Ordonnancer Une Machine pour Minimiser la Somme des Coûts. Antoine JOUGLET

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1 1 Ordonnancer Une Machine pour Minimiser la Somme des Coûts - The One Machine Total Cost Sequencing Problem T H È S E Présentée par Antoine JOUGLET pour l obtention du grade de Docteur de l Université de Technologie de Compiègne spécialité Contrôle des Systèmes Soutenue le 29 novembre 2002 devant le jury composé de : M. Philippe Baptiste Directeur M. Jacques Carlier Directeur M. Philippe Chrétienne Président, Rapporteur M. Chengbin Chu Rapporteur M. Federico Della Croce Rapporteur M. Slim Hammadi Examinateur M. Narendra Jussien Examinateur M. Jérôme Rogerie Examinateur

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3 3 Contents Remerciements 7 Introduction 9 1 The One Machine Sequencing Problem Problem Definition Basic Model Optimality Criteria : Objective Functions Notation Previous Results Minimizing Total (Weighted) Tardiness Minimizing Total (Weighted) Completion Time Minimizing Total Cost on One Machine Introduction Introduction to Constraint Programming A Branch and Bound Procedure Integrating CP Branch and Bound Algorithm Dominance of Active Schedules Better Sequences No-good Recording A Look-Ahead Propagation Rule Conclusion Minimizing Total Weighted Tardiness Introduction

4 4 CONTENTS 3.2 Local Dominance Properties Dominance Rules Relying on the Scheduled Jobs Dominance In the First Position Dominance Rule Based on Interchanges of Jobs Dominance Rule Based on Insertions of Jobs Applying Dominance Rules Comparing Dominance Rules with Previous Ones Generalizing Emmons Rules Initial Emmons Rules Generalized Emmons Rules (1 r i, pmtn w i T i ) Applying Generalized Emmons Rules Adjusting Deadlines Adjusting Deadlines According to the Last Job of P Adjusting Deadlines According to the Complete Sequence P Adjusting Deadlines According to a Lower Bound of a Schedule Lower Bounds A New Lower Bound Improving the Lower Bound Heuristic Algorithms Improving a Solution Building a Solution: Heuristics Branch and Bound Algorithm Using Dominance Rules and Adjustments on Deadlines in the Branch And Bound Algorithm Improving the Branching Rule Experimental Results Heuristic Algorithms Lower Bounds Dominance Properties, No-good Recording, Deadline Adjustments and Propagation Rules Main Results Conclusion

5 CONTENTS 5 4 Minimizing Total Tardiness Introduction Local Dominance Properties Dominance Properties Lower Bounds Chu s Lower Bound A New Lower Bound Comparison with Chu s Lower Bound Improving the Lower Bound Heuristic Algorithms A Propagation Rule On Possible and Impossible Positions Branch and Bound Algorithm Using Dominance Rules and Adjustments on Deadlines in the Branch And Bound Algorithm Improving the Branching Rule Experimental Results Heuristics Lower Bounds Dominance Properties, No-good Recording, Deadline Adjustments and Propagation Rules Main Results Conclusion Minimizing Total Weighted Completion Time Introduction Dominance Properties Improving the Dominance Rules in the First Position Dominance Rules of the Literature Lower Bounds Heuristic Algorithms Branch and Bound Algorithm Using Dominance Rules and Adjustments on Deadlines in the Branch And Bound Algorithm Branching Rule With Release Date Adjustment

6 6 CONTENTS 5.6 Experimental Results Heuristics Dominance Properties, No-good Recording, Deadline Adjustments and Propagation Rules Main Results Conclusion Minimizing Total Completion Time Introduction Local Dominance Properties Dominance Properties Lower Bounds Heuristic Algorithms Branch and Bound Algorithm Experimental Results Heuristics Dominance Properties, No-good Recording, Deadline Adjustments and Propagation Rules Main Results Conclusion Conclusion 183 References 187 A Notations 197

7 Remerciements Je tiens avant tout à remercier Monsieur Philippe Baptiste, Chargé de Recherches CNRS à l Université de Technologie de Compiègne, et Monsieur Jacques Carlier, Professeur à l Université de Technologie de Compiègne qui m ont encadré tout au long de cette thèse. Leurs conseils indispensables, leurs encouragements, leur patience et leur disponibilité m ont permis de travailler dans les meilleures conditions. J adresse mes remerciements à Monsieur Philippe Chrétienne, Professeur à l Université de Paris VI, à Monsieur Chengbin Chu, Professeur à l Université de Technologie de Troyes, et à Monsieur Federico Della Croce, Professeur associé à l Ecole Polytechnique de Turin de l honneur qu ils m ont fait en acceptant d être rapporteur de cette thèse. J exprime ma gratitude à Monsieur Slim Hammadi, Maître de Conférences à l Ecole Centrale de Lille ainsi qu à Monsieur Narendra Jussien, Maître de Conférences à l Ecole des Mines de Nantes, qui ont bien voulu être examinateurs de ces travaux. Je tiens aussi à remercier Monsieur Jérôme Rogerie, chef d équipe Recherches et Développement Scheduler chez ILOG SA, pour sa participation à ce jury et pour ses conseils et ses idées qui m ont beaucoup aidé dans ces travaux. Je souhaite aussi remercier tous les membres du laboratoire Heudiasyc, et en particulier son directeur Monsieur Lozano, pour m avoir permis de travailler dans une ambiance sérieuse et agréable. Enfin je tiens à remercier particulièrement mon épouse Delphine, mes parents Philippe et Marie-Paule, mon frère et mes soeurs Pierre-Marie, Valérie et Brigitte qui m ont soutenu, encouragé et supporté pendant toutes ces années. Merci à Charlotte, Claire, Greg (qui a aussi participé à l antithèse de cette thèse), Olivier, Pierre-Alexandre et Virginie pour leur amitié et leur soutien permanent. 7

