Макро- ЕКОНОМКА СУЧАСНИЙ ЕКОНОМ1ЧНИИ АНАЛ13. О. I. Пономаренко М. О. Перес-тюк В. М. Бурим ЧАСТИНА

Transcription

1 О. I. Пономаренко М. О. Перес-тюк В. М. Бурим СУЧАСНИЙ ЕКОНОМ1ЧНИИ АНАЛ13 ЧАСТИНА Макро- ЕКОНОМКА Рекомендовано Мгтстерством освгти I науки Украгни Навчальний пос!бник для студент!в економ1чних та математичних специальностей вищих навчальних заклад1в Ки1в «Вища школа» 2004

2 УДК (075.8) ББК я73 П56 Гриф падано Мгшстерством освгти г науки Укроти (лист вгд 2 квшня 2001 р. 14/ ) ВСТУП П56 Рецензент и: акад. НАН Украши В. М. Геецъ (1нститут економ1чного прогнозування НАН Украши); чл.-кор. НАН Украши М. И. Ядренко (КиТвський нащоналышй ушверситет 1меш Тараса Шевченка) Редактори: В. Ф. Хмгль, Т. М. Глушко Пономаренко О. I. та ш. Сучасний економ!чний анал!з: У 2 ч. Ч. 2. Макроекономша: Навч. поаб./о. I. Пономаренко, М. О. Перестюк, В. М. Бурим. -- К.: Вища шк., с: 1л. 15ВМ 96б (ч. 2) 15ВМ Х Розглянуто фундаментальш анал1тичш макроеконом1чн1 модел! сучаснот математично! економши, описано модел! прагматичного 1 нрагматично-гпзнавального спрямувань, швар!антш щодо особливостей р!зних нацюналышх еко- НОМ1К. У додатках наведено математичний апарат, що використовуеться як у макроеконом!чному, так 1 в м1кроеконом1чному анал1з1. Для студент!в економ!чних та математичних специальностей вищих навчальних заклад!в. 15ВМ (ч. 2) 15ВМ Х УДК (075.8) ББК я73 О. I. Пономаренко, М. О. Перестюк, В. М. Бурим, 2004 Проблемы економгчно! оргатзацп сустлъства зовсгм непридатна тема для легког розмови за коктейлем. Вони не можутъ бути адекватно розглянутг I демагогами, якг базгкаютъ на масових мгтингах. Це серйозт справи. Вони потребують старанних занять. До них не можно ставитися легковажно. ЛЮДВ1Г фон М136С Загальнолрийнято розмежовувати сучасну економ!чну теор!ю на м!крота макроеконом1ку. Як самостшна частика економ!чно1 науки макроекономша сформувалася у 30-т1 роки XX ст. в англосаксонськш економ1чн!й л!тератур1. Основн! п положения м!стяться у працях Джона Мейнарда Кейнса та його послщовншив. Особливу роль у становленш макроеконо- М1ЧНО1 теор!] в1д1грала широко вщома праця Д. Кейнса «Загальна теор!я.зайнятост!, в!дсотка 1 грошей» (1936 р.), яка вплинула на розвиток учения про народне господарство [16]. Макроекономша виокремилась 1з загально! економ!чно1 теор!!' приблизно через 60 рок!в п!сля м1кроеконом!ки, яка вивчае повед!нку окремих сконом1чних одиниць (споживач1в 1 виробниюв), механ!зми 1'х взаемодп та наслщки щет взаемоди. М1кроеконом1ка, що остаточно сформувалася у працях Альфреда Маршалла, певний час вважалася щлком самодостатньою наукою: вона грунтувалася на постулат! класично! англшсько! економ1чно1 школи про р!вновагу попиту 1 пропозиц!'! на м1крор!вт. Вважалося, що ця р!вновага автоматично поширюеться на макрор!вень. Однак Велика депре- С1Я св1товот каттал1стично1 системи рр. назавжди шд!рвала цю догму. Вона похитнула основи св!тово1 кап1тал!стично1 економ!ки. Це зумовило появу макроеконом!чного анал!зу и макроеконом!чного регулювання економ!чних процес1в з боку держави та сусгпльства. У сучасн!й науков1й лггератур! 1снуе багато визначень макроеконом!ки, яка вивчае функцюнування национально! економ!ки в щлому для забезпечення умов стшкого економ!чного зростання, максимального використання ресурс!в \ М1н1м1зацп р!вня 1нфляц1\'. Макроеконом1ка це наука про агреговану (узагальнену) повед!нку в економщ!, при цьому, з одного боку, в агрегата (або сектори) економши об'еднуються окрем! економ1чн1

3 суб'екти, з шшого економ!чн! блага 1 товари (наприклад, досл!джуеться не пропозифя окремого товару, а агрегована пропозищя товар!в). Серед економкгпв немае одностайност! щодо кола проблем, як! мае виичати макроеконом!ка. Найчаепше до них в!дносять питания, пов'язан! з кацюнальним продуктом, зайнят!стю (безроб!ттям),!нфляц!ею, економ!чним зростанням, коливаннями економ!чно1 кон'юнктури (економ!чними циклами), макроеконом!чною пол!тикою держави, зовшшньою взаемод!ею нацюнальних економш. 1нод! к!льк!сть основних макроеконом!чних проблем становить два-три десятки., Специфика предмета макроеконом!ки зумовлюе використання особливих метод1в дослщження, насамперед агрегування, макроеконом!чного моделювання та принципу р!вноваги. Основною вимогою до сучасного макроеконом!чного анал!зу е дотримання системного тдходу [31]. Як специф!чна тдсистема людського сустльства кожна нацюнальна економ!ка, у свою чергу, е складною системою, побудованою з виробничих (товаровиробних) 1 невиробничих (товаропров!дних, фшансово-кредитних та ш.) господарських одиниць, що перебувають у виробничо-технолопчних 1 (або) оргашзацшно-господарських вщносинах, утворюючи вщповщну економ!чну структуру. Найпроспшу структурну схему економ!чнот системи наведено на рис. В. 1, на якому в найб!льш агрегованому вигляд! показано и надсистему, п!дсистеми та Ъсн! зв'язки. Надсистемою тут виступае навколишне середовище (природа 1 людське сустльство), а головними тдсистемами виробнича та розподыьна, до яко!' входить фшансово-кредитний шдроздш. Шд входом системи розум!ють економ!чн1 ресурси, як! под!ляють на природт та трудов!, а тд виходом к!нцеву продукц!ю. Економ!чн! ресурси Навколишне середовище (природа! людське сустльство) Шдсистема виробництва Галуз! виробництва $КВ1ДХОДИЗ$: 1 \ Економ1ка Валовий випуск продукци Пром!жна ПрОДуКЦШ Рис. В.1 Шдсистема розподшу Шдроздши розподшу 1 Кшцева продукц!я На основ! тако! структурно! модел! економ!ки можна будувати р!зн! вар!анти анал!тичних (математичних) макроеконом!чних моделей на зразок статичних моделей «витрати випуск» Леонтьева, виокремлюючи як елементи виробничо! пщсистеми окрем! галуз! виробництва. Розроблення динам!чних моделей под!бного зразка потребуе складшших структурних схем економ!чнот системи. Зазначимо, що вщносно економ!чио1 системи кожен член сусшльства висгупае у подв1йн!й рол!: як споживач 1 як пращвник. Окр!м прац! матер!альними ресурсами економши е природы! ресурси! засоби виробництва. Останш, в свою чергу, подшяють на засоби (знаряддя) пращ, що беруть участь у к!лькох виробничих циклах до замши Тх через моральний або ф!зичний зное, та предмети прац!, як! використовуються в одному виробничому цикл!. Нагромаджен! засоби виробництва становлять виробнич! фонди (або кап!тал). Розр!зняють основн! виробнич! фонди (ОВФ), тобто нагромаджеш засоби прац! и основн! оборотн! фонди (тобто предмети прац!), як! охоплюють виробнич! запаси та незавершену продукцию. Р!чна продукщя ус!х сектор!в економ!ки становить валовий внутрппнш продукт (ВВП), який у натурально-речовш форм! под!ляеться на засоби прац! та предмети споживання, а у варт!снш на фонд в!дшкодування вилучення основних фонд!в (амортизац!йний фонд)! новостворену варт!сть (нац!ональний дох!д). П!д час створення ВВП виробнича система виготовляе та споживае пром!жний продукт створен! предмети прац!, що використовуються для потреб виробництва. Шд випуском продукцп розум!ють створення ВВП! пром!жного продукту. Структурну схему економ!чно'г системи, до яко!' кр!м процес!в виробництва и розгюд!лу входять також процеси накопичення (чист! швестици" та амортизац!я)! споживання, наведено на рис. В.2. Ця модель е основою для розроблення динам!чних анал!тичних моделей функщонування еко- НОМ1КИ. 1з погляду макроеконом!чного моделювання сл!д зважати на те, що в економщ! вкрай обмежене застосування локальних експеримент!в через досить жорстку взаемодш частин економ!ки, отже, «чистий» експеримент тут неможливии. Тому в нацюнальшй економ!ц! зазвичаи використовують минулий досв!д, досв!д!нших краш, досить небезпечн! експерименти з економ!чною системою в щлому та анал!тичне (тобто математичне) моделювання. Перевагою експеримент!в з економжою в ц!лому е те, що перш! результати економ!чно'1 пол!тики можна побачити вже через невеликий пром!жок часу, проте неможливо передбачити середньо- та довгостроков! насл!дки прийнятих р!шень. Таке передбачення можливе т!льки на основ! концептуальних моделей розвитку економжи, як! грунтуються на минулому досв!д!. У свою чергу, ц! модел! створюють фундамент для математичних моделей та Тх подальшого анал!зу. Проте сл!д пам'ятати, що розроблення анал!тичних моделей трудом!сткий процес, до того ж!снують вимоги щодо адекватного в!дображення моделлю д!йсност!. Загалом анал!тична макроеконом!чна модель дае змогу визначити ендогенн! (внутр!шн!) економ!чн! зм!нн! п!д час вивчення законом!рностей К 5

