Transcription

1 Ë Á ÆÌÁ Á ÁËËÍ Ë Â Æ Í ÇË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ ÁÆ ËÌÇ ÀÇÏ Å ÌÀ Å ÌÁ Ë Î ¾¼½¼

2 Ë ÒØ ØÓÖ ÙÖ Ý ÈÇÎËÌ ÆÃÇ ÈÖÓÓ Ö Ö ÍÖ ÞÙÐ Ê Ç ÇÏËà ÓÑÔÙØ Ö ÌÝÔ ØØ Ò Ò Å Ò ¹ÙÔ ÍÖ ÞÙÐ Ê Ç ÇÏËÃ Ö Ô Ð ÈÖÓ Ø Ó ÓÚ Ö Ë ÛÓÑ Ö Ë ÇÏËÃÁ ÁË Æ ¹ ¹ ¹½ ½¹ ÁËËÆ ½ ¹¼¾ ÓÔÝÖ Ø Ý ÈÙ Ð Ò ÀÓÙ Ó Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÈÙ Ð Ò ÀÓÙ Ó Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ùк Ï ÞÝÒ ØÓÒ» Ø Ðº ¼¹ µ ¹ ¹¾ Ü ¼¹ µ ¹ ¹½ ¹Ñ Ð ÛÝ ÛÒ ØÛÓ ºÞ غÔÐ ÛÛÛº ºÞ غÔÐ

3 ÈÊ Æ ÍÃÇÏ Ã ÅÁ Áź Â Æ Í ÇË Ï ËÌÇ ÀÇÏÁ Å Ì Å Ì Ã Î ¾¼½¼

4 Ê ØÓÖ Ò Ù ÓÛÝ ÙÖ Ý ÈÇÎËÌ ÆÃÇ ÃÓÖ ØÓÖ ÍÖ ÞÙÐ Ê Ç ÇÏËÃ Ë Ñ Ò ÍÖ ÞÙÐ Ê Ç ÇÏËà ÈÖÓ Ø Ö ÞÒÝ Ó Ë ÛÓÑ Ö Ë ÇÏËÃÁ ÁË Æ ¹ ¹ ¹½ ½¹ ÁËËÆ ½ ¹¼¾ ÓÔÝÖ Ø ÝÏÝ ÛÒ ØÛÓ Ñ Ñº Â Ò Ù Ó Þ Û Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÏÝ ÛÒ ØÛÓ Ñ Ñº Â Ò Ù Ó Þ Û Þ ØÓ ÓÛ Ùк Ï ÞÝÒ ØÓÒ» Ø Ðº ¼¹ µ ¹ ¹¾ Ü ¼¹ µ ¹ ¹½ º ¹Ñ Ð ÛÝ ÛÒ ØÛÓ ºÞ غÔÐ ÛÛÛº ºÞ غÔÐ

5 Ë Á ÆÌÁ Á ÁËËÍ Ë Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ ÇÆÌ ÆÌË È ÖØ Áº Å Ø Ñ Ø Ò ÁØ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ö ÒÒÝ Ä ÓÒ ÃÐ Ò Ö Ù Þº ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÚ Ö Ö Ò Ó ÓÖÑ Ð ÔÓÛ Ö Ö ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ÓÑ Ã Ø ÖÞÝÒ º Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÓÑÓ Ö Ô ØÝÔ ÙÒØ ÓÒ ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ¾ Ö ÊÓÑ Ò Â ÖÞ Û Â º Ê Ñ ÒÒ ÒØ Ö Ð ØÝ Ò ÕÙ ¹ÙÒ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ÖÒ Ò ØØ º Ì ÐÓ Ù Ð ØÓ ËÓ Ó ³ n Ú ÐÙ ÐÓ ººººººº ÖÝ Ð ÂÓ ÒÒ º ËÓÑ ÓÙÒØ Ò ÓÖÑÙÐ ÓÖ Ò Ø ØÖ ÙØ Ú Ð ØØ ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº  ÖÞ Û Â º ÇÒ ÓÒÒ Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÖ Ö Ô ºººººººº ½ Â Ö Ù ÙÒ Ì Ö Ø ÊÙØ Ò Ö ÙÐ Ì ÒÒ ÐÙ Ì ÓÒ Ù ÏÓÖ Ô Øº Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ÑÓÒÓ Ó ÑÓÒ ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÑÑÓÒ ÓÑÔÐ Ø Ô ÖØ Ø Ö Ô ºººººººººººººººººººººººººººººººº Þ ÖÓÛ Û Î ÞÚ ÖÝ Ò Þ º Ψ I ¹ Ò ØÝ ØÓÔÓÐÓ Ý ººººººººººººº Å Ø ÓÛ Â ÒÙ Þ Ç ÖÞ ÂÓÐ ÒØ º ÇÒ ÓÑ Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Ó Ë ÒÞ Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ººººººººººººººººººººººººººººº ½ Å Ø ÓÛ Â ÒÙ Þ ÏÖ Ð Å ÓÖÞ Ø º Ì ÓÙÒ ÐÓ Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ò Ø Ò Ô Ó À Ð Ö ÙÒØ ÓÒ ººººººººººººººººº ½ ÈÓÒÓÑ Ö Ú ËØ Ò Ð Úº ÒÓØ ÓÒ ËÁ¹ Ô Ò ÅÁ¹ Ô ºººººººººººº ÈÓÚ Ø Ò Ó ÙÖ Ýº Ü ÝÑÑ ØÖ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø Ù Ý ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ Ø Ñ ¹ Ö Ø ÓÒ Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ø ÓÒ Ò ÖÐ ººººººººººººººººººº ½¼

6 Ë Á ÆÌÁ Á ÁËËÍ Ë Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ È ÖØ ÁÁº ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Ù È Û ÃÙÖ ÓÛ Å ÖÓ Ûº ÇÒ ÓÑ Ô Ø ÓÒ Ð Ò Ù Ó ÖÝÔØÓ Ö Ô ÔÖÓØÓÓÐ ººººººººººººººººººººººººººººº ½¾½ Ë ÐÝ Ò ÒÓÚ Å Ðº ÅÓ ÙÐ Ö ÒÙÑ Ö Ý Ø Ñ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò º ½ ½ ËØÔ Ä º Î ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ô ÓÖ ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ð ÐÓ ººººººººººººººº ½ Ì ÓÒ Ò Ó ÇÐ º ÈÖÓ ÓÖ Ö Ò ÕÙ Ù Ò Ý Ø Ñ Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö ººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ÏÓõÒ ¹ËÞÞ Ò Ó Ò ÖÞ ÞÒÝ Ò ÖÞ º Ë Ì¹ Ö Ò ÓÖ k¹õù ¹ÓÔØ Ñ Ð ÖÙÒ Ò Û Ø Ø Ñ ÙØÓÑ Ø ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ÖÞ ÞÒÝ Ò ÖÞ º ÓÓÐ Ò ÒÓ Ò Ó Ö Ø Ñ Ø ÓÔ Ö Ø ÓÒ ºººº ½ Ì ÓÒ Ò Ó ÇÐ ÓÐ ÖØÙÖ ÓÛ Å Ö Òº Ò Ò Ù Ò Ó ÖÚ ÔÐ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ó Ò Ð ¹ ÖÚ Ö ÕÙ Ù Û Ø ÒÓÒ¹ ÓÑÓ Ò ÓÙ Ù ØÓÑ Ö ºººººººººººººººººººººººººººººººº ½ ½