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9 Introduction Dans le cadre d une compétition internationale de plus en plus forte entre les entreprises, la réduction des coûts est un objectif crucial. Celle-ci peut être obtenue par une meilleure utilisation des ressources. En particulier, la productivité peut être fortement affectée par l ordonnancement des opérations sur les machines. Les problèmes d ordonnancement apparaissent dans des domaines aussi variés que l organisation opérationnelle du travail dans les usines, la planification de grands projets, l emploi du temps d activités de service, mais aussi l allocation dynamique des ressources dans les systèmes d exploitation d ordinateurs. L étude des problèmes d ordonnancement est également d un intérêt théorique toujours renouvelé pour les chercheurs, car il n a pas encore été trouvé de méthode de résolution à la fois générale et de faible complexité algorithmique, en raison de la nature fortement combinatoire de ces problèmes. Un problème d ordonnancement est composé de façon générale d un ensemble de tâches soumises à certaines contraintes, et dont l exécution nécessite des ressources. Résoudre un problème d ordonnancement consiste à organiser ces tâches, c est-à-dire à déterminer leur dates de démarrage et à leur attribuer des ressources, de telle sorte que les contraintes soient respectées [96]. On peut aussi chercher à optimiser un certain objectif. Les problèmes d ordonnancement sont très variés [10, 24, 29, 46, 59, 62]. Ils sont caractérisés par un grand nombre de paramètres relatifs aux tâches (morcelables ou non, indépendantes ou non), aux ressources (renouvelables ou consommables), aux types de contraintes portant sur les tâches (précédences, disjonctions), au critère d optimalité (minimisation de la durée de l ordonnancement, du retard maximal des tâches,...). Dans les problèmes d ordonnancement d atelier, les tâches sont regroupées en entités appelées travaux ou jobs. Les ressources sont des machines, ne pouvant réaliser qu une tâche à la fois. On parle alors de ressources disjonctives. Chaque job est constitué de m opérations à exécuter sur m machines distinctes. D autre part, chaque travail concerne une entité physique indivisible, appelée produit, ou lot, lorsque plusieurs produits identiques 9

10 10 INTRODUCTION sont regroupés. Une entité ne pouvant se trouver simultanément en deux lieux distincts, un même travail ne peut être exécuté qu à raison d une opération à la fois, sur une seule des machines. Il existe trois types de problèmes d atelier, selon la nature des contraintes liant les tâches d un même job. Lorsque l ordre de passage des opérations de chaque job est fixé et est le même pour tous les jobs, on parle de Flow-Shop. Si cet ordre varie d un job à l autre, il s agit d un Job-Shop. Enfin, si le séquencement des opérations des jobs n est pas imposé, le problème est appelé Open-Shop. En ordonnancement d atelier, les indicateurs de performances varient essentiellement en fonction des dates de fin de travaux. Pour un travail, on peut notamment relever le temps de cycle ou temps de séjour et le retard. Très souvent, les critères cherchent à minimiser le maximum ou la moyenne de ces indicateurs sur l ensemble des travaux. Par exemple la minimisation du temps de cycle revient à minimiser la durée totale de l ordonnancement et par ce biais on optimise le taux moyen d utilisation des machines. Afin de modéliser des préférences ou des coûts dans la réalisation des travaux, on opère souvent une pondération sur les critères. On peut par exemple chercher à minimiser le retard moyen pondéré (qui revient à minimiser le retard total pondéré), ou la somme pondérée des dates de fin directement liée aux stocks d encours. Une même méthode peut être utilisée pour des critères différents. Par exemple, les méthodes de résolution optimale d un problème avec critère pondéré s appliquent également aux problèmes avec un critère non pondéré (en utilisant des poids unitaires). On dit que le deuxième type de problème se réduit au premier (plus difficile car plus général). Des réductions plus élaborées peuvent être établies. Parmi les problèmes d ordonnancement d atelier, les problèmes à une machine ont été les premiers étudiés à cause de leur apparente simplicité. L étude de ces problèmes est essentielle pour plusieurs raisons. Ils sont utiles pour la compréhension et la modélisation des problèmes à plusieurs machines. Leur résolution nous guide aussi pour l élaboration d heuristiques pour des problèmes multi-machines. En pratique en effet, il peut s avérer que des difficultés d ordonnancement d un atelier proviennent d une machine dominante (machine goulot) [2] sur laquelle se concentre les conflits, les attentes, etc. Une bonne gestion de ces ressources joue donc un rôle déterminant dans les performances du système global. Une autre raison qui justifie les études sur les problèmes à une machine est que les résultats obtenus pour ces problèmes servent souvent de base à la résolution de problèmes plus généraux. La plupart des problèmes à une machine sont NP-difficiles au sens fort [60], il n existe donc pas d algorithme polynomial pour les résoudre de façon exacte (sauf si P = NP ).

