Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України"

Transcription

1 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця РЕДАКЦIЙНА КОЛЕГIЯ ЖУРНАЛУ П. Г. Костюк (головний редактор), С. А. Андронатi, В. Г. Бар яхтар, А. Ф. Булат, Г. М. Гавричкова (заст. головного редактора), В. В. Гончарук, Я. М. Григоренко, В. Т. Грiнченко, Д. М. Гродзинський, О. М. Гузь, В. М. Єремєєв, В. П. Кухар, I. М. Коваленко, С. В. Комiсаренко, В. С. Королюк, О. О. Мойбенко, А. Г. Наумовець (заст. головного редактора), I. М. Неклюдов, Г. Г. Полiкарпов, В. Д. Походенко, I. К. Походня, А. М. Самойленко, В. П. Семиноженко, I. В. Сергiєнко, О. О. Созинов, В. I. Старостенко, Б. С. Стогнiй, В. М. Шестопалов, А. П. Шпак, М. П. Щербак, Я. С. Яцкiв Нацiональна академiя наук України, 2009

2 Змiст Математика Бабенко В.И. К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей... 7 Бичков О. С. Про критерiй iснування копозитивних розв язкiв рiвняння Ляпунова Касьянов П.О. Про слабку розв язнiсть класу еволюцiйних варiацiйних нерiвностей в нескiнченновимiрних просторах Курдаченко Л.А., Муньос-Есколано Х.М., Отал Х., Семко М.М. Локально нiльпотентнi лiнiйнi групи з деякими обмеженнями для пiдгруп нескiнченної центральної вимiрностi Михайлец В.А., Мурач А.А. Об эллиптических операторах на замкнутом компактном многообразии Назарчук З.Т., Кулинич Я.П. Кубатурна формула iнтерполяцiйного типу для обчислення деякого класу гiперсингулярних iнтегралiв Iнформатика та кiбернетика Механiка Фiзика Божко А.Е. Сингуларисная форма регулярных сигналов в системах автоматического управления Грицик В.В. Опис алгоритмiв паралельно-рекурсивної обробки даних в системах реального часу Забара С.С., Фiлiмонова Н.Б., Зеленський К.Х. Метод видiлення iнварiантних ознак сигналiв Рабинович З.Л., Бєлов Ю.А. Пам ять людини й мислення образне й символьне (концептуальне модельне вiдтворення) Божко А.Е., Мягкохлеб К.Б. Энергетический метод определения коэффициентов упругости в электромагнитных вибровозбудителях Гуляєв В. I., Луговий П. З., Соловйов I. Л. Критичнi стани цилiндричних оболонок пiд дiєю вiдцентрових та слiдкуючих осьових навантажень Каминский А.А., Кипнис Л.А., Полищук Т.В. О модели пластической зоны предразрушения в угловой точке границы раздела сред Кондрат В.Ф., Грицина О.Р. До опису аномалiї Мiда у тонких дiелектричних плiвках Рожок Л.С. Рiвновага порожнистих цилiндрiв з гофрованим елiптичним поперечним перерiзом при дiї локального навантаження Шульга М.О. Про повну систему рiвнянь електропружностi Радчук В.В. Аномальний радiацiйний вiдгук алюмiнiєвих центрiв у кварцi та ретроспективна ЕПР дозиметрiя... 99

3 Теплофiзика Авраменко А.А., Басок Б.И., Скицько А.И., Коваленко А.В. Неустойчивость потоков в вертикальном канале при смешанной конвекции Матерiалознавство Плющай I.В., Макара В.А. Електронний та магнiтний стани атомiв кисню в монокристалах кремнiю Науки про Землю Бицань Є.М. Поширення плоских сейсмiчних хвиль у п ятиелементних реологiчних тiлах Владiмiров В.А., Скуратiвський С.I. Усамiтненi хвилi з компактним носiєм у континуальному аналозi моделi гетерогенного середовища Гулiй В.М., Кривдiк С.Г., Тисячна О.М. Особливостi морфологiї та складу уламкiв порiд субстрату залiзомарганцевих конкрецiй району Кларiон-Клiппертон (Тихий океан) Иванов В.А., Фомин В.В., Черкесов Л.В., Шульга Т.Я. Исследование сгонно-нагонных движений с учетом водообмена через Керченский пролив, вызываемых прохождением циклонов в Азовском море Миньковская Р.Я. Водный баланс Севастопольского региона Хiмiя Iщенко В. В., Шабликiна О. В., Ворона Г. В., Хиля В. П. Кумаринiлiзокумарини Робота Л.П., Штомпель В.И., Гончар А.Н., Савельев Ю.В., Керча Ю.Ю. Особенности микрофазовой структуры анионоактивных полиуретаноацилсемикарбазидов Тiтов Ю.О., Бiлявiна Н.М., Маркiв В.Я., Слободяник М.С., Краєвська Я.А., Чумак В. В. Синтез та визначення кристалiчної структури шаруватих скандатiв SrLn 2 Sc 2 O Хоменко Д.М., Дорощук Р.О., Лампека Р.Д. Дослiдження будови етилового ефiру 5-(2-пiридил)-1,2,4-триазол-α-iлоцтової кислоти та комплексу з нiтратом цинку на його основi Бiологiя Губенко И.С., Суббота Р.П., Малюта С.С. Сверхпродуктивные гиперморфные регуляторные мутации генов LIM-only у дрозофилы и млекопитающих: регуляция процессов развития и онкогенеза Козлов А.В., Китам В.О., Ткачук З.Ю. Молекулярная модель взаимодействия 2-5 олигоаденилатов с протеинкиназой С Пiдгорський В. С., Коваленко Е. О., Карпова I. С., Сащук О. В., Корецька Н. В., Гетьман К.I. Вплив генотипу мутантiв Bacillus subtilis на синтез лектинiв з використанням рiзних джерел вуглецю

4 Бiофiзика Екологiя Оглобля О.В., Шут А.М., Прилуцький Ю.I. Моделi Ca 2+ -залежної регуляцiї скорочення скелетного м яза Рильський О.Ф., Домбровський К.О., Гвоздяк П.I., Капiтан О.О. Бiосорбцiя комплексу iонiв важких металiв бiоплiвкою Zannichellia palustris Contents Mathematics Babenko V. I. On the estimate of the Gauss curvature of strictly convex surfaces... 7 Bychkov O.S. On the existence criterion for copositive solutions of the Lyapunov equation.. 12 Kasyanov P.O. On the weak solvability for a class of evolution variation inequalities in infinite-dimensional spaces Kurdachenko L.A., Munoz-Escolano J.M., Otal J., Semko M.M. Locally nilpotent linear groups with some restrictions on subgroups of infinite central dimension Mikhailets V. A., Murach A. A. On elliptic operators on a closed compact manifold Nazarchuk Z.T., Kulynych Ya.P. The interpolation cubature formula for the calculation of some class of hypersingular integrals Information Science and Cybernetics Mechanics Bozhko A. E. The singularisnal form of regular signals in systems of automatic control Hrytsyk V.V. The description of algorithms of parallel-recursive data processing in real-time systems Zabara S.S., Filimonova N.B., Zelens kyi K.Kh. A method of separation of invariant features of signals Rabynovych Z.L., Belov Yu.A. Human memory and thinking figurative and symbolic (conceptual model reproduction) Bozhko A.E., Myagkokhleb K.B. The energy method for definition of elasticity coefficients in electromagnetic vibroexciters Gulyaev V.I., Lugovyi P.Z., Solov ov I.L. The critical states of cylindrical shells under the action of centrifugal and follower axial loads Kaminsky A.A., Kipnis L.A., Polischuk T.V. On the plastic prefracture zone model at the corner point of the interface of media Kondrat V.F., Hrytsyna O.R. On the description of the Mead anomaly in thin dielectric films

5 Physics Rozhok L.S. Equilibrium of hollow cylinders with corrugated elliptic cross-section under a local load Shul ga M.O. On the complete system of electroelasticity equations Radchuk V.V. The anomalous radiation-induced response of Al centers in quartz and retrospective EPR dosimetry Heat physics Avramenko A.A., Basok B.I., Skitstko A.I., Kovalenko A.V. Instability of streams in a vertical channel under combined convection Materials science Plyushchay I.V., Makara V.A. Electronic and magnetic states of oxygen atoms in Si monocrystals Geosciences Chemistry Biology Bytsan E. M. Propagation of plane seismic waves in five-element rheologic bodies Vladimirov V.A., Skurativskyy S.I. Solitary waves with compact support in a continual analog of the model of heterogeneous medium Guliy V.M., Kryvdik S.G., Tysiachna O.M. Peculiarities of the morphology and the composition of substratum rocks debris of ferromanganese nodules from the Clarion- Clipperton region (Pacific ocean) Ivanov V.A., Fomin V.V., Cherkesov L.V., Shul ga T.Ya. Study of the influence of water exchange through the Kerch strait on the surge phenomena in the Sea of Azov in the presence of cyclones Minkovskaya R.Ya. Water balance of the Sevastopol region Ischenko V. V., Shablykina O. V., Vorona A. V., Khilya V. P. Coumarinylisocoumarins Robota L.P., Shtompel V.I., Gonchar A.N., Savelyev Yu.V., Kercha Yu.Yu. Peculiarities of the microphase structure of anion-active polyurethaneacylsemicarbazide Titov Yu.A., Belyavina N.M., Markiv V.Ya., Slobodyanik M.S., Krayevska Ya.A., Chumak V.V. Synthesis and determination of the crystal structure of layer scandates SrLn 2 Sc 2 O Khomenko D.M., Doroschuk R.O., Lampeka R.D. Investigation of the structure of 5-(2- pyridyl)-1,2,4-triazol-α-ylacetic acid ethyl ester and the coordination compound with zinc nitrate Gubenko I.S., Subbota R.P., Maliuta S.S. Overproductive hypermorphic regulatory mutation of LIM-only genes in Drosophila and mammals: regulation of development and oncogenesis

6 Kozlov A.V., Kitam V.O., Tkachuk Z.Yu. Molecular model of the interaction of 2-5 oligoadenylates with protein kinase C Pidgorskyy V.S., Kovalenko E.O., Karpova I.S., Sashchuk O.V., Koretska N.V., Getman K.I. Influence of Bacillus subtilis mutants genotype on lectin synthesis with use of different carbon sources Biophysics Ecology Ogloblya O.V., Shut A.M., Prylutskyy Yu.I. Models of the Ca 2+ -dependent regulation of the skeletal muscle contraction Rylskyi O.F., Dombrovskyi K.O., Gvozdyak P.I., Kapitan O.O. Biosorption of a complex of heavy-metal ions by a biofilm of Zannichellia palustris Редактори роздiлiв Л.М. Литвинова, Л.I. Пузанкова, Т. I. Хоменко Оформлення художника В. Г. Самсонова Комп ютерна верстка В. I. Бойко, Г. В. Попович Видавничий дiм «Академперiодика» Свiдоцтво про внесення до Держреєстру суб єкта видавничої справи серiї ДК 544 вiд , Київ, вул. Терещенкiвська, 4 Пiдписано до друку Формат /16. Ум. друк. арк. 20,16. Обл.-вид. арк. 16. Тираж 300 прим. Зам Цiна 15 грн. Друкарня Видавничого дому «Академперiодика» , Київ, вул. Терещенкiвська, 4

7 оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ МАТЕМАТИКА УДК В.И. Бабенко К оценке гауссовой кривизны строго выпуклых поверхностей (Представлено академиком НАН Украины Е. Я. Хрусловым) Одержано оцiнки найменшого значення гауссової кривизни на строго випуклiй поверхнi за двома її параметрами. В геометрической теории устойчивости оболочек [1] вопрос об определении критического давления для строго выпуклой, замкнутой (или жестко закрепленной вдоль края) оболочки сводится к отысканию минимума гауссовой кривизны ее срединной поверхности [1 3]. В приведенных в [1, 3] примерах рассматривались простейшие формы оболочки. Вместе с тем при проектировании тонкостенных конструкций, когда заданы лишь некоторые ограничения на размеры оболочки, могут оказаться полезными априорные оценки для критических нагрузок в нашем случае для гауссовой кривизны срединной поверхности оболочки. В данной работе приведен ряд таких оценок, которые можно рассматривать как обобщение известных результатов О. Бонне и В. Бляшке [4]. Именно, доказаны следующие теоремы. Теорема 1. Пусть K гауссова кривизна замкнутой строго выпуклой поверхности F, ограничивающей тело, диаметр и объем которого не меньше соответственно D и V, где V πd 3 /6. Пусть K 0 гауссова кривизна веретенообразной поверхности вращения F 0, ограничивающей тело с объемом V и диаметром D. Тогда справедлива следующая оценка mink K 0, (1) где минимум берется по всем точкам поверхности F. Если V = πd 3 /6, то F 0 сфера и в (1) имеет место равенство, когда F совпадает с F 0. Если же V < πd 3 /6, то в (1) строгое неравенство, а K 0 точная верхняя граница значений mink, к которой можно подойти сколь угодно близко, беря поверхность F достаточно близкой к F 0. Доказательство. Пусть теорема неверна. Т. е. предположим, что существует удовлетворяющая условиям теоремы поверхность F, гауссова кривизна которой K K 0, (2) ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 7

