Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України

Transcription

1 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця РЕДАКЦIЙНА КОЛЕГIЯ ЖУРНАЛУ П. Г. Костюк (головний редактор), С. А. Андронатi, В. Г. Бар яхтар, А. Ф. Булат, Г. М. Гавричкова (заст. головного редактора), В. В. Гончарук, Я. М. Григоренко, В. Т. Грiнченко, Д. М. Гродзинський, О. М. Гузь, В. М. Єремєєв, В. П. Кухар, I. М. Коваленко, С. В. Комiсаренко, В. С. Королюк, О. О. Мойбенко, А. Г. Наумовець (заст. головного редактора), I. М. Неклюдов, Г. Г. Полiкарпов, В. Д. Походенко, I. К. Походня, А. М. Самойленко, В. П. Семиноженко, I. В. Сергiєнко, О. О. Созинов, В. I. Старостенко, Б. С. Стогнiй, В. М. Шестопалов, А. П. Шпак, М. П. Щербак, Я. С. Яцкiв Нацiональна академiя наук України, 2009

2 Змiст Математика Бабенко В.И. К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей... 7 Бичков О. С. Про критерiй iснування копозитивних розв язкiв рiвняння Ляпунова Касьянов П.О. Про слабку розв язнiсть класу еволюцiйних варiацiйних нерiвностей в нескiнченновимiрних просторах Курдаченко Л.А., Муньос-Есколано Х.М., Отал Х., Семко М.М. Локально нiльпотентнi лiнiйнi групи з деякими обмеженнями для пiдгруп нескiнченної центральної вимiрностi Михайлец В.А., Мурач А.А. Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии Назарчук З.Т., Кулинич Я.П. Кубатурна формула iнтерполяцiйного типу для обчислення деякого класу гiперсингулярних iнтегралiв Iнформатика та кiбернетика Механiка Фiзика Божко А.Е. Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления Грицик В.В. Опис алгоритмiв паралельно-рекурсивної обробки даних в системах реального часу Забара С.С., Фiлiмонова Н.Б., Зеленський К.Х. Метод видiлення iнварiантних ознак сигналiв Рабинович З.Л., Бєлов Ю.А. Пам ять людини й мислення образне й символьне (концептуальне модельне вiдтворення) Божко А.Е., Мягкохлеб К.Б. Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях Гуляєв В. I., Луговий П. З., Соловйов I. Л. Критичнi стани цилiндричних оболонок пiд дiєю вiдцентрових та слiдкуючих осьових навантажень Каминский А.А., Кипнис Л.А., Полищук Т.В. О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред Кондрат В.Ф., Грицина О.Р. До опису аномалiї Мiда у тонких дiелектричних плiвках Рожок Л.С. Рiвновага порожнистих цилiндрiв з гофрованим елiптичним поперечним перерiзом при дiї локального навантаження Шульга М.О. Про повну систему рiвнянь електропружностi Радчук В.В. Аномальний радiацiйний вiдгук алюмiнiєвих центрiв у кварцi та ретроспективна ЕПР дозиметрiя... 99

3 Теплофiзика Авраменко А.А., Басок Б.И., Скицько А.И., Коваленко А.В. Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции Матерiалознавство Плющай I.В., Макара В.А. Електронний та магнiтний стани атомiв кисню в монокристалах кремнiю Науки про Землю Бицань Є.М. Поширення плоских сейсмiчних хвиль у п ятиелементних реологiчних тiлах Владiмiров В.А., Скуратiвський С.I. Усамiтненi хвилi з компактним носiєм у континуальному аналозi моделi гетерогенного середовища Гулiй В.М., Кривдiк С.Г., Тисячна О.М. Особливостi морфологiї та складу уламкiв порiд субстрату залiзомарганцевих конкрецiй району Кларiон-Клiппертон (Тихий океан) Иванов В.А., Фомин В.В., Черкесов Л.В., Шульга Т.Я. Исследование сгонно-нагонных движений с учетом водообмена через Керченский пролив, вызываемых прохождением циклонов в Азовском море Миньковская Р.Я. Водный баланс Севастопольского региона Хiмiя Iщенко В. В., Шабликiна О. В., Ворона Г. В., Хиля В. П. Кумаринiлiзокумарини Робота Л.П., Штомпель В.И., Гончар А.Н., Савельев Ю.В., Керча Ю.Ю. Особенности микрофазовой структуры анионоактивных полиуретаноацилсемикарбазидов Тiтов Ю.О., Бiлявiна Н.М., Маркiв В.Я., Слободяник М.С., Краєвська Я.А., Чумак В. В. Синтез та визначення кристалiчної структури шаруватих скандатiв SrLn 2 Sc 2 O Хоменко Д.М., Дорощук Р.О., Лампека Р.Д. Дослiдження будови етилового ефiру 5-(2-пiридил)-1,2,4-триазол-α-iлоцтової кислоти та комплексу з нiтратом цинку на його основi Бiологiя Губенко И.С., Суббота Р.П., Малюта С.С. Сверхпродуктивные гиперморфные регуляторные мутации генов LIM-only у дрозофилы и млекопитающих: регуляция процессов развития и онкогенеза Козлов А.В., Китам В.О., Ткачук З.Ю. Молекулярная модель взаимодействия 2-5 олигоаденилатов с протеинкиназой С Пiдгорський В. С., Коваленко Е. О., Карпова I. С., Сащук О. В., Корецька Н. В., Гетьман К.I. Вплив генотипу мутантiв Bacillus subtilis на синтез лектинiв з використанням рiзних джерел вуглецю

4 Бiофiзика Екологiя Оглобля О.В., Шут А.М., Прилуцький Ю.I. Моделi Ca 2+ -залежної регуляцiї скорочення скелетного м яза Рильський О.Ф., Домбровський К.О., Гвоздяк П.I., Капiтан О.О. Бiосорбцiя комплексу iонiв важких металiв бiоплiвкою Zannichellia palustris Contents Mathematics Babenko V. I. On the estimate of the Gauss curvature of strictly convex surfaces... 7 Bychkov O.S. On the existence criterion for copositive solutions of the Lyapunov equation.. 12 Kasyanov P.O. On the weak solvability for a class of evolution variation inequalities in infinite-dimensional spaces Kurdachenko L.A., Munoz-Escolano J.M., Otal J., Semko M.M. Locally nilpotent linear groups with some restrictions on subgroups of infinite central dimension Mikhailets V. A., Murach A. A. On elliptic operators on a closed compact manifold Nazarchuk Z.T., Kulynych Ya.P. The interpolation cubature formula for the calculation of some class of hypersingular integrals Information Science and Cybernetics Mechanics Bozhko A. E. The singularisnal form of regular signals in systems of automatic control Hrytsyk V.V. The description of algorithms of parallel-recursive data processing in real-time systems Zabara S.S., Filimonova N.B., Zelens kyi K.Kh. A method of separation of invariant features of signals Rabynovych Z.L., Belov Yu.A. Human memory and thinking figurative and symbolic (conceptual model reproduction) Bozhko A.E., Myagkokhleb K.B. The energy method for definition of elasticity coefficients in electromagnetic vibroexciters Gulyaev V.I., Lugovyi P.Z., Solov ov I.L. The critical states of cylindrical shells under the action of centrifugal and follower axial loads Kaminsky A.A., Kipnis L.A., Polischuk T.V. On the plastic prefracture zone model at the corner point of the interface of media Kondrat V.F., Hrytsyna O.R. On the description of the Mead anomaly in thin dielectric films

