Функції та їх графіки

Transcription

1 Фнкції та ї графіки Означення (числової) фнкції Неай задано дві числові множини X та Y, а також правило f, яке кожном елемент X ставить відповідність єдиний елемент y Y Тоді кажть, що задано фнкцію y f ( ) Змінн при цьом називають аргментом (незалежною змінною), а змінн y фнкцією (залежною змінною) Множин X називають областю визначення фнкції y f ( ) і позначають D( f ) або D( y ) Множин Y називають множиною значень фнкції y f ( ) і позначають E( f ) або E( y ) Графіком фнкції y f ( ) називають множин точок ( f ( )) на координатній площині Основні властивості фнцій Фнкцію y f ( ) називають парною, якщо для всі D( f ) має місце рівність f ( ) f ( ) Фнкцію y f ( ) називають непарною, якщо для всі D( f ) має місце рівність f ( ) f ( ) Існють фнкції, які є: парними непарними ні парними, ні непарними і парними, і непарними Фнкцію називають періодичною з періодом T, якщо для всі D( f ) має місце рівність f ( T) f ( ) Фнцію y f ( ) називають зростаючою на деяком проміжк, якщо для бдь-яки з цього проміжк f ( ) f ( ) Фнцію y f ( ) називають спадною на деяком проміжк, якщо для бдь-яки з цього проміжк f ( ) f ( ) Точк D( f ) називають точкою максимм фнкції y f ( ), якщо ця фнкція є зростаючою на проміжк ( a ) і спадною на проміжк ( a) ( a деяке невелике додатне число) Точк D( f ) називають точкою мінімм фнкції y f ( ), якщо ця фнкція є спадною на проміжк ( a ) і зростаючою на проміжк ( a) ( a деяке невелике додатне число) Точки максимм та мінімм фнкції називають точками екстремм фнкції 3 Лінійна фнкція: y k Графіком є пряма Геометричний зміст параметрів: ордината точки перетин з віссю Oy, кт між прямою графіка і додатним напрямком осі абсцис k tg, де k, k, k, k, На малюнка зображено графіки лінійної фнкції для окреми значень k і

2 Властивості лінійної фнкції: ) Область визначення: D( y) ( ) ) Множина значень: E( y) ( ) для k і E( y) { } для k 3) Фнкція ні парна, ні непарна при k,, непарна при k,, парна при k,, і парна, і непарна при k, 4) Фнкція неперіодична при k При k фнкція періодична, причом періодом є бдь-яке дійсне число T Найменшого додатного період не існє! 5) Фнкція зростаюча на D( y ) при k, спадна на D( y ) при k, стала при k 6) Фнкція не має точок екстреммів 4 Квадратична фнкція: y a c, a Графіком є парабола Геометричний зміст параметрів: c ордината точки перетин з віссю Oy a і визначають координати вершини параболи точки y, де y a c або a 4ac y параметр a визначає напрям віток параболи при a вітки 4a напрямлені вгор, при a вниз 4ac 4ac 4ac a a На малюнка зображено графіки квадратичної фнкції для окреми значень параметрів Властивості квадратичної фнкції: ) Область визначення: D( y) ( ) ) Множина значень: E( y) [ y ) для a і E( y) ( y ] для a 3) Фнкція ні парна, ні непарна при, парна при 4) Фнкція неперіодична 5) При a фнкція спадна на ( ) і зростаюча на ( ) при a фнкція зростаюча на ( ) і спадна на ( ) 6) При a точка є точкою мінімм, при a точка є точкою максимм

3 5 Степенева фнкція y ( деяке дійсне число) Найпоширеніші види степеневи фнкцій (в залежності від значення ): ) n, n, тобто y n Графіком є параболи дво видів: n парне число Область визначення: D( y) ( ) Множина значень: E( y) [ ) при парном n і E( y) ( ) при непарном n Фнкція парна при парном n і непарна при непарном n Фнкція неперіодична При парном n фнкція спадна на ( ) і зростаюча на ( ), при непарном n фнкція зростаюча на ( ) При парном n точка точка мінімм, при непарном n екстреммів немає ) n, n, тобто n непарне число n y Графіком є гіперболи дво видів: n n парне число n непарне число Область визначення: D( y) ( ) ( ) Множина значень: E( y) ( ) при парном n і E( y) ( ) ( ) при непарном n Фнкція парна при парном n і непарна при непарном n Фнкція неперіодична При парном n фнкція зростаюча на ( ) і спадна на ( ), при непарном n фнкція спадна на ( ) і на ( ) Фнкція точок екстреммів не має 3), n n n n y Графіком є парабола або частина параболи: n парне число n непарне число

