ХХ 98. Умови задач. 4 клас

Transcription

1 Умови задач клас Михайлик одне коло стадіону пробігає за хвилини, а Петрик за Вони стартують одночасно з лінії старту Через скільки хвилин вони вперше одночасно знову перетнуть лінію старту? Розглянемо такі 0 чисел:,,,,, 00 Кожна наступне число одержане з попереднього приписуванням чергового натурального числа Скільки серед них таких, що кратні? Скількома способами можна поставити на шахівницю білого та чорного королів таким чином, щоб вийшла припустима правилами гри позиція? Є квадрат зі стороною, на двох його сусідніх сторонах побудовані півкола всередину квадрату, як це показане на рис Квадрат виявився розбитим на частини Знайдіть сумарну площу першої та третьої частин 5 Михайлик проживає на 5-му поверсі у квартирі за номером у будинку, в якому на кожному поверсі кожного парадного по квартири Скільки поверхів у будинку? 6 Знайдіть усі трицифрові числа, які у раз більші за суму своїх цифр 7 Знайдіть найбільше натуральне число n k, 0 яке має таку властивість: для кожного i від до k числа i i точні квадрати натуральних чисел Числа 5 05, 0 00 та 0 00 вважаються квадратами натуральних чисел, а числа та ні 8 Всередині тупого кута AOB проведені промені OC, OD, OE так, що OC OA, OD та OE бісектриси кутів AOB та BOC відповідно Знайдіть у градусах величину кута DOE 9 У купі кроликів, папуг та зміїв хлопчик нарахував голови, крил та 6 лапи Чи зможе тато сказати дитині, скільки там було змій? 0 Скільки є восьмицифрових чисел, у яких сума цифр парна? В квадратній таблиці деякі клітини пофарбовані Кожна зафарбована клітина є єдиною зафарбованою клітиною або в стовпчику, або в рядку таблиці Яку найбільшу кількість клітинок можна зафарбувати? На прямій відмічено у деякому порядку точки A, B, C D, при цьому AB 8см, BC 0см, CD см та AD 0см Які значення може приймати відстань AC? Вкажіть усі можливі відповіді Розв яжіть ребус АБВГД ДГВБА, у якому однаковим буквам відповідають однакові цифри, а різним різні У відповіді наведіть значення добутку Монету підкидають 5 разів і записують зліва направо те, що випало герб чи число Скільки різних таких послідовностей може утворитися? Послідовності називаються різними, якщо відрізняються у будь-якому місці 5 Що приховане під значком ХХ 98 Рис Рис

2 ХХ на рис? 5 клас Знайдіть усі натуральні числа, куби яких є п ятицифровими числами, що закінчуються на цифру Використовуючи усі значущі цифри (крім нуля) по одному разу, скласти трицифрових числа, кожне з яких є квадратом натурального числа Наведіть усі можливі розв язки Задача класу Задача класу 5 Михайлик та Петрик живуть у висотному будинку, у якому на кожному поверсі кожного парадного по квартири Михайлик живе на 5-му поверсі у квартирі за номером 8, а Петрик на -му поверсі у квартирі 69 Скільки поверхів у будинку? 6 Знайдіть принаймні три натуральних числа, квадрат яких закінчується на цифри 7 Задача 7 класу 8 Задача 8 класу 9 Задача 9 класу 0 Задача 0 класу Задача класу Задача класу Задача класу Використовуючи усі значущі цифри (крім нуля) по одному разу, скласти числа, що відносяться як :: 5 5 Задача 5 класу 6 клас Задача 5 класу Задача 5 класу Задача класу Задача класу 5 Задача 5 5 класу 6 Задача 6 5 класу 7 Задача 7 класу Рис 8 Задача 8 класу 9 Задача 9 класу 0 Задача 0 класу Задача класу Відомо, що прямокутник розрізаний на 5 однакових прямокутників як це показане на рис Чому дорівнює площа великого прямокутника, якщо периметр малого дорівнює 0? Задача класу Задача 5 класу 5 Задача 5 класу