5 Physics Rozhok L.S. Equilibrium of hollow cylinders with corrugated elliptic cross-section under a local load Shul ga M.O. On the complete system of electroelasticity equations Radchuk V.V. The anomalous radiation-induced response of Al centers in quartz and retrospective EPR dosimetry Heat physics Avramenko A.A., Basok B.I., Skitstko A.I., Kovalenko A.V. Instability of streams in a vertical channel under combined convection Materials science Plyushchay I.V., Makara V.A. Electronic and magnetic states of oxygen atoms in Si monocrystals Geosciences Chemistry Biology Bytsan E. M. Propagation of plane seismic waves in five-element rheologic bodies Vladimirov V.A., Skurativskyy S.I. Solitary waves with compact support in a continual analog of the model of heterogeneous medium Guliy V.M., Kryvdik S.G., Tysiachna O.M. Peculiarities of the morphology and the composition of substratum rocks debris of ferromanganese nodules from the Clarion- Clipperton region (Pacific ocean) Ivanov V.A., Fomin V.V., Cherkesov L.V., Shul ga T.Ya. Study of the influence of water exchange through the Kerch strait on the surge phenomena in the Sea of Azov in the presence of cyclones Minkovskaya R.Ya. Water balance of the Sevastopol region Ischenko V. V., Shablykina O. V., Vorona A. V., Khilya V. P. Coumarinylisocoumarins Robota L.P., Shtompel V.I., Gonchar A.N., Savelyev Yu.V., Kercha Yu.Yu. Peculiarities of the microphase structure of anion-active polyurethaneacylsemicarbazide Titov Yu.A., Belyavina N.M., Markiv V.Ya., Slobodyanik M.S., Krayevska Ya.A., Chumak V.V. Synthesis and determination of the crystal structure of layer scandates SrLn 2 Sc 2 O Khomenko D.M., Doroschuk R.O., Lampeka R.D. Investigation of the structure of 5-(2- pyridyl)-1,2,4-triazol-α-ylacetic acid ethyl ester and the coordination compound with zinc nitrate Gubenko I.S., Subbota R.P., Maliuta S.S. Overproductive hypermorphic regulatory mutation of LIM-only genes in Drosophila and mammals: regulation of development and oncogenesis

6 Kozlov A.V., Kitam V.O., Tkachuk Z.Yu. Molecular model of the interaction of 2-5 oligoadenylates with protein kinase C Pidgorskyy V.S., Kovalenko E.O., Karpova I.S., Sashchuk O.V., Koretska N.V., Getman K.I. Influence of Bacillus subtilis mutants genotype on lectin synthesis with use of different carbon sources Biophysics Ecology Ogloblya O.V., Shut A.M., Prylutskyy Yu.I. Models of the Ca 2+ -dependent regulation of the skeletal muscle contraction Rylskyi O.F., Dombrovskyi K.O., Gvozdyak P.I., Kapitan O.O. Biosorption of a complex of heavy-metal ions by a biofilm of Zannichellia palustris Редактори роздiлiв Л.М. Литвинова, Л.I. Пузанкова, Т. I. Хоменко Оформлення художника В. Г. Самсонова Комп ютерна верстка В. I. Бойко, Г. В. Попович Видавничий дiм «Академперiодика» Свiдоцтво про внесення до Держреєстру суб єкта видавничої справи серiї ДК 544 вiд , Київ, вул. Терещенкiвська, 4 Пiдписано до друку Формат /16. Ум. друк. арк. 20,16. Обл.-вид. арк. 16. Тираж 300 прим. Зам Цiна 15 грн. Друкарня Видавничого дому «Академперiодика» , Київ, вул. Терещенкiвська, 4

7 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ МАТЕМАТИКА УДК В.И. Бабенко К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей (Представлено академиком НАН Украины Е. Я. Хрусловым) Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi за двома її параметрами. В геометрической теории устойчивости оболочек [1] вопрос об определении критического давления для строго выпуклой, замкнутой (или жестко закрепленной вдоль края) оболочки сводится к отысканию минимума гауссовой кривизны ее срединной поверхности [1 3]. В приведенных в [1, 3] примерах рассматривались простейшие формы оболочки. Вместе с тем при проектировании тонкостенных конструкций, когда заданы лишь некоторые ограничения на размеры оболочки, могут оказаться полезными априорные оценки для критических нагрузок в нашем случае для гауссовой кривизны срединной поверхности оболочки. В данной работе приведен ряд таких оценок, которые можно рассматривать как обобщение известных результатов О. Бонне и В. Бляшке [4]. Именно, доказаны следующие теоремы. Теорема 1. Пусть K гауссова кривизна замкнутой строго выпуклой поверхности F, ограничивающей тело, диаметр и объем которого не меньше соответственно D и V, где V πd 3 /6. Пусть K 0 гауссова кривизна веретенообразной поверхности вращения F 0, ограничивающей тело с объемом V и диаметром D. Тогда справедлива следующая оценка mink K 0, (1) где минимум берется по всем точкам поверхности F. Если V = πd 3 /6, то F 0 сфера и в (1) имеет место равенство, когда F совпадает с F 0. Если же V < πd 3 /6, то в (1) строгое неравенство, а K 0 точная верхняя граница значений mink, к которой можно подойти сколь угодно близко, беря поверхность F достаточно близкой к F 0. Доказательство. Пусть теорема неверна. Т. е. предположим, что существует удовлетворяющая условиям теоремы поверхность F, гауссова кривизна которой K K 0, (2) ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 7

8 где равенство возможно, если V < πd 3 /6. Пусть P и Q точки поверхности F, расстояние между которыми равно ее диаметру D. Переведем с помощью симметризации Шварца ограниченное поверхностью F тело L в тело вращения L с осью вращения, проходящей через точки P и Q. Затем тело L с помощью симметризации Штейнера переводим в тело вращения L, симметричное относительно плоскости α, перпендикулярной отрезку P Q и проходящей через его середину. Ограничивающая тело L поверхность вращения F, как и F, удовлетворяет условиям теоремы; ее гауссова кривизна K K 0 ; а так как радиус ее экватора R 1/ K, то R 1/ K 0 [4, 25]. Пусть F 0 веретенообразная поверхность вращения с гауссовой кривизной K 0 имеет с поверхностью F общие ось вращения, экваториальную плоскость α, радиус экватора R. Тогда тело L будет содержаться в теле L 0, ограниченном поверхностью F 0 [4, с. 157]. Поэтому диаметры D и D 0 соответственно тел L и L 0 и их объемы V и V 0 подчинены неравенствам D < D 0, V < V 0. (3) Отсюда, в частности, следует, что R < R 0, где R 0 радиус экватора поверхности F 0, о которой идет речь в формулировке теоремы. Действительно, пусть R R 0. Имеем [4] D 0 = 2 π/2 0 1 K 0 R 2 sin 2 σdσ 2 π/2 0 1 K 0 R 2 0 sin2 σdσ = D. Поэтому D < D, что противоречит условиям теоремы. Далее V 0 (R) = 2πR 2 π/2 0 1 cos 2 σ R 2 sin 2 σdσ. K 0 Нетрудно убедиться в том, что dv 0 /dr > 0, поэтому V 0 (R) < V 0 (R 0 ) = V. Отсюда с учетом (3) заключаем, что V < V, т.е. поверхность F, а значит и F, не удовлетворяет условиям теоремы, поэтому предположение (2) неверно. Теорема 1 доказана. Таким же образом доказывается и следующее утверждение. Теорема 2. Пусть K гауссова кривизна замкнутой строго выпуклой поверхности F, ограничивающей тело L, диаметр которого не меньше D; P и Q точки наf, расстояние между которыми равно диаметру тела L. Пусть максимальная площадь сечений тела L плоскостями, ортогональными отрезку PQ, не меньше S, где S πd 2 /4. Тогда mink K 0, (4) где минимум берется по всем точкам поверхности F, а K 0 гауссова кривизна веретенообразной поверхности вращения F 0 с диаметром D и радиусом экватора S/π. Если S = πd 2 /4, тоf 0 сфера и в (4) имеет место равенство, когдаf совпадает с F 0. Если же S < πd 2 /4, то в (4) строгое неравенство, а K 0 точная верхняя граница значений mink, к которой можно подойти сколь угодно близко, беря поверхность F близкой к F 0. Теорема 3. Пусть K гауссова кривизна односвязной строго выпуклой поверхности F с высотой H и с плоским краем, ограничивающим область площадью S. Пусть среди 8 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

