Genik TopologÐa kai Efarmogèc

Transcription

1 Genik TopologÐa kai Efarmogèc

2 ii

3 Perieqìmena iii

4 iv PERIEQŸOMENA

5 Kefˆlaio 1 TopologikoÐ q roi 1.1 TopologÐa Orismìc 1.1. 'Estw X mh kenì sônolo kai T mða oikogèneia uposunìlwn tou X. H T kaleðtai topologða tou X, an ikanopoieð tic parakˆtw idiìthtec: (i) To X kai to an koun sthn T. (ii) H T eðnai kleist stic peperasmènec tomèc, dhlad, gia kˆje n N kai {U i } n i=1 peperasmènh oikogèneia stoiqeðwn thc T, isqôei n i=1 U i T. (iii) H T eðnai kleist stic aujaðretec en seic, dhlad, gia kˆje sônolo I (pou lìgw thc (i), arkeð na eðnai diˆforo tou kenoô) kai {U i } i I oikogèneia stoiqeðwn thc T, isqôei i I U i T. To sônolo X efodiasmèno me mða topologða T kaleðtai topologikìc q roc kai sumbolðzetai me to zeôgoc (X, T ). Ta stoiqeða thc topologðac T kaloôntai anoiktˆ uposônola tou topologikoô q rou (X, T ). UpenjÔmish 1.2. 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc kai A X. (i) To A kaleðtai anoiktì uposônolo tou metrikoô q rou X, an gia kˆje x A, upˆrqei ε > 0 tètoio, ste B(x, ε) A. (ii) To A kaleðtai kleistì uposônolo tou metrikoô q rou X, an to X A eðnai anoiktì. 1

6 2 KEFŸALAIO 1. TOPOLOGIKOŸI QŸWROI Prìtash 1.3. 'Estw (X, ρ) m.q. kai T ρ h oikogèneia twn anoikt n uposunìlwn tou X. H T ρ apoteleð mia topologða tou X kai onomˆzetai epagìmenh topologða tou X apì th metrik ρ, metrik topologða tou X ìtan h metrik eðnai gnwst. Apìdeixh. Ja deðxoume ìti h T ρ ikanopoieð tic treic idiìthtec tou orismoô thc topologðac. (i) Profan c X X. EpÐshc, gia kˆje x X kai gia kˆje ε > 0 (ˆra, sðgoura upˆrqei èna ε > 0), prokôptei ex orismoô tou sunìlou thc mpˆlac B(x, ε) := {y X : ρ(x, y) < ε} ìti B(x, ε) X. Epomènwc, X T ρ. To eðnai epðshc anoiktì uposônolou tou metrikoô q rou X. Prˆgmati, èstw ìti X. Tìte, ja èprepe na upˆrqei x, ste x X, to opoðo eðnai ˆtopo. OmoÐwc, epalhjeôoume ìti eðnai anoiktì. Epomènwc, T ρ. (ii) 'Estw n N kai {U i } n i=1 peperasmènh oikogèneia anoikt n uposunìlwn tou X. An n i=1 U i =, tìte n i=1 U i T ρ. 'Estw x n i=1 U i. Tìte, gia kˆje i {1,..., n}, upˆrqei ε i > 0 tètoio, ste B(x, ε i ) U i. Jètoume ε = min i {1,...,n} ε i, opìte B(x, ε) n i=1 U i. Sunep c, n i=1 U i T ρ. (GiatÐ de mporoôme na jewr soume aujaðretec tomèc? Diìti, an gia parˆdeigma tan ε n = 1 n, n N, tìte de ja up rqe katˆllhlo ε jetiko, afoô ε = inf n N ε n = 0.) (iii) 'Estw I mh kenì sônolo kai {U i } i I aujaðreth oikogèneia anoikt n uposunìlwn tou X. 'Estw x i I U i (diaforetikˆ, T ρ ). Tìte, upˆrqei toulˆqiston èna i 0 I tètoio, ste x U i0. AfoÔ U i0 anoiktì, upˆrqei ε > 0, ste B(x, ε) U i0 i I U i. 'Ara, i I U i T ρ. 'Askhsh 1.4. 'Estw sônolo X. (i) DeÐxte ìti h T = P(X) eðnai mða topologða tou X. H topologða aut kaleðtai diakrit topologða tou X. Epˆgetai apì kˆpoia metrik sto X? Me ˆlla lìgia, upˆrqei metrik ρ, ste ta anoiktˆ uposônola tou metrikoô q rou (X, ρ) na tautðzontai me ta stoiqeða thc topologðac T? (ii) DeÐxte ìti h T = {, X}, eðnai mða topologða tou X. H topologða aut kaleðtai tetrimmènh topologða tou X. Epˆgetai apì kˆpoia metrik sto X?

7 1.1. TOPOLOGŸIA 3 (iii) OrÐzoume mða sqèsh << >> merik c diˆtaxhc sthn oikogèneia ìlwn twn topologi n tou X, me T 1 T 2, an, kai mìno an, T 1 T 2. DeÐxte ìti upˆrqoun T min, T max wc proc th sqèsh thc merik c diˆtaxhc, ste gia kˆje T topologða tou X na isqôei T min T T max. (iv) An X = {a, b} kai T = {, X, {a}}, deðxte ìti h T eðnai topologða pou den epˆgetai apì metrik sto X. AkoloujoÔn kˆpoia paradeðgmata, pou apantoôn en mèrei kai sta erwt mata (i), (ii) kai (iv) thc ˆskhshc. ParadeÐgmata 1.5. 'Estw sônolo X. (i) H diakrit topologða T = P(X) epˆgetai apì th diakrit metrik ρ d. Apìdeixh. Sto m.q. (X, ρ d ), gia kˆje x X kai gia opoiod pote ε (0, 1], isqôei B(x, ε) = {x}. Sunep c, kˆje uposônolo A tou metrikoô q rou ja eðnai anoiktì, afoô A = x A {x}. Dhlad, T T ρ d. T ra, profan c kˆje anoiktì uposônolo tou metrikoô q rou eðnai uposônolo tou X, dhlad T ρd P(X) = T. Epomènwc, T = T ρd, kai ˆra o diakritìc topologikìc q roc eðnai, ìpwc alli c lème, metrikopoi simoc. (ii) H tetrimmènh topologða T = {, X} den epˆgetai apì kˆpoia metrik, ìtan to X perièqei perissìtera apì èna stoiqeðo, dhlad X 2 (ìpou me X sumbolðzoume ton plhjikì arijmì tou X). Apìdeixh. 'Eqoume upojèsei ìti to X eðnai mh kenì, sunep c X > 0. An X = 1, dhlad X = {x}, tìte, gia kˆje metrik ρ me thn opoða efodiˆzoume to X, isqôei T ρ = {, X}, diìti, afenìc to kai to X eðnai ta monadikˆ uposônola tou X, afetèrou eðnai kai ta dôo anoiktˆ se kˆje metrikì q ro (X, ρ). An X 2, tìte upojètoume proc apagwg se ˆtopo ìti upˆrqei metrik ρ sto X, ste na epˆgei thn T, dhlad T ρ = T. a' trìpoc 'Estw x 1 x 2 dôo stoiqeða tou X. Jètoume U = B(x 1, ε), ìpou ε = ρ(x 1,x 2 ) 2, kai parathroôme ìti x 1 U, x 2 U kai U T ρ. Upojèsame, ìmwc, ìti T = T ρ, ˆra eðte U = eðte U = X, to opoðo eðnai ˆtopo.

8 4 KEFŸALAIO 1. TOPOLOGIKOŸI QŸWROI b' trìpoc Sto m.q. (X, ρ), kˆje monosônolo {x} eðnai kleistì, isodônama, to X {x} (pou eðnai diˆforo tou kenoô, diìti X 2) eðnai anoiktì gia kˆje x X. Epomènwc, X {x} T ρ gia kˆje x X, to opoðo eðnai ˆtopo, diìti upojèsame ìti T ρ = T. (iii) EÔkola diapist noume ìti h oikogèneia T = {X F : F X, F peperasmèno} { } eðnai mða topologða tou X. H T kaleðtai sumpeperasmènh topologða tou X. ParathroÔme ìti gia tuqaða metrik ρ, me thn opoða efodiˆzoume to X, eðnai T = {X F : F X, F peperasmèno} { } T ρ. Prˆgmati, an F peperasmèno uposônolo tou X, tìte eðnai kleistì wc proc th metrik ρ (afoô den èqei shmeða suss reushc), kai ˆra to X F ja eðnai anoiktì uposônolo tou metrikoô q rou X, dhlad X F T ρ. Epiplèon, parathroôme ìti, an to X eðnai peperasmèno, h sumpeperasmènh topologða tautðzetai me th diakrit. Autì prokôptei, diìti kˆje uposônolo tou X (opìte kai kˆje sumpl rwma uposunìlou tou X) ja eðnai peperasmèno. 'Estw, loipìn, F P(X). ParathroÔme ìti F = X (X F ) kai ìti X F eðnai peperasmèno. Epomènwc, to F ja an kei sth sumpeperasmènh topologða. Sunep c, ja èqoume P(X) T. 'Omwc, gia kˆje topologða T isqôei T P(X), ˆra diakrit kai sumpeperasmènh topologða tautðzontai. Efìson t ra tautðzetai me th diakrit topologða, sðgoura ja epˆgetai apì th diakrit metrik. 'Omwc, eðdame parapˆnw ìti gia kˆje metrik ρ èqoume T = {X F : F X, F peperasmèno} { } T ρ. Epomènwc, P(X) T ρ, kai profan c èpetai ìti P(X) = T ρ. Dhlad, ìtan to X eðnai peperasmèno, h sumpeperasmènh topologða epˆgetai apì kˆje metrik ρ sto X. (iv) An X = {a, b}, tìte h topologða T = {, {a}, X} den epˆgetai apì kˆpoia metrik. Prˆgmati, se kˆje m.q. (X, ρ) to X {a} = {b} ja eðnai anoiktì, dhlad {b} T ρ. Epomènwc, T T ρ.

9 1.2. BŸASEIS, UPOBŸASEIS Bˆseic, upobˆseic Orismìc 1.6. 'Estw (X, T ) t.q. (topologikìc q roc). MÐa upooikogèneia B thc T ja kaleðtai bˆsh gia thn T, an kˆje anoiktì uposônolo tou X ( alli c, kˆje stoiqeðo thc T ) grˆfetai wc ènwsh stoiqeðwn thc B. Dhlad, an gia kˆje U T, upˆrqei oikogèneia {B i } i I B, ste U = i I B i. Ta stoiqeða thc bˆshc B kaloôntai basikˆ (anoiktˆ) uposônola tou topologikoô q rou (X, T ). ParadeÐgmata 1.7. (i) H T eðnai mða bˆsh gia thn Ðdia thn T. (ii) Stouc metrikoôc q rouc gnwrðzoume dh ìti kˆje anoiktì sônolo grˆfetai wc ènwsh apì anoiktèc mpˆlec (ˆskhsh). An, loipìn, (X, ρ) m.q. kai T ρ h metrik topologða tou X, tìte h B = {B(x, ε) : x X, ε > 0} eðnai mða bˆsh gia thn T ρ. EÔkola diapist nei kaneðc ìti h B = {B(x, q) : x D, q Q + } eðnai exðsou mða bˆsh gia thn T ρ, gia kˆje D puknì uposônolo tou X (bl. Pragmatik Anˆlush). (iii) An X = R kai ρ h sun jhc metrik stouc pragmatikoôc, tìte mða bˆsh gia thn metrik topologða T ρ eðnai h B = {(a, b) : a < b kai a, b R}. Prˆgmati, oi mpˆlec B(x, ε) = (x ε, x + ε) tou metrikoô q rou (R, ρ ) brðskontai se amfimonos manth antistoiqða me ta diast mata (a, b) tou R. 'Ara, to zhtoômeno èpetai apì to parˆdeigma (ii). Lìgw thc puknìthtac twn rht n stouc pragmatikoôc arijmoôc, h upooikogèneia B = {(a, b) : a < b kai a, b Q} eðnai epðshc mða bˆsh gia thn T ρ. H epìmenh prìtash, dojèntoc enìc t.q. (X, T ), sunistˆ èna krit rio, pou apofaðnetai an mða upooikogèneia B thc T eðnai bˆsh gia thn T. Prìtash 1.8. 'Estw (X, T ) t.q. kai B T. H B eðnai bˆsh gia thn T, an, kai mìno an, gia kˆje U T kai kˆje x U, upˆrqei B B tètoio, ste x B U. Apìdeixh. ( ) 'Estw ìti h B eðnai bˆsh gia thn T. Epilègoume èna U T kai èna x U (an tan U =, tìte to zhtoômeno èpetai eôkola). Ex orismoô thc bˆshc, ja upˆrqei

10 6 KEFŸALAIO 1. TOPOLOGIKOŸI QŸWROI sônolo I kai {U i } i I B, ètsi ste U = i I U i. Sunep c, ja upˆrqei i 0 I tètoio, ste x U i0 U. ( ) AntÐstrofa, èstw U T. Ex upojèsewc, gia kˆje x U upˆrqei B x B tètoio, ste x B x U. 'Ara, ja eðnai U = x U B x (giatð?), opìte sumperaðnoume ìti h B eðnai bˆsh gia thn T. Prìtash 1.9. 'Estw (X, T ) t.q., B mða bˆsh gia thn T kai U X. Ta epìmena eðnai isodônama: (i) To U eðnai anoiktì. (ii) Gia kˆje x U, upˆrqei B B tètoio, ste x B U. Apìdeixh. (i) (ii) To U, wc stoiqeðo thc T, ja grˆfetai U = i I U i gia kˆpoia oikogèneia stoiqeðwn {U i } i I thc bˆshc B. Opìte, an x U, upˆrqei èna i 0 I, ste x U i0 U. (ii) (i) Apì thn prohgoômenh prìtash, gia kˆje x U epilègoume B x B, ste x B x U. Epomènwc, ja eðnai U = x U B x, kai ˆra U T. Sto krit rio pou eðdame parapˆnw, jewr same dedomèno èna sônolo X, efodiasmèno me mða topologða T, kai exetˆsame th sunj kh pou prèpei na ikanopoieð mða tuqaða upooikogèneia B thc T, ste na eðnai bˆsh gia thn T. T ra ja jewr soume monˆqa èna sônolo X kai ja exetˆsoume poièc sunj kec prèpei na ikanopoieð mða tuqaða oikogèneia B uposunìlwn tou X, ste na eðnai bˆsh gia kˆpoia topologða tou X. PrwtoÔ proqwr soume sto je rhma - krit rio, ac parathr soume ìti, an h tuqaða B eðnai bˆsh gia kˆpoia topologða tou X, tìte h topologða aut ja eðnai ex orismoô h oikogèneia ìlwn twn en sewn stoiqeðwn thc B. Dhlad, mða bˆsh prosdiorðzei monos manta thn topologða sthn opoða eðnai bˆsh (en antijèsei me thn topologða, pou, en gènei, den èqei monadik bˆsh). Tèloc, epishmaðnoume ìti, apì ed kai sto ex c, gia na elègxoume thn kleistìthta peperasmènwn tom n, mporoôme na elègqoume monˆqa thn kleistìthta thc tom c dôo sunìlwn, kai apì epagwg ja èqoume to zhtoômeno.

11 1.2. BŸASEIS, UPOBŸASEIS 7 Je rhma 'Estw sônolo X kai B P(X). H B eðnai bˆsh gia kˆpoia topologða tou X, an, kai mìno an, èqei tic parakˆtw idiìthtec: (i) X = {B : B B}. (ii) Gia kˆje B 1, B 2 B kai x B 1 B 2, upˆrqei B 3 B, ste x B 3 B 1 B 2. Apìdeixh. ( ) 'Estw ìti h B eðnai bˆsh gia kˆpoia topologða T tou X. Tìte, (i) efìson X T, ja upˆrqei mða oikogèneia stoiqeðwn {B i } i I thc B tètoia, ste X = i I B i. 'Eqoume ìti EpÐshc, B i {B : B B}. i I {B : B B} T P(X). Sunep c to {B : B B} eðnai uposônolo tou X, kai ˆra X = {B : B B}. (ii) (ˆskhsh). ( ) 'Opwc èqoume parathr sei, an h B eðnai bˆsh gia kˆpoia topologða, tìte aut ja eðnai h oikogèneia ìlwn twn en sewn stoiqeðwn thc B. JewroÔme, loipìn, thn oikogèneia { } T = B i : I sônolo, B i B i I. i I Autì pou prèpei na deðxoume eðnai ìti, ìtan h B èqei tic idiìthtec (i) kai (ii), tìte h T eðnai mða topologða tou X. Opìte kai h B ja eðnai mða bˆsh gia thn T. Apì thn idiìthta (i), prokôptei ìti X T (X = i I B i, ìpou I = B kai B i = i). EpÐshc, gia I =, èqoume ìti T. H T eðnai kleist stic aujaðretec en seic. Prˆgmati, èstw {U j } j J T. Tìte, gia kˆje j J, ja eðnai U j = i I j B i. Sunep c, U j = ( j J j J ìpou I = j J I j. Epomènwc, j J U j T. i I j B i ) = B i, i I

12 8 KEFŸALAIO 1. TOPOLOGIKOŸI QŸWROI H T eðnai kleist stic peperasmènec tomèc (jumhjeðte thn epis mansh pou kˆname ep' autoô). Prˆgmati, èstw U 1, U 2 T. Ja eðnai U 1 = i I 1 B i kai U 2 = i I 2 B i. Sunep c, U 1 U 2 = (B i1 B i2 ). (i 1,i 2 ) (I 1 I 2 ) H tom dôo stoiqeðwn thc B den an kei en gènei sth B. 'Omwc, apì thn idiìthta (ii) prokôptei ìti B i1 B i2 = x B i1 B i2 B x, ìpou B x B gia kˆje x B i1 B i2. Sunep c, B i1 B i2 T, kai ˆra U 1 U 2 T. 'Eqontac katˆ nou thn ènnoia thc grammik c j khc, thc kurt c j khc, akìmh kai thc kleistìthtac enìc uposunìlou metrikoô q rou, kaj c kai touc trìpouc perigraf c touc (eswterik kai exwterik perigraf ), tðjentai fusiologikˆ ta ex c erwt mata: 'Estw èna sônolo X kai mða oikogèneia F uposunìlwn tou X. Upˆrqei mða topologða tou X, pou na eðnai h mikrìterh topologða tou X pou perièqei thn F? An nai, p c mporoôme na thn kataskeuˆsoume? EÐnai monadik? Orismìc 'Estw X sônolo, T mða topologða tou X kai F P(X). Ja lème ìti h T parˆgetai apì thn F kai ja sumbolðzoume me T = T (F), an h T ikanopoieð tic parakˆtw idiìthtec: (i) F T. (ii) Gia kˆje topologða T tou X me F T, isqôei T T. Parathr seic (i) SÔmfwna me ton parapˆnw orismì, h T (F) eðnai h mikrìterh topologða tou X pou perièqei thn F. Wstìso, den èqoume apodeðxei akìmh thn Ôparxh thc. (ii) An upˆrqei h T (F), tìte eðnai monadik. Prˆgmati, an up rqe mða deôterh topologða T tou X pou na parˆgetai apì thn F, tìte, me diadoqik efarmog tou orismoô gia kˆje mða apì tic T kai T, prokôptei ìti T T kai T T. AkoloujeÐ h exwterik perigraf thc T (F), pou sugqrìnwc exasfalðzei kai thn Ôparx thc. Prohgoumènwc, af netai wc ˆskhsh na deðxete ìti, an {T i } i I P(P(X))

13 1.2. BŸASEIS, UPOBŸASEIS 9 eðnai mða oikogèneia topologi n enìc sunìlou X, tìte h i I T i eðnai mða topologða tou X (kat' analogða me touc dianusmatikoôc q rouc, ta kurtˆ kai ta kleistˆ sônola). Prìtash 'Estw X sônolo, F P(X), kai jewroôme thn topologða T = {C : C topologða tou X me F C}. H T eðnai h mikrìterh topologða tou X pou perièqei thn F, dhlad T = T (F). Apìdeixh. Arqikˆ, parathroôme ìti h topologða T eðnai kal c orismènh, diìti h oikogèneia {C : C topologða tou X me F C} perièqei to P(X), kai ˆra eðnai mh ken (an tan ken, tìte h T ja tan to sônolo ìlwn twn sunìlwn!). H T ex orismoô perièqei thn F. Tèloc, eðnai h mikrìterh pou perièqei thn F, diìti, an T topologða tou X me F T, tìte h T ja an kei sthn oikogèneia {C : C topologða tou X me F C}, kai sunep c T T. SuneqÐzoume me thn eswterik perigraf thc T (F), dhlad ton trìpo me ton opoðo, xekin ntac apì thn F, ja qtðsoume th mikrìterh topologða pou thn perièqei. Prìtash 'Estw X sônolo kai F P(X). OrÐzoume { n B(F) = i=1 H B(F) eðnai mða bˆsh gia thn T (F). } F i : n N {0}, {F i } n i=1 F {X}. Apìdeixh. Arqikˆ, ja deðxoume ìti h B(F) eðnai bˆsh gia kˆpoia topologða, èstw T. Autì ja gðnei me efarmog tou jewr matoc 1.10: ParathroÔme, kat' arqˆc, ìti B(F) P(X). EpÐshc, isqôei ìti X = {B : B B(F)}, diìti, afenìc B X gia kˆje B B(F), opìte {B : B B(F)} X, afetèrou X B(F), opìte X {B : B B(F)}. 'Estw B 1, B 2 B(F) kai x B 1 B 2. Ex orismoô h B(F) eðnai kleist stic peperasmènec tomèc, sunep c x B 1 B 2 B(F)

14 10 KEFŸALAIO 1. TOPOLOGIKOŸI QŸWROI (sômfwna me to sumbolismì tou jewr matoc 1.10, ja eðnai B 3 = B 1 B 2 ). 'Ara, h B(F) eðnai mða bˆsh gia thn T. Profan c, h T kajorðzetai monos manta apì thn B(F): h T ja eðnai h oikogèneia ìlwn twn en sewn stoiqeðwn thc B(F). Mènei na deðxoume ìti T = T (F). Prˆgmati, èstw T topologða tou X pou perièqei thn F. H T eðnai kleist stic peperasmènec tomèc, kai ˆra B(F) T. 'Omwc, h T eðnai kleist kai stic aujaðretec en seic, sunep c T T. Epomènwc, T = T (F). Orismìc 'Estw (X, T ) t.q. kai F P(X). H F kaleðtai upobˆsh gia thn T, an T = T (F). Ta stoiqeða thc upobˆshc F kaloôntai upobasikˆ (anoiktˆ) uposônola tou topologikoô q rou (X, T ). Parathr seic 'Estw X sônolo kai F P(X). (i) Gia na kataskeuˆsoume (eswterik perigraf ) th mikrìterh topologða pou perièqei thn F, arkeð na mazèyoume se mða oikogèneia B(F) ìlec tic peperasmènec tomèc stoiqeðwn thc F, kai èpeita olec tic en seic stoiqeðwn thc oikogèneiac B(F). (ii) H F mporeð na eðnai pˆnta upobˆsh gia kˆpoia topologða tou X, kai sugkekrimèna gia thn T (F). Parˆdeigma H F = {(, x) : x R} {(y, + ) : y R} apoteleð upobˆsh gia th sun jh metrik topologða tou R. Den apoteleð, ìmwc, bˆsh, afoô to anoiktì diˆsthma (a, b) de mporeð na prokôyei wc ènwsh stoiqeðwn thc F, allˆ wc (a, b) = (, b) (a, + ). 1.3 Stoiqei deic ènnoiec thc topologðac Orismìc 'Estw (X, T ) t.q. kai F X. To F ja kaleðtai kleistì, an to X F eðnai anoiktì, dhlad an X F T. Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. Tìte, h oikogèneia F twn kleist n uposunìlwn tou X ikanopoieð tic parakˆtw idiìthtec: (i) To kai to X eðnai kleistˆ. (ii) H F eðnai kleist stic peperasmènec en seic.

