1 347/ MEI 014 MAJLIS PENGETUA SEKOLAH MALAYSIA NEGERI KEDAH DARUL AMAN MODUL PENINGKATAN PRESTASI TINGKATAN LIMA 014 MATEMATIK TAMBAHAN KERTAS MODUL 1 1 jam 347/ Dua jam tiga puluh minit JANGAN BUKA KERTAS SOALAN INI SEHINGGA DIBERITAHU 1. This question paper consists of three sections : Section A, Section B and Section C.. Answer all questions in Section A, four questions from Section B and two questions from Section C. 3. Give only one answer/solution to each question. 4. Show your working. It may help you to get your marks. 5. The diagrams provided are not drawn according to scale unless stated. 6. The marks allocated for each question and sub - part of a question are shown in brackets. 7. You may use a non-programmable scientific calculator.. A list of formulae is provided in page and 3. This question paper consists of 16 printed pages. 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
347/ MEI 014 The following formulae may be helpful in answering the questions. The symbols given are the ones commonly used. ALGEBRA b b 4ac log c b 1.. log a b a log c a m n m n. a a a 9. T n a ( n 1) d m n m n 3. a a a n 10. S n [ a ( n 1) d ] m n mn 4. ( a ) a n 1 11. T n ar 5. log a mn log a m log a n n a ( r 1) a (1 1. S n r 1 1 m 6. log a log a m log a n n 13. a S, r < 1 1 r n 7. log m nlog m a a CALCULUS r r n ), r 1 1. y = uv, dy d dv u d du v d 4 Area under a curve = b a y d or du dv v u u dy. y =, d d v d v 3. dy d dy du du d = b dy a 5. Volume of revolution = b y d or a = b dy a GEOMETRY 1. Distance = ( 1 ) ( y y1 ). Mid point (, y ) = 1 y, 1 y 3. Division of line segment by a point n (, y ) = 1 m ny my, 1 m n m n 4. Area of triangle = 1 ( ) ( ) 1 3 3 1 1 3 1 3 y y y y y y 5. r 6. rˆ y i yj y 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
3 347/ MEI 014 STATISTICS 1. Wi Ii 7 I N Wi. f n n! P r f ( n r )! 3. ( ) = n n! 9 C r N N ( n r )! r! 4. f ( ) f 10 P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) = f f n r n r 11 P ( X = r ) = C r p q, p + q = 1 N F 5. m = L + C fm 13 npq 6. Q 1 X I 100 14 Z = Q 0 TRIGONOMETRY 1. Arc length, s = r. sin ( A B ) = sin A cos B cos A sin B 1. Area of sector, A = 9. cos ( A B ) = cos A cos B sin A sin B r 3. sin ² A + cos² A = 1 tan A tan B 10 tan ( A B ) = 1 tan A tan B 4. sec ² A = 1 + tan ² A tan A 11 tan A = 1 tan A 5. cosec ² A = 1 + cot ² A a b c 1 sin A sin B sin C 6. sin A = sin A cos A 13 a² = b² + c² bc cos A 7. cos A = cos ² A sin ² A = cos ² A 1 14 Area of triangle = 1 sin ab C = 1 sin ² A 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
4 347/ MEI 014 Section A Bahagian A [ 40 marks ] [ 40 markah ] Answer all questions. Jawab semua soalan. 1 Solve the simultaneous equations y 4 and Selesaikan persamaan serentak y 4 dan y 10. y 10. [5 marks] [5 markah] (a) Given that g : 4 and gf ( ) 6 5. Find the function of f( ) (b) Given that k : 3 4, find the value of (i) k 1 (5) [3 marks] (ii) p if k 1 ( p) [3 marks] (a) Diberi bahawa g : 4 dan gf ( ) 6 5. Cari fungsi f( ). [3 markah] (b) Diberi bahawa k : 3 4, cari nilai bagi (i) k 1 (5) (ii) p jika k 1 ( p). [3 markah] 3 (a) The quadratic function can be epressed in the form of f ( ) 10 1 ( ), find the value of m and n. [ marks] y m n (b) If and are the roots of quadratic equation with roots 3 and 3. 9 0, form the equation [4 marks] (a) Persamaan kuadratik boleh dinyatakan dalam bentuk f ( ) 10 1 ( ), cari nilai m dan n. y m n [ markah] (b) Jika and adalah punca-punca bagi persamaan kuadratik 9 0, terbitkan satu persamaan kuadratik yang mempunyai punca-punca 3 dan 3. [4 markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
