MEDZINÁRODNÝ SEMINÁR MLADÝCH VEDECKÝCH PRACOVNÍKOV

Kaedra operačného výskumu a ekonomerie Fakuly hospodárskej informaiky EU v Braislave a Kaedra ekonomerie Fakuly informaiky a saisiky VŠE v Prahe MEDZINÁRODNÝ SEMINÁR MLADÝCH VEDECKÝCH PRACOVNÍKOV Kaedry ekonomerie FIS VŠE v Praze Kaedry operačného výskumu a ekonomerie FHI EU v Braislave a ZBORNÍK 29. 30. november 2007 29. 30. lisopad 2007 Praha

Programový výbor recenzeni: prof. Ing. Josef Jablonský, CSc., VŠE Praha prof. Ing. Michal Fendek, PhD., EU Braislava prof. Ing. Zlaica Ivaničová, PhD., EU Braislava prof. RNDr. Ing. Per Fiala, CSc., VŠE Praha doc. Ing. Ivan Brezina, CSc., EU Braislava prof. RNDr. Jan Pelikán, CSc., VŠE Praha Mgr. Juraj Pekár, PhD., EU Braislava Organizačný výbor: Ing. Karol Szomolányi, PhD. Ing. Marin Lukáčik, PhD. Ing. Jan Fábry, PhD. doc. dr. Ing. Marin Dlouhý, PhD. Konak: ssov@euba.sk Edior: Marian Reiff Web edior: Marin Lukáčik Fakula hospodárskej informaiky EU v Braislave, Dolnozemská cesa, 852 35 Braislava a Fakula informaiky a saisiky VŠE v Prahe, nám. W. Churchilla 4, 30 67 Praha 3 Ekonomická univerzia v Braislave, Vydavaeľsvo EKONÓM, Braislava 2008 ISBN 978-80-225-2498-8 2

Obsah Zuzana Čičková: Opimalizácia rozvozu maeriálu 4 Andrea Furková: Lucia Horáčková, Andrej Chu: Michaela Chocholaá: Časovo premenlivá nákladová efekívnosť v panelových modeloch nákladových hraníc Subopimálne posupy pri riešení rozvozného problému s delenou dodávkou Využiie cenového rozpäia pri analýze volailiy Šárka Lejnarová: Modely diskréní binární volby 29 Zdenka Milánová: Juraj Pekár: Adéla Ráčková: Auomaizácia viacfakorových úloh výberu porfólia Konšrukcia množiny invesičných príležiosi z fondov ESPA Aplikace modifikovaného IS-MP-IA modelu ekonomiky ČR v prognózování Kveoslava Surmanová: Ekonomerické prognózovanie vývoja miezd vo vybraných krajinách EÚ Branislav Tuš: Porovnanie výnosu a rizika garanovaných sraégii 0 6 2 39 46 5 63 70 3

Absrak OPTIMALIZÁCIA ROZVOZU MATERIÁLU OPTIMIZATION OF MATERIAL DISTRIBUTION Zuzana Čičková Úloha obchodného cesujúceho je jednou z najznámejších úloh nielen z hľadiska eórie operačného výskumu, ale aj pre význam vyplývajúci z jej možných prakických aplikácií. Predkladaný príspevok sumarizuje možné modifikácie úlohy obchodného cesujúceho. Kľúčové slová: úloha obchodného cesujúceho, okružná úloha, úloha rozvozu a zvozu maeriálu Absrac The Traveling Salesman Problem is one of he mos discussed problems in operaion research, no only in heory, bu also because he special ransformaion of ha problem showed ha he problem can be applied in more general way. This aricle describes relaed problems and is varians. Keywords: Traveling Salesman Problem, Vehicle Rouing Problem OKRUŽNÉ ÚLOHY Podsaou úlohy o obchodnom cesujúcom je nájsť opimálnu,.j. najkrašiu, najrýchlejšiu alebo v inom zmysle najmenej nákladnú okružnú cesu, korá spočíva v prepojení určiého poču mies. Najčasejšie uvažujeme o odberaeľoch ak, že začiaočné aj konečné mieso, sídlo dodávaeľa, je oožné a každé mieso sporeby je v okružnej cese zahrnué práve raz. V akejo formulácii úlohy obchodného cesujúceho sa uvažuje len s jedným obchodným cesujúcim, resp. len s jedným vozidlom. Predpokladá sa, že kapacia oho vozidla je dosaočne veľká na o, aby boli splnené požiadavky všekých odberaeľov. Vo všeobecnosi však firma môže mať veľké množsvo odberaeľov, korých požiadavky presahujú kapaciu jedného vozidla alebo musí rešpekovať iné obmedzenia ýkajúce sa napr. času obsluhy zákazníka a pod.. Úloha akéhoo ypu je niekedy zaraďovaná do kaegórie úloh obchodného cesujúceho so špeciálnou šrukúrou (Müller, 970), alebo je eno problém označovaný pojmom úloha okružných jázd (Vehicle Rouing Problem) (Janáček, 995). V omo článku budeme používať jednoduchý názov: okružná úloha. Ak uvažujeme s väčším počom vozidiel, skúmanú úlohu možno nazvať úloha viacnásobného obchodného cesujúceho (Muliple Salesman Problem). V akýcho prípadoch musí firma disponovať väčším množsvom vozidiel a snažiť sa určiť aké okružné rasy ýcho vozidiel, aby bolo zabezpečené splnenie požiadaviek všekých odberaeľov a zároveň, aby celková dĺžka okružných cies absolvovaná jednolivými vozidlami bola minimálna. Pri akejo úlohe je časo za minimalizačné kriérium, okrem celkovej vzdialenosi, považovaný iež poče vozidiel. Ďalšou možnou modifikáciou úlohy obchodného cesujúceho je úloha prieberčivého obchodného cesujúceho (Pončák,2005), keď množina jednolivých mies je rozdelená do podmnožín, pričom v každej z podmnožín je nuné navšíviť práve jeden uzol. Ak uvažujeme, že v každom sredisku je dosupných viac druhov ovarov, pričom ich cena sa mení od srediska k sredisku, a súčasne disponujeme jedným vozidlom, s cieľom zaobsarať celú paleu ovarov, ide o úlohu obchodného cesujúceho nakupujúceho komodiy (Traveling 4

Pursacher Problem) (Pončák,2005). V ejo úlohe je cieľom nielen minimalizovať cesovné náklady, ale aj náklady na nákup ovarov. K možným modifikáciám okružnej úlohy môžeme zahrnúť aj okružné úlohy s časovými oknami (Vehicle Rouing Problem wih Time Windows), keď úlohou je priradiť okružnej cese časový plán, vráane časových okamihov, v korých začne obsluha každého zo zákazníkov, korá prebehne počas špecifikovanej časovej periódy. Podľa (Cordeau, 200), časové okno priom môže byť hard alebo sof. V prvom prípade môže vozidlo počkať, ak príde k zákazníkovi príliš skoro, pričom obsluha nemôže byť uskuočnená po určiom čase. V druhom prípade môže byť časové okno porušené v spojení s určiými dodaočnými nákladmi. Jednou z ďalších možných aplikácii okružných úloh je úloha vyvoriť periodický plán rozvozu v závislosi na dennom pláne. Táo úloha sa nazýva periodická okružná úloha (Period Vehicle Rouing Problem), korá je alokačno okružným problémom. Alokačná časť zahŕňa priradenie zákazníkov ku dňu periódy, zaiaľ čo okružná cesa býva zvyčajne jednodenná. Za posledné dve desaťročia sa pre vzrasajúce prakické využiie venuje veľká pozornosť modifikácii danej úlohy pre rozvoz a zvoz maeriálu (napr. pri rozvoze nápojov sa uvažuje aj so zberom prázdnych fliaš). Úloha je známa pod názvom periodická okružná úloha pre rozvoz a zvoz (Period Vehicle Rouing Problem wih Simulaneous Delivery and Pickup) (Chalasani,995). Známe sú iež okružné úlohy s viacerými srediskami (Muli Depo Vehicle Rouing Problem) (Irnich,2000), keď každé vozidlo vychádza z jedného z množiny viacerých sredísk a jeho rasa musí končiť v om isom sredisku. Požiadavka každého zo zákazníkov môže byť priom uspokojená viac ako jedným dopravným prosriedkom. Časý je aj prípad, keď požiadavka zákazníka presahuje kapaciu vozidla (hromadné prepravy). Inou modifikáciou je prípad, keď je výhodnejšie (lacnejšie) navšíviť jedného zákazníka viac ako raz. Veľa spoločnosí pracuje na princípe moniorovania zásob u každého zo zákazníkov a podľa oho sa rozhoduje o čase a veľkosi dodávky. S ýmo prípadom sa sreávame najmä v perochemickom a plynárenskom priemysle. Súvisiaca úloha je známa pod pojmom zásobná okružná úloha (Invenory Vehicles Rouing Problem) (Campbell,2002). V princípe v nej ide o opakovanú disribúciu ovaru k množine zákazníkov v danom časovom horizone, pričom je známa lokálna úroveň zásob každého zo zákazníkov. Hoci v eórii je časým predpokladom homogenia dopravného parku, v praxi je bežný skôr prípad odlišných vozidiel s rôznou kapaciou, iným vekom, alebo odlišnými ďalšími paramerami. Takéo predpoklady zohľadňuje okružná úloha s heerogénnym dopravným parkom (Flee Size and Mix Vehicle Rouing Problem) (Burche, 2002). Účelom zvyčajne nie je len minimalizácia celkovej vzdialenosi, ale aj minimalizácia celkových nákladov na vozidlá. Väčšina exisujúcich úloh rieši problémy saickej a deerminisickej povahy. Vzrasajúce očakávania zákazníkov, dosupnosť akuálnych informácií, napr. o dopravných sieťach, možnosi on line nákupov, viedli k vorbe dynamických a sochasických modelov s ohľadom na požiadavky praxe, keď je porebné riešiť siuácie bez znalosi všekých porebných informácií. Tieo skuočnosi zohľadňuje sochasická okružná úloha (Sochasic Vehicle Rouing Problem) (Kleyweg, 2002). Sochasická povaha nadobúda rôzne formy. Čas, mieso, veľkosť dodávky, ale aj ováracie hodiny sú časo náhodnou veličinou. Tu sa sreávame s dvoma skupinami modelov. Pre prvú skupinu je ypická opimalizácia (a priori) s použiím modelov a až poom sa zohľadňujú informácie ýkajúce sa náhodnej povahy premenných. Druhá skupina je založená na prvonom rozhodnuí a posupnom zaznamenávaní účinkov ýcho rozhodnuí z hľadiska dlhodobejšieho horizonu. 5

Z uvedeného je zrejmé, že vo všeobecnosi okružná úloha musí spĺňať viacero obmedzení, koré môžeme klasifikovať podľa oho, či sa ýkajú vozidiel alebo zákazníkov. V aplikáciách sa, samozrejme, neuvažuje so všekými obmedzeniami súčasne, ale poenciálne sa môžu objaviť nasledovné (Beasley, 2003): ohraničenia ýkajúce sa dopravných prosriedkov: každý dopravný prosriedok má limiovanú kapaciu (napr. môže viesť len obmedzené množsvo ovaru alebo osôb) každé z vozidiel má určený absolúny čas prevádzky (ypické je obmedzenie možných hodín jazdy vodiča) každé z vozidiel má určený čas, kedy musí opusiť sredisko (napr. musí uvoľniť mieso prichádzajúcim vozidlám) každé z vozidiel má určené časové periódy, počas korých nie je v prevádzke (napr. presávky vodiča) pre každé z vozidiel sú určené náklady spojené s jeho použiím (prevádzkové náklady) 2 ohraničenia ýkajúce sa zákazníkov: každý zo zákazníkov požaduje dovoz resp. odvoz určiého množsva ovaru, kde uvažujeme buď o ypickom rozvoze (napr. pre lokálne obchody), alebo len o zbere alebo zvoze (napr. keď uvažujeme o pošových schránkach alebo o zbere odpadu), prípadne úloha môže byť kombináciou oboch ypov, zv. úlohy rozvozu a zvozu, pričom množsvo môže byť určené deerminisicky alebo sochasicky u každého zákazníka je známy čas, v korom je možné uskuočniť obsluhu, ide o už spomínané časové okno, pričom sa zohľadňuje čas prevádzky, resp. čas presávky každý zo zákazníkov môže byť obslúžený len určiým ypom vozidla pre každého zo zákazníkov môže byť určená prioria obsluhy zákazník môže byť obslúžený jedným, alebo viacerými vozidlami. 3 ohraničenia ýkajúce sa iných fakorov: vozidlo môže denne uskuočniť viacero jázd alebo len jednu jazdu jedna jazda môže rvať jeden, alebo viacero dní rôzne ypy vozidiel sa môžu používať na prepravu jedného alebo rôznych druhov ovarov vozidlá môžu vychádzať a vráiť sa len do jedného alebo do viacerých sredísk dopravne siee V závislosi od skúmanej úlohy je možné použiť viacero ypov opimalizačných kriérií: minimalizácia fixných nákladov (napr. minimalizácia poču použiých vozidiel) minimalizácia variabilnej zložky nákladov (napr. minimalizácia celkovej najazdenej vzdialenosi alebo celkového času porebného na prepravu) 6

minimalizácia celkových nákladov (určiá kombinácia predchádzajúcich dvoch ypov) 2 PRAKTICKÉ APLIKÁCIE Úloha o obchodnom cesujúcom sa objavuje vo veľkom poče dopravných a logisických aplikácií. Z úloh riešených v minulosi spomenieme plánovanie cies školských auobusov, rozvrhovanie servisných služieb vo firmách, donáškové služby, plánovanie práce srojov vo veľkoskladoch a mnoho ďalších (Moscao, 2005). Veľký záujem o TSP nie je založený len na aplikáciách s cieľom minimalizovať cesovné náklady. Dôležiosť ejo úlohy vychádza z využiia riešenia pre úlohy, koré na prvý pohľad nemajú žiadnu súvislosť s cesovnými rasami. Priom mnoho reálnych problémov možno formulovať pomocou TSP. Všesrannosť použiia môžeme ilusrovať na nasledujúcich príkladoch: Vŕanie dier pre elekrické obvody na plošné spoje (Meelco, 2005), (Nemhauser,995), (Skorobohayj, 2005). Táo aplikácia TSP je dôležiou aplikáciou vo výrobnom priemysle, keď sa spájajú vodiče vo viacerých vrsvách alebo sa spájajú so svorkou v inegrovanom obvode. Preože je porebné vŕať cez panel diery s rôznymi priemermi, je nevyhnuné meniť vŕacie zariadenie. Jednolivé úlohy TSP predsavujú vŕanie dier rovnakého priemeru, pričom úlohou je minimalizovať celkový srojový čas. Kryšalografia (Nemhauser, 995), (Skorobohayj, 2005). Táo aplikácia sa objavuje pri skúmaní šrukúry kryšálov cez odraz X-lúčov pri rôznych pozíciách kryšálu. TSP sa využíva k skúmaniu rôznych pozícií kryšálu, pričom sa minimalizuje celkový čas porebný k práci sroja, korý oáčanie kryšálu zabezpečuje. Elekroinšalácia počíačov (Nemhauser, 995). Pomocou TSP sa opimalizuje rozloženie komponenov na maičnej doske počíača, pričom jednolivé moduly, koré sú súčasťou maičnej dosky, sú pripojené k viacerým svorkám. Ku každej svorke súčasne nemôžu byť pripojené viac ako dva elekrické obvody. Ovládanie priemyselných roboov (Dolgui, 2004). Aplikácia TSP vo výrobnom priemysle, keď jeden robo má vykonať viac na seba nadväzujúcich pracovných úkonov. Úlohou je navrhnúť jednolivé úkony ak, aby sa znížil celkový výrobný čas. Zoraďovanie genómov (Reinel, 2005). Táo aplikácia TSP bola prispôsobená vedcami vo Francúzsku, korí vyvíjali mapu myšacieho genómu. Práca spočívala v konšrukcii radiačno-hybridných máp pri zoraďovaní genómov a pomocou TSP sa inegrovali lokálne mapy do jedinej radiačno hybridnej mapy pre daný genóm (mesá predsavujú lokálne mapy a náklady cesy určujú pravdepodobnosi, že jedna lokálna mapa bezprosredne nasleduje ďalšiu). Opimalizácia reťazových obrazcov (Reinel, 2005). Aplikácia využívaná pri návrhu reťazových obrazcov inegrovaných obvodov, keď reťazové obrazce sú kanáliky umiesnené na čipe pre esovacie účely a cieľom je z časových a výkonnosných dôvodov minimalizovať ich dĺžku. Sarligh Inerferomeer Program (Reinel, 2005). Cieľom aplikácie bolo opimalizovať sekvenciu nebeských objekov, korá bola zobrazovaná v navrhovanom vesmírnom Sarligh inerferomeer programe. Cieľom šúdie bolo minimalizovať sporebu paliva pri zameriavaní a zachyávaní manévrov pre pár saeliov použiých v misii (mesá sú nebeské objeky, koré majú byť zobrazené a náklady na cesu predsavuje palivo porebné pre premiesnenie ýcho dvoch saeliov z jedného snímku na ďalší). 7

Navrhovanie zv. sone okruhov (Reinel, 2005). Návrh vláknových opických sieí vo firme Bell Communicaions Research. TSP aspek problému vychádza z vyhľadania sone okruhov, koré poskyujú komunikačné linky medzi skupinou lokalí organizovaných v kruhu. Kruhová šrukúra poskyuje záložný mechanizmus v prípade zlyhania linky, keďže dáa môžu byť presmerované opačným smerom. Elekrické rozvodné siee (Reinel, 2005). Lokalizácia káblových rozvodov na dodávku energie elekronickým zariadeniam, koré sú prosrednícvom opických vláken spojené s domácnosťami. Použiá lieraúra. BURCHETT, D. - CAMPION, E.2002. Mix Flee Vehicle Rouing Problem - An Applicaion of Tabu Search in he Grocery Delivery Indusry. Research Paper, Universiy of Canerbury, New Zealand, 2002. 2. CAMPBELL, A. - SAVELSBERGH, M. CLARKE, L.2002. Invenory Rouing in Pracice. In: The Vehicle Rouing Problem, P.Toh and D.Vigo (eds.), SIAM monographs on discree mahemaics and applicaions, 2002. 3. CORDEAU, J. F. - DESAULNIERS, G. - DESROSIERS, J. SOLOMON, M.M.200. The VRP wih Time Windows. In: The Vehicle Rouing Problem, Paolo Toh and Daniele Vigo (eds), SIAM Monographs on Discree Mahemaics and Applicaions, 200. 4. DOLGUI, A. - PASHKEVICH, A.2004. Cluser-Level Operaions Planning in Arc- Welding Roboic Cell wih Posiion Table. Research Repor, G2, Ecole Naionale Supérieure des Mines, November, 2004. 5. FÁBRY, J.2006. Dynamické okružní a rozvozní úlohy. Dokorská diserační práce, Kaedra ekonomerie, Fakula informaiky a saisiky, Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha, 2006. 6. CHALASANI, P. MOTWANI, R.995. Approximaing Capaciaed Rouing and Delivery Problems. In: SIAM Journal on Compuing 28, 995. 7. IRNICH, S.2000. A Muli-Depo Pickup and Delivery Problem wih a Single Hub and Heerogenous Vehicles. In: European Journal of Operaional Research 22, 2000. 8. JANÁČEK, J.995. Opimalizace okružních jízd. Žilina, Vysoká škola dopravy a spojov,habiliačná práca, 995. 9. KLEYWEGT, A.J. NORI, V.S. SAVELSBERGH, M.W.P.2002. Dynamic Programming Approximaions for a Sochasic Invenory Rouing Problem. Working paper, School of Indusrial and Sysems Engineering, Georgia Insiue of Technology, Alana, USA, 2002. 0. MÜLLER MERBACH, H.970. Opimale Reihenfolgen. Berlin Heidelberg New York, Springer,Verlag, 970.. NEMHAUSER, G.L. RINNOOY, A. H.G.995. Nework models, Handbooks in Operaions Research and Managemen Science. In: ELSEVIER, Amserdam- Lausanne-New York-Oxford-Shannon-Tokyo, Volume 7, 995. 2. PONČÁK, M.2005. Niekoré variany úloh kombinaorickej opimalizácie. Dizeračná práca, Fakula riadenia a informaiky, ŽU, Žilina, 2005. Inerne: 3. BEASLEY, J. E. OR- Noes hp://www.ms.ic.ac.uk/jeb/or/vrp.hml (planék 3. 3. 2003) 8

4. METELCO, S. A. : Efficien Drilling of Prined Circui Boards hp://www.hsor.org/case_sudies.cfm?name=meelco_greece (plané k 24.0. 2005) 5. MOSCATO,P.: TSPBIB Home Page hp://www.ing.unlp.edu.ar/cead/mos/tspbib_home.hml (plané k 24. 0. 2005) 6. REINELT, G.: TSPLIB hp://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/comop/sofware/tsplib95/ (plané k 24. 0. 2005) 7. Skorobohayj, G.: MP-TESTDATA: The TSPLIB Symmeric Traveling Salesman Problem Insances hp://elib.zib.de/pub/packages/mp-esdaa/sp/splib/sp/ (plané k 24.0. 2005) Konakné údaje Ing. Zuzana Čičková, PhD. Ekonomická univerzia v Braislave, Fakula hospodárskej informaiky Dolnozemská /b, 852 35 Braislava Tel: (42 2) 67 295 820 email: cickova@euba.sk 9

Absrak ČASOVO PREMENLIVÁ NÁKLADOVÁ EFEKTÍVNOSŤ V PANELOVÝCH MODELOCH NÁKLADOVÝCH HRANÍC TIME VARYING COST EFFICIENCY IN PANEL DATA COST FRONTIER MODELS Andrea Furková Príspevok sa zaoberá paramerickým prísupom (Analýza sochasickej hranice) na odhad nákladovej efekívnosi. Pozornosť bola súsredená na modely panelových dá s časovo premenlivou nákladovou efekívnosťou, nakoľko čím dlhší je panel údajov, ým viac je žiaduce relaxovať predpoklad o konšannosi efekívnosi v čase. Je možné upusiť od oho predpokladu avšak za cenu odhadu dodaočným paramerov. Kľúčové slová: nákladová efekívnosť, časovo premenlivá nákladová efekívnosť, panelové modely sochasických nákladových hraníc Absrac This paper discusses parameric approach (Sochasic Fronier Analysis) for cos efficiency esimaion. We concenrae our aenion on panel daa models wih ime-varying cos efficiency because he longer he panel, he more desirable i is o relax he assumpion of consan cos efficiency in ime. I is possible o do so, alhough a he cos of addiional parameers o be esimaed. Keywords: cos efficiency, ime varying cos efficiency, panel daa cos fronier models ÚVOD Pôvodné modely na odhad paramerickej hranice efekívnosi, či už hranice produkčnej alebo nákladovej sú časo označované ako modely s deerminisickou hranicou, preože ieo modely špecifikujú iba jednosranný poruchový člen predsavujúci neefekívnosť. Tieo modely sú založené na odhade meódou najmenších švorcov (MNŠ). Druhú skupinu modelov hraníc označujeme ako sochasické modely hraníc, preože pridávajú dodaočný člen do deerminisickej hranice. Exisujú dve skupiny modelov sochasických hraníc, koré rozlišujeme v závislosi od povahy dá. Ak máme k dispozícii iba jedno pozorovanie za každú sledovanú jednoku, poom môžeme použiť prierezový model na odhad paramerov a na odhad neefekívnosi. Prierezové modely nerozlišujú medzi neefekívnosťou a zv. heerogeniou sledovanej jednoky. Na prekonanie oho problému boli navrhnué modely panelových dá. Panel sa skladá z dá za rôzne jednoky, koré sú sledované v rôznych časových obdobiach. Keďže panelový model obsahuje viac informácií o jednokách, ieo modely nám dovoľujú rozlišovať medzi neefekívnosťou a špecifickou heerogeniou sledovanej jednoky. V závislosi na predpoklade o rozdelení člena neefekívnosi môžeme použiť rôzne meódy odhadu. Takiež je možné špecifikovať časovo invarianný a časovo meniaci sa člen neefekívnosi v panelových dáach. Práve panelovým modelom s časovo 0

