MOMI nastavitvena metoda za filtriran PID regulator

Elektrotehniški vestnik 691: 5 59, Electrotechnical Review, Ljubljana, Slovenija MOMI nastavitvena metoda za filtriran PID regulator Damir Vrančić, Stanko Strmčnik, D- ani Juričić Institut Jožef Stefan, Jamova 9, 1 Ljubljana, Slovenija E-pošta: damir.vrancic@ijs.si Povzetek. V prispevku obravnavamo nastavljanje parametrov filtriranega PID regulatorja z uporabo principa amplitudne optimalnosti in večkratnega integriranja odziva procesa. Opisani postopek prikaže, kako zadostimo kriteriju, podanemu v frekvenčnem prostoru s pomočjo ustrezne parametrizacije moa procesa v časovnem prostoru. Tovrstna parametrizacija hkrati tudi znatno poenostavi izračun parametrov regulatorja zaradi manjšega števila ocenjenih parametrov procesa. Ključne besede: PID regulator, momentna metoda, amplitudni optimum, nastavljanje regulatorjev MOMI tuning method for filtered PID controller Extended abstract. The Ziegler-Nichols tuning rules 18 were the very first tuning rules for PID controllers, and it is perhaps surprising that they are still wiy used today. Their popularity lies in their simplicity and relative efficiency. Following the work of Ziegler and Nichols, a variety of PID tuning methods have been developed 1,511. Most of them, however, result in better tuning for a larger class of process mos, but require more complicated experiments on the process and extensive computations. One such method is magnitude optimum MO 7. A typical open-loop frequency response, when applying the MO criterion, is shown in Fig. 1. The MO method results in a very good closed-loop response for a large class of process mos frequently met in process and chemical industries 1,14,16. However, the method is very demanding since it requires reliable estimation of quite a large number of process parameters even when using relatively simple controller structures like a PID controller. This is one of the main reasons why the method is not frequently used in practice. Recently, the efficiency of the MO method has been improved by using acquired non-parametric process data in the time-domain instead of using explicit parametric identification of the process 15-17. The proposed approach resulted in a relatively simple experiment in the time-domain while retaining all of the properties of the MO method. Since the method was based on a multiple integration of the process time response, it was called the Magnitude-Optimum-Multiple-Integration MOMI method. However, the tuning formulas were given for the textbook-type of PID controller without a derivative filter. Since all realisable PID controllers include a derivative filter see Fig., it is reasonable to develop the MOMI method for this case as well. The final tuning formula is given by expression, which uses only five integrals obtained from the process step-response see expressions 16 and 17 instead of 1 process parameters given by the rational transfer function 6. The modified tuning formula, where the ratio N between the derivative time constant T d = K d /K and the filter time constant T f is used instead of T f, is given as well by fixing the ratio N, T f can be calculated by using expression 4. The tuning procedure is illustrated in section 4, where the filtered PID controller parameters were calculated for the thirdorder process mo with time-ay 5 at three different val- Prejet 4. avgust, Odobren 15. marec, 1 ues of derivative filter. By comparing Figures and 4, it can be seen that the proposed tuning method efficiently takes into account the filter time constant in the control design stage. Key words: PID controllers, moment method, magnitude optimum, controller tuning 1 Uvod PID regulatorji spadajo med pogosteje uporabljane regulatorje v procesni in kemični industriji. Po nekaterih virih je v procesni industriji več kot 95 odstotkov regulacijskih zank PID tipa. Po drugi strani pa več kot odstotkov tovrstnih ragulacijskih zank uje v ročnem režimu, odstotkov regulatorjev uporablja parametre, ki jih je nastavil proizvajalec, odstotkov zank pa slabo uje zaradi težav zaradi senzorjev in aktuatorjev 4. Samo odstotkov regulacijskih zank uje dobro. Potemtakem je razumljivo, da bi lahko z ustrezno nastavljenimi parametri regulatorjev izboljšali ovanje številnih zank. Ziegler-Nicholosova nastavitvena pravila 18 so bila prva nastavitvena pravila za PID regulatorje, vendar pa se še danes precej uporabljajo. Razlog za to sta najverjetneje njihova enostavnost in relativna učinkovitost. Pozneje so bile razvite številne druge nastavitvene metode in postopki 1,5, ki so učinkoviteje uglasili parametre regulatorja, vendar pa na račun bolj zapletenih poskusov na procesu in dolgotrajnejših izračunov. Ena tovrstnih nastavitvenih metod je amplitudni optimum AO 7. V tuji literaturi magnitude optimum. Podobna nastavitvena metoda je tudi simetrični optimum symmetrical optimum glej 1.

