JewrÐa Prosèggishc kai Efarmogèc (M 2526 M 238)

JewrÐa Prosèggishc kai Efarmogèc (M 2526 M 238) Miqˆlhc Kolountzˆkhc Tm ma Majhmatik n, Panepist mio Kr thc, Lewfìroc KnwsoÔ, 714 09 Hrˆkleio, E-mail: kolount AT gmail.com Perieqìmena 'Anoixh 2010-11 1 De, 14/2/11: Eisagwgikˆ sto mˆjhma 3 1.1 De, 14/2/11: ANAKOINWSH................................... 3 2 Te, 16/2/11: 'Oqi mˆjhma s mera 3 3 De, 21/2/11: Nìrmec se grammikoôc q rouc 3 4 Te, 23/2/11: IsodunamÐec norm n. 'Uparxh bèltisthc prosèggishc apì upìqwro. 5 5 De, 28/2/2011: Eisagwg sto Je rhma tou Weierstrass 5 6 Te, 2/3/2011: Je rhma tou Weierstrass: Apìdeixh 7 7 De, 7/3/2011: ArgÐa (Kajarˆ Deutèra) 13 8 Te, 9/3/2011: EktÐmhsh tou sfˆlmatoc gia ta polu numa Bernstein. Trigwnometrikˆ polu numa. 13 9 De, 14/3/2011: Trigwnometrikˆ polu numa se trigwnometrik morf 17 10 Te, 16/3/2011: J. Weierstrass gia trigwnometrikˆ polu numa. Idiìthtec bèltisthc prosèggishc 20 11 De, 21/3/2011: Qarakthrismìc bèltisthc prosèggishc apì to q ro poluwnômwn P N 25 12 Te, 23/3/2011: Polu numa Chebyshev 27 13 De, 28/3/2011: Polu numa Chebyshev, sunèqeia 30 14 Te, 30/3/2011: Parembol 32 15 De, 4/4/2011: Parembol. Seirèc Fourier 35 16 Te, 6/4/2011: Seirèc Fourier 39 17 De, 11/4/2011: LÔsh Problhmˆtwn 41 1

18 Te, 13/4/2011: LÔsh Problhmˆtwn 41 19 De, 2/5/2011: Seirèc Fourier, II 41 20 Te, 4/5/2011: H diadikasða orjogwniopoðhshc Gram Schmidt. Orjog nia polu numa 45 21 Pè, 5/5/2011: LÔsh ask sewn 48 22 De, 9/5/2011: LÔsh ask sewn 48 23 De, 9/5/2011: Pr to diag nisma 48 24 Te, 11/5/2011: LÔsh problhmˆtwn diagwnðsmatoc. RÐzec orjogwnðwn poluwnômwn. 48 25 De, 16/5/2011: Arijmhtik olokl rwsh 50 26 Te, 18/5/2011: 'Oqi mˆjhma (foithtikèc eklogèc) 53 27 De, 23/5/2011: Mèjodoi Gauss gia arijmhtik olokl rwsh 53 28 Te, 25/5/2011: LÔsh ask sewn 55 29 Te, 1/6/2011: LÔsh ask sewn (èktako mˆjhma) 55 Wrˆrio Deutèra 11-1 (J 207), Tetˆrth 11-1 (L 206). 'Enarxh majhmˆtwn: 14/2/2011 ( ). 'Wrec grafeðou: TrÐth 10-12 kai genikˆ mporeðte na me brðskete ta prwinˆ 10-12 sto grafeðo mou (G 111, sto prokataskeuasmèno kt rio thc KnwsoÔ). Perigraf tou maj matoc Apì ton odhgì spoud n: BiblÐo Bèltistec proseggðseic. 'Uparxh-Monos manto. Ypologismìc beltðstwn proseggðsewn se EukleÐdeiouc q rouc. Kanonikèc exis seic - AnaptÔgmata Fourier -Orjog nia Polu numa. Omoiìmorfh prosèggish: Xarakthrismìc beltðstwn omoiomìrfwn proseggðsewn kai upologismìc me tic mejìdouc Remez. Genikˆ perð parembol c se mia kai dôo diastˆseic. Parembol me splines. Proseggistikèc idiìthtec twn splines. Arijmhtik olokl rwsh katˆ Newton-Cotes, Romberg, Gauss. To mˆjhma ja basisteð kurðwc stic shmei seic N. L. Carothers, A short course on approximation theory. Bajmologikì SÔsthma Exetˆseic Ja upˆrxei èna endiˆmeso upoqrewtikì diag nisma katˆ th diˆrkeia tou exam nou to opoðo ja metrˆei to 1/3 tou bajmoô kai mìno gia thn perðodo IounÐou. DÐdetai h dunatìthta se ìsouc adunatoôn na d soun tic upoqrewtikèc exetˆseic mèsa sto exˆmhno na zht soun na bajmologhjoôn mìno apì to telikì diag nisma. Autì eðnai efiktì ìtan: 2

1. Suntrèqoun antikeimenikoð lìgoi (p.q. kˆpoioc uphreteð sto stratì mènei mìnima alloô kai adunateð na eðnai ed ). 2. Prèpei kˆpoioc pou epijumeð na exetasteð mìno se telikì diag nisma na to dhl sei grapt c (email arkeð) se mèna mèqri to tèloc FebrouarÐou 2011, mazð me touc lìgouc pou èqei. Se kamiˆ ˆllh perðptwsh de ja eðnai dunat enallaktik exètash. Hmerolìgio Maj matoc H selðda aut ja enhmer netai toulˆqiston metˆ apì kˆje mˆjhma kai skopì èqei na metadðdei merikèc basikèc qr simec plhroforðec gia to perieqìmeno tou maj matoc (p.q. ti na prosèxete, upodeðxeic gia lôseic twn ask sewn, k.ˆ.) kaj c kai gia diadikastikˆ jèmata. SpanÐwc ja bgaðnoun anakoin seic pou aforoôn to mˆjhma se qartð. Parakal na sumbouleôeste aut th selðda toulˆqiston 2-3 forèc thn ebdomˆda. 1 De, 14/2/11: Eisagwgikˆ sto mˆjhma S mera eðdame merikˆ genikˆ prˆgmata gia to mˆjhma. EpÐshc, wc parˆdeigma eðdame to p c mporeð kaneðc na proseggðsei mia sunˆrthsh mèsw tou poluwnômou Taylor thc sunˆrthshc kai p c na èqei mia ektðmhsh tou sfˆlmatoc. Ja eðnai kentrikì antikeðmeno tou maj matoc h prosèggish sunart sewn apì polu numa. EÐdame thn ènnoia thc metrik c kai tou metrikoô q rou me arketˆ paradeðgmata kai arqðsame na milˆme gia nìrmec pˆnw se dianusmatikoôc q rouc. Pollèc apì autèc tic ènnoiec eðnai arketˆ genikèc allˆ eðnai qarakthristikì autoô tou maj matoc ìti ja asqoloômaste kurðwc me thn ènnoia thc prosèggishc se polô sugkekrimènouc q rouc kai mìno gia 2-3 diaforetikˆ eðdh nìrmac. An aisjˆneste ìti de gnwrðzete pollˆ apì ta antikeðmena autˆ sac diabebai ìti parakˆtw sto mˆjhma ja blèpoume kurðwc sugkekrimènec morfèc aut n. 1.1 De, 14/2/11: ANAKOINWSH AÔrio TrÐth 15/2/11 de ja eðmai mˆllon stic rec grafeðou mou (TrÐth 10-12) lìgw asjèneiac. MporeÐte na me brðskete genikˆ ta prwinˆ. 2 Te, 16/2/11: 'Oqi mˆjhma s mera De gðnetai mˆjhma s mera lìgw asjèneiac tou didˆskonta. 3 De, 21/2/11: Nìrmec se grammikoôc q rouc EÐdame diˆfora paradeðgmata grammik n q rwn (me suntelestèc apì to R to C) pou ja mac apasqol soun: C n = {(z 1,..., z n ) : z j C}, R n = {(x 1,..., x n ) : x j R}, P n = {p(x) = p 0 + p 1 x + + p n x n : p j C}, (C-polu numa bajmoô n) C([a, b]) = {f : [a, b] C : f suneq c}. Oi treic pr toi eðnai q roi peperasmènhc diˆstashc en o teleutaðoc ˆpeirhc. 3

EÐdame poia eðnai ta axi mata miac nìrmac se èna grammikì q ro kai eðdame ta ex c paradeðgmata norm n sto C n sto R n z 1 = z = z j, j=1 max z j, j=1,...,n gia ta opoða apodeðxame ìti isqôoun ta axi mata thc nìrmac. 'Epeita eðdame tic legìmenec p-nìrmec sto C n z p = z j p j=1 gia 1 < p <. Gia na apodeðxoume ìti kai autèc eðnai nìrmec (idiaðtera gia na apodeðxoume thn trigwnik anisìthta) qreiˆsthkec na apodeðxoume kˆpoiec klasikèc anisìthtec, stic opoðec oi arijmoð p kai q pˆnta sundèeontai me th sqèsh 1/p 1 = 1 p + 1, (p, qonomˆzontai suzugeðc ekjètec). q Oi klasikèc autèc anisìthtec, me th seirˆ thc apìdeixhc, eðnai oi: Je rhma 3.1. An z j, w j C, j = 1, 2,..., n, tìte isqôoun oi parakˆtw anisìthtec: Anis. Young:ab a p /p + b q /q, (a, b 0), (1) 1/p 1/q Anis. Hölder: z j w j z j p w j q, (2) j=1 j=1 Anis. Minkowski: z j + w j p 1/p j=1 z j p 1/p + w j p j=1 j=1 j=1 1/p (3) Pr ta apodeðxame thn anisìthta tou Young, apì thn opoða apodeðxame thn anisìthta tou Hölder kai apì thn opoða apodeðxame thn anisìthta tou Minkowski, h opoða eðnai kai h trigwnik anisìthta gia thn p-nìrma. Eidik perðptwsh thc anisìthtac Hölder gia p = q = 2 eðnai h polô gnwst anisìthta Cauchy-Schwarz: z j w j z j 2 j=1 j=1 1/2 w j 2 j=1 1/2. (4) EÐdame p c orðzontai oi p-nìrmec gia q rouc sunart sewn kai idiaðtera gia mia sunˆrthsh f C([a, b]): sup x [a,b] f(x) p = f p = ( b 1/p a dx) f(x) p 1 p <. Ta axi mata thc nìrmac se aut thn perðptwsh apodeiknôontai sqedìn akrib c me ton Ðdio trìpo ìpwc kai sthn perðptwsh tou C n mìno pou sth jèsh twn diafìrwn ajroismˆtwn emfanðzontai t ra oloklhr mata. H pio shmantik kai tautìqrona pio eôqrhsth apì tic p-nìrmec eðnai h 2-nìrma. O lìgoc eðnai h Ôparxh tou eswterikoô ginomènou pou sundèetai me th nìrma aut. To eswterikì ginìmeno twn z, w C n eðnai h posìthta z, w = z j w j. j=1 4

AntÐstoiqa an f, g C([a, b]) tìte to eswterikì ginìmenì touc eðnai h posìthta f, g = b a f(x)g(x) dx. Kai stic dôo peript seic èqoume thn polô shmantik sqèsh f 2 2 = f, f z 2 2 = z, z. 4 Te, 23/2/11: IsodunamÐec norm n. 'Uparxh bèltisthc prosèggishc apì upìqwro. DÔo nìrmec a kai b se èna grammikì q ro V onomˆzontai isodônamec an upˆrqoun dôo jetikèc stajerèc C 1, C 2 tètoiec ste gia kˆje x V na èqoume C 1 x b x a C 2 x b. Me ˆlla lìgia ìtan oi timèc touc eðnai pˆnta <<sugkrðsimec>>. ApodeÐxame s mera ìti se èna q ro V peperasmènhc diˆstashc dôo opoiesd pote nìrmec eðnai isodônamec. EÐdame epðshc me paradeðgmata ìti den isqôei to Ðdio se q rouc ˆpeirhc diˆstashc, p.q. sto q ro C([a, b]), ìpou eðdame ìti oi nìrmec 1, 2, den eðnai isodônamec (opoiesd pote dôo apì autèc). H JewrÐa Prosèggishc meletˆei kurðwc to prìblhma thc prosèggishc apì upìqwro. Sth genik tou morf to prìblhma autì èqei wc ex c. 'Eqoume èna grammikì q ro X me nìrma kai èna upìqwrì tou Y. 'Eqoume epðshc èna x X to opoðo jèloume na proseggðsoume apì èna stoiqeðo y Y ste h apìstash x y na eðnai ìso to dunatìn mikr. To kôrio je rhma pou deðxame s mera eðnai ìti ìtan o q roc Y eðnai peperasmènhc diˆstashc tìte pˆnta upˆrqei èna y Y to opoðo apoteleð bèltisth prosèggish tou x: x y x y, y Y. H bèltisth aut prosèggish den eðnai en gènei monadik (to an eðnai ìqi exartˆtai kurðwc apì to gia poia nìrma milˆme). Mia shmantik efarmog autoô eðnai ìti an f C([a, b]) tìte an yˆqnoume na elaqistopoi soume th diaforˆ f(x) p(x), p(x) P n, upˆrqei toulˆqiston èna polu numo pou ulopoieð to infimum aut c thc diaforˆc. Upˆrqei dhl. bèltisth poluwnumik prosèggish thc f. O lìgoc eðnai ìti o upìqwroc P n tou C([a, b]) eðnai peperasmènhc diˆstashc dim P n = n + 1. Autì isqôei kai an sth jèsh thc nìrmac parapˆnw qrhsimopoi soume mia opoiad pote ˆllh nìrma, p.q. mia apì tic oloklhrwtikèc nìrmec 1 2. 5 De, 28/2/2011: Eisagwg sto Je rhma tou Weierstrass S mera asqolhj kame me to parakˆtw je rhma tou Weierstrass. Je rhma 5.1 (Weierstrass). An a < b eðnai pragmatikoð arijmoð kai h f : [a, b] C eðnai suneq c tìte upˆrqei akoloujða poluwnômwn pou sugklðnei omoiìmorfa sthn f sto diˆsthma [a, b]. 'Enac diaforetikìc trìpoc na poume to Ðdio prˆgma eðnai na poôme ìti upˆrqei akoloujða poluwnômwn p n t.. p n f 0, ìpou h eðnai anaforikˆ me to diˆsthma [a, b], isqôei dhlad g = sup g(x). x [a,b] Th deôterh aut diatôpwsh mporoôme kai na thn pˆroume wc ton orismì thc omoiìmorfhc sôgklishc. 5

Orismìc 5.1. An f, f n : K C eðnai sunart seic orismènec pˆnw se èna sônolo K lème ìti h akoloujða f n sugklðnei sthn f omoiìmorfa sto K an f f n = sup f(x) f n (x) 0, x K (n ). Parat rhsh 5.1. Upˆrqei lìgoc pou sto Je rhma tou Weierstrass periorizìmaste se suneqeðc sunart seic: Je rhma 5.2. An f, f n : K C eðnai sunart seic orismènec pˆnw se èna sônolo K, oi f n eðnai suneqeðc sto K kai h akoloujða f n sugklðnei omoiìmorfa sthn f pˆnw sto K tìte kai h f eðnai suneq c pˆnw sto K. Parat rhsh 5.2. 'Eqei shmasða ìti to pedðo orismoô thc f eðnai èna kleistì kai fragmèno diˆsthma. EÔkola mporoôme na broôme suneqeðc sunart seic pˆnw se fragmèna anoiqtˆ diast mata ˆfrakta diast mata pou de mporoôn na proseggisjoôn omoiìmorfa sto pedðo orismoô touc. Gia parˆdeigma h sunˆrthsh f 1 (x) = e x, me pedðo orismoô to R, eðnai suneq c pantoô allˆ gia kˆje polu numo p(x) isqôei fusikˆ f 1 (x) p(x) +, (x + ), afoô h ekjetik sunˆrthsh auxˆnei pio gr gora apì opoiad pote poluwnumik sunˆrthsh. 'Ena ˆllo parˆdeigma eðnai h sunˆrthsh f 2 (x) = 1/x, me pedðo orismoô to (0, 1). H sunˆrthsh aut eðnai suneq c sto pedðo orismoô thc allˆ den mporeð na proseggisjeð omoiìmorfa apì polu numo, mia kai opoiod pote polu numo q(x) èqei lim q(x) = q(0), x 0+ en gia thn f 2 (x) to apì dexiˆ ìrio sto 0 eðnai +. H pr th apìdeixh tou jewr matoc tou Weierstrass pou ja doôme ofeðletai ston Landau. 'Estw f : [a, b] C suneq c. Periorismìc sto diˆsthma [0, 1]. Kˆnoume kat' arq n thn parat rhsh ìti mporoôme na upojèsoume ìti to [a, b] eðnai ìpoio sugkekrimèno diˆsthma mac boleôei, gia parˆdeigma to [0, 1]. O lìgoc gi' autì eðnai ìti mporoôme na antistoiqðsoume ta shmeða t [0, 1] me ta stoiqeða x [a, b] me mia grammik apeikìnish, thn x = a + t(b a) thc opoðac h antðstrofh eðnai h t = x a b a. An t ra f : [a, b] C eðnai suneq c tìte kai h sunˆrthsh g(t) = f(a + t(b a)) eðnai mia suneq c sunˆrthsh sto [0, 1]. An upˆrqei polu numo p(t) t.. p(t) g(t) ɛ gia t [0, 1] tìte h sunˆrthsh q(x) = p((x a)/(b a)) eðnai ki aut polu numo (afoô h antistoiqða x t eðnai grammik ) kai isqôei fusikˆ q(x) f(x) = p(t) g(t) ɛ. Apì dw kai pèra loipìn upojètoume ìti f : [0, 1] C eðnai suneq c. H f mhdenðzetai sta ˆkra tou diast matoc. MporoÔme epðshc qwrðc blˆbh thc genikìthtac na upojèsoume ìti f(0) = f(1) = 0. Autì sumbaðnei giatð mporoôme na afairèsoume apì thn f èna katˆllhlo grammikì polu numo ste na petôqoume aut th sunj kh. Akribèstera, an h f : [0, 1] C eðnai opoiad pote suneq c sunˆrthsh tìte jètoume g(x) = f(x) l(x), ìpou l(x) = f(0) + x(f(1) f(0)), 6

kai parathroôme ìti (a) h g eðnai suneq c sunˆrthsh pou mhdenðzetai sta ˆkra tou diast matoc kai (b) an mporoôme na proseggðsoume thn g me èna polu numo p g(x) p(x) ɛ tìte to polu numo q(x) = p(x) + l(x) epðshc proseggðzei thn f(x) f(x) q(x) = g(x) + l(x) (p(x) + l(x)) ɛ. Apì dw kai pèra loipìn upojètoume ìti h sunˆrths mac, f(x), mhdenðzetai sta ˆkra tou diast matoc. Gia eukolða mac thn epekteðnoume (me mhdenikèc timèc) sto upìloipo thc pragmatik c eujeðac, kai h nèa mac sunˆrthsh eðnai suneq c se ìlo to R mia kai ta mìna shmeða sta opoða gennˆtai amfibolða gi' autì eðnai ta ˆkra tou [0, 1], ìmwc ekeð ta pleurikˆ ìria thc f eðnai kai ta dôo 0. Ta polu numa prosèggishc ìpou OrÐzoume t ra L n (x) = 1 1 f(x + t)k n (t) dx = K n (t) = 1 x x { c n (1 t 2 ) n, t 1 kai h stajerˆ c n epilègetai me trìpo tètoio ste na isqôei 1 1 0, t > 1, K n (t) dt = 1. f(x + t)k n (t) dx, Gia na doôme ìti oi sunart seic L n (x) eðnai ìntwc polu numa tou x kˆnoume thn allag metablht c u = x+t kai paðrnoume ètsi thn èkfrash L n (x) = 1 0 f(u)(1 (u x) 2 ) n du, h opoða eôkola faðnetai ìti eðnai polu numo tou x, mia kai h sunˆrthsh (1 (u x) 2 ) n eðnai polu numo tou x me suntelestèc pou exart ntai apì to u (1 (u x) 2 ) n = 2 j=0 q j (u)x j kai ˆra L n (x) = 2 j=0 ( 1 0 f(u)q j (u) du ) x j. 6 Te, 2/3/2011: Je rhma tou Weierstrass: Apìdeixh (Sunèqeia thc apìdeixhc tou Landau apì thn prohgoômenh diˆlexh.) Prosèggish thc monˆdac H sunˆrthsh K n (gia thn akrðbeia, h akoloujða sunart sewn K n ) eðnai autì pou onomˆzetai prosèggish thc monˆdac, èqei dhl. tic parakˆtw idiìthtec: 1. K n (x) 0 gia kˆje x R, 2. K n(x) dx = 1, 3. Gia kˆje δ > 0 isqôei lim n t >δ K n(t) dt = 0. 7

(To olokl rwma t >δ eðnai suntomografða tou ajroðsmatoc δ + δ.) H pio kaðria idiìthta miac prosèggishc thc monˆdac eðnai h idiìthta 3 parapˆnw. To nìhma aut c idiìthtac eðnai ìti, afoô ta oloklhr mata twn K n den allˆzoun me to n kai afoô to olokl rwma thc K n ektìc tou diast matoc ( δ, δ) teðnei sto 0, tìte ìlh h <<mˆza>> kˆtw apì to grˆfhma tou K n mazeôetai ìla kai kontôtera sto 0 ìso to n megal nei. Autì èqei wc sunèpeia to akìloujo. Je rhma 6.1. 'Estw f : R C suneq c kai fragmènh. Tìte gia kˆje x R èqoume f(x + t)k n (t) dt f(x). (5) Eˆn h f eðnai omoiìmorfa suneq c sto R tìte h sôgklish sthn (5) den eðnai aplˆ sôgklish katˆ shmeðo allˆ eðnai kai omoiìmorfh sôgklish se ìlo to R. Apìdeixh. Grˆfoume f(x) = f(x)k n(t) dt (afoô K n(t) dt = 1) kai ètsi, an δ > 0 eðnai opoiod pote, f(x) f(x + t)k n (t) dt = (f(x + t) f(x))k n (t) dt f(x + t) f(x) K n (t) dt = δ δ = I + II. f(x + t) f(x) K n (t) dt + 'Estw ɛ > 0. ArkeÐ na deðxoume ìti, gia arketˆ megˆlo n, èqoume I < ɛ kai II < ɛ. Gia ton pr to ìro èqoume lìgw thc sunèqeiac thc f sto x ìti upˆrqei δ > 0 ste f(x + t) f(x) < ɛ, t >δ f(x + t) f(x) K n (t) dt gia t δ. An h sunˆrthsh eðnai aplˆ suneq c sto R tìte to δ autì exartˆtai apì to ɛ kai to x en an h sunˆrthsh eðnai omoiìmorfa suneq c sto R tìte exartˆtai mìno apì to ɛ. 'Eqoume loipìn I δ δ ɛk n (t) dt ɛ K n (t) dt = ɛ. Gia to deôtero ìro ja qrhsimopoi soume thn idiìthta 3 thc prosèggishc thc monˆdac. 'Eqoume II 2 f K n (t) dt = 2 f K n (t) dt 0, t >δ kai ˆra, gia arketˆ megˆlo n, èqoume epðshc II < ɛ. Sthn parapˆnw anisìthta qrhsimopoi same thn trigwnik anisìthta gia na frˆxoume thn posìthta f(x + t) f(x) f(x + t) + f(t) 2 f, kai h posìthta t >δ f = sup f(x) < x R apì thn upìjes mac ìti h f eðnai fragmènh. Sthn ektðmhsh tou II o deðkthc n 0 pèra apì ton opoðo isqôei II < ɛ den exartˆtai apì to x allˆ mìno apì to ɛ kai to δ eðte h f eðnai omoiìmorfa suneq c eðte ìqi (afoô to mìno pou qrhsimopoioôme apì thn f eðnai ìti eðnai fragmènh). 8

