Department of Computing and Software

Transcription

1 Department of Computing and Software Faculty of Engineering McMaster University Decentralized Control Using the Hierarchical Interface-based Supervisory Control Approach v 1.1 by Huailiang Liu, Ryan J. Leduc, and S. L. Ricker CAS Report Series CAS RL Department of Computing and Software December 2015 Information Technology Building McMaster University 1280 Main Street West Hamilton, Ontario, Canada L8S 4K1 Copyright 2015

2 ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Í Ò Ø À Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÔÔÖÓ Ú ½º½ ÀÙ Ð Ò Ä Ù 1 ÊÝ Ò Âº Ä Ù 1 Ò Ëº Äº Ê Ö 2 1 Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ò ËÓ ØÛ Ö ÙÐØÝ Ó Ò Ò Ö Ò ÅÅ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ À Ñ ÐØÓÒ ÇÒØ Ö Ó Ò 2 Ô ÖØÑ ÒØ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÓÑÔÙØ Ö Ë Ò ÅÓÙÒØ ÐÐ ÓÒ ÍÒ Ú Ö ØÝ Ë Ú ÐÐ Æ Ä ½ Ò Ì Ò Ð Ê ÔÓÖØ Ë¹½ ¹½¼¹ÊÄ Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ò ËÓ ØÛ Ö ÅÅ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Â ÒÙ ÖÝ ¾ ¾¼½ ØÖ Ø ÁÒ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ ÒØ Ú ÓÒÐÝ Ô ÖØ Ð Ú Û Ò Ô ÖØ Ð ÓÒØÖÓÐ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò ÑÙ Ø ÓÓÔ Ö Ø ØÓ Ú Ø ÓÒØÖÓÐ Ó Ø Ú º ÌÓ ÝÒØ Þ Ò¹ ØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ø Ý Ø Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝº Ü Ø Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ú Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ö ÕÙ Ö Ø ÔÓ ÐÝ ÒØÖ Ø Ð µ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Ñº ÌÓ ÒÖ Ø Ð Ð ØÝ Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Û ÒØÖÓ Ù Ø À Ö Ö ¹ Ð ÁÒØ Ö ¹ ÒØÖ Ð Þ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÀÁ Ë µ Ö Ñ ÛÓÖ Ø Ø ÜØ Ò Ø Ü Ø Ò À Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÀÁË µ Ô¹ ÔÖÓ º ÌÓ ÔØ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÓÖ ÀÁ Ë Û ÔÖÓÔÓ Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø ÓÒ Ó Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÐÓÒ Û Ø Ú Ö Ø ÓÒ ØÖ Ø Ý Ø Ø Ö ÕÙ Ö Ü Ñ Ò Ø ÓÒ Ó ÓÒÐÝ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ñ º Ò ÐÐÝ Û ÔÖÓÚ Ò ÔÖÓÚ Ø Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ü Ø Ò Ò Ø ÀÁ Ë Ö Ñ ÛÓÖ Ò ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÙÖ ÔÔÖÓ Û Ø Ò Ü ÑÔÐ º Ø ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÑÓ Ð Ò Ú Ö Ò ØÓ ÓÒ ØÖÙØ ÀÁ Ë Ò ÔÖÓÚ Ò ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ú Ò º Ã ÝÛÓÖ Ö Ø ¹ Ú ÒØ Ý Ø Ñ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ À ¹ Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ

3 ÓÒØ ÒØ ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ½ ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö ¾ ¾º½ Ä Ò Ù Ò Ë º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Û Ø Å Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÀÁË Ö Ø ØÙÖ À Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ÒØÖ Ð Þ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ½¼ º½ ÀÁ Ë Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ Ò Ì ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ ÅÆ Ë ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ü Ø Ò Ì ÓÖ Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Å ÒÙ ØÙÖ Ò Ü ÑÔÐ ½ º½ Å ÒÙ ØÙÖ Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÀÁ Ë ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Î Ö Ø ÓÒ ÓÖ ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÐÝ ÓÖ Ø ÒØÖ Ð Þ ËÝ Ø Ñ º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÏÓÖ ½ ÈÖÓÓ ¾¼

4 ½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ÇÒ Ó Ø Ñ Ò ÐÐ Ò Ò Ø ÓÒØÖÓÐ Ó Ö Ø ¹ Ú ÒØ Ý Ø Ñ Ëµ Ä¼ ÊÏ ÏÊ ÏÓÒ½ Ø ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÜÔÐÓ ÓÒ Ó Ø ÔÖÓ ÙØ Ø Ø Ô º Ì À Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÀÁË µ Ö Ñ ÛÓÖ ÔÖÓÔÓ Ò ÀÂ É + ½¼ Ä ¼¾ Ä ¼ Ä ÄÏ¼ ÄÄ ¼ ÄÄÏ¼ Ò ÐÔ ÐÐ Ú Ø Ø Ø Ø ¹ Ô ÜÔÐÓ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÀÁË ÔÖÓÚ Ø Ó ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ø Ò Ù ØÓ Ú Ö Ý ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ù ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝ Ó Ø Ø Ø ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Ñ ÑÓ Ð Ò Ú Ö Ò ØÓ ÓÒ ØÖÙØ º Ì Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ó ÀÁË ÐÐÓÛ Ø Ò Ô Ò ÒØ Ò Ò Ú Ö Ø ÓÒ Ó Ö ÒØ Ð Ú Ð Ò ÙÖ Ò Ø Ø Ò ØÓ ÓÒ Ð Ú Ð Ó Ø Ö Ö Ý Û ÐÐ ÒÓØ ÑÔ Ø Ø ÓØ Ö º ÀÓÛ Ú Ö Ø ÙÖÖ ÒØ ÀÁË Ö Ñ ÛÓÖ Ó ÒÓØ ÙÔÔÓÖØ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö Ò ØÙÖ ÐÐÝ Ø ÖÓÙ Ø ÒÚ Ø Ø ÓÒ Ó Ð Ö Ú Ö ØÝ Ó ØÖ ÙØ Ý Ø Ñ Ù ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ Ò ØÛÓÖ ÒØ Ö Ø Ò ÓÖ Ò ØÛÓÖ Ò ØÛÓÖ ÓÒØÖÓÐ Ý Ø Ñ Ò Ù¹ ØÓÑ Ø Ù Ú ÙÐ Ö Ý Ø Ñ º ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Ó Ë ÓÙ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ö ÑÙÐØ ÔÐ ÒØ ÓÒØÖÓÐ Ò Ó ÖÚ ÓÑ Ú ÒØ Ò Ý Ø Ñ Ò ÑÙ Ø ØÓ Ø Ö Ú ÓÑ ÔÖ Ö Ó Ðº ÒØÖ Ð Þ ÔÔÖÓ Ù Û Ò Ø Ô Ý Ð Ý Ø Ñ Ù Ø Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ö ÒØ ÐÓ Ø ÓÒ ÛÓÙÐ Ò ØÙÖ ÐÐÝ ÓÒÐÝ Ð ØÓ Ò Ø Ú ÒØ ÓÙÖÖ Ò Ò Ø Ö ÐÓ Ð Ú Ò ØÝ Ò Ú ÒÓ ØÓ ÓØ Ö Ú ÒØ º Ì Ó Ð ØÓ Ð ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø Ø ÔÖÓ Ù Ø Ñ ÓÒØÖÓÐ Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Û Ø ÙÐÐ Ú Û Ò ÓÒØÖÓÐ Ó Ø Ý Ø Ñº Ì ÝÒØ Ó ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ö ÕÙ Ö Ø Ø Ø Ô Ø ÓÒ Ø ¹ ÒØÖ Ð Þ ÔÖÓÔ ÖØÝ ÐÐ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÊÏ ¾ º Æ Ú ÖØ Ð Û Ò Ø Ý Ø Ñ Ú ÖÝ Ð Ö Ò ÓÑÔÓ Ó Ñ ÒÝ Ù ¹ Ý Ø Ñ Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ù Ò Ø Ü Ø Ò ÑÓÒÓ¹ Ð Ø Ñ Ø Ó ÊÏ Ö ÕÙ Ö Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Ñ ÑÓ Ð Û Ñ Ý ÒØÖ Ø Ð Ù ØÓ Ø Ø Ø ¹ Ô ÜÔÐÓ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº ÁÒ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ó Ë Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÓÑÔÐ Ü ØÝ ÓÖ Ñ ÒÝ Ó Ø ÓÒØÖÓÐ ÓÐÙØ ÓÒ ÒØ Ð ÓÒÐÝ ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÖØ Ò Ø ÑÓ Ð³ Ø Ø Þ º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò ÓÑ¹ ÔÐ Ü ØÝ ÛÓÖ Ò Ø Ó ÓÒØÖÓÐ Û Ø Ô ÖØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÓÑ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÙÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ð ÓÛ Ú Ö Ø Ý Ö ÜÔÓÒ ÒØ Ð Û Ò Ø ØÙ Ø ÓÒ Ô ÖØ ÐÐÝ Ó ÖÚ Ð Ê Ä¼ ÊÏ ÌÄ¼ ÌÖ ¼ Ì Ä¼¾ º ÁÒ Ä Ù½ ÄÄÅÊ½ Û ÒØÖÓ Ù Ò ÒÖ Ñ ÒØ Ð ÔÔÖÓ ÓÖ Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÓÒ Ø ÛÓÖ Ó Ö Ò Ò Ø Ðº ÅÅ¼ ÓÖ Ú Ö Ý Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝº ÇÙÖ Ñ Ø Ó Ö ØÐÝ ÒÖ Ø Þ Ó Ý Ø Ñ Ø Ø ÓÙÐ Ú Ö ÙØ Ø Ð Ó ØÖÙ Ð Ø Ø Ø Þ Ò ÒÙÑ Ö Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÒÖ º ÌÓ Ö Ø ÓÚ Ù Û ÔÖÓÔÓ Ò ÔÔÖÓ ÐÐ Ø À Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ÒØÖ Ð Þ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÀÁ Ë µ Ö Ñ ÛÓÖ Ø Ø ÜØ Ò ÀÁË ØÓ Ñ Ò ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ ÔÖÓ Ð Ñ º Ï ÒØÖÓ Ù Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ Û Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø ÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ÓÒ Ó ÐÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ º Ï Ø Ò ÔÖÓÚ Ø Ø Ý Ø Ñ Ø Ø Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ Ø ÐÓ ÐÐÝ Ó¹Ó ÖÚ Ð º ÙÖØ Ö Û ÔÖÓÚ Ò ÔÖÓÚ Ø Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ü Ø Ò Ò ÀÁ Ë º ÅÓ Ø Ó Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Ø Ô Ô Ö Ö Ø ÔÔ Ö Ò ÓÙÖ ÓÒ Ö Ò Ô Ô Ö ÄÄÊ½ º Ì ÙÖÖ ÒØ Ô Ô Ö ÙÐÐ ÔÖÓÓ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ü ÑÔÐ Û ÐÐ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ÙÐØ º ÌÓ Ø Ø Ó ÓÙÖ ÒÓÛÐ Ø Ö ÒÓ Ü Ø Ò ÛÓÖ Û Ö ÀÁË ÙÔÔÓÖØ ÒØÖ Ð Þ Ö Ø ¹ Ú ÒØ ÓÒØÖÓÐ Ö Ø ØÙÖ º ÐØ ÓÙ Ø Ö ÓÑ Ð Ø Ö ØÙÖ ÔÖÓÔÓ Ò Ö Ö Ð ÓÒØÖÓÐ Ó ÒØÖ Ð Þ Ö Ø ¹ Ú ÒØ Ý Ø Ñ Ë ½½ ËÅ¼ ËÅÈ¼ Ø ÔÔÖÓ ¹ ÙÑ ÙÐÐ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ø Ù Ø Ý Ö ÒØÖ Ð Þ Ò Ø ÖÑ Ó Ö Ø ØÙÖ ÒÓØ Ò Ø ÖÑ Ó Ó ÖÚ Ø ÓÒ º ½

5 Ì Ô Ô Ö ÓÖ Ò Þ ÓÐÐÓÛ º ÁÒ Ë Ø ÓÒ ¾ Û Ö Ú Û Ø Ö Ð Ú ÒØ Ò Ø ÓÒ Ò Ö ÙÐØ ÖÓÑ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ø ÓÖÝº Ë Ø ÓÒ Ö Ú Û Ø ÀÁË Ö Ø ØÙÖ º ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÒØÖÓ Ù ÓÙÖ Ò Û ÀÁ Ë Ö Ñ ÛÓÖ º ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û ÐÐÙ ØÖ Ø ÓÙÖ ÀÁ Ë ÔÔÖÓ Û Ø Ò Ü ÑÔÐ º Ï Ø Ò ÔÖ ÒØ ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÛÓÖ Ò Ë Ø ÓÒ º ¾ ÈÖ Ð Ñ Ò Ö Ì Ø ÓÒ ÔÖÓÚ Ö Ö Ú Û Ó Ø Ý Ë ÓÒ ÔØ Ù Ò Ø Ô Ô Öº ÓÖ ÑÓÖ Ø Ð ÔÐ Ö Ö ØÓ Ä¼ ÏÓÒ½ º ¾º½ Ä Ò Ù Ò Ë Ú ÒØ ÕÙ Ò Ò Ð Ò Ù Ö ÑÔÐ Û Ý ØÓ Ö Ë Ú ÓÙÖº Ä Ø Σ Ò Ø Ø Ó Ø ÒØ ÝÑ ÓÐ Ú ÒØ µ Ò Ð Ø Σ + Ø Ø Ó ÐÐ Ò Ø ÒÓÒ ÑÔØÝ ÕÙ Ò Ó Ú ÒØ º Ä Ø Σ := Σ + {ǫ} Ø Ø Ó ÐÐ Ò Ø ÕÙ Ò Ó Ú ÒØ ÔÐÙ ǫ Ø ÑÔØÝ ØÖ Ò º Ð Ò Ù L ÓÚ Ö Σ ÒÝ Ù Ø L Σ º Ì ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó ØÛÓ ØÖ Ò s, t Σ ÛÖ ØØ Ò stº Ä Ò Ù Ò ÐÔ Ø Ò Ð Ó ÓÒ Ø Ò Ø º ÓÖ L Σ Ò Σ Σ Ø ÓÒ Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ù L Ò Ú ÒØ Ø Σ Ò LΣ := {sσ s L, σ Σ }º ÓÖ ØÖ Ò s, t Σ Û Ý Ø Ø t ÔÖ Ü Ó s ÛÖ ØØ Ò t sµ s = tu ÓÖ ÓÑ u Σ º Ï Ð Ó Ý Ø Ø t Ò ÜØ Ò ØÓ sº Ì ÔÖ Ü ÐÓ ÙÖ L Ó Ð Ò Ù L Σ Ò ÓÐÐÓÛ L := {t Σ t s ÓÖ ÓÑ s L}º Ð Ò Ù L ØÓ ÔÖ Ü¹ÐÓ L = Lº Ä Ø ÈÛÖ(Σ) ÒÓØ Ø ÔÓÛ Ö Ø Ó Σ º º Ø Ø Ó ÐÐ Ù Ø Ó Σµº ÓÖ Ð Ò Ù L Ø Ð Ð ØÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Ð L : Σ ÈÛÖ(Σ) Ú Ò Ý Ð L (s) := {σ Σ sσ L} ÓÖ s Σ º Ä Ø Σ = Σ 1 Σ 2 L 1 Σ 1 Ò L 2 Σ 2 º Ä Ø i {1, 2} s Σ Ò σ Σº ÌÓ ÔØÙÖ Ø ÒÓØ ÓÒ Ó Ô ÖØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Û Ò Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ P i : Σ Σ i ÓÖ Ò ØÓ { ǫ, σ Σi ; P i (ǫ) = ǫ, P i (σ) = σ, σ Σ i P i (sσ) = P i (s)p i (σ) Ú Ò ÒÝ Ð Ò Ù L Σ Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ð Ò Ù L P i (L) := {P i (s) s L}º Ì ÓÑ Ø Ñ Ö Ú Ø ØÓ P i Lº Ì ÒÚ Ö ÔÖÓ Ø ÓÒ Pi 1 Pwr(Σ i ) Pwr(Σ ) Ò ÓÚ Ö Ù Ø Ó Ð Ò Ù º Ú Ò ÒÝ L Σ 1 i Ø ÒÚ Ö ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó L Ò Pi (L) := {s P i (s) L}º Ë Ö ÔÖ ÒØ ØÙÔÐ G := (Q, Σ, δ, q 0, Q m ) Û Ø Ø Ø Ø Q ÐÔ Ø Ø Σ Ô ÖØ Ð ØÖ Ò Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ δ : Q Σ Q Ò Ø Ð Ø Ø q 0 Ò Ø Ó Ñ Ö Ö Ø Ø Q m º Ï Ù δ(q, σ)! ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ø δ Ò ÓÖ σ Σ Ø Ø Ø q Qº ÙÒØ ÓÒ δ Ò ÜØ Ò ØÓ Σ Ý Ò Ò δ(q, ǫ) := q Ò δ(q, sσ) := δ(δ(q, s), σ) ÔÖÓÚ Ø Ø q = δ(q, s)! Ò δ(q, σ)! ÓÖ s Σ Ò q Qº Ï Û ÐÐ ÐÛ Ý ÙÑ Ø Ø Ë Ò Ø Ø Ø Ò Ú ÒØ Ø Ò Ø ÖÑ Ò Ø º Ý Ø ÖÑ Ò Ø Û Ñ Ò Ø Ë Ò Ð Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ø ÓÒ ØÖ Ò Ø ÓÒ Ò Ø Ú Ò Ø Ø ÓÖ ÒÝ σ Σº ÓÖ Ë G Ø ÐÓ Ú ÓÙÖ ÒÓØ Ý L(G) := {s Σ δ(q 0, s)!} Ò Ø Ñ Ö Ú ÓÙÖ Ý L m (G) := {s L(G) δ(q o, s) Q m }º Ò Ø ÓÒ ¾º½º Ë G ØÓ ÒÓÒ ÐÓ Ò ¾