4 Область визначення: D( y) [ ) при парном n і D( y) ( ) при непарном n Множина значень: E( y) [ ) при парном n і E( y) ( ) при непарном n Фнкція ні парна, ні непарна при парном n і непарна при непарном n Фнкція неперіодична При парном n фнкція зростаюча на ( ), при непарном n фнкція зростаюча на ( ) Фнкція точок екстреммів не має 6 Тригонометричні фнкції Фнкція y sin Графіком є синсоїда 3 ) Область визначення: D( y) ( ) ) Множина значень: E( y) [ ] 3) Фнкція непарна: sin( ) sin 4) Фнкція періодична, найменший додатний період T 5) Фнкція зростає на проміжка n n 3 n n, n, n, спадає на проміжка 6) Точки мінімм: min n, f ( min ), точки максимм : ma n, f ( ma ) Фнкція y cos Графіком є синсоїда 3 3 ) Область визначення: D( y) ( ) ) Множина значень: E( y) [ ] 3) Фнкція парна: cos( ) cos 4) Фнкція періодична, найменший додатний період T n n, n, спадає на проміжка 5) Фнкція зростає на проміжка n n, n 6) Точки мінімм: min n, f ( min ), точки максимм : ma n, f ( ma ) 3

5 Фнкція y tg Графіком є тангенсоїда 3 3 ) Область визначення: D( y) n n, n ) Множина значень: E( y) ( ) 3) Фнкція непарна: tg( ) tg 4) Фнкція періодична, найменший додатний період T 5) Фнкція зростає на кожном з проміжків n n, n 6) Фнкція не має точок екстремм 7) Прямі n, n є вертикальними асимптотами Фнкція y ctg Графіком є тангенсоїда 3 3 ) Область визначення: D( y) n n, n ) Множина значень: E( y) ( ) 3) Фнкція непарна ctg( ) ctg 4) Фнкція періодична, найменший додатний період T n n, n 5) Фнкція спадає на кожном з проміжків 6) Фнкція не має точок екстремм 7) Прямі n, n є вертикальними асимптотами 7 Обернені тригонометричні фнкції Фнкцію y g( ) називають оберненою до фнкції y f ( ) на деяком проміжк, якщо для всі із цього проміжк f ( g( )) Фнкція, обернена до f ( ) на деяком проміжк, існє, якщо f ( ) на цьом проміжк є монотонною (зростаючою чи спадною) Графіки фнкції f ( ) та оберненої до неї фнкції g( ) симетричні відносно прямої y Фнкція y arcsin Ця фнкція є оберненою до фнкції y sin на відрізк, тобто arcsin(sin ) для всі Крім того, sin(arcsin ) для всі [ ] Графік є частиною синсоїди

6 ) Область визначення: D( y) [ ] ) Множина значень: E( y) 3) Фнкція непарна: arcsin( ) arcsin 4) Фнкція неперіодична 5) Фнкція зростає на D( y ) 6) Фнкція не має точок екстремм Фнкція y arccos Ця фнкція є оберненою до фнкції y cos на відрізк, тобто arccos(cos ) для всі Крім того, cos(arccos ) для всі [ ] Графік є частиною синсоїди ) Область визначення: D( y) [ ] ) Множина значень: E( y) 3) Фнкція ні парна, ні непарна, але: arccos( ) arccos 4) Фнкція неперіодична 5) Фнкція спадає на D( y ) 6) Фнкція не має точок екстремм Фнкція y arctg Ця фнкція є оберненою до фнкції y tg на інтервалі, тобто arctg(tg ) для всі Крім того, tg(arctg ) для всі Графік є тангенсоїдою ) Область визначення: D( y) ( ) ) Множина значень: E( y) 3) Фнкція непарна: arctg( ) arctg 4) Фнкція неперіодична 5) Фнкція зростає на D( y ) 6) Фнкція не має точок екстремм Фнкція y arcctg Ця фнкція є оберненою до фнкції y ctg на інтервалі, тобто arctg(tg ) для всі Крім того, ctg(arcctg ) для всі Графік є тангенсоїдою ) Область визначення: D( y) ( ) ) Множина значень: E( y) 3) Фнкція ні парна, ні непарна, але: arcctg( ) arcctg 4) Фнкція неперіодична 5) Фнкція спадає на D( y ) 6) Фнкція не має точок екстремм