15 1.3. STOIQEIŸWDEIS ŸENNOIES THS TOPOLOGŸIAS 11 (iii) H F eðnai kleist stic aujaðretec tomèc. Apìdeixh. Af netai wc ˆskhsh (upìdeixh: orismìc tou kleistoô kai kanìnec De Morgan). Parathr seic 'Estw (X, T ) t.q. (i) 'Ena uposônolo tou X den eðnai kat' anˆgkh oôte anoiktì oôte kleistì. Me ˆlla lìgia, an F h oikogèneia twn kleist n uposunìlwn tou X, tìte isqôei T F P(X). (ii) Ap' thn ˆllh pleurˆ, eðnai dunatìn èna uposônolo tou X na eðnai anoiktì kai kleistì sugqrìnwc. DÔo tetrimmèna paradeðgmata aut c thc perðptwshc, pou isqôoun se kˆje topologikì q ro, eðnai to kai to X. 'Allo èna aplì parˆdeigma, eðnai autì tou diakritoô topologikoô q rou, ston opoðo kˆje uposônolo tou q rou eðnai anoiktì kai kleistì sugqrìnwc. ParadeÐgmata (i) An jewr soume to R me th sun jh metrik topologða T ρ, tìte ta dexiˆ kai ta aristerˆ hmianoiktˆ diast mata den eðnai oôte anoiktˆ oôte kleistˆ (apl eformog twn orism n). (ii) Ston (R, T ρ ) den upˆrqei A R, mh kenì, ste na eðnai anoiktì kai kleistì sugqrìnwc. Prˆgmati, upojètoume proc apagwg se ˆtopo ìti upˆrqei tètoio A. Tìte, to R A ja eðnai epðshc anoiktì. GnwrÐzoume ìti kˆje anoiktì uposônolo tou R grˆfetai wc arijm simh ènwsh anoikt n kai xènwn diasthmˆtwn. Sunep c, dedomènou ìti R = A (R A), mporoôme na grˆyoume to R wc arijm simh ènwsh anoikt n kai xènwn diasthmˆtwn, to opoðo eðnai ˆtopo, diìti ta ˆkra twn diasthmˆtwn aut n de ja an koun sto R. (iii) An jewr soume ton (R, T ρ ) kai Y = R {x 0 }, ìpou x 0 R, tìte h T Y = {U {x 0 } : U T ρ } eðnai mia topologða tou Y (ˆskhsh). ParathroÔme ìti (, x 0 ) T Y kai Y (, x 0 ) = (x 0, + ) T Y, dhlad to (, x 0 ) eðnai anoiktì kai kleistì sugqrìnwc. (iv) An F mða oikogèneia uposunìlwn enìc sunìlou X, tìte h F ikanopoieð tic idiìthtec thc prìtashc 1.19, an, kai mìno an, h T = {X F : F F} eðnai topologða tou X.

16 12 KEFŸALAIO 1. TOPOLOGIKOŸI QŸWROI 'Askhsh H topologða T Y tou paradeðgmatoc (iii) entˆssetai sthn kathgorða thc sqetik c topologðac, h opoða sunistˆ ton pio aplì kai fusiologikì trìpo paragwg c enìc nèou topologikoô q rou apì ènan proôpˆrqonta: 'Estw (X, T ) t.q. kai Y X. DeÐxte ìti h oikogèneia T Y = {U Y : U T } eðnai mða topologða tou Y. H T Y kaleðtai sqetik topologða tou Y (wc proc thn T ). O Y efodiasmènoc me thn T Y kaleðtai upìqwroc tou X. Orismìc 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. H kleistìthta tou A sumbolðzetai me A cl T A kai orðzetai wc to mikrìtero kleistì uposônolo tou X pou perièqei to A, dhlad ikanopoieð tic ex c idiìthtec: (i) to A eðnai kleistì, (ii) A A, (iii) an F X kleistì me A F, tìte A F. Prèpei na deðxoume ìti h kleistìthta enìc sunìlou eðnai èna kal c orismèno sônolo, dhlad ìti upˆrqei kai eðnai monadikì. Proc toôto, akoloujeð h epìmenh prìtash, pou exasfalðzei thn Ôparxh kai apoteleð th gn rimh exwterik perigraf thc ènnoiac pou orðsame. H monadikìthta, efìson exasfalðsoume thn Ôparxh, prokôptei me apl efarmog tou orismoô thc kleistìthtac (af netai wc ˆskhsh). Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. Tìte, A = {F : F kleistì uposônolo tou X me A F }. Apìdeixh. (ˆskhsh) Me thn epìmenh prìtash dðdoume th eswterik perigraf thc kleistìthtac enìc sunìlou.

17 1.3. STOIQEIŸWDEIS ŸENNOIES THS TOPOLOGŸIAS 13 Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. Tìte, x A, an, kai mìno an, gia kˆje U T me x U, isqôei U A. Dhlad, A = {x X : U A, gia kˆje U T me x U}. Apìdeixh. ( ) 'Estw x A. Ac upojèsoume proc apagwg se ˆtopo ìti upˆrqei U anoiktì me x U, ste na isqôei U A =. Tìte, A X U. EpÐshc, X U eðnai kleistì, sunep c, ex orismoô thc kleistìthtac, èqoume A X U. Epomènwc, afoô x A, prokôptei ìti x X U. Autì, ìmwc, eðnai ˆtopo, diìti ex upojèsewc x U. ( ) Pˆli upojètoume proc apagwg se ˆtopo ìti x A. Tìte, x X A, pou eðnai anoiktì. Ex upojèsewc, loipìn, èqoume ìti (X A) A, pou eðnai ˆtopo, afoô A A. Orismìc 'Estw (X, T ) t.q., A X kai x X. To x ja kaleðtai shmeðo suss reushc tou A, an isqôei U (A {x}) gia kˆje U T me x U. To sônolo twn shmeðwn suss reushc kaleðtai parˆgwgoc tou A parˆgwgo sônolo tou A kai sumbolðzetai me A. Orismìc 'Estw (X, T ) t.q., A X kai x A. To x ja kaleðtai apomonwmèno shmeðo tou A, an upˆrqei U T, ste U A = {x}. Parathr seic 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. (i) ParathreÐste ìti, sômfwna me ton orismì, gia na eðnai èna x shmeðo suss reushc tou A, den apaiteðtai na an kei sto A. AntÐstrofa, an èna x an kei sto A, tìte de sunepˆgetai apì ton orismì ìti ja eðnai shmeðo suss reushc tou A. MporeÐte na epalhjeôsete sth sun jh metrik topologða tou R, gia A = { 1 n : n N} (poiì eðnai to A?). (ii) JewroÔme èna x pou an kei sto A. Tìte, to x eðnai shmeðo suss reushc tou A, an den eðnai apomonwmèno shmeðo tou A, kai antðstrofa, to x eðnai apomonwmèno shmeðo tou A, an den eðnai shmeðo suss reushc tou A. Shmei ste pwc h upìjesh en prokeimènw, dhlad ìti to x an kei sto A, epibˆlletai apì ton orismì, efìson jèloume na qrhsimopoi soume thn ènnoia tou apomonwmènou shmeðou.

18 14 KEFŸALAIO 1. TOPOLOGIKOŸI QŸWROI (iii) IsqÔei ìti A A. Prˆgmati, an x A, tìte U (A {x}) U A gia kˆje U T me x U. Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. IsqÔoun ta parakˆtw: (i) A A, (ii) A = A, (iii) an A B, tìte A B, (iv) (A B) = A B, (v) to A eðnai kleistì, an, kai mìno an, A = A. Apìdeixh. (ˆskhsh) Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. IsqÔei ìti A = A A. Apìdeixh. 'Estw x A. EÐte x A eðte x A. An x A, tìte x A A. An x A, tìte, gia kˆje U T me x U, isqôei U (A {x}) = U A, kai ˆra x A A A. 'Estw x A A. An x A, tìte profan c x A. An x A, ìpwc eðdame sthn parapˆnw parat rhsh (iii), tìte x A. Pìrisma 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. To A eðnai kleistì, an, kai mìno an, perièqei ta shmeða suss reus c tou. Apìdeixh. ( ) An A kleistì, apì thn prìtash 1.29 èqoume ìti A = A. Opìte, qrhsimopoi ntac thn prìtash 1.30, èqoume ìti A A A = A = A. ( ) An A A, tìte, qrhsimopoi ntac thn prìtash 1.30, èqoume ìti A = A A = A. Epomènwc, apì thn prìtash 1.29, to A eðnai kleistì. Pìrisma 'Ena sônolo pou den èqei shmeða suss reushc eðnai kleistì. Apìdeixh. 'Amesh efarmog tou porðsmatoc 1.31.

19 1.3. STOIQEIŸWDEIS ŸENNOIES THS TOPOLOGŸIAS 15 'Askhsh 'Estw (X, T ) t.q., A, B X kai {A i } i I P(X). (i) DeÐxte ìti A B A B. IsqÔei h isìthta? (Upìdeixh: Ston (R, T ρ ) jewr ste ta A = Q, B = R Q). (ii) DeÐxte ìti i I A i ( i I A i) gia kˆje sônolo I. IsqÔei h isìthta? H {A i } i I kaleðtai topikˆ peperasmènh, an, gia kˆje x X, upˆrqei U T, ste to sônolo {i I : U A i } na eðnai peperasmèno. DeÐxte ìti, an h {A i } i I eðnai topikˆ peperasmènh, tìte isqôei h isìthta i I A i = ( i I A i). (iii) DeÐxte ìti, an U T, tìte U A, an, kai mìno an, U A. Orismìc 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. To eswterikì tou A sumbolðzetai me A int T A kai orðzetai wc to megalôtero anoiktì uposônolo tou X pou perièqetai sto A, dhlad ikanopoieð tic ex c idiìthtec: (i) to A eðnai anoiktì, (ii) A A, (iii) an U X anoiktì me U A, tìte U A. Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. Tìte, A = {U : U anoiktì uposônolo tou X me U A}. Apìdeixh. (ˆskhsh) Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. IsqÔoun ta parakˆtw: (i) (A) c = (A c ), (ii) (A ) c = (A c ), ìpou me A c sumbolðzoume to X A.

20 16 KEFŸALAIO 1. TOPOLOGIKOŸI QŸWROI Apìdeixh. (i) (A) c = ( {F : F c T me A F }) c = {F c : F c T me A F } = {F c : F c T me F c A c } = {U : U T me U A c } = (A c ). (ii) (ˆskhsh). Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. IsqÔoun ta parakˆtw: (i) A A, (ii) (A ) = A, (iii) an A B, tìte A B, (iv) (A B) = A B, (v) to A eðnai anoiktì, an, kai mìno an, A = A. Apìdeixh. (ˆskhsh) 'Askhsh (i) DeÐxte ìti A B (A B). BreÐte èna antiparˆdeigma, gia na apodeðxete ìti den isqôei en gènei h isìthta. (ii) DeÐxte ìti, an A anoiktì, tìte A (A). BreÐte èna antiparˆdeigma, gia na apodeðxete ìti den isqôei en gènei h isìthta. 'Askhsh (i) 'Estw X ˆpeiro sônolo, T h sumpeperasmènh topologða tou X kai A X. BreÐte ta A kai A. (ii) 'Omoia gia X uperarijm simo sônolo, efodiasmèno me th sunarijm simh topologða T = {X A : A X arijm simo}.

21 1.3. STOIQEIŸWDEIS ŸENNOIES THS TOPOLOGŸIAS 17 Orismìc 'Estw (X, T ) t.q. kai U T. To U kaleðtai kanonikì anoiktì, an U = (U). Parat rhsh EÔkola mporeðtai na diapist sete ìti isqôei U (U). En gènei, den eðnai ìla ta anoiktˆ uposônola enìc topologikoô q rou kanonikˆ anoiktˆ. Gia parˆdeigma, ston topologikì q ro (R, T ρ ) gia U = (, 0) (0, + ) eðnai (U) = R U. 'Omwc, ìla ta diast mata thc morf c (a, b), (a, + ), (, b) eðnai kanonikˆ anoiktˆ. Orismìc 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. To sônoro tou A sumbolðzetai me Bd(A) ( (A)) kai orðzetai wc Bd(A) = A (A c ). Parathr seic (i) Apì ton qarakthrismì thc kleistìthtac prokôptei ìti Bd(A) = {x X : U A kai U A c, gia kˆje U T me x U}. (ii) EpÐshc, isqôei ìti Bd(A) = Bd(A c ). Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. IsqÔei ìti Bd(A) = A A. Apìdeixh. Bd(A) = A (A c ) = A (A ) c = A A. Pìrisma 'Estw (X, T ) t.q. kai A X. IsqÔoun ta parakˆtw: (i) A = A Bd(A), me A Bd(A) =. (ii) X = A Bd(A) (A c ), me ta A, Bd(A), (A c ) na eðnai xèna anˆ dôo. Apìdeixh. (i) 'Amesh efarmog thc teleutaðac prìtashc. (ii) Efarmìzontac to (i) kai thn prìtash 1.36, èqoume ìti X = A (A) c = A Bd(A) (A) c = A Bd(A) (A c ). Parat rhsh 'Estw A èna uposônolo enìc topologikoô q rou X. To (A c ) kaleðtai exwterikì tou A kai sumbolðzetai me Ext(A).

22 18 KEFŸALAIO 1. TOPOLOGIKOŸI QŸWROI Epomènwc, to (ii) tou parapˆnw porðsmatoc mporeð na grafeð me diaforetikì sumbolismì wc X = int(a) Bd(A) Ext(A), me ta int(a), Bd(A), Ext(A) na eðnai xèna anˆ dôo. Me ˆlla lìgia, kˆje uposônolo A diamerðzei to q ro X se trða xèna mèrh: sto eswterikì tou A, sto sônoro tou A kai sto exwterikì tou A.

23 Kefˆlaio 2 SuneqeÐc sunart seic Orismìc 2.1. 'Estw (X, T ), (Y, S) topologikoð q roi kai f : X Y sunˆrthsh ( apeikìnish). H f ja kaleðtai suneq c, an f 1 (U) T gia kˆje U S. UpenjÔmish 2.2. 'Estw X, Y sônola, f : X Y sunˆrthsh kai U Y. H antðstrofh eikìna tou U mèsw thc f sumbolðzetai me f 1 (U) kai orðzetai wc f 1 (U) = {x X : f(x) U}. H antðstrofh eikìna mèsw thc f (pou eðnai mða sunolosunˆrthsh me pedðo orismoô to P(Y )) den prèpei na sugqèetai me thn antðstrofh sunˆrthsh thc f. H taôtish aut mporeð na gðnei, mìno ìtan h f eðnai 1-1 kai epð. JumhjeÐte, epðshc, ìti h f 1 sumperifèretai kalˆ stic sunolojewrhtikèc prˆxeic. ParadeÐgmata 2.3. (i) H tautotik apeikìnish Id : (X, T 1 ) (X, T 2 ) eðnai suneq c, an, kai mìno an, T 2 T 1. (ii) MÐa sunˆrthsh f : (X, T ) (Y, S) kaleðtai anoikt, an f(u) S gia kˆje U T. MÐa sunˆrthsh mporeð na eðnai anoikt, allˆ ìqi suneq c. 'Ena tètoio parˆdeigma eðnai h tautotik apeikìnish Id : (X, T ) (X, P(X)), ìpou T P(X). Prˆgmati eðnai anoikt, diìti f(a) P(X) gia kˆje A X, opìte kai gia kˆje U T. Den eðnai ìmwc suneq c, diìti f 1 (U) = U T gia kˆje U (P(X) T ). (iii) Pˆntote mporoôme na broôme toulˆqiston mða suneq sunˆrthsh metaxô dôo topologik n q rwn. Elègxte ìti oi stajerèc sunart seic ikanopoioôn to zhtoômeno. 'Askhsh 2.4. 'Estw (X, T ), (Y, S) t.q. DeÐxte ìti an h f : X Y eðnai suneq c, 19

24 20 KEFŸALAIO 2. SUNEQEŸIS SUNARTŸHSEIS tìte kai h f : X f(x) eðnai suneq c, ìtan o f(x) eðnai efodiasmènoc me th sqetik topologða. Orismìc 2.5. 'Estw (X, T ), (Y, S) t.q. (i) MÐa sunˆrthsh f : X Y kaleðtai omoiomorfismìc, an eðnai 1-1, epð, suneq c, kai h f 1 : Y X eðnai suneq c. Se aut thn perðptwsh lème ìti oi X, Y eðnai omoiomorfikoð ìti o X eðnai omoiomorfikìc me ton Y, kai sumbolðzoume me X Y. (ii) MÐa sunˆrthsh f : X Y kaleðtai omoiomorfik emfôteush, an o X eðnai omoiomorfikìc me ton f(x) pou eðnai efodiasmènoc me th sqetik topologða. Se aut thn perðptwsh lème ìti o X emfuteôetai omoiomorfikˆ ston Y, kai sumbolðzoume me X f(x) me X Y. Parathr seic 2.6. (i) An h f : X Y eðnai omoiomorfik emfôteush epð tou Y, tìte profan c eðnai omoiomorfismìc. (ii) An mða sunˆrthsh f metaxô dôo topologik n q rwn eðnai 1-1, epð kai suneq c, tìte h f 1 den eðnai kat' anˆgkh suneq c. Elègxte ìti h tautotik apeikìnish Id : (X, P(X)) (X, T ), ìpou T P(X), eðnai mða tètoia perðptwsh. (iii) Parathr ste ìti apì topologik skopiˆ dôo omoiomorfikoð q roi tautðzontai. Prˆgmati, ta stoiqeða touc, allˆ kai ta anoiktˆ uposônola touc brðskontai se amfimonos manth antistoiqða (ˆskhsh). Sthn topologða, ousiastikˆ, meletˆme ekeðnec tic idiìthtec pou mènoun analloðwtec mèsw omoiomorfism n; oi idiìthtec autèc kaloôntai topologikèc. 'Askhsh 2.7. (i) 'Estw (X, T ), (Y, S) t.q. kai f : X Y sunˆrthsh 1-1 kai epð. DeÐxte ìti h f eðnai omoiomorfismìc, an, kai mìno an, eðnai suneq c kai anoikt. (ii) 'Estw o topologikìc q roc R, efodiasmènoc me th sun jh metrik topologða, kai o ( 1, 1) me th sqetik topologða. DeÐxte ìti h sunˆrthsh f : R ( 1, 1) me f(x) = x 1+ x eðnai omoiomorfismìc.

25 21 Diapist ste ìti h idiìthta thc plhrìthtac den eðnai topologik (upìdeixh: o metrikìc q roc ( 1, 1) den eðnai pl rhc). (iii) DeÐxte ìti h sqèsh omoiomorfismoô sthn klˆsh twn topologik n q rwn eðnai sqèsh isodunamðac. Prìtash 2.8. 'Estw (X, T ), (Y, S) t.q. kai f : X Y sunˆrthsh. Ta epìmena eðnai isodônama: (i) H f eðnai suneq c. (ii) To f 1 (F ) eðnai kleistì uposônolo tou Y, gia kˆje F kleistì uposônolo tou X. (iii) Gia kˆje x X kai gia kˆje U S me f(x) U, upˆrqei W T me x W, ste f(w ) U. (iv) f(a) f(a) gia kˆje A X. (v) f 1 (B) f 1 (B) gia kˆje B Y. Apìdeixh. ProtoÔ proqwr soume sthn apìdeixh, zhtoôme apì ton anagn sth na epalhjeôsei genikˆ ìti, an A X kai B Y, tìte f(f 1 (B) B kai A f 1 (f(a)), qwrðc na alhjeôoun kat' anˆgkhn oi isìthtec kai stic dôo sqèseic. (Se poiˆ perðptwsh isqôei h isìthta se kˆje mða sqèsh?) (i) (ii) ArkeÐ na parathr soume ìti (X f 1 (F )) = f 1 (X F ). (i) (iii) 'Estw x X kai U S me f(x) U. Tìte, x f 1 (U), kai lìgw sunèqeiac f 1 (U) T. An jèsoume W = f 1 (U), èqoume to zhtoômeno, kajìti f(w ) = f(f 1 (U) U. (iii) (i) 'Estw U S. An f 1 (U) =, tìte f 1 (U) T. An f 1 (U), epilègoume x f 1 (U), opìte f(x) U. Tìte, upˆrqei W x T me x W x, ste f(w x ) U, kai ˆra W x f 1 (f(w x )) f 1 (U). Epomènwc, f 1 (U) = x f 1 (U) W x, to opoðo profan c eðnai anoiktì wc ènwsh anoikt n. (ii) (iv) 'Estw A X. ParathreÐste ìti f(a) f(a), an, kai mìno an, A f 1 (f(a)). Epomènwc, arkeð na deðxoume ton deôtero egkleismì. Profan c, f(a) f(a), opìte

26 22 KEFŸALAIO 2. SUNEQEŸIS SUNARTŸHSEIS èqoume ìti f 1 (f(a)) f 1 (f(a)). EpÐshc, A f 1 (f(a)), sunep c A f 1 (f(a)). 'Omwc, apì to (ii) prokôptei ìti to f 1 (f(a)) eðnai kleistì, opìte A f 1 (f(a)). (iv) (v) 'Estw B Y. Apì to (iv) èqoume f(f 1 (B)) f(f 1 (B)). EpÐshc, f(f 1 (B) B, sunep c f(f 1 (B)) B. (v) (ii) 'Estw B Y kleistì. Apì (v) èqoume f 1 (B) f 1 (B) = f 1 (B), kai ˆra f 1 (B) = f 1 (B).

27 Kefˆlaio 3 TopologÐa ginìmeno 3.1 Kartesinì ginìmeno Orismìc 3.1. 'Estw {X i } i I mða oikogèneia sunìlwn. To kartesianì ginìmeno thc {X i } i I sumbolðzetai me i I X i kai orðzetai wc to sônolo ìlwn twn sunart sewn x : I i I X i, me thn idiìthta x(i) X i gia kˆje i I. An X i = X gia kˆje i I, tìte to kartesianì ginìmeno i I X i sumbolðzetai me X I, pou eðnai to sônolo ìlwn twn sunart sewn x : I X. Kˆje sunˆrthsh x i I X i sumbolðzetai me x = (x i ) i I, ìpou x i = x(i). IsodÔnama, loipìn, to kartesianì ginìmeno i I X i orðzetai kai wc to sônolo ìlwn twn oikogenei n (x i ) i I, me x i X i gia kˆje i I. Parathr seic 3.2. (i) SÔmfwna me to axðwma thc epilog c, an {X i } i I eðnai mh ken oikogèneia mh ken n sunìlwn, dhlad I kai X i gia kˆje i I, tìte i I X i. Me ˆlla lìgia, upì tic anaferjeðsec proôpojèseic, mporoôme pˆntote na upojètoume ìti upˆrqei mða oikogèneia (x i ) i I, me x i X i gia kˆje i I. (ii) Profan c, an X i0 = gia kˆpoio i 0 I I =, tìte i I X i =. AkoloujoÔn merikˆ basikˆ paradeðgmata kartesian n ginomènwn. ParadeÐgmata 3.3. (i) To sônolo ìlwn twn pragmatik n akolouji n R N = {(x n ) n N : x n R n N} 23

28 24 KEFŸALAIO 3. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO kai, anˆloga, to sônolo ìlwn twn migadik n akolouji n C N = {(x n ) n N : x n C n N}. (ii) To sônolo ìlwn twn akolouji n fusik n arijm n N N = {(x n ) n N : x n N n N}, pou lègetai q roc tou Baire. (iii) To sônolo twn akolouji n sto {0, 1}, dhlad to pou lègetai kai sônolo Cantor. {0, 1} N = {(x n ) n N : x n = 0 1 n N}, Orismìc 3.4. 'Estw {X i } i I mh ken oikogèneia mh ken n sunìlwn. Gia kˆje i I, h apeikìnish π i : i I X i X i, me π i (x) = x i, kaleðtai i-probol tou i I X i. Parat rhsh 3.5. Qrhsimopoi ntac to axðwma thc epilog c, eðnai eôkolh ˆskhsh na deðxete ìti h π i eðnai apeikìnish epð tou X i gia kˆje i I. Oi epìmenec protˆseic pou akoloujoôn eðnai kˆpoiec algebrikèc idiìthtec tou kartesianoô ginomènou kai thc apeikìnishc π i. Prosoqh: TonÐzoume ìti efex c ja jewroôme mh kenèc oikogèneiec mh ken n sunìlwn topologik n q rwn qwrðc na to anafèroume rhtˆ, apofeôgontac th dðqwc idiaðtero nìhma perðptwsh tou kenoô sunìlou. Prìtash 3.6. 'Estw {X i } i I, {A i } i I oikogèneiec sunìlwn, me A i X i gia kˆje i I. Tìte, isqôoun ta akìlouja: (i) i I A i i I X i, (ii) i I A i = i I π 1 i (A i ). Apìdeixh. (i) 'Estw x i I A i. Ex orismoô eðnai x = (x i ) i I, me x i A i gia kˆje i I, opìte kai x i X i gia kˆje i I. Dhlad, x i I X i.

