A New Method To Simulate Bipolar Transistors Combining Analytical Solution And Currend-Based MC Method

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1 A New Method To Simulate Bipolar Trasistors Combiig Aalytical Solutio Ad Curred-Based MC Method Semesterwor Vicet Peiert ETH Zurich, Switzerlad performed at ITET uder supervisio of Dr. Simo Christia Brugger, ETHZ Prof. Adreas Sche, ETHZ

2 Cotets 1 Tass 3 2 Itroductio Curret-based MC method Valid regios of the semi-aalytical solutio Momets Of The Iverse Scatterig Operator MISOs) Geeralizatio from space homogeeuos to ihomogeeuos case 8 4 Derivatio of f for the space ihomogeeous Boltzma equatio i secod order 10 5 Derivatio of secod order mobility ad diffusio tesors 15 6 Implemetatio to C Code validatio Eistei s relatio Symmetries Compariso with Mote Carlo simulatios Coclusio 37 Refereces 37 2

3 1 Tass S. C. Brugger ETH Zurich) developed a ew Mote Carlo method to solve the Boltzma equatio withi semicoductors [1], [2]. This method uses the trasportcoefficiets mobility µ ad diffusio D. But whe the semicoductor device becomes to big ad the dopigs become to high these Mote Carlo Method as well as ay other Mote Carlo Method) gets to time cosumig for applicatio. I particular bipolar trasistors ca ot be simulated till today. Additioally S. C. Brugger developed a very detailed wor about Momets of the Iverse Scatterig Operator of the Boltzma equatio MISOs). His ew iterative method to derive ay momet of a ISO Iverse Scatterig Operator) opes the possibility to solve the Boltzma equatio without the ivertatio of huge matrices. To specify, the solutio ca be developed ito a Taylor series i electric field E ad i gradiet of quasi Fermi potetial ψ. Because the mobility ad the diffusio ca be writte as momets of the ISO themselves a ew method to dervive µ ad D ca be extracted. But whe a exteral field is applied, the resultig Taylor series for µ ad D i E ad ψ does ot coverge at ay positio i the semicodictor but just i those regios where the system is still ear the equilibrium. These regios are those where dopigs of the semicoductor are very high so that the electros ad holes iteract frequetly withi the system. However these are exact the same regios, where Mote Carlo simulatios are computatioal expesive. At the locatios where dopigs are low so the scatterig rate is low) the Taylor series does ot coverge but the Mote Carlo simulatios are fast eought for applicatio. Mai idea is to use the aalytical solutio where the series coverges ad to use the Mote Carlo method otherwise. Thus this could be the first method to simulate bipolar trasistors. My tas was to deduct the aalytical expressios for µ ad D for the space ihomogeeous case up to the secod order ad to implemet them to C++. Therefor I first had to geeralize the aalytical method from the space homogeeous case to the space ihomogeeous case. At the ed a compariso with pure Mote Carlo simulatios i bul silico should varify the implemetatio ad visualize the covergece domai. 3

4 2 Itroductio 2.1 Curret-based MC method I [2] a ew oe-particle Mote Carlo method is proposed which taes i to accout geeratio-recombiatio processes ad quatum correctios. The basic idea is to couple the Boltzma trasport equatio ot oly with the Poisso equatio as proposed i [4]) but also with the cotiuity equatio. Drift diffusio equatio: Cotiuity equatio: Liear Poisso equatio: qµ E + q T r D ) = J 2.1) qpµ p E + q T r pd p ) = J p 2.2) r J + J p ) = qg R) 2.3) ǫ φ) = qp + N D N A ) 2.4) Figure 1: This figure shows the ew Curret based Mote Carlo Method. I regios where the system is ear the equilibrium, trasportparameters ca be calculated semi-aalytically. That is mai topic of this semesterwor 4

5 This set of equatios is self-cosistet because of the additioal Drift diffusio equatios. Mobility tesor µ, µ p ad the diffusio tesor D, D p : electros, p: holes) are usually extracted from Mote Carlo simulatio. But istead of Mote Carlo simulatio the goal is to apply a semi-aalytical solutio derived i sectio 5 for regios of low electric field ad high dopigs. 2.2 Valid regios of the semi-aalytical solutio The error of a Taylor expasio ca be derived by R = x x 0 +1)! f+1) x). e ca i geeral compare the first order with the secod order ad defie a criterio, where the semi-aalytical solutio is valid. The explicit forms of D ad µ up to secod order read: D = D eq + EM D 1 F + FM D 2 F 2.5) µ = µ eq + EM µ 1 F + FM µ 2 F 2.6) where D ad µ are 3 3 tesors ad M µ,d i are 3 3 matrixes of 3 3 tesors. It is worth to poit out that i commo simulators, the M1 X matrixes are assumed to be zero i every compoet which is disproved i this semesterwor). Additioally prior affords were made to calculate or estimate these matrixes but it could ot be doe [4]). e expect the coefficiets of pure gradiet quasi Fermi potetial F M2 X) to be 10 2 times smaller the those of the mixed terms M1 X ). I high doped regios F icreases ad E decreases, so that the validatio criterio will be fulfilled. A secod poit is, that the coefficiets strogly deped o the total scatterig rate which itself depeds o the dopig. If the dopig icreases, the coefficiets decrease. The latter behaviour is visualized i subsectio 7.3. Collectively we ote, that the approximatio must be valid i high doped regios. This is e.g. give i a bipolar trasitor: 5

