PRINCIPIA CYBERNETICA 2014

Transcription

1 -1-1 PRINCIPIA CYBERNETICA Recenzovaný zborník vedeckých prác zo stretnua kateder a ústavov automazáce, kyberneky, nformaky, radena a radacej technky strojníckych a technologckých fakúlt vysokých škôl a unverzít zo SR a ČR Braslava a Kočovce, Slovenská republka ISBN

2 v(k) D(q -1 ) A(q -1 ) u(k) B(q -1 ) A(q -1 ) y(k)

3 v(k) D(q -1 ) PRINCIPIA CYBERNETICA 014 A(q -1 ) u(k) B(q -1 ) A(q -1 ) y(k) Recenzovaný zborník vedeckých prác zo stretnua kateder a ústavov automazáce, kyberneky, nformaky, radena a radacej technky strojníckych a technologckých fakúlt vysokých škôl a unverzít zo SR a ČR: Braslava a Kočovce, Slovenská republka Cyrl Belavý (Edtor) Gergely Takács (Edtor) PRINCIPIA CYBERNETICA 014 Vydala Slovenská techncká unverzta v Braslave ISBN:

4 v(k) D(q -1 ) A(q -1 ) u(k) B(q -1 ) A(q -1 ) y(k)

5 v(k) u(k) A(q -1 ) D(q -1 ) A(q -1 ) Medznárodný vedecký výbor: prof. Ing. Gabrel Hulkó, DrSc. (SK) - predseda prof. Ing. Antonín Víteček, CSc., Dr.h.c. (CZ) prof. Ing. Radm Farana, CSc. (CZ) prof. Ing. Bors Rohaľ-Iľkv, CSc. (SK) prof. Ing. Ladslav B(q -1 Dedík, DrSc. (SK) prof. Ing. Rudolf ) Palenčár, CSc. (SK) prof. Ing. Cyrl Belavý, CSc. (SK) Recenzen: prof. Ing. Gabrel Hulkó, DrSc. prof. Ing. Antonín Víteček, CSc., Dr.h.c. prof. Ing. Radm Farana, CSc. prof. Ing. Bors Rohaľ-Iľkv, CSc. prof. Ing. Ladslav Dedík, DrSc. prof. Ing. Rudolf Palenčár, CSc. y(k) Organzačný výbor: prof. Ing. Cyrl Belavý, CSc. - predseda prof. Ing. Gabrel Hulkó, DrSc. prof. Ing. Bors Rohaľ-Iľkv, CSc. doc. Ing. Stanslav Ďurš, PhD. doc. Ing. Eva Kureková, PhD. Ing. Zuzana Pecarová Ing. Tomáš Volenský, PhD.

6 v(k) D(q -1 ) A(q -1 ) u(k) B(q -1 ) A(q -1 ) y(k)

7 v(k) Ďakujeme našm u(k) sponzorom: -1-1 D(q -1 ) -1 ZIPP BRATISLAVA spol. s r.o. Mlynské nvy 61/A Braslava Tel.: , Fax E-mal: zpp@strabag.com Web: hp:// Semens s.r.o. Lamačská cesta 3/A Braslava Tel.: , Fax: E-mal: kontakt.sk@semens.com Web: hp:// Tectra s.r.o. Pod amfteátrom 7 Pošt. prečnok Levce Tel./Fax: E-mal: tectra@tectra.sk Web: hp://

8 v(k) D(q -1 ) A(q -1 ) u(k) B(q -1 ) A(q -1 ) y(k)

9 Obsah: R. Farana, B. Walek, M. Janošek, J. Žáček: Použtí Lngustc Fuzzy-Logc Control pro snadný pops stratege řízení M. Vítečková, A. Víteček: Využtí prncpu argumentu v regulac A. Vagaská, M. Tóthová, J. Pteľ, M. Moučka: Merane a aproxmáca statckej charakterstky pneumatckého aktuátora s umelým svalm v antagonstckom zapojení M. Vavroušek: Využtí neuronových sítí pro ovládání pneumatckého motoru M. Kašpárek, P. Owczarek: Development of a tool for out-of-plane vbraton vsualzaton wth the VISIONAIR project E. Kureková, T. Peták: Zvyšovane presnost strojov CNC M. Vajsábel, B. Barbolyas, L. Bartalský: Testovane parametrov paralelnej knematckej štruktúry typu Trcept M. Koval, T. Kopunec, P. Pavlásek, M. Vajsábel, L. Ďurš: Návrh merana prehybu pre model protpovodňovej zábrany K. Ondrejkovč, G. Hulkó, P. Buček: Numercal modelng and control desgn of contnuous castng of steel n steelworks Podbrezová L. Bartalský, G. Hulkó: Modelovane a návrh radena predohrevu mechatronckej zlevarenskej formy ako systému s rozloženým parametram P. Pecar, Z. Pecarová: Návrh meraceho systému pre partkulárne látky

10 v(k) D(q -1 ) A(q -1 ) u(k) B(q -1 ) A(q -1 ) y(k)