MOMI nastavitvena metoda za filtriran PID regulator 5 Prednost metode AO je v tem, da daje dobre zaprtozančne odzive za širok spekter procesov, ki jih pogosto srečamo v procesni in kemični industriji 1,16. Vendar pa je sama metoda zelo zahtevna, kajti tu moramo zanesljivo identificirati precejšnje število parametrov procesa tudi pri nastavljanju parametrov relativno preprostih regulatorjev kot je npr. PID regulator. Pred kratkim smo izboljšali uporabnost metode AO z neposredno uporabo časovnega odziva procesa namesto parametrične identifikacije 15-17. Predlagana modifikacija metode namreč omogoča izvedbo precej preprostejšega poiskusa na procesu v časovnem prostoru, izračun parametrov regulatorja pa se prav tako močno poenostavi. Ker modifikacija metode AO uporablja večkratno integracijo časovnega odziva procesa, je bila poimenovana metoda amplitudnega optimuma z uporabo večkratne integracije v tuji literaturi Magnitude- Optimum-Multiple-Integration MOMI metoda. Vendar pa so bila nastavitvena pravila podana le za šolski primer PID regulatorja brez filtra na diferencirnem členu. Ker pa vsi PID regulatorji v praksi vsebujejo filter, je seveda primerno podati postopek nastavljanja parametrov tudi za tovrstni PID regulator. Namen tega prispevka je tako podati postopek nastavljanja parametrov PID regulatorja s filtrom na diferencirnem členu v nadaljnjem besedilu: filtriran PID regulator, ki temelji na MOMI nastavitvenem postopku. Prispevek je sestavljen iz petih poglavij. V drugem poglavju je opisan kriterij amplitudne optimalnosti. Tretje poglavje podaja postopek izračuna parametrov filtriranega PID regulatorja na podlagi nastavitvenega postopka MOMI. Primer izračuna parametrov na primeru moa procesa tretjega reda z zakasnitvijo je opisan v četrtem poglavju, v petem pa je podanih nekaj sklepnih misli. Kriterij amplitudne optimalnosti Ena napomembnejših regulacijskih zahtev pri načrtovanju vodenja je vsekakor ta, da izhod iz sistema sledi referenci. Z drugimi besedami lahko rečemo, da mora imeti idealen zaprtozančni sistem v frekvenčnem področju neskončno pasovno širino brez faznega zaostanka. Tega pa v praksi ni mogoče doseči, kajti vsak sistem vsebuje nekaj čiste zakasnitve in/ali dinamike, ojačenje regulatorja pa je omejeno zaradi fizičnih omejitev. Ker dinamike sistema ne moremo zanemariti, je treba spremeniti regulacijsko zahtevo. Ena od mogočih zahtev je tako doseči čim bolj konstantno zaprtozančno ojačenje sistema v čim širšem frekvenčnem pasu za izbran proces in strukturo regulatorja 11. Z drugimi besedami, poiskati je treba takšne parametre regulatorja, da bo Kriterij AO ni primeren za nekatere procese z močnimi ničlami in kompleksnimi poli, kajti v the primerih lahko dobimo nestabilne zaprtozančne odzive 14. ojačenje prenosne funkcije od reference do izhoda iz procesa čim bliže vrednosti ena pri nižjih frekvencah. Tovrstni kriterij amplitudne optimalnosti, ki ga v tuji literaturi označujejo kot magnitude optimum 11, modulus optimum ali Betragsoptimum 7,8, dosega hitre in neoscilatorne zaprtozančne časovne odzive za širok spekter moov procesov 1,16. Če je G CL s zaprtozančna prenosna funkcija od reference do izhoda iz procesa, moramo izbrati takšen regulator, da bo d r G CL jω dω r G CL = 1 1 =; r =1,,,r max ω= pri čim večjem številu r jev. Enačbi 1 lahko preprosto zadostimo tako, da uporabimo regulator, ki vsebuje integrirni člen en pol v izhodišču. Enačbi je teže zadostiti, kar pa bo podrobneje pojasnjeno v naslednjem poglavju. Število enačb, katerim lahko