INTEREST RATE MODEL CALIBRATION AND RISK-MANAGEMENT USING SEMIDEFINITE PROGRAMMING.

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1 INTEREST RATE MODEL CALIBRATION AND RISK-MANAGEMENT USING SEMIDEFINITE PROGRAMMING. A. d Aspremon THÈSE PRÉSENTÉE POUR OBTENIR LE TITRE DE DOCTEUR DE L ÉCOLE POLYTECHNIQUE. SPÉCIALITÉ: MATHÉMATIQUES APPLIQUÉES. SOUTENUE LE 15 FÉVRIER 2003 DEVANT LE JURY COMPOSÉ DE NICOLE EL KAROUI MARCO AVELLANEDA RAMA CONT BRUNO DUPIRE LAURENT EL GHAOUI OLIVIER SCAILLET DIRECTRICE DE THÈSE RAPPORTEUR EXAMINATEUR EXAMINATEUR RAPPORTEUR RAPPORTEUR

2 Copyrgh A. d Aspremon 2003

3 Préface e prncpaux résulas Préface Le modèle de Black & Scholes 1973 perme l évaluaon des opons sur un seul acf dans un modèle lognormal e éabl ans une bjecon enre la volalé d un acf e le prx d une opon d acha. Dans la praque, les propréés d homogénéé de cee relaon on fa de la volalé mplce l nsrumen prvlégé de coaon des prx d opons. La formule de Black & Scholes 1973 n a malheureusemen pas d équvalen smple dans le cas mulvaré. Ans, la coaon des opons sur porefeulles s effecue en ermes de volalé mplce, mas l n es pas possble de reler smplemen cee volalé mplce de porefeulle à celle des acfs le composan. Le marché des opons sur porefeulle d acons éan majoraremen composé d opons sur ndces, les rsques d ncohérence dans la modélsaon y son rès lmés. La suaon es cependan exacemen nverse dans le marché des opons sur aux d nérê. L acvé de synhèse e de couverure des produs dérvés se décompose en ros phases. Dans la premère, le modèle es calbré aux condons présenes du marché. Cee phase mplque la résoluon d un problème nverse, rval dans le cas du modèle smple de Black & Scholes 1973, beaucoup plus dffcle dans les modèles de aux. La seconde phase es l évaluaon propremenn de des produs e de leur couverure. La rosème es la descrpon e la geson au quoden du rsque ndu par les porefeulles de dérvés porés. L obenon de soluons numérques performanes e sables ou au long de cee chaîne de problèmes es ndspensable au manen d une acvé vable d agrégaon-désagrégaon des rsques fnancers. La lqudé du marché des produs dérvés de aux se concenre massvemen auour des caps e swapons, qu son des opons sur porefeulle. La modélsaon jone des aux e la possblé de pouvor évaluer de manère cohérene l ensemble de ces opons y es donc un prérequs fondamenal. Les swapons son des opons d acha sur une combnason convexe de aux forward. Les coéffcens de cee combnason on une varance rès fable e les aux forwards ne son pas des marngales sous une même probablé. La premère conrbuon de ce raval es de monrer que le prx des swapons peu êre approxmé, sous une mesure marngale ben chose vor Jamshdan 1997, par celu d une opon sur un porefeulle de marngales lognormales, l erreur pouvan êre bornée unformémen. Cec rédu le problème de l évaluaon des swapons dans les modèles lnéares, gaussens, markovens vor El Karou & Lacose 1992, Duffe & Kan 1996 ou Musela & Rukowsk 1997 ou dans le modèle de marché Brace, Gaarek & Musela 1997 ou Sandmann & Sondermann 1997, à celu de l évaluaon d opons d acha dans un modèle de Black & Scholes 1973 mulvaré. Un deuxème chapre s néresse donc a l évaluaon des opons sur porefeulle dans le cadre d un modèle de Black & Scholes 1973 mulvaré. Un développemen en sére du prx d une opon d acha es obenu par des echnques d approxmaon de dffuson smlares à celles ulsées dans Fourné, Lebuchoux & Touz En plus de l mporan gan en précson e rapdé par rappor aux méhodes de Mone-Carlo, les ermes obenus par cee méhode on une nerpreaon rès