6 L m (G) = L(G)º Ì ÓÚ ÑÔÐ ÓÖÑ Ó ÐÓ Ò º Ò Ø ÓÒ ¾º¾º Ä Ø K L m (G) Σ º Ï Ý Ø Ø Ø Ð Ò Ù K L m (G)¹ÐÓ K = K L m (G)º Ï ÒÓØ Ø Ø K Ò L m (G)¹ÐÓ Ñ Ò Ø ÓÒØ Ò ÐÐ Ó Ø ÔÖ Ü Ø Ø ÐÓÒ ØÓ L m (G)º Ì ÝÒ ÖÓÒÓÙ ÔÖÓ ÙØ Ó Ð Ò Ù L 1 Ò L 2 ÒÓØ Ý L 1 L 2 Ò ØÓ L 1 L 2 := P1 1 (L 1 ) P2 1 (L 2 )º Á ÓØ L 1 Ò L 2 Ö ÓÚ Ö Ø Ñ Ú ÒØ Ø Σ Ø Ò L 1 L 2 = L 1 L 2 º Ò Ø ÓÒ ¾º º Ä Ø G i = (Q i, Σ i, δ i, q 0,i, Q mi ) i = 1, 2º ÔÖÓ ÙØ Ó G 1 Ò G 2 Ï Ò Ø ÝÒ ÖÓÒÓÙ G 1 G 2 = (Q 1 Q 2, Σ 1 Σ 2, δ, (q 0,1, q 0,2 ), Q m1 Q m2 ) Û Ö δ((q 1, q 2 ), σ) Ò (δ 1 (q 1, σ), δ 2 (q 2, σ)), σ Σ 1 Σ 2, δ 1 (q 1, σ)!, δ 2 (q 2, σ)!; (δ 1 (q 1, σ), q 2 ), σ Σ 1 \Σ 2 Ò δ 1 (q 1, σ)!; (q 1, δ 2 (q 2, σ)), σ Σ 2 \Σ 1 Ò δ 2 (q 2, σ)!; ÙÒ Ò ÓØ ÖÛ º Ï Ø Ù Ú ÓÖ Ë G = G 1 G 2 Ø Ø L m (G) = L m (G 1 ) L m (G 2 ) Ò L(G) = L(G 1 ) L(G 2 )º ÁÒ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ø Ú ÒØ Ø Σ Ô ÖØ Ø ÓÒ ÒØÓ ØÛÓ Ó ÒØ Ø Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ Ø Σ c Ò Ø ÙÒÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ Ø Σ uc º ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ Ò ÔÖ Ú ÒØ ÖÓÑ ÔÔ Ò Ò Ð µ Ý ÙÔ ÖÚ ÓÖ Û Ð ÙÒÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ ÒÒÓØ Ð º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒ ØÓ Û Ò Ò ÙÖ ÓÙÖ Ý Ø Ñ Ø Ý Û Ø Ò Ø Ú ÓÖ Ô Ý Kº Ò Ø ÓÒ ¾º º Ä Ø K Ò L = L Ð Ò Ù ÓÚ Ö Ú ÒØ Ø Σº K ØÓ ÓÒØÖÓÐÐ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L Ò Σ uc KΣ uc L Kº Ï Û ÐÐ Ò ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Û Ò ØÖ Ø Û Ý ØÓ Ö ÓÒØÖÓÐ Ú ÓÖº Ö Ø Û Ò ØÓ Ò ÓÒØÖÓÐ Ô ØØ ÖÒ º Ò Ø ÓÒ ¾º º ÓÒØÖÓÐ Ô ØØ ÖÒ Ù Ø Ó Σ Ø Ø ÓÒØ Ò ÐÐ ÙÒÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ º ÁØ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÒØ ØÓ ÙÖÖ ÒØÐÝ Ò Ð º Ì Ø Ó ÐÐ ÓÒØÖÓÐ Ô ØØ ÖÒ Γ := {γ ÈÛÖ(Σ) γ Σ uc }. Ò Ø ÓÒ ¾º º ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÓÖ ÔÐ ÒØ G ÒÝ Ñ Ô V : L(G) Γ.

7 ¾º¾ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ ÓÖ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Ø Ö Ò Ò Ü Ø Ó N > 1 ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö D = {1,..., N}º Ì ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ú ÓÒÐÝ Ô ÖØ Ð Ú Û Ó Ø Ý Ø Ñ Ú ÓÙÖ Ò ÓÒØÖÓÐ ÓÒÐÝ Ù Ø Ó Ø ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ º ÌÓ Ö Ú ÒØ Ø Ø ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö i D ÓÒØÖÓÐ Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Σ c,i Σ c Û Ö N i=1 Σ c,i = Σ c º Ï Ö Ö ØÓ Ø Ø Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø Ø ÓÒØÖÓÐ σ Σ c D c (σ) := {i D σ Σ c,i }º ÌÓ Ö Ú ÒØ Ø Ø ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö i D Ó ÖÚ Û Ù Ø ÒÓØ Ø ÓÒ Σ o,i Σ o Û Ö N i=1 Σ o,i = Σ o º Ï Ö Ö ØÓ Ø Ø Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø Ø Ó ÖÚ σ Σ o Ý D o (σ) := {i D σ Σ o,i }º ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÝ Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ô ÖØ Ð Ú Û Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÒÓØ Ý P i : Σ Σ o,i ÓÖ i Dº ÓÖ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Û Ø ÓÒ ÙÒØ Ú Ö Ø ØÙÖ ÊÏ ¾ Ø Ù ÓÒ ÖÙÐ Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ÐÐ ÐÓ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÒ º º Ò Ú ÒØ ÐÓ ÐÐÝ Ò Ð ÒÓØ ÐÓ ÐÐÝ Ð º Ï Ù Ø ÓÒ ÙÒØ Ú Ö Ø ØÙÖ Ò Ø Ô Ô Öº ÓÖ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Û Ò ÖÓÙÔ Ó ÐÓ Ð Ô ÖØ Ð¹Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Þ Ù¹ Ô ÖÚ ÓÖ ØÓ Ü Ö ÓÒØÖÓÐ ÓÚ Ö Ø ÔÐ ÒØº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒ Ö Ø ÓÒ ÖÙÐ Ó Ò Ú Ù Ð ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ò Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ ÖÙÐ Ø Ø ÓÑ Ò Ø Ö ÐÓ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÒ ÒØÓ ÐÓ Ð ÓÒØÖÓÐ ÓÒ º Ò Ø ÓÒ ¾º º Ä Ø K Σ Ø Ö Ú ÓÖ Ò Ð Ø i Dº Ì Ò Ø ÓÒ ÖÙÐ ÓÖ ÐÓ Ð Ô ÖØ Ð¹Ó ÖÚ Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ ÓÖ G Ñ Ô S Pi : L(G) Γ Ò ÓÖ t L(G) S Pi (t) := (Σ\Σ c,i ) {σ Σ c,i Pi 1 [P i (t)]σ K L(G) }º Ì ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó Ø S Pi ÒÓØ Ý S Con : L(G) Γ Ò S Con (t) := N i=1 S P i (t)º Ï ÒÓØ Ø Ø S Con ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÓÖ G Ò Ø Ø S Pi (t) = S Pi (P i (t)) Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÑÔÓØ ÒØ º º P i (t) = P i (P i (t))º Ï ÒÓÛ Ò Ø ÐÓ Ú ÓÙÖ ÓÖ Ø ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ý Ø Ñ Ó G ÙÒ Ö Ø ÓÒØÖÓÐ Ó S Con º Ò Ø ÓÒ ¾º º Ú Ò G Ò S Con Ø Ö ÙÐØ Ò ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ý Ø Ñ ÒÓØ Ý S Con /Gº Ì Ý Ø Ñ³ ÐÓ Ú ÓÙÖ L(S Con /G) Ö ÙÖ Ú ÐÝ Ò ÓÐÐÓÛ Áµ ǫ L(S Con /G) ÁÁµ t L(S Con /G) σ S Con (t) Ò tσ L(G) Ò ÓÒÐÝ tσ L(S Con /G)º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐº Ò Ø ÓÒ ¾º º Ú Ò G Ò S Con Û Ý S Con ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÓÖ G Ø ÓÒ ÖÙÐ Ò Ò Ò Ø ÓÒ ¾º Ò Ø Ö ÙÐØ Ò ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ý Ø Ñ Ò ÐÓ Ú ÓÙÖ Ò Ò Ò Ø ÓÒ ¾º º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐº ÁØ Ø Ø Ø Ø Ø Ñ Ö Ð Ò Ù Ó Ø ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ý Ø Ñ Ø Ø Ó ØÖ Ò Ñ Ö Ý G Ò Ø ÐÐ ÔÓ Ð Ò Ø Ý Ø Ñ³ ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ú ÓÙÖº Ò Ø ÓÒ ¾º½¼º Ï Ý Ø Ø S Con ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Æ Ë µ ÓÖ G L m (S Con /G) = L(S Con /G) Û Ö L m (S Con /G) := L(S Con /G) L m (G)º Ï ÒÓÛ Ø Ø Ø Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Û Û ÒØÖÓ Ù Ò ÊÏ ¾ º Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÔØ ÖÓÑ Ä¼¼ ÊÏ ¾ º Û Û ÐÐ Ò Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ý ÔÖÓÔ ÖØÝ ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø Û Ò ÝÒØ Þ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø Ø ÓÓÔ Ö Ø ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø Ø ÙÔ ÖÚ Ý Ø Ñ Ò Ö Ø Ø Ú ÓÙÖ Ô Ý Ð Ò Ù Kº

8 Ò Ø ÓÒ ¾º½½º Ä Ø K L = L Ð Ò Ù ÓÚ Ö Ú ÒØ Ø Σº Ä Ø D = {1,..., N} Ò Ò Ü Øº Ä Ø Σ c,i Σ Ò Σ o,i Σ Ø Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó ÖÚ Ð Ú ÒØ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÓÖ i D Û Ö Σ c = N i=1 Σ c,i Ò D c (σ) := {i D σ Σ c,i }º Ä Ø P i : Σ Σ o,i Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ º Ð Ò Ù K ØÓ Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L Σ o,i Σ c,i i D ( t K L) ( σ Σ c ) tσ L\K ( i D c (σ)) Pi 1 [P i (t)]σ K L = º ÁÒ Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ø Ø Ø Ø K Ð Ú ÒØ σ Σ c Û ÔÓ Ð Ò L Ø Ö ØÖ Ò t Ø Ö ÑÙ Ø Ü Ø Ø Ð Ø ÓÒ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø Ø Ò Ð σ Ò Ó Ó ÙÒ Ñ ÙÓÙ ÐÝº ÆÓØ Ø Ø Ò Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Û Ò Ø Ö ÓÒÐÝ ÓÒ ÓÒØÖÓÐÐ Ö º º D = {1} Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ ÐÐ Ó ÖÚ Ð ØÝ ÄÏ º Ë Ò Ø Ô Ø ÓÒ K ÒÓØ Ò Ö ÐÝ Ù Ø Ó L ÙÒÐ Ø ÓÖ Ò Ð Ò Ø ÓÒ Û Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø Ø K Lº ÁÒ Ø Ó Ò ÐÐ ØÖ Ò Ò K Û ÐÐ ØÖ Ò Ò K Lº ÁÒ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø ÓÒ Û Ò Ø Ö ÒÓ Ñ Ù ØÝ Ò Ø Ó Ý Ò Ø Ø K Ó¹ Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L Σ o,i Σ c,i i D Û Û ÐÐ Ý Ø Ø K Ó¹Ó ÖÚ Ð ÛºÖºØº Lº Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ø Ø Ø Ø Ò Ö ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ü Ø Ò Ø ÓÖ Ñ Ø Ø Ö ÕÙ Ö Ø Ø K L m (G)¹ÐÓ º Ì ÓÖ Ñ ¾º½ Ä¼ µº ÓÒ Ö Ë G = (Q, Σ, δ, q 0, Q m ) Û Ö Σ uc Σ Ø Ø Ó ÙÒÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ Σ c = Σ\Σ uc Ø Ø Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ Ò Σ o Σ Ø Ø Ó Ó ÖÚ Ð Ú ÒØ º ÓÖ Ø i Û Ö i = 1,..., N ÓÒ Ö Ø Ø Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ Σ c,i Ò Ø Ø Ó Ó ÖÚ Ð Ú ÒØ Σ o,i ÓÚ Ö ÐÐ N i=1 Σ c,i = Σ c Ò N i=1 Σ o,i = Σ o º Ä Ø P i Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ ÖÓÑ Σ ØÓ Σ o,i Û Ö i = 1,..., Nº ÓÒ Ö Ð Ó Ø Ð Ò Ù K L m (G) Û Ö K º Ì Ö Ü Ø ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ S con ÓÖ G Ù Ø Ø L m (S con /G) = K Ò L(S con /G) = K Ò ÓÒÐÝ Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ö ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ ¾º ½º K ÓÒØÖÓÐÐ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(G) Ò Σ uc ¾º K Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(G) Σ o,i Ò Σ c,i i = 1,..., N º K L m (G)¹ÐÓ º ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Û Ø Å Ö Ò Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÜØ Ò Ø Ü Ø Ò ÛÓÖ Ý ÒØÖÓ Ù Ò Ò Ö Ð Þ Ø ÓÒ Ó Æ Ë Ò Û Ø ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ Ø ÓÒ Ð Ó ÒÐÙ Ñ Ö Ò Û ÐÐ ÓÒØÖÓÐº Ì Û ÐÐ ÐÐÓÛ ÙÔ ÖÚ ÓÖ ØÓ Ñ Ö Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Û Ñ Ø Ñ ÑÓÖ ÜÔÖ Ú º Ì Ñ Ö Ð Ò Ù Ó Ø ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ý Ø Ñ ÒÓÛ Ò ØÓ Ø Ø Ó ØÖ Ò Ñ Ö Ý K L m (G) Ø Ø Ö Ø ÐÐ ÔÓ Ð Ò Ø Ý Ø Ñ³ ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ú ÓÙÖº Ì Ò Û Ò Ø ÓÒ Û ÐÐ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ð Ø Ö ÒØÖÓ Ù ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ü Ø Ò Ö ÙÐØ Û Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø Ø K L m (G)¹ÐÓ º Ò Ø ÓÒ ¾º½¾º Ä Ø K L m (G)º Ï Ý Ø Ø S con Ñ Ö Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÅÆ Ë µ ÓÖ (K, G) L m (S Con /G) = L(S Con /G) Û Ö L m (S con /G) := L(S con /G) Kº Ì Ò ÜØ Ò Ø ÓÒ Ö Ø Ò ÕÙ Ú Ð Ò ØÛ Ò Ø ÓÖ Ø Ð ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ò Ë ÙÔ ÖÚ ÓÖ º Ì Ø Ø Ø Ñ Ö Ò Ò ÓÒØÖÓÐ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó S Con Ö ÔÖ ÒØ Ý Ô Ø ÓÒ H Ò Ø Ø Ø ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ú ÓÙÖ Ó H G ÕÙ Ú Ð ÒØ ØÓ S con /Gº

