StoiqeÐa Basik n Majhmatik n. Shmei seic

Transcription

1 StoiqeÐa Basik n Majhmatik n Shmei seic A. Karagi rghc kai E. Stefanìpouloc Tm ma Majhmatik n kai Statistik c Panepist mio KÔprou Fjinìpwro 2007

2 2

3 Perieqìmena 1 StoiqeÐa Logik c Protˆseic kai logikoð sôndesmoi SumperasmatikoÐ kanìnec Kathgor mata kai PosodeÐktec SÔnola kai sunart seic SÔnola Prˆxeic sunìlwn Sunart seic Oi FusikoÐ arijmoð To sônolo twn fusik n arijm n To duwnumikì Je rhma EpagwgikoÐ orismoð Arijmhsimìthta Arijm sima sônola Plhjˆrijmoi Oi pragmatikoð arijmoð To s ma twn pragmatik n arijm n H eujeða twn pragmatik n arijm n Oi migadikoð arijmoð To s ma twn migadik n arijm n 'Algebra twn migadik n arijm n To mètro kai o suzug c migadikoô arijmoô To migadikì epðpedo Polik morf migadikoô arijmoô GewmetrikoÐ tìpoi sto migadikì epðpedo AkoloujÐec OrismoÐ Frˆgma akoloujðac

4 4 7.3 MonotonÐa akolouji n 'Orio akoloujðac StoiqeÐa Sunduastik c Anˆlushc Diatˆxeic kai SunduasmoÐ To duwnumikì Je rhma H arq tou perister na

5 Eisagwg EpikaloÔmenoi th gn sh kai empeirða pou apokt jhke apì th melèth twn Majhmatik n sto lôkeio kai qˆrin epikoinwnðac, eidikˆ gia ta dôo pr ta kefˆlaia, deqìmaste na sumbolðzoume me N = {1, 2, 3,... } touc fusikoôc arijmoôc, dhlad touc arijmoôc pou qrhsimopoioôme gia na metrˆme. Oi akèraioi arijmoð eðnai ìloi oi fusikoð, to mhdèn, kaj c kai oi arnhtikoð twn fusik n arijm n, ètsi ste eˆn m eðnai akèraioc, h exðswsh m + n = 0 èqei lôsh stouc akeraðouc (n = m), prˆgma pou den sumbaðnei stouc fusikoôc, kajìti m + n 0 gia kˆje zeugˆri fusik n arijm n. 'Etsi oi akèraioi arijmoð eðnai oi Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }. Oi rhtoð arijmoð eðnai ìla ta klˆsmata me arijmht kai paronomast akeraðouc arijmoôc, ìpou bèbaia o paronomast c eðnai diˆforoc tou mhdenìc. Oi rhtoð arijmoð perièqoun touc akeraðouc miac kai eˆn o n eðnai akèraioc, tìte n = n/1, opìte o n eðnai rhtìc. Epiplèon eˆn r 0 eðnai rhtìc h exðswsh rs = 1 èqei lôsh stouc rhtoôc (s = 1/r), prˆgma pou den sumbaðnei stouc akeraðouc, epeid gia kˆje zeugˆri akeraðwn m 0 kai n eðnai mn 1, ektìc kai an m = n = ±1. 'Etsi oi rhtoð arijmoð eðnai oi { } m Q = n, ìpou o m eðnai akèraioc kai o n fusikìc, miac kai gia parˆdeigma 2/( 3) = ( 2)/3. Eˆn r = m/n me m 0 mporoôme na jewroôme ìti o mègistoc koinìc diairèthc twn m kai n eðnai 1, dhlad oi m kai n eðnai pr toi metaxô touc. Sth pragmatikìthta o arijmìc r = m/n paristˆnei ìlouc touc rhtoôc thc morf c (km)/(kn), ìpou to k eðnai opoiosd pote akèraioc arijmìc diˆforoc tou 0. GnwrÐzoume akìmh ìti upˆrqoun arijmoð pou den eðnai rhtoð, ìpwc gia parˆdeigma o arijmìc 2 pou paristˆnei to m koc thc upoteðnousac orjogwnðou trig nou me kˆjetec pleurèc m kouc 1. Prˆmati eˆn sunèbaine o arijmìc autìc na tan rhtìc tìte ja grˆfontan sth morf m 2 =, gia kˆpoiouc jetikoôc kai pr touc metaxô touc akeraðouc m kai n. n Uy nontac sto tetrˆgwno kai pollaplasiˆzontac ja eðqame m 2 = 2n 2. Autì ja s maine ìti o m 2, ˆra kai o m (giatð?) ja tan ˆrtioc arijmìc, dhlad m = 2k, gia kˆpoio fusikì arijmì k. Tìte ìmwc ja tan 4k 2 = 2n 2, isodônama n 2 = 2k 2, pou ja sunepagìtan, ìpwc prin, ìti 5

6 6 o n ja tan ˆrtioc arijmìc, dhlad n = 2l, gia kˆpoio fusikì arijmì l. Tìte ìmwc o mègistoc koinìc diairèthc twn m kai n ja tan toulˆqiston 2. Autì ìmwc eðnai ˆtopo giatð oi m kai n eðnai pr toi metaxô touc. Me ton Ðdio trìpo mporeð na apodeiqjeð ìti o 3, kai o n, ìpou o n eðnai fusikìc arijmìc pou den eðnai tèleio tetrˆgwno den eðnai rhtoð arijmoð. Oi arijmoð autoð lègontai ˆrrhtoi. 'Arrhtoi arijmoð eðnai epðshc oi π, e, e π. Oi rhtoð kai oi ˆrrhtoi arijmoð apoteloôn touc pragmatikoôc arijmoôc, ètsi oi pragmatikoð arijmoð eðnai R = {x, ìpou o x eðnai eðte rhtìc, eðte ˆrrhtoc } H gewmetrik eikìna pou èqoume gia touc pragmatikoôc arijmoôc eðnai ìti autoð mporoôn na jewrhjoôn san ìla ta shmeða mðac eujeðac pou ekteðnetai apì to meðon ˆpeiro sto sun ˆpeiro. 'Etsi mporoôme na grˆfoume R = (, + ). QrhsimopoioÔme epðshc tic ekfrˆseic P = Q kai P Q gia na dhl soume antðstoiqa ìti {to gegonìc P sunepˆgetai to gegonìc Q} kai {ta gegonìta P kai Q eðnai isodônama}. IsodÔnamec diatup seic eðnai oi P = Q : {Q sunˆgetai apì to P}, {P eðnai ikan sunj kh gia Q}, {Q eðnai anagkaða sunj kh gia P}. P Q : {P eˆn kai mìnon eˆn Q}, {P tìte kai mìnon tìte ìtan Q}, {P eðnai ikan kai anagkaða sunj kh gia Q}, {P sunepˆgetai Q kai antðstrofa}.

7 Kefˆlaio 1 StoiqeÐa Logik c 1.1 Protˆseic kai logikoð sôndesmoi Sta Majhmatikˆ lègontac prìtash (proposition) ennooôme mða èkfrash gia thn opoða m- poroôme na apofanjoôme eˆn eðnai alhj c yeud c. Gia parˆdeigma h èkfrash {o arijmìc 8 eðnai ˆrtioc} eðnai prìtash, autì pou ekfrˆzei eðnai alhjèc. 'Omoia h {o 9 eðnai pollaplˆsio tou 2} eðnai prìtash afoô ì,ti ekfrˆzei eðnai yeudèc, en h èkfrash {o pragmatikìc arijmìc x eðnai megalôteroc tou x 2 } den eðnai prìtash. Gia x = 2 h prìtash eðnai alhj c, en gia x = 1/2 h prìtash eðnai yeud c. Tic protˆseic tic sumbolðzoume sun jwc me grˆmmata tou AgglikoÔ EllhnikoÔ alfab tou. Se kˆje prìtash p antistoiqeð mða tim alhjeðac: α eˆn h p eðnai alhj c, ψ eˆn h p eðnai yeud c. Eˆn p kai q eðnai protˆseic tìte mporoôme na dhmiourg soume nèec protˆseic me qr sh twn logik n sundèsmwn (connectives). Oi sôndesmoi eðnai oi ex c: 1. O sôndesmoc ìqi, den ekfrˆzei thn prˆxh thc ˆrnhshc (negation) mðac prìtashc p, aut eðnai h prìtash p. 2. O sôndesmoc eðte, ekfrˆzei thn prˆxh thc diˆzeuxhc (disjunction) twn protˆsewn p kai q, aut eðnai h prìtash p q. 3. O sôndesmoc kai ekfrˆzei thn prˆxh thc sôzeuxhc (conjunction) twn protˆsewn p kai q, aut eðnai h prìtash p q. 4. O sôndesmoc eˆn...,tìte... (conditional) ekfrˆzei thn prˆxh thc sunepagwg c thc prìtashc q apì thn p, aut eðnai h prìtash p q. 7

8 8 StoiqeÐa Logik c 'Etsi mporoôme na èqoume tic protˆseic {den eðnai al jeia ìti o arijmìc 8 eðnai ˆrtioc}, {o arijmìc 8 eðnai ˆrtioc o 9 eðnai pollaplˆsio tou 2}, {o arijmìc 8 eðnai ˆrtioc kai o 9 eðnai pollaplˆsio tou 2}, {eˆn o arijmìc 8 eðnai ˆrtioc tìte o 9 eðnai pollaplˆsio tou 2}. H p eðnai alhj c eˆn h p eðnai yeud c, h p q eðnai alhj c eˆn toulˆqiston mða apì tic p q eðnai alhj c, h p q eðnai alhj c eˆn kai oi dôo protˆseic p kai q eðnai alhjeðc, h p q eðnai alhj c ektìc apì thn perðptwsh ìpou h p eðnai alhj c kai h q yeud c. SunoyÐzontac, oi timèc alhjeðac twn protˆsewn p, p q, p q kai p q dðnontai apì touc pðnakec p p α ψ ψ α p q p q α α α α ψ α ψ α α ψ ψ ψ p q p q α α α α ψ ψ ψ α ψ ψ ψ ψ p q p q α α α α ψ ψ ψ α α ψ ψ α Oi pðnakec autoð lègontai alhjopðnakec (truth tables). Oi protˆseic p q, p q kai p q lègontai sônjetec. Parˆdeigma 1.1. H èkfrash {o 4 eðnai ˆrtioc o 4 eðnai perittìc} eðnai prìtash san diˆzeuxh twn protˆsewn {o 4 eðnai ˆrtioc} kai {o 4 eðnai perittìc}. H men pr th eðnai alhj c, h de deôterh yeud c, ètsi h sônjeth prìtash pou dhmioiurgeðtai me diˆzeuxh èqei tim alhjeðac α ψ = α, ìpwc prokôptei apì ton antðstoiqo alhjopðnaka. Parˆdeigma 1.2. H èkfrash {eˆn o 5 eðnai ˆrtioc tìte o 6 eðnai perittìc} eðnai thc morf c p q ìpou p eðnai h prìtash {o 5 eðnai ˆrtioc}, me tim ψ, kai q h {o 6 eðnai perittìc}, me tim ψ. 'Ara h arqik èkfrash eðnai prìtash me tim ψ ψ = α, ìpwc faðnetai apì ton alhjopðnaka tou. Shmei noume ìti h al jeia thc prìtashc mporeð na apodeiqjeð, ètsi an o 5 eðnai ˆrtioc tìte 5 = 2k gia kˆpoio jetikì akèraio k. Epeid 6 = 5 + 1, èpetai ìti 6 = 2k + 1, dhlad o 6 eðnai perittìc. Parˆdeigma 1.3. H èkfrash {eˆn o 5 eðnai ˆrtioc tìte o 6 eðnai ˆrtioc} eðnai thc morf c p r ìpou p eðnai h prìtash {o 5 eðnai ˆrtioc}, me tim ψ, kai r h {o 6 eðnai ˆrtioc}, me tim α. 'Ara h arqik èkfrash eðnai prìtash me tim ψ α = α, ìpwc faðnetai apì ton alhjopðnaka tou. 'Opwc sto Parˆdeigma 1.2 h al jeia thc prìtashc mporeð na apodeiqjeð, ètsi an o 5 eðnai ˆrtioc tìte 5 = 2k gia kˆpoio jetikì akèraio k, opìte 10 = 2 5 = 4k. Epeid 6 = 10 4, èpetai ìti 6 = 4k 4 = 4(k 1), dhlad o 6 eðnai pollaplˆsio tou 4, ˆra eðnai ˆrtioc. Parat rhsh 1.1. Seirˆ èqoun kˆpoiec dieukrin seic. 1. H ènnoia tou sundèsmou sthn kajomiloumènh eðnai kˆpwc asaf c, dhlad h èkfrash p q mporeð na shmaðnei {p q kai oi dôo} {p q allˆ ìqi kai oi dôo}. H sumfwnða gia thn shmasða tou sta plaðsia thc Logik c kai twn Majhmatik n eðnai h pr th (egkleistik diˆzeuxh). H apokleistik diˆzeuxh {p q allˆ ìqi kai oi dôo} ekfrˆzetai san (p q) ( (p q)).

9 Protˆseic kai logikoð sôndesmoi 9 2. O sôndesmoc eˆn kai mìnon eˆn (biconditional) ekfrˆzei thn isodunamða (equivalence) me thn ènnoia ìti h prìtash p q eðnai alhj c tìte kai mìnon tìte ìtan oi p kai q èqoun thn Ðdia tim alhjeðac. 'Etsi o alhjopðnakac tou sundèsmou eðnai p q p q α α α α ψ ψ ψ α ψ ψ ψ α H isodunamða p q ekfrˆzetai san (p q) (q p), blèpe 'Askhsh MporoÔme na sqhmatðzoume sônjetec protˆseic apoteloômenec apì perissìterec twn dôo protˆsewn. Gia parˆdeigma eˆn p, q, r eðnai protˆseic kai oi (p q) r, q ( p r), (p r) ( q q) kaj c kai ˆlloi kalosqhmatismènoi, ìson aforˆ sth qr sh sundèsmwn kai parenjèsewn 1, dunatoð sunduasmoð eðnai protˆseic. O alhjopðnakac thc q ( p r), gia parˆdeigma eðnai p q r p p r q ( p r) α α α ψ α α α α ψ ψ ψ ψ α ψ α ψ α α α ψ ψ ψ ψ α ψ α α α α α ψ α ψ α α α ψ ψ α α α α ψ ψ ψ α α α O alhjopðnakac thc q ( p r) perièqei tìsec grammèc ìsec kai oi dunatèc triˆdec tim n twn p, q, r, dhlad 8. Genikˆ o alhjopðnakac mðac prìtashc apoteloômenhc apì n aploôsterec protˆseic apoteleðtai apì 2 n grammèc. Oi tètarth kai pèmpth st lh tou alhjopðnaka eðnai bohjhtikèc kai epitrèpoun ton upologismì thc aponom c alhjeðac se kˆje perðptwsh. Orismìc 1.1. 'Estw p kai q na eðnai sônjetec protˆseic. 1. H prìtash p lègetai tautologða (tautology) eˆn h tim alhjeðac thc eðnai α, gia kˆje dunat aponom tim n alhjeðac twn protˆsewn pou thn apoteloôn. IsodÔnama eˆn h teleutaða st lh tou alhjopðnaka thc perièqei mìno thn tim α. 1 Οι p (q και q δεν είναι προτάσεις. Επίσης η σωστή χρήση των παρενθέσεων είναι απαραίτη για την απόδοση αυτού που εννοούμε. Για παράδειγμα οι προτάσεις p q και (p q) είναι διαφορετικές, ενώ η p q r είναι ασαφής. Η σωστή πρόταση θα ήταν η (p q) r, ή p (q r).

10 10 StoiqeÐa Logik c 2. H prìtash p lègetai antðfash (contradiction) eˆn h tim alhjeðac thc eðnai ψ, gia kˆje dunat aponom tim n alhjeðac twn protˆsewn pou thn apoteloôn. IsodÔnama eˆn h teleutaða st lh tou alhjopðnaka thc perièqei mìno thn tim ψ. 3. Oi protˆseic p kai q ja lègontai logikˆ isodônamec (logically equivalent) eˆn paðrnoun thn Ðdia tim alhjeðac, gia kˆje dunat aponom tim n alhjeðac twn protˆsewn pou tic apoteloôn. IsodÔnama eˆn oi teleutaðec st lec twn alhjopinˆkwn touc eðnai Ðdiec. Sth perðptwsh aut grˆfoume p q. Parat rhsh 1.2. Apì ton alhjopðnaka pou orðzei thn ˆrnhsh prokôptei ˆmesa ìti ( p) p dhlad h ˆrnhsh thc ˆrnhshc mðac prìtashc eðnai isodônamh me thn prìtash. Parˆdeigma 1.4. Eˆn p kai q eðnai protˆseic na deiqjeð ìti 1. H prìtash p ( p) eðnai tautologða. 2. H prìtash p ( p) eðnai antðfash. 3. H prìtash (p q) p eðnai tautologða. 1. H prìtash p 1 p 2 eðnai alhj c eˆn mða toulˆqiston apì tic p 1, p 2 eðnai alhj c. Eˆn h p eðnai alhj c tìte h p eðnai yeud c, en eˆn h p eðnai yeud c tìte h p eðnai alhj c. 'Etsi sth diˆzeuxh p ( p) mða apì tic dôo protˆseic eðnai pˆnta alhj c, opìte h tim alhjeðac thc p ( p) eðnai pˆnta α, ˆra h prìtash eðnai tautologða. 2. H prìtash p ( p) eðnai alhj c eˆn h p kai h p eðnai alhjeðc. Autì ìmwc den sumbaðnei potè ˆra h p ( p) eðnai pˆnta yeud c, dhlad eðnai antðfash. 3. O alhjopðnakac thc (p q) p eðnai ˆra h prìtash eðnai mða tautologða. p q p q (p q) p α α α α α ψ ψ α ψ α ψ α ψ ψ ψ α Parˆdeigma 1.5. Eˆn p kai q eðnai protˆseic na deiqjeð ìti 1. Oi protˆseic p q kai q p eðnai logikˆ isodônamec. 2. Oi p kai q eðnai logikˆ isodônamec tìte kai mìnon tìte ìtan p q eðnai tautologða. 1. Gia eukol terh sôgkrish sunduˆzoume touc alhjopðnakec twn (p q) kai ( q p) se ènan

11 Protˆseic kai logikoð sôndesmoi 11 p q q p p q q p α α ψ ψ α α α ψ α ψ ψ ψ ψ α ψ α α α ψ ψ α α α α Blèpoume ìti oi teleutaðec st lec twn alhjopinˆkwn sumfwnoôn, ˆra oi protˆseic eðnai logikˆ isodônamec. 2. Ac upojèsoume ìti p q. Tìte oi p kai q èqoun thn Ðdia tim α ψ, allˆ tìte apì ton alhjopðnaka tou blèpoume ìti p q = α, dhlad h p q eðnai tautologða. Ac upojèsoume t ra ìti h p q eðnai tautologða, autì shmaðnei ìti oi p kai q èqoun thn Ðdia tim alhjeðac, dhlad p q. Ask seic Eˆn p kai q eðnai protˆseic na deiqjeð ìti h prìtash p (p q) eðnai tautologða Na deiqjeð ìti oi protˆseic p q kai p q eðnai logikˆ isodônamec Na deiqjeð ìti oi protˆseic (p q) kai p ( q) eðnai logikˆ isodônamec Na deiqjeð ìti oi protˆseic p q kai (p q) (q p) eðnai logikˆ isodônamec, blèpe Parat rhsh Eˆn p, q, r eðnai protˆseic, α eðnai mða tautologða kai ψ mða antðfash na apodeiqjoôn oi idiìthtec kai sunèpeiec twn prˆxewn. (1.1) (1.2) Antimetajetik idiìthta: p ψ p, p ψ ψ, p α α, p α p, p p p, p p p, p ( p) α, p ( p) ψ. (1.3) p q q p, p q q p. Prosetairistik idiìthta: (1.4) Epimeristik idiìthta: (1.5) (1.6) Nìmoi tou De Morgan: (1.7) (1.8) p (q r) (p q) r, p (q r) (p q) r. p (q r) = (p q) (p r), p (q r) = (p q) (p r). (p q) p ( q), (p q) p ( q).

12 12 StoiqeÐa Logik c Eˆn me sumbolðsoume to sôndesmo pou ekfrˆzei thn apokleistik diˆzeuxh, dhlad p q shmaðnei {p q allˆ ìqi kai oi dôo} tìte o alhjopðnakac pou orðzei ton sôndesmo eðnai p q p q α α ψ α ψ α ψ α α ψ ψ ψ. Na apodeiqjeð ìti (aþ) Oi protˆseic p q kai (p q) ( (p q)) eðnai logikˆ isodônamec. (bþ) Oi protˆseic p q kai (p ( q)) (q ( p)) eðnai logikˆ isodônamec Na deiqjeð ìti oi protˆseic (p q) r kai q ( p r) eðnai logikˆ isodônamec, blèpe Parat rhsh SumperasmatikoÐ kanìnec Orismìc 1.2. 'Enac sumperasmatikìc kanìnac (argument) eðnai mða (peperasmènh) seirˆ apì protˆseic p 1, p 2,..., p n 1, p n. H teleutaða prìtash p n lègetai sumpèrasma (conclusion), en oi upìloipec p 1, p 2,..., p n 1, lègontai upojèseic axi mata (premisses). 'Enac sumperasmatikìc kanìnac sun jwc dhl netai san p 1, p 2,..., p n 1, p n. To sômbolo diabˆzetai ˆra epomènwc. O sumperasmatikìc kanìnac p 1, p 2,..., p n 1, p n lègetai ègkuroc (valid) eˆn h tim thc p n eðnai α opoted pote oi p 1, p 2,..., p n 1 èqoun tim α. Diaforetikˆ o sumperasmatikìc kanìnac lègetai ˆkuroc (invalid). Parˆdeigma 1.6. Na exetasjoôn wc proc thn egkurìthta oi sumperasmatikoð kanìnec: 1. p, q, p q 2. Eˆn o EukleÐdhc eðnai ˆnjrwpoc tìte eðnai jnhtìc, o EukleÐdhc eðnai ˆnjrwpoc, ˆra o EukleÐdhc eðnai jnhtìc. 3. p q, q, p 1. O sqetikìc alhjopðnakac eðnai p q p q α α α α ψ ψ ψ α α ψ ψ α

13 SumperasmatikoÐ kanìnec 13 ParathroÔme ìti opoted pote oi upojèseic eðnai alhjeðc to sumpèrasma eðnai alhjèc (pr th gramm ). Epomènwc o sumperasmatikìc kanìnac eðnai ègkuroc. 2. Eˆn me p sumbolðsoume thn prìtash {O EukleÐdhc eðnai ˆnjrwpoc} kai me q thn {O EukleÐdhc eðnai jnhtìc} tìte o sumperasmatikìc kanìnac eðnai thc morf c p q, p, q. Ston alhjopðnaka tou erwt matoc 1 blèpoume ìti opoted pote oi upojèseic p q kai p eðnai alhjeðc (pr th gramm ) to sumpèrasma q eðnai alhjèc, ˆra o kanìnac eðnai ègkuroc. 3. Sth trðth gramm tou alhjopðnaka tou erwt matoc 1 blèpoume ìti oi upojèseic p q kai q eðnai alhjeðc en to summpèrasma p èqei tim ψ, epomènwc o sumperasmatikìc kanìnac eðnai ˆkuroc. Parat rhsh 1.3. Ston ègkuro sumperasmatikì kanìna p q, p, q (Parˆdeigma 1.6 2) sthrðzontai oi apodeðxeic tou tôpou A = B sta Majhmatikˆ. O kanìnac autìc lègetai Modus Ponens. Parˆdeigma 1.7. Eˆn p, q, r eðnai protˆseic na exetasjeð wc proc thn egkurìthta o sumperasmatikìc kanìnac: p q, p r, r q. O sqetikìc alhjopðnakac eðnai p q r p q p ( r) r q α α α α ψ α α α ψ α α α α ψ α α ψ ψ α ψ ψ α α α ψ α α α α α ψ α ψ α α α ψ ψ α ψ α ψ ψ ψ ψ ψ α α. Oi upojèseic p q kai p r brðskontai antðstoiqa sth tètarth kai pèmpth st lh kai parathroôme ìti opoted pote eðnai alhjeðc kai oi dôo, dhlad sth deôterh, tètarth, pèmpth kai èkth gramm, to sumpèrasma eðnai alhjèc. 'Ara o sumperasmatikìc kanìnac eðnai ègkuroc. Ask seic Sqoliˆste ta ParadeÐgmata 1.2, 1.3 upì to prðsma tou Modus Ponens Na deiqjeð ìti o sumperasmatikìc kanìnac p q, q, p p q, q, p p q, q, p eðnai ègkuroc. O kanìnac autìc lègetai Modus Tolens. Shmei noume ìti ston kanìna autì sthrðzontai oi apodeðxeic me thn eic ˆtopo apagwg.