8 где равенство возможно, если V < πd 3 /6. Пусть P и Q точки поверхности F, расстояние между которыми равно ее диаметру D. Переведем с помощью симметризации Шварца ограниченное поверхностью F тело L в тело вращения L с осью вращения, проходящей через точки P и Q. Затем тело L с помощью симметризации Штейнера переводим в тело вращения L, симметричное относительно плоскости α, перпендикулярной отрезку P Q и проходящей через его середину. Ограничивающая тело L поверхность вращения F, как и F, удовлетворяет условиям теоремы; ее гауссова кривизна K K 0 ; а так как радиус ее экватора R 1/ K, то R 1/ K 0 [4, 25]. Пусть F 0 веретенообразная поверхность вращения с гауссовой кривизной K 0 имеет с поверхностью F общие ось вращения, экваториальную плоскость α, радиус экватора R. Тогда тело L будет содержаться в теле L 0, ограниченном поверхностью F 0 [4, с. 157]. Поэтому диаметры D и D 0 соответственно тел L и L 0 и их объемы V и V 0 подчинены неравенствам D < D 0, V < V 0. (3) Отсюда, в частности, следует, что R < R 0, где R 0 радиус экватора поверхности F 0, о которой идет речь в формулировке теоремы. Действительно, пусть R R 0. Имеем [4] D 0 = 2 π/2 0 1 K 0 R 2 sin 2 σdσ 2 π/2 0 1 K 0 R 2 0 sin2 σdσ = D. Поэтому D < D, что противоречит условиям теоремы. Далее V 0 (R) = 2πR 2 π/2 0 1 cos 2 σ R 2 sin 2 σdσ. K 0 Нетрудно убедиться в том, что dv 0 /dr > 0, поэтому V 0 (R) < V 0 (R 0 ) = V. Отсюда с учетом (3) заключаем, что V < V, т.е. поверхность F, а значит и F, не удовлетворяет условиям теоремы, поэтому предположение (2) неверно. Теорема 1 доказана. Таким же образом доказывается и следующее утверждение. Теорема 2. Пусть K гауссова кривизна замкнутой строго выпуклой поверхности F, ограничивающей тело L, диаметр которого не меньше D; P и Q точки наf, расстояние между которыми равно диаметру тела L. Пусть максимальная площадь сечений тела L плоскостями, ортогональными отрезку PQ, не меньше S, где S πd 2 /4. Тогда mink K 0, (4) где минимум берется по всем точкам поверхности F, а K 0 гауссова кривизна веретенообразной поверхности вращения F 0 с диаметром D и радиусом экватора S/π. Если S = πd 2 /4, тоf 0 сфера и в (4) имеет место равенство, когдаf совпадает с F 0. Если же S < πd 2 /4, то в (4) строгое неравенство, а K 0 точная верхняя граница значений mink, к которой можно подойти сколь угодно близко, беря поверхность F близкой к F 0. Теорема 3. Пусть K гауссова кривизна односвязной строго выпуклой поверхности F с высотой H и с плоским краем, ограничивающим область площадью S. Пусть среди 8 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

9 всех веретенообразных поверхностей вращения, содержащих осесимметричный сегмент с высотой H и с радиусом основания r = S/π, поверхность F с таким сегментом F 0 имеет наибольшую гауссову кривизну K 0. Тогда mink K 0, (5) где минимум берется по всем точкам поверхности F. При H r F 0 сферический сегмент F s c радиусом кривизны R = (r 2 +H 2 )/2H и в (5) имеет место равенство, если F совпадает с F s. При H > r F 0 колпак, несовпадающий с F s (K 0 > 1/R 2 ), и в (5) имеет место строгое неравенство, в котором сколь угодно близко можно подойти к равенству, беря поверхность F достаточно близкой к F 0. Доказательство теоремы 3. Допустим, что теорема неверна. Т. е. существует поверхность F, для которой выполняются условия теоремы, но для ее гауссовой кривизны вместо (5) имеет место ограничение K K 0, (6) где знак равенства возможен лишь при H/r > 1, поэтому K > 1/R 2 при любых значениях H/r. Обозначим через α плоскость края поверхности F. Введем декартову систему координат (x, y, z), приняв плоскость α за координатную xy. Ось z направим в сторону поверхности F. Переведем с помощью симметризации Шварца ограниченное поверхностью F и плоскостью α выпуклое тело L в тело вращения L, которое имеет ось вращения ось z, ограничено плоскостью α и выпуклой поверхностью, которую обозначим через F. Поверхность вращения F будет иметь высоту H, ее край F окружность с радиусом кривизны r лежит в плоскости α. Пусть K гауссова кривизна поверхности F, тогда [4, c. 144] K K > 1 R 2. (7) Вместе с поверхностью F рассмотрим сферический сегмент F s с высотой H и радиусом основания r. Расположим их так, чтобы они имели общую ось вращения ось z и общий край F. Тогда они будут иметь и общую вершину O s точку их касания. Дополним сегмент F s до сферы, а F до замкнутой строго выпуклой поверхности вращения так, чтобы была непрерывной ее гауссова кривизна, для которой сохраним прежнее обозначение K, и чтобы она удовлетворяла условию (7), точнее K > 1/R 2 и K K 0 при H/r > 1. Для замкнутых поверхностей принимаем обозначения их сегментов F s и F соответственно. Пусть C s и C меридиальные сечения y = 0 соответственно поверхностей F s и F. Зададим кривые C s и C в параметрической форме x = x s (τ), z = z s (τ) и x = x(τ), z = z(τ) соответственно. В качестве параметра τ примем угол между положительным направлением оси x и касательной к кривой с началом отсчета τ = 0 в вершине O s. Для x 0 τ [0,π]. Покажем, что на интервале 0 < τ π/2 x(τ) < x s (τ). (8) Спроектируем на плоскость α(z = 0) сегменты поверхностей F s и F, полученные вращением вокруг оси z частей кривых C s и C, соответствующих значениям параметра от 0 до τ π/2. Площади их проекций равны: π[x s (τ)] 2 = R 2 cosτdω, (9) ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 9

10 cosτ π[x(τ)] 2 = dω, (10) K где dω элемент площади сферического изображения поверхности, интегрирование распространяется на соответствующие сегменты сферических изображений. Сравнивая правые части равенств (9), (10) и учитывая при этом (7), убеждаемся в справедливости утверждения (8) для 0 < τ π/2. Аналогично устанавливается его справедливость и для τ > π/2. Для радиусов кривизны ρ(τ) и ρ s (τ) R кривых C и C s непосредственно из (7) следует, что при τ = 0 имеет место неравенство ρ(τ) < ρ s (τ), которое будет справедливо и в некоторой окрестности точки τ = 0, т.е. кривая C касается окружности C s в вершине «изнутри» так, что некоторая окрестность точки τ = 0 кривой C лежит в круге M s, ограниченном окружностью C s. Кривая C целиком не принадлежит кругу M s и не касается окружности C s при τ > 0, поэтому при некотором значении параметра τ = τ кривая C пересечет окружность C s так, что часть дуги τ < τ кривой C будет принадлежать кругу M s. Обозначим через P точку этого пересечения, а через τs значение параметра τ на C s в точке P. Тогда для τs π/2 будем иметь τ < τs, поэтому x s (τ ) < x s (τs ) = x(τ ), что противоречит неравенству (8). Итак, кривая C не может пересечь окружность C s при τs π/2. Отсюда, в частности, следует, что при H r сферический сегмент F s не может иметь общий край с сегментом поверхности F, гауссова кривизна которой удовлетворяет ограничению (7); т.е. теорема доказана для случая H r. Далее рассмотрим случайh > r. Заметим, что приτ > τ криваяc более не будет иметь общих точек с кругом M s, так как в противном случае она пересечет его границу в некоторой точке P. Пусть в этой точке значение параметра τ на C равно τ, а на C s τs. Тогда τ > τs, поэтому x(τ ) = x s (τs ) > x s(τ ), что противоречит неравенству (8). Т.е. поверхность F может пересечь сферу F s только вдоль края ее сегмента τ = τs > π/2, поэтому x(τ ) = x s (τs ) = r и точка P F. Покажем теперь, что τ > π/2. Действительно, пусть τ π/2, а F 0 веретенообразная поверхность вращения, для которой: ось z ось вращения, сечение z = 0 экватор радиуса r, 1/R 2 гауссова кривизна, x = x 0 (τ) и z = z 0 (τ) параметрическое задание ее сечения C 0 плоскостью y = 0. Тогда ее диаметр D 0 = 2 π/2 0 R 2 r 2 sin 2 σdσ < 2(R+ R 2 r 2 ) = 2H. (11) Сравним площади проекций на плоскость z = 0 поясов поверхностей F и F 0, полученных при вращении частей сечений C и C 0, соответствующих значениям параметра от τ до τ. π(r 2 x 2 (τ)) = τ τ cosτ K d ω < τ τ R 2 cosτd ω < π/2 τ R 2 cosτd ω = π(r 2 x 0 (τ)), (12) где d ω = 2π sin τ dτ элемент площади пояса сферического изображения поверхности. Из (12) следует, что x 0 (τ) < x(τ), поэтому [4, c. 159] поверхность F лежит внутри поверхности F 0. Но тогда, учитывая (11), заключаем, что высота сегмента τ τ поверхности 10 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

11 F меньше H, что противоречит условию теоремы. Значит, вдоль края F τ s > τ > π/2, т.е. сегмент z 0 поверхности F выпуклый колпак. Обозначим через R радиус экватора поверхности F(R = x(π/2) < R), а через F 0 веретенообразную поверхность вращения с радиусом экватора R, содержащую осесимметричный сегмент с радиусом основания r и с высотой H. Пусть K 0 гауссова кривизна поверхности F 0. Тогда согласно условиям теоремы и ограничениям (6), (7) имеем K 0 K 0 < K. Поэтому [4, 25, п. VIII] поверхность F лежит внутри поверхности F 0, следовательно, высота сегмента z 0 поверхности F меньше H. Теорема 3 доказана. Автор благодарит А. Д. Милку и А. И. Медяника за полезные обсуждения работы. 1. Погорелов А.В. Геометрическая теория устойчивости оболочек. Москва: Наука, с. 2. Бабенко В. И. К геометрической теории потери устойчивости жестко закрепленных строго выпуклых оболочек при внешнем давлении // Докл. АН УССР. Сер. А С Погорелов А. В. Изгибания поверхностей и устойчивость оболочек. Киев: Наук. думка, с. 4. Бляшке В. Круг и шар. Москва: Наука, с. Физико-технический институт низких температур им. Б. И. Веркина НАН Украины, Харьков Поступило в редакцию V.I. Babenko On the estimate of the Gauss curvature of strictly convex surfaces The estimates for a minimum of the Gauss curvature on a strictly convex surface by its two parameters are obtained. ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 11

12 УДК О.С. Бичков Про критерiй iснування копозитивних розв язкiв рiвняння Ляпунова (Представлено членом-кореспондентом НАН України А. О. Чикрiєм) Дослiджено лiнiйнi гiбриднi автомати, що заданi на конусi. Для дослiдження стiйкостi їх розв язкiв прийнято використовувати метод функцiй Ляпунова, який вимагає побудови матриць з певними властивостями. Отримано необхiднi i достатнi умови iснування додатної на конусi матрицi H такої, що матриця A T H +HA вiд ємна. Одним з методiв дослiдження стiйкостi розв язкiв диференцiальних рiвнянь є другий метод Ляпунова. Наведемо класичну теорему. Теорема 1. Система диференцiальних рiвнянь ẋ(t) = Ax(t), (1) де A матриця розмiрностi n n, x(t) R n, є асимптотично стiйкою тодi i лише тодi, коли iснує додатно визначений розв язок H матричного рiвняння Ляпунова A T H +HA = C для будь-якої додатно визначеної матрицi C. У роботах [1 3] розглядається використання функцiй Ляпунова для дослiдження гiбридних автоматiв та систем iз перемиканнями. Розглянемо систему iз перемиканням ẋ = A i x, x R n, (2) де A i матрицi розмiрностi n n, i: [0, ) {1,2}. Необхiдно дослiдити на стiйкiсть систему (2). У лiтературi описано декiлька пiдходiв до дослiдження стiйкостi. Один iз них заснований на побудовi для кожної iз матриць A i вiдповiдного розв язку матричного рiвняння Ляпунова [4]. Нехай задано систему вигляду ẋ = A i x, C i x 0. (3) Конуси {x: C i x 0} не обов язково покривають увесь фазовий простiр. У [5] поставлено вiдкриту проблему побудови необхiдних i достатнiх умов iснування додатно визначеного розв язку рiвняння Ляпунова на конусi {x: C i x 0}. Мета роботи формулюється таким чином. Нехай задано матрицю A розмiрностi n n i конус {x: x 0}. Треба визначити необхiднi i достатнi умови iснування додатної на конусi матрицi H такої, що матриця A T H + HA вiд ємна. За допомогою простих перетворень систему (3) можна звести до системи, в якої конуси будуть мати вигляд {x: x 0}. Введемо такi позначення. N фiксоване натуральне число; 12 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