11 Konferenca Prncpa Cybernetca 014 konaná v rámc 37. stretnuta kateder a ústavov automatzáce, kybernetky, nformatky, radena a radacej technky strojníckych a technologckých fakúlt unverzít v SR a ČR, Kočovce, Sept. 014 Použtí Lngustc Fuzzy-Logc Control pro snadný pops stratege řízení Radm Farana*, **, Bogdan Walek**, Mchal Janošek**, Jaroslav Žáček** * Katedra automatzační technky a řízení, VŠB-TU Ostrava, 17. lstopadu 15/17, Ostrava-Poruba Česká republka (Tel: ; e-mal:radm.farana@vsb.cz). ** Katedra nformatky a počítačů, Ostravská unverzta v Ostravě, 30. dubna, Ostrava, Česká republka (Tel: ; e-mal:bogdan.walek@osu.cz). Abstrakt: příspěvek popsuje použtí systému Lngustc Fuzzy-Logc Control, vyvnutého na Ostravské unverztě v Ostravě pro snadné vytvoření popsu stratege řízení. Využtí znalostí expertů, snadno aplkovatelné touto technkou, umožňuje velm jednoduše sestavt velm komplkovanou strateg řízení s velm dobrým výsledky. Příspěvek prezentuje kromě obecného postupu také zkušenost získané v Laboratoř ntelgentních systémů řízení Ostravské unverzty v Ostravě př řízení technologckých systémů s vzorkovací perodou 0,01 [s] a kratší, jako jsou modely helkoptéry a magnetcké levtace. Sestavené regulátory využívající metodku LFLC u nch dosahují velm dobré výsledky. Kľúčové slová: fuzzy logka, řízení, regulátor, Lngustc Fuzzy-Logc Control, technologcký systém. 1. ÚVOD Fuzzy logka byla objevena Prof. Zadehem (Zadeh 1965) a s úspěchem použta pro pops systémů s neurčtostm (vágní nformací) (Zadeh a Kacprzyk 199) v šedesátých letech dvacátého století. Tato technka byla následně využta také pro pops stratege systémů řízení. Nyní je fuzzy řízení jž přjímáno jako standardní nástroj pro řízení technologckých systémů. Obvykle je využívána technka postavená na fuzzy IF-THEN pravdlech, obvykle v podobě poprvé použté Mamdanm (Mandam a Asslan 1975), nebo Takagm a Sugenem (Takag a Sugeno 1985). Úspěch fuzzy logckého řízení je založen na skutečnost, že pops reálného systému je obvykle alespoň zčást neurčtý. Tyto neurčtost vznkají z mnoha důvodů, velké složtost regulované soustavy, nedostatku znalostí o regulované soustavě, ldskému faktoru v řízení, a dalších, obvykle v kombnac několka vlvů. Specální systém fuzzy řízení byl vyvnut na Ostravské unverztě v Ostravě prof. Novákem a jeho týmem (Novák 1995, Novák a Perfleva 1999, Novák 010) na základě slovního popsu sytému. Lngustc Fuzzy Logc Controller (LFLC) je výsledkem aplkace formální teore fuzzy logky v šrším smyslu (FLb). Základním konceptem FLb jsou hodnotící jazykové výrazy a jazykový pops. Popsné (jazykové) výrazy jsou přírodní jazykové výrazy jako malý, střední, velký, as dvacet pět let, zhruba sto, velm dlouhá, více č méně vysoký, ne přílš složtý, zhruba studené nebo teplé médum, zhruba střední, zhruba středně významné a mnoho dalších. Vytváří malou, ale velm důležtou, složku přrozeného jazyka, protože jsme je zvyklí použít v běžném vyjadřování, abychom byl schopn hodnott jevy kolem nás. Hodnotící výrazy mají důležtou rol v našem žvotě, protože nám pomáhají určt naše rozhodnutí, pomáhají nám v učení a porozumění, a mnoha dalších aktvtách. Jednoduché hodnotící jazykové výrazy mají obecnou podobu: <lngustc modfer> <TE-adjectve> kde je <TE-adjectve> je jedním z přídavných jmen "malé - sm, střední - me, bg - b" nebo "zero - ze ", <lngustc modfer> je příslovce, jako je "extrémně - ex, výrazně - s, velm - ve, spíše - ra, více č méně - ml, přblžně - ro, přblžně zhruba - qr, velm zhruba - vr" (Obr. 1). Obr. 1. Základní prncpy určení hodnot (extrémně malý, velm malý, malý, střední a velký) jako funkce přřazující ke každému kontextu specfckou fuzzy množnu (Novák 010).. REALIZACE LFLC REGULÁTORŮ Sestavený soubor pravdel je možné snadno použít pro řízení jného systému s obdobným vlastnostm nastavením rozsahu vstupních a výstupního kontextu. V případě jednorozměrného systému určuje poměr kontextů koefcent přenosu, např. v případě LFLC regulátoru odpovídajícího vlastnostm chování klasckého P nebo I regulátoru. U složtějších regulátorů (PI, PD, PID) je vztah ke koefcentům přenosu složtější a analoge s klasckým regulátory je hůře použtelná. Obr. ukazuje základní vlastnost regulátoru, odpovídajícího 11