6 Figure 2: The figure shows the dopig cocetratio withi a moder bipolar trasistor. The aalytical solutio should be valid from the order of

7 2.3 Momets Of The Iverse Scatterig Operator MISOs) The basic idea behid all affords of the semesterwor is the possibility to ivert the scatterig operator of the Boltzma equatio S: where f is the electro/hole desity ad Sf is defied as t f + v r f q E f = Sf 2.7) Sf := b 0 V b0 f 0,b 0 )w 0,b 0,b) f,b)w,b 0,b 0 ))d ) ith the ivertatio asatz we yield: S 1 t f + S 1 v r f S 1 q E f = f eq f eq 2.9) ad as we ca see, this is a equatio i f. Usually a relaxatio time asatz is made to free f from the scatterig operator. But the relaxatio asatz is just heuristic ad ot exact as the iversio asatz 2.9. This asatz was first published by S. C. Brugger i 2006 [3]) e ote that apparetly S 1 S 1 because we see a additioal term eq f eq i equatio 2.9. This reflects the fact, that S has a eigevector with eigevalue 0: The equilibrium distributio f eq. Oe ca extract the property of the ISO: < S 1 g S f >=< g f > < g f eq > 2.10) S. C. Brugger developed a geeral method to iteratively derive ay momet of the ISO [1] chapter 2.3). The momet of a fuctio g is defied as: Sg r, 1 ) := g r, ) S 1 r,, ) d ) Bz If the scatterig operator is oly bad-valley- ad eergy-depedet as i most Mote Carlo simulators) the g momet of the ISO ca be expressed as [1] chapter 2.4): Sg 1 0,b 0 ) = g 0,b 0 ) + ǧǫ 0,b 0 ) + Š 1 g ǫ 0,b 0 ) 2.12) ǧǫ 0,b 0 ) := V b0 g 0,b 0 )δǫ 0,b 0 ) ǫ 0 )d 3 0 Zǫ 0,b 0 ) 2.13) The implemetatio of the umerical method to derive ay MISO is fully doe by S. C. Brugger. That maes it possible to solve the Boltzma equatio semi-aalytically respectively to develope the solutio i a Taylor series as we will see i chapter 5. 7

8 3 Geeralizatio from space homogeeuos to ihomogeeuos case The static ihomogeous Boltzma equatio reads t f + v }{{} r f q E f = Sf 3.1) =0 Our goal is to develop f r, ) i a potetial series of r φ r) ad r ψ r) such that the ihomogeeous, static Boltzma equatio is fulfilled. I [1] Appedix B a method is described to develop f r, ) iteratively for the homogeeous case. I the space ihomogeeuos case the strategy stays the same. First we seperate f r, ) ito two fuctio r) ad h r, ) where r) is the desity of electos ad h r, ) i,j is a term i the order of O r φ) i, r ψ) j) : f r, ) = r) h r, ) = r) i,j=0 h r, ) i,j 3.2) e express the desity of electros by r) = e βqφ r) ψ r)), β = 1 B T 3.3) where φ r) is the electric potetial, ψ r) is the quasi-fermi potetial ad q is the electro charge. Now isertig 3.2 ito 3.1 gives: v r r) i,j=0 h r, ) i,j q E r) i,j=0 h r, ) i,j = S Now we apply the product rule for r ad divide by r) o both sides. v r r) r) = r log r)) i,j=0 h r, ) + r i,j i,j=0 h r, ) i,j 0 q E I the followig we eglect the term r i,j=0 r, h ) operator s depedece o f to express it as a series: i,j i,j=0 r, ) r) i,j=0 h r, ) i,j h r, )i,j = S r, ) i,j=0 3.4) h r, ) i,j 3.5). e isert 3.3 ad exploit the scatterig 8

9 vqβ r φ r) ψ r)) i,j=0 h r, ) q E i,j i,j=0 h r, )i,j = i,j=0 S r, )i,j i,j=0 h r, ) i,j The goal is to obtai a iterative method to derive h i,j by writig dow equatio 3.6 for the order O r φ) i, r ψ) j) ad write all terms i h i,j o the lefthad side ad the terms i h i 1,j or h i,j 1 o the righthad side: S r, )eq h r, )i,j + S r, )i,j h r, ) = vqβ rφh r, ) + q eq i 1,j rφ h r, ) vqβ rψh r, ) i 1,j i, 3.7) e used r φ = E, h r, ) r, ) ad S r, )eq = S r, ) 3.6). Applyig the geeral = h 0,0 eq 0,0 method show i [1] Appedix B to ivert the scatterig operator ad covertig Eq. 3.7, results i a recursive expressio for i,j > 0: h r, ) = h eq r,ǫ) Sg 1 i,j i,j r, ) ) + α i,j 3.8) with g i,j r, ) = 1 [ r φ vqβh i 1,j r, h ) + q eq h i 1,j r, )) vqβ r ψh i,j 1 r, )], 3.9) S 1 g i,j is the g i,j MISO: ad Sg 1 i,j r, ) := g i,j r, )S 1 r,, ) d ) Bz α i,j := Bz h eq r, ) Sg 1 i,j r, ) d 3 r, ). 3.11) d 3 Bz h eq 9