13 S N N множина дiйсних симетричних матриць розмiрностi n; clx замикання множини X R N ; A 0 (A > 0) матриця А має невiд ємнi (додатнi) елементи; int R X вiдносна внутрiшнiсть множини X R N ; Im A X = {Ax x X} образ множини X R N ; евклiдова норма в R N ; X лiнiйна оболонка пiдмножини X R N ; diml розмiрнiсть векторного пiдпростору R N ; S N одинична сфера в R N ; e i = (0,0,...,1,...,0) T i-й орт в R N. Розглянемо систему лiнiйних диференцiальних рiвнянь ẋ = Ax, де A R N N. Означення 1. Система (1) має стiйке тривiальне положення рiвноваги на замкненому опуклому конусi X R N, якщо ε > 0 δ > 0 (x(0) O ε (0) X t: 0 < t < sup{τ > > 0 x(τ) X} x(t) O δ (0)). Наведемо без доведення вiдому лему. Лема 1. Нехай опуклi конуси X, Y R N такi, що cl(x) cl(y) = {0}. Тодi iснує p R N, для якого виконується x cl(x)\{0}, y cl(y)\{0} p T x < 0 < p T y. Наслiдок. Нехай опуклi конуси X, Y R N такi, що cl(x) cl(y) = {0}. Тодi iснує невироджена матриця C R N N така, що x cl(x)\{0}, y cl(y)\{0} Cx < 0 < Cy. Доведення. Будемо розглядати випадок X {0}, Y {0}, оскiльки у випадку рiвностi одного з конусiв {0} доведення проводиться аналогiчно. У результатi застосування леми до опуклих конусiв X та Y отримаємо x cl(x)\{0}, y cl(y)\{0} p T x < 0 < p T y для деякого p R N. Покладемо C(ε) = (p,p,...,p) T +εe, ε R. Тодi x clx S N, y cly S N C(0)x < 0 < C(0)y. Оскiльки непорожнi множини clx S N, cly S N компактнi, то iснують a 0, b 0 R такi, що max x clx max S i=1,...,n et i C(0)x < a 0 < 0 < b 0 < min y cly min S i=1,...,n et i C(0)y. max i=1,...,n et i C(ε)x iснує ε > 0, для якого ви- На пiдставi неперервностi за ε, x функцiї конується x clx S N, y cly S N, ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 13

14 маємо max i=1,...,n et i C(ε )x a 0 < 0 < b 0 min i=1,...,n et i C(ε )y. I, як наслiдок, x clx \{0}, y cly \{0} C(ε )x < 0 < C(ε )y. Тодi можна покласти C = C(ε ). Наслiдок доведено. Лема 2. Нехай X R N опуклий конус, A R N N матриця i clx Im A clx = = {0}. Тодi iснує невироджена H S N N така, що x clx \{0} x T Hx > 0 i x T (A T H +HA)x 0. Доведення. Застосуємо наслiдок з попередньої леми до конусiв X та Im A X. Отримаємо, що x cl(x)\{0}, y Im A cl(x)\{0} Cx < 0 < Cy для деякої невиродженої матрицic. Покладемо H = C T C. Тодi при довiльномуx clx\{0} має мiсце i x T Hx = Cx 2 > 0 x T (A T H +HA)x = 2x T C T CAx = 2(Cx) T (CAx) 0, оскiльки Ax clim A X та Cx < 0 C(Ax). Отже матриця H шукана. Лему доведено. З наведеної леми можна отримати критерiй iснування додатної квадратичної функцiї Ляпунова для системи (1) на конусi {x R N : x 0}. Теорема 1. Необхiдною i достатньою умовою для iснування невиродженої матрицi H S n n такої, що H > 0 i A T H +HA < 0 є x 0, x 0, Ax 0. Доведення. Необхiднiсть випливає з того, що припустивши iснування x 0 0, x 0 0, для якого Ax 0 0, отримаємо x T 0(A T H + HA)x 0 = 2(Hx 0,Ax 0 ) > 0, оскiльки Hx 0 0, Ax 0 0 i обидва не дорiвнюють нулю, що суперечить умовi A T H +HA < 0. Достатнiсть випливає з леми 2. Теорему доведено. Наслiдок. Нехай A R N N невироджена матриця i система (1) має стiйке тривiальне положення рiвноваги на замкненому опуклому конусi X. Шляхом зведення до дiйсної канонiчної форми матрицю А можна подати у виглядi A = T(A 1 A 2 )T 1, де T R N N невироджена матриця, A 1 R k k, A 2 R l l гурвiцевi матрицi (допускається k = 0, якщо A гурвiцева). Виконаємо замiну змiнних x = T y. Оскiльки для системи з гурвiцевою матрицею завжди iснує квадратична функцiя Ляпунова на всьому просторi, для системи (1) iснує квадратична функцiя Ляпунова на X тодi i лише тодi, коли для системи ẏ = A 2 y iснує квадратична функцiя Ляпунова на Pr 2 Im T 1 X. 14 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

15 Згiдно з лемою 2 така функцiя буде iснувати, якщо Im A Pr 2 Im T 1 X Pr 2 Im T 1 X = {0}. Розглянемо систему ẋ = Ax, Gx 0, (4) де A, G R n n, A невироджена. Зробимо невироджену замiну змiнних y = (y 1,...,y n ) T = = Tx таку, що для деяких iндексiв 0 i < j n + 1 має мiсце Gx 0 y 1,...,y i 0, y j,...,y n = 0. Можна без обмеження загальностi вважати, що обмежень y j,...,y n = 0 немає. Тодi система (4) рiвносильна системi ẏ = TAT 1 y = Ay, y 1,...,y i 0. (5) Якщо в результатi цих дiй i = n, тобто на всi змiннi y i накладається умова невiд ємностi, то можна застосувати твердження: якщо y 0, y 0 має мiсце Ay 0, то iснує квадратична форма y T Hy, H S n n, така, що для довiльного y 0, y 0 має мiсце y T Hy > 0 i y T (A T H +HA)y < 0, тобто для довiльного x такого, що Gx 0 виконується: 1) x T T T HTx > 0; 2) x T T T ((TA T T 1 ) T H + HTAT 1 )Tx = x T (A T T T HT + T T HTA)x < 0 i квадратична форма x T T T HTx може виступати як функцiя Ляпунова на Gx 0. Можна навести приклад, який демонструє можливiсть ситуацiї, коли стан лiнiйного гiбридного автомата «локально стiйкий» (гiбридний автомат завжди перебуває в цьому станi скiнченний час, пiсля чого залишає цей стан), але при цьому не iснує вiдповiдної стану квадратичної функцiї Ляпунова. Зауважимо, що неквадратичну функцiю Ляпунова побудувати можна. Введемо такi позначення. Для невиродженого лiнiйного оператора A на R N позначимо Dn A (X) = n Im A i X, n 0; d A n (X) = dim DA n (X), n 0; νa (X) найменше n 0, для i=0 якого Dn(X) A = {0}, або, якщо такого не iснує. Верхнi iндекси будемо опускати, коли вважаємо A фiксованим. Мають мiсце такi властивостi: 1) X Y D n (X) D n (Y); 2) D n (X Y) D n (X) D n (Y); 3) D n (X Y) = D n (X) D n (Y); 4) D n (X \ Y) D n (X) \ Y ; 5) D m (D n (X)) = D m+n (X); 6) X ЗОК/СЗОК D n (X) ЗОК/СЗОК (ЗОК замкнений опуклий конус). Лема 3. Нехай A R N N, A є гурвiцевою матрицею i система (1) на ЗОК X R N має стiйке тривiальне положення рiвноваги. Тодi ν A (X) <. Доведення. Припустимо супротивне: n N Dn(X) мiстить ненульовий вектор. Тодi послiдовнiсть множин D n (X) S N є послiдовнiстю вкладених непорожнiх компактiв, тому a S N D n (X) = S N Im A nx, звiдки n N A n a X. З цього випливає, що n 0 t > 0, n N c n (t) = n 0 n i=0 t i i! (Ai a) X, ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 15

16 а отже, exp(at)a = lim n c n(t) X. Таким чином, iснує ненульова (бо a S) траєкторiя x (t) = exp(at)a вихiдної системи, що лежить в X для t > 0. Оскiльки A гурвiцева, то x (t) необмежена, що суперечить припущенню про стiйкiсть системи на X. Лему доведено. Лема 4. Нехай X R N замкнений опуклий конус зi скiнченною множиною твiрних у R N i ν A (X) = n + 1. Тодi iснують замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних X j, j = 1,...,m, такi, що m X j = X i d n (X j ) < d n (X). j=1 Доведення. Покладемо X 1 = D n (X), Y = X \ int R D n (X); X = X 1 Y. Тодi d n (X 1 ) = 0 < d n (X), оскiльки D 1 (X 1 ) = D n+1 (X) = {0}, i d n (Y) < d n (X), оскiльки D n (X \ int R D n (X)) D n (X) \ int R D n (X). Оскiльки X замкнений опуклий конус зi скiнченною множиною твiрних у R N, то Y можна подати об єднанням елементiв скiнченної множини замкнених опуклих конусiв зi скiнченною множиною твiрних X 2,...,X m, для яких d n (X j ) d n (Y) < d n (X). Лему доведено. Наслiдок. Нехай X R N замкнений опуклий конус зi скiнченною множиною твiрних у R N i ν A (X) <. Тодi iснують замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних X j, j = 1,...,m, такi, що m X j = X i ν(x j ) 1. j=1 Доведення. Доведемо лему iндукцiєю за параметром r(x) = (ν(x),d ν(x) 1 (X)) N 2 0. Тут d 1 0. Будемо вважати множину N0 2 лексикографiчно (цiлком) впорядкованою. При r(x) = (0,d) та r(x) = (1,d) твердження очевидне. Припустимо, що лему доведено у випадку r(x) < r 0 i доведемо у випадку r(x) = r 0. За лемою 4 подамо X у виглядi скiнченного об єднання замкнених опуклих конусiв зi скiнченною множиною твiрних Y j, j = 1,...,m, для яких d ν(x) 1 (Y j ) < d ν(x) 1 (X). Тодi для кожного j можливi два випадки: 1) якщо d ν(x) 1 (Y j ) = 0, то ν(y j ) < ν(x) i r(y j ) < r(x); 2) iнакше ν(y j ) > ν(x) 1, тому ν(y j ) = ν(x) i d ν(yj ) 1(Y j ) < d ν(x) 1 (X) i r(y j ) < r(x). В обох випадках r(y j ) < r 0 i за припущенням iндукцiї кожну з множин Y j можна подати скiнченним об єднанням замкнених опуклих конусiв Xj, i для яких ν(xj) 1 1. Наслiдок доведено. Теорема 2. Нехай A R N N невироджена i система (1) на замкненому опуклому конусi зi скiнченною множиною твiрних X R N має стiйке тривiальне положення рiвноваги. Тодi iснують замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних X j, j = 1,...,m, такi, що m X j = X i на кожному X j iснує квадратична функцiя Ляпунова j=1 для системи (1). Доведення. Шляхом зведення до дiйсної канонiчної форми матрицю A подамо у виглядi A = T 1 (A 1 A 2 )T, 16 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