12 chování regulátoru PI. Akční zásah bude vypočítáván podle vztahu: u( kt ) K e( kt ) K e( kt T (1) P I ) Protože je však každý vstup popsán více než jednou fuzzy hodnotou, bude počet pravdel s počtem hodnot rychle růst. Fuzzy PI regulátor pak můžeme realzovat dvěma způsoby. První varanta je dána přímou aproxmací výše uvedeného vztahu podle schématu na obrázku 3. V tomto případě mají fuzzy IF THEN pravdla popsující chování regulátoru tvar: IF E s A E AND δe s A δe THEN U s B U. () e Δe Z N K Z Z Z N N Z N K K N K K Obr.. Pops PI regulátoru (Modrlák 00). Obr. 3. Schéma fuzzy PI regulátoru (Novák aj. 01) Druhou varantou fuzzy PI regulátoru je tzv. nkrementální fuzzy PI regulátor, jehož schéma je na obrázku 4. Výstupem z nferenčního pravdla není přímo hodnota akční velčny, ale její změna (přírůstek) oprot stávající hodnotě. Tomu také odpovídá struktura pravdel: IF E s A E AND ΔE s A ΔE THEN ΔU s B ΔU. (3) Jedná se tedy o fuzzy aproxmac vztahu odvozeného z předchozího vztahu dferencací: u( kt ) K P e( kt ) K I e( kt ) T (4) Tento typ fuzzy regulátoru se v prax používá nejčastěj, protože pravdla obsahují pouze dvě antecedentové proměnné, takže pravdla můžeme přehledně zobrazt ve dvojrozměrné tabulce. Pro člověka je navíc snazší uvažovat změnu akčního zásahu, která představuje například další pootočení řídcího ventlu oprot stávající poloze. Obr. 4. Schéma přírůstkového fuzzy PI regulátoru (Novák aj. 01) Realzace přírůstkového PI regulátoru v prostředí LFLC je ukázána na obrázku 5. Defnční soubor obsahuje 41 pravdel ve tvaru v Tabulce 1. Tabulka 1. Soubor pravdel LFLC PI regulátoru "e" "de" "du" "e" "de" "du" "-b" "nozero+" "-ex b" "+ve sm" "+vesm" "+vesm" "-b" "undefne" "-b" "+ve sm" "ze" "+exsm" "-me" "rozero" "-me" "+sm" "-ro b" "-b" "-me" "+ro b" "+ro sm" "+sm" "-me" "-sm" "-me" "+ro sm" "-sm" "+sm" "-sm" "ze" "-me" "+sm" "-qr sm" "+sm" "+sm" "+sm" "-me" "-sm" "-me" "+sm" "+me" "+b" "-me" "nosm-" "-b" "+sm" "rozero" "+vesm" "-vr sm" "+me" "ze" "+vr sm" "-me" "ze" "-sm" "rozero" "-ve sm" "+me" "-ro b" "-ro sm" "-sm" "+ro b" "+b" "+me" "-rosm" "+sm" "-sm" "+me" "+sm" "+me" "-sm" "+qrsm" "-sm" "+sm" "ze" "+me" "+sm" "+me" "-sm" "-sm" "-sm" "+me" "nosm+" "+b" "-sm" "-me" "-b" "+me" "rozero" "+me" "-ve sm" "ze" "-ex sm" "+b" "undef" "+b" "-ve sm" "+sm" "+sm" "+b" "nozero+" "+ex b" "-ve sm" "+vesm" "-exsm" "ze" "+vesm" "+vesm" "-ve sm" "-vesm" "-vesm" "ze" "-vesm" "-vesm" "+ve sm" "-sm" "-sm" "ze" "ze" "ze" "+ve sm" "-vesm" "+exsm" Obr. 5. Test fuzzy PI regulátoru v prostředí LFLC 1

13 Pro řízení konkrétní regulované soustavy zbývá určení kontextů. Obrázek 6 ukazuje obvyklé zapojení fuzzy PI regulátoru pro řízení proporconální soustavy druhého řádu. Nastavení kontextů je uvedeno v Tabulce. hodnoty první dervace o dva řády větší než je regulační odchylka a hodnoty druhé dervace dokonce o čtyř řády větší než je hodnota regulační odchylky. Pokud má být reakce na tyto hodnoty adekvátní, což odpovídá řádově shodným koefcentům přenosu P, I a D složky, pak se dostaneme do problémů s jedným výstupním kontextem. Jako alternatvní řešení tohoto problému je nyní testováno využtí FIR fltrů pro predkc hodnot dervací regulační odchylky, vz (Cedro aj. 011) Obr. 6. Zapojení LFLC PI regulátoru Tabulka. Kontexty LFLC PI regulátoru Velčna Rozsah hodnot e -1 1 de -0, 0, du ŘÍZENÍ TECHNOLOGICKÝCH SYSTÉMŮ LFLC je dobrým nástrojem pro defnování stratege řízení, můžeme ho použít pro řízení rychlých technologckých procesů se vzorkovací perodou 0,01 [s] nebo kratší. Obvykle včas nevystačíme s reakcí na regulační odchylku a její první dervac. Musíme přdat reakc na druhou dervac regulační odchylky, která odpovídá čnnost D složky PID regulátoru. Sestavt soubor pravdel pro takový regulátor je o řád složtější a navíc u rychlých procesů přbývá další problém. Protože dervac př numerckém zpracování realzujeme pomocí zpětné dference dělené vzorkovací perodou, jsou Obr. 7. Realzace LFLC regulátoru s odděleným složkam Jako příklady takových regulovaných soustav byl použt reálný model magnetcké levtace a model vrtulníku, které představuje velm rychlé systémy řízení. Tyto modely jsou velm užtečné pro ověření návrhu systému řízení, protože jejch pops a matematcké modely jsou k dspozc, např. (Humusoft 014a) a (Humusoft 014b). Ukázalo se, že v těchto příkladech je nejvhodnější realzovat soubor pravdel 13

