Breuke behels die skryfwyse in wiskunde van gedeeltes van iets, byvoorbeeld die helfte van n koppie koffie, of n roomysbak wat driekwart vol is.

Transcription

1 Breuke behels die skryfwyse in wiskunde van gedeeltes van iets, byvoorbeeld die helfte van n koppie koffie, of n roomysbak wat driekwart vol is. Kom ons raak net eers gou vertroud met die konsep: As jou ma n koekie tussen jou en jou boetie / sussie moet verdeel, watter een van die volgende sal die beste verdeling wees: A B Watter deel van die koekie kry julle elkeen as sy die verdeling gemaak het soos in A? Is die koekie soos by A in gelyke dele verdeel? Hoeveel halwes is daar in n hele? Knip die volgende figure uit, of trek dit af op n aparte stuk papier, en vou dan elkeen op die stippellyn. Beantwoord dan ook die volgende vrae oor hierdie figure. a) In hoeveel dele is elke figuur verdeel? b) Wat noem ons elkeen van hierdie dele?

2 Vat n stukkie tou en knip dit in twee halwes. Is die twee stukke tou ewe lank? Vier maats kry n sjokolade persent. Hoe sal jy die sjokolade verdeel sodat almal ewe veel kry? In hoeveel gelyke dele het jy die sjokolade verdeel? Watter deel van die sjokolade kry julle elkeen? Is die volgende stelling waar of onwaar: As die sjokolade in vier gelyke dele verdeel word, is dit in kwarte verdeel. Hoeveel kwarte is daar in n hele?

3 Vat n gewone vel papier en vou dit in agt gelyke dele, en knip dan hierdie blokkies uit. Wat noem ons een van hierdie dele van die oorspronklike figuur? Hoe sal ons twee van hierdie dele saam kan skryf? Hoeveel agtstes is daar in n hele? Hoeveel kwarte het twee agtstes volgemaak (toets dit deur die blokkies wat jy uitgeknip het op n ander vel papier, wat jy in vier gelyke dele gevou het, te pas)? Jy behoort nou redelik vertroud te wees met die feit dat, as ons n hele soos n appel of n sjokolade of n koek, in n sekere gelyke aantal deel, dan is elkeen van hierdie dele gelyk aan een aantalste van die hele. Kom ons illustreer dit gou op n wiskundige manier: ) Deel appel in 5: Elke deel is dan een vyfde van die hele, of 5. ) Deel sjokoladekoek in 0 dele: Elke deel is dan een tiende van die hele, of 0 ) Deel n bottel koeldrank in gelyke dele: Elke deel is dan een derde van die hele, of. ) Deel n melktert in 6 gelyke dele: Elke deel is dan een sesde van die hele, of 6. Maar wat gebeur nou as ons meer as hele in n aantal moet deel? Dink byvoorbeeld aan albasters wat tussen maats verdeel moet word. Ons beskou dan die getal as n hele, soos wat ons die hele sjokolade, met al sy blokkies / die boksie Smarties met al die Smarties binne-in, as n hele gesien het.

4 Iets waarop jy net moet let, is dat die skryfwyse of byvoorbeeld, beteken of, met ander woorde die hele gedeel deur die aantal verdelings, wat vir ons die breuk gee wat elkeen kry. Dus, as ons die albasters as n hele beskou, en ons moet dit tussen maats verdeel, kry elke maat, dus. Nou moet jy mooi oplet: Elke maat kry albasters, maar dit is van die hele, en daar is s in n hele. ) Hoeveel van die volgende breuke is in n hele? a) b) 6 c) d) 8 ) Hoeveel van die volgende breuke is nog nodig om n hele te maak? a) b) 0 c) a) 5 c) 9 d) 9 5 b) 6 7 d) 0 ) Hoeveel van die hele is in die volgende breuke: a) b) 5 7 c) 9 d)

5 Ons gaan jou nou deur nog n paar oefeninge vat, net on die begrip behoorlik was te lê: ) As n koek in gelyke dele verdeel is, is dit in kwarte verdeel. ) As n warmbrak in gelyke dele verdeel is, is dit in halwes verdeel. ) Daar is derdes in n hele. ) Daar is 0 tiendes in n hele. 5) Daar is in n hele. 6) As n tou in 5 gelyke dele verdeel is, is dit in verdeel. 7) As n reghoek in 8 dele verdeel is, is dit in verdeel. 8) Daar is kwarte in n hele. 9) Daar is 9 in n hele. 0) As een sesde van n plank afgesaag word, bly daar nog vyf oor. Voltooi die volgende oefening deur net die regte woorde (bv. kwarte, vyfde, ensovoorts) in te vul: ) Die van 50c is 5c. ) n van R0 is R5. ) Ses lekkers is n van 8 lekkers. ) Tien albasters is n van 80 albasters.

