Indicesd' evaluationde l'associationentre deux variables

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1 Indicesd' evaluationde l'associationentre deux variables PaulGERARD Universit e de Liµege Facult e dessciences,d epartementde math ematique 12,Grande Traverse,B 37,4000 Liµege Abstract L'articlepr esenteuninventairedesindicesusuelsd'association entredeuxvariablesenfonctiondecequel'onentendpar\association" etenfonctiondutypedesvariablesconsid er ees.selon que l'on d esire mesurer le degr e d'ind ependance,la r eduction de l'erreur de pr ediction,de la dispersion ou de l'entropie de l'unedesvariablesquandl'autreestconnue,laconcordanceou l'accordentrelesdeux variables,l' egalit e desdistributions,ou quel'on d esireanalyser la structuredel'association,diversindicespeuvent^etre utilis esdontle choix d ependaussidu type (continu,ordinal,nominal,binaire)desvariablesconcern ees. 1 Introduction La description de la relation entre deux (ou plusieurs)variablesest unepr eoccupationmajeuredetouteslessciences: denombreuseslois de l' economie,de la biologie,de la physiologie,de la physique etde la chimie sontdesexemplesde descriptionsexplicitesetcomplµetes, c'est-µa-dire d eterministes,de la liaison entre deux variables. Les math ematiquessontg en eralementlesoutilsdecettedescription.on n'arecoursµalastatistique(etilnefautlefairequedanscecas)que siaucune relationd eterministe n'estconnue entre lesdeuxvariables consid er ees.ilarriveene etsouventqu'aucunerelationparfaitement d eterministe n'existe entre deux variables(m^eme num eriques). Les exemplessontnombreux : revenuset epargnesdesm enages,taux

2 Associationentredeuxvariablesnum eriques d'int er^etetniveaudel'investissementimmobilier,etc.cettesituation estencoreplusfr equentelorsquelesvariablessontdetypeordinalou q ua lita tif: r a ting d'un e m p runte tr e com m anda tion d'achat,nive a u hi erarchique etdegr e de satisfaction professionnele,nationalit e et typed' etudessup erieureschoisies. Naturelement,du pointde vue de la statistique,l'information relativeµalaliaisonentredeuxvariablesesttouteentiµerecontenuedansla distributionconjointedecesdeuxvariablesetcettedistributionpeut ^e tre e stim e e µa p artir d'un e chantilon d'e e ctif su±sam m e ntgrand. Maisl'informationsetrouvantdansladistributionconjointeestim ee reste di±cile µa appr ehender etµa interpr eter. Ilestdonc n ecessaire de la r esumer dansquelquesindicesquiexprimentdiversesfacettes de cette liaison.la fa»cond'extrairel'informationetde la condenser dansunindiced ependde lanaturedesvariablesenjeu: num erique continue,discrµete,ordinale,binaire,nominale. Ele d ependaussi du butpoursuivi: mesurer le degr e de d ependance (stochastique), l'association(lin eaireounon),laconcordance,l'accord,lacapacit ede pr edictiondel'unedesvariablesµapartirdel'autre,lar eductiondela dispersionoudel'entropied'unedesvariablesquandl'autreestconnue,analyser la structure de l'association ( egalit e desdistributions marginales,sym etrie,.).l'expos eseranaturelementstructur epar cesdeux critµeres: lanaturedesvariablesetl'aspectde l'association que l'onsouhaite mesurer. 2 Associationentredeuxvariables num eriques 2.1 Casde deuxvariablescontinues Indicesetoutilsfondam entaux Une repr esentation de l'association entre lesdeux variablesnum eriquesx ety passe obligatoirementpar le diagramme de dispersion,c'est-µa-direparlarepr esentationdansleplan,del'ensembledes points(xi;y i ) i = 1;:::;n de l' echantilon. Ce graphique complµete utilementl'histogramme bivari e quiconstitue une estimation de ladensit ede probabilit e conjointedesdeuxvariables. 2