'Omwc h epilog tou δ ègine ìtan frˆxame to I kai ekeð to δ exartˆtai apì to x, ektìc an h sunˆrthsh f upotejeð omoiìmorfa suneq c opìte to δ exartˆtai mìno apì to ɛ. Se aut thn perðptwsh èqoume tautìqrona I + II < ɛ gia kˆje x R kai ˆra h sôgklish f(x + t)k n (t) dt f(x) eðnai omoiìmorfh sto R. Ta polu numa tou Bernstein kai h pijanojewrhtik touc ermhneða Ja doôme t ra kai mia deôterh apìdeixh tou jewr matoc 5.1 pou ofeðletai ston Bernstein. Upojètoume kai pˆli ìti h f : [0, 1] C eðnai suneq c (de qreiˆzetai aut th forˆ na kanonikopoi soume thn f ste na mhdenðzetai sta ˆkra tou diast matoc). OrÐzoume ta polu numa Bernstein thc f na eðnai h akoloujða poluwnômwn B n (f) pou dðdetai apì ( ) n B n (f)(x) = f(k/n) x k (1 x) n k. (6) k k=0 Ja deðxoume ìti ta B n (f)(x) f(x) omoiìmorfa sto diˆsthma [0, 1]. Gia thn apìdeixh ja qreiasteð na ermhneôsoume ta polu numa tou Bernstein se pijanojewrhtik gl ssa. MporeÐte na anafèreste stic shmei seic mou Diakrit Pijanìthta gia touc diˆforouc orismoôc kai orismènouc upologismoôc. Ac upojèsoume ìti èqoume èna nìmisma to opoðo fèrnei kor na me pijanìthta x [0, 1] kai to rðqnoume n forèc. H tuqaða metablht B x,n metrˆei to pìsec kor nec fèrame se autì to peðrama. Profan c isqôei pˆnta 0 B x,n n kai eôkola blèpei kaneðc ìti h B x,n akoloujeð th legìmenh diwnumik katanom, èqoume dhlad gia k Z {( n ) P [B x,n = k] = k x k (1 x) n k an 0 k n. 0 alli c O lìgoc gia ton parapˆnw tôpo eðnai ìti to na fèroume akrib c k kor nec sto peðrama mporeð na sumbeð me akrib c ( n k) trìpouc (epilègoume apì tic n rðyeic se poiec k ja èrjoun oi kor nec) kai kˆje ènac apì autoôc touc trìpouc èqei pijanìthta x k (1 x) n k na sumbeð. Kˆnoume epðshc thn parat rhsh ìti, an grˆyoume I j gia thn deðktria tuqaða metablht pou eðnai 1 an fèroume kor na sthn j rðyh kai 0 an fèroume grˆmmata sthn j rðyh, isqôei B x,n = I 1 + I 2 + + I n. 'Eqoume E [I j ] = x kai Var [I j ] = x(1 x) me èna aplì upologismì opìte sumperaðnoume ìti E [B x,n ] = E [I 1 ] + + E [I n ] = nx kai apì to gegonìc ìti oi I j eðnai anexˆrthtec prokôptei epðshc ìti σ 2 (B x,n ) = Var [B x,n ] = Var [I 1 ] + + Var [I n ] = nx(1 x) n. (7) Tèloc, ja qreiastoôme kai thn anisìthta tou Chebyshev pou dðnei èna ˆnw frˆgma gia thn pijanìthta na apoklðnei mia tuqaða metablht apì th mèsh tim thc. Je rhma 6.2 (Chebyshev). An X Z eðnai mia tuqaða metablht me [ E X 2] <, kai an µ = E [X] kai σ = Var [X] tìte gia kˆje λ > 0. P [ X µ λσ] 1 λ 2, (8) 9

[ Prìblhma 6.1. Ja qreiastoôme epðshc argìtera kai thn anisìthta E [ X ] E X 2] 1/2 gia mia diakrit tuqaða metablht X Z. ApodeÐxte aut thn anisìthta. Oi dôo posìthtec pou mac endiafèroun eðnai oi E [ X ] = k Z k P [X = k] kai [ E X 2] = k 2 P [X = k]. k Z QrhsimopoieÐste thn anisìthta Cauchy-Schwarz (4) gia na deðxete to zhtoômeno. Sthn (4) h anisìthta eðnai diatupwmènh gia peperasmènec akoloujðec allˆ isqôei kai gia akoloujðec ìpou o deðkthc paðrnei ìlec tic akèraiec timèc kai ta ajroðsmata gðnontai ˆpeirec seirèc. ParathroÔme t ra ìti upˆrqei h ex c sqèsh anˆmesa sta polu numa Bernstein, thn tuqaða metablht B x,n kai th sunˆrthsh f: B n (f)(x) = E [f(b x,n /n)]. (9) Prìblhma 6.2. BebaiwjeÐte ìti katalabaðnete giatð isqôei autì. JumÐzoume ìti an X Z eðnai mia diakrit tuqaða metablht kai φ : Z C mia sunˆrthsh tìte èqoume E [φ(x)] = k Z φ(k)p [X = k], me thn proôpìjesh fusikˆ ìti h seirˆ sugklðnei apìluta. Sth dikiˆ mac perðptwsh, ìpou X = B x,n den tðjetai jèma sôgklishc mia kai ìla ta ajroðsmata èqoun peperasmèno pl joc mh mhdenik n ìrwn afoô 0 B x,n n. Apì thn (9) gðnetai t ra fanerì to giatð prèpei na perimènoume th sôgklish B n (f)(x) f(x) gia n. O lìgoc eðnai ìti h tuqaða metablht B x,n /n, h opoða èqei mèsh tim x teðnei na sugkentr netai gôrw apì th mèsh thc tim (nìmoc twn megˆlwn arijm n). 'Etsi loipìn, me polô megˆlh pijanìthta, oi timèc f(b x,n /n) eðnai polô kontˆ sthn f(x) lìgw thc sunèqeiac thc f kai ˆra eðnai anamenìmeno kai h mèsh tim thc metablht c aut c na eðnai kontˆ sto f(x). Autì to sullogismì posotikopoioôme parakˆtw sthn apìdeixh. Grˆfoume E gia to endeqìmeno { B x,n E = n x }, n 1/3 kai kˆnoume thn parat rhsh ìti h anisìthta tou Chebyshev mac dðnei to parakˆtw ˆnw frˆgma gia thn pijanìthta tou E: P [E] n 1/3. (10) Prìblhma 6.3. ApodeÐxte ìti h anisìthta (10) prokôptei apì thn anisìthta Chebyshev (8). QrhsimopoieÐste to frˆgma Var [B x,n ] n kai thn tim λ = n 1/6 kai efarmìste thn anisìthta (8) gia to endeqìmeno E grammèno sth morf B x,n nx λn 1/2. 10

Frˆssoume t ra th diaforˆ thc sunˆrths c mac kai thc prosèggis c thc apì èna polu numo Bernstein: f(x) E [f(b x,n /n]) = f(x) f(k/n)p [B x,n = k] k=0 = f(x)p [B x,n = k] f(k/n)p [B x,n = k] (afoô P [B x,n = k] = 1) k=0 k=0 k = (f(x) f(k/n))p [B x,n = k] k=0 f(x) f(k/n) P [B x,n = k] (trigwnik anisìthta) = k=0 + k=0 x k/n n 1/3 k=0 x k/n <n 1/3 = I + II. (diaqwrðzoume ta k se dôo eðdh) 'Estw ɛ > 0. Ja deðxoume ìti an to n eðnai arketˆ megˆlo tìte ta ajroðsmata I kai II frˆssontai apì ɛ. Gia na frˆxoume to I qrhsimopoioôme thn omoiìmorfh sunèqeia thc f (h opoða eðnai sunèpeia thc sunèqeiac thc f se kleistì diˆsthma, deðte to Prìblhma 6.4): gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei δ > 0 t.. an x y < δ na èpetai ìti f(x) f(y) < ɛ. An loipìn to n eðnai arketˆ megˆlo ste na isqôei n 1/3 < δ tìte sto ˆjroisma I h posìthta f(x) f(k/n) frˆssetai apì ɛ opìte isqôei I ɛ P [B x,n = k] ɛ k=0 k=0 x k/n n 1/3 P [B x,n = k] = ɛ. Gia ton ìro II frˆssoume thn posìthta f(x) f(k/n) apì 2 f (h sunˆrthsh f eðnai fragmènh afoô eðnai suneq c se kleistì diˆsthma, opìte f < ) kai èqoume II 2 f P [B x,n = k] = 2 f P [E] 2 f n k=0 x k/n <n 1/3 Epilègontac kai pˆli to n arketˆ megˆlo ( ste na isqôei 2 f n 1/3 < ɛ) petuqaðnoume na isqôei kai h anisìthta II < ɛ. H apìdeix mac eðnai pl rhc. Prìblhma 6.4. Mia sunˆrthsh f : K C lègetai omoiìmorfa suneq c sto K an gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei δ > 0 t.. x y < δ f(x) f(y) < ɛ. H diaforˆ me thn apl sunèqeia sto sônolo K eðnai ìti sthn perðptwsh thc apl c sunèqeiac to δ exartˆtai ìqi mìno apì to ɛ allˆ kai apì to x. H f dhl. eðnai suneq c sto K an x K ɛ > 0 δ > 0 : x y < δ f(x) f(y) < ɛ. DeÐxte ìti an h sunˆrthsh f : [a, b] C eðnai suneq c sto kleistì kai fragmèno diˆsthma [a, b] tìte eðnai kai omoiìmorfa suneq c ekeð. BreÐte epðshc mia sunˆrthsh g : R R kai mia sunˆrthsh h : (0, 1) R pou na eðnai suneqeðc allˆ ìqi omoiìmorfa suneqeðc sto pedðo orismoô touc. Gia na apodeðxete thn omoiìmorfh sunèqeia thc f prèpei na qrhsimopoi sete th sumpˆgeia fragmènou kleistoô diast matoc [a, b]: kˆje akoloujða x n [a, b] èqei upakoloujða h opoða sugklðnei (anagkastikˆ se kˆpoio shmeðo tou [a, b]). Upojèste ìti h f den eðnai omoiìmorfa suneq c. Autì shmaðnei ìti gia kˆpoio ɛ > 0 tìte gia upˆrqoun x n, y n [a, b] t.. x n y n 0 allˆ me inf n f(x n) f(y n ) > 0. 1/3. 11

BreÐte mia akoloujða deikt n n k tètoia ste oi dôo akoloujðec x nk kai y nk na sugklðnoun gia k kai qrhsimopoieðste th sunèqeia thc f gia na katal xete se ˆtopo. 'Oson aforˆ tic sunart seic g kai h pou prèpei na breðte mporeðte na dokimˆsete tic g(x) = e x kai h(x) = 1/x. Prìblhma 6.5. An f : [1, ) C eðnai suneq c kai lim x + f(x) eðnai pragmatikìc arijmìc, deðxte ìti h f proseggðzetai omoiìmorfa sto diˆsthma [1, ) apì sunart seic thc morf c p(1/x), ìpou p polu numo. To mètro sunèqeiac miac sunˆrthshc To na poôme ìti mia sunˆrthsh eðnai suneq c se kˆpoio sônolo eðnai mia poiotik kai ìqi posotik d lwsh. EÐnai mia idiìthta pou h sunˆrthsh thn èqei ìqi. Katˆ kˆpoion trìpo ìmwc upˆrqoun sunart seic pou eðnai <<pio suneqeðc>> apì ˆllec, ìpwc gia parˆdeigma h prˆsinh sunˆrthsh sto Sq ma 1 eðnai pio suneq c apì thn kìkkinh sunˆrthsh sto Ðdio Sq ma, metabˆlletai dhl. pio argˆ. Sq ma 1: Mia sunˆrthsh pou eðnai <<pio suneq c>> apì mia ˆllh H ènnoia tou mètrou sunèqeiac miac sunˆrthshc paðzei akrib c autì to rìlo thc posotikopoðhshc tou pìso gr gora allˆzei mia sunˆrthsh ìtan allˆzei h metablht. Orismìc 6.1. An f : K C tìte to mètro sunèqeiac thc f sto K eðnai h sunˆrthsh ω f (δ) = sup { f(x) f(y) : x, y K, x y δ}, (δ > 0). (11) H posìthta ω f (δ), me ˆlla lìgia, mac lèei pìso polô mporeð na metablhjeð h tim thc sunˆrthshc f an h metablht thc allˆxei to polô katˆ δ. H sunˆrthsh ω f (δ) mporeð na mhn eðnai peperasmènh akìmh ki ìtan h sunˆrthsh f eðnai suneq c sto K. Gia parˆdeigma, eôkola mporeð kaneðc na dei ìti an f(x) = e x, orismènh gia x R, tìte gia kˆje δ > 0 isqôei ω f (δ) = +. DeÐte ìmwc to Prìblhma 6.6. Prìblhma 6.6. DeÐxte ìti mia sunˆrthsh f : K C eðnai omoiìmorfa suneq c pˆnw sto K an kai mìno an ω f (δ) 0 gia δ 0. Prìblhma 6.7. An f : K C kai f = u + iv, ìpou u, v pragmatikèc sunart seic deðxte tìte ìti ω f (δ) ω u (δ) + iω v (δ) = ω u (δ) 2 + ω v (δ) 2. Prìblhma 6.8. An h f : [a, b] R eðnai paragwgðsimh sto [a, b] (sta ˆkra ennoeðtai ìti upˆrqoun oi pleurikèc parˆgwgoi) kai f (x) M gia x [a, b], deðxte ìti ω f (δ) Mδ, gia kˆje δ > 0. QrhsimopoieÐste to je rhma mèshc tim c gia na frˆxete th diaforˆ f(x) f(y). To mètro sunèqeiac thc f eðnai upoprosjetik sunˆrthsh. Prìblhma 6.9. An f : I R, ìpou I R diˆsthma, tìte ω f (δ 1 + δ 2 ) ω f (δ 1 ) + ω f (δ 2 ). An x y δ 1 + δ 2 tìte, an upˆrqei z anˆmesa sta x kai y t.. x z δ 1 kai z y δ 2. Prìblhma 6.10. An f : I R, ìpou I R diˆsthma, kai λ > 0 tìte ω f (λδ) (1 + λ)ω f (δ). QrhsimopoieÐste to Prìblhma 6.9. 12

7 De, 7/3/2011: ArgÐa (Kajarˆ Deutèra) 8 Te, 9/3/2011: EktÐmhsh tou sfˆlmatoc gia ta polu numa Bernstein. Trigwnometrikˆ polu numa. EktÐmhsh tou sfˆlmatoc gia ta polu numa Bernstein To Je rhma tou Weierstrass de mac dðnei kˆpoia ektðmhsh gia to pìso megˆlo mporeð na eðnai to <<sfˆlma>> f p = sup x [a,b] f(x) p(x) ìtan h f(x) eðnai mia suneq c sunˆrthsh sto diˆsthma [a, b] kai to p(x) eðnai polu numo bajmoô n. Kentrikì er thma thc JewrÐac Prosèggishc eðnai to pìso mikr mporeð na gðnei aut h posìthta an mac epitrèpetai na dialèxoume katˆllhla to polu umo p(x). Me ˆlla lìgia mac endiafèrei h posìthta E n (f) = inf { f p : to p(x) eðnai polu numo bajmoô to polô n}. 'Opwc apodeðxame sta eisagwgikˆ maj mata, ìtan milˆgame gia to prìblhma thc prosèggishc twn stoiqeðwn enìc dianusmatikoô q rou apì stoiqeða enìc upoq rou, to parapˆnw infimum <<piˆnetai>> apì kˆpoio polu numo p(x) bajmoô mèqri n, mia kai o q roc autìc twn poluwnômwn èqei peperasmènh diˆstash kai mˆlista Ðsh me n + 1 (afoô kˆje tètoio polu numo mporeð na prosdiorisjeð dðnontac n + 1 paramètrouc, touc suntelestèc tou). Fusikˆ mia ektðmhsh gia thn posìthta E n (f) ja prèpei na ephreˆzetai apì to pìso <<kal >> eðnai h sunˆrthsh f. Aut h idiìthta thc f posotikopoieðtai apì to mètro sunèqeiac thc f th sunˆrhsh ω f (δ). Je rhma 8.1. 'Estw f C([a, b]). Tìte isqôei E n (f) 2ω f (1/ n). Pio sugkekrimèna, an B n (f) eðnai to n-ostì polu numo Bernstein thc f tìte f B n (f) 2ω f (1/ n). 'Opwc kˆname kai sthn apìdeixh tou jewr matoc tou Weierstrass mèsw twn poluwnômwn tou Bernstein, mporoôme ki ed, qwrðc blˆbh thc genikìthtac, na pˆroume [a, b] = [0, 1], prˆgma to opoðo aplousteôei touc upologismoôc. Xekinˆme qrhsimopoi ntac thc sqèsh (9). f(x) B n (f)(x) = f(x) E [f(b x,n /n)] = E [f(x) f(b x,n /n)] E [ f(x) f(b x,n /n) ] = f(x) f(k/n) P [B x,n = k] = k=0 ω f ( x k n )P [B x,n = k] k=0 k=0 ω f (λ 1 n )P [B x,n = k] (trigwnik anisìthta: E [X] E [ X ]) (apì to E [φ(x)] = k φ(k)p [X = k]) (me λ = n x k n ) ω f (1/ n) (1 + n x k n )P [B x,n = k] (apì to Prìblhma 6.10) k=0 = ω f (1/ n)(1 + [ ne x B ] x,n ) n = ω f (1/ n)(1 + 1 E [B x,n nx]) n ω f (1/ n)(1 + 1 n σ(b x,n )) (apì to Prìblhma 6.1) 2ω f (1/ n) (apì thn (7)). H apìdeixh tou Jewr matoc 8.1 eðnai pl rhc. 13

Parat rhsh 8.1. Upˆrqei polô kalôterh ektðmhsh gia to sfˆlma E n (f) apì aut tou Jewr matoc 8.1. To Je rhma tou Jackson mac lèei ìti E n (f) Cω f (1/n), ìpou C eðnai mia apìluth stajerˆ. Trigwnometrikˆ Polu numa 'Ena trigwnometrikì polu numo eðnai ènac peperasmènoc grammikìc sunduasmìc, me migadikoôc suntelestèc, migadik n ekjetik n sunart sewn, dhl. twn sunart sewn e n (x) = e inx, (n Z). 'Enac ˆlloc trìpoc na poôme to Ðdio prˆgma eðnai na poôme ìti trigwnometrikˆ polu numa eðnai sunart seic thc morf c N p(x) = p k e k (x), (12) k= N ìpou N eðnai ènac mh arnhtikìc akèraioc. O arijmìc k onomˆzetai kai suqnìthta tou ekjetikoô e k (x). H megalôterh, kat' apìluth tim, suqnìthta pou emfanðzetai s' èna trigwnometrikì polu numo onomˆzetai bajmìc tou poluwnômou kai sumobolðzetai me deg p. Gia paradeigma, an p(x) = 3e i4x +1+e i2x tìte deg p = 4. Ta p k sthn (12) onomˆzontai suntelestèc tou p(x) kai kajorðzontai monadikˆ. De mporeð dhl. h Ðdia sunˆrthsh p(x) na grafeð me duo diaforetikoôc trìpouc sth graf (12). Prìblhma 8.1. (Monadikìthta twn suntelest n) An N k= N p ke ikx = N k= N q ke ikx gia kˆje x se èna sônolo A R me A 2N + 1 tìte p k = q k gia kˆje k. ArkeÐ na deðxoume ìti an N k= N p ke ikx = 0 gia kˆje x A = {a 1, a 2,..., a 2N+1,...} tìte p k = 0 gia kˆje k. DeÐxte ìti arkeð o (2N + 1) (2N + 1) pðnakac me stoiqeða ta e ika j, k = N,..., N, j = 1, 2,..., 2N + 1, eðnai antistrèyimoc. Autì anˆgetai se èna pðnaka Vandermonde A me A jk = x k j, 1 x 1 x 2 1... x n 1 1 A = 1 x 2 x 2 2... x n 1 2............... 1 x n x 2 n... x n 1 n ìpou j = 0, 2,..., n 1, k = 1, 2,..., n, kai ta x j C. DeÐxte ìti an ìla ta x j eðnai diaforetikˆ tìte o pðnakac eðnai antistrèyimoc upologðzontac thn orðzousˆ tou kai deðqnontac ìti aut isoôtai me ± to ginìmeno ìlwn twn diafor n x r x s, ìpou r s: det A = ± Autì mporeð na apodeiqteð me epagwg wc proc to n. r,s=1,...,n r<s (x r x s ). 'Enac ˆlloc trìpoc na apodeðxete ìti èna trigwnometrikì polu numo bajmoô N to opoðo mhdenðzetai se 2N + 1 shmeða èqei ìlouc touc suntelestèc tou mhdenikoôc eðnai na qrhsimopoi sete thn antðstoiqh prìtash gia ta algebrikˆ polu numa, ìti dhl. èna algebrikì polu numo bajmoô M pou mhdenðzetai se M + 1 shmeða eðnai anagkastikˆ to mhdenikì polu numo, autì dhl. me ìlouc touc suntelestèc Ðsouc me to mhdèn. QrhsimopoieÐste to polu numo q(z) = p N + p N+1 z + p N+2 z 2 + + p N z 2N = z N Poia h sqèsh twn mhdenik n tou trigwnometrikoô poluwnômou p(x) me tic rðzec tou algebrikoô poluwnômou q(z) ìtan koitˆxete mìno ta z me z = 1 kai jèsete z = e ix? N k= N p k z k. 14

'Amesh sunèpeia tou jemeli douc tôpou e ix = cos x + i sin x, gia x R, eðnai ìti cos x = (e ix + e ix )/2, kai sin x = ( e ix + e ix )/(2i), prˆgma pou shmaðnei ìti oi sunart seic cos x kai sin x eðnai trigwnometrikˆ polu numa bajmoô 1. Prìblhma 8.2. (Trigwnometrikèc sunart seic ajroismˆtwn kai diafor n) BreÐte tôpouc gia ta cos(a ± b), sin(a ± b) mèsw twn trigwnometrik n arijm n twn a kai b qrhsimopoi ntac ton tôpo e ix = cos x + i sin x. XekineÐste grˆfontac to e i(a±b) me dôo trìpouc. Mia sunˆrthsh f : R C onomˆzetai periodik me perðodo T an f(x + T ) = f(x), (x R). Gia parˆdeigma h sunˆrthsh sin x eðnai periodik me perðodo 2π kai h sunˆrthsh e 2πix eðnai periodik me perðodo 1. Prìblhma 8.3. (SÔnolo twn periìdwn miac sunˆrthshc) H perðodoc miac periodik c sunˆrthshc den eðnai potè monadik. ApodeÐxte ìti to sônolo twn periìdwn miac sunˆrthshc apoteleð omˆda. An dhl. T 1 kai T 2 eðnai perðodoi tìte kai oi arijmoð T 1, T 2, T 1 + T 2 eðnai epðshc perðodoi. DeÐxte epðshc ìti kˆje mh stajer, suneq c periodik sunˆrthsh èqei mia elˆqisth jetik perðodo kai kˆje ˆllh perðodoc thc sunˆrthshc eðnai pollaplˆsiì thc. Prìblhma 8.4. An f : R C eðnai mia suneq c (, genikìtera, mia Riemann oloklhr simh) T -periodik sunˆrthsh tìte an x, y R èqoume x+t x f(t) dt = y+t y f(t) dt. Parat rhsh 8.2. Oi migadikèc ekjetikèc sunart seic e n (x) = e inx, n Z, èqoun ìlec perðodo 2π (allˆ mìno oi e 1 (x) kai e 1 (x) èqoun elˆqisth perðodo 2π), kai eðnai idiaðtera qr simec sth melèth sunart sewn pou eðnai periodikèc me aut thn perðodo. EÐnai ìmwc arketˆ koinì, an jèloume na melet soume fainìmena pou èqoun ˆllh perðodo, na qrhsimopoioôme ekjetikèc sunart seic pou eðnai elafr c diaforetikèc. Gia parˆdeigma, exðsou koinèc me tic parapˆnw sunart seic eðnai kai oi ekjetikèc sunart seic e 2πinx, n Z, oi opoðec èqoun perðodo 1 antð gia 2π. 'Ola ìsa ja poôme parakˆtw isqôoun, fusikˆ me tic katˆllhlec elˆqistec tropopoi seic, kai se kˆje tètoia oikogèneia migadik n ekjetik n sunart sewn kai gia ta antðstoiqa trigwnometrikˆ polu numa. H anagwg apì th mia perðptwsh sthn ˆllh gðnetai me mia apl grammik allag metablht c. Eswterikì ginìmeno An f, g C([0, 2π]) orðzoume to eswterikì touc ginìmeno na eðnai h posìthta f, g = 1 2π 2π f(x)g(x) dx. 0 Parat rhsh 8.3. Ed g(x) eðnai to migadikì suzugèc tou g(x). An oi sunart seic eðnai pragmatikèc tìte o parapˆnw orismìc tou eswterikoô ginomènou dðdetai sun jwc qwrðc to migadikì suzugèc. EpÐshc o parˆgontac 1 2π qrhsimeôei sto na metatrèyei to olokl rwma se èna mèso ìro pˆnw sto diˆsthma [0, 2π] kai aplousteôontai polô tôpoi ètsi. MporeÐ ìmwc se ˆlla keðmena na deðte ton orismì qwrðc ton parˆgonta autì. Gia parˆdeigma, an ta ekjetikˆ pou qrhsimopoioôntai eðnai ta e 2πinx, n Z, tìte o orismìc tou eswterikoô ginomènou eðnai f, g = 1 0 f(x)g(x) dx. Se pollˆ biblða epðshc ja deðte to eswterikì ginìmeno na èqei to suzugèc ston pr to parˆgonta antð gia to deôtero. 15

