А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір. Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір. Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики"

Transcription

1 А. Г. Мерзляк В. Б. Полонський М. С. Якір АЛГЕБРА Підручник для 9 класу з поглибленим вивченням математики Рекомендовано Міністерством освіти і науки України Харків «Гімназія» 009

2 УДК 7:5 ББК.я7 М5 Рекомендовано Міністерством освіти і науки України (Лист від р. /-50) Відповідальний за випуск Головний спеціаліст Міністерства освіти і науки України Н. С. Прокопенко ISBN А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір, 009 C. Е. Кулинич, художнє оформлення, 009 ТОВ ТО «Гімназія», оригінал-макет, 009

3 Від авторів Любі дев ятикласники! Ми маємо надію, що ви не розчарувалися, обравши нелегкий шлях навчатися в математичному класі. У цьому навчальному році ви продовжите вивчати математику за поглибленою програмою. Ми сподіваємося, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте. Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою. Підручник розділено на шість параграфів, кожний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Особливу увагу звертайте на текст, виділений жирним шрифтом. Також не залишайте поза увагою слова, надруковані курсивом. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв язування задач. Ці записи можна розглядати як один з можливих зразків оформлення розв язання. До кожного пункту підібрано задачі для самостійного розв язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і складні задачі (особливо ті, які позначено зірочкою (*)). Якщо після виконання домашніх завдань залишається вільний час і ви хочете знати більше, то рекомендуємо звернутися до рубрики «Коли зроблено уроки». Матеріал, викладений там, є непростим. Але тим цікавіше випробувати свої сили! Бажаємо успіху! Шановні колеги! Ми знаємо, що підготовка до уроку в класі з поглибленим вивченням математики робота нелегка. Організація такого навчального процесу вимагає великих зусиль учителя, який формує навчальний матеріал по крихтах, збираючи його в багатьох посібниках. Ми сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій і шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається. У книзі дібрано обширний і різноманітний дидактичний матеріал. Проте за один навчальний рік усі задачі розв язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість

4 Від авторів реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні. Червоним кольором позначено номери задач, що рекомендуються для домашньої роботи, синім кольором номери задач, які з урахуванням індивідуальних особливостей учнів класу на розсуд учителя можна розв язувати усно. Матеріал рубрики «Коли зроблено уроки» може бути використаний для організації роботи математичного гуртка і факультативних занять. Бажаємо творчого натхнення й терпіння. Умовні позначення n завдання, що відповідають початковому і середньому рівням навчальних досягнень; n завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних досягнень; n завдання, що відповідають високому рівню навчальних досягнень; n* задачі для математичних гуртків і факультативів; задачі, у яких отримано результат, що може бути використаний при розв язуванні інших задач; n (m) задача, яка пропонується в різних пунктах для розв язування різними способами (номер m вказує міс цезнаходження цієї задачі в іншому пункті); закінчення доведення теореми; рубрика «Коли зроблено уроки».

5 . Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу. Задачі на повторення курсу алгебри 8 класу.. Які множини є рівними: ) A = {x x = 5n, n }; ) C = {x x = 5n +, n }; ) B = {x x = 0n + 9, n }; ) D = {x x = 0n, n }?.. Яка множина є перетином множин A і B, якщо A множина прямокутників, B множина описаних чотирикутників?.. Яка множина є перетином множин A і B, якщо A множина ромбів, B множина вписаних чотирикутників?.. Яка множина є об єднанням множин A і B, якщо A = {x x = n, n }, B = {x x = n +, n }?.5. Яка множина є об єднанням множин A і B, якщо A = {x x = 6n, n }, B = {x x = 6n, n }?.6. Замість знака * запишіть знак c або o так, щоб утворилася правильна рівність: ) A * = A; ) A * =..7. Відомо, що A B. Замість знака * запишіть знак c або o так, щоб утворилася правильна рівність: ) A * B = B; ) A * B = A..8. Використовуючи діаграми Ейлера, проілюструйте такі властивості операцій над множинами: ) (A c B) c C = A c (B c C); ) A o (B c C) = (A o B) c (A o C). 5

6 . Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу.9. Використовуючи діаграми Ейлера, проілюструйте такі властивості операцій над множинами: ) (A o B) o C = A o (B o C); ) A c (B o C) = (A c B) o (A c C)..0. У класі 5 учнів. З них 0 відвідують математичний гурток, гурток з фізики, а 0 учнів не відвідують ці гуртки. Скільки фізиків захоплюються математикою?.. Квадрату, площа якого дорівнює 6 см, належать три многокутники, площа кожного з яких дорівнює см. Доведіть, що серед цих многокутників знайдуться два, площа спільної частини яких не менша ніж см... Яких п ятицифрових чисел більше: тих, у яких цифри записано у порядку зростання, чи тих, у яких цифри записано у порядку спадання?.. Знайдіть область визначення виразу: ) x x ; ) x + ; ). x x x x +.. Побудуйте графік функції: 9x 6x + x + 5x + x ) y = ; ) y = ; ) y =. x x + x + x.5. Скоротіть дріб: ) x 0 x + ; ) a + 9 a + 5 ; x x + a + a ) 9 x + x + x + ; ) x + x x +. x x x + x x +.6. Знайдіть усі натуральні значення n, при яких є цілим числом значення виразу: ) n + ; ) n n + n. n + n +.7. Спростіть вираз: xx ( + ) ( x + )( x + 8) ( x + 8)( x + ) ( x + )( x + 6)..8. Спростіть вираз: x x x + x ) ( + y y + ) : 9y + 6y ; ) x y y y xy + y + y x + xy x y x ; ( )( )

7 ) ) ( ( )) ( a + b) : ; a b a + b a b ab + a b + c b + c a ( + ). bc a b + c.9. Спростіть вираз: x y ) y x x y + ; x + y ( ) ( ) + ) a a ( a ) ; 8 6a a ) x y x y y x ( y x ) + ( y x ) ( ) + x x y ) x + 9 x + 7 x. Задачі на повторення курсу алгебри 8 класу ( ) + ( + ) ( ) x x 7 x + 5 x 8.0. Розв яжіть систему нерівностей: ) x x + x + + l, 5x x 8 + m x; ) ; x + x 9 x < + x, x 6 > ( x), ( x ) > x... Для кожного значення параметра a розв яжіть нерівність: ) ax + > x; ) ax + a l x +... Розв яжіть нерівність: ) (x + ) (x ) l 0; ) x (x ) l 0; ) (x + ) (x ) > 0; ) x 9 (x + ) < 0... Для кожного значення параметра a розв яжіть нерівність: ) x x + (x a) l 0; ) x + x + (x a) < 0... Розв яжіть рівняння: ) x = ; ) x + x + = 5; ) x = x + ; 5) x + x = ; ) x = x ; 6) x + x x. =..5. Розв яжіть нерівність: ) x < ; ) x + 5 > x + 8; ) x < x; ) x x m x.

8 . Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу.6. Побудуйте графік функції: x + x ) f( x) = ; x + x x ) f( x) = ; x.7. Побудуйте графік рівняння: 8 x, ÿêùî x <, ) f( x) = x +, ÿêùî x l. ) y x = 0; ) y + x = 0; ) y x x x y + x x = Розв яжіть рівняння: ) x x + + x + x = 0; ) ( x + x ) ( x ) = 0. ) ( x x + ) x = 0;.9. Знайдіть усі пари чисел (x; y), які задовольняють рівняння: ) x x + y = 0; ) x + y + x + y = 0. ) x 6x y y = 0;.0. Для кожного значення параметра a розв яжіть рівняння: ) ( a ) x = 0 ; ) ( x + x 5) ( x a) = 0. ) ( x x + ) x a = 0;.. Спростіть вираз: ) ; ) 6 7 ; ) ; ) Спростіть вираз: ) a + a ; ) x x, якщо x > ; ) a + a a + a ; x + + x + ). x +.. Спростіть вираз: a a + b b b ab ) + ; ( a + b) ( a b) a + b a b a + b a + b ) a : + b: ; b a a b

9 . Задачі на повторення курсу алгебри 8 класу ) + x + x x + x ; + x + x + x x x + y x y x y x + y y xy + x ). x y x + y xy + x + y x y.. Відомо, що x і x корені рівняння x x 5 = 0. Не розв язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: ) x + x; ) x x + ; ) x x +. x x x x.5. Складіть квадратне рівняння, корені якого на більші за відповідні корені рівняння x + x 7 = При яких значеннях параметра a сума коренів рівняння x (a + a) x a = 0 дорівнює?.7. При яких значеннях параметра a добуток коренів рівняння x ax + a a = 0 дорівнює?.8. Розв яжіть рівняння: ) = ; x 9 9 6x + x x + 6x x 7 ) = ; x 9x + x x + x ) x x 6 8x x x x 6 =..9. Розв яжіть рівняння: ) (x ) (x 7) (x ) (x + ) = 0; ) (x ) (6x ) (x ) (x ) = 5; ) (x + 6) (x + ) (x ) (x ) = x ; ) 7 ( x + x 9 x ) ( + x ) = ; 5) x x 0x + x + = 0; 6) (x x + ) 0x (x x + ) + 9x = 0; 7) (x + 5) + (x + ) = ; x 8) x + 9 ( x + ) =7..0. Доведіть, що при будь-якому цілому значенні n значення виразу n (n + ) (n + ) кратне 6... Доведіть, що при будь-якому натуральному значенні n значення виразу n n n + + є натуральним числом. 6 9

10 . Повторення й систематизація навчального матеріалу з курсу алгебри 8 класу.. Чи існують такі натуральні числа n і k, що значення виразу 5 n + кратне значенню виразу 5 k?.. Натуральне число n > не ділиться націло ні на, ні на. Доведіть, що число n кратне... Доведіть, що не існує такого натурального числа p, для якого числа p + 5 і p + 0 є простими..5. Знайдіть усі пари натуральних чисел (m; n) таких, що m! + = n..6. Знайдіть усі двоцифрові натуральні числа, будь-який натуральний степінь яких закінчується двома цифрами, що утворюють це двоцифрове число..7. Доведіть, що при всіх натуральних значеннях n дріб n + 5n + є нескоротним. n + 0n Квадратний тричлен x + ax + b має цілі корені, більші за. Доведіть, що число a + b + складене..9. Остання цифра десяткового запису числа n + 8n дорівнює. Яка передостання цифра в записі цього числа? 0

11 . Доведення нерівностей. Основні методи доведення нерівностей Очевидно, що нерівності a l 0, a < 0, a + b l 0, (a b) l 0 виконуються при всіх значеннях змінних, які до них входять. Нерівність x 8xy + 7y l 0 також виконується при будьяких значеннях змінних x і y, хоча цей факт не настільки очевидний. У його справедливості слід переконатися. У таких випадках говорять, що потрібно довести нерівність x 8xy + 7y l 0. Маємо: x 8xy + 7y = x 8xy + 6y + y = (x y) + y. Вираз (x y) + y набуває тільки невід ємних значень. Отже, при будь-яких значеннях змінних x і y є правильною нерівність x 8xy + 7y l 0. Для доведення нерівностей використовують різні прийоми. Наприклад, нерівність x 8xy + 7y l 0 ми довели, виділивши квадрат двочлена. Розглянемо ще кілька прийомів доведення нерівностей. Метод різниці Цей прийом полягає в тому, що розглядають різницю лівої та правої частин нерівності і доводять, що ця різниця набуває значень постійного знака при будь-яких значеннях змінних. Приклад Доведіть нерівність: a b + a + b + l 6ab. Розв язання. Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності: a b + a + b + 6ab = a b ab + + a ab + b = = (ab ) + (a b). При будь-яких значеннях a і b ця різниця набуває тільки невід ємних значень, отже, нерівність, що доводиться, є правильною.

12 . Доведення нерівностей Приклад Доведіть, що коли a > b > c, то a b + > a + b+ c. a b b c Розв язання. Маємо: a b a b b c + a + b+ c = ( a + b )+( b+ c ) a b b c ( ) a b ( ) = + b c ( ) a b b c. Оскільки з умови a > b > c випливає, що a b > 0, b c > 0 і b + c b c 0, то + > 0. a b b c Метод спрощення нерівності У ряді випадків спрощення виразів, які утворюють нерівність, робить цю нерівність очевидною. Приклад Доведіть нерівність: < nn+ ( ), де n. Розв язання. Маємо: = ( ) (.... ) + ( ) + + ( ) = nn+ n n + n + Нерівність, що доводиться, набуває вигляду < і стає n + очевидною. Метод, у якому застосовуються міркування «від супротивного» Приклад Доведіть нерівність: a + b b+ a l a + a b+ b. Розв язання. Нехай нерівність, що доводиться, є неправильною, тобто існують такі значення a і b, при яких є правильною нерівність a + b b+ a < a + a b+ b. Звідси: ( a + b) ( b+ a) < ( a + a) ( b+ b) ; a a + b b < a b + b a; ( ) < 0 ( a b) a b. Остання нерівність є неправильною, оскільки при a l 0 і b l 0 різниці a b і a b мають однакові знаки або дорівнюють нулю. Отримана суперечність означає, що задана нерівність є правильною. Метод застосування очевидної нерівності Цей прийом полягає в такому: задану нерівність отримують у результаті перетворення очевидної нерівності чи додавання або множення кількох очевидних нерівностей.