3 Indicesd' evaluationde l'associationentre deuxvariables Lacovariance ¾ x;y entre X ety peut^etreestim eeparlacovariance d' echantilons x;y.cettederniµereestunindiceclassiqued'association entre X et Y. Ilestsym etrique etlin eaire sur X et Y,de plus s a+bx;y = jbj:s x;y.en n,js x;y j s x :s y,l' egalit en'ayantlieuqu'aucas oµu la d ependance entre X ety estune relation lin eaire (ou a±ne). En casd'ind ependance de X et Y,¾ x;y = 0 etl'on s'attenddonc danscecasµaunevaleurde s x;y voisinede0.maisunevaleurde s x;y voisine de 0 ne p eut^e tre consid er ee com m e un signe d'ind ep endance, saufdansle casoµule couple X;Y suitunedistributionbinormale. Cetindice pr esente au moinstroisd efauts: ilne fournitpasune echele pour appr ecier le degr e de d ependance desdeux variables,il varielorsd'unetransformationlin eaired'unevariable(cfrci-dessus), ilesttrµessensible auxvaleursextr^emes. Une partie de cesd efautspeut^etre corrig ee enutilisantle trµesclassiquecoe±cientdecorr elationlin eaire(ditdebravais-pearson) r x;y quiestl'estimateur classique de la corr elation ½ x;y entre X et Y. On le note plussimplementr dansle casoµu le contexte pr ecise clairementlesvariablesx ety.cetindice r x;y estsym etriquesur X ety,ind ependant,au signe prµes,d'une transformation lin eaire des variables(r a+bx;y = signe(b):r x;y )etilvarie dansl'intervale [-1,1]. Voisinde1(oude-1),ilindiqueunerelationlin eaire etroitecroissante (ou d ecroissante)entre X et Y et,dansce cas,l'application d'une r egression lin eaire esttoutindiqu ee pour expliciter l'association. Si nestgrand,ladistributiond' echantilonnagedearcth(r x;y )peut^etre assimil ee µa une loinormale de moyenne arcth(½ x;y )etde variance 1 n 3,ce quipermetais ementde tester une hypothµese de la forme H 0 : ½ x;y = ½ 0,doncenparticulierdetesterl'ind ependance. Cetindice r x;y estunebonnemesuredel'associationlin eaireentre X ety.ene et,soncarr e r x;y 2 mesurelaqualit e(ausensdesmoindres carr es)delapr edictionde Y µal'aided'unefonctiondupremierdegr e en X : ildonne la partrelative de la variance de Y expliqu ee parla r egression lin eaire de Y sur X. Malgr e cesind eniablesqualit es,cet indice mesure malune associationnon-lin eaire entre deux variables, ilestfortsensible aux valeursextr^emes,et,hormisle casbinormal, ilnemesurepasvraimentladistance µal'ind ependance. Danslecasbinormal,ladistributionconjointeducouple(X;Y) etant 3

4 Associationentredeuxvariablesnum eriques complµetementd etermin eeparlesdistributionsmarginalesde X ety etpar le coe±cientde corr elation ½ x;y,on peutconsid erer que r x;y donneunemesuredudegr eded ependancestochastiqueentrelesdeux variables Degr eded ependance Sivraiment,on souhaite mesurer la distance µa l'ind ependance (=le degr eded ependance),onpeututiliserlesdeuxm ethodessuivantes: 1.Calculerl' ecartabsolumaximumentrelafonctionder epartition (= distribution cumul ee) conjointe estim ee etle produitdes fonctionsder epartitionmarginalesestim ees: D=maxjF x;y (u;v) F x (u)f y (v)j: 2.Transformer X et Y en variables nominales en divisant en classeslesdomainesde X et Y,puisutiliser la distance chicarr e pourl'ind ependance (cfrinfra) Accord L'observation d'une bonne corr elation estinsu±sante pour assurer l'accord(=agr ement) entre deux variables. Ele ne donne qu'une information trop sommaire µa ce sujet. Le diagramme de dispersion de X ety apportenaturelementunemeileureinformation: l'accord entre X ety s'y m at erialise p ar la p roxim it e desobservationsavec la bissectricedupremierquadrant.sil'ond esireestimerl'accordentre X ety (par exem ple estim er l'agr em entetdonc l' equivalence,entre deux techniquesde mesures),on utilisera la m ethode de Blandet Altman (1986)[1].Ele estbas ee sur le calculde deux paramµetres: lamoyenne m x y de X Y quimesurelebiaisentrelesdeuxvariables etlecoe±cientdecorr elationlin eaire r x y;x+y entre X Y etx+y (ou (X+Y) 2 ) quiindique sil' ecartentre lesdeux variablesvarie en fonction de leur demi-somme. Lorsque lesdeux indicessontvoisins dez ero,onconcluraquel'accordestbonentre XetY.Lediagramme dedispersionde X Y enfonctionde (X+Y) 2 donneµalafoisuneid ee desvaleursdecesdeuxindicesenindiquantsilesdi erencesobserv ees entrelesdeuxvariablesd ependentdeleurdemi-somme(quiconstitue 4

