چكيده مقدمه. Journal of Water and Soil Vol. 23, No. 3, Fall 2009, p جلد 23 شماره 3 پاييز 1388 ص

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Size: px
Start display at page:

Download "چكيده مقدمه. Journal of Water and Soil Vol. 23, No. 3, Fall 2009, p جلد 23 شماره 3 پاييز 1388 ص"

Transcription

1 و 2 Journal of Water and Soil Vol. 23, No. 3, Fall 2009, p نشريه آب و خاك (علوم و صنايع كشاورزي) جلد 23 شماره 3 پاييز 1388 ص مقايسه مدلهاي توزيع لوگ-نرمال و گاما براي نمايش منحني توزيع اندازه ذرات خاك 3 2 1* مرتضي صادقي - بيژن قهرمان - كامران داوري تاريخ دريافت: 87/7/13 تاريخ پذيرش: 87/4/14 چكيده در سالهاي اخير محققين زيادي براي تخمين توابع هيدروليكي خاك (از جمله منحني مشخصه رطوبتي و تابع هدايت هيدروليكي) از روي منحني 4 توزيع اندازه ذرات (PSD) خاك كوشيدهاند. در اين گونه مطالعات يك مدل رياضي براي نمايش PSD خاك ضروري به نظر ميرسد به گونهاي كه بتواند برازش دقيقي به دادههاي مشاهده شده PSD داشته باشد. تا كنون چندين مدل رياضي براي اين مورد هر كدام با مزايا و معايبي اراي ه شدهاند. دقت برازش هر مدل به دادههاي مشاهده شده PSD با تعداد پارامترهاي آن مدل رابطه مستقيم دارد. اما تخمين پارامترهاي مدلهاي چندپارامتري كه 5 داراي مفهوم رياضي و فيزيكي نميباشند خود يك مسا له در اين مدلها ميباشد. در اين ميان مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري كه پارامترهاي آن داراي مفهوم رياضي ميباشند اساس كار محققين زيادي قرار گرفته است. در اين تحقيق نشان داده شده است كه مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري 6 نميتواند نمايش دقيقي براي PSD همه كلاسهاي بافت خاك داشته باشد. به عنوان يك جايگزين در اين تحقيق مدل توزيع گاماي دوپارامتري براي نمايش دقيقتر PSD خاك پيشنهاد شده است به گونهاي كه دو پارامتر اين مدل نيز داراي مفهومي رياضي و به راحتي قابل محاسبه ميباشند. 7 مقايسه دقت اين دو مدل در نمايش PSD با برازش به دادههاي مشاهده شده تعداد 461 نمونه خاك پايگاه داده UNSODA مورد بررسي قرار گرفته است. بهبود دقت نمايش PSD توسط مدل توزيع گاما نسبت به مدل توزيع لوگ-نرمال كاملا مشهود بوده است. بر مبناي عامل ضريب برازش ) 2 R) در 8 تعداد 362 خاك و بر مبناي عامل ريشه ميانگين مربعات خطا (RMSE) در تعداد 323 خاك از مجموع 461 خاك بررسي شده مدل توزيع گاما نمايش دقيقتري از PSD نسبت به مدل توزيع لوگ-نرمال داشته است. نتايج آزمون t نشان داد كه مقادير R 2 مدل گاما در سطح اعتماد %1 به طور معنيداري بزرگتر از مقادير مربوط به مدل لوگ-نرمال بود. همچنين اختلاف معنيداري در سطح %5 بين مقادير RMSE حاصل از دو مدل نشان داده شد. بنابراين به طور كلي اين طور نتيجهگيري ميشود كه مدل گاماي دو پارامتري در نمايش منحني توزيع اندازه ذرات خاك بر مدل لوگ-نرمال دو پارامتري برتري دارد. واژههاي كليدي: منحني توزيع اندازه ذرات خاك (PSD) توزيع لوگ-نرمال توزيع گاما UNSODA مقدمه منحني توزيع اندازه ذرات (PSD) يكي از ويژگيهاي