9 всех веретенообразных поверхностей вращения, содержащих осесимметричный сегмент с высотой H и с радиусом основания r = S/π, поверхность F с таким сегментом F 0 имеет наибольшую гауссову кривизну K 0. Тогда mink K 0, (5) где минимум берется по всем точкам поверхности F. При H r F 0 сферический сегмент F s c радиусом кривизны R = (r 2 +H 2 )/2H и в (5) имеет место равенство, если F совпадает с F s. При H > r F 0 колпак, несовпадающий с F s (K 0 > 1/R 2 ), и в (5) имеет место строгое неравенство, в котором сколь угодно близко можно подойти к равенству, беря поверхность F достаточно близкой к F 0. Доказательство теоремы 3. Допустим, что теорема неверна. Т. е. существует поверхность F, для которой выполняются условия теоремы, но для ее гауссовой кривизны вместо (5) имеет место ограничение K K 0, (6) где знак равенства возможен лишь при H/r > 1, поэтому K > 1/R 2 при любых значениях H/r. Обозначим через α плоскость края поверхности F. Введем декартову систему координат (x, y, z), приняв плоскость α за координатную xy. Ось z направим в сторону поверхности F. Переведем с помощью симметризации Шварца ограниченное поверхностью F и плоскостью α выпуклое тело L в тело вращения L, которое имеет ось вращения ось z, ограничено плоскостью α и выпуклой поверхностью, которую обозначим через F. Поверхность вращения F будет иметь высоту H, ее край F окружность с радиусом кривизны r лежит в плоскости α. Пусть K гауссова кривизна поверхности F, тогда [4, c. 144] K K > 1 R 2. (7) Вместе с поверхностью F рассмотрим сферический сегмент F s с высотой H и радиусом основания r. Расположим их так, чтобы они имели общую ось вращения ось z и общий край F. Тогда они будут иметь и общую вершину O s точку их касания. Дополним сегмент F s до сферы, а F до замкнутой строго выпуклой поверхности вращения так, чтобы была непрерывной ее гауссова кривизна, для которой сохраним прежнее обозначение K, и чтобы она удовлетворяла условию (7), точнее K > 1/R 2 и K K 0 при H/r > 1. Для замкнутых поверхностей принимаем обозначения их сегментов F s и F соответственно. Пусть C s и C меридиальные сечения y = 0 соответственно поверхностей F s и F. Зададим кривые C s и C в параметрической форме x = x s (τ), z = z s (τ) и x = x(τ), z = z(τ) соответственно. В качестве параметра τ примем угол между положительным направлением оси x и касательной к кривой с началом отсчета τ = 0 в вершине O s. Для x 0 τ [0,π]. Покажем, что на интервале 0 < τ π/2 x(τ) < x s (τ). (8) Спроектируем на плоскость α(z = 0) сегменты поверхностей F s и F, полученные вращением вокруг оси z частей кривых C s и C, соответствующих значениям параметра от 0 до τ π/2. Площади их проекций равны: π[x s (τ)] 2 = R 2 cosτdω, (9) ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 9

10 cosτ π[x(τ)] 2 = dω, (10) K где dω элемент площади сферического изображения поверхности, интегрирование распространяется на соответствующие сегменты сферических изображений. Сравнивая правые части равенств (9), (10) и учитывая при этом (7), убеждаемся в справедливости утверждения (8) для 0 < τ π/2. Аналогично устанавливается его справедливость и для τ > π/2. Для радиусов кривизны ρ(τ) и ρ s (τ) R кривых C и C s непосредственно из (7) следует, что при τ = 0 имеет место неравенство ρ(τ) < ρ s (τ), которое будет справедливо и в некоторой окрестности точки τ = 0, т.е. кривая C касается окружности C s в вершине «изнутри» так, что некоторая окрестность точки τ = 0 кривой C лежит в круге M s, ограниченном окружностью C s. Кривая C целиком не принадлежит кругу M s и не касается окружности C s при τ > 0, поэтому при некотором значении параметра τ = τ кривая C пересечет окружность C s так, что часть дуги τ < τ кривой C будет принадлежать кругу M s. Обозначим через P точку этого пересечения, а через τs значение параметра τ на C s в точке P. Тогда для τs π/2 будем иметь τ < τs, поэтому x s (τ ) < x s (τs ) = x(τ ), что противоречит неравенству (8). Итак, кривая C не может пересечь окружность C s при τs π/2. Отсюда, в частности, следует, что при H r сферический сегмент F s не может иметь общий край с сегментом поверхности F, гауссова кривизна которой удовлетворяет ограничению (7); т.е. теорема доказана для случая H r. Далее рассмотрим случайh > r. Заметим, что приτ > τ криваяc более не будет иметь общих точек с кругом M s, так как в противном случае она пересечет его границу в некоторой точке P. Пусть в этой точке значение параметра τ на C равно τ, а на C s τs. Тогда τ > τs, поэтому x(τ ) = x s (τs ) > x s(τ ), что противоречит неравенству (8). Т.е. поверхность F может пересечь сферу F s только вдоль края ее сегмента τ = τs > π/2, поэтому x(τ ) = x s (τs ) = r и точка P F. Покажем теперь, что τ > π/2. Действительно, пусть τ π/2, а F 0 веретенообразная поверхность вращения, для которой: ось z ось вращения, сечение z = 0 экватор радиуса r, 1/R 2 гауссова кривизна, x = x 0 (τ) и z = z 0 (τ) параметрическое задание ее сечения C 0 плоскостью y = 0. Тогда ее диаметр D 0 = 2 π/2 0 R 2 r 2 sin 2 σdσ < 2(R+ R 2 r 2 ) = 2H. (11) Сравним площади проекций на плоскость z = 0 поясов поверхностей F и F 0, полученных при вращении частей сечений C и C 0, соответствующих значениям параметра от τ до τ. π(r 2 x 2 (τ)) = τ τ cosτ K d ω < τ τ R 2 cosτd ω < π/2 τ R 2 cosτd ω = π(r 2 x 0 (τ)), (12) где d ω = 2π sin τ dτ элемент площади пояса сферического изображения поверхности. Из (12) следует, что x 0 (τ) < x(τ), поэтому [4, c. 159] поверхность F лежит внутри поверхности F 0. Но тогда, учитывая (11), заключаем, что высота сегмента τ τ поверхности 10 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