14 14 StoiqeÐa Logik c Na exetasjeð eˆn o sumperasmatikìc kanìnac p q, q r, p r eðnai ègkuroc [5] Na exetasjeð wc proc thn egkurìthta o sumperasmatikìc kanìnac: Eˆn upˆrqei petrèlaio sth PolugonÐa tìte eðte oi eidikoð èqoun dðkio h kubèrnhsh yeôdetai. Den upˆrqei petrèlaio sth PolugonÐa oi eidikoð èqoun lˆjoc ˆpoyh. 'Ara h kubèrnhsh den yeôdetai Na apodeiqjeð to akìloujo Je rhma. O sumperasmatikìc kanìnac p 1, p 2,..., p n 1, p n eðnai ègkuroc tìte kai mìnon tìte ìtan (p 1 p 2 p n 1 ) p n eðnai tautologða. 'Etsi o Modus Ponens eðnai ègkuroc giatð h prìtash p (p q) q eðnai tautologða. 'Omoia o Modus Tolens eðnai ègkuroc giatð h prìtash q (p q) p eðnai tautologða. 1.3 Kathgor mata kai PosodeÐktec Ac jewr soume thn èkfrash {x > 0}. H èkfrash aut den eðnai prìtash, ekfrˆzei ìmwc mða idiìthta tou x. Ac orðsoume P (x) na shmaðnei {x > 0}. Tote h P (1) eðnai prìtash, kaj c kai h P ( 1/2). ProsdiorÐzontac loipìn th metablht x dhmiourgoôme protˆseic. Ac upojèsoume ìti to x eðnai pragmatikìc arijmìc. Tìte oi {gia kˆje pragmatikì arijmì x isqôei x > 0}, kai {upˆrqei pragmatikìc arijmìc x tètoioc ste x > 0} eðnai protˆseic, yeud c h pr th alhj c h deôterh. Ac upojèsoume t ra ìti to x eðnai fusikìc arijmìc, dhlad mporeð na pˆrei tic timèc 1, 2, 3, 4,... tìte h {gia kˆje fusikì arijmì x isqôei x > 0} eðnai mða alhj c prìtash. MÐa èkfrash pou dhl nei mða idiìthta thc metablht c x lègetai kathgìrhma (predicate). SumbolÐzetai sun jwc me P (x), Q(x). To sônolo apì to opoðo proèrqetai h metablht x lègetai pedðo orismoô tou kathgor matoc sônolo anaforˆc. Eˆn P (x) kai Q(x) eðnai kathgor mata tìte kai ta P (x), P (x) Q(x) P (x) Q(x) P (x) Q(x) ìpwc kai kˆje kalosqhmatismènoc sunduasmìc kathgorhmˆtwn kai logik n sundèsmwn eðnai kathgìrhma. Eˆn P (x) eðnai èna kathgìrhma me qr sh tou kajolikoô posodeðkth (universal quantifier) tou uparxiakoô posodeðkth (existential quantifier) prokôptoun oi protˆseic xp (x) xp (x) diabˆzetai {gia kˆje x P (x)} {gia ìla ta x P (x)} diabˆzetai {upˆrqei x tètoio ste P (x)} {gia kˆpoio x P (x)} Eˆn ìpwc prohgoômena P (x) shmaðnei {x > 0}, tìte h prìtash ( xp (x)) ja mporoôse na apodojeð san {den eðnai al jeia ìti kˆje pragmatikìc arijmìc ikanopoieð th sqèsh x > 0}, isodônama {upˆrqei kˆpoioc pragmatikìc arijmìc pou den eðnai megalôteroc tou 0}, isodônama {upˆrqei kˆpoioc pragmatikìc arijmìc pou ikanopoieð th sqèsh x 0}. Epeid h èkfrash {x 0} eðnai to kathgìrhma P (x) h teleutaða prìtash grˆfetai x( P (x)). 'Omoia h prìtash ( xp (x)) ja mporoôse na apodojeð san {den eðnai al jeia ìti upˆrqei pragmatikìc arijmìc pou na ikanopoieð thn P (x)}, isodônama {kˆje pragmatikìc arijmìc ikanopoieð thn

15 Kathgor mata kai PosodeÐktec 15 P (x)}, pou se sômbola apodðdetai san x( P (x)). 'Etsi eðnai logikì na orðsei kˆpoioc Eˆn P (x) eðnai èna kathgìrhma tìte ( xp (x)) x( P (x)) ( xp (x)) x( P (x)) Parˆdeigma 1.8. Na orisjoôn kathgor mata kai na apodojoôn me sômbola oi protˆseic: 1. {Den eðnai al jeia ìti ìla ta autokðnhta èqoun tèsseric troqoôc} 2. {Kˆje pragmatikìc arijmìc eðnai arnhtikìc èqei tetragwnik rðza} 1. Eˆn to sônolo anaforˆc eðnai ta autokðnhta kai me T (x) sumbolðsoume to kathgìrhma {to x èqei tèsseric troqoôc}, tìte h zhtoômenh prìtash metafrˆzetai se ( xt (x)), isodônama x( T (x)), pou shmaðnei ìti {upˆrqei autokðnhto pou den èqei tèsseric troqoôc}. MÐa perissìtero endiafèrousa prosèggish eðnai na jewr soume san sônolo anaforˆc ta mèsa metaforˆc. Eˆn me A(x) sumbolðsoume to kathgìrhma {to x eðnai autokðnhto} kai me T (x) to {to x èqei tèsseric troqoôc} tìte h prìtash x(a(x) T (x)) diabˆzetai {kˆje x pou eðnai autokðnhto èqei tèsseric troqoôc}. EmeÐc jèloume akrib c thn ˆrnhsh aut c thc prìtashc, dhlad thn ( x(a(x) T (x))), isodônama x( (A(x) T (x))), isodônama, mèsw thc 'Askhshc 1.3, x(a(x) ( T (x))). H teleutaða prìtash lèei ìti {upˆrqei mèso metaforˆc pou eðnai autokðnhto kai den èqei tèsseric troqoôc} suntom tera {upˆrqei autokðnhto pou den èqei tèsseric troqoôc}, h opoða ekfrˆzei akrib c ì,ti kai h dosmènh prìtash. 2. To sônolo anaforˆc eðnai oi pragmatikoð arijmoð, ètsi eˆn A(x) dhl nei ìti {x < 0} kai S(x) ìti { x eðnai pragmatikìc arijmìc} tìte h zhtoômenh prìtash eðnai x(a(x) S(x)). H èkfrash {x y} mporeð na dhlwjeð me Q(x, y) pou eðnai èna kathgìrhma me dôo metablhtèc. 'Etsi eˆn ta x kai y eðnai pragmatikoð arijmoð, tìte oi ( x)( y)q(x, y) shmaðnei {gia kˆje x upˆrqei y ètsi ste x y} ( x)( y)q(x, y) shmaðnei {gia kˆje x kai gia kˆje y isqôei x y} ( x)( y)q(x, y) shmaðnei {upˆrqoun pragmatikoð arijmoð x kai y ètsi ste x y} ( x)( y)q(x, y) shmaðnei {upˆrqei x tètoio ste gia kˆje y isqôei x y} eðnai protˆseic. H pr th eðnai alhj c, h deôterh yeud c, h trðth alhj c kai h tètarth yeud c. Gia na tonðsoume th shmasða tou pedðou orismoô tou kathgor matoc anafèroume ìti eˆn ta x kai y eðnai fusikoð arijmoð tìte h prìtash ( x)( y)q(x, y) eðnai alhj c. Ekfrˆzei thn Ôparxh elaqðstou stoiqeðou sto sônolo twn fusik n arijm n, tou 1. 'Ena kathgìrhma P (x) mðac metablht c lègetai bajmoô 1, en èna kathgìrhma P (x, y) lègetai bajmoô 2, genikˆ èna kathgìrhma bajmoô n perièqei n metablhtèc.

16 16 StoiqeÐa Logik c Parˆdeigma 1.9. Oi akèraioi arijmoð eðnai oi 0, ±1, ±2,.... Eˆn m kai n eðnai akèraioi arijmoð èstw Q(m, n) na shmaðnei m + n = 0. Na apodojoôn oi protˆseic ( m)( n)q(m, n) kai ( m)( n)q(m, n) sthn kajomiloumènh kai na brejeð h tim alhjeðac kˆje mðac apì autèc. H prìtash ( m)( n)q(m, n) mac lèei ìti {gia kˆje akèraio arijmì upˆrqei o antðjetìc tou} pou eðnai mða alhj c prìtash. O arijmìc n eðnai o m. H prìtash ( m)( n)q(m, n) lèei ìti {upˆrqei akèraioc arijmìc pou an prostejeð se opoiod pote akèraio dðnei ˆjroisma mhdèn}. H prìtash aut eðnai yeud c, tètoioc arijmìc den upˆrqei. (An upojèsoume ìti upˆrqei tìte gia n = 1 ja eðnai m + 1 = 0 = m = 1, en gia n = 2 ja eðnai m + 2 = 0 = m = 2, opìte ja eðqame 1 = 2, ˆtopo). Ask seic Na metafrasjoôn se sômbola oi protˆseic: (aþ) {'Oloi oi ˆnjrwpoi eðnai jnhtoð}. (bþ) {Den upˆrqei ajˆnatoc ˆnjrwpoc} AfoÔ jewr sete sa sônolo anaforˆc ìla ta èmbia ìnta orðste kathgor mata kai metafrˆste se sômbola thn prìtash {'Ola ta iptˆmena ìnta eðnai pouliˆ} Me sônolo anaforˆc touc fusikoôc arijmoôc na metafrasjoôn se sômbola oi protˆseic: (aþ) {Upˆrqoun pr toi arijmoð}. (bþ) {Upˆrqoun ˆpeiroi pr toi arijmoð}. (gþ) {KaneÐc arijmìc den eðnai kai ˆrtioc kai perittìc} Na metafrasjoôn se sômbola oi protˆseic: (aþ) {Gia kˆje zeugˆri akeraðwn x kai y diˆforwn tou mhdenìc upˆrqei o mègistoc koinìc diairèthc touc}. Upìdeixh: O mègistoc koinìc diairèthc eðnai akèraioc. (bþ) {Gia kˆje zeugˆri akeraðwn x kai y diˆforwn tou mhdenìc upˆrqei to elˆqisto koinì pollaplˆsiì touc}. Upìdeixh: To elˆqisto koinì pollaplˆsio eðnai akèraioc Na metafrasjeð se sômbola h prìtash (Je rhma tou EukleÐdh){Eˆn x kai y eðnai akèraioi arijmoð kai y > 0 tìte upˆrqei monadikìc akèraioc s kai monadikìc akèraioc r me 0 r < y ètsi ste x = ys + r}.

17 Kefˆlaio 2 SÔnola kai sunart seic 2.1 SÔnola H ènnoia tou sunìlou (set) sta Majhmatikˆ eðnai arqik kai den epidèqetai orismoô. EÐnai anˆlogh thc ènnoiac tou shmeðou kai thc eujeðac sthn EukleÐdia gewmetrða. Wstìso lègontac sônolo ennooôme mia sullog diakekrimmènwn antikeimènwn pou apoteloôn olìthta. 'Etsi gia parˆdeigma mporoôme na milˆme gia to sônolo twn koruf n enìc trig nou, to sônolo twn shmeðwn enìc eujugrˆmmou tm matoc, to sônolo twn riz n miac algebrik c exðswshc. An kai h ènnoia tou sunìlou eðqe qrhsimopoihjeð sta Majhmatikˆ h jewrða sunìlwn ˆrqise na anaptôssetai proc to tèloc tou 19ou ai na apì ton G. Cantor ( ). Gia mia axiwmatik jemelðwsh thc jewrðac sunìlwn parapèmpoume sta [5], [6]. Ta sônola ta sumbolðzoume, sun jwc, me kefalaða grˆmmata A, B,.... 'Ena antikeðmeno pou an kei sto sônolo A lègetai stoiqeðo shmeðo tou A. Ta stoiqeða sunìlwn ta sumbolðzoume me mikrˆ grˆmmata. Eˆn to x eðnai stoiqeðo tou A grˆfoume x A kai lème ìti to x an kei sto A ìti to x eðnai stoiqeðo tou A. Eˆn to x den eðnai stoiqeðo tou A grˆfoume x / A. Eˆn kˆje stoiqeðo tou sunìlou A perièqetai sto sônolo B tìte lème ìti to A eðnai uposônolo (subset) tou B kai grˆfoume A B B A. ParathroÔme ìti gia kˆje sônolo A isqôei A A. Merikèc forèc jèlontac na dhl soume ìti to A eðnai gn sio uposônolo tou B, upˆrqei dhlad stoiqeðo tou B pou den an kei sto A grˆfoume A B. Eˆn dôo sônola A kai B perièqoun ta Ðdia stoiqeða ja lème ìti ta dôo sônola eðnai Ðsa kai ja grˆfoume A = B. 'Etsi eˆn A = {x, y, z} kai B = {y, z, x}, tìte A = B. Eˆn ta A kai B den eðnai Ðsa grˆfoume A B. ParathroÔme ìti sth perðptwsh pou A = B tìte A B kai B A. Sugkekrimmèna èqoume Prìtash 2.1. 'Estw A kai B na eðnai dôo sônola. Eˆn A = B tìte A B kai B A. IsqÔei kai to antðstrofo, dhlad eˆn A B kai B A tìte A = B. Apìdeixh. Upojètoume ìti A = B kai deðqnoume ìti A B kai B A. 'Estw x A tìte x B, giatð A = B, ˆra A B. 'Omoia eˆn x B tìte x A, ˆra B A. Upojètoume t ra ìti A B kai B A. Tìte kˆje stoiqeðo tou A eðnai kai stoiqeðo tou B kai kˆje stoiqeðo tou B eðnai kai tou A. 'Ara A = B. 17

18 18 SÔnola kai sunart seic 'Ena sônolo mporeð na dhlwjeð me anagraf twn stoiqeðwn tou gia parˆdeigma eˆn A eðnai to sônolo twn fwnhèntwn tou ellhnikoô alfab tou tìte A = {a, e, h, i, o, u, w}, me perigraf twn stoiqeðwn tou ìpou gia to Ðdio parˆdeigma ja èqoume A = {x : x eðnai fwn en tou ellhnikoô alfab tou}. Parˆdeigma 2.1. Eˆn D eðnai to sônolo twn jetik n akeraðwn pou diairoôn to 12, tìte D = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, D = {x : x > 0 kai x/12}. To sônolo pou perièqei kanèna stoiqeðo lègetai kenì sônolo (empty set null set) kai sumbolðzetai me. Shmei noume ìti eˆn A eðnai èna opoiod pote sônolo tìte A giatð kˆje stoiqeðo tou perièqetai sto A, isodônama den upˆrqei stoiqeðo tou pou na mh perièqetai sto A. Se arketèc peript seic ta sônola pou qrhsimopoioôme eðnai jewroôntai uposônola enìc kai tou autoô sunìlou to opoðo ja onomˆzoume basikì sônolo, sômpan (universe). Sun jwc to sumbolðzoume me Ω. ParathroÔme ìti gia kˆje uposônolo A tou Ω èqoume A Ω. 2.2 Prˆxeic sunìlwn 'Estw A kai B uposônola tou Ω. H ènwsh (union) twn A kai B eðnai to sônolo ìlwn twn stoiqeðwn pou an koun se èna toulˆqiston apì ta A kai B. SumbolÐzetai me A B, ètsi (2.1) A B = {x : x A x B}. ParathroÔme ìti A B = B A. H tom (intersection) twn A kai B eðnai to sônolo ìlwn twn stoiqeðwn pou an koun kai sta dôo sônola A kai B. SumbolÐzetai me A B, ètsi (2.2) A B = {x : x A kai x B}. ParathroÔme ìti A B = B A. Eˆn A B = tìte ta sônola A kai B lègontai xèna diazeugmèna. H diaforˆ (difference) tou A apì to B eðnai to sônolo ìlwn twn stoiqeðwn tou A pou den an koun sto B. SumbolÐzetai me A B, A B, ètsi (2.3) A B = {x : x A kai x / B}.

19 Prˆxeic sunìlwn 19 ParathroÔme ìti A B B A. To sumpl rwma (complement) enìc sunìlou A wc proc to sômpan Ω eðnai to sônolo ìlwn twn stoiqeðwn tou Ω pou den an koun sto A. SumbolÐzetai me A c, ètsi (2.4) A c = {x : x Ω kai x / A}. SugkrÐnontac me thn (2.3) blèpoume ìti A c = Ω A. Epiplèon isqôoun oi nìmoi (2.5) A A c = Ω, A A c =, (A c ) c = A. Apì thn (2.3) epðshc èqoume (2.6) A B = {x : x A kai x / B} = {x : x A kai x B c } = A B c. Parˆdeigma 2.2. 'Estw Ω = R na eðnai to sônolo twn pragmatik n arijm n kai ac jewr soume ta sônola Tìte A = {x R : 0 x < 2} = [0, 2), B = {x R : 0 < x < 3} = (0, 3), C = {x R : 1 x 1} = [ 1, 1]. A B = {x R : 0 x < 2 0 < x < 3} = {x R : 0 < x < 3} = [0, 3) A B = {x R : 0 x < 2 kai 0 < x < 3} = {x R : 0 < x < 3} = (0, 2) A C = {x R : 0 x < 2 kai 1 x 1} = [0, 1] A B = {x R : 0 x < 2 kai (x 0 x 3)} = {0} B A = {x R : 2 x < 3} = [2, 3) C B = {x R : 1 x 0} = [ 1, 0] A c = {x R : x < 0 x 2} = (, 0) [2, ) C c = {x R : x < 1 x > 1} = {x R : x > 1} = (, 1) (1, ) (A B) C = {x R : 1 x < 3} = [ 1, 3) (A B) C = {x R : 0 < x 1} = (0, 1] A (B C) = A (B C) = Idiìthtec kai sunèpeiec twn prˆxewn. (2.7) (2.8) Antimetajetik idiìthta: A = A, A =, A = A, A A = A, A A = A, A A =. (2.9) A B = B A, A B = B A.

20 20 SÔnola kai sunart seic Prosetairistik idiìthta: (2.10) Epimeristik idiìthta: (2.11) (2.12) Nìmoi tou De Morgan: (2.13) (2.14) A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C. A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). (A B) c = A c B c, (A B) c = A c B c. Endeiktikˆ apodeiknôoume thn idiìthta (2.13) tou De Morgan. Apìdeixh. SÔmfwna me thn Prìtash 2.1 arkeð na deðxoume ìti (A B) c A c B c kai A c B c (A B) c. 'Estw èna tuqaðo x (A B) c = x / (A B) = x / A kai x / B = x A c kai x B c = x A c B c. ApodeÐxame loipìn ìti kˆje stoiqeðo tou (A B) c eðnai kai stoiqeðo tou A c B c, isodônama (A B) c A c B c. 'Estw t ra x A c B c = x A c kai x B c = x / A kai x / B = x / A B = x (A B) c, ˆra ìpwc prin sumperaðnoume ìti A c B c (A B) c. Telikˆ loipìn èqoume ìti (A B) c = A c B c. H summetrik diaforˆ (symmetric difference) twn A kai B eðnai to sônolo ìlwn twn stoiqeðwn pou an koun se èna toulˆqiston apì ta A B kai B A. SumbolÐzetai me A B, ètsi (2.15) A B = {x : x A B x B A}. Apì thn (2.1) blèpoume ìti (2.16) A B = (A B) (B A), en mporeð epðshc na deiqjeð ìti (2.17) A B = (A B) (B A). To kartesianì ginìmeno (cartesian product) twn mh ken n sunìlwn A kai B eðnai to sônolo ìlwn twn diatetagmènwn zeug n (a, b) ìpou a A kai b B. SumbolÐzetai me A B, ètsi (2.18) A B = {(a, b) : a A kai b B}. H isìthta sto kartesianì ginìmeno rðzetai me th sqèsh (2.19) (a, b) = (a, b ) eˆn kai mìnon eˆn a = a kai b = b. IsqÔei (a, b) (b, a) ektìc eˆn a = b. En gènei A B B A. Eˆn A = B grˆfoume A A = A 2.

21 Prˆxeic sunìlwn 21 Parˆdeigma 2.3. Eˆn Ω = R eðnai to sônolo twn pragmatik n arijm n, tìte R R = R 2 eðnai to sônolo ìlwn twn zeug n me pragmatikèc suntetagmènec, dhlad to epðpedo. Eˆn A eðnai èna sônolo me P(A) sumbolðzoume to sônolo ìlwn twn uposunìlwn tou A. 'Etsi (2.20) P(A) = {B : B A}. To sônolo P(A) lègetai dunamosônolo (power set) tou A. Blèpoume amèswc ìti P(A) kai A P(A). TonÐzoume ìti ta stoiqeða tou dunamosunìlou eðnai sônola. Parˆdeigma 2.4. Eˆn A = {0, 1, 2}, tìte P(A) = {, {0}, {1}, {2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}, {0, 1, 2}}. Ja apodeðxoume parakˆtw ìti eˆn to A apoteleðtai apì n stoiqeða tìte to P(A) èqei 2 n stoiqeða. Parat rhsh 2.1. Eˆn A eðnai èna tuqaðo sônolo tìte isqôoun ta parakˆtw { }, A, P(A), P(A), { } P(A). Na dojeð parˆdeigma sunìlou A tètoiou ste A. Parat rhsh 2.2 (GenikeÔseic). Ac jewr soume thn oikogèneia sunìlwn {A 1, A 2,..., A n }, tìte orðzoume (2.21) (2.22) n k=1 n k=1 A k = A 1 A 2 A n = {x : x A k gia èna toulˆqiston k {1, 2,..., n}} A k = A 1 A 2 A n = {x : x A k gia kˆje k {1, 2,..., n}} Eˆn orðsoume F = {A 1, A 2,..., A n }, tìte mporoôme na grˆfoume (2.23) n k=1 A k = A F A, n k=1 A k = A F Eˆn t ra F eðnai mða tuqaða mh ken oikogèneia sunìlwn san genðkeush twn sqèsewn (2.23) èqoume (2.24) (2.25) A F A F Parìmoia eˆn F = {A 1, A 2,..., A n } grˆfoume n (2.26) A, A = {x : x A gia kˆpoio A F} A = {x : x A gia ìla ta A F}. k=1 A k = A 1 A 2 A n = A F = {(a 1, a 2,, a n ) : a 1 A 1, a 2 A 2,... a n A n, } A

22 22 SÔnola kai sunart seic Ask seic Na deiqjeð ìti A B A B = B Na deiqjeð ìti eˆn A B = A kai A B = A, tìte A = B Na deiqjeð ìti genikˆ (A B) B A. Pìte isqôei (A B) B = A? 'Estw A, B, C tuqaða sônola. Na deiqjeð ìti (aþ) (A B) A = B A. (bþ) B (A B) = B A. (gþ) (A B) C = (A C) (B C) 'Estw A = {1, 2, 3, 4} kai B = {1, 2}. (aþ) Na grafoôn ta stoiqeða twn sunìlwn A B, B A kai B 2. (bþ) IsqÔei ìti A B = B A? Dikaiolog ste thn apˆnths sac. (gþ) Eˆn C A kai D B na deiqjeð ìti C D A B Na apodeiqjoôn oi idiìthtec (2.14) kai (2.17) Na apodeiqjoôn ta akìlouja: (aþ) A B = P(A) P(B). (bþ) P(A B) P(A) P(B). (gþ) P(A B) = P(A) P(B) Na deiqjeð ìti A B = B A =. 2.3 Sunart seic H ènnoia thc sunˆrthshc (function) eðnai gia ta Majhmatikˆ exðsou basik ìpwc aut tou sunìlou. Eˆn A kai B eðnai dôo sônola mða sunˆrthsh f apì to A sto B eðnai mða antistoiqða nìmoc pou antistoiqeð se kˆje stoiqeðo tou A èna kai mìno stoiqeðo tou B. Eˆn f eðnai mða sunˆrthsh apì to A sto B grˆfoume f : A B. Eˆn x A me f(x) sumbolðzoume to stoiqeðo tou B pou antistoiqeð mèsw thc f sto x. Lème ìti to f(x) eðnai h eikìna tou x mèsw thc f. Prin apo ton 18o ai na mða sunˆrthsh dhl nontan me kˆpoio majhmatikì tôpo pou epètrepe upologismoôc, ìpwc gia parˆdeigma f(x) = x 2, f(x) = sin x, f(x) = x/(x 2 +1). 'Egine ìmwc antilhptì ìti autì den iqôei pˆnta. Gia parˆdeigma eˆn n eðnai ènac jetikìc akèraioc arijmìc

23 Sunart seic 23 kai f(n) = to pl joc twn jetik n diairet n tou n, tìte den upˆrqei tôpoc gia to f(n). 'Etsi epekrˆthse h ènnoia thc antistoiqðac. Sun numa thc sunˆrthshc eðnai h apeikìnish (mapping), metasqhmatismìc (transformation), kajìson eˆn f : A B h f apeikonðzei to A sto B, metasqhmatðzei to A sto B. 'Estw f na eðnai eðnai mða sunˆrthsh apì to A sto B, dhlad f : A B. To sônolo A lègetai pedðo orismoô (domain) thc f. To sônolo twn y B gia ta opoða upˆrqoun x A tètoia ste y = f(x) lègetai pedðo tim n (range) thc f kai sumbolðzetai me R(f) R f. En gènei R(f) B. To uposônolo tou kartesianoô ginomènou A B G(f) = {(x, f(x)) : x A} lègetai grˆfhma (graph) thc f. Enallaktikˆ sumbolðzetai me G f. ShmeÐwsh. Oi perissìterec apì tic sunart seic pou ja mac apasqol soun èqoun pedðo orismoô to sônolo twn pragmatik n arijm n kˆpoio uposônolo autoô. To sônolo twn pragmatik n (real) arijm n sumbolðzetai me R. JumÐzoume ìti R = (, ). Se mða tètoia perðptwsh mporeð na dðnetai mìno o tôpoc thc sunˆrthshc qwrðc na dðnetai to pedðo orismoô. MporoÔme na sumbolðzoume to pedðo orismoô miˆc tètoiac sunˆrthshc me D(f) D f. Parˆdeigma 2.5. Ac jewr soume th sunˆrthsh f me tôpo f(x) = x/(x 1). Na brejoôn to pedðo orismoô kai to pedðo tim n thc f. H tetragwnik rðza orðzetai gia x 0, gia x [0, ). O paronomast c eðnai diˆforoc tou mhdenìc eˆn x 1, dhlad x (, 1) (1, ). 'Ara to klˆsma èqei ènnoia ekeð pou kai oi dôo sunj kec sumbaðnoun, opìte D(f) = [0, ) ((, 1) (1, )) = [0, 1) (1, ). To prìshmo tou f(x) kajorðzetai apì ton paronomast, ètsi f(x) < 0, eˆn 0 < x < 1, f(x) > 0, eˆn x > 1, en f(0) = 0. Isqurizìmaste ìti R(f) = R, dhlad an r eðnai ènac tuqaðoc pragmatikìc arijmìc tìte r R(f), isodônama upˆrqei x D(f) tètoio ste r = f(x), dhlad h exðswsh x x 1 = r èqei lôsh sto [0, 1) (1, ). Eˆn r = 0 tìte gia x = 0 h exðswsh ikanopoieðtai. 'Ara arkeð na upojèsoume ìti r 0. Uy nontac sto tetrˆgwno kai kˆnontac prˆxeic katal goume sthn exðswsh x 2 (2 + 1r 2 ) x + 1 = 0. H diakrðnousa tou triwnômou = (1 + 4r 2 )/r 4 eðnai jetik, ˆra upˆrqoun rðzec x 1 x 2 me x + x 2 = 2 + 1/r 2 kai x 1 x 2 = 1. Opìte oi rðzec x 1 kai x 2 eðnai jetikèc kai diˆforec tou 1 (giatð?). Sugkekrimèna x 1 = r r 2, x 2 = r r 2.