meniacim sa členom neefekívnosi sme sa rozhodli venovať pozornosť v omo príspevku nakoľko predpoklad, o konšannosi efekívnosi v čase je rešrikívny predpoklad. Obzvlášť ak uvažujeme o konkurenčnom prosredí, je ťažko akcepovaeľné, že efekívnosť zosáva konšanná v dlhšom časovom horizone 2 PANELOVÉ MODELY STOCHASTICKÝCH NÁKLADOVÝCH HRANÍC Panel údajov (opakované pozorovania pre každú sledovanú jednoku) obyčajne obsahuje viac pozorovaní ako súbor prierezových údajov čo umožňuje získať efekívnejšie odhady neznámych paramerov a efekívnejšie predikcie nákladovej efekívnosi. Použiie panelových dá umožňuje usúpiť od niekorých silných predpokladov o rozdeleniach použiých v modeloch s prierezovými údajmi a použiie panelových dá prináša aj iné výhody (bližšie pozri [Schmid a Sickles (984)]). Aplikácia panelových dá na odhad sochasickej nákladovej hranice je obdobná ako pri odhade modelov sochasickej produkčnej hranice (bližšie pozri napr. [Kumbhakar a Lovell (2000)]). Budeme vychádzať z predpokladu, že panelové dáa sú vyrovnané, v akom zmysle, že každá sledovaná jednoka má T pozorovaní. Nevyrovnané panely, pri korých máme k dispozícii T i T pozorovaní (pričom nie všeky T i sú rovnaké) je možné prispôsobiť pre všeky uvedené panelové modely nákladových hraníc. Jedna z možnosí ako môžeme uvažovať o člene neefekívnosi (z hľadiska času) v panelových modeloch nákladových hraníc je, že predpokladáme u i = u i i =,..., N =,..., T () kde o u i môžeme uvažovať ako o fixnom parameri alebo o náhodnej premennej, ieo modely sú známe ako modely s fixnými vplyvmi a modely s náhodnými vplyvmi. Uvažujeme eda, že nákladová efekívnosť je konšanná v čase a iež predpokladáme, že deerminisické jadro sochasickej nákladovej hranice má Cobb-Douglasov funkčný var. Na základe ýcho predpokladov môžeme panelový model nákladovej hranice vyjadriť nasledujúco: lnc = β 0 + β ln y + β ln w + v + u i =,..., N =,..., T (2) i y i n n ni i i kde lnc i je logarimus nákladov, lnw i a lny i sú logarimy cien vsupov a hodnô výsupov, β je vekor neznámych paramerov, v i je obojsranná (symerická) náhodná zložka a u i predsavuje časovo invariannú nákladovú neefekívnosť zloženého poruchového člena ε i = v i + ui. Na odhad neznámych paramerov a dvoch zložiek zloženého poruchového člena modelu naformulovaného v (2) môžeme použiť meódu maximálnej vierohodnosi, meódu momenov alebo zovšeobecnenú meódu maximálnej vierohodnosi. V prípadoch odhadu modelu meódou maximálnej vierohodnosi alebo meódou momenov môžeme použiť JLMS dekompozíciu (bližšie pozri [Jondrow, Lovell, Maerov a Schmid (982)]) na separovanie náhodnej zložky od nákladovej neefekívnosi v reziduáloch. Odhadnuý komponen nákladovej neefekívnosi môžeme poom dosadiť do vzťahu (3) aby sme získali špecifický odhad nákladovej efekívnosi sledovanej jednoky. Ak predpokladáme, že nákladová hranica je sochasická, nákladovú efekívnosť i-ej sledovanej jednoky definujeme nasledujúco

c( yi, wi, β )exp{ vi} CEi = = exp{ ui} (3) Ci kde nákladová efekívnosť je definovaná ako pomer minimálnych nákladov s ohľadom na náhodné šoky charakerizované ako exp{ v i } k skuočným nákladom. 3 PANELOVÉ MODELY STOCHASTICKÝCH NÁKLADOVÝCH HRANÍC - ČASOVO PREMENLIVÁ NÁKLADOVÁ EFEKTÍVNOSŤ Relaxovať predpoklad o konšannosi efekívnosi v čase je žiaduce najmä v prípade dlhších panelov dá. Je možné upusiť od oho predpokladu, avšak za cenu odhadu ďalších dodaočných paramerov. Rovnako ako v modeli s časovo invariannou nákladovou efekívnosťou, môžeme uplaniť dva prísupy odhadu modelu s časovo premenlivou nákladovou efekívnosťou: prísup, pri korom časovo premenlivá nákladová efekívnosť je modelovaná použiím fixných alebo náhodných vplyvov. Ak povolíme zmeny efekívnosi v čase, člen neefekívnosi sa bude skladať z dvoch zložiek a o zo zložky prierezovej (u i ) a časovej (β ): u = + β i =,..., N =,..., T. (4) i u i Zložený poruchový člen modelu ε i pozosávajúci eraz z roch komponenov môžeme zapísať nasledovne: ε = u + β + v. (5) i i i Cornwell, Schmid a Sickles (CSS) [Cornwell, Schmid a Sickles (990)] a Kumbhakar [Kumbhakar (990)] boli prví, korí navrhli panelový model sochasickej nákladovej hranice s časovo premenlivou nákladovou efekívnosťou. Model s časovo konšannou nákladovou efekívnosťou vyjadrený v rovnici (2) sa zmení na: lnc = β 0 + β ln y + β ln w + v + u (6) kde i i i y y i i = β + β ln y + β ln w + v 0 n n n n ni ni i i i β je úrovňová konšana nákladovej hranice spoločná pre všekých výrobcov v čase a β je úrovňová konšana i-ej jednoky v čase : β i = βo + ui (7) Prvým krokom je odhad paramerov modelu a poom nasleduje odhad nákladovej efekívnosi sledovaných jednoiek. Keďže nie je možné odhadnúť všeky β i, preože by o znamenalo odhadnúť navyše NxT paramerov, CSS navrhli nasledujúci funkčný var: 2 β i = θi + θi2 + θi3 (8) čo redukuje poče navyše odhadnuých paramerov na Nx3. Táo kvadraická špecifikácia povoľuje zmeny v nákladovej efekívnosi v čase jednolivých jednoiek. Dosadením (8) do (7) a vyjadrením u i dosaneme vzťah pre komponen neefekívnosi: 2 ui = θi + θi2 + θi3 β o. (9) Ak θ θ 0 i, eno model sa mení na model s časovo konšannou nákladovou i 2 = i 3 = efekívnosťou, korý je popísaný v rovnici (2). Ak θi 2 = θ 2 i a θ i 3 = θ3 i, eno model sa mení na model s fixnými vplyvmi s úrovňovou konšanou θ a kvadraický člen v čase je 2 spoločný pre všekých výrobcov ( θ + θ ). i2 i3 i 2

CSS opísali niekoľko sraégií odhadu modelu (6), koré zahŕňali prísup s fixnými vplyvmi aj prísup s náhodnými vplyvmi. Prísup s fixnými vplyvmi zavádza nasledujúce sraégie: vylúčiť u i z rovnice (6), odhadnúť paramere β n, β y a na reziduály urobiť regresiu s konšanou, a 2 s cieľom získania odhadov ( θ i, θi2, θi3 ) pre každú jednoku. Poom sa pomocou ýcho odhadov vypočíajú β i z rovnice (8) a definuje sa β0 = min i βi ako odhad úrovňovej konšany alebo ak N/T je relaívne malé, zahrnieme u i do rovnice (6), odhadneme θ i ako koeficieny umelých premenných pre každého výrobcu a θ i2 a θ i3 odhadneme ako koeficieny umelých premenných ovplyvňovaných a 2. Poom urobíme odhady β i a definujeme ^ ^ β o = min i βi ako odhadnuú úrovňovú konšanu nákladovej hranice v čase. ^ Nákladová efekívnosť každej jednoky v čase je poom odhadnuá ako CE i = exp ui, ^ ^ ^ kde ui = βi βo. Preo v každom čase je najmenej jedna jednoka odhadnuá ako 00 % nákladovo efekívna, hoci najefekívnejšia jednoka sa môže meniť v čase. Lee a Schmid [Lee a Schmid (993)] navrhli alernaívnu formuláciu, v korej u i v rovnici (6) sú špecifikované nasledujúco: u i = β () u i (0) kde funkcia β () je špecifikovaná ako množina časových umelých premenných β. V isom zmysle je eno model menej flexibilný ako CSS model, preože obmedzuje časovú podobu u i na rovnakú ( β ) pre všeky jednoky. Teno model je vhodný pre kráke panely, preože vyžaduje odhad T- dodaočných paramerov umelých premenných. Lee a Schmid uvažovali o oboch modeloch s fixnými aj s náhodnými vplyvmi, v rámci korých môže byť časovo premenlivá nákladová efekívnosť odhadnuá. V oboch prísupoch β sú brané ako koeficieny (fixných alebo náhodných) efekov u i. Ak β a u i sú odhadnué poom ui = β ui min β ui () i a môžeme vypočíať CEi = exp u i. Kumbhakar [Kumbhakar (990)] špecifikoval ( ) paramerickú funkciu času: [ 2 () = + exp{ γ + δ } β z rovnice (0) ako nasledujúcu β ] (2) Model Kumbhakara obsahuje dva dodaočné paramere, koré musíme odhadnúť, γ a δ, kým v CSS modeli je poče dodaočných paramerov Nx3 a model Lee a Schmid obsahuje T- dodaočných paramerov. Kumbhakarova funkcia β ( ) má nasledujúce vlasnosi: 0 β (i) () 3

(ii) β () môže byť monoónne rasúca alebo klesajúca, konkávna alebo konvexná, v závislosi od znamienok a veľkosi dvoch paramerov γ a δ. Môžeme oesovať aj hypoézu o časovo invariannej nákladovej efekívnosi použiím hypoézy, že γ = δ = 0, v korom prípade je β ( ) = 2. Kumbhakar navrhol echniky maximálnej vierohodnosi na odhad modelu daného rovnicami (6), (0) a (2). Odhliadnuc od dvoch dodaočných paramerov, koré musíme odhadnúť, predpoklady o rozdelení v i a u i a odhadová procedúra sú rovnaké ako pri modeloch s efekívnosťou konšannou v čase (bližšie pozri v [Kumbhakar a Lovell (2000)]). Baese a Coelli [Baese a Coelli (992)] vychádzali z predchádzajúceho modelu Kumbhakara a navrhli ďalší model s časovo meniacou sa nákladovou efekívnosťou. Ich model pozosáva opäť z rovníc (6) a (0) kde β () = exp { η( T )} (3) Teno model má iba jeden dodaočný parameerη, korý musíme odhadnúť. Funkcia β ( ) má nasledujúce vlasnosi: (i) β () 0 (ii) β () je klesajúca pre η > 0, rasúca pre η < 0 alebo zosáva konšanná pre η = 0,. j. ak η > 0 člen neefekívnosi vždy klesá v čase a η < 0 implikuje, že neefekívnosť vždy rasie v čase. Baese a Coelli urobili predpoklady o rozdelení u i ~ iid N + (µ,σ 2 u ) zrezané normálne rozdelenie a použili meódu maximálnej vierohodnosi na získanie odhadov všekých paramerov modelu. Ak odhad modelu získame meódou maximálnej vierohodnosi, môžeme esovať zaujímavé hypoézy obdobne ako pri modeli Kumbhakara napríklad: H : η 0 (implikuje časovo invariannú efekívnosť), 0 = H : η = µ 0 (implikuje časovo invariannú efekívnosť s polonormálnym rozdelením). 0 = Nevýhodou modelu Kumbhakara a modelu Baeseho a Coelliho je, že komponen neefekívnosi musí spĺňať predpísaný funkčný var, korý môže alebo nemusí byť pravdivý. Obzvlášť v prípade modelu Baeseho a Coelliho, je vývoj komponenu neefekívnosi v čase monoónny,. j. neefekívnosť rasie alebo klesá v čase konšanne, čo vo všeobecnosi nemusí plaiť (obe funkcie nepovoľujú zmeny v usporiadaní sledovaných jednoiek v čase, ak sa jednoka umiesni na n-om miese v prvom období, ak je vždy umiesnená na n-om miese). 4 ZÁVER Pôvodné panelové modely sochasických nákladových hraníc boli založené na predpoklade o konšannosi efekívnosi v čase. Avšak čím dlhší máme panel údajov ým menej udržaeľný sa sáva eno predpoklad. V príspevku sme venovali pozornosť modelom, koré umožňujú získať odhady efekívnosi meniacej sa v čase. Najväčšie zásluhy v ejo oblasi majú auori Cornwell, Schmid a Sickles, Kumbhakar a Baese a Coelli, korí na relaxáciu predpokladu o konšannosi efekívnosi navrhli rôzne funkcie času. Exisencia akejo funkcie si samozrejme vyžaduje odhad dodaočných paramerov. Ak sa efekívnosť mení medzi sledovanými jednokami alebo v čase je prirodzené hľadať deerminany ýcho zmien. Tu vidíme ďalší možný rozvoj prezenovaných modelov. 4

Použiá lieraúra. BATTESE, G. E., COELLI, T. J. (992): Fronier Producion Funcions, Technical Efficiency and Panel Daa: Wih Applicaion o Paddy Farmers in India, Journal of Produciviy Analysis 3 (-2), 53-69. 2. CORNWELL, C., SCHMIDT, P., SICKLES, R. (990): Producion Froniers wih Cross - Secional and Time - Series Variaion in Efficiency Levels. Journal of Economerics 46, 85-200. 3. FURKOVÁ, A. (2007): Analýza nákladovej efekívnosi slovenských a českých disribučných podnikov elekrickej energie, dizeračná práca, Fakula hospodárskej informaiky, Ekonomická univerzia v Braislave. 4. JONDROW, J., LOVELL, C. A. K., MATEROV, I. S, SCHMIDT, P. (982): On he Esimaion of Technical Inefficiency in he Sochasic Fronier Producion Funcion Model, Journal of Economerics 9 (2-3), 233-238. 5. KUMBHAKAR, S. C. (990): Produkcion Froniers, Panel Daa and Time - Varying Technical Inefficiency, Journal of Economerics 46, 20-2. 6. KUMBHAKAR, S. C., LOVELL, C. A. K. (2000): Sochasic Fronier Analysis, Cambridge Universiy Press. 7. LEE, Y. H, SCHMIDT, P. (993): A Producion Fronier Model wih Flexible Temporal Variaion in Technical Inefficiency, The Measuremen of Producive Efficiency: Techniques and Applicaions, Oxford Universiy Press. 8. SCHMIDT, P., SICKLES, R. (984): Producion Froniers wih Panel Daa, Journal of Business and Economic Saisics 2 (4), 367-374. Konakné údaje Ing. Andrea Furková, PhD. Ekonomická univerzia v Braislave, Fakula hospodárskej informaiky Dolnozemská cesa /a, 852 35 Braislava Tel.: (42 2) 67 295 832 email: furkova@euba.sk 5

SUBOPTIMÁLNE POSTUPY PRI RIEŠENÍ ROZVOZNÉHO PROBLÉMU S DELENOU DODÁVKOU SUBOPTIMAL APPROACHES TO SDVRP SOLVING Lucia Horáčková, Andrej Chu Absrak Rozvozný problém s delenou dodávkou je modifikáciou rozvozného problému, korý je klasickou úlohou operačného výskumu. Spočíva v opimalizácii rozvozných rás v komunikačnej siei obsahujúcej mieso počiaku všekých rás a daný poče mies, korý je nuné zahrnúť do rozvozných rás, pričom každý zákazník môže byť obslúžený viacerými vozidlami. Úlohou je minimalizovať prejazdenú vzdialenosť a obslúžiť všekých zákazníkov. Rozvozný problém s delenou dodávkou parí medzi NP obiažne úlohy, preo boli pre úlohy väčšieho rozsahu navrhnué ri heurisiky. Kľúčové slová: rozvozná úloha s delenou dodávkou, heurisické meódy, celočíselné programovanie Absrac The paper deals wih a spli delivery vehicle rouing problem, which is a modificaion of a vehicle rouing problem. I consiss in delivery roues opimizaion in communicaions nework conaining iniial ciy of all roues and a given number of places, which is necessary o include in delivery roues, where a cusomer can be served by more han one vehicle. The objecive is o find a se of vehicle roues ha serve all he cusomers and he oal disance raveled is minimized. The spli delivery vehicle rouing problem is NP hard, herefore we presen a soluion approach by hree heurisics. Keywords: spli delivery vehicle rouing problem, heurisic mehods, ineger programming ÚVOD Okružné úlohy sú šandardným problémom operačného výskumu, koré majú v dnešnej dobe veľké využiie. Maemaický model ýcho úloh je hranovo ohodnoený graf G = {V, E}, v korom uzly predsavujú miesa a hrany komunikačnú sieť, pričom hrana (i, j) je ohodnoená číslom c ij. Cieľom rozvozného problému s delenou dodávkou (angl. Spli delivery vehicle rouing problem - SDVRP) je nájsť uzavreé cykly, koré obsahujú všeky uzly grafu aspoň raz a celkové ohodnoenie je najnižšie. Každý cyklus musí však obsahovať uzol, korý predsavuje východiskové mieso rozvozu. Okrem podmienky, že cykly musia obsahovať všeky uzly, je u aj kapaciné obmedzenie na každý cyklus, koré je zadané kapaciou vozidla V, V > 0. Označme q i ako požiadavok i - ého uzlu (i ). Vzhľadom k obmedzenej kapacie vozidla V môže nasať siuácia, keď požiadavok uzla q i > V,.j. nemôže byť obslúžený žiadnym z vozidiel na rase, preože by došlo k prekročeniu kapaciy V. Za predpokladu, že eno požiadavok by mohol byť rozložený do niekoľkých časí, je nuné niekorých zo zákazníkov obslúžiť prosrednícvom niekoľkých 6

rás. Každý cyklus musí spĺňať podmienku, že súče požiadavkov uzlov ležiacich na cykle neprekročí kapaciu vozidla V. 2 MATEMATICKÝ MODEL Konšrukciu modelu budeme formulovať ako úlohu zvozu, korý sa realizuje vozidlom s kapaciou V a v každom uzle je reba naložiť q i k jednoiek produku, pričom premenná q i k v modeli predsavuje časť požiadavku na i-ého zákazníka q i, korá je odvezená vozidlom na rase k. Označme binárnu premennú x ij k, korá je rovná, ak hrana (i, j) je obsiahnuá v riešení, čiže vozidlo pôjde z uzlu i do uzlu j na k - ej rase, v opačnom prípade je áo premenná rovná 0 a premenná x ii k = 0. Maica C udáva vzdialenosi a plaí, že C = {c ij }. Účelová funkcia () predsavuje súče ohodnoení všekých hrán riešenia. Rovnica (3) zabezbečuje, že z uzlu i vychádza práve oľko hrán koľko do uzlu j vsupuje, pričom podmienka neplaí pre uzol. Nerovnosť (4) definuje premennú u i k, korá udáva veľkosť nákladu vozidla po návševe uzlu i na rase k. Táo podmienka je použiá namieso anicyklických podmienok. Podmienka (6) zabezpečuje, aby i - ý požiadavok nepresahoval kapaciu vozidla V na rase k. Podmienka (7) zaisťuje, aby vozidlá odviezli od každého zákazníka požadované množsvo. V prípade, že k - a rasa nevedie cez i - y uzol, poom sa na ejo rase z i - ého uzla nič neodváža, ale ak sa na k - ej rase z i - ého uzla odváža časť požiadavku q i > 0, poom musí exisovať aspoň jeden uzol, do korého vozidlo pôjde v rámci ejo rasy priamo z i - ého uzla,.j. x ij k = pre niekorý index j, čo vyjadruje nerovnosť (8). Maemaický model SDVRP ()-(0): K n n k min () k j= 2 n i= k= i= j= c ij x ij k x, k =,2,..., K (2) j n k x ij = x i= k ji, j = 2,3,..., n, k =,2,..., K (3) u k i + q V ( x ) u, i =,2,..., n j = 2,3,..., n i j k j k ij k j k =,2,..., K (4) k u = 0 k =,2,..., K (5) q k i k u V i = 2,3,..., n k =,2,..., K (6) i K k = k q i = q i i = 2,3,..., n (7) n k k 0 q q x i = 2,3,..., n k =,2,..., K (8) i i j= ij x = 0 i =,2,..., n k =,2,..., K (9) k ii { 0,} x i, j =,2,..., n k =,2,..., K (0) k ij 7

3 HEURISTICKÉ METÓDY SDVRP parí medzi NP obiažne úlohy, preo bude pre riešenie úlohy väčšieho rozsahu vhodné navrhnúť heurisické meódy. Bude sa jednať o úpravu heurisických meód pre obchodného cesujúceho a o o meódu najbližšieho suseda, meódu výhodnosných čísiel a vkladaciu meódu. Predpokladáme, že maica C je symerická a nezáporná. Označme M { 2,3,,n} množinu uzlov, koré eše neboli zahrnué do žiadnej z rás. Na začiaku meódy bude množina M rovná { 2,3,,n}. Heurisická meóda končí, ak množina M je prázdna. Priebeh rasy bude uložený do vekoru r = (r(), r(2),.., r(s)), kde r() = r(s) =. 3. Meóda najbližšieho suseda Vykonávame nasledujúce kroky, pokiaľ M nie je prázdna: Krok. Pokiaľ M je jednoprvková, obsahujúca len uzol k a q k V, poom položíme r() =, r(2) = k, r(3) = a výpoče rasy končí. Inak označíme k uzol s najkrašou vzdialenosťou c i a vyvoríme rasu r() =, r(2) = k, r(3) =, položíme s = 3. Ak q k V, uzol k odsránime z M, V = V q k a prejdeme na krok 2. Ak q k > V, uzol k v M ponecháme a zmení sa jeho požiadavka na p k, kde p k predsavuje časť požiadavky, korá presahovala kapaciu vozidla V, čiže p k = q k - V. Trasa je ukončená. Pokračujeme krokom, kapacia vozidla je V. Krok 2. Hľadáme uzol k, korý minimalizuje vzdialenosť c r(s-),k a parí do M. Ak pripočíanie q k v uzle k neprekročí kapaciu vozidla V, rozšírime rasu r o uzol k vložením za uzol r(s-). Zvýšíme s o, uzol k odsránime z M. Ak pripočíanie q k prekročí kapaciu vozidla V, rozšírime rasu r o uzol k, vložením za uzol r(s-), uzol k neodsránime z M, požiadavka uzla k sa zmení na p k, p k = q k V. Trasa je ukončená, pokračujeme krokom. Pokiaľ M je neprázdna, pokračujeme krokom 2, inak meóda končí. 3.2 Meóda výhodnosných čísiel Vykonávame nasledujúce kroky, pokiaľ množina M nie je prázdna: Krok. Ak M je jednoprvková, obsahujúca len uzol k, poom vyvoríme rasu r() =, r(2) = k, r(3) = a položíme s = 3. Ak požiadavka uzla k q k > V, poom uzol k odsránime z M a výpoče rasy končí. Ak q k > V, uzol k v M ponecháme a zmení sa jeho požiadavka na p k, kde p k predsavuje časť požiadavky, korá presahovala V, čiže p k = q k - V a rasa je ukončená. Pokračujeme krokom, pričom kapacia vozidla je V. Krok 2. Hľadáme dvojicu uzlov z M v vare (k, l), korá maximalizuje výhodnosné číslo s ij = c i + c j - c ij. Vyvoríme rasu r() =, r(2) = k, r(3) = l, r(4) = a položíme s = 4. Ak q k + q l V, ak uzly k a l odsánime z množiny M a V = V (q k +q l ). Prejdeme na krok 3. Ak q k + q l > V, označíme min index menšieho z dvojice (q k, q l ) a max index väčšieho z dvojice (q k, q l ) (ak q k = q l, položíme min = k a max = l). Ak q min > V, znížime q min o V, inak = V - q min, odsránime uzol min z M a znížime požiadavku q max o V. Trasa je ukončená a pokračujeme krokom. Krok 3. Hľadáme uzol i z M, korý maximalizuje s ik, resp. uzol j z M, korý maximalizuje s lj. Ak s ik s lj (alebo j neexisuje), poom vložíme uzol i do rasy pred mieso k a ak q i V ak uzol i odsránime z M. Kapacia vozidla sa zmení na V, kde V = V - qi. Zvýšime s o a za 8

k položíme i. Ak q i > V ak uzol i v M ponecháme a p i = q i V. Trasa je ukončená, s zvýšime o a za k položíme i. Pokračujeme krokom. Ak s ik < s lj (alebo i neexisuje), poom vložíme uzol j do rasy za mieso l a ak q j V, ak uzol j odsránime z množiny M. Kapacia vozidla sa zmení na V, kde V = V - q j. Zvýšime s o, a za l položíme j. Ak q j > V ak uzol j v M ponecháme a zmení sa požiadavka uzla j na p j, kde p j = q j V. Trasa je ukončená, s zvýšime o a za l položíme j. Pokračujeme krokom. Ak ani i a ani j neexisuje, poom rasa končí a pokračujeme krokom. Pokiaľ M je neprázdna, pokračujeme krokom 3, inak meóda končí. 3.3 Vkladacia meóda Pri vkladacej meóde vykonávame nasledujúce kroky pokiaľ M nie je prázdna: Krok. Označíme uzol k s najväčšou vzdialenosťou c i a vyvoríme rasu r() =, r(2) = k, r(3) =, položíme s = 3. Ak požiadavka uzla k q k V, poom V = V - q k. Uzol k odsránime z M. Pokiaľ M je prázdna, výpoče končí. Ak qk > V, poom uzol k v M ponecháme, jeho požiadavka sa zmení na p k, kde p k = q k - V. Pokračujeme krokom. Krok 2. Hľadáme uzol k z M, koré minimalizuje číslo d = c r(i), k + c k,r(i+) c r(i),r(i+) pre všeky i=,2,, s- a k M. Rozšírime rasu o uzol k vložením medzi uzol r(i) a r(i+), kde i minimalizuje hodnou d. Ak q k V, poom V = V - q k. Uzol k odsránime z M. Ak q k > V, poom uzol k v M ponecháme, jeho požiadavka sa zmení na p k, kde p k = q k - V. Pokračujeme krokom. Ak neexisuje akýo uzol k, poom rasa je ukončená a pokračujeme krokom. Pokiaľ M nie je prázdna, pokračujeme krokom 2, inak výpoče končí. 4 NUMERICKÉ EXPERIMENTY Majme spolu 20 mies zo Sloveskej a Českej republiky, pričom Braislava je východiskovým mesom, koré musí byť zahrnué v každej rase. Trasy sa realizujú po cesnej siei, kapacia vozidla V je vo všekých prípadoch rovnaká ak ako aj veľkosť požiadaviek q i. Navrhnué heurisiky boli aplikované na 0 rôznych problémov s rôznym počom mies. Tabuľka. Výsledky aplikovaných heurisických meód na rozvozný problém s delenou dodávkou p.č. poče mies meóda najbližšieho suseda (km) poče rás meóda výhodnosných čísiel (km) poče rás vkladacia meóda (km) 0 3063 4 2520 4 2457 4 2 2555 4 944 4 2245 4 3 2688 4 2398 4 249 4 4 3 3804 5 3596 5 347 5 5 4 452 6 3558 6 3865 6 6 5 3463 5 399 5 350 5 7 7 423 6 3746 6 39 6 8 8 563 7 4058 7 4476 7 9 9 4692 7 4320 7 4538 7 0 20 4667 7 4456 7 4725 7 poče rás 9