6 Teller en Noemer Ons weet reeds dat breuke gekry word as n voorwerp of n groep voorwerpe in gelyke dele verdeel word. In n breuk soos 8 word die syfer onder die verdeellyn, d.w.s. die 8, die noemer van die breuk genoem, want dit noem die getal gelyke dele. Die syfer bokant die verdeellyn, d.w.s. die, word die teller genoem, omdat dit tel hoeveel van die gelyke dele geneem of ingekleur of mee gewerk word. Bv: Teller 8 Noemer In die voorbeelde toon die noemer aan dat die reghoek in 8 gelyke dele verdeel is en dat daar 8 sirkels is. Die teller dui aan dat van die gelyke dele en van die sirkels ingekleur is, d.w.s. 8 van die sirkels is ingekleur. Oefening ) Gebruik die eerste getal as teller en die tweede getal as noemer en sê watter breuke gevorm word: a) 5 ; 8 b) 5 ; 00 c) 7 ; 0 d) ; e) 75 ; 00 ) Sê wat die breuk is: a) dele uit 0 b) 5 dele uit 00 c) 5 dele uit 8 d) dele uit 5

7 Ekwivalente breuke (gelykwaardige breuke) n Aantal voorwerpe of n hele kan op meer as een manier in gelyke dele verdeel word. Dieselfde gedeelte van die versameling voorwerpe of van die hele kan aangedui word deur verskillende breuke wat dieselfde waarde het. Bv. hele ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 6 / 8 / 8 / 8 / 8 / 8 / 8 / 8 / 8 / 0 / 0 / 0 / 0 / 0 / 0 / 0 / 0 / 0 / 0 Die diagram toon hoe n hele in verskillende dele verdeel word. Uit die 5 diagram is dit duidelik dat: Breuke soos word ekwivalente breuke genoem omdat hulle gelyk is aan mekaar, m.a.w. hulle waardes is dieselfde. Om ekwivalente breuke van n genoemde breuk te kry is dit nodig om beide die teller en noemer met dieselfde getal te vermenigvuldig of deel. Voorbeeld: As die vraag vra vul die getal in wat uitgelaat is by. Bepaal waarmee het jy vermenigvuldig om te kry.. Vermenigvuldig nou die teller (), ook met. Dis reg! 9. Die finale antwoord is dus 9

8 Voorbeeld: 5 0 Vul die getal in wat weggelaat is by 6. Bepaal waarmee het jy die teller, 5, vermenigvuldig om 0 te kry.. Vermenigvuldig nou die noemer, 6, ook met. Dis reg, dis. Jou finale antwoord is dus Voorbeeld: Vul die getal in wat weggelaat is by 8 i. Bepaal deur wat jy die noemer, 8, moet deel om te kry. ii. Deel nou die teller,, ook met. Dis reg, dis iii. Jou finale antwoord is dus 8 Voorbeeld: Skryf n ekwivalente breuk neer vir Jy kan nou self besluit waarmee jy wil vermenigvuldig, onthou net jy moet die teller en noemer met dieselfde getal vermenigvuldig. 8 Kom ons kies : Oefening ) Vul die getalle in wat weggelaat is en verduidelik hoe jy dit gekry het a) b) 8 6

9 c) d) 9 e) g) i) 8 f) h) j) 9 ) Skryf een ekwivalente breuk vir die volgende neer: 6 a) b) 7 8 c) 6 d) 5 e) 6 f) 0

10 Vereenvoudiging van breuke Wanneer jy met breuke werk moet jy altyd jou antwoord in sy eenvoudigste vorm skryf. Dit beteken dat daar geen getal (behalwe ) in beide die noemer en die teller meer kan indeel nie. Bv. of of Om n breuke te vereenvoudig moet jy kyk wat is die grootste getal wat in beide die teller en noemer kan indeel. 0 Bv. As jy die breuk moet vereenvoudig, sien jy dat 5 die grootste getal 5 is wat in 0 en 5 kan deel: en daar is dit nou in eenvoudigste vorm, want daar is geen getal (behalwe ) wat in en kan deel nie. Oefening ) Dui aan watter van die volgende breuke in eenvoudigste vorm is: ; ; ; ; ; ; ; ) Dui die eenvoudigste vorm aan van die breuke hierbo wat nie reeds in hul eenvoudigste vorm is nie.

11 Hoe om breuke met mekaar te vergelyk Jou ma het sjokoladekoeke gebak. Sy het een in gelyke dele verdeel en die ander in gelyke dele. Jy wil graag die grootste stuk koek hê, maar weet nou nie van watter koek jy n stukkie moet vat nie. Kom ons werk dit uit met behulp van prentjies: Koek Koek Watter koek se dele lyk vir jou die grootste? Dis Reg! Die koek wat in dele gesny is se dele is groter as die koek wat in dele gesny is. Ons het 9 ewe lang stukke tou. Ons sny dit op soos in die onderstaande sketse aangedui. Tou A Tou B

12 Tou C Tou D Tou E Tou F Tou G Tou H Tou I. a) In hoeveel stukkies het ons elke tou gesny? b) Werk uit watter breukdeel van elke tou een stukkie voorstel. c) Watter breuk lewer die langste stukkie tou? d) Watter breuk lewer die kortste stukkie tou?. Gebruik weer die sketse om jou te help om die volgende vrae te beantwoord. By elke vraag sit n (kleiner as) of (groter as) in a) b) c) d) Jy sou nou opgelet het, veral by die laaste vraag, dat dinge nogal moeilik kan raak as jy breuke met behulp van só n skets moet vergelyk, ten einde te bepaal watter breuk die grootste is. Daar moet tog n makliker manier wees? Gelukkig is daar!

