Модуль 9. Комплексні числа

Transcription

1 Структура модуля Вступ 1. Ключові слова. Короткий зміст Теоретична частина Розділ 9.1. Комплексні числа в алгебричній формі Алгебрична форма комплексного числа Рівність комплексних чисел Додавання комплексних чисел Множення комплексних чисел Ділення комплексних чисел Множина комплексних чисел Розділ 9.. Геометричне зображання комплексних чисел Комплексна площина 9... Полярні координати Векторне зображання комплексних чисел Стереографічна проекція Розділ 9.3. Комплексні числа у тригонометричній та показниковій формах Тригонометрична форма Дії з комплексними числами у тригонометричній формі Степінь комплексного числа Корінь з комплексного числа Комплексні числа в показниковій формі Розділ 9.4. Додаткові відомості Комплексні числа як арифметичні вектори Розв язання вправи Подальше поширення числових множин Розв язання вправи Розв язання вправи Розв язання вправи Розв язання вправи 9.5 Практична частина 1. Контрольні запитання. Навчальні задачі 3. Задачі для самостійного розв язання Тестова частина 1. Тест. Індивідуальне завдання

2 Вступ 1. Ключові слова Комплексне число. Дійсна частина комплексного числа. Уявна частина комплексного числа. Алгебрична форма комплексного числа. Сума комплексних чисел. Добуток комплексних чисел. Спряжене число. Частка комплексних чисел. Множина комплексних чисел. Модуль комплексного числа. Аргумент комплексного числа. Тригонометрична форма комплексного числа. Показникова форма комплексного числа. Формула Муавра. Натуральний степінь комплексного числа. Корінь з комплексного числа. Формула Ейлера.. Короткий зміст Теоретичний матеріал модуля викладено на двох рівнях базовому (розділи ) і підвищеному (розділи ). У модулі: означено і вивчено комплексні числа розглянуто: дії з комплексним числами, їхні властивості, різні форми запису і різні способи зображання комплексних чисел проілюстровано викладену теорію розв язаними вправами та навчальними задачами запропоновано низку задач для самостійного розв язання (з відповідями) та 30 варіантів індивідуальних завдань (із методичними вказівками).

3 Теоретична частина Модуль 9. Комплексні числа 9.1. Комплексні числа в алгебричній формі Алгебрична форма комплексного числа. Означення 9.1. Комплексним числом звуть вираз вигляду i, (9.1) де та довільні дійсні числа, а i символ, який справджує умову i 1. Числа та звуть відповідно дійсною та уявною частинами комплексного числа i і позначають de Re, Im. Вираз (9.1) звуть алгебричною формою комплексного числа. Зауважте, що уявна частина комплексного числа дійсне число! Комплексне число 0i ототожнюють з дійсним числом. Комплексне число 0 1i позначають символом i. Про комплексні числа як арифметичні вектори див. у п Рівність комплексних чисел. Означення 9.. Комплексні числа 1 1 i1 та i звуть рівними, якщо рівні їхні дійсні та уявні частини: 1, 1 1. Поняття нерівності для комплексних чисел існує лише як заперечення рівності, тобто 1 означає, число 1 не дорівнює числу. Поняття «більше» та «менше» для комплексних чисел не означують, тобто множина комплексних чисел, на відміну від множини дійсних чисел, не впорядкована Додавання комплексних чисел. Означення 9.3. Сумою комплексних чисел 1 1 i1 та i звуть комплексне число de 1 1 i 1 ( ) ( ). Додавання дійсних чисел за «комплексним правилом» тотожне додаванню дійсних чисел. Протилежним до числа i є число ( ) ( ) i( ). Під різницею комплексних чисел 1 1 i1 та i розуміють комплексне число 1 1 ( ) ( 1 ) i( 1 ). Для будь-яких комплексних чисел, 1, та 3 правдиві рівності: (комутативність додавання) 1) 1 1