29 3.1. KARTESINŸO GINŸOMENO 25 (ii) x i I A i x = (x i ) i I, me x i A i gia kˆje i I x = (x i ) i I, me π i (x) A i gia kˆje i I x = (x i ) i I, me x πi 1 (A i ) gia kˆje i I x i I π 1 i (A i ). Prìtash 3.7. 'Estw {A i } i I, {B i } i I oikogèneiec sunìlwn. Tìte, isqôoun ta akìlouja: (i) ( i I A i) ( i I B i) = i I (A i B i ), (ii) ( i I A i) ( i I B i) i I (A i B i ). Apìdeixh. H apìdeixh eðnai eôkolh kai af netai wc ˆskhsh. MporeÐte, epðshc, eôkola na genikeôsete thn prìtash apì dôo oikogèneiec sunìlwn {A i } i I, {B i } i I, se aujaðreth oikogèneia apì oikogèneic sunìlwn {A j } j J, ìpou A j = {A j i } i I. Akìmh, breðte giatð den isqôei en gènei h isìthta sto (ii). Prìtash 3.8. 'Estw {X i } i I, {A i } i I oikogèneiec sunìlwn, me A i X i gia kˆje i I. Tìte, gia kˆje i I, isqôoun ta akìlouja: (i) (πi 1 (A i )) c = πi 1 (A c i ), (ii) ( i I A i) c = i I π 1 i (A i c ). Apìdeixh. (i) x (π 1 i (A i )) c x π 1 i (A i ) π i (x) A i π i (x) A i c x π 1 i (A i c ). (ii) Apì to (i) kai thn prìtash 3.6(ii), èpetai to zhtoômeno.

30 26 KEFŸALAIO 3. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO 3.2 TopologÐa ginìmeno Orismìc 3.9. 'Estw {(X i, T i )} i I oikogèneia topologik n q rwn. Efodiˆzoume to karesianì ginìmeno i I X i me thn topologða ginìmeno T, h opoða orðzetai wc h topologða me bˆsh thn oikogèneia { B = U i : U i T i i I } i I kai {i I : U i X i } peperasmèno. O topologikìc q roc ( i I X i, T ) kaleðtai q roc ginìmeno. Parathr seic (i) H topologða ginìmeno T eðnai kalˆ orismènh, kajìti h B ikanopoieð tic proôpojèseic tou jewr matoc 1.10, prokeimènou na eðnai bˆsh gia mða monadikˆ prosdiorismènh (bl. sqìlia pou prohgoôntai tou jewr matoc 1.10) topologða tou i I X i. Prˆgmati, parathroôme ìti i I X i B. Epiplèon, an B 1, B 2 B, me th bo - jeia thc prìtashc 3.7(i) kai ton trìpo pou orðsthke h B, diapist noume ìti B 1 B 2 B. (ii) An orðsoume C = { i I U i : U i T i i I}, tìte B C kai eôkola parathroôme ìti apoteleð bˆsh gia kˆpoia topologða tou i I X i. H topologða me bˆsh th C kaleðtai box topologða. Profan c, ìtan to I eðnai peperasmèno, h box topologða tautðzetai me thn topologða ginìmeno. Antijètwc, an to I eðnai ˆpeiro, X i gia kˆje i I, kai gia ˆpeiro pl joc i I o (X i, T i ) eðnai tètoioc, ste na upˆrqoun anoiktˆ, mh kenˆ, gn sia uposônola tou X i, tìte h box topologða eðnai gn sia megalôterh thc topologðac ginìmeno. Gia parˆdeigma, jewroôme ton (R, T ρ ) kai to kartesianì ginìmeno R N. To (0, 1) N eðnai basikì anoiktì sth box topologða tou R N, ìmwc den eðnai anoiktì sthn topologða ginìmeno tou R N, diìti, diaforetikˆ, ja èprepe na perièqei èna mh kenì, basikì anoiktì (prìtash 1.9), dhlad thc morf c i I V i, ìpou V i R anoiktì, kai {i I : V i R} peperasmèno. 'Askhsh 'Estw X topologikìc q roc. Lème ìti èna uposônolo D tou X eðnai puknì ston X, an D = X. O X kaleðtai diaqwrðsimoc, an èqei èna arijm simo, puknì uposônolo. (i) DeÐxte ìti to D eðnai puknì ston X, an, kai mìno an, gia kˆje U anoiktì, mh kenì uposônolo tou X isqôei U D.

31 3.2. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO 27 (ii) DeÐxte ìti, an o X eðnai diaqwrðsimoc kai Y eðnai èna anoiktì uposônolo tou X, tìte o upìqwroc Y (dhlad, o Y efodiasmènoc me th sqetik topologða) eðnai diaqwrðsimoc. (Upìdeixh: an D arijm simo, puknì ston X, deðxte ìti to A = D Y eðnai to zhtoômeno.) (iii) An X, Y eðnai topologikoð q roi, o X eðnai diaqwrðsimoc kai f : X Y eðnai sunˆrthsh suneq c kai epð, deðxte ìti o Y eðnai diaqwrðsimoc. (Upìdeixh: prìtash 2.7(iv).) (iv) An {X i } k i=1 peperasmèno sônolo diaqwrðsimwn topologik n q rwn, deðxte ìti o q roc ginomènou k i=1 X i eðnai diaqwrðsimoc.(upìdeixh: An D i eðnai to arijm simo, puknì uposônolo tou X i, i = 1,..., k, tìte to k i=1 D i eðnai to zhtoômeno.) 'Askhsh 'Estw {(X i, T i )} i I oikogèneia topologik n q rwn kai x 0 = (x 0 i ) i I i I X i. DeÐxte ìti to sônolo D x0 = { x = (x i ) i I i I X i : {i I : x i x 0 i } peperasmèno } eðnai puknì ston i I X i me thn topologða ginìmeno T. Apìdeixh. ArkeÐ na deðxoume ìti i I X i D x0. 'Estw x = (x i ) i I i I X i kai V T me x V. Tìte, upˆrqei basikì anoiktì B = ( B i ) ( X i ), i F i I F ìpou F peperasmèno uposônolo tou I, ste x B V. Gia kˆje i F jètoume x i = x i, en gia kˆje i I F jètoume x i = x0 i. T ra, parathroôme ìti x = (x i ) i I B D x0. Sunep c, V D x0, kai ˆra x D x0. Skopìc mac, en suneqeða, eðnai na deðxoume ìti h topologða ginìmeno T eðnai h mikrìterh topologða, wc proc thn opoða oi probolèc π i, i I, eðnai suneqeðc. Gia ton lìgo autì, ja xekin soume genikˆ apì thn ènnoia thc asjenèsterhc topologðac pou parˆgetai apì mia oikogèneia sunart sewn. Prìtash 'Estw X sônolo, {(X i, T i )} i I oikogèneia topologik n q rwn kai {f i } i I oikogèneia sunart sewn, me f i : X X i gia kˆje i I. Tìte, upˆrqei h mikrìterh topologða T tou X, wc proc thn opoða oi f i, i I, eðnai suneqeðc. H T kaleðtai asjenèsterh topologða pou parˆgetai apì thn oikogèneia {f i } i I.

32 28 KEFŸALAIO 3. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO Apìdeixh. Gia na eðnai oi f i, i I, suneqeðc wc proc mða topologða tou X, ja prèpei h oikogèneia F = {fi 1 (U i ) : i I, U i T i } na perièqetai sthn topologða aut. EpikaloÔmaste thn prìtash 1.13 kai orðzoume th zhtoômenh topologða T na eðnai h topologða pou parˆgetai apì thn F, dhlad T = T (F). Tìte, h T ja eðnai h mikrìterh topologða pou perièqei thn F, dhlad h mikrìterh topologða tou X wc proc thn opoða oi f i, i I, ja eðnai suneqeðc. Parathr seic (i) Ac jumhjoôme apì thn prìtash 1.14 ìti h B(F) = { C i : C i F kai F I peperasmèno, mh kenì} X i F eðnai mða bˆsh gia thn T, kai apì ton orismì 1.15 ìti h F eðnai mða upobˆsh gia thn T. (ii) An B i eðnai mða bˆsh gia thn T i gia kˆje i I, tìte h T mporeð na orisjeð exðsou kalˆ wc h topologða pou parˆgetai apì thn oikogèneia F = {f 1 i (B i ) : i I, B i B i }. Prˆgmati, an U i T i, tìte grˆfetai wc ènwsh stoiqeðwn thc B i, dhlad U i = j J Bi j, ìpou {B i j } j J B i. Opìte, f 1 i (U i ) = j J f i 1 (Bj i ). Sunep c, h mikrìterh topologða pou perièqei thn F eðnai profan c (ex orismoô thc topologðac) kleist stic en seic, kai ˆra ja perièqei kai thn F. Tèloc, ja eðnai h mikrìterh topologða pou perièqei thn F, efìson F F (giatð?). O parapˆnw sullogismìc mporeð na tejeð se èna genikìtero plaðsio, kai h epal jeus tou af netai wc ˆskhsh: an (X, T ), (Y, S) topologikoð q roi, B mða bˆsh gia thn S kai f : X Y sunˆrthsh, tìte gia na elègxoume th sunèqeia thc f, arkeð na periorisjoôme sta basikˆ anoiktˆ uposônola tou Y. Dhlad, arkeð na elègxoume, an gia kˆje B B isqôei f 1 (B) T, qwrðc na qreiˆzetai èlegqoc gia ìla ta stoiqeða thc topologðac S, ìpwc eðqe arqikˆ diatupwjeð ston orismì thc sunèqeiac. BebaÐwc, sthn perðptwsh pou gnwrðzoume mða upobˆsh gia thn topologða S, o èlegqoc thc sunèqeiac thc f gðnetai akìmh asjenèsteroc, afoô mporeð na periorisjeð sta upobasikˆ stoiqeða thc topologðac S.

33 3.2. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO 29 Wc apotèlesma autoô, af netai wc ˆskhsh na orðsete analìgwc thn topologða T thc prìtashc, dedomènou ìti gnwrðzete mða upobˆsh gia kˆje topologða apì th dojeðsa oikogèneia topologik n q rwn. ParadeÐgmata (i) 'Estw I, X sônola kai f i : X (R, T ρ ) sunˆrthsh gia kˆje i I. H mikrìterh topologða T tou X wc proc thn opoða oi f i, i I, eðnai suneqeðc èqei upobˆsh thn oikogèneia F = {fi 1 (a, b) : i I; a < b; a, b R} kai bˆsh thn B(F) = { i F C i : C i F kai F I peperasmèno, mh kenì}. (ii) 'Estw X q roc Banach, X o duðkìc tou X kai {f x } x X oikogèneia sunart sewn, ìpou gia kˆje x X eðnai f x : X R me f x (x) = x (x). H asjen c (weak) topologða tou X, pou sunantˆtai sth sunarthsiak anˆlush, eðnai h mikrìterh topologða tou X, wc proc thn opoða ta stoiqeða tou X eðnai suneq. Prìtash 'Estw {(X i, T i )} i I oikogèneia topologik n q rwn. H oikogèneia F = {π 1 i (U i ) : i I; U i T i } eðnai mða upobˆsh gia thn topologða ginìmeno T tou i I X i, dhlad T = T (F). Sugkekrimèna, h bˆsh { B(F) = i F thc T (F) tautðzetai me th bˆsh } C i : C i F kai F I peperasmèno, mh kenì { B = U i : U i T i i I } i I kai {i I : U i X i } peperasmèno thc topologðac ginìmeno T. Apìdeixh. Ja deðxoume ìti oi dôo bˆseic B(F) kai B tautðzontai. 'Estw B B(F). Tìte, ja eðnai thc morf c B = i F π 1 i (U i ), ìpou U i T i kai F peperasmèno uposônolo tou I. Jètontac U i = X i gia kˆje i I F kai dedomènou ìti to F eðnai peperasmèno, to {i I : U i X i } ja eðnai peperasmèno. EpÐshc, gia kˆje i I F ja eðnai πi 1 (U i ) = i I X i. Sunep c, B = i F πi 1 (U i ) = πi 1 (U i ) = U i. i I i I

34 30 KEFŸALAIO 3. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO 'Omwc, i I U i B, diìti, ìpwc diapist same parapˆnw, to {i I : U i X i } ja eðnai peperasmèno. Epomènwc, B B. 'Estw B B. Tìte, ja eðnai thc morf c B = i I U i, ìpou U i T i gia kˆje i I, kai epiplèon to sônolo F = {i I : U i X i } ja eðnai peperasmèno. Sunep c, B = i I U i = i I πi 1 (U i ) = πi 1 (U i ), i F diìti Epomènwc, B B(F). i I F π 1 i (U i ) = i I F π 1 i (X i ) = i I X i. Pìrisma 'Estw {(X i, T i )} i I oikogèneia topologik n q rwn. H topologða ginìmeno T tou i I X i eðnai h mikrìterh topologða, wc proc thn opoða oi probolèc π i, i I, eðnai suneqeðc. Apìdeixh. ProkÔptei ˆmesa apì tic dôo teleutaðec protˆseic. 'Askhsh 'Estw {X i } i I ˆpeirh oikogèneia diakrit n topologik n q rwn, me X i gia kˆje i I kai X i 2 gia toulˆqiston ˆpeira i I. DeÐxte ìti h topologða ginìmeno T me thn opoða efodiˆzoume ton i I X i eðnai gn sia mikrìterh thc diakrit c topologðac ston i I X i. Apìdeixh. Ja deðxoume ìti gia kˆje x i I X i to monosônolo {x} den eðnai stoiqeðo thc T. 'Estw x = (x i ) i I i I X i. Upojètoume proc apagwg se ˆtopo ìti int T {x}. Dhlad, upˆrqei U mh kenì, anoiktì wc proc thn T me U {x}, to opoðo sunepˆgetai ìti U = {x}. Epomènwc, upˆrqei B basikì anoiktì wc proc thn T me x B U. T ra, ex orismoô thc bˆshc thc T, ja eðnai B = i I U i, ìpou to U i X i gia kˆje i I (paraleðpoume ìti to U i eðnai anoiktì, diìti o X i eðnai efodiasmènoc me th diakrit topologða), kai to sônolo F = {i I : U i X i } eðnai peperasmèno. Opìte, èqoume ìti U i = X i gia kˆje i I F. 'Omwc, X i 2 gia ˆpeira i I. Sunep c, ja upˆrqei toulˆqiston èna i 0 I, gia to opoðo U i0 = X i0 kai X i0 2 (an den up rqe, ja tan

35 3.2. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO 31 {i I : X i 2} F, pou eðnai ˆtopo). 'Ara, {x} = B = ( ) U i Xi0, i I {i 0 } pou shmaðnei ìti {x i0 } = X i0, to opoðo eðnai ˆtopo. Epomènwc, deðxame ìti int T {x} =, kai ˆra to {x} den eðnai anoiktì. Sthn ˆskhsh 1.22 dìjhke o orismìc thc sqetik c topologðac kai tou topologikoô upoq rou. Me thn epìmenh prìtash sumplhr noume thn apaitoômenh, gia to kefˆlaio autì, jewrða pou aforˆ stouc topologikoôc upoq rouc. Prìtash (i) 'Estw X topologikìc q roc me bˆsh B kai Y topologikìc q roc me Y X. O Y eðnai upìqwroc tou X, an, kai mìno an, h oikogèneia B Y = {B Y : B B} apoteleð mða bˆsh gia thn topologða tou Y. (ii) 'Estw {X i } i I oikogèneia topologik n q rwn kai {A i } i I oikogèneia upoq rwn. Tìte, h topologða ginìmeno tou i I A i tautðzetai me thn sqetik topologða tou i I A i wc proc thn topologða ginìmeno tou i I X i. Apìdeixh. (i) ( ) Upojètoume ìti o Y eðnai upìqwroc tou X. SÔmfwna me ton orismì pou dìjhke sthn ˆskhsh 1.22, o upìqwroc Y eðnai efodiasmènoc me th sqetik topologða. Epomènwc, an V anoiktì uposônolo tou Y, tìte upˆrqei U anoiktì uposônolo tou X tètoio, ste V = U Y. Ja qrhsimopoi soume to krit rio thc prìtashc 1.8. 'Estw x V. Tìte, x U, kai ˆra upˆrqei B B tètoio, ste x B U. Sunep c, x B Y V me B Y B Y. ( ) Prèpei na deðxoume ìti h topologða pou parˆgetai apo th bˆsh B Y tautðzetai me th sqetik topologða tou Y (wc proc thn topologða tou X). 'Estw {B i } i I mða tuqaða oikogèneia basik n anoikt n uposunìlwn tou X. Apì thn isìthta i I(B i Y ) = ( i I B i ) Y

36 32 KEFŸALAIO 3. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO prokôptei ìti kˆje uposônolo tou Y eðnai anoiktì wc proc thn topologða pou parˆgetai apì thn B Y, an, kai mìno an, eðnai anoiktì wc proc thn sqetik topologða tou Y. (ii) AfoÔ h {A i } i I eðnai oikogèneia upoq rwn, tìte kˆje upìqwroc A i tou X i eðnai efodiasmènoc me th sqetik topologða pou epˆgetai apì thn topologða tou X i. 'Estw V èna basikì anoiktì uposônolo tou i I A i wc proc thn topologða ginìmeno. Tìte, ja eðnai thc morf c V = ( i F V i ) ( i I F ìpou V i A i anoiktì (wc proc th sqetik topologða tou A i ) gia kˆje i F, kai F peperasmèno uposônolo tou I. A i ), Ja upˆrqei, loipìn, U i X i gia kˆje i F, ste V i = U i A i. Sunep c, me qr sh thc prìtashc 3.7(i), èqoume 'Omwc, to sônolo V = ( ) ( V i i F i I F A i ) = [ (U i A i ) ] ( i F i F i I F i I F A i ) = [ (U i A i ) ] [ (X i A i ) ] = [( ) ( )] [( U i A i i F i F = [( ) ( U i i F i I F = [( ) ( U i i F [( i F i I F i I F X i ) ( i I F )] [( ) ( X i A i i F )] ( ) X i A i. U i ) ( i I F i I X i )] i I F A i )] A i )] eðnai basikì anoiktì uposônolo tou i I X i wc proc thn topologða ginìmeno. Epomènwc, apo to skèloc (i) thc prìtashc, sumperaðnoume ìti to V eðnai basikì anoiktì uposônolo tou i I A i wc proc th sqetik topologða (pou epˆgetai apì thn topologða ginìmeno tou i I X i). Apì thn akrib c antðstrofh poreða twn epiqeirhmˆtwn, èpetai ìti kˆje basikì anoiktì uposônolo tou i I A i wc proc th sqetik topologða ja eðnai basikì anoiktì uposônolo tou i I A i wc proc thn topologða ginìmeno.

37 3.2. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO 33 Prosoqh: Sth sunèqeia twn shmei sewn, se kˆje topologikì q ro kartesianoô ginomènou ja jewroôme thn topologða ginìmeno (q roc ginìmeno), ektìc an dhl netai diaforetikˆ. EpÐshc, wc sunèpeia thc prìtashc 3.19(ii), se kˆje uposônolo enìc q rou ginomènou ja jewroôme th sqetik topologða wc proc thn topologða ginìmeno tou q rou (upìqwroc tou q rou ginomènou), ektìc an dhl netai diaforetikˆ. Prìtash 'Estw {X i } i I oikogèneia topologik n q rwn kai {A i } i I oikogèneia sunìlwn, me A i X i gia kˆje i I. Tìte, isqôei A i = ( A i ). i I i I Apìdeixh. 'Estw x = (x i ) i I ( i I A i). Epilègoume, epðshc, èna i 0 I kai èna V i0 anoiktì uposônolo tou X i0 me x i0 V i0. Jètoume V = πi 1 0 (V i0 ) = ( X i ) V i0 i i 0 kai parathroôme ìti to V eðnai anoiktì kai ìti to x V. Sunep c, V i I A i, alli c, [( i i 0 X i ) V i0 ] i I A i. 'Omwc, [( i i 0 X i ) V i0 ] i I A i = [ i i 0 (X i A i )] (V i0 A i0 ). 'Ara, V i0 A i0, dhlad x i0 A i0. Autì profan c isqôei gia kˆje i 0 I, epomènwc x i I A i, kai ˆra ( i I A i) i I A i. Mènei na deðxoume ìti i I A i ( i I A i). 'Estw, loipìn, x i I A i. Epilègoume èna V anoiktì uposônolo tou i I X i me x V. Tìte, upˆrqei B basikì anoiktì uposônolo tou i I X i, ste x B V. Eidikìtera, to B ja eðnai thc morf c B = ( U i ) ( X i ), i F i I F ìpou U i anoiktì uposônolo tou X i gia kˆje i F, kai F peperasmèno uposônolo tou I. Sunep c, x i U i gia kˆje i F, opìte U i A i (diìti, x i I A i). 'Ara, epeid B A i = [ (U i A i ) ] A i, i I i F i I F

38 34 KEFŸALAIO 3. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO èqoume ìti V i I A i. Epomènwc, x ( i I A i), kai ˆra i I A i ( i I A i). Pìrisma 'Estw {X i } i I oikogèneia topologik n q rwn kai {A i } i I oikogèneia sunìlwn, ìpou A i kleistì (ant. puknì) uposônolo tou X i gia kˆje i I. Tìte, to i I A i eðnai kleistì (ant. puknì) uposônolo tou i I X i. 3.3 Metrikopoihsimìthta - Arijmhsimìthta Me aform thn peraitèrw melèth twn q rwn ginomènou, sthn parˆgrafo aut kˆnoume mia sôntomh eisagwg stic ènnoiec thc metrikopoihsimìthtac kai thc arijmhsimìthtac enìc topologikoô q rou. Orismìc 'Enac topologikìc q roc X kaleðtai metrikopoi simoc, an upˆrqei metrik ston X, h opoða epˆgei thn topologða tou X. Dhlad, an upˆrqei metrik ston X, ste h oikogèneia twn anoikt n uposunìlwn pou orðzei na tautðzetai me thn topologða tou X. Je rhma 'Estw {X n } n N akoloujða metrik n q rwn. Tìte, o q roc ginìmeno n N X n eðnai metrikopoi simoc topologikìc q roc. Apìdeixh. 'Estw ρ n h metrik tou X n gia kˆje n N. Upojètoume qwrðc blˆbh thc genikìthtac ìti ρ n (x n, y n ) 1 gia kˆje n N kai gia kˆje x n, y n X n (afoô h metrik ρ n tou X n, me ρ n(x n, y n ) = min{1, ρ n (x n, y n )}, eðnai isodônamh metrik thc ρ n, dhlad oi ρ n, ρ n epˆgoun thn Ðdia metrik topologða). OrÐzoume ρ : n N X n n N X n R, me ρ(x, y) = n=1 ρ n (x n, y n ) 2 n, ìpou x = (x n ) n N kai y = (y n ) n N. EÐnai eôkolo na diapist soume ìti h ρ eðnai metrik (ˆskhsh). Ja deðxoume ìti h metrik topologða T ρ tautðzetai me thn topologða ginìmeno T pou eðnai efodiasmènoc o n N X n. ParathroÔme ìti oi probolèc π k : ( n N X n, T ρ ) X k, k N, eðnai 2 k Lipschitz, kai ˆra suneqeðc. Prˆgmati, gia tuqaðo k N èqoume ρ k (x k, y k ) 2 k m n=1 ρ n (x n, y n ) 2 n m k,

39 3.3. METRIKOPOIHSIMŸOTHTA - ARIJMHSIMŸOTHTA 35 kai ˆra gia m èqoume Opìte ρ k (x k, y k ) 2 k n=1 ρ n (x n, y n ) 2 n. ρ k (π k (x), π k (y)) = ρ k (x k, y k ) 2 k ρ(x, y) k N. 'Omwc, gnwrðzoume ìti h T eðnai h mikrìterh topologða tou n N X n, wc proc thn opoða oi probolèc eðnai suneqeðc. To sumpèrasma, loipìn, eðnai ìti T T ρ. Mènei na deðxoume ìti T ρ T. 'Estw x n N X n kai ε > 0. ArkeÐ na broôme basikì anoiktì thc T pou perièqei to x kai perièqetai sth mpˆla B ρ (x, ε) (giatð? upìdeixh: prìtash 1.9 kai parˆdeigma 1.7(ii)). Epeid h seirˆ n=1 1 2 sugklðnei, to upìloipì thc n teðnei sto mhdèn, ˆra upˆrqei n 0 N, ste n=n n < ε 2. Gia kˆje n N me 1 n n 0, epilègoume th mpˆla B n = B ρn (x n, ε 2 ). Jètoume U = ( 1 n n 0 B n ) ( ) X n n>n 0 kai parathroôme ìti to U eðnai basikì anoiktì thc T me x U. U B ρ (x, ε). Prˆgmati, an y U, tìte Tèloc, isqôei ìti ρ(x, y) = < ε 2 n 0 n=1 n 0 n=1 ρ n (x n, y n ) 2 n + < ε 2 + ε 2 = ε. 1 2 n + n=n 0 +1 n=n n ρ n (x n, y n ) 2 n Orismìc 'Estw X topologikìc q roc kai x X. (i) Kˆje anoiktì uposônolo tou X pou perièqei to x kaleðtai perioq tou x. H oikogèneia ìlwn twn perioq n tou x sumbolðzetai me N x.