5 347/ MEI 014 4 B R Q O Diagram 4 / Rajah 4 C In Diagram 4, point Q lies on the straight line OR such that OQ : QR 3:. Point Q also is the midpoint of the straight line BC. Given that OC 6, CR 3y and OB 4y. (a) Epress in terms of and y (i) OR, (ii) QR, (iii) BR. (b) Hence, determine whether BR is parallel to OC. [6 marks] [ marks] Dalam Rajah 4, titik Q terletak pada garis OR dengan keadaan OQ : QR 3:. Titik Q juga adalah titik tengah bagi garis lurus BC. Diberi bahawa OC 6, CR 3y dan OB 4y (a) Ungkapan dalam sebutan dan y, (i) OR, (ii) QR, (iii) BR. (b) Seterusnya, tentukan samada BR adalah selari dengan OC. [6 markah] [ markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
347/ MEI 014 5 (a) A set of eight numbers, 1,, 3,..., has a mean of 5 and variance of 9. Find (i) (ii), 6 [3 marks] (b) If each of the numbers is multiplied by 3 and then increased by 5, find the new value for the (i) mean, (ii) standard deviation. [4 marks] (a) Suatu set yang terdiri daripada lapan nombor, 1,, 3,..., mempunyai min 5 dan varians 9. Cari (i), (ii) [3 markah] (b) Jika setiap nombor didarab dengan 3 dan ditambah dengan 5, cari nilai yang baru untuk (i) min, (ii) sisihan piawai. [4 markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
7 347/ MEI 014 6 B E G I A D F H O Diagram 6 / Rajah 6 Diagram 6 shows part of the arrangement of an infinite series of right angle triangles. It is given OA = OB, OD = OE, OF = OG, OH = OI and so on. The length of OA is p cm. D is the midpoint of AO, F is the midpoint of DO, H is the midpoint of FO and so on. (a) Show that the areas of the triangle AOB, DOE, FOG,... form a geometric progression and hence, state the common ratio of the progression. (b) Given OA 0 cm, (i) determine which triangle has an area of 5 1 cm, (ii) find the sum to infinity of the areas, in cm, of the triangles. [3 marks] [5 marks] Rajah 6 menunjukkan sebahagian daripada susunan tak terhingga bagi siri segitiga tepat. Diberi OA = OB, OD = OE, OF = OG, OH = OI dan seterusnya. Panjang OA ialah p cm. D ialah titik tengah bagi AO, F ialah titik tengah bagi DO, H ialah titik tengah bagi FO dan seterusnya. (a) Tunjukkan luas bagi segitiga tepat AOB, DOE, FOG,...membentuk satu janjang geometri dan seterusnya, nyatakan nisbah sepunya bagi janjang ini. (b) Diberi OA 0 cm, (i) tentukan segitiga yang keberapa mempunyai luas 5 1 cm. (ii) cari hasil tambah hingga tak terhinggaan, dalam cm, bagi siri segitiga itu. [3 markah] [5 markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
347/ MEI 014 7 Use graph paper to answer this question. Section B Bahagian B [ 40 marks ] [ 40 markah ] Answer four questions from this section. Jawab empat soalan daripada bahagian ini. Gunakan kertas graf untuk menjawab soalan ini. 1 3 4 5 6 y 94 4 1 5 76 07 11 9 15 1 Table 7 / Jadual 7 Table 7 shows the values of two variables, and y, obtained from an eperiment. Variables and y are related by the equation y hk, where h and k are constants. (a) Plot log10 y against, using a scale of cm to 1 unit on the ais and cm to 01 unit on the log10 y ais. Hence, draw the line of best fit. (b) Use your graph in 7 (a) to find the value of (i) h, (ii) k, (iii) y when = 35. [4 marks] [6 marks] Jadual 7 menunjukkan nilai-nilai bagi dua pembolehubah, dan y, yang diperoleh daripada satu eksperimen. Pembolehubah dan y dihubungkan oleh persamaan y hk (a) Plot log10, dengan keadaan h dan k ialah pemalar. y melawan, dengan menggunakan skala cm kepada 1 unit pada paksi dan cm kepada 01 unit pada paksi log10 y. Seterusnya, lukis garis lurus penyuaian terbaik. [4 markah] (b) Gunakan graf di 7(a) untuk mencari nilai (i) h, (ii) k, (iii) y apabila = 3 5. [6 markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