17 де A 1 R N 1 N 1, A 2 R N 2 N 2, T R N N невиродженi матрицi, A 1 i A 2 гурвiцевi матрицi. Тому без обмеження загальностi можна вважати, щоa = A 1 A 2. За теоремою Ляпунова iснує додатно визначена квадратична форма V(x 1 ) = x T 1 H1 x 1, H 1 R N 1 N 1, яка є функцiєю Ляпунова для системи ẋ 1 = A 1 x 1 на R N 1. Позначимо через Pr 2 проектування на пiдпростiр e N1 +1,...,e N2 простору R N. Тодi Pr 2 X є замкнений опуклий конус у R N 2, на якому система ẋ 2 = A 2 x 2 має стiйке тривiальне положення рiвноваги. За наслiдком з леми 4, лемами 3 та 2, iснують замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних X1,...,X 2 m 2 R N 2 такi, що m Xj 2 = Pr 2X i на кожному з них iснує функцiя Ляпунова V j (x 2 ) = x T 2H 2 jx 2 для системи ẋ 2 = A 2 x 2. Покладемо замкненi опуклi конуси зi скiнченною множиною твiрних таким чином: X j = X m (R N Xj 2 ), j = 1,...,m, X j = X. j=1 Перевiримо, що для кожного j квадратична форма j=1 V j (x) = x T H j x T, j = 1,...,m, де H j = H 1 Hj 2, буде функцiєю Ляпунова для системи ẋ = Ax на вiдповiдному замкненому опуклому конусi зi скiнченною множиною твiрних X j. 1. Якщо x = (x 1,x 2 ) X j \{0}, то V(x) = V 1 (x 1 )+V 2 (x 2 ) > 0, оскiльки x 2 Pr 2 X. 2. Якщо в деякий момент t траєкторiя x(t) = (x 1 (t),x 2 (t)) X j, то V(x(t)) = V 1 (x 1 (t))+ + V 2 (x 2 (t)) 0, причому строго менше нуля, якщо N 1 > 0. Теорему доведено. Таким чином, лема 2, теорема 1 та наслiдки з неї за певних умов гарантують iснування квадратичної функцiї Ляпунова для локально стiйкого стану. Проте можна побудувати приклад локально стiйкого стану (з iнварiантною множиною у виглядi замкнених опуклих конусiв), для якого квадратичної функцiї Ляпунова не iснує. Незважаючи на це, теорема 2 показує, що при достатньо загальних умовах локально стiйкий стан гiбридного автомата можна розщепити на скiнченну множину станiв, на кожному з яких iснує квадратична функцiя Ляпунова. 1. Branicky M. Multiple Lyapunov functions and other analysis tools for switched and hybrid systems // IEEE Trans. Automat. Contr , No 4. P Johansson M., Rantzer A. Computation of piecewise quadratic Lyapunov functions for hybrid systems // Ibid. P ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 17

18 3. Бычков А. С., Меркурьев М. Г. Достаточные условия устойчивости стационарного состояния линейных гибридных автоматов // Управляющие системы и машины С Liberzon D., Hespanha J. P., Morse A. S. Stability of switched systems: A Lie-algebraic condition // Systems Control Lett No 37. P Unsolved problems in mathematical systems and control theory / Ed. by V. D. Blondel, A. Megretski. Princeton: Princeton University Press, p. Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка Надiйшло до редакцiї O.S. Bychkov On the existence criterion of copositive solutions of the Lyapunov equation Linear hybrid automats which are defined on a cone are described. To study the solution stability, it is accepted to use the method of Lyapunov functions which requires the construction of matrices with certain properties. The necessary and sufficient conditions of existence of a matrix H positive on a cone such that the matrix A T H +HA is negative are obtained. 18 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

19 УДК П.О. Касьянов Про слабку розв язнiсть класу еволюцiйних варiацiйних нерiвностей в нескiнченновимiрних просторах (Представлено членом-кореспондентом НАН України В.В. Скопецьким) Дослiджено клас еволюцiйних варiацiйних нерiвностей з w λ -псевдомонотонними вiдображеннями. Методом штрафу доведено слабку розв язнiсть для класу еволюцiйних варiацiйних нерiвностей з iстотно нелiнiйними псевдомонотонними на W 1 багатозначними операторами. Одержано рiвномiрнi апрiорнi оцiнки в L 1 (S;V ) на похiднi наближених розв язкiв. Багато важливих прикладних задач зводяться до так званих задач з одностороннiми граничними умовами або до варiацiйних нерiвностей, що породжують диференцiально-операторнi включення. Найпростiшим прикладом подiбного роду є така проблема [1 4]: в областi Ω з границею Γ знайти розв язок рiвняння y = f такий, що на Γ виконуються умови u 0, u 0, n u u n = 0. Узагальнений розв язок такої задачi задовольняє не iнтегральну тотожнiсть (як, наприклад, у задачi Дiрiхле), а деяку iнтегральну нерiвнiсть, яку називають варiацiйною нерiвнiстю. Новий роздiл теорiї рiвнянь у частинних похiдних теорiя варiацiйних нерiвностей, сформувався у 60-х роках минулого сторiччя. Джерелом для виникнення даної теорiї стала задача iз теорiї пружностi задача Сiньйорiнi, повнiстю вивчена в роботi Г. Фiкери [5], в якiй було закладено основи теорiї варiацiйних нерiвностей. Потiм дослiдження варiацiйних нерiвностей було продовжено в роботах Ж.-Л. Лiонса [4], Г. Стампакк ї [6] та їхнiх учнiв. Зокрема, розглядалася абстрактна постановка задач, що зводились до таких нерiвностей. У цiй роботi дослiджується питання розв язностi класу еволюцiйних варiацiйних нерiвностей з багатозначними W λ -псевдомонотонними вiдображеннями. З огляду на застосування постає питання щодо розв язностi еволюцiйної варiацiйної нерiвностi з оператором, який зображається у виглядi монотонного та демiнеперервного оператора. Тим самим було б доречно одержати узагальнення вiдомих результатiв, в яких умова обмеженостi похiдної в означеннi псевдомонотонного оператора вiдсутня [4 15]. Постановка задачi. Нехай (V 1, V1 ) та (V 2, V2 ) дiйснi рефлексивнi банаховi простори, неперервно вкладенi в дiйсний гiльбертiв простiр (H,(, )), такi, що для деякої злiченної множини Φ V = V 1 V2, Φ щiльна в просторах V, V 1, V 2 та в H. Пiсля ототожнення H H одержимо V 1 H V1, V 2 H V2 з неперервними та щiльними вкладеннями. Тут (V i, V i ) топологiчно спряжений простiр до V i вiдносно форми, Vi : V i V i R, яка збiгається на H V зi скалярним добутком (, ) в H. ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 19

20 Розглянемо функцiональнi простори X i = L ri (S;H) L pi (S;V i ), i = 1,2, де S = [0,T] скiнченний iнтервал часу, 1 < p i r i < +. Простори X i є рефлексивними банаховими просторами з нормами y Xi = y Lpi (S;V i ) + y Lri (S;H). Розглянемо також рефлексивний банахiв простiр X = X 1 X2 з нормою y X = y X1 + + y X2. Нехай X i топологiчно спряжений простiр до X i. Тодi X = X 1 +X 2 = L q 1 (S;V 1 )+L q 2 (S;V 2 )+L r 1 (S;H)+L r 2 (S;H), де r 1 i +r i 1 = 1 pi +q 1 i = 1, i = 1,2. Визначимо спарювання на X X f,y = (f 11 (τ),y(τ)) H dτ + (f 12 (τ),y(τ)) H dτ + f 21 (τ),y(τ) V1 dτ + S S + f 22 (τ),y(τ) V2 dτ = (f(τ),y(τ))dτ, S S де f = f 11 + f 12 + f 21 + f 22, f 1i L r i (S;H), f 2i L qi (S;Vi ), i = 1,2. Вiдзначимо, що, збiгається зi скалярним добутком в H = L 2 (S;H) на H X. Розглянемо нерефлексивний банахiв простiр W 1 = {y X y L 1 (S;V )} з нормою u W1 = u X + u L1 (S;V ), u W 1.Тут u похiдна вiд елемента u X у сенсi простору скалярних розподiлiв D (S;V ) = L(D(S);Vw), з V = V 1 V 2 ; Vw збiгається з V = V1 +V2 з топологiєю σ(v,v) [7]. Для строгого багатозначного вiдображення A: X X визначимо верхню [A(y),ω] + = = sup d,w X i нижню [A(y),ω] _ = inf d,w X опорнi функцiї, де y, ω X, а також d A(y) d A(y) верхню A(y) + = sup d X i нижню A(y) _ = inf d X норми [10, 11]. Позначимо d A(y) d A(y) через C v (X ) сiм ю всiх непорожнiх замкнених опуклих обмежених пiдмножин з простору X. Далi, y n y в X буде означати, що y n слабко збiгається до y в X. Для багатозначних (у загальному випадку) вiдображень A: X 1 X1, B: X 2 X2, опуклої замкненої множини K X (0 K) та фiксованої функцiї f X ставиться задача на пошук слабкого розв язку еволюцiйної варiацiйної нерiвностi: { w,w y X +[A(y),w y] + +[B(y),w y] + f,w y X w K W 2, (1) y K. Основнi результати. Уточнимо умови на параметри задачi (1), для якої доведемо слабку розв язнiсть. При доведеннi використаємо метод штрафа [4]. Внаслiдок теореми Асплунда можемо вважати, що простiр V (разом iз топологiчно спряженим) є строго нормованим рефлексивним банаховим простором. Як оператор штрафа β та опуклу множину K розглянемо β(y)(t) = β(y(t)), K = K(t) для майже всiх t S, де β(v) = J(v P K v), v V [4], J: V V визначається так: S J(v) V v V = J(v),v, J(v) V = v p 1 V, 20 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

21 P K ортогональний проектор iз строго нормованого простору V на замкнену опуклу множину K за нормою в V. Зауважимо, що β(v) = 0 v K. Бiльше того, вiдображення β: V V обмежене, монотонне, демiнеперервне, а отже, β: X X λ-псевдомонотонне на X обмежене вiдображення [4, 15]. Означення 1. Строге багатозначне вiдображення A: X C v (X ) називається: +-коерцитивним, якщо iснує дiйсна функцiя γ: R + R така, що γ(s) + при s + та [A(y),y] + γ( y X ) y X y X; обмеженим, якщо L > 0 l > 0 таке, що A(y) + l y X: y X L; монотонним, якщо [A(y 1 ) A(y 2 ),y 1 y 2 ] + 0 y 1, y 2 X; λ 0 -псевдомонотонним на W 1, якщо для довiльної {y n } n 1 W 1, y 0 X та деякого C > 0 таких, що y n y 0 в X, n 1 y n L 1 (S;V ) C, d n d 0 в X, де d n A(y n ) n 1, iз нерiвностi lim d n,y n y 0 n X 0 випливає iснування пiдпослiдовностi {y nk,d nk } k 1 {y n,d n } n 1 такої, що lim d nk,y nk w X [A(y 0 ),y 0 w] w X. k Теорема 1. Нехай виконанi такi умови: а) оператор A: X 1 C v (X 1) обмежений, λ 0 -псевдомонотонний на W 1 та +-коерцитивний; б) оператор B: X 2 C v (X 2) обмежений, λ 0 -псевдомонотонний на W 1 та +-коерцитивний; в) K V опукла замкнена множина, 0 V, intk. Тодi, для довiльного f X iснує розв язок задачi (1). Для довiльного ε > 0 розглянемо нове вiдображення A ε (y) := A(y)+B(y)+ 1 β(y), y X. ε Лема 1. Для довiльного ε > 0 оператор A ε обмежений, λ 0 -псевдомонотонний на W 1 та коерцитивний, а задача y ε +A(y ε)+b(y ε )+ 1 ε β(y ε) f, y ε (0) = 0, y ε W 1, має розв язок y ε такий, що y ε X c, A(y ε ) + c, B(y ε ) X c, y ε L 1 (S;V ) c ε > 0, для деякого c > 0, яке не залежить вiд ε > 0. П р и к л ад. Розглянемо обмежену область Ω R n з достатньо гладкою межею Ω, S = [0,T], Q = Ω (0;T), Γ T = Ω (0;T). Нехай при i = 1,2, m i N, N1 i (вiдповiдно, Ni 2 ) число диференцiювань за x порядку m i 1 (вiдповiдно, m i ) та {A i α(x,t,η,ξ)} α mi сiм я дiйсних функцiй, означених на Q R Ni 1 R N i 2. Нехай D k u = {D β u, β = k} диференцiювання за x, ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 21

22 δ i u = {u,du,...,d mi 1 u}, A i α (x,t,δ iu,d mi v): x,t A i α (x,t,δ iu(x,t),d mi v(x,t)). Розглянемо таку задачу на пошук невiд ємних розв язкiв: y(x, t) + ( 1) α D α (A 1 t α(x,t,δ 1 y(x,t),d m1 y(x,t)))+ α m 1 + ( 1) α D α (A 2 α (x,t,δ 2y(x,t),D m2 y(x,t))) f(x,t) в Q, (2) α m 2 ( y(x, t) y(x, t) + ( 1) α D α (A 1 α t (x,t,δ 1y(x,t),D m1 y(x,t)))+ α m 1 + α m 2 ( 1) α D α (A 2 α(x,t,δ 2 y(x,t),d m2 y(x,t))) f(x,t) ) = 0 в Q, (3) y(x,t) 0 в Q, y(x,0) = 0 в Ω, (4) D α y(x,t) = 0 в Γ T при α m i та i = 1,2. (5) Припустимо, що H = L 2 (Ω) та V i = W m i,p i 0 (Ω) з p i (1,2]: V i H неперервно, m 1 p 1 > n. Означення операторiв A i. Нехай A i α (x,t,η,ξ), означенi в Q RNi 1 R N i 2, задовольняють умови: для майже всiх x, t Q η, ξ A i α(x,t,η,ξ) неперервна на R Ni 1 R N i 2 ; для всiх η, ξ вiдображення x, t A i α(x,t,η,ξ) вимiрне на Q; u,v L p i (0,T;V i ) =: X i A i α (x,t,δ iu,d m i u) L q i (Q). (6) Тодi для всiх u X i вiдображення w a i (u,w) = A i α (x,t,δ iu,d m i u)d α wdxdt неперервне на X i i α m i Q A i (u) X i : a i (u,w) = A i (u),w. (7) Припустимо, що A i α (x,t,η,ξ)ξ 1 α ξ + ξ p i 1 α =m i + при ξ (8) для майже всiх x, t Q та обмежених η ; α =m i (A i α(x,t,η,ξ) A i α(x,t,η,ξ ))(ξ α ξ α) > 0 при ξ ξ (9) для майже всiх x, t Q та η. 22 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