7 È ÊÌ Á Å ÌÀ Å ÌÁ Ë Æ ÁÌË ÈÈÄÁ ÌÁÇÆË

8

9 Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø Î Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ ÁÆ ÇÅÈÇË Ä ÈÊÇ ÌÁÎ Ê ÈÊ Ë ÆÌ ÌÁÇÆË Ç ÁÊ Ì ÈÊÇ Í ÌË Ç ÁÆÁÌ ÊÇÍÈË ÇÎ Ê ÊÁÆ Ç ÇÊÅ Ä ÈÇÏ Ê Ë ÊÁ Ë Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø ÈÓÑ Ö Ò Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ë ÙÔ Ö Þ Û Ó ¾¾ ¹¾¼¼ Ë ÙÔ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð Ö ÒÒÝ Ô Ðº ÙºÔÐ Ð Ò Ô Ðº ÙºÔÐ ØÖ Øº Ä Ø F Ð Ó Ö Ø Ö Ø p>0 S = F [[X]] Ø Ö Ò Ó ÓÖÑ Ð ÔÓÛ Ö Ö Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø X Û Ø Ó ÒØ Ò Ø Ð F F Ø ÑÙÐØ ÔÐ ¹ Ø Ú ÖÓÙÔ Ó F G = G p B Ò Ø ÖÓÙÔ Û Ö G p p¹ ÖÓÙÔ Ò B p ¹ ÖÓÙÔº Ï Ú Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ G Ò F ÙÒ Ö Û Ø Ö Ü Ø Ó¹ ÝÐ λ Z 2 (G, F ) Ù Ø Ø Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó G Û Ø Ø ÓÝÐ λ Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ò ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó G p Ò Ò ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Bº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ä Ø F Ð Ó Ö Ø Ö Ø p>0 Ò G = G p B Û Ö G p ËÝÐÓÛ p¹ Ù ÖÓÙÔº Ð Ù Ò Ù ÝÚÓ ½¼ ½½ ÔÖÓÚ Ø Ø Ú ÖÝ Ò Ø ÐÝ Ò¹ Ö Ø FG¹ÑÓ ÙÐ Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ V #W Ó Ò Ò ÓÑÔÓ Ð FG p ¹ÑÓ ÙÐ V Ò Ò ÖÖ Ù Ð FB¹ÑÓ ÙÐ W Ò ÓÒÐÝ Ø Ö G p ÝÐ ÓÖ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Bº Ù ÝÚÓ ½¾ ½ Ð Ó ÒÚ Ø Ø Ñ¹ Ð Ö ÔÖÓ Ð Ñ ÓÖ ÖÓÙÔ Ö Ò KG Û Ö K ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ò º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÖÓÚ Ø Ø K Ó Ö Ø Ö Ø p>0 Ò T Ø ÕÙÓØ ÒØ Ð Ó K Ø Ò Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð KG¹ÑÓ ÙÐ Ó Ø ÓÖÑ V #W Ò ÓÒÐÝ Ø Ö G p =2ÓÖ T ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Bº ÁÒ Ø Ô Ô Ö ¾ Ø Ö ÙÐØ Ó Ð Ù Ò Ù ÝÚÓ Û Ö Ò Ö Ð Þ ØÓ Ø ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò S λ G Û Ö G = G p B S = F ÓÖ S ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ò Ó Ö Ø Ö Ø p>0º

10 ½¼ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û ÓÒØ ÒÙ Ø ØÙ Ý Ó Ò ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ó G = G p B ÓÚ Ö Ø Ö Ò S = F [[X]] ÙÒ Ò ¾ º Ä Ø Ù ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ò Ö ÙÐØ Ó Ø Ô Ô Öº Ï ÙÑ Ø Ø F Ð Ó Ö Ø Ö Ø p>0 S Ø ÙÒ Ø ÖÓÙÔ Ó S G p 1 B 1 Ò G p ÒÓÒ¹ Ð Ò Ø Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B Ù Ø Ø p (q 1)º Ú Ò ÓÝÐ λ: G G S Ò Z 2 (G, S ) Û ÒÓØ Ý S λ G Ø ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó Ø ÖÓÙÔ G ÓÚ Ö Ø Ö Ò S Û Ø Ø 2¹ÓÝÐ λº Ý Ò S λ G¹ÑÓ ÙÐ Û Ñ Ò Ò Ø ÐÝ Ò Ö Ø Ð Ø S λ G¹ÑÓ ÙÐ Û S¹ Ö º Ú Ò µ Z 2 (G p,s ) Ø ÖÒ Ð Ker(µ) Ó µ Ø ÙÒ ÓÒ Ó ÐÐ ÝÐ Ù ÖÓÙÔ g Ó G p Ù Ø Ø Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó µ ØÓ g g Ó ÓÙÒ Öݺ Ï Ö ÐÐ ÖÓÑ Ôº ¾ Ø Ø G p Ker(µ) Ker(µ) ÒÓÖÑ Ð Ù ÖÓÙÔ Ó G p Ò Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó µ ØÓ Ker(µ) Ker(µ) Ó ÓÙÒ ÖÝ Ð Ó Ôº ½ ÓÖ ÑÔÐ ÔÖÓÓ µº ÍÔ ØÓ Ó ÓÑÓÐÓ Ý Ò Z 2 (G p,s ) Û Ú µ g,a = µ a,g =1 ÓÖ ÐÐ g G p Ò a Ker(µ)º ÁÒ Û Ø ÓÐÐÓÛ Û ÙÑ Ø Ø Ú ÖÝ ÓÝÐ µ Z 2 (G p,s ) ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒº Á H Ù ÖÓÙÔ Ó G Ø Ò Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó λ Z 2 (G, S ) ØÓ H H Û ÐÐ Ð Ó ÒÓØ Ý λº ÁÒ Ø S λ H Ù Ö Ò Ó S λ Gº ÖÓÙÔ G Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ø ÓÑÔÓ ÒØÓ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ØÛÓ ÓÑÓÖÔ ÖÓÙÔ º ÒÓØ { t [F : F i(f )= p ]=p t, [F : F p ]=. Ä Ø G = G p B µ Z 2 (G p,s ) Ò ν Z 2 (B,S )º µ ν : G G S Ò Ý Ì Ò Ø Ñ Ô (µ ν) x1 b 1,x 2 b 2 = µ x1,x 2 ν b1,b 2 ÓÖ ÐÐ x 1,x 2 G p b 1,b 2 B ÐÓÒ ØÓ Z 2 (G, S )º Ú ÖÝ ÓÝÐ λ Z 2 (G, S ) Ó ÓÑÓÐÓ ÓÙ ØÓ µ ν Û Ö µ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó λ ØÓ G p G p Ò ν Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó λ ØÓ B Bº ÖÓÑ ÒÓÛ ÓÒ Û ÙÔÔÓ Ø Ø ÓÝÐ λ Z 2 (G, S ) ÙÒ Ö ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÒ λ = µ νº ÓÖ ÒÝ λ = µ ν Z 2 (G, S ) Û Ú S λ G = S µ G p S S ν Bº Á Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ ÓÑÓÖÔ ØÓ Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ V #W Û Ö V Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S µ G p ¹ÑÓ ÙÐ Ò W Ò ÖÖ Ù Ð S ν B¹ ÑÓ ÙÐ Ø Ò Û Û ÐÐ Ý Ø Ø Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ä Ø Ω Ù ÖÓÙÔ Ó S º Ï Ý Ø Ø ÖÓÙÔ G = G p B Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, Ω)¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ø Ö Ü Ø ÓÝÐ λ Z 2 (G, Ω) Ù Ø Ø Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÖÓÙÔ G = G p B Ò ØÓ Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, Ω)¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ ÓÖ ÒÝ λ Z 2 (G, Ω)º Á Ω=S Ø Ò Ò Ø Ó (S, Ω)¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Û ÛÖ Ø S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º

11 ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½½ ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û Ö Ø Ö Þ ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ä Ø G = G p B µ Z 2 (G p,s ) ν Z 2 (B,S ) λ = µ ν Ò H =Ker(µ)º ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ½ Û ÔÖÓÚ Ø Ø H > 2 Ø Ò Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø F ¹ Ð Ö S ν B/XS ν Bº ÙÑ Ø Ø G p 2 µ Z 2 (G p,f ) ν Z 2 (B,S ) Ò λ = µ νº ÁÒ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Û ÓÛ Ø Ø S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ F µ G p Ð µ p =2 G 2 =1 Ò 2dim F (F µ G 2 / rad F µ G 2 )= G 2 µ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø F ¹ Ð Ö S ν B/XS ν Bº ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ØÙ Ý Ø ÖÓÙÔ Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ä Ø G = G p B G p 2 Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p /G pº ÁÒ Ì ÓÖ Ñ ¾ Û ÔÖÓÚ Ø Ø G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ G p =1 Ò s i(f ) µ p = 2 G 2 = 1 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F σ B ÓÖ ÓÑ σ Z 2 (B,F )º Ä Ø G = G p B Ò Ð Ò ÖÓÙÔ Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p º ÁÒ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Û Ø Ð Ø Ø G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ s i(f ) µ p =2 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ B Ù ÖÓÙÔ H Ù Ø Ø B/H Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú m th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö m =max{exp(b/h), exp H}º ÁÒ Ë Ø ÓÒ 5 Û ÓÛ Ò Ì ÓÖ Ñ Ø Ø G = G p B Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ G p =2ÓÖ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÒÝ F ν Bº ÓÖÓÐÐ ÖÝ ØÓ Ì ÓÖ Ñ ÖØ Ø Ø G Ò ÐÔÓØ ÒØ ÖÓÙÔ Ø Ò G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ G p =2 µ F = F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B º ¾º ÈÖ Ð Ñ Ò Ö Ì ÖÓÙ ÓÙØ Ø Ô Ô Ö Û Ù Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ p 2 ÔÖ Ñ F Ð Ó Ö Ø Ö Ø p>0 S = F [[X]] Ø Ö Ò Ó ÓÖÑ Ð ÔÓÛ Ö Ö Ò Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø X Û Ø Ó ÒØ Ò Ø Ð F P = XS ÙÒ ÕÙ Ñ Ü Ñ Ð Ð Ó S F Ø ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÖÓÙÔ Ó F F q = {α q : α F } S Ø ÙÒ Ø ÖÓÙÔ Ó S G = G p B Ò Ø ÖÓÙÔ Û Ö G p p¹ ÖÓÙÔ Ò B p ¹ ÖÓÙÔ H Ø ÓÑÑÙØ ÒØ Ó ÖÓÙÔ H e Ø ÒØ ØÝ