11 INTRODUCTION 11 De ce fait, on recourt généralement à une technique d énumération implicite des solutions pour obtenir l optimum d un tel problème. Le facteur clé permettant de limiter l explosion combinatoire inhérente à ce type de méthode réside incontestablement dans l utilisation de bornes inférieures et de règles d élimination de qualité, les premières concourant à la limitation de l arborescence de recherche et les secondes tentant de réduire l espace des solutions à ses seules parties pertinentes. Ces dernières années, de très nombreuses applications industrielles et académiques ont montré que la programmation par contraintes est un outil très bien adapté à la résolution de problèmes d ordonnancement [80, 88]. Un produit comme ILOG SCHEDULER [66] basé sur ILOG SOLVER, un outil générique pour la programmation par contraintes orientée objet, permet de simplifier la représentation et la résolution de problèmes d ordonnancements. Avec un tel outil, le problème est modélisé en termes de variables (chacune associée à un domaine de valeurs qui représentent les valeurs possibles que peut prendre une entité du système), et de contraintes qui lient entre elles ces variables. L un des intérêts majeurs de cette technique est que les contraintes sont utilisées dans un processus déductif, i.e., la propagation, qui peut permettre de détecter rapidement une contradiction ou de réduire les domaines des variables, ce qui permet d accélérer le traitement du problème. De très nombreuses techniques de Recherche Opérationnelle sont intégrées dans ces algorithmes déductifs. D excellents résultats, parmi les meilleurs mondiaux, ont été ainsi obtenus sur des problèmes d ateliers comme le Job-Shop, le Flow-Shop, le Flow-Shop hybride, l Open-Shop et sur des problèmes de gestion de projet à contraintes de ressource. Notons cependant que, dans tous les cas, l objectif est toujours de minimiser la date de fin du projet. Il est connu que ce critère ne correspond pas toujours aux préoccupations des industriels qui sont parfois intéressés par la minimisation de la somme (pondérée) des dates de fin (qui est équivalent à la minimisation du temps de séjour pondéré moyen dans l atelier), la minimisation de la somme des retards, ou la maximisation du nombre (pondéré) de tâches exécutées dans une certaine fenêtre de temps. Malheureusement, en dehors de travaux théoriques portant sur l étude de cas particuliers, peu d études ont été menées sur de tels critères. Il est donc crucial d étudier ces autres critères. Cette thèse traite du problème à une machine où il s agit de minimiser un coût total. Dans ce problème, un ensemble N = {J 1,..., J n } de n jobs doit être ordonnancé sur une machine. A chaque job J i est associé une durée p i et une date de disponibilité r i avant laquelle le job J i ne peut pas commencer. Suivant le critère étudié, on peut aussi associer

12 12 INTRODUCTION à chaque job J i un poids w i et une date échue d i. Si un job J i est terminé après sa date échue d i, le job est considéré comme en retard ce qui occasionne un certain coût. Le poids w i permet de donner plus ou moins d importance au coût de l ordonnancement du job J i. L objectif est de trouver un ordonnancement qui minimise un des critères suivants : le retard total pondéré ( w i T i ), le retard total ( T i ), la somme pondérée des dates de fin ( w i C i ), et la somme des dates de fin ( C i ), où C i et T i = max(0, C i d i ) représentent respectivement la date de fin et le retard d un job J i dans cet ordonnancement. Pour résoudre exactement ces problèmes, nous proposons une méthode arborescente utilisant la programmation par contraintes et plusieurs règles d élimination efficaces et originales qui permettent d améliorer cette méthode. Cette thèse est composée de six chapitres. Dans le Chapitre 1, nous définissons les différents problèmes à une machine que nous étudions. Nous proposons alors un bref état de l art des précédents résultats obtenus pour ces problèmes [8, 9, 21, 23, 39, 40, 41, 42, 53]. Le Chapitre 2 est consacré à la méthode générale de résolution. Après une brève introduction à la Programmation par Contraintes, nous décrivons notre méthode arborescente avec propagation de contraintes. Le critère est représenté par une variable contrainte F. Pour résoudre ce problème, nous appliquons une recherche itérative sur le domaine de F. A chaque itération, nous avons à résoudre un problème de décision, i.e., vérifier qu il existe un ordonnancement réalisable dont le coût associé est au plus F. Plutôt que de chercher les dates de début des jobs, nous cherchons une séquence optimale de l ensemble des jobs. Chaque noeud de l arborescence est alors caractérisé par une séquence partielle P de jobs ordonnancés au début de l ordonnancement, une séquence partielle Q de jobs ordonnancés à la fin de l ordonnancement, et un ensemble NS (Not Sequenced) de jobs non encore séquencés. De plus PF (Possible First) désigne le sous-ensemble de NS des jobs qui peuvent être ordonnancés après la séquence P et PL (Possible Last) désigne le sous-ensemble de NS des jobs qui peuvent être ordonnancés