13 Ons maak die breuke ekwivalente breuke, en dan vergelyk ons slegs die tellers. So eenvoudig soos dit! Kom ons begin by die twee sjokolade koeke: en Om hierdie twee breuke ekwivalent te kry, moet ons n KGV bepaal. Die kleinste getal waarin en kan indeel is, dus: en Dit gee dan: en En dan is dit nou duidelik dat groter is as, en dus is die oorspronklike breuk wat die gelewer het ( ) die grootste van die twee breuke, en soos ons gesien het dit moet wees! Kom ons vergelyk nou die breuke in netnou se oefening op dieselfde manier: a) b) c) 9 8 d) 8 7

14 Optelling en aftrekking van breuke Die eerste ding waarna jy moet oplet voor jy breuke kan optel of aftrek is dat die breuke waarmee jy werk se noemers dieselfde moet wees. As die noemers dieselfde is, is dit baie maklik, want dan tel jy net die tellers bymekaar of trek die tellers van mekaar af, afhangende van die bewerking wat die som bevat. Bv: Die noemers is dieselfde so tel net jou tellers bymekaar 7 7 en + = 5 5 = 7 Bv: 7 Jou noemers is dieselfde, so jy trek net jou tellers van 8 8 mekaar af en 7 =. = 8 ONTHOU: Jy moet altyd jou antwoord in sy eenvoudigste vorm skryf: Oefening Bereken en skryf die antwoord in sy eenvoudigste vorm a) b) c) 5 6 d) 6 6 Die aftrekking van breuke werk presies dieselfde!!

15 n Breuk van n getal Ons praat baie keer van n breuk van n getal, soos wanneer ons verwys na die helfte van die wedstryd, of driekwart van n bottel koeldrank. Dit is egter nodig dat jy moet weet hoe om die Wiskunde agter hierdie manier van praat te kan doen, en dit is waarna ons nou gaan kyk. Let op: Die tegniek om met n breukdeel van n getal te werk vereis eintlik dat jy moet weet hoe om breuke te kan vermenigvuldig, maar aangesien jy dit nog nie op hierdie stadium gedoen het nie, gaan ons vir eers net kyk na n meer eenvoudige tegniek. As jy gevra word om die helfte van 0 te bereken, dan skryf jy dit soos volg: van 0. Nou moet jy net onthou om die 0 met die teller van die breuk te maal (dit is die ), en dan te deel met die noemer (dis die ). Ons gaan dus kry dat 0 0, en 0 0. Die helfte van 0 is dus 0! Maar dit het jy mos geweet? Wat egter van iets soos hierdie: van 0? Jy gaan maar presies dieselfde 5 doen: 0 90, en dan Die antwoord is dus 8. Kom ons doen gou nog een voorbeeld. van. Ons sê 56, en Maklik né? 7 Doen dan gou die volgende oefening: Bepaal ) van 6 ) van ) van 8 6

16 Hersieningsoefening ) Watter breukdeel is ingekleur? A B C D ) Kleur die dele soos volg in: a) twee derdes van A b) een helfde van B c) drie kwarte van C d) een derde van D A B C D ) Bereken: ) Omkring die teller: 5) Omkring die noemer: 5 9 6

17 6) Gebruik die figure om die volgende breuke in te kleur 7) Voltooi die ekwivalente breuke ) Vereenvoudig die volgende breuke

18 9) Elke figuur is ingedeel in tien gelyke dele. n Sekere aantal van die gedeeltes is ingekleur of is nie ingekleur nie. Gebruik die figure om die tabel te voltooi. A B Figuur A B Ingekleurde breuk Nie ingekleurde breuk 0) Los die volgende probleme met breuke op: a) Daar is 600 mense by n konsert. Van die mense in die gehoor is mans. 0 ) Watter breuk van die gehoor is vroulik? ) Hoeveel mense in die gehoor is vrouens? b) Judy stap 5 kilometer op pad winkel toe van haar huis af. Sy moet nog 5 kilometer ver stap voordat sy by die winkel sal wees. Hoe ver is die winkel van haar huis af? c) Thomas het suigstokkies. Hy hou n kwart vir homself, en gee die res vir n maat. Hoeveel hou hy vir homself, en hoeveel kry sy maat?

19 ) Bepaal 5 van 000ml koeldrank ) Wat sê die teller en noemer van die breuk vir ons? ) Bereken die waarde van: van ) Vul die getal in wat uitgelaat is: ) Vul in ; of = 6) Bereken die waarde van: 5 van 60