14 pro každou složku regulátoru samostatně, vz obr. 7 s regulátorem naklonění modelu vrtulníku. Soubor pravdel pro každou složku pak popsuje samostatnou reakc a akční velčna je jejch součtem. Tabulka 3 ukazuje typcký soubor pravdel pro I složku regulátoru. Pro elmnac výpočetních chyb př výpočtu dervací regulační odchylky, jakož pro zjednodušení realzace fuzzy regulátoru se pro řízení modelu magnetcké regulace ukazuje vhodná struktura regulátoru na obrázku 8. Tabulka 4 ukazuje nastavení kontextů jednotlvých složek fuzzy regulátoru. Je vdět, že konstrukce kompaktního fuzzy regulátoru by byla v tomto případě velm složtá. Tabulka 3. Soubor pravdel složky I LFLC regulátoru "e" "de" "du" "ssm" "exsm" "vesm" "ssm" "rosm" "rasm" "vvme" "rosm" "vrb" "vrsm" "rob" "me" "rab" "qrb" "veb" "rab" "exb" "exb" "-ssm" "-exsm" "e" "de" "du" "-vesm" "-ssm" "-rosm" "-rasm" "-vvme" "-rosm" "-vrb" "-vrsm" "-rob" "-me" "-rab" "-qrb" "-veb" "-rab" "-exb" "-exb" "ze" "ze" Tabulka 4. Kontexty LFLC regulátoru magnetcké levtace Vstupní hodnota Rozsah vstupních hodnot Koefcent přenosu Rozsah výstupních hodnot de e -0,5 0, d e , Obr. 9 a 10 porovnávají výsledek řízení pro požadovaný průběh polohy levtujícího objektu, představující posloupnost skokových změn polohy. Vdíme, že objekt magnetcké levtace je velm ctlvý a řízení procesu pomocí PID regulátoru (s fremním nastavením parametrů) má sce lepší průběh výstupní velčny, ale je často nestablní. Řídcí systém pouze jednou stablzoval požadovanou pozc blíže k elektromagnetu. Výsledek LFLC řízení je mnohem lepší. Problém se stabltou byl kompenzován, převážně díky vlastnostem LFLC řízení, vhodně sestavenému souboru pravdel a omezení akční velčny na jednotlvých složkách regulátoru. Obr. 8. Realzace LFLC regulátoru pro řízení modelu magnetcké levtace Obr. 9. Řízení modelu magnetcké levtace pomocí PID regulátoru 14