فيزيكي اساسي هر خاك ميباشد (10). اين منحني معمولا به صورت توزيع تجمعي احتمال قطر ذرات جامد خاك بيان ميشود. از آنجايي كه اندازهگيري نقاط اين منحني بسيار سادهتر از اندازهگيري توابع هيدروليكي خاك (از جمله منحني مشخصه رطوبتي و منحني هدايت هيدروليكي غيراشباع خاك) ميباشد و نيز به دليل شباهت ظاهري بين اين دو منحني در سالهاي اخير مطالعات زيادي جهت تخمين توابع هيدروليكي خاك از روي PSD صورت گرفته است. 1) 17 و (19 در اين گونه مطالعات وجود يك مدل رياضي براي نمايش PSD خاك ضروري به نظر ميرسد به گونهاي كه بتواند برازش دقيقي به دادههاي مشاهده شده PSD داشته باشد (10). 3-1 به ترتيب دانشجوي دكتراي آبياري و زهكشي دانشيار و استاديار گروه مهندسي آب دانشكده كشاورزي دانشگاه فردوسي مشهد ( 4- Particle-size distribution 5- Log-normal 6- Gamma 7- Unsaturated soil database 8- Root mean squares error *) - نويسنده مسي ول :

2 مقايسه مدلهاي توزيع لوگ-نرمال و گاما براي نمايش تا كنون چندين مدل رياضي هر كدام با مزايا و معايبي اراي ه شدهاند. دقت برازش اين مدلها به دادههاي مشاهده شده معمولا به تعداد پارامترهاي آن مدل وابسته ميباشد. به گونهاي كه هرچه تعداد پارامترهاي يك مدل بيشتر باشد برازش دقيقتري خواهد داشت. اما تخمين پارامترهاي مدلهاي چند پارامتري كه داراي مفهوم رياضي و فيزيكي نميباشند خود يك مسا له در اين مدلها ميباشد كه نيازمند به روشهاي عددي و محاسباتي و نرمافزارهاي كامپيوتري ميباشد. از اين گذشته در اين گونه موارد درنظر گرفتن مقادير اوليه مناسب براي پارامترهاي مدل در شروع محاسبات عددي خود يك مسا له ميباشد. به اين دلايل معيارهاي آماري مقايسه بين دو مدل با تعداد پارامترهاي متفاوت به ازاي هر تعداد پارامترهاي بيشتر يك مدل براي آن يك جريمه در نظر ميگيرند (5 و 10). اما در بين مدلهاي موجود مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري تنها مدلي است كه پارامترهاي آن ماهيت رياضي مشخص دارند و به راحتي از روي دادههاي موجود قابل محاسبه ميباشند. به همين دليل اين مدل به كر ات براي نمايش PSD خاك مورد استفاده قرار گرفته است 5) و.( 18 لازم به ذكر است كه اين مدل در حالي اساس بسياري از مطالعات قرار گرفته است كه بر محققين در اين زمينه پوشيده نبوده است كه مدل توزيع لوگ-نرمال براي همه كلاسهاي بافت خاك دقت لازم را ندارد. به عنوان مثال بوچان (5) نشان داد كه مدل توزيع لوگ-نرمال تنها براي نمايش PSD حدود نيمي از خاكهاي مثلث بافت خاك سازمان كشاورزي ايالات متحده ) 1 (USDA ميتواند با دقت مناسبي به كار رود. هوانگ و همكاران (10) نيز در مطالعات خود نشان دادند كه مدل مذكور در مورد خاكهاي رس سيلتي لوم رسي سيلتي و لوم رسي دقت خوبي داشته است و در ساير خاكها موفق نبوده است. محدوديت عمده مدل توزيع لوگ-نرمال در استفاده براي نمايش PSD تقارن آن (در مقياس لگاريتمي) ميباشد در حالي كه PSD بسياري از خاكها اين تقارن را نشان نميدهد (7). براي رفع اين مشكل مدل توزيع گاماي دو پارامتري پيشنهاد ميشود. پيشنهاد اين مدل در اين تحقيق به دو