9 347/ MEI 014 A O D E F B Diagram / Rajah C Diagram shows a sector OEF with centre O and radius 6 cm. ABCD is a rectangle and the straight line BC is a tangent to the curve EF. It is given that AD cm. [ Use 3 14 ] Calculate (a) the value of, in radians, (b) the perimeter, in cm, of the shaded region, [ marks] [4 marks] (c) the area, in cm of the shaded region. [4 marks] Rajah menunjukkan sebuah sektor OEF dengan pusat O dan jejari 6 cm. ABCD adalah sebuah segi empat tepat dan garis lurus BC adalah tangen kepada lengkung EF. Diberi AD cm. [ Guna 3 14 ] Hitung (a) nilai bagi, dalam radian, (b) perimeter, dalam cm, kawasan berlorek, (c) luas, dalam cm, kawasan berlorek. [ markah] [4 markah] [4 markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
10 347/ MEI 014 9 y y = y = + Q P A B O Diagram 9/Rajah 9 Diagram 9 shows the straight line y = + intersecting the curve y = P and Q. at the points Find (a) the coordinates of P and Q, [3 marks] (b) the area of the shaded region A, [4 marks] (c) the volume generated, in terms of π, when the shaded region B is revolved through 360 o about the -ais. [3 marks] Rajah 9 menunjukkan garis lurus y = + yang menyilang lengkung y = titik P dan Q. Cari (a) koordinat P dan Q, [3 markah] (b) luas rantau berlorek A, [4 markah] (c) pada isipadu janaan, dalam sebutan π, apabila rantau berlorek B dikisarkan melalui 360 o pada paksi-. [3 markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
11 347/ MEI 014 10 Solution by scale drawing is not accepted. Penyelesaian secara lukisan berskala tidak diterima. y Q T (0, ) Diagram 10 / Rajah 10 S 0 R Diagram 10 shows a triangle QRS. The straight line RS is perpendicular to the straight line QS. Point S lies on the -ais and point R lies on the y-ais. The equation of y straight RS is 1. 4 (a) Find (i) the coordinates of S, [1 mark ] (ii) the equation of the straight line QS. [ marks] (b) Given that ST : TQ = : 1, find the coordinates of Q, [ marks] (c) Calculate the area of triangle QRS, [ marks] (d) Point P(,y) moves such that its distance from S is always twice its distance from R. Find the equation of locus P. [3 marks] Rajah 10 menunjukkan sebuah segi tiga QRS. Garis RS adalah berserenjang dengan garis QS. Titik S terletak pada paksi- dan titik R terletak pada paksi-y. Persamaan y garislurus RS adalah 1. 4 (a) Cari (i) koordinat S, [1 markah] (ii) persamaan garis lurus QS. [ markah] (b) Diberi ST : TQ = : 1, cari koordinat Q, [ markah] (c) Hitung luas segi tiga QRS, [ markah] (d) Titik P(, y) bergerak dengan keadaan jaraknya dari S adalah sentiasa dua kali jaraknya dari R. Cari persamaan lokus bagi P. [3 markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
1 347/ MEI 014 Section C Bahagian C [ 0 marks ] [ 0 markah ] Answer any two questions from this section. Jawab mana-mana dua soalan daripada bahagian ini. 11 Diagram 11 shows a quadrilateral PQRS, QS = cm, QR = 9 cm, SP = 1 cm, PQS 106, SQR 39 P 1 cm SS cm 106 Q 39 9 cm R R Diagram 11/Rajah 11 (a) Calculate (i) the angle of QSP [3 marks] (ii) area of triangle QSP [ marks] (iii) the length, in cm, of RS [ marks] (b) Given S lies on the straight-line SQ which further epanded, and S P = SP (i) sketch triangle SPS [1 mark] (ii) find the length of QS [ marks] Rajah 11 menunjukkan sebuah sisiempat PQRS. QS = cm, QR = 9 cm, SP = 1 cm, PQS 106, SQR 39 (a) Hitungkan (i) sudut QPS [3 markah] (ii) luas bagi segitiga PQS [ markah] (iii) panjang, dalam cm, RS [ markah] ( b) Diberi bahawa titik S berada di atas garis lurus SQ yang diperpanjangkan dan S P = SP (i) lakar kan segitiga SPS [1 markah ] (ii) cari panjang QS [ markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