5 Indicesd' evaluationde l'associationentre deuxvariables une estimation de la grandeur mesur ee,a priorimeileure que X et Y s epar ement). Lapertinence decesdeuxindicesestclaire: et E(X Y)=0 () E(X)= E(Y) ½ x y;x+y =0 () ¾ x = ¾ y Enoutre,sousl'hypothµesedenormalit edesdistributionsmarginales de X ety,l' egalit e desmoyennesetdesvariancesentra^³neceledes distributions. Dansune etude de l'agr emententre deux techniques de mesures,on s'assurera d'abordque l'hypothµese ½ x y;x+y = 0ne peut^etre rejet ee (c'estµadire que jr x y;x+y jestsu±sammentpetit). Ondonnera ensuite leslimitesd'agr ementquipar d e nitionsont leslimitesde tol erance pour l' ecartd = X Y.Autrementdit,en supposantd = X Y distribu eenloinormaleeten xantleniveau de con ance µa 95%,leslimitesd'agr ements' ecrivent(en arrondissantle quantile Gaussien µa 2)m d 2s d.la pr ecision de ceslimites d'agr ementestd etermin eeparleur ecart-typequivauts d ( 3 n )1= Associationnonlin eaire Enutilisantseulementlecoe±cientdecorr elationlin eairedebravais- Pe a rson,on p e ut p a sse r µa cot e d'une a sso ciation r e e le m a isnonlin eaire entre lesdeux variables. Le diagramme de dispersion fait ordinairementbienvoirlecaractµerelin eaireounonlin eairedelarelation.pourpaliercettelacuneducoe±cientr x;y,ilconvientd'utiliser lecoe±cientde corr elation de rang de Spearm an.la notion de rang joue un r^ole im portanten statistique non-param etrique. Si X estune variable al eatoire,dontla fonction de r epartition est F, le rang de X estla variable F(X). La corr elation de rang estpar d e nition la corr elation entre le rang de X etle rang de Y. On la note ½ s. Le rang d'une observation xi estdonc en p rincip e F(xi).Maiscom m e F estinconnu,onestime F(xi)parlavaleur en xi de lafonctionde r e p artition e stim e e µa l'aide du diagram m e cum ulatif dre ss e µa p artir desobservations.lapluspetitedesobservationsadonclerang 1 n et la plusgrande 1.On convientalorsde multiplier syst ematiquement 5

6 Associationentredeuxvariablesnum eriques touslesrangsparl'e ectifn.lerang p i del'observation xiestalors simplementlenum erod'ordre(entre1etn)decetteobservationdans las erie desobservationsx1;:::;xn rang eesparordre croissant.dans la pratique,en casd'observations egales,on attribue µa chacune la moyennedesrangsqu'elesoccupent. Le coe±cientde corr elation de rang de Spearman (not e r s )n'est autre que le coe±cientde Bravais-Pearsoncalcul e enrempla»cantles observations(xi;y i )(i=1;:::;n)parleurrangs(p i ;q i ). Lamultiplicationparnn'a ectepaslavaleurducoe±cientpuisqu'une transformationlin eairecroissantedechaquevariablelaisseinchang ee la valeur d'un coe±cientde Bravais-Pearson. Le coe±cient r s est donc toujourscom prisentre-1et1.voisin de 1(ou de-1),ilindique une relation croissante (ou d ecroissante) entre X ety. SiX et Y sontind ependants,on doits'attendre µa un coe±cient r s voisin de z ero.asymptotiquement,arcth(r s )suituneloinormaledemoyenne arcth(½ s )etdevariance 1 n 3. Une autre fa»con de mesurer une association non-lin eaire entre X et Y estdemod eliserlarelationetderechercherparlatechniquedela r egression,auseind'unefamiledefonctions,le meileurpr edicteur de Y par X.Onmesurealorsl'associationparlacorr elationentre Y etce pr edicteur. 2.2 Casd'une variablecontinue etd'unevariablebinaire Remarque Lorsqu'on traite d'une variable binaire,c'est-µa-dire d'une variable poss edantdeux modalit es,ilestais e de la convertir en une variable num eriqueenattribuantunnombreµachacunedesmodalit es.toutefois,un indice d'association ne sera admissible que sisa valeur ne d ependpasdu choix desnombreschoisis,c'est-µa-dire s'ilestinvariantparrapportaucodagenum eriquedelavariable Lesdiagram m esen bo^³te (boxplot) A p p e lonsx la variable binaire(vale urscod e e s0 e t1)e ty la variable continue. En reportantsur un m^eme graphique lesdiagrammesen 6

7 Indicesd' evaluationde l'associationentre deuxvariables bo^³te de Y conditionne lem entµa X = 0 etµa X = 1,on obtientune repr esentation de la d ependance vis-µa-visde X desparamµetresde positionetdedispersionde Y Coe±cientbis erialdepoint Lecoe±cientbis erialde pointn'estriend'autre quelecoe±cientde Bravais-Pearson r x;y.ce dernier peut^etre utilis e avecdesvariables binaires(c'est-µa-direµadeuxmodalit es)carilned ependpas(ausigne p rµe s) du co da ge num e riq ue choisi. Ile xiste e n e e t toujours une transformationlin eaire faisantpasser d'un codage µa un autre.dans lecasoµu X estbinaire ety continu,ona et ½ x;y =[E(YjX =1) E(YjX=0)] ¾ x ¾ y r x;y = 1=2 n1 n 0 m1 m 0 n 2 oµu m 1 etm 0 sontlesmoyennesde Y dansl' echantilon(d'e ectifn 1 ) relatifµa X = 1etdansl' echantilon (d'e ectif n 0 )relatifµa X = 0 respectivement.onanot e n= n 1 +n 0. On voitainsique le coe±cientbis erialde pointdoit^etre interpr et e commeunemesuredeladi erenceentrelesmoyennesde Y dansles deux populationsd e niespar lesmodalit esde X.Une faible valeur observ ee pour r x;y plaide pour l' egalit e desmoyennes. Approximativement,r x;y n 1=2 est egalµalastatistiqueclassique destudentt n 1. s y Degr ede d ependance Le degr e de d ependance des deux variables peut µa nouve au ^etre appr e ci e par l' e cart absolu m axim um D entre la distribution cumul eeconjointeestim eeetleproduitdesdistributionscumul eesmarginale s estim e es. Mais le caractµe re binaire de X sim p līe le cal- culde D. En notantn 0 et n 1 le nombre d'individuspour lesquels X = 0 et X = 1respectivementet n = n 0 + n 1,D = n 0n 1 D n oµu 2 D estl' ecartabsolu maximum entre la fonction de r epartition estim ee de Y conditionne le µa X = 1etce le conditionne le µa X= 0: D =maxjf yjx=1 (u) F yjx=0 (u)j.cettedi erencemaximumestbien 7