دليل ميباشد: نخست اينكه پارامترهاي اين مدل همانند مدل توزيع لوگ-نرمال داراي مفاهيم رياضي هستند و به راحتي قابل محاسبه ميباشند و دوم اين كه در قياس با مدل توزيع لوگ-نرمال اين مدل از عدم تقارن و انعطافپذيري بيشتري براي برازش به دادههاي مشاهده شده برخوردار هست. اگرچه پيشتر راسل (16) براي نمايش توزيع اندازه ذرات تكههاي درشت سنگهاي گرانيتي در حال تخريب استفاده كرد دقت مدل توزيع گاما در نمايش PSD خاكهاي زراعي با بافتهاي مختلف آزمون نشده است. هدف عمده از اين تحقيق آزمون مدل توزيع گاماي دو پارامتري براي نمايش PSD كلاسهاي مختلف بافتي و پاسخ به اين سوال است كه آيا اين مدل ميتواند محدوديتهاي مدل لوگ-نرمال را در بعضي كلاسها برطرف كند. ساختار رياضي مدلها مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري براي بيان تابع چگالي احتمال اندازه ذرات خاك توسط مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري از رابطه زير استفاده ميشود: ( 1) (2) كه در اين رابطه x لگاريتم اندازه ذرات خاك ) ) و به ترتيب ميانگين و انحراف معيار توزيع x ميباشند كه با ميانگين (m) و انحراف معيار (sd) دادهها در فضاي احتمالاتي به صورت زير مربوط ميشوند: (3) اما مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري براي بيان توزيع تجمعي احتمال اندازه ذرات خاك كه شكل رايج مورد استفاده PSD خاك ميباشد از رابطه زير تبعيت ميكند: ( 4) مدل توزيع گاماي دو پارامتري براي بيان تابع چگالي احتمال اندازه ذرات خاك توسط مدل توزيع گاماي دو پارامتري از رابطه زير استفاده ميشود (4): ( 5) كه در اين معادله متغير معادل قطر ذرات خاك ) 3 ( 2 (6) (7) پارامتر موسوم به عامل شكل و پارامتر موسوم به عامل مقياس ميباشد. اين دو پارامتر فقط مقادير مثبت را ميپذيرند و به صورت زير تعريف ميشوند: در رابطه (5) تابع گاماي پارامتر صورت زير تعريف ميشود: ميباشد كه به 2- Shape parameter 3- Scale parameter 1- United States Department of Agriculture

3 22 نشريه آب و خاك(علوم و صنايع كشاورزي) جلد 23 شماره 3 سال 1388 ( 8) و توزيع تجمعي گاما نيز مانند مدل لوگ-نرمال از معادله (4) به دست ميآيد. در شكل (1) تابع توزيع تجمعي و تابع چگالي احتمال مدلهاي توزيع لوگ-نرمال و گاما به طور ترسيمي نشان داده شده است. (شكل 1)- نمايش ترسيمي مدلهاي توزيع (الف) لوگ-نرمال و (ب) مواد و روشها گاما. در اين تحقيق مدلهاي توزيع لوگ-نرمال و گاما به دادههاي مشاهده شده PSD مربوط به تعداد 461 نمونه خاك موجود در پايگاه داده (15) UNSODA برازش داده شدند. اين 461 خاك از بين تعداد 790 نمونه خاك موجود در پايگاه داده UNSODA انتخاب گرديدند و در واقع همه آنهايي بودند كه دادههاي منحني PSD آنها حداقل داراي پنج نقطه اندازهگيري شده بود. هرچند محدوديتي در تعداد نقاط لازم براي برازش مدلها وجود ندارد مسلم است كه هرچه تعداد نقاط اندازهگيري شده بيشتري از منحني PSD موجود باشد و هرچه نقاط گستره وسيعتري از اندازه ذرات را شامل شوند مدلهاي مذكور نمايش دقيقتر و واقعيتري از منحني PSD خواهند داشت. براي