3 7 клас Задача 5 класу Задача 5 класу Задача класу Задача класу 5 В класі вчитель провів контрольну роботу, яка оцінювалась з балів Після перевірки вчитель сказав, що якщо б кожен хлопчик набрав за контрольну роботу на бали більше, то середній бал оцінкою усього класу збільшився на, бали Який відсоток у цьому класі складають дівчата? 6 Задача 6 5 класу 7 Задача 7 класу 8 На площині задані різні точки A, B, C, D Вони утворюють кутів на кшталт ABC, CDA (деякі з них можуть дорівнювати 0 або 80 ) Позначимо через два найменших з цих кутів Яке найбільше значення може приймати значення кута? 9 Задача 9 класу 0 Задача 0 класу Задача класу Задача 6 класу студентів писали тест, де на кожне з питань треба вибрати правильну відповідь Відомо, що на кожне питання правильно відповіли принаймні студента і кількість правильних відповідей у кожного студента різна Скільки мінімум було питань у тесті? Задача 5 класу 5 Задача 5 класу 6 Через вершини A та С ABC проведені прямі, що перпендикулярні бісектрисі ABC Вони перетинають прямі BC та AB у точках K та M відповідно Знайдіть довжину сторони AB, якщо BM 8, KC 7 Знайдіть найменше натуральне число, яке одночасно є сумою трьох послідовних парних натуральних чисел, а також сумою чотирьох послідовних парних чисел 8 З усіх цифр від до 9 треба скласти три тризначних числа, добуток яких був би найменшим 9 На дошці записане число У числа вибираються дві сусідні цифри, якщо кожна з них не нуль, то можна від кожної з цих цифр відняти по та поміняти ці цифри місцями, наприклад, дозволена дія Яке найменше число можна одержати, виконуючі лише такі дії? 0 У трикутнику ABC відомо, що BAC ABC 0 Знайдіть відношення CL : CH, де CL та CH бісектриса та висота ABC відповідно 8 клас Розв яжіть рівняння x 00 x 08 Задача 5 класу Задача класу

4 У прямокутнику ABCD з сторонами AB BC на діагональ BD з вершин A та C опущені перпендикуляри AM та CN При цьому BM : MN : ND :5: Чому дорівнює відношення :? 5 Задача 5 7 класу 6 Знайти найменше натуральне число, що починається цифрами і є повним квадратом цілого числа 7 Є 7 квадратних оболонок, кожна з яких має різний розмір Дві такі оболонки можуть бути розташованими або поруч, або менша всередині більшої Два розташування цих 7 оболонок вважаються різними, якщо існують принаймні дві з них, які розташовані по різному Скільки існує різних розташувань оболонок, при яких усі вони лежать всередині найбільшої? 8 Задача 8 7 класу 9 Знайдіть усі пари цілих чисел ( x, y), для яких справджується рівність: 5x 6xy y x y 0 Нехай для натурального числа n через S (n) та P (n) відповідно позначено суму цифр та добуток його цифр Знайдіть найбільше натуральне число n, для якого справджується рівність: S( n) P( n) n Задача класу Задача 6 класу Задача 7 класу Задача 5 класу 5 Задача 5 класу 6 Задача 6 7 класу 7 Задача 7 7 класу 8 Задача 8 7 класу 9 Задача 9 7 класу 0 Задача 0 7 класу 9 клас Задача 8 класу Задача 5 класу Скількома способами можна поставити на шахівницю білого и чорного королів таким чином, щоб вийшла припустима правилами гри позиція? Задача 8 класу 5 Задача 5 7 класу 6 Задача 6 8 класу 7 Задача 7 8 класу 8 Задача 8 7 класу 9 Задача 9 8 класу 0 Задача 0 8 класу Задача класу У прямокутній трапеції ABCD з основами BC та AD 5 точка P середина бічної сторони AB, що перпендикулярно основам Q така точка на стороні CD, що площі чотирикутників APQD та BPQC рівні Чому дорівнює відношення CQ : QD?