15 Obr. 10. Řízení modelu magnetcké levtace pomocí LFLC regulátoru 4. ZÁVĚR Prezentované příklady LFLC řízení byly získány ve spoluprác VŠB Techncké unverzty Ostrava s Ostravskou unverztou v Ostravě v rámc řešení podpory European Regonal Development Fund, př řešení projektu IT4Innovatons Centre of Excellence (CZ.1.05/1.1.00/0.0070) a v rámc řešení projektu Studentské grantové soutěže za účast studentů, podporovaného Mnsterstvem školství, mládeže a tělovýchovy ČR. Z dosažených výsledků je zřejmé, že moderní matematcké metody, jako je fuzzy řízení, jsou použtelné pro řízení rychlých technologckých procesů s perodou vzorkování 0,01 [s] nebo kratší. Systém Lngustc Fuzzy-Logc Control, vyvnutý na Ostravské unverztě, je velm užtečný nástroj pro pops stratege řízení. Prezentované výsledky ukázaly, jak použtá technologe může pomoc snadno popsat strateg řízení včetně řízení technologckých systémů. Tato technologe a reálné modely jsou využívány jako podklad pro problémově orentovanou výuku pro studenty magsterských studjních programů a jejch společné ndvduální projekty. Student se naučí, jak defnovat strateg řízení a ověří s j na reálném modelu magnetcké levtace. Po dokončení těchto projektů jsou student schopn defnovat stratege řízení založené na LFLC pro jakýkol podobný řízený systém. Jsou také schopn porovnat získané výsledky s různým strategem fuzzy řízení, např. (Takosoglu aj. 01) nebo (Godoy aj. 013). HUMUSOFT (014b). CE 15 Magnetc Levtaton Model [on-lne], 014 [ct ]. Avalable on web: Mamdan, E., Asslan, S. (1975). An experment n lngustc synthess wth a fuzzy logc control. Internatonal Journal of Man-Machne Studes, Vol. 7, 1975, pp Modrlák, O. (00). Fuzzy řízení a regulace Teore automatckého řízení II, Fakulta mechatronky a mezoborových nženýrských studí, 00, 5 s. Skrpta. Techncká unverzta v Lberc. Novák, V. (1995). Lngustcally Orented Fuzzy Logc Control and Its Desgn. Internatonal Journal of Approxmate Reasonng, vol. 1, 1995, pp Novák, V. (010). Genune Lngustc Fuzzy Logc Control: Powerful and Successful Control Method. Computatonal Intellgence for Knowledge-Based Systems Desgn, Hüllermeer, E. and Kruse, R. and Hoffmann, F. (eds.), Sprnger, Berln, 010, pp Novák, V., Farana, R., Janošek, M, Pavlska, V. Štěpnčka, M., Tvrdík, J., Vajgl, M. (01). Aplkace softcomputngu. Ostrava, Ostravská unverzta v Ostravě, s. Elektroncký učební text. Novák, V. a Perfleva, I Evaluatng Lngustc Expressons and Functonal Fuzzy Theores n Fuzzy Logc. Computng wth Words n Informaton/Intellgent Systems 1, L. A. Zadeh a J. Kacpryk (eds.), Sprnger- Verlag, Hedelberg, 1999, pp Takag, T. A Sugeno, M. (1985). Fuzzy dentfcaton of systems and ts applcatons to modelng and control. IEEE Trans. on Systems, Man, and Cybern, Vol. 15, 1985, pp Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Informaton & Control, Vol. 8, 1965, pp Zadeh, L. A. a Kacprzyk, J. (199). Fuzzy Logc for the Management of Uncertanty. J. Wley & Sons, New York 199. LITERATURA Cedro, L., Janeck, D. (011). Determnng of Sgnal Dervatves n Identfcaton Problems - FIR Dfferental Flters, Acta Montanstca Slovaca. Volume 16, Issue 1, 011. pp ISSN Godoy, W. F., Da Slva, I. N., Goedtel, A., Palácos, R.H.C. (013). Fuzzy logc appled at ndustral roasters n the temperature control. In 11th IFAC Workshop on Intellgent Manufacturng Systems, IMS 013, Sao Paulo, Brazl, 013, pp HUMUSOFT (014a). CE 150 Helcopter Model [on-lne], 014 [ct ]. Avalable on web: 15

16 Konferenca Prncpa Cybernetca 014 konaná v rámc 37. stretnuta kateder a ústavov automatzáce, kybernetky, nformatky, radena a radacej technky strojníckych a technologckých fakúlt unverzít v SR a ČR, Kočovce, Sept. 014 Využtí prncpu argumentu v regulac Mluše Vítečková*, Antonín Víteček** Katedra automatzační technky a řízení, FS VŠB-TU Ostrava, 17. lstopadu 15, Ostrava-Poruba, Česká republka (*Tel: ; e-mal: mluse.vteckova@vsb.cz) (**Tel: ; e-mal: antonn.vtecek@vsb.cz) Abstrakt: Příspěvek je věnován prncpu argumentu a jeho využtí př ověřování stablty, domnantnost jeho pólů a určení míry domnantnost u regulačních obvodů s dopravním zpožděním retardovaného typu. Jeho použtí je lustrováno na názorných příkladech. V dodatku je uvedeno stručné ntutvní odvození prncpu argumentu. Klíčová slova: prncp argumentu, dopravní zpoždění, retardovaný systém, stablta. 1. ÚVOD V techncké prax se velm často vyskytují regulované soustavy s dopravním zpožděním, přčemž dopravní zpoždění může vystupovat jak na vstupu č výstupu, tak ve stavových proměnných. Ověřování stablty regulačních obvodů s takovým soustavam není jednoduché. Je to dáno tím, že vlastnost regulačního obvodu s dopravním zpožděním jsou dány charakterstckým kvazmnohočlenem, který má nekonečně mnoho kořenů, a proto pro ověření stablty nelze použít klascká algebracká krtéra stablty. Problematce využtí prncpu argumentu v řízení se jž řadu let věnuje prof. P. Zítek a jeho tým [Zítek 1986, 1998; Vyhlídal 003; Zítek, Vyhlídal 008; Zítek, Fšer, Vyhlídal 013, 014]. Jejch výsledky v této oblast jsou zásadní. V příspěvku je podrobněj popsán prncp argumentu a je ukázáno jeho využtí pro ověření stablty regulačního obvodu s dopravním zpožděním a domnantností jeho pólů.. CHARAKTERISTICKÝ KVAZIMNOHOČLEN Charakterstcký kvazmnohočlen v regulac má nejčastěj tvar [Góreck 1971; Vítečková, Víteček 011] N( s) N1( s) N( s)e, (1) 0 Td, deg N( s) n std 1 deg N1( s) n, kde N 1 (s) a N (s) jsou mnohočleny komplexní proměnné s, deg stupeň, T d dopravní zpoždění. Pokud platí n n 1, () pak regulační obvod (systém řízení) je retardovaného typu, v opačném případě je neutrálního typu [Busłowcz 000; Eľsgoľts, Norkn 1973; Pekař 013; Szymkat 1993; Zítek, Vyhlídal 008]. Je uvažován jednoduchý regulační obvod na (obr. 1), kde G C (s) je přenos regulátoru, G P (s) přenos regulované soustavy, W(s) obraz žádané velčny w(t), Y(s) obraz regulované velčny y(t). Obr. 1. Regulační obvod. Pro nejběžnější regulovanou soustavu s přenosem (k 1 koefcent přenosu, T 1 časová konstanta) k1 st G d P ( s) e (3) T1s 1 a regulátor PI s přenosem (K P zesílení regulátoru, T I ntegrační časová konstanta) 1 G C ( s) K P 1 (4) TI s má charakterstcký kvazmnohočlen regulačního obvodu tvar (1), kde N W (s) Y (s) G C (s) G P (s) _ 1( 1 s) TI s( T1s 1), N( s) k K P ( TI s 1) (5) Protože platí n n1 1 jde o regulační obvod retardovaného typu. Použje-l se standardní regulátor PID s přenosem (T D dervační časová konstanta) Příklad 1 16