10 4 Derivatio of f for the space ihomogeeous Boltzma equatio i secod order e wat to calculate h up to the secod order, which meas: h r, ) = h eq r,ǫ) + h 0,1 r, ) + h 1,1 r, ) + h 0,2 r, ) I our case we oly eed to calculate h 0,1, h 1,1 ad h 0,2 because h 1,0 r, ) = 0, h 2,0 r, ) = 0. h 1,2 ad h 2,1 have odd parity i ad therefore vaish, whe we derive the momets of the mobility µ i,j or of the diffusio costat D i,j. The reaso is, that µ i,j ad D i,j have odd parity too ad the product of two odd fuctios gives a fuctio with eve parity. The term h 2,2 is the first to be eglegted. By iductio we see, that all terms h,0 = 0: ) ǫ is the eergy of a electro at the mometum. g 1,0 r, ) = 1 h eq rφ vqβh 4.1) h eq r, ) = cost e βǫ ) 4.2) r, ) + q eq h r, ) eq vqβ rψ h 1, 1 r, ) = 0 = vqβh r, ) eq g,0 r, ) = 1 r φ vqβh r, h ) + q eq 1,0 h r, ) ) vqβ r ψ h, 1 1,0 =0 h 1,0 = 0 r, ) = 0 =0 h,0 = 0 4.3) Our goal is, to express h 0,1, h 1,1 ad h 0,2 i terms of parameters, which we be calculated with a computer. Therefore the coversio 2.12 is applied: Sg 1 0,b 0 ) = g 0,b 0 ) + ǧǫ 0,b 0 ) + Š 1 g ǫ 0,b 0 ) ǧǫ 0,b 0 ) := V b0 g 0,b 0 )δǫ 0,b 0 ) ǫ 0 )d 3 0 Zǫ 0,b 0 ) Zǫ 0,b 0 ) is the desity of states, b 0 is the bad-idex. 10

11 h 0,1 : g 0,1 r, ) = 1 h eq r φ vqβ h 1,1 =0 r, ) Sg 1 0,1 r, ) = g 0,1 r, )S 1 r,, ) Bz + q h 1,1 =0 r, ) ) vqβ r ψh eq r, d 3 = qβ r ψ Sg 1 0,1 r, ) = qβ r ψs 1 v = qβ r ψ [ h r, ) = h eq r,ǫ) qβ r ψ 0,1 g 0,1 r, ) = vqβ r ψ vs 1 r,, ) d 3 Bz [ v,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v ǫ,b) ] v ǫ,b) ) ] + 4.4) h 1,1 : g 1,1 r, ) = rφ vqβh 0,1 r, h ) + rφ q eq h eq h 0,1 r, ) rφ vqβ r ψ h 1,0 h eq a b [ a = 1 v r φ vqβh eq r,ǫ) qβ r ψ,b) ˇ vǫ,b) h eq = r φ vq 2 β 2 [ r ψ Š 1 v ǫ,b) v,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v ǫ,b) r, ) =0 ) + ] ) + qβ = ] 4.5) 4.6) +β q2 [ b = 1 r φβ q2 h eq v h eq r,ǫ) r ψ,b) ˇ vǫ,b) = 1 r φβ q2 h eq h eq = β vh eq Š 1 v ǫ,b) r, ) v r ψ,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v ǫ,b) ) + qβ ) + qβ = a r φ) j r ψ) i [ j,i=0 m 1 { }} { ) j v i,b) ǫ ˇv i ǫ,b) v j,b) 11 )] ) v i,b) ˇv i ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ v j,b) = + ǫ v i ǫ,b) v j,b) ] 4.7)