zadostimo r max, je odvisno od reda regulatorja, ki ga uporabljamo. Če je l red regulatorja l=1 za PI in l= za PID regulator, potem r max = l 1. Zaprtozančni nastavitveni kriterij lahko preprosto prenesemo v odprtozančnega z uporabo M in N krogov, ki jih poznamo iz osnov teorije vodenja. Za dosego istega nastavitvenega kriterija AO mora odprtozančna Nyquistova krivulja čim dlje slediti navpični premici z realno vrednostjo -.5 6. Če je G P s prenosna funkcija procesa, G C s pa regulatorja, lahko parametre regulatorja izračunamo iz naslednjih pogojev: Re {G P G C } = 1 4 k Re {G P jω G C jω} ω k = 5 ω= Pri tem morajo biti pogoji 5 izpolnjeni pri čim večjem številu k. Tem pogojem zadostimo tudi tako, da prenesemo čim večje število korenov funkcije Re{G P jωg C jω}.5 v ω= 6. Slika 1 prikazuje odprtozančno Nyquistovo krivuljo G P jωg C jω. Polna črta prikazuje sistem, kjer so vsi odvodi v izrazu 5 enaki nič, prekinjena črta pa ponazarja sistem, kjer je samo nekaj nižjih odvodov v izrazu 5 enako nič. Podobno kot pri zaprtozančnem kriteriju je število odvodov 5, ki jim lahko zadostimo, odvisno od strukture oziroma reda regulatorja. Pod pogojem, da je zaprtozančni odziv stabilen.

54 Vrančić, Strmčnik, Juričić Izračun parametrov PID regulatorja Predpostavimo, da lahko process opišemo z naslednjo racionalno prenosno funkcijo: 1b 1 s b s b m s m G P s =K PR 1a 1 s a s a n s n e st, 6 kjer je K PR statično ojačenje regulatorja, T pomeni čisto zakasnitev procesa, a 1 do a n ter b 1 do b m pa so preostali parametri m n procesa. Filtriran PID regulator lahko opišemo z naslednjo prenosno funkcijo: G C s = U s E s = K i s K sk d, 7 1sT f kjer sta U in E Laplaceova transforma izhoda regulatorja ter regulacijskega pogreška e = w y. Parametri regulatorja K i,k,k d, and T f pomenijo integrirno, proporcionalno in diferencirno ojačenje regulatorja ter časovno konstanto filtra. Slika prikazuje filtriran PID regulator v zaprti zanki s procesom 6, kjer d označuje motnjo na vhodu v proces. Im axis 1.5.5.5 1 1 Slika. Zaprtozančni sistem s filtriranim PID regulatorjem Figure. The closed loop system with PID controller G C s G P s = d d 1 s d s d s... c s c 1 s c s c s 4..., 8 Parametre c i in d i i=1,,... lahko nato izrazimo s parametri prenosne funkcije 6, filtriranega PID regulatorja 7 ter parametri Taylorjeve vrste: c i = a i a i 1 T f d i = K PR K i ξ i K i T f K ξ i 1 KT f K d ξ i, 9 kjer ξ i = i k= 1 i k T b i k k i k! a = b =1 a i = b i =; i<. 1 Predpostavimo, da je časovna konstanta filtra T f znana. Za izračun treh parametrov regulatorja K i, K in K d moramo skladno s pogojem amplitudne optimalnosti zadostiti prvim trem enačbam v naslednjem izrazu 6: 1.5 1.5 1.5.5 1 1.5 Re axis Slika 1. Nyquistov odziv odprtozančnega sistema G P jωg Cjω; vsi odvodi v izrazu 1 so enaki nič, - - samo nekaj prvih odvodov v izrazu 1 je enako nič Figure 1. Nyquist chart of the open-loop frequency response G P jωg Cjω; all derivatives in 1 equal zero, - - first few derivatives in 1 equal zero Za izračun parametrov filtriranega PID regulatorja v skladu s kriterijem AO moramo prevesti odprtozančno prenosno funkcijo sistema v racionalno polinomsko obliko. Izraz 6 namreč vsebuje čisto zakasnitev procesa, ki jo moramo najprej pretvoriti v polinomsko obliko s pomočjo npr. Taylorjeve vrste. Odprtozančno prenosno funkcijo lahko nato podamo v naslednji obliki: n1 i= 1 i d i c n1 i = 1 n i= 1 i c i c n i 11 Za izračun parametrov K i, K in K d tako vstavimo izraz 9 v izraz 11 pri n=, n=1 in n=. Rezultat je naslednji: K i = f 1 K PR,a 1,a,...,a 5,b 1,b,...,b 5,T,T f 1 K = f K PR,a 1,a,...,a 5,b 1,b,...,b 5,T,T f 1 K d = f K PR,a 1,a,...,a 5,b 1,b,...,b 5,T,T f 14

