บทท 6 ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง (Vehicle Routing Problems :VRP) 6.1 บทนาเร องป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง (Vehicle routing problems: VRP) เป นป ญหาท ม ล กษณะคล ายก บ ป ญหา TSP ในบทท 5 ท ได บรรยายไปก อนหน าน แล ว และย งม ความส มพ นธ ก บป ญหา p-median ป ญหาการหาทาเลท ต งท เหมาะสมและป ญหาอ นๆ ในหน งส อเล มน อย พอสมควร เช น ในบทท 3 และ บทท 4 เก ยวก บการหาทาเลท ต งและการมอบหมายงาน การมอบหมายงานให ศ นย กระจายส นค าส ง ให ก บล กค าน นจะทาการส งตรงจากศ นย กระจายส นค าส ล กค าเร ยกการส งส นค าแบบน ว าการส งส นค า ตรงให ล กค า (direct shipping) ล กษณะการส งส นค าแบบน จะเหมาะสมหร บล กค าท ม ความต องการ ปร มาณมาก ๆ หากขนท ละน อยจะเก ดท ว างบนรถแต ต องกล บมาร บของท ศ นย กระจายส นค าใหม แล วไป ส งล กค ารายอ นๆ ท าแบบน ไปเร อยๆ เร ยกว าการส งตรงให ล กค า แต ป ญการจ ดเส นทางการขนส ง อาจจะมองว าเป นการต อยอดมาจากการหาท าเลท ต งท เหมาะสมเม อจ ดงานและมอบหมายล กค า เร ยบร อยมาพ จารณาจ ดเส นทางท เหมาะสมตามศ กยภาพของรถอ กคร งหน งว าควรจะขนส นค าข นรถ จานวนเท าไหร รถค นน นจะไปส งส นค าให ก บล กค าใดบ างใช เส นทางใด หร อถ าจะมองว าป ญหาการจ ด เส นทางการขนส งม ล กษณะคล ายป ญหาการเด นทางของพน กงานขายก พ จารณาได เช นก น เม อจ ด เส นทางการเด นทางของพน กงานขาย พน กงานขายน ารถขนส นค าไปด วย หากส นค าหมดพน กงานขาย ก จะต องเด นทางกล บมาท เม องเร มต นท ม ส นค าอย และไปส งส นค าท เหล อ ก จะเก ดป ญหาการจ ดเส นทาง การขนส งจากป ญหาการเด นทางของพน กงานขายเช นเด ยวก น Danzig et al (1954) น าเสนอการแก ป ญหาการเด นทางของพน กงานขาย หร อ TSP จากน นก ได ม การน าป ญหาน ไปแก หาว ธ แก ไขอย างกว างขวางจนม งานว จ ยหร อบทความว จ ยท ต พ มพ เก ยวก บ ป ญหา TSP จานวนมาก Clark and Wright (1964) ได น าเสนอการแก ป ญหา TSP กรณ ท พาหนะขนส ง มากกว า 1 ค นและน นก เป นคร งแรกท ป ญหา VRP เก ดข นคร งแรกในงานว จ ยท ได ร บการต พ มพ แต อย างไรก ตาม Clark and Wright ก ไม ได น าเสนอศ พย คาว าการจ ดเส นทางการขนส ง (vehicle routing) ในงานของพวกเขา คาว า vehicle routing ถ กน ามาใช ในการเข ยนบทความว จ ยคร งแรกในป 1972 โดย Golden, Magnati, and Nguyan และหล งจากน นได ม น กว จ ยจานวนมากให ความสนใจในการพ ฒนา ว ธ การเพ อแก ป ญหา VRP โดยป ญหา VRP ท ได ร บความสนใจน ได ม การเพ มข อจาก ดต างๆ เข าไปตาม
กรณ ศ กษาหร อตามเหต การณ จร งท เก ดข นในการดารงช ว ตประจาว นของน กว จ ยท ได พบเห นหร อส มผ ส เช น Solomon (1983) ได น าเสนอป ญหาการจ ดเส นทางการขนส งกรณ ท ม ข อจาก ดเร องเวลาในการ ร บส ง ( vehicle routing problem with time windows) ซ งเป นข อจาก ดของล กค าแต ละรายว าจะร บ ส นค าได ภายในเวลาใด ซ งทาให ป ญหา VRP ม ความย งยากซ บซ อนมากย งข น ป ญหา VRP โดยปกต อาจจะเป นการวางแผนไปร บหร อไปส งส นค าเท าน นบางคร งป ญหา VRP อาจจะม การไปร บและไปส ง ส นค าในคราวเด ยวก นเช น Nagy and Salhi (2005) น าเสนองานว จ ยท กล าวถ งการจ ดเส นทางการ ขนส งกรณ ท ม การร บและส งส นค าในเวลาเด ยวก น ระยะทางในการขนส งท พ จารณาในการจ ดเส นทาง การขนส งน อาจจะม ท งแบบท ทราบค าและไม ทราบหร อหากทราบค าอาจจะม ล กษณะเป นทราบค าท แน นอนหร อไม แน นอนเช น Fu (2002), Ahn and Shin (1991), Rego and Roucairol (1995). จาก การดาเน นการว จ ยท หลากหลายและมากมายของป ญหา VRP จ งม ผ พยายามจ ดกล มของป ญหา VRP เป นประเภทต างๆ มากมายเช น Bodin (1975), Bodin and Golden (1981), Min et al.(1998), Powell and Shapiro (1999), Laporte and Osman (1995), Burak Eksioglu et al. (2009). ซ ง จากการแบ งกล มป ญหา VRP อาจจะพอสร ปประเภทของป ญหา VRP ได ด งน 1. จ ดกล มตามว ธ การแก ป ญหาของป ญหา VRP 1.1. ว ธ การแม นตรง (exact method) ว ธ การการน จะไช พ นฐานจากการโปรแกรมเช งเส นตรง การ โปรแกรมจ านวนเต ม หร อว ธ การอ น ท จะท าให ได ค าท ด ท ส ด เช น ว ธ การ ต ดแบบระนาบ (cutting plane method), ว ธ บรานซ แอนด บาว (branch and bound method) งานว จ ยท เป น ผ น าทางด านว ธ แม นตรงได แก Laporte and Nobert (1982) 1.2. ว ธ การฮ วร สต กส (heuristics) เป นว ธ การท เม อด าเน นการเสร จเร ยบร อยจะได ค าท ด ไม สามารถร บประก นได ว าจะได คาตอบท ด ท ส ด แต จะใช เวลาส นกว าว ธ การแบบแม นตรงสาหร บ ป ญหาท ม ขนาดใหญ ต วอย างเช น ว ธ การเจนเนต กส (genetic algorithm), ว ธ การระบบมด (Ant system algorithm), ว ธ การหาค าท ด ท ส ดด วยฝ งอน ภาค (particle swarm optimization) เช น Laporte et al. (1999), Nagy and Salhi(2005) 1.3. การจ าลองแบบป ญหา (simulation) ใช การจ าลองแบบป ญหาส วนใหญ จะใช ก บป ญหาท ม ความไม แน นอนเก ดข นเช น ความต องการไม แน นอน ระยะเวลาในการให บร การไม แน นอน ต วอย างงานว จ ยท เด น ๆในการจาลองแบบป ญหาได แก Kim et al (2005) 2. จ ดกล มตามล กษณะของความต องการของล กค า 2.1. ค าความต องการของล กค าทราบค าและแน นอน (deterministic demand) งานว จ ยจานวน หน งดาเน นการภายใต ความต องการท ทราบและแน นอนของล กค า โดยม การเก บข อม ลอาจจะ เป นความต องการท แน นอนโดยม การส งส นค าก อนและจ ดเส นทางการขนส ง หร อท าการ