23 Достатня умова коерцитивностi: α =m i A i α (x,t,η,ξ)ξ α c ξ pi для великих ξ. (10) Достатнi умови (6) (див. [8], c. 332): A i α (x,t,η,ξ) c[ η p i 1 + ξ p i 1 +k(x,t)], k L qi (Q). (11) Твердження 1. Нехай оператор A i : X i X i (i = 1,2), визначений у (7), задовольняє (6) (11). Тодi A i λ-псевдомонотонний на W 1, коерцитивний та обмежений. Для майже всiх t S покладемо K = K(t) = {v W m 1,p 1 0 (Ω) W m 2,p 2 0 (Ω) v(x) 0 м.с. в Ω}. (12) За перерахованих вище умов на A i α дану проблему перепишемо, як (1), де f X = = L 2 (S;L 2 (Ω)) +L q1 (S;W m 1,q 1 (Ω))+L q2 (S;W m 2,q 2 (Ω)) (p 1 i +qi 1 = 1). Елемент y X, що задовольняє (1), називається слабким розв язком задачi (2) (5). Теорема 2. За умов (6) (12), задача (2) (5) має слабкий розв язок. 1. Толстоногов А. А., Уманский Я. И. О решениях эволюционных включений // Сиб. мат. журн , 3, 4. С Barbu V. Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces. Bucuresti: Editura Acad., p. 3. Bresis H. Problems unilateraux // J. Math. Pures et Appl P Лионс Ж.-Л. Неравенства в механике и физике. Москва: Наука, с. 5. Fichera G. Problemi elastostatici con vincoli unilateral: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno // Mem. Accad. Naz. Lincei , No 7. P Stampacchia G. Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes // C. R. Acad. Sci. Paris P Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. Москва: Мир, с. 8. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. Москва: Мир, с. 9. Temam R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. New York: Springer, p. 10. Згуровский М. З., Мельник В. С. Неравенство Ки Фаня и операторные включения в банаховых пространствах // Кибернетика и систем. анализ С Мельник В.С. Мультивариационные неравенства и операторные включения в банаховых пространствах с отображениями класса // Укр. мат. журн , 11. С Мельник В. С. О критических точках некоторых классов многозначных отображений // Кибернетика и систем. анализ С Згуровский М. З., Мельник В. С., Новиков А. Н. Прикладные методы анализа и управления нелинейными процессами и полями. Київ: Наук. думка, с. 14. Згуровский М.З., Мельник В.С. Метод штрафа для вариационых неравенств с многозначными отображениями // Кибернетика и систем. анализ: Ч. I С ; Ч. II С ; Ч. III С Касьянов П. О., Мельник В. С. О разрешимости дифференциально-операторных включений и эволюционных вариационных неравенств, порожденных отображениями w λ0 -псевдомонотонного типа // Укр. мат. вiсн , 4. С Київський нацiональний унiверситет iм. Тараса Шевченка Надiйшло до редакцiї ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 23

24 P.O. Kasyanov Оn the weak solvability for a class of evolution variation inequalities in infinite-dimensional spaces We consider the class of evolution variation inequalities with w λ -pseudomonotone maps. The weak solvability for a class of evolution variation inequalities with nonlinear multivalued operators pseudomonotone on W 1 is proved by using the penalty method. The uniform a priori estimations in L 1 (S;V ) for the derivatives of approximate solutions are obtained. 24 ISSN Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, 3

25 УДК / Л.А. Курдаченко, Х.М. Муньос-Есколано, Х. Отал, М. М. Семко Локально нiльпотентнi лiнiйнi групи з деякими обмеженнями для пiдгруп нескiнченної центральної вимiрностi (Представлено академiком НАН України А. М. Самойленком) Дослiджено локально нiльпотентнi лiнiйнi групи, у яких система пiдгруп, що мають нескiнченну центральну вимiрнiсть, задовольняє слабку умову мiнiмальностi. Нехай F поле, A векторний простiр над F. Група GL(F,A) усiх автоморфiзмiв A та рiзнi її пiдгрупи (лiнiйнi групи) являють собою один з найдавнiших об єктiв дослiджень в алгебрi. Теорiя лiнiйних скiнченновимiрних груп є однiєю з найбiльш розвинених в теорiї груп. Однак у випадку, коли dim F A є нескiнченною, ситуацiя кардинально iнша. Вивчення лiнiйних груп у цьому випадку потребує iстотних додаткових обмежень. У статтi [1] було розпочато вивчення нескiнченновимiрних лiнiйних груп, якi у деякому сенсi є близькими до скiнченновимiрних. Цей пiдхiд базується на такому поняттi: якщо H пiдгрупа GL(F,A), то H реально дiє на факторпросторi A/C A (H). Наслiдуючи [1], будемо говорити, що H має скiнченну центральну вимiрнiсть, якщо dim F (A/C A (H)) скiнченна. У цьому випадку dim F (A/C A (H)) називатиметься центральною вимiрнiстю пiдгрупи H i позначатиметься через centdim F (H). НехайG GL(F,A) та нехайl icd (G) це система всiх пiдгрупg, що мають нескiнченну центральну вимiрнiсть. Природно розглядати такi лiнiйнi групи G, у яких система L icd (G) буде досить невеликою у деякому сенсi. Так, у статтi [1] розглядались лiнiйнi групи, у яких система L icd (G) задовольняє умову мiнiмальностi. Протилежна ситуацiя, тобто лiнiйнi групи, у яких система L icd (G) задовольняє умову максимальностi, розглядалась у роботi [2]. Слабкi умови мiнiмальностi та максимальностi є природним узагальненням звичайних умов мiнiмальностi та максимальностi. Цi умови введенi в теорiю груп Р. Бером [3] та Д.I. Зайцевим [4]. Витоки їх можна знайти у поняттi вимiрностi Крулля, яка вiдiграє вагому роль в теорiї кiлець та модулiв. Нехай G група, M система її пiдгруп. Будемо говорити, що M задовольняє слабку умову мiнiмальностi (вiдповiдно, максимальностi) або G задовольняє слабку умову мiнiмальностi (вiдповiдно, максимальностi) для M-пiдгруп, якщо для кожної спадаючого (вiдповiдно, зростаючого) ряду {H n n N} пiдгруп системи M iснує такий номер m N, що iндекси H n : H n+1 (вiдповiдно, H n+1 : H n ) будуть скiнченними при n m. Групи зi слабкими умовами мiнiмальностi i максимальностi для рiзноманiтних важливих систем пiдгруп вивчалися багатьма дослiдниками (див., напр., [5, 5.1; 6; 7]). Будемо говорити, що група G GL(F,A) задовольняє слабку умову мiнiмальностi (вiдповiдно, максимальностi) для пiдгруп нескiнченної центральної вимiрностi або, коротше, W min icd (вiдповiдно, W max icd), якщо система L icd (G) задовольняє слабку умову мiнiмальностi (вiдповiдно, максимальностi). ISSN Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, 3 25

M f (r) = (1 + o(1)) f (r), M f (r) = (1 + o(1))m f (r), (1) (де M f (r) = max{ f(z) : z = r}, m f (r) = min{ f(z) : z = r}, f (r) = max{ a k r n k

M f (r) = (1 + o(1)) f (r), M f (r) = (1 + o(1))m f (r), (1) (де M f (r) = max{ f(z) : z = r}, m f (r) = min{ f(z) : z = r}, f (r) = max{ a k r n k 202 Математичний вiсник НТШ, т. 5, 2008 p. ПРО РЯДИ ДIРIХЛЕ З МОНОТОННИМИ КОЕФIЦI НТАМИ I ОСТАТОЧНIСТЬ ОПИСУ ВИНЯТКОВО МНОЖИНИ c2008 р. Ярослав СТАСЮК Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка,

More information

Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року з математики (1 сесія)

Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року з математики (1 сесія) Зовнішнє незалежне оцінювання 2012 року з математики (1 сесія) (наведено порядок тестових завдань зошита 1) Номер і зміст завдання, відповіді Відповідність завдання програмі зовнішнього незалежного оцінювання

More information

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ

ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ ЗАВДАННЯ ДЛЯ РОЗРАХУНКОВО-ГРАФІЧНОЇ РОБОТИ Вказівки до виконання роботи Подані далі завдання призначені для практичної реалізації знань, здобутих при вивченні окремих розділів курсу. Пропонуються розрахункові

More information

Лекція 27. Дерева. Рис

Лекція 27. Дерева. Рис Дискретна Математика :: Дерева 157 Лекція 27. Дерева 27.1. Основні означення та властивості Поняття дерева широко застосовують у багатьох розділах математики й інформатики. Наприклад, дерева використовують

More information

А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір. Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики

А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір. Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір АЛГЕБРА Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Харків «Гімназія» 009 УДК 7:5 ББК.я7 М5 Рекомендовано

More information

Г. П. БЕВЗ, В. Г. БЕВЗ

Г. П. БЕВЗ, В. Г. БЕВЗ Г. П. БЕВЗ, В. Г. БЕВЗ Підручник для 9 класу загальноосвітніх навчальних закладів Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Підручник переможець Всеукраїнського конкурсу підручників для 1-річної

More information

Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця

Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 7 2015 Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця РЕДАКЦIЙНА КОЛЕГIЯ ЖУРНАЛУ А. Г. Наумовець

More information

Основні поняття теорії графів. Види графів. ПИТАННЯ ТЕМИ ТА ОСНОВНІ ТЕРМІНИ

Основні поняття теорії графів. Види графів. ПИТАННЯ ТЕМИ ТА ОСНОВНІ ТЕРМІНИ Основні поняття теорії графів. Види графів. ПИТАННЯ ТЕМИ ТА ОСНОВНІ ТЕРМІНИ Введення в теорію графів. Основні поняття і ознаки. Графічне представлення графа. Види графів. Зв язні компоненти графа. Ейлерові

More information

І.В. Гаращенко, к.т.н., доц. Житомирський державний технологічний університет

І.В. Гаращенко, к.т.н., доц. Житомирський державний технологічний університет УДК 51:330.115 І.В. Гаращенко, к.т.н., доц. Житомирський державний технологічний університет ПРО ЗАДАЧУ ОПТИМІЗАЦІЇ НА ГРАФАХ Описано задачу оптимізації комунікаційних мереж на прикладі транспортної мережі,

More information

Вказівки щодо розв'язання завдання 32 відбірково-тренувальних зборів команди міста Києва

Вказівки щодо розв'язання завдання 32 відбірково-тренувальних зборів команди міста Києва Вказівки щодо розв'язання завдання 32 відбірково-тренувальних зборів команди міста Києва 1. Голосування Нехай D деяка підмножина присутніх на виборах делегатів. Залишимо у таблиці голосування голоси лише

More information

ДИНАМІЧНИЙ ПІДХІД ДО АНАЛІЗУ ТА МОДЕЛЮВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ІЄРАРХІЧНИХ СТРУКТУР

ДИНАМІЧНИЙ ПІДХІД ДО АНАЛІЗУ ТА МОДЕЛЮВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ІЄРАРХІЧНИХ СТРУКТУР УДК 519.14 Коваленко І. І., Передерій В. І., Швед А. В. ДИНАМІЧНИЙ ПІДХІД ДО АНАЛІЗУ ТА МОДЕЛЮВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНИХ ІЄРАРХІЧНИХ СТРУКТУР У статті розглянуто основні положення теорії графодинамічних систем

More information

Коло в олімпіадних задачах

Коло в олімпіадних задачах Коло в олімпіадних задачах Розв язування учнями нестандартних математичних задач сприяє розвитку їх здібностей до самостійного математичного мислення. Задачі, запропоновані учасникам олімпіад, відрізняються

More information

Тема 28. Застосування дерев

Тема 28. Застосування дерев Основи Дискретної Математики :: Застосування дерев 164 Тема 28. Застосування дерев 28.1. Бінарне дерево пошуку Бінарне дерево дуже зручний метод організації даних, у разі використання якого можна легко

More information

ФОРМА 1. Повідомлення про подання інформації про структуру власності

ФОРМА 1. Повідомлення про подання інформації про структуру власності ЗАТВЕРДЖЕНО ФОРМА 1 Повідомлення про подання інформації про структуру власності На виконання вимог Закону України Про телебачення і радіомовлення та Порядку подання телерадіоорганізаціями та провайдерами

More information

ІНСТРУКЦІЇ З НАЛАШТУВАННЯ VLC MEDIA PLAYER (WINDOWS)

ІНСТРУКЦІЇ З НАЛАШТУВАННЯ VLC MEDIA PLAYER (WINDOWS) ІНСТРУКЦІЇ З НАЛАШТУВАННЯ VLC MEDIA PLAYER (WINDOWS) - 1 - Зміст 1. Загальний опис... 3 2. Встановлення VLC програвача для Windows 95, 98,Me та Windows 2000/XP/Vista/7.. 4 3. Додавання списку відтворення

More information

МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІКА:

МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІКА: КИЇВСЬКИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ ІНСТИТУТ МНЕДЖМЕНТУ (ЕКОМЕН) А.П. РУМЯНЦЕВ, Ю.О. КОВАЛЕНКО МІЖНАРОДНА ЕКОНОМІКА: Практикум Киів 2007 УДК 339.9(075.8) ББК 65.5я73 М 58 Рецензенти: Вергун В. А. доктор економічних

More information

Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки

Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки УДК 53383 Ю Ф Лазарєв Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки Вступ Сучасне подання механіки матеріальної точки з врахуванням релятивістського підходу базується на математичному апараті,

More information

Налагодження послуги Internet 3 за допомогою модему Novatel U720 для Windows XP

Налагодження послуги Internet 3 за допомогою модему Novatel U720 для Windows XP Налагодження послуги Internet 3 за допомогою модему Novatel U720 для Windows XP Для того, щоб використовувати послугу Internet3, Вам необхідно встановити драйвер USB модему. Драйвер знаходиться на CD диску,

More information

Правила проведення розіграшу призів рекламної акції «Подарунки за розрахунки! Карткою платиш виграш маєш!»