24 24 SÔnola kai sunart seic 'Etsi h lôsh thc exðswshc x/(x 1) = r eðnai h x 1 eˆn r > 0, x 2 eˆn r < 0. DÔo sunart seic f kai g ja lègontai Ðsec eˆn D(f) = D(g) kai f(x) = g(x) gia kˆje x D(f). Parˆdeigma 2.6. 'Estw A kai B dôo mh kenˆ sônola kai èstw b 0 B. H sunˆrthsh f : A B me tôpo f(x) = b 0, gia kˆje x A, lègetai stajer sunˆrthsh (constant function). Parˆdeigma 2.7. 'Estw A. H sunˆrthsh f : A A me tôpo f(x) = x, gia kˆje x A, lègetai tautotik sunˆrthsh (identity function) kai sumbolðzetai me τ A. Parˆdeigma 2.8. 'Estw A kai èstw f : A B. Eˆn A 0 A h sunˆrthsh f A0 : A 0 B pou orðzetai apì th sqèsh f A0 (x) = f(x), gia kˆje x A 0, lègetai o periorismìc thc f sto A 0 (restriction of f on A 0 ). 'Estw f : A B. Eˆn A 0 A me f(a 0 ) sumbolðzoume to sônolo ìlwn twn eikìnwn twn stoiqeðwn tou A 0. To sônolo autì lègetai h eikìna (image) tou A 0 mèsw thc f. 'Etsi f(a 0 ) = {y B : y = f(x) gia kˆpoio x A 0 }. ParathroÔme ìti f(a 0 ) B. Eˆn B 0 B me f 1 (B 0 ) sumbolðzoume to sônolo ìlwn twn stoiqeðwn tou A twn opoðwn oi eikìnec mèsw thc f an koun sto B 0. To sônolo autì lègetai h antðstrofh eikìna (preimage) tou B 0 mèsw thc f. 'Etsi f 1 (B 0 ) = {x A : f(x) B 0 }. ParathroÔme ìti f 1 (B 0 ) A. MporeÐ na deiqjeð ìti (2.27) (2.28) A 0 A= f 1 (f(a 0 )) A 0 B 0 B= f(f 1 (B 0 )) B 0 Parˆdeigma 2.9. JewroÔme th sunˆrthsh me tôpo f(x) = x 2 + 1, ìpou x R. Tìte eðnai D(f) = R, giatð f(x) 1, gia kˆje x R. Epiplèon R(f) = [1, ), f 1 (f([0, 1])) = f 1 ([1, 2]) = [ 1, 1] f(f 1 ([0, 2])) = f([ 1, 1]) = [1, 2]. 'Estw f : A B. H f lègetai èna proc èna (injective one to one) eˆn gia kˆje zeugˆri diakrit n stoiqeðwn tou D(f) oi eikìnec touc eðnai diakritèc, dhlad x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ).

25 Sunart seic 25 H sunj kh aut eðnai isodônamh (giatð?) me thn f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2. H f lègetai epð (surjective onto) eˆn kˆje stoiqeðo tou B eðnai eikìna kˆpoiou stoiqeðou tou A, dhlad y B = y = f(x) gia kˆpoio x A. IsodÔnama R(f) = B. Eˆn h f eðnai èna proc èna kai epð ja lègetai èna proc èna antistoiqða metaxô twn A kai B. Eˆn f : A B kai g : B C orðzoume th sunˆrthsh g f : A C me th sqèsh (g f)(x) = g(f(x)). H g f lègetai sônjesh (composite) twn f kai g. H g f orðzetai ìtan to pedðo tim n thc f perièqetai sto pedðo orismoô thc g, sqhmatikˆ R(f) D(g). Parˆdeigma Ac jewr soume tic sunart seic f : R R kai g : R R, me f(x) = x 2 + 1, kai g(x) = 3x. Na brejoôn oi g f kai f g eˆn autèc upˆrqoun. 'Eqoume D(f) = R, R(f) = [1, ), D(g) = R, R(g) = R. 'Etsi R(f) D(g) opìte h g f orðzetai (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 2 + 1) = 3(x 2 + 1). 'Omoia, epeid R(g) D(f) h f g epðshc orðzetai kai (f g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = (3x) Eˆn f : A B eðnai mða èna proc èna antistoiqða tou A me to B, tìte se kˆje stoiqeðo y B antistoiqeð èna kai mìno stoiqeðo x A tètoio ste y = f(x). 'Etsi mporeð na orisjeð h antðstrofh sunˆrthsh f 1 : B A thc f apì th sqèsh f 1 (y) = x f(x) = y. Parˆdeigma H sunˆrthsh f : [0, ) [ 1, ) me f(x) = x 1 eðnai èna proc èna kai epð. 'Ara upˆrqei h antðstrofh sunˆrthsh f 1 : [ 1, ) [0, ). Eˆn y eðnai h eikìna tou x mèsw thc f tìte y = x 1, opìte x = y + 1 x = (y + 1) 2. 'Etsi to (y + 1) 2 eðnai h eikìna tou y mèsw thc f 1, sunep c f 1 (x) = (x + 1) 2. An kai h posìthta (x + 1) 2 orðzetai gia kaje x R to pedðo orismoô thc f 1 eðnai to [ 1, ). ParathroÔme epðshc x [0, ) (f 1 f)(x) = f 1 (f(x)) = f 1 ( x 1) = (( x 1 + 1) 2 = x x [ 1, ) (f f 1 )(x) = f(f 1 (x)) = f((x + 1) 2 ) = (x + 1) 2 1 = (x + 1) 1 = x. Shmei noume ìti sth deôterh sqèsh x + 1 0, ˆra (x + 1) 2 = x + 1 = x + 1. Ask seic 'Estw f : R R kai g : R R na eðnai oi sunart seic f(x) = x 2 1 kai g(x) = x + 1. (aþ) Na brejeð h eikìna tou R mèsw thc f kai mèsw thc g.

26 26 SÔnola kai sunart seic (bþ) Na brejeð to f(g(r)). (gþ) Na brejeð to g(f(r)). (dþ) Na brejeð to f 1 ([ 1, 0]). (eþ) Na brejeð to f 1 (f([0, 1])). (þ) Na brejeð to f(f 1 ([ 1, 0])). (zþ) Na brejeð to f(g 1 ([ 1, 1])) 'Estw f : A B kai èstw A i A, i = 1, 2. Na deiqjeð ìti (aþ) Eˆn A 1 A 2 tìte f(a 1 ) f(a 2 ). (bþ) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ). (gþ) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ). (dþ) f(a 1 A 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ) 'Estw f : A B kai èstw B i B, i = 1, 2. Na deiqjeð ìti (aþ) Eˆn B 1 B 2 tìte f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). (bþ) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). (gþ) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ). (dþ) f 1 (B 1 B 2 ) = f 1 (B 1 ) f 1 (B 2 ) 'Estw f : A B, A 0 A, kai B 0 B. (aþ) Na apodeiqjoôn oi sqèseic (2.27) kai (2.28). (bþ) Na apodeiqjeð ìti isqôei isìthta sthn (2.27) eˆn h f eðnai èna proc èna. (gþ) Na apodeiqjeð ìti isqôei isìthta sthn (2.28) eˆn h f eðnai epð 'Estw f : A B. Na deiqjeð ìti oi parakˆtw protˆseic eðnai isodônamec: (aþ) H f eðnai èna proc èna. (bþ) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) gia ìla ta uposônola A 1 kai A 2 tou A. (gþ) f 1 (f(a 0 )) = A 0, gia kˆje sônolo A 0 A. (dþ) Eˆn A 1 A 2 = tìte f(a 1 ) f(a 2 ) = gia ìla ta uposônola A 1 kai A 2 tou A. (eþ) f(a 1 A 2 ) = f(a 1 ) f(a 2 ) gia ìla ta sônola A 1 A 2 A 'Estw f : A B kai g : B C. Eˆn C 0 C na deiqjeð ìti (g f) 1 (C 0 ) = f 1 (g 1 (C 0 )) Na apodeiqjeð ìti den upˆrqoun sunart seic f kai g pou na ikanopoioôn mða apì tic sqèseic:

27 Sunart seic 27 (i) f(x) + g(y) = xy (ii) f(x)g(y) = x + y gia kˆje x kai y. Upìdeixh: Upolog ste tic sunart seic se sugkekrimènec timèc Eˆn f(x) = x + 1, na exetasjeð eˆn upˆrqoun sunart seic g tètoiec ste f g = g f.

28 28 SÔnola kai sunart seic

29 Kefˆlaio 3 Oi FusikoÐ arijmoð 3.1 To sônolo twn fusik n arijm n To sônolo twn fusik n (natural) arijm n N orðzetai monadikˆ apì ta axi mata tou Peano ( ). Blèpe gia parˆdeigma [5], [4]. AxÐwma 1 O 1 eðnai fusikìc arijmìc. AxÐwma 2 Gia kˆje fusikì arijmì n upˆrqei ènac kai mìno ènac epìmenoc fusikìc arijmìc n +. AxÐwma 3 Den upˆrqei fusikìc arijmìc n me n + = 1. AxÐwma 4 Gia kˆje zeugˆri fusik n arijm n m kai n me m + = n + eðnai m = n. AxÐwma 5 Eˆn A eðnai èna sônolo fusik n arijm n me tic idiìthtec: (i) 1 A kai (ii) gia kˆje n A, o n + A tìte A = N. Eˆn n N orðzoume n + = n + 1, ètsi 1 + = 2, 2 + = 3, 3 + = 4 kai ta loipˆ, opìte (3.1) N = {1, 2, 3,..., n,... }. To teleutaðo axðwma qarakthrðzetai wc h arq thc majhmatik c epagwg c. Je rhma 3.1 (Arq thc Majhmatik c Epagwg c). 'Estw p(n) na eðnai mða prìtash pou diatup netai gia ton tuqaðo fusikì arijmì n, kai eðnai tètoia ste: (U 1 ) p(1) eðnai alhj c (U 2 ) Eˆn gia kˆje fusikì arijmì k ìtan h p(k) eðnai alhj c tìte kai h p(k + 1) eðnai alhj c. Tìte h prìtash p(n) eðnai alhj c gia kˆje n N. Apìdeixh. 'Estw A na eðnai to sônolo twn fusik n arijm n gia touc opoðouc h p eðnai alhj c, dhlad A = {n N : p(n) eðnai alhj c}. Apì thn upìjesh U 1 1 A, en apo thn U 2 eˆn k A tìte k + 1 A. Tìte ìmwc apì to axðwma 5 èpetai ìti A = N, isodônama h p(n) alhjeôei gia kˆje n N. 29

30 30 Oi FusikoÐ arijmoð Parat rhsh 3.1. Protˆseic autoô tou tôpou sunant ntai polô suqnˆ sta Majhmatikˆ. MÐa tètoia eðnai h prìtash p(n) n = n(n + 1)/2. Gia thn apìdeixh tou isqurismoô ìti h p(n) eðnai alhj c gia kˆje n N akoloujoôme ta b mata: (B 1 ) ApodeiknÔoume ìti h p(1) eðnai alhj c. (B 2 ) Upojètoume ìti h p(k) eðnai alhj c kai deðqnoume ìti h p(k + 1) eðnai alhj c. Parˆdeigma 3.1. Na deiqjeð ìti to ˆjroisma twn n pr twn fusik n arijm n 1, 2,..., n isoôtai me n(n + 1)/2, dhlad (3.2) n = Gia n = 1 h (3.2) gðnetai 1 = 1(1 + 1) 2 n(n + 1). 2 pou isqôei. 'Ara h (3.2) eðnai alhj c gia n = 1. Upojètoume ìti (3.3) k = kai apodeiknôoume ìti (3.4) (k + 1) = 'Eqoume k(k + 1) 2 (k + 1)(k + 2) (k + 1) = k + (k + 1) k(k + 1) = 2 k(k + 1) + 2(k + 1) = 2 (k + 1)(k + 2) = 2 + (k + 1) (apì thn upìjesh (3.3)) pou eðnai h (3.4). SÔmfwna me thn arq thc majhmatik c epagwg c h (3.2) eðnai alhj c gia kˆje n N. Parˆdeigma 3.2. Na apodeiqjeð h anisìthta tou Bernoulli (3.5) (1 + a) n 1 + na, a 1, gia kˆje fusikì arijmì n.

31 To sônolo twn fusik n arijm n 31 ApodeiknÔoume ìti h anisìthta isqôei gia n = 1. Pragmatikˆ (1 + a) 1 = 1 + a, ˆra h (3.5) iqôei san isìthta. Sth sunèqeia upojètoume ìti h (3.5) isqôei gia n = k, dhlad (1 + a) k 1 + ka kai apodeiknôoume ìti isqôei kai gia n = k + 1, dhlad (1 + a) k (k + 1)a. Ja èqoume (1 + a) k+1 = (1 + a)(1 + a) k (1 + a)(1 + ka) (apì thn upìjesh thc epagwg c) = 1 + ka + a + ka 2 = 1 + (k + 1)a + ka (k + 1)a (ka 2 0) pou eðnai h anisìthta pou jèloume. 'Ara h (3.5) isqôei gia kˆje n N. Parat rhsh 3.2. Sth gl ssa thc Logik c h arq thc Majhmatik c epagwg c kwdikopoieðtai wc ex c: {Eˆn h p(1) eðnai alhj c kai h p(k) p(k + 1) eðnai alhj c k N, tìte h p(n) eðnai alhj c n N}. Sth prˆxh autì apodeiknôoume afoô den gnwrðzoume eˆn h p(k) alhjeôei. Kˆpoiec forèc èqoume na apodeðxoume ìti h prìtash p(n) eðnai alhj c ìqi gia ìla ta n allˆ gia kˆje fusikì arijmì n n 0, ìpou n 0 eðnai kˆpoioc sugkekrimmènoc arijmìc. Sth perðptwsh aut san pr to b ma deðqnoume ìti h p(n 0 ) eðnai alhj c. Ja mporoôsame gia parˆdeigma na èqoume na apodeðxoume thn ex c parallag thc anisìthtac tou Bernoulli: Eˆn a 0 kai a > 1 na deiqjeð ìti (3.6) (1 + a) n > 1 + na, gia kˆje fusikì arijmì n 2. 'Ena ˆllo parˆdeigma eðnai to Parˆdeigma 3.3. Na apodeiqjeð ìti gia kˆje fusikì arijmì n 4 isqôei (3.7) Gia n = 4 èqoume ( ) n 3 > n ( ) 4 3 = > = 5 = 4 + 1, ˆra h anisìthta isqôei gia n = 4. Sth sunèqeia upojètoume ìti kai apodeiknôoume ìti ( ) k 3 > k ( ) k+1 3 > (k + 1)

32 32 Oi FusikoÐ arijmoð 'Etsi ( 3 2 ) k+1 = 3 2 ( ) k 3 2 > 3 (k + 1) (apì thn upìjesh thc epagwg c) 2 = k + k k (k 4) > (k + 1) + 1 pou eðnai ì,ti jèloume na apodeðxoume. 'Ara h (3.7) eðnai alhj c gia kˆje fusikì arijmì n 4. H (3.7) profan c den isqôei gia n = 3, kajìson (3/2) 3 = 3 + 1/2 < MÐa parallag thc Arq c thc Majhmatik c Epagwg c eðnai h parakˆtw. H apìdeix thc af netai san ˆskhsh. Je rhma 3.2. 'Estw p(n) na eðnai mða prìtash pou diatup netai gia ton tuqaðo fusikì arijmì n, kai eðnai tètoia ste: (U 1 ) p(1) eðnai alhj c (U 2 ) Eˆn gia kˆje fusikì arijmì k ìtan h p(j) eðnai alhj c gia kˆje j k tìte kai h p(k +1) eðnai alhj c. Tìte h prìtash p(n) eðnai alhj c gia kˆje n N. KleÐnoume aut thn parˆgrafo me mða akìmh efarmog thc majhmatik c epagwg c. To apotèlesma autì anafèrjhke sto Parˆdeigma 2.4. Pr ta eisˆgoume th sqetik orologða. Eˆn A eðnai èna sônolo pou apoteleðtai apì èna peperasmèno arijmì stoiqeðwn me A sumbolðzoume to pl joc twn stoiqeðwn tou. Eˆn A = n mporoôme na grˆfoume A = {a 1, a 2,..., a n }. ParathroÔme ìti eˆn A kai B eðnai peperasmèna sônola tìte A B A + B, sugkekrimmèna A B = A + B A B. Parˆdeigma 3.4. Na apodeiqjeð ìti eˆn A eðnai èna sônolo me A = n tìte P(A) = 2 n, gia kˆje fusikì arijmì n. JumÐzoume ìti P(A) eðnai to dunamosônolo tou A, dhlad to sônolo ìlwn twn uposunìlwn tou A. ApodeiknÔoume ton isqurismì gia n = 1. 'Estw A èna sônolo me èna stoiqeðo, dhlad A = A 1 = {a 1 }. Tìte P(A 1 ) = {, A 1 }, opìte P(A 1 ) = 2 = 2 1. Deqìmaste ìti o isqurismìc eðnai swstìc gia n = k. Upojètoume dhlad ìti eˆn A = k tìte P(A) = 2 k. Me thn parapˆnw upìjesh apodeiknôoume ìti o isqurismìc eðnai swstìc gia n = k + 1. Dhlad eˆn A eðnai èna sônolo me k + 1 stoiqeða tìte P(A) = 2 k+1. 'Estw loipìn ìti

33 To duwnumikì Je rhma 33 A = A k+1 = {a 1, a 2,..., a k+1 }, tìte ìmwc A = A k {a k +1}, ìpou A k = {a 1, a 2,..., a k }. Tìte ja èqoume P(A) = P(A k ) {B {a k+1 } : B P(A k )} (giatð?). Ara P(A) = P(A k ) + P(A k ) = 2 k + 2 k = 2 k+1, pou eðnai autì pou jèlame na deðxoume. 'Etsi o isqurismìc eðnai swstìc gia kˆje n N. ParathroÔme ed ìti eˆn A =, tìte A = 0, kai P(A) = { }, opìte P(A) = 1 = 2 0, dhlad h prìtash: A = n P(A) = 2 n eðnai alhj c gia n = 0, 1, 2,.... Arketèc forèc grˆfoume (3.8) N 0 = {0, 1, 2,..., n,... }. 3.2 To duwnumikì Je rhma Eˆn a kai b eðnai pragmatikoð arijmoð jumðzoume tic tautìthtec (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, oi opoðec epalhjeôontai eôkola kˆnontac prˆxeic. EÐnai loipìn logikì na skeftoôme eˆn up- ˆrqei genikìc tôpoc gia to anˆptugma tou (a + b) n, ìpou n N. Orismìc 3.1. Eˆn n N me n! sumbolðzoume ton arijmì n! = n. O n! diabˆzetai n paragontikì (factorial). 'Etsi 1! = 1, 2! = 1 2 = 2, 3! = = 6, kok. OrÐzoume epðshc 0! = 1. Gia kˆje n = 0, 1, 2, 3,... kai k = 0, 1, 2,..., n orðzoume ton duwnumikì suntelest (binomial coefficient) n anˆ k me th sqèsh ( ) n = k n! k!(n k)!. Parat rhsh 3.3 (Idiìthtec twn duwnumik n suntelest n). Eˆn n = 0, 1, 2,... kai k = 0, 1, 2,..., n, tìte isqôoun oi tautìthtec 1. ( ) n k = ( n ) n k, eidik tera gia k = n eðnai ( ) n = n H apìdeixh èpetai ˆmesa apì ton orismì, gia parˆdeigma ( ) n = n! n n!0! = n! n! = 1. ( ) n = 1. 0

34 34 Oi FusikoÐ arijmoð 2. ( ) ( ) n n + = k k 1 Prˆgmati ( ) n + 1 k ( ) ( ) n n + = k k 1 =. n! k!(n k)! + n! (k 1)!(n k + 1)! n!(n + 1) k!(n k + 1)! = (n + 1)! k!(n + 1 k)! = n!(n k + 1) + n!k = k!(n k + 1)! ( ) n + 1. Je rhma 3.3 (To Duwnumikì Je rhma). Eˆn a kai b eðnai pragmatikoð arijmoð tìte (3.9) (a + b) n = ( ) n a n + 0 gia kˆje fusikì arijmì n. ( ) n a n 1 b + 1 ( ) ( ) n n a n 2 b ab n n 1 k ( ) n b n n Apìdeixh. ParathroÔme ìti eˆn ènac toulˆqiston apì touc a kai b eðnai mhdèn tìte h (3.9) isqôei tetrimmèna. Ac upojèsoume ìti a 0 kai b 0, tìte opìte h (3.9) grˆfetai ( ) n [( ) a n a b n b + 1 = b n n 0 b + n (a + b) n = b n ( a b + 1 ) n, ( ) n a n 1 1 b + n 1 OrÐzontac t = a/b blèpoume ìti h (3.9) eðnai isodônamh me thn (3.10) (t + 1) n = ( ) n t n + 0 ( ) n t n ( ) ( ) n a n 2 n a 2 b + + n 2 n 1 b + ( ) ( ) n n t n t + 2 n 1 ApodeiknÔoume Gia thn (3.10) me majhmatik epagwg. n = 1 èqoume ( ) ( ) 1 1 t + = t + 1 = (t + 1) 1, 0 1 opìte h isìthta (3.10) isqôei gia n = 1. Sth sunèqeia upojètoume ìti Tìte (t + 1) k = ( ) k t k + 0 (t + 1) k+1 = (t + 1)(t + 1) k [( ) k = (t + 1) t k + 0 ( ) k t k ( ) k t k ( ) ( ) k k t k t + 2 k 1 ( ) n. n ( ) k. k ( ) ( ) k k t k t + 2 k 1 ( )] n. n ( )] k, k

35 EpagwgikoÐ orismoð 35 apì thn upìjesh thc epagwg c, ètsi upologðzoume ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k (t + 1) k+1 = t k+1 + t k + t k t 2 + t k 1 k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k k k k k + t k + t k t 2 + t k 2 k 1 k ( ) [( ) ( )] [( ) ( )] k k k k k = t k t k + + t k [( ) ( )] ( ) k k k + + t + k k 1 k ( ) ( ) ( ) ( k + 1 k + 1 k + 1 k + 1 = t k+1 + t k + t k k ) t + ( ) k + 1, k + 1 ìpou sthn teleutaða isìthta qrhsimopoi same tic idiìthtec twn duwnumik n suntelest n (blèpe Parat rhsh 3.3). H teleutaða ìmwc isìthta eðnai h (3.10) gia n = k + 1, opìte h (3.10) eðnai alhj c gia kˆje n N, ˆra kai h (3.9). Pìrisma 3.1. Na apodeiqjeð h idiìthta twn duwnumik n suntelest n (3.11) ( ) n + 0 ( ) n ( ) n = 2 n. n Apìdeixh. Apì th sqèsh (8.7) gia a = b = 1 èpetai to apotèlesma. 3.3 EpagwgikoÐ orismoð Parˆdeigma 3.5. Eˆn a 1, a 2, a 3,... eðnai pragmatikoð arijmoð orðzoume ìpou n N. 'Etsi 1 n+1 ( n ) a k = a 1 a k = a k + a n+1, k=1 2 a k = a 1 + a 2 k=1 k=1 k=1 3 a k = (a 1 + a 2 ) + a 3. Epeid (a 1 + a 2 ) + a 3 = a 1 + (a 2 + a 3 ) (prosetairistik idiìthta) mporoôme na grˆfoume k=1 kai genik tera 3 a k = a 1 + a 2 + a 3, k=1 n a k = a 1 + a a n. k=1

36 36 Oi FusikoÐ arijmoð Parˆdeigma 3.6. Eˆn A 1, A 2, A 3,... eðnai sônola orðzoume ìpou n N. 'Etsi 1 k=1 n+1 A k = A 1 2 A k = A 1 A 2 k=1 k=1 ( n ) A k = A k A n+1, k=1 3 A k = (A 1 A 2 ) A 3. k=1 Epeid (A 1 A 2 ) A 3 = A 1 (A 2 A 3 ) (prosetairistik idiìthta) mporoôme na grˆfoume kai genik tera 3 A k = A 1 A 2 A 3, k=1 n A k = A 1 A 2 A n. k=1 Apì de thn Parat rhsh 2.2 èpetai ìti k=1 A k = n N Ta anˆloga sumperˆsmata isqôoun kai gia thn tom. Ask seic A n Na deiqjeð ìti n < 2 n, gia kˆje fusikì arijmì n Na deiqjeð ìti 1 + 2n < 3 n, gia kˆje fusikì arijmì n Na deiqjeð ìti gia kˆje fusikì arijmì n n 2 = n(n + 1)(2n + 1) Na deiqjeð ìti gia kˆje fusikì arijmì n n (n + 1) = Na deiqjeð ìti gia kˆje fusikì arijmì n n n a + a a n = 1 an+1 1 a, a 1.

37 EpagwgikoÐ orismoð Na deiqjeð ìti gia kˆje fusikì arijmì n (1 a) n 1 na, a Na deiqjeð ìti gia kˆje fusikì arijmì n (1 a) n < Na deiqjeð ìti gia kˆje fusikì arijmì n na, 0 < a 1. n 2 2 (n + 1)2 < n < Na deiqjeð ìti to pl joc twn diagwnðwn polug nou me n korufèc isoôtai me n(n 3)/ Na deiqjeð ìti o 2 diaireð ton n 2 + n, gia kˆje fusikì arijmì n Na deiqjeð ìti o 3 diaireð ton n 3 n + 3, gia kˆje fusikì arijmì n Na deiqjeð ìti o 4 diaireð ton 5 n 1, gia kˆje fusikì arijmì n Na deiqjeð ìti o 64 diaireð ton 7 2n + 16n 1, gia kˆje fusikì arijmì n 'Estw a R. OrÐzoume a 1 = a a n+1 = a n a ìpou n N. Eˆn a kai b eðnai pragmatikoð arijmoð me qr sh thc majhmatik c epagwg c na deiqjeð ìti a m a n = a m+n, (a m ) n = a mn (ab) n = a n b n, gia kˆje fusikì arijmì n, ìpou m eðnai ènac tuqaðoc alla stajerìc fusikìc arijmìc Eˆn a b eðnai pragmatikoð arijmoð me qr sh thc majhmatik c epagwg c na deiqjeð ìti o a b eðnai parˆgontac tou a n b n gia kˆje fusikì arijmì n. Upìdeixh: a k+1 b k+1 = a k (a b) + (a k b k )b.