13 347/ MEI 014 1 Table 1 shows the price indices of three types of fuel for the year 010 based on the year 00. The pie chart represents the proportion of the fuel used in a factory FUEL BAHAN API Year 010 based on the year Price indes for the year 00 Indeks harga pada tahun 010 berasaskan tahun 00 A 135 B 10 C 105 Table 1 / Jadual 1 A 7 % C B 46 % (a) If the factory spends RM6 000 per week for fuel A in the year 010, find the corresponding ependiture for fuel A in the year 00. [ marks] (b) Calculate the composite inde for fuel ependiture of the factory in the year 010 based on the year 00. [3 marks] (c) The fuel ependiture of the factory is RM30 000 per week in the year 00. Calculate its corresponding ependiture in the year 010. [ marks] (d) The price of fuel A remains unchanged, while the price of fuel B increases 35%, the price of fuel C increases 30% from 010 to the year 013. Calculate the composite inde for the fuel ependiture of the factory in the year 013 based on the year 00. [3 marks] Jadual 1 menunjukkan indeks harga bagi tiga jenis bahan api pada tahun 010 berasaskan tahun 00. Carta pai mewakili pembahagian bahan api itu yang digunakan di sebuah kilang. (a) Jika kilang itu membelanjakan RM6 000 seminggu untuk bahan api A pada tahun 010, cari perbelanjaan yang sepadan untuk bahan api A pada tahun 00. [ markah] (b) Hitungkan indeks gubahan bagi perbelanjaan bahan api kilang itu pada tahun 010 berasaskan tahun 00. [3 markah] (c) Perbelanjaan bahan api bagi kilang itu pada tahun 00 ialah RM 30 000 seminggu. Hitungkan perbelanjaan bahanapi yang sepadan pada tahun 010. [ markah] (d) Harga bahan api A tidak berubah, manakala harga bahan api B meningkat 35%, harga bahan api C meningkat 30% dari tahun 010 ke tahun 013. Hitungkan indeks gubahan bagi perbelanjaan bahan api kilang itu pada tahun 013 berasaskan tahun 00. [3 markah] 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
14 347/ MEI 014 13 A hardware store wants to load boes of nail and y boes of screw into a lorry to be delivered to a project site. The constraints that the hardware store has are as follows: I The lorry cannot carry more than 60 boes. II The number of boes of nail must not eceed twice the number of boes of screw. III At least 15 boes of nail are delivered. (a) Write down three inequalities, other than and, that satisfy the above constraints. [3 marks] (b) Using scale of cm to 10 boes for both aes, construct and shade the region R satisfy all the constraints. [3 marks] (c) Using the graph constructed in (b), find (i) The maimum numbers of screw boes that can be delivered if the lorry has 35 boes of nail. (ii) The maimum profit of the hardware store if the profit from the sale of every bo of nail and screw are RM30 and RM35 respectively. [4 marks] Sebuah kedai ingin memuatkan kotak paku dan y kotak skrew ke sebuah lori untuk dihantar ke suatu tapak projek. Kekangan kedai itu adalah seperti berikut. I Lori itu tidak boleh membawa lebih daripada 60 kotak. II Bilangan kotak paku hendaklah tidak melebihi dua kali bilangan kotak skrew. III Sekurang-kurangnya 15 kotak paku dihantar. (a) Tulis tiga ketaksamaan, selain daripada dan, yang memenuhi kekangan di atas. [3 markah] (b)dengan menggunakan skala cm kepada 10 kotak pada kedua-dua paksi, bina dan lorek rantau R yang memenuhi semua kekangan. [3 markah] (c) Guna graf yang dibina di (b), cari (i) Bilangan maksimum kotak skrew yang boleh dihantar jika lori itu telah dimuatkan dengan 35 kotak paku. (ii) Keuntungan maksimum kedai itu jika keuntungan daripada jualan setiap kotak paku dan kotak skrew masing-masing RM30 dan RM35. [4 markah] END OF QUESTION PAPER KERTAS SOALAN TAMAT 347/ Additional Mathematics Paper [Lihat halaman sebelah Modul 1 014 Hak Cipta Terpelihara MPSM (Cawangan Kedah)