40 36 KEFŸALAIO 3. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO (ii) MÐa upooikogèneia B x thc N x kaleðtai bˆsh perioq n tou x, an gia kˆje U N x upˆrqei B B x, ste B U. ParadeÐgmata (i) 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc. Gia kˆje x X, oi oikogèneiec B x = {B(x, ε) : ε > 0} kai B x = {B(x, 1 n ) : n N} eðnai bˆseic perioq n tou x. (ii) 'Estw (X, P(X)) diakritìc topologikìc q roc. H oikogèneia B x = {{x}} eðnai mða bˆsh perioq n tou x, gia kˆje x X. Amèswc parakˆtw dðnoume thn prìtash pou sundèei th bˆsh me th bˆsh perioq n se ènan topologikì q ro. Prìtash 'Estw (X, T ) t.q. kai B T. H oikogèneia B eðnai mða bˆsh gia thn T, an, kai mìno an, gia kˆje x X h oikogèneia B x = {B B : x B} eðnai mða bˆsh perioq n tou x. Apìdeixh. ( ) Upojètoume ìti h B eðnai mia bˆsh gia thn T. 'Estw x X kai U N x. Apì thn prìtash 1.9, upˆrqei B B me x B U. Dhlad, upˆrqei B B x tètoio, ste B U. ( ) AntÐstrofa, upojètoume ìti h B x eðnai mia bˆsh perioq n tou x. 'Estw U T kai x U. Epeid U N x, upˆrqei B B x me B U. 'Omwc, B B, ˆra, apì prìtash 1.8, h B eðnai mða bˆsh gia thn T. Orismìc 'Estw (X, T ) topologikìc q roc. (i) O X kaleðtai pr toc arijm simoc ( ikanopoieð to pr to axðwma arijmhsimìthtac), an kˆje x X èqei mia arijm simh bˆsh perioq n. (ii) O X kaleðtai deôteroc arijm simoc ( ikanopoieð to deôtero axðwma arijmhsimìthtac), an èqei mia arijm simh bˆsh gia thn T. Parathr seic (i) Apì thn teleutaða prìtash prokôptei ˆmesa ìti, an ènac topologikìc q roc eðnai deôteroc arijm simoc, tìte eðnai kai pr toc arijm simoc. (ii) Kˆje upìqwroc enìc pr tou (ant. deutèrou) arijm simou topologikoô q rou eðnai pr toc (ant. deôteroc) arijm simoc (ˆskhsh).

41 3.3. METRIKOPOIHSIMŸOTHTA - ARIJMHSIMŸOTHTA 37 (iii) Kˆje metrikìc q roc (X, ρ) eðnai pr toc arijm simoc. Prˆgmati, gia kˆje x X h oikogèneia B x = {B(x, 1 n ) : n N} eðnai mða arijm simh bˆsh perioq n tou x (èpetai apì to pìrisma tou Eudìxou). (iv) Kˆje deôteroc arijm simoc topologikìc q roc eðnai diaqwrðsimoc. èstw {B n } n N mða arijm simh bˆsh gia thn topologða tou q rou. Prˆgmati, Gia kˆje n N epilègoume èna x n B n. Tìte, to D = {x n : n N} eðnai arijm simo kai puknì, efìson gia kˆje U anoiktì, mh kenì uposônolo tou q rou isqôei ìti U D (eôkolh ˆskhsh). (v) Kˆje metrikìc q roc eðnai deôteroc arijm simoc, an, kai mìno an, eðnai diaqwrðsimoc. Ac doôme sôntoma thn apìdeixh: An eðnai deôteroc arijm simoc, tìte, ìpwc apodeðxame genikˆ gia topologikì q ro, ja eðnai diaqwrðsimoc. T ra, an eðnai diaqwrðsimoc, kai sumbolðsoume me D to arijm simo, puknì uposônolo tou, tìte h oikogèneia {B(x, q) : x D; q Q + } eðnai arijm simh wc kartesianì ginìmeno dôo arijm simwn sunìlwn kai, ìpwc èqoume anafèrei sto parˆdeigma 1.7(ii), eðnai bˆsh gia th metrik topologða. 'Askhsh An {X n } n N akoloujða pr twn (ant. deôterwn) arijm simwn topologik n q rwn, deðxte ìti o q roc ginìmeno n N X n eðnai pr toc (ant. arijm simoc. deôteroc) Apìdeixh. Ja asqolhjoôme me thn perðptwsh pou oi q roi thc akoloujðac eðnai deôteroi arijm simoi. H ˆllh perðptwsh apodeiknôetai anˆloga. 'Estw B n mða arijm simh bˆsh gia thn topologða tou X n, gia kˆje n N. MporoÔme na upojèsoume ìti X n B n gia kˆje n N (diìti h oikogèneia B n {X n } paramènei arijm simh bˆsh). H oikogèneia { B = U n : U n B n n N } n N kai {n N : U n X n } peperasmèno eðnai kat' arqˆc arijm simh. Prˆgmati, h B mporeð na tautisteð me èna uposônolo tou sunìlou ìlwn twn peperasmènwn uposunìlwn tou n N B n. Epiplèon, to n N B n eðnai arijm simo wc arijm simh ènwsh arijm simwn sunìlwn. ArkeÐ, loipìn, na parathr soume ìti to sônolo ìlwn twn peperasmènwn uposunìlwn tou N eðnai arijm simo. Autì prokôptei eôkola apì to jemeli dec je rhma thc arijmhtik c: kˆje fusikìc arijmìc èqei monadik anaparˆstash se ginìmeno pr twn paragìntwn.

42 38 KEFŸALAIO 3. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO Tèloc, h B eðnai upooikogèneia thc bˆshc thc topologðac ginìmeno, kai mˆlista, an V = ( V n ) ( X n ) n F n N F èna basikì anoiktì thc topologðac ginìmeno kai x = (x n ) n N èna stoiqeðo tou V, tìte x n V n gia kˆje n F, kai ˆra upˆrqei B n B n, ste x n B n V n. Dhlad, upˆrqei B = ( B n ) ( X n ) B n F n N F tètoio, ste x B V. Epomènwc, apì thn prìtash 1.8 èpetai ìti h B eðnai mða bˆsh gia ton n N X n. Prìtash 'Estw {X i } i I oikogèneia mh tetrimmènwn topologik n q rwn. An to I eðnai uperarijm simo, tìte o q roc ginìmeno i I X i den eðnai metrikopoi simoc. Apìdeixh. 'Estw proc apagwg se ˆtopo ìti o i I X i eðnai metrikopoi simoc. Ja sumbolðsoume me ρ th metrik pou epˆgei thn topologða ginìmeno tou q rou. Gia kˆje i I epilègoume U i anoiktì, mh kenì, gn sio uposônolo tou X i (efìson oi q roi eðnai mh tetrimmènoi). 'Estw x = (x i ) i I i I U i. Tìte, x πi 1 (U i ) gia kˆje i I. GnwrÐzoume, epðshc, ìti to πi 1 (U i ) eðnai anoiktì sthn topologða ginìmeno, gia kˆje i I. Efìson upojèsame ìti o q roc eðnai metrikopoi simoc, ìpwc eðdame sthn parat rhsh 3.28(iii), ja eðnai pr toc arijm simoc, dhlad kˆje stoiqeðo tou q rou ja èqei arijm simh bˆsh perioq n. 'Epetai, loipìn, ìti gia kˆje i I ja upˆrqei n i N tètoio, ste x B ρ (x, 1 n i ) π 1 i (U i ). 'Etsi, upˆrqei apeikìnish φ : I N me φ(i) = n i. 'Ara, èqoume ìti I = φ 1 (N) = n N φ 1 ({n}). Epeid to I eðnai uperarijm simo, upˆrqei toulˆqiston èna n 0 N, ste to φ 1 ({n 0 }) na eðnai uperarijm simo. Jètoume J = φ 1 ({n 0 }). Epomènwc, gia kˆje i J èqoume φ(i) = n 0 kai B ρ (x, 1 n 0 ) π 1 i (U i ). T ra, ìmwc, epeid h metrik topologða tautðzetai me thn topologða ginìmeno, ja upˆrqei B basikì anoiktì sthn topologða ginìmeno tètoio, ste x B B ρ ( x, 1 n 0 ) π 1 i (U i ) i J. Sunep c, π i (B) U i gia kˆje i J, ìpou U i, ex epilog c, gn sio uposônolo tou X i. Autì, ìmwc, eðnai ˆtopo, diìti to B eðnai basikì anoiktì sthn topologða ginìmeno,

43 3.3. METRIKOPOIHSIMŸOTHTA - ARIJMHSIMŸOTHTA 39 opìte to π i (B) ja mporoôse na eðnai diˆforo tou X i mìno gia peperasmèno pl joc apì i I. Prosoqh: JewroÔme ìti o anagn sthc eðnai exoikeiwmènoc plèon me ton orismì tou basikoô anoiktoô sthn topologða ginìmeno. Gia ton lìgo autì, sta epìmena kefˆlaia ìtan upojètoume, gia parˆdeigma, ìti U = ( U i ) ( X i ) i F i I F eðnai èna basikì anoiktì sthn topologða ginìmeno, ja jewroôme dedomèno ìti to F eðnai peperasmèno uposônolo tou I, kai ìti to U i eðnai anoiktì, gn sio uposônolo tou X i gia kˆje i F.

44 40 KEFŸALAIO 3. TOPOLOGŸIA GINŸOMENO

45 Kefˆlaio 4 Diaqwristikˆ axi mata 4.1 Diaqwristikˆ axi mata Orismìc 4.1. 'Estw X topologikìc q roc. Lème ìti o X ikanopoieð to axðwma: (i) T 0, an gia kˆje x 1, x 2 X me x 1 x 2, upˆrqei U X anoiktì kai i {1, 2}, ste x i U kai x i U, ìpou i {1, 2} {i}. (ii) T 1, an gia kˆje x 1, x 2 X me x 1 x 2, upˆrqei U 1 X anoiktì, ste x 1 U 1, x 2 U 1, kaj c kai U 2 X anoiktì, ste x 2 U 2, x 1 U 2. (iii) T 2 ( kaleðtai q roc Hausdorff), an gia kˆje x 1, x 2 X me x 1 x 2, upˆrqoun U 1, U 2 X anoiktˆ, ste x 1 U 1, x 2 U 2 kai U 1 U 2 =. (iv) T 3 ( kaleðtai q roc regural), an eðnai Hausdorff kai gia kˆje x 1 X, F 2 X kleistì me x 1 F 2, upˆrqoun U 1, U 2 X anoiktˆ, ste x 1 U 1, F 2 U 2 kai U 1 U 2 =. (v) T 4 ( kaleðtai q roc normal), an eðnai Hausdorff kai gia kˆje F 1, F 2 X kleistˆ me F 1 F 2 =, upˆrqoun U 1, U 2 X anoiktˆ, ste F 1 U 1, F 2 U 2 kai U 1 U 2 =. Parathr seic 4.2. (i) Gia lìgouc suntomðac, sunhjðzoume na lème ìti o q roc X, gia parˆdeigma, << eðnai T 2 >>, antð na lème ìti << ikanopoieð to axðwma T 2 >>. (ii) 'Enac trìpoc apomnhmìneushc eðnai na parathr sete p c apì to axðwma T 2 mèqri to T 4 antikajðstatai proodeutikˆ to shmeðo apì kleistì sônolo. 41

46 42 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA (iii) EÐnai eôkolo na diapist sete ìti kˆje q roc T 2 eðnai T 1. EpÐshc, ìti kˆje q roc T 1 eðnai T 0. (iv) Tèloc, epishmaðnoume ìti polloð suggrafeðc de jewroôn kat' anˆgkh ìti oi q roi T 3 kai T 4 eðnai Hausdorff. Ed, h je rhsh aut ègine gia thn eukolìterh anˆptuxh thc jewrðac, ìpwc ja diapist sete sth sunèqeia. Prìtash 4.3. 'Enac topologikìc q roc X eðnai T 1, an, kai mìno an, kˆje monosônolo tou X eðnai kleistì. Apìdeixh. ( ) Upojètoume ìti o X eðnai T 1 kai jewroôme èna x X. Gia kˆje y {x} upˆrqei U y anoiktì uposônolo tou X, ste y U y kai x U y. Sunep c, X {x} = U y, y X {x} to opoðo shmaðnei ìti to X {x} eðnai anoiktì, kai ˆra to {x} eðnai kleistì. ( ) AntÐstrofa, upojètoume ìti kˆje monosônolo eðnai kleistì. 'Estw x, y X me x y. Profan c isqôei ìti y X {x}, x X {x} kai ìti to X {x} eðnai anoiktì. 'Omoia, x X {y}, y X {y} kai X {y} anoiktì. Pìrisma 4.4. Kˆje q roc T 4 eðnai T 3, kai kˆje q roc T 3 eðnai T Q roi T 2 ( Hausdorff) 'Opwc eðdame parapˆnw, ènac topologikìc q roc eðnai Hausdorff, an dojèntwn duo diaforetik n stoiqeðwn x kai y, upˆrqoun xèna, anoiktˆ uposônola U kai V, ètsi ste x U kai y V. ParadeÐgmata 4.5. (i) Kˆje diakritìc q roc eðnai Hausdorff. (ii) Kˆje metrikìc q roc eðnai Hausdorff. Prˆgmati, an x, y (X, ρ), tìte gia ε = ρ(x,y) 2 ta dôo zhtoômena anoiktˆ eðnai oi mpˆlec B(x, ε) kai B(y, ε).

47 4.1. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA 43 (iii) O q roc X = {0, 1} me thn topologða T = {{0, 1}, {0}, } den eðnai Hausdorff; eðnai, ìmwc, T 0. (iv) O q roc N me th sumpeperasmènh topologða (parˆdeigma 1.5(iii)) den eðnai Hausdorff; eðnai, ìmwc, T 1. Prìtash 4.6. 'Estw X topologikìc q roc. Ta epìmena eðnai isodônama: (i) O X eðnai Hausdorff. (ii) Gia kˆje x, y X me x y, upˆrqei U X anoiktì, ètsi ste x U kai y U. (iii) Gia kˆje x X isqôei {x} = {U : U X anoiktì kai x U}. (iv) H diag nioc = {(x, x) : x X} eðnai kleistì uposônolo tou X X. Apìdeixh. (i) (ii) 'Estw x, y X me x y. Upˆrqoun U, V xèna, anoiktˆ uposônola tou X, ste x U kai y V. AfoÔ eðnai xèna, èpetai ìti U X V. EpÐshc, to X V eðnai kleistì, ˆra U X V. Sunep c, y U. (ii) (iii) Profan c, {x} {U : U X anoiktì kai x U}. 'Estw, t ra, y X me y x. Ja upˆrqei U anoiktì uposônolo tou X tètoio, ste x U kai y U. Sunep c, y {U : U X anoiktì kai x U}, kai ˆra {U : U X anoiktì kai x U} {x}. (iii) (iv) Ja deðxoume ìti to c = (X X) eðnai anoiktì. Epilègoume èna (x, y) c, to opoðo shmaðnei ìti x y. Ex upojèsewc isqôei ìti {x} = {U : U X anoiktì kai x U}.

48 44 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA AfoÔ, loipìn, y {x}, upˆrqei U anoiktì uposônolo tou X me x U, ètsi ste y U. Epomènwc, to U (X U) eðnai anoiktì, perièqei to (x, y) kai den tèmnei to, dhlad U (X U) c, diìti ta U kai (X U) eðnai xèna metaxô touc. (iv) (i) 'Estw x, y X me x y. EÔkola parathroôme ìti (x, y) c kai ìti to c eðnai anoiktì uposônolo tou X X. 'Ara, upˆrqei basikì anoiktì U V sthn topologða ginìmeno tou X X, ètsi ste (x, y) (U V ) c. Autì sunepˆgetai ìti (U V ) =. Epomènwc, U V =. Prˆgmati, an up rqe z U V, tìte to (z, z) ja an ke sthn tom (U V ), to opoðo eðnai ˆtopo. SunoyÐzontac, upˆrqoun U, V anoiktˆ uposônola tou X, ste x U, y V kai U V =. To akìloujo l mma ja mporoôse na parousiasjeð kai wc genik prìtash. Prohgoumènwc, ac parathr soume ìti an {f i } i I eðnai mða oikogèneia sunart sewn me f i : X Y i gia kˆje i I, tìte orðzetai fusiologikˆ h sunˆrthsh e : X i I Y i pou dðdetai apì th sqèsh e(x) = (f i (x)) i I. H e kaleðtai sunˆrthsh ektðmhshc (evaluation map) wc proc thn oikogèneia {f i } i I. AntÐstrofa, an xekin soume me mða sunˆrthsh e : X i I Y i, tìte mporoôme na orðsoume thn oikogèneia sunart sewn f i = π i e, i I, ètsi ste e(x) = (f i (x)) i I gia kˆje x X, dhlad ètsi ste h e na eðnai h sunˆrthsh ektðmhshc wc proc thn {f i } i I. L mma 4.7. 'Estw X topologikìc q roc, {Y i } i I oikogèneia topologik n q rwn kai {f i } i I oikogèneia sunart sewn me f i : X Y i gia kˆje i I. H sunˆrthsh ektðmhshc e : X i I Y i wc proc thn {f i } i I eðnai suneq c, an, kai mìno an, oi f i, i I, eðnai suneqeðc. Apìdeixh. ( ) 'Estw ìti h e eðnai suneq c. Epilègoume èna i 0 I kai èna U i0 tou Y i0. ParathroÔme ìti f i0 = π i0 e, ìpou π i0 èqoume ìti fi 1 0 (U i0 ) = e 1 (πi 1 0 (U i0 )). anoiktì uposônolo h i 0 -probol ston i I Y i. Epomènwc,

49 4.1. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA 45 'Opwc èqoume deðxei sto pìrisma 3.17, oi probolèc π i, i I, eðnai suneqeðc wc proc thn topologða ginìmeno, me thn opoða eðnai efodiasmènoc o i I Y i. Sunep c, to π 1 i 0 (U i0 ) eðnai anoiktì uposônolo tou i I Y i. EpÐshc, ex upojèsewc h e eðnai suneq c. 'Ara, to e 1 (πi 1 0 (U i0 )) eðnai anoiktì uposônolo tou X. Epomènwc, to fi 1 0 (U i0 ) eðnai anoiktì uposônolo tou X, apì to opoðo èpetai ìti h f i0 eðnai suneq c. ( ) Upojètoume, t ra, ìti oi f i, i I, eðnai suneqeðc. ArkeÐ na elègxoume th sunèqeia thc f sthn upobˆsh gia thn topologða ginìmeno (parat rhsh 3.14(ii)). 'Estw π 1 i 0 (U i0 ) upobasikì anoiktì tou i I Y i gia kˆpoio i 0 I (prìtash 3.16). 'Eqoume ìti e 1 (πi 1 0 (U i0 )) = (π i0 e) 1 (U i0 ) = fi 1 0 (U i0 ), to opoðo eðnai anoiktì, afoô oi f i, i I, eðnai suneqeðc. Prìtash 4.8. 'Estw X, Y topologikoð q roi, ìpou o Y eðnai Hausdorff, kai f, g suneqeðc sunart seic apì ton X ston Y. IsqÔoun ta akìlouja: (i) To {x X : f(x) = g(x)} eðnai kleistì uposônolo tou X. (ii) An D eðnai puknì uposônolo tou X kai f D = g D, tìte f = g. (iii) To grˆfhma Gr f = {(x, f(x)) : x X} eðnai kleistì uposônolo tou X Y. Apìdeixh. (i) 'Estw h : X Y Y me h(x) = (f(x), g(x)). Epeid oi f, g eðnai suneqeðc, èpetai apì to l mma ìti h h eðnai suneq c. EpÐshc, h diag nioc Y eðnai kleistì uposônolo tou Y Y, dðoti o Y eðnai Hausdorff. ParathroÔme ìti h 1 ( Y ) = {x X : f(x) = g(x)}, to opoðo eðnai kleistì lìgw sunèqeiac thc h. (ii) Apì thn upìjesh prokôptei ìti D {x X : f(x) = g(x)}. Epiplèon, apì to (i) èqoume ìti to {x X : f(x) = g(x)} eðnai kleistì, ˆra D {x X : f(x) = g(x)}, kai sunep c, lìgw puknìthtac, X = {x X : f(x) = g(x)}.

50 46 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA (iii) 'Eqoume thn ex c isìthta: Gr f = {(x, f(x)) : x X} = {(x, y) X Y : y = f(x)}. OrÐzoume th sunˆrthsh H : X Y Y Y me H(x, y) = (f(x), y). ParathroÔme ìti h H eðnai suneq c, diìti to H 1 (U Y ) = f 1 (U) V eðnai anoiktì gia kˆje U V basikì anoiktì tou Y Y. Tèloc, diapist noume ìti Gr f = H 1 ( Y ), to opoðo eðnai kleistì lìgw sunèqeiac thc H. Prìtash 4.9. (i) 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. Kˆje upìqwroc tou X eðnai Hausdorff. (ii) 'Estw {X i } i I oikogèneia topologik n q rwn. O q roc ginìmeno i I X i eðnai Hausdorff, an, kai mìno an, o X i eðnai Hausdorff gia kˆje i I. Apìdeixh. (i) (ˆskhsh) (ii) ( ) Upojètoume ìti o i I X i eðnai Hausdorff. Epilègoume èna x 0 = (x 0 i ) i I i I X i. 'Opwc èqoume deðxei, h slice S(x 0, i 0 ) = {x = (x i ) i I i I X i : x i = x 0 i i i 0 } eðnai omoiomorfik me ton X i0. EpÐshc, apì to (i) prokôptei ìti h S(x 0, i 0 ) eðnai Hausdorff, wc upìqwroc tou i I X i pou eðnai Hausdorff. T ra, eðnai eôkolo na elègxete genikˆ ìti h eikìna enìc topologikoô q rou Hausdorff mèsw omoiomorfismoô paramènei Hausdorff. Epomènwc, o X i0 eðnai Hausdorff. ( ) Upojètoume ìti o X i eðnai Hausdorff gia kˆje i I. Epilègoume x 1 = (x 1 i ) i I, x 2 = (x 0 2 ) i I i I X i me x 1 x 2. 'Ara, upˆrqei i 0 I tètoio, ste x 1 i 0 x 2 i 0. Epeid o X i0 eðnai Hausdorff, upˆrqoun V 1, V 2 xèna, anoiktˆ uposônola tou X i0, me x 1 i 0 V 1 kai x 2 i 0 V 2. Tìte, èqoume ìti ta U 1 = πi 1 0 (V 1 ), U 2 = πi 1 0 (V 2 ) eðnai xèna (giatð?), anoiktˆ uposônola tou i I X i, me x 1 U 1 kai x 2 U 2. Prìtash 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. (i) Kˆje peperasmèno uposônolo tou X eðnai kleistì.

51 4.1. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA 47 (ii) An A X, tìte èna x 0 X eðnai shmeðo suss reushc tou A, an, kai mìno an, to U A eðnai ˆpeiro, gia kˆje U anoiktì uposônolo tou X me x U. Apìdeixh. (i) 'Estw {x 1,..., x n } X peperasmèno. Gia kˆje y X {x 1,..., x n } kai gia kˆje i {1,..., n} upˆrqoun U i y, V i y xèna, anoiktˆ uposônola tou X, ètsi ste y U i y kai x i V i y. Sunep c, to U y = n i=1 eðnai anoiktì. Epiplèon, x i U y gia kˆje i {1,..., n}, diìti U y U i y gia kˆje i {1,..., n}. Epomènwc, X {x 1,..., x n } = } {U y : y X {x 1,..., x n }, U i y to opoðo eðnai anoiktì. (ii) ( ) 'Estw x 0 shmeðo suss reushc tou A kai U anoiktì uposônolo tou X me x 0 U. Ex orismoô èqoume ìti U (A {x 0 }). Upojètoume proc apagwg se ˆtopo ìti to U (A {x 0 }) eðnai peperasmèno. 'Estw, loipìn, U (A {x 0 }) = {x 1,..., x n }. Gia kˆje i {1,..., n} upˆrqoun U i, V i xèna, anoiktˆ uposônola tou X, me x 0 U i kai x i V i. Tìte, to U i = U U i eðnai anoiktì pou perièqei to x 0, kai epiplèon U i V i = gia kˆje i {1,..., n}. Jètoume U = n i=1 U i, pou fusikˆ eðnai anoiktì, kai parathroôme ìti U U kai ìti x i U gia kˆje i {1,..., n}. 'Ara, U (A {x 0 }) =, to opoðo eðnai ˆtopo. ( ) EÐnai ˆmeso. 'Askhsh 'Estw X ˆpeiro sônolo, to opoðo efodiˆzoume me mða topologða, ste na eðnai Hausdorff. DeÐxte ìti upˆrqoun ˆpeira, xèna anˆ dôo, anoiktˆ, mh kenˆ uposônola tou X. Apìdeixh. Ja diakrðnoume dôo peript seic. Sthn pr th jewroôme ìti o X den èqei shmeða suss reushc kai sthn deôterh ìti èqei toulˆqiston èna.