38 38 Oi FusikoÐ arijmoð

39 Kefˆlaio 4 Arijmhsimìthta 4.1 Arijm sima sônola Orismìc 4.1. 'Ena sônolo A ja lègetai peperasmèno (finite) eˆn eðnai to kenì, perièqei èna peperasmèno pl joc stoiqeðwn. 'Ena sônolo A ja lègetai arijm sima ˆpeiro (countably infinite) eˆn upˆrqei mða èna proc èna antistoiqða tou A me to N. 'Ena sônolo A ja lègetai arijm simo (countable) eˆn eðnai peperasmèno arijm sima ˆpeiro. 'Ena sônolo A ja lègetai mh arijm simo (uncountable) uperarijm simo eˆn den eðnai arijm simo. ParathroÔme oti eˆn to sônolo A eðnai peperasmèno tìte upˆrqei n N ste to A na mporeð na grafeð san A = {a 1, a 2,..., a n }. Eˆn to A eðnai arijm simo tìte upˆrqei mða èna proc èna sunˆrthsh apì to N epð tou A. 'Etsi mporoôme na grˆfoume A = {f(1), f(2), f(3),... }. Autì shmaðnei ìti se èna arijm simo sônolo ta stoiqeða mporoôn na arijmhjoôn san pr to, deôtero, trðto k.o.k. Upˆrqoun bèbaia ˆpeira sônola pou den eðnai arijm sima. 'Ena tètoio eðnai to sônolo twn pragmatik n arijm n R. Orismìc 4.2. DÔo sônola A kai B lègontai isodônama (equivalent) eˆn upˆrqei mða èna proc èna antistoiqða metaxô touc. Eˆn ta A kai B eðnai isodônama grˆfoume A B. Prìtash 4.1. Eˆn A, B, kai C eðnai sônola tìte isqôoun ta: 1. A A 2. Eˆn A B, tìte B A. 3. Eˆn A B kai B C, tìte A C. 4. 'Estw A = {a 1, a 2,..., a m } kai B = {b 1, b 2,..., b n }. Tìte A B m = n. H apìdeixh af netai san ˆskhsh. Parˆdeigma 4.1. 'Estw N 2 = {2, 4, 6,..., 2n,... } na eðnai to sônolo twn ˆrtiwn fusik n arijm n. Na deiqjeð ìti N 2 N, dhlad to N 2 eðnai arijm simo. 39

40 40 Arijmhsimìthta H sunˆrthsh f : N N 2 pou orðzetai me th sqèsh f(n) = 2n eðnai èna proc èna kai epð tou N 2. Prˆgmati eˆn f(n 1 ) = f(n 2 ) isodônama 2n 1 = 2n 2, tìte n 1 = n 2. Epi plèon eˆn m N 2, tìte m = 2n gia kˆpoio n N, opìte f(n) = 2n = m. Parˆdeigma 4.2. To sônolo twn akèraiwn (integer) arijm n orðzetai na eðnai to (4.1) Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... }. Epeid N Z to sônolo Z eðnai ˆpeiro. Na deiqjeð ìti to Z eðnai arijm simo, dhlad Z N. OrÐzoume th sunˆrthsh f : N Z apì tic sqèseic: f(1) = 0, f(2) = 1, f(3) = 1, f(4) = 2, f(5) = 2, genik tera f(n) = n 1 2 n 2 eˆn n perittìc eˆn n ˆrtioc MporeÐ na deiqjeð ìti h f eðnai mða èna proc èna antistoiqða metaxô twn N kai Z. Parˆdeigma 4.3. To sônolo N N eðnai arijm simo, dhlad N N N. OrÐzoume th sunˆrthsh f : N N N apì th sqèsh f(m, n) = 2 m 1 (2n 1). (i) H f eðnai èna proc èna. Prˆgmati èstw f(m 1, n 1 ) = f(m 2, n 2 ), isodônama 2 m 1 1 (2n 1 1) = 2 m 2 1 (2n 2 1) kai ac upojèsoume ìti m 1 m 2. Tìte diair ntac kai ta dôo mèlh me 2 m 2 1 isodônama ja èqoume 2 m 1 m 2 (2n 1 1) = (2n 2 1). Autì ìmwc eðnai ˆtopo giati to aristerì mèloc eðnai ˆrtioc arijmìc en to dexð eðnai perittìc. Katal xame se ˆtopo giatð upojèsame ìti m 1 m 2, ˆra m 1 = m 2. Tìte ìmwc ja eðnai 2n 1 1 = 2n 2 1, opìte n 1 = n 2. 'Etsi telikˆ prokôptei (m 1, n 1 ) = (m 2, n 2 ). (ii) H f eðnai epð, dhlad eˆn k N tìte upˆrqoun m, n N tètoioi ste f(m, n) = k. Eˆn o k eðnai perittìc tìte k = 2n 1 gia kˆpoio n N, opìte k = f(1, n). Eˆn o k eðnai ˆrtioc tìte k = 2 m (2n 1), gia kˆpoiouc fusikoôc arijmoôc m kai n, blèpe 'Askhsh 1. Tìte ìmwc k = f(m + 1, n). Parat rhsh 4.1. Eˆn ta A kai B eðnai arijm sima sônola tìte to A B eðnai arijm simo. Upˆrqoun sunart seic g : A N kai h : B N èna proc èna kai epð, opìte eˆn f eðnai h sunˆrthsh tou ParadeÐgmatoc 4.3, tìte h sunˆrthsh j : A B N pou orðzetai me th sqèsh j(a, b) = f(g(a), h(b)) = 2 g(a) 1 (2h(b) 1), eðnai èna proc èna kai epð, san sônjesh èna proc èna kai epð sunart sewn. Je rhma 4.1. 'Estw A. Oi akìloujec protˆseic eðnai isodônamec:.

41 Arijm sima sônola Upˆrqei mða sunˆrthsh epð f : N A. 2. Upˆrqei mða sunˆrthsh èna proc èna f : A N. 3. To A eðnai arijm simo. Gia thn apìdeixh parapèmpoume sto [8]. Pìrisma 4.1. Kˆje ˆpeiro uposônolo enìc arijmhsðmou sunìlou eðnai arijm simo. Apìdeixh. 'Estw A 0 A me A 0 na eðnai ˆpeiro kai A arijm simo. Eˆn f : A N eðnai mða èna proc èna antistoiqða tìte o periorismìc thc f sto A 0, f A0 : A 0 N eðnai èna proc èna. Apì to Je rhma 4.1 èpetai ìti to A 0 eðnai arijm simo. Sunèpeia tou PorÐsmatoc 4.1 eðnai ìti ta sônola twn ˆrtiwn kai twn peritt n arijm n eðnai arijm sima. Parˆdeigma 4.4. To sônolo twn rht n (rational) arijm n orðzetai na eðnai to (4.2) Q = { m n : m Z, n N }. ParathroÔme ìti Z Q. Na deiqjeð ìti to Q eðnai arijm simo, dhlad Q N. H sunˆrthsh g : Z N Q me g(m, n) = m/n eðnai profan c epð. Apì de thn Parat rhsh 4.1 èpetai ìti to Z N eðnai arijm simo sônolo, ˆra upˆrqei sunˆrthsh h : N Z N èna proc èna kai epð. 'Etsi h sônjesh g h : N Q eðnai epð. Tìte apì to Je rhma 4.1 èpetai ìti to Q eðnai arijm simo. Je rhma 4.2. H ènwsh enìc arijmhsðmou pl jouc arijm simwn sunìlwn eðnai arijm simo sônolo, dhlad eˆn gia n = 1, 2, 3,... A n = {a n1, a n2, a n3,... }, tìte to sônolo (4.3) A = eðnai arijm simo. n=1 = A n = n,m=1 {a nm } Apìdeixh. JewroÔme thn sunˆrthsh f : A N pou orðzetai apì th sqèsh f(a nm ) = 2 n 3 m. To f(a) eðnai èna gn sio uposônolo tou N. 'Ara apì thn Prìtash 4.1 èpetai ìti to f(a) eðnai arijm simo. 'Eqoume loipìn ìti A f(a) kai f(a) N, epomènwc apì thn Prìtash 4.1, èpetai ìti A N. Parat rhsh 4.2. To ìti to sônolo twn rht n Q eðnai arijm simo mporeð na apodeiqjeð me qr sh tou Jewr matoc 4.2. 'Etsi orðzoume ta sônola E 1 = {0}, E 2 = { } { 1 1, E 3 = 2 3, 2 } { 1, E 4 = 3 4, 2 4, 3 } { 1,..., E n = 4 n, 2 n, 3 n,..., n 1 },.... n

42 42 Arijmhsimìthta To sônolo twn rht n arijm n sto diˆsthma [0, 1), A 1 = {r Q : 0 r < 1} eðnai h ènwsh A 1 = n=1 ˆra apì to Je rhma 4.2 èpetai ìti to A 1 eðnai arijm simo. Kˆje rhtìc arijmìc sto [n, n + 1), ìpou n Z, grˆfetai san n + r, ìpou r A 1 (giatð?), epomènwc eˆn A n eðnai to sônolo twn rht n sto [n, n + 1) to A n eðnai arijm simo. Epeid E n Q = n Z A n, mða akìmh efarmog tou Jewr matoc 4.2 odhgeð sto sumpèrasma ìti to Q eðnai arijm simo. Parˆdeigma 4.5. To sônolo twn pragmatik n arijm n R eðnai mh arijm simo. ApodeiknÔoume ìti èna uposônolo tou R to diˆsthma (0, 1) eðnai mh arijm simo. H apìdeixh gðnetai me thn eic ˆtopo apagwg. Upojètoume loipìn oti to (0, 1) eðnai arijm simo kai ac eðnai {x 1, x 2, x 3,... } mða arðjmhsh twn stoiqeðwn tou. Grˆfontac to dekadikì anˆptugma kˆje stoiqeðou ja èqoume x 1 = 0.a 11 a 12 a 13 a 1n, x 2 = 0.a 21 a 22 a 23 a 2n,. x n = 0.a n1 a n2 a n3 a nn,. ìpou ta a nk paðrnoun tic timèc 0, 1, 2,..., 9. Qrhsimopoi ntac th diag nia diadikasða tou Cantor deðqnoume ìti upˆrqei pragmatikìc arijmìc x pou den perièqetai sthn parapˆnw lðsta. JewroÔme loipìn ton arijmì { 1 eˆn a x = 0.b 1 b 2 b 3 b n, ìpou nn 1 b n = 2 eˆn a nn = 1. Profan c x (0, 1), kai apì ton trìpo kataskeu c prokôptei ìti b n a nn gia kˆje n N. 'Etsi x x 1, giatð diafèroun sto pr to dekadikì yhfðo, x x 2, giatð diafèroun sto deôtero dekadikì yhfðo, kai genikˆ x x n, gia kˆje n, giatð diafèroun sto nosto dekadikì yhfðo. Autì ìmwc eðnai ˆtopo giatð to {x 1, x 2, x 3,... } perilambˆnei ìlouc touc arijmoôc tou (0, 1). Katal xame se ˆtopo giatð upojèsame ìti to (0, 1) eðnai arijm simo, epomènwc to (0, 1) eðnai uperarijm simo, ˆra kai to R. ShmeÐwsh. 'Enac pragmatikìc arijmìc mporeð na èqei dôo dekadikˆ anaptôgmata, ìpwc gia parˆdeigma o 1/2 = = , apokleðontac ìmwc th qr sh twn yhfðwn 0 kai 9, ìpwc sumbaðnei ston x apokleðetai èna tètoio endeqìmeno, kai ètsi o x den mporeð na paristˆnei kˆpoio apì ta x 1, x 2, x 3,....

43 Plhjˆrijmoi Plhjˆrijmoi Orismìc 4.3. Eˆn A eðnai èna peperasmèno sônolo me A sumbolðzoume to pl joc twn stoiqeðwn tou. OrÐzoume san plhjˆrijmo (cardinal number) tou A ton arijmì A. ParathroÔme ìti eˆn A kai B eðnai peperasmèna sônola tìte A B = A + B A B. Sto Parˆdeigma 3.4 deðxame ìti gia kˆje peperasmèno sônolo A isqôei P(A) = 2 A. IsqÔei epðshc ìti A B = A B 1. Dhlad mporoôme na orðsoume prˆxeic metaxô plhjarðjmwn. Parat rhsh 4.3. H ènnoia tou plhjˆrijmou epekteðnetai kai sta ˆpeira sônola. 'Etsi eˆn A kai B eðnai dôo sônola me A B ja lème ìti ta A kai B èqoun ton Ðdio plhjˆrijmo kai ja grˆfoume A = B. Kˆje fusikìc arijmìc n eðnai plhjˆrijmoc, gia parˆdeigma tou sunìlou A = {a 1, a 2,..., a n }, en to 0 eðnai o plhjˆrijmoc tou. O mikrìteroc ˆpeiroc plhjˆrijmoc eðnai autìc tou sunìlou N. SumbolÐzetai me ℵ 0 kai diabˆzetai ˆlef mhdèn. 'Etsi grˆfoume N = ℵ 0. O plhjˆrijmoc tou R sumbolðzetai me c, ètsi R = c. Oi plhjˆrijmoi pou èqoume anafèrei mporoôn na diataqjoôn, ètsi èqoume (4.4) 1 < 2 < 3 < < ℵ 0 < c. MporeÐ na apodeiqjeð ìti 2 ℵ 0 = c, blèpe [9], en to Je rhma tou Cantor lèei ìti gia kˆje sônolo A isqôei A < P(A), blèpe [6], ètsi h diˆtaxh (4.4) mporeð na epektajeð (4.5) 1 < 2 < 3 < < ℵ 0 < c < 2 c < 2 2c <. O Cantor èjese to er thma katˆ pìson upˆrqoun plhjˆrijmoi metaxô ℵ 0 kai c. H apˆnthsh den eðnai gnwst. Sugkekrimmèna o isqurismìc Kˆje ˆpeiro sônolo pragmatik n arijm n eðte eðnai arijm simo èqei plhjˆrijmo Ðso me c eðnai gnwstìc san h upìjesh tou suneqoôc (continuum hypothesis). O Gödel to 1938 apèdeixe ìti h upìjesh tou suneqoôc mporeð na perilhfjeð san axðwma sth gnwst jewrða sunìlwn Zermelo-Fraenkel qwrðc na dhmiourgoôntai antifˆseic. O de Cohen to 1963 apèdeixe ìti h upìjesh tou suneqoôc den mporeð na apodeiqjeð apì ta jewr mata tou sust matoc Zermelo-Fraenkel. Parat rhsh 4.4. Me to Parˆdeigma 4.1 blèpoume ìti en N 2 N isqôei ìti N 2 N, dhlad èna ˆpeiro sônolo mporeð na èqei ton Ðdio plhjˆrijmo me kˆpoio uposônolì tou. 'Omoia eˆn N 1 eðnai to sônolo twn peritt n arijm n, dhlad N 1 = {1, 3, 5,..., 2n 1,... }, mporeð na deiqjeð ìti N 1 N. Epeid N = N 1 N 2 kai N 1 N 2 =, ja eðnai N = N 1 + N 2, isodônama ℵ 0 + ℵ 0 = ℵ 0. Sto de Parˆdeigma 4.3 deðxame ìti ℵ 0 ℵ 0 = ℵ 0. Ask seic Na deiqjeð ìti kˆje ˆrtioc fusikìc arijmìc grˆfetai sth morf 2 p q, ìpou p N kai o q N eðnai perittìc arijmìc. Upìdeixh: Majhmatik epagwg. 1 Το A B αποτελείται από τα διατεταγμένα ζεύγη (a, b) όπου a A και b B. Ετσι εάν A = {a 1, a 2,..., a m } και B = {b 1, b 2,..., b n } τότε το a 1 συνδυάζεται με n στοιχεία για τη δημιουργία n ζευγών, των (a 1, b 1 ), (a 1, b 2 ),..., (a 1, b n ). Ομοια και τα υπόλοιπα στοιχεία του A. Άρα ο ολικός αριθμός των ζευγών του A B είναι mn.

44 44 Arijmhsimìthta Na brejeð h sunˆrthsh h sthn apìdeixh tou ParadeÐgmatoc 4.4. Upìdeixh: Blèpe ParadeÐgmata 4.2 kai 4.1.

45 Kefˆlaio 5 Oi pragmatikoð arijmoð 5.1 To s ma twn pragmatik n arijm n To sônolo twn pragmatik n arijm n mporeð na kataskeuasjeð apì touc rhtoôc arijmoôc mèsw jemeliwd n akolouji n (mèjodoc tou Cantor). Gia mða tètoia kataskeu parapèmpoume sto [10]. Deqìmaste loipìn ìti upˆrqei èna sônolo R, pou lègetai to sônolo twn pragmatik n arijm n (real numbers) efodiasmèno me dôo eswterikèc prˆxeic + kai, dhlad eˆn x kai y eðnai pragmatikoð arijmoð tìte kai oi x + y kai x y eðnai pragmatikoð arijmoð, pou lègontai prìsjesh (addition) kai pollaplasiasmìc (multiplication) ètsi ste na isqôoun oi parakˆtw nìmoi/axi mata: 1. x + y = y + x. 2. (x + y) + z = x + (y + z). 3. Upˆrqei monadikìc pragmatikìc arijmìc pou lègetai mhdèn (zero) kai sumbolðzetai me 0, ètsi ste x + 0 = x, gia kˆje pragmatikì arijmì x. 4. Gia kˆje pragmatikì arijmì x upˆrqei monadikìc pragmatikìc arijmìc x, ètsi ste x + x = 0. O pragmatikìc arijmìc x lègetai o antðjetoc (opposite) tou x kai sumbolðzetai me x. 5. x y = y x. 6. (x y) z = x (y z). 7. Upˆrqei monadikìc pragmatikìc arijmìc pou lègetai èna (one) kai sumbolðzetai me 1, 1 0 ètsi ste x 1 = x, gia kˆje pragmatikì arijmì x. 8. Gia kˆje pragmatikì arijmì x 0 upˆrqei monadikìc pragmatikìc arijmìc x, ètsi ste x x = 1. O pragmatikìc arijmìc x lègetai o antðstrofoc (inverse) tou x kai sumbolðzetai me x 1, 1/x. 9. x (y + z) = x y + x z. 45

46 46 Oi pragmatikoð arijmoð Sto sônolo R twn pragmatik n arijm n orðzetai mða sqèsh h diˆtaxh tètoia ste 10. Eˆn x y kai y z tìte x z. 11. x y kai y x eˆn kai mìnon eˆn x = y. 12. Eˆn x kai y eðnai pragmatikoð arijmoð tìte x y y x. 13. Eˆn x y tìte x + z y + z gia kˆje pragmatikì arijmì z. 14. Eˆn 0 x kai 0 y tìte 0 x y. Ac eðnai S èna sônolo pragmatik n arijm n gia to opoðo upˆrqei pragmatikìc arijmìc x tètoioc ste gia kˆje y S na isqôei y x. To sônolo S lègetai ˆnw fragmèno (bounded above) kai to x lègetai èna ˆnw frˆgma (upper bound) tou S. Eˆn s eðnai ènac pragmatikìc arijmìc tètoioc ste s x gia kˆje ˆnw frˆgma x tou S, tìte o s lègetai elˆqisto ˆnw frˆgma (least upper bound) supremum tou S kai sumbolðzetai me sup S. 15. Eˆn S eðnai èna ˆnw fragmèno sônolo pragmatik n arijm n tìte upˆrqei elˆqisto ˆnw frˆgma tou S. Parat rhsh 5.1. Eˆn x kai y, eðnai pragmatikoð arijmoð o pragmatikìc arijmìc x + y lègetai ˆjroisma (sum) twn x kai y, en o x y lègetai ginìmeno (product) twn x kai y. Sun jwc to ginìmeno grˆfetai xy. OrÐzoume th prˆxh thc afaðreshc (subtraction) me th sqèsh y x = y + ( x). Parìmoia eˆn x kai y, eðnai pragmatikoð arijmoð kai x 0 orðzoume to phlðko (quotient) tou y dia x me th sqèsh y x = yx 1 = y 1 x. Eˆn x y grˆfoume y x. EpÐshc eˆn x y kai y x 0 grˆfoume x < y, y > x. 'Enac arijmìc x lègetai jetikìc (positive) eˆn x > 0 kai arnhtikìc (negative) eˆn x < 0. Parat rhsh 5.2. Eˆn A eðnai èna tuqaðo sônolo efodiasmèno me dôo eswterikèc prˆxeic kai tètoiec ste na ikanopoioôntai oi idiìthtec/axi mata 1 9 me sth jèsh tou + kai sth jèsh tou, tìte h triˆda (A,, ) lègetai s ma (field). 'Ara oi pragmatikoð arijmoð me tic gnwstèc prˆxeic apoteloôn s ma. 'Ena s ma pou ikanopoieð ta axi mata lègetai diatetagmèno s ma (ordered field), en eˆn epiplèon ikanopoieð kai to axðwma 15 lègetai pl rwc diatetagmèno s ma (totally ordered field),ˆra oi pragmatikoð arijmoð me th gnwst diˆtaxh apoteloôn èna pl rwc diatetagmèno s ma. ApodeiknÔetai ìti to s ma twn pragmatik n arijm n eðnai katˆ kˆpoio trìpo monadikì, me thn ènnoia ìti kˆje s ma pou ikanopoieð ta axi mata 1 15 eðnai tautìshmo me to R, Ðsomorfo (isomorphic) me to R sth gl ssa thc ˆlgebrac 1. Gia thn apìdeixh parapèmpoume sto [10]. 1 Εάν (A,,, ) είναι ένα σώμα που ικανοποιεί τα αξιώματα 1 15, είναι δηλαδή ένα πλήρως διατεταγμένο σώμα, τότε υπάρχει μία συνάρτηση f : A R ένα προς ένα και επί τέτοια ώστε εάν x και y είναι στοιχεία του

47 H eujeða twn pragmatik n arijm n 47 Eˆn x eðnai ènac pragmatikìc arijmìc orðzoume thn apìluth tim (absolute value) tou x me th sqèsh x = { x eˆn x 0 x eˆn x < 0. ParathroÔme ìti x 0 gia kˆje pragmatikì arijmì x. 5.2 H eujeða twn pragmatik n arijm n ApodeiknÔetai apì ta axi mata twn pragmatik n arijm n ìti to sônolo R èqei thn epiplèon idiìthta 16. Eˆn x < y tìte upˆrqei pragmatikìc arijmìc z tètoioc ste x < z kai z < y. Eˆn x < z kai z < y grˆfoume x < z < y. H idiìthta 16 ekfrˆzei thn puknìthta twn pragmatik n arijm n. To apotèlesma autì odhgeð sto na jewroôme touc pragmatikoôc arijmoôc san ta shmeða mðac eujeðac. Eˆn jewr soume ta sômbola kai +, antðstoiqa, meðon ˆpeiro (minus infinity) kai sôn ˆpeiro (plus infinity), tètoia ste < x < +, gia kˆje pragmatikì arijmì x, mporoôme na grˆfoume R = (, + ). Eˆn x kai y eðnai pragmatikoð arijmoð me x < y, tìte me ta diast mata (x, y), [x, y), (x, y], [x, y] sumbolðzoume anðstoiqa to sônolo twn pragmatik n arijm n z pou ikanopoioôn tic sqèseic x < z < y, x z < y, x < z y, x z y. 'Omoia eˆn x eðnai ènac pragmatikìc arijmìc me ta hmiˆpeira diast mata (, x), (, x], (x, + ), [x, + ) sumbolðzoume anðstoiqa to sônolo twn pragmatik n arijm n z pou ikanopoioôn tic sqèseic z < x, x, z > x, z x. Parˆdeigma 5.1. Eˆn S = (1, 2), tìte to 2 kaj c kai kˆje pragmatikìc arijmìc x 2 eðnai èna ˆnw frˆgma tou S. 'Omoia eˆn S = (1, 2], tìte kˆje x 2 eðnai èna ˆnw frˆgma tou S. ParathroÔme ìti eˆn S = (1, 2), tìte sup S = 2 kai sup S / S, en an S = (1, 2], tìte sup S = 2 kai sup S S, dhlad to elˆqisto ˆnw frˆgma sunìlou mporeð na an kei na mhn an kei sto sônolo. ParathroÔme ìti to sup(1, + ) den upˆrqei (giati?). A, τότε f(x y) = f(x) + f(y), f(x y) = f(x)f(y), x y = f(x) f(y).

48 48 Oi pragmatikoð arijmoð 'Ena sônolo S R lègetai kˆtw fragmèno (bounded below) eˆn upˆrqei pragmatikìc arijmìc x tètoioc ste gia kˆje y S na isqôei y x. To x lègetai èna kˆtw frˆgma (lower bound) tou S. Eˆn s eðnai ènac pragmatikìc arijmìc tètoioc ste s x gia kˆje kˆtw frˆgma x tou S, tìte o s lègetai mègisto kˆtw frˆgma (greatest lower bound) infimum tou S kai sumbolðzetai me inf S. SÔmfwna me ton orismì tou megðstou kˆtw frˆgmatoc blèpoume ìti inf(1, 2) = 1, inf[1, 2) = 1, en to inf(, 2) den upˆrqei. MporeÐ na apodeiqjeð h akìloujh prìtash. Gia thn apìdeixh blèpe tic ask seic. Prìtash 5.1. Kˆje kˆtw fragmèno sônolo pragmatik n arijm n èqei elˆqisto kˆtw frˆgma. Anafèroume, gia plhrìthta, ta parakˆtw apotelèsmata. H Prìtash 5.2 eðnai apìrrroia tou axi matoc 15, en h Prìtash 5.3 eðnai sunèpeia twn Protˆsewn 5.1 kai 5.2. Gia thn apìdeixh parapèmpoume sto sôggramma [2]. Prìtash 5.2 (AxÐwma tou Arqim dh). Eˆn x kai y eðnai jetikoð pragmatikoð arijmoð, tìte upˆrqei fusikìc arijmìc n tètoioc ste y < nx. Prìtash 5.3. Eˆn x kai y eðnai pragmatikoð arijmoð me x < y, tìte upˆrqei rhtìc arijmìc r tètoioc ste x < r < y. KleÐnontac thn parˆgrafo anafèroume ìti kˆpoioc xekin ntac me thn paradoq ìti upˆrqei èna sônolo pou ikanopoieð ta axi mata 1 15 mporeð na apodeðxei th monadikìthta tou, me thn ènnoia tou isomorfismoô, kai sth sunèqeia na kataskeuˆsei pr ta touc fusikoôc arijmoôc kai metˆ touc akeraðouc kai touc rhtoôc. Gia th prosèggish aut parapèmpoume sta suggrˆmmata [1] kai [8]. Ask seic [8] Na apodeiqjoôn oi parakˆtw idiìthtec thc ˆlgebrac twn pragmatik n arijm n: (aþ) Eˆn x + y = x, tìte y = 0. (bþ) 0x = 0. Upìdeixh: 0 = (gþ) 0 = 0. (dþ) ( x) = x. Upìdeixh: O ( x) eðnai o antðjetoc tou x. (eþ) x( y) = (xy) = ( x)y. (þ) ( 1)x = x. (zþ) x(y z) = xy xz. (hþ) (x + y) = x y, (x y) = x + y. (jþ) Eˆn x 0 kai xy = 1, tìte y = 1.