5 Задача 7 класу Розв яжіть в цілих числах x y z систему рівнянь: x y z, x y z 5 У вищій лізі чемпіонату України з футболу грають 6 команд Відомо, що "Шахтар" та "Динамо" виграють у будь-якого суперника, а їх результат між собою передбачити неможливо Так само не можна передбачити результат гри між будьякими іншими -ма командами Випадковим чином вибираються команди з 6 Яка імовірність того, що їх результат буде непередбачливим? 6 У трикутника відомі сторона, а також протилежний кут В яких межах може змінюватись сторона цього трикутника? 7 Невід ємні числа x, y, z задовольняють умову: x y z x y z Яке найменше значення може приймати вираз x y z? 8 Задача 8 7 класу 9 Задача 9 7 класу 0 Заданий прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C та катетами і BC AC Точка D лежить по іншій бік від прямої AC по відношенню до точки B так, що CAD BAC та ADC 90 Точка E вибрана на прямій DC таким чином, що EBC 90 Знайдіть площу чотирикутника ABED Математичний занзібар клас 0 0 Відповідь: Розв язання Треба знайти таку кількість хвилин, що одночасно ділиться на та на, тобто це число Відповідь: Розв язання Покажемо, що кожні числа з трьох кратні Дійсно, до суми цифр кожного наступного числа за модулем кожного разу по черзі додаються, та 0 Таким чином кожне друге та кожне третє число кратні Рис 0 0 Відповідь: 56 Розв язання Розглянемо можливі розташування чорного короля Для кожної такої позиції подивимось кількість можливих положень білого короля Відповідні числа показані на рис Залишається їх додати Відповідь: 8 Розв язання Зрозуміло, що ці півкола перетинаються в центрі квадрату, а тому, якщо провести діагоналі, як це показане на рис 5 Тоді усі лунки очевидно мають однакову площу, а тому сумарна площа першої та третьої частин дорівнює половині площі квадрату, тобто 8 5 Відповідь: 6 Розв язання Якщо уявити, що будинок поставлений так, що у ньому одне парадне, тобто умовно друге парадне над першим, A O Рис 5 D C E Рис 6 B

6 третє над другим тощо Тоді Михайлик живе на поверсі Тому у будинку рівно 6 поверхів Дійсно, якщо там більше поверхів, наприклад, 7, то Михайлик жив би на -му поверсі і так далі 5 поверхів так само бути не могло 6 Відповідь: 08 Розв язання Позначимо число через c, тоді повинна виконуватись рівність: c 00 0 c c або 88 c Звідси цифра повинна ділитись на, тому 0 Далі 8 c і єдине можливе число 08 7 Відповідь: 869 Розв язання Випишемо останні цифри квадратів: 0,,, 5, 6, 9 Зрозуміло, що серед цифр числа с немає нулів, оскільки число i 0 не може бути квадратом натурального числа, та число не повинно розпочатися з нуля, бо це не робить його більшим від числа без того нуля а тепер побудуємо ланцюжок можливих квадратів 6 6 9, 5, 6 6 9, 9, 6 9, Таким чином шукане число Відповідь: 5 Розв язання Позначимо через x величини рівних кутів BOE та COE BOA 90 x, звідси BOD 5 x, тому EOD 5 9 Відповідь: 5 Розв язання Нехай кролів, папуг та змій було відповідно y z x y (рис 6) Тоді x, y, z, тоді маємо такі рівняння: x, y та 6 y, тоді x 6 y 8, тобто x, і остаточно 5 З другого рівняння Відповідь: Розв язання Усього восьмицифрових чисел рівно парну суму цифр, тобто їх усього Відповідь: 98 Розв язання На рис 7 показано, як можна зафарбувати 98 клітинок, тепер доведемо, що це максимально можливе число Інакше, їх було б не менше ніж 99, а тому вони б заповнили або усі 00 рядків, або усі 00 стовпчиків (бо усього є 00 ліній) Але тоді, максимум їх могло б бути рівно 00, бо в усіх цих лініях інші клітини не могли б бути зафарбованими Відповідь: см 7 z, зрозуміло, що рівно половина з них має Рис7 Розв язання Зрозуміло, що з відрізків AB 8см, BC 0см випливає в залежності від розташування цих точок: якщо точка B посередині, то АC 8см, якщо зовні -- АC см Аналогічно, з відрізків CD см та AD 0см маємо, що АC см або АC см Звідси стає очевидною єдина можлива відповідь Відповідь: 879 Розв язання Спочатку зрозуміємо, що А Інакше, при А добуток буде мати більше 5 цифр, при А -- добуток стає непарним, при А 0 маємо Д 5 і рівність неможлива Тоді добуток Д закінчується на, і з двох варіантів умову задовольняє лише Д 8 Тепер маємо, що БВГ8 8ГВБ Оскільки немає переносу розряду у першій цифрі, то Б 0 або Б Оскільки ми маємо, що, тому у розряді десятків переноситься, вона додається до останньої цифри добутку 8

