÓÑ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô º Ï Ó Ø Ù ØÖÙØÙÖ Û Ø Ø ÒÙÑ Ö Ó Ð Ú º Ò Ø ÓÒ º Û Ø Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ñ Ü Ñ Ð ÒÙÑ Ö Ó Ð Ú Ý ÐÐ Ù ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ØÖÙØÙÖ º Ò Ø ÓÒ º ÓÖÑÙÐ α i¹ Ö Û Ò Ø Ö Ü Ø Ñ Ü Ñ Ð ÓÖ ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ α Û Ø Ø Û Ø ÕÙ Ð ØÓ i +1º Ý Ò Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ 1¹ Ö Û Ò Ò Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Û ÔÔÐÝ Ø Ð ÑÑ ÖÙÐ ÓÒ Ý Ò Ø ÓÒ Ø Û Ø Ó Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÕÙ Ð ØÓ ¾µº Ì Ø Ñ Ó Ù Ð Ò Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÖÓÛ Ò ÙÔ Û Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ö Ò º Ù ØÓ ËØÐÑ Ö Û ÔÖ ÒØ Ø Ö ÙÖ Ú ÐÝ ÙÒØ ÓÒ Ó ÓÑÔÐ Ü ØÝ g(0,n) = 2 n, n g(k, n) = 2 i g(k 1,n), i=1 Û Ö n Ð Ò Ø Ó ÓÖÑÙÐ k Û Ø Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô º Ì ÙÒØ ÓÒ g(k, n) Ø ÑÓ Ø n 2k+1 Ó Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÔÖ ÒØ ÔÖÓ ÙÖ O(n 2k+1 )º º ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÛÓÖ ÁÒ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ Ø Ø Ñ Ó Ò Ò Ø Ý Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ ¹ Ô Ò ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐÝ ÓÒ Ø Û Ø Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÙØ ÒÓØ ÓÒ Ð Ò Ø Ó ÓÖÑÙÐ º Û Ø Ó Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ô Ò ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ð ÑÑ ÖÙÐ º À Ò Ø Ø ÔÐ ÓÖ ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÔÐ Û Ö Û ÑÙ Ø ÓÓ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð ØÖ ÔÐ Ø Ú Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ µ ÔÖ Ñ Ó Ø Ð ÑÑ ÖÙÐ º Ì Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô Ý Ø Ñ Û ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø ÔÖÓØÓØÝÔ Ú Ö ÓÒ Ø Ø º Ï Ö ÛÓÖ Ò ÓÙØ Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Û Û ÐÐ ÔÖ ÒØ ÓÓÒº

½ Ä ËØÔ Ê Ö Ò ½ ź Ö º Ö Ø ÓÖ Ö ÜØ Ò ÓÒ Ó ËØÐÑ Ö ³ Ñ Ø Ó º Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ò Ò Ò Ö Ò ÐÑ Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý Ò Ø ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ø ÓÖ ËÛ Ò ¾¼¼ º ¾ º ÓÖÐÚº Ì Ò Ù Ø Ö Ð Ù Ó Ú Ö Ø ÓÒ ØÓÓÐ ÓÒ ËØй Ñ Ö ³ Ñ Ø Ó º ÈÖÓº 9 th ÁÒغ ÓÒ º ÓÒ ÓÑÔÙØ Ö Î Ö Ø ÓÒ ÄÆ Ë ÚÓк ½¾ ÔÔº ½¼ ËÔÖ Ò Ö ½ º ź Ú Àº ÈÙØÒ Ñº ÓÑÔÙØ Ò ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ ÕÙ ÒØ Ø ÓÒ Ø ÓÖݺ ÂÓÙÖÒ Ð Ó Ø Å ¾¼½ ¾½ ½ ¼º ź Ú º ÄÓ Ñ ÒÒ º ÄÓÚ Ð Ò º Ñ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ Ø ÓÖ Ñ ÔÖÓÚ Ò º ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ó Ø Å ½ ¾º ź Ë Ö Ò º ËØÐÑ Ö º ØÙØÓÖ Ð ÓÒ ËØÐÑ Ö ³ ÔÖÓÓ ÔÖÓ ÙÖ ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ º ÓÖÑ Ð Å Ø Ó Ò ËÝ Ø Ñ Ò ½ ½µ ¾ ¾¼¼¼º º ËØÐÑ Ö º ÒÓØ ÓÒ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó Ø ÔÙÖ Ð Ð ÑÔÐ Ø ÓÒ ÐÙÐÙ º ÁÒ º ÈÖÓ º Ä Øغ ½ µ ¾ ¾ ½ º º ËØÐÑ Ö º ËÝ Ø Ñ ÓÖ Ø ÖÑ Ò Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÄÓ Ì ÓÖ Ñ Ý ÔÔÐÝ Ò Î ÐÙ Ò ÊÙÐ ØÓ ÌÖ ÔÐ Ø Ø Ø Ö Ò Ö Ø ÖÓÑ ÓÖÑÙÐ º ËÛ È Ø ÒØ ÆÓº ¼ ½ ¾ ͺ˺ È Ø ÒØ ÆÓº ¾ ½ ÙÖÓÔ Ò È Ø ÒØ ÆÓº ¼ ¼ ½ º º ËØÐÑ Ö Åº Ë ÙÒ º ÅÓ ÐÐ Ò Ò Ú Ö Ý Ò Ý Ø Ñ Ò Ó Ø¹ Û Ö Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ º ÈÖÓº Ë ÇÅȳ ¼ ÔÔº ½ È Ö ÑÓÒ ÈÖ ½ ¼º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÈÊÇ ËËÇÊ ËÀ ÊÁÆ ÉÍ Í ÁÆ Ë ËÌ ÅË ÏÁÌÀ ÆÇƹÀÇÅÇ Æ ÇÍË ÍËÌÇÅ ÊË ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ÓÐ ºØ ÓÒ Ò Ó Ñ ÐºÓÑ ØÖ Øº Ï ÒÚ Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö Ú Ò ÓÑ Ö Ò ÓÑ Ô Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ º ËÙ Ý Ø Ñ Ú Ò Ù ØÓ ÑÓ Ð Ò ÓÐÚ Ú Ö ÓÙ ÔÖ Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÙÖÖ Ò Ò Ø Ò Ó ÓÑÔÙØ Ö ÓÖ ÓÑÑÙÒ Ø Ò Ý Ø Ñ º Ì ÓÚ ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ØÝ Ñ Ò Ø Ø Ù ØÓÑ Ö Ò¹ Ô Ò ÒØÐÝ Ó ÓØ Ö µ ÓÑ Ö Ò ÓÑ Ô Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ò Ð Ò Ø ÓÖ ÑÓÙÒØ Ó ÛÓÖ ÓÖ ÖÚ µ Ò Ö ÐÐÝ Ô Ò ÓÒ Ø Ô Ö ÕÙ Ö Ñ Òغ ÁÒ Ö Ð Ý Ø Ñ ØÓØ Ð ÙÑ Ó Ô Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ù ØÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ò Ø Ý Ø Ñ Ð Ñ Ø Ý ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Ú ÐÙ Ñ ÑÓÖÝ Ô Øݵ V > 0º Ï Ø Ñ Ø ÐÓ Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ù Ý Ø Ñ Ù Ò ÕÙ Ù Ò ÑÓ Ð Û Ø ÙÒÐ Ñ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ô º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ð Ø Ö Ò ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò È˵ Ý Ø Ñ Ö Ù ÓÖ ÑÓ Ð Ò Ó Óѹ ÔÙØ Ö Ò ÓÑÑÙÒ Ø Ò Ò ØÛÓÖ ½ º ÈÖ ÒØÐÝ Ø Ý Ö ÔÔÐ Ð ØÓ ØÙ¹ Ø ÓÒ Û Ö ÓÑÑÓÒ Ö ÓÙÖ Ö Ý Ú ÖÝ Ò ÒÙÑ Ö Ó ÓÒÙÖÖ ÒØ Ù Ö ¾ ÓÖ Ü ÑÔÐ ØÓ Ï ¹ ÖÚ Ö ÑÓ Ð Ò µº Ì ÈË ÔÐ Ò Û Ö Ø ÒØÖÓ Ù Ý ÃÐ ÒÖÓ Ð Ñ Ø Ò ÓÖ ÑÓ Ð Ò Ø Ñ Ö Ò Ý Ø Ñ º Ì Ñ Ó Ø Ô Ô Ö ØÓ Ò ÐÝÞ Ð Ð Ò ÒÓҹРРÈË Ý Ø Ñ º Ö Ø Û ÐÐ Ò ÐÝÞ Ø Ð Ð ÈË Ý Ø Ñ ÒÓØ Ø Ý M/G/1 EPSº ÐÐ Ø Ù ØÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ð Ð M/G/1 EPS Ý Ø Ñ Ö ÖÚ ÑÙÐØ Ò ÓÙ Ðݺ Á Ø Ö Ö n>1 Ù ØÓÑ Ö Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ò Ö ØÖ ÖÝ Ò Ø ÒØ Ø Ò ÐÐ Ó Ø Ñ Ö ÖÚ Ø Ø Ò Ø ÒØ n Ø Ñ ÐÓÛÐÝ Ø Ò Ò Ø Ó n =1º

½ ¼ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó Ä Ø Ö ÓÒ Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø Ñ Ò Ø ÑÓÙÒØ Ó ÛÓÖ Ò ÖÝ ÓÖ Ù ØÓÑ Ö³ ÖÚ º º Ø ÖÚ Ø Ñ ÙÒ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ ÓØ Ö Ù ØÓÑ Ö Ò Ø Ý Ø Ñ ÙÖ Ò ÔÖ Ò Ò Øº Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ Ø Ö Ù Ð Ð Ò Ø Ó Ø Ù ØÓÑ Ö Ñ Ò Ö Ù Ð ÖÚ Ø Ñ Ø Ö ÓÑ Ø Ñ Ò Ø ÒØ ÙÒ Ö Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒ ¾ µº Ï ÒØÖÓ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Ð ÙÑÔØ ÓÒ ÓÖ Ø Ð Ð M/G/1 EPS Ý Ø Ñº ÙÑ Ø Ø Ù ØÓÑ Ö Ö Ø Ö Þ Ý ÓÑ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ö Ò ÓÑ Ô Øݺ Ì Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð Ò ÒØ ÖÔÖ Ø Ô ÖØ Ó Ý Ø Ñ³ Ñ ÑÓÖÝ Ô Ù Ý Ø Ù ØÓÑ Ö ÙÖ Ò ÔÖ Ò Ò Ø Ý Ø Ñº ØÓØ Ð ÙÑ Ó Ù ØÓÑ Ö Ô Ø σ(t) Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ö ØÖ ÖÝ Ø Ñ t Ö ÖÖ Ø ØÓØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ô Øݺ Ì Ö Ò ÓÑ Ú ÐÙ σ(t) Ò Ð Ñ Ø Ý ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Ú ÐÙ V 0 <V < µ Û ÐÐ Ø Ñ ÑÓÖÝ ÚÓÐÙÑ Ó Ø Ý Ø Ñº ÁÒ Ø Û Ú ÒÓҹРРÔÖÓ ÓÖ Ö Ò Ý Ø Ñ Ø Ø Û ÐÐ ÒÓØ Ø Ý M/G/1(V ) EPSº Ì ÔÙÖÔÓ Ó Ø Ô Ô Ö ½µ ØÓ Ó Ø Ò Ø ÒÓÒ¹ Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ò Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÖ ÙØ ÓÒ Ó ØÓØ Ð Ù ¹ ØÓÑ Ö Ô ØÝ Ò Ø Ý Ø Ñ M/G/1 EPS ¾µ ØÓ Ø ÖÑ Ò ÓÑ Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÐÓ Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ý Ø Ñ M/G/1(V ) EPS Û Ø Ð Ñ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ô V < µ ÓÒ Ø ÑÓ Ð Û Ø ÙÒÐ Ñ Ø ÓÒ µ ØÓ ÓÑÔ Ö ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò Ý Ø Ñ M/G/1(V ) EPS Ò M/G/1 EPS ÖÓÑ Ø Ú ÛÔÓ ÒØ Ó Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÐÓ Ö Ø Ö Ø º ¾º Ð Ð ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò Ý Ø Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÒÚ Ø Ø Ø Ð Ð Ý Ø Ñ M/G/1 EPSº ÒÓØ Ý η(t) Ø ÒÙÑ Ö Ó Ù ØÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ø Ñ t Ò Ý ξi (t) Ø Ö Ù Ð Ð Ò Ø Ó Ø iø Ù ØÓÑ Ö Ø Ø Ø Ñ i = 1,η(t)º Ä Ø F (x, t) =P{ζ <x,ξ<t} Ø Ó ÒØ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ ζ Ò Ð Ò Ø ξ Û ÙÑ Ø Ø Ù ØÓÑ Ö³ Ô ØÝ Ò Ð Ò Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ ÖÖ Ú Ð Ø Ñ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó ÓØ Ö Ù ØÓÑ Ö µº Ì Ò L(x) =F (x, ) Ò B(t) =F (,t) Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ζ Ò ξ Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ä Ø a Ò ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ó ÒØÖ Ò ÓÛ Ó Ù ØÓÑ Ö α(s, q) = 0 0 e sx qt df (x, t) Ø ÓÙ Ð Ä ÔÐ ¹ËØ ÐØ ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ x Ò tµ Ó Ø ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ F (x, t) ϕ(s) =α(s, 0) Ò β(q) =α(0,q) Ø Ä ÔÐ ¹ ËØ ÐØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ØÖ ÙØ Ò ÙÒØ ÓÒ L(x) Ò B(t) Ö Ô Ø Ú Ðݺ

ÈÖÓ ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ ½ ½ D(x, t) =P{σ(t) <x} Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ØÓØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ Ø Ø Ñ t δ(s, t) =Ee sσ(t) = e sx d x D(x, t) Ø Ä ÔÐ ¹ËØ ÐØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ D(x, t) Û Ø Ö Ô Ø ØÓ x δ(s, q) = 0 0 e qt Ee sσ(t) dt = 0 e qt δ(s, t)dt Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ δ(s, t) Û Ø Ö Ô Ø ØÓ tº Ì Ñ Ü (i+j)ø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ζ Ò ξ Ø Ý Ü Øµ Ø Ø ÓÖÑ i+j α ij = E(ζ i ξ j )=( 1) i+j s i q j α(s, q) s=0,q=0. ÙÑ Ø Ø Ù ØÓÑ Ö Ò Ø ÓÒ Ö Ý Ø Ñ Ø Ò Ö ØÖ ÖÝ Ø Ñ t Ö ÒÙÑ Ö Ø Ö Ò ÓÑ º º Ø ÒÙÑ Ö Ó Ù ØÓÑ Ö k Ø Ò Ø Ö Ö k! Û Ý ØÓ ÒÙÑ Ö Ø Ø Ñ Ò ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ò Ó Ò Û Ø Ø Ñ ÔÖÓ Ð ØÝ 1/k!º ÇÒ Ò ÐÝ ÓÛ Ø Ø Ø Ý Ø Ñ ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ö Ý Ø Å Ö ÓÚ ÔÖÓ (η(t),ξ i (t),i = 1,η(t)), (1) Û Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ ξi (t) Ö ÒØ η(t) = 0º ÁÒ Ø Û Ð Ó Ú σ(t) =0º ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ ØÓ ÑÔÐ Ý Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Û ÒÓØ Y k = (y 1,...,y k )º ËÓÑ Ø Ñ Ò Ø k =1 Ò Ø Ó Y 1 Û ÛÖ Ø y 1 ÓÖ Ø Ú ÐÙ Ø Ø Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ò Ò Ø k =2 Ò Ø Ó Y 2 Û ÛÖ Ø (y 1,y 2 ) ÓÖ Ø Ö Ú ÐÙ º ÁÒ ÓØ Ö ÛÓÖ Û ÓÑ Ø Ñ Ô Ý Ú ØÓÖ Ó Ñ ÐÐ Ñ Ò ÓÒ Ý Ò Ø Ò Ø Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ï Ð Ó Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ (y 1,...,y k,u)= =(Y k,u)º Ï Ö Ø Ö Þ Ø ÔÖÓ ½µ Ý ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓ Ð Ø Ò P 0 (t) =P{η(t) =0}; (2) Θ k (Y k,t)=p{η(t) =k, ξ j (t) <y j,j = 1,k}, k=1, 2,...; (3) P k (t) =P{η(t) =k} =Θ k ( k,t), k=1, 2,..., (4) Û Ö k =(,..., ) k¹óñôóò ÒØ Ú ØÓÖº ÆÓØ Ø Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Θ k (Y k,t) Ö ÝÑÑ ØÖ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ô ÖÑÙ¹ Ø Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ú ØÓÖ Y k Ù ØÓ ÓÙÖ Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó Ù ØÓÑ Ö Ò Ø Ý Ø Ñº

½ ¾ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó Ä Ø Ù Ø ÖÑ Ò Ø ÙÒØ ÓÒ δ(s, q) ÙÒ Ö Þ ÖÓ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ η(0) = = σ(0) = 0º ÒÓØ Ý p 0 (q) = e qt P 0 (t)dt Ò θ k (Y k,q)= e qt Θ k (Y k,t)dt 0 Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ t Ó Ø ÙÒØ ÓÒ P 0 (t) Ò Θ k (Y k,t) Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÁØ ÒÓÛÒ ¾ µ Ø Ø p 0 (q) =[q + a aπ(q)] 1 (5) ÙÒ Ö Þ ÖÓ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Û Ö π(q) Ø Ä ÔÐ ¹ËØ ÐØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø Ù Ý Ô Ö Ó ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ø Ý Ø Ñ ÙÒ Ö ÓÒ Ö ¹ Ø ÓÒº ÆÓØ ¾ Ø Ø π(q) ÙÒ ÕÙ ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ π(q) =β(q + a aπ(q)) Ù Ø Ø π(q) 1º Ä ÑÑ ½º ÍÒ Ö Þ ÖÓ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÙÒØ ÓÒ θ k (Y k,q) Û Ö k =1, 2,... Ú Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ θ k (Y k,q)=p 0 (q) k i=1 yi 0 [q + a ab(u)]du. ÈÖÓÓ º Í Ò Ø Ñ Ø Ó Ó ÙÜ Ð ÖÝ Ú Ö Ð Ò Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø ÝÑÑ ØÖ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Θ k (Y k,t) Û Ò ÛÖ Ø ÓÙØ Ô ÖØ Ð Ö ÒØ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ ÙÒØ ÓÒ µ Θ 1 (y,t) t Θ k (Y k,t) t Θ 1(y,t) y Θ k(y k,t) y k + Θ 1(y,t) y = ap 0 (t)b(y) aθ 1 (y,t)+ y=0 + Θ 2(y,u,t) u ; (6) u=0 + Θ k(y k,t) y = aθ k 1 (Y k 1,t)B(y k ) k yk =0,k=2, 3,... (7) u=0 aθ k (Y k,t)+ Θ k+1((y k,u),t) u È Ò ØÓ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ø ÕÙ Ø ÓÒ µ µ Û Ó Ø Ò θ 1(y,q) = ap y 0 (q)b(y) (q + a)θ 1 (y,q) θ 1(y,q) y + y=0 θ k(y k,q) y k + θ 2(y,u,q) u 0 ; (8 ) u=0 = aθ k 1 (Y k 1,q)B(y k ) (q + a)θ k (Y k,q)

ÈÖÓ ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ ½ θ k(y k,q) y k yk =0 + θ k+1((y k,u),q) u,k=2, 3,... (9) u=0 Ý Ö Ø Ù Ø ØÙØ ÓÒ Û Ò ÔÖÓÚ Ø Ø Ø ÓÐÙØ ÓÒ Ó Õ º µ Ò µ Ø ÓÖÑ k yi θ k (Y k,q)=c(q) [q + a ab(u)]du, (10) i=1 Û Ö C(q) ÓÑ ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò Û Ù Ø ØÙØ Ø Ö Ð Ø ÓÒ ½¼µ ÒØÓ Õº µº Ì Ò Û Ú C(q) =p 0 (q)º Ì Ð ÑÑ ÔÖÓÚ º Ä Ø β i = Eξ i =( 1) i β (i) (0) Ø iø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø i =1, 2,...º ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½º Á ρ = aβ 1 < 1 Ø Ò Ø Ð Ñ Ø θ k (Y k ) = lim Θ k (Y k,t) t k =1, 2,... Ü Ø Ò Ò Ô Ò ÒØ Ó Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ú Ø ÓÖÑ θ k (Y k )=(1 ρ)a k 0 k i=1 yi 0 [1 B(u)]du. ÈÖÓÓ º Á ρ<1 Ø Ò Ø ÔÖÓ ½µ Ö Ò Ö Ø Ú Û Ø ÔÓ ÒØ Ó Ö ¹ Ò Ö Ø ÓÒ Ó Ò Ò Û Ø ÔÓ Ó Ø ÖÑ Ò Ø ÓÒ Ó Ù Ý Ô Ö Ó º ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ø ÓÖÝ Ó Ö Ò Ö Ø Ú ÔÖÓ Ø Ø Ø Ð Ñ Ø lim Θ k (Y k,t)= t = θ k (Y k ) Ü Ø Ò θ k (Y k ) = lim q 0 qθ k (Y k,q)=(1 ρ)a k k i=1 yi 0 [1 B(u)]du. ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¾º Ä Ø p k (q) Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ P k (t) k =0, 1,... ÙÒ ÖÞ ÖÓ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒº Ì Ò Û Ú p k (q) = ak (1 π(q)) k (q + a aπ(q)) k+1. ÈÖÓÓ º ÁØ Ó Ú ÓÙ Ø Ø p k (q) =θ k ( k,q)º Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø ÕÙ Ð ØÝ 0 (q + a ab(y))dy = a(1 π(q)) q + a aπ(q). (11) ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÒÓÖÑ Ð Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÛÖ ØØ Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ä ÔÐ ØÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ø Ø p 0 (q)+ θ k ( k,q)=1/q, k=1

½ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó Û Ò Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ð ÑÑ ½ Û Ó Ø Ò [ ] k 1+ (q + a ab(y))dy = 1 [q + a aπ(q)]. q k=1 0 ÖÓÑ Ø Ð Ø Ö Ð Ø ÓÒ Û Ú ½½µº ÆÓÛ Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÓÖÑÙÐ µ Ò ½¼µº ÖÓÑ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½Û Ò Ó Ø Ò Ø ÒÓÛÒ Ö Ð Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ {p k } Ó Ø ÒÙÑ Ö Ó Ù ØÓÑ Ö Ò Ø Ý Ø Ñ ρ = aβ 1 < 1µ ¾ p k = θ k ( k )=(1 ρ)ρ k,k=0, 1,... Ä Ø χ(t) Ø Ô ØÝ Ó Ù ØÓÑ Ö Ò ÓÒ ÖÚ Ø Ø Ø Ñ t Ò ξ (t) Ø Ö Ù Ð Ð Ò Ø Ó Ø Ù ØÓÑ Ö Ø Ø Ø Ñ tº Ï ÐÐ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ E y (x) =P{χ(t) <x ξ (t) =y}º ÁØ ÒÓÛÒ Ø Ø Ø Ä ÔÐ ËØ ÐØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ E y (x) Ø ÓÖÑ e y (s) =[1 B(y)] 1 Ï ÒØÖÓ Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ x=0 e sx u=y df (x, u). (12) d Yk Θ k (Y k,t)=p{η(t) =k, ξ i (t) [y i,y i + dy i ),i= 1,k} = Ä Ø Ö ÓÒ Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ = k Θ k (Y k,t) y 1... y k dy 1...dy k. k i=1 Ri (x) ÓÖ ËØ ÐØ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ó ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ R i (x) i =1, 2,... R i (x) =0 x 0º Ì ÓÖ Ñ ½º ÓÖ Þ ÖÓ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÙÒØ ÓÒ δ(s, q) Ø ÖÑ Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ Û Ö δ(s, q) ={[q + a aπ(q)][1 I(s, q)]} 1, I(s, q) = 0 (q + a ab(y))e y (s)dy Ò e y (s) Ø ÖÑ Ò Ý Ö Ð Ø ÓÒ ½¾µº ÈÖÓÓ º Ì ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ D(x, t) Ò Ö ÔÖ ÒØ + k=1 0 0 D(x, t) =P 0 (t)+ P{σ(t) <x η(t) =k, ξ i (t) =y i,i= 1,k}d Yk Θ k (Y k,t).