4 Навколишне середовище Економжа Амортизацшш вадрахування / г гувати з нього прям! Тц 1т Ш(1! непрям! Г податки. Держава також здшснюе заощадження гобто: Заощадження = Доходи - Видатки. Умови р!вноваги вщкрито'г економ!ки можна сформулювати як де У ВВП, або сукупна пропозищя в економщ!; С споживання; / - швестицп; С -- державн! закуп!вл!; Мх чистий експорт, що е р!зницею м!ж експортом (Ех) та!мпортом (1т). Права частина наведеного р!вняння е визначенням ВВП за видатками. ВВП це основний макроеконом!чний показник, що зумовлюе виробничу активность нац!онально\' економ!ки. ВВП також можна визначити за доходами як суму вс!х факторних доход!в економ!чних агент!в: У = V/ + К + К + П + В + Т 1аА, Рис. В.2 функцюнування. 1нш! зм!нш, що беруть як задан! ззовн!, називаються екзогенними (зовшшшми) економ!чними змшними. Метою макроеконом!чного моделювання е з'ясування розвитку ендогенних змшних за умови стал ост! екзогенних. Сл!д зазначити, що за р!зних умов р!зниця м!ж ендогенними и екзогенними змшними може бути в!дносною. Функц!ональн! зв'язки м!ж ними подшяють на повед!нков! (наприклад, функщя споживання С домашн!х господарств залежно в!д доходу у, С = С (у)), техшчш (наприклад, виробнича функщя ^ ~ /~(Ь, К), де Ь - праця, К виробничий капггал),!нституц!ональн! (наприклад, податок Т як функщя доходу у, Т = Т (у) ). Для!люстрац!Т принцишв агрегування та р!вноваги в макроеконом!чному моделюванн! розглянемо найпрост!шу модель кругооб!гу вщкритог економ!ки. В так!й модел! д!ють чотири основш макроеконом!чн! агрегован! су б'екти: сектор домашшх господарств, п!дприемницький сектор, державний сектор! сектор зовшшнш (закордон). В!дпов!дну модель, в якш сектор майна складаеться!з заощаджень домашн!х господарств (хаузхолду) 5 Н, пщприемств 5у, держави 5$^ та амортизащйних ввдрахувань О, що використовуються для фактичних брутто швестицш / (чист! швестицп /" та швестицп зам!щення 1 Г О) наведено на рис. В.З. Домашн! господарства, що функцюнують у державному сектор!, отримують в!дпов!дний дох!д У^ та трансферти 2 Н (у вигляд! пенс!й, стипенд!й, допомоги). Держава отримуе в!д хаузхолду прям! податки! виплати 7^. Кр!м закушвель С у п!дприемницькому сектор! держава може надавати шдтримку бизнесу у вигляд! субвенц!й 2ц! стя- 6 де \У зароб!тна плата та надбавки до не!'; К рента! платеж!; К - доходи грошового кап!талу; Я прибуток на каштал плюс дох!д з власност!. Трет!м способом визначення ВВП е щдсумовування вс!х додатних вартостей в економщ!. Домашн! господарства Споживання С Факторний дох!д У н Заощадження 5 и Сектор майна 5 н +5 и + 5 а + О = = /"+/ Амортизац!я О Трансферти 7 Н Факторний дохщ У н Податки 1 збори Т н 1нвестицп/ +/ Податки! збори Т + Т и Субвенцп 2 Пвдприемства и Факторний дох!д У А 1мпорт 1т Плат!жний баланс 8, Держава Державн! закуп!вл! О Експорт Ех ^ Закордон Заощадження держбюджету 5^, Рис. В.З N

5 Одним 1з головних макроеконом!чних принцишв е закон загально! економ!чно1 р!вноваги Вальраса: якщо на вс!х ринках, кр!м одного,!снуе р!вновага, то вш також перебувае у стан! р!вноваги. У макроекономщ! розр!зняють так! види агрегованих рипк!в: ринок благ (тобто сукупшсть ус!х ринк!в товаров та послуг); ринок цшних папер!в (ус! ринки цшних папер!в); ринок пращ (вс! ринки пращ); ринок грошей (ус! ринки грошей). Оск!льки за законом Вальраса з анал!зу можна виключити один!з ршшв, то в макроекономщ! зазвичай таким ринком е ринок цшних папер!в як найскладшший. Анал!зом ринку цшних папер!в ниш займаеться нова економ!чна дисциплша фшансова економша, анал!тичною основою яко! е фшансова математика. Зважаючи на обмежений обсяг навчального пос!бника, перед авторами постало складне завдання щодо добору матер!алу. При цьому бралися до уваги так! факти. По-перше, сучасна макроекономша дуже складна та суперечлива наука. Серед науковщв немае одностайност! щодо того, як функцюнуе народне господарство на макроеконом!чному р!вш. 1снуюч! розб!жност! зуковлен! неоднорщшстю свггового економ!чного простору, тож економша р!зних репошв мае свою специфику. По-друге, св!това економша неоднорщна не т!льки в простор!, а и у час!. 1снують також р!зночастотш коливання, що впливають на модиф1кац!ю економ!чного св!тогляду. По-трете, економ!чн1 доктрини в!добрал<ують 1нтереси певних клас!в, сощальних верств конкретного сусп!льства: правлячо!' ел!ти, середн!х 1 нижчих клаав. Це зумовило появу багатьох теч!й як в економ1чн!й наущ загалом, так 1 в макроекономщ! зокрема. Нин! сп!в!снують так! р!зш теч!\', як кейнс!анство, загальна теор!я р!вноваги, неокласичнии синтез, посткейнс!анська! неор!кард!анська теор!!', монетаристська теор!я, неокейнс!анська теор!я та «нова макроеконом!ка», теор!я рац!ональних оч!кувань, шституц!онал!зм, сучасн! соц!ал!стичн! теч!'!, неол!берал!зм та!н. Сучасн! анал!тичн! макроеконом!чш модел! прагматичного або прагматично-тзнавального спрямувань розрахован! на краши з розвиненою ринковою и зм!шаною економжою, неадекватн! економ!чним реал!ям краш 13 р!зними типами перех!дних економ!к. Зокрема, це стосуеться краш, як! виникли на пострадянському простор!. Беручи до уваги викладене, автори пос!бника основну увагу прид!лили якомога докладн!шому висв!тленню фундаментальних анал!тичних макроеконом!чних моделей шзнавального спрямування сучасно!' математичнот економши та опису тих анал!тичних моделей прагматичного! прагматично-п!знавального спрямувань, як! е практично!нвар!антними щодо р!зних нац!ональних економ!к (це переважно балансов! багатогалузев! модел!, що грунтуються на модел! «витрати випуск» Леонтьева). 3 шшими анал!тичними макроеконом!чними моделями прагматичного та прагматичноп!знавального спрямувань можна ознайомитись!з л!тератури [42] [52]. Поабник м!стить додатки, в яких наведено задач! з теорп добробуту, математичний апарат, що використовуеться як у м!кро-, так! в макроеконом!чному анал!з!. СТАТИЧНА МОДЕЛЬ «ВИТРАТИ-ВИПУСК» ЛЕОНТЬСВА Статична модель «витрати випуск», або модель мгжгалузевого балансу, е основою багатьох лгншних моделей виробничого сектору економгки. Бона грунтуешься на поняттг «галузъ», хоча немае точного визначення цъого поняття г воно лише деякою мгрою наближене до реалъног економгчног ситуацп. Аналгз галузей економгки вперше засгпосував у свогх працях В. В. Леонтьев. Теорегпичнг розробки цъого вченого та його послгдовникгв можутъ бути використанг для аналгзу мгжгалузевих зв'язкгв М1ЖГАЛУЗЕВИЙ БАЛАНС \ ЛШШНА МОДЕЛЬ ОБМШУ М1жгалузевий баланс. Для анал!зу за методом «витрати випуск» використовують балансову таблицю (або матрицю м!жгалузевих поток!в), яка м!стить в!домост! про д!яльн!сть господарства. Таку таблицю складають за статистичними зв!тами. Розглянемо побудову схеми м!жгалузевого балансу. Припустимо, що виробничий сектор народного господарства под!лено на п чистих, або ТСХНОЛОГ1ЧНИХ, галузей. Це умовш галуз!, кожна з яких об'еднуе виробництво певного виду продукца. Чиста галузь е економ!чною абстракщею, тому необов'язковим е П оргашзацшне оформления як м!н!стерства, об'еднання тощо. В процес! виробництва кожна з галузей використовуе (принайми! опосередковано) продукцию, виготовлену в шших галузях. Отже, економ!ко-виробнича система складаеться з п галузей, тобто виготовляе п продукта. Балансовий зв!т за шдсумками певного перюду часу наведено у табл Величина а^ - це обсяг продукци г'-'г галуз!, витраченот/-ю галуззю у виробничому процес! за певний перюд; а\:,...,а п : - к!льк!сть продукц!!' шших галузей, яка споживаеться в /-и галуз!; щ,..., г5 п це валовий випуск /-'Г галуз! за той самий пер!од; с^,..., с п обсяг продукцп/-! галуз!, який витрачаеться у невиробничш сфер! для створення запас!в тощо. Сшвп вщношення м!ж параметрами табл. 1.1 мае такий вигляд: X а ц Щ ~^>