11 F меньше H, что противоречит условию теоремы. Значит, вдоль края F τ s > τ > π/2, т.е. сегмент z 0 поверхности F выпуклый колпак. Обозначим через R радиус экватора поверхности F(R = x(π/2) < R), а через F 0 веретенообразную поверхность вращения с радиусом экватора R, содержащую осесимметричный сегмент с радиусом основания r и с высотой H. Пусть K 0 гауссова кривизна поверхности F 0. Тогда согласно условиям теоремы и ограничениям (6), (7) имеем K 0 K 0 < K. Поэтому [4, 25, п. VIII] поверхность F лежит внутри поверхности F 0, следовательно, высота сегмента z 0 поверхности F меньше H. Теорема 3 доказана. Автор благодарит А. Д. Милку и А. И. Медяника за полезные обсуждения работы. 1. Погорелов А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. Москва: Наука, с. 2. Бабенко В. И. К геометрической теории потери устойчивости жестко закрепленных строго выпуклых оболочек при внешнем давлении // Докл. АН УССР. Сер. А С Погорелов А. В. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек. Киев: Наук. думка, с. 4. Бляшке В. Круг и шар. Москва: Наука, с. Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина НАН Украины, Харьков Поступило в редакцию V.I. Babenko On the estimate of the Gauss curvature of strictly convex surfaces The estimates for a minimum of the Gauss curvature on a strictly convex surface by its two parameters are obtained. ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 11

12 УДК О.С. Бичков Про критерiй iснування копозитивних розв язкiв рiвняння Ляпунова (Представлено членом-кореспондентом НАН України А. О. Чикрiєм) Дослiджено лiнiйнi гiбриднi автомати, що заданi на конусi. Для дослiдження стiйкостi їх розв язкiв прийнято використовувати метод функцiй Ляпунова, який вимагає побудови матриць з певними властивостями. Отримано необхiднi i достатнi умови iснування додатної на конусi матрицi H такої, що матриця A T H +HA вiд ємна. Одним з методiв дослiдження стiйкостi розв язкiв диференцiальних рiвнянь є другий метод Ляпунова. Наведемо класичну теорему. Теорема 1. Система диференцiальних рiвнянь ẋ(t) = Ax(t), (1) де A матриця розмiрностi n n, x(t) R n, є асимптотично стiйкою тодi i лише тодi, коли iснує додатно визначений розв язок H матричного рiвняння Ляпунова A T H +HA = C для будь-якої додатно визначеної матрицi C. У роботах [1 3] розглядається використання функцiй Ляпунова для дослiдження гiбридних автоматiв та систем iз перемиканнями. Розглянемо систему iз перемиканням ẋ = A i x, x R n, (2) де A i матрицi розмiрностi n n, i: [0, ) {1,2}. Необхiдно дослiдити на стiйкiсть систему (2). У лiтературi описано декiлька пiдходiв до дослiдження стiйкостi. Один iз них заснований на побудовi для кожної iз матриць A i вiдповiдного розв язку матричного рiвняння Ляпунова [4]. Нехай задано систему вигляду ẋ = A i x, C i x 0. (3) Конуси {x: C i x 0} не обов язково покривають увесь фазовий простiр. У [5] поставлено вiдкриту проблему побудови необхiдних i достатнiх умов iснування додатно визначеного розв язку рiвняння Ляпунова на конусi {x: C i x 0}. Мета роботи формулюється таким чином. Нехай задано матрицю A розмiрностi n n i конус {x: x 0}. Треба визначити необхiднi i достатнi умови iснування додатної на конусi матрицi H такої, що матриця A T H + HA вiд ємна. За допомогою простих перетворень систему (3) можна звести до системи, в якої конуси будуть мати вигляд {x: x 0}. Введемо такi позначення. N фiксоване натуральне число; 12 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

13 S N N множина дiйсних симетричних матриць розмiрностi n; clx замикання множини X R N ; A 0 (A > 0) матриця А має невiд ємнi (додатнi) елементи; int R X вiдносна внутрiшнiсть множини X R N ; Im A X = {Ax x X} образ множини X R N ; евклiдова норма в R N ; X лiнiйна оболонка пiдмножини X R N ; diml розмiрнiсть векторного пiдпростору R N ; S N одинична сфера в R N ; e i = (0,0,...,1,...,0) T i-й орт в R N. Розглянемо систему лiнiйних диференцiальних рiвнянь ẋ = Ax, де A R N N. Означення 1. Система (1) має стiйке тривiальне положення рiвноваги на замкненому опуклому конусi X R N, якщо ε > 0 δ > 0 (x(0) O ε (0) X t: 0 < t < sup{τ > > 0 x(τ) X} x(t) O δ (0)). Наведемо без доведення вiдому лему. Лема 1. Нехай опуклi конуси X, Y R N такi, що cl(x) cl(y) = {0}. Тодi iснує p R N, для якого виконується x cl(x)\{0}, y cl(y)\{0} p T x < 0 < p T y. Наслiдок. Нехай опуклi конуси X, Y R N такi, що cl(x) cl(y) = {0}. Тодi iснує невироджена матриця C R N N така, що x cl(x)\{0}, y cl(y)\{0} Cx < 0 < Cy. Доведення. Будемо розглядати випадок X {0}, Y {0}, оскiльки у випадку рiвностi одного з конусiв {0} доведення проводиться аналогiчно. У результатi застосування леми до опуклих конусiв X та Y отримаємо x cl(x)\{0}, y cl(y)\{0} p T x < 0 < p T y для деякого p R N. Покладемо C(ε) = (p,p,...,p) T +εe, ε R. Тодi x clx S N, y cly S N C(0)x < 0 < C(0)y. Оскiльки непорожнi множини clx S N, cly S N компактнi, то iснують a 0, b 0 R такi, що max x clx max S i=1,...,n et i C(0)x < a 0 < 0 < b 0 < min y cly min S i=1,...,n et i C(0)y. max i=1,...,n et i C(ε)x iснує ε > 0, для якого ви- На пiдставi неперервностi за ε, x функцiї конується x clx S N, y cly S N, ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 13