12 ½¾ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò Ð Ñ ÒØ Ó H h Ø ÓÖ Ö Ó h H soc A Ø ÓÐ Ó Ò Ð Ò ÖÓÙÔ A Ò exp A Ø ÜÔÓÒ ÒØ Ó Aº Ï ÙÔÔÓ Ø Ø G p > 1 Ò B > 1º Ú Ò Ù ÖÓÙÔ Ω Ó S Û ÒÓØ Ý Z 2 (H, Ω) Ø ÖÓÙÔ Ó ÐÐ Ω¹Ú ÐÙ ÒÓÖÑ Ð Þ 2¹ÓÝÐ Ó Ø ÖÓÙÔ H Û Ö Û ÙÑ Ø Ø H Ø ØÖ Ú ÐÐÝ ÓÒ Ωº Ò S¹ {u h : h H} Ó S λ H Ø Ý Ò u a u b = λ a,b u ab ÓÖ ÐÐ a, b H ÐÐ Ò ØÙÖ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÓ λ Z 2 (H, S )µº Ú Ò Ò S λ H¹ÑÓ ÙÐ V Û ÛÖ Ø End S λ H(V ) ÓÖ Ø Ö Ò Ó ÐÐ S λ H¹ Ò ÓÑÓÖÔ Ñ Ó V rad End S λ H(V ) ÓÖ Ø Â Ó ÓÒ Ö Ð Ó End S λ H(V ) Ò End S λ H(V ) ÓÖ Ø ÕÙÓØ ÒØ Ö Ò End S λ H(V )/ rad End S λ H(V ). ÅÓÖ ÓÚ Ö Û ÒÓØ Ý S λ H Ø F ¹ Ð Ö S λ H/XS λ H Ò Ý Ṽ Ø ØÓÖ ÑÓ ÙÐ V/XVº Ú Ò λ Z 2 (H, F ) F λ H ÒÓØ Ø ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ð Ö Ó H ÓÚ Ö F Ò F λ H Ø ÕÙÓØ ÒØ Ð Ö Ó F λ H Ý Ø Ö Ð rad F λ Hº Ï ÒØ Ý Ò Ð Ñ ÒØ a+p a F Ó Ø Ð S = S/P Û Ø Ø Ð Ñ ÒØ aº Ä ÑÑ ½º Ôº½¾ Ä Ø H Ò Ø ÖÓÙÔ λ Z 2 (H, S ) Ò V Ò S λ H¹ ÑÓ ÙÐ º Ì Ò V Ò ÓÑÔÓ Ð Ò ÓÒÐÝ End S λ H(V ) Û Ð º Ä ÑÑ ¾º Ä Ø H Ò Ø p¹ ÖÓÙÔ D Ù ÖÓÙÔ Ó H λ Z 2 (H, S ) Ò M Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ D¹ÑÓ ÙÐ º ÙÑ Ø Ø End S λ D(M) ÓÑÓÖÔ ØÓ Ð K K F Ò ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ H Ð Ò µ [s(k) :F ] ÒÓØ Ú Ð Ý p Û Ö s(k) Ø Ô Ö Ð ÐÓ ÙÖ Ó F Ò Kº Ì Ò M H := S λ H S λ D M Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ H¹ÑÓ ÙÐ Ò End S λ H(M H ) ÓÑÓÖÔ ØÓ Ð Ø Ø Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð Kº Ì ÔÖÓÓ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ø Ó Ä ÑÑ ¾º¾ ¾ Ôº ¼ º ÁØ Ù Ø Ñ Ò Ì ÓÖ Ñ Ó º Ä ÑÑ º Ä Ø K Ò Ø Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð F Ò H Ò Ø p¹ ÖÓÙÔº Á H > 2 Ø Ò Ø Ö Ü Ø Ò Ò ÓÑÔÓ Ð SH¹ÑÓ ÙÐ V Ù Ø Ø End SH (V ) ÓÑÓÖÔ ØÓ Kº È ÖÓÓ º Ä Ø K = F (θ) f(t) Ø ÑÓÒ Ñ Ò Ñ Ð ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ó θ ÓÚ Ö F Ò Γ Ø ÓÑÔ Ò ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ó f(t)º ÙÑ Ø Ø Ø Ö H ÝÐ Ó ÓÖ Ö

13 ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½ H > 2 ÓÖ H ÖÓÙÔ Ó ØÝÔ (2, 2)º Ä Ø H = a Ò V Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò SH¹ÑÓ ÙÐ Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ E XE Γ a 0 E XE 0 0 E Ó H Û Ö E Ø ÒØ ØÝ Ñ ØÖ Ü Ó ÓÖ Ö n = degf(t)º Ì Ò Ý ½ ÔÔº ¼ ½ End SH (V ) = Kº Á H = a b ÖÓÙÔ Ó ØÝÔ (2, 2) Ø Ò V Û Ø Ø ÙÒ ÖÐÝ Ò SH¹ÑÓ ÙÐ Ó Ø Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ a ( E E 0 E ), b Ý ½ Ôº ½ Û Ú End SH (V ) = Kº ( E Γ 0 E Ä ÑÑ º Ä Ø p =2 [F : F 2 ]=2 H 2¹ ÖÓÙÔ Ù Ø Ø H 8 Ò H =2º ÙÑ Ð Ó Ø Ø K Ò Ø Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð F Ò [K : F ] ÒÓØ Ú Ð Ý 2º Ì Ò ÓÖ ÒÝ λ Z 2 (H, F ) Ø Ö Ü Ø Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ H¹ÑÓ ÙÐ V Ù Ø Ø End S λ H(V ) ÓÑÓÖÔ ØÓ Ð Ø Ø Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð Kº È Ö ÓÓ º Ä Ø H = c s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó Ø Ð Ò ÖÓÙÔ H/H D Ø Ù ÖÓÙÔ Ó H Ù Ø Ø H D Ò D/H =soc(h/h )º Ï Ú S λ D/S λ D(u c u e ) = S λ D, Û Ö D = D/H Ò λ xh,yh = λ x,y ÓÖ ÐÐ x, y Dº ÙÑ s>2º Ë Ò i(f )=1 F λ D = F λ D1 F F D 2, Û Ö D = D 1 D 2 Ò D 2 4º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø S λ D = S λ D1 S S D 2 º Ý Ä ÑÑ ¾ Ò Ø Ö Ü Ø Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ D¹ÑÓ ÙÐ V Ù Ø Ø End S λ D(V ) Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð Kº Ì ÑÓ ÙÐ V Ð Ó Ò S λ D¹ÑÓ ÙÐ º ÁÒ Ú Û Ó Ä ÑÑ ¾ V H Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ H¹ÑÓ ÙÐ Ò End S λ H(V H ) Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Kº ÆÓÛ Û ÓÒ Ö Ø s =2º Ë Ò H > 8 Ø Ò D Ð Òº Ä Ø D = a b Û Ö a 2 = c Ò b 2 = eº Ì Ò S λ D = i,j,k Su i au j b uk c, ).