MOMI nastavitvena metoda za filtriran PID regulator 55 Zgornje izraze smo dobili z uporabo programskega paketa Matlab Symbolic Matlab Toolbox, vendar pa jih zaradi pomanjkanja prostora nismo eksplicitno podali, kajti za to bi potrebovali nekaj strani. V dodatku smo za ilustracijo podali samo integrirno ojačenje regulatorja. Opomba 1: Potreben stabilnostni pogoj je definiran tako 6: d >. 15 c Zgornja neenačba zagotovi, da se odprtozančna Nyquistova krivulja začne pri ω= pod realno osjo Im <. Kot je prikazano v izrazih 1, 1 in 14, je za izračun treh parametrov regulatorja pri izbrani časovni konstanti filtra treba poznati 1 parametrov procesa. Zanesljiv izračun tolikšnega števila parametrov iz realnih meritev pa je v večini primerov zelo dvomljiv. Temu problemu pa se lahko v veliki meri izognemo z večkratnim integriranjem časovnega odziva procesa 8-1. Ta postopek temelji na določanju površin, ki jih izračunamo iz odprtozančnega odziva procesa na stopničasto spremembo vhodnega signala. Površine A i i=,1,... lahko izračunamo tako, da integriramo odziv procesa na stopničasto spremembo U na vhodu: A = y =K PR A k = y k =K PR k k 1 i=1. 1 k1 a k b k i=1 1 ki T i b k i i! 1 ki 1 A i a k i, kjer so funkcije y i i=,1,... definirane tako: y k t = y t = yt y U t. A k 1 y k 1 τ dτ 16. 17 Kot je razvidno iz izrazov 16 in 17, pomeni parameter A statično ojačenje procesa, y pa skaliran odprtozančen odziv procesa. Ena najpomembnejših lastnosti površin A 1 do A 5 je ta, da lahko z vstavljanjem izrazov 16 v izraze 1 do 14 eliminiramo vseh 1 parametrov procesa. Parametre regulatorja K i, K in K d lahko namreč izrazimo samo s površinami od A do A 5 : Površine lahko izračunamo tudi z uporabo drugačnih ne stopničastih vhodnih signalov 17. K i = K = kjer je A A A 1 A 4 T f A A A 4 Tf A 1A Tf A A A A 1 A 5 T f A A A A 5 Tf A 1A Tf A A K d = A A 4 A A 5 =A 1 A A A A 1 A 5 A 1A 4 A A T f A1 A A A 5 A A 1 A 4 A A A A 1 A A A 1 A T f A A 1 A A A T f 18 19 1 Zgornji izraz lahko napišemo tudi v bolj kompaktni obliki: K i K K d = A 1 A A 5 A 4 A T f A Tf A 1 Tf A A A A 1 T f A 1.5. Uporaba izrazov 18 do oziroma namesto izrazov 1 do 14 daje nekatere prednosti. Prvič, samo statično ojačenje procesa A = K PR, ter pet površin A 1 to A 5 namesto 1 parametrov prenosne funkcije procesa K PR, a 1..a 5, b 1..b 5, and T je potrebnih za izračun parametrov filtriranega PID regulatorja. Drugič, izrazi za K i, K in K d postanejo veliko krajši ter tako bolj uporabni in preprostejši za izračun. Tretjič, površine od A 1 do A 5 lahko izračunamo iz odprtozančnega odziva procesa z uporabo numerične integracije glej opombo. Ta postopek nadomesti veliko bolj zapleten postopek estimacije parametrov prenosne funkcije procesa. Treba je tudi vedeti, da je izraz popolnoma ekvivalenten ni približek! izrazom 1, 1 in 14. To pomeni da lahko kriterij amplitudne optimalnosti, ki je podan v frekvenčnem prostoru, dosežemo tudi z moom, ki je parametriziran v časovnem prostoru. Torej je predlagana metoda nastavljanja parametrov relativno preprosta in precej učinkovita, kajti uporabnik ne potrebuje