8 Associationentredeuxvariablesnum eriques visualis ee en reportantsur un m^eme graphique lesdiagrammescum ulatifsde Y relatifsµa X = 0 etx = 1.Le degr e d'ind ep endance se m esure donc icipar l' ecartabsolu m axim um entre lesdistributions conditionne lesµa X = 0 etx = 1. Uneautrem ethodeconsisteµacat egoriser Y endivisantsondomaine enclasses,puisµautiliserlaclassiquedistancechi-carr e. 2.3 Casde deuxvariablesbinaires Le sdonn e e s sontle p lussouve ntp r e se nt e e sdansune ta ble 2 2 donnantlesfr equencesabsoluesn ij (i;j=1;2) Y =0 Y =1 Total X =0 n 11 n 12 n 1: X =1 n 21 n 22 n 2: Total n :1 n :2 n Les p ij = n ij n sontalorslesestimateursdesprobabilit es ¼ ij de la distributionconjointede(x;y) Le diagram m e de la distribution conjointe La graphique de la distribution conjointe estim ee par lesp ij donne unerepr esentationdel'associationentre lesdeuxvariablesbinaires Lesindicesli esµalacorr elation La corr elation lin eaire entre deux variablesbinairesgarde un sens car,ausigneprµes,savaleurned ependpasdesnombreschoisispour coderlesdeuxmodalit esde chaque variable.ene et,deuxcodages num eriquesd'unevariablebinairesonttoujoursreli esparunetransformationlin eaire.l'expressionde ½ x;y estbienconnue ½ x;y = ¼ 11¼ 22 ¼ 12 ¼ 21 [¼ :1 ¼ :2 ¼ 1: ¼ 2: ] 1=2 eteles'exprime facilementenfonctionde ladi erence 8 ±=P[Y =0jX =0] P[Y =0jX=1]= ¼ 11 ¼ :1 ¼ 12 ¼ :2

9 Indicesd' evaluationde l'associationentre deuxvariables Enfait½ x;y = ±( ¾x ¾ y ).Cettecorr elationexprimedoncessentielement unedi erenceentredeuxprobabilit esconditionneles.lecoe±cient de pointestpar d e nition le coe±cientde corr elation de Bravais- Pearson r x;y.ilsecalculeimm ediatementparlaformule r x;y = [n 11n 22 n 12 n 21 ] [n :1 n :2 n 1: n 2: ] 1=2 Lecoe±cientdepointestli eµaladistance chi-carr e(cfrinfra). La notion decorr elation t etrachorique procµede de l'id ee de consid erer X ety commedesr eductionsdichotomiquesdedeuxvariables continuesx 0 ety 0 etderechercherlacorr elationentrecesdeuxvariables.ladichotomisationde X ety introduitdeuxparamµetres et tels que X 0 () X = 0;X 0 > () X = 1; Y 0 () Y =0;Y 0 > () Y =1.On peutsupposer lesvariablesx 0 ety 0 centr eesetr eduites,celan'a ectepasleurcorr elation ½.Onsupposeenoutrequelecouple(X 0 ;Y 0 )suituneloibinormale dontnousnotonsladensit e f(x0 ;y 0 ;½).SinousnotonsQ z (u)lequantile Gaussien de u,on a = Q z (¼ 1: ); = Q z (¼:1)et½ estobtenu th eoriquementenr esolvantl' equation Z Z ¼ 11 = f(x0 ;y 0 ;½)dx 0 dy 0 x0 ;y 0 Cemodµeleestconnusouslenomdemodµeleprobitbivari e(bpm)car ild ecritladistributionconjointeµal'aidedeprobit.naturelement,on estime ½ enrempla»cantdansces equationslesprobabilit esinconnues parlesproportionscorrespondantesdansl' echantilon.l'estimation ainsir ealis eede ½ porte le nomdecorr elationt etrachorique Risque relatif La di erence entre deux probabilit esconditionnelesn'estpastrµes informative lorsque cesprobabilit essonttoutesdeux petites. Dans ce cas,le rapportde cesprobabilit esfournitune information plus int e ressante.le risque relatif RR estle rap p ortde cesdeux p roba- bilit esconditionneles: RR= (¼ 11=¼ :1 ) (¼ 12 =¼ :2 ).Onl'estime par rr= (n 11=n :1 ) (n 12 =n :2 ) 9