52 48 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA 1h perðptwsh: Efìson o X den èqei shmeða suss reushc, gia kˆje x X ja upˆrqei U x anoiktì uposônolo pou perièqei to x, me U (X {x}) =. Autì sunepˆgetai ìti U x = {x}, to opoðo me th seirˆ tou sunepˆgetai to zhtoômeno. 2h perðptwsh: 'Estw x 0 shmeðo suss reushc tou X kai x 1 X. Epeid o X eðnai Hausdorff, ja upˆrqoun U 1, V 1 anoiktˆ uposônola tou X, ètsi ste x 0 U 1, x 1 V 1 kai U 1 V 1 =. To x 0 eðnai shmeðo suss reushc, ˆra U 1 (X {x 0 }). 'Estw x 2 U 1 (X {x 0 }). Ja upˆrqoun U 2, V 2 anoiktˆ uposônola tou X, ètsi ste x 0 U 2, x 2 V 2 kai U 2 V 2. Jètoume U 2 = U 2 U 1 kai V 2 = V 2 U 1. OmoÐwc, ja upˆrqei x 3 U 2 (X {x 0}). EpÐshc, ja upˆrqoun U 3, V 3 anoiktˆ uposônola tou X, ètsi ste x 0 U 3, x 3 V 3 kai U 3 V 3. Jètoume U 3 = U 3 U 2 kai V 3 = V 3 U 2. Me autì ton trìpo kataskeuˆzoume epagwgikˆ ˆpeirh akoloujða V 1, V 2, V 3,..., V n,... apì xèna anˆ dôo, anoiktˆ, mh kenˆ uposônola tou X Q roi T 3 ( regular) UpenjumÐzoume ton orismì: 'Enac topologikìc q roc eðnai T 3, an eðnai Hausdorff kai dojèntwn enìc kleistoô uposunìlou F kai enìc stoiqeðou x pou den an kei sto F, upˆrqoun xèna, anoiktˆ uposônola U kai V, ètsi ste x U kai F V. Parˆdeigma JewroÔme ton R me thn topologða T pou parˆgetai apì thn oikogèneia {(a, b) : a, b R} {Q}. GnwrÐzoume ìti kˆje anoiktì thc T ja eðnai ènwsh apì diast mata eðte thc morf c (a, b) eðte thc morf c (a, b) Q (giatð? upìdeixh: parat rhsh 1.16(i)). Ja deðxoume ìti o (R, T ) den eðnai T 3. Profan c, to F = R Q eðnai kleistì, diìti to sumpl rwmˆ tou eðnai anoiktì. Jètoume, epðshc, x 0 = 1, to opoðo an kei sto R F. Upojètoume proc apagwg se ˆtopo ìti upˆrqoun U, V T tètoia, ste x 0 U, F V kai U V =. To U ja eðnai ènwsh apokleistikˆ apì sônola thc morf c (a, b) Q, eidˆllwc ja ètemne to F, opìte kai to V, to opoðo eðnai adônato. 'Estw a 0, b 0 R, ètsi ste x 0 (a 0, b 0 ) Q U. EpÐshc, to V kalôptei ìlo to sônolo twn arr twn R Q, sunep c gia kˆje ˆrrhto ja upˆrqei èna basikì anoiktì thc morf c (a, b) pou ton perièqei kai eðnai uposônolo tou V.

53 4.1. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA 49 ParathroÔme, loipìn, ta ex c: metaxô tou x 0 kai tou b 0 upˆrqei sðgoura ènac ˆrrhtoc, èstw r 1, lìgw thc puknìthtac twn arr twn stouc pragmatikoôc. Tìte, ìpwc exhg same, ja upˆrqei èna basikì anoiktì (a 1, b 1 ) V, ètsi ste r 1 (a 1, b 1 ). T ra, lìgw puknìthtac twn rht n stouc pragmatikoôc, ja upˆrqei rhtìc x 1 metaxô tou r 1 kai tou min{b 0, b 1 }. 'Ara, prokôptei ìti ((a 0, b 0 ) Q) (a 1, b 1 ). Autì sunepˆgetai, ìmwc, ìti U V, pou eðnai ˆtopo. Prìtash 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. Ta epìmena eðnai isodônama: (i) O X eðnai T 3. (ii) Gia kˆje x X kai gia kˆje V X anoiktì me x V, upˆrqei U X anoiktì, ètsi ste x U U V. Apìdeixh. (i) (ii) 'Estw x X kai V X anoiktì me x V. Jètoume F = X V, to opoðo eðnai kleistì kai den perièqei to x. O X, wc T 3, ja èqei dôo xèna, anoiktˆ uposônola U, W, ste x U kai F W. Apì thn teleutaða sqèsh èqoume ìti U X W, to opoðo sunepˆgetai ìti U X W, diìti to X W eðnai kleistì. Tèloc, èqoume ìti X W X F = V. Epomènwc, x U U V. (ii) (i) 'Estw x X kai F X kleistì pou den perièqei to x. Jètoume V = X F, to opoðo eðnai anoiktì kai perièqei to x. Tìte, upˆrqei U X anoiktì, ste x U U V. Jètoume W = X U. ParathroÔme ìti to W eðnai anoiktì kai ìti perièqei to F, diìti U V kai V F =. Tèloc, ta U, W eðnai xèna, afoô U U. Epistrèfoume gia lðgo sthn topologða upoq rou, gia na apodeðxoume èna qr simo l mma. GnwrÐzoume ex orismoô ìti èna anoiktì sth sqetik topologða enìc upoq rou grˆfetai wc tom tou upoq rou me èna anoiktì tou q rou. Ja deðxoume ìti isqôei kˆti antðstoiqo gia ta kleistˆ uposônola upoq rou. L mma 'Estw X topologikìc q roc kai Y upìqwroc tou X. Gia kˆje H kleistì uposônolo tou Y, upˆrqei F kleistì uposônolo tou X, ste H = Y F.

54 50 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA Apìdeixh. 'Estw H kleistì uposônolo tou Y. Tìte, to Y H ja eðnai anoiktì, ˆra ja upˆrqei G anoiktì uposônolo tou X, ste Y H = Y G. 'Omwc, èqoume ìti Y = (Y (X G)) (Y G) = (Y (X G)) (Y H). Kai epeid ta (Y (X G)) kai (Y G) eðnai xèna metaxô touc, èpetai ìti H = Y (Y H) = Y (X G). Jètoume F = X G, to opoðo eðnai kleistì uposônolo tou X, kai èqoume ìti H = Y F. Je rhma (i) 'Estw X topologikìc q roc T 3. Tìte, kˆje upìqwroc tou X eðnai T 3. (ii) 'Estw {X i } i I oikogèneia topologik n q rwn Hausdorff. O q roc ginìmeno i I X i eðnai T 3, an, kai mìno an, o X i eðnai T 3 gia kˆje i I. Apìdeixh. (i) 'Estw Y ènac upìqwroc tou X. O Y eðnai Hausdorff, diìti eðnai o X eðnai T 3, kai ˆra, ex orismoô, Hausdorff. Epilègoume èna x Y kai èna kleistì uposônolo H tou Y me x H. Apì to l mma, upˆrqei F kleistì uposônolo tou X, ste H = Y F. AfoÔ x Y kai x H, tìte x F. Epeid o X eðnai T 3, upˆrqoun U, V xèna, anoiktˆ uposônola tou X, ètsi ste x U kai F V. Jètoume U = U Y, V = V Y kai diapist noume eôkola ìti ta U, V eðnai xèna, anoiktˆ uposônola tou Y, kai isqôei x U kai H V. (ii) ( ) Upojètoume ìti o i I X i eðnai T 3. 'Estw i 0 I kai x 0 i I X i. Apì to (i) prokôptei ìti h slice S(i 0, x 0 ) eðnai T 3. Epomènwc, o X i0 wc omoiomorfikìc me thn S(i 0, x 0 ) eðnai T 3. (Af netai wc ˆskhsh na deðxete ìti to diaqwristikì axðwma T 3, ìpwc kai to T 2 (prìtash 4.9(ii)), diathreðtai mèsw omoiomorfismoô.) ( ) AntÐstrofa, upojètoume ìti o X i eðnai T 3 gia kˆje i I. O i I X i eðnai Hausdorff wc ginìmeno q rwn Hausdorff. Ja qrhsimopoi soume ton qarakthrismì twn q rwn T 3 pou eðdame sthn prìtash 'Estw x i I X i kai V i I X i anoiktì me x V. QwrÐc blˆbh thc genikìthtac mporoôme na upojèsoume ìti to V eðnai basikì

55 4.1. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA 51 anoiktì (giatð? upìdeixh: prìtash 1.9), opìte ja eðnai thc morf c V = ( i F V i) ( i I F X i). Epeid oi X i, i I eðnai T 3, lìgw tou qarakthrismoô, gia kˆje i F upˆrqei U i anoiktì uposônolo tou X i, ètsi ste x i U i U i V i. Sunep c, x = (x i ) i I ( U i ) ( X i ) ( U i ) ( X i ) ( V i ) ( X i ). i F i I F i F i I F i F i I F Jètoume U = ( U i ) ( X i ) i F i I F kai parathroôme ìti eðnai basikì anoiktì, ìti U = ( i F kai, tèloc, ìti x U U V. U i ) ( X i ) i I F Q roi T 4 ( normal) Na upenjumðsoume ìti ènac topologikìc q roc eðnai T 4, an eðnai Hausdorff kai dojèntwn dôo xènwn, kleist n uposunìlwn F 1 kai F 2, upˆrqoun xèna, anoiktˆ uposônola U 1 kai U 2, ètsi ste F 1 U 1 kai F 2 U 2. ParadeÐgmata (i) Oi metrikoð q roi eðnai T 4. (H apìdeixh ja dojeð sthn epìmenh parˆgrafo, wc pìrisma tou l mmatoc Urysohn.) (ii) O q roc R s, pou orðzetai wc to sônolo R me thn topologða pou èqei bˆsh thn oikogèneia B = {(a, b] : a, b R} twn aristerˆ hmianoikt n diasthmˆtwn, eðnai T 4. Prˆgmati, ac jewr soume dôo xèna, kleistˆ uposônola A kai B tou R s. AfoÔ A B =, èpetai ìti A R B. Kˆje x pou an kei sto A, profanwc an kei kai sto R B. Epeid, loipìn, to R B eðnai anoiktì, gia kˆje x A upˆrqoun a x, b x R, ste (a x, b x ] R B. Sunep c, gia kˆje x A upˆrqei a x R, ste x (a x, x] R B. Jètoume U = x A (a x, x] kai parathroôme ìti eðnai anoiktì kai ìti A U R B. Me parìmoia epiqeir mata, gia kˆje y B upˆrqei a y R, ste (a y, y] R A. Jètoume V = y B (a y, y]. To V eðnai anoiktì kai isqôei ìti B V R A.

56 52 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA Mènei na deðxoume ìti ta U kai V eðnai xèna. 'Estw z U V. Tìte, ja upˆrqoun x A kai y B, ste z (a x, x] (a y, y]. An upojèsoume ìti x < y, tìte a y < z x < y. Dhlad, x (a y, y] R A, to opoðo eðnai ˆtopo, afoô x A. Parat rhsh AntÐjeta me touc T 2 kai T 3, upˆrqoun paradeðgmata q rwn T 4 me upìqwro pou den eðnai T 4. To axðwma T 4, en gènei, de diathreðtai oôte sta ginìmena q rwn T 4, ìpwc mporeð kaneðc na diapist sei me ton q ro Sorgenfrey R s R s. 'Askhsh DeÐxte ìti kˆje kleistìc upìqwroc enìc q rou T 4 eðnai epðshc T 4. Prìtash 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. Ta epìmena eðnai isodônama: (i) O X eðnai T 4. (ii) Gia kˆje F X kleistì kai gia kˆje V X anoiktì me F V, upˆrqei U X anoiktì, ètsi ste F U U V. Apìdeixh. H apìdeixh eðnai anˆlogh me aut n thc prìtashc 4.13, kai af netai wc ˆskhsh. 4.2 L mma Urysohn Je rhma 4.20 (L mma Urysohn). 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. Ta epìmena eðnai isodônama: (i) O X eðnai T 4. (ii) An A, B X xèna, kleistˆ, tìte upˆrqei f : X [0, 1] suneq c, ste f(x) = 0 gia kˆje x A, kai f(x) = 1 gia kˆje x B. Parathr seic (i) H sunˆrthsh thc sunj khc (ii) tou jewr matoc kaleðtai sunˆrthsh Urysohn gia ta A kai B. Suqnˆ, antð thc sunj khc (ii), lème ìti gia opoiad pote dôo kleistˆ uposônola upˆrqei sunˆrthsh Urysohn, pio perigrafikˆ, suneq c sunˆrthsh pou ta diaqwrðzei. (ii) Gia kˆje a, b R h sunˆrthsh g : X [a, b], x g(x) = a + (b a)f(x),

57 4.2. LŸHMMA URYSOHN 53 eðnai suneq c, kai epiplèon g(x) = a gia kˆje a A, kai g(x) = b gia kˆje b B. Epomènwc, h sunj kh (ii) tou jewr matoc mporeð na diatupwjeð isodônama gia suneq sunˆrthsh g : X [a, b], me g(x) = a gia kˆje x A, kai g(x) = b gia kˆje x B. Apìdeixh. (jewr matoc) (i) (ii) 1o b ma Ja kataskeuˆsoume oikogèneia (U d ) d D uposunìlwn tou X, ste U d U d gia kˆje d, d D me d < d. 'Estw A, B xèna, kleistˆ uposônola tou X. Jètoume U 1 = X B, to opoðo eðnai anoiktì kai perièqei to A. Apì ton qarakthrismì twn q rwn T 4 sthn prìtash 4.19, upˆrqei U 0 X anoiktì, ste A U 0 U 0 U 1. Gia ton Ðdio lìgo upˆrqei anoiktì uposônolo tou X, to opoðo ja sumbolðsoume me U 1/2, ste A U 0 U 0 U 1/2 U 1/2 U 1. 'Omoia, upˆrqoun U 1/4, U 3/4 anoiktˆ uposônola tou X, ste A U 0 U 0 U 1/4 U 1/4 U 1/2 U 1/2 U 3/4 U 3/4 U 1. Jètoume D [0,1] = { k 2 n : 0 k 2n ; k, n N} = = { k 2 n : 0 k 2n ; k N} n=0 n=0 D n Me epagwg sto n kataskeuˆzoume, telikˆ, oikogèneia (U d ) d D[0,1] tètoia, ste gia kˆje d, d D [0,1] me d < d na isqôei U d U d. EpÐshc, gia kˆje pragmatikì arijmì d > 1 orðzoume U d = X. Jètoume D = D [0,1] (1, + ) kai parathroôme ìti to D eðnai puknì sto [0, + ), ìti X = d D U d kai, tèloc, ìti U d U d gia kˆje d, d D me d < d.

58 54 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA 2o b ma Ja orðsoume sunˆrthsh Urysohn gia ta A kai B. Gia kˆje x X orðzoume f(x) = inf{d D : x U d }. Isqurismìc: H f eðnai sunˆrthsh Urysohn gia ta A kai B, dhlad eðnai suneq c kai diaqwrðzei ta A kai B, upì thn ènnoia ìti f(x) = 0 gia kˆje x A, kai f(x) = 1 gia kˆje x B. Apìdeixh isqurismoô: Apì thn kataskeu thc oikogèneiac (U d ) d D èqoume A U 0, opìte f(x) = 0 gia kˆje x A. EpÐshc, gia kˆje d D me 0 d 1 èqoume U d U 1, to opoðo sunepˆgetai ìti U d B =. Epomènwc, an x B, tìte x U d gia kˆje d D me 0 d 1, allˆ x U d gia kˆje d > 1. 'Epetai, loipìn, ìti {d D : x U d } = (1, + ), kai ˆra f(x) = 1. Akìmh, eðnai eôkolo na doôme ìti f(x) [0, 1] gia kˆje x X, diìti X = U d gia kˆje d > 1. Mènei na deðxoume ìti h f eðnai suneq c (wc proc th sqetik topologða tou [0, 1]). 'Estw x 0 X kai a, b R me f(x 0 ) (a, b) [0, 1]. ArkeÐ na broôme U X anoiktì me x U, ste f(u) (a, b) [0, 1]. 1h perðptwsh: 0 < f(x 0 ) < 1 Epilègoume duadikoôc rhtoôc p, q sto [0, 1] me a < p < f(x 0 ) < q < b. Jètoume U = U q U p, to opoðo eðnai anoiktì (giatð?). Jèloume na diapist soume ìti x 0 U. Prˆgmati, an x 0 U q, tìte x 0 U d gia kˆje d q. 'Ara, an x 0 U d, tìte ja prèpei q < d. Epomènwc, q inf{d D : x 0 U d }, ap' ìpou èpetai ìti q f(x 0 ). Autì, ìmwc, eðnai ˆtopo, epomènwc x 0 U q. 'Omoiwc, an x 0 U p, tìte x 0 U d gia kˆje d > p. Sunep c, (p, + ) {d D : x 0 U d }, kai ˆra f(x 0 ) p, to opoðo eðnai ˆtopo. Epomènwc, x 0 U p. Ja deðxoume ìti f(u) [p, q]. 'Estw x U me f(x) U. Tìte, x U q, kai ˆra f(x) q ex orismoô thc f. Epiplèon, x U p, opìte x U d gia kˆje d p. Sunep c, {d D : x U d } (p, + ), kai ˆra f(x) p. DeÐxame, dhlad, ìti f(u) (a, b) [0, 1].

59 4.2. LŸHMMA URYSOHN 55 2h perðptwsh: f(x 0 ) = 0 Epilègoume duadikì rhtì q (0, 1] me a < f(x 0 ) < q < b. Kat' arqˆc, ja deðxoume ìti x 0 U q. 'Estw ìti x 0 U q. Tìte, gia kˆje d q èqoume x 0 U d. 'Ara, an x 0 U d, tìte ja prèpei q < d. Sunep c, q inf{d D : x 0 U d } = f(x 0 ), to opoðo eðnai ˆtopo. Epomènwc, x 0 U q. ParathroÔme ìti f(u q ) [0, q]. Prˆgmati, an x U q, tìte ex orismoô thc f ja eðnai 0 f(x) p. Epomènwc, f(u q ) (a, b) [0, 1]. 3h perðptwsh: f(x 0 ) = 1 (parìmoia me th 2h; af netai wc ˆskhsh). (ii) (i) 'Estw A, B xèna kai kleistˆ uposônola tou X. Tìte, upˆrqei sunˆrthsh Urysohn gia ta A kai B, thn opoða ja sumbolðsoume me f. Jètoume U = f 1( [0, 1/2) ), V = f 1( (1/2, 1 ]) kai èqoume to zhtoômeno. Orismìc 'Estw X sônolo, {Y i } i I oikogèneia sunìlwn kai {f i } i I oikogèneia sunart sewn me f i : X Y i gia kˆje i I. (Bèbaia, den eðnai aparaðthto ìti Y i Y j gia kˆje i j. Gia parˆdeigma, mporoôme na èqoume Y i = Y gia kˆje i I, ìpou Y tuqaðo sônolo.) (i) Lème ìti h oikogèneia {f i } i I diaqwrðzei ta shmeða tou X, an gia opoiad pote x 1, x 2 X me x 1 x 2 upˆrqei i 0 I, ètsi ste f i0 (x 1 ) f i0 (x 2 ). (ii) Lème ìti h oikogèneia {f i } i I diaqwrðzei ta shmeða apì ta kleistˆ uposônola tou X, an gia kˆje x X kai F X kleistì me x F upˆrqei i 0 I, ètsi ste f i0 (x) f i0 (F ) Pìrisma An o X eðnai topologikìc q roc T 4, tìte h oikogèneia twn suneq n sunart sewn C ( X, [0, 1] ) = {f : X [0, 1] f suneq c} diaqwrðzei ta shmeða tou X.

60 56 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA Apìdeixh. 'Opwc èqoume diapist sei, kˆje q roc T 4 eðnai T 1. ArkeÐ, loipìn, na parathr soume ìti ta monosônola eðnai kleistˆ uposônola, opìte to sumpèrasma èpetai ˆmesa apì to l mma Urysohn. Pìrisma Kˆje metrikìc q roc (ˆra, kai kˆje q roc me nìrma) eðnai T 4. Apìdeixh. 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc kai A, B xèna, kleistˆ uposônola tou X. Gia kˆje x X orðzoume f(x) = ρ(x, A) ρ(x, A) + ρ(x, B). H sunˆrthsh g A : (X, ρ) R, me g A (x) = ρ(x, A), eðnai 1-Lipschitz (bl. Pragmatik Anˆlush). 'Omoiwc, h g B (x) = ρ(x, B). 'Ara, h f eðnai sunˆrthsh (bèbaia, mènei na elègxoume ìti (g A + g B )(x) 0 gia kˆje x X, prokeimènou h f na eðnai kalˆ orismènh) kai, epiplèon, eðnai suneq c wc ˆjroisma kai phlikì suneq n. Ap' ton trìpo pou orðsthke h f sunˆgoume ìti f(x) [0, 1] gia kˆje x X. EÐnai, epðshc, eôkolo na elègxete ìti isqôei genikˆ ρ(x, A) = 0 x A. BebaÐwc, isqôei to anˆlogo gia th sunˆrthsh ρ(x, B). AfoÔ, loipìn, ta A, B eðnai xèna kai kleistˆ, èpetai ìti f(x) = 0 x A, kai f(x) = 1 x B. Sto shmeðo autì mporoôme na sumperˆnoume ìti h f eðnai kalˆ orismènh. SunoyÐzontac, h f : X [0, 1] eðnai suneq c, kai isqôei ìti f A = 0, en f B = 1. Epomènwc, apì to l mma Urysohn sunepˆgetai ìti o (X, ρ) eðnai T 4. 'Askhsh An X, Y topologikoð q roi, h : X Y omoiomorfismìc kai o X eðnai T 4, deðxte ìti o Y eðnai T 4. Apìdeixh. Ja qrhsimopoi soume to l mma Urysohn. 'Estw H 1, H 2 xèna, kleistˆ uposônola tou Y. Ta h 1 (H 1 ) kai h 1 (H 2 ) eðnai xèna, kleistˆ uposônola tou X. Apì l mma Urysohn upˆrqei f : X [0, 1] suneq c, ste f(h 1 (H 1 )) = {0} kai f(h 1 (H 2 )) = {1}. Tìte, h g = f h 1 : Y [0, 1] eðnai sunˆrthsh Urysohn gia ta H 1 kai H 2.