9 Ò Ø ÓÒ ¾º½ º Ä Ø S Con ÅÆ Ë ÓÖ ÔÐ ÒØ G = (Q, Σ, δ, q 0, Q m ) Ò K L m (G) Û Ø L m (S Con /G) = L(S con /G) K Ò L(S Con /G) = Kº Ä Ø H = (X, Σ, ξ, x 0, X m ) Ô Ø ÓÒ ÙØÓÑ ØÓÒº Ï Ý Ø Ø H G ÕÙ Ú Ð ÒØ ÅÆ Ë Ú ÓÙÖ Û Ø S Con /G K = L m (H) L m (G) Ò K = L(H) L(G)º ÐØ ÖÒ Ø Ú ÐÝ Û Ý Ø Ø H Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ø ÓÖ Ø Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó ÅÆ Ë S Con ÓÖ Gº ÁÒ Ø Ô Ô Ö Û Û ÐÐ ÓÙ ÓÒ ÅÆ Ë º ÁÒ Ô ÖØ ÙÐ Ö Ø Û ÐÐ ÐÐÓÛ Ù ØÓ Ð Ø Ö ÒØÖÓ Ù ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ü Ø Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ö Ð ÓÒ Ø ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ý Ø Ñ H G ØÓ ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò Ø Ó Ø Ü Ø Ò Ö ÙÐØ Ø Ø Ö ÕÙ Ö K ØÓ L m (G)¹ÐÓ º Ì ÒØ Ð ØÓ ÔØ Ò ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ ØÓ Ø ÀÁË ÔÔÖÓ ÀÁË ÔÖÓÚ Ð Ð Ñ Ø Ó ØÓ Ú Ö Ý ÒÓÒ ÐÓ Ò ÙØ ÒÓØ L m (G)¹ÐÓ ÙÖ º Ï ÒÓØ Ø Ø Ò ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Ø Ö ÒÓ Ö Ð ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Hº Ì ÓÚ ÅÆ Ë S Con Ò Ø ÓÒØÖÓÐ ÔÓÐ Ý Ó Ø ÓÒ ÙÒØ ÓÒ Ó ÖÓÙÔ Ó ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ö Ð ÙÔ ÖÚ ÓÖº Ï Ð Ó ÒÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ÀÁË Ý Ø Ñ H Û ÐÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ø Ø ÓÖ Ø Ð Ø ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò Ò Ë Ø ÓÒ Ò Û ÐÐ Ù ØÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ø Ý Ø Ñ ÒÓÒ ÐÓ Ò º ÀÁË Ö Ø ØÙÖ Ì ÀÁË Ä ¼¾ Ä ¼ Ä ÄÏ¼ ÄÄ ¼ ÄÄÏ¼ ÔÔÖÓ ÓÑÔÓ Ý Ø Ñ ÒØÓ ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Û ÓÑÑÙÒ Ø Û Ø n 1 Ô Ö ÐÐ Ð ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Ø ÖÓÙ Ô Ö Ø ÒØ Ö Ø Ø Ö ØÖ Ø Ø ÒØ Ö Ø ÓÒ Ó Ø Ù Ý Ø Ñ º Ì ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ ÓÑÑÙÒ Ø Û Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Ø ÖÓÙ Ô Ö Ø ÒØ Ö º ÁÒ ÀÁË Ø Ö Ñ Ø Ö¹ Ð Ú Ö Ð Ø ÓÒ Ôº ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Ò ÓÑÑ Ò ØÓ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Û Ø Ò Ô Ö ÓÖÑ Ø Ò Ø Ø Ò Ö ØÙÖÒ Ö ÔÓÒ Ò Û Öµº ÙÖ ½ ÓÛ ÓÒ ÔØÙ ÐÐÝ Ø ØÖÙØÙÖ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ó Ø Ý Ø Ñº Ì ÓÚ Ö ÐÐ ØÖÙØÙÖ Ó Ø Ý Ø Ñ ÓÛÒ Ò ÙÖ ¾º Ì ØÝÐ Ó ÒØ Ö Ø ÓÒ Ò ÓÖ Ý Ò ÒØ Ö Ø Ø Ñ Ø ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ØÛ Ò Ø ØÛÓ Ù Ý Ø Ñ º ÐÐ Ý Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÐÙ Ò Ø ÒØ Ö Ö ÑÓ Ð ÙØÓÑ Ø º ÙÖ ½ ÁÒØ Ö ÐÓ Ö Ñ Û Ø ÄÓÛ Ø Ú ÒØ º

10 G H High-Level G I1 G In Low-Level 1 G L1 Low-Level n G Ln ÙÖ ¾ ÌÛÓ Ì Ö ËØÖÙØÙÖ Ó È Ö ÐÐ Ð ËÝ Ø Ñ ÌÓ Ö ØÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÛ Ò ÓÙÔÐ Ø Ù Ý Ø Ñ Ø Ý Ø Ñ ÐÔ Ø Ô ÖØ ¹ Ø ÓÒ ÒØÓ Ô ÖÛ Ó ÒØ ÐÔ Ø Σ := Σ H [Σ Lj Σ Rj Σ Aj Σ LDj ] ½µ j=1,...,n Û Ö Û Ù ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ó ÒØ ÙÒ ÓÒº Ì Ú ÒØ Ò Σ H Ö ÐÐ ¹Ð Ú Ð Ú ÒØ Ò Ø Ú ÒØ Ò Σ Lj Ö Ø j th ÐÓÛ¹ Ð Ú Ð Ú ÒØ j = 1,...,nµ Ø Ú ÒØ ÔÔ Ö ÓÒÐÝ Ò Ø Ð Ú Ð Ò j th ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ ÑÓ Ð G H Ò G Lj Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ï Ø Ò Ú G H Ò ÓÚ Ö Ú ÒØ Ø Σ H ( j {1,...,n} [Σ Rj Σ Aj Σ LDj ]) Ò G Lj Ò ÓÚ Ö Ú ÒØ Ø Σ Lj Σ Rj Σ Aj Σ LDj º Ï ÑÓ Ð Ø j th ÒØ Ö Ý Ë G Ij Û Ò ÓÚ Ö Ú ÒØ Ø Σ Rj Σ Aj Σ LDj º ÓÖ Ø Ö Ñ Ò Ö Ó Ø Ô Ô Ö Û ÙÑ j {1,...,n}º Ì Ú ÒØ Ò Σ Rj ÐÐ Ö ÕÙ Ø Ú ÒØ Ö ÔÖ ÒØ ÓÑÑ Ò ÒØ ÖÓÑ Ø ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ ØÓ Ø j th ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñº Ì Ú ÒØ Ò Σ Aj Ö Ò Û Ö Ú ÒØ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ³ Ö ÔÓÒ ØÓ Ø Ö ÕÙ Ø Ú ÒØ º Ì Ú ÒØ Ò Σ LDj Ö ÐÐ ÐÓÛ Ø Ú ÒØ Û ÔÖÓÚ Ñ Ò ÓÖ ÐÓÛ Ð Ú Ð ØÓ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø µ Ø ÖÓÙ Ø ÒØ Ö º Ê ÕÙ Ø Ò Û Ö Ò ÐÓÛ Ø Ú ÒØ Ö ÓÐÐ Ø Ú ÐÝ ÒÓÛÒ Ø Ø Ó Ä ÒØ Ö Ú ÒØ Ò Σ I := k {1,...,n} [Σ Rk Σ Ak Σ LDk ] Ò G Ij Ò Ä ÒØ Ö Ò ÐÓÛº Ò Ø ÓÒ º½º Ì j th ÒØ Ö Ë G Ij = (X j, Σ Ij, ξ j, x oj, X mj ) Ò Ä ÒØ Ö Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ö Ø ½º x oj X mj ¾º ( x X mj )( σ Σ Ij )ξ j (x, σ)! [σ Σ Rj ] [σ Σ LDj ξ j (x, σ) X mj ] º ( x X j X mj )( σ Σ Ij )ξ j (x, σ)! [σ Σ Aj ξ j (x, σ) X mj ] [σ Σ LDj ] ÙÖ ÓÛ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ò Ä ÒØ Ö º ÁØ ÓÙÐ ÓÖÖ ÔÓÒ ØÓ Ñ Ò Ø Ø ÐÓÛ Ð Ú Ð Û Ø Ò Ø Ú ÒØ ÖÒ Ð Ù Ö Ó ØÛÓº ÁÒ Ø Ö Ñ Ø Ò Ø Ð Ø Ø Ò Ö Ó Ò Þ Ý Ø ÓÙØÐ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ö ÐÐ º ÌÓ ÑÔÐ Ý ÒÓØ Ø ÓÒ Ò ÓÙÖ ÜÔÓ Ø ÓÒ Û Ö Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ú ÒØ Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ¹ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ù º

11 G Ij 0 done start start 1 isdone notdone done 3 4 isdone notdone S Rj ={isdone,start},s Aj ={done},s LDj ={notdone} ÙÖ Ü ÑÔÐ Ä ÁÒØ Ö 2 Σ Ij := Σ Rj Σ Aj Σ LDj, Σ ILj := Σ Lj Σ Ij, Σ IH := Σ H Σ Ik, k {1,...,n} H := P 1 IH (L(G H)), L j := P 1 IL j (L(G Lj )), P Ij : Σ Σ I j P ILj : Σ Σ IL j P IH : Σ Σ IH H m := P 1 IH (L m(g H )) Σ L mj := P 1 IL j (L m (G Lj )) Σ I j := P 1 I j (L(G Ij )), I mj := P 1 I j (L m (G Ij )) Σ I := k {1,...,n} I k, I m := k {1,...,n} I mk Σ LD := k {1,...,n} Σ LDk Ï Ò ÓÙÖ Ø Ý Ø Ñ ØÓ G = G H G I1 G L1... G In G Ln º Ý Ø Ý Ø Ñ Û Ñ Ò Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ Ë Û ÒÓÖ Ø ÒØ Ö ØÖÙØÙÖ º Ï ÒÓÛ ÔÖ ÒØ Ø ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ø Ò ÀÁË Ý Ø Ñ ÑÙ Ø Ø Ý ØÓ Ò ÙÖ Ø Ø Ø ÒØ Ö Ø Û Ø Ø ÒØ Ö ÓÖÖ ØÐÝº Ò Ø ÓÒ º¾º Ì n Ø Ö n 1µ ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÓÑÔÓ Ó Ë G H,G I1, G L1,...,G In,G Ln Ä ÒØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÐÔ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú Ò Ý ½µ ÓÖ ÐÐ j {1,...,n} Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÅÙÐØ ¹Ð Ú Ð ÈÖÓÔ ÖØ ½º Ì Ú ÒØ Ø Ó G H Σ IH Ò Ø Ú ÒØ Ø Ó G Lj Σ ILj º ¾º G Ij Ä ÒØ Ö º À ¹Ä Ú Ð ÈÖÓÔ ÖØÝ º ( s H I) Ð Ij (s) (Σ Aj Σ LDj ) Ð H (s) ÄÓÛ¹Ä Ú Ð ÈÖÓÔ ÖØ º ( s L j I j ) Ð Ij (s) Σ Rj Ð Lj (s)

12 º ( s Σ.Σ Rj L j I j ) Ð Lj I j (sσ L j ) Σ Aj = Ð Ij (s) Σ Aj Ð Lj I j (sσ L j ) := º ( s L j I j ) s I mj ( l Σ L j ) sl L mj I mj º Û Ö l Σ L j Ð Lj I j (sl) Ï ÒÓÛ ÔÖÓÚ Ò Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÔÖÓÔ ÖØ Ø Ø Ø Ý Ø Ñ ÑÙ Ø Ø Ý Ø Ø Ý Ø Ñ G ØÓ ÒÓÒ ÐÓ Ò º Ò Ø ÓÒ º º Ì n Ø Ö n 1µ ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÓÑÔÓ Ó Ë G H,G I1, G L1,..., G In,G Ln ØÓ Ä Ð Ú Ð¹Û ÒÓÒ ÐÓ Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ Ö Ø Áµ Ä ÒÓÒ ÐÓ Ò Ø Ø Ð Ú Ð ( s H I)( s (Σ Σ LD ) ) ss H m I m ÁÁµ ÒÓÒ ÐÓ Ò Ø Ø ÐÓÛ Ð Ú Ð ( j {1,...,n}) L mj I mj = L j I j Ì Ø ÓÖ Ñ ÐÐÓÛ Ø Ø Ø Ø Ú Ö Ý Ò Ø Ä Ð Ú Ð¹Û ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò Ä ÒØ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ Ù ÒØ ØÓ Ú Ö Ý Ø Ø ÓÙÖ Ø Ý Ø Ñ ÒÓÒ ÐÓ Ò º Ì ÓÖ Ñ º½ Ä ¼ µº Á Ø n Ø Ö n 1µ ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÓÑÔÓ Ó Ë G H,G I1, G L1,...,G In,G Ln Ä Ð Ú Ð¹Û ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò Ä ÒØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÐÔ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú Ò Ý ½µ Ø Ò L(G) = L m (G) Û Ö G = G H G L1 G I1... G Ln G In. Ë Ò Ò Ø Ø Ø Ä Ð Ú Ð¹Û ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò Ä ÒØ Ö ÓÒ Ø ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ñ Û ÒÓØ Ø Ø Û Ò Ú ÐÙ Ø Ð Ú Ð Ò Ô Ò¹ ÒØÐÝº Ì Ñ Ò Û Ó ÒÓØ Ò ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ø ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÑÓ Ðº ÓÖ ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝ Û Ò ØÓ Ô Ö Ø Ø Ù Ý Ø Ñ ÒØÓ Ø Ö ÔÐ ÒØ Ò ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ù ¹ÓÑÔÓÒ ÒØ ÙÖ µº Ï Ò Ø ¹Ð Ú Ð ÔÐ ÒØ ØÓ G p H Ò Ø ¹ Ð Ú Ð ÙÔ ÖÚ ÓÖ ØÓ S H Ò ÓÚ Ö Ú ÒØ Ø Σ IH µº Ï Ò Ø j Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÔÐ ÒØ Ò ÙÔ ÖÚ ÓÖ ØÓ G p L j Ò S Lj Ò ÓÚ Ö Σ ILj µ Ö Ô Ø Ú ÐÝº Ï Ò ÜØ Ò Ø ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ ØÓ G H := G p H S H Ò Ò Ø j Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ ØÓ G Lj := G p L j S Lj º Ï ÒÓØ Ø Ø Ò ÀÁË Ý Ø Ñ ÒØ Ö Ö ÐÛ Ý ÙÔ ÖÚ ÓÖ º Ï Ò ÒÓÛ Ò ÓÙÖ Ø ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ò ÔÐ ÒØ Û ÐÐ ÓÑ ÓØ Ö Ð Ò Ù ÓÐÐÓÛ ÈÐ ÒØ := G p H Gp L 1... G p L n ËÙÔ := S H S L1... S Ln G I1... G In H p := P 1 IH L(Gp H ) S H := P 1 IH L(S H) Σ L p 1 j := PIL j L(G p L j ) S Lj := P 1 IL j L(S Lj ) Σ º Ì ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝ Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ø Ø Ð Ú Ð ÑÙ Ø Ø Ý Ö Ú Ò Ò Ø ÓÐÐÓÛ Ò Ò Ø ÓÒº Ò Ø ÓÒ º º Ì n Ø Ö n 1µ ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÓÑÔÓ Ó Ë G p H,S H, G p L 1,S L1, G I1,...,G p L n,s Ln,G In Ä Ð Ú Ð¹Û ÓÒØÖÓÐÐ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÐÔ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú Ò Ý ½µ ÓÖ ÐÐ j {1,...,n} Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ

13 G p H S H p G = G S High level Low level H H H G I G p L S L p G = G S L L L ÙÖ ÈÐ ÒØ Ò ËÙÔ ÖÚ ÓÖ ËÙ ÔÐ ÒØ ÓÑÔÓ Ø ÓÒ Áµ Ì ÐÔ Ø Ó G p H Ò S H Σ IH Ø ÐÔ Ø Ó G p L j Ò S Lj Σ ILj Ò Ø ÐÔ Ø Ó G Ij Σ Ij ÁÁµ ( s L p j S L j I j ) Ð L p j (s) Σ u Ð SLj I j (s) ÁÁÁµ ( s H p I S H ) Ð H p I(s) Σ u Ð SH (s) Ì Ø ÓÖ Ñ ÐÓÛ Ø Ø Ø Ø Ú Ö Ý Ò Ä Ð Ú Ð¹Û ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ù ÒØ ØÓ Ú Ö Ý Ø Ø Ø Ø ÙÔ ÖÚ ÓÖ ÓÒØÖÓÐÐ Ð ÓÖ Ø Ø ÔÐ ÒØº Ì ÓÖ Ñ º¾ Ä ¼ µº Á n Ø Ö n 1µ ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÓÑÔÓ Ó Ë G p H,S H, G p L 1,S L1,G I1,...,G p L n,s Ln,G In Ä Ð Ú Ð¹Û ÓÒØÖÓÐÐ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÐÔ Ø Ô Ö¹ Ø Ø ÓÒ Ú Ò Ý ½µ Ø Ò ( s L(ÈÐ ÒØ) L(ËÙÔ)) Ð L(ÈÐ ÒØ) (s) Σ u Ð L(ËÙÔ) (s) Ë Ò Ò Ø Ø Ø Ä Ð Ú Ð¹Û ÓÒØÖÓÐÐ Ð ÓÒ Ø ÓÒ ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö Ø ÑÓ Ø Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ñ Û ÒÓØ Ø Ø Û Ò Ú ÐÙ Ø Ð Ú Ð Ò Ô Ò ÒØÐÝº À Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ÒØÖ Ð Þ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒ¹ ØÖÓÐ ÁÒ Ë Ø ÓÒ Û Ö Ý Ø Ñ ÓÑÔÓ Ó ÔÐ ÒØ Ë G p H, Gp L 1,..., G p L n ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ë S H, S L1,...,S Ln Ò ÒØ Ö Ë G I1,...,G In º ÐØ ÓÙ Ø Ð Ú Ð¹Û ÓÒØÖÓÐÐ Ð¹ ØÝ ÓÒ Ø ÓÒ Ä ¼¾ Ä ¼ Ó Ø Ú ÐÝ Ð Ñ Ø Ø ¹Ð Ú Ð ÙÔ ÖÚ ÓÖ ØÓ Ú ÒØ Ò Σ IH Ò Ø j th ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÙÔ ÖÚ ÓÖ ØÓ Ú ÒØ Ò Σ ILj Ø Ö ÕÙ Ö Ø ÀÁË ØÖÙØÙÖ Ò Ó ÒÓØ ÐÐÓÛ ÙÖØ Ö Ö ØÖ Ø ÓÒ ÓÙØ Ó Ø ØÖÙØÙÖ º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÐÐÓÛ ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Û Ø Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Û Ò ØÓ ÜØ Ò Ø ÀÁË ØÖÙØÙÖ º ½¼

14 Ï ÒÓÛ ÒØÖÓ Ù Ø À Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ÒØÖ Ð Þ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÀÁ Ë µ Ö Ø ØÙÖ º ÀÁ Ë Ò ÜØ Ò ÓÒ Ó ÀÁË ÖÓÑ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ ØÓ ÒØÖ Ð Þ Ö¹ Ø ØÙÖ Ý ÐÐÓÛ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Û Ø Ò Ù Ý Ø Ñ ÙØ Û Ø ÓÙØ Ø ÓÒ Ð ÀÁË Ö ØÖ Ø ÓÒ º ÁÒ Ø ÀÁ Ë Ö Ñ ÛÓÖ ÐÐ Ø ÀÁË ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ö Ö ÔÐ Ý ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ô ¹ Ø ÓÒ Ëº ÁÒ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Ø Ô Ø ÓÒ Ë Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒØÖÓÐ Ú ÓÙÖ Û Û ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÒÓØ Ô Ø ÓÒ ÓÖ ÝÒØ Þ Ò ÒØÖ Ð Þ Ñ Ü Ñ ÐÐÝ Ô ÖÑ Ú ÙÔ ÖÚ ÓÖº ÓÖ ÀÁ Ë Û Û ÐÐ Ö ÔÐ ÙÔ ÖÚ ÓÖ S H Ý Ô Ø ÓÒ Ë F H Ò ÓÚ Ö Σ IH µ Ò Û Û ÐÐ Ö ÔÐ ÙÔ ÖÚ ÓÖ S Lj Ý Ô Ø ÓÒ Ë F Lj Ò ÓÚ Ö Σ ILj µº ÌÝÔ ÐÐÝ F H Û ÐÐ ÜÔÖ Ý Ø Ñ¹Û ÓÒ ØÖ ÒØ ÓÙØ ÓÛ Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒØ Ö Ø Ò Û Ø Ø Ø ÐÓÛ Ð Ú Ð ÓÙÐ Ô Ö ÓÖÑº F Lj ÜÔÖ ÓÛ Ø j th ÐÓÛ Ð Ú Ð Û ÐÐ Ô Ö ÓÖÑ Ø Ø Ö ÕÙ Ø µ Ú Ò ØÓ Ø Ý Ø Ð Ú Ðº ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ö Ö ÒØ Ò Ü Ø Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö º Ï Ö ÒÓÛ Ö Ý ØÓ Ò Ø ØÖÙØÙÖ Ó Ò ÀÁ Ë Ý Ø Ñº Ò Ø ÓÒ º½º Ì n Ø Ö ÒØÖ Ð Þ Ô Ø ÓÒ ÒØ Ö Ý Ø Ñ Û Ø Ö Ô Ø ØÓ Ø ÐÔ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Ú Ò Ý ½µ ÓÑÔÓ Ó ÔÐ ÒØ Ë G p H, Gp L 1,...,G p L n Ô Ø ÓÒ Ë F H, F L1,...,F Ln ÒØ Ö Ë G I1,...,G In Ò ¹Ð Ú Ð Ò ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö º Ì Ý Ø Ñ Ø ÓÐÐÓÛ Ò ØÖÙØÙÖ º À Ð Ú Ð Ì ¹Ð Ú Ð ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ú Ò Ò Ü Ø D H := {N H,1,...,N H,n0 }º Ì Ú ÒØ Ø ÓÖ G p H F H Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Σ IH º ÓÖ i D H Σ H,c,i Σ c Σ IH Ò Σ H,o,i Σ o Σ IH Ö Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð ÄÓÛ Ð Ú Ð Ò Ó ÖÚ Ð Ú ÒØ Ù Ø ÓÖ Ø ¹Ð Ú Ð ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö º ÓÖ j {1,...,n} Ø j th ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ò Ü Ø D Lj := {N Lj,1,...,N Lj,n j } ÓÖ Ø ÓÛÒ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö º Ì Ú ÒØ Ø Ó ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ G p L j F Lj Ò Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Σ ILj º ÓÖ i D Lj Σ Lj,c,i Σ c Σ ILj Ò Σ Lj,o,i Σ o Σ ILj Ö Ø ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÓÒØÖÓÐ¹ Ð Ð Ò Ó ÖÚ Ð Ú ÒØ Ù Ø ÓÖ Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö º ÅÙÐØ ¹Ð Ú Ð n Ì Ò Ü Ø ÓÖ ÐÐ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ò Ø Ý Ø Ñ D := D H j=1 D L j = {1,..., N}º N i=1 Σ c,i = Σ c Ò N i=1 Σ o,i = Σ o ÓÖ Ø Ö Ø Ó Ø Ø ÓÒ Û Û ÐÐ Ö Ö ØÓ Ù Ý Ø Ñ Ò n Ø Ö ÒØÖ Ð Þ Ô Ø ÓÒ ÒØ Ö Ý Ø Ñ Ψ ÓÖ ÑÔÐÝ Ψº ÆÓØ Ø Ø Ò Ψ Û Ó ÒÓØ Ô Ý Ø Ò Ü ½½

15 Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ý {1,..., n 0 } {1,..., n j } Øº Ù ÓÒ ÓÑ Ò Ø Ý ÛÓÙÐ ÓÚ ÖÐ Ôº Ï Ö Ø Ø Ý Ø Ñ Ò Ü Ø Ù Ò Ó ÒØ ÙÒ ÓÒº Ì Ø Ý Ø Ñ G Ø ÝÒ ÖÓÒ Þ Ø ÓÒ Ó ÐÐ Ø ÔÐ ÒØ Ô Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø Ý Ø Ñ º º G = G p H Gp L 1... G p L n F H F L1... F Ln G I1... G In º Ï Ù Ø Ø ÖÑ Ø Ý Ø Ñ ØÓ Ñ Ò Ø ÓÚ Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÒÓÖ Ò Ø ÀÁ Ë ØÖÙØÙÖ º ÁØ ÑÔÓÖØ ÒØ ØÓ ÒÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ÀÁ Ë Ý Ø Ñ Û ÛÓÙÐ Ö Ø Ò Ð Ú Ð¹Û ÙÔ Ö¹ Ú ÓÖ ÓÖ Ø ÓÖ Ò Ð ÀÁË Ý Ø Ñ Û Ð ÒÓÖ Ò ÒÝ ÒØÖ Ð Þ Ö ØÖ Ø ÓÒ º Ï ÛÓÙÐ Ø Ò Ù Ø ÀÁË ØÖÙØÙÖ ØÓ Ú Ö Ý Ø Ø Ø Ý Ø Ñ ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð º Ï ÛÓÙÐ Ò ÜØ Ù Ø Ð Ú Ð¹Û ÙÔ ÖÚ ÓÖ Û ÒÐÙ Ø Ý Ø Ñ³ ÒØ Ö Ëµ Ô Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ò Ó Ø Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ô Ý Ø ÀÁ Ë Ý Ø Ñº Ì Ò Ð Ý Ø Ñ ÛÓÙÐ ÒÓØ ÓÒØ Ò ÒÝ Ó Ø Ô Ø ÓÒ Ë Ù Ø Ø Ö ÙÐØ Ò ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ø Ø ÛÓÙÐ ÔÖÓÚ Ù Û Ø ÕÙ Ú Ð ÒØ ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ú ÓÙÖ ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Ò Ë Ø ÓÒ º¾µº º½ ÀÁ Ë Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ Ò Ì ÓÖ Ñ Ì Ñ Ò ÓÙ Ó Ø Ø ÓÒ ØÓ Ú Ö Ý Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ò ÀÁ Ë Ý Ø Ñ Ψ Û Ø ÓÙØ ÜÔÐ ØÐÝ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ø Ø Ý Ø Ñº Ï Û ÐÐ ÓÒÐÝ Ô Ö ÓÖÑ Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ú Ö Ø ÓÒ ÙØ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ø Û ÓÐ Ý Ø Ñ Ó¹Ó ÖÚ Ð º ÌÓ Ò Ò Ò ÓÙÖ Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ Ò ÀÁ Ë Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ø ÓÖ Ñ Û Ô Ý ÓÑ ÒØÖ Ð Þ ÒÓØ Ø ÓÒ ÓÖ Ψº Ï Ù D H,c (σ) := {i D H σ Σ H,c,i } ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ò Ø Ð Ú Ð Ø Ø Ò ÓÒØÖÓÐ Ø Ú ÒØ σº Ï Ù D H,o (σ) := {i D H σ Σ H,o,i } ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ò Ø Ð Ú Ð Ø Ø Ò Ó ÖÚ Ø Ú ÒØ σº ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÝ P H,i : Σ Σ H,o,i Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ô ÖØ Ð Ú Û Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ö i D H º ÓÖ j {1,...,n} D Lj,c (σ) := { i D Lj σ Σ Lj,c,i} Ø Ø Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒ¹ ØÖÓÐÐ Ö Ò Ø j Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ò ÓÒØÖÓÐ Ø Ú ÒØ σº Ï Ù D Lj,o (σ) := { } i DLj σ Σ Lj,o,i ØÓ Ö ÔÖ ÒØ Ø Ø Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ò Ø j Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ò Ó ÖÚ Ø Ú ÒØ σº ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ÐÝ P Lj,i : Σ Σ L j,o,i Ø Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ö Ò Ø Ô ÖØ Ð Ú Û Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ö i D Lj º Ï Ù D c (σ) := {i D σ Σ c,i } ØÓ ÒÓØ Ø Ø Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ò Ø Ý Ø Ñ Ø Ø Ò ÓÒØÖÓÐ Ø Ú ÒØ σº ÙÖØ Ö Û ÒØÖÓ Ù Û Ð Ò Ù Ù ÓÖ Ø ÀÁ Ë Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÓÖ Ñº F H F := P 1 IH (L(F H)), F Lj := P 1 IL j (L(F Lj )) := F H F L1... F Ln, P := H p L p 1... Lp n Ä Ò Ù F H Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø Ô Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ò Ø ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Û Ð F Lj Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø Ô Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÓÖ Ø j Ø ÐÓÛ¹ Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñº Ä Ò Ù F Ö ÔÖ ÒØ Ø ÐÓ Ð Ô Ø ÓÒ ÓÖ Ø Ø Ý Ø Ñ Ò P Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÓÙÖ Ó Ø Ø ÔÐ ÒØº Ï ÒÓÛ ÔÖ ÒØ Ø Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ ÓÖ ÀÁ Ë Ý Ø Ñ Ψº Ï ÒÓØ Ø Ø Ò Ú Ù Ð ÓÒ Ø ÓÒ Ò Ø ÑÓ Ø Ò Ð Ù Ý Ø Ñ ÓÖ Ø Ú Ö ¹ ½¾