5 ZÁVER Po aplikácii heurisických meód na rôzne prípady rozvozných problémov s delenou dodávkou sme zisili, že najlepšie výsledky nám dáva meóda výhodnosných čísiel, pričom meóda najbližšieho suseda nie je vôbec vhodná na aplikáciu. Výskum bol podporený granom GAČR402/06/023. Použiá lieraúra. Dror, M., Trudeau, P. Spli Delivery Rouing. Naval Reasearch Logisics, 37: 383-402, 990 2. Fábry, J. Dynamické okružní a rozvozní úlohy, diserační práce. Praha: VŠE-FIS, 2006 3. Pelikán, J. Diskréní modely v operačním výzkumu. PROFESSIONAL PUBLISHING, 200, ISBN 80-8649-7-7 Konakné údaje Ing. Lucia Horáčková, Ing. Andrej Chu Vysoká škola ekonomická v Praze, Fakula informaiky a saisiky nám. W. Churchilla 4, 30 67 Praha 3, ČR Tel: +420 608 92 66 98 email: horackol@vse.cz, chuandre@vse.cz 20

VYUŽITIE CENOVÉHO ROZPÄTIA PRI ANALÝZE VOLATILITY USING OF PRICE RANGE BY VOLATILITY ANALYSIS Michaela Chocholaá Absrak Príspevok sa zaoberá problemaikou využiia cenového rozpäia pri analýze volailiy finančných časových radov. Analýza bola vykonaná pre denné hodnoy rakúskeho burzového indexu ATX (The Ausrian Traded Index) za obdobie 4..999 28.2.2007 (.j. 222 hodnô) v programovom syséme EViews 5.. Výsledky poukazujú na úzku súvislosť rozpylu a procesov generujúcich maximálne a minimálne ceny akíva. Kľúčové slová: cenové rozpäie, volailia, finančné časové rady, burzový index ATX Absrac The paper deals wih he using of he price range by volailiy analysis of financial ime series. The analysis was done for daily values of he Ausrian Traded Index ATX for he period 4 January 999 28 December 2007 (i.e. 222 values) in he economeric sofware EViews 5.. The resuls suppor he narrow connecion beween he variance and processes generaing high and low prices. Keywords: price range, volailiy, financial ime series, sock index ATX ÚVOD Modelovanie rozpylu vysokofrekvenčných finančných časových radov (burzových indexov, výmenných kurzov a pod.) bolo, je a bude predmeom záujmu rôznych analyikov za účelom, čo najlepšie predpovedať vývoj ich hodnô. V minulosi sa na analýzu vývoja časových radov používala predovšekým Boxova Jenkinsova meodológia ARIMA (Auoregressive Inegraed Moving Average) umožňujúca výpoče krákodobých prognóz časového radu pomocou podmienených priemerov za predpokladu zachovania konšanného podmieneného rozpylu. Na nereálnosť predpokladu konšannosi podmieneného rozpylu v prípade vysokofrekvenčných finančných časových radov ako prvý poukázal Engle (982), korý navrhol model ARCH (Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy) pripúšťajúci nesacionariu v rozpyle (.j. volailiu). O zovšeobecnenie modelu ARCH sa zaslúžil Bollerslev (986) konšrukciou modelu GARCH (Generalized ARCH). S ďalšou modifikáciou modelu ARCH modelom EGARCH (Exponenial GARCH), korý umožňuje zachyenie rôzneho vplyvu kladných a záporných šokov na úroveň podmieneného rozpylu (.j. asymerických efekov), prišiel Nelson (99). Hoci v súčasnosi exisuje veľké množsvo rôznych modifikácií modelov volailiy (viď napr. Arl a Arlová (2003), Engle (993), Franses a Dijk (2000)), Bollerslev, Chou a Kroner (992) uvádzajú, že väčšina auorov zaoberajúca sa ouo problemaikou dospela k záveru, že model GARCH(,) možno považovať za excelenný model pre široké spekrum finančných časových radov. 2

Pri analýze rozpylu finančných časových radov (predovšekým burzových indexov) sa možno srenúť i s využiím zv. esimáora cenového rozpäia (price range esimaor). Hoci Parkinson (980) hovorí o omo esimáore ako o ďaleko najefekívnejšom esimáore rozpylu, nie je príliš časo používaným. Vzťah medzi rhovými výnosmi a rozpylom (.j. dynamika vývoja rizikovej prémie), závisí podľa Lina a Rozeffa (994) od oho, či invesori formulujú racionálne očakávania ohľadom cien akív. Táo dvojica auorov podrobne skúmala problemaiku esimáora cenového rozpäia na príklade mesačných hodnô indexu Dow Jones Indusrial Average (DJIA), pričom dospela k výsledkom povrdzujúcim oprávnenosť použiia cenového rozpäia pri odhade podmieneného rozpylu analyzovaného burzového indexu. Využiiu cenového rozpäia pri prognózovaní volailiy sa venoval napríklad i Chou (2005), korý prišiel s modelom CARR (Condiional Auoregressive Range), korý predsavuje jednoduchý efekívny spôsob analýzy dynamiky volailiy. Chou a Wang (2007) aplikovali model CARR pri prognózovaní volailiy denných hodnô briského burzového indexu FTSE 00. Cieľom oho príspevku je využiie cenového rozpäia pri analýze volailiy denných hodnô rakúskeho burzového indexu ATX (The Ausrian Traded Index) za obdobie 4..999 28.2.2007 (.j. 222 hodnô) v programovom syséme EViews 5.. 2 MODELOVANIE ROZPTYLU, VÝVOJ ROZPÄTIA MAXIMÁLNA - MINIMÁLNA CENA Pri využií cenového rozpäia na modelovanie rozpylu je porebné brať do úvahy skuočnosť, že v dôsledku definície cenového rozpäia ako rozdielu medzi maximálnou a minimálnou cenou akíva, schopnosť prognózovať zmeny v rozpyle úzko súvisí s vlasnosťami maximálnych a minimálnych cien. Lin a Rozeff (994) prezenovali model vyjadrujúci vzťah medzi rozpylom a maximálnymi a minimálnymi cenami. Vychádzali z Parkinsonovej 2 definície esimáora rozpylu (Parkinson (980), Lin a Rozeff (994)) v vare σ 2 2 σ = 0.393( E( Max Min )) () Symbolom E je vo vzťahu () označený operáor srednej hodnoy, Max a Min sú logarimy maximálnej a minimálnej ceny akíva v období. Cenové rozpäie chápať ako súče dvoch komponenov, zv. semirozpäí (Lin a Rozeff (994)): ( Max Min ) ( Max Zav možno a ( Zav Min ), kde Zav je logarimus záverečnej ceny akíva v čase. Ak budeme predpokladať, že semirozpäia majú charaker náhodnej prechádzky, možno ich vyjadriť nasledovnými vzťahmi Max Zav Zav Min = Max = Zav Zav + ε (2) Min + ξ (3) ) pričom ε a ξ sú rovnako rozdelené náhodné premenné s nulovou srednou hodnoou. Cenové rozpäie možno definovať ako rozdiel medzi maximálnou a minimálnou cenou akíva (napr. burzového indexu) v konkrénom časovom období,.j. napr. v konkrénom dni, ýždni alebo mesiaci. 22

Predpokladajme ďalej, že logarimus záverečnej ceny akíva v čase, Zav, má akiež charaker náhodnej prechádzky,.j. Zav = µ + Zav + ε (4) kde µ je konšana a ε má charaker náhodnej poruchy. Z predpokladu (4) vyplýva, že najlepšou prognózou budúcej ceny akíva v čase podmienene na cene akíva v čase ( ) je cena akíva v čase ( ) plus konšana [ Zav ] Zav + µ E (5) = Vychádzajúc zo vzťahu (5), očakávané hodnoy logarimov maximálnej a minimálnej ceny akíva, Max a Min, podmienene na logarime záverečnej ceny 2 akíva v predchádzajúcom období, Zav, sú dané vzťahmi (6) a (7), v korých symbolom E označujeme operáor podmienenej srednej hodnoy E E [ Max ] = Zav + + E [ Max Zav ] [ Min ] Zav + + E [ Min Zav ] = µ (7) µ (6) V súlade s Linom a Rozeffom (994) ďalej predpokladajme, že očakávané zmeny v semirozpäiach sú funkciami odchýlok semirozpäí od ich nepodmienených očakávaných hodnô E [ Max Zav ] = Max Zav α { Max Zav E[ Max Zav ]} (8) E [ Min Zav ] = Min Zav β { Min Zav E[ Min Zav ]} (9) pričom E[ Max Zav ] a E[ Min Zav ] predsavujú nepodmienené očakávané hodnoy rozpäí medzi maximálnymi a záverečnými cenami (horné semirozpäie) a minimálnymi a záverečnými cenami (dolné semirozpäie). Hodnoy koeficienov α a β sa pohybujú v inervale 0, a vypovedajú o supni zorvačnosi. Ak α = β = 0, znamená o, že semirozpäia majú charaker náhodnej prechádzky a očakávané hodnoy sa rovnajú hodnoám z predchádzajúceho obdobia. Semirozpäia sa v omo prípade vyznačujú zorvačnosťou až do času, pokiaľ sa nevyskyne nový šok. Ak α = β =, najlepšími prognózami semirozpäí sú ich nepodmienené očakávané hodnoy. Semirozpäia sa nevyznačujú zorvačnosťou, ale majú endenciu vráiť sa k svojej priemernej hodnoe. Po subsiúcii podmienených očakávaní definovaných vzťahmi (8) a (9) do vzťahov (6), (7) dosávame [ Max ] = Max α { Max Zav E[ Max Zav ]} + µ [ Min ] Min β { Min Zav E[ Min Zav ]} + µ E (0) E = () 2 V ďalšom exe už nebudeme zdôrazňovať skuočnosť, že pracujeme s logarimickými ransformáciami cien akíva. 23

Ak α = β = 0, maximálne i minimálne ceny majú charaker náhodnej prechádzky, rovnako ako záverečné ceny. Ak α =, očakávaná maximálna cena je záverečná cena (upravená o konšanu) plus nepodmienené horné semirozpäie. Podobne, ak β =, očakávaná minimálna cena je záverečná cena (upravená o konšanu) plus nepodmienené dolné semirozpäie. Je zároveň nepravdepodobné, že maximálne a minimálne ceny majú charaker náhodnej prechádzky. Ak je záverečná cena nižšia ako maximálna cena, malo by o viesť k redukcii očakávaní ýkajúcich sa maximálnej ceny v nasledujúcom období, kým v prípade, že záverečná cena je v porovnaní s minimálnou cenou vysoká, malo by o smerovať k zvýšeniu očakávaní ohľadom minimálnej ceny v nasledujúcom období. Na základe rovníc (8) a (9) je eda nepravdepodobné, že by semirozpäia mali charaker náhodnej prechádzky. Z rovnakej úvahy pre rozpyl vyplýva, že je nepravdepodobné, aby mal charaker náhodnej prechádzky. 3 ANALÝZA BURZOVÉHO INDEXU ATX Na analýzu volailiy boli použié denné hodnoy rakúskeho burzového indexu ATX (The Ausrian Traded Index) v období 4..999 28.2.2007 (.j. 222 hodnô) v programovom syséme EViews 5. získané z inerneovej sránky finance.yahoo.com. ATX je kapializačný vážený index najviac obchodovaných akcií na viedenskej burze (Telekom Ausria, Mayr- Melnhof Karon, Boehler-Uddeholm, Voesalpine, EVN, Flughafen Wien, OMV AG, Oeserr Elekr Wir, RHI AG, Wienerberger AG, Erse Bank, Andriz, A-Tec Indusries, BWIN Inerac Ener, Inercell, Oeserreich Pos, Raiff Inernaional, UNIQA Versicherung, Wiener Saed Vers, Zumobel). Počiaočná hodnoa indexu 000 bodov sa viaže k 2. januáru 99. Predmeom analýzy boli (v logarimickom vare): denný výnos Zav = Zav Zav, výnos vypočíaný na základe maximálnych cien (ozn. max_výnos) Max = Max Max, výnos vypočíaný na základe minimálnych cien (ozn. min_výnos) Min = Min Min, horné semirozpäie Max Zav, dolné semirozpäie Zav Min a denné rozpäie Max Min. Základné šaisické charakerisiky (vráane hodnô Jarqueho - Berovej esovacej šaisiky) ýcho časových radov sú v abuľke. Hodnoy auokorelačných funkcií ACF pre poče oneskorení (ozn. Lag), 2, 3, 4, 5, 2 a 200 spolu s hodnoami p-value sú v abuľke 2. Tabuľka denný výnos max_ výnos min_výnos horné semirozpäie dolné semirozpäie denné rozpäie priemer 0,000623 0,00067 0,000625 0,005739 0,0073 0,02852 medián 0,000928 0,000426 0,00438 0,003707 0,005849 0,026 maximum 0,04679 0,057922 0,040293 0,088405 0,049728 0,096924 minimum -0,077676-0,05074-0,079025 0,000000 0,000000 0,00564 š.odchýlka 0,0024 0,008697 0,009577 0,006772 0,005839 0,007207 šikmosť -0,633267-0,27473 -,00230 3,0067,64962 2,66297 špicaosť 6,8846 6,72749 8,23936 20,2896 7,6329 7,2652 Jarque-Bera 544,224 302,880 296,599 3008,64 2992,379 2443,83 probabiliy 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 poče pozorovaní 2220 2220 2220 222 222 222 24

Tabuľka 2 Lag denný výnos max_ výnos min_výnos horné semirozpäie dolné semirozpäie denné rozpäie p- p- p- p- p- p- ACF value ACF value ACF value ACF value ACF value ACF value 0,033 0,8 0,53 0,000 0,72 0,000 0,45 0,000 0,045 0,033 0,37 0,000 2 0,023 0,65 0,09 0,000-0,030 0,000 0,87 0,000 0,040 0,07 0,3 0,000 3 0,005 0,302 0,044 0,000 0,020 0,000 0,38 0,000 0,043 0,006 0,303 0,000 4 0,02 0,409 0,04 0,000 0,020 0,000 0,53 0,000 0,038 0,004 0,286 0,000 5 0,030 0,305 0,037 0,000 0,035 0,000 0,7 0,000 0,054 0,00 0,282 0,000 2-0,004 0,224 0,005 0,000 0,005 0,000 0,076 0,000 0,082 0,000 0,65 0,000 200-0,02 0,79 0,005 0,07-0,009 0,00-0,003 0,000 0,003 0,000 0,00 0,000 Na základe výsledkov uvedených v abuľke možno vrdiť, že priemerné výnosy časových radov Zav, Max a Min boli v sledovanom období približne rovnaké, a o 0,06%. Šandardná odchýlka bola v prípade časového radu Zav,0%, časového radu Min 0,96% a najnižšiu hodnou 0,87% dosahovala pre časový rad výnosov maximálnych cien Max. Z hodnô šikmosi a špicaosi, i na základe Jarqueho - Berovej esovacej šaisiky je zrejmé porušenie predpokladu normaliy rozdelenia. Hodnoy auokorelačnej funkcie ACF sú pre väčšinu oneskorení uvedených v abuľke 2 pre časové rady Max a Min vyššie ako v prípade časového radu Zav. Jednolivé časové rady výnosov i (semi)rozpäí sme oesovali i na príomnosť jednokového koreňa s využiím ADF esu 3. Všeky analyzované časové rady možno vzhľadom na skuočnosť, že hodnoy ADF šaisiky sa pohybovali od 45,59 do,94 (kriické hodnoy pre hladinu významnosi %, 5% a 0% sú 3,96, -3,4 a 3,3), považovať za sacionárne,.j. hypoézu ohľadom exisencie jednokového koreňa možno v prípade všekých časových radov zamienuť. Za účelom dosiahnuia reziduí s vlasnosťami bieleho šumu 4 je porebné pre jednolivé časové rady použiť nasledovné ARMA (Auoregressive Moving Average) modely: Zav - podmienka bieleho šumu je splnená; Max Zav - AR(-5,9) Max - AR(); Zav Min - ARMA(,) Min - ARMA(,); Max Min - ARMA(,2). Za účelom overenia skreslenosi esimáora rozpäia vypočíajme šandardnú odchýlku σ pre jednolivé dni (vychádzajúc zo vzťahu ()),.j. σ =.627( Max Min ) (2) 0 kde Max a Min predsavujú predsavujú logarimy maximálnej a minimálnej ceny v časovom okamihu. Priemerná hodnoa odhadov denných šandardných odchýlok pre denné rozpäie 3 Rozšírený Dickeyho-Fullerov es exisencie jednokového koreňa bližšie pozri Dickey a Fuller (979). 4 Bližšie pozri napr. Franses a Dijk (2000). 25

Max Min je 0,806%. Šandardná odchýlka pre hodnoy denných výnosov uvedená v abuľke je,0%, z čoho možno vyvodiť záver o pomerne dobrej schopnosi esimáora cenového rozpäia pri odhade šandardnej odchýlky denných výnosov. Vychádzajúc z vyššie uvedených vzťahov dosávame regresné modely očakávaných zmien v logarimoch maximálnych i minimálnych cien,.j. výnos vypočíaný na základe maximálnych cien a výnos vypočíaný na základe minimálnych cien. Ekonomerická špecifikácia ýcho regresných modelov po zohľadnení špecifikácie náhodných porúch ε a ξ ako sacionárnych auoregresných procesov (za účelom zachyenia sériovej závislosi v reziduách modelu) dosávame Max = a 0 [ Max Zav ] ε α + ε + υ = a ε a2ε 2 a3ε 3 Min = b 0 [ Zav Min ] + β + ξ ξ + ζ = b ξ b2ξ 2 b3ξ 3 (3) (4) pričom 0 = µ + α E Max Zav a 0 = µ + β E Min Zav. Paramere modelov (3) a (4) sme na základe výsledkov Breuschovho Paganovho esu odhadli nelineárnou meódou SUR (seemingly unrelaed regression). Výsledky odhadov paramerov modelov (3) a (4), hodnoy -šaisík spolu s hodnoou koeficiena deerminácie R 2 sú uvedené v abuľke 3: a [ ] b [ ] Tabuľka 3 Paramere Odhadnué hodnoy -šaisika a 0 0,005674 26,78044 α 0,882894 46,39283 a 0,4003 7,02027 a 2 0,040779 2,75488 a 3 0,086435 4,66076 R 2 0,47677 b 0-0,006450-9,5274 β 0,994864 40,68278 b 0,74976 8,7898 b 2 0,3460 7,044900 b 3 0,46228 7,85565 R 2 0,396936 Odhady paramerov α a β sú 0,882894 a 0,994864, pričom zodpovedajúce hodnoy - šaisík sú 46,39283 a 40,68278,.j. časové rady výnosov maximálnych cien a výnosov minimálnych cien nemajú charaker náhodnej prechádzky. Čím vyššia je maximálna cena v predchádzajúcom období v porovnaní so záverečnou cenou v predchádzajúcom období, ým menší by mal byť očakávaný výnos vypočíaný na základe maximálnych cien. Analogicky, čím nižšia je predchádzajúca minimálna cena v porovnaní s predchádzajúcou záverečnou 26

cenou, ým vyšší by mal byť očakávaný výnos vypočíaný na základe minimálnych cien. Podsanú oázku zohráva v omo prípade oesovanie, či α = a β =. Na základe výsledkov ýcho esov možno vrdiť, že kým odhad paramera α je šaisicky významne odlišný od jednej, odhad paramera β sa však šaisicky významne od jednej nelíši 5. Znamená o eda, že očakávanie ýkajúce sa maximálnej ceny v nasledujúcom období dáva poziívnu váhu na maximálnu cenu v omo období, ako aj na záverečnú cenu a nepodmienené horné semirozpäie. Očakávaná minimálna cena je však daná jednoduchým súčom záverečnej ceny a očakávaného dolného semirozpäia. Z uvedených zisení vyplýva určiá súvislosť vlasnosí rozpylu a rozpäia s endenciou zorvačnosi maximálnych cien. a a2 3 b b2 3 Šaisická významnosť paramerov,, a a,, b indikuje oprávnenosť použiia auoregresných procesov na zachyenie sériovej závislosi v reziduách modelov (3) a (4). Výnosy vypočíané na základe maximálnych i minimálnych cien je možné vysveliť prosrednícvom šokov počas predchádzajúcich roch dní. Teno dôkaz nenáhodného vývoja maximálnych a minimálnych cien naznačuje, že endencia rozpylu vráiť sa k priemernej hodnoe má pôvod v procesoch generujúcich maximálne a minimálne ceny akíva. 4 ZÁVER V príspevku sme na denných hodnoách burzového indexu ATX poukázali na možnosť využiia cenového rozpäia pri analýze volailiy. Na základe výsledkov možno prijať záver, že endencia rozpylu vráiť sa k priemernej hodnoe má pôvod v procesoch generujúcich maximálne a minimálne ceny akíva. Skúmanie vzťahov medzi využiím esimáora cenového rozpäia a modelmi volailiy (G)ARCH pri analýze volailiy finančných časových radov bude predmeom ďalších analýz. Použiá lieraúra [] ARLT, J.- ARLTOVÁ, M.: Finanční časové řady. Praha, Grada 2003. [2] BOLLERSLEV, T.: Generalized Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy. Journal of Economerics 3, 986, č.3. [3] BOLLERSLEV, T. CHOU, R. KRONER, F.K.: ARCH Modeling in Finance: A Selecive Review of he Theory and Empirical Evidence wih Suggesions for Fuure Research. Journal of Economerics 52, 992. [4] DICKEY, D. FULLER, W.A.: Disribuion of he Esimaes for Auoregressive Time Series wih a Uni Roo. Journal of he American Saisical Associaion 74, jún 979. [5] ENDERS, W.: Applied Economeric Time Series. New York, John Wiley&Sons, Inc. 995. [6] ENGLE, R.F.: Auoregressive Condiional Heeroscedasiciy wih Esimaes of he Variance of Unied Kingdom Inflaion. Economerica 50, 982, č.4. [7] ENGLE, R.F.: Saisical Models for Financial Volailiy. Financial Analyss Journal, January February 993. [8] ENGLE, R.F. GONZALEZ, G.: Semiparameric ARCH. Journal of Business and Economic Saisics 9, 99. [9] FRANSES, P.H. DIJK, D. van: Non-Linear Time Series Models in Empirical Finance. Cambridge, Cambridge Universiy Press 2000. 5 K rovnakým výsledkom prišli i Lin a Rozeff (994) pri esovaní burzového indexu DJIA. 27

[0] CHOCHOLATÁ, M.: Modely a meódy pre analýzu výmenného kurzu. Dizeračná práca, KOVE FHI EU, Braislava 2005, 54 s. [] CHOU, H.-Ch. WANG, D.: Forecasing Volailiy on he U.K. Sock Marke: A Tes of he Condiional Auoregressive Range Model. Inernaional Research Journal of Finance and Economics, Issue 0, 2007. [2] CHOU, R.Y.: Forecasing Financial Volailiies wih Exreme Values: The Condiional Auoregressive Range (CARR) Model. Journal of Money, Credi, and Banking 37, 2005, č. 3. [3] LAMOUREUX, Ch. G.- LASTRAPES, W.D.: Heeroskedasiciy in Sock Reurn Daa: Volume versus GARCH Effecs. Journal of Finance XLV, 990, č.. [4] LIN, J.-Ch. ROZEFF, M.S.: Variance, Reurn, and High-Low Price Spreads. Journal of Financial Research XVII, 994, č.3. [5] NELSON, D.: Condiional heeroskedasiciy in asse reurns: A new approach. Economerica 59, 99, s. 347-370. [6] PARKINSON, M.: The Exreme Value Mehod for Esimaing he Variance of he Rae of Reurn. Journal of Business 53, 980, č.. [7] finance.yahoo.com, www.bloomberg.com Konakné údaje Michaela Chocholaá, Ing. PhD. Kaedra operačného výskumu a ekonomerie, Fakula hospodárskej informaiky, Ekonomická univerzia v Braislave, Dolnozemská cesa /b, 852 35 Braislava, email: chocholaam@yahoo.com, el.: 0042-2-67295 832. 28