13 . Основні методи доведення нерівностей Приклад 5 Доведіть нерівність: a + b + c l ab + bc + ca. Розв язання. Очевидно, що при будь-яких значеннях a, b і c виконується така нерівність: (a b) + (b c) + (c a) l 0. Звідси a ab + b + b bc + c + c ca + a l 0; a + b + c l ab + bc + ca. Приклад 6 Доведіть, що коли a l 0, b l 0, c l 0, то (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc. Розв язання. Для невід ємних значень a, b і c виконуються такі три очевидні нерівності: ( a b) l 0, ( b c) l 0, ( c a) l 0. Звідси a + bl ab, b+ cl bc, c+ al ca. Оскільки обидві частини кожної з цих нерівностей набувають невід ємних значень, то можна застосувати теорему про почленне множення нерівностей. Маємо: ( a + b)( b+ c)( c+ a) l8 abc. Оскільки a l 0, b l 0, c l 0, то abc = abc. Отримуємо, що (a + b) (b + c) (c + a) l 8abc. Приклад 7 Доведіть, що для будь-якого n, n l, виконується нерівність: >. n + n + n Розв язання. Оскільки з двох звичайних дробів з однаковими чисельниками більшим є той, у якого знаменник менший, то можна записати n очевидних нерівностей: > ; n + n > ; n + n... l. n n

14 . Доведення нерівностей Застосовуючи теорему про почленне додавання нерівностей, отримаємо: n > = =. n + n + n n n n n n äîäàíê³â Метод застосування раніше доведеної нерівності Нерідко раніше доведена нерівність може бути використана для доведення іншої, більш складної нерівності. ¾ Застосування нерівності a + b l ab Приклад 8 Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a + b b + c c + a + + m + +. a + b b + c c + a a b c Розв язання. Маємо: a + b a + b m = + ; a + b ab b a b + c b + c m = + ; b + c bc c b c + a c + a m = +. c + a ca a c Звідси a + b b + c c + a + + m = + + a + b b + c c + a b a c b a c a b c. ¾ Застосування нерівності a + b + c l ab + bc + ac Приклад 9 Доведіть нерівність a + b + c l abc (a + b + c). Розв язання. Маємо: a + b + c = (a ) + (b ) + (c ) l a b + b c + c a = = (ab) + (bc) + (ca) l (ab) (bc) + (bc) (ca) + (ca) (ab) = = ab c + bc a + ca b = abc (a + b + c)... Доведіть, що при будь-якому значенні змінної є правильною нерівність: ) (y + 5) (y ) l y 0; ) a (a ) l ; ) 8m 6m + m (m ) ; ) (b + 7) > b Доведіть нерівність: ) (a 5) m 6a 0a + 5; ) a + l a... Доведіть нерівність: ) a 8a + 6 > 0; ) b + b + > 0; ) a + ab + b l 0; ) 9x 6xy + 5y l 0; 5) (a + ) (a ) (a 5) > (a );

15 .5. Доведіть, що: ) коли 0 < a < b, k > 0, то a a + k < b b + k ; ) коли a l b > 0, k > 0, то a b l a + k b + k. 5. Основні методи доведення нерівностей 6) a (a ) > 5 (a ); 7) (a b) (a + 5b) m (a + b) (a + b) + ab... Доведіть нерівність: ) 8a m 7a ; ) 6x 8xy + y l 0; ) (b ) < b (b + ); ) (p ) (p + ) (p ) (p + ) > (p + p)..5. Доведіть, що: ) коли a l 6, то a 6a + a 6 l 0; ) коли a l b, то ab (b a) m a b..6. Доведіть, що коли x l, то x x + x 8 l Доведіть, що при всіх значеннях змінної є правильною нерівність m. a a +.8. Доведіть, що коли a < b, то a a + b < < b. a + b + c.9. Доведіть, що коли a < b < c, то a < < c..0. Доведіть, що при всіх значеннях змінних є правильною нерівність: ) a + b + 6a b + l 0; ) x x + y + 0y + 8 > 0; ) m 6mn + 9n 6m + 9 l 0; ) a + b + c + l (a + b + c); 5) a b + a + b + l ab; 6) a + b + c l a (b + c)... Доведіть, що при всіх значеннях змінних є правильною нерівність: ) a + b 6a + b + > 0; ) x + y + 0 l 6x y; ) c + 5d + cd d + l 0; ) a + b + c l (a + b + c)... Доведіть, що коли a [0; ], то a l a... Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то a + b l a b + b a... Доведіть нерівність a + b l a b + b a.

16 . Доведення нерівностей.6. Доведіть, що при будь-яких значеннях x, y і z хоча б один з виразів x + xy + z, y + yz + x, z + zx + y набуває невід ємних значень..7. Доведіть, що: ) коли x m і y m, то xy + l x + y; ) коли x l і y l, то xy + l x + y..8. Доведіть, що: ) a l a b, де b > 0; ) a l a b, де a > 0, b > 0. b b.9. Доведіть, що коли x > 0 і y > 0, то x y + x + y l. x + y.0. Доведіть нерівність a n + + b n + l a n b + b n a, де n непарне натуральне число... Для a > 0, b > 0 доведіть нерівність a n + + b n + l l a n b + b n a, де n парне натуральне число... Доведіть, що при b > 0 виконується нерівність a b l a. a + b.. Доведіть, що при a > 0 і b > 0 виконується нерівність a b + m. b + a a + b.. Доведіть, що коли x > 0, y > 0, то a b a + b + l ( ). x y x + y.5. Відомо, що x [0; ] і y [0; ]. Доведіть, що + m. + x + y + xy.6. Доведіть нерівність a 8 + a 6 a + a + l Доведіть нерівність x 8 + x 6 x + x + > Доведіть, що коли a l 0, b l 0, c l 0 і d l 0, то ( a + c)( b+ d) l ab + cd..9. Доведіть, що при n виконується нерівність: ) n n > ; ) n + n <. n n.0. Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то + + > + + > a b c a + b b + c c + a a + b + c... Доведіть, що коли x [0; ] і y [0; ], то x y + m. + y + x 6

17 . Основні методи доведення нерівностей.. a b a + b Доведіть, що коли a > 0 і b > 0, то + >. + a + b + a + b.. Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a b c a + b + b + c + c + a >... Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a b c a + b + b + c + c + a <..5. Доведіть нерівність a + b + c + d l abcd..6. Доведіть нерівність (a b + 6) (a + 9b ) l a b..7. Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то a ( + b ) + b ( + a ) l ab..8. Доведіть нерівність x + y + 5 l 8xy..9. Доведіть, що коли y l 0, то x + y + y + x + l 8xy..0. Доведіть, що коли b l 0, то a + b + b + l ab... Доведіть нерівність a + b + l ab + b + a... Доведіть нерівність a + b + l ab + a + b... Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то + + l + +. a b c ab bc ca.. Доведіть, що коли a l 0, b l 0, c l 0, то a + b+ c l ab + bc + ca..5. Доведіть нерівність a b b c ( ) + ( c ) + ( a ) + + b c a b ( ) + ( ) + ( ) a c b l. c b a.6. Доведіть нерівність a c l. b c a b c a.7. Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то bc ac ab + + l a + b+ c. a b c.8. Відомо, що a + b + c =. Доведіть, що (a b) + (b c) + (c a) m..9. Відомо, що xy l. Доведіть, що (x ) + (y + ) l Доведіть нерівність a + b + ab l (a + b )..5. Доведіть, що при будь-яких значеннях a, b і c хоча б одна з нерівностей a b m, b c m, c a m є правильною..5. Доведіть, що при будь-яких додатних значеннях a, b і c хоча б одна з нерівностей a( b) m, b( c) m, c( a) m є правильною.

18 . Доведення нерівностей.5. x y Доведіть, що коли x > 0 і y > 0, то + m. x + y y + x xy.5. Доведіть, що коли x > 0, y > 0, z > 0, то x x y z + + l. + yz y + xz z + xy.55. Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0 і + + =, то a b c a b c a + b + b + c + c + a m..56. Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0 і ab + bc + ac l a + b + c. Доведіть, що a + b + c l..57. Відомо, що a > 0, b > 0 і ab l a + b. Доведіть, що a + b l..58. Доведіть, що коли x [0; ] і y [0; ], то (x + y + ) l (x + y )..59. Доведіть нерівність <, де n. n + n + n +.60.* Доведіть, що коли x > 0, y > 0, z > 0 і xyz =, то xy yz zx + + l. x + y + z +.6.* Доведіть нерівність a + b + c + d + e l (a + b + c + d) e..6.* Доведіть нерівність (n!) l n n, де n..6.* Доведіть нерівність!!... n < ( n + )!, де n..6.* Доведіть нерівність! +! n n! < (n + )!, де n..65.* Доведіть нерівність < +, де n. ( n ).66.* Доведіть нерівність 5 n... <, де n. 6 n n +.67.* Доведіть нерівність 5 n... >, де n, n >. 6 n n.68.* Доведіть нерівність n >, де n. + + n + n.69.* Доведіть нерівність n <, де n. + + n + n 8

19 . Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші Буняковського. Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші Буняковського Значення виразів a + b, a + b, ab, + 9 називають від a b повідно середнім квадратичним, середнім арифметичним, середнім геометричним, середнім гармонічним чисел a і b. Ці величини називають «середніми», оскільки при 0 < a m b виконуються нерівності: a + b a + b a m mb, a m mb, a m ab m b, a m mb. + a b Зв язок між «середніми» виражають такі три теореми. Т е о р е м а.. При будь-яких значеннях a і b виконується нерівність a + b a + b l. (*) Д о в е д е н н я. Маємо: a + b l ab; a + b l ab + a + b ; a + b l (a + b) ; a + b a + b l ( ) ; a + b a + b l ( ) ; a + b a + b l. a + b a + b Оскільки a + b l a + b, то l. Зауважимо, що в нерівності (*) рівність досягається тоді й тільки тоді, коли a = b і a l 0. Доведіть цей факт самостійно. Т е о р е м а. (н е р і в н і с т ь К о ш і д л я д в о х ч и с е л). При будь-яких невід ємних значеннях a і b виконується нерівність a + b l ab. (**) Д о в е д е н н я. Розглянемо різницю лівої і правої частин нерівності:

20 . Доведення нерівностей a + b a + b ab a b ab. При будь-яких невід ємних значеннях a і b ця різниця набуває невід ємних значень. Отже, нерівність, що доводиться, є правильною. Зауважимо, що в нерівності (**) рівність досягається тоді й тільки тоді, коли a = b і a l 0. Доведіть цей факт самостійно. Наслідок. Якщо a > 0, то a + l, причому a + = a a тоді й тільки тоді, коли a =. = = ( ) Д о в е д е н н я. До додатних чисел a і a Коші: a + a l a =. Звідси a + l. a a Рівність досягається тоді й тільки тоді, коли a =. З ураху a ванням того, що a > 0, отримуємо a =. 0 застосуємо нерівність При розв язуванні цілої низки задач у попередньому пункті, а також при доведенні теореми. ми використовували нерівність a + b l ab. Цю нерівність також можна розглядати як наслідок з нерівності Коші. Справді, оскільки a l 0 і b l 0, то можна записати a + b l ab. Звідси a + b l ab = ab l ab. Т е о р е м а.. Якщо ab > 0, то ab l. (***) + a b Д о в е д е н н я. Якщо a < 0 і b < 0, то < 0 і ab > 0. + a b У цьому разі нерівність, що доводиться, стає очевидною. Нехай a > 0 і b > 0. Застосуємо нерівність Коші до додатних чисел a і b : + a b l =. a b ab

21 . Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші Буняковського Оскільки обидві частини цієї нерівності при a > 0 і b > 0 набувають додатних значень, то справедливою є така нерівність: m ab. + a b Зауважимо, що в нерівності (***) рівність досягається тоді й тільки тоді, коли a = b і a > 0. Доведіть цей факт самостійно. Теореми.. дозволяють дійти висновку, що при a > 0 і b > 0 є справедливим такий ланцюжок нерівностей: a + b a + b l l ab l + a b Проілюструємо застосування теорем.. на прикладах. Приклад Доведіть нерівність x + ( y) + ( x) + y l. Розв язання. Скориставшись нерівністю (*), можна записати: x x + ( y) x + y + ( y) = l ; ( ) ( x ) + y x + y x + y = l. Звідси x + y x + y x + ( y) + ( x) + y l ( + ) =. Приклад Доведіть, що коли a > 0 і b > 0, то ( a + b b) ( + a) l. Розв язання. Застосовуючи нерівність Коші, можна записати: a + b a l ; b b + a b l. a a Звідси a + l, b + l b b a a + b b a b. Тоді a ( ) ( + ) = a b l. b a

22 . Доведення нерівностей Приклад Знайдіть найбільше значення виразу ab, якщо відомо, що a > 0, b > 0 і a + b =. Розв язання. Маємо: a + b = l ab. Звідси ab m ; ab m 9 8. Остання нерівність ще не дозволяє зробити висновок, що найбільше значення виразу ab дорівнює 9. Необхідно також пока 8 зати, що існують такі значення a і b, при яких ab = 9 8. У записаній нерівності Коші для чисел a і b рівність досягається лише тоді, коли a = b. Тепер потрібні значення a і b можна знайти, розв язавши систему a = b, a + b =. Звідси a =, b =. Отже, найбільше значення виразу ab дорівнює 9 8. Приклад Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a b c + + l a + b + c. bc ca ab Розв язання. Маємо: a a + bc l bc = a. Звідси bc bc a l a bc. bc Міркуючи аналогічно, отримуємо, що b l b ca; ca c l c ab. ab Застосувавши теорему про почленне додавання нерівностей, отримуємо: a b c + + l a + b + c ab bc ca = bc ca ab = (a + b + c ) + (a + b + c ab bc ca) l a + b + c. Тут ми скористалися тим, що a + b + c l ab + bc + ca (див. приклад 5 п. ). Приклад 5 Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0. Доведіть нерівність a b c b + c + c + a + a + b l.

23 . Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші Буняковського Розв язання. Введемо позначення: b + c = x, c + a = y, a + b = z. Звідси a + b + c = x + y + z, a = y + z x, b = x + z y, c = x + y z. a b c y + z x x + z y x + y z Маємо: + + = + + = b + c c + a a + b x y z ( ) = y x x z x y = x z y y z z x y = ( + ) ( ) ( ) + y + z + x + z l y x z y z x l + + = =. Приклад 6 Доведіть, що коли x l, y l, z l і + + =, x y z то x + y + z l. Розв язання. Запишемо нерівність (***) у такому вигляді: ab ab l a + b. ( x ) x Маємо: x = ( x ) l = =. x + x x Міркуючи аналогічно, отримуємо, що y l, y z l. z Тоді x + y + z x y z 6 l. ( ) = = Теорема. (нерівність Коші Буняковського). При будь-яких значеннях a, a,..., a n, b, b,..., b n виконується нерівність ( ab + ab ab) m ( a + a a )( b + b b ). n n n n Л е м а. Якщо квадратний тричлен ax + bx + c, де a > 0, при всіх значеннях x набуває невід ємних значень, то його дискримінант D недодатний. Д о в е д е н н я. Припустимо, що для даного квадратного тричлена D > 0. Тоді квадратний тричлен має два різні корені x і x і можна записати ax + bx + c = a (x x ) (x x ). За умовою a (x x ) (x x ) l 0 при будь-якому значенні x + x змінної x, а отже, і при x =.