تخمين پارامترهاي دو مدل ميانگين و انحراف معيار دادهها از روابط زير محاسبه گرديد: كه در اين معادلات مربوط به نقطه معادل لگاريتم اندازه ذرات ) ذرات ) احتمال تجمعي حاصل از مشاهدات ميباشد به نحوي كه در مدل لوگ-نرمال ( و در مدل گاما معادل اندازه ( ميباشد و 1 تعداد نقاط مشاهده شده از منحني PSD ميباشد. همچنين در محاسبات فوق بايد مقدار صفر براي و لحاظ گردد. روابط (9) و (10) در واقع ميانگين و انحراف معيار وزني دادههاي PSD ميباشند كه با مفاهيم "اميد رياضي" براي مقادير گسسته نيز قابل استحصال هستند. اميد رياضي در فضاي احتمالاتي در واقع همان سطح زيرمنحني تابع توزيع تجمعي احتمال ميباشد. در مورد منحني PSD سطح محدود به منحني و خط F(x)=1 ميباشد كه در واقع سطح زير منحني تابع توزيع تجمعي احتمال ذرات بزرگتر از x ميباشد (شكل 2). در اين تحقيق مقادير ميانگين و انحراف معيار دادهها از روابط (9) و (10) محاسبه گرديد. آنگاه دو پارامتر مدل توزيع لوگ-نرمال از معادلات (2) و (3) و دو پارامتر مدل توزيع گاما با داشتن مقادير از معادلات (6) و (7) محاسبه شدند. پس از محاسبه پارامترهاي دو مدل نرمافزار Microsoft Excel براي محاسبات به كار گرفته شد. چراكه هر دو مدل توزيع لوگ-نرمال و گاما در اين محيط تعريف شده ميباشند. دقت برازش دو مدل مذكور به دادههاي مشاهده شده با دو معيار ضريب برازش ) 2 R) و ريشه ميانگين مربعات خطا (RMSE) بررسي گرديد. اين دو معيار از روابط زير قابل محاسبه ميباشند: ( 11) ( 12) كه احتمال تجمعي مربوط به نقطه ميباشد كه مدل برازش داده شده به دست ميدهد. براي بررسي معنيداري اختلاف بين دو مدل آزمون يك دامنه t با استفاده از تابع TTEST در محيط Excel انجام گرديد. 3- در محيط Excel مدلهاي توزيع لوگ-نرمال و گاما به ترتيب با توابع NORMDIST و GAMMADIST بيان ميشوند. ( 9) ( 10)

4 ب- مقايسه مدلهاي توزيع لوگ-نرمال و گاما براي نمايش (شكل 2)- شرح ترسيمي نحوه محاسبه ميانگين منحني PSD طبق معادله (9) نتايج و بحث نتايج حاصله از برازش دو مدل معرفي شده به نقاط مشاهده شده از منحني PSD مربوط به 461 نمونه خاك مذكور و مقايسه بين دو مدل حاكي از برتري مدل گاما در دقت برازش بود. مقادير R 2 و RMSE براي همه نمونهها در شكل (3) نشان داده شده است. اين شكل نشان ميدهد كه به جز موارد اندكي (نقاط پايين خط 1:1 در شكل 3 -الف و نقاط بالاي شكل ( 3 در بقيه موارد مدل گاما داراي ضريب برازش بالاتر و خطاي كمتري بوده است. اختلاف فاحش بين خط برازش داده شده بر روي نقاط و خط 1:1 موكد اين مساله است. به طور كمي از كل 461 نمونه خاك بررسي شده مدل توزيع گاما بر مبناي عامل R 2 در تعداد 362 نمونه و بر مبناي عامل RMSE در تعداد 323 نمونه نسبت به مدل توزيع لوگ-نرمال برتري نشان داده است. ميانگين R 2 براي كل نمونهها برابر 0/945 براي مدل لوگ-نرمال و 0/976 براي مدل گاما به دست آمد. همچنين ميانگين RMSE به ترتيب براي مدلهاي لوگ-نرمال و گاما برابر 0/0822 و 0/0679 محاسبه گرديد. همچنين مقايسه بين عملكرد دو مدل نام برده شده به تفكيك كلاسهاي بافت خاك اراي ه شده توسط