Правила проведення розіграшу призів рекламної акції «Подарунки за розрахунки! Карткою платиш виграш маєш!» Затверджено Рішенням Правління АТ «КІБ» Протокол від 2015 р. Голова Правління Березовик В.М. Правила проведення розіграшу призів рекламної акції «Подарунки за розрахунки! Карткою платиш виграш маєш!» 1.

More information

Ключові слова: задачі на доведення, властивості, обернені теореми, ознаки прямокутного трикутника.

Ключові слова: задачі на доведення, властивості, обернені теореми, ознаки прямокутного трикутника. Didtis of mthemtis: Problems nd Investigtions Issue # 38 01 ОЗНАКИ ТА ОБЕРНЕНІ ТЕОРЕМИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА ОА Кадубовський канд фіз-мат наук доцент ВІ Ірза студентка ДВНЗ «Донбаський державний педуніверситет»

More information

Створення діаграм в Excel

Створення діаграм в Excel Лабораторна робота 10 РЕДАКТОР ЕЛЕКТРОННИХ ТАБЛИЦЬ MS EXCEL. ДІЛОВА ГРАФІКА Створення діаграм в Excel Діаграма служать для відображення рядів числових даних у графічному форматі, зручному для осягнення

More information

ФОРМА 1. повідомлення про подання інформації про структуру власності

ФОРМА 1. повідомлення про подання інформації про структуру власності ФОРМА 1 повідомлення про подання інформації про структуру власності На виконання вимог Закону України Про телебачення і радіомовлення та Порядку подання телерадіоорганізаціями та провайдерами програмної

More information

Правління Національного банку України П О С Т А Н О В А

Правління Національного банку України П О С Т А Н О В А Офіційно опубліковано 30.11.2015 Правління П О С Т А Н О В А 26 листопада 2015 року м. Київ 826 Про затвердження змін до деяких нормативно-правових актів Відповідно до статей 7, 41, 56 Закону України Про

More information

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на Ставка іпотечного кредитування, %

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на Ставка іпотечного кредитування, % Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на 28.03.2013 Банк- партнер Іпотечна програма співпраці з ДІУ (Програма підтримки будівництва/рефін ансування

More information

Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця

Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця оповiдi НАЦIОНАЛЬНОЇ АКАДЕМIЇ НАУК УКРАЇНИ 6 2015 Науково-теоретичний журнал Президiї Нацiональної академiї наук України Заснований у 1939 р. Виходить щомiсяця РЕДАКЦIЙНА КОЛЕГIЯ ЖУРНАЛУ А. Г. Наумовець

More information

ПРОТОКОЛ ЦЕНТРАЛЬНОЇ ВИБОРЧОЇ КОМІСІЇ

ПРОТОКОЛ ЦЕНТРАЛЬНОЇ ВИБОРЧОЇ КОМІСІЇ Стор. 1 ПОЗАЧЕРГОВІ ВИБОРИ ПРЕЗИДЕНТА УКРАЇНИ 25 травня 2014 року ПРОТОКОЛ ЦЕНТРАЛЬНОЇ ВИБОРЧОЇ КОМІСІЇ Примірник 1 ПРО РЕЗУЛЬТАТИ ВИБОРІВ ПРЕЗИДЕНТА УКРАЇНИ Відповідно до частини дванадцятої статті 73,

More information

Налагодження підключення до високошвидкісного Інтернету через термінал Huawei ETS-1201 за допомогою USB-кабелю.

Налагодження підключення до високошвидкісного Інтернету через термінал Huawei ETS-1201 за допомогою USB-кабелю. Налагодження підключення до високошвидкісного Інтернету через термінал Huawei ETS-1201 за допомогою USB-кабелю. Для того, щоб використовувати послугу високошвидкісний Інтернет, Вам необхідно активувати

More information

АЛГОРИТМ РОЗКЛАДАННЯ ГРАФІВ ЗА ДОПОМОГОЮ ЇХНІХ КІСТЯКІВ. Т. Гришанович

АЛГОРИТМ РОЗКЛАДАННЯ ГРАФІВ ЗА ДОПОМОГОЮ ЇХНІХ КІСТЯКІВ. Т. Гришанович ТЕОР. ЕЛЕКТРОТЕХНІКА ELECTRICAL ENGINEERING 29. Вип. 6. С. 2-2 29. Is. 6. P. 2-2 УДК 68.3 АЛГОРИТМ РОЗКЛАДАННЯ ГРАФІВ ЗА ДОПОМОГОЮ ЇХНІХ КІСТЯКІВ Київський національний університет імені Т.Г.Шевченка просп.

More information

Раціональні рівняння, нерівності та їхні системи. Параметри в раціональних рівняннях, нерівностях та їхніх системах

Раціональні рівняння, нерівності та їхні системи. Параметри в раціональних рівняннях, нерівностях та їхніх системах бібліотечка фізико-математичної школи Т.Ю. Демець, С.В. Кметюк Раціональні рівняння, нерівності та їхні системи. Параметри в раціональних рівняннях, нерівностях та їхніх системах ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА

More information

Disarmament: Statement by the Delegate of Kazakhstan...68

Disarmament: Statement by the Delegate of Kazakhstan...68 Со дер жа ние От со ста ви те ля........................................3 Текст 1. «Цве ты«......................................8 Текст 2. О не са мо управ ля ю щих ся тер ри то ри ях.............12 On

More information

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на 24.12.2012 Банк партнер Іпотечна програма співпраці з ДІУ (Програма підтримки будівництва/рефін ансування

More information

ВИКОРИСТАННЯ СМАРТФОНІВ В УКРАЇНІ. Київський міжнародний інститут соціології Червень 2016 року

ВИКОРИСТАННЯ СМАРТФОНІВ В УКРАЇНІ. Київський міжнародний інститут соціології Червень 2016 року Київський міжнародний інститут соціології Червень 2016 року МЕТОДОЛОГІЯ ОПИТУВАННЯ oопитування було проведене на замовлення LEAD9 Mobile Marketing Київським міжнародним інститутом соціології протягом травня

More information

ОСОБЛИВОСТІ РОЗМІЩЕННЯ ВЕРШИН ГРАФІВ ТИПУ ДЕРЕВО НА ПЛОЩИНІ

ОСОБЛИВОСТІ РОЗМІЩЕННЯ ВЕРШИН ГРАФІВ ТИПУ ДЕРЕВО НА ПЛОЩИНІ Басюк ТМ, УДК 7: ТМ Басюк Національний університет Львівська політехніка, кафедра інформаційних систем та мереж ОСОБЛИВОСТІ РОЗМІЩЕННЯ ВЕРШИН ГРАФІВ ТИПУ ДЕРЕВО НА ПЛОЩИНІ Проаналізовано основні труднощі,

More information

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ФОРМАЛЬНИХ ГРАМАТИК

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ФОРМАЛЬНИХ ГРАМАТИК МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ФОРМАЛЬНИХ ГРАМАТИК МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до лабораторної роботи 6 з дисципліни Математична лінгвістика

More information

КОМБІНАТОРНА ЗАДАЧА ЗНАХОДЖЕННЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКУ ТА МЕТОД ГІЛОК ТА МЕЖ ДЛЯ ЇЇ РОЗВ ЯЗУВАННЯ

КОМБІНАТОРНА ЗАДАЧА ЗНАХОДЖЕННЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКУ ТА МЕТОД ГІЛОК ТА МЕЖ ДЛЯ ЇЇ РОЗВ ЯЗУВАННЯ ВИСНОВКИ Таким чином, запропоноване технічне рішення має очевидну перспективу його використання у медицині, яка на сьогодні відчуває гостру потребу інноваційних методів лікування, заснованих на законах

More information

РЕГІОНАЛЬНИЙ ПОШУК ДЛЯ МНОЖИНИ РУХОМИХ ТОЧОК

РЕГІОНАЛЬНИЙ ПОШУК ДЛЯ МНОЖИНИ РУХОМИХ ТОЧОК УДК 004.59.7 +004.9 В.М. ТЕРЕЩЕНКО, С.Є. СКЛЯРОВСЬКИЙ РЕГІОНАЛЬНИЙ ПОШУК ДЛЯ МНОЖИНИ РУХОМИХ ТОЧОК Анотація. У роботі запропоновано структури даних у вигляді В х -дерев для побудови ефективних алгоритмів

More information

Основнi працi Слюсарчука Василя Юхимовича

Основнi працi Слюсарчука Василя Юхимовича Основнi працi Слюсарчука Василя Юхимовича 1970 рiк 1. Слюсарчук В. E. Об устойчивости в среднем квадратичном решений системы стохастических дифференциально-разностных уравнений с переменными коэффициентами

More information

ТЕМ АТИ ЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВП РАВ

ТЕМ АТИ ЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВП РАВ 4 ТЕМ АТИ ЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВП РАВ Тема Номери вправ Точки та прямі 1-3 Відрізок і його довжина 4-16 Промінь. Кут. Вимірювання кутів 17-34 Суміжні та вертикальні кути 35-48 Перпендикулярні прямі 49-53 Рівні

More information

РИНОК МОЛОКА. 1. Рынок молока и молочных продуктов Украины // Молочное дело

РИНОК МОЛОКА. 1. Рынок молока и молочных продуктов Украины // Молочное дело РИНОК МОЛОКА 1. Рынок молока и молочных продуктов Украины // Молочное дело. - 2005. - 8. - С. 5-13. 2. Топіха В. І. Ринок молока та молокопродуктів в Україні / В. І. Топіха // Вісник аграрної науки. -

More information

Математика Самостійні та контрольні роботи

Математика Самостійні та контрольні роботи Н.О. Будна Математика Самостійні та контрольні роботи 3 клас ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН УДК 51.372.47 ББК 74.262.21я71 Б 90 Рецензенти: кандидат педагогічних наук, доцент Гладюк Т.В. вчитель вищої

More information

FAST 14 CF P АВ ВЗОРИЩАО Щ ЗГ ОККОИО И А ъ Рapplefl Й fl Аfl - Р. - Й fl "TTB". И. 2

FAST 14 CF P АВ ВЗОРИЩАО Щ ЗГ ОККОИО И А ъ Рapplefl Й fl Аfl - Р. - Й fl TTB. И. 2 FAST 11-14 CF P РО ВАГ АВ ВЗОРИЩАО Щ ЗГ ОККОИО Ж И З : FAST 11 CF P FAST 14 CF P И. 1 14 1 Й: Й 1. И...2 2. ъ...3 3. Н...4 4. А...5 5. Н...5 6. В...6 7. Ж 6 8. ъ...7 9. Р...7 10. Й...7 11. К...7 12. З...8

More information

Метадані. 1. Вступ. 2. Що таке метадані? 3. Цінність метаданих

Метадані. 1. Вступ. 2. Що таке метадані? 3. Цінність метаданих Метадані 1. Вступ Уряд є одним із найбільших власників інформаційних ресурсів. Тому він відповідає за забезпечення збільшення цінності цих ресурсів для громадян, підприємств, урядових посадових осіб і

More information

Державна підсумкова атестація Математика. ПІдсумкові контрольні роботи 9 КЛАС

Державна підсумкова атестація Математика. ПІдсумкові контрольні роботи 9 КЛАС Державна підсумкова атестація 05 Математика ПІдсумкові контрольні роботи 9 КЛАС ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН УДК 5.(075.3) ББК.я7 М34 М34 ДПА 05. Математика. Підсумкові контрольні роботи. 9 клас :