Prìblhma 8.5. (Algebrikèc idiìthtec tou eswterikoô ginomènou) To eswterikì ginìmeno eðnai ousiastikˆ grammikì stouc dôo parˆgontec, an exairèsoume thn mikr epiplok pou dhmiourgeð h Ôparxh tou migadikoô suzugoôc sto deôtero parˆgonta. ApodeÐxte tic parakˆtw idiìthtec (f, g, h C([0, 2π])): g, f = f, g λf + µh, g = λ f, g + µ h, g (gia λ, µ C) f, λg + µh = λ f, g + µ f, h (gia λ, µ C) f, f = f 2 2 := 1 2π 2π f(x) 2 dx 0 DÔo sunart seic f, g C([0, 2π]) onomˆzontai orjog niec an f, g = 0. Prìblhma 8.6. (Pujagìreio Je rhma) An f 1, f 2,..., f n eðnai anˆ dôo orjog niec tìte QrhsimopoieÐste epagwg wc proc n. Gia n = 2 grˆyte (parallag orismoô thc 2-nìrmac). f 1 +... + f n 2 2 = f 1 2 2 + + f n 2 2. (13) f 1 + f 2 2 2 = f 1 + f 2, f 1 + f 2 = f 1, f 1, + f 1, f 2 + f 2, f 1 + f 2, f 2 kai qrhsimopoieðste thn orjogwniìthta. EÐnai polô basikì kai polô qr simo ìti oi migadikèc ekjetikèc sunart seic e n (x) = e inx, n Z, eðnai anˆ dôo orjog niec. An m n kai jètontac k = m n 0 èqoume e m, e n = 1 2π = 1 2π = 1 2π 2π e imx e inx dx 0 2π e ikx dx 0 2π 0 ( ) e ikx dx ik = 1 ik (eik2π e ik 0 ) = 0. IsqÔei epðshc e n, e n = e n 2 2 = 1 gia n Z. Gi' autì to lìgo oi sunart seic e n(x) lème ìti apoteloôn èna orjokanonikì sôsthma. Prìblhma 8.7. (Orjogwniìthta twn trigwnometrik n sunart sewn) ApodeÐxte ìti oi sunart seic 1, cos nx, sin nx, (n = 1, 2,...) eðnai anˆ dôo orjog niec. An tic diairèsoume ìlec (ektìc apì th stajer sunˆrthsh) me 2 tìte ektìc apì orjog nio sôsthma sunart sewn eðnai kai orjokanonikì. Genikˆ oi upologismoð oloklhrwmˆtwn me tic trigwnometrikèc sunart seic den eðnai apì tic pio apolaustikèc asqolðec. EÐnai polô kalôtero na tic metatrèyoume se migadikèc ekjetikèc sunart seic kai na kˆnoume ekeð tic prˆxeic mac mia kai oi ekjetikèc sunart seic eðnai ftiagmènec gia na pollaplasiˆzontai. Gia parˆdeigma, gia na deðxete thn orjogwniìthta twn cos mx kai cos nx upologðste to olokl rwma afoô pr ta grˆyete cos mx cos nx = 1 4 (eimx + e imx )(e inx + e inx ). 16

JumÐzoume ton orismì thc grammik c anexarthsðac dianusmˆtwn v 1,..., v n se èna dianusmatikì q ro V : jewroôntai autˆ grammik c anexˆrthta an isqôei h sunepagwg c k v k = 0 = c 1 = c 2 = = c n = 0, k=1 (gia kˆje epilog twn suntelest n c j C). Oi dianusmatikoð q roi pou mac apasqoloôn se autì to mˆjhma eðnai katˆ kanìna q roi sunart sewn ìpwc o C([0, 2π]) me ton opoðo asqoloômaste ed. EÐnai polô basikì ìti h orjogwniìthta sunepˆgetai th grammik anexarthsða. An oi mh mhdenikèc f 1, f 2,..., f n C([0, 2π]) eðnai anˆ dôo orjog niec tìte, upojètontac ìti èqoume èna mhdenizìmeno grammikì sunduasmì touc 0 = c k f k, kai paðrnontac to eswterikì ginìmeno kai ton dôo mel n me thn f 1, èqoume 0 = k=1 c k f k, f 1 = c 1 f 1, f 1 = c 1 f 1 2 2 k=1 prˆgma pou sunepˆgetai c 1 = 0 afoô f 1 2 2 > 0 arkeð h f 1 na mhn eðnai h mhdenik sunˆrthsh. apodeiknôoume ìti ìla ta c j eðnai mhdèn kai ˆra ta f 1,..., f n eðnai grammik c anexˆrthta. OmoÐwc Prìblhma 8.8. (H 2-nìrma enìc trigwnometrikoô poluwnômou) An p(x) = N k= N p ke ikx deðxte ìti N p 2 2 = p k 2. k= N QrhsimopoieÐste thn orjogwniìthta twn ekjetik n sunart sewn kai to Pujagìreio Je rhma. Prìblhma 8.9. ApodeÐxte xanˆ th monadikìthta twn suntelest n twn trigwnometrik n poluwnômwn qwrðc ton pðnaka Vandermonde (deðte to Prìblhma 8.1). An p(x), q(x) eðnai dôo trigwnometrikˆ polu numa pou tautðzontai se olìklhro to diˆsthma [0, 2π] tìte èqoun touc Ðdiouc suntelestèc. ApodeÐxte ìti oi suntelestèc enìc trigwnometrikoô poluwnômou dðdontai apì ton tôpo p k = p(x), e ikx = 1 2π 2π p(x)e ikx dx, (k Z). (14) Parat rhsh 8.4. To dexð mèloc thc (14) mporeð na efarmosteð se opoiad pote suneq sunˆrthsh p(x) sto diˆsthma [0, 2π]. H posìthta aut onomˆzetai suntelest c Fourier k tˆxhc thc sunˆrthshc p(x). Prìblhma 8.10. An p(x) = N k= N p ke ikx, q(x) = N k= N q ke ikx deðxte ìti p(x), q(x) = 9 De, 14/3/2011: Trigwnometrikˆ polu numa se trigwnometrik morf 0 N k= N p q q k. 'Estw P N to sônolo ìlwn twn trigwnometrik n poluwnômwn bajmoô N P N = { p(x) = N k= N p k e ikx : p k C }. 17

AfoÔ to ˆjroisma duo tètoiwn poluwnômwn paramènei stoiqeðo tou P N kai ginìmeno enìc migadikoô arijmoô me stoiqeðo tou P N paramènei stoiqeðo tou P N prokôptei ìti to sônolo autì eðnai ènac migadikìc dianusmatikìc q roc. Mˆlista me thn antistoðqish p(x) (p N, p N+1,..., p N 1, p N ) pou eðnai kal c orismènh (monadikìthta twn suntelest n poluwnômou), grammik kai antistrèyimh eðnai fanerì pwc o q roc P N eðnai isomorfikìc, wc grammikìc q roc, me to q ro C 2N+1. Mia bˆsh tou q rou P N apoteleðtai apì ta 2N + 1 trigwnometrikˆ polu numa e inx, e i(n 1)x,..., e ix, 1, e ix,..., e inx. Aut mˆlista h bˆsh èqoume apodeðxei ìti eðnai kai orjokanonik, eðnai dhlad ta stoiqeða thc anˆ dôo orjog nia kai kˆje stoiqeðo thc èqei 2-nìrma Ðsh me 1. Upˆrqei mia akìmh orjokanonik bˆsh tou P N h opoða eðnai qr simh stic efarmogèc, eidikˆ ìtan prìkeitai gia trigwnometrikˆ polu numa pou paðrnoun pragmatikèc timèc. Je rhma 9.1. Oi sunart seic 1, 1 2 cos x, 1 2 cos 2x,..., 1 2 cos Nx, 1 2 sin x, 1 2 sin 2x,..., 1 2 sin Nx (15) eðnai mia orjokanonik bˆsh tou P N. Epiplèon, an mia sunˆrthsh p(x) P N paðrnei pragmatikèc timèc tìte oi suntelestèc thc wc proc aut th bˆsh eðnai pragmatikoð. Apì to Prìblhma 8.7 èqoume thn orjogwniìthta twn sunart sewn anˆ dôo. To ìti kˆje mia apì autèc èqei 2-nìrma Ðsh me to 1 eðnai ènac aplìc upologismìc pou sthn perðptwsh thc stajer c sunˆrthshc eðnai profan c kai se ìlec tic ˆllec peript seic anˆgetai ston tôpo 2π 0 cos 2 x dx = 1 2. Gia na apodeðxoume to deôtero mèroc tou Jewr matoc ja upologðsoume akrib c touc suntelestèc tou poluwnômou N p(x) = p k e ikx wc prìc th bˆsh (15). 'Estw loipìn ìti p(x) = a 0 + = a 0 + k= N N (a k cos kx + b k sin kx) (16) k=1 N e (a ikx + e ikx k k=1 2 a ikx e ikx ) + b k. (17) 2i Exis nontac (apì th monadikìthta twn suntelest n twn trigwnometrik n poluwnômwn) touc suntelestèc twn dôo mel n, kai parathr ntac ìti oi sunart seic e ikx kai e ikx emfanðzontai mìno ston k prosjetèo tou ajroðsmatoc (17), paðrnoume ìti p 0 = a 0 kai gia k = 1, 2,..., N ìti Kˆnontac prˆxeic autì grˆfetai p k e ikx + p k e ikx = a k e ikx + e ikx 2 a ikx e ikx + b k. 2i (p k a k /2 b k /(2i))e ikx + (p k a k /2 + b k /(2i))e ikx = 0. 18

Apì th monadikìthta paðrnoume tic dôo exis seic LÔnontac wc proc tic posìthtec a k, b k paðrnoume p k = a k /2 + b k /(2i), p k = a k /2 b k /(2i). (18) a k = p k + p k, b k = i(p k p k ). (19) Oi tôpoi (18) kai (19), mazð me ton a 0 = p 0, mac lène to p c grˆfoume mia sunˆrthsh p(x) sthn trigwnometrik bˆsh (15) an thn èqoume grammènh wc proc thn ekjetik bˆsh kai to antðstrofo. Tèloc, ac upojèsoume ìti h sunˆrthsh p(x) paðrnei pragmatikèc timèc. 'Eqoume tìte a 0 = p(0) = p(x), 1 a k = p k + p k = (p(x), e ikx + e ikx = 2 p(x), cos kx b k = i(p k p k ) = i p(x), e ikx e ikx = 2 p(x), sin x. 'Ola ta eswterikˆ ginìmena pou emfanðzontai parapˆnw èqoun kai touc dôo parˆgontec pragmatikèc sunart - seic, ˆra eðnai pragmatikˆ. 'Artiec kai perittèc sunart seic Mia sunˆrthsh f : R C lègetai ˆrtia an f( x) = f(x) gia kˆje x R (opoiod pote pedðo orismoô D mporoôme na èqoume ed to opoðo eðnai summetrikì wc proc to 0, isqôei dhl. x D x D). H f : R C lègetai peritt an isqôei f( x) = f(x) gia kˆje x R. EÐnai fanerì ìti to na eðnai mia sunˆrthsh ˆrtia peritt eðnai mia sqetikˆ spˆnia idiìthta; oi <<pio pollèc>> sunart seic den eðnai oôte to èna oôte to ˆllo. Par' ìl' autˆ isqôei to parakˆtw je rhma to opoðo kˆpoiec forèc mac epitrèpei na perˆsoume idiìthtec twn artðwn kai twn peritt n sunart sewn se genikèc sunart seic. Je rhma 9.2. An f : R C tìte upˆrqei mia ˆrtia sunˆrthsh f e : R C kai mia peritt sunˆrthsh f o : R C t.. f(x) = f e (x) + f o (x) gia kˆje x R. Mˆlista aut h diˆspash thc f se ˆjroisma peritt c kai ˆrtiac sunˆrthshc eðnai monadik. H apìdeixh eðnai exairetikˆ apl. PaÐrnoume f e (x) = f(x) + f( x), f o (x) = 2 f(x) f( x). 2 EÐnai fanerì ìti f = f e + f o kai ìti h f e eðnai ˆrtia kai h f o peritt. Gia na deðxoume th monadikìthta upojètoume ìti upˆrqei kai deôterh diˆspash thc f se ˆjroisma ˆrtiac kai peritt c sunˆrthshc f = f e + f o. Apì thn isìthta f e + f o = f e + f o paðrnoume f e f e = f o f o. To aristerì mèloc eðnai ˆrtia sunˆrthsh kai to dexð peritt (wc grammikìc sunduasmìc antistoðqwn sunart sewn). 'Omwc h mình sunˆrthsh pou upˆrqei pou eðnai tautìqrona ˆrtia kai peritt eðnai h mhdenik sunˆrthsh, ˆra f e = f e kai f o = f o. Oi sunart seic f e kai f o onomˆzontai ˆrtio kai perittì mèroc thc f. Prìblhma 9.1. An p(x) = a 0 + N k=1 (a k cos kx + b k sin kx) eðnai èna trigwnometrikì polu numo grammèno sthn trigwnometrik tou morf tìte breðte tic sunart seic p e (x) kai p o (x) grammènec epðshc sthn trigwnometrik touc morf. 'Idio er thma an to trig. polu numo p(x) dðdetai sthn ekjetik tou morf p(x) = N k= N p k e ikx. 19

10 Te, 16/3/2011: J. Weierstrass gia trigwnometrikˆ polu numa. Idiìthtec bèltisthc prosèggishc Prosèggish apì trigwnometrikˆ polu numa AntÐstoiqa me thn prosèggish miac suneqoôc sunˆrthshc apì algebrikˆ (sunhjismèna) polu numa èqoume kai prosèggish apì trigwnometrikˆ polu numa. Ac eðnai f C([0, 2π]). Mia profan c anagkaða sunj kh gia na mporeð h f na proseggisjeð omoiìmorfa sto [0, 2π] apì trigwnometrikˆ polu numa eðnai h f(0) = f(2π). Autì isqôei giatð h sunj kh aut isqôei gia kˆje trigwnometrikì polu numo (lìgw thc 2π-periodikìthtac) kai ˆra isqôei kai gia kˆje sunˆrthsh pou eðnai ìrio (èstw kai katˆ shmeðo ìrio) trig. poluwnômwn. H sunj kh aut pèra apì anagkaða eðnai kai ikan : Je rhma 10.1. An f C([ π, π]) èqei f( π) = f(π) tìte gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei trig. polu numo p(x) t.. f(x) p(x) ɛ gia x [ π, π]. Parat rhsh 10.1. To Je rhma 10.1 isqôei an sth jèsh tou [ π, π] bˆloume opoiod pote ˆllo diˆsthma thc morf c [s, s + 2π] kai apait soume h f na eðnai suneq c se autì to kleistì diˆsthma kai na èqei tic Ðdiec timèc sta dôo ˆkra. 'Olec oi apodeðxeic eðnai Ðdiec. Upˆrqei kai ènac diaforetikìc trìpoc na ekfrˆsoume aut thn upìjesh gia thn f: h f prèpei na eðnai suneq c se ìlo to R kai 2π-periodik. Prˆgmati, an h f eðnai suneq c kai 2π-periodik tìte o periorismìc thc se opoiod pote diˆsthma m kouc 2π, èstw sto [s, s + 2π], eðnai suneq c kai h f paðrnei thn Ðdia tim sta dôo ˆkra tou diast matoc. AntÐstrofa, an h f eðnai orismènh mìno sto [s, s + 2π] kai eðnai suneq c ekeð kai me thn Ðdia tim sta dôo ˆkra tou diast matoc tìte h f mporeð na epektajeð se ìlo to R wc mia suneq c kai 2π-periodik sunˆrthsh: epekteðnoume pr ta sto diˆsthma [s + 2π, s + 4π] qrhsimopoi ntac th sqèsh f(x) = f(x + 2π) pou jèloume na isqôei gia kˆje x kai parathroôme ìti h sunˆrths mac eðnai suneq c sto kainoôrgio thc pedðo orismoô. To mìno shmeðo sto opoðo upˆrqei kˆpoia amfibolða gia thn sunèqeia thc f eðnai ekeð pou kollˆne ta dôo diast mata, to shmeðo s + 2π dhlad, allˆ ekeð h sunˆrths mac eðnai suneq c kai apì tic dôo merièc wc sunèpeia thc upìjes c mac gia Ðdiec timèc thc f sta dôo ˆkra tou arqikoô diast matoc. Me ìmoio trìpo epekteðnoume thn f se diast mata m kouc 2π dexiˆ ki aristerˆ tou pedðou orismoô thc ki ètsi orðzetai telikˆ h f se ìlo to R me tic epijumhtèc idiìthtec. DeÐte to Sq ma 2 ìpou faðnetai h diadikasða aut thc periodikopoðhshc gia s = 0, xekin ntac dhl. apì to diˆsthma [0, 2π]. 0.5 0 2π 2π 4π Sq ma 2: H diadikasða thc epèktashc miac sunˆrthshc se periodik (periodikopoðhsh). To grˆfhma sta diast mata [ 2π, 0] kai [2π, 4π] eðnai metaforèc tou graf matoc sto diˆsthma [0, 2π] Me ˆlla lìgia orðzoume f(x) na eðnai h tim f(x 2kπ) ìpou k Z eðnai o monadikìc akèraioc tètoioc ste na isqôei x 2kπ [s, s + 2π). Prìblhma 10.1. An f n, f eðnai T -periodikèc sunart seic kai f n f omoiìmorfa sto diˆsthma [s, s + T ] tìte f n f omoiìmorfa se olìklhro to R. 20

Prìblhma 10.2. An h f : R C eðnai suneq c kai T -periodik tìte eðnai omoiìmorfa suneq c se olìklhro to R. Apì dw kai sto ex c loipìn to na milˆme gia mia sunˆrthsh pou eðnai suneq c se kleistì diˆsthma m kouc T kai èqei tic Ðdiec timèc sta dôo ˆkra tou diast matoc eðnai to Ðdio me to na milˆme gia mia sunˆrthsh pou eðnai orismènh kai suneq c se olìklhro to R kai eðnai epðshc T -periodik. Ac apodeðxoume t ra to J. 10.1. Ja jewroôme th sunˆrthsh f orismènh kai suneq se olìklhro to R mèsw 2π-periodikìthtac ìpwc anafèrame sthn Parat rhsh 10.1. B ma 1. An h f eðnai ˆrtia tìte proseggðzetai omoiìmorfa apì ˆrtia trig. polu numa. AfoÔ h f eðnai ˆrtia arkeð na thn proseggðsoume omoiìmorfa apì ˆrtio trigwnometrikˆ polu numa sto diˆsthma [0, 2π] mìno. Sto diˆsthma autì h sunˆrthsh cos x eðnai mia suneq c kai 1 proc 1 apeikìnish tou diast matoc [0, π] sto diˆsthma [ 1, 1]. 'Estw arccos (<<tìxo sunhmitìnou>>, pou kamiˆ forˆ to sumbolðzoume kai me cos 1 ) h antðstrof thc, epðshc suneq c, sunˆrthsh pou apeikonðzei to[ 1, 1] sto [0, π]: y = cos x x = arccos y (x [0, π], y [ 1, 1]). 'Ara h g(y) = f(arccos y) eðnai mia suneq c sunˆrthsh orismènh pˆnw sto [ 1, 1] kai apì to J. Weierstrass gia algebrikˆ polu numa (Je rhma 5.1) gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei polu numo p(y) tètoio ste g(y) p(y) ɛ gia kˆje y [ 1, 1]. 'Omwc aut h sunj kh, metˆ thn allag metablht c y = cos x, de lèei tðpote ˆllo parˆ to ìti f(x) p(cos x) ɛ gia kˆje x [0, π]. Tèloc de mènei parˆ na parathr soume ìti h sunˆrthsh p(cos x) eðnai ˆrtio trigwnometrikì polu numo. Autì eðnai sunèpeia tou ìti h sunˆrthsh cos x eðnai ˆrtio trigwnometrikì polu numo kai tou ìti ta trigwnometrikˆ polu numa eðnai kleistˆ (ìpwc kai ta algebrikˆ polu numa) stic prˆxeic thc prìsjeshc kai pollaplasiasmoô sunart sewn. B ma 2: H sunˆrthsh f(x) sin 2 x proseggðzetai omoiìmorfa apì trig. polu numa. 'Estw ɛ > 0. Oi sunart seic f 1 (x) = f(x) + f( x) kai f 2 (x) = (f(x) f( x)) sin x eðnai ˆrtiec, 2π-periodikèc kai suneqeðc kai ˆra apì to B ma 1 upˆrqoun ˆrtia trig. polu numa T 1 (x) kai T 2 (x) t.. f 1 T 1 ɛ kai f 2 T 2 ɛ. Autì mporoôme na to ekfrˆsoume kai wc ex c kai 'Ara f 1 (x) = T 1 (x) + E 1 (x), ( E 1 (x) ɛ) f 2 (x) = T 2 (x) + E 2 (x), ( E 2 (x) ɛ). f(x) sin 2 (x) = f 1 (x) sin 2 x + f 2 (x) sin x = T 1 (x) sin 2 x + T 2 (x) sin x + E(x) ìpou E(x) = E 1 (x) sin 2 x + E 2 (x) sin x, opìte E(x) 2ɛ. B ma 3: H sunˆrthsh f(x) cos 2 x proseggðzetai omoiìmorfa apì trig. polu numa. Autì eðnai sunèpeia thc efarmog c tou B matoc 2 sth sunˆrthsh F (x) = f(x π 2 ) pou eðnai fusikˆ 2π-periodik kai suneq c. Apì to B ma 2 èqoume ìti h F (x) sin 2 x proseggðzetai omoiìmorfa apì trig. polu numa p(x) to opoðo shmaðnei ìti h sunˆrthsh f(x) cos 2 x = F (x + π 2 ) sin2 (x + π 2 ) proseggðzetai omoiìmorfa apì ta polu numa p(x + π 2 ). Gia na telei soume thn apìdeixh tou Jewr matoc 10.1 parathroôme aplˆ ìti f(x) = f(x) sin 2 x + f(x) cos 2 x kai proseggðzoume thn f apì to ˆjroisma twn dôo trigwnometrik n poluwnômwn pou proseggðzoun tic dôo sunart seic tou dexioô mèlouc antðstoiqa. 21