14 маємо max i=1,...,n et i C(ε )x a 0 < 0 < b 0 min i=1,...,n et i C(ε )y. I, як наслiдок, x clx \{0}, y cly \{0} C(ε )x < 0 < C(ε )y. Тодi можна покласти C = C(ε ). Наслiдок доведено. Лема 2. Нехай X R N опуклий конус, A R N N матриця i clx Im A clx = = {0}. Тодi iснує невироджена H S N N така, що x clx \{0} x T Hx > 0 i x T (A T H +HA)x 0. Доведення. Застосуємо наслiдок з попередньої леми до конусiв X та Im A X. Отримаємо, що x cl(x)\{0}, y Im A cl(x)\{0} Cx < 0 < Cy для деякої невиродженої матрицic. Покладемо H = C T C. Тодi при довiльномуx clx\{0} має мiсце i x T Hx = Cx 2 > 0 x T (A T H +HA)x = 2x T C T CAx = 2(Cx) T (CAx) 0, оскiльки Ax clim A X та Cx < 0 C(Ax). Отже матриця H шукана. Лему доведено. З наведеної леми можна отримати критерiй iснування додатної квадратичної функцiї Ляпунова для системи (1) на конусi {x R N : x 0}. Теорема 1. Необхiдною i достатньою умовою для iснування невиродженої матрицi H S n n такої, що H > 0 i A T H +HA < 0 є x 0, x 0, Ax 0. Доведення. Необхiднiсть випливає з того, що припустивши iснування x 0 0, x 0 0, для якого Ax 0 0, отримаємо x T 0(A T H + HA)x 0 = 2(Hx 0,Ax 0 ) > 0, оскiльки Hx 0 0, Ax 0 0 i обидва не дорiвнюють нулю, що суперечить умовi A T H +HA < 0. Достатнiсть випливає з леми 2. Теорему доведено. Наслiдок. Нехай A R N N невироджена матриця i система (1) має стiйке тривiальне положення рiвноваги на замкненому опуклому конусi X. Шляхом зведення до дiйсної канонiчної форми матрицю А можна подати у виглядi A = T(A 1 A 2 )T 1, де T R N N невироджена матриця, A 1 R k k, A 2 R l l гурвiцевi матрицi (допускається k = 0, якщо A гурвiцева). Виконаємо замiну змiнних x = T y. Оскiльки для системи з гурвiцевою матрицею завжди iснує квадратична функцiя Ляпунова на всьому просторi, для системи (1) iснує квадратична функцiя Ляпунова на X тодi i лише тодi, коли для системи ẏ = A 2 y iснує квадратична функцiя Ляпунова на Pr 2 Im T 1 X. 14 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

15 Згiдно з лемою 2 така функцiя буде iснувати, якщо Im A Pr 2 Im T 1 X Pr 2 Im T 1 X = {0}. Розглянемо систему ẋ = Ax, Gx 0, (4) де A, G R n n, A невироджена. Зробимо невироджену замiну змiнних y = (y 1,...,y n ) T = = Tx таку, що для деяких iндексiв 0 i < j n + 1 має мiсце Gx 0 y 1,...,y i 0, y j,...,y n = 0. Можна без обмеження загальностi вважати, що обмежень y j,...,y n = 0 немає. Тодi система (4) рiвносильна системi ẏ = TAT 1 y = Ay, y 1,...,y i 0. (5) Якщо в результатi цих дiй i = n, тобто на всi змiннi y i накладається умова невiд ємностi, то можна застосувати твердження: якщо y 0, y 0 має мiсце Ay 0, то iснує квадратична форма y T Hy, H S n n, така, що для довiльного y 0, y 0 має мiсце y T Hy > 0 i y T (A T H +HA)y < 0, тобто для довiльного x такого, що Gx 0 виконується: 1) x T T T HTx > 0; 2) x T T T ((TA T T 1 ) T H + HTAT 1 )Tx = x T (A T T T HT + T T HTA)x < 0 i квадратична форма x T T T HTx може виступати як функцiя Ляпунова на Gx 0. Можна навести приклад, який демонструє можливiсть ситуацiї, коли стан лiнiйного гiбридного автомата «локально стiйкий» (гiбридний автомат завжди перебуває в цьому станi скiнченний час, пiсля чого залишає цей стан), але при цьому не iснує вiдповiдної стану квадратичної функцiї Ляпунова. Зауважимо, що неквадратичну функцiю Ляпунова побудувати можна. Введемо такi позначення. Для невиродженого лiнiйного оператора A на R N позначимо Dn A (X) = n Im A i X, n 0; d A n (X) = dim DA n (X), n 0; νa (X) найменше n 0, для i=0 якого Dn(X) A = {0}, або, якщо такого не iснує. Верхнi iндекси будемо опускати, коли вважаємо A фiксованим. Мають мiсце такi властивостi: 1) X Y D n (X) D n (Y); 2) D n (X Y) D n (X) D n (Y); 3) D n (X Y) = D n (X) D n (Y); 4) D n (X \ Y) D n (X) \ Y ; 5) D m (D n (X)) = D m+n (X); 6) X ЗОК/СЗОК D n (X) ЗОК/СЗОК (ЗОК замкнений опуклий конус). Лема 3. Нехай A R N N, A є гурвiцевою матрицею i система (1) на ЗОК X R N має стiйке тривiальне положення рiвноваги. Тодi ν A (X) <. Доведення. Припустимо супротивне: n N Dn(X) мiстить ненульовий вектор. Тодi послiдовнiсть множин D n (X) S N є послiдовнiстю вкладених непорожнiх компактiв, тому a S N D n (X) = S N Im A nx, звiдки n N A n a X. З цього випливає, що n 0 t > 0, n N c n (t) = n 0 n i=0 t i i! (Ai a) X, ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 15

16 а отже, exp(at)a = lim n c n(t) X. Таким чином, iснує ненульова (бо a S) траєкторiя x (t) = exp(at)a вихiдної системи, що лежить в X для t > 0. Оскiльки A гурвiцева, то x (t) необмежена, що суперечить припущенню про стiйкiсть системи на X. Лему доведено. Лема 4. Нехай X R N замкнений опуклий конус зi скiнченною множиною твiрних у R N i ν A (X) = n + 1. Тодi iснують замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних X j, j = 1,...,m, такi, що m X j = X i d n (X j ) < d n (X). j=1 Доведення. Покладемо X 1 = D n (X), Y = X \ int R D n (X); X = X 1 Y. Тодi d n (X 1 ) = 0 < d n (X), оскiльки D 1 (X 1 ) = D n+1 (X) = {0}, i d n (Y) < d n (X), оскiльки D n (X \ int R D n (X)) D n (X) \ int R D n (X). Оскiльки X замкнений опуклий конус зi скiнченною множиною твiрних у R N, то Y можна подати об єднанням елементiв скiнченної множини замкнених опуклих конусiв зi скiнченною множиною твiрних X 2,...,X m, для яких d n (X j ) d n (Y) < d n (X). Лему доведено. Наслiдок. Нехай X R N замкнений опуклий конус зi скiнченною множиною твiрних у R N i ν A (X) <. Тодi iснують замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних X j, j = 1,...,m, такi, що m X j = X i ν(x j ) 1. j=1 Доведення. Доведемо лему iндукцiєю за параметром r(x) = (ν(x),d ν(x) 1 (X)) N 2 0. Тут d 1 0. Будемо вважати множину N0 2 лексикографiчно (цiлком) впорядкованою. При r(x) = (0,d) та r(x) = (1,d) твердження очевидне. Припустимо, що лему доведено у випадку r(x) < r 0 i доведемо у випадку r(x) = r 0. За лемою 4 подамо X у виглядi скiнченного об єднання замкнених опуклих конусiв зi скiнченною множиною твiрних Y j, j = 1,...,m, для яких d ν(x) 1 (Y j ) < d ν(x) 1 (X). Тодi для кожного j можливi два випадки: 1) якщо d ν(x) 1 (Y j ) = 0, то ν(y j ) < ν(x) i r(y j ) < r(x); 2) iнакше ν(y j ) > ν(x) 1, тому ν(y j ) = ν(x) i d ν(yj ) 1(Y j ) < d ν(x) 1 (X) i r(y j ) < r(x). В обох випадках r(y j ) < r 0 i за припущенням iндукцiї кожну з множин Y j можна подати скiнченним об єднанням замкнених опуклих конусiв Xj, i для яких ν(xj) 1 1. Наслiдок доведено. Теорема 2. Нехай A R N N невироджена i система (1) на замкненому опуклому конусi зi скiнченною множиною твiрних X R N має стiйке тривiальне положення рiвноваги. Тодi iснують замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних X j, j = 1,...,m, такi, що m X j = X i на кожному X j iснує квадратична функцiя Ляпунова j=1 для системи (1). Доведення. Шляхом зведення до дiйсної канонiчної форми матрицю A подамо у виглядi A = T 1 (A 1 A 2 )T, 16 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