56 Vrančić, Strmčnik, Juričić nobenega posebnega predznanja o teoriji vodenja sistemov. Opomba : Natančnost meritve površin je odvisna od velikosti šuma in časa integracije 16, kot tudi od izbrane metode numerične integracije in časa vzorčenja. Podani izračun parametrov filtriranega PID regulatorja temelji na tem, da je časovna konstanta filtra že podana. V praksi to ni vedno izpolnjeno, kajti pogosteje je definirano razmerje N med diferencirno časovno konstanto T d = K d /K in časovno konstanto filtra : N = T d T f = K d KT f. Če vstavimo izraz v izraza 19 in ter izrazimo T f, dobimo naslednji izraz: Tf 4NA A Tf NA 1A Tf N A A A A 5 T f N A. A 1 A 5 A A 5 A A 4 = 4 Ker je izraz 4 četrtega reda, lahko tako časovno konstanto filtra kot tudi preostale parametre regulatorja izračunamo analitično. Vendar pa izračun ustreznega T f iz enačbe 4 ni trivialen, kajti treba je poiskati pravo rešitev izmed štirih. Po drugi strani pa lahko izberemo tudi takšno razmerje N, da ne dobimo nobene realne rešitve. V takšnih primerih je treba ustrezno spremeniti razmerje N. Parametre regulatorja lahko izračunamo tudi s pomočjo iterativnega postopka, kjer najprej izberemo T f = in izračunamo parametre regulatorja s pomočjo izraza. Nato v drugi iteraciji izberemo T f = K d /K*N ter ponovno izračunamo parametre regulatorja. Z nadaljevanjem tega postopka dobimo v večini primerov zelo natančne rezultate že po nekaj iteracijah. 4 Primer Izbrali smo naslednji proces tretjega reda s čisto časovno zakasnitvijo: 1.51.5s e s G P s = 1 s. 5 Na začetku smo stopničasto spremenili vhodni signal U =. Začetno ustaljeno stanje procesa je bilo y=, končno pa y =. Statično ojačenje procesa je tako K PR =y y/ U=1.5. Funkcijo y 1 t smo dobili s pomočjo numerične integracije uporabili smo trapezno integracijsko metodo, čas integracije 18s ter čas vzorčenja.1s razlike K PR -yt y/ U tako, kot je podano v enačbah 16 in 17. Končna vrednost integrala y 1 =6.75 ustreza površini A 1 16. Na podoben način Najpogostejše vrednosti parametra N so med 8 in. lahko izračunamo površino A, kjer je treba numerično integrirati razliko med A 1 = y 1 in y 1 t tako, kot je podano v izrazih 16 in 17. Končna vrednost integrala y t je enaka površini A A = y =17.5. Preostale funkcije y do y 5 in površine A do A 5 lahko izračunamo na podoben način. Tako smo dobili naslednje velikosti statičnega ojačenja A in površin: A =1.5, A 1 =6.75, A =17.5, A =.5, A 4 =55.5, A 5 =8.. 6 Parametre filtriranega PID regulatorja, ko smo uporabili tri različne vrednosti časovne konstante filtra, lahko izračunamo s pomočjo izraza : T f =: K i =.19, K=.5, K d =.4 T f =. : K i =.18, K=.47, K d =.. T f =1. : K i =.15, K=.5, K d =.1 7 Slika prikazuje zaprtozančni odziv sistema na spremembo reference w=1 pri t=s ter na stopničasto motnjo na vhodu v proces d=1 pri t=s, pri uporabi vseh treh filtriranih PID regulatorjev. Iz odzivov sistema lahko opazimo, da so vsi odzivi precej dobri, kar je tudi pričakovan rezultat glede na izbran nastavitveni kriterij AO. Opazimo lahko tudi, da se nastavitveni čas zaprtozančnega sistema povečuje z višanjem časovne konstante filtra. Če zanemarimo diferencirni filter pri nastavljanju parametrov PID regulatorja, pa lahko pričakujemo manj optimalne rezultate. Slika 4 prikazuje zaprtozančne odzive sistema pri uporabi šolskega PID regulatorja parametric K i, K in K d so enaki tistim v izrazu 7 pri T f =, vendar pri istih treh vrednostih časovne konstante filtra kot v prejšnjem primeru. Lahko opazimo, da zaprtozančni odzivi niso več tako dobri kot v prejšnjem primeru, predvsem pri T f =1, ko zaprtozančni odziv postane oscilatoren. Pri PID regulatorju z vrednostjo časovne konstante filtra T f = smo pri simulaciji odziva uporabili časovno konstanto T f =.1, ker idealnega diferencirnega člena ne moremo simulirati.