17 1 G C ( s) K P 1 TDs, (6) TI s pak charakterstcký kvazmnohočlen regulačního obvodu bude mít tvar (1), kde N1( s) TI s( T1s 1), N( s) k1k P ( TITD s TI s 1) (7) Protože platí n n1, je zřejmé, že v tomto případě regulační obvod je neutrálního typu. Bude-l použt standardní regulátor PID s fltrací dervační složky s přenosem (T F fltrační časová konstanta) N ( s) 1 N ( s) n a 0 1 s n1 a 0 s., a 1n 1, (11) Charakterstcký kvazmnohočlen (1) s uvažováním (11) je vhodné zapsat ve tvaru a) Im Rovna s K n d = 1 T Ds G C ( s) K P 1, (8) TI s TF s 1 Re pak charakterstcký kvazmnohočlen regulačního obvodu bude mít tvar (1), kde N ( s) T s[ T T s 1 N ( s) k K Nyní I 1 P 1 n 3 n1, F [ T ( T I ( T T D 1 T F ) s F ) s 1], ( T T tj. regulační obvod je retardovaného typu. I F ) s 1]. (9) b) N(s) Im Rovna N arg N( s) 4 K 3. PRINCIP ARGUMENTU Prncp argumentu bude uveden v podobě vhodné pro účely příspěvku [Zítek, Fšer, Vyhlídal 013, 014]. Je-l analytcká funkce komplexní proměnné N(s) nenulová na uzavřené regulární (nkde se vzájemně neprotínající) křvce K a má-l uvntř této křvky konečný počet kořenů n d (s uvažováním jejch násobností), pak př průběhu komplexní proměnné s po křvce K v záporném směru (tj. ve směru pohybu hodnových ručček) pro změnu jejího argumentu platí arg N( s) n. (10) K d Pod pojmem analytcká (nebo ekvvalentně holomorfní) funkce komplexní proměnné se rozumí taková funkce, která má v dané oblast (tj. uvntř křvky K a na ní) dervac v každém bodě [Černý 1967]. Prncp argumentu je podrobně popsán včetně důkazu např. v [Černý 1967; Szymkat 1993]. Intutvní odvozen je v dodatku. Protože funkce N(s) není na křvce K nulová, nemůže funkce N(s) v rovně N procházet počátkem, a tedy vztah (10) udává kolk krát obklopí funkce N(s) počátek souřadnc v rovně N. Pro n d = je to ukázáno na (obr. ). Dále je uvažován charakterstcký kvazmnohočlen (1) odpovídající pouze retardovanému typu regulačního obvodu s mnohočleny Obr.. Prncp argumentu: a) rovna komplexní proměnné s, b) rovna komplexní funkce komplexní proměnné N. n N( s) s N 0 ( s), N ( s) 1 0 a n s std a e n. (1) Vzhledem k tomu, že jsou uvažovány charakterstcké kvazmnohočleny regulačního obvodu, budou jejch kořeny dále nazývány póly. Po ověření počtu pólů n d regulačního obvodu s charakterstckým kvazmnohočlenem (1) ležících napravo od přímky procházející bodem α m (α m 0) se použje Jordanova křvka K skládající se z část kružnce C a z část přímky L v souladu s (obr. 3) a vztahy pro R 0: a) část kružnce C j s R e,, (13) b) část přímky L s m j, Rcos Rcos. (14) Na (obr. 3) je uvažována komplexně sdružená dvojce pólů, tj. n d =. Re 17