49 H eujeða twn pragmatik n arijm n 49 (iþ) Eˆn x 0, tìte x/x = 1. (iaþ) x/1 = x. (ibþ) Eˆn x 0 kai y 0, tìte xy 0. (igþ) (1/x)(1/y) = 1/(xy), eˆn x 0 kai y 0. (idþ) (w/x)(y/z) = (wy)/(xz), eˆn x 0 kai z 0. (ieþ) (w/x) + (y/z) = (wz + yx)/(xz), eˆn x 0 kai z 0. (iþ) Eˆn x 0, tìte 1/x 0. (izþ) Eˆn x 0, tìte (x 1 ) 1 = x. (ihþ) 1/(x/y) = y/x, eˆn x 0 kai y 0. (ijþ) (w/x)/(y/z) = (wz)/(xy), eˆn x 0, y 0 kai z 0. (kþ) (xy)/z = x(y/z), eˆn z 0. (kaþ) ( x)/y = x/( y) = (x/y), eˆn y [8] Na apodeiqjoôn oi parakˆtw idiìthtec twn anisot twn pragmatik n arijm n: (aþ) Eˆn w x kai y z, tìte w + y x + z. (bþ) Eˆn x y kai z 0, tìte zx zy. (gþ) x 0 eˆn kai mìnon eˆn x 0. (dþ) x y eˆn kai mìnon eˆn x y. (eþ) Eˆn x y kai z 0, tìte zx zy. (þ) Eˆn x 0, tìte x 2 > 0, ìpou x 2 = xx. (zþ) 1 < 0 < 1. (hþ) Eˆn xy > 0, tìte oi x kai y eðnai kai oi dôo jetikoð kai oi dôo arnhtikoð. (jþ) Eˆn x > 0, tìte 1/x > 0. (iþ) Eˆn 0 < x y, tìte 1/y 1/x. (iaþ) Eˆn x < y, tìte x < (x + y)/2 < y Na brejoôn ìloi oi pragmatikoð arijmoð gia touc opoðouc isqôei (aþ) (x 1)(x 2) > 0. (bþ) x 2 + x + 1 > 2. (gþ) > 0. x x 1 (dþ) x 1 > 0. x Na apodeiqjoôn oi parakˆtw idiìthtec thc apìluthc tim c: (aþ) x 0 kai x = 0, eˆn kai mìnon eˆn x = 0.

50 50 Oi pragmatikoð arijmoð (bþ) xy = x y. (gþ) x = x (dþ) x + y x + y. (eþ) x y x y Na brejoôn ìloi oi pragmatikoð arijmoð gia touc opoðouc isqôei (aþ) x 2 > 8. (bþ) x 2 < 8. (gþ) x 1 + x 2 > 1. (dþ) x 1 + x + 1 < 2. (eþ) x 1 x + 2 = 0. (þ) x 1 x + 2 = Eˆn S R, tìte orðzoume S = { x : x S}, dhlad [1, 2) = ( 2, 1]. Na apodeiqjoôn oi isqurismoð: (aþ) 'Ena sônolo S R eðnai ˆnw fragmèno eˆn kai mìnon eˆn to S eðnai kˆtw fragmèno. (bþ) 'Ena sônolo S R eðnai kˆtw fragmèno eˆn kai mìnon eˆn to S eðnai ˆnw fragmèno. Upìdeixh: ( S) = S. (gþ) sup S = inf( S) kai inf S = sup( S) Na brejoôn, eˆn autˆ upˆrqoun ta inf S kai sup S, ìpou (aþ) S = (bþ) S = { } 1 n : n N. {( 1) n + 1n } : n N 'Estw ìti A eðnai èna tuqaðo sônolo efodiasmèno me dôo eswterikèc prˆxeic kai tètoiec ste na ikanopoioôntai oi idiìthtec/axi mata 1. x y = y x, gia kˆje x, y A. 2. (x y) z = x (y z), gia kˆje x, y, z A. 3. Upˆrqei stoiqeðo 0 A, ètsi ste x 0 = x, gia kˆje x A. 4. Gia kˆje x A upˆrqei stoiqeðo x A, ètsi ste x x = (x y) z = x (y z), gia kˆje x, y, z A. 6. x (y z) = x y x z kai (x y) z = x z y z, gia kˆje x, y, z A.

51 H eujeða twn pragmatik n arijm n 51 H triˆda (A,, ) lègetai daktôlioc (ring). Na deiqjeð ìti to sônolo twn akeraðwn efodiasmèno me tic prˆxeic thc prìsjeshc kai tou pollaplasiasmoô, (Z, +, ), apoteleð daktôlio.

52 52 Oi pragmatikoð arijmoð

53 Kefˆlaio 6 Oi migadikoð arijmoð 6.1 To s ma twn migadik n arijm n Eˆn x R tìte x 2 0, opìte h exðswsh x = 0 den èqei lôsh stouc pragmatikoôc arijmoôc. Diatup netai loipìn to er thma katˆ pìson upˆrqei èna sôsthma arijm n pou katˆ kˆpoia ènnoia epekteðnei touc pragmatikoôc arijmoôc kai eðnai tètoio ste h exðswsh x = 0 na èqei lôsh. ApodeiknÔetai ìti èna tètoio sôsthma upˆrqei. Kataskeu. Sto sônolo R R orðzoume touc nìmouc thc prìsjeshc kai pollaplasiasmoô me tic sqèseic (6.1) (6.2) (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) (x 1, y 1 )(x 2, y 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2, x 1 y 2 + x 2 y 1 ). ParathroÔme ìti (6.3) (6.4) (6.5) (x 1, y 1 ) + (0, 0) = (x 1, y 1 ) (x 1, y 1 ) + ( x 1, y 1 ) = (0, 0) (x 1, y 1 )(1, 0) = (x 1, y 1 ), dhlad to (0, 0) eðnai to oudètero stoiqeðo thc prìsjeshc, to ( x 1, y 1 ) eðnai to antðjeto tou (x 1, y 1 ), en to (1, 0) eðnai oudètero stoiqeðo tou pollaplasiasmoô. Eˆn (x, y) (0, 0) kai (a, b) eðnai to antðstrofo stoiqeðo tou (x, y), eˆn autì upˆrqei, tìte ja prèpei (x, y)(a, b) = (xa yb, xb + ya) = (1, 0). UpenjumÐzoume ìti (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) eˆn kai mìnon eˆn x 1 = x 2 kai y 1 = y 2, tìte apì thn parapˆnw isìthta prokôptoun oi sqèseic xa yb = 1 kai xb + ya = 0. LÔnontac to sôsthma brðskoume a = x x 2 + y, b = y 2 x 2 + y. 2 53

54 54 Oi migadikoð arijmoð Oi arijmoð a kai b upˆrqoun, kajìson x 2 + y 2 > 0 opoted pote (x, y) (0, 0). Epomènwc to antðstrofo tou (x, y) to opoðo sumbolðzoume me (x, y) 1 eðnai to (6.6) (x, y) 1 = ( x x 2 + y 2, y x 2 + y 2 EÐnai plèon eôkolo na apodeiqjeð ìti to R R efodiasmèno me touc nìmouc (6.1) kai (6.2) eðnai s ma, blèpe Parat rhsh 5.2. OrÐzoume to s ma twn migadik n (complex) arijm n C na eðnai to sônolo twn shmeðwn z = (x, y) R R efodiasmèno me touc nìmouc (6.1) kai (6.2). Apìrroia twn prˆxewn (6.1) kai (6.2) eðnai ìti (x, y) = (x, 0)+(0, y) kai (0, 1)(y, 0) = (0, y), ètsi kˆje migadikìc arijmìc mporeð na grafeð sth morf (6.7) (x, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0). Eˆn x eðnai ènac pragmatikìc arijmìc, shmeðo thc eujeðac, mporeð na tautopoihjeð me to (x, 0), shmeðo tou epipèdou. Epiplèon parathroôme ìti (x 1, 0) + (x 2, 0) = (x 1 + x 2, 0), (x 1, 0)(x 2, 0) = (x 1 x 2, 0), dhlad to s ma twn migadik n arijm n epekteðnei katˆ fusiologikì trìpo to s ma twn pragmatik n arijm n, kai upì to prðsma thc tautopoðhshc x (x, 0) mporoôme na jewroôme ìti R C. Jètontac i = (0, 1) sômfwna me thn parapˆnw tautopoðhsh h (6.7) grˆfetai (6.8) (x, y) = x + iy. O migadikìc arijmìc i lègetai fantastik monˆda (imaginary unit). Eˆn z = (x, y) eðnai ènac migadikìc arijmìc apì ed kai sto ex c ja grˆfoume z = x + iy. Eˆn z 1 = x 1 + iy 1 kai z 2 = x 2 + iy 2 eðnai migadikoð arijmoð tìte to ˆjroisma z 1 + z 2 kai to ginìmeno z 1 z 2 dðnontai, mèsw twn (6.1) kai (6.2), apì tic sqèseic (6.9) (6.10) z 1 + z 2 = (x 1 + iy 1 ) + (x 2 + iy 2 ) = (x 1 + x 2 ) + i(y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ). 'Estw o migadikìc arijmìc z = x + iy, tìte apì ton orismì tou C èqoume ìti x R kai y R. O x lègetai pragmatikì mèroc (real part) tou z kai grˆfoume x = Re z, kai o y lègetai fantastikì mèroc (imaginary part) tou z kai grˆfoume y = Im z. 'Etsi eˆn z R tìte Re z = z kai Im z = 0, en eˆn z = iy, me y R, tìte Re z = 0 kai Im z = y. Oi migadikoð arijmoð z 1 = x 1 + iy 1 kai z 2 = x 2 + iy 2 eðnai Ðsoi kai grˆfoume z 1 = z 2, eˆn kai mìnon eˆn x 1 = x 2 kai y 1 = y 2, isodônama Re z 1 = Re z 2 kai Im z 1 = Im z 2. 'Opwc kai stouc pragmatikoôc arijmoôc, epagwgikˆ orðzoume z 1 = z, z 2 = zz, z 3 = z 2 z, z n+1 = z n z gia kˆje fusikì arijmì n. ParathroÔme ìti i 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) i 2 = 1. Epeid i = (0, 1) ja eðnai ( i) 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0). Blèpoume loipìn ìti i 2 +1 = 0 ).

55 'Algebra twn migadik n arijm n 55 kai ( i) = 0. DeÐxame loipìn ìti to s ma twn migadik n arijm n C apoteleð mða fusiologik epèktash twn pragmatik n arijm n, ìpou sto sôsthma autì h exðswsh z = 0 èqei lôsh. KleÐnoume aut th parˆgrafo me mða parat rhsh. Den upˆrqei sto C mða diˆtaxh pou na eðnai sumbibast me tic prˆxeic thc prìsjeshc kai tou pollaplasiasmoô kai na epekteðnei th gnwst diˆtaxh tou R. An upojèsoume ìti mða tètoia upˆrqei kai an th sumbolðsoume me, tìte ja prèpei na isqôei 0 1, epeid autì isqôei kai stouc pragmatikoôc arijmoôc. EpÐshc èna apì ta dôo eðnai alhjèc: eðte 0 i, eðte 0 i. Eˆn 0 i, tìte ja eðnai 0i i 2, isodônama 0 1, isodônama 0 1 pou eðnai ˆtopo. 'Omoia eˆn 0 i tìte ja eðqame 0i i 2, isodônama 0 1, isodônama 0 1 pou eðnai ˆtopo. 6.2 'Algebra twn migadik n arijm n To sônolo twn migadik n arijm n efodiasmèno me tic prˆxeic thc prìsjeshc kai tou pollaplasiasmoô ìpwc autèc orðzontai stic sqèseic (6.1) kai (6.2) (6.9) kai (6.10) eðnai s ma dhlad isqôoun oi nìmoi 1. z 1 + z 2 = z 2 + z 1, gia kˆje z 1, z 2 sto C. 2. (z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3 ), gia kˆje z 1, z 2, z 3 sto C. 3. Upˆrqei o monadikìc migadikìc arijmìc 0 = (0, 0) = 0 + i0, ètsi ste z + 0 = z, gia kˆje z C. 4. Gia kˆje migadikì arijmì z upˆrqei monadikìc migadikìc arijmìc z, ètsi ste z + ( z) = z 1 z 2 = z 2 z 1, gia kˆje z 1, z 2 sto C. 6. (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ), gia kˆje z 1, z 2, z 3 sto C. 7. Upˆrqei o monadikìc migadikìc arijmìc 1 = (1, 0) = 1 + i0, ètsi ste z 1 = z, gia kˆje z C. 8. Gia kˆje migadikì arijmì z 0 upˆrqei monadikìc migadikìc arijmìc z 1 ètsi ste z z 1 = z 1 (z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3, gia kˆje z 1, z 2, z 3 sto C. Parat rhsh 6.1. Ac jewr soume ton migadikì arijmì z = x + iy. Apì ton antimetajetikì nìmo (nìmoc 5) èqoume iy = yi opìte o mporoôme na grˆfoume z = x + iy, z = x + yi.

56 56 Oi migadikoð arijmoð Epeid i( y) = ( y)i = ( 1)yi = ( 1)iy kai i( y) + iy = i( y + y) = i0 = 0, sunduˆzontac ta dôo apotelèsmata sumperaðnoume ìti i( y) = ( 1)iy = iy. 'Etsi apì tic (6.8), (6.4) kai (6.6) èpetai ìti oi z kai z 1, efìson z 0, dðnontai antðstoiqa apì tic sqèseic (6.11) (6.12) z = x + i( y) = x iy z 1 x = x 2 + y + i y 2 x 2 + y = x 2 x 2 + y i y 2 x 2 + y 2 Parat rhsh 6.2. 'Estw z 1 = x 1 + iy 1 kai z 2 = x 2 + iy 2, tìte kˆnontac qr sh tou nìmou 9 (epimeristik idiìthta tou pollaplasiasmoô wc proc thn prìsjesh) upologðzoume z 1 z 2 = (x 1 + iy 1 )(x 2 + iy 2 ) = x 1 (x 2 + iy 2 ) + iy 1 (x 2 + iy 2 ) (nìmoc 9) = x 1 x 2 + x 1 iy 2 + iy 1 x 2 + iy 1 iy 2 (nìmoc 9) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 + i 2 y 1 y 2 (nìmoc 5) = x 1 x 2 + ix 1 y 2 + iy 1 x 2 y 1 y 2 (i 2 = 1) = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) (nìmoc 9) pou eðnai h (6.10). O pollaplasiasmìc dhlad, migadik n arijm n mporeð na ektelesjeð me qr sh thc oikeðac, apì touc pragmatikoôc arijmoôc, epimeristik c idiìthtac. Parat rhsh 6.3. Eˆn z 1 = x 1 + iy 1 kai z 2 = x 2 + iy 2, eðnai migadikoð arijmoð, ìpwc stouc pragmatikoôc arijmoôc, h afaðresh kai to phlðko orðzontai, antðstoiqa, me tic sqèseic (6.13) (6.14) z 1 z 2 = z 1 + ( z 2 ) = (x 1 + iy 1 ) + ( x 2 + i( y 2 )) = (x 1 x 2 ) + i(y 1 y 2 ) ( ) z 1 = z 1 z2 1 x2 y 2 = (x 1 + iy 1 ) + i = x 1x 2 + y 1 y 2 + i x 1y 2 + x 2 y 1. z 2 x y2 2 x y2 2 x y2 2 x y2 2 ParathroÔme ìti gia z 1 = 1 = 1 + i0 kai z 2 = z = x + iy apì thn teleutaða sqèsh èpetai (6.15) 1 z = Epakìloujo thc teleutaðac aut c sqèshc eðnai h (6.16) Ask seic x x 2 + y + i y 2 x 2 + y = 2 z 1. z 1 1 = z 1. z 2 z Na grafoôn oi parakˆtw migadikoð arijmoð sth morf a + ib:

57 'Algebra twn migadik n arijm n 57 (aþ) ( 3 + i)(1 i2) 1 (bþ). 9 + i2 (gþ) ( 7 + i 3)( 7 i 3). 7 i (dþ). 3 + i5 (eþ) (3 + i2) Na deiqjeð ìti oi arijmoð 1 ± i ikanopoioôn thn exðswsh z 2 2z + 2 = Eˆn z C kai w C na deiqjeð ìti: (i) z = (z + i)(z i) kai (ii) z 2 + w 2 = (z + iw)(z iw) Eˆn x kai y eðnai pragmatikoð arijmoð na brejoôn oi timèc touc se kˆje mða apì tic efrˆseic: (aþ) 5x + i6 = 8 + i2y (bþ) i(2x 4y) = 4x i3y. (gþ) (3x + i) 2 = 8 + iy Na brejoôn oi lôseic thc exðswshc z 2 +z +1 = 0. Upìdeixh: Jètoume z = x+iy sthn exðswsh kai afoô kˆnoume prˆxeic koitˆzoume xeqwristˆ to pragmatikì kai fantastikì mèroc Na deiqjeð ìti o arijmìc a eðnai pragmatikìc eˆn kai mìnon eˆn Re a = a Eˆn z C na deiqjeð ìti: (i) Re(iz) = Im z kai (ii) Im(iz) = Re z Na upologisjoôn oi dunˆmeic i n, gia kˆje fusikì arijmì n. Upìdeixh: i 1 = i, i 2 = 1, i 3 = i 2 i = i Na deiqjeð ìti (1 + z) 2 = 1 + 2z + z Me qr sh thc majhmatik c epagwg c na deiqjeð ìti (1 + z) n = 1 + ( n 1 ) z + ( n 2 ) z ( n k ) z k Eˆn z, w, v kai u eðnai migadikoð arijmoð na apodeiqjoôn oi isìthtec: (aþ) 1 zw = 1 1. z w (bþ) z + w v (gþ) zw vu = z v (dþ) zw zv = w v = z v + w v, v 0. w, v 0 kai u 0. u, z 0 kai v 0. ( ) n z n 1 + z n. n 1

58 58 Oi migadikoð arijmoð 6.3 To mètro kai o suzug c migadikoô arijmoô Mètro (modulus) tou migadikoô arijmoô z = x+iy orðzetai na eðnai o pragmatikìc arijmìc (6.17) z = x 2 + y 2. Eˆn z R, isodônama y = 0, tìte z = x 2 = x, dhlad to mètro migadikoô arijmoô genikeôei thn apìluth tim pragmatikoô arijmoô. Gia to lìgo autì to mètro to lème kai apìluth tim. Suzug c (conjugate) migadikìc arijmìc tou z = x + iy, sumbolðzetai me z, orðzetai na eðnai o arijmìc (6.18) z = x iy. Parˆdeigma 6.1. Na brejeð to mètro kai o suzug c tou migadikoô arijmoô i(2 i3). Eˆn z = i(2 i3), tìte z = i2 + 3i 2 = 3 i2, opìte i(2 i3) = 3 i2 = ( 3) 2 + ( 2) 2 = 13 i(2 i3) = 3 i2 = 3 + i2. Oi idiìthtec tou mètrou kai tou suzugoôc migadikoô arijmoô sunoyðzontai sth Prìtash 6.1. IsqÔoun oi idiìthtec: 1. z 0, gia kˆje z C, kai z = 0 eˆn kai mìnon eˆn z = z 1 z 2 = z 1 z 2, gia kˆje zeugˆri migadik n arijm n z 1 kai z z 1 /z 2 = z 1 / z 2, gia kˆje zeugˆri migadik n arijm n z 1 kai z 2 me z z = z eˆn kai mìnon eˆn z R. 5. z = z, gia kˆje z C. 6. z = z, gia kˆje z C. 7. z 2 = zz, gia kˆje z C. 8. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, gia kˆje zeugˆri migadik n arijm n z 1 kai z z 1 z 2 = z 1 z 2, gia kˆje zeugˆri migadik n arijm n z 1 kai z (z 1 /z 2 ) = z 1 /z 2, gia kˆje zeugˆri migadik n arijm n z 1 kai z 2 me z 2 0. Apìdeixh. 'Estw z = x + iy, z 1 = x 1 + iy 1, kai z 2 = x 2 + iy 2 na eðnai migadikoð arijmoð.

59 To mètro kai o suzug c migadikoô arijmoô Epeid z = x 2 + y 2, eðnai profanèc ìti z 0, en z = 0 x 2 + y 2 = 0 x = 0 kai y = 0 z = Apì thn sqèsh (6.10) èpetai ìti z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 1 + x 2 y 2 ) ètsi èqoume z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) 2 + (x 1 y 1 + x 2 y 2 ) 2 = = (x y1)(x y2) 2 = x y1 2 = z 1 z Apì thn (6.15) gia z 0 èqoume x 2 1x y 2 1y x 2 1y x 2 2y 2 2 x y = z 1 z = 1 = z 1 z = z 1 z = 1 z = 1 z me qr sh thc idiìthtac 2, epomènwc gia z 2 0 z 1 z 2 = 1 z 1 = z 1 1 = z 1 1 z 2 = z 1 z 2. z 2 4. 'Estw z = x + iy, tìte z = z x + iy = x iy 0 = i2y y = 0 z R. 5. 'Estw z = x + iy, tìte z = x iy = x + iy = z. 6. 'Estw z = x + iy, tìte z = x iy = x 2 + ( y) 2 = x 2 + y 2 = z. 7. Eˆn z = x + iy, èqoume zz = (x + iy)(x iy) = x 2 ixy + ixy i 2 y 2 = x 2 + y 2 = z Apì thn (6.9) èpetai ìti z 1 + z 2 = x 1 +x 2 i(y 1 +y 2 ) = (x 1 iy 1 )+(x 2 iy 2 ) = z 1 +z 'Eqoume z 1 z 2 = (x 1 iy 1 )(x 2 iy 2 ) = x 1 x 2 y 1 y 2 i(x 1 y 1 + x 2 y 2 ) = z 1 z 2, miac kai apì thn (6.10) z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + i(x 1 y 1 + x 2 y 2 ). z Apì thn (6.15) gia z 0 èqoume 1 = z 1 ( z = 1 = 1 = z 1 ) ( ) 1 = z z z = 1 z = ( 1 z ) me qr sh thc idiìthtac 9, epomènwc gia z 2 0 ( z1 z 2 ) ( ) = z 1 = z 1 = z 1 = z 1. z 2 z 2 z 2 z 2 H apìdeixh eðnai pl rhc.

60 60 Oi migadikoð arijmoð Parat rhsh 6.4. Eˆn z = x + iy eðnai ènac migadikìc arijmìc tìte x = Re z kai y = Im z. Epeid z + z = x + iy + x iy = 2x, kai z z = x + iy (x iy) = i2y, sumperaðnoume (6.19) Re z = z + z 2, Im z = z z. 2i EpÐshc x x x 2 + y 2, ìmoia y y x 2 + y 2, opìte (6.20) Re z Re z z, Im z Im z z. Parat rhsh 6.5. Eˆn a kai b eðnai pragmatikoð arijmoð jumðzoume th gnwst idiìthta thc apìluthc tim c a + b a + b. To Ðdio isqôei kai gia migadikoôc arijmoôc. Ac eðnai z 1, kai z 2 dôo migadikoð arijmoð. Tìte isqôei h trigwnik idiìthta (6.21) z 1 + z 2 z 1 + z 2. Kˆnontac qr sh thc Prìtashc 6.1 èqoume z 1 + z 2 2 = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) = (z 1 + z 2 )(z 1 + z 2 ) ( idiìthtec 7 kai 8 ) = z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 2 z 1 + z 2 z 2 = z z 1 z 2 + z 1 z 2 + z 2 2 ( idiìthtec 7 kai 5 ) = z Re(z 1 z 2 ) + z 2 2 ( sqèsh (6.19) ) z z 1 z 2 + z 2 2 ( sqèsh (6.20) ) = z z 1 z 2 + z 2 2 ( idiìthta 2 ) = ( z 1 + z 2 ) 2 ( idiìthta 6 ) ap' ìpou èpetai h zhtoômenh trigwnik idiìthta. Parat rhsh 6.6. Apì tic idiìthtec pou perigrˆfontai sth Prìtash 6.1 èpetai ìti gia z 0 (6.22) 1 z = z zz = z z 2 pou eðnai akrib c h sqèsh (6.15). Epeid i = = 1, èpetai amèswc ìti (6.23) 1 i = i ii = i i = i. 2 Genik tera eˆn z C kai z = 1, apì thn (6.22) èpetai ìti 1/z = z. Ask seic Na brejeð to pragmatikì kai to fantastikì mèroc twn arijm n: (i) 1 z, (ii) ( 1 + i 3 2 ) 3, (iii) ( ) 6 1 i 3, (iv) 2 ( 2 + i3 3 i4 ) 3, (v) (1 + i) 3.

