บทท 6 ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง (Vehicle Routing Problems :VRP)

Transcription

1 บทท 6 ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง (Vehicle Routing Problems :VRP) 6.1 บทนาเร องป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง (Vehicle routing problems: VRP) เป นป ญหาท ม ล กษณะคล ายก บ ป ญหา TSP ในบทท 5 ท ได บรรยายไปก อนหน าน แล ว และย งม ความส มพ นธ ก บป ญหา p-median ป ญหาการหาทาเลท ต งท เหมาะสมและป ญหาอ นๆ ในหน งส อเล มน อย พอสมควร เช น ในบทท 3 และ บทท 4 เก ยวก บการหาทาเลท ต งและการมอบหมายงาน การมอบหมายงานให ศ นย กระจายส นค าส ง ให ก บล กค าน นจะทาการส งตรงจากศ นย กระจายส นค าส ล กค าเร ยกการส งส นค าแบบน ว าการส งส นค า ตรงให ล กค า (direct shipping) ล กษณะการส งส นค าแบบน จะเหมาะสมหร บล กค าท ม ความต องการ ปร มาณมาก ๆ หากขนท ละน อยจะเก ดท ว างบนรถแต ต องกล บมาร บของท ศ นย กระจายส นค าใหม แล วไป ส งล กค ารายอ นๆ ท าแบบน ไปเร อยๆ เร ยกว าการส งตรงให ล กค า แต ป ญการจ ดเส นทางการขนส ง อาจจะมองว าเป นการต อยอดมาจากการหาท าเลท ต งท เหมาะสมเม อจ ดงานและมอบหมายล กค า เร ยบร อยมาพ จารณาจ ดเส นทางท เหมาะสมตามศ กยภาพของรถอ กคร งหน งว าควรจะขนส นค าข นรถ จานวนเท าไหร รถค นน นจะไปส งส นค าให ก บล กค าใดบ างใช เส นทางใด หร อถ าจะมองว าป ญหาการจ ด เส นทางการขนส งม ล กษณะคล ายป ญหาการเด นทางของพน กงานขายก พ จารณาได เช นก น เม อจ ด เส นทางการเด นทางของพน กงานขาย พน กงานขายน ารถขนส นค าไปด วย หากส นค าหมดพน กงานขาย ก จะต องเด นทางกล บมาท เม องเร มต นท ม ส นค าอย และไปส งส นค าท เหล อ ก จะเก ดป ญหาการจ ดเส นทาง การขนส งจากป ญหาการเด นทางของพน กงานขายเช นเด ยวก น Danzig et al (1954) น าเสนอการแก ป ญหาการเด นทางของพน กงานขาย หร อ TSP จากน นก ได ม การน าป ญหาน ไปแก หาว ธ แก ไขอย างกว างขวางจนม งานว จ ยหร อบทความว จ ยท ต พ มพ เก ยวก บ ป ญหา TSP จานวนมาก Clark and Wright (1964) ได น าเสนอการแก ป ญหา TSP กรณ ท พาหนะขนส ง มากกว า 1 ค นและน นก เป นคร งแรกท ป ญหา VRP เก ดข นคร งแรกในงานว จ ยท ได ร บการต พ มพ แต อย างไรก ตาม Clark and Wright ก ไม ได น าเสนอศ พย คาว าการจ ดเส นทางการขนส ง (vehicle routing) ในงานของพวกเขา คาว า vehicle routing ถ กน ามาใช ในการเข ยนบทความว จ ยคร งแรกในป 1972 โดย Golden, Magnati, and Nguyan และหล งจากน นได ม น กว จ ยจานวนมากให ความสนใจในการพ ฒนา ว ธ การเพ อแก ป ญหา VRP โดยป ญหา VRP ท ได ร บความสนใจน ได ม การเพ มข อจาก ดต างๆ เข าไปตาม

2 กรณ ศ กษาหร อตามเหต การณ จร งท เก ดข นในการดารงช ว ตประจาว นของน กว จ ยท ได พบเห นหร อส มผ ส เช น Solomon (1983) ได น าเสนอป ญหาการจ ดเส นทางการขนส งกรณ ท ม ข อจาก ดเร องเวลาในการ ร บส ง ( vehicle routing problem with time windows) ซ งเป นข อจาก ดของล กค าแต ละรายว าจะร บ ส นค าได ภายในเวลาใด ซ งทาให ป ญหา VRP ม ความย งยากซ บซ อนมากย งข น ป ญหา VRP โดยปกต อาจจะเป นการวางแผนไปร บหร อไปส งส นค าเท าน นบางคร งป ญหา VRP อาจจะม การไปร บและไปส ง ส นค าในคราวเด ยวก นเช น Nagy and Salhi (2005) น าเสนองานว จ ยท กล าวถ งการจ ดเส นทางการ ขนส งกรณ ท ม การร บและส งส นค าในเวลาเด ยวก น ระยะทางในการขนส งท พ จารณาในการจ ดเส นทาง การขนส งน อาจจะม ท งแบบท ทราบค าและไม ทราบหร อหากทราบค าอาจจะม ล กษณะเป นทราบค าท แน นอนหร อไม แน นอนเช น Fu (2002), Ahn and Shin (1991), Rego and Roucairol (1995). จาก การดาเน นการว จ ยท หลากหลายและมากมายของป ญหา VRP จ งม ผ พยายามจ ดกล มของป ญหา VRP เป นประเภทต างๆ มากมายเช น Bodin (1975), Bodin and Golden (1981), Min et al.(1998), Powell and Shapiro (1999), Laporte and Osman (1995), Burak Eksioglu et al. (2009). ซ ง จากการแบ งกล มป ญหา VRP อาจจะพอสร ปประเภทของป ญหา VRP ได ด งน 1. จ ดกล มตามว ธ การแก ป ญหาของป ญหา VRP 1.1. ว ธ การแม นตรง (exact method) ว ธ การการน จะไช พ นฐานจากการโปรแกรมเช งเส นตรง การ โปรแกรมจ านวนเต ม หร อว ธ การอ น ท จะท าให ได ค าท ด ท ส ด เช น ว ธ การ ต ดแบบระนาบ (cutting plane method), ว ธ บรานซ แอนด บาว (branch and bound method) งานว จ ยท เป น ผ น าทางด านว ธ แม นตรงได แก Laporte and Nobert (1982) 1.2. ว ธ การฮ วร สต กส (heuristics) เป นว ธ การท เม อด าเน นการเสร จเร ยบร อยจะได ค าท ด ไม สามารถร บประก นได ว าจะได คาตอบท ด ท ส ด แต จะใช เวลาส นกว าว ธ การแบบแม นตรงสาหร บ ป ญหาท ม ขนาดใหญ ต วอย างเช น ว ธ การเจนเนต กส (genetic algorithm), ว ธ การระบบมด (Ant system algorithm), ว ธ การหาค าท ด ท ส ดด วยฝ งอน ภาค (particle swarm optimization) เช น Laporte et al. (1999), Nagy and Salhi(2005) 1.3. การจ าลองแบบป ญหา (simulation) ใช การจ าลองแบบป ญหาส วนใหญ จะใช ก บป ญหาท ม ความไม แน นอนเก ดข นเช น ความต องการไม แน นอน ระยะเวลาในการให บร การไม แน นอน ต วอย างงานว จ ยท เด น ๆในการจาลองแบบป ญหาได แก Kim et al (2005) 2. จ ดกล มตามล กษณะของความต องการของล กค า 2.1. ค าความต องการของล กค าทราบค าและแน นอน (deterministic demand) งานว จ ยจานวน หน งดาเน นการภายใต ความต องการท ทราบและแน นอนของล กค า โดยม การเก บข อม ลอาจจะ เป นความต องการท แน นอนโดยม การส งส นค าก อนและจ ดเส นทางการขนส ง หร อท าการ