16 Ø ÓÒ Ø Ù Û Ó ÒÓØ Ò ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ø ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÑÓ Ðº Ì Ò Ú Ò ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ò Ò ÐÔ ØÓ ÐÐ Ú Ø Ø Ø Ø ¹ Ô ÜÔÐÓ ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ò Ø ÓÒ º¾º Ä Ø Ψ Ò ÀÁ Ë n Ø Ö ÒØÖ Ð Þ Ô Ø ÓÒ ÒØ Ö Ý Ø Ñº Ì Ò Ψ Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð ÓÖ ÐÐ j {1,...,n} Ø ÓÐÐÓÛ Ò ÓÒ Ø ÓÒ ÓÐ Áµ ( t F H H p I)( σ Σ c ) tσ (H p I)\F H ( i D H,c (σ)) P 1 H,i [P H,i(t)]σ F H H p I = ÁÁµ ( t F Lj I j L p j )( σ Σ c) tσ L p j \(F L j I j ) ( i D Lj,c (σ))p 1 L j,i [P L j,i(t)]σ F Lj I j L p j = º Ò Ø ÓÒ º¾ Ø Ø Ø Ø ÀÁ Ë Ý Ø Ñ Ψ Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð Ø ¹Ð Ú Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó¹Ó ÖÚ Ð Ò ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó¹Ó ÖÚ Ð º Ï ÒÓØ Ø Ø Ø ÒØ Ö Ö ØÖ Ø Ô Ø ÓÒ Ø Ø ÐÓÛ Ð Ú Ð Ò ØÖ Ø ÔÐ ÒØ Ø Ø Ð Ú Ðº Ì ÓÒ Ø Û Ý Ù ÒØ Ö Ö ÔÖ ÒØ Ø Ú ÓÙÖ ÔÖÓÚ Ý Ø ÐÓÛ Ð Ú Ð Ò Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò ØÓ Ú Ö Ý Ø Ø Ø Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝÔ ÐÐÝ ÔÖ ÒØ Ø Ø ÐÓÛ Ð Ú Ð ÙØ ÒÓØ Ø Ð Ú Ðº ÌÓ ÚÓ Ú Ò ØÓ Ö Ô Ø Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ø Ø Ð Ú Ð Û Ù Ø Ö ÙÐØ Ó ÄÄÅÊ½ Ø Ø ÐÐÓÛ Ù ØÓ ØÖ Ø ÙÔ ÖÚ ÓÖ Ø Ý Ö ÔÐ ÒØ ÓÒ Û Ú Ö Ý Ø Ý Ö Ó¹Ó ÖÚ Ð º Ý ØÖ Ø Ò ÒØ Ö ÔÐ ÒØ Ø Ø Ð Ú Ð Û ÐÐÓÛ Ø ¹Ð Ú Ð ÙÔ ÖÚ ÓÖ ØÓ ÑÓÖ Ô ÖÑ Ú Ò Ò Ö Ð Ø Ö Û ÐÐ ØÝÔ ÐÐÝ Û Ö ØÖ Ò Ø Ø Ò Ù Ø Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ú Ö Ø ÓÒ ØÓ Ðº Ï ÒÓÛ Ö Ø Ø Ø Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ø ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ó ÓÙÖ ÀÁ Ë Ý Ø Ñº Ï ÒÓØ Ø Ø ÖÓÑ Ø Ö Ò Ø ÓÒ Û ÒÓÛ Ø Ø Ð Ò Ù F I Ò P Ö ÔÖ Ü¹ÐÓ º Ï Ð Ó ÒÓØ Ø Ø ÓÖ Ò ØÓ Ò Ø ÓÒ º¾ i D Ö ÔÖ ÒØ ÓÑ i 1 D H ÓÖ ÓÑ i 2 D Lj j {1,..., n}º Ò Ø ÓÒ º º Ä Ø Ψ Ò ÀÁ Ë n Ø Ö ÒØÖ Ð Þ Ô Ø ÓÒ ÒØ Ö Ý Ø Ñº Ä Ø D = {1,..., N} =D H n j=1 D L j Ø Ò Ü Ø ÓÖ Ψº Ä Ø Σ c,i Σ Ò Σ o,i Σ Ø Ó ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó ÖÚ Ð Ú ÒØ Ö Ô Ø Ú ÐÝ ÓÖ i D Û Ö D c (σ) = {i D σ Σ c,i }º Ä Ø P i : Σ Σ o,i i D Ò ØÙÖ Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ º Ì Ò Ψ ÐÓ ÐÐÝ Ó¹Ó ÖÚ Ð ( t F I P) ( σ Σ c ) tσ P\(F I) ( i D c (σ))pi 1 [P i (t)]σ F I P = º Ï ÒÓØ Ø Ø Ò Ø ÓÒ º Ø ÔÖÓÔ ÖØÝ Û Û ÒØ ØÓ Ú Ö Ý ÙØ Û Û ÐÐ Ó Ó Ý Ù Ò ÓÙÖ Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ø ÓÒº Ì Ø ÓÖ Ñ ÐÓÛ Ø Ø Ø Ø Ø Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ù ÒØ ØÓ Ù Ö ÒØ Ø Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Ó¹Ó ÖÚ Ð º Ì Ñ Ò Ø Ø Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÓÖ Ø Ý Ø Ñ Ò Ú Ö Û Ð ÓÒÐÝ ÓÒ ØÖÙØ Ò Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ñ º Ì ÓÖ Ñ º½º Ä Ø Ψ Ò ÀÁ Ë n Ø Ö ÒØÖ Ð Þ Ô Ø ÓÒ ÒØ Ö Ý Ø Ñº Á Ψ Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð Ø Ò Ψ ÐÓ ÐÐÝ Ó¹Ó ÖÚ Ð º ÈÖÓÓ º Ë ÔÔ Ò Üº Ï ÒÓÛ Ü Ñ Ò Ø ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ó ÓÙÖ ÔÔÖÓ º ÁÒ ÑÓÒÓÐ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ø n ÐÓÛ¹ Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Ö ÓÑÔÓ Ö ØÐÝ Û Ø Ø ¹Ð Ú Ð Ý Ø Ñ Û Ø ÓÙØ Ù Ò Ø ÒØ Ö ØÖÙØÙÖ º Ì Þ Ó Ø Ø Ø Ô ÓÖ Ø ÑÓÒÓÐ Ø Ñ Ø Ó Ø Þ Ó Ø ÔÖÓ ÙØ Ø Ø Ô Ó G H G L1... G Ln º Á Ø Þ Ó Ø Ø Ø Ô Ó G H ÓÙÒ Ý N H Ò Ø Þ Ó Ø Ø Ø Ô ÓÖ G Lj ÓÙÒ Ý N L Ø Ò Ø Þ Ó Ø Ø Ø Ô Ó Ø ÑÓÒÓÐ Ø Ñ Ø Ó ÓÙÒ Ý N H N n L º ½

17 fin_exit part_lv3 take_pt part_ent part_arr1 part_lv1 fin_exit part_lv3 take_pt str_pta str_ptb ret_pt part_lv2 str_exit cmpl_a cmpl_b recog_b part_ent part_arr1 part_lv1 fin_exit part_lv3 take_pt str_pta str_ptb ret_pt part_lv2 str_exit cmpl_a cmpl_b part_ent part_arr1 part_lv1 str_pta str_ptb ret_pt part_lv2 str_exit cmpl_a cmpl_b recog_b recog_b partlvexit part_arr2 partlvexit part_arr2 partlvexit part_arr2 attch_pta, attch_ptb, fina_attch, finb_attch start_case compl_case attch_pta, attch_ptb, fina_attch, finb_attch start_case compl_case attch_pta, attch_ptb, fina_attch, finb_attch start_case compl_case ÇÙÖ Ñ Ø Ó Ú Ö ÓÑÔÓÒ ÒØ Ô Ö Ø ÐÝ Ø Ö ÓÖ Ø Þ Ó Ø Ø Ø Ô ÓÙÒ Ý Ø Þ Ó Ø ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÑ Ò Û Ø Ø ÒØ Ö º ÓÖ j = 1,..., n Û ÙÑ Ø Ø Ø Þ Ó Ø Ø Ø Ô Ó G Ij ÓÙÒ Ý N I Ø Ò ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ G Lj G Ij ÓÙÒ Ý N L N I º Ì ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ G H G I1... G In ÓÙÒ Ý N H N n I º Ì Ö ÓÖ ÓÙÖ Ñ Ø Ó ÓÙÒ Ý Ø Ð Ö Ö Ó N HN n I Ò N LN I º ÌÝÔ ÐÐÝ Ò Ò ÀÁ Ë Ò Ø Þ Ó Ø Ð Ú Ð Ø Ð Ñ Ø Ò ØÓÖº Ì Ñ Ò Ø Ø ÐÓÒ N I N L Û ÓÙÐ Ú Ò ÒØ ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ú Ò º º¾ ÅÆ Ë ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Ü Ø Ò Ì ÓÖ Ñ Ï ÒÓÛ ÔÖ ÒØ Ø Ñ Ö Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÅÆ Ë µ Ü ¹ Ø Ò Ø ÓÖ Ñ Û ÓÛ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ò ÅÆ Ë ØÓ Ú Ø Ô Ø ÓÒ Ò ÓÒÐÝ K ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð º manufacturing unit I Path Flow Model-j part_arr3 recog_a Attach Part to Assembly-j dip_acid, Polish Part-j polish start_pol compl_pol str_rlse Define New Events-j Attach Case to Assembly-j Attch_case manufacturing unit II source 4 slot input buffer Path Flow Model-j part_arr3 recog_a Attach Part to Assembly-j dip_acid, Polish Part-j polish start_pol compl_pol str_rlse Define New Events-j Attach Case to Assembly-j Attch_case 4 slot output buffer test unit 4 slot package buffer packaging unit manufacturing unit III Path Flow Model-j part_arr3 recog_a Attach Part to Assembly-j dip_acid, Polish Part-j polish start_pol compl_pol str_rlse Define New Events-j Attach Case to Assembly-j Attch_case ÙÖ ÐÓ Ö Ñ Ó È Ö ÐÐ Ð ÈÐ ÒØ ËÝ Ø Ñº ÆÓØ Ø Ø Ò Ì ÓÖ Ñ º¾ ÐÓÛ Û Ó ÒÓØ Ö ÕÙ Ö Ø Ø K L m (G)¹ÐÓ Û ÙÑ Ý ØÖ Ø ÓÒ Ð ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ Ä¼ º Ì Û ÐÐ ÐÐÓÛ Ù ØÓ ÔÔÐÝ Ø Ö ÙÐØ ØÓ ÓÙÖ ÀÁ Ë Ý Ø Ñ Û Ú Ò ÀÁË ÒÓÒ ÐÓ Ò Ö ÙÐØ ÙØ ÒÓØ Ò ÀÁË L m (G)¹ÐÓ Ö ÙÐØº Ì ÓÖ Ñ º¾º Ä Ø ÈÐ ÒØ := (Q, Σ, δ, q 0, Q m ) K L m (ÈÐ ÒØ) Ò K º Ì Ö Ü Ø Ò ÅÆ Ë S Con ÓÖ K ÈÐ ÒØµ Ù Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = K Ò ÓÒÐÝ K ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ)º ÈÖÓÓ º Ë ÔÔ Ò Üº ½

18 Ï Û ÐÐ ÒÓÛ Ö Ð Ø Ì ÓÖ Ñ º¾ ØÓ ÓÙÖ ÀÁ Ë Ý Ø Ñ Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò º ÁÒ Ò Û Ö Ö ÕÙ Ö Ò Ψ ØÓ Ú ÕÙ Ú Ð ÒØ ÅÆ Ë Ú ÓÙÖ Û Ø S Con /ÈÐ ÒØ Û Ò ÙÖ ÓÙÖ ÀÁ Ë Ý Ø Ñ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÒ Û ÐÐ ÒÓÒ ÐÓ Ò º ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½º Ä Ø Ψ Ò ÀÁ Ë n Ø Ö ÒØÖ Ð Þ Ô Ø ÓÒ ÒØ Ö Ý Ø Ñº Ä Ø ÈÐ ÒØ := G p H Gp L 1... G p L n, Ò ËÔ := F H F L1... F Ln G I1... G In º Ä Ø L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) º Ì Ö Ü Ø Ò ÅÆ Ë S Con ÓÖ L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) ÈÐ ÒØµ Ù Ø Ø L m (S Con / ÈÐ ÒØ) = L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) Ò L(S Con /ÈÐ ÒØ) = L(ËÔ ) L(ÈÐ ÒØ) Ò ÓÒÐÝ L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ) Ò L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) = L(ËÔ ) L(ÈÐ ÒØ)º ÈÖÓÓ º Ë ÔÔ Ò Üº ÓÖ ÀÁ Ë Ý Ø Ñ Ψ ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Ø ÐÐ Ù Ø Ø Ø Ñ Ö Ú ÓÙÖ Ó ÓÙÖ ÅÆ Ë Ò Ø ÔÐ ÒØ ÕÙ Ð ØÓ L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) Ò Ø Ö ÐÓ Ú ÓÙÖ ÕÙ Ð ØÓ L(ËÔ ) L(ÈÐ ÒØ)º ÌÓ ÔÔÐÝ ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Û Ò ØÓ Ö Ø ÓÛ Ø Ø Ψ Ó¹Ó ÖÚ Ð ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð º ÓÖ Ð Ð ØÝ Û Û ÒØ ØÓ Ú Ö Ý ÐÐ Ø ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ù Ò ÓÒÐÝ Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ ÔÖÓÔ ÖØ º Ì ÓÖ Ñ º½ Ø Ø Ø Ø Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ú Ù ÐÓ Ð Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝº Ì Ó¹ Ö Ñ º½ Ò º¾ Ø Ø Ø Ø Ø ÀÁË Ä Ð Ú Ð¹Û ÒÓÒ ÐÓ Ò Ä ÒØ Ö ÓÒ Ø ÒØ Ò Ä Ð Ú Ð¹Û ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØ ØÓ Ø Ö ÑÔÐÝ Ø Ø ÓÙÖ Ø Ý Ø Ñ ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð º Ï Ò Ø Ù Ú Ö Ý ÐÐ Ò ÐÓ Ð ÔÖÓÔ ÖØ Ù Ò Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ º Û Ò Ú Ö Ò ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Ø ÙÐÐ Ý Ø Ñ ÑÓ Ð Ø Ó Ö ÔÓØ ÒØ ÐÐÝ Ö Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ú Ò º Å ÒÙ ØÙÖ Ò Ü ÑÔÐ ÌÓ ÑÓÒ ØÖ Ø Ø ÀÁ Ë Ñ Ø Ó Û ÔØ Ñ ÐÐ Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò Ý Ø Ñ ÖÓÑ Ä ¼¾ Ø Ø Û ÓÖ Ò ÐÐÝ ÑÓ Ð Ò ÀÁË Ý Ø Ñº Ì Ý Ø Ñ ÓÛÒ Ò ÙÖ ÓÑÔÓ Ó Ø Ö Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò ÙÒ Ø ÖÙÒÒ Ò Ò Ô Ö ÐÐ Ð Ø Ø Ò ÙÒ Ø Ñ Ø Ö Ð Ô Ò ÙÒ Ø Ò Ø Ö Ù Ö ØÓ Ò ÙÖ Ø ÔÖÓÔ Ö ÓÛ Ó Ñ Ø Ö Ðº ÙÖ ÓÛ Û Ë ÐÓÒ ØÓ Ø ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ G H µ Ø ¹Ð Ú Ð ÔÐ ÒØ G H µ Ø ¹Ð Ú Ð Ô Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø S H µ Ø j th ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ G Lj µ Ø j th ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÔÐ ÒØ G Lj µ Ø j th ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ô Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø S Lj µ Ò Ø j th ÒØ Ö Ë G Ij µ j = Á, ÁÁ, ÁÁÁº Ï ÒÓØ Ø Ø Ø Ø Ö ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ ÓÛÒ Ò ÙÖ Ö ÒØ Ð ÙÔ ØÓ Ö Ð Ð Ò º ÙÖ ÓÛ Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Ò ÑÓÖ Ø Ðº ÁÒ Ø Ö Ñ ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ Ö Ø Ó Û Ø Ð ÓÒ Ø ØÖ Ò Ø ÓÒ ÖÖÓÛ Ñ Ö Ø Ø Ö Ø Ø Û Ø Ò ÙÒÐ Ð ÒÓÑ Ò ÖÖÓÛ Ò Ò Ø Ð Ø Ø Ö Ø Ø Û Ø Ò ÙÒÐ Ð ÓÙØ Ó Ò ÖÖÓÛº º½ Å ÒÙ ØÙÖ Ò ËÝ Ø Ñ Ò ÀÁ Ë ËÝ Ø Ñ ÇÖ Ò ÐÐÝ Ø Ü ÑÔÐ Û ÑÓ Ð Ò ÀÁË Ý Ø Ñº Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÔØ Ø Ò ÀÁ Ë Ý Ø Ñº ÌÝÔ ÐÐÝ Û ÛÓÙÐ ÓÒÐÝ Ó Ø Ø Ý Ø Ñ Ò Ò Ö ÒØ ØÖ ÙØ Ò ØÙÖ ÓÖ Ò Ù ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÙÔ ÖÚ ÓÖ Û Ø Ô ÖØ Ð Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ò Ô ÖØ Ð ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝ ÝÓÒ Ø ÓÑÔ ÖØÑ ÒØ Ð Þ Ð Ñ Ø Ø ÓÒ ÑÔÓ Ý Ø ÀÁË ØÖÙØÙÖ º Ï Ò Ø ÐÔ Ø Ô ÖØ Ø ÓÒ Σ := j {Á,ÁÁ,ÁÁÁ}(Σ Lj Σ Rj Σ Aj ) Σ H ÐÓÛ ½