10 Associationentredeuxvariablesnum eriques Asymptotiquement,ln(rr)suitune loinormale de moyenne ln(rr) etde variance egaleµa[1=n 11 1=n :1 +1=n 12 1=n :2 ],cequipermet dedonnerfacilementunintervaledecon ancepourln(rr)etdonc pour RR. Le testd'ind ependance est equivalentau test RR = 1. Lorsque RR > 1,l'associationestditepositiveentre X ety,eleest diten egativesirr < Rapportdescotes(oddsratio,rapportcrois e) Le ra p p ort de s cote s(e ncore ap p e l e rap p ortde schance s,rap p ort crois e,enanglaisoddsratio)estle quotient OR= ¼ 11¼ 22 ¼ 12 ¼ 21 Onvoitimm ediatementqu'ilest egalauquotientde lacote ¼ 11 =¼ 21 par la cote ¼ 12 =¼ 22,d'oµu son nom. On remarquera aussiqu'ilest sym etriquesur X ety.onl'estimepar or= n 11n 22 n 12 n 21 Asymptotiquement,ln(or) estdistribu e en loinormale de moyenne ln(or)etdevariance egaleµa[1=n 11 +1=n 21 +1=n 12 +1=n 22 ],cequi permetde construire unintervale de con ance pour ln(or)etpartantpour OR.Letestd'ind ependanceest equivalentautestor=1. Lorsque O R > 1,l'associationestpositiveentre X ety,etn egative sior < Distance µal'ind ependance Ladistanceµal'ind ependancepeutici^etremesur eeparl' ecartabsolu maximum entre la distribution conjointe estim ee etle produitdes distributionsmarginalesestim ees,c'est-µa-dire par D=maxjn ij =n n i: n :j =n 2 j Plusclassiquement,on utilise la distance chi-carr e quis'exprime directementµapartir ducoe±cientde pointpar laformule  2 = nrx;y 2. Pourlesgrands echantilons,l'ind ependancepeut^etretest eeµal'aide dutestclassiquequiutiliseladistancechi-carr e.pourles echantilons d'e ectifs faibles,on utilisera plut^ot le te st exact de Fisher. Ce 10

11 Indicesd' evaluationde l'associationentre deuxvariables te st e st bie n connu. R ap p e lons sim p le m e nt iciq u'ilconsiste,e n raisonnantconditionnelementaux totaux de lignesetde colonnes delatable2 2observ ee,µacalculerlaprobabilit e,sousl'hypothµese d'ind ependance,d'obtenirunetablemoinsprobableouaussiprobable queceleobserv ee.onrejettealorsl'ind ependancesicetteprobabilit e estinf erieure au risque de premiµere espµece a choisi. La probabilit e d'unetable T estdonn ee parlaloihyperg eom etrique P[T]= [n 1:!n 2:!n :1!n :2!] [n!n 11!n 12!n 21!n 22!] Coe±cientdeQuetelet(Yule'sQ) Lecoe±cientdeQueteletexprimelorsqu'onprenddeuxobservations (X 1 ;Y 1 )et(x 2 ;Y 2 )auhasard,avecremiseetdefa»conind ependante, ladi erencedesprobabilit esconditionnelessuivante: Q = P[(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )>0j(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )6=0] P[(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )<0j(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )6=0] Autrementdit,ildonneladi erence,parmilespairesd'observations disjointes(= celespour lesqueles(x 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) 6= 0),entre la proportion despairesconcordantes(= celespour lesqueles (X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 ) > 0)etcele despairesdiscordantes(= celes pourlesqueles(x 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )<0). La valeur de Q s'exprime facilementen fonction de la distribution conjointede(x;y): Onl'estimepar Q= [¼ 11¼ 22 ¼ 12 ¼ 21 ] [¼ 11 ¼ 22 +¼ 12 ¼ 21 ] q= [n 11n 22 n 12 n 21 ] [n 11 n 22 +n 12 n 21 ] On rem arquera que l'ind ep endance equivautµa Q= 0 etque l'indice dequeteletqestli e aurapportde cote OR parla relation(strictementcroissante)q= (OR 1) (OR+1).Onpeutdoncais ementconstruire un intervale decon ancepour Q. N ousve rrons p lusloin q ue Q e stun cas p a rticulie r du co e ± cie nt de concordance Gamma introduitpar GoodmanetKruskalpour les variablesordinales. 11