More information

- 3 - Структура мови VHDL

- 3 - Структура мови VHDL 23-3 - Структура мови VHDL вони поміщаються в одинарні лапки, наприклад: a b ; > 2.5. Рядки На відміну від Pascal у VHDL рядки поміщаються не в одинарні, а в парні лапки, наприклад: Рядок 1 Вивчаємо VHDL

More information

С.П. Цуренко. За програмою 11-річної школи. Математика 10 клас. Рівень стандарту

С.П. Цуренко. За програмою 11-річної школи. Математика 10 клас. Рівень стандарту С.П. Цуренко За програмою 11-річної школи Математика 10 клас Рівень стандарту Багатоваріантні різнорівневі тренувальні вправи для класних робіт і домашніх завдань ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН ББК 22.1я72

More information

СХЕМАТИЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТРУКТУРИ ВЛАСНОСТІ СУБ ЄКТА ІНФОРМАЦІЙНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ

СХЕМАТИЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТРУКТУРИ ВЛАСНОСТІ СУБ ЄКТА ІНФОРМАЦІЙНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ СХЕМАТИЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТРУКТУРИ ВЛАСНОСТІ СУБ ЄКТА ІНФОРМАЦІЙНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ Товариства з обмеженою "112-ТВ" (код ЄДРПОУ 3890676) 99% станом на 31 грудня 201 року "112-ТВ" (Україна) 10% «МЕДІА ГРУПА 112»

More information

Дослідження операцій

Дослідження операцій Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка М. Я. Бартіш, І. М. Дудзяний Дослідження операцій Частина 2. Алгоритми оптимізації на графах Рекомендовано Міністерством

More information

Сьогодні ми розглянемо такі питання:

Сьогодні ми розглянемо такі питання: Сьогодні ми розглянемо такі питання: Дамо визначення що називається табличним процесором Ехсеl Згадаємо основні функції табличного процесора Основні об єкти Ехсеl та їх властивості Основні елементи інтерфейсу

More information

КНИГА ЗАПИСІВ НАСЛІДКІВ ВНУТРІШНЬОГО КОНТРОЛЮ

КНИГА ЗАПИСІВ НАСЛІДКІВ ВНУТРІШНЬОГО КОНТРОЛЮ КНИГА ЗАПИСІВ НАСЛІДКІВ ВНУТРІШНЬОГО КОНТРОЛЮ (П. І. Б. адміністратора) (назва навчального закладу) (навчальний рік) Харків Видавнича група «Основа» 2015 Автор: В. В. Григораш Урок це дзеркало загальної

More information

Відомості про остаточних ключових учасників у структурі власності банку станом на 01 січня 2016 року ПУБЛІЧНЕ АКЦІОНЕРНЕ ТОВАРИСТВО «БАНК «ЮНІСОН»

Відомості про остаточних ключових учасників у структурі власності банку станом на 01 січня 2016 року ПУБЛІЧНЕ АКЦІОНЕРНЕ ТОВАРИСТВО «БАНК «ЮНІСОН» Відомості про остаточних ключових учасників у структурі власності банку станом на 01 січня 2016 року ПУБЛІЧНЕ АКЦІОНЕРНЕ ТОВАРИСТВО «БАНК «ЮНІСОН» N з/п Прізвище, ім'я та по батькові фізичної особи або

More information

Joint-Stock Company GIDROPRIVOD. Axial-Piston pumps of variable displacement Type НА

Joint-Stock Company GIDROPRIVOD. Axial-Piston pumps of variable displacement Type НА Joint-Stock Company GIDROPRIVOD Axial-Piston pumps of variable displacement Type НА Purpose of the item. Axial-piston pumps (type НА) of variable displacement and constant direction of operational liquid

More information

ПРАКТИЧНА РОБОТА 3 Робота з мережевими ресурсами

ПРАКТИЧНА РОБОТА 3 Робота з мережевими ресурсами ПРАКТИЧНА РОБОТА 3 Робота з мережевими ресурсами Всі дії з правами «АДМІНІСТРАТОРА» Налаштування брандмауера Windows. Брандмауер (мережевий екран) це захисний бар єр між комп ютером чи мережею і зовнішнім

More information

ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ

ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ Міністерство освіти і науки України ХАРКІВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ БУДІВНИЦТВА ТА АРХІТЕКТУРИ НЮІохвидович, ЕВ Поклонський, ІВ Подкопай, РВ Посилаєва ДОСЛІДЖЕННЯ ОПЕРАЦІЙ Навчально методичний

More information

6 КЛАС ВПРАВИ САМОСТІЙНІ РОБОТИ ТЕМАТИЧНІ КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЕКСПРЕС-КОНТРОЛЮ

6 КЛАС ВПРАВИ САМОСТІЙНІ РОБОТИ ТЕМАТИЧНІ КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЕКСПРЕС-КОНТРОЛЮ О.С. Істер МАТЕМАТИКА 6 КЛАС ВПРАВИ САМОСТІЙНІ РОБОТИ ТЕМАТИЧНІ КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ ЗАВДАННЯ ДЛЯ ЕКСПРЕС-КОНТРОЛЮ ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН УДК 512.1(075.3) ББК 22.1я72 І-89 Істер О.С. І-89 Математика.

More information

Український індекс ставок за депозитами фізичних осіб

Український індекс ставок за депозитами фізичних осіб Український індекс ставок за депозитами фізичних осіб 1. Компанія Thomson Reuters розраховує індикативну ставку «Український індекс ставок за депозитами фізичних осіб» (Ukrainian Index of Retail Deposit

More information

за двома бюджетними програмами по яким ф нансусться яко зд Йснюеться експлуатац я державного водогссподарського комплексу та

за двома бюджетними програмами по яким ф нансусться яко зд Йснюеться експлуатац я державного водогссподарського комплексу та рурми мт пя т ук увя вп рк кмпку ткж мт пя ктив упрв я вими вм жтими пррмми п яким утя упрв я ви у р пр ви ити у кшти у М З ти рив витки в ти пр ки ти р тт В ДО ЗПЛв Н прв ррук ви пр т в кик ржв ж п к

More information

Правила проведення конкурсу на кращий дизайн банківської картки зі змінами

Правила проведення конкурсу на кращий дизайн банківської картки зі змінами Правила проведення конкурсу на кращий дизайн банківської картки зі змінами КИЇВ 2016 Організатори конкурсу Конкурс організовує та проводить ПАТ «ДІАМАНТБАНК». Тема конкурсу Створення художньої роботи,

More information

і

і 1 3 0 4 0 9 0 9 і 0 7 0 4 0 4 0 7 б 0 2 0 6 0 2 0 7 0 6 0 9 0 6 0 2 0 1 0 5 0 7 7 0 5 є 0 9 0 9 є 0 6 Є 0 2 0 6 0 8 є 0 4 0 6 0 9 є 0 2 0 5 0 4 0 1 б 0 8 0 2 0 3 0 1 0 2 і 0 9 0 2 0 5 0 6 0 8 0 9 0 9 0

More information

Офіційні правила та умови акції «Відчути силу з MasterCard безцінно!»

Офіційні правила та умови акції «Відчути силу з MasterCard безцінно!» Офіційні правила та умови акції «Відчути силу з MasterCard безцінно!» 1. Основні положення 1.1. Офіційними Правилами рекламної акції «Відчути силу з MasterCard безцінно!» з платіжною карткою MasterCard

More information

Алебра Геометрія 11 КЛАС

Алебра Геометрія 11 КЛАС О.С. Істер Алебра Геометрія 11 КЛАС ТЕМАТИЧНI КОНТРОЛЬНI РОБОТИ ТА ЗАВДАННЯ ДЛЯ експрес-контролю Рівень стандарту Академічний рівень Навчальний посібник Видання четверте, перероблене ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА

More information

Інформація про стан і розвиток страхового ринку України за 9 місяців 2007 року

Інформація про стан і розвиток страхового ринку України за 9 місяців 2007 року Інформація про стан і розвиток страхового ринку України за 9 місяців 2007 року 1. Протягом 9 місяців 2007 року кількість страхових компаній (СК) зросла на 31 СК та станом станом на 30.09.2007 р. cтановила

More information

ВАРІАНТ з (Т ) Знайдіть від числа 12. ^ 4 А Б В Г 16 ц і 4. Укажіть число, яке ділиться наділо на 9.

ВАРІАНТ з (Т ) Знайдіть від числа 12. ^ 4 А Б В Г 16 ц і 4. Укажіть число, яке ділиться наділо на 9. ВАРІАНТ 1 ІШ І НІН ІІШ ІШ НІН П ІН Н ІШ І IIІН ІIIІІШ І1! Ш И Н Перша частина II НІ IIІІІІІ НІ І! ІН Ш І II ІНШ ИМ ЦІМ І! П ІШ І II ІН Ш І з (Т ) Знайдіть від числа 12. ^ 4 16 ц і 4 8 9 Укажіть число,

More information

Офіційні правила акції «Новорічна Акція» (надалі- Правила)

Офіційні правила акції «Новорічна Акція» (надалі- Правила) Офіційні правила акції «Новорічна Акція» (надалі- Правила) 1. Організатор Акції 1.1. Організаторами акції «Новорічна Акція» (надалі «Акція») є ТзОВ «Авіакомпанії «Атласджет Україна» (TM Atlasglobal) (надалі

More information

ТОВАРИСТВО З ОБМЕЖЕНОЮ ВІДПОВІДАЛЬНІСТЮ «ЄС ПРОДАКШЕН ГРУП» (зазначається повне найменування суб єкта інформаційної діяльності)

ТОВАРИСТВО З ОБМЕЖЕНОЮ ВІДПОВІДАЛЬНІСТЮ «ЄС ПРОДАКШЕН ГРУП» (зазначається повне найменування суб єкта інформаційної діяльності) ЗАТВЕРДЖЕНО ФОРМА 1 повідомлення про подання інформації про структуру власності На виконання вимог Закону України Про телебачення і радіомовлення та Порядку подання телерадіоорганізаціями та провайдерами

More information

Олімпіадні задачі з математики з розв язками для учнів середньої школи ВСТУП

Олімпіадні задачі з математики з розв язками для учнів середньої школи ВСТУП ВСТУП Олімпіадна задача з математики це задача підвищеної складності, нестандартна як за формулюванням, так і за методами розв язання. Серед олімпіадних задач зустрічаються такі, для розв язання яких потрібні

More information

Нестатеве розмноження організмів. Регенерація

Нестатеве розмноження організмів. Регенерація Нестатеве розмноження організмів. Регенерація ПЛАН Ознаки нестатевого розмноження Способи нестатевого розмноження одноклітинних і багатоклітинних Вегетативне розмноження Регенерація Ознаки нестатевого

More information

Порівняльний аналіз при викладенні навчального матеріалу як засіб інтелектуального розвитку учнів (на прикладі порівняння об єктних моделей Turbo

Порівняльний аналіз при викладенні навчального матеріалу як засіб інтелектуального розвитку учнів (на прикладі порівняння об єктних моделей Turbo Порівняльний аналіз при викладенні навчального матеріалу як засіб інтелектуального розвитку учнів (на прикладі порівняння об єктних моделей Turbo Pascal 7.0 і Delphi) І.М. Лукаш Проблема інтелектуального

More information

1. Зв'язок роботи з державними чи галузевими науковими програмами, планами, темами, пріоритетними напрямками розвитку науки й техніки

1. Зв'язок роботи з державними чи галузевими науковими програмами, планами, темами, пріоритетними напрямками розвитку науки й техніки 2 готельних мереж за контрактним управлінням приділено недостатньо уваги, переваги контрактного управління готельними мережами не висвітленні в повній мірі, оскільки є відносно новим явищем для національного

More information

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З ПРОГРАМУВАННЯ

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З ПРОГРАМУВАННЯ Міністерство транспорту та зв язку України ОДЕСЬКА НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМIЯ ЗВ ЯЗКУ ім. О. С. ПОПОВА Кафедра інформаційних технологій ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ З ПРОГРАМУВАННЯ для практичних та лабораторних занять

More information

КРАМАТОРСЬКА МІСЬКА РАДА РІШЕННЯ

КРАМАТОРСЬКА МІСЬКА РАДА РІШЕННЯ ПРОЕКТ КРАМАТОРСЬКА МІСЬКА РАДА РІШЕННЯ Про здійснення закупівель товарів, робіт і послуг, вартість яких є меншою за вартість, що встановлена в абзацах другому та третьому частини першої статті другої

More information

Практикум з курсу загальна географ я 6 клас гдз

Практикум з курсу загальна географ я 6 клас гдз Практикум з курсу загальна географ я 6 клас гдз Деталі: Категорія: Гдз географія: Опубліковано: Вівторок. 7 клас О. Г. Я і украна 4 клас зошит відповіді громадянська освіта природознавство. найдено 1149.