18 Im Rovna s arg N( j) n 0 m n d. (17) R L m s 1 s 0 dvojce domnantních pólů C Re Vztah (17) je velm užtečný, protože umožňuje určt u regulačního obvodu retardovaného typu počet pólů n d ležících napravo od přímky rovnoběžné s magnární osou a procházející bodem α m a dále ověřt jeho stabltu a domnantnost jeho pólů. Vztah (17) může být s určtým omezením použt pro regulační obvody neutrálního typu [Busłowcz 000; Szymkat 1993; Zítek, Vyhlídal 008]. Pro vyšší rozdíl n n d průběh funkce N N( m j), 0 (18) Obr. 3. Uzavřená křvka K = C + L. Změnu argumentu kvazmnohočlenu (1) př pohybu komplexní proměnné s v záporném směru po uzavřené křvce K = C + L pro n d pólů je dána vztahem (10). Změna argumentu kvazmnohočlenu (10) př pohybu komplexní proměnné s v záporném směru po část kružnce C (13) pro R je n arg N( s) arg s arg N0 ( s) n 0 n. C C Změna argumentu N 0 (s) je nulová, protože pro R N ( s) 1 arg1 0, tj. arg R C 0 C N( R e j ) n. (15) Změna argumentu kvazmnohočlenu (1) př pohybu komplexní proměnné s po přímce L (14) zdola nahoru pro R je arg N( s) arg N( s) arg N( s) L n tj. arg d Protože platí CL n ( n n d ), N( j) ( n n m C d ). (16) Re N ( j) Re N( j) sudá funkce, m Im N ( j) Im N( j) lchá funkce, m m m charakterstcký kvazmnohočlen N ( m j) je pro < ω < symetrckou funkcí podle reálné osy, a proto vztah (16) lze zjednodušt musí být nejčastěj zobrazen zvlášť pro nízké a vysoké úhlové kmtočty ω a navíc obsahuje smyčky. To vše může ztížt správné určení změny jejího argumentu. Tento problém lze vyřešt pomocí transformace [Góreck et al. 1989; Zítek, Vyhlídal 008; Zítek, Fšer, Vyhlídal 013, 014] N( m j) M ( m j), 1. (19) 1 N( j) m Transformace (19) pro ω zobrazí funkc (19) pro δ = 1 M ( j) 1 (0) m a pro δ > 1 M ( j) 0. (1) m Použtí uvedené transformace bude ukázáno na příkladech. Velm důležtou vlastností transformace (19) je, že platí arg N ( j) arg M ( j) () a 0 m 0 N ( j ) 0 M ( j ) 0 (3) m pro stejné úhlové kmtočty ω. m 4. STABILITA Ověření stablty regulačního obvodu s dopravním zpožděním patří k obtížnějším úlohám. S výhodou lze použít pro ověření stablty uzavřeného regulačního obvodu retardovaného typu vztah (17) pro α m = 0, tj. arg N(j) n 0 n d kde n d udává počet nestablních pólů. m, (3) Je zřejmé, že u stablního regulačního obvodu n d = 0, pak vztah (3) bude mít známý tvar Mchajlovova krtéra stablty [Góreck 1971; Góreck et al. 1989; Parks, Hahn 1993; Zítek 1986; Zítek, Víteček 1999] 18

19 arg N(j) n. (4) 0 Příklad U regulačního obvodu na (obr. 1) pro regulovanou soustavu (3) s parametry k 1 = 1, T 1 = 4 s a T d = s a standardní regulátor PID s fltrací dervační složky byla pro jeho seřízení použta unverzální expermentální metoda s následujícím hodnotam stavtelných parametrů [Vítečková, Víteček 011]: K T a) * P F T1 0,6 k T 0,1T 1 d * D 1,; T 0,1 s * I T 1 4 s; T * D 0,5T d 1 s;. s N( s) s[ s 10,5s,5] 0,75[4,4s 4,1s 1]e (5) Protože n = 3, změna argumentu funkce (5) pro s = jω a 0 ω < v souladu se vztahem (4) pro stablní regulační obvod musí být 3π/, tj. tř kvadranty (v kladném směru = prot směru pohybu hodnových ručček). Ze vztahu (5) se dostane N (j) 0,75 0, 0 a proto Mchajlovova křvka N(jω) musí obklopovat počátek souřadnc shora. Na (obr. 4a) je průběh N(jω) pro 0 ω 100, ze kterého není zřejmé, jak N(jω) probíhá v okolí počátku. Proto na (obr. 4b) je vykreslen průběh N(jω) pro 0 ω, ze kterého jž vyplývá, že skutečná změna argumentu funkce N(jω) je 3π/, tj. daný regulační obvod je asymptotcky stablní. a) b) b) Obr. 4. Průběh Mchajlovovy křvky N(jω) pro: a) 0 ω 100, b) 0 ω. Charakterstcký kvazmnohočlen (1) pro (9) byl jž určen v příkladě 1, a proto po dosazení číselných hodnot za parametry se dostane Obr. 5. Průběh transformované funkce M(jω) pro: a) δ = 1, b) δ = 1,1. Použje-l se transformace (19) pro α m = 0, δ = 1 a 1,1, tak se pro 0 ω 100 dostanou průběhy funkce M(jω) ukázané na (obr. 5a,b), ze kterých je hned zřejmé, že 19