MODELY DISKRÉTNÍ BINÁRNÍ VOLBY DISCRETE BINARY CHOICE MODELS Šárka Lejnarová Absrak V omo článku se zabývám modely diskréní binární volby: lineárním pravděpodobnosním modelem(lpm), logiovým modelem a probiovým modelem. Zkoumám je nejprve z eoreického hlediska, jaká je jejich podsaa, jaká jsou jejich specifika a problémy. V prakické čási se zaměřuji na problemaiku řídění odpadu. Aplikuji jednolivé modely na získaná daa a snažím se vysvěli, na čem závisí volba jedince mezi řídím odpad a nebo neřídím odpad. Na základě analýzy poé doporučuji, na koho a jakým způsobem zacíli osvěu. Klíčová slova: Modely diskréní binární volby, LPM, logi, probi, řídění odpadu. Absrac In his aricle I concern wih discree binary choice models namely linear probabiliy model, logi model and probi model. Firs of all I see ino heoreical viewpoin, wha are principles, specificiy and problems. In pracical par I survey on problems of wase soring. I apply each model on obained daas. I ry o explain how he choice Yes, I sor wase or No, I don sor wase is dependen upon differen facors. Based on his analysis I deermine arge group and I recommend how o aim a educaion. Key words: Discree binary choice models, LPM, logi, probi, wase soring. ÚVOD Modely diskréní volby se zabývají siuací, kdy vysvělovaná proměnná je mulinomická, o znamená nabývá pouze několika diskréních hodno. Modely diskréní binární volby jsou zúžením modelů diskréní volby na siuaci, kdy vysvělovaná proměnná je binární neboli alernaivní popřípadě dichoomická z maemaického hlediska je represenovaná nulajedničkovou proměnnou. Modely řeší problemaiku, kdy se subjek rozhoduje mezi dvěma časo proikladnými alernaivami, např. koupím nebo nekoupím výrobek dlouhodobé spořeby, zůsávám nebo odcházím od elefonního operáora a podobně. Jednolivé modely diskréní volby, zejména pak logiový model se původně používaly v biologii a medicíně. Poprvé pronikají do saisiky a epidemiologie v 50. leech 20. soleí. Dlouhou dobu byly modely diskréní volby používané spíše jako saisická echnika bez odpovídající inerpreace. Ke změně došlo poé, co americký ekonom McFadden aplikoval modely na úlohu, kdy jedinec volí dopravní prosředek, jakým jezdí do práce (Ridgway- Tichelaar, 2000). 29

Ve svém výzkumu jsem se rozhodla aplikova modely binární diskréní volby na problemaiku řídění odpadů. Vysvělovaná proměnná je odpověď na oázku: Třídíe odpad?. Responden se edy rozhoduje mezi dvěma alernaivami: Ano, řídím nebo Ne, neřídím. Aplikaci na oblas živoního prosředí jsem si vybrala, proože se o ni akivně zajímám. Domnívám se, že ochrana živoního prosředí nabývá sále na významu. Během minulého soleí došlo k obrovskému nárůsu hospodářských činnosí, k vynálezu nových echnologií a jejich zavedení do běžného živoa. To mělo určiě mnoho poziiv pro lidský živo, ale má o i své sinné sránky v podobě devasace živoního prosředí. Lidé by si neměli mysle, že se jich yo problémy neýkají. My všichni jsme obyvaelé jedné Planey, kerá je o nejcennější, co máme a je velmi důležié ji chráni. My jsme zodpovědní za své skuky, ne měsa, sáy ani nadnárodní insiuce. Ve svém výzkumu jsem omezená skladbou vzorku odpovídajících respondenů. Sbírání probíhalo přes inerne, proo jsou odpovídající akivní inerneoví uživaelé, o znamená, že vzorek není represenaivní a výsledky se nedají zobecni na celou populaci. 2 TEORETICKÝ ZÁKLAD Dříve než se dosanu ke svému výzkumu, provedu čenáře kráce v eorii modelů binární volby, pro jednodušší vysvělení budu vše vysvělova na modelu obsahujícím pouze jednu vysvělující proměnou, pro ilusraci budu srovnáva s regresní analýzou. Modely binární volby rozlišujeme ři: Lineární pravděpodobnosní model, logiový model, probiový model. Použií každého z nich má své výhody i své omezení. Obecně nejširší využií v praxi má model logiový. Podsaný rozdíl mezi regresní analýzou a modely binární volby spočívá v om, že vysvělovaná proměnná v modelech binární volby je dichoomická. Vysvělující proměnné mohou bý spojié i diskréní exogenní proměnné ale i socioekonomické charakerisiky. Cíle modelů binární poažmo i diskréní volby jsou shodné jako cíle regresních modelů. 2. LPM Nejjednodušší model binární volby je lineární pravděpodobnosní model. Model pracuje s pravděpodobnosí, že subjek (jedinec, domácnos, firma apod.) přijme či odmíne určié alernaivní rozhodnuí. Vysvělované proměnné jsou časo socioekonomické, demografické nebo další charakerisiky. Y = β + β X + u, () 0 kde Y je vysvělovaná binární proměnná, X je vysvělující proměnná, u je náhodná složka a regresní koeficieny β. Podmíněnou sřední hodnou označujeme E(Y x) a můžeme ji popsa jako očekávanou hodnou Y při dané hodnoě x neboli podmíněnou pravděpodobnos, že subjek přijme danou alernaivu v závislosi na uvažovaných charakerisikách. Pokud předpokládáme, že sřední hodnoa náhodné složky je nulová, plaí EYX ( ) = β + β X (2) i i 0 i Proože se původní lineární pravděpodobnosní model nijak neliší od lineárního regresního modelu, bylo by nasnadě použí pro odhad meodu nejmenších čverců. Bohužel, při bližším zkoumání narazíme hned na několik úskalí (Gujarai, 988). 30

Významným problémem je, že náhodná složka u i není normálně rozdělena, nýbrž má dichoomické rozdělení. Tím, že Y i nabývá pouze dvou hodno, ak i u i nabývá pouze dvou hodno a o následovně. Pro model zapsaný v následujícím varu Plaí pro Y i = a pro Y i =0 u Y X = β β. (3) i i 0 i u = β β, (4) i ui 0 X i = 0 β β X. (5) 0 Dichoomické rozdělení náhodné složky způsobuje problémy zejména při esování významnosi modelu. Problém se dá řeši ím, že zvolíme soubor, jehož velikos rose do nekonečna. To by znamenalo, že můžeme použí cenrální liminí věu a aproximova dichoomické rozdělení normálním rozdělením. Hlavním problémem je heeroskedasicia rozpylu náhodné složky. Při předpokladu, že Y může nabýva pouze dvou hodno a o 0 a, ak i u může nabýva pouze dvou hodno a o (4) s pravděpodobnosí p i a (5) s pravděpodobnosí - p i. Z oho vyplývá, že náhodná složka má rozdělení se sřední hodnoou 0 a měnící se rozpyl je dán vzorcem p i (- p i ). Jak je edy vidě, rozpyl náhodné složky u závisí na proměnné Y poažmo i X, což znamená, že není možno ho pokláda za homoskedasický. Při výskyu heeroskedasiciy náhodné složky je nuno brá v úvahu, že meoda MNČ neposkyuje efekivní odhady. Proože odhady nemají minimální rozpyl, nelze použí běžné esy saisické významnosi, ani inervalový odhad. Ani eno problém nás neuvede do bezvýchodné siuace. Řešením může bý odhadnuí modelu pomocí meody vážených nejmenších čverců (MVNČ), resp. pomocí meody zobecněných nejmenších čverců (MZNČ). Při používání LPM se dále sekáváme s někerými nedosaky, keré se ale nevyskyují u nelineárních modelů binární volby. Prvním z nich je o, že podmíněná pravděpodobnos může nabýva hodno mimo inerval 0,. Pokud se eno problém naskyne, může se řeši ak, že krajní hodnoy věší než se považují za a naopak hodnoy menší než 0 se považují za 0. 0 pro β0 + βx i < 0 pi = β0 + βxi pro 0 β0 + βxi pro β0 + βx i > Další problém nasává při inerpreaci modelu a spočívá v jeho lineariě. Při sejných změnách vysvělujících proměnných ve vekoru x i, oiž dochází k jiným změnám pravděpodobnosí v závislosi na om, jaká byla výchozí úroveň vysvělující proměnné. Tomu neodpovídá model LPM, ale odpovídají omu nelineární modely, kerými se budu zabýva v následujících řádcích. V grafickém vyjádření omu odpovídá symerická S-křivka na rozdíl od přímky. i 3

2.2 Logiový, probiový model Logiový a probiový model jsou nelineárními modely binární volby. Pro případ binární proměnné můžeme použí někerou známou kumulaivní disribuční funkci (KDF). Nejčasěji používaná je funkce logisického rozdělení (logiový model) nebo funkce normovaného normálního rozdělení (probiový model). pi 0,5 0-4 -3-2 - 0 2 3 4 Ii KDF Normálního rozdělení KDF Logisického rozdělení Obrázek - KDF normovaného normálního a logisického rozdělení Logisickou funkci vybíráme proo, že je o flexibilní a jednoduchá funkce a můžeme ji smysluplně inerpreova. Pro zjednodušení zápisu označíme p i =E(Y x) vyjadřující podmíněný průměr Y pro dané x, když je použio logisické rozdělení. Pravděpodobnos p i definujeme jako podmíněnou pravděpodobnos volby i-ého subjeku. Specifický var logiového modelu, kerý používáme je dán výrazem (Hosmer, Lemeshow, 2000) Logiová ransformace je definována následovně p i β + β x 0 e = β0+ βx. (6) + e p i g( x) = ln = β0 + βx. (7) pi Výraz předsavuje logarimus podílu možných pravděpodobnosí obou alernaiv. Důležios éo ransformace spočívá v om, že logi g(x) je lineární v paramerech, může bý spojiý a může nabýva hodno od mínus nekonečna do nekonečna. Funkce logiu je inverzní k logisické křivce. Logisická funkce husoy pravděpodobnosi je hladká křivka souměrná kolem nuly. Z důvodu heeroskedasiciy se pro odhad logiového modelu používá meoda maximální věrohodnosi (MMV). Princip MMV spočívá v nejlepším odhadu paramerů β, keré 32

maximalizují výraz l(β). Maemaicky je výhodnější pracova s logarimem věrohodnosi (např. Hosmer, Lemeshow, 2000) n L( β) = ln [ l( β) ] = [ yiln( pi) + ( yi)ln( p i) ]. (8) i= Normální rovnice (podmínky prvního řádu) [ yi pi] = 0 x i[ y i p i] = 0. (9) V lineární regresi vychází normální rovnice lineární v paramerech β, ale v logisické regresi plaí, že výše uvedené věrohodnosní rovnice jsou nelineární v paramerech β 0, β, o vyžaduje numerické meody pro jejich řešení. V současnosi exisují saisické sofwary, keré yo meody nabízejí sandardně. Při vysvělování probiového modelu využijeme eorie užiku a racionální volby vyvinuou McFaddenem (např. Gujarai, 988). Definujeme index užiku I i jako spojiou neměřielnou proměnnou danou vzahem I i = β + β X. (0) 0 Uvažujeme příklad, kdy zkoumáme, zda domácnos vlasní např. chau v závislosi na výši příjmu domácnosi. Pokud je Y =, znamená o, že domácnos vlasní chau. Pokud je Y = 0, domácnos chau nevlasní. Pro každou domácnos exisuje určiá prahová úroveň indexu užiku značící se jako I i *, a nám udává, že pokud I i překročí úroveň I i *, domácnos bude vlasni chau, což znamená že Y =. Prahová úroveň I i *, sejně jak samoný index užiku I i, není pozorovaelná, ale předpokládáme, že je sandardně normálně rozdělená. Z ěcho předpokladů můžeme vyvodi vzorec pro určení pravděpodobnosi, kdy skuečný index užiku je věší než hraniční úroveň užiku (Gujarai, 988) 2 * Ii 2 β0+ βx i ( ) ( ) 2 2 p = P Y = = P I i i Ii = e d e d 2π = 2π, () kde je sandardně rozdělená normální náhodná veličina N(0, ). Tako definovaná pravděpodobnos nám určuje pravděpodobnos, že daný jev nasane, ve výše uvedeném příkladu, že domácnos vlasní chau. Výběrový probi můžeme vyjádři následujícím vzorcem (Hušek, Pelikán, 2003) i i i 0 i kde F - je inverzní funkce normální disribuční funkce. i I = F ( I ) = F ( P) = β + β X, (2) Pro odhad probiového modelu aké používáme MMV. Logarimická věrohodnosí funkce je dána následujícím vzorcem (Hušek, Pelikán, 2003) n ln [ L( β; y) ] = [ yiln( FNOR( Ii)) + ( yi)ln( FNOR( Ii)) ]. (3) i= Podmínky prvního řádu pro maximalizaci výrazu jsou definovány následovně [ L β y ] n ln ( ; ) = [ yi pi( β) ] φ( Ii) xi = 0, (4) β i= 33

kde p ( β ) = F ( I ), i NOR i fnor( Ii ) φ( Ii ) = F ( I ) F ( I ) [ ] NOR i NOR i. (5) Proože sousava (2.5) je nelineární vzhledem k parameru β, je nuno pro řešení opě použí někerou z meod numerické opimalizace (např. Hušek 998). Odhad modelů binární volby pomocí MMV nabízejí sandardně někeré sofwary (SPSS, SAS, GiveWin). Výhodou použií logiového a probiového modelu je inerpreace KDF. Při sejných změnách vysvělujících proměnných ve vekoru x i vykazují KDF ím menší přírůsky pravděpodobnosi p i, čím více se jejich hodnoy blíží k mezím jednokového inervalu 0,. Nejvěší vliv ěcho změn nasává v bodě, kdy je index užiku nulový a pravděpodobnos je rovná 0,5. 3 EMPIRICKÝ VÝZKUM Pro aplikaci modelů binární volby jsem si vybrala problemaiku řídění odpadu. Zkoumám v ní volbu jednolivce, jesli řídí nebo neřídí odpad v závislosi na různých socioekonomických fakorech (věk, akivia, dobročinnos, kraj, příjem, profese, pohlaví, vzdělání). Použila jsem všechny ří modely binární volby, uvádím zde podrobněji výsledky logiového modelu a porovnání všech ří modelů. Ankey se účasnilo 586 respondenů. Závislou proměnnou je řídění odpadu, což je binární proměnná nabývající hodno 0 v případě, že responden neřídí odpad a v případě, že subjek řídí odpad. V našem zkoumaném vzorku řídí odpad 84% respondenů. To můžeme porovna s informacemi uváděnými společnosí EKO-KOM, keré uvádí, že podle posledního celorepublikového výzkumu řídí 67% občanů. Domnívám se, že eno rozdíl je dán ím, že výzkum probíhal pouze přes inerne a přihlásili se převážně lidé, keří řídí odpad. K odhadu logiového modelu můžeme použí aké věšinu saisických sofwarů, keré nabízejí logisickou regresi a meodu maximální věrohodnosi. Je aké možno použí meodu posupné regrese, kerá nám umožňuje vybra podsané proměnné do modelu. Z modelu posupně vyřazuji proměnné SEX (p-hodnoa 0,979), AKT (0,0706), VEK (0,605), PŘIJ (0,382), PROFES (0,49), KRAJ (0,90) a OBYV (0,54). Jako jediné dvě proměnné, keré v modelu zůsanou jsou DOBR a VZDEL. Proměnná dobročinnos předsavuje odpověď na oázku: Přispíváe na dobročinné akce? a může nabýva ří hodno: Ne, nepřispívám, Ano, přispívám příležiosně, Ano, přispívám pravidelně. Proměnná vzdělání předsavuje nejvyšší dosažené vzdělání respondena, je rozlišeno i že responden suduje. Obě dvě proměnné mají P-hodnou menší než 0,05, což znamená, že jsou v modelu významné na 5% hladině významnosi. V následující abulce vidíme, že P-hodnoa je menší než 0,0, což nám svědčí o om, že mezi vysvělovanými a vysvělující proměnnou exisuje závislos na jednoprocenní hladině významnosi. 34

Tabulka č. - Analýza rozpylu Zdroj Odchylka Supně volnosi P-hodnoa Model 23,8949 9 0,0045 Residual 492,543 577 0,9953 Celkem 56,438 586 Tes věrohodnosního poměru určuje významnos jednolivých proměnných v modelu a pracuje na principu porovnání modelu s vysvělující proměnou a bez ní. Při použií meody MMV se míso F-esu používá chí-kvadrá saisika. Pro obě dvě proměnné DOBR a VZDEL je P-hodnoa menší než 0,05, což značí významnos proměnných v modelu na 5%hladině významnosi. Tabulka č. 2 - Tes věrohodnosním poměrem Vysvělující proměnná Chí-kvadrá Supně volnosi P-hodnoa DOBR 6,822 2 0,0330 VZDEL 6,5842 7 0,0203 Pro určení shody modelu s day můžeme využí někerou modifikaci koeficienu deerminace. 2 Pro eno model vychází R =0,033635. E Tabulka č. 3 - Odhadovaný logiový model meodou MMV Vysvělující proměnná Hodnoa parameru Sandardní chyba Poměr šancí CONSTANT 2,5452-0,73929 DOBR= Nepřispívá -,545 0,974 0,327768 DOBR=2 Přispívá příležiosně -0,49508 0,63054 0,60952 VZDEL=2 ZŠ 9,6992 0,9736 6304,7 VZDEL=3 SŠ bez mauriy -0,4075 0,3037 0,6653 VZDEL=4 Suden SŠ -0,925 0,92 0,397923 VZDEL=5 SŠ s mauriou -0,2069,60294 0,8735 VZDEL=6 Suden VOŠ -3,662,3362,22059E-06 VZDEL=7 VOŠ 0,68224-0,09847,9763 VZDEL=8 Suden VŠ -0,74024 0,9707 0,477 Při odhadování modelu došlo k vyvoření pomocných nula jednokových proměnných, proože vysvělující proměnné jsou diskréní. Pro každou vysvělující proměnnou je sanovena referenční skupina. Pro proměnnou dobročinnos byla referenční skupina řeí DOBR=3, zn. responden pravidelně přispívá na dobročinné akce. Pro proměnnou vzdělání o byla skupina VZDEL=9, zn. responden má ukončené vysokoškolské vzdělání. V modelu dále není zahrnua proměnná VZDEL=, proože žádný z odpovídajících nebyl sudenem základní školy. 35

Záporná hodnoa parameru snižuje pravděpodobnos řídění odpadu oproi referenční skupině, kladná hodnoa ji naopak zvyšuje. Podíváme-li se na hodnoy parameru proměnné dobročinnosi, vidíme, že jsou obě dvě záporné. To znamená, že je u nižší pravděpodobnos, že jedinec řídí odpad, pokud nepřispívá nebo přispívá pouze příležiosně na dobročinné účely oproi jedinci, kerý přispívá pravidelně. U proměnné vzdělání je referenční skupinou ukončené vysokoškolské vzdělání. Hodnoa parameru je kladná pro skupinu s ukončeným základním nebo vyšším odborným vzděláním. Všechny osaní paramery jsou záporné, nejnižší hodnoy dosahují sudeni na všech úrovních sudia. To znamená, že oproi osobám s ukončeným vysokoškolským vzděláním, je pravděpodobnos pro sudeny, že řídí odpad, mnohem nižší. Další informace, keré nám model udává, jsou o poměru šancí (odds raio). Šance zvolené alernaivy nám určuje kolikrá je pravděpodobnější, že subjek řídí odpad než o, že subjek odpad neřídí. Šance je dána podílem pravděpodobnosí p i /(-p i ), kde p i je pravděpodobnos, že subjek řídí odpad. Poměr šancí poé udává, kolikrá je věší šance, že hodnoa pravděpodobnosi bude než, že bude 0. Tuo hodnou nabízí sandardně věšina saisických programů, ale je možno ji jednoduše získa odlogarimováním hodnoy parameru pro danou proměnnou. Např. pro proměnnou VZDEL=7 je hodnoa parameru rovna 0,68224, pro poměr šancí edy plaí e 0,68224 =,9763. Opě se jedná o hodnou porovnávanou s referenční skupinou, akže pro jedince s ukončeným vyšším odborným vzděláním je šance, že řídí odpad éměř 2krá vyšší než pro jedince s ukončeným vysokoškolským vzděláním. Tady bych chěla podoknou, že údaje mohou bý zkreslené kvůli nedosaečnému množsví respondenů ve skupině se vzděláním ZŠ a VOŠ. 3. Porovnání modelů a shrnuí výsledků Ve všech modelech se ukázaly jako nejvýznamnější proměnné dobročinnos a vzdělání. Domnívám se, že dobročinnos je významný fakor, proože člověk, kerý se snaží pomáha osaním ím, že přispívá na dobročinnos, má sociální zodpovědnos nejen vůči osaním lidem, ale aké k přírodě. Tudíž časěji řídí odpad než člověk, kerý na dobročinné akce nepřispívá. Také si ale myslím, že u může hrá roli i o, že respondeni neodpovídají zcela pravdivě a snaží se děla lepší v obou případech jak v přispívání na dobročinné akce ak v řídění odpadu. Co se ýče druhého fakoru, ukázalo se, že jsou o zejména sudeni, u kerých je pravděpodobnos řídění odpadu nejnižší. Podle mého názoru je o zapříčiněno ím, že žijí bezsarosný živo a o nic se nesarají. Dobré znamení ale je, že lidé s ukončeným vzděláním už časěji řídí odpad, akže u exisuje naděje, že sudeni z bezsarosnosi jednoduše vyrosou a sanou se z nich lidé zodpovědní k přírodě a společnosi. Podle analýzy rozpylu byly všechny modely významné alespoň na pěiprocenní hladině významnosi. Při použií pseudosaisik R 2 modely, podle předpokladu, nevykazovaly významnou shodu s day. V následujících abulkách udávám, jak podle mého výzkumu vypadá člověk, kerý řídí a neřídí odpad. Ve sloupcích jsou uvedené odhadované pravděpodobnosi podle jednolivých modelů. Když se podíváme na abulku, ve keré jsou nejnižší odhadované pravděpodobnosi, vidíme, že nejvíce se jednolivé modely liší pro první řádek reprezenující sudena VOŠ, kerý pravidelně přispívá na dobročinné akce. Je o dáno malým zasoupením respondenů ve skupině sudenů VOŠ, konkréně o byl pouze jeden suden VOŠ v celém výzkumu a en 36

uvedl, že odpad neřídí. Za nejrealisičější pravděpodobnos pro první položku bych považovala právě pravděpodobnos uváděnou probiovým modelem. Tabulka č. 4 - Srovnání modelů pro "neřídiče" odpadu Ŷ Ŷ LPM logi Y ˆ probi Dobročinnos Vzdělání -4,7248E-3 9,4825E-06 0,67935 Přispívá příležiosně Suden VOŠ 0,6465 0,624398 0,732396 Nepřispívá Suden SŠ 0,694564 0,665859 0,675764 Nepřispívá Suden VŠ V druhé abulce uvádím, jak vypadají lidé, keří řídí odpad s pravděpodobnosí vyšší než 90%. Když se podíváme do sloupce dobročinnos, jsou o lidé, keří přispívají pravidelně nebo příležiosně na dobročinné akce. Při zkoumání jednolivých pravděpodobnosí narazíme znovu na problém u modelu LPM, kde pravděpodobnosi překročili hodnou. Tabulka č. 5 - Srovnání modelů pro "řídiče" odpadu Ŷ Ŷ LPM logi Y probi ˆ Dobročinnos Vzdělání,076 0,999995 0,972082 Přispívá pravidelně Základní,0230 0,999992 0,944596 Přispívá příležiosně Základní,089 0,9687 0,95978 Přispívá pravidelně Vyšší odborné 0,975904 0,93885 0,923697 Přispívá příležiosně Vyšší odborné 0,93332 0,92725 0,943398 Přispívá pravidelně Vysokoškolské 0,9049 0,9247 0,92262 Přispívá pravidelně Sřední s mauriou Po provedení výše uvedené analýzy bych doporučila pro uo sudii nelineární modely binární diskréní volby, proože pravděpodobnosi jsou v inervalu <0,>. Je u sice věší výpočení složios než u LPM, ale eno problém mizí s exisencí různých sofwarů, keré sandardně používají meodu MMV (SPSS, SAS, GiveWin). Na základě ěcho výsledků bych doporučila zaměři osvěu řídění odpadu na sudeny na jakékoli úrovni. To znamená sousředi se na základní školy, jak vím z inerneových sránek, ao kampaň už probíhá a navíc bych doporučila i různé akce v podobě děských dnů. Doporučila bych dále se zaměři i na sudeny sředních a vysokých škol, vhodné pro o mohou bý přímo školy, koleje popř. sudenské fesivaly jako je Majáles. Z výsledků můžeme vidě, že odpad řídí spíše lidé, keří přispívají pravidelně nebo nepravidelně na dobročinné akce. Jsou o lidé, keří cíí sociální zodpovědnos. Doporučila bych edy se zaměři na dobročinné a chariaivní akce, např. Pomoze děem, Nadace naše díě, Greenpeace apod. To by mohlo inspirova i lidi, keří přispívají na dobročinné akce, ale doposud neřídí odpad. 4 ZÁVĚR Ve své práci jsem ukázala prakické využií modelů binární volby pro oblas markeingového výzkumu a poukázala jsem na někeré problémy, keré je nuno v prakických úlohách řeši. Je o například heeroskedasicia náhodné složky, použií modelů vyžaduje pařičné sofwarové zázemí a nedosaečný vzorek respondenů. Domnívám se, že nejenom v omo oboru mají modely diskréní binární volby velký poenciál. 37