USDA انجام گرديد. خلاصه نتايج مقايسه در قالب جدول (1) اراي ه شده است. نتايج آزمون معنيداري اختلاف دو مدل نشان داد كه مقادير ميانگين R 2 مدل گاما در سطح اعتماد %1 به طور معنيداري بزرگتر از مقادير ميانگين مربوط به مدل لوگ-نرمال بود. همچنين اختلاف معنيداري در سطح اعتماد %5 بين مقادير ميانگين RMSE حاصل از دو مدل نشان داده شد. نتايج نشان داد كه مدل توزيع گاما در همه كلاسها به جز لوم سيلتي رس سيلتي و لوم رسي سيلتي بهتر از مدل توزيع لوگ نرمال عمل كرده است. اين نتيجه با يافتههاي هوانگ و همكاران (10) همخواني دارد. ايشان پس از مطالعه بر روي PSD مربوط به تعداد 1387 نمونه از خاكهاي كره بيان داشتند كه مدلهاي توزيع لوگ- نرمال (چه دو پارامتري و چه سه پارامتري) از ميان همه كلاسهاي بافت خاك فقط در مورد خاكهاي لوم رسي رس سيلتي و لوم رسي سيلتي عملكرد رضايتبخشي نشان داده اند. اما نبايد از نقش تعداد كم نمونههاي مقايسه شده بين دو مدل در كلاسهاي نام برده شده نيز غافل شد. چه بسا كه اگر مقايسه بين تعداد بيشتري از نمونههاي خاك صورت گيرد اين احتمال وجود دارد كه نتايج بهتري توسط مدل گاما حاصل گردد. همچنين هوانگ و همكاران (10) بدترين عملكرد مدل لوگ-نرمال را در بافت لوم رسي شني يافتند كه اين يافته دقيقا منطبق بر نتايج اين تحقيق ميباشد. دليل اين مساله را ممكن است بتوان در شكل به نسبت پيچيده منحني PSD در خاكهاي لوم رسي شني يافت چراكه معمولا منحني PSD در اين خاكها وقتي به صورت تابع چگالي احتمال رسم ميشود برخلاف اغلب خاكها كه يك قله دارند داراي دو قله ميباشد. چنانچه در جدول (1) نيز مشخص است مدل گاما توانسته است دقت نمايش منحني PSD در اين كلاس را نسبت به مدل لوگ-نرمال به طور قابل توجهي افزايش دهد كه دليل آن را ميتوان در انعطاف بيشتر مدل گاما يافت. در شكل (4) براي هر كلاس بافت خاك يك نمونه از برازش دو مدل به دادههاي مشاهده شده نشان داده شده است. در اين شكل خاكهاي نشان داده شده براي هر كلاس به گونهاي انتخاب شدند كه R 2 هر يك از مدلها تقريبا برابر با ميانگين R 2 آن كلاس (در جدول 1) باشد. علاوه بر مقادير R 2 پارامترهاي دو مدل گاما و لوگ-نرمال نيز براي هر كلاس در شكل (4) مشخص شدهاند كه ميتوانند به عنوان نمايندهاي براي ساير خاكهاي هر كلاس باشند.

5 24 نشريه آب و خاك(علوم و صنايع كشاورزي) جلد 23 شماره 3 سال 1388 كه در بخش مقدمه نيز ذكر شد يافتن مقادير اوليه مناسب براي پارامترهاي مدلها در روشهاي تكراري خود يك مساله است و در صورت مناسب نبودن اين مقادير ممكن است همگرايي نتايج ميسر نگردد. (شكل 3)- مقادير (الف) R 2 و (ب) RMSE براي مدلهاي توزيع لوگ-نرمال و گاما براي 461 نمونه خاك بررسي شده از بانك خاك.UNSODA خط پررنگ خط 1:1 و خط كمرنگ خط برازش داده شده ميباشد. اين مقادير ميتوانند به عنوان راهنماي خوبي براي پيدا كردن مقادير اوليه مناسب براي برازش دو مدل مذكور با استفاده از روشهاي تكراري براي هر كلاس مدنظر قرار گيرند. زيرا همانطور نتيجهگيري مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري يك مدل پذيرفته شده