MOMI nastavitvena metoda za filtriran PID regulator 57 5 Sklep.5 1.5 1.5 Process output Tf= Tf=. Tf=1 1 4 5 6 t s Slika. Izhod iz procesa med zaprtozančnim preskusom pri uporabi parametrov filtriranega PID regulatorja, ki smo jih dobili pri različnih vrednostih časovne konstante filtra Figure. Process output during the closed-loop experiment by applying different PID controller parameters obtained at different values of filter time constant.5 Process output Tf= Tf=. Tf=1 Namen tega članka je predstaviti metodo nastavljanja parametrov filtriranega PID regulatorja na podlagi postopka MOMI. Metoda nastavljanja temelji na kriteriju amplitudne optimalnosti AO, ki je podana v frekvenčnem prostoru. Glavni prispevek je v tem, da prikaže, kako je mogoče zadostiti kriteriju, podanemu v frekvenčnem prostoru s pomočjo ustrezne parametrizacije moa procesa v časovnem prostoru. To smo dosegli s pomočjo večkratne integracije časovnega odziva procesa s površinami. Pokazali smo tudi, da lahko optimalne vrednosti parametrov določimo s petimi površinami A 1 do A 5. To je pomemben rezultat, kajti ekvivalenten izraz, ki uporablja mo procesa v frekvenčnem prostoru, je veliko bolj zapleten ter potrebuje 1 ocenjenih parametrov! Predlagana metoda nastavljanja parametrov je preprosta in učinkovita, kajti ne zahteva nikakršnega posebnega predhodnega znanja uporabnika o sistemski teoriji. Pomanjkljivost predlagane metode je v tem, da potrebujemo stabilen odprtozančni odziv procesa za izračun statičnega ojačenja procesa, površin in s tem parametrov regulatorja. Treba je tudi omeniti, da kriterij AO ni primeren za procese z močnimi ničlami in kompleksnimi poli, kajti v teh primerih lahko pogosto dobimo nestabilne zaprtozančne odzive. Nadaljnja pomanjkljivost metode je, da je v primeru šuma težko zanesljivo oceniti predvsem višje površine A 4 in A 5. V tovrstnih primerih je treba povečati vzbujanje procesa, da zmanjšamo moteč vpliv šuma. Pri tem pa ne smemo pretiravati, kajti zanesljivost ocene površin se lahko spet občutno poslabša, če je proces zelo nelinearen. 1.5 1.5 1 4 5 6 t s Slika 4. Izhod iz procesa med zaprtozančnim preskusom pri uporabi istega šolskega PID regulatorja in različnih vrednostih časovne konstante filtra Figure 4. Process output during the closed-loop experiment by applying the same PID controller parameters at different values of filter time constant

58 Vrančić, Strmčnik, Juričić DODATEK A Izraz za K i : a b a 1 a a 1a b 1 b b a a a 1 a b a 1a a 1b a b b 1 b 4 a 1 b a b 1 a 1 b 4 a 1 a b 1 a 1 a b 1 a 4 b 1 a 1 a 4 a 1b 1 b T a b a 1b a b 1 a 1 a b a 1a b 4 a 1 b a 4 a 1 b 1 b a 1b 1 a 1b 1 T b 1 b a a 1b 1 a1b a 1 b ab1 a 1 b1 T a 6 b 1 5a1b1 6 b 6 a 1 T 4 5b 1 4 5a1 T 4 5 4 a T f 4 b 4 b a b a 1 a a 1 b a 1b a 1a b 1 a a 1 a 1 b a 1b 1 T b a 1 b a a 1 b 1 a b a1 a1 b1 T b a