61 4.3. JEŸWRHMA EPŸEKTASHS TOU TIETZE Je rhma epèktashc tou Tietze Je rhma 4.26 (epèktashc tou Tietze). 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. Ta epìmena eðnai isodônama: (i) O X eðnai T 4. (ii) An A X kleistì, tìte kˆje suneq c sunˆrthsh f : A R èqei suneq epèktash F : X R. Eidikìtera, an f < +, tìte F = f, kai mˆlista, an f(x) < c gia kˆje x A, tìte F (x) < c gia kˆje x X. 4.4 L mma emfôteushc Q roi T ( completely regular) Orismìc 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. O X kaleðtai T 3 1 ( completely regular), an gia kˆje x X kai F X kleistì me x F, upˆrqei f : X [0, 2 1] suneq c sunˆrthsh tètoia, ste f(x) = 1 kai f(f ) = {0}. Parathr seic (i) Apì to l mma Urysohn èpetai ìti kˆje q roc T 4 eðnai T (ˆskhsh). EpÐshc, eðnai eôkolo na deðte ìti kˆje q roc T 3 1 eðnai T 3 (upìdeixh: qrhsimopoi ste thn idèa thc apìdeixhc (ii) (i) tou jewr matoc 4.20). Sunolikˆ, dhlad 2, èqoume T 4 T T 3 T 2 T 1 T 0. (ii) 'Allh mða sunèpeia tou l mmatoc Urysohn eðnai ìti kˆje upìqwroc enìc q rou T 4 eðnai T 3 1. Prˆgmati, èstw X q roc T 4 kai Y upìqwroc tou X. An x Y kai H Y 2 kleistì me x H, tìte upˆrqei F X kleistì, ste H = F Y kai, profan c, x F. Apì l mma Urysohn upˆrqei sunˆrthsh Urysohn gia ta F kai {x}. JewroÔme ton periorismì g = f Y kai parathroôme ìti h g eðnai suneq c, g(x) = 1 kai g(h) = {0}. Ja doôme argìtera ìti kˆje q roc T 3 1 eðnai omoiomorfikìc me ènan upìqwro enìc 2 q rou T 4, wc sunèpeia tou l mmatoc emfôteushc kai tou jewr matoc Tychonoff. Prìtash 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. Ta epìmena eðnai isodônama:

62 58 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA (i) O X eðnai T (ii) Gia kˆje x X kai U gn sio, anoiktì uposônolo tou X me x U, upˆrqei f : X [0, 1] suneq c, ste f(x) = 1 kai f(x U) = {0}. Apìdeixh. (i) (ii) Upojètoume ìti o X eðnai T 3 1. 'Estw x X kai U gn sio, anoiktì uposônolo 2 tou X. To X U eðnai kleistì, opìte, ex orismoô, upˆrqei f : X [0, 1] suneq c, ste f(x) = 1 kai f(x U) = {0}. (ii) (i) ProkÔptei exðsou eôkola apì ton orismì, kai af netai wc ˆskhsh. Parakˆtw ja qreiasjoôme to ex c aplì l mma: L mma An {g i } n i=1 peperasmènh oikogèneia suneq n sunart sewn me g i : X R, i = 1,..., n, tìte h sunˆrthsh g : X R pou orðzetai apì th sqèsh g(x) = min{g i (x) : i I} eðnai suneq c. Apìdeixh. Sto parˆdeigma 1.17 eðdame ìti h oikogèneia F = {(, b) : a R} {(a, + ) : y R} eðnai mða upobˆsh gia thn sun jh metrik topologða tou R. Epomènwc, gia na elègxoume th sunèqeia thc g, arkeð na perioristoôme sthn F (bl. parat rhsh 3.14(ii)). kai ParathroÔme ìti g 1 (, b) = {x X : g(x) < b} = g 1 (a, + ) = {x X : g(x) > a} = n {x X : g i (x) < b} = i=1 n {x X : g i (x) > a} = i=1 n i=1 n i=1 g 1 i (, b) gi 1 (a, + ). Kai ta dôo sônola eðnai anoiktˆ, diìti oi g i, i = 1,..., n, eðnai suneqeðc. Epomènwc, h g eðnai suneq c. Je rhma (i) 'Estw X topologikìc q roc T 3 1. Tìte, kˆje upìqwroc tou X eðnai T

63 4.4. LŸHMMA EMFŸUTEUSHS 59 (ii) 'Estw {X i } i I oikogèneia topologik n q rwn Hausdorff. O q roc ginìmeno i I X i eðnai T 3 1, an, kai mìno an, o X i eðnai T Apìdeixh. gia kˆje i I. (i) 'Estw Y upìqwroc tou X. Efìson o X eðnai Hausdorff, tìte kai o Y ja eðnai Hausdorff. Epilègoume èna x Y kai èna kleistì, mh kenì uposônolo H tou Y me x H. Apì to l mma 4.14 èpetai ìti upˆrqei F X kleistì, ste H = F Y. 'Eqoume ìti x Y kai x H, sunep c x F. Epeid o X eðnai T 3 1, upˆrqei f : X [0, 1] suneq c, 2 ste f(x) = 1 kai f(f ) = {0}. JewroÔme ton periorismì f Y gia kˆje U [0, 1] isqôei thc f ston Y. H f Y : Y [0, 1] eðnai suneq c, diìti (f Y ) 1 (U) = f 1 (U) Y, pou eðnai anoiktì sth sqetik topologða tou Y. EpÐshc, isqôei f Y (x) = 1 kai f Y (H) = f(h) f(f ) = {0}. Apì thn teleutaða sqèsh sunepˆgetai ìti f Y (H) = {0}, diìti to H eðnai mh kenì, sunep c kai to f Y (H). (ii) ( ) Upojètoume ìti o i I X i eðnai T 3 1. 'Estw x 0 = (x 0 i ) i I i I X i kai i 0 2 I. GnwrÐzoume ìti h slice S(x 0, i 0 ) eðnai omoiomorfik me ton X i0. EpÐshc, apì to (i) sumperaðnoume ìti h S(x 0, i 0 ) eðnai T 3 1. Af netai wc ˆskhsh na deðxete ìti h eikìna enìc 2 (upìdeixh: akrib c ìpwc sthn ˆskhsh q rou T ). mèsw omoiomorfismoô paramènei T ( ) AntÐstrofa, upojètoume ìti o X i eðnai T to krit rio thc prohgoômenhc prìtashc. 'Estw x 0 = (x 0 i ) i I x 0 V. Tìte, upˆrqei basikì anoiktì gia kˆje i I. Ja qrhsimopoi soume i I X i kai V gn sio, anoiktì uposônolo tou i I X i me U = ( i F U i ) ( i I F ste x U V. Parathr ste ìti to F eðnai mh kenì, diìti to U eðnai gn sio uposônolo tou i I X i. Epeid o X i eðnai T 3 1 kai x 0 i U i X i gia kˆje i F, upˆrqei f i : X i 2 [0, 1] suneq c, ste f i (x 0 i ) = 1 kai f i(x i U i ) = {0}. X i ),

64 60 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA OrÐzoume f : i I X i [0, 1] pou dðdetai apì th sqèsh f(x) = min{(f i π i )(x) : i F }. Oi sunart seic f i π i, i F, eðnai suneqeðc wc sônjesh suneq n, opìte apì to l mma èpetai ìti h f eðnai suneq c. Profan c, isqôei ìti f(x 0 ) = 1, kaj c f i (x 0 i ) = 1 gia kˆje i F. Oloklhr noume thn apìdeixh deðqnontac ìti f ( ( i I X i) V ) = {0}. IsqÔoun oi akìloujec sunepagwgèc: 'Estw x = (x i ) i I ( ) X i U x U i I i F : x i U i i F : π i (x) U i i F : π i (x) X i U i i F : f i (π i (x)) = 0 i F : (f i π i )(x) = 0. 'Omwc, h mikrìterh tim pou mporeð na pˆrei h f eðnai 0. 'Ara, efìson gia kˆje x ( i I X i) U upˆrqei èna i F tètoio, ste (f i π i )(x) = 0, èpetai ìti f(x) = 0 gia kˆje x ( i I X i) U. Epeid, loipìn, to ( i I X i) U eðnai mh kenì (to V eðnai gn sio uposônolo tou i I X i) kai ( ) ( ) X i V X i U, sunepˆgetai ìti kai ˆra i I i I ( ( ) ) ( ( ) ) f X i V f X i U = {0}, i I i I ( ( ) ) f X i V = {0}. i I L mma emfôteushc Ac jewr soume t ra ènan topologikì q ro X, mða oikogèneia topologik n q rwn {Y i } i I kai mða oikogèneia sunart sewn {f i } i I me f i : X Y i gia kˆje i I. 'Opwc èqoume dei sthn parˆgrafo 4.1.1, orðzetai h sunˆrthsh ektðmhshc e : X i I Y i

65 4.4. LŸHMMA EMFŸUTEUSHS 61 (wc proc thn {f i } i I ) pou dðdetai apì th sqèsh e(x) = (f i (x)) i I. AnazhtoÔme tic sunj kec pou prèpei na ikanopoioôn oi f i, i I, ste o X na emfuteôetai omoiomorfikˆ ston i I Y i, dhlad X e(x). Je rhma 4.32 (L mma emfôteushc). 'Estw X topologikìc q roc, {Y i } i I oikogèneia topologik n q rwn kai {f i } i I oikogèneia sunart sewn me f i : X Y i gia kˆje i I. An: (i) h {f i } i I diaqwrðzei ta shmeða apì ta kleistˆ uposônola tou X, (ii) diaqwrðzei ta shmeða tou X, (iii) h f i eðnai suneq c gia kˆje i I, tìte h sunˆrthsh ektðmhshc e (wc proc thn {f i } i I ) eðnai omoiomorfik emfôteush. Apìdeixh. 1o b ma Ja deðxoume ìti h e eðnai 1-1. 'Estw x 1, x 2 X me x 1 x 2. H {f i } i I diaqwrðzei ta shmeða tou X, ˆra upˆrqei i 0 I, ste f i0 (x 1 ) f i0 (x 2 ), ap' ìpou sunepˆgetai ìti e(x 1 ) e(x 2 ). 2o b ma Ja deðxoume ìti h e eðnai suneq c. Oi f i, i I, eðnai suneqeðc, ˆra, apì to l mma 4.7, èpetai ìti h e eðnai suneq c. 3o b ma Ja deðxoume ìti h e : X e(x) eðnai anoikt. 'Estw U anoiktì uposônolo tou X. ArkeÐ na deðxoume ìti gia kˆje x U upˆrqei V anoiktì uposônolo tou i I Y i, ste e(x) V e(x) e(u), opìte to e(u) ja grˆfetai wc ènwsh anoikt n uposunìlwn tou e(x) (me th sqetik topologða). 'Estw x U. Epeid h {f i } i I diaqwrðzei shmeða apì kleistˆ, upˆrqei i 0 I, ste f i0 (x) f i0 (X U),

66 62 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA isodônama f i0 (x) Y i0 f i0 (X U). Jètoume ) V = πi 1 0 (Y i0 f i0 (X U), to opoðo eðnai anoiktì uposônolo tou i I Y i, kai e(x) V (giatð?). Isqurismìc: V e(x) e(u). Apìdeixh isqurismoô: 'Estw y V e(x). Upˆrqei z X tètoio, ste e(z) = y. Epeid e(z) V, sunepˆgetai ìti f i0 (z) = π i0 (e(z)) Y i0 f i0 (X U). Sunep c, to f i0 (z) den an kei sto f i0 (X U), ˆra oôte kai sto f i0 (X U). Epomènwc, z U, kai ˆra y e(u). 4o b ma Apì 1o kai 2o b ma mporoôme na sumperˆnoume ìti h e : X e(x) eðnai 1-1 kai suneq c; profan c eðnai kai epð. Apì to 3o b ma eðnai, epiplèon, anoikt. 'Ara, h e : X e(x) eðnai omoiomorfismìc (ˆskhsh 2.6(i)). Pìrisma 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. Ta epìmena eðnai isodônama: (i) O X eðnai T (ii) O X emfuteôetai omoiomorfikˆ ston [0, 1] I gia kˆpoio sônolo I. (JewroÔme ton [0, 1] wc upìqwro tou R me th sun jh metrik topologða.) Apìdeixh. (i) (ii) Jètoume wc {f i } i I thn oikogèneia ìlwn twn suneq n sunart sewn apì ton X sto [0, 1]. Jètoume, epðshc, Y i = [0, 1] gia kˆje i I. Epeid o X eðnai T 3 1, h {f i } i I 2 diaqwrðzei shmeða apì kleistˆ. EpÐshc, epeid eðnai kai Hausdorff, ta monosônola eðnai kleistˆ uposônola. 'Ara, efìson h {f i } i I diaqwrðzei ta shmeða apì ta kleistˆ uposônola tou X, tìte ja diaqwrðzei kai ta shmeða tou X. 'Epetai, loipìn, apì to l mma emfôteushc, ìti h sunˆrthsh ektðmhshc e eðnai omoiomorfik emfôteush.

67 4.5. JEŸWRHMA METRIKOPOIHSIMŸOTHTAS URYSOHN 63 (ii) (i) 'Opwc ja doôme parakˆtw sthn ˆskhsh 4.47, o [0, 1] wc upìqwroc metrikoô q rou eðnai metrikopoi simoc. Opìte, o [0, 1] wc metrikìc q roc eðnai T 4. Apì parat rhsh 4.28(ii) o [0, 1] eðnai T 3 1 2, kai apì je rhma 4.31(ii) o [0, 1] I eðnai T 3 1. EpÐshc, apì je- 2, diìti eðnai rhma 4.31(i) kˆje upìqwroc tou [0, 1] I eðnai T omoiomorfikìc me ènan upìqwro tou [0, 1] I.. Epomènwc, o X eðnai T Je rhma metrikopoihsimìthtac Urysohn Q roi deôteroi arijm simoi (sunèqeia) Sthn parˆgrafo 3.3 kˆname mða eisagwg sta axi mata arijmhsimìthtac. Ed ja sumplhr soume th jewrða tou deutèrou axi matoc arijmhsimìthtac, me autˆ pou proapaitoôntai gia thn apìdeixh tou jewr matoc metrikopoihsimìthtac tou Urysohn. Je rhma 'Estw X deôteroc arijm simoc topologikìc q roc kai {U i } i I oikogèneia anoikt n uposunìlwn tou X. Tìte, upˆrqei J arijm simo uposônolo tou I, ste U i = U i. i J i I Apìdeixh. 'Estw B = {B n } n N mða arijm simh bˆsh tou X. Gia kˆje i I ja upˆrqei M i N, ste U i = B n. n M i Jètoume M = M i, i I to opoðo eðnai arijm simo (wc uposônolo tou N). Tìte, ( ) = B n. i I U i = i I n M i B n EÔkola parathroôme ìti gia kˆje n M upˆrqei i I tètoio, ste n M i. To gegonìc ìti n M i shmaðnei ìti B n U i, kajìti U i = n M i B n. Epeid to i exartˆtai apì to n, ja epilèxoume ènan akribèstero sumbolismì gia to sumpèrasmˆ mac: gia kˆje n M upˆrqei i n I tètoio, ste B n U in. Apì ed sunepˆgetai ìti B n U in. n M n M n M

68 64 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA ArkeÐ, t ra, na parathr soume ìti h {U in } n M eðnai arijm simh upooikogèneia thc {U i } i I. Sunep c, èqoume kai ˆra U i = B n U i, i I n M n M U in = i I U in n M i I U i. Prìtash 'Estw X deôteroc arijm simoc topologikìc q roc kai C mia bˆsh gia thn topologða tou X. Tìte, upˆrqei C arijm simh upooikogèneia thc C pou eðnai epðshc bˆsh gia thn topologða tou X. Apìdeixh. Kˆje anoiktì uposônolo tou X grˆfetai wc ènwsh stoiqeðwn thc C = {C i } i I. Apì to prohgoômeno je rhma èqoume ìti kˆje anoiktì uposônolo tou X grˆfetai, telikˆ, wc arijm simh ènwsh stoiqeðwn thc C. Epeid o X eðnai deôteroc arijm simoc, mporoôme na jewr soume mða arijm simh bˆsh B = {B n } n N. Tìte, ìpwc exhg same, gia kˆje n N ja upˆrqei I n arijm simo uposônolo tou I, ètsi ste B n = i I n C i. Jètoume J = n N I n kai parathroôme ìti h C = {C i : i J} eðnai arijm simh upooikogèneia thc C kai bˆsh gia thn topologða tou X. Parˆdeigma Sthn parat rhsh 3.28(iv) eðdame ìti kˆje deôteroc arijm simoc topologikìc q roc eðnai diaqwrðsimoc. EpÐshc, sthn parat rhsh 3.28(v) eðdame ìti stouc metrikoôc q rouc isqôei kai to antðstrofo. O q roc R s (parˆdeigma 4.16(ii)) apoteleð èna parˆdeigma topologikoô q rou pou en eðnai diaqwrðsimoc, den eðnai deôteroc arijm simoc. Prˆgmati, o R s eðnai diaqwrðsimoc, afoô to Q eðnai puknì; sugkekrimèna tèmnei kˆje mh kenì stoiqeðo thc bˆshc B = {(a, b] : a, b R}. Ac upojèsoume proc apagwg se ˆtopo ìti eðnai deôteroc arijm simoc. Tìte sômfwna me thn teleutaða prìtash, upˆrqei B = {(a n, b n ] : n N; a n, b n R} arijm simh upooikogèneia thc B pou eðnai epðshc bˆsh tou R s. Epilègoume a, b R me a < b, pou den an koun sto {a n : n N} {b n : n N}.

69 4.5. JEŸWRHMA METRIKOPOIHSIMŸOTHTAS URYSOHN 65 Tìte, upˆrqei M N, ste (a, b] = (a n, b n ]. n M Autì shmaðnei ìti upˆrqei n 0 M tètoio, ste b (a n0, b n0 ] kai b b n0, dhlad a n0 < b < b n0. Sunep c, to opoðo fusikˆ eðnai ˆtopo. ( b n0 n M ) (a n, b n ] (a, b] =, 'Askhsh DeÐxte ìti o q roc R s eðnai pr toc arijm simoc Q roi Lindelöf Orismìc 'Estw X topologikìc q roc kai A X. (i) MÐa oikogèneia {U i } i I uposônolwn tou X kaleðtai kˆlumma tou A, an A i I U i. Profan c, an A = X kai {U i } i I èna anoiktì kˆlumma tou A, tìte X = i I U i. (ii) An, epiplèon, ta stoiqeða thc {U i } i I eðnai anoiktˆ uposônola tou X, tìte h oikogèneia {U i } i I kaleðtai anoiktì kˆlumma tou A. (iii) Sthn perðptwsh pou to I eðnai arijm simo (ant. peperasmèno), tìte h oikogèneia {U i } i I kaleðtai arijm simo (ant. peperasmèno) kˆlumma. (iv) An J eðnai uposônolo tou I, ètsi ste A i J U i, tìte h oikogèneia {U i } i J kaleðtai upokˆlumma tou (arqikoô kalômmatoc) {U i } i I.

70 66 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA (v) Dedomènou ìti èna upokˆlumma {U i } i J tou {U i } i I apoteleð kˆlumma tou A, to {U i } i J kaleðtai anoiktì upokˆlumma tou {U i } i I, an eðnai anoiktì kˆlumma tou A. AntÐstoiqa, kaleðtai arijm simo (ant. peperasmèno) upokˆlumma tou {U i } i I, an eðnai arijm simo (ant. peperasmèno) kˆlumma tou A. Orismìc 'Enac topologikìc q roc kaleðtai q roc Lindelöf ( èqei thn idiìthta Lindelöf), an kˆje anoiktì kˆlumma tou q rou èqei arijm simo upokˆlumma. Prìtash Kˆje deôteroc arijm simoc topologikìc q roc eðnai q roc Lindelöf. Apìdeixh. EÐnai ˆmeso pìrisma tou jewr matoc ParadeÐgmata (i) O R me th sun jh metrik topologða eðnai diaqwrðsimoc (puknìthta twn rht n), kai ˆra deôteroc arijm simoc. Sunep c, apì thn teleutaða prìtash, ja eðnai q roc Lindelöf. (ii) An o q roc X eðnai uperarijm simo sônolo efodiasmèno me th diakrit topologða, tìte den eðnai Lindelöf, diìti to anoiktì kˆlumma {{x}} x X den èqei arijm simo upokˆlumma. Prìtash Kˆje metrikìc q roc eðnai deôteroc arijm simoc, an, kai mìno an, eðnai q roc Lindelöf. Apìdeixh. Sthn parat rhsh 3.28(v) deðxame ìti kˆje metrikìc q roc eðnai deôteroc arijm simoc, an, kai mìno an, eðnai diaqwrðsimoc. 'Ara, se sunduasmì me thn teleutaða prìtash, arkeð na deðxoume ìti, an ènac metrikìc q roc eðnai Lindelöf, tìte eðnai diaqwrðsimoc. 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc Lindelöf. ParathroÔme ìti gia kˆje n N h oikogèneia {B ρ (x, 1 n )} x X eðnai èna anoiktì kˆlumma tou X. 'Ara, gia kˆje n N upˆrqei D n arijm simo uposônolo tou X, ste h oikogèneia {B ρ (x, 1 n )} x D n na eðnai arijm simo upokˆlumma. Jètoume D = n N D n, to opoðo kat' arqˆc eðnai arijm simo. Ja deðxoume ìti eðnai kai puknì ston X. 'Estw z X kai ε > 0. Epilègoume n 0 N tètoio, ste 1 n 0 < ε. Epeid X = x D n0 B ρ ( 1 ) x,, n 0 ja upˆrqei x 0 D n0, ètsi ste z B ρ (x 0, 1 n 0 ), isodônama x 0 B ρ (z, 1 n 0 ). Epomènwc, èqoume ìti B ρ (z, ε) D, kai ˆra to D eðnai puknì ston X.

71 4.5. JEŸWRHMA METRIKOPOIHSIMŸOTHTAS URYSOHN 67 Parˆdeigma O q roc R s, ìpwc diapist same sto parˆdeigma 4.36, eðnai diaqwrðsimoc, allˆ ìqi deôteroc arijm simoc. Ed ja deðxoume ìti apoteleð èna parˆdeigma topologikoô q rou pou katarrðptei thn isodunamða metaxô q rwn Lindelöf kai deôterwn arijm simwn, h opoða isqôei se metrikoôc q rouc. Ja deðxoume, loipìn, ìti o R S eðnai q roc Lindelöf. Isqurismìc: ArkeÐ na deðxoume ìti kˆje anoiktì kˆlumma tou R s apì stoiqeða thc bˆshc B = {(a, b] : a, b R} èqei arijm simo upokˆlumma. Apìdeixh isqurismoô: Ja apodeðxoume ton isqurismì gia tuqaðo topologikì q ro X me bˆsh B = {B j } j J. H idèa thc apìdeixhc basðzetai se aut n tou Jewr matoc 'Estw {U i } i I anoiktì kˆlumma tou X. Gia kˆje i I upˆrqei M i J, ste U i = j M i B j. Tìte, X = i I U i = j M B j, ìpou M = i I M i. Ex upojèsewc upˆrqei N arijm simo uposônolo tou M, ste X = i I U i = j N B j. Gia kˆje j N upˆrqei i j I, ètsi ste B j U ij. Sunep c, j N B j j N U i j, kai ˆra X = j N U i j. Dhlad, to {U ij } j N eðnai arijm simo upokˆlumma tou {U i } i I. Epistrèfoume, t ra, ston arqikì mac skopì: ja deðxoume ìti kˆje anoiktì kˆlumma tou R s apì stoiqeða thc bˆshc B = {(a, b] : a, b R} èqei arijm simo upokˆlumma. 'Estw {(a i, b i ]} i I èna anoiktì kˆlumma apì stoiqeða thc bˆshc. Jètoume C = {(a i, b i )} i I. Arqikˆ ja deðxoume ìti to sônolo R s C eðnai arijm simo. 'Estw x R s C. AfoÔ R s = i I (a i, b i ] kai to x den an kei se kˆpoio diˆsthma (a i, b i ) gia i I, tìte upˆrqei i x I tètoio, ste x = b ix. ParathroÔme ìti an x, y R s C, tìte b ix a iy. Prˆgmati, an tan a iy < b ix, tìte to x ja an ke sto (a iy < b iy ), diìti b ix = x < y = b iy. Autì, ìmwc, eðnai ˆtopo, diìti x C. 'Ara, h oikogèneia {(a ix, b ix ) : x R s C} apoteleðtai apì xèna metaxô touc anoiktˆ diast mata tou R. Epomènwc, se kˆje x R s C mporoôme na antistoiqðsoume èna monadikì diˆsthma (a ix, b ix ), kai se autì ènan monadikì rhtì. Sunep c, upˆrqei mða 1-1 apeikìnish apì to R s C stouc rhtoôc, kai ˆra to R s C eðnai arijm simo. O R me th sun jh metrik topologða eðnai deôteroc arijm simoc. Sunep c, o C wc upìqwroc eðnai deôteroc arijm simoc, ìpote kai Lindelöf. Epeid to {(a i, b i )} i I eðnai èna

72 68 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA anoiktì kˆlumma tou upoq rou C, ja upˆrqei arijm simo sônolo deikt n {i n I : n N}, ste ParathroÔme, loipìn, ìti C = (a in, b in ). n=1 ( R s = (R s C) C = x R s C ) (a ix, b ix ] ( n=1 ) (a in, b in ). Epomènwc, br kame èna arijm simo upokˆlumma tou {(a i, b i ]} i I, kai ˆra o R s eðnai q roc Lindelöf. Je rhma Kˆje topologikìc q roc T 3 kai Lindelöf eðnai T 4. Apìdeixh. 'Estw X topologikìc q roc T 3 kai Lindelöf. Epilègoume F 1, F 2 xèna, kleistˆ uposônola tou X. Ja deðxoume ìti upˆrqoun U kai V xèna, anoiktˆ uposônola tou X, ste F 1 U kai F 2 V. Epeid o X eðnai T 3, gia kˆje x F 1 upˆrqei U x X anoiktì, ste x U x U x X F 2. 'Omoia, gia kˆje y F 2 upˆrqei V y X anoiktì, ste JewroÔme thn oikogèneia y V y V y X F 1. C = {U x : x F 1 } {V y : y F 2 } {X (F 1 F 2 )}, h opoða eðnai anoiktì kˆlumma tou X. Epeid o X eðnai Lindelöf, upˆrqei arijm simo upokˆlumma tou C pou ja eðnai thc morf c C = {U n : n N} {V n : b N} {X (F 1 F 2 )}. Jètoume U = n N U n kai V = n N V n. ParathroÔme ìti ta U kai V eðnai anoiktˆ, kaj c kai ìti F 1 U, ìpwc kai F 2 V. 'Omwc, ta U kai V den eðnai aparaðthta xèna metaxô touc. Gi' autì, kˆnoume to ex c:

73 4.5. JEŸWRHMA METRIKOPOIHSIMŸOTHTAS URYSOHN 69 Gia kˆje n N jètoume n U n = U n V k, k=1 n V n = V n k=1 U k kai èpeita U = n N U n, V = n N V n. Ta U kai V eðnai anoiktˆ kai kalôptoun ta F 1 kai F 2 antðstoiqa. Ac to elègxoume gia to U. Gia kˆje n N to U n eðnai anoiktì, diìti U n n V k = U n (X k=1 n V k ), to opoðo eðnai profan c anoiktì. 'Ara, to U eðnai anoiktì. EpÐshc èqoume ìti F 1 U, diìti, an x F 1, tìte x U n0 gia kˆpoio n 0 N kai, epiplèon, x V n gia kˆje n N. Epomènwc, kai ˆra x U. x ( U n0 ) V k k=1 ( U n0 k=1 n 0 k=1 V k ) = U n 0, Mènei na deðxoume ìti ta U kai V eðnai xèna; tan o basikìc lìgoc gia na orðsoume ta dôo nèa sônola. 'Estw z U V. Tìte, z U n 0 gia kˆpoio n 0 N kai z V m 0 gia kˆpoio m 0 N. 'Estw ìti n 0 m 0. Autì shmaðnei ìti z m 0 k=1 U k, kai ˆra z U n 0. 'Atopo, ˆra U V =. Pìrisma Kˆje topologikìc q roc T 3 kai deôteroc arijm simoc eðnai T 4. Apìdeixh. 'Epetai apì thn prìtash 4.40 kai to je rhma Je rhma metrikopoihsimìthtac tou Urysohn Je rhma 4.46 (Metrikopoihsimìthtac tou Urysohn). 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. An o X eðnai T 3 kai deôteroc arijm simoc, tìte emfuteôetai omoiomorfikˆ ston (kôbo tou Hilbert) [0, 1] N. (JewroÔme ton [0, 1] wc upìqwro tou R me th sun jh metrik topologða.)