14 ½ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò Û Ö u 2 a = αu c, u 2 b = βu e, u 2 c = u e Ò α, β F º Á α F 2 Ø Ò S[u a ] Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó Ø ÖÓÙÔ a ÓÚ Ö Ø Ö Ò Sº Á β F 2 Ø Ò S λ D ÓÒØ Ò Ø ÖÓÙÔ Ö Ò SQ Û Ö Q = c b º ÙÑ Ø Ø α F 2 Ò β F 2 º Ë Ò i(f )=1 α 1 = δ0 2 + δ2 1β ÓÖ ÓÑ δ 0,δ 1 F º Ä Ø v = u a (δ 0 u e + δ 1 u b )º Ì Ò v 2 = αu c α 1 u e = u c º Á D = a b c Ó ØÝÔ (2, 2, 2) Ø Ò S λ D ÓÒØ Ò SQ Û Ö Q ÖÓÙÔ Ó ØÝÔ (2, 2)º ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ ¾ Ò Û Ò Ø ÔÖÓÓ º Ä ÑÑ º Ä Ø G = G p B Ò λ Z 2 (G, S )º Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÙØ Ö Ø Ò ÓÖ ÔÖÓ ÙØ Ó ÒÝ Ò Óѹ ÔÓ Ð S λ G p ¹ÑÓ ÙÐ Ò ÒÝ ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ º Ì ÔÖÓÓ Ñ Ð Ö ØÓ Ø Ø Ó Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ø ÓÖ ÖÓÙÔ Ö Ò Ôº ½ ½ Ôº µº Ä Ø B Ò Ø p ¹ ÖÓÙÔ Ò λ Z 2 (B,S )º Ï ÒÓØ Ý S λ B Ø F ¹ Ð Ö S λ B/XS λ Bº ÓÖ y S λ B Ð Øỹ ÒÓØ y + XS λ Bº Ì F ¹ Ð Ö S λ B Ô Ö Ð º Ý Ì ÓÖ Ñ º Ôº ½¾ S λ B = S λ Bε 1... S λ Bε n ÓÑÔÓ Ø ÓÒ ÒØÓ Ñ Ò Ñ Ð Ð Ø Ð Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÓÑÔÓ Ø ÓÒ S λ B = S λ Be 1... S λ Be n, Û Ö ε i Ò ÑÔÓØ ÒØ Ó Sλ B e i Ò ÑÔÓØ ÒØ Ó S λ B Ò ẽ i = ε i ÓÖ Ú ÖÝ i {1,...,n}º Ð S λ Be i Ò ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ º Ý Ì ÓÖ Ñ º Ôº ¾ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Ôº ÒÝ ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ ÓÑÓÖÔ ØÓ S λ Be j ÓÖ ÓÑ j {1,...,n}º ÅÓÖ ÓÚ Ö Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾¾ Ôº ½½¾ Ò Ì ÓÖ Ñ º Ôº ¾ End S λ B S λ Be j = EndS λ B S λ Be j /X End S λ B S λ Be j = End Sλ B S λ Bε j. Ä ÑÑ º Ä Ø G = G p B Ò λ Z 2 (G, S )º Á V Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G p ¹ÑÓ ÙÐ Ò W Ò ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ Ø Ò End S λ G(V #W ) = End S λ G p (V ) F End S λ B(W ).

15 ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½ ÈÖÓÓ º Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º ½ Ôº ¾ End S λ G(V #W ) = End S λ G p (V ) S End S λ B(W ). ÔÔÐÝ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ôº Û Ó Ø Ò End S λ G(V #W ) ( ) = End S λ G p (V ) F End S λ B(W ) /R, Û Ö R := rad ( End S λ G(V ) F End S λ B(W ) ) º Ë Ò End S λ B(W ) Ô ¹ Ö Ð F ¹ Ð Ö Ø Ò End S λ G p (V ) F End S λ B (W ) Ñ ÑÔÐ Ð Ö º À Ò R =0 Ò Ø Ö ÙÐØ ÓÐÐÓÛ º Ä ÑÑ º Ä Ø G = G p B Ò λ Z 2 (G, S )º Á F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö S λ B Ø ÒS λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÈÖÓÓ ºÄ Ø W Ò ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ º Ì Ò End S λ B W = End Sλ B W = F, Û Ö W = W/XWº Ý Ä ÑÑ ½ Ò V #W Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ ÑÓ ÙÐ ÓÖ Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G p ¹ÑÓ ÙÐ V º Ý Ä ÑÑ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ä ÑÑ º Ä Ø B Ò Ø p ¹ ÖÓÙÔº ÙÑ Ø Ø F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B Ù Ø Ø p (q 1)º Ì Ò ÓÖ ÒÝ F ¹ Ð Ö S λ B Ø Ö Ü Ø ÔÐ ØØ Ò Ð K Ù Ø Ø [K : F ] ÒÓØ Ú Ð Ý pº ÈÖÓÓ ºË ¾ Ôº º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º Ä Ø S = F [[X]] T Ø ÕÙÓØ ÒØ Ð Ó S B Ò Ø p ¹ ÖÓÙÔ Ò λ Z 2 (B,S )º Ì Ð T ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö T λ B Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø F ¹ Ð Ö S λ Bº È Ö Ó Ó º ÙÑ Ø Ø T ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ T λ Bº ÒÓØ Ý W Ò ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ º Ë Ò T S W Ò ÓÐÙØ ÐÝ ÖÖ Ù Ð T λ B¹ ÑÓ ÙÐ Ý Ë ÙÖ³ Ä ÑÑ End S λ B(W ) = Sº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø À Ò F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S λ Bº End Sλ B ( W ) = F. (1)

16 ½ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÆÓÛ ÙÔÔÓ Ø Ø F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S λ B = S λ B/XS λ Bº Ì Ò Ø Ö Ü Ø Ò ÓÑÓÖÔ Ñ ½µ ÓÖ ÒÝ ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ W º ÁØ Óй ÐÓÛ Ý Ì ÓÖ Ñ º Ôº ¾ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Ôº Ø Ø End S λ B(W ) = S Ø Ö ÓÖ End T λ B(T S W ) = T º À Ò T ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ T λ Bº º ÌÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ ÁÒ Ø Ë Ø ÓÒ S = F [[X]] Ò G = G p B Û Ö G p ËÝÐÓÛ p¹ Ù ÖÓÙÔ Ó G G p 1 Ò B 1º Ï ÙÑ Ø Ø G p ÒÓÒ¹ Ð Ò Ø Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B Ù Ø Ø p (q 1)º Ì ÓÖ Ñ ½º Ä Ø G = G p B µ Z 2 (G p,s ) ν Z 2 (B,S ) λ = µ ν Ò H =Ker(µ)º ÙÑ Ø Ø H > 2º Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº ÈÖÓÓ ºÁ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν B Ø Ò Ý Ä ÑÑ Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÙÑ ÒÓÛ Ø Ø F ÒÓØ ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº Ì Ö Ü Ø Ò ÖÖ ¹ Ù Ð S ν B¹ÑÓ ÙÐ W Ù Ø Ø D := End S λ B(W ) Ú ÓÒ F ¹ Ð Ö Ó Ñ Ò ÓÒ Ö Ø Ö Ø Ò ÓÒ º Ý Ôº ¾ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó µ ØÓ H H Ó ÓÙÒ ÖÝ Ò G p Hº ËÙÔÔÓ Ø Ø G p ÒÓÒ¹ Ð Òº Ì Ò Ý Ä ÑÑ Ø Ö Ü Ø ÔÐ ØØ Ò Ð K ÓÖ S ν B Û Ò Ø Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð F Ò Ø [K : F ] 0(mod p)º ÁÒ Ú Û Ó Ä ÑÑ Ø Ö Ò Ò ÓÑÔÓ Ð SH¹ÑÓ ÙÐ M Ù Ø Ø End SH (M) ÓÑÓÖÔ ØÓ Kº ÓÖ Ò ØÓ Ä ÑÑ ¾ Û ÓÒÐÙ Ø Ø M Gp Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S µ G p ¹ÑÓ ÙÐ Ò End S µ G p (M Gp ) ÓÑÓÖÔ ØÓ Ð L Ø Ø Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Ø Ð Kº Ë Ò L ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ D L F D ÒÓØ Û Ð º À Ò Ý Ä ÑÑ ½ Ò M Gp #W ÒÓØ Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ º ÁÒ Ú Û Ó Ä ÑÑ S λ G ÒÓØ Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ì Û Ò G p Ð Ò ØÖ Ø Ñ Ð ÖÐݺ ÓÖÓÐÐ Öݺ ¾ Ôº Ä Ø G = G p B G p > 2 Ò λ Z2 (G, S )º Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S λ Bº È Ö Ó Ó º Ä Ø µ Ø Ö ØÖ Ø ÓÒ Ó λ ØÓ G p G p º Ë Ò G p Ú Ker(µ) > 2º Æ ÜØ ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ½º Ker(µ) Û