ประมาณค าจากการใช ค าเฉล ยหร อค าทางสถ ต อย างใดอย างหน งต วอย างงานว จ ยท ม ความ ต องการแบบทราบและแน นอนได แก Laporte et al. (1999), Toth and Vigo (1999) 2.2. ค าความต องการของล กค าทราบค าแต ไม ทราบค าท แน นอน (stochastic demand) ในกล มน ความต องการของล กค าจะทราบค าแต อาจจะม ความไม แน นอนซ งจะทาให ต องใช เทคน คในการ แก ป ญหาท ต างออกไปจากข อ 2.1 ต วอย างงานว จ ยท ความต องการของล กค าไม ทราบค าท แน นอนได แก Rego and Roucairol (1995),Tradeau and Dror(1992) 2.3. ไม ทราบความต องการของล กค า ซ งเป นความต องการท ไม ทราบค าขณะวางแผนแต ทราบเม อ ไปถ งล กค าต วอย างงงานว จ ยในกล มน ได แก Fleischmann et al (2004) และ Chuah and Yingling(2005) 3. จ ดกล มตามข อจาก ดด านเวลา (time windows) ซ งเป นข อจาก ดท ม ความสาค ญก บการจ ดเส นทาง เน องจากบางคร งเวลาให บร การล กค า หร อเวลาในการเด นทางจะม ผลต อเส นทางท ได จากการจ ด ด วยว ธ การต างๆ สามารถแบ งกล มได ด งน 3.1. แบบไม ม ข อจาก ดด านเวลา (no time windows) ในกล มน งานว จ ยจะไม คาน งถ งข อจาก ดด าน เวลาต าง ๆโดยจะท าการจ ดเฉพาะเส นทางการเด นทางต วอย างของงานว จ ยในกล มน ได แก Laporte et al. (1999), Toth and Vigo (1999), 3.2. แบบม ข อจาก ดด านเวลาแบบไม เคร งคร ด (soft time windows) ในกล มน จะม ข อจาก ด ทางด านเวลาแต ไม เคร งคร ดมากน กสามารถส งส นค าช าหร อเร วกว ากาหนดได บ าง แต อย างไร ก ตามข อจาก ดด านเวลาน จะม ผลต อการจ ดเส นทางเช นเด ยวก น ต วอย างงานว จ ยของกล มน ได แก Fleischmann et al (2004) 3.3. แบบม ข อจาก ดด านเวลาแบบเคร งคร ด (stick time windows) กล มน การจ ดเส นทางจะ คาน งถ งระยะเวลาในการเด นทางและระยะเวลาในการให บร การอย างเคร งคร ดหากเด นทางผ ด เวลาหร อไปถ งล กค าผ ดเวลาจะทาให เส นทางน นเป นเส นทางท ไม ถ กต องไม สามารถให บร การ ล กค าได ต วอย างของงานว จ ยในกล มน ได แก Rego and Roucairol (1995) 3.4. แบบม ข อจาก ดด านเวลาท ม ท งเคร งและไม เคร ง (Mixed) งานว จ ยบางงาน เช น Nagy and Salhi(2005) จะม ล กค าท งท เคร งคร ดเร องเวลาท มาถ งของรถบรรท ก หร อเวลาในการ ให บร การ และไม เคร งคร ดเร องเวลาในป ญหาเด ยวก น ซ งจะทาให การดาเน นการด วยว ธ การ ต างๆ ม ความแตกต างก นออกไปและม ผลต อการจ ดเส นทางเช นเด ยวก น 4. จ ดกล มตามเวลาในการวางแผนการเด นทาง (Time horizon) ในกล มน จะเน นการจ ดกล มแบบการ จ ดแบบคร งเด ยวในการวางแผนหน งคร งเช น การเด นทางส งส นค าท กว นจะเด นทางด วยเส นทาง เด ยวก น และการจ ดแบบหลายคร งเช นวางแผนเป นเด อนหร อป โดยในแต ละว นอาจจะม การเด นทาง ท ไม เหม อนก น
4.1. แบบคาบเวลาเด ยว (single period) กล มน จะวางแผนคร งเด ยวและดาเน นการเช นเด ยวก นใน ท กคาบเวลา ต วอย างงานว จ ยในกล มน ได แก Fu (2002) 4.2. แบบหลายคาบเวลา (muti period) เป นการวางแผนแบบหลายคาบเวลาและม เส นทางการ เด นทางท แตกต างก นไปในแต ละคาบเวลา ต วอย างงานว จ ยในกล มน ได แก Letchford and Eglese (1998) 5. จ ดกล มตามจานวนของจ ดเร มต น (Number of Origin points) จ ดเร มต นท แตกต างก นจะทาให ได ระยะทางในการเด นทางท แตกต างก นไป การวางแผนการจ ดเส นทางบางคร งอาจจะม จ ดเร มต น เด ยว บางคร งจะต องวางแผนให ก บศ นย กระจายส นค าหลายจ ดไปพร อม ๆก น สามารถแบ งกล ม ตามจานวนของจ ดเร มต นได เป น 5.1. ม จ ดเร มต นเด ยว (single origin/depot) การเร มต นของท กเส นทางจะเร มต นจากจ ดกระจาย ส นค าเพ ยงแห งเด ยว ต วอย างของงานว จ ยในกล มน ได แก Laporte et al. (1999), Toth and Vigo (1999) 5.2. ม จ ดเร มต นหลายจ ด (multiple origin/depot) ในกล มน จะต องวางแผนให ม ศ นย กระจาย ส นค าหลายแห ง โดยท าการจ ดเส นทางไปพร อมๆ ก นต วอย างงานว จ ยใน กล มน ได แก Fleischmann et al (2004) นอกจากการจ ดกล มท ง 5 แบบท ได กล าวไปแล วข างต นย งอาจจะสามารถจ ดกล มตามล กษณะอ น ๆ ได อ กเช น ล กษณะของการส ง หร อ ร บอย างเด ยวหร อม ท งการส งและการร บ, จานวนพาหนะท ใช, ข อจาก ดด านระยะทางส งส ด หร อจานวนล กค าส งส ดท เด นทางไปได เป นต น ในช วงแรกท ป ญหา VRP ได ร บการเผยแพร น นว ธ การท ใช แก ป ญหา VRP ส วนใหญ จะเป นว ธ การ แบบแม นตรงหร อ exact method เช น Clarke and Wright (1964), Laporte and Nobert (1987), Letchford and Eglese (1998), Malandraki and Daskin (1992) แต ช วงหล งของการพ ฒนาว ธ การท น ามาแก ป ญหา VRP น กว จ ยจะเร มห นมาสนใจก นพ ฒนาว ธ การเมตาฮ วร สต กส เพ อช วยในการแก ป ญหา ท ม ขนาดใหญ ของ VRP เช น Nagy and Salhi (2005), Brandao and Mercer (1997), Gendreau et al.(1998) ซ งว ธ การท น ยมก ได แก ว ธ การเช งพ นธ กรรม, ว ธ การตาบ เชร ช, ว ธ การระบบมด ซ งใน หน งส อเล มน จะได ทาการอธ บายว ธ การเช งพ นธ กรรม ว ธ การหาค าท ด ท ส ดด วยฝ งอน ภาคและว ธ การ ว ว ฒนาการผลต าง ซ งจะได อธ บายในลาด บถ ดไป
ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง สามารถแสดงเป นภาพได ด งแสดงในร ปท 6.1 ร ปท 6.1 ต วอย างภาพการจ ดเส นทางการขนส ง จากร ปท 6.1 เส นทางการขนส งเร มจากศ นย กระจายส นค าหน ง จากน นเด นทางเป น 3 เส นทาง ม 2 เส นทางท ม การเด นทางผ านเม องหร อล กค า 4 เม อง และม หน งเส นทางเด นทางผ านล กค า จานวน 3 รายและท กเส นทางจะต องกล บมาท ศ นย กระจายส นค า ต วอย างท 6.1 บร ษ ทหน งต องการส งพน กงานขายจานวน 3 คน เด นทางไปเพ อน าเสนอส นค าก บ ล กค า 7 ราย ระยะทางระหว างล กค าแต ละรายแสดงได ด งตารางท 6.1 โดยท เม องท 0 ค อเม องท บร ษ ท แห งน ต งอย โดยท บร ษ ทแห งน ออกแบบการเด นทางสาหร บพน กงานขาย 3 คน 2 เส นทางด วยก นด ง แสดงในตารางท 6.2 เส นทางใดค อเส นทางท ม ระยะทางในการเด นทางต าท ส ด ตารางท 6.1 ระยะทางระหว างล กค าแต ละรายตามต วอย าง 6.1 i/j 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 56 30 51 41 95 36 34 1 56 0 29 64 23 70 64 20 2 30 29 0 73 50 48 78 60 3 51 64 73 0 18 37 81 60 4 41 23 50 18 0 65 94 68
5 95 70 48 37 65 0 80 75 6 36 64 78 81 94 80 0 45 7 34 20 60 60 68 75 45 0 ตารางท 6.2 เส นทางการเด นทางท ง 2 เส นทางของพน กงานขายท ง 3 คน เส นทาง พน กงานขายคนท 1 พน กงานขายคนท 2 พน กงานขายคนท 3 1 0-1-2-3-0 0-4-5-0 0-6-7-0 2 0-6-3-0 0-1-4-7-0 0-5-2-0 ว ธ ทา เส นทางท 1 ม การเด นทางด งน 0-1-2-3-0, 0-4-5-0, 0-6-7-0 ซ งม ระยะทางในการ เด นทางสาหร บพน กงานขายคนท 1 เป น 209 ก โลเมตร พน กงานขายคนท สอง 201 ก โลเมตร และ พน กงานขายคนท 3 เป น 115 ก โลเมตร ด งน นรวมระยะทางการเด นทาง 525 ก โลเมตร เส นทางท 2 ม การเด นทางด งน 0-6-3-0, 0-1-4-7-0, 0-5-2-0 ซ งม ระยะทางในการ เด นทางสาหร บพน กงานขายคนท 1 เป น 168 ก โลเมตร พน กงานขายคนท สอง 181 ก โลเมตร และ พน กงานขายคนท 3 เป น 163 ก โลเมตร ด งน นรวมระยะทางการเด นทาง 522 ก โลเมตร ด งน นจะเห นว าเส นทางท 2 ควรเป นเส นทางท บร ษ ทแห งน จะเล อกใช ซ งท าให ประหย ด ระยะทางได 3 ก โลเมตร 6.2 ต วแบบทางคณ ตศาสตร สสาหร บป ญหาการการจ ดเส นทางการขนส ง สมม ต ว าม เซตของล กค า N= {1,2, n} ซ งกระจายอย ตามพ ก ดต าง ๆและม ระยะทางระหว าง เม อง i ไป j แตกต างก นออกไปเป น d ij หร อเวลาท ใช ในการเด นทาง t ij เม อ i และ j อย ในเซต N และ i j ถ า d ij =d ji จะเร ยกว าป ญหาการจ ดเส นทางการขนส งแบบสมมาตร หาก d ij d ji จะเร ยกว าป ญหาการ จ ดเส นทางการขนส งแบบไม สมมาตร สมม ตให q i เม อ i=1,2,..,n เป นปร มาณความต องการ ของ ล กค า i และ i=0 เม อ i เป นศ นย กระจายส นคล ากลางหร อจ ดส งส นค า รถยนต หร อยานพาหนะหร อพน กงานขายจะเด นทางออกจากเม อง 0 หร อศ นย กระจายส นค า และเด นทางไปร บส นค าหร อส งส นค าตามจ ด i และจะเด นทางกล บมาท จ ด 0 อ กคร งหน ง โดยรถแต ละ
ค นม จ านวนส นค าท ขนได จ าก ดตามศ กยภาพของรถแต ละค น สมม ต ให ม รถจ านวน V ค น ซ ง V={1,2,..,V} สมม ต ให รถค นท k สามารถส งส นค าได แตกต างก นโดยกาหนดให จานวนท สามารถส ง ส นค าได ม ค าเป น a k สมม ต ให R k ={r k (1),,r k (n k )} แทนเส นทางท ม การเด นทางของรถค นท k, r k (j) แทนเม องท j ท รถหร อเส นทางท k เด นทางผ าน n k ค อจานวนเม องท ม การเด นทางผ านโดยรถหร อ เส นทางท k และสมม ต ให ท กเส นทางจะต องส นส ดการเด นทางท ศ นย กระจายส นค า 0 หร อ r k (n k +1)=0 ด ชน i,j ล กค ารายท i หร อ j i,j =1.N k ยานพาหนะ/พน กงานขาย/ ค น/รายท k=1 K พาราม เตอร D ij ต นท นในการเด นทางจากล กค า i ไปล กค า j L จานวนล กค า q i ความต องการส นค า ณ จ ด i a k ความจ ของยานพาหนะท k ต วแปรต ดส นใจ เม อยานพาหนะ ม การเด นทางจาก ไป { เม อยานพาหนะ ไม ม การเด นทางจาก ไป ค าต วแปรต ดส นใจเพ อกาจ ดเส นทางเด นวนรอบไม ครบ หร อท วร ย อย (subtour) เม อ ล กค ารายท ถ กเด นทางผ านโดยยานพาหนะ { ล กค ารายท ไม ถ กเด นทางผ านโดยยานพาหนะ สมการเป าหมาย (6.1)
สมการขอบข าย (6.2), (6.3) (6.4) (6.5) (6.6) ( ( )) เม อ (6.7) (6.8) (6.9) (6.10) สมการท (6.1) ต นท นการเด นทางจากเม อง i ไปเม อง j โดยยานพาหนะ k สมการท (6.2) เป น การประก นว า ยานพาหนะ k จะเด นทางออกจากศ นย กระจายส นค า 0 และเด นทางไปย งล กค า j อย าง น อย 1 ราย สมการท (6.3) เป นสมการท ร บประก นว าล กค ารายหน งๆ จะเด นทางเข าและออกเท าก น (1 คร ง) สมการท (6.4) เป นการร บประก นว าเม องหน งๆ จะได ร บการเด นทางผ านจากยานพาหนะ อย างน อย 1 ค น สมการท (6.5) เป นการประก นว ายานพาหนะใด ๆ จะขนส นค าไปส งให ก บล กค าไม เก นจานวนท สามารถบรรท กได สมการ (6.6) ร บประก นว าการเด นทางเข าเม อง i ได ก ต อเม อ ยานพาหนะ k เด นทางผ านเม อง i จากเส นทางของเม อง j เม องใดเม องหน งเท าน น และสมการ (6.7) ร บประก นว าเม อง j ใด ๆ จะได ร บการเด นทางผ านโดยยานพาหนะใดใด อย างน อย 1 คร งโดยใช เส นทางท ผ านมากจาเม อง i ใด ๆ สมการท 6.8 ถ ง 6.10 สมการเพ อป องก นไม ให เก ดท วร ย อย (subtour)
สมการท 6.1 ถ ง 6.7 แสดงแบบจาลองทางคณ ตศาสตร ของป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง กรณ ท รถแต ละค นม ข อจาก ดด านจานวนส นค าท สามารถขนได และรถแต ละค นม ข อจาก ดไม เหม อน หร อไม เท าก น (capacitated vehicle routing problem) จากต วอย างท 6.1 หากน าโปรแกรมทางคณ ตศาสตร ไปเข ยนโปรแกรมล งโก จะได โปรแกรมล ง โกด งแสดงในร ปท 6.2 โดยจะได ระยะทางท ส นท ส ดค อ 356 และได เส นทางด งแสดงในตารางท 3 โดย ในต วอย างท 6.1 กาหนดให ม รถหร อพน กงานขาย 4 คน ความต องการส นค าของล กค าแต ละรายเป น 100,200,150,170,250,140 และ 190 ช นตามลาด บ และรถแต ละค นสามารถบรรท กส นค าได 600,500, 450 และ 460 ช นตามลาด บ ตามร ปท 6.2 เม อน าไปประมวลผลจะได เส นทางท ม ระยะทางส นท ส ดค อ รถค นท 1 ม เส นทางด งน 0-2-5-3-0 รถค นท 2 เส นทาง 0-6-0 รถค นท 3 ไม ม การเด นทาง รถค นท 4 ม เส นทาง 0-4-1-7- 0 ตามลาด บและได ระยะทางรวม 356 ก โลเมตร ผ อ านสามารถน าเอาโปรแกรมล งโกไปประย กต ใช ได ก บป ญหาการจ ดเส นทางท วๆ ไป ได แต ป ญหาการจ ดเส นทางเป นป ญหาท ม ความยากป ญหาท แก ได ในเวลาท พอเหมาะในโปรแกรมล งโก หากม ล กค าประมาณ 20-30 รายย งพอจะแก ป ญหาได แต ถ าเป นป ญหาท ใหญ กว าน นจะใช เวลานานมากใน การแก ป ญหาด งน นการแก ป ญหาด วยว ธ การการว ว ฒนาการโดยใช ผลต างจ งเป นว ธ การท ได คาตอบท ด และใช เวลาในการประมวลผลน อย
MODEL: SETS: CITY/1..8/:Q; VEHICLE/1..4/:A; CXC(CITY, CITY): D; KXCC(VEHICLE,CITY, CITY):X; KXC(VEHICLE,CITY):Y,U; ENDSETS DATA: D= 1000 56 30 51 41 95 36 34 56 1000 29 64 23 70 64 20 30 29 1000 73 50 48 78 60 51 64 73 1000 18 37 81 60 41 23 50 18 1000 65 94 68 95 70 48 37 65 1000 80 75 36 64 78 81 94 80 1000 45 34 20 60 60 68 75 45 1000 ; Q= 0 100 200 150 170 250 140 190; A=600 500 450 460 ; ENDDATA MIN=@SUM(KXCC(K,I,J):D(I,J)*X(K,I,J)); @FOR(VEHICLE(K):@SUM(CITY(J):X(K,1,J))<=1); @FOR(KXC(K,P):(@SUM(CITY(I):X(K,I,P))-@SUM(CITY(J):X(K,P,J)))=0); @FOR(CITY(I) I#GT#1:@SUM(VEHICLE(K):Y(K,I))=1); @FOR(VEHICLE(K): @SUM(CITY(I) I#GT#1:Q(I)*Y(K,I))<=A(K)); @FOR(KXC(K,I) I#GT#1:Y(K,I)<=@SUM(CITY(J):X(K,J,I))); @FOR(CITY(J) J#GT#1:@SUM(KXC(K,I):X(K,I,J))>=1); @FOR(KXCC(K,I,J) J#NE#I #AND# J#NE#1: U(K,I)>=U(K,J)+Q(I)-A(K)+A(K)*(X(K,I,J)+X(K,J,I))-(Q(I)+Q(J))*X(K,I,J)); @FOR(KXC(K,I):U(K,I)<=A(K)-(A(K)-Q(I))*X(K,1,I)); @FOR(KXC(K,I):U(K,I)>=Q(I)+@SUM(CITY(J) J#GT#1:Q(J)*(X(K,J,I)))); @FOR(KXC(K,I):@BIN(Y(K,I))); @FOR(KXCC(K,I,J):@BIN(X(K,I,J))); END ร ปท 6.2 โปรแกรมล งโกท ใช แก ป ญหาการจ ดเส นทางตามโจทย ข อ 6.1 และม รายละเอ ยดพาราม เตอร ตามท ระบ เบ องต น 6.3 ว ธ ว ว ฒนาการว ว ฒนาการโดยใช ผลต างสาหร บการแก ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง ข นตอนท วๆ ไปของว ธ การการว ว ฒนาการโดยใช ผลต าง ได แสดงไว ในร ป 3.1 ซ งว ธ การ การ ว ว ฒนาการโดยใช ผลต าง สาหร บแก ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง แสดงได ด งไปน
สร างเวคเตอร เร มต นสาหร บป ญหาการจ ดเส นทางขนส ง การประย กต ใช ว ธ การการว ว ฒนาการโดยใช ผลต าง ก บป ญหาการเด นทางของพน กงานขายจะม ว ธ การเหม อนก บท ได แสดงไว ในร ป 3.3 ค อจะต องม การสร างเวคเตอร เร มต น จากน นน าไปผ าน กระบวนการปร บเปล ยนค าภายในองค ประกอบของเวคเตอร แลกเปล ยนค าองค ประกอบภายในของ เวคเตอร และการค ดเล อกเวคเตอร ซ งกระบวนเหล าน เป นกระบวนการข นพ นฐานของว ธ การการ ว ว ฒนาการโดยใช ผลต าง 6.3.1 การให รห สเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง แบบท 1 การออกแบบเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส งสามารถด าเน นการได ท งหลาย ร ปแบบ ตามท ได แสดงต วอย างไว ในบทท 5 แล วแต ต วแปรต ดส นใจสาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการ ขนส งประกอบด วยด ชน จานวน 3 ด ชน ได แก i,j และ k ซ งเด มในบทท 5 น นม เพ ยง 2 ด ชน ได แก i และ j ด งน นเวคเตอร แบบตรงจะต องม 3 ม ต ตามล กษณะของต วแปร เช นสมม ต ว าม พน กงานขายหร อ พน กงานข บรถหร อรถจานวน 4 คน จะต องทาการสร างเมตร กจานวนจร งขนาด i J จานวน k เมตร ก เพ อใช แทนต วแปรให ครบตามค าของต วแปร จากน นจ งดาเน นการถอดรห สเวคเตอร เพ อให ได ค า ของ ตามท ต องการตามแบบจาลองทางคณ ตศาสตร ของป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง ต วอย าง ของเวคเตอร ในกรณ ท ม k=4,i=8 (0-7), J=7(1-7 ไม รวมศ นย กระจายส นค าเน องจากการเล อก เด นทางจากเม องใด ๆ ไปศ นย กระจายส นค าจะดาเน นการโดยอ ตโนม ต เม อรถบรรท กส นค าได บรรท ก ส นค าเต มจานวนและส งของให ก บล กค าท กรายในเส นทางแล ว), NP=5 ในตารางท 6.3 จะแสดง เฉพาะเวคเตอร ท 1 จากจานวน 5 เวคเตอร เท าก บจานวน NP ตารางท 6.3 ก. เวคเตอร จานวนจร งแทนคาตอบในป ญหา VRP เม อ K=1 I J 1 2 3 4 5 6 7 0 0.83 0.86 0.29 0.66 0.66 0.82 0.13 1 0.29 0.55 0.66 0.63 0.33 0.05 0.76 2 0.62 0.15 0.24 0.06 0.52 0.57 0.54 3 0.84 0.87 0.79 0.63 0.03 0.46 0.14 4 0.70 0.24 0.60 0.14 0.67 0.47 0.14 5 0.43 0.49 0.69 0.79 0.36 0.08 0.61 6 0.42 0.17 0.88 0.56 0.02 0.42 0.96 7 0.46 0.23 0.40 0.73 0.65 0.08 0.06
ตารางท 6.3 ข. เวคเตอร จานวนจร งแทนคาตอบในป ญหา VRP เม อ K=2 I J 1 2 3 4 5 6 7 0 0.94 0.55 0.67 0.44 0.33 0.53 0.41 1 0.41 0.39 0.36 0.76 0.59 0.14 0.01 2 0.70 0.63 0.75 0.64 0.13 0.17 0.87 3 0.74 0.80 0.43 0.52 0.10 0.59 0.54 4 0.40 0.51 0.02 0.30 0.24 0.27 0.36 5 0.50 0.92 0.34 0.29 0.30 0.21 0.33 6 0.31 0.50 0.20 0.83 0.94 0.46 0.58 7 0.03 0.28 0.31 0.12 0.07 0.21 0.55 ตารางท 6.3 ค. เวคเตอร จานวนจร งแทนคาตอบในป ญหา VRP เม อ K=3 I J 1 2 3 4 5 6 7 0 0.29 0.98 0.76 0.16 0.54 0.12 0.76 1 0.53 0.19 0.35 0.03 0.80 0.99 0.86 2 0.22 0.23 0.24 0.59 0.15 0.18 0.71 3 0.47 0.69 0.95 0.43 0.57 0.61 0.72 4 0.08 0.14 0.62 0.94 0.50 0.80 0.99 5 0.83 0.80 0.58 0.25 0.31 0.41 0.94 6 0.24 0.99 0.94 0.91 0.47 0.76 0.97 7 0.05 0.24 0.56 0.84 0.46 0.36 0.72 ตารางท 6.3 ง.เวคเตอร จานวนจร งแทนคาตอบในป ญหา VRP เม อ K=4 I J 1 2 3 4 5 6 7 0 0.75 0.42 0.62 0.86 0.56 0.36 0.44 1 0.28 0.39 0.24 0.22 0.12 0.12 0.63 2 0.53 0.51 0.94 0.29 0.03 0.34 0.58 3 0.71 0.55 0.45 0.63 0.96 0.47 0.93 4 0.51 0.18 0.14 0.02 0.02 0.48 0.54
5 0.51 0.39 0.65 0.88 0.85 0.62 0.53 6 0.79 0.37 0.41 0.08 0.05 0.42 0.78 7 0.88 0.09 0.39 0.09 0.14 0.64 0.62 ตารางท 6.3 ก ถ ง 6.3 ง เป นตารางท แสดงเวคเตอร ท 1 จากจานวน 5 เวคเตอร ตามจานวน NP ท กาหนดไว ล วงหน า เพ อให ได คาตอบท ต องการค อเส นทางการเด นทางของรถแต ละค นจะต อง ดาเน นการถอดรห ส 6.3.2 กระบวนการถอดรห สเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส งแบบท 1 สมม ต ให ความต องการส นค าของล กค าแต ละรายเป น 100,200,150,170,250,140 และ 190 ช นตามลาด บ และรถแต ละค นสามารถบรรท กส นค าได 600,500, 450 และ 460 ช นตามลาด บ จะสามารถถอรห สได ด วยลาด บข นตอนต อไปน ข นตอนในการถอดรห ส 1) ต งค า K=1 2) เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าในพ ก ดใน เวคเตอร ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P 3) ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า P ว าเก นจานวนส นค าท สามารถบรรจ ในรถค นท K ได หร อไม หากสามารถบรรจ ได ทาการเปล ยนค า =1 จากน นดาเน นการข นตอนท 3 อ พเดท ค าความจ ของรถค นท K โดยท 4) หาตาแหน งล กค าท ม ค าในพ ก ดท น อยท ส ดในจากตาแหน ง P สมม ต ให เป นตาแหน ง T 5) ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า T หากม ค าน อยกว า เปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า และเปล ยนค า =0 เม อ h ค อล กค ารายอ น ๆท ไม ใช T 6) ดาเน นการซ า ข นตอนท 4-5 จนกระท งล กค าท กรายถ กเด นทางผ านด วยรถ 1 คร ง 7) หากความต องการส นค าของล กค า T มากกว า ให อ พเดทค า K=K+1 และทาการมอบหมาย 8) ดาเน นการซ าข อ 2-7
จากข นตอนข างต นสามารถดาเน นการได ด งน 1) ต งค า K=1 2) เร มต นเด นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกค าในพ ก ดท น อยท ส ด ค าในพ ก ดใน แต ละตาแหน งของเม องศ นย ม ค าเป น 0.83,0.86,0.29,0.66,0.66,0.82 และ 0.13 พบว า เม องท 7 ค อเม องท ม ค าในพ ก ดน อยท ส ดซ งม ค าเป น 0.13 3) จากน นทาการตรวจสอบค าความต องการของเม อง 7 พบว าม ความต องการ 190 ซ งม ค าน อย กว าค า ซ งม ค าเป น 600 และทาการปร บค า =600-190=410 และมอบหมายค า =1 4) จากน นพ จารณาค าในพ ก ดของตาแหน งล กค าต างๆ ต อจากเม อง 7 จะพบว าตาแหน งต าง ๆ (ยกเว นตาแหน งของศ นย กระจายส นค า) ม ค าในพ ก ดด งน 0.46,0.23,0.40,0.73,0.65 และ 0.08 ตามลาด บ ด งน นเม องท เด นทางต อจากเม อง 7 ค อเม องท 6 ด งน นได เส นทาง 0-7-6 5) ตรวจสอบความต องการของเม อง 6 ม ค าเป น 140 ด งน นค า มอบหมายค า =1 และ,,,,, = 0; 6) ดาเน นการซ าข นตอนท 2-5 จนกระท งท กเม องถ กเด นทางผ าน ข นตอนท 4-6 รอบท 2 สาหร บ k = 1 =410-140= 270 จากน น ในขณะน ม เม องท เด นทางผ านแล วค อเม องท 7และ 6 ย งขาดเม องท ย งไม ถ กเด น ทางผ านอ กจานวน 5 เม องได แก เม องท 1-5 เม อ K=1 ; เม องส ดท ายท เด นทางผ านค อเม องท 6 จากน นทาการตรวจสอบค าในพ ก ดของเม องท 6 พบว าเม องท 1,2,3,4 และ 5 ม ค าในพ ก ด เป น 0.42,0.17,0.88,0.56 และ 0.02 ตามลาด บด งน นค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.02 ซ ง เป นค าของเม องท 5 จากน นตรวจสอบความต องการของเม อง 5 ม ค าเป น 250 ด งน นค า =270-250= 20 จากน นมอบหมายค า =1 และ,,,,,, = 0; พบกว าจานวนส นค าท เหล อสาหร บรรจ ลงในรถบรรท กค นท 1 เหล อเพ ยง 20 ก โลเมตรเท าน นด งน นไม ม เม องใดเลยในเม องท 1-4 ไม ม เม องใดเลยม ความต องการน อยกว า 20 ก โลเมตรเลย ด งน นจ งอ พเดทค า k=k+1=1+1=2 ข นตอนท 4-6 รอบท 2 ในขณะน ม เม องท เด นทางผ านแล วค อเม องท 7,6และ 5 ย งขาดเม องท ย งไม ถ กเด น ทางผ านอ กจานวน 4 เม องได แก เม องท 1-4 K=1 ; เม องส ดท ายท เด นทางผ านค อเม องท 1 จากน นทาการตรวจสอบค าในพ ก ดของเม องท 5 พบว าเม องท 1,2,3 และ 4 ม ค าในพ ก ดเป น 0.83,0.80,0.58 และ 0.25 ตามลาด บด งน นค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.25 ซ งเป นค าของ
เม องท 4 จากน นตรวจสอบความต องการของเม อง 4 ม ค าเป น 170 ซ งมากกว าค า ซ งม ค า เป น 20 ด งน นไม สามารถมอบหมายล กค ารายท 2 ในเส นทางท 1 ได ด งน น K=1+1=2; และ มอบหมาย ข นตอนท 2 รอบท 2 =1 ด งน นเส นทางสาหร บรถค นท 1 เป น 0-7-6-5-0 1) K=2 2) ขณะน เม องท เด นทางผ านไปแล วค อ 7,6 และ 5 เร มต นเด นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกค าในพ ก ดท น อยท ส ด โดยไม พ จารณา ค าในพ ก ดของเม อง 7,6 และ 5 ด งน นค าในพ ก ดของเม องท 1,2,3 และ 4 ม ค าในพ ก ดในแต ละตาแหน งเป น 0.83,0.86,0.29 และ 0.66 พบว าเม องท 4 ค อเม องท ม ค าในพ ก ดน อยท ส ด ซ งม ค าเป น 0.29 3) จากน นทาการตรวจสอบค าความต องการของเม อง 3 พบว าม ความต องการ 150 ซ งม ค าน อย กว าค า ซ งม ค าเป น 500 และทาการปร บค า =500-150=350 และมอบหมายค า =1 4) จากน นพ จารณาค าในพ ก ดของตาแหน งล กค าต างๆ ต อจากเม อง 3 จะพบว าตาแหน งเม องท 1,2 และ 4 ม ค าในพ ก ดเป น 0.84,0.87 และ 0.63 ตามลาด บ ด งน นเม องท เด นทางต อจาก เม อง 3 ค อเม องท 4 ด งน นได เส นทาง 0-3-4 เพราะม ค าในพ ก ดน อยท ส ดค อ 0.63 5) ตรวจสอบความต องการของเม อง 4 ม ค าเป น 170 ด งน นค า มอบหมายค า =1 และ,,,,, = 0; 6) ดาเน นการซ าข นตอนท 2-6 จนกระท งท กเม องถ กเด นทางผ าน ข นตอนท 2-6 รอบท 2 สาหร บ K=2 =350-170= 180 จากน น ในขณะน ม เม องท เด นทางผ านแล วค อเม องท 7,6,5,3 และ 4 ย งขาดเม องท ย งไม ถ ก เด นทางผ านอ กจานวน 2 เม องได แก เม องท 1 และ 2 เม อ K=2 ; เม องส ดท ายท เด นทางผ าน ค อเม องท 5จากน นทาการตรวจสอบค าในพ ก ดของเม องท 5 พบว าเม องท 1,2 ม ค าในพ ก ด เป น 0.70 และ 0.24 ตามลาด บด งน นค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.24 ซ งเป นค าของเม องท 2 จากน นตรวจสอบความต องการของเม อง 2 ม ค าเป น 200 ซ งมากกว าค า ซ งม ค าเป น 180 ด งน นไม สามารถมอบหมายล กค ารายท 2 ในเส นทางท 2 ได ด งน น K=2+1=3; และ มอบหมายค า =1 ในเส นทางท 2 น ได เส นทางเป น 0-3-4-0