24 . Доведення нерівностей Огюстен Луї Коші ( ) Видатний французький математик, автор понад 800 наукових праць. Віктор Якович Буняковський (80 889) В и д а т н и й м а т е м а т и к ХІХ ст. Народився на Вінниччині. Протягом багатьох років був віце-президентом Петербурзької академії наук. x + x x + x Маємо: a( x x 0 )( )l. Звідси a (x x ) (x x ) l 0. () Оскільки a > 0 і (x x ) (x x ) < 0, то нерівність () є неправильною. Отже, припущення про те, що D > 0, також неправильне. Д о в е д е н н я т е о р е м и. Якщо a = a =... = a n = 0, то нерівність, що доводиться, є очевидною. Розглянемо випадок, коли хоча б одне з чисел a, a,..., a n не дорівнює 0. При будь-якому значенні змінної x виконується нерівність (a x b ) + (a x b ) (a n x b n ) l 0. Цю нерівність можна перетворити до такого вигляду: ( ) a + a a x ( ab ab... ab) x b b... b l 0. n n n n Ліва частина останньої нерівності це квадратний тричлен з додатним старшим коефіцієнтом. Цей квадратний тричлен набуває невід ємних значень при будь-яких значеннях змінної x. Отже, за лемою його дискримінант D недодатний.

25 . Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші Буняковського Маємо: D = ( ab+ ab anbn) ( a + a an) ( b + b bn). Оскільки D m 0, то ( ab + ab ab) m a + a a b b... b. ( )( ) n n n n Якщо a = a =... = a n = 0, то рівність у нерівності Коші Буняковського досягається при будь-яких значеннях b, b,..., b n. Розглянемо випадок, коли хоча б одне з чисел a, a,..., a n не дорівнює 0. Покажемо, що в нерівності Коші Буняковського рівність досягається тоді й тільки тоді, коли існує таке число k, що виконуються рівності b = ka, b = ka,..., b n = ka n. () Легко показати (зробіть це самостійно), що коли виконується умова (), то нерівність Коші Буняковського перетворюється на рівність. Доведемо обернене твердження. Нехай ( ab + ab ab) = a + a a b b... b. ( )( ) n n n n Це означає, що квадратне рівняння a + a a x ( ab ab... ab) x b b... b = 0 ( ) n n n n має єдиний корінь. Нехай цей корінь дорівнює k. Тоді число k є коренем рівняння (a x b ) + (a x b ) (a n x b n ) = 0. Отже, виконуються рівності a k = b, a k = b,..., a n k = b n. Приклад 7 Доведіть нерівність ( a + a a ) m n a + a a. n 5 ( ) Розв язання. Застосовуючи нерівність Коші Буняковського, запишемо: (a + a a n ) = (a + a a n ) m m ( a + a an )( ) = n( a + a a n ). n äîäàíê³â З доведеної нерівності можна отримати таку нерівність: a + a an a + a an l. n n Вирази, записані в лівій і правій частинах цієї нерівності, називають відповідно середнім квадратичним і середнім арифметичним чисел a, a,..., a n. Ця нерівність є узагальненням нерівності (*). n

26 . Доведення нерівностей Приклад 8 Для додатних чисел a, b і c доведіть нерівність: ( a + b + c )( + + ( a b c). a b c ) l + + Розв язання. До наборів чисел ( a a; b b; c c) і ; ; a b c застосуємо нерівність Коші Буняковського: (( a a) + ( b b) + ( c c) ) + a + b l c l a a b b c c + +. a b c Звідси ( a + b + c ) ( + + ( a b c). a b c ) l + + Приклад 9 Розв яжіть рівняння x + x x + = x. Розв язання. Перепишемо ліву частину рівняння так: До наборів ; Коші Буняковського: x + x x +. ( ) і ( x; x x + ) застосуємо нерівність ( x + x x + ) m (( ) + )(( x) + ( x x + ) ) ( ) + Звідси x + x x + m ( x x ); x + x x + m x ; x + x x + m x. У цій нерівності рівність досягається тоді й тільки тоді, коли існує таке число k, що = k x, x x x +. Звідси =. = k x x +. Отримане рівняння рівносильне заданому. x = x x +, x 0x + = 0, x =, Маємо: x l 0; x l 0; x =. Відповідь: ;. y.. Доведіть, що коли m > 0, x > 0, y > 0, то mx + l xy. m.. Відомо, що xy =, x > 0, a > 0, b > 0. Доведіть нерівність ax + by l ab. 6.

27 . Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші Буняковського.. Для додатних чисел a і b доведіть нерівність a 5b 5 + l. 6b a.. Для додатних чисел x і y доведіть нерівність x y + l. y 7x.5. Доведіть нерівність (x + y) (xy + 6) l 6xy, де x l 0, y l Доведіть, що коли a > 0 і b > 0, то ( a + b) + l. a b.7. Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то (a + b) (b + a) l a b. 7 ( ).8. Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то ( a + b c 8 bc ) ( + ca ) ( + ab ) l..9. Доведіть, що коли x l 0, y l 0, то (x + ) (y + ) (xy + ) l 8xy..0. Доведіть нерівність a + l a +... Доведіть нерівність x + 6 l x +. ( ) + l... При a > 0 доведіть нерівність a + a a a.. Доведіть нерівність x + l. x +.. Доведіть нерівність a + b + + >. a + b +.5. Відомо, що a + b =, c + d =. Доведіть, що ac + bd m..6. Відомо, що a + b =, c + d =. Доведіть, що ac bd m..7. Доведіть нерівність + a + b l + ab..8. Дано: a + b + c =, x + y + z =. Доведіть, що m m ax + by + cz m..9. Дано: a + b + c =, x + y + z =. Доведіть, що m ax + by + cz m..0. Доведіть, що коли добуток двох додатних чисел є сталим, то їх сума буде найменшою тоді, коли ці числа рівні... Доведіть, що коли сума двох додатних чисел є сталою, то їх добуток буде найбільшим тоді, коли ці числа рівні... Відомо, що x > 0 і xy =. Знайдіть найменше значення виразу x + y... Знайдіть найменше значення виразу 5a + b, якщо a > 0 і ab = 0.

28 . Доведення нерівностей.. Знайдіть найбільше значення виразу xy, якщо x > 0, y > 0 і x + y = Відомо, що a > 0, b > 0 і a + b =. Знайдіть найбільше значення виразу ab Знайдіть найменше значення виразу x +. x.7. Відомо, що x > 0. Знайдіть найменше значення виразу x + 0x + 6. x.8. x Знайдіть найбільше значення виразу, якщо x > 0. 9x +.9. x Знайдіть найбільше значення виразу x + x Доведіть нерівність a + l. a +.. a + 5 Доведіть нерівність <. a Доведіть нерівність a + >. a +.. Відомо, що a > 0, a > 0,..., a n > 0, a a...a n =. Доведіть нерівність ( + a ) ( + a )... ( + a n ) l n... Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то b + c c + a a + b + + l 6. a b c.5. Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то a b c d l. b c d a.6. Для додатних чисел a і b доведіть нерівність a + b + + l. b a.7. Для додатних чисел a і b доведіть нерівність ( a + ) ( b + ) + l 8. b a.8. Відомо, що a [0; ], b [0; ], a + b l. Доведіть нерівність ( a)( b) m..9. Відомо, що a m і b m. Доведіть нерівність ab + ( a )( b ) m. 8

29 . Нерівності між середніми величинами. Нерівність Коші Буняковського.0. Відомо, що a + b =. Доведіть, що a + b l... Відомо, що a + b =. Доведіть, що a + b l. 9.. Доведіть, що коли a + b =, то a + b m... Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0 і a + b + c =. Доведіть нерівність ab bc ca a + b + b + c + c + a m... Доведіть, що a b + b a m..5. Доведіть, що коли x + y + z =, то x + y + z l..6. Відомо, що a + a a n = n. Доведіть, що a + a a l n. n.7. Доведіть, що коли a + b + c =, то a + b+ c m..8. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу x + y, якщо x + y =..9. Знайдіть найменше значення виразу a + b, якщо 5a b =..50. Доведіть нерівність ( + a + a + a ) m ( + a + a + a 6 ). ( ) Доведіть нерівність ( a + b + c ) + + l ( a b c). a b c.5. Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то ( a + b+ c) ( + +. a b c ) l 9.5. Для додатних чисел a, a,..., a n доведіть, що ( a + a an) n. a a a l n.5. Доведіть нерівність ( a + c)( b+ d) m a + b c + d + c + b a + d..55. Доведіть, що коли a + b + c =, то a + + b+ + c + m Доведіть нерівність a a + 5 a < Розв яжіть рівняння x + 5x = ( x + )( x + )..58. Доведіть, що коли x + y + z =, то x y + z m..59. Відомо, що x + y + z =. Доведіть нерівність x + y z m.

30 . Доведення нерівностей.60. Доведіть, що коли a > і b >, то.6. Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то 0 a b + l. b a ( a b) a + b + l a b + b a..6. Відомо, що a > 0, b > 0 і a + b =. Доведіть, що ( ) + ( + ) 5 a + b l. b a.6. Доведіть, що коли a l 0 і b l 0, то.6.* Доведіть нерівність a + + b + l a + b. ( a + b ) + c + ( b+ c ) + a + ( c+ a ) + b l..65.* На сторонах AB, BC, CD і DA квадрата ABCD відповідно позначили точки M, N, P і Q. Доведіть, що периметр чотирикутника MNPQ не менший від суми діагоналей квадрата..66.* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0 і a + b + c =, то ( + a) ( + b) ( + c) l 8 ( a) ( b) ( c)..67.* Відомо, що x > 0, y > 0, z > 0. Доведіть нерівність x y z x y z y + z + z + x + l ( x + y + + )..68.* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, d > 0, то l. a b c d a + b + c + d.69.* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a b c b + c + c + a + a + b >.. Ефективні прийоми доведення нерівностей Матеріал двох попередніх пунктів переконує нас у тому, що найбільш ефективним методом доведення нерівностей є застосування раніше доведеної нерівності. Якщо за допомогою деякої нерівності можна довести цілу низку інших більш складних нерівностей, то таку нерівність називатимемо ключовою. Так, нерівності a + b l ab, a + b + c l l ab + bc + ac, нерівності між середніми величинами, нерівність Коші Буняковського, безумовно, можна віднести до ключових нерівностей.

31 Коли зроблено уроки У цьому пункті ви ознайомитесь ще з кількома ключовими нерівностями. У задачі.8 ви довели нерівність a b l a b, де b > 0 (*) Зауважимо, що в нерівності (*) рівність досягається лише при a = b. Покажемо, що цю просту нерівність можна віднести до ключових. Приклад (приклад п. ) Доведіть, що коли a > b > c, то a b + > a + b+ c. a b b c Розв язання. З умови випливає, що a b > 0 і b c > 0. Тоді a l a ( a b) = a + b, a b b l b ( b c) = b+ c. b c Зауважимо, що рівності a = a b і b = b c виконуються одночасно лише за умови b = c = 0. Тому в записаних нерівностях рівність одночасно досягатися не може. a b Звідси + > a + b+ b+ c = a + b+ c. a b b c Приклад (приклад п. ) Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a b c + + l a + b + c. bc ca ab Розв язання. Маємо: a ( a ) = l a bc, bc bc b ( b ) = l b ac, ac ac c ( c ) = l c ab. ab ab Звідси a b c + + l a + b + c ab bc ca = bc ca ab = (a + b + c ) + (a + b + c ab bc ca) l a + b + c. Приклад (.67 ) Відомо, що x > 0, y > 0, z > 0. Доведіть нерівність x y z x y z y + z + z + x + l ( x + y + + ). У задачі.67 цю нерівність було запропоновано довести за допомогою нерівності Коші Буняковського або нерівності Коші.

32 . Доведення нерівностей Розв язання. Якщо нерівність (*) застосувати таким чином: x l x y z, y + z y l y z x, z + x z l z x y, x + y то отримаємо x y z + + l x y z+ y z x + z x y = 0. y + z z + x x + y Але для такого результату не потрібне застосування будь-яких ключових задач. Проте це не означає, що нерівність (*) незастосовна для даного прикладу. x x Маємо: = ( ) l ( x y z y + z y + z ). Аналогічно показуємо, що y l ( y z x z + x ), z l ( z x y x + y ). Тепер за допомогою теореми про почленне додавання нерівностей отримуємо потрібний результат. Нерівність (*) можна узагальнити. Насправді є справедливою така нерівність: n a n k n k ( n k) l na kb, де n, k, n l k, a > 0, b > 0. k b Окремий випадок цієї нерівності, коли n = k +, а саме нерівність k + a l ( k+ ) a kb, де k, a > 0 і b > 0 (**) k b ви зможете довести в п. (задача.7). Зазначимо, що в задачі.8 ви довели цю нерівність для n = : a l a b, де a > 0 і b > 0 b

33 Коли зроблено уроки Приклад Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a b c + + l a + b+ c. b c a Розв язання. Застосувавши нерівність (**), запишемо: a l a b, b b l b c, c c l c a. a Залишилося застосувати теорему про почленне додавання нерівностей. У задачі. ви довели таку нерівність: a x + b y a + b l ( ), де x > 0, y > 0 x + y Застосовуючи цю нерівність, нескладно довести нерівність: a x b + + y c z a + b + c l ( ), де x > 0, y > 0, z > 0 (***) x + y + z Маємо: a b c ( a + b) c ( a + b + c) + + l + l. x y z x + y z x + y + z Нерівність (***) є ключем до розв язання цілої низки непростих задач. Розглянемо приклади її застосування. Насамперед покажемо, як, використовуючи нерівність (***), можна довести вже відому вам (див. задачу.67 і приклад цього пункту) нерівність. Приклад 5 Відомо, що x > 0, y > 0, z > 0. Доведіть нерівність Розв язання x y z x y z y + z + z + x + l ( x + y + + ). x y z ( x + y + z) ( x + y + z) + + l = = (x + y + z). y + z z + x x + y y + z + z + x + x + y ( x + y + z) Приклад 6 Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то b c a + + l. a + b b + c c + a Розв язання b c a b c a + + = + + l a + b b + c c + a ab + b bc + c ca + a

34 . Доведення нерівностей ( a + b + c) ( a + b + c) l = =. a + b + c + ab + bc + ac ( a + b + c) Приклад 7 Для додатних чисел x, y, z доведіть нерівність l. x + y y + z z + x x + y + z Розв язання. + + = + + l x + y y + z z + x x + y y + z z + x ( + + ) 9 l =. x + y + y + z + z + x x + y + z Після того як за допомогою задачі. ми довели нерівність (***), природно висунути припущення, що має місце така нерівність: x x xn x x xn + + y y... ( ) + l yn y + y y, n де y, y,..., y n додатні числа. Ви навчитеся доводити такі нерівності в п. (див. задачу.). Якщо в останній нерівності покласти x = a b, x = a b,..., x n = a n b n, y = b, y = b,..., y = b, то отримаємо: b ab b n n n bn ab ab n ( ab + ab ab n n) l. b + b b n ab ab ab n n Звідси a + a +... ( ) + a n l b + b b, n n ( n) l n n ( ) a + a a b b... b ( ab ab... ab). Таким чином, отримано ще один спосіб доведення нерівності Коші Буняковського... Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a b c + + l a + b+ c. b c a.. (.5) Доведіть, що коли x > 0, y > 0, z > 0, то x y z + + l. x + yz y + xz z + xy.. Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то a b c + + l a + b+ c. b c a.. Для додатних чисел x, y і z доведіть нерівність x y z + + l x + y + z. y z x.5. Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0. Доведіть нерівність a b c a + b + c + + l. b + c c + a a + b