17 де A 1 R N 1 N 1, A 2 R N 2 N 2, T R N N невиродженi матрицi, A 1 i A 2 гурвiцевi матрицi. Тому без обмеження загальностi можна вважати, щоa = A 1 A 2. За теоремою Ляпунова iснує додатно визначена квадратична форма V(x 1 ) = x T 1 H1 x 1, H 1 R N 1 N 1, яка є функцiєю Ляпунова для системи ẋ 1 = A 1 x 1 на R N 1. Позначимо через Pr 2 проектування на пiдпростiр e N1 +1,...,e N2 простору R N. Тодi Pr 2 X є замкнений опуклий конус у R N 2, на якому система ẋ 2 = A 2 x 2 має стiйке тривiальне положення рiвноваги. За наслiдком з леми 4, лемами 3 та 2, iснують замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних X1,...,X 2 m 2 R N 2 такi, що m Xj 2 = Pr 2X i на кожному з них iснує функцiя Ляпунова V j (x 2 ) = x T 2H 2 jx 2 для системи ẋ 2 = A 2 x 2. Покладемо замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних таким чином: X j = X m (R N Xj 2 ), j = 1,...,m, X j = X. j=1 Перевiримо, що для кожного j квадратична форма j=1 V j (x) = x T H j x T, j = 1,...,m, де H j = H 1 Hj 2, буде функцiєю Ляпунова для системи ẋ = Ax на вiдповiдному замкненому опуклому конусi зi скiнченною множиною твiрних X j. 1. Якщо x = (x 1,x 2 ) X j \{0}, то V(x) = V 1 (x 1 )+V 2 (x 2 ) > 0, оскiльки x 2 Pr 2 X. 2. Якщо в деякий момент t траєкторiя x(t) = (x 1 (t),x 2 (t)) X j, то V(x(t)) = V 1 (x 1 (t))+ + V 2 (x 2 (t)) 0, причому строго менше нуля, якщо N 1 > 0. Теорему доведено. Таким чином, лема 2, теорема 1 та наслiдки з неї за певних умов гарантують iснування квадратичної функцiї Ляпунова для локально стiйкого стану. Проте можна побудувати приклад локально стiйкого стану (з iнварiантною множиною у виглядi замкнених опуклих конусiв), для якого квадратичної функцiї Ляпунова не iснує. Незважаючи на це, теорема 2 показує, що при достатньо загальних умовах локально стiйкий стан гiбридного автомата можна розщепити на скiнченну множину станiв, на кожному з яких iснує квадратична функцiя Ляпунова. 1. Branicky M. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems // IEEE Trans. Automat. Contr , No 4. P Johansson M., Rantzer A. Computation of piecewise quadratic Lyapunov functions for hybrid systems // Ibid. P ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 17

18 3. Бычков А. С., Меркурьев М. Г. Достаточные условия устойчивости стационарного состояния линейных гибридных автоматов // Управляющие системы и машины С Liberzon D., Hespanha J. P., Morse A. S. Stability of switched systems: A Lie-algebraic condition // Systems Control Lett No 37. P Unsolved problems in mathematical systems and control theory / Ed. by V. D. Blondel, A. Megretski. Princeton: Princeton University Press, p. Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка Надiйшло до редакцiї O.S. Bychkov On the existence criterion of copositive solutions of the Lyapunov equation Linear hybrid automats which are defined on a cone are described. To study the solution stability, it is accepted to use the method of Lyapunov functions which requires the construction of matrices with certain properties. The necessary and sufficient conditions of existence of a matrix H positive on a cone such that the matrix A T H +HA is negative are obtained. 18 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

19 УДК П.О. Касьянов Про слабку розв язнiсть класу еволюцiйних варiацiйних нерiвностей в нескiнченновимiрних просторах (Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Скопецьким) Дослiджено клас еволюцiйних варiацiйних нерiвностей з w λ -псевдомонотонними вiдображеннями. Методом штрафу доведено слабку розв язнiсть для класу еволюцiйних варiацiйних нерiвностей з iстотно нелiнiйними псевдомонотонними на W 1 багатозначними операторами. Одержано рiвномiрнi апрiорнi оцiнки в L 1 (S;V ) на похiднi наближених розв язкiв. Багато важливих прикладних задач зводяться до так званих задач з одностороннiми граничними умовами або до варiацiйних нерiвностей, що породжують диференцiально-операторнi включення. Найпростiшим прикладом подiбного роду є така проблема [1 4]: в областi Ω з границею Γ знайти розв язок рiвняння y = f такий, що на Γ виконуються умови u 0, u 0, n u u n = 0. Узагальнений розв язок такої задачi задовольняє не iнтегральну тотожнiсть (як, наприклад, у задачi Дiрiхле), а деяку iнтегральну нерiвнiсть, яку називають варiацiйною нерiвнiстю. Новий роздiл теорiї рiвнянь у частинних похiдних теорiя варiацiйних нерiвностей, сформувався у 60-х роках минулого сторiччя. Джерелом для виникнення даної теорiї стала задача iз теорiї пружностi задача Сiньйорiнi, повнiстю вивчена в роботi Г. Фiкери [5], в якiй було закладено основи теорiї варiацiйних нерiвностей. Потiм дослiдження варiацiйних нерiвностей було продовжено в роботах Ж.-Л. Лiонса [4], Г. Стампакк ї [6] та їхнiх учнiв. Зокрема, розглядалася абстрактна постановка задач, що зводились до таких нерiвностей. У цiй роботi дослiджується питання розв язностi класу еволюцiйних варiацiйних нерiвностей з багатозначними W λ -псевдомонотонними вiдображеннями. З огляду на застосування постає питання щодо розв язностi еволюцiйної варiацiйної нерiвностi з оператором, який зображається у виглядi монотонного та демiнеперервного оператора. Тим самим було б доречно одержати узагальнення вiдомих результатiв, в яких умова обмеженостi похiдної в означеннi псевдомонотонного оператора вiдсутня [4 15]. Постановка задачi. Нехай (V 1, V1 ) та (V 2, V2 ) дiйснi рефлексивнi банаховi простори, неперервно вкладенi в дiйсний гiльбертiв простiр (H,(, )), такi, що для деякої злiченної множини Φ V = V 1 V2, Φ щiльна в просторах V, V 1, V 2 та в H. Пiсля ототожнення H H одержимо V 1 H V1, V 2 H V2 з неперервними та щiльними вкладеннями. Тут (V i, V i ) топологiчно спряжений простiр до V i вiдносно форми, Vi : V i V i R, яка збiгається на H V зi скалярним добутком (, ) в H. ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 19