17 ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º Ä Ø B Ò ÐÔÓØ ÒØ p ¹ ÖÓÙÔº µ Á Ø Ð F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÓÑ ÔÖ Ñ q B Ø Ò F ÒÓØ ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ð Ö F λ Bº µ Ì Ð F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÐÐ ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ð Ö F λ B Ò ÓÒÐÝ F = F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ ÔÖ Ñ q B º ÈÖÓÓ º µ ÙÑ Ø Ø F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÓÑ ÔÖ Ñ q B º Ì ÒØ Ö Ó ËÝÐÓÛ q¹ Ù ÖÓÙÔ B q Ó B ÓÒØ Ò Ò Ð Ñ ÒØ b Ó ÓÖ Ö qº Á {u g : g B} Ò ØÙÖ Ð F ¹ Ó Ø Ð Ö F λ B Ø Ò u b Ð Ò Ø ÒØ Ö Ó F λ Bº Ä Ø u q b = γu e γ F Ò Ð Ø F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö F λ Bº ÒÓØ Ý f 1,...,f m ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Ñ Ó Ñ Ò Ñ Ð Ô ÖÛ ÓÖØ Ó ÓÒ Ð ÒØÖ Ð ÑÔÓØ ÒØ Ó F λ Bº Ï Ú u b = β 1 f β m f m Û Ö β j F ÓÖ ÒÝ j {1,...,m}º Ì Ò γ = β q j ÓÖ Ú ÖÝ jº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø β 1 =...= β m Ò u b = β 1 u e º Ì ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÔÖÓÚ Ø Ø F ÒÓØ ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö F λ Bº µ ËÙÔÔÓ Ø Ø F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F λ B ÓÖ λ Z 2 (B,F )º Ì Ò Ú ÖÝ ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú F ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÖÓÙÔ B Ó¹ ÐÙØ ÐÝ ÖÖ Ù Ð º Ä Ø q ÔÖ Ñ Ú ÓÖ Ó B º Ì Ö Ü Ø ÒÓÖÑ Ð Ù ÖÓÙÔ D Ó B Ù Ø Ø B/D = qº ÒÓØ Ý π : B B/D Ø ÒÓÒ ¹ Ð ÖÓÙÔ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ò Ý V Ò Ø ¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ú ØÓÖ Ô ÓÚ Ö F º Á Γ: B/D GL(V ) Ò ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú F ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó B/D ÓÒ V Ø Ò Γ:= Γ π Ò ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú F ¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó B ÓÒ Ø Ô V Ò D Ker(Γ)º ÙÑ Ø Ø B/D = bd Ò Γ(bD) q = γ id V γ F º Ë Ò Ú ÖÝ Γ ÓÐÙØ ÐÝ ÖÖ Ù Ð γ F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1º ÙÑ ÒÓÛ Ø Ø Ø Ð F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 Ò F = F q ÓÖ ÔÖ Ñ q B º Ä Ø λ Z 2 (B,F )º Ì Ò F λ B = F µ B Û Ö µ B x,y =1 ÓÖ ÐÐ x, y Bº Ì Ö Ü Ø Ò F ¹ Ð Ö ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ó FH ÓÒØÓ F µ B Û Ö H ÒØÖ Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó ÝÐ ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö B Ý Ø ÖÓÙÔ Bº Ë Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú H th ÖÓÓØ Ó 1 Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ ¼º¾ Ôº F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ FHº À Ò F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F λ B ÓÖ λ Z 2 (B,F )º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø G = G p B G p 2 µ Z 2 (G p,f ) ν Z 2 (B,S ) Ò λ = µ νº Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ F µ G p Ð µ p =2 G 2 =1 Ò 2dim F F µ G 2 = G 2 µ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø F ¹ Ð Ö S ν Bº

18 ½ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÈÖÓÓ º Á G p > 2 Ø Ò Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ ØÓ Ì ÓÖ Ñ ½ Ø Ö Ò Sλ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº Ä Ø G p =1 Ò K = F µ G p º Á K Ð Ø Ò S µ G p = K[[X]] ÔÖ Ò Ô Ð Ð Ö Ò º Ú ÖÝ Ò ÓÑÔÓ Ð S µ G p ¹ÑÓ ÙÐ ÓÑÓÖÔ ØÓ S µ G p º Ï Ú End S µ G p (S µ G p ) = S µ G p /XS µ G p = K. Ì Ð K Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó F º Ä Ø W Ò ÖÖ ¹ Ù Ð S ν B¹ÑÓ ÙÐ Ò D := End S ν B(W )º Ì Ò D = End Sν B ( W )º Ë Ò S ν B Ô Ö Ð Ð Ö Ø ÒØ Ö Ó Ø Ú ÓÒ F ¹ Ð Ö D Ô ¹ Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó F Ôº º Ì Ò Ü Ó D ÒÓØ Ú Ð Ý p ½ º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø K F D Û Ð º ÔÔÐÝ Ò Ä ÑÑ ½ Ò Û ÓÒÐÙ Ø Ø S µ G p #W Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ º À Ò Ý Ä ÑÑ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÙÑ Ø Ø p>2 Ò K ÒÓØ Ð º Ä Ø H Ø ÓÐ Ó G p º Ï Ú F µ H = F µ H 1 F FH 2 Û Ö H 2 pº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø S µ H = S µ H 1 S SH 2 º Ý Ä ÑÑ ¾ Ò ÓÖ ÒÝ Ò Ø Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ L Ó Ø Ð F Ø Ö Ü Ø Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S µ G p ¹ÑÓ ÙÐ V Ù Ø Ø End S µ G p (V ) Ò Ø ÔÙÖ ÐÝ Ò Ô Ö Ð ÜØ Ò ÓÒ Ó Lº Ö Ù Ò Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Û ÓÒÐÙ Ø Ø S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö S ν Bº ËÙÔÔÓ Ø Ø p =2 Ò K ÒÓØ Ð º Á 4dim F F µ G 2 G 2 Ø Ò Ò Ø p>2 Û ÔÖÓÚ Ø Ø S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö S ν Bº Á 2dim F F µ G 2 = G 2 Ø Ò Ý Ì ÓÖ Ñ º¾ ¾ Ôº ¾ Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÓÖÓÐÐ Öݺ Ä Ø G p Ò Ð Ò p¹ ÖÓÙÔ B Ò ÐÔÓØ ÒØ p ¹ ÖÓÙÔ G = G p B µ Z 2 (G p,f ) ν Z 2 (B,S ) Ò λ = µ νº ÙÑ Ø Ø Ø Ð F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÓÑ ÔÖ Ñ q B º Ì Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ F µ G p Ð µ p =2 Ò 2dim F F µ G 2 = G 2 º ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ò º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø p =2 G = G 2 B µ Z 2 (G 2,F ) ν Z 2 (B,S ) Ò λ = µ νº ÙÑ Ø Ø G 2 8 G 2 =2 Ò [F : F 2 ] 2º Ì Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº È Ö Ó Ó º Á F Ô Ö Ø Ð Ø Ò µ Ó ÓÙÒ ÖÝ ½ Ôº º ÁÒ Ø S µ G 2 Ø ÖÓÙÔ Ö Ò SG 2 º Ë Ò G 2 > 8 Ý Ì ÓÖ Ñ ½ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº ÙÑ

19 ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ½ ÒÓÛ Ø Ø [F : F 2 ]=2º Ö Ù Ò Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ ½ Û Ù Ý Ä ÑÑ ½ Ò Ø Ø S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S ν Bº º ÖÓÙÔ Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ï Ö ÐÐ ÖÓÑ Ôº ¾¼¼ Ø Ø i(f ) Ø ÙÔÖ ÑÙÑ Ó Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ø Ó 0 Ò ÐÐ ÔÓ Ø Ú ÒØ Ö m Ù Ø Ø Ò F ¹ Ð Ö Ó Ø ÓÖÑ Ð ÓÖ ÓÑ α 1,...,α m Kº F [t]/(t p α 1 ) F... F F [t]/(t p α m ) Ì ÓÖ Ñ ¾º Ä Ø G = G p B G p 2 Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p /G pº Ì ÖÓÙÔ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ G p =1 Ò s i(f ) µ p = 2 G 2 =1 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F σ B ÓÖ ÓÑ σ Z 2 (B,F )º ÈÖÓÓ ºÄ Ø p =2 Ò G 2 Ð Òº Á s i(f )+2 Ø Ò 4dim F F λ G 2 G 2 ÓÖ ÒÝ λ Z 2 (G 2,F )º ÁÒ Ø Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ¹ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÒ Ø ÓÒ µ Ø º ÙÑ Ø Ø s = i(f )+1º Á G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 Ø Ò Ø Ö Ü Ø ÓÝÐ λ Z 2 (G 2,F ) Ù Ø Ø 2dim F F λ G 2 = G 2 º À Ò Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ËÙÔ¹ ÔÓ Ø Ø Ú ÖÝ ÒÚ Ö ÒØ Ó G 2 Ö Ø Ö Ø Ò 2º Ì Ò 4dim F F λ G 2 G 2 ÓÖ λ Z 2 (G 2,F )º Ý ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÒ Ø ÓÒ µ Ø º Ä Ø p 2 Ò G p Ð Òº Ì Ö Ü Ø ÓÝÐ µ Z 2 (G p,f ) Ù Ø Ø F µ G p Ð Ò ÓÒÐÝ s i(f )º ÓÖ ÒÝ ν Z 2 (B,F ) Û Ú S ν B = F ν Bº ÔÔÐÝ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ Û Ò Ø ÔÖÓÓ º ÓÖÓÐÐ Öݺ Ä Ø G p Ò Ð Ò p¹ ÖÓÙÔ s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p B Ò ÐÔÓØ ÒØ p ¹ ÖÓÙÔ Ò G = G p Bº ÙÑ Ø Ø Ø Ð F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÓÑ ÔÖ Ñ q B º Ì ÖÓÙÔ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ s i(f ) µ p =2 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2º ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º