7 Г, тобто до парної цифри Тому цифра Б -- непарна Тоді для Г маємо, що остання цифра добутку Г разом з дає цифру Тому Г 7 або Г Таким чином ми вже маємо, що В78 87В Далі з перебору або інших логічних міркувань, що прискорять процес одержимо, що В 9 Відповідь: Розв язання Кожного разу є варіанти, тому їх усього 5 Відповідь: 87 (перегорнуте) Розв язання Якщо перевернути запис, то легко побачити, що там написані таки номери: 86, XX, 88, 89, 90 5 клас Відповідь: 7 та 7 Розв язання Розглянемо куби усіх цифр, знайдемо, яка цифра може бути останньою це тільки цифра 7 Перша цифра визначається з умов, що куб числа є п ятицифровим Оскільки , , , , то шуканими числами є 7 та 7 Відповідь: ; 59; 78 6 Розв язання Оскільки 0 00 та 0, то достатньо виписати усі квадрати чисел від до, які не містіть однакових цифр та нулів: 69, 96, 56, 89,, 6, 59, 576, 65, 79, 78, 8, 96 Далі просто беремо їх послідовно і пробуємо скласти до них шукану трійку: 69 та, третього немає; 69 та 78, третього немає; 96 та 96 аналогічно до числа 69, а тому приберемо з розгляду число 96; 56, 89,, 6, 59, 576, 65, 79, 78, 8 56 та 78, третього немає; 89 та 6, третього немає; 89 та 576, третього немає; та 576, третього немає; 6 та 59, та 78 розв язок; 6 та 79, третього немає; 6 та 78, третього немає; 59 та 78, третього немає Задача класу Задача класу 5 Відповідь: 8 Розв язання Якщо уявити, що будинок поставлений так, що у ньому одне парадне, тобто умовно друге парадне над першим, третє над другим тощо Тоді Михайлик живе на поверсі Тому у будинку може бути 6 поверхів або 8 Якщо поверхів 6, то 69 квартира була б у -му парадному на поверсі Якщо поверхів 8, то 69 квартира була б у 6-му парадному на поверсі 6 Відповідь: наприклад такі: ; 08; 008 Розв язання З того, що 8 8 (000 k 8) k 76000k можемо записати таку нескінченну серію:,

8 звідси і маємо наведену відповідь 7 Задача 7 класу 8 Задача 8 класу 9 Задача 9 класу 0 Задача 0 класу Задача класу Задача класу Задача класу Відповідь: : 87 : 65 9 Розв язання Позначимо числа c : mnk : xyz : : 5 Одразу зрозуміло, що m є два варіанти, m, визначає c 9, а тому 9 : 87 : 65 При m перевірити 69 5 Задача 5 класу Задача 5 класу Задача 5 класу Задача класу Задача класу 5 Задача 5 5 класу 6 Задача 6 5 класу, z 5 Для, звідки й маємо відповідь:, число 6 умову не задовольняє Залишається аналогічно 6 клас 7 Задача 7 класу 8 Задача 8 класу Рис 8 9 Задача 9 класу 0 Задача 0 класу Задача класу Відповідь: 0 Розв язання Позначимо більшу сторону малого прямокутника через, а меншу Тоді з умов задачі 0 А з рис 8 розбиття великого прямокутника зрозуміло, що Тоді зрозуміло що 0, тому 6, звідси Площа великого дорівнює: S ( ) 0 0 Задача класу Задача 5 класу 5 Задача 5 класу