4 naurelle. Le erme d ordre zéro correspond a l approxmaon classque d une somme de varables lognormales par une varable lognormale, le erme d ordre un correspond à un erme correceur égal à l espérance de l erreur de couverure. Cee approxmaon du prx des opons perme d écrre le problème de calbraon d un modèle de aux comme celu de rouver une marce semdéfne posve qu vérfe une sére de conranes lnéares. En d aures ermes, le problème de cablbraon deven un programme semdéfn. Depus les ravaux de Neserov & Nemrovsk 1994 e Vandenberghe & Boyd 1996 enre aures, ces programmes peuven êre résolus rès effcacemen, l analyse e la preuve de la complexé polynomale de ces problèmes éan smlare à celle obenue pour les programmes lnéares vor Neserov & Todd Dans ce cadre, le dual du programme de calbraon a égalemen une nerpréaon rès naurelle en ermes de geson des rsques. Le cône des marces semdéfnes posves éan symérque, ce programme es égalemen un programme semdéfn e sa soluon fourn, selon l objecf chos, so un porefeulle de couverure au sens de El Karou & Quenez 1991 e Avellaneda & Paras 1996, so la sensblé de la soluon à un changemen des condons de marché. L nsablé numérque a un coû drec pour les opéraeurs de marché qu se radu par une couverure mparfae, des coûs de ransacon e une descrpon ncomplèe des rsques. Par leur capacé à sablser ce processus quoden de calbraon, couverure e geson des rsques, nous espérons que les méhodes exposées dans ce raval von rédure les coûs de ransacon e amélorer la fablé e la ransparence de la geson des rsques lés aux opéraons sur produs dérvés exoques. Prncpaux résulas Movaons, conrbuons e léraure assocée Les problèmes de calbraon e de geson des rsques d un modèles de aux on comme paramère naurels un operaeur de covarance. Les méhodes acuelles qu conssen à foremen paramérer ce opéraeur ou a lu subsuer des données hsorques son non convexes e donc nrnsèquemen nsables e neffcaces. Orgne du problème Dans le cadre de l analyse de Heah, Jarrow & Moron 1992, on sa qu un modèle de aux arbré es enèremen paraméré par la donnée de la courbe des aux aujourd hu e de leur foncon de covarance. S on dscrése, le paramère naurel de la calbraon d un modèle de aux es une marce semdéfne posve. Acuellemen: la calbraon es so paramérée par un ou deux faceurs, so basée sur la corrélaon hsorque. Les programmes de calbraons acuels son donc non convexes e nrnsèquemen nsables. Ces méhodes n exploen pas oue la rchesse des modèles sous-jacens. De plus, ces approches ne fournssen pas de résulas fables sur la sensblé de la soluon à une varaon des prx de marché. La echnque la plus souven ulsée es de modfer les v

5 données nales e de recalbrer pour un ceran nombre de scénaros précs. Cee echnque, coûeuse numérquemen, amplfe l nsablé des résulas. Conrbuons La clé de ous les résulas qu von suvre se rouve dans le développemen récen d alogrhmes de programmaon lnéare sur l espace des marces semdéfnes, algorhmes don la complexé polynomale es comparable a celle des programmes lnéares classques. Dans l évaluaon du prx d une swapon, on peu assmler le aux swap a un paner de aux forwards. Parce que la volalé des zéros coupons es fable comparée à celle des forwards, on peu supposer que les pods dans ce paner son consans e que le swap e les forwards son raés comme des marngales sous une même mesure dans l évaluaon des swapons. Le prx de ces opons paner peu ensue êre calculé en premère approxmaon en ulsan la formule de Black-Scholes formule de marché pour les swapons avec une varance ben chose. Les aures ermes du développemen peuven êre calculés explcemen, le erme d ordre un s nerprèan comme l erreur moyenne de couverure. La varance de marché es une forme lnéare sur la marce de covarance des forwards. S l on chos d opmser un objecve lnéare en varance, le problème de la calbraon peu donc se résoudre comme un programme semdéfn canonque. Ledual de ce programme es un programme de couverure e fourn la sensblé de la soluon à une varaon des prx de marchés. Enfn, l opmsaon du Gamma d un porefeulle au moyen d opons vanlle s écr égalemen comme un programme semdéfn. Léraure assocée Les ravaux de Neserov & Nemrovsk 1994 e Vandenberghe & Boyd 1996 sur la programmaon semdéfne, Neserov & Todd 1998 pour un raemen général de la complexé des programmes lnéares sur les cônes symérques. Les résulas Rebonao 1998, Brace, Dun & Baron 1999 e Sngleon & Umansev 2001 sur l évaluaon des swapons comme paners de forwards. Rebonao 1999 sur la calbraon du modèle de Brace e al par paramérsaon des faceurs. Les ravaux parallèles de Brace & Womersley 2000 sur la calbraon du modèle de Brace e al par programmaon semdéfne e l mpac du nombre de faceurs sur l évaluaon de la Md-Alanque. Les arcles de Fourné e al e Lebuchoux & Musela 1999 sur les approxmaons de dffusons. L arcle de Douady 1995 sur l opmsaon du Gamma. v

