Solution to Problem Set #1. Receive payment at Time

Transcription

1 FN426/452: Financial Derivatives Semester 1/2010 Instructor: Satjaporn Tungsong Solution to Problem Set #1 1. Suppose you want to sell a share of stock that has price Bt 100 at time 0. At time 0 you agree to a price, which is paid either today or at time T. The share is delivered either at time 0 or T. The interest rate is r. Fill in the following table: Description Receive payment at Time Deliver Security at Time Payment Received (Bt) 1. Outright purchase at time 0 2. Fully leverage purchase T 0 100e rt at T 3. Prepaid forward contract 0 T? 4. Forward contract T T?*e rt 2. A 50-Baht stock pays 1-Baht dividend every 3 months, with the first dividend coming 3 months from today. The continuously compounded risk-free rate is 6%. a. What is the price of a prepaid forward contract that expires 1 year from today, immediately after the fourth-quarter dividend? F 0,1 = 50*e 0.06*1-1 -1*e 0.06*0.25-1*e 0.06*0.5-1*e 0.06*0.75 = Bt F P 0,1 = *e -0.06*1 = Bt

2 b. What is the price of a forward contract that expires at the same time? F 0,1 = 50*e 0.06*1-1 -1*e 0.06*0.25-1*e 0.06*0.5-1*e 0.06*0.75 = Bt A 50-Baht stock pays an 8% continuous dividend. The continuously compounded risk-free rate is 6%. a. What is the price of a prepaid forward contract that expires 1 year from today? F P 0,1 = 50*e -0.08*1 = Bt b. What is the price of a forward contract that expires at the same time? F 0,T = S 0 * e (r-δ)t F 0,1 = 50*e ( )*1 = Bt Suppose the stock price is BHT 35 and the continuously compounded interest rate is 5%. a. What is the 6-month forward price, assuming dividends are zero? Bt b. If the 6-month forward price is BHT 35.50, what is the annualized continuous dividend yield? F 0,T = S 0 * e (r-δ)t = 35* e (0.05-δ)*0.5 δ = = 2.16% 5. Suppose you are a market-maker in S&R index forward contracts. The S&R index spot price is 1100, the risk-free rate is 5%, and the dividend yield on the index is 0. a. What is the no-arbitrage forward price for delivery in 9 months? b. Suppose a customer wishes to enter a short index futures position. If you take the opposite position, demonstrate how you would hedge your resulting long position using the index and borrowing or lending. Description Today In 9 months Long forward, resulting from 0 S T - F 0,T 2

3 customer purchase Sell short the index S 0 - S T Lend + S 0, the proceeds from - S 0 S 0 *e rt short-selling Total 0 S 0 *e rt - F 0,T With the numbers given in the problem: Description Today In 9 months Long forward, resulting from 0 S T - 1, customer purchase Sell short the index 1,100 - S T Lend + S 0, the proceeds from short-selling - 1,100 1,100*e 0.5*0.75 =1, Total 0 0 We have perfect hedge. c. Suppose a customer wishes to enter a long index futures position. If you take the opposite position, demonstrate how you would hedge your resulting short position using the index and borrowing or lending. 6. The S&R index spot price is 1100, the risk-free rate is 5%, and the continuous dividend yield on the index is 2%. a. Suppose you observe a 6-month forward price of What arbitrage would you undertake? The forward price implied from cost-of-carry model is F 0,0.5 = S 0 *e (r-δ)t = 1, Thus, the forward in the market is too expensive. To make arbitrage profit, you sell the forward at 1,120 and borrow S 0 *e -δt =1,100*e 0.02*0.5 = 1, to buy a fraction of the index in the spot market. Transaction Time 0 Cash flows Time T 3

4 Borrow S 0 *e -δt 1, , * e ( )*0.5 = -1, Buy stock -1, S T Short forward 0 1,120- S T Total b. Suppose you observe a 6-month forward price of What arbitrage would you undertake? 7. Suppose the SET50 index futures price is currently 500. You wish to purchase 10 futures contracts on margin. a. What is the notional value of your position? = 500*1000*10 = Bt 5,000,000 b. Assuming a 10% initial margin, what is the value of the initial margin? = 0.1* 5,000,000 = Bt 500,000 c. Suppose you earn a continuously compounded rate of 6% on your margin balance, your position is marked to market weekly, and the maintenance margin is 80% of the initial margin. What is the greatest SET50 index futures price 1 week from today at which you receive a margin call? You earn interest on Bt 500,000 in the first week Your balance at the end of the first week is 500,000*e (0.06*7/52) + (gain or loss on futures price*1000*10) = 504, *1000*10*(S 1-500) You will receive a margin call if your balance falls below 0.8*500,000 = 400,000 Thus, 400,000 = 504, *1000*10*(S 1-500) S 1 = Suppose the SET50 index is 800, and that the dividend yield is 0. You are an arbitrageur with a continuously compounded borrowing rate of 5.5% and a continuously compounded lending rate of 5%. 4