12 = βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 m 1 c ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) d g 1,1 = a + b = v i,b) ˇv i ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ v j,b) e ǫ Šv 1 i ǫ,b) v j,b) ] f 4.8) = βq 2 j,i=0 r φ) j r ψ) i [ c 0,b 0 ) + cˇ ǫ 0,b 0 ) + Š 1 c ǫ 0,b 0 ) Sc 1 Sg 1 1,1 0,b 0 ) = g 1,1 0,b 0 ) + ǧ 1,1 ǫ 0,b 0 ) + Š 1 g 1,1 ǫ 0,b 0 ) = + d 0,b 0 ) d ˇ ǫ 0,b 0 ) Š 1 d ǫ 0,b 0 ) + S 1 d + e 0,b 0 ) eˇ ǫ 0,b 0 ) Š 1 e ǫ 0,b 0 ) + f 0,b 0 ) ˇf ǫ 0,b 0 ) tot ǫ 0,b 0 ) Š 1 f ǫ 0,b 0 ) ] Se 1 S 1 f 4.9) c = c 0,b 0 ) + cˇ ǫ 0,b 0 ) S 1 + Š 1 c ǫ 0,b 0 ) = m 1 + ˇm 1 tot 2 ǫ,b) + Š 1 ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) 4.10) d = d 0,b 0 ) d ˇ ǫ 0,b 0 ) S 1 ǫ ˇv i ǫ,b) v j ),b) ˇv j ǫ,b) Š 1 d ǫ 0,b 0 ) = tot 2 ǫ 0,b 0 ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) 4.11) = v i,b)v j,b) ˇv i ǫ,b)v j,b) ǫ ˇ e = e 0,b 0 ) eˇ ǫ 0,b 0 ) S 1 v i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ Š 1 e ǫ 0,b 0 ) = Š ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) 4.12) 12

13 S 1 f = f 0,b 0 ) ˇf ǫ 0,b 0 ) ǫ Šv 1 i ǫ,b) v j ),b) ˇv j ǫ,b) Š 1 f ǫ 0,b 0 ) = Š 1 ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) 4.13) h r, ) = h eq r,ǫ) Sg 1 1,1 1,1 r, ) ) + α 1,1 = = h eq r,ǫ) βq 2 r φ) j r ψ) i [ m 1 + ˇm 1 j,i=0 + Š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) + } {{ tot } + ǫ ˇv i ǫ,b) v j,b) ˇv j ǫ,b) ) S 1 c tot 2 ǫ 0,b 0 ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) + } {{ tot } S 1 d v i,b)v j,b) ˇv i ǫ,b)v j,b) v tot + 2 ǫ,b) ǫ ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ Š v ˇ ǫ i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) + tot 2 ǫ } {{ ǫ,b) } S 1 e ǫ Šv 1 i ǫ,b) v j,b) ˇv j ǫ,b) ) + Š 1 ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] + α 1,1 ) S 1 f 4.14) 13

14 h 0,2 : g 0,2 r, ) = 1 r φ vqβ h 1,2 r, h ) + q eq h 1,2 r, ) vqβ r ψh 0,1 r, =0 =0 = q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j i,j=1 g 0,2 r, ) = r ψ vq 2 β [ 2 r ψ [ = q 2 β 2 r ψ) i v i r ψ) j i,j=1 v i,b)v j,b) + v i,b) ˇv j ǫ,b) x v,b) ˇ vǫ,b) Š 1 v ǫ,b) v j,b) ˇv j ǫ,b) Š 1 v j ǫ,b) + v i,b)š 1 v j ǫ,b) y Sg 1 0,2 0,b 0 ) = g 0,2 0,b 0 ) + ǧ 1,1 ǫ 0,b 0 ) + Š 1 g 0,2 ǫ 0,b 0 ) = = q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ x 0,b 0 ) + ˇx ǫ 0,b 0 ) + i,j=1 tot ǫ 0,b 0 ) Š 1 x ǫ 0,b 0 ) + Sx 1 + y 0,b 0 ) + ˇy ǫ 0,b 0 ) + Š 1 y ǫ 0,b 0 ) + z 0,b 0 ) ž ǫ 0,b 0 ) tot ǫ 0,b 0 ) Sy 1 ) ) Š 1 z ǫ 0,b 0 ) Sz 1 + βq + βq ) ] ] v i,b) βq r ψ) j = = z 4.15) ] 4.16) = v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) v ǫ,b) ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ,b) Sx 1 = x 0,b 0 ) + ˇx ǫ 0,b 0 ) + Š 1 x ǫ 0,b 0 ) = Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) vˇ j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) 4.17) Sy 1 = y 0,b 0 ) + ˇy ǫ 0,b 0 ) + Š 1 y ǫ 0,b 0 ) = Š 1 v j ǫ,b) v i,b) + ˇv i,b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) 4.18) Sz 1 = z 0,b 0 ) ž ǫ 0,b 0 ) = βq r ψ) j Š 1 z ǫ 0,b 0 ) = βq r ψ) j S 1 v i = +v i,b) ˇv i ǫ 0,b 0 ) Š 1 ˇv i ǫ 0,b 0 ) tot ) 4.19) 14