ÈÖÓ ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ ½ ÖÓÑ Ø Ö Ò ÓÑ ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó Ø Ú ØÓÖ Y k Ø Ó Ú ÓÙ Ø Ø Ì Ò Û Ø P{σ(t) <x η(t) =k, ξ i (t) =y i,i= 1,k} = D(x, t) =P 0 (t)+ k=1 0 k 0 i=1 k i=1 Eyi (x). Eyi (x)d Yk Θ k (Y k,t). È Ò Ò Ø Ð Ø Ö Ð Ø ÓÒ ØÓ Ä ÔÐ ËØ ÐØ ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ x Û Ú k δ(s, t) =P 0 (t)+ e yi (s)d Yk Θ k (Y k,t). k=1 È Ò ØÓ Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ t Û Ó Ø Ò k δ(s, q) =p 0 (q)+ e yi (s)d Yk θ k (Y k,q), Û Ö d Yk θ k (Y k,q)=p 0 (q) k=1 0 0 0 0 i=1 i=1 k [q + a ab(y i )]dy i Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Õº µ Ò i=1 Ø Ö Ð Ø ÓÒ C(q) =p 0 (q)µº Ì Ò Û Ø k δ(s, q) =p 0 (q)+p 0 (q) e yi (s)[q + a ab(y i )]dy i = Û Ö k=1 0 0 i=1 { [ ] } k = p 0 (q) 1+ (q + a ab(y))e y (s)dy = k=1 0 [ ] = p 0 (q) 1+ (I(s, q)) k, (13) I(s, q) = 0 k=1 (q + a ab(y))e y (s)dy. ÆÓÛ Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÓÖÑÙÐ ½ µº ÓÖÓÐÐ ÖÝ º Á Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ζ Ò ξ Ö Ò Ô Ò ÒØ Û Ó Ø Ò δ(s, q) =[q + a(1 π(q))(1 ϕ(s))] 1. (14)

½ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó ÈÖÓÓ º ÁÒ Ø Ø Ò ÒØÓ ÓÙÒØ ÕÙ Ø ÓÒ ½¾µ Ò Ø Ö Ð Ø ÓÒ F (x, t) =L(x)B(t) Û Ú Ø Ø I(s, q) = = ϕ(s) y=0 Û Ò Ö Ð Ø ÓÒ ½ µ ÓÐÐÓÛ º 0 q + a ab(y) 1 B(y) x=0 [q + a ab(y)]dy = e sx u=y df (x, u) = aϕ(s)(1 π(q)) q + a aπ(q), ÓÖÓÐÐ ÖÝ º ÍÒ Ö Þ ÖÓ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ g(s, q) Û Ø Ö Ô Ø ØÓ t Ó Ò Ö Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ P (z,t) = P k (t)z k z 1 Ó Ø Ù ØÓÑ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ø Ñ t Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ g(z,q) = 0 k=0 e qt P (z,t)dt =[q + a(1 z)(1 π(q))] 1. (15) ÈÖÓÓ º ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ ÓÖÓÐÐ ÖÝ ½ Ø Ø Ò Ø Û Ò Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ô ØÝ Ò Ø Ô ØÝ ÕÙ Ð ØÓ ½ Û Ú ϕ(s) =e s Ò = δ(s, q) =[q + a(1 π(q))(1 e s )] 1 = 0 e qt Ee sσ(t) dt = Û Ò Õº ½ µ ÓÐÐÓÛ Û Ù Ø ØÙØ e s Ý zº 0 e qt P (e s,t)dt, ÓÖÓÐÐ ÖÝ º Ä Ø ρ = aβ 1 < 1º Ì Ò Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÑÓ Ü Ø º Ì Ä ÔÐ ËØ ÐØ ØÖ Ò ÓÖÑ δ(s) Ó Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ D(x) = lim t D(x, t) Ó Ù ØÓÑ Ö ØÓØ Ð Ô ØÝ Ø ÓÖÑ δ(s) = 1 ρ 1+aα q(s, q) q=0. (16) ÆÓØ Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ ½ µ Û Ö Ø Ó Ø Ò Ý Ë Ò ÙÔØ º ÈÖÓÓ º ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø Ø ÓÖÝ Ó Ö Ò Ö Ø Ú ÔÖÓ Ø Ø Ø Ð Ñ Ø δ(s) = lim t δ(s, t) Ü Ø Ò δ(s) = lim q 0 qδ(s, q) =(1 ρ) lim q 0 [1 I(s, q)] 1, Û Ö Ø ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÓÖ Ñ ½

ÈÖÓ ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ ½ lim I(s, q) =a q 0 = a x=0 u=0 0 [1 B(y)]e y (s)dy = ue sx df (x, u) = aα q(s, q) q=0, Û Ò Ø Ø Ø Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÓÐÐ ÖÝ ÓÐÐÓÛ º ÓÖÓÐÐ ÖÝ º Ä Ø δ 1 (t) Ø Ö Ø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø ØÓØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ σ(t) ÙÒ Ö Þ ÖÓ Ò Ø Ð ÓÒ Ø ÓÒ δ 1 (q) Ø Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ δ 1 (t)º Ì Ò Û Ú Û Ö S(t) = δ 1 (q) = t 0 aα 11 + q 0 0 xs(t)df (x, t) [q + a aπ(q)] [ 1 ρ q 0 S(t)dB(t) ] 2, [1 B(y)] 1 dyº Ä Ø σ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÓØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ σ(t) σ Ò Ø Ò Ó Û ÓÒÚ Ö Ò µº Ì ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓÛÒ ÓÖÑÙÐ δ 1 = Eσ = δ (0) = aα 11 1 ρ, δ 2 = Eσ 2 = δ (0) = aα 21 1 ρ +2δ2 1 (17) Ò Ó Ø Ò ÖÓÑ Ö Ð Ø ÓÒ ½ µº ÓÖ ÓÑ Ô Ð Û Ò Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ D(x) ÖÓÑ ÓÖÑÙÐ ½ µº ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÒ Ö Ø Û Ò Ù ØÓÑ Ö³ Ô ØÝ ζ Ò Ð Ò Ø ξ Ö ÓÒÒ Ø Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ξ = cζ +ξ 1 c>0 Û Ö Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ζ Ò ξ 1 Ö Ò Ô Ò ÒØ Ù Ô Ò Ò ÓÖ Ù ØÓÑ Ö³ Ô ØÝ Ò Ð Ò Ø ØÖÙ ÓÖ Ñ ÒÝ Ö Ð Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ý Ø Ñ µº ÒÓØ Ý κ 1 = Eξ 1 Ø Ö Ø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ξ 1 º ÁÒ Ø Û Ú α(s, q) =ϕ(s + cq)κ(s) Û Ö κ(s) Ø Ä ÔÐ ËØ ÐØ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ξ 1 º Ì Ò Ö Ð Ø ÓÒ ½ µ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÖÑ δ(s) = 1 ρ 1+a[cϕ (s) κ 1 ϕ(s)]. (18) ÙÑ Ø Ø Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ ζ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ø Ô Ö Ñ Ø Ö f>0º Ì Ò ÖÓÑ ÓÖÑÙÐ ½ µ Û Ó Ø Ò δ(s) = (1 ρ)(s + f) 2 (s + f) 2 ρ 1 f 2 ρ 2 f(s + f), Û Ö ρ 1 = ac/f ρ 2 = aκ 1 ÓØ Øρ = aβ 1 = ρ 1 + ρ 2 º

½ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó ÆÓÛ Û Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÒÚ Ö Ä ÔÐ ØÖ Ò ÓÖÑ Ó δ(s)/s Û Ö δ(s) Ò Ý ÓÖÑÙÐ ½ µ Ò Ó Ø Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ D(x) D(x) =1 (1 ρ)e fx 2b Û Ö b = ρ 2 2 +4ρ 1º [ (ρ 2 + b) 2 e (ρ 2+b)fx/2 2 ρ 2 b º Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÐÓ Ö Ø Ö Ø ] (ρ 2 b) 2 e (ρ 2 b)fx/2, (19) 2 ρ 2 + b Ì M/G/1 EPS Ý Ø Ñ Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ò Ó Ù ØÓÑ Ö V = µº ÙØ Û Ø Ø ÐÔ Ó Ø ÑÓ Ð Û Ò Ø Ñ Ø Ø Ñ ÑÓÖÝ Ô ØÝ V Ò ÓÖ Ö ØÓ Ù Ö ÒØ Ò Ü Ò Ó Ú Ò ÐÓ ÔÖÓ Ð Øݺ ÙÑ Ø Ø Û Ú Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Q Û Ø ÈÓ ÓÒ Ò¹ ØÖ Ò ÓÛ Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ù ØÓÑ Ö º Ä Ø Q V Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ý Ø Ñ Ø Ø Ö ÖÓÑ Q ÓÒÐÝ Û Ø Ø Ø Ø Ø Ø ØÓØ Ð Ô ØÝ Ð Ñ Ø Ý Ø ÓÒ Ø ÒØ Ú ÐÙ V º Ï ÒÓØ Ý D(x) Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ØÓØ Ð Ù ¹ ØÓÑ Ö Ô ØÝ ÓÖ Ø Ý Ø Ñ Q Ò Ý D V (x) Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú ÐÙ ÓÖ Ø Ý Ø Ñ Q V º Ì ÓÖ Ñ ¾º Ì Ò ÕÙ Ð ØÝ D(x) D V (x) Ø ÔÐ ÓÖ ÐÐ x>0º ÈÖÓÓ Ó Ø Ø ÓÖ Ñ Ò ÓÙÒ Ò º ÁØ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÓÖ Ñ ¾ Ø Ø Ø ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ P ÓÖ Ø Ý Ø Ñ Q V Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÕÙ Ð ØÝ P =1 V 0 D V (V x)dl(x) 1 V 0 D(V x)dl(x) =P. (20) Ì Ù Ø Ú ÐÙ P Ò ÙÔÔ Ö Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ ÓÖ Ø Ý Ø Ñ Q V º Á Û ÓÓ V ÙÒ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø P Ú Ò Ó Ø Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ V 0 D(V x)dl(x) =1 P Ø Ø Ò Ø Ö Ð ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ P Ó ÒÓØ Ü P º Á ÓÒÐÝ Ú ÖÝ Ö Ö ÐÓ Ö Ô ÖÑ ØØ Ò Ø Ý Ø Ñ ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ö Ò ØÛ Ò Ø Ú ÐÙ P Ò P Ò ÒØ Ðº ÆÓØ Ø Ø Ø ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ ÒÓØ Ü Ù Ø Ú Ö Ø Ö Ø Ó ÐÓ Ù Ø Ú ÐÙ ÓÛ Ô ÖØ Ó ÐÓ Ø Ù ØÓÑ Ö ÒÓØ Ô ÖØ Ó ÐÓ Ø Ô ØÝ ÓÖ Ò ÓØ Ö ÛÓÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÐÓ Øº Ê ÐÐÝ Ø Ó Ú ÓÙ Ø Ø Ù ØÓÑ Ö Ú Ò Ð Ö Ô ØÝ Û ÐÐ ÐÓ Ø ÑÓÖ Ó Ø Òº Ì Ö ÓÖ ÑÓÖ Ó Ø Ú ÐÓ Ø Ñ Ø ÓÒ Ø Ú ÐÙ Q =1 1 V xd V (V x)dl(x). ϕ 1 0

ÈÖÓ ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ ½ Ì Ú ÐÙ Q Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Ó ÐÓ Ò ÙÒ Ø Ó Ù ØÓÑ Ö Ô Øݺ Ì Ò ÜØ Ò ÕÙ Ð ØÝ ÓÐÐÓÛ ÖÓÑ Ø ÓÖ Ñ ¾ Q =1 1 V xd V (V x)dl(x) 1 1 V xd(v x)dl(x) =Q. ϕ 1 ϕ 1 0 Á ÓÒÐÝ Ú ÖÝ Ö Ö ÐÓ Ö Ô ÖÑ ØØ Ò Ø Ý Ø Ñ ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ö Ò ØÛ Ò Ø Ú ÐÙ Q Ò Q Ò ÒØ Ðº ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ø Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ½ µ Û Ó Ø Ò { [ P = 1 1 ρ 1 e (1 b 1)fV a 1 b b + ρ 2 Û Ö a 1 = (ρ 2 + b) 2 2 ρ 2 b a 2 = (ρ 2 b) 2 0 + a 2 1 e (1 b2)fv b ρ 2 2 ρ 2 + b b 1 = 1+ ρ 2 + b 2 { [ Q 2(1 ρ) (a 1 + a 2 )fv = 1+fV + b 8ρ 1 ]} 1 e (1 b 1)fV 1 e (1 b2)fv +a 1 (b + ρ 2 ) 2 a 2 (b ρ 2 ) 2 e fv. ]} e fv, b 2 = 1+ ρ 2 b 2 ÆÓØ Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ø Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Q Ú ÖÝ ÓÑÔÐ Ø º Ì Ö ÓÖ Û Ó Ø Ò ÑÙ Ø Ö ØÖ Ø ÓÙÖ ÐÚ ØÓ Ø ÐÙÐ Ø ÓÒ Ò Ø Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ P º Á Ø ÑÔÓ Ð ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÖÑ Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ D(x) Û Ò Ø Ñ Ø Ø Ú ÐÙ P Ý ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Φ(x) = x 0 D(x u)dl(u) Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÙÑ Ó Ò Ô Ò ÒØ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð σ Ò ζ Û Ø Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÑÑ ØÖ ÙØ ÓÒ hx Φ (x) = γ(h, rx)/γ(h) Û Ö γ(h, rx) = t h 1 e t dt Ø ÒÓÑÔÐ Ø ÑÑ ÙÒØ ÓÒ Γ(h) =γ(h, ) Ø ÑÑ ÙÒØ ÓÒº Ì Ô Ö Ñ Ø Ö h Ò r Ó Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÙÐ Ó Ò Ó Ø Ø Ø Ö Ø Ò ÓÒ ÑÓÑ ÒØ f1 = h/r Ò f 2 = h(h +1)/r2 ÓÙÐ ÕÙ Ð ØÓ Ø Ö Ø Ò ÓÒ ÑÓÑ ÒØ Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Φ(x) Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÁØ Ó Ú ÓÙ Ø Ø Ø ÑÓÑ ÒØ Ú Ø ÓÖÑ 0 f 1 = δ 1 + ϕ 1,f 2 = δ 2 + ϕ 2 +2δ 1 ϕ 1. (21)

½ ¼ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó Ì Ù Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ó Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Φ (x) ÓÙÐ Ó Ò ÓÐÐÓÛ h = f 1 2 f 2 f1 2, r = f 1 f 2 f1 2, Û Ö f 1 Ò f 2 Ò ÐÙÐ Ø ÖÓÑ Ö Ð Ø ÓÒ ½ µ ¾½µº À Ò Û Ú Ø ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÖÑÙÐ P = 1 Φ (V ). ÆÓØ Ø Ø Ò Ø Ó ÒÓØ Ú ÖÝ Ñ ÐÐ Ô ÖÑ Ð ÐÓ ÔÖÓ Ð Ø Ù Ò Ø Ø Ñ Ø ÓÒ P Ò Ø Ó P Ð ØÓ ÙÒ Ù Ø ÐÝ ÙÖÔÐÙ Ó Ó Ø Ô ØÝ ÚÓÐÙÑ V º Ì Ö ÓÖ Ø Ö Ø Ò ÐÝ Ó ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò Ý Ø Ñ Û Ø Ð Ñ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ô Ú ÖÝ ÑÔÓÖØ Òغ º Ì Ó Ð Ñ Ø ØÓØ Ð Ô ØÝ Ì Ý Ø Ñ M/G/1(V ) EPS Û Ø Ù ØÓÑ Ö Ó Ö ÒØ ØÝÔ Û Ò ÐÝÞ Ò Ø Ð Ò ½¼ º Ï ÐÐ ÓÒ Ö Ô Ð Ó Ù ØÓÑ Ö Ó Ø Ñ ØÝÔ º Ì Ò ÓÖ Ø Ø ÓÒ ÖÝ ÔÖÓ Ð Ø Ó ÒÙÑ Ö Ó Ù ØÓÑ Ö ÔÖ ÒØ ÒØ Ý Ø Ñ Û Ú Û Ö A (k) p 0 = ( k=0 ) 1 a k A (k) (V ),p k = p 0 a k A (k) (V ), k=1, 2,..., (x) kø ÓÖ Ö ËØ ÐØ ÓÒÚÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ A(x) = Ì ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ Ø ÓÖÑ x u=0 P =1 p 0 [L(V ) t=0 udf (u, t). ] a k A (k) (V ). ÙÑ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø Ø Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö f Ò Ð Ø Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ô ØÝ ξ = cζ c>0µº Ì Ò Ø Ö ÓÑ ÐÙÐ Ø ÓÒ Û Ó Ø Ò p 0 = k=1 1 ρ 1 ρe [ fv sinh( ρfv )+ ρ cosh( ], ρ 1, ρfv ) 1+e 2fV 1+fV, ρ =1;

ÈÖÓ ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ ½ ½ [ ] 2k 1 p k = p 0 ρ k 1 e fv (fv) i, k =1, 2,...; i! P = p 0 e fv cosh( ρfv ), Û Ö ρ = ac/fº Ì Ð ½ ÈÖÓ Ð Ø P Ò Q ÓÖ ρ =0.6 i=0 V P Q P Q ¼º¼ ½º¼¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼¼ ¼º¾ ¼º ¾ ¾½ ¼º ¼º ½ ¼º ¾ ¼º ¼º ¾¾ ¼º ¼º ¼º ¼ ¼º ¼º ½ ¾ ¼º ¾ ¼º ¼¼ ¼º ¾ ¼º ¼º ½ ¼º ½ ¼º ½ ¼º ¾ ¼ ½º¼ ¼º ¾ ¼º ½ ¼º ½ ½ ¼º ½½ ¾º¼ ¼º ¼º ¾ ¼º¾ ¼º ½¾ ¼ º¼ ¼º ½ ¼º ¼¾ ¾ ¼º½ ¼º º¼ ¼º ½ ¼º ¾ ¼º½½¾ ½ ¼º¾ ¼ º¼ ¼º¾ ¼ ¼º ¼º¼ ¼ ¼º½ º¼ ¼º¾¾ ¼º¾ ¼º¼ ¾ ½ ¼º½ ¼ º¼ ¼º½ ½ ¼º¾ ¼º¼ ½½ ¼º½¼ º¼ ¼º½ ¾¼ ¼º½ ¾ ¼º¼ ½ ¼º¼ ½¼º¼ ¼º¼ ½ ¼º½¾¼ ¼º¼¾¾ ¼º¼ ½ ½ º¼ ¼º¼ ¼½ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼½ ¾¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼½¾ ¾ ¼º¼¼¾¾¾ ¼º¼¼ ½¾ ¼º¼ ¼º¼¼½¼ ¼º¼¼½ ¼º¼¼¼¾ ¼º¼¼¼ ¼º¼ ¼º¼¼¼½½ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼¼¾ ¼º¼½ ¼º¼ ¼º¼¼¼¼½ ¼º¼¼¼¼¾ ¼º¼¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼½ ÆÓÛ Û Ò ÓÑÔ Ö Ø Ú ÐÙ P Ò P ÓÖ Q Ò Q Ù Ò Ò ÐÝØ Ð Ö ÙÐØ Ò ÑÙÐ Ø ÓÒº Ì Ð ½ ÔÖ ÒØ Ø Ô Ò Ò Ó ÐÓ Ö Ø Ö Ø ÙÔÓÒ Ø Ñ ÑÓÖÝ Ô ØÝ V º À Ö Û ÙÑ Ø Ø ρ =0.6 Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ô ØÝ ξ = cζµ Û Ö c =1 Ò Ô ØÝ ζ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö f =1º Ì Ú ÐÙ P Q P Û Ö Ó Ø Ò Ý ÐÙÐ Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø ÓÚ Ö Ð Ø ÓÒ Û Ö Ø Ú ÐÙ Q Û Ø Ñ Ø Ý ÑÙÐ Ø ÓÒº Ì Ø Ð ÓÛ Ø Ø Ø Ñ ØÓÖ P Q Ö ÒÓØ Ú ÖÝ ÔÖ Ò Û Ò Ù Ø Ñ ÓÖ Ø Û Ò Ø ÔÖÓÔ Ö ÐÓ Ö Ø Ö Ø Ö Ò Ö Þ ÖÓº