9 7 клас Задача 5 класу Задача 5 класу Задача класу Задача класу 5 Відповідь: 60 % Розв язання Нехай там хлопців та g дівчат Сума балів, що набрали хлопці B, дівчата G Тоді середня оцінка d g BG g c 6 Задача 6 5 класу 7 Задача 7 класу BG g Тоді при збільшенні балів у хлопців ми б мали таку середню оцінку: Тоді маємо рівність:, c d або 6 BG BG 5 g g Таким чином хлопці складають 0% у класі, відповідно дівчата 60% Тоді 6( g) 5 або 8 Відповідь: 5 Розв язання Якщо усі точки лежать на одній прямій, то очевидно, що 0 Якщо, наприклад, D ABC, то у нього принаймні два кута гострі Нехай це кути ABC BAC Тоді відрізки DB перевищує 5 та DA, ділять ці кути на дві частини Менша з яких у кожного не Нехай тепер ABCD -- опуклий чотирикутник Тоді з умов, що (рис 9) DAC ACD CDB BDA 80, BAC ACB CBD DBA 80, 5 Маємо, що у кожній з цих четвірок принаймні по одному куту не перевищують Прикладом, коли це значення досягається, є квадрат Для нього чотири кути по 90 та ще вісім по 5 9 Задача 9 класу 0 Задача 0 класу Задача класу A B C Задача 6 класу Відповідь: 0 Розв язання Найменша кількість відповідей у студентів це 0,,,, 0, а далы неважко придумати розподіл правильних відповідей належним чином Задача 5 класу Рис 9 B D 5 Задача 5 класу 6 Відповідь: 7 або 9 Розв язання Оскільки в трикутниках ABK та MBC пряма AL є одночасно бісектрисою та висотою, а тому вони рівнобедрені Тому AB BK, MB BC 8 та AM CK Для випадку AB BC (рис 0) маємо, що AB 7 Аналогічно при AB BC маємо, A M L Рис 0 K C

10 що AB 9 7 Відповідь: 6 Розв язання Нехай це число дорівнює одночасно S ( k ) k (k ) 6k (l ) l (l ) (l ) 8l l k Найменше l, для якого l кратне це l S Далі маємо, що число 6 8 Відповідь:, 58, 69 7 Очевидно, що числа мають вигляд: A ) A B C ) Якби, наприклад, A B, то A B і A B AB, B, Cc Покажемо, що ; ) c ; ) C, k, l, звідки шукане 00 A00 B 00 A00 B00 B 0 ) Якби, наприклад,, то B ACc A BCc A B A B A0 B0 A0 B0 A 0 A0 ( ) 0 B A BCc A BCc ) якби було C, то C x, де x 0 і ACc Acc A c 0x A x c x 0A c 0 AC Bc A BCc Таким чином з умов ) ) витікає, що A B C c і шукані числа мають вигляд: 7, 58,69 9 Відповідь: 0000 Розв язання При таких діях на непарних місцях завжди будуть непарні цифри, а на парних парні Тому наведене число дійсно найменше можливе Залишається показати, що воно досягається , , Відповідь: : Розв язання Позначимо через ABC, тоді BAC 0 та BCA 60 (рис ) Тоді CLA LCB LBC 0, звідси CH -- катет у прямокутному трикутнику CLH, що лежить проти кута 0, а тому він удвічі менший за гіпотенузу CL B 8 клас Рис L A C H Відповідь: x 09 та x 8058 Розв язання Покладемо 0, 05, тоді рівняння набуває такого вигляду: Зрозуміло, що його не x x складно тепер розв язати як стандартне квадратне рівняння, але простіше побачити, що коренями є x та x Це перевіряється простою підстановкою цих значень B M N C A Рис D

11 Задача 5 класу Задача класу Відповідь: : Розв язання Нехай ABD можемо записати, що Тоді BD 5 Задача 5 7 класу BM ND x, MN 5x (рис ) З подібності трикутників ABM та BM або AB AM BD 69x 5x 7x x x 5x Звідси остаточно маємо, що 6 Відповідь: Розв язання Розглянемо такі оцінки: (,08) 0, 9 (,) З них випливає, що п ятицифрових чисел не існує Аналогічно з оцінок (5,) 00, 99 (5,) випливає, що не існує шестицифрових чисел З оцінок (0,08) 000, (,) 999 випливає, що найменшим шуканим числом є таке: 7 Відповідь: 70 Розв язання Позначимо через K n кількість таких розташувань для заданого n Якщо з цих оболонок прибрати найменшу, то будемо мати n квадрат, а тому їх різних розташувань буде K n Тепер для кожного такого розташування вилучений найменший квадрат можна покласти всередину будь-якої з існуючих оболонок, тобто маємо n можливість Тому K n ( n ) Kn Оскільки для двох оболонок маємо єдину можливість їх розташування менша всередині більшої, то K, звідси K n ( n )!, а тому K 6! 70 8 Задача 8 7 класу 9 Відповідь: ; ) ( та ( ; ) 7 Розв язання Нехай S 5x 6xy y x y Зробимо такі перетворення: 6 5x 6xy y y (5x 8y) y x y, то рівність неможлива Тому, якщо Якщо x y, то Якщо y S x, таким чином розв язками є такі пари: ( ; ) та ( ; ) x, то S y лише при y 0 Але тоді маємо, що 5 x рівність неможлива 0 Відповідь: 99 5 n, k 5x 7x Розв язання Нехай k k 0 Тоді маємо рівність: k 0 k 0 0 k 0 k 0, що неможливо, бо k k ( 0 ) (0 ) (0 ) k Залишається випадок маємо шукані відповіді:, 9,, 99 k k 0 9 x k Нехай тепер n 0 9 Тому шукане найбільше число це 99 9, а тому