13 INTRODUCTION 13 avant la séquence Q (voir Figure 1). A chaque noeud de l arbre de recherche, on choisit P PF Q NS PL Figure 1: Un noeud de l arbre de recherche. un job à ordonnancer parmi les jobs de l ensemble PF. Il est très facile d implémenter une telle méthode de recherche arborescente avec un outil tel que ILOG SCHEDULER. Cependant, telle quelle, elle ne peut résoudre que des problèmes de petite taille car aucune technique spécifique n a été développée dans cet outil pour les problèmes étudiés. Dans cette thèse nous présentons les diverses techniques que nous avons développées qui permettent d améliorer cette méthode et de résoudre des instances de plus grande taille. Ces techniques sont pour la plupart des règles d élimination qui permettent de réduire l espace de recherche en filtrant les ensembles PF et PL à chaque noeud de l arborescence. A la fin du Chapitre 2 nous présentons des techniques génériques valables pour l ensemble des problèmes étudiés. Parmi les techniques génériques décrites dans le Chapitre 2, nous présentons une technique d enregistrement de séquences partielles visitées qui permet d éliminer des solutions partielles non optimales déjà identifiées. Cette technique se base sur la notion de meilleure séquence qui permet de comparer deux séquences partielles actives σ 1 et σ 2 d un même ensemble de jobs: sous certaines conditions, une séquence partielle σ 2 peut être remplacée par la meilleure séquence σ 1 dans tout ordonnancement commençant par σ 2 sans augmenter le coût de cet ordonnancement. A chaque noeud de l arborescence où la recherche échoue, on peut sauvegarder l ensemble des jobs déjà ordonnancés, avec la date de fin de la séquence et son retard global. Si ultérieurement dans la recherche arborescente on rencontre le même ensemble de jobs dans une séquence moins bonne, on peut alors déclencher un backtrack puisque l on est sûr que la séquence qui sera obtenue ne sera pas optimale. Nous verrons expérimentalement que cette technique permet de réduire efficacement la taille de l espace de recherche. Nous proposons ensuite une simple règle de propagation dite Look-Ahead qui permet de filtrer l ensemble PF à chaque noeud de l arborescence: on suppose que l on séquence

14 14 INTRODUCTION le job J i juste après la séquence partielle P et une borne inférieure (dépendant du critère étudié) de la nouvelle situation est alors calculée. Si cette borne est supérieure à la borne supérieure F du problème de décision, le job ne peut pas être placé juste après P et peut donc être éliminé de l ensemble PF. Une règle symétrique est aussi utilisée pour l ensemble PL des jobs qui peuvent être ordonnancés avant la séquence partielle Q. Dans les chapitres suivants (Chapitres 3,4,5 et 6), nous présentons les techniques que nous avons développées qui sont plus spécifiques aux quatres critères étudiés (minimisation du retard total pondéré, du retard total, de la somme pondérée des dates de fin et de la somme des dates de fin). Notons que tous ces critères se réduisent au retard total pondéré et peuvent être considérés comme des cas particuliers de ce problème (voir Figure 2). Une méthode présentée pour la minimisation du retard total pondéré sera aussi C i w ic i w it i T i Figure 2: C i, w i C i et T i sont des cas particuliers de w i T i. valide pour pour la minimisation du retard total, de la somme pondérée des dates de fin et de la somme des dates de fin. Le Chapitre 3 sera donc central car nous y présentons les autres principales techniques développées dans cette thèse. Elles seront reprises dans les chapitres 4,5 et 6 pour être éventuellement simplifiées et comparées aux méthodes déjà existantes spécifiquement pour les critères du retard total, de la somme pondérée des dates de fin et de la somme des dates de fin. Plusieurs règles de dominance sont présentées dans le Chapitre 3. Une règle de dominance est une contrainte qui peut être ajoutée au problème initial sans changer la valeur de l optimum, i.e., qu il existe au moins une solution optimale pour laquelle cette contrainte est vérifiée. Les règles de dominance sont d un grand intérêt puisqu elles permettent de réduire l espace de recherche en filtrant à chaque noeud de l arborescence l ensemble des jobs PF (ou PL) des jobs qui peuvent être placés après la séquence partielle P (avant la séquence partielle Q). Tout d abord, reprenant et généralisant les travaux de Chu pour la minimisation du retard total et de la somme des dates de fin [39, 40, 41, 42], nous présentons une condition

15 INTRODUCTION 15 nécessaire et suffisante d optimalité locale. A partir de cette condition et de la même manière que Chu, nous définissons deux sous-ensembles dominants pour la minimisation du retard total pondéré. A chaque noeud de l arborescence, l ensemble PF peut alors être filtré par rapport au dernier job de la séquence partielle P afin d obtenir des ordonnancements appartenant à ces sous-ensembles dominants. Nous présentons ensuite une règle de dominance qui permet de filtrer l ensemble PF par rapport à la totalité de la séquence partielle P. On suppose qu un job J i appartenant à l ensemble PF est ordonnancé derrière la séquence P. L idée est de chercher une permutation de la séquence P J i qui est meilleure que P J i. Si on trouve une telle séquence, la séquence P J i est alors dominée et le job J i peut donc être éliminé de l ensemble PF. Nous proposons de trouver des meilleures séquences de P J j en faisant une énumération complète des séquences des k derniers jobs de P J j, où k est un entier relativement petit. Nous proposons aussi de trouver des meilleures séquences en insérant J i quelque part dans la séquence P ou en échangeant J i avec un job de P. L ensemble des séquences obtenues par insertions et échanges peut être obtenu en O(n 2 ) pour chaque job appartenant à l ensemble PF. Cette méthode très efficace permet d assurer a posteriori la cohérence de l ensemble PF (i.e., des décisions qui peuvent être prises dans la suite de la recherche arborescente) par rapport aux décisions qui ont déjà été prises précédemment dans la construction de la séquence. Enfin, nous proposons des règles de dominance qui se basent sur les jobs qui n ont pas encore été ordonnancés. Considérons deux jobs J j et J k non encore ordonnancés. L idée est d examiner sous quelles conditions le job J j domine le job J k en première position. Par dominance en première position, on signifie que si J k est ordonnancé juste après la séquence partielle P et que cette séquence est complétée par une séquence contenant J j, pour obtenir un ordonnancement complet, alors il sera toujours possible d échanger les jobs J j et J k ou d insérer J j avant J k pour obtenir une meilleure séquence et ceci, quelle que soit la séquence de jobs ordonnancés après la séquence P J k. Pour cela, nous montrons comment évaluer le gain minimum obtenu en échangeant les jobs J j ou J k ou en insérant le job J j avant le job J k, ce gain minimum étant valable pour toutes les séquences qui peuvent être construites après la séquence P J k. Si ce gain est positif alors la séquence P J k est dominée, et J k peut donc être éliminé de l ensemble PF des jobs qui peuvent être ordonnancés après la séquence partielle P. Cette méthode très efficace permet donc d éliminer a priori des noeuds qui ne peuvent pas conduire à une solution optimale. Ces règles de dominance sont très importantes puisqu elles généralisent et dominent un