12 Associationentredeuxvariablesnum eriques R eduction del'erreurde pr ediction Sil'on pr edit Y en se basantuniquementsur sa distribution marginale,c'e st-µa-dire sans te nir com p te de X,on a e cte ra un individu µa la cat egorie pr esentantla plusgrande probabilit e. L'erreur de pr ediction estalors V P (Y)= 1 max(¼ :1 ;¼ :2 ). Par contre, sil'on saitque pour cetindividu X = 0,alors V P (YjX = 0) = 1 max(¼ 11 =¼ 1: ;¼ 12 =¼ 1: )tandisque six =1on a V P (YjX =1)= 1 max(¼ 21 =¼ 2: ;¼ 22 =¼ 2: ).L'erreurmoyennedepr edictionentenant comptede X estdonc V P (YjX)=1 max(¼ 11 ;¼ 12 ) max(¼ 21 ;¼ 22 ). La r eduction relative de l'erreur de pr ediction de Y lorsqu'on tient comptede X estdonc Mutatismutandis,ond e nit (YjX)= [V P(Y) V P (YjX)] V P (Y) (XjY)= [V P(X) V P (XjY)] V P (X) puisunindicesym etriquesurlesdeuxvariables (X;Y)= [V P(Y) (YjX)+V P (X) (XjY)] [V P (X)+V P (Y)] Ce sontlesindiceslambda de Goodmann etkruskal.ilssont touscom p risentre 0 et1etl'ind ep endance de X ety im p lique leur annulation.on notera que si (YjX)=0,ilestinutile de se servir de X pourpr edire Y.Onestimecesindicesensubstituantaux ¼ ij de la distribution conjointe,leursestimateursp ij = n ij =n.cesindices seg en eralisentauxtablesr C relativesµadeuxvariablesnominales (cfrinfra).quelquefois,onutilise l'indice deguttman G(X;Y)= [ (XjY)+ (YjX)] R eduction deladispersion Pour une variable binaire quelconque de distribution ¼ et1 ¼,la dispersion de GiniV G estla probabilit e que deux observations ind ependantestombentdansdescat egoriesdi erentes.eleest egale 12

13 Indicesd' evaluationde l'associationentre deuxvariables µa 1 ¼ 2 (1 ¼) 2.Eleestmaximale et egaleµa 1 2 sip= 1 2,ele est m inim ale etnu le si¼ = 0 ou 1.Calculonsla r eduction relative de la dispersionde Y quandx estprisencompte. Ladispersionde Y vautv G (Y)=1 ¼ :1 2 ¼2 :2.Sil'onsaitque X=0, alorselevaut 2 2 ¼11 ¼12 V G (YjX =0)=1 ¼ 1: ¼ 1: Parcontre six =1,ona V G (YjX =1)=1 2 ¼21 ¼ 2: 2 ¼22 ¼ 2: Ladispersionmoyenneentenantcomptede X vautdonc V G (YjX)=1 ¼2 11 +¼2 12 ¼ 1: ¼2 21 +¼2 22 ¼ 2: Lar eductionrelative deladispersions' ecritalors (YjX)= [V G(Y) V G (YjX)] V G (Y) Defa»consimilaire,ond e nit (XjY)enpermutantlesr^olesde X et Y.In ne,ond e nituncoe±cientdeconcentrationsym etrique (X;Y)= [V G(X) (XjY)+V G (Y) (YjX)] [V G (X)+V G (Y)] Cesontlescoe±cientsdeconcentrationdeGoodmanetKruskal. Ilssontcom prisentre 0 et1.ilspeuvent^etre estim esen rem pla»cant dansleur expression lesprobabilit es¼ ij par leursestimateursp ij = n ij n.cescoe±cientsse g en eralisent egalementau casde 2 variables nominalesquelconques(cfrinfra) R eductionde l'entropie Pour une variable binaire B,la surprise d'observer B = 0 p eut^etre mesur ee par -ln(¼)oµu ¼ = P[B =0].La surprise d'observer B =1 estmesur ee par -ln(1 ¼). La surprise lorsd'une observation sera donc en m oyenne egale µa H = ¼ln(¼) (1 ¼)ln(1 ¼) 13

14 Associationentredeuxvariablesnum eriques Onconvientque0.ln(0)=0.Cettegrandeur Hestappel eel'entropie. C'estaussiunemesuredeladispersiondelavariableconsid er ee.ele estmaximale si¼ =1=2 etvautalorsln(2)etminimale si¼ vaut0 ou 1,auquelcasele estnule. Calculonsla r eduction relative de l'entropie de Y quandx estprisen compte.d'une part,l'entropie de Y vauth(y)= ¼ :1 ln(¼ :1 ) ¼ :2 ln(¼ :2 ).D'autrepart,sil'ontient comptede X,ona etde m^eme H(YjX =0)= [¼ 11ln(¼ 11 =¼ 1: )+¼ 12 ln(¼ 12 =¼ 1: )] ¼ 1: H(YjX =1)= [¼ 21ln(¼ 21 =¼ 2: )+¼ 22 ln(¼ 22 =¼ 2: )] ¼ 2: Lar eductionrelativedel'entropiede Y entenantcomptede X vaut donc U(YjX)= [H(Y) H(YjX)] H(Y) Defa»conanalogue,ond e nitu(xjy),puisuncoe±cientsym etrique U(X;Y)= [H(Y)U(YjX)+H(X)U(XjY)] [H(X)+H(Y)] Ce sontlescoe±cientsd'incertitude.ilssontcom prisentre 0 et 1. On lesestime naturelementen rempla»cantdansleur expression lesprobabilit es ¼ ij par lesproportionsobserv ees p ij = n ij =n. Ces troiscoe±cientsseg en eralisentaussiaucasde2variablesnominales quelconques(cfrinfra) Structure de l'association : sym etrie,hom og en eit e marginale,modµelede Dale Da nsle ca s de de ux va riable s bina ire sx e t Y,la sym e trie de la distributionconjointe (¼ 12 = ¼ 21 )est equivalente µa l' egalit e desdistributions marginales (¼ 1: = ¼ :1 ). Le test de sym etrie (et donc d'homog en eit e desdistributionsmarginales) peut^etre r ealis e gr^ace µalastatistiqueclassique demcnemar 14 Â 2 = (n 12 n 21 ) 2 n 12 +n 21