19 cmpl_a-j str_rlse-j finb_attch-j attch_pta-j polish-j part_arr3-j str_rlse-j str_ptb-j start_pol-j compl_case-j compl_pol-j Attch_case-j fina_attch-j attch_ptb-j partlvexit-j, part_arr2-j part_lv1-j part_lv1-j package cmpl_a-j str_rlse-j finb_attch-j attch_pta-j polish-j part_arr3-j str_rlse-j str_ptb-j start_pol-j compl_case-j compl_pol-j Attch_case-j fina_attch-j attch_ptb-j partlvexit-j, part_arr2-j part_lv1-j part_lv1-j part_fails cmpl_a-j str_rlse-j finb_attch-j attch_pta-j polish-j part_arr3-j str_rlse-j str_ptb-j start_pol-j compl_case-j compl_pol-j Attch_case-j fina_attch-j attch_ptb-j partlvexit-j, part_arr2-j part_lv1-j part_lv1-j High level Subsystem G H G H Packaging System take_item Source new_part Sink allow_exit part_f_obuff Test Unit part_passes ret_inbuff allow_exit deposit_part S H in_buff ret_inbuff, new_part ret_inbuff, new_part ret_inbuff, new_part ret_inbuff, new_part out_buff part_ent-i, part_ent-ii, part_ent-iii part_ent-i, part_ent-ii, part_ent-iii fin_exit-i, fin_exit-ii, fin_exit-iii part_ent-i, part_ent-ii, part_ent-iii part_ent-i, part_ent-ii, part_ent-iii fin_exit-i, fin_exit-ii, fin_exit-iii part_ent-i, part_ent-ii, part_ent-iii fin_exit-i, fin_exit-ii, fin_exit-iii part_ent-i, part_ent-ii, part_ent-iii fin_exit-i, fin_exit-ii, fin_exit-iii part_f_obuff part_f_obuff part_f_obuff part_f_obuff package buffer deposit_part deposit_part deposit_part deposit_part take_item take_item take_item take_item Ensure_matFb new_part new_part new_part new_part part_passes part_passes part_passes part_passes G I-I part_ent-i G I-II part_ent-ii G I-III part_ent-iii fin_exit-i Low Level Subsystem I fin_exit-ii Low Level Subsystem II fin_exit-iii Low Level Subsystem III G L-I, j = I G, j = II L-II L-III G, j = III G L-I Path Flow Model-j fin_exit-j str_exit-j part_ent-j part_arr1-j part_lv1-j partlvexit-j Attach Part to Assembly-j str_pta-j cmpl_a-j take_pt-j G L-II Path Flow Model-j fin_exit-j str_exit-j part_ent-j part_arr1-j part_lv1-j partlvexit-j Attach Part to Assembly-j str_pta-j cmpl_a-j take_pt-j G L-III Path Flow Model-j fin_exit-j str_exit-j part_ent-j part_arr1-j part_lv1-j partlvexit-j Attach Part to Assembly-j str_pta-j cmpl_a-j take_pt-j part_lv3-j part_arr3-j part_lv2-j recog_a-j part_arr2-j str_ptb-j cmpl_b-j part_lv3-j part_arr3-j part_lv2-j recog_a-j part_arr2-j str_ptb-j cmpl_b-j part_lv3-j part_arr3-j part_lv2-j recog_a-j part_arr2-j str_ptb-j cmpl_b-j recog_b-j ret_pt-j recog_b-j ret_pt-j recog_b-j ret_pt-j Define New Events-j attch_pta-j, attch_ptb-j, fina_attch-j, finb_attch-j dip_acid-j, Polish Part-j polish-j start_pol-j Attach Case to Assembly-j start_case-j Define New Events-j attch_pta-j, attch_ptb-j, fina_attch-j, finb_attch-j dip_acid-j, Polish Part-j polish-j start_pol-j Attach Case to Assembly-j start_case-j Define New Events-j attch_pta-j, attch_ptb-j, fina_attch-j, finb_attch-j dip_acid-j, Polish Part-j polish-j start_pol-j Attach Case to Assembly-j start_case-j compl_pol-j compl_case-j compl_pol-j compl_case-j compl_pol-j compl_case-j S L-I Polishing Sequence-j start_pol-j dip_acid-j Sequence Tasks-j fin_exit-j part_ent-j part_arr1-j start_pol-j compl_pol-j S L-II Polishing Sequence-j start_pol-j dip_acid-j Sequence Tasks-j fin_exit-j part_ent-j part_arr1-j start_pol-j compl_pol-j S L-III Polishing Sequence-j start_pol-j dip_acid-j Sequence Tasks-j fin_exit-j part_ent-j part_arr1-j start_pol-j compl_pol-j polish-j dip_acid-j fina_attch-j attch_pta-j recog_a-j part_lv2-j attch_ptb-j polish-j dip_acid-j fina_attch-j attch_pta-j recog_a-j part_lv2-j attch_ptb-j polish-j dip_acid-j fina_attch-j attch_pta-j recog_a-j part_lv2-j attch_ptb-j finb_attch-j recog_b-j start_case-j compl_case-j part_lv3-j part_arr1-j finb_attch-j recog_b-j start_case-j compl_case-j part_lv3-j part_arr1-j finb_attch-j recog_b-j start_case-j compl_case-j part_lv3-j part_arr1-j str_exit-j str_exit-j str_exit-j str_pta-j Affix Part-j take_pt-j G I (j,i) attch_pta-j str_pta-j Affix Part-j take_pt-j G I (j,i) attch_pta-j str_pta-j Affix Part-j take_pt-j G I (j,i) attch_pta-j ret_pt-j fina_attch-j attch_ptb-j take_pt-j ret_pt-j fina_attch-j attch_ptb-j take_pt-j ret_pt-j fina_attch-j attch_ptb-j take_pt-j ret_pt-j cmpl_b-j start_case-j finb_attch-j ret_pt-j cmpl_b-j start_case-j finb_attch-j ret_pt-j cmpl_b-j start_case-j finb_attch-j ÙÖ ÓÑÔÐ Ø È Ö ÐÐ Ð ËÝ Ø Ñº ½

20 Attch_case-j str_rlse-j partlvexit-j, part_arr2-j part_lv1-j polish-j str_rlse-j part_arr3-j part_lv1-j compl_pol-j start_pol-j attch_pta-j cmpl_a-j compl_case-j str_ptb-j finb_attch-j G Lj G Lj Path Flow Model-j fin_exit-j str_exit-j part_ent-j part_arr1-j part_lv1-j partlvexit-j part_lv3-j part_arr3-j part_lv2-j recog_a-j part_arr2-j recog_b-j Attach Part to Assembly-j str_pta-j cmpl_a-j take_pt-j str_ptb-j cmpl_b-j ret_pt-j Define New Events-j attch_pta-j, attch_ptb-j, fina_attch-j, finb_attch-j Polish Part-j start_pol-j dip_acid-j, polish-j Attach Case to Assembly-j start_case-j compl_pol-j compl_case-j S Lj Polishing Sequence-j start_pol-j dip_acid-j Sequence Tasks-j fin_exit-j part_ent-j part_arr1-j start_pol-j compl_pol-j polish-j dip_acid-j fina_attch-j part_lv2-j attch_pta-j recog_a-j attch_ptb-j finb_attch-j recog_b-j start_case-j compl_case-j part_lv3-j part_arr1-j str_exit-j str_pta-j Affix Part-j take_pt-j G I ( j, i ) attch_pta-j ret_pt-j fina_attch-j attch_ptb-j ret_pt-j take_pt-j cmpl_b-j start_case-j finb_attch-j fina_attch-j attch_ptb-j ÙÖ ÄÓÛ¹Ä Ú Ð ËÙ Ý Ø Ñ jº Σ H = {Ø Ø Ñ, Ô, ÐÐÓÛ Ü Ø, Ò Û Ô ÖØ, Ô ÖØ Ð, Ô ÖØ Ó Ù, Ô ÖØ Ô, Ö Ø Ò Ù, ÔÓ Ø Ô ÖØ} Σ Rj = {Ô ÖØ ÒØ¹ } Σ Aj = { Ò Ü Ø¹ } Σ Lj = { Ø ÖØ ÔÓÐ¹, ØØ ÔØ ¹, ØØ ÔØ ¹, Ø ÖØ ¹ ÓÑÔ ÔÓÐ¹, Ò ØØ ¹, Ò ØØ ¹, ÓÑÔÐ ¹, Ô ÖØ ÖÖ½¹, Ô ÖØ ÐÚ½¹, Ô ÖØÄÚ Ü Ø¹, ØÖ Ü Ø¹, Ô ÖØ ÖÖ¾¹, Ö Ó ¹, Ö Ó ¹, Ô ÖØ ÐÚ¾¹, Ô ÖØ ÖÖ ¹, Ô ÖØ ÐÚ ¹, Ø ÔØ¹, ØÖ ÔØ ¹, ØÖ ÔØ ¹, ÓÑÔÐ ¹, ÓÑÔÐ ¹, Ö Ø ÔØ¹, Ô ¹, ÔÓÐ ¹, ØÖ ÖÐ ¹, ØØ ¹ } ÇÙÖ Ö Ø Ø Ô ØÓ Ö ÔÐ Ø Ü Ø Ò ÙÔ ÖÚ ÓÖ Û Ø Ô Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø Ø Ù Ð Ø ½

21 F H = S H Ò F Lj = S Lj j = Á, ÁÁ, ÁÁÁº Ï Ò ÜØ Ò ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö H1 H2 L I1 L I2 L II1 L II2 L III1 L III2 µ ØÓ Ò ÓÙÖ ÀÁ Ë ÔÖÓ Ð Ñº ÓÖ Ø ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Ø Ó ÖÚ Ð Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð ÐÔ Ø ÓÖ ÓÒØÖÓÐÐ Ö H1 Ô Σ H,o,1 = Σ I {Ò Û Ô ÖØ, Ö Ø Ò Ù, Ô ÖØ Ó Ù } Σ H,c,1 = (Σ I Σ c ) {Ô ÖØ Ó Ù } Ì Ó ÖÚ Ð Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð ÐÔ Ø ÓÖ ÓÒØÖÓÐÐ Ö H2 Ô Σ H,o,2 = (Σ I Σ uc ) {Ø Ø Ñ, Ô, ÐÐÓÛ Ü Ø, Ò Û Ô ÖØ, Ô ÖØ Ô, Ô ÖØ Ð, Ö Ø Ò Ù, ÔÓ Ø Ô ÖØ} Σ H,c,2 = {Ø Ø Ñ, ÐÐÓÛ Ü Ø, Ò Û Ô ÖØ, Ô ÖØ Ó Ù, Ô ÖØ Ô, Ö Ø Ò Ù, ÔÓ Ø Ô ÖØ} ÓÖ Ø j th ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ j = Á, ÁÁ, ÁÁÁµ Ø Ó ÖÚ Ð ÐÔ Ø ÓÖ ÓÒØÖÓÐÐ Ö L j1 Ò L j2 Ô Σ L,o,j1 = {Ô ÖØ ÒØ¹, Ò Ü Ø¹, Ø ÖØ ÔÓÐ¹, Ô ÖØ ÖÖ½¹ } Σ L,o,j2 = Σ Lj Ì ÓÒØÖÓÐÐ Ð ÐÔ Ø ÓÖ ÓÒØÖÓÐÐ Ö L j1 Ò L j2 Ô Σ L,c,j1 = {Ô ÖØ ÒØ¹, Ø ÖØ ÔÓÐ¹ } Σ L,c,j2 = (Σ Lj Σ c ) \ { Ø ÖØ ÔÓÐ¹ } Ì Ò Ü Ø Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ÓÖ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ö D H ßH1 H2Ð D LI ßL I1 L I2 Ð D LII ßL II1 L II2 Ð Ò D LIII ßL III1 L III2 Ðº Ï ÒÓÛ Ò Ø Ø ÔÐ ÒØ Ò Ø Ø Ô Ø ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÓÐÐÓÛ ÈÐ ÒØ ËÔ := G H G LÁ G LÁÁ G LÁÁÁ := F H F LI F LII F LIII G IÁ G IÁÁ G IÁÁÁ º¾ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Î Ö Ø ÓÒ ÓÖ ËÝ Ø Ñ Ï ÒÓÛ Ò ØÓ Ú Ö Ý Û Ø Ö L m (ËÔ ) Ó¹Ó ÖÚ Ð ÛºÖºØº L(ÈÐ ÒØ)º Ï Ò Ø Ò ÓÒÐÙ Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ Û Ø Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð ØÝ Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ò ÅÆ Ë Ò Ø Ø Ø Ö ÙÐØ Ò ÐÓ ¹ÐÓÓÔ Ú ÓÙÖ Ø Ñ Ø Ø Ó Ø Ø Ý Ø Ñ Ó ÓÙÖ ÀÁ Ë Ý Ø Ñº Ý Ì ÓÖ Ñ º½ Û ÒÓÛ Ø Ø ØÓ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ó Ø ÀÁ Ë Ý Ø Ñ Ø Ù ÒØ ØÓ Ú Ö Ý Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝº Ì ÓÐÐÓÛ Ò Ø Ô ÓÖ Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ú Ö Ø ÓÒ Ö ËØ Ô ½º Î Ö Ý Û Ø Ö Ø Ö Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Ø Ø ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ø Ð Ú Ð¹Û Ó¹ Ó ÖÚ Ð Ò Ø ÓÒ º º Û Ø Ö L(F LÁ G IÁ ) Ó¹Ó ÖÚ Ð ÛºÖºØº L(G LÁ ) Σ L,c,i Σ L,o,i ÓÖ i D LI º ½