Parat rhsh 10.2. 'Eqoume ètsi apodeðxei to Je rhma tou Weierstrass gia prosèggish apì trigwnometrikˆ polu numa (Je rhma 10.1) qrhsimopoi ntac to Je rhma tou Weierstrass gia algebrikˆ polu numa (Je rhma 5.1). EÐnai endiafèron ìti kai o antðstrofoc sullogismìc eðnai dunatìc. An dhl. upojèsei kaneðc to Je rhma 10.1 wc gnwstì tìte mporeð na apodeðxei, qrhsimopoi ntac to, to Jewrhma 5.1. Autì eðnai endiafèron mia kai upˆrqoun kai ˆllec apodeðxeic tou Jewr matoc 10.1, pou de qrhsimopoioôn to Je rhma 5.1, dðnontˆc mac ètsi nèec apodeðxeic tou Jewr matoc 5.1. Gia parˆdeigma, èna apì ta basikˆ jewr mata thc Armonik c Anˆlushc eðnai to Je rhma tou Fejér, pou lèei ìti an èqoume mia suneq kai 2π-periodik sunˆrthsh f tìte aut eðnai to omoiìmorfo ìrio twn trigwnometrik n poluwnômwn, pou onomˆzontai Cesáro mèsoi thc f: σ N (f)(x) = N j= N f(j)e ijx. Oi arijmoð f(j) onomˆzontai suntelestèc Fourier (touc eðdame kai sthn Parat rhsh 8.4) thc f kai dðnontai apì ton tôpo f(j) = 1 2π f(x)e ijx dx, (j Z). (20) 2π 0 Ac doôme loipìn t ra p c apodeiknôei kaneðc to Je rhma 5.1 upojètontac wc gnwstì to Je rhma 10.1. QwrÐc blˆbh thc genikìthtac mporoôme na pˆroume to diˆsthma anaforˆc na eðnai to [ 1, 1], kai ac eðnai f C([ 1, 1]). H sunˆrthsh g : R C orðzetai wc g(x) = f(cos x) kai eðnai suneq c, 2π-periodik kai ˆrtia. Gia na deðxoume ìti h f proseggðzetai omoiìmorfa apì èna algebrikì polu numo q(x) sto diˆsthma [ 1, 1] arkeð na deðxoume ìti h sunˆrthsh g(x) proseggðzetai omoiìmorfa apì to polu numo q(cos x) (to opoðo eðnai trigwnometrikì polu numo) sto diˆsthma [0, π]. 'Estw ɛ > 0. Ac eðnai p(x) èna trigwnometrikì polu numo tètoio ste g(x) = p(x) + E(x), me E(x) ɛ (ed qrhsimopoioôme to Je rhma 10.1). 'Eqoume g(x) = g(x) + g( x) 2 = p(x) + p( x) 2 + E(x) + E( x). 2 Profan c E(x)+E( x) 2 ɛ kai h sunˆrthsh q(x) = p(x)+p( x) 2 eðnai èna ˆrtio trigwnometrikì polu numo opìte N q(x) = q k cos kx k=0 gia kˆpoio fusikì arijmì N kai kˆpoia q k C (autì faðnetai polô eôkola an grˆyei kaneðc to trig. polu numo q(x) se trigwnometrik morf, kˆnei to Ðdio gia to q( x) kai qrhsimopoi sei to je rhma monadikìthtac). Gia na telei sei h apìdeixh prèpei na deðxoume ìti h sunˆrthsh q(x) eðnai algebrikì polu numo tou cos x, gia to opoðo profan c arkeð na deðxoume gia kˆje k = 0, 1, 2,... ìti h sunˆrthsh cos kx eðnai algebrikì polu numo tou cos x. (21) 22

'Omwc cos kx = Re [e ikx] = Re [(cos x + i sin x) k] k = Re = = k j=0 j ˆrtio k j=0 j ˆrtio j=0 ( k j ( ) k j (cos x) k j i j (sin x) j ) (cos x) k j ( 1) j/2 (sin 2 x) j/2 (apì to diwnumikì je rhma) (afoô i j = ±i gia j perittì) ( ) k (cos x) k j ( 1) j/2 (1 cos 2 x) j/2 (afoô sin 2 x = 1 cos 2 x) j to opoio profan c eðnai èna algebrikì polu numo thc posìthtac cos x. H apìdeix mac eðnai pl rhc. Idiìthtec thc bèltisthc prosèggishc Epanerqìmaste t ra sto prìblhma thc prosèggishc apì algebrikˆ polu numa. 'Estw f C([a, b]) kai èstw p P N mia bèltisth prosèggish thc f apì to sônolo P N (algebrikˆ polu numa bajmoô meqri N) sth nìrma. To polu numo p dhl. èqei thn idiìthta ìti gia kˆje ˆllo polu numo p P N isqôei f p f p. (22) H Ôparxh tou poluwnômou autoô den eðnai profan c. EÐnai ìmwc ˆmesh sqedìn sunèpeia tou gegonìtoc ìti o grammikìc q roc P N èqei peperasmènh diˆstash (sugkekrimèna dim P N = N + 1), ìpwc apodeðxame stic dôo pr tec eisagwgikèc dialèxeic (mporeðte na to breðte stic shmei seic tou Carothers, Kef. 1). Ja doôme kˆpoiec idiìthtec pou èqei autì to polu numo p kai oi opoðec, metaxô ˆllwn, ja mac epitrèyoun na apodeðxoume kai th monadikìthtˆ tou, idiìthta pou den prokôptei apì kˆpoio genikì epiqeðrhma ìpwc autì thc peperasmènhc diˆstashc. Periorizìmaste apì dw kai pèra se pragmatikèc sunart seic f[a, b] R mia kai to sumpèrasma sto opoðo jèloume na katal xoume den èqei nìhma gia migadikèc sunart seic. EÐnai profanèc se aut thn perðptwsh ìti kai h p eðnai epishc pragmatikì polu numo (giatð?). An p : [a, b] R eðnai opoiad pote suneq c sunˆrthsh tìte apì th sunèqeia thc f p prokôptei ìti aut <<piˆnei>> to supremum thc gia kˆpoio x [a, b]. IsqÔei dhl. gia kˆpoio x f(x) p(x) = ± f p. An zwgrafðsoume gôrw apì to grˆfhma thc f mia z nh me plˆtoc ρ = f p apì kˆje meriˆ (blèpe Sq ma 3) tìte autì pou mìlic eðpame shmaðnei ìti to grˆfhma thc p(x), to opoðo brðsketai ex olokl rou mèsa se aut th z nh (afoô f(x) p(x) ρ gia kˆje x) sðgoura akoumpˆei to ˆnw to kˆtw sônoro aut c thc z nhc. Sto Je rhma 10.2 pou akoloujeð deðqnoume ìti akoumpˆei kai pˆnw kai kˆtw. Je rhma 10.2. 'Estw f : [a, b] R suneq c. An p P N eðnai èna polu numo pou elaqistopoieð thn posìthta f p, p P N, tìte upˆrqoun shmeða x, y [a, b] t.. f(x) p (x) = p (y) f(y) = f p. H apìdeixh tou Jewr matoc 10.2 eðnai polô eôkolh an skefteð kaneðc lðgo gewmetrikˆ. Ti ja ginìtan an, p.q., h mple gramm sto Sq ma 3 akoumpoôse mìno sto kˆtw sônro thc z nhc (kˆtw diakekomènh gramm )? 23

Sq ma 3: H bèltisth poluwnumik prosèggish (mple) thc sunˆrthshc prèpei na akoumpˆei kai to sônoro thc ρ-z nhc (diakekomènh gramm ) kai proc ta pˆnw kai proc ta kˆtw. Ed ρ = f p. PolÔ aplˆ ja mporoôsame na metatopðsoume lðgo proc ta pˆnw th mple gramm ste na parameðnei entìc thc z nhc kai na èqoume t ra mia kalôterh prosèggish apì prin, prˆgma adônato mia kai upojèsame ìti h p eðnai bèltisth prosèggish. Ac upojèsoume loipìn ìti gia kˆje x [a, b] isqôei p (x) f(x) < ρ = f p (den akoumpˆei epˆnw). AfoÔ h suneq c sunˆrthsh p (x) f(x) eðnai < ρ pantoô sto [a, b] èpetai ìti upˆrqei kˆpoioc arijmìc 0 < ρ < ρ ste na isqôei p (x) f(x) ρ, (x [a, b]). (Autì eðnai aplˆ sunèpeia tou ìti kˆje suneq c sunˆrthsh se kleistì diˆsthma <<piˆnei>> ta akrìtata thc se kˆpoia shmeða tou diasthmatoc.) 'Estw δ = (ρ ρ )/2 > 0 kai orðzoume th sunˆrthsh p 1 (x) = p (x) + δ, h opoða epðshc eðnai sto P N afoô ephreasame mìno th stajerˆ tou poluwnômou. IsqÔei t ra p 1 (x) f(x) = p (x) f(x) + δ ρ + δ < ρ f(x) p 1 (x) = f(x) p (x) δ ρ δ = ρ + δ < ρ,, me ˆlla lìgia, f(x) p 1 (x) ρ + δ < ρ gia kˆje x [a, b]. Autì antifˆskei ìmwc me th sqèsh (22), ˆra kˆpou mèsa sto diˆsthma [a, b] h sunˆrthsh p (x) f(x) isoôtai me ρ. Me ìmoio trìpo apodeiknôoume ìti kˆpou mèsa sto diˆsthma h f(x) p (x) isqoôtai me ρ, kai h apìdeixh eðnai pl rhc. Prìblhma 10.3. An f : [a, b] R deðxte ìti h bèltisth prosèggish apì stajerˆ (h bèltisth prosèggish dhl. apì to q ro P 0 ) sthn -nìrma eðnai h stajerˆ (max f + min f)/2. To Je rhma 10.2 mporeð na isquropoihjeð pˆra polô, se shmeðo pou na apoteleð qarakthrismì thc bèltisthc poluwnumik c prosèggishc. Dhl. h idiìthta pou emfanðzetai sto epìmeno Je rhma 10.3 ìqi mìno eðnai anagkaða gia na eðnai to polu numo p mia bèltisth prosèggish allˆ eðnai kai ikan. Orismìc 10.1. An F : [a, b] R eðnai mia sunˆrthsh pou den eðnai tautotikˆ mhdenik ( ste F > 0) kai y 1 < y 2 < < y k eðnai kˆpoia shmeða tou [a, b] lème ìti autˆ eðnai enallasìmena gia thn F an (a) F (y j ) = F gia kˆje j = 1, 2,..., k, kai (b) An ta prìshma twn F (y j ) enallˆssontai, isqôei dhl. F (y j ) F (y j+1 ) < 0, j = 1, 2,..., N 1. Je rhma 10.3. 'Estw f : [a, b] R kai N fusikìc arijmìc. Tìte upˆrqei akrib c mia bèltisth prosèggish p P N thc f. 'Ena polu numo p P N eðnai to p an kai mìno an upˆrqei èna sônolo toulˆqiston N + 2 shmeðwn tou [a, b] pou na eðnai enalassìmena gia th sunˆrthsh f p. Prìblhma 10.4. ApodeÐxte ìti h bèltisth grammik (dhl. poluwnumik bajmoô mèqri 1) prosèggish thc sunˆrthshc f(x) = x 2 sto diˆsthma [0, 1] gia thn -nìrma eðnai h sunˆrthsh p(x) = x 1 8. Efarmìste to Je rhma 10.3 me N = 1. 24

11 De, 21/3/2011: Qarakthrismìc bèltisthc prosèggishc apì to q ro poluwnômwn P N Ja apodeðxoume t ra to Je rhma 10.3. Ac xekin soume me to na apodeðxoume ìti an to p eðnai bèltisth prosèggish tìte upˆrqoun toulˆqiston N + 2 enallassìmena shmeða gia th sunˆrthsh φ = f p. Ac grˆfoume E = φ > 0. (H mình perðptwsh na eðnai E = 0 eðnai ìtan f = p ìtan dhl. f P N opìte kai h f eðnai h Ðdia h bèltisth prosèggish tou eautoô thc kai den èqoume tðpota na apodeðxoume.) AfoÔ h φ eðnai suneq c sto [a, b] eðnai kai omoiìmorfa suneq c. Ac eðnai loipìn > 0 t.. x y = φ(x) φ(y) E/10. (23) QwrÐzoume to diˆsthma [a, b] se Ðsa diast mata m kouc kai ac eðnai a = t 0 < t 1 < t 2 < < t k 1 < t k = b ta diaqwristikˆ shmeða. 'Ena shmeðo x [a, b] ja to onomˆzoume (+)-shmeðo an φ(x) = E kai ( )-shmeðo an φ(x) = E. Apì thn (23) èpetai ìti se èna diˆsthma [t j, t j+1 ] de mporeð na perièqetai kai èna (+)-shmeðo kai èna ( )-shmeðo, afoô h tim thc φ de mporeð na allˆxei mèsa s' èna tètoio diˆsthma perissìtero apì E/10. Metˆ apì aut thn parat rhsh mporoôme na onomˆsoume èna diˆsthma [t j, t j+1 ] (+)-diˆsthma an perièqei èna (+)-shmeðo, ( )-diˆsthma an perièqei èna ( )-shmeðo kai oudètero diˆsthma an den perièqei oôte apì to èna eðdoc oôte apì to ˆllo. Grˆfoume S gia thn ènwsh twn proshmasmènwn diasthmˆtwn kai N gia thn ènwsh twn oudèterwn diasthmˆtwn. 'Eqoume fusikˆ [a, b] = S N. Ac aparijm soume t ra ta proshmasmèna diast mata kinoômenoi apì aristerˆ proc ta dexiˆ, omadopoi ntac ta tautìqrona. Kˆnoume thn ablab upìjesh ìti to pr to proshmasmèno diˆsthma pou sunantˆme eðnai tôpou (+): I 1, I 2,..., I k1, eðnai (+)-diast mata I k1 +1,..., I k2, eðnai ( )-diast mata I km 1 +1,..., I km eðnai ( 1) m 1 -diast mata. Gia kˆje deðkth j to diˆsthma I j eðnai prin to I j+1, isqôei dhl. max I j min I j+1. Ja èqoume apodeðxei to zhtoômeno an deðxoume ìti m N + 2, mia kai tìte mporoôme na pˆroume to pr to shmeðo thc enallassìmenhc akoloujðac shmeðwn apì thn pr th gramm diasthmˆtwn, to deôtero apì th deôterh gramm k.l.p. 'Estw ìti den isqôei to zhtoômeno, ìti dhl. èqoume m N + 1. (24) Apì thn (23) èpetai ìti èna (+)-diˆsthma de mporeð na akoumpˆei èna ( )-diˆsthma, afoô de gðnetai na metablhjeð h tim thc φ katˆ 2E mèsa se m koc 2. 'Ara anˆmesa sta diast mata miac gramm c parapˆnw kai sta diast mata thc epìmenhc upˆrqei pˆnta èna toulˆqiston oudètero diˆsthma. Epilègoume m 1 shmeða z 1 < z 2 < < z m 1 paðrnontac to z j na eðnai opoiod pote shmeðo tou sunìlou [a, b]\s anˆmesa sthn j-omˆda kai sthn (j + 1)-omˆda diasthmˆtwn. OrÐzoume èpeita to polu numo q P m 1 q(x) = (z 1 x)(z 2 x) (z m 1 x) to opoðo èqei thn idiìthta ìti allˆzei prìshmo ìtan (kinoômenoi apì aristerˆ proc ta dexiˆ) pernˆme kˆpoio z j kai se kˆje diˆsthma thc pr thc omˆdac èqei jetikì prìshmo. EÔkola blèpoume ìti autì sunepˆgetai ìti se kˆje proshmasmèno diˆsthma h sunˆrthsh φ(x) = (f p)(x) kai h q(x) èqoun Ðdio prìshmo. Ja deðxoume t ra ìti mporoôme na epilèxoume èna katˆllhla mikrì allˆ jetikì λ t.. h sunˆrthsh p(x) + λq(x) P N 25

na eðnai kalôterh prosèggish thc f ap' ìti h sunˆrthsh p(x), prˆgma ˆtopo, ˆra isqôei telikˆ m N + 2 ìpwc ja jèlame. 'Estw e = max x N φ(x). 'Eqoume e < E mia kai se kˆje oudètero diˆsthma èqoume φ(x) < E gia kˆje x sto diˆsthma kai ˆra to supremum thc φ(x) se autì to diˆsthma eðnai ki autì < E (autì eðnai sunèpeia thc sunèqeiac thc φ(x)). Epilègoume t ra opoiod pote λ > 0 pou na ikanopoieð thc sqèsh λ < 1 q min {E e, E/2}. (25) Jèloume t ra na deðxoume f (p + λq) < E. Apì th sunèqeia thc sunˆrthshc f (p + λq) arkeð na deðxoume ìti gia kˆje x [a, b] isqôei DiakrÐnoume t ra dôo peript seic gia to x [a, b]: x N Apì thn trigwnik anisìthta èqoume (f(x) p(x)) λq(x) < E. (f(x) p(x)) λq(x) f(x) p(x) + λ q(x) e + λ q < E apì thn pr th anisìthta thc (25). x S 'Eqoume f(x) p(x) (9/10)E > λ q (apì th deôterh anisìthta thc (25)), kai ˆra oi arijmoð f(x) p(x) kai λq(x) èqoun to Ðdio prìshmo. Gia dôo omìshmouc arijmoôc a, b me a b, isqôei a b = a b, ˆra èqoume (f(x) p(x)) λq(x) = f(x) p(x) λ q(x) E λ min q(x) < E. x S H teleutaða anisìthta ofeðletai sto ìti h sunˆrthsh q(x) de mhdenðzetai poujenˆ sto S (afoô oi rðzec thc eðnai ta z j pou den an koun sto S) kai ˆra to min x S q(x) eðnai austhrˆ jetik posìthta. H apìdeixh eðnai pl rhc gia to ìti èna bèltisto polu numo èqei mia enallassìmenh akoloujða shmeðwn me toulˆqiston N + 2 shmeða. AntÐstrofa t ra, ac upojèsoume ìti gia to polu numo p P N h sunˆrthsh φ(x) = f(x) p(x) èqei ta enallasìmena shmeða x 0 < x 1 < < x N+1 sto diˆsthma [a, b]. Jèloume na deðxoume ìti to p(x) eðnai mia bèltisth prosèggish thc f sthn -nìrma apì to q ro P N. 'Estw ìti den eðnai kai ìti to polu numo q P N eðnai kalôtero, ìti isqôei dhl. Gia kˆje j = 0, 1, 2,..., N + 1 èqoume f q < f p. (26) f(x j ) p(x j ) = E = f p > f q f(x j ) q(x j ) ˆra h sunˆrthsh q(x) p(x) = (f p)(x) (f q)(x) èqei enallassìmena prìshma sta shmeða x j. Autì isqôei giatð apì thn parapˆnw anisìthta prokôptei ìti E < f(x j ) q(x j ) < E 26

gia kˆje j, kai ˆra h diaforˆ (q p)(x j ) eðnai jetik ìtan f(x j ) p(x j ) = E kai arnhtik ìtan f(x j ) p(x j ) = E. Anˆmesa se kˆje enallag pros mou miac suneqoôc sunˆrthsh upˆrqei toulˆqiston èna shmeðo ìpou h sunˆrthsh mhdenðzetai ˆra to polu numo q(x) p(x) èqei toulˆqiston N + 1 rðzec. AfoÔ ìmwc deg (q p) N èpetai ìti to q p eðnai to mhdenikì polu numo, ˆtopo lìgw thc (26). 'Ara to polu numo p(x) eðnai ìntwc mia bèltisth prosèggish. Apomènei na deðxoume ìti h bèltisth prosèggish eðnai monadik. 'Estw ìqi kai ac upojèsoume ìti to polu numo q (x) eðnai epðshc mia bèltisth prosèggish. Tìte ìmwc kai o mèsoc ìroc touc r = p + q 2 eðnai epðshc mia bèltisth prosèggish (apodeðxte to autì; isqôei gia opoiad pote nìrma, ìqi mìno thn -nìrma). Qrhsimopoi ntac autˆ pou èqoume dh apodeðxei, upˆrqoun N + 2 shmeða x 0 < x 1 < < x N+1 pou eðnai enallassìmena gia th sunˆrthsh f r. Autì metafrˆzetai sto ìti (f p )(x j ) + (f q )(x j ) = ( 1) j 2E, (j = 0, 1, 2,..., N + 1). AfoÔ ìmwc (f p )(x j ) E kai (f q )(x j ) E èpetai ìti gia kˆje j (f p )(x j ) = (f q )(x j ) = ( 1) j E, opìte ta polu numa p (x) kai q (x) tautðzontai se N + 2 shmeða. AfoÔ o bajmìc touc eðnai N èpetai ìti ta polu numa tautðzontai. 12 Te, 23/3/2011: Polu numa Chebyshev Orismìc twn poluwnômwn Chebyshev 'Eqontac apodeðxei to Je rhma 10.3 pou qarakthrðzei th bèltisth prosèggish miac sunˆrthshc apì èna q ro poluwnômwn P N ja to efarmìsoume sto na lôsoume to ex c prìblhma: Poia eðnai h bèltisth prosèggish thc sunˆrthshc x n apì to q ro P n 1 (polu numa bajmoô mèqri kai n 1) kai gia to diˆsthma [ 1, 1]? Jèloume me ˆlla lìgia na lôsoume to prìblhma beltistopoðhshc Gia poio polu numo p(x) P n 1 elaqistopoieðtai h nìrma x n p(x) = max 1 x 1 xn p (x)? H Ôparxh thc lôshc p(x) exasfalðzetai apì to gegonìc ìti o q roc P n 1 èqei peperasmènh diˆstash (Ðsh me n) kai h monadikìthtac apì to Je rhma 10.3. To Je rhma 10.3 mac exasfalðzei epðshc kai thn Ôparxh n + 1 = (n 1) + 2 shmeðwn 1 x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n 1 ta opoða eðnai enalassìmena gia to polu numo p(x) = x n p (x), isqôei dhl. p(x j ) = M gia j = 0, 1,..., n kai p(x j ) p(x j+1 ) < 0 gia j = 0, 1,..., n 1, ìpou M = p(x) = x n p (x). Pr ta kˆnoume thn parat rhsh ìti se kˆje èna apì ta eswterikˆ shmeða x j h parˆgwgoc p (x) mhdenðzetai afoô se kˆje tètoio shmeðo h p(x) èqei topikì mègisto (ìtan h tim thc eðnai M) topikì elˆqisto (ìtan h tim thc eðnai M). AfoÔ deg p (x) n 1 sumperaðnoume ìti h p (x) mhdenðzetai akrib c sta x 1, x 2,..., x n 1 (27) 27