15 Indicesd' evaluationde l'associationentre deuxvariables quisuitasymptotiquementune loichi-carr e µa1degr edelibert e. Onpeutaussidonnerunintervaledecon ancepourladi erence ± = ¼ 1: ¼ :1.Ene et,cettedi erencepeut^etreestim eepar d= p 1: p :1 avec p 1: = n 1: =netp :1 = n :1 =n,dontladistributionasymptotiqueest uneloinormale demoyenne ± etdevariance var(d)= 1 n [¼ 12(1 ¼ 12 )+¼ 21 (1 ¼ 21 )+2¼ 12 ¼ 21 ] quel'onestimeenrempla»cantles¼ ij parlesp ij = n ij =n. Onpeutaussitesterlasym etrieencomparantlemodµelelog-lin eaire Ln(n¼ ij )= ¹+ i+ j+ ij avec 1+ 2=0; 12 = 21 = 11 = 22 contrelemodµeleln(n¼ ij )= ¹+ ij avec =0. Onverra(cfr infra)commentl'analyse log-lin eaire peut^etre utilis ee pour etudier la structure de l'associationentre deux variablesnominalesµa I > 2modalit es. En n,mentionnonslemodµelebivari ededale(bdm)quiexplicitela structure de l'association en mod elisantla distribution conjointe de lafa»consuivante: ln(¼ 1: =(1 ¼ 1: )) = ln(¼ :1 =(1 ¼ :1 )) = ln(or) = oµu OR estle rapportdescotes ¼ 11¼ 22 ¼ 12 ¼ 21 et ; ; desparamµetres.ce modµelepeut^etreg en eralis eetpermettrel'introductiondecovariables eventuelespourexpliquerlad ependancedel'associationentre X et Y vis-µa-visdescovariables. Dansce cas,lesprobabilit es ¼ ij sont remplac eesparlesprobabilit esconditionnelesauvecteurdescovariablesetlesparamµetres ; ; par desfonctionslin eairesdescovariablesdontonestimelescoe±cientsparlam ethodedumaximumde vraisemblance. 3 Associationentredeuxvariablesordinales 3.1 La corr elation de rang SiX e st une va riable ordina le (on note la re la tion d'ordre) e t x une observation,on d e nitle rang de x par rang(x)=p[x x]. 15

16 Associationentredeuxvariablesordinales Dansun echantilon(x1;:::;xn),rang(xi)estestim eparlafr equence relative cumul ee de xi,maison utilise g en eralementlesfr equences absoluescumul eesau lieu desfr equencesrelativescumul ees.on les note r(xi)(= rang de xi dansl' echantilon ordonn e en croissant). La corr elation de rang de Spearman ½ S (X;Y)estpar d e nition la corr elationlin eaireentrerang(x)etrang(y): ½ S (X;Y)=½(rang(X), rang(y)).cette corr elation de rang estestim ee par le coe±cientde corr elationde rangdespearman r S quiestlecoe±cientdebravais- Pearsonobtenuenrempla»cantlesobservations(xi;y i )parleursrangs (r(xi);r(y i ))(i=1;:::;n).la valeur de ce coe±cientne d ependpas du codage num erique eventuelementutilis e pour d ecrire la relation d'ordre. Une valeur proche de z ero indique l'absence d'association entre X ety,tandisqu'unevaleurprochede1oude-1indiqueune relationmonotone (respectivementcroissante ou d ecroissante)entre X ety. Lorsque n est grand, on peut estimer l'erreur type de r S par (n 1) 1=2,cequipermetdedonnerunintervaledecon ancepour ½ S.Lorsdel'attributiondesrangs,ilconvient,encasd'observations egales,d'attribuerµachacuned'eleslamoyennedesrangsqu'elesoccupent(partage desrangs).lorsquetropd'observationssont egales, ilvaut m ie ux avoir re cours aux indice s de concordance s (voir cidessous). Noussupposeronsalorsque lesdonn eessontrepr esent ees par une table R C donnantlesfr equencesabsoluesn ij desobservationstombantdansla i e cat egorie de X etla j e cat egrorie de Y. Lestotauxmarginauxsontnot esn i: etn :j. 3.2 Indicesdeconcordance Une paire d'observations(x 1 ;Y 1 );(X 2 ;Y 2 )extraite de fa»con simplementfortuitedelapopulationseraditeconcordantesi(x 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )>0,discordantesi(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )<0, egaleenxsix 1 = X 2, egale en Y siy 1 = Y 2, egale en X ety six 1 = X 2 ety 1 = Y 2.Une paireteleque(x 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )6=0estditedisjointe.Nousnoterons respectivement c = P[(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )>0] d = P[(X 1 X 2 )(Y 1 Y 2 )<0] 16 x = P[X 1 = X 2 ] y = P[Y 1 = Y 2 ]