More information

Основи інформаційного та соціально-правового моделювання

Основи інформаційного та соціально-правового моделювання Міністерство освіти і науки України Науково-дослідний інститут інформатики і права Національної академії правових наук України Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут»

More information

ЗБІРНИК ЗАДАЧ І ТЕСТІВ З МАТЕМАТИКИ

ЗБІРНИК ЗАДАЧ І ТЕСТІВ З МАТЕМАТИКИ Н.О. Будна ЗБІРНИК ЗАДАЧ І ТЕСТІВ З МАТЕМАТИКИ 4 клас Практичний матеріал для вчителів початкових класів та самостійної роботи учнів Схвалено комісією початкової освіти Науково-методичної ради з питань

More information

1 Бюлетень ВАК України, 9-10, 2011

1 Бюлетень ВАК України, 9-10, 2011 1 Бюлетень ВАК України, 9-10, 2011 ВИМОГИ ДО ОФОРМЛЕННЯ ДИСЕРТАЦІЙ ТА АВТОРЕФЕРАТІВ ДИСЕРТАЦІЙ (розроблено на підставі ДСТУ 3008-95 «Документи. Звіти у сфері науки і техніки. Структура і правила оформлення»)

More information

Валова продукція сільського господарства України

Валова продукція сільського господарства України Державна служба статистики України Статистичний бюлетень Валова продукція сільського господарства України (у постійних цінах 2010р.) за рік Остаточні дані м. Київ Державна служба статистики України адреса:

More information

ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДА «ПАТЕРН» ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОГО ВИБОРУ ТА ОЦІНЮВАННЯ

ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДА «ПАТЕРН» ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОГО ВИБОРУ ТА ОЦІНЮВАННЯ УДК 9.6 Гожий О.П. ОСОБЛИВОСТІ ВИКОРИСТАННЯ МЕТОДА «ПАТЕРН» ДЛЯ ВИРІШЕННЯ ЗАДАЧ БАГАТОКРИТЕРІАЛЬНОГО ВИБОРУ ТА ОЦІНЮВАННЯ У данній роботі розглядаються особливості вирішення багатокритеріальних задач вибору

More information

ПРОЕКТ. ІНФОРМАТИКА Навчальна програма для 5-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів

ПРОЕКТ. ІНФОРМАТИКА Навчальна програма для 5-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів ПРОЕКТ ІНФОРМАТИКА Навчальна програма для 5-9 класів загальноосвітніх навчальних закладів Метою реалізації загальноосвітньої програми є забезпечення запланованих освітніх результатів, до яких можна віднести

More information

Научно-технический сборник 87

Научно-технический сборник 87 7.Сапожников Е. Особенности бюджетирования в российских организациях // Финансовый менеджмент. 2003. 6. С.42-51. 8.Терещенко О. О. Фінансова діяльність суб єктів господарювання. К.: КНЕУ, 2003. 554 с.

More information

Оподаткування доходів засновників - фізосіб

Оподаткування доходів засновників - фізосіб Оподаткування доходів засновників - фізосіб Продовження. Початок див. у "ШБ" 3, 4, 5/2005 р. Зараз ми з усіх боків чуємо захоплення перших осіб держави про збільшення іноземних інвестицій і ні слова про

More information

Текст: Євангеліє від Матвія 6:1-6, 16-34

Текст: Євангеліє від Матвія 6:1-6, 16-34 Текст: Євангеліє від Матвія 6:1-6, 16-34 а) Пошук праведності не перед собою а) Пошук праведності не перед собою б) Пошук праведності не перед людьми а) Пошук праведності не перед собою б) Пошук праведності

More information

ОГЛЯД МІЖНАРОДНОЇ МЕТРОЛОГІЇ

ОГЛЯД МІЖНАРОДНОЇ МЕТРОЛОГІЇ ДЕРЖСПОЖИВСТАНДАРТ УКРАЇНИ УКРМЕТРТЕСТСТАНДАРТ ОГЛЯД МІЖНАРОДНОЇ МЕТРОЛОГІЇ ВИПУСК 3 Київ 2007 ББК 30.10я5 0-37 0-37 Огляд міжнародної метрології / Держспоживстандарт України. Укрметртестстандарт. К.:

More information

Врахування помилок першого та другого роду перемикального пристрою для системи із гарячим резервуванням

Врахування помилок першого та другого роду перемикального пристрою для системи із гарячим резервуванням Математическое моделирование ISSN 2226-3780 Москвіна І. І., Стефанович Т. О., Щербовських C. В. УДК 519.248 DOI: 10.15587/2312-8372.2015.51357 Врахування помилок першого та другого роду перемикального

More information

1(3),

1(3), 004.0-531.38..,.. в,., alexandruckin@ramber.ru A... Х ия ия ии и и и ч и и и чи чияи, ия. иия я, ч ии и их, их, учии и, ии и чи ия иии ия и уу и. Эи я чиия х хиич и. и иии и х ух. и их и хи щ и чи. ия

More information

ПРО ВИЗНАЧЕННЯ ТОВЩИНИ ЗРІЗУ ВЗДОВЖ РІЗАЛЬНОЇ КРОМКИ ІНСТРУМЕНТУ

ПРО ВИЗНАЧЕННЯ ТОВЩИНИ ЗРІЗУ ВЗДОВЖ РІЗАЛЬНОЇ КРОМКИ ІНСТРУМЕНТУ - превышение дополнительной кромки над основной Δ (0,045 0,1)D; - угол положения дополнительной кромки ρ=16 - угол μ 1 дополнительной кромки 5 7 - коэффициент глубины стружечной канавки дополнительной

More information

ПРЕЗЕНТАЦІЯ КОНЦЕПЦІЇ СТВОРЕННЯ СЛУЖБИ ФІНАНСОВИХ РОЗСЛІДУВАНЬ

ПРЕЗЕНТАЦІЯ КОНЦЕПЦІЇ СТВОРЕННЯ СЛУЖБИ ФІНАНСОВИХ РОЗСЛІДУВАНЬ ПРЕЗЕНТАЦІЯ КОНЦЕПЦІЇ СТВОРЕННЯ СЛУЖБИ ФІНАНСОВИХ РОЗСЛІДУВАНЬ Розподіл функцій з профілактики та розслідування економічних економічних правопорушень між декількома органами державної державної влади влади

More information

ДОСЛІДЖЕННЯ РОЗПОДІЛУ ВИДІВ ВАНТАЖІВ МІЖ АВТОМОБІЛЬНИМ І ЗАЛІЗНИЧНИМ ВИДАМИ ТРАНСПОРТУ

ДОСЛІДЖЕННЯ РОЗПОДІЛУ ВИДІВ ВАНТАЖІВ МІЖ АВТОМОБІЛЬНИМ І ЗАЛІЗНИЧНИМ ВИДАМИ ТРАНСПОРТУ ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ И СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ УДК 656.078.1 Ю.О. ДАВІДІЧ, докт. техн. наук, проф., ХНАМГ, м. Харків Д.П. ПОНКРАТОВ, канд. техн. наук, доц., ХНАМГ, м. Харків М.В. ОЛЬХОВА, асистент, ХНАМГ,

More information

Задача 1. Відповідь: мінімальний річний обсяг продажу при якому фірма не несе збитків дорівнює : 63000,37 гр. од.

Задача 1. Відповідь: мінімальний річний обсяг продажу при якому фірма не несе збитків дорівнює : 63000,37 гр. од. Задача 1 Річний обсяг закупівлі товару фірмою становить VC гривень, річний обсяг продажу S гривень. Щорічні витрати на оренду приміщення, упаковку, оплату праці персоналу складають FC гривень. Який мінімальний

More information

Офіційні правила Бонусної Програми MasterCard Rewards

Офіційні правила Бонусної Програми MasterCard Rewards Офіційні правила Бонусної Програми MasterCard Rewards Терміни та умови 1. Вступ Бонусну програму MasterCard Rewards (далі «Бонусна Програма») просуває та виконує в Україні компанія «МастерКард Юроп Спрл»

More information

АЛГОРИТМІЧНА МОВА ПАСКАЛЬ

АЛГОРИТМІЧНА МОВА ПАСКАЛЬ МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ АЛГОРИТМІЧНА МОВА ПАСКАЛЬ Навчальний посібник для студентів бакалаврату напрямку електроніка

More information

А.П. Андросова, ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка»

А.П. Андросова, ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка» УДК 373.5.016:797.212 А.П. Андросова, ДЗ «Луганський національний університет імені Тараса Шевченка» ОРГАНІЗАЦІЯ ПРОЦЕСУ НАВЧАННЯ СТАРШОКЛАСНИКІВ ПЛАВАННЮ В ПРОФІЛЬНІЙ ПІДГОТОВЦІ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІХ НАВЧАЛЬНИХ

More information

Пам ятка користувача «СОТА»

Пам ятка користувача «СОТА» Пам ятка користувача «СОТА» Зареєструвавшись у Персональному кабінеті, Ви отримуєте можливість організувати обмін електронними документами з Вашими контрагентами - користувачами програм «M.E.Doc-IS», «СОТА»

More information

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН ОС Істер Математика 5 клас Вправи Самостійні роботи Тематичні контрольні роботи Завдання для експрес-контролю ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН УДК 5121(0753) ББК 221я72 І-89 Істер ОС І-89 Математика 5

More information

ІМІТАЦІЙНА МОДЕЛЬ РОЗПОДІЛУ ПОЇЗДОПОТОКУ ПО ОПТИМАЛЬНИХ МАРШРУТАХ

ІМІТАЦІЙНА МОДЕЛЬ РОЗПОДІЛУ ПОЇЗДОПОТОКУ ПО ОПТИМАЛЬНИХ МАРШРУТАХ УДК 656.222.3 Ю. В. ЧИБІСОВ (ДІІТ) ІМІТАЦІЙНА МОДЕЛЬ РОЗПОДІЛУ ПОЇЗДОПОТОКУ ПО ОПТИМАЛЬНИХ МАРШРУТАХ Запропоновано імітаційну модель для вирішення задачі раціонального розподілу поїздопотоків за двома

More information

Л. А. Косирева. ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з навчальної дисципліни «Комп ютерна математика»

Л. А. Косирева. ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних робіт з навчальної дисципліни «Комп ютерна математика» МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ОДЕСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ І. І. МЕЧНИКОВА ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ, ЕКОНОМІКИ І МЕХАНІКИ Л. А. Косирева ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ до виконання лабораторних

More information

Лабораторна робота 2. Пошук і вибірка записів бази даних за допомогою команд Форма та Фільтр

Лабораторна робота 2. Пошук і вибірка записів бази даних за допомогою команд Форма та Фільтр Лабораторна робота 2. Пошук і вибірка записів бази даних за допомогою команд Форма та Фільтр 3.2.1. Вікно Форма В MS Excel 2003 користувачеві надається можливість створювати й редагувати бази даних за

More information

Офіційні правила Акції «Moto Z New Year 2016»

Офіційні правила Акції «Moto Z New Year 2016» Офіційні правила Акції «Moto Z New Year 2016» 1. Загальні положення 1.1. Організатор Акції Фізична особа- підприємець ФОП Скорик А.Г. (надалі Організатор). 1.2. Цими Офіційними Правилами (надалі Правила)

More information

НАВЧАННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНИМ АЛГОРИТМАМ МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ ІНФОРМАТИКИ

НАВЧАННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНИМ АЛГОРИТМАМ МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ ІНФОРМАТИКИ НАВЧАННЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНИМ АЛГОРИТМАМ МАЙБУТНІХ ВЧИТЕЛІВ ІНФОРМАТИКИ Т.Л. Атаман м. Одеса, Південноукраїнський державний педагогічний університет імені К.Д. Ушинського tasiyadiy_tanya@mail.ru Анотація: В

More information

Вступ до об єктно-орієнтованого програмування

Вступ до об єктно-орієнтованого програмування Міністерство освіти і науки України Херсонський державний педагогічний університет М.С. Львов О.В. Співаковський Вступ до об єктно-орієнтованого програмування Навчальний посібник Херсон 2000 УДК 519.682.1

More information

ШФОРМАТИКА TURBO PASCAL

ШФОРМАТИКА TURBO PASCAL Д.М. Шост р*ос*д#. j ÿ Д.М. Шост ШФОРМАТИКА TURBO PASCAL Зошит-конспект 10-11 класи ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА - БОГДАН 2003 EXLIBRIS A3 АЛОВОЙ ЭААИНЫ ББК 32.97я2 Ш53 Рецензенти: Василенко Я.П. ст. викладач

More information

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН

ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН Н.О. Будна М.В. Беденко МАТЕМАТИКА 4 клас Підручник Рекомендовано Міністерством освіти і науки України ТЕРНОПІЛЬ НАВЧАЛЬНА КНИГА БОГДАН УДК 51(075.2) ББК 22.1я71 Б90 Рецензенти: кандидат педагогічних наук,

More information