20 Розглянемо функцiональнi простори X i = L ri (S;H) L pi (S;V i ), i = 1,2, де S = [0,T] скiнченний iнтервал часу, 1 < p i r i < +. Простори X i є рефлексивними банаховими просторами з нормами y Xi = y Lpi (S;V i ) + y Lri (S;H). Розглянемо також рефлексивний банахiв простiр X = X 1 X2 з нормою y X = y X1 + + y X2. Нехай X i топологiчно спряжений простiр до X i. Тодi X = X 1 +X 2 = L q 1 (S;V 1 )+L q 2 (S;V 2 )+L r 1 (S;H)+L r 2 (S;H), де r 1 i +r i 1 = 1 pi +q 1 i = 1, i = 1,2. Визначимо спарювання на X X f,y = (f 11 (τ),y(τ)) H dτ + (f 12 (τ),y(τ)) H dτ + f 21 (τ),y(τ) V1 dτ + S S + f 22 (τ),y(τ) V2 dτ = (f(τ),y(τ))dτ, S S де f = f 11 + f 12 + f 21 + f 22, f 1i L r i (S;H), f 2i L qi (S;Vi ), i = 1,2. Вiдзначимо, що, збiгається зi скалярним добутком в H = L 2 (S;H) на H X. Розглянемо нерефлексивний банахiв простiр W 1 = {y X y L 1 (S;V )} з нормою u W1 = u X + u L1 (S;V ), u W 1.Тут u похiдна вiд елемента u X у сенсi простору скалярних розподiлiв D (S;V ) = L(D(S);Vw), з V = V 1 V 2 ; Vw збiгається з V = V1 +V2 з топологiєю σ(v,v) [7]. Для строгого багатозначного вiдображення A: X X визначимо верхню [A(y),ω] + = = sup d,w X i нижню [A(y),ω] _ = inf d,w X опорнi функцiї, де y, ω X, а також d A(y) d A(y) верхню A(y) + = sup d X i нижню A(y) _ = inf d X норми [10, 11]. Позначимо d A(y) d A(y) через C v (X ) сiм ю всiх непорожнiх замкнених опуклих обмежених пiдмножин з простору X. Далi, y n y в X буде означати, що y n слабко збiгається до y в X. Для багатозначних (у загальному випадку) вiдображень A: X 1 X1, B: X 2 X2, опуклої замкненої множини K X (0 K) та фiксованої функцiї f X ставиться задача на пошук слабкого розв язку еволюцiйної варiацiйної нерiвностi: { w,w y X +[A(y),w y] + +[B(y),w y] + f,w y X w K W 2, (1) y K. Основнi результати. Уточнимо умови на параметри задачi (1), для якої доведемо слабку розв язнiсть. При доведеннi використаємо метод штрафа [4]. Внаслiдок теореми Асплунда можемо вважати, що простiр V (разом iз топологiчно спряженим) є строго нормованим рефлексивним банаховим простором. Як оператор штрафа β та опуклу множину K розглянемо β(y)(t) = β(y(t)), K = K(t) для майже всiх t S, де β(v) = J(v P K v), v V [4], J: V V визначається так: S J(v) V v V = J(v),v, J(v) V = v p 1 V, 20 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

21 P K ортогональний проектор iз строго нормованого простору V на замкнену опуклу множину K за нормою в V. Зауважимо, що β(v) = 0 v K. Бiльше того, вiдображення β: V V обмежене, монотонне, демiнеперервне, а отже, β: X X λ-псевдомонотонне на X обмежене вiдображення [4, 15]. Означення 1. Строге багатозначне вiдображення A: X C v (X ) називається: +-коерцитивним, якщо iснує дiйсна функцiя γ: R + R така, що γ(s) + при s + та [A(y),y] + γ( y X ) y X y X; обмеженим, якщо L > 0 l > 0 таке, що A(y) + l y X: y X L; монотонним, якщо [A(y 1 ) A(y 2 ),y 1 y 2 ] + 0 y 1, y 2 X; λ 0 -псевдомонотонним на W 1, якщо для довiльної {y n } n 1 W 1, y 0 X та деякого C > 0 таких, що y n y 0 в X, n 1 y n L 1 (S;V ) C, d n d 0 в X, де d n A(y n ) n 1, iз нерiвностi lim d n,y n y 0 n X 0 випливає iснування пiдпослiдовностi {y nk,d nk } k 1 {y n,d n } n 1 такої, що lim d nk,y nk w X [A(y 0 ),y 0 w] w X. k Теорема 1. Нехай виконанi такi умови: а) оператор A: X 1 C v (X 1) обмежений, λ 0 -псевдомонотонний на W 1 та +-коерцитивний; б) оператор B: X 2 C v (X 2) обмежений, λ 0 -псевдомонотонний на W 1 та +-коерцитивний; в) K V опукла замкнена множина, 0 V, intk. Тодi, для довiльного f X iснує розв язок задачi (1). Для довiльного ε > 0 розглянемо нове вiдображення A ε (y) := A(y)+B(y)+ 1 β(y), y X. ε Лема 1. Для довiльного ε > 0 оператор A ε обмежений, λ 0 -псевдомонотонний на W 1 та коерцитивний, а задача y ε +A(y ε)+b(y ε )+ 1 ε β(y ε) f, y ε (0) = 0, y ε W 1, має розв язок y ε такий, що y ε X c, A(y ε ) + c, B(y ε ) X c, y ε L 1 (S;V ) c ε > 0, для деякого c > 0, яке не залежить вiд ε > 0. П р и к л ад. Розглянемо обмежену область Ω R n з достатньо гладкою межею Ω, S = [0,T], Q = Ω (0;T), Γ T = Ω (0;T). Нехай при i = 1,2, m i N, N1 i (вiдповiдно, Ni 2 ) число диференцiювань за x порядку m i 1 (вiдповiдно, m i ) та {A i α(x,t,η,ξ)} α mi сiм я дiйсних функцiй, означених на Q R Ni 1 R N i 2. Нехай D k u = {D β u, β = k} диференцiювання за x, ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 21

22 δ i u = {u,du,...,d mi 1 u}, A i α (x,t,δ iu,d mi v): x,t A i α (x,t,δ iu(x,t),d mi v(x,t)). Розглянемо таку задачу на пошук невiд ємних розв язкiв: y(x, t) + ( 1) α D α (A 1 t α(x,t,δ 1 y(x,t),d m1 y(x,t)))+ α m 1 + ( 1) α D α (A 2 α (x,t,δ 2y(x,t),D m2 y(x,t))) f(x,t) в Q, (2) α m 2 ( y(x, t) y(x, t) + ( 1) α D α (A 1 α t (x,t,δ 1y(x,t),D m1 y(x,t)))+ α m 1 + α m 2 ( 1) α D α (A 2 α(x,t,δ 2 y(x,t),d m2 y(x,t))) f(x,t) ) = 0 в Q, (3) y(x,t) 0 в Q, y(x,0) = 0 в Ω, (4) D α y(x,t) = 0 в Γ T при α m i та i = 1,2. (5) Припустимо, що H = L 2 (Ω) та V i = W m i,p i 0 (Ω) з p i (1,2]: V i H неперервно, m 1 p 1 > n. Означення операторiв A i. Нехай A i α (x,t,η,ξ), означенi в Q RNi 1 R N i 2, задовольняють умови: для майже всiх x, t Q η, ξ A i α(x,t,η,ξ) неперервна на R Ni 1 R N i 2 ; для всiх η, ξ вiдображення x, t A i α(x,t,η,ξ) вимiрне на Q; u,v L p i (0,T;V i ) =: X i A i α (x,t,δ iu,d m i u) L q i (Q). (6) Тодi для всiх u X i вiдображення w a i (u,w) = A i α (x,t,δ iu,d m i u)d α wdxdt неперервне на X i i α m i Q A i (u) X i : a i (u,w) = A i (u),w. (7) Припустимо, що A i α (x,t,η,ξ)ξ 1 α ξ + ξ p i 1 α =m i + при ξ (8) для майже всiх x, t Q та обмежених η ; α =m i (A i α(x,t,η,ξ) A i α(x,t,η,ξ ))(ξ α ξ α) > 0 при ξ ξ (9) для майже всiх x, t Q та η. 22 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