6 г = 1, 2,..., п. Зазиачеш показники можуть виражатись як у натуралыгах (штука, тонна, л!тр, барель тощо), так 1 у варт!спих одииицях. Залежно в!д цього розр!зняють натуральний, або варт!сний, м!жгалузевий баланс. Проведемо нормування параметр!в таблиц! за умови, що а^ = а - /о- (обсяг продукцп г'-'г галуз!, необхщний для виробництва одиниц! /-го продукту); С: = с~у /V.- (частка продукци/-! галуз!, що витрачаеться на невиробниче споживашш); с = (с^,с 2 с ) вектор споживання. Числа а,у, г = 1, 2,..., и це коефщ1енти прямих нитрат/-1 галуз!; вони досить повно характеризують технолопю виробництва ц!е1 галуз! за певний перюд, оскшьки визначають обсяг 1 структуру витрат, необхщних для випуску единиц! У-ГО продукту. Матриця А = («) прямих витрат, або технолопчна матрица, м!стить шформацпо щодо структури м!жгалузевих зв'язюв та!снуючо1 в певши економшо-виробничш систем! технолог!! виробництва. Якщо е низка таких матриць, що в!дпов!дають р!зним пер!одам часу, то можна проанал!зувати розвиток технологи. Матриця А може бути використана для планування та прогнозування виробництва. Припустимо, що матриця А е сталою технолопя вважаеться незмшною протягом деякого перюду (Т 0, Т) (наприклад, року) (0; для випуску X] продукцп/-г галуз! необхщш и достатн! витрати в обсягах, пропорцшних лг-осуду-, г = 1, 2,..., п) продукцп вс!х галузей (п). Зауваження. Зроблсш припущсння е 1деал1защею реального стану справ в ско- НОМ1ЧШЙ систем!. 3 припущсння (и) випливае, що кожна галузь може виробити будьякий обсяг свое! продукцп за наявност! потр!бно1 юлькост! сировини, проте виробнич! можливост! будь-яко! галуз! обмежен! (трудовими ресурсами, основними фондами тощо). Матриця А = (а у -) описуе технолопю роботи вс!х галузей з единичною штенсившстю. Якщо у певний пер!од кожна з п галузей виробляе обсяг х\, х 2,..., х п (х: штенсивн!сть роботи/-1 галуз!) валового випуску продукщ! в!дпов!дно, то вектор!нтенсивностей х = (х^, х 2,..., х п ] називають вектором валового випуску. Таблица 1.1. Балансовий зв!т за шдсумками певного господарського пертду Витрати РОЗПОД1Л продукцн' 1-1 галуз! на потреби 1нших галузей 10 «И Д 21 «А а п\ «12 «22 а п ««2 Розпод(л вилуску м!ж галузями «1> а 2,- «а а щ а \п "2п а _т а пп К1нцеве споживання с _\ с 2 с; с Валовий випуск ^1 Ъ 2 Ч и Частка валового випуску, витрачена на виробнич! потреби економжи, описуеться вектором виробничих витрат Ах: Взаемозв'язок м!ж векторами виробничих витрат (Ах), валового випуску (х) та вектором споживання (с) описуеться р!внянням х - Ах = с, або (/ - А)х = с, де / - единична матриця розм!ром пхп. Коли вектор (с) кшцевого споживапня заданий, потр!бно визначити В1ДПОВЩНИЙ вектор валового випуску. Математичпо це можна подати так: х- Ах = с, х>0; або (I - А)х = с, х>0, (1.1) де значения с > 0! А > 0 в!дом!. 3 математичного погляду питания про сум!сшсть системи (1.1) зводиться до!снування нев!д'емног обернено!' матриц! (I - А)~ ; звщси х = (I - А)~ с>0. У мова иевщ'емност! вектора х > 0 ускладнюе досл!дження системи (1.1), для цього потр!бен спе- ЦИФ1ЧНИЙ апарат теор!!' нев!д'емних матриць (див. п. 1.2). Систему (1.1), де параметри А, с, х мають подану рашше економ!чну штерпретащю, називають в економ!ко-математичн!й л!тератур! моделлю Леонтьева. Дощлыю додати до модел! (1.1) дво'шту систему, яка записуеться в термшах ц!н. Нехай р^, г = 1, 2,..., п -- цша единиц! продукц!! г-1 галуз!, а р = (р\, р 2,..., р п ) вектор ц!н; да-, / = 1, 2,..., п заробгтна плата за одиницю продукцп в /-Й галуз!; да = (щ, да 2... ж «) ~~ вектор зароб!тно! плати (або вектор иевиробиичих витрат). Зауважимо, що в раз! потреби до величини ге>у можна включити також в!драхуваиня до резервного фонду тощо (вс! невиробнич! витрати). Враховуючи коеф!ц!енти а г - прямих витрат! постулюючи правило нульового доходу для кожно! галуз! (виручка галуз! мшус варт!сть випуску за цшами реал!зац!1 дор!внюе и витратам), можемо записати балансове сшввщношення ц!п у такому вигляд!: >0; або р(1 - А) = гю, р > 0. (1-2) Зауважимо, що в систем! (1.2) р е вектором-рядком, проте у раз! запису вектора праворуч в!д матрищ-множника ми розум!емо його як векторстовпець (иаприклад, у систем! (1.1)). Система (1.2) в!дпов!дно до системи (1.1) називаеться двоустою. Означения 1.1. Якщо для будъ-якого невгд'емного вектора кшцевого попиту с > 0 система (1.1) сумгсна, тобто мае розе'язок, то вгдповгдну модель Леонтьева (або технологгчну матрицю А) називаютъ продуктивною. 11