5 a. Suppose there are no transaction fees, show that a cash-and-carry arbitrage is not profitable if the forward price is less than Suppose the forward contract will mature in 1 year. The theoretical forward price is F 0,T = S 0 *e rt Highest possible forward price = 800*e 0.055*1 = Lowest possible forward price = 800*e 0.05*1 = Cash-and-carry arbitrage refers to an arbitrage transaction in which you buy the underlying asset using the proceeds from the sale of forward (buy spot, sell forward). Cash-and-carry is profitable when the actual forward price is above the theoretical forward price. Therefore, the actual forward price has to be higher than to make a cash-and-carry profit. b. Suppose there are no transaction fees, show that a reverse cash-and-carry arbitrage is not profitable if the forward price is greater than Reverse cash-and-carry arbitrage refers to an arbitrage transaction in which you sell the underlying asset and use the proceeds to buy the forward (sell spot, buy forward). Reverse cash-and-carry is profitable when the actual forward price is below the theoretical forward price. Therefore, the actual forward price has to be lower than to make a reverse cash-and-carry profit. 9. (Bonus) Suppose the SET50 currently has a level of 875. The continuously compounded return on a 1-year T-bill is 4.75%. You wish to hedge an $800,000 portfolio that has a beta of 1.0 and a correlation of 1.0 with the SET50. a. What is a 1-year futures price for the SET50 assuming no dividends? b. How many SET50 futures contract should you short to hedge your portfolio? What return do you expect on the hedged portfolio? 5

6 Short contracts to hedge your portfolio. The return you can expect is the risk-free rate. Because if you perfectly hedge the position and your portfolio is now a risk-less investment. 1. (Bonus) Synthetic Replication Verify that going long a forward contract and lending the present value of the forward price creates a payoff of one share of stock when: a. The stock pays no dividends. b. The stock pays discrete dividends c. The stock pays continuous dividends. Solution already given in class 11. ใช ข อม ลราคาของ zero-coupon bonds ในตารางข างล างตอบค าถามข อ 1.1 และ 1.2 Days to Maturity Zero-Coupon Bond Price จงหาอ ตราดอกเบ ยส าหร บ synthetic FRA loan ท ม อาย 90 ว น โดยส ญญาเร มต นในว นท 90 และ เต มค าตอบในตารางท ก าหนดให หมายเหต : synthetic FRA loan ค อ การซ อ zero-coupon bonds ท จะครบก าหนดในเวลา t+s บวกก บการ ขาย zero-coupon bonds ท จะครบก าหนดในเวลา t 6

7 r 0 (90, 180) r 0 (t, t+s) r 0 (90, 270) r 0 (90, 360) 11.2 จงหาอ ตราดอกเบ ยส าหร บ synthetic FRA loan ท ม อาย 180 ว น โดยส ญญาเร มต นในว นท หากค ณเป นผ จ ดการธนาคารและม ค ส ญญาค อล กค าท เป นผ ให ก (ค ณเป นผ ก ) ค ณซ อส ญญา FRA เพ อล อคอ ตราดอกเบ ยไว ส าหร บเง นก จ านวน 10 ล านดอลลาร โดยส ญญาเร มในว นท 270 และครบก าหนดใน อ ก 90 ว นหล งจากน น ค ณจะ hedge สถานะของค ณได อย างไร To hedge, you go long on the FRA and buy/sell zero coupon bonds as shown below: 12. ผ ก วางแผนก เง น 100 ล านดอลลาร โดยเร มต นในอ ก 60 ว นข างหน า และครบก าหนดในอ ก 150 ว นหล งจาก น น ขณะน Implied forward rate (อ ตราดอกเบ ยของส ญญา FRA) ส าหร บช วงระยะเวลา 150 ว น เท าก บ 2.5% โดยท ดอกเบ ยท แท จร งในช วงท ม การก ย มอาจจะเปล ยนแปลงเป น 2.2% หร อ 2.8% 12.1 หากในอ ก 60 ว น อ ตราดอกเบ ยเป น 2.8% ผ ก จะต องจ ายเท าไรถ าส ญญา FRA ม การห กล าง สถานะในว นท 60 และ ผ ก จะต องจ ายเท าไรถ าส ญญา FRA ม การห กล างสถานะในว นท 210 7

