Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih Warsoma Djohan Prodi Matematika, FMIPA - ITB March 6, 00 Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 00 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 6, 00 / 9
Fungsi Dua Peubah Fungsi real dengan dua peubah real adalah ungsi yang memadankan pasangan terurut (x,y) R dengan sebuah bilangan R. Notasi: = (x,y). x dan y disebut peubah/variabel bebas. disebut peubah/variabel tak bebas. Contoh: (x,y) = y x x +(y ) (x,y) : (x,y) Daerah deinisi/domain dari ungsi, dinotasikan D, adalah kumpulan semua pasangan (x, y) sehingga (x, y) terdeinisi/punya nilai. Daerah Nilai/Range dari ungsi, R = { R = (x,y), (x,y) D }. Latihan: Tentukan daerah deinisi dari contoh di atas lalu gambarkan. Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 00 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 6, 00 / 9
Graik Fungsi Dua Peubah 3.5.5 8 0.5 3.5.5 0.5 0 6 4 0.5 6 4.5 0.5.5 4 6 4 6.5 8 3 Graik ungsi dua peubah = (x, y) merupakan suatu permukaan di ruang (lihat gambar di samping). ( x, y) Dari pembahasan gambar-gambar permukaan ruang yang lalu, tentukanlah mana yang merupakan ungsi dan mana yang bukan. Contoh: Gambarkan graik = 3 36 9x 4y Kuadratkan ke dua ruas, maka diperoleh bentuk 9x + 4y + 9 = 36 0 ( x, y) Persaman terakhir adalah persamaan elipsoida. 0.5 Secara umum menggambar ungsi dua peubah cukup sukar. Cara lain yang lebih mudah untuk menggambarkan ungsi dua peubah adalah dengan membuat kontur/kurva ketinggiannya. Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 00 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 6, 00 3 / 9
Kurva Ketinggkian / Peta Kontur ( x, y) k k Perhatikan permukaan = (x, y) gambar di samping. Permukaan tersebut dipotong oleh bidang = k Irisan permukaan dengan bidang tersebut berupa sebuah kurva. Proyeksikan irisan tersebut pada bidang xoy Hasil proyeksi ini disebut kurva ketinggian dari = (x,y) untuk = k Jadi kurva ketinggian dapat dipandang sebagai kumpulan titik-titik pada bidang xoy yang nilai ungsinya sama. Gambar beberapa kurva ketinggian dengan berbagai k disebut peta kontur. Diskusi: Mungkinkah dua buah kontur dengan k berbeda, berpotongan? Mungkinkah dua buah kontur yang tidak berpotongan mempunyai nilai k yang sama? Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 00 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 6, 00 4 / 9
Contoh Menggambar Peta Kontur Contoh: Gambarkan peta kontur dari = 3 36 9x 4y 3 3.5.8 0 Pada ungsi ini 0. Kuadratkan, diperoleh 9x + 4y = 36 9 Dari persamaan terakhir, jelas. Persamaan kurva ketinggian: 9x + 4y = 36 9k, 0 k. Untuk 0 k < persamaan kurva ketinggian: Untuk k =, kurva ketinggiannya: 9x + 4y = 0 x 36 9k 9 + y 36 9k 4 Berikut digambarkan kurva ketinggian untuk k = 0,,.5,.8. =, Latihan: Gambarkan peta kontur dari: (a) = xy (b) = y x. Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 00 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 6, 00 5 / 9
Fungsi Tiga Peubah Fungsi real dengan tiga peubah adalah ungsi yang memadankan pasangan terurut (x, y, ) dengan satu bilangan real u dan dinotasikan: u = (x, y, ). Contoh: (a) u = (x,y,) = x + y + (b) v = g(x,y,) = x+y (c) Temperatur setiap dalam suatu ruang T(x,y,) = x y. Graik ungsi tiga peubah sudah tidak mungkin digambarkan, mengapa? Peta konturnya dapat kita gambar dan berbentuk permukaan (x, y, ) = k. Contoh: Gambarkan peta kontur dari T(x,y,) = x y. Persamaan kurva ketinggiannya: x y = k x + y = k Peta kontur berupa kumpulan paraboloida. Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 00 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 6, 00 6 / 9
Turunan Parsial Turunan Parsial Terhadap x ( x, y) l l x x 0 y 0 y x 0 ( x, y ) 0 Perhatikan graik = (x,y) dan titik (x 0,y 0, 0 ) pada permukaan tersebut. Iriskan permukaan tersebut dengan bidang y = y 0. Perhatikan kurva irisannya. Akan dicari gradien garis singgung pada kurva tersebut di titik (x 0,y 0, 0 ). Perhatikan proyeksi kurva irisan tersebut pada bidang xo. Kurva tersebut merupakan ungsi dari x saja, yaitu = (x,y 0 ). (x 0 + x,y 0 ) (x 0,y 0 ) x Gradien di titik (x 0,y 0 ) : x (x 0,y 0 ) = x (x 0,y 0 ) = lim x 0 Turunan parsial terhadap x dari ungsi = (x, y) di titik (x, y) adalah x (x,y) = (x+ x,y) (x,y) x(x,y) = lim x 0 x x Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 00 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 6, 00 7 / 9
Turunan Parsial Turunan Parsial Terhadap y l l ( x, y) x x 0 y 0 y y 0 ( x, y) 0 Perhatikan graik = (x,y) dan titik (x 0,y 0, 0 ) pada permukaan tersebut. Iriskan permukaan tersebut dengan bidang x = x 0. Perhatikan kurva irisannya. Akan dicari gradien garis singgung pada kurva tersebut di titik (x 0,y 0, 0 ). Perhatikan proyeksi kurva irisan tersebut pada bidang yo. Kurva tersebut merupakan ungsi dari y saja, yaitu = (x 0,y). Gradien di titik (x 0,y 0 ) : y (x 0,y 0 ) = y (x 0,y 0 ) = lim y 0 (x 0,y 0 + y) (x 0,y 0 ) y Turunan parsial terhadap y dari ungsi = (x, y) di titik (x, y) adalah y (x,y) = (x,y+ y) (x,y) y(x,y) = lim y 0 y y Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 00 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 6, 00 8 / 9
Turunan Parsial Turunan Parsial Kedua Misalkan = (x, y) suatu ungsi dua peubah. Turunan parsialnya, baik terhadap x maupun y, merupakan ungsi baru dalam variabel x dan y. Bila kita turunkan lebih lanjut, maka diperoleh turunan parsial kedua. Ada 4 macam turunan parsial ke dua, yaitu: xx (x,y) = xy (x,y) = yx (x,y) = yy (x,y) = ( ) x x ( ) x y ( ) y x ( ) y y = (x,y) = lim x (x+ x,y) x (x,y) x x 0 x = y x (x,y) = lim x (x,y+ y) x (x,y) y 0 y = x y (x,y) = lim x (x+ x,y) x (x,y) x 0 x = (x,y) = lim y (y,y+ y) y (x,y) y y 0 y Latihan: Tentukan semua turunan parsial kedua dari (x,y) = e xy + x y 3. Kalkulus / MA-ITB / W.D. / 00 (ITB) Kalkulus Fungsi Dua Peubah atau Lebih March 6, 00 9 / 9