7 Приклад 1.1. Розпишемо отримат ствв1дношення для системи, що складаеться з трьох галузей. Тод! А = '21 «22 «23 "13 ч«з1 «32 «зз; С1 Ю, а системи (1.1) 1 (1.2) набувають вигляду *!-(«! 1*1 +«12*2 нрибутку в.: )-\ краши, яка витрачаеться на!мпортування товар!в з 1-1 краши, е сталою, зокрема ^^^ не залежить в!д прибутку с!. Використовуемо матрищо О = (<7 г у), ЩО описуе структуру торпвл!, та вектор прибутюв <1 = (<1\, (1 2, -, (! ) Якщо краши торгують в!дпов!дно до матриц! обм!ну (), то теля одного обороту торпвл! краши матимуть прибуток, який описуеться вектором ()</, тобто *2- («21*1+ «22*2 + «23*з) = < ~^3 \^31"^'1 ~^ ^32*^2 ~^~ ^33^3 / == ' X] > 0, дг 2 > 0, х 3 > 0; Р1 - Ц 1Р1 + «21Р2 + «31РЗ> = й РЗ ~ («13Р1 + «23^2 + «ЗЗРЗ^ =! р, > 0, р 2 > 0, р 3 > О (1.10 (1.20 Для того щоб описана схема «працювала», мае виконуватись така умова: А<<2<1. (1.3) Докладшше досл!димо нер!вн!сть (1.3). Оск!льки елементи матриц! обм!ну (^ = (Цц] е частками прибутку /-1 краши, сума елеметчв кожного стовпця матриц! О дор!вшое 1, тобто або ~«2 \ х \ «22 ) *2 ~ «23*3 = С 2! (1.1") 1=1 =1,; = 1,2,..., я. (1.4) Твердження 1.1. Якщо вектор и задовольняе нергвшсть (1.3), то > 0, х 2 > 0, х 3 > 0; V Запишемо систему иер!вностей (1.3) у скалярному вигляд! (1-а 22 )р 2 а^ър^ ^23/^2 ~^~ \ *^33 )Рз ~ ^3' Р! > о, Р2 > о, р 3 > о. Системи р!внянь (1.1") або (1.2") можна розв'язати за формулами Крамера. Наприклад, для системи (ГО матимемо у.!_ -г = 2 Д ' &_ у., б Д ' де визначники Д, Д ж, Д^, Д^. виражаються через коефщ!енти матриц! А та координата вектора с. Лшшна модель обмшу. Розглянемо ще одну лшшну модель, яку!нод!!нтерпретують як модель м1жнародно1 торг!вл1, хоча, по сут!, це модель обмшу. Припустимо, е трупа п краш, як! торгують м!ж собою. Позначимо прибуток /-1 крапш через й-! вважатимемо, що в!н формуеться з продажу товар!в як на внутр!1пньому, так! на зовшшньому ринках. Структуру торговелышх вщносин м!ж крашами розглядатимемо як сталу: частка ^^^ у(/у,* = 1 1 2,...,я. (1.5) Припустимо в]д супротивного, що при деякому 1^, 1 < г^ < п вщповвдна нер!вшсть 1з (1.5) е строгою. Врахувавши це, оцшимо суму ^ п п п I ^ < Е Е ^^^(^^ = 1=1 г=1/=1 / Маемо протир!ччя, що и доводить сформульоване твердження А. Економ1чне тлумачення твердження 1.1 очевидце: якщо за час функцюнування розглянуто! модел! обм!ну хтось отримав прибуток, то на таку саму суму зазнав збитюв хтось 13 партнер!в. Виникае питания про 1снування (и обчислення) такого вектора прибутк!в краш-партнер1в д., який задовольняе р!вняння 1.1. Необхщна умова полягае в 1снуванш серед власних чисел матриц! (^ числа 1. Дал! постае питания про!снування в!дпов!дного невщ'емного власного вектора. 1 Знак V надал! означав початок доведения твердження, теореми або леми, а знак Д його закшчення. 13

8 3 анал!зу модел! обмшу випливае, якщо система функцюнуе и тур!в (крок!в) з матрицею обмшу (), то на кожному тур! маемо так! вектори прибутюв: А, (^а, (? 2 </,...,<?*</. Щкаво дослщити асимптотичпу (при Ъ > ) поведшку вектора при- 6утк!в. П!д час анал!зу описаних та под!бних моделей використовують апарат специального розд!лу теорн матриць -- апарат теори пев!д'емних матриць. Зазначимо, що довшьна матриця А з дшсними 1 иеввд'емиими (а.ц > О VI, А елементами иазиваеться невад'емною 1 записуеться у вигляд! нер!вност! А > 0. Квадрата! нев!д'еми! матриц! мають низку щкавих властивостей. Теор!ю таких матриць викладено в н Зауважимо, що було розглянуто спрощений вар!ант схеми м!жгалузевого балансу. В загалыюприйнятих схемах под!бного типу вектор к!ицевого попиту розкриваеться б!льш докладно за такими складовими, як валов! накопичення, каттальш вкладення, нарощування запас!в тощо, а також за складовими особистого попиту, до якого иалежить! невиробничий сектор (наука, освгга, культура, охоропа здоров'я та ш.). За такого шдходу шформац!я, що м!ститься в таблиц! м!жгалузевого балансу, дае змогу дослщити як м!жгалузев! зв'язки народного господарства, так! структуру розпод!лу та перерозподыу нацюналыюго продукту. Стосовно модел! Леонтьева сл!д наголосити, що в нш вщбиваються, по сут!, потенцшш можливост!, закладеп! в технолог!'! виробиичого сектору. Не враховуеться, наприклад, явище зап!зпення (часовни лаг) та ш. Деяк! дипам!чн! модел! (зокрема, модель динам!чного м!жгалузевого балансу), де буде враховано часовни фактор, розгляпуто у розд ТЕОР1Я НЕВ1Д'СИНИХ МАТРИЦЬ Теор!я невщ'емних матриць е одним!з розд!л!в загалыю'! теорп матриць. Для всеб!чного вивчення рекомендуемо скористатися л!тературою [4, 7, 15]. Дал! наведено основы! властивост! иевщ'емних матриць. Виклад матер!алу в!дпов!дае [4], де на в!дм!ну в!д традиц!йнот математичнот л!тератури з теорп матриць, не використовуеться жорданова форма матриц!. Нерозкладт матрицг, основт поняття. Нехай А = (а- \ квадратна матриця розм!ром п з невщ'емними елементами: а у -> 0, г,/= = 1,2,..., и, а У п ={1,2,..., я}. Означения 1.2. Нехай 5 тдмножина з У п :5сУ п, а 5' = У \5. Якщо а^ = 0 при г Е 5', / е 5, то множину 5 називатимемо гзольованою. Наприклад: 14 и) А = "'11 ''21 «12 22 ; 32 "33, тут 5 ={3}, 5' = {1,2}; 6) В= 0О О 0 6,0 де = {1,2}, 0 V С 21 0 С 22 С 32 С ' = {2,3}; С Г см 12 0 "?) С = с 91 с 77 с, я, тут гзолъоеаних множин немае (всг записат Су- ^ 0). Екоиом!чна!птерпретац!я цього поняття щодо модел! Леонтьева така: якщо 5 -!зольована множина, то галуз! з номерами 5 не використовують у виробничому процес! продукц!ю галузей з номерами 5', тобто трупа галузей з номерами 5 може функцюнувати незалежно в!д!нших галузей. Так, у приклад! а) третя галузь не використовуе у виробничому процес! продукцпо и! першо!', и! друго! галузей, тобто може фуикц!онувати незалежно в!д них. У випадку модел! обмшу!зольовашсть множини 5 означав, що краши з номерами 5 не!мпортують товари з краш!з номерами 5', при цьому експорт взагал! можливий. Переиумеруемо шдекси так, щоб 5 = {1, 2,..., &}, 5' = {& + 1, Ъ + 2,..., п}. У матриц! А з прикладу а) це означае одночаспу перестановку рядк!в! стовпщв, п!сля чого вона мае такий вигляд: _[ А! О (1.6) де Л,,, Л 22 - квадрата! блоки розм!рами вщповщно та х(я-л). Так, якщо у матриц! Л виконати перестановку 1-! 3-го стовпщв, а пот!м 1- та 3-го рядюв, то матимемо «32 «22 «21 ( а зз); А - 22 ~ _(а "12 "Ну Матриця В з прикладу 6) вже мае вигляд (1.6), а блок жемо вибрати по-р!зному, вважаючи, наприклад, що ми мо- Матрицю С!з прикладу в) жодною одпочасною перестановкою рядк!в! стовпц!в до вигляду (1.6) звести не можна. Означения 1.3. Якщо для деяког матрищ А розмгром пхп у множит \? п немае гзолъованих тдмножин, то таку матрицю називаютъ нерозкладною. Нерозкладну матрицю А одночасною перестановкою рядюв! стовпц!в не можна звести до вигляду (1.6). Матриця С!з прикладу в) е нероз- 15