15 + Š 1 + v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) v ǫ,b) ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ,b) h 0,2 = h eq r,ǫ) Sg 1 0,2 r, ) ) + α 0,2 = = h eq r,ǫ) q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ i,j=1 Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) + } {{ } Sx 1 v j ǫ,b) v i,b) + ˇv i,b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 ) +,b)š 1 v j ǫ,b) βq r ψ) j Sy 1 5 Derivatio of secod order mobility ad diffusio tesors v i,b) ˇv i ǫ 0,b 0 ) Š 1 ˇv i ǫ 0,b 0 ) Sz ) Our goal is to derive the mobility tesor µ m ad the diffusio tesor D m. By defiitio of [1] chapter 3.3 these trasport parameters read: µ m = q ) m Sv 1 r),b)f,b)d 3 = q ) m Sv 1,b)h,b)d 3 5.1) Bz D m = 1 Sv 1 r),b)v m,b)f,b)d 3 = Sv 1,b)v m,b)h,b)d 3 5.2) Bz Bz e first rewrite the term for µ by combiig 4.2, 4.4, 4.14 ad 4.16: Bz ) ]+ +α 0,2 ) 15

16 + Š 1 µ m = q = q Bz Bz m 1 m ) m Sv 1,b) [h eq r,ǫ) + h 1,1 r, ) + h 0,2 r, )] d 3 = ǫvˇ ǫ,b)v m,b) v,b) vˇ ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ v m,b) ǫ v ǫ,b) v m,b) ) h eq r,ǫ) [ 1 + βq 2 r φ) j r ψ) i [ m 1 + ˇm 1 j,i=0 + Š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) + } {{ tot } + ǫ ˇv i ǫ,b) v j,b) ˇv j ǫ,b) ) S 1 c tot 2 ǫ 0,b 0 ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) + } {{ tot } S 1 d v i,b)v j,b) ˇv i ǫ,b)v j,b) v tot + 2 ǫ,b) ǫ ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫ Š v ˇ ǫ i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) + tot 2 ǫ } {{ ǫ,b) } ǫ Šv 1 i ǫ,b) v j ),b) ˇv j ǫ,b) S 1 e + Š 1 ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] + α 1,1 ) + q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ i,j=1 S 1 f v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) v ǫ,b) ˇ i v j )ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ,b) Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ ǫ 0,b 0 ) + v j ǫ,b) v j ǫ,b) v i,b) + ˇv i,b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 ) +,b)š 1 v j ǫ,b) βq r ψ) j Sy 1 S 1 x +v i,b) ˇv i ǫ 0,b 0 ) Š 1 ˇv i ǫ 0,b 0 ) Sz 1 Now we assort the terms which deped explicitly o. The resultig terms are to itegrate over iso eergy surfaces see sectio 6). ) ]+ +α 0,2 ) ]d 3 5.3) 16

17 µ m = q m 1 m,b) h eq r,ǫ) Bz v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) + ǫš 1 v i ǫ,b)v j,b) v i,b)v j,b) + v i,b)v j,b) 3 +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ 1 + βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 + ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ǫš 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) +βq 2 v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) + m 1 + ˇ v i v j )ǫ,b) 3 v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ)[ tot ˇm 1 ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) + Š 1 ǫ ˇm ǫ,b) 1 0,b 0 )+ Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 )+ ǫ + ˇv iǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) + Š ˇviǫ,b)ˇvjǫ,b) ǫ 0,b 0 )+ j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot tot 2 ǫ Š 1 ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] + α 1,1 ) + q 2 β 2 v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) + ˇv iǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) Š 1 Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) r ψ) i r ψ) j [ i,j=1 ǫ 0,b 0 ) + Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v i v j ǫ,b),b) + ˇv i Š 1 v j ǫ,b),b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 )+,b)š 1 v j ǫ,b) βq rψ) + j v i,b) j,i=0 βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) µ m = q Bz m 1 m,b) h eq r,ǫ) r φ) j r ψ) i [ m 1 m,b) heq r,ǫ) ǫ,b) m 1 tot 2 ǫ,b) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ˇm 1 +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) tot +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) 17 βq r ψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) ] + +α 0,2 ) ] d 3 5.4)

18 m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) tot +m 1 m,b) h eq r,ǫ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) Š v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v ˇ i v j)ǫ,b) ǫtot ǫ 0,b 0 ) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)v j,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 ǫ tot ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ + m 1 m,b) h eq r,ǫ) i,j=1 +m 1 m,b) h eq r,ǫ) α 1,1 v i,b)v j,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) Š 1ˇ ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) v i v j)ǫ,b) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) 18

19 m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 v i v j ǫ,b),b) tot +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 ˇv i v j ǫ,b),b) tot +m 1 m,b) h eq r,ǫ) ǫ,b)š 1 v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) +m 1 m,b) h eq r,ǫ) βq rψ) j v i,b) m 1 m,b) h eq r,ǫ) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) m 1 m,b) h eq r,ǫ) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j +m 1 m,b) h eq r,ǫ) α 0,2 ] 5.5) +βq 2 v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) r φ) j r ψ) i [ +v m,b) heq r,ǫ) ǫ ˇ tot 2 ǫ,b) j,i=0 v ǫ,b) ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇm 1 m 1 ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ 19

20 +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) Š ˇ ǫ v i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) tot 2 ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) ǫ Šv 1 i ǫ,b)v j,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ Šv 1 i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) i,j=1 v i,b)v j,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v i v j ǫ,b),b) ˇv i v j ǫ,b),b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ ˇv ǫ,b) v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) βq rψ) j v i,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j 20