35 5 Коли зроблено уроки.6. Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a b c a + b + c + + l. b + c c + a a + b.7. Відомо, що a > 0, b > 0, c > 0 і d > 0. Доведіть нерівність a b c d a + b + c + d l. b + c + d c + d + a d + a + b a + b + c.8. Дано: a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =. Доведіть, що: ab + bc + ac l..9. Доведіть, що коли x > 0, y > 0, z > 0, то x y z + + l. x + y + z y + z + x z + x + y.0. (приклад 5 п. ) Доведіть, що коли a > 0, b > 0 і c > 0, то a b c b + c + c + a + a + b l...* Відомо, що x [0; ], y [0; ], z [0; ]. Доведіть нерівність ( x + )( y + )( z+ ) l 8( x + y)( y + z)( z+ x)...* Відомо, що x [0; ], y [0; ], z [0; ]. Доведіть нерівність x y z + + m. + yz + zx + xy..* Відомо, що x [0; ], y [0; ], z [0; ]. Доведіть нерівність + + m. + x + yz + y + xz + z + xy x + y + z..* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0, то + + m. a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc.5.* Доведіть, що коли a l 0, b l 0, c l 0 і a + b + c =, то a (b + c ) + b (c + a ) + c (a + b ) l abc..6.* Доведіть, що коли a > 0, b > 0, c > 0 і abc =, то + + m + +. ab ( + c ) b( c + a ) ca ( + b ) a + b b + c c + a.7.* Для додатних чисел a, b і c доведіть нерівність a + b b + c c + a + + l a + b+ c. a + b b + c c + a a b c a + b + c.8.* Доведіть нерівність + + l, a + b b + c c + a де a > 0, b > 0, c > 0.

36 . Доведення нерівностей.9.* Відомо, що x [0; ], y [0; ], z [0; ]. Доведіть, що: + + l xy + yz + zx + x + y + z.0.* Доведіть нерівність n < n, де n...* Доведіть нерівність n > n +, де n. 6

37 Відповіді та вказівки до вправ Більше тих, у яких цифри записано в порядку спадання..5. ) a a + 5; ) x 8 + x ) ; )..7. x( x + 6). ( y).8. ) ( y + )( x + 7) ; ) x xy y + + ; ) y ab ; ) ( a + b + c )..9. ) x y ; )..0. ) ; ) (; + )... ) Якщо bc x + y a =, то x будь-яке; якщо a >, то x l a ; якщо a <, то x m a... ) [; + ) c { }; ) ( ; ) c (; + ); ) [; + ) c { }; ) ( ; ) c ( ; )... ) Якщо a m, то x l a; якщо < a m, то x l a або x = ; якщо a >, то x l a, або x =, або x =... ) [ ; ]; 6) ;..5. ) + ) ;..8. ) ; ) ; ; ) ;..9. ) (0; ), (; ); ) (; ), (; ), (5; ), (5; ); ) (; ), ( ; )..0. ) Якщо a =, то x l ; якщо a, то x = ; ) якщо a <, то x = a, або x =, або x = ; якщо m a <, то x = a або x = ; якщо a l, то x = a; ) якщо a < 0 або a =, то x = ; якщо a l 0 і a, то x = або x = a... ) 6; ) 6 ; ) + ; ) ) a + ; ) x + x ; ) a ; )... ) ; ) ab; ) 6x x ( x )( x ) ; ) x + y..6. a =..7. a =..8. ) 9; ) 0; ) ; ; ; ) ; ; 5 ± 89 ; ) ; ; ) ; ; 7 ± 7 ; ) ; ; 5) ± ; ± 7 ; 6) ; ; ± ; 7) ; 8) ±... Не існують. Вказівка. Скористайтеся тим, що значення виразу 5 n + не кратне..5. m =, n = 6. Вказівка. При m l 5 остання цифра десяткового запису числа m! + дорівнює..6. 5; 76. Вказівка. Шукане число n таке, що число (n n) кратне 00. Далі скористайтеся тим, що НСД (n; n ) =..7. Вказівка. n + 5n + n + n + = ( )( ). Доведіть, що НСД (n + ; n + ) =, n + 0n + 8 ( n + )( n + ) НСД (n + ; n + ) =, НСД (n + ; n + ) =, НСД (n + ; n + ) =..8. Вказівка. Можна записати x + ax + b = (x x ) (x x ), де x, x, x >, x >. Звідси + a + b = ( x ) ( x ) Вказівка. Скористайтеся тим, що дві останні

38 Відповіді та вказівки до вправ цифри запису числа n + 8n + 6 нулі..0. ) Вказівка. a + b + 6a b + = (a + 6a + 9) + (b b + )..6. Вказівка. Розгляньте суму даних виразів..7. ) Вказівка. Скористайтеся методом різниці..9. Вказівка. Скористайтеся методом різниці... Вказівка. Скористайтеся методом різниці... Вказівка. Скористайтеся методом різниці..5. Вказівка. Скористайтеся методом різниці..6. Вказівка. Ліву частину нерівності можна записати так: (a 8 a + ) + (a 6 a + a )..8. Вказівка. Скористайтеся методом доведення від супротивного..9. Вказівка. Скористайтеся методом доведення від супротивного. x x.. Вказівка. Оскільки 0 m x m і 0 m y m, то m + y x + y y y і m... Вказівка. Скористайтесь ключовою задачею + x y + x.5 ()..7. Вказівка. Скористайтеся тим, що + x l x..8. Вказівка. Скористайтеся тим, що x + l x і y + l y..9. Вказівка. Доведіть, що y + y l y при y l 0... Вказівка. Застосуйте нерівність x + y + z l xy + yz + zx для x = a, y = b, z =..8. Вказівка. Запишіть нерівність, що доводиться, у вигляді (a + b + c ) (ab + bc + ac) m (a + b + c )..9. Вказівка. Маємо: (x ) + (y + ) 8 = (x y) (x y) + + xy..50. Вказівка. Покажіть, що a + b + ab (a + b ) = = (a ) + (b ) + (a ) (b )..5. Вказівка. Нехай твердження, що доводиться, хибне. Тоді є правильними нерівності a b > 0, b c > 0, c a > 0. Додайте ці нерівності і отримайте суперечність..5. Вказівка. Зауважимо, що коли є правильною одна з нерівностей a l, b l, c l, то твердження, що доводиться, очевидне. Нехай a <, b <, c < і є правильними нерівності a( b) >, b( c) >, c( a) >. Звідси a( a) b( b) c( c) >. Доведіть, що при 0 < x < виконується нерівність 0 < x( x) m..5. Вказівка. Скористайтеся 6 тим, що при a > 0 і b > 0 m..5. Вказівка. Скористайтеся тим, що ab m a + b..56. Вказівка. Доведіть, що (a + a + b ab + b + c) l (ab + bc + ac)..58. Вказівка. Оскільки при зада ній умові x m x і y m y, то достатньо довести нерівність (x + y + ) l l (x + y)..59. Вказівка. Скористайтеся тим, що m, n + k n + 6

39 7 Відповіді та вказівки до вправ де n, k..60. Вказівка. Ліва частина нерівності то тожно xy yz zx y z дорівнює виразу + + = + + x + xyz y + xyz z + xyz x + yz y + zx x +. Далі див. розв язання задачі Вказівка. z + xy a + b + c + d + e = ( a + e b e c e d e ) + ( + ) + ( + ) + ( + )..6. Вказівка. Скористайтеся тим, що n l n; (n ) l n;...; k (n k + ) l n, де n, k, m k m n..6. Вказівка. Перетворіть ліву частину нерівності, що доводиться, за допомогою k рівності = ( k + )! k! ( k + )!, де k..6. Вказівка. Скористайтеся тим, що k k! = (k + )! k!, k..65. Вказівка < ( n + )... n( n + ). Далі див. при клад п.. 5 n 6 n.66. Вказівка. Нехай A =..., B = n 5 7 n + Маємо: A < B. Звідси A < AB =..67. Вказівка. Нехай n + 5 n n A =..., C =.... Маємо: A > C, 6 n 5 n A AC > =..68. Вказівка. Нехай S = n + + +, S = Очевидно, що S > S n + n n + n +. Тоді S > S + S..0. Вказівка. a + = = (a + ) Вказівка. Застосуйте нерівність Коші Буняковського до наборів (a; b) і (c; d) Вказівка. = a Вказівка. ( a)( b) m 7 a + a + a + a + b m..0. Вказівка. І спосіб. Скористайтеся тим, що x + y x + y l ( ). ІІ спосіб. Застосуйте нерівність Коші Буняковського до наборів (; ) і (a; b)... Вказівка. Скористайтеся тим, що середнє гармонічне чисел a і b не більше за їх середнє арифметичне... Вказівка. Застосуйте нерівність Коші ( ) і ( ) Буняковського до наборів a; a b ; b..5. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші Буняковського до наборів (; ; )

40 Відповіді та вказівки до вправ і (x; y; z)..8. 5, 5. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші Буняковського до наборів (; ) і (x; y) Вказівка. Застосуйте нерівність Коші Буняковського до наборів (a ; b ; c ) і ( ; ;. a b c ).5. Вказівка. (a + c) (b + d) = ab + ad + cb + cd = = (ad + bc) + (cd + ba)..55. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші Буняковського до наборів ( a + ; b+ ; c + ) і (; ; ) Вказівка. Застосуйте нерівність Коші Буняковського до ( ) наборів (; x) і x ; 5. Далі скористайтеся умовою досягнення рівності в нерівності Коші Буняковського..58. Вказівка. Застосуйте нерівність Коші Буняковського до наборів (x; y; z) і (; ; )..59. Вказівка. x + y z m x + y + z + + ( )..60. Вказівка. І спосіб. b = ( b ) m m b + b =. ІІ спосіб. a b a b + l l. b a a b.6. Вказівка. Маємо: a + bl ab. Також, порівнюючи середнє 8 ( ) + ( + ) квадратичне і середнє арифметичне чисел a і b, можна за a + b a + b писати l..6. Вказівка. a + b l b a ( a + + b + b a ) l. Далі скористайтеся тим, що з умови a > 0, b > 0, a + b = випливає нерівність ab m..6. Вка- зівка. a a + a + + = l..6. Вказівка. Маємо: ( a b) + c + c + ( b c) + a + a + ( c a) + b + b = ( a b) + c + c ( b c) + a + a ( c a) + b + b = + +. Далі порівняйте середнє квадратичне трьох чисел з їх середнім арифметичним..65. Вказівка. Нехай сторона квадрата дорівнює. Скористаємось позначеннями, показаними на рисунку. Залишилося довести нерівність x + ( y) + y + ( z) + + z + ( t) + t + ( x) l. Далі див. приклад п Вказівка. + a = b c = ( b) + ( c) l ( b)( c).

41 9 Відповіді та вказівки до вправ.67. Вказівка. І спосіб. Застосуйте y N y B C нерівність Коші Буняковського до x y z наборів ; ; y + z x + z x + y і x z ( y + z; x + z; x + y). ІІ спосіб. P M У с и л у н е р і в н о с т і К о ш і x z x y + z + l x і т. д..68. Вказівка. Оскільки при a > 0 і b > 0 Рис. до задачі.65 A D y + z t Q t a + b m, то + l. a b a + b + a b a a a.69. Вказівка. b + c a = l =... Вказівка. І спосіб. Скористайтеся нерівністю (*) з п.. ІІ спосіб. Ско b + c b + c a a + b + c + b + c ристайтесь нерівністю (***) п.... Вказівка. Скористайтеся нерівністю (**) з п.... Вказівка. x y z ( x ) ( y ) ( z ) + + = + +. y z x yx zy xz.5. Вказівка. І спосіб. Скористайтеся нерівністю (***) з п.. ( ) a b c ( a) ( b) ( c) ІІ спосіб. + + = + +. Далі b + c c + a a + b 9 b + c c + a a + b ско ристайтеся нерівністю (*) з п...6. Вказівка. І спосіб. a b c ( a ) ( b ) ( c ) + + = + +. Далі скористайb + c c + a a + b ab + ac bc + ba ca + cb a b c теся нерівністю (***) з п.. ІІ спосіб. + + = b + c c + a a + b ( ) ( a ) ( b ) ( c ) = + +. Далі скористайтеся нерівністю (*) ab + ac bc + ba ca + cb з п...8. Вказівка. + + = ab + bc + ac + ab + bc + ac. Далі скористайтеся нерівністю (***) з п...9. Вказівка. Ліву частину нерівності подайте у вигляді x y x + yx + zx + y + zy + xy + + z z + xz + yz. Далі скористайтеся нерівністю (***) з п. і нерівністю a + b + c l ab + bc + ac... Вказівка. Скориставшись ключовою задачею.7(), можна записати, що (x + ) (y + ) = = xy + + x + y l (x + y)... Вказівка. За допомогою клю