9 кладною. Матриця А > О будь-яких розм!р!в нерозкладна. Якщо в матриц! розм!ром я > 3 лише один елемент дор!внюе нулю, то така матриця нерозкладна. Введене поняття нерозкладност! щодо матриц! Леонтьева мае таке економ!чне тлумачення: кожна з галузей використовуе, як уже зазначалося, продукщю вс!х галузей системи. Так, у випадку матриц! С третя галузь (трет!й стовпець) використовуе безпосередньо продукщю друго! галуз! (с 23 >0), а друга галузь -- продукщю першо!' та друпл галузей: с 12 > 0, с 32 > 0. Властивост! нерозкладних матриць 1. (О) Якщо матрица А нерозкладна, то вона не може мати т нулъових рядкгв, т нулъових стовпцгв. Справд!, якщо, наприклад, /-и стовпець матриц! А нульовий (а г; =0, I = 1, 2... п ), то для такоу матриц! множина 5 1 = {/}!зольована. У випадку нульового 1-го рядка ц!е1 матриц!!зольованою множиною е 5 = У п \ {{}. (г) 2 Якщо матриця А нерозкладна, а вектор у = (у\, у 2,..., у п ) > О, то вектор а 2^у^, Властив!сть очевидна, оск!льки матриця А не мае иульових рядк!в. (г) 3 Нехай А нерозкладна матриця, вектор у > О, а 5 = = {геуп:у 1 > 0}, г нехай г = А у, Т = {г е У п : г,- > 0}. Якщо при цьому 5 * У п г 5*0, то 5' п Т Ф 0. V Якщо позначити Т = У п \Т! припустити в!д супротивного, що 5' п Г = 0, то 5" с Т', а Г с 5. В!зьмемо г с 5', звщси г с Т', тому 2^ = О п п а у#/ = О' Осюльки за будь-якого У е 5, г/ > 0, то а^- = О, V/ е 5. Отже, множина 5 -!зольована, що суперечить нерозкладност! матриц! А. А (1)4 Нехай у невгд'емний ненулъовий вектор (у > 0, у Ф 0), а вектор г = (1 + А)у. Позначимо п 0 (у) число нулъових координат вектора у г/(0 < п 0 (у) < п). Тодг п 0 (г) < п 0 (у) при п 0 Ф 0 г щ = 0 при п 0 = 0. Кргм того, якщо А нерозкладна матриця, х > 0, х Ф 0, то з нергвноат Ах < ах отримаемо а > 0, х > 0. V Осюльки Ах > 0, Ах # 0, маемо а > 0. Припустимо в!д супротивного, що серед координат вектора х е нульов!, тобто множина 5 = I/ е У п : х = 0 непорожня. За властив!стю (г)з знайдеться ] & 5 таке, що (Ах}] > 0, але тод! неможливою буде нер!вн!сть (Ах] < <хг 16 Йдсться про невщ'емну матрицю Л. = 0. А (О5 Якщо А -- нерозкладна матриця розмгром пхп, то (I + А)" > > 0, тобто всг елементи матрицг (I + А)" е строго додатними. V Справд!, за властив!стю (Од Д ля будь-якого у > О, у Ф О маемо (I + А)"~ у>0. Достатньо як у взяти орти е^, е 2,..., е п з К", щоб закшчити доведения (в] = (0,..., 0,1, 0,..., Он. А (Об Якщо А нерозкладна матриця, то для будъ-яког пари шдексгв (г, у); г, / е }? п знайдетъся натуралъне число т таке, що а 1^ > 0 (а^ це вгдповгдний елемент матрицг А т ). V Запишемо розклад за формулою бшома Ньютона: (/ + + С 2 п _ 2 А (1.7) Нехай спочатку г ^ /. Серед чисел а^,а^,..., а" } - обов'язково е додатне число: шакше, як випливае з формули (1.7), (г, /)-й елемент матриц! Л(/ + Л)"" дор!впюе нулю, а це суперечить властивост! (Оз- Якщо г = }, то сл!д аналопчно розглянути матрицю А (I + А) п ~, яка за властивостями (0 2 та (0 5 е додатною: Л(/ + Л)"~ > 0. Скористаймося формулою (1.7). Встановлено, що серед чисел а^, а^,..., а": обов'язково мае бути додатне. 1накше (г, /)-й елемент строго додатно! матриц! Л)"" 1 = А + СЛ 2 +С_Л С: 1 Л' г (1.8) дор!внював би нулю. А (Оу Для того щоб матриця А була нерозкладною, необхгдно и достатнъо, щоб для будъ-яких тдексгв г, } гснувала послгдовтстъ и, 1 < и < п, ^ = 1, 2,..., т така, що ц=г,г = 1, а-,- > 0, /г = к т 'А'А:+1 = 1,2,...,«-!. (0 Якщо матриця А нерозкладна, а т - довглъне число з М, то в матрицг А т не може бути т нулъових рядкгв, т нулъових стовпцгв. Зауважимо, що теор!я нев!д'емних матриць та основн! и результати допускають!нтерпретац!ю мовою теор!1 граф!в [18]. Це стосуеться вах розглянутих результат! в. Теорема 1.1 (теорема Перрона Фробешуса, або теорема про спектралын властивост! нев!д'емно! нерозкладно! матриц!). Нехай матриця А розмгром пхп невгд'емна г нерозкладна, а А (Л) -- множина и власних чисел: А(Л) = {А^ А 2,..., А от }, т < п. Тодг в множит А(Л) е додатне число Х А > 0 таке, що Кргм того, власному числу Х А вгдповгдае единий (з точнгстю до скалярного множника) власний вектор Х А такий, що (Х А )^ ^Озгдп^Хд^ = = згдп(х А )., VI, У = 1, 2,..., п, тобто вектор Х А можна вибрати додатним: Х А > 0. 17

10 Зазначимо, що число Х А називають числом Фробешуса, а вектор Х А - вектором Фробешуса матриц! А : Ах л = Х А Х А. Для доведения теореми використаемо таку лему. Лема 1.1. Розглянемо допошжну задачу лшшного програмування з параметром А : и -^тт;(а-х1)х-ие<0,х>0,(х\е) = \, (1.9) де е = (1, 2,..., 1)е К", а вектор змтних (х\, х 2,..., х п, м)е К и+1. Тодг функщя и(х) -- значения екстремальног задачг (1.9) задовольные так.1 властивостг. (О гг(а) неперервна функцгя А приае К; (И) и (0) > 0; (ш) и (А) > - прм Л > +оо. V Властив!сть (г) можна вивести!з загалышх теорем про параметричн! п задач! лшшного програмувашы. Неперервн!сть функцп ^ац х < -^х^ завс!- /=1 ма аргументами х\, х 2,.. -, х, А не викликае сумшву. Те саме стосуеться функ- ( п цп д(х, А) = тах % а^х -Хх { \. Нехай X = \х е К" : х > О, (х\е) = \\. < < - Множина X е, очевидно, обмежепою! замкнепою. Отже, значения и екстремалыю! задач! (1.9) обчислюють так: = тт тах ^ хех \<г<п\ /=] хех (1.10) Тепер можемо вивести пеперервшсть функцп (1.10). Нехай А 0 - дов!льне число з К! Я 0 = Нт А.^; х^ е X, Ъ < 0; ^?(д: Л Дь) = _ ^ >оо» ' = т!п^(л, А^); оск!льки X - компакт, за в!домою лемою Больцано хех Вейерштрасса з посл!довност! \х 1 можна виокремити зб!жну посл!довн!сть; щоб спростити запис, вважатимемо такою саму послщовн!сть хх I: Нт х = х. Перейдемо до границ! в очевиди!й нер!вно- Н >00 ст! д(х,х 1г } = ттд(х,х!г )<д(х,х1 { ). Оск!льки функщя д(х,х) непе- ' хех рервна, маемо д(х, А 0 ) < д(х, А 0 ), Ухе X. Зв!дси м(а 0 ) = д(х, А 0 ) = = Нт д(х, А^) = 1!т м(а^), що и означае неперервн!сть функц!'! м(а) /г > \ ' и ><» В ДОВ1ЛЫПЙ ТОЧЦ1 А 0 6 /?. Доведемо, що м (0) > 0. При А = 0 з Ах < ие, Ах > 0, Ах * 0, оск!льки матриця А нульових рядшв не мае (властив!сть (О^ нерозкладно!' матриц!), а х > 0, х * 0. Отже, и > 0 при вс!х х з X. Одиак X компакт, 18 тому и(0) значения задач! (1.9) наймеише з можливих и при А = 0 - строго додатне. Тепер доведемо властив!сть (ш). В!зьмемо вектор х = (е/п) е X! не- ха > + при /г >. Маемо д (х, А А ) = тах > -«> при ^ -> со. Проте м(а^) = т!п<7(д:, А^) < ^(1, А^); отже, ы(а А ) =. Д хех Доведения теореми з доведених властивостей (г) (гп) функцн м(а) робимо висновок: ЗА^ >0:м(Ад) = 0. Вектор, що е розв'язком задач! (1.9) при А = А^, позначимо через Х А. Тод! Ах А <Х А х А,х А >0,(р\е) = 1. Запишемо задачу, двохсту до (1.9): А/)'-пе>0, р>0, (р е) (1.11) \. (1.12) Зпдно з теоремою подв!йност! при А = А л значения задач! (1.12), як! значения прямо! задач! и(х А ), дор!внюе пулю. Для вектора р А, що е розв'язком (1.12) при А = Х А, можна записати (бо и = 0): р А А>Х А р А. Зпдно з властивклто (г) 4 маемо для Х А, \ А з (1.11): Х А > О, Х А > 0. За теоремою р!вноваги остання строга нер!вшсть мае такий наслщок: р А А=\ А р А, тобто р А е л!вим власним вектором для матриц! А, який в!дпов!дае власному числу Х А. 3 (г) 4 знову випливае: р А > 0, а теорема р!вноваги дае Ах А = Х А Х А ; отже, А^ - власне число матриц! А, а Х А - правий власний вектор, що йому в!дпов!дае. 6дин!сть вектора Х А можна довести в!д супротивного. Нехай у А такий вектор, що Ау А = Х А у А, у А > 0; система Х А, у А л!н!йпо незалежна, а число у такс, що вектор 2 = Х А + уу А мае хоча б одну нульову координату: > 0, г^о. (1.13) Оск!льки Аг = А(х А = А л г, тобто з (2)4 д!станемо г > 0, що суперечить вибору г (див. (1.13)). Залишилось довести оцшку (1.8). Якщо А дов!льне число з Л (Л), а 1ю в!дпов!дний власний вектор, то Аъо = Ада! тому Аш = Аж = Айу<Л, (1.14) де Ураховуючи иер!вшсть (1.14), матимемо то А <А Л. А. Осюльки 19