21 v m,b) h eq r,ǫ) ǫ vˇ ǫ,b) α 0,2 ] 5.6) +βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) heq r,ǫ) ǫtot tot 2 ǫ,b) m 1 tot 2 ǫ,b) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ 1 ˇm tot 2 ǫ,b) ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ Š ˇ v i v j)ǫ,b) ǫtot ǫ 0,b 0 ) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) tot 2 ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ 21 ǫ Š 1 v i ǫ,b)v j,b) ǫ Š 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) α 1,1

22 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) i,j=1 +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) Šv 1 v i j ǫ,b),b) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) Šv 1 ˇv i j ǫ,b),b) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) +v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ tot 2 ǫ,b) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j v,b)v m,b) h eq r,ǫ) ǫ α 0,2 ] 5.7) +βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) heq r,ǫ)ˇvǫ,b) ǫtot tot 2 ǫ,b) m 1 tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ 22 1 ˇm tot 2 ǫ,b) ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot ǫ 0,b 0 )

23 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) Š ˇ ǫ v i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) tot 2 ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ ǫ Š 1 v i ǫ,b)v j,b) ǫ Š 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ + v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) i,j=1 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v i,b)v j,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ˇ v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) 23

24 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) Šv 1 v i j ǫ,b),b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) Šv 1 ˇv i j ǫ,b),b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) v i ǫ 0,b,b)Šv 1 0 ) j ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ tot 2 ǫ,b) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ,b) ǫ α 0,2 ] 5.8) +βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) +v m,b) heq r,ǫ)ˇvǫ,b) ǫtot tot 2 ǫ,b) m 1 tot 2 ǫ,b) v m,b) ǫ Šv 1 ˇm 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) tot 2 ǫ,b) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ˇv iǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) ǫ Šv 1 v i ˇv j )ǫ,b) ǫ,b)h eq r,ǫ) tot 3 ǫ,b) ǫ v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ˇv iǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot 24

25 v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ)š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ǫš 1 v i ǫ,b)v j,b) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ǫš 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ)α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) v i,b)v j,b) tot 2 ǫ,b) i,j=1 +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) ǫ Šv 1 v i ˇv j )ǫ,b) ǫ,b)h eq r,ǫ) tot 2 ǫ,b) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ˇv iǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1ˇ ǫ 0,b 0 ) v i v j)ǫ,b) v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) +v m,b) ǫ Šv 1 v i ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 v j ǫ,b),b) v m,b) ǫ Šv 1 ˇv i ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 v j ǫ,b),b) v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) Š 1 v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) +v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) +v m,b) ǫ Šv 1 ǫ,b)h eq r,ǫ) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j v m,b) ǫ v ǫ,b)h eq r,ǫ) α 0,2 ]d 3 5.9) 25

26 = Bz + ǫš 1 v i ǫ,b)v j,b) v i,b)v j,b) D m = Sv 1,b)v m,b) h eq r,ǫ) + h 1,1 r, ) + h 0,2 r, )) d 3 = Bz v m,b)v 0,b 0 ) h eq r,ǫ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )[ + v i,b)v j,b) βq 2 r φ) j r ψ) i [ j,i=0 + ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ǫš 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) v i,b) ˇv j ǫ,b) +βq 2 m 1 + ˇ v i v j )ǫ,b) 3 tot ˇm 1 ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) + Š 1 ǫ ˇm ǫ,b) 1 0,b 0 )+ Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 )+ ǫ + ˇv iǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) + Š ˇviǫ,b)ˇvjǫ,b) ǫ 0,b 0 )+ j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot tot 2 ǫ Š 1 ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] + α 1,1 ) + q 2 β 2 v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) + ˇv iǫ,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) Š 1 j,i=0 Š 1ˇ v i v j)ǫ,b) r ψ) i r ψ) j [ i,j=1 ǫ 0,b 0 ) + Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v i v j ǫ,b),b) + ˇv i Š 1 v j ǫ,b),b) + Š 1 v i ǫ 0,b 0 )+,b)š 1 v j ǫ,b) + βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) D m = Bz v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) r φ) j r ψ) i [ v mǫ,b)v ǫ,b 0 ) heq r,ǫ) ǫ 0,b 0 ) m 1 tot 2 ǫ,b) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) βq r ψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) ] + ˇm 1 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 ǫ ǫ 0,b ˇm 1 0,b 0 ) 0 +α 0,2 ) ] 5.10) d 3 26

27 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)v j,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 ǫ 0,b ǫ 0 ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ + v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) i,j=1 v i,b)v j,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š 1ˇ ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) v i v j)ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) 27

28 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 v i v ǫ 0,b j ǫ,b),b) 0 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 ˇv i v ǫ 0,b j ǫ,b),b) 0 +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) )Š 1 ǫ 0,b 0 v i ǫ 0,b,b)Šv 1 0 ) j ǫ,b) +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) βq rψ) j v i,b) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j +v m ǫ,b)v ǫ,b 0 ) h eq r,ǫ) α 0,2 ] 5.11) +βq 2 j,i=0 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) r φ) j r ψ) i [ +v m,b) heq r,ǫ)ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) m 1 tot 2 ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇm 1 ˇm 1 ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ 28