3 ประมาณค าจากการใช ค าเฉล ยหร อค าทางสถ ต อย างใดอย างหน งต วอย างงานว จ ยท ม ความ ต องการแบบทราบและแน นอนได แก Laporte et al. (1999), Toth and Vigo (1999) 2.2. ค าความต องการของล กค าทราบค าแต ไม ทราบค าท แน นอน (stochastic demand) ในกล มน ความต องการของล กค าจะทราบค าแต อาจจะม ความไม แน นอนซ งจะทาให ต องใช เทคน คในการ แก ป ญหาท ต างออกไปจากข อ 2.1 ต วอย างงานว จ ยท ความต องการของล กค าไม ทราบค าท แน นอนได แก Rego and Roucairol (1995),Tradeau and Dror(1992) 2.3. ไม ทราบความต องการของล กค า ซ งเป นความต องการท ไม ทราบค าขณะวางแผนแต ทราบเม อ ไปถ งล กค าต วอย างงงานว จ ยในกล มน ได แก Fleischmann et al (2004) และ Chuah and Yingling(2005) 3. จ ดกล มตามข อจาก ดด านเวลา (time windows) ซ งเป นข อจาก ดท ม ความสาค ญก บการจ ดเส นทาง เน องจากบางคร งเวลาให บร การล กค า หร อเวลาในการเด นทางจะม ผลต อเส นทางท ได จากการจ ด ด วยว ธ การต างๆ สามารถแบ งกล มได ด งน 3.1. แบบไม ม ข อจาก ดด านเวลา (no time windows) ในกล มน งานว จ ยจะไม คาน งถ งข อจาก ดด าน เวลาต าง ๆโดยจะท าการจ ดเฉพาะเส นทางการเด นทางต วอย างของงานว จ ยในกล มน ได แก Laporte et al. (1999), Toth and Vigo (1999), 3.2. แบบม ข อจาก ดด านเวลาแบบไม เคร งคร ด (soft time windows) ในกล มน จะม ข อจาก ด ทางด านเวลาแต ไม เคร งคร ดมากน กสามารถส งส นค าช าหร อเร วกว ากาหนดได บ าง แต อย างไร ก ตามข อจาก ดด านเวลาน จะม ผลต อการจ ดเส นทางเช นเด ยวก น ต วอย างงานว จ ยของกล มน ได แก Fleischmann et al (2004) 3.3. แบบม ข อจาก ดด านเวลาแบบเคร งคร ด (stick time windows) กล มน การจ ดเส นทางจะ คาน งถ งระยะเวลาในการเด นทางและระยะเวลาในการให บร การอย างเคร งคร ดหากเด นทางผ ด เวลาหร อไปถ งล กค าผ ดเวลาจะทาให เส นทางน นเป นเส นทางท ไม ถ กต องไม สามารถให บร การ ล กค าได ต วอย างของงานว จ ยในกล มน ได แก Rego and Roucairol (1995) 3.4. แบบม ข อจาก ดด านเวลาท ม ท งเคร งและไม เคร ง (Mixed) งานว จ ยบางงาน เช น Nagy and Salhi(2005) จะม ล กค าท งท เคร งคร ดเร องเวลาท มาถ งของรถบรรท ก หร อเวลาในการ ให บร การ และไม เคร งคร ดเร องเวลาในป ญหาเด ยวก น ซ งจะทาให การดาเน นการด วยว ธ การ ต างๆ ม ความแตกต างก นออกไปและม ผลต อการจ ดเส นทางเช นเด ยวก น 4. จ ดกล มตามเวลาในการวางแผนการเด นทาง (Time horizon) ในกล มน จะเน นการจ ดกล มแบบการ จ ดแบบคร งเด ยวในการวางแผนหน งคร งเช น การเด นทางส งส นค าท กว นจะเด นทางด วยเส นทาง เด ยวก น และการจ ดแบบหลายคร งเช นวางแผนเป นเด อนหร อป โดยในแต ละว นอาจจะม การเด นทาง ท ไม เหม อนก น