16 16 INTRODUCTION grand nombre de règles de dominance développées dans des travaux précédents pour chacun des critères étudiés [8, 23, 41, 42]. En programmation par contraintes, une fenêtre de temps est associée à chaque job. Celleci représente à chaque instant l intervalle de temps durant lequel ce job peut s exécuter. Pour chaque job J i, cette fenêtre de temps est initialisée à [r i, M), où M est une grande valeur telle que max {Ji N} r i + {J i N} p i. Notons qu il n existe aucune contrainte sur la fin d un job dans les données initiales du problème. Nous verrons cependant que ces fenêtres de temps peuvent être réduites grâce aux algorithmes de propagation de la contrainte de ressource (Techniques d Edge-Finding [5, 31, 32, 86, 89, 87, 98]). L utilisation de telles méthodes permet de réduire l espace de recherche. Nous proposons des techniques originales pour ajuster les bornes supérieures de ces fenêtres de temps (dates de fin au plus tard) à chaque noeud de l arborescence. Une date de fin au plus tard δ i pour un job J i est une date après laquelle le job J i ne peut pas se terminer dans une séquence optimale. Pour ajuster la date de fin au plus tard d un job J i, l idée est de trouver une date au delà de laquelle il sera toujours meilleur d échanger J i avec un job déjà ordonnancé ou d insérer J i quelque part dans la séquence partielle P des jobs déjà ordonnancés. Si une telle date existe alors J i doit finir avant cette date, sinon la séquence construite ne pourra pas être optimale. Les ajustements des dates de fin au plus tard sont d un grand intérêt puisqu ils permettent d améliorer les déductions faites par les techniques d Edge-Finding et de réduire ainsi l espace de recherche. Afin de rendre plus efficace la méthode arborescente, nous proposons une nouvelle borne inférieure pour la minimisation du retard total pondéré. Tout d abord, nous proposons une généralisation des règles de dominance d Emmons [57] initialement valides pour le problème sans poids et sans date de disponibilité (1 T i ), au problème avec poids et dates de disponibilité. Malheureusement, cette généralisation n est valable que dans le cas préemptif. Ces règles sont néanmoins très utiles pour améliorer la qualité de cette borne. A notre connaissance, il n existe pas de borne inférieure dédiée au critère du retard total pondéré. Akturk et Ozdemir [8] proposent néanmoins d utiliser une borne inférieure du problème de la minimisation de la somme pondérée des dates de fin en lui enlevant la somme pondérée des dates échues, ou alors de relaxer les dates de disponibilité et d utiliser une borne valable pour le problème sans date de disponibilité. Le défaut de la première technique est de fournir dans certains cas des bornes négatives inutilisables quand les dates échues sont trop grandes. Le défaut de la deuxième technique est de fournir des bornes inférieures trop faibles quand la relaxation est trop importante. Bien

17 INTRODUCTION 17 que de médiocre qualité, la borne inférieure que nous proposons pour le critère du retard total pondéré permet dans certains cas de contourner ces problèmes. Les algorithmes heuristiques donnent souvent de bonnes bornes supérieures qui peuvent être utilisées dans la recherche arborescente. De plus, puisque les problèmes étudiés sont NP-durs, il est préférable d utiliser les algorithmes heuristiques quand la taille des instances à résoudre est très grande. Un grand nombre d heuristiques ont été développées dans la littérature [9, 39, 40]. Plusieurs règles de priorité, qui peuvent être facilement implémentées, ont aussi été proposées [114, 85]. Dans le Chapitre 3, nous décrivons cinq algorithmes heuristiques de la littérature, adaptés aux critères étudiés. Nous proposons une nouvelle règle de priorité qui s est montrée expérimentalement efficace pour construire de bonnes solutions. Nous proposons aussi des méthodes qui permettent d améliorer de façon significative la qualité des ordonnancements construits par ces heuristiques. Elles sont basées sur les propriétés de dominance locale et sur la recherche de meilleures permutations d une séquence de tâches en cours de construction. Une étude expérimentale montre l efficacité de ces techniques. Néanmoins, aucune comparaison approfondie avec d autres algorithmes heuristiques ou d autres méthodes approchées n a été réalisée dans cette thèse. Ceci donnera lieu à de futurs travaux de recherches. Le Chapitre 4 traite de la minimisation du retard total. Pour ce critère, Chu [39, 41] propose une condition suffisante d optimalité locale qui lui permet de définir un sousensemble dominant de solutions et de construire des solutions le long de ce sous-ensemble. Nous comparons alors ces propriétés de dominance locale à celles introduites dans le Chapitre 3 pour la minimisation du retard total pondéré. Nous montrons que l on peut définir un sous-ensemble dominant qui améliore sensiblement ces résultats. Chu [41] a aussi proposé plusieurs règles de dominance très efficaces. Nous montrons que plusieurs d entre elles sont dominées par les règles de dominance en première position introduites dans le Chapitre 3. Pour le critère du retard total, Chu [41] propose une borne inférieure en O(n log n). Nous proposons une nouvelle borne inférieure qui utilise les règles généralisées d Emmons (Chapitre 3). Nous montrons que celle-ci est supérieure à la borne de Chu et qu expérimentalement elle est très efficace pour améliorer la recherche arborescente. Enfin, nous introduisons une nouvelle règle de propagation qui permet d ajuster les données et de filtrer les ensembles PF et PL à chaque noeud de l arborescence, en se basant sur des positions que certains jobs peuvent ou ne peuvent pas prendre dans un