23 Достатня умова коерцитивностi: α =m i A i α (x,t,η,ξ)ξ α c ξ pi для великих ξ. (10) Достатнi умови (6) (див. [8], c. 332): A i α (x,t,η,ξ) c[ η p i 1 + ξ p i 1 +k(x,t)], k L qi (Q). (11) Твердження 1. Нехай оператор A i : X i X i (i = 1,2), визначений у (7), задовольняє (6) (11). Тодi A i λ-псевдомонотонний на W 1, коерцитивний та обмежений. Для майже всiх t S покладемо K = K(t) = {v W m 1,p 1 0 (Ω) W m 2,p 2 0 (Ω) v(x) 0 м.с. в Ω}. (12) За перерахованих вище умов на A i α дану проблему перепишемо, як (1), де f X = = L 2 (S;L 2 (Ω)) +L q1 (S;W m 1,q 1 (Ω))+L q2 (S;W m 2,q 2 (Ω)) (p 1 i +qi 1 = 1). Елемент y X, що задовольняє (1), називається слабким розв язком задачi (2) (5). Теорема 2. За умов (6) (12), задача (2) (5) має слабкий розв язок. 1. Толстоногов А. А., Уманский Я. И. О решениях эволюционных включений // Сиб. мат. журн , 3, 4. С Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. Bucuresti: Editura Acad., p. 3. Bresis H. Problems unilateraux // J. Math. Pures et Appl P Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. Москва: Наука, с. 5. Fichera G. Problemi elastostatici con vincoli unilateral: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno // Mem. Accad. Naz. Lincei , No 7. P Stampacchia G. Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes // C. R. Acad. Sci. Paris P Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. Москва: Мир, с. 8. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва: Мир, с. 9. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. New York: Springer, p. 10. Згуровский М. З., Мельник В. С. Неравенство Ки Фаня и операторные включения в банаховых пространствах // Кибернетика и систем. анализ С Мельник В.С. Мультивариационные неравенства и операторные включения в банаховых пространствах с отображениями класса // Укр. мат. журн , 11. С Мельник В. С. О критических точках некоторых классов многозначных отображений // Кибернетика и систем. анализ С Згуровский М. З., Мельник В. С., Новиков А. Н. Прикладные методы анализа и управления нелинейными процессами и полями. Київ: Наук. думка, с. 14. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационых неравенств с многозначными отображениями // Кибернетика и систем. анализ: Ч. I С ; Ч. II С ; Ч. III С Касьянов П. О., Мельник В. С. О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями w λ0 -псевдомонотонного типа // Укр. мат. вiсн , 4. С Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка Надiйшло до редакцiї ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 23

24 P.O. Kasyanov Оn the weak solvability for a class of evolution variation inequalities in infinite-dimensional spaces We consider the class of evolution variation inequalities with w λ -pseudomonotone maps. The weak solvability for a class of evolution variation inequalities with nonlinear multivalued operators pseudomonotone on W 1 is proved by using the penalty method. The uniform a priori estimations in L 1 (S;V ) for the derivatives of approximate solutions are obtained. 24 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

25 УДК / Л.А. Курдаченко, Х.М. Муньос-Есколано, Х. Отал, М. М. Семко Локально нiльпотентнi лiнiйнi групи з деякими обмеженнями для пiдгруп нескiнченної центральної вимiрностi (Представлено академiком НАН України А. М. Самойленком) Дослiджено локально нiльпотентнi лiнiйнi групи, у яких система пiдгруп, що мають нескiнченну центральну вимiрнiсть, задовольняє слабку умову мiнiмальностi. Нехай F поле, A векторний простiр над F. Група GL(F,A) усiх автоморфiзмiв A та рiзнi її пiдгрупи (лiнiйнi групи) являють собою один з найдавнiших об єктiв дослiджень в алгебрi. Теорiя лiнiйних скiнченновимiрних груп є однiєю з найбiльш розвинених в теорiї груп. Однак у випадку, коли dim F A є нескiнченною, ситуацiя кардинально iнша. Вивчення лiнiйних груп у цьому випадку потребує iстотних додаткових обмежень. У статтi [1] було розпочато вивчення нескiнченновимiрних лiнiйних груп, якi у деякому сенсi є близькими до скiнченновимiрних. Цей пiдхiд базується на такому поняттi: якщо H пiдгрупа GL(F,A), то H реально дiє на факторпросторi A/C A (H). Наслiдуючи [1], будемо говорити, що H має скiнченну центральну вимiрнiсть, якщо dim F (A/C A (H)) скiнченна. У цьому випадку dim F (A/C A (H)) називатиметься центральною вимiрнiстю пiдгрупи H i позначатиметься через centdim F (H). НехайG GL(F,A) та нехайl icd (G) це система всiх пiдгрупg, що мають нескiнченну центральну вимiрнiсть. Природно розглядати такi лiнiйнi групи G, у яких система L icd (G) буде досить невеликою у деякому сенсi. Так, у статтi [1] розглядались лiнiйнi групи, у яких система L icd (G) задовольняє умову мiнiмальностi. Протилежна ситуацiя, тобто лiнiйнi групи, у яких система L icd (G) задовольняє умову максимальностi, розглядалась у роботi [2]. Слабкi умови мiнiмальностi та максимальностi є природним узагальненням звичайних умов мiнiмальностi та максимальностi. Цi умови введенi в теорiю груп Р. Бером [3] та Д.I. Зайцевим [4]. Витоки їх можна знайти у поняттi вимiрностi Крулля, яка вiдiграє вагому роль в теорiї кiлець та модулiв. Нехай G група, M система її пiдгруп. Будемо говорити, що M задовольняє слабку умову мiнiмальностi (вiдповiдно, максимальностi) або G задовольняє слабку умову мiнiмальностi (вiдповiдно, максимальностi) для M-пiдгруп, якщо для кожної спадаючого (вiдповiдно, зростаючого) ряду {H n n N} пiдгруп системи M iснує такий номер m N, що iндекси H n : H n+1 (вiдповiдно, H n+1 : H n ) будуть скiнченними при n m. Групи зi слабкими умовами мiнiмальностi i максимальностi для рiзноманiтних важливих систем пiдгруп вивчалися багатьма дослiдниками (див., напр., [5, 5.1; 6; 7]). Будемо говорити, що група G GL(F,A) задовольняє слабку умову мiнiмальностi (вiдповiдно, максимальностi) для пiдгруп нескiнченної центральної вимiрностi або, коротше, W min icd (вiдповiдно, W max icd), якщо система L icd (G) задовольняє слабку умову мiнiмальностi (вiдповiдно, максимальностi). ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 25