Карпатськ математичн Carpathan Mathematcal публкацї. Т.4, Publcatons. V.4, УДК 57.54 Антонова Т.М. ПРО ПРОСТI КРУГОВI МНОЖИНИ АБСОЛЮТНОЇ ЗБIЖНОСТI ГIЛЛЯСТИХ ЛАНЦЮГОВИХ ДРОБIВ СПЕЦIАЛЬНОГО ВИГЛЯДУ Антонова Т.М. Про прост кругов множини абсолютної збжност гллястих ланцюгових дробв спецального вигляду // Карпатськ математичн публкацї. 0. Т.4,. C. 65 74. Дослджено значення радусв кругв з центром у початку координат, як є простими множинами абсолютної збжност гллястих ланцюгових дробв спецального вигляду. Об єктом дослдження є глляcтий ланцюговий дрб ГЛД вигляду b 0 + k k= k = a k, де b 0, a k комплексн стал, 0 = N кльксть глок розгалужень, k мультиндекс, k I, I = {k : k =... k ; k k ; k =,,...}. Пдхдними дробами n-го порядку n-ми апроксимантами ГЛД називаються вирази f 0 = b 0, f n = b 0 + n k k= k = a k, n =,,... ГЛД називається збжним, якщо снує скнченна границя f = lm f n. Число f n вважається значенням збжного ГЛД. ГЛД збгається абсолютно, якщо збгається ряд f k f k. k= Послдовнсть { E k } непорожнх множин Ek C, k I, називається послдовнстю множин збжност абсолютної збжност, якщо за умови a k E k, k I, 00 Mathematcs Subject Classfcaton: 40A5. Ключов слова фрази: гллястий ланцюговий дрб, пдхдний дрб, множина абсолютної збжност. c Антонова Т.М., 0
66 Антонова Т.М. ГЛД збгається збгається абсолютно. Якщо E k = E для всх k I, то E називається простою множиною збжност абсолютної збжност ГЛД. Напевно, найвдомшою простою множиною збжност звичайних ланцюгових неперервних дробв є круг Ворпцького [4] круг з центром у початку координат радусом. Встановлен значення радусв простих кругових множин збжност для деяких багатовимрних узагальнень неперервних дробв ГЛД загального вигляду [3], 4 двовимрних неперервних дробв [5], нтегральних ланцюгових дробв [6]. У данй робот розглядається питання про радуси простих кругових з центром у початку координат множин абсолютної збжност ГЛД вигляду. Твердження. [] ГЛД збгається абсолютно, якщо снують так додатн стал t k, k I, що для всх можливих мультиндексв виконується умова ak tk k k+ = t k+, k I. Для доведення твердження використовується метод мажорант оцнка Q n k Q n k k k+ = де Q n k, Qn k скнченн ГЛД вигляду Q k k = Qk k =, Q n k = + t k+, k I, n =,,..., k n, n p p=k+ p = k =,,..., n > k, як називаються залишками ГЛД ГЛД b 0 + k k= k = a p, Qn k = + ak вдповдно. З твердження випливає, що послдовнсть множин E k = z : z C, z t k k де t k деяк додатн числа, так, що k k = k+ = t k+ n p=k+ p p =, k I, ap, t k <, k I, є послдовнстю множин абсолютної збжност ГЛД, а радус круга з центром у початку координат, що є
Про прост кругов множини абсолютної збжност ГЛД 67 простою множиною абсолютної збжност ГЛД з N глками розгалужень, можна визначити з умови R N = nf k I t k k k+ = t k+ Якщо t k = k, k I, твердження перетворюється на аналог ознаки Ворпцького для ГЛД []. У цьому випадку шуканий радус дорвнює R N = mn k N k = 4N, як для ГЛД загального вигляду з N глками розгалужень, для яких константа 4N є непокращуваною [3]. Якщо t k = t k, k I, то радус круга з центром у початку координат, який є простою множиною абсолютної збжност ГЛД, можна визначити з умови R N = mn k N t k. k t p. 3 Твердження. Радус простої кругової з центром у початку координат множини абсолютної збжност ГЛД це N-й член послдовност {R k }, де 0 < R 4, R k+ = p= R k, k =,,.... 4 R k + Доведення. Нехай {r k } послдовнсть таких додатних чисел, що 0 < r <, r k+ = r k r k, k =,,..., 5 r k r k + Зауважимо, що p t = r N, t p = r N p+ r N l+, p =,..., N. 6 l= k k t p = r N p+, k =,..., N. 7 p= p= Дйсно, t = r N, t t = r N r N r N = r N r N. Припускаючи, що рвнсть 7 справджується для деякого значення k, k < N, отримаємо k+ t p = p= k t p t k+ = p= k k k+ r N p+ r N k r N p+ = r N p+, p= p= p=