4 4.1. แบบคาบเวลาเด ยว (single period) กล มน จะวางแผนคร งเด ยวและดาเน นการเช นเด ยวก นใน ท กคาบเวลา ต วอย างงานว จ ยในกล มน ได แก Fu (2002) 4.2. แบบหลายคาบเวลา (muti period) เป นการวางแผนแบบหลายคาบเวลาและม เส นทางการ เด นทางท แตกต างก นไปในแต ละคาบเวลา ต วอย างงานว จ ยในกล มน ได แก Letchford and Eglese (1998) 5. จ ดกล มตามจานวนของจ ดเร มต น (Number of Origin points) จ ดเร มต นท แตกต างก นจะทาให ได ระยะทางในการเด นทางท แตกต างก นไป การวางแผนการจ ดเส นทางบางคร งอาจจะม จ ดเร มต น เด ยว บางคร งจะต องวางแผนให ก บศ นย กระจายส นค าหลายจ ดไปพร อม ๆก น สามารถแบ งกล ม ตามจานวนของจ ดเร มต นได เป น 5.1. ม จ ดเร มต นเด ยว (single origin/depot) การเร มต นของท กเส นทางจะเร มต นจากจ ดกระจาย ส นค าเพ ยงแห งเด ยว ต วอย างของงานว จ ยในกล มน ได แก Laporte et al. (1999), Toth and Vigo (1999) 5.2. ม จ ดเร มต นหลายจ ด (multiple origin/depot) ในกล มน จะต องวางแผนให ม ศ นย กระจาย ส นค าหลายแห ง โดยท าการจ ดเส นทางไปพร อมๆ ก นต วอย างงานว จ ยใน กล มน ได แก Fleischmann et al (2004) นอกจากการจ ดกล มท ง 5 แบบท ได กล าวไปแล วข างต นย งอาจจะสามารถจ ดกล มตามล กษณะอ น ๆ ได อ กเช น ล กษณะของการส ง หร อ ร บอย างเด ยวหร อม ท งการส งและการร บ, จานวนพาหนะท ใช, ข อจาก ดด านระยะทางส งส ด หร อจานวนล กค าส งส ดท เด นทางไปได เป นต น ในช วงแรกท ป ญหา VRP ได ร บการเผยแพร น นว ธ การท ใช แก ป ญหา VRP ส วนใหญ จะเป นว ธ การ แบบแม นตรงหร อ exact method เช น Clarke and Wright (1964), Laporte and Nobert (1987), Letchford and Eglese (1998), Malandraki and Daskin (1992) แต ช วงหล งของการพ ฒนาว ธ การท น ามาแก ป ญหา VRP น กว จ ยจะเร มห นมาสนใจก นพ ฒนาว ธ การเมตาฮ วร สต กส เพ อช วยในการแก ป ญหา ท ม ขนาดใหญ ของ VRP เช น Nagy and Salhi (2005), Brandao and Mercer (1997), Gendreau et al.(1998) ซ งว ธ การท น ยมก ได แก ว ธ การเช งพ นธ กรรม, ว ธ การตาบ เชร ช, ว ธ การระบบมด ซ งใน หน งส อเล มน จะได ทาการอธ บายว ธ การเช งพ นธ กรรม ว ธ การหาค าท ด ท ส ดด วยฝ งอน ภาคและว ธ การ ว ว ฒนาการผลต าง ซ งจะได อธ บายในลาด บถ ดไป

5 ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง สามารถแสดงเป นภาพได ด งแสดงในร ปท 6.1 ร ปท 6.1 ต วอย างภาพการจ ดเส นทางการขนส ง จากร ปท 6.1 เส นทางการขนส งเร มจากศ นย กระจายส นค าหน ง จากน นเด นทางเป น 3 เส นทาง ม 2 เส นทางท ม การเด นทางผ านเม องหร อล กค า 4 เม อง และม หน งเส นทางเด นทางผ านล กค า จานวน 3 รายและท กเส นทางจะต องกล บมาท ศ นย กระจายส นค า ต วอย างท 6.1 บร ษ ทหน งต องการส งพน กงานขายจานวน 3 คน เด นทางไปเพ อน าเสนอส นค าก บ ล กค า 7 ราย ระยะทางระหว างล กค าแต ละรายแสดงได ด งตารางท 6.1 โดยท เม องท 0 ค อเม องท บร ษ ท แห งน ต งอย โดยท บร ษ ทแห งน ออกแบบการเด นทางสาหร บพน กงานขาย 3 คน 2 เส นทางด วยก นด ง แสดงในตารางท 6.2 เส นทางใดค อเส นทางท ม ระยะทางในการเด นทางต าท ส ด ตารางท 6.1 ระยะทางระหว างล กค าแต ละรายตามต วอย าง 6.1 i/j

6 ตารางท 6.2 เส นทางการเด นทางท ง 2 เส นทางของพน กงานขายท ง 3 คน เส นทาง พน กงานขายคนท 1 พน กงานขายคนท 2 พน กงานขายคนท ว ธ ทา เส นทางท 1 ม การเด นทางด งน , , ซ งม ระยะทางในการ เด นทางสาหร บพน กงานขายคนท 1 เป น 209 ก โลเมตร พน กงานขายคนท สอง 201 ก โลเมตร และ พน กงานขายคนท 3 เป น 115 ก โลเมตร ด งน นรวมระยะทางการเด นทาง 525 ก โลเมตร เส นทางท 2 ม การเด นทางด งน , , ซ งม ระยะทางในการ เด นทางสาหร บพน กงานขายคนท 1 เป น 168 ก โลเมตร พน กงานขายคนท สอง 181 ก โลเมตร และ พน กงานขายคนท 3 เป น 163 ก โลเมตร ด งน นรวมระยะทางการเด นทาง 522 ก โลเมตร ด งน นจะเห นว าเส นทางท 2 ควรเป นเส นทางท บร ษ ทแห งน จะเล อกใช ซ งท าให ประหย ด ระยะทางได 3 ก โลเมตร 6.2 ต วแบบทางคณ ตศาสตร สสาหร บป ญหาการการจ ดเส นทางการขนส ง สมม ต ว าม เซตของล กค า N= {1,2, n} ซ งกระจายอย ตามพ ก ดต าง ๆและม ระยะทางระหว าง เม อง i ไป j แตกต างก นออกไปเป น d ij หร อเวลาท ใช ในการเด นทาง t ij เม อ i และ j อย ในเซต N และ i j ถ า d ij =d ji จะเร ยกว าป ญหาการจ ดเส นทางการขนส งแบบสมมาตร หาก d ij d ji จะเร ยกว าป ญหาการ จ ดเส นทางการขนส งแบบไม สมมาตร สมม ตให q i เม อ i=1,2,..,n เป นปร มาณความต องการ ของ ล กค า i และ i=0 เม อ i เป นศ นย กระจายส นคล ากลางหร อจ ดส งส นค า รถยนต หร อยานพาหนะหร อพน กงานขายจะเด นทางออกจากเม อง 0 หร อศ นย กระจายส นค า และเด นทางไปร บส นค าหร อส งส นค าตามจ ด i และจะเด นทางกล บมาท จ ด 0 อ กคร งหน ง โดยรถแต ละ