6 Premère pare: évaluaon des swapons Les modèles On défn l évoluon de l acf sans rsque par β s = exp s ru, 0du 1 euro placé a la dae zéro au aux cour où ru, 0 es le aux cour spo a la dae u. Dans l analyse de Heah e al. 1992, e s on noe Bs, T le prx en s du zero-coupon de mauré T Bs, T =E Q s [ exp l absence d arbrage enre les dfférens Z.C. mpose: B, T β = B0,T exp 0 ] ru, 0du σ B s, T sdw s σ B s, T s 2 ds où {σ B, θ; θ 0} es la volalé des Z.C. e W = {W, 0} es un M.B. de dmenson d sous une probablé rsque-neure Q. On défn ensue le aux forward LIBOR de mauré δ par ex. 3 mos à la dae par: θ+δ 1+δL, θ = exp r, νdν θ Le modèle de marché sur les LIBOR lognormal en aux aux forward LIBOR a une volalé lognormale: Dans ce modèle, on suppose que le dls, θ =...ds + Ls, θγs, θdw s avec γ : R 2 + R d + déermnse e s comme dans Brace e al on mpose γs, θ =0, θ [0,δ[, on a spécfé la volalé des Z.C. comme: σ B, θ = δ 1 θ k=1 δl, θ kδ γ, θ kδ 1+δL, θ kδ Le modèle affne lognormal en prx Dans ce modèle, on suppose que les prx des Z.C. on une dynamque lognormale e son donnés par: dbs, T Bs, T = rs, 0ds + σb s, T sdw s où σ B s, T s es c déermnse on oben une dynamque lognormale shfée sur les forwards. Insrumens de base: les swapons Taux swap Le swap es le aux qu équlbre les PV d une branche fxe e d une branche varable. Il es défn par: swap, T, T n = B, T floang B, T floang n+1 Level, T fxed,tn fxed v

7 avec Level, T fxed,tn fxed = n peu encore écrre ce aux comme: = T coveraget fxed swap, T 0,T n =,T fxed +1 B, T fxed e T T = T. On = T ω K, T où floa coveraget,t floa floa +1 B, T+1 ω = Level, T fxed,tn fxed e K, T =L, T En praque, les pods ω son remarquablemen sables. En praque, on consdère la fréquence des payemens floans comme éan un mulple de celle des payemens fxes. Swapon formule en aux S on suppose que les aux suven la dynamque du modèle de marché sur les aux LIBOR, on défn le prx de la swapon comme une somme de Calls sur le aux swap prévalan a la dae T : N Ps =B, T E Q T βt δcvg, b swapt,t,t N k + βt = +1 T où Q T es la probablé forward en T. S on défn une nouvelle probablé marngale Q LV L assocée au forward swap: dq LV L dq T = B, T βt N =1 δcvg, bβ 1 T +1 Level, T, T N on peu réécrre le prx de la swapon comme une opon sur le aux swap: Ps =Level, T, T N E Q [ LV L swapt,t,tn k +] ou encore comme une opon sur un paner de forwards: [ + ] Ps =Level, T, T N E Q LV L ω T KT,T k Dans le modèle de marché sur les LIBOR, on consae que la sablé emprque es ben reprodue par le modèle. En effe, on a: dswaps, T, T N = N =0 ω sks, T γs, T s+ηs, T dw LV L s = T où la conrbuon des pods es donnée par: N ηs, T = ω s σ B s, T s σ B s, T k s k= T où σ B, θ es la volalé des Z.C. D aure par le changemen de probablé se radu en ermes de drf par: N dws LV L = dws T δks, T j + ω s 1+δKs, T j γs, T j s ds = T v