½ ¾ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó Ê Ö Ò ½ ʺ Ä Ø Ò Àº Î Ò Ö Ö Êº º ÓÙ Ö º Ì ÖÓÙ ÔÙØ Ò ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò ÑÓ Ð ÓÖ ÒØ Ö Ø ØÖ Ñ Ò Ð Ø ØÖ º È Ö ÓÖÑ Ò Ú ÐÙ Ø ÓÒ ½ ¾ ½ ¼ ¾¼¼ º ¾ ˺ º ÓÚº Ò ÐÝ Ó ÉÙ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ö º Ê Ó ËÚÝ Þ ÅÓ ÓÛ ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ˺ º ÓÚ º ˺ ÓÚ º ÈÖÓ ÓÖ Ö Ò ÙÖÚ Ý Ó Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø ÓÖݺ ÙØÓѺ Ê ÑÓØ ÓÒØÖÓÐ µ ½ ¾ ½ ½ ¾¼¼ º ĺ ÃÐ ÒÖÓ º Ì Ñ ¹ Ö Ý Ø Ñ Ø ÓÖ Ø Ð ØÖ ØÑ Òغ º Óº ÓÑÔÙغ Å º ½ ¾µ ¾ ¾ ¾ ½ ½ º κ º Å ØÚ Ú Îº º Í ÓÚº ÉÙ Ù Ò ËÝ Ø Ñ º ÅÓ ÓÛ ÍÒ Ú Ö ØÝ ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº º ʺ ÓÜ Ïº ĺ ËÑ Ø º Ê Ò Û Ð Ì ÓÖݺ Å Ø ÙÒ Ò ÄÓÒ ÓÒ ½ ¾º Ǻ Ì ÓÒ Ò Óº Å ØÓ Ý ÔÖÓ Ð ØÝÞÒ Ò Ð ÞÝ Ý Ø Ñ Û Ò ÓÖÑ Ý ¹ ÒÝ º Ñ Ç ÝÒ ÏÝ ÛÒ Þ ÁÌ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º º Ë Ò ÙÔØ º Ì Ô Ø Ð Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ò M/G/1 ÕÙ Ù ÓÖ ÓÛ ØÓ Ò ÓÖ Ù Ö Ô º Ä Øº ÆÓØ ÓÒØÖº ÁÒ º Ë º ¼ ½ º Ǻ ź Ì ÓÒ Ò Óº ÉÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò Ò Ð Ñ Ø Ö ÓÙÖ º ÙØÓѺ Ê ÑÓØ ÓÒØÖÓÐ ½ µ ¼ ½ ¾¼½¼º ½¼ Ǻ Ì ÓÒ Ò Óº Ð Ð Ò ÒÓҹРРÔÖÓ ÓÖ Ö Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö º Ë ÒØ Á Ù Ó Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ ¹ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë Öº Å Ø Ñ Ø ÁÎ ½ ½ ¼ ¾¼¼ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ Ë Ì¹ Ë Ë Ê ÀÁÆ ÇÊ k¹éí ËÁ¹ÇÈÌÁÅ Ä ÊÍÆË ÁÆ Ï Á ÀÌ ÌÁÅ ÍÌÇÅ Ì Ó Ò ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ß ºÛÓÞÒ ºÞ ÖÞ ÞÒÝÐ ºÞ غÔÐ ØÖ Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ö ÓÒ ÖÒ Û Ø Ò ÓÔØ Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò Û Ù ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ ØÓ Ë Ì ØÓ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û ÓÛ ÓÛ ØÓ Ò ÖÙÒ Ó Ð Ò Ø k IN Ø Ø Ø ÖØ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ø Ø ÓÒØ Ò Ò Ø Ö Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ø ØÓØ Ð Ó Ø ÐÓÒ ØÓ Ø ÒØ ÖÚ Ð [c, c +1) ÓÖ ÓÑ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö c IN Ò Ø Ó Ø Ó ÓØ Ö ÖÙÒ Ó Ð Ò Ø k Û Ð Ó Ð ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Ø Ø ØÓ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò Ø Ø Ö Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ cº Ì Ò Ó ÖÙÒ ÐÐ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ðº Ï Ü ÑÔÐ Ý Ø Ù Ó ÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ñ ÒØ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ý Ñ Ò Ó Ø Ö ØÖ ÓÒØÖÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û ÔÖÓÚ ÓÑ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÝ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ ÙØÓÑ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ö Û Ö Ò Ó ØÛ Ö Ý Ø Ñ Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ù Ø Ò Ù ØÓ Ø Ø ÐÓ ÓÖ Ú ÓÐ Ø ÓÒ Ó ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Û Ñ Ò Ø Ø ÒÓØ Ò Û ÐÐ Ú Ö ÔÔ Òº ÓÖ Ö Ð¹Ø Ñ Ý Ø Ñ Ð ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ö ØÖ ÓÒØÖÓÐ ÓÖ ÔÖÓ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ò Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò ÔÐ ÒØ Ø Ð Ó Ö ÓÒ Ð ØÓ ÕÙ Ø ÓÒ ÓÙØ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ó Ö Ò Ö Ð Ø Ø Ó Ø Ý Ø Ñº Ì Ö ÓÖ Ò Ø Ô Ô Ö Û Ð Û Ø Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ù Ò Ë Ì¹ Ñ Ø Ó ØÓ ÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ ¾ ÓÖÑ Ð Ñ Ø Ø Ò Ù ØÓ ÑÓ Ð Ø ¹ Ú ÓÙÖ Ó Ö Ð¹Ø Ñ Ý Ø Ñº ÁØ ÜØ Ò Ò Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ý Ò Ò Ø

½ Ó Ò ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ Ø Ó Ú Ö Ð Ø Ø Ö Ð ØÓ Ñ ÙÖ Ö Ð¹Ø Ñ Ò ÜÔÖ Ø Ñ Ò ÓÒ¹ ØÖ ÒØ Ø Ú Ö Ð Ö ÐÐ ÐÓ º Ì Ñ ÒØ Ó Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ Ú Ò Ò Ø ÖÑ Ó Ò Ò Ò Ø Ð ÐÐ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Û Ø ØÛÓ Ò Ó ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒº Ì Ö Ø ÓÒ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ ØÓ Ò Ó ÐÓ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ØÓ Ø Ô Ó Ø Ñ º ÀÓÛ Ú Ö Ò ÓÖ Ö ØÓ Ò Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ò ØÓ Ó Ø Ó Ø Û Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò ÐÓ Ø ÓÒ º Ì Ó Ø Ò ØÓ ØÖ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ó Ø µ Û ÐÐ Ú Ø Ó Ø Ó Ö Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ó Ø Ò ØÓ ÐÓ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø µ Û ÐÐ Ò Ø Ó Ø Ó Ø Ñ Ô ÒØ Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ º ËÙ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ù Ñ ÒØ Û Ø Ó Ø Ö ÒÓÛÒ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø ÓÖ ÔÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÇÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ð ÓÒ ÓÑ Ò Ò Ø Û Ðй ÒÓÛ ÓÖÛ Ö Ö Ð ØÝ Ò ÐÝ Ò Ø ÓÙÒ ÑÓ Ð Ò Å µ Ñ Ø Ó ½ ½ º Ì ÓÖÛ Ö Ö Ð ØÝ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ø Ø Ø Ô Ù Ò Ø Ö Ø Ö Ø ÑÓ Û Ö Ø Å Ô Ö ÓÖÑ Ú Ö ¹ Ø ÓÒ ÓÒ Ô ÖØ Ó Ø ÙØÓÑ Ø ÑÓ Ð ÜÔÐÓ Ø Ò Ë Ì ÓÐÚ Ö º Ì Ö Ø Ó Ø Ô Ô Ö ÓÖ Ò ÓÐÐÓÛ º ÁÒ Ø Ò ÜØ Ø ÓÒ Û ÔÖÓ¹ Ú Ø Ñ Ò ÓÖÑ Ð Ñ Ù Ø ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö º º Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û Ò Ò ÓÐÚ Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÓÛ ÓÛ ÓÙÖ ÓÐÙ¹ Ø ÓÒ ØÓ Ø ÓÒ Ö Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÛÓÖ Ý Ñ Ò Ó Ø Ö ØÖ ÓÒØÖÓÐ ÔÖÓ Ð Ñº Ï ÓÒÐÙ Ò Ë Ø ÓÒ Ý Ù Ò Ö Ð Ø ÛÓÖ º ¾º Ï Ø Ì Ñ ÙØÓÑ Ø Ä Ø Ù Ø ÖØ Ý Ü Ò Ò Ñ Ó Ø Ø Ó ÒÙÑ Ö Ù Ò Ø Ö Ø Ó Ø Ô Ô Öº Ý IN = {0, 1, 2, 3,...} Û ÒÓØ Ø Ø Ó Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö Ý Q Ø Ø Ó ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Ò Ý PV Ø Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð º ÌÓ Ò Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø ÓÖÑ ÐÐÝ Û Ò ØÓ Ý Û Ø ØÝÔ Ó ÐÓ ÓÒ ØÖ ÒØ Ö ÐÐÓÛ Ù Ö Ò ÒÚ Ö ÒØ Ò Û Ø Ö Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ º Ì ÒØÖÓ Ù Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ù Ø ÓÒº ¾º½º ÐÓ Ò ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ò Ø Ø X Ó Ö Ð Ú Ö Ð ÐÐ ÐÓ Ø Ø C(X ) Ó ÐÐ Ø ÐÓ ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÚ Ö X Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÑÑ Ö cc ::= true x c x y c cc cc, Û Ö x, y X c IN Ò {,<,=,>, }º

Ë Ì¹ Ö Ò ÓÖ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ ½ ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ ØÓØ Ð Ñ ÔÔ Ò c : X Qº Ë Ø Ð ØÝ Ó ÐÓ ÓÒ ØÖ ÒØ cc C(X ) Ý ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ c c = ccµ Ò Ò ÙØ Ú ÐÝ ÓÐÐÓÛ c = true c = (x c) c(x) = c c = (x y c) c(x) c(y) c c = cc 1 cc 2 c = cc 1 Ò c = cc 2 º ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ó ÐÐ Ø ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ø Ý Ò ÐÓ ÓÒ ØÖ ÒØ cc ÒÓØ Ý [cc]º Ú Ò ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ c Ò δ Q Ý c+δ Û ÒÓØ ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ c Ù Ø Ø c (x) =c(x)+δ ÓÖ ÐÐ x Xº ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓÖ Ù Ø Ó ÐÓ X X c[x := 0] ÒÓØ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ c Ù Ø Ø ÓÖ ÐÐ x X c (x) =0 Ò ÓÖ ÐÐ x X\X c (x) =c(x)º Ò ÐÐÝ Ý c 0 Û ÒÓØ Ø Ò Ø Ð ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ º º Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ù Ø Ø c 0 (x) =0 ÓÖ ÐÐ x Xº ¾º¾º ËÝÒØ Ü Ò Ñ ÒØ Ï ÙÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø ÖÓÑ ÙØ Ù Ñ ÒØ ØÓ ÒÐÙ Ô Ð Ö Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð zº Ò Ø ÓÒ ½º Ï Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒµº Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ¹ ØÓÒ ØÙÔÐ A =(Σ,L,l 0, X,E,I,J s,j d,z,v) Û Ö Σ Ò Ø Ø Ó Ð Ð Ø ÓÒ µ L Ò Ø Ø Ó ÐÓ Ø ÓÒ l 0 Ò Ò Ø Ð ÐÓ Ø ÓÒ X Ò Ø Ø Ó ÐÓ E L Σ C(X ) 2 X L ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ I : L C(X ) Ò ÒÚ Ö ÒØ ÙÒØ ÓÒ J s : E IN Û Ø Ó Ø ÙÒ¹ Ø ÓÒ J d : L IN ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ z Ö Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ò V : L 2 PV Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ò ØÓ ÐÓ Ø ÓÒ Ø Ó ØÓÑ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ ØÖÙ Ò Ø Ø ÐÓ Ø ÓÒº Ì Û Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ØÓ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔÖ Ò Ø ÔÖ Ó Ø Ò Ø ØÖ Ò Ø ÓÒº Ì ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ØÓ ÐÓ Ø ÓÒ Ó Ø ÜÔÖ Ò Ø ÔÖ Ó Ø Ý Ò Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒ Ø Ñ ÙÒ Øº Ì ÒÚ Ö ÒØ ÙÒØ ÓÒ Ò ØÓ ÐÓ Ø ÓÒ ÐÓ ÓÒ ØÖ ÒØ Ü¹ ÔÖ Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÙÒ Ö Û A Ò Ø Ý Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒº Ð Ñ ÒØ t =(l, σ, cc,x,l ) E Ö ÔÖ ÒØ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÓÑ Ø ÐÓ Ø ÓÒ l ØÓ Ø ÐÓ¹ Ø ÓÒ l Û Ö σ Ø Ð Ð Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ t cc Ò Ø Ò Ð Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ t Ò X Ø Ó ÐÓ ØÓ Ö Øº Ì Ñ ÒØ Ó Ø Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ Ò Ý Ó Ø Ò ØÓ Ø Ò ÑÓ Ð Ò ÐÓÛº

½ Ó Ò ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ Ò Ø ÓÒ ¾º Ä Ø A =(Σ,L,l 0, X,E,I,J s,j d,z,v) Û Ø Ø Ñ Ù¹ ØÓÑ ØÓÒ z : {z} Q Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÖ z Ò z 0 ÒÓØ Ø Ò Ø Ð Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÓÖ z º º z 0 (z) =0º Ò ÑÓ Ð ÓÖ A ØÙÔÐ M(A) =(Σ Q,S,s 0,, V ) Û Ö Σ Q Ø Ó Ð Ð S = {(l, c, z) l L, c Q X, c = I(l), z Q} Ø Ó Ø Ø s 0 =(l 0, c 0, z 0 ) Ø Ò Ø Ð Ø Ø V : S 2 PV Ú Ð¹ Ù Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ù Ø Ø V ((l, c, z)) = V(l) Ò S Σ Q S Ø Ñ ÐÐ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÖÙÐ ÓÖ σ Σ (l, c, z) σ (l, c, z ) Ø Ö Ü Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ t =(l, σ, cc,x,l ) E Ù Ø Ø c = cc c = I(l) c[x := 0] = I(l ) Ò z = z + J s (t) Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒµ ÓÖ δ Q (l, c, z) δ (l, c + δ, z ) c, c + δ = I(l) Ò z = z + J d (l) δ Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒµº ÁÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ò Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ò Ø ÓÒ Ô Ö ÓÖÑ Ý Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒº Ì Ø ÓÒ Ò Ô Ö ÓÖÑ ÓÒÐÝ Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò Ò Ð Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø º ÅÓÖ ÓÚ Ö ÐÐ Ø ÐÓ Ø Ø Ö Ó Ø Û Ø Ø Ø ÓÒ Ö Ø ØÓ Þ ÖÓ Ø ÐÓ Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ò ÐÝ Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ú Ö Ð z ÒÖ Ý Ø Û Ø Ó Øº Ø Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ù Ò ÕÙ Ð ÒÖ Ò Ø Ú ÐÙ Ó ÐÐ Ø ÐÓ Ò Ó ÒÓØ ÒÚÓÐÚ ÐÓ Ø ÓÒ Ò º Ç Ú ÓÙ ÐÝ Ø Ò Û ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ú ØÓ Ø ÐÐ Ø Ý ÐÐ Ø ÐÓ Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ Ò Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ú Ö Ð z ÒÖ Ý Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ó Øº Ä Ø (l, c, z) δ,σ (l, c, z ) ÒÓØ Ø Ø (l, c, z) δ (l, c, z ) Ò (l, c, z ) σ (l, c, z ) Û Ö σ Σ Ò δ Q º ÖÙÒ ρ Ó Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ A Ò Ø ÕÙ Ò Ó Ø Ø (l 0, c 0, z 0 ) δ 1,σ 1 (l1, c 1, z 1 ) δ 2,σ 2 δ k 1,σ k 1... (l k 1, c k 1, z k 1 ) δ k,σ k (lk, c k, z k ) Ù Ø Ø (l i, c i, z i ) S σ i Σ Ò δ i Q ÓÖ i {1,...,k}º À Ö Ø Ö Û Ö Ö ØÓ ÖÙÒ ρ Ó Ð Ò Ø k k¹öùòº Ú Ò k¹öùò ρ Ó A Ò Ó Ø ÙÒØ ÓÒ J s Ò J d Û Ó Ø Ó Ø ØÓ ρ ÓÐÐÓÛ J s (ρ) = k 1 i=0 J s(t i ) Û Ö t i := (l i, c i, z i ) δ i+1,σ i+1 (l i+1, c i+1, z i+1 ) J d (ρ) = k i=1 δ i J d (l i )º Ì ØÓØ Ð Ó Ø Ó Ø ØÓ k¹öùò ρ Ò J(ρ) =J d (ρ)+j s (ρ)º Ì k¹óôø Ñ Ð Ó Ø ÓÖ k¹öùò Ø Ø Ø ÖØ Ø Ø Ø ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l Ò Ò Ø Ø Ø ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l Ò J k (l, l )=inf {J(ρ) ρ k¹ ÖÙÒ ÖÓÑ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l ØÓ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l }º

Ë Ì¹ Ö Ò ÓÖ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ ½ k¹öùò ρ ÖÓÑ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l ØÓ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l Ù Ø Ø J(ρ) = Jk (l, l ) ÐÐ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ðº ÁÒ Ø Ô Ô Ö ÓÖ Ú Ò ØÛÓ ÐÓ Ø ÓÒ l Ò l Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ò Ò Ø Ö Ø Ø ÒØ Ö ÐÓÛ Ö ÓÙÒ º ºÐº º ÓÖ ÓÖص Ó Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø ÓÖ k¹öùò Ø ÖØ Ò Ø Ø Ø s ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø Ø Ø t ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l Û Ö k Ø Ð Ò Ø Ó ÓÖØ Ø ÖÙÒ ÖÓÑ s ØÓ tº ÅÓÖ ÓÚ Ö Û Ö ÒØ Ö Ø Ò Ò Ò k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ º Ì Ö ÓÖ Ò Ë Ø ÓÒ Û Ò k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Û ÓÛ ÓÛØÓ ÓÐÚ Ø Ù Ò Ë Ì¹Ñ Ø Ó º ¾º º Ö Ø Ñ ÒØ ÁÒ Ö Ð¹Ø Ñ Ý Ø Ñ ÑÓ Ð Ý Û Ø µ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ Ù Ë Ì¹Ø Ò ÕÙ ØÓ Ø Ø Ö Ð ØÝ ÓÖ ÓØ Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ù ØÓÑ ÖÝ ØÓ Ö Ø Ø Ø Ó ÐÐ Ø ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ º À Ö Û Ø Ø Ö Ø Ø ÓÒ Ñ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ò ½ ÙØ Ö Û Ù Ø ¹ Ö Ø Ø ÓÒ Ø Ô Ø Ø Ô Ò ÒÓØ ÓÒÐÝ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó ÓÒ Ö ÖÙÒ ÙØ Ð Ó ÓÒ Ø Ñ Ü Ñ Ð ÙÖ Ø ÓÒ Ó Øº ÁØ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ó Ö Ø ÐÓ ³ Ú ÐÙ Ò Ð Ð ÔÖ Ñ Ø Ú º Ä Ø c max Ø Ð Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ c ÔÔ Ö Ò Ò ÐÐ Ø ÒÚ Ö ÒØ Ò Ù Ö Ó Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ Aº ÓÖ Ú ÖÝ m IN Û Ò A m = {a Q ( j IN) a 2 m = j} Ò B m = {b Q ( j IN) b 2 m = j Ò b<c max +1}º Ì Ò A = m=0 A m Ò Ø Ø Ó Ö Ø ÐÓ ³ Ú ÐÙ Ò B = m=1 B m Ò Ø Ø Ó Ð Ð º Ï Ù Ø Ø Ò ÕÙ ØÓ Ò Ö Ø ÑÓ Ð ÓÖ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒº Ì ÑÓ Ð ÖÙ Ð ÓÖ Ø ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ó Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ø Ë Ì¹ÔÖÓ Ð Ñ Ö Ò Ø Ò ÜØ Ø ÓÒº ÌÓ Ú Ò Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÑÓ Ð Ø Ø ÙÔÔÓÖØ ÐÓ ÓÒ ØÖ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ x y c Û Ö Ø Ö ÐÐ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Û Ö ÓÒ ÕÙ Ú Ð Ò ½ º Ò Ø ÓÒ º Ï Ö ÓÒ ÕÙ Ú Ð Ò µº ÙÑ Ø Ó ÐÓ X Ò ÓÖ ÒÝ t Q Ð Ø t ÒÓØ Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÒØ Ö Ðµ Ô ÖØ Ó t Ö Ô Ø Ú ÐÝ t µº Ì Û Ö ÓÒ ÕÙ Ú Ð Ò Ö Ð Ø ÓÒ = Q X Q X Ò ÓÐÐÓÛ º ÓÖ ØÛÓ ÐÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ u Ò v Ò Q X u = v ÐÐ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ ½ u(x) = v(x) ÓÖ ÐÐ x Xº ¾ u(x) =0 v(x) =0 ÓÖ ÐÐ x Xº u(x) < u(y) v(x) < v(y) ÓÖ ÐÐ x, y Xº Ò Ø ÓÒ º Ö Ø ÑÓ Ðµº Ä Ø A =(Σ,L,l 0, X,E,I,J s,j d,z,v) Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒº Ö Ø ÑÓ Ð ÓÖ A ØÙÔÐ