Nama Pelajar : 347/ Additional Mathematics Tingkatan 5 :. Mei 014 PROGRAM PENINGKATAN PRESTASI AKADEMIK SPM 014 MODUL 1 ADDITIONAL MATHEMATICS Paper. MARKING SCHEME 1
MARKING SCHEME ADDITIONAL MATHEMATICS PAPER N0. SOLUTION MARKS 1 y 4 or y 4 P1 ( y 4) y 10 ( 4) 10 y y 6 0 6 0 ( y1)( y 3) 0 ( 3)( 1) 0 1 and 3 (both) y 3 and y 1 (both Eliminate /y Solve quadratic equation (a) g f [ ( )] 6 5 [ f ( )] 4 6 5 [ f ( )] ( 3) f ( ) 3 (find composite function) 5 (b) (i) (ii) k k 1 1 k 4 ( ) 3 5 4 (5) 3 3 1 p 4 ( p) 3 p (find inverse function) 3 (a) (b) f ( ) 10 1 9 0 ( 5) 13 9 4 sor 3 3 por 9 9 3 9(4) 7 36 P1 P1 P1 7 6
4 (a) (i) (ii) OR OC CR 63y QR OR 5 (6 3 y ) 5 1 6 y 5 5 (iii) BR BQ QR 6 y (b) BR hoc cannot find h. not parallel find h 5 (a) (i) 5 40 P1 (ii) 9 5 7 (b) new mean 3(5) 5 0 new standard deviation 3(3) 9 7 3
6 (a) 1 1 1 p, p, p,... 3 1 1 p p 3 1 1 p p 1 r 4 (b) (i) 1 n 1 5 300( ) 4 1 n (ii) 300 S 1 1 4 466 3 4
7 (a) 1 3 4 5 6 (b) log10 y 0.47 0.61 0.76 0.91 1.05 1.0 log10 y 6 correct values of log y Plot log10 y vs. Correct aes & uniform scale 0.3 0 6 points plotted correctly Line of best-fit (c) (i) log y log k log h log10 10 10 10 h = 1.40 k = *gradient P1 (ii) log10 h = *y-intercept h =.09 (iii) y = 6.76 10 5
N0. SOLUTION MARKS (a) 1 4 sin 6 = 1.46 rad (b) S 6(1.46) EF Use s r =.76 cm Perimeter =.76 + (6) + (6) + () = 4.76 cm (c) Area of sector OEF = 1 (6) (1.46) =6. Area of rectangle = 4 Area of the shaded region = 4 6. = 1.7 cm 10 6
N0. SOLUTION MARKS 9 (a), 4 P (, 4 ), Q ( 4,16 ) for solving quad.eqn. (b) A = 4 ( ) d use ( y y1 ) d = = = 36 3 3 4 3 3 (4) ( ) (4) (4) ( ) ( ) 3 3 Note : If use area of trapezium and y d, give marks accordingly. integrate correctly Sub. the limit correctly (c) V = 4 ( ) 0 d correct limit = 5 5 4 0 integrate correctly = 4 04 5 or 04.π 10 7
N0. SOLUTION MARKS 10 (a) (i) ( 4, 0 ) (ii) m y (b) 4 y0 0 or 3 3 (,1 ) (c) 1 4 0 Area of = 1 0 1 1 4 4 = = 30 unit use area formula correctly (d) PS PR P1 ( 4) y ( y ) 3 3y 16y 0 10
9 N0. SOLUTION MARKS 11 34.15 39.546 106 10 39.5 39.546 1 sin106 sin ) QSP QPS QPS i 34.15 sin 1 1 ) cm PQS Luas ii 6.95 5.75 cm cos 39 9 9 ) ( ) RS RS iii b)i) ii) o o Sin Sin QS 74 1 71.5 ' QS = 11.6 cm 10 P S Q S
N0. SOLUTION MARKS 1 100 a)perbelanjaan bahanapi A tahun 010 6000 135 RM 4444.44 7+46+7 can be seen 135(7) 10(46) 105(7) b) Indeks gubahan 100 P1 10 c) 10 Perbelanjaan bahanapi 010 30 000 100 36 000 d) Indeks harga bahan api 013 I A 135 135 I B 10 16 100 130 IC 105 136.5 100 Indeks gubahan pada tahun 013 berasaskan tahun 00 135(7) 16(46) 136.5(7) 100 147.3 P1 (I A =135 OR I B = 16 OR I C =136.5) 10 10
N0. SOLUTION MARKS 13 a) Tiga ketaksamaan : i. ii. iii. y y 15 60 At least one straight line is drawn correctly from inequalities involving and y. All the three straight lines are drawn correctly. Region is correctly shaded. y = 15 (15, 45) 5 y = 17 + y = 60 c) i.) Bilangan maksimum skrew 5 kotak (ii) Titik maksimum (15,45) Keuntungan maksimum; 30 35y k 30(15) 35 (45) k k RM 05 P1 10 END OF MARKING SCHEME 11