8 เน องจากผ ก ได ประโยชน หากดอกเบ ยเพ มข น ด งน นหากม การห กล างสถานะในว นท 60 ผ ก ได ร บเง น หากม การห กล างสถานะในว นท 210 ผ ก ได ร บเง น 12.2 หากในอ ก 60 ว น อ ตราดอกเบ ยเป น 2.2% ผ ก จะต องจ ายเท าไรถ าส ญญา FRA ม การห กล าง สถานะในว นท 60 และ ผ ก จะต องจ ายเท าไรถ าส ญญา FRA ม การห กล างสถานะในว นท 210 ผ ก เส ยประโยชน หากดอกเบ ยลดลง ด งน นหากม การห กล างสถานะในว นท 60 ผ ก ต องจ ายเง น = ( )/( ) * 100,000,000 = -$293, หากม การห กล างสถานะในว นท 210 ผ ก ต องจ ายเง น = ( ) * 100,000,000 = -$300, T-bill ท ม ว นครบก าหนดเท าก บ 90 ว น และม face value เท าก บ $1,000,000 อ ตราดอกเบ ย (discount yield) ของ T-bill น เท าก บ 8.75% จงหาราคาของ T-bill น Price = Face*[1 - DR*(t/360)] = $1,000,000*( *(90/360)) = $978, หาก price index ของ T-bill เท าก บ จงหาอ ตราดอกเบ ย (discount yield) ของ T-bill น และหาก ค ณซ อ T-bill futures ในราคาเท าก บ price index น นค อ และไม นาน price index เพ มข นเป น ถามว า ท านได ก าไรหร อขาดท น ค ดเป นม ลค าเท าไร DR = [Face - P]/[Face*(360/t)] = ( )/(100*(360/90)) = 2.825% per 90 days or 11.3% per year หากซ อมาราคา และราคาป จจ บ นเท าก บ จะได ก าไร ( )/88.70 = % 8

9 15. June T-bill futures ม index value เท าก บ และ September T-bill futures ม index value เท าก บ จงหา implied interest rate ในช วงเด อนม ถ นายนถ งเด อนก นยายน 92.80/93 1 = -0.22% 16. Suppose you observe the following zero-coupon bond prices per $1 of maturity payment: (1-year), (2-year), (3-year), (4-year), (5- year). For each maturity year compute the zero-coupon bond yields (effective annual and continuously compounded), the par coupon rate, and the 1-year implied forward rate. 17. Using the information in question 16, find the price of a 5-year coupon bond that has a par payment of $1, and annual coupon payments of $ ค ณกระแสเง นสดจากค ปองในแต ละงวดและเง นต นด วยราคาของ zero-coupon bond ท เหมาะสม จะได ราคาห นก เท าก บ $1, Suppose that in order to hedge interest rate risk on your borrowing, you enter into an FRA that will guarantee a 6% effective annual interest rate for 1 year on $500, On the day you borrow the $500,000.00, the actual interst rate is 5%. Determine the dollar settlement of the FRA: 18.1 If settlement occurs on the date the loan is initiated 18.2 If settlement occurs on the date the loan is repaid Solution: 9

10 19. What is the yield to maturity of the 10-year zero coupon bond with a face value of $100 and current price $ ? P 0 = Face*e -rt $ = 100*e (-r*10) -r = (1/10)ln( /100) r = -(1/10)ln( /100) r = % 20. Suppose that oil forward prices for 1 year, 2 years, and 3 years are $20, $21, and $22. The 1-year effective annual interest rate is 6%, the 2-year interest rate is 6.5%, and the 3- year interest rate is 7% What is the 3-year swap price? The present value of the cost per 3 barrels based on the forward price is: The swap price per barrel is: 10

11 20.2 What is the price of a 2-year swap beginning in one year? (That is, the first swap settlement will be in 2 years and the second in 3 years.) The present value of the cost per 2 barrels based on the forward price is: The swap price per barrel is: 21. Consider the same 3-year oil swap in question 20. Suppose a dealer is paying the fixed price and receive floating. What position in oil forward contracts will hedge oil price risk in this position? Verify that the present value of the lock-in net ash flows is zero. Solution: 22. Consider the same 3-year swap in question 20. Suppose you are a dealer who is paying the fixed oil price and receive the floating price. Suppose that you enter into the swap and immediately thereafter all interest rates rise 50 basis points but oil forward prices are unchanged. What happens to the value of your swap position? What if interest rates fall 50 basis points? What hedging instrument would have protected you against interest rate risk in this position? 11

12 Solution: ใช ข อม ลในตารางข างล างตอบค าถามข อ Quarter Oil forward price Gas swap price Zero-coupon bond price Eurodenominated zero-coupon bond price

13 Euro forward price ($/ ) ก าหนดให อ ตราแลกเปล ยน ณ เวลาป จจ บ นเท าก บ $/ Suppose the effective quarterly interest rate is 1.5%, what are the per-barrel swap prices for 4-quarter and 8-quarter oil swaps? What is the total cost of prepaid 4- and 8-quarter swaps? Solution: 13

14 24. Construct the set of swap prices for oil for 1 through 8 quarters. 25. What is the swap price of a 4-quarter oil swap with the first settlement occurring in the third quarter? Solution: 26. Using the zero-coupon bond prices and oil forward prices in the table provided above, what is the price of an 8-period swap for which two barrels of oil are delivered in evennumbered quarters and one barrel of oil in odd-numbered quarters? Solution: 27. Using the zero-coupon bond prices and oil forward prices in the table provided above, what are the gas forward prices for each of the 8 quarters? 14

15 Solution: 28. What is the fixed rate in a 5-quarter interest rate swap with the first settlement in quarter 2? Solution: 29. What is the fixed rate in a 4-quarter interest rate swap? What is the fixed rate in an 8- quarter interest rate swap? 15

16 Solution: 30. What are the euro-denominated fixed rates for 4- and 8-quarter swaps? Solution: 16