4 ) Модуль 9. Комплексні числа ( ) ( ) (асоціативність додавання) 3) 0, де 0 0 0i (існування нуля) 4) існує єдине комплексне число ( ) таке, що ( ) 0 (існування протилежного числа) Множення комплексних чисел. Означення 9.4. Добутком комплексних чисел 1 1 i1 та i звуть комплексне число i 1 1 ( ) ( ). Множення дійсних чисел за «комплексним правилом» тотожне множенню дійсних чисел. Добутком дійсного числа на комплексне число i буде комплексне число i. Отже, ( 1). Властивість символу i, яким позначають комплексне число 0 1 i, що i 1, узгоджується із правилом множення комплексних чисел. Тобто комплексні числа в алгебричній формі можна додавати і множити як лінійні многочлени, враховуючи, що i 1. Для будь-яких комплексних чисел, 1, та 3 : 1) 1 1 (комутативність множення) ) ( 1 ) 3 1( 3) (асоціативність множення) 3) 1, де 1 1 0i (існування одиниці) 4) якщо 0, то існує єдине комплексне число 1 1, що 1 (існування оберненого числа) 5) ( 1 ) (дистрибутивність множення щодо додавання). Вправа 9.1. Переконатись, що під «комплексним числом» (тобто об єктом, для якого зберігаються всі запроваджені вище поняття) i можна розуміти і матрицю Матриці O 0 0, E 0 1 відіграють роль нуля та одиниці матриця роль символу i. Розв язання вправи 9.1 див. у п Піднесення комплексного числа до натурального степеня розглядають як множення числа на себе разів:.

5 . Можна переконатись, що 1, 4 k, i, 4k 1, i k. 1, 4k, i, 4k 3, Враховуючи це, маємо: ( i) i i ( ) i ( 3 ) (3 ) i Ділення комплексних чисел. Комплексне число i звуть спряженим до числа i і позначають Маємо i. ( ) 0 i, 0 0. Отже,. Для будь якого комплексного числа i 0 існує обернене. Справді, помножуючи рівність 1 1 на, одержимо i. Під часткою комплексних чисел 1 1 i1 та i 0 розуміють комплексне число i Множина комплексних чисел. Множину виразів i з означеними рівністю та арифметичними діями звуть множиною комплексних чисел і позначають. Оскільки комплексні числа вигляду a 0i ототожнюють з дійсними числами, і дії над ними за «комплексними правилами» відповідають діям над дійсними числами, то. Множину розглядають як поширення множини. Отже, правдиві такі включення:. Зміст попередніх лекцій а саме: дії над матрицями, обчислення визначників, теорія систем лінійних алгебричних рівнянь та лінійної залежності век-

6 торів залишається правдивим, і якщо елементи матриць, визначників, коефіцієнти та розв язки СЛАР, координати векторів вважати комплексними числами. Про подальше поширення множини комплексних чисел див. у п Геометричне зображання комплексних чисел Комплексна площина. Комплексне число i зображують на площині O точкою M( ) або радіусом-вектором OM (рис. 9.1). Існує взаємно однозначна відповідність між комплексними числами i,,, та точками площини O. При цьому: площину, точки якої ототожнюють з комплексними числами, звуть комплексною площиною вісь абсцис звуть дійсною віссю (на ній лежать дійсні числа ) вісь ординат звуть уявною віссю (на ній лежать уявні числа i). Якщо число зображують точкою ( ), то ( ), ( ) ( ), ( ) ( ) (рис. 9.). M O Рис. 9.1 Рис Полярні координати. Для опису положення точки M 0 на координатній площині зручно використати полярні координати (, ), де довжина вектора OM, а кут між вектором OM та віссю O (рис. 9.3). M Рис. 9.3 Полярний радіус звуть модулем комплексного числа, а полярний кут його аргументом. de, Arg. Декартові і полярні координати точки зв язані співвідношеннями: cos, si. (9.) Модуль комплексного числа 0. O

7 Поняття модуля комплексного числа узгоджене з поняттям модуля дійсного числа: 0i 0. Аргумент комплексного числа 0 визначений з точністю до доданку k, k : Arg arg k, k, де arg головне значення аргументу, що належить проміжку завдовжки (зазвичай [0 ),( ] або [ 3 )). Аргумент комплексного числа 0 невизначений (тобто можна брати будь-який), а модуль дорівнює нулеві. Аргумент та його головне значення можна знайти із системи cos, si. Зокрема, якщо arg 3, то, 0, 0, arctg, 0, arg (9.3), 0, 0, arctg, 0. Вправа 9.. Одержати явні формули знаходження головного значення аргументу, що належить проміжкам: 1) [0 ) ) ( ]. Розв язання вправи 9. див. у п Вправа 9.3. Виразити модуль та аргумент комплексного числа через модуль та аргумент спряженого з ним числа. Розв язання вправи 9.3 див. у п Векторне зображання комплексних чисел. При векторному зображанні комплексних чисел додаванню та відніманню комплексних чисел відповідає додавання та віднімання відповідних їм радіусів-векторів (рис. 9.4). 1 1 O Рис. 9.4