61 To migadikì epðpedo Na brejoôn ta x kai y, ìtan (i) x + iy = x + iy, (ii) x + iy = (x iy) Eˆn z kai w eðnai migadikoð arijmoð na deiqjeð ìti: (i) z = z kai (ii) z w = z w Me qr sh thc majhmatik c epagwg c na deiqjeð ìti eˆn z 1, z 2,..., z n eðnai migadikoð arijmoð tìte (6.24) gia kˆje n N. n z k k=1 n z k Na deiqjeð ìti eˆn z 1 kai z 2 eðnai migadikoð arijmoð tìte z 1 z 2 z 1 z Na deiqjeð ìti eˆn z kai w eðnai migadikoð arijmoð tìte isqôoun ta parakˆtw: (aþ) z + w 2 = z Re(zw) + w 2. (bþ) z w 2 = z 2 2 Re(zw) + w 2. (gþ) z + w 2 + z w 2 = 2( z 2 + w 2 ). Nìmoc tou parallhlogrˆmou. 6.4 To migadikì epðpedo Oi pragmatikoð arijmoð antistoiqoôn se shmeða miˆc prosanatolismènhc eujeðac. Apì ton orismì twn migadik n arijm n èpetai ìti upˆrqei mða èna proc èna antistoiqða metaxô tou migadikoô arijmoô z = x + iy kai tou shmeðou (x, y) tou epipèdou. 'Etsi to epðpedo tou opoðou kˆje shmeðo (x, y) tautðzoume me ton migadikì arijmì z = x + iy onomˆzoume migadikì epðpedo (complex plane). O ˆxonac twn x lègetai pragmatikìc ˆxonac (real axis), en autìc twn y lègetai fantastikìc ˆxonac (imaginary axis). To mètro z eðnai h apìstash tou shmeðou z apì to 0, en o suzug c z tou z eðnai to summetrikì shmeðo tou z wc proc ton pragmatikì ˆxona. To ˆjroisma twn z 1 = x 1 + iy 1 kai z 2 = x 2 + iy 2 antistoiqeð sto shmeðo (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). 'Etsi loipìn o arijmìc z = x + iy mporeð na tautisteð me to duˆnusma me arq to shmeðo (0, 0) kai pèrac to (x, y) en to mètro z eðnai to mètro tou dianôsmatoc, dhlad to m koc tou eujugrˆmou tm matoc apì to (0, 0) sto (x, y). O z 1 + z 2 eðnai to dianusmatikì ˆjroisma twn dianusmˆtwn z 1 kai z 2, kai o z 1 z 2 eðnai h dianusmatik diaforˆ dhlad to diˆnusma me arx to pèrac tou z 2 kai pèrac to pèrac tou z 1, opìte to mètro z 1 z 2 eðnai to mètro tou dianôsmatoc z 1 z 2. Oi arijmoð z 1 kai z 2 orðzoun èna parallhlìgramo me korufèc ta shmeða (0, 0), (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ), kai (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ). Ta z 1 + z 2 kai z 1 z 2 eðnai oi diag nioi tou parallhlogrˆmou. 'Etsi h isìthta z 1 + z z 1 z 2 2 = 2( z z 2 2 ) (nìmoc tou parallhlogrˆmou) mac lèei ìti to ˆjroisma twn tetrag nwn twn diagwnðwn parallhlogrˆmou isoôtai me to ˆjroÐsma twn tetrag nwn twn pleur n tou. k=1

62 62 Oi migadikoð arijmoð 6.5 Polik morf migadikoô arijmoô Eˆn r kai θ eðnai oi polikèc suntetagmènec tou shmeðou (x, y) (0, 0) tìte o mh mhdenikìc migadikìc arijmìc z = x + iy mporeð na grafeð sth morf z = r cos θ + ir sin θ. ParathroÔme ìti z = (r cos θ) 2 + (r sin θ) 2 = r en θ eðnai h gwnða metaxô thc pragmatik c jetik c hmieujeðac kai tou eujugrˆmmou tm matoc apì to 0 sto z. H èkfrash (6.25) z = r(cos θ + i sin θ) lègetai polik morf (polar form) tou migadikoô arijmoô z, kai h gwnða θ lègetai ìrisma (argument) tou z kai sumbolðzetai me θ = arg z. Epeid r cos θ + ir sin θ = r cos(θ + 2nπ) + ir sin(θ + 2nπ) gia kˆje akèraio n, to ìrisma den orðzetai monos manta, ˆra den eðnai sunˆrthsh. Gia kˆje ìmwc migadikì z upˆrqei monadikì ìrisma θ 0 ( π, π] gia to opoðo z = r cos θ 0 + ir sin θ 0. To θ 0 lègetai prwteôon (principal) ìrisma tou z kai sumbolðzetai me Arg z. Parˆdeigma 6.2. Na grafoôn se polik morf oi arijmoð (i) z = 1 + i, (ii) z = 1, (iii) z = 2. (i) Epeid 1 + i = 2, èqoume (ii) 1 = cos 0 + i sin 0. (iii) 2 = 2(cos π + i sin π). z = 1 + i = ( i 1 ) = ( 2 cos π i sin π ) 4 Gia touc migadikoôc arijmoôc z 1 = r 1 (cos θ 1 + i sin θ 1 ) kai z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) parathroôme ìti z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos θ 1 + i sin θ 1 )(cos θ 2 + i sin θ 2 ) = r 1 r 2 [(cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 ) + i(sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 )], opìte h polik morf tou ginomènou z 1 z 2 dðnetai apì th sqèsh (6.26) z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 + θ 2 ) + i sin(θ 1 + θ 2 )]. Eˆn z = r(cos θ + i sin θ) eðnai mh mhdenikìc arijmìc, isodônama r 0, tìte apì th sqèsh (6.26) èpetai ìti (6.27) 1 z = 1 [cos( θ) + i sin( θ)]. r Shmei noume ìti h sqèsh aut prokôptei epðshc apì thn (6.22). Eˆn t ra z 2 = r 2 (cos θ 2 + i sin θ 2 ) eðnai diˆforoc tou mhdenìc, tìte sunduˆzontac tic (6.26) kai (6.27) èqoume (6.28) z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos(θ 1 θ 2 ) + i sin(θ 1 θ 2 )].

63 Polik morf migadikoô arijmoô 63 Parˆdeigma 6.3. Eˆn z 1 = 2 3 i2 kai z 2 = 1 + i 3 na grafoôn oi z 1 kai z 2 se polik morf kai na upologisjoôn oi z 1 z 2 kai z 1 /z 2. Epeid z 1 = 2 3 i2 = 16 = 4 kai z 2 = 1 + i 3 = 4 = 2 ja èqoume antðstoiqa [ ( 3 z 1 = i 1 )] 2 [( z 2 = 2 1 ) ] 3 + i 2 2 Apì thn sqèsh (6.26) upologðzoume to ginìmeno [ ( z 1 z 2 = 4 2 cos π 6 + 2π ) 3 [ = 8 cos π 2 + i sin π ] 2 = i8, [ ( = 4 cos π ) ( + i π )], 6 6 [ = 2 cos 2π 3 + i sin 2π 3 ( + i π 6 + 2π 3 ]. )] en apì thn (6.28) to phlðko z 1 = 4 [ ( cos π z π ) ( + i sin π 3 6 2π 3 [ ( = 2 cos 5π ) ( + i sin 5π )] 6 6 [ ( 3 = i 1 )] 2 = 3 i. )] Eˆn z k = r k (cos θ k + i sin θ k ), k = 1, 2,..., n me majhmatik epagwg mèsw thc (6.26) èqoume (6.29) z 1 z 2 z n = r 1 r 2 r n [cos(θ 1 + θ θ n ) + i sin(θ 1 + θ θ n )], kai eidikˆ gia z 1 = z 2 = = z n = z prokôptei (6.30) z n = r n [cos(nθ) + i sin(nθ)], gia kˆje fusikì arijmì n. Eˆn z = r(cos θ + i sin θ), r 0, apì tic sqèseic (6.27) kai (6.30) èpetai ìti gia n = 1, 2, 3,... z n = (z 1 ) n = ( ) n 1 = 1 [cos( nθ) + i sin( nθ)], z rn kai epeid z 0 = 1, telikˆ h sqèsh (6.30) isqôei gia kˆje akèraio 0, ±1, ±2,....

64 64 Oi migadikoð arijmoð Eˆn z = cos θ + i sin θ h (6.30) metasqhmatðzetai sthn (6.31) (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ). H teleutaða sqèsh eðnai gnwst san tôpoc tou de Moivre. MÐa endiafèrousa efarmog tou tôpou tou de Moivre eðnai h eôresh riz n migadik n arijm n. Jètoume loipìn to ex c Prìblhma: Eˆn w eðnai ènac migadikìc arijmìc kai n 2 eðnai ènac fusikìc arijmìc na brejoôn migadikoð z tètoioi ste z n = w. 'Estw ìti w = r(cos θ + i sin θ), tìte parathroôme ìti o arijmìc z 0 = r 1/n (cos(θ/n) + i sin(θ/n)) ikanopoieð thn (6.32) z n 0 = [ n r ( cos θ n + i sin θ n)] n = r(cos θ + i sin θ) = w, dhlad o z 0 eðnai mða lôsh tou probl matoc. 'Omwc kai oi z k = r 1/n (cos[(θ+2kπ)/n]+i sin[(θ+ 2kπ)/n]), k = 1, 2,... eðnai lôseic miac kai (6.33) z n k = [ n r (cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ n )] n = r(cos(θ + 2kπ) + i sin(θ + 2kπ)) = w. Apì tic (6.32) kai (6.34) blèpoume ìti oi arijmoð z k = r 1/n (cos[(θ+2kπ)/n]+i sin[(θ+2kπ)/n]) ikanopoioôn zk n = w gia k = 0, 1, 2,.... Sth sunèqeia jumðzoume ìti gia n stajerì kaje k N grˆfetai monadikˆ sth morf k = m + ln ìpou m = 0, 1,..., n 1 kai l N (diaðresh tou k dia n). 'Etsi eˆn k n, tìte ( z k = n r cos θ + 2kπ + i sin θ + 2kπ ) n n ( ) = n θ + 2mπ + 2lnπ θ + 2mπ + 2lnπ r cos + i sin n n ( ( ) ( = n θ + 2mπ θ + 2mπ r cos + 2ln + i sin n n ( = n r cos θ + 2mπ + i sin θ + 2mπ ) n n = z m )) + 2lπ ìpou m = 0, 1, 2,..., n 1. Sumpèrasma: Oi n to pl joc migadikoð arijmoð (6.34) z k = n r ( cos θ + 2kπ n + i sin θ + 2kπ n ), k = 0, 1, 2,..., n 1 eðnai oi lôseic thc exðswshc z n = r(cos θ +i sin θ) kai lègontai nostec rðzec tou w = r(cos θ + i sin θ). Parˆdeigma 6.4. Epeid 1 = cos 0 + i sin 0, oi nostec rðzec thc monˆdac eðnai oi arijmoð (6.35) ζ k = cos 2kπ n 2kπ + i sin, k = 0, 1, 2,..., n 1. n

65 Polik morf migadikoô arijmoô 65 Eˆn orðsoume (6.36) ω n = cos 2π n + i sin 2π n, tìte apì ton tôpo tou de Moivre èpetai ìti oi nostec rðzec thc monˆdac eðnai oi 1, ω n, ωn, 2..., ωn n 1. ParathroÔme ìti ωn n = 1. Oi nostec rðzec thc monˆdac eðnai oi korufèc enìc kanonikoô polug nou me n pleurèc eggegrammènou sto monadiaðo kôklo. Parˆdeigma 6.5. Na brejoôn arijmoð z tètoioi ste z 2 = 2 (tetragwnikèc rðzec tou 2). EÐnai 2 = 2(cos π + i sin π), opìte oi arijmoð pou zhtoôme dðnontai apì th sqèsh 'Etsi èqoume ζ k = ( 2 cos π + 2kπ 2 z 0 = ( 2 cos π 2 + i sin π ) 2 + i sin π + 2kπ 2 ), k = 0, 1. = i 2, z 1 = ( 2 cos 3π 2 + i sin 3π 2 Prˆgmati z 2 0 = (i 2) 2 = i 2 2 = 2 kai z 2 1 = ( i 2) 2 = i 2 2 = 2. Ask seic Na brejoôn oi rðzec: (i) (2i) 1/2, (ii) (1) 1/3, (iii) ( i) 1/2, (iv) ( 1) 1/ Me qr sh tou duwnumikoô jewr matoc (a + b) n = n k=0 kai tou tôpou tou de Moivre na apodeiqjeð ìti (aþ) cos 3θ = cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ. (bþ) sin 3θ = sin 3 θ + 3 cos 2 θ sin θ. ( ) n a k b n k k AfoÔ apodeiqjeð ìti gia kˆje migadikì arijmì z 1 isqôei ) = i z + z z n 1 = 1 zn 1 z, gia kˆje n 2, me qr sh thc tautìthtac na apodeiqjoôn oi (aþ) 1 + cos θ + cos 2θ + + cos nθ = sin[(n + 1/2)θ] 2 sin(θ/2) (bþ) 1 + ω n + ω 2 n + + ω n 1 n = 0, ìpou ω n = cos 2π n + i sin 2π n. (0 < θ < 2π).

66 66 Oi migadikoð arijmoð 6.6 GewmetrikoÐ tìpoi sto migadikì epðpedo H eujeða twn pragmatik n arijm n, san uposônolo tou migadikoô epipèdou, mporeð na ekfrasjeð san to sônolo twn migadik n arijm n me mhdenikì fantastikì mèroc, dhlad {z : z C kai Im z = 0} = R. Me to sônolo twn pragmatik n arijm n eðnai epðshc Ðso to sônolo {z : z C kai z = z}. Genik tera, uposônola tou migadikoô epipèdou m- poroôn na ekfrasjoôn me katˆllhlec algebrikèc sqèseic. 'Alla paradeðgmata eðnai to sônolo {z : z C kai Re z > 0} pou paristˆnei to hmiepðpedo sta dexiˆ tou fantastikoô ˆxona, kai to {z C : Re z > 0 kai Im z > 0} pou paristˆnei to pr to tetarthmìrio tou epipèdou. Ac jewr soume t ra touc migadikoôc arijmoôc z me thn idiìthta z = 1. 'Etsi eˆn z = x + iy oi arijmoð autoð ikanopoioôn th sqèsh x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 pou eðnai h exðswsh tou kôklou kèntrou (0, 0) kai aktðnac 1. Epomènwc to uposônolo {z C : z < 1} eðnai to eswterikì tou monadiaðou kôklou, en to {z C : z > 1} eðnai to exwterikì tou monadiaðou kôklou. To sônolo {z C : z < r} lègetai anoiktìc dðskoc kèntrou (0, 0) kai aktðnac r, en to {z C : z r} lègetai kleistìc dðskoc kèntrou (0, 0) kai aktðnac r. Eˆn w eðnai ènac stajerìc migadikìc arijmìc tìte oi arijmoð z pou ikanopoioôn th sqèsh z w = r, ìpou r eðnai ènac mh arnhtikìc pragmatikìc arijmìc, eðnai ìloi ekeðnoi twn opoðwn h apìstash apì ton w isoôtai me r, ˆra to {z C : z w = r} perigrˆfei ton kôklo kèntrou w kai aktðnac r. 'Etsi ta {z C : z w < r}, {z C : z w r}, {z C : z w > r}, kai {z C : z r} perigrˆfoun antðstoiqa ton anoiktì dðsko kèntrou w kai aktðnac r, ton kleistì dðsko kèntrou w kai aktðnac r, to exwterikì tou anoiktoô dðskou kèntrou w kai aktðnac r, kai to exwterikì tou kleistoô dðskou kèntrou w kai aktðnac r. Parˆdeigma 6.6. Eˆn z 0 kai z 1 eðnai migadikoð arijmoð na perigrafeð to sônolo L = {z : z = z 0 + tz 1, ìpou t R}. 'Estw ìti z 1 = r(cos θ + i sin θ) me π < θ π. Tìte Arg(tz 1 ) = Arg(z 1 ) = θ gia kˆje t R, epomènwc to L = {z : z = tz 1, ìpou t R} eðnai h eujeða pou pernˆei apì ta shmeða 0 kai z 1 (tou migadikoô epipèdou). Gia kˆje t R ta shmeða 0, tz 1 z 0 + tz 1 kai z 0 sqhmatðzoun parallhlìgramo sto opoðo oi pleurèc dia twn shmeðwn z 0, z 0 + tz 1 kai twn 0, tz 1 eðnai parˆllhlec. 'Ara to sônolo L eðnai eujeða pou pernˆ apì to z 0 kai eðnai parˆllhlh sthn L, isodônama L eðnai h eujeða pou pernˆ apì ta shmeða z 0 kai z 0 + z 1, isodônama h eujeða pou perièqei to z 0 kai eðnai parˆllhlh sto duˆnusma z 1. Parˆdeigma 6.7. Eˆn z 0 kai z 1 0 eðnai migadikoð arijmoð na deiqjeð ìti to sônolo E = { z : Im z z } 0 = 0 z 1 perigrˆfei thn eujeða pou pernˆ apì to z 0 kai eðnai parˆllhlh sto z 1. Eˆn z E tìte Im[(z z 0 )/z 1 ] = 0, epomènwc (z z 0 )/z 1 = λ, gia kˆpoio λ R, opìte z z 0 = λz 1 z = z 0 + λz 1, dhlad z L (Parˆdeigma 6.6). 'Etsi E L. Epeid isqôei kai to antðstrofo èqoume telikˆ ìti E = L.

67 GewmetrikoÐ tìpoi sto migadikì epðpedo 67 Ask seic Na perigrafeð to sônolo twn migadik n arijm n pou antistoiqeð se kˆje mða apì tic peript seic: (i) z + z = 1, (ii) z z = i, (iii) z + z = z Eˆn a kai b eðnai pragmatikoð arijmoð kai a < b na perigrafoôn gewmetrikˆ oi sqèseic: (i) a < Re z < b, (ii) a < z < b Na perigrafeð to sônolo twn migadik n arijm n z pou eðnai tètoioi ste z i = z +i Na perigrafeð to sônolo twn migadik n arijm n z pou eðnai tètoioi ste z 4 z Na perigrafeð to sônolo twn migadik n arijm n z pou eðnai tètoioi ste π/4 < arg z < 3π/ Na perigrafeð to sônolo twn migadik n arijm n z pou eðnai tètoioi ste z = Im z Pìte h exðswsh az + bz + c = 0 paristˆnei eujeða? H èlleiyh eðnai o gewmetrikìc tìpoc twn shmeðwn tou epipèdou twn opoðwn to ˆjroisma twn apostˆsewn apì dôo stajerˆ shmeða pou lègontai estðec eðnai stajerì. (aþ) Na grafeð h exðswsh thc èlleiyhc me estðec touc migadikoôc arijmoôc z 1 kai z 2 kai ˆjroisma apostˆsewn apì tic estðec Ðso me 2c, ìpou c > 0. (bþ) Eˆn z 1 = a kai z 2 = a, ìpou a eðnai jetikìc arijmìc, na deiqjeð ìti h exðswsh thc èlleiyhc se kartesianèc suntetagmènec x kai y grˆfetai x 2 c + y2 2 c 2 a = Eˆn z 0 z 1 eðnai migadikoð arijmoð na brejeð o gewmetikìc tìpoc twn shmeðwn z pou ikanopoioôn th sqèsh [ ] z z0 Im = 0. z 1 z Na brejeð o gewmetikìc tìpoc twn shmeðwn z pou ikanopoioôn th sqèsh [ ] z z0 Im > 0. z 1

68 68 Oi migadikoð arijmoð

69 Kefˆlaio 7 AkoloujÐec 7.1 OrismoÐ Orismìc 7.1. Eˆn S eðnai èna mh kenì sônolo tìte kˆje sunˆrthsh orismènh sto sônolo twn fusik n arijm n a : N S lègetai akoloujða (sequence) tou S. AntÐ gia a(n) grˆfoume a n. To a 1 lègetai pr toc ìroc thc akoloujðac, to a 2 deôteroc ìroc,..., to a n nostìc ìroc thc akoloujðac. MÐa akoloujða grˆfetai san (a n ) n=1, me parˆjesh twn ìrwn thc a 1, a 2,..., a n,..., n N. Eˆn S R tìte h (a n ) n=1 lègetai akoloujða pragmatik n arijm n. Parˆdeigma 7.1. H akoloujða twn fusik n arijm n 1, 2, 3,..., n,... n N. Ed a n = n, n N. Parˆdeigma 7.2. H akoloujða me ìrouc eðnai h a 1, a 2,..., a n,... me a n = 1/n, n N. 1, 1 2, 1 3,..., 1 n,..., n N Parˆdeigma 7.3. Oi ìroi thc akoloujðac (a n ) n=1, ìpou a n = ( 1) n, n N eðnai oi 1, 1, 1,..., ( 1) n,..., n N. Parˆdeigma 7.4. Eˆn c eðnai ènac pragmatikìc arijmìc tìte mporoôme na orðsoume thn akoloujða c, c, c,..., c,.... Ed eðnai a n = c, n N. H parapˆnw akoloujða lègetai stajer akoloujða. Parˆdeigma 7.5. H akoloujða (a n ) n=1, ìpou a n = n/(n + 1), n N èqei ìrouc 1 2, 2 3, 3 4,..., n n + 1,..., n N Parˆdeigma 7.6. H akoloujða twn migadik n arijm n a n = i n, n N ìpou i eðnai h fantastik monˆda èqei ìrouc i, 1, i, 1, i, 1, i, 1..., n N, 69

70 70 AkoloujÐec blèpe 'Askhsh 7.2.8, miˆc kai ìpou k = 0, 1, 2, 3, eˆn n = 4k i eˆn n = 4k + 1 i n =, 1 eˆn n = 4k + 2 i eˆn n = 4k + 3 Eˆn (a n ) n=1 kai (b n ) n=1 eðnai akoloujðec pragmatik n ( migadik n) arijm n, tìte Ja lème ìti oi akoloujðec (a n ) n=1 kai (b n ) n=1 eðnai Ðsec eˆn a n = b n, n N. To ˆjroisma twn akolouji n (a n ) n=1 kai (b n ) n=1 orðzetai na eðnai h akoloujða (c n ) n=1, ìpou c n = a n + b n, n N. Grˆfoume (a n ) n=1 + (b n ) n=1 = (a n + b n ) n=1. To ginìmeno twn akolouji n (a n ) n=1 kai (b n ) n=1 orðzetai na eðnai h akoloujða (c n ) n=1, ìpou c n = a n b n, n N. Grˆfoume (a n ) n=1(b n ) n=1 = (a n b n ) n=1. Eˆn λ eðnai pragmatikìc ( migadikìc) arijmìc mporoôme na orðsoume thn akoloujða (λa n ) n=1 me ìrouc λa 1, λa 2,..., λa n. Aut eðnai to ginìmeno twn akolouji n (a n ) n=1 kai (b n ) n=1 me b n = λ, n N. 'Etsi èqoume λ(a n ) n=1 = (λa n ) n=1. Eˆn µ eðnai pragmatikìc ( migadikìc) arijmìc h λ(a n ) n=1 + µ(b n ) n=1 eðnai h akoloujða me ìrouc λa n + µb n, n N. Gia λ = 1 kai µ = 1 prokôptei h diaforˆ thc akoloujðac (a n ) n=1 apì thn (b n ) n=1 pou eðnai h akoloujða (c n ) n=1, ìpou c n = a n b n, n N. H akoloujða λ(a n ) n=1 + µ(b n ) n=1 lègetai grammikìc sunduasmìc (linear combination) twn (a n ) n=1 kai (b n ) n=1. Eˆn f eðnai mða sunˆrthsh tètoia ste to f(a n ) na orðzetai gia kˆje fusikì arijmì n, tìte mporoôme na orðsoume thn akoloujða (c n ) n=1 me th sqèsh c n = f(a n ), n N. Gia parˆdeigma eˆn (a n ) n=1 eðnai tètoia ste a n 0, n N, tìte mporoôme na orðsoume tic akoloujðec 1. ( a n ) n=1, me ìrouc a 1, a 2, a 3,..., a n,.... en eˆn a n > 1, n N, tìte mporoôme na orðsoume tic akoloujðec 2. (1/(a n + 1)) n=1, me ìrouc 1/(a 1 + 1), 1/(a 2 + 1), 1/(a 3 + 1),..., 1/(a n + 1), (ln(a n + 1)) n=1, me ìrouc ln(a 1 + 1), ln(a 2 + 1), ln(a 3 + 1),..., ln(a n + 1),.... Eˆn b n 0, n N orðzoume to phlðko (a n ) n=1 dia (b n ) n=1 me th sqèsh (a n ) n=1 (b n ) n=1 = (a n ) n=1 ( 1 b n ) n=1 = ( ) an. b n n=1

71 Frˆgma akoloujðac Frˆgma akoloujðac Ac jewr soume thn akoloujða a n = 1/n, n N. ParathroÔme ìti a 1 = 1 1, a 2 = 1/2 < 1, kai genik tera a n = 1/n < 1, n > 1. EpÐshc isqôei a n > 0, n N. Telikˆ èqoume 0 < a n 1, n N. Orismìc 7.2. MÐa akoloujða pragmatik n arijm n (a n ) n=1 lègetai: 'Anw fragmènh (bounded above) eˆn upˆrqei pragmatikìc arijmìc M tètoioc ste a n M, n N. O arijmìc M lègetai ˆnw frˆgma (upper bound) thc (a n ) n=1. Kˆtw fragmènh (bounded below) eˆn upˆrqei pragmatikìc arijmìc m tètoioc ste a n m, n N. O arijmìc m lègetai kˆtw frˆgma (lower bound) thc (a n ) n=1. Fragmènh (bounded) eˆn eðnai ˆnw kai kˆtw fragmènh. ParathroÔme ìti to ˆnw frˆgma akoloujðac, eˆn autì upˆrqei, den eðnai monadikì, giatð eˆn M eðnai ˆnw frˆgma thc (a n ) n=1, tìte gia kˆje δ > 0 to M + δ eðnai epðshc ˆnw frˆgma, afoô a n M < M + δ, n N. To anˆlogo isqôei kai gia to kˆtw frˆgma. Prìtash 7.1. MÐa akoloujða (a n ) n=1 eðnai fragmènh eˆn kai mìnon eˆn upˆrqei pragmatikìc arijmìc L tètoioc ste a n L, n N. Apìdeixh. Ac upojèsoume ìti h akoloujða (a n ) n=1 eðnai fragmènh. Upˆrqoun, tìte, pragmatikoð arijmoð m kai M tètoioi ste m a n M. Eˆn L = max{ m, M }, tìte èqoume a n M M L, kai a n m m L, n N. 'Etsi L a n L, isodônama a n L, n N. DeÐxame loipìn ìti eˆn mða akoloujða (a n ) n=1 eðnai fragmènh, tìte upˆrqei pragmatikìc arijmìc L ètsi ste a n L, n N. Ac upojèsoume ìti gia thn akoloujða (a n ) n=1 upˆrqei pragmatikìc arijmìc L tètoioc ste a n L, n N. Tìte ja eðnai L a n L, n N, dhlad h akoloujða eðnai ˆnw kai kˆtw fragmènh, ˆra fragmènh. Parˆdeigma 7.7. JewroÔme thn akoloujða (a n ) n=1 me a n = sin n n, n N. Na exetasjeð eˆn h akoloujða eðnai fragmènh. ParathroÔme ìti a n = sin n n 1 1, n N, n opìte apì thn Prìtash 7.1 èpetai ìti h akoloujða eðnai fragmènh. Diaforetikˆ, mèsw tou orismoô, a n = sin n n 1 n 1 kai a n = sin n n n N, opìte katal goume sto Ðdio sumpèrasma. 1 n 1,

72 72 AkoloujÐec Parˆdeigma 7.8. Na deiqjeð ìti h akoloujða (a n ) n=1 me eðnai fragmènh. a n = 2n n!, n N UpologÐzoume merikoôc ìrouc thc akoloujðac a 1 = 2 1 = 2, a 2 = 22 2! = 2, a 3 = 23 3! = 4 3 < 2, a 4 = 24 4! = 2 3 < 2. ParathroÔme ìti gia n 3 isqôei a n = ( ) n 2 2 n 2, 3 opìte èpetai ìti a n 2, n N. Epeid epiplèon h akoloujða èqei jetikoôc ìrouc sumperaðnoume ìti h akoloujða eðnai fragmènh. 7.3 MonotonÐa akolouji n Orismìc 7.3. H akoloujða pragmatik n arijm n (a n ) n=1 lègetai: AÔxousa (gnhsðwc aôxousa) (increasing (strictly increasing)) eˆn a n a n+1 (a n < a n+1 ), n N. FjÐnousa (gnhsðwc fjðnousa) (decreasing (strictly decreasing))eˆn a n a n+1 (a n > a n+1 ), n N. MÐa akoloujða pou eðnai aôxousa, fjðnousa (gnhsðwc aôxousa, gnhsðwc fjðnousa) lègetai monìtonh (gnhsðwc monìtonh) (monotone (strictly monotone)). Parˆdeigma 7.9. Na exetasjoôn wc proc th monotonða oi akoloujðec me genikì ìro (i) a n = r n, (ii) a n = n 2, (iii) a n = 2n n!, (iv) a n = nn n!, ìpou r sthn (i) eðnai ènac jetikìc pragmatikìc arijmìc. (i) JewroÔme th diaforˆ a n a n+1. 'Etsi èqoume a n a n+1 = r n r n+1 = r n (1 r). Sumpairènoume loipìn ta akìlouja: Eˆn r < 1 tìte a n a n+1 > 0 = a n > a n+1, opìte h akoloujða eðnai gnhsðwc fjðnousa. Eˆn r = 1 tìte a n a n+1 = 0 = a n = a n+1, opìte h akoloujða eðnai stajer. Eˆn r > 1 tìte a n a n+1 < 0 = a n < a n+1, opìte h akoloujða eðnai gnhsðwc aôxousa. DeÔteroc trìpoc. Epeid a n > 0 èqoume a n a n+1 = rn r n+1 = 1 r.