½ Ó Ò ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ M d (A) =(Σ B,S d,s 0 d, d, V d ) Û Ö S d = L A X B Ø Ó Ø Ø s 0 d =(l0, c 0, z 0 ) Ø Ò Ø Ð Ø Ø V d : S d 2 PV Ú ÐÙ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò Ý V d ((l, c, z)) = V(l) Ò d S d (Σ B) S d Ø Ñ» Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ò Ý Ì Ñ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ δ B (l, c, z) δ d (l, c + δ, z ) (l, c, z) δ (l, c + δ, z ) Ò M(A) Ò ( δ δ) c + δ = c ÓÖ c + δ = c + δ Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÒÝ σ Σ (l, c, z) σ d (l, c, z ) (l, c, z) σ (l, c, z ) Ò M(A)º Ì Ø ÓÖ Ñ ÐÓÛ ÓÛ Ø Ø Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ A Ò ÓÐÚ Ù Ò Ø Ö Ø ÑÓ Ð M d (A) Ò Ø Ó Ø Ò ÑÓ Ð M(A)º ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û ÒÓØ Ý ρ(s, t) ÖÙÒ Ø Ø Ø ÖØ Ø Ø Ø s Ò Ò Ø Ø Ø tº ÅÓÖ ÓÚ Ö ÓÖ ØÛÓ Ø Ø s =(l, c, z) Ò t =(l, c, z ) Û ÛÖ Ø s = t Ò ÓÒÐÝ l = l c = c z(z) = z (z) Ò z(z) =0 z (z) =0º Ì ÓÖ Ñ ½º Ä Ø A Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ s Ò t ØÛÓ Ø Ø Ò M(A) Ò ρ(s, t) k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ Ò M(A) Û Ö k IN Ø Ð Ò Ø Ó ÓÖØ Ø ÖÙÒ Ø Ø Ø ÖØ Ø s Ò Ò Ø tº Ì Ò Ø Ö Ü Ø ØÛÓ Ø Ø s Ò t Ò M d (A) Ò Ø Ö Ü Ø k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ ρ (s,t ) Ò M d (A) Ù Ø Ø s = s Ò t = t º ÈÖÓÓ Á µº Ì ÔÖÓÓ Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ º½ Ò ½ Ò Ø ÓÒ ÙØ Ý Ñ Ò Ó Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ kº Ì Ò ÙØ ÓÒ Ø Ô ÓÒ Ø Ò ÓÛ Ò Ø Ø ÓÖ q = (l, c q, z q ),r = (l, c r, z r ) M(A) q = (l, c q, z q ),r = (l, c r, z r ) M d (A) δ Q δ B q = q δ = δ Ò Ø Ö Ü Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ q δ,σ r q δ,σ r Ø Ò r = r º Ì ÖÙ¹ Ð Ô ÖØ Ó Ø Ò ÙØ ÓÒ Ø Ô Ö Ø Ö Ø ÓÙ Ò Ö Ð ÓÒ ÓÛ Ò Ø Ø z q + J d (l) δ = z q + J d (l) δ Û Ø Ö ÕÙ Ö Ù Ò ÓÑ Ø Ò Õ Ð Ø ÓÒ¹ ÖÒ Ò Ø ÙÒ ÖÐ Ò Ö Ø Ø ÓÒº º k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û ÓÖÑ ÐÐÝ Ò Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò Û ÔÖ ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ù Ë Ì¹ ÓÐÚ Ö º Ï Ø ÖØ Ý Ò Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Û Ö ÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ò ÓÖÑ ÐÐÝ Ò Ò ÐÝ Û ÓÛ ÓÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñº Ì k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò ÓÐÐÓÛ º

Ë Ì¹ Ö Ò ÓÖ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ ½ Ò Ø ÓÒ º k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð Øݵº Ú Ò Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ A =(Σ,L,l 0, X,E,I,J s,j d,z,v) Ò Ö Ð ÐÓ Ø ÓÒ l p L Ø Ý Ò ÔÖÓÔ ÖØÝ pº k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÓÒ Ø Ò Ò Ò k¹ ÕÙ ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ ρ Ø ÖØ Ò Ø s 0 d M d(a) Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ø Ø Ø Ò M d (A) ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l p º ÆÓØ Ø Ø ρ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ Ø Ò Ø Ö Ü Ø c IN Ù Ø Ø c J(ρ) <c+1 Ò ÓÖ ÐÐ Ø k ÖÙÒ ρ Ø Ø Ø ÖØ Ø s 0 d Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ø Ø Ò M d (A) ÓÒØ Ò Ò ÐÓ Ø ÓÒ l p J(ρ ) c ÓÐ º º½º ÇÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ Ò Ò ÓÖÑ Ð ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ Ï Ò Û Ø Ò Ò ÓÖÑ Ð ÜÔÐ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û Û ÐÐ ÐÔ ØÓ ÙÒ Ö Ø Ò Ø ÓÖÑ Ð Ö ÔØ ÓÒ ÔÖ ÒØ Ð Ø Ö ÓÒ Ò Ø Ø ÓÒº ÌÓ ÓÐÚ Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û ÔÖÓ ÓÐÐÓÛ º Ï Ö Ø ÒÓ Ý ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ ÓØ Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ p Ò Ø ÙÒ ÓÐ Ò Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ó M d (A) ÙÔ ØÓ Ø ÔØ k ÓÖ k INµº Ä Ø ϕ k Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÓÚ ÓÖÑÙÐ º Ï Ø Ø ϕ k ÓÖ Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ø Ð ØÝ Ù Ò Ë Ì¹ ÓÐÚ Öº Á Ø Ø Ø ÓÖ ϕ k ÔÓ Ø Ú Û ÐÙÐ Ø Ø Ó Ø r 0 Q Ó Ø Ö ÙÐØ Ò Û ØÒ ρ 0 Ò Û ÒÓÛ Ø Ø J(ρ 0 ) < r 0 º Æ ÜØ Û Ø c 0 = r 0 1 Ò Û ÖÙÒ Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ø Ð ØÝ Ø Ø ÓÒ Ò ÙØ ÓÖ Ø ÓÖÑÙÐ φ k (c 0 )=ϕ k (z <c 0 ) ½ º Á Ø Ø Ø ÓÖ φ k (c 0 ) ÔÓ Ø Ú Û ÐÙÐ Ø Ø Ó Ø r 1 Q Ó Ø Ö ÙÐØ Ò Û ØÒ ρ 1 Ò Û ÒÓÛ Ø Ø r 1 <c 0 º Æ ÜØ Û Ø c 1 = r 1 1 Ò Û ÖÙÒ Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ø Ð ØÝ Ø Ø ÓÒ Ò ÙØ ÓÖ Ø ÓÖÑÙÐ φ k (c 1 )=ϕ k (z <c 1 ) Ò Ó ÓÒº Ï ØÓÔ Ø Ø Ò Ø Ø Ø ÓÖ φ k (c i ) Ò Ø Ú ÓÖr i =0º ÆÓØ Ø Ø Ø Ø Ø ÓÖ φ k (c i ) Ò Ø Ú Û Ò Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ ÑÓÖ Ø Ø ÓÖ Ø ÓÖÑÙÐ ψ k (c i )=ϕ k (z = c i )º Á Ø Ø Ø ÓÖ ψ k (c i ) ÔÓ Ø Ú Û Ò ÓÒÐÙ Ø Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÓ c i º ÇØ ÖÛ Û Ò ÓÒÐÝ ÓÒÐÙ Ø Ø Ø º ºÐº º Ó Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÓ c i º º¾º ÌÖ Ò Ð Ø ÓÒ ØÓ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ Ä Ø A = (Σ,L,l 0, X,E,I,J s,j d,z,v) Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ M d (A) =(Σ B,S d,s 0 d, d, V d ) Ö Ø ÑÓ Ð Ò k INº Ø Ø s Ó M d (A) Ö Ð ÓÒ k¹öùò Ò ÒÓ Ý Ø¹Ú ØÓÖ Û Ó Ð Ò Ø Ý n Ô Ò ÓÒ Ø ÒÙÑ Ö Ó ÐÓ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ø ÒØ c max Ø Ñ Ü Ñ Ð ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö kº Ì Ù Ø Ø s Ó M d (A) Ò Ö Ô¹ Ö ÒØ Ý Ú ØÓÖ w =(w[1],...,w[n]) Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ù Ù ÐÐÝ ½ Ì ÒÓØ Ø ÓÒ z<c i ÓÖi =0, 1, 2,... ÔÔ Ö Ò Ò Ø Ø ÓÒ ÒÓØ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ ÒÓ Ò Ø Ø Ø Ø Ø Ú ÐÙ Ó Ø Ú Ö Ð z Ð Ø Ò c iº

½ ¼ Ó Ò ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ ÐÐ Ø Ø Ú Ö Ð µ ØÓ Û Û Ö Ö ØÓ ÐÓ Ð Ø Ø Ú Ö Ð ¾ º Ò Ø ÕÙ Ò (w 0,...,w k ) Ó ÐÓ Ð Ø Ø Ú Ö Ð ÐÐ ÝÑ ÓÐ k¹ô Ø º ÓÖ ØÛÓ ÐÓ Ð Ø Ø Ú Ö Ð w, w Û Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ I s (w) ÓÖÑÙÐ ÓÚ Ö w Ø Ø ØÖÙ ÓÖ Ú ÐÙ Ø ÓÒ s w Ó w s w = sº p(w) ÓÖÑÙÐ ÓÚ Ö w Ø Ø ØÖÙ ÓÖ Ú ÐÙ Ø ÓÒ s w Ó w p V(s w ) ÒÓ Ø Ó Ø Ø Ó M d (A) Ò Û p PV ÓÐ µº T (w, w ) ÓÖÑÙÐ ÓÚ Ö w Ò w Ø Ø ØÖÙ ÓÖ ØÛÓ Ú ÐÙ Ø ÓÒ s w Ó w Ò s w Ó w (s w,s w ) d ÒÓ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ó M d (A)µº Ì Ò Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑÙÐ T ÒÚÓÐÚ Ø ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ø ÓÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÓÒ Ð ÒÙÑ Ö Û Ò Ö Ò ½ º Ï Ò ÒÓÛ Ò Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ ϕ k ÒØÖÓ Ù Ò ËÙ ¹ Ø ÓÒ º½º Ø Û Ñ ÒØ ÓÒ Ò ËÙ Ø ÓÒ º½ ϕ k ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ØÛÓ ÓÖÑÙÐ º Ì Ö Ø ÓÒ ÒÓØ Ý p(w) ØÖ Ò Ð Ø ÓÒ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð p Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ø ÓÒº Ì ÓÒ ÓÒ ÒÓØ Ý [M s0 d d ] k ÒÓ Ø ÙÒ ÓÐ Ò Ó Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ð Ø ÓÒ Ó M d (A) ÙÔ ØÓ ÔØ k INº Ì ÓÖÑÙÐ [M s0 d d ] k Ò ÓÚ Ö ÐÓ Ð Ø Ø Ú Ö Ð w i ÓÖ 0 i k Ò Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÝÑ ÓÐ k¹ô Ø ØÓ Ú Ð k¹öùò Ó M d (A)º Æ Ñ ÐÝ [M s0 d d ] k := I s 0 d (w 0 ) k 1 i=0 T (w i,w i+1 ) º º ÇÙÖ ÓÐÙØ ÓÒ ÓÖÑ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÆÓÛ Û Ú Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÖÑ Ð Ø Ñ Ø Ó ÓÖ Ò Ò Ø Ö Ø Ø ÒØ Ö ÐÓÛ Ö ÓÙÒ Ó k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ò ÓÖÑ ÐÐÝ Ö ÓÚ º ÁÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ½ Û Ù Ø ÔÖÓ ÙÖ checksat (γ) Ø Ø ÓÖ ÒÝ Ú Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ γ Ö ØÙÖÒ Ô Ö (X, W ) Û Ö W ÒÓØ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö ØÙÖÒ Ý Ë Ì ÓÐÚ Ö Ò X Ò ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ö Ú ÐÙ TRUE FALSE Ò UNKNOWNº Ì Ñ Ò Ò Ó Ø Ú ÐÙ TRUE Ò FALSE Ö Ð ¹ Ú Òغ Ì Ú ÐÙ UNKNOWN Ö ØÙÖÒ Ø Ö Ø ÔÖÓ ÙÖ checksat ÒÓØ Ð ØÓ Ø Ð ØÝ Ó Ø Ö ÙÑ ÒØ ¾ ÆÓØ Ø Ø Û Ø Ò Ù ØÛ Ò Ø Ø s ÒÓ ÕÙ Ò Ó ¼³ Ò ½³ Ò Ø Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð w[i]º

Ë Ì¹ Ö Ò ÓÖ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ ½ ½ Û Ø Ò ÓÑ ÔÖ Ø Ø Ñ ÓÙØ Ô Ö Ó ÓÖ ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ð Ù ØÓ Ü Ù Ø ÓÒ Ó Ú Ð Ð Ñ ÑÓÖݺ Ï Ð Ó Ù Ø ÔÖÓ ÙÖ getcost(w ) Ø Ø ÓÖ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ W Û Ö ÔÖ ÒØ k ÖÙÒ ρ Ö ØÙÖÒ Ò ØÙÖ Ð ÒÙÑ Ö c Ù Ø Ø Ø Ó Ø Ó ρ Ð Ø Ò cº ÙÖØ Ö ÓÖ Ú Ò ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÖÑÙÐ ϕ k Û ÒÓØ Ý φ k (c) Ø ÓÖÑÙÐ ϕ k (z <c) Ò Ý ψ k (c) Ø ÓÖÑÙÐ ϕ k (z = c)º Ð ÓÖ Ø Ñ ½ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ò Ò º ºÐº º Ó k¹óôø Ñ Ð Ó Ø ½ k 0 ¾ Ö Ô Ø (result, W) checksat (ϕ k ) result = FALSE Ø Ò k k +1 Ð result = UNKNOWN Ø Ò Ö ØÙÖÒ UNKNOWN Ò ÙÒØ Ð result = TRUE ßØ Ö Ü Ø Û ØÒ Ó Ø Ð Ò Ø k ÓÖ Ö Ð ÔÖÓÔ ÖØÝÐ ½¼ c getcost(w ) ½½ Ö Ô Ø ½¾ c =0Ø Ò ½ Ö ØÙÖÒ k¹óôø Ñ Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÓ 0 ½ Ò ½ (result, W) checksat (φ k (c 1)) ½ result = TRUE Ø Ò ½ c getcost(w ) ½ Ð result = UNKNOWN Ø Ò ½ Ö ØÙÖÒ UNKNOWN ¾¼ Ò ¾½ ÙÒØ ÐÐ result = FALSE ßÓÔØ Ñ Ð Ó Ø Ó ÒÝ k¹öùò Ö Ø Ö ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ cð ¾¾ (result, W) checksat (ψ k (c)) ¾ result = TRUE Ø Ò ¾ Ö ØÙÖÒ k¹óôø Ñ Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÓ c ¾ Ð ¾ Ö ØÙÖÒ º ºÐº º Ó k¹óôø Ñ Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÓ c ¾ Ò

½ ¾ Ó Ò ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ º ØÙ Ý º½º Ò Ö ØÖ ÓÒØÖÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ï Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø Ø Ö Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ö Ù Ø Ð ÓÖÑ Ð Ñ ÓÖ ÑÓ ÐÐ Ò Ú Ö Ð ÓÔØ Ñ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÙÐ Ò ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ö ØÖ ÓÒØÖÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ º ÁÒ Ø Ø ÓÒ Û Ø ÐÓ Ö ÐÓÓ Ø Ø Ð Ø Ö ÔÖÓ Ð Ñº ÙÑ ØÙ Ø ÓÒ Ò Û ØÛÓ ÖÖ Ø Ò Ð Ò Ò Ö ÕÙ Ø ØÓ Ò ÖÔÓÖØ Ò Ø Ý Ö ÔÔÖÓ Ò Ø Ñ ÖÙÒÛ Ýº Ì Ó Ð ØÓ ÐÐÓÛ ÓØ Ø ÖÖ Ø ØÓ Ð Ò ÐÝ Ò Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Øº Ë ØÝ Ö ÕÙ Ö Ø Ø ÓÒÐÝ ÓÒ ÖÖ Ø Ø Ø Ñ ÑÙ Ø ÒÓÛÐ ÓÖ Ð Ò Ò Ø Ù Ø Ö Ö ØÛÓ ÔÓ Ð Ó ÖÖ Ø ½ Û Ø ÓÖ Ø Ð Ò Ò Ó ÖÖ Ø ¾ ØÓ ÓÑÔÐ Ø ÓÖ Ú Ú Ö º Ì Û Ø Ò Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ö Ý ÐÓÛ Ò ÓÛÒ Ò ÖÖ Ø Ø ÓÒ ÖÒ ØÙ Ø ÓÒ Ò Û Ø ÖÖ Ø Ö Ø Ñ ØÖ ØÓÖÝ Ò Ø ÖÖ Ø Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Öµ ÓÖ Ý ÓÖ Ò ÓÒ Ó Ø Ñ ØÓ Ò Ø ØÖ ØÓÖÝ Ø ÓÒ ÖÒ ØÙ Ø ÓÒ Ò Û Ø ÖÖ Ø Ö Ø Ó Ò Ò ÔÓ ÒØ Ó Ø Ö ØÖ ØÓÖ ÐÑÓ Ø Ø Ø Ñ Ø Ñ µº ÓÒ Ö Ø ÙØÓÑ ØÓÒ Ò ÙÖ ½ º ÁØ ÑÓ Ð Ø ÓÚ Ò Ö Ó º º Ø Ö Ø Ú ÐÙ c 1 Ò c 2 Ö Ø Ó Ø Ó Ø Ó Ó ÓÖ Ò Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÖÖ Ø ½ Ò ÖÖ Ø ¾ ØÓ Û Øº Ì Ó Ø Ð Ð Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÖÓÑ ÐÓ Ø ÓÒ Start ØÓ ÐÓ Ø ÓÒ W 1 Ò ÖÓÑ ÐÓ Ø ÓÒ Start ØÓ ÐÓ Ø ÓÒ W 2 º Ì Ó Ø w i ØØ ØÓ ÐÓ Ø ÓÒ W i Ö Ð Ø ØÓ Ø Ø Ñ Ô ÒØ ÓÒÛ Ø Ò Ý ÖÖ Ø iº ÓÖ Ø ÖÖ Ø Ø Ø ØÓ Û Ø ÓÖ Ø Ð Ö Ò Û ÑÓ Ð ØÛÓ ÔÓ Ð Ñ ÒÓ ÙÚÖ º Ö Ø ÓÒ ØÓ Ö Ù Ø Ô Ò Ò Ø Ø ÖÖ Ø Ø Ý Ò ÐÓ Ø ÓÒ W i º ÒÓØ Ö ÔÓ Ð ØÝ ØÓ Ò Ø ÓÖ Ò Ð ØÖ ØÓÖÝ Û ÑÓ ÐÐ Ý Ø ÐÓÓÔ ØÖÓÙ ÐÓ Ø ÓÒ W i º Ó Ò Ø Ñ ÒÓ ÙÚÖ Ö ÕÙ Ö Ü Ó Ø c i Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ñ ÙÒ Ø Ò ÐÐÓÛ ØÓ Ô Ý w i Ò Ø Ó w i Ô Ö Ø Ñ ÙÒ Øº Ë Ò Ø Ö Ð Ø ØÓ Ö Ù Ø Ø Ñ ÖÙÒÛ Ý Ø Ý ÙÒÙ Û Ô Ò Ð Ø Ú ÒØ Ý Ó Ø c 0 Ô Ö Ø Ñ ÙÒ Øº Ò ÐÐÝ Û ÙÑ Ø Ø Ø Ð Ò Ò Ó ÖÖ Ø Ø Ø Ð Ø ÓÒ Ø Ñ ÙÒ Ø Ò Ø Ö Ð Ø ÒÓÛÐ Ñ ÒØ Û Ù Ý Ø ÓÒØÖÓÐ ØÓÛ Öº º¾º ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ ÐÐ Ó Ø ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ú Ò Ô Ö ÓÖÑ ÓÒ ÓÑÔÙØ Ö ÕÙ ÔÔ Û Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ ÁÒØ Ð ÓÖ ¾ ÙÓ ¾ ÀÞµ ¾ Ñ Ò Ñ ÑÓÖÝ Ò Ø ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ä ÒÙܺ ÁÒ Ì Ð ½ Ò ¾ Û ÔÖ ÒØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ ÓÖ Ø Ö ØÖ ÓÒØÖÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÑÓ Ð Ý Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÓÒ ÙÖ ½ Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ó Ø c 0 =20 w 2 =20 w 2 =40 w 1 =60 w 1 =40 c 1 =20 c 1 =20 c 2 =20 c 2 =20 Û Ö Ö ØÓ Ø ÙØÓÑ ØÓÒ ÙØÓÑ ØÓÒ ½º

Ë Ì¹ Ö Ò ÓÖ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ ½ x 2 > 1 w 2 w 2 x 1 < 1, x 2 < 1 Start W 2 W 2 c c 2, x 1 := 0 c 0 x 1 < 2 2, x 2 := 0 c 1 x 2 := 0 x 1 < 1 x 2 < 1 x 1 > 1 x 2 < 2 c 0 + w 2 W 1 L 2 w 1 x 1 > 1 c 1 x 1 := 0 x 2 > 1 1 <x 2 < 2 w 1 c 0 + w 1 W 1 1 <x 1 < 2 L 1 Target ÙÖ ½ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ ÓÖ Ò Ö ØÖ ÓÒØÖÓÐ ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ð ½ ÓÛ ÓÛ Û Ø ÓÖØ Ø ÖÙÒ Ó ÙØÓÑ ØÓÒ ½ Ø Ø Ð ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Ø Ø s 0 d =(Start,< 0, 0 >, 0) ØÓ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ Targetº Ì Ó Ø Ó Ø 6¹ÖÙÒ ÕÙ Ð ØÓ 64 512 12 º º Ð ÓÖ ÕÙ Ð Ø Ò 65º Ì Ð ¾ ÓÛ ÓÛ Û Ø Ø 6¹ÕÙ ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ Ó ÙØÓÑ ØÓÒ ½ Ù Ø Ø Ø º ºÐº º Ó 6¹ÓÔØ Ñ Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÓ 40º Ì Ð ÓÛ Ø 6¹ÕÙ ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ Ó ÙØÓÑ ØÓÒ ½ Ø Ø Ð ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Ø Ø ØÓ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ Target Û Ø Ø º ºÐº º Ó 6¹ÓÔØ Ñ Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÓ 40º Å ÏÌ ÊË Ø Ú Ö Ð Ð Ù Å Å Ø Ð ¼ ½ ½ ¼ ¼º¼¼ ½º ¼º¼ ½º ÆÇ ¾ ¾¾ ½ ¼º½¾ ¾º ¼º¼ ½º ÆÇ ¼½ ½ ¼ ¼º½¾ º½ ¼º¼ ¾º ÆÇ ¾ ¾¾ ¼ ¼º½ º ¼º¼ ¾º Ë Ì Ð ½ Ì ÓÖØ Ø ÖÙÒ Ó ÙØÓÑ ØÓÒ ½ ÓÒ Û Ø Target ÐÓ Ø ÓÒ Ö Ð º ÁØ ØÓØ Ð Ó Ø 64 12 512 º º ÓÒÐÙ ÓÒ Ò Ö Ð Ø ÛÓÖ ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú Ò Ø k¹óôø Ñ Ð Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò ÔÖ ÒØ Ë Ì¹ Ñ Ø Ó ÓÒ Ø Ò Ò Ö Ù Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ø Ë Ì¹ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Û Ú ÓÛÒ ÓÛ ØÓ Ò k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ Ø Ø Ø ÖØ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ö Ð Ø Ö Ø Ø Ø Ò ÓÛ ØÓ ÐÙÐ Ø º ºÐº º Ó k¹óôø Ñ Ð Ó Ø ÓÖ Øº ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ Û Û Ú Ô Ö ÓÖÑ ÓÛ Ø Ø Ø ÔÖÓÔÓ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ú ÖÝ Ù ÙÐ Ò Ò Ò º ºÐº º Ó k¹óôø Ñ Ð Ó Øº Ç Ú ÓÙ ÐÝ