8 Модуль комплексного числа дорівнює довжині радіуса-вектора. Зокрема, правдиві нерівності, які випливають з нерівностей трикутника (див. Твердження 5.):, Вправа З ясувати геометричний зміст співвідношень: 1) 0 a ) 0 a 3) 0 a 4) arg 5) Re a 6) Im b. Розв язання вправи 9.4 див. у п Стереографічна проекція. Побудуймо ще одне зображення множини комплексних чисел, навіть поповненої нескінченно віддаленою точкою. Розгляньмо сферу, яка торкається комплексної площини в точці O (рис. 9.5). Позначмо через P точку сфери, діаметрально протилежну точці O. Кожній точці комплексної площини поставмо у відповідність точку M точку перетину сфери з відрізком, що з єднує точки та P. Самій точці P відповідає нескінченно віддалена точка. Така відповідність між точками розширеної комплексної площини (доповненої точкою ) є взаємно однозначною, її звуть стереографічною проекцією, а сферу сферою Рімана.. O Рис Комплексні числа у тригонометричній та показниковій формах Тригонометрична форма. Нехай точка, що зображує комплексне число i, має полярні координати ( ). Тоді, враховуючи співвідношення (9.), маємо i cos i si (cos i si ), 0. Вираз (cos i si ), 0, звуть тригонометричною формою комплексного числа Дії з комплексними числами у тригонометричній формі. Для комплексних чисел у тригонометричній формі: (cos i si ), (cos i si ) умови рівності, формули множення та ділення виглядають так:

9 , k, k (cos( ) i si( )) (cos( 1 ) i si( 1 )) Доведімо, приміром, формулу множення. (cos i si ) (cos i si ) [(cos cos si si ) i(si cos si cos )] [cos( 1 ) i si( 1 )] Степінь комплексного числа. Враховуючи означення натурального степеня комплексного числа (cos i si ), матимемо: [ (cos i si )] (cos i si ) Формулу, arg arg. (cos i si ) (9.4) звуть формулою Муавра. Вправа 9.5. Довести формулу Муавра методом математичної індукції (принцип математичної індукції). Розв язання вправи 9.5 див. у п Корінь з комплексного числа. Обернену операцію добування кореня означують так. Комплексне число w звуть коренем -го степеня з комплексного числа, якщо de w, w. Для будь-якого 0 корінь має різних значень. Справді, підставляючи (cos i si ), w r(cos i si ) у формулу (9.4), дістанемо r (cos i si ) (cos i si ). З рівності комплексних чисел випливає рівність їхніх модулів, а аргументи чисел відрізняються на k, k. Тому k r,. (9.5) Отже, модулі всіх коренів -го степеня із однакові, а аргументи відрізняються на k. Точки на комплексній площині, що відповідають різним значенням кореня -го степеня з комплексного числа 0, розташовані у вершинах правильного - 1 O 0 1

10 кутника, вписаного в коло радіусом Рис. 9.6 з центром у точці w 0 (рис. 9.6). Надаючи у формулі (9.5) числу k значень 0,1,,..., 1, одержимо різних комплексних чисел k k k cos i si, k 0, 1. Важливий випадок добування кореня -го степеня з числа 1. Із рівності 1 cos 0 i si 0 випливає, що de k k 1 k cos i si, k 0, 1. На комплексній площині корені -го степеня з одиниці розташовані на колі одиничного радіуса і поділяють його на рівних дуг однією з точок поділу є число 1. Тобто «недійсні» корені -го степеня з одиниці розташовані симетрично щодо дійсної осі попарно спряжені. Всі значення кореня -го степеня з комплексного числа можна одержати помноженням одного зі значень кореня на всі корені -го степеня з одиниці, приміром, k 0 k, k 0, Комплексні числа в показниковій формі. Формула Ейлера, що встановлює зв язок між показниковою та тригонометричними функціями i e cos i si,, надає можливість записувати комплексні числа ще й у показниковій формі: i (cos i si ) e,, Arg. Вираз i e,, Arg звуть показниковою формою комплексного числа. i І, навіть якщо вважати e лише символом для скорочення запису, слушність такого позначення випливає зі збігу його властивостей із властивостями показникової функції. Подамо формули для дій з комплексними числами в показниковій формі, які є «скороченим» записом формул у тригонометричній формі: i 1 i 1 1e, e :, k, k i( 1 ) 1 1e 1 1 i( ) e 1