29 v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ Š ˇ v i v j)ǫ,b) ǫtot ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) tot 2 ǫ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)v j,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ Šv 1 i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ǫ v i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ] v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) i,j=1 v i,b)v j,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v i ˇv j )ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇ ˇv i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) v i v j)ǫ,b) ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v i v j ǫ,b),b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇv i v j ǫ,b),b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) v i ǫ 0,b 0 ),b)š 1 v j ǫ,b) v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) βq rψ) j v i,b) βq rψ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) 29

30 +v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j v m,b) h eq r,ǫ) ˇv ǫ 0,b 0 ) α 0,2 ] 5.12) +βq 2 j,i=0 v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) r φ) j r ψ) i [ +v mh eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )m 1 tot 2 ǫ,b) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ˇm 1 v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 ǫ ˇm 1 0,b 0 ) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)v j,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ǫ ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ 0,b 0 ) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 ǫ ˇv iˇv j ǫ 0,b 0 ) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ˇv iǫ,b)v j,b) tot 3 ǫ,b) ǫ v i ˇv j )ǫ,b) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) tot 3 ǫ,b) ǫ v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ˇv iǫ,b)ˇv j ǫ,b) tot 3 ǫ,b) ǫ +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š v ˇ ǫ i v 0,b 0 ) j)ǫ,b) tot 2 ǫ,b) ǫtot v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š ˇv i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) ǫ ǫ 0,b 0 ) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ǫš 1 v i ǫ,b)v j,b) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ǫš 1 v i ǫ,b)ˇv j ǫ,b) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 ǫ ǫ Šv 1 i ǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0,b 0 ) ] v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )α 1,1 +q 2 β 2 r ψ) i r ψ) j [ v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) v i,b)v j,b) tot 2 ǫ,b) i,j=1 30

31 +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) v i,b) ˇv j ǫ,b) tot 2 ǫ,b) v i ˇv j )ǫ,b) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) tot 2 ǫ,b) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b )ˇv iǫ,b) ˇv j ǫ,b) 0 tot 2 ǫ,b) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1ˇ ǫ 0,b 0 ) v i v j)ǫ,b) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 ˇv i ǫ,b) ˇ v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v i +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 v j ǫ,b),b) ˇv i v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 v j ǫ,b),b) v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )Š 1 v i,b) v j ǫ,b) ǫ 0,b 0 ) v m h eq ǫ,b)š 1 βq rψ) v ǫ 0,b 0 ) j v i,b) +v m h eq ǫ,b)š 1 βq rψ) v ǫ 0,b 0 ) j ˇv i ǫ 0,b 0 ) +v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 ) ˇv βq r ψ) i ǫ 0,b 0 ) ] j v m h eq ǫ,b)š 1 v ǫ 0,b 0 )α 0,2 ]d ) 31

32 6 Implemetatio to C++ The formulas from sectio 5 had to be implemeted to C++. I sectio 2.2 is argued that withi our scatterig model 2.12 the M X i i Eq. 2.5 deped oly o dopig desity ad o the electro desity N. The idea was to geerate tables of the Mi X which are matrixes of matrixes themselves). At least iterested users oly eed these tables to operate with the semi-aalytical solutio o their semicoductor devices. The formula is implemeted i the DMu2dOrder class. Method DMu2dOrder) ow allows to set the umber of differet electro desities N ad the umber of differet dopig desities NN. Four N NN tables oe for each M1 D,MD 2, Mµ 1, Mµ 2 ) are geerated ad saved i datafiles. The differeces betwee the desities are choose to be equidistat o a logarithmical scale. The 155 fuctios per compoet 9) for µ ad 93 fuctios per compoet 9) for D i sectio 5 eeded to be itegrated over the hole Brilloui zoe umerically. But at first 9 MISOs per compoet eeded to be calculated. The formulas stay the same for every table elemet. The oly thigs that chage with the dopig ad electro desities are the total scatterig rate ad some of the MISOs, which deped o the scatterig rate. For the calculatio of the MISOs I could use the classes EBZFuctios, BufferedSparseMatrix ad IverseScatterigOperator writte by S.C. Brugger. I CreateMomets.cc all MISOs are calculated ad stored i datafiles. They are just iitially loaded i DMu2dOrder.h ad most of them eed to be calculated agai for every table etry. This is doe i ComputeAllMomets). The MISOs deped o the eergy ad ot o the mometum. Also the other fuctios are itegrated over iso- eergy surfaces to mae them eergy deped istead of mometum deped. This way oe ca operate a faster itergratio just over the eergy istead of the hole -space. e use Bz hǫ)g )d 3 = ǫmax ǫ mi hǫ)zǫ)ǧǫ)dǫ 6.1) where hǫ) ad g ) are ay fuctios of ǫ respectively ad Z is the desity of states. Due to symmetry reasos may compoets of the fuctio which basically cotai the electro mass tesor ad the velocity vector) are zero. Most of the fuctios already existed i datafiles the others had to be computed with the EBZFuctios class which was doe by S. C. Brugger. Fially I just eeded to load these fuctios withi the DMu2dOrder class. A method to itegrate the eergy depeded fuctios has already bee implemeted by S. C. Brugger. 32