68 Антонова Т.М. тобто рвнсть 7 справджується для значення k +, отже, справджується для всх значень k, k N. Покажемо, що t k k t p = r N r N, k =,..., N. 8 p= Iз спввдношень 5 випливає, що 0 < r k+ <, r k r k = r k+ r k+, k =,,.... 9 Перевримо правильнсть рвност 9 для k =, : t t = r N r N, t t t = r N r N r N r N = r N r N. Нехай рвнсть 8 справджується для деякого значення k, k < N. Тод з 6, 8 9 випливає, що k+ k k+ t k+ t p = r N k r N l+ r N l+ = r N k r N k k l= p= k = r N k+ r N l+ l= l= r N l+ = r k N k+ r N k+ r N l+ r N k+ l= k r N l+ = t k l= l= k t p = r N r N. Таким чином, рвнсть 8 справджується для всх значень k, k N. Нехай елементи послдовност {R k } визначаються у такий спосб: R k = r k r k, k =,,..., де послдовнсть {r k } означена за допомогою спввдношень 5. Тод 0 < R = r r 4, R k+ = r k+ r k+ = r k r k r k r k + p= r k r k + = R k R k +, k =,,.... Враховуючи рвност 3, 8, доходимо висновку про правильнсть твердження. Твердження 3. Для елементв послдовност {R m }, як визначаються спввдношеннями 4, справджується оцнка m + R + m k R m m + + R, m =, 3,.... 0
Про прост кругов множини абсолютної збжност ГЛД 69 Доведення. Використовуємо метод математичної ндукцї. Покажемо спочатку, що R m R + m +, m =, 3,,.... Перевримо правильнсть нервност для m =. Iз спввдношень 4 випливає, що R = R + R + R + 4 + = R + 3, тобто для m = нервнсть справджується. Припускаючи, що нервнсть справджується для деякого m = k використовуючи 4, одержимо R k+ = R k + R k + R k + R + k + + > R + k + +, а це означає, що нервнсть справджується для всх m =, 3,.... З ншого боку, = R + + R R 4 + + = + + R R, тобто для m = справджується нервнсть R m R + m + m k. Припускаючи, що нервнсть справджується для деякого значення m > враховуючи 4,, одержимо = R m + + R m + + m + R m+ R m R R + m + + R + m + m m k + k < m+ + m + + R k, отже, нервнсть справджується для довльних m =, 3,.... З нервностей, випливає правильнсть нервност 0. Зауваження. Оскльки R N 4N N N + k + R 4N > 9 4 N + R 4N, N, 4 то за умови R > 7N + 9 виконується нервнсть R N >, тобто радус круга з 4N центром у початку координат, який є простою множиною абсолютної збжност ГЛД вигляду з N глками розгалужень, може бути бльшим, нж радус круга з центром
70 Антонова Т.М. у початку координат, який є простою множиною абсолютної збжност ГЛД загального вигляду з N глками розгалужень. Значення R k, k =, 3,..., як визначаються спввдношеннями 4, залежать вд R, R k < x, а функця fx = 4 монотонно зростає для 0 < x <. Тому x + R k R R k = R 4 k, k =, 3,..., де {Rk } послдовнсть додатних чисел, що визначаються у такий спосб: R = 4, R k+ = R k R k +, k =,,.... 3 Згдно з твердженням 3 правильною є така оцнка: N + + N k R N 4, N =, 3,.... 8N + + Твердження 4. ГЛД вигляду + k k= k = R, R > 0, 4 k з N глками розгалуження 0 = N збгається тод лише тод, коли R R N, 5 де {Rk } послдовнсть додатних чисел, що визначаються рвностями 3. Значення ГЛД 4 дорвнює r r... r N, де r N = 4R, 6 r k = 5r k+, k = N, N,...,. 7 r k+ Доведення. За умов 5, 3 для ГЛД 4 виконуються умови тверджень. Тому, враховуючи твердження зауваження, доходимо висновку про достатнсть умов 5, 3 для збжност ГЛД 4. n-й пдхдний дрб ГЛД 4, n = 0,,..., дорвнює його деякому залишку, а саме: f n = + n k k= k = R k = + n+ p p= p = R p = Q n+, = 0. 8