11 1 1 i e 1k i, e, k 0, 1,. Множення комплексного числа, що зображується вектором OM, i на число 0 e еквівалентно повертанню вектора OM на кут (рис. 9.7): i i e e e i( ). Im i e O e i Re Рис Додаткові відомості Комплексні числа як арифметичні вектори. Існують задачі, для розв язання яких дійсних чисел недостатньо. Приміром, квадратне рівняння 1 0 не має розв язків у множині дійсних чисел. Виникає питання: як розширити множину дійсних чисел до такої числової множини, у якій би всі алгебричні рівняння 1 a0 a1... a 0, a0, a1,..., a мали б розв язки. «Матеріалом», з якого можна побудувати нову числову множину є простір двовимірних арифметичних векторів, що можуть описувати як координати точок Декартової системи координат на площині, так і координати їхніх радіусів-векторів. Будь-який елемент можна подати у вигляді 1 0 e1 e,,. 0 1 Рівність і додавання арифметичних векторів поелементні: 1 1, 1 1 1) 1 1 ) Добутком арифметичних векторів 1 та звуть арифметичний вектор

12 1 0 Двовимірний лінійний простір з базисом e 1 та e 0 1, в якому рівність та додавання векторів означено поелементно, а множення векторів відповідним правилом звуть множиною комплексних чисел, а кожний вектор комплексним числом. 1. З означення дій над векторами можна переконатись, що вони збігаються із властивостями дій над дійсними числами.. Підмножина комплексних чисел вигляду 0,, має всі властивості дійсних чисел, а тому можна казати, що множина дійсних чисел є підмножиною множини комплексних чисел ( ) і комплексне число 0 можна ототожнити з дійсним числом. Якщо 1 de 0 de 1, i, 0 1 то комплексне число можна записати в алгебричній формі i. Із правила (9.1), випливає, що ii i 1, тобто комплексне число 0 1i є розв язком рівняння Розв язання вправи 9.1. Справді, 1 1 1, ( 1 )

13 ( 1 1 ) E Подальше поширення числових множин. Як ми бачили для системи комплексних чисел точок площини можливо означити додавання та множення так, щоб вона містила систему дійсних чисел. Хоча платою за це була втрата впорядкованості. Виявляється, що не можна означити додавання і множення точок тривимірного простору, щоб сукупність точок стала числовою системою, що містить у собі систему комплексних чисел чи хоча б систему дійсних чисел. З іншого боку, оскільки додавання комплексних чисел еквівалентне додаванню радіусів-векторів на площині, природно поставити питання: чи можна при деяких так означити множення векторів у, щоб щодо цього множення і звичайного додавання векторів побудований простір виявився числовою системою, що містить у собі систему дійсних чисел. Можна показати, що така побудова можлива, наприклад, для 4, при цьому втрачається комутативність множення. Одержимо систему кватерніонів чисел вигляду 0 1i j 3 k, де 0, 1,, 3 координати кватерніона i, j, k цілком реальні одиниці, зв язані співвідношеннями: i j k ijk 1. Дійсною частиною кватерніона звуть число 0 скаляр, а уявною вектор 1i j 3k. Історично так і відбулося вектори ввійшли в математику і фізику саме як спрощення кватерніонів. Цікаво перемножуються уявні кватерніони: (, ) [, ], де (, ) скалярний, а [, ] векторний добуток «векторів» та. Подальше поширення чисел можливо для 8 одержимо систему октав чисел Келі. Для них вже порушено асоціативність множення Розв язання вправи 9.. 1) Якщо arg [0, ), то

14 arctg, 0 0, 0 0 arg arctg, 0 3, 0 0 arctg, 0 0 ) якщо arg (, ], то arctg, 0, 0 arg arctg, 0 0 0, 0 arctg, Розв язання вправи 9.3. Оскільки, (cos i si ), то (cos( ) i si( )) (cos i si ), Arg Arg Розв язання вправи ) Множиною точок, віддаль яких від точки 0 дорівнює a, є коло з центром у точці 0 радіусом a (рис. 9.8). ) Нерівність описує внутрішність круга з центром у точці 0 радіусом a (рис. 9.9). 3) Нерівність описує зовнішність круга з центром у точці 0 радіусом a (рис. 9.10). Im Im Im 0 a 0 a 0 a O Re O Re O Re Рис. 9.8 Рис. 9.9 Рис ) Рівняння задає промінь, що виходить з початку координат під кутом з додатним напрямом дійсної осі. 5) Вертикальна пряма a. 6) Горизонтальна пряма b Розв язання вправи 9.5. Очевидно, що формула Муавра правдива для 1: 1 ( (cos i si )) (cos i si ). Припустімо, що вона правдива для k : ( (cos si )) k k i (cosk i si k ),

15 і при цьому припущенні доведімо її для k 1: k1 k ( (cos i si )) (cos i si )( (cos i si )) k 1 (cos i si ) (cos k i si k) (cosk cos si si k i(si cos k cos si k)) k 1 k (cos( k 1) i si( k 1) ). Згідно із принципом математичної індукції формула Муавра правдива для будь-якого натурального.