Použiá lieraura. EKO-KOM: Výsledky sysému EKO-KOM ve využií a recyklaci obalových odpadů za rok 2005 (isková zpráva). [online].2.6.2006 [ci. 24.09 2007]. Dosupný na www: hp://www.ekokom.cz/asses/v_sledky_sys_mu_eko- KOM_2005 2.6.2006_.pdf 2. Fíglová Z., Analýza modelov diskrenej volby a ich aplikacia, Diserační práce, VŠE, Praha, 2006 3. Gujarai N.D.: Basic economerics, 2.vyd. USA: R.R. Donnelley & Sons Company 988. 705s. ISBN 0-07-02588-6 4. Hebák, P.: Regrese I. čás,.vyd. Praha: VŠE 998. 238Ss. ISBN 80-7079-909-9. 5. Hosmer, D.W., Lemeshow, S.: Applied logisic regression, 2.vyd. USA: John Wiley & Sons, Inc 2000. 375s. ISBN 0-47-35632-8. 6. Hušek, R.: Ekonomerická analýza,.vyd. Praha: Ekopress 999. 303s. ISBN 80-869-9-X. 7. Hušek, R., Pelikán, J.: Aplikovaná ekonomerie (Teorie a praxe),.vyd. Praha: Professional Publishing 2003. 263s. ISBN 80-8649-29-0. 8. Komise Evropských společensví: Podpora rvale udržielného využívání zdrojů: Temaická sraegie pro předcházení vzniku odpadů a jejich recyklaci. [online]. Brusel 2.2.2005 [ci. 24.02. 2007]. Dosupný na www: hp://eurlex.europa.eu/lexuriserv/sie/cs/com/2005/com2005_0666cs0.pdf 9. Novela směrnice o odpadech [online]. 08.02.2007[ci. 24.09 2007]. Dosupný na www: hp://www.europarl.europa.eu/news/exper/briefing_page/259-043-02-07- 2007030BRI02590-2-02-2007-2007/defaul_p00c007_cs.hm 0. Ridgway-Tichelaar, M.: Taking BART o Sockholm [online]. [ci. 6.09. 2007]. Dosupný na www: hp://www.alumni.berkeley.edu/alumni/cal_monhly/december_2000/taking_ba RT_o_Sockholm.asp Konakní údaje Ing. Šárka Lejnarová Vysoká škola ekonomická v Praze, Fakula informaiky a saisiky Nám. W. Churchilla 4, Praha 3, 30 67 Tel: 420 224 095 445 email: sarka.lejnarova@vse.cz 38

AUTOMATIZÁCIA VIACFAKTOROVÝCH ÚLOH VÝBERU PORTFÓLIA. AUTOMATIZATION OF MULTIFACTOR MODELS OF PORTFOLIO SELECTION Zdenka Milánová Absrak Proces generovania efekívnej hranice je pomerne náročný problém. Na zjednodušenie oho procesu je v omo dokumene predsavená nová aplikácia v prosredí MS Excel, korá umožňuje nájsť efekívnu hranicu v priesore priemer rozpyl a v priesore priemer CVaR. Teno dokumen obsahuje dva viacfakorové modely výberu porfólia, pričom ako ďalší fakor je použiý fakor recesie. Cieľom prvého modelu je minimalizovať riziko, koré je merané pomocou rozpylu s ohľadom na ohraničenia ýkajúce sa očakávaného výnosu porfólia a súču váh akív v porfóliu. Druhý model je založený na sraégii minimalizácie rizika, koré je merané pomocou podmienenej hodnoy v riziku (CVaR). Tieo dva modely sú použié na údaje indexu Dow Jones Indusrial. Kľúčové slová: riziko, podmienená hodnoa v riziku, viacfakorový model Absrac Generaion of effecive fronier is relaively difficul process. In his paper is inroduced new applicaion in space of MS Excel ha simplifies his process and generaes effecive fronier in mean variance space and mean CVaR space. There are wo mulifacor porfolio selecion models used in his paper. Facor of he recession is used as anoher facor. The goal of he firs one is o minimize risk measured by he variance, wih respec o consrains on he expeced reurn of he porfolio and sum of asse weighs in he porfolio. The second one is based on he sraegy of he minimizaion of he risk measured by CVaR of he porfolio. These wo models are applied o daa of Dow Jones Indusrial. Keywords: Risk, Condiional Value a Risk, Mulifacor model MULTIFACTOR MODELS OF PORTFOLIO SELECTION This work conains wo mulifacor porfolio selecion models. The firs one was proposed by Fama (996). The goal is o minimize risk measured by variance wih respec o given level of he expeced reurn and bea, which akes ino accoun a risk of he recession. The second one is based on porfolio selecion model of Rockafellar and Uryasev (2000, 2002), where Condiional Value-a-Risk (CVaR) is used as a measure of he risk. In his work a facor of he recession is used as a nex consrain. The goal of he firs mulifacor model is o minimize risk measured by variance, wih respec o consrains on expeced reurn of he porfolio and sum of asse weighs in he porfolio. Risk of he recession is used as an addiional risk facor. Following mulifacor model of he porfolio selecion is proposed in Mlynarovič (200): 39

s.. T min w C w () 2 ( R) E( R ) T w E = p, (2) w T w T e =, (3) β = β, (4) P where T w = ( w, w2, K, wn ) covariance marix of he asse reurns, expeced reurns of individual asses, ( ) R p is a vecor of he asse weighs in he porfolio, C is he ( ) = ( E( R ) E( R ), E( )) E R, is a vecor of, 2 K E is given reurn of he porfolio and e is a vecor of ones. In he fourh consrain β represens addiional risk facor and β P is a given level of he addiional risk facor. Porfolio consiss of i asses, where i =,2, K, n. By solving his problem for differen levels of expeced reurn, mulifacor efficien fronier is drawn in he mean variance (sandard deviaion) space.consrain of he addiional risk facor is enclosed o he model of Konno, Waki, Yuuku (2002). The sraegy is based on he minimizaion of he risk measured by CVaR of he porfolio: R n s.. min T + p z ω (5) ( α ) = z z n i= R w + q i i ω, =,2, K, T (6) 0, =,2, K, T, w W, (7) T w β = β P (8) ( R) E( R ) T w E = p, (9) w T e =, (0) where ω is a dummy variable ha approximaes VaR in he opimal soluion, p is a probabiliy ha asse achieves expeced reurn, α is a CVaR confidence level (0,95 or 0,99), z is a dummy variable conneced wih CVaR consrain under scenario, q is he reurn of he porfolio under scenario. The objecive of his opimizaion program is o consruc mulifacor efficien fronier by changing value of he expeced reurn of he porfolio. 40 2

2 AUTOMATIZATION OF MULTIFACTOR MODELS Generaion of effecive fronier is relaively difficul process. In his paper is inroduced a new applicaion in he space of MS Excel ha simplifies his process and generaes effecive fronier in M V space and M CVaR space. This applicaion allows ake ino consideraion anoher consrains. User can use shor sales, consrains for weighs; ake ino consideraion facor of recession. In he case of M - V analysis user can decide o use mean value or Black Lierman model for he compuaion of expeced value. Enry dialog box for mean variance analysis is shown in Figure. Figure : Inpu dialog box for mean - variance analysis In he case of M CVaR analysis i is needed o ener hisorical daa, scenarios, confidence level and user can ake ino consideraion shor sales, consrains for weighs, and facor of recession. 4 3

Figure 2: Inpu dialog box for mean - CVaR analysis. When daa are insered, han applicaion offers anoher dialog box. This dialog box offers o user inerval wih iniial value and final value of he expeced reurn and rise of he expeced value (Figure 3). Iniial value of expeced value corresponds wih expeced value of a globally minimum variance porfolio and final value corresponds wih expeced value of a globally maximum variance porfolio. For every expeced value is found porfolio wih minimum variance for given expeced reurn and weighs of asses in his porfolio. Finally effecive fronier is drawn for his inerval. Figure 3: Dialog box for iniial value, final value and rise of expeced value. 42 4

Previous wo models are applied o daa of Dow Jones Indusrial Average (Dow 30, Dow Indusrials, DJIA, Dow 30). Dow Jones Indusrial is he oldes running U.S. marke index, consising of 30 larges and mos widely held public companies in he Unied Saes. In he analysis are used weekly daa abou performance of he index and is componens from 4..2000 o 23.3.2007. In order o find porfolios wih minimum variance i is needed o compue covariance marix and expeced reurn of all asses in Dow 30. Then, i is needed o find minimum variance (sandard deviaion) fronier. Previous applicaion wih Solver Premium of he MS Excel is used for his purpose. Resuls of he mean variance (sandard deviaion) analysis are shown in Figure 4. Then model ()-(4) is used for generaing mulifacor efficien fronier. Facor of he recession is used as anoher facor and i is marked as bea. Bea explains expeced reurn in ime of he recession. Figure shows ha aking recession facor ino consideraion causes moving of he minimum variance (sandard deviaion) fronier o he righ. I leads o a change of he invesmen opporuniies, which allows minimum risk for given level of he expeced reurn. Global minimum variance porfolio is a porfolio ha has he lowes possible variance (sandard deviaion) for any expeced reurn. Global Minimum Variance of he porfolios ha are generaed by M-V analysis is,877%. Global Minimum Variance of he porfolios ha are generaed by mulifacor M-V analysis is 2,62%. Figure 4: Comparing of he porfolios ha minimize variance subjec o consrains on expeced reurn and sum of weighs of he porfolio wih porfolios ha minimize variance subjec o consrains on expeced reurn, sum of weighs of he porfolio and he recession facor Expeced Reurn (%) 0,70% 0,60% 0,50% 0,40% 0,30% 0,20% 0,0% 0,00% 0,00% 0,50%,00%,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50% Risk (%) M-V M-V Mulifacor In he nex sep is used M-CVaR model [4] o find efficien fronier. VaR from he CVaR consrain is used as a measure of he risk. For scenario generaion, 376 hisorical reurns are used. Figure 5 shows minimum variance fronier of he porfolio wih he CVaR consrain. This fronier is compared wih mulifacor minimum VaR fronier ha is generaed by he mulifacor M - CVaR model (5)-(0). Seing risk ω = 2 % and α = 99 % implies ha he average loss in % of wors cases mus no exceed 2 % of he iniial value of he porfolio. Nex facor in he model causes moving of 43 5

he minimum variance (sandard deviaion) o he righ and invesor can achieve higher reurns conneced wih higher risk, of course. Figure 5: Comparing of he porfolios ha minimize CVaR (99%) subjec o consrains on expeced reurn, sum of weighs of he porfolio and scenarios wih porfolios ha minimize CVaR (99%) subjec o consrains on expeced reurn, sum of weighs of he porfolio, scenarios and he recession facor.,20% Expeced Reurn (%),00% 0,80% 0,60% 0,40% 0,20% 0,00% 0,00%,00% 2,00% 3,00% 4,00% 5,00% 6,00% 7,00% 8,00% 9,00% CVaR (99%) M-CVaR (99%) M-CVaR (99%) Mulifacor Figure 6: Comparing of he porfolios ha minimize variance subjec o consrains on expeced reurn and sum of weighs of he porfolio wih porfolios ha minimize CVaR (99%) subjec o consrains on expeced reurn, sum of weighs of he porfolio and scenarios. Expeced Reurn (%) 0,50% 0,45% 0,40% 0,35% 0,30% 0,25% 0,20% 0,5% 0,0% 0,05% 0,00% 0,00% 0,50%,00%,50% 2,00% 2,50% 3,00% Risk (%) M-V M-CVaR (99%) 6 44

Figure 6 represens comparing of porfolios of he model ()-(4) wih porfolios from he model (5)-(0). Work of Rockafellar and Uryasev (2000) shows ha normally disribued loss funcion leads o equivalency of hese wo approaches. In he case of he non-normal disribuion i can cause significan differences of hese mehods. 3 CONCLUSION Mulifacor model of porfolio selecion is proposed in a work of Fama (996). Facor of recession is aken ino consideraion wihin a mulifacor model of Mlynarovič (200), where variance (or a sandard deviaion) is used as a measure of he risk. In a work of Rockafellar and Uryasev (2000) is showed ha in he case of non-normally disribued reurns, using of VaR (or CVaR) can remove problems wih heavy ails. This work uses hese facs and proposes model, where risk is minimized wih consrains on scenarios; expeced reurn and facor of recession. This model is applied o hisorical daa of Dow Jones Indusrial. Facor of recession leads o finding porfolios, which gives higher expeced reurn bu of course conneced wih higher risk as well and removes problem of non-normally disribued expeced reurns. This paper conains new applicaion in MS Excel ha generaes efficien fronier in M - V space and M CVaR space. This applicaion affords possibiliy o ake ino consideraion anoher consrains. According o fac, ha his applicaion is proposed in he space of MS Excel, i is widely accessible o differen users and hey do no need exra sofware. Použiá lieraúra. Fama, E.F. : Mulifacor Porfolio Efficiency and Mulifacor Asse Pricing, The Journal of Financial and Quaniaive Analysis, Vol. 3, December 996, pp. 44-465. 2. Mlynarovič, V.: Finančné invesovanie, Teórie a aplikácie, Iura Ediion, Braislava, 200. 3. Krokhmal, P.-Palmquis, J.-Uryasev, S.: Porfolio Opimizaion wih Condiional Value-a-Rrisk Objecive and Consrain, The Journal of Risk, V. 4, # 2, 2002, pp.-27. 4. Rockafellar, R.T. Uryasev, S.: Opimizaion of Condiional Value-a Risk. Journal of Risk, 2, 2000, pp.2 4. 5. Konno, H. Waki, H.- Yuuku, A.: Porfolio Opimizaion under Lower Parial Risk Measures, Asia-Pacific Financial Markes, Sepember 2002, pp.27-40, hp://www.gloriamundi.org/deailpopup.asp?auhorname=konno%2c+hiroshi&i D=453056785 (2..2007) Konakné údaje Ing. Zdenka Milánová Insiue of Economics, Faculy of Social and Economic Sciences, Comenius Universiy in Braislava, Odbojárov 0/A, P.O. Box 29, 820 05 Braislava 25. Tel: (42 2) 50 76 26 email: milanova@fses.uniba.sk 45 7

KONŠTRUKCIA MNOŽINY INVESTIČNÝCH PRÍLEŽITOSTI Z FONDOV ESPA Juraj Pekár Absrac: This paper considers he opened muual funds in Slovak Republic. Firsly he heoreical approach of porfolio model consrucion is presened. Than, his approach is used for applicaion on daa of ESPA funds supply by Asse Managemen of Slovenská sporieľna. V príspevku je uvedený spôsob zosrojenia hranice množiny invesičných príležiosí ako aj jeho aplikácia na podielové fondy pôsobiace v Slovenskej republike. V prvej časi je popísaná úloha prosrednícvom, korej vypočíame pre sanovenú úroveň výnosu, porfólio s minimálnym rizikom. Zosrojenie hranice množiny invesičných príležiosí z podielových fondov ESPA možno nájsť v poslednej časi. Pre našu analýzu sme vybrali fondy ESPA Slovenskej sporieľne, pre koré prosrednícvom riešení úloh maemaického programovania hľadáme efekívne porfóliá. Základné informácie o jednolivých fondoch boli prezenované (Pekár 2007). Konšrukcia modelu Výnos porfólia Invesor pri svojom rozhodovaní neuvažuje o držbe jedného akíva, ale o zvolení vhodnej kombinácii akív (o porfóliu). Očakávaný výnos akív obsiahnuých v porfóliu vyjadruje nasledovný vzťah: E n = we, príp. v maicovom vare p i i i= T E = we () P kde E p výnos porfólia, E i výnos i-eho akíva v porfóliu, w i váha i-eho akíva v porfóliu (počiaočný podiel akíva na celkovej invesícii), n poče akív v porfóliu, pričom plaí: n T w =, príp. v maicovom vare we =, kde e je jednokový vekor. (2) i i= 46

Riziko porfólia Riziko porfólia môžeme charakerizovať pomocou rozpylu, príp. šandardnej odchýlky. Riziko porfólia závisí od rizík jednolivých akív ako aj od ich vzájomného vzťahu. Pre rozpyl výnosu porfólia dosaneme: 2 σ P = n n i= j= w i w j σ ij 2 T, príp. v maicovom vare σ = wcw (3) P kde w i váha i-eho akíva v porfóliu, σ ij ak i = j ak hodnoa je rovná rozpylu akíva i σ ij ak i je rôzne od j ak hodnoa je rovná kovariacii výnosov akív i a j n poče akív v porfóliu, C kovariačná maica (na diagonále sú rozpyly akív a mimo diagonály kovariacie akív) Z rozpylu určíme šandardnú odchýlku: 2 σ P = σ P. (4) Formulácia úlohy Na zosrojenie hranice množiny invesičných príležiosí je porebné určiť jednolivé body z uvedenej hranice. Na získanie uvedených bodov riešime čiaskové úlohy, koré možno formulovať nasledovne: sanovíme si očakávaný výnos porfólia E P, pričom pre uvedenú hodnou výnosu hľadáme porfólio s najmenším rizikom. funkciu: Formulácia úlohy je nasledovná: Cieľom je minimalizovať riziko,.j. na základe vzťahu (3) máme nasledovnú účelovú 2 min σ P = w T Cw (5) Prvé ohraničenie definuje, že hľadané porfólio dosiahne sanovený výnos, druhé zahŕňa podmienku invesovania práve celej sumy v invesícií a posledná, že invesícia do jednolivých akív musí byť kladná,.j.: T we = E T we= w 0 P (6) 47

Aplikácia Vsupné daa sú uvedené v abuľke (výnosy a riziká jednolivých akív) a v abuľke 2 (kovariačná maica). Cieľom je zosrojiť hranicu množiny invesičných príležiosí. Body z uvedenej hranice sme získali riešením úlohy definovanej vzťahmi (5) a (6) ak, že sme posupne menili požadované výnosy (od hodnoy 5 % do 40 %). V abuľke 3 sú uvedené jednolivé riešenia (z riešenia vidíme aký percenuálny podiel musíme invesovať do akív sĺpce 3 až 0, aby sme pri sanovenom výnose sĺpec 2 dosiahli minimálne riziko sĺpec ), na získanie korých sme použili Solver pod MS Excelom. Zobrazenie hranice množiny invesičných príležiosí, v priesore výnos (vážený priemer sredného očakávaného výnosu jednolivých akív) riziko (šandardná odchýlka porfólia), vidíme na obrázku. Na záver možno konšaovať, že pomocou eórie porfólia možno, na základe údajov za predchádzajúce obdobia, získať ucelený pohľad na invesovanie. Uvedený násroj nám pomôže pri rozhodovaní o invesovaní. Analýza bola zameraná na invesičné ESPA fondy Slovenskej sporieľne, pričom na základe výsledkov z abuľky 3 vidíme rozloženie invesície pri rôznych úrovniach výnosov. Tabuľka Akíva Výnos Šandardná odchýlka EspaBD_EUR 0,35% 35,42% EspaBD_SKK 4,35% 29,47% EspaSA_SKK -3,25% 77,27% EspaSA_USD 4,9% 63,52% EspaSE_EUR 5,07% 72,66% EspaSE_SKK 9,08% 7,28% EspaST_EUR 42,49% 43,% EspaST_SKK 36,38% 39,% Tabuľka 2 EspaBD EUR EspaBD SKK EspaSA SKK EspaSA USD EspaSE EUR EspaSE SKK EspaST EUR EspaST SKK EspaBD_EUR 0,2549 0,05900-0,03632 0,04879 0,06068-0,00576 0,963 0,255 EspaBD_SKK 0,05900 0,08682 0,02046 0,00069 0,00387 0,0367 0,0858 0,37 EspaSA_SKK -0,03632 0,02046 0,59700 0,3797 0,376 0,42760 0,44983 0,50735 EspaSA_USD 0,04879 0,00069 0,3797 0,40343 0,37542 0,32738 0,50560 0,458 EspaSE_EUR 0,06068 0,00387 0,376 0,37542 0,52800 0,47088 0,68069 0,62434 EspaSE_SKK -0,00576 0,0367 0,42760 0,32738 0,47088 0,50803 0,57525 0,6326 EspaST_EUR 0,963 0,0858 0,44983 0,50560 0,68069 0,57525 2,0487,94442 EspaST_SKK 0,255 0,37 0,50735 0,458 0,62434 0,6326,94442,93520 48

Tabuľka 3 Riziko Výnos EspaBD EspaBD porfólia porfólia EUR SKK Podiel fondu v porfóliu EspaSA EspaSA EspaSE EspaSE SKK USD EUR SKK EspaST EUR EspaST SKK 26.8% 5.00% 8.77% 65.9% 6.08% 9.96% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 26.28% 6.00% 3.09% 54.60% 4.42% 7.3% 0.00% 2.76% 0.00% 0.00% 26.77% 7.00% 39.66% 46.60%.90% 3.02% 0.00% 8.83% 0.00% 0.00% 27.59% 8.00% 49.82% 36.26% 0.00% 0.00% 0.00% 3.92% 0.00% 0.00% 28.99% 9.00% 59.9% 25.23% 0.00% 0.00% 0.00% 4.50%.08% 0.00% 30.74% 0.00% 52.69% 30.79% 0.00% 0.00% 0.09% 3.4% 3.29% 0.00% 32.73%.00% 58.47% 24.02% 0.00% 0.00% 8.02% 4.0% 5.48% 0.00% 34.9% 2.00% 6.07% 20.4% 0.00% 0.00% 9.09%.76% 7.67% 0.00% 37.26% 3.00% 64.24% 6.29% 0.00% 0.00% 9.59% 0.0% 9.87% 0.00% 39.74% 4.00% 77.50% 2.05% 0.00% 0.00% 0.00% 8.39% 2.06% 0.00% 42.33% 5.00% 78.58% 0.00% 0.00% 0.00% 2.52% 4.63% 4.27% 0.00% 57.4% 20.00% 69.99% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 30.0% 0.00% 74.67% 25.00% 54.43% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 45.57% 0.00% 93.56% 30.00% 38.88% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 6.2% 0.00% 3.2% 35.00% 23.32% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 76.68% 0.00% 33.07% 40.00% 7.76% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 92.24% 0.00% Obrázok 45.00% 40.00% 35.00% 30.00% Výnos 25.00% 20.00% 5.00% 0.00% 5.00% 0.00% 0.00% 20.00% 40.00% 60.00% 80.00% 00.00% 20.00% 40.00% Riziko 49

[] Markowiz, H.: Porfolio selecion: Efficien Diversificaion of Invesmens. John Wiley & Suns, (959). [2] Markowiz, H. M. (987): Mean-variance Analysis in Porfolio Choice and Capial Markes. Basil Blackwell, New York. [3] Mlynarovič, V.: Finančné invesovanie. Vydavaeľsvo IURA Ediion, 200. [4] Pekár, J.: Výber invesičného fondu ESPA meódou PROMETHEE. Medzinárodný seminár Využiie kvaniaívnych meód v praxi, Čimhová 2007. [5] hp://www.amslsp.sk/ (0.9.2007) Konakné údaje Mgr. Juraj Pekár, PhD. KOVE, FHI Ekonomická univerzia Braislava e-mail: pekar@euba.sk 50

APLIKACE MODIFIKOVANÉHO IS-MP-IA MODELU EKONOMIKY ČR V PROGNÓZOVÁNÍ Absrak APPLICATION OF MODIFIED IS-MP-IA MODEL OF CZECH ECONOMY IN PROGNOSIS Adéla Ráčková Zahrnuí ekonomických charakerisik EU do modifikovaného IS-MP-IA modelu ekonomiky ČR zlepšuje inerpreaci modelu. Odhadnué IS a MP křivky zachycují vliv EU na českou ekonomiku (resp. český HDP). Lze říci, že užií GARCH modelů je vhodné pro odhad modifikovaného IS-MP-IA modelu a následnou predikci vývoje základních makroekonomických veličin, keré ovlivňují ekonomiku ČR před i po vsupu do EU. Klíčová slova: IS-MP-IA model; GARCH model Absrac The involvemen of EU economic characerisics in he modified IS-MP-IA model of he Czech economy improves he inerpreaion of he model. The influence of EU economy on he Czech economy (i.e. is GDP) is demonsraed wih he esimaed IS and MP curves. We may conlude ha he GARCH models seem o be suiable ools for he esimaion of modified IS-MP-IA model and for subsequen prognosis for developmen of basic macroeconomic variables relevan for he Czech economy before as well as afer is accession o EU. Key words: IS-MP-IA model; GARCH model ÚVOD Romerův model, v práci použiý pro ekonomerické modelování ekonomiky ČR, je založen na jednolivých makroekonomických vzazích, proo je srozumielný, a přeso umožňuje zachyi podsané vlivy. Díky omuo modelu lze aké snadno inerpreova dopady prováděné měnové a fiskální poliiky a aké vliv ekonomiky Evropské unie na ekonomiku ČR před i po vsupu ČR do EU a při přípravě ČR na vsup do Evropské měnové unie (EMU). Cílem práce je odhadnou makroekonomický model české ekonomiky s užiím GARCH modelů a použí eno model pro předpověď. Záměrem je aké modifikova IS-MP-IA model a rozšíři jej o veličiny ýkající se EU, a zachyi ak vliv ekonomiky EU na ekonomický vývoj ČR. 2 VÝCHOZÍ MAKROEKONOMICKÝ MODEL Model IS-MP-IA byl navržen Romerem (2000). Teno model aplikoval na konkréní země např. Hsing. Analýza ýkající se České republiky byla konsruována na daech 994:Q 2003:Q2 (Hsing, 2004). Klíčovým předpokladem ohoo nového přísupu je, že cenrální banka sleduje pravidlo reálné úrokové míry. Cenrální banky edy provádí svou měnovou poliiku ak, aby reálná 5