74 70 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA Apìdeixh. Apì to pìrisma 4.45, prokôptei ìti o X eðnai T 4. 'Ara, apì to l mma Urysohn, èpetai ìti gia opoiad pote F 1 kai F 2 xèna, anoiktˆ uposônola tou X upˆrqei f : X [0, 1] suneq c, me f F1 = 0 kai f F2 = 1. AfoÔ o X eðnai deôteroc arijm simoc, mporoôme na jewr soume mða arijm simh bˆsh B = {B n } n N gia thn topologða tou X. OrÐzoume I = {(n, m) N 2 : B m B n }, to opoðo eðnai arijm simo wc uposônolo tou N 2. Gia kˆje (n, m) I, ta B m kai X B n eðnai xèna, kleistˆ. 'Ara, upˆrqei suneq c sunˆrthsh f (n,m) : X [0, 1], ste f (n,m) (B m ) = {0} kai f (n,m) (X B n ) = {1}. Isqurismìc: H oikogèneia {f (n,m) } (n,m) I diaqwrðzei ta shmeða apì ta kleistˆ uposônola tou X. Apìdeixh isqurismoô: 'Estw x X kai F X kleistì, me x F. Epeid x X F, upˆrqei B n B tètoio, ste x B n X F. Apì thn prìtash 4.13, sunepˆgetai ìti upˆrqei V X anoiktì, ste x V V B n. Pˆli upˆrqei B m B tètoio, ste x B m V. Sunep c, èqoume ìti x B m B m B n. Epomènwc, (n, m) I (sto shmeðo autì deðxame kai ìti I ). 'Ara, ìpwc exhg same prohgoumènwc, ja eðnai f (n,m) ( Bm ) = {0} kai f(n,m) (X B n ) = {1}. Autì shmaðnei ìti f (n,m) (x) f (n,m) (F ).

75 4.5. JEŸWRHMA METRIKOPOIHSIMŸOTHTAS URYSOHN 71 Prˆgmati, parathroôme ìti f (n,m) (x) = 0 kai, epiplèon, ìti f (n,m) (F ) = {1}, efìson F X B n, opìte kai f (n,m) (F ) {1} = {1}. Epomènwc, apì to l mma efôteushc, èpetai ìti o X emfuteôetai omoiomorfikˆ ston [0, 1] I. To I, ìmwc, eðnai arijm simo. SumperaÐnoume, loipìn, ìti o X emfuteôetai omoiomorfikˆ ston [0, 1] N. 'Askhsh 'Estw (X, ρ) metrikìc q roc. JewroÔme ìti o X eðnai efodiasmènoc me th metrik topologða pou epˆgei h metrik ρ. (i) 'Estw Y upìqwroc tou X. DeÐxte ìti h sqetik topologða tou Y tautðzetai me th metrik topologða pou epˆgei h metrik ρ periorismènh ston Y, dhlad h sqetik metrik ρ Y = ρ Y Y : Y Y R. (ii) 'Estw (Z, S) topologikìc q roc kai h : Z X omoiomorfismìc. DeÐxte ìti o Z eðnai metrikopoi simoc. Apìdeixh. (i) Ja sumbolðsoume me T ρ th metrik topologða tou X, me T Y ρ Y (wc proc thn T ρ ) kai me T ρy metrik ρ Y. Prèpei na deðxoume ìti T Y ρ th sqtik topologða tou th metrik topologða tou Y pou epˆgetai apì th sqetik = T ρy. ProtoÔ proqwr soume sthn apìdeixh na shmei soume ìti gia kˆje x Y kai ε > 0 isqôei B ρy (x, ε) = B ρ (x, ε) Y. 'Estw V T Y ρ. Ex orismoô thc sqetik topologðac upˆrqei U T ρ, ste V = U Y. 'Estw x V. Jèloume na deðxoume ìti upˆrqei ε > 0 tètoio, ste B ρy (x, ε) V. Prˆgmati, afoô x V, tìte x U, kai ˆra upˆrqei ε > 0 tètoio, ste B ρ (x, ε) U. ArkeÐ, loipìn, na parathr soume ìti B ρy (x, ε) = B ρ (x, ε) Y U Y = V. Epomènwc, T Y ρ T ρy Mènei na deðxoume ìti T ρy T Y ρ. 'Estw V T ρy. Jèloume na broôme U T ρ, ste V = U Y. Epeid to V eðnai anoiktì sth metrik topologða tou Y, gia kˆje x V upˆrqei ε x > 0, ste B ρy (x, ε) V. 'Ara, V = B ρy (x, ε x ). x V

76 72 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA 'Omwc, isqôei ìti B ρy (x, ε x ) = B ρ (x, ε x ) Y gia kˆje x V. 'Ara, V = ( Bρ (x, ε x ) Y ) ( = x V x V ) B ρ (x, ε x ) Y. Jètoume kai èqoume to zhtoômeno. U = B ρ (x, ε x ) x V (ii) OrÐzoume d : Z Z R me d(x, y) = ρ ( h(x), h(y) ). EÔkola diapist noume ìti h d eðnai metrik ston Z (ˆskhsh). Ja sumbolðsoume me T d th metrik topologða pou epˆgei h d ston Z. Isqurizìmaste ìti S = T d. Arqikˆ deðqnoume ìti S T d. 'Estw U S kai x U. Jèloume na broôme ε > 0 tètoio, ste B d (x, ε) U. To h(u) eðnai anoiktì sth metrik topologða T ρ tou X, diìti h h eðnai omoiomorfismìc (parat rhsh 2.5(iii)). 'Ara, upˆrqei ε > 0 tètoio, ste B ρ (h(x), ε) h(u). 'Etsi, èqoume ìti h 1( ) B ρ (h(x), ε) h 1( h(u) ) = U. ) 'Omwc, isqôei ìti h (B 1 ρ (h(x), ε) = B d (x, ε). Prˆgmati, z h 1( ) B ρ (h(x), ε) h(z) B ρ (h(x), ε) ρ ( h(x), h(z) ) < ε d(x, z) < ε z B d (x, ε). Epomènwc, èqoume to zhtoômeno, dhlad B d (x, ε) U. Mènei na deðxoume ìti T d S. 'Estw U T d. Tìte, gia kˆje x U upˆrqei ε > 0 tètoio, ste B d (x, ε x ) U, kai ˆra U = B d (x, ε x ). x U ) Parapˆnw diapist same ìti B d (x, ε) = h (B 1 ρ (h(x), ε) gia kˆje x Z kai ε > 0. ) EpÐshc, gia kˆje x Z kai ε > 0, to h (B 1 ρ (h(x), ε) eðnai anoiktì sthn topologða S,

77 4.5. JEŸWRHMA METRIKOPOIHSIMŸOTHTAS URYSOHN 73 diìti to B ρ (h(x), ε) eðnai anoiktì sthn topologða T, kai h h eðnai omoiomorfismìc. 'Ara, èqoume ìti to U grˆfetai wc ènwsh anoikt n stoiqeðwn thc S, kai sunep c eðnai anoiktì sthn S. Parat rhsh To je rhma metrikopoihsimìthtac tou Urysohn exasfalðzei ìti ènac q roc T 3 kai deôteroc arijm simoc eðnai metrikopoi simoc. Prˆgmati, an X eðnai T 3 kai deôteroc arijm simoc, tìte, sômfwna me to je rhma, eðnai omoiomorfikìc me ènan upìqwro tou [0, 1] N. O [0, 1] N eðnai metrikopoi simoc wc arim simo ginìmeno metrik n q rwn (je rhma 3.23). Bˆsei thc parapˆnw ˆskhshc, o upìqwroc tou [0, 1] N me ton opoðo eðnai omoiomorfikìc o X eðnai metrikopoi simoc. Opìte, pˆli bˆsei thc ˆskhshc, èpetai ìti o X eðnai metrikopoi simoc.

78 74 KEFŸALAIO 4. DIAQWRISTIKŸA AXIŸWMATA

79 Kefˆlaio 5 Sumpˆgeia 5.1 SumpageÐc q roi kai basikèc idiìthtec Orismìc 5.1. 'Estw X topologikìc q roc kai K X. (i) O X kaleðtai sumpag c, an kˆje anoiktì kˆlumma {U i } i I tou X èqei peperasmèno upokˆlumma, dhlad upˆrqei F peperasmèno uposônolo tou I, ste X = i F U i. (ii) To K kaleðtai sumpagèc uposônolo tou X, an eðnai sumpag c wc topologikìc q roc efodiasmènoc me th sqetik topologða. Parat rhsh 5.2. EÐnai eôkolo na elègxete ìti to K eðnai sumpagèc, an, kai mìno an, kˆje anoiktì kˆlumma tou K èqei peperasmèno upokˆlumma. Dhlad, an, kai mìno an, gia kˆje {U i } i I oikogèneia anoikt n uposunìlwn tou X me K i I U i, upˆrqei F peperasmèno uposônolo tou I, ste K i F U i. Autìc o isodônamoc orismìc eðnai pio qrhstikìc, kaj c den emplèkei th sqetik topologða. EntoÔtoic, sth sunèqeia ja qrhsimopoi soume kai touc dôo orismoôc. ParadeÐgmata 5.3. (i) An ènac diakritìc topologikìc q roc eðnai sumpag c, tìte eðnai peperasmènhc plhjikìthtac ( X < ). (Upìdeixh: jewr ste to anoiktì kˆlumma pou apoteleðtai apì ìla ta monosônola.) (ii) An ènac topologikìc q roc eðnai peperasmènhc plhjikìthtac, tìte eðnai sumpag c (afoô kˆje anoiktì kˆlumma eðnai peperasmèno). 75

80 76 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA Prìtash 5.4. 'Estw X sumpag c topologikìc q roc kai F X kleistì. Tote, to F eðnai sumpagèc. Apìdeixh. 'Estw {V i } i I èna anoiktì kˆlumma tou upoq rou F. AfoÔ gia kˆje i I to V i eðnai anoiktì (sth sqetik topologða) uposônolo tou F, tìte upˆrqei U i anoiktì uposônolo tou X, ste V i = U i F. 'Eqoume, loipìn, ìti F = V i = (U i F ) = ( ) U i F. i I i I i I 'Ara, ja prèpei F i I U i. Autì shmaðnei ìti to {U i } i I {X F } eðnai anoiktì kˆlumma tou X, afoô to X F eðnai anoiktì. Epomènwc, lìgw sumpˆgeiac, upˆrqei peperasmèno upokˆlumma {U i } i G {X F }, kai ˆra F i G U i, ìpou G peperasmèno uposônolo tou I. (Parathr ste ìti sto peperasmèno upokˆlumma tou X to sônolo X F eðnai aparaðthto, diìti to {U i } i I den kalôptei kat' anˆgkh to X.) Sunep c, upˆrqei peperasmèno upokˆlumma tou {V i } i I, afoô F = ( ) U i F = (U i F ) = V i, i G i G i G kai to G eðnai peperasmèno uposônolo tou I. Prìtash 5.5. Kˆje topologikìc q roc Hausdorff kai sumpag c eðnai T 3. Apìdeixh. 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff kai sumpag c. Epilègoume èna x X kai èna F X kleistì me x F. Epeid o X eðnai Hausdorff, gia kˆje y F upˆrqoun U y, V y X xèna, anoiktˆ, ste x U y kai y V y. ParathroÔme ìti h oikogèneia {V y : y F } eðnai èna anoiktì kˆlumma tou F. EpÐshc, to F eðnai sumpagèc wc kleistì uposônolo sumpagoôc q rou. 'Ara, upˆrqei peperasmèno upokˆlumma {V yi : i = 1,..., n}, ìpou n N. Jètoume n n V = V yi kai U = U yi, i=1 i=1 ta opoða eðnai anoiktˆ uposônola tou X (sto shmeðo autì faðnetai o katalutikìc rìloc thc sumpˆgeiac; to U eðnai anoiktì). EpÐshc, isqôei ìti x U kai F V. Mènei na deðxoume ìti ta U kai V eðnai xèna. 'Estw z U V. Tìte, upˆrqei i 0 {1,..., n},

81 5.1. SUMPAGEŸIS QŸWROI KAI BASIKŸES IDIŸOTHTES 77 ste z V yi0. EpÐshc, z U yi gia kˆje i {1,..., n}. Autì, ìmwc, eðnai ˆtopo, diìti ta U i0 kai V i0 eðnai xèna. Sunep c, U V =, kai ˆra o X eðnai T 3. Je rhma 5.6. Kˆje topologikìc q roc Hausdorff kai sumpag c eðnai T 4. Apìdeixh. 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff kai sumpag c. Epilègoume F 1, F 2 X xèna, kleistˆ. Apì thn prohgoômenh prìtash, o X eðnai T 3. Sunep c, gia kˆje x F 1 upˆrqoun U x, V x X xèna, anoiktˆ, ste x U x kai F 2 V x. 'Ara, F 1 U x, x F 1 kai epeid (to F 1 ) eðnai sumpagèc wc kleistì uposônolo sumpagoôc, èpetai ìti upˆrqei n N, ste n F 1 U xi. i=1 Jètoume n n U = U xi kai V = V xi, i=1 i=1 ta opoða eðnai anoiktˆ uposônola tou X. Tèloc, parathroôme ìti F 1 U, F 2 V kai U V =. Prìtash 5.7. 'Estw X sumpag c topologikìc q roc, Y topologikìc q roc kai f : X Y suneq c sunˆrthsh. Tìte, h eikìna f(x) eðnai sumpagèc uposônolo tou Y. Apìdeixh. 'Estw {V i } i I anoiktì kˆlumma tou f(x). H oikogèneia {f 1 (V i )} i I eðnai anoiktì kˆlumma tou X. Prˆgmati, kˆje stoiqeðo thc {f 1 (V i )} i I eðnai anoiktì, diìti h f eðnai suneq c. Epiplèon eðnai kˆlumma, diìti X = f 1( f(x) ) f 1( ) V i f 1 (V i ). i I i I Lìgw sumpˆgeiac tou X, upˆrqei {i 1,..., i n } peperasmèno uposônolo tou I, ste n X = f 1 (V in ). Sunep c, f(x) = f ( n f 1 (V in ) ) n = f ( f 1 (V i ) ) n V i. k=1 k=1 k=1 k=1

82 78 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA Epomènwc, to {V ik } n k=1 eðnai peperasmèno upokˆlumma tou {V i} i I, kai ˆra to f(x) eðnai sumpagèc. Pìrisma 5.8. H sumpˆgeia eðnai topologik idiìthta. Apìdeixh. ArkeÐ na parathr soume ìti, lìgw thc prohgoumènhc prìtashc, h sumpˆgeia diathreðtai mèsw omoiomorfism n. Prìtash 5.9. 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff kai G X sumpagèc. Tìte, to G eðnai kleistì. Apìdeixh. Ja deðxoume ìti to X G eðnai anoiktì. Proc toôto, arkeð na deðxoume ìti gia kˆje x X G upˆrqei U anoiktì uposônolo tou X, ste x U X G (opìte to X G ja grˆfetai wc ènwsh anoikt n). 'Estw x X G. Tìte, kˆje y G ja eðnai diaforetikì apì to x. Sunep c, epeid o X eðnai Hausdorff, gia kˆje y G ja upˆrqoun U y, V y X xèna, anoiktˆ, ste x U y kai y V y. Me autì ton trìpo ftiˆqnoume èna anoiktì kˆlumma {V y : y G} tou G. T ra, afoô to G eðnai sumpagèc, ja upˆrqei peperasmèno upokˆlumma, dhlad ja upˆrqei {y 1,..., y n } peperasmèno uposônolo tou G, ste n G V yi. i=1 Jètoume n n V = V yi kai U = U yi, i=1 i=1 ta opoða eðnai anoiktˆ. EpÐshc, parathroôme ìti G V, x U kai V U =. AfoÔ ta U kai V eðnai xèna kai to V kalôptei to G, èpetai ìti ta U kai G eðnai xèna, dhlad ìti to U perièqetai sto X G. Sunep c, x U X G, kai ˆra èqoume to zhtoômeno. Je rhma 'Estw X sumpag c topologikìc q roc, Y topologikìc q roc Hausdorff kai f : X Y suneq c sunˆrthsh 1-1 kai epð. Tote, h f eðnai omoiomorfismìc. Apìdeixh. To mìno pou prèpei na deðxoume eðnai ìti h f 1 eðnai suneq c. 'Estw, loipìn, F X kleistì. ArkeÐ na deðxoume ìti to (f 1 ) 1 (F ) = f(f ) eðnai kleistì (prìtash 2.7(ii)).

83 5.1. SUMPAGEŸIS QŸWROI KAI BASIKŸES IDIŸOTHTES 79 To F eðnai sumpagèc wc kleistì uposônolo sumpagoôc. 'Ara, epeid h f eðnai suneq c, to f(f ) eðnai sumpagèc uposônolo tou Y. Tèloc, efìson o Y eðnai Hausdorff, apì thn teleutaða prìtash èpetai ìti to f(f ) eðnai kleistì, opìte èqoume to zhtoômeno. Parat rhsh H upìjesh ìti o Y eðnai Hausdorff eðnai aparaðthth gia na isqôei to je rhma. Jewr ste, gia parˆdeigma, to {0, 1} me diaforetikèc topologðec: th diakrit topologða T d kai thn topologða T s = {, {0, 1}, {0}}. H tautotik apeikìnish Id : ({0, 1}, T d ) ({0, 1}, T s ) eðnai suneq c, 1-1 kai epð. H antðstrofh, ìmwc, Id 1 : ({0, 1}, T s ) ({0, 1}, T d ) den eðnai suneq c, diìti (Id 1 ) 1 ({1}) = Id({1}) = {1} T s. 'Askhsh 'Estw (X, T ) topologikìc q roc Hausdorff kai sumpag c. JewroÔme dôo topologðec T 1 kai T 2 tou X me T 1 T T 2. (i) DeÐxte ìti o (X, T 2 ) den eðnai sumpag c, allˆ eðnai Hausdorff. (ii) DeÐxte ìti o (X, T 1 ) den eðnai Hausdorff, allˆ eðnai sumpag c. Apìdeixh. (i) An o (X, T 2 ) tan sumpag c, tìte, apì to prohgoômeno je rhma, h tautotik apeikìnish Id : (X, T 2 ) (X, T ) ja tan omoiomorfismìc. Autì, ìmwc, eðnai ˆtopo, diìti h antðstofh Id 1 : (X, T ) (X, T 2 ) den eðnai suneq c, afoô T T 2. O (X, T 2 ) paramènei Hausdorff katˆ tetrimmèno trìpo, afoô diaqwrðzei ta shmeða tou X qrhsimopoi ntac ta anoiktˆ thc T. (ii) An o (X, T 1 ) tan Hausdorff, pˆli me efarmog tou idðou jewr matoc, h Id : (X, T ) (X, T 1 ) ja tan omoiomorfismìc; ˆtopo, diìti h antðstrofh den eðnai suneq c, efìson T 1 T. O (X, T 1 ) paramènei, ìmwc, sumpag c, diìti h Id : (X, T ) (X, T 1 ) eðnai suneq c, kai ˆra h eikìna Id(X) = X ja eðnai sumpag c. 'Enac deôteroc trìpoc eðnai o ex c: kˆje T 1 -anoiktì kˆlumma tou X eðnai kai T - anoiktì kˆlumma tou X. Opìte, afoô o (X, T ) eðnai sumpag c, ja upˆrqei peperasmèno upokˆlumma tou T -anoiktoô kalômmatoc, pou telikˆ ja eðnai kai peperasmèno upokˆlumma tou T 1 -anoiktoô kalômmatoc.

84 80 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA Ac doôme mða sunj kh metrikopoihsimìthtac gia sumpageðc topologikoôc q rouc, pou eðnai sunèpeia tou parapˆnw jewr matoc. Prìtash 'Estw X sumpag c topologikìc q roc, {f n } n N akoloujða suneq n sunart sewn pou diaqwrðzei ta shmeða tou X, me f n : X R gia kˆje n N. Tìte, h sunˆrthsh ektðmhshc e : X R N eðnai omoiomorfik emfôteush, kai ˆra o X eðnai metrikopoi simoc. Apìdeixh. Apì to l mma 4.7, h sunˆrthsh ektðmhshc e : X R N eðnai suneq c, ˆra, apì ˆskhsh 2.4, h e : X e(x) eðnai suneq c. Epiplèon, epeid h {f n } n N diaqwrðzei ta shmeða tou X, h e eðnai 1-1. Tèloc, o R wc metrikìc q roc eðnai Hausdorff, opìte o R N eðnai Hausdorff wc ginìmeno q rwn Hausdorff, kai ˆra o e(x) eðnai Hausdorff wc upìqwroc q rou Hausdorff. Epomènwc, apì to je rhma 5.10, èpetai ìti h e : X e(x) eðnai omoiomorfismìc. Sunep c, ìpwc prokôptei apì thn ˆskhsh 4.47, o X eðnai metrikopoi simoc. Orismìc 'Estw X sônolo kai {A i } i I oikogèneia uposunìlwn tou X. Lème ìti h {A i } i I èqei thn idiìthta thc peperasmènhc tom c, an gia kˆje F peperasmèno uposônolo tou I isqôei A i. i F Je rhma 'Estw X topologikìc q roc. Ta epìmena eðnai isodônama: (i) O X eðnai sumpag c. (ii) Kˆje {G i } i I oikogèneia kleist n uposunìlwn tou X me thn idiìthta thc peperasmènhc tom c èqei mh ken tom, dhlad isqôei G i. i I Apìdeixh. (i) (ii) 'Estw {G i } i I oikogèneia kleist n uposunìlwn tou X me thn idiìthta thc peperasmènhc tom c. Upojètoume proc apagwg se ˆtopo ìti i I G i =. Tìte, i I (X G i ) = X. To X G i eðnai anoiktì gia kˆje i I, ˆra to {(X G i )} i I eðnai èna anoiktì kˆlumma tou X. Epeid o X eðnai sumpag c, upˆrqei F peperasmèno uposônolo tou I,

85 5.1. SUMPAGEŸIS QŸWROI KAI BASIKŸES IDIŸOTHTES 81 ste i F (X G i) = X. Apì ed sunepˆgetai ìti i F G i =, to opoðo eðnai ˆtopo, diìti h {G i } i I èqei thn idiìthta thc peperasmènhc tom c. (ii) (i) 'Estw {U i } i I anoiktì kˆlumma tou X. Autì shmaðnei ìti X = i I U i, kai ˆra i I (X U i) =. H oikogèneia {(X U i )} apoteleðtai apì kleistˆ uposônola tou X, ˆra, ex upojèsewc, de mporeð na èqei thn idiìthta thc peperasmènhc tom c. Epomènwc, upˆrqei F peperasmèno uposônolo tou I, ste i F (X U i) =. loipìn, ìti X = i F U i, ap' ìpou sunepˆgetai ìti o X eðnai sumpag c. SumperaÐnoume, Parat rhsh To (ii) tou parapˆnw jewr matoc mporeð na diatupwjeð isodônama wc ex c: Gia kˆje {A i } i I oikogèneia uposunìlwn tou X me thn idiìthta thc peperasmènhc tom c isqôei i I A i. 'Askhsh 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff kai {K n } n N fjðnousa akoloujða sumpag n, mh ken n uposunìlwn tou X. (i) DeÐxte ìti n=1 K n. (ii) An K = n=1 K n, deðxte ìti to K eðnai sumpagèc uposônolo tou X. (iii) DeÐxte ìti gia kˆje U X anoiktì me K U upˆrqei n 0 N, ste K n U gia kˆje n n 0. Apìdeixh. (i) 'Estw ìti n=1 K n =. Tìte, n=1 (X K n) = X. Gia kˆje n N, to K n eðnai kleistì wc sumpagèc uposônolo q rou Hausdorff. Epomènwc, to {(X K n )} n N eðnai anoktì kˆlumma tou X. 'Estw m N. Tìte, èqoume K m n=1 (X K n). Epeid to K m eðnai sumpagèc, upˆrqei {n 1,..., n k } N, ste K m k i=1 (X K n i ). Jètoume n 0 = min{n 1,..., n k }. Tìte, K m (X K n0 ). DiakrÐnoume tic ex c dôo peript seic: An m n 0, tìte K n0 K m, kai ˆra K n0 (X K n0 ); ˆtopo. An m > n 0, tìte K m K n0, kai ˆra K m (X K n0 ) = ; ˆtopo. (ii) 'Estw m N. Tìte, K K m. O K m eðnai sumpag c topologikìc q roc (me th sqetik topologða). Epiplèon, to K eðnai kleistì uposônolo tou X kai K = K K m.