Про прост кругов множини абсолютної збжност ГЛД 7 Розв язуючи рвняння 7 вдносно r k+, отримаємо r k+ = r k r k r k r k +, отже, за умов 6, 7 для r, r,..., r N виконуються спввдношення 5. Оскльки для ГЛД 4 справджуються умови тверджень, то для його залишкв є правильною оцнка типу 3. Враховуючи рвност 6, 7 8, одержимо f n r r... r N. 9 Доведення необхдност проводимо за ндукцєю по клькост розгалужень ГЛД вигляду 4. Позначимо через f k,m k-й пдхдний дрб ГЛД вигляду 4 з m глками розгалуження. У випадку m = ГЛД 4 перетворюється на звичайний неперервний дрб + R, R > 0, k k= який збгається тод лише тод, коли R R = 4 [4], причому де r = 4R. Якщо m, тод або f k+,m = f k+,m f k+,m + lm f k, = + 4R = r, R f k,m, k = 0,,..., m =, 3,..., R f k,m = f k+,m, k = 0,,..., m =, 3,.... 0 Припустимо, що ГЛД 4 з m = збгається. Тод lm f k+, + R = lm f k+,, f k, отже, R 4, можна записати, що R = r r, де r = 4R, lm f k+, = r. З урахуванням припущення про збжнсть ГЛД 4 з m = доходимо висновку, що F = lm f k, 0 при R 4, а F є дйсним коренем рвняння Дискримнант рвняння F r F + r r = 0. = r 4r r = r 5r
7 Антонова Т.М. буде невд ємним за вище наведених припущень лише тод, коли r r = 5, а r r = 4 5 = R. У випадку > 0 рвняння має два корен: Нехай r r 5r ; r = r + r 5r. 5r r Тод у випадку > 0 менший з коренв рвняння дорвнює r r, а бльший r r. Враховуючи нервнсть 9, доходимо висновку, що отже,. F = lm f k, r r, F = r r = r + r 5r. Таким чином, твердження 4 правильне для ГЛД вигляду 4 з двома глками розгалужень 0 =. Припустимо, що твердження 4 правильне для ГЛД 4 з m глками розгалужень, m. Розглянемо необхдн умови збжност ГЛД вигляду 4, кльксть глок розгалужень якого дорвнює m+. Використовуючи 0 мркуючи аналогчно, як у випадку m =, маємо де R Rm, lm f k+,m+ + R f k,m+ m+ = lm f k+,m = F m = r k, r m+ = 4R, r k = 5r k+, k = m,...,. r k+ Значення F m+ = lm f k,m+ дйсний корнь рвняння F m+ дискримнант якого дорвнює = m+ m+ r k F m+ + r m+ r m+ = 0, r k 4r m+ r m+.
Про прост кругов множини абсолютної збжност ГЛД 73 Для елементв послдовност {r k } довльного натурального числа m справджується рвнсть m r k = r l r m r m, l m. 3 r l k=l Дйсно, при m = l рвнсть 3 очевидна: r m = r m r m r m r m. Якщо рвнсть 3 справджується для деякого значення l, l m, то m k=l r k = r l r l r l r m r m = = r l r l r l r m r m = r l r l r m r m, отже, рвнсть 3 справджується для всх l, l m. Тому r m+ r m+ = r m+ r k. 4 r Пдставляючи рвнсть 4 у вираз, отримаємо = m+ r k 4 r 0 r r r 5, R m+ = r m+ r m+ r m+ r m+ R m+. Враховуючи оцнку 9, доходимо висновку, що F m+ = m+ r k 5r = r m+ k= r k, отже, твердження 4 правильне для ГЛД вигляду 4, кльксть глок розгалужень якого дорвнює m +. Таким чином, N-й член послдовност {R m}, яка визначається спввдношеннями 3, це максимально можливий радус круга з центром у початку координат, який є множиною абсолютної збжност ГЛД 4 з N глками розгалужень. Лтература. Антонова Т.М., Боднар Д.I. Област збжност гллястих ланцюгових дробв спецального вигляду // Теоря наближення функцй та її застосування. Прац IМ НАН України. 000. Т.3. С. 5 8.. Баран О.Є. Аналог ознаки Ворпцького для гллястих ланцюгових дробв спецального вигляду // Мат. методи та фз.-мех. поля. 996. Т.39,. С. 39 46.
74 Антонова Т.М. 3. Боднар Д.И. Ветвящиеся цепные дроби. К.: Наук. думка, 986. 76 с. 4. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. М.: Мир, 985. 44 с. 5. Кучмнська Х.Й. Двовимрн неперервн дроби. Львв: IППММ м. Я.С.Пдстригача, 00. 8 с. 6. Сявавко М.С. Iнтегральн ланцюгов дроби. К.: Наук. думка, 994. 06 с. Нацональний унверситет Льввська полтехнка, Львв, Україна e-mal: tamara_antonova@ukr.net Надйшло 9.09.0 Antonova T.M. On smple crcular sets of absolute convergence for branched contnued fractons of the specal form, Carpathan Mathematcal Publcatons, 4, 0, 65 74. The raduses of the crcles wth centre n orgn of coordnates that are smple sets of absolute convergence for branched contnued fractons of the specal form have been nvestgated. Антонова Т.Н. О простых круговых множествах абсолютной сходимости ветвящихся цепных дробей специального вида // Карпатские математические публикации. 0. Т.4,. C. 65 74. Исследованы значения радиусов кругов с центром в начале координат, являющихся простыми множествами абсолютной сходимости ветвящихся цепных дробей специального вида.