7 ค นม จ านวนส นค าท ขนได จ าก ดตามศ กยภาพของรถแต ละค น สมม ต ให ม รถจ านวน V ค น ซ ง V={1,2,..,V} สมม ต ให รถค นท k สามารถส งส นค าได แตกต างก นโดยกาหนดให จานวนท สามารถส ง ส นค าได ม ค าเป น a k สมม ต ให R k ={r k (1),,r k (n k )} แทนเส นทางท ม การเด นทางของรถค นท k, r k (j) แทนเม องท j ท รถหร อเส นทางท k เด นทางผ าน n k ค อจานวนเม องท ม การเด นทางผ านโดยรถหร อ เส นทางท k และสมม ต ให ท กเส นทางจะต องส นส ดการเด นทางท ศ นย กระจายส นค า 0 หร อ r k (n k +1)=0 ด ชน i,j ล กค ารายท i หร อ j i,j =1.N k ยานพาหนะ/พน กงานขาย/ ค น/รายท k=1 K พาราม เตอร D ij ต นท นในการเด นทางจากล กค า i ไปล กค า j L จานวนล กค า q i ความต องการส นค า ณ จ ด i a k ความจ ของยานพาหนะท k ต วแปรต ดส นใจ เม อยานพาหนะ ม การเด นทางจาก ไป { เม อยานพาหนะ ไม ม การเด นทางจาก ไป ค าต วแปรต ดส นใจเพ อกาจ ดเส นทางเด นวนรอบไม ครบ หร อท วร ย อย (subtour) เม อ ล กค ารายท ถ กเด นทางผ านโดยยานพาหนะ { ล กค ารายท ไม ถ กเด นทางผ านโดยยานพาหนะ สมการเป าหมาย (6.1)

8 สมการขอบข าย (6.2), (6.3) (6.4) (6.5) (6.6) ( ( )) เม อ (6.7) (6.8) (6.9) (6.10) สมการท (6.1) ต นท นการเด นทางจากเม อง i ไปเม อง j โดยยานพาหนะ k สมการท (6.2) เป น การประก นว า ยานพาหนะ k จะเด นทางออกจากศ นย กระจายส นค า 0 และเด นทางไปย งล กค า j อย าง น อย 1 ราย สมการท (6.3) เป นสมการท ร บประก นว าล กค ารายหน งๆ จะเด นทางเข าและออกเท าก น (1 คร ง) สมการท (6.4) เป นการร บประก นว าเม องหน งๆ จะได ร บการเด นทางผ านจากยานพาหนะ อย างน อย 1 ค น สมการท (6.5) เป นการประก นว ายานพาหนะใด ๆ จะขนส นค าไปส งให ก บล กค าไม เก นจานวนท สามารถบรรท กได สมการ (6.6) ร บประก นว าการเด นทางเข าเม อง i ได ก ต อเม อ ยานพาหนะ k เด นทางผ านเม อง i จากเส นทางของเม อง j เม องใดเม องหน งเท าน น และสมการ (6.7) ร บประก นว าเม อง j ใด ๆ จะได ร บการเด นทางผ านโดยยานพาหนะใดใด อย างน อย 1 คร งโดยใช เส นทางท ผ านมากจาเม อง i ใด ๆ สมการท 6.8 ถ ง 6.10 สมการเพ อป องก นไม ให เก ดท วร ย อย (subtour)

9 สมการท 6.1 ถ ง 6.7 แสดงแบบจาลองทางคณ ตศาสตร ของป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง กรณ ท รถแต ละค นม ข อจาก ดด านจานวนส นค าท สามารถขนได และรถแต ละค นม ข อจาก ดไม เหม อน หร อไม เท าก น (capacitated vehicle routing problem) จากต วอย างท 6.1 หากน าโปรแกรมทางคณ ตศาสตร ไปเข ยนโปรแกรมล งโก จะได โปรแกรมล ง โกด งแสดงในร ปท 6.2 โดยจะได ระยะทางท ส นท ส ดค อ 356 และได เส นทางด งแสดงในตารางท 3 โดย ในต วอย างท 6.1 กาหนดให ม รถหร อพน กงานขาย 4 คน ความต องการส นค าของล กค าแต ละรายเป น 100,200,150,170,250,140 และ 190 ช นตามลาด บ และรถแต ละค นสามารถบรรท กส นค าได 600,500, 450 และ 460 ช นตามลาด บ ตามร ปท 6.2 เม อน าไปประมวลผลจะได เส นทางท ม ระยะทางส นท ส ดค อ รถค นท 1 ม เส นทางด งน รถค นท 2 เส นทาง รถค นท 3 ไม ม การเด นทาง รถค นท 4 ม เส นทาง ตามลาด บและได ระยะทางรวม 356 ก โลเมตร ผ อ านสามารถน าเอาโปรแกรมล งโกไปประย กต ใช ได ก บป ญหาการจ ดเส นทางท วๆ ไป ได แต ป ญหาการจ ดเส นทางเป นป ญหาท ม ความยากป ญหาท แก ได ในเวลาท พอเหมาะในโปรแกรมล งโก หากม ล กค าประมาณ รายย งพอจะแก ป ญหาได แต ถ าเป นป ญหาท ใหญ กว าน นจะใช เวลานานมากใน การแก ป ญหาด งน นการแก ป ญหาด วยว ธ การการว ว ฒนาการโดยใช ผลต างจ งเป นว ธ การท ได คาตอบท ด และใช เวลาในการประมวลผลน อย

10 MODEL: SETS: CITY/1..8/:Q; VEHICLE/1..4/:A; CXC(CITY, CITY): D; KXCC(VEHICLE,CITY, CITY):X; KXC(VEHICLE,CITY):Y,U; ENDSETS DATA: D= ; Q= ; A= ; J#NE#I #AND# @FOR(KXCC(K,I,J):@BIN(X(K,I,J))); END ร ปท 6.2 โปรแกรมล งโกท ใช แก ป ญหาการจ ดเส นทางตามโจทย ข อ 6.1 และม รายละเอ ยดพาราม เตอร ตามท ระบ เบ องต น 6.3 ว ธ ว ว ฒนาการว ว ฒนาการโดยใช ผลต างสาหร บการแก ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง ข นตอนท วๆ ไปของว ธ การการว ว ฒนาการโดยใช ผลต าง ได แสดงไว ในร ป 3.1 ซ งว ธ การ การ ว ว ฒนาการโดยใช ผลต าง สาหร บแก ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง แสดงได ด งไปน