8 En premère approxmaon, avec en praque: e δks, T j 1% N N ω sks, T ηs, T = ω sks, T swaps, T, T N ηs, T = T = T avec N = T ω s =1e 0 ω s 1, on peu consdérer que la conrbuon des pods dans la volalé du swap peu êre néglgée face à celle des fowards. On peu égalemen néglger le drf nrodu par le passage de la probablé forward à la probablé forward swap. La swapon dans le modèle lognormal en aux peu donc êre évaluée comme une opon sur un paner de aux lognormaux. Swapon formule en prx On peu auss écrre le prx de la Swapon de srke k e de mauré T comme celu d un pu sur un paner de Z.C.: + N Ps =B, T E Q T 1 B, T N+1 kδ B, T = T les coeffcens dans le paner son c consans. Dans le modèle lognormal en prx, la swapon peu donc c auss êre évaluée comme une opon sur un paner d acfs lognormaux. Évaluaon des opons sur un paner d acfs La dynamque du forward Dans les deux ypes de modèles qu précèden, on écr le prx de la swapon comme celu d une opon sur un paner d acfs lognormaux. On va donc chercher à approxmer ce prx dans les cas général où ces n acfs on une corrélaon de dmenson a pror égale à n, en ulsan les méhodes de développemen du prx déallées par Fourné e al e Lebuchoux & Musela On se place drecemen dans le marché forward où la dynamque des acfs sous-jacens prx ou aux es donnée par: dfs = Fsσ sdw s où W un Q T -Brownen d-dmensonel e σ s = σs =1,...,n Rn d es la marce de volalé. Dans oue la sue on noera Γ s R n n la marce de covarance correspondane. On cherche à calculer le prx d un Call sur paner don le payoff à mauré es donné par: + h FT ω = ω FT k avec =1 ω =1 =1 Pour ce fare on commence par écrre la dynamque du sous-jacen Fs ω sous forme lognormale: df ω s = F ω s =1 ω,s σ s dw s avec ω,s = ω F s n =1 ω F s v

9 La dynamque de ces pods es donc donnée par d ω,s = ω j,s σ ω s σs j dw s +,s ω j,s σsds j e on vérfe res naurlellemen que s les volalés σ s son oues denques, la duynamque du forward F ω s es exacemen lognormale avec comme volalé σ ω s, on défn donc la volalé résduelle de chaque acf par rappor à cee volalé cenrale comme: où σ ω s es F mesurable. ξ s = σ s ω j, σs j avec σs ω = ω, σs j Développemen du prx En praque, la volalé résduelle e les moyennes n ω j,s σ s j son supposées pees e on va donc développer la dynamque du forward en remplaçan n ωε j,s ξj s par ε n ωε j,s ξj s pour un ε>0 pe, pour écrre: df ω,ε s = F ω,ε s d ω ε,s = ωε,s σs ω + ε n ω j,sξs j dw s ξs ε n ωε j,s ξj s dw s + σs ω ds + ε n ω j,sξsds j Comme dans Fourné e al e Lebuchoux & Musela 1999 on cherche donc a évaluer: [ F C ε ω,ε = E T k ] + F ω, ω en l approxman par son développemen de Taylor auour de ε =0: C ε = C 0 + C 1 2 ε2 ε + C 2 + oε2 Terme d ordre zéro lme: Le erme d ordre zéro se calcule drecemen comme la soluon de l E.D.P. C 0 s + σω s 2 x2 2 2 C 0 x 2 =0 C 0 =x K + for s = T e on peu donc obenr C 0 par la formule de Black & Scholes 1973 avec comme varance σs ω 2 : C 0 = BST,F ω,v T =F ω NhV T κn hv T V T avec h V T = F ω ln κ V T e V T = VT T σ ω s 2 ds x

10 Terme d ordre un On peu ensue s néresser à l E.D.P. vérfée par C ε / ε: { L ε 0 C ε =0 C ε =x k + en s = T où l on a noé: L ε 0 = Cε s + 2 σω s + ε y j ξs j x 2 2 C ε 2 x 2 + ξs,σ j s ω + ε y k ξ 2 s j σs ω,ξs k ε 2 y k ξs k 2 C ε xy j x y j k=1 k=1 2 + ξj s ε y k ξs k y 2 j 2 C ε 2 y 2 k=1 j + ξs,σ j s ω + ε y k ξ 2 s j σs ω,ξs k ε 2 y k ξs k C ε y j y j k=1 on peu passer à la lme en ε =0en s accordan comme dans Fourné e al un peu de lberé avec les condons de régularé, ce qu donne: { n L 0 0 C1 + y j ξs,σ j s ω x 2 2 C 0 =0 x 2 C ε =0en s = T Cec perme de calculer C 1 en ulsan la représenaon de Feynman-Kac: C 1 = F ω T k=1 ω j, ξ j s,σs ω s exp 1 ξ j 2 u σu ω 2 du E exp s σu ω + ξu j dw F u ln ω K n Vs,T + s σω u dw u 1 2 V,s V s,t ds Vs,T pour obenr: C 1 = F ω T n ln F ω K ω j, + s ξs,σ j s ω V,T ξu,σ j u ω V,T exp 2 s du V,T ξ j u,σu ω du ds Calcul du prx de l opon sur paner le prx de l opon sur paner: En résumé on peu donc obenr une formule approxman E [ F ω T k +] = BST,F ω,v T +C 1 x