½ Ó Ò ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ ÓÙÖ Ñ Ø Ó ÐÐÓÛ ÓÖ Ò Ò ÓÒÐÝ ÐÓÛ Ö Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø Ó Ø ØÓ Û Ø k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ ÐÓÒ Ò ÙÒ Ø ÒØ ÖÚ Ð [c, c +1) ÓÖc INµ ÙØ Ò Ñ ÒÝ Ö Ð¹Ø Ñ ØØ Ò Ù Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ Ù Òغ Å ÏÌ ÊË Ø z<c Ó Ø Ú Ö Ð Ð Ù Å Å Ø Ð z<64 59 132 512 ½ ¾ ½¾ ¼º¾¾ º ¼º¼ º¾ Ë z<59 48 444 512 ¼ ¾ ¼º¾½ º ¼º½ º¾ Ë z<48 46 508 512 ¾ ¾ ¼º¾¾ º ¼º¼ º¾ Ë z<46 43 504 512 ¾ ¾ ¼º¾¾ º ¼º¼ º¾ Ë z<43 42 36 512 ½ ¾ ¾ ¼º¾ º ¼º¼ º¾ Ë z<42 41 368 512 ½½ ¾ ¼º¾¾ º ¼º¼ º¾ Ë z<41 40 480 512 ¾ ¼º¾¾ º ¼º¼ º¾ Ë z<40 ¹ ¾ ¾ ¾ ¼º¾¾ º ¼º¼ º¾ ÆÇ z =40 ¹ ¾ ¾ ½½ ¼º¾¼ º ¼º¼ º¼ ÆÇ Ì Ð ¾ Ë Ö Ò ÓÖ 6¹ÕÙ ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ Ó ÙØÓÑ ØÓÒ ½ Ø Ø Ð ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Ø Ø ØÓ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ Targetº Ì º ºÐº º Ó 6¹ÓÔØ Ñ Ð Ó Ø ÕÙ Ð ØÓ 40º ÐÓ Ø ÓÒ Ú ÐÙ Ó Þ Ð Ý Ú ÐÙ Ó Ü½ ܾ ¼ Start < 0+ 0 512 > < 0+ 0 512 > < 0+ 0 512, 0+ 0 ½ Start < 0+ 20 512 > < 0+ 1 512 > < 0+ 1 512, 0+ 1 ¾ W 2 < 20 + 20 512 > < 0+ 0 512 > < 0+ 0 512, 0+ 1 W 2 < 40 + 480 23 23 24 512 > < 1+ 512 > < 1+ 512, 1+ L 2 < 40 + 480 512 > < 0+ 0 23 24 512 > < 1+ 512, 1+ L 2 < 40 + 480 512 > < 0+ 0 23 24 512 > < 1+ 512, 1+ Target < 40 + 480 512 > < 0+ 0 23 27 512 > < 1+ 512, 1+ 512 > 512 > 512 > 512 > 512 > 512 > 512 > Ì Ð 6¹ÕÙ ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ Ó ÙØÓÑ ØÓÒ ½ Ð Ò ØÓ Ø Ø ÓÒØ Ò Ò Ø ÐÓ Ø ÓÒ Targetº Ì ÓÔØ Ñ Ð Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Û ÓÒ Ö Ý Ñ ÒÝ Ö Ö Ö Ò Ú Ö Ð ÔÔÖÓ ØÖ Ø Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÓÒØ ÜØ Ó Ø Ñ ÓÖ Ý Ö ÙØÓÑ Ø Ú Ò Ö Ò Ø Ð Ø Ö ØÙÖ ÙØ ÒÓÒ Ó Ø Ñ Ù Ë Ì¹ Ñ Ø Ó º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ò Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÓÑÔÙØ Ò ÐÓÛ Ö Ò ÙÔÔ Ö ÓÙÒ ÓÒ Ø Ñ Ð Ý Ò Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ö º ÁÒ ½ ÙÖ Ø ÓÒ¹ ÓÙÒ Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ù Ñ ÒØ ØÓ ÒÐÙ Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ÓÒ Ö º Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö ÖÙÒ Ó Ø Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ ÖÓÑ Ø Ò Ø Ð Ø Ø ØÓ Ø Ú Ò Ò Ð Ø Ø Ù Ø Ø Ø ÙÖ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÙÒ Ø Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÒ ØÖ ÒØ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ó Øµº

Ë Ì¹ Ö Ò ÓÖ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ ½ Ì ÙÖ Ø ÓÒ¹ ÓÙÒ Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ð Ó Ò ÐÝ Ò ½¼ º Ì Ù Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ö Ù ØÓ Ò Û Ø Ö ÙÖ Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Û Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ó Ø Ø Ý ÒØ Ö ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ó Ò ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ô Ò Ó Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒµº Ì ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø Ó ÕÙ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ø Ö Ø Ð Ò Ø Ó Ø Ñ Óѹ ÔÙØ Ø ÓÒ Ô Ò Ò ÙØÓÑ ØÓÒ ÐÓ Ø ÓÒº Ì ÛÓÖ Ð Ó Ø Ð Ø ÓÔØ Ñ Ð Ñ Ò ÑÙÑ¹Ø Ñ µ Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ö Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖÑÙÐ Ø Ò Ø ÖÑ Ó Ø Ñ Ñ ÙØÓÑ ØÓÒ Ì µ Ò ÓÐÚ Ý ÓÒ ØÖÙØ Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð ØÖ Ø Ý Ù Ò Û Ö Ü ¹ÔÓ ÒØ ÐÙÐ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ø Ø ¹ Ô Ó Ø Ì º Å Ò ÑÙÑ¹Ø Ñ Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ð Ó ÓÐÚ Ò ½¾ º ÀÓÛ Ú Ö Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ ÓÒ Ø ÓÖÛ Ö Ü ¹ÔÓ ÒØ Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Ø Ø Ò Ö Ø ÓÒ¹Ø ¹ Ý ÓÖÛ Ö Ö Ð ØÝ Ö Ô ÓÖ Ú Ò Ø Ñ ÙØÓÑ ØÓÒº Ì Ô Ô Ö ÒØÖÓ Ù ÔÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø ÔÖ ÓÒ ÓØ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò ÐÓ Ø ÓÒ Ò ÓÛ ÓÛ ØÓ ÓÐÚ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ó Ø Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÖØ Ó ÙØÓÑ Ø Û Ú Ù Ò Ø Ô Ô Öº ÁÒ Ù Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ Ø Ò Ð ¹ ÓÙÖ ÓÔØ Ñ Ð Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø ÓÐÚ Ý Ö ÙØ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ Ð Ñ ØÓ Ô Ö Ñ ØÖ ÓÖØ Ø¹Ô Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ñ Ø Ó ÔÖ ÒØ Ò ÓØ Ô Ô Ö Ò Ö ÓÒ ÐÓ Ö ÓÒ Ö Ô Ò Ø ÙØ ÓÖ Ö Ö ØÓ ÔÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÙÖØ Ö Ø Ô Ô Ö Ö Ø ÓÔØ Ñ Ð Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø Ó Ø ÙÒØ ÓÒ ÐÐÓÛ Ò ÓÖ ÓØ ÔÓ Ø Ú Ò Ò Ø Ú Ó Ø ÓÒ Ò ÐÓ Ø ÓÒ Ò ÔÔÐÝ Ø ÔÖÓÔÓ Ñ Ø Ó ØÓ Ø Ñ Ñ º ÁÒ ½½ Ø Ð ØÝ Ó Ø ÓÔØ Ñ Ð Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ó Øµ Ö Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÑÙÐØ ¹ÔÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ó Ø Ú Ö Ð ÚÓÐÚ Ò ÓÖ Ò ØÓ Ú Ò Ö Ø ÓÖ ÐÓ Ø ÓÒµ ÔÖÓÚ Ò Ò Ó Ø¹ÓÔØ Ñ Ð Ò Ò Ø ÙÐ Ò Ø ÖÑ Ó Ñ Ò Ñ Ð ÓÖ Ñ Ü Ñ Ðµ Ó Ø Ô Ö Ø Ñ Ö Ø Ó Ò Ø Ð Ñ Ø ÓÒ Ö º Ê Ö Ò ½ ʺ ÐÙÖ º ÓÙÖÓÙ Ø Ìº À ÒÞ Ò Öº ÓÑÔÙØ Ò ÙÑÙÐ Ø Ð Ý Ò Ö Ð¹Ø Ñ Ý Ø Ñ º ÓÖÑ Ð Å Ø Ó Ò ËÝ Ø Ñ Ò ½½ ¾µ ½ ½ ½ º ¾ ʺ ÐÙÖ º Ðк Ø ÓÖÝ Ó Ì Ñ ÙØÓÑ Ø º Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½¾ ¾µ ½ ¾ ½ º ʺ ÐÙÖ Ëº Ä ÌÓÖÖ º º È ÔÔ º ÇÔØ Ñ Ð Ô Ø Ò Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ½ µ ¾ ¾¾ ¾¼¼ º

½ Ó Ò ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ º Ö Ò Çº Å Ð Öº ÓÓÒ ÔÓ Ð Ì Ñ ÓÔØ Ñ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÁÒ ÈÖÓº ¾Ò ÁÒغ ÏÓÖ ÓÔ ÓÒ ÀÝ Ö ËÝ Ø Ñ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÓÒØÖÓÐ ÚÓк ½ Ó ÄÆ Ë ÔÔº ½ ¼º ËÔÖ Ò Ö ½ º º ÖÑ ÒÒ º Ò Ö ÌºËº ÀÙÒ Ãº º Ä Ö Ò Èº È ØØ Ö ÓÒ Âº ź ̺ ÊÓÑ Ò ºÏº Î Ò Ö Ö º Ϻ Î º ÖÑ ÒÒ º Ò Ö Ìº ÀÙÒ Ãº Ä Ö Ò Èº È ØØ Ö ÓÒ Âº ÊÓÑ Òº Å Ò ÑÙÑ¹Ó Ø Ö Ð¹ ØÝ ÓÖ ÔÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÁÒ ÈÖÓº ÀË ³¼½ ÚÓк ¾¼ Ó ÄÆ Ë ÔÔº ½ ½ ½º ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼½º º Ö º Ñ ØØ º Ð Ö Çº ËØÖ Ñ Ò º Ùº ÓÙÒ ÑÓ Ð Ò º ÁÒ À ÐÝ Ô Ò Ð ËÓ ØÛ Ö ÚÓк Ó Ú Ò Ò Óѹ ÔÙØ Ö º Ñ ÈÖ ¾¼¼ º ÈÖ ¹ÔÖ Òغ Ⱥ ÓÙÝ Ö Ìº Ö Ý Îº ÖÙÝ Ö Âº Ê Òº ÇÒ Ø ÓÔØ Ñ Ð Ö ¹ Ð ØÝ ÔÖÓ Ð Ñ Ó Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÓÖÑ Ð Å Ø Ó ËÝ Ø Ñ Ò ½ ¾µ ½ ½ ¾¼¼ º Ⱥ ÓÙÝ Ö º Ö Ò Ñ Ãº º Ä Ö Òº ÇÔØ Ñ Ð Ò Ò Ø ÙÐ Ò ÓÖ ÑÙÐØ ¹ÔÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º ÓÖÑ Ð Å Ø Ó Ò ËÝ Ø Ñ Ò ¾ ½µ ¾ ¾¼¼ º º ÓÙÖÓÙ Ø Åº ÒÒ º Å Ò ÑÙÑ Ò Ñ Ü ÑÙÑ Ð Ý ÔÖÓ ¹ Ð Ñ Ò Ö Ð¹Ø Ñ Ý Ø Ñ º ÓÖÑ Ð Å Ø Ó Ò ËÝ Ø Ñ Ò ½ µ ½ ½ ¾º ½¼ º Ã Ø Ò º ÈÒ٠Рº Ë Ëº ÓÚ Ò º Ð ÒØ Ö Ø ÓÒ Ö Ô º ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ½ ¼ ¾µ ¾¼ ¾ ½ º ½½ ú º Ä Ö Ò Âº Áº Ê ÑÙ Òº ÇÔØ Ñ Ð Ö Ð ØÝ ÓÖ ÑÙÐØ ¹ÔÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø º Ì ÓÖ Ø Ð ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ¼ ½ ¾½ ¾¼¼ º ½¾ Ⱥ Æ ÖØ Ëº ÌÖ Ô Ëº ÓÚ Ò º Å Ò ÑÙÑ¹Ø Ñ Ö Ð ØÝ ÓÖ Ì Ñ ÙØÓÑ Ø º ÁÒ ÈÖÓº Ø Á Å Ø ÖÖ Ò Ò ÓÒ º ÓÒ ÓÒØÖÓÐ Ò ÙØÓÑ Ø ÓÒ Å ³¾¼¼¼µ È ØÖÓ Ö ÂÙÐÝ ¾¼¼¼º ½ Ϻ È ÒÞ º ÏÓõÒ º ÖÞ ÞÒݺ ÓÙÒ ÑÓ Ð Ò ÓÖ Ø ÙÒ Ú Ö Ð Ö Ñ ÒØ Ó Ìĺ ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ½ ½¹¾µ ½ ½ ¾¼¼¾º ½ º ÏÓõÒ º ÖÞ ÞÒÝ Ïº È ÒÞ º Ò Ö Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ ÓÖ Ì Ñ ÙØÓÑ Ø Ú Ë Ìº ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ¾¾ ¾ ½ ¾¼¼ º ½ º ÖÞ ÞÒݺ Ë Ì¹ Ö Ð ØÝ Ò ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø ÓÒ Ð ÓÒ ØÖ ÒØ º ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ½¹ µ ¼ ¾¾ ¾¼¼ º ½ º ÖÞ ÞÒݺ ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÁÒ ÈÖÓº ÁÒغ ÏÓÖ ÓÔ ÓÒ ÓÒÙÖÖ ÒÝ ËÔ Ø ÓÒ Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò ÚÓк ½ ¼ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ¹ Ö Ø ÔÔº º ÀÙÑ ÓÐ Ø ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾¼¼ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÇÇÄ Æ Æ Ç ÁÆ Ç ÊÁÌÀÅ ÌÁ ÇÈ Ê ÌÁÇÆË Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ºÞ ÖÞ ÞÒÝ ºÞ غÔÐ ØÖ Øº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÔÖ ÒØ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó ÓÙÖ Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÒØ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ú ÓÒº ÁÒØ Ö ÒÙÑ Ö Ö ÒÓ Ò ØÛÓ³ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñ Ú ØÓÖ Ó ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø ÙÐÐÝ ÒÓ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ú ØÓÖ Ó ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ º ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÑÔÓÖØ ÒØ Ù Ò ÓÑ Ö Ó ÝÑ ÓÐ ÑÓ Ð Ò ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Ë Ì¹ ÑÓ Ð Ò ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø Ö Ø Ø Ì µ º º Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ù Ñ ÒØ Û Ø ÒØ Ö Ú Ö Ð º Ì Ö Ø ØØ ÑÔØ ØÓ Ú ÐÓÔ ÓÙÒ ÑÓ Ð Ò ÓÖ Ì Û ÙÒ ÖØ Ò Ò º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ø Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ö Ò Ø Ô Ô Ö Û Ð Ñ Ø ØÓ Ø ÓÒ Ò Ù ØÖ Ø ÓÒ Ó ÒØ Ö Ú Ö Ð º ÁÒ Ë ØÙÖÒ Ø Ý Ø Ñ ÓÖ Ø Ø Ò ÐÝ Ó ÔÖÓ Ö Ñ Ø Ø Û Ú Ð¹ ÓÔ Ø ËØ Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ó Ð Ñ Ø º ÁÒ Ò ÙÒÔÙ Ð Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ ½ Ø Ö Ö Ð Ø Ñ ÒÝ ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ ÓÖ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ò Ñ Ò ÔÙÐ Ø Ò Ú ØÓÖ Ó ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ ÑÓÒ ÓØ Ö Ø ÓÒ Ò Ù ØÖ Ø ÓÒº ÙØ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ú ÓÒ Ø Ö Ö Ñ ÒØ ÓÒ ÓÒÐÝ Ö ØÖ Ø Ú Ö ÓÒ Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ Ò Ñ ÐÝ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ú ÓÒ Ó ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ý ÓÒ Ø ÒØ ÒØ Ö ÒÙÑ Ö Ò Ú ÓÒ Ó ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ý ÓÒ Ø ÒØ ÒØ Ö ÒÙÑ Öº

½ Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ Ì Ö Ö Ñ ÒÝ ØÓÓÐ Û Ñ Ù Ó ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ º ÇÒ Ó Ø Ñ ¾Ë Ì ØÓÓÐ ÓÖ Ò ÜÔÖ ÓÒ Ý Ñ Ò Ó Ø Ð ØÝ Ø Ø Ò ¾ º ¾Ë Ì Ô Ö Ø ÒÔÙØ ÜÔÖ ÓÒ Ò Ù Ð Ô Ö ØÖ Û ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØÓ Ò Ò ¹ÁÒÚ ÖØ Ö Ö Ô º Ø Ö¹ Û Ö Ø Ö Ô ØÖ Ò ÓÖÑ ÒØÓ ÓÒ ÙÒØ Ú ÒÓÖÑ Ð ÓÖÑ Ò Ô ØÓ Ë Ì ÓÐÚ Öº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÓÛ ÓÛ ØÓ ÒÓ Ø ÙÐÐÝ Ø ÓÙÖ Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÖ ÒØ Ö ÒÙÑ Ö Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ¹ Ú ÓÒº ÇÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÕÙ Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ø Ò Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ðй ÒÓÛÒ Ò Ø Ø ÓÖÝ Ó ÓÑÔÙØ Ö Ö Ø ¹ Ñ Ø º ÁÒ Ø Ø Ò Ð Ö ÔÓÖØ Û Ú Ð Ó ÔÖÓÚ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ÐÙÐ Ø Ò ÒØ Ö ÕÙ Ö ÖÓÓØ Ò Ó Ø ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ Ó ÜÔÓÒ ÒØ Ø ÓÒ Û Ø ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö ÜÔÓÒ Òغ ¾º ÒÓØ ÓÒ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ ½º Ä Ø V ÒÓÒ ÑÔØÝ Ø Ó ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð º Ì Ø F(V) Ó ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ ÓÚ Ö V Ò Ý Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ö ÑÑ Ö f ::= false true p f f f f f Ì ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ò Ø ÓÒ Ø ÒØ false Ò true Ö ÐÐ ØÓÑ ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ò Ò Ö Ð ØÝ Ó ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Û ÐÐ Ù ØÛÓ ÙÜ Ð ÖÝ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÓÒÒ Ø Ú ÜÐÙ Ú ÙÒØ ÓÒµ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ðµ Ò Ò Ø Ø Ò Ö Û Ý f g = (f g) ( f g) f g = (f g) ( f g) Ï ÙÑ Ø Ø ÖÓÑ Ö Ø Ø ØÓ ÐÓÛ Ø ÔÖ ÓÖ ØÝ Ø ÔÖ ÓÖ ØÝ ÓÖ Ö ÓÐÐÓÛ,,,, º Ò Ø ÓÒ ¾º Ä Ø B 2 = {0, 1},,,, 0, 1 Ø ØÛÓ Ð Ñ ÒØ ÓÓÐ Ò Ð Ö º Ú ÐÙ Ø ÓÒ v Ñ ÔÔ Ò ÖÓÑ Ø Ø Ó ØÓÑ ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ ØÓ Ø ÙÒ Ú Ö Ó Ø ÓÓÐ Ò Ð Ö B 2 Ø Ý Ò Ø ÓÒ Ø ÓÒ v(false)=0 Ò v(true) =1º Ì Ø Ó ÐÐ Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Û ÐÐ ÒÓØ Ý Val(V)º ÁØ Û ÐÐ ÒÓÛÒ Ø Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ v Ò ÙÒ ÕÙ ÐÝ ÜØ Ò ØÓ Ó¹ ÑÓÑÓÖÔ Ñ h v ÖÓÑ Ø Ð Ö Ó ÓÖÑÙÐ F(V),,, false, true ØÓ Ø ÓÓÐ Ò Ð Ö B 2 º ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒÛ ÐÐ ÛÖ Ø F Ò Val Ò Ø Ó F(V) Ò Val(V) Ö Ô ¹ Ø Ú ÐÝ Û ÙÑ Ø Ø Ø Ø V Ó Ø ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð Ú Ö Ð Ü º

ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ½ Ò Ø ÓÒ º Ú ØÓÖ Ó ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ Ò Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ ÕÙ Ò Ó ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ 0 Ò 1º Ø ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ 0 Ò 1 Ò ÒØ Û Ø Ò ÖÝ Ø ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Ú ØÓÖ Ó ÓÓÐ Ò Ú ÐÙ Û ÐÐ ÐÐ Ø Ú ØÓÖ º Ú ÖÝ Ø Ú ØÓÖ Û ÐÐ ÒØ ÖÔÖ Ø Ò ÒØ Ö ÒÓ Ò Ø ØÛÓ³ ¹ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ý Ø Ñº Æ Ñ ÐÝ Ð Ø a = a n 1,...,a 0 Ø Ú ØÓÖ Ó Ð Ò Ø nº Ò Ø ÒØ ÖÔÖ Ø Ø ÓÒ I(a) Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ò Ö Û Ý I(a) = ( n 1 ) a i 2 i (a n 1 2 n ). i=0 Ò Ø ÓÒ º Ú ØÓÖ Ó ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ ÓÖ ÓÖص Ò Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ ÕÙ Ò Ó ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ º Ú ØÓÖ Ó Ð Ò Ø n Û ÐÐ ÒÓØ Ý BV n º Ø Ó ÐÐ Ø ÓÓÐ Ò Ä Ø x = x n 1,...,x 0 ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ò v Ú ÐÙ Ø ÓÒº Ì Ò ÕÙ Ò H v (x) = h v (x n 1 ),...,h v (x 0 ) Ø Ú ØÓÖ Ø Ø Û ÐÐ ÒØ Ö¹ ÔÖ Ø ÒÙÑ Ö I(H v (x))º ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û ÐÐ ÛÖ Ø I v (x) Ò Ø Ó I(H v (x))º ÁØ Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÖÓÑ ÓÑÔÙØ Ö Ö Ø Ñ Ø Ø Ø Ò ØÛÓ³ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ô¹ Ö ÒØ Ø ÓÒ Ó ÒÙÑ Ö b Ø ÑÓ Ø Ò ÒØ Ø ÕÙ Ð ØÓ 1 Ò ÓÒÐÝ Ø ÒÙÑ Ö b Ò Ø Ú º Ê ÐÐ Ð Ó Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ Ø Ú ØÓÖ a Ó Ð Ò Ø n Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÐ 2 n 1 I(a) 2 n 1 1. ½µ º ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ï Ø ÖØ Û Ø Ò Ó Ú ÓÙ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ó Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ñ Ý ÒÓØ Ø Ò Ø ØÛÓ³ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ú Ò Ð Ò Ø nº Ì Ð Ö ÓÖ Ø ÓÒ Ù ØÖ Ø Ò Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒº Ì Ö Ð Ó ÓÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÓÖ Ú ÓÒº Æ Ñ ÐÝ Û Ò Ú Ò ÕÙ Ð ØÓ 2 n 1 1 Ò Ú ÓÖ ÕÙ Ð ØÓ 1 Ø Ö ÙÐØ Û ÕÙ Ð ØÓ 2 n 1 Ó ÒÓØ Ø ÒØÓ n Ø º ËÙ ØÙ Ø ÓÒ ÐÐ Ò ÓÚ Ö ÓÛº Ì ÑÓØ Ú Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ ÓÒ Ó Ø ÙÐ ÒÓ Ò º Ä Ø Ò ÖÝ Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð Ø Ò ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ º Ï Ý Ø Ø Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒÓ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ø ÙÐÐÝ Ò ÓÒÐÝ ÓÖ Ú ÖÝ x, y BV n Ò Ú ÖÝ v Val 2 n 1 I v (x) I v (y) 2 n 1 1 = I v (x y) = I v (x) I v (y).