20 ¾¼ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò Ä ÑÑ º Ä Ø B Ò Ð Ò p ¹ ÖÓÙÔº Ì Ð F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÓÑ Ð Ö F λ B Ò ÓÒÐÝ B Ù ÖÓÙÔ H Ù Ø Ø B/H Ó Ýѹ Ñ ØÖ ØÝÔ Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú m th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö m =max{exp(b/h), exp H}º ÈÖÓÓ ºÄ Ø λ Z 2 (B,F ) {u b : b B} Ò ØÙÖ Ð F ¹ Ó Ø Ð Ö F λ B Z Ø ÒØ Ö Ó F λ B Ò H = {g B : u g Z}º Ì Ò H Ù ÖÓÙÔ Ó B Ò Z = F λ Hº Ì Ð Ö F λ B Ñ Ý Ú Û ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó Ø ÖÓÙÔ B := B/H ÓÚ Ö Ø Ö Ò Zº Ý Ä ÑÑ ½ Ôº F λ B = Z λ B = Z λn 1 Z... Z Z λn r, Û Ö N i ÖÓÙÔ Ó ØÝÔ (q n i i,q n i i ) q i ÔÖ Ñ Ú ÓÖ Ó B Ò Z λn i ÒØÖ Ð Z¹ Ð Ö ÑÓÖ ÓÚ Ö γ x,y := λ x,y λ 1 y,x F Ò γ qn i i x,y =1 ÓÖ ÐÐ x, y N i º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú (exp B) th ÖÓÓØ Ó 1º Á F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F λ B Ø ÒF ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø ÓÑÑÙ¹ Ø Ø Ú F ¹ Ð Ö Z = F λ Hº Ì Ö ÓÖ F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú (exp H) th ÖÓÓØ Ó 1º Ì ÖÓÙÔ B = N 1... N r Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ º Ì ÔÖÓÚ Ø Ò Øݺ Ä Ø Ù ÔÖÓÚ Ø Ù Òݺ ÒÓØ Ý Ã Ò Ø Ù Ð Ó Ø Ð F Û ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú m th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö m =max{exp(b/h), exp H}º Ï Ñ Ý ÙÑ Ø Ø B Ò Ð Ò q¹ ÖÓÙÔ Û Ö q pº Ä Ø B := B/H = x 1 H y 1 H... x r H y r H, Û Ö x i H = y i H = q n i ÓÖ i {1,...,r}º Ï Ú x qn i i = h i, y qn i i = h i, Û Ö h i,h i Hº Ä Ø Z = KH Û Ø K¹ {u h : h H} Ò Ð Ø A = Z µ B Ø ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó B ÓÚ Ö Z Û Ø Z¹ {v bh : b B} Ø Ý Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ½µ bh =(x 1 H) i 1 (y 1 H) j 1...(x r H) ir (y r H) jr Û Ö 0 i s,j s <q ns Ø Ò ¾µ v qns x sh = u h s v qns y sh = u h s v bh = v i 1 x1 H vj 1 y 1 H...vir x rh vjr y rh ; ÓÖ ÐÐ s {1,...,r} µ v bh v bh = ξ j 1ī1 1...ξr jrīr v i 1+ī 1 x 1 H vj 1+ j 1 y 1 H...vir+ī r vjr+ j r x rh y, rh

21 ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ¾½ Û Ö ξ s ÔÖ Ñ Ø Ú (q ns ) th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ Ú ÖÝ s {1,...,r}º Ì Ò A = Z µ N 1 Z... Z Z µ N r, Û Ö Z µ N s ÒØÖ Ð ØÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó Ø ÖÓÙÔ N s = x s H y s H ÓÚ Ö Ø Ö Ò Zº Ä Ø g Ò Ð Ñ ÒØ Ó Ø ÖÓÙÔ Bº Ì Ò g = x d 1 1 yt x dr r ytr r h, Û Ö 0 d s t s <q ns ÓÖ Ú ÖÝ s {1,...,r} Ò h Hº Ï Ø w g = v d 1 x 1 H vt 1 y1 H...vdr x rh vtr y rh u h. Ì Ò {w g : g B} K¹ Ó Ø Ð Ö A Ò w g1 w g2 = λ g1,g 2 w g1 g 2 Û Ö λ g1,g 2 K ÓÖ ÐÐ g 1,g 2 Bº À Ò A = K λ B Ò K ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö K λ Bº ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø Ð Ö F λ B = F K K λ Bº Ä ÑÑ ½¼º Ä Ø B Ò Ð Ò p ¹ ÖÓÙÔ Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò exp B = q m qt mt Û Ö q 1,...,q t Ö Ô ÖÛ Ø ÒØ ÔÖ Ñ ÒÙÑ Ö º Ì Ð F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÖØ Ò Ð Ö F λ B Ò ÓÒÐÝ F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú n th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö n = q k qkt t Ò 2k j m j ÓÖ Ú ÖÝ j {1,...,t}º È Ö Ó Ó º Ï Ø ÓÙØ ÐÓ Ó Ò Ö Ð ØÝ Û Ñ Ý ÙÑ Ø Ø B Ò Ð Ò q¹ ÖÓÙÔ Ó ÜÔÓÒ ÒØ q m º Ä Ø F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú (q l ) th ÖÓÓØ Ó 1 Ò F Ó ÒÓØ ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú (q l+1 ) th ÖÓÓØ Ó 1º Á l m Ø Ò F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ø ÖÓÙÔ Ð Ö FBº Ä Ø m 2 l<mº Ì ÖÓÙÔ B Ù ÖÓÙÔ H Ó ÜÔÓÒ ÒØ q m l Ù Ø Ø B/H Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò exp(b/h) =q l º Ë Ò m l l Ý Ä ÑÑ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÖØ Ò Ð Ö F ν Bº ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø l< m 2 º Ä Ø λ Z2 (B,F ) Z Ø ÒØ Ö Ó F λ B Ò H Ù ÖÓÙÔ Ó B Ù Ø Ø Z = F λ Hº Ì Ò exp H q m l º Á F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F λ B Ø Ò exp H q l º Ï Ú q m l q l Û Ò m l lº À Ò l m 2 º Ì ÓÒØÖ Ø ÓÒ ÓÛ Ø Ø F ÒÓØ ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ú ÖÝ Ð Ö F λ Bº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø G = G p B Ò Ð Ò ÖÓÙÔ Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒÚ Ö ÒØ Ó G p º Ì ÖÓÙÔ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ø µ s i(f ) µ p =2 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ B Ù ÖÓÙÔ H Ù Ø Ø B/H Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò F ÓÒ¹ Ø Ò ÔÖ Ñ Ø Ú m th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö m =max{exp(b/h), exp H}º ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò Ä ÑÑ º

22 ¾¾ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø G = G p B Ò Ð Ò ÖÓÙÔ Ò s Ø ÒÙÑ Ö Ó Ò¹ Ú Ö ÒØ Ó G p º ÙÑ Ø Ø B Ó ÝÑÑ ØÖ ØÝÔ Ò exp B = q m qt mt Û Ö q 1,...,q t Ö Ô ÖÛ Ø ÒØ ÔÖ Ñ ÒÙÑ Ö º Ì ÖÓÙÔ G Ó ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú (S, F )¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ø µ s i(f ) µ p =2 s = i(f )+1 Ò G 2 Ø Ð Ø ÓÒ ÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ð ØÓ 2 µ F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú n th ÖÓÓØ Ó 1 Û Ö n = q k qkt t 2k j m j ÓÖ j {1,...,t}º Ò ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ Ì ÓÖ Ñ ¾ Ò Ä ÑÑ ½¼º º ÖÓÙÔ Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ä ÑÑ ½½º Ôº ¾¾ Ä Ø R ÆÓ Ø Ö Ò ÒØ Ö Ð ÓÑ Ò Û Ó ÒØ Ö Ð ÐÓ ÙÖ Ò Ø ÐÝ Ò Ö Ø R¹ÑÓ ÙÐ º Ì Ò Ú ÖÝ Ò Ø ÐÝ Ò Ö Ø ØÓÖ ÓÒ Ö R¹ÑÓ ÙÐ Ö Ø ÙÑ Ó Ð Ò R Ò ÓÒÐÝ Ð Ò R Ò Ö Ø Ý ÓÒ ÓÖ ØÛÓ Ð Ñ ÒØ º Ì ÓÖ Ñ º Ä Ø G = G p Bº Ì ÖÓÙÔ G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ G p =2ÓÖ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ F ν B ÓÖ ÒÝ ν Z 2 (B,F )º È Ö Ó Ó º ÙÑ Ø Ø G p > 2 Ò σ Z 2 (B,S )º Ý Ì ÓÖ Ñ ½ Ø Ö Ò S λ G = SG p S S σ B Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ S σ Bº À Ò Ý Ä ÑÑ G p > 2 Ø Ò G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ Ú ÖÝ Ð Ö F ν Bº Ä Ø p =2 Ò G 2 = a Ø ÖÓÙÔ Ó ÓÖ Ö 2º Á V Ò Ò ÓÑÔÓ Ð SG 2 ¹ÑÓ ÙÐ Ø Ò Ý ½ Ôº ¼ End SG2 (V ) = F º À Ò Ý Ä ÑÑ ½ Ò Ø Ö Ò SG 2 S S ν B Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ ÓÖ ÒÝ ν Z 2 (B,S )º ËÙÔÔÓ ÒÓÛ Ø Ø λ Z 2 (G, S ) Ò S λ G 2 ÒÓØ ÖÓÙÔ Ö Ò º Ì Ò S λ G 2 = Su e + Su a Û Ö u 2 a = f(x)u e f(x) S Ò f(x) S 2 º Ä Ø f(x) =a 0 + a 1 X + a 2 X Û Ö a j F ÓÖ Ú ÖÝ j {0, 1, 2,...} θ ÖÓÓØÓ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð t 2 f(x) Ò K = T (θ) Û Ö T Ø ÕÙÓ¹ Ø ÒØ Ð Ó Sº Ï Ú S λ G 2 = S[θ]º ÒÓØ Ý L Ø ÒØ Ö Ð ÐÓ ÙÖ Ó S[θ] Ò Ø Ð Kº Ì Ò L = S[ω] Û Ö ω = θ ÓÖ ω = X n (b 0 + b 1 X b n 1 X n 1 + θ) ÑÓÖ ÓÚ Ö Ò Ø ÓÒ f(x) =b b 2 1X b 2 n 1X 2(n 1) + a j X j, n 1 a 2n F 2 ÓÖ a 2n+1 0º j 2n