73 MonotonÐa akolouji n 73 Eˆn r < 1 tìte a n /a n+1 > 1 = a n > a n+1, opìte h akoloujða eðnai gnhsðwc fjðnousa. Eˆn r = 1 tìte a n /a n+1 = 1 = a n = a n+1, opìte h akoloujða eðnai stajer. Eˆn r > 1 tìte a n /a n+1 < 1 = a n < a n+1, opìte h akoloujða eðnai gnhsðwc aôxousa. (ii) Kai ed eðnai a n > 0 opìte jewroôme to phlðko a n /a n+1. a n = 21/n a n+1 2 = 2 1/n 1/(n+1) (2 n/(n+1) ) = 1/n ( 1 = 2 1/(n+1) ( ) 1/n ( 2 = 2 n/(n+1) ) 1/n = (2 1/(n+1) ) 1/n = 2 1/[n(n+1)] > n/(n+1) 1 ) 1/n Apì ton parapˆnw upologismì èpetai ìti a n < a n+1, dhlad h akoloujða eðnai gnhsðwc fjðnousa. (iii) Pˆli jewroôme to phlðko a n /a n+1, kajìson a n > 0. a n a n+1 = 2 n /n! 2 n+1 /(n + 1)! = 2n (n + 1)! 2 n+1 n! = n , epomènwc a n a n+1, dhlad h akoloujða eðnai fjðnousa. (iv) Pˆli jewroôme to phlðko a n /a n+1, kajìson a n > 0. a n a n+1 = n n /n! (n + 1) n+1 /(n + 1)! = n n (n + 1)! (n + 1) n+1 n! epomènwc a n a n+1, dhlad h akoloujða eðnai aôxousa. ( ) n = nn (n + 1) n (n + 1) = 1, n+1 n + 1 Parˆdeigma Na deiqjeð ìti h akoloujða a n = ( n) n, n N eðnai gnhsðwc aôxousa kai fragmènh.

74 74 AkoloujÐec Me qr sh tou diwnumikoô jewr matoc upologðzoume a n = ( n) n = n k=0 ( ) n 1 k n = k n n! 1 k!(n k)! k=0 n n(n 1)(n 2) (n k + 1) = 1 + k!n k k=1 n ( 1 = )( 1 2 ) ( 1 k 1 ) k! n n n k=1 ( a n+1 = ) n+1 n+1 ( ) n = n + 1 k (n + 1) k k=0 n ( ) ( ) n n + 1 = 1 + k (n + 1) + 1 k n + 1 (n + 1) n+1 k=1 n = 1 + k=1 1 k! ( 1 1 n + 1 )( 1 2 n + 1 ) Apì ta anaptôgmata twn a n kai a n+1, parathroôme ìti n k ( 1 k 1 n + 1 ) + 1 (n + 1) n+1. ( 1 1 )( 1 2 ) ( 1 k 1 ) ( 1 1 )( 1 2 ) ( 1 k 1 ), n n n n + 1 n + 1 n + 1 gia kˆje k = 1, 2,..., n (sth pragmatikìthta h anisìthta eðnai austhr gia 2 k n), en o teleutaðoc ìroc sto anˆptugma tou a n+1 eðnai jetikìc, ˆra a n < a n+1. 'Etsi h akoloujða eðnai gnhsðwc aôxousa. Epeid de a 1 = 2 èpetai ìti a n 2, dhlad h akoloujða eðnai kˆtw fragmènh. Anazht ntac èna ˆnw frˆgma thc akoloujðac kai epeid ( 1 1 )( 1 2 ) ( 1 k 1 ) 1, n + 1 n + 1 n + 1 apì to anˆptugma tou a n èpetai ìti a n 1 + n k=1 1 k! = ! + 1 2! + 1 3! n! n = /2n+1 1 1/2 ( = ) 2 n+1 < 3. ( 2 k k! 1, Parˆdeigma 7.8 ) ('Askhsh 3.2.5) 'Etsi telikˆ èqoume ìti 2 a n < 3, n N.

75 MonotonÐa akolouji n 75 Parˆdeigma Na deiqjeð ìti h akoloujða (a n ) n=1 pou orðzetai me th sqèsh eðnai gnhsðwc aôxousa kai fragmènh. a n+1 = γ + a 2 n, a 1 = γ, ìpou 0 < γ 1 4 Kˆje akoloujða pou orðzetai me anˆlogo trìpo, dhlad o genikìc ìroc ekfrˆzetai mèsw prohgoômenwn ìrwn, lègetai anadromik (recursive). Pr ta deðqnoume ìti h akoloujða eðnai gnhsðwc aôxousa. QrhsimopoioÔme majhmatik epagwg, ètsi gia n = 1 èqoume a 2 = γ + a 2 1 = a 1 + γ 2 > a 1, epeid a 1 = γ kai γ > 0. Epomènwc o isqurismìc isqôei gia n = 1. Sth sunèqeia deðqnoume ìti eˆn a n+1 > a n, gia n 1, tìte a n+2 > a n+1. Apì thn upìjesh thc epagwg c uy nontac sto tetrˆgwno èqoume a 2 n+1 > a 2 n, opìte γ + a 2 n+1 > γ + a 2 n = a n+2 > a n+1 pou eðnai ì,ti jèlame na apodeðxoume. SumperaÐnoume loipìn ìti a n < a n+1, n N. 'Ammesh apìrroia autoô tou apotelèsmatoc kai tou orismoô thc akoloujðac eðnai to (7.1) a n+1 a n = γ + a 2 n a n > 0, n N. To tri numo x 2 x + γ èqei diakrðnousa D = 1 4γ kai eðnai jetik apì thn epilog tou γ, ˆra h exðswsh x 2 x + γ = 0 èqei pragmatikèc (kai jetikèc) rðzec x 1 = 1 1 4γ 2, x 2 = γ. 2 Apì th sqèsh (7.1) blèpoume ìti oi ìroi thc akoloujðac eðnai ektìc twn riz n, dhlad a n < x 1 a n > x 2. MporeÐ na deiqjeð ìti a n < x 1, n N (af netai san ˆskhsh). Ant' autoô apodeiknôoume, me majhmatik epagwg, to asjenèstero apotèlesma a n < 1/2, n N. Gia n = 1 to apotèlesma eðnai alhjèc miˆc kai a 1 = γ 1 4 < 1 2. Sth sunèqeia deðqnoume ìti eˆn a n < 1/2, gia n 1, tìte a n+1 < 1/2. Prˆgmati a n+1 = γ + a 2 n < γ + ( ) , apì thn upìjesh kai thn epilog tou γ, ˆra a n < 1/2. SumperaÐnoume loipìn ìti a n < 1/2, n N. Apì ton orismì thc akoloujðac èpetai ˆmmesa h Ôparxh kˆtw frˆgmatoc giatð γ a n, n N, opìte sunduˆzontac ta dôo apotelèsmata telikˆ ja èqoume γ a n < 1/2, n N.

76 76 AkoloujÐec 7.4 'Orio akoloujðac Parˆdeigma Ac jewr soume thn akoloujða (a n ) n=1 me a n = 1/n, n N. Gia thn akoloujða aut gnwrðzoume ìti 0 < < a n+1 < a n < < a 2 < a 1. Isqurizìmaste ìti eˆn ɛ eðnai ènac aujaðreta mikrìc jetikìc arijmìc tìte upˆrqei N N tètoioc ste 0 < a N < ɛ. IsodÔnama upˆrqei N N me 1/N < ɛ isodônama 1/ɛ < N. Blèpoume ìti eˆn me [1/ɛ] sumbolðsoume to akèraio mèroc 1 tou 1/ɛ kai epilèxoume N = [1/ɛ] + 1, tìte N > 1/ɛ, opìte a N < ɛ. DeÐxame loipìn ìti gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei N tètoio ste 0 < a N < ɛ. Sth pragmatikìthta deðxame ìti gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei N tètoio ste 0 < a n < ɛ, gia ìla ta n N (giatð?). Blèpoume loipìn ìti ìloi telikˆ (= apì èna N kai pˆnw) oi ìroi thc akoloujðac plhsiˆzoun aujaðreta kontˆ to 0. Parˆdeigma Ac jewr soume sth sunèqeia thn akoloujða a n = l + ( 1) n /n, n = 1, 2, 3,..., ìpou l R. Isqurizìmaste ìti eˆn ɛ eðnai ènac aujaðreta mikrìc jetikìc arijmìc tìte upˆrqei N N tètoioc ste a n l < ɛ, gia kˆje n N. ParathroÔme ìti a n l = ( 1)n n = a n l = 1 n. SÔmfwna me to prohgoômeno parˆdeigma dojèntoc ɛ > 0 upˆrqei N N, (N [1/ɛ] + 1) tètoio ste 1/n < ɛ gia ìla ta n N, epomènwc a n l < ɛ, gia kˆje n N. Ac analôsoume to apotèlesma tou ParadeÐgmatoc DeÐxame ìti gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei N N tètoio ste a n l < ɛ, gia ìla ta n N, isodônama l ɛ < a n < l + ɛ, n N, dhlad ìloi oi ìroi thc akoloujðac apì ton a N kai pˆnw brðskontai se èna anoiktì diˆsthma kèntrou l kai aujaðreta mikr c aktðnac ɛ. Orismìc 7.4. Ja lème ìti h akoloujða (a n ) n=1 sugklðnei ston pragmatikì arijmì L eˆn h apìstash a n L gðnetai aujaðreta mikr, dhlad gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei N N tètoio ste a n L < ɛ, gia ìla ta n N. Eˆn autì isqôei ja lème ìti o L eðnai to ìrio (limit) thc akoloujðac (a n ) n=1 kai ja grˆfoume Grˆfoume epðshc a n L, kaj c n. SÔmfwna me ton orismì blèpoume ìti lim a n = L. n 1 lim n n = 0, 1 Το ακέραιο μέρος του πραγματικού αριθμού r ορίζεται σαν ο μεγαλύτερος ακέραιος που δεν υπερβαίνει τον r, για παράδειγμα [0.75] = 0, [3] = 3, [ 1.3] = 2. Για κάθε πραγματικό αριθμό r ισχύει [r] r < [r] + 1 και r 1 < [r] r.

77 'Orio akoloujðac 77 miac kai apì to Parˆdeigma 7.12 èqoume ìti gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei N N tètoio ste a n 0 = a n < ɛ, gia ìla ta n N. Apì de to Parˆdeigma 7.13 èqoume lim n ) (l + ( 1)n = l. n Parat rhsh 7.1. Ac jewr soume thn stajer akoloujða a n = a, n = 1, 2, 3,.... Tìte a n a = 0 < ɛ, gia kˆje ɛ > 0 kai gia kˆje n N, epomènwc lim a n = lim a = a. n n Prìtash 7.2 (Idiìthtec sugklinous n akolouji n). 'Estw ìti gia tic akoloujðec (a n ) n=1 kai (b n ) n=1 gnwrðzoume ìti lim a n = α, n tìte na deiqjeð ìti isqôoun oi idiìthtec lim b n = β, n 1. a n α 2. λa n λα, gia kˆje λ R 3. λa n + µb n λα + µβ, gia kˆje λ, µ R 4. H (a n ) n=1 eðnai fragmènh 5. a n b n αβ 6. Eˆn b n 0, gia n N kai β 0, tìte a n /b n α/β 7. Eˆn b n γ, gia n N, tìte β γ 8. Eˆn a n b n, tìte α β Apìdeixh. 'Estw ìti mac dðnetai tuqaðo ɛ > 0. Apì thn upìjesh èqoume ìti upˆrqoun N a N kai N b N tètoia ste (7.2) (7.3) a n α < ɛ, n N a b n β < ɛ, n N b. 1. Epeid a n α a n α, apì thn (7.2) èpetai ìti a n α < ɛ, gia n N a, ˆra a n α. 2. EÐnai λa n λα = λ a n α. Eˆn λ = 0, tìte to sumpèrasma isqôei tetrimmèna. 'Estw λ 0. Tìte upˆrqei N a tètoio ste a n α < ɛ/ λ, gia n N b, opìte λa n λα < λ ɛ/ λ = ɛ, gia ìla ta n N a.

78 78 AkoloujÐec 3. Eˆn λ = 0 µ = 0, to apotèlesma èpetai apì to 2. Ac upojèsoume loipìn ìti λ 0 kai µ 0. Tìte upˆrqoun N a kai N b tètoia ste Epilègontac N = max{n a, N b } èqoume a n α < ɛ 2 λ, n N a b n β < ɛ 2 µ, n N b. λa n + µb n λα µβ λa n λα + µb n µβ = λ a n α + µ b n β ɛ λ 2 λ + µ ɛ 2 µ = ɛ, gia ìla ta n N, opìte λa n + µb n λα + µβ. 4. 'Eqoume a n a n α + α, opìte apì thn (7.2) èpetai ìti a n < ɛ + α, gia ìla ta n N a. Eˆn orðsoume M = max{ a 1, a 2,..., a n 1, ɛ + α }, tìte a n M, gia kˆje n N, ˆra h akoloujða eðnai fragmènh. 5. MporoÔme na grˆyoume a n b n αβ = a n b n a n β + a n β αβ a n b n β + β a n α. H apìdeixh èpetai apì aut th sqèsh kai af netai san ˆskhsh. 6. Apì thn 1. èpetai ìti b n β, opìte eˆn δ > 0 eðnai tètoio ste β δ > 0, tìte upˆrqei N 1 > N ste na isqôei β δ < b n < β + δ, gia kˆje n N 1. Tìte ja èqoume 1 1 b n β = b n β β b n b n β β ( β δ), gia n N 1. To upìloipo thc apìdeixhc af netai san ˆskhsh. 7. Af netai san ˆskhsh. 8. Af netai san ˆskhsh. Prìtash 7.3. Eˆn gia tic akoloujðec (a n ) n=1, (b n ) n=1, (c n ) n=1, isqôei: (i) a n b n c n, n N, kai (ii) a n γ, kai c n γ, tìte na deiqjeð ìti b n γ. H apìdeixh af netai san ˆskhsh. Parˆdeigma Na exetasjeð wc proc th sôgklish h akoloujða a n = 2n + 3 n 2 + 1, n N. Diair ntac me to megistobˆjmio ìro n 2 arijmht kai paronomast o genikìc ìroc thc akoloujðac grˆfetai a n = 2n + 3 n = 2n n n 2 n 2 n n 2 = 2 n + 3 n n 2.

79 'Orio akoloujðac 79 O arijmht c sugklðnei sto 0, en o paronomast c sugklðnei sto 1, ˆra apì thn idiìthta tou orðou phlðkou akolouji n èpetai ìti h akoloujða a n, n N sugklðnei kai lim a 2n + 3 n = lim n n n = ( 2 lim n + 3 ) n ( n ) = 2 n lim n 0 1 = 0. Parˆdeigma JewroÔme thn akoloujða a n = n a, n N, ìpou a > 0. Na deiqjeð ìti lim n n a = 1. JewroÔme tic peript seic a = 1, a > 1, kai a < a = 1. Tìte n a = n 1 = 1, ˆra lim a n = 1. n 2. a > 1. Tìte n a > n 1 = 1, n N, opìte mporoôme na grˆyoume a n = n a = 1 + r n, r n > 0. Uy nontac arqikˆ sth n osth dônamh kai kˆnontac qr sh thc anisìthtac tou Bernoulli (Parˆdeigma 3.2) upologðzoume a = (1 + r n ) n 1 + nr n > nr n = 0 < r n < a n ap' ìpou èpetai ìti r n 0, kaj c n. 'Etsi lim a n = lim n a = lim (1 + r n ) = 1. n n n 3. a < 1. Tìte n a < n 1 = 1, n N, opìte mporoôme na grˆyoume a n = n a = s n, s n > 0. 'Opwc sth prohgoômenh perðptwsh upologðzoume a = 1 (1 + s n ) 1 < 1 = 0 < s n n < ns n ns n a ap' ìpou sumperaðnoume ìti s n 0, kaj c n, epomènwc lim a n = lim 1 n a = lim = 1. n n n 1 + s n Parˆdeigma JewroÔme thn akoloujða a n = n n, n N. Na deiqjeð ìti lim n n n = 1. 1 n

80 80 AkoloujÐec ParathroÔme ìti a n 1, n N, ètsi mporoôme na grˆyoume n n = (1 + δn ) 2, δ n 0, n N. Uy nontac arqikˆ sth n osth dônamh èqoume diadoqikˆ n = (1 + δ n ) 2n = n = (1 + δ n ) n = n 1 + nδ n ìpou sth teleutaða sunepagwg ègine qr sh thc anisìthtac Bernoulli (Parˆdeigma 3.2). 'Etsi upologðzoume n n nδn = δ n n = 1, n ap' ìpou èpetai ìti δ n 0, kaj c n. Telikˆ lim n n n = lim n (1 + 2δ n + δ 2 n) = 1. Parˆdeigma JewroÔme thn akoloujða a n = n ln n, n N. Na deiqjeð ìti lim n n ln n = 1. ParathroÔme ìti a n > 1, gia kˆje n 3, kai upenjumðzoume ìti ln x x 1 gia x > 0, ètsi mporoôme na grˆyoume 1 n ln n n n 1 < n n, gia n 3. Kˆnontac qr sh thc Prìtashc 7.3, kai diamèsou tou prohgoômenou paradeðgmatoc, èpetai, paðrnontac ìria, ìti lim n n ln n = 1. To akìloujo shmantikì apotèlesma thc Anˆlushc eðnai mða efarmog thc Prìtashc 7.3. Parˆdeigma Na deiqjeð ìti kˆje pragmatikìc arijmìc eðnai to ìrio miac akoloujðac rht n arijm n. 'Estw r R. Eˆn o r eðnai rhtìc tìte h akoloujða (r n ) n=1 me r n = r, n N sugklðnei profan c ston r. 'Estw ìti o r eðnai ˆrrhtoc. JumÐzoume ìti to akèraio mèroc tou pragmatikoô arijmoô x eðnai o monadikìc akèraioc m pou ikanopoieð th sqèsh x 1 < m x. To akèraio mèroc tou x sumbolðzoume me [x], ètsi x 1 < [x] x. Gia kˆje loipìn fusikì arijmì n ja eðnai nr 1 < [nr] nr, isodônama r 1 n < [nr] n r, n N. Mèsw thc Prìtashc 7.3 blèpoume ìti h akoloujða ([nr]/n) n=1 sugklðnei ston r.

81 'Orio akoloujðac 81 Prìtash 7.4. Eˆn mða akoloujða eðnai aôxousa kai ˆnw fragmènh tìte sugklðnei. To Ðdio isqôei eˆn h akoloujða eðnai kˆtw fragmènh kai fjðnousa. Apìdeixh. 'Estw ìti h akoloujða (a n ) n=1 eðnai aôxousa kai èstw a n M, n N. 'Estw S na eðnai to sônolo twn ˆnw fragmˆtwn thc akoloujðac, dhlad S = {s R : a n s, n N}. Tìte M S, kai to S eðnai kˆtw fragmèno, giatð an N N tìte a N s, s S, opìte apì thn Prìtash 5.1 epetai ìti to S èqei elˆqisto kˆtw frˆgma l. To l eðnai to elˆqisto ˆnw frˆgma thc akoloujðac (giatð?). Sth sunèqeia deðqnoume ìti a n l. 'Estw ɛ > 0, tìte upˆrqei ìroc thc akoloujðac a N pou ikanopoieð th sqèsh l ɛ < a N < l, diaforetikˆ to l ɛ ja tan èna ˆnw fˆgma thc akoloujðac, opìte ja an ke sto S, prˆgma ˆtopo miac kai to l eðnai to elˆqisto ˆnw frˆgma thc akoloujðac. Epeid h akoloujða eðnai aôxousa ja èqoume ìti l ɛ < a n < l, n N, opìte apì ton orismì tou orðou èpetai ìti a n l. H apìdeixh gia fjðnousa kai kˆtw fragmènh akoloujða eðnai anˆlogh. Parˆdeigma Na deiqjeð ìti h akoloujða sugklðnei. a n = ( n) n, n N, Sto Parˆdeigma 7.10 deðqjhke ìti h dosmènh akoloujða eðnai aôxousa kai fragmènh me 2 a n < 3, gia kˆje fusikì arijmì n, ètsi sômfwna me thn Prìtash 7.4 sugklðnei se kˆpoio arijmì sto diˆsthma [2, 3). O arijmìc autìc sumbolðzetai me e, tim ntac ètsi ton Euler ( ) pou qrhsimopoðhse ton arijmì autì. MporeÐ na apodeiqjeð ìti o e eðnai ˆrrhtoc kai me akrðbeia 15 dekadik n yhfðwn h tim tou eðnai e = 'Ara lim n ( 1 + n) 1 n = e. Parˆdeigma JewroÔme thn anadromik akoloujða a n+1 = 2a n + δ, a 1 = 0, n N, 3 ìpou δ > 0. Na deiqjeð ìti h akoloujða eðnai sugklðnousa kai na upologisjeð to ìriì thc. 1. H akoloujða eðnai fragmènh. UpologÐzoume merikoôc ìrouc thc a 1 = 0, a 2 = δ 3, a 3 = 5δ 3 2, a 4 = 13δ 3 3,.... ParathroÔme ìti a n < δ, gia n = 1, 2, 3, 4. Isqurizìmaste ìti h anisìthta isqôei n N. Gia n = 1 o isqurismìc eðnai swstìc. DeÐqnoume ìti eˆn a k < δ, tìte a k+1 < δ. Prˆgmati a k+1 = 2a k + δ 3 < 2δ + δ 3 = δ.

82 82 AkoloujÐec 'Ara a n < δ, n N. 2. H akoloujða eðnai aôxousa. a n+1 a n = 2a n + δ 3 a n = δ a n 3 epeid a n < δ, gia kˆje n. 3. San aôxousa kai fragmènh h akoloujða sugklðnei. Eˆn a eðnai to ìrio thc akoloujðac tìte lim a 2a n + δ n+1 = lim n n 3 opìte epilôontac thn exðswsh brðskoume a = δ. ShmeÐwsh: MporeÐ na deiqjeð (blèpe Ask seic) ìti a n = ( ( 2 3) ( 2 3 ) n 2 ) δ 3 = 0, = a = 2a + δ, 3 [ 1 Parˆdeigma JewroÔme thn anadromik akoloujða a n+1 = 1 2 ( 2 3 (a n + δan ), a 1 = 1, n N, ) n 2 ] δ, n = 2, 3, 4,.... ìpou 0 < δ < 1. Na deiqjeð ìti h akoloujða eðnai sugklðnousa kai na upologisjeð to ìriì thc. ParathroÔme ìti a 2 = (1 + δ)/2 > 0, a 3 > a 2 /2 > 0 genik tera a n > 0, gia kˆje n N. 1. H akoloujða eðnai kˆtw fragmènh. Prˆgmati 2 a n+1 = 1 ) (a n + δan 2 ˆra a n δ, gia n = 2, 3,..., ˆra kai gia kˆje n N. 2. H akoloujða eðnai fjðnousa. a n δ a n = δ, a n+1 a n = a n 2 + δ a n = δ a2 n 0, 2a n 2a n epeid a n δ, gia kˆje n. 3. San fjðnousa kai kˆtw fragmènh h akoloujða sugklðnei. Eˆn a eðnai to ìrio thc tìte ) lim a 1 n+1 = lim (a n + δan = a = 1 ( a + δ ) = a = a2 + δ n n 2 2 a 2a, opìte isodônama èqoume 2a 2 = a 2 + δ a = ± δ. Epeid a n > 0 èpetai ìti a = δ. ShmeÐwsh: MporeÐ na deiqjeð (blèpe Ask seic) ìti eˆn a 1 = θ > 0, kai δ > 0, tìte gia thn akoloujða tou paradeðgmatoc isqôei lim a 1 n+1 = lim n n 2 ) (a n + δan = δ, dhlad to ìrio thc akoloujðac eðnai anexˆrthto thc arqik c tim c a 1. 2 Εδώ χρησιμοποιούμε την ανισότητα r + s rs 2 για κάθε ζευγάρι μη αρνητικών πραγματικών αριθμών r και s.

83 'Orio akoloujðac 83 Parˆdeigma DÐnetai h akoloujða (a n ) n=1, me a n+1 = a2 n + 1 2a n, kai a 1 = a > 1. Na deiqjeð ìti h akoloujða sugklðnei kai na brejeð to ìriì thc. Arqikˆ deðqnoume ìti Prˆgmati a n+1 1 = (a n 1) 2, n = 1, 2, 3,.... 2a n a n+1 1 = a2 n + 1 2a n 1 = a2 n + 1 2a n 2a n = (a n 1) 2 2a n. Apì th sqèsh aut sumperaðnoume ìti a n 1, gia kˆje n N miac kai a 1 > 1, dhlad h akoloujða eðnai kˆtw fragmènh. Sth sunèqeia exetˆzoume thn akoloujða wc proc th monotonða. UpologÐzoume a n+1 a n = a2 n + 1 2a n a n = a2 n + 1 2a 2 n 2a n = 1 a2 n 2a n, ap' ìpou èpetai ìti a n+1 a n 0, epeid a n 1. 'Ara h akoloujða eðnai fjðnousa kai san kˆtw fragmènh sugklðnei. Eˆn l eðnai to ìrio thc akoloujðac ja èqoume, l = l l 2l 2 = l opìte epeid l 1 katal goume sto sumpèrasma ìti to ìrio eðnai l = 1. Parat rhsh 7.2. 'Estw f : [a, b] R mða suneq c sunˆrthsh. An h akoloujða (a n ) n=1 sugklðnei ston l kai a n [a, b], gia n N kai l [a, b] tìte apì ton orismì thc sunèqeiac thc f èqoume ( ) lim f(a n) = f lim a n = f(l). n n Parˆdeigma Na deiqjeð ìti h akoloujða a n = sugklðnei, kai na upologisjeð to ìriì thc. ParathroÔme ìti a n = b 2 n ìpou ( n) 2n, n N, b n = ( n) n, n N, kai b n e, kaj c n, opìte sômfwna me thn Parat rhsh 7.2 ja èqoume lim n ( 1 + n) 1 2n [ = lim n ( 1 + n) 1 n ] 2 = e 2.