½ ¼ Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ Ì Ò Ø ÓÒ Ó Ø Ø ÙÐÐÝ ÒÓ Ò Ó ÙÒ ÖÝ Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÐÓ ÓÙ º ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û ÙÑ Ø Ø Ø Ö ÐÓ Ð Ú Ö Ð overflow Ò Ø ÐÐÝ Ø ØÓ false Ò Û Ø ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ ÜÔÖ Ò ÔÓ Ð ÓÚ Ö ÓÛ ÓÑÔÙØ º Ä Ø ØÛÓ Ö ÙÑ ÒØ Ö Ø Ñ Ø Ö Ð Ø ÓÒº Ï Ý Ø Ø ØÛÓ Ö ÙÑ ÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ : BV n BV n F Ø ÙÐÐÝ ÒÓ Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ò ÓÒÐÝ ÓÖ Ú ÖÝ x, y BV n Ò Ú ÖÝ v Val h v (x y) =1 I v (x) I v (y). º½º ÒÓ Ò Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ ÕÙ Ð ØÓ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ò ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ Ø Ø Ø ÙÐÐÝ ÒÓ Ø ÕÙ Ð ØÝ Ö ¹ Ð Ø ÓÒ ÙÑ Ø Ø v ( Ò Ö ØÖ ÖÝ) ÙØ Ü Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ò Ó ÖÚ Ø Ø I v (x) = I v (y) h v n 1 j=0 (x j y j ) =1º Ì Ù Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ÓÒ ØÖÙØ ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ ÕÙ Ð(x, y) Ø Ø Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÓÖÑÙÐ Ó Ø ÓÖÑ x j y j º Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ÕÙ Ð ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x y Ó Ð Ò Ø nº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ f Ù Ø Ø v Val I v (f) =1 I v (x) = I v (y)º ½ ÙÒØ ÓÒ ÕÙ Ð x, yµ ¾ f true ÓÖ j 0 ØÓ n 1 Ó f f (x[j] y[j]) Ò ÓÖ Ö ØÙÖÒ f Ò ÙÒØ ÓÒ º¾º Ø ÓÒ ÌÓ Ò Ø Ø ÓÒ Ó ØÛÓ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Û ÔØ Ø Ñ Ø Ó Ó Ø Ø ÓÒ Ó ØÛÓ Ø Ú ØÓÖ ÒÓÛÒ ÖÓÑ ÓÑÔÙØ Ö Ö Ø Ñ Ø º Ä Ø x, y ØÛÓ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ó Ð Ò Ø n º º Ð Ø x = x n 1,...,x 0 Ò y = y n 1,...,y 0 Û Ö ÓÖ Ú ÖÝ 0 k < n x k Ò y k Ö ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ º Ò Ò ÓÖ Ö Ô Ö Ó ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w, c BV n BV n+1 ÓÐÐÓÛ Ö Ø Ð Ø c 0 =0 Ò ÜØ ÓÖ 0 k<n Ð Ø w k, c k+1 = x k y k c k, (x k y k ) (x k c k ) (y k c k ).

ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ½ ½ Ì Ú ØÓÖ w Ö ÔÖ ÒØ Ø ÙÑ Ó x Ò y Ò Ø Ú ØÓÖ c Ö ÔÖ ÒØ Ø Ù Ò ÖÖÝ Ø º Ð ÖÐÝ Ø ÙÑ Ó ØÛÓ Ø Ú ØÓÖ Ó Ð Ò Ø n Ñ Ý ÒÓØ Ø ÒØÓ n Ø º Ý ½µ Ø ÔÔ Ò Ò ÓÒÐÝ Ø ÙÑ Ð Ø Ò 2 n ÓÖ Ö Ø Ö Ø Ò 2 n 1º ÁØ ÒÓÛÒ ÖÓÑ ÓÑÔÙØ Ö Ö Ø Ñ Ø Ø Ø Ò ØÛÓ ÒØ Ö Ù Ò ÓÚ Ö ÓÛ Ü ØÐÝ Û Ò Ø ÖÖÝ Ø c n Ò c n+1 Ö Ö Òغ Ð ÓÖ Ø Ñ ¾ ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x y Ó Ð Ò Ø nº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n Ù Ø Ø v Val 2 n 1 I v (x)+i v (y) 2 n 1 1 Ø ÒI v (w) =I v (x)+i v (y)º ½ ÙÒØ ÓÒ x yµ ¾ c[0] false ÓÖ k 0 ØÓ n 1 Ó w[k] x[k] y[k] c[k] c[k +1] (x[k] y[k]) (x[k] c[k]) (y[k] c[k]) Ò ÓÖ overflow overflow (c[n] c[n +1]) Ö ØÙÖÒ w Ò ÙÒØ ÓÒ º º ËÙ ØÖ Ø ÓÒ ÆÓØ Ø Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ Ù ØÖ Ø ØÛÓ ÒØ Ö Ø ÒÓÙ ØÓ ØÓ Ø Ö Ø ÒÙÑ Ö Ø Ø Ú ÒÚ Ö Ó Ø ÓÒ ÒÙÑ Öº Ì Ö ÓÖ Û Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ø Ø ÒÓ Ø Ú ÒÚ Ö º Ê ÐÐ Ø Ø ÓÑÔÙØ Ò Ø Ú ÒÚ Ö ÓÖ ØÛÓ³ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ ÒÙÑ Ö ÒÚÓÐÚ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ø Ò Ò 1º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø Û Ò Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÖ Ö Ø Ò ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÒÙÑ Ö 1º ÁØ Ó Ú ÓÙ Ø Ø Ø ÒÙÑ Ö 1 Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ó Ø ÓÖÑ false,...,false, true Ò Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ö Ø Ò Ø Ú ØÓÖ ØÖ Ú Ðº Æ Ú ÖØ Ð Ø Û ÐÐ Ù ÙÐ ØÓ ÔÖÓÚ ÑÓÖ Ò Ö Ð Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÖ Ú Ò ÒØ Ö Ö Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ø ÒÙÑ Öº ÁÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ù Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ >> Ó Ö Ø Ñ Ø Ö Ø Ø Ð Ó ÒÓÛÒ Ò Øº Ê ÐÐ Ø Ø Ò Â Ú Ø ÓÔ Ö ØÓÖ >> Ò Ø Ò Ø Û Ö Ò Ñ Ò Ò Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ >> ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ¹ Ò º ÆÓØ Ø Ø Ò ÓÑÔ Ð Ö º Ø ÓÑÔ Ð Ö Û Ù Ø ÓÔ Ö ØÓÖ >> ÑÔÐ ¹ Ñ ÒØ Ò Øº ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Ò Ø Ð Ò Ù Ò Ô Ò ÒØ Ó Ò Ù ÓÑÔ Ð Ö ÓÒ ÓÙÐ Ù ÔÖÓÔ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ø Ò Ø Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ >>º ÆÓÛ

½ ¾ Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÓÐÎ ÁÒÔÙØ ÒÙÑ Ö Ó Ø n Ò Ò ÒØ Ö aº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n Ù Ø Ø v Val 2n 1 a 2 n 1 1 Ø ÒI v (w) =aº ½ ÙÒØ ÓÒ ÓÓÐÎ Ò µ ¾ a < 0 Ø Ò w[n 1] true Ð w[n 1] false Ò ÓÖ k 0 ØÓ n 2 Ó a ÑÓ 2=0Ø Ò w[k] false ½¼ Ð ½½ w[k] true ½¾ Ò ½ a a >> 1 ½ Ò ÓÖ ½ overflow overflow (a 0 a 1) ½ Ö ØÙÖÒ w ½ Ò ÙÒØ ÓÒ Û Ö Ð ØÓ ÛÖ Ø ÓÛÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø Ø Ú ÒÚ Ö Ó ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ð Ó ÐÐ Ø ÓÔÔÓ Ø Ó xº ÆÓØ Ø Ø Ò ØÛÓ³ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ø Ñ Ø Ò Ø ÒÙÑ Ö 1 ØÓ n¹ Ø ÒÙÑ Ö b Ò Ö Ø ÓÚ Ö ÓÛ Ò ÓÒÐÝ b =2 n 1º Ø ØÛÓ³ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÒÙÑ Ö 2 n 1 Ó Ø ÓÖÑ 0, 1,...,1 Û Ø Ö ÙÐØ Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ø Ò Ø Ú ØÓÖ 1, 0,...,0 Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÒÙÑ Ö 2 n 1 Ø ÓÐÐÓÛ Ø Ø Ø Ò Ø Ú ÒÚ Ö Ó Ú Ò ÒÙÑ Ö a Ò Ö Ø ÓÚ Ö ÓÛ Ü ØÐÝ Û Ò a = 2 n 1 º ÁÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ù ØÖ Ø Ò Û Ò ÓÑ ÙÜ Ð ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ º ÓÖ Ú Ò ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ó Ð Ò Ø n Ò Ò ÒØ Ö m n Ø ÙÜ Ð ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÜØ Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø m Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ñ ÒØ Ö Ø Ú ØÓÖ xº Ì ÓÒ Ý ÓÔÝ Ò ÐÐ Ø Ð Ñ ÒØ Ó x ØÓ Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ð Ñ ÒØ Ó y Ò Ø Ò ÓÔÝ Ò Ø Ò Ø Ó x ØÓ Ø ÑÓ Ø Ò ÒØ m n Ð Ñ ÒØ Ó yº Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ø Ø ÒÓÛÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó ÜØ Ò ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ø Ò ÒÖ Ò Ø ÒÙÑ Ö Ó Ø Ó Ò ÖÝ ÒÙÑ Ö Û Ð ÔÖ ÖÚ Ò Ø ÒÙÑ Ö³ Ò Ò Ú ÐÙ º ÓÖ Ü ÑÔÐ 8 Ø Ö Ù ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÐÙ

ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ½ Ð ÓÖ Ø Ñ ÇÔÔ ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ó Ð Ò Ø nº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n Ù Ø Ø v Val 2 n 1 < I v (x) 2 n 1 1 Ø Ò I v (w) = I v (x)º ½ ÙÒØ ÓÒ ÇÔÔ xµ ¾ ÓÖ k 0 ØÓ n 1 Ó w[k] x[k] Ò ÓÖ w (w, ÓÓÐÎ (n, 1)) Ö ØÙÖÒ w Ò ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÜØ Ò ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ó Ð Ò Ø n Ò ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ Ö m nº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø m Ù Ø Ø v Val I v (w) =I v (x)º ½ ÙÒØ ÓÒ ÜØ Ò x mµ ¾ ÓÖ k 0 ØÓ n 1 Ó w[k] x[k] Ò ÓÖ ÓÖ k n ØÓ m 1 Ó w[k] x[n 1] Ò ÓÖ Ö ØÙÖÒ w Ò ÙÒØ ÓÒ 15 Ù Ò ØÛÓ³ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 Ò Ò ÜØ Ò ØÓ 16 Ø Ù Ø Ò Û Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1 º ÓÖ Ú Ò ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ó Ð Ò Ø m Ø ÙÜ Ð ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ê Ù ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n m Ù Ø Ø Ú ÖÝ ÒØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø ÓÓÐ Ò w Ð Ó Ö ÔÖ ÒØ Ý Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ xº ÆÓÛ Û Ö Ò ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ ÛÖ Ø ÓÛÒ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ù ØÖ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÒØ Ö ÒÙÑ Ö º Ø Ø ÒÒ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÐ Ö ÓØ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ý ÓÒ Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ ÚÓ ÔÓ ¹ Ð ÓÚ Ö ÓÛ Ø Ø Ñ Ý ÓÙÖ Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ø Ø Ú ÒÚ Ö º Ì Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÒÐ Ö Ö Ø Ö ÙÑ ÒØ ØÓ Ø Ø Ú ÒÚ Ö Ó Ø ÒÐ Ö ÓÒ Ö ÙÑ ÒØ Ò ÔÙØ Ø Ö ÙÐØ Ò Ò ÙÜ Ð ÖÝ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ wº Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø ÓÚ Ö ÓÛ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ö ÙÐØ Ó Ù ØÖ Ø ÓÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ØÙÖÒ Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ê Ù (w, n)º

½ Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ Ð ÓÖ Ø Ñ Ê Ù ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ó Ð Ò Ø m Ò ÔÓ Ø Ú ÒÙÑ Ö n mº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n Ù Ø Ø v Val 2 n I v (x) 2 n 1 Ø Ò I v (w) =I v (x)º ½ ÙÒØ ÓÒ Ê Ù x nµ ¾ ÓÖ k 0 ØÓ n 2 Ó w[k] x[k] Ò ÓÖ w[n 1] x[n 1] Ö ØÙÖÒ w Ò ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ËÙ ØÖ Ø ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x y Ó Ð Ò Ø nº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n Ù Ø Ø v Val 2 n 1 I v (x) I v (y) 2 n 1 1 Ø Ò I v (w) =I v (x) I v (y)º ½ ÙÒØ ÓÒ ËÙ ØÖ Ø x yµ ¾ p ÜØ Ò (x, n+1) q ÜØ Ò (y, n+1) w (p, ÇÔÔ(q)) overflow overflow (w[n 1] w[n]) Ö ØÙÖÒ Ê Ù (w, n) Ò ÙÒØ ÓÒ º º ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÁÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Û Ò ÓÑ Ø ÓÒ Ð ÙÜ Ð ÖÝ ÓÔ Ö ¹ Ø ÓÒ ÓÒ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ò Ñ ÐÝ Ë ØÄ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ò º Ì ÙÜ Ð ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ë ØÄ Ø Û ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ò ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ ÓÒ Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ø Ò ÐÐ Ò Ò Ø Ð Ø Ò ÒØ ÔÓ Ø ÓÒ Ó Ø Ú ØÓÖ Û Ø Ø ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ falseº Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Û ÐÐ ÒÓÛÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÐÓ Ð Øº Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ò Ð Ó Ù Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ú Ò ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö º Ì ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ø Ø Ø¹ Û ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ Ò ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖº Ì ÑÔÐ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò Ð ÑÙÐ Ø Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ü ÙØ ÓÒ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ó ÑÙй Ø ÔÐÝ Ò Ò Ú Ò º Ì Ö ÓÒ ÓÖ Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ó Ú ÓÙ ÔÖÓÔ ÖØÝ { ( v Val) I v 0, I v (f) = 0 ( ÓÒ ÙÒØ ÓÒ(f, x) = I v (x), I v (f) = 1º

ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ½ Ð ÓÖ Ø Ñ Ë ØÄ Ø ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ó Ð Ò Ø nº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x ÐÓ ÐÐÝ Ø Ð Ø Ý ÓÒ º ½ ÔÖÓ ÙÖ Ë ØÄ Ø xµ ¾ ÓÖ k n 1 ÓÛÒ ØÓ 1 Ó x[k] x[k 1] Ò ÓÖ x[0] false Ò ÔÖÓ ÙÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ f Ò ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ó Ð Ò Ø nº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n Ù Ø Ø ÓÖ Ú ÖÝ 0 k < n w[k] =f x[k]º ½ ÙÒØ ÓÒ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ f xµ ¾ ÓÖ k 0 ØÓ n 1 Ó w[k] f x[k] Ò ÓÖ Ö ØÙÖÒ w Ò ÙÒØ ÓÒ ÓÖ Ú Ò ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ó Ð Ò Ø n Ø ÙÜ Ð ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ½¼ Ö Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n Ù Ø Ø w Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÐÙØ Ú ÐÙ Ó xº ÆÓÛ Û Ö Ò ÔÓ Ø ÓÒ ØÓ ÛÖ Ø ÓÛÒ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö º Ð ÓÖ Ø Ñ ½½ Ö Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö ÙÐØ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö º Ï ÔØ Ø ÑÔÐ Ø Ñ Ø Ó Ø Ø ÓÑÔÙØ Ø ÔÖÓ ÙØ ÓÒ Ø Ø Ø Ñ Ò ÝÑ ÓÐ Ú Ö ÓÒ Ó Ø Ô Ô Ö¹ Ò ¹Ô Ò Ð Ñ Ø Ó º ÆÓØ Ø Ø Ø Ø ÒÒ Ò Ó Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑ ÔÖ Ô Ö ØÓÖÝ Ø Ô Ö Ò º Ö Ø ÓØ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ö ÓÔ ØÓ ÙÜ Ð ÖÝ Ú Ö Ð p Ò q Ò ÜØ Ø ÑÓ Ø Ò ÒØ Ø Ó Ó Ø ÙÜ Ð ÖÝ Ú Ö Ð Ø ØÓ false Ú ÒØÙ ÐÐÝ ÓØ Ø ÙÜ Ð ÖÝ Ú Ö Ð Ö ÒÐ Ö ØÓ Þ 2 n Ò w Ø ØÓ false,...,false º Ø Ö Ø ÔÖ Ô Ö ØÓÖÝ Ø Ô Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÔÖÓ ÓÐÐÓÛ ÓÖ Ú ÖÝ k ÖÓÑ 0 ØÓ n 1 Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ò Ø kø Ð Ñ ÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö ØÓ wº Ì Ð Ø Ø Ô ÑÙÐ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ð Ø ÓÒ Ó Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ò ØÓ Ø ÔÖÓ ÙØ Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ò Ò Ø kø Ø Ô Ò ÓÒÐÝ Ø kø Ð Ñ ÒØ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø Ò ÖÝ Ú ÐÙ 1º

½ Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ½¼ ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x Ó Ð Ò Ø nº ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n Ù Ø Ø v Val 2 n 1 < I v (x) 2 n 1 1 Ø Ò I v (w) = I v (x) º ½ ÙÒØ ÓÒ xµ ¾ y ÇÔÔ(x) ÓÖ k 0 ØÓ n 2 Ó w[k] (x[n 1] y[k]) ( x[n 1] x[k]) Ò ÓÖ w[n 1] false Ö ØÙÖÒ w Ò ÙÒØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ½½ ÅÙÐØ ÔÐÝÆÓÒÆ ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x y Ó Ð Ò Ø n ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø 2 n Ù Ø Ø v Val I v (x) 0 Ò I v (y) 0 Ø Ò I v (w) =I v (x) I v (y)º ½ ÙÒØ ÓÒ ÅÙÐØ ÔÐÝÆÓÒÆ x yµ ¾ p x p[n 1] false p ÜØ Ò (p, 2 n) q y q[n 1] false q ÜØ Ò (q, 2 n) w ÓÓÐÎ (2 n, 0) ÓÖ k 0 ØÓ n 2 Ó w (w, ÓÒ ÙÒØ ÓÒ(q[k], p) Ë ØÄ Ø(p) Ò ÓÖ Ö ØÙÖÒ w ½¼ Ò ÙÒØ ÓÒ Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ½¾ Ö Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö ¹ ÙÐØ Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ó ØÛÓ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ò ÒØ Ö º Ø Ø ÒÒ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÐ Ö ÓØ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ý ÓÒ Øº Ì Ò ØÛÓ Ö ÓÒ Ö Ø Ö ÙÑ ÒØ Ö Ó Ø Ñ Ò f 0 µ Ò Ø Ö Ù¹ Ñ ÒØ Ú Ö ÒØ Ò f 1 µº ÁÒ Ó Ø Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÝÑ ÓÐ ÐÐÝ ÓÒÚ ÖØ Ø Ö ÙÑ ÒØ ØÓ ÒÓÒÒ Ø Ú Ó Ò ÙÒ Ò ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ø Û Ò Ø ÓÖ Ò Ð Ö ÙÑ ÒØ Ú Ö ÒØ Ò Ò Ø Ø Ö ÙÐغ Æ ÜØ ÖÓÑ Ø ØÛÓ ÝÑ ÓÐ Ö ÙÐØ Ò Ñ w 0 Ò w 1 Ø Ò Ð Ö ÙÐØ Ö Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý ÓÖ Ú ÖÝ k Ù Ø Ø 0 k<2 (n +1) Ø kø Ø Ó Ø ÔÖÓ ÙØ Ø ØÓ f 0 w 0 [k] f 1 w 1 [k]º Ú ÒØÙ ÐÐÝ Ø ÓÚ Ö ÓÛ ÓÑÔÙØ Ò Ø Ö ÙÐØ Ö Ù ØÓ n Ø º

ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ½¾ ÅÙÐØ ÔÐÝ ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x y Ó Ð Ò Ø n ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ w Ó Ð Ò Ø n Ù Ø Ø v Val 2 n 1 I v (x) I v (y) 2 n 1 1 Ø Ò I v (w) =I v (x) I v (y)º ½ ÙÒØ ÓÒ ÅÙÐØ ÔÐÝ x yµ ¾ p ÜØ Ò (x, n+1) q ÜØ Ò (y, n+1) w 0 ÅÙÐØ ÔÐÝÆÓÒÆ ( (p), (q)) w 1 ÇÔÔ(w 0 ) f 0 ( x[n 1] y[n 1]) (x[n 1] y[n 1]) f 1 ( x[n 1] y[n 1]) (x[n 1] y[n 1]) m 2 (n +1) ÓÖ k 0 ØÓ m 1 Ó w[k] f 0 w 0 [k] f 1 w 1 [k] ½¼ Ò ÓÖ ½½ of false ½¾ ÓÖ k n 1 ØÓ m 2 Ó ½ of of (w[k] w[m 1) ½ Ò ÓÖ ½ overflow overflow of ½ Ö ØÙÖÒ Ê Ù (w, n) ½ Ò ÙÒØ ÓÒ ½ º º Ú ÓÒ Ì Ö Ö Ñ ÒÝ ÔÓ Ð Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖ Ú Ò ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö º Ï ÔØ Ø Ó ÐÐ Ö ØÓÖ Ò Ö Ü¹¾ Ú ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ò ÔÔ Ò Ü À Ó º Ð ÓÖ Ø Ñ ½ ÓÒ Ý Ø Ù ØÖ Ø ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø Ø Ò Û Ø Ö Ø ÒÙÑ Ö Ò Ø Ú º Ì Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÙÖ Ö ¹ Ø Ö ÓÒ ÓÖ Ø Ú Ò x ÓÒ ÓÖ Ø Ú ÓÖ y ÓÒ ÓÖ Ø ÕÙÓØ ÒØ q Ò ÓÒ ÓÖ Ø Ö Ñ Ò Ö rº Ì Ö Ø Ö r Ò q ÓÖÑ ÓÙ Ð ¹Ð Ò Ø Ö Ø Ö Ô Öº Ì Ö Ø Ö q Ò Ø ÐÐÝ Ø ØÓ Ø Ú ÐÙ Ó x Ò Ø Ö Ø Ö q Ò Ø ÐÐÝ Ø ØÓ 0º Ð ÓÖ Ø Ñ ½ Ö Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø Ö ÙÐØ Ó Ú ÓÒ Ó ØÛÓ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ø Ø Ö ÔÖ ÒØ Ò ÒØ Ö º Ì Ö Ö Ø Ñ ØÓ ÓÒ Ö ÓÖ Ö ÙÑ ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ½¾º Ð Ó Ø Ñ Ø Ó Ó ÓÑÔÙØ Ò Ø Ò Ð Ö ÙÐØ Ò ÖÐÝ Ø Ñ º Ì Ö Ö ÓÒÐÝ ØÛÓ Ö Ò º Ì Ö Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ö ÙÐØ ÒÓØ Ö Ù ØÓ Ø Ð Ò Ø Ó Ö ÙÑ ÒØ Ò ÐÐ Ø ÓÒ Ö Ø Ö ÙÐØ Ö Ó Ð Ò Ø nº Ì ÓÒ ÓÒ Ø Ñ Ø Ó Ó ØØ Ò Ø ÓÚ Ö ÓÛº

½ Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ Ð ÓÖ Ø Ñ ½ Ú ÆÓÒÆ ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x y Ó Ð Ò Ø n ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ r, q Ù Ø Ø v Val I v (x) 0 Ò I v (y) > 0 Ø Ò I v (x) =I v (q) I v (y)+i v (r)º ½ ÙÒØ ÓÒ Ú ÆÓÒÆ x yµ ¾ q x r ÓÓÐÎ (n, 0) ÓÖ k 0 ØÓ n 1 Ó Ë ØÄ Ø(r) r[0] q[n 1] Ë ØÄ Ø(q) r ËÙ ØÖ Ø(r, y) q[0] r[n 1] r (r, ÓÒ ÙÒØ ÓÒ(r[n 1], y)) ½¼ Ò ÓÖ ½½ Ö ØÙÖÒ q, r ½¾ Ò ÙÒØ ÓÒ Ï ÛÓÙÐ Ð Ó ÔÓ ÒØ ÓÙØ Ø Ø Ø Ò Ó Ø ÕÙÓØ ÒØ Ò Ó Ø Ö Ñ Ò Ö ÓÖ Ò Ø Ú Ú Ò Ò»ÓÖ Ò Ø Ú Ú ÓÖ Ö ÓÑÔÙØ Ò ÓÖ Ò Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÖÙÐ Ó Ò Â Ú Ø ÕÙÓØ ÒØ Ò Ø Ú Ò ÓÒÐÝ ÓØ Ø Ú Ò Ò Ø Ú ÓÖ Ú Ö ÒØ Ò Ò Ø Ö Ñ Ò Ö Ò Ø Ú Ò ÓÒÐÝ Ø Ú Ò Ò Ø Ú º º º ÒÓ Ò Ó Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ò Ä Ø Ù ÒÓØ Ø Ø Ø Ö Ð Ø ÓÒ Ð Ø Ò Ò ÒÓ Ý Ù Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ù ØÖ Ø ÓÒº Ì Ð ÓÖ Ø Ñ ÒÐ Ö ÓØ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ý ÓÒ Ø Ò ÓÖ Ö ØÓ ÚÓ ÔÓ Ð ÓÚ Ö ÓÛ Ø Ø Ñ Ý ÓÙÖ Ò Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ó Ù ØÖ Ø ÓÒ Ò Ø Ò Ö ØÙÖÒ Ø ÑÓ Ø Ò ÒØ Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ö Ò º º ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ï Ú ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò Ð Ò Ù Ý Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ð Ø Ð ÓÓÐ ÓÖÑ Ø Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÐÓ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÓÓÐ Ò ÓÖÑÙÐ Ø Ð ÓÓÐ ÓÖÑÎ Ø Ø Ø Ñ¹ ÔÐ Ñ ÒØ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ Ò Ø Ð ÁÒØ Ö Ö Ú ÖÓÑ ÓÓÐ ÓÖÑÎ Ø Ø Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø Ö ¹ Ð Ø ÓÒ Ò ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ô Ô Öº

ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ½ Ð ÓÖ Ø Ñ ½ Ú ÁÒÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ x, y Ó Ð Ò Ø n ÇÙØÔÙØ ÓÓÐ Ò Ú ØÓÖ q, r Ù Ø Ø v Val I v (y) 0 Ø Ò I v (x) =I v (q) I v (y)+i v (r) sgn(i v (q)) = sgn(i v (x)) sgn(i v (y)) Ò sgn(i v (r)) = sgn(i v (x))º ½ ÙÒØ ÓÒ Ú x yµ ¾ p ÜØ Ò (x, n+1) q ÜØ Ò (y, n+1) q 0, r 0 Ú ÆÓÒÆ ( (p), (q)) q 1 ÇÔÔ(q 0 ) r 1 ÇÔÔ(r 0 ) f 00 x[n 1] y[n 1]) f 01 x[n 1] y[n 1]) f 10 x[n 1] y[n 1]) f 11 x[n 1] y[n 1]) ÓÖ k 0 ØÓ n Ó q[k] ((f 00 f 11 ) q 0 [k]) ((f 01 f 10 ) q 1 [k]) r[k] ((f 00 f 01 ) r 0 [k]) ((f 10 f 11 ) r 1 [k]) ½¼ Ò ÓÖ ½½ a ÓÓÐÎ (n +1, 0) ½¾ b ÓÓÐÎ (n +1, 1) ½ z ÓÓÐÎ (n +1, 2 n 1 ) ½ of ÕÙ Ð(p, ÇÔÔ(z)) ÕÙ Ð(q, ÇÔÔ(b)) ÕÙ Ð(y, a) ½ overflow overflow of ½ Ö ØÙÖÒ q, r ½ Ò ÙÒØ ÓÒ ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ Ø Ø Ø ÓÚ Ð ÓÖ Ø Ñ Û Ú Ö Ø Ø Ø Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÓÖ ÐÐ Ø Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÓÒ Ö º ÁÒ Ú ÖÝ ÔÖÓ Ö Ñ ÓÑ Ù Ø Ð ÓÖÑÙÐ ϕ Ø Ø Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Û Ý Ø Ö Ø ϕ ÓÒÚ ÖØ ØÓ Ø Ó Ð Ù C Ò Û Ý Ù Ø Ø ÐØ ÓÙ Ø Ø C ÒÓØ ÐÓ ÐÐÝ ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ Ø ÓÖÑÙÐ ϕ Ø ÔÖ ÖÚ Ø Ð ØÝ º º C Ø Ð Ò ÓÒÐÝ ϕ Ø Ð Ø Ò Û Ø Ð ØÝ Ó C Ý Ù Ò Å Ò Ë Øº ËÓÑ Ó ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ ÓÖ Ø ÔÖÓ Ö Ñ Ñ ÒØ ÓÒ ÓÚ Ö ÔÖÓÚ Ò º º Ò Ð Ö Ñ Ö Ö ÙÐØ Ó ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÓÙÖ ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Û Û Ö Ð ØÓ ÜØ Ò Ø ÑÓ ÙÐ Å Ì Ó Ø ÑÓ Ð Ö Î Ö Ò ÓÖ¹ Ö ØÓ ÒÐÙ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ú ÓÒ Ò Ø Ø Ó Ø ÐÐÓÛ ÓÔ Ö Ø ÓÒ º Ì ÑÓ ÙÐ Å Ì ÖÚ ÓÖ Ú Ö Ø ÓÒ Ó ÔÖÓÔ ÖØ Ó Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø Ö Ø Ø º Ì ÓÖÑ Ð Ñ Ó Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø Ö Ø Ø Ò Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÒÓÛ Ù Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó Â Ú ÔÖÓ Ö Ñ ½¼ µº Ì ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ Û Ð Ó Ù Ò Ò Û ÔÔÖÓ ØÓÑÓ Ð Ò Ó Ý Ø Ñ Ô Ò ÍÅÄ µº

½ ¼ Ò ÖÞ ÖÞ ÞÒÝ Ê Ö Ò ½ º Ò Ëº Ù Ö Ö Áº ÐР̺ ÐÐ º À ØØ Èº À Û Ò º Ì Ë ØÙÖÒ ÔÖÓ Ö Ñ Ò ÐÝ Ý Ø Ñº Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ ËØ Ò ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ¾¼¼ º ¾ ʺ ÖÙÑÑ Ý Ö º Ö º ¾Ë Ì Ò ÜÔÖ ÓÒ º ÁÒ ÈÖÓº Î ¾¼¼ ÄÆ Ë ¼ ÔÔº ¾ ¾ ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Ò ¾¼¼ º ºĺ À ÒÒ Ý º º È ØØ Ö ÓÒº ÓÑÔÙØ Ö Ö Ø ØÙÖ ÉÙ ÒØ Ø Ø Ú ÔÔÖÓ Ö Ø ÓÒº ÅÓÖ Ò Ã Ù Ñ ÒÒ ÈÙ Ð Ö Ë Ò Ö Ò Ó ¾¼¼ º ź à ÔÖÞ Ïº Æ º Æ Û ÓÑ Ïº È ÒÞ º È ÐÖÓРź ËÞÖ Ø Ö º ÏÓõÒ º ÖÞ ÞÒݺ Î ÖÁ Ë ¾¼¼ ¹ ÑÓ Ð Ö ÓÖ ÒÓÛÐ Ò Ö Ð¹Ø Ñ º ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ½¹ µ ½ ¾ ¾¼¼ º º Æ Û ÓÑ Ïº È ÒÞ Åº ËÞÖ Ø Öº Ò Û ÔÔÖÓ ØÓ ÑÓ Ð Ò Ó ÍÅÄ Ø Ø Ñ Ò º ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ½¹ µ ¾ ¼ ¾¼¼ º º Ê Ø º ÏÓõÒ º ÖÞ ÞÒݺ ØÖ Ò Ð ØÓÖ Ó Â Ú ÔÖÓ Ö Ñ ØÓ Ì º ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ½¹ µ ¼ ¾ ¾¼¼ º º º Òº Ë ØÙÖÒ Ë Ì¹ ØÓÓÐ ÓÖ Ù Ø Ø ÓÒº ÁÒ ÈÖÓº Î ¾¼¼ ÄÆ Ë ÔÔº ½ ½ º ËÔÖ Ò Ö ÖÐ Ò ¾¼¼ º º ÖÞ ÞÒݺ ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ º Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ Á Ë È Ë ¾¼¼ º º ÖÞ ÞÒÝ º È ÐÖÓÐ º Ë Ì¹ Ö Ð ØÝ Ò ÓÖ Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Û Ø Ö Ø Ø º ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø µ ¾¼¼ º ½¼ º ÖÞ ÞÒÝ º ÏÓõÒ º ÌÓÛ Ö Ú Ö Ø ÓÒ Ó Â Ú ÔÖÓ Ö Ñ Ò Î Ö¹ Á ˺ ÙÒ º ÁÒ ÓÖÑ Ø ½¹ µ ¾¼¼ º

Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ Æ ÁÆ ÄÍ Æ Ç Ë ÊÎÁ ÁË ÁÈÄÁÆ ÇÆ À Ê Ì ÊÁËÌÁ Ë Ç ËÁÆ Ä ¹Ë ÊÎ Ê ÉÍ Í ÏÁÌÀ ÆÇƹÀÇÅÇ Æ ÇÍË ÍËÌÇÅ ÊË ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó ÖØÙÖ ÓÐ Å Ö Ò ÓÛ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ðº ÖÑ ÃÖ ÓÛ ½»½ ¾¹¾¼¼ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð ÓÐ ºØ ÓÒ Ò Ó Ñ ÐºÓÑ ØÖ Øº ÓÖ Ò Ð ¹ ÖÚ Ö ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö Ú Ò ÓÑ Ö Ò ÓÑ Ô Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Û ÓÑÔ Ö ÔÖÓ ÓÖ¹ Ö Ò Ò Á Ç ÔÐ Ò Ò ÒÚ Ø Ø Ø Ö Ò Ù Ò ÓÒ Ø ØÓØ Ð ÙÑ Ó Ô Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ö Ø Ö Ø Û Ò Ø ÙÑ ÒÓØ Ð Ñ Ø º º V = µ Ò Ù ØÓÑ Ö ÐÓ ÔÖÓ ¹ Ð ØÝ Û Ò Ø ÙÑ Ð Ñ Ø º º V < µ Ù Ò Ò ÐÝØ Ð ÑÓ Ð Ò Ò ÑÙÐ Ø ÓÒº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÁÒ Ø ÔÖ ÒØ ÛÓÖ Û ÒÚ Ø Ø Ò Ð ¹ ÖÚ Ö ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö º Ì Ñ Ò Ø Ø ½µ Ù ØÓÑ Ö Ö Ø Ö Þ Ý ÓÑ ÒÓÒ¹Ò Ø Ú Ö Ò ÓÑ Ô ØÝ ζ ¾µ Ù ØÓÑ Ö³ Ð Ò Ø ξ Ò Ô ØÝ ζ Ö Ò Ö ÐÐÝ Ô Ò Òغ ÆÓØ Ø Ø Û ÐÐ Ù Ø ÒÓØ ÓÒ Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø Ò Ø Ó ÖÚ Ø Ñ º Ì Ö Ò ØÛ Ò Ø ÒÓØ ÓÒ ÒØ Ð ÓÖ ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò Ý Ø Ñ º Ì ÑÓÙÒØ Ó ÛÓÖ Ò ÖÝ ÓÖ Ù ØÓÑ Ö³ ÖÚ ÐÐ Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø º º Ø Ù ØÓÑ Ö ÖÚ Ø Ñ ÙÒ Ö ÓÒ Ø ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ö ÒÓ ÓØ Ö Ù ØÓÑ Ö ÓÒ ÖÚ ÙÖ Ò Ø Ø Ñ Ô Ö Ó º Ò ÐÓ ÓÙ ÐÝ Ø Ö Ù Ð Ð Ò Ø Ó Ø Ù ØÓÑ Ö Ö ÖÖÖ Ö Ù Ð ÖÚ Ø Ñ Ø Ö ÓÑ Ø Ñ Ò Ø ÒØ ÙÒ Ö Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒº

½ ¾ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó ÖØÙÖ ÓÐ Å Ö Ò ÓÛ Ì ØÓØ Ð ÙÑ σ(t) Ó Ô Ø Ó ÐÐ Ø Ù ØÓÑ Ö ÔÖ ÒØ Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ö ØÖ ÖÝ Ø Ñ t Ñ Ý Ð Ñ Ø Ý ÓÑ ÓÒ Ø ÒØ Ú ÐÙ V 0 <V µ Ø Ø ÐÐ Ø Ô ØÝ Ó Ø Ý Ø Ñº ËÙ Ý Ø Ñ Ö Ù ØÓ ÑÓ Ð Ò ÓÐÚ Ú Ö ÓÙ ÔÖÓ Ð Ñ ÓÙÖÖ Ò Ò Ø Ò Ó ÓÑÔÙØ Ö Ò ÓÑÑÙÒ Ø Ò Ò Ø Ò Ý Ø Ñ º ÁØ Ð Ö Ø Ø Ø Ý Ö ÖÓÑ Ù Ù Ð Ð Ð ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Ò Ø V < º ÓÖ Ü ÑÔÐ Û Ò Ò ÐÝÞ Ø ÒÓÒ¹Ð Ð Ý Ø Ñ M/G/1/(,V) Û Ø Ð Ñ Ø Ô ØÝ Ø Ø Ö ÖÓÑ Ø Ð Ð Ý Ø Ñ M/G/1/ º Ä Ø F (x, t) =P{ζ <x,ξ<t} Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú ØÓÖ (ζ,ξ)º Ì Ò L(x) =P{ζ <x} = F (x, ) Ò B(t) =P{ξ <t} = F (,t) Ö Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ù ØÓÑ Ö³ Ô ØÝ Ò Ð Ò Ø Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ì Ô ÖØ Ó Ý Ø Ñ Ô ØÝ ÓÙÔ Ý Ù ØÓÑ Ö Ø Ø ÔÓ ÖÖ Ú Ò Ö Ð ÒØ Ö ÐÝ Ø Ø ÔÓ ÓÑÔÐ Ø ÖÚ º Ì ÔÖÓ σ(t) ÐÐ Ø ØÓØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ô Øݺ ÌÓØ Ð Ô ØÝ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ Ò Ø V < µ Ð ØÓ ÐÓ Ó Ù ØÓÑ Ö º Ù ØÓÑ Ö ÖÖ Ú Ò Ø Ø ÔÓ τ Ò Ú Ò Ô ØÝ x Û ÐÐ Ñ ØØ ØÓ Ø Ý Ø Ñ σ(τ 0) + x V º ÇØ ÖÛ σ(τ 0) + x>vµ Ø Ù ØÓÑ Ö Û ÐÐ ÐÓ Øº Î Ö ÓÙ Ò Ð ¹ ÖÚ Ö ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ò Ø Ò Ó ÙÑÔØ ÓÒ ½ ¾µ Ù ØÓÑ Ö Û Ö Ò ÐÝÞ Ò ½ º Ì ÔÙÖÔÓ Ó Ø Ô Ô Ö ØÓ ÓÑÔ Ö ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò Ò Á Ç ÓÖ ÓØ Ö ÓÒ ÖÚ Ø Ú ÒÓØ Ô Ò Ò ÓÒ Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ ÔÐ Ò Ò Ò¹ Ú Ø Ø Ø Ö Ò Ù Ò ÓÒ Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø ØÓØ Ð ÙÑ Ó Ù ØÓÑ Ö Ô Ø Û Ò V = µ Ò Ù ØÓÑ Ö ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ Û Ò V < µº ÌÓ Ö Ð Þ Ø ÔÙÖÔÓ Û Ù Ò ÐÝØ Ð ÑÓ Ð Ò Ò ÑÙÐ Ø ÓÒº ¾º Ì Ó ÙÒÐ Ñ Ø Ý Ø Ñ Ô ØÝ ËÙÔÔÓ Ø Ø Ù ØÓÑ Ö ÒØÖ Ò ÓÛ ÈÓ ÓÒº Ä Ø a Ò ÖÖ Ú Ð Ö Ø Ó ÒØÖ Ò ÓÛ Ó Ù ØÓÑ Ö º ÙÑ Ø Ø V = º Ì Ò Û Ú Ø Ð Ð M/G/1/ Ò M/G/1/ EPS ÔÖÓ ÓÖ Ö Ò µ Ý Ø Ñ Û Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ù ØÓÑ Ö º ÓÖ Ù Ý Ø Ñ Û Ò Ó Ø Ò Ø Ø Ø ÓÒ ÖÝ Ö Ø Ö Ø Ó ØÓØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ º º ¾ µº Ï ÐÐ Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ Ø ÓÒº ÒÓØ Ý α(s, q) = 0 0 e sx qt df (x, t)

