Traitement de l image (applications et exercices) partie 1

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1 Calcul scientifique/math/cnam (sur la base du cours de Ph. Destuynder [1]) Lissages - décembre 2004

2 Lissages -

3 Lisser... mais sans détruire Lissages -

4 Lissages - Restaurer pour rénover

5 J(u) = min v H 1 0 J(v) avec J(v) = 1 2 v f 2 d v 2 d. Lissages -

6 J(u) = min v H 1 0 J(v) avec J(v) = 1 2 Rappel de cours : v f 2 d v 2 d. équivalent au problème faible (form. var.) : v H0 1 (), uv d + ε u. v d = fv d. Lissages - équivalent au problème fort : ε u + u = f dans u = 0 sur

7 J(u) = min v H 1 0 J(v) avec J(v) = 1 2 Rappel de cours : v f 2 d v 2 d. équivalent au problème faible (form. var.) : v H0 1 (), uv d + ε u. v d = fv d. Lissages - équivalent au problème fort : ε u + u = f dans u = 0 sur

8 J(u) = min v H 1 0 J(v) avec J(v) = 1 2 Rappel de cours : v f 2 d v 2 d. équivalent au problème faible (form. var.) : v H0 1 (), uv d + ε u. v d = fv d. Lissages - équivalent au problème fort : ε u + u = f dans u = 0 sur

9 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de la méthode de Fourier : ε u + u = f dans u = 0 sur (1) Lissages -

10 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de la méthode de Fourier : ε u + u = f dans u = 0 sur (1) Lissages - : une base de Fourier le calcul de la solution Fourier la troncature de la série Fourier

11 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de la méthode de Fourier : ε u + u = f dans u = 0 sur (1) Lissages - : une base de Fourier le calcul de la solution Fourier la troncature de la série Fourier

12 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de la méthode de Fourier : ε u + u = f dans u = 0 sur (1) Lissages - : une base de Fourier le calcul de la solution Fourier la troncature de la série Fourier

13 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de la méthode de Fourier : ε u + u = f dans u = 0 sur (1) Lissages - : une base de Fourier le calcul de la solution Fourier la troncature de la série Fourier

14 Application numérique Fourier Lissages -

15 Application numérique Fourier Lissages -

16 Application numérique Fourier Lissages -

17 Application numérique Fourier Lissages - Prob. : la condition limite!

18 Application numérique Fourier Lissages - Prob. : la condition limite! Sol. partielle :

19 Application numérique Fourier Lissages - Prob. : la condition limite! Sol. partielle : Chevauchement des sous images,...

20 Application numérique Fourier Lissages - Prob. : la condition limite! Sol. partielle : Chevauchement des sous images,... ou DCT avec u = f au bord,...

21 Lissage isotrope Différences Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de l approximation par différences finies : ε u + u = f dans u = f sur Γ Dirichlet u n = 0 sur Γ Neumann (2) Lissages -

22 Lissage isotrope Différences Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de l approximation par différences finies : ε u + u = f dans u = f sur Γ Dirichlet u n = 0 sur Γ Neumann (2) Lissages - : une écriture matricielle DF la condition limite de Dirichlet DF la condition limite de Neumann DF

23 Lissage isotrope Différences Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de l approximation par différences finies : ε u + u = f dans u = f sur Γ Dirichlet u n = 0 sur Γ Neumann (2) Lissages - : une écriture matricielle DF la condition limite de Dirichlet DF la condition limite de Neumann DF

24 Lissage isotrope Différences Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de l approximation par différences finies : ε u + u = f dans u = f sur Γ Dirichlet u n = 0 sur Γ Neumann (2) Lissages - : une écriture matricielle DF la condition limite de Dirichlet DF la condition limite de Neumann DF

25 Lissage isotrope Différences Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème suivant à l aide de l approximation par différences finies : ε u + u = f dans u = f sur Γ Dirichlet u n = 0 sur Γ Neumann (2) Lissages - : une écriture matricielle DF la condition limite de Dirichlet DF la condition limite de Neumann DF

26 Application numérique DF Lissages -

27 Application numérique DF Lissages -

28 Application numérique DF Lissages -

29 Application numérique DF Lissages -

30 Lissage isotrope Eléments Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème faible (formulation variationnelle) à l aide de la méthode des éléments finis : v H0 1 (), uv d + ε u. v d = fv d. Lissages -

31 Lissage isotrope Eléments Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème faible (formulation variationnelle) à l aide de la méthode des éléments finis : v H0 1 (), uv d + ε u. v d = fv d. Lissages - Rappel de cours et exercices : Interpolation Assemblage Résolution

32 Lissage isotrope Eléments Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème faible (formulation variationnelle) à l aide de la méthode des éléments finis : v H0 1 (), uv d + ε u. v d = fv d. Lissages - Rappel de cours et exercices : Interpolation Assemblage Résolution

33 Lissage isotrope Eléments Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème faible (formulation variationnelle) à l aide de la méthode des éléments finis : v H0 1 (), uv d + ε u. v d = fv d. Lissages - Rappel de cours et exercices : Interpolation Assemblage Résolution

34 Lissage isotrope Eléments Finies min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d. Résolvons le problème faible (formulation variationnelle) à l aide de la méthode des éléments finis : v H0 1 (), uv d + ε u. v d = fv d. Lissages - Rappel de cours et exercices : Interpolation Assemblage Résolution

35 Application numérique EF... Lissages -

36 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 p 1 + a v 2 d. Problème équivalent à : εdiv(ϕ ( u 2 ) u) + u = f dans u = f sur (3) Lissages - avec ϕ(t) = 1 + a t (a lr ).

37 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 p 1 + a v 2 d. Problème équivalent à : εdiv(ϕ ( u 2 ) u) + u = f dans u = f sur (3) Lissages - avec ϕ(t) = 1 + a t (a lr ). : Dériver la fonctionnelle Décomposition de l opérateur Résolution

38 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 p 1 + a v 2 d. Problème équivalent à : εdiv(ϕ ( u 2 ) u) + u = f dans u = f sur (3) Lissages - avec ϕ(t) = 1 + a t (a lr ). : Dériver la fonctionnelle Décomposition de l opérateur Résolution

39 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 p 1 + a v 2 d. Problème équivalent à : εdiv(ϕ ( u 2 ) u) + u = f dans u = f sur (3) Lissages - avec ϕ(t) = 1 + a t (a lr ). : Dériver la fonctionnelle Décomposition de l opérateur Résolution

40 min v 1 2 v f 2 d + ε 2 p 1 + a v 2 d. Problème équivalent à : εdiv(ϕ ( u 2 ) u) + u = f dans u = f sur (3) Lissages - avec ϕ(t) = 1 + a t (a lr ). : Dériver la fonctionnelle Décomposition de l opérateur Résolution

41 Applications numériques non linéaire Lissages -

42 Applications numériques non linéaire Lissages - h = 0.1

43 ... min v 1 2 v f 2 d + ε 2 v 2 d + g (v f ) d. Lissages -

44 min v 1 2 B v f 2 d + ε 2 Résolvons le problème suivant : ε u + ξ B u = ξ B f dans B avec ξ B = 1 dans B et 0 dans ω + C.L. B ω v 2 d. (4) Lissages -

45 Application numérique Lissages -

46 Bibliographie Philippe Destuynder - Analyse, traitement et synthèse d images numériques - Collection des cours Calcul Scientifique - Cnam/Médias. Mail de l auteur Page web de l auteur Ce document a été créé en utilisant LaTeX avec le package Beamer (aide pratique). Lissages -

47 ... Lissages -

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