42 Відповіді та вказівки до вправ чової задачі.7() і умови x [0; ] можна записати, x x x x що = m m... Вказівка. Скориставшись ключовою задачею., можна записати, що + yz + yz + + y + z x + y + z c m = =..5. Вказівка. Скористайтеся ключовою задачею...6. Вказівка. a + b + abc a b + b a + abc ab ( a + b + c) abc( a+ b + c) Скористайтеся ключовою задачею...7. Вказівка. Скористайтеся задачею Вказівка. Скористайтеся ключовою задачею...9. Вказівка. Скористайтеся ключовою задачею Вказівка. Скориставшись задачею.9 (), можна записати: < 0; < ; < ;...; < n n... Вказівка. Скористайтеся задачею n.9 () ) ( ; 7) c ( 7; 7) c (7; + ) ; ) [; 6) c (6; + ). 5.. ) {} c [; + ); ) { } c [; + ); 5) ( ; 0) c (0; + ); 6) [0; + ). 5.. ) ( ; ) c ( ; + ); ) { } c [; + ); 5) { 5} c [ ; + ); 6) (0; + ). 5.. ) ) ; + ; ) ( ; 8 ; ) ( ; ) c ( ; + ) ; ) ( ; + ); 5) ( ; 6] c [6; + ). 5.. ) 9 0 ) ; + ; ) ( ; ; ) ( ; ) c ( ; + ) ; ) ( ; + ); 5 5 5) ( ; ] c [; + ) Див. рисунок ) [ ; ]; ) ; ; ) [ ; ]; ) [ ; ]; 5) [ ; ]; 6) ( ] ; c ; ) ) [ 0; 0]; ) [ 7; ]; ) [ ; ]; ) [ ; ]; 5) [0; ]; 6) ( ; c [ ; + ) ) ; ) ( ; 0) c [; + ); ) \ ; 9 ) \ ; 5) ) {}; ) {0; }; ) ) {0; }; ) {0}. 5.. ) Див. рисунок. Вказівка. D (y) = [ ; ), E (y) = {0; }. 5.. ) Див. рисунок. Вказівка. D (y) =, E (y) = {0}. 5.. ) Див. рисунок; ) див. рисунок. 5.. ) Див. рисунок; ) див. рисунок Див. рисунок. Вказівка. Скористайтеся тим, що коли x, то x 7 r (mod 5) тільки при r {0; ; } f( x) = x g (x) = x f( x) = x. Вказівка. Оскільки рівність, задана в умові, виконується при всіх x, то замість x під ставте x. Отримаємо f ( x) + f (x) = x +. Із системи f( x) + f( x) = x +, f( x) + f( x) = x + знаходимо f( x) = x. Залишилося пере 0

43 Алгебра. 9 клас Додаток Зміст програми з алгебри (9 клас) для класів з поглибленим вивченням математики Затверджено Міністерством освіти і науки України (лист /-5 від р.) Структура програми Програма подана у формі таблиці, яка містить дві частини: зміст навчального матеріалу і вимоги до підготовки учнів. У частині «Зміст навчального матеріалу», яка оформлена прямим шрифтом, включено зміст програми для загальноосвітніх навчальних закладів. Текст, оформлений курсивом, містить навчальний матеріал, який вивчається у класах з поглибленим рівнем математики. Програма передбачає можливість вивчення змісту курсу з різним степенем повноти. Додаткові питання і теми, узяті в квадратні дужки, можна не вивчати, що дозволяє вчителеві залежно від конкретних умов варіювати об єм матеріалу, який вивчається, і відповідно ступінь поглиблення і розширення курсу. 9-й клас. Алгебра (75 год. І семестр 80 год, 5 год на тиждень, ІІ семестр 95 год, 5 год на тиждень) К-ть год. Зміст навчального матеріалу Державні вимоги до рівня підготовки учнів 0 Тема. повторення і систематизація навчального матеріалу з курсу 8 класу Тема. Доведення нерівностей 5 Основні методи доведення нерівностей. Нерівність Ко ші для двох чисел та її застосування. Нерівності між середніми величинами двох додатних чисел (серед нє гармонічне, середнє геометричне, середнє ари ф- метичне, середнє ква дратичне). [Нерівність Коші- Буняковського.] Метод використання відомих нерівностей. Описує основні методи доведення нерівностей: використання означення нерівності, доведення від супротивного, використання відомої нерівності. Доводить нерівність Коші для двох невід ємних чисел, нерівність для суми двох додатних взаємно обернених чисел. Розв язує вправи, у яких передбачено використання основних методів доведення нерівностей. 7

Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки

Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки УДК 53383 Ю Ф Лазарєв Застосування кватерніонів в механіці матеріальної точки Вступ Сучасне подання механіки матеріальної точки з врахуванням релятивістського підходу базується на математичному апараті,

More information

ПОДАННЯ РЕЛЯЦІЙНИХ ОПЕРАЦІЙ ЗАСОБАМИ РЕЛЯЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ ДОМЕНІВ ДЛЯ НЕНОРМАЛІЗОВАНИХ ВІДНОШЕНЬ

ПОДАННЯ РЕЛЯЦІЙНИХ ОПЕРАЦІЙ ЗАСОБАМИ РЕЛЯЦІЙНОГО ЧИСЛЕННЯ ДОМЕНІВ ДЛЯ НЕНОРМАЛІЗОВАНИХ ВІДНОШЕНЬ O. Clarisse, S. Chang // Visual Languages. 986. 52 p. 22. Fowler M. ProjectionalEditing [Electronic Resource] // Режим доступу: http://martinfowler.com/bliki/projectionalediting.html. Last access: 2008.

More information

СЕРТИФІКАЦІЙНА РОБОТА З НІМЕЦЬКОЇ МОВИ

СЕРТИФІКАЦІЙНА РОБОТА З НІМЕЦЬКОЇ МОВИ Зошит 1 СЕРТИФІКАЦІЙНА РОБОТА З НІМЕЦЬКОЇ МОВИ Час виконання 120 хвилин Робота складається з трьох частин. Частина «Читання» містить 22 завдання. У частині «Використання мови» 20 завдань. Відповіді на

More information

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на Ставка іпотечного кредитування, %

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на Ставка іпотечного кредитування, % Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на 28.03.2013 Банк- партнер Іпотечна програма співпраці з ДІУ (Програма підтримки будівництва/рефін ансування

More information

П Р О Г Р А М А фахового іспиту «ДРУГА ІНОЗЕМНА МОВА (НІМЕЦЬКА)» для вступу у магістратуру

П Р О Г Р А М А фахового іспиту «ДРУГА ІНОЗЕМНА МОВА (НІМЕЦЬКА)» для вступу у магістратуру Міністерство освіти і науки України Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара Факультет української й іноземної філології та мистецтвознавства Кафедра германської філології Затверджено

More information

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на

Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на Умови кредитування позичальників за програмами співпраці з Державною іпотечною установою станом на 24.12.2012 Банк партнер Іпотечна програма співпраці з ДІУ (Програма підтримки будівництва/рефін ансування

More information

Екліптика Табл. 4. перебування Сонця в ній. α = 0 h ; δ=0º ІІІ.

Екліптика Табл. 4. перебування Сонця в ній. α = 0 h ; δ=0º ІІІ. Екліптика Табл.. Екліптикою називаєтья велике коло небеної фери лінія якого зображуєтья укупнітю точок положень Сонця еред зірок на небеній фері протягом року і є результатом річного орбітального руху

More information

Hallo! Guten Tag! Привіт! Добрий день!

Hallo! Guten Tag! Привіт! Добрий день! Ziel Мета Stunde 1 Навчати вітатися залежно від часу доби і статусу співрозмовників та прощатися німецькою мовою. Lehr- und Hilfsmittel: Підручник, робочий зошит, програвач компактдис ків, компакт-диск

More information

Порівняльно-педагогічні студії 2-3 (16-17), 2013

Порівняльно-педагогічні студії 2-3 (16-17), 2013 підтримання фізичного здоров я учнів, у середніх школах і ВНЗ тематичний блок «Санітарна освіта». Санітарна освіта позначена міждисциплінарними зв язками, які є набагато ширшими порівняно з попередніми

More information

Прийняті наступні позначення доріг або їх відрізків: A S GP G Автостради Експрес-дороги Головні дороги прискореного руху Головні дороги Розмір ставок

Прийняті наступні позначення доріг або їх відрізків: A S GP G Автостради Експрес-дороги Головні дороги прискореного руху Головні дороги Розмір ставок Нова електронна система дорожніх оплат у Польщі ЗАПРОШУЄМО ДО ПОПЕРЕДНЬОЇ РЕЄСТРАЦІЇ З 1 липня 2011 року віньєтки дорожніх оплат у Польщі будуть замінені системою електронної оплати зборів viatoll. UTA

More information

засновників наукових шкіл (у галузі високовольтної прискорювальної техніки А.К. Вальтера; у галузі техніки високих напруг В.М.

засновників наукових шкіл (у галузі високовольтної прискорювальної техніки А.К. Вальтера; у галузі техніки високих напруг В.М. ВІДГУК офіційного опонента на дисертацію Веселової Надії Вікторівни «Становлення і розвиток харківських наукових шкіл у галузі техніки та електрофізики високих напруг (1930-2010 рр.)», представлену на

More information

ВИКОРИСТАННЯ МОВИ ПРОГРАМУВАННЯ РНР 5 ДЛЯ СТВОРЕННЯ ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ІНТЕРНЕТ-МАГАЗИНІВ

ВИКОРИСТАННЯ МОВИ ПРОГРАМУВАННЯ РНР 5 ДЛЯ СТВОРЕННЯ ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ІНТЕРНЕТ-МАГАЗИНІВ УДК 004.738.5:338.46 О.I. Грабар, к.т.н., доц. Житомирський державний технологічний університет ВИКОРИСТАННЯ МОВИ ПРОГРАМУВАННЯ РНР 5 ДЛЯ СТВОРЕННЯ ПРОГРАМНОГО ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ІНТЕРНЕТ-МАГАЗИНІВ В статті

More information

Отримання візи з метою навчання у вузі

Отримання візи з метою навчання у вузі Stand/станом на: 08/2016 Beantragung eines Visums zum Studium (für Studenten, Studienkolleg, Doktoranden, PhD-Studenten und studienvorbereitende Sprachkurse bei Vorlage einer Zulassung*) Отримання візи

More information

ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ

ЗВIТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ УДК 58/88 58/44 : 68.5 держреєстрації U96 Інв. 6U46 Міністерство освіти і науки України Львівський національний університет імені Івана Франка ЛНУ ім. Івана Франка 79 м. Львів вул. Університетська ; тел.

More information

РЕАЛІЗАЦІЯ ЗАВДАНЬ КОНЦЕПЦІЇ КАДРОВОЇ ПОЛІТИКИ З ПІДГОТОВКИ ВІЙСЬКОВИХ ФАХІВЦІВ

РЕАЛІЗАЦІЯ ЗАВДАНЬ КОНЦЕПЦІЇ КАДРОВОЇ ПОЛІТИКИ З ПІДГОТОВКИ ВІЙСЬКОВИХ ФАХІВЦІВ конгресу петлюрівців в Україні. К., 1996. 20. Сідак В. Національні спецслужби в період Української революції 1917 1921 (невідомі сторінки історії). К., 1998. 320 с. 21. Ковальчук М. Невідома війна 1919

More information

Міністерство освіти і науки України. Факультет української й іноземної філології та мистецтвознавства. Кафедра германської філології ПРОГРАМА

Міністерство освіти і науки України. Факультет української й іноземної філології та мистецтвознавства. Кафедра германської філології ПРОГРАМА Міністерство освіти і науки України Дніпропетровський національний університет ім. Олеся Гончара Факультет української й іноземної філології та мистецтвознавства Кафедра германської філології «Затверджено»

More information

Міністерство освіти і науки України Сумський державний університет (СумДУ) 40007, м.суми, вул.римського-корсакова, 2; тел

Міністерство освіти і науки України Сумський державний університет (СумДУ) 40007, м.суми, вул.римського-корсакова, 2; тел УДК 332.14 КП держреєстрації 0111U002150 Інв. Міністерство освіти і науки України Сумський державний університет (СумДУ) 40007, м.суми, вул.римського-корсакова, 2; тел.330172 ЗАТВЕРДЖУЮ Проректор з наукової

More information

Навчання у Німеччині. Інформаційний центр DAAD у Києві. Друге видання 2012

Навчання у Німеччині. Інформаційний центр DAAD у Києві. Друге видання 2012 Навчання у Німеччині Інформаційний центр DAAD у Києві Друге видання 2012 Publisher Information Center Kyiv Peremohy Av. 37, Bldg. 6, 2nd Floor Kyiv 03056 (Ukraine) Tel./Fax +380 44 406-82-69 Tel. +380

More information

ОСОБЛИВОСТІ РЕАЛІЗАЦІЇ ДЕРЖАВНОЇ ПОЛІТИКИ ПОЛЬЩІ У СФЕРІ ТУРИЗМУ

ОСОБЛИВОСТІ РЕАЛІЗАЦІЇ ДЕРЖАВНОЇ ПОЛІТИКИ ПОЛЬЩІ У СФЕРІ ТУРИЗМУ УДК 338.48 ГУТНИК Оксана Володимирівна, аспірант Львів. нац. ун-ту ім. Івана Франка ОСОБЛИВОСТІ РЕАЛІЗАЦІЇ ДЕРЖАВНОЇ ПОЛІТИКИ ПОЛЬЩІ У СФЕРІ ТУРИЗМУ Висвітлюються особливості державної туристичної політики

More information

ПОСТІЙНО ДІЮЧА АДМІНІСТРАТИВНА КОЛЕГІЯ АНТИМОНОПОЛЬНОГО КОМІТЕТУ УКРАЇНИ З РОЗГЛЯДУ СКАРГ ПРО ПОРУШЕННЯ ЗАКОНОДАВСТВА У СФЕРІ ДЕРЖАВНИХ ЗАКУПІВЕЛЬ

ПОСТІЙНО ДІЮЧА АДМІНІСТРАТИВНА КОЛЕГІЯ АНТИМОНОПОЛЬНОГО КОМІТЕТУ УКРАЇНИ З РОЗГЛЯДУ СКАРГ ПРО ПОРУШЕННЯ ЗАКОНОДАВСТВА У СФЕРІ ДЕРЖАВНИХ ЗАКУПІВЕЛЬ ПОСТІЙНО ДІЮЧА АДМІНІСТРАТИВНА КОЛЕГІЯ АНТИМОНОПОЛЬНОГО КОМІТЕТУ УКРАЇНИ З РОЗГЛЯДУ СКАРГ ПРО ПОРУШЕННЯ ЗАКОНОДАВСТВА У СФЕРІ ДЕРЖАВНИХ ЗАКУПІВЕЛЬ вул. Урицького, 45, м. Київ-35, 03680, тел.: (044) 594-64-12,

More information

КИЄВО-СВЯТОШИНСЬКА РАЙОННА РАДА ШОСТОГО СКЛИКАННЯ Р І Ш Е Н Н Я

КИЄВО-СВЯТОШИНСЬКА РАЙОННА РАДА ШОСТОГО СКЛИКАННЯ Р І Ш Е Н Н Я КИЄВО-СВЯТОШИНСЬКА РАЙОННА РАДА ШОСТОГО СКЛИКАННЯ Р І Ш Е Н Н Я Про затвердження Програми зайнятості населення Києво-Святошинського району на 2013-2017 роки Відповідно до п.16 ч.1 статті 43 Закону України

More information

Базові засади соціального розвитку як сфери публічного адміністрування

Базові засади соціального розвитку як сфери публічного адміністрування Національна академія державного управління при Президентові України Дніпропетровський регіональний інститут державного управління Управління організації фундаментальних та прикладних досліджень Базові