b 1 a 1 5a1b1 T 5a1 5b 1 5T 6 4 4 a1 T b a 1 a b 1 b a 1 a 1b 1 a 1 b 1 a b 1 f T a1 b 1 a 1 b 1 b a T a1 b 1 T Tf b a a 1 a 1 b 1 T a 1 b 1 T K i = K PR Γ kjer Γ= a 5 b 1 a b a 1b b 1 b 5 a 1 b 5 a 1 a 5 a 1a 4 b 1b 4 b 1a a 1 b 1 b 4 a 1 a 4 b 1 a 1 b b a 1b 1 b a 1 a b 1 b a 1 a a a 1 a b a 1 a b 1 a 1b 1 b a 1a b 1 a b 1 b b 1 b b a 1 b 1 b a 1b 1b a a b 1 a 1 a b 1 a 1 a b 1 a b b 1 b b 1 b 4 a 1 b T 1b b b a 1a b 1 a b 1 a 1b 1 b a 1 a b 1 a 1 a b 1 a 1 b 1 b a 1b 1 a 1 a 4 a 1 a a a a 5 b 5 a 1b a 1b 1 T a 1 b 1 a 1 b 1 b b 1b a 1 a a 1a b 1 b a 1b 1 a 1 b a b 1 a 1 b 1 a 1 a b 1 T 4a1 b 1 4a 1b 1 a a 1 b b 1 b b T 1 a 1 a 4 a1 b 1 a 1 b T 1 5 15 a 1 b 1 b 5 a 5 a 1 a 4 a a a 1b a 1 a a 1b 1 a 1b 1 b a 1b 1 a a 1b 1 b 1 b 4 b 1 b a a 1 b 1 b a 1 b 1 b b a b 1 a 1 a b 1 b 1 a 1 b T f a 1 b a a 1 b T 1a 1 b b 1 a 1 b b 1 a 1 a b 1 T f T f T a b 1 a 1 a 4b 1a 1 b 1 a 1 b 1 b 4b1 a 1 a 4a 1 b 1 a 1 a a 1 b 1 b b b 1 T 4 a 1 b 1 T 5 15 4T b 1 a 1 a 1 b 1 a 1b 1 a 1 b 1 b a 1 a b 1 a 1b 1 b 1b a 1 b a b 1 a 1 a a 1a b 1 b a 1 b 1 T 4a1 b 1 b a 1 a a 1 4a 1b 1 b 1 b a b 1 T a 1 b 1 4a 1 b 1 4T a 1 b 1 T 4 b 1 b a b a 1b 1 a 1 a a 1 b 1 T a1 b 1 b 1 a1 T a 1 b 1 T

6 Literatura 1 K. J. Åström, T. Hägglund, C. C. Hang, W. K. Ho, Automatic Tuning and Adaptation for PID Controllers - A Survey, Control Engineering Practice, 14, 699-714, 199. K. J. Åström, T. Hägglund, PID Controllers: Theory, Design, and Tuning, Instrument Society of America, nd edition, 1995. P. Boucher, Y. Tanguy, Une nouvelle méthode de réglage des régulateurs PI ou PID, Automatisme, May 1976, 174-179, 1976. 4 D. B. Ender, Process control performance: Not as good as you think, Control Engineering, 41, 18-19, 199. 5 R. Gorez, A survey of PID Auto-Tuning Methods, Journal A, 81, -1, 1997. 6 R. Hanus, Determination of controllers parameters in the frequency domain, Journal A, XVI, 1975. 7 C. Kessler, Über die Vorausberechnung optimal abgestimmter Regelkreise Teil III,. Die optimale Einstellung des Reglers nach dem Betragsoptimum, Regelungstechnik, Jahrg., 4-49, 1955. 8 H. P. Preuss, Prozessmolfreier PID-regler- Entwurf nach dem Betragsoptimum, Automatisierungstechnik, 91, 15-, 1991. 9 H. Rake, Identification: Transient- and Frequency- Response Methods, Systems & Control Encyclopaedia; Theory, Technology, Applications, Madan G Singh, ed., Pergamon Press, 1987. 1 V. Strejc, Auswertung der dynamischen Eigenschaften von Regelstrecken bei gemessenen Ein- und Ausgangssignalen allgemeiner Art, Z. Messen, Steuern, Regeln, 1, 7-1, 196. 11 J. W. Umland, M. Safiuddin, Magnitude and Symmetric Optimum Criterion for the Design of Linear Control Systems: What Is It and How Does It Compare with the Others?, IEEE Transactions on Industry Applications, 6, 489-497, 199. 1 A. A. Voda, I. D. Landau, A Method for the Autocalibration of PID Controllers, Automatica, 11, 41-5, 1995. 