Ò Ò Ù Ò Ó ÖÚ ÔÐ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó ÕÙ Ù ½ Ø ÓÙ Ð Ä ÔÐ ¹ËØ ÐØ ØÖ Ò ÓÑ ÄË̵ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ F (x, t)º Ä Ø ϕ(s) = α(s, 0) Ò β(q) = α(0,q) Ø ÄËÌ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ L(x) Ò B(t) Ö Ô Ø Ú Ðݺ Ä Ø D(x) = P{σ < x} Ø ØÖ ÙØ ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø Ø ÓÒ ÖÝ ØÓØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ σº Ä Ø ϕ i = Eζ i β i = Eξ i Ò α ij = E(ζ i ξ j ) Ø iø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ζ ξ Ò Ø Ñ Ü (i+j)ø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ζ Ò ξ Ö Ô Ø Ú Ðݺ i, j =1, 2,... ρ = aβ 1 < 1º ÒÓØ Ý δ(s) = 0 e sx dd(x) Ø ÄËÌ Ó Ø ÙÒ¹ Ø ÓÒ D(x) Ò Ý δ i = Eσ i Ø iø ÑÓÑ ÒØ Ó ØÓØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ σ i =1, 2,...º Ì Ò ÓÖ Ø Ý Ø Ñ M/G/1/ ÓÖ ÓÖ Ø ÔÐ Ò Á ǵ Û Ú δ Á Ç 1 = Eσ Á Ç = aα 11 + a2 β 2 ϕ 1 2(1 ρ). (1) ÓÖ Ø Ý Ø Ñ M/G/1/ EPS ÓÖ ÓÖ Ø ÔÐ Ò È˵ Û Ø ¾ δ ÈË 1 = Eσ ÈË = aα 11 1 ρ. (2) ÖÓÑ Ø ÑÔÐ Ö Ð Ø ÓÒ ½µ Ò ¾µ Û Ó Ø Ò Ø Ø δ1 Á Ç < δ1 ÈË Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ 2β 1 α 11 >β 2 ϕ 1 Ø ÔÐ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö ¹ Ð ζ Ò ξ Ö Ò Ô Ò ÒØ º º α 11 = ϕ 1 β 1 Ø Ð Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ Ø Ø ÓÖÑ 2β1 2 >β 2º ÆÓØ Ø Ø ÓÖ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø Û Ú 2β1 2 = β 2º ËÓ Ò Ø ÓÖ Ò Ô Ò ÒØ ζ Ò ξ Û Ó Ø Ò Ø Ø δ1 Á Ç = δ1 ÈË º Á Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒ Ö Ø Ö Þ Ý Ú Ö ¹ Ø ÓÒ Û Ð Ø Ò ÓÖ ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÓÒ Û ÐÛ Ý Ú δ1 Á Ç <δ1 ÈË º Ú ÒØÐÝ Ø Û ÐÐ ØÖÙ ÓÖ Ø Ó ÔÓ Ø Ú ÓÖÖ Ð Ø ζ Ò ξ Û Ò α 11 >ϕ 1 β 1 µº ÓÖ Ñ ÒÝ Ö Ð ÓÑÔÙØ Ö Ý Ø Ñ ÓÖ Ü ÑÔÐ ÓÖ ÓÑÑÙÒ Ø Ò ÒØ Ö µ Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø Ò Ò Ý Ø Ö Ð Ø ÓÒ ξ = cζ + ξ 1 Û Ö c 0 Ò Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ζ Ò ξ 1 Ö Ò Ô Ò Òغ ÒÓØ Ý κ i Ø iø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ξ 1 i =1, 2,...º Ì Ò Ø Ö Ø ÑÓÑ ÒØ Ó Ø Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð σ Á Ç Ò σ ÈË Ò ÐÙÐ Ø ÖÓÑ Ö Ð Ø ÓÒ ½µ Ò ¾µ Ö Ô Ø Ú ÐÝ Û Ö α 11 = ϕ 1 κ 1 + cϕ 2, β 1 = cϕ 1 + κ 1, β 2 = c 2 ϕ 2 +2cϕ 1 κ 1 + κ 2. ÁÒ Ø Û Ú Ø Ø δ Á Ç 1 <δ ÈË 1 Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò ÕÙ Ð ØÝ Ø ÔÐ c 2 ϕ 1 ϕ 2 +2κ 1 (ϕ 1 κ 1 + cϕ 2 ) >ϕ 1 κ 2. (3) ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ô ØÝ º º κ 1 0 κ 2 0 Û Ú ÖÓÑ µ Ø Ø c 2 ϕ 1 ϕ 2 > 0º Ú ÒØÐÝ Ø Ò ÕÙ Ð ØÝ ÐÛ Ý

½ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó ÖØÙÖ ÓÐ Å Ö Ò ÓÛ ØÖÙ º ÓÖ Ü ÑÔÐ Û ÙÑ Ø ÓÒ ÐÐÝ Ø Ø Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø ζ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö f Û Ó Ø Ò δ Á Ç 1 = 1 f ρ(2 ρ) 1 ρ, δ ÈË 1 = 1 f 2ρ 1 ρ. ÁÒØÙ Ø Ú ÐÝ Ø Ð Ö Ù Ò Ø Ó ÈË ÔÐ Ò ÓÖØ ÓÖ Ú Ò Ñ ÐÐ Ô Øݵ Ù ØÓÑ Ö Ö ÓÖ Ñ ÐÐ Ø Ñ Ò Ø Ý Ø Ñ Û Ð Á Ç ÖÚ ÓÖ Ò Þ Ø ÓÒ Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ø Ù ØÓÑ Ö Ô Øݺ º Ì Ó Ð Ñ Ø Ý Ø Ñ Ô ØÝ ÁÒ Ø Ø ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÓÑÔ Ö ÐÓ Ö Ø Ö Ø ÓÖ ÈË Ò Á Ç ÔÐ Ò º Á Ù ØÓÑ Ö³ Ð Ò Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ô ØÝ Ò Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ Û Ø Ô Ö Ñ Ø Ö f Û Ó Ø Ò ÓÖ Ý Ø Ñ M/M/1/(,V) Ò M/G/1/(,V) EPS Û Ø Ø Ñ ρ = aβ 1 Ø Ø Ø ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ P Ø ÓÖÑ P Á Ç = P ÈË = 1 ρ e (1 ρ)fv ρ ρ 1 (1 + fv) 1 ρ =1º ÆÓØ Ø Ø β 1 =1/µ ÓÖ Ø Ý Ø Ñ M/M/1/(,V) Û Ö µ Ø Ô Ö Ñ¹ Ø Ö Ó Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø º Ä Ø Ö ÓÒ Û ÐÐ ÓÑÔ Ö ÐÓ ÔÖÓ Ð Ø P Ò ÔÖÓ Ð Ø Q Ø Ø ÙÒ Ø Ó Ù ØÓÑ Ö³ Ô ØÝ Û ÐÐ ÐÓ Ø µ ÓÖ Ó Á Ç Ò ÈË ÔÐ Ò º ÁØ Ð Ö Ò Ø µ Ø Ø ÔÖÓ Ð ØÝ Q Ð Ó Ø Ñ ÓÖ ÓØ Ý Ø Ñ ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒº Ì Ø Ò ÓÒ ÖÑ Ý Ö ÙÐØ Ó ÑÙ¹ Ð Ø ÓÒ ÔÔ Ò Ü Ø Ð ½ Ò ¾ Û Ö f =1 µ =1µº ÁÒ ÓÙÖ ÒÓØ Ø ÓÒ Û ÐÐ Ù Ø ÐÓÛ Ò Ü Ò ÓÖ Ñ ØÓ ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ò ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ø Ö Ø Û Ó Ø Ò Ò ÐÝØ ÐÐÝ ÓÖ Ý ÑÙÐ Ø ÓÒ Ö Ô Ø Ú Ðݺ ÁØ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ò ÐÝØ ÐÐÝ Ò Ý ÑÙÐ Ø ÓÒ Ø Ø Û Ú Ø Ñ Ö ÙÐØ ÓÖ ÐÓ Ö Ø Ö Ø P Ò Q Ò Ø Ý Ø Ñ M/M/1/(,V) Ò M/G/1/(,V) EPS Û Ø Ø Ñ ρ Û Ò Ù ØÓÑ Ö³ Ð Ò Ø Ó ÒÓØ Ô Ò ÓÒ Ô ØÝ Ò Ù ØÓÑ Ö³ Ô ØÝ Ø Ñ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÖ ÓØ Ý Ø Ñ º

Ò Ò Ù Ò Ó ÖÚ ÔÐ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó ÕÙ Ù ½ ÙØ Ù ØÓÑ Ö³ Ð Ò Ø Ô Ò ÓÒ Ô ØÝ Ø Ò ÖÚ ÔÐ Ò Ò Ò Ù Ò ÓÒ ÐÓ Ö Ø Ö Ø Ó Ø Ý Ø Ñº Ì Ò Ù Ò Ô Ò ÓÒ Ø Ö Ø Ö Ó Ø Ô Ò Ò Ò Ø Ú ÐÙ Ó ρ ÙØ Ò ÒØ Ð ÓÖ Ñ ÐÐ ρº Ï ÑÓÒ ØÖ Ø Ø Ø Ò Ø Ð Ò Ò ÔÔ Ò Üµ Û Ò Ù ØÓÑ Ö³ Ð Ò Ø ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ô ØÝ Ò Ø Ô ØÝ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ØÖ ÙØ ÓÒ ξ = cζ c =1 ϕ 1 = Eζ =1µº ÁØ ÒØ Ö Ø Ò ØÓ ÓÑÔ Ö Ø Ð Ø Ö ÙÐØ Û Ø Ø Ó ÓÖ Ø Ó ÒÓÒ¹ ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ù ØÓÑ Ö ÚÓÐÙÑ Ò Ð Ò Ø ØÖ ÙØ ÓÒº Ï ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò Ø Ð ÓÖ Ò Ô Ò ÒØ Ö Ò ÓÑ Ú Ö Ð ζ Ò ξ Ú Ò Ø ÙÒ ÓÖÑ ¹ ØÖ ÙØ ÓÒ ÓÒ [0; 2] Ø Ð µ Ò ÓÖ Ø Û Ò Ù ØÓÑ Ö³ Ð Ò Ø ξ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ô ØÝ ζ Ú Ò Ø Ñ ØÖ ÙØ ÓÒµ Û Ø Ó ÒØ c =1 Ø Ð Ò µº º ÓÒÐÙ ÓÒ ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ú Ò ÐÝÞ Ø Ò Ù Ò Ó ÖÚ ÔÐ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÑÓÑ ÒØ Ó ØÓØ Ð Ù ØÓÑ Ö Ô ØÝ Ò Ò Ð ¹ ÖÚ Ö ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÙÒÐ Ñ Ø Ý Ø Ñ Ô ØÝ Ò ÓÒ Ø ÐÓ Ö Ø Ö Ø ÓÖ Ø Ý Ø Ñ Û Ø Ð Ñ Ø ØÓØ Ð Ô Øݺ ÁØ Û ÓÛÒ Ø Ø ½µ Ø ÔÐ Ò Á Ç ØØ Ö Ø Ò ÈË ÖÓÑ Ø Ú ÛÔÓ ÒØ Ó Ô ØÝ ÓÙÔ Ý Ù ØÓÑ Ö Ò Ø Ý Ø Ñ Ò ÐÓ Ö Ø Ö Ø ¾µ Ø ÐÓ Ö Ø Ö Ø P Ò Q Ô Ò ÓÒ ÖÚ ÔÐ Ò Ò Ö¹ Ø Ö Ó Ô Ò Ò ØÛ Ò Ù ØÓÑ Ö³ Ô ØÝ Ò Ð Ò Ø º ÀÓÛ Ú Ö Ø Ð Ø Ô Ò Ò Ò ÒØ Ð ÓÖ Ö Ø Ö Ñ ÐÐ Ý Ø Ñ Ô ¹ Ø Ò Ñ ÐÐ ρ ÑÓÖ ÔÖ ÐÝ Ò Ø Ø Ò Ù Ò Ó ζ Ò ξ Ô Ò¹ Ò Ò ÒØ Ð ÓÖ ÐÓ Ö Ø Ö Ø ÐÙÐ Ø ÓÒº Ì Ö ÓÖ Ò ÔÖ Ø Û Ó Ø Ò Ò ÒÓØ ØÓ Ô Ý ØØ ÒØ ÓÒ ÓÒ Ø Ô Ò Ò Ò Ò Ù Ò ÐÝØ Ð Ñ Ø Ó ØÓ ÐÙÐ Ø Ø ÐÓ ÔÖÓ Ð ØÝ ÓÖ ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø Ù ØÓÑ Ö Ð Ò Ø ÒÓØ Ô Ò Ò ÓÒ Ô Øݺ Ê Ö Ò ½ º ź Ð Ü Ò ÖÓÚ º º à ޺ ÆÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ñ Ò ÓÛ ÖÚ º ÁÞÚ Ø Ý Æ ËËËʺ Ì Ò Ý Ã ÖÒ Ø ÆÓ ¾ ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ¾ º Ë Ò ÙÔØ º Ì Ô Ø Ð Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ò M/G/1 ÕÙ Ù ÓÖ ÓÛ ØÓ Ò ÓÖ Ù Ö Ô º Ä Øº ÆÓØ ÓÒØÖº ÁÒ º Ë º ¼ ¾ ½ º

½ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó ÖØÙÖ ÓÐ Å Ö Ò ÓÛ Çº ź Ì ÓÒ Ò Óº ÉÙ Ù Ò ÅÓ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö ËÝ Ø Ñ º ÍÒ Ú Ö¹ Ø Ø Ó Å Ò ½ ¼º ÁÒ ÊÙ Òµº Ǻ Ì ÓÒ Ò Óº Å ØÓ Ý ÔÖÓ Ð ØÝÞÒ Ò Ð ÞÝ Ý Ø Ñ Û Ò ÓÖÑ Ý ¹ ÒÝ º Ñ Ç ÝÒ ÏÝ ÛÒ Þ ÁÌ Ï Ö Þ Û ¾¼¼ º ˺ º ÓÚº Ò ÐÝ Ó ÉÙ Ù Ò ÓÑÔÙØ Ö º Ê Ó ËÚÝ Þ ÅÓ ÓÛ ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº Ǻ Ì ÓÒ Ò Óº Ð Ð Ò ÒÓҹРРÔÖÓ ÓÖ Ö Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö º Ë ÒØ Á Ù Ó Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ ¹ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ º Ë Öº Å Ø Ñ Ø ÁÎ ½ ½ ¼ ¾¼¼ º Ǻ Ì ÓÒ Ò Ó º ÓРź ÓÛ º Ø Ñ Ø ÓÒ Ó ÐÓ Ö Ø Ö ¹ Ø Ó Ò Ð ¹ ÖÚ Ö ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö º Ë ÒØ Á Ù Ó Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ º Ë Öº Å Ø ¹ Ñ Ø ÁÁÁ ¾¼¼ º ÔÔ Ò Ü Ì Ð ½ ÈÖÓ Ð Ø Q ÓÖ ρ =0.2 V Q FIFO sim Q ESP sim ¼º¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼ ¼º ¾ ¼º ¾ ¾º¼ ¼º ¼º ½ ¾º ¼º ¾ ¼ ¼º ¾ º¼ ¼º¾ ¼¾ ¼º¾ ¼½ º¼ ¼º½¾ ¼ ¼º½¾ ½ º¼ ¼º¼ ½¼ ¼º¼ ¼ º¼ ¼º¼¾ ¼º¼¾ º¼ ¼º¼¼ ¼º¼¼ ½¼º¼ ¼º¼¼½ ¼º¼¼½ ½¾º¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼

Ò Ò Ù Ò Ó ÖÚ ÔÐ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó ÕÙ Ù ½ Ì Ð ¾ ÈÖÓ Ð Ø Q ÓÖ ρ =0.8 V Q FIFO sim Q EPS sim ¼º¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ¾º¼ ¼º ¼º ½ º¼ ¼º ¼ ¼º ¼ º¼ ¼º½ ¼º½ ¾ º¼ ¼º½¼ ¼º½¼ ½¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ½ º¼ ¼º¼¾ ¼º¼¾ ¾ ¾¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼¼ ¾ º¼ ¼º¼¼ ½ ¼º¼¼ ½ ¼º¼ ¼º¼¼½¾ ¼º¼¼½½ º¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ Ì Ð ÈÖÓ Ð Ø P Ò Q ÓÖ ρ =0.2 V P FIFO sim Q FIFO sim P EPS an Q EPS sim ¼º¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼ ¼º ¼º ¼º ¼º ¾º¼ ¼º½ ½½ ¼º ¼º½ ½ ¼º º¼ ¼º¼ ¼ ¼º¾ ½ ¼º¼ ¼º¾ º¼ ¼º¼ ¼º½ ½ ¼º¼ ¼º½ º¼ ¼º¼¾ ¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼¾ ¼ ¼º¼ ¾ º¼ ¼º¼½¾ ¼º¼ ¼º¼½ ¼º¼ º¼ ¼º¼¼ ¼º¼½ ¼ ¼º¼¼ ¼º¼½ ½¼º¼ ¼º¼¼½½ ¼º¼¼ ¼º¼¼½ ¼º¼¼ ½ ½¾º¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼½½ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼½ ½ º¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼¾ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼

½ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó ÖØÙÖ ÓÐ Å Ö Ò ÓÛ Ì Ð ÈÖÓ Ð Ø P Ò Q ÓÖ ρ =0.8 V P FIFO sim Q FIFO sim P EPS an Q EPS sim ¼º¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ¾º¼ ¼º¾ ¼ ¼º ½ ¼º¾ ½ ¼º ¾ º¼ ¼º½¾ ¾ ¼º¾ ½ ¼º½ ¼º ½½½ º¼ ¼º¼ ½ ¼º½ ¾ ¼º¼ ¼º¾¼ º¼ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º¼ ¼º½ ¾ ½¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º½¼ ¾ ½ º¼ ¼º¼¼ ¼ ¼º¼¾½¾ ¼º¼¾ ¼º¼ ¾ ¾¼º¼ ¼º¼¼ ¾ ¼º¼¼ ¼º¼½ ¼º¼¾ ¾ º¼ ¼º¼¼½¾ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼½ ¼ ¼º¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼½¼ ¼º¼¼ ¼º¼¼ ¾ º¼ ¼º¼¼¼¾ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼¾ ¼º¼¼½ ¼º¼¼ ½ ¼º¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼½½ Ì Ð ÈÖÓ Ð Ø P Ò Q ÓÖ ρ =1.0 V P FIFO sim Q FIFO sim P EPS an Q EPS sim ¼º¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ¾º¼ ¼º¾ ¼ ¼º ½ ¼º¾ ¼¾ ¼º º¼ ¼º½ ¼ ¼º ¼ ¼º½ ½ ¼º ¾ º¼ ¼º½¾¾ ¼º¾ ¼º½ ¼º ¼ ¼ ½¼º¼ ¼º¼ ½ ¼º½¾¾¼ ¼º¼ ¼ ¼º½ ½ º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼º½¾½¾ ¾¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º¼½ ¾ ¼º¼¾ ¼ ¼º¼ ½ ¼º¼ º¼ ¼º¼½¼ ¼º¼¾ ¼º¼¾ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼¾½ ¼º¼¾ ½ ¼º¼ ½ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼ ¼º¼½ ¼º¼½ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼½ ¼º¼½ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼½¾¼ ¼º¼½ ¼ ¼º¼¾ ¼º¼ ¼º¼¼ ¼º¼½¼ ¼º¼½¾¾ ¼º¼¾ ¼

Ò Ò Ù Ò Ó ÖÚ ÔÐ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó ÕÙ Ù ½ Ì Ð ÈÖÓ Ð Ø P Ò Q ÓÖ ρ =0, 2 Û Ò ζ Ò ξ Ö Ò Ô Ò ÒØ V P FIFO sim Q FIFO sim P EPS an Q EPS sim ¼º¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ¼º ¼º ¼º ¼º ¼º ½º¼ ¼º ¾ ¼ ¼º ¼º ¾ ½ ¼º ½º ¼º ¼ ½ ¼º ¼ ¼º ¼ ¼º ¼ ¾º¼ ¼º¼ ¾ ¼º½¾¾ ¼º¼ ¼º½¾ ¼ ¾º ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼ º¼ ¼º¼ ½ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º¼ ¾ º¼ ¼º¼¼ ½ ¼º¼¼ ¼º¼¼ ¼º¼½½ º¼ ¼º¼¼½¾ ¼º¼¼½ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼ º¼ ¼º¼¼¼¾ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ º¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼¾ ¼º¼¼¼¾ Ì Ð ÈÖÓ Ð Ø P Ò Q ÓÖ ρ =0, 8 Û Ò ζ Ò ξ Ö Ò Ô Ò ÒØ V P FIFO sim Q FIFO sim P EPS an Q EPS sim ¼º¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼ ¼º ¼º ¼ ¼º ¼º ¼ ¾º¼ ¼º ¼¼ ¼º ¼º ½½½ ¼º ¼½ º¼ ¼º½ ¼º¾ ¾¾ ¼º¾¼ ¼º¾ º¼ ¼º½½ ¼º½ ¼ ¼º½ ¼º½ º¼ ¼º¼ ¼º½¼ ¼º½¼ ¼º½ ½ º¼ ¼º¼ ½ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º½¼ º¼ ¼º¼¾ ¼ ¼º¼ ¾ ¼º¼ ¼º¼ ½ ½¼º¼ ¼º¼½¾ ¼º¼½ ¼º¼¾ ¼ ¼º¼ ¼ ½ º¼ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼¼ ¼ ¼º¼½¾¾ ¾¼º¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼ ¼ ¼º¼¼ ¼ ¾ º¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼½¼ ¼º¼¼½ ¼º¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ º¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼½

¾¼¼ ÇÐ Ì ÓÒ Ò Ó ÖØÙÖ ÓÐ Å Ö Ò ÓÛ Ì Ð ÈÖÓ Ð Ø P Ò Q ÓÖ ρ =0, 2 Û Ò ξ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ ζ V P FIFO sim Q FIFO sim P EPS an Q EPS sim ¼º¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼ ¼º ½ ¼º ¼º ½ ¼º ¾º¼ ¼º½½ ½ ¼º½ ¾ ¼º½½ ¼ ¼º½ ½ º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼ º¼ ¼º¼¼ ¼º¼½½¾ ¼º¼½ ¼º¼½ ¾ º¼ ¼º¼¼¾¼ ¼º¼¼ ½ ¼º¼¼ ¼º¼¼ ¾ º¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼½ ¼º¼¼¾¾ º¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ º¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¾ ¼º¼¼¼¾ º¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼½ Ì Ð ÈÖÓ Ð Ø P Ò Q ÓÖ ρ =0, 8 Û Ò ξ ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ ζ V P FIFO sim Q FIFO sim P EPS an Q EPS sim ¼º¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ½º¼¼¼¼ ¼º ¼º ¾ ¼º ¼¼ ¼º ¾ ¼º ¼¼ ½º¼ ¼º ¼ ¼º ¼º ¼º ¾º¼ ¼º ½ ¼º ¼º ¾ ¾ ¼º ¼¾ º¼ ¼º½ ¾ ¼º¾ ¾½ ¼º¾½ ¾ ¼º¾ º¼ ¼º½½¼ ¼º½ ¼º½ ¼º¾¼ º¼ ¼º¼ ¼ ¼º¼ ¼º½½ ¼º½ º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼½ ¼º½¾¾½ º¼ ¼º¼¾½ ¼º¼ ½¼ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ½¼º¼ ¼º¼½½¼ ¼º¼½ ¼º¼ ¼º¼ ¼ ½ º¼ ¼º¼¼¾½ ¼º¼¼ ¼ ¼º¼½ ¼º¼¾¼¼ ¾¼º¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼ ¾ ¼º¼¼ ¾ º¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¾ ¼º¼¼ ¼º¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼½½ ¼º¼¼½ º¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼¼¼ ¼º¼ ¼º¼¼¼¾ ¼º¼¼¼ º¼ ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼½