ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ

УДК 58/88 58/44 : 68.5 держреєстрації U96 Інв. 6U46 Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка ЛНУ ім. Івана Франка 79 м. Львів вул. Університетська ; тел. 7 7 4 факс 97-89- ndc@frano.lvv.a ЗАТВЕРДЖУЮ Проректор з наукової роботи д-р хім. наук проф. Б.Котур.. 5 ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ АДАПТИВНІ ТА СТАБІЛІЗОВАНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ ДЛЯ ЕВОЛЮЦІЙНИХ ПРОБЛЕМ МЕХАНІКИ БІОФІЗИКИ ТА ОХОРОНИ ДОВКІЛЛЯ ПІ-7 Б Заключний Заступник проректора з наукової роботи канд.хім.наук ст.наук.співроб. Декан факультету прикладної математики та інформатики д-р фіз.-мат.наук. проф. Науковий кервник д-р фіз.-мат.наук проф. С.Орищин Я.Савула Г.Шинкаренко 5 Рукопис закінчено 5 листопада 5 р. Результати цієї роботи розглянуто Вченою Радою ф-ту прикладної математики та інформатики протокол від 6..5

СПИСОК АВТОРІВ науковий керівник теми гол. наук. співроб. д-р фіз.-мат. наук ст. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук пров. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук пров. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук ст. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук пров. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук ст. наук. співроб. канд. техн. наук ст. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук мол. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук мол. наук. співроб. канд. фіз.-мат. наук. Г.Шинкаренко розділи -4 І.Бернакевич 9 П.Вагін 9 П.Венгерський 5 В.Вовк В.Горлач 8 О.Левченко 7 Ю.Щербина 4 Ю.Козаревська 6 В.Трушевський 5 наук. співроб. Р.Малець мол. наук. співроб. Г.Квасниця мол. наук. співроб. О.Фундак інж. ІII категорії Є.Абрамов інж. ІII категорії О.Вихопень 8 інж. ІII категорії В.Войтович 8 інж. ІII категорії Н.Голуб 4 інж. ІII категорії О.Демкович інж. ІII категорії С.Кравцов інж. ІII категорії А.Козел інж. ІII категорії О.Ліпіна інж. ІII категорії Ю.Сінчук інж. ІII категорії О.Смирнов 4 інж. ІII категорії Ф.Чабан інж. ІII категорії А.Шинкаренко 8 інж. ІII категорії І.Шот інж. ІII категорії А.Ямелинець Нормоконтролер М.Благітко

РЕФЕРАТ Звіт про НДР: с. 7 рис. 5 табл. 8 джерела. Для розв язування основних варіаційних задач побудовано адаптивні схеми МСЕ з використанням ефективних і надійних апостерірних оцінювачів похибок та сумісні стабілізованії схеми МСЕ для сингулярно збурених задач. Для змішаних варіаційних задач запропоновано апроксимації Рав яра-тома з використанням барицентричних координат на трикутниках. Для еволюційних варіаційних задач розроблено схеми які узгоджують похибки лінеаризації з дискретизації в часі. Розроблено алгоритми розв язування квадратичних задач на власні значення. Одержано оцінки точності grd-апроксимації ділянок рельєфу з різним властивостями рівнина височина гори. Запропоновані числові схеми вжито для розв язування наступних класів задач: міграція домішок в нестисливих потоках із домінуючою конвекцією; пружні тіла з тріщинами і розривними навантаженнями динаміка потоків мілкої води зокрема стоку з поверхні водозбору; акустична взаємодія пружне тіло/оболонка-рідина та гідроакустика; динаміка зсувних нелінійних оболонок; фотопровідність напівпровідникових та самоорганізація біологічних структур Серед розглянутих математичних моделей більшість сформульовано у вигляді змішаних варіаційних задач або/та сингулярно збурених задач що часто вимагало дослідження як коректності їх постановок так і аналізу умов стійкості та збіжності побудованих проекційно-сіткових схем Створено програмне забезпечення в якому реалізовано алгоритми запропонованих схем МСЕ для розв язування згаданих вище варіаційних задач. Основні положення та результату проекту проілюстровано аналізом числових розв язків різноманітних модельних та прикладних задач. Запропоновані засоби компютерного моделювання містять елементи наукової новизни і можуть знайти застосування при вирішенні проблем фізики механіки суцільного середовища геодезії та екології. ВАРІАЦІЙНА ЗАДАЧА МЕТОД ГАЛЬОРКІНА МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ СТАБІЛІЗОВАНА СХЕМА H-АДАПТИВНА СХЕМА АПРОКСИМАЦІЇ РАВ ЯРА-ТОМА ЕНЕРГЕТИЧНА НОРМА ФУНКЦІОНАЛ ДЖЕРЕЛ ПОХИБКИ АПОСТЕРІОРНИЙ ОЦІНЮВАЧ ПОХИБКИ ГЕНЕРУВАННЯ ТРІАНГУЛЯЦІЇ СТРАТЕГІЯ АДАПТУВАННЯ УТОЧНЕННЯ АПРОКСИМАЦІЙ ЧУТЛИВІСТЬ РОЗВ ЯЗКІВ РУХ МІЛКОЇ ВОДИ МІГРУВАННЯ ДОМІШОК ПОВЕРХНЕВИЙ СТІК ТЕРМОПРУЖНЕ ТІЛО ГІДРОАКУСТИКА ВЗАЄМОДІЯ ПРУЖНОГО ТІЛА\ОБОЛОНКИ З РІДИНОЮ ВЛАСНІ ТА ВИМУШЕНІ КОЛИВАННЯ ГЕОІНФОРМАЦІЙНА СИСТЕМА ЦИФРОВА КАРТА РЕЛЬЄФ ПОДАТЛИВАНА ЗСУВ ТА СТИСНЕННЯ ОБОЛОНКА ФОТОПРОВІДНІСТЬ НАПІВПРОВІДНИКІВ ЗБАЛАНСОВАНА ЛІНЕАРИЗАЦІЯ.

4 ЗМІСТ ВСТУП.... АДАПТИВНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ..... Апостеріорні оцінки точкових похибок та уточнення апроксимацій методу скінченних елементів: ієрархічні оцінювачі лишків...... Модельна задача...... Кусково-лінійні апроксимації...... Простори апроксимацій для похибок... 4..4. Алгоритм послідовного уточнення апроксимації... 7..5. Чисельні результати... 8.. Адаптивна схема з АОП Верфюрця...... Скінченно-елементна дискретизація...... Оцінювач похибки залишку... 4... Аналіз чисельних результатів... 8.. Одновимірні адаптації...... Постановка крайової задачі...... Варіаційне формулювання крайової задачі...... Кусково-лінійні апроксимації.....4. Обчислення на скінченному елементі... 5..5. Дискретизовані рівняння... 5..6. Апостеріорні оцінювачі похибок... 6..7. Стратегія адаптування сітки... 8..8. Чисельні результати... 9.4. Нестаціонарне адаптування... 4.4.. Початково-крайова задача мігрування субстанції... 4.4.. Варіаційна задача мігрування субстанції... 4.4.. Напівдискретизація Гальоркіна... 4.4.4. Інтегрування задачі Коші... 44.4.5. Алгоритм -адаптивної схеми МСЕ... 45.4.6. Застосування бібліотеки середовища MATLAB... 47.4.7. Результати числових експериментів... 47.5. Порівняння простих апостеріорних оцінювачів похибок методу скінченних елементів... 48.5.. Формулювання задач та головні позначення... 48.5.. Оцінювач апостеріорної похибки зміщень... 5.5.. Оцінювач апостеріорної похибки напружень... 5.5.4. Стратегія процесу адаптування... 54.5.5. Результати обчислювальних експериментів... 55. СТАБІЛІЗОВАНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ... 59.. Ітераційне реконструювання апроксимацій Гальоркіна для задач міграції домішок методом найменших квадратів... 59

5... Формулювання задачі: ітераційний процес реконструкції апроксимацій Гальоркіна... 6... Метод найменших квадратів... 6... Характеристика процесу реконструювання... 6..4. Збіжність послідовних наближень... 64..5. Числовий приклад... 65..6. Висновки... 66.. Регуляризація числових розв язків варіаційних задач міграції домішок: стабілізований метод скінченних елементів... 66... Регуляризація числових розв язків варіаційних задач міграції домішок: локалізовані найменші квадрати... 68... Алгоритм реалізації стабілізуючої схеми локалізованих найменших квадратів ЛНК для стаціонарних задач... 69... Аналіз апроксимацій схеми ЛНК для стаціонарних задач міграціїї домішок: одновимірна крайова задача з примежевим шаром.... 7..4. Аналіз апроксимацій схеми ЛНК для двовимірних задач міграціїї домішок з внутрішніми шарами.... 76..5. Висновки... 8.. Стабілізація апроксимацій МСЕ з використанням апостеріорних оцінювачів похибки... 8... Постановка крайової задачі міграції домішок... 8... Варіаційна задача... 8... Стабілізуюча схема локалізованих найменших квадратів... 8..4. Оцінювач похибки... 8..5. Аналіз числових результатів... 85..6. Приклад... 86..7. Приклад... 9..8. Приклад. Великі числа Пекле... 96..9. Висновок... 99. КОНСТРУЮВАННЯ БАЗИСІВ ПРОСТОРІВ АПРОКСИМАЦІЙ РАВ ЯРА-ТОМА..... Вступ..... Структура базисних функцій найпростішого простору апроксимацій Рав яра Тома..... Структура базису простору вузлових апроксимацій Рав яра Тома W... 5.4. Структура базису простору інтерполяційно моментних апроксимацій Рав яра Тома W... 6.5. Структура базису оригінального простору вузлових апроксимацій Рав яра Тома... 8.6. Структура базису оригінального простору інтерполяційно моментних апроксимацій Рав яра Тома... 9.7. Висновки та загальні зауваження...

6 4. ПОБУДОВА НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ ДЛЯ РОЗВ ЯЗУВАННЯ ВАРІАЦІЙНИХ ЗАДАЧ... 4.. Побудова нейронної мережі для розв язування крайових задач Штурма Ліувілля. Формулювання задачі... 5 4.. Метод скінченних елементів для розв язування одновимірних крайових задач... 5 4.. Поділ відрізка для побудови нейромережі... 9 4.4. Структура вхідні і вихідні дані нейронної мережі... 4.5. Побудова набору навчальних зразків... 4.6. Навчання мережі... 4.7. Порівняння результатів отриманих МСЕ і виданих навченою нейронною мережею... 4.8. Висновки... 5 5. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ СТОКУ МІЛКОЇ ВОДИ З ПОВЕРХНІ ВОДОЗБОРУ... 6 5.. Побудова математичної моделі стоку мілкої води... 6 5.. Формулювання початково-крайової задачі.... 9 5.. Застосування МСЕ до розв язування задачі... 5.4. Стабілізаційна схема МСЕ.... 5 5.5. Чисельні результати... 5 6. ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ ВАРІАЦІЙНИХ ЗАДАЧ МІГРУВАННЯ ДОМІШОК В НЕСТИСЛИВИХ ПОТОКАХ ІЗ ДОМІНУЮЧОЮ КОНВЕКЦІЄЮ... 4 6.. Формулювання та коректність варіаційної задачі для похибки МСЕ.. 4 6.. Бабл-апроксимації похибки МСЕ... 4 6.. Оцінювачі апостеріорних похибок та стратегія -адаптування... 45 6.4. Приклади уточнення оцінювачів апостеріорних похибок... 46 6.4.. Одновимірна задача міграціїї домішок... 47 6.4.. Двовимірна задача міграціїї домішок... 48 6.5. Алгоритми -адаптивної схеми МСЕ... 49 6.6. Обчислення апостеріорних оцінок... 5 6.7. Числовий аналіз збіжності адаптивної схеми... 5 6.7.. Одновимірна крайова задача з примежовим шаром... 5 6.7.. Двовимірна задача міграціїї домішок з примежевими шарами.57 6.8. Висновки... 68 7. КОМП ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РЕЛЬЄФУ ТА ПОВ ЯЗАНИХ З НИМ ПРИРОДНИХ ПРОЦЕСІВ НА ТЕРИТОРІЇ ЛЬВІВЩИНИ... 7 7.. Дослідження точності grd-поверхонь рельєфу... 7 7... Тестові ділянки та параметри інтерполяції... 7 7... Якісна оцінка точності побудови grd-поверхонь рельєфу... 7 7... Кількісна оцінка точності побудови grd-поверхонь рельєфу... 77 7..4. Висновки... 8 7.. Аналіз морфометричних характеристик рельєфу на ЦМР Львівщини... 8

7 7... Побудова та аналіз grd-поверхні крутизни території Львівщини... 8 7... Експозиція та освітленість ділянок місцевості... 86 7... Кривина поверхні рельєфу... 89 7..4. Висновки... 9 7.. Дослідження рельєфу за допомогою гідрологічних методів... 9 7... Виділення на ЦМР структурних ліній рельєфу... 9 7... Визначення локальних вершин на grd-поверхні рельєфу... 95 7... Висновки... 99 8. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГІДРОАКУСТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ В ДИСИПАТИВНИХ СЕРЕДОВИЩАХ... 8.. Математичні моделі акустичних процесів в гідропружних системах: основні підходи та відкриті проблеми... 8.. Дослідження задач гідроакустики з використанням апроксимацій Рав яра Тома... 8... Початково-крайова задача гідроакустики... 8... Варіаційне формулювання еволюційної задачі гідроакустики.. 5 8... Схема дискретизації варіаційної задачі... 6 8..4. Аналіз числових розв язків тестових та модельних задач... 8 8.. Змішана варіаційна задача гідроакустики... 8... Початково-крайова задача акустики в язкої рідини... 8... Еволюційна змішана варіаційна задача... 8... Напівдискретизація Гальоркіна за просторовими змінними... 8..4. Проекційна схема дискретизації в часі... 8..5. Модельна задача... 8.4. Математична модель акустики гдропружних систем у термінах переміщень... 8.4.. Рівняння еластодинаміки... 5 8.4.. Рівняння акустики рідини... 5 8.4.. Початково-крайова задача акустичної взаємодії пружного тіла з рідиною... 6 8.4.4. Варіаційне формулювання задачі... 8 8.4.5. Коректність варіаційної задачі акустики гідропружних систем в переміщеннях... 8 8.4.6. Поширення акустичної хвилі в гідропружній системі... 8.4.7. Варіаційне формулювання задачі про вимушені гармонійні коливання... 5 8.4.8. Дослідження вимушених гармонійних коливань... 6 8.4.9. Варіаційне формулювання задачі про власні коливання... 8.4.. Дискретизація за просторовими змінними... 8.4.. Квадратична проблема на власні значення та її розв язування... 8.4.. Аналіз числових результатів... 9. ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛIДЖЕННЯ НЕСТАЦIОНАРНИХ ЗАДАЧ АКУСТИЧНОЇ ВЗАЄМОДIЇ ОБОЛОНОК ОБЕРТАННЯ З РIДИНОЮ... 5

8 9.. Постановка початково-крайової задачі... 5 9.. Варіаційна постановка задачі... 8 9.. Коректність варіаційної задачі.... 9 9.4. Оцінка швидкості збіжності напівдискретних апроксимацій Гальоркіна... 4 9.5. Однокрокова рекурентна схема... 4 9.6. Чисельний приклад... 47 9.7. Висновки... 49. ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ПОДАТЛИВИХ НА ЗСУВ ТА СТИСНЕННЯ ОБОЛОНОК ПРИ СТАТИЧНОМУ ТЕПЛОВОМУ НАВАНТАЖЕННІ... 5.. Геометрія оболонки та основні припущення... 5.. Деформаційні співвідношення... 54.. Рівняння рівноваги гнучкої оболонки... 55.4. Фізичні співвідношення... 56.5. Варіаційна задача... 57.6. Чисельний приклад... 58. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ МІЛКОЇ ВОДИ ЗМІШАНИМ МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ... 6.. Постановка початково-крайової задачі... 6.. Декомпозиція розв язку... 64.. Необхідні гільбертові простори... 64.4. Варіаційне формулювання задачі... 65.5. Властивості білінійних форм... 67.6. Закони збереження та рівняння балансу... 68.7. Дискретизація задачі за просторовими змінними... 69.8. Дискретизація варіаційної задачі мілкої води в часі... 7.8.. Кусково-лінійна апроксимація в часі... 7.8.. Проекційне рівняння... 7.8.. Однокрокова рекурентна схема... 7.8.4. Обчислювальні аспекти... 7.8.5. Стійкість рекурентних схем... 74.8.6. Оцінки збіжності рекурентних схем... 77.8.7. Апріорні оцінки... 8. ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ПРОЦЕСУ ФІЛЬТРАЦІЇ РІДИНИ В ГРУНТІ... 8.. Побудова математичної моделі... 8.. Постановка задачі... 84.. Варіаційна постановка задачі... 85.4. Напівдискретизація гальоркіна... 86.5. Дискретизація задачі за часовою змінною... 87. КОМП ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ ЗУБНОГО ПРОТЕЗУВАННЯ... 89.. Фізична модель задачі... 89.. Математична модель... 9

9.. Варіаційне формулювання задачі... 9.4. Метод скінчених елементів... 94.5. Програмна реілізація... 97.6. Аналіз чисельних результатів... 97.6.. Якісна картини впливу еластичної пластмаси на напружено-деформований стан системи зуб-протез... 98.6.. Дослідження впливу фізичних параметрів еластичної пластмаси... 99.6.. Дослідження впливу напрямку функціонального навантаження....6.4. Дослідження впливу геометричних параметрів еластичної пластмаси....6.5. Варіювання товщиною еластичної пластмаси....6.6. Варіювання площею контакту еластичної пластмаси із слизовою оболонкою....6.7. Дослідження характеристик міцності акрилового базису за наявності еластичного включення... 4.7. Висновки... 5 4. ЧИСЛОВЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ПЕРЕНЕСЕННЯ ЗАРЯДІВ У НЕОДНОРІДНИХ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ СТРУКТУРАХ... 6 4.. Фундаментальні співвідношення та формулювання задачі... 6 4.. Сумісна дискретизація в часі та лінеаризація варіаційного рівняння... 8 4.. Дискретизація за просторовими змінними... 9 4.4. Метод Ньютона... 4.5. Регуляризація стаціонарних задач електростатики... 4.6. Результати обчислювальних експериментів... 4.6.. Крайова задача з нелінійним рівнянням Пуассона... 4.6.. Розподіл ННЗ у неоднорідних напівпровідниках... 4.6.. Розподіл потенціалу електричного поля в польовому транзисторі... 4.7. Висновки... 6 ВИСНОВКИ... ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ... 9

ВСТУП Метою проекту є побудова та обґрунтування схем МСЕ які б стали інтелектуальною основою програмного забезпечення для проведення кваліфікованого обчислювального експерименту в галузі фізики механіки суцільного середовища геодезії та охорони довкілля. Серед існуючих концепції адаптивних і стабілізованих схем є одними з найперспективніших для парадигми МСЕ і власне на цьому шляху слід очікувати найближчим часом вагомих здобутків. Хоча піонерські праці Babsa Renboldt 978 з адаптування та Broos Hges 979 зі стабілізації МСЕ заклали міцну основу цим напрямкам перші вагомі результати з явились значно пізніше в працях Ersson Jonson 988 Zenewcz Z 99 Verfrt 996 Rannacer 999 та Jonson Saranen 986 Doglas Wang 989 Baocc Brezz Frana 99 Brezz Marn Rsso 996 відповідно див. також монографі Answort Oden Babsa Strobols Melen Zenewcz Taylor. Дослідження такого напрямку обчислювальної математики та їхнього застосування до проблем фізики і механіки суцільного середовища в наукових школах України лише починають закладатися. В основу цих концепцій явно чи неявно закладається ідея послідовного уточнення апроксимацій МСЕ за допомогою апостеріорних оцінок їхньої якості на кожному скінченному елементі та створення системи керування за пониженням її рівня до бажаної величини шляхом адаптування розрахункових сіток підвищення порядку апроксимації та/або зважування нев язок. Основні завдання проекту: Побудувати зручні для застосувань апроксимації МСЕ для еволюційних задач механіки пружних тіл та оболонок гідроакустики та гідрології забруднення довкілля формування дисипативних структур та автохвиль в активних середовищах які формулюються у термінах основних та змішаних варіаційних задач. Побудувати апріорні та апостеріорні оцінки похибок встановити умови стійкості та порядки збіжності апроксимацій МСЕ. Розробити недорогі апостеріорні оцінювачі похибок апроксимацій МСЕ та критерії адаптування неструктурованих тріангуляцій для знаходження наближених розв язків із наперед гарантованою точністю. Розробити надійні індикатори чутливості розв язків до зміни даних та адекватні стабілізовані схеми МСЕ для сингулярно збурених задач апроксимації яких відтворюють структури примежевих і внутрішніх шарів без втрат очікуваних порядків збіжності. Здійснити програмну реалізацію запропонованих схем МСЕ та їх апробацію в процесі обчислювальних експерименттів із задачами в гетерогенних середовищах з примежевими та внутрішніми шарами дисипативними структурами та іншими сингулярностями.

. АДАПТИВНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ Розв язування крайових задач для еліптичних рівнянь в частинних похідних за допомогою числових методів можна розглядати як певну технологію апроксимацій актуальної нескінченновимірної задачі деякою низкою скінченновимірних дискретних моделей. Якість одержаних апроксимацій при цьому суттєво залежить від вибору значень основних параметрів дискретизації таких як густина і регулярність тріангуляції порядок поліноміальних базисних функцій стабілізуючі множники тощо. Одночасно із безпосереднім обчисленням наближеного розв язку задачі можемо знайти і певні індикатори точності нашої дискретної моделі подібні до локальних лишків вихідних рівнянь на скінченних елементах вжитого поділу. Як показують досягнення останніх десятиліть [] згадані лишки успішно служать для створення надійних технологій дискретизації з використанням концепції адаптивності та результатів теорії оптимального керування. Зокрема власне цієї мети прагнуть досягнути - адаптивні схеми МСЕ які в межах заданої допустимої похибки намагаються відтворити стуктуру шуканого розв язку за рахунок оптимізації скінченноелементної сітки досягаючи рівномірного розподілу лишків між її елементами. Цей підхід був ініційований піонерськими працями Бабушки-Рейнболдта [] розвинений далі Ладевезе-Леллоном [] Бенком-Вейсером [4] Бабушкою- Мілллером [5] і Зенкевічем-Зу [6]. Праці Джонсона [7] а пізніше Беккера- Раннагера [8] доповнили -адаптивні схеми можливостями уточнення вибіркових характеристик наближень аналізом спряжених варіаційних задач. Огляд основних результатів цього напрямку можна знайти в Верфюрца [9] Айнсворса-Одена [] Зенкевіча-Тейлора [] та інших [ ]... Апостеріорні оцінки точкових похибок та уточнення апроксимацій методу скінченних елементів: ієрархічні оцінювачі лишків Для ілюстрації цього підходу розглянемо крайову задачу з диференціальним оператором еліптичного типу L і вільним членом f яка описується рівнянням L f. або відповідним варіаційним формулюванням вигляду знайти V такий що c v l v v V.. Нехай дискретна модель цієї задачі залежить від параметра дискретизації > і має вигляд L f.

або відповідно знайти V V dm V c v l v v V. < такий що.4 Наш аналіз похибки дискретизації e : засновано на дослідженні властивостей лишку вихідного рівняння ρ f L..5 Відзначимо що ця характеристика якості дискретної моделі ефективно обчислюється за знайденим наближеним розв язком в контексті методу скінченних елементів. З огляду на цю обставину більш уважного вивчення заслуговує варіаційна задача про похибку апроксимацій МСЕ: задано лишок ρ знайти похибку e таку що c e v ρ v : l v c v v V..6 В принципі можна дискретизувати також і задачу.6 та обчислити апроксимацію справжньої похибки e. Головне затруднення в реалізації цього наміру полягає в тому що вихідний простір апроксимацій V породжує лише тривіальний розв язок e *. Тому для дискретизації задачі.6 вимагаються скінченновимірні підпростори з доповнення вжитого простору апроксимацій E : V \..7 Ця умова ставить проблему проектування нової відмінної від попередньої числової схеми МСЕ вартість обчислювальних витрат на яку повинна компенсуватися додатковими можливостями більшими ніж лише оцінювання меж похибки. Наприклад такою може бути здатність обчислення точкових значень похибки з наперед заданою точністю. Це завдання і складає мету даної праці.... Модельна задача Для наочності наших міркувань розглянемо крайову задачу для рівнянь конвекції-дифузії-реакції в обмеженій полігональній області Ω R з однорідною умовою Діріхле на межі Γ Ω деталі див. напр. []. Ця задача допускає варіаційне формулювання вигляду. з такими структурними елементами: V { : v íà Γ} Ω : v H Ω V H.8 c [ v]d.9 v v. μ β. σ Ω f v : fvd v V Ω Ω l v..

Тут і далі ми вважаємо що дані задачі. задовольняють умови теореми Лакса-Мільграма-Вишика які гарантують існування єдиного розв язку V задачі та обмеженість його норми в просторі Соболєва H Ω []. Принагідно відзначимо що в цьому випадку білінійна форма c : V V R породжує нову енергетичну норму v v V v : c. еквівалентну нормі H Ω. З огляду на цей факт ми будемо Ω систематично експлуатувати щойно введену норму..... Кусково-лінійні апроксимації простору Виберемо довільний можливо досить грубий поділ { } трикутні скінченні елементи апроксимації V Τ області Ω на : dam : ma. Взявши за простір { v V C Ω : v P Τ } :. шукатимемо розв язок дискретизованої задачі.4 у вигляді θ Ω.. Тут P m простір всеможливих поліномів з дійсними коефіцієнтами порядку m визначених на трикутнику тріангуляції Τ які не належать межі Γ зокрема вершинам R ; кількість вершин A V θ відповідні dm ; A кусково лінійні функції Куранта з властивостями θ A : δ.4 { Τ A } sppθ : :..5 Такі функції на кожному трикутнику із свого носія описуються барицентричними координатами L L L [] які володіють властивостями: y L y L y y L A : δ. L.6 За цього вибору базису простору V коефіцієнти лінійної комбінації. надають значення розв язку МСЕ у внутрішніх вершинах тріангуляції Τ A A....5 і обчислюється розв язуванням системи лінійних алгебричних рівнянь

θ l θ.... 4 c θ.6 Оскільки задача. коректно поставлена то ця властивість поширюється і на її дискретну модель.4 а отже і на задачу.6. Як тільки апроксимація V знайдена актуальним постає питання про її похибку e E V \ V..7 : Особлива увага цьому приділяється в сингулярно збурених задачах які виникають за умов домінування конвекції та/або біохімічних реакцій і спричиняють появі примежевих та/або внутрішніх шарів в структурі їхніх розв язків [ 4 5]. Нижче ми будуємо апостеріорні оцінювачі похибки.7 обчислюючи їх як наближені розв язки задачі.6 в скінченновимірних підпросторах із простору E наділених специфічною структурою базисів: вони і далі є кусково лінійними функціями з локальними носіями які визначаються на допоміжних більш густих тріангуляціях області Ω. Отже ми намагаємось побудувати за класифікаєю Верфюрца [9] так звані ієрархічні АОП.... Простори апроксимацій для похибок Щоб обійти труднощі відшукання похибки.7 ми будуємо скінченновимірні підпростори E для наближеного розв язування задачі.6 базиси яких наділені певними властивостями ортогональності притаманні бабл-функціям. Поряд із вжитою тріангуляцією Τ розглянемо нову більш густу тріангуляцію Τ утворену поділом кожного трикутника Τ проведенням його медіан так як показано на рисунку. з трикутником : ΔA A Am. Тут точка B середина сторони l яка лежить навпроти вершини A C - центр ваги скінченного елемента. A A m B m C B m B A Рисунок.. Поділ трикутника тріангуляції. Тепер ми віділимо три види геометричних фігур які будуть експлуатуватися нижче для побудови ієрархічного базису:

5 : ΔC A A.8 m : ΔC A B.9 так що : ΔC B A. m m m : Q : A B C B.. m Решта потрібних нам трикуникуів і чотирикутників одержуються з.8-. циклічною перестановкою індексів m так що m. За допомогою введених складових.8-. скінченного елемента Τ ми можемо побудувати систему околів вузлів тріангуляції Τ. Назвемо відкриту множину Ο D околом вузла D тріангуляції складається з об єднанння трикутників.8-.. Тоді Ο m C T : Τ якщо вона Ο.. B : T : B Ο A : T : A..4 Тепер ми будуємо нові кусково-лінійні базисні функції на Τ використовуючи барицентричні координати.6 трикутника. Лема 4.. Нехай C { C } множина центрів ваг елементів тріангуляції Τ T. Поставимо їй у відповідність систему кусково лінійних функцій { b } у T такий спосіб b spp b C : Ο.5 L на L на T.6 Lm на m : і визначимо скінченновимірний підпростір цих функцій c E як лінійну оболонку сукупності

тоді система { } T E C 6 : span{ b }.7 b утворює ортогональний базис простору C E. Лема 4.. Нехай B { B } множина центрів внутрішніх сторін l тріангуляції β визначений у такий спосіб Поставимо їй у відповідність набір функцій { } де трикутники тоді система функцій { } T T Τ. spp β : Ο B.8 L L на m β : T.9 Lm L на T такі що l B E. Введемо лінійну оболонку span{ β }. : β складає ортогональний базис підпростору B E. Лема 4.. Нехай множина A { A } складена з набору внутрішніх вузлів тріангуляції Τ. Введемо лінійну оболонку де E A Тоді система функцій { } : span{ π } E. A Q sppπ : Ο.4 A T L L на m π : L Lm на T : A..5 на / A π π утворює ортогональний базис простору E. Доведення сформульованих лем очевидні з геометричних міркувань які показують що перетини носіїв кожної пари функцій з систем b { b } β { β } та π { π } становлять пусті множини. Як основний результат побудови ми отримаємо три скінченновимірні C B A простори E E E E які можна використати для конструювання ієрархії просторів апроксимацій із E зручних для наближенного розв язування задачі про похибку.6 стандартними засобами МСЕ.

7..4. Алгоритм послідовного уточнення апроксимації Нижче ми пропонуємо один із можливих алгоритмів який використовує C B A побудовані простори E E E E для підвищення точності знайденої апроксимації. в просторі V. Крок. Припустимо що апроксимація : L P знайдена достатньо точно у вершинах { }.6 A A сітки Τ. Тоді її суттєвого уточнення можна досягнути лише за умови покращення її структури внутрі елемента. З цією метою розв яжемо задачу про похибку.6 в просторі E : C знайти e c C E C e v ρ C таку що v v E C..7 З огляду на ортогоналльність базису { } T b простору C E розв язування 5. поділяється на окремі задачі кожна з яких згідно методу Гальоркіна дозволяє легко обчислити розв язок у вигляді де e : e b C e.8 b b b ρ T..9 c Відзначимо що згідно побудови функцій { b } T знайдений коєфіцієнт e подає нам наближене значення похибки e в центрі ваг трикутника : e C C e C T. e.4 Тому ми можемо уточнити значення апроксимації в цих вузлах згідно правила * C : C e e.4 і одержати перше уточнення стандартної апроксимації МСЕ в цілому ній C C : e b e Ω. θ.4 T Крок. Тепер ми повторюємо процедуру кроку попередньо замінивши в та E на та E відповідно. В результаті знайдемо що значення C оцінювача похибки C B e B у центрі кожної внутрішньої сторони B обчислюється згідно правила

8 C ρ β B ε : e B B B..4 c β β Відзначимо з огляду на лему 4. що остання формула вимагає обчислень з використанням лише двох суміжних скінченних елементів які утворюють носій spp β : Ο B. В цей спосіб досягається обчислювальна ефективність розглядуваного кроку який приводить до уточнення значень апроксимації МСЕ в серединах сторін B згідно правила * A Am B : ε B B..44 Отже чергове уточнення кусково лінійної апроксимації знаходиться у вигляді B C C B : ε β e Ω..45 B B Крок. Завершальний етап нашої процедури полягає в уточненні значень апроксимації МСЕ у внутрішніх вершинах A A. В цьому випадку значення оцінювача похибок у заданих вершинах обчислюється у такий спосіб B ρ π A ρ : e A A A..46 c π π Остаточним результатом нашого алгоритму є уточнена апроксимація вигляду A B B A : ρ π e Ω..47 A A Підводячи підсумки відзначимо що рекурсивно обчислювана ієрархія C C B B A A апостеріорних оцінювачів похибки e E e E e E E одночасно уточняє кусково лінійну апроксимацію МСЕ тому A B C e e e >..48..5. Чисельні результати Нижче ми подаємо результати серії обчислювальних експерементів із уточненням кусково лінійних наближень МСЕ згідно рекурсивного алгоритму попереднього розділу. Мета наших експерементів передбачала знайти відповіді на такі питання стосовно апроксимацій МСЕ: Яка точність відтворення знайденими оцінювачами властивостей реальної похибки класичних апроксимацій МСЕ? З цією метою ми вводимо кусково лінійний інтерполянт точного розв язку на вихідній тріангуляції вигляду I A L T.49

та аналізуємо його розбіжності з вихідною апроксимацією МСЕ e I I A L. 9.5 Подібним чином введемо кусково лінійний інтерполянт I I точного розв язку на на згущеній тріангуляціїt та аналізуємо його відмінності від кожної із уточнених апроксимацій e X T X C B A.5 X I I які ми розглядаємо як кусково-лінійні функції на подрібленій тріангуляції Τ. Яка швидкість збіжності до нуля кожної із послідовностей апостеріорних X оцінювачів похибок { e } за умови рівномірного згущення розрахункових тріангуляцій? X Чи еквівалентні енергетичні норми оцінювачів e нормам реальних похибок а саме чи існують додатні сталі α β такі що X X X X X α e β X C B A?.5 X I X I Точніше апріорні оцінки розв язків варіаційних задач встановлюють існування таких сталих для верхніг меж і основна трудність теоретичного аналізу полягає у відшуканні сталих для нижніх меж. Якщо вони існують для побудованих оцінювачів то за визначенням Верфюртца [9] такі оцінювачі є надійними. Задача дифузії. Нижче наведнено дані розв язання задачі. з коефіцієнтами μ β σ функцією 4 y f y y e та крайовими умовами які показано на рисунку.. Точний розв язок задачі має вигляд y e..5 * y.5 * n Ω * * Рисунок.. Крайові умови задачі дифузії.

Дані табл.. містять деякі кількісні характеристики чисельного експеременту які подають відповіді на поставлені вище запитання і переконливо свідчать про надійність запропонованої ієрархії апостеріорних оцінювачів похибки в просторах H Ω. Тут T кількість вузлів поточного розбиття T. T H норм апостеріорних оцінювачів похибок та відмінностей Таблиця.. Збіжність апроксимацій МСЕ від інтерполянтів точного розв язку. C C B B A A e e e e e e e I H I H H 9.49 9.7 4.7 8.54 7.66 7.44.6 5 4.699 4.578.6.844.9.755.7 7.46.86.8.845.565.8.96 45.7.4.54.96.76.464.5 67.586.57.7.449.74..55 Дійсно зі згущенням тріангуляцій всі норми розлядуваних функцій монотонно збігаються до нуля більше цього ця збіжність близька до лінійної як для розбіжностей так і оцінювачів похибок. Перегляд розбіжностей на кожній фіксованій тріангуляції показує що кожен крок рекурентного уточнення апроксимацій МСЕ зменшує значення їхніх норм так що в кінцевому рахунку ці величини на густіших сітках зменшуються більш ніж у двічі. Відзначимо тут вирішальний внесок заключного кроку щодо уточнення значень апроксимації у вершинах біжучої сітки скінченних елементів ефект проміжкового кроку алгоритму уточнення в цій ситуації виявляється незначно. Натомість порівняння на фіксованій сітці значень послідовно обчислюваних оцінювачів не демонструє подібної монотонності і свідчить про суттєвість обчислень на другому кроці алгоритму уточнення. Заключні ж значення норм оцінювачів незначно менші від одержаних на першому кроці. Ці факти говорять про стійкість як побудованої ієрархії оцінювачів так і процедури послідовного уточнення апроксимацій МСЕ. Врешті-решт виокремимо поведінку оцінювача похибок в центрах ваги C скінченних елементів e. Він обчислюється з найменшими витратами і надає значення меж похибок які вдвічі менші за відповідні значення норм C розбіжності e I. Поряд із цим норми згаданих оцінювачів дуже добре C узгоджуються із відповідними значеннями норм розбіжностей e I та e I які обчислені на наступному згущенні сітки скінченних елементів. Ця обставина дозволяє стверджувати і про доцільність виконання першого кроку алгоритму уточнення апроксимацій МСЕ. З іншого боку з огляду на нерівність.5 вона вказує на існування сталих еквівалентності α C I H.5. H I H H

В табл.. для повноти аналізу ми наводимо результати обчислень із використанням норми L Ω. Вони зокрема свідчать про квадратичну збіжність в цій нормі як апостеріорних оцінювачів похибок так і уточнених апроксимацій МСЕ. T L - норм апостеріорних оцінювачів похибок та відмінностей Таблиця.. Збіжність апроксимацій МСЕ від інтерполянтів точного розв язку. C C B B A A e e e e e e e I L I L L.9.79.57.79.788.784.4 5.7..8.97.4.5.46 7.6.5.79.5.94.59. 45.5..9...5. 67...4..5..8 Рисунок.-.4 характеризують локальну поведінку ієрархії оцінювачів а саме подають розподіл величин норм e на скінченноелементній сітці із I L H 45 вузлів та 89 трикутників. Аналізуючи дані рисунків.-.4 відзначимо що побудовані оцінювач відтворюють струкутру норми ітерполянта точної похибки рис.а та реагують на специфіку поведінки розв язку в околі кутової точки. X L I L L ei. -.5.5 -.8.8 -.. -.4.4 -.7.7 -.. -.6.6 -.87.87 -.47 C e.4 -.. -.4.4 -.8.8 -.. -.5.5 -.. -.4.4 -.9.9 -.44 а б Рисунок.. Розподіл норм інтерполянта точної похибки а та дискретної похибки на першому б кроці алгоритму уточнення. б

B e. -.. -.. -.. -.4.4 -.47.47 -.54.54 -.59.59 -.78.78 -.46 A e -.7.7 -.. -.6.6 -.9.9 -.. -.6.6 -.. -.4.4 -.8 а б Рисунок.4. Розподіл норм дискретних похибок на другому а та третьому б кроці алгоритму уточнення... Адаптивна схема з АОП Верфюрця Розглянемо крайову задачу з рівнянням конвекції-дифузії: ε Δ a b f ε g n в Ω на на Γ D Γ.54 де Ω R обмежена зв язна область з неперервною за Ліпшицем межею Γ ΓD Γ і ΓD Γ ε R a W Ω b L Ω. Наша ціль побудувати надійний оцінювач похибки необхідний для проведення ітераційної процедури уточнення тріангуляцій в -адаптивній схемі методу скінченних елементів цієї проблеми. Надійний в тому сенсі щоб оцінювач мав глобальну верхню і локальну нижню межу в енергетичній нормі { } / : ε.55 з точністю до мультиплікативних констант які залежать найбільше від локального числа Пекле. Як звичайно позначає норму в L Ω. Далі ми будемо використовувати наступні позначення : a b a cb a~ b a b ³ b a Тут константа с мусить залежати від сітки скінченних елементів і від ε.... Скінченно-елементна дискретизація Нехай ω довільна відкрита обмежена підмножина області Ω з полігональною межею γ. Позначимо через

ω L ω H ω ³ L γ H звичайні простори Соболева та Лебега оснащенні стандартними нормами Подібно ω γ ω ³ L γ : ³ : ; ω H ω ; γ L γ. ³ позначають скалярні добутки в просторах L відповідно. Якщо Ω випадку ω H. де ω ми будемо опускати індекс Ω. В іншому позначає стандартне обмеження енергетичної норми.55 на ω Введемо простір допустимих функцій V : { ϕ H Ω : v наγd }. Тоді стандартна варіаційна постановка задачі. є наступна: знайти V таку що B v f v g v Γ v V B v : ε v a v b v v : Ω vd v V..56.57 Задача.56 допускає єдиний розв язок. Крім того виконуються наступні нерівності і B v v v v V.58 / v w v w { b } v w a v w V B L L Ми позначимо через τ дискретизацію Ω на n- симплекси які задовольняють наступним двом властивостям: допустимості: довільні два елемента не накладаються або мають спільні граней n. T правильності фігур: sp sp. > o T τ ρt Тут T і ρ T позначають діаметр Т і діаметр найбільшої кулі вписаної в Т. Відмітимо що правильність фігур дозволяє застосовувати локальне покращення сітки і в двовимірному випадку це є еквівалентно умові мінімального кута. ε.59 Для ми позначимо через P множину поліномів степеня не вище і побудуємо простори

S S : : : { ϕ : Ω R : ϕ P T τ } T S C Ω { ϕ S : ϕ íà ΓD } V C Ω : ϕ P T τ S D : V : { ϕ } T 4.6 де V є простір кусково-лінійних апроксимацій. Тоді ми розглянемо наступну дискретизацію задачі.56: знайти V таку що.6 B v f v g v v Γ V Введемо деякі корисні позначення. Через ε позначимо множину всіх граней в τ. Ми можемо розкласти ε наступним чином ε : ε Ω ε ε D де ε Ω ε і ε D позначають внутрішні грані грані на яких накладено умову Неймана і грані на яких накладено умову Діріхле відповідно. Для E ε через E позначимо діаметр грані E. Правильність фігур забезпечує що T ~ E і T ~ T ' у випадку коли E T і T T '. Для довільної кусково-неперервної функції ϕ і будь-якого E ε ми позначимо [ ϕ ] E стрибок ϕ через грань E в довільному але фіксованому напрямку n E який є ортогональний до E. Стрибок [ ϕ ] E взагалі кажучи залежить від напрямку n E але вираз типу [ n E ϕ] E є незалежним від орієнтації n E. Для будь-якого T τ ми покладемо ω : T T T ' T ' ε ω : T T T ' T ' ω : E E T '... Оцінювач похибки залишку Згадаємо що і позначають точні розв язки задач.56 і.6 відповідно. З.59 ми отримаємо < sp v V \{} v v. B T '..6 Розглянемо довільне v V з v. Очевидно що B v B v I v B I v..6 Інтегруючи частинами поелементно отримаємо що для всіх w V

5 [ ] Δ Ω E E E E T T T E E n E E E n T T w R w R w g w w b a f w B ε τ ε ε τ ε ε ε.64 де. : T b a f R Δ ε [ ] Ω. : n E n E E якщо E якщо g E якщо R E ε ε ε ε ε.65 Покладаючи v I v w в. і використовуючи Лему. і нерівність Коші-Шварца ми отримаємо { } { }. mn mn / ; / / ; / E E E T T T T T R R v I v B ε τ ε ε ε.66 Просте масштабування аргументів показує що для всіх V w справедливо { }. mn / ; T T T T L T w a w a ε.67 Оцінка.67 Лема. і нерівність Коші-Шварца дають що { }. mn / ; / T T T T R v I B τ ε.68 З.6.6.66 і.68 ми отримаємо верхню межу для енергетичної норми похибки: { } { }. mn mn / ; / / ; / E E E E T T T T R R ε τ ε ε ε.69

6 Тепер виведемо нижню межу похибки. Позначимо через f і g деяке наближення f і g кусково-неперервними поліномами степеня не вище на τ і на частині межі Γ дискретизації τ відповідно. Спочатку візьмемо довільний елемент T τ і покладемо wt : ψ T [ f ε Δ a b]..7 Вставляючи w в.64 ми отримаємо де f Δ a b w B w f f w. ε.7 T T T T T Оцінка.59 і Лема. забезпечують виконання наступної нерівності: B w T T { wt } b / w L T T ε a T L T { b mn{ / ε } ε / L T a L T ; T } f. ε Δ a b T ; T Безпосередньо з.7-.7 і Леми. ми отримаємо нижню межу mn { ε / } T mn f ε Δ a ; T { } / mn{ / b ε a } Tε T L T L T { / Tε } f f. : T E ε і покладемо w P [ ε ] b.7.7 Далі візьмемо довільне Вставляючи E :.74 ψ E θ E E θ mn{ ε / }. E T w E в.64 ми отримаємо [ ε n ] E w E E E B we f ε Δ a b we T ω T ω n f f w. E E З оцінки.59 і Леми. можна отримати наступну нерівність: E T E E T.75

B w ε / ω ω a E E { we } b / w L E ε a ωe ω E L ω { / 4 b mn{ / ε Eε } L L ω / / ; ω / 4 / ε mn{ Eε } } [ ε n ]. ω E E ; E E Крім того і Лема. і нерівність.7 забезпечують { T ω f ε Δ a b w E f f ω E E { } / 4 b mn{ / ε Eε } ; ω E ε / 4 L / ε a mn{ / } Eε ω E L ωe { ε } } / [ ] / ε. mn E E T n E E ; E З.75-.77 і Леми. ми отримаємо нижню межу ε / 4 mn mn { ε } / [ ] / ε E ne E ; E { b } { ε / } f f. E E L / ε a mn{ / } ω Eε E ; ω E L E E E / 7.76.77.78 ω З тих самих міркувань ми можемо отримати вираз ε ε / 4 mn mn ε / 4 { ε / } / n ; E { b } E / mn{ / ε a } Eε T L T L T { / Eε } f f ; T mn{ ε / } / g g. E g ε ω ; E.79 для всіх E де T ωe. Отже буде справедлива наступна теорема. Теорема Позначимо через і точні розв язки задач.56 і.6 відповідно. Нехай f і g деяке наближення f і g кусково-неперервними поліномами степеня не вище на τ і на частині межі Γ дискретизації τ відповідно. Покладемо α : mn S { ε / } S τ ε. s

8 [ ]. : ; / ; / ; Γ Ω Δ T E E E E T E E E E E T T R T n g n b a f ε α ε ε α ε ε α η Тоді справедливі наступні апостеріорні оцінки похибки: / ; / ; / T E E T T T T R T g g f f ε τ τ α ε α η / ; / ; / Γ T T T T T E E E T T L L R T g g f f a b α ε α α ε η ω ω ω ω. ma / ; / ; / / Ω T E E T T T T L T L T R T g g f f a b T T ε τ τ τ α ε α α ε η ω ω Слід відмітити що в оцінці для верхньої межі ми можемо замінити f і g на f і g відповідно. Тоді зникне другий доданок в правій частині цієї оцінки. Зауваження. Нерівність.69 забезпечує глобальну верхню межу для апостеріорної оцінки похибки залишку. І цього нам достатньо для відшукання локальної верхньої межі похибки T R η на одному скінченному елементі T а отже і для практичної реалізації -адаптивної схеми методу скінченних елементів. Але локальні нижні межі для нашого оцінювача які наводяться в двох останніх виразах нашої теореми гарантують його надійність.... Аналіз чисельних результатів Розглянемо результати обчислень проведених за описаною вище схемою. Будемо аналізувати розв язок крайової задачі.54 де. Ω ε f b a В цьому і наступному тестах ми вважаємо що D Γ Γ тобто на усій межі області Ω задано однорідну умову Діріхле.

9 Спочатку будуємо рівномірну сітку яка містить 8 трикутник і 8 вузол див Рисунок.5. Рисунок.5. Початкова тріангуляція 8 трикутники. Далі проводимо ітераційну процедуру покращення сітки доки відносна похибку на кожному скінченному елементі буде менша за.7 з точністю 7%. Відносна похибка на скінченному елементі рахується як відношення значення оцінювача на даному трикутнику до оцінки похибки на всій області. Результуюча тріангуляція побудована за алгоритмом Рапперта що містить трикутник і 67 вузол зображена нижче на рисунку.6. Рисунок.6. Результуюча тріангуляція одержана за 6 ітерацій процесу адаптування. На рисунку.7 зображено графік розв язку задачі.54 порахований з точністю 7% за 6 ітерацій.

Рисунок.7. Графік розв язку точність 7%. Для порівняння наведемо розв язок схеми МСЕ знайдений при тих самих вхідних даних на однорідній сітці 48 трикутників89 вузлів див. рис.8.9. Рисунок.9. Графік розв язку на однорідній сітці. Рисунок.. Однорідна сітка48 трикутників 89 вузлів. Слід зауважити що розв язок побудований на однорідній сітці має значні осциляції у порівнянні з розв язком знайденим адаптивним методом. Хоча кількість вузлів рівномірної сітки майже в тричі більша. В таблиці Табл.. наведено дані про сітку і похибку що отримані на кожній ітерації адаптивного процесу.

Табл... Хід ітераційного процесу. Відносна похибка трикутнику η R обчислюється за формулою η : R ma τ T τ T де η R T значення оцінювача похибки на трикутнику T. Аналізуючи хід ітераційного процесу слід відзначити що із згущенням сітки в околі примежевого шару де спостерігається погіршення регулярності розв язку максимальне значення оцінювача похибки швидко прямує до нуля. І цей процес триває доти поки значення відносної похибки η R перевищує.7 з точністю 7%... Одновимірні адаптації Даний розділ присвячений побудові АОП кусково-лінійних апроксимацій МСЕ для розв язків одновимірних крайових задач з диференціальними рівняннями другого порядку. Властивості запропонованих АОП забезпечують можливості генерування сітки скінченних елементів здатної у просторі кусковолінійних апроксимацій відтворити структуру шуканого розв язку з наперед заданою точністю; уточнення знайдених апроксимацій МСЕ в центрах ваг та розрахункових вузлах скінченних елементів на кожному кроці процесу розрідженнязгущення сітки. η η R T R T

Ефективність розробленої схеми МСЕ ілюструється числовими розв язками сингулярно збурених крайових задач.... Постановка крайової задачі Розглянемо наступну крайову задачу: знайти функцію яка є розв язком звичайного диференціального рівняння d d d Y g Y YV Y f d d d g.8 і задовольняє крайові умови d.8 μ α[ ]. d Тут μ μ β β σ σ та f f задані функції а α задані сталі із такими властивостями: майже скрізь в Ω α μ const > σ μ.8 Ω f L Ω. μ β σ L.8 Крайова задача.8.8 знаходить важливі застосування в екології напівпровідниках прогнозуванні епідемій тощо. З іншого боку більшість реальних задач такого вигляду засвідчує що вони є сингулярно збуреними тобто містять малі коефіцієнти при старших похідних. Цю особливість структури задачі можна побачити [6 7] після належної заміни незалежних змінних і введення знаних в механіці суцільного середовища критеріїв подібності Пекле і Струхаля де β dam Ω σ dam Ω Pe : S :. μ μ Тоді після невеликої алгебри крайова задача.8.8 набуде вигляду μ z z Peβ z z Sδ z z f z z * * * * [ ] μ z * α * μ z β z σ z μ* z : β* z : σ * z : μ β σ

dam Ω damω f * z : f z α * : α. μ μ... Варіаційне формулювання крайової задачі Крайова задача.8.8 допускає варіаційне формулювання вигляду знайти V таку що.84 c v < l v > v V з такими структурними елементами V : H Ω { v H Ω : v } c v : a μ; v b β; v s σ ; v a μ; v : μ v d α v b β ; v : β vd s σ ; v : σ vd < l v > : fvd α v.85 З огляду на теорему Лакса-Мільграма-Вишика можна переконатися що варіаційна задача.84 коректно поставлена якщо її дані задовольняють наприклад такі умови регулярності і знаковизначеності.8.8.... Кусково-лінійні апроксимації Зафіксувавши натуральне поділимо відрізок [ ] на скінченні елементи : [ ] довжини :.. так що < < < <. Тут і далі дробовим індексом будемо позначати номер скінченного елемента і певні його характеристики скажімо : це центр ваги скінченного елемента : [ ]. На кожному з них виберемо лінійну апроксимацію шуканого розв язку варіаційної задачі.84 у вигляді

4.... ] [ : ; ] [ ] [ : ω ω ω ω ω.86 Тут ми скористалися позначеннями : :.87 для величин які характеризують середнє значення апроксимації та швидкості її зміни на скінченному елементі. На доповнення до.86 зазначимо що.....88 Врешті-решт враховуючи головні крайові умови варіаційної задачі одержимо що.89 і запишемо кусково-лінійну апроксимацію у такий спосіб [ ]. ] [ : n n n ϕ ω ω.9 В останній сумі ми явно записуємо апроксимацію МСЕ як лінійну комбінацію кусково-визначених базисних функцій Куранта n n n n n n n n n n.. ]; ]; ]; ]; [ : - ω ω ϕ.9 Власне ця система функцій і формує базис вибраного нами простору апроксимацій V показуючи що V dm.

5..4. Обчислення на скінченному елементі Для виконання різноманітних обчислень на скінченних елементах нам будуть потрібні складові варіаційного рівняння вигляду c < l v : v > : { p v b v σv} d α v δ fvd α δ... -..9 Щоб результати обчислень були наочними і допускали прозору фізичну інтерпретацію ми будемо виконувати інтегрування в.9 наближено із вживанням теореми про середнє в такий спосіб: c < l v : μ v > : { μ v β v σv} d α v δ v d β fvd α δ vd σ f де μ : μ β : β σ : σ. vd α v δ vd α δ.....9 Інтеграли що залишилися наприклад у виразі.9 будуть просто обчислюватися у випадку поліноміальних функцій та v...5. Дискретизовані рівняння Тепер ми готові обчислити систему лінійних алгебричних рівнянь МСЕ для відшукання коефіцієнтів його апроксимації.9. Пропозиція 6. про структуру рівнянь МСЕ. Нехай апроксимація розв язку варіаційної задачі.84 шукається методом Гальоркіна у вигляді розвинення.9 за системою кусково-лінійних базисних функцій.9. Тоді коефіцієнти розвинення обчислюються із системи лінійних алгебричних рівнянь вигляду

6 [ ] [ ] { } 6 6 6 6 f f S Pe S Pe S Pe S Pe μ μ μ μ [ ] 6 6 f S Pe S Pe α μ μ Тут використано позначення μ σ μ β : : S Pe. для локальних сіткових величин критеріїв подібності Пекле та Струхаля відповідно. Доведення. Підставимо лінійну комбінацію.9 в рівняння варіаційної задачі.84 і послідовно покладемо в ньому v ϕ. Після належних алгебричних обчислень із застосуванням наближень.9 за деталями див. Шинкаренко-Голуб-Щербина [8] прийдемо до системи задекларованих в пропозиції лінінійних алгебричних рівнянь...6. Апостеріорні оцінювачі похибок Введемо до розгляду бабл-функції вигляду.... ] [ ] 4[ : b I I ω ω.94 З огляду на те що.... 6 5 8 b b b b Неважко переконатись що

7 > <.... } { } { 5 8 } 5 8 6 { f b l PeS b b c μ σ μ.95 Будемо шукати наближення E ε до істинної похибки апроксимації V V e \ : у вигляді лінійної комбінації таке подання наближення до похибки показує що ми вибрали систему функцій } { b за базис підпростору E : b e λ ε.96 з невідомими коефіцієнтами } { λ. Для їхнього знаходження скористаємося схемою Гальоркіна яку застосуємо до задачі про похибку > < E v vv ρ v cε щo y ma Ε знайти похибку ε V ; та апроксимацію Гальоркіна Ε V\V задано E dm κ.97 Внаслідок природної ортогональності бабл-функцій зумовленої тим що ] [ : spp b безпосередньо обчислюємо:... > < b b c b ρ ε λ.98 Нарешті приймаючи до уваги 5. і те що } { O f b > < σ β ρ.99 наведемо остаточний вигляд знайденого наближення до похибки апроксимації Гальоркіна: [ ]. 4 5 : > < b PeS f b b b c b b e σ β μ ρ λ ε.

8 6 5 5 8 6 5 V f PeS f PeS PeS f c σ β μ σ β μ μ σ β μ ε ε ε. Подібний оцінювач похибки апроксимацій МСЕ можна побудувати використовуючи кусково-лінійні бабл-функції визначені в такий спосіб.... ] [ : ] [ : b b [ ]. : > < b S f b b b c b b e σ β μ ρ λ ε. 4 4 9 V S f S S f c σ β μ μ σ β μ ε ε ε...7. Стратегія адаптування сітки Виведені вище вирази для апостеріорних оцінювачів похибки на скінченному елементі використовувалися нами для побудови рекурсивного алгоритму адаптування розрахункової сітки в такий спосіб щоб результуюча апроксимація МСЕ була знайдена на кожному скінченному елементі з наперед гарантованою точністю. Докладніше ми вбираємо за якість знайденої на сітці T кусковолінійної апроксимації послідовність індикаторів

Тут зокрема η V ε ε V ε % ε %. ' [ ] d d { }.... 9.4.5 Формула.4 визначає скільки відсотків становить норма похибки на скінченному елементі від середньої норми розв язку. Якщо це число більше від заданого допустимого рівня похибки то цей скінченний елемент ділиться на два в центрі ваги додається новий вузол сітки. В протилежному випадку поділ не відбувається...8. Чисельні результати Вхідні дані: μ β σ f α. Початкова сітка рівномірний поділ відрізка на 4 скінченних елементів. Допустимий рівень похибки η %. Точним розв язком цієї крайової задачі є функція e e e. Рисунок.. Графік точного розв язку. Примежовий шар в околі правого кінця відрізку глобальне число Пекле Pe. Графік наближеного розв язку побудований програмою зображений на рисунку.. Рівень допустимої похибки % від середньої норми розв язку. Для отримання наближеного розв язку програма зробила 9 кроків отримавши при цьому 4 скінченний елемент. При цьому починаючи з 4 кроку будується нерівномірна сітка. Згущення сітки відбувається на правому кінці оскільки саме там похибка набуває найбільших значень. В покроковому режимі відображення основного графіку можна побачити що похибка на лівому кінці gl

4 швидко прямує до нуля в той час як на правому кінці до 5-го кроку вона зростає і лише починаючи з 6-го кроку починає спадати. Рисунок.. Результуюча апроксимація обчислена за 9 кроків адаптування починаючи із рівномірного поділу на 4 скінченні елементи з η %.. Точками на графіку відзначено вузлові значення знайденої апроксимації. Рисунок.. Характер покрокової збіжності норми апостерірного оцінювача похибки. ε V Рисунок.4. Розподіл значень індикаторів якості результуючої апроксимації поміж скінченними елементами остаточної сітки. Рисунок.5. Покрокова зміна кількості скінченних елементів сітки в процесі адаптування.

.4. Нестаціонарне адаптування Знаходження розподілу певної субстанції в рухомому суцільному середовищі часто передбачає розв язування початково-крайових задач мігрування [7 9]. Якщо у процесі мігрування швидкості конвективного перенесення та розпаду суттєво переважають над швидкістю дифузійного перенесення субстанції то початково-крайові задачі що моделюють процес мігрування часто є сингулярно збуреними. Сингулярна збуреність задачі спричиняє виникнення примежових та внутрішніх шарів тонких областей де градієнт розв язку задачі є практично необмеженим []. У разі розв язування задачі проекційно-сітковою схемою [9 ] яка передбачає класичну схему методу скінченних елементів МСЕ дискретизації задачі за просторовими змінними та застосування однокрокової рекурентної схеми для інтегрування задачі Коші отримані числові розв язки часто втрачають стійкість та точність. Це зумовлене двома факторами: cингулярна збуреність стаціонарних задач мігрування призводить до втрати стійкості та точності класичних схем МСЕ [ 4]; однокрокові рекурентні схеми мають властивість дисипації [] що спричинює погіршення точності наближеного розв язку із віддаленням від початкового моменту часу. Для вирішення згаданих вище проблем пропонуємо застосування - адаптивної схеми МСЕ дискретизації задачі за просторовими змінними та застосування багатокрокової неявної схеми інтегрування задачі Коші. Числові результати отримано завдяки використанню бібліотечних функцій середовища MATLAB що забезпечують достатню точність та високу швидкість виконання окремих частин цього алгоритму..4.. Початково-крайова задача мігрування субстанції Нехай нас цікавить часово-просторовий розподіл концентрації в обмеженій n області Q: Ω T] Ω R damω< < T < причому межа Γ просторової області Ω неперервна за Ліпшицем. Математичну модель процесу мігрування можна сформулювати у вигляді такої початково-крайової задачі [7 9 ]. 4

Задано: початковий розподіл концентрації в Ω ; n симетричну додатно визначену матрицю μ { μ } коефіцієнтів дифузійного перенесення; коефіцієнт біохімічного розпаду субстанції σ σ ; інтенсивність розподілених джерел притоку відтоку f f t ; n швидкість руху w { w t } частинок середовища; концентрацію ˆ ˆ t на Γ [ T] Γ Γ mesγ > ; потік субстанції ˆ ˆ t на частині межі Γ [ T] Γ Γ\ Γ. Знайти розподіл концентрації t такий що n n σ w μ f в Ω T] t n n ˆ на Γ [ T] w μ ν ˆ на Γ [ T] t в Ω. 4.7 Задача.7 може бути сингулярно збуреною [] з огляду на велику різницю у швидкостях конвективного і дифузійного перенесення субстанції та перебігу хімічних реакцій що може спричинити виникнення примежових та внутрішніх шарів. Це явище зокрема спричинює втрату стійкості та точності класичних проекційно-сіткових схем побудованих на основі МСЕ..4.. Варіаційна задача мігрування субстанції Без зменшення загальності викладу далі будемо припускати що крайова умова Діріхле в задачі.7 однорідна тобто ˆ на Γ..8 Уведемо простори n { } H : L Ω V : v H Ω v на Γ W : { w L Ω H dv; Ω dvw в Ω}.9 де H Ω простори функцій Соболєва порядку а n { } H dv; Ω : w L Ω dvw L Ω. Детальніше ці простори описані у праці [5]. Розглянемо варіаційне формулювання початково-крайової задачі.7:

Тут H w L T W l L T V L T V ' w ; σ ; < l t v> t T] v v V. задано ; ; ' ; знайти ; таку що m t v b t t v at v s t t v m mv : vd Ω s σ; v : σvd Ω n v b w; v : w d Ω n v av : μ d Ω < lv > : fvd ˆ dγ v V. v Ω Γ 4.. Відомо [9] що задача. коректно поставлена..4.. Напівдискретизація Гальоркіна З метою наближеного розв язування варіаційної задачі. виберемо послідовність скінченновимірних підпросторів { V } простору V з властивістю dm V при V щільно вкладена в V. де параметр напівдискретизації варіаційної задачі. за просторовими змінними. Тоді схема напівдискретизації Гальоркіна для розв язування задачі. полягає у побудові послідовності апроксимацій { } V кожна з яких є розв язком однотипних варіаційних задач вигляду [9] задано H w L T; W l L T; V' const > та послідовність просторів V V; знайти L T; V таку що. m ' t v b w t ; t v a t v s σ ; t v < l t v> t T] m v v V. >

Якщо { } ϕ деякий базис простору V можна записати у вигляді лінійної комбінації t 44 V то розв язок задачі. Q t ϕ.4 { } з невідомими коефіцієнтами Q Q t. Підставимо.4 у рівняння задачі. і послідовно прийматимемо v ϕ... тоді отримаємо таку задачу Коші для визначення невідомих коефіцієнтів розвинення.4: задано натуральне ; знайти вектор Q { Q t } такий що / MQ t F t Q t t T] MQ [ Q ] де FtQt Lt CtQt. У задачі.5 складові рівнянь обчислюють згідно з правилами { ϕ ϕ } { ϕ } M m L t l t C t B t A S { ϕ ϕ } { w ϕ ϕ } { σ ϕ ϕ } A a B t b t; S s ;..5.6 Оскільки M є матрицею Грама системи лінійно незалежних функцій ϕ то det M і задача Коші.5 має єдиний розв язок Qt. { } Відомо [9] що послідовність { } t при є збіжною до розв язку варіаційної задачі. відносно норми { L T; L Ω L T; V }..4.4. Інтегрування задачі Коші Задачу Коші.5 розв яжемо неявною багатокроковою схемою що грунтується на формулах числового диференціювання [5]. Нехай знайдено розв язок задачі.5 у перших вузлах рівномірної сітки побудованої на відрізку T ]. Тоді розв язок задачі у кожній з наступних точок знаходимо згідно з такою ітераційною процедурою.

Задано порядок схеми τ крок за часом θ const γ p p { } m Qt Q tr : Qt r та ε >. m Знайти Qt r з точністю ε якщо Q tr : Q tr Δ де Δ відшукують як розв'язки систем рівнянь τ M C tr Δ θ γ τ m F t r Q tr γ m Q tr Q tr Q tr θ γ θ γ m... доти доки Q t r Q tr ε. У формулі.7 τ t t θ таблична константа що залежить від порядку схеми [5] γ p p r r 45. m скінченна різниця m -го порядку номер ітерації. З [5] відомо що схему.7 успішно застосовують для розв язування жорстких та нежорстких задач Коші. Зазначимо що завдяки цій схемі інтегрування задачі Коші похибка дискретизації задачі за часовою змінною рівномірно розподілена по часових шарах..4.5. Алгоритм -адаптивної схеми МСЕ З використанням оцінювача похибки * e L f m T.8 μ отриманого в [5] для стаціонарних задач мігрування розроблено такий алгоритм побудови оптимальних сіток МСЕ для розв язування сингулярно збуреної задачі.7. Нехай для побудовано початкову можливо дуже грубу сітку T { } із На підставі скінченних елементів. T будуємо простір апроксимацій { } V : v V C Ω : v P T m.9 і знаходимо значення розв язку часових точках { r} r m V варіаційної задачі. в дискретних P t. Далі обчислюємо послідовність індикаторів * { m} T

46 незбалансованої маси субстанції на кожному скінченному елементі та індикатор цієї ж величини у всій області M * * : m.. T Перевіряємо чи скінченноелементна сітка mn T δ T задовольняє критерій >. де δ найменший допустимий розмір скінченного елемента. За умови його порушення процес виконання цього алгоритму завершений. Перевіряємо чи на кожному скінченному елементі кожного часового кроку виконується нерівність [] e e < η. де η безрозмірний параметр що має смисл відносної похибки в енергетичній нормі допустимої на кожному скінченному елементі а замість e та e * * обчислюють їхні оцінювачі m та M відповідно. Елементи на яких нерівність. порушується підлягають поділу за певним правилом. Решта елементів із T залишається незмінною і разом з усіма новоутвореними скінченними елементами формує уточнену триангуляцію T. Якщо жоден з елементів не задовольняє умови. то процес адаптування сітки вважають завершеним. У протилежному випадку алгоритм продовжують з кроку з тільки що уточненою триангуляцією T. Зауваження. У формулі. η вибирають емпіричним і його значення мусить зменшуватись з кожним кроком ітераційного процесу. Описаний алгоритм можна ефективно застосовувати до розв язування нестаціонарних задач мігрування у яких сингулярні збурення трапляються лише на деякій підобласті Ω Ω Ω Ω. Якщо ця умова не виконується то застосування алгоритму призводить до розв язування задачі на рівномірній сітці. Якщо розв язок задачі мало змінюється в часі то роботу алгоритму можна суттєво скоротити виконуючи кроки та лише на деяких часових шарах. З огляду на досить високу затратність алгоритму його роботу можна перервати на деякій ітерації та розв язати задачу на отриманій адаптованій сітці з використанням апроксимацій МСЕ вищих порядків.

47.4.6. Застосування бібліотеки середовища MATLAB Числові результати розв язування задачі.7 за описаною в попередніх пунктах методикою вдалося отримати завдяки використанню засобів середовища MATLAB. Зокрема процедура розв язування варіаційної задачі. яка включає напівдискретизацію на підставі різноманітних кусковополіноміальних апроксимацій та схему.7 інтегрування задачі Коші реалізована у вигляді бібліотечної функції femtme схема.7 реалізована функцією ode5s. Побудову скінченноелементної сітки за алгоритмом Делоне [6] виконує функція mesnt а її локальне згущення функція mesrefne. Для поліпшення властивостей побудованих сіток використовують функцію messmoot..4.7. Результати числових експериментів Нижче опишемо властивості -адаптивної схеми МСЕ на прикладі двох сингулярно збурених початково-крайових задач мігрування. Задача. Необхідно знайти наближений розв язок задачі.7 в області : t Γ. Коефіцієнти рівняння Q Ω ] де Ω μ δ σ t sn πt cosπt w w f. Середовище з такими властивостями робить повний оберт за одиничний відрізок часу навколо точки за годинниковою стрілкою. В початковий момент часу розподіл D.6... концентрації. Оскільки нема джерел Ω\ D припливу субстанції а коефіцієнт дифузії достатньо малий то можна стверджувати що точний розв язок задачі в кожний момент часу суттєво відрізняється від лише геометричним положенням. На рисунку.6 зображено скінченноелементні сітки та відповідні їм розв язки задачі в момент часу t.5 отримані після різної кількості кроків алгоритму адаптування з пункту 5 з використанням кусково-лінійних поліномів для дискретизації задачі за просторовими змінними та схеми.7 п ятого порядку з кроком τ.5 для інтегрування отриманої задачі Коші. Параметр η вибирали згідно з правилом η де номер кроку адаптування сітки. Алгоритм -адаптування розпочинали із рівномірної сітки T з 7 скінченних елементів для якої добре помітна нефізична поведінка наближеного розв язку. В процесі адаптивного згущення сітки точність наближених розв'язків зростала. З рисунків.6 б-д бачимо що алгоритм досить чітко ідентифікує область сингулярної збуреності задачі і з деякого кроку згущення сітки відбувається лише в цій області. Задача. Потрібно знайти наближений розв язок задачі.7 в області Q : Ω ] де cos y sn t sn t /4 μ δ σ Γ. Коефіцієнти рівняння T { ϕ ϕ ϕ ϕ} ϕ [ π] Γ w T

48 f. Початкове значення концентрації. Неважко переконатись що розв язок задачі має яскраво виражений примежовий шар в околі частини межі Γ де ϕ [ π / ]. На рисунку.7 зображено скінченноелементні сітки та відповідні їм розв язки задачі отримані на деяких кроках описаного в пункті 5 алгоритму з такими самими вхідними даними як і в разі розв язування задачі лише параметр η де номер кроку алгоритму адаптування сітки. Алгоритм -адаптування розпочинався із рівномірної сітки з 6 скінченних елементів. З рисунків.7 бачимо що згущення сітки з деякого кроку адаптування відбувається лише в околі примежового шару а нефізична поведінка наближених розв язків зменшується від кроку до кроку..5. Порівняння простих апостеріорних оцінювачів похибок методу скінченних елементів Розв язування переважної більшості практично важливих задач еластостатики класичними схемами методу скінченних елементів МСЕ потребує настільки густих сіток що цей факт часто слугує головною мотивацією для розвитку його нових версій здатних гарантувати належну точність і стійкість апроксимацій з меншими обчислювальними затратами. Нижче наведено формулювання задач і необхідні характеристики оцінювачів енергетичної норми апостеріорної похибки зміщень Квасниці- Шинкаренка та напружень Зенкевича-Зу далі АПЗ- та АПН-оцінювачі відповідно а також стратегію -адаптування в МСЕ яка використовує розподіл відносної похибки між елементами тріангуляції. Проаналізовано теж числові результати для двох модельних задач із сингулярними розв язками наведено якісні характеристики послідовних уточнень кусково-квадратичних апроксимацій на трикутних сітках з використанням обох оцінювачів..5.. Формулювання задач та головні позначення Процес деформування пружного тіла що займає обмежену область d Ω R з неперервною за Ліпшицем межею Γ під дією масових сил d d f { f } та поверхневих навантажень g { g } описує така крайова задача теорії пружності: σ f. σ Aε в Ω.4 σ Γ \ Γ..5 на Γ ; n g на Γσ

49 а б г в д е Рисунок.6. Розв язки задачі та відповідні їм скінченноелементні сітки: а 6 б 49 ел.; в 95 ел.; г T 7 ел.; д T 49 ел.; е 7 ел.; 6 T 95 ел.

б 5 а в д г е Рисунок.7. Розв язки задачі та відповідні їм скінченноелементні сітки: а 4 4 б T 6 ел.; в 544 ел.; г T 544 ел.; д 86 ел.; е Тут вектор d { } позначає шукані зміщення; 6 ел.; T 86 ел. σ σ тензор d { } d напружень; ε { ε : } тензор деформацій; A симетрична додатно визначена матриця пружних характеристик матеріалу; d n { n } одиничний вектор зовнішньої нормалі до Γ. Відповідна до. -.5 варіаційна задача еластостатики в термінах зміщень зводиться до розв язування рівняння a v < l v > v V.6 де

та a v : < l v > : Ω Ω σ : ε v d f. vd Γσ g. vd v V 5.7 d d V : { v { v} H Ω : v íà Γ } простір кінематично допустимих векторів зміщень з енергетичною нормою v V : a v v v V..8 Згідно з класичною технологією МСЕ покриємо область Ω сіткою трикутних скінченних елементів f {} де : ma : dam і m m позначимо через B m вершини трикутника пронумеровані проти годинникової стрілки. Нарешті середину сторони трикутника яка лежить навпроти вершини B m будемо позначати символом C m m. Для подальшого аналізу адаптивних схем ми виберемо кускововизначений простір апроксимацій V { v v v V [ C Ω] : v P T }.9 T : і розглянемо апроксимацію Гальоркіна Знайдений розв язок зміщень у вигляді V як розв язок рівняння V a v < l v > v.. V допускає кусково-визначене подання вектора : { B C } T. де є базисними функціями простору квадратичних поліномів P. Формула. дає змогу локально обчислити тензори деформацій ε та напружень σ на кожному скінченному елементі які взагалі кажучи становлять розривні характеристики розв язку задачі еластостатики. Апріорні оцінки похибки апроксимації Гальоркіна e. свідчать що за достатньо регулярного розв язку задачі еластостатики ця похибка є величиною порядку O в нормі простору V. Такі оцінки дають досить точну інформацію про порядок швидкості збіжності МСЕ однак є недостатніми для обчислення значень цієї похибки оскільки містять константи які залежать від норми точного розв язку. Щоб мати об єктивнішу інформацію

5 про знайдені наближені розв язки потрібно орієнтуватися на розв язування такої задачі оптимізації: задано допустимий рівеньθ const > відносної похибки апроксимації в енергетичній нормі простору допустимих функцій V; V знайти трангуляцію T { } для побудови простору апроксимацій V V таку що апроксимація Гальоркіна V знайдена з варіаційного рівняння рівноваги пружного тіла a v < l v > v V задовольняє умову V % θ. V. Формулювання останньої задачі свідчить про важливість одержання надійних та зручних апостеріорних оцінок похибки апроксимацій..5.. Оцінювач апостеріорної похибки зміщень Нижче наведено головні результати побудови оцінювачів апостеріорних похибок запропоновані в статті [7]. З огляду на.6 і. похибка апроксимації Гальоркіна є розв язком такої варіаційної задачі заданоапроксимацію Гальоркіна V для розв'язку V задачі.4 V V ; знайти похибку e : E : V \ V таку що a e v < ρ v > v E.4 де ρ < l v > a v лінійний функціонал лишку рівнянь рівноваги. В праці [7] визначена фундаментальна властивість цього функціонала ρ..5 e V Локальний оцінювач апостеріорної похибки η : σ e : ε e d} T.6 e { де e апроксимація Гальоркіна для розв язку задачі.4 знайдена із дискретизованої варіаційної задачі задано E E dm E M < ; знайти e E такий що a e v < ρ v > v E..7

5 Завдяки використанню кубічних функцій-бульбашок { b } T задача.7 зводиться до послідовного розв язування систем лінійних алгебричних рівнянь вигляду A z r T.8 коефіцієнти якої обчислюють згідно з правилами b b A : anm d n m.9 r : [ f σ ] bd d T. Тоді локальний апостеріорний оцінювач похибки зміщень АПЗ-оцінювач на скінченному елементі обчислюють за правилом η { z. A z } { z. r } T..4.5.. Оцінювач апостеріорної похибки напружень На відміну від запропонованого нами в [7] способу оцінки похибки зміщень на підставі автономного уточнення їхньої поведінки в межах кожного скінченного елемента Зенкевич і Зу розробили оцінювач апостеріорної похибки напружень на елементах [6]. У запропонованій ними процедурі є припущення що у випадку знайдених квадратичних апроксимацій зміщень на трикутниках. точне значення тензора напружень σ апроксимується неперервним кусково-квадратичним тензором σ : { σ B σ C } T..4 Невідомі значення тензорів σ B визначено згідно з таким правилом. На кожній сукупності трикутників Ω : { T : B }.4 які формують окіл вершини B s введемо тензор s s s m s m m σ B ; : τ Ω.4 m коефіцієнти τ якого обчислимо з умов мінімуму квадратичного функціонала Ω s { [ σ σ..44 C C σ Bs; C ]:[ σ C Bs; C ]} Тоді коефіцієнти формули.4 обчислимо так: σ B : σ B ; B σ C : δ σ B ; C.

Нарешті похибка в напруженнях ~ e σ 54 σ σ.45 і локальний оцінювач апостеріорної похибки напружень АПН-оцінювач набуває вигляду ~ e~ η : : A e~ d} T..46 e { σ.5.4. Стратегія процесу адаптування Для організації процесу адаптивного згущення сітки зручно використовувати відносну похибку в енергетичній нормі де σ e V δ %.47 V енергетична норма точного розв язку що наближено визначена як V Тут і далі V { e } { η V V V }.48 η : { η }.49 T прийнято за апостеріорний оцінювач похибки на тріангуляції в цілому. Якщо ми задаємо рівень допустимої відносної похибки θ то метою адаптування згідно з. є побудова такої тріангуляції на якій виконується умова δ θ. Локально ж на кожному скінченному елементі повинна виконуватись умова [6] V θ : η η < η.5 M де M загальна кількість елементів тріангуляції. Ті скінченні елементи для яких η α : >.5 η підлягають поділу на α скінченних елементів. Така процедура приводить до вирівнювання значень енергетичних норм похибки на всіх елементах нових тріангуляцій. Наведена вище стратегія використана для адаптивного поліпшення сіток у проведених обчислювальних експериментах.

55.5.5. Результати обчислювальних експериментів Коротка консольна балка. Квадратна пластинка рівномірно навантажена на верхній межі тиском g Н/м та жорстко закріплена вздовж лівої сторони рис. виготовлена з алюмінію з пружними сталими μ λ 6Н/м. Ця задача досить проста однак її розв язок має сингулярності у лівому верхньому та нижньому кутах зумовлені зміною вигляду крайових умов. Розв язки подібних задач зі змішаними крайовими умовами взагалі кажучи є нерегулярними. Як зазначено у [4] є приклади у яких дані і межа області є гладкими а розв язок належить до H s Ω для s строго менших. З огляду на зменшення регулярності розв язку можна очікувати зниження порядків швидкості збіжності МСЕ-апроксимацій зміщень. Далі вибрано рівень допустимої відносної похибки θ 5% що вважають достатнім для більшості інженерних розрахунків. Метою нашого обчислювального експерименту було порівняння характеристик запропонованої вище стратегії -адаптування з використанням оцінювачів похибки зміщень.4 та напружень.46. Як можна побачити з рис. адаптування з використанням обох оцінювачів приводить до подібної структури сіток скінченних елементів. Обидва алгоритми адаптування впевнено виявляють сингулярності розв язку в околі кутів защемленої межі пластини послідовно подрібнюючи трикутники в цих ділянках. Деякі кількісні результати експерименту наведено в табл..4.7. У цілому вони підтверджують що використання технології адаптивного згущення сітки у цій задачі дає змогу підвищити порядки збіжності як в енергетичній нормі так і в нормі простору H : L Ω до теоретично очікуваних. Тут номер ітерації; M загальна кількість трикутників у тріангуляції T ; загальна кількість вузлів тріангуляції; M кількість елементів які на заданій ітерації потребують поділу ρ ma lmn характеристика нерегулярності даної тріангуляції l mn найкоротша зі сторін її трикутників; p порядок швидкості збіжності схеми МСЕ в нормі простору H та в енергетичній нормі відповідно; z V ma максимальне точкове значення модуля похибки зміщень у центрах ваг скінченних елементів; ma максимальне значення модуля вектора зміщень у вузлах сітки.

g 56 а б в г д е Рисунок.8. Коротка консольна балка: а - умови закріплення та навантаження; б - вихідна тріангуляція Т ; в д - тріангуляції Т і Т 6 побудовані за допомогою АПЗ-оцінювача.4; г е - тріангуляції Т і Т 5 побудовані за допомогою АПН-оцінювача.46.

57 Таблиця.4. Збіжність -адаптування на основі АПЗ-оцінювача M M ρ 4 4 e p V V 5 8 4 4 99 4859 8% 66 7 8 6 898 44 64% 5 48 5 6 6956 44689 6 9% 5 64 6 65 868 447948 54 76% 4 79 76 697 6 44854 69 8% 5 89 8 4 4 59958 448795 68 % 6 86 94 5964 44888 74 77% Таблиця.7. Збіжність -адаптування на основі АПН-оцінювача M M ρ ~ V 4 4 e p V 5 8 8 4 47688 4859 598% 94 9 8 8 6999 44 55 57% 56 7 4 66 4465 8 54% 96 85 4 86685 4486 7 76% 4 4 9 6 7745 44848 75 4% 5 8 99 6 648879 448794 8 7% Таблиця.8. Збіжність апроксимацій у разі рівномірного згущення сітки M 4 e V ~ V 4 4 e p V 5 8 99 47688 4859 598% 8 556 6557 4486 98 89% 89 8 45 5897 4464 89 5% 89 5 7684 98 4489 8 8% 4 45 48 476764 68556 4494 8 % Таблиця.9. Додаткові значення обчислені в процесі -адаптування на основі АПЗоцінювача M 4 4 e p H H z ma ma 5 8 5778 878 9 646 66 7 744 866484 49 9547 668 5 48 678 87685 8 58875 6767 5 64 48744 87987 75 678 68 4 79 76 88 88 6 96 686 5 89 8 78 8867 98574 687 6 86 74 88789 9 474 6874 Як можна побачити з даних табл..4 та.5 завдяки генеруванню нерегулярніших сіток АПЗ-алгоритм збігається M на тріангуляції з меншою кількістю елементів. Як у сенсі енергетичної норми похибки так і в значеннях енергії обидва алгоритми адаптування породжують монотонно δ δ δ

58 збіжні послідовності апроксимацій з показниками швидкості збіжності близькими до оптимальних. Для порівняння в табл..6 наведено ті самі характеристики збіжності апроксимацій МСЕ у разі рівномірного згущення сіток. Виграш -адаптування переконливий для досягнення точності в % рівномірне згущення потребує сіток з -разовим збільшенням скінченних елементів. У табл..7 наведено деякі додаткові характеристики збіжності АПЗалгоритму які зокрема свідчать що він досягає оптимальних показників збіжності і для середньоквадратичної норми. Крім того тут добре видно що відносна похибка апроксимацій зміщень у цій нормі є значно меншою від %.

. СТАБІЛІЗОВАНІ АПРОКСИМАЦІЇ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ.. Ітераційне реконструювання апроксимацій Гальоркіна для задач міграції домішок методом найменших квадратів На підставі методу найменших квадратів запропоновано ітераційну процедуру усунення похибки забруднення апроксимацій Гальоркіна для задач міграції з переважаючою конвекцією. Визначено достатні умови збіжності цієї процедури. Виявлено аналогію між цим процесом реконструювання та однокроковими рекурентними схемами інтегрування задач Коші для диференціальних рівнянь першого порядку. Наведено результати числового моделювання процесу міграції домішок з примежовим шаром. Для моделювання взаємодії стаціонарних процесів конвекції дифузії та біохімічного розпаду забруднювальних домішок у рухомому нестисливому середовищі часто використовують змішану крайову задачу вигляду [] знайти пару ψ { p} таку що. p σ f;. μ p b в Ω; на Γ. Тут рівноправними характеристиками мігрування є концентрація і повний потік домішки p: bμ в Ω де μ { μ } d матриця коефіцієнтів дифузії що задовольняє властивості симетрії та додатної визначеності μ μ; d ξμξ. μξξ μξξ. μ const >. d d ξ { ξ} R майже скрізь в Ω. Будемо припускати що фізичні дані задачі. задовольняють такі гіпотези регулярності: d b Z: { z L Ω H dv; Ω:. z в Ω}. μ σ L Ω f H Ω. У варіаційному формулюванні задачу. найчастіше розглядають у термінах невідомої концентрації 59

де 6 знайти V H Ω таку що.4 cv < lv > v V { μ σ } с v v. vb. d;.5 Ω < lv > fvd v V..6 Ω Зі збільшенням критеріїв подібності Пекле та/або Струхаля розв язування таких задач класичними схемами методу скінченних елементів МСЕ у просторах апроксимацій V V побудованих на рівномірних сітках супроводжується катастрофічним нагромадженням похибок забруднення e яка спотворює апроксимацію Гальоркіна V. Як наслідок ми отримуємо * наближений розв язок e V який може мати цілком іншу структуру ніж розв язок V задачі.4. Для подолання згаданих недоліків апроксимацій МСЕ останніми роками запропоновано низку стабілізованих та адаптивних схем МСЕ див. наприклад [9-] та бібліографію в них а також [5-7]. Як альтернативу до згаданих підходів ми побудували ітераційну схему реконструкції розв язку яка ґрунтується на варіаційному принципі найменших квадратів. Тут розвинуто результати праці [9] анонсовані нами в [4] дано належну інтерпретацію нашого ітераційного вилучення похибки e та доведення збіжності цього процесу. Нарешті наведено деякі результати обчислювальних експериментів виконаних для однієї модельної задачі з великим числом Пекле.... Формулювання задачі: ітераційний процес реконструкції апроксимацій Гальоркіна Розглянемо такий ітераційний процес: де задано апроксимацію Гальоркіна ω V та набір параметрів реконструювання ρ { ρn} R; n знайти ω V такий що n n n ω v ρn ω v ω v v V n... є скалярним добутком у просторі v.7 vd.8 Ω H L Ω з нормою H..9 H

6 Неважко переконатися що за вибору параметрів ρ n ρ > ρ n.... кожна із варіаційних задач.7 коректно сформульована і отже дає змогу n однозначно обчислити послідовність { } n Якщо ввести норми ω V з властивістю n n.......... H H H H ω ω ω n. { } n ω ω ρ ω ω. n H H V то одержимо послідовність сильніших оцінок... ω ω... ω n..... n n n n Оскільки числові послідовності норм наближень незростаючі то вони є ω збіжна до збіжними. Ми ж припустимо що й сама послідовність { n } * апроксимації Гальоркіна V. Іншими словами запропонована нами ітераційна процедура.7 здатна шляхом послідовного анігілювання похибки забруднення привести від забрудненої апроксимації V до * реконструйованої V. Щоб підтвердити висловлену гіпотезу розглянемо процес реконструювання з двох поглядів.... Метод найменших квадратів Симетрія білінійних форм варіаційних рівнянь із.7 визначає на просторі V H Ω новий скалярний добуток H v v ρ v v V.4 n n за умови що ρ n >. Тому ітераційний процес реконструювання.7 еквівалентний послідовному розв язуванню таких задач мінімізації: знайти апроксимацію Гальоркіна ω V та набір параметрів реконструювання ρ { ρn} R; n знайти ω V такий що n Jn ω Jn ω ω V n... де Jn ω ω - n ρ. H n ω ω ω ω V H Квадратичному функціоналу задачі.5 можна надати вигляду.5

J 6 n n n ω ω ρ ω ω ω ω ω ρ ω ω ω V.6 n H n H H n H який засвідчує що по суті потрібно мінімізувати квадратичний функціонал F n n H n H ω ω ω ρ ω ω V.7 із лінійної комбінації квадратів норм з додатними коефіцієнтами. Структура функціонала наочно демонструє зміст запропонованого нами ітераційного процесу реконструювання наближень. Перший доданок означає що ми намагаємося якомога ближче в сенсі норми підійти до знайденого H n на попередньому кроці ω V. Одночасно другий доданок цього функціонала свідчить що ми хочемо досягнути поставленої мети використовуючи в процесі пошуку розподіли із V з якомога меншими значеннями норм градієнтів. У цьому разі значення допустимої якомога меншої величини градієнта концентрації регульоване вибором параметра реконструкції ρ n.... Характеристика процесу реконструювання Розглянемо знову варіаційне рівняння ітераційного процесу.7 і надамо йому вигляду ω ω v ρ ω v v V n.....8 n n n n Перший доданок цього рівняння свідчить про певну динаміку змін у ході ітераційного реконструювання і дає змогу розглядати його з позицій еволюційних процесів. Уведемо приріст за часом Δ t > тоді знайдемо що величина n n n ω ω ω.9 Δt характеризує швидкість зміни наближень на двох послідовних кроках ітераційного процесу. Подібними міркуваннями такі зміни ми можемо зауважити і в другому доданку рівняння.8 якщо виконати такі перетворення: { } { } { } n n n n n n n n n n Δ t Δt ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω. де позначення { } n n n ω ω ω. виражає середнє значення наближення на двох послідовних кроках процесу реконструювання. Уведені позначення.9 та. дають змогу варіаційне рівняння.8 записати в такому вигляді: { } n n ρ n n ω ρn ω ω v v v v V n..... Δt

6 Одержане нами рівняння дає змогу провести безпосередню аналогію між процесом реконструювання.7 та однокроковими рекурентними схемами інтегрування задач Коші для диференціальних рівнянь першого порядку і скористатись розвиненою там технікою аналізу стійкості. Точніше ми готові визначити такий важливий результат. Теорема про стабілізацію та безумовну стійкість реконструювання. Нехай послідовність параметрів ρ { ρ n } R ітераційного процесу реконструювання така що ρ > n.... Тоді n n знайдена послідовність реконструйованих наближень { } V n ω збіжну незростаючу послідовність норм { } H ω утворює що зокрема свідчить про стабілізацію поведінки норм наближень зі збільшенням кількості виконаних ітерацій; ітераційний процес реконструювання безумовно стійкий щодо вибору додатних значень ρ n у нормі простору V і в цьому разі ω ω ω..... Доведення. Приймемо одержимо: n n H n H n ρ n n v ω в рівнянні.. У результаті перетворень Δt n n n ω ω ω H H ρ n n n.....4 Знайдені нерівності свідчать що n n... ω ω... ω n... H H H H n тобто послідовність норм { ω } є обмеженою монотонно спадною числовою H послідовністю. Така послідовність збіжна тобто існує таке a const > що n a lm ω. n H Щоб переконатися у правильності другого твердження теореми достатньо підсумувати рівності із.4 з номерами n... використовуючи визначення.9. У результаті обчислимо рівності. вигляд яких свідчить n ω обмежена за будь-якого вибору додатних що послідовність норм { } H значень параметрів ρ n. Це означає безумовну стійкість процесу реконструювання щодо значень цих параметрів.

64..4. Збіжність послідовних наближень Теорема про збіжність процесу реконструювання. Нехай послідовність параметрів ρ { ρ n } R ітераційного процесу реконструювання.7 вибрано так що ρn ρ n n.....5 Тоді знайдена із.7 послідовність реконструйованих наближень ω V монотонно збіжна щодо норми { } n { } V H H V ω ω ω ω до деякого ω V. Крім того будуть правильними оцінки збіжності H { } H H { } n n n n ω ω ω ω ; n n n n ω ω ω ω разом із n. H H H.6 Доведення. З урахуванням означення скалярних добутків.4 надамо рівнянню. вигляду: n ρ n n ω ω v v v V n.....7 n Δt n Приймемо в ньому послідовно v ω та v ω тоді в результаті нескладної алгебри знайдемо що такі оцінки: ρ n n n n ω ω ω Δt H n.8 n n { ω ω } v V... ; n n n Δt та відповідно. ρn Δ t n n { ω ω } H H n n n n n ω ω ω n ρn v V... ; n Δt.9

..5. Числовий приклад Розглянемо крайову задачу. в якій область Ω коефіцієнти 7 дифузії μ μ μ μ σ f вектор швидкості перенесення / b. Крайові умови мають вигляд: ; ; < y < 5 / ; y 5 / < y < ; < y < 5 / ; y 5 / < y <. Цю задачу було розв язано за допомогою кусково-квадратичних апроксимацій МСЕ на рівномірній сітці з 45 трикутних скінченних елементів з 88 розрахунковими вузлами. Одержані результати показано у лівій частині рис. -. Добре помітно недоліки знайдених класичних апроксимацій МСЕ зумовлені великим значенням критерію подібності Пекле цієї задачі 8 Pe 55. Найбільші похибки забруднення спостерігаються в наближеннях градієнту розв язку. Праві частини демонструють реконструйовані апроксимації МСЕ обчислені за п ятдесят кроків ітераційного процесу.7. 65 Рисунок.. Порівняння апроксимації та її реконструйованого варіанту *.

66 Рисунок.. Порівняння апроксимації та результату його реконструкції *. Рисунок.. Порівняння апроксимації модуля потоку * реконструкції. та результату його..6. Висновки Отже з огляду на метод найменших квадратів запропоновано ітераційну схему реконструкції наближених розв язків МСЕ для задачі міграції домішок з переважаючою конвекцією. Розглянуто метод з двох поглядів а саме з позицій мінімізації певного квадратичного функціонала та однокрокової рекурентної схеми. Числові результати відображають збереження стійкості розв язків у разі застосування ітераційної схеми реконструкції... Регуляризація числових розв язків варіаційних задач міграції домішок: стабілізований метод скінченних елементів Математичне моделювання процесів міграціїї домішок в рухомому суцільному середовищі фізична природа яких задовільно описується взаємодією механізмів конвективного і дифузійного перенесення частинок субстанції та хімічних реакцій з іншими складовими довкілля часто приводить до необхідності розв язування крайових або еквівалентних варіаційних задач вигляду.49 та.6 відповідно.

67 За умов.4 можна встановити коректну розв язуваність варіаційної задачі.6 див. напр. [8]. Поряд із цим добре відомо [7 45 48 5] що велика різниця в швидкостях конвективного і дифузійного перенесення субстанції та перебігу хімічних реакцій приводить до сингулярних збурень задач міграціїї домішок.49 та відповідно.6 апріорні оцінки яких виведено раніше з використанням критеріїв подібності Пекле і Струхаля. З іншого боку наприклад за умов домінування швидкості конвективного перенесення w в околі частини межі { } Γ b : P: w n Γ. спостерігається дуже тонкий примежовий шар S Ω ширини O w якому розв язок задачі.6 та його градієнт терплять настільки великі зміни що класичні схеми МСЕ втрачають притаманний їм запас стійкості і як наслідок очікувану точність див. [744 454648 49]. Щоб усунути згадані недоліки в останні десятиріччя було розвинено альтернативні концепції так званих стабілізованих та адаптивних схем МСЕ див. напр. [9 7 9 4 45 49] та [4 44 46 48 5] відповідно. Обидві концепції у свій спосіб видозмінюють класичну задачу відшукання апроксимацій Гальоркіна для розв язку задачі.6 методом скінченних елементів: задано триангуляцію Т { } області Ω : dam : ma ; T скінченновимірний простір апроксимацій V V побудований кусково за допомогою просторів Pm. всеможливих поліномів порядку не вище m ; знайти апроксимацію V таку що c v fv v V. Тут : μ [ w σ ] с v v v d μ v [ w σ] v d с v T Ω T в. f v : fvd fvd f v v V.. Ω T Обидві концепції покращених схем МСЕ оперують з лишками рівняння міграціїї домішок.49 ρ v: Lv f на T v V.4 T

68 які обчислюються на функціях v V над кожним елементом триангуляції T але кожна із них переслідує власну мету. Так концепція стабілізованих схем МСЕ лишаючи незмінними триангуляцію T та простір апроксимацій V вдається до процедури узагальненого методу Гальоркіна реалізуючи задачу. наприклад в такий спосіб: задано триангуляцію Т { } простір апроксимацій V V та набір параметрів стабілізації { τ} R ξ R і оператор стабілізації A: H Ω L Ω кусково визначений згідно правила v H Av: ξ μ v w v σv L Т ; знайти V таку що с v τ ρ Av f v v V. T.5 Конкретний вибір значень параметра ξ R дозволяє одержати добре відомі стабілізовані схеми визначальною властивістю яких є збільшення запасу стійкості МСЕ без втрати очікуваного порядку збіжності. Так при σ вибір значення параметра схеми ξ приводить до DWG-схеми ξ до SUPGсхеми ξ до GaLS-схеми або що еквівалентно схеми локалізованих найменших квадратів [9 7]. В усіх перелічених схемах вибір параметрів { τ } здійснюється в такий спосіб щоб реалізувати потенційні можливості апроксимацій МСЕ із вибраного V у відтворенні структури розв язків задачі.6.... Регуляризація числових розв язків варіаційних задач міграції домішок: локалізовані найменші квадрати З огляду на одержані оцінки.7 та.8 похибки схеми Гальоркіна нижче пропонується числова схема яка підміняє варіаційну задачу.6 збуреною задачею: задано Τ { } та послідовність параметрів τ { τ } R; знайти такий що τ V.6 с v s τ ; v fv v V τ де s τ; v : τ L f Lv v V τ Τ

де v : vd. Збурюючий доданок s ; v τ утворює лінійну комбінацію варіаційних рівнянь методу найменших квадратів для мінімізації нев'язок ρ : L f.7 τ на кожному скінченному елементі триангуляції Τ. Відповідно коефіцієнти τ цієї лінійної комбінації можна розглядати як штрафні множники за невиконання апроксимацією τ рівняння задачі.49 на скінченному елементі. З іншого боку вибір коефіцієнтів τ повинен здійснюватися в такий спосіб щоб залишати схемі.6 достатньо можливостей для належного відтворення апроксимацією τ структури розв'язку варіаційної задачі.. Тому в цілому схему.6 можна розглядати як певну регуляризацію задачі.86 для відшукання апроксимації Гальоркіна за допомогою збалансованого штрафування нев'язки.7 на елементах триангуляції Τ. Важливо відзначити що регуляризована схема Гальоркіна.6 містить як часткові випадки добре відомі стабілізуючі схеми для варіаційної задачі.. Так наприклад SUPG-схема Х'юза Брукса [47] різниться від.6 лише визначенням збурюючого члена s * τ; v : τ L f Lv v V Κ.8 де * L - спряжений до L оператор τ L * : μδ σ 69 w..9 Параметри τ вибираються в залежності від. Якщо простір V складається з кусково лінійних на Τ функцій то збурюючі доданки.6 і.8 співпадають. Це саме зауваження стосується протипотокової схеми Дугласа-Вонга [9 4] беззалишкових бульбашкових функцій [4]. Нарешті зауважимо що регуляризована схема.6 допускає природну реалізацію p -версії методу скінченних елементів що надзвичайно важливо при якісному моделюванні примежевих шарів та інших сингулярностей.... Алгоритм реалізації стабілізуючої схеми локалізованих найменших квадратів ЛНК для стаціонарних задач На кожному скінченному елементі T збурюючий доданок s τ ; v в задачі.6 є сумою відповідних білінійних форм та лінійних функціоналів і може бути записаний в наступному вигляді: τ; τ[ μμ σσ σμ d v d v d v d v ] s v d v d v d v wμ σw μw σw τ l v l v l v. μf σ f wf.4

де v dμμ v μ μ d dσσ v σσvd v dσμ v σ μ d v dwμ v w μ d dσ w v σw vd dμw v μ w vd dw σ v w σ vd;.4 7 lfμ v f μ d lf σ v fσvd l v fw vd. fw.4 При реалізації алгоритму побудови числової схеми ЛНК в матрицю та вектор системи лінійних алгебраїчних рівнянь окрім матриць жорсткості мас конвективних членів та вектора правої частини додаються ще деякі додаткові компоненти які називатимемо стабілізаційними матрицями та векторами відповідно. Як і у випадку класичної схеми Гальоркіна процес формування вищевказаних матриць та векторів доцільно розглядати лише на одному скінченному елементі а саме на стандартному скінченному елементі. Використаємо співвідношення.. і введемо наступні позначення. Часткові похідні другого порядку функції в глобальній системі координат та вектор складений з цих похідних відповідно: y y '' T : : : yy y y yy..4 Часткові похідні другого порядку функції в локальній системі координат та вектор складений з цих похідних відповідно:

'' T ξξ : : : ηη ξη ξξ ξη ηη. ξ η ξη '' '' Матриця других похідних базисних функцій e e ξ η : 7.44 ϕ ϕ ϕ ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ7 ϕ8 ϕ9 ϕ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ϕ ϕ ϕ ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ7 ϕ8 ϕ9 ϕ.45 ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η ϕ ϕ ϕ ϕ4 ϕ5 ϕ6 ϕ7 ϕ8 ϕ9 ϕ η η η η η η η η η η Використовуючи формули переходу. можемо записати наступне співвідношення b bb b ξξ '' '' y bc bc cb bc ξη T..46 yy c cc c ηη Додатково введемо ще такі позначення: μ μ μ μ.47 μ μμ μμ T μ μμ μμ 4μ μμ. μμ μμ μ T.48 Відповідно використовуючи ті самі формули переходу. виразимо доданок μ в системі координат y через другі похідні функції ξ η : в системі координат b bb b μ μ μ μ μ μ. '' '' '' b c bc cb bc T y y c cc c.49 Отже локальні матриці системи рівнянь МСЕ які відповідають стабілізаційним доданкам схеми ЛНК і отримуються з білінійних форм.4 матимуть наступний вигляд: n '' T T '' '' T T '' { } Dμμ : dμμ ϕ ϕ e μ μ e d e T μ T e d

{ } n T Dσσ dσσ ϕ ϕ σ e σed 7 '' '' { } n T T Dσμ dσμ ϕ ϕ σeμ e d σeμ T e d n T T '' T T T T '' { } D μ d μ ϕ ϕ w e μ e d e T w μ T e d w w Δ n { } Dσw dσw ϕ ϕ σw e ed σwt e ed Δ n '' T T '' T T T { } Dμw dμw ϕ ϕ e μw e d e T μw T e d Δ n { }. Dσw dσw ϕ ϕ σew e d σewt e d Δ Локальні ж вектори системи рівнянь МСЕ які відповідають стабілізаційним доданкам схеми ЛНК отримуються з лінійних функціоналів.4 і обчислюються за формулами: Ffw fw e d fwt e d Δ T '' T '' Ff μ f μ e d f μ T e d де d. Ff σ fσed σefd dξdη d ddy а визначається формулою.4.... Аналіз апроксимацій схеми ЛНК для стаціонарних задач міграціїї домішок: одновимірна крайова задача з примежевим шаром. Для аналізу можливостей схем ЛНК на рівномірних сітках скінченних елементів повернемось до розгляду тестової задачі.49. Оскільки ця задача володіє яскраво вираженим примежовим шаром всі апроксимації стандартної схеми МСЕ на рідких сітках з - елементів характеризувались нефізичною поведінкою фрагменти якої показано на рисунку.4-.7. Для усунення цих недоліків стандартні схеми МСЕ доповнювались доданками стабілізованої схеми Дугласа-Вонга або схеми

7 локалізованих найменших квадратів. Параметри регуляризації { τ } останньої визначалися наступним чином: τ : γ Pe T.5 aw де γ z z z< : z <.5 стала а вибиралась так що а:.44 для лінійних апроксимацій; a:.65 для квадратичних і а:4.7 для кубічних апроксимацій. Нижче на рисунку.4-.7 наведено порівняння точного розв язку задачі.49 з наближеними розв язками схем локалізованих найменших квадратів ЛНК стабілізації Дугласа-Ванга DWG та стандартного методу скінченних елементів МСЕ одержаними на рівномірній сітці із скінченних елементів. Тут використано ті ж самі апроксимації МСЕ різних порядків...9.8.7.6.5.4........4.5.6.7.8.9 точний розв'язок ЛНК Схема Дугласа- Вoнга МСЕ *. 4 Рисунок.4. Кусково-лінійні апроксимації розв язку задачі.49 Pe рівномірна сітка з -ти скінченних елементів порядок системи рівнянь МСЕ - 9....9.8.7.6.5.4... -.....4.5.6.7.8.9 точний розв'язок ЛНК Схема Дугласа- Вoнга Фрагмент МСЕ *. 4 Рисунок.5. Кусково-квадратичні апроксимації розв язку задачі.49 Pe рівномірна сітка з -ти скінченних елементів порядок системи рівнянь МСЕ - 9.

.8.6.4. -. -.4 -.6 -.8....4.5.6.7.8.9 точний розв'язок ЛНК Схема Дугласа- Вонга МСЕ 74 Рисунок.6. Кусково-кубічні ермітові неперервно-диференційовані апроксимації розв язку 4 задачі.49 Pe рівномірна сітка з -ти скінченних елементів порядок системи рівнянь МСЕ -..9.8.7.6.5.4... -.....4.5.6.7.8.9 точний розв'язок ЛНК Схема Дугласа- Вонга Фрагмент МСЕ *. Рисунок.7. Кусково-кубічні ермітові неперервні апроксимації розв язку задачі.49 4 Pe рівномірна сітка з -ти скінченних елементів порядок системи рівнянь МСЕ - 9. Рисунки наочно ілюструють недоліки класичних апроксимацій методу скінченних елементів які виражаються осцилюванням їх значень різної амплітуди і навіть знаку. В той же час стабілізовані схеми ЛНК і вже на таких грубих сітках Pe подають якісно вірні наближення непоганої точності причому схема ЛНК дещо переважає схему DWG у точності відтворення структури примежового шару. Найкраще цей метод працює при застосуванні кусково-кубічних неперервних ермітових апроксимацій. Цей висновок підтверджується даними таблиці.4 в якій наведено значення максимальних відхилень наближених розв'язків від точного розв'язку у вузлах сітки. одержані для числових схем з різними Значення ma.. апроксимаціями: ЛА кусково-лінійна КА кусково-квадратична ЕНДА кусково-кубічна ермітова неперервно-диференційована ЕНА - кусково-кубічна ермітова неперервна. Таблиця.. Схема ЛА КА ЕНДА ЕНА ЛНК 55 7486 97.457 Дугласа-Вонга 7757 44 989 544

75 Відзначимо що суттєвий виграш в точності кубічних апроксимацій ЛНК над наближеннями Дугласа-Вонга досягнуто виключно за рахунок раціонального вибору значень параметрів а із.6 що було підтверджено результатами обчислювальних експериментів на всіх розглянутих в роботі задачах. На рисунку.8-. зображено розподіл значень середньоквадратичної норми нев язок вихідного рівняння на скінченних елементах сітки обчислені для наведених вище наближених розв'язків. Добре видно що підвищення порядку поліноміальної апроксимації на одиницю в стандартній схемі МСЕ зменшує на порядок значення нев'язок і робить їх величинами одного порядку з нев язками схем ЛНК та Дугласа-Вонга лише для кубічних апроксимацій. На відміну від стандартної схеми МСЕ яка рівномірно розподіляє нев язки для всіх вжитих апроксимацій схеми ЛНК та Дугласа-Вонга з кубічними ермітовими апроксимаціями характеризуються дуже подібним розподілом нев'язок здатним надійно ідентифікувати скінченні елементи примежевого шару. 5 ЛНК 5 5 4 5 6 7 8 9 Схема Дугласа- Вонга МСЕ *. Рисунок.8. Розподіл норм нев язок на скінченних елементах з лінійними апроксимаціями. 5 5 5 5 4 5 6 7 8 9 ЛНК Схема Дугласа-Вонга МСЕ *. Рисунок.9. Розподіл норм нев язок на скінченних елементах з квадратичними апроксимаціями.

8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 ЛНК Схема Дугласа-Вонга МСЕ 76 Рисунок.. Розподіл норм нев язок на скінченних елементах з ермітовими неперервнодиференційованими апроксимаціями. 8 7 6 5 4 4 5 6 7 8 9 ЛНК Схема Дугласа- Вонга МСЕ *. Рисунок.. Розподіл норм нев язок на скінченних елементах з ермітовими неперервними апроксимаціями...4. Аналіз апроксимацій схеми ЛНК для двовимірних задач міграціїї домішок з внутрішніми шарами. Нижче аналізуються наближені розв'язки схеми локалізованих найменших квадратів методу скінченних елементів двовимірної крайової задачі.55-4.57 при ε. На рисунку. зображено графік та ізолінії точного розв'язку задачі який наочно демонструє структуру внутрішніх шарів даної задачі.

77 Рисунок.. Графіки та ізолінії точного розв язку задачі.55-.57. Наближені розв'язки задачі.55-.57 будувались на рівномірних сітках скінченних елементів з використанням кусково кубічних апроксимацій Ерміта які вимагали знаходження вузлових значень розв'язку та значень його перших похідних у вершинах трикутних скінченних елементів а також значень розв язку в центрі ваги скінченних елементів. Графіки цих розв язків зображено на рисунку.. а б

Рисунок.. Наближені розв язки задачі.55-.57 обчислені на різних сітках МСЕ за схемою ЛНК з використанням кусковокубічних неперервно-диференційованих апроксимацій Ерміта на трикутних скінченних елементах. 78 а скінчених елементів б 8 скінчених елементів в скінчених елементів 4 4 Наближені розв язки задачі знайдені за допомогою звичайної схеми МСЕ на сітці із скінченних елементів характеризувались яскраво вираженою нефізичною поведінкою. Для усунення цих недоліків стандартні схеми МСЕ доповнювались доданками стабілізуючої схеми локалізованих найменших квадратів. На цих самих сітках скінченних елементів було проаналізовано характеристики норми розподіли яких зображено на рисунку.4; L норми похибки норми нев язки розподіли яких подано на рисунку.5; L розподіли яких показано на рисунку.6; L в а Рисунок.4. Норма градієта наближеного розв язку задачі.55-.57 обчисленого на різних сітках МСЕ за схемою ЛНК з використанням кусково-кубічних неперервно-диференційованих апроксимацій Ерміта на трикутних скінченних елементах. а скінчених елементів б 8 скінчених елементів б в в скінчених елементів 4 4

79 а Рисунок.5. Графік норми абсолютної похибки в нормі L Ω обчисленої на кожному скінченому елементі розбиття. б а скінчених елементів б 8 скінчених елементів в скінчених елементів 4 4 в а Рисунок.6. Графік норми нев язки рівняння обчисленої на кожному скінченому елементі розбиття. б а скінчених елементів б 8 скінчених елементів в скінчених елементів 4 4 в В таблиці. приведені значення показників -4 на різних сітках скінченноелементного розбиття області

8 Таблиця.. Критерії оцінки наближеного розв язку обчисленого на різних сітках скінченних елементів з використанням кусково-кубічних неперервнодиференційованих апроксимацій Ерміта на трикутниках. Критерій Кількість скінченних елементів 8 / ma ed T.9574.775.64 / ed T / ma e d T 5.66 4.86 5.84 / e d T.688.4847.974.4887.485.99475 ma sp e T.464.7.966 sp e.794.67.897 T / ma L f d T.7448 5.6999 7.57 / L f d T.4864.758.999 Аналізуючи рис..-.6 можна зробити висновок про суттєве покращення якості як самого наближеного розвязку задачі так і інших його характеристик із збільшенням густини скінченноелементної сітки. Однак дані таблиці 4. не дають змоги зробити висновку про порядок збіжності схеми ЛНК у застосуванні до даної задачі. З цієї таблиці також видно що всі критерії оцінки наближеного розв язку зменшуються із згущенням сітки скінченних елементів окрім максимального значення нев язки рівняння на скінченому елементі та максимального значення норми абсолютної похибки в скінченому елементі...5. Висновки H на В даному розділі для задач міграції домішок побудовано стбілізовану схему методу скінченних елементів. Ця схема відноситься до класу строго сумісних стабілізованих схем МСЕ найбільш відомими представниками якого є SUPG схема Брукса-Хьюза 98 та DWG схема Дугласа-Вонга 989 і

8 заснована на зваженому штрафуванні квадрату середньоквадратичної норми нев язки рівняння міграції над кожним скінченним елементом триангуляції. Ідейна близькість цієї схеми названої схемою ЛНК локалізованих найменших квадратів до DWG-схеми дозволила зберегти структуру параметрів стабілізації τ останньої уточнивши лише їх безрозмірні сталі в залежності від вибору порядку апроксимації на скінченному елменті. Описані три строго сумісні стабілізовані схеми реалізвано у пакетах програм для розв язування одновимірних та двовимірних задач міграції. Вони успадкували всі можливості вибору поліноміальних просторів апроксимацій реалізовані нами в контексті класичних схем МСЕ із розділу. Наведені результати числового експерименту для задач з примежевими та внутрішніми шарами показали що схема локалізованих найменших квадратів ефективно усуває нефізичну поведінку наближень методу скінченних елементів різних порядків і здатна конкурувати з добре відомою стабілізуючою схемою Дугласа-Вонга [4]... Стабілізація апроксимацій МСЕ з використанням апостеріорних оцінювачів похибки... Постановка крайової задачі міграції домішок Нехай потрібно знайти розв язок задачі мігрування субстанції такого вигляду: задано w R μ const > f L Ω і σ const ; знайти таку що.5 L : μδ w. σ f в Ω в Γ Тут Ω R обмежена зв язна область з неперервною за Ліпшицем межею Γ; w вектор швидкості руху точок нестисливого середовища; f f інтенсивність джерел субстанції розподілених в Ω; σ μ коефіцієнти біохімічного розпаду та дифузії відповідно.... Варіаційна задача Варіаційна постановку задачі.5 має наступний вигляд: де - задано w R f H Ω μ const > σ const ;.5 знайти функцію V таку що c v < l v > v V.

c v : a a v : b w; v v : < l v > f v V : H v b w; v v H : L Ω μ v σ v : w. v vd Ω : { v H Ω : v íà Γ } Можна показати див [] що щойно побудована варіаційна задача міграції домішок.5 коректно поставлена. Іншими словами задача.5 має єдиний розв язок V і при цьому V l.54 μ * Тут з огляду на нерівність Пуанкаре-Фрідріхса ми вибираємо одну з еквівалентних норм простору V V H Ω d v V 8.55 Відзначимо принагідно що нерівність.54 означає що розв язок неперервно залежить від даних задачі.5. Тим не менше добре відомо що для великих значень чисел Пекле та/або Струхаля структури розв язків задачі.5 можуть значно різнитися між собою породжуючи при цьому примежові або внутрішні шари. За більш докладними результатами ми відсилаємо читача до статті [9]. Безрозмірне числовідоме під назвою сіткового числа Пекле: w Pe.56 μ При Pe можна очікувати нестачу точності апроксимацій Гальоркіна навіть при достатньо малих значеннях. В дійсності нефізична поведінка апроксимацій Гальоркіна стає незначною лише при Pe. Таким чином дана оцінка похибки апроксимації МСЕ наочно показує що процеси міграції домішок з великими числами Пекле вимагають певних модифікацій класичних схем методу скінченних елементів. Одним із підходів до результативних модифікацій МСЕ є стабілізація його схем.... Стабілізуюча схема локалізованих найменших квадратів З огляду на отримані оцінки похибки схеми Гальоркіна нижче пропонується чисельна схема яка підміняє варіаційну задачу.5 збуреною задачею:

8 { } { } T : ; де ; що такий знайти послідовність параметрів та задано V v Lv f L v s V v v f v s v c V R T τ τ τ τ τ τ τ τ κ.57 Тут і далі використовується позначення vd v : Щоб пояснити ідею побудови задачі.5 розглянемо таку задачу про найкраще наближення: ϕ ϕ ϕ Κ ттакещо знайти H d f L F F H φ φ.58 Ясно що коли φ -- розв язок. то. ] [ H R d L L f L f L d f L f L F F ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Κ Κ ε ε φ ε φ ε φ ε φ ε φ φ Звідси зрозуміло що умову мінімуму функціонала F на виражає рівняння: ϕ ϕ H d L f L φ.59 Додаючи отримані умови.59 на до рівняння задачі.5 з деякими множниками τ приходимо до задачі.5..4. Оцінювач похибки Розглянемо варіаційну постановку задачі у загальному випадку: > < > V v v l v c що такий V знайти const задано ; За допомогою методу скінченних елементів ми знайдемо наближений розв язок V. Тоді можна записати e де V V E e \. Ми будемо використовувати трикутні скінченні елементи та кусково-лінійні апроксимації тому з останнього співвідношення випливає що похибка має бути принаймні квадратичною.

84 Розглянемо два суміжних трикутники. Тоді можна зробити таку оцінку похибки на середині спільної сторони цих трикутників можна знайти за наступною формулою: L f bq e a c b b де Q Q b Q - це так звана бабл-функція яка володіє наступною властивістю якщо a b Q. якщо Q На кожному трикутнику ми можемо записати b 4L L. Після знаходження значень похибки на кожній стороні ми можемо для оцінки похибки використовувати наступну формулу e e b Рисунок.7. Чотирикутник Q потрібний для побудови значення апостеріорного оцінювача похибки e в центрі діагоналі а. Обчислимо значення похибки L f bq L f bq e a c b b c b b Q Q Q Q L c b Спочатку знайдемо L f b Q. Бабл-функція на цьому трикутнику має такий вигляд: b Q 4L L крім цього розв язуючи задачу методом скінченних елементів ми отримуємо розв язок у вигляді L Q b f b та функцію f будемо наближено представляти у вигляді f f L. Тоді L L b L L 4 w. σ Відомо що Q Q L d Q

85 y c b a L де m m m m c y y b y y a.!!!! p m n p m n ddy L L L p m n. Враховуючи це все можна довести наступну теорему: Теорема. Нехай маємо два трикутника та такі як зображено на рисунку.. Та введемо наступні позначення.. 4! 5! 5! 5! 8.. 4! 5! 5! 5! 8 c w b w f f f c w b w f f f A σ σ σ σ σ σ 45 8 45 8 c c c c b b b b c c c c b b b b B σ μ σ μ тоді значення похибки в точці а можна обчислити за формулою. B A a e..5. Аналіз числових результатів Для аналізу можливостей стабілізуючої схеми було розв язано декілька прикладів. Будемо порівнювати результати отримані за допомогою декількох методів: звичайний метод скінченних елементів локалізовані найменші квадрати з коефіцієнтом стабілізації w a τ стандартний рекомендований вибір коефіцієнта стабілізації; локалізовані найменші квадрати з коефіцієнтом стабілізації e C τ

86 тут С константа яка не залежить від похибки та діаметру скінченного елемента; 4 локалізовані найменші квадрати з коефіцієнтом стабілізації C e τ тут С константа яка не залежить від похибки та діаметру скінченного елемента; 5 локалізовані найменші квадрати з коефіцієнтом стабілізації τ C e...6. Приклад. Розглянемо задачу міграції домішок.5 з наступними даними Ω [ ] [] μ ε. w ; d d c e e a a c e e f σ. Тут d e c a e 4ε 4ε c d a a d. d a e e e e ε ε Для даної задачі є відомим точний розв язок він має наступний вигляд: a d c e c e a d c e c e..6 Графік точного розв язку зображений на наступному рисунку. Рисунок.8. Точний розв язок...5.. Метод скінченних елементів В таблиці. подано результати отримані при розв язуванні задачі.5 класичною схемою методу скінченних елементів з кусково лінійними апроксимаціями. Таблиця.. Результати отримані МСЕ. Сітка e e I I I I 88.4.697.5965.797.69.998.4.94697 66.985.44.7.97.674.64.4958.98.65.787.74.8565.6.48547.5677.98 6464..456.68.479.69.567.597.84 88.88.4.95.9967.67.577.598.4664

87 Тут e оцінювач похибки побудований нами в п...4 який обчислюється згідно правила e 4e a LL 4e a LL 4e a L L T де L барицентрична координата на трикутнику що відповідає вершині з номером і в той же час a середина сторони цього трикутника що лежить навпроти цієї вершини. Далі символом I ми позначаємо Кусково лінійний інтерполянт точного розв язку обчислений на біжучій триангуляції. Його порівняння з апроксимацією МСЕ знайденою на сітці 8х8х показує що відносна похибка I % 8%..5 Це свідчить про те що не дивлячись на високу ціну знайденого розв язку формування і розв язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь порядку 8х8 6 апроксимація класичної схеми МСЕ має ще суттєві недоліки. З таблиці 4. ми можемо зробити такі висновки. По-перше порядок збіжності методу скінченних елементів в нормі L є другим при згущенні сітки в два рази похибка має зменшуватися в чотири рази при а в нормі H перший. Це відповідає теоретичному порядку збіжності МСЕ. Також можна побачити що норма розв язку в L та в H збігається до певної величини..5.. Оригінальні локалізовані найменші квадрати. В таблиці.4 наведено результати отримані за допомогою схеми локалізованих найменших квадратів з τ. Константа а обиралася у a w відповідності з [] була вибрана a. 44. Таблиця.4. Результати отримані оригінальними ЛНК. Сітка τ e e I I 88.6.768.65.7.4995.447.975 66.5.66.87.97.448.545.848.5.86.5884.998.479.56.647 6464.76.67.455.84.57884.585.96 88.8.78.764.56.4548.595.64 Тут ми можемо побачити що норма розв язку в просторі L збігається і норма різниці наближеного розв язку та лінійного інтерполянта точного розв язку стає меншою ніж. а це менше ніж %. А от норма в просторі H помітно відрізняється від норми інтерполянта.

..5.. Локалізовані найменші квадрати τ C e В таблиці.5 наведено результати отримані за допомогою схеми локалізованих найменших квадратів з τ C e при різних сталих С. Таблиця.5. Результати отримані за допомогою ЛНК з τ C e Сітка C e e I I 88..84.999.46.46.55.745 66..975.9877.9.98.5444.547..978.65.4.7.578.98 6464...6498.5.67.597.55 88..86.974.55.78.5975.49 88.5.7687.754.58.9.4668.44 66.5.795.8966.75.574.55.76.5.9.58.5.674.5574.77675 6464.5.9.55..546.5857.54 88.5.85.94.8.87.596.998 88..776.976.88.8887.8.8497 66..545.7688.8.5848.455.89..855.57.45.7585.55.58 6464..76.97.79.67975.575.955 88..8.864.7.555.599.867 При меншому коефіцієнті стабілізації похибка в просторах L та трохи більшою але при цьому отриманий розв язок є ближчим до лінійного інтерполянта точного розв язку і з цих міркувань є кращими...5.4. Локалізовані найменші квадрати τ C e 88 H є В таблиці.6 наведено результати отримані за допомогою схеми локалізованих найменших квадратів з τ при різних сталих С. При меншому коефіцієнті з наведених тут похибка в обох просторах незначно менша при цьому отриманий розв язок ближчий до лінійного інтерполянта. Якщо ще зменшити коефіцієнт то осциляції та відмінність від лінійного інтерполянта зростають. C e

89 Таблиця.6. Результати отримані схемою ЛНК з коефіцієнтом стабілізації τ Сітка C e C e e I I 88.5.7796.7489.84.59.984.9847 66.789.884.66.467.488.65.99.585.74.488.555.76599 6464 4.98.64.47..5894.69 88 8.86.9887.49.748.5985.4554 88.75.75.8757.7.788.9.879 66.5.67.8676.994.65.4456.77.95.54659.9.76.59.6 6464 6.9.466.47.4654.584.7 88.85.9649.78.9568.5975.477..5.5. Порівняння та аналіз результатів По-перше порядок збіжності схеми локалізованих найменших квадратів з C e коефіцієнтом τ C e та τ в нормі H. Це означає що запропонована схема є дійсно стабілізованою не втрачається порядок збіжності див п.. Крім цього всі три методи вибору коефіцієнтів стабілізації приводять до дуже подібних результатів. І всі три схеми дають меншу похибку в нормі простору H в.8 рази на сітці 8х8х. В даному прикладі це дуже добре видно на сітці 8х8х а при згущенні сітки це співвідношення зменшується. Це пояснюється тим що за даних умов локальне число Пекле стане близьким до одиниці вже на сітці 64х64х і на ній осциляції та нефізична поведінка розв язку вже не спостерігаються. Для більшої наочності наведемо декілька рисунків отриманих розв язків. Рисунок.9. Розв язок отриманий МСЕ на сітці 8х8х. На цьому малюнку добре видно осциляції які набувають свого найбільшого значення в околі примежового шару. Ці осциляції не зникають навіть на сітці хх. І лише на сітці 64х64х вони зникають.

Рисунок.. Розв язок отриманий МСЕ на сітці хх. 9 Тепер застосуємо стабілізацію і подивимось що від цього зміниться. Рисунок.. Розв язок отриманий ЛНК зі стандартним вибором коефіцієнту стабілізації на сітці 8х8х. Рисунок.. Розв язок отриманий ЛНК з τ C e на сітці 8х8х. Рисунок.. Розв язок C e отриманий ЛНК з τ на сітці 8х8х. Вже навіть на такій сітці осциляцій практично немає. Зникнення осциляцій призводить до того що норма отриманого розв язку в просторі H зменшується в двічі коли норма в L зменшується лише в. рази. При згущенні сітки різниця між отриманими розв язками поступово зменшується. І стає вже практично непомітною на сітці 8х8х на якій суттєво відрізняється лише норма наближеного розв язку в просторі H...7. Приклад. Розглянемо ту саму задачу що і в першому прикладі але збільшимо число Пекле. Для цього покладаємо ε.. Як і в першому прикладі знайдемо розв язки різними схемами...6.. Метод скінченних елементів В таблиці.7 вказано результати отримані при розв язуванні задачі методом скінченних елементів.

Таблиця.7. Результати МСЕ. Сітка e I e I I I 88.864 7.6598.9445.5574.98.797.58.9579 66.699.65478.854 4.44.876 4.6859.55.47.64 9.69.576 5.7667.7686 6.56669.596.5 6464.8.4.7 6.599.759 7.6775.67.966 88.5 6.868.69 5.485.689 8.58.6578 4.47 Як і можна було очікувати абсолютне значення похибки суттєво збільшилося. При цьому в нормі простору L все досить добре похибка весь час зменшується і вже при переході від сітки 64х64х до 8х8х відношення майже досягає очікуваного значення 4. Тобто знову бачимо що порядок збіжності в цій нормі другий. А от в нормі простору H спочатку спостерігається навіть деякий ріст похибки хоча знову при якщо порівняти сітки 64х64х та 8х8х то побачимо що відношення похибок прямує до тобто перший порядок збіжності...6.. Оригінальні локалізовані найменші квадрати Розв язавши дану задачу за схемою локалізованих найменших квадратів було отримано наступні результати. Таблиця.8. Результати отримані оригінальними ЛНК. Сітка τ e e I I 88.6.97 6.65497.599.87.4989.586 66.5.7 7.5875.95.6.5946.47588.5.957 6.56.498.8745.657.4 6464.76.45 4.49..49.6546.7978 88.8.8.9845.9.78.666.7976 В даному випадку похибка поводить себе так само як і у випадку звичайного МСЕ. З тою різницею що похибка в цьому випадку менша в просторі випадку отриманий розв язок менше відрізняється від лінійного інтерполянта точного розв язку. L в два рази а в просторі 9 H в три рази. Крім цього в даному..6.. Локалізовані найменші квадрати τ C e В таблиці.9 наведено результати отримані за допомогою схеми локалізованих найменших квадратів з τ C e при різних сталих С. Ми бачимо що при C. значення норм отриманого розв язку найближче до лінійного інтерполянта але в цьому випадку найбільше значення похибки і на межі області все ще залишаються значні осциляції.

9 Таблиця.9 Результати отримані ЛНК з τ C e. Сітка C e e I I 88..598 8.9686.75.64768.654.4455 66..66 8.87.59.56.6.746..64 7.494.9.65975.668. 6464..859 5.74.547.84968.6497.8 88..6.48486.86.94785.665 4.754 88..498 7.9858.75.59.5488.57 66.. 6.969.57.66.564.987..875 5.95.76.6787.597.7475 6464..6.888.9.985.654.45 88..8.7497.6.845.6485.4 88..47 6.5985.78.859.4974.9889 66..654 6.54.47.5654.55.6..796 4.6996.4.9687.567.469 6464..844.469.564.496.66.59 88..4.84.68.974.69.945..6.4. Локалізовані найменші квадрати τ C e Розглянемо результати отримані за допомогою схеми локалізованих C e найменших квадратів з τ для різних констант С таблиця.. Як і в прикладі при меншому коефіцієнті стабілізації з наведених в таблиці маємо краще наближення до лінійного інтерполянта але більшу похибку. Це можна пояснити тим що дана схема занадто сильно згладжує примежевий шар і більша частина відмінностей між отриманим розв язком та лінійним інтерполянтом припадає як раз на примежевий шар а в середині області вони дуже близькі. При подальшому зменшені коефіцієнта стабілізації спостерігається зростання як оцінювача похибки так і більша відмінність від лінійного інтерполянта точного розв язку тобто погіршення наближеного розв язку. Тобто наведені значення константи С можна вважати оптимальними.

C e Таблиця.. Результати отримані ЛНК з τ. Сітка C e e I I 88.5.4979 8.5686.44.57497.5884.858 66..855 7.6998.68.665.587.986..886 5.4567..5555.568.786 6464.4..9454.4.4677.68.479 88.8.57.855.88.85.6479.57 88..4 7.6.6.74.487.4646 66..54 5.9666.467.87.4.9999.4.7665 4.458.46.4546.4995.7 6464.8.764.86.46.9695.5796.96 88.6.6.689.466.75.644.8888 88..9954 6.66.569.98.7.84 66.4.8894 5.667.59.66..7998.8.6866.75749.497.6967.49.86 6464.6.447.678.574.796.566.5985 88..97.5664..4498.68.478..6.5. Порівняння та аналіз результатів Похибка всіх схем як і очікувалося при збільшенні числа Пекле значно зросла. Схема локалізованих найменших квадратів з різним способом вибору коефіцієнту стабілізації дає значно кращий результат це буде пізніше додатково проілюстровано малюнками розв язків і на не густих сітках має меншу похибку в і більше разів хоча чим густіша сітка тим це відношення менше але навіть для 8х8х воно є більшим ніж. Як і в першому прикладі значення отримані схемою локалізованих найменших квадратів з різними способами вибору коефіцієнтів стабілізації близькі. Також можна зробити висновок про залежність коефіцієнта стабілізації від числа Пекле. У випадку τ C e С має бути обернено пропорційне до числа Пекле ми збільшили число Пекле в раз і довелося зменшувати С в раз. У випадку C e τ при збільшенні числа Пекле в раз С зменшується в раз. Тобто С обернено пропорційне до квадрата числа Пекле. Тепер подивимось на графіки отриманих розв язків. 9

94 Рисунок.4. Розв язок отриманий МСЕ на сітці 8х8х. Як бачимо отриманий розв язок сильно осцилює особливо на межі області. Спробуємо згустити сітку. Рисунок.5. Розв язок отриманий МСЕ на сітці хх. Розв язок став трохи кращим але все одно на більшій частині області осциляції залишаються дуже великими. Осциляції залишаються досить значними навіть якщо ще сильніше згустити сітку: Рисунок.6. Розв язок отриманий МСЕ на сітці 8х8х. На більшій частині області розв язок себе поводить нормально але на межі області дуже великі осциляції. А тепер подивимось що відбувається з розв язком якщо застосувати стабілізовані схеми.

95 Рисунок.7. Розв язок отриманий ЛНК на сітці 8х8х зі стандартним вибором коефіцієнта стабілізації. Рисунок.8. Розв язок отриманий ЛНК на сітці 8х8х з коефіцієнтом стабілізації τ C. e Рисунок.9. Розв язок отриманий ЛНК на сітці 8х8х з коефіцієнтом стабілізації C e τ. Як бачимо в усіх випадках стабілізованої схеми осциляції практично відсутні. Лише в третьому випадку вони ще помітні. Тепер згустимо сітку Рисунок.. Розв язок отриманий ЛНК на сітці хх зі стандартним коефіцієнтом стабілізації. Рисунок.. Розв язок отриманий ЛНК на сітці хх з коефіцієнтом стабілізації. τ C e

Рисунок.. Розв язок отриманий ЛНК на сітці хх з коефіцієнтом стабілізації. τ C e 96 Ми бачимо що в усіх трьох випадках стабілізованої схеми осциляції практично відсутні і значно менші ніж відповідний розв язок звичайного МСЕ. Крім цього вони у даному випадку навіть менші ніж у розв язку МСЕ на сітці 8х8х...8. Приклад. Великі числа Пекле. До цього часу ми розглядали задачі з не дуже великими числами Пекле у першому випадку а у другому. Але реальні задачі вимагають 6 потребують щоби схема давала добрі результати на числах Пекле порядку. 6 Тепер розглянемо ту саму задачу але виберемо ε. В цьому випадку число 6 Пекле буде рівним. При таких умовах класична схема МСЕ дає дуже погані результати які навіть не має сенсу порівнювати. Запропоновані нові дві схеми локалізованих найменших квадратів дають результати які поступаються результатам оригінальних локалізованих квадратів Рисунок.. Розв язок отриманий ЛНК на сітці хх з коефіцієнтом стабілізації. C e τ Можна помітити що в околі точки ця схема занадто занижує розв язок задачі. А на іншій частині примежевого шару ще залишаються осциляції. Такої поведінки немає у випадку використання оригінальної схеми ЛНК. Тобто такі схеми не зовсім підходять для дуже великих чисел Пекле. Розглянемо ще один варіант вибору коефіцієнтів стабілізації τ C e Класичний МСЕ дає при такому великому числі Пекле дуже великі похибки тому будемо порівнювати результати отримані цієї схемою з оригінальною схемою локалізованих найменших квадратів.

В наведених нижче графіках використані наступні позначення Таблиця.. Умовні позначення на наступних графіках Лінія 97 τ C e a w 5 5 5 88 66 6464 88 Рисунок.4. Норма оцінювача похибки в просторі L 8 6 4 8 6 4 88 66 6464 88 Рисунок.5. Норма різниці наближеного розв язку та лінійного інтерполянта точного розв язку в просторі L

98 7 6 5 4 88 66 6464 88 Рисунок.6. Норма оцінювача похибки в просторі H 8 7 6 5 4 88 66 6464 88 Рисунок.7. Норма різниці наближеного розв язку та лінійного інтерполянта точного розв язку в просторі H Проаналізуємо наведені графіки. Ми бачимо що за оцінювачем похибка запропонована схема краща за оригінальні скінченні елементи а в порівнянні з лінійним інтерполянтом точного розв язку в просторі H на не густих сітках

99 дає кращі на % результати а не густіших сітках кращі результати отримуються оригінальною схемою локалізованих найменших квадратів...9. Висновок Для двовимірних крайових задач міграції домішок побудовано схему методу скінченних елементів з використанням кусково-лінійних апроксимацій. У випадку великих чисел Пекле схеми доповнюються доданками методу локалізованих найменших квадратів. Розглянутий алгоритм реалізовано на Borland C Blder 5.. Аналіз знайдених розв язків крайових задач показав що використані схеми здатні подолати нефізичну поведінку стандартних апроксимацій методу скінченних елементів і знайти достатньо точні та якісні наближення точних розв язків задач з великими числами Пекле. Запропоновані способи вибору коефіцієнтів стабілізації не знижують порядок збіжності отже схема залишається стабілізованою і дають результати не гірші ніж у випадку стандартного вибору коефіцієнтів стабілізації.

. КОНСТРУЮВАННЯ БАЗИСІВ ПРОСТОРІВ АПРОКСИМАЦІЙ РАВ ЯРА-ТОМА З використанням барицентричних координат на трикутнику знайдено явний вигляд вектор-функцій для базисів просторів апроксимацій Рав яра Тома та їхніх узагальнень які застосовують у методі скінченних елементів для змішаних варіаційних задач. Детально проаналізовано різні можливості вибору ступенів вільності як у вигляді вузлових значень так і моментів на трикутних скінченних елементах з квадратичними апроксимаціями... Вступ Можна вважати що чисельне розв язування змішаних варіаційних задач методом скінченних елементів МСЕ започатковане працею Рав яра Тома [5] в якій було запропоновано конкретні способи побудови підпросторів апроксимацій для простору вектор-функцій H де Ω обмежена область точок dv; Ω : { { }: dv L Ω} υ υ υ υ υ. R dv υ. υ : υ υ.. Згодом ці результати розвинув до тривимірного випадку Неделек [5] а пізніше для апроксимацій на трикутних та тетраедральних елементах узагальнено в працях [5] та [54]. Бібліографія та огляд сучасного стану наведено в [5556]. Зазначимо що донедавна розвиток математичної теорії змішаних схем МСЕ значно випереджав їхнє застосування. Передусім це можна пояснити необхідністю оперувати системою щонайменше двох варіаційних рівнянь різної фізичної природи які потребують побудови певним чином узгодженої пари двох різних просторів апроксимацій з нетрадиційно заниженими вимогами гладкості. Структура існуючих пакетів програм не передбачає легкого переходу до змішаних схем скажімо з апроксимаціями Рав яра Тома і тому потребує фундаментальної переробки чи проектування цілком нової моделі обчислень що виливається в значний час розробки та інші суттєві витрати. Водночас результати обчислювальних експериментів див. напр. [57-6] демонструють визначні властивості стійкості та збіжності змішаних МСЕ і свідчать про необхідність суттєвої розробки обчислювальних аспектів реалізації таких схем. Зокрема це стосується моделей даних зручного алгоритмічного опису базисних функцій на скінченних елементах ефективних алгоритмів розв язування систем лінійних алгебричних рівнянь тощо. Ми проаналізуємо простори апроксимацій змішаних МСЕ які побудовано з використанням сіток із трикутних скінченних елементів Τ { } області Ωрис.. та просторів P поліномів вигляду m

m m pm y : α y y m..... а б Рисунок.. Довільний елемент триануляції a та стандартний трикутник б. Добре відомо [6] що подання базисних функцій традиційних просторів апроксимацій МСЕ в барицентричних координатах трикутника a b cy L y : y.4 b: y y c: a: y y; J : c b cb.5 дає змогу уніфікувати їхній опис для різних скінченних елементів точно виконувати їхнє інтегрування та інші необхідні обчислення. Наша мета продемонструвати ефективність використання барицентричних координат для опису кусково-визначених апроксимацій з HdvΩ ; на трикутних сітках. В п.. ми наведемо ці результати для найпростішого з просторів апроксимацій Рав яра Тома відображаючи що його базис наочно описує лінійна комбінація барицентричних координат з коефіцієнтами які є векторами дотичних до сторін трикутника. В решті матеріалу статті ми застосуємо цю ідею для аналогічних побудов базисів які використовують квадратичні функції барицентричних координат. При цьому ми розглядаємо два випадки: і традиційні для МСЕ апроксимації з вузлами інтерполювання; іі апроксимації з моментами. Ми відобразимо тут ефективність використання барицентричних координат для змішаних схем МСЕ коли вони дають змогу уникати громіздких перетворень Піоли [55].

.. Структура базисних функцій найпростішого простору апроксимацій Рав яра Тома Простори апроксимацій Рав яра Тома W υ H dv υ P P m : { ; : m m } для векторів υ υ υ Hdv ; мають розмірність : dm W m m.6 m m де m найвищий порядок повного полінома двох змінних y який точно відтворюється базисом простору W. У цьому разі m. υ Pm.7 υ. n Pm υ Wm Τ де n одиничний вектор зовнішньої нормалі до межі трикутника. З цими та іншими властивостями просторів Wm можна ознайомитись наприклад в [55 c.6-]. Зауваження.. Якщо позначити через s сторону трикутника яка лежить навпроти вершини A y то n : b c s l / s l: b c..8 Неважко переконатись що вектор τ : c b.9 описує вектор дотичної до сторони s див. рис... Нижче ми наводимо результат анонсований в [6]. Теорема. про інтерполяційний базис W. Нехай вектор υ H dv; інтерполюється за допомогою нормальних складових υ. n s у центрах B: y y сторін s див. рис...а поліномами із W. Тоді інтерполяційний базис простору W становлять функції l ϕ y: Lτ L τ. і в цьому разі інтерполяційний поліном πυ має вигляд πυ: υ. n ϕ W.. B

Знайдені в. вектор-функції зручно відображати з допомогою вектордіаграм рис.. Як видно з рис.. напрямляючий вектор базисної функції в будь-якій точці цієї сторони лежить на прямій яка з єднує цю точку з вершиною трикутника що лежить навпроти цієї сторони якщо базисна функція відповідає цій стороні і перпендикулярний до нормалі на сторону в протилежному випадку. Зазначимо що кінці напрямляючих векторів базисних функцій лежать на одній прямій що паралельна до сторони якій відповідає ця вектор-функція. а б Рисунок.. Точки введені для трикутника при а та при б Лінійну незалежність системи вектор-функцій. констатує наслідок. Наслідок. про властивості базису W. Нехай { } І Матрицю Грама ϕ базисні функції. простору W. Тоді G ϕϕ d обчислюють за правилом l l l l ll l l l ll l l l G ll l l l l l l l l l l l l 4J. ll l l l ll l l l l l l l Власні числа { λ } цієї матриці такі.

ІІ Матриця має власні числа 4 λ ll l 4J 4 λ ll ll ll J 4 λ ll ll ll. J 4. l ll ll D:. ϕ. ϕ d ll l l l J.4 ll ll l λ λ ; λ 4 ctga..5 Істинність наведених вище тверджень встановлюється безпосереднім обчисленням. Рисунок.. Лінійні базисні вектор-функції. які відповідають значенням нормальної компоненти вектора у позначених вузлах. Зауваження. З однаковим успіхом замість вузлових значень υ. n s нормальних складових вектора υ H dv; в точках B можна взяти моменти M υ nd γ на кожній стороні s трикутника. У цьому разі вектор-функції s

* : 5 ϕ y L τ L τ.6 становитимуть інтерполяційний базис простору W а інтерполяційний поліном πυ матиме вигляд * M πυ: ϕ W..7.. Структура базису простору вузлових апроксимацій Рав яра Тома W Знайдені нами в. базисні функції ϕ W можна з успіхом використати для побудови інтерполяційних базисів просторів Wm вищих порядків. Нижче обмежимось такими конструкціями для випадку m. Теорема. про інтерполяційний базис в W. Нехай за систему вузлів інтерполювання на К вибрано точки див. рис...б y y y y B : B : y y y B :.8 і при цьому для заданого вектора υ H dv; параметрами інтерполювання є значення нормальних складових цього вектора на сторонах r : υ. n..6.9 B та значення його компонент у центрі ваги трикутника υ B.. Тоді вектор-функції l w L ϕ L Lτ Lτ; J l w L ϕ L Lτ Lτ; J. w bl b L b L Lτ Lτ b Lτ bl τ ; J J w cl cl cl Lτ Lτ clτ cl τ J J

6 становлять інтерполяційний базис простору W а інтерполяційний поліном πυ визначається згідно правила.. πυ: { rw r w } υ B w Наслідок.. Дивергенція базисних вектор-функцій. є такою: l l dvw 9L ; dvw 9L ; J J. 9 9 dvw [ b L bl bl ]; dvw [ cl cl cl ]. J J * рис..б базисні вектор- Наслідок.. На стандартному трикутнику функції. набувають таого вигляду: w * * α β αβ αβ l β β ; * * α α α β w αβ l α 5β β α β ; w α α αβ l ; β βα * * w 5α β α α β αβ l β β α β ; * * w α α αβ l ; a β βα * * w α αβ αβ l β β ; * * w * 6a a a β αβ β β α β ; * w α α α β αβ 6β βα β..4.4. Структура базису простору інтерполяційно моментних апроксимацій Рав яра Тома W Теорема. про інтерполяційно-моментний базис у W. Нехай за систему вузлів інтерполювання на К вибрано точки.8 і для заданого вектора υ H dv; параметрами інтерполювання є нормальні складові цього вектора.9 та два моменти m υ υd..5 Тоді функції

7 l l w 4L ϕ Lt 4 L L L L L ; J J τ τ τ τ l l w 4L ϕ Lt 4 L L L L L ; J J τ τ τ τ.6 8 8 w bl bl bl Lτ Lτ b Lτ bl τ ; J J 8 8 w cl cl c L L τ L τ J c Lτ clτ J становлять інтерполяційний базис простору W і при цьому інтерполяційний поліном πυвизначається згідно правила πυ: { rw r w } m υ w..7 Наслідок.4. Дивергенція базисних вектор-функцій.6 є такою: l l dvw L ; dvw L ; J J 4 4 dvw [ b L bl bl ]; dvw [ cl cl cl ]. J J.8 Наслідок.5. На стандартному трикутнику набуватимуть такого вигляду: * базисні вектор-функцій.6 * α β 4αβ * α 4α w αβ l ; w αβ l ; β 4β β 4βα 4 * 4 α αβ α α * w αβ l ; w αβ l ; a β 4βα β 4β * α 4 α α β w αβ l ; α 6β 4 β α β * 6α β 4 α α β w αβ l ; β 4 β α β 6a 8 a a β 8α 8 α α β * * w αβ ; w αβ. 8β 8 β α β 6β 8 β α β.9

.5. Структура базису оригінального простору вузлових апроксимацій Рав яра Тома 8 В наступних параграфах ми визначимо будову базисних вектор-функцій просторів апроксимацій на трикутниках які запропоновано в оригінальній праці Рав яра Тома [5]. Теорема.4 про інтерполяційний базис Рав яра-тома в W. Нехай за систему вузлів інтерполювання на К вибрано точки.8 і при цьому для заданого вектора υ H dv; параметрами інтерполювання є нормальні складові цього вектора.9 та значення вектора. в центральній точці трикутника. Тоді функції w w l l cl cl l c w L L J bl bl J b ; l cl cl l c w L L J bl bl J b ; cl cl L J bl bl l ; w cl cl ; w L J bl bl l cl cl L J bl bl l ; clcl ; L J bl bl 9L cbl cbl 9L cc LL w J bb LL ; w J cbl cbl. становлять інтерполяційний базис простору W і при цьому інтерполяційний поліном набуває вигляду.. Наслідок.6. Дивергенція базисних вектор-функцій. набуває вигляду.. Наслідок.7. На стандартному трикутнику набувають такого вигляду: w w * * * базисні вектор-функцій. α β α α β αβ l 4β 6 β α β ; * * α α α β w αβ l α 5β β α β ; 4α 6 α α β αβ l β βα β ; * * 5α β α α β w αβ l β β α β ; * *

w 4α 6 α α β αβ l a β βα β ; * * α α α β w αβ l 4β 6 βα β ; * * 9 w * 9a 9 a a β αβ ; * w αβ 9β 9 βα β..6. Структура базису оригінального простору інтерполяційно моментних апроксимацій Рав яра Тома Теорема.5 про інтерполяційно-моментний базис Рав яра-тома в W. Нехай за систему вузлів інтерполювання на К вибрано точки.8 і для заданого вектора υ H dv; параметрами інтерполювання є нормальні складові цього вектора.9 та два моменти.5. Тоді функції l cl cl l c w 4L L J bl bl J b ; l cl cl l c w 4L L J bl bl J b ; l cl cl l c w 4L L J bl bl J b ; l cl cl l c w 4L L J bl bl J b ; w l cl cl ; 4L J bl bl w l cl cl ; 4L J bl bl w 4L cbl cbl ; J bb LL w 4L cc L L J cbl cbl. становлять інтерполяційний базис простору W і інтерполяційний поліном набуває вигляду.7. Наслідок.8. Дивергенція базисних вектор-функцій. набуває вигляду.8. Наслідок.9. На стандартному трикутнику набувають такого вигляду: * базисні вектор-функцій.

w α β 4 α α β αβ l 6β 8 β α β ; * * w w w * * w α 4 α α β αβ l α 6β 4 β α β ; * * 6α 8 α α β αβ l β 4 βα β ; * * 6α β 4 α α β w αβ l β 4 β α β ; 6α 8 α α β αβ l a β 4 βα β ; * * α 4 α α β w αβ l 6β 8 βα β ; * * * 4a 4 a a β αβ ; * w αβ 4β 4 βα β..7. Висновки та загальні зауваження. Отже визначено структуру базисів просторів апроксимацій Рав яра Тома та Неделека на трикутних скінченних елементах. Уніфікації цих структур досягнуто за допомогою переходу до барицентричних координат на трикутнику. Оскільки останні становлять основу реалізації алгоритмів традиційних схем МСЕ на трикутних елементах то цим самим створюється місток для ефективної реалізації алгоритмів змішаних МСЕ. Ми обмежились лише побудовою просторів апроксимацій першого порядку однак розвинена нами схема побудови безпосередньо переноситься на простори вищих порядків і на простори Брецці Дугласа Маріні. Для квадратичних базисних функцій знайдених в п..-.4 побудовано вектор-діаграми які зображено на рисунку.4 а на рис.5 для знайдених в п..5-.6. Базисні вектор-функції w як і w отримані у разі вузлової та інтерполяційно-моментних апроксимацій відрізняються лише множником тому на рисунках показані лише діаграми вузлових апроксимацій. Наведемо деякі із властивостей отриманих базисів. Для вектор-функцій w та w напрямляючий вектор на кожній стороні трикутника паралельний до неї а в центральній точці паралельний до осі для w та до осі y для w. Для базисної функції яка відповідає нормальній складовій у певному вузлі будуть виконуватися такі властивості: в цьому вузлі нормальна компонента дорівнюватиме в решті ; кінці напрямляючих векторів базисних функцій для сторони на якій є вузол якому вона відповідає лежать на одній прямій. За допомогою явного вигляду отриманих нами квадратичних базисних функцій набагато спрощується реалізація програмного забезпечення для змішаних методів скінченних елементів.

a б в г д е Рисунок.4. Деякі з квадратичних базисних вектор-функції простору W : а-г базисні функції які відповідають позначеним вузлам де а і в відображають формули.6 а б і г.; на д та е відображені функції w та w для апроксимацій..

а б в г д е Рисунок.5. Деякі з квадратичних базисних вектор-функції оригінальних просторів Рав яра- Тома: а-г базисні функції які відповідають позначеним вузлам де а і в відображають формули. а б і г.; на д та е відображені функції w та w для апроксимацій..

4. ПОБУДОВА НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ ДЛЯ РОЗВ ЯЗУВАННЯ ВАРІАЦІЙНИХ ЗАДАЧ Штучні нейронні мережі ШНМ це пристрої паралельних обчислень які складаються з множини взаємодіючих простих процесорів кожен з яких працює лише з сигналами які він періодично отримує і сигналами які він періодично надсилає іншим процесорам. Тим не менше мережа яка містить достатньо велику кількість таких процесорів здатна виконувати доволі складні задачі [6]. Метою проектування нейронних мереж є створення структури здатної адекватно розв язувати конкретний клас задач самонавчатися і пристосовуватися до змін у середовищі в якому вона працює. Оскільки штучні нейронні мережі працюють за принципами нервової системи людини то не дивно що вони відіграють вирішальну роль у розробці штучного інтелекту. Нейронні мережі використовують у галузі економіки медицини зокрема для діагностики і профілактики для спостереження за технічним станом механізмів автоматичного керування рухом транспортних засобів тощо. Використання нейроструктур у медицині для діагностування детально розглянуто в [64]. Отже нейронну мережу доцільно застосовувати в ситуації коли маємо деякі відомі дані й хочемо з них отримати поки що невідому інформацію. Задачі для яких розробляли теорію застосування нейромереж це головно задачі прогнозування класифікації та кластеризації. В [65] розглянуто технологію застосування самоорганізовуваних мереж для задач класифікації. Однак останнім часом нейронні мережі застосовують і в таких галузях як математична фізика та механіка суцільного середовища. Наприклад досліджувалася можливість застосування ШНМ до розв язування нелінійних задач про найменші квадрати [66]. За допомогою ШНМ можна апроксимувати матеріальні рівняння зокрема в [67] описано модель залежності між деформаціями і напруженнями побудована з використанням нейроструктури. Математичні моделі які описують зв язки між деформаціями і напруженнями складаються з математичних правил і виразів які пояснюють поведінку того чи іншого матеріалу. Символьний опис зазвичай стає дуже заплутаним якщо він позначає нелінійні явища і розрахунки для поведінки різних матеріалів у різних межах деформацій чи напруження. Зазвичай форму такого опису приймають без доведення і потім перевіряють декількома але ретельно дібраними експериментальними дослідженнями. Штучні нейронні мережі дають нам альтернативне несимвольне наближення до цієї проблеми. З того моменту як нейронний оператор вивчив деякі відомі експериментальні дані цим знанням надають перевагу над імовірнісними припущеннями. Способи апроксимувати систему звичайних диференціальних рівнянь досліджено в [68].

4 Результати використання ШНМ в моделюванні рівнянь можна продемонструвати на прикладі еластопластичного гістерезису [67]. Завдання є специфічним: зокрема експериментальні дані представлені у вигляді петель. Окрім того апроксимувати треба петлі взяті разом а не окрему гілку. Отже ШНМ повинна вміти інтерполювати не тільки між точками але й між кривими. Рисунок 4.. Приклади навчальних множин для числового тестування. а вибрані точки позначені тільки для двох екстремальних навчальних наборів даних; б результати тестування незалежного критерію: петлі намальовані за допомогою нейромережі стартують з ; із заданим приростом деформації. З рис. 4. а і б видно що зображення кривих є задовільним навіть для дуже маленької мережі в прихованому шарі використовувалися тільки три вузли [67]. Однак якщо крок зменшити то якість наближення вже не буде хорошою. Це видно з рис. 4.. На рисунку 4.а показано таке: якщо тестовий приріст зменшується то графіки притягуються до центра. Це цілком природне явище: оскільки мережа була навчена всіма наведеними петлями то у випадку невідомих даних вона намагається інтерполювати в найліпше визначених напрямах. На рисунку 4.а маємо результати тесту для мережі що була навчена неповною множиною навчальних даних. Рисунок 4.. Результати тестування мережі з використанням різних вхідних структур заданих безпосередньо та інкрементальних

5 Якісне розв язування задач потребує багаторазового знаходження апроксимацій зі зміною певних параметрів обчислювальних експериментів у процесі виконання яких дослідник аналізує і вивчає явище самотужки чи за допомогою таких засобів як апостеріорні оцінювачі похибок. Найяскравіше цей процес відображають рекурентні обчислення адаптивних схем методу скінченних елементів. Цим створюються природні передумови для якісного навчання ШНМ здатної прогнозувати певні властивості шуканого розв язку і відігравати активну роль у процесі ухвалення рішень стосовно керування обчислювальним експериментом. Для демонстрації можливості застосування ШНМ у матеріальному моделюванні розглянемо процес і особливості побудови навчання й тренування нейромережі для розв язування класу задач Штурма Ліувілля. 4.. Побудова нейронної мережі для розв язування крайових задач Штурма Ліувілля. Формулювання задачі Нижче розглянемо крайові задачі для рівняння Штурма-Ліувілля вигляду знайти функцію таку що L : p σ f в Ω : 4.. де p σ f задані функції. За певних умов регулярності крайова задача 4. еквівалентна такій варіаційній задачі: знайти V : H { p v σ v} d Ω fvd таку що v V 4. 4.. Метод скінченних елементів для розв язування одновимірних крайових задач Наведемо тут загальну схему класичного методу скінченних елементів МСЕ. За допомогою цього методу ми в подальшому будуватимемо навчальну і тренувальну множини для відповідної нейромережі. Щоб пояснити суть схеми МСЕ в деталях розглянемо таку задачу: Знайти функцію таку що L : { μ } σ f в Ω : 4.. Крайова задача 4. допускає варіаційне формулювання вигляду Знайти V такий що 4.4 c v < l v > v V

6 з такими структурними елементами:. : ; : ; ; : ; ; ; ; : }; : { : V v fvd v l vd v s v d v a v s v a v c v v H v H V > < Ω Ω σ σ μ μ σ μ Зафіксуємо натуральне і поділимо відрізок [] на скінченні елементи : довжини :. Дробовим індексом позначимо номер скінченного елемента і певні його характеристики скажімо : це центр ваги скінченного елемента :. На кожному з них виберемо лінійну апроксимацію шуканого розв язку варіаційної задачі 4.4 у вигляді. ] [ : ; ] [ ] [ : ω ω ω ω ω 4.5 Тут ми використано позначення : ; : для величин які характеризують середнє значення апроксимації та швидкості її зміни на скінченному елементі. На доповнення до 4.5 зазначимо що

7. ; Врешті-решт з урахуванням головних крайових умов варіаційної задачі одержимо що і запишемо кусково лінійну апроксимацію у такий спосіб. } ] [ { : n n n ϕ ω ω В останній сумі явно записано апроксимацію методу скінченних елементів як лінійну комбінацію кусково-визначених базисних функцій Куранта. ]; якщо ]; якщо ]; якщо ]; [ якщо : n n n n n n n n n n ω ω ϕ Власне ця система функцій і формує базис вибраного нами простору апроксимацій V відображаючи що dm V. Для виконання різноманітних обчислень на скінченних елементах нам потрібні складові варіаційного рівняння вигляду > <. : ; } { : fvd v l d v v v c σ μ 4.6 Щоб результати обчислень були наочними і допускали прозору фізичну інтерпретацію будемо виконувати інтегрування в 4.6 наближено з використанням теореми про середнє в такий спосіб: > < } { : ; } { } { : vd f fvd v l vd v d vd z v d z d v v v c σ μ σ μ σ μ

8 де точки. n z n Повернемося до означення. } { } ] [ { } ] [ { } { vd vd v d vd vd v d vd v d vd v d v c ω σ σ μ ω σ σ μ ω σ μ σ μ Маємо > < l c ϕ ϕ 4.7 де ϕ ϕ вже згадувані базисні функції Куранта. Оскільки ] [ spp ϕ і : ω ϕ на : ω ϕ на то. c c c c c c ω ω ω ω ϕ 4.8 Обчислення засвідчують що ; } { } ] [ { c σ σ σ σ μ 4.9 ; } ] [ { } ] [ { } ] [ { } ] [ { PeS Pe c σ μ σ μ σ μ σ σ μ σ σ σ μ ω 4. ; } ] [ { c σ σ μ ω 4.

9. } ] [ { } ] [ { PeS Pe c σ μ σ σ σ μ ω 4. Права частина набуде наступного вигляду }. ] [ ] {[ > < f f d f d f l ω ω ϕ Підставимо результати 4.9-4. у 4.8 а потім у 4.7 звідси отримаємо }. ] [ ] {[ ]} 6 [ { } ] 6 [ ] 6 [ { ]} 6 [ { f f S Pe S Pe S Pe S Pe μ μ μ μ Якщо припустити що σ μ сталі то отримаємо таку ліву частину для рівняння 4.7: }. 6 4 { 4 σ μ σ μ σ Таку систему рівнянь легко розв язати методом прогонки. 4.. Поділ відрізка для побудови нейромережі Наступним кроком для спрощення моделювання нейронної мережі буде припущення що функції f p σ і є кусково-сталими. Наочно це зображено на рисунку 4.. Рисунок 4.. Поділ проміжку [ ] на скінченні елементи Поділимо проміжок ] [ на окремі елементи з кроком. Саме такий поділ і використовують у класичному методі скінченних елементів. Для побудови ж нейромережі ми припустимо що насправді межі окремих елементів проходять посередині вже утворених на рисунку 4. їх показано штриховими лініями тобто отримуємо елемент. Функції f p σ будемо вважати фіксованими на кожному елементі. Припустимо що значення кожної функції на окремому елементі дорівнює значенню цієї функції в середній точці тобто в

отримуємо p p σ σ і f f. Перерозбиття проміжку на інші елементи потрібне щоб уникнути припущення що на першому й останньому елементах функція є тотожним нулем що логічно б випливало з крайових умов. 4.4. Структура вхідні і вихідні дані нейронної мережі Структура мережі. Розв язком кожної розглядуваної крайової задачі вигляду 4. буде крива типу параболи. У разі побудови нейромережі яка буде розв язувати якусь задачу найперше треба дослідити скільки прихованих шарів включати в цю мережу і скільки нейронів буде в кожному з них. Мережа з одним прихованим шаром найліпше розв язує задачі розв язком яких є пряма [65 66]. Для нашої задачі логічно було б розглядати мережу з двома прихованими шарами однак таку мережу важче навчити. Під час детальнішого дослідження можна побачити що існує й інше вирішення цієї проблеми а саме: розглядати вислідну параболу як ламану з двох ланок рис. 4.4. а б Рисунок 4.4. Апроксимація точного розв язку крайової задачі неперервна лінія ламаною штрихова лінія. У цьому випадку ми можемо будувати і вчити мережу з одним прихованим шаром але фактично ця мережа буде складатися з двох незалежних мереж кожна з яких видає розв язок на окремому відрізку ламаної. Зазначимо що параболу можна апроксимувати і трапецією ламаною з трьох ланок: у цьому випадку ми отримуємо розбиття нейронної мережі на три підмережі. Кількість елементів у прихованому шарі може бути різною однак дослідження засвідчують що для даної задачі не варто використовувати меншу кількість елементів ніж у вихідному шарі. Вхідні та вихідні дані. Як вхідні дані мережі будемо використовувати множину елементів яка складається з трьох векторів p p... p σ σ... σ і f f... f тобто маємо вхідних елементів. Результатом роботи мережі буде набір значень для відповідних значень p σ f. Важливу роль відіграє врахування a-pror що випливає з крайових умов. Загальний вигляд мережі показано на рисунку5.

p {... σ {......... } f {... Рисунок 4.5. Загальний вигляд нейронної мережі призначеної для розв язуваня класу крайових задач вигляду 4. 4.5. Побудова набору навчальних зразків Щоб мережа могла розв язувати будь-які задачі наведеного вище вигляду її потрібно навчити досить великою кількістю адекватних зразків [6 69]. Тобто потрібно передбачити можливість генерування множини даних яка відіграватиме роль навчального набору. Для цього можна розв язати достатньо велику кількість крайових задач вигляду 4. за допомогою методу скінченних елементів. У процесі розв язування таких задач будують систему рівнянь із симетричною тридіагональною матрицею і застосовують метод прогонки для знаходження результату. Навчену мережу можна використовувати для розв язування крайових задач цього вигляду з будь-якими p σ f. 4.6. Навчання мережі Як тільки набір навчальних даних відповідного вигляду згенерований тим чи іншим способом певний час потрібен на навчання і тестування нейромережі. Частину згенерованих зразків варто залишити осторонь під час навчання щоб потім можна було перевірити наскільки якісними є результати видані тренованою ШНМ. Виконаємо навчання за допомогою алгоритму зворотного поширення помилок [6]. Початкові значення ваг мережі виберемо випадково з проміжку [-.5.5]. Експерименти засвідчують що ці стартові дані мають дуже незначний вплив на вислідну мережу тобто результати видані нейромережею суттєво не залежать від початкових ваг. ШНМ можна навчати з довільною точністю. Зазначимо що чим вищої точності ми хочемо досягти в процесі навчання тим більше часу триває це навчання. Це пов язане з тим що мережа проходить через більшу кількість епох тобто більше разів пропускає через себе всі навчальні зразки щоб задовольнити умову завершення тренування. Умова може бути наприклад такою: щоб вислідний вектор був близьким до цільового точного розв язку за

нормою. Під терміном норма вектора будемо розуміти значення максимального елемента розглядуваного вектора. Зазначимо що якщо мережа вже навчена і ми хочемо її навчити з деякою вищою точністю то недоцільно знову випадково вибирати початкові значення ваг. Час навчання значно скорочується якщо за стартові значення ваг прийняти ваги вже наявної навченої мережі. Після того як мережа навчена її треба протестувати щоб переконатися що вона видає якісні і достовірні результати. Для цього їй на вхід подають множину тестових зразків які були виокремлені з множини навчальних даних ще перед початком навчання. Якщо вихідний вектор близький до цільового за нормою то мережу можна вважати навченою і використовувати для розв язування крайових задач. Якщо ж тест не пройдено то можна спробувати навчити мережу з вищою точністю або доповнити множину навчальних даних новими зразками і ще раз провести навчання. 4.7. Порівняння результатів отриманих МСЕ і виданих навченою нейронною мережею На базі всіх попередніх досліджень запрограмовано нейронну мережу яка використовує розбиття проміжку [] на елементів тобто і у вхідному шарі буде 7 елементів а у вихідному перший і останній з яких завжди видаватимуть тотожній. Однак продемонструємо мережу для ще вужчого класу крайових задач ніж розглянутий. Припустимо що p σ f є сталими на всьому проміжку []. Навчимо цю мережу генерованим випадково набором вхідних і цільових векторів з точністю наприклад.. Нехай для генерації навчального зразка використано наступну задачу: p σ f. 4. Ми можемо знайти точний її розв язок:. Порівняємо результати видані нейронною мережею з цим точним розв язком табл. 4.. Порівняння результатів для задачі 4. Таблиця 4. Результат Виданий нейромережею Отриманий МСЕ х....4.5.6.7.8.9.99.6.99.99.5.99.99.6.99.9.6..4.5.4..6.9 Отримані результати можна порівняти наочніше за допомогою графіків. Для задач які використовувалися як навчальні графік точного розв язку і крива видана нейромережею практично накладаються рис. 4.6.

Рисунок 4.6. Графік точного розв язку і крива видана нейромережею Зазначимо що результати ми отримали саме з тією точністю з якою мережа і була навчена. Тепер порівняємо результати застосування МСЕ і нейронної мережі на прикладі який не подавали мережі як навчальний зразок: Знайти функцію таку що L : 5 в Ω : []. Порівняння результатів для задачі 4.4 4.4 Таблиця 4. Результат Виданий нейромережею х....4.5.6.7.8.9.777.6.7.897..897.7.6.777 Отриманий МСЕ.78.5.64.87.949.87.64.5.78 Для цієї задачі похибка результату мало відрізняється від похибки навчання табл. 4. і рис. 4.7. Однак для іншої задачі яку теж не використовували як навчальний зразок результати видані нейромережею вже не є настільки якісними табл. 4. і рис. 4.8. Знайти функцію таку що L : 4 6 в Ω : []. Порівняння результатів для задачі 4.5 4.5

4 Рисунок 4.7. Точний і наближений розв язки задачі 4.4 є близькими один до одного. Таблиця 4. Результат Виданий нейромережею Отриманий МСЕ х....4.5.6.7.8.9.8.4.6.67.5.67.6.4.8.99.75.8.6.7.6.8.75.99 Бачимо що точність знизилася а це підтверджує що нейронна мережа є імовірнісною структурою і може видавати результати з більшою похибкою аніж та яку використовували в процесі навчання. Рисунок 4.8. Точний і наближений розв язки задачі 5 суттєво відрізняються. Якщо тепер навчити цю ж мережу з точністю. для останньої задачі отримаємо якісніший результат див. табл. 4.4 і рис. 4.9. Порівняння результатів для задачі 4.4 в разі підвищеної точності навчання мережі

5 Таблиця 4.4 Результат Виданий нейромережею Отриманий МСЕ х....4.5.6.7.8.9.6.78.7.7.75.7.7.78.6.99.75.8.6.7.6.8.75.99 4.8. Висновки Можливість використати нейроструктуру для задач розв язок яких із заданою точністю доцільно шукати послідовністю апроксимацій є альтернативою застосування адаптивних схем МСЕ. Рекурентні обчислення застосовувані в адаптивних схемах є природним способом дії нейрооператорів. Особливість застосування нейронних мереж до задач розглянутого типу полягає в тому що отриманий результат можна приймати за правильний лише з деякою ймовірністю. Цю ймовірність можна суттєво збільшити завдяки підвищенню точності з якою навчатимуть мережу. Тобто твердження що нейромережі є застосовними лише до окремих класів задач перед тим спеціально досліджених щодо достовірності виданого мережею розв язку не є незаперечним. Рисунок 4.9. Точний і наближений розв язки задачі 4.4 є ближчими в разі навчання з вищою точністю.

5. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ СТОКУ МІЛКОЇ ВОДИ З ПОВЕРХНІ ВОДОЗБОРУ 6 Зростаючі вимоги до оптимального використання водних ресурсів дефіцит води у багатьох районах земної кулі зниження її якості роблять все більш актуальним розвиток теорії формування вод суші як основи для керування водними ресурсами. Моделі гідрологічного циклу можуть бути використані не тільки в задачах пов язаних із проектуванням та експлуатацією водноресурсних систем але і при створенні методів активного впливу на формування стоку та якості води на водозборі. Тому математичне моделювання гідрологічних процесів на територіях водозборів рік та озер є актуальною та важливою задачею яка вимагає побудови адекватних моделей та розробки наближених числових методів для аналізу характеристик існуючих чи прогнозованих процесів шляхом проведення кваліфікованого обчислювального експерименту. 5.. Побудова математичної моделі стоку мілкої води Один із найбільш важливих процесів гідрологічного циклу стосується потоків мілкої води до яких належать дощовий та русловий стоки стік рідини з поверхні водозбору рух води в океані тощо. Процеси які лежать в основі цієї моделі носять хвильовий характер з довжиною хвилі набагато більшою від вертикальних розмірів. Описати ці процеси можна виходячи із загальних рівнянь Нав є-стокса або з рівнянь Рейнольдса. Нехай потік в'язкої нестисливої рідини в кожен момент часу t [T] <T< формує на нерухомій поверхні η певного водозбору деякий шар вологи DDt див. 5.. R F D D t ξ t / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / I / / / / / / / / t / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Ω Рисунок 5.. Модель стоку мілкої води.

7 Позначимо через ξ t вільну поверхню цього потоку яка контактує з атмосферою де R ν зовнішня одинична нормаль до області DDt. Бічну вертикальну поверхню цього потоку якщо така існує позначимо через S. Відзначимо що частина поверхні S може вироджуватись в межу Г водозбору річки. Отже D t η ξ t S. Проекцію шару рідини Dt на горизонтальну площину позначимо через Ω. Припускаємо що межа Г області Ω неперервна за Ліпшицем. Будемо вважати що стан рідини при дії заданих масових сил F{f } в кожен момент часу t [ T] < T < описується рівняннями Нав'є-Стокса де ρ t σ τ e dv pδ μe dv { } t τ f σ 5. та ppt відповідно вектор швидкості частинок рідини та гідростатичний тиск в точці на момент часу t F{f t} вектор масових сил ρconst> і μconst> густина маси і коефіцієнт в язкості рідини відповідно { e } { σ } тензори швидкостей деформації та напружень рідини δ символ Кронекера. З припущення що горизонтальні масштаби руху рідини набагато більші вертикальних можна провести усереднення за вертикальною складовою потоку. Детальне виведення усереднених рівнянь мілкої води з рівнянь Рейнольдса можна знайти в працях [7 77 78]. Виведення усереднених рівнянь мілкої води із загальних рівнянь Нав є-стокса викладене в працях [79 8]. Вони мають вигляд t t R I g R I η F RΛ g 5. де невідомі значення швидкості невідома глибина стоку швидкість на вільній поверхні потоку g прискорення земного тяжіння I швидкість інфільтрації рідини в грунт R швидкість дощового притоку η рельєф донної поверхні Λ швидкість падіння краплин дощу F доданки які враховують дотичні напруження на дні та на вільній поверхні потоку.

\ 8 У рівняннях руху 5. з в язких доданків залишаються лише дотичні напруження на вільній поверхні та на дні решта відкинуто враховуючи умови мілкої води. В результаті усереднення системи рівнянь 5. за глибиною стоку та врахування умов мілкої води третє рівняння руху перетворюється у гідростатичний закон для тиску який є характерним для рівнянь мілкої води p z p ξ ρf ξ z Для завершення постановки задачі рівняння мілкої води доповнюються початковими та граничними умовами. Граничні умови в літературі поділяють на дві частини: ті які задаються на жорсткій межі стоку та на відкритій границі. На кожній з границь необхідно задати дві умови: нормальні і дотичні складові напружень або швидкостей. Для моделі 5. задаються лише нормальні складові [7]: на жорсткій межі n або n n на рухомій межі nn nn Це пояснюється тим що в моделі 5. відкинуті доданки які враховують вихрову в язкість отже дотичні складові напружень або потоків нема потреби задавати. Розглянемо ще один варіант задання граничних умов. Нехай Ω - проекція потоку рідини на двовимірну площину. Межа області Ω ділиться на наступні частини: Г В фіксована межа водорозділу Г R межа русла рідина вливається Г S відкрита межа моря рідина може як вливатися так і витікати див. 5.. ГB \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ГR / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Ω ГS / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Рисунок 5. Проекція стоку рідини на горизонтальну площину. Найчастіше граничні умови для двовимірної задачі мілкої води записуються у вигляді [8 84]: на фіксованій межі потоку Г В задають U ν U τ ν де ν та τ одиничні вектори нормалі та дотичної до межі області U τ тангенціальні складові швидкості; на межі втікання рідини: U U ν U ˆ ν μ τ ν де μ - коефіцієнт в язкості;

9 на відкритій межі моря граничні умови можна задати у вигляді U. ν В наведеній літературі при отриманні мілководних рівнянь нехтують всіма доданками в рівняннях руху які містять складові напружень залишаючи лише на вільній поверхні та на дні потоку. Підхід представлений в цій роботі зберігає всі складові напружень в перших двох рівняннях руху. Для розв язування мілководних моделей був обраний метод скінченних елементів. 5.. Формулювання початково-крайової задачі. Припускаємо що в початковий момент часу t розглянутий потік рідини знаходиться в стані який описується такими умовами t в D. 5. Крім початкових умов 5. рівняння руху рідини 5. необхідно доповнити відповідними крайовими умовами які визначають взаємодію потоку рідини з атмосферою донною поверхнею землі ґрунтовою вологою тощо. Основні фактори які можуть збурювати стан рідини: інтенсивні опади дощу випаровування вологи; поповнення запасу води з впадаючих притоків стік води в річки; інфільтрація води в грунт поповнення за рахунок грунтових вод: атмосферний вітер тощо. Спроби описати характерні режими схилових потоків за тих чи інших умов взаємодії з довкіллям приводять до низки різного ступеня спрощень рівнянь 5. та відповідних їм крайових умов і будуть розглянуті пізніше. На даному етапі обмежимось типовими крайовими умовами для цих рівнянь [8 85 86 87 88]: на В T ] mes B > B D t 5.4 τ ν τ де { } ν { ν } τ τ на В T ] B D t \ B 5.5 - одиничний вектор зовнішньої нормалі до межі Dt потоку ν cos ν. З огляду на те що в загальному випадку частина поверхні ξt потоку є вільною поверхнею і отже однією з невідомих його характеристик тоді потрібно задати ще умови для визначення її положення в просторі в кожен момент часу. Для відшукання вільної поверхні на верхній межі стоку ξ t використаємо кінематичну умову [8]: ξ ξ ξ R в Ω T] 5.6 t де R швидкість падіння капель дощу горизонтальні складові швидкості на вільній поверхні та початкову умову

ξ t ξ в Ω. 5.7 В загальному випадку на нижній межі потоку η можна вважати що рідина може перетікати у ґрунтову масу вздовж осі х I на η [T] 5.8 де I відома функція яка описує швидкість потоку рідини в довкіллі. Наприклад I означає що поверхня η непрониклива для рідини; I > частинки рідини інфільтруються в ґрунт із заданою швидкістю; I < ґрунтові води підживляють поверхневий стік води своїм виходом на донну поверхню землі що трапляється коли тиск в ґрунтових водах перевищує напруження в рідині. Щодо швидкості то на нижній межі потоку врахувавши умову прилипання покладаємо. 5.9 Початково-крайова задача 5. 5. 5.9 складна у своєму застосуванні до природних водозборів і тому потребує певного ряду спрощень. На першому етапі рівняння 5. зводяться до безрозмірного вигляду. Така форма запису дає змогу отримати числа що характеризують рух суцільного середовища число Рейнольдса а також параметри рівнянь нормалізуються таким чином що їх величини можуть змінюватись у визначених межах. На другому етапі враховуючи умови мілкої води нехтуються доданки порядку малості εδ/l максимальна товщина потоку не перевищує розмір δ а характерні горизонтальні розміри величину L причому δ/l<<. Після спрощення всі складові напружень в перших двох рівняннях руху 5. залишаються збережені. Наступний крок спрощень полягає у зменшенні розмірності задачі за рахунок усереднення рівнянь за глибиною стоку. Після усереднення отримаємо двовимірну задачу стоку у гідродинамічному наближенні відносно трьох невідомих дві складових потоку та глибина стоку: G t R I t / / τ μ η ρre τ g ReC 5. де невідома глибина стоку невідомий вектор потоку η - рівняння рельєфу донної поверхні ρ - густина рідини Re число Рейнольдса τ тензор напружень μ в язкість рідини С коефіцієнт Шезі g

L прискорення вільного падіння G g L характерний просторовий розмір V V характерна швидкість R дощовий притік І інфільтрація рідини в грунт. Перші два рівняння системи це усереднені рівняння руху які є параболічного типу. Їх новизна полягає у збереженні доданку з внутрішніми напруженнями потоку врахування яких є суттєвим на поверхнях градієнти яких значно змінюються. У літературі розглядаються гіперболічні рівняння стоку мілкої води де враховуються напруження лише на дні та на вільній поверхні потоку. В даному випадку вітрові напруження вважаються незначними. Третє рівняння системи це усереднене рівняння нерозривності яке відповідає за вільну поверхню потоку. Розглянемо стік води з поверхні водозбору в проекції на горизонтальну площину х х 5.. Тут Ω двовимірна область обмежена кривою Г в лінія водорозділу та Г р лінія витоку рідини; n ζ нормаль та дотична до межі області відповідно. n ζ х Г в Ω х Г р Рисунок 5.. Проекція стоку мілкої води на горизонтальну площину. Рівняння системи 5. доповнюються крайовими умовами τ ζ Гв та початковими умовами n ζ n ˆ 5. Гв t Г р t Г р в Ω 5. де ˆ відомий витік рідини. Отже ми отримали систему трьох рівнянь 5. для відшукання компонентів вектора потоку та глибини з крайовими 5. та початковими 5. умовами. Задачу 5. 5. будемо розв язувати методом скінченних елементів МСЕ. 5.. Застосування МСЕ до розв язування задачі. Згідно процедури МСЕ перш за все необхідно побудувати варіаційну постановку задачі. Для формулювання варіаційної постановки початковокрайової задачі 5. 5. введемо множину допустимих функцій для потоків

{ } ζ Ω р в р Г Г Г n n H Q ˆ : ˆ та простір Q Q. Простором допустимих функцій для глибин вибрано Ф: L Ω. Потік будемо шукати у вигляді * з невідомою Q * n ˆ на Г р. Далі для простоти запису будемо вживати замість * позначення. Введемо наступні форми θ θ θ θ θ η η τ ρ Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω. ; ; ; ; Ф z d I R s d m Q w p d C p g p R d p G p l d p Gz p z d d p w p w c d w p p w b pd p a 5. Тоді враховуючи 5. варіаційна постановка початково-крайової задачі 5. 5. набуде вигляду [ ] [ ] θ θ θ θ θ θ η - - - ˆ ˆ ; / ; Re ; ; ; / ; Ф Q p a p a T t t s V a t m t a p F a p t t R p t t c p t l p t t d p t t t b p t a що Ф такі Q знайти Ф Q задано 5.4 де ˆ F і ˆ V - доданки відповідно першого та другого рівнянь системи які утворюються складовими потоку ˆ. Варіаційну задачу 5.4 будемо розв язувати з використанням проекційносіткової схеми методу скінчених елементів. Проведемо дискретизацію задачі в часі. Для дискретизації в часі відрізок часу [T] поділяється на T однакові частини [t t ] завдовжки Δt і вибираються апроксимації для глибини та потоків у вигляді t t H t t t ω Δ Δ 5.5 t t U t t t ω Δ Δ 5.6

де t t t t Δ ω Q U t U Δ Ф H t H Δ [ ] Ω t t t T. Відомо що якщо ми наближаємо функцію інтерполяційним многочленом першого порядку то точності більшої ніж t Δ досягнути не можна. Отже на даному етапі можемо провести лінеаризацію задачі відкинувши доданки порядку t Δ. Підставляючи подання 5.5 5.6 у варіаційну задачу 5.4 та нехтуючи доданками порядку Δt отримаємо лінеаризовану задачу у вигляді однокрокової рекурентної схеми інтегрування в часі ] [ ] Δ Δ θ θ θ > < θ λδ θ η η λδ λ... ; / ; Re ; / ; ; / ; / ; Re ; ; / ; ; / ; / / / T th tu V a m s tm U H a p F a p R p c p b p l p d p U c p H c p H l p H d p U b p U b t p U a що Ф такі H Q U знайти Ф та Q задано 5.7 де F / Ft Δt/ V / Vt Δt/ s / st Δt/. При дискретизації задачі 5.7 за просторовими змінними використано кусково-лінійні апроксимації на трикутних елементах для потоків та кусковопостійні апроксимації глибин. Такий вибір апроксимацій дозволяє за допомогою конденсації внутрішніх параметрів виключити з розгляду глибину стоку і отримати результуючу систему лінійних рівнянь лише відносно вектора потоку. Для дискретизації задачі за просторовими змінними область Ω розбиваємо на трикутні скінченні елементи. Вводимо скінченновимірні простори для потоків Q Q < p Q dm для глибин Ф Ф < e Ф dm. Виберемо кусково-лінійні апроксимації для потоків Ω Ω ϕ. e e P P L

4 та кусково-постійні для глибин Ω Ω ψ. e e e P P Далі скориставшись процедурою методу Гальоркіна отримаємо систему лінійних рівнянь відносно невідомих вектора потоку W у вузлових значеннях сітки та вектора глибин S у центрах ваг трикутників: ] [ ] Δ Δ θ θ θ > θ < θ λδ θ η η λδ ψ ϕ λ.... ; / ; Re ; / / ; / ; Re / ; ; / ; T e e e th tu V a m s tm U H a Q p p F a p R p c p b p l p d p U c p H c p H l p H d p U b p U b t p U a що такі Ф S H Q W знайти U та Ф Q Задано e p Ф 5.8 На 5.4 схематично зображена структура повністю дискретизованих рівнянь на одному скінченному елементі. А А А W / F F А S / Рисунок 5.4 Схематичне зображення системи рівнянь на одному скінченному елементі. Матриця A має діагональний вигляд. Отже за рахунок конденсації внутрішніх параметрів можемо виключити глибину з розгляду на одному скінченому елементі скориставшись співвідношенням e e W A F A S 5.9

5 В результаті отримаємо систему лінійних рівнянь лише відносно двох невідомих складових потоку A A A A W e F A A F 5. 5.4. Стабілізаційна схема МСЕ. При великих значеннях чисел Рейнольдcа Re> потоки та їх градієнти різко змінюються в результаті чого отриманий розв'язок задачі стоку мілкої води втрачає свою стійкість та з'являються паразитичні осциляції. На цей випадок побудовано стабілізаційну схему МСЕ що базується на функціяхбульбашках із використанням методу найменших квадратів [75]. Оскільки глибина рідини вважається сталою на одному скінченному елементі то вона на поведінку розв язку не впливає. В системі 5.7 стабілізаційний доданок додається лише до рівнянь для знаходження складових потоку у вигляді S U H p M Δλ e U pd t U U / pd Ω Ω e e η g U / G p p / d Ω e ReC η g p η GH d pd pd / G pd 5. Ω Ω C Ω Ω e Re e e e де М е стабілізаційний множник на кожному скінченному елементі. Для стабілізаційного множника М е використовується верхня оцінка μ побудована у роботі [74] для апроксимаційної схеми рівнянь Нав є-стокса у вигляді 7 μ 5. 5 7d / Δ e де Δ - площа скінченного трикутного елемента d l l l l довжина сторони трикутника е dv w w відома швидкість з попереднього кроку кінематична в язкість рідини. 5.5. Чисельні результати. Наведемо застосування розглянутих чисельних схем на тестових прикладах. Приклад. Розглянемо задачу стоку рідини з поверхні деякого водозбору. Всі параметри задачі задаються в безрозмірному вигляді. Виберемо тестову

6 поверхню водозбору η y у вигляді 5.5 де y змінюються від до. B початковий момент часу вважаємо що.. Щодо граничних умов припускаємо що витоку немає тобто нормальна складова швидкості потоку по межі області рівна нулю n. Припускаємо що постійний дощовий притік R інфільтрація рідини в грунт І коефіцієнт Шезі С6 число Рейнольдса Re.. Кількість точок розбиття області 6 6. Для розв'язування задачі застосуємо чисельну схему 5.7 в якій параметр λ.5 Δt.5. Розглянемо результати в момент часу t.95 кількість кроків по часу tt4. На 5.5 зображена глибина стоку H кількість води яка накопичується на даній поверхні з постійним дощовим притоком. Оскільки витоку води немає то з часом відбувається заповнення заглиблень. З результатів видно що максимальне значення глибини досягається в середині поверхні рельєфу де є найбільша заглибина. У найвищих точках поверхні водозбору значення глибини близькі до нуля оскільки відбувається стік рідини. Перевірено закон збереження маси для даного прикладу. Проведені розрахунки показали що об єм випавших опадів приблизно співпадає з об ємом рідини на заданій поверхні у даний момент часу.785. На 5.7 та 5.8 зображені отримані значення складових потоку рідини Q Q y відповідно по осі та осі y. На 5.9 зображений модуль потоку. З результатів можна побачити що потік має нульові значення у тих точках рельєфу де рідина назбирується та звідки стікає тобто в цих екстремальних точках рух води відсутній. Максимальні значення потоку досягаються у точках де є максимальний нахил донної поверхні до горизонту. Рисунок 5.5. Рельєф поверхні η y. Рисунок 5.6. Глибина стоку Н. Рисунок 5.7. Складова потоку Q Рисунок 5.8. Складова потоку Q y.

7 Рисунок 5.9. Модуль потоку. Приклад. Важливим моментом при розв язанні задач мілкої води виступає вибір значень числа Рейнольдса Re. При великих значеннях цього параметра Re> розв'язок отриманий за чисельною схемою 5.7 втрачає свою стійкість значення потоків та їх градієнти набувають дуже великих чисел внаслідок чого з'являються паразитичні осциляції. 5. відображає значення глибини задачі з параметрами заданими у прикладі та числом Рейнольдса Re5. На 5. 5. відображені значення складових потоків відповідно по осях х та у 5. відображає модуль потоку. Результати приведені в момент часу t.7 кількість кроків по часу tt 5 Δt.5. Рисунок 5.. Глибина стоку Н. Рисунок 5.. Складова потоку Q. Рисунок 5.. Складова потоку Q у. Рисунок 5.. Модуль потоку. Для вирішення цієї проблеми була побудована стабілізаційна схема методу скінченних елементів із стабілізаційним доданком у вигляді 5.. Застосуємо стабілізаційну схему до розв язання нашої задачі з числом Рейнольдса Re5 та стабілізаційним множником М е -.5. Розглянемо результати обчислень в момент часу t.586 кількість кроків по часу tt6 розбиття області.

8 На 5.4 приведені значення глибини 5.5 5.6 5.7 відображають значення складових та модуль потоку відповідно. З результатів видно що проблема яка виникала при застосуванні чисельної схеми 5.7 до розв язання задачі вирішується позитивно. Рисунок 5.4. Глибина стоку Н. Рисунок 5.5. Складова потоку Q. Рисунок 5.6. Складова потоку Q у. Рисунок 5.7. Модуль потоку. Отже розв'язок згладжується за рахунок введеного стабілізаційного доданку. Результати обчислень показали що задачі стоку мілкої води можна розв язувати з довільними значеннями числа Рейнольдса застосовуючи стабілізаційну схему методу скінченних елементів. Закон збереження маси для отриманих результатів виконується. Об єм випадаючих опадів співпадає з об ємом рідини накопиченій на поверхні водозбору.44. Приклад. Розглянемо стік вологи з поверхні водозбору 5.8 частина території Переспільської сільської ради у Львівській області. Граничні та початкові умови виберемо аналогічно до попереднього прикладу кількість точок розбиття області 6 6 стабілізаційний множник M e -.5. Розглянемо результати в момент часу t.46 кількість кроків по часу tt з числом Рейнольдса Re5. На 5.9 зображена глибина стоку H кількість води яка накопичується на даній поверхні з постійним дощовим притоком. Для більшої наочності результатів порівняємо ізолінії рельєфу водозбору 5. та глибини 5.. Оскільки витоку води немає то з часом відбувається заповнення заглиблень. З результатів видно що заповнення рельєфу водозбору відбувається згідно ізоліній. 5. та 5. відображають значення складових компонент потоку. На 5.4 зображений модуль потоку.

9 Рисунок 5.8. Рельєф поверхні η y. Рисунок 5.9. Глибина стоку Н...8.8.6.6.4.4.....8.8.6.6.4.4......4.6.8...4.6.8. Рисунок 5.. Ізолінії рельєфу поверхні ηy...4.6.8...4.6.8 Рисунок 5.. Ізолінії поверхні глибини стоку Нy. Рисунок 5.. Складова потоку Q. Рисунок 5.. Складова потоку Q у.

4 Рисунок 5.4. Модуль потоку. Для вибраного прикладу зі стабілізаційним множником є справедливі закони збереження маси та руху рідини. Побудована модель дає можливість проводити розрахунки значень глибини та розходів потоку рідини на водозборах з дощовим та бічним притоками для різних початкових та крайових умов у різні моменти часу при великих значеннях числа Рейнольдса. Вище наведені приклади свідчать про те що суттєвий вплив на розв язок задачі стоку мілкої води з поверхні деякого водозбору має вибір числа Рейнольдса. При малих значеннях цього числа задачу можна розв язувати використовуючи побудовану чисельну схему 5.7. Вибравши Re> розв язок втрачає свою стійкість 5. 5.. Це пояснюється тим що при великих значеннях числа Рейнольдса розв'язки задачі можуть мати внутрішні та примежові шари дуже вузькі області де самі розв'язки та їх градієнти різко змінюються. Внаслідок цього чисельні розв'язки побудовані за схемою Гальоркіна де параметр дискретизації занадто великий щоб врахувати всі ці шари можуть сильно осцилювати у всій області визначення. Враховуючи це була побудована стабілізаційна схема МСЕ. Застосовуючи цю схему до розв'язування задач стоку мілкої води з поверхні деякого водозбору вище згадана проблема зникає 5.4 5.7. Отже побудована стабілізаційна схема МСЕ може ефективно застосовуватись для розв'язування задач стоку мілкої води з довільної поверхні водозбору при великих значеннях чисел Рейнольдса.

6. ЧИСЕЛЬНИЙ АНАЛІЗ ВАРІАЦІЙНИХ ЗАДАЧ МІГРУВАННЯ ДОМІШОК В НЕСТИСЛИВИХ ПОТОКАХ ІЗ ДОМІНУЮЧОЮ КОНВЕКЦІЄЮ 4 На противагу стабілізованим методам скінченних елементів приклад одного з яких детально розглянутий в попередньому розділі тут будується альтернативна схема яка відноситься до класу -адаптивних версій МСЕ. Запропонована нами схема зорієнтована на розв язування наступної задачі оптимізації: задано допустимий рівень εconst> похибки апроксимації Гальоркіна стосовно певної норми на V; { } знайти триангуляцію Т кусково визначений на основі просторів Pm простір V такий що апроксимація Гальоркіна V розв'язку V задачі.6 знаходиться із рівняння с v fv v V з мінімальними обчислювальними витратами які дозволяють задовольнити критерій - ε. 6. Різні приклади побудови та реалізації ітераційних процедур розв язування задачі 6. за допомогою адаптування триангуляцій до структури розв язку варіаційної задачі можна знайти в працях [4 44 45 9 49 94 5] серед яких слід відзначити результати C. Jonsson та його колег [44 45] стосовно побудови індикаторів апостеріорних похибок на основі спряжених функцій. Більше цього порівняння числових результатів із праць [4 46 49 5] свідчить що адаптивні схеми МСЕ цілком здатні конкурувати зі стабілізованими схемами. 6.. Формулювання та коректність варіаційної задачі для похибки МСЕ Перейдемо до розгляду -адаптивного підходу розв язування варіаційної задачі міграціїї домішок а саме аналізуватимемо задачу.. В цьому пункті закладемо основу для надійного і зручного аналізу похибки e: E: V \ V 6. апроксимації Гальоркіна V відносно розв язку V задачі.. З огляду на рівняння задачі 6. та. неважко переконатись що похибка 6. є розв язком варіаційноїзадачі:

знайти e E таку що cev < ρ v > v E де функціонал джерел похибки ρ : V R визначається згідно правила 4 6. < ρ v> : f v c v v V. 6.4 Оскільки відшукання розв язку e E рівняння 6. за своєю складністю еквівалентне знаходженню розв язку вихідної варіаційної задачі. то ми будемо орієнтуватись на обчислення його апроксимації Гальоркіна із наступної задачі задано триангуляцію Т { } та скінченновимірний підпростір E E; 6.5 знайти апроксимацію похибки e E таку що с ev<ρ v> v E. Теорема 6. про коректність варіаційної задачі про похибку МСЕ. Нехай дані задачі міграціїї домішки в нестисливому середовищі. задовольняють умови μ μ n n μ ξξ μ ξ μ const > ξ R майже скрізь в Ω та і v Ω μ σ Σ : L Ω f H n w W : { z L Ω H dv ; Ω z в Ω } V апроксимація Гальоркіна її розв язку. Тоді варіаційна задача 6. відповідно 6.5 про відшукання похибки e E відповідно e E коректно поставлена і при цьому зокрема l e ρ l : dam Ω > 6.6 H H μ де v : v v v d H Ω / v H : L Ω Доведення. За умов теореми як показано в праці [.] виконуються умови теореми Лакса-Мільграма-Вишика внаслідок чого варіаційні задачі. 6.

4 та 6.5 коректно поставлені. Іншим наслідком цієї теореми є той факт що c : V V R породжує норму білінійна форма : v c v v v V еквівалентну нормі v на просторі V. H Далі з нерівності Пуанкаре-Фрідріхса v l v v V 6.7 H H та наступного ланцюжка оцінок μ e e : c e e ρ e H ρ e l ρ e H H H H випливає задекларована в 6.6 оцінка градієнту похибки. Наведені тут міркування без жодних змін можуть бути застосовані і до задачі 6.. Розв язок задачі 6.5 крім природної можливості уточнення попередньо знайденої апроксимації Гальоркіна із V згідно правила e V E * : створює умови для повноцінного контролю за розподілом похибки e між скінченними елементами триангуляції Т. Дійсно обчисливши із 6.5 достатньо точне наближення e E ми дістанемо апостеріорну оцінку похибки апроксимації МСЕ яку можна взяти за вихідну точку для ітераційного відшукання наближеного розв язку задачі оптимізації 6.. Типовим кроком цього ітераційного процесу стає належне адаптування вихідної триангуляції шляхом скажімо аргументованого згущення сітки скінченних елементів в зонах найбільшого рівня похибки e та наступне перерозв язування задачі 6. з тільки що знайденою покращеною триангуляцією Т. Таким чином ми приходимо до процедури послідовного покращення якості апроксимацій МСЕ яка завершується після виконання критерію задачі 6.. Різні приклади реалізації цієї стратегії адаптивних схем МСЕ можна знайти в [44 46 48 97]. 6.. Бабл-апроксимації похибки МСЕ В загальному випадку знаходження оцінки для похибки апроксимації 6. передбачає відшукання розв язків задач вигляду 6.5 що значно збільшує трудомісткість ітераційного процесу адаптування. Нижче ми уникаємо безпосереднього розв язування задачі 6.5 шляхом побудови базису простору E із бабл-функцій. Більш точно виберемо скінченновимірний простір E з базисом { } b T який характеризується властивостями: spp b : T ; 6.8

44 b H Pr r m T; 6.9 b a T 6. де a центр ваги скінченного елемента. Теорема 6.. про бабл-апроксимацію похибки МСЕ. Нехай простір апроксимацій похибок E формують бабл-функції { } b з T властивостями 6.8-6. і нехай функція b V така що b b T. 6. e де : Нарешті припустимо що виконано умови теореми 6.. Тоді розв язок E варіаційної задачі 6.5 допускає подання в формі e e a b Ω 6. T b b < ρ b> e a T 6. c Доведення. З огляду на природну ортогональність системи бабл-функцій { b } деталізація звичайної процедури Гальоркіна для задачі 6.5 дозволяє знайти що < ρ b > e b Ω 6.4 cb b T звідки й переконуємось у правильності рівностей 6. та 6. Із доведень попередніх теорем випливає безпосередній Наслідок 6. про апостеріорні оцінки похибки апроксимацій МСЕ. Визначимо норму v : v v v L T 6.5 і нехай набір сталих { } T μ такий що для кожного T ξ μ ξ μ ξ ξ μ const > ξ R майже скрізь на T. 6.6 d Припустимо також що умови теорем 6. та 6. виконано. Тоді для апроксимації похибки e E розв язку V будуть істинними наступні апостеріорні оцінки e L f T 6.7 μ e L f T 6.8 μ

45 Слід відзначити що побудовані нами апостеріорні оцінки 6.7 та 6.8 носять загальний характер в тому сенсі що вони цілком не залежать від способу конструювання кусково-визначеного базису простору апроксимацій V на триангуляції T { } триангуляції щільність якої характеризується набором діаметрів { }. Разом із цим вони явно залежать від структури цієї скінченних елементів лишку 6.4 та сталих коефіцієнтів еліптичності { μ } при старших похідних розглядуваного рівняння крайової задачі. 6.. Оцінювачі апостеріорних похибок та стратегія -адаптування Аналіз розмірності величин які зустрічаються в правих частинах апостеріорних оцінок похибки 6.7 та 6.8 дозволяє надати їм належної фізичної інтерпретації. Так наприклад значення величин m : ρ L f T μ μ 6.9 : ρ μ μ r L f T 6. виражають собою загальну масу незбалансованої відносно рівняння задачі.49 субстанції на скінченному елементі яка породжується знайденою апроксимацією V. З огляду на цей факт величини M : m L f T T T μ 6. R : r L f T T T μ 6. обчислюють загальну кількість незбалансованої субстанції яку породжує апроксимація на триангуляції T. Повертаючись знову до оцінки 6.7 стає цілком очевидним що значення величин { m } та M характеризують якість апроксимації МСЕ як на кожному скінченному елементі так і триангуляції в цілому. Разом із цим структура виразів 6.9 та 6. показує зокрема що якість апроксимацій МСЕ можна гнучко та ефективно контролювати розподілом густини триангуляції { }. T Дійсно згадуючи загальну задачу -адаптування 6. можна замінити її критерій наступним e M ε. 6. H Одержаний вираз показує що сконструйована нами величина M є повноцінним інструментом контролю точності та покращення якості її

46 апроксимацій МСЕ на основі реконструкції триангуляції T { }. Справді стратегія такого реконструювання може бути здійснена в наступний спосіб. Нехай існуюча триангуляція T містить скінченних елементів і V - знайдена на ній апроксимація МСЕ. Тоді виконання умови m M 6.4 * ідентифікує ту групу { } T T скінченних елементів існуючої триангуляції для якої потрібно зменшити діаметри. Іншими словами щоб зменшити значення оцінювача M нам необхідно в той чи інший спосіб згустити сітку * скінченних елементів в тій частині області Ω яку займає група T скінченних елементів із T. Навпаки в тій частині областіω яку займає група скінченних елементів G: T m < M T триангуляція T підлягає розрідженню. Отже така узгоджена процедура локального згущення-розрідження існуючої сітки скінченних елементів приводить до вирівнювання значень незбалансованої маси субстанції на всіх елементах створюваних триангуляцій і відшукання апроксимації яка задовольнить критерій 6. з наперед заданим рівнем похибки ε. 6.4. Приклади уточнення оцінювачів апостеріорних похибок Знайдені в 6.7 та 6.8 апостеріорні оцінки похибки мають загальний характер і зокрема не містять інформації про геометричні характеристики скінченного елемента крім його діаметра критеріїв подібності фізичних процесів тощо. Належної деталізації оцінювачів апостеріорної похибки а отже і їхнього уточнення можна досягнути повернувшись до аналізу структури простору бабл-апроксимацій E E: V \ V який тісно пов язаний з просторами апроксимацій V. Дійсно із одержаної в теоремі 6. форми 6.4 подання похибки e E випливає Наслідок 6. про деталізовані апостеріорні оцінки похибки апроксимацій МСЕ. Нехай виконано умови теореми 6.. Тоді для апроксимації похибки e E розв язку V задачі 6. будуть істинними наступні апостеріорні оцінки b e T c b b ρ 6.5

47 e b b ρ T 6.6 c b b Знайдені в 6.5 та 6.6 оцінки дозволяють знайти альтернативні до обчислених в наслідку. формулювання оцінювачів апостеріорної похибки МСЕ. Дійсно на противагу оцінювачу m із 6.9 на основі 6.5 одержимо його аналог b * m : L f T c b b 6.7 * який явно вказує на залежність значень оцінювача m від конкретного вибору простору бабл-функцій E. Аналогічно на основі 6.8 та 6.6 одержимо b b * r : L f T 6.8 c b b Нижче ми наводимо приклади обчислення множника b s : c b b w bd μ b μ b b σbb d 6.9 для найпростіших схем МСЕ які вживають кусково-лінійні базисні функції для побудови просторів апроксимацій V. 6.4.. Одновимірна задача міграціїї домішок Нехай ab R скінченних елементів Ω - < a< b< і триангуляція T складається із... та. Припустимо що базис простору апроксимацій V формують кусково-лінійні функції Куранта ϕ... ϕ. За цих умов згідно 6.8-6. виберемо найпростіші бабл-функції у вигляді 4 b : [ ].... 6. Використовуючи при обчисленні інтегралів в 6.9 теорему про середнє зауважимо що знайдуться такі значення μ w і w і σ на інтервалі що σ коефіцієнтів μ

d d μ σ d d c b b b d w b d b d μ b σ b T. 48 6. Оскільки безпосередні обчислення свідчать що b 8 6-5 b 6. то оцінювач 6.7 апостеріорної похибки МСЕ набуде вигляду * m L f T 6. Pe S μ де сіткові числа Пекле та Струхаля визначено в наступний спосіб w Pe : σ S : μ μ 6.4 відповідно. Порівнюючи 6.9 та 6. приходимо до висновку що * e m m T >. 6.5 6.4.. Двовимірна задача міграціїї домішок Нехай у цьому випадку триангуляцію T { } трикутні скінченні елементи і { } області Ω формують A - внутрішні кути трикутника. Введемо на елементі барицентричні координати L L L див. [98] які далі приймемо за базис простору V на елементі. Тоді за базис простору E можна взяти бабл-функції b : 7L L L T. 6.6 Безпосередні обчислення показують що в цьому випадку 7 7 b b ctga 6.7 7! 6! де - площа трикутника. Тому * m L f μ 7 ctga Pe S 6.8 b * * r m 6.9 b і уточнені оцінки апостеріорної похибки набувають вигляду

49 e m L f T. 6.4 * μ 7 ctga e r L f T. * μ 6.4 Таким чином деталізація структури апостеріорних оцінок похибки на основі нерівностей 6.5 дозволяє грубо кажучи на порядок понизити верхню межу апостеріорної оцінки похибки які встановлює наслідок 6. своїми оцінювачами 6.7. Звідси випливає що застосування системи індикаторів * m може привести до значного зниження обчислювальних витрат на { } T реалізацію процесу -адаптування наведеного нами в п. 6.. 6.5. Алгоритми -адаптивної схеми МСЕ. Для адаптування скінченноелементної сітки запропоновано процедуру ітераційного уточнення триангуляцій яка передбачає виконання наступних кроків:. Нехай для побудовано початкову можливо дуже грубу сітку T { } із скінченних елементів. Виходячи із T будуємо простір апроксимацій V : v H Ω : v P T m V 6.4 { } m і знаходимо розв язок V варіаційної задачі 6.. *. Обчислюємо послідовність індикаторів { } m незбалансованої маси субстанції на кожному скінченному елементі та індикатор цієї ж величини у всій області * * M : m. 6.4 T. Перевіряємо чи скінченноелементна сітка T задовольняє критерію mn > δ 6.44 T де δ - найменший допустимий розмір скінченного елемента. За умови його порушення процес виконання даного алгоритму завершується. 4. Знаходимо оцінювачі відносної похибки Δ на кожному скінченному елементі та оцінювач Δ якості апроксимації. T

5 Δ M Δ. Ω 6.45 відповідно. * * m 6. Формуємо список скінченних елементів T для яких Δ Δ > ε. 6.46 Ці елементи підлягають поділу за певним правилом. Решта елементів із T залишається незмінною і разом із всіма новоутвореними скінченними елементами формує уточнену триангуляцію T. Якщо жоден з елементів не задовольняє умові 6.46 то процес адаптування сітки вважається завершеним. В протилежному випадку алгоритм продовжується з кроку з тільки-що уточненою триангуляцією T. Слід зауважити що у формулі 6.46 значення < ε < вибирається емпіричним шляхом і залежить від порядку скінченноелементних апроксимацій. Для задач з числами Пекле не більшими за кроки 4 та 5 алгоритму доцільно замінити наступними діями: Перевіряємо чи на кожному скінченному елементі виконується умова [98] * m < η 6.47 де θ M η / 6.48 - загальна кількість елементів триангуляції T а θ - безрозмірний параметр що має смисл відносної похибки в енергетичній нормі допустимої на кожному скінченному елементі. Ті скінченні елементи для яких * m α : > 6.49 η підлягають поділу з коефіцієнтом α. Поділ скінченного елемента проводиться шляхом проведення бісектриси найбільшого кута а коефіцієнт α позначає кількість таких поділів. Ще певна кількість скінченних елементів підлягає поділу для усунення незв язаних вузлів триангуляції та оптимізації отриманої сітки. Решта елементів із T залишається незмінною і разом із всіма новоутвореними скінченними елементами формує уточнену триангуляцію T. Якщо жоден з елементів не задовольняє умові 6.47 то процес адаптування сітки вважається завершеним. В протилежному випадку алгоритм продовжується з кроку з тільки-що уточненою триангуляцією T.

6.6. Обчислення апостеріорних оцінок. 5 Насамперед зауважимо що вище описаний алгоритм намагається відшукати апроксимацію таку що її апостеріорна оцінка похибки маса незбалансованої субстанції буде рівномірно розділеною між елементами T. до точного розв язку Характер збіжності послідовності апроксимацій { } крайової задачі для якої побудована дискретизована задача 6. аналізувався за допомогою величин Ε e e ε e e L Ω H Ω H T T 6.5 ρ L f де L Ω e : E : V \ V. 6.5 При цьому для тестових задач із відомим точним розв язком якість процесу адаптування сітки оцінювалась обчисленням апостеріорних порядків швидкості збіжності похибок та нев язок згідно правил e e L H P : log p : log 6.5 e e L H ln e ln e ln e ln e * L L * H H : : ln ln ln ln P p. 6.5 За звичай показники збіжності 6.5 вживаються за умов рівномірного вкладення кожної T яке приводить до зменшення вдвічі діаметра нової триангуляції T. В той же час алгоритм -5 допускає генерування триангуляції T яка може різнитись від попередньої T лише декількома елементами; тому в даному випадку слід очікувати що показники 6.5 можуть знижувати істинні порядки швидкості збіжності похибок чи породжувати їх нерегулярну зміну від кроку до кроку нашого селективного адаптування. Показники збіжності 6.5 використовуються у випадках нерівномірного вкладення триангуляцій і були успішно застосовані при розв язуванні задач еластостатики -адаптивною схемою МСЕ [99]. Поряд із показниками збіжності 6.5 6.5 обчислювались також відповідні показники швидкості збіжності оцінювачів похибки за формулами * * M R Π : log π : log * 6.54 * M R ln M ln M ln R ln R Π * * * * * * : π : ln ln ln ln. 6.55

6.7. Числовий аналіз збіжності адаптивної схеми 5 6.7.. Одновимірна крайова задача з примежовим шаром Нижче ми ілюструємо властивості -адаптивної схеми МСЕ на прикладі одновимірної крайової задачі міграціїї домішок d d 4 w w w d d точний розв язок якої має вигляд w e 6 6. w w w w w e Pозв язок цієї задачі володіє яскраво вираженим примежовим шаром в околі точки. Задачу розв язували згідно алгоритму -адаптивної схеми МСЕ описаного в п.6.5; список скінченних елементів які потрібно ділити отримували опираючись на формулу 6.4. На рисунку 6. проілюстровано графіки наближених розв язків знайдені за перші чотири кроки адаптивного згущення сітки з використанням кусково-лінійних базисних функцій. Добре помітна нефізична поведінка наближених розв язків з паразитичними осциляціями та гігантськими похибками. Однак з рис. 6. на якому зображений фрагмент графіків наближених розв язків на 4-8 кроках процесу адаптування сітки у збільшеному масштабі помітно що процес уточнення розв язку збігається до точного і на 8-й ітерації практично його відтворює. Алгоритм -адаптування розпочинався із рівномірної сітки із 5-тьох скінченних елементів. На графіках рисунків 6. 6. відзначено різними символами вузлові значення які сполучались відрізками хорд. Слід зауважити що як на рисунку 6. так і на рисунку 6. спостерігаємо поточкову збіжність розв язку. Рисунок 6. містить графіки додаткових характеристик адаптивного процесу. З рисунка бачимо що з певного кроку коли СЕ сітка є досить густою норма похибки як в просторі L так і в просторі H монотонно спадає однак норма нев язки ρ з певного кроку залишається сталою. Більш точно ці закономірності демонструє рис. 6.б. З цього рисунка помітно що порядки збіжності похибки з деякого кроку адаптивного згущення характеризуються регулярною поведінкою і навіть досягають оптимальних значень а значення норми нев язки не збігається.

5 Рисунок 6.. Поводження кусково-лінійних апроксимацій МСЕ отриманих на перших чотирьох ітераціях алгоритму адаптивного згущення сітки. ε. Рисунок 6.. Поводження кусково-лінійних апроксимацій МСЕ отриманих на ітераціях 4-8 алгоритму адаптивного згущення сітки. Фрагмент графіків у збільшеному масштабі. ε.

54 В процесі виконання числових експериментів спостерігалося підвищення якості процесу адаптивного згущення якщо процедура адаптування розпочиналася з достатньо доброї сітки. Зокрема на рисунку 6.4 зображено графіки наближених розв язків задачі знайдені 4-9 кроках адаптивного процесу обчислені з використанням кусково-лінійних базисних функцій. Тут паразитичні осциляції залишаються лише в області примежового шару а досить добре наближення точного розв язку отримуємо швидше і на меншій кількості елементів ніж коли процес починається з дуже рідкої сітки. З рис. 6.5 бачимо що загальні характеристики процесу адаптування також поліпшуються зокрема інтегральні норми похибки мають більш регулярну поведінку норма похибки в просторі L монотонно спадає до нуля вже з першої ітерації а норма похибки в просторі H - з п ятої. ln Ε ln ε а б ln ρ P p r в г Рисунок 6.. Апостеріорні характеристики класичних кусково-лінійних апроксимацій МСЕ знайдені при адаптивному згущенні сітки: а норма похибки Ε ; б норма похибки ε ; в норма нев язки ρ ; г порядки швидкості збіжності P p та r.

55 Рисунок 6.4. Поводження кусково-лінійних апроксимацій МСЕ отриманих на ітераціях 4-9 алгоритму адаптивного згущення сітки. ε. ln Ε ln ε а б ln ρ P p r в г

56 Рисунок 6.5. Апостеріорні характеристики класичних кусково-лінійних апроксимацій МСЕ знайдені при адаптивному згущенні сітки: а норма похибки Ε ; б норма похибки ε ; в норма нев язки ρ ; г порядки швидкості збіжності P p та r. Зауважимо що підвищення порядку скінченноелементних апроксимацій також покращує властивості процесу адаптивного згущення сітки. Наприклад рис. 6.6 ілюструє поводження кусково-кубічних неперервно-диференційованих апроксимацій. Алгоритм -адаптування розпочинався із рівномірної сітки із 5-ох скінченних елементів на рисунку 6.6 відзначено різними символами вузлові значення які сполучались відрізками хорд. З рис. 6. та 6.6 видно що застосування кусково-кубічних апроксимацій дозволяє отримати достатньо добре наближення точного розв язку на сітці в разів рідшій ніж при застосуванні кусково-лінійних апроксимацій. На рисунку 6.7 зображені графіки додаткових характеристик адаптивного процесу. З рис. 6.7 а-в спостерігаємо що як норми похибки так і норма нев язки з деякого кроку процесу монотонно спадають. Рисунок 6.7 демонструє графіки порядків збіжності похибки та нев язки. Хоча на перших кроках процесу ці величини мають нерегулярну поведінку на деякому кроці досягають значень більших. Рисунок 6.6. Поводження кусково-кубічних неперервно-диференційованих апроксимацій МСЕ отриманих на ітераціях 4-9 алгоритму адаптивного згущення сітки. ε.

ln Ε ln ε 57 а б ln ρ P p r в г Рисунок 6.7. Апостеріорні характеристики класичних кусково-кубічних неперервнодиференційованих апроксимацій МСЕ знайдені при адаптивному згущенні сітки: а норма похибки Ε ; б норма похибки ε ; в норма нев язки ρ ; г порядки швидкості збіжності p та 6.7.. Двовимірна задача міграціїї домішок з примежевими шарами Наближені розв язки двовимірних сингулярно-збурених задач міграціїї домішок знайдені за допомогою звичайної схеми МСЕ на досить густих регулярних сітках хактеризувались яскраво вираженою нефізичною поведінкою. Розглянуті детально у розділі двовимірні модельні задачі тут розв язували згідно алгоритму -адаптивної схеми МСЕ описаного в п.6.5; список скінченних елементів які потрібно ділити отримували опираючись на формулу 6.49. Ітераційна процедура уточнення триангуляції розпочиналася із застосування класичної схеми МСЕ на сітці із 6 скінченних елементів. Роботу алгоритму завершували коли площа найменшого трикутника була рівна 5 або коли умова 6.49 не виконувалась на жодному трикутнику. На всіх отриманих сітках скінченних елементів було проаналізовано такі характеристики наближеного розв язку: норми похибки L та H на скінченних елементах триангуляції; r. P

58 показники Ε ε та ρ вирази яких визничено в 6.5; * * оцінювачі похибки M та R ; коефіцієнт нерівномірності сітки δ ma mn де ma - найдовша а mn найкоротша зі сторін трикутників триангуляції; порядки збіжності похибок та їх оцінювачів обчислені за формулами для рівномірної сітки 6.5 6.54; порядки збіжності похибок та їх оцінювачів обчислені за формулами для нерівномірної сітки 6.5 6.55; Для ілюстрації роботи -адаптивної схеми МСЕ розв язування двовимірних сингулярно збурених задач міграціїї домішок з примежовими шарами аналізувалися наближені розв'язки задачі міграціїї домішок.58-.6. Детальний опис задачі можна знайти в розділі. На рисунку 6.8 показано поводження наближеного розв язку на трьох ітераціях алгоритму -адаптивної схеми МСЕ та відповідні скінченноелементні сітки. Добре помітно що розв язок отриманий на першому кроці характеризується нефізичною поведінкою та неприродніми осциляціями однак на наступних кроках процесу ситуація покращується. З рисунка можемо зробити висновок про поточкову збіжність наближеного розв язку. Із зображень сіток МСЕ бачимо що наша схема досить добре ідентифікує область примежових шарів і в процесі роботи схеми згущення сітки відбувається переважно лише в цій області. Рисунок 6.9. демонструє поведінку розподілу інтегральних норм похибок по скінченних елементах на цих самих кроках схеми. Як і в попередній задачі максимальні значення цих характеристик зменшуються від кроку до кроку та поступово локалізуються лише в області примежових шарів. Ітерація 6 скінченних елементів.

59 Ітерація 6 скінченних елементів. Ітерація 5 45 скінченний елемент. Рисунок 6.8. Наближені розв язки задачі.55-.57 обчислені на відповідних адаптованих сітках з використанням кусково-квадратичних апроксимацій на трикутних скінченних елементах. На рисунку 6. зображено розподіл інтегральної норми нев язки яка з кожним кроком адаптивного процесу все чіткіше ідентифікує область примежових шарів саме в цій області концентруються найбільші значення цієї величини. Слід зауважити що максимальне значення цієї характеристики також монотонно спадає в процесі адаптування. Рисунок 6. демонструє результати процесу адаптування отримані на останній ітерації. З рисунка бачимо що найгустішою скінченноелементна сітка є в околі примежових шарів наближений розв язок цілком відтворює точний а найбільші значення похибок нев язки та оцінювача похибки також локалізуються в примежових шарах.

6 Ітерація 6 скінченних елементів. Ітерація 6 скінченних елементів. Ітерація 6. 45 скінченний елемент. Рисунок 6.9. Розподіл норм зліва та норм L справа по скінченних H елементах.

6 Ітерація 6 скінченних елементів. Ітерація 6 скінченних елементи. Ітерація 5 45 скінченний елемент. Рисунок 6.. Розподіл норм нев язки L f зліва по скінченних елементах L відповідної сітки справа.

6 а б в г д е Рисунок 6.. Результати обчислювального експерименту отримані на останній 9-ій ітерації схеми. Кількість елементів 67. а наближений розв язок ; б скінченноелементна 9 сітка T ; в Розподіл норм по скінченних елементах; г Розподіл норм оцінювача L

по скінченних елементах; е Розподіл норм L f нев язки по скінченних елементах. L * m по скінченних елементах; д Розподіл норм H 6 В таблицях 6.-6.5 вміщено деякі характеристики поведінки адаптивного процесу. Зокрема з таблиці 6. помітно що з деякого кроку адаптування кількість скінченних елементів що підлягають поділу монотонно спадає до нуля нерівномірність сітки збільшується а кількість елементів та вузлів триангуляції зростає дуже повільно. Таблиця 6.. Характеристики скінченноелементних сіток отриманих протягом процесу адаптування. Кількість Кількість Кількість елементів Коефіцієнт Номер елементів вузлів триангуляції нерівномірності ітерації триангуляції триангуляції T що сітки δ T T підлягають поділу 6 4 6 9 5 69 5 6 76 4 4687587 4 856 779 9 76485 5 45 6 8 96955447 6 6 4 58 668764 7 4664 4668797 8 6 47 5 745849547 9 67 4746 75579567 З таблиць 6. 6. видно що інтегральні норми похибки наближеного розв язку нев язки рівняння та оцінювача похибки монотонно спадають причому на кожному кроці процесу оцінювач похибки більшим від норми дійсної похибки Ε. Проте оцінювач таку поведінку лише на перших кроках процесу. M залишається * * R величини ε має Таблиця 6.. Характеристики наближеного розв язку отримані протягом процесу адаптування. M * Ε * ε R ρ.9997.46.89874.94465.575445.965.87467.58558875.97698.4696547.4796.6684.48.499.555445.6557.584.44957.4887.6848.55.7.4467.445.94544.76.996.485.48.8565578

64.8496.4956.6975.554.866978.8.57.49.88.8656.7964.4.46766.98.8649677 Таблиця 6.. Відносні характеристики наближеного розв язку отримані протягом процесу адаптування. Ε L % M * L % ε H % R * H % 49.694 6.796575 8.5878686 7.749.66695 5.569599 64.985855 9.78799 9.57578 4.649464 7.648777 6.744.6777.65755 6.78869 6.8644647.456774.657 6.57.7564.7574.87594.9696.556847.599.946884.4476.54477.5749.84444.96898.565478.497776.89789.8.4764 Таблиці 6.4 6.5 демонструють швидкість збіжності наближеного розв язку та оцінювача його похибки в нормах просторів наведено порядки збіжності обчислені за формулами 6.5 6.54 які використовуються для регулярних сіток. Неважко зауважити що ці величини є суттєво нижчі від теоретичних та мають нерегулярну поведінку. Проте таблиця 6.4 в якій наведено порядки збіжності обчислені за формулами 6.5 6.55 для нерегулярних сіток показує що швидкість L та H. Зокрема в таблиці 6.4 збіжності наближеного розв язку як в нормі простору L так і в нормі простору H близька до теоретичної а оцінювачі похибок спадають дещо швидше ніж самі похибки. Таблиця 6.4. Порядки збіжності наближеного розв язку та оцінювача похибки отримані протягом процесу адаптування та обчислені за формулами для регулярної сітки 6.5 6.54. P Π p π.56.995656.567848.674489.448.8846874.64494.69944.85954.978.98777.444894.75695.774684.7785.74576.464.756875.45996.658655.4684.458.4866.8775.65.4699767.5696.4967.875.549679.6966.47567.4659.8458.7874.6548

65 Таблиця 6.5. Порядки збіжності наближеного розв язку та оцінювача похибки отримані протягом процесу адаптування та обчислені за формулами для нерегулярної сітки 6.5 6.55. * * * * P Π p π.565.9878.7467.48774.59.9854967.47794.695495.75544494.66678.77955.66.44646.85945.4476.9666.945476.99954.58657.499579.9884.6458.67498.77448.9944947.974757.689668.8457895..4754.68868.57769.989.45856.8475756.6774 На рисунку 6. - зображено поведінку характеристик розв язку в процесі роботи алгоритму адаптування сітки значення яких наведені в таблицях 6.-6.5 відповідно. а б в г

66 д Рисунок 6.. Апостеріорні характеристики класичних кусково-квадратичних апроксимацій МСЕ знайдені при адаптивному згущенні сітки: а норма похибки Ε ; * б оцінювач M ; в норми похибки ε ; * г оцінювач R ; д норма нев язки ρ а б Ε в г Рисунок 6.. Відносні апостеріорні характеристики класичних кусково-квадратичних апроксимацій МСЕ знайдені при адаптивному згущенні сітки: а відносна похибка L % M * ; б оцінювач L % ; в відносна похибка ε H % R * ; г оцінювач H %.

67 а б в г Рисунок 6.4. Графіки порядків збіжності обчислених за формулами для регулярних сіток: а порядок P збіжності похибки в нормі простору L ; б порядок Π збіжності оцінювача * M ; в порядок p збіжності похибки в нормі простору H ; г порядок π збіжності * оцінювача R. а б

68 в г Рисунок 6.5. Графіки порядків збіжності обчислених за формулами для регулярних сіток: * * а порядок P збіжності похибки в нормі простору L ; б порядок Π збіжності оцінювача * * * M ; в порядок p збіжності похибки в нормі простору H ; г порядок π збіжності * R оцінювача. Аналіз числових розв яків цієї задачі показує що використовуючи кусково-квадратичні апроксимації класичної схеми МСЕ на автоматично згенерованих нерівномірних сітках можна отримати досить добрі результати при розв язуванні сингулярно збурених задач міграціїї домішок які характеризуються числом Пекле порядку - та числом Струхаля - хоча результати отримуються внаслідок застосування ітераційної процедури що зумовлює збільшення витрат часу на проведення обчислень. Порядки збіжності похибки наближеного розв язку в нормах просторів L та H а також її оцінювачів близькі до теоретичних. 6.8. Висновки На основі рівняння збереження маси побудовано апостеріорні оцінки похибки апроксимацій методу скінченних елементів МСЕ в задачах стаціонарної конвекції-дифузії-реакції субстанції у нестисливому середовищі. Для цього сформульовано задачу мінімізації для побудови оптимальної - адаптивної схеми МСЕ; здійснено постановку варіаційної задачі знаходження похибки МСЕ і доведено її коректність. В основу аналізу покладено функціонал джерел похибки який кусково визначається лишком рівняння над кожним скінченним елементом СЕ декомпозиції та варіаційна задача для відшукання похибки апроксимацій МСЕ. Наближені розв язки останньої в просторах баблфункцій дозволили сконструювати недорогі зручні оцінювачі точкових та інтегральних характеристик похибки в природних для даного класу задач нормах з визначними властивостями: вони встановлюють залежність рівня похибки від геометричних характеристик СЕ критеріїв подібності Пекле і Струхаля та маси незрівноваженої домішки; вони створюють надійну основу

69 для реалізації оптимального адаптування розрахункових сіток здатних відтворити із наперед заданою точністю структуру шуканого розв язку. Спосіб побудови оцінювачів похибки продемонстровано на прикладах одновимірної задачі міграціїї домішок наближені розв язки якої будувались на кусково-лінійних базисних функціях та двовимірної задачі міграціїї домішок наближені розв язки якої будувались на кусково-квадратичних базисних функціях. Використовуючи уточнені оцінювачі похибки складено алгоритм адаптивного згущення скінченноелементних сіток. Роботу алгоритму адаптивного згущення скінченноелементних сіток продемонстровано на прикладі одновимірної задачі міграціїї домішок з примежевим шаром та досліджено залежність його роботи від числа Пекле. Числові результати свідчать про те що алгоритм працює досить добре навіть при сильному домінуванні коефіцієнтів конвективного перенесення. Обчислені апостеріорні порядки швидкості збіжності близькі до оптимальних тобто таких які отримуються для задач з малими числами Пекле класичною схемою МСЕ з такими самими апроксимаціями. Н-адаптивну схему МСЕ також вдалося успішно застосувати до розв язування двовимірних сингулярно збурених задач міграціїї домішок. Отримані апостеріорні порядки швидкості збіжності наближених розв язків також близькі до теоретичних.

7 7. КОМП ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РЕЛЬЄФУ ТА ПОВ ЯЗАНИХ З НИМ ПРИРОДНИХ ПРОЦЕСІВ НА ТЕРИТОРІЇ ЛЬВІВЩИНИ Виконані в рамках цієї теми дослідження є продовженням розпочатих під час виконання госпдоговірної дослдно-конструкторської роботи «Розробка нформацйної системи ведення монторингу земельних ресурсв Льввської област» держреєстрації 95U87 995-997 рр. на замовлення Львівського регіонального центру моніторингу земельних ресурсів. Дослідження було продовжено в рамках держбюджетних науково-дослідних робіт «Математичне і програмне забезпечення геоінформаційних та кадастрових систем» держреєстрації 97U87 997-999 рр. і «Математичне моделювання та інформаційні технології в проблемноорієнтованих системах» держреєстрації U46 - рр.. Внаслідок виконання цих робіт було одержано такі результати []: розроблено методику практичної побудови цифрової моделі рельєфу ЦМР місцевості у вигляді grd-поверхні та створено таку модель для території Львівської області; сформульовано загальну схему проведення гідрологічних досліджень; створено методику числового аналізу процесів поглинання сонячної енергії ділянками земної поверхн; запропоновано підхід до розв язування задач дослідження поверхневосхилової ерозії ґрунтів з використанням механізму grd-поверхонь; здійснено програмну реалізацію всіх запропонованих схем у картографічній системі ArcVew та проведено їхнє експериментальне дослідження на території Львівщини. розроблено методику векторизації растрових зображень географічних карт засобами програм Potosop і ArcVew. У цьому розділі буде наведено нові результати одержані під час дослідження задач: одержання оцінок точності апроксимації рельєфу grd-поверхнями для різних методів та параметрів інтерполяції; аналізу морфометричних характеристик цифрової моделі рельєфу реальної місцевості у вигляді grd-поверхні; виділення структурних ліній рельєфу та локальних вершин за допомогою гідрологічних методів. Всі числові дослідження проведено у середовищі картографічної системи ArcVew з розширенням Spatal Analyst. За результатами виконання усіх зазначених науково-дослідних робіт автором було захищено кандидатську дисертацію «Комп ютерне моделювання рельєфу та пов язаних з ним природних процесів на території Львівщини» за спеціальністю 5.4. фотограмметрія та картографія [].

7.. Дослідження точності grd-поверхонь рельєфу 7 Питання вибору найкращого інтерполяційного методу для побудови цифрових моделей рельєфу ЦМР у вигляді grd-поверхонь було досліджено під час виконання теми «Математичне моделювання та інформаційні технології в проблемно-орієнтованих системах» []. Тоді числовий аналіз засвідчив що найточніших результатів можна досягнути у разі застосування лінійного універсального кригінгу. Надалі цей факт використано було для створення ЦМР Львівщини. Тут спочатку якісно проаналізуємо точність побудови ЦМР для різних параметрів лінійного універсального кригінгу та тріангуляції з оцінками що ґрунтуються на якості відтворення горизонталей за побудованими цифровими моделями рельєфу а далі виконаємо кількісний аналіз на підставі оцінки середньоквадратичних похибок моделей. 7... Тестові ділянки та параметри інтерполяції Як вхідні дані для побудови ЦМР використаємо оцифровані горизонталі у формі sape-файлів люб язно надані організацією Західгеодезкартографія для некомерційного використання. Переріз рельєфу становить: на пологих ділянках м в районі Волино-Подільської височини м а у високогірній частині Львівських Карпат понад 84 м 4 м. Середній крок сканування горизонталей 4 мм 8 м на місцевості. Для того щоб проаналізувати точність побудови ЦМР у місцях з різним характером рельєфу було вибрано ділянки див. рисунок 7. де вони виділені прямокутними рамками. Їхні параметри такі: а на рівнинній місцевості: розміри ділянки 775 466 км розміри відповідної grd-поверхні 69 755 комірок 5 5 м площа 8 км ; кількість вхідних точок ~ перепад висот 8-8 м переріз висот м; б на височині: розміри ділянки 684 464 км розміри відповідної grd-поверхні 49 57 комірок 5 5 м площа 669 км ; кількість вхідних точок ~ перепад висот 4-46 м переріз висот м; в у гірській місцевості: розміри ділянки 56 4 км розміри відповідної grd-поверхні 8 5 комірок 5 5 м площа 5 км ; кількість вхідних точок ~ 76 перепад висот 4- м переріз висот 4 м. Для порівняння візьмемо способи побудови grd-поверхні за допомогою лінійного універсального кригінгу з використанням для інтерполяції кожної комірки відповідно 5 та 5 точок із вхідного набору а також з огляду на популярність та ефективність тріангуляційних моделей таку комбіновану модель на базі тріангуляції: із вхідного набору будуємо TI-модель а потім конвертуємо її у grd-поверхню. Відразу зазначимо що кригінг на 5 точках проходить у 4 рази швидше а на точках в разів швидше аніж на 5 точках; про побудову ж комбінованої моделі на базі тріангуляції взагалі можна сказати що вона відбувається без особливих затрат часу.

7 Рисунок 7.. Масив горизонталей природні підобласті рельєфу та тестові ділянки на території Львівщини 7... Якісна оцінка точності побудови grd-поверхонь рельєфу Продемонструємо спочатку якісну характеристику точності одержаних grd-поверхонь на основі відтворення горизонталей за побудованими цифровими моделями що можна зробити стандартними засобами ArcVew та Spatal Analyst командою Srface/Create Contors інтерактивної карти. На рисунку 7. відображена ситуація для рівнинної ділянки де відтворені горизонталі з моделі одержаної за допомогою кригінгу з використанням 5 точок а на рисунку 7. ситуація на фрагменті ділянки виділеному на рисунку 7. рамкою для всіх чотирьох апроксимацій: а для кригінгу на точках; б для кригінгу на 5 точках; в для кригінгу на 5 точках; г для тріангуляції.

7 Тут і далі в межах п. 7.. на рисунках тонкими чорними лініями позначені реальні горизонталі а широкими сірими відтворені математичними засобами з grd-поверхонь. Як бачимо з рисунка 7. у центрі ділянки якість відтворення горизонталей дуже низька. Це спричинено нестачею інформації про рельєф у цьому місці внаслідок чого для багатьох комірок grd-поверхні всі 5 вхідних точок мають однакову висоту і в результаті значна частина ділянки інтерполюється як абсолютно плоска горизонтальна поверхня однієї висоти. Тому в таких місцях для забезпечення достатньої точності моделювання рельєфу необхідно використовувати додаткову вхідну інформацію у вигляді допоміжних горизонталей та характерних точок рельєфу. Рисунок 7.. Відтворення горизонталей на рівнині; модель кригінг 5 точок Кращу ситуацію спостерігаємо у місцях більшого скупчення горизонталей зокрема у виділеному фрагменті. Детальніший аналіз рисунок 7. показує що

74 використання 5 точок для кригінгу дає змогу досягти відчутного поліпшення результатів порівняно з 5 точками а кригінг на точках взагалі недоцільно застосовувати через дуже низьку якість інтерполяції. Тріангуляційна модель показує нижчу точність відтворення горизонталей порівняно з кригінгом на 5 та 5 точках причому добре видно характерні помилки моделі що полягають у «зрізуванні» крутих вигинів горизонталей. а б в Рисунок 7.. Відтворення горизонталей на рівнині фрагмент: а кригінг точок; б кригінг 5 точок; в кригінг 5 точок; г тріангуляція г

75 На височині якість відтворення горизонталей набагато вища: у масштабі всієї ділянки рисунок 7.4 можна помітити всього лише кілька місць з помилками які допускає модель на базі кригінгу з 5 точками. Розгляд виділеного фрагмента рисунок 7.5 дає підстави для висновку що кригінг на 5 точках дає результати дуже близькі до одержаних за допомогою кригінгу на 5 точках в той час коли використання для інтерполяції точок видається недостатнім. Тріангуляційна модель знову демонструє нижчу точність відтворення горизонталей порівняно з кригінгом зберігаючи ті ж самі характерні похибки «зрізування» крутих вигинів горизонталей. Рисунок 7.4. Відтворення горизонталей на височині; модель кригінг 5 точок

76 а б в Рисунок 7.5. Відтворення горизонталей на височині фрагмент: а кригінг точок; б кригінг 5 точок; в кригінг 5 точок; г тріангуляція Практичні такі ж висновки можна зробити й щодо відтворення горизонталей у гірській місцевості рисунки 7.6 7.7. г

77 Рисунок 7.6. Відтворення горизонталей у горах; модель кригінг 5 точок 7... Кількісна оцінка точності побудови grd-поверхонь рельєфу Перейдемо тепер до кількісних оцінок точності побудови grd-поверхонь рельєфу. Слід відразу зазначити що відчутний вплив на цей процес матиме відсутність окремого набору контрольних точок за яким можна було б об єктивно оцінити якість одержаних моделей та їхню відповідність реальній місцевості. Тому доведеться якимось чином знайти такі точки базуючись на вхідному наборі. Одним із відомих способів отримання контрольних точок є вибірка потрібної їх кількості випадковим чином із вхідного набору даних та вилучення їх звідти для того щоб вони не брали участі в інтерполяції. Однак у нашому випадку коли крок сканування горизонталей був достатньо дрібним і внаслідок цього ми одержали дуже щільний набір вхідних точок вилучення окремих із них мало впливає на остаточний результат інтерполяції хіба що на тих точках які лежать на різких перегинах горизонталей.

78 а б в Рисунок 7.7. Відтворення горизонталей у горах фрагмент: а кригінг точок; б кригінг 5 точок; в кригінг 5 точок; г тріангуляція Середньоквадратичну похибку для цього випадку в метрах наведено у таблиці 7. звідки знову ж таки бачимо що найкраща точність досягається у разі використання кригінгу з інтерполяцією кожної комірки за 5 та 5 точками хоча тут відмінності від інших апроксимацій і несуттєві а сама похибка становить: на рівнині менше / перерізу висот на височині близько / 7 в горах / перерізу рельєфу. г

79 Таблиця 7.. Середньоквадратичне відхилення значень апроксимацій від значень на контрольних точках вилучених із вхідного набору в метрах Рівнина Височина Гори Разом Кількість контр. точок 4 4 44 45 точок 9 4 9 5 точок 8 4 8 5 точок 8 4 8 Тріангуляція 9 4 Кригінг Іншим критерієм точності цифрових моделей є оцінка їхньої похибки на схилах де згідно з принципами картографування рельєфу характер зміни висоти між двома сусідніми горизонталями можемо вважати лінійним. Тоді контрольні точки доцільно вибрати на серединах схилів а за значення їхньої висоти взяти середнє арифметичне від двох найближчих обмежувальних горизонталей. На рисунку 7.8 показано розміщення контрольних точок на схилах тестових ділянок а рівнинна місцевість; б височина; в гірський район а в таблиці 7. наведено середньоквадратичне відхилення у метрах значень апроксимацій від контрольних. Як бачимо для височини та гірської місцевості на схилах ми одержуємо ще кращу оцінку аніж у попередньому випадку і також не можемо вважати її об єктивною характеристикою точності побудованих цифрових моделей рельєфу. Результати аналізу свідчать лише про те що кригінг на 5 і 5 точках дає приблизно однакові результати причому для різних ділянок воно становить: на рівнині менше / 5 перерізу висот на височині / 5 в горах менше / ; порівняно з ними тріангуляція та кригінг на точках показують нижчу точність інтерполяції. Отже жоден із двох попередніх способів одержання наборів контрольних точок не дає змоги одержати об єктивної оцінки точності побудованих grdповерхонь рельєфу. Тому скористаємось третім способом: виділимо із вхідного набору деякі горизонталі і суттєво розрідимо масив вхідних точок які можна одержати з них. Звичайно це призведе до деякого погіршення якості вхідної інформації а відтак до навмисного зниження точності інтерполяції однак у цьому випадку ми можемо дати нашим моделям рельєфу оцінку зверху. Отож виберемо на тестових ділянках зазначені горизонталі так як це показано на рисунку 7.9 а рівнинна місцевість; б височина; в гірська місцевість. Із них у вхідний набір додамо лише ті точки для яких сусідні відрізки ламаної лінії складають кут не менше. Це дасть змогу вилучити з виділених горизонталей на рівнині / 4 точок на височині / у горах 4 / 5 від початкової кількості точок. Контрольні точки можна одержати випадковим вибором із вилучених.

8 а б Рисунок 7.8. Контрольні точки на схилах: а рівнина; б височина; в гори в Таблиця 7.. Середньоквадратичне відхилення значень апроксимацій від значень на середніх точках схилів у метрах Рівнина Височина Гори Разом Кількість контр. точок 6 57 59 4 точок 7 6 7 5 точок 6 6 5 точок 6 7 Тріангуляція 6 8 8 5 Кригінг

8 а б Рисунок 7.9. Горизонталі спрощені для одержання контрольних точок: а рівнина; б височина; в гори в У таблиці 7. відображено середньоквадратичну похибку у метрах значень різних апроксимацій на контрольних точках із таких спрощених горизонталей. Аналіз свідчить що найкращі у середньоквадратичному сенсі результати на рівнинних ділянках дає тріангуляція та кригінг на 5 інтерполяційних точках; на височині всі способи кригінгу показують приблизно однакову точність а у гірських районах кригінг на точках дає навіть дещо кращі результати аніж на 5 та 5; тріангуляція лише на рівнині демонструє однакову з кригінгом точність апроксимації а на решті території відчутно нижчу. Відносно ж перерізу висот похибка для кригінгу у цьому випадку становить: на рівнині менше / на височині менше / в горах близько / 6

8 перерізу рельєфу. Той факт що на височині відносна похибка ледь не вдвічі перевищує аналогічне значення для гірського району на перший погляд видається трохи дивним однак якщо порівняти вигляд горизонталей на обох ділянках рисунок 7.9 б та в то можна побачити що на височині вони мають набагато складнішу форму. Очевидно саме це й спричиняє проблеми в інтерполяції grd-поверхонь у цьому районі. Таблиця 7.. Середньоквадратичне відхилення значень апроксимацій від значень на контрольних точках із спрощених горизонталей у метрах Рівнина Височина Гори Разом Кількість контр. точок 9 98 9 88 точок 6 67 5 5 точок 9 6 68 5 5 точок 8 59 69 5 Тріангуляція 8 66 7 57 Кригінг Отже як показує аналіз середньоквадратичної похибки на височині та в гірській місцевості можна використовувати навіть кригінг на точках. Однак як було сказано вище цей спосіб дає відчутно гірше відтворення горизонталей порівняно з кригінгом на 5 та 5 точках. Тому щоб остаточно визначитися з надійністю різних способів інтерполяції проведемо такий числовий експеримент: вилучимо із вхідного набору вказані горизонталі повністю і протестуємо одержані grd-поверхні на попередньому контрольному наборі. З таблиці 7.4 де відображено середньоквадратичну похибку у метрах значень різних апроксимацій на контрольних точках із вилучених горизонталей можна зробити висновок що на рівнинних ділянках для одержання надійних результатів треба використовувати тріангуляцію та кригінг на 5 інтерполяційних точках а у височинних та гірських районах можна застосовувати кригінг на 5 точках; кригінг на точках дає достатньо надійні результати лише на височині. Таблиця 7.4. Середньоквадратичне відхилення значень апроксимацій від значень на контрольних точках із вилучених горизонталей у метрах Рівнина Височина Гори Разом Кількість контр. точок 9 98 9 88 точок 79 9 4 5 точок 67 7 97 5 точок 6 5 8 94 Тріангуляція 57 7 Кригінг

7..4. Висновки 8 Отож виконані дослідження точності побудови цифрових моделей рельєфу у вигляді grd-поверхонь дають підстави для таких висновків. a Для створення grd-поверхні рельєфу на рівнинних ділянках потрібно застосовувати кригінг з використанням для інтерполяції кожної комірки 5 точок; модель побудована на базі тріангуляції хоча й демонструє таку саму середньоквадратичну похибку дає гіршу картину відтворення горизонталей. b Для побудови grd-поверхні рельєфу у височинних та гірських районах доцільно скористатися кригінгом на 5 точках який даючи приблизно таку ж середньоквадратичну точність що й кригінг на 5 точках виконується у 4 рази швидше. c Кригінг з використанням інтерполяційних точок показує достатньо точні та надійні результати лише на височині. d У височинній та гірській місцевості тріангуляція дає значно гірші у середньоквадратичному сенсі результати порівняно з кригінгом; крім цього для забезпечення адекватності такої моделі реальному рельєфу у вхідний набір обов язково потрібно включати всі точки локальних висот та структурних ліній що інколи буває важко забезпечити на практиці зокрема на топографічних картах масштабу : та : більшість таких точок не позначена; тому застосовувати тріангуляцію для побудови цифрових моделей рельєфу рівня регіону у вигляді grd-поверхонь недоцільно. e Використання кригінгу з 5 інтерполяційними точками на рівнинній місцевості та кригінгу з 5 точками у височинних та гірських районах забезпечує на наявних вхідних даних середньоквадратичну точність одержаної ЦМР з розмірами комірки 5 5 м не нижче 55 м в тому числі: на рівнині м / перерізу рельєфу на височині 6 м / та у горах 7 м / 6 перерізу висот; дослідження також показують що на дуже пологих рівнинних ділянках для забезпечення адекватності ЦМР реальному рельєфу необхідно використовувати додаткову вхідну інформацію у вигляді допоміжних горизонталей та характерних точок рельєфу. 7.. Аналіз морфометричних характеристик рельєфу на ЦМР Львівщини Модель рельєфу у вигляді grd-поверхні дає змогу не лише отримувати значення висоти у довільній точці місцевості а й обчислювати інші просторові характеристики: крутизну кривину експозицію освітленість та інші. Деякі з них не лише відіграють важливу роль у проведенні числових досліджень багатьох задач економіки та екології а й самі по собі становлять значний практичний інтерес. 7... Побудова та аналіз grd-поверхні крутизни території Львівщини Значення крутизни схилів на місцевості відіграє важливу роль у багатьох галузях людської діяльності. Обчисленню цієї характеристики присвятили свої праці багато науковців котрі виходили з різних математичних моделей рельєфу

84 та використовували різні методи. В [] механізм grd-поверхонь було використано автором для обчислення крутизни ділянок на території Переспівської сільради Сокальського району Львівської області. У Spatal Analyst крутизна slope означає максимальну зміну значення кожної комірки до сусідніх із нею і обчислюється за допомогою однойменного методу Slope. Якщо за вхідні дані взяти нашу модель рельєфу то в результаті виконання цього методу одержимо grd-поверхню яка відображатиме значення справжньої крутизни тобто кутів нахилу схилів на ділянках реальної місцевості. z z z Алгоритм закладений у Spatal Analyst використовує z для обчислення крутизни у градусах наступну формулу: 4 z 5 z 6 z 7 z 8 z 9 arctg dz d dz dy * 57.9578. 7. Рисунок 7.. Значення ж похідних від висоти по та y обчислюють за допомогою різницевих співвідношень: якщо значення у розглядуваній центральній комірці та 8-ми сусідніх із нею позначити так як показано на рисунку 7. то для знаходження похідних будуть використані такі формули: dz z z4 z7 z z6 z9 7. d 8 d dz z z z z7 z8 z9. 7. dy 8 d де d Δ Δy розміри комірки. У випадку коли якась із сусідніх до розглядуваної комірок має значення o Data їй присвоюється значення z 5. Приклад результату роботи описаного вище алгоритму приведено на рисунку 7.. 9.5 8. 4.5 9... o Data 6.6 8..5 4.5 9..6 4.6.6 6.6 4.. 4. 9. 9. 4.....6 9. 9..6.....6 9. 4. o Data рельєф крутизна Рисунок 7.. Приклад grd-поверхні крутизни

85 Отримана в результаті застосування методу Slope до grd-поверхні рельєфу Львівщини grd-поверхня крутизни рисунок 7. демонструє розподіл цього параметра на території області: чим темніший колір тим більший кут нахилу. Рисунок 7.. Grd-поверхня крутизни території Львівщини

86 Слід зазначити що названа характеристика рельєфу сама по собі становить значний інтерес для різних галузей людської діяльності зокрема для сільського господарства і тому дослідження у цьому напрямі орієнтовані на одержання практичних результатів для реальних ділянок місцевості продовжують залишатись актуальними. З цього погляду ЦМР у вигляді grd-поверхні є дуже зручним інструментом для швидкого формування та аналізу потрібних даних. Для прикладу в таблиці 7.5 показані співвідношення у % між сумарними площами ділянок з різними кутами нахилу отримані в процесі дослідження grd-поверхні крутизни території Львівщини. Звідси видно що районами з найбільшою крутизною поверхні є Сколівський та Турківський а з найменшою Буський та Кам янко-бузький. 7... Експозиція та освітленість ділянок місцевості Звернімо увагу на те що grd-поверхня крутизни показуючи для кожної комірки максимальне значення нахилу нічого не говорить про його напрям. Таку інформацію дає grd-поверхня експозиції для формування якої використовують метод Aspect. Значення експозиції можна розуміти як напрям «найкрутішого спуску» від розглядуваної комірки який вимірюють у градусах від напрямку на північ північ º схід 9º південь 8º захід 7º. Якщо ж значення крутизни для якоїсь комірки рівне тобто вона лежить на плоскій ділянці місцевості то відповідне значення експозиції для неї буде рівне. Приклад grd-поверхні експозиції наведено на рисунку 7.. 5. 4.6 8. 6.6 45. -. o Data 7. 88.4. 45. 6.6 5.6 46.8 98.4 9.. 5. 7. 4.4 6.6 8. -. -. 5. 98.4 6.6 6.6 98.4 5. -. -. 5. 98.4 6.6 7. o Data рельєф експозиція Рисунок 7.. Приклад grd-поверхні експозиції Grd-поверхня експозиції ділянок на території Львівщини наведена на рисунку 7.4. На жаль таке зображення не є візуально інформативним особливо у напівтоновому а не кольоровому варіанті оскільки й насправді навіть невеликі сусідні ділянки можуть мати різну орієнтацію і це зумовлює надзвичайну строкатість картини.

87 Район Область Львів Бродівський Буський Городоцький Дрогобицький Жидачівський Жовквівський Золочівський Кам'янко-Бузький Миколаївський Мостиський Перемишлянський Пустомитівський Радехівський Самбірський Сколівський Сокальський Старосамбірський Стрийський Турківський Яворівський Співвідношення між сумарними площами ділянок різної крутизни у % Таблиця 7.5. º - º 54 445 648 869 759 44 597 76 449 87 595 55 75 579 88 79 59 7944 99 76 7 555 º - º 6 6 5 4 5 7 748 89 6 69 47 895 74 7 7 9 8 6 668 5 º - º 645 99 649 57 799 859 56 959 65 66 94 85 5 598 7 456 76 476 58 996 º - 5º 79 5 8 97 589 875 6 54 8 7 88 7 55 86 47 54 74 6 5 5 89 5º - 7º 58 747 48 48 5 56 49 7 8 5 597 658 64 48 5 4 779 89 49 6 7º - º 47 5 77 6 65 4 8 5 484 4 4 7 6 5 6 6 65 67 º - 5º 474 6 76 4 8 8 54 85 57 7 94 8 6 64 594 7 8 5 > 5º 97 6 5 6 9 7 6 56 65 49 5 Площа км² 8486 6786 469 847 765 555 98467 67 88 8766 6987 86456 974 987 4 958 476 648 55 78557 997 5546

88 Рисунок 7.4. Grd-поверхня експозиції території Львівщини Розглядувана характеристика місцевості також є досить важливою для сільського господарства зокрема для такої його галузі як рослинництво оскільки дає змогу зробити оцінку кількості сонячної енергії яку можуть отримувати земельні ділянки під угіддями. Проте ми можемо набагато точніше оцінити кількість сонячної енергії яку отримують ділянки реальної місцевості за допомогою grd-поверхні освітленості яку обчислюють на базі grd-поверхні рельєфу методом HllSade. Аргументами для нього є азимут Сонця та його висота над горизонтом схилення які задають у градусах. Результатом роботи методу є цілочислова grd-поверхня комірки якої мають значення cos β де β кут між нормаллю до комірки та напрямком на Сонце помножене на коефіцієнт 55. У випадку коли кут β для розгляданої комірки є більшим за 9º тобто вона в цей момент знаходиться на протилежному до Сонця схилі або

89 коли комірка закрита від Сонця іншим утворенням рельєфу їй надається значення. Приклад grd-поверхні освітленості за умов коли азимут Сонця становить 8º а схилення 45º наведено на рисунку 7.5 а grd-поверхня освітленості території Львівщини за цих же умов зображена на рисунку 7.6. o Data o Data o Data o Data o Data o Data o Data o Data 6 57 5 o Data o Data o Data 79 6 o Data o Data 96 6 8 8 o Data o Data o Data 6 6 o Data o Data o Data o Data o Data o Data o Data рельєф освітленість Рисунок 7.5. Приклад grd-поверхні освітленості Взагалі проблема визначення освітленості території особливо для реальної місцевості є достатньо складною і тому не так широко описана в літературі. Використання ж для цього механізму grd-поверхонь як бачимо робить таку задачу елементарною. До сказаного додамо що можливість обчислення освітленості як значення cos β у формі grd-поверхні дає змогу перейти від якісних оцінок величини сонячної енергії яку отримують ділянки реальної місцевості до кількісних [45]. 7... Кривина поверхні рельєфу Інструментарій Spatal Analyst дає змогу обчислювати також кривину поверхні що зображає рельєф. Для цього використовують метод Crvatre головним результатом роботи якого є grd-поверхня кривини одиницями виміру значень комірок якої є / одиниці виміру висоти. До речі за допомогою цих значень можна оцінити адекватність такої моделі рельєфу реальній місцевості: за оцінками наведеними самими розробниками Spatal Analyst на відносно рівнинній поверхні значення комірок grd-поверхні кривини мають бути в межах [-.5.5] а в гірських районах вони можуть коливатися в діапазоні [-4 4].

9 Рисунок 7.6. Grd-поверхня освітленості території Львівщини за умов: азимут Сонця 8º схилення 45º Кривину для кожної комірки обчислюють виходячи з апроксимації поверхні рельєфу біквадратичним поліномом по дев яти точках центрах комірок які розміщені у квадратній області розміру. Ця апроксимація має вигляд z A y B y Cy D Ey Fy G Hy I. 7.4 Якщо через z z z 9 позначити висоту в цих точках див. рисунок 7. то коефіцієнти A B I обчислюють за формулами:

9. ; ; ; 4 ; ; ; 4 ; 4 ; 4 5 8 6 4 9 7 5 8 5 6 4 6 4 9 7 8 9 7 4 5 8 6 4 9 7 z I d z z H d z z G d z z z z F d z z z E d z z z D d z z z z z z C d z z z z z z B d z z z z z z z z z A 7.5 де d розміри комірок. Сама кривина у такому випадку матиме значення E D. 7.6 Приклад grd-поверхні кривини наведено на рисунку 7.7. - - - o Data - 6 - o Data -5 4 - - - - - - рельєф кривина Рисунок 7.7. Приклад grd-поверхні кривини Grd-поверхню кривини території Львівщини наводити немає сенсу оскільки її вигляд ні про що не говорить. Однак цікавим є той факт що значення комірок цієї grd-поверхні у гірських районах змінюються в межах [-4. 5.] що відносно добре узгоджується з наведеною вище оцінкою [-4 4]. Достатньо лише сказати що для аналогічної grd-поверхні рельєфу Львівщини з розмірами комірок 5 м тобто у разів більшими цей діапазон має межі [-..47] а кривини для чисто умовного і зовсім нереального рельєфу з рисунка 7.7 жодних коментарів не потребують. Слід зазначити що результатом роботи методу Crvatre є не лише grdповерхня загальної кривини crvatre але також і grd-поверхні її специфічних складових: кривини у профілі або профільної кривини profle crvatre pr та кривини у плані planform crvatre pl причому pl pr. 7.7

9 Особливий інтерес для нас становить профільна кривина яка фактично є з коефіцієнтом. другою похідною від поверхні у напрямку потоку води і вказує на його прискорення або сповільнення у відповідній точці місцевості що має велике значення для числового аналізу процесів водної ерозії ґрунтів. Детальніше про це мова йтиме у розділі 6. Насамкінець зауважимо що теоретично одержані нами grd-поверхні крутизни експозиції та кривини мали б дати нам змогу визначати деякі інші характеристики реальної місцевості такі як скажімо структурні лінії рельєфу локальні вершини тощо. Однак на практиці зробити це виявляється неможливо зокрема через те що вибраний нами спосіб побудови ЦМР виключає отримання гладкої поверхні інакше вона буде неадекватною реальній місцевості. Проте деякі характеристики рельєфу можна визначити й іншими способами наприклад за допомогою методів гідрологічного моделювання про що йтиметься у розділі 4. 7..4. Висновки Отже у разі використання цифрової моделі рельєфу у вигляді grdповерхні можна легко отримати значення крутизни та експозиції ділянок реальної місцевості які мають велике значення для числового аналізу багатьох проблем економіки й екології та проаналізувати їх розподіл по досліджуваній території. Grd-поверхня освітленості території дозволяє не лише набагато точніше аніж за аналізом експозиції оцінити величину сонячної енергії яку отримують ділянки реальної місцевості а й дає принципову можливість одержати її кількісну характеристику. Grd-поверхня кривини хоча й не може дати нам теоретично очікуваних від неї результатів показати структурні лінії рельєфу локальні вершини тощо однак одна з її складових профільна кривина має велике значення для числового аналізу процесів водної ерозії ґрунтів. 7.. Дослідження рельєфу за допомогою гідрологічних методів За результатами досліджень виконаних у рамках теми «Математичне моделювання та інформаційні технології в проблемно-орієнтованих системах» було запропоновано загальну схему гідрологічних досліджень яка ґрунтується на механізмі grd-поверхонь а також описано процеси моделювання траєкторій руху водних потоків та визначення основних річкових басейнів на ЦМР Львівщини. У цьому розділі продемонструємо спосіб використання гідрологічних методів для детальнішого дослідження рельєфу зокрема для виділення структурних ліній та визначення локальних вершин. 7... Виділення на ЦМР структурних ліній рельєфу Під структурними лініями рельєфу розуміють неперервні лінії що проходять через точки локальних мінімумів висоти лінії тальвегів або через точки локальних максимумів висоти лінії вододілів. В термінах гідрології до перших належатимуть русла потоків а до другого межі басейнів водозбору. Оскільки схеми виділення русел потоків заданої інтенсивності та обчислення

9 басейнів водозбору досліджено та описано раніше [6] далі зосередимось на їхньому використанні для розв язування практичних задач. На рисунку 7.8 наведено сітку русел потоків інтенсивність і більше. Звернімо увагу на те як ці русла співвідносяться з рельєфом місцевості. Якщо у гірських районах та на Волино-Подільській височині вони добре накладаються на ущелини та вузькі долини і можуть бути визначені та проведені навіть візуально то для пологіших ділянок фактор наочності вже не спрацьовує і знайти лінії потоків можна лише за допомогою обчислень. Рисунок 7.8. Русла інтенсивністю більше на фоні рельєфу Слід щоправда зазначити що на рівнинних ділянках особливо для розглядуваної ЦМР рівня регіону зростають і похибки гідрологічного

94 моделювання однак це питання в принципі можна розв язати точнішою інтерполяцією рельєфу на густішій мережі горизонталей. Виділяючи потоки з більшим чи меншим порогом інтенсивності ми можемо одержати рідшу або густішу мережу структурних ліній рельєфу цього типу. При цьому всі фрагменти конкретної мережі виглядатимуть рівноправними однак для характеристики рельєфу цінність різних частин такої сітки може бути різною. На рисунку 7.9 зображено потоки 4 рівнів інтенсивності більше 5 і. Вони позначені різними товщинами ліній та насиченістю кольору. Рисунок 7.9. Русла потоків різної інтенсивності

95 Зрозуміло що русла потоків більшої інтенсивності включають в себе відповідні частини русел меншої інтенсивності. І хоча важливість структурних ліній може залежати від конкретної задачі загалом можна вважати що русла потоків з більшою інтенсивністю є лініями вищого рівня аніж русла потоків меншої інтенсивності. При цьому звичайно слід пам ятати що у низовинних ділянках місцевості інтенсивність потоків завжди вища аніж у гірських чи височинних і враховувати це при аналізі результатів. Очевидно також що який би низький поріг інтенсивності для виділення потоків ми не брали їхні русла ніколи не досягнуть меж зони водозбору: важко вказати якийсь універсальний критерій для відшукання лінії потоку яка мала б досягнути межі водорозділу чи вона має бути найдовшою чи найкоротшою чи досягати найвищої точки тощо. Однак якщо для якоїсь конкретної задачі є відомими точки на межах водорозділів звідки мають починатися потоки то їхні траєкторії легко обчислити за допомогою методу RetrnCostPat. Подібними чином тільки знаходячи зони водозборів для окремих ділянок потоків певної інтенсивності і виділяючи їхні межі ми можемо одержати структурні лінії рельєфу іншого типу вододілів. У цьому випадку ми вже маємо неперервну мережу ліній причому межі водозборів для потоків з вищою інтенсивністю можна вважати лініями вищого рівня а для потоків з нижчою інтенсивністю нижчого рівня. На рисунку 7. показані лінії вододілів у вигляді меж басейнів для окремих гілок потоків інтенсивності більше та 5 і головних басейнів Львівщини. З рисунка видно що в одних випадках лінії проходять по хребтах в інших впоперек видимих хребтів а часом по місцевості без яскраво вираженого рельєфу. Більш того добре видно що значна частина характерних ліній найвищого рівня проходить по низинній місцевості без жодних видимих рельєфних утворень. Таким же способом можна відшукати й інші структурні лінії цього типу: наприклад щоб виділити лінію гребеня хребта потрібно взяти водозбірник у вигляді лінії що проходить уздовж його підніжжя; частина межі відповідного басейну і буде шуканим гребенем. 7... Визначення локальних вершин на grd-поверхні рельєфу Ще одна задача для розв язання якої можна використати гідрологічні методи це виділення локальних вершин рельєфу. В принципі основну частину роботи у цьому напрямі можна було б зробити прямим способом за допомогою такого алгоритму А: a на базі grd-поверхні рельєфу сформувати проміжну grd-поверхню кожна комірка якої матиме значення висоти максимальне у деякому своєму околі це можна зробити за допомогою стандартної команди ArcVew Analyss/egborood Statstcs яка використовує метод FocalStats; b порівняти одержану grd-поверхню з grd-поверхнею рельєфу: там де значення збігаються маємо локальні для згаданого околу вершини.

96 Рисунок 7.. Межі басейнів для потоків інтенсивності більше та 5 і головних басейнів Львівщини Однак на практиці зробити це неможливо оскільки для реалізації алгоритму потрібні колосальні обчислювальні ресурси: якщо скажімо шукати локальні вершини в околі радіусом 5 км потрібно проглянути більше 8 мільйонів наборів розміром понад комірок для кожного з яких необхідно відшукати максимальне значення. Принаймні автору не вдалося жодного разу досягнути успіху навіть для порівняно невеликих підобластей: протягом кількох годин програма не виявляла жодних ознак виконання алгоритму. Правда для невеликих околів наприклад 5 м результат можна одержати однак виділених таким чином місць буде занадто багато і їх буде важко назвати локальними вершинами.

97 Тому для розв язання цієї задачі запропонуємо інший підхід. Якщо grdповерхню рельєфу інвертувати помноживши значення висоти на то одержимо таку модель місцевості де низинам відповідатимуть підвищення руслам хребти а хребтам ущелини. Тоді зрозуміло що локальним вершинам у такій моделі відповідатимуть внутрішні стоки. А вже виділити їх не становить особливих труднощів за допомогою методу Sn. Однак якщо це зробити на ЦМР Львівщини кількість отриманих внаслідок виконання методу Sn стоків перевищить тисяч: сюди включено всі локальні заглибини що на реальному рельєфі відповідає місцям які хоч трішки вивищуються над навколишньою місцевістю. Зрозуміло що для одержання прийнятного результату потрібно провести певну фільтрацію умови якої значною мірою залежать від конкретно поставленої задачі. Покажемо яким чином можна в принципі провести таку операцію алгоритм В.. Надаємо коміркам отриманої grd-поверхні стоків значень висоти тобто присвоюємо їм значення відповідних комірок grd-поверхні рельєфу; це будуть місця локальних вершин з відповідними висотами.. Виділяємо місця локальних вершин які в деякому невеликому своєму околі вивищуються над найнижчими ділянками цього околу не менше ніж на деяку порогову величину: a командою Analyss/egborood Statstcs на базі grd-поверхні рельєфу формуємо допоміжну grd-поверхню кожна комірка якої матиме значення висоти мінімальне у згаданому околі у нашому випадку він не повинен бути набагато більшим за 5 м інакше цей процес займе надто багато часу; b порівнюємо результат з місцями локальних вершин і виділяємо ті з них які перевищують мінімум у своєму околі на потрібну порогову величину. Таким способом ми можемо відсіяти ті місця локальних вершин які лежать у пологій місцевості і по своїй суті не є вершинами. Для прикладу автором було взято окіл радіусом 5 м і порогову величину м. Однак виділених місць все одно залишається надто багато порядку 8 тисяч.. Для подальшої фільтрації переведемо виділені місця локальних вершин з grd-поверхні у точки: для цього потрібно конвертувати цю grd-поверхню у полігони виділити їхні центри і оформити їх у точковий тематичний шар. 4. Щоб виділити точки які є справді локальними вершинами у деякому своєму околі скористаємось алгоритмом аналогічним до алгоритму А: a тією ж командою Analyss/egborood Statstcs на базі одержаного точкового шару тут уже використовується метод MaeFromPontStats формуємо проміжну grd-поверхню кожна комірка якої матиме значення висоти максимальне у деякому своєму вже достатньо великому околі; b порівнюємо одержану grd-поверхню з grd-поверхнею фільтрованих місць локальних вершин: там де значення збігаються маємо локальні для згаданого околу вершини. Різниця між цим алгоритмом і алгоритмом А полягає в тому що для визначення максимуму висоти тут використовуються не набори комірок а

98 точки що надзвичайно прискорює формування проміжної grd-поверхні. Для прикладу за значення радіусу околу було взято все ті ж 5 км а результат одержано протягом хвилини на комп ютері класу Pentm-III з тактовою частотою 45 МГц. 5. Способом описаним на кроці перетворюємо одержану після виконання пункту b кроку 4 grd-поверхню у точковий шар. Це й будуть локальні вершини у радіусі 5 км рисунок 7.. Правда тут нерідко можемо бачити кілька точок у заданому околі однак це свідчить лише про те що такі точки просто мають на ЦМР те ж саме з точністю до метра значення висоти. Рисунок 7.. Локальні вершини на території Львівщини

99 Насамкінець повторимо що тут було наведено лише одну із багатьох можливих схем фільтрації. У кожному конкретному випадку можна задавати інші потрібні умови для фільтрування результатів. 7... Висновки Отже методи гідрологічних досліджень можуть бути використані для глибшого дослідження рельєфу зокрема для виділення структурних ліній обох типів тальвегів та вододілів а спеціальний алгоритм що базується на пошуку стоків у інвертованій grd-поверхні рельєфу дає змогу знаходити локальні вершини. Потрібно зазначити що запропоновані схеми не можуть бути реалізовані стандартними засобами ArcVew цього можна досягти лише за допомогою спеціальних програмних модулів скриптів написаних у середовищі ArcVew з використанням мови Avene.

8. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ГІДРОАКУСТИЧНИХ ПРОЦЕСІВ В ДИСИПАТИВНИХ СЕРЕДОВИЩАХ Дослідження задач взаємодії пружних тіл з рідинами набули особливої актуальності в другій половині ХХ століття у зв язку з бурхливим розвитком ракетно-космічної техніки літакобудування вирішенням проблем вібро- та сейсмозахисту ядерних реакторів нафтогазосховищ плотин та гідроелектростанцій тощо. Ряд задач аналізу конструкцій на підставі ехо-сигналу зокрема підводних ультразвукова діагностика в інженерії та медицині проблеми зниження рівня шумів машин та механізмів вимагають адекватного математичного моделювання та розвитку ефективних методів аналізу власне акустичних процесів у гідропружних системах. Традиційно в разі дослідження таких задач нехтують в язкістю середовищ. Однак урахування в язкості середовищ відіграє важливу роль в задачах про високочастотні коливання та в задачах де важливою є поглинута внаслідок дисипації енергія дисипативне розігрівання ультразвуком ділянок людського організму зварювання пластмас ультразвуком тощо. У цьому випадку нехтування в язкістю середовищ може призвести до невідповідності результатів обчислювального експерименту та реальної поведінки конструкцій. Уведення до розгляду природної в язкості середовищ дає змогу більш якісніше з фізичного погляду моделювати процеси та розширити клас задач завдяки розгляду дисипативних систем. 8.. Математичні моделі акустичних процесів в гідропружних системах: основні підходи та відкриті проблеми Велика кількість дослідників аналізувала взаємодію пружних тіл з рідиною як незв язану - з використанням різних підходів урахування впливу одного середовища при розв язуванні задачі для іншого. Однак такі підходи дають задовільні результати тільки у випадках якщо пружне тіло та рідина мають суттєво відмінні динамічні характеристики. У багатьох же реальних задачах динаміки гідропружних систем ступінь впливу наприклад рідини на пружне тіло в залежності від його жорсткості може бути співмірною з дією на всю систему зовнішніх навантажень. Значний вклад у дослідження задач взаємодії пружних оболонкових конструкцій з ідеальною рідиною внесли українські вчені О.Блажієвська В.Галазюк А.Гузь В.Костенко В.Кубенко І.Луковський Я.Підстригач О.Піддубняк та інші. Однак використання переважно аналітичних підходів накладало обмеження на клас досліджуваних задач - здебільшого розглядались канонічні форми конструкцій. Найбільшого розвитку набуло числове моделювання акустичних процесів у складних інженерних конструкціях з використанням методу скінченних елементів МСЕ. Значний внесок в дослідження вказаних питань зроблено К.-Ю.Бате.J.Bate T.Белічко T.Belytsco О.Зенкевічем O.Zenewcz Р.Огайоном R.Oayon

.Феліппою C.Felppa та рядом інших вчених. До питань коректності формулювань задач гідропружності одним з перших звернувся В.Костенко який показав єдиність та стійкість класичного розв язку задачі гідропружності для оболонкових конструкцій. Існування та єдиність узагальненого розв язку задачі гідропружності в термінах пружних переміщень та потенціалу переміщень рідини показані Р.Темамом R.Temmam на основі ряду робіт Ж.Бужо J.Boot. Одночасно з указаною публікацією В.Горлач та Г.Шинкаренко довели існування єдиність та неперервну залежність від вихідних даних узагальненого розв язку задачі взаємодії пружного тіла з ідеальною рідиною в термінах пружних переміщень тіла та потенціалу швидкостей рідини. Однак незважаючи на значний прогрес у цій області залишається ряд "відкритих проблем". Однією з таких проблем є відсутність ефективних числових схем для дослідження високочастотних коливань за умовою Куранта узгодження довжини хвилі з діаметром скінченного елемента вимагає побудови надгустих сіток та відповідно значних обчислювальних затрат. Не менш болючою при всебічному аналізі акустичних процесів інженерних конструкцій є відсутність єдиної математичної моделі для опису взаємодії пружного тіла з рідиною яка була б позбавлена суттєвих недоліків. Для моделювання динамічної поведінки пружних тіл традиційно використовуються "природні" невідомі - пружні переміщення. Однак для моделювання акустичних хвиль в рідині в якості невідомих можуть уживатись швидкості тиск або ж потенціали швидкостей чи переміщень. У таких випадках виникають "проблеми" з урахуванням умов спряження рівності тисків та нормальних швидкостей на межі розділу двох середовищ що призводять до ускладнення алгоритмів реалізації числових схем. У випадку застосування МСЕ до розв язування задач гідропружності з використанням різних за фізичним змістом невідомих у пружному тілі та рідині найчастіше доводиться мати справу з несиметричними матрицями для результуючих систем лінійних алгебраїчних систем. Застосування ж невідомих переміщень для моделювання акустичних рухів ідеальної рідини володіючи певною однорідністю опису двох середовищ призводить до проблем забезпечення виконання умов потенціальності руху рідини rot та незалежності тангенціальних напружень на межі контакту пружного тіла з рідиною. Використання класичних апроксимацій МСЕ для такої моделі може призводити до появи нефізичних вихруватостей spros-modes числового розв язку. А.Бермудес A.Bermdez Р.Родрігес R.Rodrgez та ін. запропонували шукати узагальнений розв язок у просторі HdvΩ для апроксимації ж розв язку за просторовими змінними в рідині застосовували скінченноелементні простори апроксимацій Рав яра-тома Ravart-Tomas. На шляху оборювання проблем нефізичних вихруватостей широко застосовуються змішані формулювання однак такі моделі є складнішими в застосуваннях та при розгляді питань їх коректності. Ще одним підходом є врахування в язкості середовищ а це природно з фізичних міркувань що дозволяє шукати вектор переміщень рідини у просторі

H Ω n а також математично обґрунтувати застосування класичної схеми МСЕ для задач взаємодії пружного тіла з рідиною. 8.. Дослідження задач гідроакустики з використанням апроксимацій Рав яра Тома Побудуємо математичну модель на підставі акустичного наближення рівнянь Нав є Стокса відшукання узагальненого розв язку варіаційної задачі у просторі HdvΩ та апроксимації розв язку за просторовими змінними на базі скінченно-елементних просторів апроксимацій Рав яра Тома [7-9 ]. 8... Початково-крайова задача гідроакустики Нехай в язка стислива рідина займає область Ω в евклідовому просторі R d в застосуваннях d або і Γ межа цієї області. Надалі будемо припускати що межа Γ є неперервною за Ліпшицем іншими словами майже в кожній точці d межі Γ можна однозначно побудувати одиничний вектор зовнішньої нормалі nn n d n cosn...d. Символом t будемо позначати момент часу з інтервалу T] <T<. Надалі нехтуватимемо температурними ефектами в рідині припускаючи що у стані спокою густину рідини описує відома функція ρρ; незбурена рідина перебуває у стані рівноваги а її збурення характеризує вектор акустичних швидкостей v { v } d ; відхилення тиску від рівноважного визначене функцією pp t. Будемо вважати що акустичні збурення в рідині спричинює навантаження { } частини Γ σ поверхні Γ задане вектором напружень σ σ t початкові значення вектора швидкості v { v } та/або d і тиску p p в області Ω. Поширення акустичних хвиль у в язкій стисливій рідині можна описати такою початково-крайовою задачею []: v v t d та тиск p pt такі Знайти вектор швидкостей { } що задовольняють систему рівнянь d

p v ρс t v ρ σ t v σ v p p ξ / η δ ηe v v v e вω T ] а також крайові v на Γ [ T ] mesγ > Γ Γ σn σ на Γ [ T ] Γ Γ\ Γ σ σ та початкові умови d Тут { σ } d і { e} t t 8. 8. v v p p вω 8. симетричні тензори напружень та швидкостей деформацій ξ і η коефіцієнти об ємної та зсувної в язкості δ символ Кронеккера. Тут і надалі де спеціально не наголошено за індексами що повторюються передбачене підсумовування від до d. Скалярний добуток у просторі R d будемо позначати так: d a b ab a b R. За відсутності зсувної в язкості η задача акустики спрощується так: друге з рівнянь системи 8. набуває вигляду v ρ p { ξ v} в Ω T ] 8.4 t який відображає структуру доданків з похідними другого порядку від швидкостей за просторовими змінними; крайова умова на напруження із 8. набуває вигляду { p ξ v} n на T ] Γ ; 8.5 σ перше із рівнянь системи 8. та рівняння 8.4 містять лише дивергенцію вектора швидкості та її похідні; тому із крайових умов на швидкість необхідною залишається лише умова v n на Γ T. 8.6 σ ]

що 4 Із початково-крайової задачі 8. 8. інтегруванням у часі знаходимо ρ t p t p c vdt Ω. 8.7 Підстановка 8.7 у 8.4 приводить рівняння 8.4 до вигляду t v t ρ p ρc vdt ξ v в Ω T або оскільки p задана функція в Ω ] v ρ ρc vdt ξ v p в Ω T t Тепер якщо ми введемо вектор переміщень рідини згідно з правилом t ]. 8.8 t t Ω ] або : vt в T dt то рівняння 8.8 набуде вигляду t v t dt ρ c p { c } в T ]. t ρ ξ t ρ Ω. 8.9 Подібно підстановка 8.7 в 8.5 приводить крайову умову до вигляду ρc ξ n σ pn ρc на Γ σ T ] 8. t Як бачимо вираз 8.7 дає змогу повністю вилучити із розгляду тиск у задачах акустики рідини з об ємною в язкістю і сформулювати її лише у термінах акустичних переміщень рідини причому вектор буде знайдено з точністю до вектора який ми надалі вважатимемо нульовим. Це зокрема приводить запис крайової умови 8.6 до стандартного вигляду n на Γ T. ] Отже остаточно отримаємо таку початково-крайову задачу гідроакустики в термінах переміщень рідини

{ } d знайти t такий що ρ ξ ρc p в Ω T ] t t ] t n на Γ T ] v в Ω. t t t P n ξ ρc σ pn на Γ σ T Задача Р і буде головним об єктом нашого дослідження. 8... Варіаційне формулювання еволюційної задачі гідроакустики Уведемо такий простір допустимих функцій { } V : w H dv; Ω w n на Γ де H dv; : w L w w w Ω Ω d< Ω та форми і лінійний функціонал mv : ρvd Ω Ω a ; v : v d L Ω lv : p v d ˆ σ w dγ v V. Ω Γσ Застосуємо стандартний підхід і сформулюємо варіаційну задачу гідроакустики рідини з об ємною в язкістю так: де знайти t V t [ T] такий що m t w a ξ; t w a ρc ; t w l t w t T] w m v w w V H dv; Ω скалярний добуток у H dv; Ω. r r r d H dv; Ω Ω : Підставимо в задачу 8. w t тоді / 5 8.

ρ ρ ξ ξ; ; { } m t t a t t a c t t d m a c ; t t a ; t t l t t dt 6 d П I l t t dt або де ρ ξ m t t П a c; t t I a ; t t. Неважко переконатися що К і П є відповідно кінетичною і потенціальною енергією системи отриманою внаслідок її збурення. Справді ρ К ρ t d v t d; Ω Ω П ρс t d ρс t d p d. Ω Ω ρс Ω ρс Тоді І можна вважати дисипацією енергії в системі оскільки в правій частині міститься енергія надана системі початковою енергією та зовнішніми силами. Отриманий таким чином закон збереження енергії гарантує єдиність розв язку задачі 8. та його неперервну залежність від вихідних даних []. 8... Схема дискретизації варіаційної задачі Напівдискретизація Гальоркіна за просторовими змінними. З використанням стандартної процедури напівдискретизації Гальоркіна виберемо підпослідовність скінченновимірних просторів V із простору допустимих векторів V таких що dm V V щільне в V. > Для кожного фіксованого > розв язок t V задачі знайти t V t T такий що [ ] ξ ρ ] m t w a ; w a c ; t w l t w t T t t w m v w w V H dv; Ω t однозначно можна записати у вигляді t U t w 8. 8.

7 де { } w певний базис простору V і невідомими є скалярні функції U t... U t. Для їхнього відшукання підставимо розклад 8. у 8. і послідовно приймемо w w.... У результаті отримаємо задачу Коші для системи з звичайних диференціальних рівнянь другого порядку знайти вектор U t такий що MU t A ξ U t A ρc U t L t t T] 8.4 MU V GU де { } H dv; Ω { } ; G g g w w ; M m m m w w { } A θ a θ a θ a θ; w w { } Lt l t l l t w. Оскільки матриця M симетрична і додатно визначена то задача Коші 8.4 має єдиний розв язок Ut який відповідно однозначно визначає напівдискретну апроксимацію Гальоркіна t у вигляді 8. для всіх >. Апроксимації Рав яра Тома на трикутних елементах. Розглянемо трикутник К. Позначимо P m простір поліномів степеня не більше m; S m простір усіх функцій визначених на межі К проекція яких на довільну сторону трикутника є поліномом степеня не більше m n зовнішня нормаль до. Уведемо простір Qm { H dv; Pm n Sm}. Розіб ємо нашу область Ω на трикутні скінченні елементи з певним характерним розміром. Нехай координати вершин y а сторона між вершинами має довжину l. За методикою Рав яра Тома введемо простір Q на довільному трикутнику з вершинами. Зазначимо що dm Q і довільна функція з цього простору однозначно визначена своїми нормальними складовими у серединах сторін трикутника. Базисна функція w яка приписана до середини сторони l матиме такий вигляд: p w l y y 8.5 де p коефіцієнт який відповідає за напрям нормалі - або. Функції w w отримують із 8.5 циклічною перестановкою. Зазначимо що одна базисна функція відповідає одній стороні і є визначеною на двох сусідніх скінченних елементах однак зовнішня нормаль для одного з трикутників є внутрішньою для іншого. Власне для узгодження нормалей і введено коефіцієнт p.

8 За базис простору V візьмемо набір отриманих таким способом функцій w... де кількість сторін всіх трикутників. Схема інтегрування у часі. Розіб ємо проміжок T] на однакові відрізки довжини dt. Для інтегрування задачі Коші 8.4 в часі використаємо однокрокову рекурентну схему задано dt βγ const > U V R знайти пару U V R таку що γ { M dtγa ξ dt βa ρc /} V dtγ{ L / dt A ρc U } 8.6 { M dt β γ A ρc } V γ V V V V / γ U U V V dt/. Тут U V розклади відповідно t та t за базисом {w }. Для того щоб схема була абсолютно стійкою за часом достатньо щоб виконувалася умова β γ.5. Для збереження фізичного змісту процесу додатково необхідно враховувати умову Куранта. 8..4. Аналіз числових розв язків тестових та модельних задач Тестова задача з аналітичним розв язком. Для написання програми використано середовище MS Vsal Stdo 6. та бібліотеку LAPAC. Розроблене програмне забезпечення генерує сітку для прямокутної області розв язує задачу для певної тріангуляції і видає файли розв язок. Роботу програми та усієї запропонованої методики перевірено на такому тестовому прикладі з аналітичним розв язком. Нехай Ω [.] [.5] ; β γ.5; T. ; Δt. рідина має такі параметри ρ с ξ. Приймемо початкові та крайові умови такі: v n на Γ n σ на Γ sn 5πy sn πy де {.5} Γ y Ω y і Γ n Γ\ Γ. Така задача є одновимірною і її аналітичний розв язок записуємо так: y t. cos 5πct sn 5πy sn πct sn πy cπ Для перевірки числових результатів на сітці 5 визначено повну енергію системи за такими співвідношеннями:

MV V ρ V w V w d ρv t d К t t Ω Ω Ω Ω A ρc U U ρc U w dω ρc t c dω ρ Ω Ω p t dω П t П t ρc Ω У Табл. 8. наведено результати порівняння числового та аналітичного розв язків. 9 Таблиця 8.. Значення енергій числового та аналітичного розв язків t с t П t Е t t Пt Еt..6.995.95.88.87.967.5.6.494.95.554.545.966.9..69.95..765.965..497.675.95.459.675.965 Обчислено відносні похибки для переміщень і швидкостей а також норми аналітичного та числового розв язків за формулами E H dv Ω t H dv Ω H dv Ω vt H dv Ω t t v t v t ; E v w w w ; w H dv. H dv Ω Ω H dv Ω У Табл. 8. наведено відносні похибки та норми обох розв язків. Таблиця 8.. Норми та відносні похибки E числового розв язку t с E % E v % t vt t v t..7 9.8484.56.494.557.4549.5.9977 4.757..76..7887.9 8.966.669.84.4577.65.467. 4.584.76.745.77.765.99 Порядок збіжності за просторовими координатами на сітках : 5 Δtc. : 6 Δtc. : Δtc.4 становив. а порядок збіжності за часом при : Δtc.4 : Δtc. : Δtc. сітка 8 4 елементів β.6 γ.5. що добре узгоджується із теоретично очікуваними результатами і підтверджує коректність запропонованої числової схеми. Модельний приклад. Нехай Ω [.5] [.5]. Рідина ідеальна вода ρ кг/м с 5 м/с ξ Па/с. Початкові умови: v. Навантаження задане кусково-сталою функцією на частині верхньої сторони прямокутника рис. 8. Т n T/.

y.5 σˆ...5 T n T t Рисунок 8.. Геометрія області та функція навантаження. Час T відповідає часу проходження звуковою хвилею усієї області Ω T.5/ с. За крок Δt звукова хвиля проходила третину елемента Δ t / c що забезпечує виконання умови Куранта. Параметри схеми інтегрування за часом приймали такими: β γ.5. Розрахунок виконували на сітці 4 4 елементів. На рисунку 8. показано отримані поверхні тиску у -ті моменти часу T/5. 4 6 7 4 Рисунок 8.. Поширення хвилі тиску в ідеальній рідині Урахування реальної в язкості води ξ - Па/с не зумовлює значної зміни результатів оскільки співвідношення коефіцієнтів при дивергенції швидкості і дивергенції переміщень становить близько десяти порядків 9 ξ/ ρct~. Завищені ж в язкості наприклад ξ Па/с призводять до штучного "вигладжування" розв язку рис. 8.. Отже запропонована математична модель для задач гідроакустики у термінах невідомих переміщень та числова схема її розв язування з використанням апроксимацій Рав яра Тома на трикутних скінченних елементах є коректною позбавленою традиційних вад формулювань задач гідроакустики

в термінах переміщень та дає змогу виконувати кваліфікований обчислювальний експеримент для широкого класу інженерних застосувань. 4 6 7 4 Рисунок 8.. Поширення хвилі тиску у в язкій рідині 8.. Змішана варіаційна задача гідроакустики В даному розділі побудуємо початково-крайову задачу акустики в язкої рідини використовуючи акустичне наближення рівняння Нав є-стокса; сформулюємо еволюційну змішану варіаційну задачу акустики в термінах невідомих акустичного тиску та швидкостей в рідині [-4] до якої застосуємо напівдискретизацію Гальоркіна за просторовими змінними та скористаємося класичними схемами МСЕ; побудуємо однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі. Завершимо розділ прикладом числового розв язку. 8... Початково-крайова задача акустики в язкої рідини Ще раз розглянемо початково-крайову задачу акустики в'язкої рідини 8.. Нехай в язка стислива рідина займає область Ω в евклідовому просторі R d в застосуваннях d або і Γ межа цієї області. Надалі будемо припускати що межа Γ є неперервною за Ліпшицем іншими словами майже в кожній точці d межі Γ можна однозначно побудувати одиничний вектор зовнішньої нормалі nn n d n cosn...d. Символом t будемо позначати момент часу з інтервалу T] <T<. p dv ρc в Ω T ] ρ σ причому

σ { p ξ η dv} δ ηe та e де t вектор швидкості рідини pt тиск σ компоненти тензора напружень ρ густина рідини с швидкість поширення звуку ξ та η об ємна та зсувна в язкість рідини відповідно. Крайові та початкові умови на Γ [ T] Γ Γ mes Γ > σ n σ на Γ [ T ] Γ Γ\ Γ σ σ p p в Ω t t де p та - задані значення тиску та вектора швидкостей рідини в початковий момент часу t. 8... Еволюційна змішана варіаційна задача Введемо простори: V v H Ω v на Γ { } Q L Ω H L Ω Варіаційне формулювання: задано l L T; V p Q H; знайти пару { p} L T; V Q таку що m t v b p t v c t v < l t v> t T] a pt bt m v v V a p p Q де неперервні білінійні форми m..:h H R c..:v V R a..:q Q R b..:q V R та лінійний функціонал l:v R мають такий вигляд: cv ξ η dvdvv ηe e vd Ω mv ρvd Ω b dvd Ω a p pd ρc Ω < lv > σvd γ. Γσ

8... Напівдискретизація Гальоркіна за просторовими змінними Нехай {Q } {V } - послідовності скінченновимірних підпросторів такі що Q Q dm Q при V V dm V LL при та Q відповідно V щільно вкладені в Q відповідно V. Ввівши базиси { ψ } L та { ϕ } у просторах Q та V відповідно ми прийдемо до знаходження коефіцієнтів Ut та Pt розкладу за базисами шуканих розв язків з наступної задачі Коші: M U t C B U t L t t T] T A P t B P t M U U. A P P 8..4. Проекційна схема дискретизації в часі Скориставшись розкладом функцій p з просторів Q та V відповідно та однокроковою рекурентною схемою отримаємо систему рекурентних рівнянь: задано Δ t > θ > та P U знайти P U такі що θ A Δtθ B P A P T θ tθb M tθc U tθ L t.5 M Δ Δ Δ U θ P P P θ θ θ T U U U Побудована рекурентна схема є безумовно стійкою по відношенню до Δ t якщо її параметри θ задовільняє умову θ. Максимальний порядок збіжності дорівнює двом відносно енергетичної норми однокрокової рекурентної схеми досягається при виборі θ. 8..5. Модельна задача Розглянемо задачу з наступними параметрами рис.8.4 З порівняння отриманих результатів для тиску добре видно що введення в язкості в математичну модель дозволяє позбутись паразитичних осциляцій в чисельному розв язку. 8.4. Математична модель акустики гдропружних систем у термінах переміщень У даному розділі розглянуто математичну модель нестаціонарної акустичної взаємодії пружного тіла з рідиною в термінах невідомих переміщень як у пружному тілі так і в рідині для середовищ з дисипацією [5-6].

5 густина рідини ρ кг/м ; швидкість звуку с5 м/с; об ємна в язкість ξ Па с; зсувна в язкість η Па с; загальний час Т666Е-4 с 4 G 5 G 5 E-4 67E-4 Рисунок 8.4. Поширення хвилі тиску у в язкій рідині Рисунок 8.5. Поширення хвилі тиску у воді ξ та η - Па с

5 Рисунок 8.6. Поширення хвилі тиску у в язкій рідині ξ та η - Па с 8.4.. Рівняння еластодинаміки Нехай пружне тіло займає обмежену область Ω S точок евклідового простору R з неперервною за Ліпшицем межею Γ S. Рух пружного тіла на проміжку часу T] описують рівняння: S S S S S ρ σ ρ f S S S S S S 8.7 σ am em cm em S S S S e / в Ω T] S S де t { t } - вектор переміщень пружного тіла з густиною S S S S ρ ρ коефіцієнтами пружності { am } та в язкості { cm } із звичайними властивостями симетрії та еліптичності. Вектор S S f t { f t } виражає дію розподілених джерел звуку. Тут та надалі вжито підсумовування від до за індексами що повторюються а також. t 8.4.. Рівняння акустики рідини F F Нехай рідина займає обмежену область Ω R з межею Γ. Рух рідини F F описують вектор швидкостей v t { v t } та тиск p p t що

6 задовольняють рівняння нерозривності та рівняння Нав є-стокса в акустичному наближенні []: F p v F ρ c F F F ρ v σ F F F F F F σ [ p ξ η / v ] δ η e v. Тут ρ F ρ F -густина c с - швидкість звуку η F η F та ξ F ξ F - відповідно коефіцієнти зсувної та об ємної в язкості рідини σ - символ Кронеккера. Скориставшись рівнянням нерозривності виразимо тиск через переміщення густину та швидкість звуку в рідині: F F p ρ c. Підставивши цей вираз у рівняння Нав є-стокса отримаємо рівняння руху рідини де в якості нових невідомих виступають переміщення F F t { t } : F F F ρ σ 8.8 F F F F F F F σ [ ρ c dv ξ η/ dv ] δ ηe в Ω T]. 8.4.. Початково-крайова задача акустичної взаємодії пружного тіла з рідиною Припустимо що описані вище середовища взаємодіють через поверхню C S F контакту Γ Γ Γ : S F S F S C σ σ ν на Γ [ T] де S { S } S S ν ν - одиничний вектор зовнішньої нормалі до Γ. S F Нехай ΩΩ Ω. Введемо вектор переміщень середовища яке заповнює область Ω так що S S Ω F F Ω Аналогічно введемо густину середовища ρ ρ інтенсивність розподілених джерел звуку f t { f t } модулі пружності та в язкості { a } { c } які для ізотропних середовищ матимуть відповідно вигляд m m

7 μ при m ; S λ μ при m ; am λ при m ; у решті випадків. S η при m ; S S S ξ η при m ; cm S ξ при m ; у решті випадків. F F ρ c при m; am у решті випадків. F η при m; F F F ξ 4η / при m ; cm F F ξ η / при m ; у решті випадків. де η S η S та ξ S ξ S - відповідно коефіцієнти зсувної та об ємної в язкості пружного тіла λ λ μ μ - коефіцієнти Ламе які пов язані з модулем Юнга E та коефіцієнтом Пуассона σ наступними співвідношеннями: Eσ E λ μ. σ σ σ Введені вище позначення дозволяють сформулювати початково-крайову задачу акустичної взаємодії пружного тіла з рідиною з врахуванням в язкості обох середовищ. Нехай пружне тіло та рідина займають область Ω R з неперервною за Ліпшицем межею Γ. Рух середовища описує вектор переміщень t { t } що задовольняє рівняння ρ σ f σ a e c e m m m m e / в Ω T] крайові та початкові умови на Γ U [ T] ΓU Γ mes Γ U > σν ˆ σ на Γ σ [ T ] Γ σ Γ\ Γ U.

t t в Ω. де ˆ σ ˆ σ t та 8.4.4. Варіаційне формулювання задачі Введемо до розгляду простори V { v H Ω v на Γ U} H L Ω та сформулюємо варіаційну задачу: - задані функції. Задано l L T; V V H. Знайти L T; V такий що m t v c t v a t v < l t v> t T] v V v H Ω m v. Тут ми ввели такі білінійні форми та лінійний функціонал: mv ρv d Ω av ame e vd Ω cv cme e vd Ω < lv > fv d ˆ σ vdγ Ω Γσ 8 8.9 Для задач теорії пружності відоме варіаційне формулювання виду 8.9 але з початковою умовою a v v V. З огляду на простір допустимих векторів V та специфіку білінійної форми F F F a..: Hdv Ω Hdv Ω R запропоновано записати початкову умову у вигляді v v V. H Ω 8.4.5. Коректність варіаційної задачі акустики гідропружних систем в переміщеннях Теорема. Існує один і лише один розв язок задачі 8.9 такий що L T; V L T ; H L T ; V L T ; V. Окрім цього розв язок неперервно залежить від даних задачі тобто знайдеться C const > така що

T t H a t t τ V d T H τ H Ω τ C l d τ t [ T] 9 8. Енергетична нерівність або баланс енергії гідропружної системи Доведення теореми проведемо у два етапи. Спочатку покажемо неперервну залежність розв язку варіаційної задачі від вихідних даних. Оскільки симетрична білінійна форма c: V V R є неперервною та V - еліптичною α const > така що c α Ω V а симетрична білінійна форма m: H H R є Н - еліптичною β const > така що m β Ω H то можна ввести норми квадрати яких пов язані з білінійними формами задачі наступним чином: V c V H m H. Припустимо що сформульована варіаційна задача 8.9 має розв язок t. Покладемо у варіаційному рівнянні v t та проінтегруємо на проміжку t]. В результаті отримаємо t { t H a t t } τ V d τ { H a } < l τ τ > t [ T ]. Приймаючи до уваги те що a C H C Ω const > приходимо до енергетичної нерівності Оскільки t { t H a t t } d τ V τ t H C < l H τ τ > t [ T Ω ] l L T; V то t 8. < l t t > t V l t де const >. Врахувавши нерівність 8. та початкові умови варіаційної задачі 8.9 отримаємо

Або ж інакше t t H a t t d τ V τ t H C l τ t T] H Ω. t t H a t t τ V dτ t C H C l τ H Ω t T] 8. де C ma{ C }. Аналізуючи енергетичну нерівність 8. переконуємось у тому що при зроблених щодо вихідних даних задачі припущеннях та за умови що розв язок існує він неперервно залежить від даних задачі. Отже для доведення теореми залишилось показати існування та єдиність розв язку. Існування та єдиність розв язку варіаційної задачі Доведення існування розв язку варіаційної задачі проведемо конструктивним шляхом з застосуванням процедури Гальоркіна. Нехай { V } - послідовність скінченновимірних просторів така що V V dm V при. Крім того V щільна в V. Визначимо > напівдискретні апроксимації Гальоркіна як розв язки напівдискретизованих за просторовими змінними задач: Задано l L T; V V H та const >. Знайти L T; V такий що m t v c t v a t v < l t v> t T] v V v H Ω m v. 8. Включення L T; V дозволяє однозначно представити апроксимацію Гальоркіна у вигляді розкладу за базисом { ϕ } простору V t U t ϕ. Для відшукання невідомих коефіцієнтів Ut { U} t в результаті застосування процедури Гальоркіна отримуємо задачу Коші для системи звичайних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами яка у матричному записі має вигляд:

MU t CU t AU t L t t T] GU U 8.4 MU U. Оскільки матриці M { m ϕ ϕ } C { c ϕ ϕ } G { ϕ ϕ } H Ω симетричні та додатно визначені то задача Коші 8.4 однозначно розв язується відносно вектора Ut. Побудована таким чином апроксимація Гальоркіна t V є єдиним розв язком задачі 8.. Розглянемо послідовність розв язків напвдискретних задач при. З огляду на апріорні оцінки 8. знайдеться підпослідовність γ послідовності така що при γ в L T; H * слабко при γ в L T; V слабко. γ γ Покажемо тепер що γ при γ в L T; V * слабко. t Нехай t τ dτ та розглянемо t. L T; V Використавши нерівність Коші-Буняковського одержимо t sp esst V T t L T; V t T] L T; V Оскільки γ в L T; V слабко то γ в L T; V * слабко. Зауважимо що має місце рівняння T { m v c v a v < lv > } dt m v m v; γ γ γ γ v F { v C T; V v T }. Здійснимо тепер перехід до границі при γ T { m v c v av < lv > } dt m v F > Таким чином побудований як границя напвдискретних апроксимацій Гальоркіна елемент простору V є розв язком варіаційної задачі 8.9. Нарешті єдиність розв язку задачі слідує з нерівності 8. та міркувань від супротивного. Таким чином доведено існування та єдиність розв язку варіаційної задачі 8.9 отже завершено доведення теореми.

8.4.6. Поширення акустичної хвилі в гідропружній системі З метою верифікації запропонованої математичної моделі та числової схеми її дослідження розглянуто тривимірну модельну задачу про імпульсне навантаження пружного тіла товщини.5 м що взаємодіє з рідиною у абсолютно жорсткій камері довжини.47 м з прямокутним січенням.. м рис. 8.7..м Z X ПРУЖНЕ ТІЛО.м Y σ * РІДИНА.4м Рисунок 8.7. Гідропружна система під дією імпульсного навантаження Характеристики середовищ такі: рідина густина ρ кг/м швидкість звуку с м/с; пружне тіло густина ρ 89 кг/м модуль Юнга E 9.7 Па коефіцієнт Пуассона ν.; для обох середовищ коефіцієнти зсувної та об ємної в язкості η ξ Па с. Бічні поверхні пружного тіла жорстко закріплені. На пружне тіло діє нормальне навантаження σ * σ * t прикладене до центру пружного тіла. Дана задача розв язувалась з використанням поліквадратичних ізопараметричних апроксимацій МСЕ. Структура розрахункової сітки скінченних елементів за осями X Y Z та 6 у пружному тілі та рідині відповідно. Крок за часом Δt -7 с. На кожному кроці за часом потрібно розв язувати систему 9 лінійних алгебраїчних рівнянь з симетричною матрицею стрічкового типу півширина стрічки 45. На рисунку 8.8 зображено поведінку кінетичної потенційної та енергії дисипації гідропружної системи в часі. Графіки ілюструють баланс енергій в гідропружній системі. t

6E-6 4E-6 E-6 E-6 8E-7 6E-7 4E-7 E-7 E E-6 E-4 4E-4 6E-4 84E-4 5E- 6E- 47E- 68E- 89E- E- E- 5E- 7E- 94E- 5E- 6E- 57E- 78E- 99E- 4E- 44E- tc Потенційна енергія Кінетична енергія Енергія дисипації ПотенційнаКінетична Повна енергія Рисунок 8.8. Баланс енергій гідропружної системи На рисунку 8.9 зображено ізосмуги переміщень у рідині у моменти часу: а t.9-6 c б t4.8-6 c в t6. -6 c г t7.8-6 c д t9.6-6 c. а б в г д Рисунок 8.9. Поширення акустичної хвилі у рідині На рисунку 8. зображено поширення хвилі у в язкій η ξ Па с та слабков язкій рідині η ξ. - Па с. Представлені на рисунку 8. поверхні переміщень відповідають моментам часу t.9-6 c t4.8-6 c t6. -6 c 4 t7.8-6 c. Аналіз впливу в язкості середовищ підтверджує важливість врахування дисипації енергії. Нехтування в язкістю середовищ приводить до осциляції числових розв язків в областях де параметр дискретизації є занадто великим для врахування стрімкої зміни розв язків та їх градієнтів. Врахування в язкості дозволяє уникнути паразитичних осциляцій числових розв язків та отримати більш реальну фізичну картину досліджуваних процесів.

4 Рисунок 8.. Акустична хвиля у в язкій зліва та слабков язкій справа рідині Обчислені порядки збіжності енергетичної норми розв язку за просторовою та часовою дискретизацією t t t де a m. V R близькі до другого що цілковито узгоджується з теоретично очікуваними. V V

5 8.4.7. Варіаційне формулювання задачі про вимушені гармонійні коливання Розглянемо випадок коли акустична система рідина тіло під дією гармонійних навантажень розподілених джерел звуку виконує вимушені усталені коливання із заданою круговою частотою ω. Запишемо інтенсивність розподілених джерел звуку у вигляді ωt f t f * e f* f f де ω частота коливань; t час. t також шукатимемо у вигляді Невідомі переміщення ωt t * e *. Уведемо до розгляду простори V { v H Ω v на Γ U} H L Ω та сформулюємо варіаційну задачу про вимушені гармонійні коливання: задано f f H< ω const; знайти V такі що ω m * v ωc * v a * v < l f* > v V. Тут ми ввели такі білінійні форми та лінійний функціонал: mv ρv d ; Ω av ame e vd ; Ω cv cme e vd ; Ω < lv > fv d ˆ σ vd γ. Ω Γσ 8.5 Нехай { V } послідовність скінченновимірних просторів така що V V dm V при. Крім того V щільна в V. Визначимо > напівдискретні апроксимації Гальоркіна як розв язки дискретизованих задач: задано f f H < ω const та const > ; знайти V такі що ω m v ωc v a v lf < > ω m v ωc v a v lf v V. < > 8.6

6 Представивши апроксимацію Гальоркіна у вигляді розкладу за базисом { ϕ } простору V : U ϕ Uϕ систему лінійних алгебричних рівнянь отримаємо Aω M ωc U f T ωc ω M A U f з якої знаходимо невідомі коефіцієнти U { U } та U { U } 8.7. Матриці A { a ϕ ϕ } M { m ϕ ϕ } та C { c ϕ ϕ } симетричні та додатно визначені а тому система рівнянь 8.7 однозначно розв язується відносно векторів U та U. b Побудовані таким способом апроксимації Гальоркіна V є розв язками задачі 8.6. L 8.4.8. Дослідження вимушених гармонійних коливань Z Вимушені гармонійні коливання ідеальної рідини Y яка заповнює жорстку камеру. Розглянемо задачу про вимушені гармонійні X коливання ідеальної рідини яка займає абсолютно a жорстку камеру довжини L м. рис. 8.. Характеристики середовища вода такі: густина Рисунок 8.. Камера ρ F кг м швидкість звуку c F 5м с. Коливання спричинює гармонійне навантаження на торець камери z L. Якщо граничні умови задані рівномірно на торцях камери то задача спрощується і стає одновимірною. Отже задачу 8.8 можна записати у вигляді d ρ σ в ab Τ]; d d σ a d t з крайовими умовами: a σ b ˆ σe ω. Загальний розв язок цієї задачі матиме вигляд ρ ρ * C cos ω C sn ω. a a Врахуємо крайові умови з яких отримаємо * a σ * b ˆ σ

7 ˆ σ C C. ρ ρ aω cos ωb a a Аналітичний розв язок задачі про вимушені гармонійні коливання ідеальної рідини яка заповнює жорстку камеру остаточно матиме такий вигляд: ρ ρ ρ * σsn ω aω cos ωb a a a Числові розв язки для такої задачі отримано з використанням лінійних апроксимацій методу скінченних елементів МСЕ. У таблиці наведено порядки збіжності норми числового розв язку цієї задачі для різних значень частоти вимушених коливань ω. Розв язок обчислено на сітці скінченних елементів. Для обчислення порядків a : збіжності використано норму розв язку породжену білінійною формою. / V a V Табл. 8.. Порядки збіжності норми розв язку Частота вимушених коливань ω Гц. V.45956E-5.786E-5.9884E-5.45957E-5.754E-5.997876E-5 / V V.45957E-5.7554E-5.996748E-5 Порядок.4.. збіжності Отримані порядки збіжності є близькими до чого й треба було очікувати для лінійних апроксимацій МСЕ. Вимушені гармонійні коливання в язкої рідини яка заповнює жорстку камеру. Відомо що вплив в язкості на розв язок задачі про вимушені коливання зростає зі збільшенням частоти коливань. Для середовищ із порівняно низькою в язкістю наприклад вода спирт бензин та ін. її вплив стане вагомим тільки в разі дослідження високочастотних коливань. А для середовищ із порівняно високою в язкістю наприклад гліцерин мазут нафта парафіни та ін. в язкість відіграє значну роль навіть при невисоких частотах вимушених коливань. Розглянемо задачу про вимушені гармонійні коливання в язкої рідини що заповнює жорстку камеру див. рис. 8.. Рідина гліцерин має такі характеристики: густина ρ F 6кг м швидкість звуку c F 95м с коефіцієнт в язкості η 5 Па с. На рисунку 8. показано поведінку числового з урахуванням в язкості та аналітичного без урахування в язкості розв язків у випадку коли частота вимушених коливань становить кгц. Як бачимо для гліцерину однієї з

8 найв язкіших рідин вплив в язкості стає помітним навіть при відносно невисоких частотах вимушених коливань. E-9 E-9 E-9 5E- E -5E- 4 5 6 7 8 9 м -E-9 -E-9 -E-9 L м Рисунок 8.. Розв язки задачі про вимушені гармонійні коливання рідини яка заповнює жорстку камеру рідина гліцерин частота вимушених коливань кгц: з урахуванням в язкості; без урахування в язкості. Особливий інтерес становлять високочастотні коливання > МГц. Припустимо що камеру див. рис. 8. заповнює рідина вода з такими характеристиками: густина ρ F кг м швидкість звукуc F 5м с коефіцієнт в язкості η.8па с. На рисунку 8. показано поведінку розв язків для камери довжиною L.5м та частоти вимушених коливань ω МГц. Як бачимо в разі дослідження високочастотних коливань розв язок що враховує в язкість середовища відрізняється від розв язку який її не враховує не тільки амплітудою а й зсувом за фазою коливань. 8E-6 6E-6 4E-6 E-6 м E -E-6 5 5 5 5 4 45 5-4E-6-6E-6-8E-6 Le4м Рисунок 8.. Розв язки задачі про вимушені гармонійні коливання рідини яка заповнює жорстку камеру рідина вода частота вимушених коливань МГц. Позначення ті ж що й на рисунку 8.. Для одновимірної задачі відомий аналітичний вираз для відшукання власних частот c f n n n 8.8 L 4

де L довжина області рідині c S S E ν ρ ν ν 9 cf для рідини с. Тут c F швидкість звуку в c для тіла. S де E модуль Юнга; ν коефіцієнт Пуассона; ρ S густина тіла. Нехай камеру заповнює рідина вода з такими характеристиками: густина ρ F кг м швидкість звукуc F 5м с коефіцієнт в язкості η.8па с. Скориставшись виразом 8.8 одержимо -ту власну частоту яка рівна 87.5 МГц. На рисунку 8.4 показано поведінку розв язків задачі про вимушені гармонійні коливання рідини яка заповнює жорстку камеру при частоті вимушених коливань близькій до резонансної 87 МГц. 6E-5 4E-5 E-5 E м 5 5 5 5 4 45 5 -E-5-4E-5-6E-5 Le4м Рисунок 8.4. Розв язки задачі про вимушені гармонійні коливання рідини яка заповнює жорстку камеру рідина вода частота вимушених коливань МГц. Позначення ті ж що й на рисунку 8.. Отже при дослідженні високочастотних коливань чи коливань з частотами близькими до резонансних нехтування в язкістю середовищ призводить до значних неточностей у розв язку. Вимушені гармонійні коливання пружного поршня що взаємодіє з в язкою рідиною у жорсткій камері. Розглянемо задачу взаємодії пружного поршня та в язкої рідини зображену на рисунку 8.5. Область a b займає в язка рідина з характеристиками: густина ρ F кг м швидкість звуку c F 5м с коефіцієнт в язкості η.8па с а область b c пружне тіло з густиною Рисунок 8.5. Задача взаємодії ρ S 89кг м модулем Юнга E 9.7eПа та коефіцієнтом Пуассона ν.. Для цієї задачі відомо що одна з власних частот системи дорівнює.6 Гц. Розглянемо поведінку дійсної та уявної частин розв язку задачі 8.6 в околі цієї резонансної частоти. На рисунку 8.6 зображено дійсну та уявну

частини розв язку цієї задачі для таких значень частот вимушених коливань Гц: а 97. б.55 в.6 г.6 д.64 е.67. а 4E- E- E- E- E -E- 4 5 6 7 8 9 -E- -E- -4E- б E-8 E-8 E-8 E-8 5E-9 E -5E-9 4 5 6 7 8 9 -E-8 -E-8 -E-8 -E-8 в 5E-8 4E-8 E-8 E-8 E-8 E -E-8 4 5 6 7 8 9 -E-8 -E-8-4E-8-5E-8 г E-7 8E-8 6E-8 4E-8 E-8 E -E-8 4 5 6 7 8 9-4E-8-6E-8-8E-8 -E-7 д E-7 8E-8 6E-8 4E-8 E-8 E -E-8 4 5 6 7 8 9-4E-8-6E-8-8E-8 -E-7 е E-8 E-8 E-8 E 4 5 6 7 8 9 -E-8 -E-8 -E-8 Рисунок 8.6. Поведінка дійсної та уявної частини розв язку задачі про вимушені гармонійні коливання в околі резонансної частоти.64 Гц Як бачимо для близьких до резонансних частот уявна частина розв язку зумовлена в язкістю стає переважаючою. Це ще раз підтверджує що є низка задач розв язування яких без урахування природної в язкості середовищ не дає змоги отримати точні розв язки. 8.4.9. Варіаційне формулювання задачі про власні коливання Невідомі переміщення t шукатимемо у вигляді ωt t * e *. Уведемо до розгляду простори V { v H Ω v на Γ U} H L Ω та сформулюємо варіаційну задачу про власні коливання гідропружної дисипативної системи: знайти λ C та * такий що V * λ m * v λc * v * v v V Тут ми ввели такі білінійні форми та лінійний функціонал:

mv ρv d ; Ω v ame e vd ; Ω cv cme e vd ; Ω < lv > fv d ˆ σ vd γ. Ω Γσ 8.4.. Дискретизація за просторовими змінними Нехай { V } така послідовність скінченновимірних просторів що V V dm V при. Крім того V щільна в V. Визначимо напівдискретні апроксимації Гальоркіна як розв язки дискретизованих задач: * * знайти λ C та такий що V * * * λm v λc v v v V Представивши апроксимацію Гальоркіна у вигляді розкладу за базисом { ϕ } простору V : власні значення * * ϕ > отримаємо квадратичну проблему на * λ M λc 8.9 з якої потрібно знайти невідомі власні частоти λ { λ } * * коливань { } ϕ ϕ та відповідні форми. Матриці { a } M { m ϕ ϕ } та C { c ϕ ϕ } симетричні та додатньо визначені. В рівнянні 8.9 зробимо заміну α λ. Отримаємо класичний вигляд квадратичної проблеми на власні значення: * α M αc 8. 8.4.. Квадратична проблема на власні значення та її розв язування Розглянемо більш детально квадратичну проблему на власні значення 8. та методи її розв язування. Матриці жорсткості в язкості C та мас M є дійсними симетричними розрідженими та додатньо визначеними матрицями порядку. Величину α M αc інколи називають динамічною матрицею жорсткості. Зазначимо також що в теоретичному аналізі конструкцій матрицю в язкості часто обирають пропорційною до матриці жорсткості чи мас. В такому випадку форми коливань конструкції із такою "штучною" в язкістю співпадають із

відповідними формами коливань конструкції без в язкості. В даній роботі такі спрощення не вживаються. Перепишемо задачу на власні значення 8. у лінеаризованій формі: Az αbz I I A B z * * C M α Тут z - власний вектор розмірності A та B - матриці розмірності. Варто зазначити що існує щонайменше чотири способи лінеаризації квадратичної проблеми на власні значення. У вибраному способі матриця B є симетричною додатньо визначеною та суттєво розрідженою що є привабливим з точки зору обчислень оскільки порядок матриць може сягати сотень тисяч. Власні значення представляють комплексно спряжених пар α η ω і α η ω ; де скаляри ω та η є відповідно кутовою частотою коливань та коефіцієнтом затухання. Відповідні їм власні вектори містяться в парах комплексно спряжених векторів z та z * розмірності. Їх перші компонент утворюють форми коливань системи. та * Для розв язування узагальненої задачі на власні значення вибрано алгоритм Арнольді зі спектральним перетворенням у реалізації процедури sptarn пакету MATLAB. 8.4.. Аналіз числових результатів Адекватність запропонованої математичної моделі фізичним процесам та ефективність побудованих числових схем і їх програмної реалізації показано для нестаціонарних задач [] задач про вимушені гармонійні коливання гідропружних дисипативних систем [] та задач про вільні коливання тривимірних пружних тіл [7]. Розглянемо модельну задачу на якій проілюструємо ефективність запропонованих числових схем для дослідження вільних коливань гідропружних дисипативних систем. Числові розв язки для усіх задач отримано з використанням квадратичних ізопараметричних апроксимацій методу скінчених елементів. Далі під пружним тілом та рідиною ми будемо розуміти відповідно сталь та воду з наступними значеннями фізичних параметрів: густина ρ S 77 кг м модуль Юнга E.44eПа коефіцієнт Пуассона ν.5 ; густина ρ F кг м швидкість звуку c F 4 мс.. Розглянемо задачу про вільні коливання повністю заповненої водою закритої стальної ємності. Геометричні параметри ємності подано на рисунку8.7.

.5 см. Ω F см. Ω S.5 см. Рисунок 8.7. Пружна ємність з рідиною Розглянемо дану задачу як тривимірну а рідину вважатимемо в язкою. В табл. 8.4 наведено п ять найнижчих власних частот одержаних для різних сіток їх порядки збіжності а також екстрапольовані значення. Таблиця 8.4. Порядки збіжності Густина сітки Власні частоти Рад/с I II II IV V 66 68.5 86.4 55.74 994.5 45.69 656.58 5.6 4.57 96. 494.9 44 648. 4. 86.6 885. 489.5 Порядок збіжності.69.96.57.4. Екстраполяція за Річардсоном 644.4 8.86 68.9 864.96 488.4 У табл. 8.5 отримані результати співставлені з результатами інших авторів. У цих роботах задача взаємодії формулювалась в невідомих переміщеннях а при її розв язуванні для моделювання руху рідини та пружного тіла автори відповідно використовували апроксимації Рав яра-тома найнижчого порядку та класичні апроксимації методу скінченних елементів лінійні та квадратичні [А] чи апроксимації Круазьє-Рав яра [В]. Для спряження використовувався метод Нітше [Б] чи метод множників Лагранжа [А]. Усі розв язки отримані на регулярних сітках для двовимірного випадку. Таблиця 8.5. Порівняння розв язків Власна частота [А] [Б] лін. [Б] квадр. Дана [В] апр. апр. методика 64.84 75.65 666.65 6.4 9. 67.7 59.5 8.86.48 6.5 446. 46.9 68.9 4 84. 49.4 9.74 898.9 864.96 5 4.6 48.5 44.9 4.4 488.4

4 a b c Рисунок 8.8. Форми коливань для задачі. Переміщення пружного тіла ліворуч та рідини праворуч що відповідають трьом найнижчим власним частотам: a - 644.4 Рад/с. b - 8.86 Рад/с. c - 68.9 Рад/с..

9. ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛIДЖЕННЯ НЕСТАЦIОНАРНИХ ЗАДАЧ АКУСТИЧНОЇ ВЗАЄМОДIЇ ОБОЛОНОК ОБЕРТАННЯ З РIДИНОЮ 5 Математичне моделювання динамічних процесів акустичної взаємодії різних фізико-механічних субстанцій є актуальними у зв язку із зростаючими вимогами приладобудування. Проте складність та недостатня вивченість цих задач залишає достатнє поле для дослідження яке пов язане як із ускладненням математичних моделей для більш повного врахування процесів взаємодії так із розв язуванням конкретних задач. У зв язку із складними математичними постановками та складністю одночасного врахування змін фізико-механічних полів у різних фізичних системах задачі взаємодії залишаються маловивченими. В [789] для моделювання акустичної взаємодії оболонки з рідиною використовувались співвідношення лінійної теорії оболонок Тимошенка та акустичне наближення рідини. Для цієї задачі проведено повне математичне дослідження яке включає встановлення умов коректності варіаційної задачі взаємодії побудову та математичне обґрунтування проекційно-сіткової схеми розв язування варіаційної задачі. Тут в основу моделі покладено лінійні співвідношення оболонок Тимошенка-Міндліна з врахуванням обтиску нормального елемента [] та акустичне наближення рідини [79]. Сформульовано початково-крайову та відповідну їй варіаційну задачу взаємодії двох середовищ. За допомогою напівдискретизації Гальоркіна та апріорних енергетичних оцінок здійснено конструктивне доведення коректності варіаційної задачі взаємодії. За типових для методу скінченних елементів припущень отримано оцінки швидкості збіжності напівдискретних апроксимацій Гальоркіна. Для повної дискретизації варіаційної задачі побудовано однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі і встановлено умови її стійкості та збіжності. Для спрощення викладу зупинимось на осесиметричних процесах взаємодії. 9.. Постановка початково-крайової задачі Розглянемо замкнену ізотропну оболонку обертання постійної товщини повністю заповнену рідиною. Віднесемо оболонку до циліндричної системи координат r z θ в такий спосіб щоб вісь Oz співпадала із віссю симетрії оболонки. У цьому випадку серединна поверхня оболонки однозначно визначається своїм меридіаном Γ S який описуємо параметричним заданням r rz z [ L]. Позначимо через Ω меридіанний перетин цієї конструкції при θ const. Вважаємо що границя Γ області Ω неперервна за Ліпшицем і n cos n rsn n r одиничний вектор зовнішньої нормалі до Ω. Очевидно що Γ Γ ΓS де Γ частина границі Γ що лежить на осі Oz.

6 За допущення що в кожен момент часу t [ T ] < T < зовнішнє навантаження викликає лише осесиметричн переміщення конструкції сформулюємо початково-крайову задачу [6] акустичної взаємодії оболонок обертання з акустичною рідиною. Знайти вектор переміщень s w γ γ серединної поверхні оболонки та потенціал швидкостей ψ рідини що задовольняють: рівняння руху ψ ψ ψ r f c r r r z z в Ω T ρ ρ ρ A A A ρ P A A A z z R ψ A A ρw P t z R R ρ A A A γ m A M M A A z z ρ ψ M A A γ m t z R ] A A A на Γ T ] M R A M A A співвідношення Коші w A w ε ε A z R AA z R w ε γ ε γ A z R γ γ γ A γ κ κ A z R AA z R γ κ на Γ S T ] A z співвідношення пружності M M Bε E ν B κ E Dε D κ ε ν κ M Dε Bε D κ на Bε B κ Γ T ] S S 9. 9. 9.

7 Тут σ M M M T матриця-стовбець із ненульових компонент зусиль та моментів E ε T ε ε ε κ κ κ матрицястовбець із ненульових компонент тензора деформацій оболонки P P P m m T вектор зовнішнього навантаження на оболонку. Задана функція f f r z t описує інтенсивність розподілених в рідині джерел звуку. Сталі ν E ν E B B ν ν ν ν νe νe D D ν ν ν ν визначають коефіцієнти жорсткості оболонки. Детальний опис вжитої тут моделі зсувної оболонки з деформівною нормаллю можна знайти в працях []. На границі взаємодії двох середовищ Γ S задаємо умову безвідривного контакту ψ w γ 9.4 ρ n t t на частині границі Γ умову непроникнення ψ 9.5 ρ r Граничні умови на краях оболонки запишемо наступним чином M на [ T ] r γ r r 9.6 r Крайові умови 9.6 виражають умови симетрії замкненої оболонки на осі обертання OZ. При цьому допускається що меридіан оболонки при r має дотичну перпендикулярну до цієї осі. Будемо вважати що початковий стан системи «оболонка-рідина» характеризується наступними початковими умовами: ψ s t t ψ s s t ψ t t t s ψ на в Γ Ω S. 9.7 Відзначимо що з рівнянь 9.-9.7 можна отримати як частковий випадок початково-крайову задачу акустичної взаємодії оболонки типу Тимошенка та рідини дослідження якої проводилось авторами в [78]. Отже співвідношення 9.-9.7 повністю описують початково-крайову задачу акустичної взаємодії оболонки з деформівною нормаллю та рідини.

9.. Варіаційна постановка задачі Введемо функціональні простори V Ξ S Φ { v H L v v L } Y { y H L } { ξ H L ξ ξ L } Ζ { ζ H L } V Y Ξ Ζ 4 G [ L L ] { ϕ H Ω } H L Ω Q S Φ X G H. 8 9.8 Використовуючи принцип віртуальних робіт сформулюємо варіаційну задачу акустичної взаємодії оболонки з рідиною: задано ψ Φ ψ H s S s G l L T; Φ λ L T; S ; знайти пару p ψ s L Т; Φ S таку що m ψ t ϕ a ψ t ϕ b s t ϕ l t ϕ μ s t g η s t g b g ψ t λ t g ϕ Φ m ψ ψ ϕ μ s s g a ψ ψ ϕ η s s t v y ξ ζ T ]. S 9.9 Використані тут лінійні та білінійні форми визначаються наступним формулами ψ ϕ ψ ϕ m ψ ϕ ψϕrdrdz a ψ ϕ ρ rdrdz ρ Ω c Ω r r z z L ρ ρ μ sg ρv ρwy γξ γ ζ A Adz L η sg [ ε κ ] s g M s g 9. s ε g s ε g M s κ g } A Adz L b s ϕ wϕ γ ϕ A A dz ψ ϕ Φ sg S L l ϕ f ϕrdrdz < λ g > Pv P y mξ mζ A Adz. Ω Поряд з варацйною постановкою задач 9.9 надал для спрощення записв часто будем користуватися наступним її формулюванням:

9 > < ψ ψ ψ. ; ; ; Q p p A p M t F t p A t p B t p M що таку Q Т L s p знайти пару Q T L F X s Q s p задано 9. Вжит блнйн та лнйн форми визначаються формулами > ϕ > < λ >< < ϕ ψ ϕ ψ η ϕ ψ μ ϕ ψ g l F Q g g b s b p B Q s p g s a p A g s m p M 9. 9.. Коректність варіаційної задачі. Неважко зауважити див. 9. що блнйн неперервн форми володють властивостями: R a : Φ Φ.. симетрична та Φ -елптична R H H m :.. симетрична та H-елптична 9. R G G μ :.. симетрична та G-елптична отже визначають скалярн добутки в просторах Φ H та G вдповдно. Це дає змогу ввести норми. G g g g g m a G H ϕ Φ μ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Φ 9.4 Вдзначимо що блнйна форма R S S η :.. визначена в 9. є симетричною. В [] показано що R S S η :.. - S-елптична тобто снує > η const така що 9.5 S g g g g S η η В цьому випадку форма.. η визначає скалярний добуток на простор S та норму S g g g g S η 9.6 Введемо також енергетичн норми. G S H F t g t g t g t t t ϕ ϕ ϕ Σ Φ 9.7 Що стосується складових задач 9. то вдзначимо що блнйн неперервн форми в силу 9. та 9.5 володють властивостями: R X X M :.. - симетрична та X -елптична R Q Q A :.. - симетрична та Q - еліптична. 9.8

4 Це дає змогу ввести норми t M t A X Q 9.9 t t t X Q. Q X Нарешт вдзначимо що блнйна форма B.. : Q Q R володє властивостями B Q 9. B p B p B const >. Q Q Теорема про коректність варіаційної задачі Існує єдиний розв язок p ψ s варіаційної задачі акустичної взаємодії 9.9 такий що p s L T S p s L T H G p ψ s ψ ; Φ ψ ; L T; Φ S і при цьому розв язок неперервно залежить від початкових даних і правих частин тобто існує константа C const > така що ψ t s t ψ t ψ t s t s t F C ψ Σ Φ ψ Φ H s S H s G S G l τ λ τ dτ. t Φ S Тут Φ S - простори лінійних неперервних функціоналів визначених на Φ та S відповідно. Доведення. Розглянемо послдовност скнченновимрних просторв { Φ } Φ та { } S S таких що dm Φ dm S Φ щільно вкладене в Φ S щільно вкладене в S. > > 9. В [79] показано що для кожного фіксованого > існує єдиний розв язок p t ψ t s t який задовільняє рівняння задачі 9. для будьяких Q і при цьому справедливе рівняння балансу енергії d { ψ } t s t < l ψ ><λ s F Σ > 9. dt Iнтегрування в час по промжку t ] рвност 9. та зaстосування нервност Буняковського-Шварца дає змогу записати t t s t s F H s Σ Φ S G ψ ψ ψ t F Σ l τ λ τ dτ ψ τ s τ dτ. 9. Скориставшись тепер лемою Гронуолла з 9. отримаємо апріорну оцінку

t s t F Σ ψ t C ψ ψ s s l τ λ τ dτ > Φ H S G 4 9.4 Неважко бачити що внаслідок нерівності 9.4 послідовності ψ s ψ s при обмежені в просторах L T; Q та L T; X відповідно. p можна вибрати p таку що Внаслідок цього із послідовності наближених розв язків { } підпослідовність яку знову позначимо через { } p p в L T; Q слабко 9.5 p p в L T; X слабко. Залишається переконатись що побудована в 9.5 границя p є розв язком задачі 9.. Повторюючи міркування праць [7 6] можна переконатись що вектор p дійсно задовільняє рівняння задачі 9.. Відзначимо що знайдені тут умови коректності варіаційної задачі 9. можуть служити запорукою успішної побудови проекційно-сіткових схем для їх розв язування. Основою цього підходу з використанням методу скінченних елементів за просторовими змінними та однокрокових рекурентних схем інтегрування в часі можуть служити результати [ 4 5 7 8]. 9.4. Оцінка швидкості збіжності напівдискретних апроксимацій Гальоркіна. Розглянемо дискретизовану за просторовими змінними варіаційну задачу акустичної взаємодії оболонки з рідиною: задано p ψ s Q ψ s X F L T; ; Q вектор p ψ s L Т; Q такий знайти що 9.6 M p t B p t A p t < F t > t T ] M p A p p Q. В попередньому параграфі було доведено стійкість напвдискретних апроксимацй p ψ s та їх збіжність при до розв язку p ψ s варацйної задач 9.. Доповнимо тепер ц результати побудовою апріорних оцінок швидкості збіжності похибки [8 7] напвдискретних апроксимацй e t p t p t 9.7 за типових для методу скнченних елементів допущень відносно властивостей просторів апроксимацй Q Φ S: ϕ g Q W ϕ g Q та C const > такі що для кожного знайдуться 9.8 m. C m m

4 Тут діаметр сітки скнченних елементів максимальний порядок повного полінома який може бути представлений базисними функціями на кожному скнченному елементі m W m m m Ω [ H L ] 4 m H m L ϕ g m ϕ g W. 9.8 Ω Iз задачі 9.6 безпосередньо випливає що похибка 9.7 задовольняє рівняння ]. M e t B e t A e t t T M e A e Q 9.9 Для аналізу похибки 9.7 скористаємося оператором ортогонального проектування Q Q A.. таким що Π : відносно скалярного добутку A p Π p p Q Q. 9. Подамо похибку 9.7 у вигляді наступної декомпозиції e p t p t [ p t Π p t ] [ p t Π p t ] є t E t 9. де E t [ p t Π p t ] похибка проектування розв язку p ψ s варіаційної задачі 9. на простір Для складової похибки Q. E t неважко враховуючи 9.8 отримати оцінку E t pt Π pt C pt 9. Q Q де C const > не залежить від величин які нас цікавлять. Оцінки тепер вимагає лише складова є t Q яка внаслідок 9.9-9. задовольняє рівняння M є t Bє t Aє t M E t BE t [ ] M є M E A є Q t T. 9. Після підстановки в останні рівняння є t отримаємо енергетичне рівняння для похибки d { є t є t } M E t є t B E t є t t T] 9.4 X Q dt або після інтегрування на проміжку t] є t є t є є X Q X Q [ M E τ є τ B E τ є τ dτ] [ B E t є t B E є ]. t 9.5

4 Здійснивши ряд перетворень із застосуванням леми Гронуолла та врахуванням початкових умов отримуємо t { E E τ dτ} C const > t [ T ]. є t є t C 9.6 X Q X З врахуванням останньої оцінки із 9. отримуємо оцінку похибки напівдискретизації Гальоркіна e t через похибку проектування E t e C X t { E E t E τ dτ} X. 9.7 Застосувавши до останньої нерівності оцінки 9. остаточно отримуємо t { p p t p t p τ dτ} C e t. 9.8 Таким чином доведена [7] Теорема про збіжність напівдискретних апроксимацій. Нехай pt - розв язок варіаційної задачі 9. і існує таке натуральне що p W p W p p L T; Q W p L T; Q W Нехай для кожного > напівдискретні апроксимацї Гальоркіна { p t } { ψ t s t } визначаються як розв язки задач 6 у просторах Q що володіють властивостями щільності 9.8. Тоді послідовність напівдискретних апроксимацій Гальоркіна { p t} збігається при до розв язку варіаційної задачі 9. і при цьому швидкість збіжності характеризується апріорною оцінкою p t { p p t p t p τ dτ} t [ T ] t p t C 9.9 з константою C const > значення якої не залежить від та p. 9.5. Однокрокова рекурентна схема Для інтегрування в часі напівдискретизованої варіаційної задачі 9.6 розіб ємо відрізок часу [ T ] вузлами t Δt... T T Δ t T на проміжки [ t t ]. Використовуючи ідеї праць [8 7] розглянемо однокрокову схему для задачі 9.6: задано крок інтегрувння Δt > параметри β θ const > знайти та пари m пари p p ψ s ϕ g Q ; ψ s ϕ g Q такі що ϕ ϕ Δt βa ϕ ϕ Δtb g ϕ X

ϕ ϕ Δt < l ϕ > a ψ ϕ Δt β θ a ϕ ϕ 44 m μ g g Δt βη g g Δtb g ϕ 9.4 μ g g Δt < λ g > η s g Δt β θ η g g ϕ g Q p p Δt.... Використовуючи властивості блнйних форм та застосовуючи лему Лакса-Мльграма неважко переконатись що система з двох перших з рівнянь 9.4 має єдиний розв язок ϕ g Q що дозволяє з двох наступних рівнянь обчислити пару p необхідну для переходу до наступного кроку інтегрування. Відзначимо що при початкове наближення p визначається з початкових умов задачі 9.6 m ϕ ψ ϕ a ψ ψ ϕ ϕ Φ g η s s g s g μ g 9.4 без внесення похибки за рахунок вибору ϕ ψ ψ ψ g s s s. Параметри Δ t β θ рекурентної схеми 9.4 забезпечують стійкість і точність обчислень. Домножимо 9.4 скалярно на ϕ g ϕ g p. Псля деяких перетворень з врахуванням позначень для норм отримуємо наступне енергетичне рвняння Δt { p p p p } Δt θ p 9.4 X X Q Q Q S β θ{ p p } F p.... Δt Q Q 4 Застосуємо до правої частини енергетичного рвняння оцнку F p Δt θ p F 9.4 L T ; Q Q Δt θ припустимо що θ >. В результат отримуємо p p Δt p t p X Q θ Δ βθ Q Q p p Δt βθ p X Q Q F 9.44 L T; Q θ T T

45 Пдсумовуючи нервност 9.44 по вд до m отримуємо бажану нервнсть m m m / m p p Δt θ p Δt β θ p X Q Q Q m p Δt β θ F 9.45 X Q Q L T ; Q θ На основ цього приходимо до висновку що нервнсть β θ > 9.46 встановлює достатн умови стйкост рекурентної схеми 9.4 незалежно вд вибору кроку Δ t при цьому справедлива оцнка 9.45. Вдзначимо також що значення похибок апроксимацї по часу ε p p t r p t 9.47 задовльняє рвнянням де M / r B r / θ A ε / Δt β θ r M r A ε Q ε Y r R... B A p θ Δt β θ Y F M та використано позначення p p T 9.48 R p 9.49 p t t p p p p p p Δt θ p Δt θ p. Допускаючи що розв язок задач 9.6 p 4 C T; Q зведемо прав частини 9.49 до вигляду θ C Δt P R Δt Y Δt 9.5 де функцонали C P та константи залежать лише вд розв язку p t та його похдних до четвертого порядку включно.

46 Оцнимо тепер порядок збжност рекурентної схеми 9.4. Для цього покладемо в рвнянн 9.48 / r приведемо його до вигляду Q Q Q X r t r t r β θ Δ θ Δ ε β θ Δ ε Q Q X r t r 9.5 T r P t r C t... Δ θ Δ Використовуючи оцнки > < Q r C r C 4 Q r t P t r P Δ θ θ Δ > < 9.5 на основ рвняння 9.5 приходимо до нервност β θ Δ θ Δ ε Q Q Q X r t r t r θ Δ θ Δ β θ Δ ε Q Q X P t C t r t r Пдсумовуючи останню нервнсть по ндексу вд до m отримуємо β θ θ Δ ε Q m m Q Q m X m r r t r θ Δ θ Δ P t C t T T ma. 9.5 Тут - норма спряженого простору. Отриман результати підсумовує [7] Теорема про збіжність однокрокової схеми. Нехай дискретизована за просторовими змінними варіаційна задача 6 розв язується за допомогою рекурентної схеми 9.4 з параметрами θ β Δ t і < < T Q T C p ; 4. Тоді будуть вірними наступні твердження: при виборі значення параметра із нерівності 9.46 схема 9.4 безумовно стійка відносно енергетичної норми X m Q m m p z ; якщо виконані умови стійкості 9.46 то вузлові значення z p Q Q збігаються при Δt відносно енергетичної норми

до значень p t p t 47 і при цьому швидкість збіжності похибок 9.47 характеризується оцінкою 9.5. Значення параметра β не впливає на порядок збіжності наближених розв язків тому для спрощення обчислень за рекурентною схемою 9.4 доцільно покласти β θ. 9.6. Чисельний приклад Розглянемо циліндричну оболонку постійної товщини радіуса R висоти L. При цьому верхній край оболонки шарнірно опертий а нижній жорстко закріплений в масивній плиті див. рис. 9.. Граничні умови на краях оболонки запишуться наступним чином: z L Q Γ Ω Q Γ V R Рисунок Рис.. 9.. ΓS r w γ при z ~ w M при z L. Обчислення виконано при таких значеннях вхідних даних: матеріал оболонки алюміній з механічними характеристиками E 7 Па ρ.7 кг/м. R.5 м ν геометричні розміри L м. м. Розрахунки проведено для випадку заповнення оболонки водою ρ кг/м c 5м/с. Гідроударна хвиля породжується імпульсом Q Qt прикладеним до поверхні жорсткого поршня. Форма імпульсу наведена на рисунку 9.. Гранична умова на частині границі Γ V запишеться наступним чином: ρ ψ n v n t де v n Q t t m t < T t T T. час дії навантаження Q. 5 H. Результати розв язування подібної задачі наведені в [4]. Проте там для моделювання T t поведінки оболонки використовувалась лінійна Рисунок 9.. теорія Тимошенка-Міндліна. Обчислення проведено на рівномірній сітці меридіанного перетину рідини із 9 прямокутних скінченних елементів 9 з квадратичною апроксимацією шуканого розв язку на кожному скінченному елементі. Для інтегрування в часі використовувалась однокрокова рекурентна схема з параметрами β. 5 θ. 5. При заданому кроку по просторовій змінній на крок інтегрування в часі накладалась умова Куранта Δ t / c. Виконання цієї

48 умови для сітки із 9 скінченних елементів вздовж меридіану оболонки 5 приводить до необхідності вибору кроку Δt.875 с. Для даної задачі було обчислено порядки швидкості збіжності за просторовими змінними та по часу. Середнє значення порядків збіжності на всьому проміжку часу становить.98 що відповідає отриманим апріорним оцінкам швидкості збіжності. На рисунку 9. наведено розподіл тиску в рідині в різні моменти часу [7]. Як видно з рисунка наявність оболонки суттєво впливає на форму гідроударної хвилі в рідкому наповнювачі. За фронтом ударної хвилі в рідині починає розвиватись хвиля розрідження спричинена відгуком оболонки на рух рідини. Крім цього спостерігається зменшення тиску рідини на гребені ударної хвилі при підході до поверхні контакту з оболонкою. p p R R t6 t9 L z L z p p R R t5 t8 L z L z Рисунок 9.. Розподіл поля тиску в рідині у фіксовані моменти часу. Чітко виражений фронт хвилі розрідження t.6 t.9 рухається вздовж радіальної змінної від оболонки до осі обертання конструкції. Максимальне значення відхилення акустичного тиску від рівноважного в цій хвилі приблизно в два рази менше від амплітуди хвилі сформованої початковим імпульсним навантаженням. Амплітуда хвилі розрідження досягаючи осі обертання конструкції t.5 збільшується приблизно вдвічі досягаючи там свого максимального значення. Точка осі яка на даний момент часу знаходиться на гребені хвилі розрідження є точкою зародження нової хвилі розрідження яка поширюється від осі обертання.

49 На рисунку 9.4 зображено графіки зміщень серединної поверхні оболонки в момент часу t.6с [8]. Варіант Т відповідає задачі взаємодії у якій для моделювання поведінки оболонки використано лінійні співвідношення Тимошенка Міндліна варіант ТМ задачі взаємодії у якій для моделювання поведінки оболонки було застосовано співвідношення оболонок Тимошенка Міндліна з урахуванням обтиску нормального елемента. За час t.6 с поздовжня хвиля в оболонці досягає жорсткого дна що відображають графіки тангенціального зміщення серединної поверхні оболонки. Поперечна хвиля як видно з графіків радіальних зміщень w та кутів повороту нормалі γ за цей самий час пробігає половину висоти оболонки. 9.7. Висновки Запропонована проекційно-сіткова схема розв язування варіаційної задачі акустичної взаємодії оболонки з рідиною яка використовує напівдискретизацію Гальоркіна із залученням апроксимацій методу скінченних елементів за просторовими змінними та однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі. Проведено математичне обґрунтування проекційно-сіткової схеми складовими якого є побудова апріорних оцінок швидкості збіжності напідискретних апроксимацій Гальоркіна встановлення умов стійкості та збіжності однокрокової рекурентної схеми інтегрування в часі. Обчислені апостеріорні порядки швидкості збіжності для модельної задачі співпадають із отриманими апріорними оцінками швидкості збіжності. Отримані результати становлять повне математичне дослідження для задачі акустичної взаємодії рідини та оболонки обертання Тимошенка-Міндліна з врахуванням обтиску нормального елемента. Проведені дослідження служать запорукою успішного розв язання задач взаємодії що продемонстровано чисельним аналізом розв язків модельної задачі.

8 5. -6 T TM 5 9 6 L 75 5 5 5 w. -5 9 6 TM T 6 4 L 75 5 5 γ. -4 T TM - -4-6 75 5 5 Рисунок 9.4. Зміщення серединної поверхні оболонки в момент часу t.6с. L

. ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ПОДАТЛИВИХ НА ЗСУВ ТА СТИСНЕННЯ ОБОЛОНОК ПРИ СТАТИЧНОМУ ТЕПЛОВОМУ НАВАНТАЖЕННІ 5 Дослідження пружно-деформівного стану оболонок які перебувають під дією термосилових навантажень має важливе значення для прикладних застосувань так як багато конструкцій сучасного машинобудування містять оболонки в якості складових елементів. В працях [944] побудовано початково-крайові та відповідні варіаційні задачі динаміки та статики оболонок під дією силових навантажень. Основна особливість використаного в цих працях підходу полягає в напівдискретизації вектора зміщень пружного тіла за змінною товщини на основі кінематичних гіпотез Тимошенка-Міндліна зі збереженням повного вектора поворотів нормалі серединної поверхні. Результуючі співвідношення моделі містять як невідомі компоненти вектора узагальнених переміщень а саме: зміщення серединної поверхні оболонки та повороти її нормалі. Сукупність результатів праць [9 4] служить грунтовною основою для продовження дослідження цього класу моделей оболонок. В даній роботі здійснюється спроба врахувати ефекти впливу нерівномірного температурного поля в згаданій моделі оболонок з деформівною нормаллю. Виходячи із співвідношень геометрично нелінійної теорії пружності кінематичних гіпотез типу Тимошенка та гіпотези Дюгамеля-Неймана побудовано рівняння та граничні умови крайової задачі яка описує стан термопружної рівноваги гнучких ізотропних оболонок з деформівною нормаллю. Особливістю деформаційних співвідношень цієї моделі є врахування лінійного розподілу компонент тензора поворотів по товщині. На основі принципу Лагранжа сформульовано відповідну варіаційну задачу термопружності оболонок. На прикладі задачі про термопружну рівновагу циліндричної оболонки під дією осесиметричного теплового навантаження для якої в рамках лінійної теорії оболонок з недеформівною нормаллю побудовано аналітичний розв'язок проілюстровано ефективність застосування запропонованої моделі... Геометрія оболонки та основні припущення Розглянемо оболонку як тривимірне тіло товщини const> яке в евклідовому просторі R займає обмежену область V з неперервною за Ліпшицем межею S. Позначимо через n одиничний вектор зовнішньої нормалі до S. Серединну поверхню оболонки Ω віднесемо до ортогональної системи координат α α α і введемо ортогональну до неї змінну α так що α / будемо вважати що координатні лінії α α співпадають з лініями головних кривин а товщина істотно менша від решти характерних розмірів оболонки. Позначимо через Γ межу серединної поверхні Ω. Тоді точки оболонки визначатимуться множиною

межа S якої складається з поверхонь та бічної поверхні ] /[ V Ω / Ω ± Ω { ±/} ] / /[ Σ Γ. У вибраній системі координат мають місце наступні рівності для параметрів Ляме [46]: H α α α A α H α α α. де A і 5. A α α α α коефіцієнти першої квадратичної форми та головні кривини поверхні Ω відповідно. U α α α характеризує зміну положення точки Нехай вектор { U } оболонки в процесі її деформування. З огляду на малу у порівнянні з іншими характерними розмірами оболонки товщину розгорнемо вектор зміщень точок оболонки в ряд Тейлора в околі серединної поверхні зі збереженням лінійних членів. Тоді U α α α α αγ α α. Тут α α U α α U α α γ α α α. описують зміщення точок серединної поверхні Ω а характеризують залишкові члени ряду Тейлора і α визначають кут повороту нормалі незалежно від. Оскільки γ α α то апроксимація. припускає зміну довжини елемента нормалі при деформуванні. Співвідношення. відповідає кінематичній гіпотезі теорії оболонок типу Тимошенка з деформівною нормаллю показує що зміщення точок оболонки повністю визначаються якщо відомі компоненти зміщень та компоненти вектора кутів поворотів нормалі γ γ γ її серединної поверхні. Введемо для зручності наступне позначення вектора узагальнених γ γ γ. переміщень точок оболонки: { } Припустимо що оболонка піддається дії об'ємної сили { } F в області V поверхневих навантажень σ σ прикладених до поверхонь g g відповідно і поверхневих напружень { σ Σ Σ Σ t σ s σ n } t s n орти правої трійки криволінійних координат на частині Σ σ поверхні Σ причому Σσ Γ σ ] / /[. На решті бічної поверхні Σ Σ\ Σσ задані переміщення g { } 6 Σ.

5 Елемент об єму оболонки в деформованому стані можна записати у вигляді * dv JdV де dv елемент цього об єму до деформування. Відзначимо що за умови малості видовжень відносно одиниці якобіан переходу J Δ де Δ величина одного порядку малості з деформаціями. Отже якщо процес навантаження оболонки супроводжується малими деформаціями то можна наближено прийняти * dv dv. Вважаємо також що оболонка є лінійно пружною і знаходиться в нерівномірному температурному полі T α α α. Тоді згідно гіпотези Дюгамеля-Неймана для ізотропного матеріалу оболонки компоненти тензорів напружень та деформацій будуть пов язані між собою наступними залежностями [4]: ε ε ε ε E E E E [ σ γ σ σ ] α T T [ σ γ σ σ ] α T T [ σ γ σ σ ] αt T T ν σ T T.4 де E модуль Юнга ν коефіцієнт Пуассона; α T коефіцієнт лінійного температурного розширення T початкове значення температури. На відміну від математичних моделей оболонок з жорсткою нормаллю постулювання ненульового обтиску нормалі γ дозволяє моделювати пружно-деформівний стан оболонки з врахуванням апроксимації σ. Введемо інтегральні характеристики напружень [ M ] σ α [ α] dα σ α α [ M ] σ α [ α ] dα. σ dα.5 Надалі будемо використовувати умову рівності з точністю до O крутних моментів H M M

та симетричне зусилля Новожилова [44] S. M M Тоді вектор внутрішніх зусиль і моментів оболонки що породжені вектором узагальнених переміщень можна записати: σ { S M M H M M }.. Деформаційні співвідношення Для оболонок із геометрично нелінійною поведінкою ці співвідношення мають наступний вигляд: ε ε A A A ε α χ A ε α χ H ε αχ A ε αχ A ε αχ. H H ε ε H H ε ε A Aε H H Тут ε та χ компоненти тангенціальних та згинних деформацій: H 54..6 ε e ε χ χ χ χ e κ κ κ κ ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω χ ω ω ω ω ω ω. ε ε e e ω ω κ ω ω ε ε e e ω ω ω ω ω ω ω ω.7 Можна також вищеописані компоненти об'єднати у вектор ε ε ε ε ε ε ε χ χ χ χ χ χ. { } У співвідношеннях.7 через e та κ позначено тангенціальні та згинні компоненти тензора лінійних деформацій а через ω ω тангенціальні та згинні компоненти поворотів ω вирази для яких через переміщення наведені в [4].

55.. Рівняння рівноваги гнучкої оболонки Рівняння рівноваги теорії гнучких оболонок і статичні граничні умови отримано на основі принципу можливих переміщень. У термінах зусиль і моментів вони мають вигляд [9]: * * * * * * * * * * * * * * * * P A A A A A A M M A M M A A A P A A A A A A M M A M M A A A.8 ] [ * * * * * * * * * * * * m A A M M A A A M M A A A m M A A A A M M A M A M A A m M A A A A M M A M A M P A A A A де. M H M M M M M M M H M M M M M M M M M S M H H S M M M M H S M M ] [ ] [ ] [ ] [ [ * * * * * ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω.9 Крайові умови на напруження на частині контура серединної поверхні Γ Γ Γ σ σ записуються наступним чином:

56 sn 4 sn sn cos * * * * α α α α n M M n n n t. sn cos sn cos sn sn sn cos sn cos sn cos sn cos sn * * * * * * * * * * * * α α α α α α α α α α α α α α α n M n M M n M n M n M M M n M M n M n M M n n n n M M n n n n s t n s. В формулах. через n позначено нормаль до границі області Ω а також вище використано наступні позначення усереднених характеристик навантаження: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] d M d M d M d F m d F P n n n s s s s t t t t Σ Σ Σ α α σ α α α σ α α α σ α α α α α α α. Під t треба розуміти кривину бічної поверхні оболонки в напрямку нормалі до кривої Γ контура серединної поверхні а під s кривину бічної поверхні в напрямку дотичної до Γ..4. Фізичні співвідношення Щоб повністю описати процес нелінійного деформування оболонки при термосиловому навантаженні за умови ізотропного матеріалу необхідно доповнити систему наведених вище рівнянь співвідношеннями які пов язують деформації з внутрішніми зусиллями і моментами. Для цього розв'яжемо рівності.4 відносно напружень і проінтегруємо по товщині оболонки з

57 врахуванням членів нульового та першого порядку за α [4 45]. В результаті будемо мати: де S D M M H D M D E ν ν D D D D D D D g g g g g g g g g g g ν ν ν α T T ν ν ν α T ν ν ν α T ν M M ν M ν χ νχ ν αtt ν χ νχ ν α T ν χ T T T dα T M ν χ M D D T ν T M T g ν χ. E D M тангенціальна та згинна жорсткість; ν ν T T α dα усереднені температурні характеристики. Якщо ввести вектор F { } T F T T T T T T то. буде мати вигляд: α E T Bε FT. ν Тут B матриця пружних постійних [4]..5. Варіаційна задача Враховуючи крайові умови на переміщення. та вигляд компонент деформацій введемо простір кінематично допустимих векторів переміщень Тут Ω 6 { v v v v [ W Ω ] v на Γ \Γ ο } V. W простір Соболєва функцій квадрати яких разом зі своїми першими похідними інтегровані за Лебегом в області Ω. Розв язувати крайову задачу.6.8.. пропонується методом скнченних елементів що заснований на варіаційних принципах. Для статичних задач використовується принцип Лагранжа [47] узагальнений на випадок незв'язаної задачі термопружності:

58 Σ Σ Σ δ I δ fdv F U dv U d U d UdΣ δ ο δ ο δ ο δ.4 V V Ω де f густина вільної енергії. Принцип Лагранжа в теорії гнучких оболонок трактується лише як принцип стаціонарності варіаційного функціоналу при нелінійному деформуванні не існує єдиного мінімуму вище згадуваного функціоналу оскільки деформації визначаються через переміщення за нелінійними залежностями.6.7. Тобто серед усіх можливих переміщень V що визначають пружно-деформівний стан оболонки істинними будуть ті котрі задовольняють.4. Тепер якщо перейти у.4 до інтегралів по серединній поверхні та використати формули інтегрування частинами враховуючи введені позначення у...4 то отримаємо: δi ε g Ω δ T T Ω αt E T E Bδε dω δε FT dω ν Ω.5 T P dω G δ dγ Γ де G матриця розмірності 6 6 приведена у праці [4]. Умова.4 приводить до рівнянь рівноваги.8 та до природних статичних граничних умов...6. Чисельний приклад Розглянем задачу визначення термонапружень шарнірно опeртої на краях циліндричної оболонки довжини L.8[м] радіуса R.[м] товщини.5[м] що знаходиться під дією нормального навантаження P [Н/м α ] та осесиметричного температурного поля яке характеризується T e T [град] при наступних фізико-механічних параметрах: коефіцієнт Пуассона ν. модуль Юнга E.8. [Н/м ] коефіцієнт лінійного температурного розширення α T.. 4 [/град]. У праці [45] в рамках моделі Тимошенка за умови недеформівної нормалі побудовано аналітичний розв язок лінійної задачі визначення пружних деформацій циліндричної оболонки без врахування впливу температурного поля. Використовуючи подібний як в [45] підхід у результаті певних перетворень рівнянь рівноваги лінійної теорії оболонок Тимошенка і умов симетрії отримано крайову задачу для визначення кута повороту γ γ : g Σ 4 γ g 4 α γ 4 λ γ α f íà L.6 γ γ α при α при α L.7

59 E 5 4 ν де g λ R G 6 R 4 R P T f λ R αt G' модуль E α α зсуву. Знайшовши значення γ визначимо прогин та напруження тут E ν ε α γ R α T T..8 4 E λ α RP α σ M σ.9 ' [ ε νε ] ε R M E χ ν ε γ α E ε ν γ χ. α α У випадку експоненціального розподілу температури T e і тиску P загальний розв'язок неоднорідного рівняння.6 при g <λ що відповідає заданим вихідним параметрам оболонки знайдено у вигляді де γ sα e e Функції sα [ C α C cosrα C α C snrα] C α C cosrα C α C snrα [ ] s g λ 4 r 4 λ g.. C α...4 визначаються методом варіації сталих Лагранжа і записуються наступним чином: C C C C α 4 α α α 4sr 4sr 4sr 4sr a s r a s r a s r a s r α s e [ r s cosrα s s snrα rcosrα ] s r α s e [ s s cosrα rsnrα r s snrα rcosrα ] s r α s e [ s s snrα rcosrα r s cosrα rsnrα ] s r α s e [ s s cosrα rsnrα r s snrα rcosrα ] s r

6 ν αt де a. Сталі C C C C4 знаходимо із крайових умов.7. R Обчислені аналітично зміщення прогин та кут повороту γ порівнюються із результатами реалізованої методом скінченних елементів моделі термопружних процесів зсувних оболонок [4] описаної у цій роботі. Значення переміщень подано в табл. де також наведено відносну aн * похибку результатів яка обчислюється за формулою: δ де ан aн аналітичне значення переміщення * наближене значення отримане в результаті розв'язування задачі термопружності як в геометрично лінійній так і в нелінійній постановках. На рисунку показано графіки зсувних напружень що вимірюються в Н/м в залежності від значення координати α α.. Криві зображають значення напружень на серединній поверхні оболонки: обчислені аналітично за формулами.9 в рамках запропонованої моделі; криві ж та 4 зображають напруження на внутрішній та зовнішній поверхнях циліндра знайдені так само як і лінійна постановка. З наведених таблиць та графіків видно що переміщення знайдені за уточненою теорією оболонок з врахуванням обтиску а також з врахуванням обтиску і геометричної нелінійності одночасно практично повністю співпадають; і те що розглянута модель дозволяє обчислити зсувні напруження на лицьових поверхнях оболонки. Таблиця.. 6 δ. % α анал. лін.mce нелін.mce лін.mce нелін.mce 4 947 95 954 7 8 768478 768484 768487 5 669 678 68 5 6 4998 4 4 4 4 46956 469577 469579 4 4 4 497979 497997 497999 4 4 8 5675 56754 56756 4 4 69949 69954 6995 4 6 694755 6947579 694759 4 6 4 7649468 7649497 76495 4 7

6 Таблиця.. 6 δ. % α анал. лін.mce нелін.mce лін.mce нелін.mce 85 78655 7865 7 7 4 6 44 98 64 6 8 7 48 5 994 446 448 5 5 6 95996 9674 9676 58 59 88 88 885 6 6 4 894 8964 896 8 77 7658 7666 548 54 678 676597 676649 58 6 6 7455 785 77575 54 774 4 γ. 6 δ. % Таблиця. α анал. лін.mce нелін.mce лін. нелін. 4 57 744 7 49 954 8 76 48 9 48 45 85 6 6 946 4 6 965 969 95998 7 7 886 8864 8895 86 886 4 844 88 8847 44 8 85 96959 958 6 967 68768 86 8 597 5898 6 77498 456584 4775 4565 5 4 8956 854594 85497 4465 48

6.E.E.E α..5..5..5. -.E -.E 4 -.E -4.E Рисунок.. Зсувні напруження

. ЧИСЕЛЬНЕ МОДЕЛЮВАННЯ РУХУ МІЛКОЇ ВОДИ ЗМІШАНИМ МЕТОДОМ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ 6 Даний розділ присвячений формулюванню змішаної варіаційної задачі для рівнянь мілкої води [48] побудові та дослідженню проекційно-сіткової схеми її розв язування з використанням апроксимацій Рав яра-тома за просторовими змінними та однокрокової рекурентної схеми інтегрування в часі... Постановка початково-крайової задачі Задано: обмежену відкриту зв язну область Ω R з неперервною за Ліпшицем границею Γ та вектором зовнішньої одиничної нормалі n { n} : n : cos n ; глибину водного басейну d L Ω d b const > ; P: π R R оператор повороту на кут - що діє згідно правила: { } R P: { } R ; fconst> інтенсивність сил Коріоліса; ξ початкова висота підняття вільної поверхні басейну; початковий розподіл швидкості потоків в басейні; g const > коефіцієнт вільного падіння; λ const > коефіцієнт сили тертя; n n t нормальна складова потоку на частині межі e e; ξ ξ t висота підняття вільної поверхні на частині межі * * ee \ e ξ. Знайти: { t } t - вектор усереднених горизонтальних швидкостей; ξ ξ t - висоту підняття вільної поверхні басейну такі що gd ξ fp λ t ξ в Ω T] t. n n на Г [T ] ξ ξ* на Г ξ [T ] t ξ t ξ в Ω. Тут і далі ми вживаємо стандартні позначення із векторного аналізу:

ϕ ϕ gradϕ : { } градієнт скалярної функції ϕ υ υ dvυ: дивергенція вектора υ {} υ : υ υ скалярний добуток двох векторів. 64.. Декомпозиція розв язку Для того щоб головна крайова умова задачі. була однорідна розв зок цієї задачі шукатимемо у вигляді розкладу z w *. де zt невідома функція і w * t задана функція що має певний запас гладкості і w* n t. Очевидно що функція z повинна задовольняти на границі Γ Γ умову z n. n Γ Підставляючи. в. отримаємо нову систему диференціальних рівнянь z w gd ξ fpz λz fpw λw gdf t t t ξ z w* r* t в Ω T ] t z n на Г [T ] ξ ξ* на Г ξ [T ] z t w* ξ t в. t ξ Ω.. Необхідні гільбертові простори * * * *. Позначимо через L Ω простір дійсних скалярних функцій квадрати яких інтегровані за Лебегом в області Ω. Цей простір є гільбертовим відносно норми / υ { υ d} υ L Ω Ω Ω яка породжується скалярним добутком d L Ω Позначимо через H L Ω. Введемо тепер простір дійсних векторних функцій Hdv ; Ω : { υ { υ } L Ω υ L Ω }. υ υ υ..4 Ω

Цей простір є гільбертовим відносно норми / υ : { υ } H dv; υ υ H dv Ω Ω Ω Ω породженої скалярним добутком H dv; Ω 65 υ { υ υ } d..5 Позначимо через m H Ω { υ L Ω; α υ L Ω α m} простір Соболєва m ого порядку де α α υ υ: α α α α. α α Він стає гільбертовим якщо на ньому визначити скалярний добуток υ α α υ d m Ω α m Ω та норму α υ υ d m Ω /. α m Ω Часто в таких просторах використовується напівнорма α / υ υ d m Ω Очевидно що. α m Ω H Ω L Ω..4. Варіаційне формулювання задачі Ω Беручи дві довільні функції w { w } та ϕ ϕ і формально виконуючи стандартні викладки із застосуванням техніки інтегрування частинами знайдемо що f λ { z ξ Pz z} w d gd gd gd Ω.6 { z w ξ w fw Pz} d w nd f* w d gd gd ξ γ Ω Ввівши простори допустимих функцій V:{w Hdv;Ω w n на Γ } і Φ : H Ω сформулюємо варіаційну задачу: знайти пару {zξ} L T; V Ф таку що Γ Ω

{ z fpz λz wξ w} d gd Ω f* wd * w nd w V ξ γ Ω Γξ { ξϕ ϕ zd } r* ϕd ϕ Φ Ω Ω { z w* } w d w V t gd Ω { } d Φ. ξ ξ ϕ ϕ Ω 66.7 Зауваження.. Формулювання задачі у вигляді.7 класичне для застосувань теорії змішаних варіаційних задач і вивчалось багатьма фахівцями Бреззі Рав яр Тома та інші. Зауваження.. У варіаційному формулюванні задачі мілкої води.7 крайова умова на Γ головна а крайова умова на Γ ξ природна. Введемо білінійні форми: aw f Pwd gd Ω mw wd b ϕ w w d gd ϕ w w ξϕ ξϕ d < l t w > fpw* λw* d ξ* w n γ gd t Ω Ω * d Ω Γ ξ < rt ϕ > ϕ w d w V ξ ϕ Φ..8 Ω * Тепер варіаційну задачу.7 перепишемо у наступному вигляді: задано z H Ω ξ H Ω w* L T; H dv; Ω. знайти { z ξ } L T;V Φ такі що m z t w a z t w b ξ t w λm z t w < l t w> w V ξ t ϕ b ϕ z t < r t ϕ > ϕ Φ.9 mz w* w w V t ξ ξ ϕ ϕ Φ. Ω

.5. Властивості білінійних форм 67 Позначимо через та норми просторів Φ та V які породжені Φ V скалярними добутками.4 та.5 відповідно. Запишемо для цього скалярного добутку нерівність Коші-Буняковського ξ ϕ ξ ϕ. Φ Φ. Безпосереднім наслідком означення.8 є наступні леми. Лема.. Білінійна форма m : H H R є симетричною неперервною та H еліптичною тобто m d Ω gd g d H.. Ω Ω Ця властивість дозволяє ввести на просторі H норму / : m H H. еквівалентну нормі на H. Дійсно має місце нерівність Ω H.. d g b g Ω Ω H Ω Крім цього має місце наступна оцінка m υ υ υ H..4 H Лема.. Білінійна форма a : H H R є неперервною на H та кососиметричною тобто І знайдеться така стала M const > що a υ M υ υ H ; Ω Ω ІІ. a υ a υ υ H. Доведення. Дійсно із запису a υ f Pd f { } d gd υ gd υ υ Ω Ω безпосередньо переконуємось у істинності ІІ. Далі оцінки a υ f { υ υ } d f υ gd H.5 Ω Ω gd Ω вказують на істинність І з M : f. gd Лема.. Білінійна форма b : Φ V R є неперервною на просторі Φ V. Доведення цього факту базується на таких оцінках

Φ Ω Ω Ω ϕ υ V b ϕ υ ϕ. υd ϕ d. υ d ϕ υ V Звідки b b ϕ υ : sp. υ H dv; Ω ϕ υ ϕ L Ω Ω H dv; Ω 68 Φ..6 I..6. Закони збереження та рівняння балансу Припустимо що пара {ztξt} є розв язком задачі.9. Тоді: z t azt zt fzt Pztd f z t z t d..7 gd gd z t Ω Ω..8 II. b ϕ w ϕ wd w ϕd ϕw ndγ Ω Ω Γξ Приймаючи в другому з рівнянь.7 ϕ const а це допустимо внаслідок вибору Φ обчислюємо що: Таким чином: w ξ t b z t ξ t z t ndγ. * t ξ td ξ td. w τ d z τ ndγ dτ t [ T]..9 Γ ξ * Ω Ω Ω III. Підставивши ξ t в друге рівняння.9 оцінимо отриману рівність. ξ t ξ t ξ t b ξ t z t < r ξ t > Φ ξ t. z t ξ t w. Φ Ω Після скорочення на ξ t Φ отримаємо Φ Φ Ω * Φ ξ t. z t w.. Оскільки згідно означення просторів V та Φ для довільного w V виконується що. w Φ то використовуючи цю властивість підставимо. zt в друге рівняння 7 і оцінимо отриману рівність.. zt b. zt zt < r. zt > ξ t. zt Ω * Φ Γξ ξ t. z t w. z t. Після скорочення на. zt отримаємо Ω Φ Ω * Ω Ω Φ * Φ Φ. dvz t ξ t w..

IV. Додаючи рівняння.9 при w z t ϕ ξ t знаходимо що d { mzt zt ξ t ξ t } λmzt zt dt < lzt >< r ξ t >. Розгланянемо випадок ξ *. Тоді < lzt >< r ξ t > l zt r ξ t d Ω * Ω * d g Ω zt ξ t l r Ω Φ * * g 4 4 d g zt t l r 4 4 Ω ξ H Φ * * Застосуємо тепер лему Гронуола-Беллмана: Лема Гронуола-Беллмана Нехай невід'ємна неперервна функція σ t задовольняє нерівність де c t σ t c σ τ dτ g t const gt неспадна неперервна функція. Тоді σ t g t e ct. В кінцевому результаті отримуємо таку нерівність Φ 69..4 t t d g Ω zt ξ t e l τ r τ dτ H Φ * * 4 4.5 Якшо при цьому ще n то має місце така рівність t H Φ H H Φ t ξ t λ τ dτ ξ t [ T]..6 Підсумовуючи наведені результати сформулюємо таку теорему Теорема. Нехай ξ * w* L T; V w * L T; V або n. Тоді Розв'язок t ξ t варіаційної задачі.9 єдиний. Розв'язок t ξ t варіаційної задачі.9 неперервно залежить від даних задачі..7. Дискретизація задачі за просторовими змінними Беручи для кожного фіксованого значення параметра дискретизації > пару скінченновимірних просторів V і Φ таких що V V Φ Φ сформульовано послідовність напівдискретизованих варіаційних задач мілкої води :

знайти пару { z ξ } L T; V Φ таку що mz t w az t w b ξ t w λmz t w < lt w> w V ξ t ϕ b ϕ z t < r t ϕ > ϕ Φ mz w w V t ξ ξ ϕ ϕ Φ...7 7 Простори апроксимацій V і Φ будуються з використанням сіток із трикутних скінченних елементів T : { } області Ω у такому вигляді V Φ Ω { ϕ L : T ϕ Pm } { w H dv; Ω : T w W } V де P m - простір поліномів двох змінних вигляду m m pm a m.. W m простір апроксимацій Рав яра Тома на трикутнику [49] W m m : { υ H dv; : υ P P }..8. Дискретизація варіаційної задачі мілкої води в часі.8.. Кусково-лінійна апроксимація в часі Скористаємося проекційним методом для дискретизації задачі.7 в часі. Для цього розіб ємо відрізок [ T ] на T рівних частин T [ t t ].. T t. Величину Δt t t називатимемо T параметром дискретизації в часі або кроком інтегрування в часі задачі.7. На кожному кроці [ ] t t розв язок z t t апроксимувати лінійними функціями наступного виду m m ξ задачі.7 будемо z t z t z t ξ ξ { ω } ξ ω t [ t t ] Ω.. T t { ω } ω Δ t t t t Δ.8

t t де ω t t [ t t ] з невідомими поки що функціями Δt ξ ξ Φ. z z V 7 та Зауважимо що ці шукані функції представляють собою значення вибраної апроксимації у вузлах сітки t m тобто m m z t z V ξ t ξ Φ m.. Ω. t Δ m t Δ m T Ввівши наступні позначення z z z z z z z z V Δt ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ Φ Δt можемо представити.8 у вигляді.9 zt t z tω t z z t{ ω t } z Δ ξt t ξ t{ ω t } ξ t [ t t]. Δ Ω. Для функціоналів lt та rt з.8 будемо використовувати кусковопостійні апроксимації вигляду l t t l l t t/ r t t r r t t/ t [ t t ].. Зауважимо що підстановка.8 в початкові умови задачі.7 приводить до рівнянь mz z w V * υ υ t ξ ξ ϕ ϕ Φ..

.8.. Проекційне рівняння Вибравши з простору L t t функцію t ζ таку що t t 7 ζ tdt запишемо проекційне рівняння для задачі.7[5]. де θ θ θ mz υ az υ b ξ υ λmz υ < l υ > υ V θ ξ ϕ b ϕ z < r ϕ > ϕ Φ. t θ wt ζ tdt / ζ tdt t t.4 t θ z z Δt θ z θz θ z θ ξ ξ Δt θ ξ θξ θ ξ..5 В системі рівнянь. невідомими виступають θ z z z та θ ξ ξ ξ які повязані між собою співвідношеннями.9 і.5..8.. Однокрокова рекурентна схема Рівняння. в поєднанні з початковими умовами. дозволяють сформулювати наступну послідовність обчислень: задано параметри t > θ та { z ξ } V Φ; знайти пару { z ξ } V Φ таку що mz υ tθ az υ b ξ υ λmz υ mz υ t < l υ > θ a z υ b ξ υ λm z υ υ V.6 ξ ϕ tθb ϕ z ξ ϕ t < r ϕ > θ b ϕ z ϕ Φ.. T

або 7 задано параметри t > θ та { z ξ } V Φ; знайти пару { z ξ } V Φ таку що θ θ θ θ mz υ az υ b ξ υ λmz υ < l υ > m z υ υ V θ θ ξ ϕ b ϕ z < r ϕ > ξ ϕ ϕ Φ z z z θ θ θ z ; ξ ξ θ ξ ξ.. T..7.8.4. Обчислювальні аспекти Оскільки побудована рекурентна схема.6 або.7 передбачає відшукання функцій скористатися розкладами z та ξ з просторів V і Φ відповідно то доцільно S zt t z zw Δ E ξt t ξ ξ t ϕ Δ.8 де { w } S базис простору V { ϕ } E базис простору Φ Z { z } S і E H { ξ } вектори невідомих коефіцієнтів. Для знаходження векторів Y та H підставимо.8 в початкові умови. і скористаємось методом Гальоркіна; в результаті одержимо дві системи лінійних алгебраїчних рівнянь які мають єдині розв язки S Z mw w mz w* w t.. S.9 E H ϕ ϕ ξ ϕ.. E.4 Y та матриць M { m w w } S та C { ϕ ϕ } E. H відповідно в силу додатньої визначеності На основі цих самих міркувань конкретизуємо задачу.6 до вигляду

Задано параметри Δt > та Z R і H R S E θ ; S E знайти Z R і H R такі що Δ Δ M tθ A λm Z tθ BH ΔtL M Δt θ A λm Z Δ t θ BH T T CH Δtθ B Z ΔtR CH Δt θ B Z. У матричному вигляді.4 записується настуним чином Задано параметри Δt > та Z R і H R S E знайти Z R і H R такі що M Δtθ AλM Δtθ BH Z T tθ B C Δ H L M Δt θ AλM Δt θ BH Z Δt T Δt θ B C H R S E θ ; Матриця з лівої частини.4 є додатно визначеною. Дійсно 74.4.4 M Δtθ A λm Δtθ B Z Z H T Δ tθ B C H T Z M Δtθ A λm Z H CH Δtθ H B Z Δtθ Z BH Z Δtθλ MZ H CH > оскільки матриця А є кососиметричною а матриці М та С є додатно визначеними. Отже для.4 і.4 розв язок існує і він єдиний..8.5. Стійкість рекурентних схем Розглядатимемо випадок коли ξ * і дослідимо при яких умовах побудовані рекурентні схеми є стійкими. Для цього покладемо в першому рівнянні. z θ а в другому θ ϕ ξ. В результаті цих операцій і врахування кососиметричності білінійної форми a.. одержимо

mz z b ξ z λmz z < l z > θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ξ ξ b ξ z < r ξ >. 75 В результаті додавання цих рівностей з врахуванням раніше введених норм дістанемо z z z z z z θ θ m Δt θ λm z z Δt Δt ξ ξ ξ ξ ξ ξ Δt θ Δt Δt θ z z λ z ξ ξ Δt H H H Δt Φ Φ θ { z z ξ ξ } Δt H Φ < l z >< r ξ >... θ θ T.4 Для оцінки правої частини.4 використаємо нерівність Коші- Буняковського та еквівалентність норм; в результаті отримаємо такі нерівності θ θ θ < l z > f* t z g d f * t z Ω Ω H Ω Ω < r ξ > w t ξ. θ θ * Φ Ω.44 Використовуючи елементарну нерівність R ε >.45 4ε ab a b ε a b для.44 дістанемо такі обмеження функціоналів gd θ θ θ Ω * λ * Ω H H 4λ Ω Ω < l z > g d f t z z f t

t p < r ξ > w t ξ t p * Ω θ θ * Φ Ω p θ w t ξ 4 t Φ * Ω θ ξ θ ξ p w t p>. t Φ Φ Ω * * p t Φ Ω Ω 76.46 Застосувавши нерівність.46 для оцінки лівої частини рівності.44 одержимо z z ξ ξ θ { z z ξ ξ } Δt H H Δt Φ Φ Δt H Φ gd t p f t w t θ ξ θ ξ p> 4λ Φ яку можна звести до такого представлення: p> > θ p : { } θ z ξ z z ξ ξ θ p H Φ θ p H Φ gtd Δ θ p z ξ θ p H θ p Φ Ω t f * t w * t p p p Ω Ω λ θ θ.47 Підставляючи υ та ϕ ξ в. і використовуючи неперервність білінійних форм m.. та.. одержимо що Отже ξ ξ Φ z w H * t H Φ. { } ξ z Φ H θ z ξ z z ξ ξ H Φ θ p H Φ θ p

Ω t f * t w * t p p p Ω Ω gtd Δ λ θ θ w* ξ t H Φ θ p Ω f * t p p Ω gtd Δ λ θ θ 77 t w * t θ θ θ Ω p p p p w f t w t gtd Δ Ω t * ξ * * t H Φ λ θ p p θ p Ω Ω теорему. Аналіз отриманих апріорних оцінок дозволяє сформулювати наступну Теорема про стійкіть побудованих рекурентних схем. Нехай ξ * H ξ Φ f L T; H w L T V тоді однокрокова рекурентна * ; схема.6 і.7 безумовно відносно вибору значення кроку інтегрування Δ t стійка за нормами просторів H та Φ якщо параметр схеми θ..8.6. Оцінки збіжності рекурентних схем Оцінимо похибки ε t t z t t z t Δ Δ.48 ρ t t ξ t t ξ t Δ Δ апроксимацій { z t ξ t} однокрокової рекурентної схеми.6 на Δ Δ t розв язку { z t ξ t} задачі.7. Для оцінок значень похибок.48 t m m ε ε t tm z z tm Δ m.. T m m ρ ρ t tm ξ ξ tm Δ на основі системи рівнянь задачі. та.7 дістанемо

78 θ θ θ m ε υ a ε υ b ρ υ λm ε υ < L υ > υ V θ ρ ϕ b ϕ ε < R ϕ > ϕ Φ.. T.49 m ε υ υ V ρ ϕ ϕ Φ. де лінійні функціонали < L υ >< l υ > m z t z t υ a θz t t θ z t υ b θξ t θ ξ t υ λm θz t θ z t υ υ V < R ϕ > < r ϕ > ξ t ξ t ϕ t b ϕθ z t θ z t ϕ Φ Спростимо ці вирази. Для цього допустимо що.5 z C T; V ξ C T; Φ тоді розкладаючи їх в ряд Тейлора в околі точки t t обчислюємо: Δt [ z t z t] z t Δ t z ς ; 4 [ z t z t] z t Δ t z η; 8 θ z t θ z t z t t θ z t Δ Δt { z η Δt θ z ς} ς η t t. 8.5

Δt [ ξ t ξ t] ξ t Δ t ξ ς; 4 [ ξ t ξ t] ξ t Δ t ξ η; 8 θξ t θξ t ξ t t θ ξ t Δ Δt { ξ η Δt θ ξ ς} ς η t t 8. 79.5 Підстановка.5.5 у праву частину.5 показує: < L υ > { < l υ > mz υ az υ bz υ} mz υ} t t Δt θ { a z t υ b ξ t υ m z t υ} Δt < L υ > Δt θ { a z t υ b ξ t υ m z t υ}.5 Δt < L υ > υ V < R ϕ > { < r ϕ > ξ ϕ b ϕ z} t t Δt θ b ϕ z t Δt < R ϕ > Δt < R ϕ >Δt θ { b ϕ z t } ϕ Φ з огляду на рівняння.49 при цьому функціонали L V та D Φ визначаються виразами < L υ > { az η υ b ξ η υ mz η υ mz ς υ} υ V 8.54 < R ϕ > { b ϕ z η ξ ς ϕ} ϕ Φ. 8 Таким чином система рівнянь для визначення похибок з огляду на.49 та.5 набуває вигляду

Δ θ θ θ m ε υ a ε υ b ρ υ λm ε υ t θ { a z t υ b ξ t υ m z t υ} Δt < L υ > υ V θ ρ ϕ b ϕ ε Δt b z t t < R > Φ Φ θ ϕ Δ ϕ ϕ.. T m ε υ υ V ρ ϕ ϕ. 8.55 яка показує що однокрокова рекурентна схема.6 чи.7 має: І перший порядок апроксимації якщо θ ; ІІ другий порядок апроксимації якщо θ..8.7. Апріорні оцінки Оцінимо порядок збіжності схеми.6 чи.7. З цією метою θ покладемо в системі рівнянь.55 υ ε θ та ϕ ρ. Додавши отримані рівності одержимо Δ θ θ θ θ θ θ Δ m ε ε ρ ρ λm ε ε t { < L ε > < R ρ > } t θ { a t ε b ξ t ε b ρ t m z t ε }. θ θ θ θ Надалі будемо розглядати випадок коли θ. Отже / / / / Δ m ε ε ρ ρ λm ε ε t { < L ε > < R ρ > } / / / ε ε ρ ρ λ ε Δt { L ε R }. H H Φ Φ H * H ρ Δt * Φ Оцінимо праву частину отриманої нерівності використовуючи нерівність.45 4α 4 / / 4 4 Δt R ρ α ρ Δt R * α ρ α ρ Δt R * * Φ Φ Φ Φ 4α 4 / / 4 4 Δt L ε α ε Δt L * α ε α ε Δt L * * Φ Φ Φ Φ

де α > довільне число. 5 { } { } { } Δt Δ H Φ H Φ * * α Δt ε ρ α t ε ρ R D. α 8 5 Δt { } { R D } * * / α Δt ε ρ λ ε ε ρ H Φ H α Δt H Φ α α Δt. Позначимо через R ma{ R D }. Тоді * * 5 α Δt Δt { ε ρ } { ε ρ } R H Φ α Δt H Φ α Δt α 5 α Δt Δt α Δt { ε ρ } R{ } α Δt H Φ α Δt α α Δt 5 α Δ Δ α Δ α Δ t t t t { ε ρ } R{... } α Δt H Φ α Δt α α Δt α Δt 5 α Δt Δt H Φ {{ ε ρ } R } α Δt α Δt α α Δt α Δt 4 α Δt Δt {{ ε ρ } R}. α Δt H Φ α

8. ПОБУДОВА МАТЕМАТИЧНОЇ МОДЕЛІ ПРОЦЕСУ ФІЛЬТРАЦІЇ РІДИНИ В ГРУНТІ Важливим питанням для життя та діяльності людини є ефективне використання водних ресурсів планети. Для передбачення імовірних наслідків використання та управління водними ресурсами необхідно вивчати та моделювати цикл кругообігу води в природі. Важливу роль в вивченні кругообігу води в природі відіграють гідрологічні системи. Гідрологічні системи складаються з багатьох взаємопов язаних між собою етапів кругообігу води на планеті. В загальному дослідження цілої такої системи з врахуванням всіх факторів впливу є складною і не завжди доцільною задачею для вивчення тому досліджується лише певну частину області що бере участь в кругообігу води. В розглядуваній області проводиться вертикальна декомпозиція області задачі - ця область розбивається на шари: приземний шар атмосфери поверхня землі ненасичена зона насичена зона зона напірного руху. В кожному шарі для опису руху води використовуються моделі різної розмірності їх розв язки з єднуються за допомогою граничних умов. Важливим процесом для дослідження є етап фільтрації [5-5] оскільки він вагомо залежить від решти етапів гідрологічної системи таких як випадання опадів русловий стік потік в озерах і водоймах. Також процес фільтрації безпосередньо залежить від діяльності людини меліорація будівля гідроспоруд тому його вивчення дає можливість зрозуміти процес формування ґрунтових вод і передбачувати наслідки діяльності людини. Моделі для опису фільтрації води в різних шарах грунту відрізняються одна від одної забезпеченістю даними можливістю перевірки на адекватність в реальних умовах. Для опису процесу фільтрації пропонується два основних підходи: гідравлічний та гідродинамічний [5 54]. При гідравлічному підході в області фільтрації виділяють елементарний об єм для якого записують рівняння балансу притоку та відтоку води. Для отримання рівняння що описує процес фільтрації використовують граничний перехід коли виділений об єм грунту прямує до нуля. Отримане рівняння називають рівнянням Буссінеска. З допомогою даного рівняння можна знайти скалярну характеристику потоку фільтрації - п єзометричний тиск. Для опису часткових видів фільтрації на основі рівняння Буссінеска будують його спрощені формулювання які відомі в літературі під назвами рівнянь планової та профільної фільтрації. Використовуючи гідродинамічний підхід для отримання рівнянь що описують процес фільтрації застосовується підхід механіки суцільного середовища до опису руху середовища. Отримані рівняння називають основними рівняннями фільтрації. Невідомими величинами що входять в дані рівняння є п єзометричний тиск швидкість та густина потоку фільтрації. Було розглянуто модель отриману з використанням основних рівнянь фільтрації. Особливістю цієї моделі є врахування густини фільтруючої рідини

8 що є важливим при дослідженні фільтрації стисливих рідин а також при напірній фільтрації води з великими значеннями тиску. З огляду на те що для багатьох задач фільтрації є характерна наявність вільної поверхні [5 54 58] наводиться побудова та дискретизація варіаційної задачі фільтрації. Для побудови дискретизованої задачі використовувалась схема Гальоркіна та однокрокова рекурентна схема інтегрування в часі [56]. Отриману дискретизовану задачу можна розв язати методом скінченних елементів [56 57] який дозволяє знаходити вигляд змінної області визначення задачі в часі без її перерозбиття на скінченні елементи [55]. Розглянемо основні рівняння які використовуються для побудови математичної моделі процесу фільтрації рідини в грунті... Побудова математичної моделі Для побудови математичної моделі використаємо основні рівняння фільтрації: рівняння збереження енергії [5 54] υ υ. g t p де z- п єзометричний тиск ρg та рівняння збереження маси [5 54] ρn. ρυ. t Рівняння. та. утворюють систему чотирьох скалярних рівнянь з п ятьма невідомими υ υ y υ z ρ тому для замикання цієї системи рівнянь їх необхідно доповнити рівнянням стану рідини. Загальний вид рівняння стану виберемо у вигляді. в якому задається залежність густини рідини фільтрації від тиску. ρ ρ p. Одним з прикладів аналітичного вигляду рівняння стану рідини [54] може бути p p ρ ρ e β.4 де ρ p - деякі початкові значення густини та тиску відповідно β - певна задана функція яка залежить від типу рідини. Використавши.4 виразимо залежність тиску та п єзометричного напору від густини рідини. Ці залежності мають вигляд.5 та.6 відповідно

84 ρ p p ln.5 β ρ p ρ ln ρg β ρ z.6 Виключивши з. та. тиск та п єзометричний тиск приходимо до замкнутої системи рівнянь де.. Постановка задачі υ υ f ρ ρ g t в Ω T ρn. ρυ t p ρ f ρ ln ρ βg g βg ρ.7 Розглянемо.7 в певній області Ω R на проміжку часу ; T ]. В.7 шуканими величинами виступають швидкість υ υ yz та густина ρ ρ yz. Доповнимо.7 початковими та крайовими умовами. υ t * υ в Ω ρ t ρ*.8 Крайову умову виберемо у вигляді ρ υ. n * на Γ Ω ΓΓ Γ Ω.9 В загальному випадку область фільтрації Ω є трьохвимірною областю. Прийнявши що параметри фільтраційного потоку є незмінні вздовж горизонтального виміру будемо розглядати двохвимірну область фільтрації Ω ~ що є вертикальним перерізом області Ω див. рис...

85 Рисунок. Область фільтрації Ω ~ Ω. Запишемо математичну постановку задачі для області R υ υ f ρ ρ g t в Ω T ρn. ρυ t p ρ f ρ ln ρ βg g βg ρ Початкові умови:. υ t * υ в Ω. ρ t ρ* Крайові умови: ρ υ. n * на Γ Ω ΓΓ Γ Ω... Варіаційна постановка задачі Варіаційна постановка задачі.-. має формулювання

ρ Ω ρ Задано υ L l L T; V. Знайти υ L T; V L T; V такі що υ' ϕ υ ϕ ϕ b f ρ ρ ϕ ; ϕ V g ρn ' ψ b n ρ; υ ψ < l ψ > ; ψ V υ υ φ ρ ρ ψ де V ' - спряжений до V простір. Форми що входять в. мають наступний вигляд: < l > * { dγ } Γ bc ; v { c.v} dω Ω b n c; v b c; v { c.ν v} dγ Γ v {.v} dω. Ω 86..4. Напівдискретизація Гальоркіна Виберемо послідовність щільно вкладених скінченновимірних просторів { V} V та { V} V таких що dm V. Розкладемо шукані величини за базисом вибраних відповідних скінченновимірних просторів: υ t υ t C y.4 ρ t ρ t L y тоді напівдискретизована варіаційна задача задачі. запишеться наступним чином:

Задано > υ ρ L Ω l L T; V. Знайти υ L T; V ρ L T; V такі що υ ' ϕ υ ϕ ϕ b f ρ ρ ϕ ; ϕ V g n ' b ; < l > ; V ρ ψ n ρ υ ψ ψ ψ υ υ φ ρ ρ ψ 87.5 Врахувавши.4 очевидно що розв язання задачі. звелось до відшукання коефіцієнтів υ t ρ t з.5..5. Дискретизація задачі за часовою змінною Розіб ємо відрізок часу [T] на рівних частин T [ t t ]. T Застосувавши до.5 однокрокову рекурентну схему дискретизації в часі метод побудови проекційного рівняння [56] та знехтувавши нелінійними доданками порядку O Δ t перейдемо до дискретизованої рекурентної системи рівнянь. Задано параметри Δ t > θ > та > υ ρ L Ω l L T; V. Знайти υ L T; V ρ L T; V такі що Δ t υ m υ m Δt ρ Δt bfρ L g m ϕ θ m ϕ θ ϕ ϕ υ ρ bfρ L ; V m m ϕ ϕ ϕ ρ n m θ Δ tn m LL m ψ Δ tθρ υ m υ m ρ b n L ; C m ψ l < ψ > ρ n LL b L; C ; V m m ψ ρ υ m n m ψ ψ.6

де υ υ Δ tυ ;... ; T ρ ρ Δ tρ ;... T υ t υ Δtω t t ; t t t t υ Δ T υ υ υ Δt ρ t ρ Δtω t t ; t t t t ρ Δ T ρ ρ ρ Δt < l v>< l v>< l t v> t t t t t t t Δ Δ. 88 Невідомими в.6 виступають значення дискретизованої за просторовими змінними функцій υ ρ в момент часу t тобто υ ρ. Значення υ ρ знаходяться за допомогою рекурентної формули стартові значення для якої υ ρ ми отримуємо з початкових умов задачі.5.

. КОМП ЮТЕРНЕ МОДЕЛЮВАННЯ НОВИХ ТЕХНОЛОГІЙ ЗУБНОГО ПРОТЕЗУВАННЯ 89 Чисельним дослідженням напружено-деформованого стану як зубощелепного апарату людини так і його імплантантів та протезів в умовах функціонального силового та теплового навантаження присвячено вже чимало робіт наприклад [65-69]. І у кожній з них відзначається особлива складність геометрії та структури складових елементів розглядуваної задачі. З цієї причини повний аналіз зубощелепної конструкції з достатньою точністю на сьогоднішній день ще неможливий а розглядають лише часткові задачі розв язування яких достовірно дає тільки якісну картину фізико-механічних процесів. Отримані ж кількісні показники мають відносний характер проте для вирішення багатьох практичних завдань цього цілком достатньо. Як приклад одного з таких завдань далі розглянута відома технологія імплантації у канал кореня зруйнованого зуба жорсткого металічного стрижня котрий фіксує штучний акриловий базис. Попри добрі результати і широке запровадження у практику така методика володіє і низкою недоліків більшість з яких зумовлені малою площею контакту стрижня та кореня що призводить до значних механічних напружень у цій області. Тому природною виглядає спроба розширити згадану площу опирання протеза на слизову оболонку з використанням м якої прокладки між ними. Процес тестування такої модифікації є багатокроковим. Нижче ми зупинимось на етапі комп ютерного аналізу запропонованої технології на предмет визначення впливу різноманітних її параметрів на картину розподілу внутрішніх зусиль у системі протезкорінь зуба-щелепа за умов функціонального навантаження... Фізична модель задачі Не деталізуючи медичної сторони запропонованої технології розглянемо складові частини поперечного перерізу системи протез опорні тканини зуба та щелепи. Опорні тканини зубо-щелепного апарату людини а також їх протезів завдяки своєму функціональному призначенню мають високі показники твердості. Це дає підстави для достатньо точного моделювання системи протез -опорні тканини зуба як окремого деформівного пружного тіла що складається з ідеально контактуючих елементів рис...

P 9 Нормальне навантаження Акриловий базис Еластична пластмаса Металічний штифт Дентин Кісткова тканина Жорстке закріплення Рисунок.. Поперечний переріз системи елементів фізичної моделі У поздовжньому напрямку щелепи двома поперечними перетинами вирізається прямокутний у плані сегмент визначеної ширини W і висоти H рис... W H Поздовжня симетрія Жорстке закріплення Рисунок.. Поздовжній переріз системи елементів фізичної моделі

9 Величини W та H підбираються з умов незначного впливу зміни їх значень на розподіл напружень в зоні взаємодії тканин альвеолярних відростків та акрилового базису. Нижній зріс кісткової тканини вважається жорстко защемленим відсутність усіх компонентів переміщень. Вважатимемо також що на робочу частину акрилового базису діє постійний у часі тиск заданої інтенсивності Р рис... З огляду на умови жувального контакту напрям навантаження фіксуємо нормальним до поверхні прикладення. Для спрощення подальшого аналізу даної фізичної моделі та зменшення кількості вхідних параметрів додатково введемо наступні припущення: матеріали всіх елементів системи ізотропні пружні характеристики однакові у всіх напрямках; отвір у каналі кореня та металічний штифт мають круговий переріз. Наведена вище фізична модель описує поведінку фрагменту протеза в околі його опирання на корінь зруйнованого зуба. Проте протез у більшій своїй частині додатково опирається і на слизову. Це обумовлює необхідність дослідження цієї взіємодії.тому всюди нижче паралельно з вище описаною ми будемо розглядати наступну модель яку надалі іменуватимемо - Модель. Акриловий базис Еластична пластмаса Кісткова тканина Рисунок.. Спрощена модель Умови закріплення та функціонального навантаження приймаємо такими ж як і у попередньої моделі. З точки зору механіки модель опирання базису протеза безпосередньо на слизову на порядок простіша від описаної вище оскільки включає у розгляд лише три компоненти : акриловий базис еластичну платсмасу та кістку щелепи. Проте з огляду на подальші математичне моделювання та комп ютерну реалізацію зауважимо що вони є лише

9 частковими випадками першої коли фізико-механічні параметри дентину кореня та кореневої частини штифта прирівняти до параметрів кістки щелепи а параметри матеріалу верхньої частини штифта задати такими ж як і у еластичної пластмаси. Це дає змогу використати єдине програмне забезпечення для аналізу обох моделей... Математична модель Для моделювання напружено-деформованого стану зуба під дією силового навантаження вибирано рівняння статичної теорії пружності. При цьому зважаючи на неосесиметричний характер навантаження у тривимірному варіанті. Нехай система зуб-кістка займає звязну область Ω з кусково-гладкою границею Γ. У цьому випадку замкнута система співвідношень статичної теорії пружності містить: рівняння рівноваги Ω в z y z y z y σ σ σ σ σ σ σ σ σ. закон Гука для ізотропного тіла Ω в y z z y z y y z z y z y ν ν λ σ ν ν λ σ ν ν λ σ. z y z y z z y y μ σ μ σ μ σ а також крайові умови

σ cos σ cos σ cos n σ cos n y σ cos n z n σ cos n y σ cos n z n σ cos n y σ cos n z P P y P z на Γ σ 9. ; ; y z на Γ T σ λ Тут використано наступні позначення: [ σ σ σ σ σ σ ] y z P P P - компоненти тензора напружень - вектор переміщень P - вектор навантаження y z E ν - модуль Юнга та коефіцієнт Пуассона матеріалу E ; μ ν ν ν Γ E - коефіцієнти Ляме Γ Γσ - об єднання навантаженої та закріпленої частин границі.. Варіаційне формулювання задачі Введемо простір кінематично допустимих переміщень V { v v v v : v на Γ ; v [ Ω ] } y z H Домножимо скалярно рівняння на функцію v V та проінтегруємо по області Ω за частинами. Із врахуванням та отримаємо наступну варіаційну задачу: знайти вектор V такий що a v l v v V.4 a a a.5 Ω сим. a де a v a a dω a λ v v v ν μ y y P v l v P dγ yvy.6 Γσ Pz vz z z

a λ v v v y y y y y y ν μ y y z z 94 a λ z vz z vz z vz ν μ z z y y a v λν μ y y v ; a y vy λν μ y z z y v y y a z vz λν μ z z z vz.4. Метод скінчених елементів Розіб ємо область Ω на скінчені елементи які не перетинаються і Ω Ωe. За скінчений елемент приймемо сирендипів криволінійний шестигранник з -ма вузлами. На кожному елементі задамо локальну систему координат α β γ у якій вузли утворють "стандартний" куб зі стороною від - до. У цій системі координат апроксимуючі функції матимуть наступний вигляд: ϕ αα ββ γγ αα ββ γγ 8.7 8 ϕ 8 8 αα ββ γγ αβγ βα γ γαβ де α β γ - координати і-го вузла у локальній системі координат. Зважаючи на ізопараметричний характер цих апроксимацій отримаємо наступні наближення шуканих функцій переміщень та координат на стандартному елементі: y z ϕ α β γ.8

95 Тут в ролі апроксимованої функції можуть виступати як компоненти вектора переміщень z y так і глобальні координати yz. Під розуміється значення апроксимованої величини у і-му вузлі скінченого елемента. Враховуючи розбиття досліджуваної області на скінчені елементи та перехід до локальної системи координат з апроксимаціями 8 перепишемо біквадратичну форму варіаційної задачі у наступному вигляді : e e v a v a де γ β α d d d a сим a a a a a v a e e e e e e e Δ..9.. a e γ ϕ γ ϕ β ϕ β ϕ μ α ϕ α ϕ ν λ γ ϕ γ ϕ α ϕ α ϕ μ β ϕ β ϕ ν λ e a β ϕ β ϕ α ϕ α ϕ μ γ ϕ γ ϕ ν λ e a α ϕ β ϕ μ β ϕ α ϕ λν e a ; β ϕ γ ϕ μ γ ϕ β ϕ λν e a α ϕ γ ϕ μ γ ϕ α ϕ λν e a γ γ γ β β β α α α Δ z y z y z y... α ϕ α Аналогічно у вигляді суми по скінчених елементах представимо і праву чпстину рівняння варіаційної задачі e e v l v l

96 Для обчислення поверхневих інтегралів на границі грані кожного скінченого елемента введемо локальну двомірну систему координат η τ у якій кожна грань матиме вигляд "стандартного" квадрата зі стороною [-]. Відповідно апроксимація на стороні скінченого елемента спирається тільки на значення апроксимованої функції у вузлах даної грані : 8 y z ψ η τ. Вигляд функцій форми також спрощується : ψ ηη ττ ηη ττ 4. 4 η ττ 57; ψ τ ηη 6 8 ψ де η τ - координати і-го вузла у локальній системі координат. Із врахуванням наведеної апроксимації та виконанням умови задачі про нормальність прикладеного навантаження P n маємо: l v e cos Pn n ψ cos P Λ n n y ψ dη dτ Pn cos n z ψ..8. де y z z y z z cos n ; cos n y ; Λ η τ η τ Λ η τ η τ y y cos n z Λ η τ η τ через що обчислювати якобіан Λ переходу до локальної системи координат нема потреби. Визначення потрібних похідних глобальних координат виконуються за формулами η ψ 8 η...

.5. Програмна реалізація 97 Програмною реалізацією описаної вище методики є пакет прикладних програм розроблений у середовищі візуального програмування DELPHI 6.. Він включає в себе засоби побудови сітки скінчених елементів за вхідними даними про геометрію розглядуваної області компоненту побудови і розв язування системи лінійних алгебраїчних рівнянь а також засоби візуалізації отриманих результатів..6. Аналіз чисельних результатів Введемо деякі позначення і величини які будемо використовувати далі. Навантаженню підлягає вся верхня P робоча частина акрилового базису рис..4 умови жувального наван-таження. α 45 6 9 Величину тиску Р всюди приймаємо рівною одиниці оскільки внаслідок лінійності вибраного варіанту теорії пружності всі отримані розв язки можна лінійно Т перерахувати на потрібну величину прикладеної сили. Серед усеможливих напрямків механічного навантаження на зуб за частотою Т та величиною явно переважають жувальні зусилля у поперечній до зубного ряду Рисунок.4. Умови навантаження площині зі сторони протилежної щелепи. Тому у більшості випадків експерименти проводяться для зусиль саме у цій площині з кутами навантаження α 45 6 та 9 градусів. Як контрольовану величину що характеризує рівень напруженого стану у деякій точці Т всюди далі будемо брати нормальну компоненту головного напруження S яку можна обчислити як функцію конкретного вигляду від усіх компонент тензора напружень у цій точці. Саме вона будучи максимальним значенням напруження у деякому напрямку головним чином впливає на процеси руйнування матеріалу. Для більшої наочності всі табличні дані будемо супроводжувати відповідними графіками. Зазначимо також що в дослідженнях були використані такі значення модулів Юнга Е та коефіцієнтів Пуассона ν матеріалів: Матеріал Е. 6 Па ν Акриловий базис 5 5 Еластична пластмаса 8 * 5 * Штифт 5 Дентин 86 8 Кісткова тканина 7 8 * Значення отримані експериментально спеціалістами кафедри механіки ЛНУ ім. Івана Франка.

98 Нагадаємо що при аналізі моделі характеристики штифта і дентину у відповідних областях прирівнювались до параметрів еластичної пластмаси та кісткової тканини..6.. Якісна картини впливу еластичної пластмаси на напруженодеформований стан системи зуб-протез Від введення еластичної пластмаси як буферного прошарку між акриловим базисом з одного боку та металічним штифтом і тканинами альвеолярних відростків з іншого можна очікувати наступні позитивні ефекти: частина механічних зусиль в околі металічного штифта модель перерозподілиться в область альвеолярних відростків знижуючи при цьому рівень навантаження на пародонтальні тканини опорного зуба; м яка пластмаса зменшить площу безпосереднього контакту твердих компонент протеза і слизової оболонки. для моделі розподіл зусиль на межі контакту протеза із слизовою буде більш рівномірним. Для показу якісної картини впливу еластичної пластмаси на систему наведемо два результати чисельного дослідження розподілу головних нормальних напружень в умовах функціонального навантаження α 6 за наявності еластичного включення рис..5а і без нього рис..5б модель. Темним кольором тут і всюди далі позначаються розтягувальні зусилля а світлим стискальні. При цьому рівень насиченості тону відображає інтенсивність відповідного напруженого стану. В обох випадках спостерігається значна концентрація поля напружень в ділянці металевого штифта. Рисунок.5а. Розподіл головних нормальних напружень за наявності еластичної пластмаси Рисунок.5б. Розподіл головних нормальних напружень без включення еластичної пластмаси Як і слід було очікувати левова частка деформацій припадає на зону еластичної пластмаси залишаючи опорну частину щелепи практично нерухомою. Тверда пластмаса базису зазнає в основному жорстких зміщень.

99 Для порівняння представимо напружений стан Моделі без включення еластичної пластмаси та з нею. Рисунок.5в. Розподіл головних нормальних напружень без включення еластичної пластмаси модель Рисунок.5г. Розподіл головних нормальних напружень за наявності еластичної пластмаси модель У першому випадку максимальні зусилля зосереджені по границі контакту протеза із слизовою особливо по зовнішньому краю що і призводить до відомих незручностей. Уведення еластичної пластмаси зменшує концентрацію напружень за рахунок двох факторів: майже по всій площі контакту еластичної пластмаси із слизовою встановлюється стискальний напружений стан що призводить до зменшення концентрації зусиль у районах пришийкових ділянок; напруження рівномірніше розподіляються по площі контакту еластичної пластмаси із слизовою; значна частина внутрішніх зусиль із зони контакту у вигляді розтягувальних напружень концентрується на внутрішній поверхні акрилового базису що зважаючи на багатократний запас міцності твердої пластмаси в цілому є позитивним моментом..6.. Дослідження впливу фізичних параметрів еластичної пластмаси З обчислювальної точки зору наведені вище два випадки розподілу напружень відрізняються лише модулями Юнга матеріалу в ділянці еластичного включення: Е 8. 6 Па пластмаса ПМ- Е 5. 6 Па пластмаса АКР-5 коефіцієнти Пуассона також брались відповідними але їх вплив на загальну картину напруженого стану порівняно з модулем Юнга є незначним. Однак ці відмінності спричиняють кардинальну зміну якісної картини розподілу напружень. За рахунок своєї м якості еластична пластмаса плавно перерозподіляє зусилля функціонального навантаження по всій площі контакту з опорними частинами протеза та альвеолярних відростків. Природно постає питання про принципову можливість керування даним перерозподілом

за рахунок підбору потрібної величини модуля Юнга фактично твердості еластичної пластмаси. Для його дослідження було проведено низку обчислювальних експериментів результати яких подаємо на рисунку.6. Тут у табличному та графічному вигляді показано залежність максимальних напружень S..4 у точках Т і від величини модуля Юнга Е. Додатково відслідковувався рівень напруженого стану S* у пришийковій ділянці точка Т для моделі α 6 Т Т Т E. 6 Па S * S S S S 4 46 479 46 78 46 479 46 78 5 45 479 459 78 5 4 5 5 9 5 9 4 67 74 4 6 4 S Т 4 4 6 E S S S S 4 S * Рисунок.6. Вплив величини модуля Юнга на розподіл напружень у системі Отримані результати дають змогу зауважити такі чисто механічні ефекти: зміна параметрів твердості еластичної пластмаси в межах відчутної еластичності не має суттєвого впливу на розподіл напружень в усіх інших компонентах системи зуб-протез для моделі ; еластична пластмаса зменшує рівень впливу акрилового базису на тканини альвеолярних відростків за рахунок довантаження пародонтальних тканин опорного зуба для моделі ; куксо-коренева вкладка майже на третину зменшує рівень напруженого стану в пришийкових ділянках для моделі ; куксо-коренева вкладка металевий штифт в районі верхнього опирання на корінь зуба з удвічі більшою силою тисне по зовнішньому діаметру контакту ніж у центральних частинах штифта для моделі ; напруження в зоні періодонтального контакту кореня зуба з кістковими тканинами швидко зменшуються в напрямку основи кореня для моделі..6.. Дослідження впливу напрямку функціонального навантаження Для перевірки зроблених у попередньому пункті висновків були проведені розрахунки напружено-деформованого стану для різних кутів функціонального навантаження α 45 6 9. На рис.7абв показано динаміку зміни напруженого стану.

Рисунок.7а. α 45º Рисунок.7б. α 6º Рисунок.7в. α 9º Аналогічні розрахунки виконано і для Моделі. Рисунок.8а. α 45º Рисунок.8б. α 6º Рисунок.8в. α 9º Кількісне ж вираження цього процесу табличне і графічне для кутів 45 та 9 подане на рисунку.9а та.9б. α 9º α 45º E. 6 Па S S* S S S 4 E. 6 Па S S* S S S 4 75.4 486 677 54 78 4 5 75.4 5 565 66 68 89 8 8.7 5 44 4 S 6 S 4 5 4 6 E 4 6 E S S S S 4 S S S S 4 Рисунок.9а. α 9º Рисунок.9б. α 45º Порівняння відповідних значень у наведених таблицях дає змогу зробити висновок що перші два згадані у попередньому пункті ефекти є загальними властивостями розглядуваної конструкції а -й та 4-й викликані появою горизонтальної складової навантаження. Отримані результати ілюструють

природну пристосованість геометричної форми зуба більшою мірою до вертикальних навантажень які призводять до рівномірно розподіленого напруженого стану відносно невисокого рівня. Поява ж горизонтальної складової навантаження викликає швидку концентрацію напружень у пришийкових зонах. Для здорового зуба ці напруження легко компенсуються їх розподілом у достатньо великих об ємах матеріалу пришийкових ділянок. Куксо-коренева вкладка ж за рахунок власної високої твердості відтягує на себе левову частку загального напруженого стану створюючи в зонах малих об ємів кореня що її оточують значні концентрації напружень. Цю проблему до певної міри розв язує акриловий базис за рахунок перенесення частини внутрішніх зусиль з парадонтальних тканин опорного зуба в район альвіолярних відростків. Проте надмірне навантаження слизових тканин може призводити до відомих незручностей які вдається компенсувати застосуванням еластичної пластмаси. Її дія загалом також ґрунтується на передачі внутрішніх зусиль у зону взаємодії верхівки кореня зуба і куксокореневої вкладки. У випадку опирання базису протеза безпосередньо на слизову модель застосування еластичної пластмаси призводить до утворення більш рівномірного стискального напруженого стану практично по всій площі їхнього контакту. На приведених рисунках спостерігається відтік внутрішніх зусиль у зону внутрішньої поверхні акрилового базису який в силу своїх функціональних особливостей володіє достатнім запасом міцності. Даний факт є особливо позитивним за відсутності куксо-кореневої вкладки модель яка б переносила частину напруженого стану на конструкцію штифт-корінь. До того ж вказана особливість слабо залежить від напрямку функціонального навантаження що є важливим за наявності значних горизонтальних складових навантаження котрі призводять до концентрації зусиль у пришийкових ділянках.6.4. Дослідження впливу геометричних параметрів еластичної пластмаси Складність геометрії еластичного включення в загальному випадку зумовлює надзвичайно велику кількість можливих параметрів варіювання. Тому тут обмежимося лише двома інтуїтивно найбільш важливими напрямками досліджень: визначенням впливу товщини еластичної пластмаси над матричним ретенційним ложем; дослідженням залежності напруженого стану в розглядуваній системі від площі контакту еластичного включення і слизової оболонки..6.5. Варіювання товщиною еластичної пластмаси Всі наведені у попередніх параграфах розрахунки виконані для Н мм. Порівняльні результати для інших значень Н α 6º наведені на рисунку.. Як і раніше табличні дані ми ілюструємо відповідними графіками.

Hмм S S S S 4 5 455 7 5 46 6 58 46 46 78 8 49 68 5 S 4 S S S S4 5 5 5 5 H Рисунок... Вплив товщини еластичної пластмаси на рівень напружень Отримані результати свідчать що: вибір товщини еластичного включення більшою за мм не призводить до суттєвих змін у напруженому стані розглядуваної системи принаймні у контрольованих точках; в той же час товщини менші за мм концентрують головні нормальні напруження в районі слизової оболонки S ; еластична пластмаса за рахунок рівномірного навантаження усієї площі контакту згладжує навантаження на корінь зуба S S 4 навіть за умов достатньо тонкого її прошарку..6.6. Варіювання площею контакту еластичної пластмаси із слизовою оболонкою Вертикальна проекція поверхні контакту еластичного включення і слизової оболонки має складну геометрію яка дуже залежить від індивідуальної форми поверхні кісткової тканини. В загальному випадку візьмемо зовнішній контур цієї проекції у вигляді еліпса і дослідимо залежність напруженого стану в розглядуваній системі від довжини дуги контакту L вздовж поперечної осі вказаного еліпса рис.. Довжина поздовжньої осі прийнята рівною 6 мм. Табличні та відповідні графічні результати наведено на рисунку. Тут ми спостерігаємо очікуване спадання рівня напружень при збільшенні площі контакту за достатньо близьким до лінійного законом.

4 L L мм S S* S S S4 5 65 549 89 47 5 46 444 64 78 4 94 5 4 4 48 5 5 8 6 S 4 S S * S S S4 4 5 L Рисунок.. Вплив площі контакту еластичної пластмаси із слизовою оболонкою.6.7. Дослідження характеристик міцності акрилового базису за наявності еластичного включення Н Т Рисунок.. Зона концентрації напружень Необхідність досягнення високого рівня стійкості до зношування базисного покриття протеза зумовлює використання для його виготовлення особливо твердих пластмас. До того ж геометричні параметри і кількість необхідного матеріалу визначаються у першу чергу потребами зорової емуляції натурального зубного ряду через що здебільшого створюється багатократний запас міцності самого базису. Проте включення в склад протеза еластичної пластмаси очевидно має призводити до деякого послаблення міцності конструкції протеза в цілому. Зокрема це видно на рисунку. де по більшій частині зони контакту базису з еластичною пластмасою спостерігаються значні розтягувальні зусилля. Таким чином є сенс у дослідженні поведінки

5 напруженого стану твердого базису за умов наявності різних форм і розмірів еластичного включення. Чисельні розрахунки показують що типовим місцем концентрації розривних напружень є позначена прямокутником на рисунку. область. Прослідкуємо рис. 4 за величиною нормальної компоненти головного напруження S в точці Т за різних значень товщини Н робочої зони базисної пластмаси нагадаємо що від ємний знак означає розтягувальні зусилля. Як і раніше S * позначає аналогічні напруженяя для Моделі. H мм S S * 5 - -59-95 -975-7 -567-58 -46 4-48 -6 4 5 - -4-6 -8 S - * S - -4 S H Рисунок.. Вплив товщини робочої зони базисної пластмаси на рівень напружень Отже напружений стан базисної пластмаси для обох розглядуваних моделей зазнає загрозливих концентрацій лише при H < мм що малоймовірно за реальних умов протезування. Таким чином можна стверджувати що включення прошарку з еластичної пластмаси у склад твердої базисної пластмаси практично не призводить до послаблення механічної міцності останньої..7. Висновки У даному звіті узагальнено результати значного числа виконаних експериментальних досліджень. На їх основі сформулюємо основні висновки щодо застосовності запропонованої технології протезування з точки зору механічної взаємодії елементів системи протез-зуб-щелепа : використання еластичного включення для розмежування контакту базисної пластмаси і опорних частин кореня та слизової в цілому зменшує ризик руйнування системи зуб-протез за рахунок більш рівномірного розподілу зусиль від функціонального навантаження між металевим штифтом кореневою частиною зуба та поверхнею слизової оболонки; у випадку безпосереднього опирання акрилового базису на слизову уведення еластичної пластмаси призводить до зниження концентрацій напруженого стану у пришийкових ділянках за рахунок перерозподілу внутрішніх зусиль рівномірно по всій площі контакту протеза та слизової; застосування еластичної пластмаси не призводить до послаблення механічної міцності конструкції протеза в цілому і базисної пластмаси зокрема; параметри твердості пластмаси включення в межах відчутної еластичності не мають суттєвого впливу на механічні властивості розглядуваної системи.

4. ЧИСЛОВЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕСІВ ПЕРЕНЕСЕННЯ ЗАРЯДІВ У НЕОДНОРІДНИХ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ СТРУКТУРАХ 6 Дифузійно-дрейфові моделі перенесення зарядів у напівпровідниках широко застосовують в інженерній практиці однак вона приводять до складних нелінійних початково-крайових задач [7 7 7 7 74 76]. Класичний підхід який використовують для лінеаризації нелінійних рівнянь задач перенесення зарядів у напівпровідникових структурах полягає в застосуванні варіацій методу Ньютона. Незважаючи на високу ефективність а отже й отримання числового розв язку з високою точністю цей підхід досить трудомісткий для реалізації. На відміну від методу Ньютона ми пропонуємо використовувати напівдискретизацію варіаційних рівнянь яка врівноважує похибку дискретизації в часі з похибкою лінеаризації і дає змогу уникнути виконання трудомістких ітерацій Ньютона під час розв язування нелінійних нестаціонарних задач перенесення зарядів. Особливості застосування запропонованого підходу наведені на прикладі числового розв язування початково-крайової задачі яка моделює поводження концентрації нерівноважних електронів у неоднорідних напівпровідниках зі сферичними включеннями [7 77 78]. Проаналізовано переваги та недоліки підходу порівняно з класичним використанням методу Ньютона для лінеаризації нелінійних рівнянь. Сформульована початково-крайова задача дискретизована за допомогою схеми Гальоркіна з використанням апроксимацій методу скінченних елементів МСЕ та однокрокової схеми інтегрування в часі. Поряд з аналізом початково-крайової задачі наведено числовий аналіз низки модельних задач дифузійно-дрейфової моделі перенесення носіїв заряду. Окремі результати статті опубліковано в [78-8]. 4.. Фундаментальні співвідношення та формулювання задачі В однорідному напівпровіднику концентрацію нерівноважних носіїв заряду ННЗ скажімо електронів можна описати рівнянням G R 4. t де G і R задані швидкості генерації і рекомбінації цих зарядів. У неоднорідних напівпровідниках потрібно враховувати додаткові чинники які породжують нерівномірний просторовий розподіл концентрації ННЗ. Перший з них наявність дифузійного перенесення зарядів у структурі напівпровідника приводить до заміни рівняння нерозривності зарядів 4. рівнянням DΔ R G в області Ω T ] 4. t де D коефіцієнт дифузії ННЗ; Δ оператор Лапласа; Ω область просторових змінних яку займає напівпровідник; [ T ] проміжок часу

7 спостереження < T <. Наприклад якщо нас цікавить розподіл ННЗ у макродефектах сферичної форми то область Ω є кулею з радіусом такого включення. Другий додатковий чинник наявність поверхні рекомбінації ННЗ на межі області Ω приводить до крайових умов вигляду * D σ на Γ [ T ] 4. n де n одиничний вектор зовнішньої нормалі до Ω; Γ частина межі області * Ω; σ s s const заданий параметр який виражає швидкість n поверхневої рекомбінації на поверхні включення чи зерна n рівноважна концентрація ННЗ. Стосовно рекомбінації ННЗ у внутрішніх точках області Ω ми обмежимось таким описом її механізму [7]: n R : σ 4.4 τ n де τ об ємний час існування ННЗ. Нарешті наявність зовнішніх збурень поля зарядів у напівпровіднику в початковий момент часу t приводить до початкової умови t в Ω. 4.5 Отже врахування ефектів дифузії та рекомбінації ННЗ у неоднорідних напівпровідниках приводить до формулювання такої початково-крайової задачі теорії напівпровідників [7 77 78]: DΔ R G â Ω T ] t * D σ íà e [ T ] e Ω 4.6 n â Ω. t Уведемо простір допустимих функцій V : { v H Ω } і сформулюємо відповідну 4.6 варіаційну задачу: знайти L T; V таку що m t v a t v n t v m G t v t T ] 4.7 m v v V де білінійні форми m n a визначені так:

8 Γ Ω Ω Γ Ω.. : : ; : * vd D v a w vd w vd v w n vd v m σ σ V w v 4.8 4.. Сумісна дискретизація в часі та лінеаризація варіаційного рівняння Нехай T t t t Δ Δ.... Розглянемо таку апроксимацію t на проміжку ] [ t t : Δ Δ t t t t ω 4.9 де ] [ : Δ Δ t t t t t t t t ω. На підставі формули Тейлора зі співвідношення 4.4 отримаємо таке наближення опису механізму рекомбінації ННЗ в околі точки t : O d dr R σ σ ] [ d d σ σ σ 4. Підставимо апроксимацію 4.9 в розвинення 4. одержимо остаточні формули для обчислення інтенсивності рекомбінації зарядів: t O d d t t t t R Δ Δ Δ σ σ ω σ ω 4. Подібні розвинення одержують для функції R : * * σ. Знехтувавши величинами порядку t O Δ можна одержати таку лінеаризацію нелінійних доданків рівняння 4.7: Ω Γ Δ Δ Γ Δ Δ d v t t R v d t t R v t t n t t * ω ω Ω Δ d v d d t t σ σ ω σ Γ Γ Δ v d d d t t * * * σ σ ω σ [ ]... Δ t t t v d v n t t v n ω 4.

де dσ d w v : w vd d Ω Γ * dσ d 9 w vdγ w v V. 4. Скористаємось проекційним методом [8] для дискретизації задачі 4.7 на підставі апроксимацій 4.9 та 4. отримаємо таку однокрокову рекурентну схему інтегрування в часі: задано V Δt θ Δ m v tθ a < l t v > a > ; знайти v n v n Δt V v d v v v V такий що 4.. Дискретизація за просторовими змінними 4.4 Виберемо в просторі V послідовність скінченновимірних просторів апроксимації { V } таких що dmv ïðè і зафіксуємо базис { ϕ } простору апроксимацій V. Перехід до розгляду задачі 4.7 у скінченновимірному просторі V і вибір скінченного базису { ϕ } простору апроксимацій V дає змогу записати розв язок дискретизованої за просторовими змінними задачі у вигляді ϕ... 4.5 Підставимо розвинення 4.5 у рекурентну схему інтегрування в часі 4.4 отримаємо її алгебричний запис m m задано R Δt θ ; знайти R такий що m m m m { M Δtθ [ A Φ ]} L [ A Φ ] 4.6 m m m m Δt m... де

Γ Φ Φ Φ Γ Φ Ω Ω Γ Ω Γ Ω Ω..... * * d t G t L d d d d d d d d d n d D A d M m m m m m m m m m m m m ϕ ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ ϕ ϕ ϕ ϕ σ ϕ ϕ σ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 4.7 Тут і далі за базиси просторів апроксимацій V вибрано кусково-лінійні функції Куранта визначені на регулярних поділах області Ω на трикутні скінченні елементи. 4.4. Метод Ньютона Для порівняння з рекурентною схемою 4.6 наведемо аналогічну рекурентну схему інтегрування в часі в матричному вигляді який отримують класичним шляхом застосування методу Ньютона для лінеаризації нелінійного доданка рівняння 4.7: [ ] [ ] Δ > Δ Δ Δ Δ R Δ R...... ] [ що такий знайти ; задано m ty y z доки z y y y y F A t M y F A L z y y F t y F A t y F t M t m m m m m m m m m m m m ε θ θ θ 4.8 де Ω Δ Δ d ty ty n y F l l l m l l l l m l m ϕ ϕ ϕ σ ϕ ϕ ϕ Γ Γ Δ d ty l l l m l ϕ ϕ ϕ σ *.... 4.9 Зазначимо що схема 4.8 4.9 має складніший вигляд ніж схема 4.6 4.7. По-перше схема 4.8 4.9 потребує додаткового знаходження доданка m m y F для обчислення підсумкової матриці системи лінійних алгебричних рівнянь та доданка m y y F A t M ] [ Δ θ для обчислення стовпця її вільних членів. По-друге на відміну від схеми методу Ньютона схема 4.6 4.7 не потребує трудомісткого обчислення

m F y матриці похідних на кожному кроці уточнення розв язку. Фактично операція диференціювання в схемі 4.6 4.7 вже закладена в визначенні * матриці Ô завдяки сумісній дискретизації в часі та лінеаризації варіаційного рівняння вихідної задачі. 4.5. Регуляризація стаціонарних задач електростатики На підставі описаного вище з ясуємо як нелінійні стаціонарні задачі можна розв язувати за допомогою застосування аналогічного підходу який ми використовуємо для розв язування нелінійних нестаціонарних задач. Припустимо що в задачі 4.6 дані і розв язок не залежать від часу. Однак уводячи параметр регуляризації ε const > достатньо мале число будемо таку задачу розглядати як нестаціонарну і розв язувати починаючи з відомого з виходом на усталений режим. Отже отримаємо таку регуляризовану задачу: ε DΔ R G в Ω T ] t * D σ на Γ [ T ] Γ Ω 4. n в Ω. t Зазначимо що при ε регуляризована задача 4. збігається зі стаціонарним варіантом задачі 4.6. Наведена тут процедура регуляризації стаціонарної задачі дає нам змогу розв язувати стаціонарні та нестаціонарні задачі за допомогою єдиної методології а отже уникнути застосування трудомісткого методу Ньютона і під час розв язування стаціонарних нелінійних задач. 4.6. Результати обчислювальних експериментів 4.6.. Крайова задача з нелінійним рівнянням Пуассона Розглянемо таку крайову задачу: знайти таку щo Δ sn sn â Ω Ω [ π ] [ π ] y π y 4. π n n точний розв язок якої має вигляд sn. Числовий розв язок цієї задачі отриманий на рівномірній сітці трикутних скінченних елементів показано на рисунку 4..

Рисунок 4.. Графічне зображення числового розв язку. У табл. 4. наведено результати ефективності використання для цієї задачі запропонованої числової схеми 4.6 4.7 порівняно з числовою схемою методу Ньютона 4.8 4.9. Таблиця 4. Порівняння ефективності рекурентних схем. Кількість Порядок Похибка ітерацій Сітка m m метод ітераційна R Ньютона схема 4 5 4 4 4 6 8 8 4 7 5 4 4 5 6 8 8 5 метод Ньютона 98 97 збіжності ітераційна схема Обидві рекурентні схеми визначають числовий розв язок задачі з очікуваним порядком збіжності який дорівнює двом. Отримані результати порівняння ефективності рекурентних схем свідчать про те що запропонована числова схема 4.6 4.7 не поступається за кількістю ітерацій схемі методу Ньютона 4.8 4.9 за точності розв язку порядку. Водночас зі збільшенням порядку точності розв язку незважаючи на значне збільшення кількості ітерацій для отримання числового розв язку використання числової схеми 4.6 4.7 дає змогу уникнути обчислювальних труднощів пов язаних з методом Ньютона. 4.6.. Розподіл ННЗ у неоднорідних напівпровідниках Числовий експеримент для відшукання просторово-часового розподілу концентрації електронів за наявності в кристалі сферичних включень у межах включення внутрішня задача та зовні включення зовнішня задача виконували за таких умов: структура напівпровідника складається з матеріалу 5 Hg Cd Te. з характеристиками D 5* м с та s м/c ;

об ємний час існування ННЗ G 9 м с τ 6 c ; рівень збудження напівпровідника ; тривалість збудження напівпровідника є в інтервалі часу t 5 c а весь час спостереження T t ; початкова концентрація 6 n м ; радіуси включень r с м а відстань між ними R rc ; просторовий розподіл концентрації електронів центральносиметричний залежний лише від змінної r як у внутрішній задачі так і в зовнішній. Зазначимо що за вибраних умов коефіцієнт рекомбінації σ значно перевищує на вісім порядків коефіцієнт дифузії D що спричиняє помітне зростання обчислювальних похибок у разі безпосереднього застосування схеми 4.6 4.7. Цей недолік усувають шляхом переходу до безрозмірних змінних такого вигляду: t r y χ. 4. Gτ τ r c Просторово-часовий розподіл концентрації електронів для внутрішньої та зовнішньої задач показано на рисунку 4. та 4.. Помітним є зменшення концентрації ННЗ біля меж включень що зумовлене наявністю додаткового каналу рекомбінації пов язаного з поверхнею кристала. Також зафіксовано помітне збурення розв язку зовнішньої задачі залежно від збільшення змінної r. На підставі отриманих даних було обчислено усереднені характеристики фотопровідності для зовнішньої та внутрішньої задачі: R t r t r dr 4. R r c r c r c t r t r dr. 4.4 rc На рисунку 4.4 зображено графіки залежності характеристики 4. від часу порівняно з відповідними графіками аналогічної характеристики лінійної початково-крайової задачі дифузії і рекомбінації ННЗ у неоднорідних напівпровідниках з праці [7]. Масштаб графіків у безрозмірних величинах 4.. У разі значного збільшення параметра G графік характеристики фотопровідності 4. нелінійної задачі лежить нижче ніж лінійної. 4.6.. Розподіл потенціалу електричного поля в польовому транзисторі Задачу можна описати такою крайовою задачею [7]: знайти ϕ ϕ таку що

4 Δϕ σ ϕ f в Ω Ω R ϕ V на γ γ γ Ω ϕ 4.5 на γ γ γ γ n де ϕ потенціал електричного поля; f задана функція концентрації домішок; нелінійний доданок цього рівняння набуває такого вигляду: σ ϕ ep ϕ ϕ ep ϕ ϕ де ϕ задані квазіпотенціали Фермі n p вигляду n ϕ p ϕ ϕ ln n ϕ ϕ ln p. Зазначимо що фактично ми розглядаємо n p крайову задачу для рівняння Пуассона з дифузійно-дрейфової моделі. Рисунок 4.. Внутрішня задача. Рисунок 4.. Зовнішня задача. Числовий експеримент з відшукання характеристик наближеного розв язку стаціонарної задачі електростатики для напівпровідників 4.5 виконували за умов відображених на рисунку 4.5.

5 А Б Рисунок 4.4. Характеристика фотопровідності: А - нелінійна задача лінійна задача. 7 G Б - 9 G ; Рисунок 4.5. Геометрія та крайові умови задачі. Тут довжини EF 4 мкм AE мкм AB мкм СD мкм; параметр Δ t 4; параметр θ 5. Числовий розв язок задачі 4.5 отриманий на рівномірній сітці трикутних скінченних елементів з допустимою похибкою ε показано на рисунку 4.6. Для оцінки порядків швидкості збіжності запропонованої числової схеми використано такі норми: / ϕ ϕ Ω ϕ d V ϕ ϕ d V Ω Ω. 4.6 Результати обчислень з використанням сіток та 4 4 трикутних скінченних елементів наведено в табл. 4.. Таблиця 4. Обчислені порядки швидкості збіжності. Норма Порядок збіжності ϕ 5 V V ϕ /

6 Як наслідок отримані оцінки порядків збіжності збігаються з теоретично очікуваними щодо цієї числової схеми. V В V В 4.7. Висновки Отже на прикладі числового розв язування початково-крайової задачі яка моделює поводження концентрації нерівноважних електронів у неоднорідних напівпровідниках зі сферичними включеннями розглянуто особливості застосування запропонованої схеми числового аналізу. А Б Рисунок 4.6. Потенціал електричного поля ϕ В : V В V В. На низці модельних задач доведено ефективність використання методу лінеаризації варіаційних рівнянь який урівноважує похибку дискретизації в часі з похибкою згаданої лінеаризації і дає змогу уникнути виконання трудомістких ітерацій Ньютона під час розв язування нестаціонарних задач перенесення зарядів. Проаналізовано можливість застосування цього підходу до розв язування стаціонарних задач перенесення носіїв заряду. Проаналізовані переваги запропонованого підходу порівняно з класичним використанням методу Ньютона для лінеаризації нелінійних рівнянь на нашу думку переважають наявні недоліки а отже цю схему можна успішно використати під час розв язування нелінійних задач перенесення носіїв заряду.

7 ВИСНОВКИ Цей проект розвиває концепції стабілізованих та адаптивних схем МСЕ на основі: І аналізу функціоналів джерел похибок зокрема нев язок вихідних рівнянь на знайдених апроксимаціях МСЕ; ІІ використання апроксимацій Рав яра-тома для змішаних варіаційних задач; ІІІ побудови апріорних та апостеріорних оцінок похибки наближених розв язків для конкретних класів варіаційних задач та їх перевірка шляхом виконання обчислювальних експериментів IV доповнення традиційних застосувань МСЕ новими зокрема із теорії автохвильових процесів. Основні результати цього проекту стосуються такої тематики.. Побудовано неявні апостерірні оцінювачі похибок та ефективні стратегії адаптування неструктурованих тріангуляцій для обчислення апроксимацій методу скінченних елементів з наперед гарантованою точністю. Запропоновані -адаптивні схеми продемонстрували свою надійність в обчислювальних експериментах з сингулярно збуреними крайовими задачами міграції домішок та теорії пружності. Особливістю побудованих апостеріорних оцінювачів є можливість ієрархічного уточнення вузлових значень знайдених апроксимацій МСЕ. Розроблено -адаптивні проекційно-сіткові схеми для еволюційних варіаційних задач міграції домішок та змішаних задач руху мілкої води з використанням апроксимацій Рав яра-тома.. Створено сумісні стабілізовані схеми МСЕ для задач з рівняннями дифузії-адвекції-реакції які вживають апостеріорні оцінювачі похибок або метод найменших квадратів для ітераційної реконструкції апроксимацій розв язків сингулярно збурених задач міграції домішок в нестисливих рухомих середовищах та динаміки потоків мілкої води.. Одержано оцінки точності кусково постійної апроксимації рельєфу місцевості grd-поверхнями для різних методів та параметрів інтерполяції на ділянках з різним характером рельєфу що дозволило удосконалити методику побудови цифрової моделі рельєфу реальної місцевості рівня регіону у вигляді grd-поверхні і створити цифрову карту території Львівщини. 4. На основі усереднення рівнянь Нав є-стокса побудовано початковокрайову задачу регуляризованої моделі стоку мілкої води з поверхні водозбору проекційно-сіткову схему її розв язування проведено аналіз її стійкості та збіжності. На додаток побудовано регуляризовану модель стоку мілкої води в кінематичному наближенні та відповідну їй стабілізовану проекційно-сіткову схему її розв язування. 5. Сформульовано початково-крайові та відповідні їм варіаційні задачі акустики гідропружних систем та гідроакустики в термінах невідомих переміщень і в змішаній постановці. Досліджено питання коректності варіаційних формулювань. Побудовано чисельні схеми та алгоритми для аналізу нестаціонарних процесів вимушених усталених гармонійних та вільних коливань таких конструкцій.

8 Всі вищезгадані числові схеми знайшли свою програмну реалізацію у вигляді відповідних пакетів прикладних програм та апробацію на низці модельних і прикладних задач. Дослідження проведено на високому науково-технічному рівні з застосуванням сучасних засобів математичного та компютерного моделювання. Зокрема за тематикою виконаних досліджень захищено три кандидатські дисертації і низку магістерських і дипломних робіт. Серед нових наукових результатів слід виділити: побудову та аналіз стабілізованих схем МСЕ для сингулярно збурених задач міграції домішок; побудову та аналіз -адаптивних схем МСЕ для задач міграції домішок та еластостатики; побудову та аналіз схем МСЕ для задач мілкої води та поверхневого стоку; побудову схем МСЕ із застосуванням апроксимацій Рав яра-тома для задач гідропружності гідроакустики та міграції домішок; розробку геоінформаційної системи аналізу та моніторингу природного середовища на території Львівщини.

9 ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ. T. Gratsc.-J. Bate. A posteror error estmaton tecnes n practcal fnte element analyss // Compters and Strctres. 5. Vol. 8. Pp. 5 65.. Babsa I. Renboldt W.C. A posteror error estmates for te Fnte Element Metods // Int. Jornal m. Met. Engrg. 978. Vol.. Pp. 597-65.. P. Ladeveze D. Legllon. Error estmaton procedres n te fnte element metod and applcatons // SIAM J. mer. Anal. 98. Vol.. Pp. 485-59. 4. Ban R.E. Weser A. Some a posteror error estmators for ellptc partal dfferental eatons // Mat. Compt. 985. Vol. 44. Pp. 8-. 5. Babsa I. Mller A. A feedbac fnte element metod wt a posteror error estmaton: Part I. Te fnte element metod and some basc propertes of te a posteror error estmator // Comp. Met. Appl. Mec. Engrg. 987. Vol. 6. Pp. -4. 6. Zenewcz O.C. Z J.Z. A smple error estmator and adaptve procedre for practcal engneerng analyss // Internat. J. mer. Metods Engrg. 987. Vol. 4. Pp. 7-57. 7. Jonson C. mercal Solton of Partal Dfferental Eatons by te Fnte Element Metod. Cambrdge: Cambrdge Unversty Press 994. 8. Becer R Rannacer R. A feed-bac approac to error control n fnte element metods: basc analyss and eamples // East West J mer Mat. 996. Vol. 4. Pp. 7 64. 9. R. Verfrt. A revew of a posteror error estmaton and adaptve mesrefnement tecnes. Wley-Tebner. 996.. Answort M. Oden J.T. A Posteror Error Estmaton n Fnte Element Analyss. ew Yor: Jon Wley & Sons.. Zenewcz O. C. Taylor R. L. Te Fnte Element Metod. Vol.: Te Bass. Btterwort-Henemann Oford.. Sten E. ed. Ramm E. Error-controlled Adaptve Fnte Elements n Sold Mecancs. ew Yor: Jon Wley & Sons.. Вагін П.П. Ямелинець А.С. Розв язування початково-крайових задач мігрування домішок. // Вісн. Львів ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ.. Вип. 5. С. 6-67. 4. Г. Шинкаренко Г. Квасниця. Порівняння простих апостеріорних оцінок похибок методу скінчених елементів для задачі електростатики // Вісн. Львів ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ.. Вип. 7. С. 6-74. 5. Г. Шинкаренко Ю. Козаревська. Регуляризація чисельних розв язків варіаційних задач міграції домішок: -адаптивний метод скінчених елементів // Вісн. Львів ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ.. Вип. 5. С. 5-65. 6. Бахвалов Н.С. Жидков Н.П. Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука 987. 6с. 7. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука 98. 56с.

8. Шинкаренко Г. Голуб Н. Щербина Ю. Застосування нейронних мереж для розв язування крайових задач Штурма-Ліувілля. // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. 4. Вип. 8. С. -7. 9. Зубов В.М. Терлецька С.Ю. Шинкаренко Г.А. Розв язуваність та апроксимація узагальнених розв язків початково-крайових задач міграції атмосферних домішок //Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 995. Вип. 4. С.6-7.. Козаревська Ю.С. Шинкаренко Г.А. Аналіз критеріїв подібності та чутливості розв язків задач мігрування субстанції до збурень її коефіцієнтів // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ.. Вип. 5. С. 6-5.. Козаревська Ю.С. Шинкаренко Г.А. Чисельне розв язування задач міграції домішок з великими числами Пекле // Сучасні проблеми математики: Матеріали міжнар. наук. конф. К.: Ін-т матем. НАН України. 998. Ч.. С. 69-7.. Шинкаренко Г.А. Шинкаренко О.Г. Чисельне дослідження варіаційних задач міграції пасивних домішок //Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 996. Вип. 44. С.7-45.. Козаревська Ю.С. Шинкаренко Г.А Шинкаренко О.Г Регуляризація чисельних розв язків варіаційних задач міграції домішок: локалізовані найменші квадрати // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 999. Вип. 5. С. 59-7. 4. Qarteron A. Vall A. mercal Appromaton of Partal Dfferental Eatons. Berln: Sprnger 994. 54 p. 5. Шинкаренко Г.А. Проекційно-сіткові методи розв язування початковокрайових задач. К.: НМКВО 99. 88 c. 6. Скворцов А.В. Триангуляция Делоне и ее применение. Томск: Изд-во Томск. ун-та. 8 с. 7. Квасниця Г. Шинкаренко Г. Адаптивні апроксимації методу скінченних елементів для задач еластостатики //Вісн. Львів.ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ.. Вип. 5. С. 95-6. 8. Козаревська Ю.С. Шинкаренко Г.А Шинкаренко О.Г. Регуляризація чисельних розв язків варіаційних задач міграції домішок: метод найменших квадратів // Волин. матем. вісн. 997. Вип. 4. С. 67-7. 9. Козаревська Ю.С. Шинкаренко Г.А Шинкаренко О.Г. Регуляризація чисельних розв язків варіаційних задач міграції домішок: локалізовані найменші квадрати // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 999. Вип. 5. С. 59-7.. Козаревська Ю.С. Шинкаренко Г.А. Регуляризація чисельних розв язків варіаційних задач міграції домішок: -адаптивний метод скінченних елементів. Частина // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат.. Вип. 5. С. 5-65.. Козаревська Ю.С. Шинкаренко Г.А. Аналіз критеріїв подібності та чутливості розв язків задач мігрування субстанції до збурень її

коефіцієнтів // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ.. Вип.. С.6-5.. Козел А.М. Фундак О.В. Шинкаренко Г.А. Чисельний аналіз змішаних варіаційних задач мігрування домішок методом скінченних елементів //Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ.. Вип. 4. С. 5-6.. Козел А.М. Шинкаренко Г.А. Чисельне розв язування змішаних варіаційних задач мігрування домішок стабілізованими схемами МСЕ// Сучасні проблеми прикл. матем. та інформатики. Дев ята Всеукр. наук. конф. Львів. С. 6-64. 4. Козел А.М. Шинкаренко Г.А. Методи стабілізації для змішаних варіаційних задач мігрування домішок // Сучасні проблеми прикл. мат. та інформатики. Десята Всеукр. наук. конф. Львів. С. 74. 5. Babša I. Strobols T. Te fnte element metod and ts relablty. Oford: Clarendon Press. 8 p. 6. Melen J.M. p-fnte element metod for snglar pertrbatons. Berln: Sprnger- Verlag. 8 p. 7. Qarteron A. Vall A. mercal appromaton of partal dfferental eatons. Berln: Sprnger-Verlag 99. 54 p. 8. Зубов В.М. Шинкаренко Г.А. Розв язуваність та апроксимація варіаційних задач переносу та дифузії домішок у нестисливій атмосфері // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 99. Вип. 7. С. 55-6. 9. Козаревська Ю.С. Шинкаренко Г.А. Регуляризація чисельних розв язків варіаційних задач міграції домішок: cтабілізуюча схема Дугласа-Ванга. // Волинський математичний вісник. 998. Вип. 5. С. 66-7. 4. Козаревська Ю.С. Шинкаренко Г.А. Чисельне розв язування задач міграції домішок з великими числами Пекле. // Сучасні проблеми математики: Матеріали міжнародної наук. конф. Київ: Ін-т матем. НАН України. 998. Ч.. С. 69-7. 4. Козаревська Ю.С. Кондратюк Я. В. Іщук Ю.В. Піскозуб О.Й Шинкаренко Г.А. Адаптивна стабілізація чисельних розв язків варіаційних задач міграції домішок. // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 998. Вип. 5. С. 7-. 4. Савула Я.Г. Шинкаренко О.Г. Стабілізація чисельних розв язків варіаційних задач міграції домішок: протипотокова схема // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 997. Вип. 46. С.-9. 4. Al elfa et. al. A Doglas-Wang fnte element approac for transent advecton-dffson problems //Compt. Metods Appl. Mec. Engrg. 99. vol. p.-9. 44. Erson. Estep D. Hansbo P. Jonson C. Comptatonal Dfferental Eatons. Cambrdge: Cambrdge Unversty Press 996. 58 p. 45. Greso P.M. San R.L. Engelman M.S. Incompressble Flow and te Fnte Element Metod: Advecton-Dffson and Isotermal Lamnar Flow. Ccester: Wley 998. pp.

46. Harar I. Hges T.J.R. Gros. Malorta M. Pnsby P.M. Stewart J.R. Tompson L.L. Recent developments n fnte element metods for strctral acostcs // Arcv. Compt. Mec. Engng. 996. V.. Pp. -9. 47. Hges T.J.R. L W.. Broos A.. Fnte Element Analyss of Incompresblty Vscos Flows by te Penalty Fncton Formlaton // J. Compt. Pys. V... 979. Pp. -6. 48. Jonson C. mercal Solton of Partal Dfferental Eatons by te Fnte Element Metod. Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. 994. 78 p. 49. Morton. mercal Solton of Convecton-Dffson Problems. London: Capman&Hall 996. 7 pp. 5. Rannacer R. A posteror error estmaton n least-sares stablzed fnte element scemes //Compt. Metods Appl. Mec. Engrg. 998. Vol.66. P.99-4. 5. Ravart P.A. Tomas J.M. A med fnte element metod for second order ellptc problems //Lect. otes Mat. 977. V.66 pp.9-5. 5. edelec J.C. Med fnte elements n R // mer. Mat. 598 pp.5-4. 5. Brezz F. Doglas J. Dran R. Fortn M. Med fnte elements for second order ellptc problems n tree varables// mer. Mat. 5987 pp.7-5. 54. Brezz F. Doglas J. Marn L.D. Two famles of med fnte elements for second order ellptc problems// mer. Mat. 47985 pp.7-5. 55. Brezz F. Fortn M. Med and Hybrd Fnte Element Metods. ew Yor: Sprnger 99. 5pp. 56. Poces A. Med Fnte Element Metod. Berln: Sprnger 99. 45p. 57. Козел А.М. Фундак О.В. Шинкаренко Г.А. Чисельний аналіз змішаних варіаційних задач мігрування домішок:. Формулювання задач та схем методу скінченних елементів.//вісн. Львів. ун-ту. Сер. Прикл. матем. та інформ.. Вип.4. С. 5-6. 58. Фундак О.В. Шинкаренко Г.А. Чисельне розв язування варіаційних задач руху мілкої води в водоймі //Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. 999. Вип.. С.6-4. 59. Alonso A. Error estmators for a med metod.// mer. Mat. 74996 pp.85-95. 6. Qateron A. Vall A. mercal Appromaton of Partal Dfferental Eatons. Berln: Sprnger 994. 54p. 6. Zenewcz O.C. Taylor R.L. Te Fnte Element Metod Volme : Te Bascs 5t ed. Btterwort Henemann. 6. Фундак О.В. Базисні функції просторів Рав яра Тома// Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики. 9-та Всеукр. наук. конф. Львів. С.89. 6. Каллан Р. Основные концепции нейронных сетей Пер. с англ. М.: Изд. дом Вильямс. 64. Годич О.В. Нікольський Ю.В. Щербина Ю.М. Застосування штучної нейронної мережі типу SOM для розв язування задачі діагностування / Вісн. НУ Львівська політехніка.. 464. С. 4.

65. Годич О.В. Щербина Ю.М. Самоорганізація нейромереж та класифікація даних // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. Прикл. матем. та інформ.. Вип 7. С. 4-48. 66. Годич О.В. Щербина Ю.М. Застосування штучних нейронних мереж до розв язування нелінійних задач про найменші квадрати // Вісн. Львів. унту. Сер. Прикл. матем. та інформ.. Вип. 6. С. 8-9. 67. Lefc M. Screfler B.A.. Artfcal neral networ as an ncremental non-lnear constttve model for a fnte element code // Compt. Metods Appl. Mec. Engrg.. Vol. 9. 68. Baratt R. Cannas B. Fann A. Plo F. Atomated Recrrent eral etwor Desgn to Model te Dynamcs of Comple Systems // eral Compt. & Applc.. Vol. 9. P. 9-. 69. Круглов В.В. Борисов В.В. Исскуственные нейронные сети. Теория и практика: -е изд. стереотип. М.: Горячая линия; Телеком. 8 с. 7. Mrza B. Ceng Z. and Moscytz G. Learnng Algortms for celllar neral networs. // Sgnal and Informaton Processng Laboratory Swss Federal Insttte of Tecnology 998. 7. Нікольський Ю.В..Годич О.В. Щербина Ю.М. Застосування штучних нейронних мереж для розв язування задач прогнозування часових послідовностей // Міжнар. конф. з індуктивного моделювання МКІМ. Львів. С. 44 49. 7. Стренг Г. Фикс Дж. Теория метода конечных елементов. М.: Мир 977. 49 с. 7. Бреббиа К. Коннор Дж. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение 979. 64 с. 74. Венгерський П.С. Трушевський В.М. Про вибір стабілізаційного множника у варіаційних задачах руху мілкої води // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ. 5.. С.7-77. 75. Венгерський П.С. Трушевський В.М. Шинкаренко Г.А. Стабілізація чисельного розв язку варіаційної задачі стоку мілкої води // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. інформ.. 4. С.-9. 76. Венгерський П.С. Трушевський В.М. Шинкаренко Г.А. Чисельне розв язування варіаційних задач поверхневого стоку // Вісник Київ. ун-ту. Сер. кібернет... С.6-. 77. Вольцингер Н.Е. Пясковский Р.В. Основные океанологические задачи теории мелкой воды. Л.: Гидрометоиздат 968. 4 с. 78. Вольцингер Н.Е. Пясковский Р.В. Теория мелкой воды. Океанологические задачи и численные методы. Л.: Гидрометоиздат 977. 7 с. 79. Картвелишвили Н.А. Океанологические задачи теории мелкой воды. Л.: Гидрометеоиздат 975. 59 с. 8. Кучмент Л.С. Модели процессов формирования речного стока. Л.: Гидрометеоиздат 98. 4 с. 8. Литвинов В.Г. Движение нелинейно-вязкой жидкости. М.: Наука 98. 76 с.

4 8. Drolet J. Gray W.G. On te well-posed ness of some wave formlatons of te sallow water eatons // Advances n Water Resorces. 988. o.. P.84-9. 8. Martnez M.L. A Pror Error Estmaton of Fnte Element Models of Systems of Sallow Water Eatons: P. D. Tess. Rce Unversty Dep. Comp. Appl. Mat. Hoston TX 775-89 998 p. 84. Weyan T. Sallow Water Hydrodynamcs: Matem. Teory mer. Solton for a Two-dmens. System Sallow Water Eatons. Amsterdam: Elsever 99. 44 p. 85. Hges T.J.R. Te fnte element metod. Lnear statc and dynamc fnte element analyss. ew Jersey: Prentce-Hall 987. 8 p. 86. Hges T.J.R. L W.. Broos A. Fnte element analyss of ncompressble vscos flows by te penalty fncton formlaton // J. Compt. Pyscs. 979. o.. P.-6. 87. Yang C.-T. Altr S.. An analyss of flow over a bacward-facng step by an assmed stress med fnte element metod. // mer. Met. Lamnar and Trblent Flow Proc. Int. Conf. Seattle. Swansea. 98. P.-6. 88. Yang C.-T. Altr S.. An assmed devatorc stress-pressre-velocty med fnte element metod for nsteady convectve ncompressble vscose flow: Part : Comptatonal stdes // Int. J. m. Met. Flds. 984. o. 4. P.4-69. 89. Козаревська Ю.С. Кондратюк Я. В. Іщук Ю.В. Піскозуб О.Й Шинкаренко Г.А. Адаптивна стабілізація чисельних розв язків варіаційних задач міграції домішок. // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 998. Вип. 5. С. 7-. 9. Erson. Estep D. Hansbo P. Jonson C. Comptatonal Dfferental Eatons. Cambrdge: Cambrdge Unversty Press 996. 58 p. 9. Greso P.M. San R.L. Engelman M.S. Incompressble Flow and te Fnte Element Metod: Advecton-Dffson and Isotermal Lamnar Flow. Ccester: Wley 998. pp. 9. Harar I. Hges T.J.R. Gros. Malorta M. Pnsby P.M. Stewart J.R. Tompson L.L. Recent developments n fnte element metods for strctral acostcs // Arcv. Compt. Mec. Engng. 996. v.. pp. -9. 9. Morton. mercal Solton of Convecton-Dffson Problems. London: Capman&Hall 996. 7 pp. 94. Qarteron A. Vall A. mercal Appromaton of Partal Dfferental Eatons. Berln: Sprnger 994. 54 pp. 95. Rannacer R. A posteror error estmaton n least-sares stablzed fnte element scemes //Compt. Metods Appl. Mec. Engrg. 998. vol.66. p.99-4. 96. Зубов В.М. Шинкаренко Г.А. Розв язуваність та апроксимація варіаційних задач переносу та дифузії домішок у нестисливій атмосфері // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. 99 Вип. 7. С. 55-6. 97. Jonson C. mercal Solton of Partal Dfferental Eatons by te Fnte Element Metod. Cambrdge: Cambrdge Unversty Press. 994. 78 p. 98. Zenewcz O.C. Taylor R.L. Te Fnte Element Metod. Vol.. Te Bass. 5t Edton. Oford: Btterwort-Henemann. 689 p.

5 99. Квасниця Г. Шинкаренко Г. Адаптивні апроксимації методу скінченних елементів для задач еластостатики. // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. Вип. 6. С. 95-6.. Математичне і програмне забезпечення геоінформаційних і кадастрових систем. Звіт про ДКР; держ. реєстр. 97U87; держ. облік. U459. Львів ЛНУ. 89 c.. Математичне моделювання та інформаційні технології в проблемноорієнтованих системах. Звіт про ДКР; держ. реєстр. U46; держ. облік. U. Львів ЛНУ. c.. Левченко О.М. Комп ютерне моделювання рельєфу та пов язаних з ним природних процесів на території Львівщини: Автореф. дис... канд. техн. наук: 5.4. / Національний університет «Львівська політехніка». Львів 4. с.. Левченко О.М. Комп ютерне моделювання рельєфу та пов язаних з ним природних процесів на території Львівщини: Дис... канд. техн. наук: 5.4. / Львівський Національний університет імені Івана Франка. Львів 4. 6 с. 4. Левченко О. Шинкаренко Г. Знаходження розподілу денної порції сонячної енергії на території Львівщини // Сучасні досягнення геодезичної науки та виробництва. Збір. наук. праць. Львів: Ліга-Прес. С. 7-. 5. Левченко О. Шинкаренко Г. Моделювання процесів поглинання сонячної енергії ділянками реальної місцевості // Геодезія картографія і аерофотознімання. Міжвід. наук.-тех. збір. Львів. Вип. 6. С. 4-45. 6. Левченко О. Математичне моделювання гідрологічних процесів на території Львівщини // Всник Львв. ун-ту. Сер. прикл. мат. та інф. Львів. Вип. 5. С. 65-7. 7. Synareno A. Horlatc V. Ravart-Tomas apromatons for ydroacostcs problems n terms of dsplacements // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доп. X Всеукр. наук. конф. -5 вересня р. м.львів. Львів: Видавничий центр ЛНУ. C. 5. 8. Synareno A. Horlatc V. Ravart-Tomas apromatons for varatonal ydroacostcs problems // Matematcal and mercal Aspects of Wave Propagaton WAVES. Proceedngs of Te St Internatonal Conference on Matematcal and mercal Aspects of Wave Propagaton Jyväsylä Fnland Jne 4 Jly.-Sprnger-Verlag. P. 54-546. 9. Synareno A. Horlatc V. Ravart-Tomas apromatons for varatonal ydroacostcs problems // Boo of abstracts of 8t Int. Conf. "Matematcal Modellng and Analyss" May 8- Traa Ltana.-Vlns: MII.- P. 65.. Горлач В. Шинкаренко А. Дослідження задач гідроакустики з використанням апроксимацій Рав'яра-Тома // Вісник Львів. ун-ту. Серія прикл. мат. та інформ. 4. Вип 8. C. -.. Шинкаренко А.Г. Використання апроксимацій Рав яра-тома у варіаційнх задачах гідроакустики // Тези доп. конф. молодих учених із сучасних

6 проблем механіки і математики імені ак. Я.С. Підстригача 4-6 травня 4 м.львів. Львів. 4. С.7-7.. Vyopen O. Horlatc V. Matematcal modellng of fld-strctre nteracton n terms of velocty pressre and elastc stress components // Boo of abstracts of 8t Int. Conf. "Matematcal Modellng and Analyss" May 8- Traa Ltana. Vlns: MII.-P.8.. Vyopen O. Horlatc V. Med formlaton for fld-strctre nter-acton // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доп. X Всеукр. наук. конф. -5 вересня р. м.львів.-львів: Видавничий центр ЛНУ.- C. 7. 4. Вихопень О. П. Змішана варіаційна задача акустики гідропружних систем // Тези доп. конф. молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені ак. Я.С. Підстригача 4-6 травня 4 м.львів. Львів. 4. С.45. 5. Voytovyc V. Horlatc V. Stdy of Dsplacement-Based Fnte Element Approac for Tree-Dmensonal Fld-Strctre Interacton n Case of Dsspatve Contna // Proc. of te 5t Int. Conf. on Comptaton of Sell and Spatal Strctres Jne -4 5 Salzbrg Astra.-Onlne pblcatons: www.stat.bv.t-mencen.de/assacm5/ 6. Voytovyc V. Horlatc V. Synareno H. Dsplacement-based modellng of acostc fld-strctre nteracton problem: nvestgaton of free vbraton // Boo of abstracts of 9t Int. Conf. Matematcal Modellng and Analyss May 7-9 4 Jrmala Latva.-ttp://www.de.da.lv/matemata/mma9/ 4. 7. Войтович В. Горлач В. Чисельний аналіз вільних коливань тривимірних пружних тіл // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформатика. Вип. 6. С. 6-4. 8. Войтович В.М. Чисельне моделювання усталених коливань гідропружних конструкцій // Проблеми чисельного аналізу і прикладної математики: Тез. доп. Міжнародної наукової конференції -6 вересня 4р. м.львів. Львів: ТзОВ Плайн 4. C. -. 9. Войтович В.М. Чисельний аналіз власних коливань в язких середовищ // Тези доп. конф. молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені ак. Я.С. Підстригача 4-6 травня 4 м.львів. Львів. 4. С. 49-5.. Войтович В.М. Горлач В.М. Дослідження власних коливань дисипативних систем // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доп. X Всеукр. наук. конф. -5 вересня р. м.львів. Львів: Видавничий центр ЛНУ.- C. 8.. Войтович В.М. Горлач В.М. Числовий аналіз усталених гармонійних коливань гідропружних систем із врахуванням в'язкості середовищ // Конф. мол. учених із сучасних проблем мех. і матем. ім. ак. Я.Підстригача. Тези доп. Львів 5. C. 7.. Войтович В.М. Горлач В.М. Кондратюк Я.В. Шинкаренко Г.А. Математична модель акустики гідропружних систем у термінах

7 переміщень // Прикладні проблеми механіки і математики: НАН України ІППММ ім.я.с.підстригача. 5. Вип.. C. 8-8.. Войтович В. Вимушені гармонійні коливання гідропружних дисипативних систем Вісник Львів. ун-ту. Серія прикл.мат. та інформ. 4 Вип. 9. C. 6-5. 4. Горлач В. Чисельний аналіз математичних моделей акустики дисипативних середовищ // Тези доп. Міжн. матем. конф. ім. В.Я.Скоробогатька 7 вересня жовтня 4 р. м. Дрогобич.-Львів: ІППММ ім. Я.С.Підстригача НАН України 4. C. 6. 5. Горлач В.М. Войтович В.М. Аналіз власних коливань дисипативних гідропружних систем // Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики: Тези доп. XІ Всеукр. наук. конф. - вересня 4р. м. Львів.- Львів : Видавничий центр ЛНУ 4. C. 5. 6. Математичне моделювання та інформаційні технології в проблемноорієнтованих системах. Звіт про ДКР; держ. реєстр. U46; держ. облік. U. Львів ЛНУ. c. 7. Бернакевич I.Є. Шинкаренко Г.А. Чисельне моделювання акустичної взаємодї оболонок з рдиною. I. Формулювання розв'язувансть варацйних задач // Всник Львв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 995. Вып. 4. С. 7-4. 8. Бернакевич I.Є. Шинкаренко Г.А. Чисельне моделювання акустичної взаємодї оболонок з рдиною. II. Проекцйно- стков апроксимацї та їхня збжнсть // Всник Львв. ун- ту. Сер. мех.-мат. 995. Вып. 4. С. -6. 9. Бернакевич I.Є. Чисельне дослдження початково-крайових задач акустичної взаємодї рдини з тонкостнними конструкцями: Автореф. дис.... канд. фз.-мат. наук. Львв 997. 6 c.. Вагін П.П. Іванова Н.В. Шинкаренко Г.А. Аналіз зсувних оболонок: постановка та коректність варіаційних задач динаміки//математичні студії 998. Т... С. 88-98.. Вагін П.П. Іванова Н.В. Шинкаренко Г.А. Про одну математичну модель динамічного деформування гнучких оболонок // Доп. НАН України Сер. Математика природознавство технічні науки. 999 6. С. 54-59.. Бернакеивч І.Є. Нестаціонарні процеси в системі «циліндрична оболонка ідеальна рідина» // Всник Львв. ун-ту. Сер. мех.-мат. 998. Вип. 5. С. 6-.. Шинкаренко Г.А. Проекционно-сеточные аппроксимации для вариационных задач пироэлектричества. ІІ. Дискретизация и разрешимость нестационарных задач // Дифференциальные уравнения. 994. Т... С. 7-6. 4. Бернакевич І.Є. Шинкаренко Г.А. Вплив циліндричної оболонки на поширення ударної хвилі в рідкому наповнювачі // Всн. Львв. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ.. Вип.. С.-. 5. Бернакевич І.Є. Вагін П.П. Шинкаренко Г.А. Аналіз зсувних оболонок з деформівною нормаллю: акустика взаємодії з ідеальною рідиною// Волин. матем. всн..-вип. 7. С. -6.

8 6. Бернакевич I.Є. Вагін П.П. Шинкаренко Г.А. Математична модель акустичної взаємодії оболонки з рідиною: І. Формулювання і розв язуваність варіаційних задач // Матем. методи та фіз.-мех. поля.. 45.. С. 75-8. 7. Бернакевич І.Є. Вагін П.П. Шинкаренко Г.А. Математична модель акустичної взаємодії оболонки з рідиною: II. Проекцйно- стков апроксимацї та їхня збжнсть // Матем. методи та фіз.-мех. поля. 4. 47.. С. 7 44. 8. Бернакевич І.Є. Вплив циліндричної оболонки Тимошенка-Міндліна на поширення ударної хвилі в рідкому наповнювачі // Всн. Львв. ун-ту. Сер. прикл. матем. та інформ. 4.-Вип. 9. С. 9 5. 9. Вагін П.П. Іванова Н.В. Шинкаренко Г.А. Постановка розв'язуваність та апроксимація варіаційних задач статики зсувних оболонок//матем. методи та фіз.-мат. поля. 999. 4.. С. 5 6. 4. Вагін П.П. Малець Р.Б. Шинкаренко Г.А. Моделювання нелінійного деформування зсувних оболонок при термосиловому навантаженні. Київ 998. 9 с. Львв. ун-т. Львв.4.98 86 Ук98. 4. Вагін П.П. Малець Р.Б. Шинкаренко Г.А. Квазілінеаризація задачі термопружності для гнучких обололнок з деформівною нормаллю// Вісник Львів. ун-та. Сер. мех.-мат. задачі та методи прикладної математики. 999. Вип. 5. С. 8 5. 4. Галимов К.З. Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Казань: КГУ 977. с. 4. Григоренко Я.М. Мукоед А.П. Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ. К.: Вища школа 98. 86 с. 44. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.; Л.: ГИТТЛ 948. с. 45. Пелех Б.Л. Обобщенная теория оболочек. Львов: Вища школа 978. 59 с. 46. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.: Наука 969. 76 с. 47. Подстригач Я.С. Швец Р.Н. Термоупругость тонких оболочек. К.: Наукова думка978. 44 с. 48. Вольцингер Н.Е. Пясковский Р.В. Основные океанологические задачи теории мелкой воды. Ленинград: Гидрометеоиздат 968. с. 49. Фундак О.В. Шинкаренко Г.А. Барицентричне подання базисних функцій просторів апроксимацій Рав яра-тома. //Вісник Львів.ун-ту. Сер. Прикл. матем. інформ. р. Вип.7. С. -4. 5. Шинкаренко Г.А. Проекційно-сіткові методи розвязування початковокрайових задач. Київ: УМКВО 99.-88с. 5. Картвелишвили Н.А. Галактионов Ю.И. Идеализация сложных динамических систем с примерами из електроэнергетики. М.:Наука 976. 7с. 5. Корявов П.П.Проблемы замыкания системы гидрологических моделей речного бассейна.//вод.ресурсы98. С.54-64. 5. Полубаринова-Кочина П.Я.Теория движения грунтовых вод. М.: Наука 977. 664с.

9 54. Ляшко И.И. Сергиенко И.В. Мистецький Г.Е. Скопецький В.В. Вопросы автоматизации решения задач фильтрации на ЭВМ. К.:Наукова думка 977. 8с. 55. Сергиенко И.В. Скопецкий В.В. Дейнека В.С. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах АН УССР Ин-т кибернетики ит. В.М.Глушкова. К.:Наукова думка 99. 4с. 56. Шинкаренко Г.А. Проекційно-сіткові методи розв язування початковокрайових задач. Київ:НМК ВО 99. 88с. 57. Савула Я.Г. Шинкаренко Г.А. Метод скінченних елементів. Львів:Львів.ун-т. 999. 8с. 58. Венгерський П.С. Демкович О.Р. Чисельне розв язування задачі руху грунтової води в насиченій зоні.//восьма Всеукраїнська наукова конференція 5-7 вересня р. Сучасні проблеми прикладної математики Львів. С.9. 59. Венгерський П.С. Демкович О.Трушевський В.М. Чисельне дослідження математичної моделі руху поверхневої і грунтової вологи//міжнародна конференція Обчислювальна та прикладна математика Київ. С.5. 6. Венгерський П.С. Демкович О.Р. Математатичне моделювання руху грунтової води в насиченій зоні//дев ята Всеукраїнська наукова конференція Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики Львів. стор.в друці. 6. Венгерський П.С. Демкович О.Р. Використання гідродинамічного підходу для моделювання задач руху рідини в грунті.//конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача Львів 5. С.5. 6. Кучмент Л.С.Модели процессов формирования речного стока. Л.: Гидрометеоиздат 98. 4с. 6. Ляшко И.И. Демченко Л.И. Мистецкий Г.Е. Численное решение задач тепло и массопереноса в пористых средах. К.: Наукова думка 99. 57с. 64. Шаманский В.Е. Численные решения задач фильтрации грунтових вод на ЭЦВМ. К.: Наукова думка 969. 69с. 65. Метод конечных елементов в механике твердых тел / Под общ. ред.а.с.сахарова и И.Альтенбаха. К.: Вища школа. Головное изд-во 98. 48 c. 66. Матвійчук О.Я. Некаріозні пришийкові ураження як наслідок функціональних зубо-щелепових патологій. Автореф. дис... канд. мед. наук. ЛДМУ. Львів 997. 67. Годований В.О. Особливості розподілу напружень у корені зуба реставрованого штифтовими конструкціями отримані методом тривимірного комп ютерного моделювання // Новини стоматології.. С. 4 4. 68. Geng JP Tan B l GR. Applcaton of fnte element analyss n mplant dentstry: a revew of te lteratre // J Prostet Dent.. 856. P. 585-598.

69. Gross MD Arbel G Hersovtz I. Tree-dmensonal fnte element analyss of te facal seleton on smlated occlsal loadng // J Oral Reabl.. 87. P. 684-694. 7. Вірт І. Козаревська Ю. Числове моделювання кінетики фотопровідності в неоднорідних напівпровідниках. // Теор. електротехніка.. Вип. 55. С. 4-48. 7. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука 985. 6 c. 7. Моделирование полупроводниковых приборов и технологических процессов. Последние достижения/ Пер. с англ./под ред. Д. Миллера. М.: Радио и связь 989. 8 с. 7. МОП-СБИС. Моделирование элементов и технологических процессов/ Под ред. П. Антонетти П. Антониадиса Р. Даттона У. Оулдхема/ Пер. с англ. М.: Радио и связь 988. 496 c. 74. Marowc P.A. Te Statonary Semcondctor Devce Eatons. Wen: Sprnger 986. 94 p. 75. Moc M. S. Analyss of Matematcal Models of Semcondctor Devces. Dobln Boole Press 98. 76. Selbererr S. Analyss and Smlaton of Semcondctor Devces. Wen: Sprnger 984. 94 p. 77. Вирт И.С. Григорьев Н.Н. Любченко А.В. Ограничение времени жизни сферическими дефектами структуры в фоточувствительных полупроводниках // Физика и техника полупроводников. 988. Т.. 4. С. 49-4. 78. Смірнов О.Ю. Чисельне моделювання неоднорідних напівпровідників методом скінченних елементів // СНКПМІ 7-8 квітня р. Львів. Тези доп. C. 5-54. 79. Смірнов О.Ю. Чисельне розв язування задач переносу зарядів в напівпровідникових структурах // СНКПМІ. 8- квітня р. Львів. Тези доп. C. 5-5. 8. Смірнов О.Ю. Узгодження лінеаризації та схем інтегрування в часі при чисельному розв язуванні задач електрофізики // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача:. Тези доп. Львів 4. C.48-5. 8. Смірнов О.Ю. Шинкаренко Г.А. Чисельне моделювання процесів перенесення зарядів у напівпровідниках // Обчислювальна та прикладна математика : Тези Міжнар. конф. К.. С. 9. 8. Шинкаренко Г.А. Проекційно-сіткові методи розв язування початковокрайових задач. К.: НМК ВО 99. 88 с.