ข นตอนท 2 รอบท 3 1) K=3 2) ขณะน เม องท เด นทางผ านไปแล วค อ 3,4,5,6 และ 7 เร มต นเด นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกค าในพ ก ดท น อยท ส ด โดยไม พ จารณา ค าในพ ก ดของเม อง 3,4,5,6 และ 7 ด งน นค าในพ ก ดของเม องท 1 และ 2 ม ค าในพ ก ดในแต ละตาแหน งเป น 0.83 และ 0.86 พบว าเม องท 1 ค อเม องท ม ค าในพ ก ดน อยท ส ดซ งม ค าเป น 0.83 3) จากน นทาการตรวจสอบค าความต องการของเม อง 1 พบว าม ความต องการ 100 ซ งม ค าน อย กว าค า ซ งม ค าเป น 450 และทาการปร บค า =450-100=350 และมอบหมายค า =1 4) จากน นพ จารณาค าในพ ก ดของตาแหน งล กค าต างๆ ต อจากเม อง 1 จะพบเหล อเพ ยงตาแหน ง เด ยวท ย งไม ได เด นทางผ านค อตาแหน งของเม องท 2 และเม องท 2 ม ความต องการ 200 ก โลเมตรซ งน อยกว า ด งน นจะได เส นทางท 3 เป น 0-1-2-0 ด งน นสามารสร ปเส นทางการเด นทางพร อมระยะทางของการเด นทางในแต ละเส นทางด งตาราง ท 6.4 ตารางท 6.4 เส นทางการเด นทางตามตารางการขนส งของเวคเตอร ท 1 ในตาราง 6.3 ก. เส นทางท เส นทาง ระยะทาง 1 0-7-6-5-0 254 2 0-3-4-0 110 3 0-1-2-0 115 รวม 479 จากกระบวนการข างต นน าไปประย กต ใช ก บตารางท 6.3 ข ถ ง 6.3 ง จะได เส นทางรวมและ ระยะทางของแต ละเวคเตอร ได ด งตารางท 6.5 ก ถ ง 6.5 ค ตารางท 6.5 ก เส นทางการเด นทางตามตารางการขนส งของเวคเตอร ท 2 ในตาราง 6.3 ข เส นทางท เส นทาง ระยะทาง 1 0-5-6-3-0 307 2 0-7-1-2-0 127 3 0-4-0 82 รวม 513
ตารางท 6.5 ข เส นทางการเด นทางตามตารางการขนส งของเวคเตอร ท 3 ในตาราง 6.3 ค. เส นทางท เส นทาง ระยะทาง 1 0-6-1-4-0 164 2 0-5-3-0 183 3 0-7-2-0 124 รวม 471 ตารางท 6.5 ค เส นทางการเด นทางตามตารางการขนส งของเวคเตอร ท 4 ในตาราง 6.3 ง. เส นทางท เส นทาง ระยะทาง 1 0-6-5-2-0 254 2 0-7-4-0 110 3 0-3-1-0 115 รวม 479 1.3.3. การให รห สเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง แบบท 2 โดยปกต ป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง คาตอบท ต องการค อเส นทางขนส งต างๆ ท เร มต นจาก ศ นย กระจายส นค าเด นทางไปส งส นค าแล วกล บมาท ศ นย กระจายส นค า โดยจ านวนล กค าในแต ละ เส นทางน นข นอย ก บปร มาณความต องการของล กค าแต ละรายโดยแต ละเส นทางท เด นทางไปน นจะขน ส นค าข นยานพาหนะได เท าก บความจ ของรถแต ละค น ตามท ได แสดงต วอย างให ด แล วในข นการให รห ส และถอดรห สแบบตรง เช นในตารางท 6.5 ก น นม เส นทางสามเส นทางได แก 0-7-6-5-0, 0-3-4-0 และ 0-1-2-0 ด งน นการออกแบบเวคเตอร แทนคาตอบก อาจจะไม ต องการเวคเตอร ท ม ขนาด k I J แต อาจจะทาให ม ขนาดเพ ยง 1 J ซ งสามารถแสดงได ด งตารางท 6.6 ตารางท 6.6 เวคเตอร แทนคาตอบของการให รห สเวคเตอร แบบอ อม เวคเตอร 1 2 3 4 5 6 7 1 0.83 0.86 0.29 0.66 0.66 0.82 0.13 ซ งเวคเตอร ในตารางท 6.6 สามารถถอดรห สเพ อให ได คาตอบด งข นตอนต อไปน
6.3.4 กระบวนการถอดรห สเวคเตอร สาหร บป ญหาการจ ดเส นทางการขนส ง แบบท 2 ตามท ได กล าวไปแล วเบ องต นว าสมม ต ให ความต องการส นค าของล กค าแต ละรายเป น 100,200,150,170,250,140 และ 190 ช นตามลาด บ และรถแต ละค นสามารถบรรท กส นค าได 600,500, 450 และ 460 ช นตามลาด บ จะสามารถถอรห สได ด วยลาด บข นตอนต อไปน ข นตอนในการถอดรห ส 1) สมม ต ให เวคเตอร ขนาด 1 I เป นเวคเตอร Ω 2) ต งค า K=1 3) เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าในพ ก ดใน เวคเตอร Ω ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P 4) ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า P ว าเก นจานวนส นค าท สามารถบรรจ ในรถค นท K ได หร อไม หากสามารถบรรจ ได ทาการเปล ยนค า =1 จากน นดาเน นการข นตอนท 3 และ อ พเดทค าความจ ของรถค นท K โดยท 5) หาตาแหน งล กค าท ม ค าในพ ก ดท น อยท ส ดถ ดจากตาแหน ง P สมม ต ให เป นตาแหน ง T 6) ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า T หากม ค าน อยกว า เปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า และเปล ยนค า =0 เม อ h ค อล กค ารายอ น ๆท ไม ใช T และทาซ าข นตอนท 5-6 หากค าความต องการของล กค า T มากกว า ให อ พเดทค า K=K+1 และทาการมอบหมาย และทาซ าข นตอนท 3-6 จากข นตอนข างต นสามารถดาเน นการได ด งน ข นตอนท 1. สมม ต ให เวคเตอร ขนาด 1 I เป นเวคเตอร Ω จากตาราง 6.6 ด งน น เวคเตอร Ω ={0.83,0.86,0.29,0.66,0.66,0.82,0.13} ข นตอนท 2. ต งค า K=1 ข นตอนท 3. เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าในพ ก ด ในเวคเตอร Ω ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P ค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.13 ซ งเป นตาแหน งของเม องท 7 ด งน น P=7