1 D. Vrančić, Y. Peng, C. Danz, A comparison between different PI controller tuning methods, Poročilo, DP-786, Institut Jožef Stefan, Ljubljana, 1995. Dostopno na: http://www-e.ijs.si/damir.vrancic/bibliography.html 14 D. Vrančić, Načrtovanje zaščite pred integralskim pobegom in udarnim preklopom, Doktorska disertacija, Univerza v Ljubljani, Ljubljana, 1997. Dostopno na: http://www-e.ijs.si/damir.vrancic/bibliography.html 15 D. Vrančić, Y. Peng, J. Petrovčič, A new simple autotuning method for PID controllers, Pre-prints of the nd IFAC Workshop on New Trends in Design of Control Systems, Smolenice, 457-46, 1997. 16 D. Vrančić, Y. Peng, S. Strmčnik, A new PID controller tuning method based on multiple integrations, Control Engineering Practice, Vol. 7, 6-6, 1999. 17 D. Vrančić, D-. Juričić, S. Strmčnik, R. Hanus, Closed- Loop Tuning of the PID Controller by Using MOMI Method, Proceedings of the American Control Conference 1999, San Diego, 5-56, 1999. 18 J. G. Ziegler, N. B. Nichols, Optimum settings for automatic controllers, Trans. ASME, 64, 759-768, 194. Damir Vrančić se je rodil leta 1968 v Novem mestu. Diplomiral je leta 1991, magistriral leta 1995 in doktoriral leta 1997 na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani. Trenutno je zaposlen na Institutu Jožef Stefan v Ljubljani kot raziskovalni soavec. Področje njegovega a zajema razvoj algoritmov za samodejno nastavljanje parametrov PID regulatorjev, nekaterih prediktivnih regulatorjev in multivariabilnih PI regulatorjev, študij in odpravo integralskega pobega ter moiranje in identifikacijo sistemov. D- ani Juričić je diplomiral, magistriral in doktoriral na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani v letih 198, 1984 in 199. Na Odseku za računalniško avtomatizacijo in regulacije Instituta Jožef Stefan je že od leta 198. Ukvarja se z identifikacijo sistemov, optimalnim vodenjem in odkrivanjem napak v industrijskih procesih. Stanko Strmčnik je diplomiral, magistriral in doktoriral na Fakulteti za elektrotehniko Univerze v Ljubljani v letih 197, 1975 in 1979. Kasneje je bil izvoljen v docenta ter nato v izrednega profesorja. Vseskozi je zaposlen na Institutu Jožef Stefan, kjer se ukvarja z raziskovalnim in razvojnim om na širšem področju avtomatike oziroma vodenja sistemov. Ožja področja njegovega zanimanja so matematično moiranje, identifikacija, zahtevnejši algoritmi vodenja, računalniško podprto načrtovanje, problematika uporabe tehnologije vodenja ter netehnični vidiki pri uvajanju sistemov vodenja v prakso. Svoja a je objavil v obliki številnih člankov in referatov, sooval pa je tudi pri izvajanju številnih aplikativnih projektov za gospodarstvo. Trenutno je vodja Odseka za računalniško avtomatizacijo in regulacije na Institutu Jožef Stefan.