kai ˆra ta shmeða x 0 kai x n den eðnai eswterikˆ shmeða tou diast matoc [ 1, 1] kai sunep c x 0 = 1, x n = 1. (28) ProkÔptei epðshc, apì thn èlleiyh mhdenik n thc p(x) sto diˆsthma [1, + ) kai to gegonìc ìti lim x + p(x) = + ìti h tim thc p(x) sto 1 eðnai p(1) = +M. (29) To polu numo M 2 p 2 (x) eðnai pantoô mh arnhtikì sto diˆsthma [ 1, 1] ˆra kˆje rðza tou sto ( 1, 1) ofeðlei na eðnai dipl, toulˆqiston (alli c h sunˆrthsh ja èpairne kai jetikèc kai arnhtikèc timèc se kˆje geitoniˆ miac rðzac ρ afoô ja grafìtan wc (x ρ)q(x) gia kˆpoio polu numo me q(ρ) 0). H sunˆrthsh aut mhdenðzetai toulˆqiston sta shmeða x 0, x 1,..., x n ˆra, lambˆnontac upìyin ìti deg M 2 p 2 (x) 2n, ìlec oi rðzec thc M 2 p 2 (x) eðnai oi x 0 (apl ), x 1 (dipl ), x 2 (dipl ),..., x n 1 (dipl ), x n (apl ) (30) Apì tic protˆseic (27) kai (30) prokôptei ìti ta polu numa M 2 p 2 (x) kai (1 x 2 )(p (x)) 2 èqoun akrib c tic Ðdiec rðzec, ˆra eðnai to èna pollaplˆsio tou ˆllou M 2 p 2 (x) = K(1 x 2 )(p (x)) 2, (gia kˆpoia stajerˆ K). H stajerˆ K prosdiorðzetai koit ntac touc megistobˆjmiouc suntelestèc twn dôo mel n. AfoÔ p(x) = x n + (me << >> sumbolðzoume ìrouc mikrìterhc tˆxhc) èqoume p (x) = nx n 1 + kai (p (x)) 2 = n 2 x 2(n 1) + kai tèloc (1 x 2 )(p (x)) 2 = n 2 x 2n + EpÐshc èqoume M 2 p 2 (x) = x 2n + ˆra K = 1 n 2. PaÐrnoume tic jetikèc tetragwnikèc rðzec sth sqèsh M 2 p 2 (x) = 1 n 2 (1 x 2 )(p (x)) 2 kai, kˆnontac thn parat rhsh ìti p (x) > 0 gia x > x n 1 (afoô den èqei mhdenikˆ pèra apì to x n 1 kai prèpei na pˆei h p(x) sto + ) paðrnoume th diaforik exðswsh p (x) M 2 p 2 (x) = n 1 x 2 (31) pou isqôei toulˆqiston se mia geitoniˆ tou x = 1. LÔnoume th diaforik aut exðswsh me th mèjodo tou qwrismoô metablht n xanagrˆfontˆc thn wc kai qrhsimopoi ntac ton tôpo dx 1 x 2 dp M 2 p 2 (x) = antðstrofh sunˆrthsh thc cos x). PaÐrnoume ètsi th lôsh ndx 1 x 2 = arccos x + C (autì prokôptei eôkola apì to ìti h arccos x eðnai h p(x) = M cos(n arccos x + C) (32) ìpou C eðnai mia stajerˆ pou mènei akìmh na prosdiorisjeð, ìpwc kai h tim tou M. An θ [0, π] kai x = cos θ ( alli c θ = arccos x) blèpoume ìti h antistoiqða (allag metablht c) twn x kai θ eðnai mia suneq c kai 1-1 antistoiqða twn diasthmˆtwn x [ 1, 1] kai θ [0, π]. Apì dw kai pèra ìpote qrhsimopoioôme to x to θ autˆ pˆnta ja sundèeontai me thn parapˆnw sqèsh. 'Etsi h sqèsh (32) mporeð na grafeð kai wc p(x) = M cos(nθ + C). (33) Gia x = 1 (θ = 0) paðrnoume (afoô p(x) = M) ìti cos C = 1 kai ˆra to C eðnai kˆpoio akèraio pollaplˆsio tou 2π, opìte mporoôme na to paraleðyoume teleðwc apì th sqèsh (32) (33) afoô den ephreˆzei thn tim tou sunimhtìnou. Gia na broôme t ra thn tim tou M sth sqèsh p(x) = M cos(n arccos x) = M cos(nθ) (34) 28

qrhsimopoioôme ton upologismì pou kˆname sthn apìdeixh thc (21) ìpou br kame ìti cos nθ = j=0 jˆrtio ( ) n (cos θ) n j ( 1) j/2 (1 cos 2 θ) j/2. (35) j AfoÔ o megistobˆjmioc suntelest c tou x sto aristerì mèloc thc (34) eðnai 1 to Ðdio ofeðlei na eðnai kai o megistobˆjmioc suntelest c tou cos θ sto dexð mèloc thc (34). Apì kˆje prosjetèo tou ajroðsmatoc sto dexð mèloc thc (35) prokôptei akrib c èna pollaplˆsio tou (cos x) n me suntelest ) ( n j ) ( 1) j/2 ( 1) j/2 = ( n j ) ( 1) j = O suntelest c tou (cos θ) n dhl. sto dexð mèloc thc (34) eðnai M j=0 jˆrtio Apì autì prokôptei ìti M = 2 1 n kai h telik morf tou poluwnômou ( n j (afoô j ˆrtio). ( ) n = M2 n 1. (36) j p(x) = 2 1 n cos(n arccos x) = 2 1 n cos(nθ) (37) Parat rhsh 12.1. H (36) prokôptei polô eôkola apì to diwnumikì je rhma (a + b) n = j=0 ( ) n a j b n j j paðrnontac a = 1 kai b = 1 kai qrhsimopoi ntac thn tautìthta 2 n = j=0 ( ) n, j h opoða epðshc prokôptei apì to diwnumikì je rhma jètontac a = b = 1. Orismìc 12.1. Ta polu numa Chebyshev pr tou eðdouc T n (x) eðnai ta polu numa gia ta opoða isqôei gia x [ 1, 1] T n (x) = cos(n arccos x), n = 0, 1, 2,.... (38) Parat rhsh 12.2. 'Eqoume dh dei ìti to dexð mèloc thc (38) eðnai èna polu numo tou x. IsodÔnama autì eðnai èna polu numo tou cos θ. Ta polu numa Chebyshev orðzontai fusikˆ gia kˆje x R an kai to dexð mèloc thc (38) den èqei nìhma gia x > 1 afoô den orðzetai h sunˆrthsh arccos x tìte. Idiìthtec twn poluwnômwn Chebyshev Je rhma 12.1. Gia n 2 isqôei T n (x) = 2xT n 1 (x) + T n 2 (x). (39) Apì thn trigwnometrik tautìthta cos a + cos b = 2 cos a b 2 cos nθ = 2 cos θ cos (n 1)θ cos (n 2)θ apì thn opoða prokôptei to Je rhma 12.1 me thn antikatˆstash x = cos θ. cos a+b 2 prokôptei polô eôkola h sqèsh 29

H anadromik sqèsh (39) eðnai shmantik gia polloôc lìgouc, ènac apì touc opoðouc eðnai ìti mac epitrèpei na upologðsoume ta polu numa T n (x) polô eôkola, brðskontac apì ta T 0 (x) = 1 kai T 1 (x) = x pr ta to T 2 (x), metˆ to T 3 (x), k.l.p. Parajètoume parakˆtw merikˆ apì ta T n (x): T 0 (x) = 1 T 1 (x) = x T 2 (x) = 2x 2 1 T 3 (x) = 4x 3 3x T 4 (x) = 8x 4 8x 2 + 1 T 5 (x) = 16x 5 20x 3 + 5x. Prìblhma 12.1. ApodeÐxte ìti gia n ˆrtio ta polu numa T n (x) perièqoun mìno ˆrtiec dunˆmeic tou x en gia n perittì mìno perittèc. QrhsimopoieÐste thn (39). Prìblhma 12.2. ApodeÐxte ìti gia x R isqôei T n (x) = 1 2 ( (x + x 2 1) n + (x x 2 1) n). (40) DeÐxte to pr ta gia x [ 1, 1] kˆnontac thn antikatˆstash x = cos θ. DeÐxte èpeita ìti to dexð mèloc thc (40) eðnai polu numo tou x (ìti den upˆrqoun dhl. tetragwnikèc rðzec ìtan anaptôxete tic n-ostèc dunˆmeic) kai ˆra h isìthta twn dôo mel n isqôei gia ìla ta x R mia kai ta dôo polu numa tautðzontai se èna olìklhro diˆsthma. 13 De, 28/3/2011: Polu numa Chebyshev, sunèqeia Apì ton tôpo T n (x) = cos nθ, (me x = cos θ, θ [0, π], x [ 1, 1]) prokôptei ìti oi sunart seic T n ( ) den eðnai parˆ oi sunart seic cos(n ) ìpou ìmwc o ˆxonac twn x èqei uposteð mia anaparamètrish, mia <<allag metablht c>> ìpwc lème sun jwc. 1-1 Sq ma 4: Oi sunart seic T n (x) (kìkkinh) kai cos(nθ) sqediasmènec h mia pˆnw sthn ˆllh. MporeÐte na deðte ìti h allag metablht c x = cos θ èqei diathr sei ta qarakthristikˆ thc kampôlhc pou èqoun na kˆnoun mìno me ton ˆxona twn y, p.q. to pìsec forèc tèmnei h kampôlh ton x-ˆxona to pìsec forèc allˆzei h monotonða thc sunˆrthshc. Den èqei ìmwc diathr sei kat' anˆgkh ta qarakthristikˆ thc kampôlhc pou exart ntai kai apì ton ˆxona ton x. 'Ena qarakthristikì parˆdeigma eðnai h klðsh thc kampôlhc (parˆgwgoc). Sta dôo ˆkra tou diast matoc ([ 1, 1] sth mia perðptwsh kai [0, π] sthn ˆllh, ta opoða ta èqoume sqediˆsei wc èna ed ) faðnetai kajarˆ ìti h maôrh kampôlh èqei parˆgwgo 0 en h kìkkinh ìqi. H allag metablht c aut eðnai polô qr simh gia na apodeiknôoume diˆforec idiìthtec twn poluwnômwn Chebyshev anˆgontac ta antðstoiqa erwt mata stic sunart seic cos nθ. Gia parˆdeigma, an jèloume na broôme ta mhdenikˆ twn T n (x) (gia x [ 1, 1], mia kai èqoume dh apodeðxei ìti den upˆrqoun ˆlla) arkeð na broôme ta mhdenikˆ thc sunˆrthshc cos nθ gia θ [0, π] kai na pˆroume ta sunhmðtonˆ touc. 30

Prìblhma 13.1. DeÐxte ìti ta mhdenikˆ thc sunˆrthshc T n (x) eðnai oi arijmoð ( ) (2k 1)π cos, k = 1, 2,..., n. 2n BreÐte pr ta ta mhdenikˆ thc cos nθ gia θ [0, π]. H allag metablht c aut eðnai epðshc qr simh ston upologismì diafìrwn oloklhrwmˆtwn. AfoÔ dθ = dx 1 x 2, dx = sin θ dθ ta orismèna oloklhr mata metatrèpontai sômfwna me touc kanìnec kai π dθ = 0 1 1 1 1 dx = Apì to Prìblhma 8.7 gia parˆdeigma gnwrðzoume ìti dx 1 x 2, π sin θ dθ. 0 π π cos mx cos nx dx = 0 an m n en π π cos 2 nx dx = π an n 1. Autèc oi idiìthtec orjogwniìthtac twn sunart sewn cos nθ metafrˆzontai ˆmesa se idiìthtec orjogwniìthtac twn poluwnômwn Chebyshev. Prìblhma 13.2. ApodeÐxte ìti an m n eðnai dôo fusikoð arijmoð tìte 1 1 dx T m (x)t n (x) 1 x 2 = 0. (41) Gia thn perðptwsh m = n èqoume 1 1 { Tn(x) 2 dx = π/2 n 1 1 x 2 π n = 0. QrhsimopoieÐste thn artiìthta thc sunˆrthshc cos x gia na metatrèyete ta oloklhr mata π π se π 0 kai metˆ kˆnte thn allag metablht c x = cos θ ìpwc perigrˆfetai parapˆnw. H idiìthta (41) onomˆzetai orjogwniìthta wc proc to eswterikì ginìmeno me bˆroc w(x) = 1 1 x 2 sto diˆsthma [ 1, 1]. Gia kˆje austhrˆ jetik sunˆrthsh w(x) > 0 pˆnw s' èna diˆsthma [a, b] orðzetai to eswterikì ginìmeno f, g w = b a f(x)g(x)w(x) dx (42) 31

kai h antðstoiqh 2-nìrma pou sundèontai kai pˆli me th sqèsh f 2,w = ( b a f(x) 2 w(x) dx) 1/2 (43) f 2 2,w = f, f w. Wc proc autì to eswterikì ginìmeno, gia w(x) = (1 x 2 ) 1/2, oi sunart seic T 0 (x), T 1 (x),..., T N (x) apoteloôn mia orjog nia bˆsh tou grammikoô q rou P N. Prìblhma 13.3. ApodeÐxte ìti isqôei h anisìthta Cauchy-Schwarz me bˆroc w(x) > 0: f, g W f 2,w g 2,w. f(x)g(x)w(x) = f(x) w(x) g(x) w(x). QrhsimopoieÐste th sunhjismènh anisìthta Cauchy-Schwarz, gia w(x) = 1 dhlad. To na èqei kaneðc mia orjog nia bˆsh eðnai polôtimo giatð kˆnei polô eôkolh th diadikasða eôreshc tou anaptôgmatoc enìc poluwnômou f(x) P N wc grammikoô sunduasmoô stoiqeðwn aut c thc bˆshc. An f(x) = c 0 T 0 (x) + c 1 T 1 (x) + + c N T N (x) gia kˆpoia c j C o trìpoc na broôme ta c j eðnai na pˆroume to eswterikì ginìmeno kai twn dôo mel n aut c thc isìthtac me to T j. Apì thn orjogwniìthta ja <<epiz sei>> mìno ènac ìroc dexiˆ kai paðrnoume ètsi thn isìthta c j = f, T j T j, T j. 14 Te, 30/3/2011: Parembol An x 1, x 2,..., x N R eðnai kˆpoia shmeða (diaforetikˆ metaxô touc) kai d 1,..., d N C eðnai kˆpoiec timèc, lème ìti mia sunˆrthsh p (thc opoðac to pedðo orismoô perièqei ta x j ) parembˆllei tic timèc d j sta shmeða x j an p(x j ) = d j gia j = 1, 2,..., N. To prìblhma pou ja mac apasqol sei ed eðnai to an (kai to p c) mporoôme na broôme tètoiec sunart seic p oi opoðec epilègontai mèsa apì kˆpoia eureða klˆsh sunart sewn, p.q. zhtˆme oi p na eðnai polu numa. An periorðsoume tic parembˆllousec sunart seic p na eðnai kˆpoia polu numa bajmoô N h genik morf tou p(x) eðnai p(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + + p N x N, exartˆtai dhl. to polu numo p(x) apì N + 1 migadikèc metablhtèc ( <<bajmoôc eleujerðac>> ìpwc lème kamiˆ forˆ). EÐnai logikì loipìn me tètoia polu numa na prospajoôme na lôsoume èna prìblhma parembol c me mèqri N + 1 shmeða, afoô kˆje shmeðo parembol c dhmiourgeð mia epiplèon exðswsh (thn p(x j ) = d j ) pou prèpei na ikanopoieð to p(x), kai den perimènoume na mporoôme genikˆ na lôsoume perissìterec apì N + 1 tautìqronec exis seic me N + 1 agn stouc (ta p j ). Gia N + 1 shmeða ìmwc to prìblhma èqei pˆnta lôsh, ìpwc lèei to akìloujo Je rhma. Je rhma 14.1. Gia kˆje N + 1 diaforetikˆ shmeða x 0, x 1,..., x N R kai opoiad pote dedomèna d 0, d 1,..., d N C upˆrqei akrib c èna migadikì polu numo p(x) bajmoô N tètoio ste p(x j ) = d j gia j = 0, 1,..., N. 32

An grˆyoume p(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + + p N x N tìte to grammikì sôsthma exis sewn p(x j ) = d j pou jèloume na lôsoume mporeð na grafeð se morf pinˆkwn wc ex c V P = D (44) ìpou P = (p 0, p 1,..., p N ) kai D = (d 0, d 1,..., d N ) eðnai dianôsmata st lec m kouc N + 1 (P eðnai to diˆnusma twn agn stwn) kai o (N + 1) (N + 1) pðnakac Vandermonde V eðnai o V = V (x 0, x 1,..., x N ) = 1 x 0 x 2 0... x N 0 1 x 1 x 2 1... x N 1............... 1 x N x 2 N... xn N. (45) To na èqei autì to sôsthma lôsh P gia kˆje dexð mèloc D eðnai isodônamo me to na èqei pˆnta monadik lôsh kai isodônamo me to na eðnai o pðnakac V antistrèyimoc. ArkeÐ loipìn na deðxoume ìti o pðnakac V pˆnta (gia kˆje epilog shmeðwn x j dhl.) eðnai antistrèyimoc. Ja deðxoume ìti h orðzousˆ tou den eðnai 0. Pio sugkekrimèna ja deðxoume ìti det V (x 0, x 1,..., x N ) = (x i x j ), (46) 0 j<i N h opoða posìthta den eðnai mhdèn afoô ta shmeða x j eðnai ìla diaforetikˆ. Sto ginìmeno pou emfanðzetai sto dexð mèloc thc (46) èqoume apì èna parˆgonta gia kˆje zeôgoc diaforetik n shmeðwn ìpou to shmeðo me to megalôtero deðkth èqei prìshmo + kai to ˆllo èqei prìshmo. Ac qrhsimopoi soume epagwg wc prìc N. Gia N = 1 èqoume [ ] 1 x0 det = x 1 x 1 x 0 1 ˆra o tôpoc isqôei se aut thn perðptwsh. Gia to epagwgikì b ma (apì N 1 shmeða se N shmeða) arkeð na deðxoume ton tôpo det V (x 0, x 1,..., x N ) = det V (x 0, x 1,..., x N 1 )(x N x 0 )(x N x 1 ) (x N x N 1 ). BoleÔei ed na jewr soume to x N wc mia metablht grˆfontac sth jèsh tou x, opìte h sqèsh pou èqoume na deðxoume grˆfetai wc mia isìthta poluwnômwn det V (x 0, x 1,..., x N 1, x) = det V (x 0, x 1,..., x N 1 )(x x 0 )(x x 1 ) (x x N 1 ). (To ìti h posìthta det V (x 0, x 1,..., x N 1, x) eðnai èna polu numo tou x bajmoô N gðnetai fanerì an anaptôxoume thn orðzousa wc proc thn teleutaða thc gramm.) Oi rðzec tou poluwnômou tou dexioô mèlouc eðnai profan c ta shmeða x 0, x 1,..., x N 1. 'Omwc autèc eðnai kai oi rðzec tou aristeroô mèlouc afoô h orðzousa det V (x 0, x 1,..., x N 1, x) mhdenðzetai ìpote x = x j (1 j N 1) afoô apoktˆ dôo Ðdiec grammèc. 'Otan dôo polu numa bajmoô N èqoun tic Ðdiec rðzec tìte eðnai to èna pollaplˆsio tou ˆllou (epð èna migadikì arijmì). 'Omwc eôkola blèpei kaneðc ìti to aristerì kai to dexð mèloc èqoun ton Ðdio megistobˆjmio suntelest, o opoðoc eðnai o arijmìc det V (x 0, x 1,..., x N 1 ). Autì eðnai fanerì gia to dexð mèloc kai sto aristerì mèloc eðnai epðshc fanerì an parathr soume ìti, sto anˆptugma thc det V (x 0, x 1,..., x N 1, x) wc proc thn teleutaða gramm (me tic dunˆmeic tou x), to x N pollaplasiˆzetai me mia upoorðzousa pou eðnai akrib c h det V (x 0, x 1,..., x N 1 ). Sunep c ta dôo polu numa eðnai akrib c Ðdia kai h apìdeixh èqei telei sei. To Je rhma 14.1 mporeð na apodeiqjeð kai alli c, toulˆqiston to kommˆti pou aforˆ thn Ôparxh tou poluwnômou parembol c, me th legìmenh mèjodo parembol c tou Lagrange. OrÐzoume ta bohjhtikˆ polu numa bajmoô N l i (x) = j=0,1,...,n j i x x j x i x j, (i = 0, 1,..., N). 33

EÔkola blèpoume ìti l i (x j ) = { 1 (i = j) 0 (i j). To polu numo p(x), bajmoô N, pou parembˆllei tic timèc d j sta x j (j = 0, 1,..., N) grˆfetai loipìn p(x) = d 0 l 0 (x) + d 1 l 1 (x) + + d N l N (x). (47) Prìblhma 14.1. Me th mèjodo parembol c Lagrange (47) èqoume deðxei ìti opoiad pote dedomèna d j mporoôn na paramblhjoôn me polu numo bajmoô mèqri N se opoiad pote N + 1 shmeða. GiatÐ kˆje tètoio polu numo parembol c eðnai monadikì? Ed upˆrqoun toulˆqiston dôo trìpoi gia na apant soume: ènac koit ntac to prìblhma wc prìblhma grammik c ˆlgebrac (deðte thn (44)) kai ènac ˆlloc pou koitˆei to pl joc twn riz n poluwnômou bajmoô N. H mèjodoc parembol c tou Newton ekfrˆzei to polu numo parembol c sth morf p(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + a N (x x 0 )(x x 1 ) (x x N 1 ). (48) Ekfrˆzoume dhl. to polu numo parembol c wc grammikì sunduasmì twn stoiqeðwn miac bˆshc tou P N diaforetik c apì th sunhjismènh { 1, x, x 2, x 3,..., x N 1, x N}, dhl. thc bˆshc 1, x x 0, (x x 0 )(x x 1 ),..., (x x 0 )(x x 1 )(x x 2 ) (x x N 1 ). (49) Prìblhma 14.2. GiatÐ eðnai oi sunart seic (49) mia bˆsh tou q rou P N? P c mporeð kaneðc na brei touc suntelestèc a j thc (48) gia dedomèna shmeða x j kai dedomèna d j? apˆnthsh eðnai polô apl kai metafrˆzetai se èna apotelesmatikì algìrijmo gia ton upologismì twn a j. Jètoume kat' arq n x = x 0 sthn (48) kai paðrnoume ètsi thn isìthta H d 0 = p(x 0 ) = a 0 afoô ìloi oi ìroi dexiˆ ektìc apì ton pr to mhdenðzontai. 'Etsi brðskoume a 0 = d 0. 'Eqontac brei to a 0 jètoume sthn (48) x = x 1 kai parathroôme ìti mhdenðzontai ìloi oi ìroi dexia ektìc touc dôo pr touc. PaÐrnoume ètsi d 1 = p(x 1 ) = a 0 + a 1 (x 1 x 0 ) sthn opoða ìla eðnai gnwstˆ ektìc apì to a 1 gia to opoðo lônoume kai brðskoume a 1 = d 1 a 0 x 1 x 0. SuneqÐzoume jètontac x = x 2, x = x 3, klp, kai brðskoume me autì ton trìpo diadoqikˆ ìlouc tou suntelestèc a j. Poioc eðnai ìmwc ènac lìgoc gia ton opoðo ja epijumoôsame na qrhsimopoi soume th mèjodo Newton ènanti thc mejìdou Lagrange gia ton upologismì thc parembol c? (Na tonðsoume ed ìti to polu numo pou upologðzei h kˆje mèjodoc eðnai fusikˆ to Ðdio, allˆ eðnai grammèno me diaforetikì trìpo.) Mia apˆnthsh eðnai ìti me th mèjodo Newton eðnai polô eukolìtero na prosjèsoume èna akìmh shmeðo paramebol c, qwrðc na qreiasteð na xanaupologðsoume ta pˆnta (ìpwc sumbaðnei an èqoume to polu numì mac sth morf (47)). Prˆgmati, an upojèsoume ìti èqoume dh brei touc suntelestèc a j sthn (48) kai jèloume t ra prosjèsoume èna shmeðo x N+1 kai dedomèno parembol c d N+1, tìte den èqoume parˆ na prosjèsoume èna akìmh ìro sto polu numì mac, opìte gðnetai p(x) = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 )(x x 1 ) + a N (x x 0 )(x x 1 ) (x x N 1 )+ a N+1 (x x 0 )(x x 1 ) (x x N ). 34