11 Приклад 1.2. Знайдемо К А, Х А, р А для матриц! другого порядку ГО, 8 ~ 0,7)' Характеристично р!вняння ще! матриц! мае вигляд X -1,5Х + 0,5 = 0 1 А.(А) = = {0,5;1}. Тому Х А = \. Всктори Х А та р А знаходимо з таких систем: (А-Х А 1) = 0 = 0, тобто -0,2 0,3 0,2-0, -0,2 0,3 Зв1дси знаходимо, що, наприклад, Х А = (3, 2) та р А = (1,1). Наведемо ще дв! теореми стосовно спектра дов!льно! иевщ'емно! матриц! А. Теорема 1.2 (про спектр дов!лыю!' нев!д'емио1 матриц!). Якщо квадратна ПУ.П матриця А невгд'емна, товонамаеневгд'емневласнечисло Х А >0 таке, що для будъ-якого тшого и власного числа А < Х А. При цъому кнуе невгд'емний власний вектор Х А > О, який вгдповгдае Х А. V Проведемо шдукщю по п. При п = 1 твердження теореми очевидце. Якщо п > 1! матриця -- иерозкладна, то використовуемо теорему 1.1. Якщо А е розкладною матрицею, то можиа вважати, що вона мае вигляд (1.6). При цьому матриц! Ац, Л 22 мають порядок менший, н!ж п,! можна застосувати припущепня шдукцп А(Л) = А(Л 1] )ил(л 22 ). Нехай Х А > Х А. Тод! виберемо Х А = Х А так, що Х А = (* л, О, О,...,о)е К п. (1.15) Очевидно, Л < Х А, УА.6 Л(Л), а вектор Х А в (1.15) е власним вектором: Ах А =Х Д х А. А Наступна теорема дае змогу оцшити фробен!усове число Х А матриц! А >0. Нехай Л = (а и \, г, ] = 1, 2,..., п. Введемо позначення п п г = т!п У а,-,-, К = тах X = тах а н- Теорема 1.3 (про оцшку фробешусового числа невщ'емшн матриц! Л). Якщо квадратна пхп-матриця А > О, то для п фробешусового числа справедливг такг нергвностг: г<х А <К;з<Х А <5. (1.16) Якщо матриця А ще и нерозкладна, то нергвностг (1.16) строгг. Виняток становитъ випадок, коли г = К, 5 = V Нормуемо вектор Фробешуса Х А так, щоб Осюльки, /=1 'г=1 1=1 1=1 1=1 (1.17) = К А х А, ч ( Х А )у = ^А ( Х А ),-. матимемо ^ а^ (Х А ). = = Х А. Враховуючи (1.17)! позначення для х! 5, знаходимо другу з двоб!чних оц!нок (1.16). Перша доводиться аналопчио. А Деяк!!нш! властивост! нев!д'емних матриць сформульовано у задачах та вправах до цього розд!лу. Приклад 1.3. Для прикладу 1.2 легко обчислити г = 0,9, К = 1,1; 5 = 1; 5 = 1. Тому 0,9 < Х А < 1,1 або нав!ть Х А = 1. Прим1тивш матриц!, стштсть. При вивченн! властивостей модел! Леонтьева (1.2), а також П динам!чного аналога (див. розд. 2) поняття фробешусових числа! вектора мають фундаментальн! значения. В динам!чн!й модел! також!стотною е!нформац!я про асимптотичну повед!нку посл!довност! матриць А. Розглянемо для будь-яко! нерозкладно! матриц! Л матрицю А = К~ А А. Щлком очевидно, що Яд = 1, х^ = Х А > 0, р д = р А > 0. Введемо в К п норму за таким правилом: \/х е К", \\х\\ А =(\х\\рл. (1.18) Аксюми норми виконаио (див. вправи до цього розд!лу). Нагадаемо, що будь-як! дв! норми в К п екв!валентш, але норма (1.18) особливо зручна при вивченн! властивост! матриц! Л та в!дпов!дного л!н!йного оператора. Зокрема, Лл: л = (\Ах\\р А ) < (А\х\\р А^= (\х\\р А А) = ХА(\х\\р А ) = Х А \\х\\ А, Ах\\ < \\х\ А, а для х > 0 маемо ЦАх\\ = \\х\\ А. У подалыпих записах використовуемо норму (1.18), при цьому р А вибираемо так, що рд л = = (РА \РА) = ^- Значок Л б!ля значка - надал! опускаемо. Маючи матрицю А = Х' Д А! в!дпов!дний лппйний оператор, розглянемо Л на дов!лыюму простор! 2 з К",!нвар!антному вщносно Л, тобто А(2) с 2. Означения 1.4. Оператор А:2^>2 е на 2 оператором, стиску, якщо гснуе таке у(0<у<1), що \/х&2 г виконуетъся нергвнгстъ \\Ах\\<ч\\х\\. Означения 1.5. Нехай матриця А > 0 нерозкладна г для будъ-якого вектора х послгдовтстъ векторгв гл х}, Н = 1, 2,..., збггаетъся. Тодг матрицю А називаютъ стшкою. 21

12 Нехай {.д^л;} зб!гаеться при & > 1 л: > О, л: * 0. Год! Нт А х =, де ц = ^ /. Справд!, якщо Нт Ах = г, то Аг = А ( Нт /е» \& >оо = Нт (Л +1.г) = 2, тобто Л2 = 2. Звщси для г маемо 2 = 0 або г = 6-* ц > 0. Нагадаймо, що за сво1'м походжешшм вектор г > 0. Кр!м того, А Н х\\ = \\х\\ \ Пт Приклад 1.4. Матриця = Нт А = О 1 не е сайкою. Якщо вектор х = (х\, х^), де вигляд то послщовшсть {л**} мае 1 нс е збйжною. Зазвичай при х\ = дг 2 записана посл!довшсть зб!гаеться, осюльки е стацшнарною, алс в означенш 1.5 стшко! матриц! зб1жним мае бути довыышй вектор х. Нев!д'емн! матриц! порядку п под!лимо на два класи, як! м!ж собою не перетипаються: перозкладн! та розкладн! матриц! (див. означения 1.3). Нерозкладш матриц!, в свою чергу, можна под!лити на два класи без сшльпих елемент!в: цикл!чш та прим!тивш матриц!. Наведен! иижче означения! тверджепня св!дчать про дотцлыисть такого под!лу. Означения 1.6. Нерозкладна матриця А називаеться циклгчною, або гмпримгтивною, якщо множину У п = {1, 2,..., п} можна подати у т~\ виглядг У п = У 5^, 5^ п 5.- = 0,2, _/' = 0,1,..., от 1. Якщо а^ > 0, г е 5 Г, г > 1, то ] е 5 Г _^, а при г б 5 0 матимемо /е 5 т -\. Приклад 1.5. Матриця А = О з поперсднього прикладу е цикл!чною. Справд!, У п = {1, 2} = {1} и {2} = Й 12 = 1 > 0 =* г 6 5 0, у е 5] ; а 2 1 = 1 > 0 =* г е 5], / е 5 0 (г = 1). Означения 1.7. Нерозкладна матриця А, яка не е циклгчною, називаеться примгтивною. Зауважимо, що одночасною перестановкою рядк!в! стовпц!в цикл!чно! матриц! Л п можна звести до вигляду 22 л = г А) А Ап-Г А _ 2 0 де розм!ри квадратного блока Л А (& = 0, 1,..., т -1) зб!гаються з к!лък!стю елемент!в у множит 5^. Наведемо деяк! властивост! цикл!чних 1 прим!тивних матриць. Доведения та докладний аиал!з IX подано в монографп Ф. Гаптмахера [7]. (г)^ Нехай нерозкладна матриця Л > О мае всъого И характеристичных чисел А}, Я-2,..., А^ з максимальным модулем г \^^-^2\ = =... = \Х^\ = г. Матриця А буде примитивною тгльки тодг, якщо И = \, I циклгчною тодг и тглъки тодг, якщо 1г> \. (1)2 Матриця Л > 0 буде примгтивною тглъки тодг, якщо деякий и натуральный степгнь строго додатний: Зд > 1(Л' > 0). Наступна теорема, як уже зазначалося, мае важливе значения для анал!зу динам1чно1 модел! Леонтьева. Теорема 1.4 (про стшюсть прим1тивпо1 матриц!). Примгтивна матриця А стшка, тобто для будь якого вектора х послгдовтстъ (Л X), 1г>\, А = Ъ~ А А збггаеться, причому при х > 0, х ^ 0 Нт Л х = Для доведения ц!е1 теореми пеобхщпо спочатку розгляиути низку допом1жних тверджень. Лема 1.2. Нехай 1^А = {х е К п : (х \ р А ) = о - ортогональне доповнення до одновимгрного тдпростору, створеного вектором р А. Оче видно, що А(Ь А )сь А, тобто Ь А е тваргантним щодо оператора А. Якщо оператор А = Ь А > Ь А е оператором стиску, то матриця А - стшка. V Дов1лышй вектор х е К" можна розкласти як суму х = р.х А + г, де 26 Ь А, а ц = (х \ РА)/(Х А \ р А ). Врахувавши умови леми, запишемо оц1нку Оск1льки 0 < у < 1, маемо Нт Л д:- =0, тому посл1довн1сть \Л х} зб!гаеться. Отже, Л -- стшка матриця. А