84 84 AkoloujÐec Parat rhsh 7.3. 'Estw ìti h akoloujða (a n ) n=1 sugklðnei ston arijmì l. Tìte oi akoloujðec (a 2n ) n=1 kai (a 2n 1 ) n=1 sugklðnoun epðshc ston arijmì l. OrÐzoume tic akoloujðec ã n = a 2n, n N kai â n = a 2n 1, n N. 'Estw ɛ > 0. Apì ton orismì tou orðou upˆrqei N tètoio ste a n l < ɛ gia kˆje n N. An 2n N eðnai a 2n l < ɛ isodônama ã n l < ɛ, kai an 2n 1 N eðnai a 2n 1 l < ɛ isodônama â n l < ɛ. 'Ara ã n l kai â n l, isodônama a 2n l kai a 2n 1 l. Parˆdeigma Na deiqjeð ìti h akoloujða a n = sugklðnei, kai na upologisjeð to ìriì thc. ParathroÔme ìti a n = ( ) n, n N, 2n ( ) n [( = ) 2n ] 1/2, 2n 2n opìte sômfwna me tic Parathr seic 7.2 kai 7.3, ja èqoume [( lim a n = lim ) 2n ] 1/2 [ ( = lim ) 2n ] 1/2 = e. n n 2n n 2n Parat rhsh 7.4. H ènnoia thc upakoloujðac. Ac jewr soume thn akoloujða (a n ) n=1. Oi akoloujðec a 2, a 4, a 6,..., a 2n,... kai a 1, a 3, a 5,..., a 2n 1,... lègontai upakoloujðec thc (a n ) n=1. Genik tera eˆn k 1, k 2,..., k n,... eðnai mða gnhsðwc aôxousa akoloujða fusik n arijm n tìte h akoloujða (a kn ) n=1 lègetai upakoloujða thc (a n ) n=1. Shmei noume ìti h k mporeð na eidwjeð san mða gnhsðwc aôxousa sunˆrthsh k : N N me timèc k(n) = k n. Prìtash 7.5. 'Estw ìti h akoloujða (a n ) n=1 sugklðnei ston arijmì l. Tìte gia kˆje upakoloujða (a kn ) n=1 isqôei lim a k n = l. n Apìdeixh. H apìdeixh eðnai parìmoia me ekeðnh sthn Parat rhsh 7.3 pou dìjhke gia tic peript seic k n = 2n kai k n = 2n 1 kai af netai san ˆskhsh. Parˆdeigma Eˆn b > 1, r > 0, kai s > 0 eðnai pragmatikoð arijmoð, na deiqjeð ìti oi akoloujðec (i) sugklðnoun sto 0. log b n n, (ii) log b n n r, (iii) log s b n n r n N, ParathroÔme ìti h (i) èpetai apì thn (ii) gia r = 1. DeÐqnoume loipìn ìti (7.4) lim n log b n n r = 0.

85 'Orio akoloujðac 85 H sunˆrthsh log b eðnai gnhsðwc aôxousa opìte gia kˆje fusikì arijmì n 2 upˆrqei monadikìc k n N tètoioc ste Tìte upologðzoume k n log b n < k n + 1 b kn n < b kn+1. (7.5) 0 log b n k n + 1 n r b rk n = b r k n + 1 (b r ) k n+1. Epeid b r > 1 grˆfontac b r = 1 + δ, me δ > 0, kai kˆnontac qr sh tou diwnumikoô jewr matoc èqoume (1 + δ) kn+1 = 1 + (k n + 1)δ + (k n + 1)k n δ δ kn+1 2 (b r ) k n+1 = (1 + δ) k n+1 > (k n + 1)k n 2 'Etsi apì thn sqèsh (7.5) prokôptei 0 log b n n r < b r 2(k n + 1) = (b r 1) 2 (k n + 1)k n δ 2 = (k n + 1)k n (b r 1) 2. 2 b r 2. (b r 1) 2 k n Parathr ntac ìti 1/k n 0, kaj c n, san upakoloujða thc akoloujðac (1/n) n=1 (giatð?), h (7.4) èpetai apì thn teleutaða sqèsh. Grˆfontac thn (iii) sth morf log s b n n r = ( logb n n r/s parathroôme ìti to apotèlesma èpetai apì thn (i) kai thn Parat rhsh 7.2. Ask seic JumÐzoume ìti gia kˆje fusikì arijmì n ) s Gia kˆje n N orðzoume n 2 = n(n + 1)(2n + 1). 6 s n = 1 n 3 n k=1 k 2 = n 2 n 3. Na deiqjeð ìti h akoloujða (s n ) n=1 sugklðnei kai na brejeð to ìriì thc.

86 86 AkoloujÐec Gia thn akoloujða tou ParadeÐgmatoc 7.11 na deiqjeð ìti a n < 1 1 4γ, 2 gia kˆje fusikì arijmì n. Na brejeð epðshc to ìrio thc akoloujðac JumÐzoume ìti gia kˆje fusikì arijmì n 1 + a + a a n = 1 an+1 1 a, a 1. Gia kˆje n N orðzoume s n = n a k = 1 + a + a a n, a > 0 k=1 Na exetasjeð wc proc th sôgklish h akoloujða (s n ) n=1. Upìdeixh: Jewr ste xeqwristˆ tic peript seic a = 1, a > 1 kai a < Na prosdioristeð h tim tou pragmatikoô arijmoô r ètsi ste h akoloujða a n = 1 + n (n + 1) r, n N (i) Na sugklðnei sto mhdèn. (ii) Na sugklðnei se arijmì diˆforo tou mhdenìc. (iii) Na apoklðnei 'Estw ìti h akoloujia a n, n = 1, 2, 3,... eðnai fragmènh. Na deiqjeð ìti (aþ) H akoloujða a n /n sugklðnei sto mhdèn. (bþ) Eˆn h akoloujða b n, n = 1, 2, 3,... sugklðnei sto mhdèn, tìte h a n b n sugklðnei sto mhdèn Me qr sh thc anisìthtac n 2 2 ìpou n N, na deiqjeð ìti (n + 1)2 < n <, n lim = 1 n n Na deiqjeð ìti h akoloujða a n = a n, n N, me 0 < a < 1 sugklðnei kai na brejeð to ìrio. Upìdeixh: a = 1/(1 + δ), ìpou δ > Na deiqjeð ìti kˆje mða apì tic akoloujðec pou orðzontai me tic sqèseic (aþ) a n+1 = 1 + a n, a 1 = 1

87 'Orio akoloujðac 87 (bþ) a n+1 = 2a n, a 1 = 1 eðnai aôxousa kai fragmènh. Na upologisjeð to ìrio kˆje mðac akoloujðac Na deiqjeð ìti h akoloujða a n+1 = 4a n + 3, a 1 = 5 eðnai sugklðnousa kai na brejeð to ìriì thc Je rhma. 'Estw ìti h f : [N, + ) R eðnai mða suneq c sunˆrthsh tètoia ste lim f(x) = l. x Eˆn gia thn akoloujða a n, n = 1, 2, 3,... isqôei a n = f(n), gia kˆje n N, na deiqjeð ìti a n l Eˆn Na exetasjoôn wc proc th sôglish oi akoloujðec: (aþ) a n = ln n ln(n + 1), n = 1, 2, 3,.... (bþ) a n = ln(n + 1) n p, n = 1, 2, 3,..., ìpou p > 0. (gþ) a n = n sin(π/n), n = 1, 2, 3,.... (dþ) a n = ( ) 1/2 2n, n = 1, 2, 3,.... n + 1 (eþ) a n = n(e 1/n 1), n = 1, 2, 3,.... (þ) a n = ( ) n n + 1, n = 1, 2, 3,.... n 1 na brejoôn ta ìria twn akolouji n: (i) ( ) n, (ii) δn ( lim n = e n n) ( n) n, (iii) ( 1 1 n) n, (iv) ( 1 1 n 2 ) n, n = 1, 2, 3,..., ìpou 0 < δ < 1 sthn (i). Upìdeixh: Eˆn a n > 0, tìte a n = e ln a n 'Estw E 3, E 4,... na eðnai h akoloujða twn embad n twn kanonik n polug nwn eggegrammènwn se kôklo aktðnac R. Eˆn me E sumbolðsoume to embadìn tou kôklou, dhlad E = πr 2, na apodeiqjoôn oi isqurismoð: (aþ) E n = R 2 n 2 sin 2π, n = 3, 4,... n (bþ) E 3 < E 4 < < E n < E n+1 < < E. (gþ) lim E n = E n.

88 88 AkoloujÐec H mèjodoc tou NeÔtwna. 'Estw f mða paragwgðsimh sunˆrthsh me suneq parˆgwgo, kai èstw ìti f (x) 0. Upojètontac ìti h anadromik akoloujða sugklðnei na brejeð to ìrio thc. x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Na exetasjoôn wc proc th sôglish oi akoloujðec kai an sugklðnoun na brejoôn ta ìriˆ touc. (aþ) x 0 = 1, x n+1 = x n x2 n 2 2x n, n = 1, 2, 3,.... (bþ) x 0 = 1, x n+1 = x n 1, n = 1, 2, 3,....

89 Kefˆlaio 8 StoiqeÐa Sunduastik c Anˆlushc 8.1 Diatˆxeic kai SunduasmoÐ Ac xekin soume me èna parˆdeigma. Upojètoume ìti èqoume to alfˆbhto A = {α, β}. MÐa lèxh m kouc 3, gia parˆdeigma, apì to A eðnai mða diˆtaxh tri n grammˆtwn apì to A. Gia parˆdeigma αβα eðnai mða tètoia lèxh, en ααβ eðnai mða ˆllh. TonÐzoume ìti αβα ααβ. Parˆdeigma 8.1. Na brejoôn ìlec oi lèxeic m kouc 2 pou dhmiourgoôntai apì to alfˆbhto A = {α, β}. Oi lèxeic pou jèloume eðnai oi αα, αβ, βα, ββ kai mìnon autèc. O trìpoc pou antimetwpðzoume to prìblhma eðnai o ex c: jèloume na kalôyoume dôo jèseic kai gia kˆje mða èqoume dôo epilogèc. 'Ara o sunolikìc arijmìc twn trìpwn pou diajètoume gia na ftiˆxoume tic lèxeic eðnai 2 2 = 4. IsodÔnama to pl joc twn diatetagmènwn zeug n pou dhmiourgoôntai apì to sônolo A eðnai 4 ta (α, α), (α, β), (β, α), (β, β) pou apoteloôn to A A. 'Eqoume loipìn to ex c basikì axðwma arðjmhshc Basik arq aparðjmhshc. Eˆn kˆpoio èrgo mporeð na oloklhrwjeð se k b mata B 1, B 2,..., B k kai to b ma B j mporeð na ektelesjeð me m j trìpouc, j = 1, 2,..., k, tìte to èrgo mporeð na oloklhrwjeð me m 1 m 2 m k trìpouc. Parˆdeigma 8.2. Na brejoôn ìlec oi lèxeic m kouc 2 pou dhmiourgoôntai apì to alfˆbhto A = {α, β} eˆn den epitrèpontai epanal yeic twn grammˆtwn. Gia th pr th jèsh èqoume dôo epilogèc, en gia th deôterh mða epilog. 'Etsi upˆrqoun 2 1, tètoiec lèxeic. Autèc eðnai oi αβ kai βα. 89

90 90 StoiqeÐa Sunduastik c Anˆlushc Parˆdeigma 8.3. MÐa tˆxh apoteleðtai apì 25 korðtsia kai 20 agìria. Me pìsouc trìpouc mporeð na epilegeð èna trimelèc sumboôlio apoteloômeno apì prìedro, tamða kai grammatèa eˆn sth jèsh tou tamða epilègetai korðtsi kai sth jèsh tou grammatèa agìri? Gia th jèsh tou grammatèa èqoume 20 epilogèc, gia th jèsh tou tamða 25 epilogèc, en gia th jèsh tou proèdrou (20 1) + (25 1) = 43, epomènwc upˆrqoun trìpoi epilog c. Orismìc 8.1. 'Estw S na eðnai èna sônolo me n stoiqeða. Diˆtaxh (permutation) k stoiqeðwn tou S, k n, eðnai mða diatetagmènh k-ada diakekrimènwn stoiqeðwn tou sunìlou S. To pl joc twn diatˆxewn sumbolðzetai me P (n, k). Parˆdeigma 8.4. Na brejoôn ìlec oi diatˆxeic 2 stoiqeðwn tou sunìlou A = {p, q, r}. Jèloume ìla ta dunatˆ zeôgh (x, y) ìpou x, y A kai x y. Gia th pr th jèsh èxoume treðc epilogèc, en gia th deôterh 2, ˆra upˆrqoun 3 2 = 6 diatetagmèna zeôgh ta (p, q), (p, r), (q, p), (q, r), (r, p), (r, q). MÐa isodônamh diatôpwsh tou probl matoc eðnai: Na brejoôn ìlec oi lèxeic m kouc 2 pou dhmiourgoôntai apì to alfˆbhto A = {p, q, r} eˆn den epitrèpontai epanal yeic. Ac upologðsoume t ra to pl joc twn diatˆxewn k stoiqeðwn enìc sunìlou me n stoiqeða, n k. IsodÔnama jèloume na upologðsoume to pl joc twn lèxewn m kouc k pou proèrqontai apì to alfˆbhto S me n stoiqeða eˆn den epitrèpontai epanal yeic. 'Etsi ja èqoume P (n, k) = n(n 1)(n 2) (n k + 1) = n(n 1)(n 2) (n k + 1)(n k) 2 1. (n k) 2 1 'Ara to pl joc twn k diatˆxewn enìc sunìlou me n stoiqeða dðnetai apì th sqèsh (8.1) P (n, k) = JumÐzoume ìti n! = 1 2 (n 1)n, epðshc 0! = 1. n! (n k)!. Orismìc 8.2. 'Estw S na eðnai èna sônolo me n stoiqeða. Me ton ìro metˆjesh (permutation) ennooôme mða diˆtaxh ìlwn twn stoiqeðwn tou S. To pl joc twn metajèsewn sumbolðzetai me P (n). Apì th sqèsh (8.1) prokôptei, gia n = k, (8.2) P (n) = n!. Parat rhsh 8.1. Sto Parˆdeigma 8.1 sth pragmatikìthta antimetwpðsame to problhma thc eôreshc tou pl jouc twn diatˆxewn me epanˆlhyh. 'Etsi eˆn S eðnai èna sônolo me n stoiqeða tìte to pl joc twn diatˆxewn me epanˆlhyh k stoiqeðwn tou S sumbolðzetai me P (n, k) kai dðnetai apì th sqèsh (8.3) P (n, k) = n k.

91 To duwnumikì Je rhma 91 Parˆdeigma 8.5. MÐa epitrop thc sqol c twn Jetik n Episthm n apoteleðtai apì 3 MajhmatikoÔc, 3 FusikoÔc kai 2 Biolìgouc. Me pìsouc trìpouc mporoôn na kaj soun sth seirˆ ta ˆtoma autˆ ètsi ste ta mèlh tou idðou tm matoc na kˆjontai mazð? Ta trða tm mata mporoôn na diataqjoôn katˆ 3! trìpouc. Oi treðc MajhmatikoÐ mporoôn na kaj soun katˆ 3! trìpouc, oi FusikoÐ epðshc katˆ 3! trìpouc kai oi Biolìgoi katˆ 2! trìpouc. 'Ara o sunolikìc arijmìc twn diatˆxewn eðnai 3!3!3!2! = 432. Orismìc 8.3. 'Estw S na eðnai èna sônolo me n stoiqeða. Sunduasmìc (combination) k stoiqeðwn tou S eðnai èna uposônolo tou S me k stoiqeða. To pl joc twn sunduasm n sumbolðzetai me C(n, k). Sth sunèqeia upologðzoume to pl joc aut n twn sunduasm n. Se antðjesh me to gegonìc ìti oi lèxeic αβ kai βα eðnai diaforetikèc ta sônola {α, β} kai {β, α} eðnai Ðsa. To sônolo {s 1, s 2,..., s k } dhmiourgeð k! diaforetikèc k-adec, opìte ja èqoume P (n, k) = k!c(n, k). 'Etsi mèsw thc (8.1) telikˆ èqoume ìti pl joc twn k sunduasm n enìc sunìlou me n stoiqeða dðnetai apì th sqèsh C(n, k) = P (n, k)/k! (8.4) C(n, k) = 8.2 To duwnumikì Je rhma n! k!(n k)!. To pl joc twn sunduasm n enallaktikˆ to sumbolðzoume me ( n k). To sômbolo ( n k) lègetai kai duwnumikìc suntelest c (binomial coefficient) gia lìgouc pou ja exhghjoôn parakˆtw. Eˆn a kai b eðnai pragmatikoð arijmoð jumðzoume tic tautìthtec (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, oi opoðec epalhjeôontai eôkola kˆnontac prˆxeic. EÐnai loipìn logikì na skeftoôme eˆn upˆrqei genikìc tôpoc gia to anˆptugma tou (a + b) n, ìpou n N. Epeid (8.5) (a + b) n = (a + b)(a + b) (a + b) parathroôme ìti kˆnontac prˆxeic to dexð mèloc anaptôssetai se ˆjroisma ìrwn thc morf c c k,l a k b l, ìpou c k,l eðnai kˆpoioc suntelest c kai k, l eðnai fusikoð arijmoð. Ta ginìmena autˆ dhmiourgoôntai apì n parenjèseic opìte 0 k, l n. Epiplèon o ìroc a k b l prokôptei eˆn apì tic k parenjèseic qrhsimopoihjeð to a kai apo tic upìloipec n k parenjèseic to b, ètsi l = n k. Opìte h (8.5) gðnetai (8.6) (a + b) n = n c k,n k a k b n k. k=0

92 92 StoiqeÐa Sunduastik c Anˆlushc Tìte o suntelest c c k,n k isoôtai me to pl joc ìlwn twn ginomènwn a k b n k pou emfanðzontai sto dexð mèloc thc (8.5). 'Ara ja eðnai c k,n k = C(n, k). Telikˆ (8.7) (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k. k Pìrisma 8.1. Na apodeiqjeð h idiìthta twn duwnumik n suntelest n (8.8) n k=0 ( ) n = k ( ) n + 0 ( ) n ( ) n = 2 n. n Apìdeixh. Apì th sqèsh (8.7) gia a = b = 1 èpetai to apotèlesma. Pìrisma 8.2. 'Estw A na eðnai èna sônolo me n stoiqeða. Na apodeiqjeð ìti to A èqei 2 n uposônola, isodônama eˆn A = n tìte P(A) = 2 n, blèpe Parˆdeigma 3.4. Apìdeixh. To pl joc twn uposunìlwn tou A me kanèna stoiqeðo isoôtai me C(n, 0) = 1, apì ton orismì tou C(n, k) kai autì eðnai to kenì sônolo. 'Omoia to pl joc twn uposunìlwn tou A me 1 stoiqeðo isoôtai me C(n, k) = n, kai genikˆ to pl joc twn uposunìlwn tou A me k stoiqeða, k n isoôtai me C(n, k). Epomènwc jumðzontac ìti C(n, k) = ( n k) èqoume P(A) = ìpwc prokôptei apì to Pìrisma 8.1. Ask seic ( ) n + 0 ( ) n ( ) n = 2 n, n Pìsoi arijmoð mporoôn na sqhmatistoôn me yhfða 1, 2, 3 kai 4 eˆn den epitrèpontai epanal yeic? Me pìsouc tìpouc mporeð na apanthjeð èna diag nisma pou apoteleðtai apì dèka erwt - seic pou apant ntai me swstì lˆjoc? Me pìsouc tìpouc mporoôn na diataqjoôn dèka biblða se èna rˆfi biblioj khc? Dèka agìria jèloun na paðxoun mpˆsket. Me pìsouc trìpouc mporoôn na sqhmatistoôn dôo omˆdec twn pènte atìmwn h kˆje mða? Pìsec eujeðec orðzontai apì okt shmeða eˆn kˆje trða apì autˆ den eðnai suneujeiakˆ? Pìsa trðgwna orðzontai? JewroÔme ta sônola A = {x 1, x 2, x 3 } kai B = {y 1, y 2, y 3, y 4 }. (aþ) Pìsec sunart seic apì to A sto B upˆrqoun? (bþ) Pìsec èna proc èna sunart seic apì to A sto B upˆrqoun?

93 H arq tou perister na Na apodeiqjoôn oi parakˆtw idiìthtec twn duwnumik n suntelest n: (aþ) (bþ) ( ) ( ) n n =. k n k ( ) ( ) n n 1 = + k k ( ) n 1. k Na apodeiqjoôn oi parakˆtw tautìthtec: (aþ) (bþ) (gþ) ( ) ( ) ( n n n ( ) ( ) ( ) n n n = n ( ) 2 ( ) 2 n n = + k 0 k=0 ) + 2 n ( n n ( ) n + 0 ( ) 2 n Na apodeiqjeð ìti gia kˆje n N 2 2n 2n ) = 3 n. ( ) ( ) n n + + = 2 n ( ) 2 ( ) n 2n =. n n ( ) 2n < 2 2n. n Na brejeð o ìroc sto anˆptugma tou (6x 1/(2x)) 10 pou den perièqei to x Na brejeð o ìroc sto anˆptugma tou (xy 2y 3 ) 8 pou den perièqei to y. 8.3 H arq tou perister na Ac xekin soume me dôo aplˆ paradeðgmata: 1. MetaxÔ 367 atìmwn upˆrqoun toulˆqiston dôo twn opoðwn oi hmeromhnðec gènnhshc eðnai oi Ðdiec. Autì sumbaðnei giatð oi diajèsimec hmeromhnðec eðnai 366, eˆn to ètoc eðnai dðsekto. 2. Eˆn mac zhthjeð na grˆyoume ènteka monoy fiouc mh arnhtikoôc akèraiouc arijmoôc tìte anagkastikˆ ja epanalˆboume toulˆqiston dôo, miac kai oi mh arnhtikoð akèraioi eðnai dèka. GenikeÔontac èqoume thn basik arq H arq tou perister na (pigeonhole principle). Eˆn n antikeðmena topojetoôntai se k koutiˆ kai n k + 1, tìte toulˆqiston èna koutð ja perièqei perissìtera apì èna antikeðmena. Parˆdeigma 8.6. Eˆn A eðnai èna sônolo me m stoiqeða, kai B eðnai èna sônolo me m 1 stoiqeða,tìte den upˆrqei èna proc èna sunˆrthsh me pedðo orismoô to A kai timèc sto B. Parˆdeigma 8.7. 'Ena polu numo p(x) bajmoô n 1 mhdenðzetai gia to polô n diaforetikèc timèc thc metablht c x.

94 94 StoiqeÐa Sunduastik c Anˆlushc To polu numo p(x) eðnai thc morf c p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 me a n 0. Apì to Jemeli dec Je rhma thc 'Algebrac èpetai ìti to polu numo èqei n rðzec kai èstw ìti autèc eðnai oi x 1, x 2,..., x n, ìqi anagkastikˆ diaforetikèc metaxô touc. Tìte mporoôme na grˆyoume p(x) = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ). An upojèsoume ìti upˆrqei tim x x j, j = 1, 2,..., n, pou mhdenðzei to p(x), tìte ja èqoume p(x ) = a n (x x 1 )(x x 2 ) (x x n ) = 0. Epeid x x j 0 gia ìla ta j = 1, 2,..., n, èpetai ìti a n = 0, isodônama p(x) 0. Autì ìmwc eðnai ˆtopo giatð to p eðnai polu numo mh mhdenikoô bajmoô. Katal xame se ˆtopo giatð upojèsame ìti to p(x) mhdenðzetai gia perissìterec apì n timèc thc metablht c x. Epomènwc autì den sumbaðnei, ˆra to polu numo mhdenðzetai gia to polô n timèc tou x. Parˆdeigma 8.8. MetaxÔ 100 anjr pwn upˆrqoun toulˆqiston 9 oi opoðoi èqoun gennhjeð ton Ðdio m na. Prˆgmati epeid 100/12 = 8.5 èpetai ìti toulˆqiston 9 ˆnjrwpoi èqoun gennhjeð ton Ðdio m na. To parˆdeigma autì odhgeð sthn isquropoihmènh morf thc arq c tou perister na. OrÐzoume pr ta gia kˆje pragmatikì arijmì x ton akèraio arijmì x me th sqèsh x x < x + 1. 'Etsi 3.7 = 4, 0.1 = 0 1. Genikeumènh arq tou perister na. Eˆn n antikeðmena topojetoôntai se k koutiˆ kai n k + 1, tìte toulˆqiston èna koutð ja perièqei toulˆqiston n/k antikeðmena. Parˆdeigma 8.9. Poiìc eðnai o elˆqistoc arijmìc trapoulìqartwn pou mporeð na trab xei kˆpoioc apì mia sunhjismènh trˆpoula 52 fôllwn ste na èqei dôo tou idðou qr matoc? Mia sunhjismènh trˆpoula perièqei maôra kai kìkkina qartiˆ, ˆra trab ntac trða exasfalðzetai ìti toulˆqiston dôo apì autˆ eðnai tou idðou qr matoc. Jèloume ton elˆqisto jetikì akèraio x gia ton opoðo x/2 = 2, epomènwc x = 3. Ask seic Na apodeiqjeð ìti metaxô n + 1 jetik n akeraðwn pou den uperbaðnoun to 2n upˆrqei kˆpoioc pou diaireð ènan apì touc upìloipouc akeraðouc Εάν ο x είναι πραγματικός αριθμός και [x] είναι το ακέραιο μέρος του τότε [x] x x [x] + 1 x + 1.

95 BibliografÐa [1] T. M. Apostol Mathematical Analysis, 2nd edition, Addison Wesley, Reading, Massachusetts [2] N. K. Artemiˆdhc Sunart seic Pragmatik n Metablht n, 2h èkdosh, Aj na [3] R. V. Churchill and J. W. Brown Complex Variables and Applications, 5th edition, McGraw Hill, New York [4] P. R. Halmos Naive Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer Verlag, New York [5] A. G. Hamilton Logic for Mathematicians, Cambridge University Press, [6] J. L. Kelley General Topology, Graduate Texts in Mathematics 27, Springer Verlag, New York [7] G. MhtakÐdhc Majhmatik Logik, Panepist mio Patr n [8] J. R. Munkres Topology, A first course, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [9] G. F. Simmons Introduction to Topology and modern Analysis, McGraw Hill, New York [10] B. L. van der Waerden Algebra, Vol. 1, (3rd printing) Frederick Ungar, New York