Jètoume t ra x = x N+1 kai paðrnoume thn exðswsh d N+1 = p(x N+1 ) = a 0 + a 1 (x N+1 x 0 ) + a 2 (x N+1 x 0 )(x N+1 x 1 ) + a N (x N+1 x 0 )(x N+1 x 1 ) (x N+1 x N 1 ) + a N+1 (x N+1 x 0 )(x N+1 x 1 ) (x N+1 x N ) ìpou ìla eðnai gnwstˆ ektìc apì to a N+1, to opoðo kai upologðzoume lônontac aut thn prwtobˆjmia exðswsh. De qreiˆsthke na upologðsoume xanˆ ta a 0, a 1,..., a N afoô ston upologismì aut n den mpaðnei me kanèna trìpo to x N+1 to d N+1. 15 De, 4/4/2011: Parembol. Seirèc Fourier Genikˆ mil ntac to polu numo p(x) bajmoô N pou parembˆllei mia suneq sunˆrthsh f C([a, b]) se kˆpoia shmeða x 0, x 1,..., x N den èqei kalèc idiìthtec prosèggishc thc f. Autì eðnai to perieqìmeno thc parakˆtw prìtashc, thn opoða de ja apodeðxoume. Je rhma 15.1. Gia kˆje diˆsthma [a, b] kai gia kˆje akoloujða sunìlwn kìmbwn parembol c a x 1 0 < x 1 1 b a x 2 0 < x 2 1 < x 2 2 b... a x N 0 < x N 1 < < x N N b... (èqoume dhlad gia kˆje fusikì arijmì N 1 èna sônolo apì N + 1 kìmbouc parembol c sto [a, b]) upˆrqei f C([a, b]) t.. h posìthta f L N (f) den eðnai fragmènh. Ed L N (f) eðnai to monadikì polu numo bajmoô N pou parembˆllei thn f sta shmeða x N 0, xn 1,..., xn N. De mporoôme sunep c na perimènoume ìti h posìthta L N (f) f ja eðnai mikr an den èqoume kˆpoia parapˆnw plhroforða gia thn f apì th sunèqeiˆ thc sto [a, b]. To epìmeno je rhma eðnai proc aut thn kateôjunsh. Orismìc 15.1. O q roc sunart sewn f C n ([a, b]) apoteleðtai apì tic sunart seic pou eðnai n forèc paragwgðsimec me ìlec tic parag gouc touc suneqeðc. (Sta ˆkra ennooôme tic pleurikèc parag gouc.) Je rhma 15.2. An f C N ([a, b]) kai a x 0 < x 1 < < x N+1 b tìte gia kˆje x [a, b] isqôei to frˆgma 1 f(x) L N (f)(x) f (N+1) (x x 0 ) (x x N ). (50) (N + 1)! 'Estw W (x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x N ). ArkeÐ na deðxoume ìti upˆrqei ξ (a, b) t.. f(x) L N (f)(x) = 1 (N + 1)! f (N+1) (ξ)w (x). (51) O tôpoc (51) onomˆzetai kai <<tôpoc tou Lagrange me upìloipo>> (parathreðste thn omoiìthta me ton tôpo tou Taylor me upìloipo pou sundèei to polu numo Taylor miac sunˆrthshc me th sunˆrthsh). 35

EÐnai fanerì ìti h (51) isqôei gia x {x 0, x 1,..., x N } gia opoiod pote ξ mia kai mhdenðzontai kai ta dôo mèlh. MporoÔme sunep c na upojèsoume ìti to x den eðnai kanèna apì ta x j kai ˆra W (x) 0 kai mporoôme na orðsoume λ = f(x) L N(f)(x), φ(t) = f(t) L N (f)(t) λw (t). W (x) H sunˆrthsh φ(t) èqei N + 2 diaforetikˆ mhdenikˆ sto [a, b], ta x 0, x 1,..., x N kai to x. Apì to je rhma tou Rolle èpetai ìti anˆmesa se dôo diadoqikˆ tètoia mhdenikˆ upˆrqei èna mhdenikì thc φ, kai ˆra h φ èqei N + 1 diaforetikˆ mhdenikˆ sto [a, b]. Kai pˆli apì to je rhma tou Rolle anˆmesa se dôo mhdenikˆ thc φ upˆrqei èna mhdenikì thc φ, opìte h φ èqei N diaforetikˆ mhdenikˆ sto [a, b]. SuneqÐzontac kat' autì ton trìpo blèpoume ìti upˆrqei ξ (a, b) t.. φ (N+1) (ξ) = 0. 'Omwc φ (N+1) = f (N+1) L N (f) (N+1) λw (N+1). AfoÔ deg L N (f) N èpetai ìti L N (f) (N+1) = 0 afoô W (x) = x N+1 + (ìroi mikrìterou bajmoô) èqoume W (N+1) (ξ) = (N + 1)!. PaÐrnoume ètsi th sqèsh pou eðnai isodônamh me thn (51). 0 = f (N+1) (ξ) f(x) L N(f)(x) (N + 1)! W (x) Prìblhma 15.1. An f(x) = e x deðxte ìti gia kˆje diˆsthma [a, b] kai gia opoiod pote sôsthma kìmbwn parembol c x N j, N = 1, 2,...,, j = 0, 1,..., N, (ìpwc sto Je rhma 15.1) h akoloujða poluwnômwn L N(f) sugklðnei omoiìmorfa sthn f sto [a, b]. QrhsimopoieÐste to Je rhma 15.2. Parembol se parapˆnw diastˆseic 'Estw ìti jèloume na parembˆlloume tic timèc d 0, d 1,..., d N sta shmeða x 0, x 1,..., x N me èna polu numo bajmoô N p(x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 +... + p N x N. 'Eqoume dei ìti autì to prìblhma èqei pˆnta monadik lôsh p j. sôsthma, ìpwc kˆname sthn exðswsh (44) V P = D An doôme to prìblhma wc èna grammikì ìpou V = V (x 0, x 1,..., x N ) eðnai o pðnakac Vandermonde kai D = [d 0,..., d N ] eðnai to diˆnusma st lh twn tim n pou jeloume na parembˆlloume, tìte h Ôparxh kai monadikìthta thc lôshc autoô tou sust matoc eðnai isodônamec me to na eðnai o V antistrèyimoc. Me ˆlla lìgia to prìblhma èqei monadik lôsh akrib c epeid det V (x 0,..., x N ) 0 opoted pote ta shmeða x j eðnai diaforetikˆ. 'Enac diaforetikìc trìpoc na ekfrˆsoume to prìblhma thc parembol c eðnai na poôme ìti anazhtoôme èna grammikì sunduasmì twn sunart sewn f 0 (x) = 1, f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2,..., f N (x) = x N (52) o opoðoc paðrnei timèc d j sta x j. Me aut th gl ssa to prìblhma mporeð na genikeuteð allˆzontac tic sunart seic f j (x). Gia parˆdeigma, mporoôme na pˆroume wc sunart seic parembol c tic g 0 (x) = 1, g 1 (x) = x x 0, g 2 (x) = (x x 0 )(x x 1 ),..., g N (x) = (x x 0 )(x x 1 ) (x x N 1 ) (53) oi opoðec antistoiqoôn sthn parembol Newton pou èqoume dh deð ìti èqei epðshc monadik lôsh. sunepˆgetai ìti gia kˆje N + 1 diaforetikˆ shmeða x 0, x 1,..., x N h orðzousa tou pðnaka Autì g i (x j ), i, j = 0, 1,..., N, eðnai 0. Parat rhsh 15.1. H epðlush tou probl matoc parembol c me grammikoôc sunduasmoôc twn f j twn g j dðnei fusikˆ to Ðdio polu numo (afoô autì èqoume deðxei ìti eðnai monadikì). 'Omwc sthn pr th perðptwsh autì eðnai grammèno sa grammikìc sunduasmìc twn f j en sth deôterh perðptwsh sa grammikìc sunduasmìc twn g j. 36

Den eðnai aparaðthto oi sunart seic parembol c na eðnai polu numa; an eðnai tìte o kˆje grammikìc sunduasmìc touc eðnai fusikˆ ki autìc polu numo. Sun jwc apaitoôme ìmwc na eðnai suneqeðc sunart seic. Prìblhma 15.2. DeÐxte ìti gia kˆje N 1 oi sunart seic e 0 (x) = 1, e 1 (x) = e ix, e 2 (x) = e 2ix,..., e N (x) = e Nix mporoôn na parembˆlloun opoiad pote dedomèna d j se opoiad pote diaforetikˆ shmeða x 0, x 1,..., x N [0, 2π) me monadikì trìpo. Parˆ to ìti sth mða diˆstash mporoôme na èqoume monadik parembol me pleiˆda sunart sewn parembol c (deðte paradeðgmata f j, g j kai e j parapˆnw) se megalôterh diˆstash autì den eðnai dunatì. Je rhma 15.3. Ac eðnai Ω R 2 èna anoiqtì sônolo kai N 1. Den upˆrqoun suneqeðc sunart seic f j : Ω R, j = 0, 1,..., N, t.. gia kˆje diaforetikˆ x 0, x 1,..., x N Ω kai gia kˆje d 0, d 1,..., d N C na upˆrqei monadikìc C-grammikìc sunduasmìc twn f j pou na paðrnei th tim d j sto x j gia j = 0, 1,..., N. Parat rhsh 15.2. 'Eqei shmasða sthn apìdeixh parakˆtw ìti oi sunart seic f j (x) paðrnoun pragmatikèc kai ìqi migadikèc timèc. To fainìmeno autì ofeðletai se topologikoôc lìgouc ìpwc ja gðnei fanerì apì thn apìdeixh pou akoloujeð. Ac upojèsoume ìti to Je rhma 15.3 den isqôei kai ìti upˆrqoun tètoiec sunart seic f j. Sunèpeia autoô eðnai ìti h sunˆrthsh φ(x 0, x 1,..., x N ) = det[f i (x j )] i,j=0,1,...,n eðnai 0 opoted pote ìla ta shmeða x j eðnai diaforetikˆ. H sunˆrthsh φ(x 0, x 1,..., x N ) eðnai (a) pragmatik (afoô ìla ta stoiqeða tou pðnaka eðnai pragmatikˆ) kai (b) suneq c sunˆrthsh twn x j (afoô oi f i eðnai suneqeðc kai h orðzousa eðnai èna ˆjroisma apì ìrouc kˆje ènac apì touc opoðouc eðnai ginìmeno kˆpoiwn f i (x j )). 'Estw t ra kˆpoia shmeða x 0, x 1,..., x N kai 0 D = det[f i (x j )] i,j=0,1,...,n kai upojètoume qwrðc blˆbh thc genikìthtac ìti ta x 0 kai x 1 eðnai sthn Ðdia sunektik sunist sa tou Ω. StajeropoioÔme ta shmeða x 2,..., x N kai metakinoôme me suneq trìpo ta shmeða x 0 kai x 1 ètsi ste 1. Se kˆje qronik stigm t ta shmeða x 0 (t), x 1 (t), x 2, x 3,..., x N eðnai ìla diaforetikˆ metaxô touc. 2. Sthn arqik qronik stigm t = 0 èqoume x 0 (0) = x 0 kai x 1 (0) = x 1. 3. Sthn telik qronik stigm t = 1 èqoume x 0 (1) = x 1 kai x 1 (1) = x 0. Dhlad me suneq trìpo antallˆssoun jèsh ta x 0 kai x 1. To ìti autì eðnai dunatì sto epðpedo eðnai diaisjhtikˆ fanerì kai den to apodeiknôoume austhrˆ mia kai ja mac èpairne polô q ro kai qrìno se kateôjunsh pou den eðnai basik gi' autì to mˆjhma. EÐnai epðshc fanerì ìti autì de gðnetai sth mia diˆstash: dôo shmeða de mporoôn, suneq c kinoômena, na antallˆxoun tic jèseic touc qwric na sugkroustoôn. H sunˆrthsh ψ(t) = φ(x 0 (t), x 1 (t), x 2, x 3,..., x N ), 0 t 1, eðnai mia suneq c sunˆrthsh tou t. IsqÔei epðshc ψ(0) = ψ(1) afoô oi dôo autèc timèc isoôntai me tic orðzousec dôo pinˆkwn pou èqoun tic dôo pr tec st lec touc enallagmènec kai tic upìloipec st lec touc Ðdiec. 'Ara gia kˆpoio t [0, 1] isqôei ψ(t) = 0 prˆgma pou antifˆskei sto mh mhdenismì thc orðzousac det[f i (x j )] i,j=0,1,...,n gia kˆje epilog diaforetik n shmeðwn x j. Aut h antðfash sumplhr nei thn apìdeixh tou Jewr matoc 15.3. Suntelestèc kai seirèc Fourier SumbolÐzoume me C 2π to sônolo ìlwn twn suneq n sunart sewn epð tou R pou eðnai epðshc 2π-periodikèc. IsodÔnama, C 2π eðnai to sônolo ìlwn twn suneq n sunart sewn f : [0, 2π] C me f(0) = f(2π). 37

Sto q ro C 2π orðzoume to eswterikì ginìmeno kaj c kai tic L p nìrmec (1 p < ) f, g = 1 2π f p = ( 1 2π 2π 0 2π 0 f(x)g(x) dx f(x) p dx) 1/p. H 2-nìrma sundèetai, wc sun jwc, me to eswterikì ginìmeno me th sqèsh f 2 2 = f, f. Oi basikèc idiìthtec tou eswterikoô ginomènou èqoun kalufjeð sthn 8. Orismìc 15.2. An f C 2π kai n Z tìte o n-ostìc suntelest c Fourier thc f orðzetai wc h posìthta f(n) = 1 2π 2π 0 f(x)e inx dx = f, e inx. (54) Parat rhsh 15.3. O parapˆnw orismìc eðnai polô perioristikìc. To dexð mèloc thc (54) orðzetai ìqi mìno ìtan h f eðnai suneq c allˆ opoted pote eðnai Riemann oloklhr simh. Gia parˆdeigma orðzetai opoted pote h f eðnai katˆ tm mata suneq c kai de qreiˆzetai kan na èqoume f(0) = f(2π). Gia touc skopoôc tou maj matoc autoô ìmwc ja arkèsei na milˆme gia suntelestèc Fourier suneq n kai 2π-periodik n sunart sewn. Se mia suneq sunˆrthsh antistoiqoôme th <<seirˆ Fourier>> thc kaj c kai ta summetrikˆ merikˆ thc ajroðsmata n= f(n)e inx S N (f)(x) = N n= N f(n)e inx. Den kˆnoume ex arq c kˆpoio isqurismì gia th sôgklish thc seirˆc Fourier thc f, pou orðzetai na shmaðnei th sôgklish twn S N (f)(x) se kˆpoio migadikì arijmì. H <<idanik >> katˆstash eðnai h seirˆ aut na sugklðnei sthn f. Autì ìmwc den isqôei genikˆ (upˆrqoun suneqeðc sunart seic twn opoðwn h seirˆ Fourier de sugklðnei poujenˆ) an kai upˆrqoun fusiologikèc sunj kec pou mac to exasfalðzoun autì (p.q. h f na èqei suneq deôterh parˆgwgo). Prìblhma 15.3. An p(x) = N k= N p ke ikx eðnai èna trigwnometrikì polu numo breðte tic posìthtec p(n) sa sunˆrthsh twn p k. DeÐxte ìti h seirˆ Fourier thc p(x) sugklðnei sthn p(x). Pˆrte to eswterikì ginìmeno thc p(x) me thn e inx kai qrhsimopoieðste thn orjogwniìthta twn ekjetik n sunart sewn. Prìblhma 15.4. DeÐxte ìti f(n) f 1. Prìblhma 15.5. UpologÐste touc suntelestèc Fourier twn sunart sewn f(x) = 1, g(x) = χ [a,b] (x) ìpou [a, b] [0, 2π]. 38

Je rhma 15.4 (L mma Riemann-Lebesgue). An f C 2π tìte f(n) 0 gia n. To Je rhma 15.4 isqôei katˆ profan trìpo an h f eðnai trigwnometrikì polu numo afoô h akoloujða twn suntelest n Fourier thc ìqi aplˆ pˆei sto 0 allˆ eðnai telikˆ mhdenik (an to n xeperˆsei to bajmì tou poluwnômou). Gia na apodeðxoume to Je rhma 15.4 gia mia genik f C 2π qrhsimopoioôme to Je rhma tou Weierstrass gia prosèggish apì trigwnometrikˆ polu numa (Je rhma 10.1). 'Estw ɛ > 0. Upˆrqei tìte trigwnometriko polu numo p(x) t.. f p < ɛ, kai ˆra isqôei kai f p 1 < ɛ h opoða sunepˆgetai (Prìblhma 15.4) f(n) p(n) < ɛ. AfoÔ gia n arketˆ megˆlo to p(n) mhdenðzetai èpetai ìti gia n arketˆ megˆlo f(n) < ɛ, pou shmaðnei akrib c ìti lim n f(n) = 0. 16 Te, 6/4/2011: Seirèc Fourier Je rhma 16.1. 'Estw f C 2π. Tìte gia kˆje n Z isqôoun ta parakˆtw. 1. An g(x) = f(x α) tìte ĝ(n) = f(n)e iαn. 2. An g(x) = e ikx f(x) tìte ĝ(n) = f(n k). 3. An epðshc f C 2π tìte f (n) = in f(n). H apìdeixh tou Jewr matoc 16.1 af netai wc ˆskhsh gia ton anagn sth o opoðoc mporeð na apodeðxei to zhtoômeno qrhsimopoi ntac ton orismì twn suntelest n Fourier antikatastˆseic metablht n kai olokl rwsh katˆ mèrh. Orismìc 16.1 (Sunèlixh sunart sewn). An f, g C 2π h sunèlixh twn f kai g orðzetai na eðnai h sunˆrthsh f g C 2π pou dðnetai apì ton tôpo f g(x) = 1 2π 2π 0 f(t)g(x t) dt. Prìblhma 16.1. ApodeÐxte ìti h f g eðnai suneq c kai 2π-periodik kai ìti f g = g f. Gia th sunèqeia thc f g breðte èna ˆnw frˆgma gia thn posìthta f g(x + h) f g(x) qrhsimopoi ntac twn omoiìmorfh sunèqeia twn f g. Prìblhma 16.2. (Suntelestèc Fourier sunèlixhc) An f, g C 2π deðxte ìti f g(n) = f(n)ĝ(n). QrhsimopoieÐste ton orismì twn suntelest n Fourier kai allˆxte th seirˆ olokl rwshc. Orismìc 16.2 (Sunèlixh akolouji n). An a n, b n C, n Z, eðnai dôo (dipl c kateôjunshc) akoloujðec tètoiec ste h a n eðnai fragmènh kai h b n ikanopoieð thn n= b n < ( to anˆpodo), tìte h sunèlix touc orðzetai wc h akoloujða a b twn opoðwn oi ìroi dðnontai apì ton tôpo (a b) n = a k b n k. (55) k= 39

Prìblhma 16.3. DeÐte ìti oi upojèseic tou orismoô thc sunèlixhc akolouji n eggu ntai th sôgklish thc seirˆc (55) gia kˆje n Z. DeÐte epðshc ìti (a b) n = (b a) n gia n Z. Apìluth sôgklish miac seirˆc sunepˆgetai sôgklish. Prìblhma 16.4. (Suntelestec Fourier ginomènou) An f C 2π kai p(x) trigwnometrikì polu numo deðxte ìti f p(n) = ( f p) n. Oi f(n) eðnai fragmènoi apì f 1 kai h akoloujða p(n) eðnai telikˆ mhdenik, ˆra orðzetai h sunèlixh twn dôo akolouji n. DeÐxte to zhtoômeno pr ta gia p(x) = e ikx. O pur nac tou Dirichlet. Kentrikì antikeðmeno gia th melèth thc katˆ shmeðo sôgklishc S N (f)(x) f(x) eðnai o legìmenoc pur nac tou Dirichlet tˆxhc N, to trig. polu numo dhl. pou orðzetai wc D N (x) = N k= N Den eðnai dôskolo na brei kaneðc èna kleistì tôpo gia to D N (x): e ikx. (56) D N (x) = sin (N + 1 2 )x sin x. (57) 2 21 N = 10 π π Sq ma 5: O pur nac tou Dirichlet 1 N 0 N Sq ma 6: Oi suntelestèc Fourier tou pur na tou Dirichlet D N (x) gia N = 10 Gia na deðxoume thn (57) qrhsimopoioôme ton tôpo gia to ˆjroisma thc peperasmènhc gewmetrik c seirˆc 1 + z + z 2 + + z n = 1 zn+1, (z 1), (58) 1 z (me e ix sth jèsh tou z) kai ton tôpo gia th diaforˆ sunhmitìnwn cos A cos B = 2 sin A + B 2 sin B A. (59) 2 40

Prìblhma 16.5. ApodeÐxte tic (58) kai (59). Prìblhma 16.6. Kˆnte tic prˆxeic mìnoi sac gia exˆskhsh kai apodeðxte thn (57). JumhjeÐte ìti mia en gènei kal strathgik ìtan èqete èna klˆsma me migadikì paranomast eðnai na pollaplasiˆzete arijmht kai paranomast me to suzug tou paranomast ste na gðnetai pragmatikìc o paranomast c. Prìblhma 16.7. ApodeÐxte ìti an f C 2π tìte gia kˆje N 0 isqôei S N (f)(x) = f D N (x). 17 De, 11/4/2011: LÔsh Problhmˆtwn 18 Te, 13/4/2011: LÔsh Problhmˆtwn 19 De, 2/5/2011: Seirèc Fourier, II Sunèpeia tou PujagoreÐou Jewr matoc (Prìblhma 8.6) eðnai h tautìthta tou Parseval gia trigwnometrikˆ polu numa. Gia thn apìdeixh aplˆ qrhsimopoioôme thn orjokanonikìthta twn ekjetik n sunart sewn. Jumìmaste epðshc (deðte to Prìblhma 15.3) ìti oi suntelestèc Fourier enìc trigwnometrikoô poluwnômou eðnai oi Ðdioi oi suntelestèc tou poluwnômou ( p(k) = p k ). Je rhma 19.1 (Tautìthta Parseval gia trig. polu numa). An p(x) = N k= N p ke ikx tìte p(x) 2 2 = N k= N p k 2 = N k= N p(k) 2. (60) 'Ena basikì er thma thc anˆlushc Fourier eðnai to katˆ pìson mporoôme na anakataskeuˆsoume mia sunˆrthsh apì touc suntelestèc Fourier thc. 'Enac fusiologikìc trìpoc na exeidikeôsei kaneðc autì to er thma eðnai na rwt sei an ta merikˆ ajroðsmata thc seirˆc Fourier sugklðnoun sthn Ðdia th sunˆrthsh S N (f) f; Gia na eðnai pl rwc kajorismèno to prìblhma prèpei kaneðc na exhg sei ti eðdouc sôgklish ennoeð. An gia parˆdeigma h sôgklish ennoeðtai katˆ shmeðo ( x : S N (f)(x) f(x)) omoiìmorfa ( S N (f) f 0) tìte h apˆnthsh genikˆ eðnai arnhtik. Autì shmaðnei ìti upˆrqei suneq c sunˆrthsh f gia thn opoða den isqôei h katˆ shmeðo sôgklish pantoô (oôte fusikˆ kai h omoiìmorfh sôgklish). Autì de ja to apodeðxoume se autì to mˆjhma. An ìmwc h sôgklish ennoeðtai sthn L 2 nìrma tìte h apˆnthsh eðnai katafatik (Je rhma 19.3) kai autì èqei terˆstia shmasða gia tic efarmogèc thc anˆlushc Fourier. Pollèc forèc sthn Anˆlush mia idiìthta sôgklishc eðnai sunèpeia miac anisìthtac. 'Etsi ki ed, gia na apodeðxoume to Je rhma 19.3 ja qreiastoôme èna frˆgma gia to grammikì telest f S N (f). Prin diatup soume autì to frˆgma (anisìthta tou Bessel) orðzoume thn ènnoia thc orjog niac probol c se èna upìqwro. Orismìc 19.1. An e 1,..., e k eðnai èna orjokanonikì sôsthma sunart sewn sto C 2π e j, e j = 1 kai e i, e j = 0(gia i j), kai V = span{e 1,..., e k } eðnai o grammikìc q roc pou parˆgoun h orjog nia probol miac sunˆrthshc f C 2π sto V eðnai h sunˆrthsh k P V (f) = f, e j e j. j=1 41