More information

кандидат фізико математичних наук

кандидат фізико математичних наук ДК 004.085 держреєстрації: 0110U002271 Інв. Національна академія наук України Інститут проблем реєстрації інформації (ІПРІ НАН України) 03113, м.київ 113, вул. Шпака, 2 тел. (044) 456 83 89, факс (044)

More information

Кафедра сільськогосподарських машин та системотехніки ім. акад. П.М.Василенка

Кафедра сільськогосподарських машин та системотехніки ім. акад. П.М.Василенка Форма Н - 3.04 Національний університет біоресурсів і природокористування України Кафедра сільськогосподарських машин та системотехніки ім. акад. П.М.Василенка ЗАТВЕРДЖУЮ Декан механіко-технологічного

More information

Norpeth. 9 weights 5 variations of numerals opentype features

Norpeth. 9 weights 5 variations of numerals opentype features Norpeth 9 weights 5 variations of numerals opentype features Norpeth 26 pt modern humanist sans serif typeface. The proportions of each character have a strong lateral dynamic that makes it ideal for on-screen

More information

LC-32DH77E LC-32DH77S LC-42DH77E LC-42DH77S LC-46DH77E LC-46DH77S

LC-32DH77E LC-32DH77S LC-42DH77E LC-42DH77S LC-46DH77E LC-46DH77S LC-3DH77E LC-3DH77S LC-4DH77E LC-4DH77S LC-46DH77E LC-46DH77S POLSKI MAGYAR ČESKY TELEWIZOR KOLOROWY LCD LCD SZÍNESTELEVÍZIÓ TELEVIZOR S BAREVNOU LCD OBRAZOVKOU TELEVÍZOR S FAREBNOU LCD OBRAZOVKOU КОЛЬОРОВИЙ

More information

Відомості про остаточних ключових учасників у структурі власності банку станом на 01 січня 2016 року ПУБЛІЧНЕ АКЦІОНЕРНЕ ТОВАРИСТВО «БАНК «ЮНІСОН»

Відомості про остаточних ключових учасників у структурі власності банку станом на 01 січня 2016 року ПУБЛІЧНЕ АКЦІОНЕРНЕ ТОВАРИСТВО «БАНК «ЮНІСОН» Відомості про остаточних ключових учасників у структурі власності банку станом на 01 січня 2016 року ПУБЛІЧНЕ АКЦІОНЕРНЕ ТОВАРИСТВО «БАНК «ЮНІСОН» N з/п Прізвище, ім'я та по батькові фізичної особи або

More information

Album civium Leopoliensium. Rejestry przyjęć do prawa miejskiego we Lwowie, / Wyd.

Album civium Leopoliensium. Rejestry przyjęć do prawa miejskiego we Lwowie, / Wyd. Мирон Капраль (Львів) Album civium Leopoliensium. Rejestry przyjęć do prawa miejskiego we Lwowie, 1388 1783 / Wyd. Andrzej Janeczek. Poznań; Warszawa, 2005. t. I. LXIII + 450 s.; t. II. 291 s. (edycja

More information

Beantragung eines Visums für eine Au-pair-Beschäftigung

Beantragung eines Visums für eine Au-pair-Beschäftigung Stand: 06/2016 Beantragung eines Visums für eine Au-pair-Beschäftigung Отримання візи програмі Au-Pair Bitte lesen Sie dieses Merkblatt und das Antragsformular sorgfältig durch. Das Merkblatt muss ausgedruckt

More information

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ 1 ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність теми. Сучасний розвиток індустрії ІТ-технологій та програмної інженерії пов язаний з розробкою програмного забезпечення (ПЗ), що базується на використанні

More information

ОСОБЛИВОСТІ ВІДТВОРЕННЯ УКРАЇНСЬКИХ КОЛОРАТИВІВ НІМЕЦЬКОЮ МОВОЮ (на матеріалі перекладу роману Василя Барки "Жовтий князь")

ОСОБЛИВОСТІ ВІДТВОРЕННЯ УКРАЇНСЬКИХ КОЛОРАТИВІВ НІМЕЦЬКОЮ МОВОЮ (на матеріалі перекладу роману Василя Барки Жовтий князь) огородження" складні безсполучникові конструкції з предикативними частинами, у яких констатується наявність, перебування магічної істоти в певному місці щодо мовця [Остроушко 2002, 79]. Отже, космонімічна

More information

МОРФОЛОГІЗОВАНА СУБСТАНТИВАЦІЯ В ЛЕКСИКО-ГРАМАТИЧНІЙ СИСТЕМІ ТУРЕЦЬКОЇ МОВИ

МОРФОЛОГІЗОВАНА СУБСТАНТИВАЦІЯ В ЛЕКСИКО-ГРАМАТИЧНІЙ СИСТЕМІ ТУРЕЦЬКОЇ МОВИ Наявність таких семантичних схем і структурних моделей безособових речень у чеській мові засвідчує спільні характеристики слов янських односкладних реченнєвих конструкцій і виявляє структурну і семантичну

More information

Базій Л. А. Б17 Цікава німецька. Х.: Вид. група Ос нова, c. ISBN ISBN УДК ББК

Базій Л. А. Б17 Цікава німецька. Х.: Вид. група Ос нова, c. ISBN ISBN УДК ББК УДК 37.016 ББК 74.268.1Нім Б17 Базій Л. А. Б17 Цікава німецька. Х.: Вид. група Ос нова, 2013. 176 c. ISBN 978 617 00 1815 1 Наведені в посібнику цікаві матеріали з німецької мови стануть у нагоді вчителям

More information

УДК ББК 92 Д66. Marzena Kowalska Польська мова за 4 тижні ББК 92

УДК ББК 92 Д66. Marzena Kowalska Польська мова за 4 тижні ББК 92 УДК 81 374 ББК 92 Д66 Marzena Kowalska Польська мова за 4 тижні Інтенсивний курс польської мови з компакт-диском Tłumaczenie: Bożena Antoniak Ilustracje: Adam Olchowik Copyright by Wydawnictwo REA s.j.,

More information

Programming the Microchip Pic 16f84a Microcontroller As a Signal Generator Frequencies in Railway Automation

Programming the Microchip Pic 16f84a Microcontroller As a Signal Generator Frequencies in Railway Automation 988 Programming the Microchip Pic 16f84a Microcontroller As a Signal Generator Frequencies in Railway Automation High School of Transport "Todor Kableshkov" 1574 Sofia, 158 Geo Milev str. Ivan Velev Abstract

More information

ІНВЕСТИЦІЇ ВЕНЧУРНИХ ФОНДІВ (VENTURE CAPITAL ТА PRIVATE EQUITY) В КРАЇНАХ ЦЕНТРАЛЬНОЇ І СХІДНОЇ ЄВРОПИ: ПРИКЛАД ПОЛЬЩІ ТА УКРАЇНИ

ІНВЕСТИЦІЇ ВЕНЧУРНИХ ФОНДІВ (VENTURE CAPITAL ТА PRIVATE EQUITY) В КРАЇНАХ ЦЕНТРАЛЬНОЇ І СХІДНОЇ ЄВРОПИ: ПРИКЛАД ПОЛЬЩІ ТА УКРАЇНИ УДК 330,322,2:658,152 Солома А., др. Вармінсько-Мазурський університет в Ольштині ІНВЕСТИЦІЇ ВЕНЧУРНИХ ФОНДІВ (VENTURE CAPITAL ТА PRIVATE EQUITY) В КРАЇНАХ ЦЕНТРАЛЬНОЇ І СХІДНОЇ ЄВРОПИ: ПРИКЛАД ПОЛЬЩІ

More information

Problem A. Nanoassembly

Problem A. Nanoassembly Problem A. Nanoassembly 2.5 seconds One of the problems of creating elements of nanostructures is the colossal time necessary for the construction of nano-parts from separate atoms. Transporting each of

More information

ЕФЕКТИВНІСТЬ ФРАНЧАЙЗИНГУ ЯК ФОРМИ ВЕДЕННЯ БІЗНЕСУ

ЕФЕКТИВНІСТЬ ФРАНЧАЙЗИНГУ ЯК ФОРМИ ВЕДЕННЯ БІЗНЕСУ 2. Еволюція закупівельної функції відбувалась у напрямку від трансакційних операцій до повної інтеграції функцій у логістичнй системі, утворюючи при цьому постійні комунікаційні канали між функцією закупівель

More information

Іспанська мова. Пояснювальна записка. В.Г. Редько, І.С. Шмігельський

Іспанська мова. Пояснювальна записка. В.Г. Редько, І.С. Шмігельський Пояснювальна записка Матеріали тесту для оцінювання рівня навчальних досягнень учнів з іспанської мови в класі загальноосвітніх навчальних закладів підготовлено відповідно до вимог чинної навчальної програми

More information

УДК : П. Воробець, аспірант Прикарпатський нац. у-т ім. В. Стефаника, Івано-Франківськ

УДК : П. Воробець, аспірант Прикарпатський нац. у-т ім. В. Стефаника, Івано-Франківськ 8. Machek V. Etymologický slovník jazyka českého a slovenského. Praha : Nakl-ví Českosl. Akad. Věd, 1957. 627 s. Стаття надійшла до редакції 16.07.13 В. Пономаренко, д. филол. наук, Институт языкознания

More information

УГОРСЬКЕ ІСТОРИЧНЕ ТОВАРИСТВО ТА ЖУРНАЛ «SZÁZADOK» У ДРУГІЙ ПОЛОВИНІ ХІХ ст.

УГОРСЬКЕ ІСТОРИЧНЕ ТОВАРИСТВО ТА ЖУРНАЛ «SZÁZADOK» У ДРУГІЙ ПОЛОВИНІ ХІХ ст. Рис. 11 Герб комітату Гайду [24] УДК 930.1(439) «18» УГОРСЬКЕ ІСТОРИЧНЕ ТОВАРИСТВО ТА ЖУРНАЛ «SZÁZADOK» У ДРУГІЙ ПОЛОВИНІ ХІХ ст. Ферков О. В. (Ужгород) Діяльність Угорського історичного товариства значно

More information

ЛИТОВСЬКО-УКРАЇНСЬКІ ЛЕКСИЧНІ ПАРАЛЕЛІ: ДО ПРОБЛЕМИ БАЛТО-СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВНИХ ВЗАЄМОЗВ ЯЗКІВ

ЛИТОВСЬКО-УКРАЇНСЬКІ ЛЕКСИЧНІ ПАРАЛЕЛІ: ДО ПРОБЛЕМИ БАЛТО-СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВНИХ ВЗАЄМОЗВ ЯЗКІВ Вакулич М.І., студ. ЛИТОВСЬКО-УКРАЇНСЬКІ ЛЕКСИЧНІ ПАРАЛЕЛІ: ДО ПРОБЛЕМИ БАЛТО-СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВНИХ ВЗАЄМОЗВ ЯЗКІВ В індоєвропеїстиці серед питань, що залишаються відкритими або ж їхні розв язання мають

More information

ОСНОВИ ПСИХОЛОГІЇ ТА ПЕДАГОГІКИ

ОСНОВИ ПСИХОЛОГІЇ ТА ПЕДАГОГІКИ Мацко Л. А., Прищак М. Д., Первушина Т. В. ОСНОВИ ПСИХОЛОГІЇ ТА ПЕДАГОГІКИ ПСИХОЛОГІЯ 0 Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Вінницький національний технічний університет Мацко Л. А.,

More information

МІСЦЕВЕ САМОВРЯДУВАННЯ В КРАЇНАХ СКАНДИНАВІЇ ТА БАЛТІЇ ОГЛЯД

МІСЦЕВЕ САМОВРЯДУВАННЯ В КРАЇНАХ СКАНДИНАВІЇ ТА БАЛТІЇ ОГЛЯД МІСЦЕВЕ САМОВРЯДУВАННЯ В КРАЇНАХ СКАНДИНАВІЇ ТА БАЛТІЇ ОГЛЯД АВТОРСЬКИЙ КОЛЕКТИВ рукопис Дейвід Янг графічний дизайн та карти Вієра Ларсон, Ordbildarna AB переклад Інна Деркач КОНТАКТНА ІНФОРМАЦІЯ SKL

More information

СТРАТЕГІЧНІ ПЕРСПЕКТИВИ РОЗВИТКУ АВТОМОБІЛЬНИХ ПЕРЕВІЗНИКІВ ВАНТАЖІВ

СТРАТЕГІЧНІ ПЕРСПЕКТИВИ РОЗВИТКУ АВТОМОБІЛЬНИХ ПЕРЕВІЗНИКІВ ВАНТАЖІВ постачальником є тривалою роботою необхідними є вдала комунікація, досконала координація дій, а також вміння поділу ризику. Форма співпраці може бути обґрунтованою тільки тоді, коли результати, що досягаються

More information

Мовні і концептуальні картини світу

Мовні і концептуальні картини світу КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА Мовні і концептуальні картини світу Випуск 35 Видання здійснюється за фінансової підтримки Японської фундації The proceedings are published under

More information

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ» РОМАНЮК НАТАЛЯ МИКОЛАЇВНА

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ» РОМАНЮК НАТАЛЯ МИКОЛАЇВНА 1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ВИЩИЙ НАВЧАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «НАЦІОНАЛЬНИЙ ГІРНИЧИЙ УНІВЕРСИТЕТ» РОМАНЮК НАТАЛЯ МИКОЛАЇВНА УДК 330.3:622.12 ЕКОНОМІЧНЕ ОБҐРУНТУВАННЯ СТРАТЕГІЧНОГО РОЗВИТКУ ГІРНИЧО-ЗБАГАЧУВАЛЬНИХ

More information

User Manual. June 2008 Revision 1.7. D- 2 02 Customer Display

User Manual. June 2008 Revision 1.7. D- 2 02 Customer Display WW User Manual June 2008 Revision 1.7 D- 2 02 Customer Display Copyright 2008 August All Rights Reserved Manual Version 1.7 The information contained in this document is subject to change without notice.

More information

Сухомлинов О.М., доктор філологічних наук, доцент, Бердянський університет менеджменту і бізнесу

Сухомлинов О.М., доктор філологічних наук, доцент, Бердянський університет менеджменту і бізнесу Сухомлинов О. М. Світ «тутешній» провінції у прозі Марії Шофер // Київські полоністичні студії : зб. наук. праць / Відп. ред. Р. Радишевський. Т. XХIV. К., 2014. С. 582 587. Сухомлинов О.М., доктор філологічних

More information

Ідентифікація фразеологізмів, зокрема, паремій китайського походження, у сучасній японській мові

Ідентифікація фразеологізмів, зокрема, паремій китайського походження, у сучасній японській мові Ідентифікація фразеологізмів, зокрема, паремій китайського походження, у сучасній японській мові В.Л.Пирогов Мета цього дослідження полягає у виявленні способу ідентифікації японських паремій китайського

More information

Copyright Љ 2006 Nokia. All rights reserved.