11 สร างเวคเตอร เร มต นสาหร บป ญหาการจ ดเส นทางขนส ง การประย กต ใช ว ธ การการว ว ฒนาการโดยใช ผลต าง ก บป ญหาการเด นทางของพน กงานขายจะม ว ธ การเหม อนก บท ได แสดงไว ในร ป 3.3 ค อจะต องม การสร างเวคเตอร เร มต น จากน นน าไปผ าน กระบวนการปร บเปล ยนค าภายในองค ประกอบของเวคเตอร แลกเปล ยนค าองค ประกอบภายในของ เวคเตอร และการค ดเล อกเวคเตอร ซ งกระบวนเหล าน เป นกระบวนการข นพ นฐานของว ธ การการ ว ว ฒนาการโดยใช ผลต าง การให รห สเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง แบบท 1 การออกแบบเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส งสามารถด าเน นการได ท งหลาย ร ปแบบ ตามท ได แสดงต วอย างไว ในบทท 5 แล วแต ต วแปรต ดส นใจสาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการ ขนส งประกอบด วยด ชน จานวน 3 ด ชน ได แก i,j และ k ซ งเด มในบทท 5 น นม เพ ยง 2 ด ชน ได แก i และ j ด งน นเวคเตอร แบบตรงจะต องม 3 ม ต ตามล กษณะของต วแปร เช นสมม ต ว าม พน กงานขายหร อ พน กงานข บรถหร อรถจานวน 4 คน จะต องทาการสร างเมตร กจานวนจร งขนาด i J จานวน k เมตร ก เพ อใช แทนต วแปรให ครบตามค าของต วแปร จากน นจ งดาเน นการถอดรห สเวคเตอร เพ อให ได ค า ของ ตามท ต องการตามแบบจาลองทางคณ ตศาสตร ของป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง ต วอย าง ของเวคเตอร ในกรณ ท ม k=4,i=8 (0-7), J=7(1-7 ไม รวมศ นย กระจายส นค าเน องจากการเล อก เด นทางจากเม องใด ๆ ไปศ นย กระจายส นค าจะดาเน นการโดยอ ตโนม ต เม อรถบรรท กส นค าได บรรท ก ส นค าเต มจานวนและส งของให ก บล กค าท กรายในเส นทางแล ว), NP=5 ในตารางท 6.3 จะแสดง เฉพาะเวคเตอร ท 1 จากจานวน 5 เวคเตอร เท าก บจานวน NP ตารางท 6.3 ก. เวคเตอร จานวนจร งแทนคาตอบในป ญหา VRP เม อ K=1 I J

12 ตารางท 6.3 ข. เวคเตอร จานวนจร งแทนคาตอบในป ญหา VRP เม อ K=2 I J ตารางท 6.3 ค. เวคเตอร จานวนจร งแทนคาตอบในป ญหา VRP เม อ K=3 I J ตารางท 6.3 ง.เวคเตอร จานวนจร งแทนคาตอบในป ญหา VRP เม อ K=4 I J

13 ตารางท 6.3 ก ถ ง 6.3 ง เป นตารางท แสดงเวคเตอร ท 1 จากจานวน 5 เวคเตอร ตามจานวน NP ท กาหนดไว ล วงหน า เพ อให ได คาตอบท ต องการค อเส นทางการเด นทางของรถแต ละค นจะต อง ดาเน นการถอดรห ส กระบวนการถอดรห สเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส งแบบท 1 สมม ต ให ความต องการส นค าของล กค าแต ละรายเป น 100,200,150,170,250,140 และ 190 ช นตามลาด บ และรถแต ละค นสามารถบรรท กส นค าได 600,500, 450 และ 460 ช นตามลาด บ จะสามารถถอรห สได ด วยลาด บข นตอนต อไปน ข นตอนในการถอดรห ส 1) ต งค า K=1 2) เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าในพ ก ดใน เวคเตอร ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P 3) ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า P ว าเก นจานวนส นค าท สามารถบรรจ ในรถค นท K ได หร อไม หากสามารถบรรจ ได ทาการเปล ยนค า =1 จากน นดาเน นการข นตอนท 3 อ พเดท ค าความจ ของรถค นท K โดยท 4) หาตาแหน งล กค าท ม ค าในพ ก ดท น อยท ส ดในจากตาแหน ง P สมม ต ให เป นตาแหน ง T 5) ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า T หากม ค าน อยกว า เปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า และเปล ยนค า =0 เม อ h ค อล กค ารายอ น ๆท ไม ใช T 6) ดาเน นการซ า ข นตอนท 4-5 จนกระท งล กค าท กรายถ กเด นทางผ านด วยรถ 1 คร ง 7) หากความต องการส นค าของล กค า T มากกว า ให อ พเดทค า K=K+1 และทาการมอบหมาย 8) ดาเน นการซ าข อ 2-7