11 où e C 1 = F ω V T = T T n ln F ω K N ˆω γs, T s =1 ω j, + s ξs,σ j s ω V,T ξu,σ j u ω V,T exp 2 2 s du V,T ds ξ j u,σu ω du ds Applcaon aux swapons Dans le cas de la swapon, la formule a l ordre zéro s écr: Level, T, T N swap, T, T N Nh κnh V T avec h = ln swap,t,tn κ VT V T e où V T = T N ˆω γs, T s =1 2 K, T ds avec ˆω =ω swap, T, T N Précson de la formule sur les paners smples On peu éuder la précson de cee approxmaon en comparan avec un Mone-Carlo fgure 3.2. Ces valeurs réplquen les paramères ulsés pour une swapon 5 ans, 5ans. La marce de covarance es ssue de données hsorques sur la covarance des FRA. Précscon de la formule dans le modèle lognormal sur LIBOR. On peu auss eser la qualé de l approxmaon à l ordre zéro dans le cadre du modèle de marché en comapran encore une fos avec les résulas obenus par Mone-Carlo fgure 3.1. Deuxème pare: Calbraon Le programme de calbraon Comme on l a vu dans la pare précédene, le prx de la swapon peu s approxmer par son prx de Black calculé avec ue varance de marché ben chose. Avec K, T ˆω =ω swap, T, T N où les ω provennen de la décomposon du Swap en paner de FRA, cee varance varance s oben comme: 2 T N V T = ˆω γs, T s ds =1 x

12 ou encore ou on a noé V T = T TrΩ Γ s ds Ω =ˆωˆω T =ˆω ˆω j,j [1,N] 0 S on se donne une sére de varnaces de marché σ 2 k T k correspondans à des Swapons ou Caples de pods ˆω k e de mauré T k e s on suppose que la covarance des LIBOR es consane par morceaux, on peu écrre le programme de calbraon comme: Trouver avec X T = δtr Ω,kX =σk 2T k où k =1,..., M X 0 pour =0,..., T ou encore, sous-forme bloc-dagonale: Trouver avec X TrΩ k X=σk 2T k où k =1,..., M X 0 pour =0,..., T Le programme de calbraon s exprme donc comme un programme semdéfn SDP avec comme nconnue la marce de covarance des FRA. La résoluon smulanée de ce programme e de son dual donne une preuve de convergence sous forme du gap de dualé, ou une preuve de non fasablé s les prx son ncompables avec les hypohèses du modèle. Un programme convexe On peu comparer les deux ypes de paramérage du problème de calbraon sur un example smple. Dans les programmes paramérés par faceurs de volalé, s on cherche a résoudre le programme suvan: [ ] 1 1 max Tr X [ 1 ] avec Tr X =1 0 1 X 0 e qu on le paramère comme dans Rebonao 1999, on oben: cos Xu, v = 2 u cosv cosusnu cosv cosusnu sn 2 u on peu représener la foncon Tr[1, 1; 1, 1]Xu, v: En général, le programme paraméré par les facers reven a rouver une soluon de rang mnmal a un programme semdéfn. Cec fa apparare le programme de calbraon comme NP-dur e même NP-comple. Par conre, la verson SDP s écr comme l opmsaon d une forme lnéare sur l nersecon du cône des marces semdéfnes posves. Ce cone es représené c par x y X = 0 mn λ y z X 0 ce qu donne: e le domane d un programme semdéfn, l nersecon de ce cône avec un plan peu donc êre représenée comme dans la fgure 4.3. x