86 82 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA 'Ara, to K eðnai kleistì uposônolo tou topologikoô q rou K m. Sunep c, to K eðnai sumpagèc uposônolo tou K m. Ja deðxoume ìti to K eðnai sumpagèc kai ston X. 'Estw {U i } i I kˆlumma tou K apì anoiktˆ uposônola tou X. Epeid K K m, parathroôme ìti K i I (U i K m ). To {(U i K m )} i I eðnai kˆlumma tou K apì anoiktˆ uposônola tou topologikoô q rou K m. Epeid o K m eðnai sumpag c, upˆrqei F I peperasmèno, ste K i F (U i K m ). Tìte, K i F U i, kai ˆra to K eðnai sumpagèc uposônolo tou X. (iii) 'Estw proc apagwg se ˆtopo ìti upˆrqei U X anoiktì me K U, ste gia kˆje n N na isqôei K n U (elègxte ìti eðnai prˆgmati h ˆrnhsh tou isqurismoô pou jèloume na apodeðxoume). ParathroÔme ìti X U X K = n N(X K n ). 'Ara, h oikogèneia {(X K n ) : n N} {U} eðnai èna anoiktì kˆlumma tou X, ˆra kai kˆje uposunìlou tou X. 'Estw m N. Tìte, K m n N (X K n) U. Epeid, K m U, shmaðnei ìti den arkeð to U gia na kalôyei to K m. Epiplèon, epeid to K m eðnai sumpagèc, upˆrqei {n 1..., n k } N, ste K m k i=1 (X K n i ) U. 'Estw n 0 = min{n 1,..., n k }. Tìte, K m (X K n0 ) U. DiakrÐnoume tic ex c peript seic: An n 0 m, tìte katal goume se ˆtopo, diìti ta K m kai K n0 eðnai xèna kai, ìpwc èqoume upojèsei, K m U. An n 0 > m, tìte, epeid K n0 K m, èqoume ìti to K m mporeð na grafeð sth morf K m = (K m K n0 ) K n0. 'Eqoume, loipìn, ìti (K m K n0 ) K n0 (X K n0 ) U. Autì, ìmwc, eðnai ˆtopo, diìti to X K n0 kalôptei mìno to K m K n0, opìte ja èprepe to U na kalôptei to K n0, pou eðnai adônato ex upojèsewc. 5.2 Je rhma Tychonoff To z thma pou ja mac apasqol sei se aut thn enìthta eðnai h sumpˆgeia q rwn ginomènou. To fusikologikì er thma pou prokôptei eðnai to ex c: diathreðtai h sumpˆgeia

87 5.2. JEŸWRHMA TYCHONOFF 83 se kartesianì ginìmeno sumag n q rwn? Ac doôme pr ta to je rhma pou apantˆ sthn perðptwsh twn peperasmènwn kartasian n ginomènwn. Je rhma 'Estw X, Y sumpageðc topologikoð q roi. Tìte, o q roc ginìmeno X Y eðnai sumpag c. Apìdeixh. 'Estw W èna anoiktì kˆlumma tou X Y. Ja lème ìti èna uposônolo A tou X ikanopoieð thn idiìthta (*), an to A Y èqei peperasmèno upokˆlumma tou W. Epomènwc, jèloume na deðxoume ìti o X ikanopoieð thn (*). 1o b ma Ja deðxoume ìti an A 1,..., A k eðnai uposônola tou X pou ikanopoioôn thn (*), tìte to A = k i=1 A i ikanopoieð thn (*). 'Estw ìti to A i Y èqei peperasmèno upokˆlumma (tou W) to W i, ìpou i = 1,..., k. Elègxe ìti isqôei A Y = k (A i Y ). Tìte, to A Y èqei peperasmèno upokˆlumma to W 1 W k. i=1 2o b ma Ja deðxoume ìti gia kˆje x X upˆrqei U x X anoiktì me x U x, ste na ikanopoieð thn (*). 'Estw x X. Gia kˆje y Y upˆrqei W y stoiqeðo tou W, ètsi ste (x, y) W y. Tìte, upˆrqei basikì anoiktì U y V y, ste (x, y) U y V y W y. JewroÔme thn oikogèneia {V y : y Y }. Aut profan c apoteleð èna anoktì kˆlumma tou Y, sunep c, lìgw sumpˆgeiac tou Y, upˆrqei peperasmèno upokˆlumma {V yi : i = 1,..., k}. Jètoume k U x = U yi. i=1 Kat' arqˆc, parathroôme ìti eðnai anoiktì kai ìti x U x. Katìpin, parathroôme ìti

88 84 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA U x V yi U yi V yi W yi gia kˆje i {1,..., k}. 'Ara, 'Omwc, isqôei ìti k (U x V yi ) i=1 k W yi. i=1 k (U x V yi ) = U x ( k ) V yi = Ux Y. i=1 Epomènwc, U x Y k i=1 W y i, kai ˆra to U x ikanopoieð thn (*), afoô ta W yi eðnai stoiqeða tou W. i=1 3o b ma Ja deðxoume ìti o X ikanopoieð thn (*). To 2o b ma mac exasfalðzei ìti gia kˆje x X upˆrqei U x pou ikanopoieð thn (*). H oikogèneia {U x : x X} eðnai anoiktì kˆlumma tou X. Epeid o X eðnai sumpag c, upˆrqei peperasmèno upokˆlumma {U xi : i = 1,..., n}. Autì shmaðnei ìti X = n i=1 U x i. Apì to 1o b ma, loipìn, èpetai ìti o X ikanopoieð thn (*). Parathr seic (i) Qrhsimopoi ntac epagwg, mporoôme na genikeôsoume to parapˆnw je rhma gia opoiad pote peperasmènh oikogèneia sumpag n topologik n q rwn. (ii) Parathr ste ìti an {X i } i I oikogèneia topologik n q rwn, ste o q roc ginìmeno i I X i na eðnai sumpag c, tìte o X i eðnai sumpag c gia kˆje i I, diìti oi probolèc π i, i I, eðnai suneqeðc kai epð. To krðsimo, t ra, er thma eðnai an epekteðnetai h kal sumperiforˆ thc sumpˆgeiac kai se aujaðreta kartesianˆ ginìmena. H apˆnthsh eðnai katafatik kai dðdetai apì to je rhma Tychonoff. To je rhma autì eðnai apì ta pio spoudaða sth genik topologða kai èqei polô shmantikèc efarmogèc sthn Anˆlush. Ed prèpei na shmei soume ìti diafaðnetai kai h axða thc topologðac ginìmeno, afoô eðnai h topologða me thn opoða isqôei to je rhma Tychonoff. UpenjÔmish (i) 'Estw P sônolo kai sqèsh merik c diˆtaxhc. To zeôgoc (P, ) kaleðtai merikˆ diatetagmènoc q roc. 'Ena uposônolo C tou P kaleðtai alusðda, an ta stoiqeða tou C eðnai anˆ dôo sugkrðsima wc proc th sqèsh.

89 5.2. JEŸWRHMA TYCHONOFF 85 'Estw S èna uposônolo tou P kai a èna stoiqeðo tou P. To a kaleðtai ˆnw frˆgma tou S, an gia kˆje x S isqôei x a. 'Ena stoiqeðo m tou P kaleðtai megistikì, an gia kˆje x P me m x isqôei m = x. (ii) L mma Zorn: 'Estw (P, ) merikˆ diatetagmènoc q roc. An kˆje alusðda tou P èqei ˆnw frˆgma, tìte o P èqei toulˆqiston èna megistikì stoiqeðo. (iii) To l mma Zorn eðnai isodônamo me to axðwma thc epilog c. Je rhma 5.21 (Tychonoff). 'Estw {X i } i I oikogèneia sumpag n topologik n q rwn. Tìte, o q roc ginìmeno i I X i eðnai sumpag c. Apìdeixh. Upojètoume proc apagwg se ˆtopo ìti o X = i I X i den eðnai sumpag c. Opìte, upˆrqei anoiktì kˆluma tou X qwrðc peperasmèno upokˆlumma. Ja lème ìti mða oikogèneia uposunìlwn tou X ikanopoieð thn idiìthta (*), an eðnai anoiktì kˆlumma tou X qwrðc peperasmèno upokˆlumma. 1o b ma Ja deðxoume ìti upˆrqei oikogèneia uposunìlwn tou X pou eðnai megistik wc proc thn idiìthta (*). Jètoume P = {C : C ikanopoieð thn (*)}. OrÐzoume sto P th sqèsh merik c diˆtaxhc wc ex c: C 1 C 2 C 1 C 2. Ja deðxoume ìti kˆje alusðda ston (P, ) èqei ˆnw frˆgma. 'Estw A alusðda ston P. Jètoume C 0 = A = {U X : upˆrqei C A, ste U C}. Arqikˆ parathroôme ìti to C 0 eðnai kˆlumma tou X, afoô perièqei ta sqtoiqeða twn stoiqeðwn thc alusðdac A. Epiplèon, to C 0 den èqei peperasmèno upokˆlumma. Prˆgmati, èstw ìti eðqe peperasmèno upokˆlumma {U 1,..., U n }. Tìte, ja upˆrqan C 1,..., C n stoiqeða thc alusðdac A, ste U 1 C 1,..., U n C n.

90 86 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA Epeid ta C 1,..., C n wc stoiqeða alusðdac eðnai sugkrðsima anˆ dôo, upˆrqei i 0 {1,..., n}, ste C i C i0 gia kˆje i {1,..., n}. Epomènwc, èqoume U i C i0 i {1,..., n}. Dhlad, to C i0 èqei peperasmèno upokˆlumma {U 1,..., U n }. Autì, ìmwc, eðnai ˆtopo, diìti to C i0 wc stoiqeðo thc P ikanopoieð thn (*). 'Ara, deðxame ìti C 0 P kai ìti gia kˆje C A isqôei C C 0. Dhlad, to C 0 P eðnai ˆnw frˆgma thc A, kai ˆra, apì l mma Zorn, o P èqei toulˆqiston èna megistikì stoiqeðo, èstw C = {U j } j J. 2o b ma Ja deðxoume dôo sunèpeiec pou ofeðlontai stic idiìthtec tou C. 1. An U X anoiktì me U C, tìte, lìgw megistikìthtac, to C {U} ja eðnai anoiktì kˆlumma tou X me peperasmèno upokˆlumma. Sugkekrimèna, ja upˆrqoun U 1,..., U n stoiqeða tou C, ètsi ste X = (U 1 U n ) U. 2. Gia kˆje i I jètoume C i = {W : W X i anoiktì, π 1 i (W i ) C }. ParathroÔme ìti to C i den eðnai kˆlumma tou X i gia kˆje i I. Prˆgmati, an gia kˆpoio i 0 I to C i 0 tan kˆlumma tou X i0, tìte, lìgw sumpˆgeiac tou X i0, ja up r- qan W 1,..., W k stoiqeða tou Ci 0, ste X i0 = W 1 W k. 'Ara, X = πi 1 0 (X i0 ) = (W 1 ) π 1 (W k ), to opoðo eðnai ˆtopo, diìti br kame peperasmèno upokˆlumma π 1 i 0 tou C, en o C ikanopoieð thn (*). i 0 3o b ma Lìgw thc deôterhc sunèpeiac tou 2ou b matoc, gia kˆje epilèxoume x 0 i X i C i. i I mporoôme na Jètoume x 0 = (x 0 i ) i I. Epeid to C eðnai anoiktì kˆlumma tou X, upˆrqei U 0 C, ste x 0 U 0. 'Omwc, to U 0 eðnai anoiktì, ˆra upˆrqei V 0 basikì anoiktì uposônolo tou X,

91 5.2. JEŸWRHMA TYCHONOFF 87 ètsi ste x 0 V 0 U 0. To V 0 ja eðnai thc morf c V 0 = i F π 1 i (W i ), ìpou F I peperasmèno kai W i X i anoiktì gia kˆje i F. 4o b ma Ja deðxoume ìti X = ( j G i U j ) π 1 i (W i ). ParathroÔme ìti W i C i gia kˆje i F. Prˆgmati, an gia kˆpoio i F tan W i Ci, tìte, epeid x0 i W i, ja èprepe x 0 i Ci, to opoðo eðnai ˆtopo. 'Ara, èqoume ìti π 1 i (W i ) C gia kˆje i F. T ra, lìgw thc pr thc sunèpeiac tou 2ou b matoc, gia kˆje i F upˆrqei G i J peperasmèno, ste X = ( j G i U j ) π 1 i (W i ). 5o b ma Ja deðxoume ìti X = ( i F ( j G i U j ) ) U 0, to opoðo eðnai ˆtopo! 'Estw x X me x i F ( j G i U j ). Tìte, x j G i U i gia kˆje i F. Opìte, apì to 4o b ma, èpetai ìti x πi 1 (W i ) gia kˆje i F. 'Ara, x i F π 1 i (W i ) = V 0 U 0. Epomènwc, X = ( i F ( j G i U j ) ) U 0. Autì, ìmwc, eðnai ˆtopo, diìti br kame èna peperasmèno upokˆlumma tou C, par' ìlo pou o C ikanopoieð thn (*). Gia thn apìdeixh qrhsimopoi same to l mma Zorn, pou eðnai isodônamo me to axðwma thc epilog c. 'Ena endiafèron er thma pou prokôptei eðnai an mporoôme na apodeðxoume to je rhma Tychonoff qwrðc to axðwma thc epilog c. H apˆnthsh ed eðnai arnhtik. O John L. Kelley to 1950 dhmosðeuse mða sôntomh ergasða upì ton tðtlo The Tychonoff Product Theorem Implies the Axiom of Choice, me thn opoða apodeiknôei ìti to axðwma thc epilog c eðnai sunèpeia tou jewr matoc Tychonoff. 'Ara, h anaz thsh mðac apìdeixhc tou Tychonoff sthn axiwmatik jewrða ZF qwrðc to axðwma thc epilog c eðnai isodônamh me thn anaz thsh mðac apìdeixhc tou axi matoc thc epilog c sthn ZF. Autì, ìmwc, eðnai adônato, diìti to axðwma thc epilog c eðnai anexˆrthto thc ZF. Shmei noume ìti sthn ergasða tou o Kelley epishmaðnei pwc o S. Kakutani tan autìc pou eðqe eikˆsei ìti to je rhma Tychonoff sunepˆgetai to axðwma thc epilog c.

92 88 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA Parajètoume analutikˆ thn apìdeixh, kaj c apoteleð mða kal epanˆlhyh se ènnoiec pou èqoume gnwrðsei mèqri t ra. Je rhma 5.22 (Kelley). 'Estw {X i } i I mh ken oikogèneia mh ken n sunìlwn. An isqôei to je rhma Tychonoff, tìte to kartesianì ginìmeno i I X i eðnai mh kenì. Apìdeixh. 'Estw a i I X i (apodeiknôetai sunolojewrhtikˆ ìti upˆrqei). Gia kˆje i I jètoume Y i = X i {a} kai orðzoume T i = {Y i F : F Y i peperasmèno} {, {a} }. Ja deðxoume ìti h T i eðnai mða topologða tou Y i. 1. Arqikˆ, to Y i kai to an koun sthn T i. 2. 'Estw {U j } j J oikogèneia stoiqeðwn thc T i. Ta U j ja tautðzontai eðte me èna sônolo thc morf c Y i F j gia kˆpoio F j peperasmèno uposônolo tou Y i eðte me to {a} me to. Opìte, sth genik perðptwsh pou gia kˆpoio j 0 J eðnai U j0 = {a}, ja èqoume ( ) j J U j = j j (Y 0 i F j ) {a}. 'Omwc, ( ) (Y i F j ) {a} = (Y i ( j j 0 j j 0 F j ) ) {a} = Y i j j 0 (F j {a}). 'Ara, j J U j T i, diìti to F j {a} eðnai peperasmèno gia kˆje j J {j 0 }. 3. 'Estw {U j } j G peperasmènh oikogèneia stoiqeðwn thc T i. Ta U j ja eðnai ìpwc perigrˆyame prohgoumènwc. Ja diakrðnoume tic ex c peript seic: An kˆpoio apì ta U j eðnai to kenì, tìte h tom touc an kei sthn T i. 'Ara, stic upìloipec peript seic ja jewr soume ìti ta U j eðnai mh kenˆ. An U j {a} gia kˆje j G, tìte j G U j = Y i j G F j, to opoðo an kei sthn T i, diìti to j G F j eðnai peperasmèno. An gia kˆpoio j 0 G eðnai U j0 = {a}, tìte èqoume ( ( ) ) U j = Yi F j {a} = ( Y i j G j j 0 j j 0 U j ) {a}.

93 5.2. JEŸWRHMA TYCHONOFF 89 'Ara, an a F j gia kˆpoio j J {j 0 }, tìte j G U j =, en an a F j gia kˆje j J {j 0 }, tìte j G U j = {a}. 'Ara h T i eðnai mða topologða tou Y i. ParathroÔme ìti to X i eðnai kleistì uposônolo tou Y i, efìson to sumpl rwma tou eðnai to {a} pou eðnai anoiktì. Ja deðxoume me eic ˆtopon apagwg ìti o Y i me aut thn topologða eðnai sumpag c. 'Estw {U j } j J èna anoiktì kˆlumma tou Y i qwrðc peperasmèno upokˆlumma. DiakrÐnoume dôo peript seic: 1. An U j {a} gia kˆje j J, tìte èqoume Y = j J (Y i F j ). Ex upojèsewc, gia opoiad pote j 1,..., j n J èqoume n (Y i F jk ) Y i. k=1 'Ara n k=1 F j k, kai epeid ta F i1,..., F in eðnai peperasmèna, h tom ja perièqei ènan peperasmèno arijmì stoiqeðwn tou Y i. 'Estw, loipìn, n F jk = {x 1,..., x m }. k=1 Epeid Y = j J (Y i F j ), gia kˆje x l n k=1 F j k, upˆrqei j n+l J, ste x l Y i F jn+l, isodônama x l F jn+l. Jètoume L = {j 1,..., j n, j n+1,..., j n+m }. Tìte, j L F j =. 'Atopo, diìti br kame peperasmèno upokˆlumma tou {(Y i F j )} j J. 2. An U j0 = {a} gia kˆpoio j 0 J, tìte èqoume Y = ( ) (Y i F j ) {a}. j j 0 'Opwc kai sthn 1h perðprwsh, gia opoiad pote j 1,..., j n J èqoume ( n ) F jk (Yi {a}). k=1 'Ara, sunepˆgetai ìti ( n k=1 F j k ) Xi. Epeid F j X i = F j {a} gia kˆje j J, èpetai ìti n (F jk {a}). k=1

94 90 KEFŸALAIO 5. SUMPŸAGEIA Me ton Ðdio trìpo, ìpwc sthn 1h perðptwsh, katal goume se ˆtopo. Efìson o Y i eðnai sumpag c gia kˆje i I, apì to je rhma Tychonoff sunepˆgetai ìti o q roc ginìmeno i I Y i eðnai sumpag c. ParathroÔme, t ra, ìti πi 1 (X i ) eðnai kleistì uposônolo tou i I Y i gia kˆje i I. EpÐshc, an F I peperasmèno, tìte to i F π 1 i (X i ) eðnai mh kenì. Prˆgmati, afoô to X i eðnai mh kenì gia kˆje i I, tìte mporoôme na epilèxoume x i X i gia kˆje i F kai na jèsoume x i = a gia kˆje i I F. Jètoume x = (x i ) i I kai parathroôme ìti π i (x) = x i X i gia kˆje i F. 'Ara, x πi 1 (X i ) gia kˆje i F, dhlad x i F π 1 i (X i ). Epomènwc, h oikogèneia {π 1 i (X i )} i I kleist n uposunìlwn tou i I Y i èqei thn idiìthta thc peperasmènhc tom c. 'Ara, lìgw sumpˆgeiac tou i I Y i, sunepˆgetai ìti i I π 1 i (X i ). Sunep c, epeid i I X i = i I π 1 i (X i ), èqoume to zhtoômeno. Parat rhsh Parathr ste ìti h apìdeixh aplopoieðtai dramatikˆ wc proc to teqnikì mèroc (allˆ stereð apì th didaktikìthtˆ thc), an jewr soume thn sqedìn tetrimmènh topologða pou perièqei to Y i, to kenì kai to {a} Sunèpeiec jewr matoc Tychonoff Sthn parat rhsh 4.28(ii) eðdame ìti kˆje upìqwroc enìc q rou T 4 eðnai T 3 1. Plèon, me 2 to je rhma Tychonoff, mporoôme - katˆ kˆpoion trìpo - na apodeðxoume to antðstrofo. Prìtash Kˆje topologikìc q roc T enìc q rou T 4. eðnai omoiomorfikìc me ènan upìqwro Apìdeixh. 'Estw X topologikìc q roc T 3 1. Apì to pìrisma tou l mmatoc emfôteushc, 2 o X eðnai omoiomorfikìc me ènan upìqwro tou [0, 1] I gia kˆpoio sônolo I. ArkeÐ na deðxoume ìti o [0, 1] I eðnai T 4. Apì je rhma Tychonoff, o [0, 1] I eðnai sumpag c, efìson to [0, 1] eðnai sumpagèc uposônolo tou R me th sun jh metrik topologða. EpÐshc, o [0, 1] I eðnai Hausdorff (ˆskhsh). 'Ara, apì je rhma 5.6, o [0, 1] I eðnai T 4. Prìtash 'Estw X topologikìc q roc Hausdorff. O X eðnai sumpag c, an, kai mìno an, eðnai omoiomorfikìc me ènan kleistì upìqwro tou [0, 1] I, gia kˆpoio sônolo I.

95 5.2. JEŸWRHMA TYCHONOFF 91 Apìdeixh. ( ) 'Estw ìti o X eðnai sumpag c. Efìson, ex upojèsewc, eðnai kai Hausdorff, sunˆgoume ìti o X eðnai T 4, opìte kai T 3 1. Epomènwc, to zhtoômeno èpetai apì to pìrisma tou 2 l mmatoc emfôteushc, dedomènou ìti eikìna sumpagoôc mèsw suneqoôc sunˆrthshc eðnai sumpagèc, kaj c kai ìti sumpagèc uposônolo q rou Hausdorff eðnai kleistì. ( ) 'Estw ìti o X eðnai omoiomorfikìc me ènan kleistì upìqwro tou [0, 1] I. Lìgw jewr matoc Tychonoff, o [0, 1] I eðnai sumpag c. Opìte, kˆje kleistìc upìqwroc tou [0, 1] I eðnai sumpag c, kai ˆra o X eðnai sumpag c wc eikìna sumpagoôc mèsw suneqoôc sunˆrthshc.