13 Лема 1.3. Якщо в нерозкладтй матрицг А е додатний рядок, то оператор А е оператором стиску на тдпросторг Ь А. V Нехай у матриц! А перший рядок е додатним, який незначимо через Щ е К". Виберемо число 8 > 0 з умов 5р А &Щ, 0 < у = \-Ь(р А \ < 1 1 покажемо, що число у е коеф!ц!ептом стиску оператора А, тобто 1^А -> Ь А. Нагадаемо, що (р А )^ означае /-ту координату вектора р А. Оцшимо норму Лг, де ге Ь А, причому, не обмежуючи загалыюст!, вважатимемо, що (Щ г) > 0. Год! (див. означения норми в (1.18)) 1=1 1=2 3 границ! виводимо Нт А т х = Кх, отже, Л - стшка матриця. На- ОТ >оо впаки, якщо Л е ст!йкою, то з!снування границь Нт А т е.-,е- = = (0, 0,..., 0,1, 0,..., 0)е К п випливае клгування границ! в зауваженш. На завершения наведемо ознаку стшкост! матриц! Л в термитах н спектра Л(Л) = {/Ц, А 2,..., Х те }, т < п. Теорема 1.5 (ознака ст!йкост! нев!д'емно! матриц! залежио в!д и власних чисел). Для того щоб нерозкладна матриця Л>0 була стшкою, леобхгдно и достатнъо, щоб усг и власт числа А (Я Ф Х А ) перебували всередит кола радгусом Х А, тобто ^.^\<\ А, Л^ е Л (Л), Х 1 1 ФХ А. Доведения ц!е! теореми потребуе застосування нормально! жорданово! форми матриц! Л! тому тут не наводиться. 1=1 1=1 При цьому скористаемося тим, що 2 - \2\ < 0; (р А \ А г ) = (р А А \ г ) = (р А \ г ) Лема 1.4. Нехай для деякого натурального числа & матриця А е стшкою. Тодг матриця А також стгйка. _ V За умовою для дов!лыюго х е К" Нт В т х = \ис А, В := А. Доведете ><» мо, що Нт Маемо Уе > ОЗМ е N : \/т > М В т х-1±х А < е - Якщо вибрати,0<г </г, 1 тод! то при <е. А маемо Доведения теореми 1.4. Скористаемося лемами вла- СТИВ1СТЮ (г) 2. За умовою теореми матриця Л е прим!тивною; за твердженням (г) 2 деякий I! натуралыгай степ!нь А^ строго додатний, тому до оператора Л? можна застосувати лему 1.2, з яко! випливае, що оператор А* 1 е оператором стиску на в!дпов!дному п!дпростор!, а на п!дстав! леми 1.1 матриця Л^ е стшкою. Для завершения доведения теореми 1.4 сл!д застосувати лему 1.3. Зауваження. Легко встановити ще и таке твердження: матриця А буде стшкою тодг и тгльки тодг, коли 1снуе граница Нт А т = К. ш > м АНАА13 ПРОДЖТИВНОСТ1 МОДЕЛ1 «ВИТРАТИ-ВИПУСК» Низку запитань щодо властивостей описано! модел! «витрати випуск» Леонтьева та лшшно! модел! обмшу сформульовано у п У математичному план! ц! модел! мають виг ляд систем (1.1)! (1.3) в!дпов!дно. Виявилося, що продуктившсть модел! Леонтьева повн!стю визначаеться числом Фробешуса Х А матриц! Л коеф!ц!ент!в прямих витрат. Теорема 1.6 (критерш продуктивност! модел! «витрати випуск»). Для продуктивностг моделг Леонтьева (1.2) х-ах = с, х >0 (1.19) необхгдно и достатнъо, щоб фробетусове власне число Х А матрицг А задоволъняло нергвтстъ Х А < 1. V Д о с т а т н 1 с т ь. Покажемо, що при Х А < 1 (г) Нт Л = 0; (И)!снуе " (/-Л)". Маемо Ах А = Х -. Отже, Нт =0, так як за умовою Х А < 1. Осюльки для вектора Фробешуса Х А > 0, а Л > 0, то отримуемо ствв!дношення (г). Запишемо тотожшсть, справедливу для дов!льно! квадратно! матрица Л: (/ - Л)(/ + Л + Л Л* 4 ) = / - Л*. (1.20) Перейдемо в (1.20) до границ! при Н > ; границя право! частини / \ 00 ь I ъ (1.20)!снуе! дор!вшое /. Тому (/-Л) ^ Л =/. Отже, ряд ^ Л 1^=0! А=0 1 зб!гаеться, а його сума е, очевидно, матрицею (/ - Л), обериеною до / - Л : (/-Л)" 1 = X А*- (1-21) 25