13 Tr u v 3 Fgure 1: La foncon objecf paramérée par faceurs. Objecfs Comme l on soulgné Neserov & Nemrovsk 1994, la classe des objecfs représenables par SDP es rès vase. Elle nclu évdemmen les objecfs lnéares mas auss quadraques par complémen de Schur: x 2 pour x R n peu encore s écrre I x T 0 x 1 On peu égalemen représener la norme specrale en ermes d négalés marcelles e donc de SDP: mnmser X A pour TrXΩ T = σmarke 2 T X 0 deven: mnmser pour TrXΩ T = σmarke 2 T X A Id X A Id X 0 e 0 Programme dual Le dual du SDP de calbraon es un programme avec objecf lnéare, où les conranes son données par une négalé marcelle lnéare. Le cône des marces semdéfnes posves es auoadjon, e on peu former le Lagrangen M LX, y = TrCX+ y k TrΩk X σk 2 T k k=1 M M = Tr y k Ω k C X y k σk 2 T k k=1 k=1 x

14 z y 0.5 x Fgure 2: Le cône des marces semdéfnes posves en dmenson ros. pour obenr: maxmser M k=1 y kσ 2 k T k M pour 0 k=1 y kω k C Calcul des sensblés On peu manenan ulser les résulas de Todd & Yldrm 1999 pour calculer la sensblé de la soluon a un changemen dans les condons du marché. On noe X op, y op e M Z op = C y op k Ω k la soluon du programme de calbraon. On noe encore pour P, Q, X R n n : P Q K := 1 PKQ T + QKP T 2 e A : S M R m X AX := TrA X =1,...,m k=1 A : R m S M y A y := m =1 y Ω On défn M = I drecon de recherche A.H.O. ou M = Z op H.K.M. e enfn les operaeurs E = Z op M, F = MX op I e leurs adjons E = Z op M and F = X op M I. On suppose que ces données de marché σk 2T k on éé modfées dans une drecon donnée par un veceur u R n pe, la nouvelle soluon du programme de calbraon deven: [ X = E 1 FA AE 1 FA ] 1 u de plus, celle-c es garane valable s X op [ 1 2 E 1 FA AE 1 FA ] 1 X u op xv

15 On dspose donc d une marce donnée par S = E 1 FA [ AE 1 FA 1 ] qu perme de calculer drecemen la sensblé de la soluon à l ensemble des scenaros de marché possbles. Bornes sur le prx Swapon. On peu placer en objecf une marce correpsondan au prx d une aure maxmser σmaxt 2 = TrΩ 0 X s.. TrΩ k X=σk 2T k for k =1,..., M X 0 Le dual de ce programme peu s nerpréer à la Avellaneda & Paras 1996 comme un programme de couverure, s on noe BS k v, le prx de Black Scholes de l opon k pour une varance v: ou encore nf λ { M } M λ k C k +sup BS 0 TrΩ 0 X λ k BS k TrΩ k X X 0 k=1 k=1 Prx = Mn {Valeur de la couverure + Max PV du résdu} Ce prx es donc calculé en nrodusan dans la calbraon les nsrumens de couverure e en chosssan les paramères de calbraon les plus conservaeurs possbles. L addon d nsrumens dans la calbraon amélore la dversfcaon du rsque sous-addvé du max. La fgure 7.9 donne un exemple de bornes sur les prx 6 Novembre On calbre en ulsan ous les caples e les swapons suvanes: 5Y no 5Y, 5Y no 2Y, 5Y no 10Y, 2Y no 2Y, 2Y no 5Y, 7Y no 5Y, 10Y no 5Y, 10Y no 2Y, 10Y no 10Y, 7Y no 3Y, 4Y no 6Y, 17Y no 3Y. Consdéran la smplcé du modèle ulsé covarance saonare des FRA, l es surprenan de consaer que le modèle resue ben la volalé des swapons de sous-jacen nféreur à dx ans. Rang fable ou marce régulère? Comme l on observé Fazel, Hnd & Boyd 2000, s on place une marce défne posve comme objecf on oben en général une marce de rang fable fgure 4.4 don les valeurs propres son rapdemen décrossanes fgure 4.5. On consae que la marce es de rang deux. Cee méhode emprque donne d excellens résulas en praque mas aucune garane ne peu êre obenue quan au rang de la soluon le problème deven alors NP-comple. S on mpose en plus des conranes de lssage à la marce de covarance, on oben un résula plus nuf fgure 4.6 mas cela se fa au prx d une augmenaon du rang de la soluon fgure 4.7. Cependan, comme la mnmsaon de la surface de la marce de covarance reven a mnmser une enrope quadraque, on s aend à ce que cee marce vare mons au cours du emps que celle obenue par dmnuon du rang on consae ou de même que cee marce a unquemen deux valeurs propres domnanes, conformémen aux résulas emprques. xv