12 Задача класу Задача 6 класу Задача 7 класу Задача 5 класу 5 Задача 5 класу 6 Задача 6 7 класу 7 Задача 7 7 класу 8 Задача 8 7 класу 9 Задача 9 7 класу 0 Задача 0 7 класу 9 клас Задача 8 класу Задача 5 класу Відповідь: 6 Розв язання Оскільки шахівниця має осі симетрії, то можна розглянути лише 0 принципових положень чорного короля, які на рис позначені відповідними цифрами (тут вважаємо, що показаний лише лівий нижній кут шахівниці) Дивимось положення чорного короля і з ясовуємо скільки є різних положень для білого Тут стає зрозумілим аналогічність положень -, а також 5-0 залишається підрахувати Задача 8 класу 5 Задача 5 7 класу 6 Задача 6 8 класу Рис 7 Задача 7 8 класу 8 Задача 8 7 класу B C H 9 Задача 9 8 класу 0 Задача 0 8 класу P Q Задача класу Відповідь: CQ : QD 5 5 Розв язання Площа усієї трапеції S 6, тому площа кожної частини повинна ABCD дорівнювати 8 Тоді проведемо відрізки PC та PD (рис ) CQPH DQPH S 8 та 5 8 PBCQ звідси CQ PH 0, DQ PH 6 Задача 7 класу Відповідь:,, ), ( 5,, ) (, тому S, PADQ CQ : QD 5 A Рис D

13 Піднесемо перше рівняння до кубу та віднімемо друге: ( x y z) x y z Ліва частина розкладається на множники: ( x y)( x z)( y z) ( x y)( x z)( y z) 8 Оскільки x y z, то ( z) є дільником числа 8, тобто можливі значення для z :, 7, 5,,,,, 5 Далі перевіримо їх послідовно і одержимо такі відповіді: (,, ), ( 5,, ), (, 5, ), (,, 5), з яких вибираємо такі, що задовольняють умову: x y z 5 Відповідь: 0 Розв язання Усього пару команд з 6 можна вибрати C 6 0 способами Знайдемо для скількох з цих пар результат відомий це коли "Шахтар" або "Динамо" грають з якоюсь з інших команд Таким чином таких пар команд з передбаченими результатами є усього 8 Тобто шукана імовірність непередбаченого результату це відношення: 9 6 Відповідь: при 90 0,, а при 90 ( 0, ) sin Розв язання Розглянемо Запишемо теорему синусів: 0, тоді 0 sin sin sin sin 0 Можливі випадки: ) 90, ) якщо 90, то 0 sin sin ( 0, ) 0, 7 Відповідь: Розв язання Покажемо, що цей мінімум досягається на наборі, де x y 0 Дійсно, припустимо, що шуканий мінімум досягається на наборі ( x, y, z), де x 0 Розглянемо набір ( 0, y, z), для якого справджується рівність: x y z x y z 0 y z 0 y z або x z x z z z Якщо z x z, то ( x z) ( x z) x xz z x z x z x z, звідки для цього набору значення суми компонент стає меншим Аналогічно ми покажемо, що у набору ( 0, y, z) та набору ( 0, 0, z ), які задовольняють задану рівність, сума компонент також зменшується Залишається знайти шукану суму При x y 0 змінна z задовольняє рівність: z z 0 Звідси з урахуванням невід ємності z, маємо, що z 8 Задача 8 7 класу 9 Задача 9 7 класу 0 Відповідь: 75 Розв язання Зрозуміло, що ACD ~ ABC, крім того, точка C обов язково лежить на відрізку DE, тому (рис 5) A BCE 80ACB DCA 90DCA Рис CAD5 BAC Тобто D CEB ~ ABC Таким чином з подібностей можемо записати такі рівності: C B E

14 S S ABC ADC, S S ABC BCE, тому ABED S ABC S ) ( ) ( ) ( 75