Copyright Љ 2006 Nokia. All rights reserved. ДЕКЛАРАЦІЯ ВІДПОВІДНОСТІ NOKIA CORPORATION заявляє, що цей продукт RM-43 відповідає важливим вимогам та іншим відповідним умовам Директиви 1999/5/EC. Сертифікат відповідності знаходиться на сайті http://www.nokia.com/phones/declaration_of_conformity/.

More information

Malofiy L.S. Peculiarity of immunocompetent cells allocation in segmental bronchus for patients with chronic obstructive

Malofiy L.S. Peculiarity of immunocompetent cells allocation in segmental bronchus for patients with chronic obstructive Л.С.Малофій Івано-Франківський національний медичний університет УДК 616-071+616.233+616.24 ОСОБЛИВОСТІ РОЗПОДІЛУ ІМУНО- КОМПЕТЕНТНИХ КЛІТИН В СЕГМЕН- ТАРНИХ БРОНХАХ У ХВОРИХ НА ХРОНІЧНЕ ОБСТРУКТИВНЕ ЗАХВОРЮ-

More information

РОБОЧИЙ ЗОШИТ з української мови для усного курсу

РОБОЧИЙ ЗОШИТ з української мови для усного курсу М.Я. Маргітич РОБОЧИЙ ЗОШИТ з української мови для усного курсу (для дошкільнят та початківців) Передмова Робочий зошит «Українська мова усний курс» є методичним посібником для вчителів, які працюють в

More information

SIMPLY CLEVER. ŠKODA Rapid Аксесуари

SIMPLY CLEVER. ŠKODA Rapid Аксесуари SIMPLY CLEVER ŠKODA Rapid Аксесуари ŠKODA Rapid є практичним сімейним автомобілем, котрий виправдовує себе в різних ситуаціях кожного дня. Проте, якщо Ви хочете адаптувати своє авто до специфічних бажань

More information

CERTYFIKAT JĘZYKOWY UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO EGZAMIN Z JĘZYKA UKRAIŃSKIEGO NA POZIOMIE B1 TEST PRZYKŁADOWY

CERTYFIKAT JĘZYKOWY UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO EGZAMIN Z JĘZYKA UKRAIŃSKIEGO NA POZIOMIE B1 TEST PRZYKŁADOWY CERTYFIKAT JĘZYKOWY UNIWERSYTETU WARSZAWSKIEGO EGZAMIN Z JĘZYKA UKRAIŃSKIEGO NA POZIOMIE B1 TEST PRZYKŁADOWY odpowiedzi na pytania do testów 1.1, 1.2, 2.1, 2.2, 2.3, 3.1 wpisuj na kartę odpowiedzi numer

More information

СК ЮПІТЕР VIENNA INSURANCE GROUP : ПІДСУМКИ 2013 РО К У

СК ЮПІТЕР VIENNA INSURANCE GROUP : ПІДСУМКИ 2013 РО К У Випуск 1 (032) 03 березня 2014 року Дорогі жінки! Шановні Леді! ЗІ СВЯТОМ З ледь відчутним весняним подихом приходить до нас чудове жіноче свято 8 Березня! Все найдорожче, що є у нашому житті щастя, радість,

More information

2013. Вип С Issue 125. P

2013. Вип С Issue 125. P ІНОЗЕМНА ФІЛОЛОГІЯ INOZEMNA PHILOLOGIA 2013. Вип. 125. С. 205 210 2013. Issue 125. P. 205 210 УДК 81 373.46 02:615.2 ГЕНЕЗА БОТАНІЧНОЇ ЛЕКСИКИ НА ПОЗНАЧЕННЯ ЛІКАРСЬКИХ РОСЛИН (на основі трактатів Катона,

More information

Українська преса в Італії: від історії до сучасності. Гінда О.М. Львівський національний університет імені Івана Франка, м.

Українська преса в Італії: від історії до сучасності. Гінда О.М. Львівський національний університет імені Івана Франка, м. Ученые записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадского Серия «Филология. Социальные коммуникации» Том 25 (64) 1. Часть 1. С.55-60. УДК 808.81:[002(450=161.2)](091) Українська преса

More information

aktuell MAXIMO Економічна рамна опалубка з технологією анкеровки PERI MX Опалубка Риштування Інженерний супровід Випуск UA

aktuell MAXIMO Економічна рамна опалубка з технологією анкеровки PERI MX Опалубка Риштування Інженерний супровід Випуск UA MAXIMO Економічна рамна опалубка з технологією анкеровки PERI MX Самостійна система опалубки MAXIMO (що є сумісною з системою TRIO) відповідає найвищим вимогам економності та якості робіт. При використанні

More information

ІМЕННИКОВІ КОМПОЗИТИ НОВОГРЕЦЬКОЇ ТА УКРАЇНСЬКОЇ МОВ (ЗІСТАВНИЙ АСПЕКТ)

ІМЕННИКОВІ КОМПОЗИТИ НОВОГРЕЦЬКОЇ ТА УКРАЇНСЬКОЇ МОВ (ЗІСТАВНИЙ АСПЕКТ) Король О.А., студ., Институт филологии КНУ имени Тараса Шевченко СЕНСОРНАЯ ЛЕКСИКА С ПОЗИТИВНОЙ ЭМОЦИОНАЛЬНОЙ ОЦЕНКОЙ В РОМАНЕ SUSAN ELIZABETH PHILIPHS GLITTER BABY В статье рассматриваются особенности

More information

Компаративні дослідження слов янських мов і літератур Випуск 21

Компаративні дослідження слов янських мов і літератур Випуск 21 ЛІТЕРАТУРА: 1. Бодрийяр Ж. Злой демон образов / Жан Бодрийяр // Искусство кино. 1992. 10. С. 64-70; 2. Гегель Г.В.Ф. Работы разных лет: в 2-х томах / Г.В.Ф. Гегель : т. 1. М. : Институт философии АН СССР,

More information

ПОЛІТИЧНІ ПРОБЛЕМИ МІЖНАРОДНИХ ВІДНОСИН

ПОЛІТИЧНІ ПРОБЛЕМИ МІЖНАРОДНИХ ВІДНОСИН 4 Actual problems of international relations. Release 124 (part ІI). 2015 ПОЛІТИЧНІ ПРОБЛЕМИ МІЖНАРОДНИХ ВІДНОСИН РОЛЬ УКРАЇНИ В ЗАБЕЗПЕЧЕННІ ЕНЕРГЕТИЧНОЇ БЕЗПЕКИ ЦЕНТРАЛЬНОЇ ТА СХІДНОЇ ЄВРОПИ (ГАЗОПОСТАЧАННЯ

More information

Відгук Актуальність теми дослідження та її зв язок з науковими програмами

Відгук Актуальність теми дослідження та її зв язок з науковими програмами Відгук офіційного опонента на кандидатську дисертацію Лісовського Андрія Сергійовича «Чорноземи типові Придністерського Поділля», подану у спецраду Д 35.051.08 на здобуття наукового ступеня кандидата географічних

More information

Digital Typography. This reading describes different types of writing systems and the development of computer-based font files for representing them.

Digital Typography. This reading describes different types of writing systems and the development of computer-based font files for representing them. D R A F T - FOR DISCUSSION ONLY - D R A F T Digital Typography and computer fonts Introduction Follow-up Classes Other readings This reading describes different types of writing systems and the development

More information

УДК :39 Непоп-Айдачич Л.В. (Київ, Україна)

УДК :39 Непоп-Айдачич Л.В. (Київ, Україна) НАЦІОНАЛЬНІ МОВИ І КУЛЬТУРИ В ЇХ СПЕЦИФІЦІ ТА ВЗАЄМОДІЇ УДК 811.162.1 37:39 Непоп-Айдачич Л.В. (Київ, Україна) 94 РЕКОНСТРУКЦІЯ РИС ПОЛЬСЬКОГО МОВНОГО ОБРАЗУ КВІТІВ НА МАТЕРІАЛІ АНКЕТНИХ ДАНИХ У статті

More information

НІМЕЦЬКА МОВА ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА. Н.П. Басай, Н.В. Федірко, С.М. Микитюк

НІМЕЦЬКА МОВА ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА. Н.П. Басай, Н.В. Федірко, С.М. Микитюк ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА Матеріали тесту для оцінювання рівня навчальних досягнень учнів з німецької мови в класах загальноосвітніх навчальних закладів підготовлено відповідно до чинної навчальної Програми

More information

ЗАЯВА ПРО ПРИЗНАЧЕННЯ ПЕНСІЇ (1) WNIOSEK O PRZYZNIANIE EMERYTURY-RENTY (1)

ЗАЯВА ПРО ПРИЗНАЧЕННЯ ПЕНСІЇ (1) WNIOSEK O PRZYZNIANIE EMERYTURY-RENTY (1) УГОДА МІЖ УКРАЇНОЮ ТА РЕСПУБЛІКОЮ ПОЛЬЩОЮ ПРО СОЦІАЛЬНЕ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ UMOWA MIĘDZY UKRAINĄ A RZECZĄPOSPOLITĄ POLSKĄ O ZABEZPIECZENIU SPOŁECZNYM ЗАЯВА ПРО ПРИЗНАЧЕННЯ ПЕНСІЇ (1) WNIOSEK O PRZYZNIANIE EMERYTURY-RENTY

More information

СПОГАДИ ПОЛЬСЬКИХ ЕМІГРАНТІВ ПРО МІЖВОЄННИЙ ЛЬВІВ. Ніна ТЕЙЛОР-ТЕРЛЕЦЬКА

СПОГАДИ ПОЛЬСЬКИХ ЕМІГРАНТІВ ПРО МІЖВОЄННИЙ ЛЬВІВ. Ніна ТЕЙЛОР-ТЕРЛЕЦЬКА ISSN 0203-9494. ПРОБЛЕМИ СЛОВ ЯНОЗНАВСТВА. 2013. Випуск 62. С.181 191 PROBLEMS OF SLAVONIC STUDIES. Issue 62. Р.181 191 УДК 821.161.2(1-87)-94:(477.83-25) СПОГАДИ ПОЛЬСЬКИХ ЕМІГРАНТІВ ПРО МІЖВОЄННИЙ ЛЬВІВ

More information

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ. Кафедра іноземних мов. ДРУГА ІНОЗЕМНА МОВА (німецька)

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ. Кафедра іноземних мов. ДРУГА ІНОЗЕМНА МОВА (німецька) МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ ДЕРЖАВНИЙ ЕКОНОМІКО-ТЕХНОЛОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ТРАНСПОРТУ Кафедра іноземних мов ДРУГА ІНОЗЕМНА МОВА (німецька) Методичні рекомендації щодо проведення

More information

INFO1 a File-Based Management Information System

INFO1 a File-Based Management Information System БЪЛГАРСКА АКАДЕМИЯ НА НАУКИТЕ. BULGARIAN ACADEMY OF SCIENCES КИБЕРНЕТИКА И ИНФОРМАЦИОННИ ТЕХНОЛОГИИ, 1 CYBERNETICS AND INFORMATION TECHNOLOGIES, 1 София. 2002. Sofia INFO1 a File-Based Management Information

More information

СЕМАНТИЧНИЙ АНАЛІЗ ФРАЗЕОЛОГІЗМІВ-СОМАТИЗМІВ (на матеріалі румейської, української та новогрецької мов) *

СЕМАНТИЧНИЙ АНАЛІЗ ФРАЗЕОЛОГІЗМІВ-СОМАТИЗМІВ (на матеріалі румейської, української та новогрецької мов) * УДК 811.1'373.7-115(045) СЕМАНТИЧНИЙ АНАЛІЗ ФРАЗЕОЛОГІЗМІВ-СОМАТИЗМІВ (на матеріалі румейської, української та новогрецької мов) * Жарікова Юлія Валентинівна, асист. Маріупольський державний гуманітарний

More information

Boolean Algebra (cont d) UNIT 3 BOOLEAN ALGEBRA (CONT D) Guidelines for Multiplying Out and Factoring. Objectives. Iris Hui-Ru Jiang Spring 2010

Boolean Algebra (cont d) UNIT 3 BOOLEAN ALGEBRA (CONT D) Guidelines for Multiplying Out and Factoring. Objectives. Iris Hui-Ru Jiang Spring 2010 Boolean Algebra (cont d) 2 Contents Multiplying out and factoring expressions Exclusive-OR and Exclusive-NOR operations The consensus theorem Summary of algebraic simplification Proving validity of an

More information

CONCERNING THE ISSUE OF ADEQUATE UNDERSTANDING OF THE MEANING OF LEGAL TERMS. спостереження

CONCERNING THE ISSUE OF ADEQUATE UNDERSTANDING OF THE MEANING OF LEGAL TERMS. спостереження 38 НАУКОВІ ЗАПИСКИ. Т. 144-145. Юридичні науки 27. Wörterbuch, VEB Verlag Enzyklopädie Leipzig, 1962. 720 s. 28. Wörterbuch der Rechts- und Wirtschaftssprache, Dr. Gvula Décsi, Dr. Sándor Karcsay (Словарь

More information

КООПЕРАТИВНЕ ОБ ЄДНАННЯ ГОСПОДАР РІЧНИЙ ЗВІТ Дніпропетровське обласне об єднання сільськогосподарських обслуговуючих кооперативів

КООПЕРАТИВНЕ ОБ ЄДНАННЯ ГОСПОДАР РІЧНИЙ ЗВІТ Дніпропетровське обласне об єднання сільськогосподарських обслуговуючих кооперативів КООПЕРАТИВНЕ ОБ ЄДНАННЯ ГОСПОДАР РІЧНИЙ ЗВІТ 2013 Дніпропетровське обласне об єднання сільськогосподарських обслуговуючих кооперативів Звіт за 2013 рік ДОО СОК «Господар» 2 РІЧНИЙ ЗВІТ ДНІПРОПЕТРОВСЬКЕ

More information

Selbständig in Deutschland Fachbegriffe in zwei Sprachen

Selbständig in Deutschland Fachbegriffe in zwei Sprachen Foto: fotolia.com Förderprogramm Integration durch Qualifizierung (IQ) Selbständig in Deutschland Fachbegriffe in zwei Sprachen Deutsch Український Begriffe aus der Gründungsunterstützung in Einfacher