ข นตอนท 4. ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 7 ว าเก นจานวนส นค าท สามารถบรรจ ในรถค นท 1 ได หร อไม หากสามารถบรรจ ได ทาการเปล ยนค า =1 จากน นดาเน นการข นตอนท 3 และ อ พเดทค าความจ ของรถค นท K โดยท ค าความต องการส นค าของล กค ารายท 7 ม ค าเป น 190 และค า ล กค ารายท 7 ได ด งน นค า ม ค าเป น 600 ด งน นจ งสามารถน าส นค าส งจากศ นย กระจายส นค าไปให =1 และทาการอ พเดทค า ข นตอนท 5. หาตาแหน งล กค าท ม ค าในพ ก ดท น อยท ส ดถ ดจากตาแหน ง P สมม ต ให เป นตาแหน ง T ค าในพ ก ดท น อยเป นลาด บถ ดไปของเวคเตอร Ω ค อ 0.29 ซ งเป นค าของล กค ารายท 3 ด งน นค า T=3 ข นตอนท 6. ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า T หากม ค าน อยกว า เปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า และเปล ยนค า =0 เม อ h ค อล กค ารายอ น ๆท ไม ใช T แต หากค าความต องการของล กค า T มากกว า ให อ พเดทค า K=K+1 และทาการมอบหมาย ค าความต องการของล กค ารายท 3 ค อ 150 ทาการอ พเดทค า ด งน นมอบหมายค า =1 และค า,,, =0 ดาเน นการซ า ข นตอนท 5-6 จนกระท งล กค าท กรายถ กเด นทางผ านด วยรถ 1 คร ง ดาเน นการซ าข นตอนท 5-6 รอบท 1 ข นตอนท 5 เม องส ดท ายท เด นทางบนเส นทาง 0-7-3 ค อเม องท 3 และป จจ บ นเหล อ ด งน นพ จารณาค าในพ ก ดใน Ω ท ไม น บรวมค าในพ ก ดของเม องท 7 และ 3 พบว าค าในพ ก ดท น อยท ส ดลาด บถ ดไปค อ 0.66 แต ม ค าเท าก น 2 เม องค อเม องท 4 และ 5 ด งน นเล อกเด นทาง จากเม องท 3 ไปเม องท 4 หร อ 5 ก ได สมม ต ว าเล อกเด นทางจากเม องท 3 ไปเม องท 5 ด งน น T=5 ข นตอนท 6 ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 5 พบว าม ความต องการ 250 ซ งม ค าน อยกว า ป จจ บ นซ งม ค าเท าก บ 260 ด งน นจ งทาการเปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า =10 และเปล ยนค า,,, =0
ดาเน นการซ าข นตอนท 5-6 รอบท 2 ข นตอนท 5 เม องส ดท ายท เด นทางบนเส นทาง 0-7-3-5 ค อเม องท 5 และป จจ บ นเหล อ ด งน นพ จารณาค าในพ ก ดใน Ω ท ไม น บรวมค าในพ ก ดของเม องท 7,3 และ 5 พบว าค าในพ ก ด ท น อยท ส ดลาด บถ ดไปค อ 0.66 ซ งเป นค าในพ ก ดของเม องท 4 ด งน นเล อกเด นทางจากเม อง ท 5 ไปเม องท 4 ด งน น T=4 ข นตอนท 6 ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 4 พบว าม ความต องการ 170 ซ งม ค ามากกว า ป จจ บ นซ งม ค าเท าก บ 10 ด งน นจ งท าการเปล ยนค า =1 จากน นท าการอ พเดทค า k=1+1=2 และเร มต นข นตอนท 3-6 โดยเส นทางของเส นทางท 1 ค อ 0-7-3-5-0 ข นตอนท 3-6 รอบท 2 เม อ k=2; ข นตอนท 3. เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าใน พ ก ดในเวคเตอร Ω ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P ป จจ บ นค าในพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.66 ซ งเป นค าในพ ก ดของเม อง 4 (ไม พ จารณาค าในพ ก ดของ เม องท เด นทางผ านโดยรถค นท 1 แล ว ค อเม องท 7,3 และ 5 ด งน น P=4 ข นตอนท 4. ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 4 พบว าค าความต องการส นค าของล กค ารายท 7 ม ค าเป น 170 และค า ม ค าเป น 500 ด งน นจ งสามารถน าส นค าส งจากศ นย กระจายส นค าไป ให ล กค ารายท 4 ได ด งน นค า =1 และทาการอ พเดทค า ข นตอนท 5 ค าในพ ก ดท น อยเป นลาด บถ ดไปของเวคเตอร Ω ค อ 0.82 ซ งเป นค าของล กค ารายท 6 ด งน นค า T=6 ข นตอนท 6. ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 6 พบว าม ค าเป น 140 ซ งม ค าน อยกว า 330 ( ด งน นทาการ เปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า เปล ยนค า =190 และ,,, =0 ดาเน นการซ า ข นตอนท 5-6 จนกระท งล กค าท ก รายถ กเด นทางผ านด วยรถ 1 คร ง ป จจ บ นได เส นทาง 0-4-6 สาหร บ k=2;
ดาเน นการซ าข นตอนท 5-6 รอบท 1 k=2; ข นตอนท 5 เม องส ดท ายท เด นทางบนเส นทาง 0-4-6 ค อเม องท 6 และป จจ บ นเหล อ ด งน นพ จารณาค าในพ ก ดใน Ω ท ไม น บรวมค าในพ ก ดของเม องท 7,3,5,4 และ 6 พบว าค าใน พ ก ดท น อยท ส ดลาด บถ ดไปค อ 0.83 ซ งเป นพ ก ดของเม องท 1 ด งน นเล อกเด นทางจากเม องท 6 ไปเม องท 1 ด งน น T=1 ข นตอนท 6 ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 1 พบว าม ความต องการ 100 ซ งม ค าน อยกว า ป จจ บ นซ งม ค าเท าก บ 190 ด งน นจ งทาการเปล ยนค า =1 จากน น อ พเดทค า =90 และเปล ยนค า,,, =0 ดาเน นการซ าข นตอนท 5-6 รอบท 2 ข นตอนท 5 เม องส ดท ายท เด นทางบนเส นทาง 0-4-6-1 ค อเม องท 1 และป จจ บ นเหล อ ด งน นพ จารณาค าในพ ก ดใน Ω ท ไม น บรวมค าในพ ก ดของเม องท 7,3,5,4,6 และ 1 พบว าค า ในพ ก ดท น อยท ส ดลาด บถ ดไปค อ 0.86 ซ งเป นค าในพ ก ดของเม องท 2 ด งน นเล อกเด นทาง จากเม องท 2 ไปเม องท 2 ด งน น T=2 ข นตอนท 6 ตรวจสอบความต องการส นค าของล กค า 2 พบว าม ความต องการ 200 ซ งม ค ามากกว า ป จจ บ นซ งม ค าเท าก บ 90 ด งน นจ งทาการเปล ยนค า =1 จากน นทาการอ พเดทค า k=2+1=3 และเร มต นข นตอนท 3-6 รอบท 3 โดยท เส นทางของเส นทางท 2 ค อ 0-4-6-1- 0 ข นตอนท 3-6 รอบท 3 เม อ k=3 ข นตอนท 3. เร มต นเส นทางจากศ นย กระจายส นค า (0) จากน นเล อกเด นทางไปย งเม องท ม ค าใน พ ก ดในเวคเตอร Ω ท น อยท ส ดก อนให ตาแหน งเม องในพ ก ดน นเป น P ป จจ บ นค าพ ก ดท น อยท ส ดค อ 0.86 ซ งเป นค าในพ ก ดของเม อง 2 (ไม พ จารณาค าในพ ก ดของ เม องท เด นทางผ านโดยรถค นท 1 แล ว ค อเม องท 7,3,5,4,6 และ 1 ด งน น P=2