16 Remercemens Mes remercemens von ou d abord à Ncole El Karou qu a gudé mes premers pas en fnance e n a cessé d accompagner mes progrès depus. Ma dee envers elle es mmense. Son ensegnemen, ses consels e sa dsponblé, d abord à l Ecole Polyechnque, pus au DEA de Pars VI e enfn pendan cee hèse on éé le moeur de ce raval, effecué en lason éroe depus dfférens pons du globe Pars, Londres, Sanford... Mon passage chez Parbas a éé un champ d expérmenaon exraordnaremen fécond. En parculer, les longues dscussons sur le méer de quan avec Jérôme Lebuchoux, ses consels, ans que sa vson du fonconnemen des marchés dérvés on éé une référence fondamenale dans la consrucon de ce raval. Au-delà de sa foncon à la êe de l équpe, c es comme am que je ens à lu exprmer ma graude. Je souhae que d une manère ou d une aure l obsacle de la dsance so un jour levé, afn que nous pussons poursuvre ensemble les grands projes enamés à Londres. Marco Avallaneda a ben voulu acceper de lre ma hèse. Je lu en sus exrêmemen reconnassan, d auan plus que ses ravaux fondamenaux sur la volalé sochasque e sur la couverure, ans que ses résulas récens sur le smle des opons paners en equy, on éé une rès grande nspraon pour mo. Lauren El Ghaou, avec qu j a le grand plasr de ravaller en ce momen sur l arbrage saque des opons sur paners, a amablemen accepé d êre rapporeur de cee hèse. Son raval sur la robusesse rouve un écho drec dans les problèmes de calbraon e de geson de porefeulle. Je le remerce vvemen pour les rès nombreuses ndcaons qu l m a données à ce suje. Je veux auss remercer Olver Scalle que j a renconré à la conférence de l AFFI à Srasbourg e qu a égalemen ben voulu êre rapporeur de cee hèse. J espère que nous aurons l occason de poursuvre la longue dscusson que nous avons enamée à cee occason. Rama Con m a nvé à parcper à un rès grand nombre de sémnares e conférences qu on enrch ma réflexon sous pluseurs aspecs. Il a accepé d êre membre du jury. Son ade e ses encouragemens m on éé exrêmemen préceux. Les résulas sur la sablsaon de la calbraon lu doven beaucoup. Les applcaons numérques des résulas qu von suvre seraen resées lere more sans l asssance quas-permanene d abord locale, pus rans-alanque de Cyrl Godar. Avec Rémy Croslle, l a fa de ce passage à Londres un momen noublable. Jean-Mchel Lasry m a fa l honneur de m accuellr dans son équpe. Ses suggesons au cours des enreens qu l m a accordés m on éé nfnmen préceuses. Marek Musela es le premer à m avor d que résoudre un problème avec conrane lnéare sur une marce semdéfne posve s appela un semdefne program e a ans ms fn à mes expérmenaons arsanales sur cee queson. Je le remerce c égalemen pour l ensemble des dées qu l a ben voulu parager. Ceranes d enre elles son oujours en cours d exploraon. Auss j espère avor la chance de pouvor en dscuer avec lu dans l avenr. Darrell Duffe m a accuell en sage de fn d Ecole à Sanford. Je ens c à le remercer rès xv

17 vvemen pour ou ce que j a apprs duran ce sage ans que duran ses cours que j a eu le prvlège de suvre à Dauphne e à Sanford. Je ens enfn à lu exprmer ma graude pour son ade e ses rès nombreux consels sur la sue de mes éudes. Je veux égalemen remercer oue les équpes FIRST Swaps e SPG chez Parbas e en parculer Gullaume Amblard, Régs Bénchou, Phlppe Challande, Sefano Gallucco, Ezra Nahum e Erc Fourné. La genllesse de ce derner e son experse m on énormémen adé. Je lu dos d avor éé recrué chez Parbas lors de ses cours à Pars VI. Je regree le emps où, à Parbas, l me suffsa de me ourner vers la droe pour avor une réponse à mes quesons sur le calcul de Mallavn ou les E.D.P. Ma reconnassance va auss à Jeanne Balleul, au CMAP, qu m a perms de surmoner ben des dffculés. Le fa que le présen raval a abou monre que ses effors n on pas éé vans. Je remerce égalemen pour leurs commenares e suggesons oues les personnes que j a renconrées aux sémnares de Parbas e les parcpans aux sémnares e conférences où ce raval a éé présené, en parculer Vlad Bally, Jérôme Busca, Claude Lemaréchal, Perre-Lous Lons, Yur Neserov, Pablo Parllo, Anoon Pelsser, Ioanna Popescu, Rober Womersley. xv