7 8 Показникова фнкція y a ( a, a ) Графіком є експонента a a ) Область визначення: D( y) ( ) ) Множина значень: E( y) ( ) 3) Фнкція ні парна, ні непарна 4) Фнкція неперіодична 5) При a фнкція зростає на, при a фнкція спадає на 6) Фнкція не має точок екстремм 9 Логарифмічна фнкція y log a ( a, a ) Графіком є експонента ) Область визначення: D( y) ( ) ) Множина значень: E( y) ( ) 3) Фнкція ні парна, ні непарна 4) Фнкція неперіодична 5) При a фнкція зростає на, при a фнкція спадає на 6) Фнкція не має точок екстремм Логарифмічна фнкція g( ) log a є оберненою до показникової фнкції f ( ) a на ( ), бо a a log ( ( )) a f g a і, навпаки, показникова фнкція f ( ) a є оберненою до логарифмічної фнкції g( ) log a, бо g( f ( )) log a a

8 Побдова графіків за допомогою геометрични перетворень Для побдови графіків фнкцій використовють настпні геометричні перетворення: ) паралельне перенесення вздовж осі абсцис ( O ) на d одиниць (вправо-вліво): точка M ( y ) переодить в точк M '( d y) ) паралельне перенесення вздовж осі ординат ( Oy ) на d одиниць (вгор-вниз): точка M ( y ) переодить в точк M '( y d) 3) симетрія відносно осі абсцис ( O ): точка M ( y ) переодить в точк M '( y) 4) симетрія відносно осі ординат (Oy ): точка M ( y ) переодить в точк M '( y) 5) стиск (розтяг) вздовж осі абсцис ( O ) p разів: точка M ( y ) переодить в точк M '( p y ) 6) стиск (розтяг) вздовж осі ординат ( Oy ) p разів: точка M ( y ) переодить в точк M '( py ) Заваження Якщо при виконанні перетворень 5 і 6 p, то перетворення називатимемо розтягом p разів, а якщо p, то перетворення називатимемо стиском p разів Наприклад, при p 3 матимемо розтяг 3 рази, а при p стиск рази Неай графік фнкції y f ( ) вже побдовано Використовючи цей графік, за допомогою геометрични перетворень можна побдвати графіки таки фнкцій та рівнянь: Фнкція Перетворення y f ( ) A паралельне перенесення на A одиниць вздовж осі Oy y f ( a) паралельне перенесення на a одиниць вздовж осі O 3 y f ( ) симетрія відносно осі O 4 y f ( ) симетрія відносно осі Oy 5 y K f ( ) стиск (розтяг) вздовж осі Oy в K разів 6 y f ( k) стиск (розтяг) вздовж осі O в k разів 7 y f ( ) симетрія відносно осі O тієї частини графіка, яка знаодиться під віссю O частин графіка над віссю O не змінюють 8 y f ( ) симетрія відносно осі Oy тієї частини графіка, яка знаодиться справа від осіoy частин графіка, що бла зліва від осіoy, знищють 9 y f ( ) симетрія відносно осі O тієї частини графіка, яка знаодиться над віссю O частин графіка, що бла під віссю O, знищють Послідовність виконання перетворень: спочатк слід виконати всі симетрії, потім стиски, а лише після ни паралельні перенесення Паралельні перенесення вздовж обо осей можна виконвати одночасно Для фнкцій, що містять знак модля, питання про послідовність виконання перетворень вирішється для кожної фнкції окремо