22 ËØ Ô ¾º ËØ Ô ½ Ù ÒØ ØÓ Ú Ö Ý ÐÐ Ø Ö ÐÓÛ Ð Ú Ð Ø Ý Ö ÒØ Ð ÙÔ ØÓ Ö Ð Ð Ò º ËØ Ô º Î Ö Ý Û Ø Ö Ø ¹Ð Ú Ð Ù Ý Ø Ñ Ø Ø ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ø Ð Ú Ð¹Û Ó¹ Ó ÖÚ Ð Ò Ø ÓÒ º º Ú Ö Ý Ò Û Ø Ö L(F H ) Ó¹Ó ÖÚ Ð ÛºÖºØº L(G H G IÁ G IÁÁ G IÁÁÁ ) Σ H,c,i Σ H,o,i ÓÖ i D H º Í Ò ÓÙÖ Ó ØÛ Ö Ö Ö ØÓÓÐ Û Ú Ö Ø Ø Ø Ö Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ø Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð Ò Ø ÓÒº Ì ÑÓÒÓÐ Ø Ú Ö Ø ÓÒ Ö Ò ÓÖ ÓÙÖ Û Ø ÓÙØ ÓÑÔÐ Ø Ò Ó Û ØÓÔÔ Øº Ì ÖÙÒ Ø Ñ Ó ÓÙÖ ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ä Ù½ ÄÄÅÊ½ Û º ÓÒ º Ì ÐÓÛ¹Ð Ú Ð ÑÓ Ð ÓÒØ Ò ¼ Ø Ø º Ï Ò ÜØ Ú Ö Ø Ø Ø ¹Ð Ú Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø ÔÓÖØ ÓÒ Ó Ø Ð Ú Ð¹Û Ó¹ Ó ÖÚ Ð Ò Ø ÓÒº Ì ÖÙÒ Ø Ñ Ó ÓÙÖ ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Û ¾ º ÓÒ º Ì ¹Ð Ú Ð ÑÓ Ð ÓÒØ Ò ½¾¼ Ø Ø º Ø Ö ÓÑÔÐ Ø Ò Ø Ô ½¹ Û ÓÒÐÙ Ø Ø Ø ÒØÖ Ð Þ Ý Ø Ñ Ð Ú Ð¹Û Ó¹ Ó ÖÚ Ð Ø Ù ÐÓ ÐÐÝ Ó¹Ó ÖÚ Ð Ý Ì ÓÖ Ñ º½º Ì ØÓØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ ÖÙÒ Ø Ñ Û ¾ º ÓÒ ÓÖ Ý Ø Ñ Û Ó ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Ñ ÑÓ Ð Ø Ø º Ï ÔÔÐ ÓÙÖ ÒÖ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ø ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÑÓ Ð º º ØÓ Ø Ø Ý Ø Ñµ ÙØ ÓÙÖ Ó ØÛ Ö Ð ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ö ÓÙÖ º Í Ò ÓÙÖ Ó ØÛ Ö ØÓÓÐ ËÔÓØ Ë½ Û Ú Ö Ø Ø Ø Ý Ø Ñ Ä Ð Ú Ð¹Û ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ä Ð Ú Ð¹Û ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò Ä ÒØ Ö ÓÒ Ø ÒØº Ï Ò Ø Ù ÓÒÐÙ Ý Ì ÓÖ Ñ º½ Ò Ì ÓÖ Ñ º¾ Ø Ø ÓÙÖ Ø Ý Ø Ñ ÒÓÒ ÐÓ Ò Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ð º Ï ÓÒÐÙ Ý ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ñ Ö Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ¹ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ S Con ÓÖ ÈÐ ÒØ Ò Ø Ø ËÔ ÈÐ ÒØ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÅÆ Ë Ú ÓÙÖ Û Ø S Con /ÈÐ ÒØº Ì Ñ Ò Ø Ø Ò ËÔ ÈÐ ÒØ ÒÓÒ ÐÓ Ò S Con /ÈÐ ÒØ Ð Ó ÒÓÒ¹ ÐÓ Ò º º ÓÑÔÐ Ü ØÝ Ò ÐÝ ÓÖ Ø ÒØÖ Ð Þ ËÝ Ø Ñ ÔÔÐÝ Ò ËÔÓØ ØÓ Ø Ñ ÐÐ Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò Ý Ø Ñ Ü ÑÔÐ Û ÓÙÒ Ø Ø Ø Ø Ø Þ Ó Ø ÒØ Ö Ý Ø Ñ Û º ÀÓÛ Ú Ö Ø ¹Ð Ú Ð Ø Ø Þ Û ½¾¼ Ò Ø ÐÓÛ¹Ð Ú Ð Ø Ø Þ Û ¼º Ò ÀÁ Ë ÓÒÐÝ Ö ÕÙ Ö ÓÒ ØÖÙØ Ò Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ñ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ú Ò Ó ÓÙØ Ú Ò ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ º Ì ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÑÔÐ Ü ØÝ ØÓ Ú Ö Ý Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ù Ò Ø ÑÓÒÓÐ Ø ÔÔÖÓ Ò ÊÏ O( Σ Y 2(N+2) ) Û Ö Σ Ø Ú ÒØ Ø Y Ø Ø Ø Ô Ò N Ø ÒÙÑ Ö Ó ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐÐ Ö º ËÙ Ø ØÙØ Ò Ò ÓÖ Ø Ñ ÐÐ Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò Ý Ø Ñ Ü ÑÔÐ Û ÓÙÒ Ø Ø Ú Ö Ý Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ù Ò Ø ÓÚ Ñ Ø Ó Ú ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÙÒ Ý (8+2) = º Í Ò ÓÙÖ Ñ Ø Ó Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ ÓÙÒ Ý (2+2) = º Ì ÔÓØ ÒØ Ð ÓÑÔÙØ Ø ÓÒ Ð Ú Ò ½ ¼ ÓÖ Ö Ó Ñ Ò ØÙ Ö ÙØ ÓÒº ÓÒÐÙ ÓÒ Ò ÙØÙÖ ÏÓÖ ÁÒ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ ÒØ Ú ÓÒÐÝ Ô ÖØ Ð Ú Û Ò Ô ÖØ Ð ÓÒØÖÓÐ Ó Ø Ý Ø Ñ Ò ÑÙ Ø ÓÓÔ Ö Ø ØÓ Ú Ø ÓÒØÖÓÐ Ó Ø Ú º ÁÒ ÓÖ Ö ØÓ ÝÒØ Þ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐ ÓÐÙØ ÓÒ Ô Ø ÓÒ ÑÙ Ø Ø Ý Ø Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝº Ü Ø Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ú Ö Ø ÓÒ Ñ Ø Ó Ö ÕÙ Ö Ø ÔÓ ÐÝ ÒØÖ Ø Ð ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ó Ø ÓÑÔÐ Ø Ý Ø Ñº ½

23 ÌÓ Ö Ø Ù Û ÔØ Ø Ü Ø Ò ÀÁË ÔÔÖÓ ØÓ ÙÔÔÓÖØ ÒØÖ Ð Þ ÓÒØÖÓÐº Ï ÒØÖÓ Ù Ø ÀÁ Ë Ö Ñ ÛÓÖ Ø Ø ÒÐÙ Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ø ÓÒ Ó Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝº Ì ÐÐÓÛ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ØÓ Ú ÐÙ Ø Ù Ò ÓÒÐÝ Ò Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ø Ñ º Ö ÙÐØ Ø ÒØ Ö Ý Ø Ñ ÑÓ Ð Ò Ú Ö Ò ØÓ ÓÒ ØÖÙØ Û Ò ÔÖÓÚ Ò ÒØ Ú Ò º Ò ÐÐÝ Û ÔÖÓÚ Ò ÔÖÓÚ Ø Ò ÖÝ Ò Ù ÒØ ÓÒ Ø ÓÒ ÓÖ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ü Ø Ò Ò Ø ÀÁ Ë Ö Ñ ÛÓÖ º Ï ÔÔÐ ÓÙÖ ÔÔÖÓ ØÓ Ñ ÐÐ Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò Ü ÑÔÐ º ÁØ ÓÒØ Ò Ð Ú Ð Û Ø ½¾¼ Ø Ø Ø Ö ÐÓÛ Ð Ú Ð Û Ø ¼ Ø Ø Ò Ø ÑÓ Ð Û Ø Ø Ø º Ï Ú Ö Ø Ô Ö¹ÓÑÔÓÒ ÒØ Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ ÔÖÓÔ ÖØÝ Ò ¾ º ÓÒ º Ï ØÖ ØÓ Ú Ö Ý Ø ÀÁ Ë Ý Ø Ñ Ø ÑÓ Ð ÙØ ÓÙÖ Ó ØÛ Ö Ð ØÓ ÓÑÔÐ Ø Ø Ö ÓÙÖ º ÓÖ ÙØÙÖ ÛÓÖ Û Ù Ø ÜØ Ò Ò ÀÁ Ë ÖÓÑ Ø ÙÖÖ ÒØ ØÛÓ Ð Ú Ð ÔÔÖÓ ØÓ ÑÙÐØ ¹Ð Ú Ð Ñ Ø Ó ØÓ ÐÐÓÛ ÀÁ Ë Ò Ð Ú Ò Ð Ö Ö Ý Ø Ñ º Ï Ð Ó Ù Ø ÒØÖÓ Ù Ò ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ØÓ ÐÐÓÛ ÖØ Ò Ú ÒØ ØÓ Ó ÖÚ Ð Ä¼¼ Ê ½½ ÏÎË Û Ò Ú Ò ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð ØÓ Ó¹Ó ÖÚ Ð º ÈÖÓÓ Ì ÓÖ Ñ º½ ÈÖÓÓ º ÙÑ Ψ Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð º Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÓÛ Ø Ø Ψ ÐÓ ÐÐÝ Ó¹Ó ÖÚ Ð º ËÙ ÒØ ØÓ ÓÛ Ø Ø ( t F I P) ( σ Σ c ) tσ P\(F I) ( i D c (σ))pi 1 [P i (t)]σ F I P = Ä Ø t F I P Ò σ Σ c º ÙÑ tσ P\(F I)º F = F H F L1... F Ln P = H p L p 1... Lp n Ò I = I 1... I n Û Ò ÓÒÐÙ Ø Ø t F H H p I Ò j {1,...,n}µ t F Lj I j L p j ½µ tσ P\(F I) Û Ú tσ P Ò tσ / F Iº tσ / F H F L1... F Ln I 1... I n Ý Ò Ø ÓÒ Ó F Ò I tσ P Ò tσ / F H ÓÖ tσ P Ò j {1,...,n}µ tσ / F Lj I j ½µ j {1,...,n}µ tσ / F Lj I j Ä Ø j {1,...,n} Ù Ø Ø tσ / F Lj I j º Ï Ð Ó Ú t F Lj I j L p j Ý ½µº t F Lj I j L p j tσ Lp j Ò tσ / F L j I j tσ P Ψ Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ú ( i D Lj,c (σ)) P 1 L j,i [P L j,i(t)]σ F Lj I j L p j = ( i D c (σ)) Pi 1 [P i (t)]σ F Lj I j L p j = D L j,c (σ) D c (σ) Ò Ø Ù P Lj,i = P i ( i D c (σ)) Pi 1 [P i (t)]σ F I P = F I P F Lj I j L p j ¾µ j {1,...,n}µ tσ F Lj I j ÖÓÑ ÖÐ Ö Û Ú tσ P Ò tσ / F H F L1... F Ln I 1... I n j {1,...,n}µ tσ F Lj I j Û Ú tσ F L1... F Ln I 1... I n º tσ / F H Ò tσ I tσ / F H Ò tσ H p I P H p Ï Ð Ó Ú t F H H p I Ý ½µº Ψ Ð Ú Ð¹Û Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ú ( i D H,c (σ)) P 1 H,i [P H,i(t)]σ F H I H p = ( i D c (σ)) Pi 1 [P i (t)]σ F H I H p = D H,c (σ) D c (σ) Ò Ø Ù P H,i = P i ( i D c (σ)) Pi 1 [P i (t)]σ F I P = F I P F H I H p Ý ½µ Ò ¾µ Û Ú ( i D c (σ)) Pi 1 [P i (t)]σ F I P = ¾¼

24 t F I P Ò σ Σ c Ö Ó Ò Ö ØÖ Ö ÐÝ Û ÓÒÐÙ Ø Ø Ψ ÐÓ ÐÐÝ Ó¹Ó ÖÚ Ð º Ì ÓÖ Ñ º¾ ÈÖÓÓ º Ä Ø K L m (ÈÐ ÒØ) K º Á Ô ÖØµ ÙÑ K ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ)º Ï Û ÐÐ ÓÛ Ø ÑÔÐ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ñ Ö Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ S Con ÓÖ K ÈÐ ÒØµ Ù Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = Kº Ï ÑÙ Ø Ö Ø ÓÒ ØÖÙØ Ù Ø Ð ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ S Con ÓÖ ÈÐ ÒØº ÓÖ i D Ò t L(ÈÐ ÒØ) Û Ò Ø ÐÓ Ð ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÓÐÐÓÛ S Pi (t) := (Σ\Σ c,i ) {σ Σ c,i Pi 1 [P i (t)]σ K L(ÈÐ ÒØ) }º Ì ÐÓ Ð ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ ÔÓÐ Ý S Con Ò ÓÐÐÓÛ S Con (t) := N i=1 S P i (t)º Ì Ð Ò Ù L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ò Ò Ò Ø ÓÒ ¾º º Ð ÖÐÝ S Con ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ò Ò Ò Ø ÓÒ ¾º º Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÓÛ Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = K ËØ Ô ½º¾µ Ò Ø Ø S Con ÒÓÒ ÐÓ Ò ËØ Ô ½º µº ÌÓ Ó Ø ÓÙÖ Ö Ø Ø Ô ØÓ ÓÛ Ø Ø L(S Con /ÈÐ ÒØ) = K ËØ Ô ½º½µº ËØ Ô ½º½µ Ë ÓÛ Ø Ø L(S Con /ÈÐ ÒØ) = Kº Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÓÛ Ø Ø µ L(S Con /ÈÐ ÒØ) K Ò µ K L(S Con /ÈÐ ÒØ)º È ÖØ µ Ë ÓÛ Ø Ø L(S Con /ÈÐ ÒØ) Kº Ä Ø t L(S Con /ÈÐ ÒØ)º Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÔÖÓÚ Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó ØÖ Ò t Ø Ø t Kº t = ǫ Ï ÒÓÛ Ø Ø ǫ L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ý Ò Ø ÓÒº ÙÖØ Ö ǫ K Ò K Ý ÙÑÔ¹ Ø ÓÒº Ï Ø Ù Ú t Kº ÁÒ ÙØ Ú Ø Ô ÓÖ σ Σ Û ÙÑ tσ L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ò t Kº Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÓÛ Ø ÑÔÐ tσ K º Ï Ú t L(S Con /ÈÐ ÒØ) ( i D)σ S Pi (t) Ò tσ L(ÈÐ ÒØ) Ý Ò Ø ÓÒ Ó L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ò S Con º Ï Ú ØÛÓ º½µ σ Σ uc ÓÖ º¾µ σ Σ c º º½µ σ Σ uc ÖÓÑ ÓÚ Û Ú t K σ Σ uc Ò tσ L(ÈÐ ÒØ)º K ÓÒØÖÓÐÐ Ð Û Ú KΣ uc L(ÈÐ ÒØ) Kº tσ K º¾µ σ Σ c ÖÓÑ ÓÚ Û Ú t K σ Σ c ( i D)σ S Pi (t) Ò tσ L(ÈÐ ÒØ)º Ï Û ÐÐ ÓÛ tσ K Ù Ò ÔÖÓÓ Ý ÓÒØÖ Ø ÓÒº ÙÑ tσ / Kº tσ L(ÈÐ ÒØ)\K K Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ) Û Ú ( i D c (σ)) Pi 1 [P i (t)]σ K L(ÈÐ ÒØ) = º ( i D c (σ))σ / S Pi (t) ( i D)σ / S Pi (t) σ / S Con (t) Ý Ò Ø ÓÒ Ó S Con tσ / L(S Con /ÈÐ ÒØ) ¾½