17 Indicesd' evaluationde l'associationentre deuxvariables Dansun echantilon d'e ectif n,f(xi;y i ): i= 1;:::;n)g,on compte n(n 1)=2 p a ire s d'obse rvations,p a rm ile sq ue le s C sont concordantes,d sontdiscordantes,t X sont egalesen X,T Y sont egales en Y ett XY sont egalesen X eten Y,ensorteque C+D+T X +T Y T XY = n(n 1) 2 Diversindicessontutilis espour mesurer la concordance entre X et Y : lecoe±cientgammadegoodmanetkruskal,lescoe±cient et b dekendal,lescoe±cientsd de Sommers. Le co e ±cie nt Gam m a de Go o dm an e t K r uskalexprime la di erence entre la probabilit e d'observer une paire concordance et celed'observerunepairediscordante,cesprobabilit es etant evalu ees conditionnelementµa l'observation d'une paire disjointe.autrement dit = ( c d ) ( c + d ) Ilestestim e par la di erence entre la proportion despairesconcordantesetcele despairesdiscordantes,parmilespairesdisjointesde l' echantilon est (C D) = (C+D) Cecoe±cientestsym etriquesur X ety ettoujourscomprisentre0 et1.unevaleurprochede1oude-1indiqueunerelationmonotone (respectivementcroissanteoud ecroissante).l'ind ependancede X et Y implique =0.Lorsque nestgrand, est suitapproximativement uneloinormaledemoyenne dontlavariancepeut^etreestim eepar Var( est )=16(C+D) 4X i X j n ij n [Dn(c) ij Cn(d) ij ]2 oµu n (c) ij (resp. n(d) ij )sontlesnombresd'observationsconcordantes (resp.discordantes)avec ce lesde la ce lule (i;j)de la table de contingence. Cecipermetdeconstruireunintervaledecon ancepour. Onremarqueraquececoe±cientser eduitaucoe±cientdequetelet Q dansle casoµu X ety sontbinaires. 17

18 Associationentredeuxvariablesordinales Le coe±cient de Kendalexprime la di erence entre la probabilit e d'obtenir une paire concordante etcele d'obtenir une paire discordante = c d etilestnaturelementestim e par est = (C D) [n(n 1)=2] P[T]= [( in i!)( j n j!)] [n!( i j n ij!)] Ilreste alorsµa faire la somme desprobabilit esdestablesrecens ees. Onrejettel'ind ependancelorsquecettesommeestinf erieureaurisque de premiµereespµece choisi. Le coe±cient b de Kendalexprime une corr elation. Si(X 1 ;Y 1 ), (X 2 ;Y 2 )estune paire d'observationsextraite de fa»con simplement fortuite de la population, b estla corr elation lin eaire entre signe (X 1 X 2 )etsigne(y 1 Y 2 ): Onl'estimepar est b = b = ½(signe(X 1 X 2 );signe(y 1 Y 2 )) (C D) f[n(n 1)=2 T X ]:[n(n 1)=2 T Y ]g 1=2 Pour tester l'hypothµese d'ind ependance de X ety,on peututiliser un testexact,c'est-µa-dire valable m^eme pour de petits echantilons. Pour la simplicit e,notons obs ;C obs ;D obs lesvaleursobserv eesde est ;C;D.Onraisonnealorsconditionnelementauxtotauxdelignes n i: etde colonnes n :j observ es. On recense touteslestablesayant les m^emes totaux de lignes n i: et les m^emes totaux de colonnes n :j,pour lesqueles j est j j obs jautrement dit pour lesqueles jc Dj jc obs D obs j. Sousl'hypothµese d'ind ependance etconditionnelementaux totaux marginaux la probabilit e d'observer une table T = fn ij : i= 1;:::;R;j= 1;:::;Cg estdonn ee par la loihyperg eom etriquemultiple Ilpossµede evidemmenttouteslespropri et esd'uncoe±cientdecorr elation etp eutdonc ^etre trait e com m e tel.dansle casde deux variablesbinaires,ilest egalaucoe±cientde point.ilestr eput e moins sensibleque auchoixdescat egories. 18

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