úroková míra vysupovala jako funkce dvou makroekonomických veličin inflace a produku. Pravidlo reálné úrokové míry popisuje chování cenrálních bank v současnosi daleko lépe než pravidlo fixního objemu peněžní zásoby. Věšina dnešních cenrálních bank sleduje při provádění své měnové poliiky zápůjční úrokové sazby na mezibankovním rhu. Problémy s radiční monearisickou koncepcí, kerá byla založena na řízení měnové báze a peněžní zásoby, vedly k nové poliice řady cenrálních bank. V průběhu devadesáých le někeré cenrální banky přisoupily na zv. přímé cílování inflace, kdy inflačního cíle má bý dosaženo prosřednicvím řízení krákodobé úrokové sazby cenrální banky. Teno sysém je využíván aké ČNB a o od roku 998 (např. Mandel a Tomšík, 2003). Pro popis rhu zboží a služeb v modelu slouží křivka IS. Formulace rovnice křivky IS vychází z modelu IS-LM, přičemž se opouší od předpokladu uzavřené ekonomiky, za kerého je eno model konsruován. Křivka IS v Romerově IS-MP-IA modelu pro ČR, jak uvádí Hsing (2004), má var Y = C(Y-T) + I(R) + G + NX (ε, WY), () kde Y je HDP ČR, C spořeba, T vládní příjmy z daní, I invesice, R reálná úroková míra, G vládní výdaje, ε reálný měnový kurz české koruny k dolaru, WY svěový HDP. Trh peněz, resp. poliiku cenrální banky, popisuje v omo modelu křivka MP. Křivka MP je konsruována za předpokladu, že cenrální banka upusila od svého cíle v podobě fixního objemu peněžní zásoby, ale sanovuje cíl v podobě výše reálné úrokové míry. Pravidlo reálné úrokové míry v nerozšířené podobě (Romer, 2000) zachycuje vzah R = R(π), (2) kde π je míra inflace. Třeí čás modelu se ýká inflačního přizpůsobování (j. Inflaion Adjusmen IA), křivka IA zde nahrazuje křivku AS, a je založena na dvou zjednodušujících předpokladech. Jde o okamžiý vliv změny agregání nabídky na produk, kdy produk na uo změnu reaguje rychleji než inflace, a sabilní inflaci v případě, že se ekonomika nachází na úrovni poenciálního produku a nevyskyují se zde žádné inflační šoky. Rovnováha rhu peněz je nejčasěji vyjadřována rovnicí (Romer, 2000) M / P = L (i, Y), (3) kde levá srana předsavuje nabídku reálných peněžních zůsaků a pravá srana popávku po reálných peněžních zůsacích, kerá dle předpokladu klesá s růsem nominální úrokové míry a rose spolu s rosoucím HDP. Po rozložení nominální úrokové míry i z rovnice (3) na jednolivé složky je reálná úroková míra zachycena přímo v podmínce rovnováhy peněžního rhu (Romer, 2000) M / P = L (r + π e, Y), (4) kde π e je očekávaná inflace. Modelování oevřené ekonomiky s volně pohyblivým kurzem časo vychází z předpokladů, za kerých se pak domácí úroková míra musí rovna svěové úrokové míře. K rozkladu byla užia Fisherova rovnice, dle keré je v reálné úrokové míře zahrnua aké riziková prémie, a edy reálná úroková míra může růs aké v důsledku růsu éo prémie. 52 2

Model IS-MP-IA modeluje ekonomiku za předpokladu, že domácí úroková míra se může liši od svěové úrokové míry. 3 3. EKONOMETRICKÝ MODEL ČESKÉ EKONOMIKY Pro modelování ekonomiky České republiky byly využiy někeré modifikace modelu IS-MP- IA, keré navrhli Romer (2000) a Hsing (2004). S ohledem na skuečnos, že se ČR od r. 995 připravovala na základě plnění evropské dohody a kodaňských kriérií pro vsup do EU a k. kvěnu 2004 do EU vsoupila, jeví se závislos české ekonomiky na ekonomice EU silnější, než je omu v případě svěové ekonomiky. Tuo závislos povrzují aké daa ýkající se zahraničního obchodu ČR, kerý byl v leech 999-2002 vořen z 64,9 % z celkového obrau zahraničním obchodem s EU 5, následováno Slovenskem a Polskem (např. Plchová, 2004). Nadále se proo využívá ukazaelů EU a nikoliv svěových. ČNB se přiklonila k režimu cílování inflace na konci roku 997. Sysém cílování inflace byl v ČR hisoricky poprvé spojen s dezinflačním procesem (Mandel, Tomšík, 2003). Romer (2000) uvedl, že aké v Německu, kde se sanovovaly cíle v podobě peněžní zásoby již od roku 975 a velikos peněžní zásoby zde hrála velkou roli při oficiálních poliických rozhodování, sanovovala Deusche Bundesbank cíle peněžní zásoby explicině závislé na inflačních cílech a implicině závislé na HDP a směnném kurzu. A edy i německou moneární poliiku lze v posledních 25-i leech popsa závislosí úrokové míry na míře inflace, HDP a kurzu marky, resp. eura. Na základě ěcho skuečnosí je možné rovnici, kerá vysvěluje závislosi úrokové míry na osaních veličinách, použí aké pro popis moneární poliiky ČNB i před obdobím zavedení sysému inflačního cílování. ČR se nyní připravuje na vsup do eurozóny a s ím je spojeno plnění konvergenčních, zv. maasrichských kriérií. Modifikace IS-MP-IA modelu pro ČR Zahrnuím předpokladu, že rozhodování banky ohledně reálné úrokové míry je závislé jak na inflaci, ak na HDP, získáme z rovnice (2) její modifikovaný var r = r (Y, π), (5) a edy reálná úroková míra rose spolu s růsem produku a růsem inflace. Hsing (2004) do éo rovnice zahrnul další proměnné, a o reálný směnný kurz CZK/USD a svěovou úrokovou míru. Směnný kurz byl do modelu zaveden v podobě proměnné (Hušek, Švarcová, 2007). Na základě zejména dvou maasrichských kriérií, ýkajících se inflační a kurzové sabiliy, lze usuzova, že reálná úroková míra v ČR bude ovlivněna aké inflací a reálnou úrokovou mírou v EU, a proo byly yo proměnné do rovnice zahrnuy (Hušek, Švarcová, 2007). Rovnice (3.) bude edy modifikována R = R (Y, π, π EU, R EU, ε), (6) kde Y je HDP ČR, π míra inflace v ČR, π EU míra inflace v EU, R EU reálná úroková míra EU a ε je reálný směnný kurz CZK/EUR. Podobně byla modifikována aké rovnice () popisující křivku IS Y = C(Y-T) + I(R) + G + NX (ε, Y EU ), (7) kde Y je HDP ČR, C spořeba, T vládní příjmy z daní, I invesice, R reálná úroková míra, G vládní výdaje, ε reálný měnový kurz CZK/EUR, Y EU HDP EU (Hušek, Švarcová, 2007). 53 3

Empiricky již bylo ověřeno, že zahraniční obchod mezi ČR a EU závisí výrazně více na HDP EU než na HDP ČR, kde se závislos ukázala jako saisicky nevýznamná (Švarcová, 2004). Lze předpokláda, že se u křivky IS popsané rovnicí (7) vyskyne podobný problém s mulikolineariou mezi veličinami G a T jako v případě (). Z důvodu redukce mulikolineariy užiji sejného zjednodušení jako Hsing (2004) a nadále budu pracova s rozpočovým deficiem D = G T. Do navrhovaného modelu pro ekonomiku ČR není zabudována řeí rovnice křivka IA. Míra inflace ČR by mohla bý zavedena do modelu jako endogenní veličina, jejíž vysvělující proměnné by byly např. směnný kurz CZK/EUR, inflace v EU apod. Zabudování další rovnice do modelu by bylo však na úkor jednoduchosi modelu. Dalším důvodem, proč ak neučini, je skuečnos, že v dosud provedených analýzách se zahrnuí míry inflace v ČR do jednorovnicového modelu odvozeného z rovnic (6) a (7) ukázalo jako saisicky významné (např. Švarcová, 2005). Řešením dvou výše uvedených simulánních rovnice (6) a (7) získáme pro rovnovážný produk Y = f (D, π, ε, Y EU, R EU, π EU ) (8) Lze očekáva, že rovnovážný produk Y bude ovlivňován ěmio veličinami následujícími způsoby: S růsem rozpočového deficiu D rose HDP bez ohledu na o, zda je nárůs deficiu způsoben růsem vládních výdajů na nákup saků a služeb G či poklesem daní T. Rosoucí inflaci by cenrální banka měla bráni opařeními, kerá vedou k růsu domácí úrokové míry. Vyšší úroková míra omezí invesice, což povede k poklesu HDP ČR. Depreciace kurzu bude působi na HDP ČR přes čisý expor. Depreciace zdraží dovozy a zlevní vývozy, což bude mí za následek zlepšení čisého exporu, a o povede k růsu HDP. Prioriním cílem ČNB je ochrana kurzu, a proo bude cenrální banka reagova opařeními, keré povedou k růsu úrokové míry, což bude současně snižova inflaci a invesice a povede k poklesu HDP. Výsledný dopad depreciace kurzu na HDP ČR bude závise na om, kerý z ěcho dvou kanálů převáží. Rosoucí HDP v EU bude mí za následek růs exporů v ČR, což bude zlepšova čisý expor NX, kerý bude poziivně ovlivňova HDP ČR. Růs úrokové míry v EU povede k růsu úrokové míry v ČR. Vyšší úroková míra má negaivní dopad na invesice, a proo dojde k poklesu HDP ČR. Růs inflace v EU může v důsledku plnění maasrichských kriérií způsobi růs inflace v ČR, a edy pokles HDP ČR, nebo je rosoucí inflace v EU doprovázena rosoucí úrokovou mírou v EU, kerá bude opě zvyšova domácí úrokovou míru, a o opě povede k poklesu HDP ČR (Hušek, Švarcová, 2007). 4 POUŽITÁ METODOLOGIE GARCH model je zásupcem řídy modelů charakerizující zv. podmíněnou heeroskedasiciu. Tyo modely se zabývají variabiliou časových řad, edy druhým podmíněným momenem. Umožňují ak zachyi měnící se podmínky nejisoy na rhu a zpřesňují inervalové předpovědi časových řad (např. Arl, Arlová, 2007). Modely jsou založeny na modelování rozpylu náhodné složky v daném období a jsou využívány zejména pro modelování heeroskedasických časových řad. GARCH model je váženým průměrem minulých čvercových odchylek. Modely pracují s degresivními vahami, keré však nikdy nejsou nulové. Tyo modely jsou jednoduché na odhad a dokonce ve své nejjednodušší podobě jsou úspěšné při předpovědích podmíněné variabiliy. Dle nejpoužívanějšího vyjádření GARCH modelu je nejlepší předpověď 54 4

variabiliy pro příší období váženým průměrem dlouhodobých průměrů variabiliy, rozpylu předpovídaného pro oo období a novou informací v omo období, kerá je zachycena čverci reziduí nedávných pozorování (Engle, 200). 4. 4.2 GARCH (p,q) model Nechť {ε } je podmíněný heeroskedasický proces a ψ jsou všechny relevanní informace až do času. Tvar GARCH (p,q) modelu je následující (Bollerslev, 986) ε /ψ - ~ N(0, h ), (9) q p = + 2 + 0 α iε i β i i = i = h α h (0) 2 i za podmínek p >= 0, q > 0 a podmínek zaručujících kladný podmíněný rozpyl α 0 > 0, α i 0 pro i =, 2,... q, β i 0 pro i=, 2,... p, kde h je podmíněný rozpyl, kerý je oproi radičním modelům časových řad v čase proměnlivý. Pro odhad paramerů GARCH (p,q) modelu definovaného (9), (0) se užívá meoda maximální věrohodnosi (Bollerslev, 986). GARCH model se obvykle odhaduje pomocí kvazi-maximálně věrohodného odhadu. Konkréní model aplikovaný na daa HDP ČR nemá ani nulovou sřední hodnou ani nulovou šikmos 2. Vlasnosi, keré jsou předpokládány u veličiny ε modelované pomocí GARCH modelu, nejsou edy splněny. Pro modelování časové řady se namíso původních hodno časo užívají hodnoy, keré jsou již nějakým způsobem upraveny. Lze využí eorie časových řad a modelova namíso veličiny ε rezidua někerého ARMA modelu. V siuaci, kdy známe veličiny, keré ovlivňují vývoj HDP ČR, je možné namíso hodno ε využí reziduí regresního vzahu (Hušek, Švarcová, 2007) a dále předpokláda, že ao rezidua již uvedené vlasnosi splňují. Odhadovaný GARCH (p,q) model bude edy ve varu ε ψ - = X β + u, () u = e h 2, e ~ N(0,); e, e s nezávislé pro s, (2) h q p 2 0 + α iε i + β j i = j = = α h, (3) j =,... T, α 0 > 0, α i, β j 0 kde ε je endogenní proměnná, kerá je podmíněna veškerou disponibilní informací ψ - o proměnné ε do období, u předsavuje v () náhodnou složku, kerá je vyjádřena jako funkce e a h /2. e jsou nezávislé a idenicky normálně rozdělené náhodné složky a h je rozpyl u. X je vekor vysvělujících proměnných a β vekor jejich paramerů. 2 Sřední hodnoa HDP ČR = 4,483*0 5, šikmos = 0,8874 55 5

5 5. SPECIFIKACE A ODHAD MODELŮ Pro specifikaci modelu (8) jsou použia daa z čvrleních pozorování za období 2/995 (j. nejsarší dosupné údaje) 2/2006. Další daa z roku 2006 budou využia pro předpověď ex pos. Jsou použiy yo domácí veličiny: D - rozpočový schodek/defici v miliardách Kč ve sálých cenách z roku 996. Y CR - hrubý domácí produk České republiky v milionech Kč ve sálých cenách roku 995, očišěný od sezónnosi a pracovních dní. ε - reálný směnný kurz koruny k euru (CZK/EUR), kerý byl odvozen z čvrleních průměrů devizového nominálního směnného kurzu a indexů spořebielských cen (HICP). π ČR - míra inflace ČR, kerá byla odvozena z harmonizovaného indexu spořebielských cen pro ČR (HICP). Všechny veličiny ýkající se Evropské unie, byly přepočeny pro EU 5: Y EU - hrubý domácí produk Evropské unie v milionech eur ve sálých cenách a kurzu roku 995, očišěný od sezónnosi a pracovních dní. π EU - míra inflace EU, kerá byla odvozena z harmonizovaného indexu spořebielských cen pro EU 5. Rozpočový defici byl získán z inerneových sránek Mezinárodního měnového fondu Inernaional Moneary Fund: Inernaional Financial Saisics. Směnný kurz byl získán z inerneových sránek ČNB. Osaní daa byla získána ze sránek Eurosau. Čvrlení daa pro inflaci ČR a EU 5 byla napočena z měsíčních da. S výjimkou HDP ČR a HDP EU, keré jsou již očišěny od sezónnosi, byly osaní veličiny pro účely éo práce očišěny od sezónnosi Hodrick-Prescoovým filrem. Modelovaná rezidua byla získána z lineárního regresního vzahu odhadnuého meodou nejmenších čverců Y = X β + u, (4) kde Y je HDP ČR, X je vekor zbývajících proměnných. V podobě nula-jednokové proměnné byl zařazen do regresního vzahu aké vsup ČR do EU. Závislos HDP ČR na vsupu do EU se však ukázala jako saisicky nevýznamná, což jen povrdilo předchozí hypoézu, že ČR byla v době vsupu již dosaečně přizpůsobena a nedošlo udíž k žádnému šoku. Proo se dále se vsupem ČR do EU nepracuje. Odhady GARCH (p,q) modelů od roku 995 Posupně byly zvoleny různé hodnoy paramerů p, q v GARCH (p,q) modelu a odhadnuy modely GARCH (0,), GARCH (,0), GARCH (,), GARCH (0,2), GARCH (2,0), GARCH (,2), GARCH (2,) a GARCH (2,2). Zahrnuí všech α i a β j paramerů vycházelo u odhadovaných modelů saisicky významné. V GARCH (0,) modelu vyšlo zahrnuí paramerů α 0 i α významné. V GARCH (,0) modelu vycházelo zcela nevýznamné zahrnuí parameru α 0 do modelu. V GARCH (,) vycházelo jako nevýznamné zahrnuí paramerů α i β. Zcela nevýznamné bylo aké zahrnuí paramerů α a α 2 v modelu GARCH (0,2). V GARCH (2,0) modelu byl jediný významný paramer β, zaímco paramery α 0 a β 2 byly saisicky zcela nevýznamné. V GARCH (,2) modelu bylo nevýznamné zahrnuí paramerů α, α 2 i β, na % hladině významnosi nebyl významný ani jeden z paramerů modelu. V GARCH (2,) modelu vycházelo zahrnuí paramerů α 0, α a β 2 zcela nevýznamné, přičemž paramery α a β nesplňovaly podmínku α i 0 a β j 0. Tao podmínka nebyla splněna ani v případě modelu GARCH (2,2) a paramerů α 2 i β. Zcela nevýznamné pak vycházely paramery α, α 2 a paramer β byl nevýznamný. 56 6

Tab. č. : Paramery a jejich významnosi GARCH (p, q) modelů na daech 2/995-2/2006 GARCH (0,) GARCH (,0) GARCH (,) GARCH (0,2) GARCH (2,0) GARCH (,2) GARCH (2,) GARCH (2,2) α 0 α α 2 β β 2 79872.5 (0.003) 4.54*0^-5 () 25803 (0.035) 79872.5 (0.003) 4.54*0^-5 () 25803 (0.035) 4.5399*0^-5 () 82593.3 (0.025) (0) - - 0.940737 () () - - - - - - 0.940737 () -0.02327 ().082 () 0 () 0 ) - -0.66 () 5.2 Odhad GARCH(p,q) modelů od roku 996 0.95 (0) 00592630 (0.359) - - - - 0.95 (0) 0.05926 (0.359).02327 (0) -0.082 (0.699) 0 () - 3.03*0^- () 0.66 (0.03) Z vývoje HDP ČR je parné, že by bylo vhodné vypusi z modelu počáeční pozorování a odhadnou model pro časovou řadu od druhého čvrleí roku 998. Tyo modely se však nepodařilo odhadnou. Časová řada byla zkrácena o ři období na počáku, a ím byly alespoň odsraněny zlomy v HDP ČR v roce 995. Následující odhady GARCH (p,q) modelů jsou edy pro období /996 až 2/2006. Tabulka 2 zachycuje odhady GARCH modelů při zahrnuí všech proměnných do modelu. GARCH (,0) a GARCH (2,0) byly sice odhadnuy, ale sofware nevyjádřil saisické vlasnosi jednolivých paramerů. Modely GARCH (2,) a GARCH (2,2) se nepodařilo odhadnou vůbec. U GARCH (0,2) a GARCH (,2) modelů je nevýznamný paramer α 2, není řeba edy uvažova složiější model než GARCH (,). U GARCH (,) modelu vychází saisicky nevýznamná konsana α 0, u však nelze z modelu vypusi, proože použiý sofware uo možnos nenabízí. Osaní paramery ve všech odhadnuých modelech jsou saisicky významné. Při srovnání abulek a 2 je možné konsaova, že GARCH (p,q) modely aplikované na časové řady od prvního čvrleí roku 996 dávají saisicky významnější odhady. Tab. č. 2: Paramery a jejich významnosi GARCH (p, q) modelů na daech /996-2/2006 GARCH (0,) GARCH (,0) GARCH (,) GARCH (0,2) GARCH (2,0) GARCH (,2) GARCH (2,) GARCH (2,2) α 0 α α 2 β β 2 3663 (0.00) 8484.5 (0.4) 23663 (0.00) 0 0.802500 (0.003) - - - Nepodařilo se numericky vyjádři 0.653468 (0.02) - 0.802500 (0.003) 0.653468 (0.02) 0.286260 (0.049) - 0 () - - Nepodařilo se numericky vyjádři 0 () Nepodařilo se odhadnou Nepodařilo se odhadnou 0.286260 (0.050) - 57 7

5.3 Předpovědi S ohledem na relaivně kráké časové řady byly provedeny předpovědi ex pos pouze pro řeí a čvré čvrleí roku 2006. Tab. č. 3: Predikované a skuečné hodnoy HDP ČR Aplikace na daech 2/995-2/2006 Aplikace na daech /996-2/2006 Období Předpověď Skuečná hodnoa 3 Procenní odchylka 4 Směrodaná odchylka 5 GARCH (,) 2006 q 03 44880,26 5935,9-3,68 % 55,8 2006 q 04 44327,679 5078,5-3,65 % 626 GARCH (,) - 2006 q 03 445509,26 5935,9-2,98 % 585,6 bez HDP EU 2006 q 04 445568,679 5078,5-2,8 % 686,4 GARCH (0,) 2006 q 03 4474,26 5935,9-2,60 % 44,5 2006 q 04 447458,679 5078,5-2,44 % 524,2 GARCH (0,) - 2006 q 03 45774,26 5935,9 -,75 % 524,4 bez HDP EU 2006 q 04 452263,679 5078,5 -,8 % 62,6 GARCH (,) 2006 q 03 437460,26 5935,9-4,55 % 503,5 2006 q 04 436706,679 5078,5-4,55 % 568,4 GARCH (,) - 2006 q 03 438675,26 5935,9-4,3 % 53,3 bez HDP EU 2006 q 04 4380,679 5078,5-4,28 % 594,4 GARCH (0,) 2006 q 03 440523,26 5935,9-3,95 % 639,4 2006 q 04 44004,679 5078,5-3,89 % 736 GARCH (0,) - 2006 q 03 440425,26 5935,9-3,97 % 638,9 bez HDP EU 2006 q 04 439990,679 5078,5-3,9 % 435,5 Z abulky 3 vyplývá, že nejlepší předpovědi ze všech specifikovaných modelů poskyuje GARCH (0,) model vyjádřený v aplikaci na daech 2/995 2/2006 bez zahrnuí HDP EU jako vysvělované proměnné. Teno model dokázal předpovědě přibližně 88,5 % skuečné hodnoy HDP ČR, a o bylo o procenní bod lepší předpověď než v případě GARCH (,) bez zahrnuí HDP EU a dokonce o 2 procenní body lepší předpověď než u modelu GARCH (,) při zahrnuí všech proměnných. Tab. č. 4: Odhad modelu GARCH (0,) na daech 2/995 2/2006 bez HDP EU Odhad parameru Směrodaná odchylka Robusní směrodaná odchylka -hodnoa -pravděpodobnos Konsana -3705260 22600 0500-35,3 0 Defici -922,9 464,6 466,2-25,6 0 Inflace ČR -2663,6 2849 3677-7,24 0 Inflace EU 5 70288 30830 26790 26,5 0 Směnný kurz 95234,7 305 2542 37,5 0 Úroková míra 3069,3 859 80 7 0 Trend 6494,2 57, 45,2 36,6 0 α 0 00296 4090 30760 3,26 0,002 α 3 Skuečná hodnoa je vyjádřena ve sálých cenách roku 995, očišěna od sezónnosi a pracovních dní 4 Procenní odchylka předpovědi od skuečné hodnoy 5 Odmocnina z podmíněného rozpylu 58 8