25 Ì ÓÒØÖ Ø ÓÒº Ï Ø Ù ÓÒÐÙ Ø Ø tσ Kº Ý º½µ Ò º¾µ Û Ú tσ Kº Ì ÓÑÔÐ Ø Ø Ò ÙØ Ú Ø Ôº Ï Ø Ù ÓÒÐÙ Ý Ò ÙØ ÓÒ Ø Ø L(S Con /ÈÐ ÒØ) Kº È ÖØ µ Ë ÓÛ Ø Ø K L(S Con /ÈÐ ÒØ)º Ä Ø t Kº Ï Û ÐÐ ÔÖÓÚ Ý Ò ÙØ ÓÒ ÓÒ Ø Ð Ò Ø Ó ØÖ Ò t Ø Ø t L(S Con /ÈÐ ÒØ)º t = ǫ Ï ÒÓÛ Ø Ø ǫ K Ò K Ý ÙÑÔØ ÓÒº ÙÖØ Ö Û Ú ǫ L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ý Ò Ø ÓÒº Ï Ø Ù Ú t L(S Con /ÈÐ ÒØ)º ÁÒ ÙØ Ú Ø Ô ÓÖ σ Σ Û ÙÑ tσ K Ò t L(S Con /ÈÐ ÒØ)º Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÓÛ Ø ÑÔÐ tσ L(S Con /ÈÐ ÒØ)º Ï Ò ÜØ ÒÓØ Ø Ø Û Ú tσ L(ÈÐ ÒØ) tσ K Ò Ý Ø ÙÑÔØ ÓÒ Ø Ø K L m (ÈÐ ÒØ) L(ÈÐ ÒØ)º Ï Ú ØÛÓ º½µ σ Σ uc ÓÖ º¾µ σ Σ c º º½µ σ Σ uc σ S Con (t) ÙÒÓÒØÖÓÐÐ Ð Ú ÒØ Ö Ò Ð Ý ÙÐØ ÓÖ S Con ÖÓÑ ÓÚ Û Ú t L(S Con /ÈÐ ÒØ) σ S Con (t) Ò tσ L(ÈÐ ÒØ)º tσ L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ý Ò Ø ÓÒ Ó L(S Con /ÈÐ ÒØ) º¾µ σ Σ c ÖÓÑ ÓÚ Û Ú t L(S Con /ÈÐ ÒØ) t K tσ K σ Σ c Ò tσ L(ÈÐ ÒØ) ÖÓÑ Ø Ò Ø ÓÒ Ó L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ò S Con ØÓ ÓÛ Ø Ø tσ L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ø Ù ÒØ ØÓ ÓÛ Ø Ø ( i D)σ S Pi (t)º Ä Ø i Dº Á σ / Σ c,i Û ÑÑ Ø ÐÝ Ú σ S Pi (t) σ Σ c \Σ c,i º Ï ÒÓÛ ÓÒ Ö σ Σ c,i º ÁØ Ù ÒØ ØÓ ÓÛ Ø Ø Pi 1 [P i (t)]σ K L(ÈÐ ÒØ) º Ï Ö Ø ÒÓØ Ø Ø t Pi 1 [P i (t)] := {s Σ P i (s) {P i (t)}} tσ Pi 1 [P i (t)]σ Û Ú tσ K Ò tσ L(ÈÐ ÒØ) ÖÓÑ ÓÚ Û Ú tσ Pi 1 [P i (t)]σ K L(ÈÐ ÒØ)º Pi 1 [P i (t)]σ K L(ÈÐ ÒØ) Ï Ø Ù ÓÒÐÙ tσ L(S Con /ÈÐ ÒØ)º Ý º½µ Ò º¾µ Û Ú tσ L(S Con /ÈÐ ÒØ)º Ì ÓÑÔÐ Ø Ø Ò ÙØ Ú Ø Ôº Ï Ø Ù ÓÒÐÙ Ý Ò ÙØ ÓÒ Ø Ø K L(S Con /ÈÐ ÒØ)º Ý È ÖØ µ Ò µ Û Ú L(S Con /ÈÐ ÒØ) = Kº ËØ Ô ½º¾µ Ë ÓÛ Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = Kº Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó Ñ Ö Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Û Ú L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = L(S Con /ÈÐ ÒØ) Kº ËÙ Ø ØÙØ Ò L(S Con /ÈÐ ÒØ) = K Ý ËØ Ô ½º½µµ Û Ú L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = K K = Kº ËØ Ô ½º µ Ë ÓÛ Ø Ø S Con ÒÓÒ ÐÓ Ò º ÁØ Ù ÒØ ØÓ ÓÛ Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = L(S Con /ÈÐ ÒØ)º Ì Ö ÙÐØ ÙØÓÑ Ø L(S Con /ÈÐ ÒØ) = K Ý ËØ Ô ½º½µµ Ò L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = K Ý ËØ Ô ½º¾µµº Ý ËØ Ô ½º½µ ½º¾µ Ò ½º µ Û ÓÒÐÙ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ñ Ö Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ S Con ÓÖ (K, ÈÐ ÒØ) Ù Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = Kº ¾¾

26 ÇÒÐÝ Ô ÖØµ ÙÑ Ø Ö Ü Ø Ñ Ö Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ S Con ÓÖ K ÈÐ ÒØµ Ù Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = Kº Ï Û ÐÐ ÒÓÛ ÓÛ Ø ÑÔÐ Ø Ø K ÓÒØÖÓÐÐ Ð ËØ Ô ¾º½µ Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ) ËØ Ô ¾º¾µº Ï Ö Ø ÒÓØ Ø Ø S Con ÒÓÒ ÐÓ Ò K = L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = L(S Con /ÈÐ ÒØ)º ËØ Ô ¾º½µ Ë ÓÛ Ø Ø K ÓÒØÖÓÐÐ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ)º ËÙ ÒØ ØÓ ÓÛ Ø Ø KΣ uc L(ÈÐ ÒØ) Kº Ä Ø t K σ Σ uc Ò tσ L(ÈÐ ÒØ)º t L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ò σ S Con (t) L(S Con /ÈÐ ÒØ) = K Ò Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó S Con tσ L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ý Ò Ø ÓÒ Ó L(S Con /ÈÐ ÒØ) tσ K L(S Con /ÈÐ ÒØ) = K KΣ u L(ÈÐ ÒØ) K ËØ Ô ¾º¾µ Ë ÓÛ Ø Ø K Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ)º ËÙ ÒØ ØÓ ÓÛ Ø Ø ( t K L(ÈÐ ÒØ)) ( σ Σ c ) tσ L(ÈÐ ÒØ)\K ( i D c (σ)) Pi 1 [P i (t)]σ K L(ÈÐ ÒØ) = º Ä Ø t K L(ÈÐ ÒØ) σ Σ c Ò tσ L(ÈÐ ÒØ)\Kº tσ L(ÈÐ ÒØ) Ò tσ / K tσ / L(S Con /ÈÐ ÒØ) L(S Con /ÈÐ ÒØ) = K ( i D)σ / S Pi (t)) Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó L(S Con /ÈÐ ÒØ) Ò S Con ( i D)(σ Σ c,i ) (Pi 1 [P i (t)]σ K L(ÈÐ ÒØ) = ) Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó S Pi ( i D c (σ)) Pi 1 [P i (t)]σ K L(ÈÐ ÒØ) = Ý Ø Ò Ø ÓÒ Ó D c (σ)º Ý ËØ Ô ¾º½µ Ò ¾º¾µ Û ÓÒÐÙ Ø Ø K ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ)º Ý Á Ò ÇÒÐÝ Ô ÖØ Û ÓÒÐÙ Ø Ø Ø Ö Ü Ø Ñ Ö Ò ÒÓÒ ÐÓ Ò ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ S Con ÓÖ K ÈÐ ÒØµ Ù Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = K Ò ÓÒÐÝ K ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ)º ÓÖÓÐÐ ÖÝ º½ ÈÖÓÓ º Á Ô ÖØµ ÙÑ L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ) Ò L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) = L(ËÔ ) L(ÈÐ ÒØ)º Ì K = L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) Ò Û Ú Ý Ì ÓÖ Ñ º¾ Ø Ö Ü Ø Ò ÅÆ Ë S Con ÓÖ L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) ÈÐ ÒØµ Ù Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ)º S Con ÒÓÒ ÐÓ Ò Ý Ì ÓÖ Ñ º¾ Û Ú L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) = L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = L(S Con /ÈÐ ÒØ)º L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) = L(ËÔ ) L(ÈÐ ÒØ) Ý ÙÑÔØ ÓÒ Û Ú L(S Con /ÈÐ ÒØ) = L(ËÔ ) L(ÈÐ ÒØ)º ÇÒÐÝ Ô ÖØµ ÙÑ Ø Ö Ü Ø Ò ÅÆ Ë S Con ÓÖ L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) ÈÐ ÒØµ Ù Ø Ø L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) Ò L(S Con /ÈÐ ÒØ) = L(ËÔ ) L(ÈÐ ÒØ)º Ì K = L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) Ò Û Ú Ý Ì ÓÖ Ñ º¾ Ø Ø L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) ÓÒØÖÓÐÐ Ð Ò Ó¹Ó ÖÚ Ð Û Ø Ö Ô Ø ØÓ L(ÈÐ ÒØ)º ¾

27 S Con ÒÓÒ ÐÓ Ò Û Ú L m (ËÔ ) L m (ÈÐ ÒØ) = L m (S Con /ÈÐ ÒØ) = L(S Con /ÈÐ ÒØ) = L(ËÔ ) L(ÈÐ ÒØ)º Ê Ö Ò Ä¼¼ ÓÖ ÖÖ ØØ Ò ËØ Ô Ò Ä ÓÖØÙÒ º ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Û Ø ÓÑÑÙÒ Ø Ò ÓÒØÖÓÐÐ Ö º Á ÌÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÓÒØÖÓÐ µ ½ ¾¼ ½ ¾¼¼¼º ÅÅ¼ Ä¼ ÖØ Ð Ö Ò Ò ÊÓ Å Ð Ò È ØÖ Å Ð º ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ø ÓÒ Ò ÝÒ¹ Ø Ó Ö Ø ¹ Ú ÒØ Ý Ø Ñ Ù Ý ÓÙÒØ Ö Ü ÑÔÐ º Á ÌÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ËÝ Ø Ñ Ì ÒÓÐÓ Ý ½¾ µ ¼½ ¾¼¼ º Ö ØÓ Ò Ö Ò ËØ Ô Ò Ä ÓÖØÙÒ º ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ö Ø Ú ÒØ Ý Ø Ñ ¾Ò Ø ÓÒº ËÔÖ Ò Ö ¾¼¼ º Ë½ ËÔÓØº Ì Ó Ð Û Ø ÓÖ Ø ËÔÓØ ÔÖÓ Øº ÇÒÐ Ò Ú Ð Ð ØØÔ»»ÛÛÛº ºÑÑ Ø Öº» Ð Ù» ËÔÓØº ØÑÐ ¾¼½ º ÀÂ É + ½¼ Êº º À ÐÐ ÙÖÝ Âº ºÊº ÅÀ ÉÙ ÖÓÞ Å Ì Ð ÙÖÝ Ò Ë Ä ÓÖØÙÒ º ÅÙÐØ ¹Ð Ú Ð Ö Ö Ð ÒØ Ö ¹ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐº ÙØÓÑ Ø µ ½½ ¾ ½½ ¾¼½¼º Ä ÄÏ¼ ÊÝ Ò Âº Ä Ù ÖØ Ð Ö Ò Ò Å Ö Ä Û ÓÖ Ò ÏÅ ÏÓÒ Ñº À Ö Ö Ð ÒØ Ö ¹ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ¹Ô ÖØ Á Ö Ð º Á ÌÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÙØÓÑ Ø ÓÒØÖÓÐ ¼ µ ½ ¾¾ ½ ¾¼¼ º Ä ¼¾ Êº Âº Ä Ùº À Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐº È Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó Ð ØÖ Ð Ò ÓÑÔÙØ Ö Ò Ò Ö Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó ÌÓÖÓÒØÓ ÌÓÖÓÒØÓ ÇÒØº ¾¼¼¾º Ä ¼ Ä Ù½ ÄÄ ¼ ÄÄÅÊ½ ÊÝ Ò Âº Ä Ùº À Ö Ö Ð ÒØ Ö ¹ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Û Ø Ø Ú ÒØ º ÁÒØ ÖÒ Ø ÓÒ Ð ÂÓÙÖÒ Ð Ó ÓÒØÖÓÐ ¾ µ ¼¼ ¾¼¼ º ÀÙ Ð Ò Ä Ùº À Ö Ö Ð ÁÒØ Ö ¹ ÒØÖ Ð Þ ËÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐº È Ø Ô ÖØÑ ÒØ Ó ÓÑÔÙØ Ò Ò ËÓ ØÛ Ö ÅÅ Ø Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ À Ñ ÐØÓÒ ÇÒØº ¾¼½ º ÊÝ Ò Âº Ä Ù Å Ö Ä Û ÓÖ Ò È Ò Ò º À Ö Ö Ð ÒØ Ö ¹ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐ Ó Ü Ð Ñ ÒÙ ØÙÖ Ò Ý Ø Ñº Á ÌÖ Ò Ø ÓÒ ÓÒ ÓÒØÖÓÐ ËÝ Ø Ñ Ì ÒÓÐÓ Ý ½ µ ¾¼¼ º ÀÙ Ð Ò Ä Ù ÊÝ Ò Âº Ä Ù ÊÓ Å Ð Ò Ëº Äº Ê Öº ÁÒÖ Ñ ÒØ Ð Ú Ö ¹ Ø ÓÒ Ó Ó¹Ó ÖÚ Ð ØÝ Ò Ö Ø ¹ Ú ÒØ Ý Ø Ñ º ÁÒ ÈÖÓº Ó ¾¼½ Ñ Ö Ò ÓÒØÖÓÐ ÓÒ Ö Ò Ô ¾ ÈÓÖØÐ Ò ÇÖ ÓÒ ÍË ÂÙÒ ¾¼½ º ÄÄÊ½ ÀÙ Ð Ò Ä Ù ÊÝ Ò Âº Ä Ù Ò Ëº Äº Ê Öº À Ö Ö Ð ÒØ Ö ¹ ÒØÖ Ð Þ ÙÔ ÖÚ ÓÖÝ ÓÒØÖÓÐº ÁÒ ÈÖÓ Ò Ó Ø Á ÓÒ Ö Ò ÓÒ ÓÒ Ò ÓÒØÖÓÐ Ô ½ ½ ¼¼ Ç Â Ô Ò Ñ Ö ¾¼½ º ¾