براي نمايش PSD خاك ميباشد. از آنجايي كه مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري داراي پارامترهاي كم و در عين حال داراي ماهيت رياضي و قابل محاسبه ميباشد محققين زيادي اين مدل را اساس كار مطالعات خود قرار دادند. بهويژه در مطالعاتي كه جهت تخمين توابع هيدروليكي خاك از روي PSD انجام گرفت اين مدل مكررا به كار رفته است. در اين تحقيق نشان داده شد كه مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري نميتواند در همه كلاسهاي بافت خاك برازش قابل قبولي به دادههاي مشاهدهشده PSD داشته باشد. در اين تحقيق مدل توزيع گاماي دو پارامتري به عنوان يك جايگزين براي مدل توزيع لوگ- نرمال دو پارامتري پيشنهاد شده است. از آنجايي كه از نظر پارامترها دو مدل كاملا در شرايط برابر قرار دارند تنها دقت برازش دو مدل به دادههاي مشاهده شده PSD آزمون گرديد. اين آزمون براي تعداد 461 نمونه خاك پايگاه داده UNSODA و بر اساس دو معيار R 2 و RMSE صورت گرفت. معيار R 2 برتري مدل گاما را در 362 نمونه خاك و معيار RMSE برتري مدل گاما را در 323 نمونه خاك نشان داد. با آزمون t مشخص گرديد كه اختلاف بين مقادير R 2 و RMSE دو مدل به ترتيب در سطوح %1 و %5 معنيدار بود. بر اين اساس ميتوان مدل توزيع گاماي دو پارامتري را به عنوان يك جايگزين برتر براي مدل توزيع لوگ-نرمال دو پارامتري برگزيد. (جدول 1)- خلاصه نتايج مقايسه عملكرد مدلهاي توزيع لوگ-نرمال و گاما در نمايش منحني PSD مربوط به 461 نمونه خاك بانك UNSODA ميانگين R 2 انحراف معيار R 2 ميانگين RMSE انحراف معيار RMSE لوگ-نرمال گاما لوگ-نرمال گاما لوگ-نرمال گاما لوگ-نرمال گاما ** N 2 * N 1 تعداد نمونهها بافت خاك 0 /026 0 / 034 0/ / / / 038 0/ 958 0/ شن 0 /024 0 / 024 0/ / / / 011 0/ 940 0/ شن لومي 0 /030 0 / 041 0/ / / / 014 0/ 935 0/ لوم شني 0 /026 0 / 044 0/ / / / 012 0/ 951 0/ لوم 0 /027 0 / 043 0/ / / / 027 0/ 964 0/ لوم سيلتي 0 /038 0 / 037 0/ / / / 041 0/ 843 0/ لوم رسي شني 0 /016 0 / 069 0/ / / / 031 0/ 935 0/ لوم رسي 0 /025 0 / 027 0/ / / / 020 0/ 962 0/ لوم رسي سيلتي 0 /016 0 / 051 0/ / / / 064 0/ 949 0/ رس سيلتي 0 /034 0 / 034 0/ / / / 020 0/ 947 0/ رس 0/026 0/ 040 0/ / / 044 0/ 028 0/ 945 0/ كل نمونهها ** * R 2 مدل توزيع گاما برازش بهتري نسبت به مدل توزيع لوگ-نرمال داشته است. : N تعداد نمونههايي كه در آنها بر N: 1 تعداد نمونههايي كه در آنها بر اساس عامل 2 اساس عامل RMSE مدل توزيع گاما برازش بهتري نسبت به مدل توزيع لوگ-نرمال داشته است.

6 چ( ب( ح( پ( خ( ت( د( ث( ج( مقايسه مدلهاي توزيع لوگ-نرمال و گاما براي نمايش (شكل 4)- برازش مدلهاي توزيع لوگ-نرمال (خط منقطع) و گاما (خط ممتد) براي خاكهاي ( لوم ( لوم سيلتي (خاك 4560) ( لوم (خاك 4710) ( لوم شني (خاك 3203) ( شن لومي (خاك 1111) (الف) شن (خاك 1041 از پايگاه (UNSODA ( رس (خاك 4681). نقاط مقادير مشاهده شده مي- ( رس سيلت (خاك 1383) ( لوم رسي سيلتي (خاك 3110) ( لوم رسي (خاك 1213) رسي شني (خاك 1165) باشند.