23 ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ ¾ Ú ÖÝ Ð Ó Ø Ö Ò S[θ] Ò Ö Ø Ý ÓÒ ÓÖ ØÛÓ Ð Ñ ÒØ º Ä Ø V Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S[θ]¹ÑÓ ÙÐ º Á z S[θ] v V Ò zv =0 Ø Ò z 2 v =0º Ë Ò z 2 S Ò V Ö S¹ÑÓ ÙÐ z 2 =0ÓÖ v =0º À Ò z =0 ÓÖ v =0º Ì Ñ Ò Ø Ø V ØÓÖ ÓÒ¹ Ö S[θ]¹ÑÓ ÙÐ º Ý Ä ÑÑ ½½ V ÓÑÓÖÔ ØÓ Ò Ð J Ó Ø Ö Ò S[θ]º Ì Ð J Ö S¹ ÑÓ ÙÐ Ó Ö Ò 2º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø T S J Ò Ò ÓÑÔÓ Ð T λ G 2 ¹ÑÓ ÙÐ º Ý Ì ÓÖ Ñ º½ ¾ Ôº Ø Ð Ö T λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ì Ö ÓÖ (T S J)#(T S W ) Ò Ò ÓÑÔÓ Ð T λ G¹ÑÓ ÙÐ ÓÖ ÒÝ ÖÖ Ù Ð S λ B¹ÑÓ ÙÐ W º ÁØ ÓÐÐÓÛ Ø Ø J#W Ò Ò ÓÑÔÓ Ð S λ G¹ÑÓ ÙÐ º Ý Ä ÑÑ Ø Ö Ò S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º À Ò G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÓÖÓÐÐ Öݺ Ä Ø G = G p B Ò ÐÔÓØ ÒØ ÖÓÙÔº Ì ÖÓÙÔ G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ Ò ÓÒÐÝ ÓÒ Ó Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ¹ Ø ÓÒ Ø µ G p =2 µ F = F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÔÖ Ñ q B º ÈÖÓÓ º ÔÔÐÝ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾ Ò Ì ÓÖ Ñ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º Ä Ø G = G p Bº ÙÑ Ø Ø F = F q Ò F ÓÒØ Ò ÔÖ Ñ Ø Ú q th ÖÓÓØ Ó 1 ÓÖ ÔÖ Ñ q B º Ì Ò G Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º È Ö Ó Ó º Ì Ð F ÔÐ ØØ Ò Ð ÓÖ ÒÝ Ð Ö F ν Bº À Ò Ý Ä ÑÑ S λ G Ó ÇÌÈ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ ÓÖ Ú ÖÝ λ Z 2 (G, S )º ÓÖÓÐÐ Öݺ Á F Ô Ö ÐÝ ÐÓ Ð Ø Ò Ú ÖÝ ÖÓÙÔ G = G p B Ó ÔÙÖ ÐÝ ÇÌÈ ÔÖÓ Ø Ú S¹Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º Ê Ö Ò ½ ĺ º Ö ÒÒÝ º ÇÒ Ø ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÙÐ ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ø Ð Ò ÖÓÙÔ ÓÚ Ö Ö ØÖ ÖÝ Ð º Í Ö Òº Å Ø º º ¾ ÆÓº ¼ ½ º ¾ ĺ º Ö ÒÒÝ º ÅÓ ÙÐ Ö ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ º È٠к Å Ø º Ö Ò µ ¾¼¼ º ĺ º Ö ÒÒÝ º ÇÒ Ø ÙÐ ÖÖ Ù Ð ÔÖÓ Ø Ú Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó ¹ Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÚ Ö Ð Ó Ö Ø Ö Ø pº º Ð Ö ¾½ ½ ¾¼ ¾¼¼ º

24 ¾ Ä ÓÒ º Ö ÒÒÝ Ö Ù Þ ÃÐ Ò Äº º Ö ÒÒÝ º ÃÐ Òº ÌÛ Ø ÖÓÙÔ Ö Ò Ó ØÖÓÒ ÐÝ ÙÒ ÓÙÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ØÝÔ º ÓÐÐÓÕº Å Ø º ½¼¼ ¾µ ¾ ¾ ¾¼¼ º Àº º ÌÓÖ ÓÒ Ö Ò ÔÖÓ Ø Ú ÑÓ ÙÐ º ÌÖ Ò º Ñ Öº ËÓº ½¼¾ ¾µ ½ ¾ ½ ¾º Å Ø º ÀºÁº Ð Ùº ÁÒ ÓÑÔÓ Ð ÑÓ ÙÐ ÓÖ Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ º È Âº Å Ø º ½µ ½ º ºÏº ÙÖØ Áº Ê Ò Öº Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ Ò Ó Ø Ú Ð Ö º ÁÒØ Ö Ò Æ Û ÓÖ ½ ¾º ºÏº ÙÖØ Áº Ê Ò Öº Å Ø Ó Ó Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ì ÓÖÝ Û Ø ÔÔÐ ¹ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ø ÖÓÙÔ Ò ÇÖ Ö ÎÓк ½º Ï ÐÐ Ý Æ Û ÓÖ ½ ½º º º Ö Òº ÇÒ Ø Ò ÓÑÔÓ Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÖÓÙÔº Å Ø º º ¼ ¼ ½ º ½¼ Ⱥź Ù ÝÚÓ º ÇÒ ÑÓ ÙÐ Ö Ò ÒØ Ö Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ º Ó Ðº º Æ Ù ËËËÊ ¾½ ÆÓº ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ½½ Ⱥź Ù ÝÚÓ º ÇÒ ÑÓ ÙÐ Ö Ò ÒØ Ö Ð P ¹ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ÖÓÙÔ º Í Ö Òº Å Ø º º ¾ ÆÓº ¼¹ ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ½¾ Ⱥź Ù ÝÚÓ º ÇÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó ÖÓÙÔ ÓÚ Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ò º Ó Ðº º Æ Ù ËËËÊ ¾ ÆÓº ½ ¾ ¾ ½ º ÁÒ ÊÙ Òµº ½ Ⱥź Ù ÝÚÓ º ÇÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ö Ø ÔÖÓ ÙØ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ ÓÚ Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ø Ú ÐÙ Ø ÓÒ Ö Ò º Í Ö Òº Å Ø º ÙÐк ¾ ÆÓº ½ ¾¼¼ º ½ º à ÖÔ ÐÓÚ Ýº ÖÓÙÔ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÎÓк ½º ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Å Ø ¹ Ñ Ø ËØÙ ½ ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Ñ Ø Ö Ñ ½ ¾º ½ º à ÖÔ ÐÓÚ Ýº ÖÓÙÔ Ê ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ ÎÓк ¾º ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Å Ø ¹ Ñ Ø ËØÙ ½ ÆÓÖØ ¹ÀÓÐÐ Ò Ñ Ø Ö Ñ ½ º ½ ÀºÆº Æ º Ö Ó ÖÖ Ù Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ò Ø ÖÓÙÔ º º ÄÓÒ¹ ÓÒ Å Ø º ËÓº ¾µ½¼ ½ º