18 18 INTRODUCTION ordonnancement optimal. Dans le Chapitre 5, nous étudions le critère de la somme pondérée des dates de fin. Après avoir introduit des règles de dominance de la littérature valides pour ce critère, nous montrons que plusieurs règle de dominance de Bianco et Ricciardelli [23] sont dominées par nos règles de dominance introduites dans le Chapitre 3. Nous introduisons aussi une borne inférieure de Belouadah, Posner and Potts [21] qui permet d améliorer la recherche arborescente. Finalement, le Chapitre 6 traite de la minimisation de la somme des dates de fin. Pour ce critère, Chu [40, 42] a introduit une condition suffisante et nécessaire d optimalité locale qui lui permet de définir un sous-ensemble dominant de solutions et de construire des solutions le long de ce sous-ensemble. Nous comparons alors ces propriétés de dominance locale à celles introduites dans le Chapitre 3 pour la minimisation du retard total pondéré. Chu [40, 42, 43] a également introduit plusieurs règles de dominance. Après avoir décrit ces dernières, nous montrons que plusieurs d entre elles sont dominées ou sont équivalentes aux règles de dominance introduites dans le Chapitre 3. Pour chacun des quatres critères, nous rapportons des résultats expérimentaux qui permettent de montrer l efficacité des techniques développées dans cette thèse. La méthode arborescente, alliée à ces techniques, permet d améliorer les meilleurs résultats connus pour ces problèmes. Ainsi, pour le problème de la minimisation du retard total pondéré, nous pouvons résoudre des instances jusqu à 30 jobs pour les instances les plus dures. Notons que les meilleurs résultats obtenus jusqu alors par Akturk et Ozdemir [8] étaient de 15 jobs. Pour le problème de la minimisation du retard total, nous pouvons résoudre des instances jusqu à 50 jobs pour les instances les plus difficiles, alors que les résultats de Chu [41] étaient de 30 jobs. Pour le critère de la somme pondérée des dates de fin, nous résolvons des instances jusqu à 90 jobs pour les instances les plus difficiles, alors que les résultats obtenus par la méthode arborescente de Belouadah, Posner et Potts [21] sont de 50 jobs. Pour le critère de la somme des dates de fin, nous résolvons des instances jusqu à 120 jobs, alors que les résultats obtenus par Chu [42] étaient de 100 jobs.

19 Chapter 1 The One Machine Sequencing Problem The one machine case has been the subject of extensive research since the early work of Jackson [67] and Smith [101]. One machine models are important for various reasons. The one machine environment is very simple and a special case of all other environments. One machine models often display properties that do not hold for either machines in parallel or machines in series. The results that can be obtained for one machine models not only provide insights into the one machine environment, they also provide a basis for heuristics for more complicated machine environments. In practice, scheduling problems in more complicated machine environments are often decomposed into subproblems that deal with one machine. The one machine scheduling problem has been extensively studied under different assumptions and various objective functions. This thesis deals with a scheduling problem which minimizes a total cost. In particular, we will study the total (weighted) tardiness problem and the total (weighted) completion time problem. 1.1 Problem Definition Basic Model In the one machine scheduling problem, a set N = {J 1,..., J n } of n jobs has to be processed by a single machine. Associated with each job J i, are a processing time p i and a release date r i. A job cannot start before its release date, preemption is not allowed, and only one job at a time can be scheduled on the machine. Associated with each job J i is a cost function f i (t) which measures the cost of completing job J i at time t. A due date d i 19

20 20 CHAPTER 1. THE ONE MACHINE SEQUENCING PROBLEM and a weight w i may be used in defining f i. All data p i, r i, d i and w i are assumed to be integer. The problem consists of finding a schedule which minimizes a given optimality criterion Optimality Criteria : Objective Functions We denote the completion time of a job J i by C i, and the associated cost by f i (C i ). There are essentially two types of total cost functions: f max (C) = max{f i (C i ) i = 1,..., n} (bottleneck objectives); f i (C) = n i=1 f i (C i ) (sum objectives). In most cases we consider special functions f i. Some functions depend on due dates d i. For each job J i is defined: L i = C i d i : the lateness of job J i ; E i = max(0, d i C i ): the earliness of job J i ; T i = max(0, C i d i ): the tardiness of job J i ; U i = 0 if C i d i, 1 otherwise: a unit penalty which states when job J i is late. With each of these functions G i, we can get four possible objectives: γ = max G i, γ = max w i G i, γ = G i and γ = w i G i. In this thesis, we will study the following objective functions: w i T i : the total weighted tardiness; T i : the total tardiness; w i C i : the total weighted completion time; C i : the total completion time.