7 26 نشريه آب و خاك(علوم و صنايع كشاورزي) جلد 23 شماره 3 سال Arya L.M., and Paris J.F A physicoempirical model to predict the soil moisture characteristic from particlesize distribution and bulk density data. Soil Sci. Soc. Am. J. 45: Arya L. M., Leij F. J., van Genuchten M. Th., and Shouse P. J. 1999a. Scaling parameter to predict the soil water characteristic from particle-size distribution data. Soil Sci. Soc. Am. J. 63: Arya L. M., Leij F. J., Shouse P. J., and van Genuchten M. Th. 1999b. Relationship between the hydraulic conductivity function and the particle-size distribution. Soil Sci. Soc. Am. J. 63: Bobee B., and Ashkar F The Gamma family and derived distributions applied in hydrology. Water Resources Publications. 5- Buchan G.D Applicability of the simple lognormal model to particle-size distribution in soils. Soil Sci. 147: Campbell G.S Soil physics with BASIC: Transport models for soil-plant systems. Elsevier, Amsterdam. 7- Fredlund M.D., Fredlund D.G., and Wilson G.W An equation to represent grain-size distribution. Can. Geotech. J. 37: Gupta S.C., and Larson W.E A model for predicting packing density of soils using particle-size distribution. Soil Sci. Soc. Am. J. 43: Haverkamp R., and Parlange J.Y Predicting the water retention curve from a particle-size distribution: 1. Sandy soils without organic matter. Soil Sci. 142(6): Hwang S., Lee K.P., Lee D.S., and Power E.S Models for Estimating Soil Particle-Size Distributions. Soil Sci. Soc. Am. J. 66: Hwang S.I., Powers S.E., 2003a. Lognormal distribution model for estimating soil water retention curves for sandy soils. Soil Sci. 168, Hwang S.I., Powers S.E., 2003b. Using Particle-Size Distribution Models to Estimate Soil Hydraulic Properties. Soil Sci. Soc. Am. J. 67: Hwang S.I., and Choi S.I Use of a lognormal distribution model for estimating soil water retention curves from particle -size distribution data. J. Hydrol. 323: Hwang S.I., and Hong S.P Estimating relative hydraulic conductivity from lognormally distributed particlesize data. Geoderma. 133: Leij F.J., Alves W.J., Van Genuchten M.Th., and Williams J.R The UNSODA unsaturated soil hydraulic database. p In M.Th. van Genuchten et al. (ed.) Characterization and measurement of the hydraulic properties of unsaturated porous media. Univ. of California, Riverside, CA. 16- Russell D.A Particle size distribution characterization for the coarse fraction of a granite soil. Soil Sci. Soc. Am. J. 40: Schuh W.M., and Bauder J.W Effect of soil properties on hydraulic conductivity-moisture relationship. Soil Sci. Soc. Am. J. 50: Shirazi M.A., and Boersma L A unifying quantitative analysis of soil texture. Soil Sci. Soc. Am. J. 48: Vereecken H., Maes J., Feyen J., and Darius P Estimating the soil moisture retention characteristic from texture, bulk density, and carbon content. Soil Sci. 148: منابع

8 نشريه آب و خاك (علوم و صنايع كشاورزي) مقايسه مدلهاي توزيع Soil لوگ-نرمال و andگاما براي of Water نمايش... 27Journal Vol. 23, No. 3, Fall 2009, p جلد 23 شماره 3 پاييز 1388 ص Comparing Log-normal and Gamma distribution models for representation of soil particle-size distribution M. Sadeghi 1 * - B. Ghahreman 2 - K. Davary 3 Abstract In recent years, many researchers have attempted to estimate the soil hydraulic functions (e.g. soil moisture characteristics curve, and hydraulic conductivity function) using particle-size distribution (PSD) curve. In these studies, an accurate mathematical representation of PSD is required for fitting the observed data. So far, some mathematical models were developed with different limitations. The goodness of fit is directly related to the number of the model parameters. However, estimating the parameters for higher-parameter models which have no mathematical or physical significance is a problem. Among the current models, 2-parameter Log-normal distribution model with mathematical significant parameters has been considered as a basis for many studies. In this study, it is indicated that the 2-parameter Log-normal distribution model can not be very accurate for representation of the PSD for all of soil textural classes. As an alternative, 2-parameter Gamma distribution model is proposed for more accurate representation of the PSD that its two parameters also are mathematical significant and readily computable. These two models have been compared in fitting the observed PSD data of 461 soil samples from UNSODA soil database. Gamma distribution model indicated a pronounced improvement in representation of the PSD. Based on Coefficient of determination (R 2 ), in 362 samples and based on RMSE, in 323 samples, Gamma distribution model showed a better representation of the PSD than Log-normal. To evaluate the significance of the difference between two models, a t-test was performed. The results showed that, at confidence level of 1%, the R 2 -values of the Gamma model are significantly greater than those of Log-normal model. Also, at confidence level of 5%, a significant difference between the RMSE-values of two models was shown. Therefore, 2-parameter Gamma distribution model is judged to be better than 2-parameter Log-normal model for representation of PSD. Key words: Particle-size distribution (PSD), Log-normal distribution, Gamma distribution, UNSODA 1,2,3- Contribution from College of Agriculture, Ferdowsi University of Mashhad (* - Corresponding author