14 จากข นตอนข างต นสามารถดาเน นการได ด งน 1) ต งค า K=1 2) เร มต นเด นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกค าในพ ก ดท น อยท ส ด ค าในพ ก ดใน แต ละตาแหน งของเม องศ นย ม ค าเป น 0.83,0.86,0.29,0.66,0.66,0.82 และ 0.13 พบว า เม องท 7 ค อเม องท ม ค าในพ ก ดน อยท ส ดซ งม ค าเป น ) จากน นทาการตรวจสอบค าความต องการของเม อง 7 พบว าม ความต องการ 190 ซ งม ค าน อย กว าค า ซ งม ค าเป น 600 และทาการปร บค า = =410 และมอบหมายค า =1 4) จากน นพ จารณาค าในพ ก ดของตาแหน งล กค าต างๆ ต อจากเม อง 7 จะพบว าตาแหน งต าง ๆ (ยกเว นตาแหน งของศ นย กระจายส นค า) ม ค าในพ ก ดด งน 0.46,0.23,0.40,0.73,0.65 และ 0.08 ตามลาด บ ด งน นเม องท เด นทางต อจากเม อง 7 ค อเม องท 6 ด งน นได เส นทาง ) ตรวจสอบความต องการของเม อง 6 ม ค าเป น 140 ด งน นค า มอบหมายค า =1 และ,,,,, = 0; 6) ดาเน นการซ าข นตอนท 2-5 จนกระท งท กเม องถ กเด นทางผ าน ข นตอนท 4-6 รอบท 2 สาหร บ k = 1 = = 270 จากน น ในขณะน ม เม องท เด นทางผ านแล วค อเม องท 7และ 6 ย งขาดเม องท ย งไม ถ กเด น ทางผ านอ กจานวน 5 เม องได แก เม องท 1-5 เม อ K=1 ; เม องส ดท ายท เด นทางผ านค อเม องท 6 จากน นทาการตรวจสอบค าในพ ก ดของเม องท 6 พบว าเม องท 1,2,3,4 และ 5 ม ค าในพ ก ด เป น 0.42,0.17,0.88,0.56 และ 0.02 ตามลาด บด งน นค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.02 ซ ง เป นค าของเม องท 5 จากน นตรวจสอบความต องการของเม อง 5 ม ค าเป น 250 ด งน นค า = = 20 จากน นมอบหมายค า =1 และ,,,,,, = 0; พบกว าจานวนส นค าท เหล อสาหร บรรจ ลงในรถบรรท กค นท 1 เหล อเพ ยง 20 ก โลเมตรเท าน นด งน นไม ม เม องใดเลยในเม องท 1-4 ไม ม เม องใดเลยม ความต องการน อยกว า 20 ก โลเมตรเลย ด งน นจ งอ พเดทค า k=k+1=1+1=2 ข นตอนท 4-6 รอบท 2 ในขณะน ม เม องท เด นทางผ านแล วค อเม องท 7,6และ 5 ย งขาดเม องท ย งไม ถ กเด น ทางผ านอ กจานวน 4 เม องได แก เม องท 1-4 K=1 ; เม องส ดท ายท เด นทางผ านค อเม องท 1 จากน นทาการตรวจสอบค าในพ ก ดของเม องท 5 พบว าเม องท 1,2,3 และ 4 ม ค าในพ ก ดเป น 0.83,0.80,0.58 และ 0.25 ตามลาด บด งน นค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.25 ซ งเป นค าของ

15 เม องท 4 จากน นตรวจสอบความต องการของเม อง 4 ม ค าเป น 170 ซ งมากกว าค า ซ งม ค า เป น 20 ด งน นไม สามารถมอบหมายล กค ารายท 2 ในเส นทางท 1 ได ด งน น K=1+1=2; และ มอบหมาย ข นตอนท 2 รอบท 2 =1 ด งน นเส นทางสาหร บรถค นท 1 เป น ) K=2 2) ขณะน เม องท เด นทางผ านไปแล วค อ 7,6 และ 5 เร มต นเด นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกค าในพ ก ดท น อยท ส ด โดยไม พ จารณา ค าในพ ก ดของเม อง 7,6 และ 5 ด งน นค าในพ ก ดของเม องท 1,2,3 และ 4 ม ค าในพ ก ดในแต ละตาแหน งเป น 0.83,0.86,0.29 และ 0.66 พบว าเม องท 4 ค อเม องท ม ค าในพ ก ดน อยท ส ด ซ งม ค าเป น ) จากน นทาการตรวจสอบค าความต องการของเม อง 3 พบว าม ความต องการ 150 ซ งม ค าน อย กว าค า ซ งม ค าเป น 500 และทาการปร บค า = =350 และมอบหมายค า =1 4) จากน นพ จารณาค าในพ ก ดของตาแหน งล กค าต างๆ ต อจากเม อง 3 จะพบว าตาแหน งเม องท 1,2 และ 4 ม ค าในพ ก ดเป น 0.84,0.87 และ 0.63 ตามลาด บ ด งน นเม องท เด นทางต อจาก เม อง 3 ค อเม องท 4 ด งน นได เส นทาง เพราะม ค าในพ ก ดน อยท ส ดค อ ) ตรวจสอบความต องการของเม อง 4 ม ค าเป น 170 ด งน นค า มอบหมายค า =1 และ,,,,, = 0; 6) ดาเน นการซ าข นตอนท 2-6 จนกระท งท กเม องถ กเด นทางผ าน ข นตอนท 2-6 รอบท 2 สาหร บ K=2 = = 180 จากน น ในขณะน ม เม องท เด นทางผ านแล วค อเม องท 7,6,5,3 และ 4 ย งขาดเม องท ย งไม ถ ก เด นทางผ านอ กจานวน 2 เม องได แก เม องท 1 และ 2 เม อ K=2 ; เม องส ดท ายท เด นทางผ าน ค อเม องท 5จากน นทาการตรวจสอบค าในพ ก ดของเม องท 5 พบว าเม องท 1,2 ม ค าในพ ก ด เป น 0.70 และ 0.24 ตามลาด บด งน นค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.24 ซ งเป นค าของเม องท 2 จากน นตรวจสอบความต องการของเม อง 2 ม ค าเป น 200 ซ งมากกว าค า ซ งม ค าเป น 180 ด งน นไม สามารถมอบหมายล กค ารายท 2 ในเส นทางท 2 ได ด งน น K=2+1=3; และ มอบหมายค า =1 ในเส นทางท 2 น ได เส นทางเป น