Pro přesnější předpověď je vhodné použí model, kerý je konsruovaný na delší časové řadě. Z hlediska saisických vlasnosí se jako vhodnější jeví modely konsruované na časové řadě od prvního čvrleí roku 996. Všechny zde uvedené předpovědi se liší od skuečných hodno o více než %. Tempo růsu HDP ČR se od druhého čvrleí roku 998 zvyšuje. Výjimku voří pouze rok 2002, proo byly předpovědi zpřesňovány zavedením exponenciálního rendu e γ do rovnice (). Konsana γ byla zvolena kalibrací. Tyo předpovědi byly provedeny na časových řadách 2/995 2/996. Z abulky 5 je parné, že zavedení exponenciálního rendu do modelu zlepšilo předpovědi ex pos až o 0 procenních bodů. Tab. č. 5: Předpovědi s exponenciálním rendem γ = 0,08 Období Předpověď Skuečná hodnoa Odchylka v % Směrodaná odchylka GARCH (,) 2006 q 03 502557,22 5935,9 -,83 % 2694,92 2006 q 04 5250,62 5078,5 0,2 % 2707,30 GARCH (,) - 2006 q 03 50587,22 5935,9 -,20 % 45,0 bez HDP EU 2006 q 04 55799,62 5078,5 0,92 % 437,05 GARCH (0,) 2006 q 03 502782,22 5935,9 -,79 % 2792,0 2006 q 04 52376,62 5078,5 0,25 % 2807,94 GARCH (0,) - 2006 q 03 505542,22 5935,9 -,25 % 3036,59 bez HDP EU 2006 q 04 55339,62 5078,5 0,83 % 3056,65 Z esovaných hodno konsany γ poskyuje nejlepší předpovědi model s exponenciálním rendem při γ = 0,08. Všechny předpovědi pro období 3/2006 jsou mírně podhodnoceny, podhodnocení u žádného z modelů nedosahuje 2 %. Předpovědi pro období 4/2006 jsou naopak mírně nadhodnoceny, nadhodnocení však není věší než %. 6 EKONOMICKÁ INTERPRETACE ODHADNUTÉHO MODELU U všech odhadnuých modelů vycházela znaménka koeficienů až na výjimky ve shodě s ekonomickou eorií. Do všech modelů byl zahrnu rend, proo nebude mí příliš smysl inerpreace absoluních velikosí paramerů. Tyo paramery vyjadřují cilivos HDP na jednolivé veličiny. Do odhadnuých GARCH modelů nebyl zahrnu HDP EU, a o kvůli saisické nevýznamnosi. Pro eoreický model o znamená, že HDP EU nemá vliv na HDP ČR, resp. na vývozy a dovozy ČR. Jedním z možných vysvělení ohoo vzahu může bý způsob zjišťování éo veličiny a agregace da. Další možnosí je, že HDP EU je již v souladu s IS- MP modelem pro ekonomiku EU ve značné míře zahrnu ve vývoji úrokové míry EU (Švarcová, 2005). Skuečnosí aké je, že HDP ČR dosahuje zejména v posledních leech velkého empa růsu sejně jako HDP dalších zemí, keré přisoupily do EU společně s ČR, zaímco hospodářská výkonnos saré Evropy, kerou v modelech HDP EU reprezenuje, je na nízké úrovni a výrazné zlepšení nelze nejspíš v blízké době očekáva vzhledem k aniinflační poliice Evropské cenrální banky. Je edy spíše vhodné zkouma vliv jiných veličin na HDP ČR. Co se ýče znaménka směnného kurzu, obě možnosi by byly v souladu s eorií. Kladné znaménko značí, že depreciace kurzu má poziivní dopad na HDP ČR. Slabá měna posiluje expor, ím že zlevňuje vývozy a současně oslabuje impor ím, že zdražuje dovozy. Výpadek v dovozech je ak nahrazen subsiuy domácího rhu, což se opě poziivně projeví v HDP. Podle odhadnuých modelů převažuje eno vliv depreciace kurzu nad druhým efekem, kdy ČNB v důsledku proiinflačních opařeních a ochrany kurzu koruny zvedne úrokové sazby a 59 9

o za předpokladu ceeris paribus sníží invesice a ím zpomalí růs HDP. Ke sejným závěrům ohledně vlivu depreciace na HDP dospěli aké Hušek a Švarcová (2007), zaímco v modelu, kerý použil Hsing (2004) s kurzem CZK/USD, převážil druhý efek. Vliv deficiu na HDP ČR vyšel v odhadnuých modelech ve shodě s ekonomickou eorií. Tedy nárůs deficiu veřejných financích podporuje empo růsu HDP. V odhadnuých modelech vyšlo sice znaménko u deficiu záporné, o je ale způsobeno ím, že se v modelu nepracuje s deficiem v absoluních hodnoách, ale se zápornými čísly. Z pohledu fiskální poliiky je edy na základě odhadnuých modelů možné vrdi, že vyšší defici má poziivní vliv na HDP ČR, bez ohledu na o, zda je způsoben růsem vládních výdajů na nákup saků a služeb či snižováním daní. Do budoucna je však řeba uvažova v širším konexu. Bude-li ČR pokračova se současnými deficiy, nebude plni maasrichská kriéria a ao siuace pak zcela jisě na ekonomiku příznivý vliv mí nebude. Ve shodě s ekonomickou eorií bylo aké znaménko inflace ČR. V IS-MP-IA modelu vyšší inflace působí na cenrální banku, aby zvýšila reálnou úrokovou míru. Vyšší reálná úroková míra pak snižuje produk. Odhadnué GARCH modely uo skuečnos podpořily. Naopak v rozporu s ekonomickou eorií vychází ve všech odhadnuých GARCH modelech znaménko u inflace EU. Inflace EU byla do modelu zahrnua kvůli maasrichským kriériím, keré jsou pro ČR závazné, proo se mi zdá vhodné vysvěli eno rozpor Ballasovým- Samuelsonovým eorémem. Teno koncep saví na skuečnosi, že v důsledku ekonomické inegrace dochází v sekoru mezinárodně obchodovaelného zboží k růsu produkiviy práce, kerá se promíá do rychlého růsu mezd. V dlouhém období se projeví endence k sejnoměrnému růsu mezd ve všech sekorech ekonomiky. V sekoru mezinárodně neobchodovaelného zboží se však rozpor mezi pomalým růsem produkiviy práce a rychlým růsem mezd projeví v růsu cen a vzniká lak na růs inflace (Mandel, Tomšík 2007). Teno Balassův-Samuelsonův efek je jednou z nejsilnějších námiek proi současné podobě maasrichských kriérií. Při flexibilním kurzu se efek rozkládá do nominálního zhodnocení měny a růsu cenové hladiny. Obecně plaí, že Ballasův-Samuelsonův efek je ím vyšší, čím věší je růs produkiviy práce a čím více rose popávka po službách v ekonomice s rosoucí živoní úrovní. Odhady ohoo efeku se pohybují v rozmezí,5 4 %. Dlouhodobým inflačním cílem Evropské cenrální banky je udržení inflace pod 2 %. Pro kandidáské země usilující o vsup do Evropské měnové unie z oho vyplývá v důsledku plnění maasrichských kriérií závazek dosahova inflace pod úrovní 3,5 %. To však znamená, že pouze Ballasův-Samuelsonův efek značně komplikuje věšině kandidáských zemí splnění inflačního kriéria pro vsup do EMU. Inflační diferenciál ranziivních ekonomik vůči zemím EMU zvyšují aké probíhající či dokončené srukurální reformy, např. deregulace cen, růs zdanění spořeby, apod. Srikní dodržování inflačního kriéria by ak vyžadovalo resrikivní měnovou poliiku, kerá by zpomalovala hospodářský růs (Mandel, Tomšík, 2007). Z ohoo pohledu by edy rosoucí míra inflace v EU mohla mí poziivní vliv na HDP ČR, proože oevírá věší prosor pro provádění měnové i fiskální poliiky. Komplikovanější je o se znaménkem zahraniční úrokové míry, keré aké neodpovídá eorii. Rosoucí úroková míra omezuje invesice a brzdí hospodářský růs. V odhadnuých GARCH modelech však vychází poziivní vzah mezi úrokovou mírou a HDP ČR. Rosoucí úroková míra v EU vede k růsu úrokové míry v ČR. Rosoucí úroková míra v ČR, resp. měnová resrikce, by pak podle odhadnuých modelů měla mí poziivní dopad na HDP. Teno efek je ale v rozporu s eorií. Vlivem oběovaného podílu při provádění měnové resrikce se zabývali již Hušek a Formánek (2005). Pro odhad nákladů dizinflační poliiky byl 60 0

použi koeficien míry oběování, kerý byl definován jako kumulaivní zráa produku. Na základě eorie by eno koeficien měl nabýva kladných hodno. Sudie však ukázala, že v případě České republiky nabývá eno koeficien pro období.čvrleí 994 do 2. čvrleí 2002 sice nízkých, ale záporných hodno. ČR není jedinou zemí, kde eno koeficien nevycházel v souladu s eorií. Podobné problémy se vyskyly např. u odhadů ýkajících se ekonomiky Norska a Švédska a v někerých případech Nizozemí a Velké Briánie. Závěrem sudie edy je, že prováděná moneární resrikce nemá dlouhodobě významný negaivní dopad na produk ČR (Hušek, Formánek, 2005). Auoři článku uvádějí, že negaivní hodnoa koeficienu míry oběování je důsledkem ranziivního charakeru české ekonomiky v uplynulém období a očekávají, že v horizonu pěi až desei le by se výsledky odhadovaných modelů měly zlepši a bý v souladu s ekonomickou eorií. S ohledem na provedenou sudii je možné vysvěli poziivní vzah mezi úrokovou mírou EU a HDP ČR, kerý je popsán odhadnuými GARCH modely, jako důsledek ranziivního charakeru české ekonomiky v leech, na kerých byly modely konsruovány. V posledních leech navíc nedocházelo k velkým změnám v úrokových sazbách. Evropská cenrální banka zvýšila úrokové sazby po dvou leech až v prosinci 2006, akže ao změna není v modelech zachycena. ECB zvýšila úrokovou sazbu s cílem nejen sníži inflaci a přiblíži se ak dosažení dlouhodobého inflačního cíle, ale i podpoři hospodářský růs a zaměsnanos (např. Euraciv, 2005). 7 ZÁVĚR Lze konsaova, že spočené předpovědi byly robusní při různých varianách GARCH (p,q) modelu. Osvědčilo se aké zavedení exponenciálního rendu do modelů, keré podsaným způsobem zlepšilo předpovědi. Odhadnué paramery modelů vycházely věšinou v souladu s ekonomickou eorií, možné příčiny někerých rozporů byly vysvěleny. Povrdilo se, že vývoj ekonomiky České republiky je závislý na vývoji Evropské unie a že se ČR přizpůsobovala vsupu do EU posupně již před rokem 2004, akže vsup pro ni nepředsavoval významný šok. Užií GARCH meodologie se ukazuje jako vhodné pro modelování ekonomiky ČR. Použiá lieraura. Arl, J. Arlová M.: Ekonomické časové řady. Grada, Praha 2007. 2. Bollerslev, T.: Generalized Auoregressive Codiional Heeroscedasiciy. Journal of Economerics, 986, Vol. 3, s. 307 327. 3. Engle, R.: GARCH 0: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Economerics. Journal of Economic Perspecives, 200, Vol. 5, No. 4, s. 57-68. 4. EurAciv: Úroková míra v eurozóně koncem roku vzrose; 22..2005; dosupné z www: [hp://www.euraciv.cz/ekonomika-a-euro] 5. Hušek, R. Formánek, T.: Esimaion of he Czech Republic sacrifice raio for he ransiion period. Prague Economic Papers, 2005, No., s. 5 63. 6. Hušek, R. Švarcová, R.: Modifikace IS-MP-IA modelu pro českou ekonomiku. Aca Oeconomica Pragensia. 2007, roč. 5, č., s. 20 26. 7. Hsing, Y.: MP-IA Model. Prague Economic Papers, 2004, č. 4, s. 339 345. 8. Mandel, M. Tomšík, V.: Moneární ekonomie v malé oevřené ekonomice. Managemen Press, Praha 2003. 9. Plchová, B: Dopady změn v zahraničně obchodní poliice na českou ekonomiku po našem vsupu do EU. Aca Oeconomica Pragensia, 2004, roč. 2, č. 3, s. 24-42. 6

0. Romer, D.: Keynesian Macroeconomics wihou he LM Curve. Journal of Economic Perspecives, 2000, Vol. 4, No. 2, s. 49 69.. Švarcová, R.: Perspekiva zbožových oků na krákodobé období (vekorový auoregresní model). In: Současná Evropa a ČR. Praha, CES VŠE v Praze, 2004, s. 67 79. 2. Švarcová, R.: Perspekiva zbožových oků mezi ČR a EU. In: Sborník prací semináře dokorského sudia Fakuly informaiky a saisiky Vysoké školy ekonomické v Praze, 2005, s. 234 244. Konakní údaje Ing. Adéla Ráčková Vysoká škola ekonomická v Praze, Fakula informaiky a saisiky nám. W. Churchilla 4, 30 67 Praha 3 Tel: (420) 22409 5445 email: adela.rackova@vse.cz 62 2

EKONOMETRICKÉ PROGNÓZOVANIE VÝVOJA MIEZD VO VYBRANÝCH KRAJINÁCH EÚ ECONOMETRIC FORECASTING OF WAGES IN SELECTED COUNTRIES EU Kveoslava Surmanová Absrak Článok sa zaoberá vzťahom mzdy - ekonomický ras v 0 vybraných krajinách Európskej únie (EÚ). Cieľom je prosrednícvom ekonomerických modelov naprognózovať vývoj minimálnej mzdy na najbližšie obdobie. Na analýzu boli použié meódy panelových dá, preože ponúkajú niekoľko výhod, okrem iného i zohľadnenie prierezových vplyvov, koré sú špecifické pre každú zo skúmaných krajín. Kľúčové slová: minimálna mzda, miera rasu HDP, HICP, panelové dáa, prognóza Absrac This paper presens and illusraes he model approach o he analysis of relaion wages economic growh. We are using he mehods of he panel daa, because hey offer several imporan advanages, e.g. implemenaion of fixed effecs. The 0 EU member counries pooled in panel was analyzed. The aim of he paper is forecas values of he wages. Key words: minimal wages, growh rae of GDP, HICP, panel daa, forecasing ÚVOD V predchádzajúcich analýzach sme sa zaoberali oázkou, či zavedenie Eura bude mať podsaný vplyv na výšku miezd vo vybraných 0 krajinách EÚ. Keďže je z predošlého vývoja v krajinách, koré už zaviedli jednonú spoločnú menu dokázaeľné, že v období po prijaí Eura dochádzalo k nárasu cenovej hladiny, analýza bola zrealizovaná nepriamo (vplyv HICP na mzdy) pomocou ekonomerických modelov, kde bola závislou premennou mzda a nezávislou premennou harmonizovaný index sporebieľských cien, prípadne ďalšie makroveličiny. Zrejme z dôvodu nízkeho inflačného prosredia vo všekých desiaich analyzovaných krajinách Európskej únie (výnimkou je len Liva, kde harmonizovaný index sporebieľských cien (priemerná medziročná miera zmeny) v osaných rokoch 2004-2006 nadobúdal hodnoy 6,2; 6,9 a 6,6 %) sa preukázalo, že väčší vplyv na ďalší vývoj miezd má vývoj produkiviy práce a výška hrubých domácich výdavkov na výskum a vývoj. Sanoviť, čo deerminuje vývoj miezd je problemaické. Pre krajiny Európskej únie nie sú sanovené žiadne spoločné pravidlá, koré by boli smerodané pri sanovovaní výšky minimálnej mzdy. Vo viacerých krajinách je ras miezd ovplyvňovaný mierou inflácie. Napr. na Slovensku a v Čechách je jej výška závislá od rozhodnuia vlády. Predpokladáme, že v reálnej ekonomike by výšku miezd do značnej miery určoval ekonomický ras a s ním spojená produkivia práce. Je o ak i v 0 vybraných krajinách EÚ? 2 METODOLÓGIA Pri vorbe modelov sme vychádzali z elemenárneho modelu panelových dá y i = β 0 + βx i + β 2x2i + ui, () kde 63

y i je závislá premenná pre i-u prierezovú jednoku v čase, x je nezávislá premenná pre i-u prierezovú jednoku v čase, i β je úrovňová konšana, 0 β, β 2 sú paramere modelu, u i je náhodná zložka pre i-u prierezovú jednoku v čase. Pre zachyenie diferencií, koré sú príomné v analyzovaných krajinách, sme uvažovali s modelom s fixnými prierezovými vplyvmi. Jeho var je nasledovný y β + β x + β x + u, (2) i = i i 2 2i pričom β i je úrovňová konšana rozdielna pre každú prierezovú jednoku. Rovnako je možné uvažovať v modeli s príomnými náhodnými prierezovými vplyvmi. 3 MODEL VÝVOJA MINIMÁLNEJ MZDY Ako východisko bol zvolený model, v korom sme skúmali vplyv miery rasu HDP na minimálnu mzdu M: mzda i = β 0 + β rhdpi + ui, (3) kde mzda i je minimálna mzda (Eur/obyvaeľa), rhdp i je miera rasu HDP (%). Na získanie informácií o budúcom vývoji miezd sme zosrojili viacero varian jednorovnicového ekonomerického modelu. Uvedený model bol posupne doplnený o ďalšie nezávislé premenné,.j. produkiviu práce (pp ), harmonizovaný index sporebieľských cien (hicp ), inflačné očakávania (hicp + ) a rendovú zložku (T), korá sa iež preukázala ako signifikanná. Výsledkom sú ďalšie jednorovnicové lineárne ekonomerické modely M2: mzda i = β 0 + β rhdpi + β 2 ppi + ui, (4) M3: mzda i = β 0 + β rhdpi + β 2 ppi + ui, (5) M4: mzda i = β 0 + β rhdpi + β 2 ppi + β 3 T + ui, (6) M5: mzda i = β 0 + β rhdpi + β 2 hicpi + ui, (7) M6: mzda i = β 0 + β rhdpi + β 2 ppi + β 3 hicp+ + ui, (8) M7: mzda i = β 0 + β hicpi + β 2 T + ui. (9) Všeky modely boli aplikované na údajovej základni panelových dá založených na ročnej báze zo zdrojov Eurosau za obdobie rokov 995 2006. Do panelu dá boli združené údaje za 0 členských krajín Európskej únie. Česká republika (CZ), Esónsko (EE), Cyprus (CY), Liva (LV), Loyšsko (LT), Maďarsko (HU), Mala (MT), Poľsko (PL), Slovinsko (SI) a Slovensko (SK),.j. krajiny, koré sa sali členskými šámi EÚ.4.2004. Odhad paramerov bol uskuočnený pomocou ekonomerického programu Eviews 5., meódou najmenších švorcov bez príomnosi špecifických vplyvov (). Následne bol na každej verzii načrnuého modelu zrealizovaný odhad so začlenenými fixnými prierezovými vplyvmi (2) i s náhodnými prierezovými vplyvmi. Na základe Hausmanovho esu bol odhad paramerov v modeloch s fixnými prierezovými vplyvmi vo všekých experimenoch vyhodnoený za vhodnejší. i 64

V analýzach založených na prierezových údajoch je možný výsky heeroskedasiciy (náhodná zložka môže mať pre každé pozorovanie rozdielny rozpyl). Eviews poskyuje namieso šandardnej meódy najmenších švorcov možnosť použiť Whieov kovariančný odhad. V omo prípade Whieova kovariančná maica predpokladá, že reziduály odhadnuej rovnice sú sériovo nekorelované. Pri hodnoení modelov sme sa zamerali na šaisickú a ekonomickú signifikannosť. Pri sanovení prognózy na obdobie rokov 2007-200 sme na prognózovanie nezávislých premenných využili model rendu. 4 VÝSLEDKY V prvej abuľke sú obsiahnué hodnoy prognóz minimálnej mzdy pre Slovensko, koré boli získané využiíím vyššie uvedených siedmych modelov. Tabuľka Prognóza minimálnej mzdy - Slovensko SK M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 2 647 2 65 2 600 2 637 2 65 2 680 2 583 2008 2 834 2 839 2 85 2 823 2 796 2 868 2 796 2009 3 020 3 026 2 999 3 008 2 987 3 056 2 999 200 3 207 3 24 3 84 3 93 3 87 3 202 Zdroj: vlasný výpoče Budúci vývoj minimálnej mzdy na Slovensku by sme na základe vyvorených modelov mohli vyhodnoiť nasledovne. Najrýchlejší ras minimálnej mzdy je zaznamenaný prosrednícvom modelu M6. V porovnaní s hodnoou roka 2006 (2.400,- Eur) zvýšenie v roku 2007 vorí,7 %, v roku 2008 9,5% a v roku 2009 27,3 %. Najmenšia zmena by nasala v prípade, ak by bola minimálna mzda deerminovaná len mierou inflácie z predchádzajúceho obdobia (model M7). V omo prípade by bol v roku 2007 náras len o 7,6 % v porovnaní s rokom 2006, v roku 2008 o 6,5 %, v roku 2009 o 24,9 %. Z uvedeného vyplýva, že rozdiely v prognózovaných hodnoách nie sú veľké. Keďže poznáme hodnou minimálnej mzdy na Slovensku za rok 2007, môžeme uvedené modely verifikovať. Cez priemerný výmenný kurz Eur v Sk sme vyčíslili minimálnu mzdu v roku 2007 na 2.744,-Eur 2. Táo hodnoa je porovnaeľná s našimi získanými údajmi. Z našich modelov je najbližšie k hodnoe 2.744,-Eur model M6,.j. model s najväčším rasom. Meodika údajov na základe korých bola analýza zrealizovaná neberie do úvahy zmenu minimálnej mzdy, korá nasáva na Slovensku vždy k.okóbru daného roka. Ak by sme rovnako posupovali pri výpoče minimálnej mzdy na rok 2007 a rok 2008, hodnoy by boli nasledovné: 2.670,-Eur 3 (rok 2007) a 2.898,- Eur 4 (rok 2008 5 ). Ale i omo prípade sa ukazuje model M6 (vývoj miezd deerminuje miera rasu HDP a produkivia práce a inflačné očakávania) ako najvhodnejší na prognózovanie ďalšieho vývoja na najbližšie roky. Minimálna mzda na Slovensku od.0.2006 bola 7.600,-Sk a od.0.2007 vo výške 8.00,-Sk. 2 ((7.600 x 9 mesiacov) + (8.00 x 3 mesiace))/33,78 = 2.744 Eur. 3 (7.600 x 2)/33,78 = 2.670 Eur. 4 (8.00 x 2)/33,538 = 2.898 Eur. 5 Pri výpoče minimálnej mzdy v Eurách bol použiý priemerný kurz za január 2008. 65

V prípade Českej republiky bol najrýchlejší ras zachyený pomocou modelu M7, kde ako vysveľujúca premenná vysupuje HICP z minulého obdobia a rendová zložka. Predikované hodnoy minimálnej mzdy Českej republiky sú obsiahnué v nasledujúcej abuľke. Tabuľka 2 Prognóza minimálnej mzdy Česká republika CZ M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 3 456 3 469 3 468 3 457 3 452 3 460 3 47 2008 3 643 3 657 3 635 3 642 3 646 3 648 3 659 2009 3 829 3 844 3 89 3 828 3 837 3 835 3 862 200 4 06 4 032 4 004 4 03 4 037 4 065 Zdroj: vlasný výpoče V omo prípade môžeme iež porovnať predpovede so skuočnosťou pre rok 2007. Minimálna mesačná mzda v Českej republike od..2007 je 8.000,-CZK, čo je v prepoče cez priemerný kurz (27,762 CZK/EUR) 3.458,-Eur 6. Táo hodnoa je približne rovnaká s prognózou získanou na základe modelu M4 (rozdiel Euro) a M (rozdiel 2 Eura). V oboch modeloch vývoj mzdy deerminuje empo rasu HDP. Model M4 je navyše doplnený o produkiviu práce a rendovú zložku. Na základe uvedeného môžeme vyvodiť záver, že na Slovensku i v Českej republike je výška minimálnej mzdy ovplyvňovaná prevažne ekonomickým rasom a miera inflácie nezohráva dominannú úlohu. Pre úplnosť uvádzame prognózy pre ďalšie analyzované krajiny. Vývoj minimálnej mzdy na obdobie rokov 2007 200 je podobný ako v Čechách a na Slovensku. Na základe nami zosrojených modelov by mala mať minimálna mzda naďalej rasúcu endenciu. Výnimkou sú len Cyprus a Esónsko. Tabuľka 3 Prognóza minimálnej mzdy - Poľsko PL M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 2 843 2 848 2 876 2 830 2 832 2 859 2 779 2008 3 029 3 036 3 023 3 05 3 030 3 047 3 034 2009 3 26 3 223 3 207 3 20 3 22 3 234 3 237 200 3 403 3 40 3 392 3 386 3 42 3 440 Zdroj: vlasný výpoče Tabuľka 4 Prognóza minimálnej mzdy - Maďarsko HU M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 3 205 3 25 3 97 3 20 3 97 3 23 3 76 2008 3 392 3 403 3 380 3 386 3 387 3 40 3 43 2009 3 579 3 590 3 564 3 57 3 57 3 588 3 634 200 3 765 3 778 3 749 3 757 3 77 3 837 Zdroj: vlasný výpoče 6 (8000 x 2)/27,762 = 3.458 Eur 66