More information

RT0700C. GB Trimmer INSTRUCTION MANUAL. UA Фрезер ІНСТРУКЦІЯ З ЕКСПЛУАТАЦІЇ. PL Frezarka INSTRUKCJA OBSŁUGI

RT0700C. GB Trimmer INSTRUCTION MANUAL. UA Фрезер ІНСТРУКЦІЯ З ЕКСПЛУАТАЦІЇ. PL Frezarka INSTRUKCJA OBSŁUGI GB Trier INSTRUCTION MANUAL UA Фрезер ІНСТРУКЦІЯ З ЕКСПЛУАТАЦІЇ PL Frezarka INSTRUKCJA OBSŁUGI RO Maşină de frezat unimanuală MANUAL DE INSTRUCŢIUNI DE Einhandfräse BEDIENUNGSANLEITUNG HU Szélezőgép HASZNÁLATI

More information

CM2202: Scientific Computing and Multimedia Applications General Maths: 2. Algebra - Factorisation

CM2202: Scientific Computing and Multimedia Applications General Maths: 2. Algebra - Factorisation CM2202: Scientific Computing and Multimedia Applications General Maths: 2. Algebra - Factorisation Prof. David Marshall School of Computer Science & Informatics Factorisation Factorisation is a way of

More information

Online EFFECTIVE AS OF JANUARY 2013

Online EFFECTIVE AS OF JANUARY 2013 2013 A and C Session Start Dates (A-B Quarter Sequence*) 2013 B and D Session Start Dates (B-A Quarter Sequence*) Quarter 5 2012 1205A&C Begins November 5, 2012 1205A Ends December 9, 2012 Session Break

More information

ІСТОРІОСОФСЬКИЙ АСПЕКТ СИМЕТРИЧНОСТІ ПОЛЬСЬКО-УКРАЇНСЬКИХ СТОСУНКІВ У «ЗАСИПЛЕ ВС ЗАМЕТЕ» ВЛОДЗІМЄЖА ОДОЄВСЬКОГО

ІСТОРІОСОФСЬКИЙ АСПЕКТ СИМЕТРИЧНОСТІ ПОЛЬСЬКО-УКРАЇНСЬКИХ СТОСУНКІВ У «ЗАСИПЛЕ ВС ЗАМЕТЕ» ВЛОДЗІМЄЖА ОДОЄВСЬКОГО Сухомлинов О. Історіософський аспект симетричності польсько-українських стосунків у «Засипле все замете» Влодзімєжа Одоєвського / О. Сухомлинов // Київські полоністичні студії : зб. наук. праць / Відп.

More information

Лінгвістичні спостереження над інтернаціональною лексикою, які. почали проводитися на початку минулого століття, переросли на

Лінгвістичні спостереження над інтернаціональною лексикою, які. почали проводитися на початку минулого століття, переросли на Юрченко Н., Вакулик І.І., НУБіП України ДЖЕРЕЛА ПОХОДЖЕННЯ СУЧАСНИХ ТЕРМІНІВ ТА ЛІНГВІСТИЧНІ СПОСТЕРЕЖЕННЯ НАД НИМИ В статье представлена эволюция семантики некоторых современных терминов в европейских

More information

СЕМАНТИЧНЕ ПОЛЕ "ЛІКАРСЬКІ ЗАСОБИ" 药剂 У МЕДИЧНІЙ ТЕРМІНОЛОГІЇ КИТАЙСЬКОЇ МОВИ

СЕМАНТИЧНЕ ПОЛЕ ЛІКАРСЬКІ ЗАСОБИ 药剂 У МЕДИЧНІЙ ТЕРМІНОЛОГІЇ КИТАЙСЬКОЇ МОВИ УДК 811.581.11 Козоріз О.П., асист., Інститут філології КНУ імені Тараса Шевченка СЕМАНТИЧНЕ ПОЛЕ "ЛІКАРСЬКІ ЗАСОБИ" 药剂 У МЕДИЧНІЙ ТЕРМІНОЛОГІЇ КИТАЙСЬКОЇ МОВИ У статті пропонується методика виокремлення

More information

НАУКОВІ ТА ТЕХНІЧНІ РІШЕННЯ В РОЗРОБЦІ ТА ВПРО-ВАДЖЕНІ РЕАКТОРІВ КОНТАКТНОГО ОКИСНЕННЯ АМІАКУ

НАУКОВІ ТА ТЕХНІЧНІ РІШЕННЯ В РОЗРОБЦІ ТА ВПРО-ВАДЖЕНІ РЕАКТОРІВ КОНТАКТНОГО ОКИСНЕННЯ АМІАКУ НАУКОВІ ТА ТЕХНІЧНІ РІШЕННЯ В РОЗРОБЦІ ТА ВПРО-ВАДЖЕНІ РЕАКТОРІВ КОНТАКТНОГО ОКИСНЕННЯ АМІАКУ ГРИНЬ Г. І., доктор технічних наук, професор кафедри хімічної технології неорганічних речовин, каталіза та

More information

Jednostka Strzelecka 4018 Gdańsk Telefony komórkowe w strefie objętej Operacją Antyterrorystyczną.

Jednostka Strzelecka 4018 Gdańsk Telefony komórkowe w strefie objętej Operacją Antyterrorystyczną. Jednostka Strzelecka 4018 Gdańsk Telefony komórkowe w strefie objętej Operacją Jak utrzymywać kontakt z rodziną i nie dać szansy rosyjskiemu wywiadowi elektronicznemu. link: https://www.facebook.com/js4018/posts/738573566190079

More information

Unit 3 Boolean Algebra (Continued)

Unit 3 Boolean Algebra (Continued) Unit 3 Boolean Algebra (Continued) 1. Exclusive-OR Operation 2. Consensus Theorem Department of Communication Engineering, NCTU 1 3.1 Multiplying Out and Factoring Expressions Department of Communication

More information

ПРОЕКТ УНІФІКОВАНИЙ КЛІНІЧНИЙ ПРОТОКОЛ ПЕРВИННОЇ, ВТОРИННОЇ (СПЕЦІАЛІЗОВАНОЇ) БРОНХІАЛЬНА АСТМА У ДОРОСЛИХ

ПРОЕКТ УНІФІКОВАНИЙ КЛІНІЧНИЙ ПРОТОКОЛ ПЕРВИННОЇ, ВТОРИННОЇ (СПЕЦІАЛІЗОВАНОЇ) БРОНХІАЛЬНА АСТМА У ДОРОСЛИХ ПРОЕКТ УНІФІКОВАНИЙ КЛІНІЧНИЙ ПРОТОКОЛ ПЕРВИННОЇ, ВТОРИННОЇ (СПЕЦІАЛІЗОВАНОЇ) БРОНХІАЛЬНА АСТМА У ДОРОСЛИХ 2012 1 ПЕРЕЛІК СКОРОЧЕНЬ СО 2 DPI MDI NZGG РаO 2 РаСО 2 SaO 2 SIGN ГКС GINA БА ДДБА ІКС ІМТ КДБА

More information

COMPRESSION SPRINGS: STANDARD SERIES (INCH)

COMPRESSION SPRINGS: STANDARD SERIES (INCH) : STANDARD SERIES (INCH) LC 014A 01 0.250 6.35 11.25 0.200 0.088 2.24 F F M LC 014A 02 0.313 7.94 8.90 0.159 0.105 2.67 F F M LC 014A 03 0.375 9.52 7.10 0.126 0.122 3.10 F F M LC 014A 04 0.438 11.11 6.00

More information

Київський національний університет імені Тараса Шевченка Інститут філології Кафедра полоністики

Київський національний університет імені Тараса Шевченка Інститут філології Кафедра полоністики Київський національний університет імені Тараса Шевченка Інститут філології Кафедра полоністики ПРОГРАМА Вступних випробувань до аспірантури зі спеціальності 035 філологія (предметний напрямок польська

More information

Ьа ЮВ 20 р сь Р щ БЗ сч ТЭ С

Ьа ЮВ 20 р сь Р щ БЗ сч ТЭ С ЯИ чл Р щ Ьа ЮВ 20 р сь Р щ БЗ сч ТЭ С ЯИ чл, нз Я Р щ ( я ЛМ : Ьа ЮВ 20 р 8 Йе 30 ЛМ ( Во ),31 ЛМ ( ЛМ ), Мч :B-Con Plaza) тт лх, Йф Р щ ( я ЛМ : Ьа ЮВ 20 р 10 Йе 18 ЛМ ( Во ),19 ЛМ ( ЛМ ), Мч : ЛМ эб

More information

User Manual. January 2011 Revision 2.0. Galéo 200 Point of - Sale Hardware System

User Manual. January 2011 Revision 2.0. Galéo 200 Point of - Sale Hardware System User Manual January 2011 Revision 2.0 Galéo 200 Point of - Sale Hardware System Copyright 2011 All Rights Reserved Manual Version 2.0 The information contained in this document is subject to change without

More information

А ýэ СаЬЬа оча. А а Ьаусап. сар

А ýэ СаЬЬа оча. А а Ьаусап. сар ч к тдв тап дт ФЁ Тч з ха а а п п А а Ьаусап п Ё Т о А е о п е па опа Ё й О о о а На еп ч о а п а ар С М о а Еар Ва е ако М а А агьаусап г Ъч пс А СаЬЬа оча Аупч а есе г А а Ьаусап сё а Ь у сар о чес Э

More information

CH3 Boolean Algebra (cont d)

CH3 Boolean Algebra (cont d) CH3 Boolean Algebra (cont d) Lecturer: 吳 安 宇 Date:2005/10/7 ACCESS IC LAB v Today, you ll know: Introduction 1. Guidelines for multiplying out/factoring expressions 2. Exclusive-OR and Equivalence operations

More information

СЕМАНТИЧНИЙ РОЗВИТОК ПРАСЛОВ ЯНСЬКОЇ ЛЕКСЕМИ *ŠАТY В СУЧАСНИХ СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВАХ

СЕМАНТИЧНИЙ РОЗВИТОК ПРАСЛОВ ЯНСЬКОЇ ЛЕКСЕМИ *ŠАТY В СУЧАСНИХ СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВАХ УДК 811.16 37 І. М. Шпітько Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара СЕМАНТИЧНИЙ РОЗВИТОК ПРАСЛОВ ЯНСЬКОЇ ЛЕКСЕМИ *ŠАТY В СУЧАСНИХ СЛОВ ЯНСЬКИХ МОВАХ Комплексно проаналізовано семантичний

More information

06 (18) Двотижневик Dwutygodnik. str.

06 (18) Двотижневик Dwutygodnik. str. www.monitor-press.com Ціна 1,50 грн Двотижневик Dwutygodnik 06 (18) 01.04.2010 str. 11 Благодать земного Воскресіння Łaska ziemskiego Zmartwychwstania або чому Великдень неможливий без Чистого четверга

More information

ให p, q, r และ s เป นพห นามใดๆ จะได ว า

ให p, q, r และ s เป นพห นามใดๆ จะได ว า เศษส วนของพห นาม ให A และ B เป นพห นาม พห นามใดๆ โดยท B 0 เร ยก B A ว า เศษส วนของพห นาม การดาเน นการของเศษส วนของพห นาม ให p, q, r และ s เป นพห นามใดๆ จะได ว า Q P R Q P Q R Q P R Q P Q R R Q P S P Q

More information

Spenik Sándor. A parciális differenciálegyenletek osztályozása (klasszifikációja) Hiperbolikus egyenletek

Spenik Sándor. A parciális differenciálegyenletek osztályozása (klasszifikációja) Hiperbolikus egyenletek Speni Sándor A prciáis differenciáegenee oszáozás sszifiációj Hiperbois egenee Kárpáji Mgr Könve. Készü Szüőföd Ap áogásáv Dr. Speni Sándor Ineri Kidó Uránbó fordío: Szeere Gábor Ineri Kidó Feeős idó:

More information

Французька мова. Ю.М. Клименко, Л.М. Файзуліна. Пояснювальна записка

Французька мова. Ю.М. Клименко, Л.М. Файзуліна. Пояснювальна записка Пояснювальна записка Матеріали тесту для оцінювання рівня навчальних досягнень учнів з французької мови в 10 класі загальноосвітніх навчальних закладів підготовлено відповідно до чинної навчальної Програми

More information

UNDERGRADUATE STUDY SKILLS GUIDE 2014-15

UNDERGRADUATE STUDY SKILLS GUIDE 2014-15 SCHOOL OF SLAVONIC AND EAST EUROPEAN STUDIES UNDERGRADUATE STUDY SKILLS GUIDE 2014-15 ECONOMICS AND BUSINESS HISTORY LANGUAGES AND CULTURE POLITICS AND SOCIOLOGY 1 1. AN INTRODUCTION TO STUDY SKILLS 5

More information

перурикем я як фактор пог ршення переб гу артер ально г пертензг у ж нок Росул М М Буг р Корабельщикова Н В

перурикем я як фактор пог ршення переб гу артер ально г пертензг у ж нок Росул М М Буг р Корабельщикова Н В Т м сеа с ý ý Т м с л ý Г Ка о ц се Ь Мефс у Ь аь Ма а ач о а СМКР О О о о с ё Се Ме а Аа К а Ма е о а р еч е а а а о е Ы а Ьу Д а еч Не у о ý р ас р осе а е у роа ег э з э е То р оь е у а ё а есе е Рфсе

More information

EGZAMIN MATURALNY 2012 JĘZYK UKRAIŃSKI

EGZAMIN MATURALNY 2012 JĘZYK UKRAIŃSKI Centralna Komisja Egzaminacyjna EGZAMIN MATURALNY 2012 JĘZYK UKRAIŃSKI POZIOM PODSTAWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MAJ 2012 2 Egzamin maturalny z języka ukraińskiego Część I Odpowiedzi maturzysty mogą

More information

ПРОЦЕС УКРАЇНІЗАЦІЇ АРМІЇ ТА ТИЛОВИХ ГАРНІЗОНІВ ПІВДЕННО-ЗАХІДНОГО ТА РУМУНСЬКОГО ФРОНТІВ У БЕРЕЗНІ ЛИСТОПАДІ 1917 р.

ПРОЦЕС УКРАЇНІЗАЦІЇ АРМІЇ ТА ТИЛОВИХ ГАРНІЗОНІВ ПІВДЕННО-ЗАХІДНОГО ТА РУМУНСЬКОГО ФРОНТІВ У БЕРЕЗНІ ЛИСТОПАДІ 1917 р. поміщицьких керівних кіл і ставала відправною точкою для практичної діяльності тієї їх частини, яка відверто орієнтувалася на російський царизм, і насамперед націонал-демократів і реалістів, які спрямували

More information