Parat rhsh 19.1. EÐnai fanerì ìti P V (f) V. 'Eqoume epðshc ìti to diˆnusma f P V (f) eðnai kˆjeto sto q ro V, eðnai dhl. kˆjeto se kˆje diˆnusma tou V. An v V prèpei na deðxoume ìti f P V (f), v = 0. ArkeÐ na to kˆnoume gia ta dianôsmata e 1,..., e k sth jèsh tou v mia kai eðnai mia grammik sqèsh wc proc v. Autì epalhjeôetai eôkola (kˆnte to). Kˆti ˆllo pou ofeðloume na poôme ed eðnai ìti kˆje grammikìc q roc (pˆnw ston opoðo èqoume orðsei kˆpoio eswterikì ginìmeno ( ste na èqei nìhma na milˆme gia orjogwniìthta) èqei kˆpoia orjokanonik bˆsh e 1,..., e k ìpou k = dim V. Autì eðnai eôkolo na deiqteð epagwgikˆ wc proc th diˆstash k kai mporeð epðshc na apodeiqteð me qr sh thc legìmenhc orjokanonikopoðhshc Gram Schmidt thn opoða ja doôme argìtera. Prìblhma 19.1. DeÐxte ìti k P V (f) 2 2 = f, e j 2. (61) j=1 Efarmìste to Pujagìreio Je rhma (Prìblhma 8.6). Prìblhma 19.2. ApodeÐxte ìti to diˆnusma P V (f) eðnai to monadikì diˆnusma v tou V t.. f v, w = 0 gia kˆje w V. An upˆrqei kai ˆllo tètoio diˆnusma v tìte to trðgwno fvv èqei orj gwnða kai sthn koruf v kai sthn koruf v. DeÐxte ìti autì eðnai adônato efarmìzontac dôo forèc to Pujagìreio je rhma. Me ˆlla lìgia h upoteðnousa eðnai pˆnta h austhrˆ megalôterh pleurˆ se èna orjog nio trðgwno kai ˆra de mporeð na upˆrqoun dôo upoteðnousec. Prìblhma 19.3. An V = span{e 1,..., e k } kai ta e j eðnai anˆ dôo orjog nia allˆ ìqi kat' anˆgkh monadiaða, apì poion tôpo dðnetai h probol P V (f)? KanonikopoieÐste ta e j. Prìblhma 19.4. ApodeÐxte ìti to diˆnusma (sunˆrthsh) P V (f) den exartˆtai apì ta e 1, e 2,..., e k allˆ mìno apì to q ro V. An dhl. e 1,..., e k eðnai èna ˆllo orjokanonikì sôsthma sto q ro V (opìte autìmata V = span{e 1,..., e k }) tìte isqôei kai pˆli P V (f) = k f, e j e j. j=1 P V (f) = k j=1 λ je j gia kˆpoia λ j C afoô ta e j thc isìthtac me ta e i paðrnete to zhtoômeno. parˆgoun to V. PaÐrnontac eswterikì ginìmeno aut c Prìblhma 19.5. DeÐxte ìti ta summetrikˆ merikˆ ajroðsmata S N (f) thc seirˆc Fourier miac f C 2π eðnai akrib c h probol thc f sto grammikì q ro pou parˆgoun oi sunart seic e inx, e i(n 1)x,..., 1, e ix, e i2x,..., e inx. To epìmeno apotèlesma eðnai polô shmantikì gia th JewrÐa Prosèggishc kai thn anˆlush Genikìtera Je rhma 19.2 (H probol eðnai h bèltisth prosèggish). An V eðnai ènac upìqwroc tou C 2π peperasmènhc diˆstashc kai f C 2π deðxte ìti to diˆnusma P V (f) eðnai to monadikì diˆnusma v V pou elaqistopoieð thn apìstash f v 2. ArkeÐ na deðxoume ìti an v V eðnai diaforetikì apì to P V (f) tìte f P V (f) 2 < f v 2. 42

'Omwc to trðgwno fp V (f)v eðnai orjog nio me orj gwnða sthn koruf P V (f), ˆra h upoteðnousa fv èqei megalôtero m koc apì thn kˆjeth pleurˆ fp V (f). Sunèpeia (giatð?) tou Jewr matoc 19.2 eðnai ìti to opoðo anadiatup noume wc pìrisma. P V (f) 2 f 2, Pìrisma 19.1 (Anisìthta Bessel). An f 1,..., f k eðnai èna orjokanonikì sôsthma sunart sewn sto C 2π f j, f j = 1 kai f i, f j = 0 (gia i j), kai f C 2π tìte ìpou V = span{f 1,..., f k }. k P V (f) 2 2 = f, f j 2 f 2 2 j=1 Pìrisma 19.2. An f C 2π tìte S N (f) 2 2 = N k= N f(k) 2 f 2 2. (62) Je rhma 19.3 (SÔgklish thc seirˆc Fourier katˆ L 2 ). An f C 2π tìte S N (f) f sthn L 2 nìrma. Dhlad lim N S N(f) f 2 = 0. (63) To Je rhma 19.3 eðnai profanèc an h f eðnai trigwnometrikì polu numo, afoô se aut thn perðptwsh mìlic to N deg f h sunˆrthsh S N (f) den xanallˆzei kai mènei stajer kai Ðsh me f. Gia th genik perðptwsh qrhsimopoioôme to Je rhma tou Weierstrass gia trigwnometrikˆ polu numa (Je rhma 10.1). An ɛ > 0 tìte upˆrqei trigwnometrikì polu numo p(x) tètoio ste p(x) f(x) ɛ gia kˆje x R. Aut h anisìthta sunepˆgetai fusikˆ thn anisìthta f p 2 ɛ. (64) 'Eqoume loipìn f S N (f) 2 = f p + p S N (p) + S N (p) S N (f) 2 f p 2 + p S N (p) 2 + S N (p) S N (f) 2 (Trigwnik anisìthta) ɛ + p S N (p) 2 + S N (f p) (apì thn (64)) ɛ + p S N (p) 2 + f p 2 (anisìthta Bessel) 2ɛ + p S N (p) 2 (apì thn (64)). An t ra epilèxoume to N na eðnai toulˆqiston deg p tìte S N (p) = p opìte èqoume apì thn parapˆnw anisìthta ìti f S N (f) 2 < 2ɛ, prˆgma pou shmaðnei akrib c ìti f S N (f) 2 0. 43

'Eqontac apodeðxei th sôgklish S N (f) L2 f mporoôme t ra eôkola na epekteðnoume thn tautìthta tou Parseval se kˆje sunˆrthsh f C 2π. To parakˆtw prìblhma to kˆnei pio eôkolo. Prìblhma 19.6. An f n, g C 2π kai f n g 2 0 tìte f n 2 g 2. (IsqÔei kai gia opoiad pote ˆllh nìrma.) Grˆyte f n 2 = f n g + g 2 f n g 2 + g 2 kai omoðwc g 2 = g f n + f n 2 g f n 2 + f n 2 gia na apodeðxete ìti lim sup f n 2 g 2 lim inf f n 2. Je rhma 19.4 (Tautìthta Parseval). An f C 2π tìte f 2 2 = k= f(k) 2. (65) H apìdeixh tou Jewr matoc 19.4 ègkeitai sto na parathr soume ìti to dexð mèloc thc (65) eðnai to ìrio twn S N (f) 2 2 kai na qrhsimopoi soume th sôgklish S N(f) L2 f mazð me to Prìblhma 19.6. MporeÐ mia suneq c sunˆrthsh na <<anakataskeuasteð>> apì thn akoloujða twn suntelest n Fourier thc? H apˆnthsh eðnai katafatik kai autì eðnai pˆra polô shmantikì giatð mac exasfalðzei ìti an apofasðsoume na doôme mia sunˆrthsh mìno sto <<pedðo Fourier>> tìte den èqoume qˆsei plhroforða. Je rhma 19.5 (J. Monadikìthtac). An oi f, g C 2π èqoun f(n) = ĝ(n) gia kˆje n Z tìte f(x) = g(x) gia kˆje x R. 'Estw h = f g. Tìte h C 2π kai ĥ(n) = 0 gia kˆje n Z. Prèpei na deðxoume ìti upì aut thn upìjesh h 0. Allˆ apì thn tautìthta tou Parseval (Je rhma 19.4) èqoume h 2 2 = k= ĥ(k) 2 = 0, ˆra 2π 0 h(x) 2 dx = 0. Apì th sunèqeia thc h prokôptei ìti h h eðnai pantoô 0. KleÐnoume to Kefˆlaio twn Seir n Fourier me mia perðptwsh sthn opoða sumbaðnei to <<idanikì>>, h seirˆ dhl. Fourier miac sunˆrthshc sugklðnei katˆ shmeðo (kai mˆlista omoiìmorfa) sth sunˆrthsh. Je rhma 19.6. An f C 2π (h 2π-periodik dhl. f èqei suneq deôterh parˆgwgo pantoô) tìte omoiìmorfa gia x R. S N (f)(x) f(x) To kleidð sthn apìdeixh eðnai ìti to mègejoc twn suntelest n Fourier miac tètoiac sunˆrthshc eðnai mikrì, kai autì èqei sa sunèpeia th sôgklish thc seirˆc. Prˆgmati qrhsimopoi ntac dôo forèc ton kanìna (deðte Je rhma 16.1) f (n) = in f(n) paðrnoume f (n) = n 2 f(n) kai ˆra, gia n 0, f(n) = 1 n 2 f (n). 44

Qrhsimopoi ntac to frˆgma f (n) f 1 paðrnoume Apì autì èpetai ìti h seirˆ Fourier thc f f(n) f 1 n 2 (n 0). k= f(k)e ikt sugklðnei se kˆpoia 2π-periodik sunˆrthsh g(x) epeid sugklðnei apìluta. Autì to teleutaðo eðnai sunèpeia tou ìti f 1 k 2 <. (66) k= H sôgklish ìmwc eðnai kai omoiìmorfh afoô h <<ourˆ>> thc seirˆc Fourier k >N f(k)e ikt frˆssetai (trigwnik anisìthta) apì thn ourˆ thc sugklðnousac seirˆc (66) h opoða (epeid h seirˆ eðnai sugklðnousa) pˆei sto 0 me to N. Epeid ta merikˆ ajroðsmata thc seirˆc Fourier eðnai trigwnometrikˆ polu numa kai ˆra suneqeðc sunart - seic èpetai ìti kai to ìrio g(x) eðnai suneq c sunˆrthsh. Apomènei na deðxoume ìti g(x) = f(x) gia kˆje x R. Ja deðxoume ìti f(n) = ĝ(n) gia kˆje n Z kai ˆra, apì to Je rhma Monadikìthtac (Je rhma 19.5) ja èqoume f g. AfoÔ S N (f) g omoiìmorfa èqoume (giatð?) ìti gia kˆje n ìti Ŝ N (f)(n) N ĝ(n). 'Omwc h akoloujða ŜN(f)(n) eðnai stajer kai Ðsh me f(n) gia N n, ˆra èqoume deðxei to zhtoômeno. 20 Te, 4/5/2011: H diadikasða orjogwniopoðhshc Gram Schmidt. Orjog nia polu numa 'Opwc eðdame kai sthn 19 to na mporeð kaneðc na upologðsei thn orjog nia probol enìc dianôsmatoc f se èna grammikì q ro V isodunameð me to na breð to plhsièstero diˆnusma apì to q ro V sto diˆnusma f. To apodeðxame autì sto Je rhma 19.2. EkeÐ h apìdeixh ègine gia èna sugkekrimèno dianusmatikì q ro kai eswterikì ginìmeno allˆ isqôei se opoiad pote perðptwsh. Kai to na upologðsoume thn orjog nia probol tou f an diajètoume dh mia orjokanonik bˆsh e 1,..., e k tou V eðnai polô eôkolo kai dðnetai apì ton Orismì 19.1. Oi perissìteroi grammikoð q roi pou mac apasqoloôn ed eðnai fusikˆ q roi sunart sewn kai ta dianôsmata eðnai sunart seic, allˆ de qˆnoume tðpote me to na thn krôyoume aut thn plhroforða se aut th fˆsh, mia kai to eðdoc dianusmˆtwn gia to opoðo milˆme den endiafèrei (akìmh) allˆ mìno to ìti mporoôme autˆ na ta prosjètoume metaxô touc kai na ta pollaplasiˆzoume me arijmoôc paramènontac ston Ðdio q ro. Autì pou qreiazìmaste t ra, mèqri na arqðsoume na milˆme gia q rouc poluwnômwn, eðnai akrib c aut h grammik dom kai to eswterikì ginìmeno pou jewroôme ìti upˆrqei orismèno sto grammikì mac q ro. EÐnai loipìn polôtimo to na èqoume mia orjokanonik bˆsh tou V. Autì to epitugqˆnei kaneðc me mia algorijmik diadikasða, th legìmenh orjokanonikopoðhsh Gram Schmidt. H diadikasða aut paðrnei wc eðsodo mia akoloujða f 1, f 2,... apì grammik c anexˆrthta dianôsmata se kˆpoio grammikì q ro V (o q roc V mporeð na eðnai kai apeirodiˆstatoc kai h akoloujða f n mporeð kai na eðnai mia ˆpeirh akoloujða dianusmˆtwn). H diadikasða parˆgei mia ˆllh orjokanonik akoloujða e 1, e 2,.... 45

Je rhma 20.1 (H diadikasða Gram Schmidt). 'Estw V grammikìc q roc me eswterikì ginìmeno, kai f 1, f 2,... V mia grammik c anexˆrthth akoloujða dianusmˆtwn. Ta dianôsmata e 1, e 2,... V (kai h bohjhtik akoloujða v 2, v 3,...) orðzontai wc ex c: e 1 = 1 f 1 2 f 1 v k = f k f k, e 1 e 1 + f k, e k 1 e k 1 (gia k 2) e k = 1 v k v k 2 (gia k 2). Tìte ta e j eðnai anˆ dôo orjog nia kai èqoun e j 2 = 1 kai epðshc parˆgoun touc Ðdiouc grammikoôc q rouc me ta f j, dhl. gia kˆje k 1 span{f 1,..., f k } = span{e 1,..., e k }. To ìti h nìrma twn e j eðnai 1 eðnai ˆmeso apì ton orismì. ApodeiknÔoume me epagwg wc proc k ìti ta dianôsmata e 1,..., e k eðnai orjokanonikˆ kai parˆgoun ton Ðdio q ro me ta f 1,..., f k. Autì eðnai profanèc gia k = 1 afoô to e 1 eðnai pollaplˆsio tou f 1. An upojèsoume ìti isqôei h prìtash gia to k 1 apodeiknôoume kat' arq n ìti to e k eðnai kˆjeto proc ta e 1,..., e k 1. Autì eðnai fanerì mia kai to v k isoôtai me to f k meðon thn probol tou sto q ro span{e 1,..., e k 1 } kai ˆra (Prìblhma 19.2) eðnai kˆjeto se olìklhro to q ro span{e 1,..., e k 1 } kai ˆra kai sta Ðdia ta e 1,..., e k. To diˆnusma e k eðnai aplˆ h kanonikopoðhsh tou v k kai ˆra eðnai ki autì orjog nio sta e 1,..., e k. Tèloc, afoô prokôptei ìti f k v k span{e 1,..., e k 1 } = span{f 1,..., f k 1 } span{e 1,..., e k 1, v k } = span{f 1,..., f k 1, f k } kai ˆra, afoô to v k eðnai pollaplˆsio tou e k, èqoume kai to epijumhtì span{e 1,..., e k 1, e k } = span{f 1,..., f k 1, f k }. kai h epagwgik apìdeixh eðnai pl rhc. Katˆ kˆpoio trìpo h diadikasða Gram Schmidt exetˆzei ta stoiqeða f k èna proc èna kai kratˆei apì kˆje f k to <<kommˆti>> tou pou eðnai orjog nio me e j pou èqoun upologisteð mèqri ekeðnh th stigm, dhl. ta e 1,..., e k 1. EÐnai shmantikì na tonðsoume ìti ston orismì tou e k mèsw tou bohjhtikoô dianôsmatoc v k (pou eðnai ousiastikˆ to e k prin kanonikopoihjeð) ìla ta stoiqeða pou emfanðzontai sto dexð mèloc èqoun dh upologisteð sta prohgoômena stˆdia thc diadikasðac kai ˆra gnwrðzoume ì,ti qreiˆzetai gia ton upologismì. Prìblhma 20.1. DeÐxte ìti kˆje q roc peperasmènhc diˆstashc me eswterikì ginìmeno èqei orjokanonik bˆsh. Me dedomènh thn terˆstia shmasða pou èqoun oi q roi poluwnômwn P n sth jewrða prosèggishc katalabaðnei eôkola kaneðc pìso shmantikì eðnai to akìloujo apotèlesma pou mac dðnei èna trìpo na kataskeuˆsoume eôkola akrib c autì. Upojètoume sta parakˆtw ìti èqoume stajeropoi sei èna kleistì kai fragmèno diˆsthma [a, b] R kai mia jetik sunˆrthsh bˆrouc w(x) pˆnw sto diˆsthma autì, mèsw thc opoðac orðzetai èna eswterikì ginìmeno kai h antðstoiqh 2-nìrma f 2 2 = f, f. f, g = b a f(x)g(x)w(x) dx 46

Je rhma 20.2 (H kataskeu twn orjogwnðwn poluwnômwn). 'Estw h akoloujða poluwnômwn Q n (x) pou orðzetai wc ex c: ìpou Q 0 (x) = 1 Q 1 (x) = (x a 0 )Q 0 (x) = x a 0 Q n+1 (x) = (x a n )Q n (x) b n Q n 1 (x) (gia n 1) a n = xq n(x), Q n (x) Q n (x), Q n (x), b n = xq n(x), Q n 1 (x) Q n 1 (x), Q n 1 (x). (67) Tìte deg Q n = n, to Q n (x) eðnai monikì (Q n (x) = x n + ) kai ta polu numa Q n (x) eðnai anˆ dôo orjog nia. EpÐshc ta polu numa Q n (x) eðnai pragmatikˆ polu numa. Prìblhma 20.2. AfoÔ pr ta upologðsete kai to Q 2 (x) apodeðxte ìti ta polu numa Q 0, Q 1, Q 2 eðnai anˆ dôo orjog nia. Prìblhma 20.3. ApodeÐxte me epagwg wc proc n ìti to Q n (x) eðnai monikì, pragmatikì polu numo bajmoô n. ApodeiknÔoume thn orjogwniìthta twn Q 0,..., Q n me epagwg wc proc n. Gia n = 0, 1, 2 autì eðnai to antikeðmeno tou Probl matoc 20.2. An upojèsoume ìti ta Q 0, Q 1,..., Q n eðnai anˆ dôo orjog nia prèpei, gia na oloklhr soume thn epagwgik apìdeixh, na deðxoume ìti to Q n+1 eðnai orjog nio proc ta Q 0, Q 1,..., Q n. DeÐqnoume loipìn ìti Q n+1, Q k = 0 gia k n diaqwrðzontac 3 peript seic gia to k. PerÐptwsh k = n: Qrhsimopoi ntac ton orismì tou a n kai to gegonìc (epagwgik wc proc n upìjesh) ìti Q n, Q n 1 = 0 èqoume PerÐptwsh k = n 1: Q n+1, Q n = (x a n )Q n b n Q n 1, Q n = xq n, Q n a n Q n, Q n b n Q n 1, Q n = xq n, Q n xq n, Q n Q n, Q n Q n, Q n = xq n, Q n xq n, Q n = 0. PerÐptwsh k < n 1: Q n+1, Q n 1 = xq n, Q n 1 a n Q n, Q n 1 b n Q n 1, Q n 1 = xq n, Q n 1 xq n, Q n 1 Q n 1, Q n 1 Q n 1, Q n 1 = 0. Q n+1, Q k = xq n, Q k a n Q n, Q k b n Q n 1, Q k = xq n, Q k = Q n, xq k = 0. 47

Sthn proteleutaða isìthta qrhsimopoi jhke h sugkekrimènh morf tou eswterikoô ginomènou h opoða sunepˆgetai thn tautìthta f(x)g(x), h(x) = f(x), g(x)h(x) gia opoiesd pote sunart seic f, g, h (to qrhsimopoi same gia th sunˆrthsh g(x) = x). Tèloc, deg(xq k ) < n kai ˆra Q n, xq k = 0 afoô to Q n eðnai orjog nio (apì thn epagwgik mac upìjesh) proc ìla ta Q 0, Q 1,..., Q n 1 ˆra kai proc ìlouc touc grammikoôc touc sunduasmoôc pou eðnai ìloc o q roc P n 1. H apìdeixh tou Jewrhmatoc 20.2 eðnai pl rhc. Prìblhma 20.4. ApodeÐxte ìti b n > 0 sto Je rhma 20.2. Prìblhma 20.5. An p P n poioi eðnai oi suntelestèc tou p wc proc thn orjog nia bˆsh Q 0, Q 1,..., Q n tou P n? Prìblhma 20.6. DeÐxte oti to polu numo Q n eðnai to monikì polu numo bajmoô n me thn elˆqisth 2-nìrma kai ìti eðnai to monadikì tètoio polu numo. 'Ara h akoloujða poluwnômwn Q n eðnai monadik kai exartˆtai mìno apì to poio eðnai to eswterikì ginìmeno. Prìblhma 20.7. An T n eðnai ta polu numa Chebyshev sto [ 1, 1] deðxte ìti ta polu numa Q n = 2 1 n T n eðnai ta orjog nia polu numa gia to diˆsthma [ 1, 1] kai to bˆroc w(x) = 1 1 x 2. DeÐxte epðshc ìti h anadromik sqèsh (39) gia ta polu numa Chebyshev eðnai Ðdia me thn anadromik sqèsh pou perigrˆfetai sto Je rhma 20.2. 21 Pè, 5/5/2011: LÔsh ask sewn 22 De, 9/5/2011: LÔsh ask sewn 23 De, 9/5/2011: Pr to diag nisma EÐqame s mera to pr to diag nisma (ed se morf PDF). 24 Te, 11/5/2011: LÔsh problhmˆtwn diagwnðsmatoc. RÐzec orjogwnðwn poluwnômwn. LÔsame s mera kat' arq n ta probl mata tou diagwnðsmatoc. Ja deðxoume to akìloujo shmantikì apotèlesma to opoðo argìtera ja efarmìsoume se mejìdouc arijmhtik c olokl rwshc. Je rhma 24.1 (RÐzec orjogwnðwn poluwnômwn). 'Estw [a, b] èna kleistì fragmèno diˆsthma sto R kai w(x) > 0 mia suneq c sunˆrthsh bˆrouc sto [a, b]. Ac eðnai Q 0 (x), Q 1 (x), Q 2 (x),... h akoloujða monik n orjogwnðwn poluwnômwn gia to eswterikì ginìmeno f, g = b a f(x)g(x)w(x) dx. Tìte gia kˆje n > 0 to polu numo Q n (x) èqei ìlec tou tic rðzec aplèc kai sto diˆsthma (a, b). To Je rhma 24.1 eðnai ˆmesh sunèpeia tou parakˆtw L mmatoc. 48