25 Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ Ë ÒØ Á Ù Å Ø Ñ Ø ÁÎ Þ ØÓ ÓÛ ¾¼½¼ À Ê Ì ÊÁ ÌÁÇÆ Ç ÀÇÅÇ Ê ÈÀÁ Ì È ÍÆ ÌÁÇÆ Ã Ø ÖÞÝÒ ÓÑ ÁÒ Ø ØÙØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò Â Ò Ù Ó Þ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ò Þ ØÓ ÓÛ ÖÑ ÃÖ ÓÛ 13/ Þ ØÓ ÓÛ ÈÓÐ Ò ¹Ñ Ð º ÓÑ Ò ºÞ غÔÐ ØÖ Øº Ï Ð Û Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖÑ f(x + y) =F (f(x),f(y)) Ø Ó ÐÐ Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ µ ÙÑ Ò Ø Ø Ø Ú Ò Ò ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ F Ó¹ Ø Ú ÙØ Ø ÓÑ Ò Ó Ò Ø ÓÒ ÒÓØ Ò Ö ÐÝ ÓÒÒ Ø º ÁÒ Ø ÔÖ ÒØ Ô Ô Ö Û ÐÐ Ö ØÖ Ø ÓÙÖ ÓÒ Ö Ø ÓÒ ØÓ Ø Û Ò F (u, v) = u + v +2uv. 1 uv Ì ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ñ Ý Ú Û ÓÙÒØ ÖÔ ÖØ Ó ÄÓ ÓÒÞ ³ Ò ÓÑ ³ Ö ÙÐØ ÓÒ ÐÓ Ð ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(f (x, y)) = f(x)+f(y) Û Ø Ø Ñ Ú ÓÙÖ Ó Ø Ú Ò Ó Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒ F. ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Ñ Ø ÖÐÝ Ò Ö Ð ØÖÙØÙÖ Ò Ø ÓÑ Ò Ó Ø ÙÒ ÒÓÛÒ ÙÒØ ÓÒº ½º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Á (G, ) ÖÓÙÔ ÓÖ Ñ ÖÓÙÔ Ò F Ø Ò ÓÖ Ò Ö ØÖ ÖÝ Ò ÖÝ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÑ Ø H, Ø Ò ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(x y)=f (f(x),f(y)) ÐÐ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ó ØÖÙØÙÖ (G, ) Ò (H, F). Ï ÓÒ Ö Ö Ö Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ F : {(x, y) ÁÊ : xy 1} ÁÊ Ó Ø ÓÖÑ F (u, v) = u + v +2uv. 1 uv

26 ¾ Ã Ø ÖÞÝÒ ÓÑ Ì Ö Ø ÓÒ Ð ØÛÓ¹ÔÐ Ö Ð¹Ú ÐÙ ÙÒØ ÓÒ Ò ÓÒ ÓÒÒ Ø Ù Ø Ó Ø Ö Ð ÔÐ Ò ÁÊ 2, Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ F (F (x, y),z)=f (x, F (y,z)) ÓÖ ÐÐ (x, y, z) ÁÊ 3 Ù Ø Ø ÔÖÓ ÙØ xy, yz, F (x, y)z,xf(y,z) Ö ÒÓØ ÕÙ Ð ØÓ 1. Ê Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ Û Ø Ù ÓÖ Ñ Ð Ö ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ø ÖÑ Ó Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒ º Ì Ð Ó Ø Ó Ø Ú ÓÔ Ö Ø ÓÒ Û Ö Ý Ö Ø Ø ¾ Ò ÛÓÖ Û ÓÐÐÓÛ Ý Ø ÙØ ÓÖº ÓÑÓ Ö ÙÒØ ÓÒ ϕ : ÁÊ \{1} ÁÊ Ú Ò Ý Ø ÓÖÑÙÐ ϕ(x) = Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö (x, y) ÁÊ 2 \ D, Û Ö x 1 x, x 1 f(x + y) = f(x)+f(y)+2f(x)f(y) 1 f(x)f(y) D = {(x, 1 x) : x ÁÊ} {(x, 1) : x ÁÊ} {(1,x): x ÁÊ}. Ï ÐÐ Ø ÖÑ Ò ÐÐ ÙÒØ ÓÒ f : G ÁÊ, Û Ö (G, ) ÖÓÙÔ Ø Ø Ø Ý Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(x y)= f(x)+f(y)+2f(x)f(y). (1) 1 f(x)f(y) Ò ÙØÖ Ð Ð Ñ ÒØ Ó ÖÓÙÔ (G, ) Û ÐÐ ÛÖ ØØ Ò 0. Ý ÓÐÙØ ÓÒ Ó Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ ½µ Û ÙÒ Ö Ø Ò ÒÝ ÙÒØ ÓÒ f : G ÁÊ Ø Ø Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ ½µ ÓÖ Ú ÖÝ Ô Ö (x, y) G 2 Ù Ø Ø f(x)f(y) 1. Ì Ù Û Ð Û Ø Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ð ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(x)f(y) 1 ÑÔÐ f(x y)= f(x)+f(y)+2f(x)f(y) 1 f(x)f(y) ÓÖ ÐÐ x, y G. ËÓÑ Ö ÙÐØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖÑÙÐ Ò ÓÙÒ ÓÖ Ü ÑÔÐ Ò Þ Ð³ ÑÓÒÓ Ö Ô Ý ½ Ò Ò Ø ÛÓÖ Ó ÓÑ Ò Ö º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ð ÑÑ Û ÐÐ Ù ÙÐ Ò Ø ÕÙ Ð Ö µº Ä ÑÑ ÓÒ Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ ÓÒ Ù ÖÓÙÔ µº Ä Ø (G, +) ÖÓÙÔº Ì Ò (H, +) Ù ÖÓÙÔ Ó ÖÓÙÔ (G, +) Ò ÓÒÐÝ G H Ò Û Ö H := G \ H. H + H H, (E)

27 Ö Ø Ö Þ Ø ÓÒ Ó ÓÑÓ Ö Ô ØÝÔ ÙÒØ ÓÒ ¾ ¾º Å Ò Ö ÙÐØ Ï ÔÖÓ Û Ø Ö ÔØ ÓÒ Ó ÓÐÙØ ÓÒ Ó µº Ì ÓÖ Ñº Ä Ø (G, ) ÖÓÙÔº ÙÒØ ÓÒ f : G ÁÊ Ý Ð ÒÓÒÓÒ¹ Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ ØÓ Ø ÙÒØ ÓÒ Ð ÕÙ Ø ÓÒ f(x)f(y) 1 ÑÔÐ f(x y)= f(x)+f(y)+2f(x)f(y) 1 f(x)f(y) ÓÖ ÐÐ x, y G Ò ÓÒÐÝ Ø Ö (E) ÓÖ ÓÖ f(x):= f(x):= f(x):= { 1 ÓÖ x H, 1 ÓÖ x G \ H A(x) 1 A(x) 1 ÓÖ x Γ ÓÖ x G \ Γ 1 ÓÖ x Γ \ Z 0 ÓÖ x Z 1 ÓÖ x G \ Γ, Û Ö (H, ), (Γ, ) Ö Ù ÖÓÙÔ Ó Ø ÖÓÙÔ (G, ), (Z, ) Ù ÖÓÙÔ Ó Ø ÖÓÙÔ (Γ, ), Ò A :Γ ÁÊ ÓÑÓÑÓÖÔ Ñ Ù Ø Ø 1 A(Γ). ÈÖÓÓ º ÙÑ Ø Ø f ÒÓÒÓÒ Ø ÒØ ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ µº Ö Ø Û ÓÛ Ø Ø f(0) { 1, 0, 1}. ÁÒ ØØ Ò x = y =0 Ò µ Û Ó Ø Ò ÈÙØ c := f(0). Ý ÕÙ Ð ØÝ f 2 (0) = 1 or f(0) = 2f(0) + 2f 2 (0) 1 f 2. (0) c =2c 1+c 1 c 2 Û Ú c = 0 or 2(1 + c) =1 c 2, Û Ò c {0, 1} Û Ó ÒØÐÝ Û Ø Ø ÕÙ Ð ØÝ c 2 =1 ÑÔÐ f(0) { 1, 0, 1}, Û Û ØÓ ÓÛÒº Á f(0) = 1, Ø Ò ØØ Ò y =0 Ò µ Û Ó Ø Ò f(x) = 1 or f(x) = f(x) 1 2f(x) 1+f(x) = 1 ÓÖ ÐÐ x G, Û Ò f = 1, ÓÒØÖ Ø ÓÒ Ù Û Û Ö ÙÑ Ò f ØÓ ÒÓÒÓÒ Ø Òغ