33 7 Code validatio The used formulas themselves especially their sigs) were calculated several times. The code was tested i strog collaboratio with S.C Brugger. To test the code, coefficiets were computed o bul silico. Several error sources existed: Forgotte or extra costats,mixed coordiate systems but also a few bugs i used classes could be foud. The accuracy of umerics had to be advaced, too. Ad still the umerics are ot precise eough, because the Eistei relatio is ot fulfilled exactly see subsectio 7.1). The problem is, that at actual time of the semesterwor, the used Fiite Elemet Method i the Scatterig Operator classes is based o a equidistat mesh. But the lower eergy regios cotribute much more the the higher oces. But because of computatioal expese i the high eergy regios it is ot efficiet to high up the umber of discretizatio poits agai. The followig tests were made to correct the code: 7.1 Eistei s relatio The Eistei relatio betwee µ eq ad D eq i 2.5 must be fulfilled. D eq = µ eq B T 7.1) This relatio is early fulfilled with a absolut error of m2 ad a relative error of I s 2 parabolic bad approximatio which was doe by S. C. Brugger) the Eistei relatio is fulfilled perfectly, so that the implemetatio is varified for the zero order. 7.2 Symmetries May compoets i the Mi X matrixes must be idetical for physical reasos. Especially for bul every compoet value has to occure may times. Every sigle symmetry was checed ad is fulfilled fially. 7.3 Compariso with Mote Carlo simulatios Fially we compared the secod order expressio with a Mote Carlo simmulatio uder same coditios. e extracted curves which show the Mote Carlo simulatio as well as the secod order approximatio depeded o the exteral electric field. The we rised up the dopig to show how valid rage icreases with the dopig. Oe ca see that all the aalytical solutios show the expected shapes. 33

34 Figure 3: This figure shows diffusio ad mobility i bul silico with dopig N = 0. Mote Carlo simulatio ad aalytical solutio i secod order show the expected behavior. The aalytical solutio is valid for µ if E < 1500 V V cm ad D if E < 2000cm. 34

35 Figure 4: This figure shows diffusio ad mobility i bul silico with dopig N = Mote Carlo simulatio ad aalytical solutio i secod order show the expected behavior. The aalytical solutio is valid for µ if E < V V cm ad D if E < cm. 35

36 Figure 5: This figure shows diffusio ad mobility i bul silico with dopig N = Mote Carlo simulatio ad aalytical solutio i secod order show the expected behavior. The aalytical solutio is valid for µ if E < V V cm ad D if E < cm. The valid rage of µ decreases because of the used scatterig model. 36

37 8 Coclusio Aalytical expressios for secod order coefficiets of mobility ad diffusio were derived ad implemeted to C++. The explicit calculatios show that coefficiets i frot of the mixed term ψ φ gradiet quasi Fermi potetial ad electrical field) are ot zero ad ot egligible. This cofutes the practice of popular simulators lie ModelSim where these coefficiets are assumed to vaish. Together with the Curred based Mote Carlo method this exact solutio is the basis for a ew simulatio method, where Mote Carlo is oly ecessary i those regios where the aalytical solutio is ot valid. But the higher the dopig, the better the adaptability of the aalytical solutio. Bipolar trasistors represet a possible applicatio of the ew method. The aalytical coefficiets oly deped o dopig ad electro/hole cocetratios. The C++ implemetatio geerates tables with dopig i the first ad electro desity i the secod ra. These tables are applicable by aybody o ay device where the solutio is valid. Symmetry argumets ad comparisos with Mote Carlo simulatio show, that the implemetatio is correct. Refereces [1] S. C. Brugger, Computatio of Semicoductor Properties Usig Momets of the Iverse Scatterig Operator of the Boltzma Equatio Hartug-Gorre 2006 [2] S. C. Brugger ad A. Sche, New Oe-Particle Mote Carlo Method for Naoscale Device Simulatio NSTI Coferece 2006 [3] S. C. Brugger ad A. Sche, Momets of the Iverse Scatterig Operator of the Boltzma Equatio: Theory ad applicatios SIAM Joural o Applied Mathematics 2006 [4] F. Vetury, E. C. Sagiorgi, ad B. Ricco, A geeral-purpose device simulator couplig poisso ad mote-carlo trasport with applicatio tp deep sub-micro MOSFETs IEEE Trasactios o Electro Devices 1991 [5] N.A.Zahleiu, Noequilibrium drift-diffiuso trasport i semicoductors i presece of strog ihomogeeuos electric fields 37

38 Applied Physics Letters 89,