20 arg M (j) 3 arg N(j) DOMINANCE PÓLŮ Vztah (17) může být snadno použt pro ověření domnantnost zvolených pólů regulačního obvodu retardovaného typu. Zde se pod pojmem domnantní póly rozumí stablní póly, které jsou nejblíže magnární osy. U běžných regulačních obvodů to bývá nejčastěj dvojce nebo trojce pólů umístěných v rovně s tak, aby byly zajštěny požadované vlastnost regulačního obvodu. Problém domnantnost pólů byl částečně řešen v [Özbay 005, Wang et al. 008]. Pomocí prncpu argumentu elegantně byl pro trojc domnantních pólů vyřešen v [Zítek, Fšer, Vyhlídal 013, 014]. Pro ověření domnantnost je třeba hodnotu α m > 0 zvolt tak, aby n p zkoumaných pólů leželo napravo od přímky rovnoběžné s magnární osou a procházející bodem α m, vz (obr. 6a). a) b) Obr. 6. Domnantnost dvojce pólů: a) ověření domnantnost, b) určení míry domnantnost. Vztah (17) lze rovněž použít pro určení míry domnantnost v souladu s (obr. 6b) α m Im Im m3 m m1 m m d. (6) m1 0 0 m d Rovna s n d = Rovna s m m1 Re Re Doporučená hodnota míry domnantnost je od 3 do 5 [Wang et al. 008]. Hodnoty α m1 a α m lze určt řešením rovnc Re N( m j) 0, Im N( j) 0 m (7) pro postupně nejnžší hodnoty úhlového kmtočtu ω 1 a ω. Vzhledem k tomu, že míra domnantnost m d nemusí být určena s vysokou přesností, s výhodou lze použít lbovolný grafcký program a najít řešení (7) metodou pokus omyl postupným zvyšováním hodnoty α m od nuly až do hodnoty α m1, kdy křvka N poprvé projde počátkem a dále až do hodnoty α m, kdy křvka bude procházet počátkem podruhé atd. Např. pro (obr. 6b) platí (vz příklad 3): 0 m1 m m m1, arg N( m j) 3 np 0 N( j ) 0, m m m m1 m 1, arg N( m j) n 0 N( j ) 0, m3 3 0, m3, arg N( m j) 5 n 0 N( j ) 0 atd. p, (8) p 4, Pro ověření domnantnost pro určení míry domnantnost je výhodné použtí transformace (19). Příklad 3 U regulačního obvodu seřízeného unverzální expermentální metodou (vz příklad ) s charakterstckým kvazmnohočlenem (5) je třeba určt počet domnantních pólů a míru domnantnost. Pro ověření domnantnost a určení počtu domnantních pólů n d byla zvolena hodnota α m = 0,3 (obr. 7a). Protože arg M ( m j) 0 je zřejmé, že vlastnost regulačního obvodu jsou dány dvojcí domnantních pólů, tj. n d =. Grafcky metodou pokus omyl za použtí transformace (19) a δ = 1,1 byly určeny hodnoty α m1 = 0,3, α m = 0,57975, vz (obr. 7b,c,d). Použtí funkce N( m j) přímo bez transformace (19) je v tomto případě nevhodné. Pro rozložení pólů kvazmnohočlenu (5) platí podobné úvahy jako pro (obr. 6), tj. vyjádřené vztahy (8). Míra domnantnost je m d m m1,6. I když tato hodnota míry domnantnost je nžší než doporučovaná v [Wang et al. 008], kvalta regulace je vyhovující [Vítečková, Víteček 011]. 0

21 a) d) b) Obr. 7. Ověření domnantnost pólů a určení míry domnantnost příklad DODATEK Níže je uveden ntutvní odvození prncpu argumentu. Přesný důkaz lze najít např. v [Černý 1967; Szymkat 1993]. Pro jednoduchost je uvažována analytcká funkce komplexní proměnné N(s) se dvěma kořeny (nulam) s 1 a s N( s) ( s s1)( s s ) N d ( s), N d ( s1) 0, N d ( s ) 0, která může být vyjádřena v exponencálním tvaru jarg N ( s) N( s) N( s) e, c) N s) s s s s N ( ), ( 1 d s arg N( s) arg( s s1) arg( s s ) arg N d ( s). Předpokládá se, že uzavřená regulární křvka K je zvolena tak, aby funkce N(s) na ní nebyla rovna nule a aby kořen s 1 ležel uvntř a kořen s vně této křvky, vz (obr. 8a). Př pohybu parametrzované komplexní proměnné s s( p), a p b po křvce K v záporném směru (ve směru hodnových ručček) hodnoty a, b jsou zvoleny tak, aby komplexní proměnná s(p) proběhla celou křvku K od počátečního bodu s(a) do koncového bodu s(b) [s(a) = s(b)]. Pro změnu argn(s) platí arg N[ s( p)] arg( s s ) arg( s s K b a arg N[ s( b)] arg N[ s( a)] arg N( s) K ) arg N K d ( s) Z (obr. 8a) vyplývá, že pro každý kořen uvntř křvky K změna argumentu bude π, naprot tomu pro každý kořen vně křvky a funkc N d (s) změna argumentu bude nulová. K 1