16 ข นตอนท 2 รอบท 3 1) K=3 2) ขณะน เม องท เด นทางผ านไปแล วค อ 3,4,5,6 และ 7 เร มต นเด นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกค าในพ ก ดท น อยท ส ด โดยไม พ จารณา ค าในพ ก ดของเม อง 3,4,5,6 และ 7 ด งน นค าในพ ก ดของเม องท 1 และ 2 ม ค าในพ ก ดในแต ละตาแหน งเป น 0.83 และ 0.86 พบว าเม องท 1 ค อเม องท ม ค าในพ ก ดน อยท ส ดซ งม ค าเป น ) จากน นทาการตรวจสอบค าความต องการของเม อง 1 พบว าม ความต องการ 100 ซ งม ค าน อย กว าค า ซ งม ค าเป น 450 และทาการปร บค า = =350 และมอบหมายค า =1 4) จากน นพ จารณาค าในพ ก ดของตาแหน งล กค าต างๆ ต อจากเม อง 1 จะพบเหล อเพ ยงตาแหน ง เด ยวท ย งไม ได เด นทางผ านค อตาแหน งของเม องท 2 และเม องท 2 ม ความต องการ 200 ก โลเมตรซ งน อยกว า ด งน นจะได เส นทางท 3 เป น ด งน นสามารสร ปเส นทางการเด นทางพร อมระยะทางของการเด นทางในแต ละเส นทางด งตาราง ท 6.4 ตารางท 6.4 เส นทางการเด นทางตามตารางการขนส งของเวคเตอร ท 1 ในตาราง 6.3 ก. เส นทางท เส นทาง ระยะทาง รวม 479 จากกระบวนการข างต นน าไปประย กต ใช ก บตารางท 6.3 ข ถ ง 6.3 ง จะได เส นทางรวมและ ระยะทางของแต ละเวคเตอร ได ด งตารางท 6.5 ก ถ ง 6.5 ค ตารางท 6.5 ก เส นทางการเด นทางตามตารางการขนส งของเวคเตอร ท 2 ในตาราง 6.3 ข เส นทางท เส นทาง ระยะทาง รวม 513

17 ตารางท 6.5 ข เส นทางการเด นทางตามตารางการขนส งของเวคเตอร ท 3 ในตาราง 6.3 ค. เส นทางท เส นทาง ระยะทาง รวม 471 ตารางท 6.5 ค เส นทางการเด นทางตามตารางการขนส งของเวคเตอร ท 4 ในตาราง 6.3 ง. เส นทางท เส นทาง ระยะทาง รวม การให รห สเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง แบบท 2 โดยปกต ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง คาตอบท ต องการค อเส นทางขนส งต างๆ ท เร มต นจาก ศ นย กระจายส นค าเด นทางไปส งส นค าแล วกล บมาท ศ นย กระจายส นค า โดยจ านวนล กค าในแต ละ เส นทางน นข นอย ก บปร มาณความต องการของล กค าแต ละรายโดยแต ละเส นทางท เด นทางไปน นจะขน ส นค าข นยานพาหนะได เท าก บความจ ของรถแต ละค น ตามท ได แสดงต วอย างให ด แล วในข นการให รห ส และถอดรห สแบบตรง เช นในตารางท 6.5 ก น นม เส นทางสามเส นทางได แก , และ ด งน นการออกแบบเวคเตอร แทนคาตอบก อาจจะไม ต องการเวคเตอร ท ม ขนาด k I J แต อาจจะทาให ม ขนาดเพ ยง 1 J ซ งสามารถแสดงได ด งตารางท 6.6 ตารางท 6.6 เวคเตอร แทนคาตอบของการให รห สเวคเตอร แบบอ อม เวคเตอร ซ งเวคเตอร ในตารางท 6.6 สามารถถอดรห สเพ อให ได คาตอบด งข นตอนต อไปน

18 6.3.4 กระบวนการถอดรห สเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง แบบท 2 ตามท ได กล าวไปแล วเบ องต นว าสมม ต ให ความต องการส นค าของล กค าแต ละรายเป น 100,200,150,170,250,140 และ 190 ช นตามลาด บ และรถแต ละค นสามารถบรรท กส นค าได 600,500, 450 และ 460 ช นตามลาด บ จะสามารถถอรห สได ด วยลาด บข นตอนต อไปน ข นตอนในการถอดรห ส 1) สมม ต ให เวคเตอร ขนาด 1 I เป นเวคเตอร Ω 2) ต งค า K=1 3) เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าในพ ก ดใน เวคเตอร Ω ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P 4) ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า P ว าเก นจานวนส นค าท สามารถบรรจ ในรถค นท K ได หร อไม หากสามารถบรรจ ได ทาการเปล ยนค า =1 จากน นดาเน นการข นตอนท 3 และ อ พเดทค าความจ ของรถค นท K โดยท 5) หาตาแหน งล กค าท ม ค าในพ ก ดท น อยท ส ดถ ดจากตาแหน ง P สมม ต ให เป นตาแหน ง T 6) ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า T หากม ค าน อยกว า เปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า และเปล ยนค า =0 เม อ h ค อล กค ารายอ น ๆท ไม ใช T และทาซ าข นตอนท 5-6 หากค าความต องการของล กค า T มากกว า ให อ พเดทค า K=K+1 และทาการมอบหมาย และทาซ าข นตอนท 3-6 จากข นตอนข างต นสามารถดาเน นการได ด งน ข นตอนท 1. สมม ต ให เวคเตอร ขนาด 1 I เป นเวคเตอร Ω จากตาราง 6.6 ด งน น เวคเตอร Ω ={0.83,0.86,0.29,0.66,0.66,0.82,0.13} ข นตอนท 2. ต งค า K=1 ข นตอนท 3. เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าในพ ก ด ในเวคเตอร Ω ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P ค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.13 ซ งเป นตาแหน งของเม องท 7 ด งน น P=7