L mma 24.1. Me touc orismoôc tou Jewr matoc 24.1 an mia sunˆrthsh f C([a, b]) eðnai orjog nia proc ìla ta polu numa p P n 1 tìte h f(x) èqei toulˆqiston n diaforetikèc rðzec sto (a, b). Prˆgmati, afoô to Q n eðnai orjog nio proc ta Q 0, Q 1,..., Q n 1 eðnai kai orjog nio proc kˆje grammikì sunduasmì touc, dhl. proc kˆje p P n 1 kai, sômfwna me to prohgoômeno L mma, èqei n diaforetikèc rðzec sto (a, b). Autèc eðnai ìlec oi rðzec tou Q n afoô deg Q n = n. Gia na apodeðxoume to L mma 24.1 ja qreiastoôme thn parakˆtw prìtash. L mma 24.2. H f C([a, b]) eðnai orjog nia proc to P n 1 an kai mìno an upˆrqei u C n ([a, b]) t.. u (n) = fw kai u (k) (a) = u (k) (b) = 0 gia k = 0, 1,..., n 1. EÐnai polô eôkolo na brei kaneðc mia sunˆrthsh u thc opoðac h n-ost parˆgwgoc na eðnai h f w. Gia parˆdeigma h sunˆrthsh v(x) = x a f(t)w(t) dt ikanopoieð v (x) = f(x)w(x) kai mporoôme na epanalˆboume aut th diadikasða n forèc ste na broôme mia tètoia u. Prosjètontac èna opoiod pote polu numo p P n 1 se aut th u den prìkeitai na allˆxei th n-ost thc parˆgwgo (afoô p (n) 0) ˆra èqoume epiplèon n bajmoôc eleujerðac me touc opoðouc eôkola mporoôme na ikanopoi soume tic n sunoriakèc sunj kec u (k) (a) = 0. To shmantikì eðnai ìti mporoôme tautìqrona na ikanopoi soume kai tic sunoriakèc sunj kec kai sto ˆllo ˆkro tou diast matoc, prˆgma pou de faðnetai kat' arq n dunatì me touc bajmoôc eleujerðac pou èqoume sth diˆjes mac, allˆ telikˆ mporoôme na to kˆnoume lìgw thc upìjeshc thc orjogwniìthtac thc f proc ìla ta stoiqeða tou P n 1. 'Estw loipìn u mia sunˆrthsh t.. u (n) = fw kai u (k) (a) = 0 gia k = 0, 1, 2,..., n 1. Ja deðxoume ìti ikanopoieð kai tic ˆllec sunoriakèc sunj kec u (k) (b) = 0 gia k = 0, 1, 2,..., n 1. Ja qreiastoôme ton parakˆtw tôpo pou genikeôei ton tôpo olokl rwshc katˆ mèrh: b a u (n) (x)v(x) dx = ( 1) k 1 u (n k) (x)v (k 1) (x) x=b + x=a ( 1)n k=1 b u(x)v (n) (x) dx. (68) Prìblhma 24.1. ApodeÐxte ton tôpo (68) me epagwg wc proc n. Gia n = 1 èqoume to sunhjismèno tôpo olokl rwshc katˆ mèrh. An t ra p P n 1 tìte qrhsimopoi ntac ton tôpo (68) kai to ìti p (n) 0 èqoume b a fpw = ( 1) k 1 u (n k) (b)p (k 1) (b). (69) k=1 'Omwc oi arijmoð p(b), p (b), p (2) (b),..., p (k 1) (b) eðnai teleðwc sth diajes mac ìpwc lèei to epìmeno Prìblhma. Prìblhma 24.2. An a 0, a 1,..., a n 1 C kai b R tìte upˆrqei p P n 1 t.. p (k) (b) = a k, gia k = 0, 1,..., n 1. Gia na eðnai loipìn to aristerì mèloc thc (69) Ðso me 0 gia kˆje p P n 1 o mìnoc trìpoc eðnai na eðnai ìloi oi suntelestèc u (n k) (b) = 0 gia k = 1,..., n. Me ˆlla lìgia prèpei kai arkeð u (k) (b) = 0 gia k = 0, 1,..., n 1, kai h apìdeixh tou L mmatoc 24.2 eðnai pl rhc. Epanerqìmaste t ra sthn apìdeixh tou L mmatoc 24.1. Ac eðnai f C([a, b]) orjog nia proc to P n 1 (dhl. orjog nio proc ìlec ta stoiqeða tou P n 1 ). Apì to L mma 24.2 èqoume ìti upˆrqei sunˆrthsh u C n ([a, b]) t.. fw = u (n) kai ìlec oi parˆgwgoi thc u tˆxhc mikrìterhc tou n mhdenðzontai sta ˆkra tou diast matoc. AfoÔ u(a) = u(b) apì to je rhma tou Rolle èqoume ìti h u èqei kˆpoia rðza sto diˆsthma (a, b). AfoÔ h u mhdenðzetai sta dôo ˆkra kai se èna endiˆmeso shmeðo prokôptei, kai pˆli apì to je rhma tou Rolle ìti h u (2) èqei dôo diaforetikèc rðzec sto (a, b). SuneqÐzontac kat' autìn ton trìpo, efarmìzontac dhl. suneq c to je rhma tou Rolle ste na <<kerdðzoume>> apì mia epiplèon rðza kˆje forˆ pou anebˆzoume thn tˆxh thc parag gou thc u, katal goume telikˆ ìti h u (n) èqei n diaforetikèc rðzec sto (a, b). H apìdeixh tou L mmatoc 24.1 eðnai pl rhc kai ˆra to Je rhma 24.1 èqei epðshc apodeiqteð pl rwc. a 49

25 De, 16/5/2011: Arijmhtik olokl rwsh PolÔ suqnˆ den eðnai dunatì na upologðsoume akrib c èna olokl rwma. P.q. to olokl rwma B A e x2 dx den eðnai dunatì na upologisteð akrib c (ektìc apì eidikèc timèc twn A kai B) afoô èqei apodeiqteð ìti to aìristo olokl rwma thc e x2 de mporeð na grafeð se kleistì tôpo, qrhsimopoi ntac dhl. tic sunhjismènec sunart seic (trigwnometrikèc, logarðjmouc, ekjetikèc, klp) kai algebrikèc prˆxeic. Anagkastikˆ loipìn to proseggðzoume me arijmhtikèc mejìdouc. Pollèc forèc mˆlista, ìtan to mìno pou mac endiafèrei eðnai h tim enìc oloklhr matoc gia sugkekrimèno diˆsthma olokl rwshc, eðnai protimìtero na upologðzoume èna olokl rwma arijmhtikˆ (proseggistikˆ) polô aplˆ giatð eðnai katˆ polô eukolìtero. Se adrèc grammèc mia tètoia diadikasða gðnetai se duo stˆdia. Pr ta qwrðzoume to diˆsthma olokl rwshc [A, B] se mikrìtera diast mata, gia aplìthta ac poôme ìti qwrðzoume se N Ðsia diast mata, kai se kˆje èna apì ta mikrˆ autˆ diast mata qrhsimopoioôme èna <<aplì kanìna arijmhtik c olokl rwshc>> gia na proseggðsoume to olokl rwma ekeð mèsa. H prosèggish tou ìlou oloklhr matoc onomˆzetai <<sônjetoc kanìnac arijmhtik c olokl rwshc>>. Me autèc tic paradoqèc ac doôme merikˆ paradeðgmata apl n kanìnwn arijmhtik c olokl rwshc. 'Oloi oi kanìnec pou ja exetˆsoume eðnai grammikoð, mimoômenoi to pragmatikì (akribèc) olokl rwma pou eðnai epðshc mia grammik diadikasða. StajeropoioÔme loipìn èna diˆsthma [a, b] kai sumbolðzoume kat' arq n me I(f) to akribèc olokl rwma thc f sto [a, b] b I(f) = f(x) dx. a H grammikìthta tou oloklhr matoc sthn opoða anaferj kame shmaðnei aplˆ ìti gia kˆje dôo sunart seic f kai g (ac poôme suneqeðc sto [a, b]) kai kˆje dôo stajerèc λ, µ C isqôei I(λf + µg) = λi(f) + µi(g). To Ðdio isqôei kai gia touc aploôc kanìnec arijmhtik c olokl rwshc pou perigrˆfoume parakˆtw. Kanìnac aristeroô shmeðou I L (f) = (b a)f(a). (70) Ed h posìthta pou proseggðzei to olokl rwma I(f) eðnai to olokl rwma pou ja eðqe h sunˆrthsh an tan stajer sto [a, b]. Kanìnac mèsou shmeðou ( ) a + b I M (f) = (b a)f. (71) 2 Kanìnac trapezðou Kanìnac tou Simpson I T (f) = (b a) ( 1 I S (f) = (b a) 6 f(a) + 4 6 f ParathreÐste ìti oloi autoð oi kanìnec eðnai thc morf c Ĩ(f) = f(a) + f(b). (72) 2 ( a + b ìpou t 1, t 2,..., t n eðnai shmeða sto [a, b] kai A 1, A 2,..., A N eðnai stajerèc. 2 ) + 16 f(b) ). (73) A j f(t j ), (74) j=1 50

Orismìc 25.1 (Tˆxh tou kanìna olokl rwshc). Tˆxh enìc kanìna arijmhtik c olokl rwshc eðnai o mègistoc akèraioc k t.. o kanìnac upologðzei swstˆ to olokl rwma kˆje poluwnômou bajmoô to polô k. Gia na broôme poia eðnai h tˆxh enìc kanìna Ĩ aplˆ brðskoume poio eðnai to megalôtero k t.. I(x r ) = Ĩ(xr ), gia kˆje r {0, 1,..., k}. Prˆgmati, lìgw thc grammikìthtac, eðnai fanerì ìti an o kanìnac mac douleôei swstˆ pˆnw stic sunart - seic 1, x, x 2,..., x k tìte douleôei swstˆ kai pˆnw se kˆje grammikì sunduasmì aut n, dhl. pˆnw se kˆje polu numo bajmoô to polô k. Prìblhma 25.1. ApodeÐxte ìti o kanìnac aristeroô shmeðou èqei tˆxh 0, o kanìnac tou mèsou shmeðou kai o kanìnac tou trapezðou èqoun tˆxh 1 kai o kanìnac tou Simpson èqei tˆxh 3, se kˆje diˆsthma [a, b]. H shmasða pou èqei h tˆxh enìc kanìna arijmhtik c olokl rwshc faðnetai an exetˆsoume thn apìdosh enìc sônjetou kanìna olokl rwshc se sqèsh me thn parˆmetro N pou deðqnei se pìsa mikrˆ diast mata qwrðzoume to diˆsthma olokl rwshc. Je rhma 25.1 (Apìdosh enìc sônjetou kanìna olokl rwshc tˆxhc r). 'Estw [A, B] èna kleistì kai fragmèno diˆsthma kai f C r+1 ([A, B]) mia sunˆrthsh me r + 1 suneqeðc parag gouc (r eðnai kˆpoioc akèraioc). An Ĩ eðnai ènac aplìc kanìnac arijmhtik c olokl rwshc tˆxhc r tìte an ĨN eðnai o sônjetoc kanìnac arijmhtik c olokl rwshc pou prokôptei apì ton Ĩ tìte B f ĨN(f) 1 K, (75) N r+1 A ìpou h stajerˆ K den exartˆtai apì to N parˆ mìno apì thn f kai ton aplì kanìna olokl rwshc Ĩ. To diˆsthma [A, B] upodiaireðtai se N Ðsa diast mata mèsw twn shmeðwn x j = A + j B A, j = 0, 1,..., N. N An sumbolðsoume me Ĩ(f, x j, x j+1 ) to apotèlesma tou aploô kanìna olokl rwshc efarmosmènou sth sunˆrthsh f sto diˆsthma [x j, x j+1 ] tìte èqoume apì thn trigwnik anisìthta B N 1 x f ĨN(f) j+1 f A j=0 Ĩ(f, x j, x j+1 ) (76) x j opìte ja stajeropoi soume èna diˆsthma [a, b] = [x j, x j+1 ] kai ja ektim soume to sfˆlma pou prokôptei mèsa se autì to diˆsthma apì th qr sh tou aploô kanìna olokl rwshc. Katìpin ja ajroðsoume ta epimèrouc sfˆlmata kai ja prokôyei èna frˆgma gia to sunolikì sfˆlma mèsw thc (76). StajeropoioÔme loipìn èna aplì kanìna olokl rwshc ton opoðo ton perigrˆfoume sto diˆsthma [0, 1] Ĩ(f, 0, 1) = A j f(t j ) ìpou A j kˆpoiec stajerèc kai t j kˆpoia shmeða sto [0, 1]. O kanìnac autìc, efarmozìmenoc se èna tuqaðo diˆsthma [a, b], paðrnei th morf Ĩ(f, a, b) = j=1 (b a)a j f(a + t j (b a)). (77) j=1 51

To shmantikì sthn apìdeixh eðnai na grˆyoume thn f sto diˆsthma autì wc èna polu numo bajmoô r sun kˆpoio sfˆlma. QrhsimopoioÔme gi' autì to je rhma tou Taylor me kèntro to a pou mac lèei ìti ìpou p(x) eðnai to polu numo Taylor thc f bajmoô r p(x) = f(a) + f (a)(x a) + f (a) 2 f(x) = p(x) + R(x) (x a) 2 + f (3) (a) 3! (x a) 3 + + f (r) (a) (x a) r, r! kai R(x) eðnai to sfˆlma gia to opoðo isqôei ìti gia kˆje x [a, b] upˆrqei èna ξ (a, b) t.. na isqôei R(x) = f (r+1) (ξ) (r + 1)! (x a)r+1. (78) AfoÔ o kanìnac olokl rwshc pou qrhsimopoioôme èqei tˆxh r to polu numo p oloklhr netai akrib c ˆra to sfˆlma sthn olokl rwsh thc f ofeðletai apokleistikˆ sthn arijmhtik olokl rwsh thc sunˆrthshc R(x), ki ètsi èqoume b a f Ĩ(f, a, b) b a b a R Ĩ(R, a, b) R + Ĩ(R, a, b) (b a) R + (b a)k R (trigwnik anisìthta) (b a) A j R (apì thn (77)) j=1 ìpou K = 1 + n j=1 A j eðnai mia jetik stajerˆ pou den exartˆtai apì to diˆsthma allˆ mìno apì ton kanìna olokl rwshc. Efarmìzontac t ra thn (78) paðrnoume f (r+1) R f (r+1) (b a) r+1 (B A) r+1 (r + 1)! (r + 1)! N r+1. to opoðo mac dðnei b a f Ĩ(f, a, b) (B A)r+2 K N r+2 gia to sfˆlma thc olokl rwshc sto mikrì diˆsthma [a, b]. AjroÐzontac gia ta N diaforetikˆ mikrˆ diast mata [a, b] = [x j, x j+1 ] paðrnoume B f ĨN(f) K N r+1 (79) A ìpou h stajerˆ K = K(B A) r+2 den exartˆtai apì to N, kai h apìdeixh tou Jewr matoc 25.1 eðnai pl rhc. H shmasða loipìn thc tˆxhc enìc aploô kanìna olokl rwshc faðnetai ìtan qrhsimopoi soume ton kanìna autì se èna sônjeto kanìna olokl rwshc kai paðrnoume oloèna kai megalôterec timèc tou N. To ˆnw frˆgma gia to sfˆlma olokl rwshc fjðnei san thn r + 1 dônamh tou 1/N. Gia parˆdeigma an qrhsimopoioôme èna kanìna olokl rwshc tˆxhc 0 (p.q. ton kanìna I L tou aristeroô shmeðou) tìte an jèloume na upodekaplasiˆsoume to egguhmèno ˆnw frˆgma gia to sfˆlma mac tìte prèpei na pollaplasiˆsoume to N pou qrhsimopoi same me to 10. An qrhsimopoi soume èna kanìna tˆxhc 3, ìpwc o kanìnac I S tou Simpson, tìte arkeð na pollaplasiˆsoume to N mìno me ton arijmì 10 1/4 = 1.77827941. 52

26 Te, 18/5/2011: 'Oqi mˆjhma (foithtikèc eklogèc) 27 De, 23/5/2011: Mèjodoi Gauss gia arijmhtik olokl rwsh Sthn parˆgrafo aut ja doôme tic mejìdouc olokl rwshc tôpou Gauss, twn opoðwn h uyhl tˆxh ofeðletai se katˆllhlh epilog twn shmeðwn sta upologðzoume th sunˆrthsh f pou prospajoôme na oloklhr soume arijmhtikˆ. Koitˆme to prìblhma lðgo genikìtera apì prin kai, dedomènou enìc kleistoô kai fragmènou diast matoc [a, b] kai miac jetik c (kai suneqoôc) sunˆrthshc bˆrouc w(x) > 0 orismènhc pˆnw sto [a, b] prospajoôme na upologðsoume arijmhtikˆ to olokl rwma thc f wc proc to bˆroc w, dhl. thn posìthta I(f) = b a f(x)w(x) dx. Oi aploð kanìnec arijmhtik c olokl rwshc pou qrhsimopoioôme eðnai thc morf c Ĩ(f) = A j f(x j ) (80) j=1 ìpou x 1,..., x n [a, b] kai A j eðnai stajerèc. To er thma pou apantˆme pr ta eðnai <<an kˆpoioc èqei epilèxei ta n shmeða x 1,..., x n gia mac poia prèpei na eðnai h epilog twn A j?>> Je rhma 27.1. Oi suntelestèc A j ston kanìna (80) mporoôn pˆnta na epilegoôn ste o kanìnac na èqei tˆxh toulˆqiston n 1. Gia na petôqoume na oloklhr noume akrib c kˆje polu numo bajmoô n 1 (to opoðo kajorðzetai me n arijmoôc) arkeð na èqoume sth diˆjes mac n bajmoôc eleujerðac. Autì eðnai ousiastikˆ to perieqìmeno tu Jewr matoc 27.1. O pio eôkoloc trìpoc apìdeixhc eðnai qrhsimopoi ntac ta polu numa parembol c Lagrange pou antistoiqoôn sta shmeða x 1,..., x n : l i (x) = j=1,2,...,n j i x x j x i x j, i = 1, 2,..., n, (81) ta opoða èqoun thn Ðdiìthta l i (x j ) = δ i,j := { 1 (gia i = j) 0 (gia i j). An sumbolðsoume me L(x) to polu numo, bajmoô n 1, pou parembˆllei tic timèc thc f sta shmeða x 1,..., x n L(x) = f(x i )l i (x) i=1 mporoôme na orðsoume ton epijumhtì kanìna olokl rwshc apì ton tôpo Ĩ(f) = I(L). Me ˆlla lìgia, gia na proseggðsoume arijmhtikˆ to olokl rwma thc f autì pou kˆnoume eðnai ìti pr ta brðskoume to polu numo pou èqei tic Ðdiec timèc me thn f sta shmeða x j kai èpeita upologðzoume to akribèc olokl rwma autì tou poluwnômou. Aut h tim apoteleð kai thn prosèggis mac. 53

Wc strathgik akoôgetai logik, allˆ eðnai autìc o trìpoc arijmhtik c olokl rwshc thc morf c (80)? EÐnai eôkolo na doôme pwc nai afoô I(L) = I(l i )f(x i ) kai ˆra mporoôme na pˆroume A i = I(l i ) = i=1 b l i (x)w(x) dx a gia touc suntelestèc mac. Tèloc, o kanìnac mac èqei tˆxh n 1 mia kai an h f eðnai polu numo bajmoô n 1 tìte (monadikìthta tou poluwnômou parembol c, Prìblhma 14.1) f = L kai ˆra o kanìnac mac oloklhr nei thn f akrib c. To Je rhma 27.1 apoteleð aplˆ èna kˆtw frˆgma gia thn dunat tˆxh enìc kanìna me n shmeða. 'Eqoume dh dei paradeðgmata (o kanìnac tou Simpson, me 3 shmeða kai tˆxh 3, parapˆnw apì to 2 pou problèpetai apì to Je rhma 27.1) ìpou h tˆxh mporeð na eðnai kalôterh apì n 1. BebaÐwc upˆrqoun kai paradeðgmata (p.q. o kanìnac tou trapezðou, me 2 shmeða kai tˆxh 1) ìpou h tˆxh eðnai akrib c n 1. Ja doôme sto upìloipo thc paragrˆfou ìti epilègontac katˆllhla ta x 1,..., x n mporoôme na pˆroume kanìnec olokl rwshc tˆxhc 2n 1, mia shmantik beltðwsh. Je rhma 27.2 (Kanìnec olokl rwshc Gauss). Ac eðnai [a, b] èna kleistì kai fragmèno diˆsthma kai w(x) C([a, b]) mia austhrˆ jetik sunˆrthsh. Ac eðnai akìmh Q 0 (x) = 1, Q 1 (x), Q 2 (x),... h akoloujða monik n orjogwnðwn poluwnômwn wc proc to bˆroc w(x) sto diˆsthma [a, b], kai x (n) 1, x(n) 2,..., x(n) n (a, b) ta mhdenikˆ tou Q n (eðnai ìla diaforetikˆ kai sto (a, b) apì to Je rhma 24.1). Tìte ènac aplìc kanìnac arijmhtik c olokl rwshc thc morf c Ĩ(f) = j=1 A j f(x (n) j ) (A j stajerèc) (82) o opoðoc eðnai tˆxhc toulˆqiston n 1 eðnai anagkastikˆ tˆxhc toulˆqiston 2n 1. 'Estw p P 2n 1. DiairoÔme to polu numo p me to polu numo Q n kai èstw q to phlðko kai r to upìloipo (autì shmaðnei ìti deg r < deg Q n = n) p = Q n q + r. AfoÔ deg p < 2n kai deg Q n = n èpetai ìti deg p < n, kai ˆra p, r P n 1. Kˆnoume thn parat rhsh ìti to Q n eðnai orjog nio proc ìla ta polu numa tou P n 1 afoô eðnai orjog nio proc kˆje stoiqeðo miac bˆshc tou P n 1, aut c pou apartðzetai apì ta polu numa Q 0 (x), Q 1 (x),..., Q n 1 (x). 'Ara b a p(x)w(x) dx = b a b Q n (x)q(x)w(x) dx + = Q n, q + = b a b a a r(x)w(x) dx r(x)w(x) dx r(x)w(x) dx (afoô Q n P n 1 ) = Ĩ(r) (afoô o Ĩ eðnai akrib c sto P n 1) = Ĩ(qQ n) + Ĩ(r) = Ĩ(p). 54

H proteleutaða isìthta parapˆnw prokôptei epeid to polu numo Q n mhdenðzetai sta shmeða ìpou o kanìnac Ĩ upologðzei thn proc olokl rwsh sunˆrthsh. 'Eqoume loipìn deðxei ìti Ĩ(p) = b a p(x)w(x) dx gia kˆje polu numo p bajmoô 2n 1 kai h apìdeixh eðnai pl rhc. Pìrisma 27.1. Gia kˆje fragmèno kai kleistì diˆsthma [a, b] kai sunˆrthsh bˆrouc w(x) C([a, b]), w(x) > 0, kai kˆje akèraio n 1 upˆrqei aplìc kanìnac olokl rwshc thc morf c (82) pou èqei tˆxh toulˆqiston 2n 1. Gia to pìrisma, epilègoume wc x 1,..., x n na eðnai oi rðzec tou orjogwnðou poluwnômou Q n pou antistoiqeð sto diˆsthma [a, b] kai sto bˆroc w(x) kai epilègoume touc suntelestèc A j, j = 1, 2,..., n, qrhsimopoi ntac to Je rhma 27.1. Wc sunèpeia tou Jewr matoc 27.2 o kanìnac pou ftiˆxame èqei taxh toulˆqiston 2n 1. ParadeÐgmata. An akolouj soume th diadikasða pou perigrˆfetai sto Pìrisma 27.1 gia to diˆsthma [ 1, 1] kai to bˆroc w(x) 1 paðrnoume, afoô pr ta upologðsoume ta antðstoiqa orjog nia polu numa Q 0, Q 1, Q 2, Q 3 me bˆsh ton algìrijmo pou perigrˆfetai sto Je rhma 20.2 (ed faðnetai h axða thc anadromik c sqèshc pou perigrˆfetai se autì to Je rhma), brðskoume metˆ tic rðzec twn Q 2 kai Q 3 kai katal goume ètsi stouc kanìnec Gauss me n = 2 kai n = 3 shmeða antðstoiqa kai me tˆxh 3 kai 5 antðstoiqa Ĩ 2 (f) = 1 ( ) 1 2 f + 1 ( ) 1 3 2 f 3 (83) kai Ĩ 3 (f) = 0.5555f( 0.7745) + 0.8888f(0) + 0.5555f(0.7745). (84) Gia thn perðptwsh n = 2 oi rðzec tou poluwnômou Q 2 upologðzontai polô eôkola se kleist morf. Autì eðnai efiktì kai gia to polu numo Q 3 (pou eðnai 3ou bajmoô) allˆ dh h eôresh twn riz n se kleist morf gðnetai arketˆ polôplokh kai amfibìlou qrhsimìthtac, afoô kai gia na upologðsoume mia apl posìthta ìpwc to 3 pˆli se arijmhtikèc (proseggistikèc) mejìdouc ja katal xoume. H eôresh twn riz n stic perissìterec peript seic gðnetai me arijmhtikèc mejìdouc. Prìblhma 27.1. O kanìnac (83) kai o kanìnac Simpson (73) eðnai thc Ðdiac tˆxhc 3. O kanìnac (83) qrhsimopoieð dôo shmeða (dôo upologismoôc thc f sto diˆsthma olokl rwshc) en o kanìnac Simpson qrhsimopoieð trða shmeða. FaÐnetai loipìn ìti o kanìnac (83) eðnai protimìteroc apì ton kanìna tou Simpson mia kai upertereð autoô se taqôthta (pl joc upologism n thc f) gia to Ðdio apotèlesma. Lambˆnontac upìyin ìti telikˆ qrhsimopoioôme sônjetouc kanìnec olokl rwshc (upodiairoôme to diˆsthma olokl rwshc se N Ðsa diast - mata kai se kajèna apì autˆ qrhsimopoioôme ton aplì kanìna olokl rwshc) deðxte ìti auth h diaforˆ sthn taqôthta exanemðzetai ìtan to N eðnai megˆlo. 28 Te, 25/5/2011: LÔsh ask sewn 29 Te, 1/6/2011: LÔsh ask sewn (èktako mˆjhma) 55