21 1.2. PREVIOUS RESULTS Notation Classes of scheduling problems are specified in terms of a three field classification α β γ where α specifies the machine environment, β specifies the job characteristics, and γ denotes the optimality criterion. Such a classification scheme was introduced by Graham et al. [63]. Now, we recall some notations of Graham et al. which are used in this thesis. The notation α = 1 is used to specify the one machine environment. The jobs characteristics are specified by a set β containing at most two elements β 1 and β 2 : β 1 indicates whether preemption (or job splitting) is allowed. Preemption of a job means that processing may be interrupted and resumed at a later time. A job may be interrupted several times. If preemption is allowed then we set β 1 = pmtn, otherwise β 1 does not appear in β. If β 2 = r i then release dates may be specified for each job. If J i N, r i = 0, then β 2 does not appear in β. Finally, γ denotes one of the objective functions described in the previous section. 1.2 Previous Results In this section, we report some previous results obtained for the one machine total cost problem. It is useful to note the following general result which holds for one machine problems in which all release dates are equal: if the objective function is a monotone function of the completion times of the jobs, then only schedules without preemption and without idle time need to be considered. This follows from the fact that the optimal objective value is not improved if preemption is allowed. Note that we only report a brief State of the art. Some results which have need to be known in details will be described in the other chapters Minimizing Total (Weighted) Tardiness 1 T i A lot of research has been carried on the unweighted total tardiness problem with equal release dates 1 T i. Smith [101] proposed a sufficient condition for local optimality, which was later investigated by Baker and Bertrand [11] by considering it as a dynamic

22 22 CHAPTER 1. THE ONE MACHINE SEQUENCING PROBLEM priority rule. Powerful dominance rules have been introduced by Emmons [57] which establish the relative order in which pairs of jobs are processed in an optimal schedule. Lawler [75] has proposed a dynamic programming algorithm which is based on a decomposition rule of the problem and that solves the problem in pseudo-polynomial time. The Lawler s algorithm has been extended for scheduling serial batching machines by Baptiste and Jouglet [17]. Finally, Du and Leung have shown that the problem is NP-Hard [54]. See Koulamas [71] for a comprehensive survey. Most of the exact methods for solving 1 T i strongly rely on Emmons dominance rules. The early exact algorithms use the dynamic programming approach of Lawler (Srinivasan [103], Baker and Schrage [12], and Potts and Vassenhove [90, 92]). More recently an algorithm using decomposition approach proposed by Potts and Van Wassenhove [90] was tested on instances with up to 100 jobs by using the method of Baker and Schrage [12] for the problem with precedence constraints between jobs. Szwarc and Mukhopadhyay [106], Tansel et al. [109] and Della Croce et al. [49] handle instances for n > 100 jobs. They solve the problem using a Branch and Bound method based entirely on decomposition. They use the finding of Lawler [75], Potts and Vassenhove [90] and Szwarc [104], to decompose the problem into subproblems by choosing the position of the largest job in the optimal sequence and then reducing the number of possible positions for this job. To our knowledge, the best results are obtained by Szwarc, Della Croce and Grosso [107] with a new efficient Branch and Bound Algorithm which handles instances with up to 300 jobs. More recently, based on algorithmic paradoxes found in their first Branch and Bound algorithm, they have developed an improved enumerative algorithm to handle instances with up to 500 jobs [108]. 1 w i T i The 1 w i T i problem has been shown to be strongly NP-Hard by Lawler [75], which indicates that the existence of a polynomial algorithm is unlikely. Enumeration algorithms, by using dynamic programming and Branch and Bound algorithms, require considerable computer resources both in terms of computation time and core storage and the existing exacts algorithms can solve instances with moderate size only. Nevertheless, the problem has been successfully tackled by local search algorithms where the neighborhood of a solution is usually computed by applying swap operators to the working sequence [45, 47, 48, 64]. Rinnooy Kan et al. [97] and Rachamadugu [95] extended the Emmons Rules [57] to the weighted tardiness problem. Rachamadugu [95] identifies a condition characterizing adjacent jobs in an optimal sequence for 1 w i T i. The exact approaches

23 1.2. PREVIOUS RESULTS 23 used in solving the weighted tardiness problem are tested by Abdul-Razacq, Potts and Van Wassenhove [1] which have provided a survey of dynamic programming and Branch and Bound algorithms. Most of the time, Emmons rules are used to form a precedence graph for finding upper and lower bounds. Swarc and Liu [105] present a two-stage decomposition mechanism for the 1 w j T j problem when tardiness penalties are proportional to the processing times. Akturk and Yildrim [6] proposed a new dominance rule and a lower bounding scheme for the 1 w j T j problem that can be used in reducing the number of alternatives in any exact approach. 1 r i T i There are less results on the problem with arbitrary release dates which have been proved to be NP-Hard in the strong sense [96]. The preemptive problem 1 pmtn, r i T i is NP- Hard since the 1 T i problem is a special case of this problem. Nevertheless, we do not know if the problem is NP-Hard in the strong sense or not. It seems that the problem this open. The 1 r i T i is much more difficult than the problem with equal release dates since idle times may be inserted in the optimal schedule (see Conway, Maxwell and Miller [46]). Chu and Portmann [39] have proved a sufficient condition for local optimality which can also be considered as a dynamic priority rules. This rule allows Chu to define a dominant subset of schedules and to build efficient heuristic algorithms along this dominant subset. Since the problem is NP-Hard, only Branch and Bound approaches or dynamic programming approaches seems to be available to build exacts methods. Nevertheless, the release dates and the presence of idle times in optimal solutions destroy the scheme of usual dynamic programming approaches. Chu [41] has proposed efficient dominance rules which show that in certains cases a job dominates another one in the first position and which allows him to reduce the search space. Chu has also proposed a lower bound in O(n log n): the due dates are sorted in non decreasing order of due dates and are allocated to the jobs in the order they are completed in the Shortest Remaining Processing Time order schedule. The dominance rules and the lower bound are used in a Branch and Bound algorithm which handles instances with up to 30 jobs for the hardest instances and with up to 230 jobs for the easiest ones. More recently, we have improved these results with a Branch and Bound method [19] which handles instances with up to to 50 jobs for the hardest instances and with up to 500 jobs for the easiest ones.