18 I don wan o acheve mmoraly hrough my work. I wan o acheve hrough no dyng. Woody Allen xv

19 Preface In he orgnal Black & Scholes 1973 model, here s a one-o-one correspondence beween he prce of an opon and he volaly of he underlyng asse. In fac, opons are mos ofen drecly quoed n erms of her Black & Scholes 1973 mpled volaly. In he case of opons on mulple asses such as baske opons, ha one-o-one correspondence beween marke prces and covarance s los. The marke quoes baske opons n erms of her Black & Scholes 1973 volaly bu has no drec way of descrbng he lnk beween hs volaly and ha of he ndvdual asses composng he baske. Today, hs s no ye crcally mporan n equy markes where mos of he radng n baske opons s concenraed among a few ndex opons, we wll see however ha s crucal n neres rae dervave markes where mos of he volaly nformaon s conaned n a raher dverse se of baske opons. Indeed, a large par of he lqudy n neres rae opon markes s concenraed n European caps and swapons. In he frs chaper of hs work we wll show how one can express he prce of swapons and caples as ha of an opon on a baske of zero-coupon bonds n one approach, or a baske of forward Lbor raes n anoher. Ths baske opon represenaon s exac n he frs case and we wll show how provdes an excellen prcng approxmaon n he second. In parcular, hs wll allow us o reduce he problem of prcng swapons n boh he Gaussan H.J.M. model see El Karou & Lacose 1992, Duffe & Kan 1996 or Musela & Rukowsk 1997 and he Lbor marke model see Brace e al. 1997, Mlersen, Sandmann & Sondermann 1995 or Mlersen, Sandmann & Sondermann 1997 o ha of prcng swapons n a muldmensonal Black & Scholes 1973 lognormal model. The second chaper s hen focused on fndng a good prcng approxmaon for baske calls n hs generc model. We derve prce expanson where he frs erm s compued as he usual Black & Scholes 1973 prce wh an approprae varance and he second erm can be nerpreed as he expeced value of he rackng error obaned when hedgng wh he approxmae volaly. Besdes s radcal numercal performance compared o Mone-Carlo mehods, he formula we oban has he advanage of expressng he prce of a baske opon n erms of a Black & Scholes 1973 covarance ha s a lnear form n he underlyng covarance marx. Ths ses he muldmensonal model calbraon problem as ha of fndng a posve semdefne covarance marx ha sasfes a ceran number of lnear consrans. In oher words, he calbraon becomes a semdefne program. Recen advances n opmzaon see Neserov & Nemrovsk 1994 or Vandenberghe & Boyd 1996 have led o algorhms ha solve hese problems very effcenly, wh a complexy analyss ha s comparable o ha of lnear programs see Neserov & Todd Ths means ha he general muldmensonal marke covarance calbraon problem can be solved very effcenly. Fnally, we show ha hese same semdefne programmng echnques provde key sensvy and rsk-managemen resuls ogeher wh he calbraon soluon. For nsance, we show how all sensves of he soluon marx o changes n marke condons can be drecly obaned from he opmal soluon of he dual calbraon problem. xx

20 Numercal nsably has a drec cos n boh poor hedgng and ncomplee rsk descrpon. By reducng he amoun of numercal nose n he daly recalbraon process and mprovng he rsk-managemen of neres rae models, we hope hese mehods wll sgnfcanly reduce hedgng coss and mprove he relably of rsk-managemen compuaons. xx

21 Conens I Calbraon 25 2 Ineres Rae Marke dynamcs Zero-coupon bonds and he H.J.M. framework Zero-coupon bonds Arbrage free dynamcs The Gaussan H.J.M. model Lbor raes, swap raes and he Lbor marke model Lbor raes and swaps The Lbor marke model Ineres rae opons: caps and swapons Caps Swapons Cap and swapon prces n he Gaussan H.J.M. model Caps Swapons Caps and swapons n he Lbor marke model Caps and he forward marngale measure Swapons and he forward swap marngale measure Swap dynamcs The forwards under he forward swap measure Swaps as baskes of forwards Baske prcng Baske prce approxmaon The classcal approxmaon Dffuson approxmaon Robusness nerpreaon Swapon prce approxmaon Approxmaon precson Dscrezaon Numercal resuls Marke Model Calbraon The calbraon consrans A convex problem Non convex example Convex example xx