Tabuľka 5 Prognóza minimálnej mzdy - Cyprus CY M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 6 94 6 98 7 02 6 904 6 979 6 922 7 200 2008 7 00 7 06 7 06 7 089 7 72 7 0 7 367 2009 7 287 7 293 7 29 7 274 7 363 7 297 7 570 200 7 474 7 480 7 475 7 460 7 563 7 774 Zdroj: vlasný výpoče Tabuľka 6 Prognóza minimálnej mzdy - Esónsko EE M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 3 030 3 035 2 849 3 02 3 027 3 034 3 48 2008 3 27 3 222 3 80 3 206 3 208 3 22 3 32 2009 3 404 3 40 3 364 3 39 3 399 3 409 3 55 200 3 590 3 597 3 549 3 576 3 599 3 78 Zdroj: vlasný výpoče Tabuľka 7 Prognóza minimálnej mzdy - Liva LV M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 2 472 2 476 2 40 2 462 2 504 2 470 2 584 2008 2 659 2 664 2 640 2 648 2 687 2 658 2 696 2009 2 845 2 85 2 824 2 833 2 87 2 845 2 899 200 3 032 3 039 3 009 3 08 3 064 3 02 Zdroj: vlasný výpoče Tabuľka 8 Prognóza minimálnej mzdy - Loyšsko LT M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 2 439 2 443 2 362 2 429 2 453 2 443 2 526 2008 2 625 2 63 2 603 2 64 2 637 2 63 2 660 2009 2 82 2 88 2 788 2 799 2 828 2 89 2 863 200 2 999 3 005 2 972 2 985 3 028 3 066 Zdroj: vlasný výpoče Tabuľka 9 Prognóza minimálnej mzdy - Mala MT M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 5 322 5 43 5 593 5 409 5 408 5 452 5 484 2008 5 509 5 60 5 644 5 595 5 599 5 640 5 646 2009 5 695 5 788 5 828 5 780 5 790 5 828 5 849 200 5 882 5 976 6 03 5 965 5 990 6 052 Zdroj: vlasný výpoče Tabuľka 0 Prognóza minimálnej mzdy - Slovinsko SI M M2 M3 M4 M5 M6 M7 2007 6 90 6 99 6 80 6 86 6 243 6 25 6 30 2008 6 377 6 386 6 376 6 372 6 434 6 403 6 536 67

2009 6 563 6 574 6 56 6 557 6 625 6 59 6 739 200 6 750 6 76 6 745 6 742 6 825 6 943 Zdroj: vlasný výpoče Na základe údajov minimálnej mzdy pre roky 2007 uverejnených na web sránkach Federaion of European Employers a Eurosau je iež možné všeky uvedené modely čiasočne verifikovať. Tabuľka Ročné údaje minimálnej mzdy v 8 krajinách EÚ 7 PL HU CY EE LV LT MT SI 2007 8 2 952 3 096-2 760 2 064 2 088 7 020 6 264 2008 9 3 737 3 252 8 892 3 336 2 732 2 436 7 405 6 456 Výsledky prognózy sú pre Poľskú republiku, Cyprus a Malu značne podhodnoené. V prípade Maďarska, Livy a Loyšska sú získané prognózy na základe uvažovaných modelov nadhodnoené. Menšia diferencia bola dosiahnuá len v prípade Livy, v roku 2008. Prognóza mzdy v modeli M7 (2 696,-Eur) je blízka skuočnej mzde, 2 732,-Eur. Porovnaním hodnô v Esónsku, by sme mohli skonšaovať, že k skuočnosi sa najviac približuje model M7, kde ako deerminan vysupuje harmonizovaný index sporebieľských cien. Vývoj minimálnej mzdy v Slovinsku sa vyvíja podobne ako v odhadnuom modeli M5, v korom sa ako signifikanné preukázali empo rasu HDP a HICP z predchádzajúceho obdobia. 5 ZÁVER Na základe zrealizovaných experimenov môžeme skonšaovať, že i analýza viacerých krajín cez model panelových dá má určie nepopieraeľný význam. Je veľmi obiažne vyvoriť model, v korom by boli obsiahnué špecifiká zlúčených krajín do panelu dá. V našom prípade sa podarilo vyvoriť niekoľko modelov, na základe korých bolo možné zosaviť prognózu na najbližšie obdobie 4 rokov. Verifikáciou sme vyhodnoili prognózu pre každú z analyzovaných krajín. Keďže každá krajina pôsobí ako samosaná ekonomická jednoka, je i ekonomický sysém vo všekých krajinách odlišný, založený na rôznych fakoroch. Práve preo sa verifikáciou nepreukázal ako najlepší len z prezenovaných modelov pre všeky krajiny, ale pre každú z krajín by bolo vhodnejšie rešpekovať jej špecifiká, deerminany vývoja miezd. Podobnú analýzu je možné uskuočniť pre každú z krajín samosane a výsledky navzájom porovnať. Použiá lieraúra. Lukáčiková A., Szomolányi, K., Lukáčik, M. 2005. Modelovanie vývoja miezd. In: Manažmen v eórii a praxi, č. 2, sr. 66 76, ISSN 336-737. 2. Vladová, A. 2006. Krákodobé modelovanie mzdového vývoja. In: BIATEC, ročník 4, č. 4, sr. 0-4. 3. hp://www.mpsv.cz/cs/87, planý k 25..2008. 4. www.saisics.sk. 5. europa.eu.in/comm. 7 údaje plané k.. príslušného roka v Eurách. 8 hp://epp.eurosa.ec.europa.eu/cache/ity_offpub/ks-sf-07-07/en/ks-sf-07-07-en.pdf, planý k 5.2.2008 9 hp://www.fedee.com/minwage.hml, planý k 5.2.2008 68

6. hp://www.czso.cz/csu/redakce.nsf/i/cr:_makroekonomicke_udaje/$file/925879.xls, planý k 25..2008. 7. hp://www.fedee.com/minwage.hml, planý k 5.2.2008. 8. hp://epp.eurosa.ec.europa.eu/cache/ity_offpub/ks-sf-07-07/en/ks-sf-07-07-en.pdf, planý k 5.2.2008. Konakné údaje Ing. Kveoslava Surmanová, PhD. Ekonomická univerzia v Braislave, Fakula hospodárskej informaiky Dolnozemská cesa, 852 35 Braislava Tel: (42 2) 672 95 823 Email: surman@euba.sk 69

POROVNANIE VÝNOSU A RIZIKA GARANTOVANÝCH STRATÉGII RETURN AND RISK COMPARISON OF GUARANTEED STRATEGIES Branislav Tuš Absrak Garanované fondy sa sali v poslednom období veľmi populárnymi. V omo dokumene sú porovnávané výhody a nevýhody rôznych druhov garanovaných sraégii z pohľadu rizika a výnosu. Medzi najznámejšie parí CPPI (Consan Proporion Porfólio Insurance) sraégia. Dokumen porovnáva sraégiu CPPI so sraégiami, koré pôvodnú meódu CPPI modifikujú. Analýza ukazuje, že voľba paramerov meódy má významný vplyv na výkonnosť a celkovú hodnou porfólia garanovanej sraégie. Kľúčové slová: CPPI, Value a Risk, Garanované sraégie, Výnos, Riziko. Absrak In recen years guaraneed funds has become very popular. In his aricle he advanages and disadvanages of various ypes of guaraneed sraegies in erms of reurn risk perspecive are compared. Among he mos popular here is a CPPI (Consan Proporion Porfolio Iinsurance) sraegy. In his aricle he CPPI sraegy is compared wih ones ha modify ha CPPI. According o our hisorical simulaion he choice of parameers of guaraneed sraegy plays an imporan role and has a big impac on a oal performance of he sraegy. Kľúčové slová: CPPI, Value a Risk, Guaraneed sraegies, Risk and Reurn 70

Úvod V omo článku sú analyzované garanované sraégie, koré umožňujú invesovanie do rôznych ypov invesičných násrojov (akcie, dlhopisy, komodiy ) s cieľom zabezpečiť na definovanom horizone sanovenú garanovanú hodnou. V nedávnej dobe boli garanované sraégie realizované najmä prosrednícvom kombinácie akív s opciami. Táo meóda sa nazýva Opion Based Porfolio Insurance (OBP)). Meóda garanuje vráenie invesovanej sumy a zároveň ponúka možnosť podieľať sa na rase podkladového akíva, za predpokladu, že invesor ponechá svoje finančné prosriedky invesované počas až do doby splanosi fondu. Pri sraégii je možné garanovať aj určiý minimálny výnos, avšak plaí, že čím je vyšší požadovaný minimálny výnos, ým sa znižuje poenciál na dosiahnuie vyššieho výnosu sraégie. Garancia sraégie je realizovaná prosrednícvom pu opcie s určenou splanosťou. Alernaívnou je kombinácia bezrizikového akíva s rizikovým ak, aby kopírovala pu opciu na daný index. V ejo meóde je podiel rizika v sraégii v každom momene daný eóriou opcií. Alernaívny prísup pozosáva z dvoch idei - sraégia je vždy udržiavaná nad určiou minimálnou hranicou nazývanou floor, Rozdiel medzi floor a akuálnou celkovou hodnou sraégie predsavuje vankúš, minimálna hranica floor rasie lineárne o vopred predefinovanú konšanu (napríklad o hodnou bezrizikovej invesície) ak, aby v momene mauriy bola konečná hodnoa porfólia minimálne vo výške garanovanej úrovne; - váha rizikových invesícii je funkciou vankúša. Pri sraégii CPPI ide zvyčajne o explicine určený muliplikáor. Prvá idea je zameraná na garanovanie invesície a druhá je na výkonnosť sraégie. Výhodou ejo sraégie je jej likvidia (bez penalizačných poplakov) a exisencia garancie. Z pohľadu podielových fondov sraégie v kombinácii s pu opciami sú vhodné najmä pre uzavreé podielové fondy. Naopak, sraégie založené na princípe CPPI sú vhodné pre ovorené podielové fondy. 2 Sraégia CPPI Pri sraégii CPPI vznikajú dva aspeky. Jej schopnosť zabezpečiť garanciu a zároveň dosiahnuť požadovaný výnos. Pri ejo sraégii je riziko nulové v prípade, že vankúš je akiež blízky nule. Vedy je porfólio invesované 00 % v bezrizikovom akíve. V akom prípade je garancia zaručená. Sraégia ak zaručuje, že hodnoa porfólia nikdy neklesne pod garanovanú úroveň. V akom prípade však sraégia nezabezpečí žiadny výnos okrem samonej garancie. Rebelancovanie porfólia medzi rizikovým a bezrizikovým akívom prebieha v diskrénych inervaloch akže exisuje minimálne riziko nezabezpečenia minimálnej garanovanej hranice. Rizikom sraégie sú kaasrofické udalosi, pri korých nie je možné splniť garanciu. Preo jeden z cieľov ejo sraégie je minimalizovať možnosť výskyu akej udalosi. Monika Sameľová, 2007, Guaraned open-end muual funds. 2007. diplomovka.sk (online). Dosupné na: hp://diplomovka.sk/zdroj/332.pdf 2 7

Z pohľadu výnosu cieľom sraégie je čo možno v najväčšej miere paricipovať na výnose rizikového akíva. Výnos sraégie eda závisí predovšekým od nasavenia minimálnej hranice floor a muliplikpáora. Pri predpoklade, že porfólio je rebalancované priebežne, minimálna hranica floor rasie lineárne o bezrizikovú úroveň a predpoklade a vývoj rizikových akív sleduje normálne rozdelenie, možno ukázať, že meóda má možnosť voľby z pohľadu dosahovaného výnosu. Z pohľadu rozdelenia má akáo sraégia svoje rozdelenie posunué v pravo avšak za cenu, že sa vzdáva možnosi dosiahnuť vysoké výnosy. Výhoda ejo meódy eda spočíva v nasavení muliplikáora. Čím vyšší je muliplikáor ým je sraégia vysavená väčšiemu rhovému riziku a eda môže dosahovať vyššie výnosy, ale aj väčšie sray. Sraégia eda umožňuje dosiahnuť vyššie výnosy, ale aj väčšie riziko. 2. Modifikácie CPPI Sraégia CPPI má eda svoje limiy. Z pohľadu výnosu poenciálnou nevýhodou meódy je zvyšujúca sa minimálna hranica floor, korá deerminuje úroveň garancie. Ak rizikové akíva zaznamenajú výrazný náras minimálna hranica sráca zmysel v porovnaní s hodnoou porfólia. Logickým východiskom je vyvorenie zv pohyblivej minimálnej hranice v závislosi od dynamiky vývoja hodnoy porfólia. Cieľom ejo modifikácie je v prvom rade vyhnúť sa momenu, keď hodnoa porfólia dosiahne hodnou minimálnej hranice a eda celé porfólio je invesované v bezrizikovom akíve. Jednou z možnosí je prispôsobenie minimálnej hranice a nejakú preddefinovanú úroveň smerom hore v prípade výraznejšieho nárasu hodnoy porfólia. Pri následnom poklese eda, keď hodnoa porfólia dosiahne modifikovanú minimálnu hranicu exisuje priesor pre ponechanie určiej časi rizikových akív v porfóliu pri zachovaní základného pravidla meódy CPPI a o pomeru váh rizikových a bezrizikového akíva. Napríklad hodnoa minimálnej hranice môže byť dynamicky zvyšovaná v pomere násobku výnosu v porovnaní s pôvodnou minimálnou hranicou. V akomo prípade však nie je možné považovať rebalancovanie porfólia za priebežné (v prípade, že hodnoa porfólia dosiahne modifikovanú minimálnu hranicu, je nuné urobiť výraznejšie zmeny v pomere medzi rizikovým a bezrizikovým akívom, čím sa zvyšuje pravdepodobnosť nesplnenia pôvodnej garancie pri významných šokoch. Druhou alernaívou je modifikácia muluplikáora ako funkcie rizikového paramera. Muliplikáor je pri základnej meóde nasavený explicine. Nie je všeobecne povrdené, že modifkikácia základnej meódy CPPI vedie k šaisicky významným lepším výsledkom. 2.2 Aplikácia meódy CPPI konkréna šúdia Na základe eoreických východísk boli porovnávané nasledovné sraégie.. CPPI 2. CPPI s dynamickým muliplikáorom funkcia rizikového paramera 3. CPPI s dynamickým muliplikáorom funkcia rizikového paramera pohyblivá minimálna hranica floor 3 72

4. naivné porfólio zložené z rizikových akív Cieľom analýzy je kvanifikovať výnos a riziko spomínaných sraégii a určiť dopady modifikácie meódy CPPI. 2.2. Maemaický popis sraégii Označme V V 0 P hodnoa porfólia v čase počiaočná hodnoa invesície hodnoa minimálnej hranice v čase C=V -P vankúš v čase m E T r S muliplikáor invesícia v rizikovom akíve splanosť dlhopisu v rokoch bezriziková úroková miera hodnoa rizikovej invesície v čase Meóda CPPI je založená na priebežnom rebalancovaní porfólia medzi rizikovým a bezrizikovým akívom akým spôsobom, aby hodnoa porfólia bola vždy nad minimálnou hranicou floor a váha rizikovej invesície je v každom momene funkciou vankúša. alebo rozdielom medzi minimálnou hranicou a akuálnou hodnoou porfólia. Vývoj hodnoy porfólia je popísaný prosrednícvom nasledujúcej sochasickej rovnice dv = ds S E + rd ( V E ) 2.2.2 CPPI s fixnou minimálnou hranicou floor V omo prípade predpokladáme, že minimálna hranica sa nemení, resp. rasie lineárne o fixnú bezrizikovú úrokovú mieru r: P = P0 e r P 0 0 V e r Predpokladáme, že cena rizikového akíva sleduje šandardný model ds S = µ d + σdw kde W je šandardný Brownov pohyb a µ (výnos) a σ (šandardná odchýlka) sú nezáporné konšany 4 73

2.2.3 Meóda CPPI Pri obmedzení na kráke predaje rizikového akíva 0<E <p*v kde p>0 poom: { mc pv } E = min, a ďalej plaí dv V rd; V p = ( V P ) dz + P rd; P m V dx ; V P m p < V < m m p P kde DX = ( p( µ r) + r) * d + pσw 2.2.2 CPPI s pohyblivou minimálnou hranciou floor Meóda CPPI s fixnou minimálnou hranicou v prípade výrazného nárasu hodnoy porfólia sráca svoj význam V akom prípade meóda nezaznamenáva ras hodnoy porfólia, koré je ak vysoko vysavené rhovému riziku počas rasúceho rendu, čo prináša riziko v prípade poklesov. Naopak v prípade že minimálna hranica je nasavená príliš konzervaívne, eda príliš nízko (blízko pôvodnej invesície), porfólio je veľmi málo vysavené rhovému riziku a eda nie je možné očakávať vysoké výnosy. Riešením je modifikácia minimálnej hranice, korá bude závislá od výkonnosi porfólia. V prípade, že hodnoa porfólia výrazne vzrasie, posunie sa aj minimálna hranica o vopred definovanú hranicu. Naopak následne ak dôjde k priblíženiu hodnoy porfólia k modifikovanej minimálnej hranici, á sa späť nasaví k pôvodnej rasúcej o bezrizikovú úrokovú mieru). Teda ak poom: NEW T P new mc >pv : m p = V m nwe ( P ) pv E = m V = 2.2.3 CPPI s dynamicky meniacim sa muliplikáorom Pri meóde CPPI je nuné na začiaku explicine zadať muliplikáor. V prípade že je muliplikáor nasavený príliš vysoko porfólio je vo väčšej miere vysavené rhovému riziku a dochádza k výrazným priebežným zmenám pomeru porfólia medzi rizikovým a bezrizikovým akívom. Naopak ak je nasavený muliplikáor príliš nízko sraégia je len 5 74

veľmi málo vysavená rhovému riziku a nie je eda možné od sraégie očakávať vysoké výnosy. Alernaívou je dynamická modifikácia muliplikáopra ako funkcia rizikového paramera. Muliplikáor je nasavený v každom momene ak aby napríklad s určiou pravdepodobnosťou nemohlo na preddefinovanom horizone dôjsť k nesplneniu garancie. 3 Porovnanie sraégií Pri prakickej aplikácii porovnávame nasledovné sraégie Naivné porfólio rizikové a bezrizikové akívum 2 CPPI modifikácia muliplikáora ako funkcia rizikového paramera 3 CCPI 4 CPPI modifikácia minimálnej hranice floor Na základe hisorických denných dá od roku 2000 boli vyvorené ceny rizikového akíva a bezrizikovej invesície. Rizikové akívum je zložené z rovnakých váh indexov reprezenujúcich S&P 500, EUROSTOXX50, NIKKEI 225, Sredoeurópsky akciový index, Komodiný index EPRA, bezrizikovú invesíciu reprezenuje 3 mesačná depoziná úroková sadzba v eurách. Ako horizon bol sanovený 6 mesačný inerval. Ako garancia bola zvolená úroveň srau 6 %. To znamená, že na mesačnom horizone neprerobiť viac ako 6 %. Dôvodom akcepácie sray je zvolený kráky časový horizon. Cieľom ejo šúdie je analyzovať ako sa prejavia modifikácie meódy CPPI na výsledkoch (výnos, riziko),. Naivné porfólio uvádzame ako alernaívu saickej sraégie ypu buy and hold. 4.000% 2.000% m=4 mod. minimálna hranica =5 % Average reurn annually STDEV annually 0.000% 8.000% 6.000% 4.000% 2.000% 0.000% Naïve porfolio CPPI mod muliplier CPPI m=5 CPPI wih variable flor Graf č. Porovnanie výnosu a rizika vybraných sraégií Z ilusrácii na grafe č. možno vidieť, že explicine nasavený muliplikáor m=5 je príliš nízky na vygenerovanie vyšších výnosov. 6 75

0.6 0.5 Sharpe raio 0.4 0.3 0.2 0. 0-0. Naivné porfólio CPPI mod muliplier CPPI m=4 CPPI wih variable floor 5 % -0.2 Graf č.2 Porovnanie sraégií prosrednícvom - Sharpe raio Pri porovnaní koeficienu Sharpe raio (pozri graf.č.2), korý meria dodaočný výnos nad risk free rae voči šandardnej odchýlke vidíme, že ypická sraégia CPPI nedosiahla ani úroveň bezrizikovej invesície. 0.000% 9.000% Average reurn annually STDEV annually 8.000% 7.000% 6.000% 5.000% 4.000% 3.000% 2.000%.000% 0.000% CPPI m=4 CPPI m=6 CPPI m=8 CPPI m=0 CPPI m=5 Graf č.3 Zmena muliplikáora pri pôvodnej meóde CPPI a jej dopad na charakerisiky výnos, riziko Na grafe č.3 sa menil muliplikáor m s cieľom dosiahnuť charakerisiky modifikovaných sraégií. Z grafu je zrejmé, že muliplikáor m pri modifikovaných sraégiách nadobúdal hodnoy nad 0, avšak aj v akomo prípade nie sú charakerisiky zhodné s modifikovanými sraégiami. Sraégia pohyblivej minimálnej hranice ukazuje, že nemá na celkový performance (výnos, riziko) významný dodaočný vplyv. S časejším zvyšovaním minimálnej hranice klesá možný očakávaný výnos sraégie. Naopak dynamicky meniaci sa muliplikáor mal na celkovú výkonnosť sraégie významnejší vplyv. 7 76

7.20% 7.00% Average reurn annually STDEV annually 6.80% 6.60% 6.40% 6.20% 6.00% 5.80% CPPI wih variable floor 3 % CPPI wih variable floor 5 % CPPI wih variable floor 6 % CPPI wih variable floor 7 % Graf č.4 Zmena minimálnej hranice a jej dopad na charakerisiky výnos, riziko Z abuľky č. možno vidieť, že vplyv meniacej sa minimálnej hranice nemá významný vplyv na charakerisiky sraégie. Naopak zvolený nízky muliplikáor môže spôsobiť, že sraégia nedosiahne ani úroveň bezrizikovej invesície. Tabuľka č. porovnanie výnosu a rizika rôznych sraégii Average reurn annually STDEV annually Sharpe raio Naivné porfólio 7.40%.70% 0.360 CPPI mod muliplier 7.67% 8.0% 0.553 CPPI m=4 2.87% 3.86% -0.082 CPPI wih variable floor 5 % 6.67% 6.84% 0.509 Average reurn annually STDEV annually Sharpe raio CPPI m=4 2.87% 3.86% -0.082 CPPI m=6 4.2% 5.45% 0.7 CPPI m=8 5.4% 6.9% 0.32 CPPI m=0 6.6% 8.0% 0.37 CPPI m=5 7.39% 9.20% 0.456 Average reurn annually STDEV annually Sharpe raio CPPI wih variable floor 3 % 6.47% 6.22% 0.527 CPPI wih variable floor 5 % 6.67% 6.84% 0.509 CPPI wih variable floor 6 % 6.68% 6.97% 0.50 CPPI wih variable floor 7 % 6.83% 6.96% 0.523 8 77

Rizikový profil sraégii Doleuvedené grafy popisu zmeny v disribúcii výnosov rôznych sraégii. Z grafov možno vidieť, že na rozdiel od naivného porfólia garanované sraégie majú disribuované hodnoy výraznejšie vpravo (väčšie ako hodnoa 00) 300 Hisogram - Naivné porfólio vybraných definovaných sraégií CPPI s dynamickým muliplikáorom funkcia rizikového paramera 250 250 200 200 50 50 00 50 00 c 0 59 65 7 76 82 87 93 99 04 0 6 2 27 33 38 44 49 55 6 66 72 50 0 82 87 93 99 04 0 6 2 27 33 38 44 49 55 6 66 72 Hisogram CPPI CPPI s dynamickým muliplikáorom funkcia rizikového paramera pohyblivá minimálna hranica floor 600 300 500 250 400 200 300 50 c 200 00 00 50 0 87 93 99 04 0 6 2 27 33 38 44 49 55 6 66 72 0 82 87 93 99 04 0 6 2 27 33 38 44 49 55 6 66 72 Záver V príspevku boli prezenované hisorické simulácie vybraných sraégii, koré sú založené na meóde garancie porfólia - CPPI. Cieľom bolo porovnať pôvodnú meódu CPPI s jej modifikovanými verziami a analyzovať ich dopady na celkový vývoj porfólia. Pri analýze nikdy nenasala skuočnosť, že sraégia nesplnila svoj cieľ - minimálnu garanovanú hranicu. Dôvodom bol aj fak, že v sledovanom období ( deň) nenasala aká siuácia, v korej by hodnoa porfólia klesla pod minimálnu hranicu. Z príspevku možno konšaovať, že modifikácia CPPI, či už prosrednícvom dynamickej zmeny muliplikáora alebo meniacej sa minimálnej hranice, môže byť dobrým smerom k dosiahnuiu lepších výsledkov v porovnaním s klasickou meódou CPPI. Akokoľvek, základné kriérium nasavenia zosáva naďalej ovorené, a eda vždy bude exisovať radeoff medzi modifikáciami sraégie a jej výkonnosťou. 9 78

30.3.2006 30.6.2006 30.9.2006 30.2.2006 30.3.2007 30.6.2007 30.2.2005 30.9.2005 30.6.2005 30.3.2005 30.2.2002 30.3.2003 30.6.2003 30.9.2003 30.2.2003 30.3.2004 30.6.2004 30.9.2004 30.2.2004 30.9.2002 30.2.2000 30.3.200 30.6.200 30.9.200 30.2.200 30.3.2002 30.6.2002 30.9.2000 200 80 60 40 20 00 80 60 40 Naïve porfolio CPPI mod muliplier CPPI m=5 CPPI wih variable flor Value of variable floor Hisorická simulácia porfólií 0 79 30.6.2000

Použiá lieraúra. Boulier and Kannigani, 2003, Expeced performance and risk of various porfólio sraegies. acuaries.org (online). 2003. Dosupné na: hp://www.acuaries.org/afir/colloquia/brussels/boulier_kannigani.pdf 2. Monika Sameľová, 2007, Guaraned open-end muual funds. 2007. diplomovka.sk (online). Dosupné na: hp://diplomovka.sk/zdroj/332.pdf Konakné údaje Ing. Branislav Tuš Allianz-Slovenská dôchodková správcovská spoločnosť Račianska 42, 83 02 Braislava Tel: +42 905 207 984 email: usb@asdss.sk 80