19 ข นตอนท 4. ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 7 ว าเก นจานวนส นค าท สามารถบรรจ ในรถค นท 1 ได หร อไม หากสามารถบรรจ ได ทาการเปล ยนค า =1 จากน นดาเน นการข นตอนท 3 และ อ พเดทค าความจ ของรถค นท K โดยท ค าความต องการส นค าของล กค ารายท 7 ม ค าเป น 190 และค า ล กค ารายท 7 ได ด งน นค า ม ค าเป น 600 ด งน นจ งสามารถน าส นค าส งจากศ นย กระจายส นค าไปให =1 และทาการอ พเดทค า ข นตอนท 5. หาตาแหน งล กค าท ม ค าในพ ก ดท น อยท ส ดถ ดจากตาแหน ง P สมม ต ให เป นตาแหน ง T ค าในพ ก ดท น อยเป นลาด บถ ดไปของเวคเตอร Ω ค อ 0.29 ซ งเป นค าของล กค ารายท 3 ด งน นค า T=3 ข นตอนท 6. ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า T หากม ค าน อยกว า เปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า และเปล ยนค า =0 เม อ h ค อล กค ารายอ น ๆท ไม ใช T แต หากค าความต องการของล กค า T มากกว า ให อ พเดทค า K=K+1 และทาการมอบหมาย ค าความต องการของล กค ารายท 3 ค อ 150 ทาการอ พเดทค า ด งน นมอบหมายค า =1 และค า,,, =0 ดาเน นการซ า ข นตอนท 5-6 จนกระท งล กค าท กรายถ กเด นทางผ านด วยรถ 1 คร ง ดาเน นการซ าข นตอนท 5-6 รอบท 1 ข นตอนท 5 เม องส ดท ายท เด นทางบนเส นทาง ค อเม องท 3 และป จจ บ นเหล อ ด งน นพ จารณาค าในพ ก ดใน Ω ท ไม น บรวมค าในพ ก ดของเม องท 7 และ 3 พบว าค าในพ ก ดท น อยท ส ดลาด บถ ดไปค อ 0.66 แต ม ค าเท าก น 2 เม องค อเม องท 4 และ 5 ด งน นเล อกเด นทาง จากเม องท 3 ไปเม องท 4 หร อ 5 ก ได สมม ต ว าเล อกเด นทางจากเม องท 3 ไปเม องท 5 ด งน น T=5 ข นตอนท 6 ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 5 พบว าม ความต องการ 250 ซ งม ค าน อยกว า ป จจ บ นซ งม ค าเท าก บ 260 ด งน นจ งทาการเปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า =10 และเปล ยนค า,,, =0

20 ดาเน นการซ าข นตอนท 5-6 รอบท 2 ข นตอนท 5 เม องส ดท ายท เด นทางบนเส นทาง ค อเม องท 5 และป จจ บ นเหล อ ด งน นพ จารณาค าในพ ก ดใน Ω ท ไม น บรวมค าในพ ก ดของเม องท 7,3 และ 5 พบว าค าในพ ก ด ท น อยท ส ดลาด บถ ดไปค อ 0.66 ซ งเป นค าในพ ก ดของเม องท 4 ด งน นเล อกเด นทางจากเม อง ท 5 ไปเม องท 4 ด งน น T=4 ข นตอนท 6 ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 4 พบว าม ความต องการ 170 ซ งม ค ามากกว า ป จจ บ นซ งม ค าเท าก บ 10 ด งน นจ งท าการเปล ยนค า =1 จากน นท าการอ พเดทค า k=1+1=2 และเร มต นข นตอนท 3-6 โดยเส นทางของเส นทางท 1 ค อ ข นตอนท 3-6 รอบท 2 เม อ k=2; ข นตอนท 3. เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าใน พ ก ดในเวคเตอร Ω ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P ป จจ บ นค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.66 ซ งเป นค าในพ ก ดของเม อง 4 (ไม พ จารณาค าในพ ก ดของ เม องท เด นทางผ านโดยรถค นท 1 แล ว ค อเม องท 7,3 และ 5 ด งน น P=4 ข นตอนท 4. ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 4 พบว าค าความต องการส นค าของล กค ารายท 7 ม ค าเป น 170 และค า ม ค าเป น 500 ด งน นจ งสามารถน าส นค าส งจากศ นย กระจายส นค าไป ให ล กค ารายท 4 ได ด งน นค า =1 และทาการอ พเดทค า ข นตอนท 5 ค าในพ ก ดท น อยเป นลาด บถ ดไปของเวคเตอร Ω ค อ 0.82 ซ งเป นค าของล กค ารายท 6 ด งน นค า T=6 ข นตอนท 6. ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 6 พบว าม ค าเป น 140 ซ งม ค าน อยกว า 330 ( ด งน นทาการ เปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า เปล ยนค า =190 และ,,, =0 ดาเน นการซ า ข นตอนท 5-6 จนกระท งล กค าท ก รายถ กเด นทางผ านด วยรถ 1 คร ง ป จจ บ นได เส นทาง สาหร บ k=2;

21 ดาเน นการซ าข นตอนท 5-6 รอบท 1 k=2; ข นตอนท 5 เม องส ดท ายท เด นทางบนเส นทาง ค อเม องท 6 และป จจ บ นเหล อ ด งน นพ จารณาค าในพ ก ดใน Ω ท ไม น บรวมค าในพ ก ดของเม องท 7,3,5,4 และ 6 พบว าค าใน พ ก ดท น อยท ส ดลาด บถ ดไปค อ 0.83 ซ งเป นพ ก ดของเม องท 1 ด งน นเล อกเด นทางจากเม องท 6 ไปเม องท 1 ด งน น T=1 ข นตอนท 6 ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 1 พบว าม ความต องการ 100 ซ งม ค าน อยกว า ป จจ บ นซ งม ค าเท าก บ 190 ด งน นจ งทาการเปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า =90 และเปล ยนค า,,, =0 ดาเน นการซ าข นตอนท 5-6 รอบท 2 ข นตอนท 5 เม องส ดท ายท เด นทางบนเส นทาง ค อเม องท 1 และป จจ บ นเหล อ ด งน นพ จารณาค าในพ ก ดใน Ω ท ไม น บรวมค าในพ ก ดของเม องท 7,3,5,4,6 และ 1 พบว าค า ในพ ก ดท น อยท ส ดลาด บถ ดไปค อ 0.86 ซ งเป นค าในพ ก ดของเม องท 2 ด งน นเล อกเด นทาง จากเม องท 2 ไปเม องท 2 ด งน น T=2 ข นตอนท 6 ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 2 พบว าม ความต องการ 200 ซ งม ค ามากกว า ป จจ บ นซ งม ค าเท าก บ 90 ด งน นจ งทาการเปล ยนค า =1 จากน นทาการอ พเดทค า k=2+1=3 และเร มต นข นตอนท 3-6 รอบท 3 โดยท เส นทางของเส นทางท 2 ค อ ข นตอนท 3-6 รอบท 3 เม อ k=3 ข นตอนท 3. เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าใน พ ก ดในเวคเตอร Ω ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P ป จจ บ นค าพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.86 ซ งเป นค าในพ ก ดของเม อง 2 (ไม พ จารณาค าในพ ก ดของ เม องท เด นทางผ านโดยรถค นท 1 แล ว ค อเม องท 7,3,5,4,6 และ 1 ด งน น P=2