14 Отримано матричний вар!ант формули для суми нескшченно спадно!' (А-д = тах Я^ < 1) геометрично! прогреси. Оск!льки за будь-якого натурального Ъ А > 0, то матриця (I - А) нев!д'емна! для дов!льного нев!д'емного вектора кшцевого попиту с > О система (1.19) мае такий розв'язок: х = (1-АГ*с>0. (1.22) Отже, модель Леонтьева е продуктивною. Необх!дн!сть. Припускаючи, що модель Леонтьева (1.19) продуктивна, робимо висновок про!сиуванпя такого вектора х > О, що х - Ах - с. Нехай при цьому вектор с > О, тод! х > Ах. Помножимо останню нер!вн!сть скалярно на вектор р А (х\р А )> (Ах \р А ) = (х\ р А А) = \ А (х\ р А ). Оск!льки х > О, р А > О, то Х л < 1. А Таким чипом, перев!рка модел! Леонтьева на продуктившсть зводиться до чисто математично!' задач! щодо спектра матриц! А. Можна сформулювати деяк! достатш ознаки продуктивност! безпосередпьо в термшах параметр!в модел! (1.19). Теорема 1.7 (достатня умова продуктивност! модел! «витрати випуск»). Нехай система (1.19) мае розв'язок при деякому о 0, тодг модель Леонтьева продуктивна. 1накше кажучи, якщо деякий додатний ктцевий попит можна задоволънити в моделг Леонтьева (/. 19), то вона продуктивна. V Дшчи так само, як! при доведенн! необх!дност! в теорем! 1.6, установлюемо, що Х А < 1; тепер можиа застосувати теорему 1.6. А Теорема 1.8 (достатн! умови продуктивност! модел! «витрати випуск»). Нехай (г) матриця А = (а^\ невгд'емна г нерозкладна, (гг) сума г,- елементгв кожного прядка не перевищуе 1: г;= 5Х-<1,г = 1,2,...,п; (1.23) (ш) хоча б для одного рядка /д маемо к < 1. Тодг модель Леонтьева, що вгдповгдае цш матрицг, е продуктивною. V Нехай р, - л!вий вектор Фробеп!уса матриц! А, е = (1,1,..., 1)е п п Е К". Тод! р А Ае = 2>; (РА\ < Е (Рл)г- К? 1м ТОГО > РА Ае = ^А (РА- е ) = ;=1 1=1 = ^А Е (РА)- та "^А < 1> ТОМ У за те Р емою 1-6 модель Леонтьева продук- 1=1 тивпа. А Теорем! 1.8 можна дати таке економ!чпе тлумаченпя. Припустимо, що розглядаеться м!жгалузевий баланс в натуралыю-варт!сн!й форм!. Отже, 26 елемент а^ матриц! А е сумою, яку /-та галузь витрачае на продукцпо гч галуз! з розрахунку на одну гривпю чи долар свое! продукцп. Тод! сума г,- в (1.23) е витратою на продукц!ю г-1 галуз! (в грошових одиницях) ус!х галузей (за умови, що кожна з них випускае продукцию на 1 грн або $ 1). Умова (1.23) г г - < 1 озиачае, що продукция г-1 галуз! повн!стю задовольпяе потребу вс!х галузей. Умова (ш) е!стотною для продуктивност! модел!. Приклад 1.6. Нехай 'а Л=, де 0 < а < 1, 0 < р < 1, причому а + Р = 1. Хоча умови (1.23) для матриц! дотримано, але модель не е продуктивною за теоремою 1.6, оскшьки власш числа матриц! А А^ = а - Р, вл 2 = а + Р = 1. Прокоментуемо формулу (1.22), з яко!' за умови продуктивност! модел! можна знайте за в!домим кшцевим попитом с валовий продукт х: (1.24) Запис вектора валового випуску х у форм! нескшченно! суми в (1.24) можна трактувати так: щоб отримати вектор с > 0 кшцевого попиту, необх!дно виробити всю к!льк!сть продукцп, яка описуеться компонентами цього вектора (перший додапок с) в (1.24). Проте у процес! виробництва с виникають витрати (другий доданок Ас); у свою чергу, для виробиицтва вектора Ас потр!бн! виробпич! витрати (трет!й доданок ААс = Л 2 с) тощо. Тому ряд (7-А)~ 1 с = с + Лс + Л 2 с+... пазивають повними витратами на виробпицтво к!нцевого попиту с, а матрицю (/ - А) - матрицею повних витрат. Отже, валовий випуск, необх!дний для випуску вектора кпщевого- попиту с, дор!внюе векторов! с, помпоженому на матрицю повних витрат. Розглянемо модель мгжнародноу торггвл!. З'ясуемо поведшку вектора прибутку <1 з модел!, що описуеться р!вняниям О^ = а. Оск!льки для матриц! О виконано умову (1.4), сума елемент!в кожного рядка матриц! (Р дор!вшое одиниц!, а з теореми 1.3 випливае, що Х ( ~ > =1. Доходимо висновку: якщо торг!вля починаеться в умовах, коли початковий розпод!л прибутк!в зб!гаеться з одним!з вектор!в Фробеп!уса й,^ матриц! (2, то внасл!док тако'г торг!вл! прибутки краш не зм!нюватимуться (посл!- довшсть вектор!в прибутк!в з п. 1.1 при а = (1(2 (О^д = а' ( 2\ е стащонарною: (1д,(1 ( 2,...,(1 ( 2,...). Припустимо, що краши, розпочинаючи торпвлю, мають початковий розпод!л нац!ональних прибутк!в б? 0. Зм!на вектора прибутк!в с1,^ = (3^(1$ залежить в!д властивостей матриц! <Э. Якщо матриця О нерозкладна! 27

15 прим!тивна, то на шдстав! теореми 1.5 про спшасть тако!' матриц! робимо висновок: матриця (3 стшка, тобто 1!т (^ с/ 0 = с?д,, причому (Р(2 1^д) = = (ро б/ 0 V 1накше кажучи, дшсною е асимптотична формула Нагадаемо, що рг) - л!вий вектор Фробешуса матриц! (^, тобто 1.4. КОЕФЩ1СНТИ ТРУДОВИХ ВИТРАТ Модель Леонтьева дае можлив!сть досл!дити деяк! проблеми, пов'язан! з використанням! рац!оналышм розпод!лом трудових рес,урс!в, що значною м!рою впливае на ефектившсть економ!ки., Маючи за мету доповнення модел! Леонтьева (1.1), введемо до розгляду вектор витрат трудових ресурав / = (/], / 2,...,/ ), де число / > 0 (коеф!ц!ент трудових витрат) показуе витрати трудових ресурав у ;-й галуз! при функц!онуванн! и технолог!чного процесу з одиничною штенсившстю. Щодо одиниц! величипи /у, то це можуть бути як людино-дн! (чи людиногодини), так! к!льк!сть працюючих. Технолопя тако! модиф!ковано! модел! Леонтьева може бути схарактеризована парою (/, А). Якщо загалышй обсяг трудових ресурав позначити через Ь(1 > 0), то можна додати до модел! Леонтьева обмеження щодо обсягу витрат трудових ресурав (х\1)<ь,х = (х\,х 2,...,х п ), де х > О -- вектор штенсивностей (або валового випуску). Тод! модифшована модель Леонтьева мае такий вигляд: х-ах = х>0. (1.25) Питания про!снування розв'язку ц!е1 системи при дов!лыюму вектор! попиту с > О потребуе докладного вивчення. Нехай вектор с > О задае структуру кшцевого попиту (можна нормувати цей вектор, наприклад, умовою с = 1). Поставимо таку оптим!зац!йну задачу: а->тах; х-ах>ас; (х\1)<1, х>0. (1.26) Можна вважати, що йдеться про нам!р максим!зувати к!льк!сть векторов комплект!в с. По сут!, задача (1.26) мае за мету рацюналышй розпод!л трудових ресурав. (г) Якщо матриця А продуктивна, то задача (/.26) е допустимою г мае розе' язок. Справд!, оск!льки А продуктивна матриця, р!вняння х - Ах = с можна розв'язати: х = (I - Л)" 1 с > 0. Виберемо число и, > О так, щоб (\йс /) < Ь 28 - А\1х) = ас а =. Таке ц!снуе, бо I > 0, а отже, вектор ц* е допустимим для задач! (1.26). Миожина вс!х допустимих вектор!в компактна, тому задача (1.26) мае розв'язок. (и) Сконструюемо задачу, двотсту до (1.26), за правилом, описаним у математичному додатку:, /</>р(/-л); (с р) > 1, р > О, ^ > 0, (1.27) де р = (Р!, р 2,..., р )> О вектор об'ективно зумовлених оцшок трудових ресурав. (т) Якщо продуктивна матриця А ще и нерозкладна, то вектор х гз розв'язку (х, </) задачг (1.26) буде строго додатним: х > 0. Справд!, (/ - А) >0 через продуктившсть! нерозкладн!сть матриц! А. Тод! з (1.26) маемо х > а(/ -Л)" 1 с при с > 0, с Ф 0. Зв!дси х > О, а а = р, строго додатне число. Застосовуючи теорему р!вноваги, запишемо /</= р(/- Л), (с р) = 1, зв!дки легко зиайти число ц! вектор р 1(1-А Г 1 с (1.28) (шг) Розглянемо модель (1.25). Якщо х (п!д х розум!емо вектор валового випуску) е розв'язком задач! (1.25) та х = (I - Л)"" 1 с, то для вектора трудових витрат маемо (х \ 1) = 1(1 -Л)" 1 с. Отже, вектор I* =1(1-А)" е вектором повних трудових витрат: його ]-та координата виражае поет трудов! витрати /г галузг економши. (шп) Можна штерпретувати вектор р як вектор щи на продукти, а число ^ як ставку заробшю! плати (зароб!тна плата за один людшгодень чи одну годину або одного пращвника). Тод! задача (1.27) зводиться до визначення р \ ^ так, щоб м!и!м!зувати загалышй фонд заробтго! плати (Ьд) за умови р- - {а 1 \ р\ < 0, / = 1, 2,..., п (чистий прибуток будьяко! галуз! не е додатним). Зпдпо з теор!ею двокггост! значення взаемодво'!стих задач (1.26)! (1.27) зб!гаються, тобто а = ^^. (1.29) В!дпов!дно до (1.26) (с р) = 1, тому число а е не що шше, як загальна варт!сть вектора товар!в ас при вектор! цш р. Нагадаемо, що додатн! компоненти вектора попиту с в!дпов!дають товарам споживання. Тому р!вняння (1.29) виражае р!вшсть попиту! пропозиц!! у варт!сному виражешп: загальна вартгсть (цгна) виробленого обсягу продукци доргвнюе 29