24 24 CHAPTER 1. THE ONE MACHINE SEQUENCING PROBLEM 1 r i w i T i Since the 1 w j T j is NP-Hard in the strong sense [75], the problem with release dates 1 r i w i T i is also NP-Hard in the strong sense. For this problem Akturk and Ozdemir [9] have proposed a sufficient condition for local optimality which improves heuristic algorithms. This rule is then used with a generalization of the Chu s dominance rules to the weighted case in a Branch and Bound algorithm [8]. This Branch-and-Bound method handles instances with up to 20 jobs Minimizing Total (Weighted) Completion Time Note that this problem is equivalent to the problem of minimizing total job lateness ( C i d i ), total flow time ( C i r i ), total waiting time, and mean number of jobs in the shop [46]. 1 (w i )C i In the case of identical release dates, both the unweighted and the weighted problems can easily be solved polynomially in O(n log n) by applying the SWPT (Shortest Weighted Processing Time) priority rule, which is also called the Smith s rule [101]. This rule consists of scheduling a job J i with the smallest ratio p i /w i among the unscheduled jobs each time the machine becomes idle. 1 r i C i The unweighted problem with release dates is NP-Hard in the strong sense [96]. Several researchers have proven some dominance properties and proposed a number of algorithms. Chandra [37] proposed a Branch and Bound algorithm able to solve instances with up to 30 jobs. Dessouky and Deogun [53] proved several dominance properties and proposed a Branch and Bound algorithm which was tested on instances involving 50 jobs. Using a partitioning method, Deogun [52] has proposed a Branch and Bound algorithm tested on instances with up to 50 jobs. Chu [40] has proposed a necessary and sufficient condition for local optimality. This condition can also be considered as a priority rule. Based on this condition, Chu has defined a subset containing all optimal solutions and has proposed heuristic algorithms which build schedules along this subset. In [42], Chu

25 1.2. PREVIOUS RESULTS 25 has proved several dominance properties and has provided a Branch and Bound algorithm. Chand, Traub and Uzsoy used a decomposition approach to improve Branch and Bound algorithms [34] and described several heuristic algorithms [35, 36]. Della Croce and T kindt have also proposed heuristics for this problem [51] using a recovering beam search. The problem in which the preemption of jobs is allowed is polynomially solvable in 0(n log n) with the SRPT (Shortest Remaining Processing Time) rule [10]. This rule consists of scheduling the job or a piece of job which has the shortest remaining processing time, each time the machine becomes idle or a job becomes available. This rule can be used to obtain a lower bound and has been proved [4] to give the best lower bound available for the 1 r i C i problem among several other bounds proposed in literature ([23, 53, 52, 65]). Recently, Della Croce and T kindt [50] have proposed an improvement on this bound by exploiting the properties of the preemptive solution. The proposed improvement reduces by approximately 44% in average the gap between the preemptive solution value and the optimal solution value. Among the exact methods, the most efficient algorithms [40, 34] can handle instances with up to 100 jobs. 1 r i w i C i The weighted case with release dates 1 r i w i C i is NP-Hard in the strong sense [96] even when the preemption is allowed [73]. Rinaldi and Sassano [99] have derived several dominance theorems. Bianco and Ricciardelli [23] have proven several dominance properties and proposed a Branch and Bound algorithm tested on instances with 10 jobs. Hariri and Potts [65] proposed an approach using Lagrangean relaxation method to obtain lower bound in a Branch and Bound enumerative method and succeeded in solving instances with up to 50 jobs. The use of various mixed integer programming formulations to generate lower bounds is investigated by Dyer and Wolsey [56]. Belouadah, Posner and Potts [21] obtained efficient lower bounds which are based on job splitting and new dominance properties. They proposed a Branch and Bound algorithm which has been tested on instances involving with up to 50 jobs.

26 26 CHAPTER 1. THE ONE MACHINE SEQUENCING PROBLEM

27 Chapter 2 Minimizing Total Cost on One Machine 2.1 Introduction In this chapter, we describe the behavior of a Branch and Bound method using Constraint Programming to solve the One Machine total cost problem. Some simple scheduling problems as 1 r i, pmtn C i are solved in polynomial time. Unfortunately, the problems studied in this thesis (i.e., 1 r i w i T i, 1 r i T i, 1 r i w i C i, 1 r i C i ) are NP-Hard. It indicates that the existence of a polynomial bounded algorithm is unlikely. Not all NP-Hard problems are equally hard from a practical perspective. Some NP-Hard problems in the weak sense can be solved pseudo-polynomially using dynamic programming as 1 T i [75]. Such an approach may provide satisfactory results if the instances to be solved are not too large. A possibility for NP-Hard problems in the strong sense is to apply approximation algorithms. One of the most successful methods of attacking hard combinatorial optimization problems is the local (or neighborhood) search. Local search methods generally provide only feasible solutions which are not guaranteed to be optimal. However, for minimization problems, a possible deviation from the optimal objective value can be bounded if a lower bound is available. Any approach without formal guarantee of performance can be considered as a heuristic. Such approaches are useful in practical situations when no better methods are available. Since the problems are NP-Hard, we had better to use heuristics algorithms for large size problems. Indeed, heuristics provide a reasonably good schedule with reasonable computational effort. Moreover, heuristics give good upper bounds which can be used in Branch and Bound procedures. In next chapters, we describe some 27